Liviu Daniel PIcircRVULESCU
FUNDAMENTE DE INGINERIE MECANICĂ
TIMISOARA 2018
1 MECANICA SOLIDULUI RIGID
11 Aspecte fundamentale
Mecanica reprezintă prima ştiinţă a naturii riguros fundamentată de către Isaac
Newton (1642-1727) Mecanica studiază repausul şi mişcarea corpurilor
La baza mecanicii stau patru principii fundamentale
I Principiul inerţiei Un corp punctiform (punct material) icircşi păstrează starea de
repaus sau de mişcare rectilinie uniformă atacircta timp cacirct nu intervine o cauză exterioară
(forță) care să-i schimbe această stare
II Principiul acțiunii forței equiv Legea lui Newton Dacă asupra unui corp
punctiform (punct material) acţioneză o forţă aceasta va imprima corpului o acceleraţie
coliniară icircn acelaşi sens şi proporţională cu forţa aplicată ( = 119898 ∙ ) unde 119898 este
mărimea scalară numită masa punctului material și exprimă modul icircn care reacționează
punctul față de acțiunile corpurilor din exterior
III Principiul acţiunii şi reacţiunii Dacă asupra unui corp punctiform acţionează
un alt corp punctiform cu o forţă atunci şi acesta va acţiona asupra primului cu o forţă
coliniară egală şi de sens contrar cu forţa iniţială O altă formulare a cestui principiu
bdquoforțele de interacțiune dintre două puncte materiale sunt icircntotdeauna egale și opuserdquo
IV Icircn afara acestor 3 principii sunt valabile și următoarele afirmații
Efectul pe care icircl produce o forță asupra unui punct este independent de efectul
celorlalte forțe ce acționează simultan asupra aceluiași punct (acțiunea forței este
independentă și se poate folosi principiul suprapunerii efectelor)
Dacă asupra unui corp punctiform acţionează mai multe forţe avicircnd direcții
diferite efectul acestora este echivalent cu efectul rezultantei forţelor asupra corpului
Mecanica studiază următoarele modele de corpuri
a) Punctul material (corpul punctiform) Modelul presupune că icircntreaga masă a
corpului poate fi concentrată icircntr-un punct geometric fără dimensiuni (adimensional)
b) Modelul solidului rigid Acest model presupune faptul că oricacirct de mari ar fi
forţele exterioare aplicate corpului acesta nu se deformează MECANICA studiază
modelul solidului rigid de aceea mecanica se mai numeşte MECANICA SOLIDULUI
RIGID
c) Modelul solidului deformabil Conform acestui model icircn calcule este necesar să
se ţină cont de deformaţiile produse asupra corpului de către forţele exterioare aplicate
REZISTENŢA MATERIALELOR studiază modelul solidului deformabil de aceea se
mai numeşte MECANICA SOLIDULUI DEFORMABIL
Mecanica solidului rigid are trei capitole
Statica se ocupă cu studiul echilibrului solidului rigid şi analizează condiţiile pe
care acesta trebuie să le icircndeplinească pentru a fi icircn echilibru
Cinematica studiază mişcarea mecanică a corpurilor fără a ține seama de
masele acestora și de forțele care acționează asupra lor Studiul mișcării unui corp
presupune determinarea poziției corpului precum și a vitezei și accelerației oricărui punct
din corp Noțiunile fundamentale din cinematică sunt cele de spațiu și de timp iar unul
din principiile fundamentale este cel al determinismului mecanic (prin precizarea de
regulă a condițiilor inițiale icircn care icircncepe mișcarea)
Dinamica studiază mişcarea corpurilor rigide sub acţiunea forţelor exterioare
aplicate acestora Problema fundamentală a dinamicii este de a determina legile de
mișcare ale unui corp pe baza cunoașterii forțelor care acţionează asupra acestuia
12Elemente mecanice de calcul
Există situaţii icircn practică icircn care aceleaşi forţe produc efecte diferite asupra unui
solid rigid figura 11
Fig 11 Efectul forțelor asupra unui solid rigid
Asupra aceluiaşi corp acţionează două forţe egale de sensuri contrare dispuse
diferit figura 11 Rezultanta celor două forţe este nulă
Icircn cazul din figura 11a corpul rămacircne icircn echilibru (nu se deplasează) iar icircn cazul
din figura 12b corpul nu este icircn echilibru ci se roteşte sub acţiunea celor două forţe icircn
sensul indicat de săgeată
Aşadar pentru a caracteriza efectele produse de cele două forţe asupra corpurilor
sunt necesare şi alte elemente mecanice de calcul icircn afară de rezultanta forţelor
121 Momentul unei forţe icircn raport cu un punct
Considerăm un solid rigid asupra căruia acţionează o forţă aplicată icircn punctul A
şi fie O un punct din spaţiu figura 12
Fig 12 Momentul unei forțe icircn raport cu un punct
Se defineşte momentul forţei icircn raport cu punctul O produsul vectorial
119874 = 119874119860 times = 119903 times (11)
unde 119903 este vectorul de poziţie al punctului A icircn raport cu punctul O
Vectorul moment 119874 are următoarele elemente
a) Modulul 1198720 = 119865 ∙ 119903 ∙ sin 120572 = 119865 ∙ 119889 unde 119889 este distanţa de la punctul O la
dreapta suport ∆ a forţei şi se numeşte braţul forţei
b) Direcţia perpendiculară pe planul determinat de punctul O şi forţa
c) Sensul dat de regula burghiului drept
d)Punctul de aplicaţie O
Observaţie Momentul unei forţe icircn raport cu un punct este nul dacă suportul
forţei trece prin punctul respectiv (119889 = 0)
122 Momentul unei forţe icircn raport cu o axă
Considerăm un solid rigid asupra căruia acţionează o forţă aplicată icircn punctul A
şi fie D o axă din spaţiu figura 13
Fig 13 Momentul unei forțe icircn raport cu o axă
Se defineşte momentul forţei icircn raport cu axa 119863 ca fiind proiecţia pe axa 119863 a
momentului forţei icircn raport cu un punct arbitrar de pe axa respectivă (O)
119872119863 = 119872119874 ∙ cos 120575 (12)
Momentul forţei icircn raport cu punctul O (119874)se calculează relația (11)
Observaţii
- Momentul unei forţe icircn raport cu o axă este nul dacă forţa şi axa sunt icircn acelaşi
plan (dacă sunt paralele sau dacă suportul forţei intersectează axa)
- Momentul unei forţe icircn raport cu o axă (119863) nu depinde de punctul O ales
arbitrar pe axă
123 Momentul unui cuplu de forţe
Un cuplu de forţe este o pereche de forţe egale de sensuri contrare situate pe
suporturi paralele (1 = minus2 1198651 = 1198652 = 119865) Evident rezultanta unui cuplu de forţe este
nulă figura 14
Fig 14 Momentul unui cuplu de forțe
Se defineşte momentul cuplului de forţe ca fiind suma momentelor celor două forţe
icircn raport cu un punct arbitrar din spaţiu O
119888119906119901 = 1199031 times 1 + 1199032 times 2 = 1199031 times 1 + 1199032 times (minus1) = 119903 times 1 (13)
119888119906119901 = 11986021198601 times 1 = 11986011198602 times 2
Din ultima egalitate se observă că momentul cuplului este egal cu momentul unei
forţe din cuplu icircn raport cu punctul de aplicaţie al celeilalte forţe din cuplu iar momentul
cuplului nu depinde de punctul O deci este un vector liber
Vectorul moment 119888119906119901 are următoarele elemente
a) Modulul cuplului 119888119906119901 = 119865 ∙ 119903 ∙ sin 120572 = 119865 ∙ 119889 unde 119889 este distanţa dintre
suporturile celor două forţe şi se numeşte braţul cuplului
b) Direcţia cuplului este perpendiculară pe planul celor două forţe
c) Sensul cuplului este dat de regula burghiului drept
13Reducerea sistemelor de forţe Echilibrul solidului rigid
Dacă asupra unui solid rigid acţionează un sistem complex de forţe pentru
simplificarea calculelor se urmăreşte icircnlocuirea acestuia cu cel mai simplu sistem posibil
care să producă acelaşi efect mecanic asupra corpului studiat ca şi sistemul iniţial de forţe
Această operaţie se numeşte reducerea sistemului de forţe
131 Reducerea unei forţe icircntr-un punct Torsorul de reducere
A reduce o forţă icircntr-un punct icircnseamnă a icircnlocui acea forţă cu cele mai simple
elemente mecanice legate de punctul respectiv care să producă asupra corpului studiat
acelaşi efect ca şi forţa iniţială
Fie o forţă aplicată icircn punctul A al unui solid rigid şi O un punct din spaţiu
figura 15 vom determina elementele mecanice corespunzătoare reducerii forţei icircn
punctul O
Fig 15 Reducerea unei forțe icircntr-un punct
Icircn punctul O se introduce un sistem de două forţe coliniare egale cu de sensuri
contrare pe un suport paralel cu forţa iniţială Efectul acestora asupra corpului este nul
Apare astfel un cuplu de forţe forţa din A şi (minus) din O caracterizat prin momentul
cuplului 119888119906119901 = 0 = 119874119860 times = 119903 times
Aşadar efectul forţei din A a fost icircnlocuit icircn punctul O cu două elemente
mecanice o forţă identică cu aplicată icircn O şi momentul forţei iniţiale icircn raport cu
punctul O Ansamblul celor două elemente mecanice formează aşa numitul torsor de
reducere al forţei icircn punctul O
132 Reducerea unui sistem de forţe icircntr-un punct
Considerăm că asupra unui solid rigid acţionează un sistem de 119899 forţe 119894 aplicate
icircn punctele 119860119894 cu 119894 = 1 119899 şi fie 119874119909119910119911 un sistem de axe de coordonate avacircnd versorii
axelor 119894 119895 figura 16
Fig 16 Reducerea unui sistem forțe icircntr-un punct
Pentru a reduce sistemul de forţe icircn punctul O se procedează astfel
Se reduce pe racircnd fiecare forţă 119894 icircn punctul O la un torsor de reducere compus
dintr-o forţă 119894 şi un moment 119874119894 = 119903119894 times 119894 Făcacircnd această operaţie cu toate forţele icircn
punctul O se obţine
o forţă rezultantă
= sum119894
119899
119894=1
un moment rezultant
0 =sum119874119894
119899
119894=1
=sum119903119894 times 119894
119899
119894=1
Cele două elemente mecanice definesc torsorul de reducere al sistemului de forţe
icircn punctul O
Torsorul de reducere se poate calcula analitic dacă forţele sunt exprimate analitic
119894 = 119883119894 ∙ 119894 + 119884119894 ∙ 119895 + 119885119894 ∙ unde 119883119894 119884119894 119885119894 sunt proiecţiile forţei 119894 pe axele 119874119909 119874119910
respectiv 119874119911 Rezultanta forţelor icircn punctul O este
= (sum119883119894
119899
119894=1
) ∙ 119894 + (sum119884119894
119899
119894=1
) ∙ 119895 + (sum119885119894
119899
119894=1
) ∙ = 119883 ∙ 119894 + 119884 ∙ 119895 + 119885 ∙
(14)
unde sunt componentele rezultantei pe axele 119874119909 119874119910 și 119874119911 = + +
Icircn mod analog momentul rezultant icircn punctul O este
0 = (sum119872119909119894
119899
119894=1
) ∙ 119894 + (sum119872119910119894
119899
119894=1
) ∙ 119895 + (sum119872119911119894
119899
119894=1
) ∙ =
= 119872119909 ∙ 119894 + 119872119910 ∙ 119895 + 119872119911 ∙
(15)
unde 119909 119910 119911 sunt componentele vectorului moment 0 pe axele 119874119909 119874119910 respectiv 119874119911
0 = 119909 + 119910 + 119911
133 Echilibrul solidului rigid
Torsorul de reducere al sistemului de forţe determină mişcarea solidului rigid icircn
spaţiu sub acţiunea forţelor exterioare aplicate
Torsorul de reducere conţine o forţă rezultantă cu trei componente
perpendiculare icircntre ele şi un moment rezultant avacircnd trei componente ortogonale
perpendiculare 119909 119910 119911 orientate după axele sistemului 119874119909119910119911 Cele trei componente
ale rezultantei produc translaţii (deplasări liniare ) ale corpului pe direcţiile 119874119909 119874119910
respectiv 119874119911 Componentele momentului rezultant 0 produc rotiri (deplasări
unghiulare) ale corpului icircn jurul axelor de coordonate 119874119909 119874119910 respectiv 119874119911 Se spune ca
solidul liber are 6 grade de libertate (6 posibilităţi de deplasare) Pentru ca solidul să fie
icircn echilibru trebuie suprimate toate gradele de libertate Aşadar corpul este icircn echilibru
dacă elementele torsorului de reducere al forţelor exterioare este nul
Condiţiile de echilibru ale solidului rigid sunt
= 0 rArr 119883 = 119884 = 119885 = 0
0 = 0 rArr 119872119909 = 119872119910 = 119872119911 = 0
(16)
Observaţie Un solid rigid liber solicitat de forţe aplicate icircntr-un plan (119909119900119910) are
trei grade de libertate Condiţiile de echilibru sunt
= 0 rArr 119883 = 119884 = 0
0 = 0 rArr 119872119911 = 0
(17)
14 Aplicaţii
141 Să se stabilească mărimea şi ordinul rezultantei sistemului de forţe din figura
17 dacă se cunosc 1 = 100 [119873] 2 = 200 [119873] și 3 = 300 [119873]
Rezolvare
Pentru rezolvarea acestui sistem de forte de prezinta doua metode
a) Rezolvare analitică
Descopunem cele două forțe icircnclinate 2 și 3 după cele două axe de coordonate
Ox și Oy
2 = (minus1198652119909) ∙ 119894 + (1198652119910) ∙ 119895 = (minus1198652 ∙ cos 600) ∙ 119894 + (1198652 ∙ sin 60
0) ∙ 119895 =
= (minus200 ∙1
2) ∙ 119894 + (200 ∙
radic3
2) ∙ 119895 = minus100 ∙ 119894 + 100 ∙ radic3 ∙ 119895
3 = (minus1198653119909) ∙ 119894 + (minus1198653119910) ∙ 119895 = (minus1198653 ∙ cos 450) ∙ 119894 + (minus1198653 ∙ sin 45
0) ∙ 119895 =
= (minus300 ∙radic2
2) ∙ 119894 + (minus300 ∙
radic2
2) ∙ 119895 = minus150 ∙ radic2 ∙ 119894 minus 150 ∙ radic2 ∙ 119895
Pentru stabilirea mărimii şi ordinului rezultantei sistemului de forţe din figură se
procedează astfel
Forţele sunt exprimate analitic 119894 = 119883119894 ∙ 119894 + 119884119894 ∙ 119895 unde 119883119894 119884119894 sunt proiecţiile
forţei 119894 pe axele 119874119909 respectiv 119874119910
1 = 100 ∙ 119894 + 0 ∙ 119895
2 = minus100 ∙ 119894 + 1732 ∙ 119895
3 = minus2121 ∙ 119894 minus 2121 ∙ 119895
Fig 17 Aplicația 141
Se determină rezultanta forţelor cu următoarea relaţie
= sum119865119894 prime (sum119883119894
119899
119894=1
) ∙ 119894 + (sum119884119894
119899
119894=1
) ∙ 119895 = 119883 ∙ 119894 + 119884 ∙ 119895
unde 119883 119884 sunt componentele rezultantei pe axele 119874119909 respectiv 119874119910 = +
= (100 minus 100 minus 2121) ∙ 119894 + (0 + 1732 minus 2121) ∙ 119895 = (minus2121) ∙ 119894 + (minus389) ∙ 119895
rArr 119883 = minus2121 [119873]
119884 = minus389 [119873]
Cu acestea obținem rezultanta
119877 = radic1198832 + 1198842 = radic(minus2121)2 + (minus389)2 = 21564 [119873]
Se reprezintă grafic rezultanta icircn sistemul de coordonate 119909119874119910 după care se
calculează unghiul 120572 pe care aceasta rezultantă icircl face cu axa 119874119909 figura 18
tan 120572 =119884
119883=minus389
minus2121= 0183 rArr 120572 = arctan(0183) = 10 40
Fig 18 Reazultanta forțelor aplicate
b) Rezolvare tabelară
Forţa 119894 Componenta 119883119894 Componenta 119884119894
1 1198651 = 100 1198651 = 0
2 minus1198652 ∙ cos 600 = minus100 1198652 ∙ sin 60
0 = 1732
3 minus1198653 ∙ cos 450 = minus2121 minus1198653 ∙ sin 45
0 = minus2121
= sum119894 119883 =sum119883119894 = minus2121 119884 =sum119884119894 = minus389
După determinarea tabelară a celor două componente ale rezultandei calculele se
continua ca şi icircn cazul rezolvării analitice
142 Să se calculeze momentul forţei verticale = 100 [119873] icircn raport cu punctele
B D O şi icircn raport cu axele Ox Oy şi Oz figura 19 și să se determine componentele
torsorului de reducere ale forţei icircn punctul O dacă se cunosc 119886 = 3 [119898] şi 119887 = 4 [119898]
Fig 19 Aplicația 142
Fig 110 Icircnclinarea momentului 119872119874
119861 = 119861119860 times
119872119861 = 119886 ∙ 119865 = 3 ∙ 100 = 300 [119873 ∙ 119898]
119863 = 119863119860 times
119872119863 = 119887 ∙ 119865 = 4 ∙ 100 = 400 [119873 ∙ 119898]
119874 = 119874119860 times
119872119874 = 119888 ∙ 119865 = radic1198862 + 1198872 ∙ 119865 = radic32 + 42 ∙ 100 = 5 ∙ 100 = 500 [119873 ∙ 119898]
119874 se află icircn planul 119909119874119910 cu icircnclinarea 120572 (figura 110)
tan120572 =119886
119887=3
4= 075 rArr 120572 = arctan(075) = 36860
Deci
120572 = 900 minus 120573 = 900 minus 36860 = 53140
Concluzie Componentele torsorului de reducere al forței icircn punctul O sunt o forta
icircn O identică cu forța din punctul A și momentul forței icircn raport cu punctul O 119874
2 INTRODUCERE IcircN REZISTENŢA MATERIALELOR
21 Obiectul şi problemele Rezistenţei materialelor
Rezistenţa materialelor este o disciplină de cultură tehnică generală care continuă
logic şi dezvoltă Mecanica prin introducerea icircn calcule a proprietăţilor de deformabilitate
ale corpurilor solide reale Icircn Mecanică corpul solid este considerat rigid nedeformabil
iar vectorii forţă de icircncărcare sunt consideraţi alunecători Rezistenţa materialelor ia icircn
studiu corpurile reale care sub acţiunea forţelor exterioare (vectori legaţi) icircşi schimbă
forma geometrică respectiv dimensiunile iniţiale şi se distrug prin rupere la valori mari
ale acestora Prin calculele de rezistenţă se determină dimensiunile secţiunilor
transversale ale corpurilor (elemente de rezistenţă) icircn funcţie de mărimea poziţia şi modul
de acţionare a forţelor exterioare proprietăţile mecanice ale materialelor dimensiunile
constructive forma şi importanţa ansamblului icircn care se icircnglobează iar icircn anumite cazuri
şi de durata de funcţionare Elementele de rezistenţă trebuie să icircndeplinească următoarele
condiţii de bază
- condiţia de rezistenţă care are icircn vedere ca eforturile din elementul de rezistenţă
să nu producă distrugerea acestuia prin rupere sau spargere icircn bucăţi
- condiţia de rigiditate se referă la valorile deformaţiilor care nu trebuie să
depăşească anumite mărimile admisibile
- condiţia de stabilitate care consideră posibilitatea menţinerii formei de echilibru
stabil pentru o anumită stare de icircncărcare
Criteriile de rezolvare ale problemelor de Rezistenţa materialelor sunt
- criteriul economic prin care se impune ca orice element de rezistenţă (piesă) să
fie proiectat şi realizat cu soluţia cea mai economică icircn privinţa materialului utilizat şi al
manoperei
- criteriul de bună funcţionalitate a ansamblului din care face parte elementul de
rezistenţă proiectat respectacircnd condiţiile de rezistenţă rigiditate şi stabilitate
Icircn cadrul Rezistenţei materialelor se admit ipoteze simplificatoare care permit
obţinerea unor relaţii de calcul relativ simple şi care exprimă destul de fidel fenomenul
de solicitare real Experimentările practice icircn laborator permit verificarea legilor
rezistenţei materialelor şi determinarea caracteristicilor mecanice ale materialelor
Rezistenţa materialelor permite rezolvarea următoarelor categorii de probleme
- probleme de dimensionare prin care se stabilesc dimensiunile optime ale
elementelor de rezistenţă proiectate icircn funcţie de icircncărcările exterioare (forţe sau
momente) şi de caracteristicile mecanice ale materialului utilizat
- probleme de verificare la care se determină dacă un element de rezistenţă de
dimensiuni cunoscute satisface condiţiile de rezistenţă rigiditate şi stabilitate cunoscacircnd
icircncărcarea exterioară şi caracteristicile mecanice ale materialului utilizat
- probleme de calcul al capacităţii de icircncărcare al unui element de rezistenţă
cunoscacircndu-se caracteristicile mecanice ale materialului dimensiunile şi modul de
solicitare se determină icircncărcarea maximă pe care o poate suporta elementul de rezistență
fără a ceda sau a se deforma periculos
22 Clasificarea corpurilor icircn Rezistenţa materialelor
Corpurile (elementele de rezistenţă) au icircn general forme constructive relativ
complicate Icircn Rezistenţa materialelor pentru simplificarea calculelor corpurile se
schematizează prin forme geometrice mai simple obţinacircndu-se următoarele grupe
a) corpuri solide cu o dimensiune mult mai mare decacirct celelalte două (corpuri cu
fibră medie) Elementele geometrice caracteristice sunt axa longitudinală şi secţiunea
transversală Aceste corpuri solide pot fi
- fire dacă dimensiunile secţiunii transversale sunt foarte mici astfel icircncacirct axa
longitudinală este flexibilă (icircşi schimbă forma uşor) iar sarcinile transversale nu pot fi
preluate de acesta Un fir nu poate fi solicitat decacirct la icircntindere (exemplu cabluri de
macara lanţuri etc)
- bare care rezistă atacirct la solicitări axiale cacirct şi la solicitări transversale
După modul de solicitare barele poartă diferite denumiri convenţionale
tiranţi-solicitaţi la icircntindere figura 21a
stacirclpi-solicitaţi la compresiune figura 21b
grinzi-solicitate la icircncovoiere figura 21c
arbori-solicitaţi la torsiune (răsucire) figura 21d
Fig 21 Denumirea barelor după modul de solicitare
După modul cum variază secţiunea icircn lungul axei barele pot fi
de secţiune constantă figura 22a
de secţiune variabilă continuă figura 22b sau icircn trepte figura 22c
Fig 22 Denumirea barelor după secțiune
După forma axei longitudinale barele pot fi
drepte figura 21
curbe icircn plan figura 23a sau icircn spaţiu figura 23b (numite și curbe stracircmbe)
cotite (axa barei este o linie fracircntă) plane figura 23c sau spațiale figura 23d
Fig 23 Tipuri de bare curbe și cotite
Secţiunea transversală (plană şi normală pe axa barei) poate avea orice formă
geometrică constantă sau variabilă icircn lungul barei
Dacă una din dimensiunile secţiunii transversale (grosimea) este mai mică
comparativ cu celelalte bara se numește bară cu pereţi subţiri (exemplu barele
realizate din platbande sudate cu secţiuni sub formă de profil I profil U cornier etc)
b) corpuri care au două dimensiuni mult mai mari icircn raport cu a treia (grosimea)
se numesc plăci Elementele geometrice caracteristice ale unei plăci sunt forma şi
dimensiunile suprafeţei mediane respectiv grosimea Plăcile se reprezintă schematic
printr-o suprafață care imită forma și dimensiunile suprafeței mediane Suprafaţa mediană
reprezintă locul geometric al tuturor punctelor egal depărtate de cele două feţe ale plăcii
puncte aflate pe perpendicularele duse icircntre cele două feţe figura 24
După destinaţie și forma suprafeței mediane se deosebesc
plăci plane figura 24b
plăci curbe (icircnvelişuri) cu o singură curbură figura 24a sau avacircnd curbură
dublă figura 24c
Fig 24 Tipuri de plăci plane
Plăcile cu grosime mare sunt denumite frecvent dale O placă de grosime mică
ce nu poate prelua decacirct solicitări la icircntindere poartă numele de membrană
Exemple de plăci icircnvelişurile vasele de revoluţie discurile etc
c) corpuri masive care au toate cele trei dimensiuni aproximativ de acelaşi ordin
de mărime (blocuri de fundaţii bile şi role de rulmenţi tuburi cu pereţi groşi etc)
Calculele de rezistenţă sunt mai simple icircn cazul barelor drepte şi mai complicate
la barele curbe plăci respectiv blocuri
23 Clasificarea icircncărcărilor exterioare
Un corp icircşi păstrează forma şi dimensiunile datorită forţelor de atracţie dintre
particulele sale elementare atacircta timp cicirct asupra sa nu acţionează alte forţe aplicate din
exterior care să-l deformeze Icircn construcţia de maşini elementele de rezistenţă preiau şi
transmit acţiunea unor sarcini exterioare (forţe şisau cupluri) pe care le vom denumi
generic forțe sau icircncărcări exterioare Efectul pe care-l au sarcinile este acela de a
modifica forma şi dimensiunile corpului asupra căruia se aplică Icircn punctele de rezemare
(de sprijin sau de legătură cu alte elemente de rezistenţă icircnvecinate) ca urmare a
principiului acţiunii şi reacţiunii apar forţe de legătură sau reacţiuni Ansamblul format
din sarcini şi reacţiuni este cunoscut sub numele de forţe exterioare Sub acţiunea
forţelor exterioare elementele de rezistenţă trebuie să fie icircn echilibru
Forţele exterioare pot fi clasificate după următoarele criterii
a) după mărimea suprafeţei pe care se aplică
- forțe concentrate aplicate teoretic icircntr-un punct figura 25a
- forțe distribuite uniform sau cu intensitate variabilă icircn lungul barei sau pe o
suprafaţă figura 25bc şi d
- momente concentrate care acţionează icircntr-un punct M sau momente uniform
distribut pe o anumită lungime m
Fig 25 Tipuri de sarcini după mărimea suprafeţei de aplicare
b) după locul de aplicare se deosebesc
- forţe de suprafaţă sau de contur care sunt aplicate din exterior pe suprafaţa
corpurilor şi indică legătura cu piesele icircnvecinate
- forţe masice sau de volum distribuite icircn tot corpul (greutăţi forţe de inerţie
respectiv forţe electromagnetice)
c) după modul de acţiune icircn timp se disting
- forţe statice care se aplică lent şi progresiv pacircnă la valoarea nominală de lucru
şi apoi rămacircn constante figura 26a
- forţe dinamice care rezultă din
aplicarea cu icircntreaga intensitate de la icircnceputul perioadei de solicitare iar apoi forţa se
menţine constantă timp icircndelungat figura 26b (forţe de inerţie)
aplicarea bruscă a sarcinii asupra corpului durata de acţiune a sarcinii fiind mică figura
26c (forţe de şoc)
variaţia periodică icircn timp a intensităţii forţei aplicate figura 26d (forţe de oboseală)
Fig26 Tipuri de forţe exterioare (cicluri de solicitare)
Funcţie de modul de variaţie al forţelor exterioare solicitările pot fi statice
oscilante pulsante alternante etc Experimental s-a constatat că rezistenţa unui material
depinde foarte mult de modul de variaţie a forţelor icircn timp Bach a clasificat solicitările
icircn 3 categorii 1-solicitări statice 2-solicitări pulsante 3-solicitări alternant simetrice
Rezistenţa unui material este icircn raportul 321 pentru cele 3 cazuri de solicitare ale lui
Bach Aceasta icircnseamnă că o piesă solicitată static rezistă la o forţă de 3 ori mai mare
decacirct forţa maximă care produce ruperea aceleaşi piese solicitate alternant simetric
d) după poziţia icircn timp a forțelor se disting
- forţe fixe ale căror puncte de aplicaţie sunt mereu aceleaşi
- forţe mobile ale căror puncte de aplicaţie se deplasează icircn timp De exemplu
sarcinile produse de vehiculele care circulă pe un pod sarcinile unei grinzi de pod rulant
icircntr-o halăetc
24 Reazeme Forțe interioare Eforturi Diagrame de eforturi icircn barele
drepte
241 Reazeme Reacțiuni (forțe de legătură)
Pentru a prelua şi transmite acţiunea sarcinilor exterioare elementele de rezistenţă
din componenţa unei structuri sunt fixate icircntre ele prin intermediul unor legături
exterioare numite reazeme Aceste legături au ca scop icircmpiedicarea anumitor mişcări ale
corpului pe direcţiile pe care acestea nu trebuie să se producă O legătură are deci rolul
de a anula unul sau mai multe grade de libertate ale corpului icircn punctul de rezemare Dacă
este anulat un singur grad de libertate legătura este simplă iar dacă sunt impiedicate mai
multe grade de libertate legătura este una compusă Datorită existenţei sarcinilor
exterioare icircn punctele de rezemare pe direcţiile pe care mişcările sunt icircmpiedicate apar
forţe de legătură numite reacţiuni Numărul natura şi direcţiile reacţiunilor depind de
tipul reazemelor Icircn construcţiile reale există o varietate mare de realizare practică a
reazemelor dar icircn calcule se acceptă anumite schematizări care reţin doar aspectul esenţial
al unui reazem şi anume gradul sau gradele de libertate anulate
Pentru o structură de rezistenţă spaţială icircntr-un punct oarecare sunt posibile şase
deplasări trei deplasări liniare (după direcţiile axelor unui sistem ortogonal) şi trei rotiri
(deplasări unghiulare) icircn jurul aceloraşi axe Ca urmare ar fi posibil de realizat maximum
şase tipuri de reazem
Pentru un element de rezistenţă plan icircncărcat cu eforturi cuprinse icircn planul
elementului icircn orice punct sunt posibile trei gade de libertate două deplasări liniare şi o
rotiri Ca urmare pentru cazul unei bare plane se icircntacirclnesc următoarele tipuri de reazeme
1 Reazemul simplu sau reazemul mobil care icircmpiedică deplasarea pe o direcţie
normală pe suprafaţa de rezemare permiţacircnd deplasarea pe o direcţie paralelă cu
suprafaţa de rezemare şi rotirea barei icircn jurul unei axe perpendiculare pe plan icircn punctul
de rezemare Icircn urma icircmpiedicării deplasării şi datorită unor sarcini exterioare icircn
reazemul simplu apare o reacţiune de tip forţă a cărei suport trece prin punctul de
rezemare şi a cărei direcţie este perpendiculară pe suprafaţa de rezemare figura 27
Fig 27 Reazem simplu (mobil)
Icircn figura 27 este reprezentat un reazem mobil poziţionat pe capătul A al unei bare
plane orizontale fiind evidenţiate punctul şi suprafaţa de rezemare direcţia suportului
reacţiunii şi modul de schematizare al reazemului Cea mai des icircntacirclnită reprezentare a
reazemului mobil este a unui triunghi a cărui bază poate luneca pe suprafaţa de rezemare
2 Reazemul fix sau articulaţia icircmpiedică deplasările liniare după toate direcţiile
din planul barei permiţacircnd doar rotirea barei icircn jurul unei axe perpendiculare pe plan şi
care trece prin puncul de rezemare Reacţiunea este cuprinsă icircn planul barei care trece
prin punctul de rezemare dar a cărei mărime şi direcţie nu sunt cunoscute (forţa R)
figura 28
Fig 28 Reazem fix
Se preferă ca icircn locul unei forţe R avacircnd direcţia oarecare icircn plan necunoscută să
se introducă două forţe (HA şi VA) cărora li se cunoaşte direcţia şi pentru care se vor
determina modulele ca valori din condiţiile de echilibru static Icircntr-un reazem fix apar
icircntotdeauna reacţiuni atacirct pe direcţia perpendiculară pe suprafaţa de rezemare
(verticală) cacirct şi pe direcţia paralelă cu prima (orizontală) chiar dacă uneori una sau
chiar ambele reacţiuni au valoarea zero Reprezentarea schematică a articulaţiei este cea
a unui triunghi cu baza fixă şi cu vacircrful icircn punctul de rezemare sau cea a unui pendul
dublu figura 28
3 Icircncastrarea (sau icircnţepenirea) anulează toate gradele de libertate ale capătului
unei bare icircmpiedicacircnd deplasarea liniară după orice direcţie din plan precum şi rotirea
barei icircn jurul unei axe perpendiculare pe plan şi care trece prin punctul de icircncastrare
Urmare a existenţei sarcinilor exterioare şi a blocării deplasărilor icircn icircncastrare apare o
reacţiune căreia nu i se cunoaşte nici mărimea nici direcţia şi nici punctul de aplicaţie
figura 29
Fig 29 Icircncastrarea
Sub acţiunea forţelor exterioare un sistem este icircn echilibru Valoarea reacţinilor
se determină din condiţia de echilibru a sistemului solicitat
Este cunoscut faptul că un sistem plan este icircn echilibru dacă
nu se deplasează pe o direcţie (fie x această direcţie)
nu se deplasează pe o direcţie perpendiculară pe prima (fie y această direcţie)
nu se roteşte faţă de un punct al planului (fie K acest punct)
Cele trei condiţii enunţate mai sus sunt satisfăcute dacă suma proiecţiilor tuturor
forţelor pe direcţia x respectiv y este nulă şi suma tuturor momentelor (cuplurilor) faţă
de un punct al planului este nulă
242 Forțe interioare Metoda secțiunilor
Icircn vederea calculului de rezistenţă de rigiditate şi de stabilitate a barelor sau a
sistemelor de bare este necesară determinarea forţelor şi momentelor interioare
(eforturilor) care apar icircn secţiunile transversale ale acestora şi datorate icircncărcărilor
exterioare Forțele interioare indică legătura dintre particulele din interiorul corpului şi
se pun icircn evidenţă prin metoda secţiunilor care este un procedeu de raţionament
imaginar propus de Cauchy echivalent cu teoria echilibrului părţilor Conform acestui
raționament bdquodacă un corp solid deformabil este icircn echilibru sub acţiunea unui sistem
generalizat de forţe atunci după secționare fiecare parte a sa va fi icircn echilibru sub
acţiunea forţelor exterioare care-i revin şi a unui sistem de forţe pe care trebuie să-l
introducem icircn secţiunea ce delimitează fiecare parte echivalent cu acţiunea forţelor
aplicate pe partea icircndepărtatărdquo
Problemele care apar la aplicarea metodei secţiunilor sunt
- să pună icircn evidenţă existenţa forţelor interioare mai ales că din ceea ce se ştie o
forţă apare icircn prezenţa a două corpuri ca urmare a principiului acţiunii şi reacţiunii
- să explice modul de distribuţie al forţelor interioare pe secţiune
Considerăm un corp aflat icircn echilibru sub acţiunea unui sistem de forţe exterioare
1 2 3⋯119894 ⋯ 119899minus1 119899 şi presupunem că-l secţionăm cu un plan transversal Q (sau cu
o suprafaţă oarecare) figura 210a Icircn urma secţionării fictive (imaginare) conform
principiului echilibrului părţilor fiecare din cele două părţi obţinute trebuie să fie icircn
echilibru sub acţiunea forţelor exterioare care le revin şi a cacircte unui sistem de forţe
interioare pe care trebuie să-l introducem icircn secţiunile rezultate sistem echivalent cu
acţiunea forţelor exterioare ce acţionează asupra celeilalte părţi Astfel pe partea din
dreapta (notată cu II) delimitată de secţiunea de arie Ad sunt aplicate forţele exterioare
119894 ⋯ 119899minus1 119899 şi un sistem de forţe interioare căruia nu i se cunoaşte decacirct efectul acelaşi
cu cel al forţelor 1 2 3 de pe parea din stacircnga (notată cu I şi delimitată de secţiunea
de arie As) figura 210b Prin metoda secţiunilor am reuşit să punem icircn evidenţă existenţa
forţelor interioare şi să le trecem icircn categoria celor exterioare cărora le putem aplica
relaţiile de echivalenţă şi de echilibru cunoscute din statică Ideal ar fi să cunoaştem
distribuţia şi intensitatea punctuală a acestor forţe pentru că s-ar putea ca icircn anumite
puncte ale secţiunii valoarea forţelor să depăşească limita de rezistenţă (limita de curgere)
a materialului Cunoaşterea distribuţiei punctuale a forţelor interioare nu se poate realiza
decacirct icircn cazuri particulare relativ simple de solicitare
Să considerăm partea din dreapta a corpului asupra căreia acționează forțele
119894 ⋯ 119899minus1 119899 mărginit de aria Ad pe care acționează un sistem de forțe interioare
echivalent cu 1 2 3 Deși forțele interioare de pe Ad nu se cunosc totuși efectul lor
este același cu cel al forțelor 1 2 3 deci le putem reduce icircn centrul de greutate C al
secțiunii Ad rezultacircnd componentele torsorului de reducere al forțelor interioare
(119894119889 119894119889) și pentru partea din stacircnga (119894119904 119894119904) Evident conform principiului acțiunii și
reacțiunii
119894119889 = minus119894119904
119894119889 = minus119894119904 (21)
Pe de altă parte cum fiecare dintre părțile corpului după secționare trebuie să fie
icircn echilibru sub acțiunea forțelor exterioare care le revin și a forțelor interioare introduse
rezultă
119894119889 = minus119890119889
119894119889 = minus119890119889
119894119904 = minus119890119889
119894119904 = minus119890119904 (22)
Combinacircnd (21) cu (22) rezultă
119894119889 = 119890119889
119894119889 = 119890119889
119894119904 = 119890119904
119894119904 = 119890119904 (23)
Fig 210 Forțe interioare
Relațiile (22) și (23) permit determinarea componentelor torsorului de reducere
al forțelor interioare din (23) rezultă componentele torsorului forțelor interioare care
acționează icircn secțiunea Ad sunt egale cu componentele torsorului de reducere al forțelor
exterioare de pe partea din stacircnga din (22) rezultă componentele torsorului forțelor
interioare care acționează icircn secțiunea Ad sunt egale și de sens contrar cu componentele
torsorului de reducere al forțelor exterioare de pe partea din dreapta
Observații
1 Torsorul forțelor interioare diferă de la o secțiune la alta dar pentru aceeași
secțiune el este unic și trebuie să respecte condițiile de compatibilitate a deformațiilor
2 Reducacircnd forțele interioare icircn centrul de greutate al secțiunii s-a făcut o
aproximare icircn ceea ce privește efectul modului de dispunere al forțelor
3 Punctul de reducere trebuie să fie
pentru forțele interioare normale la secțiune centrul de greutate
pentru forțele interioare tangente la planul secțiunii centrul de răsucire sau de
tăiere
243 Eforturi
Prin metoda secțiunilor am pus icircn evidență existența forțelor interioare și modul
icircn care se determină componentele torsorului de reducere al forțelor interioare (119894119889 119894119889) de pe fața din dreapta secțiunii (Ad) Cele două componente ale torsorului de reducere al
forțelor interioare de pe Ad se pot descompune după axele unui sistem de referință
triortogonal xCyz astfel
119894119889 = +
119894119889 = 119909 +119872119894 (24)
unde și 119909 sunt proiecțiile lui 119894119889 și respectiv 119894119889 pe axa longitudinală Cx a
barei iar și 119894 sunt proiecțiile acelorași componente 119894119889 și respectiv 119894119889 pe planul yCz
al secțiunii transversale Ad figura 211
Fig 211 Torsorul de reducere al forţelor interioare
La racircndul lor și 119894 se pot descompune după axele sistemului yCz figura 212
= 119910 + 119911
119894 = 119894119910 + 119894119911 (25)
Fig 212 Descompunerea forţei tăietoare şi a momentului icircncovoietor
Cele șase componente ale torsorului de reducere al forțelor interioare ( 119910 119911
119909 119894119910 119894119911) orientate după axele sistemului de referință xCyz se numesc eforturi
Fiecare efort are o denumire stabilită icircn funcție de tipul de deformație pe care-l produce
De asemenea semnul plus (bdquo+rdquo) sau minus (bdquondashrdquo) al fiecărui efort nu depinde de sensul
pozitiv sau negativ al sistemului de axe ci doar de efectul icircn deformații al fiecărui efort
Denumirile celor șase eforturi sunt
119873 este forța axială
119879119910 119879119911 sunt forțe tăietoare orientate după axele Cy și respectiv Cz
119872119909 notat de cele mai multe ori cu 119872119905 este moment de torsiune sau de răsucire
119872119894119911 119872119894119910 sunt momente de icircncovoiere icircn jurul axei Cz și respectiv Cy
Forța axială 119873 poate fi forță axială de icircntindere cacircnd produce o lungire a
tronsonului pe a cărei față acționează (119873 gt 0) figura 213a sau forță axială de
compresiune cacircnd sub efectul ei bara se scurtează (119873 lt 0) figura 213b
Fig 213 Forța axială
Forțele tăietoare 119879119910 și 119879119911 au ca efect lunecarea secțiunii icircn centrul căreia
acționează icircn raport cu secțiunea icircnvecinată lunecare ce se produce pe direcția și icircn sensul
forței Sub acțiunea unei forțe tăietoare bara este solicitată la forfecare Forța tăietoare
este pozitivă 119879119910 gt 0 dacă icircn raport cu un punct oarecare K de pe axa Cx a barei tinde să
rotească secțiunea pe care acționează icircn sens orar
Fig 214 Forța tăietoare
Momentele de icircncovoiere 119872119894119911 și 119872119894119910 au ca efect o rotire a secțiunii icircn centrul
cărora acționează icircn jurul axei după care sunt orientate Icircn figura 215a se vede că
datorită momentului 119872119894119911 fibrele de deasupra axei Cz se alungesc icircn timp ce fibrele de sub
axa Cz se scurtează Fibrele care trec prin axa de icircncovoiere Cz nu se deformează sunt
fibre neutre la icircncovoiere adică axa neutră este Cz Icircn cazul momentului de icircncovoiere
119872119894119910 fibrele care nu se deformează sunt cele care trec prin axa neutră la icircncovoiere Cy
Momentele de icircncovoiere se consideră a fi pozitive (119872119894119911 gt 0119872119894119910 gt 0) dacă
observatorul care privește bara deformată vizualizează fibrele icircntinse
Fig 215 Momentul icircncovoietor
Momentul de torsiune sau de răsucire 119872119909 equiv 119872119905 are ca efect o rotire a secțiunii
icircn al cărei centru acționează icircn jurul axei longitudinale Cx Ca efect secțiunea icircși schimbă
forma (se deformează) adică unghiurile inițiale se modifică dreptunghiul inițial Ad
devine paralelogram Convențional se consideră 119872119905 gt 0 dacă vectorul moment are
aceeași orientare ca și sensul pozitiv ales pextru axa Cx Icircn figura 216 momentul este
negativ
Fig 216 Momentul de torsiune
25 Definiții și convenții de semne pentru eforturile
din secțiunile unei bare drepte plane icircncărcate cu sarcini coplanare
Vom considera o bară plană icircncărcată cu un sistem de forțe arbitrar figura 217
Ne propunem să determinăm eforturile care apar icircn secțiunea barei aflată la distanța 119909 de
reazemul din stacircnga (A)
Pentru aceasta vom aplica metoda secțiunilor vom secționa bara cu un plan
perpendicular pe axa longitudinală a barei și vom analiza doar partea din dreapta secțiunii
mărginită de fața Ad Pentru ca această porțiune de bară să fie icircn echilibru sub acțiunea
forțelor exterioare care acționează asupra sa 1198653 și 119881119861 va trebui să introducem icircn centrul
secțiunii Ad eforturile care pot să apară 119873 119879119910 119872119894119911 Acțiunea acestor eforturi trebuie să
fie echivalentă cu acțiunea forțelor exterioare aplicate pe partea icircnlăturată (parcursă) a
barei 119867119860 119881119860 1198651 1198652 1198720
Deoarece bara este plană și este icircncărcată doar cu sarcini ce aparțin
planului barei
icircn secțiunea Ad apar doar 3 componente ale torsorului de reducere al forțelor
interioare (eforturi)
- 119873 = forța axială
- 119879119910 = forța tăietoare pe care o vom nota cu 119879
- 119872119894119911 = momentul icircncovoietor notat cu Mi
Fig 217 Bară plană icircncărcată cu un sistem de forțe
Vom prezenta următoarele definiții corespunzătoare eforturilor din secțiunea Ad
119873 = forța axială dintr-o secțiune este egală cu suma algebrică a proiecțiilor pe
axa longitudinală a tuturor forțelor exterioare (sarcini și reacțiuni) aplicate pe partea
din stacircnga secțiunii adică pe porțiunea parcursă Forța axială 119873 este pozitivă dacă trage
de tronsonul pe a cărei față acționează (are orientarea normalei exterioare la secțiunea
Ad)
119873(119909) = minus119867119860 + 1198651119867 (26)
119879 = forța tăietoare icircntr-o secțiune este egală cu suma algebrică a proiecțiilor
pe o axă perpendiculară pe axa barei a tuturor forțelor exterioare (sarcini și reacțiuni)
aplicate pe porțiunea de bară aflată icircn stacircnga secțiunii considerate Forța tăietoare 119879
este pozitivă dacă tinde să rotească tronsonul pe a cărui față acționează icircn sens orar icircn
raport cu un punct de pe axa barei aflat la dreapta secțiunii
119879(119909) = 119881119860 minus 1198651119881 minus 1198652 (27)
119872119894 = momentul icircncovoietor icircntr-o secțiune este egal cu suma algebrică a
momentelor obținute prin reducerea tuturor forțelor exterioare ( cupluri sarcini
reacțiuni) aplicate pe porțiunea de bară aflată la stacircnga secțiunii icircn centrul secțiunii
considerate 119872119894 este considerat pozitiv dacă tinde să deformeze bara astfel icircncacirct fibrele
spre care privește un observator să fie icircntinse Cum poziția observatorului este de regulă
sub bară bara se deformează dacă 119872119894 gt 0 astfel icircncacirct partea jos a barei este icircntinsă Se
spune că bara deformată rdquoține apaldquo
119872119894(119909) = 119881119860 ∙ 119909 minus 1198651119881 ∙ (119909 minus 1198971) minus 1198652 ∙ [119909 minus (1198971 + 1198972)] + 1198720 (28)
Sensurile pozitive ale eforturilor care apar icircn centrul secțiunii Ad (deci atunci cacircnd
sensul de parcurs la aplicarea metodei secțiunilor este cel de la stacircnga la dreapta) sunt
indicate icircn figura 218a iar dacă sensul de parcurs este de la dreapta la stacircnga sensurile
pozitive ale eforturilor sunt indicate icircn figura 218b
Fig 218 Convenţia de semne
Definiții asemănătoare se pot da și pentru eforturile din centrul secțiunii As figura
218b adică pentru cazul icircn care sensul de parcurs este cel de la dreapta la stacircnga și deci
partea luată icircn considerare este cea din stacircnga iar partea parcursă din dreapta secțiunii
este icircnlăturată
119873(1199091) = 1198653119867
119879(1199091) = 1198653119881 minus 119881119861
119872119894(1199091) = 119881119861 ∙ 1199091 minus 1198653119881 ∙ (1199091 minus 1198975)
(29)
Avacircnd icircn vedere că fețele Ad și As aparțin aceleeași secțiuni este evident faptul că
eforturile 119873(119909) 119879(119909) și 119872119894(119909) sunt identice cu eforturile 119873(119961120783) 119879(119961120783) și respectiv
119872119894(119961120783) Icircn figura 218c se prezintă o sinteză a convențiilor de semne pozitive pentru cele
3 eforturi atacirct pentru sensul de parcurs de la stacircnga la dreapta (secțiunea Ad) cacirct și pentru
sensul invers (secțiunea As)
Semnele eforturilor sunt importante icircntrucacirct există materiale cu comportări diferite
la icircntindere față de compresiune iar o schimbare a semnului unui efort poate produce
erori grave icircn calcule Semnele eforturilor au fost stabilite icircn funcție de deformațiile
produse și nu depind de sensul axelor sistemului de coordonate
26 Relaţii diferenţiale icircntre eforturi şi sarcini
Pentru a vedea ce legătură există icircntre eforturi și sarcini vom considera o bară
dreaptă icircncărcată cu o sarcină distribuită după o lege oarecare figura 219a Din această
bară vom decupa prin dublă secționare un element de lungime infinit mică 119889119909 Deoarece
lungimea 119889119909 este foarte mică se poate considera sarcina 119901 uniform distribuită Icircn
secțiunile rezultate trebuie să introducem eforturile care pot apărea
- 119879 şi 119872119894 icircn centrul secțiunii din sticircnga eforturi pe care le considerăm pozitive
- 119879 + 119889119879 şi 119872119894 + 119889119872119894 icircn centrul secțiunii din dreapta elementului
Aceste eforturi au o variație mică (119889119879 şi 119889119872119894) față de secțiunea anterioară Spre
deosebire de cazul icircn care bara este secționată o singură dată icircn acest caz eforturile nu
pot fi determinate din cele 2 condiții de echilibru independente deoarece icircn ecuațiile de
echilibru apar 4 necunoscute 119879 119889119879119872119894 și 119889119872119894 deci că problema este dublu static
nedeterminată figura 219
Fig 219 Echivalența icircntre eforturi și sarcini
Ecuațiile de echilibru scrise pentru elementul din figura 219b conduc la stabilirea
unor relaţii foarte importante
(sum119865)119910= 0 hArr 119879 minus 119901 ∙ 119889119909 minus (119879 + 119889119879) = 0 rArr
119889119879
119889119909= minus119901 (210)
Relația (210) arată că derivata funcţiei forţei tăietoare icircn raport cu abscisa
secţiunii este egală cu sarcina distribuită normală la axa barei din acea secţiune luată
cu semn schimbat
Observații
dacă 119901 = 0 nu există sarcină distribuită atunci forța tăietoare T este constantă
icircnclinarea pantei diagramei forței 119879 este egală cu (ndash 119901) (sarcina distribuită cu
semn schimbat)
dacă 119901 = 119888119900119899119904119905 119879 variază liniar pe acel interval
Asemănător se deduce că derivata funcţiei forţei axiale icircn raport cu abscisa
secţiunii este egală cu sarcina distribuită axială din acea secţiune luată cu semn
schimbat adică
119889119873
119889119909= minus119901119867 (211)
Din condiția de echilibru suma de momente faţă de centrul de greutate al secţiunii
din dreapta
(sum119872)119862= 0 hArr 119872119894 minus (119872 + 119889119872119894) + 119879 ∙ 119889119909 minus 119901 ∙
(119889119909)2
2= 0 rArr
119889119872119894
119889119909= 119879 (212)
Relația (212) s-a obținut dupa reducerea termenilor și prin neglijarea infinitului
mic de ordinul 2
119901 ∙(119889119909)2
2
Relația (212) arată că derivata funcţiei moment icircncovoietor icircn raport cu abscisa
secţiunii este egală cu forţa tăietoare din acea secţiune
Observații
dacă 119879 = 0 momentul 119872119894 are un punct de extrem se obține o valoare maximă
pentru 119872119894119898119886119909 dacă forța tăietoare 119879 se anulează trecacircnd de la plus icircn stacircnga la minus icircn
dreapta secțiunii
dacă forța tăietoare este pozitivă pe un interval 119879 gt 0 atunci 119872119894 este crescătoare
pe acel interval
dacă forța tăietoare este negativă pe un interval 119879 lt 0 atunci 119872119894 este
descrescătoare pe acel interval
dacă pe un interval 119901 = 0 forța tăietoare este constantă 119879 = 119888119905 iar 119872119894 variază
liniar pe acel interval
dacă 119901 = 119888119900119899119904119905 119879 variază liniar pe acel interval iar 119872119894 variază parabolic pe
acel interval
Relaţiile diferenţiale sunt utile la reprezentarea corectă şi verificarea diagramelor
de eforturi astfel
pentru porţiunile de grindă pe care p = 0 eforturile N şi T sunt constante iar pe
porţiunile cu p = const eforturile N şi T variază liniar (relaţiile 211 şi 210)
dacă pe o porţiune T = const momentul icircncovoietor Miz variază liniar iar dacă
T variază liniar atunci momentul Miz variază parabolic (relaţia 212)
pe domeniile pe care T gt 0 funcţia Mi(x) este crescătoare iar icircn secţiunea icircn
care T = 0 (graficul funcţiei T intersectează axa x) momentul icircncovoietor are un punct
de extrem local (maxim sau minim relaţia 212)
Pentru rezolvarea problemelor referitoare la trasarea diagramelor de eforturi
pentru barele drepte solicitate de sisteme de forţe plane se parcurg următoarele etape
1) identificarea forţelor aplicate (date) şi pregătirea lor pentru calcule
(descompunerea forţelor concentrate pe direcţiile x şi y calculul rezultantelor forţelor
distribuite)
2) identificarea reazemelor şi introducerea reacţiunilor corespunzătoare (vezi
figurile 27divide29)
3) stabilirea ecuaţiilor de echilibru static calculul şi verificarea reacţiunilor Icircn
rezistența materialelor se folosește sistemul de ecuații (vezi figura 217)
(sum119865)
119909= 0
(sum119872)119860= 0
(sum119872)119861= 0
(213)
4) identificarea domeniilor de variaţie şi scrierea funcţiilor de eforturi pentru N T
şi Mi
5) reprezentarea grafică a diagramelor de eforturi
6) verificarea corectitudinii diagramelor pe baza relaţiilor diferenţiale icircntre eforturi
şi sarcini
Aplicație Pentru grinda dreaptă icircncărcată cu sistemul de forţe reprezentat icircn figura
220 se cere
a) să se calculeze şi să se verifice reacţiunile
b) să se stabilească funcţiile eforturilor Nx Ty şi Miz şi să se reprezinte diagramele
de variaţie
c) să se analizeze relaţiile diferenţiale icircntre eforturi şi sarcini
Dimensiunile grinzii au valorile a = 6 [m] b = 4 [m] și c = 4[m] sistemul de
forţe aplicat fiind format din p = 10 [kN mfrasl ] F = 20 [kN] (icircnclinată cu unghiul α =300 faţă de orizontală) şi M0 = 40 [kN ∙ m]
Rezolvare
a) Se fac următoarele precizări
grinda dreaptă se reprezintă prin axa geometrică
forţa icircnclinată F se descompune după direcţiile orizontală şi verticală icircn FV =F ∙ sin α = 10 [kN] şi FH = F ∙ cos α = 173 [kN]
forţa distribuită uniform p este echivalentă din punct de vedere static cu
rezultanta sa R = p ∙ a = 60 [kN] care acţionează la jumătatea porţiunii de lungime a
icircn reazemele 119860 şi 119861 se introduc componentele HA şi VA respectiv VB ale
reacţiunilor
Pentru calculul reacţiunilor se utilizează ecuaţiile de echilibru static al grinzii
sumXi = 0 HA minus FH = 0 sumYi = 0 VA + VB minus R minus FV = 0 (sumM)B = 0 VA ∙ (b + a) minus R ∙ (b + 05 ∙ a) minus M0 + FV ∙ c = 0
(A1)
Din prima ecuaţie se obţine HA iar din cea de-a treia ecuaţie rezultă VA
HA = FH = 173 [kN]
VA =[R ∙ (b + 05 ∙ a) + M0 minus FV ∙ c]
(b + a)=[60 ∙ (4 + 05 ∙ 6) + 40 minus 10 ∙ 4]
(4 + 6)
VA = 42 [kN]
(A2)
Fig 220 Aplicație
Se observă că cea de-a doua ecuaţie de echilibru conţine două necunoscute
reacţiunile VA şi VB Pentru a calcula componenta VB nu este indicată introducerea lui VA
icircn cea de-a doua ecuaţie a sistemului (A1) pentru că o valoare determinată greşit pentru
VA conduce la o valoare VB de asemenea greşită O ecuaţie independentă din care se poate
determina componenta VB este următoarea
(sumM)A= 0 FV ∙ (a + b + c) minus VB ∙ (a + b) minus M0 + R ∙ 05 ∙ a = 0 (A3)
de unde se obţine
VB =[FV ∙ (a + b + c) minusM0 + R ∙ 05 ∙ a]
(b + a)=[10 ∙ (6 + 4 + 4) minus 40 + 60 ∙ 05 ∙ 6]
(6 + 4)
VB = 28 [kN] (A4)
Ecuaţia de proiecţii ale forţelor pe direcţia verticală (a doua ecuaţie din sistemul
A1) se utilizează pentru verificarea reacţiunilor deja determinate
VA + VB minus R minus FV = 0 rArr 42 + 28 minus 60 minus 10 = 0 (A5)
Ultima egalitate demonstrează că reacţiunile verticale au fost calculate corect
Din cele de mai sus rezultă ordinea firească pentru determinarea reacţiunilor icircn
cazul grinzilor simplu rezemate
sumXi = 0
(sumM)A = 0
(sumM)B = 0
(A6)
iar pentru verificarea componentelor verticale VA şi VB se folosește ecuaţia sumY = 0
b) La stabilirea funcţiilor de eforturi se parcurg icircn general etapele următoare
se notează (numeric sau literal după preferinţă) secţiunile care delimitează
domeniile (intervalele sau tronsoanele) pe care eforturile nu-şi modifică funcţiile (au legi
unice de variaţie)
pe fiecare domeniu se marchează secţiunea imaginară icircn care se stabilesc
funcţiile eforturilor
secţiunea astfel aleasă separă icircn două părţi grinda şi anume porţiunea din stacircnga
şi porţiunea din dreapta secţiunii
se va considera parcursă (şi icircndepărtată) acea parte pe care acţionează mai puţine
sarcini exterioare pentru că acestea vor interveni icircn expresiile funcţiilor de eforturi
poziţiile secţiunilor imaginare se vor determina prin variabilele x1 ⋯ xn (unde
n reprezintă numărul domeniilor de variaţie) cu originea fixată icircn capătul intervalului şi
sensul de parcurgere spre partea considerată rămasă
Grinda prezentată icircn figura 220 are trei domenii de variaţie pentru funcţiile de
eforturi după cum urmează (A-1) (2-B) şi (B-1)
Domeniul (A-1) x1 isin [0 a = 6 m] Porţiunea parcursă şi considerată icircndepărtată este cea de coordonată x1 pe care
acţionează reacţiunile HA şi VA precum şi rezultanta parţială a sarcinii distribuite R1 =p ∙ x1
Funcţia forţă axială Nx are expresia
Nx(x1) = NAminus1 = minusHA = minus173 [kN] = const
(A7)
Funcţia forţă tăietoare Ty are exspresia
Ty(x1) = TAminus1 = VA minus R1 = VA minus p ∙ x1 (A8)
care reprezintă o variaţie liniară de variabilă x1 Se calculează valorile forţei tăietoare la
limitele intervalului de variaţie
- pentru x1 = 0 Ty(x1 = 0) = TA = VA = 42 [kN]
- pentru x1 = a = 6 [m] Ty(x1 = 6) = T1 = VA minus p ∙ a = minus18 [kN]
Observaţie Aşa cum a fost stabilită secţiunea fictivă poziţionată prin coordonata
x1 sar părea că rezultanta R ar trebui luată icircn calculul lui Ty(x1) Acest lucru ar fi greşit
pentru că R = p ∙ a reprezintă rezultanta sarcinii distribuite pe toată lungimea a iar
rezultanta pe porţiunea parcursă de lungime x1 este R1 = p ∙ x1 ne R = p ∙ a
Cu valorile obţinute se trasează diagramele forţelor axială Nx = f(x) şi tăietoare
Ty = f(x) figura 220 Din diagrama forţei tăietoare şi din valorile obţinute analitic se
observă că forţa tăietoare icircşi schimbă semnul pe intervalul analizat deci se anulează pe
acest interval Poziţia secţiunii unde Ty se anulează se determină din ecuaţia
Ty(x1) = 0 rArr VA minus p ∙ x1 = 0 (A9)
cu soluţia x1lowast = ξ = 42 [m] Important de reamintit că icircn această secţiune momentul
icircncovoietor va avea un extrem local adică Miz are un extrem la Ty = 0
Funcţia moment icircncovoietor Miz are expresia
Miz(x1) = VA ∙ x1 minus R1 ∙x12= VA ∙ x1 minus (p ∙ x1) ∙
x12
(A10)
Se observă că funcţia moment icircncovoietor de variabilă x1 are o variaţie parabolică
(gradul al II-lea) Pentru reprezentarea grafică a funcţiei parabolice se calculează valorile
momentului icircncovoietor icircn trei secţiuni
- pentru x1 = 0 Miz(x1 = 0) = MA = 0 [kN ∙ m] - pentru x1 = a = 6 [m] Miz(x1 = 6) = M1 = 72 [kN ∙ m] - pentru x1
lowast = ξ = 42 [m] Miz(x1lowast = ξ = 42 [m]) = Mimax = 882 [kN ∙ m]
Cu acestea se trasează diagrama Miz = f(x) pe intervalul (A-1) figura 220
Observaţie Icircn unele cazuri pe un anumit interval forţa tăietoare nu se anulează
şi momentul icircncovoietor nu are un extrem local Icircn acest caz pentru reprezentarea
variaţiei parabolice a momentului icircncovoietor se va studia semnul derivatei a doua a
funcţiei Miz = f(x1) acesta determinacircnd convexitatea curbei momentului icircncovoietor
Domeniul (2-B) x2 isin [0 c = 4 m] Porţiunile din grindă libere (nerezemate) la un capăt se numesc console iar
stabilirea funcţiilor de eforturi devine mai simplă dacă se consideră icircndepărtată partea din
dreapta secţiunii prin schimbarea sensului pozitiv al axei x Astfel se obţin funcţiile eforturilor
Funcţia forţă axială Nx are expresia
Nx(x2) = N2minusB = minusFH = minus173 [kN] = const
(A11)
Funcţia forţă tăietoare Ty are exspresia
Ty(x2) = T2minusB = FV = 10 [kN] = const (A12)
Funcţia moment icircncovoietor Miz are expresia
Miz(x2) = minusFV ∙ x2 rArr Miz(x2 = 0) = M2 = 0 [kN ∙ m]
Miz(x2 = 4) = MB = minus40 [kN ∙ m] (A13)
variaţie liniară (gradul I)
Domeniul (B-1) x3 isin [0 b = 4 m] Pe acest domeniu se acceptă parcurgerea grinzii de la dreapta adică se consideră
icircndepărtată partea din dreapta secţiunii fictive pentru că are doar două sarcini aplicate F
şi VB faţă de partea din stacircnga secţiunii pe care sunt aplicate trei sarcini p VA şi M0
Astfel se obţin funcţiile eforturilor
Funcţia forţă axială Nx are expresia
Nx(x3) = NBminus1 = minusFH = minus173 [kN] = const
(A14)
Funcţia forţă tăietoare Ty are exspresia
Ty(x3) = TBminus1 = FV minus VB = minus18 [kN] = const (A15)
Funcţia moment icircncovoietor Miz are expresia
Miz(x3) = minusFV ∙ (x3 + c) + VB ∙ x3 rArr
rArr Miz(x3 = 0) = MB = minus40 [kN ∙ m]
Miz(x3 = 4) = M1 = 32 [kN ∙ m]
(A16)
variaţie liniară (gradul I)
Diagramele eforturilor sunt prezentate icircn figura 220
c) Relaţiile diferenţiale dintre eforturi şi sarcini se analizează pe diagramele
eforturilor după cum urmează
sarcina distribuită nu are componentă orizontală adică ph = 0 şi icircn
conformitate cu formula (211) rezultă că Nx = const pe toată lungimea grinzii fapt care
a rezultat din funcţia şi reprezentarea diagramei forţei axiale
pe intervalul (A-1) sarcina distribuită are doar componenta verticală pozitivă
pV = p gt 0 prin urmare forţa tăietoare scade (are panta negativă dTy 119889119909frasl = minusp vezi
relaţia 210) iar momentul icircncovoietor avacircnd derivata a doua negativă d2M119894119911 1198891199092frasl =minuspare convexitatea curbei orientată spre sensul pozitiv al axei momentului Miz adică icircn
jos
pe domeniile (2-B) şi (B-1) deoarece pv = 0 forţa tăietoare Ty este constantă
iar momentul icircncovoietor Miz variază liniar
referitor la relaţia (212) pe porţiunile unde Ty gt 0 momentul Miz este
monoton crescător pe porţiunile unde Ty lt 0 momentul Miz este monoton descrescător
iar icircn secţiunea icircn care Ty = 0 momentul icircncovoietor are un extrem local Mξ =
882 [kN ∙ m] icircn diagrama forţei tăietoare discontinuităţile (salturile) se produc icircn secţiunile
unde acţionează VA VB şi FV iar icircn diagrama momentului icircncovoietor se produce un
singur salt icircn secţiunea icircn care este aplicat M0
se poate scrie
Mξ = suprafața diagramei Ty |ξ0=1
2∙ 42 ∙ 42 = 882 [kN ∙ m]
sau parcurgacircnd grinda de la dreapta la stacircnga rezultă
MB = minussuprafața diagramei Ty |c0= minus10 ∙ 4 = minus40 [kN ∙ m]
Toate aspectele analizate teoretic referitoare la relaţiile diferenţiale dintre eforturi
şi sarcini se regăsesc icircn diagramele de eforturi din figura 220 ceea ce icircnseamnă că
diagramele au fost reprezentate corect
3 TENSIUNI DEPLASĂRI ŞI DEFORMAŢII SPECIFICE
31 Tensiuni
Eforturile obținute icircn urma reducerii forțelor interioare icircn centrul de greutate al
secțiunii nu pot da informații asupra solicitării fiecărui punct al secțiunii respective Este
necesar să se cunoască modul cum se distribuie forțele interioare icircn fiecare punct al
secțiunii pentru a ști care este intensitatea maximă a solicitării Această intensitate
maximă se poate compara cu o valoare critică specifică materialului stabilindu-se astfel
dacă solicitarea este periculoasă sau nu
Mărimea care caracterizează solicitarea locală punctuală o vom denumi tensiune
și o vom defini icircn cele ce urmează Să considerăm partea din dreapta a unui corp solicitat
de forțele exterioare 1198651 1198652 și 1198653 obținută prin secționarea corpului și mărginită de fața
din dreapta Ad a secțiunii Pe secțiunea Ad vom considera un element de arie infinit mic
∆119860 caracterizat de normala la elementul de arie normală care are cosinușii directori
120573 și icircn raport cu un sistem de axe considerat fix Pe elementul infinit mic ∆119860 acționează
forțele interioare care au o rezultantă oarecare figura 31
Prin definiție tensiunea totală este
= lim∆119860rarr0
∆
∆119860 (31)
Tensiunea are aceeaşi direcţie cu forţa elementară ∆ iar mărimea ei este
determinată atacirct de mărimea forţei ∆ cacirct şi de orientarea suprafeţei ∆119860 faţă de direcţia
forţei
Tensiunea 119901 poate fi descompusă icircntr-o componentă orientată după direcţia
normalei la secţiune tensiunea normală notată cu 120590119909 şi o componentă icircn planul secţiunii
tensiunea tangenţială notată cu figura 32
= 119909 + 120591 (32)
Fig 31 Tensiunea totală Fig 32 Tensiunea normală și tangențială
La racircndul ei componenta tensiunii cuprinsă icircn planul secțiunii poate fi
descompusă după direcțiile axelor y și z
120591 = 120591119909119910 + 120591119909119911 (33)
Icircntre cele trei componente ale tensiunii totale care acționează pe elementul de arie
∆119860 este valabilă relația
1199012 = 1205901199092 + 120591119909119910
2 + 1205911199091199112 (34)
După sensul pe care icircl are tensiunea normală 120590 poate avea efect de tracţiune sau
de compresiune exercitat de către partea de corp icircnlăturată asupra părţii rămase Analog
tensiunea tangenţială 120591 poate avea efect de tăiere forfecare sau alunecare Pentru
componentele tensiunii tangențiale 120591119909119910 pe direcţia 119910 respectiv 120591119909119911 pe direcţia 119911 primul
indice indică axa pe care tensiunea este normală iar cel de-al doilea indice indică axa cu
care aceasta este paralel
Tensiunea este o mărime tensorială valoarea ei depinzacircnd atacirct de poziția
punctului icircn planul secțiunii cicirct și de orientarea planului de secționare deci de normala
Operaţiile vectoriale nu pot fi aplicate tensiunilor decacirct după ce acestea au fost icircnmulţite
cu ariile respective adică au fost transformate icircn forţe
Icircn literatura de specialitate mai ales icircn manualele mai vechi pentru noţiunea de
tensiune se mai foloseşte şi denumirea de efort specific
Dacă se consideră un alt element de arie ∆119860 cu centrul icircn același punct avacircnd ca
normală axa 119910 se vor obține alte tensiuni și anume
- 120590119910 este tensiunea normală (paralelă cu axa y)
- 120591119911119909 și 120591119910119911 sunt tensiuni tangențiale paralele cu axele 119909 și respectiv 119911 aflate icircn
planul care are ca normală axa 119910
Dacă icircn jurul unui punct dintr-un corp solicitat se consider un element de volum
infinit mic de forma unui cub icircn cazul cel mai general pe fețele sale vor acționa
tensiunile normale 120590119909 120590119910 și 120590119911 și respectiv tensiunile tangențiale 120591119909119910 120591119909119911 120591119910119909 120591119910119911 120591119911119909
și respectiv 120591119911119910 figura 33 Aceste tensiuni definesc starea de tensiune a punctului
observacircnd faptul că tensorul tensiune are 9 componente Dacă se consideră elementul
de volum finit ca fiind foarte mic se poate presupune că icircn interiorul său nu apar forțe
Ca urmare el va fi icircn echilibru sub acțiunea forțelor elementare produse de tensiunile de
pe fețele sale
Din condiția ca elementul să nu se rotească icircn jurul unor axe care trec prin centrul
său și sunt paralele cu axele sistemului 119909119874119910119911 rezultă
2 ∙ 120591119909119910 ∙ (119889119910 ∙ 119889119911) ∙119889119909
2= 2 ∙ 120591119910119909 ∙ (119889119909 ∙ 119889119911) ∙
119889119910
2 rArr 120591119909119910 = 120591119910119909 (35)
2 ∙ 120591119910119911 ∙ (119889119909 ∙ 119889119911) ∙119889119910
2= 2 ∙ 120591119911119910 ∙ (119889119909 ∙ 119889119910) ∙
119889119911
2 rArr 120591119910119911 = 120591119911119910 (36)
2 ∙ 120591119909119911 ∙ (119889119910 ∙ 119889119911) ∙119889119909
2= 2 ∙ 120591119911119909 ∙ (119889119909 ∙ 119889119910) ∙
119889119911
2 rArr 120591119909119911 = 120591119911119909 (37)
Relațiile (35divide37) 120591119909119910 = 120591119910119909 120591119910119911 = 120591119911119910 120591119909119911 = 120591119911119909 exprimă principiul dualității
tensiunilor tangențiale
Fig 33 Tensiunile normale și tangențiale pe fețele unui cub
Din condiția ca elementul considerat să nu se deplaseze icircn lungul axelor de
coordonate pe fețele opuse acționează aceleași tensiuni normale 120590119909 120590119910 și respectiv 120590119911
Definirea tensorului tensiune este posibilă dacă se cunosc cele 6 componente
independente ale acestuia aflate icircn trei plane perpendicular ce trec prin punctul respectiv
=
120590119909 120591119909119910 120591119909119911120591119910119909 120590119910 120591119910119911120591119911119909 120591119911119910 120590119911
Observaţii
Tensiunile se măsoară icircn [119873 1198982frasl ] (1119873 1198982frasl = 1 119875119886) sau icircn [119872119875119886]
(1 119872119875119886 = 106119875119886 = 106 119873
1198982 1 119872119875119886 = 1
119873
1198981198982)
Starea de tensiune dintr-un punct este considerată cunoscută dacă se cunosc
tensiunile 119901 care acționează pe infinitatea de elemente de suprafață ce trec prin punctual
considerat
Starea de tensiune a unui corp se consider cunoscută dacă se cunosc stările de
tensiune de pe infinitatea de puncte ale corpului considerat
32 Deplasări Deformaţii specifice
321 Deplasări
Aceste noțiuni sunt utile icircn analiza aspectului geometric al problemelor de rezistența
materialelor Deplasările care se analizează sunt cele datorate schimbării formei și
dimensiunilor corpurilor ca urmare a acțiunii forțelor exterioare și nu cele cinematice
posibile pentru solidul rigid care se poate deplasa cu anumită viteză și accelerație
Spre exemplu icircn figura 34a și figura 34b sub acțiunea forței 119865 tronsonul de
bară AB se deformează icircn timp ce tronsonul BC deși punctele sale au deplasări rămacircne
nedeformat (fiind nesolicitat) Toate punctele de pe axele barelor cu excepția celor din
icircncastrare (secțiunile A) au deplasări liniare De cele mai multe ori deformațiile barelor
datorate acțiunii forțelor exterioare se anulează la icircndepărtarea forțelor se spune că
deformațiile sunt elastice Secțiunile transversale ale barei din figura 34a se și rotesc icircn
raport cu pozițiile lor inițiale Spre exemplu secțiunea de căpăt cu centrul icircn C se rotește
cu unghiul
Fig 34 Deformațiile unei grinzi
Oricacirct de complexă ar fi delormația unui corp ea poate fi descrisă de lungiri sau
scurtări și de modificări ale unghiurilor inițiale
Deplasările măsoară schimbarea poziției unui punct al corpului și pot fi liniare
sau unghiulare
Prin deplasare liniară a unui punct se icircnțelege drumul parcurs de acest punct icircn
decursul procesului de deformație după o dreaptă suport dreapta 1198611198611 din figura 34a
Prin deplasare unghiulară se icircnțelege rotirea dintre segmentele de dreaptă
determinate de două puncte ale corpului icircnainte și după deformarea acestuia unghiul
pe care-l fac segmentele 119861119862 și 11986111198621 din figura 34a Această rotire se măsoară prin
unghiul pe care-l fac proiecțiile dreptelor ce conțin cele două segmente icircntr-un sistem
triortogonal
Icircn cazul cel mai general vectorul deplasare liniară se poate descompune icircntr-un
sistem triortogonal icircn trei componente 119906 119907 și 119908 figura 35
Fig 35 Deplasarea liniară
Se consideră acum un corp solid raportat la un sistem de axe ortogonal 119909119874119910119911
figura 35 după deformarea corpului un punct oarecare 119870 al acestuia se deplasează icircn
poziţia 1198701 vectorul 1198701198701 poartă numele de vectorul deplasării totale
Deplasarea totală este suma deplasărilor pe cele trei direcţii ortogonale iar
aceste deplasări se notează astfel
deplasarea pe direcţia 119909 cu ∥ 119874119909
deplasarea pe direcţia 119910 cu ∥ 119874119910
deplasarea pe direcţia 119911 cu ∥ 119874119911
Componentele deplasărilor și formeză matricea deplasărilor liniare 119906119907119908
322 Deformații
Prin deformație icircn general se icircnțelege orice schimbare de formă a unui corp fără
o evaluare cantitativă Icircn Rezistența Materialelor deformația măsoară variația
dimensiunilor geometrice ale corpului considerat din vecinătatea unui punct analog
deplasărilor deformațiile pot fi liniare și unghiulare (lunecări)
Fig 36 Deplasarea liniară
Deformația liniară ∆119897 reprezintă variația lungimii 119897 a unui element liniar al
corpului deformat figura 36 Deformația liniară specifică se definește ca fiind raportul
dintre deformația liniară și lungimea inițială
휀 =∆119897
119897 (38)
unde ∆119897 este lungirea sau scurtarea care este echivalentă cu deformția liniară totală iar
este alungirea
Deformația unghiulară sau lunecarea unui punct 119860 icircn planul 119861119860119862 se definește
prin relația figura 37
120574 = lim119861119860rarr0119862119860rarr0
(119861119860 minus 119861111986011198621 ) (39)
Fig 36 Deformația unghiulară
Schimbacircnd orientarea planului care trece prin 119860 se obțin alte deformații
unghiulare Dacă elementele liniare 119861119860 și 119862119860 sunt inițial perpendiculare deformația 120574 se
numește deformație unghiulară specifică sau lunecare specifică figura 37
Un exemplu de deplasare unghiulară și de deformație unghiulară este prezentat icircn
figura 38 Unghiul este deplasarea unghiulară și măsoară rotirea relativă dintre două
secțiuni aflate la distanța 119897 Unghiul este deformația specifică unghiulară (lunecarea
specifică) din punctul 119870 Aceste deplasări și deformații se obțin icircn urma solicitării barei
de către cele două momente 1198720 egale și de sens contrar
Fig 38 Deplasarea unghiulară
Pentru a analiza starea de deformație din vecinătatea unui punct al unui corp
solicitat complex se decupează din jurul punctului un element de volum mic figura 39a
avacircnd laturile 119889119909 119889119910 și 119889119911 Ca urmare a solicitării laturile acestuia se vor lungi sau
scurta Reprezentarea elementului deformat icircn spațiu este dificilă pentru simplificare
vom analiza doar deformațiile din planul 119909119874119910 Observăm că dimensiunile 119889119909 și 119889119910 s-au
modificat cu valoarea ∆119889119909 respectiv cu ∆119889119910 analog se acceptă și pentru 119889119911 o modificare
de forma ∆119889119911 Astfel se pot defini deformațiile specifice liniare
휀119909 =∆119889119909
119889119909 휀119910 =
∆119889119910
119889119910 휀119911 =
∆119889119911
119889119911 (310)
De cele mai multe ori aceste deformații specifice liniare se pot exprima procentual
și se mai numesc alungiri
Fig 39 Starea de deformație
Icircn figura 39c se vede că unghiul inițial drept dintre muchiile 119889119909 și 119889119910 ale
elementului de volum s-a modificat Se definește deformația specifică unghiulară (sau
lunecarea specifică) mărimea cu care se modifică unghiul inițial drept
120574119909119910 = 120574119909119910prime + 120574119910119909
prime = 120574119910119909120574119910119911 = 120574119910119911
prime + 120574119911119910prime = 120574119911119910
120574119911119909 = 120574119911119909prime + 120574119909119911
prime = 120574119909119911
(311)
Deformațiile 휀119909 휀119910 휀119911 120574119909119910 120574119910119911 120574119911119909 constituie cele șase componente
independente ale tensorului deformațiilor specifice care pot fi scrise de forma
119863 =
휀119909 120574119909119910 120574119909119911120574119910119909 휀119910 120574119910119911120574119911119909 120574119911119910 휀119911
(312)
323 Contracţia transversală
Practica arată că odată cu lungirea unei bare apare o micşorare a mărimii secţiunii
transversale mărime numită contracţie transversală figura 310
Fig 310 Contracția transversală
Contracţia transversală este proporţională cu lungirea specifică coeficientul de
proporţionalitate se notează cu 120599 şi se numeşte coeficient de contracţie transversală sau
coeficientul lui Poisson
La o lungire specifică a barei contracţia transversală este dată de relația
휀119905119903 = 휀119910 = 휀119911 = minus120599 ∙ 휀119909 (313)
Semnul minus bdquo-rdquo arată că cele două mărimi sunt contrare dacă una creşte cealaltă
scade şi invers
Considerăm o bară cilindrică de lungime 119897 şi aria secţiunii transversale 119860 solicitată
la icircntindere axială La un moment dat datorită solicitării lungimea barei devine
[119897 ∙ (1 + 휀)] diametrul devine [119889 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)] iar aria secţiunii transversale devine
[119860 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)2] Dacă volumul barei icircnainte de solicitare a fost (119860 ∙ 119897) după solicitare
acesta devine
119881 + ∆119881 = 119860 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)2 ∙ 119897 ∙ (1 + 휀) =
= 119860 ∙ 119897 ∙ (1 + 휀 minus 2 ∙ 120599 ∙ 휀 minus 2 ∙ 120599 ∙ 휀2 + 1205992 ∙ 휀2 + 1205992 ∙ 휀3) (314)
Deoarece lungirile sunt foarte mici ultimii trei termeni din paranteză fiind infinit mici se pot neglija obţinacircnd
119881 + ∆119881 = 119860 ∙ 119897 + 119860 ∙ 119897 ∙ 휀 ∙ (1 minus 2 ∙ 120599) ⟺ ∆119881 = 휀 ∙ (1 minus 2 ∙ 120599) ∙ 119860 ∙ 119897 (315)
Practica arătă că o astfel de bară solicitată la icircntindere icircşi măreşte volumul deci
∆119881 gt 0 de unde rezultă că
1 minus 2 ∙ 120599 gt 0 rArr 120599 lt 05 (316)
Pentru majoritatea materialelor 120599 = 033 iar pentru materialele care-şi păstrează
volumul constant 120599 = 05
33 Relaţii de echivalenţă icircntre eforturi şi tensiuni
Considerăm un element de suprafață infinit mic 119889119860 situat pe fața de arie (119860) a
secțiunii barei din figura 311 Icircn centrul de greutate 119862 al secțiunii acționează eforturile
119873 119879119910 119879119911 119872119909 119872119894119910 și 119872119894119911 determinate prin metoda secțiunilor
Icircn raport cu un sistem de axe de referință 119909119862119910119911 coordonatele elementului 119889119860 sunt
- 119910 este ordonata elementului de arie 119889119860
- 119911 este abscisa elementului de arie 119889119860
Pe elementul de arie 119889119860 acționează tensiunile
120590119909 tensiunea normală
120591119909119910 și 120591119909119911 tensiuni tangențiale
Dacă se icircnsumează forțele elementare de tipul 120590119909 ∙ 119889119860 120591119909119910 ∙ 119889119860 și 120591119909119911 ∙ 119889119860
va trebui să obținem eforturile 119873 119879119910 și 119879119911
Fig 311 Element de suprafață mic din secțiunea unei bare
Dacă eforturile sunt privite ca forțe exterioare și se scriu ecuațiile de
echilibru ale secțiunii (119860) se vor obține șase relații de echivalență icircntre eforturi și
tensiuni
(sum119883) = 0 rArr int 120590119909 ∙ 119889119860
119860
= 119873 (317)
(sum119884) = 0 rArr int 120591119909119910 ∙ 119889119860
119860
= 119879119910 (318)
(sum119885) = 0 rArr int 120591119909119911 ∙ 119889119860
119860
= 119879119911 (319)
(sum119872)119909= 0 rArr int(120591119909119911 ∙ 119889119860) ∙ 119910
119860
minus int(120591119909119910 ∙ 119889119860) ∙ 119911
119860
= 119872119909 rArr
rArr int(119910 ∙ 120591119909119911 minus 119911 ∙ 120591119909119910) ∙ 119889119860
119860
= 119872119909
(320)
(sum119872)119910= 0 rArr int(120590119909 ∙ 119889119860) ∙ 119911
119860
= 119872119894119910 (321)
(sum119872)119911= 0 rArr int(120590119909 ∙ 119889119860) ∙ 119910
119860
= 119872119894119911 (322)
Cele șase relații de echivalență icircntre eforturi și tensiuni constituie un pas icircnainte
icircn rezolvarea unei probleme de rezistența materialelor Aceste relații vor permite
determinarea tensiunilor maxime
Pentru a rezolva cele 6 relații de echivalență trebuie să se cunoască tensiunile și
ca funcții de punct adică funcții de forma
120590119909 = 120590119909(119909 119910 119911) 120591119909119910 = 120591119909119910(119909 119910 119911) 120591119909119911 = 120591119909119911(119909 119910 119911) (32
3)
Cunoașterea acestor funcții presupune icircnsă analizarea aspectului geometric al
problemei precum și utilizarea unor ipoteze simplificatoare care să permită simplificarea
problemelor
34 Ipoteze de bază icircn rezistenţa materialelor
Depășirea dificultăților legate de interpretarea unor fenomene specifice mecanicii
solidului deformabil a impus acceptarea unor ipoteze care să simplifice fenomenele și să
contribuie la elaborarea unor modele de calcul cicirct mai generale și cacirct mai simple Aceste
ipoteze se referă la structura materialelor şi la comportarea lor sub acţiunea forţelor
exterioare Ipotezele acceptate trebuie să fie icircn deplină concordanţă cu realitatea și să
conducă la rezultate verificate icircn practică
Funcție de aspectele la care se referă ipotezele pot fi
Ipoteze fizice (de material)
Ipoteze de calcul
341 Ipoteze fizice
Se acceptă deoarece teoriile structurale au condus la rezultate care contravin
icircncercărilor experimentale
Ipoteza mediului continuu consideră că orice domeniu elementar al corpului
este ocupat de materie adică nu se acceptă existența unor goluri sau a unor crăpături
microscopice (fisuri) Deși nu corespunde realităţii poate fi acceptată deoarece
dimensiunile corpului sunt mult mai mari decacirct dimensiunile particulelor elemantare Are
avantajul că permite utilizarea proprietăților matematice ale funcțiilor continue pentru
tensiunile și deformațiile din orice punct al corpului Ea este mai apropiată de realitate la
corpurile amorfe şi mai depărtată la cele cristaline dar conduce la rezultate satisfăcătoare
icircn calculele de rezistenţă
Ipoteza nu se poate aplica la corpurile care au goluri tăieturi (multiplu conexe)
pentru unele puncte singulare icircn care tensiunile și deformațiile tind la infinit sau icircn unele
probleme de plasticitate icircn care proprietățile de material au un rol esențial
Ipoteza izotropiei conform acestei ipoteze materialul din care este confecționat
un element de rezistență are aceleași proprietăți după orice direcție un astfel de material
este considerat izotrop Din punct de vedere macroscopic metalele pot fi considerate
izotrope deși la nivel microscopic proprietățile lor diferă de la o direcție cristalografică
la alta Orice conglomerat de cristale poate fi considerat izotrop
Există cazuri cacircnd această ipoteză a izotropiei nu se acceptă
la metalele puternic deformate după o direcție (prin laminare trefilare)
la piesele confecționate din lemn lemnul este anizotrop deoarece proprietățile sale
diferă după două direcții (icircn lungul fibrelor și perpendicular pe această direcție)
Ipoteza omogenității consideră că un corp are aceleași proprietăți icircn orice
punct al său Deși majoritatea materialelor utilizate icircn tehnică sunt eterogene la scară
micro fiind constituite din mai multe faze cu proprietăți diferite la scară macro ele pot
fi considerate omogene Omogenitatea și izotropia sunt proprietăți statistice medii care
nu se condiționează una pe cealaltă Chiar și materialele monofazice pot avea la scară
micro unele segregații care le fac eterogene
Ipoteza elasticităţii perfecte presupune că atacircta timp cacirct solicitările nu
depăşesc anumite limite materialul are o comportare elastică adică icircşi recapătă forma şi
dimensiunile iniţiale odată cu icircnlăturarea sarcinilor Icircn realitate materialele nu prezintă o
elasticitate perfectă ele avacircnd deformaţii remanente mici care icircnsă pot fi neglijate icircn
calculele de rezistenţă
Acceptarea acestei ipoteze a elasticității perfecte permite
- aplicarea relației biunivoce icircntre tensiuni și deformații relație exprimată de legea
lui Hooke ( = 119864 ∙ 휀) unde E este un factor de proporţionalitate numit modul de
elasticitate longitudinal al materialului pentru oţel 119864 = 21 ∙ 105 [119872119875119886] - acceptarea valabilității afirmației bdquolucrul mecanic efectuat de forțele exterioare
ca urmare a parcurgerii deplasărilor punctelor de aplicație se icircnmagazinează integral icircn
corp sub formă de energie de deformație energie cedată la icircndepărtarea sarcinilorrdquo
- este valabilă teoria conform căreia bdquoenergia icircnmagazinată și deformațiile depind
doar de starea inițială și finală de eforturi fără a ține cont de modul icircn care s-a ajuns la
starea finalărdquo
Icircn realitate oricacirct de mici ar fi sarcinile aplicate se produc și deformații plastice
dar acestea pot fi neglijate dacă solicitarea nu depășește anumite limite
342 Ipoteze de calcul
Ipoteza micilor deplasări bdquodeplasările datorate deformării sunt mult mai mici
decacirct dimensiunile corpurilor și ca urmare pot fi neglijate produsele dintre o deplasare și
ea icircnsăşirdquo Pentru cele mai multe corpuri deformaţiile elastice sunt de mărimi mici deci
corpurile solide sub acţiunea sarcinilor icircşi modifică foarte puţin forma iniţială Această
ipoteză este cunoscută şi sub denumirea de ipoteza menţinerii dimensiunilor iniţiale Ea
permite scrierea ecuaţiilor de echilibru ale staticii pe starea nedeformată a elementului
cacircnd nu se iau icircn considerare deplasările punctelor de aplicaţie ale forţelor care se produc
ca urmare a deformării acestuia Calculul efectuat pe schema nedeformată poartă numele
de calcul de ordinul I
Ipoteza micilor deplasări nu poate fi acceptată pentru studiul problemelor de
stabilitate sau la problemele la care nu pot fi icircndeplinite condiţiile de echilibru icircn starea
nedeformată
Calculul de ordinul II admite ipoteza micilor deplasări dar ecuaţiile de echilibru
se scriu icircnsă pentru starea deformată a elementului de rezistenţă
Calculul de ordinul III nu mai acceptă ipoteza micilor deplasări el referindu-se
la cazul deformaţiilor mari cacircnd ecuaţiile de echilibru trebuie scrise pentru starea
deformată
Chiar dacă materialul satisface legea lui Hooke icircn urma calculelor de ordinul II
se obţin de obicei relaţii neliniare icircntre sarcini şi deplasări iar pentru calculul de ordinul
III rezultă ecuaţii diferenţiale neliniare
Principiul efectului local al acțiunii sarcinilor enunțat de Barre de Saint-
Venant Acest principiu destul de folosit icircn Rezistenţa Materialelor precizează că dacă
se icircnlocuiesc forţele care acţionează asupra unui element de suprafață al unui corp
elastic printr-un alt sistem de forţe echivalent din punct de vedere static cu primul noua
distribuţie a forţelor produce la locul de aplicare diferenţe semnificative faţă de prima
dar rămacircne fără efect sau cu efect neglijabil la distanţe mari de locul de aplicare al
forţelor figura 312
Ca o cosecință o sarcină uniform distribuită figura 312a poate fi icircnlocuită cu
rezultanta ei figura 312b dacă se analizează efectul sarcinii la distanță mare de locul icircn
care se aplică sarcina
Fig 312 Principiul Saint-Venant
Icircn prima variantă figura 312a forţa 119865 se aplică pe o porțiune oarecare 119897 (sarcină
uniform distribuită) iar icircn a doua figura 312b icircntru-un punct (forţă concentrată) La
locul de aplicare a sarcinii efectul asupra barei este cu totul diferit de la o variantă la
cealaltă Icircnsă la o distanţă mare de punctul de aplicaţie spre exemplu icircn secţiunea situată
la distanţa 119886 de capătul barei sau chiar icircn icircncastrare ambele bare sunt solicitate la fel
Icircn cazul din figura 312a
119872119894(119909) =119901 ∙ 1199092
2 119909 le 119897 119872119894(119909) = 119901 ∙ 119897 ∙ (119909 minus
119897
2) 119909 gt 119897 (324)
Icircn cazul din figura 312b
119872119894(119909) = 0 119909 lt119897
2 119872119894(119909) = 119901 ∙ 119897 ∙ (119909 minus
119897
2) 119909 gt
119897
2 (325)
Se vede că pentru (119909 gt 119897) adică după depășirea locului icircn care se aplică sarcina
efectul este același
Ipoteza lui Bernoulli sau ipoteza secţiunilor plane precizează că o secţiune
plană şi normală pe axa barei icircnainte de deformare rămacircne plană şi normală pe axa
barei şi după deformare figura 313
Fig 313 Ipoteza lui Bernoulli
Ipoteza stării naturale a corpului sau ipoteza absenţei tensiunilor conform
căreia pentru un corp nesolicitat starea de tensiune şi deformaţie este nulă
Perfecţionarea mijloacelor de calcul şi de investigare pot conduce la renunţarea la
unele ipoteze sau la introducerea altora noi mai aproape de stările reale De aici rezultă
caracterul de continuă perfecţionare a metodelor Rezistenţei Materialelor
35 Coeficienţi de siguranţă Tensiuni admisibile
O piesă corespunde din punct de vedere tehnic dacă tensiunile care iau naştere icircn
interiorul piesei datorită sarcinilor aplicate nu depăşesc anumite valori limită stabilite
convenţional Aceste valori limită ale tensiunii sunt corelate cu caracteristicile mecanice
ale materialelor
Tensiunea limită utilizată icircn calculele de rezistenţă este cunoscută sub denumirea
de tensiune admisibilă sau rezistenţă admisibilă Rezistenţa admisibilă reprezintă
valoarea convenţională aleasă icircn calcul pe baza practicii pentru tensiunea maximă care
poate apare icircntr-o piesă icircn condiţii date de material şi solicitare
Rezistenţa admisibilă (120590119886 sau 120591119886) poate fi definită faţă de o stare limită
periculoasă stare care trebuie evitată deoarece poate conduce distrugere
120590119886 =120590119897119894119898119888
(326)
unde
120590119897119894119898 este tensiunea corespunzătoare stării limită periculoase
119888 estesupraunitar 119888 gt 1 și reprezintă coeficientul de siguranţă faţă de starea limită
periculoasă considerată
Alegerea unor valori inferioare pentru rezistenţa admisibilă faţă de tensiunea
corespunzătoare stării limită periculoase este necesară deoarece
cunoaşterea sarcinilor este de cele mai multe ori aproximativă şi o depăşire a
acestora este foarte posibilă
caracteristicile mecanice ale materialelor variază icircn limite destul de mari ele
fiind influenţate de mulţi factori
schema aleasă pentru calcul (aplicarea sarcinilor schematizarea structurii
ipotezele de calcul etc) depărtează modelul faţă de cel real
Pentru calculele de verificare tensiunea efectivă maximă din elementul de
rezistenţă trebuie să fie mai mică sau cel mult egală cu cea admisibilă
120590119890119891119898119886119909 le 120590119886 (327)
Valoarea rezistenţei admisibile este influenţată de foarte mulţi factori natura
materialului tratamentele termice aplicate piesei durata de funcţionare a piesei modul
de acţionare icircn timp a sarcinilor felul solicitării temperatura gradul de periculozitate
icircn cazul cedării piesei etc
De asemenea valoarea coeficientului de siguranţă se alege icircn principal ţinacircnd
seama de aceiaşi factori care influenţează şi rezistenţa admisibilă
Rezistenţele admisibile pentru cacircteva materiale sunt următoarele
pentru oțelul de uz general OL37 solicitat la icircntindere compresiune sau
icircncovoiere 120590119886 = 150 [119872119875119886] pentru lemnul de brad solicitat la
- compresiune icircn lungul fibrelor şi solicitat la icircncovoiere 120590119886 = 10 [119872119875119886] - tracţiune icircn lungul fibrelor 120590119886 = 7 [119872119875119886] - compresiune perpendiculară pe fibre 120590119886 = 15 [119872119875119886] - forfecare icircn lungul fibrelor 120591119886 = 2 [119872119875119886] - forfecare perpendiculară pe fibre 120590119886 = 45 [119872119875119886]
terenuri de fundaţie din pămacircnt uscat sau umed 120590119886 = 020 divide 025 [119872119875119886]
4 CARACTERISTICI GEOMETRICE ALE SECȚIUNILOR PLANE
41 Noţiuni introductive
Icircn relaţiile de calcul ale tensiunilor şi deformaţiilor elementelor de rezistenţă
pentru unele solicitări (icircncovoierea și torsiunea) secțiunile plane intervin atacirct prin
dimensiunile lor (aria 119860) cicirct și prin forma și poziția pe care o are secțiunea icircn raport cu
planul solicitării Mărimile care caracterizează o secțiune icircn raport cu forma și poziția față
de axele unui sistem de referință sunt denumite caracteristici geometrice de ordin
superior Aria secțiunii este caracteristica geometrică ce depinde doar de dimensiunile
geometrice ale acesteia
Să considerăm o grindă solicitată de o forță exterioară 119865 aşezată icircn două poziții icircn
raport cu planul forţei figura 41 Icircn urma aplicării forței deși avem aceeași grindă
(aceeași arie a secțiunii transversale) și aceeași forță se constată că pentru varianta din
figura 41a deformațiile sunt mult mai mari adică rezistența la icircncovoiere a grinzii din
figura 41a este mai mare decacirct icircn cazul grinzii din figura 41b Comportarea diferită se
explică prin aceea că modificarea poziţiei secţiunii transversale faţă de planul forţelor
modifică caracteristicile geometrice ale secţiunii transversale a grinzii
Fig 41 Grindă solicitată de forța 119865
Pentru realizarea calculelor de rezistenţă şi rigiditate este foarte importantă
cunoaşterea caracteristicilor geometrice ale suprafeţei secţiunii transversale a elementelor
de rezistenţă
Caracteristicile geometrice ale secţiunii transversale a unui element de rezistenţă
sunt
- aria secțiunii notată cu 119860
- momentul static icircn raport cu o axă notat 119878119911 și respectiv 119878119910
- momentul de inerție care poate fi
axial notat 119868119911 și respectiv 119868119910
centrifugal notat 119868119911119910
polar notat 119868119901
- raza de inerţie (giraţie)notată 119894119911 și respectiv 119894119910
- modulul de rezistență care poate fi
axial notat 119882119911 și respectiv 119882119910
polar notat 119882119901
42 Aria și momentul static al suprafețelor plane
Fie o suprafaţă plană de arie 119860 pe care se ia un element infinit mic de arie 119889119860 şi
un sistem de axe rectangulare 119911119874119910 figura 42 Notăm cu 119862 centrul de greutate al suprafeţei
119860 Poziţia suprafeţei elementare 119889119860 faţă de acelaşi sistem de coordonate 119911119874119910 este dată
de abscisa 119911 ordonata 119910 și raza polară
Fig 42 Suprafață plană de arie 119860
Aria suprafeţei 119860 figura 42 se defineşte ca fiind
119860 ≝ int 119889119860
119860
(41)
Aria suprafeţei este icircntotdeauna pozitivă și se măsoară icircn [1198981198982] Momentul static al suprafeţei de arie 119860 icircn raport cu axele 119874119911 și respectiv 119874119910
figura 42 sunt date de relaţiile
119878119911 ≝ int 119910 ∙ 119889119860
119860
119878119910 ≝ int 119911 ∙ 119889119860
119860
(42)
Momentul static poate fi pozitiv negativ sau nul şi se măsoară icircn [1198981198983] Coordonatele centrului de greutate ale suprafeței 119860 se detrmină cu relațiile
119910119862 ≝int 119910 ∙ 119889119860119860
119860 119911119862 ≝
int 119911 ∙ 119889119860119860
119860
(43)
Cunoscacircnd coordonatele 119910119862 și 119911119862 ale centrului de greutate 119862 al secțiunii 119860 atunci
momentele statice se pot determina cu relațiile
119878119911 ≝ int 119910 ∙ 119889119860
119860
= 119910119862 ∙ 119889119860 119878119910 ≝ int 119911 ∙ 119889119860
119860
= 119911119862 ∙ 119889119860 (44)
Aceste relații arată că momentul static al unei suprafețe icircn raport cu o axă este
egal cu produsul dintre aria suprafeței și distanța de la centrul ariei la axa respectivă
Dacă suprafaţa se poate descompune icircn 119899 suprafeţe simple la care se cunosc ariile
(1198601 1198602 ⋯ 119860119894⋯ 119860119899) și poziţiile centrelor de greutate 119862119894 faţă de sistemul de referinţă
expresiile momentelor statice capătă următoarea formă
119878119911 = sum 119910119862119894 ∙ 119860119894119899119894=1 = 119910119862 ∙ 119860 119878119910 = sum 119911119862119894 ∙ 119860119894
119899119894=1 = 119911119862 ∙ 119860 (45)
Din relaţiile (45) rezultă că poziţia centrului de greutate 119862 al unei suprafeţe
compuse poate fi determinată cu relaţiile
119910119862 = (sum119910119862119894 ∙ 119860119894
119899
119894=1
) 119860frasl 119911119862 = (sum119911119862119894 ∙ 119860119894
119899
119894=1
) 119860frasl (46)
Icircn relația (45) 119910119862119894 și respectiv 119911119862119894 reprezintă coordonatele centrelor de greutate 119862119894
ale fiecărei suprafețe simple 119860119894 icircn raport sistemul de axe 119911119874119910
Se constată (relaţia 42) că dacă axele sistemului de referinţă trec prin centrul de
greutate (119910119862 = 119911119862 = 0) momentele statice sunt nule Axele icircn raport cu care momentele
statice sunt nule şi care trec prin centrul de greutate al suprafeţei se numesc axe centrale
Observație dacă secțiunea compusă are o axă de simetrie centrul secțiunii se
găsește pe acea axă iar dacă secțiunea este dublu simetrică poziția centrului secțiunii este
la intersecția axelor de simetrie
43 Momente de inerţie
Momentele de inerţie axiale ale unei suprafețe se calculează icircn raport cu axele de
coordonate 119874119911 și respectiv 119874119910 figura 42 și se determină cu relațiile
119868119911 ≝ int 1199102 ∙ 119889119860
119860
119868119910 ≝ int 1199112 ∙ 119889119860
119860
(47)
Unde 119910 și 119911 sunt distanțele de la elementul de arie 119889119860 la cele două axe de
coordonate 119874119911 și respectiv 119874119910
Momentele de inerţie axiale se măsoară icircn [1198981198984] şi sunt icircntotdeauna pozitive (aria
119889119860 este icircntotdeauna pozitivă și este multiplicată cu patratul distanței 1199102 dacă 119868119911 sau 119868119910
sunt nule icircnseamnă ca secțiunea nu există)
Momentele de inerție axiale se calculează icircndeosebi pentru axele centrale (care
trec prin centrul secțiunii) deoarece icircn raport cu acele axe 119868119911 și 119868119910 au valori minime
Momentul de inerţie centrifugal calculat faţă ambele axe ale sistemului de
referinţă 119911119874119910 este definit de relația
119868119911119910 ≝ int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860
(48)
Momentul de inerţie centrifugal se măsoară icircn [1198981198984] şi poate fi pozitiv negativ
sau nul
Momentul de ineție centrifugal este nul 119868119911119910 = 0 dacă cel puțin una din axele 119874119911
sau 119874119910 este axă de simetrie pentru secțiune
Se consideră o suprafaţă dreptunghiulară pe care faţă de axa de simetrie 119874119910 se iau
două suprafeţe elementare de arie 119889119860 simetrice faţă de axa 119874119910 figura 43
Fig 43 Suprafață dreptunghiulară cu două arii elementare 119889119860
Făcacircnd suma momentelor de inerţie centrifugale pentru cele două suprafeţe
elementare 119889119860 (din stacircnga şi din dreapta faţă de axa 119874119910) se obţine
int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860119889119903
+ int (minus119911) ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860119904119905119892
= int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860119889119903
minus int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860119904119905119892
= 0 (49)
Acelaşi raţionament se poate face și pentru icircntreaga suprafaţă de unde obținem că
momentul de inerție centrifugal este nul 119868119911119910 = 0 Deci pentru o suprafaţă plană care
are cel puţin o axă de simetrie momentul de inerţie centrifugal faţă de sistemul care
conţine acea axă de simetrie este nul
Momentul de inerţie polar al unei suprafeţei icircn raport cu un punct (pol) 119874 figura
42 este definit prin relaţia
1198680 = 119868119901 ≝ int 1205882 ∙ 119889119860
119860
= int(1199102 + 1199112) ∙ 119889119860
119860
= 119868119911 + 119868119910 (410)
unde este distanţa de la polul 119874 la elementul de arie 119889119860 Momentul de inerţie polar se
măsoară icircn [1198981198984] şi este totdeauna pozitiv
Momentul de inerţie polar este egal cu suma momentelor de inerţie faţă de două axe
perpendiculare oarecare şi care trec prin polul considerat
Razele de giraţie sau razele de inerţie sunt mărimi calculate icircn raport cu axele
secțiunii și definite de relaţiile
119894119911 ≝ radic119868119911119860 119894119910 = radic
119868119910
119860 (411)
Se exprimă icircn [119898119898] şi sunt icircntotdeauna pozitive Semnificația unei raze de inerție
este distanța la care dacă ar fi concentrată icircntreaga arie s-ar obține același moment de
inerție ca și cel calculat pentru aria reală
44 Modulul de rezistenţă
Modulul de rezistență se calculează icircn raport cu axele de referință sau icircn raport cu
un pol figura 42 și pot fi axiale (119882119911119882119910) sau polar (119882119901) și se determină numai pe baza
momentelor de inerţie cu relațiile figura 43
119882119911119898119894119899 ≝119868119911119910119898119886119909
119882119911119898119886119909 ≝119868119911119910119898119894119899
(412)
119882119910119898119894119899 ≝119868119910
119911119898119886119909 119882119910119898119886119909 ≝
119868119910
119911119898119894119899 (413)
119882119901 ≝119868119901
120588119898119886119909 (414)
unde
119910119898119886119909 119910119898119894119899 reprezintă distanţa de la axa 119874119911 la punctele extreme cele mai
depărtate respectiv cele mai apropiate ale suprafeţei de această axă
119911119898119886119909 119911119898119894119899 reprezintă distanţa de la axa 119874119910 la punctele extreme cele mai
depărtate respectiv cele mai apropiate ale suprafeţei de această axă
120588119898119886119909 reprezintă distanța maximă de la polul 119874 la punctul secțiunii cel mai
icircndepărtat de acesta
Fig 43 Suprafață dreptunghiulară cu două arii elementare 119889119860
Modulele de rezistenţă se exprimă icircn [1198981198983] şi sunt icircntotdeauna pozitive
Explicația este aceea că momentele de inerție care intră icircn relațiile de definiție sunt
pozitive iar distanțele la punctele extreme sunt pozitive (119910119898119886119909 119910119898119894119899 119911119898119886119909 119911119898119894119899 120588119898119886119909 se
iau icircn valoare absolută)
Icircn cazul suprafeţelor compuse modulul de rezistenţă nu se obţine prin icircnsumarea
algebrică a modulelor de rezistenţă ale suprafeţelor simple componente ci numai prin
intermediul momentului de inerţie axial calculat pentru icircntreaga secțiune
Ca și momentele de inerție modulele de rezistență se calculează numai pentru
sistemele de axe centrale
45 Momente de inerţie şi module de rezistenţă pentru suprafeţe simple
451 Secțiune dreptunghiulară
Fie suprafaţa dreptunghiulară din figura 44 de icircnălțime ℎ și lățime 119887 pe care se
consideră suprafaţă elementară de arie 119889119860 = 119887119889119910 la distanța 119910 de axa 119862119911 sistemul de
axe 119911119862119910 trece prin centrul secțiunii iar axele sunt axe de simetrie pentru dreptunghi
Fig 44 Suprafață dreptunghiulară
Pe baza relațiilor de definiți a momentului de inerție 119868119911 se obține
119868119911 ≝ int 1199102 ∙ 119889119860
119860
= int 1199102 ∙ 119887 ∙ 119889119910 = 2int 1199102 ∙ 119887 ∙ 119889119910 = 2 ∙ 119887 ∙1199103
3|ℎ 2frasl
0rArr
ℎ 2frasl
0
ℎ 2frasl
minusℎ 2frasl
rArr 119868119911 =119887 ∙ ℎ3
12
(415)
Analog pentru un element de arie 119889119860 = ℎ ∙ 119889119911 paralel cu axa 119862119910 situat la distanța
119911 de axa 119862119910
119868119910 ≝ int 1199112 ∙ 119889119860
119860
= int 1199112 ∙ ℎ ∙ 119889119911 = 2int 1199112 ∙ ℎ ∙ 119889119910 = 2 ∙ ℎ ∙1199113
3|119887 2frasl
0rArr
119887 2frasl
0
119887 2frasl
minus119887 2frasl
rArr 119868119910 =1198873 ∙ ℎ
12
(416)
Deoarece axele 119862119911 și 119862119910 sunt axe de simetrie momentul de inerție centrifugal este
119868119911119910 = 0 (417)
Pentru un pătrat avacircnd laturile egale (ℎ = 119887 = 119886) momentele de inerţie faţă de
axele centrale au expresia
119868119911 = 119868119910 =1198864
12 (418)
Modulele de rezistență axiale se calculează cu relațiile de definiție ținacircnd cont că
distanțele pacircnă la fibrele extreme sunt
119910119898119886119909 = 119910119898119894119899 =ℎ
2 119911119898119886119909 = 119911119898119894119899 =
119887
2 (419)
Obținem
119882119911119898119894119899 = 119882119911119898119886119909 =119868119911
119910119898119886119909119898119894119899=119887 ∙ ℎ3
12frasl
ℎ2frasl
=119887 ∙ ℎ2
6
119882119910119898119894119899 = 119882119910119898119886119909 =119868119910
119911119898119886119909119898119894119899=1198873 ∙ ℎ
12frasl
1198872frasl
=1198872 ∙ ℎ
6
(420)
452 Suprafaţă circulară
Din motive de simetrie pentru suprafeţele circulare momentele de inerţie faţă de
orice diametru (care reprezintă şi axe centrale) sunt aceleaşi
Considerăm o secțiune circulară plină cu diametrul 119889 și centrul de greutate 119862 Prin
centrul de greutate 119862 trece sistemul de axe ortogonal 119911119862119910 figura 45
Fig 45 Suprafață circulară
La distanța de centrul de greutate 119862 vom lua un element de suprafață mic de arie
(119889119860) de forma unui inel de grosime 119889 Elementul de arie 119889119860 are expresia
119889119860 = (2 ∙ 120587 ∙ 120588) ∙ (119889120588)
Pornind de la relația de definiție a momentului de inerție polar obținem
119868119901 ≝ int 1205882 ∙ 119889119860
119860
= int 1205882 ∙ (2 ∙ 120587 ∙ 120588) ∙ 119889120588
119903=119889 2frasl
0
= 2 ∙ 120587 ∙1205884
4|119889 2frasl0 rArr
rArr 119868119901 =120587 ∙ 1198894
32
(421)
Secțiunea este perfect simetrică deci sunt valabile relațiile
119868119911 = 119868119910 rArr 119868119901 = 119868119911 + 119868119910 = 2 ∙ 119868119911 = 2 ∙ 119868119910 =119868119901
2=120587 ∙ 1198894
64 (422)
Și modulele de rezistenţă faţă de orice diametru sunt egale şi se calculează cu
relaţiile
119882119911 = 119882119910 =1198681199111198892frasl=120587 ∙ 1198893
32 (423)
Modulul de rezistenţă polar este
119882119901 =1198681199011198892frasl=120587 ∙ 1198893
16 (424)
453 Secţiune inelară
Calculul momentelor de inerţie axiale pentru o secţiune inelară avacircnd diametrul
interior 119889 şi diametrul exterior 119863 se determină analog pentru suprafaţa circulară plină cu
observaţia că integrala pentru calculul momentului de inerție polar 119868119901 se face icircntre
limitele 119903 = 119889 2frasl şi R= 1198632frasl (icircntre raza interioară 119903 şi raza exterioară 119877) figura 46
Se obţin relaţiile
119868119901 =120587 ∙ 1198634
32∙ [1 minus (
119889
119863)4
] =120587 ∙ 1198634
32∙ (1 minus 1198964) (425)
119868119910 = 119868119910 =120587 ∙ 1198634
64∙ [1 minus (
119889
119863)4
] =120587 ∙ 1198633
64∙ (1 minus 1198964) (426)
Fig 46 Secțiune inelară
119882119901 =120587 ∙ 1198633
16∙ [1 minus (
119889
119863)4
] =120587 ∙ 1198633
16∙ (1 minus 1198964) (427)
119882119911 = 119882119910 =120587 ∙ 1198633
32∙ [1 minus (
119889
119863)4
] =120587 ∙ 1198633
32∙ (1 minus 1198964) (428)
unde 119896 = 119889119863frasl
46 Variaţia momentelor de inerţie faţă de axe paralele
( Relațiile lui STEINER)
Se consideră o suprafaţă oarecare de arie 119860 cu elementul de arie 119889119860 și un sistemul
de axe central 119911119862119910 faţă de care se cunosc momentele de inerţie 119868119911 119868119910 119868119911119910 şi considerăm
un sistem de axe 11991111198741199101 paralele cu sistemul central figura 47 Se pune problema
determinării momentele de inerţie 1198681199111 1198681199101 11986811991111199101 faţă de sistemul de axe paralel cu sistemul
central 11991111198741199101 axe aflate la distanţele 119910119862 = 119888 respectiv 119911119862 = 119889 de acesta
461 Momente de inerţie axiale
Pe baza relaţiilor de definire şi a notaţiilor din figura 42 pentru momentele de
inerţie faţă de axele 1198741199111 1198741199101 se poate scrie
1198681199111 = int 11991012 ∙ 119889119860
119860
= int(119910 + 119888)2 ∙ 119889119860
119860
= int 1199102 ∙ 119889119860
119860
+ 2 ∙ 119888 ∙ int 119910 ∙ 119889119860
119860
+
+1198882int 119889119860
119860
rArr 1198681199111 = 119868119911 + 2 ∙ 119888 ∙ 119878119911 + 1198882 ∙ 119860 hArr 1198681199111 = 119868119911 + 119888
2 ∙ 119860
(429)
Fig 47 Variaţia momentelor de inerţie față de axe paralele
S-a ajuns la relația (429) deoarece momentul static 119878119911 este nul deoarece axa 119862119885
este axă centrală
Pentru momentul de inerție axial icircn raport cu axa 1198741199101 se obține
1198681199101 = int 11991112 ∙ 119889119860
119860
= int(119911 + 119889)2 ∙ 119889119860
119860
= int 1199112 ∙ 119889119860
119860
+ 2 ∙ 119889 ∙ int 119911 ∙ 119889119860
119860
+
+1198892 ∙ int 119889119860
119860
rArr 1198681199101 = 119868119910 + 2 ∙ 119889 ∙ 119878119910 + 1198892 ∙ 119860 hArr 1198681199101 = 119868119910 + 119889
2 ∙ 119860
(430)
Pentru momentul de inerție centrifugal obținem
11986811991111199101 = int 1199101 ∙ 1199111 ∙ 119889119860
119860
= int(119910 + 119888) ∙ (119911 + 119889) ∙ 119889119860
119860
= int 119910 ∙ 119911 ∙ 119889119860 +
119860
+119888 ∙ int 119911 ∙ 119889119860
119860
+ 119889 ∙ int 119910 ∙ 119889119860
119860
rArr 11986811991111199101 = 119868119911119910 + 119888 ∙ 119889 ∙ 119860
(431)
Deoarece
int 119911 ∙ 119889119860
119860
= 119878119910 = 0 int 119910 ∙ 119889119860
119860
= 119878119911 = 0 int 119910 ∙ 119911 ∙ 119889119860
119860
= 119868119911119910
Relaţiile (429) şi (430) arată că momentul de inerţie faţă de o axă oarecare
este egal cu momentul de inerţie faţă de o axă paralelă cu ea trecacircnd prin centrul de
greutate la care se adaugă produsul dintre aria suprafeţei şi pătratul distanţei dintre
cele două axe
Din relaţiile (429) și (430) rezultă de asemenea că momentul de inerţie faţă de o
axă centrală (care trece prin centrul de greutate) este cel mai mic dintre infinitatea de
momente de inerţie obținute faţă de alte axe paralele cu ea
Relaţia (431) arată de asemenea că momentul de inerţie centrifugal faţă de un
sistem de axe oarecare este egal cu momentul de inerţie centrifugal faţă de un sistem
paralele cu el trecacircnd prin centrul de greutate a suprafeţei la care se adaugă produsul
dintre aria suprafeţei şi distanţele dintre axele sistemelor respective
Icircn literatura de specialitate relaţiile (429) (430) şi (431) sunt cunoscute sub
numele de relaţiile lui Steiner
47 Variaţia momentrlor de inerţie faţă de axe rotite
Direcţii principale şi momente de inerţie principale
Fie suprafaţa plană din figura 48 de arie 119860 pe care considerăm o suprafaţă
elementară de arie 119889119860 Pentru sistemul de axe 119911119874119910 se cunosc momentele de inerţie
119868119911 119868119910 119868119911119910 şi vom determina relaţiile de calcul pentru momentele de inerţie afererent unui
sistem de axe 11991111198741199101 rotit cu un unghi faţă de sistemul central
Faţă de sistemul de axe 11991111198741199101 elementul de arie 119889119860 are coordonatele
1199101 = 119875119877 = 119875119876 minus 119877119876 = 119910 ∙ cos 120572 minus 119911 ∙ sin 120572
1199111 = 119873119872 = 119873119875 minus 119875119872 = 119911 ∙ cos 120572 + 119910 ∙ sin 120572 (432)
Fig 47 Variaţia momentelor de inerţie față de axe rotite
Pe baza relaţiilor de calcul ale momentelor de inerţie şi a notaţiilor din figura 42
şi ale relaţiilor (432) momentele de inerţie faţă de sistemul de axe rotit 11991111198741199101 sunt
1198681199111 =119868119911 + 119868119910
2+119868119911 minus 119868119910
2∙ cos 2120572 minus 119868119911119910 ∙ sin 2120572 (433)
1198681199101 =119868119911 + 119868119910
2minus119868119911 minus 119868119910
2∙ cos 2120572 + 119868119911119910 ∙ sin 2120572 (434)
11986811991111199101 =119868119911 minus 119868119910
2∙ sin 2120572 + 119868119911119910 ∙ cos 2120572 (435)
Din relaţiile 433divide435 se observă că icircntre momentele de inerţie axiale şi cele
polare există relaţia
1198681199111 + 1198681199101 = 119868119911 + 119868119910 = 119868119901 (436)
adică suma momentelor de inerţie axiale icircn raport cu orice pereche de axe ortogonale
care trec printr-un pol dat este o constantă şi egală cu momentul de inerţie polar
Prin rotirea sistemului de axe din relaţiile 433divide435 rezultă că momentele de inerţie
variază icircnsă suma lor rămacircne constantă deci există o poziţie a sistemului de axe pentru
care momentele de inerţie au valori extreme maxim respectiv minim
471 Direcţii principale de inerţie
Valoarea unghiului 120572 pentru care momentele de inerţie axiale au valori extreme
este
1205721 =1
2∙ 119886119903119888119905119886119899 (minus
2 ∙ 119868119911119910
119868119911 minus 119868119910) (437)
Poziţia celeilalte direcţii este perpendiculară pe cea dată de unghiul 1205721
Din relaţia (437) se constată că faţă de aceste direcţii rotite pentru care momentele
de inerţie axiale prezintă valori extreme momentul de inerţie centrifugal 11986811991111199101este nul
Atunci se poate afirma că momentele de inerţie axiale au valori extreme icircn raport cu
direcţiile faţă de care momentul de inerţie centrifugal este nul Aceste direcţii se numesc
direcţii principale iar momentele de inerţie faţă de aceste direcţii poartă numele de
momente de inerţie principale
Icircn calculele de rezistenţă interesează icircn mod special poziţia direcţiilor principale
care trec prin centrul de greutate al suprafeţei aşa numitele direcţii principale centrale şi
evident momentele de inerţie principale centrale
Direcţiile principale de inerţie se notează cu 1 respectiv 2 Axa principală 1
corespunde direcţiei faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea maximă iar
axa principală 2 pentru direcţia faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea
minimă
472 Momente de inerţie principale
Momentele de inerţie principale se notează cu litera 119868 la care se pune indicele 1
sau 2 după cum valoarea acestuia este maximă sau minimă deci avem un moment de
inerţie principal 1 (notat 1198681) respectiv moment de inerţie principal 2 (notat 1198682)
Expresiile pentru momentele de inerţie principale sunt
11986812 =119868119911 + 119868119910
2plusmn1
2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)
2+ 4 ∙ (119868119911119910)
2 (438)
Dacă momentul de inerţie centrifugal este negativ (119868119911119910 lt 0) direcţia principală
care trece prin primul cadran (definit de sistemul 119911119862119910) este direcţia principală 120783
Pentru suprafeţele cu cel puţin o axă de simetrie direcţiile centrale 119862119911 119862119910 sunt şi
direcții principale de inerţie și evident momentele de inerţie axiale 119868119911 119868119910 sunt momente
de inerţie principale
48 Caracteristici mecanice ale metalelor
Alegerea materialului pentru confecţionarea unei anumite piese se face şi pe baza
aşa numitelor caracteristici mecanice pe care le prezintă materialul Cunoaşterea acestor
caracteristici mecanice are loc numai pe baza unor icircncercări mecanice care să scoată icircn
evidenţă comportarea materialului icircn condiţii de solicitare
Cea mai utilizată icircncercare icircn urma căreia se pun icircn evidenţă caracteristicile
mecanice ale unui material este icircncercarea la tracţiune
481 Icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general
Icircncercarea la tracţiune a oţelului ca de altfel toate icircncercările de materiale este
standardizată
Icircn cele ce urmează se va prezenta numai partea care interesează strict din punct
de vedere al caracteristicilor mecanice ale oţelului
Epruveta de diametru iniţial 1198890 pentru icircncercarea la tracţiune are o porţiune de
lungime 1198710 numită baza de măsurare pe care se măsoară lungirea acesteia sub acţiunea
solicitării
Icircn funcţie de raportul dintre baza de măsurare 1198710 şi diametrul iniţial 1198890 epruvetele
utilizate pentru icircncercări sunt
epruvete normale (scurte) cacircnd 11987101198890 = 5
epruvete lungi cacircnd 11987101198890 = 10
Icircn timpul icircncercării la diferite valori ale forţei 119865 se măsoară lungirea bazei de
măsurare
∆119871 = 120575 = 119871 minus 1198710 (439)
unde
119871 este dimensiunea bazei de măsurare la un moment dat
Curba forţă-lungire (119865 minus ) icircnregistrată icircn urma icircncercării reprezintă curba
caracteristică la tracţiune
La icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general diagrama caracteristică care se
obţine are forma din figura 48
Curba caracteristică la tracţiune depinde de lungimea bazei de măsurare Pentru
icircnlăturarea acestui neajuns curba caracteristică se reprezintă icircn coordonate şi definite
astfel
120590 =119865
1198600 휀 =
120575
1198710 (440)
unde
1198600 este aria iniţială a secţiunii transversale a epruvetei (icircnainte de solicitare) icircn
zona bazei de măsurare
1198600 =120587 ∙ 1198890
2
4
Deoarece mărimile icircn care se reprezintă curba caracteristică la tracţiune sunt
raportate la aria iniţială a secţiunii transversale (mărimi specifice) curba poartă numele
de curbă caracteristică convenţională la tracţiune
Fig 48 Curba caracteristică convenţională la tracțiune
Pe curba caracteristică convenţională la tracţiune figura 48 se pot stabili o serie
de puncte cărora le corespund mai multe mărimi importante
Ordonata punctului A pacircnă unde curba caracteristică convenţională este linie
dreaptă se numeşte limita de proporţionalitate a materialului 120590119901(1205901) Porţiunea 119874119860 este
zona de proporţionalitate a curbei caracteristice pe acest domeniu este valabilă legea lui
Hooke care exprimă o proporţionalitate icircntre tensiune şi deformaţie specifică
120590 = 119864 ∙ 휀 (441)
unde
119864 = reprezintă panta porţiunii liniare a curbei convenționale caracteristice
la tracțiune Caracteristica de material 119864 se numeşte modul de elasticitate longitudinal
(modulul lui Young)
Ordonata punctului 119861 pacircnă unde materialul se comportă perfect elastic adică
după descărcare icircşi recapătă dimensiunea iniţială 1198710 se numeşte limita de elasticitate
120590119890(119877119890) Icircn realitate nici un material nu are comportare perfect elastică sub acţiunea
solicitărilor el capătă deformaţii permanente (remanente plastice)
După punctul 119861 urmează o porţiune 119861119862119863 icircn care cu toate că icircncărcarea
continuă forţa nu mai creşte avacircnd mici oscilaţii icircn jurul unei valori Se spune că icircn
această porţiune materialul curge iar intervalul 119861119862119863 este un palier de curgere Tensiunea
corespunzătoare palierului de curgere se numeşte limită de curgere aparentă 120590119888(119877119888) Limita de curgere aparentă se calculează cu relaţia
120590119888 =1198651198881198600 (442)
unde
119865119888 reprezintă valoarea forţei icircnregistrată icircn momentul curgerii materialului
După punctul 119863 curba caracteristică are un traseu ascendent pacircnă icircn punctul 119864
Porţiunea 119863119864 este numită zonă de icircntărire (ecruisare) Icircn zona de ecruisare unde se
produc deformaţii plastice semnificative legea lui Hooke nu mai este valabilă La
descărcare relaţia dintre tensiunea şi deformaţia specifică este liniară paralelă cu
porţiunea liniară a curbei caracteristice (dreapta 119872119873)
Deformaţia totală (휀119905) are două componente una elastică (휀119890) şi una plastică (휀119901)
Ordonata punctului 119864 reprezintă rezistenţa de rupere 120590119903(119877119898) a materialului
care se poate calcula cu relaţia
120590119903 = 119877119898 =1198651198981198861199091198600
(443)
unde
119865119898119886119909 reprezintă valoarea maximă a forţei icircnregistrată icircn timpul icircncercării
La atingerea valorii 119865119898119886119909 (punctul 119864) icircntr-un anumit loc al epruvetei secţiunea
icircncepe să se micşoreze (se produce gacirctuirea) continuacircnd pacircnă cacircnd se produce ruperea
totală (punctul 119865)
Dacă după ruperea epruvetei cele două părţi rezultate se aşează cap la cap şi se
măsoară dimensiunea bazei de măsurare 119871119906 (lungimea ultimă) se determină alungirea la
rupere sau lungirea specifică la rupere 휀119903
휀119903 =119871119906 minus 11987101198710
=∆119871
1198710=120575
1198710 (444)
De obicei alungirea se exprimă icircn procente şi se notează cu 119860119899 unde 119899 reprezintă
numărul dat de raportul 11987101198890 (epruvete normale 119899 = 5 epruvete lungi 119899 = 10)
119860119899 =119871119906 minus 11987101198710
∙ 100 [] (445)
Altă mărime care se determină la icircncercarea la tracţiune este gacirctuirea la rupere
(exprimată de obicei icircn procente) şi definită de relaţia
119885 =1198600 minus 1198601199061198600
∙ 100 [] (446)
Mărimile determinate limita de proporţionalitate modulul de elasticitate
longitudinal limita de elasticitate limita de curgere aparentă rezistenţa de rupere
alungirea la rupere şi gacirctuirea la rupere sunt cunoscute ca fiind caracteristici mecanice
ale materialului
Din curba caracteristică convenţională observăm faptul că ruperea (punctul 119865 din
figura 48 se produce la o tensiune mai mică decacirct cea corespunzătoare punctului 119864 Dacă
icircnsă forţa din timpul icircncercării s-ar raporta la aria secţiunii din momentul icircnregistrării
forţei (care este mai mică decacirct cea iniţială 1198600) s-ar obţine aşa numita curbă
caracteristică reală a materialului (traseul 1198741198601198611198621198631198651 din figura 48) La curba
caracteristică reală ruperea se produce icircn punctul 1198651 la o icircncărcare mai mare decacirct cea
