1

Măsurarea impedanţelor prin metoda punţii echilibrate(balanced bridge)

Rezumat:A. în c.c. → puntea WheatstoneB. în c.a. :

→ 8 tipuri de punţi bazate pe puntea Wheatstone→ punţi cu transformator

C. punţi active

A. Puntea Wheatstone de c.c.

• Principiul punţii echilibrate: U12 = Ud = 0 (d=dezechilibru)• Relaţia de echilibru: U1=U2

→ R1R3 = R2R4

• R3=Re, R1 / R2 = 10+/- n

(1)

R4

R3 R2

R1

V, RV

E

Rg

[1] [2]

[4]

[3]

Rg → 0

RV → ∞

10 n

x eR R

±=

1

2

2

Puntea Wheatstone (cont’d)

• Q: putem schimba poziţia voltmetrului cu a sursei ?• A: da şi nu !!!

• da: d.p.d.v. al relaţiei de echilibru R1R3=R2R4

• nu: d.p.d.v. al sensibilităţii; una din diagonale e mai sensibilă decît cealaltă.

R4

R3 R2

R1

V, RV

E

Rg

[1] [2]

[4]

[3]

Sensibilitatea punţii Wheatstone• Sensibilitatea S = ∆ieşire / ∆intrare

• la noi:

• se obţine cu notaţia R3/R4=A:

Demonstraţie și explicații suplimentare:• [1] Material curs unificat 2006:http://ham.elcom.pub.ro/metc/doc/cap4.pdfpag 23-25SAU• [2] Curs Stănculescu+Stanciu:http://ham.elcom.pub.ro/metc/files/MEE-Stanculescu-Stanciu.pdfpag 67-68

d

4 4

U ES

R R

∆=

∆

( )2

1

AS

A=

+

3

4

3

Sensibilitatea punţii Wheatstone (cont’d)

• dorim S=max; scriem S ca funcție f(A), iar pt maximizare:→ dS/dA = 0.

• se obţine pentru A = 1

( )2

1

AS

A=

+

max

1

4S =

Sensibilitatea punţii Wheatstone (cont’d)

Consecinţe:1) A se poate înlocui cu 1/A; puntea nu cunoaşte sensul

“gravitaţiei” și nici notația R1, R2 etc (le puteam nota invers)→ prin înlocuire se obs. că S(A)=S(1/A) → A = raportul oricăror 2 rezistenţe care mărginesc V-metrul!

A = R1/R2=R4/R3 sau A = R2/R1= R3/R4 dar nu R2/R3 !

2) A=1 → scara decadică cea mai sensibilă este pt. n=0 în ec. (1) de pe slide 2: dacă de exemplu n=1 A=R1/R2=10 sau 1/10 și sensibilitatea scade cf. graficului S(A) precedent.→ pe scările pt. măsurarea Rx f. mici/mari, S scade !→ motiv suplimentar pentru care p. Wheatstone nu e indicată pentru Rx de valori extremeQ: ce alte motive ? A: conexiune 2T şi nu 3T/4T/5T !!!

5

6

4

Sensibilitatea punţii Wheatstone (cont’d)• Pînă acum a fost S departe de echilibru

• Sensibilitatea S0 în jurul echilibrului (la ech.: R1R3=R2R40)

• S0 devine:

→ rescriem în ordinea:

notăm σ = ΔR/R40 (s.n. dezechilibrul punţii și este 0 la echilibru)

{4 40 4R R R= + ∆ 4 40R R∆ <<

�� =

���

���

d d d0U U U= + ∆ = ∆

�� = ���

Δ�

��

Sensibilitatea punţii Wheatstone (cont’d)

• cu notația: σ = ΔR/R40

• Obținem relația finală: Ud = S0·σ·E

• Verificare: Ud=0 cînd σ=0 .• observăm σ = ΔR/R40 similar cu ε = ΔR/Radevărat

• σ are dimensiunea unei erori ↔ o numim eroare de prag de sensibilitate εPS

• Q: ce factor cauzează εPS ?• A: Ud < Umin citibil pe afişajul/scara voltmetrului; pt tensiuni

mai mici decît Umin, voltmetrul arată 0, deci considerăm că puntea este la echilibru, deși nu este.

