INSPECTORATUL COLAR JUDEEAN SIBIU
OLIMPIADA DE MATEMATIC FAZA LOCAL, 12.02.2011
Clasa a V-a
1. Se dau numerele:
( )[ ]{ } 159:47:25:175283627 +=x ; ( ) ( )330020112012 55555111111252012:2011:2011 =y ; ( ) ( ) y xyyxxa :22 33333 +++= + .
(4p) a) Calculai numerele x i y. (3p) b) Artai c numrul 2011a este cub perfect.
Liviu Ardelean
2. Se consider urmtorul tablou n care linia n conine n numere: 1
2 3 4 5 6 7 8 9 10 ...............................................
(3p) a) Calculai suma numerelor din primele 5 linii ale tabloului. (4p) b) Determinai primul element de pe linia 100.
Monica Pau
3. Numrul abx = este format din primele dou numere prime. (3p) a) Artai c x nu este ptrat perfect. (4p) b) Dac Nkbabkan
Barem de corectare OLM Clasa a V-a, 2011
1. a) { } 1159:43327 =+= xx ........................................(2p) ( ) 1555551111151 333 == yy .......(2p)
b) ( ) ( )3201120113201131:1222 3332733333 ====+++= aaa , deci a este cub perfect ...............................................................................................................(3p)
2. a) Elementele liniei a 5-a sunt: 11, 12, 13, 14, 15 .....................................(1p) S = 1 + 2 + 3 + ... + 15 = ( ) 120
211515
=
+........(2p)
b) Urmrind ultimul numr al fiecrei linii se obine: prima linie se termin n 1 a doua linie n 3 = 1 + 2 a treia linie n 6 = 1 + 2 + 3 ...................(1p)
----------------------------------
a n -a linie se va termina cu numrul ( )2
1..21 +=+++ nnn .........(1p)
a 99-a linie se va termina cu numrul 495021009999...21 ==+++ .....(1p)
Deci, primul element al liniei 100 este 4951 .................................................................(1p)
3. a) { }32,23x .....................................................................................................(2p) x nu poate fi ptrat perfect......................................................................................(1p)
b) 32 += kn ......................................................................................................(1p) ( ) ( )222322 3218222 =+=+=+ + kkkkkn aa .........................(3p)
4. Din condiia 2) A4;3 i B4;3 ...(1p) Din condiiile 3) i 1) A7;6;5 i B7;6;5 .......(2p) Din condiia 1) deducem c mai avem de rezolvat problema elementelor 1 i 2; 1 i 2 nu pot fi n ambele mulimi (se contrazice condiia 2)), dar cel puin unul dintre ele trebuie s se afle n B (vezi condiia 4)).............................................................................(1p) Avem posibilitile:
{ }4,3,2A = , { }7,6,5,4,3,1B = .............................................................................................(1p) { }4,3,1A = , { }7,6,5,4,3,2B = .............................................................................................(1p) { }4,3A = , { }7,6,5,4,3,2,1B = .............................................................................................(1p)
OLIMPIADA DE MATEMATIC FAZA LOCAL, 12.02.2011
Clasa a VI-a
1. (7p) Determinai numrul natural nenul n, tiind c 2010 mprit la 2n d restul 10, 2011 mprit la 3n d restul 61 i 2012 mprit la 5n d restul 12.
Viorica David
2. (7p) Calculai suma: S = 2 + + + + ... +
Gazeta Matematic
3. Se dau punctele coliniare 0A , 1A , 2A ,..., nA , 1+nA , astfel nct cmAA 110 = , 21 AA = 102011 AA , 32 AA = 212011 AA , ... , =+1nn AA nn AA 12011 .
(3p) a) Calculai lungimea segmentului [MN], unde M este mijlocul segmentului [ 21 AA ] i N este mijlocul segmentului [ 32 AA ].
(4p) b) Aflai n pentru care 20121011 201120112010 =+ + AAAA n . Monica Guita
4. Unghiurile AOC i COB sunt adiacente suplementare, iar punctele C i D sunt de o parte i
de cealalt a dreptei AO, astfel nct m(COD)= 100 i m(BOD)=3m(AOC)< 180 . Aflai: (4p) a) Msurile unghiurilor AOC, COB i BOD. (3p) b) Msura unghiului format de bisectoarea AOD i semidreapta opus semidreptei [OC.