corespunzătoare punctului 119864 Icircnseamnă că rezistenţa reală la rupere este mai mare decacirct
rezistenţa la rupere dată de punctul 119864 din diagrama caracteristică convenţională
Dificultatea obţinerii diagramei caracteristice reale faţă de cea a diagramei caracteristice
convenţionale şi considerarea unei rezistenţe la rupere mai mică decacirct a celei reale face
icircn practică utilizarea pe scară mare a diagramei caracteristice convenţionale
Caracteristicile mecanice determinate pe baza curbei caracteristice convenţionale
sunt şi ele caracteristici mecanice convenţionale
Caracteristicile mecanice convenţionale limita de proporţionalitate convenţională
120590119901 limita de elasticitate convenţională 120590119890 limita de curgere convenţională 120590119888 şi rezistenţa
de rupere 120590119903 constituie tensiuni limită pentru un material Pe baza acestor caracteristici
de material se alege valoarea tensiunii admisibile 120590119886 (vezi paragraful 35) pentru
calculele de rezistenţă Cea mai utilizată stare limită pentru stabilirea tensiunii admisibile
120590119886 este limita de curgere convenţională 120590119888
120590119886 =120590119897119894119898119888
=120590119888119888 119904119886119906 120590119886 =
120590119903119888 (447)
Caracteristicile mecanice ale materialului sunt influenţate de o serie de factori
temperatura viteza de solicitare factorii tehnologici iar valorile lor sunt date icircn tabele și
diagrame
Aplicaţie Pentru suprafaţa plană compusă din două dreptunghiuri avacircnd
dimensiunile din figura 49a să se calculeze
a) centrul de greutate al secțiunii compuse 119910119866 119911119866
b) momentele de inerție axiale 119868119911 119868119910 și momentul de inerție centrifugal 119868119911119910
c) razele de inerție 119894119911 119894119910
d) modulele de rezistență 119882119911119898119894119899 119882119911119898119886119909 119882119910119898119894119899 119882119910119898119886119909
e) momentele de inerție principale 1198681 1198682 și direcțiile principale de inerție 1205721
f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 119878119911
Fig 49 Aplicație
Rezolvare Pentru rezolvare vom parcurge următoarele etape
icircmpărțim suprafața compusă icircn două suprafețe simple (dreptunghiuri) notate cu
① și respectiv ② figura 49b
poziționăm centrele de greutate a celor două suprafețe simple ① și respectiv ②
notate cu 1198661 și respectiv 1198662 figura 49c
poziționăm sistemele de axe de coordonate 119911111986611199101 pentru dreptunghiul ① și
119911211986621199102 pentru dreptunghiul ② aflate la intersecția diagonalelor figura 49c
poziționăm sistemele de axe de coordonate 11991101198741199100 ales arbitrar față de care
determinăm poziția centrului de greutate 119866 figura 49c
a) calculăm poziția centrului de greutate folosind relațiile (46) icircn care
1198601 = 6119905 ∙ 119905 = 61199052 1198602 = 4119905 ∙ 119905 = 41199052 119860 = 1198601 + 1198602 = 61199052 + 41199052 = 101199052
iar centrele de greutate 1198661 și respectiv 1198662 au coordonatele (față de sistemul 11991101198741199100)
1198661 1199101 = 3119905 1199111 = 05119905
1198662 1199102 = 051199051199112 = 3119905
cu acestea obținem
119910119866 =1198601 ∙ 1199101 + 1198602 ∙ 1199102
119860=61199052 ∙ 3119905 + 41199052 ∙ 05119905
101199052=201199053
101199052= 2119905
119911119866 =1198601 ∙ 1199111 + 1198602 ∙ 1199112
119860=61199052 ∙ 05119905 + 41199052 ∙ 3119905
101199052=151199053
101199052= 15119905
Poziționăm centrul de greutate 119866 al suprafeței compuse figura 49c
Fig 49 Aplicație
b) pentru determinarea momentelor de inerție axiale 119868119911 119868119910 și a momentului de
inerție centrifugal 119868119910119911 determinăm constantele 1198881 1198882 1198891 1198892 care intervin icircn relația lui
Stainer
1198881 = 1199101 minus 119910119866 = 3119905 minus 2119905 = 119905 1198882 = minus(119910119866 minus 1199102) = minus(2119905 minus 05119905) = minus15119905
1198891 = minus(119911119866 minus 1199111) = minus(15119905 minus 05119905) = minus119905 1198892 = 1199112 minus 119911119892 = 3119905 minus 15119905 = 15119905
Folosind relațiile lui Stainer (429) (430) și (431) calculăm momentele de
inerție axiale și centrifugale față de sistemul central 119911119866119866119910119866
119868119911 =sum(119868119911119894 + 1198881198942 ∙ 119860119894) = 1198681199111 + 1198881
2 ∙ 1198601 + 1198681199112 + 11988822 ∙ 1198602
119868119910 =sum(119868119910119894 + 1198891198942 ∙ 119860119894) = 1198681199101 + 1198891
2 ∙ 1198601 + 1198681199102 + 11988922 ∙ 1198602
119868119911119910 =sum(119868119911119894119910119894 + 119888119894 ∙ 119889119894 ∙ 119860119894) = 11986811991111199101 + 1198881 ∙ 1198891 ∙ 1198601 + 11986811991121199102 + 1198882 ∙ 1198892 ∙ 1198602
1198681199111 = (119887 ∙ ℎ3
12) =
119905 ∙ (6119905)3
12= 181199054 1198681199112 = (
119887 ∙ ℎ3
12) =
4119905 ∙ 1199053
12= 031199054
1198681199101 = (1198873 ∙ ℎ
12) =
1199053 ∙ 6119905
12= 051199054 1198681199102 = (
1198873 ∙ ℎ
12) =
(4119905)3 ∙ 119905
12= 531199054
11986811991111199101 = 11986811991121199102 = 0 deoarece cele două triunghiuri au cel puțin o axă de simetrie
Cu acestea momentele de inerție axiale și momentul de inerție centrifugal devin
119868119911 = 181199054 + 1199052 ∙ 61199052 + 031199054 + (minus15119905)2 ∙ 41199052 = 3331199054
119868119910 = 051199054 + (minus119905)2 ∙ 61199052 + 531199054 + (15119905)2 ∙ 41199052 = 2081199054
119868119911119910 = 0 + 119905 ∙ (minus119905) ∙ 61199052 + 0 + (minus15119905) ∙ (15119905) ∙ 41199052 = minus151199054
c) razele de inerție sau de girație față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910
se calculează cu relațiile (411)
119894119911 = radic119868119911119860= radic
3331199054
101199052= 182119905 119894119910 = radic
119868119910
119860= radic
2081199054
101199052= 144119905
d) modulele de rezistență față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910 se
calculează cu relațiile (412) și (413)
Avacircnd icircn vedere figura 419c obținem
119910119898119886119909 = 6119905 minus 119910119866 = 6119905 minus 2119905 = 4119905 119910119898119894119899 = minus119910119866 = minus2119905
119911119898119886119909 = 5119905 minus 119911119866 = 5119905 minus 15119905 = 35119905 119911119898119894119899 = minus119911119866 = minus15119905
Se obține astfel
119882119911119898119894119899 =119868119911
|119910119898119886119909|=3331199054
4119905= 8331199053
119882119911119898119886119909 =119868119911
|119910119898119894119899|=3331199054
2119905= 16651199053
119882119910119898119894119899 =119868119910
|119911119898119886119909|=2081199054
35119905= 5941199053
119882119910119898119886119909 =119868119910
|119911119898119894119899|=2081199054
15119905= 13871199053
e) momentele de inerție principale 1198681 și respectiv 1198682 se calculează cu relațiile
(438)
11986812 =119868119911 + 119868119910
2plusmn1
2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)
2+ 4 ∙ (119868119911119910)
2=
=3331199054 + 2081199054
2plusmn1
2∙ radic(3331199054 minus 2081199054)2 + 4 ∙ (minus151199054)2 = 27051199054 plusmn 16251199054
De unde obținem
1198681 = 27051199054 + 16251199054 = 4331199054
1198682 = 27051199054 minus 16251199054 = 1081199054
Prima direcție principală de inerție 1 face cu axa centrală 119866119911 unghiul 1205721 dat de
relația (437)
1205721 =1
2∙ arctan (minus
2 ∙ 119868119911119910
119868119911 minus 119868119910) =
1
2∙ arctan [minus
2 ∙ (minus151199054)
3331199054 minus 2081199054] =33 70
Deoarece 1205721 gt 0 rotirea axelor se face acircn sens antiorar acelor de ceasornic figura
49d
Poziția axe principale 2 față de care momentul de inerție are valoarea minimă
1198682 = 119868119898119894119899 este dată de unghiul
1205722 = 1205721 + 900 = 33 70 + 900 = 123 70
f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 se determină cu relația
(45)
1198781199111198602 = 1198602 ∙ 1198882 = 41199052 ∙ (minus15119905) = minus61199053
1 MECANICA SOLIDULUI RIGID
11 Aspecte fundamentale
Mecanica reprezintă prima ştiinţă a naturii riguros fundamentată de către Isaac
Newton (1642-1727) Mecanica studiază repausul şi mişcarea corpurilor
La baza mecanicii stau patru principii fundamentale
I Principiul inerţiei Un corp punctiform (punct material) icircşi păstrează starea de
repaus sau de mişcare rectilinie uniformă atacircta timp cacirct nu intervine o cauză exterioară
(forță) care să-i schimbe această stare
II Principiul acțiunii forței equiv Legea lui Newton Dacă asupra unui corp
punctiform (punct material) acţioneză o forţă aceasta va imprima corpului o acceleraţie
coliniară icircn acelaşi sens şi proporţională cu forţa aplicată ( = 119898 ∙ ) unde 119898 este
mărimea scalară numită masa punctului material și exprimă modul icircn care reacționează
punctul față de acțiunile corpurilor din exterior
III Principiul acţiunii şi reacţiunii Dacă asupra unui corp punctiform acţionează
un alt corp punctiform cu o forţă atunci şi acesta va acţiona asupra primului cu o forţă
coliniară egală şi de sens contrar cu forţa iniţială O altă formulare a cestui principiu
bdquoforțele de interacțiune dintre două puncte materiale sunt icircntotdeauna egale și opuserdquo
IV Icircn afara acestor 3 principii sunt valabile și următoarele afirmații
Efectul pe care icircl produce o forță asupra unui punct este independent de efectul
celorlalte forțe ce acționează simultan asupra aceluiași punct (acțiunea forței este
independentă și se poate folosi principiul suprapunerii efectelor)
Dacă asupra unui corp punctiform acţionează mai multe forţe avicircnd direcții
diferite efectul acestora este echivalent cu efectul rezultantei forţelor asupra corpului
Mecanica studiază următoarele modele de corpuri
a) Punctul material (corpul punctiform) Modelul presupune că icircntreaga masă a
corpului poate fi concentrată icircntr-un punct geometric fără dimensiuni (adimensional)
b) Modelul solidului rigid Acest model presupune faptul că oricacirct de mari ar fi
forţele exterioare aplicate corpului acesta nu se deformează MECANICA studiază
modelul solidului rigid de aceea mecanica se mai numeşte MECANICA SOLIDULUI
RIGID
c) Modelul solidului deformabil Conform acestui model icircn calcule este necesar să
se ţină cont de deformaţiile produse asupra corpului de către forţele exterioare aplicate
REZISTENŢA MATERIALELOR studiază modelul solidului deformabil de aceea se
mai numeşte MECANICA SOLIDULUI DEFORMABIL
Mecanica solidului rigid are trei capitole
Statica se ocupă cu studiul echilibrului solidului rigid şi analizează condiţiile pe
care acesta trebuie să le icircndeplinească pentru a fi icircn echilibru
Cinematica studiază mişcarea mecanică a corpurilor fără a ține seama de
masele acestora și de forțele care acționează asupra lor Studiul mișcării unui corp
presupune determinarea poziției corpului precum și a vitezei și accelerației oricărui punct
din corp Noțiunile fundamentale din cinematică sunt cele de spațiu și de timp iar unul
din principiile fundamentale este cel al determinismului mecanic (prin precizarea de
regulă a condițiilor inițiale icircn care icircncepe mișcarea)
Dinamica studiază mişcarea corpurilor rigide sub acţiunea forţelor exterioare
aplicate acestora Problema fundamentală a dinamicii este de a determina legile de
mișcare ale unui corp pe baza cunoașterii forțelor care acţionează asupra acestuia
12Elemente mecanice de calcul
Există situaţii icircn practică icircn care aceleaşi forţe produc efecte diferite asupra unui
solid rigid figura 11
Fig 11 Efectul forțelor asupra unui solid rigid
Asupra aceluiaşi corp acţionează două forţe egale de sensuri contrare dispuse
diferit figura 11 Rezultanta celor două forţe este nulă
Icircn cazul din figura 11a corpul rămacircne icircn echilibru (nu se deplasează) iar icircn cazul
din figura 12b corpul nu este icircn echilibru ci se roteşte sub acţiunea celor două forţe icircn
sensul indicat de săgeată
Aşadar pentru a caracteriza efectele produse de cele două forţe asupra corpurilor
sunt necesare şi alte elemente mecanice de calcul icircn afară de rezultanta forţelor
121 Momentul unei forţe icircn raport cu un punct
Considerăm un solid rigid asupra căruia acţionează o forţă aplicată icircn punctul A
şi fie O un punct din spaţiu figura 12
Fig 12 Momentul unei forțe icircn raport cu un punct
Se defineşte momentul forţei icircn raport cu punctul O produsul vectorial
119874 = 119874119860 times = 119903 times (11)
unde 119903 este vectorul de poziţie al punctului A icircn raport cu punctul O
Vectorul moment 119874 are următoarele elemente
a) Modulul 1198720 = 119865 ∙ 119903 ∙ sin 120572 = 119865 ∙ 119889 unde 119889 este distanţa de la punctul O la
dreapta suport ∆ a forţei şi se numeşte braţul forţei
b) Direcţia perpendiculară pe planul determinat de punctul O şi forţa
c) Sensul dat de regula burghiului drept
d)Punctul de aplicaţie O
Observaţie Momentul unei forţe icircn raport cu un punct este nul dacă suportul
forţei trece prin punctul respectiv (119889 = 0)
122 Momentul unei forţe icircn raport cu o axă
Considerăm un solid rigid asupra căruia acţionează o forţă aplicată icircn punctul A
şi fie D o axă din spaţiu figura 13
Fig 13 Momentul unei forțe icircn raport cu o axă
Se defineşte momentul forţei icircn raport cu axa 119863 ca fiind proiecţia pe axa 119863 a
momentului forţei icircn raport cu un punct arbitrar de pe axa respectivă (O)
119872119863 = 119872119874 ∙ cos 120575 (12)
Momentul forţei icircn raport cu punctul O (119874)se calculează relația (11)
Observaţii
- Momentul unei forţe icircn raport cu o axă este nul dacă forţa şi axa sunt icircn acelaşi
plan (dacă sunt paralele sau dacă suportul forţei intersectează axa)
- Momentul unei forţe icircn raport cu o axă (119863) nu depinde de punctul O ales
arbitrar pe axă
123 Momentul unui cuplu de forţe
Un cuplu de forţe este o pereche de forţe egale de sensuri contrare situate pe
suporturi paralele (1 = minus2 1198651 = 1198652 = 119865) Evident rezultanta unui cuplu de forţe este
nulă figura 14
Fig 14 Momentul unui cuplu de forțe
Se defineşte momentul cuplului de forţe ca fiind suma momentelor celor două forţe
icircn raport cu un punct arbitrar din spaţiu O
119888119906119901 = 1199031 times 1 + 1199032 times 2 = 1199031 times 1 + 1199032 times (minus1) = 119903 times 1 (13)
119888119906119901 = 11986021198601 times 1 = 11986011198602 times 2
Din ultima egalitate se observă că momentul cuplului este egal cu momentul unei
forţe din cuplu icircn raport cu punctul de aplicaţie al celeilalte forţe din cuplu iar momentul
cuplului nu depinde de punctul O deci este un vector liber
Vectorul moment 119888119906119901 are următoarele elemente
a) Modulul cuplului 119888119906119901 = 119865 ∙ 119903 ∙ sin 120572 = 119865 ∙ 119889 unde 119889 este distanţa dintre
suporturile celor două forţe şi se numeşte braţul cuplului
b) Direcţia cuplului este perpendiculară pe planul celor două forţe
c) Sensul cuplului este dat de regula burghiului drept
13Reducerea sistemelor de forţe Echilibrul solidului rigid
Dacă asupra unui solid rigid acţionează un sistem complex de forţe pentru
simplificarea calculelor se urmăreşte icircnlocuirea acestuia cu cel mai simplu sistem posibil
care să producă acelaşi efect mecanic asupra corpului studiat ca şi sistemul iniţial de forţe
Această operaţie se numeşte reducerea sistemului de forţe
131 Reducerea unei forţe icircntr-un punct Torsorul de reducere
A reduce o forţă icircntr-un punct icircnseamnă a icircnlocui acea forţă cu cele mai simple
elemente mecanice legate de punctul respectiv care să producă asupra corpului studiat
acelaşi efect ca şi forţa iniţială
Fie o forţă aplicată icircn punctul A al unui solid rigid şi O un punct din spaţiu
figura 15 vom determina elementele mecanice corespunzătoare reducerii forţei icircn
punctul O
Fig 15 Reducerea unei forțe icircntr-un punct
Icircn punctul O se introduce un sistem de două forţe coliniare egale cu de sensuri
contrare pe un suport paralel cu forţa iniţială Efectul acestora asupra corpului este nul
Apare astfel un cuplu de forţe forţa din A şi (minus) din O caracterizat prin momentul
cuplului 119888119906119901 = 0 = 119874119860 times = 119903 times
Aşadar efectul forţei din A a fost icircnlocuit icircn punctul O cu două elemente
mecanice o forţă identică cu aplicată icircn O şi momentul forţei iniţiale icircn raport cu
punctul O Ansamblul celor două elemente mecanice formează aşa numitul torsor de
reducere al forţei icircn punctul O
132 Reducerea unui sistem de forţe icircntr-un punct
Considerăm că asupra unui solid rigid acţionează un sistem de 119899 forţe 119894 aplicate
icircn punctele 119860119894 cu 119894 = 1 119899 şi fie 119874119909119910119911 un sistem de axe de coordonate avacircnd versorii
axelor 119894 119895 figura 16
Fig 16 Reducerea unui sistem forțe icircntr-un punct
Pentru a reduce sistemul de forţe icircn punctul O se procedează astfel
Se reduce pe racircnd fiecare forţă 119894 icircn punctul O la un torsor de reducere compus
dintr-o forţă 119894 şi un moment 119874119894 = 119903119894 times 119894 Făcacircnd această operaţie cu toate forţele icircn
punctul O se obţine
o forţă rezultantă
= sum119894
119899
119894=1
un moment rezultant
0 =sum119874119894
119899
119894=1
=sum119903119894 times 119894
119899
119894=1
Cele două elemente mecanice definesc torsorul de reducere al sistemului de forţe
icircn punctul O
Torsorul de reducere se poate calcula analitic dacă forţele sunt exprimate analitic
119894 = 119883119894 ∙ 119894 + 119884119894 ∙ 119895 + 119885119894 ∙ unde 119883119894 119884119894 119885119894 sunt proiecţiile forţei 119894 pe axele 119874119909 119874119910
respectiv 119874119911 Rezultanta forţelor icircn punctul O este
= (sum119883119894
119899
119894=1
) ∙ 119894 + (sum119884119894
119899
119894=1
) ∙ 119895 + (sum119885119894
119899
119894=1
) ∙ = 119883 ∙ 119894 + 119884 ∙ 119895 + 119885 ∙
(14)
unde sunt componentele rezultantei pe axele 119874119909 119874119910 și 119874119911 = + +
Icircn mod analog momentul rezultant icircn punctul O este
0 = (sum119872119909119894
119899
119894=1
) ∙ 119894 + (sum119872119910119894
119899
119894=1
) ∙ 119895 + (sum119872119911119894
119899
119894=1
) ∙ =
= 119872119909 ∙ 119894 + 119872119910 ∙ 119895 + 119872119911 ∙
(15)
unde 119909 119910 119911 sunt componentele vectorului moment 0 pe axele 119874119909 119874119910 respectiv 119874119911
0 = 119909 + 119910 + 119911
133 Echilibrul solidului rigid
Torsorul de reducere al sistemului de forţe determină mişcarea solidului rigid icircn
spaţiu sub acţiunea forţelor exterioare aplicate
Torsorul de reducere conţine o forţă rezultantă cu trei componente
perpendiculare icircntre ele şi un moment rezultant avacircnd trei componente ortogonale
perpendiculare 119909 119910 119911 orientate după axele sistemului 119874119909119910119911 Cele trei componente
ale rezultantei produc translaţii (deplasări liniare ) ale corpului pe direcţiile 119874119909 119874119910
respectiv 119874119911 Componentele momentului rezultant 0 produc rotiri (deplasări
unghiulare) ale corpului icircn jurul axelor de coordonate 119874119909 119874119910 respectiv 119874119911 Se spune ca
solidul liber are 6 grade de libertate (6 posibilităţi de deplasare) Pentru ca solidul să fie
icircn echilibru trebuie suprimate toate gradele de libertate Aşadar corpul este icircn echilibru
dacă elementele torsorului de reducere al forţelor exterioare este nul
Condiţiile de echilibru ale solidului rigid sunt
= 0 rArr 119883 = 119884 = 119885 = 0
0 = 0 rArr 119872119909 = 119872119910 = 119872119911 = 0
(16)
Observaţie Un solid rigid liber solicitat de forţe aplicate icircntr-un plan (119909119900119910) are
trei grade de libertate Condiţiile de echilibru sunt
= 0 rArr 119883 = 119884 = 0
0 = 0 rArr 119872119911 = 0
(17)
14 Aplicaţii
141 Să se stabilească mărimea şi ordinul rezultantei sistemului de forţe din figura
17 dacă se cunosc 1 = 100 [119873] 2 = 200 [119873] și 3 = 300 [119873]
Rezolvare
Pentru rezolvarea acestui sistem de forte de prezinta doua metode
a) Rezolvare analitică
Descopunem cele două forțe icircnclinate 2 și 3 după cele două axe de coordonate
Ox și Oy
2 = (minus1198652119909) ∙ 119894 + (1198652119910) ∙ 119895 = (minus1198652 ∙ cos 600) ∙ 119894 + (1198652 ∙ sin 60
0) ∙ 119895 =
= (minus200 ∙1
2) ∙ 119894 + (200 ∙
radic3
2) ∙ 119895 = minus100 ∙ 119894 + 100 ∙ radic3 ∙ 119895
3 = (minus1198653119909) ∙ 119894 + (minus1198653119910) ∙ 119895 = (minus1198653 ∙ cos 450) ∙ 119894 + (minus1198653 ∙ sin 45
0) ∙ 119895 =
= (minus300 ∙radic2
2) ∙ 119894 + (minus300 ∙
radic2
2) ∙ 119895 = minus150 ∙ radic2 ∙ 119894 minus 150 ∙ radic2 ∙ 119895
Pentru stabilirea mărimii şi ordinului rezultantei sistemului de forţe din figură se
procedează astfel
Forţele sunt exprimate analitic 119894 = 119883119894 ∙ 119894 + 119884119894 ∙ 119895 unde 119883119894 119884119894 sunt proiecţiile
forţei 119894 pe axele 119874119909 respectiv 119874119910
1 = 100 ∙ 119894 + 0 ∙ 119895
2 = minus100 ∙ 119894 + 1732 ∙ 119895
3 = minus2121 ∙ 119894 minus 2121 ∙ 119895
Fig 17 Aplicația 141
Se determină rezultanta forţelor cu următoarea relaţie
= sum119865119894 prime (sum119883119894
119899
119894=1
) ∙ 119894 + (sum119884119894
119899
119894=1
) ∙ 119895 = 119883 ∙ 119894 + 119884 ∙ 119895
unde 119883 119884 sunt componentele rezultantei pe axele 119874119909 respectiv 119874119910 = +
= (100 minus 100 minus 2121) ∙ 119894 + (0 + 1732 minus 2121) ∙ 119895 = (minus2121) ∙ 119894 + (minus389) ∙ 119895
rArr 119883 = minus2121 [119873]
119884 = minus389 [119873]
Cu acestea obținem rezultanta
119877 = radic1198832 + 1198842 = radic(minus2121)2 + (minus389)2 = 21564 [119873]
Se reprezintă grafic rezultanta icircn sistemul de coordonate 119909119874119910 după care se
calculează unghiul 120572 pe care aceasta rezultantă icircl face cu axa 119874119909 figura 18
tan 120572 =119884
119883=minus389
minus2121= 0183 rArr 120572 = arctan(0183) = 10 40
Fig 18 Reazultanta forțelor aplicate
b) Rezolvare tabelară
Forţa 119894 Componenta 119883119894 Componenta 119884119894
1 1198651 = 100 1198651 = 0
2 minus1198652 ∙ cos 600 = minus100 1198652 ∙ sin 60
0 = 1732
3 minus1198653 ∙ cos 450 = minus2121 minus1198653 ∙ sin 45
0 = minus2121
= sum119894 119883 =sum119883119894 = minus2121 119884 =sum119884119894 = minus389
După determinarea tabelară a celor două componente ale rezultandei calculele se
continua ca şi icircn cazul rezolvării analitice
142 Să se calculeze momentul forţei verticale = 100 [119873] icircn raport cu punctele
B D O şi icircn raport cu axele Ox Oy şi Oz figura 19 și să se determine componentele
torsorului de reducere ale forţei icircn punctul O dacă se cunosc 119886 = 3 [119898] şi 119887 = 4 [119898]
Fig 19 Aplicația 142
Fig 110 Icircnclinarea momentului 119872119874
119861 = 119861119860 times
119872119861 = 119886 ∙ 119865 = 3 ∙ 100 = 300 [119873 ∙ 119898]
119863 = 119863119860 times
119872119863 = 119887 ∙ 119865 = 4 ∙ 100 = 400 [119873 ∙ 119898]
119874 = 119874119860 times
119872119874 = 119888 ∙ 119865 = radic1198862 + 1198872 ∙ 119865 = radic32 + 42 ∙ 100 = 5 ∙ 100 = 500 [119873 ∙ 119898]
119874 se află icircn planul 119909119874119910 cu icircnclinarea 120572 (figura 110)
tan120572 =119886
119887=3
4= 075 rArr 120572 = arctan(075) = 36860
Deci
120572 = 900 minus 120573 = 900 minus 36860 = 53140
Concluzie Componentele torsorului de reducere al forței icircn punctul O sunt o forta
icircn O identică cu forța din punctul A și momentul forței icircn raport cu punctul O 119874
2 INTRODUCERE IcircN REZISTENŢA MATERIALELOR
21 Obiectul şi problemele Rezistenţei materialelor
Rezistenţa materialelor este o disciplină de cultură tehnică generală care continuă
logic şi dezvoltă Mecanica prin introducerea icircn calcule a proprietăţilor de deformabilitate
ale corpurilor solide reale Icircn Mecanică corpul solid este considerat rigid nedeformabil
iar vectorii forţă de icircncărcare sunt consideraţi alunecători Rezistenţa materialelor ia icircn
studiu corpurile reale care sub acţiunea forţelor exterioare (vectori legaţi) icircşi schimbă
forma geometrică respectiv dimensiunile iniţiale şi se distrug prin rupere la valori mari
ale acestora Prin calculele de rezistenţă se determină dimensiunile secţiunilor
transversale ale corpurilor (elemente de rezistenţă) icircn funcţie de mărimea poziţia şi modul
de acţionare a forţelor exterioare proprietăţile mecanice ale materialelor dimensiunile
constructive forma şi importanţa ansamblului icircn care se icircnglobează iar icircn anumite cazuri
şi de durata de funcţionare Elementele de rezistenţă trebuie să icircndeplinească următoarele
condiţii de bază
- condiţia de rezistenţă care are icircn vedere ca eforturile din elementul de rezistenţă
să nu producă distrugerea acestuia prin rupere sau spargere icircn bucăţi
- condiţia de rigiditate se referă la valorile deformaţiilor care nu trebuie să
depăşească anumite mărimile admisibile
- condiţia de stabilitate care consideră posibilitatea menţinerii formei de echilibru
stabil pentru o anumită stare de icircncărcare
Criteriile de rezolvare ale problemelor de Rezistenţa materialelor sunt
- criteriul economic prin care se impune ca orice element de rezistenţă (piesă) să
fie proiectat şi realizat cu soluţia cea mai economică icircn privinţa materialului utilizat şi al
manoperei
- criteriul de bună funcţionalitate a ansamblului din care face parte elementul de
rezistenţă proiectat respectacircnd condiţiile de rezistenţă rigiditate şi stabilitate
Icircn cadrul Rezistenţei materialelor se admit ipoteze simplificatoare care permit
obţinerea unor relaţii de calcul relativ simple şi care exprimă destul de fidel fenomenul
de solicitare real Experimentările practice icircn laborator permit verificarea legilor
rezistenţei materialelor şi determinarea caracteristicilor mecanice ale materialelor
Rezistenţa materialelor permite rezolvarea următoarelor categorii de probleme
- probleme de dimensionare prin care se stabilesc dimensiunile optime ale
elementelor de rezistenţă proiectate icircn funcţie de icircncărcările exterioare (forţe sau
momente) şi de caracteristicile mecanice ale materialului utilizat
- probleme de verificare la care se determină dacă un element de rezistenţă de
dimensiuni cunoscute satisface condiţiile de rezistenţă rigiditate şi stabilitate cunoscacircnd
icircncărcarea exterioară şi caracteristicile mecanice ale materialului utilizat
- probleme de calcul al capacităţii de icircncărcare al unui element de rezistenţă
cunoscacircndu-se caracteristicile mecanice ale materialului dimensiunile şi modul de
solicitare se determină icircncărcarea maximă pe care o poate suporta elementul de rezistență
fără a ceda sau a se deforma periculos
22 Clasificarea corpurilor icircn Rezistenţa materialelor
Corpurile (elementele de rezistenţă) au icircn general forme constructive relativ
complicate Icircn Rezistenţa materialelor pentru simplificarea calculelor corpurile se
schematizează prin forme geometrice mai simple obţinacircndu-se următoarele grupe
a) corpuri solide cu o dimensiune mult mai mare decacirct celelalte două (corpuri cu
fibră medie) Elementele geometrice caracteristice sunt axa longitudinală şi secţiunea
transversală Aceste corpuri solide pot fi
- fire dacă dimensiunile secţiunii transversale sunt foarte mici astfel icircncacirct axa
longitudinală este flexibilă (icircşi schimbă forma uşor) iar sarcinile transversale nu pot fi
preluate de acesta Un fir nu poate fi solicitat decacirct la icircntindere (exemplu cabluri de
macara lanţuri etc)
- bare care rezistă atacirct la solicitări axiale cacirct şi la solicitări transversale
După modul de solicitare barele poartă diferite denumiri convenţionale
tiranţi-solicitaţi la icircntindere figura 21a
stacirclpi-solicitaţi la compresiune figura 21b
grinzi-solicitate la icircncovoiere figura 21c
arbori-solicitaţi la torsiune (răsucire) figura 21d
Fig 21 Denumirea barelor după modul de solicitare
După modul cum variază secţiunea icircn lungul axei barele pot fi
de secţiune constantă figura 22a
de secţiune variabilă continuă figura 22b sau icircn trepte figura 22c
Fig 22 Denumirea barelor după secțiune
După forma axei longitudinale barele pot fi
drepte figura 21
curbe icircn plan figura 23a sau icircn spaţiu figura 23b (numite și curbe stracircmbe)
cotite (axa barei este o linie fracircntă) plane figura 23c sau spațiale figura 23d
Fig 23 Tipuri de bare curbe și cotite
Secţiunea transversală (plană şi normală pe axa barei) poate avea orice formă
geometrică constantă sau variabilă icircn lungul barei
Dacă una din dimensiunile secţiunii transversale (grosimea) este mai mică
comparativ cu celelalte bara se numește bară cu pereţi subţiri (exemplu barele
realizate din platbande sudate cu secţiuni sub formă de profil I profil U cornier etc)
b) corpuri care au două dimensiuni mult mai mari icircn raport cu a treia (grosimea)
se numesc plăci Elementele geometrice caracteristice ale unei plăci sunt forma şi
dimensiunile suprafeţei mediane respectiv grosimea Plăcile se reprezintă schematic
printr-o suprafață care imită forma și dimensiunile suprafeței mediane Suprafaţa mediană
reprezintă locul geometric al tuturor punctelor egal depărtate de cele două feţe ale plăcii
puncte aflate pe perpendicularele duse icircntre cele două feţe figura 24
După destinaţie și forma suprafeței mediane se deosebesc
plăci plane figura 24b
plăci curbe (icircnvelişuri) cu o singură curbură figura 24a sau avacircnd curbură
dublă figura 24c
Fig 24 Tipuri de plăci plane
Plăcile cu grosime mare sunt denumite frecvent dale O placă de grosime mică
ce nu poate prelua decacirct solicitări la icircntindere poartă numele de membrană
Exemple de plăci icircnvelişurile vasele de revoluţie discurile etc
c) corpuri masive care au toate cele trei dimensiuni aproximativ de acelaşi ordin
de mărime (blocuri de fundaţii bile şi role de rulmenţi tuburi cu pereţi groşi etc)
Calculele de rezistenţă sunt mai simple icircn cazul barelor drepte şi mai complicate
la barele curbe plăci respectiv blocuri
23 Clasificarea icircncărcărilor exterioare
Un corp icircşi păstrează forma şi dimensiunile datorită forţelor de atracţie dintre
particulele sale elementare atacircta timp cicirct asupra sa nu acţionează alte forţe aplicate din
exterior care să-l deformeze Icircn construcţia de maşini elementele de rezistenţă preiau şi
transmit acţiunea unor sarcini exterioare (forţe şisau cupluri) pe care le vom denumi
generic forțe sau icircncărcări exterioare Efectul pe care-l au sarcinile este acela de a
modifica forma şi dimensiunile corpului asupra căruia se aplică Icircn punctele de rezemare
(de sprijin sau de legătură cu alte elemente de rezistenţă icircnvecinate) ca urmare a
principiului acţiunii şi reacţiunii apar forţe de legătură sau reacţiuni Ansamblul format
din sarcini şi reacţiuni este cunoscut sub numele de forţe exterioare Sub acţiunea
forţelor exterioare elementele de rezistenţă trebuie să fie icircn echilibru
Forţele exterioare pot fi clasificate după următoarele criterii
a) după mărimea suprafeţei pe care se aplică
- forțe concentrate aplicate teoretic icircntr-un punct figura 25a
- forțe distribuite uniform sau cu intensitate variabilă icircn lungul barei sau pe o
suprafaţă figura 25bc şi d
- momente concentrate care acţionează icircntr-un punct M sau momente uniform
distribut pe o anumită lungime m
Fig 25 Tipuri de sarcini după mărimea suprafeţei de aplicare
b) după locul de aplicare se deosebesc
- forţe de suprafaţă sau de contur care sunt aplicate din exterior pe suprafaţa
corpurilor şi indică legătura cu piesele icircnvecinate
- forţe masice sau de volum distribuite icircn tot corpul (greutăţi forţe de inerţie
respectiv forţe electromagnetice)
c) după modul de acţiune icircn timp se disting
- forţe statice care se aplică lent şi progresiv pacircnă la valoarea nominală de lucru
şi apoi rămacircn constante figura 26a
- forţe dinamice care rezultă din
aplicarea cu icircntreaga intensitate de la icircnceputul perioadei de solicitare iar apoi forţa se
menţine constantă timp icircndelungat figura 26b (forţe de inerţie)
aplicarea bruscă a sarcinii asupra corpului durata de acţiune a sarcinii fiind mică figura
26c (forţe de şoc)
variaţia periodică icircn timp a intensităţii forţei aplicate figura 26d (forţe de oboseală)
Fig26 Tipuri de forţe exterioare (cicluri de solicitare)
Funcţie de modul de variaţie al forţelor exterioare solicitările pot fi statice
oscilante pulsante alternante etc Experimental s-a constatat că rezistenţa unui material
depinde foarte mult de modul de variaţie a forţelor icircn timp Bach a clasificat solicitările
icircn 3 categorii 1-solicitări statice 2-solicitări pulsante 3-solicitări alternant simetrice
Rezistenţa unui material este icircn raportul 321 pentru cele 3 cazuri de solicitare ale lui
Bach Aceasta icircnseamnă că o piesă solicitată static rezistă la o forţă de 3 ori mai mare
decacirct forţa maximă care produce ruperea aceleaşi piese solicitate alternant simetric
d) după poziţia icircn timp a forțelor se disting
- forţe fixe ale căror puncte de aplicaţie sunt mereu aceleaşi
- forţe mobile ale căror puncte de aplicaţie se deplasează icircn timp De exemplu
sarcinile produse de vehiculele care circulă pe un pod sarcinile unei grinzi de pod rulant
icircntr-o halăetc
24 Reazeme Forțe interioare Eforturi Diagrame de eforturi icircn barele
drepte
241 Reazeme Reacțiuni (forțe de legătură)
Pentru a prelua şi transmite acţiunea sarcinilor exterioare elementele de rezistenţă
din componenţa unei structuri sunt fixate icircntre ele prin intermediul unor legături
exterioare numite reazeme Aceste legături au ca scop icircmpiedicarea anumitor mişcări ale
corpului pe direcţiile pe care acestea nu trebuie să se producă O legătură are deci rolul
de a anula unul sau mai multe grade de libertate ale corpului icircn punctul de rezemare Dacă
este anulat un singur grad de libertate legătura este simplă iar dacă sunt impiedicate mai
multe grade de libertate legătura este una compusă Datorită existenţei sarcinilor
exterioare icircn punctele de rezemare pe direcţiile pe care mişcările sunt icircmpiedicate apar
forţe de legătură numite reacţiuni Numărul natura şi direcţiile reacţiunilor depind de
tipul reazemelor Icircn construcţiile reale există o varietate mare de realizare practică a
reazemelor dar icircn calcule se acceptă anumite schematizări care reţin doar aspectul esenţial
al unui reazem şi anume gradul sau gradele de libertate anulate
Pentru o structură de rezistenţă spaţială icircntr-un punct oarecare sunt posibile şase
deplasări trei deplasări liniare (după direcţiile axelor unui sistem ortogonal) şi trei rotiri
(deplasări unghiulare) icircn jurul aceloraşi axe Ca urmare ar fi posibil de realizat maximum
şase tipuri de reazem
Pentru un element de rezistenţă plan icircncărcat cu eforturi cuprinse icircn planul
elementului icircn orice punct sunt posibile trei gade de libertate două deplasări liniare şi o
rotiri Ca urmare pentru cazul unei bare plane se icircntacirclnesc următoarele tipuri de reazeme
1 Reazemul simplu sau reazemul mobil care icircmpiedică deplasarea pe o direcţie
normală pe suprafaţa de rezemare permiţacircnd deplasarea pe o direcţie paralelă cu
suprafaţa de rezemare şi rotirea barei icircn jurul unei axe perpendiculare pe plan icircn punctul
de rezemare Icircn urma icircmpiedicării deplasării şi datorită unor sarcini exterioare icircn
reazemul simplu apare o reacţiune de tip forţă a cărei suport trece prin punctul de
rezemare şi a cărei direcţie este perpendiculară pe suprafaţa de rezemare figura 27
Fig 27 Reazem simplu (mobil)
Icircn figura 27 este reprezentat un reazem mobil poziţionat pe capătul A al unei bare
plane orizontale fiind evidenţiate punctul şi suprafaţa de rezemare direcţia suportului
reacţiunii şi modul de schematizare al reazemului Cea mai des icircntacirclnită reprezentare a
reazemului mobil este a unui triunghi a cărui bază poate luneca pe suprafaţa de rezemare
2 Reazemul fix sau articulaţia icircmpiedică deplasările liniare după toate direcţiile
din planul barei permiţacircnd doar rotirea barei icircn jurul unei axe perpendiculare pe plan şi
care trece prin puncul de rezemare Reacţiunea este cuprinsă icircn planul barei care trece
prin punctul de rezemare dar a cărei mărime şi direcţie nu sunt cunoscute (forţa R)
figura 28
Fig 28 Reazem fix
Se preferă ca icircn locul unei forţe R avacircnd direcţia oarecare icircn plan necunoscută să
se introducă două forţe (HA şi VA) cărora li se cunoaşte direcţia şi pentru care se vor
determina modulele ca valori din condiţiile de echilibru static Icircntr-un reazem fix apar
icircntotdeauna reacţiuni atacirct pe direcţia perpendiculară pe suprafaţa de rezemare
(verticală) cacirct şi pe direcţia paralelă cu prima (orizontală) chiar dacă uneori una sau
chiar ambele reacţiuni au valoarea zero Reprezentarea schematică a articulaţiei este cea
a unui triunghi cu baza fixă şi cu vacircrful icircn punctul de rezemare sau cea a unui pendul
dublu figura 28
3 Icircncastrarea (sau icircnţepenirea) anulează toate gradele de libertate ale capătului
unei bare icircmpiedicacircnd deplasarea liniară după orice direcţie din plan precum şi rotirea
barei icircn jurul unei axe perpendiculare pe plan şi care trece prin punctul de icircncastrare
Urmare a existenţei sarcinilor exterioare şi a blocării deplasărilor icircn icircncastrare apare o
reacţiune căreia nu i se cunoaşte nici mărimea nici direcţia şi nici punctul de aplicaţie
figura 29
Fig 29 Icircncastrarea
Sub acţiunea forţelor exterioare un sistem este icircn echilibru Valoarea reacţinilor
se determină din condiţia de echilibru a sistemului solicitat
Este cunoscut faptul că un sistem plan este icircn echilibru dacă
nu se deplasează pe o direcţie (fie x această direcţie)
nu se deplasează pe o direcţie perpendiculară pe prima (fie y această direcţie)
nu se roteşte faţă de un punct al planului (fie K acest punct)
Cele trei condiţii enunţate mai sus sunt satisfăcute dacă suma proiecţiilor tuturor
forţelor pe direcţia x respectiv y este nulă şi suma tuturor momentelor (cuplurilor) faţă
de un punct al planului este nulă
242 Forțe interioare Metoda secțiunilor
Icircn vederea calculului de rezistenţă de rigiditate şi de stabilitate a barelor sau a
sistemelor de bare este necesară determinarea forţelor şi momentelor interioare
(eforturilor) care apar icircn secţiunile transversale ale acestora şi datorate icircncărcărilor
exterioare Forțele interioare indică legătura dintre particulele din interiorul corpului şi
se pun icircn evidenţă prin metoda secţiunilor care este un procedeu de raţionament
imaginar propus de Cauchy echivalent cu teoria echilibrului părţilor Conform acestui
raționament bdquodacă un corp solid deformabil este icircn echilibru sub acţiunea unui sistem
generalizat de forţe atunci după secționare fiecare parte a sa va fi icircn echilibru sub
acţiunea forţelor exterioare care-i revin şi a unui sistem de forţe pe care trebuie să-l
introducem icircn secţiunea ce delimitează fiecare parte echivalent cu acţiunea forţelor
aplicate pe partea icircndepărtatărdquo
Problemele care apar la aplicarea metodei secţiunilor sunt
- să pună icircn evidenţă existenţa forţelor interioare mai ales că din ceea ce se ştie o
forţă apare icircn prezenţa a două corpuri ca urmare a principiului acţiunii şi reacţiunii
- să explice modul de distribuţie al forţelor interioare pe secţiune
Considerăm un corp aflat icircn echilibru sub acţiunea unui sistem de forţe exterioare
1 2 3⋯119894 ⋯ 119899minus1 119899 şi presupunem că-l secţionăm cu un plan transversal Q (sau cu
o suprafaţă oarecare) figura 210a Icircn urma secţionării fictive (imaginare) conform
principiului echilibrului părţilor fiecare din cele două părţi obţinute trebuie să fie icircn
echilibru sub acţiunea forţelor exterioare care le revin şi a cacircte unui sistem de forţe
interioare pe care trebuie să-l introducem icircn secţiunile rezultate sistem echivalent cu
acţiunea forţelor exterioare ce acţionează asupra celeilalte părţi Astfel pe partea din
dreapta (notată cu II) delimitată de secţiunea de arie Ad sunt aplicate forţele exterioare
119894 ⋯ 119899minus1 119899 şi un sistem de forţe interioare căruia nu i se cunoaşte decacirct efectul acelaşi
cu cel al forţelor 1 2 3 de pe parea din stacircnga (notată cu I şi delimitată de secţiunea
de arie As) figura 210b Prin metoda secţiunilor am reuşit să punem icircn evidenţă existenţa
forţelor interioare şi să le trecem icircn categoria celor exterioare cărora le putem aplica
relaţiile de echivalenţă şi de echilibru cunoscute din statică Ideal ar fi să cunoaştem
distribuţia şi intensitatea punctuală a acestor forţe pentru că s-ar putea ca icircn anumite
puncte ale secţiunii valoarea forţelor să depăşească limita de rezistenţă (limita de curgere)
a materialului Cunoaşterea distribuţiei punctuale a forţelor interioare nu se poate realiza
decacirct icircn cazuri particulare relativ simple de solicitare
Să considerăm partea din dreapta a corpului asupra căreia acționează forțele
119894 ⋯ 119899minus1 119899 mărginit de aria Ad pe care acționează un sistem de forțe interioare
echivalent cu 1 2 3 Deși forțele interioare de pe Ad nu se cunosc totuși efectul lor
este același cu cel al forțelor 1 2 3 deci le putem reduce icircn centrul de greutate C al
secțiunii Ad rezultacircnd componentele torsorului de reducere al forțelor interioare
(119894119889 119894119889) și pentru partea din stacircnga (119894119904 119894119904) Evident conform principiului acțiunii și
reacțiunii
119894119889 = minus119894119904
119894119889 = minus119894119904 (21)
Pe de altă parte cum fiecare dintre părțile corpului după secționare trebuie să fie
icircn echilibru sub acțiunea forțelor exterioare care le revin și a forțelor interioare introduse
rezultă
119894119889 = minus119890119889
119894119889 = minus119890119889
119894119904 = minus119890119889
119894119904 = minus119890119904 (22)
Combinacircnd (21) cu (22) rezultă
119894119889 = 119890119889
119894119889 = 119890119889
119894119904 = 119890119904
119894119904 = 119890119904 (23)
Fig 210 Forțe interioare
Relațiile (22) și (23) permit determinarea componentelor torsorului de reducere
al forțelor interioare din (23) rezultă componentele torsorului forțelor interioare care
acționează icircn secțiunea Ad sunt egale cu componentele torsorului de reducere al forțelor
exterioare de pe partea din stacircnga din (22) rezultă componentele torsorului forțelor
interioare care acționează icircn secțiunea Ad sunt egale și de sens contrar cu componentele
torsorului de reducere al forțelor exterioare de pe partea din dreapta
Observații
1 Torsorul forțelor interioare diferă de la o secțiune la alta dar pentru aceeași
secțiune el este unic și trebuie să respecte condițiile de compatibilitate a deformațiilor
2 Reducacircnd forțele interioare icircn centrul de greutate al secțiunii s-a făcut o
aproximare icircn ceea ce privește efectul modului de dispunere al forțelor
3 Punctul de reducere trebuie să fie
pentru forțele interioare normale la secțiune centrul de greutate
pentru forțele interioare tangente la planul secțiunii centrul de răsucire sau de
tăiere
243 Eforturi
Prin metoda secțiunilor am pus icircn evidență existența forțelor interioare și modul
icircn care se determină componentele torsorului de reducere al forțelor interioare (119894119889 119894119889) de pe fața din dreapta secțiunii (Ad) Cele două componente ale torsorului de reducere al
forțelor interioare de pe Ad se pot descompune după axele unui sistem de referință
triortogonal xCyz astfel
119894119889 = +
119894119889 = 119909 +119872119894 (24)
unde și 119909 sunt proiecțiile lui 119894119889 și respectiv 119894119889 pe axa longitudinală Cx a
barei iar și 119894 sunt proiecțiile acelorași componente 119894119889 și respectiv 119894119889 pe planul yCz
al secțiunii transversale Ad figura 211
Fig 211 Torsorul de reducere al forţelor interioare
La racircndul lor și 119894 se pot descompune după axele sistemului yCz figura 212
= 119910 + 119911
119894 = 119894119910 + 119894119911 (25)
Fig 212 Descompunerea forţei tăietoare şi a momentului icircncovoietor
Cele șase componente ale torsorului de reducere al forțelor interioare ( 119910 119911
119909 119894119910 119894119911) orientate după axele sistemului de referință xCyz se numesc eforturi
Fiecare efort are o denumire stabilită icircn funcție de tipul de deformație pe care-l produce
De asemenea semnul plus (bdquo+rdquo) sau minus (bdquondashrdquo) al fiecărui efort nu depinde de sensul
pozitiv sau negativ al sistemului de axe ci doar de efectul icircn deformații al fiecărui efort
Denumirile celor șase eforturi sunt
119873 este forța axială
119879119910 119879119911 sunt forțe tăietoare orientate după axele Cy și respectiv Cz
119872119909 notat de cele mai multe ori cu 119872119905 este moment de torsiune sau de răsucire
119872119894119911 119872119894119910 sunt momente de icircncovoiere icircn jurul axei Cz și respectiv Cy
Forța axială 119873 poate fi forță axială de icircntindere cacircnd produce o lungire a
tronsonului pe a cărei față acționează (119873 gt 0) figura 213a sau forță axială de
compresiune cacircnd sub efectul ei bara se scurtează (119873 lt 0) figura 213b
Fig 213 Forța axială
Forțele tăietoare 119879119910 și 119879119911 au ca efect lunecarea secțiunii icircn centrul căreia
acționează icircn raport cu secțiunea icircnvecinată lunecare ce se produce pe direcția și icircn sensul
forței Sub acțiunea unei forțe tăietoare bara este solicitată la forfecare Forța tăietoare
este pozitivă 119879119910 gt 0 dacă icircn raport cu un punct oarecare K de pe axa Cx a barei tinde să
rotească secțiunea pe care acționează icircn sens orar
Fig 214 Forța tăietoare
Momentele de icircncovoiere 119872119894119911 și 119872119894119910 au ca efect o rotire a secțiunii icircn centrul
cărora acționează icircn jurul axei după care sunt orientate Icircn figura 215a se vede că
datorită momentului 119872119894119911 fibrele de deasupra axei Cz se alungesc icircn timp ce fibrele de sub
axa Cz se scurtează Fibrele care trec prin axa de icircncovoiere Cz nu se deformează sunt
fibre neutre la icircncovoiere adică axa neutră este Cz Icircn cazul momentului de icircncovoiere
119872119894119910 fibrele care nu se deformează sunt cele care trec prin axa neutră la icircncovoiere Cy
Momentele de icircncovoiere se consideră a fi pozitive (119872119894119911 gt 0119872119894119910 gt 0) dacă
observatorul care privește bara deformată vizualizează fibrele icircntinse
Fig 215 Momentul icircncovoietor
Momentul de torsiune sau de răsucire 119872119909 equiv 119872119905 are ca efect o rotire a secțiunii
icircn al cărei centru acționează icircn jurul axei longitudinale Cx Ca efect secțiunea icircși schimbă
forma (se deformează) adică unghiurile inițiale se modifică dreptunghiul inițial Ad
devine paralelogram Convențional se consideră 119872119905 gt 0 dacă vectorul moment are
aceeași orientare ca și sensul pozitiv ales pextru axa Cx Icircn figura 216 momentul este
negativ
Fig 216 Momentul de torsiune
25 Definiții și convenții de semne pentru eforturile
din secțiunile unei bare drepte plane icircncărcate cu sarcini coplanare
Vom considera o bară plană icircncărcată cu un sistem de forțe arbitrar figura 217
Ne propunem să determinăm eforturile care apar icircn secțiunea barei aflată la distanța 119909 de
reazemul din stacircnga (A)
Pentru aceasta vom aplica metoda secțiunilor vom secționa bara cu un plan
perpendicular pe axa longitudinală a barei și vom analiza doar partea din dreapta secțiunii
mărginită de fața Ad Pentru ca această porțiune de bară să fie icircn echilibru sub acțiunea
forțelor exterioare care acționează asupra sa 1198653 și 119881119861 va trebui să introducem icircn centrul
secțiunii Ad eforturile care pot să apară 119873 119879119910 119872119894119911 Acțiunea acestor eforturi trebuie să
fie echivalentă cu acțiunea forțelor exterioare aplicate pe partea icircnlăturată (parcursă) a
barei 119867119860 119881119860 1198651 1198652 1198720
Deoarece bara este plană și este icircncărcată doar cu sarcini ce aparțin
planului barei
icircn secțiunea Ad apar doar 3 componente ale torsorului de reducere al forțelor
interioare (eforturi)
- 119873 = forța axială
- 119879119910 = forța tăietoare pe care o vom nota cu 119879
- 119872119894119911 = momentul icircncovoietor notat cu Mi
Fig 217 Bară plană icircncărcată cu un sistem de forțe
Vom prezenta următoarele definiții corespunzătoare eforturilor din secțiunea Ad
119873 = forța axială dintr-o secțiune este egală cu suma algebrică a proiecțiilor pe
axa longitudinală a tuturor forțelor exterioare (sarcini și reacțiuni) aplicate pe partea
din stacircnga secțiunii adică pe porțiunea parcursă Forța axială 119873 este pozitivă dacă trage
de tronsonul pe a cărei față acționează (are orientarea normalei exterioare la secțiunea
Ad)
119873(119909) = minus119867119860 + 1198651119867 (26)
119879 = forța tăietoare icircntr-o secțiune este egală cu suma algebrică a proiecțiilor
pe o axă perpendiculară pe axa barei a tuturor forțelor exterioare (sarcini și reacțiuni)
aplicate pe porțiunea de bară aflată icircn stacircnga secțiunii considerate Forța tăietoare 119879
este pozitivă dacă tinde să rotească tronsonul pe a cărui față acționează icircn sens orar icircn
raport cu un punct de pe axa barei aflat la dreapta secțiunii
119879(119909) = 119881119860 minus 1198651119881 minus 1198652 (27)
119872119894 = momentul icircncovoietor icircntr-o secțiune este egal cu suma algebrică a
momentelor obținute prin reducerea tuturor forțelor exterioare ( cupluri sarcini
reacțiuni) aplicate pe porțiunea de bară aflată la stacircnga secțiunii icircn centrul secțiunii
considerate 119872119894 este considerat pozitiv dacă tinde să deformeze bara astfel icircncacirct fibrele
spre care privește un observator să fie icircntinse Cum poziția observatorului este de regulă
sub bară bara se deformează dacă 119872119894 gt 0 astfel icircncacirct partea jos a barei este icircntinsă Se
spune că bara deformată rdquoține apaldquo
119872119894(119909) = 119881119860 ∙ 119909 minus 1198651119881 ∙ (119909 minus 1198971) minus 1198652 ∙ [119909 minus (1198971 + 1198972)] + 1198720 (28)
Sensurile pozitive ale eforturilor care apar icircn centrul secțiunii Ad (deci atunci cacircnd
sensul de parcurs la aplicarea metodei secțiunilor este cel de la stacircnga la dreapta) sunt
indicate icircn figura 218a iar dacă sensul de parcurs este de la dreapta la stacircnga sensurile
pozitive ale eforturilor sunt indicate icircn figura 218b
Fig 218 Convenţia de semne
Definiții asemănătoare se pot da și pentru eforturile din centrul secțiunii As figura
218b adică pentru cazul icircn care sensul de parcurs este cel de la dreapta la stacircnga și deci
partea luată icircn considerare este cea din stacircnga iar partea parcursă din dreapta secțiunii
este icircnlăturată
119873(1199091) = 1198653119867
119879(1199091) = 1198653119881 minus 119881119861
119872119894(1199091) = 119881119861 ∙ 1199091 minus 1198653119881 ∙ (1199091 minus 1198975)
(29)
Avacircnd icircn vedere că fețele Ad și As aparțin aceleeași secțiuni este evident faptul că
eforturile 119873(119909) 119879(119909) și 119872119894(119909) sunt identice cu eforturile 119873(119961120783) 119879(119961120783) și respectiv
119872119894(119961120783) Icircn figura 218c se prezintă o sinteză a convențiilor de semne pozitive pentru cele
3 eforturi atacirct pentru sensul de parcurs de la stacircnga la dreapta (secțiunea Ad) cacirct și pentru
sensul invers (secțiunea As)
Semnele eforturilor sunt importante icircntrucacirct există materiale cu comportări diferite
la icircntindere față de compresiune iar o schimbare a semnului unui efort poate produce
erori grave icircn calcule Semnele eforturilor au fost stabilite icircn funcție de deformațiile
produse și nu depind de sensul axelor sistemului de coordonate
26 Relaţii diferenţiale icircntre eforturi şi sarcini
Pentru a vedea ce legătură există icircntre eforturi și sarcini vom considera o bară
dreaptă icircncărcată cu o sarcină distribuită după o lege oarecare figura 219a Din această
bară vom decupa prin dublă secționare un element de lungime infinit mică 119889119909 Deoarece
lungimea 119889119909 este foarte mică se poate considera sarcina 119901 uniform distribuită Icircn
secțiunile rezultate trebuie să introducem eforturile care pot apărea
- 119879 şi 119872119894 icircn centrul secțiunii din sticircnga eforturi pe care le considerăm pozitive
- 119879 + 119889119879 şi 119872119894 + 119889119872119894 icircn centrul secțiunii din dreapta elementului
Aceste eforturi au o variație mică (119889119879 şi 119889119872119894) față de secțiunea anterioară Spre
deosebire de cazul icircn care bara este secționată o singură dată icircn acest caz eforturile nu
pot fi determinate din cele 2 condiții de echilibru independente deoarece icircn ecuațiile de
echilibru apar 4 necunoscute 119879 119889119879119872119894 și 119889119872119894 deci că problema este dublu static
nedeterminată figura 219
Fig 219 Echivalența icircntre eforturi și sarcini
Ecuațiile de echilibru scrise pentru elementul din figura 219b conduc la stabilirea
unor relaţii foarte importante
(sum119865)119910= 0 hArr 119879 minus 119901 ∙ 119889119909 minus (119879 + 119889119879) = 0 rArr
119889119879
119889119909= minus119901 (210)
Relația (210) arată că derivata funcţiei forţei tăietoare icircn raport cu abscisa
secţiunii este egală cu sarcina distribuită normală la axa barei din acea secţiune luată
cu semn schimbat
Observații
dacă 119901 = 0 nu există sarcină distribuită atunci forța tăietoare T este constantă
icircnclinarea pantei diagramei forței 119879 este egală cu (ndash 119901) (sarcina distribuită cu
semn schimbat)
dacă 119901 = 119888119900119899119904119905 119879 variază liniar pe acel interval
Asemănător se deduce că derivata funcţiei forţei axiale icircn raport cu abscisa
secţiunii este egală cu sarcina distribuită axială din acea secţiune luată cu semn
schimbat adică
119889119873
119889119909= minus119901119867 (211)
Din condiția de echilibru suma de momente faţă de centrul de greutate al secţiunii
din dreapta
(sum119872)119862= 0 hArr 119872119894 minus (119872 + 119889119872119894) + 119879 ∙ 119889119909 minus 119901 ∙
(119889119909)2
2= 0 rArr
119889119872119894
119889119909= 119879 (212)
Relația (212) s-a obținut dupa reducerea termenilor și prin neglijarea infinitului
mic de ordinul 2
119901 ∙(119889119909)2
2
Relația (212) arată că derivata funcţiei moment icircncovoietor icircn raport cu abscisa
secţiunii este egală cu forţa tăietoare din acea secţiune
Observații
dacă 119879 = 0 momentul 119872119894 are un punct de extrem se obține o valoare maximă
pentru 119872119894119898119886119909 dacă forța tăietoare 119879 se anulează trecacircnd de la plus icircn stacircnga la minus icircn
dreapta secțiunii
dacă forța tăietoare este pozitivă pe un interval 119879 gt 0 atunci 119872119894 este crescătoare
pe acel interval
dacă forța tăietoare este negativă pe un interval 119879 lt 0 atunci 119872119894 este
descrescătoare pe acel interval
dacă pe un interval 119901 = 0 forța tăietoare este constantă 119879 = 119888119905 iar 119872119894 variază
liniar pe acel interval
dacă 119901 = 119888119900119899119904119905 119879 variază liniar pe acel interval iar 119872119894 variază parabolic pe
acel interval
Relaţiile diferenţiale sunt utile la reprezentarea corectă şi verificarea diagramelor
de eforturi astfel
pentru porţiunile de grindă pe care p = 0 eforturile N şi T sunt constante iar pe
porţiunile cu p = const eforturile N şi T variază liniar (relaţiile 211 şi 210)
dacă pe o porţiune T = const momentul icircncovoietor Miz variază liniar iar dacă
T variază liniar atunci momentul Miz variază parabolic (relaţia 212)
pe domeniile pe care T gt 0 funcţia Mi(x) este crescătoare iar icircn secţiunea icircn
care T = 0 (graficul funcţiei T intersectează axa x) momentul icircncovoietor are un punct
de extrem local (maxim sau minim relaţia 212)
Pentru rezolvarea problemelor referitoare la trasarea diagramelor de eforturi
pentru barele drepte solicitate de sisteme de forţe plane se parcurg următoarele etape
1) identificarea forţelor aplicate (date) şi pregătirea lor pentru calcule
(descompunerea forţelor concentrate pe direcţiile x şi y calculul rezultantelor forţelor
distribuite)
2) identificarea reazemelor şi introducerea reacţiunilor corespunzătoare (vezi
figurile 27divide29)
3) stabilirea ecuaţiilor de echilibru static calculul şi verificarea reacţiunilor Icircn
rezistența materialelor se folosește sistemul de ecuații (vezi figura 217)
(sum119865)
119909= 0
(sum119872)119860= 0
(sum119872)119861= 0
(213)
4) identificarea domeniilor de variaţie şi scrierea funcţiilor de eforturi pentru N T
şi Mi
5) reprezentarea grafică a diagramelor de eforturi
6) verificarea corectitudinii diagramelor pe baza relaţiilor diferenţiale icircntre eforturi
şi sarcini
Aplicație Pentru grinda dreaptă icircncărcată cu sistemul de forţe reprezentat icircn figura
220 se cere
a) să se calculeze şi să se verifice reacţiunile
b) să se stabilească funcţiile eforturilor Nx Ty şi Miz şi să se reprezinte diagramele
de variaţie
c) să se analizeze relaţiile diferenţiale icircntre eforturi şi sarcini
Dimensiunile grinzii au valorile a = 6 [m] b = 4 [m] și c = 4[m] sistemul de
forţe aplicat fiind format din p = 10 [kN mfrasl ] F = 20 [kN] (icircnclinată cu unghiul α =300 faţă de orizontală) şi M0 = 40 [kN ∙ m]
Rezolvare
a) Se fac următoarele precizări
grinda dreaptă se reprezintă prin axa geometrică
forţa icircnclinată F se descompune după direcţiile orizontală şi verticală icircn FV =F ∙ sin α = 10 [kN] şi FH = F ∙ cos α = 173 [kN]
forţa distribuită uniform p este echivalentă din punct de vedere static cu
rezultanta sa R = p ∙ a = 60 [kN] care acţionează la jumătatea porţiunii de lungime a
icircn reazemele 119860 şi 119861 se introduc componentele HA şi VA respectiv VB ale
reacţiunilor
Pentru calculul reacţiunilor se utilizează ecuaţiile de echilibru static al grinzii
sumXi = 0 HA minus FH = 0 sumYi = 0 VA + VB minus R minus FV = 0 (sumM)B = 0 VA ∙ (b + a) minus R ∙ (b + 05 ∙ a) minus M0 + FV ∙ c = 0
(A1)
Din prima ecuaţie se obţine HA iar din cea de-a treia ecuaţie rezultă VA
HA = FH = 173 [kN]
VA =[R ∙ (b + 05 ∙ a) + M0 minus FV ∙ c]
(b + a)=[60 ∙ (4 + 05 ∙ 6) + 40 minus 10 ∙ 4]
(4 + 6)
VA = 42 [kN]
(A2)
Fig 220 Aplicație
Se observă că cea de-a doua ecuaţie de echilibru conţine două necunoscute
reacţiunile VA şi VB Pentru a calcula componenta VB nu este indicată introducerea lui VA
icircn cea de-a doua ecuaţie a sistemului (A1) pentru că o valoare determinată greşit pentru
VA conduce la o valoare VB de asemenea greşită O ecuaţie independentă din care se poate
determina componenta VB este următoarea
(sumM)A= 0 FV ∙ (a + b + c) minus VB ∙ (a + b) minus M0 + R ∙ 05 ∙ a = 0 (A3)
de unde se obţine
VB =[FV ∙ (a + b + c) minusM0 + R ∙ 05 ∙ a]
(b + a)=[10 ∙ (6 + 4 + 4) minus 40 + 60 ∙ 05 ∙ 6]
(6 + 4)
VB = 28 [kN] (A4)
Ecuaţia de proiecţii ale forţelor pe direcţia verticală (a doua ecuaţie din sistemul
A1) se utilizează pentru verificarea reacţiunilor deja determinate
VA + VB minus R minus FV = 0 rArr 42 + 28 minus 60 minus 10 = 0 (A5)
Ultima egalitate demonstrează că reacţiunile verticale au fost calculate corect
Din cele de mai sus rezultă ordinea firească pentru determinarea reacţiunilor icircn
cazul grinzilor simplu rezemate
sumXi = 0
(sumM)A = 0
(sumM)B = 0
(A6)
iar pentru verificarea componentelor verticale VA şi VB se folosește ecuaţia sumY = 0
b) La stabilirea funcţiilor de eforturi se parcurg icircn general etapele următoare
se notează (numeric sau literal după preferinţă) secţiunile care delimitează
domeniile (intervalele sau tronsoanele) pe care eforturile nu-şi modifică funcţiile (au legi
unice de variaţie)
pe fiecare domeniu se marchează secţiunea imaginară icircn care se stabilesc
funcţiile eforturilor
secţiunea astfel aleasă separă icircn două părţi grinda şi anume porţiunea din stacircnga
şi porţiunea din dreapta secţiunii
se va considera parcursă (şi icircndepărtată) acea parte pe care acţionează mai puţine
sarcini exterioare pentru că acestea vor interveni icircn expresiile funcţiilor de eforturi
poziţiile secţiunilor imaginare se vor determina prin variabilele x1 ⋯ xn (unde
n reprezintă numărul domeniilor de variaţie) cu originea fixată icircn capătul intervalului şi
sensul de parcurgere spre partea considerată rămasă
Grinda prezentată icircn figura 220 are trei domenii de variaţie pentru funcţiile de
eforturi după cum urmează (A-1) (2-B) şi (B-1)
Domeniul (A-1) x1 isin [0 a = 6 m] Porţiunea parcursă şi considerată icircndepărtată este cea de coordonată x1 pe care
acţionează reacţiunile HA şi VA precum şi rezultanta parţială a sarcinii distribuite R1 =p ∙ x1
Funcţia forţă axială Nx are expresia
Nx(x1) = NAminus1 = minusHA = minus173 [kN] = const
(A7)
Funcţia forţă tăietoare Ty are exspresia
Ty(x1) = TAminus1 = VA minus R1 = VA minus p ∙ x1 (A8)
care reprezintă o variaţie liniară de variabilă x1 Se calculează valorile forţei tăietoare la
limitele intervalului de variaţie
- pentru x1 = 0 Ty(x1 = 0) = TA = VA = 42 [kN]
- pentru x1 = a = 6 [m] Ty(x1 = 6) = T1 = VA minus p ∙ a = minus18 [kN]
Observaţie Aşa cum a fost stabilită secţiunea fictivă poziţionată prin coordonata
x1 sar părea că rezultanta R ar trebui luată icircn calculul lui Ty(x1) Acest lucru ar fi greşit
pentru că R = p ∙ a reprezintă rezultanta sarcinii distribuite pe toată lungimea a iar
rezultanta pe porţiunea parcursă de lungime x1 este R1 = p ∙ x1 ne R = p ∙ a
Cu valorile obţinute se trasează diagramele forţelor axială Nx = f(x) şi tăietoare
Ty = f(x) figura 220 Din diagrama forţei tăietoare şi din valorile obţinute analitic se
observă că forţa tăietoare icircşi schimbă semnul pe intervalul analizat deci se anulează pe
acest interval Poziţia secţiunii unde Ty se anulează se determină din ecuaţia
Ty(x1) = 0 rArr VA minus p ∙ x1 = 0 (A9)
cu soluţia x1lowast = ξ = 42 [m] Important de reamintit că icircn această secţiune momentul
icircncovoietor va avea un extrem local adică Miz are un extrem la Ty = 0
Funcţia moment icircncovoietor Miz are expresia
Miz(x1) = VA ∙ x1 minus R1 ∙x12= VA ∙ x1 minus (p ∙ x1) ∙
x12
(A10)
Se observă că funcţia moment icircncovoietor de variabilă x1 are o variaţie parabolică
(gradul al II-lea) Pentru reprezentarea grafică a funcţiei parabolice se calculează valorile
momentului icircncovoietor icircn trei secţiuni
- pentru x1 = 0 Miz(x1 = 0) = MA = 0 [kN ∙ m] - pentru x1 = a = 6 [m] Miz(x1 = 6) = M1 = 72 [kN ∙ m] - pentru x1
lowast = ξ = 42 [m] Miz(x1lowast = ξ = 42 [m]) = Mimax = 882 [kN ∙ m]
Cu acestea se trasează diagrama Miz = f(x) pe intervalul (A-1) figura 220
Observaţie Icircn unele cazuri pe un anumit interval forţa tăietoare nu se anulează
şi momentul icircncovoietor nu are un extrem local Icircn acest caz pentru reprezentarea
variaţiei parabolice a momentului icircncovoietor se va studia semnul derivatei a doua a
funcţiei Miz = f(x1) acesta determinacircnd convexitatea curbei momentului icircncovoietor
Domeniul (2-B) x2 isin [0 c = 4 m] Porţiunile din grindă libere (nerezemate) la un capăt se numesc console iar
stabilirea funcţiilor de eforturi devine mai simplă dacă se consideră icircndepărtată partea din
dreapta secţiunii prin schimbarea sensului pozitiv al axei x Astfel se obţin funcţiile eforturilor
Funcţia forţă axială Nx are expresia
Nx(x2) = N2minusB = minusFH = minus173 [kN] = const
(A11)
Funcţia forţă tăietoare Ty are exspresia
Ty(x2) = T2minusB = FV = 10 [kN] = const (A12)
Funcţia moment icircncovoietor Miz are expresia
Miz(x2) = minusFV ∙ x2 rArr Miz(x2 = 0) = M2 = 0 [kN ∙ m]
Miz(x2 = 4) = MB = minus40 [kN ∙ m] (A13)
variaţie liniară (gradul I)
Domeniul (B-1) x3 isin [0 b = 4 m] Pe acest domeniu se acceptă parcurgerea grinzii de la dreapta adică se consideră
icircndepărtată partea din dreapta secţiunii fictive pentru că are doar două sarcini aplicate F
şi VB faţă de partea din stacircnga secţiunii pe care sunt aplicate trei sarcini p VA şi M0
Astfel se obţin funcţiile eforturilor
Funcţia forţă axială Nx are expresia
Nx(x3) = NBminus1 = minusFH = minus173 [kN] = const
(A14)
Funcţia forţă tăietoare Ty are exspresia
Ty(x3) = TBminus1 = FV minus VB = minus18 [kN] = const (A15)
Funcţia moment icircncovoietor Miz are expresia
Miz(x3) = minusFV ∙ (x3 + c) + VB ∙ x3 rArr
rArr Miz(x3 = 0) = MB = minus40 [kN ∙ m]
Miz(x3 = 4) = M1 = 32 [kN ∙ m]
(A16)
variaţie liniară (gradul I)
Diagramele eforturilor sunt prezentate icircn figura 220
c) Relaţiile diferenţiale dintre eforturi şi sarcini se analizează pe diagramele
eforturilor după cum urmează
sarcina distribuită nu are componentă orizontală adică ph = 0 şi icircn
conformitate cu formula (211) rezultă că Nx = const pe toată lungimea grinzii fapt care
a rezultat din funcţia şi reprezentarea diagramei forţei axiale
pe intervalul (A-1) sarcina distribuită are doar componenta verticală pozitivă
pV = p gt 0 prin urmare forţa tăietoare scade (are panta negativă dTy 119889119909frasl = minusp vezi
relaţia 210) iar momentul icircncovoietor avacircnd derivata a doua negativă d2M119894119911 1198891199092frasl =minuspare convexitatea curbei orientată spre sensul pozitiv al axei momentului Miz adică icircn
jos
pe domeniile (2-B) şi (B-1) deoarece pv = 0 forţa tăietoare Ty este constantă
iar momentul icircncovoietor Miz variază liniar
referitor la relaţia (212) pe porţiunile unde Ty gt 0 momentul Miz este
monoton crescător pe porţiunile unde Ty lt 0 momentul Miz este monoton descrescător
iar icircn secţiunea icircn care Ty = 0 momentul icircncovoietor are un extrem local Mξ =
882 [kN ∙ m] icircn diagrama forţei tăietoare discontinuităţile (salturile) se produc icircn secţiunile
unde acţionează VA VB şi FV iar icircn diagrama momentului icircncovoietor se produce un
singur salt icircn secţiunea icircn care este aplicat M0
se poate scrie
Mξ = suprafața diagramei Ty |ξ0=1
2∙ 42 ∙ 42 = 882 [kN ∙ m]
sau parcurgacircnd grinda de la dreapta la stacircnga rezultă
MB = minussuprafața diagramei Ty |c0= minus10 ∙ 4 = minus40 [kN ∙ m]
Toate aspectele analizate teoretic referitoare la relaţiile diferenţiale dintre eforturi
şi sarcini se regăsesc icircn diagramele de eforturi din figura 220 ceea ce icircnseamnă că
diagramele au fost reprezentate corect
3 TENSIUNI DEPLASĂRI ŞI DEFORMAŢII SPECIFICE
31 Tensiuni
Eforturile obținute icircn urma reducerii forțelor interioare icircn centrul de greutate al
secțiunii nu pot da informații asupra solicitării fiecărui punct al secțiunii respective Este
necesar să se cunoască modul cum se distribuie forțele interioare icircn fiecare punct al
secțiunii pentru a ști care este intensitatea maximă a solicitării Această intensitate
maximă se poate compara cu o valoare critică specifică materialului stabilindu-se astfel
dacă solicitarea este periculoasă sau nu
Mărimea care caracterizează solicitarea locală punctuală o vom denumi tensiune
și o vom defini icircn cele ce urmează Să considerăm partea din dreapta a unui corp solicitat
de forțele exterioare 1198651 1198652 și 1198653 obținută prin secționarea corpului și mărginită de fața
din dreapta Ad a secțiunii Pe secțiunea Ad vom considera un element de arie infinit mic
∆119860 caracterizat de normala la elementul de arie normală care are cosinușii directori
120573 și icircn raport cu un sistem de axe considerat fix Pe elementul infinit mic ∆119860 acționează
forțele interioare care au o rezultantă oarecare figura 31
Prin definiție tensiunea totală este
= lim∆119860rarr0
∆
∆119860 (31)
Tensiunea are aceeaşi direcţie cu forţa elementară ∆ iar mărimea ei este
determinată atacirct de mărimea forţei ∆ cacirct şi de orientarea suprafeţei ∆119860 faţă de direcţia
forţei
Tensiunea 119901 poate fi descompusă icircntr-o componentă orientată după direcţia
normalei la secţiune tensiunea normală notată cu 120590119909 şi o componentă icircn planul secţiunii
tensiunea tangenţială notată cu figura 32
= 119909 + 120591 (32)
Fig 31 Tensiunea totală Fig 32 Tensiunea normală și tangențială
La racircndul ei componenta tensiunii cuprinsă icircn planul secțiunii poate fi
descompusă după direcțiile axelor y și z
120591 = 120591119909119910 + 120591119909119911 (33)
Icircntre cele trei componente ale tensiunii totale care acționează pe elementul de arie
∆119860 este valabilă relația
1199012 = 1205901199092 + 120591119909119910
2 + 1205911199091199112 (34)
După sensul pe care icircl are tensiunea normală 120590 poate avea efect de tracţiune sau
de compresiune exercitat de către partea de corp icircnlăturată asupra părţii rămase Analog
tensiunea tangenţială 120591 poate avea efect de tăiere forfecare sau alunecare Pentru
componentele tensiunii tangențiale 120591119909119910 pe direcţia 119910 respectiv 120591119909119911 pe direcţia 119911 primul
indice indică axa pe care tensiunea este normală iar cel de-al doilea indice indică axa cu
care aceasta este paralel
Tensiunea este o mărime tensorială valoarea ei depinzacircnd atacirct de poziția
punctului icircn planul secțiunii cicirct și de orientarea planului de secționare deci de normala
Operaţiile vectoriale nu pot fi aplicate tensiunilor decacirct după ce acestea au fost icircnmulţite
cu ariile respective adică au fost transformate icircn forţe
Icircn literatura de specialitate mai ales icircn manualele mai vechi pentru noţiunea de
tensiune se mai foloseşte şi denumirea de efort specific
Dacă se consideră un alt element de arie ∆119860 cu centrul icircn același punct avacircnd ca
normală axa 119910 se vor obține alte tensiuni și anume
- 120590119910 este tensiunea normală (paralelă cu axa y)
- 120591119911119909 și 120591119910119911 sunt tensiuni tangențiale paralele cu axele 119909 și respectiv 119911 aflate icircn
planul care are ca normală axa 119910
Dacă icircn jurul unui punct dintr-un corp solicitat se consider un element de volum
infinit mic de forma unui cub icircn cazul cel mai general pe fețele sale vor acționa
tensiunile normale 120590119909 120590119910 și 120590119911 și respectiv tensiunile tangențiale 120591119909119910 120591119909119911 120591119910119909 120591119910119911 120591119911119909
și respectiv 120591119911119910 figura 33 Aceste tensiuni definesc starea de tensiune a punctului
observacircnd faptul că tensorul tensiune are 9 componente Dacă se consideră elementul
de volum finit ca fiind foarte mic se poate presupune că icircn interiorul său nu apar forțe
Ca urmare el va fi icircn echilibru sub acțiunea forțelor elementare produse de tensiunile de
pe fețele sale
Din condiția ca elementul să nu se rotească icircn jurul unor axe care trec prin centrul
său și sunt paralele cu axele sistemului 119909119874119910119911 rezultă
2 ∙ 120591119909119910 ∙ (119889119910 ∙ 119889119911) ∙119889119909
2= 2 ∙ 120591119910119909 ∙ (119889119909 ∙ 119889119911) ∙
119889119910
2 rArr 120591119909119910 = 120591119910119909 (35)
2 ∙ 120591119910119911 ∙ (119889119909 ∙ 119889119911) ∙119889119910
2= 2 ∙ 120591119911119910 ∙ (119889119909 ∙ 119889119910) ∙
119889119911
2 rArr 120591119910119911 = 120591119911119910 (36)
2 ∙ 120591119909119911 ∙ (119889119910 ∙ 119889119911) ∙119889119909
2= 2 ∙ 120591119911119909 ∙ (119889119909 ∙ 119889119910) ∙
119889119911
2 rArr 120591119909119911 = 120591119911119909 (37)
Relațiile (35divide37) 120591119909119910 = 120591119910119909 120591119910119911 = 120591119911119910 120591119909119911 = 120591119911119909 exprimă principiul dualității
tensiunilor tangențiale
Fig 33 Tensiunile normale și tangențiale pe fețele unui cub
Din condiția ca elementul considerat să nu se deplaseze icircn lungul axelor de
coordonate pe fețele opuse acționează aceleași tensiuni normale 120590119909 120590119910 și respectiv 120590119911
Definirea tensorului tensiune este posibilă dacă se cunosc cele 6 componente
independente ale acestuia aflate icircn trei plane perpendicular ce trec prin punctul respectiv
=
120590119909 120591119909119910 120591119909119911120591119910119909 120590119910 120591119910119911120591119911119909 120591119911119910 120590119911
Observaţii
Tensiunile se măsoară icircn [119873 1198982frasl ] (1119873 1198982frasl = 1 119875119886) sau icircn [119872119875119886]
(1 119872119875119886 = 106119875119886 = 106 119873
1198982 1 119872119875119886 = 1
119873
1198981198982)
Starea de tensiune dintr-un punct este considerată cunoscută dacă se cunosc
tensiunile 119901 care acționează pe infinitatea de elemente de suprafață ce trec prin punctual
considerat
Starea de tensiune a unui corp se consider cunoscută dacă se cunosc stările de
tensiune de pe infinitatea de puncte ale corpului considerat
32 Deplasări Deformaţii specifice
321 Deplasări
Aceste noțiuni sunt utile icircn analiza aspectului geometric al problemelor de rezistența
materialelor Deplasările care se analizează sunt cele datorate schimbării formei și
dimensiunilor corpurilor ca urmare a acțiunii forțelor exterioare și nu cele cinematice
posibile pentru solidul rigid care se poate deplasa cu anumită viteză și accelerație
Spre exemplu icircn figura 34a și figura 34b sub acțiunea forței 119865 tronsonul de
bară AB se deformează icircn timp ce tronsonul BC deși punctele sale au deplasări rămacircne
nedeformat (fiind nesolicitat) Toate punctele de pe axele barelor cu excepția celor din
icircncastrare (secțiunile A) au deplasări liniare De cele mai multe ori deformațiile barelor
datorate acțiunii forțelor exterioare se anulează la icircndepărtarea forțelor se spune că
deformațiile sunt elastice Secțiunile transversale ale barei din figura 34a se și rotesc icircn
raport cu pozițiile lor inițiale Spre exemplu secțiunea de căpăt cu centrul icircn C se rotește
cu unghiul
Fig 34 Deformațiile unei grinzi
Oricacirct de complexă ar fi delormația unui corp ea poate fi descrisă de lungiri sau
scurtări și de modificări ale unghiurilor inițiale
Deplasările măsoară schimbarea poziției unui punct al corpului și pot fi liniare
sau unghiulare
Prin deplasare liniară a unui punct se icircnțelege drumul parcurs de acest punct icircn
decursul procesului de deformație după o dreaptă suport dreapta 1198611198611 din figura 34a
Prin deplasare unghiulară se icircnțelege rotirea dintre segmentele de dreaptă
determinate de două puncte ale corpului icircnainte și după deformarea acestuia unghiul
pe care-l fac segmentele 119861119862 și 11986111198621 din figura 34a Această rotire se măsoară prin
unghiul pe care-l fac proiecțiile dreptelor ce conțin cele două segmente icircntr-un sistem
triortogonal
Icircn cazul cel mai general vectorul deplasare liniară se poate descompune icircntr-un
sistem triortogonal icircn trei componente 119906 119907 și 119908 figura 35
Fig 35 Deplasarea liniară
Se consideră acum un corp solid raportat la un sistem de axe ortogonal 119909119874119910119911
figura 35 după deformarea corpului un punct oarecare 119870 al acestuia se deplasează icircn
poziţia 1198701 vectorul 1198701198701 poartă numele de vectorul deplasării totale
Deplasarea totală este suma deplasărilor pe cele trei direcţii ortogonale iar
aceste deplasări se notează astfel
deplasarea pe direcţia 119909 cu ∥ 119874119909
deplasarea pe direcţia 119910 cu ∥ 119874119910
deplasarea pe direcţia 119911 cu ∥ 119874119911
Componentele deplasărilor și formeză matricea deplasărilor liniare 119906119907119908
322 Deformații
Prin deformație icircn general se icircnțelege orice schimbare de formă a unui corp fără
o evaluare cantitativă Icircn Rezistența Materialelor deformația măsoară variația
dimensiunilor geometrice ale corpului considerat din vecinătatea unui punct analog
deplasărilor deformațiile pot fi liniare și unghiulare (lunecări)
Fig 36 Deplasarea liniară
Deformația liniară ∆119897 reprezintă variația lungimii 119897 a unui element liniar al
corpului deformat figura 36 Deformația liniară specifică se definește ca fiind raportul
dintre deformația liniară și lungimea inițială
휀 =∆119897
119897 (38)
unde ∆119897 este lungirea sau scurtarea care este echivalentă cu deformția liniară totală iar
este alungirea
Deformația unghiulară sau lunecarea unui punct 119860 icircn planul 119861119860119862 se definește
prin relația figura 37
120574 = lim119861119860rarr0119862119860rarr0
(119861119860 minus 119861111986011198621 ) (39)
Fig 36 Deformația unghiulară
Schimbacircnd orientarea planului care trece prin 119860 se obțin alte deformații
unghiulare Dacă elementele liniare 119861119860 și 119862119860 sunt inițial perpendiculare deformația 120574 se
numește deformație unghiulară specifică sau lunecare specifică figura 37
Un exemplu de deplasare unghiulară și de deformație unghiulară este prezentat icircn
figura 38 Unghiul este deplasarea unghiulară și măsoară rotirea relativă dintre două
secțiuni aflate la distanța 119897 Unghiul este deformația specifică unghiulară (lunecarea
specifică) din punctul 119870 Aceste deplasări și deformații se obțin icircn urma solicitării barei
de către cele două momente 1198720 egale și de sens contrar
Fig 38 Deplasarea unghiulară
Pentru a analiza starea de deformație din vecinătatea unui punct al unui corp
solicitat complex se decupează din jurul punctului un element de volum mic figura 39a
avacircnd laturile 119889119909 119889119910 și 119889119911 Ca urmare a solicitării laturile acestuia se vor lungi sau
scurta Reprezentarea elementului deformat icircn spațiu este dificilă pentru simplificare
vom analiza doar deformațiile din planul 119909119874119910 Observăm că dimensiunile 119889119909 și 119889119910 s-au
modificat cu valoarea ∆119889119909 respectiv cu ∆119889119910 analog se acceptă și pentru 119889119911 o modificare
de forma ∆119889119911 Astfel se pot defini deformațiile specifice liniare
휀119909 =∆119889119909
119889119909 휀119910 =
∆119889119910
119889119910 휀119911 =
∆119889119911
119889119911 (310)
De cele mai multe ori aceste deformații specifice liniare se pot exprima procentual
și se mai numesc alungiri
Fig 39 Starea de deformație
Icircn figura 39c se vede că unghiul inițial drept dintre muchiile 119889119909 și 119889119910 ale
elementului de volum s-a modificat Se definește deformația specifică unghiulară (sau
lunecarea specifică) mărimea cu care se modifică unghiul inițial drept
120574119909119910 = 120574119909119910prime + 120574119910119909
prime = 120574119910119909120574119910119911 = 120574119910119911
prime + 120574119911119910prime = 120574119911119910
120574119911119909 = 120574119911119909prime + 120574119909119911
prime = 120574119909119911
(311)
Deformațiile 휀119909 휀119910 휀119911 120574119909119910 120574119910119911 120574119911119909 constituie cele șase componente
independente ale tensorului deformațiilor specifice care pot fi scrise de forma
119863 =
휀119909 120574119909119910 120574119909119911120574119910119909 휀119910 120574119910119911120574119911119909 120574119911119910 휀119911
(312)
323 Contracţia transversală
Practica arată că odată cu lungirea unei bare apare o micşorare a mărimii secţiunii
transversale mărime numită contracţie transversală figura 310
Fig 310 Contracția transversală
Contracţia transversală este proporţională cu lungirea specifică coeficientul de
proporţionalitate se notează cu 120599 şi se numeşte coeficient de contracţie transversală sau
coeficientul lui Poisson
La o lungire specifică a barei contracţia transversală este dată de relația
휀119905119903 = 휀119910 = 휀119911 = minus120599 ∙ 휀119909 (313)
Semnul minus bdquo-rdquo arată că cele două mărimi sunt contrare dacă una creşte cealaltă
scade şi invers
Considerăm o bară cilindrică de lungime 119897 şi aria secţiunii transversale 119860 solicitată
la icircntindere axială La un moment dat datorită solicitării lungimea barei devine
[119897 ∙ (1 + 휀)] diametrul devine [119889 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)] iar aria secţiunii transversale devine
[119860 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)2] Dacă volumul barei icircnainte de solicitare a fost (119860 ∙ 119897) după solicitare
acesta devine
119881 + ∆119881 = 119860 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)2 ∙ 119897 ∙ (1 + 휀) =
= 119860 ∙ 119897 ∙ (1 + 휀 minus 2 ∙ 120599 ∙ 휀 minus 2 ∙ 120599 ∙ 휀2 + 1205992 ∙ 휀2 + 1205992 ∙ 휀3) (314)
Deoarece lungirile sunt foarte mici ultimii trei termeni din paranteză fiind infinit mici se pot neglija obţinacircnd
119881 + ∆119881 = 119860 ∙ 119897 + 119860 ∙ 119897 ∙ 휀 ∙ (1 minus 2 ∙ 120599) ⟺ ∆119881 = 휀 ∙ (1 minus 2 ∙ 120599) ∙ 119860 ∙ 119897 (315)
Practica arătă că o astfel de bară solicitată la icircntindere icircşi măreşte volumul deci
∆119881 gt 0 de unde rezultă că
1 minus 2 ∙ 120599 gt 0 rArr 120599 lt 05 (316)
Pentru majoritatea materialelor 120599 = 033 iar pentru materialele care-şi păstrează
volumul constant 120599 = 05
33 Relaţii de echivalenţă icircntre eforturi şi tensiuni
Considerăm un element de suprafață infinit mic 119889119860 situat pe fața de arie (119860) a
secțiunii barei din figura 311 Icircn centrul de greutate 119862 al secțiunii acționează eforturile
119873 119879119910 119879119911 119872119909 119872119894119910 și 119872119894119911 determinate prin metoda secțiunilor
Icircn raport cu un sistem de axe de referință 119909119862119910119911 coordonatele elementului 119889119860 sunt
- 119910 este ordonata elementului de arie 119889119860
- 119911 este abscisa elementului de arie 119889119860
Pe elementul de arie 119889119860 acționează tensiunile
120590119909 tensiunea normală
120591119909119910 și 120591119909119911 tensiuni tangențiale
Dacă se icircnsumează forțele elementare de tipul 120590119909 ∙ 119889119860 120591119909119910 ∙ 119889119860 și 120591119909119911 ∙ 119889119860
va trebui să obținem eforturile 119873 119879119910 și 119879119911
Fig 311 Element de suprafață mic din secțiunea unei bare
Dacă eforturile sunt privite ca forțe exterioare și se scriu ecuațiile de
echilibru ale secțiunii (119860) se vor obține șase relații de echivalență icircntre eforturi și
tensiuni
(sum119883) = 0 rArr int 120590119909 ∙ 119889119860
119860
= 119873 (317)
(sum119884) = 0 rArr int 120591119909119910 ∙ 119889119860
119860
= 119879119910 (318)
(sum119885) = 0 rArr int 120591119909119911 ∙ 119889119860
119860
= 119879119911 (319)
(sum119872)119909= 0 rArr int(120591119909119911 ∙ 119889119860) ∙ 119910
119860
minus int(120591119909119910 ∙ 119889119860) ∙ 119911
119860
= 119872119909 rArr
rArr int(119910 ∙ 120591119909119911 minus 119911 ∙ 120591119909119910) ∙ 119889119860
119860
= 119872119909
(320)
(sum119872)119910= 0 rArr int(120590119909 ∙ 119889119860) ∙ 119911
119860
= 119872119894119910 (321)
(sum119872)119911= 0 rArr int(120590119909 ∙ 119889119860) ∙ 119910
119860
= 119872119894119911 (322)
Cele șase relații de echivalență icircntre eforturi și tensiuni constituie un pas icircnainte
icircn rezolvarea unei probleme de rezistența materialelor Aceste relații vor permite
determinarea tensiunilor maxime
Pentru a rezolva cele 6 relații de echivalență trebuie să se cunoască tensiunile și
ca funcții de punct adică funcții de forma
120590119909 = 120590119909(119909 119910 119911) 120591119909119910 = 120591119909119910(119909 119910 119911) 120591119909119911 = 120591119909119911(119909 119910 119911) (32
3)
Cunoașterea acestor funcții presupune icircnsă analizarea aspectului geometric al
problemei precum și utilizarea unor ipoteze simplificatoare care să permită simplificarea
problemelor
34 Ipoteze de bază icircn rezistenţa materialelor
Depășirea dificultăților legate de interpretarea unor fenomene specifice mecanicii
solidului deformabil a impus acceptarea unor ipoteze care să simplifice fenomenele și să
contribuie la elaborarea unor modele de calcul cicirct mai generale și cacirct mai simple Aceste
ipoteze se referă la structura materialelor şi la comportarea lor sub acţiunea forţelor
exterioare Ipotezele acceptate trebuie să fie icircn deplină concordanţă cu realitatea și să
conducă la rezultate verificate icircn practică
Funcție de aspectele la care se referă ipotezele pot fi
Ipoteze fizice (de material)
Ipoteze de calcul
341 Ipoteze fizice
Se acceptă deoarece teoriile structurale au condus la rezultate care contravin
icircncercărilor experimentale
Ipoteza mediului continuu consideră că orice domeniu elementar al corpului
este ocupat de materie adică nu se acceptă existența unor goluri sau a unor crăpături
microscopice (fisuri) Deși nu corespunde realităţii poate fi acceptată deoarece
dimensiunile corpului sunt mult mai mari decacirct dimensiunile particulelor elemantare Are
avantajul că permite utilizarea proprietăților matematice ale funcțiilor continue pentru
tensiunile și deformațiile din orice punct al corpului Ea este mai apropiată de realitate la
corpurile amorfe şi mai depărtată la cele cristaline dar conduce la rezultate satisfăcătoare
icircn calculele de rezistenţă
Ipoteza nu se poate aplica la corpurile care au goluri tăieturi (multiplu conexe)
pentru unele puncte singulare icircn care tensiunile și deformațiile tind la infinit sau icircn unele
probleme de plasticitate icircn care proprietățile de material au un rol esențial
Ipoteza izotropiei conform acestei ipoteze materialul din care este confecționat
un element de rezistență are aceleași proprietăți după orice direcție un astfel de material
este considerat izotrop Din punct de vedere macroscopic metalele pot fi considerate
izotrope deși la nivel microscopic proprietățile lor diferă de la o direcție cristalografică
la alta Orice conglomerat de cristale poate fi considerat izotrop
Există cazuri cacircnd această ipoteză a izotropiei nu se acceptă
la metalele puternic deformate după o direcție (prin laminare trefilare)
la piesele confecționate din lemn lemnul este anizotrop deoarece proprietățile sale
diferă după două direcții (icircn lungul fibrelor și perpendicular pe această direcție)
Ipoteza omogenității consideră că un corp are aceleași proprietăți icircn orice
punct al său Deși majoritatea materialelor utilizate icircn tehnică sunt eterogene la scară
micro fiind constituite din mai multe faze cu proprietăți diferite la scară macro ele pot
fi considerate omogene Omogenitatea și izotropia sunt proprietăți statistice medii care
nu se condiționează una pe cealaltă Chiar și materialele monofazice pot avea la scară
micro unele segregații care le fac eterogene
Ipoteza elasticităţii perfecte presupune că atacircta timp cacirct solicitările nu
depăşesc anumite limite materialul are o comportare elastică adică icircşi recapătă forma şi
dimensiunile iniţiale odată cu icircnlăturarea sarcinilor Icircn realitate materialele nu prezintă o
elasticitate perfectă ele avacircnd deformaţii remanente mici care icircnsă pot fi neglijate icircn
calculele de rezistenţă
Acceptarea acestei ipoteze a elasticității perfecte permite
- aplicarea relației biunivoce icircntre tensiuni și deformații relație exprimată de legea
lui Hooke ( = 119864 ∙ 휀) unde E este un factor de proporţionalitate numit modul de
elasticitate longitudinal al materialului pentru oţel 119864 = 21 ∙ 105 [119872119875119886] - acceptarea valabilității afirmației bdquolucrul mecanic efectuat de forțele exterioare
ca urmare a parcurgerii deplasărilor punctelor de aplicație se icircnmagazinează integral icircn
corp sub formă de energie de deformație energie cedată la icircndepărtarea sarcinilorrdquo
- este valabilă teoria conform căreia bdquoenergia icircnmagazinată și deformațiile depind
doar de starea inițială și finală de eforturi fără a ține cont de modul icircn care s-a ajuns la
starea finalărdquo
Icircn realitate oricacirct de mici ar fi sarcinile aplicate se produc și deformații plastice
dar acestea pot fi neglijate dacă solicitarea nu depășește anumite limite
342 Ipoteze de calcul
Ipoteza micilor deplasări bdquodeplasările datorate deformării sunt mult mai mici
decacirct dimensiunile corpurilor și ca urmare pot fi neglijate produsele dintre o deplasare și
ea icircnsăşirdquo Pentru cele mai multe corpuri deformaţiile elastice sunt de mărimi mici deci
corpurile solide sub acţiunea sarcinilor icircşi modifică foarte puţin forma iniţială Această
ipoteză este cunoscută şi sub denumirea de ipoteza menţinerii dimensiunilor iniţiale Ea
permite scrierea ecuaţiilor de echilibru ale staticii pe starea nedeformată a elementului
cacircnd nu se iau icircn considerare deplasările punctelor de aplicaţie ale forţelor care se produc
ca urmare a deformării acestuia Calculul efectuat pe schema nedeformată poartă numele
de calcul de ordinul I
Ipoteza micilor deplasări nu poate fi acceptată pentru studiul problemelor de
stabilitate sau la problemele la care nu pot fi icircndeplinite condiţiile de echilibru icircn starea
nedeformată
Calculul de ordinul II admite ipoteza micilor deplasări dar ecuaţiile de echilibru
se scriu icircnsă pentru starea deformată a elementului de rezistenţă
Calculul de ordinul III nu mai acceptă ipoteza micilor deplasări el referindu-se
la cazul deformaţiilor mari cacircnd ecuaţiile de echilibru trebuie scrise pentru starea
deformată
Chiar dacă materialul satisface legea lui Hooke icircn urma calculelor de ordinul II
se obţin de obicei relaţii neliniare icircntre sarcini şi deplasări iar pentru calculul de ordinul
III rezultă ecuaţii diferenţiale neliniare
Principiul efectului local al acțiunii sarcinilor enunțat de Barre de Saint-
Venant Acest principiu destul de folosit icircn Rezistenţa Materialelor precizează că dacă
se icircnlocuiesc forţele care acţionează asupra unui element de suprafață al unui corp
elastic printr-un alt sistem de forţe echivalent din punct de vedere static cu primul noua
distribuţie a forţelor produce la locul de aplicare diferenţe semnificative faţă de prima
dar rămacircne fără efect sau cu efect neglijabil la distanţe mari de locul de aplicare al
forţelor figura 312
Ca o cosecință o sarcină uniform distribuită figura 312a poate fi icircnlocuită cu
rezultanta ei figura 312b dacă se analizează efectul sarcinii la distanță mare de locul icircn
care se aplică sarcina
Fig 312 Principiul Saint-Venant
Icircn prima variantă figura 312a forţa 119865 se aplică pe o porțiune oarecare 119897 (sarcină
uniform distribuită) iar icircn a doua figura 312b icircntru-un punct (forţă concentrată) La
locul de aplicare a sarcinii efectul asupra barei este cu totul diferit de la o variantă la
cealaltă Icircnsă la o distanţă mare de punctul de aplicaţie spre exemplu icircn secţiunea situată
la distanţa 119886 de capătul barei sau chiar icircn icircncastrare ambele bare sunt solicitate la fel
Icircn cazul din figura 312a
119872119894(119909) =119901 ∙ 1199092
2 119909 le 119897 119872119894(119909) = 119901 ∙ 119897 ∙ (119909 minus
119897
2) 119909 gt 119897 (324)
Icircn cazul din figura 312b
119872119894(119909) = 0 119909 lt119897
2 119872119894(119909) = 119901 ∙ 119897 ∙ (119909 minus
119897
2) 119909 gt
119897
2 (325)
Se vede că pentru (119909 gt 119897) adică după depășirea locului icircn care se aplică sarcina
efectul este același
Ipoteza lui Bernoulli sau ipoteza secţiunilor plane precizează că o secţiune
plană şi normală pe axa barei icircnainte de deformare rămacircne plană şi normală pe axa
barei şi după deformare figura 313
Fig 313 Ipoteza lui Bernoulli
Ipoteza stării naturale a corpului sau ipoteza absenţei tensiunilor conform
căreia pentru un corp nesolicitat starea de tensiune şi deformaţie este nulă
Perfecţionarea mijloacelor de calcul şi de investigare pot conduce la renunţarea la
unele ipoteze sau la introducerea altora noi mai aproape de stările reale De aici rezultă
caracterul de continuă perfecţionare a metodelor Rezistenţei Materialelor
35 Coeficienţi de siguranţă Tensiuni admisibile
O piesă corespunde din punct de vedere tehnic dacă tensiunile care iau naştere icircn
interiorul piesei datorită sarcinilor aplicate nu depăşesc anumite valori limită stabilite
convenţional Aceste valori limită ale tensiunii sunt corelate cu caracteristicile mecanice
ale materialelor
Tensiunea limită utilizată icircn calculele de rezistenţă este cunoscută sub denumirea
de tensiune admisibilă sau rezistenţă admisibilă Rezistenţa admisibilă reprezintă
valoarea convenţională aleasă icircn calcul pe baza practicii pentru tensiunea maximă care
poate apare icircntr-o piesă icircn condiţii date de material şi solicitare
Rezistenţa admisibilă (120590119886 sau 120591119886) poate fi definită faţă de o stare limită
periculoasă stare care trebuie evitată deoarece poate conduce distrugere
120590119886 =120590119897119894119898119888
(326)
unde
120590119897119894119898 este tensiunea corespunzătoare stării limită periculoase
119888 estesupraunitar 119888 gt 1 și reprezintă coeficientul de siguranţă faţă de starea limită
periculoasă considerată
Alegerea unor valori inferioare pentru rezistenţa admisibilă faţă de tensiunea
corespunzătoare stării limită periculoase este necesară deoarece
cunoaşterea sarcinilor este de cele mai multe ori aproximativă şi o depăşire a
acestora este foarte posibilă
caracteristicile mecanice ale materialelor variază icircn limite destul de mari ele
fiind influenţate de mulţi factori
schema aleasă pentru calcul (aplicarea sarcinilor schematizarea structurii
ipotezele de calcul etc) depărtează modelul faţă de cel real
Pentru calculele de verificare tensiunea efectivă maximă din elementul de
rezistenţă trebuie să fie mai mică sau cel mult egală cu cea admisibilă
120590119890119891119898119886119909 le 120590119886 (327)
Valoarea rezistenţei admisibile este influenţată de foarte mulţi factori natura
materialului tratamentele termice aplicate piesei durata de funcţionare a piesei modul
de acţionare icircn timp a sarcinilor felul solicitării temperatura gradul de periculozitate
icircn cazul cedării piesei etc
De asemenea valoarea coeficientului de siguranţă se alege icircn principal ţinacircnd
seama de aceiaşi factori care influenţează şi rezistenţa admisibilă
Rezistenţele admisibile pentru cacircteva materiale sunt următoarele
pentru oțelul de uz general OL37 solicitat la icircntindere compresiune sau
icircncovoiere 120590119886 = 150 [119872119875119886] pentru lemnul de brad solicitat la
- compresiune icircn lungul fibrelor şi solicitat la icircncovoiere 120590119886 = 10 [119872119875119886] - tracţiune icircn lungul fibrelor 120590119886 = 7 [119872119875119886] - compresiune perpendiculară pe fibre 120590119886 = 15 [119872119875119886] - forfecare icircn lungul fibrelor 120591119886 = 2 [119872119875119886] - forfecare perpendiculară pe fibre 120590119886 = 45 [119872119875119886]
terenuri de fundaţie din pămacircnt uscat sau umed 120590119886 = 020 divide 025 [119872119875119886]
4 CARACTERISTICI GEOMETRICE ALE SECȚIUNILOR PLANE
41 Noţiuni introductive
Icircn relaţiile de calcul ale tensiunilor şi deformaţiilor elementelor de rezistenţă
pentru unele solicitări (icircncovoierea și torsiunea) secțiunile plane intervin atacirct prin
dimensiunile lor (aria 119860) cicirct și prin forma și poziția pe care o are secțiunea icircn raport cu
planul solicitării Mărimile care caracterizează o secțiune icircn raport cu forma și poziția față
de axele unui sistem de referință sunt denumite caracteristici geometrice de ordin
superior Aria secțiunii este caracteristica geometrică ce depinde doar de dimensiunile
geometrice ale acesteia
Să considerăm o grindă solicitată de o forță exterioară 119865 aşezată icircn două poziții icircn
raport cu planul forţei figura 41 Icircn urma aplicării forței deși avem aceeași grindă
(aceeași arie a secțiunii transversale) și aceeași forță se constată că pentru varianta din
figura 41a deformațiile sunt mult mai mari adică rezistența la icircncovoiere a grinzii din
figura 41a este mai mare decacirct icircn cazul grinzii din figura 41b Comportarea diferită se
explică prin aceea că modificarea poziţiei secţiunii transversale faţă de planul forţelor
modifică caracteristicile geometrice ale secţiunii transversale a grinzii
Fig 41 Grindă solicitată de forța 119865
Pentru realizarea calculelor de rezistenţă şi rigiditate este foarte importantă
cunoaşterea caracteristicilor geometrice ale suprafeţei secţiunii transversale a elementelor
de rezistenţă
Caracteristicile geometrice ale secţiunii transversale a unui element de rezistenţă
sunt
- aria secțiunii notată cu 119860
- momentul static icircn raport cu o axă notat 119878119911 și respectiv 119878119910
- momentul de inerție care poate fi
axial notat 119868119911 și respectiv 119868119910
centrifugal notat 119868119911119910
polar notat 119868119901
- raza de inerţie (giraţie)notată 119894119911 și respectiv 119894119910
- modulul de rezistență care poate fi
axial notat 119882119911 și respectiv 119882119910
polar notat 119882119901
42 Aria și momentul static al suprafețelor plane
Fie o suprafaţă plană de arie 119860 pe care se ia un element infinit mic de arie 119889119860 şi
un sistem de axe rectangulare 119911119874119910 figura 42 Notăm cu 119862 centrul de greutate al suprafeţei
119860 Poziţia suprafeţei elementare 119889119860 faţă de acelaşi sistem de coordonate 119911119874119910 este dată
de abscisa 119911 ordonata 119910 și raza polară
Fig 42 Suprafață plană de arie 119860
Aria suprafeţei 119860 figura 42 se defineşte ca fiind
119860 ≝ int 119889119860
119860
(41)
Aria suprafeţei este icircntotdeauna pozitivă și se măsoară icircn [1198981198982] Momentul static al suprafeţei de arie 119860 icircn raport cu axele 119874119911 și respectiv 119874119910
figura 42 sunt date de relaţiile
119878119911 ≝ int 119910 ∙ 119889119860
119860
119878119910 ≝ int 119911 ∙ 119889119860
119860
(42)
Momentul static poate fi pozitiv negativ sau nul şi se măsoară icircn [1198981198983] Coordonatele centrului de greutate ale suprafeței 119860 se detrmină cu relațiile
119910119862 ≝int 119910 ∙ 119889119860119860
119860 119911119862 ≝
int 119911 ∙ 119889119860119860
119860
(43)
Cunoscacircnd coordonatele 119910119862 și 119911119862 ale centrului de greutate 119862 al secțiunii 119860 atunci
momentele statice se pot determina cu relațiile
119878119911 ≝ int 119910 ∙ 119889119860
119860
= 119910119862 ∙ 119889119860 119878119910 ≝ int 119911 ∙ 119889119860
119860
= 119911119862 ∙ 119889119860 (44)
Aceste relații arată că momentul static al unei suprafețe icircn raport cu o axă este
egal cu produsul dintre aria suprafeței și distanța de la centrul ariei la axa respectivă
Dacă suprafaţa se poate descompune icircn 119899 suprafeţe simple la care se cunosc ariile
(1198601 1198602 ⋯ 119860119894⋯ 119860119899) și poziţiile centrelor de greutate 119862119894 faţă de sistemul de referinţă
expresiile momentelor statice capătă următoarea formă
119878119911 = sum 119910119862119894 ∙ 119860119894119899119894=1 = 119910119862 ∙ 119860 119878119910 = sum 119911119862119894 ∙ 119860119894
119899119894=1 = 119911119862 ∙ 119860 (45)
Din relaţiile (45) rezultă că poziţia centrului de greutate 119862 al unei suprafeţe
compuse poate fi determinată cu relaţiile
119910119862 = (sum119910119862119894 ∙ 119860119894
119899
119894=1
) 119860frasl 119911119862 = (sum119911119862119894 ∙ 119860119894
119899
119894=1
) 119860frasl (46)
Icircn relația (45) 119910119862119894 și respectiv 119911119862119894 reprezintă coordonatele centrelor de greutate 119862119894
ale fiecărei suprafețe simple 119860119894 icircn raport sistemul de axe 119911119874119910
Se constată (relaţia 42) că dacă axele sistemului de referinţă trec prin centrul de
greutate (119910119862 = 119911119862 = 0) momentele statice sunt nule Axele icircn raport cu care momentele
statice sunt nule şi care trec prin centrul de greutate al suprafeţei se numesc axe centrale
Observație dacă secțiunea compusă are o axă de simetrie centrul secțiunii se
găsește pe acea axă iar dacă secțiunea este dublu simetrică poziția centrului secțiunii este
la intersecția axelor de simetrie
43 Momente de inerţie
Momentele de inerţie axiale ale unei suprafețe se calculează icircn raport cu axele de
coordonate 119874119911 și respectiv 119874119910 figura 42 și se determină cu relațiile
119868119911 ≝ int 1199102 ∙ 119889119860
119860
119868119910 ≝ int 1199112 ∙ 119889119860
119860
(47)
Unde 119910 și 119911 sunt distanțele de la elementul de arie 119889119860 la cele două axe de
coordonate 119874119911 și respectiv 119874119910
Momentele de inerţie axiale se măsoară icircn [1198981198984] şi sunt icircntotdeauna pozitive (aria
119889119860 este icircntotdeauna pozitivă și este multiplicată cu patratul distanței 1199102 dacă 119868119911 sau 119868119910
sunt nule icircnseamnă ca secțiunea nu există)
Momentele de inerție axiale se calculează icircndeosebi pentru axele centrale (care
trec prin centrul secțiunii) deoarece icircn raport cu acele axe 119868119911 și 119868119910 au valori minime
Momentul de inerţie centrifugal calculat faţă ambele axe ale sistemului de
referinţă 119911119874119910 este definit de relația
119868119911119910 ≝ int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860
(48)
Momentul de inerţie centrifugal se măsoară icircn [1198981198984] şi poate fi pozitiv negativ
sau nul
Momentul de ineție centrifugal este nul 119868119911119910 = 0 dacă cel puțin una din axele 119874119911
sau 119874119910 este axă de simetrie pentru secțiune
Se consideră o suprafaţă dreptunghiulară pe care faţă de axa de simetrie 119874119910 se iau
două suprafeţe elementare de arie 119889119860 simetrice faţă de axa 119874119910 figura 43
Fig 43 Suprafață dreptunghiulară cu două arii elementare 119889119860
Făcacircnd suma momentelor de inerţie centrifugale pentru cele două suprafeţe
elementare 119889119860 (din stacircnga şi din dreapta faţă de axa 119874119910) se obţine
int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860119889119903
+ int (minus119911) ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860119904119905119892
= int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860119889119903
minus int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860119904119905119892
= 0 (49)
Acelaşi raţionament se poate face și pentru icircntreaga suprafaţă de unde obținem că
momentul de inerție centrifugal este nul 119868119911119910 = 0 Deci pentru o suprafaţă plană care
are cel puţin o axă de simetrie momentul de inerţie centrifugal faţă de sistemul care
conţine acea axă de simetrie este nul
Momentul de inerţie polar al unei suprafeţei icircn raport cu un punct (pol) 119874 figura
42 este definit prin relaţia
1198680 = 119868119901 ≝ int 1205882 ∙ 119889119860
119860
= int(1199102 + 1199112) ∙ 119889119860
119860
= 119868119911 + 119868119910 (410)
unde este distanţa de la polul 119874 la elementul de arie 119889119860 Momentul de inerţie polar se
măsoară icircn [1198981198984] şi este totdeauna pozitiv
Momentul de inerţie polar este egal cu suma momentelor de inerţie faţă de două axe
perpendiculare oarecare şi care trec prin polul considerat
Razele de giraţie sau razele de inerţie sunt mărimi calculate icircn raport cu axele
secțiunii și definite de relaţiile
119894119911 ≝ radic119868119911119860 119894119910 = radic
119868119910
119860 (411)
Se exprimă icircn [119898119898] şi sunt icircntotdeauna pozitive Semnificația unei raze de inerție
este distanța la care dacă ar fi concentrată icircntreaga arie s-ar obține același moment de
inerție ca și cel calculat pentru aria reală
44 Modulul de rezistenţă
Modulul de rezistență se calculează icircn raport cu axele de referință sau icircn raport cu
un pol figura 42 și pot fi axiale (119882119911119882119910) sau polar (119882119901) și se determină numai pe baza
momentelor de inerţie cu relațiile figura 43
119882119911119898119894119899 ≝119868119911119910119898119886119909
119882119911119898119886119909 ≝119868119911119910119898119894119899
(412)
119882119910119898119894119899 ≝119868119910
119911119898119886119909 119882119910119898119886119909 ≝
119868119910
119911119898119894119899 (413)
119882119901 ≝119868119901
120588119898119886119909 (414)
unde
119910119898119886119909 119910119898119894119899 reprezintă distanţa de la axa 119874119911 la punctele extreme cele mai
depărtate respectiv cele mai apropiate ale suprafeţei de această axă
119911119898119886119909 119911119898119894119899 reprezintă distanţa de la axa 119874119910 la punctele extreme cele mai
depărtate respectiv cele mai apropiate ale suprafeţei de această axă
120588119898119886119909 reprezintă distanța maximă de la polul 119874 la punctul secțiunii cel mai
icircndepărtat de acesta
Fig 43 Suprafață dreptunghiulară cu două arii elementare 119889119860
Modulele de rezistenţă se exprimă icircn [1198981198983] şi sunt icircntotdeauna pozitive
Explicația este aceea că momentele de inerție care intră icircn relațiile de definiție sunt
pozitive iar distanțele la punctele extreme sunt pozitive (119910119898119886119909 119910119898119894119899 119911119898119886119909 119911119898119894119899 120588119898119886119909 se
iau icircn valoare absolută)
Icircn cazul suprafeţelor compuse modulul de rezistenţă nu se obţine prin icircnsumarea
algebrică a modulelor de rezistenţă ale suprafeţelor simple componente ci numai prin
intermediul momentului de inerţie axial calculat pentru icircntreaga secțiune
Ca și momentele de inerție modulele de rezistență se calculează numai pentru
sistemele de axe centrale
45 Momente de inerţie şi module de rezistenţă pentru suprafeţe simple
451 Secțiune dreptunghiulară
Fie suprafaţa dreptunghiulară din figura 44 de icircnălțime ℎ și lățime 119887 pe care se
consideră suprafaţă elementară de arie 119889119860 = 119887119889119910 la distanța 119910 de axa 119862119911 sistemul de
axe 119911119862119910 trece prin centrul secțiunii iar axele sunt axe de simetrie pentru dreptunghi
Fig 44 Suprafață dreptunghiulară
Pe baza relațiilor de definiți a momentului de inerție 119868119911 se obține
119868119911 ≝ int 1199102 ∙ 119889119860
119860
= int 1199102 ∙ 119887 ∙ 119889119910 = 2int 1199102 ∙ 119887 ∙ 119889119910 = 2 ∙ 119887 ∙1199103
3|ℎ 2frasl
0rArr
ℎ 2frasl
0
ℎ 2frasl
minusℎ 2frasl
rArr 119868119911 =119887 ∙ ℎ3
12
(415)
Analog pentru un element de arie 119889119860 = ℎ ∙ 119889119911 paralel cu axa 119862119910 situat la distanța
119911 de axa 119862119910
119868119910 ≝ int 1199112 ∙ 119889119860
119860
= int 1199112 ∙ ℎ ∙ 119889119911 = 2int 1199112 ∙ ℎ ∙ 119889119910 = 2 ∙ ℎ ∙1199113
3|119887 2frasl
0rArr
119887 2frasl
0
119887 2frasl
minus119887 2frasl
rArr 119868119910 =1198873 ∙ ℎ
12
(416)
Deoarece axele 119862119911 și 119862119910 sunt axe de simetrie momentul de inerție centrifugal este
119868119911119910 = 0 (417)
Pentru un pătrat avacircnd laturile egale (ℎ = 119887 = 119886) momentele de inerţie faţă de
axele centrale au expresia
119868119911 = 119868119910 =1198864
12 (418)
Modulele de rezistență axiale se calculează cu relațiile de definiție ținacircnd cont că
distanțele pacircnă la fibrele extreme sunt
119910119898119886119909 = 119910119898119894119899 =ℎ
2 119911119898119886119909 = 119911119898119894119899 =
119887
2 (419)
Obținem
119882119911119898119894119899 = 119882119911119898119886119909 =119868119911
119910119898119886119909119898119894119899=119887 ∙ ℎ3
12frasl
ℎ2frasl
=119887 ∙ ℎ2
6
119882119910119898119894119899 = 119882119910119898119886119909 =119868119910
119911119898119886119909119898119894119899=1198873 ∙ ℎ
12frasl
1198872frasl
=1198872 ∙ ℎ
6
(420)
452 Suprafaţă circulară
Din motive de simetrie pentru suprafeţele circulare momentele de inerţie faţă de
orice diametru (care reprezintă şi axe centrale) sunt aceleaşi
Considerăm o secțiune circulară plină cu diametrul 119889 și centrul de greutate 119862 Prin
centrul de greutate 119862 trece sistemul de axe ortogonal 119911119862119910 figura 45
Fig 45 Suprafață circulară
La distanța de centrul de greutate 119862 vom lua un element de suprafață mic de arie
(119889119860) de forma unui inel de grosime 119889 Elementul de arie 119889119860 are expresia
119889119860 = (2 ∙ 120587 ∙ 120588) ∙ (119889120588)
Pornind de la relația de definiție a momentului de inerție polar obținem
119868119901 ≝ int 1205882 ∙ 119889119860
119860
= int 1205882 ∙ (2 ∙ 120587 ∙ 120588) ∙ 119889120588
119903=119889 2frasl
0
= 2 ∙ 120587 ∙1205884
4|119889 2frasl0 rArr
rArr 119868119901 =120587 ∙ 1198894
32
(421)
Secțiunea este perfect simetrică deci sunt valabile relațiile
119868119911 = 119868119910 rArr 119868119901 = 119868119911 + 119868119910 = 2 ∙ 119868119911 = 2 ∙ 119868119910 =119868119901
2=120587 ∙ 1198894
64 (422)
Și modulele de rezistenţă faţă de orice diametru sunt egale şi se calculează cu
relaţiile
119882119911 = 119882119910 =1198681199111198892frasl=120587 ∙ 1198893
32 (423)
Modulul de rezistenţă polar este
119882119901 =1198681199011198892frasl=120587 ∙ 1198893
16 (424)
453 Secţiune inelară
Calculul momentelor de inerţie axiale pentru o secţiune inelară avacircnd diametrul
interior 119889 şi diametrul exterior 119863 se determină analog pentru suprafaţa circulară plină cu
observaţia că integrala pentru calculul momentului de inerție polar 119868119901 se face icircntre
limitele 119903 = 119889 2frasl şi R= 1198632frasl (icircntre raza interioară 119903 şi raza exterioară 119877) figura 46
Se obţin relaţiile
119868119901 =120587 ∙ 1198634
32∙ [1 minus (
119889
119863)4
] =120587 ∙ 1198634
32∙ (1 minus 1198964) (425)
119868119910 = 119868119910 =120587 ∙ 1198634
64∙ [1 minus (
119889
119863)4
] =120587 ∙ 1198633
64∙ (1 minus 1198964) (426)
Fig 46 Secțiune inelară
119882119901 =120587 ∙ 1198633
16∙ [1 minus (
119889
119863)4
] =120587 ∙ 1198633
16∙ (1 minus 1198964) (427)
119882119911 = 119882119910 =120587 ∙ 1198633
32∙ [1 minus (
119889
119863)4
] =120587 ∙ 1198633
32∙ (1 minus 1198964) (428)
unde 119896 = 119889119863frasl
46 Variaţia momentelor de inerţie faţă de axe paralele
( Relațiile lui STEINER)
Se consideră o suprafaţă oarecare de arie 119860 cu elementul de arie 119889119860 și un sistemul
de axe central 119911119862119910 faţă de care se cunosc momentele de inerţie 119868119911 119868119910 119868119911119910 şi considerăm
un sistem de axe 11991111198741199101 paralele cu sistemul central figura 47 Se pune problema
determinării momentele de inerţie 1198681199111 1198681199101 11986811991111199101 faţă de sistemul de axe paralel cu sistemul
central 11991111198741199101 axe aflate la distanţele 119910119862 = 119888 respectiv 119911119862 = 119889 de acesta
461 Momente de inerţie axiale
Pe baza relaţiilor de definire şi a notaţiilor din figura 42 pentru momentele de
inerţie faţă de axele 1198741199111 1198741199101 se poate scrie
1198681199111 = int 11991012 ∙ 119889119860
119860
= int(119910 + 119888)2 ∙ 119889119860
119860
= int 1199102 ∙ 119889119860
119860
+ 2 ∙ 119888 ∙ int 119910 ∙ 119889119860
119860
+
+1198882int 119889119860
119860
rArr 1198681199111 = 119868119911 + 2 ∙ 119888 ∙ 119878119911 + 1198882 ∙ 119860 hArr 1198681199111 = 119868119911 + 119888
2 ∙ 119860
(429)
Fig 47 Variaţia momentelor de inerţie față de axe paralele
S-a ajuns la relația (429) deoarece momentul static 119878119911 este nul deoarece axa 119862119885
este axă centrală
Pentru momentul de inerție axial icircn raport cu axa 1198741199101 se obține
1198681199101 = int 11991112 ∙ 119889119860
119860
= int(119911 + 119889)2 ∙ 119889119860
119860
= int 1199112 ∙ 119889119860
119860
+ 2 ∙ 119889 ∙ int 119911 ∙ 119889119860
119860
+
+1198892 ∙ int 119889119860
119860
rArr 1198681199101 = 119868119910 + 2 ∙ 119889 ∙ 119878119910 + 1198892 ∙ 119860 hArr 1198681199101 = 119868119910 + 119889
2 ∙ 119860
(430)
Pentru momentul de inerție centrifugal obținem
11986811991111199101 = int 1199101 ∙ 1199111 ∙ 119889119860
119860
= int(119910 + 119888) ∙ (119911 + 119889) ∙ 119889119860
119860
= int 119910 ∙ 119911 ∙ 119889119860 +
119860
+119888 ∙ int 119911 ∙ 119889119860
119860
+ 119889 ∙ int 119910 ∙ 119889119860
119860
rArr 11986811991111199101 = 119868119911119910 + 119888 ∙ 119889 ∙ 119860
(431)
Deoarece
int 119911 ∙ 119889119860
119860
= 119878119910 = 0 int 119910 ∙ 119889119860
119860
= 119878119911 = 0 int 119910 ∙ 119911 ∙ 119889119860
119860
= 119868119911119910
Relaţiile (429) şi (430) arată că momentul de inerţie faţă de o axă oarecare
este egal cu momentul de inerţie faţă de o axă paralelă cu ea trecacircnd prin centrul de
greutate la care se adaugă produsul dintre aria suprafeţei şi pătratul distanţei dintre
cele două axe
Din relaţiile (429) și (430) rezultă de asemenea că momentul de inerţie faţă de o
axă centrală (care trece prin centrul de greutate) este cel mai mic dintre infinitatea de
momente de inerţie obținute faţă de alte axe paralele cu ea
Relaţia (431) arată de asemenea că momentul de inerţie centrifugal faţă de un
sistem de axe oarecare este egal cu momentul de inerţie centrifugal faţă de un sistem
paralele cu el trecacircnd prin centrul de greutate a suprafeţei la care se adaugă produsul
dintre aria suprafeţei şi distanţele dintre axele sistemelor respective
Icircn literatura de specialitate relaţiile (429) (430) şi (431) sunt cunoscute sub
numele de relaţiile lui Steiner
47 Variaţia momentrlor de inerţie faţă de axe rotite
Direcţii principale şi momente de inerţie principale
Fie suprafaţa plană din figura 48 de arie 119860 pe care considerăm o suprafaţă
elementară de arie 119889119860 Pentru sistemul de axe 119911119874119910 se cunosc momentele de inerţie
119868119911 119868119910 119868119911119910 şi vom determina relaţiile de calcul pentru momentele de inerţie afererent unui
sistem de axe 11991111198741199101 rotit cu un unghi faţă de sistemul central
Faţă de sistemul de axe 11991111198741199101 elementul de arie 119889119860 are coordonatele
1199101 = 119875119877 = 119875119876 minus 119877119876 = 119910 ∙ cos 120572 minus 119911 ∙ sin 120572
1199111 = 119873119872 = 119873119875 minus 119875119872 = 119911 ∙ cos 120572 + 119910 ∙ sin 120572 (432)
Fig 47 Variaţia momentelor de inerţie față de axe rotite
Pe baza relaţiilor de calcul ale momentelor de inerţie şi a notaţiilor din figura 42
şi ale relaţiilor (432) momentele de inerţie faţă de sistemul de axe rotit 11991111198741199101 sunt
1198681199111 =119868119911 + 119868119910
2+119868119911 minus 119868119910
2∙ cos 2120572 minus 119868119911119910 ∙ sin 2120572 (433)
1198681199101 =119868119911 + 119868119910
2minus119868119911 minus 119868119910
2∙ cos 2120572 + 119868119911119910 ∙ sin 2120572 (434)
11986811991111199101 =119868119911 minus 119868119910
2∙ sin 2120572 + 119868119911119910 ∙ cos 2120572 (435)
Din relaţiile 433divide435 se observă că icircntre momentele de inerţie axiale şi cele
polare există relaţia
1198681199111 + 1198681199101 = 119868119911 + 119868119910 = 119868119901 (436)
adică suma momentelor de inerţie axiale icircn raport cu orice pereche de axe ortogonale
care trec printr-un pol dat este o constantă şi egală cu momentul de inerţie polar
Prin rotirea sistemului de axe din relaţiile 433divide435 rezultă că momentele de inerţie
variază icircnsă suma lor rămacircne constantă deci există o poziţie a sistemului de axe pentru
care momentele de inerţie au valori extreme maxim respectiv minim
471 Direcţii principale de inerţie
Valoarea unghiului 120572 pentru care momentele de inerţie axiale au valori extreme
este
1205721 =1
2∙ 119886119903119888119905119886119899 (minus
2 ∙ 119868119911119910
119868119911 minus 119868119910) (437)
Poziţia celeilalte direcţii este perpendiculară pe cea dată de unghiul 1205721
Din relaţia (437) se constată că faţă de aceste direcţii rotite pentru care momentele
de inerţie axiale prezintă valori extreme momentul de inerţie centrifugal 11986811991111199101este nul
Atunci se poate afirma că momentele de inerţie axiale au valori extreme icircn raport cu
direcţiile faţă de care momentul de inerţie centrifugal este nul Aceste direcţii se numesc
direcţii principale iar momentele de inerţie faţă de aceste direcţii poartă numele de
momente de inerţie principale
Icircn calculele de rezistenţă interesează icircn mod special poziţia direcţiilor principale
care trec prin centrul de greutate al suprafeţei aşa numitele direcţii principale centrale şi
evident momentele de inerţie principale centrale