înlocuim → minps

0

εU

S E=

7

8

5

Puntea Wheatstone (cont’d)

• Aplicaţie 1:calculaţi εPS a unei punţi ştiind că se folosesţe un voltmetru numeric cu UCS=2V (afişaj maxim 1.999V, numit şi afişaj cu 3 ½ cifre)Se mai dau: E=10V, R1=R2=1K

Rezolvare: A=R1/R2=1 S0 =max=0.25.

Umax=1.999V Umin=0.001V (egal cu rezoluția de citire)

se înlocuiește numeric în minps

0

εU

S E=

R4

R3 R2

R1

V, RV

E

Rg

[1] [2]

[4]

[3]

Puntea Wheatstone (cont’d)• Aplicaţie 2:

Calculaţi eroarea relativă limită la măsurarea cu puntea precedentă, dacă toleranţele rezistenţelor sînt ε1,2= 1% şiε3=0.1%(Hint: aplicaţie a conceptelor de eroare limită şi a formulei de propagare a erorii la măsurătorile indirecte)

Rez: cf. formulei propagării erorilor la măsurările indirecte, pt că RX=R1R3/R2 εx= ... (suma cu derivate parțiale)= ε1+ ε2+ ε3

εx=2.1%A doua sursă de eroare: εPS calculat anterior.

Eroarea limită=eroare totală dată de toate sursele de eroare:εlim= εx + εPS

9

10

6

Puntea Wheatstone (cont’d)• Aplicaţie 3: puntea Wagner

• punte în conexiune 3T; R4 mare, în paralel pe ea sînt rez. de scurgere Rsc 1,2 (separate în 2 prin gardă, cf. conex. 3T).garda se leagă la borna comună R5, R6 rezultînd schema din dreapta; ca și în general la 3T, urmărim să eliminăm efectul Rsc

• echilibrarea se face în 2 faze prin mutarea v-metrului:– faza 1: v-metrul între 4-5, echilibrare din R6 pînă cînd R4R6=R3R5

prin echilibrare se obțin punctele 4, 5 echipotențiale. În acest fel, Rsc 2 eliminat fiind în paralel pe potențial=0, iar Rsc 1 se elimină pt că e în paralel cu R5, care e o rez. fizică mai mică decît Rsc .– faza 2: v-metrul se mută între 3-4, echilibrare din R2 (punte clasică),

condiția de echilibru revine la R4 = R1R3/R2

1R

2R 3R

4RRx

=5R

6R

1R

2R 3R

4RRx

=5R

6R

1scR

2scR

Puntea Wheatstone (cont’d)

• Aplicaţie 3: puntea Wagner

• Puntea poate funcționa și în c.a, înlocuind rez. cu impedanțe. Vezi fig 2.42 (pag 75) din [2]

• Rez R5, R6 se înlocuiesc cu CV, un cond. variabil cu 2 secțiuni; cînd se reglează, capacitatea secțiunii de sus crește și a celei de jos scade, sau invers. Astfel se modif. raportul echiv. dintre R5, R6 de mai sus.

1R

2R 3R

4RRx

=5R

6R

1R

2R 3R

4RRx

=5R

6R

1scR

2scR

11

12

7

B. Punţi de c.a.

• Z1..Z4 complexe, sursă de c.a.• relaţia de echilibru: Z1Z3=Z2Z4

• se traduce în 2 relaţii de echilibru:

• satisfacere simultană: necesită 2 elemente reglabile (faţă de 1 la c.c.)

E

gZ 1Z xZZ =4

2ZcZZ =3

dR

1 3 2 4

1 3 2 2

Z Z Z Z =

ϕ + ϕ = ϕ + ϕ

Punţi de c.a. (cont’d)• Z1 ... Z4 pot fi oricum (model s/p, natură L/R/C)• Q: Se poate face o punte cu orice combinaţie de Z1..4 ?• A: Nu. Trebuie respectate 2 condiţii:

1. condiţia de convergenţă

Definiţie: o punte este convergentă dacă se poate aduce la echilibru (Ud=0)Contraexemplu: Z1..3=rezistive, Z4=capacitivă; nu se poate echilibra (componenta imaginară a lui Ud va fi ≠ 0)

2. condiţia de gradabilitate a reglajelorDefiniţie: o punte este gradabilă dacă cele 2 componente necunoscute ale Z4x se pot grada independent în funcţie de 2 componente reglabile ale Z1 ... Z3

