1

MET

OD

E N

UM

ERIC

E ÎN

ING

INER

IE

TUDOR PAUNESCUM4-2009

11. I

NT

ER

PO

LĂ

RI,

EX

TR

AP

OL

ĂR

I

GENERALITĂŢI DESPRE INTERPOLĂRI ŞI REGRESII

INTERPOLĂRI, EXTRAPOLĂRI

BIBLIOGRAFIE

2

[MOR04] C. Morariu, T.Păunescu. Informatică aplicată în inginerie. Mathcad 2001. Ed. Univ. Bv.

2004.

[SCH08] E. Scheiber. Analiză numerică. Brasov.

[POS94] M. Postolache. Metode Numerice. Ed. Sirius, Bucureşti, 1994.

[BEU92] T.Beu. Analiză numerică în Pascal. Ed. Micro inf. Cluj-Napoca. 1992.

[SAL72] M.G.Salvadori, M.L.Baron. Metode numerice în tehnică. Edit. Tehnică, Bucureşti, 1972.

[LAR89] D.Larionescu. Metode numerice.Ed. Tehnică, Bucureşti, 1989.

[DOD76] Gh.Dodescu, M.Toma. Metode de calcul numeric. Ed. did. şi pedag. Bucureşti, 1976.

[MEM80 ] ***, Mică enciclopedie matematică, traducere din limba germană. Edit. Tehnică, Bucureşti, 1980.

[DOR76] W.S.Dorn, D.D.Mc.Cracken. Metode numerice cu programe in Fortran IV. Ed.Tehhnica. Buc. 76.

[HAU53] A.S.Hauseholder. Principles of Numerical Analysis. Mc Graw-Hill, New Zork, 1953.

[CON80] S.D.Conte- Elementary Numerical Analysis - An Algorithmic Approach, McGraw-Hill 3rd, 1980.

[PHI96] G. M. M. Phillips, P.J. Taylor. Theory and Applications of Numerical Analysis 2nd ed, Elsevier,

1996

[COL03] G.W.Collins. Fundamental Numerical Methods and Data Analysis. 2003

BIBLIOGRAFIE

[ HNM08] Numerical Methods for the STEM Undergraduate- http://numericalmethods.eng.usf.edu/index.html

3

1. GENERALITĂŢI DESPRE INTERPOLĂRI ŞI REGRESII

Prin aproximarea unei funcţii y=f(x), se înţelege înlocuirea acesteia cu o altă funcţie mai avantajoasă

F(x). Operaţia este efectuată atunci când f(x) este greu calculabilă (de exemplu prin derivare sau

integrare), când funcţia F(x) are o expresie mai simplă decât f(x) fiind convenabilă calculului numeric, când

f(x) este obţinută grafic sau tabelar din experimentări şi este necesară forma analitică a acesteia.

La baza aproximării funcţiilor stau principiile:

- interpolării;

- celor mai mici pătrate (minipătrat Gauss);

- maximelor minime (minimax Cebîşev).

Numeroase probleme specifice ingineriei moderne îşi găsesc rezolvarea în urma analizei şi prelucrării

numerice a datelor experimentale. În general, aceste valori se prezintă sub forma unor tabele de

corespondenţă între variabile independente şi o variabilă dependentă de acestea. Spre exemplu, în cazul

bidimensional, dacă notăm cu x variabila independentă şi cu y variabila dependentă, în cazul unei relaţii de

dependenţă exprimată sub forma relaţiei y=f(x). Cele n valori determinate experimental sunt uzual

prezentate sub formă:

Valorile:

− x = x1 ,x2 ,...,xn se numesc puncte de sprijin (noduri);

− y = y1 , y2 ,..., yn se numesc valori de sprijin (valori nodale).

4

INTERPOLARE REGRESIE

Interpolarea constă în găsirea unei funcţii, F(x), care să

permită, pentru valori oarecare a lui x, situate în

intervalul [x1,xn], estimarea valorilor funcţiei f(x). O

condiţie necesară pentru determinarea funcţiei de

interpolare, F(x), este coincidenţa cu funcţia f(x) în

valorile nodale.

Interpolarea se recomandă a fi utilizată când:

− valorile experimentale sunt relativ precise,

neafectate de erori semnificative;

− numărul de valori experimentale este relativ mic,

nerespectarea acestei condiţii, conduce la obţinerea unor

relaţii complexe, greu de utilizat;

− funcţia f(x) este cunoscută, dar expresia ei este

complicată şi/sau foarte greu de evaluat şi manipulat.