Direcţiile principale de inerţie se notează cu 1 respectiv 2 Axa principală 1
corespunde direcţiei faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea maximă iar
axa principală 2 pentru direcţia faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea
minimă
472 Momente de inerţie principale
Momentele de inerţie principale se notează cu litera 119868 la care se pune indicele 1
sau 2 după cum valoarea acestuia este maximă sau minimă deci avem un moment de
inerţie principal 1 (notat 1198681) respectiv moment de inerţie principal 2 (notat 1198682)
Expresiile pentru momentele de inerţie principale sunt
11986812 =119868119911 + 119868119910
2plusmn1
2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)
2+ 4 ∙ (119868119911119910)
2 (438)
Dacă momentul de inerţie centrifugal este negativ (119868119911119910 lt 0) direcţia principală
care trece prin primul cadran (definit de sistemul 119911119862119910) este direcţia principală 120783
Pentru suprafeţele cu cel puţin o axă de simetrie direcţiile centrale 119862119911 119862119910 sunt şi
direcții principale de inerţie și evident momentele de inerţie axiale 119868119911 119868119910 sunt momente
de inerţie principale
48 Caracteristici mecanice ale metalelor
Alegerea materialului pentru confecţionarea unei anumite piese se face şi pe baza
aşa numitelor caracteristici mecanice pe care le prezintă materialul Cunoaşterea acestor
caracteristici mecanice are loc numai pe baza unor icircncercări mecanice care să scoată icircn
evidenţă comportarea materialului icircn condiţii de solicitare
Cea mai utilizată icircncercare icircn urma căreia se pun icircn evidenţă caracteristicile
mecanice ale unui material este icircncercarea la tracţiune
481 Icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general
Icircncercarea la tracţiune a oţelului ca de altfel toate icircncercările de materiale este
standardizată
Icircn cele ce urmează se va prezenta numai partea care interesează strict din punct
de vedere al caracteristicilor mecanice ale oţelului
Epruveta de diametru iniţial 1198890 pentru icircncercarea la tracţiune are o porţiune de
lungime 1198710 numită baza de măsurare pe care se măsoară lungirea acesteia sub acţiunea
solicitării
Icircn funcţie de raportul dintre baza de măsurare 1198710 şi diametrul iniţial 1198890 epruvetele
utilizate pentru icircncercări sunt
epruvete normale (scurte) cacircnd 11987101198890 = 5
epruvete lungi cacircnd 11987101198890 = 10
Icircn timpul icircncercării la diferite valori ale forţei 119865 se măsoară lungirea bazei de
măsurare
∆119871 = 120575 = 119871 minus 1198710 (439)
unde
119871 este dimensiunea bazei de măsurare la un moment dat
Curba forţă-lungire (119865 minus ) icircnregistrată icircn urma icircncercării reprezintă curba
caracteristică la tracţiune
La icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general diagrama caracteristică care se
obţine are forma din figura 48
Curba caracteristică la tracţiune depinde de lungimea bazei de măsurare Pentru
icircnlăturarea acestui neajuns curba caracteristică se reprezintă icircn coordonate şi definite
astfel
120590 =119865
1198600 휀 =
120575
1198710 (440)
unde
1198600 este aria iniţială a secţiunii transversale a epruvetei (icircnainte de solicitare) icircn
zona bazei de măsurare
1198600 =120587 ∙ 1198890
2
4
Deoarece mărimile icircn care se reprezintă curba caracteristică la tracţiune sunt
raportate la aria iniţială a secţiunii transversale (mărimi specifice) curba poartă numele
de curbă caracteristică convenţională la tracţiune
Fig 48 Curba caracteristică convenţională la tracțiune
Pe curba caracteristică convenţională la tracţiune figura 48 se pot stabili o serie
de puncte cărora le corespund mai multe mărimi importante
Ordonata punctului A pacircnă unde curba caracteristică convenţională este linie
dreaptă se numeşte limita de proporţionalitate a materialului 120590119901(1205901) Porţiunea 119874119860 este
zona de proporţionalitate a curbei caracteristice pe acest domeniu este valabilă legea lui
Hooke care exprimă o proporţionalitate icircntre tensiune şi deformaţie specifică
120590 = 119864 ∙ 휀 (441)
unde
119864 = reprezintă panta porţiunii liniare a curbei convenționale caracteristice
la tracțiune Caracteristica de material 119864 se numeşte modul de elasticitate longitudinal
(modulul lui Young)
Ordonata punctului 119861 pacircnă unde materialul se comportă perfect elastic adică
după descărcare icircşi recapătă dimensiunea iniţială 1198710 se numeşte limita de elasticitate
120590119890(119877119890) Icircn realitate nici un material nu are comportare perfect elastică sub acţiunea
solicitărilor el capătă deformaţii permanente (remanente plastice)
După punctul 119861 urmează o porţiune 119861119862119863 icircn care cu toate că icircncărcarea
continuă forţa nu mai creşte avacircnd mici oscilaţii icircn jurul unei valori Se spune că icircn
această porţiune materialul curge iar intervalul 119861119862119863 este un palier de curgere Tensiunea
corespunzătoare palierului de curgere se numeşte limită de curgere aparentă 120590119888(119877119888) Limita de curgere aparentă se calculează cu relaţia
120590119888 =1198651198881198600 (442)
unde
119865119888 reprezintă valoarea forţei icircnregistrată icircn momentul curgerii materialului
După punctul 119863 curba caracteristică are un traseu ascendent pacircnă icircn punctul 119864
Porţiunea 119863119864 este numită zonă de icircntărire (ecruisare) Icircn zona de ecruisare unde se
produc deformaţii plastice semnificative legea lui Hooke nu mai este valabilă La
descărcare relaţia dintre tensiunea şi deformaţia specifică este liniară paralelă cu
porţiunea liniară a curbei caracteristice (dreapta 119872119873)
Deformaţia totală (휀119905) are două componente una elastică (휀119890) şi una plastică (휀119901)
Ordonata punctului 119864 reprezintă rezistenţa de rupere 120590119903(119877119898) a materialului
care se poate calcula cu relaţia
120590119903 = 119877119898 =1198651198981198861199091198600
(443)
unde
119865119898119886119909 reprezintă valoarea maximă a forţei icircnregistrată icircn timpul icircncercării
La atingerea valorii 119865119898119886119909 (punctul 119864) icircntr-un anumit loc al epruvetei secţiunea
icircncepe să se micşoreze (se produce gacirctuirea) continuacircnd pacircnă cacircnd se produce ruperea
totală (punctul 119865)
Dacă după ruperea epruvetei cele două părţi rezultate se aşează cap la cap şi se
măsoară dimensiunea bazei de măsurare 119871119906 (lungimea ultimă) se determină alungirea la
rupere sau lungirea specifică la rupere 휀119903
휀119903 =119871119906 minus 11987101198710
=∆119871
1198710=120575
1198710 (444)
De obicei alungirea se exprimă icircn procente şi se notează cu 119860119899 unde 119899 reprezintă
numărul dat de raportul 11987101198890 (epruvete normale 119899 = 5 epruvete lungi 119899 = 10)
119860119899 =119871119906 minus 11987101198710
∙ 100 [] (445)
Altă mărime care se determină la icircncercarea la tracţiune este gacirctuirea la rupere
(exprimată de obicei icircn procente) şi definită de relaţia
119885 =1198600 minus 1198601199061198600
∙ 100 [] (446)
Mărimile determinate limita de proporţionalitate modulul de elasticitate
longitudinal limita de elasticitate limita de curgere aparentă rezistenţa de rupere
alungirea la rupere şi gacirctuirea la rupere sunt cunoscute ca fiind caracteristici mecanice
ale materialului
Din curba caracteristică convenţională observăm faptul că ruperea (punctul 119865 din
figura 48 se produce la o tensiune mai mică decacirct cea corespunzătoare punctului 119864 Dacă
icircnsă forţa din timpul icircncercării s-ar raporta la aria secţiunii din momentul icircnregistrării
forţei (care este mai mică decacirct cea iniţială 1198600) s-ar obţine aşa numita curbă
caracteristică reală a materialului (traseul 1198741198601198611198621198631198651 din figura 48) La curba
caracteristică reală ruperea se produce icircn punctul 1198651 la o icircncărcare mai mare decacirct cea
corespunzătoare punctului 119864 Icircnseamnă că rezistenţa reală la rupere este mai mare decacirct
rezistenţa la rupere dată de punctul 119864 din diagrama caracteristică convenţională
Dificultatea obţinerii diagramei caracteristice reale faţă de cea a diagramei caracteristice
convenţionale şi considerarea unei rezistenţe la rupere mai mică decacirct a celei reale face
icircn practică utilizarea pe scară mare a diagramei caracteristice convenţionale
Caracteristicile mecanice determinate pe baza curbei caracteristice convenţionale
sunt şi ele caracteristici mecanice convenţionale
Caracteristicile mecanice convenţionale limita de proporţionalitate convenţională
120590119901 limita de elasticitate convenţională 120590119890 limita de curgere convenţională 120590119888 şi rezistenţa
de rupere 120590119903 constituie tensiuni limită pentru un material Pe baza acestor caracteristici
de material se alege valoarea tensiunii admisibile 120590119886 (vezi paragraful 35) pentru
calculele de rezistenţă Cea mai utilizată stare limită pentru stabilirea tensiunii admisibile
120590119886 este limita de curgere convenţională 120590119888
120590119886 =120590119897119894119898119888
=120590119888119888 119904119886119906 120590119886 =
120590119903119888 (447)
Caracteristicile mecanice ale materialului sunt influenţate de o serie de factori
temperatura viteza de solicitare factorii tehnologici iar valorile lor sunt date icircn tabele și
diagrame
Aplicaţie Pentru suprafaţa plană compusă din două dreptunghiuri avacircnd
dimensiunile din figura 49a să se calculeze
a) centrul de greutate al secțiunii compuse 119910119866 119911119866
b) momentele de inerție axiale 119868119911 119868119910 și momentul de inerție centrifugal 119868119911119910
c) razele de inerție 119894119911 119894119910
d) modulele de rezistență 119882119911119898119894119899 119882119911119898119886119909 119882119910119898119894119899 119882119910119898119886119909
e) momentele de inerție principale 1198681 1198682 și direcțiile principale de inerție 1205721
f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 119878119911
Fig 49 Aplicație
Rezolvare Pentru rezolvare vom parcurge următoarele etape
icircmpărțim suprafața compusă icircn două suprafețe simple (dreptunghiuri) notate cu
① și respectiv ② figura 49b
poziționăm centrele de greutate a celor două suprafețe simple ① și respectiv ②
notate cu 1198661 și respectiv 1198662 figura 49c
poziționăm sistemele de axe de coordonate 119911111986611199101 pentru dreptunghiul ① și
119911211986621199102 pentru dreptunghiul ② aflate la intersecția diagonalelor figura 49c
poziționăm sistemele de axe de coordonate 11991101198741199100 ales arbitrar față de care
determinăm poziția centrului de greutate 119866 figura 49c
a) calculăm poziția centrului de greutate folosind relațiile (46) icircn care
1198601 = 6119905 ∙ 119905 = 61199052 1198602 = 4119905 ∙ 119905 = 41199052 119860 = 1198601 + 1198602 = 61199052 + 41199052 = 101199052
iar centrele de greutate 1198661 și respectiv 1198662 au coordonatele (față de sistemul 11991101198741199100)
1198661 1199101 = 3119905 1199111 = 05119905
1198662 1199102 = 051199051199112 = 3119905
cu acestea obținem
119910119866 =1198601 ∙ 1199101 + 1198602 ∙ 1199102
119860=61199052 ∙ 3119905 + 41199052 ∙ 05119905
101199052=201199053
101199052= 2119905
119911119866 =1198601 ∙ 1199111 + 1198602 ∙ 1199112
119860=61199052 ∙ 05119905 + 41199052 ∙ 3119905
101199052=151199053
101199052= 15119905
Poziționăm centrul de greutate 119866 al suprafeței compuse figura 49c
Fig 49 Aplicație
b) pentru determinarea momentelor de inerție axiale 119868119911 119868119910 și a momentului de
inerție centrifugal 119868119910119911 determinăm constantele 1198881 1198882 1198891 1198892 care intervin icircn relația lui
Stainer
1198881 = 1199101 minus 119910119866 = 3119905 minus 2119905 = 119905 1198882 = minus(119910119866 minus 1199102) = minus(2119905 minus 05119905) = minus15119905
1198891 = minus(119911119866 minus 1199111) = minus(15119905 minus 05119905) = minus119905 1198892 = 1199112 minus 119911119892 = 3119905 minus 15119905 = 15119905
Folosind relațiile lui Stainer (429) (430) și (431) calculăm momentele de
inerție axiale și centrifugale față de sistemul central 119911119866119866119910119866
119868119911 =sum(119868119911119894 + 1198881198942 ∙ 119860119894) = 1198681199111 + 1198881
2 ∙ 1198601 + 1198681199112 + 11988822 ∙ 1198602
119868119910 =sum(119868119910119894 + 1198891198942 ∙ 119860119894) = 1198681199101 + 1198891
2 ∙ 1198601 + 1198681199102 + 11988922 ∙ 1198602
119868119911119910 =sum(119868119911119894119910119894 + 119888119894 ∙ 119889119894 ∙ 119860119894) = 11986811991111199101 + 1198881 ∙ 1198891 ∙ 1198601 + 11986811991121199102 + 1198882 ∙ 1198892 ∙ 1198602
1198681199111 = (119887 ∙ ℎ3
12) =
119905 ∙ (6119905)3
12= 181199054 1198681199112 = (
119887 ∙ ℎ3
12) =
4119905 ∙ 1199053
12= 031199054
1198681199101 = (1198873 ∙ ℎ
12) =
1199053 ∙ 6119905
12= 051199054 1198681199102 = (
1198873 ∙ ℎ
12) =
(4119905)3 ∙ 119905
12= 531199054
11986811991111199101 = 11986811991121199102 = 0 deoarece cele două triunghiuri au cel puțin o axă de simetrie
Cu acestea momentele de inerție axiale și momentul de inerție centrifugal devin
119868119911 = 181199054 + 1199052 ∙ 61199052 + 031199054 + (minus15119905)2 ∙ 41199052 = 3331199054
119868119910 = 051199054 + (minus119905)2 ∙ 61199052 + 531199054 + (15119905)2 ∙ 41199052 = 2081199054
119868119911119910 = 0 + 119905 ∙ (minus119905) ∙ 61199052 + 0 + (minus15119905) ∙ (15119905) ∙ 41199052 = minus151199054
c) razele de inerție sau de girație față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910
se calculează cu relațiile (411)
119894119911 = radic119868119911119860= radic
3331199054
101199052= 182119905 119894119910 = radic
119868119910
119860= radic
2081199054
101199052= 144119905
d) modulele de rezistență față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910 se
calculează cu relațiile (412) și (413)
Avacircnd icircn vedere figura 419c obținem
119910119898119886119909 = 6119905 minus 119910119866 = 6119905 minus 2119905 = 4119905 119910119898119894119899 = minus119910119866 = minus2119905
119911119898119886119909 = 5119905 minus 119911119866 = 5119905 minus 15119905 = 35119905 119911119898119894119899 = minus119911119866 = minus15119905
Se obține astfel
119882119911119898119894119899 =119868119911
|119910119898119886119909|=3331199054
4119905= 8331199053
119882119911119898119886119909 =119868119911
|119910119898119894119899|=3331199054
2119905= 16651199053
119882119910119898119894119899 =119868119910
|119911119898119886119909|=2081199054
35119905= 5941199053
119882119910119898119886119909 =119868119910
|119911119898119894119899|=2081199054
15119905= 13871199053
e) momentele de inerție principale 1198681 și respectiv 1198682 se calculează cu relațiile
(438)
11986812 =119868119911 + 119868119910
2plusmn1
2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)
2+ 4 ∙ (119868119911119910)
2=
=3331199054 + 2081199054
2plusmn1
2∙ radic(3331199054 minus 2081199054)2 + 4 ∙ (minus151199054)2 = 27051199054 plusmn 16251199054
De unde obținem
1198681 = 27051199054 + 16251199054 = 4331199054
1198682 = 27051199054 minus 16251199054 = 1081199054
Prima direcție principală de inerție 1 face cu axa centrală 119866119911 unghiul 1205721 dat de
relația (437)
1205721 =1
2∙ arctan (minus
2 ∙ 119868119911119910
119868119911 minus 119868119910) =
1
2∙ arctan [minus
2 ∙ (minus151199054)
3331199054 minus 2081199054] =33 70
Deoarece 1205721 gt 0 rotirea axelor se face acircn sens antiorar acelor de ceasornic figura
49d
Poziția axe principale 2 față de care momentul de inerție are valoarea minimă
1198682 = 119868119898119894119899 este dată de unghiul
1205722 = 1205721 + 900 = 33 70 + 900 = 123 70
f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 se determină cu relația
(45)
1198781199111198602 = 1198602 ∙ 1198882 = 41199052 ∙ (minus15119905) = minus61199053
12Elemente mecanice de calcul
Există situaţii icircn practică icircn care aceleaşi forţe produc efecte diferite asupra unui
solid rigid figura 11
Fig 11 Efectul forțelor asupra unui solid rigid
Asupra aceluiaşi corp acţionează două forţe egale de sensuri contrare dispuse
diferit figura 11 Rezultanta celor două forţe este nulă
Icircn cazul din figura 11a corpul rămacircne icircn echilibru (nu se deplasează) iar icircn cazul
din figura 12b corpul nu este icircn echilibru ci se roteşte sub acţiunea celor două forţe icircn
sensul indicat de săgeată
Aşadar pentru a caracteriza efectele produse de cele două forţe asupra corpurilor
sunt necesare şi alte elemente mecanice de calcul icircn afară de rezultanta forţelor
121 Momentul unei forţe icircn raport cu un punct
Considerăm un solid rigid asupra căruia acţionează o forţă aplicată icircn punctul A
şi fie O un punct din spaţiu figura 12
Fig 12 Momentul unei forțe icircn raport cu un punct
Se defineşte momentul forţei icircn raport cu punctul O produsul vectorial
119874 = 119874119860 times = 119903 times (11)
unde 119903 este vectorul de poziţie al punctului A icircn raport cu punctul O
Vectorul moment 119874 are următoarele elemente
a) Modulul 1198720 = 119865 ∙ 119903 ∙ sin 120572 = 119865 ∙ 119889 unde 119889 este distanţa de la punctul O la
dreapta suport ∆ a forţei şi se numeşte braţul forţei
b) Direcţia perpendiculară pe planul determinat de punctul O şi forţa
c) Sensul dat de regula burghiului drept
d)Punctul de aplicaţie O
Observaţie Momentul unei forţe icircn raport cu un punct este nul dacă suportul
forţei trece prin punctul respectiv (119889 = 0)
122 Momentul unei forţe icircn raport cu o axă
Considerăm un solid rigid asupra căruia acţionează o forţă aplicată icircn punctul A
şi fie D o axă din spaţiu figura 13
Fig 13 Momentul unei forțe icircn raport cu o axă
Se defineşte momentul forţei icircn raport cu axa 119863 ca fiind proiecţia pe axa 119863 a
momentului forţei icircn raport cu un punct arbitrar de pe axa respectivă (O)
119872119863 = 119872119874 ∙ cos 120575 (12)
Momentul forţei icircn raport cu punctul O (119874)se calculează relația (11)
Observaţii
- Momentul unei forţe icircn raport cu o axă este nul dacă forţa şi axa sunt icircn acelaşi
plan (dacă sunt paralele sau dacă suportul forţei intersectează axa)
- Momentul unei forţe icircn raport cu o axă (119863) nu depinde de punctul O ales
arbitrar pe axă
123 Momentul unui cuplu de forţe
Un cuplu de forţe este o pereche de forţe egale de sensuri contrare situate pe
suporturi paralele (1 = minus2 1198651 = 1198652 = 119865) Evident rezultanta unui cuplu de forţe este
nulă figura 14
Fig 14 Momentul unui cuplu de forțe
Se defineşte momentul cuplului de forţe ca fiind suma momentelor celor două forţe
icircn raport cu un punct arbitrar din spaţiu O
119888119906119901 = 1199031 times 1 + 1199032 times 2 = 1199031 times 1 + 1199032 times (minus1) = 119903 times 1 (13)
119888119906119901 = 11986021198601 times 1 = 11986011198602 times 2
Din ultima egalitate se observă că momentul cuplului este egal cu momentul unei
forţe din cuplu icircn raport cu punctul de aplicaţie al celeilalte forţe din cuplu iar momentul
cuplului nu depinde de punctul O deci este un vector liber
Vectorul moment 119888119906119901 are următoarele elemente
a) Modulul cuplului 119888119906119901 = 119865 ∙ 119903 ∙ sin 120572 = 119865 ∙ 119889 unde 119889 este distanţa dintre
suporturile celor două forţe şi se numeşte braţul cuplului
b) Direcţia cuplului este perpendiculară pe planul celor două forţe
c) Sensul cuplului este dat de regula burghiului drept
13Reducerea sistemelor de forţe Echilibrul solidului rigid
Dacă asupra unui solid rigid acţionează un sistem complex de forţe pentru
simplificarea calculelor se urmăreşte icircnlocuirea acestuia cu cel mai simplu sistem posibil
care să producă acelaşi efect mecanic asupra corpului studiat ca şi sistemul iniţial de forţe
Această operaţie se numeşte reducerea sistemului de forţe
131 Reducerea unei forţe icircntr-un punct Torsorul de reducere
A reduce o forţă icircntr-un punct icircnseamnă a icircnlocui acea forţă cu cele mai simple
elemente mecanice legate de punctul respectiv care să producă asupra corpului studiat
acelaşi efect ca şi forţa iniţială
Fie o forţă aplicată icircn punctul A al unui solid rigid şi O un punct din spaţiu
figura 15 vom determina elementele mecanice corespunzătoare reducerii forţei icircn
punctul O
Fig 15 Reducerea unei forțe icircntr-un punct
Icircn punctul O se introduce un sistem de două forţe coliniare egale cu de sensuri
contrare pe un suport paralel cu forţa iniţială Efectul acestora asupra corpului este nul
Apare astfel un cuplu de forţe forţa din A şi (minus) din O caracterizat prin momentul
cuplului 119888119906119901 = 0 = 119874119860 times = 119903 times
Aşadar efectul forţei din A a fost icircnlocuit icircn punctul O cu două elemente
mecanice o forţă identică cu aplicată icircn O şi momentul forţei iniţiale icircn raport cu
punctul O Ansamblul celor două elemente mecanice formează aşa numitul torsor de
reducere al forţei icircn punctul O
132 Reducerea unui sistem de forţe icircntr-un punct
Considerăm că asupra unui solid rigid acţionează un sistem de 119899 forţe 119894 aplicate
icircn punctele 119860119894 cu 119894 = 1 119899 şi fie 119874119909119910119911 un sistem de axe de coordonate avacircnd versorii
axelor 119894 119895 figura 16
Fig 16 Reducerea unui sistem forțe icircntr-un punct
Pentru a reduce sistemul de forţe icircn punctul O se procedează astfel
Se reduce pe racircnd fiecare forţă 119894 icircn punctul O la un torsor de reducere compus
dintr-o forţă 119894 şi un moment 119874119894 = 119903119894 times 119894 Făcacircnd această operaţie cu toate forţele icircn
punctul O se obţine
o forţă rezultantă
= sum119894
119899
119894=1
un moment rezultant
0 =sum119874119894
119899
119894=1
=sum119903119894 times 119894
119899
119894=1
Cele două elemente mecanice definesc torsorul de reducere al sistemului de forţe
icircn punctul O
Torsorul de reducere se poate calcula analitic dacă forţele sunt exprimate analitic
119894 = 119883119894 ∙ 119894 + 119884119894 ∙ 119895 + 119885119894 ∙ unde 119883119894 119884119894 119885119894 sunt proiecţiile forţei 119894 pe axele 119874119909 119874119910
respectiv 119874119911 Rezultanta forţelor icircn punctul O este
= (sum119883119894
119899
119894=1
) ∙ 119894 + (sum119884119894
119899
119894=1
) ∙ 119895 + (sum119885119894
119899
119894=1
) ∙ = 119883 ∙ 119894 + 119884 ∙ 119895 + 119885 ∙
(14)
unde sunt componentele rezultantei pe axele 119874119909 119874119910 și 119874119911 = + +
Icircn mod analog momentul rezultant icircn punctul O este
0 = (sum119872119909119894
119899
119894=1
) ∙ 119894 + (sum119872119910119894
119899
119894=1
) ∙ 119895 + (sum119872119911119894
119899
119894=1
) ∙ =
= 119872119909 ∙ 119894 + 119872119910 ∙ 119895 + 119872119911 ∙
(15)
unde 119909 119910 119911 sunt componentele vectorului moment 0 pe axele 119874119909 119874119910 respectiv 119874119911
0 = 119909 + 119910 + 119911
133 Echilibrul solidului rigid
Torsorul de reducere al sistemului de forţe determină mişcarea solidului rigid icircn
spaţiu sub acţiunea forţelor exterioare aplicate
Torsorul de reducere conţine o forţă rezultantă cu trei componente
perpendiculare icircntre ele şi un moment rezultant avacircnd trei componente ortogonale
perpendiculare 119909 119910 119911 orientate după axele sistemului 119874119909119910119911 Cele trei componente
ale rezultantei produc translaţii (deplasări liniare ) ale corpului pe direcţiile 119874119909 119874119910
respectiv 119874119911 Componentele momentului rezultant 0 produc rotiri (deplasări
unghiulare) ale corpului icircn jurul axelor de coordonate 119874119909 119874119910 respectiv 119874119911 Se spune ca
solidul liber are 6 grade de libertate (6 posibilităţi de deplasare) Pentru ca solidul să fie
icircn echilibru trebuie suprimate toate gradele de libertate Aşadar corpul este icircn echilibru
dacă elementele torsorului de reducere al forţelor exterioare este nul
Condiţiile de echilibru ale solidului rigid sunt
= 0 rArr 119883 = 119884 = 119885 = 0
0 = 0 rArr 119872119909 = 119872119910 = 119872119911 = 0
(16)
Observaţie Un solid rigid liber solicitat de forţe aplicate icircntr-un plan (119909119900119910) are
trei grade de libertate Condiţiile de echilibru sunt
= 0 rArr 119883 = 119884 = 0
0 = 0 rArr 119872119911 = 0
(17)
14 Aplicaţii
141 Să se stabilească mărimea şi ordinul rezultantei sistemului de forţe din figura
17 dacă se cunosc 1 = 100 [119873] 2 = 200 [119873] și 3 = 300 [119873]
Rezolvare
Pentru rezolvarea acestui sistem de forte de prezinta doua metode
a) Rezolvare analitică
Descopunem cele două forțe icircnclinate 2 și 3 după cele două axe de coordonate
Ox și Oy
2 = (minus1198652119909) ∙ 119894 + (1198652119910) ∙ 119895 = (minus1198652 ∙ cos 600) ∙ 119894 + (1198652 ∙ sin 60
0) ∙ 119895 =
= (minus200 ∙1
2) ∙ 119894 + (200 ∙
radic3
2) ∙ 119895 = minus100 ∙ 119894 + 100 ∙ radic3 ∙ 119895
3 = (minus1198653119909) ∙ 119894 + (minus1198653119910) ∙ 119895 = (minus1198653 ∙ cos 450) ∙ 119894 + (minus1198653 ∙ sin 45
0) ∙ 119895 =
= (minus300 ∙radic2
2) ∙ 119894 + (minus300 ∙
radic2
2) ∙ 119895 = minus150 ∙ radic2 ∙ 119894 minus 150 ∙ radic2 ∙ 119895
Pentru stabilirea mărimii şi ordinului rezultantei sistemului de forţe din figură se
procedează astfel
Forţele sunt exprimate analitic 119894 = 119883119894 ∙ 119894 + 119884119894 ∙ 119895 unde 119883119894 119884119894 sunt proiecţiile
forţei 119894 pe axele 119874119909 respectiv 119874119910
1 = 100 ∙ 119894 + 0 ∙ 119895
2 = minus100 ∙ 119894 + 1732 ∙ 119895
3 = minus2121 ∙ 119894 minus 2121 ∙ 119895
Fig 17 Aplicația 141
Se determină rezultanta forţelor cu următoarea relaţie
= sum119865119894 prime (sum119883119894
119899
119894=1
) ∙ 119894 + (sum119884119894
119899
119894=1
) ∙ 119895 = 119883 ∙ 119894 + 119884 ∙ 119895
unde 119883 119884 sunt componentele rezultantei pe axele 119874119909 respectiv 119874119910 = +
= (100 minus 100 minus 2121) ∙ 119894 + (0 + 1732 minus 2121) ∙ 119895 = (minus2121) ∙ 119894 + (minus389) ∙ 119895
rArr 119883 = minus2121 [119873]
119884 = minus389 [119873]
Cu acestea obținem rezultanta
119877 = radic1198832 + 1198842 = radic(minus2121)2 + (minus389)2 = 21564 [119873]
Se reprezintă grafic rezultanta icircn sistemul de coordonate 119909119874119910 după care se
calculează unghiul 120572 pe care aceasta rezultantă icircl face cu axa 119874119909 figura 18
tan 120572 =119884
119883=minus389
minus2121= 0183 rArr 120572 = arctan(0183) = 10 40
Fig 18 Reazultanta forțelor aplicate
b) Rezolvare tabelară
Forţa 119894 Componenta 119883119894 Componenta 119884119894
1 1198651 = 100 1198651 = 0
2 minus1198652 ∙ cos 600 = minus100 1198652 ∙ sin 60
0 = 1732
3 minus1198653 ∙ cos 450 = minus2121 minus1198653 ∙ sin 45
0 = minus2121
= sum119894 119883 =sum119883119894 = minus2121 119884 =sum119884119894 = minus389
După determinarea tabelară a celor două componente ale rezultandei calculele se
continua ca şi icircn cazul rezolvării analitice
142 Să se calculeze momentul forţei verticale = 100 [119873] icircn raport cu punctele
B D O şi icircn raport cu axele Ox Oy şi Oz figura 19 și să se determine componentele
torsorului de reducere ale forţei icircn punctul O dacă se cunosc 119886 = 3 [119898] şi 119887 = 4 [119898]
Fig 19 Aplicația 142
Fig 110 Icircnclinarea momentului 119872119874
119861 = 119861119860 times
119872119861 = 119886 ∙ 119865 = 3 ∙ 100 = 300 [119873 ∙ 119898]
119863 = 119863119860 times
119872119863 = 119887 ∙ 119865 = 4 ∙ 100 = 400 [119873 ∙ 119898]
119874 = 119874119860 times
119872119874 = 119888 ∙ 119865 = radic1198862 + 1198872 ∙ 119865 = radic32 + 42 ∙ 100 = 5 ∙ 100 = 500 [119873 ∙ 119898]
119874 se află icircn planul 119909119874119910 cu icircnclinarea 120572 (figura 110)
tan120572 =119886
119887=3
4= 075 rArr 120572 = arctan(075) = 36860
Deci
120572 = 900 minus 120573 = 900 minus 36860 = 53140
Concluzie Componentele torsorului de reducere al forței icircn punctul O sunt o forta
icircn O identică cu forța din punctul A și momentul forței icircn raport cu punctul O 119874
2 INTRODUCERE IcircN REZISTENŢA MATERIALELOR
21 Obiectul şi problemele Rezistenţei materialelor
Rezistenţa materialelor este o disciplină de cultură tehnică generală care continuă
logic şi dezvoltă Mecanica prin introducerea icircn calcule a proprietăţilor de deformabilitate
ale corpurilor solide reale Icircn Mecanică corpul solid este considerat rigid nedeformabil
iar vectorii forţă de icircncărcare sunt consideraţi alunecători Rezistenţa materialelor ia icircn
studiu corpurile reale care sub acţiunea forţelor exterioare (vectori legaţi) icircşi schimbă
forma geometrică respectiv dimensiunile iniţiale şi se distrug prin rupere la valori mari
ale acestora Prin calculele de rezistenţă se determină dimensiunile secţiunilor
transversale ale corpurilor (elemente de rezistenţă) icircn funcţie de mărimea poziţia şi modul
de acţionare a forţelor exterioare proprietăţile mecanice ale materialelor dimensiunile
constructive forma şi importanţa ansamblului icircn care se icircnglobează iar icircn anumite cazuri
şi de durata de funcţionare Elementele de rezistenţă trebuie să icircndeplinească următoarele
condiţii de bază
- condiţia de rezistenţă care are icircn vedere ca eforturile din elementul de rezistenţă
să nu producă distrugerea acestuia prin rupere sau spargere icircn bucăţi
- condiţia de rigiditate se referă la valorile deformaţiilor care nu trebuie să
depăşească anumite mărimile admisibile
- condiţia de stabilitate care consideră posibilitatea menţinerii formei de echilibru
stabil pentru o anumită stare de icircncărcare
Criteriile de rezolvare ale problemelor de Rezistenţa materialelor sunt
- criteriul economic prin care se impune ca orice element de rezistenţă (piesă) să
fie proiectat şi realizat cu soluţia cea mai economică icircn privinţa materialului utilizat şi al
manoperei
- criteriul de bună funcţionalitate a ansamblului din care face parte elementul de
rezistenţă proiectat respectacircnd condiţiile de rezistenţă rigiditate şi stabilitate
Icircn cadrul Rezistenţei materialelor se admit ipoteze simplificatoare care permit
obţinerea unor relaţii de calcul relativ simple şi care exprimă destul de fidel fenomenul
de solicitare real Experimentările practice icircn laborator permit verificarea legilor
rezistenţei materialelor şi determinarea caracteristicilor mecanice ale materialelor
Rezistenţa materialelor permite rezolvarea următoarelor categorii de probleme
- probleme de dimensionare prin care se stabilesc dimensiunile optime ale
elementelor de rezistenţă proiectate icircn funcţie de icircncărcările exterioare (forţe sau
momente) şi de caracteristicile mecanice ale materialului utilizat
- probleme de verificare la care se determină dacă un element de rezistenţă de
dimensiuni cunoscute satisface condiţiile de rezistenţă rigiditate şi stabilitate cunoscacircnd
icircncărcarea exterioară şi caracteristicile mecanice ale materialului utilizat
- probleme de calcul al capacităţii de icircncărcare al unui element de rezistenţă
cunoscacircndu-se caracteristicile mecanice ale materialului dimensiunile şi modul de
solicitare se determină icircncărcarea maximă pe care o poate suporta elementul de rezistență
fără a ceda sau a se deforma periculos
22 Clasificarea corpurilor icircn Rezistenţa materialelor
Corpurile (elementele de rezistenţă) au icircn general forme constructive relativ
complicate Icircn Rezistenţa materialelor pentru simplificarea calculelor corpurile se
schematizează prin forme geometrice mai simple obţinacircndu-se următoarele grupe
a) corpuri solide cu o dimensiune mult mai mare decacirct celelalte două (corpuri cu
fibră medie) Elementele geometrice caracteristice sunt axa longitudinală şi secţiunea
transversală Aceste corpuri solide pot fi
- fire dacă dimensiunile secţiunii transversale sunt foarte mici astfel icircncacirct axa
longitudinală este flexibilă (icircşi schimbă forma uşor) iar sarcinile transversale nu pot fi
preluate de acesta Un fir nu poate fi solicitat decacirct la icircntindere (exemplu cabluri de
macara lanţuri etc)
- bare care rezistă atacirct la solicitări axiale cacirct şi la solicitări transversale
După modul de solicitare barele poartă diferite denumiri convenţionale
tiranţi-solicitaţi la icircntindere figura 21a
stacirclpi-solicitaţi la compresiune figura 21b
grinzi-solicitate la icircncovoiere figura 21c
arbori-solicitaţi la torsiune (răsucire) figura 21d
Fig 21 Denumirea barelor după modul de solicitare
După modul cum variază secţiunea icircn lungul axei barele pot fi
de secţiune constantă figura 22a
de secţiune variabilă continuă figura 22b sau icircn trepte figura 22c
Fig 22 Denumirea barelor după secțiune
După forma axei longitudinale barele pot fi
drepte figura 21
curbe icircn plan figura 23a sau icircn spaţiu figura 23b (numite și curbe stracircmbe)
cotite (axa barei este o linie fracircntă) plane figura 23c sau spațiale figura 23d
Fig 23 Tipuri de bare curbe și cotite
Secţiunea transversală (plană şi normală pe axa barei) poate avea orice formă
geometrică constantă sau variabilă icircn lungul barei
Dacă una din dimensiunile secţiunii transversale (grosimea) este mai mică
comparativ cu celelalte bara se numește bară cu pereţi subţiri (exemplu barele
realizate din platbande sudate cu secţiuni sub formă de profil I profil U cornier etc)
b) corpuri care au două dimensiuni mult mai mari icircn raport cu a treia (grosimea)
se numesc plăci Elementele geometrice caracteristice ale unei plăci sunt forma şi
dimensiunile suprafeţei mediane respectiv grosimea Plăcile se reprezintă schematic
printr-o suprafață care imită forma și dimensiunile suprafeței mediane Suprafaţa mediană
reprezintă locul geometric al tuturor punctelor egal depărtate de cele două feţe ale plăcii
puncte aflate pe perpendicularele duse icircntre cele două feţe figura 24
După destinaţie și forma suprafeței mediane se deosebesc
plăci plane figura 24b
plăci curbe (icircnvelişuri) cu o singură curbură figura 24a sau avacircnd curbură
dublă figura 24c
Fig 24 Tipuri de plăci plane
Plăcile cu grosime mare sunt denumite frecvent dale O placă de grosime mică
ce nu poate prelua decacirct solicitări la icircntindere poartă numele de membrană
Exemple de plăci icircnvelişurile vasele de revoluţie discurile etc
c) corpuri masive care au toate cele trei dimensiuni aproximativ de acelaşi ordin
de mărime (blocuri de fundaţii bile şi role de rulmenţi tuburi cu pereţi groşi etc)
Calculele de rezistenţă sunt mai simple icircn cazul barelor drepte şi mai complicate
la barele curbe plăci respectiv blocuri
23 Clasificarea icircncărcărilor exterioare
Un corp icircşi păstrează forma şi dimensiunile datorită forţelor de atracţie dintre
particulele sale elementare atacircta timp cicirct asupra sa nu acţionează alte forţe aplicate din
exterior care să-l deformeze Icircn construcţia de maşini elementele de rezistenţă preiau şi
transmit acţiunea unor sarcini exterioare (forţe şisau cupluri) pe care le vom denumi
generic forțe sau icircncărcări exterioare Efectul pe care-l au sarcinile este acela de a
modifica forma şi dimensiunile corpului asupra căruia se aplică Icircn punctele de rezemare
(de sprijin sau de legătură cu alte elemente de rezistenţă icircnvecinate) ca urmare a
principiului acţiunii şi reacţiunii apar forţe de legătură sau reacţiuni Ansamblul format
din sarcini şi reacţiuni este cunoscut sub numele de forţe exterioare Sub acţiunea
forţelor exterioare elementele de rezistenţă trebuie să fie icircn echilibru
Forţele exterioare pot fi clasificate după următoarele criterii
a) după mărimea suprafeţei pe care se aplică
- forțe concentrate aplicate teoretic icircntr-un punct figura 25a
- forțe distribuite uniform sau cu intensitate variabilă icircn lungul barei sau pe o
suprafaţă figura 25bc şi d
- momente concentrate care acţionează icircntr-un punct M sau momente uniform
distribut pe o anumită lungime m
Fig 25 Tipuri de sarcini după mărimea suprafeţei de aplicare
b) după locul de aplicare se deosebesc
- forţe de suprafaţă sau de contur care sunt aplicate din exterior pe suprafaţa
corpurilor şi indică legătura cu piesele icircnvecinate
- forţe masice sau de volum distribuite icircn tot corpul (greutăţi forţe de inerţie
respectiv forţe electromagnetice)
c) după modul de acţiune icircn timp se disting
- forţe statice care se aplică lent şi progresiv pacircnă la valoarea nominală de lucru
şi apoi rămacircn constante figura 26a
- forţe dinamice care rezultă din
aplicarea cu icircntreaga intensitate de la icircnceputul perioadei de solicitare iar apoi forţa se
menţine constantă timp icircndelungat figura 26b (forţe de inerţie)
aplicarea bruscă a sarcinii asupra corpului durata de acţiune a sarcinii fiind mică figura
26c (forţe de şoc)
variaţia periodică icircn timp a intensităţii forţei aplicate figura 26d (forţe de oboseală)
Fig26 Tipuri de forţe exterioare (cicluri de solicitare)
Funcţie de modul de variaţie al forţelor exterioare solicitările pot fi statice
oscilante pulsante alternante etc Experimental s-a constatat că rezistenţa unui material
depinde foarte mult de modul de variaţie a forţelor icircn timp Bach a clasificat solicitările
icircn 3 categorii 1-solicitări statice 2-solicitări pulsante 3-solicitări alternant simetrice
Rezistenţa unui material este icircn raportul 321 pentru cele 3 cazuri de solicitare ale lui
Bach Aceasta icircnseamnă că o piesă solicitată static rezistă la o forţă de 3 ori mai mare
decacirct forţa maximă care produce ruperea aceleaşi piese solicitate alternant simetric
d) după poziţia icircn timp a forțelor se disting
- forţe fixe ale căror puncte de aplicaţie sunt mereu aceleaşi
- forţe mobile ale căror puncte de aplicaţie se deplasează icircn timp De exemplu
sarcinile produse de vehiculele care circulă pe un pod sarcinile unei grinzi de pod rulant
icircntr-o halăetc
24 Reazeme Forțe interioare Eforturi Diagrame de eforturi icircn barele
drepte
241 Reazeme Reacțiuni (forțe de legătură)
Pentru a prelua şi transmite acţiunea sarcinilor exterioare elementele de rezistenţă
din componenţa unei structuri sunt fixate icircntre ele prin intermediul unor legături
exterioare numite reazeme Aceste legături au ca scop icircmpiedicarea anumitor mişcări ale
corpului pe direcţiile pe care acestea nu trebuie să se producă O legătură are deci rolul
de a anula unul sau mai multe grade de libertate ale corpului icircn punctul de rezemare Dacă
este anulat un singur grad de libertate legătura este simplă iar dacă sunt impiedicate mai
multe grade de libertate legătura este una compusă Datorită existenţei sarcinilor
exterioare icircn punctele de rezemare pe direcţiile pe care mişcările sunt icircmpiedicate apar
forţe de legătură numite reacţiuni Numărul natura şi direcţiile reacţiunilor depind de
tipul reazemelor Icircn construcţiile reale există o varietate mare de realizare practică a
reazemelor dar icircn calcule se acceptă anumite schematizări care reţin doar aspectul esenţial
al unui reazem şi anume gradul sau gradele de libertate anulate
Pentru o structură de rezistenţă spaţială icircntr-un punct oarecare sunt posibile şase
deplasări trei deplasări liniare (după direcţiile axelor unui sistem ortogonal) şi trei rotiri
(deplasări unghiulare) icircn jurul aceloraşi axe Ca urmare ar fi posibil de realizat maximum
şase tipuri de reazem
Pentru un element de rezistenţă plan icircncărcat cu eforturi cuprinse icircn planul
elementului icircn orice punct sunt posibile trei gade de libertate două deplasări liniare şi o
rotiri Ca urmare pentru cazul unei bare plane se icircntacirclnesc următoarele tipuri de reazeme
1 Reazemul simplu sau reazemul mobil care icircmpiedică deplasarea pe o direcţie
normală pe suprafaţa de rezemare permiţacircnd deplasarea pe o direcţie paralelă cu
suprafaţa de rezemare şi rotirea barei icircn jurul unei axe perpendiculare pe plan icircn punctul
de rezemare Icircn urma icircmpiedicării deplasării şi datorită unor sarcini exterioare icircn
reazemul simplu apare o reacţiune de tip forţă a cărei suport trece prin punctul de
rezemare şi a cărei direcţie este perpendiculară pe suprafaţa de rezemare figura 27
Fig 27 Reazem simplu (mobil)
Icircn figura 27 este reprezentat un reazem mobil poziţionat pe capătul A al unei bare
plane orizontale fiind evidenţiate punctul şi suprafaţa de rezemare direcţia suportului
reacţiunii şi modul de schematizare al reazemului Cea mai des icircntacirclnită reprezentare a
reazemului mobil este a unui triunghi a cărui bază poate luneca pe suprafaţa de rezemare
2 Reazemul fix sau articulaţia icircmpiedică deplasările liniare după toate direcţiile
din planul barei permiţacircnd doar rotirea barei icircn jurul unei axe perpendiculare pe plan şi
care trece prin puncul de rezemare Reacţiunea este cuprinsă icircn planul barei care trece
prin punctul de rezemare dar a cărei mărime şi direcţie nu sunt cunoscute (forţa R)
figura 28
Fig 28 Reazem fix
Se preferă ca icircn locul unei forţe R avacircnd direcţia oarecare icircn plan necunoscută să
se introducă două forţe (HA şi VA) cărora li se cunoaşte direcţia şi pentru care se vor
determina modulele ca valori din condiţiile de echilibru static Icircntr-un reazem fix apar
icircntotdeauna reacţiuni atacirct pe direcţia perpendiculară pe suprafaţa de rezemare
(verticală) cacirct şi pe direcţia paralelă cu prima (orizontală) chiar dacă uneori una sau
chiar ambele reacţiuni au valoarea zero Reprezentarea schematică a articulaţiei este cea
a unui triunghi cu baza fixă şi cu vacircrful icircn punctul de rezemare sau cea a unui pendul
dublu figura 28
3 Icircncastrarea (sau icircnţepenirea) anulează toate gradele de libertate ale capătului
unei bare icircmpiedicacircnd deplasarea liniară după orice direcţie din plan precum şi rotirea
barei icircn jurul unei axe perpendiculare pe plan şi care trece prin punctul de icircncastrare
Urmare a existenţei sarcinilor exterioare şi a blocării deplasărilor icircn icircncastrare apare o
reacţiune căreia nu i se cunoaşte nici mărimea nici direcţia şi nici punctul de aplicaţie
figura 29
Fig 29 Icircncastrarea
Sub acţiunea forţelor exterioare un sistem este icircn echilibru Valoarea reacţinilor
se determină din condiţia de echilibru a sistemului solicitat
Este cunoscut faptul că un sistem plan este icircn echilibru dacă
nu se deplasează pe o direcţie (fie x această direcţie)
nu se deplasează pe o direcţie perpendiculară pe prima (fie y această direcţie)
nu se roteşte faţă de un punct al planului (fie K acest punct)
Cele trei condiţii enunţate mai sus sunt satisfăcute dacă suma proiecţiilor tuturor
forţelor pe direcţia x respectiv y este nulă şi suma tuturor momentelor (cuplurilor) faţă
de un punct al planului este nulă
242 Forțe interioare Metoda secțiunilor
Icircn vederea calculului de rezistenţă de rigiditate şi de stabilitate a barelor sau a
sistemelor de bare este necesară determinarea forţelor şi momentelor interioare
(eforturilor) care apar icircn secţiunile transversale ale acestora şi datorate icircncărcărilor
exterioare Forțele interioare indică legătura dintre particulele din interiorul corpului şi
se pun icircn evidenţă prin metoda secţiunilor care este un procedeu de raţionament
imaginar propus de Cauchy echivalent cu teoria echilibrului părţilor Conform acestui
raționament bdquodacă un corp solid deformabil este icircn echilibru sub acţiunea unui sistem
generalizat de forţe atunci după secționare fiecare parte a sa va fi icircn echilibru sub
acţiunea forţelor exterioare care-i revin şi a unui sistem de forţe pe care trebuie să-l
introducem icircn secţiunea ce delimitează fiecare parte echivalent cu acţiunea forţelor
aplicate pe partea icircndepărtatărdquo
Problemele care apar la aplicarea metodei secţiunilor sunt
- să pună icircn evidenţă existenţa forţelor interioare mai ales că din ceea ce se ştie o
forţă apare icircn prezenţa a două corpuri ca urmare a principiului acţiunii şi reacţiunii
- să explice modul de distribuţie al forţelor interioare pe secţiune
Considerăm un corp aflat icircn echilibru sub acţiunea unui sistem de forţe exterioare
1 2 3⋯119894 ⋯ 119899minus1 119899 şi presupunem că-l secţionăm cu un plan transversal Q (sau cu
o suprafaţă oarecare) figura 210a Icircn urma secţionării fictive (imaginare) conform
principiului echilibrului părţilor fiecare din cele două părţi obţinute trebuie să fie icircn
echilibru sub acţiunea forţelor exterioare care le revin şi a cacircte unui sistem de forţe
interioare pe care trebuie să-l introducem icircn secţiunile rezultate sistem echivalent cu
acţiunea forţelor exterioare ce acţionează asupra celeilalte părţi Astfel pe partea din
dreapta (notată cu II) delimitată de secţiunea de arie Ad sunt aplicate forţele exterioare
119894 ⋯ 119899minus1 119899 şi un sistem de forţe interioare căruia nu i se cunoaşte decacirct efectul acelaşi
cu cel al forţelor 1 2 3 de pe parea din stacircnga (notată cu I şi delimitată de secţiunea
de arie As) figura 210b Prin metoda secţiunilor am reuşit să punem icircn evidenţă existenţa
forţelor interioare şi să le trecem icircn categoria celor exterioare cărora le putem aplica
relaţiile de echivalenţă şi de echilibru cunoscute din statică Ideal ar fi să cunoaştem
distribuţia şi intensitatea punctuală a acestor forţe pentru că s-ar putea ca icircn anumite
puncte ale secţiunii valoarea forţelor să depăşească limita de rezistenţă (limita de curgere)
a materialului Cunoaşterea distribuţiei punctuale a forţelor interioare nu se poate realiza
decacirct icircn cazuri particulare relativ simple de solicitare
Să considerăm partea din dreapta a corpului asupra căreia acționează forțele
119894 ⋯ 119899minus1 119899 mărginit de aria Ad pe care acționează un sistem de forțe interioare
echivalent cu 1 2 3 Deși forțele interioare de pe Ad nu se cunosc totuși efectul lor
este același cu cel al forțelor 1 2 3 deci le putem reduce icircn centrul de greutate C al
secțiunii Ad rezultacircnd componentele torsorului de reducere al forțelor interioare
(119894119889 119894119889) și pentru partea din stacircnga (119894119904 119894119904) Evident conform principiului acțiunii și
reacțiunii
119894119889 = minus119894119904
119894119889 = minus119894119904 (21)
Pe de altă parte cum fiecare dintre părțile corpului după secționare trebuie să fie
icircn echilibru sub acțiunea forțelor exterioare care le revin și a forțelor interioare introduse
rezultă
119894119889 = minus119890119889
119894119889 = minus119890119889
119894119904 = minus119890119889
119894119904 = minus119890119904 (22)
Combinacircnd (21) cu (22) rezultă
119894119889 = 119890119889
119894119889 = 119890119889
119894119904 = 119890119904
119894119904 = 119890119904 (23)
Fig 210 Forțe interioare
Relațiile (22) și (23) permit determinarea componentelor torsorului de reducere
al forțelor interioare din (23) rezultă componentele torsorului forțelor interioare care
acționează icircn secțiunea Ad sunt egale cu componentele torsorului de reducere al forțelor
exterioare de pe partea din stacircnga din (22) rezultă componentele torsorului forțelor
interioare care acționează icircn secțiunea Ad sunt egale și de sens contrar cu componentele
torsorului de reducere al forțelor exterioare de pe partea din dreapta
Observații
1 Torsorul forțelor interioare diferă de la o secțiune la alta dar pentru aceeași
secțiune el este unic și trebuie să respecte condițiile de compatibilitate a deformațiilor
2 Reducacircnd forțele interioare icircn centrul de greutate al secțiunii s-a făcut o
aproximare icircn ceea ce privește efectul modului de dispunere al forțelor
3 Punctul de reducere trebuie să fie
pentru forțele interioare normale la secțiune centrul de greutate
pentru forțele interioare tangente la planul secțiunii centrul de răsucire sau de
tăiere
243 Eforturi
Prin metoda secțiunilor am pus icircn evidență existența forțelor interioare și modul
icircn care se determină componentele torsorului de reducere al forțelor interioare (119894119889 119894119889) de pe fața din dreapta secțiunii (Ad) Cele două componente ale torsorului de reducere al
forțelor interioare de pe Ad se pot descompune după axele unui sistem de referință
triortogonal xCyz astfel
119894119889 = +
119894119889 = 119909 +119872119894 (24)
unde și 119909 sunt proiecțiile lui 119894119889 și respectiv 119894119889 pe axa longitudinală Cx a
barei iar și 119894 sunt proiecțiile acelorași componente 119894119889 și respectiv 119894119889 pe planul yCz
al secțiunii transversale Ad figura 211
Fig 211 Torsorul de reducere al forţelor interioare
La racircndul lor și 119894 se pot descompune după axele sistemului yCz figura 212
= 119910 + 119911
119894 = 119894119910 + 119894119911 (25)
Fig 212 Descompunerea forţei tăietoare şi a momentului icircncovoietor
Cele șase componente ale torsorului de reducere al forțelor interioare ( 119910 119911
119909 119894119910 119894119911) orientate după axele sistemului de referință xCyz se numesc eforturi
Fiecare efort are o denumire stabilită icircn funcție de tipul de deformație pe care-l produce
De asemenea semnul plus (bdquo+rdquo) sau minus (bdquondashrdquo) al fiecărui efort nu depinde de sensul
pozitiv sau negativ al sistemului de axe ci doar de efectul icircn deformații al fiecărui efort
Denumirile celor șase eforturi sunt
119873 este forța axială
119879119910 119879119911 sunt forțe tăietoare orientate după axele Cy și respectiv Cz
119872119909 notat de cele mai multe ori cu 119872119905 este moment de torsiune sau de răsucire
119872119894119911 119872119894119910 sunt momente de icircncovoiere icircn jurul axei Cz și respectiv Cy
Forța axială 119873 poate fi forță axială de icircntindere cacircnd produce o lungire a
tronsonului pe a cărei față acționează (119873 gt 0) figura 213a sau forță axială de
compresiune cacircnd sub efectul ei bara se scurtează (119873 lt 0) figura 213b
Fig 213 Forța axială
Forțele tăietoare 119879119910 și 119879119911 au ca efect lunecarea secțiunii icircn centrul căreia
acționează icircn raport cu secțiunea icircnvecinată lunecare ce se produce pe direcția și icircn sensul
forței Sub acțiunea unei forțe tăietoare bara este solicitată la forfecare Forța tăietoare
este pozitivă 119879119910 gt 0 dacă icircn raport cu un punct oarecare K de pe axa Cx a barei tinde să
rotească secțiunea pe care acționează icircn sens orar
Fig 214 Forța tăietoare
Momentele de icircncovoiere 119872119894119911 și 119872119894119910 au ca efect o rotire a secțiunii icircn centrul
cărora acționează icircn jurul axei după care sunt orientate Icircn figura 215a se vede că
datorită momentului 119872119894119911 fibrele de deasupra axei Cz se alungesc icircn timp ce fibrele de sub
axa Cz se scurtează Fibrele care trec prin axa de icircncovoiere Cz nu se deformează sunt
fibre neutre la icircncovoiere adică axa neutră este Cz Icircn cazul momentului de icircncovoiere
119872119894119910 fibrele care nu se deformează sunt cele care trec prin axa neutră la icircncovoiere Cy
Momentele de icircncovoiere se consideră a fi pozitive (119872119894119911 gt 0119872119894119910 gt 0) dacă
observatorul care privește bara deformată vizualizează fibrele icircntinse
Fig 215 Momentul icircncovoietor
Momentul de torsiune sau de răsucire 119872119909 equiv 119872119905 are ca efect o rotire a secțiunii
icircn al cărei centru acționează icircn jurul axei longitudinale Cx Ca efect secțiunea icircși schimbă
forma (se deformează) adică unghiurile inițiale se modifică dreptunghiul inițial Ad
devine paralelogram Convențional se consideră 119872119905 gt 0 dacă vectorul moment are
aceeași orientare ca și sensul pozitiv ales pextru axa Cx Icircn figura 216 momentul este
negativ
Fig 216 Momentul de torsiune
25 Definiții și convenții de semne pentru eforturile
din secțiunile unei bare drepte plane icircncărcate cu sarcini coplanare
Vom considera o bară plană icircncărcată cu un sistem de forțe arbitrar figura 217
Ne propunem să determinăm eforturile care apar icircn secțiunea barei aflată la distanța 119909 de
reazemul din stacircnga (A)
Pentru aceasta vom aplica metoda secțiunilor vom secționa bara cu un plan
perpendicular pe axa longitudinală a barei și vom analiza doar partea din dreapta secțiunii
mărginită de fața Ad Pentru ca această porțiune de bară să fie icircn echilibru sub acțiunea
forțelor exterioare care acționează asupra sa 1198653 și 119881119861 va trebui să introducem icircn centrul
secțiunii Ad eforturile care pot să apară 119873 119879119910 119872119894119911 Acțiunea acestor eforturi trebuie să
fie echivalentă cu acțiunea forțelor exterioare aplicate pe partea icircnlăturată (parcursă) a
barei 119867119860 119881119860 1198651 1198652 1198720
Deoarece bara este plană și este icircncărcată doar cu sarcini ce aparțin
planului barei
icircn secțiunea Ad apar doar 3 componente ale torsorului de reducere al forțelor
interioare (eforturi)
- 119873 = forța axială
- 119879119910 = forța tăietoare pe care o vom nota cu 119879
- 119872119894119911 = momentul icircncovoietor notat cu Mi
Fig 217 Bară plană icircncărcată cu un sistem de forțe
Vom prezenta următoarele definiții corespunzătoare eforturilor din secțiunea Ad
119873 = forța axială dintr-o secțiune este egală cu suma algebrică a proiecțiilor pe
axa longitudinală a tuturor forțelor exterioare (sarcini și reacțiuni) aplicate pe partea
din stacircnga secțiunii adică pe porțiunea parcursă Forța axială 119873 este pozitivă dacă trage
de tronsonul pe a cărei față acționează (are orientarea normalei exterioare la secțiunea
Ad)
119873(119909) = minus119867119860 + 1198651119867 (26)
119879 = forța tăietoare icircntr-o secțiune este egală cu suma algebrică a proiecțiilor
pe o axă perpendiculară pe axa barei a tuturor forțelor exterioare (sarcini și reacțiuni)
aplicate pe porțiunea de bară aflată icircn stacircnga secțiunii considerate Forța tăietoare 119879
este pozitivă dacă tinde să rotească tronsonul pe a cărui față acționează icircn sens orar icircn
raport cu un punct de pe axa barei aflat la dreapta secțiunii
119879(119909) = 119881119860 minus 1198651119881 minus 1198652 (27)
119872119894 = momentul icircncovoietor icircntr-o secțiune este egal cu suma algebrică a
momentelor obținute prin reducerea tuturor forțelor exterioare ( cupluri sarcini
reacțiuni) aplicate pe porțiunea de bară aflată la stacircnga secțiunii icircn centrul secțiunii
considerate 119872119894 este considerat pozitiv dacă tinde să deformeze bara astfel icircncacirct fibrele
spre care privește un observator să fie icircntinse Cum poziția observatorului este de regulă
sub bară bara se deformează dacă 119872119894 gt 0 astfel icircncacirct partea jos a barei este icircntinsă Se
spune că bara deformată rdquoține apaldquo
119872119894(119909) = 119881119860 ∙ 119909 minus 1198651119881 ∙ (119909 minus 1198971) minus 1198652 ∙ [119909 minus (1198971 + 1198972)] + 1198720 (28)
Sensurile pozitive ale eforturilor care apar icircn centrul secțiunii Ad (deci atunci cacircnd
sensul de parcurs la aplicarea metodei secțiunilor este cel de la stacircnga la dreapta) sunt
indicate icircn figura 218a iar dacă sensul de parcurs este de la dreapta la stacircnga sensurile
pozitive ale eforturilor sunt indicate icircn figura 218b
Fig 218 Convenţia de semne
Definiții asemănătoare se pot da și pentru eforturile din centrul secțiunii As figura
218b adică pentru cazul icircn care sensul de parcurs este cel de la dreapta la stacircnga și deci
partea luată icircn considerare este cea din stacircnga iar partea parcursă din dreapta secțiunii
este icircnlăturată
119873(1199091) = 1198653119867
119879(1199091) = 1198653119881 minus 119881119861
119872119894(1199091) = 119881119861 ∙ 1199091 minus 1198653119881 ∙ (1199091 minus 1198975)
(29)
Avacircnd icircn vedere că fețele Ad și As aparțin aceleeași secțiuni este evident faptul că
eforturile 119873(119909) 119879(119909) și 119872119894(119909) sunt identice cu eforturile 119873(119961120783) 119879(119961120783) și respectiv
119872119894(119961120783) Icircn figura 218c se prezintă o sinteză a convențiilor de semne pozitive pentru cele
3 eforturi atacirct pentru sensul de parcurs de la stacircnga la dreapta (secțiunea Ad) cacirct și pentru
sensul invers (secțiunea As)
Semnele eforturilor sunt importante icircntrucacirct există materiale cu comportări diferite
la icircntindere față de compresiune iar o schimbare a semnului unui efort poate produce
erori grave icircn calcule Semnele eforturilor au fost stabilite icircn funcție de deformațiile
produse și nu depind de sensul axelor sistemului de coordonate
26 Relaţii diferenţiale icircntre eforturi şi sarcini
Pentru a vedea ce legătură există icircntre eforturi și sarcini vom considera o bară
dreaptă icircncărcată cu o sarcină distribuită după o lege oarecare figura 219a Din această
bară vom decupa prin dublă secționare un element de lungime infinit mică 119889119909 Deoarece
lungimea 119889119909 este foarte mică se poate considera sarcina 119901 uniform distribuită Icircn
secțiunile rezultate trebuie să introducem eforturile care pot apărea
- 119879 şi 119872119894 icircn centrul secțiunii din sticircnga eforturi pe care le considerăm pozitive
- 119879 + 119889119879 şi 119872119894 + 119889119872119894 icircn centrul secțiunii din dreapta elementului
Aceste eforturi au o variație mică (119889119879 şi 119889119872119894) față de secțiunea anterioară Spre
deosebire de cazul icircn care bara este secționată o singură dată icircn acest caz eforturile nu
pot fi determinate din cele 2 condiții de echilibru independente deoarece icircn ecuațiile de
echilibru apar 4 necunoscute 119879 119889119879119872119894 și 119889119872119894 deci că problema este dublu static
nedeterminată figura 219
Fig 219 Echivalența icircntre eforturi și sarcini
Ecuațiile de echilibru scrise pentru elementul din figura 219b conduc la stabilirea
unor relaţii foarte importante
(sum119865)119910= 0 hArr 119879 minus 119901 ∙ 119889119909 minus (119879 + 119889119879) = 0 rArr
119889119879
119889119909= minus119901 (210)
Relația (210) arată că derivata funcţiei forţei tăietoare icircn raport cu abscisa
secţiunii este egală cu sarcina distribuită normală la axa barei din acea secţiune luată
cu semn schimbat
Observații
dacă 119901 = 0 nu există sarcină distribuită atunci forța tăietoare T este constantă
icircnclinarea pantei diagramei forței 119879 este egală cu (ndash 119901) (sarcina distribuită cu
semn schimbat)
dacă 119901 = 119888119900119899119904119905 119879 variază liniar pe acel interval
Asemănător se deduce că derivata funcţiei forţei axiale icircn raport cu abscisa
secţiunii este egală cu sarcina distribuită axială din acea secţiune luată cu semn
schimbat adică
119889119873
119889119909= minus119901119867 (211)
Din condiția de echilibru suma de momente faţă de centrul de greutate al secţiunii
din dreapta
(sum119872)119862= 0 hArr 119872119894 minus (119872 + 119889119872119894) + 119879 ∙ 119889119909 minus 119901 ∙
(119889119909)2
2= 0 rArr
119889119872119894
119889119909= 119879 (212)
Relația (212) s-a obținut dupa reducerea termenilor și prin neglijarea infinitului
mic de ordinul 2
119901 ∙(119889119909)2
2
Relația (212) arată că derivata funcţiei moment icircncovoietor icircn raport cu abscisa
secţiunii este egală cu forţa tăietoare din acea secţiune
Observații
dacă 119879 = 0 momentul 119872119894 are un punct de extrem se obține o valoare maximă
pentru 119872119894119898119886119909 dacă forța tăietoare 119879 se anulează trecacircnd de la plus icircn stacircnga la minus icircn
dreapta secțiunii
dacă forța tăietoare este pozitivă pe un interval 119879 gt 0 atunci 119872119894 este crescătoare
pe acel interval
dacă forța tăietoare este negativă pe un interval 119879 lt 0 atunci 119872119894 este
descrescătoare pe acel interval
dacă pe un interval 119901 = 0 forța tăietoare este constantă 119879 = 119888119905 iar 119872119894 variază
liniar pe acel interval
dacă 119901 = 119888119900119899119904119905 119879 variază liniar pe acel interval iar 119872119894 variază parabolic pe
acel interval
Relaţiile diferenţiale sunt utile la reprezentarea corectă şi verificarea diagramelor
de eforturi astfel
pentru porţiunile de grindă pe care p = 0 eforturile N şi T sunt constante iar pe
porţiunile cu p = const eforturile N şi T variază liniar (relaţiile 211 şi 210)
dacă pe o porţiune T = const momentul icircncovoietor Miz variază liniar iar dacă
T variază liniar atunci momentul Miz variază parabolic (relaţia 212)
pe domeniile pe care T gt 0 funcţia Mi(x) este crescătoare iar icircn secţiunea icircn
care T = 0 (graficul funcţiei T intersectează axa x) momentul icircncovoietor are un punct
de extrem local (maxim sau minim relaţia 212)
Pentru rezolvarea problemelor referitoare la trasarea diagramelor de eforturi
pentru barele drepte solicitate de sisteme de forţe plane se parcurg următoarele etape
1) identificarea forţelor aplicate (date) şi pregătirea lor pentru calcule
(descompunerea forţelor concentrate pe direcţiile x şi y calculul rezultantelor forţelor
distribuite)
2) identificarea reazemelor şi introducerea reacţiunilor corespunzătoare (vezi
figurile 27divide29)
3) stabilirea ecuaţiilor de echilibru static calculul şi verificarea reacţiunilor Icircn
rezistența materialelor se folosește sistemul de ecuații (vezi figura 217)
(sum119865)
119909= 0
(sum119872)119860= 0
(sum119872)119861= 0
(213)
4) identificarea domeniilor de variaţie şi scrierea funcţiilor de eforturi pentru N T
şi Mi
5) reprezentarea grafică a diagramelor de eforturi
6) verificarea corectitudinii diagramelor pe baza relaţiilor diferenţiale icircntre eforturi
şi sarcini
Aplicație Pentru grinda dreaptă icircncărcată cu sistemul de forţe reprezentat icircn figura
220 se cere
a) să se calculeze şi să se verifice reacţiunile
b) să se stabilească funcţiile eforturilor Nx Ty şi Miz şi să se reprezinte diagramele
de variaţie
c) să se analizeze relaţiile diferenţiale icircntre eforturi şi sarcini
Dimensiunile grinzii au valorile a = 6 [m] b = 4 [m] și c = 4[m] sistemul de
forţe aplicat fiind format din p = 10 [kN mfrasl ] F = 20 [kN] (icircnclinată cu unghiul α =300 faţă de orizontală) şi M0 = 40 [kN ∙ m]
Rezolvare
a) Se fac următoarele precizări
grinda dreaptă se reprezintă prin axa geometrică
forţa icircnclinată F se descompune după direcţiile orizontală şi verticală icircn FV =F ∙ sin α = 10 [kN] şi FH = F ∙ cos α = 173 [kN]
forţa distribuită uniform p este echivalentă din punct de vedere static cu
rezultanta sa R = p ∙ a = 60 [kN] care acţionează la jumătatea porţiunii de lungime a
icircn reazemele 119860 şi 119861 se introduc componentele HA şi VA respectiv VB ale
reacţiunilor
Pentru calculul reacţiunilor se utilizează ecuaţiile de echilibru static al grinzii
sumXi = 0 HA minus FH = 0 sumYi = 0 VA + VB minus R minus FV = 0 (sumM)B = 0 VA ∙ (b + a) minus R ∙ (b + 05 ∙ a) minus M0 + FV ∙ c = 0
(A1)
Din prima ecuaţie se obţine HA iar din cea de-a treia ecuaţie rezultă VA
HA = FH = 173 [kN]
VA =[R ∙ (b + 05 ∙ a) + M0 minus FV ∙ c]
(b + a)=[60 ∙ (4 + 05 ∙ 6) + 40 minus 10 ∙ 4]
(4 + 6)
VA = 42 [kN]
(A2)
Fig 220 Aplicație
Se observă că cea de-a doua ecuaţie de echilibru conţine două necunoscute
reacţiunile VA şi VB Pentru a calcula componenta VB nu este indicată introducerea lui VA
icircn cea de-a doua ecuaţie a sistemului (A1) pentru că o valoare determinată greşit pentru
VA conduce la o valoare VB de asemenea greşită O ecuaţie independentă din care se poate
determina componenta VB este următoarea
(sumM)A= 0 FV ∙ (a + b + c) minus VB ∙ (a + b) minus M0 + R ∙ 05 ∙ a = 0 (A3)
de unde se obţine
VB =[FV ∙ (a + b + c) minusM0 + R ∙ 05 ∙ a]
(b + a)=[10 ∙ (6 + 4 + 4) minus 40 + 60 ∙ 05 ∙ 6]
(6 + 4)
VB = 28 [kN] (A4)
Ecuaţia de proiecţii ale forţelor pe direcţia verticală (a doua ecuaţie din sistemul
A1) se utilizează pentru verificarea reacţiunilor deja determinate
VA + VB minus R minus FV = 0 rArr 42 + 28 minus 60 minus 10 = 0 (A5)
Ultima egalitate demonstrează că reacţiunile verticale au fost calculate corect
Din cele de mai sus rezultă ordinea firească pentru determinarea reacţiunilor icircn
cazul grinzilor simplu rezemate
sumXi = 0
(sumM)A = 0
(sumM)B = 0
(A6)
iar pentru verificarea componentelor verticale VA şi VB se folosește ecuaţia sumY = 0
b) La stabilirea funcţiilor de eforturi se parcurg icircn general etapele următoare
se notează (numeric sau literal după preferinţă) secţiunile care delimitează
domeniile (intervalele sau tronsoanele) pe care eforturile nu-şi modifică funcţiile (au legi
unice de variaţie)
pe fiecare domeniu se marchează secţiunea imaginară icircn care se stabilesc
funcţiile eforturilor
secţiunea astfel aleasă separă icircn două părţi grinda şi anume porţiunea din stacircnga
şi porţiunea din dreapta secţiunii
se va considera parcursă (şi icircndepărtată) acea parte pe care acţionează mai puţine
sarcini exterioare pentru că acestea vor interveni icircn expresiile funcţiilor de eforturi
poziţiile secţiunilor imaginare se vor determina prin variabilele x1 ⋯ xn (unde
n reprezintă numărul domeniilor de variaţie) cu originea fixată icircn capătul intervalului şi
sensul de parcurgere spre partea considerată rămasă
Grinda prezentată icircn figura 220 are trei domenii de variaţie pentru funcţiile de
eforturi după cum urmează (A-1) (2-B) şi (B-1)
Domeniul (A-1) x1 isin [0 a = 6 m] Porţiunea parcursă şi considerată icircndepărtată este cea de coordonată x1 pe care
acţionează reacţiunile HA şi VA precum şi rezultanta parţială a sarcinii distribuite R1 =p ∙ x1
Funcţia forţă axială Nx are expresia
Nx(x1) = NAminus1 = minusHA = minus173 [kN] = const
(A7)
Funcţia forţă tăietoare Ty are exspresia
Ty(x1) = TAminus1 = VA minus R1 = VA minus p ∙ x1 (A8)
care reprezintă o variaţie liniară de variabilă x1 Se calculează valorile forţei tăietoare la
limitele intervalului de variaţie
- pentru x1 = 0 Ty(x1 = 0) = TA = VA = 42 [kN]
- pentru x1 = a = 6 [m] Ty(x1 = 6) = T1 = VA minus p ∙ a = minus18 [kN]
Observaţie Aşa cum a fost stabilită secţiunea fictivă poziţionată prin coordonata
x1 sar părea că rezultanta R ar trebui luată icircn calculul lui Ty(x1) Acest lucru ar fi greşit
pentru că R = p ∙ a reprezintă rezultanta sarcinii distribuite pe toată lungimea a iar
rezultanta pe porţiunea parcursă de lungime x1 este R1 = p ∙ x1 ne R = p ∙ a
Cu valorile obţinute se trasează diagramele forţelor axială Nx = f(x) şi tăietoare
Ty = f(x) figura 220 Din diagrama forţei tăietoare şi din valorile obţinute analitic se
observă că forţa tăietoare icircşi schimbă semnul pe intervalul analizat deci se anulează pe
acest interval Poziţia secţiunii unde Ty se anulează se determină din ecuaţia
Ty(x1) = 0 rArr VA minus p ∙ x1 = 0 (A9)
cu soluţia x1lowast = ξ = 42 [m] Important de reamintit că icircn această secţiune momentul
icircncovoietor va avea un extrem local adică Miz are un extrem la Ty = 0
Funcţia moment icircncovoietor Miz are expresia
Miz(x1) = VA ∙ x1 minus R1 ∙x12= VA ∙ x1 minus (p ∙ x1) ∙
x12
(A10)
Se observă că funcţia moment icircncovoietor de variabilă x1 are o variaţie parabolică
(gradul al II-lea) Pentru reprezentarea grafică a funcţiei parabolice se calculează valorile
momentului icircncovoietor icircn trei secţiuni
- pentru x1 = 0 Miz(x1 = 0) = MA = 0 [kN ∙ m] - pentru x1 = a = 6 [m] Miz(x1 = 6) = M1 = 72 [kN ∙ m] - pentru x1
lowast = ξ = 42 [m] Miz(x1lowast = ξ = 42 [m]) = Mimax = 882 [kN ∙ m]
Cu acestea se trasează diagrama Miz = f(x) pe intervalul (A-1) figura 220
Observaţie Icircn unele cazuri pe un anumit interval forţa tăietoare nu se anulează
şi momentul icircncovoietor nu are un extrem local Icircn acest caz pentru reprezentarea
variaţiei parabolice a momentului icircncovoietor se va studia semnul derivatei a doua a
funcţiei Miz = f(x1) acesta determinacircnd convexitatea curbei momentului icircncovoietor
Domeniul (2-B) x2 isin [0 c = 4 m] Porţiunile din grindă libere (nerezemate) la un capăt se numesc console iar
stabilirea funcţiilor de eforturi devine mai simplă dacă se consideră icircndepărtată partea din
dreapta secţiunii prin schimbarea sensului pozitiv al axei x Astfel se obţin funcţiile eforturilor
Funcţia forţă axială Nx are expresia
Nx(x2) = N2minusB = minusFH = minus173 [kN] = const
(A11)
Funcţia forţă tăietoare Ty are exspresia
Ty(x2) = T2minusB = FV = 10 [kN] = const (A12)
Funcţia moment icircncovoietor Miz are expresia
Miz(x2) = minusFV ∙ x2 rArr Miz(x2 = 0) = M2 = 0 [kN ∙ m]
Miz(x2 = 4) = MB = minus40 [kN ∙ m] (A13)
variaţie liniară (gradul I)
Domeniul (B-1) x3 isin [0 b = 4 m] Pe acest domeniu se acceptă parcurgerea grinzii de la dreapta adică se consideră
icircndepărtată partea din dreapta secţiunii fictive pentru că are doar două sarcini aplicate F
şi VB faţă de partea din stacircnga secţiunii pe care sunt aplicate trei sarcini p VA şi M0
Astfel se obţin funcţiile eforturilor
Funcţia forţă axială Nx are expresia
Nx(x3) = NBminus1 = minusFH = minus173 [kN] = const
(A14)
Funcţia forţă tăietoare Ty are exspresia
Ty(x3) = TBminus1 = FV minus VB = minus18 [kN] = const (A15)
Funcţia moment icircncovoietor Miz are expresia
Miz(x3) = minusFV ∙ (x3 + c) + VB ∙ x3 rArr
rArr Miz(x3 = 0) = MB = minus40 [kN ∙ m]
Miz(x3 = 4) = M1 = 32 [kN ∙ m]
(A16)
variaţie liniară (gradul I)
Diagramele eforturilor sunt prezentate icircn figura 220
c) Relaţiile diferenţiale dintre eforturi şi sarcini se analizează pe diagramele
eforturilor după cum urmează
sarcina distribuită nu are componentă orizontală adică ph = 0 şi icircn
conformitate cu formula (211) rezultă că Nx = const pe toată lungimea grinzii fapt care
a rezultat din funcţia şi reprezentarea diagramei forţei axiale
pe intervalul (A-1) sarcina distribuită are doar componenta verticală pozitivă
pV = p gt 0 prin urmare forţa tăietoare scade (are panta negativă dTy 119889119909frasl = minusp vezi
relaţia 210) iar momentul icircncovoietor avacircnd derivata a doua negativă d2M119894119911 1198891199092frasl =minuspare convexitatea curbei orientată spre sensul pozitiv al axei momentului Miz adică icircn
jos
pe domeniile (2-B) şi (B-1) deoarece pv = 0 forţa tăietoare Ty este constantă
iar momentul icircncovoietor Miz variază liniar
referitor la relaţia (212) pe porţiunile unde Ty gt 0 momentul Miz este
monoton crescător pe porţiunile unde Ty lt 0 momentul Miz este monoton descrescător
iar icircn secţiunea icircn care Ty = 0 momentul icircncovoietor are un extrem local Mξ =
882 [kN ∙ m] icircn diagrama forţei tăietoare discontinuităţile (salturile) se produc icircn secţiunile
unde acţionează VA VB şi FV iar icircn diagrama momentului icircncovoietor se produce un
singur salt icircn secţiunea icircn care este aplicat M0
se poate scrie
Mξ = suprafața diagramei Ty |ξ0=1
2∙ 42 ∙ 42 = 882 [kN ∙ m]
sau parcurgacircnd grinda de la dreapta la stacircnga rezultă
MB = minussuprafața diagramei Ty |c0= minus10 ∙ 4 = minus40 [kN ∙ m]
Toate aspectele analizate teoretic referitoare la relaţiile diferenţiale dintre eforturi
şi sarcini se regăsesc icircn diagramele de eforturi din figura 220 ceea ce icircnseamnă că
diagramele au fost reprezentate corect
3 TENSIUNI DEPLASĂRI ŞI DEFORMAŢII SPECIFICE
31 Tensiuni
Eforturile obținute icircn urma reducerii forțelor interioare icircn centrul de greutate al
secțiunii nu pot da informații asupra solicitării fiecărui punct al secțiunii respective Este
necesar să se cunoască modul cum se distribuie forțele interioare icircn fiecare punct al
secțiunii pentru a ști care este intensitatea maximă a solicitării Această intensitate
maximă se poate compara cu o valoare critică specifică materialului stabilindu-se astfel
dacă solicitarea este periculoasă sau nu
Mărimea care caracterizează solicitarea locală punctuală o vom denumi tensiune
și o vom defini icircn cele ce urmează Să considerăm partea din dreapta a unui corp solicitat
de forțele exterioare 1198651 1198652 și 1198653 obținută prin secționarea corpului și mărginită de fața
din dreapta Ad a secțiunii Pe secțiunea Ad vom considera un element de arie infinit mic
∆119860 caracterizat de normala la elementul de arie normală care are cosinușii directori
120573 și icircn raport cu un sistem de axe considerat fix Pe elementul infinit mic ∆119860 acționează
forțele interioare care au o rezultantă oarecare figura 31
Prin definiție tensiunea totală este
= lim∆119860rarr0
∆
∆119860 (31)
Tensiunea are aceeaşi direcţie cu forţa elementară ∆ iar mărimea ei este
determinată atacirct de mărimea forţei ∆ cacirct şi de orientarea suprafeţei ∆119860 faţă de direcţia
forţei
Tensiunea 119901 poate fi descompusă icircntr-o componentă orientată după direcţia
normalei la secţiune tensiunea normală notată cu 120590119909 şi o componentă icircn planul secţiunii
tensiunea tangenţială notată cu figura 32
= 119909 + 120591 (32)
Fig 31 Tensiunea totală Fig 32 Tensiunea normală și tangențială
La racircndul ei componenta tensiunii cuprinsă icircn planul secțiunii poate fi
descompusă după direcțiile axelor y și z
120591 = 120591119909119910 + 120591119909119911 (33)
Icircntre cele trei componente ale tensiunii totale care acționează pe elementul de arie
∆119860 este valabilă relația
1199012 = 1205901199092 + 120591119909119910
2 + 1205911199091199112 (34)
După sensul pe care icircl are tensiunea normală 120590 poate avea efect de tracţiune sau
de compresiune exercitat de către partea de corp icircnlăturată asupra părţii rămase Analog
tensiunea tangenţială 120591 poate avea efect de tăiere forfecare sau alunecare Pentru
componentele tensiunii tangențiale 120591119909119910 pe direcţia 119910 respectiv 120591119909119911 pe direcţia 119911 primul
indice indică axa pe care tensiunea este normală iar cel de-al doilea indice indică axa cu
care aceasta este paralel
Tensiunea este o mărime tensorială valoarea ei depinzacircnd atacirct de poziția
punctului icircn planul secțiunii cicirct și de orientarea planului de secționare deci de normala
Operaţiile vectoriale nu pot fi aplicate tensiunilor decacirct după ce acestea au fost icircnmulţite
cu ariile respective adică au fost transformate icircn forţe
Icircn literatura de specialitate mai ales icircn manualele mai vechi pentru noţiunea de
tensiune se mai foloseşte şi denumirea de efort specific
Dacă se consideră un alt element de arie ∆119860 cu centrul icircn același punct avacircnd ca
normală axa 119910 se vor obține alte tensiuni și anume
- 120590119910 este tensiunea normală (paralelă cu axa y)
- 120591119911119909 și 120591119910119911 sunt tensiuni tangențiale paralele cu axele 119909 și respectiv 119911 aflate icircn
planul care are ca normală axa 119910
Dacă icircn jurul unui punct dintr-un corp solicitat se consider un element de volum
infinit mic de forma unui cub icircn cazul cel mai general pe fețele sale vor acționa
tensiunile normale 120590119909 120590119910 și 120590119911 și respectiv tensiunile tangențiale 120591119909119910 120591119909119911 120591119910119909 120591119910119911 120591119911119909
și respectiv 120591119911119910 figura 33 Aceste tensiuni definesc starea de tensiune a punctului
observacircnd faptul că tensorul tensiune are 9 componente Dacă se consideră elementul
de volum finit ca fiind foarte mic se poate presupune că icircn interiorul său nu apar forțe
Ca urmare el va fi icircn echilibru sub acțiunea forțelor elementare produse de tensiunile de
pe fețele sale
Din condiția ca elementul să nu se rotească icircn jurul unor axe care trec prin centrul
său și sunt paralele cu axele sistemului 119909119874119910119911 rezultă
2 ∙ 120591119909119910 ∙ (119889119910 ∙ 119889119911) ∙119889119909
2= 2 ∙ 120591119910119909 ∙ (119889119909 ∙ 119889119911) ∙
119889119910
2 rArr 120591119909119910 = 120591119910119909 (35)
2 ∙ 120591119910119911 ∙ (119889119909 ∙ 119889119911) ∙119889119910
2= 2 ∙ 120591119911119910 ∙ (119889119909 ∙ 119889119910) ∙
119889119911
2 rArr 120591119910119911 = 120591119911119910 (36)
2 ∙ 120591119909119911 ∙ (119889119910 ∙ 119889119911) ∙119889119909
2= 2 ∙ 120591119911119909 ∙ (119889119909 ∙ 119889119910) ∙
119889119911
2 rArr 120591119909119911 = 120591119911119909 (37)
Relațiile (35divide37) 120591119909119910 = 120591119910119909 120591119910119911 = 120591119911119910 120591119909119911 = 120591119911119909 exprimă principiul dualității
tensiunilor tangențiale
Fig 33 Tensiunile normale și tangențiale pe fețele unui cub
Din condiția ca elementul considerat să nu se deplaseze icircn lungul axelor de
coordonate pe fețele opuse acționează aceleași tensiuni normale 120590119909 120590119910 și respectiv 120590119911
Definirea tensorului tensiune este posibilă dacă se cunosc cele 6 componente
independente ale acestuia aflate icircn trei plane perpendicular ce trec prin punctul respectiv
=
120590119909 120591119909119910 120591119909119911120591119910119909 120590119910 120591119910119911120591119911119909 120591119911119910 120590119911
Observaţii
Tensiunile se măsoară icircn [119873 1198982frasl ] (1119873 1198982frasl = 1 119875119886) sau icircn [119872119875119886]
(1 119872119875119886 = 106119875119886 = 106 119873
1198982 1 119872119875119886 = 1
119873
1198981198982)
Starea de tensiune dintr-un punct este considerată cunoscută dacă se cunosc
tensiunile 119901 care acționează pe infinitatea de elemente de suprafață ce trec prin punctual
considerat
Starea de tensiune a unui corp se consider cunoscută dacă se cunosc stările de
tensiune de pe infinitatea de puncte ale corpului considerat
32 Deplasări Deformaţii specifice
321 Deplasări
Aceste noțiuni sunt utile icircn analiza aspectului geometric al problemelor de rezistența
materialelor Deplasările care se analizează sunt cele datorate schimbării formei și
dimensiunilor corpurilor ca urmare a acțiunii forțelor exterioare și nu cele cinematice
posibile pentru solidul rigid care se poate deplasa cu anumită viteză și accelerație
Spre exemplu icircn figura 34a și figura 34b sub acțiunea forței 119865 tronsonul de
bară AB se deformează icircn timp ce tronsonul BC deși punctele sale au deplasări rămacircne
nedeformat (fiind nesolicitat) Toate punctele de pe axele barelor cu excepția celor din
icircncastrare (secțiunile A) au deplasări liniare De cele mai multe ori deformațiile barelor
datorate acțiunii forțelor exterioare se anulează la icircndepărtarea forțelor se spune că
deformațiile sunt elastice Secțiunile transversale ale barei din figura 34a se și rotesc icircn
raport cu pozițiile lor inițiale Spre exemplu secțiunea de căpăt cu centrul icircn C se rotește
cu unghiul
Fig 34 Deformațiile unei grinzi
Oricacirct de complexă ar fi delormația unui corp ea poate fi descrisă de lungiri sau
scurtări și de modificări ale unghiurilor inițiale
Deplasările măsoară schimbarea poziției unui punct al corpului și pot fi liniare
sau unghiulare
Prin deplasare liniară a unui punct se icircnțelege drumul parcurs de acest punct icircn
decursul procesului de deformație după o dreaptă suport dreapta 1198611198611 din figura 34a
Prin deplasare unghiulară se icircnțelege rotirea dintre segmentele de dreaptă
determinate de două puncte ale corpului icircnainte și după deformarea acestuia unghiul
pe care-l fac segmentele 119861119862 și 11986111198621 din figura 34a Această rotire se măsoară prin
unghiul pe care-l fac proiecțiile dreptelor ce conțin cele două segmente icircntr-un sistem
triortogonal
Icircn cazul cel mai general vectorul deplasare liniară se poate descompune icircntr-un
sistem triortogonal icircn trei componente 119906 119907 și 119908 figura 35
Fig 35 Deplasarea liniară
Se consideră acum un corp solid raportat la un sistem de axe ortogonal 119909119874119910119911
figura 35 după deformarea corpului un punct oarecare 119870 al acestuia se deplasează icircn
poziţia 1198701 vectorul 1198701198701 poartă numele de vectorul deplasării totale
Deplasarea totală este suma deplasărilor pe cele trei direcţii ortogonale iar
aceste deplasări se notează astfel
deplasarea pe direcţia 119909 cu ∥ 119874119909
deplasarea pe direcţia 119910 cu ∥ 119874119910
deplasarea pe direcţia 119911 cu ∥ 119874119911
Componentele deplasărilor și formeză matricea deplasărilor liniare 119906119907119908
322 Deformații
Prin deformație icircn general se icircnțelege orice schimbare de formă a unui corp fără
o evaluare cantitativă Icircn Rezistența Materialelor deformația măsoară variația
dimensiunilor geometrice ale corpului considerat din vecinătatea unui punct analog
deplasărilor deformațiile pot fi liniare și unghiulare (lunecări)
Fig 36 Deplasarea liniară
Deformația liniară ∆119897 reprezintă variația lungimii 119897 a unui element liniar al
corpului deformat figura 36 Deformația liniară specifică se definește ca fiind raportul
dintre deformația liniară și lungimea inițială
휀 =∆119897
119897 (38)
unde ∆119897 este lungirea sau scurtarea care este echivalentă cu deformția liniară totală iar
este alungirea
Deformația unghiulară sau lunecarea unui punct 119860 icircn planul 119861119860119862 se definește
prin relația figura 37
120574 = lim119861119860rarr0119862119860rarr0
(119861119860 minus 119861111986011198621 ) (39)
Fig 36 Deformația unghiulară
Schimbacircnd orientarea planului care trece prin 119860 se obțin alte deformații
unghiulare Dacă elementele liniare 119861119860 și 119862119860 sunt inițial perpendiculare deformația 120574 se
numește deformație unghiulară specifică sau lunecare specifică figura 37
Un exemplu de deplasare unghiulară și de deformație unghiulară este prezentat icircn
figura 38 Unghiul este deplasarea unghiulară și măsoară rotirea relativă dintre două
secțiuni aflate la distanța 119897 Unghiul este deformația specifică unghiulară (lunecarea
specifică) din punctul 119870 Aceste deplasări și deformații se obțin icircn urma solicitării barei
de către cele două momente 1198720 egale și de sens contrar
Fig 38 Deplasarea unghiulară
Pentru a analiza starea de deformație din vecinătatea unui punct al unui corp
solicitat complex se decupează din jurul punctului un element de volum mic figura 39a
avacircnd laturile 119889119909 119889119910 și 119889119911 Ca urmare a solicitării laturile acestuia se vor lungi sau
scurta Reprezentarea elementului deformat icircn spațiu este dificilă pentru simplificare
vom analiza doar deformațiile din planul 119909119874119910 Observăm că dimensiunile 119889119909 și 119889119910 s-au
modificat cu valoarea ∆119889119909 respectiv cu ∆119889119910 analog se acceptă și pentru 119889119911 o modificare
de forma ∆119889119911 Astfel se pot defini deformațiile specifice liniare
휀119909 =∆119889119909
119889119909 휀119910 =
∆119889119910
119889119910 휀119911 =
∆119889119911
119889119911 (310)
De cele mai multe ori aceste deformații specifice liniare se pot exprima procentual
și se mai numesc alungiri
Fig 39 Starea de deformație
Icircn figura 39c se vede că unghiul inițial drept dintre muchiile 119889119909 și 119889119910 ale
elementului de volum s-a modificat Se definește deformația specifică unghiulară (sau
lunecarea specifică) mărimea cu care se modifică unghiul inițial drept
120574119909119910 = 120574119909119910prime + 120574119910119909
prime = 120574119910119909120574119910119911 = 120574119910119911
prime + 120574119911119910prime = 120574119911119910
120574119911119909 = 120574119911119909prime + 120574119909119911
prime = 120574119909119911
(311)
Deformațiile 휀119909 휀119910 휀119911 120574119909119910 120574119910119911 120574119911119909 constituie cele șase componente
independente ale tensorului deformațiilor specifice care pot fi scrise de forma
119863 =
휀119909 120574119909119910 120574119909119911120574119910119909 휀119910 120574119910119911120574119911119909 120574119911119910 휀119911
(312)
323 Contracţia transversală
Practica arată că odată cu lungirea unei bare apare o micşorare a mărimii secţiunii
transversale mărime numită contracţie transversală figura 310
Fig 310 Contracția transversală
Contracţia transversală este proporţională cu lungirea specifică coeficientul de
proporţionalitate se notează cu 120599 şi se numeşte coeficient de contracţie transversală sau
coeficientul lui Poisson
La o lungire specifică a barei contracţia transversală este dată de relația
휀119905119903 = 휀119910 = 휀119911 = minus120599 ∙ 휀119909 (313)
Semnul minus bdquo-rdquo arată că cele două mărimi sunt contrare dacă una creşte cealaltă
scade şi invers
Considerăm o bară cilindrică de lungime 119897 şi aria secţiunii transversale 119860 solicitată
la icircntindere axială La un moment dat datorită solicitării lungimea barei devine
[119897 ∙ (1 + 휀)] diametrul devine [119889 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)] iar aria secţiunii transversale devine
[119860 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)2] Dacă volumul barei icircnainte de solicitare a fost (119860 ∙ 119897) după solicitare
acesta devine
119881 + ∆119881 = 119860 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)2 ∙ 119897 ∙ (1 + 휀) =
= 119860 ∙ 119897 ∙ (1 + 휀 minus 2 ∙ 120599 ∙ 휀 minus 2 ∙ 120599 ∙ 휀2 + 1205992 ∙ 휀2 + 1205992 ∙ 휀3) (314)
Deoarece lungirile sunt foarte mici ultimii trei termeni din paranteză fiind infinit mici se pot neglija obţinacircnd
119881 + ∆119881 = 119860 ∙ 119897 + 119860 ∙ 119897 ∙ 휀 ∙ (1 minus 2 ∙ 120599) ⟺ ∆119881 = 휀 ∙ (1 minus 2 ∙ 120599) ∙ 119860 ∙ 119897 (315)
Practica arătă că o astfel de bară solicitată la icircntindere icircşi măreşte volumul deci
∆119881 gt 0 de unde rezultă că
1 minus 2 ∙ 120599 gt 0 rArr 120599 lt 05 (316)
Pentru majoritatea materialelor 120599 = 033 iar pentru materialele care-şi păstrează
volumul constant 120599 = 05
33 Relaţii de echivalenţă icircntre eforturi şi tensiuni
Considerăm un element de suprafață infinit mic 119889119860 situat pe fața de arie (119860) a
secțiunii barei din figura 311 Icircn centrul de greutate 119862 al secțiunii acționează eforturile
119873 119879119910 119879119911 119872119909 119872119894119910 și 119872119894119911 determinate prin metoda secțiunilor
Icircn raport cu un sistem de axe de referință 119909119862119910119911 coordonatele elementului 119889119860 sunt
- 119910 este ordonata elementului de arie 119889119860
- 119911 este abscisa elementului de arie 119889119860
Pe elementul de arie 119889119860 acționează tensiunile
120590119909 tensiunea normală
120591119909119910 și 120591119909119911 tensiuni tangențiale
Dacă se icircnsumează forțele elementare de tipul 120590119909 ∙ 119889119860 120591119909119910 ∙ 119889119860 și 120591119909119911 ∙ 119889119860
va trebui să obținem eforturile 119873 119879119910 și 119879119911
Fig 311 Element de suprafață mic din secțiunea unei bare
Dacă eforturile sunt privite ca forțe exterioare și se scriu ecuațiile de
echilibru ale secțiunii (119860) se vor obține șase relații de echivalență icircntre eforturi și
tensiuni
(sum119883) = 0 rArr int 120590119909 ∙ 119889119860
119860
= 119873 (317)
(sum119884) = 0 rArr int 120591119909119910 ∙ 119889119860
119860
= 119879119910 (318)
(sum119885) = 0 rArr int 120591119909119911 ∙ 119889119860
119860
= 119879119911 (319)
(sum119872)119909= 0 rArr int(120591119909119911 ∙ 119889119860) ∙ 119910
119860
minus int(120591119909119910 ∙ 119889119860) ∙ 119911
119860
= 119872119909 rArr
rArr int(119910 ∙ 120591119909119911 minus 119911 ∙ 120591119909119910) ∙ 119889119860
119860
= 119872119909
(320)
(sum119872)119910= 0 rArr int(120590119909 ∙ 119889119860) ∙ 119911
119860
= 119872119894119910 (321)
(sum119872)119911= 0 rArr int(120590119909 ∙ 119889119860) ∙ 119910
119860
= 119872119894119911 (322)
Cele șase relații de echivalență icircntre eforturi și tensiuni constituie un pas icircnainte
icircn rezolvarea unei probleme de rezistența materialelor Aceste relații vor permite
determinarea tensiunilor maxime
Pentru a rezolva cele 6 relații de echivalență trebuie să se cunoască tensiunile și
ca funcții de punct adică funcții de forma
120590119909 = 120590119909(119909 119910 119911) 120591119909119910 = 120591119909119910(119909 119910 119911) 120591119909119911 = 120591119909119911(119909 119910 119911) (32
3)
Cunoașterea acestor funcții presupune icircnsă analizarea aspectului geometric al
problemei precum și utilizarea unor ipoteze simplificatoare care să permită simplificarea
problemelor
34 Ipoteze de bază icircn rezistenţa materialelor
Depășirea dificultăților legate de interpretarea unor fenomene specifice mecanicii
solidului deformabil a impus acceptarea unor ipoteze care să simplifice fenomenele și să
contribuie la elaborarea unor modele de calcul cicirct mai generale și cacirct mai simple Aceste
ipoteze se referă la structura materialelor şi la comportarea lor sub acţiunea forţelor
exterioare Ipotezele acceptate trebuie să fie icircn deplină concordanţă cu realitatea și să
conducă la rezultate verificate icircn practică
Funcție de aspectele la care se referă ipotezele pot fi
Ipoteze fizice (de material)
Ipoteze de calcul
341 Ipoteze fizice
Se acceptă deoarece teoriile structurale au condus la rezultate care contravin
icircncercărilor experimentale
Ipoteza mediului continuu consideră că orice domeniu elementar al corpului
este ocupat de materie adică nu se acceptă existența unor goluri sau a unor crăpături
microscopice (fisuri) Deși nu corespunde realităţii poate fi acceptată deoarece
dimensiunile corpului sunt mult mai mari decacirct dimensiunile particulelor elemantare Are
avantajul că permite utilizarea proprietăților matematice ale funcțiilor continue pentru
tensiunile și deformațiile din orice punct al corpului Ea este mai apropiată de realitate la
corpurile amorfe şi mai depărtată la cele cristaline dar conduce la rezultate satisfăcătoare
icircn calculele de rezistenţă
Ipoteza nu se poate aplica la corpurile care au goluri tăieturi (multiplu conexe)
pentru unele puncte singulare icircn care tensiunile și deformațiile tind la infinit sau icircn unele
probleme de plasticitate icircn care proprietățile de material au un rol esențial
Ipoteza izotropiei conform acestei ipoteze materialul din care este confecționat
un element de rezistență are aceleași proprietăți după orice direcție un astfel de material
este considerat izotrop Din punct de vedere macroscopic metalele pot fi considerate
izotrope deși la nivel microscopic proprietățile lor diferă de la o direcție cristalografică
la alta Orice conglomerat de cristale poate fi considerat izotrop
Există cazuri cacircnd această ipoteză a izotropiei nu se acceptă
la metalele puternic deformate după o direcție (prin laminare trefilare)
la piesele confecționate din lemn lemnul este anizotrop deoarece proprietățile sale
diferă după două direcții (icircn lungul fibrelor și perpendicular pe această direcție)
Ipoteza omogenității consideră că un corp are aceleași proprietăți icircn orice
punct al său Deși majoritatea materialelor utilizate icircn tehnică sunt eterogene la scară
micro fiind constituite din mai multe faze cu proprietăți diferite la scară macro ele pot
fi considerate omogene Omogenitatea și izotropia sunt proprietăți statistice medii care
nu se condiționează una pe cealaltă Chiar și materialele monofazice pot avea la scară
micro unele segregații care le fac eterogene
Ipoteza elasticităţii perfecte presupune că atacircta timp cacirct solicitările nu
depăşesc anumite limite materialul are o comportare elastică adică icircşi recapătă forma şi
dimensiunile iniţiale odată cu icircnlăturarea sarcinilor Icircn realitate materialele nu prezintă o
elasticitate perfectă ele avacircnd deformaţii remanente mici care icircnsă pot fi neglijate icircn
calculele de rezistenţă
Acceptarea acestei ipoteze a elasticității perfecte permite
- aplicarea relației biunivoce icircntre tensiuni și deformații relație exprimată de legea
lui Hooke ( = 119864 ∙ 휀) unde E este un factor de proporţionalitate numit modul de
elasticitate longitudinal al materialului pentru oţel 119864 = 21 ∙ 105 [119872119875119886] - acceptarea valabilității afirmației bdquolucrul mecanic efectuat de forțele exterioare
ca urmare a parcurgerii deplasărilor punctelor de aplicație se icircnmagazinează integral icircn
corp sub formă de energie de deformație energie cedată la icircndepărtarea sarcinilorrdquo
- este valabilă teoria conform căreia bdquoenergia icircnmagazinată și deformațiile depind
doar de starea inițială și finală de eforturi fără a ține cont de modul icircn care s-a ajuns la
starea finalărdquo
Icircn realitate oricacirct de mici ar fi sarcinile aplicate se produc și deformații plastice
dar acestea pot fi neglijate dacă solicitarea nu depășește anumite limite
342 Ipoteze de calcul
Ipoteza micilor deplasări bdquodeplasările datorate deformării sunt mult mai mici
decacirct dimensiunile corpurilor și ca urmare pot fi neglijate produsele dintre o deplasare și
ea icircnsăşirdquo Pentru cele mai multe corpuri deformaţiile elastice sunt de mărimi mici deci
corpurile solide sub acţiunea sarcinilor icircşi modifică foarte puţin forma iniţială Această
ipoteză este cunoscută şi sub denumirea de ipoteza menţinerii dimensiunilor iniţiale Ea
permite scrierea ecuaţiilor de echilibru ale staticii pe starea nedeformată a elementului
cacircnd nu se iau icircn considerare deplasările punctelor de aplicaţie ale forţelor care se produc
ca urmare a deformării acestuia Calculul efectuat pe schema nedeformată poartă numele
de calcul de ordinul I
Ipoteza micilor deplasări nu poate fi acceptată pentru studiul problemelor de
stabilitate sau la problemele la care nu pot fi icircndeplinite condiţiile de echilibru icircn starea
nedeformată
Calculul de ordinul II admite ipoteza micilor deplasări dar ecuaţiile de echilibru
se scriu icircnsă pentru starea deformată a elementului de rezistenţă
Calculul de ordinul III nu mai acceptă ipoteza micilor deplasări el referindu-se
la cazul deformaţiilor mari cacircnd ecuaţiile de echilibru trebuie scrise pentru starea
deformată
Chiar dacă materialul satisface legea lui Hooke icircn urma calculelor de ordinul II
se obţin de obicei relaţii neliniare icircntre sarcini şi deplasări iar pentru calculul de ordinul
III rezultă ecuaţii diferenţiale neliniare
Principiul efectului local al acțiunii sarcinilor enunțat de Barre de Saint-
Venant Acest principiu destul de folosit icircn Rezistenţa Materialelor precizează că dacă
se icircnlocuiesc forţele care acţionează asupra unui element de suprafață al unui corp
elastic printr-un alt sistem de forţe echivalent din punct de vedere static cu primul noua
distribuţie a forţelor produce la locul de aplicare diferenţe semnificative faţă de prima
dar rămacircne fără efect sau cu efect neglijabil la distanţe mari de locul de aplicare al
forţelor figura 312
Ca o cosecință o sarcină uniform distribuită figura 312a poate fi icircnlocuită cu
rezultanta ei figura 312b dacă se analizează efectul sarcinii la distanță mare de locul icircn
care se aplică sarcina
Fig 312 Principiul Saint-Venant
Icircn prima variantă figura 312a forţa 119865 se aplică pe o porțiune oarecare 119897 (sarcină
uniform distribuită) iar icircn a doua figura 312b icircntru-un punct (forţă concentrată) La
locul de aplicare a sarcinii efectul asupra barei este cu totul diferit de la o variantă la
cealaltă Icircnsă la o distanţă mare de punctul de aplicaţie spre exemplu icircn secţiunea situată
la distanţa 119886 de capătul barei sau chiar icircn icircncastrare ambele bare sunt solicitate la fel
Icircn cazul din figura 312a
119872119894(119909) =119901 ∙ 1199092
2 119909 le 119897 119872119894(119909) = 119901 ∙ 119897 ∙ (119909 minus
119897
2) 119909 gt 119897 (324)
Icircn cazul din figura 312b
119872119894(119909) = 0 119909 lt119897
2 119872119894(119909) = 119901 ∙ 119897 ∙ (119909 minus
119897
2) 119909 gt
119897
2 (325)
Se vede că pentru (119909 gt 119897) adică după depășirea locului icircn care se aplică sarcina
efectul este același
Ipoteza lui Bernoulli sau ipoteza secţiunilor plane precizează că o secţiune
plană şi normală pe axa barei icircnainte de deformare rămacircne plană şi normală pe axa
barei şi după deformare figura 313
Fig 313 Ipoteza lui Bernoulli
Ipoteza stării naturale a corpului sau ipoteza absenţei tensiunilor conform
căreia pentru un corp nesolicitat starea de tensiune şi deformaţie este nulă
Perfecţionarea mijloacelor de calcul şi de investigare pot conduce la renunţarea la
unele ipoteze sau la introducerea altora noi mai aproape de stările reale De aici rezultă
caracterul de continuă perfecţionare a metodelor Rezistenţei Materialelor
35 Coeficienţi de siguranţă Tensiuni admisibile
O piesă corespunde din punct de vedere tehnic dacă tensiunile care iau naştere icircn
interiorul piesei datorită sarcinilor aplicate nu depăşesc anumite valori limită stabilite
convenţional Aceste valori limită ale tensiunii sunt corelate cu caracteristicile mecanice
ale materialelor
Tensiunea limită utilizată icircn calculele de rezistenţă este cunoscută sub denumirea
de tensiune admisibilă sau rezistenţă admisibilă Rezistenţa admisibilă reprezintă
valoarea convenţională aleasă icircn calcul pe baza practicii pentru tensiunea maximă care
poate apare icircntr-o piesă icircn condiţii date de material şi solicitare
Rezistenţa admisibilă (120590119886 sau 120591119886) poate fi definită faţă de o stare limită
periculoasă stare care trebuie evitată deoarece poate conduce distrugere
120590119886 =120590119897119894119898119888
(326)
unde
120590119897119894119898 este tensiunea corespunzătoare stării limită periculoase
119888 estesupraunitar 119888 gt 1 și reprezintă coeficientul de siguranţă faţă de starea limită
periculoasă considerată
Alegerea unor valori inferioare pentru rezistenţa admisibilă faţă de tensiunea
corespunzătoare stării limită periculoase este necesară deoarece
cunoaşterea sarcinilor este de cele mai multe ori aproximativă şi o depăşire a
acestora este foarte posibilă
caracteristicile mecanice ale materialelor variază icircn limite destul de mari ele
fiind influenţate de mulţi factori
schema aleasă pentru calcul (aplicarea sarcinilor schematizarea structurii
ipotezele de calcul etc) depărtează modelul faţă de cel real
Pentru calculele de verificare tensiunea efectivă maximă din elementul de
rezistenţă trebuie să fie mai mică sau cel mult egală cu cea admisibilă
120590119890119891119898119886119909 le 120590119886 (327)
Valoarea rezistenţei admisibile este influenţată de foarte mulţi factori natura
materialului tratamentele termice aplicate piesei durata de funcţionare a piesei modul
de acţionare icircn timp a sarcinilor felul solicitării temperatura gradul de periculozitate
icircn cazul cedării piesei etc
De asemenea valoarea coeficientului de siguranţă se alege icircn principal ţinacircnd
seama de aceiaşi factori care influenţează şi rezistenţa admisibilă
Rezistenţele admisibile pentru cacircteva materiale sunt următoarele
pentru oțelul de uz general OL37 solicitat la icircntindere compresiune sau
icircncovoiere 120590119886 = 150 [119872119875119886] pentru lemnul de brad solicitat la
- compresiune icircn lungul fibrelor şi solicitat la icircncovoiere 120590119886 = 10 [119872119875119886] - tracţiune icircn lungul fibrelor 120590119886 = 7 [119872119875119886] - compresiune perpendiculară pe fibre 120590119886 = 15 [119872119875119886] - forfecare icircn lungul fibrelor 120591119886 = 2 [119872119875119886] - forfecare perpendiculară pe fibre 120590119886 = 45 [119872119875119886]
terenuri de fundaţie din pămacircnt uscat sau umed 120590119886 = 020 divide 025 [119872119875119886]
4 CARACTERISTICI GEOMETRICE ALE SECȚIUNILOR PLANE
41 Noţiuni introductive
Icircn relaţiile de calcul ale tensiunilor şi deformaţiilor elementelor de rezistenţă
pentru unele solicitări (icircncovoierea și torsiunea) secțiunile plane intervin atacirct prin
dimensiunile lor (aria 119860) cicirct și prin forma și poziția pe care o are secțiunea icircn raport cu
planul solicitării Mărimile care caracterizează o secțiune icircn raport cu forma și poziția față
de axele unui sistem de referință sunt denumite caracteristici geometrice de ordin
superior Aria secțiunii este caracteristica geometrică ce depinde doar de dimensiunile
geometrice ale acesteia
Să considerăm o grindă solicitată de o forță exterioară 119865 aşezată icircn două poziții icircn
raport cu planul forţei figura 41 Icircn urma aplicării forței deși avem aceeași grindă
(aceeași arie a secțiunii transversale) și aceeași forță se constată că pentru varianta din
figura 41a deformațiile sunt mult mai mari adică rezistența la icircncovoiere a grinzii din
figura 41a este mai mare decacirct icircn cazul grinzii din figura 41b Comportarea diferită se
explică prin aceea că modificarea poziţiei secţiunii transversale faţă de planul forţelor
modifică caracteristicile geometrice ale secţiunii transversale a grinzii
Fig 41 Grindă solicitată de forța 119865
Pentru realizarea calculelor de rezistenţă şi rigiditate este foarte importantă
cunoaşterea caracteristicilor geometrice ale suprafeţei secţiunii transversale a elementelor
de rezistenţă
Caracteristicile geometrice ale secţiunii transversale a unui element de rezistenţă
sunt
- aria secțiunii notată cu 119860
- momentul static icircn raport cu o axă notat 119878119911 și respectiv 119878119910
- momentul de inerție care poate fi
axial notat 119868119911 și respectiv 119868119910
centrifugal notat 119868119911119910
polar notat 119868119901
- raza de inerţie (giraţie)notată 119894119911 și respectiv 119894119910
- modulul de rezistență care poate fi
axial notat 119882119911 și respectiv 119882119910
polar notat 119882119901
42 Aria și momentul static al suprafețelor plane
Fie o suprafaţă plană de arie 119860 pe care se ia un element infinit mic de arie 119889119860 şi
un sistem de axe rectangulare 119911119874119910 figura 42 Notăm cu 119862 centrul de greutate al suprafeţei
119860 Poziţia suprafeţei elementare 119889119860 faţă de acelaşi sistem de coordonate 119911119874119910 este dată
de abscisa 119911 ordonata 119910 și raza polară
Fig 42 Suprafață plană de arie 119860
Aria suprafeţei 119860 figura 42 se defineşte ca fiind
119860 ≝ int 119889119860
119860
(41)
Aria suprafeţei este icircntotdeauna pozitivă și se măsoară icircn [1198981198982] Momentul static al suprafeţei de arie 119860 icircn raport cu axele 119874119911 și respectiv 119874119910
figura 42 sunt date de relaţiile
119878119911 ≝ int 119910 ∙ 119889119860
119860
119878119910 ≝ int 119911 ∙ 119889119860
119860
(42)
Momentul static poate fi pozitiv negativ sau nul şi se măsoară icircn [1198981198983] Coordonatele centrului de greutate ale suprafeței 119860 se detrmină cu relațiile
119910119862 ≝int 119910 ∙ 119889119860119860
119860 119911119862 ≝
int 119911 ∙ 119889119860119860
119860
(43)
Cunoscacircnd coordonatele 119910119862 și 119911119862 ale centrului de greutate 119862 al secțiunii 119860 atunci
momentele statice se pot determina cu relațiile
119878119911 ≝ int 119910 ∙ 119889119860
119860
= 119910119862 ∙ 119889119860 119878119910 ≝ int 119911 ∙ 119889119860
119860
= 119911119862 ∙ 119889119860 (44)
Aceste relații arată că momentul static al unei suprafețe icircn raport cu o axă este
egal cu produsul dintre aria suprafeței și distanța de la centrul ariei la axa respectivă
Dacă suprafaţa se poate descompune icircn 119899 suprafeţe simple la care se cunosc ariile
(1198601 1198602 ⋯ 119860119894⋯ 119860119899) și poziţiile centrelor de greutate 119862119894 faţă de sistemul de referinţă
expresiile momentelor statice capătă următoarea formă
119878119911 = sum 119910119862119894 ∙ 119860119894119899119894=1 = 119910119862 ∙ 119860 119878119910 = sum 119911119862119894 ∙ 119860119894
119899119894=1 = 119911119862 ∙ 119860 (45)
Din relaţiile (45) rezultă că poziţia centrului de greutate 119862 al unei suprafeţe
compuse poate fi determinată cu relaţiile
119910119862 = (sum119910119862119894 ∙ 119860119894
119899
119894=1
) 119860frasl 119911119862 = (sum119911119862119894 ∙ 119860119894
119899
119894=1
) 119860frasl (46)
Icircn relația (45) 119910119862119894 și respectiv 119911119862119894 reprezintă coordonatele centrelor de greutate 119862119894
ale fiecărei suprafețe simple 119860119894 icircn raport sistemul de axe 119911119874119910
Se constată (relaţia 42) că dacă axele sistemului de referinţă trec prin centrul de
greutate (119910119862 = 119911119862 = 0) momentele statice sunt nule Axele icircn raport cu care momentele
statice sunt nule şi care trec prin centrul de greutate al suprafeţei se numesc axe centrale
Observație dacă secțiunea compusă are o axă de simetrie centrul secțiunii se
găsește pe acea axă iar dacă secțiunea este dublu simetrică poziția centrului secțiunii este
la intersecția axelor de simetrie
43 Momente de inerţie
Momentele de inerţie axiale ale unei suprafețe se calculează icircn raport cu axele de
coordonate 119874119911 și respectiv 119874119910 figura 42 și se determină cu relațiile
119868119911 ≝ int 1199102 ∙ 119889119860
119860
119868119910 ≝ int 1199112 ∙ 119889119860
119860
(47)
Unde 119910 și 119911 sunt distanțele de la elementul de arie 119889119860 la cele două axe de
coordonate 119874119911 și respectiv 119874119910
Momentele de inerţie axiale se măsoară icircn [1198981198984] şi sunt icircntotdeauna pozitive (aria
119889119860 este icircntotdeauna pozitivă și este multiplicată cu patratul distanței 1199102 dacă 119868119911 sau 119868119910
sunt nule icircnseamnă ca secțiunea nu există)
Momentele de inerție axiale se calculează icircndeosebi pentru axele centrale (care
trec prin centrul secțiunii) deoarece icircn raport cu acele axe 119868119911 și 119868119910 au valori minime
Momentul de inerţie centrifugal calculat faţă ambele axe ale sistemului de
referinţă 119911119874119910 este definit de relația
119868119911119910 ≝ int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860
(48)
Momentul de inerţie centrifugal se măsoară icircn [1198981198984] şi poate fi pozitiv negativ
sau nul
Momentul de ineție centrifugal este nul 119868119911119910 = 0 dacă cel puțin una din axele 119874119911
sau 119874119910 este axă de simetrie pentru secțiune
Se consideră o suprafaţă dreptunghiulară pe care faţă de axa de simetrie 119874119910 se iau
două suprafeţe elementare de arie 119889119860 simetrice faţă de axa 119874119910 figura 43
Fig 43 Suprafață dreptunghiulară cu două arii elementare 119889119860
Făcacircnd suma momentelor de inerţie centrifugale pentru cele două suprafeţe
elementare 119889119860 (din stacircnga şi din dreapta faţă de axa 119874119910) se obţine
int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860119889119903
+ int (minus119911) ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860119904119905119892
= int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860119889119903
minus int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860119904119905119892
= 0 (49)
Acelaşi raţionament se poate face și pentru icircntreaga suprafaţă de unde obținem că
momentul de inerție centrifugal este nul 119868119911119910 = 0 Deci pentru o suprafaţă plană care
are cel puţin o axă de simetrie momentul de inerţie centrifugal faţă de sistemul care
conţine acea axă de simetrie este nul
Momentul de inerţie polar al unei suprafeţei icircn raport cu un punct (pol) 119874 figura
42 este definit prin relaţia
1198680 = 119868119901 ≝ int 1205882 ∙ 119889119860
119860
= int(1199102 + 1199112) ∙ 119889119860
119860
= 119868119911 + 119868119910 (410)
unde este distanţa de la polul 119874 la elementul de arie 119889119860 Momentul de inerţie polar se
măsoară icircn [1198981198984] şi este totdeauna pozitiv
Momentul de inerţie polar este egal cu suma momentelor de inerţie faţă de două axe
perpendiculare oarecare şi care trec prin polul considerat
Razele de giraţie sau razele de inerţie sunt mărimi calculate icircn raport cu axele
secțiunii și definite de relaţiile
119894119911 ≝ radic119868119911119860 119894119910 = radic
119868119910
119860 (411)
Se exprimă icircn [119898119898] şi sunt icircntotdeauna pozitive Semnificația unei raze de inerție
este distanța la care dacă ar fi concentrată icircntreaga arie s-ar obține același moment de
inerție ca și cel calculat pentru aria reală
44 Modulul de rezistenţă
Modulul de rezistență se calculează icircn raport cu axele de referință sau icircn raport cu
un pol figura 42 și pot fi axiale (119882119911119882119910) sau polar (119882119901) și se determină numai pe baza
momentelor de inerţie cu relațiile figura 43
119882119911119898119894119899 ≝119868119911119910119898119886119909
119882119911119898119886119909 ≝119868119911119910119898119894119899
(412)
119882119910119898119894119899 ≝119868119910
119911119898119886119909 119882119910119898119886119909 ≝
119868119910
119911119898119894119899 (413)
119882119901 ≝119868119901
120588119898119886119909 (414)
unde
119910119898119886119909 119910119898119894119899 reprezintă distanţa de la axa 119874119911 la punctele extreme cele mai
depărtate respectiv cele mai apropiate ale suprafeţei de această axă
119911119898119886119909 119911119898119894119899 reprezintă distanţa de la axa 119874119910 la punctele extreme cele mai
depărtate respectiv cele mai apropiate ale suprafeţei de această axă
120588119898119886119909 reprezintă distanța maximă de la polul 119874 la punctul secțiunii cel mai
icircndepărtat de acesta
Fig 43 Suprafață dreptunghiulară cu două arii elementare 119889119860
Modulele de rezistenţă se exprimă icircn [1198981198983] şi sunt icircntotdeauna pozitive
Explicația este aceea că momentele de inerție care intră icircn relațiile de definiție sunt
pozitive iar distanțele la punctele extreme sunt pozitive (119910119898119886119909 119910119898119894119899 119911119898119886119909 119911119898119894119899 120588119898119886119909 se
iau icircn valoare absolută)
Icircn cazul suprafeţelor compuse modulul de rezistenţă nu se obţine prin icircnsumarea
algebrică a modulelor de rezistenţă ale suprafeţelor simple componente ci numai prin
intermediul momentului de inerţie axial calculat pentru icircntreaga secțiune
Ca și momentele de inerție modulele de rezistență se calculează numai pentru
sistemele de axe centrale
45 Momente de inerţie şi module de rezistenţă pentru suprafeţe simple
451 Secțiune dreptunghiulară
Fie suprafaţa dreptunghiulară din figura 44 de icircnălțime ℎ și lățime 119887 pe care se
consideră suprafaţă elementară de arie 119889119860 = 119887119889119910 la distanța 119910 de axa 119862119911 sistemul de
axe 119911119862119910 trece prin centrul secțiunii iar axele sunt axe de simetrie pentru dreptunghi
Fig 44 Suprafață dreptunghiulară
Pe baza relațiilor de definiți a momentului de inerție 119868119911 se obține
119868119911 ≝ int 1199102 ∙ 119889119860
119860
= int 1199102 ∙ 119887 ∙ 119889119910 = 2int 1199102 ∙ 119887 ∙ 119889119910 = 2 ∙ 119887 ∙1199103
3|ℎ 2frasl
0rArr
ℎ 2frasl
0
ℎ 2frasl
minusℎ 2frasl
rArr 119868119911 =119887 ∙ ℎ3
12
(415)
Analog pentru un element de arie 119889119860 = ℎ ∙ 119889119911 paralel cu axa 119862119910 situat la distanța
119911 de axa 119862119910
119868119910 ≝ int 1199112 ∙ 119889119860
119860
= int 1199112 ∙ ℎ ∙ 119889119911 = 2int 1199112 ∙ ℎ ∙ 119889119910 = 2 ∙ ℎ ∙1199113
3|119887 2frasl
0rArr
119887 2frasl
0
119887 2frasl
minus119887 2frasl
rArr 119868119910 =1198873 ∙ ℎ
12
(416)
Deoarece axele 119862119911 și 119862119910 sunt axe de simetrie momentul de inerție centrifugal este
119868119911119910 = 0 (417)
Pentru un pătrat avacircnd laturile egale (ℎ = 119887 = 119886) momentele de inerţie faţă de
axele centrale au expresia
119868119911 = 119868119910 =1198864
12 (418)
Modulele de rezistență axiale se calculează cu relațiile de definiție ținacircnd cont că
distanțele pacircnă la fibrele extreme sunt
119910119898119886119909 = 119910119898119894119899 =ℎ
2 119911119898119886119909 = 119911119898119894119899 =
119887
2 (419)
Obținem
119882119911119898119894119899 = 119882119911119898119886119909 =119868119911
119910119898119886119909119898119894119899=119887 ∙ ℎ3
12frasl
ℎ2frasl
=119887 ∙ ℎ2
6
119882119910119898119894119899 = 119882119910119898119886119909 =119868119910
119911119898119886119909119898119894119899=1198873 ∙ ℎ
12frasl
1198872frasl
=1198872 ∙ ℎ
6
(420)
452 Suprafaţă circulară
Din motive de simetrie pentru suprafeţele circulare momentele de inerţie faţă de
orice diametru (care reprezintă şi axe centrale) sunt aceleaşi
Considerăm o secțiune circulară plină cu diametrul 119889 și centrul de greutate 119862 Prin
centrul de greutate 119862 trece sistemul de axe ortogonal 119911119862119910 figura 45
Fig 45 Suprafață circulară
La distanța de centrul de greutate 119862 vom lua un element de suprafață mic de arie
(119889119860) de forma unui inel de grosime 119889 Elementul de arie 119889119860 are expresia
119889119860 = (2 ∙ 120587 ∙ 120588) ∙ (119889120588)
Pornind de la relația de definiție a momentului de inerție polar obținem
119868119901 ≝ int 1205882 ∙ 119889119860
119860
= int 1205882 ∙ (2 ∙ 120587 ∙ 120588) ∙ 119889120588
119903=119889 2frasl
0
= 2 ∙ 120587 ∙1205884
4|119889 2frasl0 rArr
rArr 119868119901 =120587 ∙ 1198894
32
(421)
Secțiunea este perfect simetrică deci sunt valabile relațiile
119868119911 = 119868119910 rArr 119868119901 = 119868119911 + 119868119910 = 2 ∙ 119868119911 = 2 ∙ 119868119910 =119868119901
2=120587 ∙ 1198894
64 (422)
Și modulele de rezistenţă faţă de orice diametru sunt egale şi se calculează cu
relaţiile
119882119911 = 119882119910 =1198681199111198892frasl=120587 ∙ 1198893
32 (423)
Modulul de rezistenţă polar este
119882119901 =1198681199011198892frasl=120587 ∙ 1198893
16 (424)
453 Secţiune inelară
Calculul momentelor de inerţie axiale pentru o secţiune inelară avacircnd diametrul
interior 119889 şi diametrul exterior 119863 se determină analog pentru suprafaţa circulară plină cu
observaţia că integrala pentru calculul momentului de inerție polar 119868119901 se face icircntre
limitele 119903 = 119889 2frasl şi R= 1198632frasl (icircntre raza interioară 119903 şi raza exterioară 119877) figura 46
Se obţin relaţiile
119868119901 =120587 ∙ 1198634
32∙ [1 minus (
119889
119863)4
] =120587 ∙ 1198634
32∙ (1 minus 1198964) (425)
119868119910 = 119868119910 =120587 ∙ 1198634
64∙ [1 minus (
119889
119863)4
] =120587 ∙ 1198633
64∙ (1 minus 1198964) (426)
Fig 46 Secțiune inelară
119882119901 =120587 ∙ 1198633
16∙ [1 minus (
119889
119863)4
] =120587 ∙ 1198633
16∙ (1 minus 1198964) (427)
119882119911 = 119882119910 =120587 ∙ 1198633
32∙ [1 minus (
119889
119863)4
] =120587 ∙ 1198633
32∙ (1 minus 1198964) (428)
unde 119896 = 119889119863frasl
46 Variaţia momentelor de inerţie faţă de axe paralele
( Relațiile lui STEINER)
Se consideră o suprafaţă oarecare de arie 119860 cu elementul de arie 119889119860 și un sistemul
de axe central 119911119862119910 faţă de care se cunosc momentele de inerţie 119868119911 119868119910 119868119911119910 şi considerăm
un sistem de axe 11991111198741199101 paralele cu sistemul central figura 47 Se pune problema
determinării momentele de inerţie 1198681199111 1198681199101 11986811991111199101 faţă de sistemul de axe paralel cu sistemul
central 11991111198741199101 axe aflate la distanţele 119910119862 = 119888 respectiv 119911119862 = 119889 de acesta
461 Momente de inerţie axiale
Pe baza relaţiilor de definire şi a notaţiilor din figura 42 pentru momentele de
inerţie faţă de axele 1198741199111 1198741199101 se poate scrie
1198681199111 = int 11991012 ∙ 119889119860
119860
= int(119910 + 119888)2 ∙ 119889119860
119860
= int 1199102 ∙ 119889119860
119860
+ 2 ∙ 119888 ∙ int 119910 ∙ 119889119860
119860
+
+1198882int 119889119860
119860
rArr 1198681199111 = 119868119911 + 2 ∙ 119888 ∙ 119878119911 + 1198882 ∙ 119860 hArr 1198681199111 = 119868119911 + 119888
2 ∙ 119860
(429)
Fig 47 Variaţia momentelor de inerţie față de axe paralele
S-a ajuns la relația (429) deoarece momentul static 119878119911 este nul deoarece axa 119862119885
este axă centrală
Pentru momentul de inerție axial icircn raport cu axa 1198741199101 se obține
1198681199101 = int 11991112 ∙ 119889119860
119860
= int(119911 + 119889)2 ∙ 119889119860
119860
= int 1199112 ∙ 119889119860
119860
+ 2 ∙ 119889 ∙ int 119911 ∙ 119889119860
119860
+
+1198892 ∙ int 119889119860
119860
rArr 1198681199101 = 119868119910 + 2 ∙ 119889 ∙ 119878119910 + 1198892 ∙ 119860 hArr 1198681199101 = 119868119910 + 119889
2 ∙ 119860
(430)
Pentru momentul de inerție centrifugal obținem
11986811991111199101 = int 1199101 ∙ 1199111 ∙ 119889119860
