1
MET
OD
E N
UM
ERIC
E ÎN
ING
INER
IE
TUDOR PAUNESCUM4-2009
11. I
NT
ER
PO
LĂ
RI,
EX
TR
AP
OL
ĂR
I
GENERALITĂŢI DESPRE INTERPOLĂRI ŞI REGRESII
INTERPOLĂRI, EXTRAPOLĂRI
BIBLIOGRAFIE
2
[MOR04] C. Morariu, T.Păunescu. Informatică aplicată în inginerie. Mathcad 2001. Ed. Univ. Bv.
2004.
[SCH08] E. Scheiber. Analiză numerică. Brasov.
[POS94] M. Postolache. Metode Numerice. Ed. Sirius, Bucureşti, 1994.
[BEU92] T.Beu. Analiză numerică în Pascal. Ed. Micro inf. Cluj-Napoca. 1992.
[SAL72] M.G.Salvadori, M.L.Baron. Metode numerice în tehnică. Edit. Tehnică, Bucureşti, 1972.
[LAR89] D.Larionescu. Metode numerice.Ed. Tehnică, Bucureşti, 1989.
[DOD76] Gh.Dodescu, M.Toma. Metode de calcul numeric. Ed. did. şi pedag. Bucureşti, 1976.
[MEM80 ] ***, Mică enciclopedie matematică, traducere din limba germană. Edit. Tehnică, Bucureşti, 1980.
[DOR76] W.S.Dorn, D.D.Mc.Cracken. Metode numerice cu programe in Fortran IV. Ed.Tehhnica. Buc. 76.
[HAU53] A.S.Hauseholder. Principles of Numerical Analysis. Mc Graw-Hill, New Zork, 1953.
[CON80] S.D.Conte- Elementary Numerical Analysis - An Algorithmic Approach, McGraw-Hill 3rd, 1980.
[PHI96] G. M. M. Phillips, P.J. Taylor. Theory and Applications of Numerical Analysis 2nd ed, Elsevier,
1996
[COL03] G.W.Collins. Fundamental Numerical Methods and Data Analysis. 2003
BIBLIOGRAFIE
[ HNM08] Numerical Methods for the STEM Undergraduate- http://numericalmethods.eng.usf.edu/index.html
3
1. GENERALITĂŢI DESPRE INTERPOLĂRI ŞI REGRESII
Prin aproximarea unei funcţii y=f(x), se înţelege înlocuirea acesteia cu o altă funcţie mai avantajoasă
F(x). Operaţia este efectuată atunci când f(x) este greu calculabilă (de exemplu prin derivare sau
integrare), când funcţia F(x) are o expresie mai simplă decât f(x) fiind convenabilă calculului numeric, când
f(x) este obţinută grafic sau tabelar din experimentări şi este necesară forma analitică a acesteia.
La baza aproximării funcţiilor stau principiile:
- interpolării;
- celor mai mici pătrate (minipătrat Gauss);
- maximelor minime (minimax Cebîşev).
Numeroase probleme specifice ingineriei moderne îşi găsesc rezolvarea în urma analizei şi prelucrării
numerice a datelor experimentale. În general, aceste valori se prezintă sub forma unor tabele de
corespondenţă între variabile independente şi o variabilă dependentă de acestea. Spre exemplu, în cazul
bidimensional, dacă notăm cu x variabila independentă şi cu y variabila dependentă, în cazul unei relaţii de
dependenţă exprimată sub forma relaţiei y=f(x). Cele n valori determinate experimental sunt uzual
prezentate sub formă:
Valorile:
− x = x1 ,x2 ,...,xn se numesc puncte de sprijin (noduri);
− y = y1 , y2 ,..., yn se numesc valori de sprijin (valori nodale).
4
INTERPOLARE REGRESIE
Interpolarea constă în găsirea unei funcţii, F(x), care să
permită, pentru valori oarecare a lui x, situate în
intervalul [x1,xn], estimarea valorilor funcţiei f(x). O
condiţie necesară pentru determinarea funcţiei de
interpolare, F(x), este coincidenţa cu funcţia f(x) în
valorile nodale.
Interpolarea se recomandă a fi utilizată când:
− valorile experimentale sunt relativ precise,
neafectate de erori semnificative;
− numărul de valori experimentale este relativ mic,
nerespectarea acestei condiţii, conduce la obţinerea unor
relaţii complexe, greu de utilizat;
− funcţia f(x) este cunoscută, dar expresia ei este
complicată şi/sau foarte greu de evaluat şi manipulat.