13

14

8

Studiul gradabilităţii reglajelorCond. echilibru: Z1Z3 = Z2Z4x

• Varianta 1: Z4x = (Z1/Z2)Z3 = R12Z3

s.n. punte de raportZ1, Z2 s.n. braţe auxiliare, Z3 braţ etalonbraţele auxiliare sînt alăturate

• Varianta 2: Z4x = (Z1Z3)/Z2 = P13Y2

s.n. punte de produsZ1, Z3 s.n. braţe auxiliare, Z2 braţ etalonbraţele auxiliare sînt opuse

Gradare independentă cele 2 comp. necunoscute din Z4x să depindă independent de două elemente reglabile ale punții, oricare ar fi acelea. În acest fel, primul elem. reglabil se poate etalona în valori Re(ZX) și al doilea în valori Im(ZX). Dacă nu sînt independente, cînd modificăm un element, se modifică echilibrul și pt. celălalt.

Demonstrație !

Studiul gradabilităţii reglajelorVarianta 1 – punți de raportBrațele auxiliare sînt Z1, Z2 :

Deci dacă presupunerea inițială că R12 estecomplex este adevărată, cele 2 ecuații nu sînt independente (R3 și X3 apar și sus și jos;

reglînd R3 în prima ecuație pt. a „acorda” R4X se „dezacordează” X4x în a doua ecuație ). Deci presupunerea nu poate fi adevărată R12 este fie real fie imag.

15

16

9

Studiul gradabilităţii reglajelorVarianta 2 – punți de produs. Brațele auxiliare sînt Z1, Z3 :Se obs. că denumirea de raport/produs depinde de faptul că brațele auxiliare

sînt în relație de raport/produs.

Studiul gradabilităţii reglajelor

Concluzii:

pentru ca puntea să fie gradabilă:• braţul etalon va fi complex (grup R,C sau R,L)• braţele auxiliare sînt fie pur reale fie pur imaginare (deci fie R, fie C)

deci la fel pt. valorile notate R12 sau P13 :R12 sau P13 reale: punţi de raport/produs real (în fază)R12 sau P13 imaginare: punte de raport/produs imaginar (în cuadratură)

• evident, brațul necunoscut se presupune complex, căci nu depinde de constructorul punții.

Obs: brațele auxiliare nu sînt de obicei L, pt că factorii de calitate ai L sînt mai mici, deci L nu poate fi pur (ar fi L,R).

Bibliografie gradabilitate: [2] pag 61-62

17

18

10

Studiul convergenţei punţii

• Echilibrare ↔ UCD = 0; mărimi complexe: reprez. vectorială:

• scop: deplasarea punctelor C, D în planul complex a.î. C≡D ↔ UCD=0• deplasarea C,D ↔ reglarea celor 2 elem. reglabile• Q: cum modelăm această deplasare ?• A: 2 cazuri: în apropierea echilibrului şi departe de echilibru

DBADCBAC

ACADCDCD

UUUUE

UUUUrrrrr

rrrr

+=+=

−== 0

Studiul convergenţei punţii (cont’d)• CAZ 1: convergenţa în apropierea echilibrului• notăm a,b cele 2 elemente reglabile:

• Condiţia de echilibru devine:

• În apropierea echilibrului a≈a0 , b≈b0 , P ≈ 0, Q ≠ 0• Variaţia UCD/E la variaţia a sau b ↔ derivare:

),(

),(

))(( 2143

4231

21

2

43

3

baQ

baP

ZZZZ

ZZZZ

ZZ

Z

ZZ

Z

E

UCD =++

−=

+−

+=

0),(00 ,

=ba

baP

β

α

j

bCD

j

aCD

ePb

P

Qb

QP

b

PQ

Qb

EU

ePa

P

Qa

QP

a

PQ

Qa

EU

=∂

∂≈

∂

∂−

∂

∂=

∂

∂

=∂

∂≈

∂

∂−

∂

∂=

∂

∂

11)/(

11)/(

2

2

19

20

11

Studiul convergenţei punţii (cont’d)

• Def. unghiul de convergenţă: γc= β-α

Reprezentare: • Planul complex: domeniul de variaţie al UCD

• Originea axelor: a0 , b0 (echilibru) sau pct. C0≡D0

• La diferite valori a=a0+k∆a, b=b0+k∆b se obţin drepte paralele cu dreptele iniţiale → 2 familii de drepte paralele