119860
= int(119910 + 119888) ∙ (119911 + 119889) ∙ 119889119860
119860
= int 119910 ∙ 119911 ∙ 119889119860 +
119860
+119888 ∙ int 119911 ∙ 119889119860
119860
+ 119889 ∙ int 119910 ∙ 119889119860
119860
rArr 11986811991111199101 = 119868119911119910 + 119888 ∙ 119889 ∙ 119860
(431)
Deoarece
int 119911 ∙ 119889119860
119860
= 119878119910 = 0 int 119910 ∙ 119889119860
119860
= 119878119911 = 0 int 119910 ∙ 119911 ∙ 119889119860
119860
= 119868119911119910
Relaţiile (429) şi (430) arată că momentul de inerţie faţă de o axă oarecare
este egal cu momentul de inerţie faţă de o axă paralelă cu ea trecacircnd prin centrul de
greutate la care se adaugă produsul dintre aria suprafeţei şi pătratul distanţei dintre
cele două axe
Din relaţiile (429) și (430) rezultă de asemenea că momentul de inerţie faţă de o
axă centrală (care trece prin centrul de greutate) este cel mai mic dintre infinitatea de
momente de inerţie obținute faţă de alte axe paralele cu ea
Relaţia (431) arată de asemenea că momentul de inerţie centrifugal faţă de un
sistem de axe oarecare este egal cu momentul de inerţie centrifugal faţă de un sistem
paralele cu el trecacircnd prin centrul de greutate a suprafeţei la care se adaugă produsul
dintre aria suprafeţei şi distanţele dintre axele sistemelor respective
Icircn literatura de specialitate relaţiile (429) (430) şi (431) sunt cunoscute sub
numele de relaţiile lui Steiner
47 Variaţia momentrlor de inerţie faţă de axe rotite
Direcţii principale şi momente de inerţie principale
Fie suprafaţa plană din figura 48 de arie 119860 pe care considerăm o suprafaţă
elementară de arie 119889119860 Pentru sistemul de axe 119911119874119910 se cunosc momentele de inerţie
119868119911 119868119910 119868119911119910 şi vom determina relaţiile de calcul pentru momentele de inerţie afererent unui
sistem de axe 11991111198741199101 rotit cu un unghi faţă de sistemul central
Faţă de sistemul de axe 11991111198741199101 elementul de arie 119889119860 are coordonatele
1199101 = 119875119877 = 119875119876 minus 119877119876 = 119910 ∙ cos 120572 minus 119911 ∙ sin 120572
1199111 = 119873119872 = 119873119875 minus 119875119872 = 119911 ∙ cos 120572 + 119910 ∙ sin 120572 (432)
Fig 47 Variaţia momentelor de inerţie față de axe rotite
Pe baza relaţiilor de calcul ale momentelor de inerţie şi a notaţiilor din figura 42
şi ale relaţiilor (432) momentele de inerţie faţă de sistemul de axe rotit 11991111198741199101 sunt
1198681199111 =119868119911 + 119868119910
2+119868119911 minus 119868119910
2∙ cos 2120572 minus 119868119911119910 ∙ sin 2120572 (433)
1198681199101 =119868119911 + 119868119910
2minus119868119911 minus 119868119910
2∙ cos 2120572 + 119868119911119910 ∙ sin 2120572 (434)
11986811991111199101 =119868119911 minus 119868119910
2∙ sin 2120572 + 119868119911119910 ∙ cos 2120572 (435)
Din relaţiile 433divide435 se observă că icircntre momentele de inerţie axiale şi cele
polare există relaţia
1198681199111 + 1198681199101 = 119868119911 + 119868119910 = 119868119901 (436)
adică suma momentelor de inerţie axiale icircn raport cu orice pereche de axe ortogonale
care trec printr-un pol dat este o constantă şi egală cu momentul de inerţie polar
Prin rotirea sistemului de axe din relaţiile 433divide435 rezultă că momentele de inerţie
variază icircnsă suma lor rămacircne constantă deci există o poziţie a sistemului de axe pentru
care momentele de inerţie au valori extreme maxim respectiv minim
471 Direcţii principale de inerţie
Valoarea unghiului 120572 pentru care momentele de inerţie axiale au valori extreme
este
1205721 =1
2∙ 119886119903119888119905119886119899 (minus
2 ∙ 119868119911119910
119868119911 minus 119868119910) (437)
Poziţia celeilalte direcţii este perpendiculară pe cea dată de unghiul 1205721
Din relaţia (437) se constată că faţă de aceste direcţii rotite pentru care momentele
de inerţie axiale prezintă valori extreme momentul de inerţie centrifugal 11986811991111199101este nul
Atunci se poate afirma că momentele de inerţie axiale au valori extreme icircn raport cu
direcţiile faţă de care momentul de inerţie centrifugal este nul Aceste direcţii se numesc
direcţii principale iar momentele de inerţie faţă de aceste direcţii poartă numele de
momente de inerţie principale
Icircn calculele de rezistenţă interesează icircn mod special poziţia direcţiilor principale
care trec prin centrul de greutate al suprafeţei aşa numitele direcţii principale centrale şi
evident momentele de inerţie principale centrale
Direcţiile principale de inerţie se notează cu 1 respectiv 2 Axa principală 1
corespunde direcţiei faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea maximă iar
axa principală 2 pentru direcţia faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea
minimă
472 Momente de inerţie principale
Momentele de inerţie principale se notează cu litera 119868 la care se pune indicele 1
sau 2 după cum valoarea acestuia este maximă sau minimă deci avem un moment de
inerţie principal 1 (notat 1198681) respectiv moment de inerţie principal 2 (notat 1198682)
Expresiile pentru momentele de inerţie principale sunt
11986812 =119868119911 + 119868119910
2plusmn1
2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)
2+ 4 ∙ (119868119911119910)
2 (438)
Dacă momentul de inerţie centrifugal este negativ (119868119911119910 lt 0) direcţia principală
care trece prin primul cadran (definit de sistemul 119911119862119910) este direcţia principală 120783
Pentru suprafeţele cu cel puţin o axă de simetrie direcţiile centrale 119862119911 119862119910 sunt şi
direcții principale de inerţie și evident momentele de inerţie axiale 119868119911 119868119910 sunt momente
de inerţie principale
48 Caracteristici mecanice ale metalelor
Alegerea materialului pentru confecţionarea unei anumite piese se face şi pe baza
aşa numitelor caracteristici mecanice pe care le prezintă materialul Cunoaşterea acestor
caracteristici mecanice are loc numai pe baza unor icircncercări mecanice care să scoată icircn
evidenţă comportarea materialului icircn condiţii de solicitare
Cea mai utilizată icircncercare icircn urma căreia se pun icircn evidenţă caracteristicile
mecanice ale unui material este icircncercarea la tracţiune
481 Icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general
Icircncercarea la tracţiune a oţelului ca de altfel toate icircncercările de materiale este
standardizată
Icircn cele ce urmează se va prezenta numai partea care interesează strict din punct
de vedere al caracteristicilor mecanice ale oţelului
Epruveta de diametru iniţial 1198890 pentru icircncercarea la tracţiune are o porţiune de
lungime 1198710 numită baza de măsurare pe care se măsoară lungirea acesteia sub acţiunea
solicitării
Icircn funcţie de raportul dintre baza de măsurare 1198710 şi diametrul iniţial 1198890 epruvetele
utilizate pentru icircncercări sunt
epruvete normale (scurte) cacircnd 11987101198890 = 5
epruvete lungi cacircnd 11987101198890 = 10
Icircn timpul icircncercării la diferite valori ale forţei 119865 se măsoară lungirea bazei de
măsurare
∆119871 = 120575 = 119871 minus 1198710 (439)
unde
119871 este dimensiunea bazei de măsurare la un moment dat
Curba forţă-lungire (119865 minus ) icircnregistrată icircn urma icircncercării reprezintă curba
caracteristică la tracţiune
La icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general diagrama caracteristică care se
obţine are forma din figura 48
Curba caracteristică la tracţiune depinde de lungimea bazei de măsurare Pentru
icircnlăturarea acestui neajuns curba caracteristică se reprezintă icircn coordonate şi definite
astfel
120590 =119865
1198600 휀 =
120575
1198710 (440)
unde
1198600 este aria iniţială a secţiunii transversale a epruvetei (icircnainte de solicitare) icircn
zona bazei de măsurare
1198600 =120587 ∙ 1198890
2
4
Deoarece mărimile icircn care se reprezintă curba caracteristică la tracţiune sunt
raportate la aria iniţială a secţiunii transversale (mărimi specifice) curba poartă numele
de curbă caracteristică convenţională la tracţiune
Fig 48 Curba caracteristică convenţională la tracțiune
Pe curba caracteristică convenţională la tracţiune figura 48 se pot stabili o serie
de puncte cărora le corespund mai multe mărimi importante
Ordonata punctului A pacircnă unde curba caracteristică convenţională este linie
dreaptă se numeşte limita de proporţionalitate a materialului 120590119901(1205901) Porţiunea 119874119860 este
zona de proporţionalitate a curbei caracteristice pe acest domeniu este valabilă legea lui
Hooke care exprimă o proporţionalitate icircntre tensiune şi deformaţie specifică
120590 = 119864 ∙ 휀 (441)
unde
119864 = reprezintă panta porţiunii liniare a curbei convenționale caracteristice
la tracțiune Caracteristica de material 119864 se numeşte modul de elasticitate longitudinal
(modulul lui Young)
Ordonata punctului 119861 pacircnă unde materialul se comportă perfect elastic adică
după descărcare icircşi recapătă dimensiunea iniţială 1198710 se numeşte limita de elasticitate
120590119890(119877119890) Icircn realitate nici un material nu are comportare perfect elastică sub acţiunea
solicitărilor el capătă deformaţii permanente (remanente plastice)
După punctul 119861 urmează o porţiune 119861119862119863 icircn care cu toate că icircncărcarea
continuă forţa nu mai creşte avacircnd mici oscilaţii icircn jurul unei valori Se spune că icircn
această porţiune materialul curge iar intervalul 119861119862119863 este un palier de curgere Tensiunea
corespunzătoare palierului de curgere se numeşte limită de curgere aparentă 120590119888(119877119888) Limita de curgere aparentă se calculează cu relaţia
120590119888 =1198651198881198600 (442)
unde
119865119888 reprezintă valoarea forţei icircnregistrată icircn momentul curgerii materialului
După punctul 119863 curba caracteristică are un traseu ascendent pacircnă icircn punctul 119864
Porţiunea 119863119864 este numită zonă de icircntărire (ecruisare) Icircn zona de ecruisare unde se
produc deformaţii plastice semnificative legea lui Hooke nu mai este valabilă La
descărcare relaţia dintre tensiunea şi deformaţia specifică este liniară paralelă cu
porţiunea liniară a curbei caracteristice (dreapta 119872119873)
Deformaţia totală (휀119905) are două componente una elastică (휀119890) şi una plastică (휀119901)
Ordonata punctului 119864 reprezintă rezistenţa de rupere 120590119903(119877119898) a materialului
care se poate calcula cu relaţia
120590119903 = 119877119898 =1198651198981198861199091198600
(443)
unde
119865119898119886119909 reprezintă valoarea maximă a forţei icircnregistrată icircn timpul icircncercării
La atingerea valorii 119865119898119886119909 (punctul 119864) icircntr-un anumit loc al epruvetei secţiunea
icircncepe să se micşoreze (se produce gacirctuirea) continuacircnd pacircnă cacircnd se produce ruperea
totală (punctul 119865)
Dacă după ruperea epruvetei cele două părţi rezultate se aşează cap la cap şi se
măsoară dimensiunea bazei de măsurare 119871119906 (lungimea ultimă) se determină alungirea la
rupere sau lungirea specifică la rupere 휀119903
휀119903 =119871119906 minus 11987101198710
=∆119871
1198710=120575
1198710 (444)
De obicei alungirea se exprimă icircn procente şi se notează cu 119860119899 unde 119899 reprezintă
numărul dat de raportul 11987101198890 (epruvete normale 119899 = 5 epruvete lungi 119899 = 10)
119860119899 =119871119906 minus 11987101198710
∙ 100 [] (445)
Altă mărime care se determină la icircncercarea la tracţiune este gacirctuirea la rupere
(exprimată de obicei icircn procente) şi definită de relaţia
119885 =1198600 minus 1198601199061198600
∙ 100 [] (446)
Mărimile determinate limita de proporţionalitate modulul de elasticitate
longitudinal limita de elasticitate limita de curgere aparentă rezistenţa de rupere
alungirea la rupere şi gacirctuirea la rupere sunt cunoscute ca fiind caracteristici mecanice
ale materialului
Din curba caracteristică convenţională observăm faptul că ruperea (punctul 119865 din
figura 48 se produce la o tensiune mai mică decacirct cea corespunzătoare punctului 119864 Dacă
icircnsă forţa din timpul icircncercării s-ar raporta la aria secţiunii din momentul icircnregistrării
forţei (care este mai mică decacirct cea iniţială 1198600) s-ar obţine aşa numita curbă
caracteristică reală a materialului (traseul 1198741198601198611198621198631198651 din figura 48) La curba
caracteristică reală ruperea se produce icircn punctul 1198651 la o icircncărcare mai mare decacirct cea
corespunzătoare punctului 119864 Icircnseamnă că rezistenţa reală la rupere este mai mare decacirct
rezistenţa la rupere dată de punctul 119864 din diagrama caracteristică convenţională
Dificultatea obţinerii diagramei caracteristice reale faţă de cea a diagramei caracteristice
convenţionale şi considerarea unei rezistenţe la rupere mai mică decacirct a celei reale face
icircn practică utilizarea pe scară mare a diagramei caracteristice convenţionale
Caracteristicile mecanice determinate pe baza curbei caracteristice convenţionale
sunt şi ele caracteristici mecanice convenţionale
Caracteristicile mecanice convenţionale limita de proporţionalitate convenţională
120590119901 limita de elasticitate convenţională 120590119890 limita de curgere convenţională 120590119888 şi rezistenţa
de rupere 120590119903 constituie tensiuni limită pentru un material Pe baza acestor caracteristici
de material se alege valoarea tensiunii admisibile 120590119886 (vezi paragraful 35) pentru
calculele de rezistenţă Cea mai utilizată stare limită pentru stabilirea tensiunii admisibile
120590119886 este limita de curgere convenţională 120590119888
120590119886 =120590119897119894119898119888
=120590119888119888 119904119886119906 120590119886 =
120590119903119888 (447)
Caracteristicile mecanice ale materialului sunt influenţate de o serie de factori
temperatura viteza de solicitare factorii tehnologici iar valorile lor sunt date icircn tabele și
diagrame
Aplicaţie Pentru suprafaţa plană compusă din două dreptunghiuri avacircnd
dimensiunile din figura 49a să se calculeze
a) centrul de greutate al secțiunii compuse 119910119866 119911119866
b) momentele de inerție axiale 119868119911 119868119910 și momentul de inerție centrifugal 119868119911119910
c) razele de inerție 119894119911 119894119910
d) modulele de rezistență 119882119911119898119894119899 119882119911119898119886119909 119882119910119898119894119899 119882119910119898119886119909
e) momentele de inerție principale 1198681 1198682 și direcțiile principale de inerție 1205721
f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 119878119911
Fig 49 Aplicație
Rezolvare Pentru rezolvare vom parcurge următoarele etape
icircmpărțim suprafața compusă icircn două suprafețe simple (dreptunghiuri) notate cu
① și respectiv ② figura 49b
poziționăm centrele de greutate a celor două suprafețe simple ① și respectiv ②
notate cu 1198661 și respectiv 1198662 figura 49c
poziționăm sistemele de axe de coordonate 119911111986611199101 pentru dreptunghiul ① și
119911211986621199102 pentru dreptunghiul ② aflate la intersecția diagonalelor figura 49c
poziționăm sistemele de axe de coordonate 11991101198741199100 ales arbitrar față de care
determinăm poziția centrului de greutate 119866 figura 49c
a) calculăm poziția centrului de greutate folosind relațiile (46) icircn care
1198601 = 6119905 ∙ 119905 = 61199052 1198602 = 4119905 ∙ 119905 = 41199052 119860 = 1198601 + 1198602 = 61199052 + 41199052 = 101199052
iar centrele de greutate 1198661 și respectiv 1198662 au coordonatele (față de sistemul 11991101198741199100)
1198661 1199101 = 3119905 1199111 = 05119905
1198662 1199102 = 051199051199112 = 3119905
cu acestea obținem
119910119866 =1198601 ∙ 1199101 + 1198602 ∙ 1199102
119860=61199052 ∙ 3119905 + 41199052 ∙ 05119905
101199052=201199053
101199052= 2119905
119911119866 =1198601 ∙ 1199111 + 1198602 ∙ 1199112
119860=61199052 ∙ 05119905 + 41199052 ∙ 3119905
101199052=151199053
101199052= 15119905
Poziționăm centrul de greutate 119866 al suprafeței compuse figura 49c
Fig 49 Aplicație
b) pentru determinarea momentelor de inerție axiale 119868119911 119868119910 și a momentului de
inerție centrifugal 119868119910119911 determinăm constantele 1198881 1198882 1198891 1198892 care intervin icircn relația lui
Stainer
1198881 = 1199101 minus 119910119866 = 3119905 minus 2119905 = 119905 1198882 = minus(119910119866 minus 1199102) = minus(2119905 minus 05119905) = minus15119905
1198891 = minus(119911119866 minus 1199111) = minus(15119905 minus 05119905) = minus119905 1198892 = 1199112 minus 119911119892 = 3119905 minus 15119905 = 15119905
Folosind relațiile lui Stainer (429) (430) și (431) calculăm momentele de
inerție axiale și centrifugale față de sistemul central 119911119866119866119910119866
119868119911 =sum(119868119911119894 + 1198881198942 ∙ 119860119894) = 1198681199111 + 1198881
2 ∙ 1198601 + 1198681199112 + 11988822 ∙ 1198602
119868119910 =sum(119868119910119894 + 1198891198942 ∙ 119860119894) = 1198681199101 + 1198891
2 ∙ 1198601 + 1198681199102 + 11988922 ∙ 1198602
119868119911119910 =sum(119868119911119894119910119894 + 119888119894 ∙ 119889119894 ∙ 119860119894) = 11986811991111199101 + 1198881 ∙ 1198891 ∙ 1198601 + 11986811991121199102 + 1198882 ∙ 1198892 ∙ 1198602
1198681199111 = (119887 ∙ ℎ3
12) =
119905 ∙ (6119905)3
12= 181199054 1198681199112 = (
119887 ∙ ℎ3
12) =
4119905 ∙ 1199053
12= 031199054
1198681199101 = (1198873 ∙ ℎ
12) =
1199053 ∙ 6119905
12= 051199054 1198681199102 = (
1198873 ∙ ℎ
12) =
(4119905)3 ∙ 119905
12= 531199054
11986811991111199101 = 11986811991121199102 = 0 deoarece cele două triunghiuri au cel puțin o axă de simetrie
Cu acestea momentele de inerție axiale și momentul de inerție centrifugal devin
119868119911 = 181199054 + 1199052 ∙ 61199052 + 031199054 + (minus15119905)2 ∙ 41199052 = 3331199054
119868119910 = 051199054 + (minus119905)2 ∙ 61199052 + 531199054 + (15119905)2 ∙ 41199052 = 2081199054
119868119911119910 = 0 + 119905 ∙ (minus119905) ∙ 61199052 + 0 + (minus15119905) ∙ (15119905) ∙ 41199052 = minus151199054
c) razele de inerție sau de girație față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910
se calculează cu relațiile (411)
119894119911 = radic119868119911119860= radic
3331199054
101199052= 182119905 119894119910 = radic
119868119910
119860= radic
2081199054
101199052= 144119905
d) modulele de rezistență față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910 se
calculează cu relațiile (412) și (413)
Avacircnd icircn vedere figura 419c obținem
119910119898119886119909 = 6119905 minus 119910119866 = 6119905 minus 2119905 = 4119905 119910119898119894119899 = minus119910119866 = minus2119905
119911119898119886119909 = 5119905 minus 119911119866 = 5119905 minus 15119905 = 35119905 119911119898119894119899 = minus119911119866 = minus15119905
Se obține astfel
119882119911119898119894119899 =119868119911
|119910119898119886119909|=3331199054
4119905= 8331199053
119882119911119898119886119909 =119868119911
|119910119898119894119899|=3331199054
2119905= 16651199053
119882119910119898119894119899 =119868119910
|119911119898119886119909|=2081199054
35119905= 5941199053
119882119910119898119886119909 =119868119910
|119911119898119894119899|=2081199054
15119905= 13871199053
e) momentele de inerție principale 1198681 și respectiv 1198682 se calculează cu relațiile
(438)
11986812 =119868119911 + 119868119910
2plusmn1
2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)
2+ 4 ∙ (119868119911119910)
2=
=3331199054 + 2081199054
2plusmn1
2∙ radic(3331199054 minus 2081199054)2 + 4 ∙ (minus151199054)2 = 27051199054 plusmn 16251199054
De unde obținem
1198681 = 27051199054 + 16251199054 = 4331199054
1198682 = 27051199054 minus 16251199054 = 1081199054
Prima direcție principală de inerție 1 face cu axa centrală 119866119911 unghiul 1205721 dat de
relația (437)
1205721 =1
2∙ arctan (minus
2 ∙ 119868119911119910
119868119911 minus 119868119910) =
1
2∙ arctan [minus
2 ∙ (minus151199054)
3331199054 minus 2081199054] =33 70
Deoarece 1205721 gt 0 rotirea axelor se face acircn sens antiorar acelor de ceasornic figura
49d
Poziția axe principale 2 față de care momentul de inerție are valoarea minimă
1198682 = 119868119898119894119899 este dată de unghiul
1205722 = 1205721 + 900 = 33 70 + 900 = 123 70
f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 se determină cu relația
(45)
1198781199111198602 = 1198602 ∙ 1198882 = 41199052 ∙ (minus15119905) = minus61199053
d)Punctul de aplicaţie O
Observaţie Momentul unei forţe icircn raport cu un punct este nul dacă suportul
forţei trece prin punctul respectiv (119889 = 0)
122 Momentul unei forţe icircn raport cu o axă
Considerăm un solid rigid asupra căruia acţionează o forţă aplicată icircn punctul A
şi fie D o axă din spaţiu figura 13
Fig 13 Momentul unei forțe icircn raport cu o axă
Se defineşte momentul forţei icircn raport cu axa 119863 ca fiind proiecţia pe axa 119863 a
momentului forţei icircn raport cu un punct arbitrar de pe axa respectivă (O)
119872119863 = 119872119874 ∙ cos 120575 (12)
Momentul forţei icircn raport cu punctul O (119874)se calculează relația (11)
Observaţii
- Momentul unei forţe icircn raport cu o axă este nul dacă forţa şi axa sunt icircn acelaşi
plan (dacă sunt paralele sau dacă suportul forţei intersectează axa)
- Momentul unei forţe icircn raport cu o axă (119863) nu depinde de punctul O ales
arbitrar pe axă
123 Momentul unui cuplu de forţe
Un cuplu de forţe este o pereche de forţe egale de sensuri contrare situate pe
suporturi paralele (1 = minus2 1198651 = 1198652 = 119865) Evident rezultanta unui cuplu de forţe este
nulă figura 14
Fig 14 Momentul unui cuplu de forțe
Se defineşte momentul cuplului de forţe ca fiind suma momentelor celor două forţe
icircn raport cu un punct arbitrar din spaţiu O
119888119906119901 = 1199031 times 1 + 1199032 times 2 = 1199031 times 1 + 1199032 times (minus1) = 119903 times 1 (13)
119888119906119901 = 11986021198601 times 1 = 11986011198602 times 2
Din ultima egalitate se observă că momentul cuplului este egal cu momentul unei
forţe din cuplu icircn raport cu punctul de aplicaţie al celeilalte forţe din cuplu iar momentul
cuplului nu depinde de punctul O deci este un vector liber
Vectorul moment 119888119906119901 are următoarele elemente
a) Modulul cuplului 119888119906119901 = 119865 ∙ 119903 ∙ sin 120572 = 119865 ∙ 119889 unde 119889 este distanţa dintre
suporturile celor două forţe şi se numeşte braţul cuplului
b) Direcţia cuplului este perpendiculară pe planul celor două forţe
c) Sensul cuplului este dat de regula burghiului drept
13Reducerea sistemelor de forţe Echilibrul solidului rigid
Dacă asupra unui solid rigid acţionează un sistem complex de forţe pentru
simplificarea calculelor se urmăreşte icircnlocuirea acestuia cu cel mai simplu sistem posibil
care să producă acelaşi efect mecanic asupra corpului studiat ca şi sistemul iniţial de forţe
Această operaţie se numeşte reducerea sistemului de forţe
131 Reducerea unei forţe icircntr-un punct Torsorul de reducere
A reduce o forţă icircntr-un punct icircnseamnă a icircnlocui acea forţă cu cele mai simple
elemente mecanice legate de punctul respectiv care să producă asupra corpului studiat
acelaşi efect ca şi forţa iniţială
Fie o forţă aplicată icircn punctul A al unui solid rigid şi O un punct din spaţiu
figura 15 vom determina elementele mecanice corespunzătoare reducerii forţei icircn
punctul O
Fig 15 Reducerea unei forțe icircntr-un punct
Icircn punctul O se introduce un sistem de două forţe coliniare egale cu de sensuri
contrare pe un suport paralel cu forţa iniţială Efectul acestora asupra corpului este nul
Apare astfel un cuplu de forţe forţa din A şi (minus) din O caracterizat prin momentul
cuplului 119888119906119901 = 0 = 119874119860 times = 119903 times
Aşadar efectul forţei din A a fost icircnlocuit icircn punctul O cu două elemente
mecanice o forţă identică cu aplicată icircn O şi momentul forţei iniţiale icircn raport cu
punctul O Ansamblul celor două elemente mecanice formează aşa numitul torsor de
reducere al forţei icircn punctul O
132 Reducerea unui sistem de forţe icircntr-un punct
Considerăm că asupra unui solid rigid acţionează un sistem de 119899 forţe 119894 aplicate
icircn punctele 119860119894 cu 119894 = 1 119899 şi fie 119874119909119910119911 un sistem de axe de coordonate avacircnd versorii
axelor 119894 119895 figura 16
Fig 16 Reducerea unui sistem forțe icircntr-un punct
Pentru a reduce sistemul de forţe icircn punctul O se procedează astfel
Se reduce pe racircnd fiecare forţă 119894 icircn punctul O la un torsor de reducere compus
dintr-o forţă 119894 şi un moment 119874119894 = 119903119894 times 119894 Făcacircnd această operaţie cu toate forţele icircn
punctul O se obţine
o forţă rezultantă
= sum119894
119899
119894=1
un moment rezultant
0 =sum119874119894
119899
119894=1
=sum119903119894 times 119894
119899
119894=1
Cele două elemente mecanice definesc torsorul de reducere al sistemului de forţe
icircn punctul O
Torsorul de reducere se poate calcula analitic dacă forţele sunt exprimate analitic
119894 = 119883119894 ∙ 119894 + 119884119894 ∙ 119895 + 119885119894 ∙ unde 119883119894 119884119894 119885119894 sunt proiecţiile forţei 119894 pe axele 119874119909 119874119910
respectiv 119874119911 Rezultanta forţelor icircn punctul O este
= (sum119883119894
119899
119894=1
) ∙ 119894 + (sum119884119894
119899
119894=1
) ∙ 119895 + (sum119885119894
119899
119894=1
) ∙ = 119883 ∙ 119894 + 119884 ∙ 119895 + 119885 ∙
(14)
unde sunt componentele rezultantei pe axele 119874119909 119874119910 și 119874119911 = + +
Icircn mod analog momentul rezultant icircn punctul O este
0 = (sum119872119909119894
119899
119894=1
) ∙ 119894 + (sum119872119910119894
119899
119894=1
) ∙ 119895 + (sum119872119911119894
119899
119894=1
) ∙ =
= 119872119909 ∙ 119894 + 119872119910 ∙ 119895 + 119872119911 ∙
(15)
unde 119909 119910 119911 sunt componentele vectorului moment 0 pe axele 119874119909 119874119910 respectiv 119874119911
0 = 119909 + 119910 + 119911
133 Echilibrul solidului rigid
Torsorul de reducere al sistemului de forţe determină mişcarea solidului rigid icircn
spaţiu sub acţiunea forţelor exterioare aplicate
Torsorul de reducere conţine o forţă rezultantă cu trei componente
perpendiculare icircntre ele şi un moment rezultant avacircnd trei componente ortogonale
perpendiculare 119909 119910 119911 orientate după axele sistemului 119874119909119910119911 Cele trei componente
ale rezultantei produc translaţii (deplasări liniare ) ale corpului pe direcţiile 119874119909 119874119910
respectiv 119874119911 Componentele momentului rezultant 0 produc rotiri (deplasări
unghiulare) ale corpului icircn jurul axelor de coordonate 119874119909 119874119910 respectiv 119874119911 Se spune ca
solidul liber are 6 grade de libertate (6 posibilităţi de deplasare) Pentru ca solidul să fie
icircn echilibru trebuie suprimate toate gradele de libertate Aşadar corpul este icircn echilibru
dacă elementele torsorului de reducere al forţelor exterioare este nul
Condiţiile de echilibru ale solidului rigid sunt
= 0 rArr 119883 = 119884 = 119885 = 0
0 = 0 rArr 119872119909 = 119872119910 = 119872119911 = 0
(16)
Observaţie Un solid rigid liber solicitat de forţe aplicate icircntr-un plan (119909119900119910) are
trei grade de libertate Condiţiile de echilibru sunt
= 0 rArr 119883 = 119884 = 0
0 = 0 rArr 119872119911 = 0
(17)
14 Aplicaţii
141 Să se stabilească mărimea şi ordinul rezultantei sistemului de forţe din figura
17 dacă se cunosc 1 = 100 [119873] 2 = 200 [119873] și 3 = 300 [119873]
Rezolvare
Pentru rezolvarea acestui sistem de forte de prezinta doua metode
a) Rezolvare analitică
Descopunem cele două forțe icircnclinate 2 și 3 după cele două axe de coordonate
Ox și Oy
2 = (minus1198652119909) ∙ 119894 + (1198652119910) ∙ 119895 = (minus1198652 ∙ cos 600) ∙ 119894 + (1198652 ∙ sin 60
0) ∙ 119895 =
= (minus200 ∙1
2) ∙ 119894 + (200 ∙
radic3
2) ∙ 119895 = minus100 ∙ 119894 + 100 ∙ radic3 ∙ 119895
3 = (minus1198653119909) ∙ 119894 + (minus1198653119910) ∙ 119895 = (minus1198653 ∙ cos 450) ∙ 119894 + (minus1198653 ∙ sin 45
0) ∙ 119895 =
= (minus300 ∙radic2
2) ∙ 119894 + (minus300 ∙
radic2
2) ∙ 119895 = minus150 ∙ radic2 ∙ 119894 minus 150 ∙ radic2 ∙ 119895
Pentru stabilirea mărimii şi ordinului rezultantei sistemului de forţe din figură se
procedează astfel
Forţele sunt exprimate analitic 119894 = 119883119894 ∙ 119894 + 119884119894 ∙ 119895 unde 119883119894 119884119894 sunt proiecţiile
forţei 119894 pe axele 119874119909 respectiv 119874119910
1 = 100 ∙ 119894 + 0 ∙ 119895
2 = minus100 ∙ 119894 + 1732 ∙ 119895
3 = minus2121 ∙ 119894 minus 2121 ∙ 119895
Fig 17 Aplicația 141
Se determină rezultanta forţelor cu următoarea relaţie
= sum119865119894 prime (sum119883119894
119899
119894=1
) ∙ 119894 + (sum119884119894
119899
119894=1
) ∙ 119895 = 119883 ∙ 119894 + 119884 ∙ 119895
unde 119883 119884 sunt componentele rezultantei pe axele 119874119909 respectiv 119874119910 = +
= (100 minus 100 minus 2121) ∙ 119894 + (0 + 1732 minus 2121) ∙ 119895 = (minus2121) ∙ 119894 + (minus389) ∙ 119895
rArr 119883 = minus2121 [119873]
119884 = minus389 [119873]
Cu acestea obținem rezultanta
119877 = radic1198832 + 1198842 = radic(minus2121)2 + (minus389)2 = 21564 [119873]
Se reprezintă grafic rezultanta icircn sistemul de coordonate 119909119874119910 după care se
calculează unghiul 120572 pe care aceasta rezultantă icircl face cu axa 119874119909 figura 18
tan 120572 =119884
119883=minus389
minus2121= 0183 rArr 120572 = arctan(0183) = 10 40
Fig 18 Reazultanta forțelor aplicate
b) Rezolvare tabelară
Forţa 119894 Componenta 119883119894 Componenta 119884119894
1 1198651 = 100 1198651 = 0
2 minus1198652 ∙ cos 600 = minus100 1198652 ∙ sin 60
0 = 1732
3 minus1198653 ∙ cos 450 = minus2121 minus1198653 ∙ sin 45
0 = minus2121
= sum119894 119883 =sum119883119894 = minus2121 119884 =sum119884119894 = minus389
După determinarea tabelară a celor două componente ale rezultandei calculele se
continua ca şi icircn cazul rezolvării analitice
142 Să se calculeze momentul forţei verticale = 100 [119873] icircn raport cu punctele
B D O şi icircn raport cu axele Ox Oy şi Oz figura 19 și să se determine componentele
torsorului de reducere ale forţei icircn punctul O dacă se cunosc 119886 = 3 [119898] şi 119887 = 4 [119898]
Fig 19 Aplicația 142
Fig 110 Icircnclinarea momentului 119872119874
119861 = 119861119860 times
119872119861 = 119886 ∙ 119865 = 3 ∙ 100 = 300 [119873 ∙ 119898]
119863 = 119863119860 times
119872119863 = 119887 ∙ 119865 = 4 ∙ 100 = 400 [119873 ∙ 119898]
119874 = 119874119860 times
119872119874 = 119888 ∙ 119865 = radic1198862 + 1198872 ∙ 119865 = radic32 + 42 ∙ 100 = 5 ∙ 100 = 500 [119873 ∙ 119898]
119874 se află icircn planul 119909119874119910 cu icircnclinarea 120572 (figura 110)
tan120572 =119886
119887=3
4= 075 rArr 120572 = arctan(075) = 36860
Deci
120572 = 900 minus 120573 = 900 minus 36860 = 53140
Concluzie Componentele torsorului de reducere al forței icircn punctul O sunt o forta
icircn O identică cu forța din punctul A și momentul forței icircn raport cu punctul O 119874
2 INTRODUCERE IcircN REZISTENŢA MATERIALELOR
21 Obiectul şi problemele Rezistenţei materialelor
Rezistenţa materialelor este o disciplină de cultură tehnică generală care continuă
logic şi dezvoltă Mecanica prin introducerea icircn calcule a proprietăţilor de deformabilitate
ale corpurilor solide reale Icircn Mecanică corpul solid este considerat rigid nedeformabil
iar vectorii forţă de icircncărcare sunt consideraţi alunecători Rezistenţa materialelor ia icircn
studiu corpurile reale care sub acţiunea forţelor exterioare (vectori legaţi) icircşi schimbă
forma geometrică respectiv dimensiunile iniţiale şi se distrug prin rupere la valori mari
ale acestora Prin calculele de rezistenţă se determină dimensiunile secţiunilor
transversale ale corpurilor (elemente de rezistenţă) icircn funcţie de mărimea poziţia şi modul
de acţionare a forţelor exterioare proprietăţile mecanice ale materialelor dimensiunile
constructive forma şi importanţa ansamblului icircn care se icircnglobează iar icircn anumite cazuri
şi de durata de funcţionare Elementele de rezistenţă trebuie să icircndeplinească următoarele
condiţii de bază
- condiţia de rezistenţă care are icircn vedere ca eforturile din elementul de rezistenţă
să nu producă distrugerea acestuia prin rupere sau spargere icircn bucăţi
- condiţia de rigiditate se referă la valorile deformaţiilor care nu trebuie să
depăşească anumite mărimile admisibile
- condiţia de stabilitate care consideră posibilitatea menţinerii formei de echilibru
stabil pentru o anumită stare de icircncărcare
Criteriile de rezolvare ale problemelor de Rezistenţa materialelor sunt
- criteriul economic prin care se impune ca orice element de rezistenţă (piesă) să
fie proiectat şi realizat cu soluţia cea mai economică icircn privinţa materialului utilizat şi al
manoperei
- criteriul de bună funcţionalitate a ansamblului din care face parte elementul de
rezistenţă proiectat respectacircnd condiţiile de rezistenţă rigiditate şi stabilitate
Icircn cadrul Rezistenţei materialelor se admit ipoteze simplificatoare care permit
obţinerea unor relaţii de calcul relativ simple şi care exprimă destul de fidel fenomenul
de solicitare real Experimentările practice icircn laborator permit verificarea legilor
rezistenţei materialelor şi determinarea caracteristicilor mecanice ale materialelor
Rezistenţa materialelor permite rezolvarea următoarelor categorii de probleme
- probleme de dimensionare prin care se stabilesc dimensiunile optime ale
elementelor de rezistenţă proiectate icircn funcţie de icircncărcările exterioare (forţe sau
momente) şi de caracteristicile mecanice ale materialului utilizat
- probleme de verificare la care se determină dacă un element de rezistenţă de
dimensiuni cunoscute satisface condiţiile de rezistenţă rigiditate şi stabilitate cunoscacircnd
icircncărcarea exterioară şi caracteristicile mecanice ale materialului utilizat
- probleme de calcul al capacităţii de icircncărcare al unui element de rezistenţă
cunoscacircndu-se caracteristicile mecanice ale materialului dimensiunile şi modul de
solicitare se determină icircncărcarea maximă pe care o poate suporta elementul de rezistență
fără a ceda sau a se deforma periculos
22 Clasificarea corpurilor icircn Rezistenţa materialelor
Corpurile (elementele de rezistenţă) au icircn general forme constructive relativ
complicate Icircn Rezistenţa materialelor pentru simplificarea calculelor corpurile se
schematizează prin forme geometrice mai simple obţinacircndu-se următoarele grupe
a) corpuri solide cu o dimensiune mult mai mare decacirct celelalte două (corpuri cu
fibră medie) Elementele geometrice caracteristice sunt axa longitudinală şi secţiunea
transversală Aceste corpuri solide pot fi
- fire dacă dimensiunile secţiunii transversale sunt foarte mici astfel icircncacirct axa
longitudinală este flexibilă (icircşi schimbă forma uşor) iar sarcinile transversale nu pot fi
preluate de acesta Un fir nu poate fi solicitat decacirct la icircntindere (exemplu cabluri de
macara lanţuri etc)
- bare care rezistă atacirct la solicitări axiale cacirct şi la solicitări transversale
După modul de solicitare barele poartă diferite denumiri convenţionale
tiranţi-solicitaţi la icircntindere figura 21a
stacirclpi-solicitaţi la compresiune figura 21b
grinzi-solicitate la icircncovoiere figura 21c
arbori-solicitaţi la torsiune (răsucire) figura 21d
Fig 21 Denumirea barelor după modul de solicitare
După modul cum variază secţiunea icircn lungul axei barele pot fi
de secţiune constantă figura 22a
de secţiune variabilă continuă figura 22b sau icircn trepte figura 22c
Fig 22 Denumirea barelor după secțiune
După forma axei longitudinale barele pot fi
drepte figura 21
curbe icircn plan figura 23a sau icircn spaţiu figura 23b (numite și curbe stracircmbe)
cotite (axa barei este o linie fracircntă) plane figura 23c sau spațiale figura 23d
Fig 23 Tipuri de bare curbe și cotite
Secţiunea transversală (plană şi normală pe axa barei) poate avea orice formă
geometrică constantă sau variabilă icircn lungul barei
Dacă una din dimensiunile secţiunii transversale (grosimea) este mai mică
comparativ cu celelalte bara se numește bară cu pereţi subţiri (exemplu barele
realizate din platbande sudate cu secţiuni sub formă de profil I profil U cornier etc)
b) corpuri care au două dimensiuni mult mai mari icircn raport cu a treia (grosimea)
se numesc plăci Elementele geometrice caracteristice ale unei plăci sunt forma şi
dimensiunile suprafeţei mediane respectiv grosimea Plăcile se reprezintă schematic
printr-o suprafață care imită forma și dimensiunile suprafeței mediane Suprafaţa mediană
reprezintă locul geometric al tuturor punctelor egal depărtate de cele două feţe ale plăcii
puncte aflate pe perpendicularele duse icircntre cele două feţe figura 24
După destinaţie și forma suprafeței mediane se deosebesc
plăci plane figura 24b
plăci curbe (icircnvelişuri) cu o singură curbură figura 24a sau avacircnd curbură
dublă figura 24c
Fig 24 Tipuri de plăci plane
Plăcile cu grosime mare sunt denumite frecvent dale O placă de grosime mică
ce nu poate prelua decacirct solicitări la icircntindere poartă numele de membrană
Exemple de plăci icircnvelişurile vasele de revoluţie discurile etc
c) corpuri masive care au toate cele trei dimensiuni aproximativ de acelaşi ordin
de mărime (blocuri de fundaţii bile şi role de rulmenţi tuburi cu pereţi groşi etc)
Calculele de rezistenţă sunt mai simple icircn cazul barelor drepte şi mai complicate
la barele curbe plăci respectiv blocuri
23 Clasificarea icircncărcărilor exterioare
Un corp icircşi păstrează forma şi dimensiunile datorită forţelor de atracţie dintre
particulele sale elementare atacircta timp cicirct asupra sa nu acţionează alte forţe aplicate din
exterior care să-l deformeze Icircn construcţia de maşini elementele de rezistenţă preiau şi
transmit acţiunea unor sarcini exterioare (forţe şisau cupluri) pe care le vom denumi
generic forțe sau icircncărcări exterioare Efectul pe care-l au sarcinile este acela de a
modifica forma şi dimensiunile corpului asupra căruia se aplică Icircn punctele de rezemare
(de sprijin sau de legătură cu alte elemente de rezistenţă icircnvecinate) ca urmare a
principiului acţiunii şi reacţiunii apar forţe de legătură sau reacţiuni Ansamblul format
din sarcini şi reacţiuni este cunoscut sub numele de forţe exterioare Sub acţiunea
forţelor exterioare elementele de rezistenţă trebuie să fie icircn echilibru
Forţele exterioare pot fi clasificate după următoarele criterii
a) după mărimea suprafeţei pe care se aplică
- forțe concentrate aplicate teoretic icircntr-un punct figura 25a
- forțe distribuite uniform sau cu intensitate variabilă icircn lungul barei sau pe o
suprafaţă figura 25bc şi d
- momente concentrate care acţionează icircntr-un punct M sau momente uniform
distribut pe o anumită lungime m
Fig 25 Tipuri de sarcini după mărimea suprafeţei de aplicare
b) după locul de aplicare se deosebesc
- forţe de suprafaţă sau de contur care sunt aplicate din exterior pe suprafaţa
corpurilor şi indică legătura cu piesele icircnvecinate
- forţe masice sau de volum distribuite icircn tot corpul (greutăţi forţe de inerţie
respectiv forţe electromagnetice)
c) după modul de acţiune icircn timp se disting
- forţe statice care se aplică lent şi progresiv pacircnă la valoarea nominală de lucru
şi apoi rămacircn constante figura 26a
- forţe dinamice care rezultă din
aplicarea cu icircntreaga intensitate de la icircnceputul perioadei de solicitare iar apoi forţa se
menţine constantă timp icircndelungat figura 26b (forţe de inerţie)
aplicarea bruscă a sarcinii asupra corpului durata de acţiune a sarcinii fiind mică figura
26c (forţe de şoc)
variaţia periodică icircn timp a intensităţii forţei aplicate figura 26d (forţe de oboseală)
Fig26 Tipuri de forţe exterioare (cicluri de solicitare)
Funcţie de modul de variaţie al forţelor exterioare solicitările pot fi statice
oscilante pulsante alternante etc Experimental s-a constatat că rezistenţa unui material
depinde foarte mult de modul de variaţie a forţelor icircn timp Bach a clasificat solicitările
icircn 3 categorii 1-solicitări statice 2-solicitări pulsante 3-solicitări alternant simetrice
Rezistenţa unui material este icircn raportul 321 pentru cele 3 cazuri de solicitare ale lui
Bach Aceasta icircnseamnă că o piesă solicitată static rezistă la o forţă de 3 ori mai mare
decacirct forţa maximă care produce ruperea aceleaşi piese solicitate alternant simetric
d) după poziţia icircn timp a forțelor se disting
- forţe fixe ale căror puncte de aplicaţie sunt mereu aceleaşi
- forţe mobile ale căror puncte de aplicaţie se deplasează icircn timp De exemplu
sarcinile produse de vehiculele care circulă pe un pod sarcinile unei grinzi de pod rulant
icircntr-o halăetc
24 Reazeme Forțe interioare Eforturi Diagrame de eforturi icircn barele
drepte
241 Reazeme Reacțiuni (forțe de legătură)
Pentru a prelua şi transmite acţiunea sarcinilor exterioare elementele de rezistenţă
din componenţa unei structuri sunt fixate icircntre ele prin intermediul unor legături
exterioare numite reazeme Aceste legături au ca scop icircmpiedicarea anumitor mişcări ale
corpului pe direcţiile pe care acestea nu trebuie să se producă O legătură are deci rolul
de a anula unul sau mai multe grade de libertate ale corpului icircn punctul de rezemare Dacă
este anulat un singur grad de libertate legătura este simplă iar dacă sunt impiedicate mai
multe grade de libertate legătura este una compusă Datorită existenţei sarcinilor
exterioare icircn punctele de rezemare pe direcţiile pe care mişcările sunt icircmpiedicate apar
forţe de legătură numite reacţiuni Numărul natura şi direcţiile reacţiunilor depind de
tipul reazemelor Icircn construcţiile reale există o varietate mare de realizare practică a
reazemelor dar icircn calcule se acceptă anumite schematizări care reţin doar aspectul esenţial
al unui reazem şi anume gradul sau gradele de libertate anulate
Pentru o structură de rezistenţă spaţială icircntr-un punct oarecare sunt posibile şase
deplasări trei deplasări liniare (după direcţiile axelor unui sistem ortogonal) şi trei rotiri
(deplasări unghiulare) icircn jurul aceloraşi axe Ca urmare ar fi posibil de realizat maximum
şase tipuri de reazem
Pentru un element de rezistenţă plan icircncărcat cu eforturi cuprinse icircn planul
elementului icircn orice punct sunt posibile trei gade de libertate două deplasări liniare şi o
rotiri Ca urmare pentru cazul unei bare plane se icircntacirclnesc următoarele tipuri de reazeme
1 Reazemul simplu sau reazemul mobil care icircmpiedică deplasarea pe o direcţie
normală pe suprafaţa de rezemare permiţacircnd deplasarea pe o direcţie paralelă cu
suprafaţa de rezemare şi rotirea barei icircn jurul unei axe perpendiculare pe plan icircn punctul
de rezemare Icircn urma icircmpiedicării deplasării şi datorită unor sarcini exterioare icircn
reazemul simplu apare o reacţiune de tip forţă a cărei suport trece prin punctul de
rezemare şi a cărei direcţie este perpendiculară pe suprafaţa de rezemare figura 27
Fig 27 Reazem simplu (mobil)
Icircn figura 27 este reprezentat un reazem mobil poziţionat pe capătul A al unei bare
plane orizontale fiind evidenţiate punctul şi suprafaţa de rezemare direcţia suportului
reacţiunii şi modul de schematizare al reazemului Cea mai des icircntacirclnită reprezentare a
reazemului mobil este a unui triunghi a cărui bază poate luneca pe suprafaţa de rezemare
2 Reazemul fix sau articulaţia icircmpiedică deplasările liniare după toate direcţiile
din planul barei permiţacircnd doar rotirea barei icircn jurul unei axe perpendiculare pe plan şi
care trece prin puncul de rezemare Reacţiunea este cuprinsă icircn planul barei care trece
prin punctul de rezemare dar a cărei mărime şi direcţie nu sunt cunoscute (forţa R)
figura 28
Fig 28 Reazem fix
Se preferă ca icircn locul unei forţe R avacircnd direcţia oarecare icircn plan necunoscută să
se introducă două forţe (HA şi VA) cărora li se cunoaşte direcţia şi pentru care se vor
determina modulele ca valori din condiţiile de echilibru static Icircntr-un reazem fix apar
icircntotdeauna reacţiuni atacirct pe direcţia perpendiculară pe suprafaţa de rezemare
(verticală) cacirct şi pe direcţia paralelă cu prima (orizontală) chiar dacă uneori una sau
chiar ambele reacţiuni au valoarea zero Reprezentarea schematică a articulaţiei este cea
a unui triunghi cu baza fixă şi cu vacircrful icircn punctul de rezemare sau cea a unui pendul
dublu figura 28
3 Icircncastrarea (sau icircnţepenirea) anulează toate gradele de libertate ale capătului
unei bare icircmpiedicacircnd deplasarea liniară după orice direcţie din plan precum şi rotirea
barei icircn jurul unei axe perpendiculare pe plan şi care trece prin punctul de icircncastrare
Urmare a existenţei sarcinilor exterioare şi a blocării deplasărilor icircn icircncastrare apare o
reacţiune căreia nu i se cunoaşte nici mărimea nici direcţia şi nici punctul de aplicaţie
figura 29
Fig 29 Icircncastrarea
Sub acţiunea forţelor exterioare un sistem este icircn echilibru Valoarea reacţinilor
se determină din condiţia de echilibru a sistemului solicitat
Este cunoscut faptul că un sistem plan este icircn echilibru dacă
nu se deplasează pe o direcţie (fie x această direcţie)
nu se deplasează pe o direcţie perpendiculară pe prima (fie y această direcţie)
nu se roteşte faţă de un punct al planului (fie K acest punct)
Cele trei condiţii enunţate mai sus sunt satisfăcute dacă suma proiecţiilor tuturor
forţelor pe direcţia x respectiv y este nulă şi suma tuturor momentelor (cuplurilor) faţă
de un punct al planului este nulă
242 Forțe interioare Metoda secțiunilor
Icircn vederea calculului de rezistenţă de rigiditate şi de stabilitate a barelor sau a
sistemelor de bare este necesară determinarea forţelor şi momentelor interioare
(eforturilor) care apar icircn secţiunile transversale ale acestora şi datorate icircncărcărilor
exterioare Forțele interioare indică legătura dintre particulele din interiorul corpului şi
se pun icircn evidenţă prin metoda secţiunilor care este un procedeu de raţionament
imaginar propus de Cauchy echivalent cu teoria echilibrului părţilor Conform acestui
raționament bdquodacă un corp solid deformabil este icircn echilibru sub acţiunea unui sistem
generalizat de forţe atunci după secționare fiecare parte a sa va fi icircn echilibru sub
acţiunea forţelor exterioare care-i revin şi a unui sistem de forţe pe care trebuie să-l
introducem icircn secţiunea ce delimitează fiecare parte echivalent cu acţiunea forţelor
aplicate pe partea icircndepărtatărdquo
Problemele care apar la aplicarea metodei secţiunilor sunt
- să pună icircn evidenţă existenţa forţelor interioare mai ales că din ceea ce se ştie o
forţă apare icircn prezenţa a două corpuri ca urmare a principiului acţiunii şi reacţiunii
- să explice modul de distribuţie al forţelor interioare pe secţiune
Considerăm un corp aflat icircn echilibru sub acţiunea unui sistem de forţe exterioare
1 2 3⋯119894 ⋯ 119899minus1 119899 şi presupunem că-l secţionăm cu un plan transversal Q (sau cu
o suprafaţă oarecare) figura 210a Icircn urma secţionării fictive (imaginare) conform
principiului echilibrului părţilor fiecare din cele două părţi obţinute trebuie să fie icircn
echilibru sub acţiunea forţelor exterioare care le revin şi a cacircte unui sistem de forţe
interioare pe care trebuie să-l introducem icircn secţiunile rezultate sistem echivalent cu
acţiunea forţelor exterioare ce acţionează asupra celeilalte părţi Astfel pe partea din
dreapta (notată cu II) delimitată de secţiunea de arie Ad sunt aplicate forţele exterioare
119894 ⋯ 119899minus1 119899 şi un sistem de forţe interioare căruia nu i se cunoaşte decacirct efectul acelaşi
cu cel al forţelor 1 2 3 de pe parea din stacircnga (notată cu I şi delimitată de secţiunea
de arie As) figura 210b Prin metoda secţiunilor am reuşit să punem icircn evidenţă existenţa
forţelor interioare şi să le trecem icircn categoria celor exterioare cărora le putem aplica
relaţiile de echivalenţă şi de echilibru cunoscute din statică Ideal ar fi să cunoaştem
distribuţia şi intensitatea punctuală a acestor forţe pentru că s-ar putea ca icircn anumite
puncte ale secţiunii valoarea forţelor să depăşească limita de rezistenţă (limita de curgere)
a materialului Cunoaşterea distribuţiei punctuale a forţelor interioare nu se poate realiza
decacirct icircn cazuri particulare relativ simple de solicitare
Să considerăm partea din dreapta a corpului asupra căreia acționează forțele
119894 ⋯ 119899minus1 119899 mărginit de aria Ad pe care acționează un sistem de forțe interioare
echivalent cu 1 2 3 Deși forțele interioare de pe Ad nu se cunosc totuși efectul lor
este același cu cel al forțelor 1 2 3 deci le putem reduce icircn centrul de greutate C al
secțiunii Ad rezultacircnd componentele torsorului de reducere al forțelor interioare
(119894119889 119894119889) și pentru partea din stacircnga (119894119904 119894119904) Evident conform principiului acțiunii și
reacțiunii
119894119889 = minus119894119904
119894119889 = minus119894119904 (21)
Pe de altă parte cum fiecare dintre părțile corpului după secționare trebuie să fie
icircn echilibru sub acțiunea forțelor exterioare care le revin și a forțelor interioare introduse
rezultă
119894119889 = minus119890119889
119894119889 = minus119890119889
119894119904 = minus119890119889
119894119904 = minus119890119904 (22)
Combinacircnd (21) cu (22) rezultă
119894119889 = 119890119889
119894119889 = 119890119889
119894119904 = 119890119904
119894119904 = 119890119904 (23)
Fig 210 Forțe interioare
Relațiile (22) și (23) permit determinarea componentelor torsorului de reducere
al forțelor interioare din (23) rezultă componentele torsorului forțelor interioare care
acționează icircn secțiunea Ad sunt egale cu componentele torsorului de reducere al forțelor
exterioare de pe partea din stacircnga din (22) rezultă componentele torsorului forțelor
interioare care acționează icircn secțiunea Ad sunt egale și de sens contrar cu componentele
torsorului de reducere al forțelor exterioare de pe partea din dreapta
Observații
1 Torsorul forțelor interioare diferă de la o secțiune la alta dar pentru aceeași
secțiune el este unic și trebuie să respecte condițiile de compatibilitate a deformațiilor
2 Reducacircnd forțele interioare icircn centrul de greutate al secțiunii s-a făcut o
aproximare icircn ceea ce privește efectul modului de dispunere al forțelor
3 Punctul de reducere trebuie să fie
pentru forțele interioare normale la secțiune centrul de greutate
pentru forțele interioare tangente la planul secțiunii centrul de răsucire sau de
tăiere
243 Eforturi
Prin metoda secțiunilor am pus icircn evidență existența forțelor interioare și modul
icircn care se determină componentele torsorului de reducere al forțelor interioare (119894119889 119894119889) de pe fața din dreapta secțiunii (Ad) Cele două componente ale torsorului de reducere al
forțelor interioare de pe Ad se pot descompune după axele unui sistem de referință
triortogonal xCyz astfel
119894119889 = +
119894119889 = 119909 +119872119894 (24)
unde și 119909 sunt proiecțiile lui 119894119889 și respectiv 119894119889 pe axa longitudinală Cx a
barei iar și 119894 sunt proiecțiile acelorași componente 119894119889 și respectiv 119894119889 pe planul yCz
al secțiunii transversale Ad figura 211
Fig 211 Torsorul de reducere al forţelor interioare
La racircndul lor și 119894 se pot descompune după axele sistemului yCz figura 212
= 119910 + 119911
119894 = 119894119910 + 119894119911 (25)
Fig 212 Descompunerea forţei tăietoare şi a momentului icircncovoietor
Cele șase componente ale torsorului de reducere al forțelor interioare ( 119910 119911
119909 119894119910 119894119911) orientate după axele sistemului de referință xCyz se numesc eforturi
Fiecare efort are o denumire stabilită icircn funcție de tipul de deformație pe care-l produce
De asemenea semnul plus (bdquo+rdquo) sau minus (bdquondashrdquo) al fiecărui efort nu depinde de sensul
pozitiv sau negativ al sistemului de axe ci doar de efectul icircn deformații al fiecărui efort
Denumirile celor șase eforturi sunt
119873 este forța axială
119879119910 119879119911 sunt forțe tăietoare orientate după axele Cy și respectiv Cz
119872119909 notat de cele mai multe ori cu 119872119905 este moment de torsiune sau de răsucire
119872119894119911 119872119894119910 sunt momente de icircncovoiere icircn jurul axei Cz și respectiv Cy
Forța axială 119873 poate fi forță axială de icircntindere cacircnd produce o lungire a
tronsonului pe a cărei față acționează (119873 gt 0) figura 213a sau forță axială de
compresiune cacircnd sub efectul ei bara se scurtează (119873 lt 0) figura 213b
Fig 213 Forța axială
Forțele tăietoare 119879119910 și 119879119911 au ca efect lunecarea secțiunii icircn centrul căreia
acționează icircn raport cu secțiunea icircnvecinată lunecare ce se produce pe direcția și icircn sensul
forței Sub acțiunea unei forțe tăietoare bara este solicitată la forfecare Forța tăietoare
este pozitivă 119879119910 gt 0 dacă icircn raport cu un punct oarecare K de pe axa Cx a barei tinde să
rotească secțiunea pe care acționează icircn sens orar
Fig 214 Forța tăietoare
Momentele de icircncovoiere 119872119894119911 și 119872119894119910 au ca efect o rotire a secțiunii icircn centrul
cărora acționează icircn jurul axei după care sunt orientate Icircn figura 215a se vede că
datorită momentului 119872119894119911 fibrele de deasupra axei Cz se alungesc icircn timp ce fibrele de sub
axa Cz se scurtează Fibrele care trec prin axa de icircncovoiere Cz nu se deformează sunt
fibre neutre la icircncovoiere adică axa neutră este Cz Icircn cazul momentului de icircncovoiere
119872119894119910 fibrele care nu se deformează sunt cele care trec prin axa neutră la icircncovoiere Cy
Momentele de icircncovoiere se consideră a fi pozitive (119872119894119911 gt 0119872119894119910 gt 0) dacă
observatorul care privește bara deformată vizualizează fibrele icircntinse
Fig 215 Momentul icircncovoietor
Momentul de torsiune sau de răsucire 119872119909 equiv 119872119905 are ca efect o rotire a secțiunii
icircn al cărei centru acționează icircn jurul axei longitudinale Cx Ca efect secțiunea icircși schimbă
forma (se deformează) adică unghiurile inițiale se modifică dreptunghiul inițial Ad
devine paralelogram Convențional se consideră 119872119905 gt 0 dacă vectorul moment are
aceeași orientare ca și sensul pozitiv ales pextru axa Cx Icircn figura 216 momentul este
negativ
Fig 216 Momentul de torsiune
25 Definiții și convenții de semne pentru eforturile
din secțiunile unei bare drepte plane icircncărcate cu sarcini coplanare
Vom considera o bară plană icircncărcată cu un sistem de forțe arbitrar figura 217
Ne propunem să determinăm eforturile care apar icircn secțiunea barei aflată la distanța 119909 de
reazemul din stacircnga (A)
Pentru aceasta vom aplica metoda secțiunilor vom secționa bara cu un plan
perpendicular pe axa longitudinală a barei și vom analiza doar partea din dreapta secțiunii
mărginită de fața Ad Pentru ca această porțiune de bară să fie icircn echilibru sub acțiunea
forțelor exterioare care acționează asupra sa 1198653 și 119881119861 va trebui să introducem icircn centrul
secțiunii Ad eforturile care pot să apară 119873 119879119910 119872119894119911 Acțiunea acestor eforturi trebuie să
fie echivalentă cu acțiunea forțelor exterioare aplicate pe partea icircnlăturată (parcursă) a
barei 119867119860 119881119860 1198651 1198652 1198720
Deoarece bara este plană și este icircncărcată doar cu sarcini ce aparțin
planului barei
icircn secțiunea Ad apar doar 3 componente ale torsorului de reducere al forțelor
interioare (eforturi)
- 119873 = forța axială
- 119879119910 = forța tăietoare pe care o vom nota cu 119879
- 119872119894119911 = momentul icircncovoietor notat cu Mi
Fig 217 Bară plană icircncărcată cu un sistem de forțe
Vom prezenta următoarele definiții corespunzătoare eforturilor din secțiunea Ad
119873 = forța axială dintr-o secțiune este egală cu suma algebrică a proiecțiilor pe
axa longitudinală a tuturor forțelor exterioare (sarcini și reacțiuni) aplicate pe partea
din stacircnga secțiunii adică pe porțiunea parcursă Forța axială 119873 este pozitivă dacă trage
de tronsonul pe a cărei față acționează (are orientarea normalei exterioare la secțiunea
Ad)
119873(119909) = minus119867119860 + 1198651119867 (26)
119879 = forța tăietoare icircntr-o secțiune este egală cu suma algebrică a proiecțiilor
pe o axă perpendiculară pe axa barei a tuturor forțelor exterioare (sarcini și reacțiuni)
aplicate pe porțiunea de bară aflată icircn stacircnga secțiunii considerate Forța tăietoare 119879
este pozitivă dacă tinde să rotească tronsonul pe a cărui față acționează icircn sens orar icircn
raport cu un punct de pe axa barei aflat la dreapta secțiunii
119879(119909) = 119881119860 minus 1198651119881 minus 1198652 (27)
119872119894 = momentul icircncovoietor icircntr-o secțiune este egal cu suma algebrică a
momentelor obținute prin reducerea tuturor forțelor exterioare ( cupluri sarcini
reacțiuni) aplicate pe porțiunea de bară aflată la stacircnga secțiunii icircn centrul secțiunii
considerate 119872119894 este considerat pozitiv dacă tinde să deformeze bara astfel icircncacirct fibrele
spre care privește un observator să fie icircntinse Cum poziția observatorului este de regulă
sub bară bara se deformează dacă 119872119894 gt 0 astfel icircncacirct partea jos a barei este icircntinsă Se
spune că bara deformată rdquoține apaldquo
119872119894(119909) = 119881119860 ∙ 119909 minus 1198651119881 ∙ (119909 minus 1198971) minus 1198652 ∙ [119909 minus (1198971 + 1198972)] + 1198720 (28)
Sensurile pozitive ale eforturilor care apar icircn centrul secțiunii Ad (deci atunci cacircnd
sensul de parcurs la aplicarea metodei secțiunilor este cel de la stacircnga la dreapta) sunt
indicate icircn figura 218a iar dacă sensul de parcurs este de la dreapta la stacircnga sensurile
pozitive ale eforturilor sunt indicate icircn figura 218b
Fig 218 Convenţia de semne
Definiții asemănătoare se pot da și pentru eforturile din centrul secțiunii As figura
218b adică pentru cazul icircn care sensul de parcurs este cel de la dreapta la stacircnga și deci
partea luată icircn considerare este cea din stacircnga iar partea parcursă din dreapta secțiunii
este icircnlăturată
119873(1199091) = 1198653119867
119879(1199091) = 1198653119881 minus 119881119861
119872119894(1199091) = 119881119861 ∙ 1199091 minus 1198653119881 ∙ (1199091 minus 1198975)
(29)
Avacircnd icircn vedere că fețele Ad și As aparțin aceleeași secțiuni este evident faptul că
eforturile 119873(119909) 119879(119909) și 119872119894(119909) sunt identice cu eforturile 119873(119961120783) 119879(119961120783) și respectiv
119872119894(119961120783) Icircn figura 218c se prezintă o sinteză a convențiilor de semne pozitive pentru cele
3 eforturi atacirct pentru sensul de parcurs de la stacircnga la dreapta (secțiunea Ad) cacirct și pentru
sensul invers (secțiunea As)
Semnele eforturilor sunt importante icircntrucacirct există materiale cu comportări diferite
la icircntindere față de compresiune iar o schimbare a semnului unui efort poate produce
erori grave icircn calcule Semnele eforturilor au fost stabilite icircn funcție de deformațiile
produse și nu depind de sensul axelor sistemului de coordonate
26 Relaţii diferenţiale icircntre eforturi şi sarcini
Pentru a vedea ce legătură există icircntre eforturi și sarcini vom considera o bară
dreaptă icircncărcată cu o sarcină distribuită după o lege oarecare figura 219a Din această
bară vom decupa prin dublă secționare un element de lungime infinit mică 119889119909 Deoarece
lungimea 119889119909 este foarte mică se poate considera sarcina 119901 uniform distribuită Icircn
secțiunile rezultate trebuie să introducem eforturile care pot apărea
- 119879 şi 119872119894 icircn centrul secțiunii din sticircnga eforturi pe care le considerăm pozitive
- 119879 + 119889119879 şi 119872119894 + 119889119872119894 icircn centrul secțiunii din dreapta elementului
Aceste eforturi au o variație mică (119889119879 şi 119889119872119894) față de secțiunea anterioară Spre
deosebire de cazul icircn care bara este secționată o singură dată icircn acest caz eforturile nu
pot fi determinate din cele 2 condiții de echilibru independente deoarece icircn ecuațiile de
echilibru apar 4 necunoscute 119879 119889119879119872119894 și 119889119872119894 deci că problema este dublu static
nedeterminată figura 219
Fig 219 Echivalența icircntre eforturi și sarcini
Ecuațiile de echilibru scrise pentru elementul din figura 219b conduc la stabilirea
unor relaţii foarte importante
(sum119865)119910= 0 hArr 119879 minus 119901 ∙ 119889119909 minus (119879 + 119889119879) = 0 rArr
119889119879
119889119909= minus119901 (210)
Relația (210) arată că derivata funcţiei forţei tăietoare icircn raport cu abscisa
secţiunii este egală cu sarcina distribuită normală la axa barei din acea secţiune luată
cu semn schimbat
Observații
dacă 119901 = 0 nu există sarcină distribuită atunci forța tăietoare T este constantă
icircnclinarea pantei diagramei forței 119879 este egală cu (ndash 119901) (sarcina distribuită cu
semn schimbat)
dacă 119901 = 119888119900119899119904119905 119879 variază liniar pe acel interval
Asemănător se deduce că derivata funcţiei forţei axiale icircn raport cu abscisa
secţiunii este egală cu sarcina distribuită axială din acea secţiune luată cu semn
schimbat adică
119889119873
119889119909= minus119901119867 (211)
Din condiția de echilibru suma de momente faţă de centrul de greutate al secţiunii
din dreapta
(sum119872)119862= 0 hArr 119872119894 minus (119872 + 119889119872119894) + 119879 ∙ 119889119909 minus 119901 ∙
(119889119909)2
2= 0 rArr
119889119872119894
119889119909= 119879 (212)
Relația (212) s-a obținut dupa reducerea termenilor și prin neglijarea infinitului
mic de ordinul 2
119901 ∙(119889119909)2
2
Relația (212) arată că derivata funcţiei moment icircncovoietor icircn raport cu abscisa
secţiunii este egală cu forţa tăietoare din acea secţiune
Observații
dacă 119879 = 0 momentul 119872119894 are un punct de extrem se obține o valoare maximă
pentru 119872119894119898119886119909 dacă forța tăietoare 119879 se anulează trecacircnd de la plus icircn stacircnga la minus icircn
dreapta secțiunii
dacă forța tăietoare este pozitivă pe un interval 119879 gt 0 atunci 119872119894 este crescătoare
pe acel interval
dacă forța tăietoare este negativă pe un interval 119879 lt 0 atunci 119872119894 este
descrescătoare pe acel interval
dacă pe un interval 119901 = 0 forța tăietoare este constantă 119879 = 119888119905 iar 119872119894 variază
liniar pe acel interval
dacă 119901 = 119888119900119899119904119905 119879 variază liniar pe acel interval iar 119872119894 variază parabolic pe
acel interval
Relaţiile diferenţiale sunt utile la reprezentarea corectă şi verificarea diagramelor
de eforturi astfel
pentru porţiunile de grindă pe care p = 0 eforturile N şi T sunt constante iar pe
porţiunile cu p = const eforturile N şi T variază liniar (relaţiile 211 şi 210)
dacă pe o porţiune T = const momentul icircncovoietor Miz variază liniar iar dacă
T variază liniar atunci momentul Miz variază parabolic (relaţia 212)
pe domeniile pe care T gt 0 funcţia Mi(x) este crescătoare iar icircn secţiunea icircn
care T = 0 (graficul funcţiei T intersectează axa x) momentul icircncovoietor are un punct
de extrem local (maxim sau minim relaţia 212)
Pentru rezolvarea problemelor referitoare la trasarea diagramelor de eforturi
pentru barele drepte solicitate de sisteme de forţe plane se parcurg următoarele etape
1) identificarea forţelor aplicate (date) şi pregătirea lor pentru calcule
(descompunerea forţelor concentrate pe direcţiile x şi y calculul rezultantelor forţelor
distribuite)
2) identificarea reazemelor şi introducerea reacţiunilor corespunzătoare (vezi
figurile 27divide29)
3) stabilirea ecuaţiilor de echilibru static calculul şi verificarea reacţiunilor Icircn
rezistența materialelor se folosește sistemul de ecuații (vezi figura 217)
(sum119865)
119909= 0
(sum119872)119860= 0
(sum119872)119861= 0
(213)
4) identificarea domeniilor de variaţie şi scrierea funcţiilor de eforturi pentru N T
şi Mi
5) reprezentarea grafică a diagramelor de eforturi
6) verificarea corectitudinii diagramelor pe baza relaţiilor diferenţiale icircntre eforturi
şi sarcini
Aplicație Pentru grinda dreaptă icircncărcată cu sistemul de forţe reprezentat icircn figura
220 se cere
a) să se calculeze şi să se verifice reacţiunile
b) să se stabilească funcţiile eforturilor Nx Ty şi Miz şi să se reprezinte diagramele
de variaţie
c) să se analizeze relaţiile diferenţiale icircntre eforturi şi sarcini
Dimensiunile grinzii au valorile a = 6 [m] b = 4 [m] și c = 4[m] sistemul de
forţe aplicat fiind format din p = 10 [kN mfrasl ] F = 20 [kN] (icircnclinată cu unghiul α =300 faţă de orizontală) şi M0 = 40 [kN ∙ m]
Rezolvare
a) Se fac următoarele precizări
grinda dreaptă se reprezintă prin axa geometrică
forţa icircnclinată F se descompune după direcţiile orizontală şi verticală icircn FV =F ∙ sin α = 10 [kN] şi FH = F ∙ cos α = 173 [kN]
forţa distribuită uniform p este echivalentă din punct de vedere static cu
rezultanta sa R = p ∙ a = 60 [kN] care acţionează la jumătatea porţiunii de lungime a
icircn reazemele 119860 şi 119861 se introduc componentele HA şi VA respectiv VB ale
reacţiunilor
Pentru calculul reacţiunilor se utilizează ecuaţiile de echilibru static al grinzii
sumXi = 0 HA minus FH = 0 sumYi = 0 VA + VB minus R minus FV = 0 (sumM)B = 0 VA ∙ (b + a) minus R ∙ (b + 05 ∙ a) minus M0 + FV ∙ c = 0
(A1)
Din prima ecuaţie se obţine HA iar din cea de-a treia ecuaţie rezultă VA
HA = FH = 173 [kN]
VA =[R ∙ (b + 05 ∙ a) + M0 minus FV ∙ c]
(b + a)=[60 ∙ (4 + 05 ∙ 6) + 40 minus 10 ∙ 4]
(4 + 6)
VA = 42 [kN]
(A2)
Fig 220 Aplicație
Se observă că cea de-a doua ecuaţie de echilibru conţine două necunoscute
reacţiunile VA şi VB Pentru a calcula componenta VB nu este indicată introducerea lui VA
icircn cea de-a doua ecuaţie a sistemului (A1) pentru că o valoare determinată greşit pentru
VA conduce la o valoare VB de asemenea greşită O ecuaţie independentă din care se poate
determina componenta VB este următoarea
(sumM)A= 0 FV ∙ (a + b + c) minus VB ∙ (a + b) minus M0 + R ∙ 05 ∙ a = 0 (A3)
de unde se obţine
VB =[FV ∙ (a + b + c) minusM0 + R ∙ 05 ∙ a]
(b + a)=[10 ∙ (6 + 4 + 4) minus 40 + 60 ∙ 05 ∙ 6]
(6 + 4)
VB = 28 [kN] (A4)
Ecuaţia de proiecţii ale forţelor pe direcţia verticală (a doua ecuaţie din sistemul
A1) se utilizează pentru verificarea reacţiunilor deja determinate
VA + VB minus R minus FV = 0 rArr 42 + 28 minus 60 minus 10 = 0 (A5)
Ultima egalitate demonstrează că reacţiunile verticale au fost calculate corect
Din cele de mai sus rezultă ordinea firească pentru determinarea reacţiunilor icircn
cazul grinzilor simplu rezemate
sumXi = 0
(sumM)A = 0
(sumM)B = 0
(A6)
iar pentru verificarea componentelor verticale VA şi VB se folosește ecuaţia sumY = 0
b) La stabilirea funcţiilor de eforturi se parcurg icircn general etapele următoare
se notează (numeric sau literal după preferinţă) secţiunile care delimitează
domeniile (intervalele sau tronsoanele) pe care eforturile nu-şi modifică funcţiile (au legi
unice de variaţie)
pe fiecare domeniu se marchează secţiunea imaginară icircn care se stabilesc
funcţiile eforturilor
secţiunea astfel aleasă separă icircn două părţi grinda şi anume porţiunea din stacircnga
şi porţiunea din dreapta secţiunii
se va considera parcursă (şi icircndepărtată) acea parte pe care acţionează mai puţine
sarcini exterioare pentru că acestea vor interveni icircn expresiile funcţiilor de eforturi
poziţiile secţiunilor imaginare se vor determina prin variabilele x1 ⋯ xn (unde
n reprezintă numărul domeniilor de variaţie) cu originea fixată icircn capătul intervalului şi
sensul de parcurgere spre partea considerată rămasă
Grinda prezentată icircn figura 220 are trei domenii de variaţie pentru funcţiile de
eforturi după cum urmează (A-1) (2-B) şi (B-1)
Domeniul (A-1) x1 isin [0 a = 6 m] Porţiunea parcursă şi considerată icircndepărtată este cea de coordonată x1 pe care
acţionează reacţiunile HA şi VA precum şi rezultanta parţială a sarcinii distribuite R1 =p ∙ x1
Funcţia forţă axială Nx are expresia
Nx(x1) = NAminus1 = minusHA = minus173 [kN] = const
(A7)
Funcţia forţă tăietoare Ty are exspresia
Ty(x1) = TAminus1 = VA minus R1 = VA minus p ∙ x1 (A8)
care reprezintă o variaţie liniară de variabilă x1 Se calculează valorile forţei tăietoare la
limitele intervalului de variaţie
- pentru x1 = 0 Ty(x1 = 0) = TA = VA = 42 [kN]
- pentru x1 = a = 6 [m] Ty(x1 = 6) = T1 = VA minus p ∙ a = minus18 [kN]
Observaţie Aşa cum a fost stabilită secţiunea fictivă poziţionată prin coordonata
x1 sar părea că rezultanta R ar trebui luată icircn calculul lui Ty(x1) Acest lucru ar fi greşit
pentru că R = p ∙ a reprezintă rezultanta sarcinii distribuite pe toată lungimea a iar
rezultanta pe porţiunea parcursă de lungime x1 este R1 = p ∙ x1 ne R = p ∙ a
Cu valorile obţinute se trasează diagramele forţelor axială Nx = f(x) şi tăietoare
Ty = f(x) figura 220 Din diagrama forţei tăietoare şi din valorile obţinute analitic se
observă că forţa tăietoare icircşi schimbă semnul pe intervalul analizat deci se anulează pe
acest interval Poziţia secţiunii unde Ty se anulează se determină din ecuaţia
Ty(x1) = 0 rArr VA minus p ∙ x1 = 0 (A9)
cu soluţia x1lowast = ξ = 42 [m] Important de reamintit că icircn această secţiune momentul
icircncovoietor va avea un extrem local adică Miz are un extrem la Ty = 0
Funcţia moment icircncovoietor Miz are expresia
Miz(x1) = VA ∙ x1 minus R1 ∙x12= VA ∙ x1 minus (p ∙ x1) ∙
x12
(A10)
Se observă că funcţia moment icircncovoietor de variabilă x1 are o variaţie parabolică
(gradul al II-lea) Pentru reprezentarea grafică a funcţiei parabolice se calculează valorile
momentului icircncovoietor icircn trei secţiuni
- pentru x1 = 0 Miz(x1 = 0) = MA = 0 [kN ∙ m] - pentru x1 = a = 6 [m] Miz(x1 = 6) = M1 = 72 [kN ∙ m] - pentru x1
lowast = ξ = 42 [m] Miz(x1lowast = ξ = 42 [m]) = Mimax = 882 [kN ∙ m]
Cu acestea se trasează diagrama Miz = f(x) pe intervalul (A-1) figura 220
Observaţie Icircn unele cazuri pe un anumit interval forţa tăietoare nu se anulează
şi momentul icircncovoietor nu are un extrem local Icircn acest caz pentru reprezentarea
variaţiei parabolice a momentului icircncovoietor se va studia semnul derivatei a doua a
funcţiei Miz = f(x1) acesta determinacircnd convexitatea curbei momentului icircncovoietor
Domeniul (2-B) x2 isin [0 c = 4 m] Porţiunile din grindă libere (nerezemate) la un capăt se numesc console iar
stabilirea funcţiilor de eforturi devine mai simplă dacă se consideră icircndepărtată partea din
dreapta secţiunii prin schimbarea sensului pozitiv al axei x Astfel se obţin funcţiile eforturilor
Funcţia forţă axială Nx are expresia
Nx(x2) = N2minusB = minusFH = minus173 [kN] = const
(A11)
Funcţia forţă tăietoare Ty are exspresia
Ty(x2) = T2minusB = FV = 10 [kN] = const (A12)
Funcţia moment icircncovoietor Miz are expresia
Miz(x2) = minusFV ∙ x2 rArr Miz(x2 = 0) = M2 = 0 [kN ∙ m]
Miz(x2 = 4) = MB = minus40 [kN ∙ m] (A13)
variaţie liniară (gradul I)
Domeniul (B-1) x3 isin [0 b = 4 m] Pe acest domeniu se acceptă parcurgerea grinzii de la dreapta adică se consideră
icircndepărtată partea din dreapta secţiunii fictive pentru că are doar două sarcini aplicate F
şi VB faţă de partea din stacircnga secţiunii pe care sunt aplicate trei sarcini p VA şi M0
Astfel se obţin funcţiile eforturilor
Funcţia forţă axială Nx are expresia
Nx(x3) = NBminus1 = minusFH = minus173 [kN] = const
(A14)
Funcţia forţă tăietoare Ty are exspresia
Ty(x3) = TBminus1 = FV minus VB = minus18 [kN] = const (A15)
Funcţia moment icircncovoietor Miz are expresia
Miz(x3) = minusFV ∙ (x3 + c) + VB ∙ x3 rArr
rArr Miz(x3 = 0) = MB = minus40 [kN ∙ m]
Miz(x3 = 4) = M1 = 32 [kN ∙ m]
(A16)
variaţie liniară (gradul I)
Diagramele eforturilor sunt prezentate icircn figura 220
c) Relaţiile diferenţiale dintre eforturi şi sarcini se analizează pe diagramele
eforturilor după cum urmează
sarcina distribuită nu are componentă orizontală adică ph = 0 şi icircn
conformitate cu formula (211) rezultă că Nx = const pe toată lungimea grinzii fapt care
a rezultat din funcţia şi reprezentarea diagramei forţei axiale
pe intervalul (A-1) sarcina distribuită are doar componenta verticală pozitivă
pV = p gt 0 prin urmare forţa tăietoare scade (are panta negativă dTy 119889119909frasl = minusp vezi
relaţia 210) iar momentul icircncovoietor avacircnd derivata a doua negativă d2M119894119911 1198891199092frasl =minuspare convexitatea curbei orientată spre sensul pozitiv al axei momentului Miz adică icircn
jos
pe domeniile (2-B) şi (B-1) deoarece pv = 0 forţa tăietoare Ty este constantă
iar momentul icircncovoietor Miz variază liniar
referitor la relaţia (212) pe porţiunile unde Ty gt 0 momentul Miz este
monoton crescător pe porţiunile unde Ty lt 0 momentul Miz este monoton descrescător
iar icircn secţiunea icircn care Ty = 0 momentul icircncovoietor are un extrem local Mξ =
882 [kN ∙ m] icircn diagrama forţei tăietoare discontinuităţile (salturile) se produc icircn secţiunile
unde acţionează VA VB şi FV iar icircn diagrama momentului icircncovoietor se produce un
singur salt icircn secţiunea icircn care este aplicat M0
se poate scrie
Mξ = suprafața diagramei Ty |ξ0=1
2∙ 42 ∙ 42 = 882 [kN ∙ m]
sau parcurgacircnd grinda de la dreapta la stacircnga rezultă
MB = minussuprafața diagramei Ty |c0= minus10 ∙ 4 = minus40 [kN ∙ m]
Toate aspectele analizate teoretic referitoare la relaţiile diferenţiale dintre eforturi
şi sarcini se regăsesc icircn diagramele de eforturi din figura 220 ceea ce icircnseamnă că
diagramele au fost reprezentate corect
3 TENSIUNI DEPLASĂRI ŞI DEFORMAŢII SPECIFICE
31 Tensiuni
Eforturile obținute icircn urma reducerii forțelor interioare icircn centrul de greutate al
secțiunii nu pot da informații asupra solicitării fiecărui punct al secțiunii respective Este
necesar să se cunoască modul cum se distribuie forțele interioare icircn fiecare punct al
secțiunii pentru a ști care este intensitatea maximă a solicitării Această intensitate
maximă se poate compara cu o valoare critică specifică materialului stabilindu-se astfel
dacă solicitarea este periculoasă sau nu
Mărimea care caracterizează solicitarea locală punctuală o vom denumi tensiune
și o vom defini icircn cele ce urmează Să considerăm partea din dreapta a unui corp solicitat
de forțele exterioare 1198651 1198652 și 1198653 obținută prin secționarea corpului și mărginită de fața
din dreapta Ad a secțiunii Pe secțiunea Ad vom considera un element de arie infinit mic
∆119860 caracterizat de normala la elementul de arie normală care are cosinușii directori
120573 și icircn raport cu un sistem de axe considerat fix Pe elementul infinit mic ∆119860 acționează
forțele interioare care au o rezultantă oarecare figura 31
Prin definiție tensiunea totală este
= lim∆119860rarr0
∆
∆119860 (31)
Tensiunea are aceeaşi direcţie cu forţa elementară ∆ iar mărimea ei este
determinată atacirct de mărimea forţei ∆ cacirct şi de orientarea suprafeţei ∆119860 faţă de direcţia
forţei
Tensiunea 119901 poate fi descompusă icircntr-o componentă orientată după direcţia
normalei la secţiune tensiunea normală notată cu 120590119909 şi o componentă icircn planul secţiunii
tensiunea tangenţială notată cu figura 32
= 119909 + 120591 (32)
Fig 31 Tensiunea totală Fig 32 Tensiunea normală și tangențială
La racircndul ei componenta tensiunii cuprinsă icircn planul secțiunii poate fi
descompusă după direcțiile axelor y și z
120591 = 120591119909119910 + 120591119909119911 (33)
Icircntre cele trei componente ale tensiunii totale care acționează pe elementul de arie
∆119860 este valabilă relația
1199012 = 1205901199092 + 120591119909119910
2 + 1205911199091199112 (34)
După sensul pe care icircl are tensiunea normală 120590 poate avea efect de tracţiune sau
de compresiune exercitat de către partea de corp icircnlăturată asupra părţii rămase Analog
tensiunea tangenţială 120591 poate avea efect de tăiere forfecare sau alunecare Pentru
componentele tensiunii tangențiale 120591119909119910 pe direcţia 119910 respectiv 120591119909119911 pe direcţia 119911 primul
indice indică axa pe care tensiunea este normală iar cel de-al doilea indice indică axa cu
care aceasta este paralel
Tensiunea este o mărime tensorială valoarea ei depinzacircnd atacirct de poziția
punctului icircn planul secțiunii cicirct și de orientarea planului de secționare deci de normala
Operaţiile vectoriale nu pot fi aplicate tensiunilor decacirct după ce acestea au fost icircnmulţite
cu ariile respective adică au fost transformate icircn forţe
Icircn literatura de specialitate mai ales icircn manualele mai vechi pentru noţiunea de
tensiune se mai foloseşte şi denumirea de efort specific
Dacă se consideră un alt element de arie ∆119860 cu centrul icircn același punct avacircnd ca
normală axa 119910 se vor obține alte tensiuni și anume
- 120590119910 este tensiunea normală (paralelă cu axa y)
- 120591119911119909 și 120591119910119911 sunt tensiuni tangențiale paralele cu axele 119909 și respectiv 119911 aflate icircn
planul care are ca normală axa 119910
Dacă icircn jurul unui punct dintr-un corp solicitat se consider un element de volum
infinit mic de forma unui cub icircn cazul cel mai general pe fețele sale vor acționa
tensiunile normale 120590119909 120590119910 și 120590119911 și respectiv tensiunile tangențiale 120591119909119910 120591119909119911 120591119910119909 120591119910119911 120591119911119909
și respectiv 120591119911119910 figura 33 Aceste tensiuni definesc starea de tensiune a punctului
observacircnd faptul că tensorul tensiune are 9 componente Dacă se consideră elementul
de volum finit ca fiind foarte mic se poate presupune că icircn interiorul său nu apar forțe
Ca urmare el va fi icircn echilibru sub acțiunea forțelor elementare produse de tensiunile de
pe fețele sale
Din condiția ca elementul să nu se rotească icircn jurul unor axe care trec prin centrul
său și sunt paralele cu axele sistemului 119909119874119910119911 rezultă
2 ∙ 120591119909119910 ∙ (119889119910 ∙ 119889119911) ∙119889119909
2= 2 ∙ 120591119910119909 ∙ (119889119909 ∙ 119889119911) ∙
119889119910
2 rArr 120591119909119910 = 120591119910119909 (35)
2 ∙ 120591119910119911 ∙ (119889119909 ∙ 119889119911) ∙119889119910
2= 2 ∙ 120591119911119910 ∙ (119889119909 ∙ 119889119910) ∙
119889119911
2 rArr 120591119910119911 = 120591119911119910 (36)
2 ∙ 120591119909119911 ∙ (119889119910 ∙ 119889119911) ∙119889119909
2= 2 ∙ 120591119911119909 ∙ (119889119909 ∙ 119889119910) ∙
119889119911
2 rArr 120591119909119911 = 120591119911119909 (37)
Relațiile (35divide37) 120591119909119910 = 120591119910119909 120591119910119911 = 120591119911119910 120591119909119911 = 120591119911119909 exprimă principiul dualității
tensiunilor tangențiale
Fig 33 Tensiunile normale și tangențiale pe fețele unui cub
Din condiția ca elementul considerat să nu se deplaseze icircn lungul axelor de
coordonate pe fețele opuse acționează aceleași tensiuni normale 120590119909 120590119910 și respectiv 120590119911
Definirea tensorului tensiune este posibilă dacă se cunosc cele 6 componente
independente ale acestuia aflate icircn trei plane perpendicular ce trec prin punctul respectiv
=
120590119909 120591119909119910 120591119909119911120591119910119909 120590119910 120591119910119911120591119911119909 120591119911119910 120590119911
Observaţii
Tensiunile se măsoară icircn [119873 1198982frasl ] (1119873 1198982frasl = 1 119875119886) sau icircn [119872119875119886]
(1 119872119875119886 = 106119875119886 = 106 119873
1198982 1 119872119875119886 = 1
119873
1198981198982)
Starea de tensiune dintr-un punct este considerată cunoscută dacă se cunosc
tensiunile 119901 care acționează pe infinitatea de elemente de suprafață ce trec prin punctual
considerat
Starea de tensiune a unui corp se consider cunoscută dacă se cunosc stările de
tensiune de pe infinitatea de puncte ale corpului considerat
32 Deplasări Deformaţii specifice
321 Deplasări
Aceste noțiuni sunt utile icircn analiza aspectului geometric al problemelor de rezistența
materialelor Deplasările care se analizează sunt cele datorate schimbării formei și
dimensiunilor corpurilor ca urmare a acțiunii forțelor exterioare și nu cele cinematice
posibile pentru solidul rigid care se poate deplasa cu anumită viteză și accelerație
Spre exemplu icircn figura 34a și figura 34b sub acțiunea forței 119865 tronsonul de
bară AB se deformează icircn timp ce tronsonul BC deși punctele sale au deplasări rămacircne
nedeformat (fiind nesolicitat) Toate punctele de pe axele barelor cu excepția celor din
icircncastrare (secțiunile A) au deplasări liniare De cele mai multe ori deformațiile barelor
datorate acțiunii forțelor exterioare se anulează la icircndepărtarea forțelor se spune că
deformațiile sunt elastice Secțiunile transversale ale barei din figura 34a se și rotesc icircn
raport cu pozițiile lor inițiale Spre exemplu secțiunea de căpăt cu centrul icircn C se rotește
cu unghiul
Fig 34 Deformațiile unei grinzi
Oricacirct de complexă ar fi delormația unui corp ea poate fi descrisă de lungiri sau
scurtări și de modificări ale unghiurilor inițiale
Deplasările măsoară schimbarea poziției unui punct al corpului și pot fi liniare
sau unghiulare
Prin deplasare liniară a unui punct se icircnțelege drumul parcurs de acest punct icircn
decursul procesului de deformație după o dreaptă suport dreapta 1198611198611 din figura 34a
Prin deplasare unghiulară se icircnțelege rotirea dintre segmentele de dreaptă
determinate de două puncte ale corpului icircnainte și după deformarea acestuia unghiul
pe care-l fac segmentele 119861119862 și 11986111198621 din figura 34a Această rotire se măsoară prin
unghiul pe care-l fac proiecțiile dreptelor ce conțin cele două segmente icircntr-un sistem
triortogonal
Icircn cazul cel mai general vectorul deplasare liniară se poate descompune icircntr-un
sistem triortogonal icircn trei componente 119906 119907 și 119908 figura 35
Fig 35 Deplasarea liniară
Se consideră acum un corp solid raportat la un sistem de axe ortogonal 119909119874119910119911
figura 35 după deformarea corpului un punct oarecare 119870 al acestuia se deplasează icircn
poziţia 1198701 vectorul 1198701198701 poartă numele de vectorul deplasării totale
Deplasarea totală este suma deplasărilor pe cele trei direcţii ortogonale iar
aceste deplasări se notează astfel
deplasarea pe direcţia 119909 cu ∥ 119874119909
deplasarea pe direcţia 119910 cu ∥ 119874119910
deplasarea pe direcţia 119911 cu ∥ 119874119911
Componentele deplasărilor și formeză matricea deplasărilor liniare 119906119907119908
322 Deformații
Prin deformație icircn general se icircnțelege orice schimbare de formă a unui corp fără
o evaluare cantitativă Icircn Rezistența Materialelor deformația măsoară variația
dimensiunilor geometrice ale corpului considerat din vecinătatea unui punct analog
deplasărilor deformațiile pot fi liniare și unghiulare (lunecări)
Fig 36 Deplasarea liniară
Deformația liniară ∆119897 reprezintă variația lungimii 119897 a unui element liniar al
corpului deformat figura 36 Deformația liniară specifică se definește ca fiind raportul
dintre deformația liniară și lungimea inițială
휀 =∆119897
119897 (38)
unde ∆119897 este lungirea sau scurtarea care este echivalentă cu deformția liniară totală iar
este alungirea
Deformația unghiulară sau lunecarea unui punct 119860 icircn planul 119861119860119862 se definește
prin relația figura 37
120574 = lim119861119860rarr0119862119860rarr0
(119861119860 minus 119861111986011198621 ) (39)
Fig 36 Deformația unghiulară
Schimbacircnd orientarea planului care trece prin 119860 se obțin alte deformații
unghiulare Dacă elementele liniare 119861119860 și 119862119860 sunt inițial perpendiculare deformația 120574 se
numește deformație unghiulară specifică sau lunecare specifică figura 37
Un exemplu de deplasare unghiulară și de deformație unghiulară este prezentat icircn
figura 38 Unghiul este deplasarea unghiulară și măsoară rotirea relativă dintre două
secțiuni aflate la distanța 119897 Unghiul este deformația specifică unghiulară (lunecarea
specifică) din punctul 119870 Aceste deplasări și deformații se obțin icircn urma solicitării barei
de către cele două momente 1198720 egale și de sens contrar
Fig 38 Deplasarea unghiulară
Pentru a analiza starea de deformație din vecinătatea unui punct al unui corp
solicitat complex se decupează din jurul punctului un element de volum mic figura 39a
avacircnd laturile 119889119909 119889119910 și 119889119911 Ca urmare a solicitării laturile acestuia se vor lungi sau
scurta Reprezentarea elementului deformat icircn spațiu este dificilă pentru simplificare
vom analiza doar deformațiile din planul 119909119874119910 Observăm că dimensiunile 119889119909 și 119889119910 s-au
modificat cu valoarea ∆119889119909 respectiv cu ∆119889119910 analog se acceptă și pentru 119889119911 o modificare
de forma ∆119889119911 Astfel se pot defini deformațiile specifice liniare
휀119909 =∆119889119909
119889119909 휀119910 =
∆119889119910
119889119910 휀119911 =
∆119889119911
119889119911 (310)
De cele mai multe ori aceste deformații specifice liniare se pot exprima procentual
și se mai numesc alungiri
Fig 39 Starea de deformație
Icircn figura 39c se vede că unghiul inițial drept dintre muchiile 119889119909 și 119889119910 ale
elementului de volum s-a modificat Se definește deformația specifică unghiulară (sau
lunecarea specifică) mărimea cu care se modifică unghiul inițial drept
120574119909119910 = 120574119909119910prime + 120574119910119909
prime = 120574119910119909120574119910119911 = 120574119910119911
prime + 120574119911119910prime = 120574119911119910
120574119911119909 = 120574119911119909prime + 120574119909119911
prime = 120574119909119911
(311)
Deformațiile 휀119909 휀119910 휀119911 120574119909119910 120574119910119911 120574119911119909 constituie cele șase componente
independente ale tensorului deformațiilor specifice care pot fi scrise de forma
119863 =
휀119909 120574119909119910 120574119909119911120574119910119909 휀119910 120574119910119911120574119911119909 120574119911119910 휀119911
(312)
323 Contracţia transversală
Practica arată că odată cu lungirea unei bare apare o micşorare a mărimii secţiunii
transversale mărime numită contracţie transversală figura 310
Fig 310 Contracția transversală
Contracţia transversală este proporţională cu lungirea specifică coeficientul de
proporţionalitate se notează cu 120599 şi se numeşte coeficient de contracţie transversală sau
coeficientul lui Poisson
La o lungire specifică a barei contracţia transversală este dată de relația
휀119905119903 = 휀119910 = 휀119911 = minus120599 ∙ 휀119909 (313)
Semnul minus bdquo-rdquo arată că cele două mărimi sunt contrare dacă una creşte cealaltă
scade şi invers
Considerăm o bară cilindrică de lungime 119897 şi aria secţiunii transversale 119860 solicitată
la icircntindere axială La un moment dat datorită solicitării lungimea barei devine
[119897 ∙ (1 + 휀)] diametrul devine [119889 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)] iar aria secţiunii transversale devine
[119860 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)2] Dacă volumul barei icircnainte de solicitare a fost (119860 ∙ 119897) după solicitare
acesta devine
119881 + ∆119881 = 119860 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)2 ∙ 119897 ∙ (1 + 휀) =
= 119860 ∙ 119897 ∙ (1 + 휀 minus 2 ∙ 120599 ∙ 휀 minus 2 ∙ 120599 ∙ 휀2 + 1205992 ∙ 휀2 + 1205992 ∙ 휀3) (314)
Deoarece lungirile sunt foarte mici ultimii trei termeni din paranteză fiind infinit mici se pot neglija obţinacircnd
119881 + ∆119881 = 119860 ∙ 119897 + 119860 ∙ 119897 ∙ 휀 ∙ (1 minus 2 ∙ 120599) ⟺ ∆119881 = 휀 ∙ (1 minus 2 ∙ 120599) ∙ 119860 ∙ 119897 (315)
Practica arătă că o astfel de bară solicitată la icircntindere icircşi măreşte volumul deci
∆119881 gt 0 de unde rezultă că
1 minus 2 ∙ 120599 gt 0 rArr 120599 lt 05 (316)
Pentru majoritatea materialelor 120599 = 033 iar pentru materialele care-şi păstrează
volumul constant 120599 = 05
33 Relaţii de echivalenţă icircntre eforturi şi tensiuni
Considerăm un element de suprafață infinit mic 119889119860 situat pe fața de arie (119860) a
secțiunii barei din figura 311 Icircn centrul de greutate 119862 al secțiunii acționează eforturile
119873 119879119910 119879119911 119872119909 119872119894119910 și 119872119894119911 determinate prin metoda secțiunilor
Icircn raport cu un sistem de axe de referință 119909119862119910119911 coordonatele elementului 119889119860 sunt
- 119910 este ordonata elementului de arie 119889119860
- 119911 este abscisa elementului de arie 119889119860
Pe elementul de arie 119889119860 acționează tensiunile
120590119909 tensiunea normală
120591119909119910 și 120591119909119911 tensiuni tangențiale
Dacă se icircnsumează forțele elementare de tipul 120590119909 ∙ 119889119860 120591119909119910 ∙ 119889119860 și 120591119909119911 ∙ 119889119860
va trebui să obținem eforturile 119873 119879119910 și 119879119911
Fig 311 Element de suprafață mic din secțiunea unei bare
Dacă eforturile sunt privite ca forțe exterioare și se scriu ecuațiile de
echilibru ale secțiunii (119860) se vor obține șase relații de echivalență icircntre eforturi și
tensiuni
(sum119883) = 0 rArr int 120590119909 ∙ 119889119860
119860
= 119873 (317)
(sum119884) = 0 rArr int 120591119909119910 ∙ 119889119860
119860
= 119879119910 (318)
(sum119885) = 0 rArr int 120591119909119911 ∙ 119889119860
119860
= 119879119911 (319)
(sum119872)119909= 0 rArr int(120591119909119911 ∙ 119889119860) ∙ 119910
119860
minus int(120591119909119910 ∙ 119889119860) ∙ 119911
119860
= 119872119909 rArr
rArr int(119910 ∙ 120591119909119911 minus 119911 ∙ 120591119909119910) ∙ 119889119860
119860
= 119872119909
(320)
(sum119872)119910= 0 rArr int(120590119909 ∙ 119889119860) ∙ 119911
119860
= 119872119894119910 (321)
(sum119872)119911= 0 rArr int(120590119909 ∙ 119889119860) ∙ 119910
119860
= 119872119894119911 (322)
Cele șase relații de echivalență icircntre eforturi și tensiuni constituie un pas icircnainte
icircn rezolvarea unei probleme de rezistența materialelor Aceste relații vor permite
determinarea tensiunilor maxime
Pentru a rezolva cele 6 relații de echivalență trebuie să se cunoască tensiunile și
ca funcții de punct adică funcții de forma
120590119909 = 120590119909(119909 119910 119911) 120591119909119910 = 120591119909119910(119909 119910 119911) 120591119909119911 = 120591119909119911(119909 119910 119911) (32
3)
Cunoașterea acestor funcții presupune icircnsă analizarea aspectului geometric al
problemei precum și utilizarea unor ipoteze simplificatoare care să permită simplificarea
problemelor
34 Ipoteze de bază icircn rezistenţa materialelor
Depășirea dificultăților legate de interpretarea unor fenomene specifice mecanicii
solidului deformabil a impus acceptarea unor ipoteze care să simplifice fenomenele și să
contribuie la elaborarea unor modele de calcul cicirct mai generale și cacirct mai simple Aceste
ipoteze se referă la structura materialelor şi la comportarea lor sub acţiunea forţelor
exterioare Ipotezele acceptate trebuie să fie icircn deplină concordanţă cu realitatea și să
conducă la rezultate verificate icircn practică
Funcție de aspectele la care se referă ipotezele pot fi
Ipoteze fizice (de material)
Ipoteze de calcul
341 Ipoteze fizice
Se acceptă deoarece teoriile structurale au condus la rezultate care contravin
icircncercărilor experimentale
Ipoteza mediului continuu consideră că orice domeniu elementar al corpului
este ocupat de materie adică nu se acceptă existența unor goluri sau a unor crăpături
microscopice (fisuri) Deși nu corespunde realităţii poate fi acceptată deoarece
dimensiunile corpului sunt mult mai mari decacirct dimensiunile particulelor elemantare Are
avantajul că permite utilizarea proprietăților matematice ale funcțiilor continue pentru
tensiunile și deformațiile din orice punct al corpului Ea este mai apropiată de realitate la
corpurile amorfe şi mai depărtată la cele cristaline dar conduce la rezultate satisfăcătoare
icircn calculele de rezistenţă
Ipoteza nu se poate aplica la corpurile care au goluri tăieturi (multiplu conexe)
pentru unele puncte singulare icircn care tensiunile și deformațiile tind la infinit sau icircn unele
probleme de plasticitate icircn care proprietățile de material au un rol esențial
Ipoteza izotropiei conform acestei ipoteze materialul din care este confecționat
un element de rezistență are aceleași proprietăți după orice direcție un astfel de material
este considerat izotrop Din punct de vedere macroscopic metalele pot fi considerate
izotrope deși la nivel microscopic proprietățile lor diferă de la o direcție cristalografică
la alta Orice conglomerat de cristale poate fi considerat izotrop
Există cazuri cacircnd această ipoteză a izotropiei nu se acceptă
la metalele puternic deformate după o direcție (prin laminare trefilare)
la piesele confecționate din lemn lemnul este anizotrop deoarece proprietățile sale
diferă după două direcții (icircn lungul fibrelor și perpendicular pe această direcție)
Ipoteza omogenității consideră că un corp are aceleași proprietăți icircn orice
punct al său Deși majoritatea materialelor utilizate icircn tehnică sunt eterogene la scară
micro fiind constituite din mai multe faze cu proprietăți diferite la scară macro ele pot
fi considerate omogene Omogenitatea și izotropia sunt proprietăți statistice medii care
nu se condiționează una pe cealaltă Chiar și materialele monofazice pot avea la scară
micro unele segregații care le fac eterogene
Ipoteza elasticităţii perfecte presupune că atacircta timp cacirct solicitările nu
depăşesc anumite limite materialul are o comportare elastică adică icircşi recapătă forma şi
dimensiunile iniţiale odată cu icircnlăturarea sarcinilor Icircn realitate materialele nu prezintă o
elasticitate perfectă ele avacircnd deformaţii remanente mici care icircnsă pot fi neglijate icircn
calculele de rezistenţă
Acceptarea acestei ipoteze a elasticității perfecte permite
- aplicarea relației biunivoce icircntre tensiuni și deformații relație exprimată de legea
lui Hooke ( = 119864 ∙ 휀) unde E este un factor de proporţionalitate numit modul de
elasticitate longitudinal al materialului pentru oţel 119864 = 21 ∙ 105 [119872119875119886] - acceptarea valabilității afirmației bdquolucrul mecanic efectuat de forțele exterioare
ca urmare a parcurgerii deplasărilor punctelor de aplicație se icircnmagazinează integral icircn
corp sub formă de energie de deformație energie cedată la icircndepărtarea sarcinilorrdquo
- este valabilă teoria conform căreia bdquoenergia icircnmagazinată și deformațiile depind
doar de starea inițială și finală de eforturi fără a ține cont de modul icircn care s-a ajuns la
starea finalărdquo
Icircn realitate oricacirct de mici ar fi sarcinile aplicate se produc și deformații plastice
dar acestea pot fi neglijate dacă solicitarea nu depășește anumite limite
342 Ipoteze de calcul
Ipoteza micilor deplasări bdquodeplasările datorate deformării sunt mult mai mici
decacirct dimensiunile corpurilor și ca urmare pot fi neglijate produsele dintre o deplasare și
ea icircnsăşirdquo Pentru cele mai multe corpuri deformaţiile elastice sunt de mărimi mici deci
corpurile solide sub acţiunea sarcinilor icircşi modifică foarte puţin forma iniţială Această
ipoteză este cunoscută şi sub denumirea de ipoteza menţinerii dimensiunilor iniţiale Ea
permite scrierea ecuaţiilor de echilibru ale staticii pe starea nedeformată a elementului
cacircnd nu se iau icircn considerare deplasările punctelor de aplicaţie ale forţelor care se produc
ca urmare a deformării acestuia Calculul efectuat pe schema nedeformată poartă numele
de calcul de ordinul I
Ipoteza micilor deplasări nu poate fi acceptată pentru studiul problemelor de
stabilitate sau la problemele la care nu pot fi icircndeplinite condiţiile de echilibru icircn starea
nedeformată
Calculul de ordinul II admite ipoteza micilor deplasări dar ecuaţiile de echilibru
se scriu icircnsă pentru starea deformată a elementului de rezistenţă
Calculul de ordinul III nu mai acceptă ipoteza micilor deplasări el referindu-se
la cazul deformaţiilor mari cacircnd ecuaţiile de echilibru trebuie scrise pentru starea
deformată
Chiar dacă materialul satisface legea lui Hooke icircn urma calculelor de ordinul II
se obţin de obicei relaţii neliniare icircntre sarcini şi deplasări iar pentru calculul de ordinul
III rezultă ecuaţii diferenţiale neliniare
Principiul efectului local al acțiunii sarcinilor enunțat de Barre de Saint-
Venant Acest principiu destul de folosit icircn Rezistenţa Materialelor precizează că dacă
se icircnlocuiesc forţele care acţionează asupra unui element de suprafață al unui corp
elastic printr-un alt sistem de forţe echivalent din punct de vedere static cu primul noua
distribuţie a forţelor produce la locul de aplicare diferenţe semnificative faţă de prima
dar rămacircne fără efect sau cu efect neglijabil la distanţe mari de locul de aplicare al
forţelor figura 312
Ca o cosecință o sarcină uniform distribuită figura 312a poate fi icircnlocuită cu
rezultanta ei figura 312b dacă se analizează efectul sarcinii la distanță mare de locul icircn
care se aplică sarcina
Fig 312 Principiul Saint-Venant
Icircn prima variantă figura 312a forţa 119865 se aplică pe o porțiune oarecare 119897 (sarcină
uniform distribuită) iar icircn a doua figura 312b icircntru-un punct (forţă concentrată) La
locul de aplicare a sarcinii efectul asupra barei este cu totul diferit de la o variantă la
cealaltă Icircnsă la o distanţă mare de punctul de aplicaţie spre exemplu icircn secţiunea situată
la distanţa 119886 de capătul barei sau chiar icircn icircncastrare ambele bare sunt solicitate la fel
Icircn cazul din figura 312a
119872119894(119909) =119901 ∙ 1199092
2 119909 le 119897 119872119894(119909) = 119901 ∙ 119897 ∙ (119909 minus
119897
2) 119909 gt 119897 (324)
Icircn cazul din figura 312b
119872119894(119909) = 0 119909 lt119897
2 119872119894(119909) = 119901 ∙ 119897 ∙ (119909 minus
119897
2) 119909 gt
119897
2 (325)
Se vede că pentru (119909 gt 119897) adică după depășirea locului icircn care se aplică sarcina
efectul este același
Ipoteza lui Bernoulli sau ipoteza secţiunilor plane precizează că o secţiune
plană şi normală pe axa barei icircnainte de deformare rămacircne plană şi normală pe axa
barei şi după deformare figura 313
Fig 313 Ipoteza lui Bernoulli
Ipoteza stării naturale a corpului sau ipoteza absenţei tensiunilor conform
căreia pentru un corp nesolicitat starea de tensiune şi deformaţie este nulă
Perfecţionarea mijloacelor de calcul şi de investigare pot conduce la renunţarea la
unele ipoteze sau la introducerea altora noi mai aproape de stările reale De aici rezultă
caracterul de continuă perfecţionare a metodelor Rezistenţei Materialelor
35 Coeficienţi de siguranţă Tensiuni admisibile
O piesă corespunde din punct de vedere tehnic dacă tensiunile care iau naştere icircn
interiorul piesei datorită sarcinilor aplicate nu depăşesc anumite valori limită stabilite
convenţional Aceste valori limită ale tensiunii sunt corelate cu caracteristicile mecanice
ale materialelor
Tensiunea limită utilizată icircn calculele de rezistenţă este cunoscută sub denumirea
de tensiune admisibilă sau rezistenţă admisibilă Rezistenţa admisibilă reprezintă
valoarea convenţională aleasă icircn calcul pe baza practicii pentru tensiunea maximă care
poate apare icircntr-o piesă icircn condiţii date de material şi solicitare
Rezistenţa admisibilă (120590119886 sau 120591119886) poate fi definită faţă de o stare limită
periculoasă stare care trebuie evitată deoarece poate conduce distrugere
120590119886 =120590119897119894119898119888
(326)
unde
120590119897119894119898 este tensiunea corespunzătoare stării limită periculoase
119888 estesupraunitar 119888 gt 1 și reprezintă coeficientul de siguranţă faţă de starea limită
periculoasă considerată
Alegerea unor valori inferioare pentru rezistenţa admisibilă faţă de tensiunea
corespunzătoare stării limită periculoase este necesară deoarece
cunoaşterea sarcinilor este de cele mai multe ori aproximativă şi o depăşire a
acestora este foarte posibilă
caracteristicile mecanice ale materialelor variază icircn limite destul de mari ele
fiind influenţate de mulţi factori
schema aleasă pentru calcul (aplicarea sarcinilor schematizarea structurii
ipotezele de calcul etc) depărtează modelul faţă de cel real
Pentru calculele de verificare tensiunea efectivă maximă din elementul de
rezistenţă trebuie să fie mai mică sau cel mult egală cu cea admisibilă
120590119890119891119898119886119909 le 120590119886 (327)
Valoarea rezistenţei admisibile este influenţată de foarte mulţi factori natura
materialului tratamentele termice aplicate piesei durata de funcţionare a piesei modul
de acţionare icircn timp a sarcinilor felul solicitării temperatura gradul de periculozitate
icircn cazul cedării piesei etc
De asemenea valoarea coeficientului de siguranţă se alege icircn principal ţinacircnd
seama de aceiaşi factori care influenţează şi rezistenţa admisibilă
Rezistenţele admisibile pentru cacircteva materiale sunt următoarele
pentru oțelul de uz general OL37 solicitat la icircntindere compresiune sau
icircncovoiere 120590119886 = 150 [119872119875119886] pentru lemnul de brad solicitat la
- compresiune icircn lungul fibrelor şi solicitat la icircncovoiere 120590119886 = 10 [119872119875119886] - tracţiune icircn lungul fibrelor 120590119886 = 7 [119872119875119886] - compresiune perpendiculară pe fibre 120590119886 = 15 [119872119875119886] - forfecare icircn lungul fibrelor 120591119886 = 2 [119872119875119886] - forfecare perpendiculară pe fibre 120590119886 = 45 [119872119875119886]
terenuri de fundaţie din pămacircnt uscat sau umed 120590119886 = 020 divide 025 [119872119875119886]
4 CARACTERISTICI GEOMETRICE ALE SECȚIUNILOR PLANE
41 Noţiuni introductive
Icircn relaţiile de calcul ale tensiunilor şi deformaţiilor elementelor de rezistenţă
pentru unele solicitări (icircncovoierea și torsiunea) secțiunile plane intervin atacirct prin
dimensiunile lor (aria 119860) cicirct și prin forma și poziția pe care o are secțiunea icircn raport cu
planul solicitării Mărimile care caracterizează o secțiune icircn raport cu forma și poziția față
de axele unui sistem de referință sunt denumite caracteristici geometrice de ordin
superior Aria secțiunii este caracteristica geometrică ce depinde doar de dimensiunile
geometrice ale acesteia
Să considerăm o grindă solicitată de o forță exterioară 119865 aşezată icircn două poziții icircn
raport cu planul forţei figura 41 Icircn urma aplicării forței deși avem aceeași grindă
(aceeași arie a secțiunii transversale) și aceeași forță se constată că pentru varianta din
figura 41a deformațiile sunt mult mai mari adică rezistența la icircncovoiere a grinzii din
figura 41a este mai mare decacirct icircn cazul grinzii din figura 41b Comportarea diferită se
explică prin aceea că modificarea poziţiei secţiunii transversale faţă de planul forţelor
modifică caracteristicile geometrice ale secţiunii transversale a grinzii
Fig 41 Grindă solicitată de forța 119865
Pentru realizarea calculelor de rezistenţă şi rigiditate este foarte importantă
cunoaşterea caracteristicilor geometrice ale suprafeţei secţiunii transversale a elementelor
de rezistenţă
Caracteristicile geometrice ale secţiunii transversale a unui element de rezistenţă
sunt
- aria secțiunii notată cu 119860
- momentul static icircn raport cu o axă notat 119878119911 și respectiv 119878119910
- momentul de inerție care poate fi
axial notat 119868119911 și respectiv 119868119910
centrifugal notat 119868119911119910
polar notat 119868119901
- raza de inerţie (giraţie)notată 119894119911 și respectiv 119894119910
- modulul de rezistență care poate fi
axial notat 119882119911 și respectiv 119882119910
polar notat 119882119901
42 Aria și momentul static al suprafețelor plane
Fie o suprafaţă plană de arie 119860 pe care se ia un element infinit mic de arie 119889119860 şi
un sistem de axe rectangulare 119911119874119910 figura 42 Notăm cu 119862 centrul de greutate al suprafeţei
119860 Poziţia suprafeţei elementare 119889119860 faţă de acelaşi sistem de coordonate 119911119874119910 este dată
de abscisa 119911 ordonata 119910 și raza polară
Fig 42 Suprafață plană de arie 119860
Aria suprafeţei 119860 figura 42 se defineşte ca fiind
119860 ≝ int 119889119860
119860
(41)
Aria suprafeţei este icircntotdeauna pozitivă și se măsoară icircn [1198981198982] Momentul static al suprafeţei de arie 119860 icircn raport cu axele 119874119911 și respectiv 119874119910
figura 42 sunt date de relaţiile
119878119911 ≝ int 119910 ∙ 119889119860
119860
119878119910 ≝ int 119911 ∙ 119889119860
119860
(42)
Momentul static poate fi pozitiv negativ sau nul şi se măsoară icircn [1198981198983] Coordonatele centrului de greutate ale suprafeței 119860 se detrmină cu relațiile
119910119862 ≝int 119910 ∙ 119889119860119860
119860 119911119862 ≝
int 119911 ∙ 119889119860119860
119860
(43)
Cunoscacircnd coordonatele 119910119862 și 119911119862 ale centrului de greutate 119862 al secțiunii 119860 atunci
momentele statice se pot determina cu relațiile
119878119911 ≝ int 119910 ∙ 119889119860
119860
= 119910119862 ∙ 119889119860 119878119910 ≝ int 119911 ∙ 119889119860
119860
= 119911119862 ∙ 119889119860 (44)
Aceste relații arată că momentul static al unei suprafețe icircn raport cu o axă este
egal cu produsul dintre aria suprafeței și distanța de la centrul ariei la axa respectivă
Dacă suprafaţa se poate descompune icircn 119899 suprafeţe simple la care se cunosc ariile
(1198601 1198602 ⋯ 119860119894⋯ 119860119899) și poziţiile centrelor de greutate 119862119894 faţă de sistemul de referinţă
expresiile momentelor statice capătă următoarea formă
119878119911 = sum 119910119862119894 ∙ 119860119894119899119894=1 = 119910119862 ∙ 119860 119878119910 = sum 119911119862119894 ∙ 119860119894
119899119894=1 = 119911119862 ∙ 119860 (45)
Din relaţiile (45) rezultă că poziţia centrului de greutate 119862 al unei suprafeţe
compuse poate fi determinată cu relaţiile
119910119862 = (sum119910119862119894 ∙ 119860119894
119899
119894=1
) 119860frasl 119911119862 = (sum119911119862119894 ∙ 119860119894
119899
119894=1
) 119860frasl (46)
Icircn relația (45) 119910119862119894 și respectiv 119911119862119894 reprezintă coordonatele centrelor de greutate 119862119894
ale fiecărei suprafețe simple 119860119894 icircn raport sistemul de axe 119911119874119910
Se constată (relaţia 42) că dacă axele sistemului de referinţă trec prin centrul de
greutate (119910119862 = 119911119862 = 0) momentele statice sunt nule Axele icircn raport cu care momentele
statice sunt nule şi care trec prin centrul de greutate al suprafeţei se numesc axe centrale
Observație dacă secțiunea compusă are o axă de simetrie centrul secțiunii se
găsește pe acea axă iar dacă secțiunea este dublu simetrică poziția centrului secțiunii este
la intersecția axelor de simetrie
43 Momente de inerţie
Momentele de inerţie axiale ale unei suprafețe se calculează icircn raport cu axele de
coordonate 119874119911 și respectiv 119874119910 figura 42 și se determină cu relațiile
119868119911 ≝ int 1199102 ∙ 119889119860
119860
119868119910 ≝ int 1199112 ∙ 119889119860
119860
(47)
Unde 119910 și 119911 sunt distanțele de la elementul de arie 119889119860 la cele două axe de
coordonate 119874119911 și respectiv 119874119910
Momentele de inerţie axiale se măsoară icircn [1198981198984] şi sunt icircntotdeauna pozitive (aria
119889119860 este icircntotdeauna pozitivă și este multiplicată cu patratul distanței 1199102 dacă 119868119911 sau 119868119910
sunt nule icircnseamnă ca secțiunea nu există)
Momentele de inerție axiale se calculează icircndeosebi pentru axele centrale (care
trec prin centrul secțiunii) deoarece icircn raport cu acele axe 119868119911 și 119868119910 au valori minime
Momentul de inerţie centrifugal calculat faţă ambele axe ale sistemului de
referinţă 119911119874119910 este definit de relația
119868119911119910 ≝ int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860
(48)
Momentul de inerţie centrifugal se măsoară icircn [1198981198984] şi poate fi pozitiv negativ
sau nul
Momentul de ineție centrifugal este nul 119868119911119910 = 0 dacă cel puțin una din axele 119874119911
sau 119874119910 este axă de simetrie pentru secțiune
Se consideră o suprafaţă dreptunghiulară pe care faţă de axa de simetrie 119874119910 se iau
două suprafeţe elementare de arie 119889119860 simetrice faţă de axa 119874119910 figura 43
Fig 43 Suprafață dreptunghiulară cu două arii elementare 119889119860
Făcacircnd suma momentelor de inerţie centrifugale pentru cele două suprafeţe
elementare 119889119860 (din stacircnga şi din dreapta faţă de axa 119874119910) se obţine
int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860119889119903
+ int (minus119911) ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860119904119905119892
= int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860119889119903
minus int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860119904119905119892
= 0 (49)
Acelaşi raţionament se poate face și pentru icircntreaga suprafaţă de unde obținem că
momentul de inerție centrifugal este nul 119868119911119910 = 0 Deci pentru o suprafaţă plană care
are cel puţin o axă de simetrie momentul de inerţie centrifugal faţă de sistemul care
conţine acea axă de simetrie este nul
Momentul de inerţie polar al unei suprafeţei icircn raport cu un punct (pol) 119874 figura
42 este definit prin relaţia
1198680 = 119868119901 ≝ int 1205882 ∙ 119889119860
119860
= int(1199102 + 1199112) ∙ 119889119860
119860
= 119868119911 + 119868119910 (410)
unde este distanţa de la polul 119874 la elementul de arie 119889119860 Momentul de inerţie polar se
măsoară icircn [1198981198984] şi este totdeauna pozitiv
Momentul de inerţie polar este egal cu suma momentelor de inerţie faţă de două axe
perpendiculare oarecare şi care trec prin polul considerat
Razele de giraţie sau razele de inerţie sunt mărimi calculate icircn raport cu axele
secțiunii și definite de relaţiile
119894119911 ≝ radic119868119911119860 119894119910 = radic
119868119910
119860 (411)
Se exprimă icircn [119898119898] şi sunt icircntotdeauna pozitive Semnificația unei raze de inerție
este distanța la care dacă ar fi concentrată icircntreaga arie s-ar obține același moment de
inerție ca și cel calculat pentru aria reală
44 Modulul de rezistenţă
Modulul de rezistență se calculează icircn raport cu axele de referință sau icircn raport cu
un pol figura 42 și pot fi axiale (119882119911119882119910) sau polar (119882119901) și se determină numai pe baza
momentelor de inerţie cu relațiile figura 43
119882119911119898119894119899 ≝119868119911119910119898119886119909
119882119911119898119886119909 ≝119868119911119910119898119894119899
(412)
119882119910119898119894119899 ≝119868119910
119911119898119886119909 119882119910119898119886119909 ≝
119868119910
119911119898119894119899 (413)
119882119901 ≝119868119901
120588119898119886119909 (414)
unde
119910119898119886119909 119910119898119894119899 reprezintă distanţa de la axa 119874119911 la punctele extreme cele mai
depărtate respectiv cele mai apropiate ale suprafeţei de această axă
119911119898119886119909 119911119898119894119899 reprezintă distanţa de la axa 119874119910 la punctele extreme cele mai
depărtate respectiv cele mai apropiate ale suprafeţei de această axă
120588119898119886119909 reprezintă distanța maximă de la polul 119874 la punctul secțiunii cel mai
icircndepărtat de acesta
Fig 43 Suprafață dreptunghiulară cu două arii elementare 119889119860
Modulele de rezistenţă se exprimă icircn [1198981198983] şi sunt icircntotdeauna pozitive
Explicația este aceea că momentele de inerție care intră icircn relațiile de definiție sunt
pozitive iar distanțele la punctele extreme sunt pozitive (119910119898119886119909 119910119898119894119899 119911119898119886119909 119911119898119894119899 120588119898119886119909 se
iau icircn valoare absolută)
Icircn cazul suprafeţelor compuse modulul de rezistenţă nu se obţine prin icircnsumarea
algebrică a modulelor de rezistenţă ale suprafeţelor simple componente ci numai prin
intermediul momentului de inerţie axial calculat pentru icircntreaga secțiune
Ca și momentele de inerție modulele de rezistență se calculează numai pentru
sistemele de axe centrale
45 Momente de inerţie şi module de rezistenţă pentru suprafeţe simple
451 Secțiune dreptunghiulară
Fie suprafaţa dreptunghiulară din figura 44 de icircnălțime ℎ și lățime 119887 pe care se
consideră suprafaţă elementară de arie 119889119860 = 119887119889119910 la distanța 119910 de axa 119862119911 sistemul de
axe 119911119862119910 trece prin centrul secțiunii iar axele sunt axe de simetrie pentru dreptunghi
Fig 44 Suprafață dreptunghiulară
Pe baza relațiilor de definiți a momentului de inerție 119868119911 se obține
119868119911 ≝ int 1199102 ∙ 119889119860
119860
= int 1199102 ∙ 119887 ∙ 119889119910 = 2int 1199102 ∙ 119887 ∙ 119889119910 = 2 ∙ 119887 ∙1199103
3|ℎ 2frasl
0rArr
ℎ 2frasl
0
ℎ 2frasl
minusℎ 2frasl
rArr 119868119911 =119887 ∙ ℎ3
12
(415)
Analog pentru un element de arie 119889119860 = ℎ ∙ 119889119911 paralel cu axa 119862119910 situat la distanța
119911 de axa 119862119910
119868119910 ≝ int 1199112 ∙ 119889119860
119860
= int 1199112 ∙ ℎ ∙ 119889119911 = 2int 1199112 ∙ ℎ ∙ 119889119910 = 2 ∙ ℎ ∙1199113
3|119887 2frasl
0rArr
119887 2frasl
0
119887 2frasl
minus119887 2frasl
rArr 119868119910 =1198873 ∙ ℎ
12
(416)
Deoarece axele 119862119911 și 119862119910 sunt axe de simetrie momentul de inerție centrifugal este
119868119911119910 = 0 (417)
Pentru un pătrat avacircnd laturile egale (ℎ = 119887 = 119886) momentele de inerţie faţă de
axele centrale au expresia
119868119911 = 119868119910 =1198864
12 (418)
Modulele de rezistență axiale se calculează cu relațiile de definiție ținacircnd cont că
distanțele pacircnă la fibrele extreme sunt
119910119898119886119909 = 119910119898119894119899 =ℎ
2 119911119898119886119909 = 119911119898119894119899 =
119887
2 (419)
Obținem
119882119911119898119894119899 = 119882119911119898119886119909 =119868119911
119910119898119886119909119898119894119899=119887 ∙ ℎ3
12frasl
ℎ2frasl
=119887 ∙ ℎ2
6
119882119910119898119894119899 = 119882119910119898119886119909 =119868119910
119911119898119886119909119898119894119899=1198873 ∙ ℎ
12frasl
1198872frasl
=1198872 ∙ ℎ
6
(420)
452 Suprafaţă circulară
Din motive de simetrie pentru suprafeţele circulare momentele de inerţie faţă de
orice diametru (care reprezintă şi axe centrale) sunt aceleaşi
Considerăm o secțiune circulară plină cu diametrul 119889 și centrul de greutate 119862 Prin
centrul de greutate 119862 trece sistemul de axe ortogonal 119911119862119910 figura 45
Fig 45 Suprafață circulară
La distanța de centrul de greutate 119862 vom lua un element de suprafață mic de arie
(119889119860) de forma unui inel de grosime 119889 Elementul de arie 119889119860 are expresia
119889119860 = (2 ∙ 120587 ∙ 120588) ∙ (119889120588)
Pornind de la relația de definiție a momentului de inerție polar obținem
119868119901 ≝ int 1205882 ∙ 119889119860
119860
= int 1205882 ∙ (2 ∙ 120587 ∙ 120588) ∙ 119889120588
119903=119889 2frasl
0
= 2 ∙ 120587 ∙1205884
4|119889 2frasl0 rArr
rArr 119868119901 =120587 ∙ 1198894
32
(421)
Secțiunea este perfect simetrică deci sunt valabile relațiile
119868119911 = 119868119910 rArr 119868119901 = 119868119911 + 119868119910 = 2 ∙ 119868119911 = 2 ∙ 119868119910 =119868119901
2=120587 ∙ 1198894
64 (422)
Și modulele de rezistenţă faţă de orice diametru sunt egale şi se calculează cu
relaţiile