Prin extrapolare se înţelege operaţia matematică ce
constă în găsirea unei funcţii, F(x), care să permită
estimarea valorilor funcţiei f(x), pentru valori oarecare a
lui x, situate în afara intervalului în care sunt determinate
punctele nodale, (x < x1 )U(xn < x).
Regresia reprezintă operaţia matematică prin care se
determină valorile parametrilor unei funcţii trasate printre
punctele experimentale, din condiţia minimizării distanţei
dintre funcţia f(x) şi modelul F(x) adoptat (1).
În majoritatea cazurilor, în care apelăm la regresie nu se
cunoaşte expresia lui f(x). În aceste situaţii se utilizează o
expresie, mai puţin riguroasă (2).
Relaţia poartă numele de principiul Gauss-Legendre, sau
metoda celor mai mici pătrate.
Regresia se recomandă a fi utilizată în condiţiile în care:
− valorile experimentale sunt afectate de erori
semnificative;
− numărul de valori experimentale este relativ mare şi
utilizarea interpolării conduce la obţinerea unor relaţii
complexe, greu de utilizat;
− funcţia f(x) este cunoscută, dar expresia ei este complicată
şi/sau foarte greu de evaluat şi manipulat.
(1) (2)
Fig. 1 Fig. 2
5
CRITERII DE APROXIMARE A FUNCŢIILOR [LAR89]
Fie un spaţiu vectorial şi fie o mulţime de funcţii care aparţin de
M, liniar independente.
Aproximarea unei funcţii f oarecare din M se poate face prin printr-o combinaţie liniară de m funcţii de tip
φk, adică , unde Funcţia Fm(x) se numeşte polinom
generalizat. Deseori funcţiile liniar independente sunt: 1, x, x2, ...., xm când polinomul generalizat se
reduce la un polinom algebric.
Alt set de funcţii liniar independente, des utilizate în teoria aproximării, sunt cele trigonometrice, mai exact
polinomul trigonometric:
Criteriul de aproximare prin interpolare (CI)
În spaţiul M se defineşte distanţa dintre două funcţii ca: utilizat ca şi criteriu de
aproximare prin interpolare. Dacă se lucrează cu un polinom algebric de interpolare, condiţia ca distanţa
dintre f(x) şi polinomul Fm(x) să fie minimă impune sistemul de ecuaţii Fm(xi)=f(xi), i=0,1,...,n. Dacă funcţia
f(x) este dată tabelar sistemul de ecuaţii impune coincidenţa dintre funcţie şi polinom în punctele xi
(nodurile de interpolare)
},:{ RbaffM )(),...,(),( 10 xxx k
)()( xFxf m )(...)()()( 1100 xcxcxcxF mmm
mxbmxaxbxaa
xF mmm sincos...sincos2
)( 110
m
iii xgxfgfd
0
)()(),(
6
În consecinţă coeficienţii polinomului de interpolare se calculează
rezolvând un sistem de n+1 ecuaţii cu n+1 necunoscute c0, c1, ..., cn:
(3)
Determinantul sistemului este:
(4)
Acesta este determinat tip Vandermonde şi este diferit de zero dacă nodurile de interpolare sunt
distincte. În aceste condiţii rezultă o soluţie unică.
S-a observat că mărind gradul polinomului de interpolare eroarea nu se micşorează întotdeauna,
uneori creşte foarte mult pe unele porţiuni ale intervalului de interpolare.
nnn xcxcxccxF ...)( 2
210
)(...
......................................................
)(...
)(...
2210
11212110
00202010
nnnnnn
nn
nn
xfxcxcxcc
xfxcxcxcc
xfxcxcxcc
nnnn
n
n
xxx
xxx
xxx
...1
.....
...1
...1
2
1211
0200
7
Exemplul 1.1
!!! !!!!! Erori mai mari decât anterior
Fig. 3 Fig. 4
Exemplul 1.2
Programul interp_pol calculează coeficienţii polinomului de interpolare prin rezolvarea sistemului liniar: inversa matricei coeficienţilor determinantului Vandermode (a-1) înmulţită cu vectorul ctermenilor liberi (z).
8
O soluţie pentru depăşirea acestei situaţii este de a renunţa la interpolarea globală a funcţiei şi de a se
trece la interpolarea pe porţiuni. Termenul de funcţii spline a fost introdus în 1946 de I.J. Schoenberg
pentru a defini o funcţie formată din polinoame pe subintervale adiacente şi care se racordează în noduri
împreună cu un anumit număr de derivate.
Cele mai utilizate funcţii spline sunt cele de gradul 3.