• 2 variante:– Deplasăm C şi D, alternativ, pînă ajungem la C0, D0

– Deplasăm D (pînă ajungem la D0), menţinînd fix C ≡ C0

Studiul convergenţei punţii (cont’d)

• convergenţa = proces iterativ; Ex: C(a1)→D(b1)→C(a2) →D(b2) etc.• tipic sînt necesare mai multe manevre

21

22

12

Studiul convergenţei punţii (cont’d)

• Legătura dintre γc și rapiditatea echilibrării (nr. de manevre):

UCD(i+1) = UCD(i) cos γc

după n manevre:

UCD(i+n) = UCD(i) (cos γc)n = UCD(i) · 1/m( notăm (cos γc)n = 1/m )

deci după n manevre tensiunea de dezechilibru s-a redus de m ori; calc. n:

OBS: pt γc =90º se observă n=2

C

mn

γcos

1log

log=

Studiul convergenţei punţii (cont’d)

CAZ 2: convergenţa punţii departe de echilibru• nu se mai poate aproxima deplasarea prin prima derivată• nu se mai def. 2 elem. reglabile (a,b)• se def. parametrii generalizaţi (α,β,γ) din care se vor alege 2

elem. reglabile • deplasarea pct. C,D nu se mai face pe drepte ci pe arce de

cerc (dreapta = aproximare a arcei de cerc în apropierea originii)

23

24

13

Studiul convergenţei punţii (cont’d)

Convergenţa punţii departe de echilibru

Q: pentru puntea ABCD, care sînt combinaţiile posibile de cîte 2 braţe (ACB şi ADB) ?identificăm param. generalizaţi în aceste combinaţii

A: 6 combinaţii (fără a ţine seama de ordineacelor 2 braţe), întrucît din considerente de gradabilitate, 2 braţe trebuie să fie elemente pure (R sau C). Combinaţiile sînt prezentate în tabelul următor

parametrii generalizaţi (α,β,γ) se iau Z pentru modelul serie şi Y pentru paralel

Studiul convergenţei punţii (cont’d)

Notaţii: α elementul singur într-un braţ (braţ auxilar)β elementul de aceeaşi natură cu α, în braţul etalonγ elementul de natură diferită de α, în braţul etalon

OBS: Nu există 2’, 4’ deoarece nu există L pur

Braţe ACB sau ADB unghi(UCA,UBA ) α β γ

1 + R1 R2 1/ωC

2 - 1/ωC1 1/ωC2 R

3 - 1/R2 1/R1 ωC

4 + ωC2 ωC1 1/R1

1’ - R1 R2 ωL

3’ + 1/R2 1/R1 1/ ωL

25

26

14

Studiul convergenţei punţii (cont’d)

Justificare semn de unghi: diagramele fazoriale curent-tensiune cunoscute pt R,L,C:- rezistorul nu defazează nimic. Unghiul între tensiune și curent este 0.- condensatorul defazează tensiunea în urma curentului deci unghiul tensiunii va fi -90- bobina defazează tensiunea înaintea curentului deci unghiul tensiunii va fi +90- un grup R,C va fi precum un condensator dar cu unghi (0..-90)- un grup R,L va fi cu unghi (0..+90)

de exemplu, pt. UCA defazat cu 0UBC defazat între (0.. -90) unghiul rezultant între cele 2 este pozitiv (0 este mai pozitiv decît ceva între (0, -90)

Studiul convergenţei punţii (cont’d)• punte convergentă:

legarea A=A, B=B pentru 2 seturi de braţe cu acelaşi semn de unghi între ele sau A=B, B=A pentru seturi cu semne opuse

De ex un braț de tip 1 pe ACB cu un braț de tip 4 pe ADB, sau un braț 1 pe ACB și un braț 2 pe BDA (sau inversul lui 2 pe ADB)

• punte neconvergentă:invers faţă de cazul precedent

• Combinaţii convergente din tabel:– vor fi 8 punţi, studiate în cursul viitor– pentru fiecare punte se aleg 2 elem reglabile: mai multe combinaţii

posibile; alegem (α,β) sau (β,γ). Deci notațiile acestea tb. înțelese pt. că vor fi folosite în gradarea punților – fiecare punte se poate grada în 2 feluri, cu consecințe diferite, prin alegerea 2 elem. reglabile din 3.

Bibliografie convergență: [2] pag 48-51, 54-55

27

28