119882119911 = 119882119910 =1198681199111198892frasl=120587 ∙ 1198893
32 (423)
Modulul de rezistenţă polar este
119882119901 =1198681199011198892frasl=120587 ∙ 1198893
16 (424)
453 Secţiune inelară
Calculul momentelor de inerţie axiale pentru o secţiune inelară avacircnd diametrul
interior 119889 şi diametrul exterior 119863 se determină analog pentru suprafaţa circulară plină cu
observaţia că integrala pentru calculul momentului de inerție polar 119868119901 se face icircntre
limitele 119903 = 119889 2frasl şi R= 1198632frasl (icircntre raza interioară 119903 şi raza exterioară 119877) figura 46
Se obţin relaţiile
119868119901 =120587 ∙ 1198634
32∙ [1 minus (
119889
119863)4
] =120587 ∙ 1198634
32∙ (1 minus 1198964) (425)
119868119910 = 119868119910 =120587 ∙ 1198634
64∙ [1 minus (
119889
119863)4
] =120587 ∙ 1198633
64∙ (1 minus 1198964) (426)
Fig 46 Secțiune inelară
119882119901 =120587 ∙ 1198633
16∙ [1 minus (
119889
119863)4
] =120587 ∙ 1198633
16∙ (1 minus 1198964) (427)
119882119911 = 119882119910 =120587 ∙ 1198633
32∙ [1 minus (
119889
119863)4
] =120587 ∙ 1198633
32∙ (1 minus 1198964) (428)
unde 119896 = 119889119863frasl
46 Variaţia momentelor de inerţie faţă de axe paralele
( Relațiile lui STEINER)
Se consideră o suprafaţă oarecare de arie 119860 cu elementul de arie 119889119860 și un sistemul
de axe central 119911119862119910 faţă de care se cunosc momentele de inerţie 119868119911 119868119910 119868119911119910 şi considerăm
un sistem de axe 11991111198741199101 paralele cu sistemul central figura 47 Se pune problema
determinării momentele de inerţie 1198681199111 1198681199101 11986811991111199101 faţă de sistemul de axe paralel cu sistemul
central 11991111198741199101 axe aflate la distanţele 119910119862 = 119888 respectiv 119911119862 = 119889 de acesta
461 Momente de inerţie axiale
Pe baza relaţiilor de definire şi a notaţiilor din figura 42 pentru momentele de
inerţie faţă de axele 1198741199111 1198741199101 se poate scrie
1198681199111 = int 11991012 ∙ 119889119860
119860
= int(119910 + 119888)2 ∙ 119889119860
119860
= int 1199102 ∙ 119889119860
119860
+ 2 ∙ 119888 ∙ int 119910 ∙ 119889119860
119860
+
+1198882int 119889119860
119860
rArr 1198681199111 = 119868119911 + 2 ∙ 119888 ∙ 119878119911 + 1198882 ∙ 119860 hArr 1198681199111 = 119868119911 + 119888
2 ∙ 119860
(429)
Fig 47 Variaţia momentelor de inerţie față de axe paralele
S-a ajuns la relația (429) deoarece momentul static 119878119911 este nul deoarece axa 119862119885
este axă centrală
Pentru momentul de inerție axial icircn raport cu axa 1198741199101 se obține
1198681199101 = int 11991112 ∙ 119889119860
119860
= int(119911 + 119889)2 ∙ 119889119860
119860
= int 1199112 ∙ 119889119860
119860
+ 2 ∙ 119889 ∙ int 119911 ∙ 119889119860
119860
+
+1198892 ∙ int 119889119860
119860
rArr 1198681199101 = 119868119910 + 2 ∙ 119889 ∙ 119878119910 + 1198892 ∙ 119860 hArr 1198681199101 = 119868119910 + 119889
2 ∙ 119860
(430)
Pentru momentul de inerție centrifugal obținem
11986811991111199101 = int 1199101 ∙ 1199111 ∙ 119889119860
119860
= int(119910 + 119888) ∙ (119911 + 119889) ∙ 119889119860
119860
= int 119910 ∙ 119911 ∙ 119889119860 +
119860
+119888 ∙ int 119911 ∙ 119889119860
119860
+ 119889 ∙ int 119910 ∙ 119889119860
119860
rArr 11986811991111199101 = 119868119911119910 + 119888 ∙ 119889 ∙ 119860
(431)
Deoarece
int 119911 ∙ 119889119860
119860
= 119878119910 = 0 int 119910 ∙ 119889119860
119860
= 119878119911 = 0 int 119910 ∙ 119911 ∙ 119889119860
119860
= 119868119911119910
Relaţiile (429) şi (430) arată că momentul de inerţie faţă de o axă oarecare
este egal cu momentul de inerţie faţă de o axă paralelă cu ea trecacircnd prin centrul de
greutate la care se adaugă produsul dintre aria suprafeţei şi pătratul distanţei dintre
cele două axe
Din relaţiile (429) și (430) rezultă de asemenea că momentul de inerţie faţă de o
axă centrală (care trece prin centrul de greutate) este cel mai mic dintre infinitatea de
momente de inerţie obținute faţă de alte axe paralele cu ea
Relaţia (431) arată de asemenea că momentul de inerţie centrifugal faţă de un
sistem de axe oarecare este egal cu momentul de inerţie centrifugal faţă de un sistem
paralele cu el trecacircnd prin centrul de greutate a suprafeţei la care se adaugă produsul
dintre aria suprafeţei şi distanţele dintre axele sistemelor respective
Icircn literatura de specialitate relaţiile (429) (430) şi (431) sunt cunoscute sub
numele de relaţiile lui Steiner
47 Variaţia momentrlor de inerţie faţă de axe rotite
Direcţii principale şi momente de inerţie principale
Fie suprafaţa plană din figura 48 de arie 119860 pe care considerăm o suprafaţă
elementară de arie 119889119860 Pentru sistemul de axe 119911119874119910 se cunosc momentele de inerţie
119868119911 119868119910 119868119911119910 şi vom determina relaţiile de calcul pentru momentele de inerţie afererent unui
sistem de axe 11991111198741199101 rotit cu un unghi faţă de sistemul central
Faţă de sistemul de axe 11991111198741199101 elementul de arie 119889119860 are coordonatele
1199101 = 119875119877 = 119875119876 minus 119877119876 = 119910 ∙ cos 120572 minus 119911 ∙ sin 120572
1199111 = 119873119872 = 119873119875 minus 119875119872 = 119911 ∙ cos 120572 + 119910 ∙ sin 120572 (432)
Fig 47 Variaţia momentelor de inerţie față de axe rotite
Pe baza relaţiilor de calcul ale momentelor de inerţie şi a notaţiilor din figura 42
şi ale relaţiilor (432) momentele de inerţie faţă de sistemul de axe rotit 11991111198741199101 sunt
1198681199111 =119868119911 + 119868119910
2+119868119911 minus 119868119910
2∙ cos 2120572 minus 119868119911119910 ∙ sin 2120572 (433)
1198681199101 =119868119911 + 119868119910
2minus119868119911 minus 119868119910
2∙ cos 2120572 + 119868119911119910 ∙ sin 2120572 (434)
11986811991111199101 =119868119911 minus 119868119910
2∙ sin 2120572 + 119868119911119910 ∙ cos 2120572 (435)
Din relaţiile 433divide435 se observă că icircntre momentele de inerţie axiale şi cele
polare există relaţia
1198681199111 + 1198681199101 = 119868119911 + 119868119910 = 119868119901 (436)
adică suma momentelor de inerţie axiale icircn raport cu orice pereche de axe ortogonale
care trec printr-un pol dat este o constantă şi egală cu momentul de inerţie polar
Prin rotirea sistemului de axe din relaţiile 433divide435 rezultă că momentele de inerţie
variază icircnsă suma lor rămacircne constantă deci există o poziţie a sistemului de axe pentru
care momentele de inerţie au valori extreme maxim respectiv minim
471 Direcţii principale de inerţie
Valoarea unghiului 120572 pentru care momentele de inerţie axiale au valori extreme
este
1205721 =1
2∙ 119886119903119888119905119886119899 (minus
2 ∙ 119868119911119910
119868119911 minus 119868119910) (437)
Poziţia celeilalte direcţii este perpendiculară pe cea dată de unghiul 1205721
Din relaţia (437) se constată că faţă de aceste direcţii rotite pentru care momentele
de inerţie axiale prezintă valori extreme momentul de inerţie centrifugal 11986811991111199101este nul
Atunci se poate afirma că momentele de inerţie axiale au valori extreme icircn raport cu
direcţiile faţă de care momentul de inerţie centrifugal este nul Aceste direcţii se numesc
direcţii principale iar momentele de inerţie faţă de aceste direcţii poartă numele de
momente de inerţie principale
Icircn calculele de rezistenţă interesează icircn mod special poziţia direcţiilor principale
care trec prin centrul de greutate al suprafeţei aşa numitele direcţii principale centrale şi
evident momentele de inerţie principale centrale
Direcţiile principale de inerţie se notează cu 1 respectiv 2 Axa principală 1
corespunde direcţiei faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea maximă iar
axa principală 2 pentru direcţia faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea
minimă
472 Momente de inerţie principale
Momentele de inerţie principale se notează cu litera 119868 la care se pune indicele 1
sau 2 după cum valoarea acestuia este maximă sau minimă deci avem un moment de
inerţie principal 1 (notat 1198681) respectiv moment de inerţie principal 2 (notat 1198682)
Expresiile pentru momentele de inerţie principale sunt
11986812 =119868119911 + 119868119910
2plusmn1
2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)
2+ 4 ∙ (119868119911119910)
2 (438)
Dacă momentul de inerţie centrifugal este negativ (119868119911119910 lt 0) direcţia principală
care trece prin primul cadran (definit de sistemul 119911119862119910) este direcţia principală 120783
Pentru suprafeţele cu cel puţin o axă de simetrie direcţiile centrale 119862119911 119862119910 sunt şi
direcții principale de inerţie și evident momentele de inerţie axiale 119868119911 119868119910 sunt momente
de inerţie principale
48 Caracteristici mecanice ale metalelor
Alegerea materialului pentru confecţionarea unei anumite piese se face şi pe baza
aşa numitelor caracteristici mecanice pe care le prezintă materialul Cunoaşterea acestor
caracteristici mecanice are loc numai pe baza unor icircncercări mecanice care să scoată icircn
evidenţă comportarea materialului icircn condiţii de solicitare
Cea mai utilizată icircncercare icircn urma căreia se pun icircn evidenţă caracteristicile
mecanice ale unui material este icircncercarea la tracţiune
481 Icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general
Icircncercarea la tracţiune a oţelului ca de altfel toate icircncercările de materiale este
standardizată
Icircn cele ce urmează se va prezenta numai partea care interesează strict din punct
de vedere al caracteristicilor mecanice ale oţelului
Epruveta de diametru iniţial 1198890 pentru icircncercarea la tracţiune are o porţiune de
lungime 1198710 numită baza de măsurare pe care se măsoară lungirea acesteia sub acţiunea
solicitării
Icircn funcţie de raportul dintre baza de măsurare 1198710 şi diametrul iniţial 1198890 epruvetele
utilizate pentru icircncercări sunt
epruvete normale (scurte) cacircnd 11987101198890 = 5
epruvete lungi cacircnd 11987101198890 = 10
Icircn timpul icircncercării la diferite valori ale forţei 119865 se măsoară lungirea bazei de
măsurare
∆119871 = 120575 = 119871 minus 1198710 (439)
unde
119871 este dimensiunea bazei de măsurare la un moment dat
Curba forţă-lungire (119865 minus ) icircnregistrată icircn urma icircncercării reprezintă curba
caracteristică la tracţiune
La icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general diagrama caracteristică care se
obţine are forma din figura 48
Curba caracteristică la tracţiune depinde de lungimea bazei de măsurare Pentru
icircnlăturarea acestui neajuns curba caracteristică se reprezintă icircn coordonate şi definite
astfel
120590 =119865
1198600 휀 =
120575
1198710 (440)
unde
1198600 este aria iniţială a secţiunii transversale a epruvetei (icircnainte de solicitare) icircn
zona bazei de măsurare
1198600 =120587 ∙ 1198890
2
4
Deoarece mărimile icircn care se reprezintă curba caracteristică la tracţiune sunt
raportate la aria iniţială a secţiunii transversale (mărimi specifice) curba poartă numele
de curbă caracteristică convenţională la tracţiune
Fig 48 Curba caracteristică convenţională la tracțiune
Pe curba caracteristică convenţională la tracţiune figura 48 se pot stabili o serie
de puncte cărora le corespund mai multe mărimi importante
Ordonata punctului A pacircnă unde curba caracteristică convenţională este linie
dreaptă se numeşte limita de proporţionalitate a materialului 120590119901(1205901) Porţiunea 119874119860 este
zona de proporţionalitate a curbei caracteristice pe acest domeniu este valabilă legea lui
Hooke care exprimă o proporţionalitate icircntre tensiune şi deformaţie specifică
120590 = 119864 ∙ 휀 (441)
unde
119864 = reprezintă panta porţiunii liniare a curbei convenționale caracteristice
la tracțiune Caracteristica de material 119864 se numeşte modul de elasticitate longitudinal
(modulul lui Young)
Ordonata punctului 119861 pacircnă unde materialul se comportă perfect elastic adică
după descărcare icircşi recapătă dimensiunea iniţială 1198710 se numeşte limita de elasticitate
120590119890(119877119890) Icircn realitate nici un material nu are comportare perfect elastică sub acţiunea
solicitărilor el capătă deformaţii permanente (remanente plastice)
După punctul 119861 urmează o porţiune 119861119862119863 icircn care cu toate că icircncărcarea
continuă forţa nu mai creşte avacircnd mici oscilaţii icircn jurul unei valori Se spune că icircn
această porţiune materialul curge iar intervalul 119861119862119863 este un palier de curgere Tensiunea
corespunzătoare palierului de curgere se numeşte limită de curgere aparentă 120590119888(119877119888) Limita de curgere aparentă se calculează cu relaţia
120590119888 =1198651198881198600 (442)
unde
119865119888 reprezintă valoarea forţei icircnregistrată icircn momentul curgerii materialului
După punctul 119863 curba caracteristică are un traseu ascendent pacircnă icircn punctul 119864
Porţiunea 119863119864 este numită zonă de icircntărire (ecruisare) Icircn zona de ecruisare unde se
produc deformaţii plastice semnificative legea lui Hooke nu mai este valabilă La
descărcare relaţia dintre tensiunea şi deformaţia specifică este liniară paralelă cu
porţiunea liniară a curbei caracteristice (dreapta 119872119873)
Deformaţia totală (휀119905) are două componente una elastică (휀119890) şi una plastică (휀119901)
Ordonata punctului 119864 reprezintă rezistenţa de rupere 120590119903(119877119898) a materialului
care se poate calcula cu relaţia
120590119903 = 119877119898 =1198651198981198861199091198600
(443)
unde
119865119898119886119909 reprezintă valoarea maximă a forţei icircnregistrată icircn timpul icircncercării
La atingerea valorii 119865119898119886119909 (punctul 119864) icircntr-un anumit loc al epruvetei secţiunea
icircncepe să se micşoreze (se produce gacirctuirea) continuacircnd pacircnă cacircnd se produce ruperea
totală (punctul 119865)
Dacă după ruperea epruvetei cele două părţi rezultate se aşează cap la cap şi se
măsoară dimensiunea bazei de măsurare 119871119906 (lungimea ultimă) se determină alungirea la
rupere sau lungirea specifică la rupere 휀119903
휀119903 =119871119906 minus 11987101198710
=∆119871
1198710=120575
1198710 (444)
De obicei alungirea se exprimă icircn procente şi se notează cu 119860119899 unde 119899 reprezintă
numărul dat de raportul 11987101198890 (epruvete normale 119899 = 5 epruvete lungi 119899 = 10)
119860119899 =119871119906 minus 11987101198710
∙ 100 [] (445)
Altă mărime care se determină la icircncercarea la tracţiune este gacirctuirea la rupere
(exprimată de obicei icircn procente) şi definită de relaţia
119885 =1198600 minus 1198601199061198600
∙ 100 [] (446)
Mărimile determinate limita de proporţionalitate modulul de elasticitate
longitudinal limita de elasticitate limita de curgere aparentă rezistenţa de rupere
alungirea la rupere şi gacirctuirea la rupere sunt cunoscute ca fiind caracteristici mecanice
ale materialului
Din curba caracteristică convenţională observăm faptul că ruperea (punctul 119865 din
figura 48 se produce la o tensiune mai mică decacirct cea corespunzătoare punctului 119864 Dacă
icircnsă forţa din timpul icircncercării s-ar raporta la aria secţiunii din momentul icircnregistrării
forţei (care este mai mică decacirct cea iniţială 1198600) s-ar obţine aşa numita curbă
caracteristică reală a materialului (traseul 1198741198601198611198621198631198651 din figura 48) La curba
caracteristică reală ruperea se produce icircn punctul 1198651 la o icircncărcare mai mare decacirct cea
corespunzătoare punctului 119864 Icircnseamnă că rezistenţa reală la rupere este mai mare decacirct
rezistenţa la rupere dată de punctul 119864 din diagrama caracteristică convenţională
Dificultatea obţinerii diagramei caracteristice reale faţă de cea a diagramei caracteristice
convenţionale şi considerarea unei rezistenţe la rupere mai mică decacirct a celei reale face
icircn practică utilizarea pe scară mare a diagramei caracteristice convenţionale
Caracteristicile mecanice determinate pe baza curbei caracteristice convenţionale
sunt şi ele caracteristici mecanice convenţionale
Caracteristicile mecanice convenţionale limita de proporţionalitate convenţională
120590119901 limita de elasticitate convenţională 120590119890 limita de curgere convenţională 120590119888 şi rezistenţa
de rupere 120590119903 constituie tensiuni limită pentru un material Pe baza acestor caracteristici
de material se alege valoarea tensiunii admisibile 120590119886 (vezi paragraful 35) pentru
calculele de rezistenţă Cea mai utilizată stare limită pentru stabilirea tensiunii admisibile
120590119886 este limita de curgere convenţională 120590119888
120590119886 =120590119897119894119898119888
=120590119888119888 119904119886119906 120590119886 =
120590119903119888 (447)
Caracteristicile mecanice ale materialului sunt influenţate de o serie de factori
temperatura viteza de solicitare factorii tehnologici iar valorile lor sunt date icircn tabele și
diagrame
Aplicaţie Pentru suprafaţa plană compusă din două dreptunghiuri avacircnd
dimensiunile din figura 49a să se calculeze
a) centrul de greutate al secțiunii compuse 119910119866 119911119866
b) momentele de inerție axiale 119868119911 119868119910 și momentul de inerție centrifugal 119868119911119910
c) razele de inerție 119894119911 119894119910
d) modulele de rezistență 119882119911119898119894119899 119882119911119898119886119909 119882119910119898119894119899 119882119910119898119886119909
e) momentele de inerție principale 1198681 1198682 și direcțiile principale de inerție 1205721
f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 119878119911
Fig 49 Aplicație
Rezolvare Pentru rezolvare vom parcurge următoarele etape
icircmpărțim suprafața compusă icircn două suprafețe simple (dreptunghiuri) notate cu
① și respectiv ② figura 49b
poziționăm centrele de greutate a celor două suprafețe simple ① și respectiv ②
notate cu 1198661 și respectiv 1198662 figura 49c
poziționăm sistemele de axe de coordonate 119911111986611199101 pentru dreptunghiul ① și
119911211986621199102 pentru dreptunghiul ② aflate la intersecția diagonalelor figura 49c
poziționăm sistemele de axe de coordonate 11991101198741199100 ales arbitrar față de care
determinăm poziția centrului de greutate 119866 figura 49c
a) calculăm poziția centrului de greutate folosind relațiile (46) icircn care
1198601 = 6119905 ∙ 119905 = 61199052 1198602 = 4119905 ∙ 119905 = 41199052 119860 = 1198601 + 1198602 = 61199052 + 41199052 = 101199052
iar centrele de greutate 1198661 și respectiv 1198662 au coordonatele (față de sistemul 11991101198741199100)
1198661 1199101 = 3119905 1199111 = 05119905
1198662 1199102 = 051199051199112 = 3119905
cu acestea obținem
119910119866 =1198601 ∙ 1199101 + 1198602 ∙ 1199102
119860=61199052 ∙ 3119905 + 41199052 ∙ 05119905
101199052=201199053
101199052= 2119905
119911119866 =1198601 ∙ 1199111 + 1198602 ∙ 1199112
119860=61199052 ∙ 05119905 + 41199052 ∙ 3119905
101199052=151199053
101199052= 15119905
Poziționăm centrul de greutate 119866 al suprafeței compuse figura 49c
Fig 49 Aplicație
b) pentru determinarea momentelor de inerție axiale 119868119911 119868119910 și a momentului de
inerție centrifugal 119868119910119911 determinăm constantele 1198881 1198882 1198891 1198892 care intervin icircn relația lui
Stainer
1198881 = 1199101 minus 119910119866 = 3119905 minus 2119905 = 119905 1198882 = minus(119910119866 minus 1199102) = minus(2119905 minus 05119905) = minus15119905
1198891 = minus(119911119866 minus 1199111) = minus(15119905 minus 05119905) = minus119905 1198892 = 1199112 minus 119911119892 = 3119905 minus 15119905 = 15119905
Folosind relațiile lui Stainer (429) (430) și (431) calculăm momentele de
inerție axiale și centrifugale față de sistemul central 119911119866119866119910119866
119868119911 =sum(119868119911119894 + 1198881198942 ∙ 119860119894) = 1198681199111 + 1198881
2 ∙ 1198601 + 1198681199112 + 11988822 ∙ 1198602
119868119910 =sum(119868119910119894 + 1198891198942 ∙ 119860119894) = 1198681199101 + 1198891
2 ∙ 1198601 + 1198681199102 + 11988922 ∙ 1198602
119868119911119910 =sum(119868119911119894119910119894 + 119888119894 ∙ 119889119894 ∙ 119860119894) = 11986811991111199101 + 1198881 ∙ 1198891 ∙ 1198601 + 11986811991121199102 + 1198882 ∙ 1198892 ∙ 1198602
1198681199111 = (119887 ∙ ℎ3
12) =
119905 ∙ (6119905)3
12= 181199054 1198681199112 = (
119887 ∙ ℎ3
12) =
4119905 ∙ 1199053
12= 031199054
1198681199101 = (1198873 ∙ ℎ
12) =
1199053 ∙ 6119905
12= 051199054 1198681199102 = (
1198873 ∙ ℎ
12) =
(4119905)3 ∙ 119905
12= 531199054
11986811991111199101 = 11986811991121199102 = 0 deoarece cele două triunghiuri au cel puțin o axă de simetrie
Cu acestea momentele de inerție axiale și momentul de inerție centrifugal devin
119868119911 = 181199054 + 1199052 ∙ 61199052 + 031199054 + (minus15119905)2 ∙ 41199052 = 3331199054
119868119910 = 051199054 + (minus119905)2 ∙ 61199052 + 531199054 + (15119905)2 ∙ 41199052 = 2081199054
119868119911119910 = 0 + 119905 ∙ (minus119905) ∙ 61199052 + 0 + (minus15119905) ∙ (15119905) ∙ 41199052 = minus151199054
c) razele de inerție sau de girație față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910
se calculează cu relațiile (411)
119894119911 = radic119868119911119860= radic
3331199054
101199052= 182119905 119894119910 = radic
119868119910
119860= radic
2081199054
101199052= 144119905
d) modulele de rezistență față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910 se
calculează cu relațiile (412) și (413)
Avacircnd icircn vedere figura 419c obținem
119910119898119886119909 = 6119905 minus 119910119866 = 6119905 minus 2119905 = 4119905 119910119898119894119899 = minus119910119866 = minus2119905
119911119898119886119909 = 5119905 minus 119911119866 = 5119905 minus 15119905 = 35119905 119911119898119894119899 = minus119911119866 = minus15119905
Se obține astfel
119882119911119898119894119899 =119868119911
|119910119898119886119909|=3331199054
4119905= 8331199053
119882119911119898119886119909 =119868119911
|119910119898119894119899|=3331199054
2119905= 16651199053
119882119910119898119894119899 =119868119910
|119911119898119886119909|=2081199054
35119905= 5941199053
119882119910119898119886119909 =119868119910
|119911119898119894119899|=2081199054
15119905= 13871199053
e) momentele de inerție principale 1198681 și respectiv 1198682 se calculează cu relațiile
(438)
11986812 =119868119911 + 119868119910
2plusmn1
2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)
2+ 4 ∙ (119868119911119910)
2=
=3331199054 + 2081199054
2plusmn1
2∙ radic(3331199054 minus 2081199054)2 + 4 ∙ (minus151199054)2 = 27051199054 plusmn 16251199054
De unde obținem
1198681 = 27051199054 + 16251199054 = 4331199054
1198682 = 27051199054 minus 16251199054 = 1081199054
Prima direcție principală de inerție 1 face cu axa centrală 119866119911 unghiul 1205721 dat de
relația (437)
1205721 =1
2∙ arctan (minus
2 ∙ 119868119911119910
119868119911 minus 119868119910) =
1
2∙ arctan [minus
2 ∙ (minus151199054)
3331199054 minus 2081199054] =33 70
Deoarece 1205721 gt 0 rotirea axelor se face acircn sens antiorar acelor de ceasornic figura
49d
Poziția axe principale 2 față de care momentul de inerție are valoarea minimă
1198682 = 119868119898119894119899 este dată de unghiul
1205722 = 1205721 + 900 = 33 70 + 900 = 123 70
f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 se determină cu relația
(45)
1198781199111198602 = 1198602 ∙ 1198882 = 41199052 ∙ (minus15119905) = minus61199053
Se defineşte momentul cuplului de forţe ca fiind suma momentelor celor două forţe
icircn raport cu un punct arbitrar din spaţiu O
119888119906119901 = 1199031 times 1 + 1199032 times 2 = 1199031 times 1 + 1199032 times (minus1) = 119903 times 1 (13)
119888119906119901 = 11986021198601 times 1 = 11986011198602 times 2
Din ultima egalitate se observă că momentul cuplului este egal cu momentul unei
forţe din cuplu icircn raport cu punctul de aplicaţie al celeilalte forţe din cuplu iar momentul
cuplului nu depinde de punctul O deci este un vector liber
Vectorul moment 119888119906119901 are următoarele elemente
a) Modulul cuplului 119888119906119901 = 119865 ∙ 119903 ∙ sin 120572 = 119865 ∙ 119889 unde 119889 este distanţa dintre
suporturile celor două forţe şi se numeşte braţul cuplului
b) Direcţia cuplului este perpendiculară pe planul celor două forţe
c) Sensul cuplului este dat de regula burghiului drept
13Reducerea sistemelor de forţe Echilibrul solidului rigid
Dacă asupra unui solid rigid acţionează un sistem complex de forţe pentru
simplificarea calculelor se urmăreşte icircnlocuirea acestuia cu cel mai simplu sistem posibil
care să producă acelaşi efect mecanic asupra corpului studiat ca şi sistemul iniţial de forţe
Această operaţie se numeşte reducerea sistemului de forţe
131 Reducerea unei forţe icircntr-un punct Torsorul de reducere
A reduce o forţă icircntr-un punct icircnseamnă a icircnlocui acea forţă cu cele mai simple
elemente mecanice legate de punctul respectiv care să producă asupra corpului studiat
acelaşi efect ca şi forţa iniţială
Fie o forţă aplicată icircn punctul A al unui solid rigid şi O un punct din spaţiu
figura 15 vom determina elementele mecanice corespunzătoare reducerii forţei icircn
punctul O
Fig 15 Reducerea unei forțe icircntr-un punct
Icircn punctul O se introduce un sistem de două forţe coliniare egale cu de sensuri
contrare pe un suport paralel cu forţa iniţială Efectul acestora asupra corpului este nul
Apare astfel un cuplu de forţe forţa din A şi (minus) din O caracterizat prin momentul
cuplului 119888119906119901 = 0 = 119874119860 times = 119903 times
Aşadar efectul forţei din A a fost icircnlocuit icircn punctul O cu două elemente
mecanice o forţă identică cu aplicată icircn O şi momentul forţei iniţiale icircn raport cu
punctul O Ansamblul celor două elemente mecanice formează aşa numitul torsor de
reducere al forţei icircn punctul O
132 Reducerea unui sistem de forţe icircntr-un punct
Considerăm că asupra unui solid rigid acţionează un sistem de 119899 forţe 119894 aplicate
icircn punctele 119860119894 cu 119894 = 1 119899 şi fie 119874119909119910119911 un sistem de axe de coordonate avacircnd versorii
axelor 119894 119895 figura 16
Fig 16 Reducerea unui sistem forțe icircntr-un punct
Pentru a reduce sistemul de forţe icircn punctul O se procedează astfel
Se reduce pe racircnd fiecare forţă 119894 icircn punctul O la un torsor de reducere compus
dintr-o forţă 119894 şi un moment 119874119894 = 119903119894 times 119894 Făcacircnd această operaţie cu toate forţele icircn
punctul O se obţine
o forţă rezultantă
= sum119894
119899
119894=1
un moment rezultant
0 =sum119874119894
119899
119894=1
=sum119903119894 times 119894
119899
119894=1
Cele două elemente mecanice definesc torsorul de reducere al sistemului de forţe
icircn punctul O
Torsorul de reducere se poate calcula analitic dacă forţele sunt exprimate analitic
119894 = 119883119894 ∙ 119894 + 119884119894 ∙ 119895 + 119885119894 ∙ unde 119883119894 119884119894 119885119894 sunt proiecţiile forţei 119894 pe axele 119874119909 119874119910
respectiv 119874119911 Rezultanta forţelor icircn punctul O este
= (sum119883119894
119899
119894=1
) ∙ 119894 + (sum119884119894
119899
119894=1
) ∙ 119895 + (sum119885119894
119899
119894=1
) ∙ = 119883 ∙ 119894 + 119884 ∙ 119895 + 119885 ∙
(14)
unde sunt componentele rezultantei pe axele 119874119909 119874119910 și 119874119911 = + +
Icircn mod analog momentul rezultant icircn punctul O este
0 = (sum119872119909119894
119899
119894=1
) ∙ 119894 + (sum119872119910119894
119899
119894=1
) ∙ 119895 + (sum119872119911119894
119899
119894=1
) ∙ =
= 119872119909 ∙ 119894 + 119872119910 ∙ 119895 + 119872119911 ∙
(15)
unde 119909 119910 119911 sunt componentele vectorului moment 0 pe axele 119874119909 119874119910 respectiv 119874119911
0 = 119909 + 119910 + 119911
133 Echilibrul solidului rigid
Torsorul de reducere al sistemului de forţe determină mişcarea solidului rigid icircn
spaţiu sub acţiunea forţelor exterioare aplicate
Torsorul de reducere conţine o forţă rezultantă cu trei componente
perpendiculare icircntre ele şi un moment rezultant avacircnd trei componente ortogonale
perpendiculare 119909 119910 119911 orientate după axele sistemului 119874119909119910119911 Cele trei componente
ale rezultantei produc translaţii (deplasări liniare ) ale corpului pe direcţiile 119874119909 119874119910
respectiv 119874119911 Componentele momentului rezultant 0 produc rotiri (deplasări
unghiulare) ale corpului icircn jurul axelor de coordonate 119874119909 119874119910 respectiv 119874119911 Se spune ca
solidul liber are 6 grade de libertate (6 posibilităţi de deplasare) Pentru ca solidul să fie
icircn echilibru trebuie suprimate toate gradele de libertate Aşadar corpul este icircn echilibru
dacă elementele torsorului de reducere al forţelor exterioare este nul
Condiţiile de echilibru ale solidului rigid sunt
= 0 rArr 119883 = 119884 = 119885 = 0
0 = 0 rArr 119872119909 = 119872119910 = 119872119911 = 0
(16)
Observaţie Un solid rigid liber solicitat de forţe aplicate icircntr-un plan (119909119900119910) are
trei grade de libertate Condiţiile de echilibru sunt
= 0 rArr 119883 = 119884 = 0
0 = 0 rArr 119872119911 = 0
(17)
14 Aplicaţii
141 Să se stabilească mărimea şi ordinul rezultantei sistemului de forţe din figura
17 dacă se cunosc 1 = 100 [119873] 2 = 200 [119873] și 3 = 300 [119873]
Rezolvare
Pentru rezolvarea acestui sistem de forte de prezinta doua metode
a) Rezolvare analitică
Descopunem cele două forțe icircnclinate 2 și 3 după cele două axe de coordonate
Ox și Oy
2 = (minus1198652119909) ∙ 119894 + (1198652119910) ∙ 119895 = (minus1198652 ∙ cos 600) ∙ 119894 + (1198652 ∙ sin 60
0) ∙ 119895 =
= (minus200 ∙1
2) ∙ 119894 + (200 ∙
radic3
2) ∙ 119895 = minus100 ∙ 119894 + 100 ∙ radic3 ∙ 119895
3 = (minus1198653119909) ∙ 119894 + (minus1198653119910) ∙ 119895 = (minus1198653 ∙ cos 450) ∙ 119894 + (minus1198653 ∙ sin 45
0) ∙ 119895 =
= (minus300 ∙radic2
2) ∙ 119894 + (minus300 ∙
radic2
2) ∙ 119895 = minus150 ∙ radic2 ∙ 119894 minus 150 ∙ radic2 ∙ 119895
Pentru stabilirea mărimii şi ordinului rezultantei sistemului de forţe din figură se
procedează astfel
Forţele sunt exprimate analitic 119894 = 119883119894 ∙ 119894 + 119884119894 ∙ 119895 unde 119883119894 119884119894 sunt proiecţiile
forţei 119894 pe axele 119874119909 respectiv 119874119910
1 = 100 ∙ 119894 + 0 ∙ 119895
2 = minus100 ∙ 119894 + 1732 ∙ 119895
3 = minus2121 ∙ 119894 minus 2121 ∙ 119895
Fig 17 Aplicația 141
Se determină rezultanta forţelor cu următoarea relaţie
= sum119865119894 prime (sum119883119894
119899
119894=1
) ∙ 119894 + (sum119884119894
119899
119894=1
) ∙ 119895 = 119883 ∙ 119894 + 119884 ∙ 119895
unde 119883 119884 sunt componentele rezultantei pe axele 119874119909 respectiv 119874119910 = +
= (100 minus 100 minus 2121) ∙ 119894 + (0 + 1732 minus 2121) ∙ 119895 = (minus2121) ∙ 119894 + (minus389) ∙ 119895
rArr 119883 = minus2121 [119873]
119884 = minus389 [119873]
Cu acestea obținem rezultanta
119877 = radic1198832 + 1198842 = radic(minus2121)2 + (minus389)2 = 21564 [119873]
Se reprezintă grafic rezultanta icircn sistemul de coordonate 119909119874119910 după care se
calculează unghiul 120572 pe care aceasta rezultantă icircl face cu axa 119874119909 figura 18
tan 120572 =119884
119883=minus389
minus2121= 0183 rArr 120572 = arctan(0183) = 10 40
Fig 18 Reazultanta forțelor aplicate
b) Rezolvare tabelară
Forţa 119894 Componenta 119883119894 Componenta 119884119894
1 1198651 = 100 1198651 = 0
2 minus1198652 ∙ cos 600 = minus100 1198652 ∙ sin 60
0 = 1732
3 minus1198653 ∙ cos 450 = minus2121 minus1198653 ∙ sin 45
0 = minus2121
= sum119894 119883 =sum119883119894 = minus2121 119884 =sum119884119894 = minus389
După determinarea tabelară a celor două componente ale rezultandei calculele se
continua ca şi icircn cazul rezolvării analitice
142 Să se calculeze momentul forţei verticale = 100 [119873] icircn raport cu punctele
B D O şi icircn raport cu axele Ox Oy şi Oz figura 19 și să se determine componentele
torsorului de reducere ale forţei icircn punctul O dacă se cunosc 119886 = 3 [119898] şi 119887 = 4 [119898]
Fig 19 Aplicația 142
Fig 110 Icircnclinarea momentului 119872119874
119861 = 119861119860 times
119872119861 = 119886 ∙ 119865 = 3 ∙ 100 = 300 [119873 ∙ 119898]
119863 = 119863119860 times
119872119863 = 119887 ∙ 119865 = 4 ∙ 100 = 400 [119873 ∙ 119898]
119874 = 119874119860 times
119872119874 = 119888 ∙ 119865 = radic1198862 + 1198872 ∙ 119865 = radic32 + 42 ∙ 100 = 5 ∙ 100 = 500 [119873 ∙ 119898]
119874 se află icircn planul 119909119874119910 cu icircnclinarea 120572 (figura 110)
tan120572 =119886
119887=3
4= 075 rArr 120572 = arctan(075) = 36860
Deci
120572 = 900 minus 120573 = 900 minus 36860 = 53140
Concluzie Componentele torsorului de reducere al forței icircn punctul O sunt o forta
icircn O identică cu forța din punctul A și momentul forței icircn raport cu punctul O 119874
2 INTRODUCERE IcircN REZISTENŢA MATERIALELOR
21 Obiectul şi problemele Rezistenţei materialelor
Rezistenţa materialelor este o disciplină de cultură tehnică generală care continuă
logic şi dezvoltă Mecanica prin introducerea icircn calcule a proprietăţilor de deformabilitate
ale corpurilor solide reale Icircn Mecanică corpul solid este considerat rigid nedeformabil
iar vectorii forţă de icircncărcare sunt consideraţi alunecători Rezistenţa materialelor ia icircn
studiu corpurile reale care sub acţiunea forţelor exterioare (vectori legaţi) icircşi schimbă
forma geometrică respectiv dimensiunile iniţiale şi se distrug prin rupere la valori mari
ale acestora Prin calculele de rezistenţă se determină dimensiunile secţiunilor
transversale ale corpurilor (elemente de rezistenţă) icircn funcţie de mărimea poziţia şi modul
de acţionare a forţelor exterioare proprietăţile mecanice ale materialelor dimensiunile
constructive forma şi importanţa ansamblului icircn care se icircnglobează iar icircn anumite cazuri
şi de durata de funcţionare Elementele de rezistenţă trebuie să icircndeplinească următoarele
condiţii de bază
- condiţia de rezistenţă care are icircn vedere ca eforturile din elementul de rezistenţă
să nu producă distrugerea acestuia prin rupere sau spargere icircn bucăţi
- condiţia de rigiditate se referă la valorile deformaţiilor care nu trebuie să
depăşească anumite mărimile admisibile
- condiţia de stabilitate care consideră posibilitatea menţinerii formei de echilibru
stabil pentru o anumită stare de icircncărcare
Criteriile de rezolvare ale problemelor de Rezistenţa materialelor sunt
- criteriul economic prin care se impune ca orice element de rezistenţă (piesă) să
fie proiectat şi realizat cu soluţia cea mai economică icircn privinţa materialului utilizat şi al
manoperei
- criteriul de bună funcţionalitate a ansamblului din care face parte elementul de
rezistenţă proiectat respectacircnd condiţiile de rezistenţă rigiditate şi stabilitate
Icircn cadrul Rezistenţei materialelor se admit ipoteze simplificatoare care permit
obţinerea unor relaţii de calcul relativ simple şi care exprimă destul de fidel fenomenul
de solicitare real Experimentările practice icircn laborator permit verificarea legilor
rezistenţei materialelor şi determinarea caracteristicilor mecanice ale materialelor
Rezistenţa materialelor permite rezolvarea următoarelor categorii de probleme
- probleme de dimensionare prin care se stabilesc dimensiunile optime ale
elementelor de rezistenţă proiectate icircn funcţie de icircncărcările exterioare (forţe sau
momente) şi de caracteristicile mecanice ale materialului utilizat
- probleme de verificare la care se determină dacă un element de rezistenţă de
dimensiuni cunoscute satisface condiţiile de rezistenţă rigiditate şi stabilitate cunoscacircnd
icircncărcarea exterioară şi caracteristicile mecanice ale materialului utilizat
- probleme de calcul al capacităţii de icircncărcare al unui element de rezistenţă
cunoscacircndu-se caracteristicile mecanice ale materialului dimensiunile şi modul de
solicitare se determină icircncărcarea maximă pe care o poate suporta elementul de rezistență
fără a ceda sau a se deforma periculos
22 Clasificarea corpurilor icircn Rezistenţa materialelor
Corpurile (elementele de rezistenţă) au icircn general forme constructive relativ
complicate Icircn Rezistenţa materialelor pentru simplificarea calculelor corpurile se
schematizează prin forme geometrice mai simple obţinacircndu-se următoarele grupe
a) corpuri solide cu o dimensiune mult mai mare decacirct celelalte două (corpuri cu
fibră medie) Elementele geometrice caracteristice sunt axa longitudinală şi secţiunea
transversală Aceste corpuri solide pot fi
- fire dacă dimensiunile secţiunii transversale sunt foarte mici astfel icircncacirct axa
longitudinală este flexibilă (icircşi schimbă forma uşor) iar sarcinile transversale nu pot fi
preluate de acesta Un fir nu poate fi solicitat decacirct la icircntindere (exemplu cabluri de
macara lanţuri etc)
- bare care rezistă atacirct la solicitări axiale cacirct şi la solicitări transversale
După modul de solicitare barele poartă diferite denumiri convenţionale
tiranţi-solicitaţi la icircntindere figura 21a
stacirclpi-solicitaţi la compresiune figura 21b
grinzi-solicitate la icircncovoiere figura 21c
arbori-solicitaţi la torsiune (răsucire) figura 21d
Fig 21 Denumirea barelor după modul de solicitare
După modul cum variază secţiunea icircn lungul axei barele pot fi
de secţiune constantă figura 22a
de secţiune variabilă continuă figura 22b sau icircn trepte figura 22c
Fig 22 Denumirea barelor după secțiune
După forma axei longitudinale barele pot fi
drepte figura 21
curbe icircn plan figura 23a sau icircn spaţiu figura 23b (numite și curbe stracircmbe)
cotite (axa barei este o linie fracircntă) plane figura 23c sau spațiale figura 23d
Fig 23 Tipuri de bare curbe și cotite
Secţiunea transversală (plană şi normală pe axa barei) poate avea orice formă
geometrică constantă sau variabilă icircn lungul barei
Dacă una din dimensiunile secţiunii transversale (grosimea) este mai mică
comparativ cu celelalte bara se numește bară cu pereţi subţiri (exemplu barele
realizate din platbande sudate cu secţiuni sub formă de profil I profil U cornier etc)
b) corpuri care au două dimensiuni mult mai mari icircn raport cu a treia (grosimea)
se numesc plăci Elementele geometrice caracteristice ale unei plăci sunt forma şi
dimensiunile suprafeţei mediane respectiv grosimea Plăcile se reprezintă schematic
printr-o suprafață care imită forma și dimensiunile suprafeței mediane Suprafaţa mediană
reprezintă locul geometric al tuturor punctelor egal depărtate de cele două feţe ale plăcii
puncte aflate pe perpendicularele duse icircntre cele două feţe figura 24
După destinaţie și forma suprafeței mediane se deosebesc
plăci plane figura 24b
plăci curbe (icircnvelişuri) cu o singură curbură figura 24a sau avacircnd curbură
dublă figura 24c
Fig 24 Tipuri de plăci plane
Plăcile cu grosime mare sunt denumite frecvent dale O placă de grosime mică
ce nu poate prelua decacirct solicitări la icircntindere poartă numele de membrană
Exemple de plăci icircnvelişurile vasele de revoluţie discurile etc
c) corpuri masive care au toate cele trei dimensiuni aproximativ de acelaşi ordin
de mărime (blocuri de fundaţii bile şi role de rulmenţi tuburi cu pereţi groşi etc)
Calculele de rezistenţă sunt mai simple icircn cazul barelor drepte şi mai complicate
la barele curbe plăci respectiv blocuri
23 Clasificarea icircncărcărilor exterioare
Un corp icircşi păstrează forma şi dimensiunile datorită forţelor de atracţie dintre
particulele sale elementare atacircta timp cicirct asupra sa nu acţionează alte forţe aplicate din
exterior care să-l deformeze Icircn construcţia de maşini elementele de rezistenţă preiau şi
transmit acţiunea unor sarcini exterioare (forţe şisau cupluri) pe care le vom denumi
generic forțe sau icircncărcări exterioare Efectul pe care-l au sarcinile este acela de a
modifica forma şi dimensiunile corpului asupra căruia se aplică Icircn punctele de rezemare
(de sprijin sau de legătură cu alte elemente de rezistenţă icircnvecinate) ca urmare a
principiului acţiunii şi reacţiunii apar forţe de legătură sau reacţiuni Ansamblul format
din sarcini şi reacţiuni este cunoscut sub numele de forţe exterioare Sub acţiunea
forţelor exterioare elementele de rezistenţă trebuie să fie icircn echilibru
Forţele exterioare pot fi clasificate după următoarele criterii
a) după mărimea suprafeţei pe care se aplică
- forțe concentrate aplicate teoretic icircntr-un punct figura 25a
- forțe distribuite uniform sau cu intensitate variabilă icircn lungul barei sau pe o
suprafaţă figura 25bc şi d
- momente concentrate care acţionează icircntr-un punct M sau momente uniform
distribut pe o anumită lungime m
Fig 25 Tipuri de sarcini după mărimea suprafeţei de aplicare
b) după locul de aplicare se deosebesc
- forţe de suprafaţă sau de contur care sunt aplicate din exterior pe suprafaţa
corpurilor şi indică legătura cu piesele icircnvecinate
- forţe masice sau de volum distribuite icircn tot corpul (greutăţi forţe de inerţie
respectiv forţe electromagnetice)
c) după modul de acţiune icircn timp se disting
- forţe statice care se aplică lent şi progresiv pacircnă la valoarea nominală de lucru
şi apoi rămacircn constante figura 26a
- forţe dinamice care rezultă din
aplicarea cu icircntreaga intensitate de la icircnceputul perioadei de solicitare iar apoi forţa se
menţine constantă timp icircndelungat figura 26b (forţe de inerţie)
aplicarea bruscă a sarcinii asupra corpului durata de acţiune a sarcinii fiind mică figura
26c (forţe de şoc)
variaţia periodică icircn timp a intensităţii forţei aplicate figura 26d (forţe de oboseală)
Fig26 Tipuri de forţe exterioare (cicluri de solicitare)
Funcţie de modul de variaţie al forţelor exterioare solicitările pot fi statice
oscilante pulsante alternante etc Experimental s-a constatat că rezistenţa unui material
depinde foarte mult de modul de variaţie a forţelor icircn timp Bach a clasificat solicitările
icircn 3 categorii 1-solicitări statice 2-solicitări pulsante 3-solicitări alternant simetrice
Rezistenţa unui material este icircn raportul 321 pentru cele 3 cazuri de solicitare ale lui
Bach Aceasta icircnseamnă că o piesă solicitată static rezistă la o forţă de 3 ori mai mare
decacirct forţa maximă care produce ruperea aceleaşi piese solicitate alternant simetric
d) după poziţia icircn timp a forțelor se disting
- forţe fixe ale căror puncte de aplicaţie sunt mereu aceleaşi
- forţe mobile ale căror puncte de aplicaţie se deplasează icircn timp De exemplu
sarcinile produse de vehiculele care circulă pe un pod sarcinile unei grinzi de pod rulant
icircntr-o halăetc
24 Reazeme Forțe interioare Eforturi Diagrame de eforturi icircn barele
drepte
241 Reazeme Reacțiuni (forțe de legătură)
Pentru a prelua şi transmite acţiunea sarcinilor exterioare elementele de rezistenţă
din componenţa unei structuri sunt fixate icircntre ele prin intermediul unor legături
exterioare numite reazeme Aceste legături au ca scop icircmpiedicarea anumitor mişcări ale
corpului pe direcţiile pe care acestea nu trebuie să se producă O legătură are deci rolul
de a anula unul sau mai multe grade de libertate ale corpului icircn punctul de rezemare Dacă
este anulat un singur grad de libertate legătura este simplă iar dacă sunt impiedicate mai
multe grade de libertate legătura este una compusă Datorită existenţei sarcinilor
exterioare icircn punctele de rezemare pe direcţiile pe care mişcările sunt icircmpiedicate apar
forţe de legătură numite reacţiuni Numărul natura şi direcţiile reacţiunilor depind de
tipul reazemelor Icircn construcţiile reale există o varietate mare de realizare practică a
reazemelor dar icircn calcule se acceptă anumite schematizări care reţin doar aspectul esenţial
al unui reazem şi anume gradul sau gradele de libertate anulate
Pentru o structură de rezistenţă spaţială icircntr-un punct oarecare sunt posibile şase
deplasări trei deplasări liniare (după direcţiile axelor unui sistem ortogonal) şi trei rotiri
(deplasări unghiulare) icircn jurul aceloraşi axe Ca urmare ar fi posibil de realizat maximum
şase tipuri de reazem
Pentru un element de rezistenţă plan icircncărcat cu eforturi cuprinse icircn planul
elementului icircn orice punct sunt posibile trei gade de libertate două deplasări liniare şi o
rotiri Ca urmare pentru cazul unei bare plane se icircntacirclnesc următoarele tipuri de reazeme
1 Reazemul simplu sau reazemul mobil care icircmpiedică deplasarea pe o direcţie
normală pe suprafaţa de rezemare permiţacircnd deplasarea pe o direcţie paralelă cu
suprafaţa de rezemare şi rotirea barei icircn jurul unei axe perpendiculare pe plan icircn punctul
de rezemare Icircn urma icircmpiedicării deplasării şi datorită unor sarcini exterioare icircn
reazemul simplu apare o reacţiune de tip forţă a cărei suport trece prin punctul de
rezemare şi a cărei direcţie este perpendiculară pe suprafaţa de rezemare figura 27
Fig 27 Reazem simplu (mobil)
Icircn figura 27 este reprezentat un reazem mobil poziţionat pe capătul A al unei bare
plane orizontale fiind evidenţiate punctul şi suprafaţa de rezemare direcţia suportului
reacţiunii şi modul de schematizare al reazemului Cea mai des icircntacirclnită reprezentare a
reazemului mobil este a unui triunghi a cărui bază poate luneca pe suprafaţa de rezemare
2 Reazemul fix sau articulaţia icircmpiedică deplasările liniare după toate direcţiile
din planul barei permiţacircnd doar rotirea barei icircn jurul unei axe perpendiculare pe plan şi
care trece prin puncul de rezemare Reacţiunea este cuprinsă icircn planul barei care trece
prin punctul de rezemare dar a cărei mărime şi direcţie nu sunt cunoscute (forţa R)
figura 28
Fig 28 Reazem fix
Se preferă ca icircn locul unei forţe R avacircnd direcţia oarecare icircn plan necunoscută să
se introducă două forţe (HA şi VA) cărora li se cunoaşte direcţia şi pentru care se vor
determina modulele ca valori din condiţiile de echilibru static Icircntr-un reazem fix apar
icircntotdeauna reacţiuni atacirct pe direcţia perpendiculară pe suprafaţa de rezemare
(verticală) cacirct şi pe direcţia paralelă cu prima (orizontală) chiar dacă uneori una sau
chiar ambele reacţiuni au valoarea zero Reprezentarea schematică a articulaţiei este cea
a unui triunghi cu baza fixă şi cu vacircrful icircn punctul de rezemare sau cea a unui pendul
dublu figura 28
3 Icircncastrarea (sau icircnţepenirea) anulează toate gradele de libertate ale capătului
unei bare icircmpiedicacircnd deplasarea liniară după orice direcţie din plan precum şi rotirea
barei icircn jurul unei axe perpendiculare pe plan şi care trece prin punctul de icircncastrare
Urmare a existenţei sarcinilor exterioare şi a blocării deplasărilor icircn icircncastrare apare o
reacţiune căreia nu i se cunoaşte nici mărimea nici direcţia şi nici punctul de aplicaţie
figura 29
Fig 29 Icircncastrarea
Sub acţiunea forţelor exterioare un sistem este icircn echilibru Valoarea reacţinilor
se determină din condiţia de echilibru a sistemului solicitat
Este cunoscut faptul că un sistem plan este icircn echilibru dacă
nu se deplasează pe o direcţie (fie x această direcţie)
nu se deplasează pe o direcţie perpendiculară pe prima (fie y această direcţie)
nu se roteşte faţă de un punct al planului (fie K acest punct)
Cele trei condiţii enunţate mai sus sunt satisfăcute dacă suma proiecţiilor tuturor
forţelor pe direcţia x respectiv y este nulă şi suma tuturor momentelor (cuplurilor) faţă
de un punct al planului este nulă
242 Forțe interioare Metoda secțiunilor
Icircn vederea calculului de rezistenţă de rigiditate şi de stabilitate a barelor sau a
sistemelor de bare este necesară determinarea forţelor şi momentelor interioare
(eforturilor) care apar icircn secţiunile transversale ale acestora şi datorate icircncărcărilor
exterioare Forțele interioare indică legătura dintre particulele din interiorul corpului şi
se pun icircn evidenţă prin metoda secţiunilor care este un procedeu de raţionament
imaginar propus de Cauchy echivalent cu teoria echilibrului părţilor Conform acestui
raționament bdquodacă un corp solid deformabil este icircn echilibru sub acţiunea unui sistem
generalizat de forţe atunci după secționare fiecare parte a sa va fi icircn echilibru sub
acţiunea forţelor exterioare care-i revin şi a unui sistem de forţe pe care trebuie să-l
introducem icircn secţiunea ce delimitează fiecare parte echivalent cu acţiunea forţelor
aplicate pe partea icircndepărtatărdquo
Problemele care apar la aplicarea metodei secţiunilor sunt
- să pună icircn evidenţă existenţa forţelor interioare mai ales că din ceea ce se ştie o
forţă apare icircn prezenţa a două corpuri ca urmare a principiului acţiunii şi reacţiunii
- să explice modul de distribuţie al forţelor interioare pe secţiune
Considerăm un corp aflat icircn echilibru sub acţiunea unui sistem de forţe exterioare
1 2 3⋯119894 ⋯ 119899minus1 119899 şi presupunem că-l secţionăm cu un plan transversal Q (sau cu
o suprafaţă oarecare) figura 210a Icircn urma secţionării fictive (imaginare) conform
principiului echilibrului părţilor fiecare din cele două părţi obţinute trebuie să fie icircn
echilibru sub acţiunea forţelor exterioare care le revin şi a cacircte unui sistem de forţe
interioare pe care trebuie să-l introducem icircn secţiunile rezultate sistem echivalent cu
acţiunea forţelor exterioare ce acţionează asupra celeilalte părţi Astfel pe partea din
dreapta (notată cu II) delimitată de secţiunea de arie Ad sunt aplicate forţele exterioare
119894 ⋯ 119899minus1 119899 şi un sistem de forţe interioare căruia nu i se cunoaşte decacirct efectul acelaşi
cu cel al forţelor 1 2 3 de pe parea din stacircnga (notată cu I şi delimitată de secţiunea
de arie As) figura 210b Prin metoda secţiunilor am reuşit să punem icircn evidenţă existenţa
forţelor interioare şi să le trecem icircn categoria celor exterioare cărora le putem aplica
relaţiile de echivalenţă şi de echilibru cunoscute din statică Ideal ar fi să cunoaştem
distribuţia şi intensitatea punctuală a acestor forţe pentru că s-ar putea ca icircn anumite
puncte ale secţiunii valoarea forţelor să depăşească limita de rezistenţă (limita de curgere)
a materialului Cunoaşterea distribuţiei punctuale a forţelor interioare nu se poate realiza
decacirct icircn cazuri particulare relativ simple de solicitare
Să considerăm partea din dreapta a corpului asupra căreia acționează forțele
119894 ⋯ 119899minus1 119899 mărginit de aria Ad pe care acționează un sistem de forțe interioare
echivalent cu 1 2 3 Deși forțele interioare de pe Ad nu se cunosc totuși efectul lor
este același cu cel al forțelor 1 2 3 deci le putem reduce icircn centrul de greutate C al
secțiunii Ad rezultacircnd componentele torsorului de reducere al forțelor interioare
(119894119889 119894119889) și pentru partea din stacircnga (119894119904 119894119904) Evident conform principiului acțiunii și
reacțiunii
119894119889 = minus119894119904
119894119889 = minus119894119904 (21)
Pe de altă parte cum fiecare dintre părțile corpului după secționare trebuie să fie
icircn echilibru sub acțiunea forțelor exterioare care le revin și a forțelor interioare introduse
rezultă
119894119889 = minus119890119889
119894119889 = minus119890119889
119894119904 = minus119890119889
119894119904 = minus119890119904 (22)
Combinacircnd (21) cu (22) rezultă
119894119889 = 119890119889
119894119889 = 119890119889
119894119904 = 119890119904
119894119904 = 119890119904 (23)
Fig 210 Forțe interioare
Relațiile (22) și (23) permit determinarea componentelor torsorului de reducere
al forțelor interioare din (23) rezultă componentele torsorului forțelor interioare care
acționează icircn secțiunea Ad sunt egale cu componentele torsorului de reducere al forțelor
exterioare de pe partea din stacircnga din (22) rezultă componentele torsorului forțelor
interioare care acționează icircn secțiunea Ad sunt egale și de sens contrar cu componentele
torsorului de reducere al forțelor exterioare de pe partea din dreapta
Observații
1 Torsorul forțelor interioare diferă de la o secțiune la alta dar pentru aceeași
secțiune el este unic și trebuie să respecte condițiile de compatibilitate a deformațiilor
2 Reducacircnd forțele interioare icircn centrul de greutate al secțiunii s-a făcut o
aproximare icircn ceea ce privește efectul modului de dispunere al forțelor
3 Punctul de reducere trebuie să fie
pentru forțele interioare normale la secțiune centrul de greutate
pentru forțele interioare tangente la planul secțiunii centrul de răsucire sau de
tăiere
243 Eforturi
Prin metoda secțiunilor am pus icircn evidență existența forțelor interioare și modul
icircn care se determină componentele torsorului de reducere al forțelor interioare (119894119889 119894119889) de pe fața din dreapta secțiunii (Ad) Cele două componente ale torsorului de reducere al
forțelor interioare de pe Ad se pot descompune după axele unui sistem de referință
triortogonal xCyz astfel
119894119889 = +
119894119889 = 119909 +119872119894 (24)
unde și 119909 sunt proiecțiile lui 119894119889 și respectiv 119894119889 pe axa longitudinală Cx a
barei iar și 119894 sunt proiecțiile acelorași componente 119894119889 și respectiv 119894119889 pe planul yCz
al secțiunii transversale Ad figura 211
Fig 211 Torsorul de reducere al forţelor interioare
La racircndul lor și 119894 se pot descompune după axele sistemului yCz figura 212
= 119910 + 119911
119894 = 119894119910 + 119894119911 (25)
Fig 212 Descompunerea forţei tăietoare şi a momentului icircncovoietor
Cele șase componente ale torsorului de reducere al forțelor interioare ( 119910 119911
119909 119894119910 119894119911) orientate după axele sistemului de referință xCyz se numesc eforturi
Fiecare efort are o denumire stabilită icircn funcție de tipul de deformație pe care-l produce
De asemenea semnul plus (bdquo+rdquo) sau minus (bdquondashrdquo) al fiecărui efort nu depinde de sensul
pozitiv sau negativ al sistemului de axe ci doar de efectul icircn deformații al fiecărui efort
Denumirile celor șase eforturi sunt
119873 este forța axială
119879119910 119879119911 sunt forțe tăietoare orientate după axele Cy și respectiv Cz
119872119909 notat de cele mai multe ori cu 119872119905 este moment de torsiune sau de răsucire
119872119894119911 119872119894119910 sunt momente de icircncovoiere icircn jurul axei Cz și respectiv Cy
Forța axială 119873 poate fi forță axială de icircntindere cacircnd produce o lungire a
tronsonului pe a cărei față acționează (119873 gt 0) figura 213a sau forță axială de
compresiune cacircnd sub efectul ei bara se scurtează (119873 lt 0) figura 213b
Fig 213 Forța axială
Forțele tăietoare 119879119910 și 119879119911 au ca efect lunecarea secțiunii icircn centrul căreia
acționează icircn raport cu secțiunea icircnvecinată lunecare ce se produce pe direcția și icircn sensul
forței Sub acțiunea unei forțe tăietoare bara este solicitată la forfecare Forța tăietoare
este pozitivă 119879119910 gt 0 dacă icircn raport cu un punct oarecare K de pe axa Cx a barei tinde să
rotească secțiunea pe care acționează icircn sens orar
Fig 214 Forța tăietoare
Momentele de icircncovoiere 119872119894119911 și 119872119894119910 au ca efect o rotire a secțiunii icircn centrul
cărora acționează icircn jurul axei după care sunt orientate Icircn figura 215a se vede că
datorită momentului 119872119894119911 fibrele de deasupra axei Cz se alungesc icircn timp ce fibrele de sub
axa Cz se scurtează Fibrele care trec prin axa de icircncovoiere Cz nu se deformează sunt
fibre neutre la icircncovoiere adică axa neutră este Cz Icircn cazul momentului de icircncovoiere
119872119894119910 fibrele care nu se deformează sunt cele care trec prin axa neutră la icircncovoiere Cy
Momentele de icircncovoiere se consideră a fi pozitive (119872119894119911 gt 0119872119894119910 gt 0) dacă
observatorul care privește bara deformată vizualizează fibrele icircntinse
Fig 215 Momentul icircncovoietor
Momentul de torsiune sau de răsucire 119872119909 equiv 119872119905 are ca efect o rotire a secțiunii
icircn al cărei centru acționează icircn jurul axei longitudinale Cx Ca efect secțiunea icircși schimbă
forma (se deformează) adică unghiurile inițiale se modifică dreptunghiul inițial Ad
devine paralelogram Convențional se consideră 119872119905 gt 0 dacă vectorul moment are
aceeași orientare ca și sensul pozitiv ales pextru axa Cx Icircn figura 216 momentul este
negativ
Fig 216 Momentul de torsiune
25 Definiții și convenții de semne pentru eforturile
din secțiunile unei bare drepte plane icircncărcate cu sarcini coplanare
Vom considera o bară plană icircncărcată cu un sistem de forțe arbitrar figura 217
Ne propunem să determinăm eforturile care apar icircn secțiunea barei aflată la distanța 119909 de
reazemul din stacircnga (A)
Pentru aceasta vom aplica metoda secțiunilor vom secționa bara cu un plan
perpendicular pe axa longitudinală a barei și vom analiza doar partea din dreapta secțiunii
mărginită de fața Ad Pentru ca această porțiune de bară să fie icircn echilibru sub acțiunea
forțelor exterioare care acționează asupra sa 1198653 și 119881119861 va trebui să introducem icircn centrul
secțiunii Ad eforturile care pot să apară 119873 119879119910 119872119894119911 Acțiunea acestor eforturi trebuie să
fie echivalentă cu acțiunea forțelor exterioare aplicate pe partea icircnlăturată (parcursă) a
barei 119867119860 119881119860 1198651 1198652 1198720
Deoarece bara este plană și este icircncărcată doar cu sarcini ce aparțin
planului barei
icircn secțiunea Ad apar doar 3 componente ale torsorului de reducere al forțelor
interioare (eforturi)
- 119873 = forța axială
- 119879119910 = forța tăietoare pe care o vom nota cu 119879
- 119872119894119911 = momentul icircncovoietor notat cu Mi
Fig 217 Bară plană icircncărcată cu un sistem de forțe
Vom prezenta următoarele definiții corespunzătoare eforturilor din secțiunea Ad
119873 = forța axială dintr-o secțiune este egală cu suma algebrică a proiecțiilor pe
axa longitudinală a tuturor forțelor exterioare (sarcini și reacțiuni) aplicate pe partea
din stacircnga secțiunii adică pe porțiunea parcursă Forța axială 119873 este pozitivă dacă trage
de tronsonul pe a cărei față acționează (are orientarea normalei exterioare la secțiunea
Ad)
119873(119909) = minus119867119860 + 1198651119867 (26)
119879 = forța tăietoare icircntr-o secțiune este egală cu suma algebrică a proiecțiilor
pe o axă perpendiculară pe axa barei a tuturor forțelor exterioare (sarcini și reacțiuni)
aplicate pe porțiunea de bară aflată icircn stacircnga secțiunii considerate Forța tăietoare 119879
este pozitivă dacă tinde să rotească tronsonul pe a cărui față acționează icircn sens orar icircn
raport cu un punct de pe axa barei aflat la dreapta secțiunii
119879(119909) = 119881119860 minus 1198651119881 minus 1198652 (27)
119872119894 = momentul icircncovoietor icircntr-o secțiune este egal cu suma algebrică a
momentelor obținute prin reducerea tuturor forțelor exterioare ( cupluri sarcini
reacțiuni) aplicate pe porțiunea de bară aflată la stacircnga secțiunii icircn centrul secțiunii
considerate 119872119894 este considerat pozitiv dacă tinde să deformeze bara astfel icircncacirct fibrele
spre care privește un observator să fie icircntinse Cum poziția observatorului este de regulă
sub bară bara se deformează dacă 119872119894 gt 0 astfel icircncacirct partea jos a barei este icircntinsă Se
spune că bara deformată rdquoține apaldquo
119872119894(119909) = 119881119860 ∙ 119909 minus 1198651119881 ∙ (119909 minus 1198971) minus 1198652 ∙ [119909 minus (1198971 + 1198972)] + 1198720 (28)
Sensurile pozitive ale eforturilor care apar icircn centrul secțiunii Ad (deci atunci cacircnd
sensul de parcurs la aplicarea metodei secțiunilor este cel de la stacircnga la dreapta) sunt
indicate icircn figura 218a iar dacă sensul de parcurs este de la dreapta la stacircnga sensurile
pozitive ale eforturilor sunt indicate icircn figura 218b
Fig 218 Convenţia de semne
Definiții asemănătoare se pot da și pentru eforturile din centrul secțiunii As figura
218b adică pentru cazul icircn care sensul de parcurs este cel de la dreapta la stacircnga și deci
partea luată icircn considerare este cea din stacircnga iar partea parcursă din dreapta secțiunii
este icircnlăturată
119873(1199091) = 1198653119867
119879(1199091) = 1198653119881 minus 119881119861
119872119894(1199091) = 119881119861 ∙ 1199091 minus 1198653119881 ∙ (1199091 minus 1198975)
(29)
Avacircnd icircn vedere că fețele Ad și As aparțin aceleeași secțiuni este evident faptul că
eforturile 119873(119909) 119879(119909) și 119872119894(119909) sunt identice cu eforturile 119873(119961120783) 119879(119961120783) și respectiv
119872119894(119961120783) Icircn figura 218c se prezintă o sinteză a convențiilor de semne pozitive pentru cele
3 eforturi atacirct pentru sensul de parcurs de la stacircnga la dreapta (secțiunea Ad) cacirct și pentru
sensul invers (secțiunea As)
Semnele eforturilor sunt importante icircntrucacirct există materiale cu comportări diferite
la icircntindere față de compresiune iar o schimbare a semnului unui efort poate produce
erori grave icircn calcule Semnele eforturilor au fost stabilite icircn funcție de deformațiile
produse și nu depind de sensul axelor sistemului de coordonate
26 Relaţii diferenţiale icircntre eforturi şi sarcini
Pentru a vedea ce legătură există icircntre eforturi și sarcini vom considera o bară
dreaptă icircncărcată cu o sarcină distribuită după o lege oarecare figura 219a Din această
bară vom decupa prin dublă secționare un element de lungime infinit mică 119889119909 Deoarece
lungimea 119889119909 este foarte mică se poate considera sarcina 119901 uniform distribuită Icircn
secțiunile rezultate trebuie să introducem eforturile care pot apărea
- 119879 şi 119872119894 icircn centrul secțiunii din sticircnga eforturi pe care le considerăm pozitive
- 119879 + 119889119879 şi 119872119894 + 119889119872119894 icircn centrul secțiunii din dreapta elementului
Aceste eforturi au o variație mică (119889119879 şi 119889119872119894) față de secțiunea anterioară Spre
deosebire de cazul icircn care bara este secționată o singură dată icircn acest caz eforturile nu
pot fi determinate din cele 2 condiții de echilibru independente deoarece icircn ecuațiile de
echilibru apar 4 necunoscute 119879 119889119879119872119894 și 119889119872119894 deci că problema este dublu static
nedeterminată figura 219
Fig 219 Echivalența icircntre eforturi și sarcini
Ecuațiile de echilibru scrise pentru elementul din figura 219b conduc la stabilirea
unor relaţii foarte importante
(sum119865)119910= 0 hArr 119879 minus 119901 ∙ 119889119909 minus (119879 + 119889119879) = 0 rArr
119889119879
119889119909= minus119901 (210)
Relația (210) arată că derivata funcţiei forţei tăietoare icircn raport cu abscisa
secţiunii este egală cu sarcina distribuită normală la axa barei din acea secţiune luată
cu semn schimbat
Observații
dacă 119901 = 0 nu există sarcină distribuită atunci forța tăietoare T este constantă
icircnclinarea pantei diagramei forței 119879 este egală cu (ndash 119901) (sarcina distribuită cu
semn schimbat)
dacă 119901 = 119888119900119899119904119905 119879 variază liniar pe acel interval
Asemănător se deduce că derivata funcţiei forţei axiale icircn raport cu abscisa
secţiunii este egală cu sarcina distribuită axială din acea secţiune luată cu semn
schimbat adică
119889119873
119889119909= minus119901119867 (211)
Din condiția de echilibru suma de momente faţă de centrul de greutate al secţiunii
din dreapta
(sum119872)119862= 0 hArr 119872119894 minus (119872 + 119889119872119894) + 119879 ∙ 119889119909 minus 119901 ∙
(119889119909)2
2= 0 rArr
119889119872119894
119889119909= 119879 (212)
Relația (212) s-a obținut dupa reducerea termenilor și prin neglijarea infinitului
mic de ordinul 2
119901 ∙(119889119909)2
2
Relația (212) arată că derivata funcţiei moment icircncovoietor icircn raport cu abscisa
secţiunii este egală cu forţa tăietoare din acea secţiune
Observații
dacă 119879 = 0 momentul 119872119894 are un punct de extrem se obține o valoare maximă
pentru 119872119894119898119886119909 dacă forța tăietoare 119879 se anulează trecacircnd de la plus icircn stacircnga la minus icircn
dreapta secțiunii
dacă forța tăietoare este pozitivă pe un interval 119879 gt 0 atunci 119872119894 este crescătoare
pe acel interval
dacă forța tăietoare este negativă pe un interval 119879 lt 0 atunci 119872119894 este
descrescătoare pe acel interval
dacă pe un interval 119901 = 0 forța tăietoare este constantă 119879 = 119888119905 iar 119872119894 variază
liniar pe acel interval
dacă 119901 = 119888119900119899119904119905 119879 variază liniar pe acel interval iar 119872119894 variază parabolic pe
acel interval
Relaţiile diferenţiale sunt utile la reprezentarea corectă şi verificarea diagramelor
de eforturi astfel
pentru porţiunile de grindă pe care p = 0 eforturile N şi T sunt constante iar pe
porţiunile cu p = const eforturile N şi T variază liniar (relaţiile 211 şi 210)
dacă pe o porţiune T = const momentul icircncovoietor Miz variază liniar iar dacă
T variază liniar atunci momentul Miz variază parabolic (relaţia 212)
pe domeniile pe care T gt 0 funcţia Mi(x) este crescătoare iar icircn secţiunea icircn
care T = 0 (graficul funcţiei T intersectează axa x) momentul icircncovoietor are un punct
de extrem local (maxim sau minim relaţia 212)
Pentru rezolvarea problemelor referitoare la trasarea diagramelor de eforturi
pentru barele drepte solicitate de sisteme de forţe plane se parcurg următoarele etape
1) identificarea forţelor aplicate (date) şi pregătirea lor pentru calcule
(descompunerea forţelor concentrate pe direcţiile x şi y calculul rezultantelor forţelor
distribuite)
2) identificarea reazemelor şi introducerea reacţiunilor corespunzătoare (vezi
figurile 27divide29)
3) stabilirea ecuaţiilor de echilibru static calculul şi verificarea reacţiunilor Icircn
rezistența materialelor se folosește sistemul de ecuații (vezi figura 217)
(sum119865)
119909= 0
(sum119872)119860= 0
(sum119872)119861= 0
(213)
4) identificarea domeniilor de variaţie şi scrierea funcţiilor de eforturi pentru N T
şi Mi
5) reprezentarea grafică a diagramelor de eforturi
6) verificarea corectitudinii diagramelor pe baza relaţiilor diferenţiale icircntre eforturi
şi sarcini
Aplicație Pentru grinda dreaptă icircncărcată cu sistemul de forţe reprezentat icircn figura
220 se cere
a) să se calculeze şi să se verifice reacţiunile
b) să se stabilească funcţiile eforturilor Nx Ty şi Miz şi să se reprezinte diagramele
de variaţie
c) să se analizeze relaţiile diferenţiale icircntre eforturi şi sarcini
Dimensiunile grinzii au valorile a = 6 [m] b = 4 [m] și c = 4[m] sistemul de
forţe aplicat fiind format din p = 10 [kN mfrasl ] F = 20 [kN] (icircnclinată cu unghiul α =300 faţă de orizontală) şi M0 = 40 [kN ∙ m]
Rezolvare
a) Se fac următoarele precizări
grinda dreaptă se reprezintă prin axa geometrică
forţa icircnclinată F se descompune după direcţiile orizontală şi verticală icircn FV =F ∙ sin α = 10 [kN] şi FH = F ∙ cos α = 173 [kN]
forţa distribuită uniform p este echivalentă din punct de vedere static cu
rezultanta sa R = p ∙ a = 60 [kN] care acţionează la jumătatea porţiunii de lungime a
icircn reazemele 119860 şi 119861 se introduc componentele HA şi VA respectiv VB ale
reacţiunilor
Pentru calculul reacţiunilor se utilizează ecuaţiile de echilibru static al grinzii
sumXi = 0 HA minus FH = 0 sumYi = 0 VA + VB minus R minus FV = 0 (sumM)B = 0 VA ∙ (b + a) minus R ∙ (b + 05 ∙ a) minus M0 + FV ∙ c = 0
(A1)
Din prima ecuaţie se obţine HA iar din cea de-a treia ecuaţie rezultă VA
HA = FH = 173 [kN]
VA =[R ∙ (b + 05 ∙ a) + M0 minus FV ∙ c]
(b + a)=[60 ∙ (4 + 05 ∙ 6) + 40 minus 10 ∙ 4]
(4 + 6)
VA = 42 [kN]
(A2)
Fig 220 Aplicație
Se observă că cea de-a doua ecuaţie de echilibru conţine două necunoscute
reacţiunile VA şi VB Pentru a calcula componenta VB nu este indicată introducerea lui VA
icircn cea de-a doua ecuaţie a sistemului (A1) pentru că o valoare determinată greşit pentru
VA conduce la o valoare VB de asemenea greşită O ecuaţie independentă din care se poate
determina componenta VB este următoarea
(sumM)A= 0 FV ∙ (a + b + c) minus VB ∙ (a + b) minus M0 + R ∙ 05 ∙ a = 0 (A3)
de unde se obţine
VB =[FV ∙ (a + b + c) minusM0 + R ∙ 05 ∙ a]
(b + a)=[10 ∙ (6 + 4 + 4) minus 40 + 60 ∙ 05 ∙ 6]
(6 + 4)
VB = 28 [kN] (A4)
Ecuaţia de proiecţii ale forţelor pe direcţia verticală (a doua ecuaţie din sistemul
A1) se utilizează pentru verificarea reacţiunilor deja determinate
VA + VB minus R minus FV = 0 rArr 42 + 28 minus 60 minus 10 = 0 (A5)
Ultima egalitate demonstrează că reacţiunile verticale au fost calculate corect
Din cele de mai sus rezultă ordinea firească pentru determinarea reacţiunilor icircn
cazul grinzilor simplu rezemate
sumXi = 0
(sumM)A = 0
(sumM)B = 0
(A6)
iar pentru verificarea componentelor verticale VA şi VB se folosește ecuaţia sumY = 0
b) La stabilirea funcţiilor de eforturi se parcurg icircn general etapele următoare
se notează (numeric sau literal după preferinţă) secţiunile care delimitează
domeniile (intervalele sau tronsoanele) pe care eforturile nu-şi modifică funcţiile (au legi
unice de variaţie)
pe fiecare domeniu se marchează secţiunea imaginară icircn care se stabilesc
funcţiile eforturilor
secţiunea astfel aleasă separă icircn două părţi grinda şi anume porţiunea din stacircnga
şi porţiunea din dreapta secţiunii
se va considera parcursă (şi icircndepărtată) acea parte pe care acţionează mai puţine
sarcini exterioare pentru că acestea vor interveni icircn expresiile funcţiilor de eforturi
poziţiile secţiunilor imaginare se vor determina prin variabilele x1 ⋯ xn (unde
n reprezintă numărul domeniilor de variaţie) cu originea fixată icircn capătul intervalului şi
sensul de parcurgere spre partea considerată rămasă
Grinda prezentată icircn figura 220 are trei domenii de variaţie pentru funcţiile de
eforturi după cum urmează (A-1) (2-B) şi (B-1)
Domeniul (A-1) x1 isin [0 a = 6 m] Porţiunea parcursă şi considerată icircndepărtată este cea de coordonată x1 pe care
acţionează reacţiunile HA şi VA precum şi rezultanta parţială a sarcinii distribuite R1 =p ∙ x1
Funcţia forţă axială Nx are expresia
Nx(x1) = NAminus1 = minusHA = minus173 [kN] = const
(A7)
Funcţia forţă tăietoare Ty are exspresia
Ty(x1) = TAminus1 = VA minus R1 = VA minus p ∙ x1 (A8)
care reprezintă o variaţie liniară de variabilă x1 Se calculează valorile forţei tăietoare la
limitele intervalului de variaţie
- pentru x1 = 0 Ty(x1 = 0) = TA = VA = 42 [kN]
- pentru x1 = a = 6 [m] Ty(x1 = 6) = T1 = VA minus p ∙ a = minus18 [kN]
Observaţie Aşa cum a fost stabilită secţiunea fictivă poziţionată prin coordonata
x1 sar părea că rezultanta R ar trebui luată icircn calculul lui Ty(x1) Acest lucru ar fi greşit
pentru că R = p ∙ a reprezintă rezultanta sarcinii distribuite pe toată lungimea a iar
rezultanta pe porţiunea parcursă de lungime x1 este R1 = p ∙ x1 ne R = p ∙ a
Cu valorile obţinute se trasează diagramele forţelor axială Nx = f(x) şi tăietoare
Ty = f(x) figura 220 Din diagrama forţei tăietoare şi din valorile obţinute analitic se
observă că forţa tăietoare icircşi schimbă semnul pe intervalul analizat deci se anulează pe
acest interval Poziţia secţiunii unde Ty se anulează se determină din ecuaţia
Ty(x1) = 0 rArr VA minus p ∙ x1 = 0 (A9)
cu soluţia x1lowast = ξ = 42 [m] Important de reamintit că icircn această secţiune momentul
icircncovoietor va avea un extrem local adică Miz are un extrem la Ty = 0
Funcţia moment icircncovoietor Miz are expresia
Miz(x1) = VA ∙ x1 minus R1 ∙x12= VA ∙ x1 minus (p ∙ x1) ∙
x12
(A10)
Se observă că funcţia moment icircncovoietor de variabilă x1 are o variaţie parabolică
(gradul al II-lea) Pentru reprezentarea grafică a funcţiei parabolice se calculează valorile
momentului icircncovoietor icircn trei secţiuni
- pentru x1 = 0 Miz(x1 = 0) = MA = 0 [kN ∙ m] - pentru x1 = a = 6 [m] Miz(x1 = 6) = M1 = 72 [kN ∙ m] - pentru x1
lowast = ξ = 42 [m] Miz(x1lowast = ξ = 42 [m]) = Mimax = 882 [kN ∙ m]
Cu acestea se trasează diagrama Miz = f(x) pe intervalul (A-1) figura 220
Observaţie Icircn unele cazuri pe un anumit interval forţa tăietoare nu se anulează
şi momentul icircncovoietor nu are un extrem local Icircn acest caz pentru reprezentarea
variaţiei parabolice a momentului icircncovoietor se va studia semnul derivatei a doua a
funcţiei Miz = f(x1) acesta determinacircnd convexitatea curbei momentului icircncovoietor
Domeniul (2-B) x2 isin [0 c = 4 m] Porţiunile din grindă libere (nerezemate) la un capăt se numesc console iar
stabilirea funcţiilor de eforturi devine mai simplă dacă se consideră icircndepărtată partea din
dreapta secţiunii prin schimbarea sensului pozitiv al axei x Astfel se obţin funcţiile eforturilor
Funcţia forţă axială Nx are expresia
Nx(x2) = N2minusB = minusFH = minus173 [kN] = const
(A11)
Funcţia forţă tăietoare Ty are exspresia
Ty(x2) = T2minusB = FV = 10 [kN] = const (A12)
Funcţia moment icircncovoietor Miz are expresia
Miz(x2) = minusFV ∙ x2 rArr Miz(x2 = 0) = M2 = 0 [kN ∙ m]
Miz(x2 = 4) = MB = minus40 [kN ∙ m] (A13)
variaţie liniară (gradul I)
Domeniul (B-1) x3 isin [0 b = 4 m] Pe acest domeniu se acceptă parcurgerea grinzii de la dreapta adică se consideră
icircndepărtată partea din dreapta secţiunii fictive pentru că are doar două sarcini aplicate F
şi VB faţă de partea din stacircnga secţiunii pe care sunt aplicate trei sarcini p VA şi M0
Astfel se obţin funcţiile eforturilor
Funcţia forţă axială Nx are expresia
Nx(x3) = NBminus1 = minusFH = minus173 [kN] = const
(A14)
Funcţia forţă tăietoare Ty are exspresia
Ty(x3) = TBminus1 = FV minus VB = minus18 [kN] = const (A15)
Funcţia moment icircncovoietor Miz are expresia
Miz(x3) = minusFV ∙ (x3 + c) + VB ∙ x3 rArr
rArr Miz(x3 = 0) = MB = minus40 [kN ∙ m]
Miz(x3 = 4) = M1 = 32 [kN ∙ m]
(A16)
variaţie liniară (gradul I)
Diagramele eforturilor sunt prezentate icircn figura 220
c) Relaţiile diferenţiale dintre eforturi şi sarcini se analizează pe diagramele
eforturilor după cum urmează
sarcina distribuită nu are componentă orizontală adică ph = 0 şi icircn
conformitate cu formula (211) rezultă că Nx = const pe toată lungimea grinzii fapt care
a rezultat din funcţia şi reprezentarea diagramei forţei axiale
pe intervalul (A-1) sarcina distribuită are doar componenta verticală pozitivă
pV = p gt 0 prin urmare forţa tăietoare scade (are panta negativă dTy 119889119909frasl = minusp vezi
relaţia 210) iar momentul icircncovoietor avacircnd derivata a doua negativă d2M119894119911 1198891199092frasl =minuspare convexitatea curbei orientată spre sensul pozitiv al axei momentului Miz adică icircn
jos
pe domeniile (2-B) şi (B-1) deoarece pv = 0 forţa tăietoare Ty este constantă
iar momentul icircncovoietor Miz variază liniar
referitor la relaţia (212) pe porţiunile unde Ty gt 0 momentul Miz este
monoton crescător pe porţiunile unde Ty lt 0 momentul Miz este monoton descrescător
iar icircn secţiunea icircn care Ty = 0 momentul icircncovoietor are un extrem local Mξ =
882 [kN ∙ m] icircn diagrama forţei tăietoare discontinuităţile (salturile) se produc icircn secţiunile
unde acţionează VA VB şi FV iar icircn diagrama momentului icircncovoietor se produce un
singur salt icircn secţiunea icircn care este aplicat M0
se poate scrie
Mξ = suprafața diagramei Ty |ξ0=1
2∙ 42 ∙ 42 = 882 [kN ∙ m]
sau parcurgacircnd grinda de la dreapta la stacircnga rezultă
MB = minussuprafața diagramei Ty |c0= minus10 ∙ 4 = minus40 [kN ∙ m]
Toate aspectele analizate teoretic referitoare la relaţiile diferenţiale dintre eforturi
şi sarcini se regăsesc icircn diagramele de eforturi din figura 220 ceea ce icircnseamnă că
diagramele au fost reprezentate corect
3 TENSIUNI DEPLASĂRI ŞI DEFORMAŢII SPECIFICE
31 Tensiuni
Eforturile obținute icircn urma reducerii forțelor interioare icircn centrul de greutate al
secțiunii nu pot da informații asupra solicitării fiecărui punct al secțiunii respective Este
necesar să se cunoască modul cum se distribuie forțele interioare icircn fiecare punct al
secțiunii pentru a ști care este intensitatea maximă a solicitării Această intensitate
maximă se poate compara cu o valoare critică specifică materialului stabilindu-se astfel
dacă solicitarea este periculoasă sau nu
Mărimea care caracterizează solicitarea locală punctuală o vom denumi tensiune
și o vom defini icircn cele ce urmează Să considerăm partea din dreapta a unui corp solicitat
de forțele exterioare 1198651 1198652 și 1198653 obținută prin secționarea corpului și mărginită de fața
din dreapta Ad a secțiunii Pe secțiunea Ad vom considera un element de arie infinit mic
∆119860 caracterizat de normala la elementul de arie normală care are cosinușii directori
120573 și icircn raport cu un sistem de axe considerat fix Pe elementul infinit mic ∆119860 acționează
forțele interioare care au o rezultantă oarecare figura 31
Prin definiție tensiunea totală este
= lim∆119860rarr0
∆
∆119860 (31)
Tensiunea are aceeaşi direcţie cu forţa elementară ∆ iar mărimea ei este
determinată atacirct de mărimea forţei ∆ cacirct şi de orientarea suprafeţei ∆119860 faţă de direcţia
forţei
Tensiunea 119901 poate fi descompusă icircntr-o componentă orientată după direcţia
normalei la secţiune tensiunea normală notată cu 120590119909 şi o componentă icircn planul secţiunii
tensiunea tangenţială notată cu figura 32
= 119909 + 120591 (32)
Fig 31 Tensiunea totală Fig 32 Tensiunea normală și tangențială
La racircndul ei componenta tensiunii cuprinsă icircn planul secțiunii poate fi
descompusă după direcțiile axelor y și z
120591 = 120591119909119910 + 120591119909119911 (33)
Icircntre cele trei componente ale tensiunii totale care acționează pe elementul de arie
∆119860 este valabilă relația
1199012 = 1205901199092 + 120591119909119910
2 + 1205911199091199112 (34)
După sensul pe care icircl are tensiunea normală 120590 poate avea efect de tracţiune sau
de compresiune exercitat de către partea de corp icircnlăturată asupra părţii rămase Analog
tensiunea tangenţială 120591 poate avea efect de tăiere forfecare sau alunecare Pentru
componentele tensiunii tangențiale 120591119909119910 pe direcţia 119910 respectiv 120591119909119911 pe direcţia 119911 primul
indice indică axa pe care tensiunea este normală iar cel de-al doilea indice indică axa cu
care aceasta este paralel
Tensiunea este o mărime tensorială valoarea ei depinzacircnd atacirct de poziția
punctului icircn planul secțiunii cicirct și de orientarea planului de secționare deci de normala
Operaţiile vectoriale nu pot fi aplicate tensiunilor decacirct după ce acestea au fost icircnmulţite
cu ariile respective adică au fost transformate icircn forţe
Icircn literatura de specialitate mai ales icircn manualele mai vechi pentru noţiunea de
tensiune se mai foloseşte şi denumirea de efort specific
Dacă se consideră un alt element de arie ∆119860 cu centrul icircn același punct avacircnd ca
normală axa 119910 se vor obține alte tensiuni și anume
- 120590119910 este tensiunea normală (paralelă cu axa y)
- 120591119911119909 și 120591119910119911 sunt tensiuni tangențiale paralele cu axele 119909 și respectiv 119911 aflate icircn
planul care are ca normală axa 119910
Dacă icircn jurul unui punct dintr-un corp solicitat se consider un element de volum
infinit mic de forma unui cub icircn cazul cel mai general pe fețele sale vor acționa
tensiunile normale 120590119909 120590119910 și 120590119911 și respectiv tensiunile tangențiale 120591119909119910 120591119909119911 120591119910119909 120591119910119911 120591119911119909
și respectiv 120591119911119910 figura 33 Aceste tensiuni definesc starea de tensiune a punctului
observacircnd faptul că tensorul tensiune are 9 componente Dacă se consideră elementul
de volum finit ca fiind foarte mic se poate presupune că icircn interiorul său nu apar forțe
Ca urmare el va fi icircn echilibru sub acțiunea forțelor elementare produse de tensiunile de
pe fețele sale
Din condiția ca elementul să nu se rotească icircn jurul unor axe care trec prin centrul
său și sunt paralele cu axele sistemului 119909119874119910119911 rezultă
2 ∙ 120591119909119910 ∙ (119889119910 ∙ 119889119911) ∙119889119909
2= 2 ∙ 120591119910119909 ∙ (119889119909 ∙ 119889119911) ∙
119889119910
2 rArr 120591119909119910 = 120591119910119909 (35)
2 ∙ 120591119910119911 ∙ (119889119909 ∙ 119889119911) ∙119889119910
2= 2 ∙ 120591119911119910 ∙ (119889119909 ∙ 119889119910) ∙
119889119911
2 rArr 120591119910119911 = 120591119911119910 (36)
2 ∙ 120591119909119911 ∙ (119889119910 ∙ 119889119911) ∙119889119909
2= 2 ∙ 120591119911119909 ∙ (119889119909 ∙ 119889119910) ∙
119889119911
2 rArr 120591119909119911 = 120591119911119909 (37)
Relațiile (35divide37) 120591119909119910 = 120591119910119909 120591119910119911 = 120591119911119910 120591119909119911 = 120591119911119909 exprimă principiul dualității
tensiunilor tangențiale
Fig 33 Tensiunile normale și tangențiale pe fețele unui cub
Din condiția ca elementul considerat să nu se deplaseze icircn lungul axelor de
coordonate pe fețele opuse acționează aceleași tensiuni normale 120590119909 120590119910 și respectiv 120590119911
Definirea tensorului tensiune este posibilă dacă se cunosc cele 6 componente
independente ale acestuia aflate icircn trei plane perpendicular ce trec prin punctul respectiv
=
120590119909 120591119909119910 120591119909119911120591119910119909 120590119910 120591119910119911120591119911119909 120591119911119910 120590119911
Observaţii
Tensiunile se măsoară icircn [119873 1198982frasl ] (1119873 1198982frasl = 1 119875119886) sau icircn [119872119875119886]
(1 119872119875119886 = 106119875119886 = 106 119873
1198982 1 119872119875119886 = 1
119873
1198981198982)
Starea de tensiune dintr-un punct este considerată cunoscută dacă se cunosc
tensiunile 119901 care acționează pe infinitatea de elemente de suprafață ce trec prin punctual
considerat
Starea de tensiune a unui corp se consider cunoscută dacă se cunosc stările de
tensiune de pe infinitatea de puncte ale corpului considerat
32 Deplasări Deformaţii specifice
321 Deplasări
Aceste noțiuni sunt utile icircn analiza aspectului geometric al problemelor de rezistența
materialelor Deplasările care se analizează sunt cele datorate schimbării formei și
dimensiunilor corpurilor ca urmare a acțiunii forțelor exterioare și nu cele cinematice
posibile pentru solidul rigid care se poate deplasa cu anumită viteză și accelerație
Spre exemplu icircn figura 34a și figura 34b sub acțiunea forței 119865 tronsonul de
bară AB se deformează icircn timp ce tronsonul BC deși punctele sale au deplasări rămacircne
nedeformat (fiind nesolicitat) Toate punctele de pe axele barelor cu excepția celor din
icircncastrare (secțiunile A) au deplasări liniare De cele mai multe ori deformațiile barelor
datorate acțiunii forțelor exterioare se anulează la icircndepărtarea forțelor se spune că
deformațiile sunt elastice Secțiunile transversale ale barei din figura 34a se și rotesc icircn
raport cu pozițiile lor inițiale Spre exemplu secțiunea de căpăt cu centrul icircn C se rotește
cu unghiul
Fig 34 Deformațiile unei grinzi
Oricacirct de complexă ar fi delormația unui corp ea poate fi descrisă de lungiri sau
scurtări și de modificări ale unghiurilor inițiale
Deplasările măsoară schimbarea poziției unui punct al corpului și pot fi liniare
sau unghiulare
Prin deplasare liniară a unui punct se icircnțelege drumul parcurs de acest punct icircn
decursul procesului de deformație după o dreaptă suport dreapta 1198611198611 din figura 34a
Prin deplasare unghiulară se icircnțelege rotirea dintre segmentele de dreaptă
determinate de două puncte ale corpului icircnainte și după deformarea acestuia unghiul
pe care-l fac segmentele 119861119862 și 11986111198621 din figura 34a Această rotire se măsoară prin
unghiul pe care-l fac proiecțiile dreptelor ce conțin cele două segmente icircntr-un sistem
triortogonal
Icircn cazul cel mai general vectorul deplasare liniară se poate descompune icircntr-un
sistem triortogonal icircn trei componente 119906 119907 și 119908 figura 35
Fig 35 Deplasarea liniară
Se consideră acum un corp solid raportat la un sistem de axe ortogonal 119909119874119910119911
figura 35 după deformarea corpului un punct oarecare 119870 al acestuia se deplasează icircn
poziţia 1198701 vectorul 1198701198701 poartă numele de vectorul deplasării totale
Deplasarea totală este suma deplasărilor pe cele trei direcţii ortogonale iar
aceste deplasări se notează astfel
deplasarea pe direcţia 119909 cu ∥ 119874119909
deplasarea pe direcţia 119910 cu ∥ 119874119910
deplasarea pe direcţia 119911 cu ∥ 119874119911
Componentele deplasărilor și formeză matricea deplasărilor liniare 119906119907119908
322 Deformații
Prin deformație icircn general se icircnțelege orice schimbare de formă a unui corp fără
o evaluare cantitativă Icircn Rezistența Materialelor deformația măsoară variația
dimensiunilor geometrice ale corpului considerat din vecinătatea unui punct analog
deplasărilor deformațiile pot fi liniare și unghiulare (lunecări)
Fig 36 Deplasarea liniară
Deformația liniară ∆119897 reprezintă variația lungimii 119897 a unui element liniar al
corpului deformat figura 36 Deformația liniară specifică se definește ca fiind raportul
dintre deformația liniară și lungimea inițială
휀 =∆119897
119897 (38)
unde ∆119897 este lungirea sau scurtarea care este echivalentă cu deformția liniară totală iar
este alungirea
Deformația unghiulară sau lunecarea unui punct 119860 icircn planul 119861119860119862 se definește
prin relația figura 37
120574 = lim119861119860rarr0119862119860rarr0
(119861119860 minus 119861111986011198621 ) (39)
Fig 36 Deformația unghiulară
Schimbacircnd orientarea planului care trece prin 119860 se obțin alte deformații
unghiulare Dacă elementele liniare 119861119860 și 119862119860 sunt inițial perpendiculare deformația 120574 se
numește deformație unghiulară specifică sau lunecare specifică figura 37
Un exemplu de deplasare unghiulară și de deformație unghiulară este prezentat icircn
figura 38 Unghiul este deplasarea unghiulară și măsoară rotirea relativă dintre două
secțiuni aflate la distanța 119897 Unghiul este deformația specifică unghiulară (lunecarea
specifică) din punctul 119870 Aceste deplasări și deformații se obțin icircn urma solicitării barei
de către cele două momente 1198720 egale și de sens contrar
Fig 38 Deplasarea unghiulară
Pentru a analiza starea de deformație din vecinătatea unui punct al unui corp
solicitat complex se decupează din jurul punctului un element de volum mic figura 39a
avacircnd laturile 119889119909 119889119910 și 119889119911 Ca urmare a solicitării laturile acestuia se vor lungi sau
scurta Reprezentarea elementului deformat icircn spațiu este dificilă pentru simplificare
vom analiza doar deformațiile din planul 119909119874119910 Observăm că dimensiunile 119889119909 și 119889119910 s-au
modificat cu valoarea ∆119889119909 respectiv cu ∆119889119910 analog se acceptă și pentru 119889119911 o modificare
de forma ∆119889119911 Astfel se pot defini deformațiile specifice liniare
휀119909 =∆119889119909
119889119909 휀119910 =
∆119889119910
119889119910 휀119911 =
∆119889119911
119889119911 (310)
De cele mai multe ori aceste deformații specifice liniare se pot exprima procentual
și se mai numesc alungiri
Fig 39 Starea de deformație
Icircn figura 39c se vede că unghiul inițial drept dintre muchiile 119889119909 și 119889119910 ale
elementului de volum s-a modificat Se definește deformația specifică unghiulară (sau
lunecarea specifică) mărimea cu care se modifică unghiul inițial drept
120574119909119910 = 120574119909119910prime + 120574119910119909
prime = 120574119910119909120574119910119911 = 120574119910119911
prime + 120574119911119910prime = 120574119911119910
120574119911119909 = 120574119911119909prime + 120574119909119911
prime = 120574119909119911
(311)
Deformațiile 휀119909 휀119910 휀119911 120574119909119910 120574119910119911 120574119911119909 constituie cele șase componente
independente ale tensorului deformațiilor specifice care pot fi scrise de forma
119863 =
휀119909 120574119909119910 120574119909119911120574119910119909 휀119910 120574119910119911120574119911119909 120574119911119910 휀119911
(312)
323 Contracţia transversală
Practica arată că odată cu lungirea unei bare apare o micşorare a mărimii secţiunii
transversale mărime numită contracţie transversală figura 310
Fig 310 Contracția transversală
Contracţia transversală este proporţională cu lungirea specifică coeficientul de
proporţionalitate se notează cu 120599 şi se numeşte coeficient de contracţie transversală sau
coeficientul lui Poisson
La o lungire specifică a barei contracţia transversală este dată de relația
휀119905119903 = 휀119910 = 휀119911 = minus120599 ∙ 휀119909 (313)
Semnul minus bdquo-rdquo arată că cele două mărimi sunt contrare dacă una creşte cealaltă
scade şi invers
Considerăm o bară cilindrică de lungime 119897 şi aria secţiunii transversale 119860 solicitată
la icircntindere axială La un moment dat datorită solicitării lungimea barei devine
[119897 ∙ (1 + 휀)] diametrul devine [119889 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)] iar aria secţiunii transversale devine
[119860 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)2] Dacă volumul barei icircnainte de solicitare a fost (119860 ∙ 119897) după solicitare
acesta devine
119881 + ∆119881 = 119860 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)2 ∙ 119897 ∙ (1 + 휀) =
= 119860 ∙ 119897 ∙ (1 + 휀 minus 2 ∙ 120599 ∙ 휀 minus 2 ∙ 120599 ∙ 휀2 + 1205992 ∙ 휀2 + 1205992 ∙ 휀3) (314)
Deoarece lungirile sunt foarte mici ultimii trei termeni din paranteză fiind infinit mici se pot neglija obţinacircnd
119881 + ∆119881 = 119860 ∙ 119897 + 119860 ∙ 119897 ∙ 휀 ∙ (1 minus 2 ∙ 120599) ⟺ ∆119881 = 휀 ∙ (1 minus 2 ∙ 120599) ∙ 119860 ∙ 119897 (315)
Practica arătă că o astfel de bară solicitată la icircntindere icircşi măreşte volumul deci
∆119881 gt 0 de unde rezultă că
1 minus 2 ∙ 120599 gt 0 rArr 120599 lt 05 (316)
Pentru majoritatea materialelor 120599 = 033 iar pentru materialele care-şi păstrează
volumul constant 120599 = 05
33 Relaţii de echivalenţă icircntre eforturi şi tensiuni
Considerăm un element de suprafață infinit mic 119889119860 situat pe fața de arie (119860) a
secțiunii barei din figura 311 Icircn centrul de greutate 119862 al secțiunii acționează eforturile
119873 119879119910 119879119911 119872119909 119872119894119910 și 119872119894119911 determinate prin metoda secțiunilor
Icircn raport cu un sistem de axe de referință 119909119862119910119911 coordonatele elementului 119889119860 sunt
- 119910 este ordonata elementului de arie 119889119860
- 119911 este abscisa elementului de arie 119889119860
Pe elementul de arie 119889119860 acționează tensiunile
120590119909 tensiunea normală
120591119909119910 și 120591119909119911 tensiuni tangențiale
Dacă se icircnsumează forțele elementare de tipul 120590119909 ∙ 119889119860 120591119909119910 ∙ 119889119860 și 120591119909119911 ∙ 119889119860
va trebui să obținem eforturile 119873 119879119910 și 119879119911
Fig 311 Element de suprafață mic din secțiunea unei bare
Dacă eforturile sunt privite ca forțe exterioare și se scriu ecuațiile de
echilibru ale secțiunii (119860) se vor obține șase relații de echivalență icircntre eforturi și
tensiuni
(sum119883) = 0 rArr int 120590119909 ∙ 119889119860
119860
= 119873 (317)
(sum119884) = 0 rArr int 120591119909119910 ∙ 119889119860
119860
= 119879119910 (318)
(sum119885) = 0 rArr int 120591119909119911 ∙ 119889119860
119860
= 119879119911 (319)
(sum119872)119909= 0 rArr int(120591119909119911 ∙ 119889119860) ∙ 119910
119860
minus int(120591119909119910 ∙ 119889119860) ∙ 119911
119860
= 119872119909 rArr
rArr int(119910 ∙ 120591119909119911 minus 119911 ∙ 120591119909119910) ∙ 119889119860
119860
= 119872119909
(320)
(sum119872)119910= 0 rArr int(120590119909 ∙ 119889119860) ∙ 119911
119860
= 119872119894119910 (321)
(sum119872)119911= 0 rArr int(120590119909 ∙ 119889119860) ∙ 119910
119860
= 119872119894119911 (322)
Cele șase relații de echivalență icircntre eforturi și tensiuni constituie un pas icircnainte
icircn rezolvarea unei probleme de rezistența materialelor Aceste relații vor permite
determinarea tensiunilor maxime
Pentru a rezolva cele 6 relații de echivalență trebuie să se cunoască tensiunile și
ca funcții de punct adică funcții de forma
120590119909 = 120590119909(119909 119910 119911) 120591119909119910 = 120591119909119910(119909 119910 119911) 120591119909119911 = 120591119909119911(119909 119910 119911) (32
3)
Cunoașterea acestor funcții presupune icircnsă analizarea aspectului geometric al
problemei precum și utilizarea unor ipoteze simplificatoare care să permită simplificarea
problemelor
34 Ipoteze de bază icircn rezistenţa materialelor
Depășirea dificultăților legate de interpretarea unor fenomene specifice mecanicii
solidului deformabil a impus acceptarea unor ipoteze care să simplifice fenomenele și să
contribuie la elaborarea unor modele de calcul cicirct mai generale și cacirct mai simple Aceste
ipoteze se referă la structura materialelor şi la comportarea lor sub acţiunea forţelor
exterioare Ipotezele acceptate trebuie să fie icircn deplină concordanţă cu realitatea și să
conducă la rezultate verificate icircn practică
Funcție de aspectele la care se referă ipotezele pot fi
Ipoteze fizice (de material)
Ipoteze de calcul
341 Ipoteze fizice
Se acceptă deoarece teoriile structurale au condus la rezultate care contravin
icircncercărilor experimentale
Ipoteza mediului continuu consideră că orice domeniu elementar al corpului
este ocupat de materie adică nu se acceptă existența unor goluri sau a unor crăpături
microscopice (fisuri) Deși nu corespunde realităţii poate fi acceptată deoarece
dimensiunile corpului sunt mult mai mari decacirct dimensiunile particulelor elemantare Are
avantajul că permite utilizarea proprietăților matematice ale funcțiilor continue pentru
tensiunile și deformațiile din orice punct al corpului Ea este mai apropiată de realitate la
corpurile amorfe şi mai depărtată la cele cristaline dar conduce la rezultate satisfăcătoare
icircn calculele de rezistenţă
Ipoteza nu se poate aplica la corpurile care au goluri tăieturi (multiplu conexe)
pentru unele puncte singulare icircn care tensiunile și deformațiile tind la infinit sau icircn unele
probleme de plasticitate icircn care proprietățile de material au un rol esențial
Ipoteza izotropiei conform acestei ipoteze materialul din care este confecționat
un element de rezistență are aceleași proprietăți după orice direcție un astfel de material
este considerat izotrop Din punct de vedere macroscopic metalele pot fi considerate
izotrope deși la nivel microscopic proprietățile lor diferă de la o direcție cristalografică
la alta Orice conglomerat de cristale poate fi considerat izotrop
Există cazuri cacircnd această ipoteză a izotropiei nu se acceptă
la metalele puternic deformate după o direcție (prin laminare trefilare)
la piesele confecționate din lemn lemnul este anizotrop deoarece proprietățile sale
diferă după două direcții (icircn lungul fibrelor și perpendicular pe această direcție)
Ipoteza omogenității consideră că un corp are aceleași proprietăți icircn orice
punct al său Deși majoritatea materialelor utilizate icircn tehnică sunt eterogene la scară
micro fiind constituite din mai multe faze cu proprietăți diferite la scară macro ele pot
fi considerate omogene Omogenitatea și izotropia sunt proprietăți statistice medii care
nu se condiționează una pe cealaltă Chiar și materialele monofazice pot avea la scară
micro unele segregații care le fac eterogene
Ipoteza elasticităţii perfecte presupune că atacircta timp cacirct solicitările nu
depăşesc anumite limite materialul are o comportare elastică adică icircşi recapătă forma şi
dimensiunile iniţiale odată cu icircnlăturarea sarcinilor Icircn realitate materialele nu prezintă o
elasticitate perfectă ele avacircnd deformaţii remanente mici care icircnsă pot fi neglijate icircn
calculele de rezistenţă
Acceptarea acestei ipoteze a elasticității perfecte permite
- aplicarea relației biunivoce icircntre tensiuni și deformații relație exprimată de legea
lui Hooke ( = 119864 ∙ 휀) unde E este un factor de proporţionalitate numit modul de
elasticitate longitudinal al materialului pentru oţel 119864 = 21 ∙ 105 [119872119875119886] - acceptarea valabilității afirmației bdquolucrul mecanic efectuat de forțele exterioare
ca urmare a parcurgerii deplasărilor punctelor de aplicație se icircnmagazinează integral icircn
corp sub formă de energie de deformație energie cedată la icircndepărtarea sarcinilorrdquo
- este valabilă teoria conform căreia bdquoenergia icircnmagazinată și deformațiile depind
doar de starea inițială și finală de eforturi fără a ține cont de modul icircn care s-a ajuns la
starea finalărdquo
Icircn realitate oricacirct de mici ar fi sarcinile aplicate se produc și deformații plastice
dar acestea pot fi neglijate dacă solicitarea nu depășește anumite limite
342 Ipoteze de calcul
Ipoteza micilor deplasări bdquodeplasările datorate deformării sunt mult mai mici
decacirct dimensiunile corpurilor și ca urmare pot fi neglijate produsele dintre o deplasare și
ea icircnsăşirdquo Pentru cele mai multe corpuri deformaţiile elastice sunt de mărimi mici deci
corpurile solide sub acţiunea sarcinilor icircşi modifică foarte puţin forma iniţială Această
ipoteză este cunoscută şi sub denumirea de ipoteza menţinerii dimensiunilor iniţiale Ea
permite scrierea ecuaţiilor de echilibru ale staticii pe starea nedeformată a elementului
cacircnd nu se iau icircn considerare deplasările punctelor de aplicaţie ale forţelor care se produc
ca urmare a deformării acestuia Calculul efectuat pe schema nedeformată poartă numele
de calcul de ordinul I
Ipoteza micilor deplasări nu poate fi acceptată pentru studiul problemelor de
stabilitate sau la problemele la care nu pot fi icircndeplinite condiţiile de echilibru icircn starea
nedeformată
Calculul de ordinul II admite ipoteza micilor deplasări dar ecuaţiile de echilibru
se scriu icircnsă pentru starea deformată a elementului de rezistenţă
Calculul de ordinul III nu mai acceptă ipoteza micilor deplasări el referindu-se
la cazul deformaţiilor mari cacircnd ecuaţiile de echilibru trebuie scrise pentru starea
deformată
Chiar dacă materialul satisface legea lui Hooke icircn urma calculelor de ordinul II
se obţin de obicei relaţii neliniare icircntre sarcini şi deplasări iar pentru calculul de ordinul
III rezultă ecuaţii diferenţiale neliniare
Principiul efectului local al acțiunii sarcinilor enunțat de Barre de Saint-
Venant Acest principiu destul de folosit icircn Rezistenţa Materialelor precizează că dacă
se icircnlocuiesc forţele care acţionează asupra unui element de suprafață al unui corp
elastic printr-un alt sistem de forţe echivalent din punct de vedere static cu primul noua
distribuţie a forţelor produce la locul de aplicare diferenţe semnificative faţă de prima
dar rămacircne fără efect sau cu efect neglijabil la distanţe mari de locul de aplicare al
forţelor figura 312
Ca o cosecință o sarcină uniform distribuită figura 312a poate fi icircnlocuită cu
rezultanta ei figura 312b dacă se analizează efectul sarcinii la distanță mare de locul icircn
care se aplică sarcina
Fig 312 Principiul Saint-Venant
Icircn prima variantă figura 312a forţa 119865 se aplică pe o porțiune oarecare 119897 (sarcină
uniform distribuită) iar icircn a doua figura 312b icircntru-un punct (forţă concentrată) La
locul de aplicare a sarcinii efectul asupra barei este cu totul diferit de la o variantă la
cealaltă Icircnsă la o distanţă mare de punctul de aplicaţie spre exemplu icircn secţiunea situată
la distanţa 119886 de capătul barei sau chiar icircn icircncastrare ambele bare sunt solicitate la fel
Icircn cazul din figura 312a
119872119894(119909) =119901 ∙ 1199092
2 119909 le 119897 119872119894(119909) = 119901 ∙ 119897 ∙ (119909 minus
119897
2) 119909 gt 119897 (324)
Icircn cazul din figura 312b
119872119894(119909) = 0 119909 lt119897
2 119872119894(119909) = 119901 ∙ 119897 ∙ (119909 minus
119897
2) 119909 gt
119897
2 (325)
Se vede că pentru (119909 gt 119897) adică după depășirea locului icircn care se aplică sarcina
efectul este același
Ipoteza lui Bernoulli sau ipoteza secţiunilor plane precizează că o secţiune
plană şi normală pe axa barei icircnainte de deformare rămacircne plană şi normală pe axa
barei şi după deformare figura 313
Fig 313 Ipoteza lui Bernoulli
Ipoteza stării naturale a corpului sau ipoteza absenţei tensiunilor conform
căreia pentru un corp nesolicitat starea de tensiune şi deformaţie este nulă
Perfecţionarea mijloacelor de calcul şi de investigare pot conduce la renunţarea la
unele ipoteze sau la introducerea altora noi mai aproape de stările reale De aici rezultă
caracterul de continuă perfecţionare a metodelor Rezistenţei Materialelor
35 Coeficienţi de siguranţă Tensiuni admisibile
O piesă corespunde din punct de vedere tehnic dacă tensiunile care iau naştere icircn
interiorul piesei datorită sarcinilor aplicate nu depăşesc anumite valori limită stabilite
convenţional Aceste valori limită ale tensiunii sunt corelate cu caracteristicile mecanice
ale materialelor
Tensiunea limită utilizată icircn calculele de rezistenţă este cunoscută sub denumirea
de tensiune admisibilă sau rezistenţă admisibilă Rezistenţa admisibilă reprezintă
valoarea convenţională aleasă icircn calcul pe baza practicii pentru tensiunea maximă care
poate apare icircntr-o piesă icircn condiţii date de material şi solicitare
Rezistenţa admisibilă (120590119886 sau 120591119886) poate fi definită faţă de o stare limită
periculoasă stare care trebuie evitată deoarece poate conduce distrugere
120590119886 =120590119897119894119898119888
(326)
unde
120590119897119894119898 este tensiunea corespunzătoare stării limită periculoase
119888 estesupraunitar 119888 gt 1 și reprezintă coeficientul de siguranţă faţă de starea limită
periculoasă considerată
Alegerea unor valori inferioare pentru rezistenţa admisibilă faţă de tensiunea
corespunzătoare stării limită periculoase este necesară deoarece
cunoaşterea sarcinilor este de cele mai multe ori aproximativă şi o depăşire a
acestora este foarte posibilă
caracteristicile mecanice ale materialelor variază icircn limite destul de mari ele
fiind influenţate de mulţi factori
schema aleasă pentru calcul (aplicarea sarcinilor schematizarea structurii
ipotezele de calcul etc) depărtează modelul faţă de cel real
Pentru calculele de verificare tensiunea efectivă maximă din elementul de
rezistenţă trebuie să fie mai mică sau cel mult egală cu cea admisibilă
120590119890119891119898119886119909 le 120590119886 (327)
Valoarea rezistenţei admisibile este influenţată de foarte mulţi factori natura
materialului tratamentele termice aplicate piesei durata de funcţionare a piesei modul
de acţionare icircn timp a sarcinilor felul solicitării temperatura gradul de periculozitate
icircn cazul cedării piesei etc
De asemenea valoarea coeficientului de siguranţă se alege icircn principal ţinacircnd
seama de aceiaşi factori care influenţează şi rezistenţa admisibilă
Rezistenţele admisibile pentru cacircteva materiale sunt următoarele
pentru oțelul de uz general OL37 solicitat la icircntindere compresiune sau
icircncovoiere 120590119886 = 150 [119872119875119886] pentru lemnul de brad solicitat la
- compresiune icircn lungul fibrelor şi solicitat la icircncovoiere 120590119886 = 10 [119872119875119886] - tracţiune icircn lungul fibrelor 120590119886 = 7 [119872119875119886] - compresiune perpendiculară pe fibre 120590119886 = 15 [119872119875119886] - forfecare icircn lungul fibrelor 120591119886 = 2 [119872119875119886] - forfecare perpendiculară pe fibre 120590119886 = 45 [119872119875119886]
terenuri de fundaţie din pămacircnt uscat sau umed 120590119886 = 020 divide 025 [119872119875119886]
4 CARACTERISTICI GEOMETRICE ALE SECȚIUNILOR PLANE
41 Noţiuni introductive
Icircn relaţiile de calcul ale tensiunilor şi deformaţiilor elementelor de rezistenţă
pentru unele solicitări (icircncovoierea și torsiunea) secțiunile plane intervin atacirct prin
dimensiunile lor (aria 119860) cicirct și prin forma și poziția pe care o are secțiunea icircn raport cu
planul solicitării Mărimile care caracterizează o secțiune icircn raport cu forma și poziția față
de axele unui sistem de referință sunt denumite caracteristici geometrice de ordin
superior Aria secțiunii este caracteristica geometrică ce depinde doar de dimensiunile
geometrice ale acesteia
Să considerăm o grindă solicitată de o forță exterioară 119865 aşezată icircn două poziții icircn
raport cu planul forţei figura 41 Icircn urma aplicării forței deși avem aceeași grindă
(aceeași arie a secțiunii transversale) și aceeași forță se constată că pentru varianta din
figura 41a deformațiile sunt mult mai mari adică rezistența la icircncovoiere a grinzii din
figura 41a este mai mare decacirct icircn cazul grinzii din figura 41b Comportarea diferită se
explică prin aceea că modificarea poziţiei secţiunii transversale faţă de planul forţelor
modifică caracteristicile geometrice ale secţiunii transversale a grinzii
Fig 41 Grindă solicitată de forța 119865
Pentru realizarea calculelor de rezistenţă şi rigiditate este foarte importantă
cunoaşterea caracteristicilor geometrice ale suprafeţei secţiunii transversale a elementelor
de rezistenţă
Caracteristicile geometrice ale secţiunii transversale a unui element de rezistenţă
sunt
- aria secțiunii notată cu 119860
- momentul static icircn raport cu o axă notat 119878119911 și respectiv 119878119910
- momentul de inerție care poate fi
axial notat 119868119911 și respectiv 119868119910
centrifugal notat 119868119911119910
polar notat 119868119901
- raza de inerţie (giraţie)notată 119894119911 și respectiv 119894119910
- modulul de rezistență care poate fi
axial notat 119882119911 și respectiv 119882119910
polar notat 119882119901
42 Aria și momentul static al suprafețelor plane
Fie o suprafaţă plană de arie 119860 pe care se ia un element infinit mic de arie 119889119860 şi
un sistem de axe rectangulare 119911119874119910 figura 42 Notăm cu 119862 centrul de greutate al suprafeţei
119860 Poziţia suprafeţei elementare 119889119860 faţă de acelaşi sistem de coordonate 119911119874119910 este dată
de abscisa 119911 ordonata 119910 și raza polară
Fig 42 Suprafață plană de arie 119860
Aria suprafeţei 119860 figura 42 se defineşte ca fiind
119860 ≝ int 119889119860
119860
(41)
Aria suprafeţei este icircntotdeauna pozitivă și se măsoară icircn [1198981198982] Momentul static al suprafeţei de arie 119860 icircn raport cu axele 119874119911 și respectiv 119874119910
figura 42 sunt date de relaţiile
119878119911 ≝ int 119910 ∙ 119889119860
119860
119878119910 ≝ int 119911 ∙ 119889119860
119860
(42)
Momentul static poate fi pozitiv negativ sau nul şi se măsoară icircn [1198981198983] Coordonatele centrului de greutate ale suprafeței 119860 se detrmină cu relațiile
119910119862 ≝int 119910 ∙ 119889119860119860
119860 119911119862 ≝
int 119911 ∙ 119889119860119860
119860
(43)
Cunoscacircnd coordonatele 119910119862 și 119911119862 ale centrului de greutate 119862 al secțiunii 119860 atunci
momentele statice se pot determina cu relațiile
119878119911 ≝ int 119910 ∙ 119889119860
119860
= 119910119862 ∙ 119889119860 119878119910 ≝ int 119911 ∙ 119889119860
119860
= 119911119862 ∙ 119889119860 (44)
Aceste relații arată că momentul static al unei suprafețe icircn raport cu o axă este
egal cu produsul dintre aria suprafeței și distanța de la centrul ariei la axa respectivă
Dacă suprafaţa se poate descompune icircn 119899 suprafeţe simple la care se cunosc ariile
(1198601 1198602 ⋯ 119860119894⋯ 119860119899) și poziţiile centrelor de greutate 119862119894 faţă de sistemul de referinţă
expresiile momentelor statice capătă următoarea formă
119878119911 = sum 119910119862119894 ∙ 119860119894119899119894=1 = 119910119862 ∙ 119860 119878119910 = sum 119911119862119894 ∙ 119860119894
119899119894=1 = 119911119862 ∙ 119860 (45)
Din relaţiile (45) rezultă că poziţia centrului de greutate 119862 al unei suprafeţe
compuse poate fi determinată cu relaţiile
119910119862 = (sum119910119862119894 ∙ 119860119894
119899
119894=1
) 119860frasl 119911119862 = (sum119911119862119894 ∙ 119860119894
119899
119894=1
) 119860frasl (46)
Icircn relația (45) 119910119862119894 și respectiv 119911119862119894 reprezintă coordonatele centrelor de greutate 119862119894
ale fiecărei suprafețe simple 119860119894 icircn raport sistemul de axe 119911119874119910
Se constată (relaţia 42) că dacă axele sistemului de referinţă trec prin centrul de
greutate (119910119862 = 119911119862 = 0) momentele statice sunt nule Axele icircn raport cu care momentele
statice sunt nule şi care trec prin centrul de greutate al suprafeţei se numesc axe centrale
Observație dacă secțiunea compusă are o axă de simetrie centrul secțiunii se
găsește pe acea axă iar dacă secțiunea este dublu simetrică poziția centrului secțiunii este
la intersecția axelor de simetrie
43 Momente de inerţie
Momentele de inerţie axiale ale unei suprafețe se calculează icircn raport cu axele de
coordonate 119874119911 și respectiv 119874119910 figura 42 și se determină cu relațiile
119868119911 ≝ int 1199102 ∙ 119889119860
119860
119868119910 ≝ int 1199112 ∙ 119889119860
119860
(47)
Unde 119910 și 119911 sunt distanțele de la elementul de arie 119889119860 la cele două axe de
coordonate 119874119911 și respectiv 119874119910
Momentele de inerţie axiale se măsoară icircn [1198981198984] şi sunt icircntotdeauna pozitive (aria
119889119860 este icircntotdeauna pozitivă și este multiplicată cu patratul distanței 1199102 dacă 119868119911 sau 119868119910
sunt nule icircnseamnă ca secțiunea nu există)
Momentele de inerție axiale se calculează icircndeosebi pentru axele centrale (care
trec prin centrul secțiunii) deoarece icircn raport cu acele axe 119868119911 și 119868119910 au valori minime
Momentul de inerţie centrifugal calculat faţă ambele axe ale sistemului de
referinţă 119911119874119910 este definit de relația
119868119911119910 ≝ int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860
(48)
Momentul de inerţie centrifugal se măsoară icircn [1198981198984] şi poate fi pozitiv negativ
sau nul
Momentul de ineție centrifugal este nul 119868119911119910 = 0 dacă cel puțin una din axele 119874119911
sau 119874119910 este axă de simetrie pentru secțiune
Se consideră o suprafaţă dreptunghiulară pe care faţă de axa de simetrie 119874119910 se iau
două suprafeţe elementare de arie 119889119860 simetrice faţă de axa 119874119910 figura 43
Fig 43 Suprafață dreptunghiulară cu două arii elementare 119889119860
Făcacircnd suma momentelor de inerţie centrifugale pentru cele două suprafeţe
elementare 119889119860 (din stacircnga şi din dreapta faţă de axa 119874119910) se obţine
int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860119889119903
+ int (minus119911) ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860119904119905119892
= int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860119889119903
minus int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860119904119905119892
= 0 (49)
Acelaşi raţionament se poate face și pentru icircntreaga suprafaţă de unde obținem că
momentul de inerție centrifugal este nul 119868119911119910 = 0 Deci pentru o suprafaţă plană care
are cel puţin o axă de simetrie momentul de inerţie centrifugal faţă de sistemul care
conţine acea axă de simetrie este nul
Momentul de inerţie polar al unei suprafeţei icircn raport cu un punct (pol) 119874 figura
42 este definit prin relaţia
1198680 = 119868119901 ≝ int 1205882 ∙ 119889119860
119860
= int(1199102 + 1199112) ∙ 119889119860
119860
= 119868119911 + 119868119910 (410)
unde este distanţa de la polul 119874 la elementul de arie 119889119860 Momentul de inerţie polar se
măsoară icircn [1198981198984] şi este totdeauna pozitiv
Momentul de inerţie polar este egal cu suma momentelor de inerţie faţă de două axe
perpendiculare oarecare şi care trec prin polul considerat
Razele de giraţie sau razele de inerţie sunt mărimi calculate icircn raport cu axele
secțiunii și definite de relaţiile
119894119911 ≝ radic119868119911119860 119894119910 = radic
119868119910
119860 (411)
Se exprimă icircn [119898119898] şi sunt icircntotdeauna pozitive Semnificația unei raze de inerție
este distanța la care dacă ar fi concentrată icircntreaga arie s-ar obține același moment de
inerție ca și cel calculat pentru aria reală
44 Modulul de rezistenţă
Modulul de rezistență se calculează icircn raport cu axele de referință sau icircn raport cu
un pol figura 42 și pot fi axiale (119882119911119882119910) sau polar (119882119901) și se determină numai pe baza
momentelor de inerţie cu relațiile figura 43
119882119911119898119894119899 ≝119868119911119910119898119886119909
119882119911119898119886119909 ≝119868119911119910119898119894119899
(412)
119882119910119898119894119899 ≝119868119910
119911119898119886119909 119882119910119898119886119909 ≝
119868119910
119911119898119894119899 (413)
119882119901 ≝119868119901
120588119898119886119909 (414)
unde
119910119898119886119909 119910119898119894119899 reprezintă distanţa de la axa 119874119911 la punctele extreme cele mai
depărtate respectiv cele mai apropiate ale suprafeţei de această axă
119911119898119886119909 119911119898119894119899 reprezintă distanţa de la axa 119874119910 la punctele extreme cele mai
depărtate respectiv cele mai apropiate ale suprafeţei de această axă
120588119898119886119909 reprezintă distanța maximă de la polul 119874 la punctul secțiunii cel mai
icircndepărtat de acesta
Fig 43 Suprafață dreptunghiulară cu două arii elementare 119889119860
Modulele de rezistenţă se exprimă icircn [1198981198983] şi sunt icircntotdeauna pozitive
Explicația este aceea că momentele de inerție care intră icircn relațiile de definiție sunt
pozitive iar distanțele la punctele extreme sunt pozitive (119910119898119886119909 119910119898119894119899 119911119898119886119909 119911119898119894119899 120588119898119886119909 se
iau icircn valoare absolută)
Icircn cazul suprafeţelor compuse modulul de rezistenţă nu se obţine prin icircnsumarea
algebrică a modulelor de rezistenţă ale suprafeţelor simple componente ci numai prin
intermediul momentului de inerţie axial calculat pentru icircntreaga secțiune
Ca și momentele de inerție modulele de rezistență se calculează numai pentru
sistemele de axe centrale
45 Momente de inerţie şi module de rezistenţă pentru suprafeţe simple
451 Secțiune dreptunghiulară
Fie suprafaţa dreptunghiulară din figura 44 de icircnălțime ℎ și lățime 119887 pe care se
consideră suprafaţă elementară de arie 119889119860 = 119887119889119910 la distanța 119910 de axa 119862119911 sistemul de
axe 119911119862119910 trece prin centrul secțiunii iar axele sunt axe de simetrie pentru dreptunghi
Fig 44 Suprafață dreptunghiulară
Pe baza relațiilor de definiți a momentului de inerție 119868119911 se obține
119868119911 ≝ int 1199102 ∙ 119889119860
119860
= int 1199102 ∙ 119887 ∙ 119889119910 = 2int 1199102 ∙ 119887 ∙ 119889119910 = 2 ∙ 119887 ∙1199103
3|ℎ 2frasl
0rArr
ℎ 2frasl
0
ℎ 2frasl
minusℎ 2frasl
rArr 119868119911 =119887 ∙ ℎ3
12
(415)
Analog pentru un element de arie 119889119860 = ℎ ∙ 119889119911 paralel cu axa 119862119910 situat la distanța
119911 de axa 119862119910
119868119910 ≝ int 1199112 ∙ 119889119860
119860
= int 1199112 ∙ ℎ ∙ 119889119911 = 2int 1199112 ∙ ℎ ∙ 119889119910 = 2 ∙ ℎ ∙1199113
3|119887 2frasl
0rArr
119887 2frasl
0
119887 2frasl
minus119887 2frasl
rArr 119868119910 =1198873 ∙ ℎ
12
(416)
Deoarece axele 119862119911 și 119862119910 sunt axe de simetrie momentul de inerție centrifugal este
119868119911119910 = 0 (417)
Pentru un pătrat avacircnd laturile egale (ℎ = 119887 = 119886) momentele de inerţie faţă de
axele centrale au expresia
119868119911 = 119868119910 =1198864