Criteriul de aproximare cu abatere medie pătratică minimă (CCMMP)
Metoda celor mai mici pătrate (MCMMP) a lui Gauss (vezi relaţiile 1 şi 2 ) este frecvent aplicată în
prelucrarea datelor experimentale, şi se utilizează când există îndoieli asupra exactităţii valorilor culese
experimental. Deseori se întâmplă ca polinomul de aproximare dorit să aibă un grad mic dar numărul de date
experimentale să fie mare (vezi fig.2 ). Deoarece criteriul de interpolare face o legătura între gradul
polinomului de aproximare şi numărul de valori xi, se recomandă MCMMP care are avantajul că nu impune o
asemenea condiţie.
Relaţia 1 are semnificaţia: aria porţiunii haşurate din figura de mai jos să fie minimă.
Fig. 5 [LAR89]
9Fig. 6 [LAR89]
Criteriul de aproximare în sensul Cebâşev (CC)
Presupunând că spaţiul metric M este C0 [a,b] (mulţimea funcţiilor continue definite pe interval) distanţa
dintre două funcţii este definită ca:
(5)
Dacă înlocuim funcţia g(x) cu polinomul de aproximare Fm(x), m≤n calculul coeficienţilor polinomului se face
din condiţia ca abaterea să fie minimă:
(6)
Din punct de vedere geometric criteriul impune ca graficul polinomului de aproximare să nu depăşească o
bandă centrată pe graficul f(x) de lăţime 2ε, unde ε este abaterea minimax.
)()(),( xgxfgfd
))()(maxmin(0
maxmin imini
i xFxf
10
Concluzii privitoare la criteriile CI, CCMMP,CC
CI este cel mai simplu însă deseori precizia este slabă.
CCMMP este preferabil în problemele tehnice, în special dacă se urmăreşte nu atât ordinul de
mărime a erorii în fiecare punct, ci media erorilor să fie cât mai mică.
CC conduce în general la rezultatele cele mai precise, dar folosirea lui este dificilă. Se foloseşte în
rezolvarea problemelor care impun controlul erorii în fiecare punct.
11
2. INTERPOLĂRI, EXTRAPOLĂRI
2.1. INTERPOLAREA LINIARĂ
Fig. 7 [MOR04]
12
Exemplul 2.1 Exemplul 2.2
13
2.2. INTERPOLAREA SPLINE
Fig. 8 [MOR04]
8
14
Exemplul numeric 3 [ HNM08 ]
Viteza unui obiect masurată la diferite intervale de timp este:
Pentru interpolarea spline se adopta polinoame de grad 2:
Deci trebuie determinati 15 coeficienti.
Fiecare polinom trece prin cele doua puncte
extreme ale intervalului asociat:
15
Din conditiile de continuitate ale
derivatelor de ordin 1 rezulta:
Avem un sistem de 14 ecuatii cu 15
necunoscute. Pentru rezolvarea lui
se presupune ca primul polinom
este liniar nu patratic, deci a1=0
(conditie de incepere liniara).
2.2.1. INTERPOLAREA CUBICĂ SPLINE ÎN MATHCAD
lspline(Vx,Vy)1. pspline(Vx,Vy) 2. interp(Vr,Vx,Vy,x) cspline(Vx,Vy)
16
Pentru aceleaşi date de intrare ca în exemplul 2.1:
Funcţiile cspline, pspline şi lspline returnează
un vector pe care funcţia interp îl utilizează
pentru generarea unei funcţii compuse din mai
multe polinoame cubice care sunt continue în
noduri prin prima şi a doua derivată.
17
(S)
18
2.2.2. INTERPOLAREA B-SPLINE IN MATHCAD
(7)
(S)
19
20
(9)
2.3. EXTRAPOLAREA
21
Funcţia predict foloseşte metoda Burg pentru a calcula coeficienţii de autocorelaţie pentru punctele predictate.
0 < m < length(v) − 1, în practică m trebuie să fie mult mai mic decăt length(v), altfel se obţin puncte cu valori aberante.
Se pot obţine puncte de predicţie la capătul inferior al intervalului dacă se inversează ordinea vectorului Vy.
Funcţia predict duce la rezultate mulţumitoare dacă coordonatele vecine nu au variaţii foarte mari, dacă sunt oscilatorii, nu neapărat periodice.
22
Ex
em
plu
l 4
.2
Punctele iniţiale aproximează ramura unei parabole f(x)=x2+3x+10. În exemplul 4.1 se face predicţia pentru 3 puncte luându-se în considerare ultimele 9 puncte iniţiale. Se observă că datorită numărului insuficient de puncte iniţiale predicţia este greşită. O predicţie mult mai veridică s-a obţinut în exemplul 4.2, unde numărul de puncte este mult mai mare.
Ex
em
plu
l 4
.1
23
Exemplul 4.3