Prin extrapolare se înţelege operaţia matematică ce

constă în găsirea unei funcţii, F(x), care să permită

estimarea valorilor funcţiei f(x), pentru valori oarecare a

lui x, situate în afara intervalului în care sunt determinate

punctele nodale, (x < x1 )U(xn < x).

Regresia reprezintă operaţia matematică prin care se

determină valorile parametrilor unei funcţii trasate printre

punctele experimentale, din condiţia minimizării distanţei

dintre funcţia f(x) şi modelul F(x) adoptat (1).

În majoritatea cazurilor, în care apelăm la regresie nu se

cunoaşte expresia lui f(x). În aceste situaţii se utilizează o

expresie, mai puţin riguroasă (2).

Relaţia poartă numele de principiul Gauss-Legendre, sau

metoda celor mai mici pătrate.

Regresia se recomandă a fi utilizată în condiţiile în care:

− valorile experimentale sunt afectate de erori

semnificative;

− numărul de valori experimentale este relativ mare şi

utilizarea interpolării conduce la obţinerea unor relaţii

complexe, greu de utilizat;

− funcţia f(x) este cunoscută, dar expresia ei este complicată

şi/sau foarte greu de evaluat şi manipulat.

(1) (2)

Fig. 1 Fig. 2

5

CRITERII DE APROXIMARE A FUNCŢIILOR [LAR89]

Fie un spaţiu vectorial şi fie o mulţime de funcţii care aparţin de

M, liniar independente.

Aproximarea unei funcţii f oarecare din M se poate face prin printr-o combinaţie liniară de m funcţii de tip

φk, adică , unde Funcţia Fm(x) se numeşte polinom

generalizat. Deseori funcţiile liniar independente sunt: 1, x, x2, ...., xm când polinomul generalizat se

reduce la un polinom algebric.

Alt set de funcţii liniar independente, des utilizate în teoria aproximării, sunt cele trigonometrice, mai exact

polinomul trigonometric:

Criteriul de aproximare prin interpolare (CI)

În spaţiul M se defineşte distanţa dintre două funcţii ca: utilizat ca şi criteriu de

aproximare prin interpolare. Dacă se lucrează cu un polinom algebric de interpolare, condiţia ca distanţa

dintre f(x) şi polinomul Fm(x) să fie minimă impune sistemul de ecuaţii Fm(xi)=f(xi), i=0,1,...,n. Dacă funcţia

f(x) este dată tabelar sistemul de ecuaţii impune coincidenţa dintre funcţie şi polinom în punctele xi

(nodurile de interpolare)

},:{ RbaffM )(),...,(),( 10 xxx k

)()( xFxf m )(...)()()( 1100 xcxcxcxF mmm

mxbmxaxbxaa

xF mmm sincos...sincos2

)( 110

m

iii xgxfgfd

0

)()(),(

6

În consecinţă coeficienţii polinomului de interpolare se calculează

rezolvând un sistem de n+1 ecuaţii cu n+1 necunoscute c0, c1, ..., cn:

(3)

Determinantul sistemului este:

(4)

Acesta este determinat tip Vandermonde şi este diferit de zero dacă nodurile de interpolare sunt

distincte. În aceste condiţii rezultă o soluţie unică.

S-a observat că mărind gradul polinomului de interpolare eroarea nu se micşorează întotdeauna,

uneori creşte foarte mult pe unele porţiuni ale intervalului de interpolare.

nnn xcxcxccxF ...)( 2

210

)(...

......................................................

)(...

)(...

2210

11212110

00202010

nnnnnn

nn

nn

xfxcxcxcc

xfxcxcxcc

xfxcxcxcc

nnnn

n

n

xxx

xxx

xxx

...1

.....

...1

...1

2

1211

0200

7

Exemplul 1.1

!!! !!!!! Erori mai mari decât anterior

Fig. 3 Fig. 4

Exemplul 1.2

Programul interp_pol calculează coeficienţii polinomului de interpolare prin rezolvarea sistemului liniar: inversa matricei coeficienţilor determinantului Vandermode (a-1) înmulţită cu vectorul ctermenilor liberi (z).

8

O soluţie pentru depăşirea acestei situaţii este de a renunţa la interpolarea globală a funcţiei şi de a se

trece la interpolarea pe porţiuni. Termenul de funcţii spline a fost introdus în 1946 de I.J. Schoenberg

pentru a defini o funcţie formată din polinoame pe subintervale adiacente şi care se racordează în noduri

împreună cu un anumit număr de derivate.

Cele mai utilizate funcţii spline sunt cele de gradul 3.