12 (418)
Modulele de rezistență axiale se calculează cu relațiile de definiție ținacircnd cont că
distanțele pacircnă la fibrele extreme sunt
119910119898119886119909 = 119910119898119894119899 =ℎ
2 119911119898119886119909 = 119911119898119894119899 =
119887
2 (419)
Obținem
119882119911119898119894119899 = 119882119911119898119886119909 =119868119911
119910119898119886119909119898119894119899=119887 ∙ ℎ3
12frasl
ℎ2frasl
=119887 ∙ ℎ2
6
119882119910119898119894119899 = 119882119910119898119886119909 =119868119910
119911119898119886119909119898119894119899=1198873 ∙ ℎ
12frasl
1198872frasl
=1198872 ∙ ℎ
6
(420)
452 Suprafaţă circulară
Din motive de simetrie pentru suprafeţele circulare momentele de inerţie faţă de
orice diametru (care reprezintă şi axe centrale) sunt aceleaşi
Considerăm o secțiune circulară plină cu diametrul 119889 și centrul de greutate 119862 Prin
centrul de greutate 119862 trece sistemul de axe ortogonal 119911119862119910 figura 45
Fig 45 Suprafață circulară
La distanța de centrul de greutate 119862 vom lua un element de suprafață mic de arie
(119889119860) de forma unui inel de grosime 119889 Elementul de arie 119889119860 are expresia
119889119860 = (2 ∙ 120587 ∙ 120588) ∙ (119889120588)
Pornind de la relația de definiție a momentului de inerție polar obținem
119868119901 ≝ int 1205882 ∙ 119889119860
119860
= int 1205882 ∙ (2 ∙ 120587 ∙ 120588) ∙ 119889120588
119903=119889 2frasl
0
= 2 ∙ 120587 ∙1205884
4|119889 2frasl0 rArr
rArr 119868119901 =120587 ∙ 1198894
32
(421)
Secțiunea este perfect simetrică deci sunt valabile relațiile
119868119911 = 119868119910 rArr 119868119901 = 119868119911 + 119868119910 = 2 ∙ 119868119911 = 2 ∙ 119868119910 =119868119901
2=120587 ∙ 1198894
64 (422)
Și modulele de rezistenţă faţă de orice diametru sunt egale şi se calculează cu
relaţiile
119882119911 = 119882119910 =1198681199111198892frasl=120587 ∙ 1198893
32 (423)
Modulul de rezistenţă polar este
119882119901 =1198681199011198892frasl=120587 ∙ 1198893
16 (424)
453 Secţiune inelară
Calculul momentelor de inerţie axiale pentru o secţiune inelară avacircnd diametrul
interior 119889 şi diametrul exterior 119863 se determină analog pentru suprafaţa circulară plină cu
observaţia că integrala pentru calculul momentului de inerție polar 119868119901 se face icircntre
limitele 119903 = 119889 2frasl şi R= 1198632frasl (icircntre raza interioară 119903 şi raza exterioară 119877) figura 46
Se obţin relaţiile
119868119901 =120587 ∙ 1198634
32∙ [1 minus (
119889
119863)4
] =120587 ∙ 1198634
32∙ (1 minus 1198964) (425)
119868119910 = 119868119910 =120587 ∙ 1198634
64∙ [1 minus (
119889
119863)4
] =120587 ∙ 1198633
64∙ (1 minus 1198964) (426)
Fig 46 Secțiune inelară
119882119901 =120587 ∙ 1198633
16∙ [1 minus (
119889
119863)4
] =120587 ∙ 1198633
16∙ (1 minus 1198964) (427)
119882119911 = 119882119910 =120587 ∙ 1198633
32∙ [1 minus (
119889
119863)4
] =120587 ∙ 1198633
32∙ (1 minus 1198964) (428)
unde 119896 = 119889119863frasl
46 Variaţia momentelor de inerţie faţă de axe paralele
( Relațiile lui STEINER)
Se consideră o suprafaţă oarecare de arie 119860 cu elementul de arie 119889119860 și un sistemul
de axe central 119911119862119910 faţă de care se cunosc momentele de inerţie 119868119911 119868119910 119868119911119910 şi considerăm
un sistem de axe 11991111198741199101 paralele cu sistemul central figura 47 Se pune problema
determinării momentele de inerţie 1198681199111 1198681199101 11986811991111199101 faţă de sistemul de axe paralel cu sistemul
central 11991111198741199101 axe aflate la distanţele 119910119862 = 119888 respectiv 119911119862 = 119889 de acesta
461 Momente de inerţie axiale
Pe baza relaţiilor de definire şi a notaţiilor din figura 42 pentru momentele de
inerţie faţă de axele 1198741199111 1198741199101 se poate scrie
1198681199111 = int 11991012 ∙ 119889119860
119860
= int(119910 + 119888)2 ∙ 119889119860
119860
= int 1199102 ∙ 119889119860
119860
+ 2 ∙ 119888 ∙ int 119910 ∙ 119889119860
119860
+
+1198882int 119889119860
119860
rArr 1198681199111 = 119868119911 + 2 ∙ 119888 ∙ 119878119911 + 1198882 ∙ 119860 hArr 1198681199111 = 119868119911 + 119888
2 ∙ 119860
(429)
Fig 47 Variaţia momentelor de inerţie față de axe paralele
S-a ajuns la relația (429) deoarece momentul static 119878119911 este nul deoarece axa 119862119885
este axă centrală
Pentru momentul de inerție axial icircn raport cu axa 1198741199101 se obține
1198681199101 = int 11991112 ∙ 119889119860
119860
= int(119911 + 119889)2 ∙ 119889119860
119860
= int 1199112 ∙ 119889119860
119860
+ 2 ∙ 119889 ∙ int 119911 ∙ 119889119860
119860
+
+1198892 ∙ int 119889119860
119860
rArr 1198681199101 = 119868119910 + 2 ∙ 119889 ∙ 119878119910 + 1198892 ∙ 119860 hArr 1198681199101 = 119868119910 + 119889
2 ∙ 119860
(430)
Pentru momentul de inerție centrifugal obținem
11986811991111199101 = int 1199101 ∙ 1199111 ∙ 119889119860
119860
= int(119910 + 119888) ∙ (119911 + 119889) ∙ 119889119860
119860
= int 119910 ∙ 119911 ∙ 119889119860 +
119860
+119888 ∙ int 119911 ∙ 119889119860
119860
+ 119889 ∙ int 119910 ∙ 119889119860
119860
rArr 11986811991111199101 = 119868119911119910 + 119888 ∙ 119889 ∙ 119860
(431)
Deoarece
int 119911 ∙ 119889119860
119860
= 119878119910 = 0 int 119910 ∙ 119889119860
119860
= 119878119911 = 0 int 119910 ∙ 119911 ∙ 119889119860
119860
= 119868119911119910
Relaţiile (429) şi (430) arată că momentul de inerţie faţă de o axă oarecare
este egal cu momentul de inerţie faţă de o axă paralelă cu ea trecacircnd prin centrul de
greutate la care se adaugă produsul dintre aria suprafeţei şi pătratul distanţei dintre
cele două axe
Din relaţiile (429) și (430) rezultă de asemenea că momentul de inerţie faţă de o
axă centrală (care trece prin centrul de greutate) este cel mai mic dintre infinitatea de
momente de inerţie obținute faţă de alte axe paralele cu ea
Relaţia (431) arată de asemenea că momentul de inerţie centrifugal faţă de un
sistem de axe oarecare este egal cu momentul de inerţie centrifugal faţă de un sistem
paralele cu el trecacircnd prin centrul de greutate a suprafeţei la care se adaugă produsul
dintre aria suprafeţei şi distanţele dintre axele sistemelor respective
Icircn literatura de specialitate relaţiile (429) (430) şi (431) sunt cunoscute sub
numele de relaţiile lui Steiner
47 Variaţia momentrlor de inerţie faţă de axe rotite
Direcţii principale şi momente de inerţie principale
Fie suprafaţa plană din figura 48 de arie 119860 pe care considerăm o suprafaţă
elementară de arie 119889119860 Pentru sistemul de axe 119911119874119910 se cunosc momentele de inerţie
119868119911 119868119910 119868119911119910 şi vom determina relaţiile de calcul pentru momentele de inerţie afererent unui
sistem de axe 11991111198741199101 rotit cu un unghi faţă de sistemul central
Faţă de sistemul de axe 11991111198741199101 elementul de arie 119889119860 are coordonatele
1199101 = 119875119877 = 119875119876 minus 119877119876 = 119910 ∙ cos 120572 minus 119911 ∙ sin 120572
1199111 = 119873119872 = 119873119875 minus 119875119872 = 119911 ∙ cos 120572 + 119910 ∙ sin 120572 (432)
Fig 47 Variaţia momentelor de inerţie față de axe rotite
Pe baza relaţiilor de calcul ale momentelor de inerţie şi a notaţiilor din figura 42
şi ale relaţiilor (432) momentele de inerţie faţă de sistemul de axe rotit 11991111198741199101 sunt
1198681199111 =119868119911 + 119868119910
2+119868119911 minus 119868119910
2∙ cos 2120572 minus 119868119911119910 ∙ sin 2120572 (433)
1198681199101 =119868119911 + 119868119910
2minus119868119911 minus 119868119910
2∙ cos 2120572 + 119868119911119910 ∙ sin 2120572 (434)
11986811991111199101 =119868119911 minus 119868119910
2∙ sin 2120572 + 119868119911119910 ∙ cos 2120572 (435)
Din relaţiile 433divide435 se observă că icircntre momentele de inerţie axiale şi cele
polare există relaţia
1198681199111 + 1198681199101 = 119868119911 + 119868119910 = 119868119901 (436)
adică suma momentelor de inerţie axiale icircn raport cu orice pereche de axe ortogonale
care trec printr-un pol dat este o constantă şi egală cu momentul de inerţie polar
Prin rotirea sistemului de axe din relaţiile 433divide435 rezultă că momentele de inerţie
variază icircnsă suma lor rămacircne constantă deci există o poziţie a sistemului de axe pentru
care momentele de inerţie au valori extreme maxim respectiv minim
471 Direcţii principale de inerţie
Valoarea unghiului 120572 pentru care momentele de inerţie axiale au valori extreme
este
1205721 =1
2∙ 119886119903119888119905119886119899 (minus
2 ∙ 119868119911119910
119868119911 minus 119868119910) (437)
Poziţia celeilalte direcţii este perpendiculară pe cea dată de unghiul 1205721
Din relaţia (437) se constată că faţă de aceste direcţii rotite pentru care momentele
de inerţie axiale prezintă valori extreme momentul de inerţie centrifugal 11986811991111199101este nul
Atunci se poate afirma că momentele de inerţie axiale au valori extreme icircn raport cu
direcţiile faţă de care momentul de inerţie centrifugal este nul Aceste direcţii se numesc
direcţii principale iar momentele de inerţie faţă de aceste direcţii poartă numele de
momente de inerţie principale
Icircn calculele de rezistenţă interesează icircn mod special poziţia direcţiilor principale
care trec prin centrul de greutate al suprafeţei aşa numitele direcţii principale centrale şi
evident momentele de inerţie principale centrale
Direcţiile principale de inerţie se notează cu 1 respectiv 2 Axa principală 1
corespunde direcţiei faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea maximă iar
axa principală 2 pentru direcţia faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea
minimă
472 Momente de inerţie principale
Momentele de inerţie principale se notează cu litera 119868 la care se pune indicele 1
sau 2 după cum valoarea acestuia este maximă sau minimă deci avem un moment de
inerţie principal 1 (notat 1198681) respectiv moment de inerţie principal 2 (notat 1198682)
Expresiile pentru momentele de inerţie principale sunt
11986812 =119868119911 + 119868119910
2plusmn1
2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)
2+ 4 ∙ (119868119911119910)
2 (438)
Dacă momentul de inerţie centrifugal este negativ (119868119911119910 lt 0) direcţia principală
care trece prin primul cadran (definit de sistemul 119911119862119910) este direcţia principală 120783
Pentru suprafeţele cu cel puţin o axă de simetrie direcţiile centrale 119862119911 119862119910 sunt şi
direcții principale de inerţie și evident momentele de inerţie axiale 119868119911 119868119910 sunt momente
de inerţie principale
48 Caracteristici mecanice ale metalelor
Alegerea materialului pentru confecţionarea unei anumite piese se face şi pe baza
aşa numitelor caracteristici mecanice pe care le prezintă materialul Cunoaşterea acestor
caracteristici mecanice are loc numai pe baza unor icircncercări mecanice care să scoată icircn
evidenţă comportarea materialului icircn condiţii de solicitare
Cea mai utilizată icircncercare icircn urma căreia se pun icircn evidenţă caracteristicile
mecanice ale unui material este icircncercarea la tracţiune
481 Icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general
Icircncercarea la tracţiune a oţelului ca de altfel toate icircncercările de materiale este
standardizată
Icircn cele ce urmează se va prezenta numai partea care interesează strict din punct
de vedere al caracteristicilor mecanice ale oţelului
Epruveta de diametru iniţial 1198890 pentru icircncercarea la tracţiune are o porţiune de
lungime 1198710 numită baza de măsurare pe care se măsoară lungirea acesteia sub acţiunea
solicitării
Icircn funcţie de raportul dintre baza de măsurare 1198710 şi diametrul iniţial 1198890 epruvetele
utilizate pentru icircncercări sunt
epruvete normale (scurte) cacircnd 11987101198890 = 5
epruvete lungi cacircnd 11987101198890 = 10
Icircn timpul icircncercării la diferite valori ale forţei 119865 se măsoară lungirea bazei de
măsurare
∆119871 = 120575 = 119871 minus 1198710 (439)
unde
119871 este dimensiunea bazei de măsurare la un moment dat
Curba forţă-lungire (119865 minus ) icircnregistrată icircn urma icircncercării reprezintă curba
caracteristică la tracţiune
La icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general diagrama caracteristică care se
obţine are forma din figura 48
Curba caracteristică la tracţiune depinde de lungimea bazei de măsurare Pentru
icircnlăturarea acestui neajuns curba caracteristică se reprezintă icircn coordonate şi definite
astfel
120590 =119865
1198600 휀 =
120575
1198710 (440)
unde
1198600 este aria iniţială a secţiunii transversale a epruvetei (icircnainte de solicitare) icircn
zona bazei de măsurare
1198600 =120587 ∙ 1198890
2
4
Deoarece mărimile icircn care se reprezintă curba caracteristică la tracţiune sunt
raportate la aria iniţială a secţiunii transversale (mărimi specifice) curba poartă numele
de curbă caracteristică convenţională la tracţiune
Fig 48 Curba caracteristică convenţională la tracțiune
Pe curba caracteristică convenţională la tracţiune figura 48 se pot stabili o serie
de puncte cărora le corespund mai multe mărimi importante
Ordonata punctului A pacircnă unde curba caracteristică convenţională este linie
dreaptă se numeşte limita de proporţionalitate a materialului 120590119901(1205901) Porţiunea 119874119860 este
zona de proporţionalitate a curbei caracteristice pe acest domeniu este valabilă legea lui
Hooke care exprimă o proporţionalitate icircntre tensiune şi deformaţie specifică
120590 = 119864 ∙ 휀 (441)
unde
119864 = reprezintă panta porţiunii liniare a curbei convenționale caracteristice
la tracțiune Caracteristica de material 119864 se numeşte modul de elasticitate longitudinal
(modulul lui Young)
Ordonata punctului 119861 pacircnă unde materialul se comportă perfect elastic adică
după descărcare icircşi recapătă dimensiunea iniţială 1198710 se numeşte limita de elasticitate
120590119890(119877119890) Icircn realitate nici un material nu are comportare perfect elastică sub acţiunea
solicitărilor el capătă deformaţii permanente (remanente plastice)
După punctul 119861 urmează o porţiune 119861119862119863 icircn care cu toate că icircncărcarea
continuă forţa nu mai creşte avacircnd mici oscilaţii icircn jurul unei valori Se spune că icircn
această porţiune materialul curge iar intervalul 119861119862119863 este un palier de curgere Tensiunea
corespunzătoare palierului de curgere se numeşte limită de curgere aparentă 120590119888(119877119888) Limita de curgere aparentă se calculează cu relaţia
120590119888 =1198651198881198600 (442)
unde
119865119888 reprezintă valoarea forţei icircnregistrată icircn momentul curgerii materialului
După punctul 119863 curba caracteristică are un traseu ascendent pacircnă icircn punctul 119864
Porţiunea 119863119864 este numită zonă de icircntărire (ecruisare) Icircn zona de ecruisare unde se
produc deformaţii plastice semnificative legea lui Hooke nu mai este valabilă La
descărcare relaţia dintre tensiunea şi deformaţia specifică este liniară paralelă cu
porţiunea liniară a curbei caracteristice (dreapta 119872119873)
Deformaţia totală (휀119905) are două componente una elastică (휀119890) şi una plastică (휀119901)
Ordonata punctului 119864 reprezintă rezistenţa de rupere 120590119903(119877119898) a materialului
care se poate calcula cu relaţia
120590119903 = 119877119898 =1198651198981198861199091198600
(443)
unde
119865119898119886119909 reprezintă valoarea maximă a forţei icircnregistrată icircn timpul icircncercării
La atingerea valorii 119865119898119886119909 (punctul 119864) icircntr-un anumit loc al epruvetei secţiunea
icircncepe să se micşoreze (se produce gacirctuirea) continuacircnd pacircnă cacircnd se produce ruperea
totală (punctul 119865)
Dacă după ruperea epruvetei cele două părţi rezultate se aşează cap la cap şi se
măsoară dimensiunea bazei de măsurare 119871119906 (lungimea ultimă) se determină alungirea la
rupere sau lungirea specifică la rupere 휀119903
휀119903 =119871119906 minus 11987101198710
=∆119871
1198710=120575
1198710 (444)
De obicei alungirea se exprimă icircn procente şi se notează cu 119860119899 unde 119899 reprezintă
numărul dat de raportul 11987101198890 (epruvete normale 119899 = 5 epruvete lungi 119899 = 10)
119860119899 =119871119906 minus 11987101198710
∙ 100 [] (445)
Altă mărime care se determină la icircncercarea la tracţiune este gacirctuirea la rupere
(exprimată de obicei icircn procente) şi definită de relaţia
119885 =1198600 minus 1198601199061198600
∙ 100 [] (446)
Mărimile determinate limita de proporţionalitate modulul de elasticitate
longitudinal limita de elasticitate limita de curgere aparentă rezistenţa de rupere
alungirea la rupere şi gacirctuirea la rupere sunt cunoscute ca fiind caracteristici mecanice
ale materialului
Din curba caracteristică convenţională observăm faptul că ruperea (punctul 119865 din
figura 48 se produce la o tensiune mai mică decacirct cea corespunzătoare punctului 119864 Dacă
icircnsă forţa din timpul icircncercării s-ar raporta la aria secţiunii din momentul icircnregistrării
forţei (care este mai mică decacirct cea iniţială 1198600) s-ar obţine aşa numita curbă
caracteristică reală a materialului (traseul 1198741198601198611198621198631198651 din figura 48) La curba
caracteristică reală ruperea se produce icircn punctul 1198651 la o icircncărcare mai mare decacirct cea
corespunzătoare punctului 119864 Icircnseamnă că rezistenţa reală la rupere este mai mare decacirct
rezistenţa la rupere dată de punctul 119864 din diagrama caracteristică convenţională
Dificultatea obţinerii diagramei caracteristice reale faţă de cea a diagramei caracteristice
convenţionale şi considerarea unei rezistenţe la rupere mai mică decacirct a celei reale face
icircn practică utilizarea pe scară mare a diagramei caracteristice convenţionale
Caracteristicile mecanice determinate pe baza curbei caracteristice convenţionale
sunt şi ele caracteristici mecanice convenţionale
Caracteristicile mecanice convenţionale limita de proporţionalitate convenţională
120590119901 limita de elasticitate convenţională 120590119890 limita de curgere convenţională 120590119888 şi rezistenţa
de rupere 120590119903 constituie tensiuni limită pentru un material Pe baza acestor caracteristici
de material se alege valoarea tensiunii admisibile 120590119886 (vezi paragraful 35) pentru
calculele de rezistenţă Cea mai utilizată stare limită pentru stabilirea tensiunii admisibile
120590119886 este limita de curgere convenţională 120590119888
120590119886 =120590119897119894119898119888
=120590119888119888 119904119886119906 120590119886 =
120590119903119888 (447)
Caracteristicile mecanice ale materialului sunt influenţate de o serie de factori
temperatura viteza de solicitare factorii tehnologici iar valorile lor sunt date icircn tabele și
diagrame
Aplicaţie Pentru suprafaţa plană compusă din două dreptunghiuri avacircnd
dimensiunile din figura 49a să se calculeze
a) centrul de greutate al secțiunii compuse 119910119866 119911119866
b) momentele de inerție axiale 119868119911 119868119910 și momentul de inerție centrifugal 119868119911119910
c) razele de inerție 119894119911 119894119910
d) modulele de rezistență 119882119911119898119894119899 119882119911119898119886119909 119882119910119898119894119899 119882119910119898119886119909
e) momentele de inerție principale 1198681 1198682 și direcțiile principale de inerție 1205721
f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 119878119911
Fig 49 Aplicație
Rezolvare Pentru rezolvare vom parcurge următoarele etape
icircmpărțim suprafața compusă icircn două suprafețe simple (dreptunghiuri) notate cu
① și respectiv ② figura 49b
poziționăm centrele de greutate a celor două suprafețe simple ① și respectiv ②
notate cu 1198661 și respectiv 1198662 figura 49c
poziționăm sistemele de axe de coordonate 119911111986611199101 pentru dreptunghiul ① și
119911211986621199102 pentru dreptunghiul ② aflate la intersecția diagonalelor figura 49c
poziționăm sistemele de axe de coordonate 11991101198741199100 ales arbitrar față de care
determinăm poziția centrului de greutate 119866 figura 49c
a) calculăm poziția centrului de greutate folosind relațiile (46) icircn care
1198601 = 6119905 ∙ 119905 = 61199052 1198602 = 4119905 ∙ 119905 = 41199052 119860 = 1198601 + 1198602 = 61199052 + 41199052 = 101199052
iar centrele de greutate 1198661 și respectiv 1198662 au coordonatele (față de sistemul 11991101198741199100)
1198661 1199101 = 3119905 1199111 = 05119905
1198662 1199102 = 051199051199112 = 3119905
cu acestea obținem
119910119866 =1198601 ∙ 1199101 + 1198602 ∙ 1199102
119860=61199052 ∙ 3119905 + 41199052 ∙ 05119905
101199052=201199053
101199052= 2119905
119911119866 =1198601 ∙ 1199111 + 1198602 ∙ 1199112
119860=61199052 ∙ 05119905 + 41199052 ∙ 3119905
101199052=151199053
101199052= 15119905
Poziționăm centrul de greutate 119866 al suprafeței compuse figura 49c
Fig 49 Aplicație
b) pentru determinarea momentelor de inerție axiale 119868119911 119868119910 și a momentului de
inerție centrifugal 119868119910119911 determinăm constantele 1198881 1198882 1198891 1198892 care intervin icircn relația lui
Stainer
1198881 = 1199101 minus 119910119866 = 3119905 minus 2119905 = 119905 1198882 = minus(119910119866 minus 1199102) = minus(2119905 minus 05119905) = minus15119905
1198891 = minus(119911119866 minus 1199111) = minus(15119905 minus 05119905) = minus119905 1198892 = 1199112 minus 119911119892 = 3119905 minus 15119905 = 15119905
Folosind relațiile lui Stainer (429) (430) și (431) calculăm momentele de
inerție axiale și centrifugale față de sistemul central 119911119866119866119910119866
119868119911 =sum(119868119911119894 + 1198881198942 ∙ 119860119894) = 1198681199111 + 1198881
2 ∙ 1198601 + 1198681199112 + 11988822 ∙ 1198602
119868119910 =sum(119868119910119894 + 1198891198942 ∙ 119860119894) = 1198681199101 + 1198891
2 ∙ 1198601 + 1198681199102 + 11988922 ∙ 1198602
119868119911119910 =sum(119868119911119894119910119894 + 119888119894 ∙ 119889119894 ∙ 119860119894) = 11986811991111199101 + 1198881 ∙ 1198891 ∙ 1198601 + 11986811991121199102 + 1198882 ∙ 1198892 ∙ 1198602
1198681199111 = (119887 ∙ ℎ3
12) =
119905 ∙ (6119905)3
12= 181199054 1198681199112 = (
119887 ∙ ℎ3
12) =
4119905 ∙ 1199053
12= 031199054
1198681199101 = (1198873 ∙ ℎ
12) =
1199053 ∙ 6119905
12= 051199054 1198681199102 = (
1198873 ∙ ℎ
12) =
(4119905)3 ∙ 119905
12= 531199054
11986811991111199101 = 11986811991121199102 = 0 deoarece cele două triunghiuri au cel puțin o axă de simetrie
Cu acestea momentele de inerție axiale și momentul de inerție centrifugal devin
119868119911 = 181199054 + 1199052 ∙ 61199052 + 031199054 + (minus15119905)2 ∙ 41199052 = 3331199054
119868119910 = 051199054 + (minus119905)2 ∙ 61199052 + 531199054 + (15119905)2 ∙ 41199052 = 2081199054
119868119911119910 = 0 + 119905 ∙ (minus119905) ∙ 61199052 + 0 + (minus15119905) ∙ (15119905) ∙ 41199052 = minus151199054
c) razele de inerție sau de girație față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910
se calculează cu relațiile (411)
119894119911 = radic119868119911119860= radic
3331199054
101199052= 182119905 119894119910 = radic
119868119910
119860= radic
2081199054
101199052= 144119905
d) modulele de rezistență față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910 se
calculează cu relațiile (412) și (413)
Avacircnd icircn vedere figura 419c obținem
119910119898119886119909 = 6119905 minus 119910119866 = 6119905 minus 2119905 = 4119905 119910119898119894119899 = minus119910119866 = minus2119905
119911119898119886119909 = 5119905 minus 119911119866 = 5119905 minus 15119905 = 35119905 119911119898119894119899 = minus119911119866 = minus15119905
Se obține astfel
119882119911119898119894119899 =119868119911
|119910119898119886119909|=3331199054
4119905= 8331199053
119882119911119898119886119909 =119868119911
|119910119898119894119899|=3331199054
2119905= 16651199053
119882119910119898119894119899 =119868119910
|119911119898119886119909|=2081199054
35119905= 5941199053
119882119910119898119886119909 =119868119910
|119911119898119894119899|=2081199054
15119905= 13871199053
e) momentele de inerție principale 1198681 și respectiv 1198682 se calculează cu relațiile
(438)
11986812 =119868119911 + 119868119910
2plusmn1
2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)
2+ 4 ∙ (119868119911119910)
2=
=3331199054 + 2081199054
2plusmn1
2∙ radic(3331199054 minus 2081199054)2 + 4 ∙ (minus151199054)2 = 27051199054 plusmn 16251199054
De unde obținem
1198681 = 27051199054 + 16251199054 = 4331199054
1198682 = 27051199054 minus 16251199054 = 1081199054
Prima direcție principală de inerție 1 face cu axa centrală 119866119911 unghiul 1205721 dat de
relația (437)
1205721 =1
2∙ arctan (minus
2 ∙ 119868119911119910
119868119911 minus 119868119910) =
1
2∙ arctan [minus
2 ∙ (minus151199054)
3331199054 minus 2081199054] =33 70
Deoarece 1205721 gt 0 rotirea axelor se face acircn sens antiorar acelor de ceasornic figura
49d
Poziția axe principale 2 față de care momentul de inerție are valoarea minimă
1198682 = 119868119898119894119899 este dată de unghiul
1205722 = 1205721 + 900 = 33 70 + 900 = 123 70
f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 se determină cu relația
(45)
1198781199111198602 = 1198602 ∙ 1198882 = 41199052 ∙ (minus15119905) = minus61199053
Aşadar efectul forţei din A a fost icircnlocuit icircn punctul O cu două elemente
mecanice o forţă identică cu aplicată icircn O şi momentul forţei iniţiale icircn raport cu
punctul O Ansamblul celor două elemente mecanice formează aşa numitul torsor de
reducere al forţei icircn punctul O
132 Reducerea unui sistem de forţe icircntr-un punct
Considerăm că asupra unui solid rigid acţionează un sistem de 119899 forţe 119894 aplicate
icircn punctele 119860119894 cu 119894 = 1 119899 şi fie 119874119909119910119911 un sistem de axe de coordonate avacircnd versorii
axelor 119894 119895 figura 16
Fig 16 Reducerea unui sistem forțe icircntr-un punct
Pentru a reduce sistemul de forţe icircn punctul O se procedează astfel
Se reduce pe racircnd fiecare forţă 119894 icircn punctul O la un torsor de reducere compus
dintr-o forţă 119894 şi un moment 119874119894 = 119903119894 times 119894 Făcacircnd această operaţie cu toate forţele icircn
punctul O se obţine
o forţă rezultantă
= sum119894
119899
119894=1
un moment rezultant
0 =sum119874119894
119899
119894=1
=sum119903119894 times 119894
119899
119894=1
Cele două elemente mecanice definesc torsorul de reducere al sistemului de forţe
icircn punctul O
Torsorul de reducere se poate calcula analitic dacă forţele sunt exprimate analitic
119894 = 119883119894 ∙ 119894 + 119884119894 ∙ 119895 + 119885119894 ∙ unde 119883119894 119884119894 119885119894 sunt proiecţiile forţei 119894 pe axele 119874119909 119874119910
respectiv 119874119911 Rezultanta forţelor icircn punctul O este
= (sum119883119894
119899
119894=1
) ∙ 119894 + (sum119884119894
119899
119894=1
) ∙ 119895 + (sum119885119894
119899
119894=1
) ∙ = 119883 ∙ 119894 + 119884 ∙ 119895 + 119885 ∙
(14)
unde sunt componentele rezultantei pe axele 119874119909 119874119910 și 119874119911 = + +
Icircn mod analog momentul rezultant icircn punctul O este
0 = (sum119872119909119894
119899
119894=1
) ∙ 119894 + (sum119872119910119894
119899
119894=1
) ∙ 119895 + (sum119872119911119894
119899
119894=1
) ∙ =
= 119872119909 ∙ 119894 + 119872119910 ∙ 119895 + 119872119911 ∙
(15)
unde 119909 119910 119911 sunt componentele vectorului moment 0 pe axele 119874119909 119874119910 respectiv 119874119911
0 = 119909 + 119910 + 119911
133 Echilibrul solidului rigid
Torsorul de reducere al sistemului de forţe determină mişcarea solidului rigid icircn
spaţiu sub acţiunea forţelor exterioare aplicate
Torsorul de reducere conţine o forţă rezultantă cu trei componente
perpendiculare icircntre ele şi un moment rezultant avacircnd trei componente ortogonale
perpendiculare 119909 119910 119911 orientate după axele sistemului 119874119909119910119911 Cele trei componente
ale rezultantei produc translaţii (deplasări liniare ) ale corpului pe direcţiile 119874119909 119874119910
respectiv 119874119911 Componentele momentului rezultant 0 produc rotiri (deplasări
unghiulare) ale corpului icircn jurul axelor de coordonate 119874119909 119874119910 respectiv 119874119911 Se spune ca
solidul liber are 6 grade de libertate (6 posibilităţi de deplasare) Pentru ca solidul să fie
icircn echilibru trebuie suprimate toate gradele de libertate Aşadar corpul este icircn echilibru
dacă elementele torsorului de reducere al forţelor exterioare este nul
Condiţiile de echilibru ale solidului rigid sunt
= 0 rArr 119883 = 119884 = 119885 = 0
0 = 0 rArr 119872119909 = 119872119910 = 119872119911 = 0
(16)
Observaţie Un solid rigid liber solicitat de forţe aplicate icircntr-un plan (119909119900119910) are
trei grade de libertate Condiţiile de echilibru sunt
= 0 rArr 119883 = 119884 = 0
0 = 0 rArr 119872119911 = 0
(17)
14 Aplicaţii
141 Să se stabilească mărimea şi ordinul rezultantei sistemului de forţe din figura
17 dacă se cunosc 1 = 100 [119873] 2 = 200 [119873] și 3 = 300 [119873]
Rezolvare
Pentru rezolvarea acestui sistem de forte de prezinta doua metode
a) Rezolvare analitică
Descopunem cele două forțe icircnclinate 2 și 3 după cele două axe de coordonate
Ox și Oy
2 = (minus1198652119909) ∙ 119894 + (1198652119910) ∙ 119895 = (minus1198652 ∙ cos 600) ∙ 119894 + (1198652 ∙ sin 60
0) ∙ 119895 =
= (minus200 ∙1
2) ∙ 119894 + (200 ∙
radic3
2) ∙ 119895 = minus100 ∙ 119894 + 100 ∙ radic3 ∙ 119895
3 = (minus1198653119909) ∙ 119894 + (minus1198653119910) ∙ 119895 = (minus1198653 ∙ cos 450) ∙ 119894 + (minus1198653 ∙ sin 45
0) ∙ 119895 =
= (minus300 ∙radic2
2) ∙ 119894 + (minus300 ∙
radic2
2) ∙ 119895 = minus150 ∙ radic2 ∙ 119894 minus 150 ∙ radic2 ∙ 119895
Pentru stabilirea mărimii şi ordinului rezultantei sistemului de forţe din figură se
procedează astfel
Forţele sunt exprimate analitic 119894 = 119883119894 ∙ 119894 + 119884119894 ∙ 119895 unde 119883119894 119884119894 sunt proiecţiile
forţei 119894 pe axele 119874119909 respectiv 119874119910
1 = 100 ∙ 119894 + 0 ∙ 119895
2 = minus100 ∙ 119894 + 1732 ∙ 119895
3 = minus2121 ∙ 119894 minus 2121 ∙ 119895
Fig 17 Aplicația 141
Se determină rezultanta forţelor cu următoarea relaţie
= sum119865119894 prime (sum119883119894
119899
119894=1
) ∙ 119894 + (sum119884119894
119899
119894=1
) ∙ 119895 = 119883 ∙ 119894 + 119884 ∙ 119895
unde 119883 119884 sunt componentele rezultantei pe axele 119874119909 respectiv 119874119910 = +
= (100 minus 100 minus 2121) ∙ 119894 + (0 + 1732 minus 2121) ∙ 119895 = (minus2121) ∙ 119894 + (minus389) ∙ 119895
rArr 119883 = minus2121 [119873]
119884 = minus389 [119873]
Cu acestea obținem rezultanta
119877 = radic1198832 + 1198842 = radic(minus2121)2 + (minus389)2 = 21564 [119873]
Se reprezintă grafic rezultanta icircn sistemul de coordonate 119909119874119910 după care se
calculează unghiul 120572 pe care aceasta rezultantă icircl face cu axa 119874119909 figura 18
tan 120572 =119884
119883=minus389
minus2121= 0183 rArr 120572 = arctan(0183) = 10 40
Fig 18 Reazultanta forțelor aplicate
b) Rezolvare tabelară
Forţa 119894 Componenta 119883119894 Componenta 119884119894
1 1198651 = 100 1198651 = 0
2 minus1198652 ∙ cos 600 = minus100 1198652 ∙ sin 60
0 = 1732
3 minus1198653 ∙ cos 450 = minus2121 minus1198653 ∙ sin 45
0 = minus2121
= sum119894 119883 =sum119883119894 = minus2121 119884 =sum119884119894 = minus389
După determinarea tabelară a celor două componente ale rezultandei calculele se
continua ca şi icircn cazul rezolvării analitice
142 Să se calculeze momentul forţei verticale = 100 [119873] icircn raport cu punctele
B D O şi icircn raport cu axele Ox Oy şi Oz figura 19 și să se determine componentele
torsorului de reducere ale forţei icircn punctul O dacă se cunosc 119886 = 3 [119898] şi 119887 = 4 [119898]
Fig 19 Aplicația 142
Fig 110 Icircnclinarea momentului 119872119874
119861 = 119861119860 times
119872119861 = 119886 ∙ 119865 = 3 ∙ 100 = 300 [119873 ∙ 119898]
119863 = 119863119860 times
119872119863 = 119887 ∙ 119865 = 4 ∙ 100 = 400 [119873 ∙ 119898]
119874 = 119874119860 times
119872119874 = 119888 ∙ 119865 = radic1198862 + 1198872 ∙ 119865 = radic32 + 42 ∙ 100 = 5 ∙ 100 = 500 [119873 ∙ 119898]
119874 se află icircn planul 119909119874119910 cu icircnclinarea 120572 (figura 110)
tan120572 =119886
119887=3
4= 075 rArr 120572 = arctan(075) = 36860
Deci
120572 = 900 minus 120573 = 900 minus 36860 = 53140
Concluzie Componentele torsorului de reducere al forței icircn punctul O sunt o forta
icircn O identică cu forța din punctul A și momentul forței icircn raport cu punctul O 119874
2 INTRODUCERE IcircN REZISTENŢA MATERIALELOR
21 Obiectul şi problemele Rezistenţei materialelor
Rezistenţa materialelor este o disciplină de cultură tehnică generală care continuă
logic şi dezvoltă Mecanica prin introducerea icircn calcule a proprietăţilor de deformabilitate
ale corpurilor solide reale Icircn Mecanică corpul solid este considerat rigid nedeformabil
iar vectorii forţă de icircncărcare sunt consideraţi alunecători Rezistenţa materialelor ia icircn
studiu corpurile reale care sub acţiunea forţelor exterioare (vectori legaţi) icircşi schimbă
forma geometrică respectiv dimensiunile iniţiale şi se distrug prin rupere la valori mari
ale acestora Prin calculele de rezistenţă se determină dimensiunile secţiunilor
transversale ale corpurilor (elemente de rezistenţă) icircn funcţie de mărimea poziţia şi modul
de acţionare a forţelor exterioare proprietăţile mecanice ale materialelor dimensiunile
constructive forma şi importanţa ansamblului icircn care se icircnglobează iar icircn anumite cazuri
şi de durata de funcţionare Elementele de rezistenţă trebuie să icircndeplinească următoarele
condiţii de bază
- condiţia de rezistenţă care are icircn vedere ca eforturile din elementul de rezistenţă
să nu producă distrugerea acestuia prin rupere sau spargere icircn bucăţi
- condiţia de rigiditate se referă la valorile deformaţiilor care nu trebuie să
depăşească anumite mărimile admisibile
- condiţia de stabilitate care consideră posibilitatea menţinerii formei de echilibru
stabil pentru o anumită stare de icircncărcare
Criteriile de rezolvare ale problemelor de Rezistenţa materialelor sunt
- criteriul economic prin care se impune ca orice element de rezistenţă (piesă) să
fie proiectat şi realizat cu soluţia cea mai economică icircn privinţa materialului utilizat şi al
manoperei
- criteriul de bună funcţionalitate a ansamblului din care face parte elementul de
rezistenţă proiectat respectacircnd condiţiile de rezistenţă rigiditate şi stabilitate
Icircn cadrul Rezistenţei materialelor se admit ipoteze simplificatoare care permit
obţinerea unor relaţii de calcul relativ simple şi care exprimă destul de fidel fenomenul
de solicitare real Experimentările practice icircn laborator permit verificarea legilor
rezistenţei materialelor şi determinarea caracteristicilor mecanice ale materialelor
Rezistenţa materialelor permite rezolvarea următoarelor categorii de probleme
- probleme de dimensionare prin care se stabilesc dimensiunile optime ale
elementelor de rezistenţă proiectate icircn funcţie de icircncărcările exterioare (forţe sau
momente) şi de caracteristicile mecanice ale materialului utilizat
- probleme de verificare la care se determină dacă un element de rezistenţă de
dimensiuni cunoscute satisface condiţiile de rezistenţă rigiditate şi stabilitate cunoscacircnd
icircncărcarea exterioară şi caracteristicile mecanice ale materialului utilizat
- probleme de calcul al capacităţii de icircncărcare al unui element de rezistenţă
cunoscacircndu-se caracteristicile mecanice ale materialului dimensiunile şi modul de
solicitare se determină icircncărcarea maximă pe care o poate suporta elementul de rezistență
fără a ceda sau a se deforma periculos
22 Clasificarea corpurilor icircn Rezistenţa materialelor
Corpurile (elementele de rezistenţă) au icircn general forme constructive relativ
complicate Icircn Rezistenţa materialelor pentru simplificarea calculelor corpurile se
schematizează prin forme geometrice mai simple obţinacircndu-se următoarele grupe
a) corpuri solide cu o dimensiune mult mai mare decacirct celelalte două (corpuri cu
fibră medie) Elementele geometrice caracteristice sunt axa longitudinală şi secţiunea
transversală Aceste corpuri solide pot fi
- fire dacă dimensiunile secţiunii transversale sunt foarte mici astfel icircncacirct axa
longitudinală este flexibilă (icircşi schimbă forma uşor) iar sarcinile transversale nu pot fi
preluate de acesta Un fir nu poate fi solicitat decacirct la icircntindere (exemplu cabluri de
macara lanţuri etc)
- bare care rezistă atacirct la solicitări axiale cacirct şi la solicitări transversale
După modul de solicitare barele poartă diferite denumiri convenţionale
tiranţi-solicitaţi la icircntindere figura 21a
stacirclpi-solicitaţi la compresiune figura 21b
grinzi-solicitate la icircncovoiere figura 21c
arbori-solicitaţi la torsiune (răsucire) figura 21d
Fig 21 Denumirea barelor după modul de solicitare
După modul cum variază secţiunea icircn lungul axei barele pot fi
de secţiune constantă figura 22a
de secţiune variabilă continuă figura 22b sau icircn trepte figura 22c
Fig 22 Denumirea barelor după secțiune
După forma axei longitudinale barele pot fi
drepte figura 21
curbe icircn plan figura 23a sau icircn spaţiu figura 23b (numite și curbe stracircmbe)
cotite (axa barei este o linie fracircntă) plane figura 23c sau spațiale figura 23d
Fig 23 Tipuri de bare curbe și cotite
Secţiunea transversală (plană şi normală pe axa barei) poate avea orice formă
geometrică constantă sau variabilă icircn lungul barei
Dacă una din dimensiunile secţiunii transversale (grosimea) este mai mică
comparativ cu celelalte bara se numește bară cu pereţi subţiri (exemplu barele
realizate din platbande sudate cu secţiuni sub formă de profil I profil U cornier etc)
b) corpuri care au două dimensiuni mult mai mari icircn raport cu a treia (grosimea)
se numesc plăci Elementele geometrice caracteristice ale unei plăci sunt forma şi
dimensiunile suprafeţei mediane respectiv grosimea Plăcile se reprezintă schematic
printr-o suprafață care imită forma și dimensiunile suprafeței mediane Suprafaţa mediană
reprezintă locul geometric al tuturor punctelor egal depărtate de cele două feţe ale plăcii
puncte aflate pe perpendicularele duse icircntre cele două feţe figura 24
După destinaţie și forma suprafeței mediane se deosebesc
plăci plane figura 24b
plăci curbe (icircnvelişuri) cu o singură curbură figura 24a sau avacircnd curbură
dublă figura 24c
Fig 24 Tipuri de plăci plane
Plăcile cu grosime mare sunt denumite frecvent dale O placă de grosime mică
ce nu poate prelua decacirct solicitări la icircntindere poartă numele de membrană
Exemple de plăci icircnvelişurile vasele de revoluţie discurile etc
c) corpuri masive care au toate cele trei dimensiuni aproximativ de acelaşi ordin
de mărime (blocuri de fundaţii bile şi role de rulmenţi tuburi cu pereţi groşi etc)
Calculele de rezistenţă sunt mai simple icircn cazul barelor drepte şi mai complicate
la barele curbe plăci respectiv blocuri
23 Clasificarea icircncărcărilor exterioare
Un corp icircşi păstrează forma şi dimensiunile datorită forţelor de atracţie dintre
particulele sale elementare atacircta timp cicirct asupra sa nu acţionează alte forţe aplicate din
exterior care să-l deformeze Icircn construcţia de maşini elementele de rezistenţă preiau şi
transmit acţiunea unor sarcini exterioare (forţe şisau cupluri) pe care le vom denumi
generic forțe sau icircncărcări exterioare Efectul pe care-l au sarcinile este acela de a
modifica forma şi dimensiunile corpului asupra căruia se aplică Icircn punctele de rezemare
(de sprijin sau de legătură cu alte elemente de rezistenţă icircnvecinate) ca urmare a
principiului acţiunii şi reacţiunii apar forţe de legătură sau reacţiuni Ansamblul format
din sarcini şi reacţiuni este cunoscut sub numele de forţe exterioare Sub acţiunea
forţelor exterioare elementele de rezistenţă trebuie să fie icircn echilibru
Forţele exterioare pot fi clasificate după următoarele criterii
a) după mărimea suprafeţei pe care se aplică
- forțe concentrate aplicate teoretic icircntr-un punct figura 25a
- forțe distribuite uniform sau cu intensitate variabilă icircn lungul barei sau pe o
suprafaţă figura 25bc şi d
- momente concentrate care acţionează icircntr-un punct M sau momente uniform
distribut pe o anumită lungime m
Fig 25 Tipuri de sarcini după mărimea suprafeţei de aplicare
b) după locul de aplicare se deosebesc
- forţe de suprafaţă sau de contur care sunt aplicate din exterior pe suprafaţa
corpurilor şi indică legătura cu piesele icircnvecinate
- forţe masice sau de volum distribuite icircn tot corpul (greutăţi forţe de inerţie
respectiv forţe electromagnetice)
c) după modul de acţiune icircn timp se disting
- forţe statice care se aplică lent şi progresiv pacircnă la valoarea nominală de lucru
şi apoi rămacircn constante figura 26a
- forţe dinamice care rezultă din
aplicarea cu icircntreaga intensitate de la icircnceputul perioadei de solicitare iar apoi forţa se
menţine constantă timp icircndelungat figura 26b (forţe de inerţie)
aplicarea bruscă a sarcinii asupra corpului durata de acţiune a sarcinii fiind mică figura
26c (forţe de şoc)
variaţia periodică icircn timp a intensităţii forţei aplicate figura 26d (forţe de oboseală)
Fig26 Tipuri de forţe exterioare (cicluri de solicitare)
Funcţie de modul de variaţie al forţelor exterioare solicitările pot fi statice
oscilante pulsante alternante etc Experimental s-a constatat că rezistenţa unui material
depinde foarte mult de modul de variaţie a forţelor icircn timp Bach a clasificat solicitările
icircn 3 categorii 1-solicitări statice 2-solicitări pulsante 3-solicitări alternant simetrice
Rezistenţa unui material este icircn raportul 321 pentru cele 3 cazuri de solicitare ale lui
Bach Aceasta icircnseamnă că o piesă solicitată static rezistă la o forţă de 3 ori mai mare
decacirct forţa maximă care produce ruperea aceleaşi piese solicitate alternant simetric
d) după poziţia icircn timp a forțelor se disting
- forţe fixe ale căror puncte de aplicaţie sunt mereu aceleaşi
- forţe mobile ale căror puncte de aplicaţie se deplasează icircn timp De exemplu
sarcinile produse de vehiculele care circulă pe un pod sarcinile unei grinzi de pod rulant
icircntr-o halăetc
24 Reazeme Forțe interioare Eforturi Diagrame de eforturi icircn barele
drepte
241 Reazeme Reacțiuni (forțe de legătură)
Pentru a prelua şi transmite acţiunea sarcinilor exterioare elementele de rezistenţă
din componenţa unei structuri sunt fixate icircntre ele prin intermediul unor legături
exterioare numite reazeme Aceste legături au ca scop icircmpiedicarea anumitor mişcări ale
corpului pe direcţiile pe care acestea nu trebuie să se producă O legătură are deci rolul
de a anula unul sau mai multe grade de libertate ale corpului icircn punctul de rezemare Dacă
este anulat un singur grad de libertate legătura este simplă iar dacă sunt impiedicate mai
multe grade de libertate legătura este una compusă Datorită existenţei sarcinilor
exterioare icircn punctele de rezemare pe direcţiile pe care mişcările sunt icircmpiedicate apar
forţe de legătură numite reacţiuni Numărul natura şi direcţiile reacţiunilor depind de
tipul reazemelor Icircn construcţiile reale există o varietate mare de realizare practică a
reazemelor dar icircn calcule se acceptă anumite schematizări care reţin doar aspectul esenţial
al unui reazem şi anume gradul sau gradele de libertate anulate
Pentru o structură de rezistenţă spaţială icircntr-un punct oarecare sunt posibile şase
deplasări trei deplasări liniare (după direcţiile axelor unui sistem ortogonal) şi trei rotiri
(deplasări unghiulare) icircn jurul aceloraşi axe Ca urmare ar fi posibil de realizat maximum
şase tipuri de reazem
Pentru un element de rezistenţă plan icircncărcat cu eforturi cuprinse icircn planul
elementului icircn orice punct sunt posibile trei gade de libertate două deplasări liniare şi o
rotiri Ca urmare pentru cazul unei bare plane se icircntacirclnesc următoarele tipuri de reazeme
1 Reazemul simplu sau reazemul mobil care icircmpiedică deplasarea pe o direcţie
normală pe suprafaţa de rezemare permiţacircnd deplasarea pe o direcţie paralelă cu
suprafaţa de rezemare şi rotirea barei icircn jurul unei axe perpendiculare pe plan icircn punctul
de rezemare Icircn urma icircmpiedicării deplasării şi datorită unor sarcini exterioare icircn
reazemul simplu apare o reacţiune de tip forţă a cărei suport trece prin punctul de
rezemare şi a cărei direcţie este perpendiculară pe suprafaţa de rezemare figura 27
Fig 27 Reazem simplu (mobil)
Icircn figura 27 este reprezentat un reazem mobil poziţionat pe capătul A al unei bare
plane orizontale fiind evidenţiate punctul şi suprafaţa de rezemare direcţia suportului
reacţiunii şi modul de schematizare al reazemului Cea mai des icircntacirclnită reprezentare a
reazemului mobil este a unui triunghi a cărui bază poate luneca pe suprafaţa de rezemare
2 Reazemul fix sau articulaţia icircmpiedică deplasările liniare după toate direcţiile
din planul barei permiţacircnd doar rotirea barei icircn jurul unei axe perpendiculare pe plan şi
care trece prin puncul de rezemare Reacţiunea este cuprinsă icircn planul barei care trece
prin punctul de rezemare dar a cărei mărime şi direcţie nu sunt cunoscute (forţa R)
figura 28
Fig 28 Reazem fix
Se preferă ca icircn locul unei forţe R avacircnd direcţia oarecare icircn plan necunoscută să
se introducă două forţe (HA şi VA) cărora li se cunoaşte direcţia şi pentru care se vor
determina modulele ca valori din condiţiile de echilibru static Icircntr-un reazem fix apar
icircntotdeauna reacţiuni atacirct pe direcţia perpendiculară pe suprafaţa de rezemare
(verticală) cacirct şi pe direcţia paralelă cu prima (orizontală) chiar dacă uneori una sau
chiar ambele reacţiuni au valoarea zero Reprezentarea schematică a articulaţiei este cea
a unui triunghi cu baza fixă şi cu vacircrful icircn punctul de rezemare sau cea a unui pendul
dublu figura 28
3 Icircncastrarea (sau icircnţepenirea) anulează toate gradele de libertate ale capătului
unei bare icircmpiedicacircnd deplasarea liniară după orice direcţie din plan precum şi rotirea
barei icircn jurul unei axe perpendiculare pe plan şi care trece prin punctul de icircncastrare
Urmare a existenţei sarcinilor exterioare şi a blocării deplasărilor icircn icircncastrare apare o
reacţiune căreia nu i se cunoaşte nici mărimea nici direcţia şi nici punctul de aplicaţie
figura 29
Fig 29 Icircncastrarea
Sub acţiunea forţelor exterioare un sistem este icircn echilibru Valoarea reacţinilor
se determină din condiţia de echilibru a sistemului solicitat
Este cunoscut faptul că un sistem plan este icircn echilibru dacă
nu se deplasează pe o direcţie (fie x această direcţie)
nu se deplasează pe o direcţie perpendiculară pe prima (fie y această direcţie)
nu se roteşte faţă de un punct al planului (fie K acest punct)
Cele trei condiţii enunţate mai sus sunt satisfăcute dacă suma proiecţiilor tuturor
forţelor pe direcţia x respectiv y este nulă şi suma tuturor momentelor (cuplurilor) faţă
de un punct al planului este nulă
242 Forțe interioare Metoda secțiunilor
Icircn vederea calculului de rezistenţă de rigiditate şi de stabilitate a barelor sau a
sistemelor de bare este necesară determinarea forţelor şi momentelor interioare
(eforturilor) care apar icircn secţiunile transversale ale acestora şi datorate icircncărcărilor
exterioare Forțele interioare indică legătura dintre particulele din interiorul corpului şi
se pun icircn evidenţă prin metoda secţiunilor care este un procedeu de raţionament
imaginar propus de Cauchy echivalent cu teoria echilibrului părţilor Conform acestui
raționament bdquodacă un corp solid deformabil este icircn echilibru sub acţiunea unui sistem
generalizat de forţe atunci după secționare fiecare parte a sa va fi icircn echilibru sub
acţiunea forţelor exterioare care-i revin şi a unui sistem de forţe pe care trebuie să-l
introducem icircn secţiunea ce delimitează fiecare parte echivalent cu acţiunea forţelor
aplicate pe partea icircndepărtatărdquo
Problemele care apar la aplicarea metodei secţiunilor sunt
- să pună icircn evidenţă existenţa forţelor interioare mai ales că din ceea ce se ştie o
forţă apare icircn prezenţa a două corpuri ca urmare a principiului acţiunii şi reacţiunii
- să explice modul de distribuţie al forţelor interioare pe secţiune
Considerăm un corp aflat icircn echilibru sub acţiunea unui sistem de forţe exterioare
1 2 3⋯119894 ⋯ 119899minus1 119899 şi presupunem că-l secţionăm cu un plan transversal Q (sau cu
o suprafaţă oarecare) figura 210a Icircn urma secţionării fictive (imaginare) conform
principiului echilibrului părţilor fiecare din cele două părţi obţinute trebuie să fie icircn
echilibru sub acţiunea forţelor exterioare care le revin şi a cacircte unui sistem de forţe
interioare pe care trebuie să-l introducem icircn secţiunile rezultate sistem echivalent cu
acţiunea forţelor exterioare ce acţionează asupra celeilalte părţi Astfel pe partea din
dreapta (notată cu II) delimitată de secţiunea de arie Ad sunt aplicate forţele exterioare
119894 ⋯ 119899minus1 119899 şi un sistem de forţe interioare căruia nu i se cunoaşte decacirct efectul acelaşi
cu cel al forţelor 1 2 3 de pe parea din stacircnga (notată cu I şi delimitată de secţiunea
de arie As) figura 210b Prin metoda secţiunilor am reuşit să punem icircn evidenţă existenţa
forţelor interioare şi să le trecem icircn categoria celor exterioare cărora le putem aplica
relaţiile de echivalenţă şi de echilibru cunoscute din statică Ideal ar fi să cunoaştem
distribuţia şi intensitatea punctuală a acestor forţe pentru că s-ar putea ca icircn anumite
puncte ale secţiunii valoarea forţelor să depăşească limita de rezistenţă (limita de curgere)
a materialului Cunoaşterea distribuţiei punctuale a forţelor interioare nu se poate realiza
decacirct icircn cazuri particulare relativ simple de solicitare
Să considerăm partea din dreapta a corpului asupra căreia acționează forțele
119894 ⋯ 119899minus1 119899 mărginit de aria Ad pe care acționează un sistem de forțe interioare
echivalent cu 1 2 3 Deși forțele interioare de pe Ad nu se cunosc totuși efectul lor
este același cu cel al forțelor 1 2 3 deci le putem reduce icircn centrul de greutate C al
secțiunii Ad rezultacircnd componentele torsorului de reducere al forțelor interioare
(119894119889 119894119889) și pentru partea din stacircnga (119894119904 119894119904) Evident conform principiului acțiunii și
reacțiunii
119894119889 = minus119894119904
119894119889 = minus119894119904 (21)
Pe de altă parte cum fiecare dintre părțile corpului după secționare trebuie să fie
icircn echilibru sub acțiunea forțelor exterioare care le revin și a forțelor interioare introduse
rezultă
119894119889 = minus119890119889
119894119889 = minus119890119889
119894119904 = minus119890119889
119894119904 = minus119890119904 (22)
Combinacircnd (21) cu (22) rezultă
119894119889 = 119890119889
119894119889 = 119890119889
119894119904 = 119890119904
119894119904 = 119890119904 (23)
Fig 210 Forțe interioare
Relațiile (22) și (23) permit determinarea componentelor torsorului de reducere
al forțelor interioare din (23) rezultă componentele torsorului forțelor interioare care
acționează icircn secțiunea Ad sunt egale cu componentele torsorului de reducere al forțelor
exterioare de pe partea din stacircnga din (22) rezultă componentele torsorului forțelor
interioare care acționează icircn secțiunea Ad sunt egale și de sens contrar cu componentele
torsorului de reducere al forțelor exterioare de pe partea din dreapta
Observații
1 Torsorul forțelor interioare diferă de la o secțiune la alta dar pentru aceeași
secțiune el este unic și trebuie să respecte condițiile de compatibilitate a deformațiilor
2 Reducacircnd forțele interioare icircn centrul de greutate al secțiunii s-a făcut o
aproximare icircn ceea ce privește efectul modului de dispunere al forțelor
3 Punctul de reducere trebuie să fie
pentru forțele interioare normale la secțiune centrul de greutate
pentru forțele interioare tangente la planul secțiunii centrul de răsucire sau de
tăiere
243 Eforturi
Prin metoda secțiunilor am pus icircn evidență existența forțelor interioare și modul
icircn care se determină componentele torsorului de reducere al forțelor interioare (119894119889 119894119889) de pe fața din dreapta secțiunii (Ad) Cele două componente ale torsorului de reducere al
forțelor interioare de pe Ad se pot descompune după axele unui sistem de referință
triortogonal xCyz astfel
119894119889 = +
119894119889 = 119909 +119872119894 (24)
unde și 119909 sunt proiecțiile lui 119894119889 și respectiv 119894119889 pe axa longitudinală Cx a
barei iar și 119894 sunt proiecțiile acelorași componente 119894119889 și respectiv 119894119889 pe planul yCz
al secțiunii transversale Ad figura 211
Fig 211 Torsorul de reducere al forţelor interioare
La racircndul lor și 119894 se pot descompune după axele sistemului yCz figura 212
= 119910 + 119911
119894 = 119894119910 + 119894119911 (25)
Fig 212 Descompunerea forţei tăietoare şi a momentului icircncovoietor
Cele șase componente ale torsorului de reducere al forțelor interioare ( 119910 119911
119909 119894119910 119894119911) orientate după axele sistemului de referință xCyz se numesc eforturi
Fiecare efort are o denumire stabilită icircn funcție de tipul de deformație pe care-l produce
De asemenea semnul plus (bdquo+rdquo) sau minus (bdquondashrdquo) al fiecărui efort nu depinde de sensul
pozitiv sau negativ al sistemului de axe ci doar de efectul icircn deformații al fiecărui efort
Denumirile celor șase eforturi sunt
119873 este forța axială
119879119910 119879119911 sunt forțe tăietoare orientate după axele Cy și respectiv Cz
119872119909 notat de cele mai multe ori cu 119872119905 este moment de torsiune sau de răsucire
119872119894119911 119872119894119910 sunt momente de icircncovoiere icircn jurul axei Cz și respectiv Cy
Forța axială 119873 poate fi forță axială de icircntindere cacircnd produce o lungire a
tronsonului pe a cărei față acționează (119873 gt 0) figura 213a sau forță axială de
compresiune cacircnd sub efectul ei bara se scurtează (119873 lt 0) figura 213b
Fig 213 Forța axială
Forțele tăietoare 119879119910 și 119879119911 au ca efect lunecarea secțiunii icircn centrul căreia
acționează icircn raport cu secțiunea icircnvecinată lunecare ce se produce pe direcția și icircn sensul
forței Sub acțiunea unei forțe tăietoare bara este solicitată la forfecare Forța tăietoare
este pozitivă 119879119910 gt 0 dacă icircn raport cu un punct oarecare K de pe axa Cx a barei tinde să
rotească secțiunea pe care acționează icircn sens orar
Fig 214 Forța tăietoare
Momentele de icircncovoiere 119872119894119911 și 119872119894119910 au ca efect o rotire a secțiunii icircn centrul
cărora acționează icircn jurul axei după care sunt orientate Icircn figura 215a se vede că
datorită momentului 119872119894119911 fibrele de deasupra axei Cz se alungesc icircn timp ce fibrele de sub
axa Cz se scurtează Fibrele care trec prin axa de icircncovoiere Cz nu se deformează sunt
fibre neutre la icircncovoiere adică axa neutră este Cz Icircn cazul momentului de icircncovoiere
119872119894119910 fibrele care nu se deformează sunt cele care trec prin axa neutră la icircncovoiere Cy
Momentele de icircncovoiere se consideră a fi pozitive (119872119894119911 gt 0119872119894119910 gt 0) dacă
observatorul care privește bara deformată vizualizează fibrele icircntinse
Fig 215 Momentul icircncovoietor
Momentul de torsiune sau de răsucire 119872119909 equiv 119872119905 are ca efect o rotire a secțiunii
icircn al cărei centru acționează icircn jurul axei longitudinale Cx Ca efect secțiunea icircși schimbă
forma (se deformează) adică unghiurile inițiale se modifică dreptunghiul inițial Ad
devine paralelogram Convențional se consideră 119872119905 gt 0 dacă vectorul moment are
aceeași orientare ca și sensul pozitiv ales pextru axa Cx Icircn figura 216 momentul este
negativ
Fig 216 Momentul de torsiune
25 Definiții și convenții de semne pentru eforturile
din secțiunile unei bare drepte plane icircncărcate cu sarcini coplanare
Vom considera o bară plană icircncărcată cu un sistem de forțe arbitrar figura 217
Ne propunem să determinăm eforturile care apar icircn secțiunea barei aflată la distanța 119909 de
reazemul din stacircnga (A)
Pentru aceasta vom aplica metoda secțiunilor vom secționa bara cu un plan
perpendicular pe axa longitudinală a barei și vom analiza doar partea din dreapta secțiunii
mărginită de fața Ad Pentru ca această porțiune de bară să fie icircn echilibru sub acțiunea
forțelor exterioare care acționează asupra sa 1198653 și 119881119861 va trebui să introducem icircn centrul
secțiunii Ad eforturile care pot să apară 119873 119879119910 119872119894119911 Acțiunea acestor eforturi trebuie să
fie echivalentă cu acțiunea forțelor exterioare aplicate pe partea icircnlăturată (parcursă) a
barei 119867119860 119881119860 1198651 1198652 1198720
Deoarece bara este plană și este icircncărcată doar cu sarcini ce aparțin
planului barei
icircn secțiunea Ad apar doar 3 componente ale torsorului de reducere al forțelor
interioare (eforturi)
- 119873 = forța axială
- 119879119910 = forța tăietoare pe care o vom nota cu 119879
- 119872119894119911 = momentul icircncovoietor notat cu Mi
Fig 217 Bară plană icircncărcată cu un sistem de forțe
Vom prezenta următoarele definiții corespunzătoare eforturilor din secțiunea Ad
119873 = forța axială dintr-o secțiune este egală cu suma algebrică a proiecțiilor pe
axa longitudinală a tuturor forțelor exterioare (sarcini și reacțiuni) aplicate pe partea
din stacircnga secțiunii adică pe porțiunea parcursă Forța axială 119873 este pozitivă dacă trage
de tronsonul pe a cărei față acționează (are orientarea normalei exterioare la secțiunea
Ad)
119873(119909) = minus119867119860 + 1198651119867 (26)
119879 = forța tăietoare icircntr-o secțiune este egală cu suma algebrică a proiecțiilor
pe o axă perpendiculară pe axa barei a tuturor forțelor exterioare (sarcini și reacțiuni)
aplicate pe porțiunea de bară aflată icircn stacircnga secțiunii considerate Forța tăietoare 119879
este pozitivă dacă tinde să rotească tronsonul pe a cărui față acționează icircn sens orar icircn
raport cu un punct de pe axa barei aflat la dreapta secțiunii
119879(119909) = 119881119860 minus 1198651119881 minus 1198652 (27)
119872119894 = momentul icircncovoietor icircntr-o secțiune este egal cu suma algebrică a
momentelor obținute prin reducerea tuturor forțelor exterioare ( cupluri sarcini
reacțiuni) aplicate pe porțiunea de bară aflată la stacircnga secțiunii icircn centrul secțiunii
considerate 119872119894 este considerat pozitiv dacă tinde să deformeze bara astfel icircncacirct fibrele
spre care privește un observator să fie icircntinse Cum poziția observatorului este de regulă
sub bară bara se deformează dacă 119872119894 gt 0 astfel icircncacirct partea jos a barei este icircntinsă Se
spune că bara deformată rdquoține apaldquo
119872119894(119909) = 119881119860 ∙ 119909 minus 1198651119881 ∙ (119909 minus 1198971) minus 1198652 ∙ [119909 minus (1198971 + 1198972)] + 1198720 (28)
Sensurile pozitive ale eforturilor care apar icircn centrul secțiunii Ad (deci atunci cacircnd
sensul de parcurs la aplicarea metodei secțiunilor este cel de la stacircnga la dreapta) sunt
indicate icircn figura 218a iar dacă sensul de parcurs este de la dreapta la stacircnga sensurile
pozitive ale eforturilor sunt indicate icircn figura 218b
Fig 218 Convenţia de semne
Definiții asemănătoare se pot da și pentru eforturile din centrul secțiunii As figura
218b adică pentru cazul icircn care sensul de parcurs este cel de la dreapta la stacircnga și deci
partea luată icircn considerare este cea din stacircnga iar partea parcursă din dreapta secțiunii
este icircnlăturată
119873(1199091) = 1198653119867
119879(1199091) = 1198653119881 minus 119881119861
119872119894(1199091) = 119881119861 ∙ 1199091 minus 1198653119881 ∙ (1199091 minus 1198975)
(29)
Avacircnd icircn vedere că fețele Ad și As aparțin aceleeași secțiuni este evident faptul că
eforturile 119873(119909) 119879(119909) și 119872119894(119909) sunt identice cu eforturile 119873(119961120783) 119879(119961120783) și respectiv
119872119894(119961120783) Icircn figura 218c se prezintă o sinteză a convențiilor de semne pozitive pentru cele
3 eforturi atacirct pentru sensul de parcurs de la stacircnga la dreapta (secțiunea Ad) cacirct și pentru
sensul invers (secțiunea As)
Semnele eforturilor sunt importante icircntrucacirct există materiale cu comportări diferite
la icircntindere față de compresiune iar o schimbare a semnului unui efort poate produce
erori grave icircn calcule Semnele eforturilor au fost stabilite icircn funcție de deformațiile
produse și nu depind de sensul axelor sistemului de coordonate
26 Relaţii diferenţiale icircntre eforturi şi sarcini
Pentru a vedea ce legătură există icircntre eforturi și sarcini vom considera o bară
dreaptă icircncărcată cu o sarcină distribuită după o lege oarecare figura 219a Din această
bară vom decupa prin dublă secționare un element de lungime infinit mică 119889119909 Deoarece
lungimea 119889119909 este foarte mică se poate considera sarcina 119901 uniform distribuită Icircn
secțiunile rezultate trebuie să introducem eforturile care pot apărea
- 119879 şi 119872119894 icircn centrul secțiunii din sticircnga eforturi pe care le considerăm pozitive
- 119879 + 119889119879 şi 119872119894 + 119889119872119894 icircn centrul secțiunii din dreapta elementului
Aceste eforturi au o variație mică (119889119879 şi 119889119872119894) față de secțiunea anterioară Spre
deosebire de cazul icircn care bara este secționată o singură dată icircn acest caz eforturile nu
pot fi determinate din cele 2 condiții de echilibru independente deoarece icircn ecuațiile de
echilibru apar 4 necunoscute 119879 119889119879119872119894 și 119889119872119894 deci că problema este dublu static
nedeterminată figura 219
Fig 219 Echivalența icircntre eforturi și sarcini
Ecuațiile de echilibru scrise pentru elementul din figura 219b conduc la stabilirea
unor relaţii foarte importante
(sum119865)119910= 0 hArr 119879 minus 119901 ∙ 119889119909 minus (119879 + 119889119879) = 0 rArr
119889119879
119889119909= minus119901 (210)
Relația (210) arată că derivata funcţiei forţei tăietoare icircn raport cu abscisa
secţiunii este egală cu sarcina distribuită normală la axa barei din acea secţiune luată
cu semn schimbat
Observații
dacă 119901 = 0 nu există sarcină distribuită atunci forța tăietoare T este constantă
icircnclinarea pantei diagramei forței 119879 este egală cu (ndash 119901) (sarcina distribuită cu
semn schimbat)
dacă 119901 = 119888119900119899119904119905 119879 variază liniar pe acel interval
Asemănător se deduce că derivata funcţiei forţei axiale icircn raport cu abscisa
secţiunii este egală cu sarcina distribuită axială din acea secţiune luată cu semn
schimbat adică
119889119873
119889119909= minus119901119867 (211)
Din condiția de echilibru suma de momente faţă de centrul de greutate al secţiunii
din dreapta
(sum119872)119862= 0 hArr 119872119894 minus (119872 + 119889119872119894) + 119879 ∙ 119889119909 minus 119901 ∙
(119889119909)2
2= 0 rArr
119889119872119894
119889119909= 119879 (212)
Relația (212) s-a obținut dupa reducerea termenilor și prin neglijarea infinitului
mic de ordinul 2
119901 ∙(119889119909)2
2
Relația (212) arată că derivata funcţiei moment icircncovoietor icircn raport cu abscisa
secţiunii este egală cu forţa tăietoare din acea secţiune
Observații
dacă 119879 = 0 momentul 119872119894 are un punct de extrem se obține o valoare maximă
pentru 119872119894119898119886119909 dacă forța tăietoare 119879 se anulează trecacircnd de la plus icircn stacircnga la minus icircn
dreapta secțiunii
dacă forța tăietoare este pozitivă pe un interval 119879 gt 0 atunci 119872119894 este crescătoare
pe acel interval
dacă forța tăietoare este negativă pe un interval 119879 lt 0 atunci 119872119894 este
descrescătoare pe acel interval
dacă pe un interval 119901 = 0 forța tăietoare este constantă 119879 = 119888119905 iar 119872119894 variază
liniar pe acel interval
dacă 119901 = 119888119900119899119904119905 119879 variază liniar pe acel interval iar 119872119894 variază parabolic pe
acel interval
Relaţiile diferenţiale sunt utile la reprezentarea corectă şi verificarea diagramelor
de eforturi astfel
pentru porţiunile de grindă pe care p = 0 eforturile N şi T sunt constante iar pe
porţiunile cu p = const eforturile N şi T variază liniar (relaţiile 211 şi 210)
dacă pe o porţiune T = const momentul icircncovoietor Miz variază liniar iar dacă
T variază liniar atunci momentul Miz variază parabolic (relaţia 212)
pe domeniile pe care T gt 0 funcţia Mi(x) este crescătoare iar icircn secţiunea icircn
care T = 0 (graficul funcţiei T intersectează axa x) momentul icircncovoietor are un punct
de extrem local (maxim sau minim relaţia 212)
Pentru rezolvarea problemelor referitoare la trasarea diagramelor de eforturi
pentru barele drepte solicitate de sisteme de forţe plane se parcurg următoarele etape
1) identificarea forţelor aplicate (date) şi pregătirea lor pentru calcule
(descompunerea forţelor concentrate pe direcţiile x şi y calculul rezultantelor forţelor
distribuite)
2) identificarea reazemelor şi introducerea reacţiunilor corespunzătoare (vezi
figurile 27divide29)
3) stabilirea ecuaţiilor de echilibru static calculul şi verificarea reacţiunilor Icircn
rezistența materialelor se folosește sistemul de ecuații (vezi figura 217)
(sum119865)
119909= 0
(sum119872)119860= 0
(sum119872)119861= 0
(213)
4) identificarea domeniilor de variaţie şi scrierea funcţiilor de eforturi pentru N T
şi Mi
5) reprezentarea grafică a diagramelor de eforturi
6) verificarea corectitudinii diagramelor pe baza relaţiilor diferenţiale icircntre eforturi
şi sarcini
Aplicație Pentru grinda dreaptă icircncărcată cu sistemul de forţe reprezentat icircn figura
220 se cere
a) să se calculeze şi să se verifice reacţiunile
b) să se stabilească funcţiile eforturilor Nx Ty şi Miz şi să se reprezinte diagramele
de variaţie
c) să se analizeze relaţiile diferenţiale icircntre eforturi şi sarcini
Dimensiunile grinzii au valorile a = 6 [m] b = 4 [m] și c = 4[m] sistemul de
forţe aplicat fiind format din p = 10 [kN mfrasl ] F = 20 [kN] (icircnclinată cu unghiul α =300 faţă de orizontală) şi M0 = 40 [kN ∙ m]
Rezolvare
a) Se fac următoarele precizări
grinda dreaptă se reprezintă prin axa geometrică
forţa icircnclinată F se descompune după direcţiile orizontală şi verticală icircn FV =F ∙ sin α = 10 [kN] şi FH = F ∙ cos α = 173 [kN]
forţa distribuită uniform p este echivalentă din punct de vedere static cu
rezultanta sa R = p ∙ a = 60 [kN] care acţionează la jumătatea porţiunii de lungime a
icircn reazemele 119860 şi 119861 se introduc componentele HA şi VA respectiv VB ale
reacţiunilor
Pentru calculul reacţiunilor se utilizează ecuaţiile de echilibru static al grinzii
sumXi = 0 HA minus FH = 0 sumYi = 0 VA + VB minus R minus FV = 0 (sumM)B = 0 VA ∙ (b + a) minus R ∙ (b + 05 ∙ a) minus M0 + FV ∙ c = 0
(A1)
Din prima ecuaţie se obţine HA iar din cea de-a treia ecuaţie rezultă VA
HA = FH = 173 [kN]
VA =[R ∙ (b + 05 ∙ a) + M0 minus FV ∙ c]
(b + a)=[60 ∙ (4 + 05 ∙ 6) + 40 minus 10 ∙ 4]
(4 + 6)
VA = 42 [kN]
(A2)
Fig 220 Aplicație
Se observă că cea de-a doua ecuaţie de echilibru conţine două necunoscute
reacţiunile VA şi VB Pentru a calcula componenta VB nu este indicată introducerea lui VA
icircn cea de-a doua ecuaţie a sistemului (A1) pentru că o valoare determinată greşit pentru
VA conduce la o valoare VB de asemenea greşită O ecuaţie independentă din care se poate
determina componenta VB este următoarea
(sumM)A= 0 FV ∙ (a + b + c) minus VB ∙ (a + b) minus M0 + R ∙ 05 ∙ a = 0 (A3)
de unde se obţine
VB =[FV ∙ (a + b + c) minusM0 + R ∙ 05 ∙ a]
(b + a)=[10 ∙ (6 + 4 + 4) minus 40 + 60 ∙ 05 ∙ 6]
(6 + 4)
VB = 28 [kN] (A4)
Ecuaţia de proiecţii ale forţelor pe direcţia verticală (a doua ecuaţie din sistemul
A1) se utilizează pentru verificarea reacţiunilor deja determinate
VA + VB minus R minus FV = 0 rArr 42 + 28 minus 60 minus 10 = 0 (A5)
Ultima egalitate demonstrează că reacţiunile verticale au fost calculate corect
Din cele de mai sus rezultă ordinea firească pentru determinarea reacţiunilor icircn
cazul grinzilor simplu rezemate
sumXi = 0
(sumM)A = 0
(sumM)B = 0
(A6)
iar pentru verificarea componentelor verticale VA şi VB se folosește ecuaţia sumY = 0
b) La stabilirea funcţiilor de eforturi se parcurg icircn general etapele următoare
se notează (numeric sau literal după preferinţă) secţiunile care delimitează
domeniile (intervalele sau tronsoanele) pe care eforturile nu-şi modifică funcţiile (au legi
unice de variaţie)
pe fiecare domeniu se marchează secţiunea imaginară icircn care se stabilesc
funcţiile eforturilor
secţiunea astfel aleasă separă icircn două părţi grinda şi anume porţiunea din stacircnga
şi porţiunea din dreapta secţiunii
se va considera parcursă (şi icircndepărtată) acea parte pe care acţionează mai puţine
sarcini exterioare pentru că acestea vor interveni icircn expresiile funcţiilor de eforturi
poziţiile secţiunilor imaginare se vor determina prin variabilele x1 ⋯ xn (unde
n reprezintă numărul domeniilor de variaţie) cu originea fixată icircn capătul intervalului şi
sensul de parcurgere spre partea considerată rămasă
Grinda prezentată icircn figura 220 are trei domenii de variaţie pentru funcţiile de
eforturi după cum urmează (A-1) (2-B) şi (B-1)
Domeniul (A-1) x1 isin [0 a = 6 m] Porţiunea parcursă şi considerată icircndepărtată este cea de coordonată x1 pe care
acţionează reacţiunile HA şi VA precum şi rezultanta parţială a sarcinii distribuite R1 =p ∙ x1
Funcţia forţă axială Nx are expresia
Nx(x1) = NAminus1 = minusHA = minus173 [kN] = const
(A7)
Funcţia forţă tăietoare Ty are exspresia
Ty(x1) = TAminus1 = VA minus R1 = VA minus p ∙ x1 (A8)
care reprezintă o variaţie liniară de variabilă x1 Se calculează valorile forţei tăietoare la
limitele intervalului de variaţie
- pentru x1 = 0 Ty(x1 = 0) = TA = VA = 42 [kN]
- pentru x1 = a = 6 [m] Ty(x1 = 6) = T1 = VA minus p ∙ a = minus18 [kN]
Observaţie Aşa cum a fost stabilită secţiunea fictivă poziţionată prin coordonata
x1 sar părea că rezultanta R ar trebui luată icircn calculul lui Ty(x1) Acest lucru ar fi greşit
pentru că R = p ∙ a reprezintă rezultanta sarcinii distribuite pe toată lungimea a iar
rezultanta pe porţiunea parcursă de lungime x1 este R1 = p ∙ x1 ne R = p ∙ a
Cu valorile obţinute se trasează diagramele forţelor axială Nx = f(x) şi tăietoare
Ty = f(x) figura 220 Din diagrama forţei tăietoare şi din valorile obţinute analitic se
observă că forţa tăietoare icircşi schimbă semnul pe intervalul analizat deci se anulează pe
acest interval Poziţia secţiunii unde Ty se anulează se determină din ecuaţia
Ty(x1) = 0 rArr VA minus p ∙ x1 = 0 (A9)
cu soluţia x1lowast = ξ = 42 [m] Important de reamintit că icircn această secţiune momentul
icircncovoietor va avea un extrem local adică Miz are un extrem la Ty = 0
Funcţia moment icircncovoietor Miz are expresia
Miz(x1) = VA ∙ x1 minus R1 ∙x12= VA ∙ x1 minus (p ∙ x1) ∙
x12
(A10)
Se observă că funcţia moment icircncovoietor de variabilă x1 are o variaţie parabolică
(gradul al II-lea) Pentru reprezentarea grafică a funcţiei parabolice se calculează valorile
momentului icircncovoietor icircn trei secţiuni
- pentru x1 = 0 Miz(x1 = 0) = MA = 0 [kN ∙ m] - pentru x1 = a = 6 [m] Miz(x1 = 6) = M1 = 72 [kN ∙ m] - pentru x1
lowast = ξ = 42 [m] Miz(x1lowast = ξ = 42 [m]) = Mimax = 882 [kN ∙ m]
Cu acestea se trasează diagrama Miz = f(x) pe intervalul (A-1) figura 220
Observaţie Icircn unele cazuri pe un anumit interval forţa tăietoare nu se anulează
şi momentul icircncovoietor nu are un extrem local Icircn acest caz pentru reprezentarea
variaţiei parabolice a momentului icircncovoietor se va studia semnul derivatei a doua a
funcţiei Miz = f(x1) acesta determinacircnd convexitatea curbei momentului icircncovoietor
Domeniul (2-B) x2 isin [0 c = 4 m] Porţiunile din grindă libere (nerezemate) la un capăt se numesc console iar
stabilirea funcţiilor de eforturi devine mai simplă dacă se consideră icircndepărtată partea din
dreapta secţiunii prin schimbarea sensului pozitiv al axei x Astfel se obţin funcţiile eforturilor
Funcţia forţă axială Nx are expresia
Nx(x2) = N2minusB = minusFH = minus173 [kN] = const
(A11)
Funcţia forţă tăietoare Ty are exspresia
Ty(x2) = T2minusB = FV = 10 [kN] = const (A12)
Funcţia moment icircncovoietor Miz are expresia
Miz(x2) = minusFV ∙ x2 rArr Miz(x2 = 0) = M2 = 0 [kN ∙ m]
Miz(x2 = 4) = MB = minus40 [kN ∙ m] (A13)
variaţie liniară (gradul I)
Domeniul (B-1) x3 isin [0 b = 4 m] Pe acest domeniu se acceptă parcurgerea grinzii de la dreapta adică se consideră
icircndepărtată partea din dreapta secţiunii fictive pentru că are doar două sarcini aplicate F
şi VB faţă de partea din stacircnga secţiunii pe care sunt aplicate trei sarcini p VA şi M0
Astfel se obţin funcţiile eforturilor
Funcţia forţă axială Nx are expresia
Nx(x3) = NBminus1 = minusFH = minus173 [kN] = const
(A14)
Funcţia forţă tăietoare Ty are exspresia
Ty(x3) = TBminus1 = FV minus VB = minus18 [kN] = const (A15)
Funcţia moment icircncovoietor Miz are expresia
Miz(x3) = minusFV ∙ (x3 + c) + VB ∙ x3 rArr
rArr Miz(x3 = 0) = MB = minus40 [kN ∙ m]
Miz(x3 = 4) = M1 = 32 [kN ∙ m]
(A16)
variaţie liniară (gradul I)
Diagramele eforturilor sunt prezentate icircn figura 220
c) Relaţiile diferenţiale dintre eforturi şi sarcini se analizează pe diagramele
eforturilor după cum urmează
sarcina distribuită nu are componentă orizontală adică ph = 0 şi icircn
conformitate cu formula (211) rezultă că Nx = const pe toată lungimea grinzii fapt care
a rezultat din funcţia şi reprezentarea diagramei forţei axiale
pe intervalul (A-1) sarcina distribuită are doar componenta verticală pozitivă
pV = p gt 0 prin urmare forţa tăietoare scade (are panta negativă dTy 119889119909frasl = minusp vezi
relaţia 210) iar momentul icircncovoietor avacircnd derivata a doua negativă d2M119894119911 1198891199092frasl =minuspare convexitatea curbei orientată spre sensul pozitiv al axei momentului Miz adică icircn
jos
pe domeniile (2-B) şi (B-1) deoarece pv = 0 forţa tăietoare Ty este constantă
iar momentul icircncovoietor Miz variază liniar
referitor la relaţia (212) pe porţiunile unde Ty gt 0 momentul Miz este
monoton crescător pe porţiunile unde Ty lt 0 momentul Miz este monoton descrescător
iar icircn secţiunea icircn care Ty = 0 momentul icircncovoietor are un extrem local Mξ =
882 [kN ∙ m] icircn diagrama forţei tăietoare discontinuităţile (salturile) se produc icircn secţiunile
unde acţionează VA VB şi FV iar icircn diagrama momentului icircncovoietor se produce un
singur salt icircn secţiunea icircn care este aplicat M0
se poate scrie
Mξ = suprafața diagramei Ty |ξ0=1
2∙ 42 ∙ 42 = 882 [kN ∙ m]
sau parcurgacircnd grinda de la dreapta la stacircnga rezultă
MB = minussuprafața diagramei Ty |c0= minus10 ∙ 4 = minus40 [kN ∙ m]
Toate aspectele analizate teoretic referitoare la relaţiile diferenţiale dintre eforturi
şi sarcini se regăsesc icircn diagramele de eforturi din figura 220 ceea ce icircnseamnă că
diagramele au fost reprezentate corect
3 TENSIUNI DEPLASĂRI ŞI DEFORMAŢII SPECIFICE
31 Tensiuni
Eforturile obținute icircn urma reducerii forțelor interioare icircn centrul de greutate al
secțiunii nu pot da informații asupra solicitării fiecărui punct al secțiunii respective Este
necesar să se cunoască modul cum se distribuie forțele interioare icircn fiecare punct al
secțiunii pentru a ști care este intensitatea maximă a solicitării Această intensitate
maximă se poate compara cu o valoare critică specifică materialului stabilindu-se astfel
dacă solicitarea este periculoasă sau nu
Mărimea care caracterizează solicitarea locală punctuală o vom denumi tensiune
și o vom defini icircn cele ce urmează Să considerăm partea din dreapta a unui corp solicitat
de forțele exterioare 1198651 1198652 și 1198653 obținută prin secționarea corpului și mărginită de fața
din dreapta Ad a secțiunii Pe secțiunea Ad vom considera un element de arie infinit mic
∆119860 caracterizat de normala la elementul de arie normală care are cosinușii directori
120573 și icircn raport cu un sistem de axe considerat fix Pe elementul infinit mic ∆119860 acționează
forțele interioare care au o rezultantă oarecare figura 31
Prin definiție tensiunea totală este
= lim∆119860rarr0
∆
∆119860 (31)
Tensiunea are aceeaşi direcţie cu forţa elementară ∆ iar mărimea ei este
determinată atacirct de mărimea forţei ∆ cacirct şi de orientarea suprafeţei ∆119860 faţă de direcţia
forţei
Tensiunea 119901 poate fi descompusă icircntr-o componentă orientată după direcţia
normalei la secţiune tensiunea normală notată cu 120590119909 şi o componentă icircn planul secţiunii
tensiunea tangenţială notată cu figura 32
= 119909 + 120591 (32)
Fig 31 Tensiunea totală Fig 32 Tensiunea normală și tangențială
La racircndul ei componenta tensiunii cuprinsă icircn planul secțiunii poate fi
descompusă după direcțiile axelor y și z
120591 = 120591119909119910 + 120591119909119911 (33)
Icircntre cele trei componente ale tensiunii totale care acționează pe elementul de arie
∆119860 este valabilă relația
1199012 = 1205901199092 + 120591119909119910
2 + 1205911199091199112 (34)
După sensul pe care icircl are tensiunea normală 120590 poate avea efect de tracţiune sau
de compresiune exercitat de către partea de corp icircnlăturată asupra părţii rămase Analog
tensiunea tangenţială 120591 poate avea efect de tăiere forfecare sau alunecare Pentru
componentele tensiunii tangențiale 120591119909119910 pe direcţia 119910 respectiv 120591119909119911 pe direcţia 119911 primul
indice indică axa pe care tensiunea este normală iar cel de-al doilea indice indică axa cu
care aceasta este paralel
Tensiunea este o mărime tensorială valoarea ei depinzacircnd atacirct de poziția
punctului icircn planul secțiunii cicirct și de orientarea planului de secționare deci de normala
Operaţiile vectoriale nu pot fi aplicate tensiunilor decacirct după ce acestea au fost icircnmulţite
cu ariile respective adică au fost transformate icircn forţe
Icircn literatura de specialitate mai ales icircn manualele mai vechi pentru noţiunea de
tensiune se mai foloseşte şi denumirea de efort specific
Dacă se consideră un alt element de arie ∆119860 cu centrul icircn același punct avacircnd ca
normală axa 119910 se vor obține alte tensiuni și anume
- 120590119910 este tensiunea normală (paralelă cu axa y)
- 120591119911119909 și 120591119910119911 sunt tensiuni tangențiale paralele cu axele 119909 și respectiv 119911 aflate icircn
planul care are ca normală axa 119910
Dacă icircn jurul unui punct dintr-un corp solicitat se consider un element de volum
infinit mic de forma unui cub icircn cazul cel mai general pe fețele sale vor acționa
tensiunile normale 120590119909 120590119910 și 120590119911 și respectiv tensiunile tangențiale 120591119909119910 120591119909119911 120591119910119909 120591119910119911 120591119911119909
și respectiv 120591119911119910 figura 33 Aceste tensiuni definesc starea de tensiune a punctului
observacircnd faptul că tensorul tensiune are 9 componente Dacă se consideră elementul
de volum finit ca fiind foarte mic se poate presupune că icircn interiorul său nu apar forțe
Ca urmare el va fi icircn echilibru sub acțiunea forțelor elementare produse de tensiunile de
pe fețele sale
Din condiția ca elementul să nu se rotească icircn jurul unor axe care trec prin centrul
său și sunt paralele cu axele sistemului 119909119874119910119911 rezultă
2 ∙ 120591119909119910 ∙ (119889119910 ∙ 119889119911) ∙119889119909
2= 2 ∙ 120591119910119909 ∙ (119889119909 ∙ 119889119911) ∙
119889119910
2 rArr 120591119909119910 = 120591119910119909 (35)
2 ∙ 120591119910119911 ∙ (119889119909 ∙ 119889119911) ∙119889119910
2= 2 ∙ 120591119911119910 ∙ (119889119909 ∙ 119889119910) ∙
119889119911
2 rArr 120591119910119911 = 120591119911119910 (36)
2 ∙ 120591119909119911 ∙ (119889119910 ∙ 119889119911) ∙119889119909
2= 2 ∙ 120591119911119909 ∙ (119889119909 ∙ 119889119910) ∙
119889119911
2 rArr 120591119909119911 = 120591119911119909 (37)
Relațiile (35divide37) 120591119909119910 = 120591119910119909 120591119910119911 = 120591119911119910 120591119909119911 = 120591119911119909 exprimă principiul dualității
tensiunilor tangențiale
Fig 33 Tensiunile normale și tangențiale pe fețele unui cub
Din condiția ca elementul considerat să nu se deplaseze icircn lungul axelor de
coordonate pe fețele opuse acționează aceleași tensiuni normale 120590119909 120590119910 și respectiv 120590119911
Definirea tensorului tensiune este posibilă dacă se cunosc cele 6 componente
independente ale acestuia aflate icircn trei plane perpendicular ce trec prin punctul respectiv
=
120590119909 120591119909119910 120591119909119911120591119910119909 120590119910 120591119910119911120591119911119909 120591119911119910 120590119911
Observaţii
Tensiunile se măsoară icircn [119873 1198982frasl ] (1119873 1198982frasl = 1 119875119886) sau icircn [119872119875119886]
(1 119872119875119886 = 106119875119886 = 106 119873
1198982 1 119872119875119886 = 1
119873
1198981198982)
Starea de tensiune dintr-un punct este considerată cunoscută dacă se cunosc
tensiunile 119901 care acționează pe infinitatea de elemente de suprafață ce trec prin punctual
considerat
Starea de tensiune a unui corp se consider cunoscută dacă se cunosc stările de
tensiune de pe infinitatea de puncte ale corpului considerat
32 Deplasări Deformaţii specifice
321 Deplasări
Aceste noțiuni sunt utile icircn analiza aspectului geometric al problemelor de rezistența
materialelor Deplasările care se analizează sunt cele datorate schimbării formei și
dimensiunilor corpurilor ca urmare a acțiunii forțelor exterioare și nu cele cinematice
posibile pentru solidul rigid care se poate deplasa cu anumită viteză și accelerație
Spre exemplu icircn figura 34a și figura 34b sub acțiunea forței 119865 tronsonul de
bară AB se deformează icircn timp ce tronsonul BC deși punctele sale au deplasări rămacircne
nedeformat (fiind nesolicitat) Toate punctele de pe axele barelor cu excepția celor din
icircncastrare (secțiunile A) au deplasări liniare De cele mai multe ori deformațiile barelor
datorate acțiunii forțelor exterioare se anulează la icircndepărtarea forțelor se spune că
deformațiile sunt elastice Secțiunile transversale ale barei din figura 34a se și rotesc icircn
raport cu pozițiile lor inițiale Spre exemplu secțiunea de căpăt cu centrul icircn C se rotește
cu unghiul
Fig 34 Deformațiile unei grinzi
Oricacirct de complexă ar fi delormația unui corp ea poate fi descrisă de lungiri sau
scurtări și de modificări ale unghiurilor inițiale
Deplasările măsoară schimbarea poziției unui punct al corpului și pot fi liniare
sau unghiulare
Prin deplasare liniară a unui punct se icircnțelege drumul parcurs de acest punct icircn
decursul procesului de deformație după o dreaptă suport dreapta 1198611198611 din figura 34a
Prin deplasare unghiulară se icircnțelege rotirea dintre segmentele de dreaptă
determinate de două puncte ale corpului icircnainte și după deformarea acestuia unghiul
pe care-l fac segmentele 119861119862 și 11986111198621 din figura 34a Această rotire se măsoară prin
unghiul pe care-l fac proiecțiile dreptelor ce conțin cele două segmente icircntr-un sistem
triortogonal
Icircn cazul cel mai general vectorul deplasare liniară se poate descompune icircntr-un
sistem triortogonal icircn trei componente 119906 119907 și 119908 figura 35
Fig 35 Deplasarea liniară
Se consideră acum un corp solid raportat la un sistem de axe ortogonal 119909119874119910119911
figura 35 după deformarea corpului un punct oarecare 119870 al acestuia se deplasează icircn
poziţia 1198701 vectorul 1198701198701 poartă numele de vectorul deplasării totale
Deplasarea totală este suma deplasărilor pe cele trei direcţii ortogonale iar
aceste deplasări se notează astfel
deplasarea pe direcţia 119909 cu ∥ 119874119909
deplasarea pe direcţia 119910 cu ∥ 119874119910
deplasarea pe direcţia 119911 cu ∥ 119874119911
Componentele deplasărilor și formeză matricea deplasărilor liniare 119906119907119908
322 Deformații
Prin deformație icircn general se icircnțelege orice schimbare de formă a unui corp fără
o evaluare cantitativă Icircn Rezistența Materialelor deformația măsoară variația
dimensiunilor geometrice ale corpului considerat din vecinătatea unui punct analog
deplasărilor deformațiile pot fi liniare și unghiulare (lunecări)
Fig 36 Deplasarea liniară
Deformația liniară ∆119897 reprezintă variația lungimii 119897 a unui element liniar al
corpului deformat figura 36 Deformația liniară specifică se definește ca fiind raportul
dintre deformația liniară și lungimea inițială
휀 =∆119897
119897 (38)
unde ∆119897 este lungirea sau scurtarea care este echivalentă cu deformția liniară totală iar
este alungirea
Deformația unghiulară sau lunecarea unui punct 119860 icircn planul 119861119860119862 se definește
prin relația figura 37
120574 = lim119861119860rarr0119862119860rarr0
(119861119860 minus 119861111986011198621 ) (39)
Fig 36 Deformația unghiulară
Schimbacircnd orientarea planului care trece prin 119860 se obțin alte deformații
unghiulare Dacă elementele liniare 119861119860 și 119862119860 sunt inițial perpendiculare deformația 120574 se
numește deformație unghiulară specifică sau lunecare specifică figura 37
Un exemplu de deplasare unghiulară și de deformație unghiulară este prezentat icircn
figura 38 Unghiul este deplasarea unghiulară și măsoară rotirea relativă dintre două
secțiuni aflate la distanța 119897 Unghiul este deformația specifică unghiulară (lunecarea
specifică) din punctul 119870 Aceste deplasări și deformații se obțin icircn urma solicitării barei
de către cele două momente 1198720 egale și de sens contrar
Fig 38 Deplasarea unghiulară
Pentru a analiza starea de deformație din vecinătatea unui punct al unui corp
solicitat complex se decupează din jurul punctului un element de volum mic figura 39a
avacircnd laturile 119889119909 119889119910 și 119889119911 Ca urmare a solicitării laturile acestuia se vor lungi sau
scurta Reprezentarea elementului deformat icircn spațiu este dificilă pentru simplificare
vom analiza doar deformațiile din planul 119909119874119910 Observăm că dimensiunile 119889119909 și 119889119910 s-au
modificat cu valoarea ∆119889119909 respectiv cu ∆119889119910 analog se acceptă și pentru 119889119911 o modificare
de forma ∆119889119911 Astfel se pot defini deformațiile specifice liniare
휀119909 =∆119889119909
119889119909 휀119910 =
∆119889119910
119889119910 휀119911 =
∆119889119911
119889119911 (310)
De cele mai multe ori aceste deformații specifice liniare se pot exprima procentual
și se mai numesc alungiri
Fig 39 Starea de deformație
Icircn figura 39c se vede că unghiul inițial drept dintre muchiile 119889119909 și 119889119910 ale
elementului de volum s-a modificat Se definește deformația specifică unghiulară (sau
lunecarea specifică) mărimea cu care se modifică unghiul inițial drept
120574119909119910 = 120574119909119910prime + 120574119910119909
prime = 120574119910119909120574119910119911 = 120574119910119911
prime + 120574119911119910prime = 120574119911119910
120574119911119909 = 120574119911119909prime + 120574119909119911
prime = 120574119909119911
(311)
Deformațiile 휀119909 휀119910 휀119911 120574119909119910 120574119910119911 120574119911119909 constituie cele șase componente
independente ale tensorului deformațiilor specifice care pot fi scrise de forma
119863 =
휀119909 120574119909119910 120574119909119911120574119910119909 휀119910 120574119910119911120574119911119909 120574119911119910 휀119911
(312)
323 Contracţia transversală
Practica arată că odată cu lungirea unei bare apare o micşorare a mărimii secţiunii
transversale mărime numită contracţie transversală figura 310
Fig 310 Contracția transversală
Contracţia transversală este proporţională cu lungirea specifică coeficientul de
proporţionalitate se notează cu 120599 şi se numeşte coeficient de contracţie transversală sau
coeficientul lui Poisson
La o lungire specifică a barei contracţia transversală este dată de relația
휀119905119903 = 휀119910 = 휀119911 = minus120599 ∙ 휀119909 (313)
Semnul minus bdquo-rdquo arată că cele două mărimi sunt contrare dacă una creşte cealaltă
scade şi invers
Considerăm o bară cilindrică de lungime 119897 şi aria secţiunii transversale 119860 solicitată
la icircntindere axială La un moment dat datorită solicitării lungimea barei devine
[119897 ∙ (1 + 휀)] diametrul devine [119889 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)] iar aria secţiunii transversale devine
[119860 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)2] Dacă volumul barei icircnainte de solicitare a fost (119860 ∙ 119897) după solicitare
acesta devine
119881 + ∆119881 = 119860 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)2 ∙ 119897 ∙ (1 + 휀) =
= 119860 ∙ 119897 ∙ (1 + 휀 minus 2 ∙ 120599 ∙ 휀 minus 2 ∙ 120599 ∙ 휀2 + 1205992 ∙ 휀2 + 1205992 ∙ 휀3) (314)
Deoarece lungirile sunt foarte mici ultimii trei termeni din paranteză fiind infinit mici se pot neglija obţinacircnd
119881 + ∆119881 = 119860 ∙ 119897 + 119860 ∙ 119897 ∙ 휀 ∙ (1 minus 2 ∙ 120599) ⟺ ∆119881 = 휀 ∙ (1 minus 2 ∙ 120599) ∙ 119860 ∙ 119897 (315)
Practica arătă că o astfel de bară solicitată la icircntindere icircşi măreşte volumul deci
∆119881 gt 0 de unde rezultă că
1 minus 2 ∙ 120599 gt 0 rArr 120599 lt 05 (316)
Pentru majoritatea materialelor 120599 = 033 iar pentru materialele care-şi păstrează
volumul constant 120599 = 05
33 Relaţii de echivalenţă icircntre eforturi şi tensiuni
Considerăm un element de suprafață infinit mic 119889119860 situat pe fața de arie (119860) a
secțiunii barei din figura 311 Icircn centrul de greutate 119862 al secțiunii acționează eforturile
119873 119879119910 119879119911 119872119909 119872119894119910 și 119872119894119911 determinate prin metoda secțiunilor
Icircn raport cu un sistem de axe de referință 119909119862119910119911 coordonatele elementului 119889119860 sunt
- 119910 este ordonata elementului de arie 119889119860
- 119911 este abscisa elementului de arie 119889119860
Pe elementul de arie 119889119860 acționează tensiunile
120590119909 tensiunea normală
120591119909119910 și 120591119909119911 tensiuni tangențiale
Dacă se icircnsumează forțele elementare de tipul 120590119909 ∙ 119889119860 120591119909119910 ∙ 119889119860 și 120591119909119911 ∙ 119889119860
va trebui să obținem eforturile 119873 119879119910 și 119879119911
Fig 311 Element de suprafață mic din secțiunea unei bare
Dacă eforturile sunt privite ca forțe exterioare și se scriu ecuațiile de
echilibru ale secțiunii (119860) se vor obține șase relații de echivalență icircntre eforturi și
tensiuni
(sum119883) = 0 rArr int 120590119909 ∙ 119889119860
119860
= 119873 (317)
(sum119884) = 0 rArr int 120591119909119910 ∙ 119889119860
119860
= 119879119910 (318)
(sum119885) = 0 rArr int 120591119909119911 ∙ 119889119860
119860
= 119879119911 (319)
(sum119872)119909= 0 rArr int(120591119909119911 ∙ 119889119860) ∙ 119910
119860
minus int(120591119909119910 ∙ 119889119860) ∙ 119911
119860
= 119872119909 rArr
rArr int(119910 ∙ 120591119909119911 minus 119911 ∙ 120591119909119910) ∙ 119889119860
119860
= 119872119909
(320)
(sum119872)119910= 0 rArr int(120590119909 ∙ 119889119860) ∙ 119911
119860
= 119872119894119910 (321)
(sum119872)119911= 0 rArr int(120590119909 ∙ 119889119860) ∙ 119910
119860
= 119872119894119911 (322)
Cele șase relații de echivalență icircntre eforturi și tensiuni constituie un pas icircnainte
icircn rezolvarea unei probleme de rezistența materialelor Aceste relații vor permite
determinarea tensiunilor maxime
Pentru a rezolva cele 6 relații de echivalență trebuie să se cunoască tensiunile și
ca funcții de punct adică funcții de forma
120590119909 = 120590119909(119909 119910 119911) 120591119909119910 = 120591119909119910(119909 119910 119911) 120591119909119911 = 120591119909119911(119909 119910 119911) (32
3)
Cunoașterea acestor funcții presupune icircnsă analizarea aspectului geometric al
problemei precum și utilizarea unor ipoteze simplificatoare care să permită simplificarea
problemelor
34 Ipoteze de bază icircn rezistenţa materialelor
Depășirea dificultăților legate de interpretarea unor fenomene specifice mecanicii
solidului deformabil a impus acceptarea unor ipoteze care să simplifice fenomenele și să
contribuie la elaborarea unor modele de calcul cicirct mai generale și cacirct mai simple Aceste
ipoteze se referă la structura materialelor şi la comportarea lor sub acţiunea forţelor
exterioare Ipotezele acceptate trebuie să fie icircn deplină concordanţă cu realitatea și să
conducă la rezultate verificate icircn practică
Funcție de aspectele la care se referă ipotezele pot fi
Ipoteze fizice (de material)
Ipoteze de calcul
341 Ipoteze fizice
Se acceptă deoarece teoriile structurale au condus la rezultate care contravin
icircncercărilor experimentale
Ipoteza mediului continuu consideră că orice domeniu elementar al corpului
este ocupat de materie adică nu se acceptă existența unor goluri sau a unor crăpături
microscopice (fisuri) Deși nu corespunde realităţii poate fi acceptată deoarece
dimensiunile corpului sunt mult mai mari decacirct dimensiunile particulelor elemantare Are
avantajul că permite utilizarea proprietăților matematice ale funcțiilor continue pentru
tensiunile și deformațiile din orice punct al corpului Ea este mai apropiată de realitate la
corpurile amorfe şi mai depărtată la cele cristaline dar conduce la rezultate satisfăcătoare
icircn calculele de rezistenţă
Ipoteza nu se poate aplica la corpurile care au goluri tăieturi (multiplu conexe)
pentru unele puncte singulare icircn care tensiunile și deformațiile tind la infinit sau icircn unele
probleme de plasticitate icircn care proprietățile de material au un rol esențial
Ipoteza izotropiei conform acestei ipoteze materialul din care este confecționat
un element de rezistență are aceleași proprietăți după orice direcție un astfel de material
este considerat izotrop Din punct de vedere macroscopic metalele pot fi considerate
izotrope deși la nivel microscopic proprietățile lor diferă de la o direcție cristalografică
la alta Orice conglomerat de cristale poate fi considerat izotrop
Există cazuri cacircnd această ipoteză a izotropiei nu se acceptă
la metalele puternic deformate după o direcție (prin laminare trefilare)
la piesele confecționate din lemn lemnul este anizotrop deoarece proprietățile sale
diferă după două direcții (icircn lungul fibrelor și perpendicular pe această direcție)
Ipoteza omogenității consideră că un corp are aceleași proprietăți icircn orice
punct al său Deși majoritatea materialelor utilizate icircn tehnică sunt eterogene la scară
micro fiind constituite din mai multe faze cu proprietăți diferite la scară macro ele pot
fi considerate omogene Omogenitatea și izotropia sunt proprietăți statistice medii care
nu se condiționează una pe cealaltă Chiar și materialele monofazice pot avea la scară
micro unele segregații care le fac eterogene
Ipoteza elasticităţii perfecte presupune că atacircta timp cacirct solicitările nu
depăşesc anumite limite materialul are o comportare elastică adică icircşi recapătă forma şi
dimensiunile iniţiale odată cu icircnlăturarea sarcinilor Icircn realitate materialele nu prezintă o
elasticitate perfectă ele avacircnd deformaţii remanente mici care icircnsă pot fi neglijate icircn
calculele de rezistenţă
Acceptarea acestei ipoteze a elasticității perfecte permite
- aplicarea relației biunivoce icircntre tensiuni și deformații relație exprimată de legea
lui Hooke ( = 119864 ∙ 휀) unde E este un factor de proporţionalitate numit modul de
elasticitate longitudinal al materialului pentru oţel 119864 = 21 ∙ 105 [119872119875119886] - acceptarea valabilității afirmației bdquolucrul mecanic efectuat de forțele exterioare
ca urmare a parcurgerii deplasărilor punctelor de aplicație se icircnmagazinează integral icircn
corp sub formă de energie de deformație energie cedată la icircndepărtarea sarcinilorrdquo
- este valabilă teoria conform căreia bdquoenergia icircnmagazinată și deformațiile depind
doar de starea inițială și finală de eforturi fără a ține cont de modul icircn care s-a ajuns la
starea finalărdquo
Icircn realitate oricacirct de mici ar fi sarcinile aplicate se produc și deformații plastice
dar acestea pot fi neglijate dacă solicitarea nu depășește anumite limite
342 Ipoteze de calcul
Ipoteza micilor deplasări bdquodeplasările datorate deformării sunt mult mai mici
decacirct dimensiunile corpurilor și ca urmare pot fi neglijate produsele dintre o deplasare și
ea icircnsăşirdquo Pentru cele mai multe corpuri deformaţiile elastice sunt de mărimi mici deci
corpurile solide sub acţiunea sarcinilor icircşi modifică foarte puţin forma iniţială Această
ipoteză este cunoscută şi sub denumirea de ipoteza menţinerii dimensiunilor iniţiale Ea
permite scrierea ecuaţiilor de echilibru ale staticii pe starea nedeformată a elementului
cacircnd nu se iau icircn considerare deplasările punctelor de aplicaţie ale forţelor care se produc
ca urmare a deformării acestuia Calculul efectuat pe schema nedeformată poartă numele
de calcul de ordinul I
Ipoteza micilor deplasări nu poate fi acceptată pentru studiul problemelor de
stabilitate sau la problemele la care nu pot fi icircndeplinite condiţiile de echilibru icircn starea
nedeformată
Calculul de ordinul II admite ipoteza micilor deplasări dar ecuaţiile de echilibru
se scriu icircnsă pentru starea deformată a elementului de rezistenţă
Calculul de ordinul III nu mai acceptă ipoteza micilor deplasări el referindu-se
la cazul deformaţiilor mari cacircnd ecuaţiile de echilibru trebuie scrise pentru starea
deformată
Chiar dacă materialul satisface legea lui Hooke icircn urma calculelor de ordinul II
se obţin de obicei relaţii neliniare icircntre sarcini şi deplasări iar pentru calculul de ordinul
III rezultă ecuaţii diferenţiale neliniare
Principiul efectului local al acțiunii sarcinilor enunțat de Barre de Saint-
Venant Acest principiu destul de folosit icircn Rezistenţa Materialelor precizează că dacă
se icircnlocuiesc forţele care acţionează asupra unui element de suprafață al unui corp
elastic printr-un alt sistem de forţe echivalent din punct de vedere static cu primul noua
distribuţie a forţelor produce la locul de aplicare diferenţe semnificative faţă de prima
dar rămacircne fără efect sau cu efect neglijabil la distanţe mari de locul de aplicare al
forţelor figura 312
Ca o cosecință o sarcină uniform distribuită figura 312a poate fi icircnlocuită cu
rezultanta ei figura 312b dacă se analizează efectul sarcinii la distanță mare de locul icircn
care se aplică sarcina
Fig 312 Principiul Saint-Venant
Icircn prima variantă figura 312a forţa 119865 se aplică pe o porțiune oarecare 119897 (sarcină
uniform distribuită) iar icircn a doua figura 312b icircntru-un punct (forţă concentrată) La
locul de aplicare a sarcinii efectul asupra barei este cu totul diferit de la o variantă la
cealaltă Icircnsă la o distanţă mare de punctul de aplicaţie spre exemplu icircn secţiunea situată
la distanţa 119886 de capătul barei sau chiar icircn icircncastrare ambele bare sunt solicitate la fel
Icircn cazul din figura 312a
119872119894(119909) =119901 ∙ 1199092
2 119909 le 119897 119872119894(119909) = 119901 ∙ 119897 ∙ (119909 minus
119897
2) 119909 gt 119897 (324)
Icircn cazul din figura 312b
119872119894(119909) = 0 119909 lt119897
2 119872119894(119909) = 119901 ∙ 119897 ∙ (119909 minus
119897
2) 119909 gt
119897
2 (325)
Se vede că pentru (119909 gt 119897) adică după depășirea locului icircn care se aplică sarcina
efectul este același
Ipoteza lui Bernoulli sau ipoteza secţiunilor plane precizează că o secţiune
plană şi normală pe axa barei icircnainte de deformare rămacircne plană şi normală pe axa
barei şi după deformare figura 313
Fig 313 Ipoteza lui Bernoulli
Ipoteza stării naturale a corpului sau ipoteza absenţei tensiunilor conform
căreia pentru un corp nesolicitat starea de tensiune şi deformaţie este nulă
Perfecţionarea mijloacelor de calcul şi de investigare pot conduce la renunţarea la
unele ipoteze sau la introducerea altora noi mai aproape de stările reale De aici rezultă
caracterul de continuă perfecţionare a metodelor Rezistenţei Materialelor
35 Coeficienţi de siguranţă Tensiuni admisibile
O piesă corespunde din punct de vedere tehnic dacă tensiunile care iau naştere icircn
interiorul piesei datorită sarcinilor aplicate nu depăşesc anumite valori limită stabilite
convenţional Aceste valori limită ale tensiunii sunt corelate cu caracteristicile mecanice
ale materialelor
Tensiunea limită utilizată icircn calculele de rezistenţă este cunoscută sub denumirea
de tensiune admisibilă sau rezistenţă admisibilă Rezistenţa admisibilă reprezintă
valoarea convenţională aleasă icircn calcul pe baza practicii pentru tensiunea maximă care
poate apare icircntr-o piesă icircn condiţii date de material şi solicitare
Rezistenţa admisibilă (120590119886 sau 120591119886) poate fi definită faţă de o stare limită
periculoasă stare care trebuie evitată deoarece poate conduce distrugere
120590119886 =120590119897119894119898119888
(326)
unde
120590119897119894119898 este tensiunea corespunzătoare stării limită periculoase
119888 estesupraunitar 119888 gt 1 și reprezintă coeficientul de siguranţă faţă de starea limită
periculoasă considerată
Alegerea unor valori inferioare pentru rezistenţa admisibilă faţă de tensiunea
corespunzătoare stării limită periculoase este necesară deoarece
cunoaşterea sarcinilor este de cele mai multe ori aproximativă şi o depăşire a
acestora este foarte posibilă
caracteristicile mecanice ale materialelor variază icircn limite destul de mari ele
fiind influenţate de mulţi factori
schema aleasă pentru calcul (aplicarea sarcinilor schematizarea structurii
ipotezele de calcul etc) depărtează modelul faţă de cel real
Pentru calculele de verificare tensiunea efectivă maximă din elementul de
rezistenţă trebuie să fie mai mică sau cel mult egală cu cea admisibilă
120590119890119891119898119886119909 le 120590119886 (327)
Valoarea rezistenţei admisibile este influenţată de foarte mulţi factori natura
materialului tratamentele termice aplicate piesei durata de funcţionare a piesei modul
de acţionare icircn timp a sarcinilor felul solicitării temperatura gradul de periculozitate
icircn cazul cedării piesei etc
De asemenea valoarea coeficientului de siguranţă se alege icircn principal ţinacircnd
seama de aceiaşi factori care influenţează şi rezistenţa admisibilă
Rezistenţele admisibile pentru cacircteva materiale sunt următoarele
pentru oțelul de uz general OL37 solicitat la icircntindere compresiune sau
icircncovoiere 120590119886 = 150 [119872119875119886] pentru lemnul de brad solicitat la
- compresiune icircn lungul fibrelor şi solicitat la icircncovoiere 120590119886 = 10 [119872119875119886] - tracţiune icircn lungul fibrelor 120590119886 = 7 [119872119875119886] - compresiune perpendiculară pe fibre 120590119886 = 15 [119872119875119886] - forfecare icircn lungul fibrelor 120591119886 = 2 [119872119875119886] - forfecare perpendiculară pe fibre 120590119886 = 45 [119872119875119886]
terenuri de fundaţie din pămacircnt uscat sau umed 120590119886 = 020 divide 025 [119872119875119886]
4 CARACTERISTICI GEOMETRICE ALE SECȚIUNILOR PLANE
41 Noţiuni introductive
Icircn relaţiile de calcul ale tensiunilor şi deformaţiilor elementelor de rezistenţă
pentru unele solicitări (icircncovoierea și torsiunea) secțiunile plane intervin atacirct prin
dimensiunile lor (aria 119860) cicirct și prin forma și poziția pe care o are secțiunea icircn raport cu
planul solicitării Mărimile care caracterizează o secțiune icircn raport cu forma și poziția față
de axele unui sistem de referință sunt denumite caracteristici geometrice de ordin
superior Aria secțiunii este caracteristica geometrică ce depinde doar de dimensiunile
geometrice ale acesteia
Să considerăm o grindă solicitată de o forță exterioară 119865 aşezată icircn două poziții icircn
raport cu planul forţei figura 41 Icircn urma aplicării forței deși avem aceeași grindă
(aceeași arie a secțiunii transversale) și aceeași forță se constată că pentru varianta din
figura 41a deformațiile sunt mult mai mari adică rezistența la icircncovoiere a grinzii din
figura 41a este mai mare decacirct icircn cazul grinzii din figura 41b Comportarea diferită se
explică prin aceea că modificarea poziţiei secţiunii transversale faţă de planul forţelor
modifică caracteristicile geometrice ale secţiunii transversale a grinzii
Fig 41 Grindă solicitată de forța 119865
Pentru realizarea calculelor de rezistenţă şi rigiditate este foarte importantă
cunoaşterea caracteristicilor geometrice ale suprafeţei secţiunii transversale a elementelor
de rezistenţă
Caracteristicile geometrice ale secţiunii transversale a unui element de rezistenţă
sunt
- aria secțiunii notată cu 119860
- momentul static icircn raport cu o axă notat 119878119911 și respectiv 119878119910
- momentul de inerție care poate fi
axial notat 119868119911 și respectiv 119868119910
centrifugal notat 119868119911119910
polar notat 119868119901
- raza de inerţie (giraţie)notată 119894119911 și respectiv 119894119910
- modulul de rezistență care poate fi
axial notat 119882119911 și respectiv 119882119910
polar notat 119882119901
42 Aria și momentul static al suprafețelor plane
Fie o suprafaţă plană de arie 119860 pe care se ia un element infinit mic de arie 119889119860 şi
un sistem de axe rectangulare 119911119874119910 figura 42 Notăm cu 119862 centrul de greutate al suprafeţei
119860 Poziţia suprafeţei elementare 119889119860 faţă de acelaşi sistem de coordonate 119911119874119910 este dată
de abscisa 119911 ordonata 119910 și raza polară
Fig 42 Suprafață plană de arie 119860
Aria suprafeţei 119860 figura 42 se defineşte ca fiind
119860 ≝ int 119889119860
119860
(41)
Aria suprafeţei este icircntotdeauna pozitivă și se măsoară icircn [1198981198982] Momentul static al suprafeţei de arie 119860 icircn raport cu axele 119874119911 și respectiv 119874119910
figura 42 sunt date de relaţiile
119878119911 ≝ int 119910 ∙ 119889119860
119860
119878119910 ≝ int 119911 ∙ 119889119860
119860
(42)
Momentul static poate fi pozitiv negativ sau nul şi se măsoară icircn [1198981198983] Coordonatele centrului de greutate ale suprafeței 119860 se detrmină cu relațiile
119910119862 ≝int 119910 ∙ 119889119860119860
119860 119911119862 ≝
int 119911 ∙ 119889119860119860
119860
(43)
Cunoscacircnd coordonatele 119910119862 și 119911119862 ale centrului de greutate 119862 al secțiunii 119860 atunci
momentele statice se pot determina cu relațiile
119878119911 ≝ int 119910 ∙ 119889119860
119860
= 119910119862 ∙ 119889119860 119878119910 ≝ int 119911 ∙ 119889119860
119860
= 119911119862 ∙ 119889119860 (44)
Aceste relații arată că momentul static al unei suprafețe icircn raport cu o axă este
egal cu produsul dintre aria suprafeței și distanța de la centrul ariei la axa respectivă
Dacă suprafaţa se poate descompune icircn 119899 suprafeţe simple la care se cunosc ariile
(1198601 1198602 ⋯ 119860119894⋯ 119860119899) și poziţiile centrelor de greutate 119862119894 faţă de sistemul de referinţă
expresiile momentelor statice capătă următoarea formă
119878119911 = sum 119910119862119894 ∙ 119860119894119899119894=1 = 119910119862 ∙ 119860 119878119910 = sum 119911119862119894 ∙ 119860119894
119899119894=1 = 119911119862 ∙ 119860 (45)
Din relaţiile (45) rezultă că poziţia centrului de greutate 119862 al unei suprafeţe
compuse poate fi determinată cu relaţiile
119910119862 = (sum119910119862119894 ∙ 119860119894
119899
119894=1
) 119860frasl 119911119862 = (sum119911119862119894 ∙ 119860119894
119899
119894=1
) 119860frasl (46)
Icircn relația (45) 119910119862119894 și respectiv 119911119862119894 reprezintă coordonatele centrelor de greutate 119862119894
ale fiecărei suprafețe simple 119860119894 icircn raport sistemul de axe 119911119874119910
Se constată (relaţia 42) că dacă axele sistemului de referinţă trec prin centrul de
greutate (119910119862 = 119911119862 = 0) momentele statice sunt nule Axele icircn raport cu care momentele
statice sunt nule şi care trec prin centrul de greutate al suprafeţei se numesc axe centrale
Observație dacă secțiunea compusă are o axă de simetrie centrul secțiunii se
găsește pe acea axă iar dacă secțiunea este dublu simetrică poziția centrului secțiunii este
la intersecția axelor de simetrie
43 Momente de inerţie
Momentele de inerţie axiale ale unei suprafețe se calculează icircn raport cu axele de
coordonate 119874119911 și respectiv 119874119910 figura 42 și se determină cu relațiile
119868119911 ≝ int 1199102 ∙ 119889119860
119860
119868119910 ≝ int 1199112 ∙ 119889119860
119860
(47)
Unde 119910 și 119911 sunt distanțele de la elementul de arie 119889119860 la cele două axe de
coordonate 119874119911 și respectiv 119874119910
Momentele de inerţie axiale se măsoară icircn [1198981198984] şi sunt icircntotdeauna pozitive (aria
119889119860 este icircntotdeauna pozitivă și este multiplicată cu patratul distanței 1199102 dacă 119868119911 sau 119868119910
sunt nule icircnseamnă ca secțiunea nu există)
Momentele de inerție axiale se calculează icircndeosebi pentru axele centrale (care
trec prin centrul secțiunii) deoarece icircn raport cu acele axe 119868119911 și 119868119910 au valori minime
Momentul de inerţie centrifugal calculat faţă ambele axe ale sistemului de
referinţă 119911119874119910 este definit de relația
119868119911119910 ≝ int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860
(48)
Momentul de inerţie centrifugal se măsoară icircn [1198981198984] şi poate fi pozitiv negativ
sau nul
Momentul de ineție centrifugal este nul 119868119911119910 = 0 dacă cel puțin una din axele 119874119911
sau 119874119910 este axă de simetrie pentru secțiune
Se consideră o suprafaţă dreptunghiulară pe care faţă de axa de simetrie 119874119910 se iau
două suprafeţe elementare de arie 119889119860 simetrice faţă de axa 119874119910 figura 43
Fig 43 Suprafață dreptunghiulară cu două arii elementare 119889119860
Făcacircnd suma momentelor de inerţie centrifugale pentru cele două suprafeţe
elementare 119889119860 (din stacircnga şi din dreapta faţă de axa 119874119910) se obţine
int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860119889119903
+ int (minus119911) ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860119904119905119892
= int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860119889119903
minus int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860119904119905119892
= 0 (49)
Acelaşi raţionament se poate face și pentru icircntreaga suprafaţă de unde obținem că
momentul de inerție centrifugal este nul 119868119911119910 = 0 Deci pentru o suprafaţă plană care
are cel puţin o axă de simetrie momentul de inerţie centrifugal faţă de sistemul care
conţine acea axă de simetrie este nul
Momentul de inerţie polar al unei suprafeţei icircn raport cu un punct (pol) 119874 figura
42 este definit prin relaţia
1198680 = 119868119901 ≝ int 1205882 ∙ 119889119860
119860
= int(1199102 + 1199112) ∙ 119889119860
119860
= 119868119911 + 119868119910 (410)
unde este distanţa de la polul 119874 la elementul de arie 119889119860 Momentul de inerţie polar se
măsoară icircn [1198981198984] şi este totdeauna pozitiv
Momentul de inerţie polar este egal cu suma momentelor de inerţie faţă de două axe
perpendiculare oarecare şi care trec prin polul considerat
Razele de giraţie sau razele de inerţie sunt mărimi calculate icircn raport cu axele
secțiunii și definite de relaţiile
119894119911 ≝ radic119868119911119860 119894119910 = radic
119868119910
119860 (411)
Se exprimă icircn [119898119898] şi sunt icircntotdeauna pozitive Semnificația unei raze de inerție
este distanța la care dacă ar fi concentrată icircntreaga arie s-ar obține același moment de
inerție ca și cel calculat pentru aria reală
44 Modulul de rezistenţă
Modulul de rezistență se calculează icircn raport cu axele de referință sau icircn raport cu
un pol figura 42 și pot fi axiale (119882119911119882119910) sau polar (119882119901) și se determină numai pe baza
momentelor de inerţie cu relațiile figura 43
119882119911119898119894119899 ≝119868119911119910119898119886119909
119882119911119898119886119909 ≝119868119911119910119898119894119899
(412)
119882119910119898119894119899 ≝119868119910
119911119898119886119909 119882119910119898119886119909 ≝
119868119910
119911119898119894119899 (413)
119882119901 ≝119868119901
120588119898119886119909 (414)
unde
119910119898119886119909 119910119898119894119899 reprezintă distanţa de la axa 119874119911 la punctele extreme cele mai
depărtate respectiv cele mai apropiate ale suprafeţei de această axă
119911119898119886119909 119911119898119894119899 reprezintă distanţa de la axa 119874119910 la punctele extreme cele mai
depărtate respectiv cele mai apropiate ale suprafeţei de această axă
120588119898119886119909 reprezintă distanța maximă de la polul 119874 la punctul secțiunii cel mai
icircndepărtat de acesta
Fig 43 Suprafață dreptunghiulară cu două arii elementare 119889119860
Modulele de rezistenţă se exprimă icircn [1198981198983] şi sunt icircntotdeauna pozitive
Explicația este aceea că momentele de inerție care intră icircn relațiile de definiție sunt
pozitive iar distanțele la punctele extreme sunt pozitive (119910119898119886119909 119910119898119894119899 119911119898119886119909 119911119898119894119899 120588119898119886119909 se
iau icircn valoare absolută)
Icircn cazul suprafeţelor compuse modulul de rezistenţă nu se obţine prin icircnsumarea
algebrică a modulelor de rezistenţă ale suprafeţelor simple componente ci numai prin
intermediul momentului de inerţie axial calculat pentru icircntreaga secțiune
Ca și momentele de inerție modulele de rezistență se calculează numai pentru
sistemele de axe centrale
45 Momente de inerţie şi module de rezistenţă pentru suprafeţe simple
451 Secțiune dreptunghiulară
Fie suprafaţa dreptunghiulară din figura 44 de icircnălțime ℎ și lățime 119887 pe care se
consideră suprafaţă elementară de arie 119889119860 = 119887119889119910 la distanța 119910 de axa 119862119911 sistemul de
axe 119911119862119910 trece prin centrul secțiunii iar axele sunt axe de simetrie pentru dreptunghi
Fig 44 Suprafață dreptunghiulară
Pe baza relațiilor de definiți a momentului de inerție 119868119911 se obține
119868119911 ≝ int 1199102 ∙ 119889119860
119860
= int 1199102 ∙ 119887 ∙ 119889119910 = 2int 1199102 ∙ 119887 ∙ 119889119910 = 2 ∙ 119887 ∙1199103
3|ℎ 2frasl
0rArr
ℎ 2frasl
0
ℎ 2frasl
minusℎ 2frasl
rArr 119868119911 =119887 ∙ ℎ3
12
(415)
Analog pentru un element de arie 119889119860 = ℎ ∙ 119889119911 paralel cu axa 119862119910 situat la distanța
119911 de axa 119862119910
119868119910 ≝ int 1199112 ∙ 119889119860
119860
= int 1199112 ∙ ℎ ∙ 119889119911 = 2int 1199112 ∙ ℎ ∙ 119889119910 = 2 ∙ ℎ ∙1199113
3|119887 2frasl
0rArr
119887 2frasl
0
119887 2frasl
minus119887 2frasl
rArr 119868119910 =1198873 ∙ ℎ
12
(416)
Deoarece axele 119862119911 și 119862119910 sunt axe de simetrie momentul de inerție centrifugal este
119868119911119910 = 0 (417)
Pentru un pătrat avacircnd laturile egale (ℎ = 119887 = 119886) momentele de inerţie faţă de
axele centrale au expresia
119868119911 = 119868119910 =1198864
12 (418)
Modulele de rezistență axiale se calculează cu relațiile de definiție ținacircnd cont că
distanțele pacircnă la fibrele extreme sunt
119910119898119886119909 = 119910119898119894119899 =ℎ
2 119911119898119886119909 = 119911119898119894119899 =
119887
2 (419)