Doina Tatu
Not: Toate subiectele sunt obligatorii. Timp efectiv de lucru: 2 ore.
www.mategl.com
Barem de corectare OLM Clasa a VI-a, 2011
1. ......(2p)
Avem 20>n ........................(2p)
( ) 50400,650,1000 =n , { }50,25,10,5,2,150 =D .....................................(2p) { }50,25n ........................................................................................................................(1p)
2. S = 2 + + + + + + + ... + + ..................................................(2p)
S = 2 + + + + + ... + ..........................................................(2p)
= + + + ... + = 1 ..........................................................................(2p)
Finalizare S = 13 ...........(1p)
3. a) M mijlocul [ 21 AA ] MA1 = 2MA = 221 AA
=
22011
....................................................(1p)
N mijlocul [ 32 AA ] NA2 = 3NA = 232 AA
=
220112
...........................................................(1p)
MN = 2MA + NA2 = 22011
+2
20112= 20111006 = 2023066..............................................(1p)
b) nnAA 2011...20112011 211 +++=+ ...............................................................................(1p) 201120112010 111 =
++
n
nAA ..........................................................................................(1p) Inlocuind obinem n = 2011...............................................................................................(2p) 4. a) Desen......................................................................................(1p) Dac notm m( AOC)=x, m( AOD)=y, m( BOD)=3x, avem x+y=100 i 3x+y=180 ............................................................................................................................................(1p) Dup calcule 00 60,40 == yx ..........................................................................................(1p) m( AOC) = 40 , m( BOC) = 140 , m( BOD) = 120 ....................................(1p) b) Construcia bisectoarei [OF i a semidreptei [OE opuse lui [OC..................................(1p) m( AOD) = 60 , m( DOE) = 80 ..................................................................................(1p) m( FOE) = 110 ...............................................................................................................(1p)
OLIMPIADA DE MATEMATIC
FAZA LOCAL, 13.02.2011 Clasa a VII-a
1. (3p) a) Artai c:
( ) ( )
+
+=
++ ++
121
121
21
12122
11
1
nnnn
n
.
(4p) b) Aflai numrul natural nenul n, astfel nct:
( ) ( ) ( )12312
12122
...
1794
952
531
2011
2010
1
1
+
=
++++
+
+
+
nn
n
.
Gazeta Matematic
2. (3p) a) Comparai numerele reale:
761+
=a i 85
1+
=b .
(4p) b) Se d suma: ( ) ( ) ( ) ( ) nnnnnS 515253545...10987654321 ++++++++++++= .
Determinai numrul natural n pentru care 175=S . Simona Dumitrescu
3. (7p) Medianele [ ]CE i [ ]BD ale triunghiului ABC ( )( )090 =Am se intersecteaz n G. Dac 15=BC cm i { }PEDAG = , calculai lungimile segmentelor AG i PG.
***
4. ABCD este un paralelogram, M i N dou puncte pe latura [ ]BC , astfel nct NCMNBM == , iar P un punct pe latura [ ]CD , astfel nct PDCP = . Dac { } { } { }GBCAPFCDANECDAM === ,, , demonstrai c:
(3p) a) MDNP || i GFBP || . (2p) b) GE nu este paralel cu MD. (2p) c) dreptele AN, BP i DM sunt concurente ntr-un punct O.
Teodor Mrcu
Not: Toate subiectele sunt obligatorii. Timp efectiv de lucru: 3 ore.
www.mategl.com
Barem de corectare OLM Clasa a VII-a, 2011
1. a) ( )( ) ( )( )12122
1212222
121
121
21
1
1
1
1
1 ++=
++
=
+
+
+
+
+
+ nn
n
nn
nn
nn.....................................(3p)
b) Folosind a), avem:
=
51
31
21
531
=
91
51
21
952
...
( )( )
+
+=
++ ++
121
121
21
12122
11
1
nnnn
n
...........................................(2p)
( )( ) ( )12312
121
31
21
12122
...