Criteriul de aproximare cu abatere medie pătratică minimă (CCMMP)

Metoda celor mai mici pătrate (MCMMP) a lui Gauss (vezi relaţiile 1 şi 2 ) este frecvent aplicată în

prelucrarea datelor experimentale, şi se utilizează când există îndoieli asupra exactităţii valorilor culese

experimental. Deseori se întâmplă ca polinomul de aproximare dorit să aibă un grad mic dar numărul de date

experimentale să fie mare (vezi fig.2 ). Deoarece criteriul de interpolare face o legătura între gradul

polinomului de aproximare şi numărul de valori xi, se recomandă MCMMP care are avantajul că nu impune o

asemenea condiţie.

Relaţia 1 are semnificaţia: aria porţiunii haşurate din figura de mai jos să fie minimă.

Fig. 5 [LAR89]

9Fig. 6 [LAR89]

Criteriul de aproximare în sensul Cebâşev (CC)

Presupunând că spaţiul metric M este C0 [a,b] (mulţimea funcţiilor continue definite pe interval) distanţa

dintre două funcţii este definită ca:

(5)

Dacă înlocuim funcţia g(x) cu polinomul de aproximare Fm(x), m≤n calculul coeficienţilor polinomului se face

din condiţia ca abaterea să fie minimă:

(6)

Din punct de vedere geometric criteriul impune ca graficul polinomului de aproximare să nu depăşească o

bandă centrată pe graficul f(x) de lăţime 2ε, unde ε este abaterea minimax.

)()(),( xgxfgfd

))()(maxmin(0

maxmin imini

i xFxf

10

Concluzii privitoare la criteriile CI, CCMMP,CC

CI este cel mai simplu însă deseori precizia este slabă.

CCMMP este preferabil în problemele tehnice, în special dacă se urmăreşte nu atât ordinul de

mărime a erorii în fiecare punct, ci media erorilor să fie cât mai mică.

CC conduce în general la rezultatele cele mai precise, dar folosirea lui este dificilă. Se foloseşte în

rezolvarea problemelor care impun controlul erorii în fiecare punct.

11

2. INTERPOLĂRI, EXTRAPOLĂRI

2.1. INTERPOLAREA LINIARĂ

Fig. 7 [MOR04]

12

Exemplul 2.1 Exemplul 2.2

13

2.2. INTERPOLAREA SPLINE

Fig. 8 [MOR04]

8

14

Exemplul numeric 3 [ HNM08 ]

Viteza unui obiect masurată la diferite intervale de timp este:

Pentru interpolarea spline se adopta polinoame de grad 2:

Deci trebuie determinati 15 coeficienti.

Fiecare polinom trece prin cele doua puncte

extreme ale intervalului asociat:

15

Din conditiile de continuitate ale

derivatelor de ordin 1 rezulta:

Avem un sistem de 14 ecuatii cu 15

necunoscute. Pentru rezolvarea lui

se presupune ca primul polinom

este liniar nu patratic, deci a1=0

(conditie de incepere liniara).

2.2.1. INTERPOLAREA CUBICĂ SPLINE ÎN MATHCAD

lspline(Vx,Vy)1. pspline(Vx,Vy) 2. interp(Vr,Vx,Vy,x) cspline(Vx,Vy)

16

Pentru aceleaşi date de intrare ca în exemplul 2.1:

Funcţiile cspline, pspline şi lspline returnează

un vector pe care funcţia interp îl utilizează

pentru generarea unei funcţii compuse din mai

multe polinoame cubice care sunt continue în

noduri prin prima şi a doua derivată.

17

(S)

18

2.2.2. INTERPOLAREA B-SPLINE IN MATHCAD

(7)

(S)

19

20

(9)

2.3. EXTRAPOLAREA

21

Funcţia predict foloseşte metoda Burg pentru a calcula coeficienţii de autocorelaţie pentru punctele predictate.

0 < m < length(v) − 1, în practică m trebuie să fie mult mai mic decăt length(v), altfel se obţin puncte cu valori aberante.

Se pot obţine puncte de predicţie la capătul inferior al intervalului dacă se inversează ordinea vectorului Vy.

Funcţia predict duce la rezultate mulţumitoare dacă coordonatele vecine nu au variaţii foarte mari, dacă sunt oscilatorii, nu neapărat periodice.

22

Ex

em

plu

l 4

.2

Punctele iniţiale aproximează ramura unei parabole f(x)=x2+3x+10. În exemplul 4.1 se face predicţia pentru 3 puncte luându-se în considerare ultimele 9 puncte iniţiale. Se observă că datorită numărului insuficient de puncte iniţiale predicţia este greşită. O predicţie mult mai veridică s-a obţinut în exemplul 4.2, unde numărul de puncte este mult mai mare.

Ex

em

plu

l 4

.1

23

Exemplul 4.3