Obținem
119882119911119898119894119899 = 119882119911119898119886119909 =119868119911
119910119898119886119909119898119894119899=119887 ∙ ℎ3
12frasl
ℎ2frasl
=119887 ∙ ℎ2
6
119882119910119898119894119899 = 119882119910119898119886119909 =119868119910
119911119898119886119909119898119894119899=1198873 ∙ ℎ
12frasl
1198872frasl
=1198872 ∙ ℎ
6
(420)
452 Suprafaţă circulară
Din motive de simetrie pentru suprafeţele circulare momentele de inerţie faţă de
orice diametru (care reprezintă şi axe centrale) sunt aceleaşi
Considerăm o secțiune circulară plină cu diametrul 119889 și centrul de greutate 119862 Prin
centrul de greutate 119862 trece sistemul de axe ortogonal 119911119862119910 figura 45
Fig 45 Suprafață circulară
La distanța de centrul de greutate 119862 vom lua un element de suprafață mic de arie
(119889119860) de forma unui inel de grosime 119889 Elementul de arie 119889119860 are expresia
119889119860 = (2 ∙ 120587 ∙ 120588) ∙ (119889120588)
Pornind de la relația de definiție a momentului de inerție polar obținem
119868119901 ≝ int 1205882 ∙ 119889119860
119860
= int 1205882 ∙ (2 ∙ 120587 ∙ 120588) ∙ 119889120588
119903=119889 2frasl
0
= 2 ∙ 120587 ∙1205884
4|119889 2frasl0 rArr
rArr 119868119901 =120587 ∙ 1198894
32
(421)
Secțiunea este perfect simetrică deci sunt valabile relațiile
119868119911 = 119868119910 rArr 119868119901 = 119868119911 + 119868119910 = 2 ∙ 119868119911 = 2 ∙ 119868119910 =119868119901
2=120587 ∙ 1198894
64 (422)
Și modulele de rezistenţă faţă de orice diametru sunt egale şi se calculează cu
relaţiile
119882119911 = 119882119910 =1198681199111198892frasl=120587 ∙ 1198893
32 (423)
Modulul de rezistenţă polar este
119882119901 =1198681199011198892frasl=120587 ∙ 1198893
16 (424)
453 Secţiune inelară
Calculul momentelor de inerţie axiale pentru o secţiune inelară avacircnd diametrul
interior 119889 şi diametrul exterior 119863 se determină analog pentru suprafaţa circulară plină cu
observaţia că integrala pentru calculul momentului de inerție polar 119868119901 se face icircntre
limitele 119903 = 119889 2frasl şi R= 1198632frasl (icircntre raza interioară 119903 şi raza exterioară 119877) figura 46
Se obţin relaţiile
119868119901 =120587 ∙ 1198634
32∙ [1 minus (
119889
119863)4
] =120587 ∙ 1198634
32∙ (1 minus 1198964) (425)
119868119910 = 119868119910 =120587 ∙ 1198634
64∙ [1 minus (
119889
119863)4
] =120587 ∙ 1198633
64∙ (1 minus 1198964) (426)
Fig 46 Secțiune inelară
119882119901 =120587 ∙ 1198633
16∙ [1 minus (
119889
119863)4
] =120587 ∙ 1198633
16∙ (1 minus 1198964) (427)
119882119911 = 119882119910 =120587 ∙ 1198633
32∙ [1 minus (
119889
119863)4
] =120587 ∙ 1198633
32∙ (1 minus 1198964) (428)
unde 119896 = 119889119863frasl
46 Variaţia momentelor de inerţie faţă de axe paralele
( Relațiile lui STEINER)
Se consideră o suprafaţă oarecare de arie 119860 cu elementul de arie 119889119860 și un sistemul
de axe central 119911119862119910 faţă de care se cunosc momentele de inerţie 119868119911 119868119910 119868119911119910 şi considerăm
un sistem de axe 11991111198741199101 paralele cu sistemul central figura 47 Se pune problema
determinării momentele de inerţie 1198681199111 1198681199101 11986811991111199101 faţă de sistemul de axe paralel cu sistemul
central 11991111198741199101 axe aflate la distanţele 119910119862 = 119888 respectiv 119911119862 = 119889 de acesta
461 Momente de inerţie axiale
Pe baza relaţiilor de definire şi a notaţiilor din figura 42 pentru momentele de
inerţie faţă de axele 1198741199111 1198741199101 se poate scrie
1198681199111 = int 11991012 ∙ 119889119860
119860
= int(119910 + 119888)2 ∙ 119889119860
119860
= int 1199102 ∙ 119889119860
119860
+ 2 ∙ 119888 ∙ int 119910 ∙ 119889119860
119860
+
+1198882int 119889119860
119860
rArr 1198681199111 = 119868119911 + 2 ∙ 119888 ∙ 119878119911 + 1198882 ∙ 119860 hArr 1198681199111 = 119868119911 + 119888
2 ∙ 119860
(429)
Fig 47 Variaţia momentelor de inerţie față de axe paralele
S-a ajuns la relația (429) deoarece momentul static 119878119911 este nul deoarece axa 119862119885
este axă centrală
Pentru momentul de inerție axial icircn raport cu axa 1198741199101 se obține
1198681199101 = int 11991112 ∙ 119889119860
119860
= int(119911 + 119889)2 ∙ 119889119860
119860
= int 1199112 ∙ 119889119860
119860
+ 2 ∙ 119889 ∙ int 119911 ∙ 119889119860
119860
+
+1198892 ∙ int 119889119860
119860
rArr 1198681199101 = 119868119910 + 2 ∙ 119889 ∙ 119878119910 + 1198892 ∙ 119860 hArr 1198681199101 = 119868119910 + 119889
2 ∙ 119860
(430)
Pentru momentul de inerție centrifugal obținem
11986811991111199101 = int 1199101 ∙ 1199111 ∙ 119889119860
119860
= int(119910 + 119888) ∙ (119911 + 119889) ∙ 119889119860
119860
= int 119910 ∙ 119911 ∙ 119889119860 +
119860
+119888 ∙ int 119911 ∙ 119889119860
119860
+ 119889 ∙ int 119910 ∙ 119889119860
119860
rArr 11986811991111199101 = 119868119911119910 + 119888 ∙ 119889 ∙ 119860
(431)
Deoarece
int 119911 ∙ 119889119860
119860
= 119878119910 = 0 int 119910 ∙ 119889119860
119860
= 119878119911 = 0 int 119910 ∙ 119911 ∙ 119889119860
119860
= 119868119911119910
Relaţiile (429) şi (430) arată că momentul de inerţie faţă de o axă oarecare
este egal cu momentul de inerţie faţă de o axă paralelă cu ea trecacircnd prin centrul de
greutate la care se adaugă produsul dintre aria suprafeţei şi pătratul distanţei dintre
cele două axe
Din relaţiile (429) și (430) rezultă de asemenea că momentul de inerţie faţă de o
axă centrală (care trece prin centrul de greutate) este cel mai mic dintre infinitatea de
momente de inerţie obținute faţă de alte axe paralele cu ea
Relaţia (431) arată de asemenea că momentul de inerţie centrifugal faţă de un
sistem de axe oarecare este egal cu momentul de inerţie centrifugal faţă de un sistem
paralele cu el trecacircnd prin centrul de greutate a suprafeţei la care se adaugă produsul
dintre aria suprafeţei şi distanţele dintre axele sistemelor respective
Icircn literatura de specialitate relaţiile (429) (430) şi (431) sunt cunoscute sub
numele de relaţiile lui Steiner
47 Variaţia momentrlor de inerţie faţă de axe rotite
Direcţii principale şi momente de inerţie principale
Fie suprafaţa plană din figura 48 de arie 119860 pe care considerăm o suprafaţă
elementară de arie 119889119860 Pentru sistemul de axe 119911119874119910 se cunosc momentele de inerţie
119868119911 119868119910 119868119911119910 şi vom determina relaţiile de calcul pentru momentele de inerţie afererent unui
sistem de axe 11991111198741199101 rotit cu un unghi faţă de sistemul central
Faţă de sistemul de axe 11991111198741199101 elementul de arie 119889119860 are coordonatele
1199101 = 119875119877 = 119875119876 minus 119877119876 = 119910 ∙ cos 120572 minus 119911 ∙ sin 120572
1199111 = 119873119872 = 119873119875 minus 119875119872 = 119911 ∙ cos 120572 + 119910 ∙ sin 120572 (432)
Fig 47 Variaţia momentelor de inerţie față de axe rotite
Pe baza relaţiilor de calcul ale momentelor de inerţie şi a notaţiilor din figura 42
şi ale relaţiilor (432) momentele de inerţie faţă de sistemul de axe rotit 11991111198741199101 sunt
1198681199111 =119868119911 + 119868119910
2+119868119911 minus 119868119910
2∙ cos 2120572 minus 119868119911119910 ∙ sin 2120572 (433)
1198681199101 =119868119911 + 119868119910
2minus119868119911 minus 119868119910
2∙ cos 2120572 + 119868119911119910 ∙ sin 2120572 (434)
11986811991111199101 =119868119911 minus 119868119910
2∙ sin 2120572 + 119868119911119910 ∙ cos 2120572 (435)
Din relaţiile 433divide435 se observă că icircntre momentele de inerţie axiale şi cele
polare există relaţia
1198681199111 + 1198681199101 = 119868119911 + 119868119910 = 119868119901 (436)
adică suma momentelor de inerţie axiale icircn raport cu orice pereche de axe ortogonale
care trec printr-un pol dat este o constantă şi egală cu momentul de inerţie polar
Prin rotirea sistemului de axe din relaţiile 433divide435 rezultă că momentele de inerţie
variază icircnsă suma lor rămacircne constantă deci există o poziţie a sistemului de axe pentru
care momentele de inerţie au valori extreme maxim respectiv minim
471 Direcţii principale de inerţie
Valoarea unghiului 120572 pentru care momentele de inerţie axiale au valori extreme
este
1205721 =1
2∙ 119886119903119888119905119886119899 (minus
2 ∙ 119868119911119910
119868119911 minus 119868119910) (437)
Poziţia celeilalte direcţii este perpendiculară pe cea dată de unghiul 1205721
Din relaţia (437) se constată că faţă de aceste direcţii rotite pentru care momentele
de inerţie axiale prezintă valori extreme momentul de inerţie centrifugal 11986811991111199101este nul
Atunci se poate afirma că momentele de inerţie axiale au valori extreme icircn raport cu
direcţiile faţă de care momentul de inerţie centrifugal este nul Aceste direcţii se numesc
direcţii principale iar momentele de inerţie faţă de aceste direcţii poartă numele de
momente de inerţie principale
Icircn calculele de rezistenţă interesează icircn mod special poziţia direcţiilor principale
care trec prin centrul de greutate al suprafeţei aşa numitele direcţii principale centrale şi
evident momentele de inerţie principale centrale
Direcţiile principale de inerţie se notează cu 1 respectiv 2 Axa principală 1
corespunde direcţiei faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea maximă iar
axa principală 2 pentru direcţia faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea
minimă
472 Momente de inerţie principale
Momentele de inerţie principale se notează cu litera 119868 la care se pune indicele 1
sau 2 după cum valoarea acestuia este maximă sau minimă deci avem un moment de
inerţie principal 1 (notat 1198681) respectiv moment de inerţie principal 2 (notat 1198682)
Expresiile pentru momentele de inerţie principale sunt
11986812 =119868119911 + 119868119910
2plusmn1
2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)
2+ 4 ∙ (119868119911119910)
2 (438)
Dacă momentul de inerţie centrifugal este negativ (119868119911119910 lt 0) direcţia principală
care trece prin primul cadran (definit de sistemul 119911119862119910) este direcţia principală 120783
Pentru suprafeţele cu cel puţin o axă de simetrie direcţiile centrale 119862119911 119862119910 sunt şi
direcții principale de inerţie și evident momentele de inerţie axiale 119868119911 119868119910 sunt momente
de inerţie principale
48 Caracteristici mecanice ale metalelor
Alegerea materialului pentru confecţionarea unei anumite piese se face şi pe baza
aşa numitelor caracteristici mecanice pe care le prezintă materialul Cunoaşterea acestor
caracteristici mecanice are loc numai pe baza unor icircncercări mecanice care să scoată icircn
evidenţă comportarea materialului icircn condiţii de solicitare
Cea mai utilizată icircncercare icircn urma căreia se pun icircn evidenţă caracteristicile
mecanice ale unui material este icircncercarea la tracţiune
481 Icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general
Icircncercarea la tracţiune a oţelului ca de altfel toate icircncercările de materiale este
standardizată
Icircn cele ce urmează se va prezenta numai partea care interesează strict din punct
de vedere al caracteristicilor mecanice ale oţelului
Epruveta de diametru iniţial 1198890 pentru icircncercarea la tracţiune are o porţiune de
lungime 1198710 numită baza de măsurare pe care se măsoară lungirea acesteia sub acţiunea
solicitării
Icircn funcţie de raportul dintre baza de măsurare 1198710 şi diametrul iniţial 1198890 epruvetele
utilizate pentru icircncercări sunt
epruvete normale (scurte) cacircnd 11987101198890 = 5
epruvete lungi cacircnd 11987101198890 = 10
Icircn timpul icircncercării la diferite valori ale forţei 119865 se măsoară lungirea bazei de
măsurare
∆119871 = 120575 = 119871 minus 1198710 (439)
unde
119871 este dimensiunea bazei de măsurare la un moment dat
Curba forţă-lungire (119865 minus ) icircnregistrată icircn urma icircncercării reprezintă curba
caracteristică la tracţiune
La icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general diagrama caracteristică care se
obţine are forma din figura 48
Curba caracteristică la tracţiune depinde de lungimea bazei de măsurare Pentru
icircnlăturarea acestui neajuns curba caracteristică se reprezintă icircn coordonate şi definite
astfel
120590 =119865
1198600 휀 =
120575
1198710 (440)
unde
1198600 este aria iniţială a secţiunii transversale a epruvetei (icircnainte de solicitare) icircn
zona bazei de măsurare
1198600 =120587 ∙ 1198890
2
4
Deoarece mărimile icircn care se reprezintă curba caracteristică la tracţiune sunt
raportate la aria iniţială a secţiunii transversale (mărimi specifice) curba poartă numele
de curbă caracteristică convenţională la tracţiune
Fig 48 Curba caracteristică convenţională la tracțiune
Pe curba caracteristică convenţională la tracţiune figura 48 se pot stabili o serie
de puncte cărora le corespund mai multe mărimi importante
Ordonata punctului A pacircnă unde curba caracteristică convenţională este linie
dreaptă se numeşte limita de proporţionalitate a materialului 120590119901(1205901) Porţiunea 119874119860 este
zona de proporţionalitate a curbei caracteristice pe acest domeniu este valabilă legea lui
Hooke care exprimă o proporţionalitate icircntre tensiune şi deformaţie specifică
120590 = 119864 ∙ 휀 (441)
unde
119864 = reprezintă panta porţiunii liniare a curbei convenționale caracteristice
la tracțiune Caracteristica de material 119864 se numeşte modul de elasticitate longitudinal
(modulul lui Young)
Ordonata punctului 119861 pacircnă unde materialul se comportă perfect elastic adică
după descărcare icircşi recapătă dimensiunea iniţială 1198710 se numeşte limita de elasticitate
120590119890(119877119890) Icircn realitate nici un material nu are comportare perfect elastică sub acţiunea
solicitărilor el capătă deformaţii permanente (remanente plastice)
După punctul 119861 urmează o porţiune 119861119862119863 icircn care cu toate că icircncărcarea
continuă forţa nu mai creşte avacircnd mici oscilaţii icircn jurul unei valori Se spune că icircn
această porţiune materialul curge iar intervalul 119861119862119863 este un palier de curgere Tensiunea
corespunzătoare palierului de curgere se numeşte limită de curgere aparentă 120590119888(119877119888) Limita de curgere aparentă se calculează cu relaţia
120590119888 =1198651198881198600 (442)
unde
119865119888 reprezintă valoarea forţei icircnregistrată icircn momentul curgerii materialului
După punctul 119863 curba caracteristică are un traseu ascendent pacircnă icircn punctul 119864
Porţiunea 119863119864 este numită zonă de icircntărire (ecruisare) Icircn zona de ecruisare unde se
produc deformaţii plastice semnificative legea lui Hooke nu mai este valabilă La
descărcare relaţia dintre tensiunea şi deformaţia specifică este liniară paralelă cu
porţiunea liniară a curbei caracteristice (dreapta 119872119873)
Deformaţia totală (휀119905) are două componente una elastică (휀119890) şi una plastică (휀119901)
Ordonata punctului 119864 reprezintă rezistenţa de rupere 120590119903(119877119898) a materialului
care se poate calcula cu relaţia
120590119903 = 119877119898 =1198651198981198861199091198600
(443)
unde
119865119898119886119909 reprezintă valoarea maximă a forţei icircnregistrată icircn timpul icircncercării
La atingerea valorii 119865119898119886119909 (punctul 119864) icircntr-un anumit loc al epruvetei secţiunea
icircncepe să se micşoreze (se produce gacirctuirea) continuacircnd pacircnă cacircnd se produce ruperea
totală (punctul 119865)
Dacă după ruperea epruvetei cele două părţi rezultate se aşează cap la cap şi se
măsoară dimensiunea bazei de măsurare 119871119906 (lungimea ultimă) se determină alungirea la
rupere sau lungirea specifică la rupere 휀119903
휀119903 =119871119906 minus 11987101198710
=∆119871
1198710=120575
1198710 (444)
De obicei alungirea se exprimă icircn procente şi se notează cu 119860119899 unde 119899 reprezintă
numărul dat de raportul 11987101198890 (epruvete normale 119899 = 5 epruvete lungi 119899 = 10)
119860119899 =119871119906 minus 11987101198710
∙ 100 [] (445)
Altă mărime care se determină la icircncercarea la tracţiune este gacirctuirea la rupere
(exprimată de obicei icircn procente) şi definită de relaţia
119885 =1198600 minus 1198601199061198600
∙ 100 [] (446)
Mărimile determinate limita de proporţionalitate modulul de elasticitate
longitudinal limita de elasticitate limita de curgere aparentă rezistenţa de rupere
alungirea la rupere şi gacirctuirea la rupere sunt cunoscute ca fiind caracteristici mecanice
ale materialului
Din curba caracteristică convenţională observăm faptul că ruperea (punctul 119865 din
figura 48 se produce la o tensiune mai mică decacirct cea corespunzătoare punctului 119864 Dacă
icircnsă forţa din timpul icircncercării s-ar raporta la aria secţiunii din momentul icircnregistrării
forţei (care este mai mică decacirct cea iniţială 1198600) s-ar obţine aşa numita curbă
caracteristică reală a materialului (traseul 1198741198601198611198621198631198651 din figura 48) La curba
caracteristică reală ruperea se produce icircn punctul 1198651 la o icircncărcare mai mare decacirct cea
corespunzătoare punctului 119864 Icircnseamnă că rezistenţa reală la rupere este mai mare decacirct
rezistenţa la rupere dată de punctul 119864 din diagrama caracteristică convenţională
Dificultatea obţinerii diagramei caracteristice reale faţă de cea a diagramei caracteristice
convenţionale şi considerarea unei rezistenţe la rupere mai mică decacirct a celei reale face
icircn practică utilizarea pe scară mare a diagramei caracteristice convenţionale
Caracteristicile mecanice determinate pe baza curbei caracteristice convenţionale
sunt şi ele caracteristici mecanice convenţionale
Caracteristicile mecanice convenţionale limita de proporţionalitate convenţională
120590119901 limita de elasticitate convenţională 120590119890 limita de curgere convenţională 120590119888 şi rezistenţa
de rupere 120590119903 constituie tensiuni limită pentru un material Pe baza acestor caracteristici
de material se alege valoarea tensiunii admisibile 120590119886 (vezi paragraful 35) pentru
calculele de rezistenţă Cea mai utilizată stare limită pentru stabilirea tensiunii admisibile
120590119886 este limita de curgere convenţională 120590119888
120590119886 =120590119897119894119898119888
=120590119888119888 119904119886119906 120590119886 =
120590119903119888 (447)
Caracteristicile mecanice ale materialului sunt influenţate de o serie de factori
temperatura viteza de solicitare factorii tehnologici iar valorile lor sunt date icircn tabele și
diagrame
Aplicaţie Pentru suprafaţa plană compusă din două dreptunghiuri avacircnd
dimensiunile din figura 49a să se calculeze
a) centrul de greutate al secțiunii compuse 119910119866 119911119866
b) momentele de inerție axiale 119868119911 119868119910 și momentul de inerție centrifugal 119868119911119910
c) razele de inerție 119894119911 119894119910
d) modulele de rezistență 119882119911119898119894119899 119882119911119898119886119909 119882119910119898119894119899 119882119910119898119886119909
e) momentele de inerție principale 1198681 1198682 și direcțiile principale de inerție 1205721
f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 119878119911
Fig 49 Aplicație
Rezolvare Pentru rezolvare vom parcurge următoarele etape
icircmpărțim suprafața compusă icircn două suprafețe simple (dreptunghiuri) notate cu
① și respectiv ② figura 49b
poziționăm centrele de greutate a celor două suprafețe simple ① și respectiv ②
notate cu 1198661 și respectiv 1198662 figura 49c
poziționăm sistemele de axe de coordonate 119911111986611199101 pentru dreptunghiul ① și
119911211986621199102 pentru dreptunghiul ② aflate la intersecția diagonalelor figura 49c
poziționăm sistemele de axe de coordonate 11991101198741199100 ales arbitrar față de care
determinăm poziția centrului de greutate 119866 figura 49c
a) calculăm poziția centrului de greutate folosind relațiile (46) icircn care
1198601 = 6119905 ∙ 119905 = 61199052 1198602 = 4119905 ∙ 119905 = 41199052 119860 = 1198601 + 1198602 = 61199052 + 41199052 = 101199052
iar centrele de greutate 1198661 și respectiv 1198662 au coordonatele (față de sistemul 11991101198741199100)
1198661 1199101 = 3119905 1199111 = 05119905
1198662 1199102 = 051199051199112 = 3119905
cu acestea obținem
119910119866 =1198601 ∙ 1199101 + 1198602 ∙ 1199102
119860=61199052 ∙ 3119905 + 41199052 ∙ 05119905
101199052=201199053
101199052= 2119905
119911119866 =1198601 ∙ 1199111 + 1198602 ∙ 1199112
119860=61199052 ∙ 05119905 + 41199052 ∙ 3119905
101199052=151199053
101199052= 15119905
Poziționăm centrul de greutate 119866 al suprafeței compuse figura 49c
Fig 49 Aplicație
b) pentru determinarea momentelor de inerție axiale 119868119911 119868119910 și a momentului de
inerție centrifugal 119868119910119911 determinăm constantele 1198881 1198882 1198891 1198892 care intervin icircn relația lui
Stainer
1198881 = 1199101 minus 119910119866 = 3119905 minus 2119905 = 119905 1198882 = minus(119910119866 minus 1199102) = minus(2119905 minus 05119905) = minus15119905
1198891 = minus(119911119866 minus 1199111) = minus(15119905 minus 05119905) = minus119905 1198892 = 1199112 minus 119911119892 = 3119905 minus 15119905 = 15119905
Folosind relațiile lui Stainer (429) (430) și (431) calculăm momentele de
inerție axiale și centrifugale față de sistemul central 119911119866119866119910119866
119868119911 =sum(119868119911119894 + 1198881198942 ∙ 119860119894) = 1198681199111 + 1198881
2 ∙ 1198601 + 1198681199112 + 11988822 ∙ 1198602
119868119910 =sum(119868119910119894 + 1198891198942 ∙ 119860119894) = 1198681199101 + 1198891
2 ∙ 1198601 + 1198681199102 + 11988922 ∙ 1198602
119868119911119910 =sum(119868119911119894119910119894 + 119888119894 ∙ 119889119894 ∙ 119860119894) = 11986811991111199101 + 1198881 ∙ 1198891 ∙ 1198601 + 11986811991121199102 + 1198882 ∙ 1198892 ∙ 1198602
1198681199111 = (119887 ∙ ℎ3
12) =
119905 ∙ (6119905)3
12= 181199054 1198681199112 = (
119887 ∙ ℎ3
12) =
4119905 ∙ 1199053
12= 031199054
1198681199101 = (1198873 ∙ ℎ
12) =
1199053 ∙ 6119905
12= 051199054 1198681199102 = (
1198873 ∙ ℎ
12) =
(4119905)3 ∙ 119905
12= 531199054
11986811991111199101 = 11986811991121199102 = 0 deoarece cele două triunghiuri au cel puțin o axă de simetrie
Cu acestea momentele de inerție axiale și momentul de inerție centrifugal devin
119868119911 = 181199054 + 1199052 ∙ 61199052 + 031199054 + (minus15119905)2 ∙ 41199052 = 3331199054
119868119910 = 051199054 + (minus119905)2 ∙ 61199052 + 531199054 + (15119905)2 ∙ 41199052 = 2081199054
119868119911119910 = 0 + 119905 ∙ (minus119905) ∙ 61199052 + 0 + (minus15119905) ∙ (15119905) ∙ 41199052 = minus151199054
c) razele de inerție sau de girație față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910
se calculează cu relațiile (411)
119894119911 = radic119868119911119860= radic
3331199054
101199052= 182119905 119894119910 = radic
119868119910
119860= radic
2081199054
101199052= 144119905
d) modulele de rezistență față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910 se
calculează cu relațiile (412) și (413)
Avacircnd icircn vedere figura 419c obținem
119910119898119886119909 = 6119905 minus 119910119866 = 6119905 minus 2119905 = 4119905 119910119898119894119899 = minus119910119866 = minus2119905
119911119898119886119909 = 5119905 minus 119911119866 = 5119905 minus 15119905 = 35119905 119911119898119894119899 = minus119911119866 = minus15119905
Se obține astfel
119882119911119898119894119899 =119868119911
|119910119898119886119909|=3331199054
4119905= 8331199053
119882119911119898119886119909 =119868119911
|119910119898119894119899|=3331199054
2119905= 16651199053
119882119910119898119894119899 =119868119910
|119911119898119886119909|=2081199054
35119905= 5941199053
119882119910119898119886119909 =119868119910
|119911119898119894119899|=2081199054
15119905= 13871199053
e) momentele de inerție principale 1198681 și respectiv 1198682 se calculează cu relațiile
(438)
11986812 =119868119911 + 119868119910
2plusmn1
2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)
2+ 4 ∙ (119868119911119910)
2=
=3331199054 + 2081199054
2plusmn1
2∙ radic(3331199054 minus 2081199054)2 + 4 ∙ (minus151199054)2 = 27051199054 plusmn 16251199054
De unde obținem
1198681 = 27051199054 + 16251199054 = 4331199054
1198682 = 27051199054 minus 16251199054 = 1081199054
Prima direcție principală de inerție 1 face cu axa centrală 119866119911 unghiul 1205721 dat de
relația (437)
1205721 =1
2∙ arctan (minus
2 ∙ 119868119911119910
119868119911 minus 119868119910) =
1
2∙ arctan [minus
2 ∙ (minus151199054)
3331199054 minus 2081199054] =33 70
Deoarece 1205721 gt 0 rotirea axelor se face acircn sens antiorar acelor de ceasornic figura
49d
Poziția axe principale 2 față de care momentul de inerție are valoarea minimă
1198682 = 119868119898119894119899 este dată de unghiul
1205722 = 1205721 + 900 = 33 70 + 900 = 123 70
f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 se determină cu relația
(45)
1198781199111198602 = 1198602 ∙ 1198882 = 41199052 ∙ (minus15119905) = minus61199053
= (sum119883119894
119899
119894=1
) ∙ 119894 + (sum119884119894
119899
119894=1
) ∙ 119895 + (sum119885119894
119899
119894=1
) ∙ = 119883 ∙ 119894 + 119884 ∙ 119895 + 119885 ∙
(14)
unde sunt componentele rezultantei pe axele 119874119909 119874119910 și 119874119911 = + +
Icircn mod analog momentul rezultant icircn punctul O este
0 = (sum119872119909119894
119899
119894=1
) ∙ 119894 + (sum119872119910119894
119899
119894=1
) ∙ 119895 + (sum119872119911119894
119899
119894=1
) ∙ =
= 119872119909 ∙ 119894 + 119872119910 ∙ 119895 + 119872119911 ∙
(15)
unde 119909 119910 119911 sunt componentele vectorului moment 0 pe axele 119874119909 119874119910 respectiv 119874119911
0 = 119909 + 119910 + 119911
133 Echilibrul solidului rigid
Torsorul de reducere al sistemului de forţe determină mişcarea solidului rigid icircn
spaţiu sub acţiunea forţelor exterioare aplicate
Torsorul de reducere conţine o forţă rezultantă cu trei componente
perpendiculare icircntre ele şi un moment rezultant avacircnd trei componente ortogonale
perpendiculare 119909 119910 119911 orientate după axele sistemului 119874119909119910119911 Cele trei componente
ale rezultantei produc translaţii (deplasări liniare ) ale corpului pe direcţiile 119874119909 119874119910
respectiv 119874119911 Componentele momentului rezultant 0 produc rotiri (deplasări
unghiulare) ale corpului icircn jurul axelor de coordonate 119874119909 119874119910 respectiv 119874119911 Se spune ca
solidul liber are 6 grade de libertate (6 posibilităţi de deplasare) Pentru ca solidul să fie
icircn echilibru trebuie suprimate toate gradele de libertate Aşadar corpul este icircn echilibru
dacă elementele torsorului de reducere al forţelor exterioare este nul
Condiţiile de echilibru ale solidului rigid sunt
= 0 rArr 119883 = 119884 = 119885 = 0
0 = 0 rArr 119872119909 = 119872119910 = 119872119911 = 0
(16)
Observaţie Un solid rigid liber solicitat de forţe aplicate icircntr-un plan (119909119900119910) are
trei grade de libertate Condiţiile de echilibru sunt
= 0 rArr 119883 = 119884 = 0
0 = 0 rArr 119872119911 = 0
(17)
14 Aplicaţii
141 Să se stabilească mărimea şi ordinul rezultantei sistemului de forţe din figura
17 dacă se cunosc 1 = 100 [119873] 2 = 200 [119873] și 3 = 300 [119873]
Rezolvare
Pentru rezolvarea acestui sistem de forte de prezinta doua metode
a) Rezolvare analitică
Descopunem cele două forțe icircnclinate 2 și 3 după cele două axe de coordonate
Ox și Oy
2 = (minus1198652119909) ∙ 119894 + (1198652119910) ∙ 119895 = (minus1198652 ∙ cos 600) ∙ 119894 + (1198652 ∙ sin 60
0) ∙ 119895 =
= (minus200 ∙1
2) ∙ 119894 + (200 ∙
radic3
2) ∙ 119895 = minus100 ∙ 119894 + 100 ∙ radic3 ∙ 119895
3 = (minus1198653119909) ∙ 119894 + (minus1198653119910) ∙ 119895 = (minus1198653 ∙ cos 450) ∙ 119894 + (minus1198653 ∙ sin 45
0) ∙ 119895 =
= (minus300 ∙radic2
2) ∙ 119894 + (minus300 ∙
radic2
2) ∙ 119895 = minus150 ∙ radic2 ∙ 119894 minus 150 ∙ radic2 ∙ 119895
Pentru stabilirea mărimii şi ordinului rezultantei sistemului de forţe din figură se
procedează astfel
Forţele sunt exprimate analitic 119894 = 119883119894 ∙ 119894 + 119884119894 ∙ 119895 unde 119883119894 119884119894 sunt proiecţiile
forţei 119894 pe axele 119874119909 respectiv 119874119910
1 = 100 ∙ 119894 + 0 ∙ 119895
2 = minus100 ∙ 119894 + 1732 ∙ 119895
3 = minus2121 ∙ 119894 minus 2121 ∙ 119895
Fig 17 Aplicația 141
Se determină rezultanta forţelor cu următoarea relaţie
= sum119865119894 prime (sum119883119894
119899
119894=1
) ∙ 119894 + (sum119884119894
119899
119894=1
) ∙ 119895 = 119883 ∙ 119894 + 119884 ∙ 119895
unde 119883 119884 sunt componentele rezultantei pe axele 119874119909 respectiv 119874119910 = +
= (100 minus 100 minus 2121) ∙ 119894 + (0 + 1732 minus 2121) ∙ 119895 = (minus2121) ∙ 119894 + (minus389) ∙ 119895
rArr 119883 = minus2121 [119873]
119884 = minus389 [119873]
Cu acestea obținem rezultanta
119877 = radic1198832 + 1198842 = radic(minus2121)2 + (minus389)2 = 21564 [119873]
Se reprezintă grafic rezultanta icircn sistemul de coordonate 119909119874119910 după care se
calculează unghiul 120572 pe care aceasta rezultantă icircl face cu axa 119874119909 figura 18
tan 120572 =119884
119883=minus389
minus2121= 0183 rArr 120572 = arctan(0183) = 10 40
Fig 18 Reazultanta forțelor aplicate
b) Rezolvare tabelară
Forţa 119894 Componenta 119883119894 Componenta 119884119894
1 1198651 = 100 1198651 = 0
2 minus1198652 ∙ cos 600 = minus100 1198652 ∙ sin 60
0 = 1732
3 minus1198653 ∙ cos 450 = minus2121 minus1198653 ∙ sin 45
0 = minus2121
= sum119894 119883 =sum119883119894 = minus2121 119884 =sum119884119894 = minus389
După determinarea tabelară a celor două componente ale rezultandei calculele se
continua ca şi icircn cazul rezolvării analitice
142 Să se calculeze momentul forţei verticale = 100 [119873] icircn raport cu punctele
B D O şi icircn raport cu axele Ox Oy şi Oz figura 19 și să se determine componentele
torsorului de reducere ale forţei icircn punctul O dacă se cunosc 119886 = 3 [119898] şi 119887 = 4 [119898]
Fig 19 Aplicația 142
Fig 110 Icircnclinarea momentului 119872119874
119861 = 119861119860 times
119872119861 = 119886 ∙ 119865 = 3 ∙ 100 = 300 [119873 ∙ 119898]
119863 = 119863119860 times
119872119863 = 119887 ∙ 119865 = 4 ∙ 100 = 400 [119873 ∙ 119898]
119874 = 119874119860 times
119872119874 = 119888 ∙ 119865 = radic1198862 + 1198872 ∙ 119865 = radic32 + 42 ∙ 100 = 5 ∙ 100 = 500 [119873 ∙ 119898]
119874 se află icircn planul 119909119874119910 cu icircnclinarea 120572 (figura 110)
tan120572 =119886
119887=3
4= 075 rArr 120572 = arctan(075) = 36860
Deci
120572 = 900 minus 120573 = 900 minus 36860 = 53140
Concluzie Componentele torsorului de reducere al forței icircn punctul O sunt o forta
icircn O identică cu forța din punctul A și momentul forței icircn raport cu punctul O 119874
2 INTRODUCERE IcircN REZISTENŢA MATERIALELOR
21 Obiectul şi problemele Rezistenţei materialelor
Rezistenţa materialelor este o disciplină de cultură tehnică generală care continuă
logic şi dezvoltă Mecanica prin introducerea icircn calcule a proprietăţilor de deformabilitate
ale corpurilor solide reale Icircn Mecanică corpul solid este considerat rigid nedeformabil
iar vectorii forţă de icircncărcare sunt consideraţi alunecători Rezistenţa materialelor ia icircn
studiu corpurile reale care sub acţiunea forţelor exterioare (vectori legaţi) icircşi schimbă
forma geometrică respectiv dimensiunile iniţiale şi se distrug prin rupere la valori mari
ale acestora Prin calculele de rezistenţă se determină dimensiunile secţiunilor
transversale ale corpurilor (elemente de rezistenţă) icircn funcţie de mărimea poziţia şi modul
de acţionare a forţelor exterioare proprietăţile mecanice ale materialelor dimensiunile
constructive forma şi importanţa ansamblului icircn care se icircnglobează iar icircn anumite cazuri
şi de durata de funcţionare Elementele de rezistenţă trebuie să icircndeplinească următoarele
condiţii de bază
- condiţia de rezistenţă care are icircn vedere ca eforturile din elementul de rezistenţă
să nu producă distrugerea acestuia prin rupere sau spargere icircn bucăţi
- condiţia de rigiditate se referă la valorile deformaţiilor care nu trebuie să
depăşească anumite mărimile admisibile
- condiţia de stabilitate care consideră posibilitatea menţinerii formei de echilibru
stabil pentru o anumită stare de icircncărcare
Criteriile de rezolvare ale problemelor de Rezistenţa materialelor sunt
- criteriul economic prin care se impune ca orice element de rezistenţă (piesă) să
fie proiectat şi realizat cu soluţia cea mai economică icircn privinţa materialului utilizat şi al
manoperei
- criteriul de bună funcţionalitate a ansamblului din care face parte elementul de
rezistenţă proiectat respectacircnd condiţiile de rezistenţă rigiditate şi stabilitate
Icircn cadrul Rezistenţei materialelor se admit ipoteze simplificatoare care permit
obţinerea unor relaţii de calcul relativ simple şi care exprimă destul de fidel fenomenul
de solicitare real Experimentările practice icircn laborator permit verificarea legilor
rezistenţei materialelor şi determinarea caracteristicilor mecanice ale materialelor
Rezistenţa materialelor permite rezolvarea următoarelor categorii de probleme
- probleme de dimensionare prin care se stabilesc dimensiunile optime ale
elementelor de rezistenţă proiectate icircn funcţie de icircncărcările exterioare (forţe sau
momente) şi de caracteristicile mecanice ale materialului utilizat
- probleme de verificare la care se determină dacă un element de rezistenţă de
dimensiuni cunoscute satisface condiţiile de rezistenţă rigiditate şi stabilitate cunoscacircnd
icircncărcarea exterioară şi caracteristicile mecanice ale materialului utilizat
- probleme de calcul al capacităţii de icircncărcare al unui element de rezistenţă
cunoscacircndu-se caracteristicile mecanice ale materialului dimensiunile şi modul de
solicitare se determină icircncărcarea maximă pe care o poate suporta elementul de rezistență
fără a ceda sau a se deforma periculos
22 Clasificarea corpurilor icircn Rezistenţa materialelor
Corpurile (elementele de rezistenţă) au icircn general forme constructive relativ
complicate Icircn Rezistenţa materialelor pentru simplificarea calculelor corpurile se
schematizează prin forme geometrice mai simple obţinacircndu-se următoarele grupe
a) corpuri solide cu o dimensiune mult mai mare decacirct celelalte două (corpuri cu
fibră medie) Elementele geometrice caracteristice sunt axa longitudinală şi secţiunea
transversală Aceste corpuri solide pot fi
- fire dacă dimensiunile secţiunii transversale sunt foarte mici astfel icircncacirct axa
longitudinală este flexibilă (icircşi schimbă forma uşor) iar sarcinile transversale nu pot fi
preluate de acesta Un fir nu poate fi solicitat decacirct la icircntindere (exemplu cabluri de
macara lanţuri etc)
- bare care rezistă atacirct la solicitări axiale cacirct şi la solicitări transversale
După modul de solicitare barele poartă diferite denumiri convenţionale
tiranţi-solicitaţi la icircntindere figura 21a
stacirclpi-solicitaţi la compresiune figura 21b
grinzi-solicitate la icircncovoiere figura 21c
arbori-solicitaţi la torsiune (răsucire) figura 21d
Fig 21 Denumirea barelor după modul de solicitare
După modul cum variază secţiunea icircn lungul axei barele pot fi
de secţiune constantă figura 22a
de secţiune variabilă continuă figura 22b sau icircn trepte figura 22c
Fig 22 Denumirea barelor după secțiune
După forma axei longitudinale barele pot fi
drepte figura 21
curbe icircn plan figura 23a sau icircn spaţiu figura 23b (numite și curbe stracircmbe)
cotite (axa barei este o linie fracircntă) plane figura 23c sau spațiale figura 23d
Fig 23 Tipuri de bare curbe și cotite
Secţiunea transversală (plană şi normală pe axa barei) poate avea orice formă
geometrică constantă sau variabilă icircn lungul barei
Dacă una din dimensiunile secţiunii transversale (grosimea) este mai mică
comparativ cu celelalte bara se numește bară cu pereţi subţiri (exemplu barele
realizate din platbande sudate cu secţiuni sub formă de profil I profil U cornier etc)
b) corpuri care au două dimensiuni mult mai mari icircn raport cu a treia (grosimea)
se numesc plăci Elementele geometrice caracteristice ale unei plăci sunt forma şi
dimensiunile suprafeţei mediane respectiv grosimea Plăcile se reprezintă schematic
printr-o suprafață care imită forma și dimensiunile suprafeței mediane Suprafaţa mediană
reprezintă locul geometric al tuturor punctelor egal depărtate de cele două feţe ale plăcii
puncte aflate pe perpendicularele duse icircntre cele două feţe figura 24
După destinaţie și forma suprafeței mediane se deosebesc
plăci plane figura 24b
plăci curbe (icircnvelişuri) cu o singură curbură figura 24a sau avacircnd curbură
dublă figura 24c
Fig 24 Tipuri de plăci plane
Plăcile cu grosime mare sunt denumite frecvent dale O placă de grosime mică
ce nu poate prelua decacirct solicitări la icircntindere poartă numele de membrană
Exemple de plăci icircnvelişurile vasele de revoluţie discurile etc
c) corpuri masive care au toate cele trei dimensiuni aproximativ de acelaşi ordin
de mărime (blocuri de fundaţii bile şi role de rulmenţi tuburi cu pereţi groşi etc)
Calculele de rezistenţă sunt mai simple icircn cazul barelor drepte şi mai complicate
la barele curbe plăci respectiv blocuri
23 Clasificarea icircncărcărilor exterioare
Un corp icircşi păstrează forma şi dimensiunile datorită forţelor de atracţie dintre
particulele sale elementare atacircta timp cicirct asupra sa nu acţionează alte forţe aplicate din
exterior care să-l deformeze Icircn construcţia de maşini elementele de rezistenţă preiau şi
transmit acţiunea unor sarcini exterioare (forţe şisau cupluri) pe care le vom denumi
generic forțe sau icircncărcări exterioare Efectul pe care-l au sarcinile este acela de a
modifica forma şi dimensiunile corpului asupra căruia se aplică Icircn punctele de rezemare
(de sprijin sau de legătură cu alte elemente de rezistenţă icircnvecinate) ca urmare a
principiului acţiunii şi reacţiunii apar forţe de legătură sau reacţiuni Ansamblul format
din sarcini şi reacţiuni este cunoscut sub numele de forţe exterioare Sub acţiunea
forţelor exterioare elementele de rezistenţă trebuie să fie icircn echilibru
Forţele exterioare pot fi clasificate după următoarele criterii
a) după mărimea suprafeţei pe care se aplică
- forțe concentrate aplicate teoretic icircntr-un punct figura 25a
- forțe distribuite uniform sau cu intensitate variabilă icircn lungul barei sau pe o
suprafaţă figura 25bc şi d
- momente concentrate care acţionează icircntr-un punct M sau momente uniform
distribut pe o anumită lungime m
Fig 25 Tipuri de sarcini după mărimea suprafeţei de aplicare
b) după locul de aplicare se deosebesc
- forţe de suprafaţă sau de contur care sunt aplicate din exterior pe suprafaţa
corpurilor şi indică legătura cu piesele icircnvecinate
- forţe masice sau de volum distribuite icircn tot corpul (greutăţi forţe de inerţie
respectiv forţe electromagnetice)
c) după modul de acţiune icircn timp se disting
- forţe statice care se aplică lent şi progresiv pacircnă la valoarea nominală de lucru
şi apoi rămacircn constante figura 26a
- forţe dinamice care rezultă din
aplicarea cu icircntreaga intensitate de la icircnceputul perioadei de solicitare iar apoi forţa se
menţine constantă timp icircndelungat figura 26b (forţe de inerţie)
aplicarea bruscă a sarcinii asupra corpului durata de acţiune a sarcinii fiind mică figura
26c (forţe de şoc)
variaţia periodică icircn timp a intensităţii forţei aplicate figura 26d (forţe de oboseală)
Fig26 Tipuri de forţe exterioare (cicluri de solicitare)
Funcţie de modul de variaţie al forţelor exterioare solicitările pot fi statice
oscilante pulsante alternante etc Experimental s-a constatat că rezistenţa unui material
depinde foarte mult de modul de variaţie a forţelor icircn timp Bach a clasificat solicitările
icircn 3 categorii 1-solicitări statice 2-solicitări pulsante 3-solicitări alternant simetrice
Rezistenţa unui material este icircn raportul 321 pentru cele 3 cazuri de solicitare ale lui
Bach Aceasta icircnseamnă că o piesă solicitată static rezistă la o forţă de 3 ori mai mare
decacirct forţa maximă care produce ruperea aceleaşi piese solicitate alternant simetric
d) după poziţia icircn timp a forțelor se disting
- forţe fixe ale căror puncte de aplicaţie sunt mereu aceleaşi
- forţe mobile ale căror puncte de aplicaţie se deplasează icircn timp De exemplu
sarcinile produse de vehiculele care circulă pe un pod sarcinile unei grinzi de pod rulant
icircntr-o halăetc
24 Reazeme Forțe interioare Eforturi Diagrame de eforturi icircn barele
drepte
241 Reazeme Reacțiuni (forțe de legătură)
Pentru a prelua şi transmite acţiunea sarcinilor exterioare elementele de rezistenţă
din componenţa unei structuri sunt fixate icircntre ele prin intermediul unor legături
exterioare numite reazeme Aceste legături au ca scop icircmpiedicarea anumitor mişcări ale
corpului pe direcţiile pe care acestea nu trebuie să se producă O legătură are deci rolul
de a anula unul sau mai multe grade de libertate ale corpului icircn punctul de rezemare Dacă
este anulat un singur grad de libertate legătura este simplă iar dacă sunt impiedicate mai
multe grade de libertate legătura este una compusă Datorită existenţei sarcinilor
exterioare icircn punctele de rezemare pe direcţiile pe care mişcările sunt icircmpiedicate apar
forţe de legătură numite reacţiuni Numărul natura şi direcţiile reacţiunilor depind de
tipul reazemelor Icircn construcţiile reale există o varietate mare de realizare practică a
reazemelor dar icircn calcule se acceptă anumite schematizări care reţin doar aspectul esenţial
al unui reazem şi anume gradul sau gradele de libertate anulate
Pentru o structură de rezistenţă spaţială icircntr-un punct oarecare sunt posibile şase
deplasări trei deplasări liniare (după direcţiile axelor unui sistem ortogonal) şi trei rotiri
(deplasări unghiulare) icircn jurul aceloraşi axe Ca urmare ar fi posibil de realizat maximum
şase tipuri de reazem
Pentru un element de rezistenţă plan icircncărcat cu eforturi cuprinse icircn planul
elementului icircn orice punct sunt posibile trei gade de libertate două deplasări liniare şi o
rotiri Ca urmare pentru cazul unei bare plane se icircntacirclnesc următoarele tipuri de reazeme
1 Reazemul simplu sau reazemul mobil care icircmpiedică deplasarea pe o direcţie
normală pe suprafaţa de rezemare permiţacircnd deplasarea pe o direcţie paralelă cu
suprafaţa de rezemare şi rotirea barei icircn jurul unei axe perpendiculare pe plan icircn punctul
de rezemare Icircn urma icircmpiedicării deplasării şi datorită unor sarcini exterioare icircn
reazemul simplu apare o reacţiune de tip forţă a cărei suport trece prin punctul de
rezemare şi a cărei direcţie este perpendiculară pe suprafaţa de rezemare figura 27
Fig 27 Reazem simplu (mobil)
Icircn figura 27 este reprezentat un reazem mobil poziţionat pe capătul A al unei bare
plane orizontale fiind evidenţiate punctul şi suprafaţa de rezemare direcţia suportului
reacţiunii şi modul de schematizare al reazemului Cea mai des icircntacirclnită reprezentare a
reazemului mobil este a unui triunghi a cărui bază poate luneca pe suprafaţa de rezemare
2 Reazemul fix sau articulaţia icircmpiedică deplasările liniare după toate direcţiile
din planul barei permiţacircnd doar rotirea barei icircn jurul unei axe perpendiculare pe plan şi
care trece prin puncul de rezemare Reacţiunea este cuprinsă icircn planul barei care trece
prin punctul de rezemare dar a cărei mărime şi direcţie nu sunt cunoscute (forţa R)
figura 28
Fig 28 Reazem fix
Se preferă ca icircn locul unei forţe R avacircnd direcţia oarecare icircn plan necunoscută să
se introducă două forţe (HA şi VA) cărora li se cunoaşte direcţia şi pentru care se vor
determina modulele ca valori din condiţiile de echilibru static Icircntr-un reazem fix apar
icircntotdeauna reacţiuni atacirct pe direcţia perpendiculară pe suprafaţa de rezemare
(verticală) cacirct şi pe direcţia paralelă cu prima (orizontală) chiar dacă uneori una sau
chiar ambele reacţiuni au valoarea zero Reprezentarea schematică a articulaţiei este cea
a unui triunghi cu baza fixă şi cu vacircrful icircn punctul de rezemare sau cea a unui pendul
dublu figura 28
3 Icircncastrarea (sau icircnţepenirea) anulează toate gradele de libertate ale capătului
unei bare icircmpiedicacircnd deplasarea liniară după orice direcţie din plan precum şi rotirea
barei icircn jurul unei axe perpendiculare pe plan şi care trece prin punctul de icircncastrare
Urmare a existenţei sarcinilor exterioare şi a blocării deplasărilor icircn icircncastrare apare o
reacţiune căreia nu i se cunoaşte nici mărimea nici direcţia şi nici punctul de aplicaţie
figura 29
Fig 29 Icircncastrarea
Sub acţiunea forţelor exterioare un sistem este icircn echilibru Valoarea reacţinilor
se determină din condiţia de echilibru a sistemului solicitat
Este cunoscut faptul că un sistem plan este icircn echilibru dacă
nu se deplasează pe o direcţie (fie x această direcţie)
nu se deplasează pe o direcţie perpendiculară pe prima (fie y această direcţie)
nu se roteşte faţă de un punct al planului (fie K acest punct)
Cele trei condiţii enunţate mai sus sunt satisfăcute dacă suma proiecţiilor tuturor
forţelor pe direcţia x respectiv y este nulă şi suma tuturor momentelor (cuplurilor) faţă
de un punct al planului este nulă
242 Forțe interioare Metoda secțiunilor
Icircn vederea calculului de rezistenţă de rigiditate şi de stabilitate a barelor sau a
sistemelor de bare este necesară determinarea forţelor şi momentelor interioare
(eforturilor) care apar icircn secţiunile transversale ale acestora şi datorate icircncărcărilor
exterioare Forțele interioare indică legătura dintre particulele din interiorul corpului şi
se pun icircn evidenţă prin metoda secţiunilor care este un procedeu de raţionament
imaginar propus de Cauchy echivalent cu teoria echilibrului părţilor Conform acestui
raționament bdquodacă un corp solid deformabil este icircn echilibru sub acţiunea unui sistem
generalizat de forţe atunci după secționare fiecare parte a sa va fi icircn echilibru sub
acţiunea forţelor exterioare care-i revin şi a unui sistem de forţe pe care trebuie să-l
introducem icircn secţiunea ce delimitează fiecare parte echivalent cu acţiunea forţelor
aplicate pe partea icircndepărtatărdquo
Problemele care apar la aplicarea metodei secţiunilor sunt
- să pună icircn evidenţă existenţa forţelor interioare mai ales că din ceea ce se ştie o
forţă apare icircn prezenţa a două corpuri ca urmare a principiului acţiunii şi reacţiunii
- să explice modul de distribuţie al forţelor interioare pe secţiune
Considerăm un corp aflat icircn echilibru sub acţiunea unui sistem de forţe exterioare
1 2 3⋯119894 ⋯ 119899minus1 119899 şi presupunem că-l secţionăm cu un plan transversal Q (sau cu
o suprafaţă oarecare) figura 210a Icircn urma secţionării fictive (imaginare) conform
principiului echilibrului părţilor fiecare din cele două părţi obţinute trebuie să fie icircn
echilibru sub acţiunea forţelor exterioare care le revin şi a cacircte unui sistem de forţe
interioare pe care trebuie să-l introducem icircn secţiunile rezultate sistem echivalent cu
acţiunea forţelor exterioare ce acţionează asupra celeilalte părţi Astfel pe partea din
dreapta (notată cu II) delimitată de secţiunea de arie Ad sunt aplicate forţele exterioare
119894 ⋯ 119899minus1 119899 şi un sistem de forţe interioare căruia nu i se cunoaşte decacirct efectul acelaşi
cu cel al forţelor 1 2 3 de pe parea din stacircnga (notată cu I şi delimitată de secţiunea
de arie As) figura 210b Prin metoda secţiunilor am reuşit să punem icircn evidenţă existenţa
forţelor interioare şi să le trecem icircn categoria celor exterioare cărora le putem aplica
relaţiile de echivalenţă şi de echilibru cunoscute din statică Ideal ar fi să cunoaştem
distribuţia şi intensitatea punctuală a acestor forţe pentru că s-ar putea ca icircn anumite
puncte ale secţiunii valoarea forţelor să depăşească limita de rezistenţă (limita de curgere)
a materialului Cunoaşterea distribuţiei punctuale a forţelor interioare nu se poate realiza
decacirct icircn cazuri particulare relativ simple de solicitare
Să considerăm partea din dreapta a corpului asupra căreia acționează forțele
119894 ⋯ 119899minus1 119899 mărginit de aria Ad pe care acționează un sistem de forțe interioare
echivalent cu 1 2 3 Deși forțele interioare de pe Ad nu se cunosc totuși efectul lor
este același cu cel al forțelor 1 2 3 deci le putem reduce icircn centrul de greutate C al
secțiunii Ad rezultacircnd componentele torsorului de reducere al forțelor interioare
(119894119889 119894119889) și pentru partea din stacircnga (119894119904 119894119904) Evident conform principiului acțiunii și
reacțiunii
119894119889 = minus119894119904
119894119889 = minus119894119904 (21)
Pe de altă parte cum fiecare dintre părțile corpului după secționare trebuie să fie
icircn echilibru sub acțiunea forțelor exterioare care le revin și a forțelor interioare introduse
rezultă
119894119889 = minus119890119889
119894119889 = minus119890119889
119894119904 = minus119890119889
119894119904 = minus119890119904 (22)
Combinacircnd (21) cu (22) rezultă
119894119889 = 119890119889
119894119889 = 119890119889
119894119904 = 119890119904
119894119904 = 119890119904 (23)
Fig 210 Forțe interioare
Relațiile (22) și (23) permit determinarea componentelor torsorului de reducere
al forțelor interioare din (23) rezultă componentele torsorului forțelor interioare care
acționează icircn secțiunea Ad sunt egale cu componentele torsorului de reducere al forțelor
exterioare de pe partea din stacircnga din (22) rezultă componentele torsorului forțelor
interioare care acționează icircn secțiunea Ad sunt egale și de sens contrar cu componentele
torsorului de reducere al forțelor exterioare de pe partea din dreapta
Observații
1 Torsorul forțelor interioare diferă de la o secțiune la alta dar pentru aceeași
secțiune el este unic și trebuie să respecte condițiile de compatibilitate a deformațiilor
2 Reducacircnd forțele interioare icircn centrul de greutate al secțiunii s-a făcut o
aproximare icircn ceea ce privește efectul modului de dispunere al forțelor
3 Punctul de reducere trebuie să fie
pentru forțele interioare normale la secțiune centrul de greutate
pentru forțele interioare tangente la planul secțiunii centrul de răsucire sau de
tăiere
243 Eforturi
Prin metoda secțiunilor am pus icircn evidență existența forțelor interioare și modul
icircn care se determină componentele torsorului de reducere al forțelor interioare (119894119889 119894119889) de pe fața din dreapta secțiunii (Ad) Cele două componente ale torsorului de reducere al
forțelor interioare de pe Ad se pot descompune după axele unui sistem de referință
triortogonal xCyz astfel
119894119889 = +
119894119889 = 119909 +119872119894 (24)
unde și 119909 sunt proiecțiile lui 119894119889 și respectiv 119894119889 pe axa longitudinală Cx a
barei iar și 119894 sunt proiecțiile acelorași componente 119894119889 și respectiv 119894119889 pe planul yCz
al secțiunii transversale Ad figura 211
Fig 211 Torsorul de reducere al forţelor interioare
La racircndul lor și 119894 se pot descompune după axele sistemului yCz figura 212
= 119910 + 119911
119894 = 119894119910 + 119894119911 (25)
Fig 212 Descompunerea forţei tăietoare şi a momentului icircncovoietor
Cele șase componente ale torsorului de reducere al forțelor interioare ( 119910 119911
119909 119894119910 119894119911) orientate după axele sistemului de referință xCyz se numesc eforturi
Fiecare efort are o denumire stabilită icircn funcție de tipul de deformație pe care-l produce
De asemenea semnul plus (bdquo+rdquo) sau minus (bdquondashrdquo) al fiecărui efort nu depinde de sensul
pozitiv sau negativ al sistemului de axe ci doar de efectul icircn deformații al fiecărui efort
Denumirile celor șase eforturi sunt
119873 este forța axială
119879119910 119879119911 sunt forțe tăietoare orientate după axele Cy și respectiv Cz
119872119909 notat de cele mai multe ori cu 119872119905 este moment de torsiune sau de răsucire
119872119894119911 119872119894119910 sunt momente de icircncovoiere icircn jurul axei Cz și respectiv Cy
Forța axială 119873 poate fi forță axială de icircntindere cacircnd produce o lungire a
tronsonului pe a cărei față acționează (119873 gt 0) figura 213a sau forță axială de
compresiune cacircnd sub efectul ei bara se scurtează (119873 lt 0) figura 213b
Fig 213 Forța axială
Forțele tăietoare 119879119910 și 119879119911 au ca efect lunecarea secțiunii icircn centrul căreia
acționează icircn raport cu secțiunea icircnvecinată lunecare ce se produce pe direcția și icircn sensul
forței Sub acțiunea unei forțe tăietoare bara este solicitată la forfecare Forța tăietoare
este pozitivă 119879119910 gt 0 dacă icircn raport cu un punct oarecare K de pe axa Cx a barei tinde să
rotească secțiunea pe care acționează icircn sens orar
Fig 214 Forța tăietoare
Momentele de icircncovoiere 119872119894119911 și 119872119894119910 au ca efect o rotire a secțiunii icircn centrul
cărora acționează icircn jurul axei după care sunt orientate Icircn figura 215a se vede că
datorită momentului 119872119894119911 fibrele de deasupra axei Cz se alungesc icircn timp ce fibrele de sub
axa Cz se scurtează Fibrele care trec prin axa de icircncovoiere Cz nu se deformează sunt
fibre neutre la icircncovoiere adică axa neutră este Cz Icircn cazul momentului de icircncovoiere
119872119894119910 fibrele care nu se deformează sunt cele care trec prin axa neutră la icircncovoiere Cy
Momentele de icircncovoiere se consideră a fi pozitive (119872119894119911 gt 0119872119894119910 gt 0) dacă
observatorul care privește bara deformată vizualizează fibrele icircntinse
Fig 215 Momentul icircncovoietor
Momentul de torsiune sau de răsucire 119872119909 equiv 119872119905 are ca efect o rotire a secțiunii
icircn al cărei centru acționează icircn jurul axei longitudinale Cx Ca efect secțiunea icircși schimbă
forma (se deformează) adică unghiurile inițiale se modifică dreptunghiul inițial Ad
devine paralelogram Convențional se consideră 119872119905 gt 0 dacă vectorul moment are
aceeași orientare ca și sensul pozitiv ales pextru axa Cx Icircn figura 216 momentul este
negativ
Fig 216 Momentul de torsiune
25 Definiții și convenții de semne pentru eforturile
din secțiunile unei bare drepte plane icircncărcate cu sarcini coplanare
Vom considera o bară plană icircncărcată cu un sistem de forțe arbitrar figura 217
Ne propunem să determinăm eforturile care apar icircn secțiunea barei aflată la distanța 119909 de
reazemul din stacircnga (A)
Pentru aceasta vom aplica metoda secțiunilor vom secționa bara cu un plan
perpendicular pe axa longitudinală a barei și vom analiza doar partea din dreapta secțiunii
mărginită de fața Ad Pentru ca această porțiune de bară să fie icircn echilibru sub acțiunea
forțelor exterioare care acționează asupra sa 1198653 și 119881119861 va trebui să introducem icircn centrul
secțiunii Ad eforturile care pot să apară 119873 119879119910 119872119894119911 Acțiunea acestor eforturi trebuie să
fie echivalentă cu acțiunea forțelor exterioare aplicate pe partea icircnlăturată (parcursă) a
barei 119867119860 119881119860 1198651 1198652 1198720
Deoarece bara este plană și este icircncărcată doar cu sarcini ce aparțin
planului barei
icircn secțiunea Ad apar doar 3 componente ale torsorului de reducere al forțelor
interioare (eforturi)
- 119873 = forța axială
- 119879119910 = forța tăietoare pe care o vom nota cu 119879
- 119872119894119911 = momentul icircncovoietor notat cu Mi
Fig 217 Bară plană icircncărcată cu un sistem de forțe
Vom prezenta următoarele definiții corespunzătoare eforturilor din secțiunea Ad
119873 = forța axială dintr-o secțiune este egală cu suma algebrică a proiecțiilor pe
axa longitudinală a tuturor forțelor exterioare (sarcini și reacțiuni) aplicate pe partea
din stacircnga secțiunii adică pe porțiunea parcursă Forța axială 119873 este pozitivă dacă trage
de tronsonul pe a cărei față acționează (are orientarea normalei exterioare la secțiunea
Ad)
119873(119909) = minus119867119860 + 1198651119867 (26)
119879 = forța tăietoare icircntr-o secțiune este egală cu suma algebrică a proiecțiilor
pe o axă perpendiculară pe axa barei a tuturor forțelor exterioare (sarcini și reacțiuni)
aplicate pe porțiunea de bară aflată icircn stacircnga secțiunii considerate Forța tăietoare 119879
este pozitivă dacă tinde să rotească tronsonul pe a cărui față acționează icircn sens orar icircn
raport cu un punct de pe axa barei aflat la dreapta secțiunii
119879(119909) = 119881119860 minus 1198651119881 minus 1198652 (27)
119872119894 = momentul icircncovoietor icircntr-o secțiune este egal cu suma algebrică a
momentelor obținute prin reducerea tuturor forțelor exterioare ( cupluri sarcini
reacțiuni) aplicate pe porțiunea de bară aflată la stacircnga secțiunii icircn centrul secțiunii
considerate 119872119894 este considerat pozitiv dacă tinde să deformeze bara astfel icircncacirct fibrele
spre care privește un observator să fie icircntinse Cum poziția observatorului este de regulă
sub bară bara se deformează dacă 119872119894 gt 0 astfel icircncacirct partea jos a barei este icircntinsă Se
spune că bara deformată rdquoține apaldquo
119872119894(119909) = 119881119860 ∙ 119909 minus 1198651119881 ∙ (119909 minus 1198971) minus 1198652 ∙ [119909 minus (1198971 + 1198972)] + 1198720 (28)
Sensurile pozitive ale eforturilor care apar icircn centrul secțiunii Ad (deci atunci cacircnd
sensul de parcurs la aplicarea metodei secțiunilor este cel de la stacircnga la dreapta) sunt
indicate icircn figura 218a iar dacă sensul de parcurs este de la dreapta la stacircnga sensurile
pozitive ale eforturilor sunt indicate icircn figura 218b
Fig 218 Convenţia de semne
Definiții asemănătoare se pot da și pentru eforturile din centrul secțiunii As figura
218b adică pentru cazul icircn care sensul de parcurs este cel de la dreapta la stacircnga și deci
partea luată icircn considerare este cea din stacircnga iar partea parcursă din dreapta secțiunii
este icircnlăturată
119873(1199091) = 1198653119867
119879(1199091) = 1198653119881 minus 119881119861
119872119894(1199091) = 119881119861 ∙ 1199091 minus 1198653119881 ∙ (1199091 minus 1198975)
(29)
Avacircnd icircn vedere că fețele Ad și As aparțin aceleeași secțiuni este evident faptul că
eforturile 119873(119909) 119879(119909) și 119872119894(119909) sunt identice cu eforturile 119873(119961120783) 119879(119961120783) și respectiv
119872119894(119961120783) Icircn figura 218c se prezintă o sinteză a convențiilor de semne pozitive pentru cele
3 eforturi atacirct pentru sensul de parcurs de la stacircnga la dreapta (secțiunea Ad) cacirct și pentru
sensul invers (secțiunea As)
Semnele eforturilor sunt importante icircntrucacirct există materiale cu comportări diferite
la icircntindere față de compresiune iar o schimbare a semnului unui efort poate produce
erori grave icircn calcule Semnele eforturilor au fost stabilite icircn funcție de deformațiile
produse și nu depind de sensul axelor sistemului de coordonate
26 Relaţii diferenţiale icircntre eforturi şi sarcini
Pentru a vedea ce legătură există icircntre eforturi și sarcini vom considera o bară
dreaptă icircncărcată cu o sarcină distribuită după o lege oarecare figura 219a Din această
bară vom decupa prin dublă secționare un element de lungime infinit mică 119889119909 Deoarece
lungimea 119889119909 este foarte mică se poate considera sarcina 119901 uniform distribuită Icircn
secțiunile rezultate trebuie să introducem eforturile care pot apărea
- 119879 şi 119872119894 icircn centrul secțiunii din sticircnga eforturi pe care le considerăm pozitive
- 119879 + 119889119879 şi 119872119894 + 119889119872119894 icircn centrul secțiunii din dreapta elementului
Aceste eforturi au o variație mică (119889119879 şi 119889119872119894) față de secțiunea anterioară Spre
deosebire de cazul icircn care bara este secționată o singură dată icircn acest caz eforturile nu
pot fi determinate din cele 2 condiții de echilibru independente deoarece icircn ecuațiile de
echilibru apar 4 necunoscute 119879 119889119879119872119894 și 119889119872119894 deci că problema este dublu static
nedeterminată figura 219
Fig 219 Echivalența icircntre eforturi și sarcini
Ecuațiile de echilibru scrise pentru elementul din figura 219b conduc la stabilirea
unor relaţii foarte importante
(sum119865)119910= 0 hArr 119879 minus 119901 ∙ 119889119909 minus (119879 + 119889119879) = 0 rArr
119889119879
119889119909= minus119901 (210)
Relația (210) arată că derivata funcţiei forţei tăietoare icircn raport cu abscisa
secţiunii este egală cu sarcina distribuită normală la axa barei din acea secţiune luată
cu semn schimbat
Observații
dacă 119901 = 0 nu există sarcină distribuită atunci forța tăietoare T este constantă
icircnclinarea pantei diagramei forței 119879 este egală cu (ndash 119901) (sarcina distribuită cu
semn schimbat)
dacă 119901 = 119888119900119899119904119905 119879 variază liniar pe acel interval
Asemănător se deduce că derivata funcţiei forţei axiale icircn raport cu abscisa
secţiunii este egală cu sarcina distribuită axială din acea secţiune luată cu semn
schimbat adică
119889119873
119889119909= minus119901119867 (211)
Din condiția de echilibru suma de momente faţă de centrul de greutate al secţiunii
din dreapta
(sum119872)119862= 0 hArr 119872119894 minus (119872 + 119889119872119894) + 119879 ∙ 119889119909 minus 119901 ∙
(119889119909)2
2= 0 rArr
119889119872119894
119889119909= 119879 (212)
Relația (212) s-a obținut dupa reducerea termenilor și prin neglijarea infinitului
mic de ordinul 2
119901 ∙(119889119909)2
2
Relația (212) arată că derivata funcţiei moment icircncovoietor icircn raport cu abscisa
secţiunii este egală cu forţa tăietoare din acea secţiune
Observații
dacă 119879 = 0 momentul 119872119894 are un punct de extrem se obține o valoare maximă
pentru 119872119894119898119886119909 dacă forța tăietoare 119879 se anulează trecacircnd de la plus icircn stacircnga la minus icircn
dreapta secțiunii
dacă forța tăietoare este pozitivă pe un interval 119879 gt 0 atunci 119872119894 este crescătoare
pe acel interval
dacă forța tăietoare este negativă pe un interval 119879 lt 0 atunci 119872119894 este
descrescătoare pe acel interval
dacă pe un interval 119901 = 0 forța tăietoare este constantă 119879 = 119888119905 iar 119872119894 variază
liniar pe acel interval
dacă 119901 = 119888119900119899119904119905 119879 variază liniar pe acel interval iar 119872119894 variază parabolic pe
acel interval
Relaţiile diferenţiale sunt utile la reprezentarea corectă şi verificarea diagramelor
de eforturi astfel
pentru porţiunile de grindă pe care p = 0 eforturile N şi T sunt constante iar pe
porţiunile cu p = const eforturile N şi T variază liniar (relaţiile 211 şi 210)
dacă pe o porţiune T = const momentul icircncovoietor Miz variază liniar iar dacă
T variază liniar atunci momentul Miz variază parabolic (relaţia 212)
pe domeniile pe care T gt 0 funcţia Mi(x) este crescătoare iar icircn secţiunea icircn
care T = 0 (graficul funcţiei T intersectează axa x) momentul icircncovoietor are un punct
de extrem local (maxim sau minim relaţia 212)
Pentru rezolvarea problemelor referitoare la trasarea diagramelor de eforturi
pentru barele drepte solicitate de sisteme de forţe plane se parcurg următoarele etape
1) identificarea forţelor aplicate (date) şi pregătirea lor pentru calcule
(descompunerea forţelor concentrate pe direcţiile x şi y calculul rezultantelor forţelor
distribuite)
2) identificarea reazemelor şi introducerea reacţiunilor corespunzătoare (vezi
figurile 27divide29)
3) stabilirea ecuaţiilor de echilibru static calculul şi verificarea reacţiunilor Icircn
rezistența materialelor se folosește sistemul de ecuații (vezi figura 217)
(sum119865)
119909= 0
(sum119872)119860= 0
(sum119872)119861= 0
(213)
4) identificarea domeniilor de variaţie şi scrierea funcţiilor de eforturi pentru N T
şi Mi
5) reprezentarea grafică a diagramelor de eforturi
6) verificarea corectitudinii diagramelor pe baza relaţiilor diferenţiale icircntre eforturi
şi sarcini
Aplicație Pentru grinda dreaptă icircncărcată cu sistemul de forţe reprezentat icircn figura
220 se cere
a) să se calculeze şi să se verifice reacţiunile
b) să se stabilească funcţiile eforturilor Nx Ty şi Miz şi să se reprezinte diagramele
de variaţie
c) să se analizeze relaţiile diferenţiale icircntre eforturi şi sarcini
Dimensiunile grinzii au valorile a = 6 [m] b = 4 [m] și c = 4[m] sistemul de
forţe aplicat fiind format din p = 10 [kN mfrasl ] F = 20 [kN] (icircnclinată cu unghiul α =300 faţă de orizontală) şi M0 = 40 [kN ∙ m]
Rezolvare
a) Se fac următoarele precizări
grinda dreaptă se reprezintă prin axa geometrică
forţa icircnclinată F se descompune după direcţiile orizontală şi verticală icircn FV =F ∙ sin α = 10 [kN] şi FH = F ∙ cos α = 173 [kN]
forţa distribuită uniform p este echivalentă din punct de vedere static cu
rezultanta sa R = p ∙ a = 60 [kN] care acţionează la jumătatea porţiunii de lungime a
icircn reazemele 119860 şi 119861 se introduc componentele HA şi VA respectiv VB ale
reacţiunilor
Pentru calculul reacţiunilor se utilizează ecuaţiile de echilibru static al grinzii
sumXi = 0 HA minus FH = 0 sumYi = 0 VA + VB minus R minus FV = 0 (sumM)B = 0 VA ∙ (b + a) minus R ∙ (b + 05 ∙ a) minus M0 + FV ∙ c = 0
(A1)
Din prima ecuaţie se obţine HA iar din cea de-a treia ecuaţie rezultă VA
HA = FH = 173 [kN]
VA =[R ∙ (b + 05 ∙ a) + M0 minus FV ∙ c]
(b + a)=[60 ∙ (4 + 05 ∙ 6) + 40 minus 10 ∙ 4]
(4 + 6)
VA = 42 [kN]
(A2)
Fig 220 Aplicație
Se observă că cea de-a doua ecuaţie de echilibru conţine două necunoscute
reacţiunile VA şi VB Pentru a calcula componenta VB nu este indicată introducerea lui VA
icircn cea de-a doua ecuaţie a sistemului (A1) pentru că o valoare determinată greşit pentru
VA conduce la o valoare VB de asemenea greşită O ecuaţie independentă din care se poate
determina componenta VB este următoarea
(sumM)A= 0 FV ∙ (a + b + c) minus VB ∙ (a + b) minus M0 + R ∙ 05 ∙ a = 0 (A3)
de unde se obţine
VB =[FV ∙ (a + b + c) minusM0 + R ∙ 05 ∙ a]
(b + a)=[10 ∙ (6 + 4 + 4) minus 40 + 60 ∙ 05 ∙ 6]
(6 + 4)
VB = 28 [kN] (A4)
Ecuaţia de proiecţii ale forţelor pe direcţia verticală (a doua ecuaţie din sistemul
A1) se utilizează pentru verificarea reacţiunilor deja determinate
VA + VB minus R minus FV = 0 rArr 42 + 28 minus 60 minus 10 = 0 (A5)
Ultima egalitate demonstrează că reacţiunile verticale au fost calculate corect
Din cele de mai sus rezultă ordinea firească pentru determinarea reacţiunilor icircn
cazul grinzilor simplu rezemate
sumXi = 0
(sumM)A = 0
(sumM)B = 0
(A6)
iar pentru verificarea componentelor verticale VA şi VB se folosește ecuaţia sumY = 0
b) La stabilirea funcţiilor de eforturi se parcurg icircn general etapele următoare
se notează (numeric sau literal după preferinţă) secţiunile care delimitează
domeniile (intervalele sau tronsoanele) pe care eforturile nu-şi modifică funcţiile (au legi
unice de variaţie)
pe fiecare domeniu se marchează secţiunea imaginară icircn care se stabilesc
funcţiile eforturilor
secţiunea astfel aleasă separă icircn două părţi grinda şi anume porţiunea din stacircnga
şi porţiunea din dreapta secţiunii
se va considera parcursă (şi icircndepărtată) acea parte pe care acţionează mai puţine
sarcini exterioare pentru că acestea vor interveni icircn expresiile funcţiilor de eforturi
poziţiile secţiunilor imaginare se vor determina prin variabilele x1 ⋯ xn (unde
n reprezintă numărul domeniilor de variaţie) cu originea fixată icircn capătul intervalului şi
sensul de parcurgere spre partea considerată rămasă
Grinda prezentată icircn figura 220 are trei domenii de variaţie pentru funcţiile de
eforturi după cum urmează (A-1) (2-B) şi (B-1)
Domeniul (A-1) x1 isin [0 a = 6 m] Porţiunea parcursă şi considerată icircndepărtată este cea de coordonată x1 pe care
acţionează reacţiunile HA şi VA precum şi rezultanta parţială a sarcinii distribuite R1 =p ∙ x1
Funcţia forţă axială Nx are expresia
Nx(x1) = NAminus1 = minusHA = minus173 [kN] = const
(A7)
Funcţia forţă tăietoare Ty are exspresia
Ty(x1) = TAminus1 = VA minus R1 = VA minus p ∙ x1 (A8)
care reprezintă o variaţie liniară de variabilă x1 Se calculează valorile forţei tăietoare la
limitele intervalului de variaţie
- pentru x1 = 0 Ty(x1 = 0) = TA = VA = 42 [kN]
- pentru x1 = a = 6 [m] Ty(x1 = 6) = T1 = VA minus p ∙ a = minus18 [kN]
Observaţie Aşa cum a fost stabilită secţiunea fictivă poziţionată prin coordonata
x1 sar părea că rezultanta R ar trebui luată icircn calculul lui Ty(x1) Acest lucru ar fi greşit
pentru că R = p ∙ a reprezintă rezultanta sarcinii distribuite pe toată lungimea a iar
rezultanta pe porţiunea parcursă de lungime x1 este R1 = p ∙ x1 ne R = p ∙ a
Cu valorile obţinute se trasează diagramele forţelor axială Nx = f(x) şi tăietoare
Ty = f(x) figura 220 Din diagrama forţei tăietoare şi din valorile obţinute analitic se
observă că forţa tăietoare icircşi schimbă semnul pe intervalul analizat deci se anulează pe
acest interval Poziţia secţiunii unde Ty se anulează se determină din ecuaţia
Ty(x1) = 0 rArr VA minus p ∙ x1 = 0 (A9)
cu soluţia x1lowast = ξ = 42 [m] Important de reamintit că icircn această secţiune momentul
icircncovoietor va avea un extrem local adică Miz are un extrem la Ty = 0
Funcţia moment icircncovoietor Miz are expresia
Miz(x1) = VA ∙ x1 minus R1 ∙x12= VA ∙ x1 minus (p ∙ x1) ∙
x12
(A10)
Se observă că funcţia moment icircncovoietor de variabilă x1 are o variaţie parabolică
(gradul al II-lea) Pentru reprezentarea grafică a funcţiei parabolice se calculează valorile
momentului icircncovoietor icircn trei secţiuni
- pentru x1 = 0 Miz(x1 = 0) = MA = 0 [kN ∙ m] - pentru x1 = a = 6 [m] Miz(x1 = 6) = M1 = 72 [kN ∙ m] - pentru x1
lowast = ξ = 42 [m] Miz(x1lowast = ξ = 42 [m]) = Mimax = 882 [kN ∙ m]
Cu acestea se trasează diagrama Miz = f(x) pe intervalul (A-1) figura 220
Observaţie Icircn unele cazuri pe un anumit interval forţa tăietoare nu se anulează
şi momentul icircncovoietor nu are un extrem local Icircn acest caz pentru reprezentarea
variaţiei parabolice a momentului icircncovoietor se va studia semnul derivatei a doua a
funcţiei Miz = f(x1) acesta determinacircnd convexitatea curbei momentului icircncovoietor
Domeniul (2-B) x2 isin [0 c = 4 m] Porţiunile din grindă libere (nerezemate) la un capăt se numesc console iar
stabilirea funcţiilor de eforturi devine mai simplă dacă se consideră icircndepărtată partea din
dreapta secţiunii prin schimbarea sensului pozitiv al axei x Astfel se obţin funcţiile eforturilor
Funcţia forţă axială Nx are expresia
Nx(x2) = N2minusB = minusFH = minus173 [kN] = const
(A11)
Funcţia forţă tăietoare Ty are exspresia
Ty(x2) = T2minusB = FV = 10 [kN] = const (A12)
Funcţia moment icircncovoietor Miz are expresia
Miz(x2) = minusFV ∙ x2 rArr Miz(x2 = 0) = M2 = 0 [kN ∙ m]
Miz(x2 = 4) = MB = minus40 [kN ∙ m] (A13)
variaţie liniară (gradul I)
Domeniul (B-1) x3 isin [0 b = 4 m] Pe acest domeniu se acceptă parcurgerea grinzii de la dreapta adică se consideră
icircndepărtată partea din dreapta secţiunii fictive pentru că are doar două sarcini aplicate F
şi VB faţă de partea din stacircnga secţiunii pe care sunt aplicate trei sarcini p VA şi M0
Astfel se obţin funcţiile eforturilor
Funcţia forţă axială Nx are expresia
Nx(x3) = NBminus1 = minusFH = minus173 [kN] = const
(A14)
Funcţia forţă tăietoare Ty are exspresia
Ty(x3) = TBminus1 = FV minus VB = minus18 [kN] = const (A15)
Funcţia moment icircncovoietor Miz are expresia
Miz(x3) = minusFV ∙ (x3 + c) + VB ∙ x3 rArr
rArr Miz(x3 = 0) = MB = minus40 [kN ∙ m]
Miz(x3 = 4) = M1 = 32 [kN ∙ m]
(A16)
variaţie liniară (gradul I)
Diagramele eforturilor sunt prezentate icircn figura 220
c) Relaţiile diferenţiale dintre eforturi şi sarcini se analizează pe diagramele
eforturilor după cum urmează
sarcina distribuită nu are componentă orizontală adică ph = 0 şi icircn
conformitate cu formula (211) rezultă că Nx = const pe toată lungimea grinzii fapt care
a rezultat din funcţia şi reprezentarea diagramei forţei axiale
pe intervalul (A-1) sarcina distribuită are doar componenta verticală pozitivă
pV = p gt 0 prin urmare forţa tăietoare scade (are panta negativă dTy 119889119909frasl = minusp vezi
relaţia 210) iar momentul icircncovoietor avacircnd derivata a doua negativă d2M119894119911 1198891199092frasl =minuspare convexitatea curbei orientată spre sensul pozitiv al axei momentului Miz adică icircn
jos
pe domeniile (2-B) şi (B-1) deoarece pv = 0 forţa tăietoare Ty este constantă
iar momentul icircncovoietor Miz variază liniar
referitor la relaţia (212) pe porţiunile unde Ty gt 0 momentul Miz este
monoton crescător pe porţiunile unde Ty lt 0 momentul Miz este monoton descrescător
iar icircn secţiunea icircn care Ty = 0 momentul icircncovoietor are un extrem local Mξ =
882 [kN ∙ m] icircn diagrama forţei tăietoare discontinuităţile (salturile) se produc icircn secţiunile
unde acţionează VA VB şi FV iar icircn diagrama momentului icircncovoietor se produce un
singur salt icircn secţiunea icircn care este aplicat M0
se poate scrie
Mξ = suprafața diagramei Ty |ξ0=1
2∙ 42 ∙ 42 = 882 [kN ∙ m]
sau parcurgacircnd grinda de la dreapta la stacircnga rezultă
MB = minussuprafața diagramei Ty |c0= minus10 ∙ 4 = minus40 [kN ∙ m]
Toate aspectele analizate teoretic referitoare la relaţiile diferenţiale dintre eforturi
şi sarcini se regăsesc icircn diagramele de eforturi din figura 220 ceea ce icircnseamnă că
diagramele au fost reprezentate corect
3 TENSIUNI DEPLASĂRI ŞI DEFORMAŢII SPECIFICE
31 Tensiuni
Eforturile obținute icircn urma reducerii forțelor interioare icircn centrul de greutate al
secțiunii nu pot da informații asupra solicitării fiecărui punct al secțiunii respective Este
necesar să se cunoască modul cum se distribuie forțele interioare icircn fiecare punct al
secțiunii pentru a ști care este intensitatea maximă a solicitării Această intensitate
maximă se poate compara cu o valoare critică specifică materialului stabilindu-se astfel
dacă solicitarea este periculoasă sau nu
Mărimea care caracterizează solicitarea locală punctuală o vom denumi tensiune
și o vom defini icircn cele ce urmează Să considerăm partea din dreapta a unui corp solicitat
de forțele exterioare 1198651 1198652 și 1198653 obținută prin secționarea corpului și mărginită de fața
din dreapta Ad a secțiunii Pe secțiunea Ad vom considera un element de arie infinit mic
∆119860 caracterizat de normala la elementul de arie normală care are cosinușii directori
120573 și icircn raport cu un sistem de axe considerat fix Pe elementul infinit mic ∆119860 acționează
forțele interioare care au o rezultantă oarecare figura 31
Prin definiție tensiunea totală este
= lim∆119860rarr0
∆
∆119860 (31)
Tensiunea are aceeaşi direcţie cu forţa elementară ∆ iar mărimea ei este
determinată atacirct de mărimea forţei ∆ cacirct şi de orientarea suprafeţei ∆119860 faţă de direcţia
forţei
Tensiunea 119901 poate fi descompusă icircntr-o componentă orientată după direcţia
normalei la secţiune tensiunea normală notată cu 120590119909 şi o componentă icircn planul secţiunii
tensiunea tangenţială notată cu figura 32
= 119909 + 120591 (32)
Fig 31 Tensiunea totală Fig 32 Tensiunea normală și tangențială
La racircndul ei componenta tensiunii cuprinsă icircn planul secțiunii poate fi
descompusă după direcțiile axelor y și z
120591 = 120591119909119910 + 120591119909119911 (33)
Icircntre cele trei componente ale tensiunii totale care acționează pe elementul de arie
∆119860 este valabilă relația
1199012 = 1205901199092 + 120591119909119910
2 + 1205911199091199112 (34)
După sensul pe care icircl are tensiunea normală 120590 poate avea efect de tracţiune sau
de compresiune exercitat de către partea de corp icircnlăturată asupra părţii rămase Analog
tensiunea tangenţială 120591 poate avea efect de tăiere forfecare sau alunecare Pentru
componentele tensiunii tangențiale 120591119909119910 pe direcţia 119910 respectiv 120591119909119911 pe direcţia 119911 primul
indice indică axa pe care tensiunea este normală iar cel de-al doilea indice indică axa cu
care aceasta este paralel
Tensiunea este o mărime tensorială valoarea ei depinzacircnd atacirct de poziția
punctului icircn planul secțiunii cicirct și de orientarea planului de secționare deci de normala
Operaţiile vectoriale nu pot fi aplicate tensiunilor decacirct după ce acestea au fost icircnmulţite
cu ariile respective adică au fost transformate icircn forţe
Icircn literatura de specialitate mai ales icircn manualele mai vechi pentru noţiunea de
tensiune se mai foloseşte şi denumirea de efort specific
Dacă se consideră un alt element de arie ∆119860 cu centrul icircn același punct avacircnd ca
normală axa 119910 se vor obține alte tensiuni și anume
- 120590119910 este tensiunea normală (paralelă cu axa y)
- 120591119911119909 și 120591119910119911 sunt tensiuni tangențiale paralele cu axele 119909 și respectiv 119911 aflate icircn
planul care are ca normală axa 119910
Dacă icircn jurul unui punct dintr-un corp solicitat se consider un element de volum
infinit mic de forma unui cub icircn cazul cel mai general pe fețele sale vor acționa
tensiunile normale 120590119909 120590119910 și 120590119911 și respectiv tensiunile tangențiale 120591119909119910 120591119909119911 120591119910119909 120591119910119911 120591119911119909
și respectiv 120591119911119910 figura 33 Aceste tensiuni definesc starea de tensiune a punctului
observacircnd faptul că tensorul tensiune are 9 componente Dacă se consideră elementul
de volum finit ca fiind foarte mic se poate presupune că icircn interiorul său nu apar forțe
Ca urmare el va fi icircn echilibru sub acțiunea forțelor elementare produse de tensiunile de
pe fețele sale
Din condiția ca elementul să nu se rotească icircn jurul unor axe care trec prin centrul
său și sunt paralele cu axele sistemului 119909119874119910119911 rezultă
2 ∙ 120591119909119910 ∙ (119889119910 ∙ 119889119911) ∙119889119909
2= 2 ∙ 120591119910119909 ∙ (119889119909 ∙ 119889119911) ∙
119889119910
2 rArr 120591119909119910 = 120591119910119909 (35)
2 ∙ 120591119910119911 ∙ (119889119909 ∙ 119889119911) ∙119889119910
2= 2 ∙ 120591119911119910 ∙ (119889119909 ∙ 119889119910) ∙
119889119911
2 rArr 120591119910119911 = 120591119911119910 (36)
2 ∙ 120591119909119911 ∙ (119889119910 ∙ 119889119911) ∙119889119909
2= 2 ∙ 120591119911119909 ∙ (119889119909 ∙ 119889119910) ∙
119889119911
2 rArr 120591119909119911 = 120591119911119909 (37)
Relațiile (35divide37) 120591119909119910 = 120591119910119909 120591119910119911 = 120591119911119910 120591119909119911 = 120591119911119909 exprimă principiul dualității
tensiunilor tangențiale
Fig 33 Tensiunile normale și tangențiale pe fețele unui cub
Din condiția ca elementul considerat să nu se deplaseze icircn lungul axelor de
coordonate pe fețele opuse acționează aceleași tensiuni normale 120590119909 120590119910 și respectiv 120590119911
Definirea tensorului tensiune este posibilă dacă se cunosc cele 6 componente
independente ale acestuia aflate icircn trei plane perpendicular ce trec prin punctul respectiv
=
120590119909 120591119909119910 120591119909119911120591119910119909 120590119910 120591119910119911120591119911119909 120591119911119910 120590119911
Observaţii
Tensiunile se măsoară icircn [119873 1198982frasl ] (1119873 1198982frasl = 1 119875119886) sau icircn [119872119875119886]
(1 119872119875119886 = 106119875119886 = 106 119873
1198982 1 119872119875119886 = 1
119873
1198981198982)
Starea de tensiune dintr-un punct este considerată cunoscută dacă se cunosc
tensiunile 119901 care acționează pe infinitatea de elemente de suprafață ce trec prin punctual
considerat
Starea de tensiune a unui corp se consider cunoscută dacă se cunosc stările de
tensiune de pe infinitatea de puncte ale corpului considerat
32 Deplasări Deformaţii specifice
321 Deplasări
Aceste noțiuni sunt utile icircn analiza aspectului geometric al problemelor de rezistența
materialelor Deplasările care se analizează sunt cele datorate schimbării formei și
dimensiunilor corpurilor ca urmare a acțiunii forțelor exterioare și nu cele cinematice
posibile pentru solidul rigid care se poate deplasa cu anumită viteză și accelerație
Spre exemplu icircn figura 34a și figura 34b sub acțiunea forței 119865 tronsonul de
bară AB se deformează icircn timp ce tronsonul BC deși punctele sale au deplasări rămacircne
nedeformat (fiind nesolicitat) Toate punctele de pe axele barelor cu excepția celor din
icircncastrare (secțiunile A) au deplasări liniare De cele mai multe ori deformațiile barelor
datorate acțiunii forțelor exterioare se anulează la icircndepărtarea forțelor se spune că
deformațiile sunt elastice Secțiunile transversale ale barei din figura 34a se și rotesc icircn
raport cu pozițiile lor inițiale Spre exemplu secțiunea de căpăt cu centrul icircn C se rotește
cu unghiul
Fig 34 Deformațiile unei grinzi
Oricacirct de complexă ar fi delormația unui corp ea poate fi descrisă de lungiri sau
scurtări și de modificări ale unghiurilor inițiale
Deplasările măsoară schimbarea poziției unui punct al corpului și pot fi liniare
sau unghiulare
Prin deplasare liniară a unui punct se icircnțelege drumul parcurs de acest punct icircn
decursul procesului de deformație după o dreaptă suport dreapta 1198611198611 din figura 34a
Prin deplasare unghiulară se icircnțelege rotirea dintre segmentele de dreaptă
determinate de două puncte ale corpului icircnainte și după deformarea acestuia unghiul
pe care-l fac segmentele 119861119862 și 11986111198621 din figura 34a Această rotire se măsoară prin
unghiul pe care-l fac proiecțiile dreptelor ce conțin cele două segmente icircntr-un sistem
triortogonal
Icircn cazul cel mai general vectorul deplasare liniară se poate descompune icircntr-un
sistem triortogonal icircn trei componente 119906 119907 și 119908 figura 35
Fig 35 Deplasarea liniară
Se consideră acum un corp solid raportat la un sistem de axe ortogonal 119909119874119910119911
figura 35 după deformarea corpului un punct oarecare 119870 al acestuia se deplasează icircn
poziţia 1198701 vectorul 1198701198701 poartă numele de vectorul deplasării totale
Deplasarea totală este suma deplasărilor pe cele trei direcţii ortogonale iar
aceste deplasări se notează astfel
deplasarea pe direcţia 119909 cu ∥ 119874119909
deplasarea pe direcţia 119910 cu ∥ 119874119910
deplasarea pe direcţia 119911 cu ∥ 119874119911
Componentele deplasărilor și formeză matricea deplasărilor liniare 119906119907119908
322 Deformații
Prin deformație icircn general se icircnțelege orice schimbare de formă a unui corp fără
o evaluare cantitativă Icircn Rezistența Materialelor deformația măsoară variația
dimensiunilor geometrice ale corpului considerat din vecinătatea unui punct analog
deplasărilor deformațiile pot fi liniare și unghiulare (lunecări)
Fig 36 Deplasarea liniară
Deformația liniară ∆119897 reprezintă variația lungimii 119897 a unui element liniar al
corpului deformat figura 36 Deformația liniară specifică se definește ca fiind raportul
dintre deformația liniară și lungimea inițială
휀 =∆119897
119897 (38)
unde ∆119897 este lungirea sau scurtarea care este echivalentă cu deformția liniară totală iar
este alungirea
Deformația unghiulară sau lunecarea unui punct 119860 icircn planul 119861119860119862 se definește
prin relația figura 37
120574 = lim119861119860rarr0119862119860rarr0
(119861119860 minus 119861111986011198621 ) (39)
Fig 36 Deformația unghiulară
Schimbacircnd orientarea planului care trece prin 119860 se obțin alte deformații
unghiulare Dacă elementele liniare 119861119860 și 119862119860 sunt inițial perpendiculare deformația 120574 se
numește deformație unghiulară specifică sau lunecare specifică figura 37
Un exemplu de deplasare unghiulară și de deformație unghiulară este prezentat icircn
figura 38 Unghiul este deplasarea unghiulară și măsoară rotirea relativă dintre două
secțiuni aflate la distanța 119897 Unghiul este deformația specifică unghiulară (lunecarea
specifică) din punctul 119870 Aceste deplasări și deformații se obțin icircn urma solicitării barei
de către cele două momente 1198720 egale și de sens contrar
Fig 38 Deplasarea unghiulară
Pentru a analiza starea de deformație din vecinătatea unui punct al unui corp
solicitat complex se decupează din jurul punctului un element de volum mic figura 39a
avacircnd laturile 119889119909 119889119910 și 119889119911 Ca urmare a solicitării laturile acestuia se vor lungi sau
scurta Reprezentarea elementului deformat icircn spațiu este dificilă pentru simplificare
vom analiza doar deformațiile din planul 119909119874119910 Observăm că dimensiunile 119889119909 și 119889119910 s-au
modificat cu valoarea ∆119889119909 respectiv cu ∆119889119910 analog se acceptă și pentru 119889119911 o modificare
de forma ∆119889119911 Astfel se pot defini deformațiile specifice liniare
휀119909 =∆119889119909
119889119909 휀119910 =
∆119889119910
119889119910 휀119911 =
∆119889119911
119889119911 (310)
De cele mai multe ori aceste deformații specifice liniare se pot exprima procentual
și se mai numesc alungiri
Fig 39 Starea de deformație
Icircn figura 39c se vede că unghiul inițial drept dintre muchiile 119889119909 și 119889119910 ale
elementului de volum s-a modificat Se definește deformația specifică unghiulară (sau
lunecarea specifică) mărimea cu care se modifică unghiul inițial drept
120574119909119910 = 120574119909119910prime + 120574119910119909
prime = 120574119910119909120574119910119911 = 120574119910119911
prime + 120574119911119910prime = 120574119911119910
120574119911119909 = 120574119911119909prime + 120574119909119911
prime = 120574119909119911
(311)
Deformațiile 휀119909 휀119910 휀119911 120574119909119910 120574119910119911 120574119911119909 constituie cele șase componente
independente ale tensorului deformațiilor specifice care pot fi scrise de forma
119863 =
휀119909 120574119909119910 120574119909119911120574119910119909 휀119910 120574119910119911120574119911119909 120574119911119910 휀119911
(312)
323 Contracţia transversală
Practica arată că odată cu lungirea unei bare apare o micşorare a mărimii secţiunii
transversale mărime numită contracţie transversală figura 310
Fig 310 Contracția transversală
Contracţia transversală este proporţională cu lungirea specifică coeficientul de
proporţionalitate se notează cu 120599 şi se numeşte coeficient de contracţie transversală sau
coeficientul lui Poisson
La o lungire specifică a barei contracţia transversală este dată de relația
휀119905119903 = 휀119910 = 휀119911 = minus120599 ∙ 휀119909 (313)
Semnul minus bdquo-rdquo arată că cele două mărimi sunt contrare dacă una creşte cealaltă
scade şi invers
Considerăm o bară cilindrică de lungime 119897 şi aria secţiunii transversale 119860 solicitată
la icircntindere axială La un moment dat datorită solicitării lungimea barei devine
[119897 ∙ (1 + 휀)] diametrul devine [119889 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)] iar aria secţiunii transversale devine
[119860 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)2] Dacă volumul barei icircnainte de solicitare a fost (119860 ∙ 119897) după solicitare
acesta devine
119881 + ∆119881 = 119860 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)2 ∙ 119897 ∙ (1 + 휀) =
= 119860 ∙ 119897 ∙ (1 + 휀 minus 2 ∙ 120599 ∙ 휀 minus 2 ∙ 120599 ∙ 휀2 + 1205992 ∙ 휀2 + 1205992 ∙ 휀3) (314)
Deoarece lungirile sunt foarte mici ultimii trei termeni din paranteză fiind infinit mici se pot neglija obţinacircnd
119881 + ∆119881 = 119860 ∙ 119897 + 119860 ∙ 119897 ∙ 휀 ∙ (1 minus 2 ∙ 120599) ⟺ ∆119881 = 휀 ∙ (1 minus 2 ∙ 120599) ∙ 119860 ∙ 119897 (315)
Practica arătă că o astfel de bară solicitată la icircntindere icircşi măreşte volumul deci
∆119881 gt 0 de unde rezultă că
1 minus 2 ∙ 120599 gt 0 rArr 120599 lt 05 (316)
Pentru majoritatea materialelor 120599 = 033 iar pentru materialele care-şi păstrează
volumul constant 120599 = 05
33 Relaţii de echivalenţă icircntre eforturi şi tensiuni
Considerăm un element de suprafață infinit mic 119889119860 situat pe fața de arie (119860) a
secțiunii barei din figura 311 Icircn centrul de greutate 119862 al secțiunii acționează eforturile
119873 119879119910 119879119911 119872119909 119872119894119910 și 119872119894119911 determinate prin metoda secțiunilor
Icircn raport cu un sistem de axe de referință 119909119862119910119911 coordonatele elementului 119889119860 sunt
- 119910 este ordonata elementului de arie 119889119860
- 119911 este abscisa elementului de arie 119889119860
Pe elementul de arie 119889119860 acționează tensiunile
120590119909 tensiunea normală
120591119909119910 și 120591119909119911 tensiuni tangențiale
Dacă se icircnsumează forțele elementare de tipul 120590119909 ∙ 119889119860 120591119909119910 ∙ 119889119860 și 120591119909119911 ∙ 119889119860
va trebui să obținem eforturile 119873 119879119910 și 119879119911
Fig 311 Element de suprafață mic din secțiunea unei bare
Dacă eforturile sunt privite ca forțe exterioare și se scriu ecuațiile de
echilibru ale secțiunii (119860) se vor obține șase relații de echivalență icircntre eforturi și
tensiuni
(sum119883) = 0 rArr int 120590119909 ∙ 119889119860
119860
= 119873 (317)
(sum119884) = 0 rArr int 120591119909119910 ∙ 119889119860
119860
= 119879119910 (318)
(sum119885) = 0 rArr int 120591119909119911 ∙ 119889119860
119860
= 119879119911 (319)
(sum119872)119909= 0 rArr int(120591119909119911 ∙ 119889119860) ∙ 119910
119860
minus int(120591119909119910 ∙ 119889119860) ∙ 119911
119860
= 119872119909 rArr
rArr int(119910 ∙ 120591119909119911 minus 119911 ∙ 120591119909119910) ∙ 119889119860
119860
= 119872119909
(320)
(sum119872)119910= 0 rArr int(120590119909 ∙ 119889119860) ∙ 119911
119860
= 119872119894119910 (321)
(sum119872)119911= 0 rArr int(120590119909 ∙ 119889119860) ∙ 119910
119860
= 119872119894119911 (322)
Cele șase relații de echivalență icircntre eforturi și tensiuni constituie un pas icircnainte
icircn rezolvarea unei probleme de rezistența materialelor Aceste relații vor permite
determinarea tensiunilor maxime
Pentru a rezolva cele 6 relații de echivalență trebuie să se cunoască tensiunile și
ca funcții de punct adică funcții de forma
120590119909 = 120590119909(119909 119910 119911) 120591119909119910 = 120591119909119910(119909 119910 119911) 120591119909119911 = 120591119909119911(119909 119910 119911) (32
3)
Cunoașterea acestor funcții presupune icircnsă analizarea aspectului geometric al
problemei precum și utilizarea unor ipoteze simplificatoare care să permită simplificarea
problemelor
34 Ipoteze de bază icircn rezistenţa materialelor
Depășirea dificultăților legate de interpretarea unor fenomene specifice mecanicii
solidului deformabil a impus acceptarea unor ipoteze care să simplifice fenomenele și să
contribuie la elaborarea unor modele de calcul cicirct mai generale și cacirct mai simple Aceste
ipoteze se referă la structura materialelor şi la comportarea lor sub acţiunea forţelor
exterioare Ipotezele acceptate trebuie să fie icircn deplină concordanţă cu realitatea și să
conducă la rezultate verificate icircn practică
Funcție de aspectele la care se referă ipotezele pot fi
Ipoteze fizice (de material)
Ipoteze de calcul
341 Ipoteze fizice
Se acceptă deoarece teoriile structurale au condus la rezultate care contravin
icircncercărilor experimentale
Ipoteza mediului continuu consideră că orice domeniu elementar al corpului
este ocupat de materie adică nu se acceptă existența unor goluri sau a unor crăpături
microscopice (fisuri) Deși nu corespunde realităţii poate fi acceptată deoarece
dimensiunile corpului sunt mult mai mari decacirct dimensiunile particulelor elemantare Are
avantajul că permite utilizarea proprietăților matematice ale funcțiilor continue pentru
tensiunile și deformațiile din orice punct al corpului Ea este mai apropiată de realitate la
corpurile amorfe şi mai depărtată la cele cristaline dar conduce la rezultate satisfăcătoare
icircn calculele de rezistenţă
Ipoteza nu se poate aplica la corpurile care au goluri tăieturi (multiplu conexe)
pentru unele puncte singulare icircn care tensiunile și deformațiile tind la infinit sau icircn unele
probleme de plasticitate icircn care proprietățile de material au un rol esențial
Ipoteza izotropiei conform acestei ipoteze materialul din care este confecționat
un element de rezistență are aceleași proprietăți după orice direcție un astfel de material
este considerat izotrop Din punct de vedere macroscopic metalele pot fi considerate
izotrope deși la nivel microscopic proprietățile lor diferă de la o direcție cristalografică
la alta Orice conglomerat de cristale poate fi considerat izotrop
Există cazuri cacircnd această ipoteză a izotropiei nu se acceptă
la metalele puternic deformate după o direcție (prin laminare trefilare)
la piesele confecționate din lemn lemnul este anizotrop deoarece proprietățile sale
diferă după două direcții (icircn lungul fibrelor și perpendicular pe această direcție)
Ipoteza omogenității consideră că un corp are aceleași proprietăți icircn orice
punct al său Deși majoritatea materialelor utilizate icircn tehnică sunt eterogene la scară
micro fiind constituite din mai multe faze cu proprietăți diferite la scară macro ele pot
fi considerate omogene Omogenitatea și izotropia sunt proprietăți statistice medii care
nu se condiționează una pe cealaltă Chiar și materialele monofazice pot avea la scară
micro unele segregații care le fac eterogene
Ipoteza elasticităţii perfecte presupune că atacircta timp cacirct solicitările nu
depăşesc anumite limite materialul are o comportare elastică adică icircşi recapătă forma şi
dimensiunile iniţiale odată cu icircnlăturarea sarcinilor Icircn realitate materialele nu prezintă o
elasticitate perfectă ele avacircnd deformaţii remanente mici care icircnsă pot fi neglijate icircn
calculele de rezistenţă
Acceptarea acestei ipoteze a elasticității perfecte permite
- aplicarea relației biunivoce icircntre tensiuni și deformații relație exprimată de legea
lui Hooke ( = 119864 ∙ 휀) unde E este un factor de proporţionalitate numit modul de
elasticitate longitudinal al materialului pentru oţel 119864 = 21 ∙ 105 [119872119875119886] - acceptarea valabilității afirmației bdquolucrul mecanic efectuat de forțele exterioare
ca urmare a parcurgerii deplasărilor punctelor de aplicație se icircnmagazinează integral icircn
corp sub formă de energie de deformație energie cedată la icircndepărtarea sarcinilorrdquo
- este valabilă teoria conform căreia bdquoenergia icircnmagazinată și deformațiile depind
doar de starea inițială și finală de eforturi fără a ține cont de modul icircn care s-a ajuns la
starea finalărdquo
Icircn realitate oricacirct de mici ar fi sarcinile aplicate se produc și deformații plastice
dar acestea pot fi neglijate dacă solicitarea nu depășește anumite limite
342 Ipoteze de calcul
Ipoteza micilor deplasări bdquodeplasările datorate deformării sunt mult mai mici
decacirct dimensiunile corpurilor și ca urmare pot fi neglijate produsele dintre o deplasare și
ea icircnsăşirdquo Pentru cele mai multe corpuri deformaţiile elastice sunt de mărimi mici deci
corpurile solide sub acţiunea sarcinilor icircşi modifică foarte puţin forma iniţială Această
ipoteză este cunoscută şi sub denumirea de ipoteza menţinerii dimensiunilor iniţiale Ea
permite scrierea ecuaţiilor de echilibru ale staticii pe starea nedeformată a elementului
cacircnd nu se iau icircn considerare deplasările punctelor de aplicaţie ale forţelor care se produc
ca urmare a deformării acestuia Calculul efectuat pe schema nedeformată poartă numele
de calcul de ordinul I
Ipoteza micilor deplasări nu poate fi acceptată pentru studiul problemelor de
stabilitate sau la problemele la care nu pot fi icircndeplinite condiţiile de echilibru icircn starea
nedeformată
Calculul de ordinul II admite ipoteza micilor deplasări dar ecuaţiile de echilibru
se scriu icircnsă pentru starea deformată a elementului de rezistenţă
Calculul de ordinul III nu mai acceptă ipoteza micilor deplasări el referindu-se
la cazul deformaţiilor mari cacircnd ecuaţiile de echilibru trebuie scrise pentru starea
deformată
Chiar dacă materialul satisface legea lui Hooke icircn urma calculelor de ordinul II
se obţin de obicei relaţii neliniare icircntre sarcini şi deplasări iar pentru calculul de ordinul
III rezultă ecuaţii diferenţiale neliniare
Principiul efectului local al acțiunii sarcinilor enunțat de Barre de Saint-
Venant Acest principiu destul de folosit icircn Rezistenţa Materialelor precizează că dacă
se icircnlocuiesc forţele care acţionează asupra unui element de suprafață al unui corp
elastic printr-un alt sistem de forţe echivalent din punct de vedere static cu primul noua
distribuţie a forţelor produce la locul de aplicare diferenţe semnificative faţă de prima
dar rămacircne fără efect sau cu efect neglijabil la distanţe mari de locul de aplicare al
forţelor figura 312
Ca o cosecință o sarcină uniform distribuită figura 312a poate fi icircnlocuită cu
rezultanta ei figura 312b dacă se analizează efectul sarcinii la distanță mare de locul icircn
care se aplică sarcina
Fig 312 Principiul Saint-Venant
Icircn prima variantă figura 312a forţa 119865 se aplică pe o porțiune oarecare 119897 (sarcină
uniform distribuită) iar icircn a doua figura 312b icircntru-un punct (forţă concentrată) La
locul de aplicare a sarcinii efectul asupra barei este cu totul diferit de la o variantă la
cealaltă Icircnsă la o distanţă mare de punctul de aplicaţie spre exemplu icircn secţiunea situată
la distanţa 119886 de capătul barei sau chiar icircn icircncastrare ambele bare sunt solicitate la fel
Icircn cazul din figura 312a
119872119894(119909) =119901 ∙ 1199092
2 119909 le 119897 119872119894(119909) = 119901 ∙ 119897 ∙ (119909 minus
119897
2) 119909 gt 119897 (324)
Icircn cazul din figura 312b
119872119894(119909) = 0 119909 lt119897
2 119872119894(119909) = 119901 ∙ 119897 ∙ (119909 minus
119897
2) 119909 gt
119897
2 (325)
Se vede că pentru (119909 gt 119897) adică după depășirea locului icircn care se aplică sarcina
efectul este același
Ipoteza lui Bernoulli sau ipoteza secţiunilor plane precizează că o secţiune
plană şi normală pe axa barei icircnainte de deformare rămacircne plană şi normală pe axa
barei şi după deformare figura 313
Fig 313 Ipoteza lui Bernoulli
Ipoteza stării naturale a corpului sau ipoteza absenţei tensiunilor conform
căreia pentru un corp nesolicitat starea de tensiune şi deformaţie este nulă
Perfecţionarea mijloacelor de calcul şi de investigare pot conduce la renunţarea la
unele ipoteze sau la introducerea altora noi mai aproape de stările reale De aici rezultă
caracterul de continuă perfecţionare a metodelor Rezistenţei Materialelor
35 Coeficienţi de siguranţă Tensiuni admisibile
O piesă corespunde din punct de vedere tehnic dacă tensiunile care iau naştere icircn
interiorul piesei datorită sarcinilor aplicate nu depăşesc anumite valori limită stabilite
convenţional Aceste valori limită ale tensiunii sunt corelate cu caracteristicile mecanice
ale materialelor
Tensiunea limită utilizată icircn calculele de rezistenţă este cunoscută sub denumirea
de tensiune admisibilă sau rezistenţă admisibilă Rezistenţa admisibilă reprezintă
valoarea convenţională aleasă icircn calcul pe baza practicii pentru tensiunea maximă care
poate apare icircntr-o piesă icircn condiţii date de material şi solicitare
Rezistenţa admisibilă (120590119886 sau 120591119886) poate fi definită faţă de o stare limită
periculoasă stare care trebuie evitată deoarece poate conduce distrugere
120590119886 =120590119897119894119898119888
(326)
unde
120590119897119894119898 este tensiunea corespunzătoare stării limită periculoase
119888 estesupraunitar 119888 gt 1 și reprezintă coeficientul de siguranţă faţă de starea limită
periculoasă considerată
Alegerea unor valori inferioare pentru rezistenţa admisibilă faţă de tensiunea
corespunzătoare stării limită periculoase este necesară deoarece
cunoaşterea sarcinilor este de cele mai multe ori aproximativă şi o depăşire a
acestora este foarte posibilă
caracteristicile mecanice ale materialelor variază icircn limite destul de mari ele
fiind influenţate de mulţi factori
schema aleasă pentru calcul (aplicarea sarcinilor schematizarea structurii
ipotezele de calcul etc) depărtează modelul faţă de cel real
Pentru calculele de verificare tensiunea efectivă maximă din elementul de
rezistenţă trebuie să fie mai mică sau cel mult egală cu cea admisibilă
120590119890119891119898119886119909 le 120590119886 (327)
Valoarea rezistenţei admisibile este influenţată de foarte mulţi factori natura
materialului tratamentele termice aplicate piesei durata de funcţionare a piesei modul
de acţionare icircn timp a sarcinilor felul solicitării temperatura gradul de periculozitate
icircn cazul cedării piesei etc
De asemenea valoarea coeficientului de siguranţă se alege icircn principal ţinacircnd
seama de aceiaşi factori care influenţează şi rezistenţa admisibilă
Rezistenţele admisibile pentru cacircteva materiale sunt următoarele
pentru oțelul de uz general OL37 solicitat la icircntindere compresiune sau
icircncovoiere 120590119886 = 150 [119872119875119886] pentru lemnul de brad solicitat la
- compresiune icircn lungul fibrelor şi solicitat la icircncovoiere 120590119886 = 10 [119872119875119886] - tracţiune icircn lungul fibrelor 120590119886 = 7 [119872119875119886] - compresiune perpendiculară pe fibre 120590119886 = 15 [119872119875119886] - forfecare icircn lungul fibrelor 120591119886 = 2 [119872119875119886] - forfecare perpendiculară pe fibre 120590119886 = 45 [119872119875119886]
terenuri de fundaţie din pămacircnt uscat sau umed 120590119886 = 020 divide 025 [119872119875119886]
4 CARACTERISTICI GEOMETRICE ALE SECȚIUNILOR PLANE
41 Noţiuni introductive
Icircn relaţiile de calcul ale tensiunilor şi deformaţiilor elementelor de rezistenţă
pentru unele solicitări (icircncovoierea și torsiunea) secțiunile plane intervin atacirct prin
dimensiunile lor (aria 119860) cicirct și prin forma și poziția pe care o are secțiunea icircn raport cu
planul solicitării Mărimile care caracterizează o secțiune icircn raport cu forma și poziția față
de axele unui sistem de referință sunt denumite caracteristici geometrice de ordin
superior Aria secțiunii este caracteristica geometrică ce depinde doar de dimensiunile
geometrice ale acesteia
Să considerăm o grindă solicitată de o forță exterioară 119865 aşezată icircn două poziții icircn
raport cu planul forţei figura 41 Icircn urma aplicării forței deși avem aceeași grindă
(aceeași arie a secțiunii transversale) și aceeași forță se constată că pentru varianta din
figura 41a deformațiile sunt mult mai mari adică rezistența la icircncovoiere a grinzii din
figura 41a este mai mare decacirct icircn cazul grinzii din figura 41b Comportarea diferită se
explică prin aceea că modificarea poziţiei secţiunii transversale faţă de planul forţelor
modifică caracteristicile geometrice ale secţiunii transversale a grinzii
Fig 41 Grindă solicitată de forța 119865
Pentru realizarea calculelor de rezistenţă şi rigiditate este foarte importantă
cunoaşterea caracteristicilor geometrice ale suprafeţei secţiunii transversale a elementelor
de rezistenţă
Caracteristicile geometrice ale secţiunii transversale a unui element de rezistenţă
sunt
- aria secțiunii notată cu 119860
- momentul static icircn raport cu o axă notat 119878119911 și respectiv 119878119910
- momentul de inerție care poate fi
axial notat 119868119911 și respectiv 119868119910
centrifugal notat 119868119911119910
polar notat 119868119901
- raza de inerţie (giraţie)notată 119894119911 și respectiv 119894119910
- modulul de rezistență care poate fi
axial notat 119882119911 și respectiv 119882119910
polar notat 119882119901
42 Aria și momentul static al suprafețelor plane
Fie o suprafaţă plană de arie 119860 pe care se ia un element infinit mic de arie 119889119860 şi
un sistem de axe rectangulare 119911119874119910 figura 42 Notăm cu 119862 centrul de greutate al suprafeţei
119860 Poziţia suprafeţei elementare 119889119860 faţă de acelaşi sistem de coordonate 119911119874119910 este dată
de abscisa 119911 ordonata 119910 și raza polară
Fig 42 Suprafață plană de arie 119860
Aria suprafeţei 119860 figura 42 se defineşte ca fiind
119860 ≝ int 119889119860
119860
(41)
Aria suprafeţei este icircntotdeauna pozitivă și se măsoară icircn [1198981198982] Momentul static al suprafeţei de arie 119860 icircn raport cu axele 119874119911 și respectiv 119874119910
figura 42 sunt date de relaţiile
119878119911 ≝ int 119910 ∙ 119889119860
119860
119878119910 ≝ int 119911 ∙ 119889119860
119860
(42)
Momentul static poate fi pozitiv negativ sau nul şi se măsoară icircn [1198981198983] Coordonatele centrului de greutate ale suprafeței 119860 se detrmină cu relațiile
119910119862 ≝int 119910 ∙ 119889119860119860
119860 119911119862 ≝
int 119911 ∙ 119889119860119860
119860
(43)
Cunoscacircnd coordonatele 119910119862 și 119911119862 ale centrului de greutate 119862 al secțiunii 119860 atunci
momentele statice se pot determina cu relațiile
119878119911 ≝ int 119910 ∙ 119889119860
119860
= 119910119862 ∙ 119889119860 119878119910 ≝ int 119911 ∙ 119889119860
119860
= 119911119862 ∙ 119889119860 (44)
Aceste relații arată că momentul static al unei suprafețe icircn raport cu o axă este
egal cu produsul dintre aria suprafeței și distanța de la centrul ariei la axa respectivă
Dacă suprafaţa se poate descompune icircn 119899 suprafeţe simple la care se cunosc ariile
(1198601 1198602 ⋯ 119860119894⋯ 119860119899) și poziţiile centrelor de greutate 119862119894 faţă de sistemul de referinţă
expresiile momentelor statice capătă următoarea formă
119878119911 = sum 119910119862119894 ∙ 119860119894119899119894=1 = 119910119862 ∙ 119860 119878119910 = sum 119911119862119894 ∙ 119860119894
119899119894=1 = 119911119862 ∙ 119860 (45)
Din relaţiile (45) rezultă că poziţia centrului de greutate 119862 al unei suprafeţe
compuse poate fi determinată cu relaţiile
119910119862 = (sum119910119862119894 ∙ 119860119894
119899
119894=1
) 119860frasl 119911119862 = (sum119911119862119894 ∙ 119860119894
119899
119894=1
) 119860frasl (46)
Icircn relația (45) 119910119862119894 și respectiv 119911119862119894 reprezintă coordonatele centrelor de greutate 119862119894
ale fiecărei suprafețe simple 119860119894 icircn raport sistemul de axe 119911119874119910
Se constată (relaţia 42) că dacă axele sistemului de referinţă trec prin centrul de
greutate (119910119862 = 119911119862 = 0) momentele statice sunt nule Axele icircn raport cu care momentele
statice sunt nule şi care trec prin centrul de greutate al suprafeţei se numesc axe centrale
Observație dacă secțiunea compusă are o axă de simetrie centrul secțiunii se
găsește pe acea axă iar dacă secțiunea este dublu simetrică poziția centrului secțiunii este
la intersecția axelor de simetrie
43 Momente de inerţie
Momentele de inerţie axiale ale unei suprafețe se calculează icircn raport cu axele de
coordonate 119874119911 și respectiv 119874119910 figura 42 și se determină cu relațiile
119868119911 ≝ int 1199102 ∙ 119889119860
119860
119868119910 ≝ int 1199112 ∙ 119889119860
119860
(47)
Unde 119910 și 119911 sunt distanțele de la elementul de arie 119889119860 la cele două axe de
coordonate 119874119911 și respectiv 119874119910
Momentele de inerţie axiale se măsoară icircn [1198981198984] şi sunt icircntotdeauna pozitive (aria
119889119860 este icircntotdeauna pozitivă și este multiplicată cu patratul distanței 1199102 dacă 119868119911 sau 119868119910
sunt nule icircnseamnă ca secțiunea nu există)
Momentele de inerție axiale se calculează icircndeosebi pentru axele centrale (care
trec prin centrul secțiunii) deoarece icircn raport cu acele axe 119868119911 și 119868119910 au valori minime
Momentul de inerţie centrifugal calculat faţă ambele axe ale sistemului de
referinţă 119911119874119910 este definit de relația
119868119911119910 ≝ int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860
(48)
Momentul de inerţie centrifugal se măsoară icircn [1198981198984] şi poate fi pozitiv negativ
sau nul
Momentul de ineție centrifugal este nul 119868119911119910 = 0 dacă cel puțin una din axele 119874119911
sau 119874119910 este axă de simetrie pentru secțiune
Se consideră o suprafaţă dreptunghiulară pe care faţă de axa de simetrie 119874119910 se iau
două suprafeţe elementare de arie 119889119860 simetrice faţă de axa 119874119910 figura 43
Fig 43 Suprafață dreptunghiulară cu două arii elementare 119889119860
Făcacircnd suma momentelor de inerţie centrifugale pentru cele două suprafeţe
elementare 119889119860 (din stacircnga şi din dreapta faţă de axa 119874119910) se obţine
int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860119889119903
+ int (minus119911) ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860119904119905119892
= int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860119889119903
minus int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860119904119905119892
= 0 (49)
Acelaşi raţionament se poate face și pentru icircntreaga suprafaţă de unde obținem că
momentul de inerție centrifugal este nul 119868119911119910 = 0 Deci pentru o suprafaţă plană care
are cel puţin o axă de simetrie momentul de inerţie centrifugal faţă de sistemul care
conţine acea axă de simetrie este nul
Momentul de inerţie polar al unei suprafeţei icircn raport cu un punct (pol) 119874 figura
42 este definit prin relaţia
1198680 = 119868119901 ≝ int 1205882 ∙ 119889119860
119860
= int(1199102 + 1199112) ∙ 119889119860
119860
= 119868119911 + 119868119910 (410)
unde este distanţa de la polul 119874 la elementul de arie 119889119860 Momentul de inerţie polar se
măsoară icircn [1198981198984] şi este totdeauna pozitiv
Momentul de inerţie polar este egal cu suma momentelor de inerţie faţă de două axe
perpendiculare oarecare şi care trec prin polul considerat
Razele de giraţie sau razele de inerţie sunt mărimi calculate icircn raport cu axele
secțiunii și definite de relaţiile
119894119911 ≝ radic119868119911119860 119894119910 = radic
119868119910
119860 (411)
Se exprimă icircn [119898119898] şi sunt icircntotdeauna pozitive Semnificația unei raze de inerție
este distanța la care dacă ar fi concentrată icircntreaga arie s-ar obține același moment de
inerție ca și cel calculat pentru aria reală
44 Modulul de rezistenţă
Modulul de rezistență se calculează icircn raport cu axele de referință sau icircn raport cu
un pol figura 42 și pot fi axiale (119882119911119882119910) sau polar (119882119901) și se determină numai pe baza
momentelor de inerţie cu relațiile figura 43
119882119911119898119894119899 ≝119868119911119910119898119886119909
119882119911119898119886119909 ≝119868119911119910119898119894119899
(412)
119882119910119898119894119899 ≝119868119910
119911119898119886119909 119882119910119898119886119909 ≝
119868119910
119911119898119894119899 (413)
119882119901 ≝119868119901
120588119898119886119909 (414)
unde
119910119898119886119909 119910119898119894119899 reprezintă distanţa de la axa 119874119911 la punctele extreme cele mai
depărtate respectiv cele mai apropiate ale suprafeţei de această axă
119911119898119886119909 119911119898119894119899 reprezintă distanţa de la axa 119874119910 la punctele extreme cele mai
depărtate respectiv cele mai apropiate ale suprafeţei de această axă
120588119898119886119909 reprezintă distanța maximă de la polul 119874 la punctul secțiunii cel mai
icircndepărtat de acesta
Fig 43 Suprafață dreptunghiulară cu două arii elementare 119889119860
Modulele de rezistenţă se exprimă icircn [1198981198983] şi sunt icircntotdeauna pozitive
Explicația este aceea că momentele de inerție care intră icircn relațiile de definiție sunt
pozitive iar distanțele la punctele extreme sunt pozitive (119910119898119886119909 119910119898119894119899 119911119898119886119909 119911119898119894119899 120588119898119886119909 se
iau icircn valoare absolută)
Icircn cazul suprafeţelor compuse modulul de rezistenţă nu se obţine prin icircnsumarea
algebrică a modulelor de rezistenţă ale suprafeţelor simple componente ci numai prin
intermediul momentului de inerţie axial calculat pentru icircntreaga secțiune
Ca și momentele de inerție modulele de rezistență se calculează numai pentru
sistemele de axe centrale
45 Momente de inerţie şi module de rezistenţă pentru suprafeţe simple
451 Secțiune dreptunghiulară
Fie suprafaţa dreptunghiulară din figura 44 de icircnălțime ℎ și lățime 119887 pe care se
consideră suprafaţă elementară de arie 119889119860 = 119887119889119910 la distanța 119910 de axa 119862119911 sistemul de
axe 119911119862119910 trece prin centrul secțiunii iar axele sunt axe de simetrie pentru dreptunghi
Fig 44 Suprafață dreptunghiulară
Pe baza relațiilor de definiți a momentului de inerție 119868119911 se obține
119868119911 ≝ int 1199102 ∙ 119889119860
119860
= int 1199102 ∙ 119887 ∙ 119889119910 = 2int 1199102 ∙ 119887 ∙ 119889119910 = 2 ∙ 119887 ∙1199103
3|ℎ 2frasl
0rArr
ℎ 2frasl
0
ℎ 2frasl
minusℎ 2frasl
rArr 119868119911 =119887 ∙ ℎ3
12
(415)
Analog pentru un element de arie 119889119860 = ℎ ∙ 119889119911 paralel cu axa 119862119910 situat la distanța
119911 de axa 119862119910
119868119910 ≝ int 1199112 ∙ 119889119860
119860
= int 1199112 ∙ ℎ ∙ 119889119911 = 2int 1199112 ∙ ℎ ∙ 119889119910 = 2 ∙ ℎ ∙1199113
3|119887 2frasl
0rArr
119887 2frasl
0
119887 2frasl
minus119887 2frasl
rArr 119868119910 =1198873 ∙ ℎ
12
(416)
Deoarece axele 119862119911 și 119862119910 sunt axe de simetrie momentul de inerție centrifugal este
119868119911119910 = 0 (417)
Pentru un pătrat avacircnd laturile egale (ℎ = 119887 = 119886) momentele de inerţie faţă de
axele centrale au expresia
119868119911 = 119868119910 =1198864
12 (418)
Modulele de rezistență axiale se calculează cu relațiile de definiție ținacircnd cont că
distanțele pacircnă la fibrele extreme sunt
119910119898119886119909 = 119910119898119894119899 =ℎ
2 119911119898119886119909 = 119911119898119894119899 =
119887
2 (419)
Obținem
119882119911119898119894119899 = 119882119911119898119886119909 =119868119911
119910119898119886119909119898119894119899=119887 ∙ ℎ3
12frasl
ℎ2frasl
=119887 ∙ ℎ2
6
119882119910119898119894119899 = 119882119910119898119886119909 =119868119910
119911119898119886119909119898119894119899=1198873 ∙ ℎ
12frasl
1198872frasl
=1198872 ∙ ℎ
6
(420)
452 Suprafaţă circulară
Din motive de simetrie pentru suprafeţele circulare momentele de inerţie faţă de
orice diametru (care reprezintă şi axe centrale) sunt aceleaşi
Considerăm o secțiune circulară plină cu diametrul 119889 și centrul de greutate 119862 Prin
centrul de greutate 119862 trece sistemul de axe ortogonal 119911119862119910 figura 45
Fig 45 Suprafață circulară
La distanța de centrul de greutate 119862 vom lua un element de suprafață mic de arie
(119889119860) de forma unui inel de grosime 119889 Elementul de arie 119889119860 are expresia
119889119860 = (2 ∙ 120587 ∙ 120588) ∙ (119889120588)
Pornind de la relația de definiție a momentului de inerție polar obținem
119868119901 ≝ int 1205882 ∙ 119889119860
119860
= int 1205882 ∙ (2 ∙ 120587 ∙ 120588) ∙ 119889120588
119903=119889 2frasl
0
= 2 ∙ 120587 ∙1205884
4|119889 2frasl0 rArr
rArr 119868119901 =120587 ∙ 1198894
32
(421)
Secțiunea este perfect simetrică deci sunt valabile relațiile
119868119911 = 119868119910 rArr 119868119901 = 119868119911 + 119868119910 = 2 ∙ 119868119911 = 2 ∙ 119868119910 =119868119901
2=120587 ∙ 1198894
64 (422)
Și modulele de rezistenţă faţă de orice diametru sunt egale şi se calculează cu
relaţiile
119882119911 = 119882119910 =1198681199111198892frasl=120587 ∙ 1198893
32 (423)
Modulul de rezistenţă polar este
119882119901 =1198681199011198892frasl=120587 ∙ 1198893
16 (424)
453 Secţiune inelară
Calculul momentelor de inerţie axiale pentru o secţiune inelară avacircnd diametrul