952
531
111
1
+
=
+=
++++
+
+++
n
n
nnn
n
.....................................(1p)
Formm ecuaia: ( ) ( )12312
12312
2011
2010
1 +
=
+
+n
n
, a crei soluie este 2010=n ..........................(1p)
2. a) Compararea numerelor a i b revine la compararea numerele 76 + i 85 + , deci a numerelor 56 i 78 ...........................................................................................(1p) Avem
+>+>+
>+
+
CPFCCDFC
NBCN
NAFNABCF
NAFN
CDFCDACN
ThalesT
ThalesT
==
==
=
21
21||
||.
.
(1)
( ) CBDACGULUCPGDPA == (2) Din (1) i (2) BPGF este paralelogram, deci GFBP || ...................................................(1p)
b) 22||
||.
.
=
==
=
CDEC
MBCM
MAEMCEAB
MAEM
CDECDACM
ThalesT
ThalesT
Presupunnd 232|| ===
CMGC
CDECDMGE (contradicie)..............................................(2p)
c) [ ] [ ] ABPFABPFABPF ,|| este paralelogram. Fie { }OBPAF = . n triunghiul PBN, [ ]OM este linie mijlocie, deci PNOM || i cum de la punctul a) avem PNDM || , rezult c punctele D, O i M sunt coliniare, deci { }ODMBPAN = ...........................(2p)
D
A B
C
G
M
P F E
O N
OLIMPIADA DE MATEMATIC FAZA LOCAL, 12.02.2011
Clasa a VIII-a
1. Se consider expresia , unde . (4p) a) Demonstrai c este ptrat perfect. (3p) b) Artai c .
***
2. (7p) Determinai numerele naturale , tiind c . Gazeta Matematic
3. ABCD este un tetraedru i G1, G2, G3 sunt centrele de greutate ale triunghiurilor DBC, DAC respectiv DAB. (4p) a) Demonstrai c . (3p) b) Calculai raportul dintre ariile triunghiurilor i .
***
4. ABCD este un paralelogram cu i M este mijlocul laturii . n punctul P, , se ridic perpendiculara PQ pe planul paralelogramului
ABCD, astfel nct . (2p) a) Aflai aria paralelogramului ABCD. (5p) b) Calculai distanele de la punctul Q la punctul C, respectiv la dreapta BC.
Gheorghe Floarea
Not: Toate subiectele sunt obligatorii. Timp efectiv de lucru: 3 ore.
www.mategl.com
Barem de corectare OLM Clasa a VIII-a, 2011
1. a) .....(2p) ....(2p)
b) ........................................................................................................(1p) ...(2p)
2. Prin ridicare la ptrat avem .....................................................(1p) ...............................................................(1p)
....................................................................................(4p) ....................................................................................................(1p)
3. a) Fie mijloacele laturilor respectiv centre de greutate ............................................................(2p)
i ...........................(2p) b) ............................................................................................................................(1p)
.............................................................................................................................(1p) .............................................................................................................(1p)
4. a) ..............................................................................................(1p) ....................................................................................(1p)
b) Se arat c .........................................................................................(1p) ...................................................................................................(1p)
.......................................................................................................(1p)
Din teorema celor trei perpendiculare deducem c , deci .....................................................................................................................
...................(2p)
OLIMPIADA DE MATEMATIC FAZA LOCAL, 12.02.20011
A
C D
Q
P 6
B M
Clasa a IX-a
1. (7p) Rezolvai n mulimea numerelor reale ecuaia:
[ ]xx =
11
11
.
Neculai Stanciu
2. (7p) Fie a, b > 0, astfel nct 31 ++ab
ba . Demonstrai c:
(4p) a) 21 + ba . (3p) b) 1
41 ba .
Alin Pop
3. (7p) Artai c:
nn
nn
n
n
+
++=
+
+
+
2
2
3
3
3
3
3
3 132
11
.....
1313
1212
, ( ) .2, nNn ***
4. Se consider patrulaterul convex ABCD i O intersecia diagonalelor. Demonstrai c: (3p) a) dac ABCD este paralelogram, atunci 0=+++ ODOCOBOA . (4p) b) dac 0=+++ ODOCOBOA , atunci ABCD este paralelogram.
***
Not: Toate subiectele sunt obligatorii. Timp efectiv de lucru: 3 ore.
www.mategl.com
Barem de corectare OLM Clasa a IX-a, 2011
1. [ ]x11
Z rezulta 1-[ ]x = 1 sau 1- [ ]x = -1.... (2p)
In primul caz [ ]x = 0, de unde 1x1
1=
2x1
11