interior 119889 şi diametrul exterior 119863 se determină analog pentru suprafaţa circulară plină cu
observaţia că integrala pentru calculul momentului de inerție polar 119868119901 se face icircntre
limitele 119903 = 119889 2frasl şi R= 1198632frasl (icircntre raza interioară 119903 şi raza exterioară 119877) figura 46
Se obţin relaţiile
119868119901 =120587 ∙ 1198634
32∙ [1 minus (
119889
119863)4
] =120587 ∙ 1198634
32∙ (1 minus 1198964) (425)
119868119910 = 119868119910 =120587 ∙ 1198634
64∙ [1 minus (
119889
119863)4
] =120587 ∙ 1198633
64∙ (1 minus 1198964) (426)
Fig 46 Secțiune inelară
119882119901 =120587 ∙ 1198633
16∙ [1 minus (
119889
119863)4
] =120587 ∙ 1198633
16∙ (1 minus 1198964) (427)
119882119911 = 119882119910 =120587 ∙ 1198633
32∙ [1 minus (
119889
119863)4
] =120587 ∙ 1198633
32∙ (1 minus 1198964) (428)
unde 119896 = 119889119863frasl
46 Variaţia momentelor de inerţie faţă de axe paralele
( Relațiile lui STEINER)
Se consideră o suprafaţă oarecare de arie 119860 cu elementul de arie 119889119860 și un sistemul
de axe central 119911119862119910 faţă de care se cunosc momentele de inerţie 119868119911 119868119910 119868119911119910 şi considerăm
un sistem de axe 11991111198741199101 paralele cu sistemul central figura 47 Se pune problema
determinării momentele de inerţie 1198681199111 1198681199101 11986811991111199101 faţă de sistemul de axe paralel cu sistemul
central 11991111198741199101 axe aflate la distanţele 119910119862 = 119888 respectiv 119911119862 = 119889 de acesta
461 Momente de inerţie axiale
Pe baza relaţiilor de definire şi a notaţiilor din figura 42 pentru momentele de
inerţie faţă de axele 1198741199111 1198741199101 se poate scrie
1198681199111 = int 11991012 ∙ 119889119860
119860
= int(119910 + 119888)2 ∙ 119889119860
119860
= int 1199102 ∙ 119889119860
119860
+ 2 ∙ 119888 ∙ int 119910 ∙ 119889119860
119860
+
+1198882int 119889119860
119860
rArr 1198681199111 = 119868119911 + 2 ∙ 119888 ∙ 119878119911 + 1198882 ∙ 119860 hArr 1198681199111 = 119868119911 + 119888
2 ∙ 119860
(429)
Fig 47 Variaţia momentelor de inerţie față de axe paralele
S-a ajuns la relația (429) deoarece momentul static 119878119911 este nul deoarece axa 119862119885
este axă centrală
Pentru momentul de inerție axial icircn raport cu axa 1198741199101 se obține
1198681199101 = int 11991112 ∙ 119889119860
119860
= int(119911 + 119889)2 ∙ 119889119860
119860
= int 1199112 ∙ 119889119860
119860
+ 2 ∙ 119889 ∙ int 119911 ∙ 119889119860
119860
+
+1198892 ∙ int 119889119860
119860
rArr 1198681199101 = 119868119910 + 2 ∙ 119889 ∙ 119878119910 + 1198892 ∙ 119860 hArr 1198681199101 = 119868119910 + 119889
2 ∙ 119860
(430)
Pentru momentul de inerție centrifugal obținem
11986811991111199101 = int 1199101 ∙ 1199111 ∙ 119889119860
119860
= int(119910 + 119888) ∙ (119911 + 119889) ∙ 119889119860
119860
= int 119910 ∙ 119911 ∙ 119889119860 +
119860
+119888 ∙ int 119911 ∙ 119889119860
119860
+ 119889 ∙ int 119910 ∙ 119889119860
119860
rArr 11986811991111199101 = 119868119911119910 + 119888 ∙ 119889 ∙ 119860
(431)
Deoarece
int 119911 ∙ 119889119860
119860
= 119878119910 = 0 int 119910 ∙ 119889119860
119860
= 119878119911 = 0 int 119910 ∙ 119911 ∙ 119889119860
119860
= 119868119911119910
Relaţiile (429) şi (430) arată că momentul de inerţie faţă de o axă oarecare
este egal cu momentul de inerţie faţă de o axă paralelă cu ea trecacircnd prin centrul de
greutate la care se adaugă produsul dintre aria suprafeţei şi pătratul distanţei dintre
cele două axe
Din relaţiile (429) și (430) rezultă de asemenea că momentul de inerţie faţă de o
axă centrală (care trece prin centrul de greutate) este cel mai mic dintre infinitatea de
momente de inerţie obținute faţă de alte axe paralele cu ea
Relaţia (431) arată de asemenea că momentul de inerţie centrifugal faţă de un
sistem de axe oarecare este egal cu momentul de inerţie centrifugal faţă de un sistem
paralele cu el trecacircnd prin centrul de greutate a suprafeţei la care se adaugă produsul
dintre aria suprafeţei şi distanţele dintre axele sistemelor respective
Icircn literatura de specialitate relaţiile (429) (430) şi (431) sunt cunoscute sub
numele de relaţiile lui Steiner
47 Variaţia momentrlor de inerţie faţă de axe rotite
Direcţii principale şi momente de inerţie principale
Fie suprafaţa plană din figura 48 de arie 119860 pe care considerăm o suprafaţă
elementară de arie 119889119860 Pentru sistemul de axe 119911119874119910 se cunosc momentele de inerţie
119868119911 119868119910 119868119911119910 şi vom determina relaţiile de calcul pentru momentele de inerţie afererent unui
sistem de axe 11991111198741199101 rotit cu un unghi faţă de sistemul central
Faţă de sistemul de axe 11991111198741199101 elementul de arie 119889119860 are coordonatele
1199101 = 119875119877 = 119875119876 minus 119877119876 = 119910 ∙ cos 120572 minus 119911 ∙ sin 120572
1199111 = 119873119872 = 119873119875 minus 119875119872 = 119911 ∙ cos 120572 + 119910 ∙ sin 120572 (432)
Fig 47 Variaţia momentelor de inerţie față de axe rotite
Pe baza relaţiilor de calcul ale momentelor de inerţie şi a notaţiilor din figura 42
şi ale relaţiilor (432) momentele de inerţie faţă de sistemul de axe rotit 11991111198741199101 sunt
1198681199111 =119868119911 + 119868119910
2+119868119911 minus 119868119910
2∙ cos 2120572 minus 119868119911119910 ∙ sin 2120572 (433)
1198681199101 =119868119911 + 119868119910
2minus119868119911 minus 119868119910
2∙ cos 2120572 + 119868119911119910 ∙ sin 2120572 (434)
11986811991111199101 =119868119911 minus 119868119910
2∙ sin 2120572 + 119868119911119910 ∙ cos 2120572 (435)
Din relaţiile 433divide435 se observă că icircntre momentele de inerţie axiale şi cele
polare există relaţia
1198681199111 + 1198681199101 = 119868119911 + 119868119910 = 119868119901 (436)
adică suma momentelor de inerţie axiale icircn raport cu orice pereche de axe ortogonale
care trec printr-un pol dat este o constantă şi egală cu momentul de inerţie polar
Prin rotirea sistemului de axe din relaţiile 433divide435 rezultă că momentele de inerţie
variază icircnsă suma lor rămacircne constantă deci există o poziţie a sistemului de axe pentru
care momentele de inerţie au valori extreme maxim respectiv minim
471 Direcţii principale de inerţie
Valoarea unghiului 120572 pentru care momentele de inerţie axiale au valori extreme
este
1205721 =1
2∙ 119886119903119888119905119886119899 (minus
2 ∙ 119868119911119910
119868119911 minus 119868119910) (437)
Poziţia celeilalte direcţii este perpendiculară pe cea dată de unghiul 1205721
Din relaţia (437) se constată că faţă de aceste direcţii rotite pentru care momentele
de inerţie axiale prezintă valori extreme momentul de inerţie centrifugal 11986811991111199101este nul
Atunci se poate afirma că momentele de inerţie axiale au valori extreme icircn raport cu
direcţiile faţă de care momentul de inerţie centrifugal este nul Aceste direcţii se numesc
direcţii principale iar momentele de inerţie faţă de aceste direcţii poartă numele de
momente de inerţie principale
Icircn calculele de rezistenţă interesează icircn mod special poziţia direcţiilor principale
care trec prin centrul de greutate al suprafeţei aşa numitele direcţii principale centrale şi
evident momentele de inerţie principale centrale
Direcţiile principale de inerţie se notează cu 1 respectiv 2 Axa principală 1
corespunde direcţiei faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea maximă iar
axa principală 2 pentru direcţia faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea
minimă
472 Momente de inerţie principale
Momentele de inerţie principale se notează cu litera 119868 la care se pune indicele 1
sau 2 după cum valoarea acestuia este maximă sau minimă deci avem un moment de
inerţie principal 1 (notat 1198681) respectiv moment de inerţie principal 2 (notat 1198682)
Expresiile pentru momentele de inerţie principale sunt
11986812 =119868119911 + 119868119910
2plusmn1
2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)
2+ 4 ∙ (119868119911119910)
2 (438)
Dacă momentul de inerţie centrifugal este negativ (119868119911119910 lt 0) direcţia principală
care trece prin primul cadran (definit de sistemul 119911119862119910) este direcţia principală 120783
Pentru suprafeţele cu cel puţin o axă de simetrie direcţiile centrale 119862119911 119862119910 sunt şi
direcții principale de inerţie și evident momentele de inerţie axiale 119868119911 119868119910 sunt momente
de inerţie principale
48 Caracteristici mecanice ale metalelor
Alegerea materialului pentru confecţionarea unei anumite piese se face şi pe baza
aşa numitelor caracteristici mecanice pe care le prezintă materialul Cunoaşterea acestor
caracteristici mecanice are loc numai pe baza unor icircncercări mecanice care să scoată icircn
evidenţă comportarea materialului icircn condiţii de solicitare
Cea mai utilizată icircncercare icircn urma căreia se pun icircn evidenţă caracteristicile
mecanice ale unui material este icircncercarea la tracţiune
481 Icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general
Icircncercarea la tracţiune a oţelului ca de altfel toate icircncercările de materiale este
standardizată
Icircn cele ce urmează se va prezenta numai partea care interesează strict din punct
de vedere al caracteristicilor mecanice ale oţelului
Epruveta de diametru iniţial 1198890 pentru icircncercarea la tracţiune are o porţiune de
lungime 1198710 numită baza de măsurare pe care se măsoară lungirea acesteia sub acţiunea
solicitării
Icircn funcţie de raportul dintre baza de măsurare 1198710 şi diametrul iniţial 1198890 epruvetele
utilizate pentru icircncercări sunt
epruvete normale (scurte) cacircnd 11987101198890 = 5
epruvete lungi cacircnd 11987101198890 = 10
Icircn timpul icircncercării la diferite valori ale forţei 119865 se măsoară lungirea bazei de
măsurare
∆119871 = 120575 = 119871 minus 1198710 (439)
unde
119871 este dimensiunea bazei de măsurare la un moment dat
Curba forţă-lungire (119865 minus ) icircnregistrată icircn urma icircncercării reprezintă curba
caracteristică la tracţiune
La icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general diagrama caracteristică care se
obţine are forma din figura 48
Curba caracteristică la tracţiune depinde de lungimea bazei de măsurare Pentru
icircnlăturarea acestui neajuns curba caracteristică se reprezintă icircn coordonate şi definite
astfel
120590 =119865
1198600 휀 =
120575
1198710 (440)
unde
1198600 este aria iniţială a secţiunii transversale a epruvetei (icircnainte de solicitare) icircn
zona bazei de măsurare
1198600 =120587 ∙ 1198890
2
4
Deoarece mărimile icircn care se reprezintă curba caracteristică la tracţiune sunt
raportate la aria iniţială a secţiunii transversale (mărimi specifice) curba poartă numele
de curbă caracteristică convenţională la tracţiune
Fig 48 Curba caracteristică convenţională la tracțiune
Pe curba caracteristică convenţională la tracţiune figura 48 se pot stabili o serie
de puncte cărora le corespund mai multe mărimi importante
Ordonata punctului A pacircnă unde curba caracteristică convenţională este linie
dreaptă se numeşte limita de proporţionalitate a materialului 120590119901(1205901) Porţiunea 119874119860 este
zona de proporţionalitate a curbei caracteristice pe acest domeniu este valabilă legea lui
Hooke care exprimă o proporţionalitate icircntre tensiune şi deformaţie specifică
120590 = 119864 ∙ 휀 (441)
unde
119864 = reprezintă panta porţiunii liniare a curbei convenționale caracteristice
la tracțiune Caracteristica de material 119864 se numeşte modul de elasticitate longitudinal
(modulul lui Young)
Ordonata punctului 119861 pacircnă unde materialul se comportă perfect elastic adică
după descărcare icircşi recapătă dimensiunea iniţială 1198710 se numeşte limita de elasticitate
120590119890(119877119890) Icircn realitate nici un material nu are comportare perfect elastică sub acţiunea
solicitărilor el capătă deformaţii permanente (remanente plastice)
După punctul 119861 urmează o porţiune 119861119862119863 icircn care cu toate că icircncărcarea
continuă forţa nu mai creşte avacircnd mici oscilaţii icircn jurul unei valori Se spune că icircn
această porţiune materialul curge iar intervalul 119861119862119863 este un palier de curgere Tensiunea
corespunzătoare palierului de curgere se numeşte limită de curgere aparentă 120590119888(119877119888) Limita de curgere aparentă se calculează cu relaţia
120590119888 =1198651198881198600 (442)
unde
119865119888 reprezintă valoarea forţei icircnregistrată icircn momentul curgerii materialului
După punctul 119863 curba caracteristică are un traseu ascendent pacircnă icircn punctul 119864
Porţiunea 119863119864 este numită zonă de icircntărire (ecruisare) Icircn zona de ecruisare unde se
produc deformaţii plastice semnificative legea lui Hooke nu mai este valabilă La
descărcare relaţia dintre tensiunea şi deformaţia specifică este liniară paralelă cu
porţiunea liniară a curbei caracteristice (dreapta 119872119873)
Deformaţia totală (휀119905) are două componente una elastică (휀119890) şi una plastică (휀119901)
Ordonata punctului 119864 reprezintă rezistenţa de rupere 120590119903(119877119898) a materialului
care se poate calcula cu relaţia
120590119903 = 119877119898 =1198651198981198861199091198600
(443)
unde
119865119898119886119909 reprezintă valoarea maximă a forţei icircnregistrată icircn timpul icircncercării
La atingerea valorii 119865119898119886119909 (punctul 119864) icircntr-un anumit loc al epruvetei secţiunea
icircncepe să se micşoreze (se produce gacirctuirea) continuacircnd pacircnă cacircnd se produce ruperea
totală (punctul 119865)
Dacă după ruperea epruvetei cele două părţi rezultate se aşează cap la cap şi se
măsoară dimensiunea bazei de măsurare 119871119906 (lungimea ultimă) se determină alungirea la
rupere sau lungirea specifică la rupere 휀119903
휀119903 =119871119906 minus 11987101198710
=∆119871
1198710=120575
1198710 (444)
De obicei alungirea se exprimă icircn procente şi se notează cu 119860119899 unde 119899 reprezintă
numărul dat de raportul 11987101198890 (epruvete normale 119899 = 5 epruvete lungi 119899 = 10)
119860119899 =119871119906 minus 11987101198710
∙ 100 [] (445)
Altă mărime care se determină la icircncercarea la tracţiune este gacirctuirea la rupere
(exprimată de obicei icircn procente) şi definită de relaţia
119885 =1198600 minus 1198601199061198600
∙ 100 [] (446)
Mărimile determinate limita de proporţionalitate modulul de elasticitate
longitudinal limita de elasticitate limita de curgere aparentă rezistenţa de rupere
alungirea la rupere şi gacirctuirea la rupere sunt cunoscute ca fiind caracteristici mecanice
ale materialului
Din curba caracteristică convenţională observăm faptul că ruperea (punctul 119865 din
figura 48 se produce la o tensiune mai mică decacirct cea corespunzătoare punctului 119864 Dacă
icircnsă forţa din timpul icircncercării s-ar raporta la aria secţiunii din momentul icircnregistrării
forţei (care este mai mică decacirct cea iniţială 1198600) s-ar obţine aşa numita curbă
caracteristică reală a materialului (traseul 1198741198601198611198621198631198651 din figura 48) La curba
caracteristică reală ruperea se produce icircn punctul 1198651 la o icircncărcare mai mare decacirct cea
corespunzătoare punctului 119864 Icircnseamnă că rezistenţa reală la rupere este mai mare decacirct
rezistenţa la rupere dată de punctul 119864 din diagrama caracteristică convenţională
Dificultatea obţinerii diagramei caracteristice reale faţă de cea a diagramei caracteristice
convenţionale şi considerarea unei rezistenţe la rupere mai mică decacirct a celei reale face
icircn practică utilizarea pe scară mare a diagramei caracteristice convenţionale
Caracteristicile mecanice determinate pe baza curbei caracteristice convenţionale
sunt şi ele caracteristici mecanice convenţionale
Caracteristicile mecanice convenţionale limita de proporţionalitate convenţională
120590119901 limita de elasticitate convenţională 120590119890 limita de curgere convenţională 120590119888 şi rezistenţa
de rupere 120590119903 constituie tensiuni limită pentru un material Pe baza acestor caracteristici
de material se alege valoarea tensiunii admisibile 120590119886 (vezi paragraful 35) pentru
calculele de rezistenţă Cea mai utilizată stare limită pentru stabilirea tensiunii admisibile
120590119886 este limita de curgere convenţională 120590119888
120590119886 =120590119897119894119898119888
=120590119888119888 119904119886119906 120590119886 =
120590119903119888 (447)
Caracteristicile mecanice ale materialului sunt influenţate de o serie de factori
temperatura viteza de solicitare factorii tehnologici iar valorile lor sunt date icircn tabele și
diagrame
Aplicaţie Pentru suprafaţa plană compusă din două dreptunghiuri avacircnd
dimensiunile din figura 49a să se calculeze
a) centrul de greutate al secțiunii compuse 119910119866 119911119866
b) momentele de inerție axiale 119868119911 119868119910 și momentul de inerție centrifugal 119868119911119910
c) razele de inerție 119894119911 119894119910
d) modulele de rezistență 119882119911119898119894119899 119882119911119898119886119909 119882119910119898119894119899 119882119910119898119886119909
e) momentele de inerție principale 1198681 1198682 și direcțiile principale de inerție 1205721
f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 119878119911
Fig 49 Aplicație
Rezolvare Pentru rezolvare vom parcurge următoarele etape
icircmpărțim suprafața compusă icircn două suprafețe simple (dreptunghiuri) notate cu
① și respectiv ② figura 49b
poziționăm centrele de greutate a celor două suprafețe simple ① și respectiv ②
notate cu 1198661 și respectiv 1198662 figura 49c
poziționăm sistemele de axe de coordonate 119911111986611199101 pentru dreptunghiul ① și
119911211986621199102 pentru dreptunghiul ② aflate la intersecția diagonalelor figura 49c
poziționăm sistemele de axe de coordonate 11991101198741199100 ales arbitrar față de care
determinăm poziția centrului de greutate 119866 figura 49c
a) calculăm poziția centrului de greutate folosind relațiile (46) icircn care
1198601 = 6119905 ∙ 119905 = 61199052 1198602 = 4119905 ∙ 119905 = 41199052 119860 = 1198601 + 1198602 = 61199052 + 41199052 = 101199052
iar centrele de greutate 1198661 și respectiv 1198662 au coordonatele (față de sistemul 11991101198741199100)
1198661 1199101 = 3119905 1199111 = 05119905
1198662 1199102 = 051199051199112 = 3119905
cu acestea obținem
119910119866 =1198601 ∙ 1199101 + 1198602 ∙ 1199102
119860=61199052 ∙ 3119905 + 41199052 ∙ 05119905
101199052=201199053
101199052= 2119905
119911119866 =1198601 ∙ 1199111 + 1198602 ∙ 1199112
119860=61199052 ∙ 05119905 + 41199052 ∙ 3119905
101199052=151199053
101199052= 15119905
Poziționăm centrul de greutate 119866 al suprafeței compuse figura 49c
Fig 49 Aplicație
b) pentru determinarea momentelor de inerție axiale 119868119911 119868119910 și a momentului de
inerție centrifugal 119868119910119911 determinăm constantele 1198881 1198882 1198891 1198892 care intervin icircn relația lui
Stainer
1198881 = 1199101 minus 119910119866 = 3119905 minus 2119905 = 119905 1198882 = minus(119910119866 minus 1199102) = minus(2119905 minus 05119905) = minus15119905
1198891 = minus(119911119866 minus 1199111) = minus(15119905 minus 05119905) = minus119905 1198892 = 1199112 minus 119911119892 = 3119905 minus 15119905 = 15119905
Folosind relațiile lui Stainer (429) (430) și (431) calculăm momentele de
inerție axiale și centrifugale față de sistemul central 119911119866119866119910119866
119868119911 =sum(119868119911119894 + 1198881198942 ∙ 119860119894) = 1198681199111 + 1198881
2 ∙ 1198601 + 1198681199112 + 11988822 ∙ 1198602
119868119910 =sum(119868119910119894 + 1198891198942 ∙ 119860119894) = 1198681199101 + 1198891
2 ∙ 1198601 + 1198681199102 + 11988922 ∙ 1198602
119868119911119910 =sum(119868119911119894119910119894 + 119888119894 ∙ 119889119894 ∙ 119860119894) = 11986811991111199101 + 1198881 ∙ 1198891 ∙ 1198601 + 11986811991121199102 + 1198882 ∙ 1198892 ∙ 1198602
1198681199111 = (119887 ∙ ℎ3
12) =
119905 ∙ (6119905)3
12= 181199054 1198681199112 = (
119887 ∙ ℎ3
12) =
4119905 ∙ 1199053
12= 031199054
1198681199101 = (1198873 ∙ ℎ
12) =
1199053 ∙ 6119905
12= 051199054 1198681199102 = (
1198873 ∙ ℎ
12) =
(4119905)3 ∙ 119905
12= 531199054
11986811991111199101 = 11986811991121199102 = 0 deoarece cele două triunghiuri au cel puțin o axă de simetrie
Cu acestea momentele de inerție axiale și momentul de inerție centrifugal devin
119868119911 = 181199054 + 1199052 ∙ 61199052 + 031199054 + (minus15119905)2 ∙ 41199052 = 3331199054
119868119910 = 051199054 + (minus119905)2 ∙ 61199052 + 531199054 + (15119905)2 ∙ 41199052 = 2081199054
119868119911119910 = 0 + 119905 ∙ (minus119905) ∙ 61199052 + 0 + (minus15119905) ∙ (15119905) ∙ 41199052 = minus151199054
c) razele de inerție sau de girație față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910
se calculează cu relațiile (411)
119894119911 = radic119868119911119860= radic
3331199054
101199052= 182119905 119894119910 = radic
119868119910
119860= radic
2081199054
101199052= 144119905
d) modulele de rezistență față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910 se
calculează cu relațiile (412) și (413)
Avacircnd icircn vedere figura 419c obținem
119910119898119886119909 = 6119905 minus 119910119866 = 6119905 minus 2119905 = 4119905 119910119898119894119899 = minus119910119866 = minus2119905
119911119898119886119909 = 5119905 minus 119911119866 = 5119905 minus 15119905 = 35119905 119911119898119894119899 = minus119911119866 = minus15119905
Se obține astfel
119882119911119898119894119899 =119868119911
|119910119898119886119909|=3331199054
4119905= 8331199053
119882119911119898119886119909 =119868119911
|119910119898119894119899|=3331199054
2119905= 16651199053
119882119910119898119894119899 =119868119910
|119911119898119886119909|=2081199054
35119905= 5941199053
119882119910119898119886119909 =119868119910
|119911119898119894119899|=2081199054
15119905= 13871199053
e) momentele de inerție principale 1198681 și respectiv 1198682 se calculează cu relațiile
(438)
11986812 =119868119911 + 119868119910
2plusmn1
2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)
2+ 4 ∙ (119868119911119910)
2=
=3331199054 + 2081199054
2plusmn1
2∙ radic(3331199054 minus 2081199054)2 + 4 ∙ (minus151199054)2 = 27051199054 plusmn 16251199054
De unde obținem
1198681 = 27051199054 + 16251199054 = 4331199054
1198682 = 27051199054 minus 16251199054 = 1081199054
Prima direcție principală de inerție 1 face cu axa centrală 119866119911 unghiul 1205721 dat de
relația (437)
1205721 =1
2∙ arctan (minus
2 ∙ 119868119911119910
119868119911 minus 119868119910) =
1
2∙ arctan [minus
2 ∙ (minus151199054)
3331199054 minus 2081199054] =33 70
Deoarece 1205721 gt 0 rotirea axelor se face acircn sens antiorar acelor de ceasornic figura
49d
Poziția axe principale 2 față de care momentul de inerție are valoarea minimă
1198682 = 119868119898119894119899 este dată de unghiul
1205722 = 1205721 + 900 = 33 70 + 900 = 123 70
f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 se determină cu relația
(45)
1198781199111198602 = 1198602 ∙ 1198882 = 41199052 ∙ (minus15119905) = minus61199053
Rezolvare
Pentru rezolvarea acestui sistem de forte de prezinta doua metode
a) Rezolvare analitică
Descopunem cele două forțe icircnclinate 2 și 3 după cele două axe de coordonate
Ox și Oy
2 = (minus1198652119909) ∙ 119894 + (1198652119910) ∙ 119895 = (minus1198652 ∙ cos 600) ∙ 119894 + (1198652 ∙ sin 60
0) ∙ 119895 =
= (minus200 ∙1
2) ∙ 119894 + (200 ∙
radic3
2) ∙ 119895 = minus100 ∙ 119894 + 100 ∙ radic3 ∙ 119895
3 = (minus1198653119909) ∙ 119894 + (minus1198653119910) ∙ 119895 = (minus1198653 ∙ cos 450) ∙ 119894 + (minus1198653 ∙ sin 45
0) ∙ 119895 =
= (minus300 ∙radic2
2) ∙ 119894 + (minus300 ∙
radic2
2) ∙ 119895 = minus150 ∙ radic2 ∙ 119894 minus 150 ∙ radic2 ∙ 119895
Pentru stabilirea mărimii şi ordinului rezultantei sistemului de forţe din figură se
procedează astfel
Forţele sunt exprimate analitic 119894 = 119883119894 ∙ 119894 + 119884119894 ∙ 119895 unde 119883119894 119884119894 sunt proiecţiile
forţei 119894 pe axele 119874119909 respectiv 119874119910
1 = 100 ∙ 119894 + 0 ∙ 119895
2 = minus100 ∙ 119894 + 1732 ∙ 119895
3 = minus2121 ∙ 119894 minus 2121 ∙ 119895
Fig 17 Aplicația 141
Se determină rezultanta forţelor cu următoarea relaţie
= sum119865119894 prime (sum119883119894
119899
119894=1
) ∙ 119894 + (sum119884119894
119899
119894=1
) ∙ 119895 = 119883 ∙ 119894 + 119884 ∙ 119895
unde 119883 119884 sunt componentele rezultantei pe axele 119874119909 respectiv 119874119910 = +
= (100 minus 100 minus 2121) ∙ 119894 + (0 + 1732 minus 2121) ∙ 119895 = (minus2121) ∙ 119894 + (minus389) ∙ 119895
rArr 119883 = minus2121 [119873]
119884 = minus389 [119873]
Cu acestea obținem rezultanta
119877 = radic1198832 + 1198842 = radic(minus2121)2 + (minus389)2 = 21564 [119873]
Se reprezintă grafic rezultanta icircn sistemul de coordonate 119909119874119910 după care se
calculează unghiul 120572 pe care aceasta rezultantă icircl face cu axa 119874119909 figura 18
tan 120572 =119884
119883=minus389
minus2121= 0183 rArr 120572 = arctan(0183) = 10 40
Fig 18 Reazultanta forțelor aplicate
b) Rezolvare tabelară
Forţa 119894 Componenta 119883119894 Componenta 119884119894
1 1198651 = 100 1198651 = 0
2 minus1198652 ∙ cos 600 = minus100 1198652 ∙ sin 60
0 = 1732
3 minus1198653 ∙ cos 450 = minus2121 minus1198653 ∙ sin 45
0 = minus2121
= sum119894 119883 =sum119883119894 = minus2121 119884 =sum119884119894 = minus389
După determinarea tabelară a celor două componente ale rezultandei calculele se
continua ca şi icircn cazul rezolvării analitice
142 Să se calculeze momentul forţei verticale = 100 [119873] icircn raport cu punctele
B D O şi icircn raport cu axele Ox Oy şi Oz figura 19 și să se determine componentele
torsorului de reducere ale forţei icircn punctul O dacă se cunosc 119886 = 3 [119898] şi 119887 = 4 [119898]
Fig 19 Aplicația 142
Fig 110 Icircnclinarea momentului 119872119874
119861 = 119861119860 times
119872119861 = 119886 ∙ 119865 = 3 ∙ 100 = 300 [119873 ∙ 119898]
119863 = 119863119860 times
119872119863 = 119887 ∙ 119865 = 4 ∙ 100 = 400 [119873 ∙ 119898]
119874 = 119874119860 times
119872119874 = 119888 ∙ 119865 = radic1198862 + 1198872 ∙ 119865 = radic32 + 42 ∙ 100 = 5 ∙ 100 = 500 [119873 ∙ 119898]
119874 se află icircn planul 119909119874119910 cu icircnclinarea 120572 (figura 110)
tan120572 =119886
119887=3
4= 075 rArr 120572 = arctan(075) = 36860
Deci
120572 = 900 minus 120573 = 900 minus 36860 = 53140
Concluzie Componentele torsorului de reducere al forței icircn punctul O sunt o forta
icircn O identică cu forța din punctul A și momentul forței icircn raport cu punctul O 119874
2 INTRODUCERE IcircN REZISTENŢA MATERIALELOR
21 Obiectul şi problemele Rezistenţei materialelor
Rezistenţa materialelor este o disciplină de cultură tehnică generală care continuă
logic şi dezvoltă Mecanica prin introducerea icircn calcule a proprietăţilor de deformabilitate
ale corpurilor solide reale Icircn Mecanică corpul solid este considerat rigid nedeformabil
iar vectorii forţă de icircncărcare sunt consideraţi alunecători Rezistenţa materialelor ia icircn
studiu corpurile reale care sub acţiunea forţelor exterioare (vectori legaţi) icircşi schimbă
forma geometrică respectiv dimensiunile iniţiale şi se distrug prin rupere la valori mari
ale acestora Prin calculele de rezistenţă se determină dimensiunile secţiunilor
transversale ale corpurilor (elemente de rezistenţă) icircn funcţie de mărimea poziţia şi modul
de acţionare a forţelor exterioare proprietăţile mecanice ale materialelor dimensiunile
constructive forma şi importanţa ansamblului icircn care se icircnglobează iar icircn anumite cazuri
şi de durata de funcţionare Elementele de rezistenţă trebuie să icircndeplinească următoarele
condiţii de bază
- condiţia de rezistenţă care are icircn vedere ca eforturile din elementul de rezistenţă
să nu producă distrugerea acestuia prin rupere sau spargere icircn bucăţi
- condiţia de rigiditate se referă la valorile deformaţiilor care nu trebuie să
depăşească anumite mărimile admisibile
- condiţia de stabilitate care consideră posibilitatea menţinerii formei de echilibru
stabil pentru o anumită stare de icircncărcare
Criteriile de rezolvare ale problemelor de Rezistenţa materialelor sunt
- criteriul economic prin care se impune ca orice element de rezistenţă (piesă) să
fie proiectat şi realizat cu soluţia cea mai economică icircn privinţa materialului utilizat şi al
manoperei
- criteriul de bună funcţionalitate a ansamblului din care face parte elementul de
rezistenţă proiectat respectacircnd condiţiile de rezistenţă rigiditate şi stabilitate
Icircn cadrul Rezistenţei materialelor se admit ipoteze simplificatoare care permit
obţinerea unor relaţii de calcul relativ simple şi care exprimă destul de fidel fenomenul
de solicitare real Experimentările practice icircn laborator permit verificarea legilor
rezistenţei materialelor şi determinarea caracteristicilor mecanice ale materialelor
Rezistenţa materialelor permite rezolvarea următoarelor categorii de probleme
- probleme de dimensionare prin care se stabilesc dimensiunile optime ale
elementelor de rezistenţă proiectate icircn funcţie de icircncărcările exterioare (forţe sau
momente) şi de caracteristicile mecanice ale materialului utilizat
- probleme de verificare la care se determină dacă un element de rezistenţă de
dimensiuni cunoscute satisface condiţiile de rezistenţă rigiditate şi stabilitate cunoscacircnd
icircncărcarea exterioară şi caracteristicile mecanice ale materialului utilizat
- probleme de calcul al capacităţii de icircncărcare al unui element de rezistenţă
cunoscacircndu-se caracteristicile mecanice ale materialului dimensiunile şi modul de
solicitare se determină icircncărcarea maximă pe care o poate suporta elementul de rezistență
fără a ceda sau a se deforma periculos
22 Clasificarea corpurilor icircn Rezistenţa materialelor
Corpurile (elementele de rezistenţă) au icircn general forme constructive relativ
complicate Icircn Rezistenţa materialelor pentru simplificarea calculelor corpurile se
schematizează prin forme geometrice mai simple obţinacircndu-se următoarele grupe
a) corpuri solide cu o dimensiune mult mai mare decacirct celelalte două (corpuri cu
fibră medie) Elementele geometrice caracteristice sunt axa longitudinală şi secţiunea
transversală Aceste corpuri solide pot fi
- fire dacă dimensiunile secţiunii transversale sunt foarte mici astfel icircncacirct axa
longitudinală este flexibilă (icircşi schimbă forma uşor) iar sarcinile transversale nu pot fi
preluate de acesta Un fir nu poate fi solicitat decacirct la icircntindere (exemplu cabluri de
macara lanţuri etc)
- bare care rezistă atacirct la solicitări axiale cacirct şi la solicitări transversale
După modul de solicitare barele poartă diferite denumiri convenţionale
tiranţi-solicitaţi la icircntindere figura 21a
stacirclpi-solicitaţi la compresiune figura 21b
grinzi-solicitate la icircncovoiere figura 21c
arbori-solicitaţi la torsiune (răsucire) figura 21d
Fig 21 Denumirea barelor după modul de solicitare
După modul cum variază secţiunea icircn lungul axei barele pot fi
de secţiune constantă figura 22a
de secţiune variabilă continuă figura 22b sau icircn trepte figura 22c
Fig 22 Denumirea barelor după secțiune
După forma axei longitudinale barele pot fi
drepte figura 21
curbe icircn plan figura 23a sau icircn spaţiu figura 23b (numite și curbe stracircmbe)
cotite (axa barei este o linie fracircntă) plane figura 23c sau spațiale figura 23d
Fig 23 Tipuri de bare curbe și cotite
Secţiunea transversală (plană şi normală pe axa barei) poate avea orice formă
geometrică constantă sau variabilă icircn lungul barei
Dacă una din dimensiunile secţiunii transversale (grosimea) este mai mică
comparativ cu celelalte bara se numește bară cu pereţi subţiri (exemplu barele
realizate din platbande sudate cu secţiuni sub formă de profil I profil U cornier etc)
b) corpuri care au două dimensiuni mult mai mari icircn raport cu a treia (grosimea)
se numesc plăci Elementele geometrice caracteristice ale unei plăci sunt forma şi
dimensiunile suprafeţei mediane respectiv grosimea Plăcile se reprezintă schematic
printr-o suprafață care imită forma și dimensiunile suprafeței mediane Suprafaţa mediană
reprezintă locul geometric al tuturor punctelor egal depărtate de cele două feţe ale plăcii
puncte aflate pe perpendicularele duse icircntre cele două feţe figura 24
După destinaţie și forma suprafeței mediane se deosebesc
plăci plane figura 24b
plăci curbe (icircnvelişuri) cu o singură curbură figura 24a sau avacircnd curbură
dublă figura 24c
Fig 24 Tipuri de plăci plane
Plăcile cu grosime mare sunt denumite frecvent dale O placă de grosime mică
ce nu poate prelua decacirct solicitări la icircntindere poartă numele de membrană
Exemple de plăci icircnvelişurile vasele de revoluţie discurile etc
c) corpuri masive care au toate cele trei dimensiuni aproximativ de acelaşi ordin
de mărime (blocuri de fundaţii bile şi role de rulmenţi tuburi cu pereţi groşi etc)
Calculele de rezistenţă sunt mai simple icircn cazul barelor drepte şi mai complicate
la barele curbe plăci respectiv blocuri
23 Clasificarea icircncărcărilor exterioare
Un corp icircşi păstrează forma şi dimensiunile datorită forţelor de atracţie dintre
particulele sale elementare atacircta timp cicirct asupra sa nu acţionează alte forţe aplicate din
exterior care să-l deformeze Icircn construcţia de maşini elementele de rezistenţă preiau şi
transmit acţiunea unor sarcini exterioare (forţe şisau cupluri) pe care le vom denumi
generic forțe sau icircncărcări exterioare Efectul pe care-l au sarcinile este acela de a
modifica forma şi dimensiunile corpului asupra căruia se aplică Icircn punctele de rezemare
(de sprijin sau de legătură cu alte elemente de rezistenţă icircnvecinate) ca urmare a
principiului acţiunii şi reacţiunii apar forţe de legătură sau reacţiuni Ansamblul format
din sarcini şi reacţiuni este cunoscut sub numele de forţe exterioare Sub acţiunea
forţelor exterioare elementele de rezistenţă trebuie să fie icircn echilibru
Forţele exterioare pot fi clasificate după următoarele criterii
a) după mărimea suprafeţei pe care se aplică
- forțe concentrate aplicate teoretic icircntr-un punct figura 25a
- forțe distribuite uniform sau cu intensitate variabilă icircn lungul barei sau pe o
suprafaţă figura 25bc şi d
- momente concentrate care acţionează icircntr-un punct M sau momente uniform
distribut pe o anumită lungime m
Fig 25 Tipuri de sarcini după mărimea suprafeţei de aplicare
b) după locul de aplicare se deosebesc
- forţe de suprafaţă sau de contur care sunt aplicate din exterior pe suprafaţa
corpurilor şi indică legătura cu piesele icircnvecinate
- forţe masice sau de volum distribuite icircn tot corpul (greutăţi forţe de inerţie
respectiv forţe electromagnetice)
c) după modul de acţiune icircn timp se disting
- forţe statice care se aplică lent şi progresiv pacircnă la valoarea nominală de lucru
şi apoi rămacircn constante figura 26a
- forţe dinamice care rezultă din
aplicarea cu icircntreaga intensitate de la icircnceputul perioadei de solicitare iar apoi forţa se
menţine constantă timp icircndelungat figura 26b (forţe de inerţie)
aplicarea bruscă a sarcinii asupra corpului durata de acţiune a sarcinii fiind mică figura
26c (forţe de şoc)
variaţia periodică icircn timp a intensităţii forţei aplicate figura 26d (forţe de oboseală)
Fig26 Tipuri de forţe exterioare (cicluri de solicitare)
Funcţie de modul de variaţie al forţelor exterioare solicitările pot fi statice
oscilante pulsante alternante etc Experimental s-a constatat că rezistenţa unui material
depinde foarte mult de modul de variaţie a forţelor icircn timp Bach a clasificat solicitările
icircn 3 categorii 1-solicitări statice 2-solicitări pulsante 3-solicitări alternant simetrice
Rezistenţa unui material este icircn raportul 321 pentru cele 3 cazuri de solicitare ale lui
Bach Aceasta icircnseamnă că o piesă solicitată static rezistă la o forţă de 3 ori mai mare
decacirct forţa maximă care produce ruperea aceleaşi piese solicitate alternant simetric
d) după poziţia icircn timp a forțelor se disting
- forţe fixe ale căror puncte de aplicaţie sunt mereu aceleaşi
- forţe mobile ale căror puncte de aplicaţie se deplasează icircn timp De exemplu
sarcinile produse de vehiculele care circulă pe un pod sarcinile unei grinzi de pod rulant
icircntr-o halăetc
24 Reazeme Forțe interioare Eforturi Diagrame de eforturi icircn barele
drepte
241 Reazeme Reacțiuni (forțe de legătură)
Pentru a prelua şi transmite acţiunea sarcinilor exterioare elementele de rezistenţă
din componenţa unei structuri sunt fixate icircntre ele prin intermediul unor legături
exterioare numite reazeme Aceste legături au ca scop icircmpiedicarea anumitor mişcări ale
corpului pe direcţiile pe care acestea nu trebuie să se producă O legătură are deci rolul
de a anula unul sau mai multe grade de libertate ale corpului icircn punctul de rezemare Dacă
este anulat un singur grad de libertate legătura este simplă iar dacă sunt impiedicate mai
multe grade de libertate legătura este una compusă Datorită existenţei sarcinilor
exterioare icircn punctele de rezemare pe direcţiile pe care mişcările sunt icircmpiedicate apar
forţe de legătură numite reacţiuni Numărul natura şi direcţiile reacţiunilor depind de
tipul reazemelor Icircn construcţiile reale există o varietate mare de realizare practică a
reazemelor dar icircn calcule se acceptă anumite schematizări care reţin doar aspectul esenţial
al unui reazem şi anume gradul sau gradele de libertate anulate
Pentru o structură de rezistenţă spaţială icircntr-un punct oarecare sunt posibile şase
deplasări trei deplasări liniare (după direcţiile axelor unui sistem ortogonal) şi trei rotiri
(deplasări unghiulare) icircn jurul aceloraşi axe Ca urmare ar fi posibil de realizat maximum
şase tipuri de reazem
Pentru un element de rezistenţă plan icircncărcat cu eforturi cuprinse icircn planul
elementului icircn orice punct sunt posibile trei gade de libertate două deplasări liniare şi o
rotiri Ca urmare pentru cazul unei bare plane se icircntacirclnesc următoarele tipuri de reazeme
1 Reazemul simplu sau reazemul mobil care icircmpiedică deplasarea pe o direcţie
normală pe suprafaţa de rezemare permiţacircnd deplasarea pe o direcţie paralelă cu
suprafaţa de rezemare şi rotirea barei icircn jurul unei axe perpendiculare pe plan icircn punctul
de rezemare Icircn urma icircmpiedicării deplasării şi datorită unor sarcini exterioare icircn
reazemul simplu apare o reacţiune de tip forţă a cărei suport trece prin punctul de
rezemare şi a cărei direcţie este perpendiculară pe suprafaţa de rezemare figura 27
Fig 27 Reazem simplu (mobil)
Icircn figura 27 este reprezentat un reazem mobil poziţionat pe capătul A al unei bare
plane orizontale fiind evidenţiate punctul şi suprafaţa de rezemare direcţia suportului
reacţiunii şi modul de schematizare al reazemului Cea mai des icircntacirclnită reprezentare a
reazemului mobil este a unui triunghi a cărui bază poate luneca pe suprafaţa de rezemare
2 Reazemul fix sau articulaţia icircmpiedică deplasările liniare după toate direcţiile
din planul barei permiţacircnd doar rotirea barei icircn jurul unei axe perpendiculare pe plan şi
care trece prin puncul de rezemare Reacţiunea este cuprinsă icircn planul barei care trece
prin punctul de rezemare dar a cărei mărime şi direcţie nu sunt cunoscute (forţa R)
figura 28
Fig 28 Reazem fix
Se preferă ca icircn locul unei forţe R avacircnd direcţia oarecare icircn plan necunoscută să
se introducă două forţe (HA şi VA) cărora li se cunoaşte direcţia şi pentru care se vor
determina modulele ca valori din condiţiile de echilibru static Icircntr-un reazem fix apar
icircntotdeauna reacţiuni atacirct pe direcţia perpendiculară pe suprafaţa de rezemare
(verticală) cacirct şi pe direcţia paralelă cu prima (orizontală) chiar dacă uneori una sau
chiar ambele reacţiuni au valoarea zero Reprezentarea schematică a articulaţiei este cea
a unui triunghi cu baza fixă şi cu vacircrful icircn punctul de rezemare sau cea a unui pendul
dublu figura 28
3 Icircncastrarea (sau icircnţepenirea) anulează toate gradele de libertate ale capătului
unei bare icircmpiedicacircnd deplasarea liniară după orice direcţie din plan precum şi rotirea
barei icircn jurul unei axe perpendiculare pe plan şi care trece prin punctul de icircncastrare
Urmare a existenţei sarcinilor exterioare şi a blocării deplasărilor icircn icircncastrare apare o
reacţiune căreia nu i se cunoaşte nici mărimea nici direcţia şi nici punctul de aplicaţie
figura 29
Fig 29 Icircncastrarea
Sub acţiunea forţelor exterioare un sistem este icircn echilibru Valoarea reacţinilor
se determină din condiţia de echilibru a sistemului solicitat
Este cunoscut faptul că un sistem plan este icircn echilibru dacă
nu se deplasează pe o direcţie (fie x această direcţie)
nu se deplasează pe o direcţie perpendiculară pe prima (fie y această direcţie)
nu se roteşte faţă de un punct al planului (fie K acest punct)
Cele trei condiţii enunţate mai sus sunt satisfăcute dacă suma proiecţiilor tuturor
forţelor pe direcţia x respectiv y este nulă şi suma tuturor momentelor (cuplurilor) faţă
de un punct al planului este nulă
242 Forțe interioare Metoda secțiunilor
Icircn vederea calculului de rezistenţă de rigiditate şi de stabilitate a barelor sau a
sistemelor de bare este necesară determinarea forţelor şi momentelor interioare
(eforturilor) care apar icircn secţiunile transversale ale acestora şi datorate icircncărcărilor
exterioare Forțele interioare indică legătura dintre particulele din interiorul corpului şi
se pun icircn evidenţă prin metoda secţiunilor care este un procedeu de raţionament
imaginar propus de Cauchy echivalent cu teoria echilibrului părţilor Conform acestui
raționament bdquodacă un corp solid deformabil este icircn echilibru sub acţiunea unui sistem
generalizat de forţe atunci după secționare fiecare parte a sa va fi icircn echilibru sub
acţiunea forţelor exterioare care-i revin şi a unui sistem de forţe pe care trebuie să-l
introducem icircn secţiunea ce delimitează fiecare parte echivalent cu acţiunea forţelor
aplicate pe partea icircndepărtatărdquo
Problemele care apar la aplicarea metodei secţiunilor sunt
- să pună icircn evidenţă existenţa forţelor interioare mai ales că din ceea ce se ştie o
forţă apare icircn prezenţa a două corpuri ca urmare a principiului acţiunii şi reacţiunii
- să explice modul de distribuţie al forţelor interioare pe secţiune
Considerăm un corp aflat icircn echilibru sub acţiunea unui sistem de forţe exterioare
1 2 3⋯119894 ⋯ 119899minus1 119899 şi presupunem că-l secţionăm cu un plan transversal Q (sau cu
o suprafaţă oarecare) figura 210a Icircn urma secţionării fictive (imaginare) conform
principiului echilibrului părţilor fiecare din cele două părţi obţinute trebuie să fie icircn
echilibru sub acţiunea forţelor exterioare care le revin şi a cacircte unui sistem de forţe
interioare pe care trebuie să-l introducem icircn secţiunile rezultate sistem echivalent cu
acţiunea forţelor exterioare ce acţionează asupra celeilalte părţi Astfel pe partea din
dreapta (notată cu II) delimitată de secţiunea de arie Ad sunt aplicate forţele exterioare
119894 ⋯ 119899minus1 119899 şi un sistem de forţe interioare căruia nu i se cunoaşte decacirct efectul acelaşi
cu cel al forţelor 1 2 3 de pe parea din stacircnga (notată cu I şi delimitată de secţiunea
de arie As) figura 210b Prin metoda secţiunilor am reuşit să punem icircn evidenţă existenţa
forţelor interioare şi să le trecem icircn categoria celor exterioare cărora le putem aplica
relaţiile de echivalenţă şi de echilibru cunoscute din statică Ideal ar fi să cunoaştem
distribuţia şi intensitatea punctuală a acestor forţe pentru că s-ar putea ca icircn anumite
puncte ale secţiunii valoarea forţelor să depăşească limita de rezistenţă (limita de curgere)
a materialului Cunoaşterea distribuţiei punctuale a forţelor interioare nu se poate realiza
decacirct icircn cazuri particulare relativ simple de solicitare
Să considerăm partea din dreapta a corpului asupra căreia acționează forțele
119894 ⋯ 119899minus1 119899 mărginit de aria Ad pe care acționează un sistem de forțe interioare
echivalent cu 1 2 3 Deși forțele interioare de pe Ad nu se cunosc totuși efectul lor
este același cu cel al forțelor 1 2 3 deci le putem reduce icircn centrul de greutate C al
secțiunii Ad rezultacircnd componentele torsorului de reducere al forțelor interioare
(119894119889 119894119889) și pentru partea din stacircnga (119894119904 119894119904) Evident conform principiului acțiunii și
reacțiunii
119894119889 = minus119894119904
119894119889 = minus119894119904 (21)
Pe de altă parte cum fiecare dintre părțile corpului după secționare trebuie să fie
icircn echilibru sub acțiunea forțelor exterioare care le revin și a forțelor interioare introduse
rezultă
119894119889 = minus119890119889
119894119889 = minus119890119889
119894119904 = minus119890119889
119894119904 = minus119890119904 (22)
Combinacircnd (21) cu (22) rezultă
119894119889 = 119890119889
119894119889 = 119890119889
119894119904 = 119890119904
119894119904 = 119890119904 (23)
Fig 210 Forțe interioare
Relațiile (22) și (23) permit determinarea componentelor torsorului de reducere
al forțelor interioare din (23) rezultă componentele torsorului forțelor interioare care
acționează icircn secțiunea Ad sunt egale cu componentele torsorului de reducere al forțelor
exterioare de pe partea din stacircnga din (22) rezultă componentele torsorului forțelor
interioare care acționează icircn secțiunea Ad sunt egale și de sens contrar cu componentele
torsorului de reducere al forțelor exterioare de pe partea din dreapta
Observații
1 Torsorul forțelor interioare diferă de la o secțiune la alta dar pentru aceeași
secțiune el este unic și trebuie să respecte condițiile de compatibilitate a deformațiilor
2 Reducacircnd forțele interioare icircn centrul de greutate al secțiunii s-a făcut o
aproximare icircn ceea ce privește efectul modului de dispunere al forțelor
3 Punctul de reducere trebuie să fie
pentru forțele interioare normale la secțiune centrul de greutate
pentru forțele interioare tangente la planul secțiunii centrul de răsucire sau de
tăiere
243 Eforturi
Prin metoda secțiunilor am pus icircn evidență existența forțelor interioare și modul
icircn care se determină componentele torsorului de reducere al forțelor interioare (119894119889 119894119889) de pe fața din dreapta secțiunii (Ad) Cele două componente ale torsorului de reducere al
forțelor interioare de pe Ad se pot descompune după axele unui sistem de referință
triortogonal xCyz astfel
119894119889 = +
119894119889 = 119909 +119872119894 (24)
unde și 119909 sunt proiecțiile lui 119894119889 și respectiv 119894119889 pe axa longitudinală Cx a
barei iar și 119894 sunt proiecțiile acelorași componente 119894119889 și respectiv 119894119889 pe planul yCz
al secțiunii transversale Ad figura 211
Fig 211 Torsorul de reducere al forţelor interioare
La racircndul lor și 119894 se pot descompune după axele sistemului yCz figura 212
= 119910 + 119911
119894 = 119894119910 + 119894119911 (25)
Fig 212 Descompunerea forţei tăietoare şi a momentului icircncovoietor
Cele șase componente ale torsorului de reducere al forțelor interioare ( 119910 119911
119909 119894119910 119894119911) orientate după axele sistemului de referință xCyz se numesc eforturi
Fiecare efort are o denumire stabilită icircn funcție de tipul de deformație pe care-l produce
De asemenea semnul plus (bdquo+rdquo) sau minus (bdquondashrdquo) al fiecărui efort nu depinde de sensul
pozitiv sau negativ al sistemului de axe ci doar de efectul icircn deformații al fiecărui efort
Denumirile celor șase eforturi sunt
119873 este forța axială
119879119910 119879119911 sunt forțe tăietoare orientate după axele Cy și respectiv Cz
119872119909 notat de cele mai multe ori cu 119872119905 este moment de torsiune sau de răsucire
119872119894119911 119872119894119910 sunt momente de icircncovoiere icircn jurul axei Cz și respectiv Cy
Forța axială 119873 poate fi forță axială de icircntindere cacircnd produce o lungire a
tronsonului pe a cărei față acționează (119873 gt 0) figura 213a sau forță axială de
compresiune cacircnd sub efectul ei bara se scurtează (119873 lt 0) figura 213b
Fig 213 Forța axială
Forțele tăietoare 119879119910 și 119879119911 au ca efect lunecarea secțiunii icircn centrul căreia
acționează icircn raport cu secțiunea icircnvecinată lunecare ce se produce pe direcția și icircn sensul
forței Sub acțiunea unei forțe tăietoare bara este solicitată la forfecare Forța tăietoare
este pozitivă 119879119910 gt 0 dacă icircn raport cu un punct oarecare K de pe axa Cx a barei tinde să
rotească secțiunea pe care acționează icircn sens orar
Fig 214 Forța tăietoare
Momentele de icircncovoiere 119872119894119911 și 119872119894119910 au ca efect o rotire a secțiunii icircn centrul
cărora acționează icircn jurul axei după care sunt orientate Icircn figura 215a se vede că
datorită momentului 119872119894119911 fibrele de deasupra axei Cz se alungesc icircn timp ce fibrele de sub
axa Cz se scurtează Fibrele care trec prin axa de icircncovoiere Cz nu se deformează sunt
fibre neutre la icircncovoiere adică axa neutră este Cz Icircn cazul momentului de icircncovoiere
119872119894119910 fibrele care nu se deformează sunt cele care trec prin axa neutră la icircncovoiere Cy
Momentele de icircncovoiere se consideră a fi pozitive (119872119894119911 gt 0119872119894119910 gt 0) dacă
observatorul care privește bara deformată vizualizează fibrele icircntinse
Fig 215 Momentul icircncovoietor
Momentul de torsiune sau de răsucire 119872119909 equiv 119872119905 are ca efect o rotire a secțiunii
icircn al cărei centru acționează icircn jurul axei longitudinale Cx Ca efect secțiunea icircși schimbă
forma (se deformează) adică unghiurile inițiale se modifică dreptunghiul inițial Ad
devine paralelogram Convențional se consideră 119872119905 gt 0 dacă vectorul moment are
aceeași orientare ca și sensul pozitiv ales pextru axa Cx Icircn figura 216 momentul este
negativ
Fig 216 Momentul de torsiune
25 Definiții și convenții de semne pentru eforturile
din secțiunile unei bare drepte plane icircncărcate cu sarcini coplanare
Vom considera o bară plană icircncărcată cu un sistem de forțe arbitrar figura 217
Ne propunem să determinăm eforturile care apar icircn secțiunea barei aflată la distanța 119909 de
reazemul din stacircnga (A)
Pentru aceasta vom aplica metoda secțiunilor vom secționa bara cu un plan
perpendicular pe axa longitudinală a barei și vom analiza doar partea din dreapta secțiunii
mărginită de fața Ad Pentru ca această porțiune de bară să fie icircn echilibru sub acțiunea
forțelor exterioare care acționează asupra sa 1198653 și 119881119861 va trebui să introducem icircn centrul
secțiunii Ad eforturile care pot să apară 119873 119879119910 119872119894119911 Acțiunea acestor eforturi trebuie să
fie echivalentă cu acțiunea forțelor exterioare aplicate pe partea icircnlăturată (parcursă) a
barei 119867119860 119881119860 1198651 1198652 1198720
Deoarece bara este plană și este icircncărcată doar cu sarcini ce aparțin
planului barei
icircn secțiunea Ad apar doar 3 componente ale torsorului de reducere al forțelor
interioare (eforturi)
- 119873 = forța axială
- 119879119910 = forța tăietoare pe care o vom nota cu 119879
- 119872119894119911 = momentul icircncovoietor notat cu Mi
Fig 217 Bară plană icircncărcată cu un sistem de forțe
Vom prezenta următoarele definiții corespunzătoare eforturilor din secțiunea Ad
119873 = forța axială dintr-o secțiune este egală cu suma algebrică a proiecțiilor pe
axa longitudinală a tuturor forțelor exterioare (sarcini și reacțiuni) aplicate pe partea
din stacircnga secțiunii adică pe porțiunea parcursă Forța axială 119873 este pozitivă dacă trage
de tronsonul pe a cărei față acționează (are orientarea normalei exterioare la secțiunea
Ad)
119873(119909) = minus119867119860 + 1198651119867 (26)
119879 = forța tăietoare icircntr-o secțiune este egală cu suma algebrică a proiecțiilor
pe o axă perpendiculară pe axa barei a tuturor forțelor exterioare (sarcini și reacțiuni)
aplicate pe porțiunea de bară aflată icircn stacircnga secțiunii considerate Forța tăietoare 119879
este pozitivă dacă tinde să rotească tronsonul pe a cărui față acționează icircn sens orar icircn
raport cu un punct de pe axa barei aflat la dreapta secțiunii
119879(119909) = 119881119860 minus 1198651119881 minus 1198652 (27)
119872119894 = momentul icircncovoietor icircntr-o secțiune este egal cu suma algebrică a
momentelor obținute prin reducerea tuturor forțelor exterioare ( cupluri sarcini
reacțiuni) aplicate pe porțiunea de bară aflată la stacircnga secțiunii icircn centrul secțiunii
considerate 119872119894 este considerat pozitiv dacă tinde să deformeze bara astfel icircncacirct fibrele
spre care privește un observator să fie icircntinse Cum poziția observatorului este de regulă
sub bară bara se deformează dacă 119872119894 gt 0 astfel icircncacirct partea jos a barei este icircntinsă Se
spune că bara deformată rdquoține apaldquo
119872119894(119909) = 119881119860 ∙ 119909 minus 1198651119881 ∙ (119909 minus 1198971) minus 1198652 ∙ [119909 minus (1198971 + 1198972)] + 1198720 (28)
Sensurile pozitive ale eforturilor care apar icircn centrul secțiunii Ad (deci atunci cacircnd
sensul de parcurs la aplicarea metodei secțiunilor este cel de la stacircnga la dreapta) sunt
indicate icircn figura 218a iar dacă sensul de parcurs este de la dreapta la stacircnga sensurile
pozitive ale eforturilor sunt indicate icircn figura 218b
Fig 218 Convenţia de semne
Definiții asemănătoare se pot da și pentru eforturile din centrul secțiunii As figura
218b adică pentru cazul icircn care sensul de parcurs este cel de la dreapta la stacircnga și deci
partea luată icircn considerare este cea din stacircnga iar partea parcursă din dreapta secțiunii
este icircnlăturată
119873(1199091) = 1198653119867
119879(1199091) = 1198653119881 minus 119881119861
119872119894(1199091) = 119881119861 ∙ 1199091 minus 1198653119881 ∙ (1199091 minus 1198975)
(29)
Avacircnd icircn vedere că fețele Ad și As aparțin aceleeași secțiuni este evident faptul că
eforturile 119873(119909) 119879(119909) și 119872119894(119909) sunt identice cu eforturile 119873(119961120783) 119879(119961120783) și respectiv
119872119894(119961120783) Icircn figura 218c se prezintă o sinteză a convențiilor de semne pozitive pentru cele
3 eforturi atacirct pentru sensul de parcurs de la stacircnga la dreapta (secțiunea Ad) cacirct și pentru
sensul invers (secțiunea As)
Semnele eforturilor sunt importante icircntrucacirct există materiale cu comportări diferite
la icircntindere față de compresiune iar o schimbare a semnului unui efort poate produce
erori grave icircn calcule Semnele eforturilor au fost stabilite icircn funcție de deformațiile
produse și nu depind de sensul axelor sistemului de coordonate
26 Relaţii diferenţiale icircntre eforturi şi sarcini
Pentru a vedea ce legătură există icircntre eforturi și sarcini vom considera o bară
dreaptă icircncărcată cu o sarcină distribuită după o lege oarecare figura 219a Din această
bară vom decupa prin dublă secționare un element de lungime infinit mică 119889119909 Deoarece
lungimea 119889119909 este foarte mică se poate considera sarcina 119901 uniform distribuită Icircn
secțiunile rezultate trebuie să introducem eforturile care pot apărea
- 119879 şi 119872119894 icircn centrul secțiunii din sticircnga eforturi pe care le considerăm pozitive
- 119879 + 119889119879 şi 119872119894 + 119889119872119894 icircn centrul secțiunii din dreapta elementului
Aceste eforturi au o variație mică (119889119879 şi 119889119872119894) față de secțiunea anterioară Spre
deosebire de cazul icircn care bara este secționată o singură dată icircn acest caz eforturile nu
pot fi determinate din cele 2 condiții de echilibru independente deoarece icircn ecuațiile de
echilibru apar 4 necunoscute 119879 119889119879119872119894 și 119889119872119894 deci că problema este dublu static
nedeterminată figura 219
Fig 219 Echivalența icircntre eforturi și sarcini
Ecuațiile de echilibru scrise pentru elementul din figura 219b conduc la stabilirea
unor relaţii foarte importante
(sum119865)119910= 0 hArr 119879 minus 119901 ∙ 119889119909 minus (119879 + 119889119879) = 0 rArr
119889119879
119889119909= minus119901 (210)
Relația (210) arată că derivata funcţiei forţei tăietoare icircn raport cu abscisa
secţiunii este egală cu sarcina distribuită normală la axa barei din acea secţiune luată
cu semn schimbat
Observații
dacă 119901 = 0 nu există sarcină distribuită atunci forța tăietoare T este constantă
icircnclinarea pantei diagramei forței 119879 este egală cu (ndash 119901) (sarcina distribuită cu
semn schimbat)
dacă 119901 = 119888119900119899119904119905 119879 variază liniar pe acel interval
Asemănător se deduce că derivata funcţiei forţei axiale icircn raport cu abscisa
secţiunii este egală cu sarcina distribuită axială din acea secţiune luată cu semn
schimbat adică
119889119873
119889119909= minus119901119867 (211)
Din condiția de echilibru suma de momente faţă de centrul de greutate al secţiunii
din dreapta
(sum119872)119862= 0 hArr 119872119894 minus (119872 + 119889119872119894) + 119879 ∙ 119889119909 minus 119901 ∙
(119889119909)2
2= 0 rArr
119889119872119894
119889119909= 119879 (212)
Relația (212) s-a obținut dupa reducerea termenilor și prin neglijarea infinitului
mic de ordinul 2
119901 ∙(119889119909)2
2
Relația (212) arată că derivata funcţiei moment icircncovoietor icircn raport cu abscisa
secţiunii este egală cu forţa tăietoare din acea secţiune
Observații
dacă 119879 = 0 momentul 119872119894 are un punct de extrem se obține o valoare maximă
pentru 119872119894119898119886119909 dacă forța tăietoare 119879 se anulează trecacircnd de la plus icircn stacircnga la minus icircn
dreapta secțiunii
dacă forța tăietoare este pozitivă pe un interval 119879 gt 0 atunci 119872119894 este crescătoare
pe acel interval
dacă forța tăietoare este negativă pe un interval 119879 lt 0 atunci 119872119894 este
descrescătoare pe acel interval
dacă pe un interval 119901 = 0 forța tăietoare este constantă 119879 = 119888119905 iar 119872119894 variază
liniar pe acel interval
dacă 119901 = 119888119900119899119904119905 119879 variază liniar pe acel interval iar 119872119894 variază parabolic pe
acel interval
Relaţiile diferenţiale sunt utile la reprezentarea corectă şi verificarea diagramelor
de eforturi astfel
pentru porţiunile de grindă pe care p = 0 eforturile N şi T sunt constante iar pe
porţiunile cu p = const eforturile N şi T variază liniar (relaţiile 211 şi 210)
dacă pe o porţiune T = const momentul icircncovoietor Miz variază liniar iar dacă
T variază liniar atunci momentul Miz variază parabolic (relaţia 212)
pe domeniile pe care T gt 0 funcţia Mi(x) este crescătoare iar icircn secţiunea icircn
care T = 0 (graficul funcţiei T intersectează axa x) momentul icircncovoietor are un punct
de extrem local (maxim sau minim relaţia 212)
Pentru rezolvarea problemelor referitoare la trasarea diagramelor de eforturi
pentru barele drepte solicitate de sisteme de forţe plane se parcurg următoarele etape
1) identificarea forţelor aplicate (date) şi pregătirea lor pentru calcule
(descompunerea forţelor concentrate pe direcţiile x şi y calculul rezultantelor forţelor
distribuite)
2) identificarea reazemelor şi introducerea reacţiunilor corespunzătoare (vezi
figurile 27divide29)
3) stabilirea ecuaţiilor de echilibru static calculul şi verificarea reacţiunilor Icircn
rezistența materialelor se folosește sistemul de ecuații (vezi figura 217)
(sum119865)
119909= 0
(sum119872)119860= 0
(sum119872)119861= 0
(213)
4) identificarea domeniilor de variaţie şi scrierea funcţiilor de eforturi pentru N T
şi Mi
5) reprezentarea grafică a diagramelor de eforturi
6) verificarea corectitudinii diagramelor pe baza relaţiilor diferenţiale icircntre eforturi
şi sarcini
Aplicație Pentru grinda dreaptă icircncărcată cu sistemul de forţe reprezentat icircn figura
220 se cere
a) să se calculeze şi să se verifice reacţiunile
b) să se stabilească funcţiile eforturilor Nx Ty şi Miz şi să se reprezinte diagramele
de variaţie
c) să se analizeze relaţiile diferenţiale icircntre eforturi şi sarcini
Dimensiunile grinzii au valorile a = 6 [m] b = 4 [m] și c = 4[m] sistemul de
forţe aplicat fiind format din p = 10 [kN mfrasl ] F = 20 [kN] (icircnclinată cu unghiul α =300 faţă de orizontală) şi M0 = 40 [kN ∙ m]
Rezolvare
a) Se fac următoarele precizări
grinda dreaptă se reprezintă prin axa geometrică
forţa icircnclinată F se descompune după direcţiile orizontală şi verticală icircn FV =F ∙ sin α = 10 [kN] şi FH = F ∙ cos α = 173 [kN]
forţa distribuită uniform p este echivalentă din punct de vedere static cu
rezultanta sa R = p ∙ a = 60 [kN] care acţionează la jumătatea porţiunii de lungime a
icircn reazemele 119860 şi 119861 se introduc componentele HA şi VA respectiv VB ale
reacţiunilor
Pentru calculul reacţiunilor se utilizează ecuaţiile de echilibru static al grinzii
sumXi = 0 HA minus FH = 0 sumYi = 0 VA + VB minus R minus FV = 0 (sumM)B = 0 VA ∙ (b + a) minus R ∙ (b + 05 ∙ a) minus M0 + FV ∙ c = 0
(A1)
Din prima ecuaţie se obţine HA iar din cea de-a treia ecuaţie rezultă VA
HA = FH = 173 [kN]
VA =[R ∙ (b + 05 ∙ a) + M0 minus FV ∙ c]
(b + a)=[60 ∙ (4 + 05 ∙ 6) + 40 minus 10 ∙ 4]
(4 + 6)
VA = 42 [kN]
(A2)
Fig 220 Aplicație
Se observă că cea de-a doua ecuaţie de echilibru conţine două necunoscute
reacţiunile VA şi VB Pentru a calcula componenta VB nu este indicată introducerea lui VA
icircn cea de-a doua ecuaţie a sistemului (A1) pentru că o valoare determinată greşit pentru
VA conduce la o valoare VB de asemenea greşită O ecuaţie independentă din care se poate
determina componenta VB este următoarea
(sumM)A= 0 FV ∙ (a + b + c) minus VB ∙ (a + b) minus M0 + R ∙ 05 ∙ a = 0 (A3)
de unde se obţine
VB =[FV ∙ (a + b + c) minusM0 + R ∙ 05 ∙ a]
(b + a)=[10 ∙ (6 + 4 + 4) minus 40 + 60 ∙ 05 ∙ 6]
(6 + 4)
VB = 28 [kN] (A4)
Ecuaţia de proiecţii ale forţelor pe direcţia verticală (a doua ecuaţie din sistemul
A1) se utilizează pentru verificarea reacţiunilor deja determinate
VA + VB minus R minus FV = 0 rArr 42 + 28 minus 60 minus 10 = 0 (A5)
Ultima egalitate demonstrează că reacţiunile verticale au fost calculate corect
Din cele de mai sus rezultă ordinea firească pentru determinarea reacţiunilor icircn
cazul grinzilor simplu rezemate
sumXi = 0
(sumM)A = 0
(sumM)B = 0
(A6)
iar pentru verificarea componentelor verticale VA şi VB se folosește ecuaţia sumY = 0
b) La stabilirea funcţiilor de eforturi se parcurg icircn general etapele următoare
se notează (numeric sau literal după preferinţă) secţiunile care delimitează
domeniile (intervalele sau tronsoanele) pe care eforturile nu-şi modifică funcţiile (au legi
unice de variaţie)
pe fiecare domeniu se marchează secţiunea imaginară icircn care se stabilesc
funcţiile eforturilor
secţiunea astfel aleasă separă icircn două părţi grinda şi anume porţiunea din stacircnga
şi porţiunea din dreapta secţiunii
se va considera parcursă (şi icircndepărtată) acea parte pe care acţionează mai puţine
sarcini exterioare pentru că acestea vor interveni icircn expresiile funcţiilor de eforturi
poziţiile secţiunilor imaginare se vor determina prin variabilele x1 ⋯ xn (unde
n reprezintă numărul domeniilor de variaţie) cu originea fixată icircn capătul intervalului şi
sensul de parcurgere spre partea considerată rămasă
Grinda prezentată icircn figura 220 are trei domenii de variaţie pentru funcţiile de
eforturi după cum urmează (A-1) (2-B) şi (B-1)
Domeniul (A-1) x1 isin [0 a = 6 m] Porţiunea parcursă şi considerată icircndepărtată este cea de coordonată x1 pe care
acţionează reacţiunile HA şi VA precum şi rezultanta parţială a sarcinii distribuite R1 =p ∙ x1
Funcţia forţă axială Nx are expresia
Nx(x1) = NAminus1 = minusHA = minus173 [kN] = const
(A7)
Funcţia forţă tăietoare Ty are exspresia
Ty(x1) = TAminus1 = VA minus R1 = VA minus p ∙ x1 (A8)
care reprezintă o variaţie liniară de variabilă x1 Se calculează valorile forţei tăietoare la
limitele intervalului de variaţie
- pentru x1 = 0 Ty(x1 = 0) = TA = VA = 42 [kN]
- pentru x1 = a = 6 [m] Ty(x1 = 6) = T1 = VA minus p ∙ a = minus18 [kN]
Observaţie Aşa cum a fost stabilită secţiunea fictivă poziţionată prin coordonata
x1 sar părea că rezultanta R ar trebui luată icircn calculul lui Ty(x1) Acest lucru ar fi greşit
pentru că R = p ∙ a reprezintă rezultanta sarcinii distribuite pe toată lungimea a iar
rezultanta pe porţiunea parcursă de lungime x1 este R1 = p ∙ x1 ne R = p ∙ a
Cu valorile obţinute se trasează diagramele forţelor axială Nx = f(x) şi tăietoare
Ty = f(x) figura 220 Din diagrama forţei tăietoare şi din valorile obţinute analitic se
observă că forţa tăietoare icircşi schimbă semnul pe intervalul analizat deci se anulează pe
acest interval Poziţia secţiunii unde Ty se anulează se determină din ecuaţia
Ty(x1) = 0 rArr VA minus p ∙ x1 = 0 (A9)
cu soluţia x1lowast = ξ = 42 [m] Important de reamintit că icircn această secţiune momentul
icircncovoietor va avea un extrem local adică Miz are un extrem la Ty = 0
Funcţia moment icircncovoietor Miz are expresia
Miz(x1) = VA ∙ x1 minus R1 ∙x12= VA ∙ x1 minus (p ∙ x1) ∙
x12
(A10)
Se observă că funcţia moment icircncovoietor de variabilă x1 are o variaţie parabolică
(gradul al II-lea) Pentru reprezentarea grafică a funcţiei parabolice se calculează valorile
momentului icircncovoietor icircn trei secţiuni
- pentru x1 = 0 Miz(x1 = 0) = MA = 0 [kN ∙ m] - pentru x1 = a = 6 [m] Miz(x1 = 6) = M1 = 72 [kN ∙ m] - pentru x1
lowast = ξ = 42 [m] Miz(x1lowast = ξ = 42 [m]) = Mimax = 882 [kN ∙ m]
Cu acestea se trasează diagrama Miz = f(x) pe intervalul (A-1) figura 220
Observaţie Icircn unele cazuri pe un anumit interval forţa tăietoare nu se anulează
şi momentul icircncovoietor nu are un extrem local Icircn acest caz pentru reprezentarea
variaţiei parabolice a momentului icircncovoietor se va studia semnul derivatei a doua a
funcţiei Miz = f(x1) acesta determinacircnd convexitatea curbei momentului icircncovoietor
Domeniul (2-B) x2 isin [0 c = 4 m] Porţiunile din grindă libere (nerezemate) la un capăt se numesc console iar
stabilirea funcţiilor de eforturi devine mai simplă dacă se consideră icircndepărtată partea din
dreapta secţiunii prin schimbarea sensului pozitiv al axei x Astfel se obţin funcţiile eforturilor
Funcţia forţă axială Nx are expresia
Nx(x2) = N2minusB = minusFH = minus173 [kN] = const
(A11)
Funcţia forţă tăietoare Ty are exspresia
Ty(x2) = T2minusB = FV = 10 [kN] = const (A12)
Funcţia moment icircncovoietor Miz are expresia
Miz(x2) = minusFV ∙ x2 rArr Miz(x2 = 0) = M2 = 0 [kN ∙ m]
Miz(x2 = 4) = MB = minus40 [kN ∙ m] (A13)
variaţie liniară (gradul I)
Domeniul (B-1) x3 isin [0 b = 4 m] Pe acest domeniu se acceptă parcurgerea grinzii de la dreapta adică se consideră
icircndepărtată partea din dreapta secţiunii fictive pentru că are doar două sarcini aplicate F
şi VB faţă de partea din stacircnga secţiunii pe care sunt aplicate trei sarcini p VA şi M0
Astfel se obţin funcţiile eforturilor
Funcţia forţă axială Nx are expresia
Nx(x3) = NBminus1 = minusFH = minus173 [kN] = const
(A14)
Funcţia forţă tăietoare Ty are exspresia
Ty(x3) = TBminus1 = FV minus VB = minus18 [kN] = const (A15)
Funcţia moment icircncovoietor Miz are expresia
Miz(x3) = minusFV ∙ (x3 + c) + VB ∙ x3 rArr
rArr Miz(x3 = 0) = MB = minus40 [kN ∙ m]
Miz(x3 = 4) = M1 = 32 [kN ∙ m]
(A16)
variaţie liniară (gradul I)
Diagramele eforturilor sunt prezentate icircn figura 220
c) Relaţiile diferenţiale dintre eforturi şi sarcini se analizează pe diagramele
eforturilor după cum urmează
sarcina distribuită nu are componentă orizontală adică ph = 0 şi icircn
conformitate cu formula (211) rezultă că Nx = const pe toată lungimea grinzii fapt care
a rezultat din funcţia şi reprezentarea diagramei forţei axiale
pe intervalul (A-1) sarcina distribuită are doar componenta verticală pozitivă
pV = p gt 0 prin urmare forţa tăietoare scade (are panta negativă dTy 119889119909frasl = minusp vezi
relaţia 210) iar momentul icircncovoietor avacircnd derivata a doua negativă d2M119894119911 1198891199092frasl =minuspare convexitatea curbei orientată spre sensul pozitiv al axei momentului Miz adică icircn
jos
pe domeniile (2-B) şi (B-1) deoarece pv = 0 forţa tăietoare Ty este constantă
iar momentul icircncovoietor Miz variază liniar
referitor la relaţia (212) pe porţiunile unde Ty gt 0 momentul Miz este
monoton crescător pe porţiunile unde Ty lt 0 momentul Miz este monoton descrescător
iar icircn secţiunea icircn care Ty = 0 momentul icircncovoietor are un extrem local Mξ =
882 [kN ∙ m] icircn diagrama forţei tăietoare discontinuităţile (salturile) se produc icircn secţiunile
unde acţionează VA VB şi FV iar icircn diagrama momentului icircncovoietor se produce un
singur salt icircn secţiunea icircn care este aplicat M0
se poate scrie
Mξ = suprafața diagramei Ty |ξ0=1
2∙ 42 ∙ 42 = 882 [kN ∙ m]
sau parcurgacircnd grinda de la dreapta la stacircnga rezultă
MB = minussuprafața diagramei Ty |c0= minus10 ∙ 4 = minus40 [kN ∙ m]
Toate aspectele analizate teoretic referitoare la relaţiile diferenţiale dintre eforturi
şi sarcini se regăsesc icircn diagramele de eforturi din figura 220 ceea ce icircnseamnă că
diagramele au fost reprezentate corect
3 TENSIUNI DEPLASĂRI ŞI DEFORMAŢII SPECIFICE
31 Tensiuni
Eforturile obținute icircn urma reducerii forțelor interioare icircn centrul de greutate al
secțiunii nu pot da informații asupra solicitării fiecărui punct al secțiunii respective Este
necesar să se cunoască modul cum se distribuie forțele interioare icircn fiecare punct al
secțiunii pentru a ști care este intensitatea maximă a solicitării Această intensitate
maximă se poate compara cu o valoare critică specifică materialului stabilindu-se astfel
dacă solicitarea este periculoasă sau nu
Mărimea care caracterizează solicitarea locală punctuală o vom denumi tensiune
și o vom defini icircn cele ce urmează Să considerăm partea din dreapta a unui corp solicitat
de forțele exterioare 1198651 1198652 și 1198653 obținută prin secționarea corpului și mărginită de fața
din dreapta Ad a secțiunii Pe secțiunea Ad vom considera un element de arie infinit mic
∆119860 caracterizat de normala la elementul de arie normală care are cosinușii directori
120573 și icircn raport cu un sistem de axe considerat fix Pe elementul infinit mic ∆119860 acționează
forțele interioare care au o rezultantă oarecare figura 31
Prin definiție tensiunea totală este
= lim∆119860rarr0
∆
∆119860 (31)
Tensiunea are aceeaşi direcţie cu forţa elementară ∆ iar mărimea ei este
determinată atacirct de mărimea forţei ∆ cacirct şi de orientarea suprafeţei ∆119860 faţă de direcţia
forţei
Tensiunea 119901 poate fi descompusă icircntr-o componentă orientată după direcţia
normalei la secţiune tensiunea normală notată cu 120590119909 şi o componentă icircn planul secţiunii
tensiunea tangenţială notată cu figura 32
= 119909 + 120591 (32)
Fig 31 Tensiunea totală Fig 32 Tensiunea normală și tangențială
La racircndul ei componenta tensiunii cuprinsă icircn planul secțiunii poate fi
descompusă după direcțiile axelor y și z
120591 = 120591119909119910 + 120591119909119911 (33)
Icircntre cele trei componente ale tensiunii totale care acționează pe elementul de arie
∆119860 este valabilă relația
1199012 = 1205901199092 + 120591119909119910
2 + 1205911199091199112 (34)
După sensul pe care icircl are tensiunea normală 120590 poate avea efect de tracţiune sau
de compresiune exercitat de către partea de corp icircnlăturată asupra părţii rămase Analog
tensiunea tangenţială 120591 poate avea efect de tăiere forfecare sau alunecare Pentru
componentele tensiunii tangențiale 120591119909119910 pe direcţia 119910 respectiv 120591119909119911 pe direcţia 119911 primul
indice indică axa pe care tensiunea este normală iar cel de-al doilea indice indică axa cu
care aceasta este paralel
Tensiunea este o mărime tensorială valoarea ei depinzacircnd atacirct de poziția
punctului icircn planul secțiunii cicirct și de orientarea planului de secționare deci de normala
Operaţiile vectoriale nu pot fi aplicate tensiunilor decacirct după ce acestea au fost icircnmulţite
cu ariile respective adică au fost transformate icircn forţe
Icircn literatura de specialitate mai ales icircn manualele mai vechi pentru noţiunea de
tensiune se mai foloseşte şi denumirea de efort specific
Dacă se consideră un alt element de arie ∆119860 cu centrul icircn același punct avacircnd ca
normală axa 119910 se vor obține alte tensiuni și anume
- 120590119910 este tensiunea normală (paralelă cu axa y)
- 120591119911119909 și 120591119910119911 sunt tensiuni tangențiale paralele cu axele 119909 și respectiv 119911 aflate icircn
planul care are ca normală axa 119910
Dacă icircn jurul unui punct dintr-un corp solicitat se consider un element de volum
infinit mic de forma unui cub icircn cazul cel mai general pe fețele sale vor acționa
tensiunile normale 120590119909 120590119910 și 120590119911 și respectiv tensiunile tangențiale 120591119909119910 120591119909119911 120591119910119909 120591119910119911 120591119911119909
și respectiv 120591119911119910 figura 33 Aceste tensiuni definesc starea de tensiune a punctului
observacircnd faptul că tensorul tensiune are 9 componente Dacă se consideră elementul
de volum finit ca fiind foarte mic se poate presupune că icircn interiorul său nu apar forțe
Ca urmare el va fi icircn echilibru sub acțiunea forțelor elementare produse de tensiunile de
pe fețele sale
Din condiția ca elementul să nu se rotească icircn jurul unor axe care trec prin centrul
său și sunt paralele cu axele sistemului 119909119874119910119911 rezultă
2 ∙ 120591119909119910 ∙ (119889119910 ∙ 119889119911) ∙119889119909
2= 2 ∙ 120591119910119909 ∙ (119889119909 ∙ 119889119911) ∙
119889119910
2 rArr 120591119909119910 = 120591119910119909 (35)
2 ∙ 120591119910119911 ∙ (119889119909 ∙ 119889119911) ∙119889119910
2= 2 ∙ 120591119911119910 ∙ (119889119909 ∙ 119889119910) ∙
119889119911
2 rArr 120591119910119911 = 120591119911119910 (36)
2 ∙ 120591119909119911 ∙ (119889119910 ∙ 119889119911) ∙119889119909
2= 2 ∙ 120591119911119909 ∙ (119889119909 ∙ 119889119910) ∙
119889119911
2 rArr 120591119909119911 = 120591119911119909 (37)
Relațiile (35divide37) 120591119909119910 = 120591119910119909 120591119910119911 = 120591119911119910 120591119909119911 = 120591119911119909 exprimă principiul dualității
tensiunilor tangențiale
Fig 33 Tensiunile normale și tangențiale pe fețele unui cub
Din condiția ca elementul considerat să nu se deplaseze icircn lungul axelor de
coordonate pe fețele opuse acționează aceleași tensiuni normale 120590119909 120590119910 și respectiv 120590119911
Definirea tensorului tensiune este posibilă dacă se cunosc cele 6 componente
independente ale acestuia aflate icircn trei plane perpendicular ce trec prin punctul respectiv
=
120590119909 120591119909119910 120591119909119911120591119910119909 120590119910 120591119910119911120591119911119909 120591119911119910 120590119911
Observaţii
Tensiunile se măsoară icircn [119873 1198982frasl ] (1119873 1198982frasl = 1 119875119886) sau icircn [119872119875119886]
(1 119872119875119886 = 106119875119886 = 106 119873
1198982 1 119872119875119886 = 1
119873
1198981198982)
Starea de tensiune dintr-un punct este considerată cunoscută dacă se cunosc
tensiunile 119901 care acționează pe infinitatea de elemente de suprafață ce trec prin punctual
considerat
Starea de tensiune a unui corp se consider cunoscută dacă se cunosc stările de
tensiune de pe infinitatea de puncte ale corpului considerat
32 Deplasări Deformaţii specifice
321 Deplasări
Aceste noțiuni sunt utile icircn analiza aspectului geometric al problemelor de rezistența
materialelor Deplasările care se analizează sunt cele datorate schimbării formei și
dimensiunilor corpurilor ca urmare a acțiunii forțelor exterioare și nu cele cinematice
posibile pentru solidul rigid care se poate deplasa cu anumită viteză și accelerație
Spre exemplu icircn figura 34a și figura 34b sub acțiunea forței 119865 tronsonul de
bară AB se deformează icircn timp ce tronsonul BC deși punctele sale au deplasări rămacircne
nedeformat (fiind nesolicitat) Toate punctele de pe axele barelor cu excepția celor din
icircncastrare (secțiunile A) au deplasări liniare De cele mai multe ori deformațiile barelor
datorate acțiunii forțelor exterioare se anulează la icircndepărtarea forțelor se spune că
deformațiile sunt elastice Secțiunile transversale ale barei din figura 34a se și rotesc icircn
raport cu pozițiile lor inițiale Spre exemplu secțiunea de căpăt cu centrul icircn C se rotește
cu unghiul
Fig 34 Deformațiile unei grinzi
Oricacirct de complexă ar fi delormația unui corp ea poate fi descrisă de lungiri sau
scurtări și de modificări ale unghiurilor inițiale
Deplasările măsoară schimbarea poziției unui punct al corpului și pot fi liniare
sau unghiulare
Prin deplasare liniară a unui punct se icircnțelege drumul parcurs de acest punct icircn
decursul procesului de deformație după o dreaptă suport dreapta 1198611198611 din figura 34a
Prin deplasare unghiulară se icircnțelege rotirea dintre segmentele de dreaptă
determinate de două puncte ale corpului icircnainte și după deformarea acestuia unghiul
pe care-l fac segmentele 119861119862 și 11986111198621 din figura 34a Această rotire se măsoară prin
unghiul pe care-l fac proiecțiile dreptelor ce conțin cele două segmente icircntr-un sistem
triortogonal
Icircn cazul cel mai general vectorul deplasare liniară se poate descompune icircntr-un
sistem triortogonal icircn trei componente 119906 119907 și 119908 figura 35
Fig 35 Deplasarea liniară
Se consideră acum un corp solid raportat la un sistem de axe ortogonal 119909119874119910119911
figura 35 după deformarea corpului un punct oarecare 119870 al acestuia se deplasează icircn
poziţia 1198701 vectorul 1198701198701 poartă numele de vectorul deplasării totale
Deplasarea totală este suma deplasărilor pe cele trei direcţii ortogonale iar
aceste deplasări se notează astfel
deplasarea pe direcţia 119909 cu ∥ 119874119909
deplasarea pe direcţia 119910 cu ∥ 119874119910
deplasarea pe direcţia 119911 cu ∥ 119874119911
Componentele deplasărilor și formeză matricea deplasărilor liniare 119906119907119908
322 Deformații
Prin deformație icircn general se icircnțelege orice schimbare de formă a unui corp fără
o evaluare cantitativă Icircn Rezistența Materialelor deformația măsoară variația
dimensiunilor geometrice ale corpului considerat din vecinătatea unui punct analog
deplasărilor deformațiile pot fi liniare și unghiulare (lunecări)
Fig 36 Deplasarea liniară
Deformația liniară ∆119897 reprezintă variația lungimii 119897 a unui element liniar al
corpului deformat figura 36 Deformația liniară specifică se definește ca fiind raportul
dintre deformația liniară și lungimea inițială
휀 =∆119897
119897 (38)
unde ∆119897 este lungirea sau scurtarea care este echivalentă cu deformția liniară totală iar
este alungirea
Deformația unghiulară sau lunecarea unui punct 119860 icircn planul 119861119860119862 se definește
prin relația figura 37
120574 = lim119861119860rarr0119862119860rarr0
(119861119860 minus 119861111986011198621 ) (39)
Fig 36 Deformația unghiulară
Schimbacircnd orientarea planului care trece prin 119860 se obțin alte deformații
unghiulare Dacă elementele liniare 119861119860 și 119862119860 sunt inițial perpendiculare deformația 120574 se
numește deformație unghiulară specifică sau lunecare specifică figura 37
Un exemplu de deplasare unghiulară și de deformație unghiulară este prezentat icircn
figura 38 Unghiul este deplasarea unghiulară și măsoară rotirea relativă dintre două
secțiuni aflate la distanța 119897 Unghiul este deformația specifică unghiulară (lunecarea
specifică) din punctul 119870 Aceste deplasări și deformații se obțin icircn urma solicitării barei
de către cele două momente 1198720 egale și de sens contrar
Fig 38 Deplasarea unghiulară
Pentru a analiza starea de deformație din vecinătatea unui punct al unui corp
solicitat complex se decupează din jurul punctului un element de volum mic figura 39a
avacircnd laturile 119889119909 119889119910 și 119889119911 Ca urmare a solicitării laturile acestuia se vor lungi sau
scurta Reprezentarea elementului deformat icircn spațiu este dificilă pentru simplificare
vom analiza doar deformațiile din planul 119909119874119910 Observăm că dimensiunile 119889119909 și 119889119910 s-au
modificat cu valoarea ∆119889119909 respectiv cu ∆119889119910 analog se acceptă și pentru 119889119911 o modificare
de forma ∆119889119911 Astfel se pot defini deformațiile specifice liniare
휀119909 =∆119889119909
119889119909 휀119910 =
∆119889119910
119889119910 휀119911 =
∆119889119911
119889119911 (310)
De cele mai multe ori aceste deformații specifice liniare se pot exprima procentual
și se mai numesc alungiri
Fig 39 Starea de deformație
Icircn figura 39c se vede că unghiul inițial drept dintre muchiile 119889119909 și 119889119910 ale
elementului de volum s-a modificat Se definește deformația specifică unghiulară (sau
lunecarea specifică) mărimea cu care se modifică unghiul inițial drept
120574119909119910 = 120574119909119910prime + 120574119910119909
prime = 120574119910119909120574119910119911 = 120574119910119911
prime + 120574119911119910prime = 120574119911119910
120574119911119909 = 120574119911119909prime + 120574119909119911
prime = 120574119909119911
(311)
Deformațiile 휀119909 휀119910 휀119911 120574119909119910 120574119910119911 120574119911119909 constituie cele șase componente
independente ale tensorului deformațiilor specifice care pot fi scrise de forma
119863 =
휀119909 120574119909119910 120574119909119911120574119910119909 휀119910 120574119910119911120574119911119909 120574119911119910 휀119911
(312)
323 Contracţia transversală
Practica arată că odată cu lungirea unei bare apare o micşorare a mărimii secţiunii
transversale mărime numită contracţie transversală figura 310
Fig 310 Contracția transversală
Contracţia transversală este proporţională cu lungirea specifică coeficientul de
proporţionalitate se notează cu 120599 şi se numeşte coeficient de contracţie transversală sau
coeficientul lui Poisson
La o lungire specifică a barei contracţia transversală este dată de relația
휀119905119903 = 휀119910 = 휀119911 = minus120599 ∙ 휀119909 (313)
Semnul minus bdquo-rdquo arată că cele două mărimi sunt contrare dacă una creşte cealaltă
scade şi invers
Considerăm o bară cilindrică de lungime 119897 şi aria secţiunii transversale 119860 solicitată
la icircntindere axială La un moment dat datorită solicitării lungimea barei devine
[119897 ∙ (1 + 휀)] diametrul devine [119889 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)] iar aria secţiunii transversale devine
[119860 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)2] Dacă volumul barei icircnainte de solicitare a fost (119860 ∙ 119897) după solicitare
acesta devine
119881 + ∆119881 = 119860 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)2 ∙ 119897 ∙ (1 + 휀) =
= 119860 ∙ 119897 ∙ (1 + 휀 minus 2 ∙ 120599 ∙ 휀 minus 2 ∙ 120599 ∙ 휀2 + 1205992 ∙ 휀2 + 1205992 ∙ 휀3) (314)
Deoarece lungirile sunt foarte mici ultimii trei termeni din paranteză fiind infinit mici se pot neglija obţinacircnd
119881 + ∆119881 = 119860 ∙ 119897 + 119860 ∙ 119897 ∙ 휀 ∙ (1 minus 2 ∙ 120599) ⟺ ∆119881 = 휀 ∙ (1 minus 2 ∙ 120599) ∙ 119860 ∙ 119897 (315)
Practica arătă că o astfel de bară solicitată la icircntindere icircşi măreşte volumul deci
∆119881 gt 0 de unde rezultă că
1 minus 2 ∙ 120599 gt 0 rArr 120599 lt 05 (316)
Pentru majoritatea materialelor 120599 = 033 iar pentru materialele care-şi păstrează
volumul constant 120599 = 05
33 Relaţii de echivalenţă icircntre eforturi şi tensiuni
Considerăm un element de suprafață infinit mic 119889119860 situat pe fața de arie (119860) a
secțiunii barei din figura 311 Icircn centrul de greutate 119862 al secțiunii acționează eforturile
119873 119879119910 119879119911 119872119909 119872119894119910 și 119872119894119911 determinate prin metoda secțiunilor
Icircn raport cu un sistem de axe de referință 119909119862119910119911 coordonatele elementului 119889119860 sunt
- 119910 este ordonata elementului de arie 119889119860
- 119911 este abscisa elementului de arie 119889119860
Pe elementul de arie 119889119860 acționează tensiunile
120590119909 tensiunea normală
120591119909119910 și 120591119909119911 tensiuni tangențiale
Dacă se icircnsumează forțele elementare de tipul 120590119909 ∙ 119889119860 120591119909119910 ∙ 119889119860 și 120591119909119911 ∙ 119889119860
va trebui să obținem eforturile 119873 119879119910 și 119879119911
Fig 311 Element de suprafață mic din secțiunea unei bare
Dacă eforturile sunt privite ca forțe exterioare și se scriu ecuațiile de
echilibru ale secțiunii (119860) se vor obține șase relații de echivalență icircntre eforturi și
tensiuni
(sum119883) = 0 rArr int 120590119909 ∙ 119889119860
119860
= 119873 (317)
(sum119884) = 0 rArr int 120591119909119910 ∙ 119889119860
119860
= 119879119910 (318)
(sum119885) = 0 rArr int 120591119909119911 ∙ 119889119860
119860
= 119879119911 (319)
(sum119872)119909= 0 rArr int(120591119909119911 ∙ 119889119860) ∙ 119910
119860
minus int(120591119909119910 ∙ 119889119860) ∙ 119911
119860
= 119872119909 rArr
rArr int(119910 ∙ 120591119909119911 minus 119911 ∙ 120591119909119910) ∙ 119889119860
119860
= 119872119909
(320)
(sum119872)119910= 0 rArr int(120590119909 ∙ 119889119860) ∙ 119911
119860
= 119872119894119910 (321)
(sum119872)119911= 0 rArr int(120590119909 ∙ 119889119860) ∙ 119910
119860
= 119872119894119911 (322)
Cele șase relații de echivalență icircntre eforturi și tensiuni constituie un pas icircnainte
icircn rezolvarea unei probleme de rezistența materialelor Aceste relații vor permite
determinarea tensiunilor maxime
Pentru a rezolva cele 6 relații de echivalență trebuie să se cunoască tensiunile și
ca funcții de punct adică funcții de forma
120590119909 = 120590119909(119909 119910 119911) 120591119909119910 = 120591119909119910(119909 119910 119911) 120591119909119911 = 120591119909119911(119909 119910 119911) (32
3)
Cunoașterea acestor funcții presupune icircnsă analizarea aspectului geometric al
problemei precum și utilizarea unor ipoteze simplificatoare care să permită simplificarea
problemelor
34 Ipoteze de bază icircn rezistenţa materialelor
Depășirea dificultăților legate de interpretarea unor fenomene specifice mecanicii
solidului deformabil a impus acceptarea unor ipoteze care să simplifice fenomenele și să
contribuie la elaborarea unor modele de calcul cicirct mai generale și cacirct mai simple Aceste
ipoteze se referă la structura materialelor şi la comportarea lor sub acţiunea forţelor
exterioare Ipotezele acceptate trebuie să fie icircn deplină concordanţă cu realitatea și să
conducă la rezultate verificate icircn practică
Funcție de aspectele la care se referă ipotezele pot fi
Ipoteze fizice (de material)
Ipoteze de calcul
341 Ipoteze fizice
Se acceptă deoarece teoriile structurale au condus la rezultate care contravin
icircncercărilor experimentale
Ipoteza mediului continuu consideră că orice domeniu elementar al corpului
este ocupat de materie adică nu se acceptă existența unor goluri sau a unor crăpături
microscopice (fisuri) Deși nu corespunde realităţii poate fi acceptată deoarece
dimensiunile corpului sunt mult mai mari decacirct dimensiunile particulelor elemantare Are
avantajul că permite utilizarea proprietăților matematice ale funcțiilor continue pentru
tensiunile și deformațiile din orice punct al corpului Ea este mai apropiată de realitate la
corpurile amorfe şi mai depărtată la cele cristaline dar conduce la rezultate satisfăcătoare
icircn calculele de rezistenţă
Ipoteza nu se poate aplica la corpurile care au goluri tăieturi (multiplu conexe)
pentru unele puncte singulare icircn care tensiunile și deformațiile tind la infinit sau icircn unele
probleme de plasticitate icircn care proprietățile de material au un rol esențial
Ipoteza izotropiei conform acestei ipoteze materialul din care este confecționat
un element de rezistență are aceleași proprietăți după orice direcție un astfel de material
este considerat izotrop Din punct de vedere macroscopic metalele pot fi considerate
izotrope deși la nivel microscopic proprietățile lor diferă de la o direcție cristalografică
la alta Orice conglomerat de cristale poate fi considerat izotrop
Există cazuri cacircnd această ipoteză a izotropiei nu se acceptă
la metalele puternic deformate după o direcție (prin laminare trefilare)
la piesele confecționate din lemn lemnul este anizotrop deoarece proprietățile sale
diferă după două direcții (icircn lungul fibrelor și perpendicular pe această direcție)
Ipoteza omogenității consideră că un corp are aceleași proprietăți icircn orice
punct al său Deși majoritatea materialelor utilizate icircn tehnică sunt eterogene la scară
micro fiind constituite din mai multe faze cu proprietăți diferite la scară macro ele pot
fi considerate omogene Omogenitatea și izotropia sunt proprietăți statistice medii care
nu se condiționează una pe cealaltă Chiar și materialele monofazice pot avea la scară
micro unele segregații care le fac eterogene
Ipoteza elasticităţii perfecte presupune că atacircta timp cacirct solicitările nu
depăşesc anumite limite materialul are o comportare elastică adică icircşi recapătă forma şi
dimensiunile iniţiale odată cu icircnlăturarea sarcinilor Icircn realitate materialele nu prezintă o
elasticitate perfectă ele avacircnd deformaţii remanente mici care icircnsă pot fi neglijate icircn
calculele de rezistenţă
Acceptarea acestei ipoteze a elasticității perfecte permite
- aplicarea relației biunivoce icircntre tensiuni și deformații relație exprimată de legea
lui Hooke ( = 119864 ∙ 휀) unde E este un factor de proporţionalitate numit modul de
elasticitate longitudinal al materialului pentru oţel 119864 = 21 ∙ 105 [119872119875119886] - acceptarea valabilității afirmației bdquolucrul mecanic efectuat de forțele exterioare
ca urmare a parcurgerii deplasărilor punctelor de aplicație se icircnmagazinează integral icircn
corp sub formă de energie de deformație energie cedată la icircndepărtarea sarcinilorrdquo
- este valabilă teoria conform căreia bdquoenergia icircnmagazinată și deformațiile depind
doar de starea inițială și finală de eforturi fără a ține cont de modul icircn care s-a ajuns la
starea finalărdquo
Icircn realitate oricacirct de mici ar fi sarcinile aplicate se produc și deformații plastice
dar acestea pot fi neglijate dacă solicitarea nu depășește anumite limite
342 Ipoteze de calcul
Ipoteza micilor deplasări bdquodeplasările datorate deformării sunt mult mai mici
decacirct dimensiunile corpurilor și ca urmare pot fi neglijate produsele dintre o deplasare și
ea icircnsăşirdquo Pentru cele mai multe corpuri deformaţiile elastice sunt de mărimi mici deci
corpurile solide sub acţiunea sarcinilor icircşi modifică foarte puţin forma iniţială Această
ipoteză este cunoscută şi sub denumirea de ipoteza menţinerii dimensiunilor iniţiale Ea
permite scrierea ecuaţiilor de echilibru ale staticii pe starea nedeformată a elementului
cacircnd nu se iau icircn considerare deplasările punctelor de aplicaţie ale forţelor care se produc
ca urmare a deformării acestuia Calculul efectuat pe schema nedeformată poartă numele
de calcul de ordinul I
Ipoteza micilor deplasări nu poate fi acceptată pentru studiul problemelor de
stabilitate sau la problemele la care nu pot fi icircndeplinite condiţiile de echilibru icircn starea
nedeformată
Calculul de ordinul II admite ipoteza micilor deplasări dar ecuaţiile de echilibru
se scriu icircnsă pentru starea deformată a elementului de rezistenţă
Calculul de ordinul III nu mai acceptă ipoteza micilor deplasări el referindu-se
la cazul deformaţiilor mari cacircnd ecuaţiile de echilibru trebuie scrise pentru starea
deformată
Chiar dacă materialul satisface legea lui Hooke icircn urma calculelor de ordinul II
se obţin de obicei relaţii neliniare icircntre sarcini şi deplasări iar pentru calculul de ordinul
III rezultă ecuaţii diferenţiale neliniare
Principiul efectului local al acțiunii sarcinilor enunțat de Barre de Saint-
Venant Acest principiu destul de folosit icircn Rezistenţa Materialelor precizează că dacă
se icircnlocuiesc forţele care acţionează asupra unui element de suprafață al unui corp
elastic printr-un alt sistem de forţe echivalent din punct de vedere static cu primul noua
distribuţie a forţelor produce la locul de aplicare diferenţe semnificative faţă de prima
dar rămacircne fără efect sau cu efect neglijabil la distanţe mari de locul de aplicare al
forţelor figura 312
Ca o cosecință o sarcină uniform distribuită figura 312a poate fi icircnlocuită cu
rezultanta ei figura 312b dacă se analizează efectul sarcinii la distanță mare de locul icircn
care se aplică sarcina
Fig 312 Principiul Saint-Venant
Icircn prima variantă figura 312a forţa 119865 se aplică pe o porțiune oarecare 119897 (sarcină
uniform distribuită) iar icircn a doua figura 312b icircntru-un punct (forţă concentrată) La
locul de aplicare a sarcinii efectul asupra barei este cu totul diferit de la o variantă la
cealaltă Icircnsă la o distanţă mare de punctul de aplicaţie spre exemplu icircn secţiunea situată
la distanţa 119886 de capătul barei sau chiar icircn icircncastrare ambele bare sunt solicitate la fel
Icircn cazul din figura 312a
119872119894(119909) =119901 ∙ 1199092
2 119909 le 119897 119872119894(119909) = 119901 ∙ 119897 ∙ (119909 minus
119897
2) 119909 gt 119897 (324)
Icircn cazul din figura 312b
119872119894(119909) = 0 119909 lt119897
2 119872119894(119909) = 119901 ∙ 119897 ∙ (119909 minus
119897
2) 119909 gt
119897
2 (325)
Se vede că pentru (119909 gt 119897) adică după depășirea locului icircn care se aplică sarcina
efectul este același
Ipoteza lui Bernoulli sau ipoteza secţiunilor plane precizează că o secţiune
plană şi normală pe axa barei icircnainte de deformare rămacircne plană şi normală pe axa
barei şi după deformare figura 313
Fig 313 Ipoteza lui Bernoulli
Ipoteza stării naturale a corpului sau ipoteza absenţei tensiunilor conform
căreia pentru un corp nesolicitat starea de tensiune şi deformaţie este nulă
Perfecţionarea mijloacelor de calcul şi de investigare pot conduce la renunţarea la
unele ipoteze sau la introducerea altora noi mai aproape de stările reale De aici rezultă
caracterul de continuă perfecţionare a metodelor Rezistenţei Materialelor
35 Coeficienţi de siguranţă Tensiuni admisibile
O piesă corespunde din punct de vedere tehnic dacă tensiunile care iau naştere icircn
interiorul piesei datorită sarcinilor aplicate nu depăşesc anumite valori limită stabilite
convenţional Aceste valori limită ale tensiunii sunt corelate cu caracteristicile mecanice
ale materialelor
Tensiunea limită utilizată icircn calculele de rezistenţă este cunoscută sub denumirea
de tensiune admisibilă sau rezistenţă admisibilă Rezistenţa admisibilă reprezintă
valoarea convenţională aleasă icircn calcul pe baza practicii pentru tensiunea maximă care
poate apare icircntr-o piesă icircn condiţii date de material şi solicitare
Rezistenţa admisibilă (120590119886 sau 120591119886) poate fi definită faţă de o stare limită
periculoasă stare care trebuie evitată deoarece poate conduce distrugere
120590119886 =120590119897119894119898119888
(326)
unde
120590119897119894119898 este tensiunea corespunzătoare stării limită periculoase
119888 estesupraunitar 119888 gt 1 și reprezintă coeficientul de siguranţă faţă de starea limită
periculoasă considerată
Alegerea unor valori inferioare pentru rezistenţa admisibilă faţă de tensiunea
corespunzătoare stării limită periculoase este necesară deoarece
cunoaşterea sarcinilor este de cele mai multe ori aproximativă şi o depăşire a
acestora este foarte posibilă
caracteristicile mecanice ale materialelor variază icircn limite destul de mari ele
fiind influenţate de mulţi factori
schema aleasă pentru calcul (aplicarea sarcinilor schematizarea structurii
ipotezele de calcul etc) depărtează modelul faţă de cel real
Pentru calculele de verificare tensiunea efectivă maximă din elementul de
rezistenţă trebuie să fie mai mică sau cel mult egală cu cea admisibilă
120590119890119891119898119886119909 le 120590119886 (327)
Valoarea rezistenţei admisibile este influenţată de foarte mulţi factori natura
materialului tratamentele termice aplicate piesei durata de funcţionare a piesei modul
de acţionare icircn timp a sarcinilor felul solicitării temperatura gradul de periculozitate
icircn cazul cedării piesei etc
De asemenea valoarea coeficientului de siguranţă se alege icircn principal ţinacircnd
seama de aceiaşi factori care influenţează şi rezistenţa admisibilă
Rezistenţele admisibile pentru cacircteva materiale sunt următoarele
pentru oțelul de uz general OL37 solicitat la icircntindere compresiune sau
icircncovoiere 120590119886 = 150 [119872119875119886] pentru lemnul de brad solicitat la
- compresiune icircn lungul fibrelor şi solicitat la icircncovoiere 120590119886 = 10 [119872119875119886] - tracţiune icircn lungul fibrelor 120590119886 = 7 [119872119875119886] - compresiune perpendiculară pe fibre 120590119886 = 15 [119872119875119886] - forfecare icircn lungul fibrelor 120591119886 = 2 [119872119875119886] - forfecare perpendiculară pe fibre 120590119886 = 45 [119872119875119886]
terenuri de fundaţie din pămacircnt uscat sau umed 120590119886 = 020 divide 025 [119872119875119886]
4 CARACTERISTICI GEOMETRICE ALE SECȚIUNILOR PLANE
41 Noţiuni introductive
Icircn relaţiile de calcul ale tensiunilor şi deformaţiilor elementelor de rezistenţă
pentru unele solicitări (icircncovoierea și torsiunea) secțiunile plane intervin atacirct prin
dimensiunile lor (aria 119860) cicirct și prin forma și poziția pe care o are secțiunea icircn raport cu
planul solicitării Mărimile care caracterizează o secțiune icircn raport cu forma și poziția față
de axele unui sistem de referință sunt denumite caracteristici geometrice de ordin
superior Aria secțiunii este caracteristica geometrică ce depinde doar de dimensiunile
geometrice ale acesteia
Să considerăm o grindă solicitată de o forță exterioară 119865 aşezată icircn două poziții icircn
raport cu planul forţei figura 41 Icircn urma aplicării forței deși avem aceeași grindă
(aceeași arie a secțiunii transversale) și aceeași forță se constată că pentru varianta din
figura 41a deformațiile sunt mult mai mari adică rezistența la icircncovoiere a grinzii din
figura 41a este mai mare decacirct icircn cazul grinzii din figura 41b Comportarea diferită se
explică prin aceea că modificarea poziţiei secţiunii transversale faţă de planul forţelor
modifică caracteristicile geometrice ale secţiunii transversale a grinzii
Fig 41 Grindă solicitată de forța 119865
Pentru realizarea calculelor de rezistenţă şi rigiditate este foarte importantă
cunoaşterea caracteristicilor geometrice ale suprafeţei secţiunii transversale a elementelor
de rezistenţă
Caracteristicile geometrice ale secţiunii transversale a unui element de rezistenţă
sunt
- aria secțiunii notată cu 119860
- momentul static icircn raport cu o axă notat 119878119911 și respectiv 119878119910
- momentul de inerție care poate fi
axial notat 119868119911 și respectiv 119868119910
centrifugal notat 119868119911119910
polar notat 119868119901
- raza de inerţie (giraţie)notată 119894119911 și respectiv 119894119910
- modulul de rezistență care poate fi
axial notat 119882119911 și respectiv 119882119910
polar notat 119882119901
42 Aria și momentul static al suprafețelor plane
Fie o suprafaţă plană de arie 119860 pe care se ia un element infinit mic de arie 119889119860 şi
un sistem de axe rectangulare 119911119874119910 figura 42 Notăm cu 119862 centrul de greutate al suprafeţei
119860 Poziţia suprafeţei elementare 119889119860 faţă de acelaşi sistem de coordonate 119911119874119910 este dată
de abscisa 119911 ordonata 119910 și raza polară
Fig 42 Suprafață plană de arie 119860
Aria suprafeţei 119860 figura 42 se defineşte ca fiind
119860 ≝ int 119889119860
119860
(41)
Aria suprafeţei este icircntotdeauna pozitivă și se măsoară icircn [1198981198982] Momentul static al suprafeţei de arie 119860 icircn raport cu axele 119874119911 și respectiv 119874119910
figura 42 sunt date de relaţiile
119878119911 ≝ int 119910 ∙ 119889119860
119860
119878119910 ≝ int 119911 ∙ 119889119860
119860
(42)
Momentul static poate fi pozitiv negativ sau nul şi se măsoară icircn [1198981198983] Coordonatele centrului de greutate ale suprafeței 119860 se detrmină cu relațiile
119910119862 ≝int 119910 ∙ 119889119860119860
119860 119911119862 ≝
int 119911 ∙ 119889119860119860
119860
(43)
Cunoscacircnd coordonatele 119910119862 și 119911119862 ale centrului de greutate 119862 al secțiunii 119860 atunci
momentele statice se pot determina cu relațiile
119878119911 ≝ int 119910 ∙ 119889119860
119860
= 119910119862 ∙ 119889119860 119878119910 ≝ int 119911 ∙ 119889119860
119860
= 119911119862 ∙ 119889119860 (44)
Aceste relații arată că momentul static al unei suprafețe icircn raport cu o axă este
egal cu produsul dintre aria suprafeței și distanța de la centrul ariei la axa respectivă
Dacă suprafaţa se poate descompune icircn 119899 suprafeţe simple la care se cunosc ariile
(1198601 1198602 ⋯ 119860119894⋯ 119860119899) și poziţiile centrelor de greutate 119862119894 faţă de sistemul de referinţă
expresiile momentelor statice capătă următoarea formă
119878119911 = sum 119910119862119894 ∙ 119860119894119899119894=1 = 119910119862 ∙ 119860 119878119910 = sum 119911119862119894 ∙ 119860119894
119899119894=1 = 119911119862 ∙ 119860 (45)
Din relaţiile (45) rezultă că poziţia centrului de greutate 119862 al unei suprafeţe
compuse poate fi determinată cu relaţiile
119910119862 = (sum119910119862119894 ∙ 119860119894
119899
119894=1
) 119860frasl 119911119862 = (sum119911119862119894 ∙ 119860119894
119899
119894=1
) 119860frasl (46)
Icircn relația (45) 119910119862119894 și respectiv 119911119862119894 reprezintă coordonatele centrelor de greutate 119862119894
ale fiecărei suprafețe simple 119860119894 icircn raport sistemul de axe 119911119874119910
Se constată (relaţia 42) că dacă axele sistemului de referinţă trec prin centrul de
greutate (119910119862 = 119911119862 = 0) momentele statice sunt nule Axele icircn raport cu care momentele
statice sunt nule şi care trec prin centrul de greutate al suprafeţei se numesc axe centrale
Observație dacă secțiunea compusă are o axă de simetrie centrul secțiunii se
găsește pe acea axă iar dacă secțiunea este dublu simetrică poziția centrului secțiunii este
la intersecția axelor de simetrie
43 Momente de inerţie
Momentele de inerţie axiale ale unei suprafețe se calculează icircn raport cu axele de
coordonate 119874119911 și respectiv 119874119910 figura 42 și se determină cu relațiile
119868119911 ≝ int 1199102 ∙ 119889119860
119860
119868119910 ≝ int 1199112 ∙ 119889119860
119860
(47)
Unde 119910 și 119911 sunt distanțele de la elementul de arie 119889119860 la cele două axe de
coordonate 119874119911 și respectiv 119874119910
Momentele de inerţie axiale se măsoară icircn [1198981198984] şi sunt icircntotdeauna pozitive (aria
119889119860 este icircntotdeauna pozitivă și este multiplicată cu patratul distanței 1199102 dacă 119868119911 sau 119868119910
sunt nule icircnseamnă ca secțiunea nu există)
Momentele de inerție axiale se calculează icircndeosebi pentru axele centrale (care
trec prin centrul secțiunii) deoarece icircn raport cu acele axe 119868119911 și 119868119910 au valori minime
Momentul de inerţie centrifugal calculat faţă ambele axe ale sistemului de
referinţă 119911119874119910 este definit de relația
119868119911119910 ≝ int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860
(48)
Momentul de inerţie centrifugal se măsoară icircn [1198981198984] şi poate fi pozitiv negativ
sau nul
Momentul de ineție centrifugal este nul 119868119911119910 = 0 dacă cel puțin una din axele 119874119911
sau 119874119910 este axă de simetrie pentru secțiune
Se consideră o suprafaţă dreptunghiulară pe care faţă de axa de simetrie 119874119910 se iau
două suprafeţe elementare de arie 119889119860 simetrice faţă de axa 119874119910 figura 43
Fig 43 Suprafață dreptunghiulară cu două arii elementare 119889119860
Făcacircnd suma momentelor de inerţie centrifugale pentru cele două suprafeţe
elementare 119889119860 (din stacircnga şi din dreapta faţă de axa 119874119910) se obţine
int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860119889119903
+ int (minus119911) ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860119904119905119892
= int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860119889119903
minus int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860119904119905119892
= 0 (49)
Acelaşi raţionament se poate face și pentru icircntreaga suprafaţă de unde obținem că
momentul de inerție centrifugal este nul 119868119911119910 = 0 Deci pentru o suprafaţă plană care
are cel puţin o axă de simetrie momentul de inerţie centrifugal faţă de sistemul care
conţine acea axă de simetrie este nul
Momentul de inerţie polar al unei suprafeţei icircn raport cu un punct (pol) 119874 figura
42 este definit prin relaţia
1198680 = 119868119901 ≝ int 1205882 ∙ 119889119860
119860
= int(1199102 + 1199112) ∙ 119889119860
119860
= 119868119911 + 119868119910 (410)
unde este distanţa de la polul 119874 la elementul de arie 119889119860 Momentul de inerţie polar se
măsoară icircn [1198981198984] şi este totdeauna pozitiv
Momentul de inerţie polar este egal cu suma momentelor de inerţie faţă de două axe
perpendiculare oarecare şi care trec prin polul considerat
Razele de giraţie sau razele de inerţie sunt mărimi calculate icircn raport cu axele
secțiunii și definite de relaţiile
119894119911 ≝ radic119868119911119860 119894119910 = radic
119868119910
119860 (411)
Se exprimă icircn [119898119898] şi sunt icircntotdeauna pozitive Semnificația unei raze de inerție
este distanța la care dacă ar fi concentrată icircntreaga arie s-ar obține același moment de
inerție ca și cel calculat pentru aria reală
44 Modulul de rezistenţă
Modulul de rezistență se calculează icircn raport cu axele de referință sau icircn raport cu
un pol figura 42 și pot fi axiale (119882119911119882119910) sau polar (119882119901) și se determină numai pe baza
momentelor de inerţie cu relațiile figura 43
119882119911119898119894119899 ≝119868119911119910119898119886119909
119882119911119898119886119909 ≝119868119911119910119898119894119899
(412)
119882119910119898119894119899 ≝119868119910
119911119898119886119909 119882119910119898119886119909 ≝
119868119910
119911119898119894119899 (413)
119882119901 ≝119868119901
120588119898119886119909 (414)
unde
119910119898119886119909 119910119898119894119899 reprezintă distanţa de la axa 119874119911 la punctele extreme cele mai
depărtate respectiv cele mai apropiate ale suprafeţei de această axă
119911119898119886119909 119911119898119894119899 reprezintă distanţa de la axa 119874119910 la punctele extreme cele mai
depărtate respectiv cele mai apropiate ale suprafeţei de această axă
120588119898119886119909 reprezintă distanța maximă de la polul 119874 la punctul secțiunii cel mai
icircndepărtat de acesta
Fig 43 Suprafață dreptunghiulară cu două arii elementare 119889119860
Modulele de rezistenţă se exprimă icircn [1198981198983] şi sunt icircntotdeauna pozitive
Explicația este aceea că momentele de inerție care intră icircn relațiile de definiție sunt
pozitive iar distanțele la punctele extreme sunt pozitive (119910119898119886119909 119910119898119894119899 119911119898119886119909 119911119898119894119899 120588119898119886119909 se
iau icircn valoare absolută)
Icircn cazul suprafeţelor compuse modulul de rezistenţă nu se obţine prin icircnsumarea
algebrică a modulelor de rezistenţă ale suprafeţelor simple componente ci numai prin
intermediul momentului de inerţie axial calculat pentru icircntreaga secțiune
Ca și momentele de inerție modulele de rezistență se calculează numai pentru
sistemele de axe centrale
45 Momente de inerţie şi module de rezistenţă pentru suprafeţe simple
451 Secțiune dreptunghiulară
Fie suprafaţa dreptunghiulară din figura 44 de icircnălțime ℎ și lățime 119887 pe care se
consideră suprafaţă elementară de arie 119889119860 = 119887119889119910 la distanța 119910 de axa 119862119911 sistemul de
axe 119911119862119910 trece prin centrul secțiunii iar axele sunt axe de simetrie pentru dreptunghi
Fig 44 Suprafață dreptunghiulară
Pe baza relațiilor de definiți a momentului de inerție 119868119911 se obține
119868119911 ≝ int 1199102 ∙ 119889119860
119860
= int 1199102 ∙ 119887 ∙ 119889119910 = 2int 1199102 ∙ 119887 ∙ 119889119910 = 2 ∙ 119887 ∙1199103
3|ℎ 2frasl
0rArr
ℎ 2frasl
0
ℎ 2frasl
minusℎ 2frasl
rArr 119868119911 =119887 ∙ ℎ3
12
(415)
Analog pentru un element de arie 119889119860 = ℎ ∙ 119889119911 paralel cu axa 119862119910 situat la distanța
119911 de axa 119862119910
119868119910 ≝ int 1199112 ∙ 119889119860
119860
= int 1199112 ∙ ℎ ∙ 119889119911 = 2int 1199112 ∙ ℎ ∙ 119889119910 = 2 ∙ ℎ ∙1199113
3|119887 2frasl
0rArr
119887 2frasl
0
119887 2frasl
minus119887 2frasl
rArr 119868119910 =1198873 ∙ ℎ
12
(416)
Deoarece axele 119862119911 și 119862119910 sunt axe de simetrie momentul de inerție centrifugal este
119868119911119910 = 0 (417)
Pentru un pătrat avacircnd laturile egale (ℎ = 119887 = 119886) momentele de inerţie faţă de
axele centrale au expresia
119868119911 = 119868119910 =1198864
12 (418)
Modulele de rezistență axiale se calculează cu relațiile de definiție ținacircnd cont că
distanțele pacircnă la fibrele extreme sunt
119910119898119886119909 = 119910119898119894119899 =ℎ
2 119911119898119886119909 = 119911119898119894119899 =
119887
2 (419)
Obținem
119882119911119898119894119899 = 119882119911119898119886119909 =119868119911
119910119898119886119909119898119894119899=119887 ∙ ℎ3
12frasl
ℎ2frasl
=119887 ∙ ℎ2
6
119882119910119898119894119899 = 119882119910119898119886119909 =119868119910
119911119898119886119909119898119894119899=1198873 ∙ ℎ
12frasl
1198872frasl
=1198872 ∙ ℎ
6
(420)
452 Suprafaţă circulară
Din motive de simetrie pentru suprafeţele circulare momentele de inerţie faţă de
orice diametru (care reprezintă şi axe centrale) sunt aceleaşi
Considerăm o secțiune circulară plină cu diametrul 119889 și centrul de greutate 119862 Prin
centrul de greutate 119862 trece sistemul de axe ortogonal 119911119862119910 figura 45
Fig 45 Suprafață circulară
La distanța de centrul de greutate 119862 vom lua un element de suprafață mic de arie
(119889119860) de forma unui inel de grosime 119889 Elementul de arie 119889119860 are expresia
119889119860 = (2 ∙ 120587 ∙ 120588) ∙ (119889120588)
Pornind de la relația de definiție a momentului de inerție polar obținem
119868119901 ≝ int 1205882 ∙ 119889119860
119860
= int 1205882 ∙ (2 ∙ 120587 ∙ 120588) ∙ 119889120588
119903=119889 2frasl
0
= 2 ∙ 120587 ∙1205884
4|119889 2frasl0 rArr
rArr 119868119901 =120587 ∙ 1198894
32
(421)
Secțiunea este perfect simetrică deci sunt valabile relațiile
119868119911 = 119868119910 rArr 119868119901 = 119868119911 + 119868119910 = 2 ∙ 119868119911 = 2 ∙ 119868119910 =119868119901
2=120587 ∙ 1198894
64 (422)
Și modulele de rezistenţă faţă de orice diametru sunt egale şi se calculează cu
relaţiile
119882119911 = 119882119910 =1198681199111198892frasl=120587 ∙ 1198893
32 (423)
Modulul de rezistenţă polar este
119882119901 =1198681199011198892frasl=120587 ∙ 1198893
16 (424)
453 Secţiune inelară
Calculul momentelor de inerţie axiale pentru o secţiune inelară avacircnd diametrul
interior 119889 şi diametrul exterior 119863 se determină analog pentru suprafaţa circulară plină cu
observaţia că integrala pentru calculul momentului de inerție polar 119868119901 se face icircntre
limitele 119903 = 119889 2frasl şi R= 1198632frasl (icircntre raza interioară 119903 şi raza exterioară 119877) figura 46
Se obţin relaţiile
119868119901 =120587 ∙ 1198634
32∙ [1 minus (
119889
119863)4
] =120587 ∙ 1198634
32∙ (1 minus 1198964) (425)
119868119910 = 119868119910 =120587 ∙ 1198634
64∙ [1 minus (
119889
119863)4
] =120587 ∙ 1198633
64∙ (1 minus 1198964) (426)
Fig 46 Secțiune inelară
119882119901 =120587 ∙ 1198633
16∙ [1 minus (
119889
119863)4
] =120587 ∙ 1198633
16∙ (1 minus 1198964) (427)
119882119911 = 119882119910 =120587 ∙ 1198633
32∙ [1 minus (
119889
119863)4
] =120587 ∙ 1198633
32∙ (1 minus 1198964) (428)
unde 119896 = 119889119863frasl
46 Variaţia momentelor de inerţie faţă de axe paralele
( Relațiile lui STEINER)
Se consideră o suprafaţă oarecare de arie 119860 cu elementul de arie 119889119860 și un sistemul
de axe central 119911119862119910 faţă de care se cunosc momentele de inerţie 119868119911 119868119910 119868119911119910 şi considerăm
un sistem de axe 11991111198741199101 paralele cu sistemul central figura 47 Se pune problema
determinării momentele de inerţie 1198681199111 1198681199101 11986811991111199101 faţă de sistemul de axe paralel cu sistemul
central 11991111198741199101 axe aflate la distanţele 119910119862 = 119888 respectiv 119911119862 = 119889 de acesta
461 Momente de inerţie axiale
Pe baza relaţiilor de definire şi a notaţiilor din figura 42 pentru momentele de
inerţie faţă de axele 1198741199111 1198741199101 se poate scrie
1198681199111 = int 11991012 ∙ 119889119860
119860
= int(119910 + 119888)2 ∙ 119889119860
119860
= int 1199102 ∙ 119889119860
119860
+ 2 ∙ 119888 ∙ int 119910 ∙ 119889119860
119860
+
+1198882int 119889119860
119860
rArr 1198681199111 = 119868119911 + 2 ∙ 119888 ∙ 119878119911 + 1198882 ∙ 119860 hArr 1198681199111 = 119868119911 + 119888
2 ∙ 119860
(429)
Fig 47 Variaţia momentelor de inerţie față de axe paralele
S-a ajuns la relația (429) deoarece momentul static 119878119911 este nul deoarece axa 119862119885
este axă centrală
Pentru momentul de inerție axial icircn raport cu axa 1198741199101 se obține
1198681199101 = int 11991112 ∙ 119889119860
119860
= int(119911 + 119889)2 ∙ 119889119860
119860
= int 1199112 ∙ 119889119860
119860
+ 2 ∙ 119889 ∙ int 119911 ∙ 119889119860
119860
+
+1198892 ∙ int 119889119860
119860
rArr 1198681199101 = 119868119910 + 2 ∙ 119889 ∙ 119878119910 + 1198892 ∙ 119860 hArr 1198681199101 = 119868119910 + 119889
2 ∙ 119860
(430)
Pentru momentul de inerție centrifugal obținem
11986811991111199101 = int 1199101 ∙ 1199111 ∙ 119889119860
119860
= int(119910 + 119888) ∙ (119911 + 119889) ∙ 119889119860
119860
= int 119910 ∙ 119911 ∙ 119889119860 +
119860
+119888 ∙ int 119911 ∙ 119889119860
119860
+ 119889 ∙ int 119910 ∙ 119889119860
119860
rArr 11986811991111199101 = 119868119911119910 + 119888 ∙ 119889 ∙ 119860
(431)
Deoarece
int 119911 ∙ 119889119860
119860
= 119878119910 = 0 int 119910 ∙ 119889119860
119860
= 119878119911 = 0 int 119910 ∙ 119911 ∙ 119889119860
119860
= 119868119911119910
Relaţiile (429) şi (430) arată că momentul de inerţie faţă de o axă oarecare
este egal cu momentul de inerţie faţă de o axă paralelă cu ea trecacircnd prin centrul de
greutate la care se adaugă produsul dintre aria suprafeţei şi pătratul distanţei dintre
cele două axe
Din relaţiile (429) și (430) rezultă de asemenea că momentul de inerţie faţă de o
axă centrală (care trece prin centrul de greutate) este cel mai mic dintre infinitatea de
momente de inerţie obținute faţă de alte axe paralele cu ea
Relaţia (431) arată de asemenea că momentul de inerţie centrifugal faţă de un
sistem de axe oarecare este egal cu momentul de inerţie centrifugal faţă de un sistem
paralele cu el trecacircnd prin centrul de greutate a suprafeţei la care se adaugă produsul
dintre aria suprafeţei şi distanţele dintre axele sistemelor respective
Icircn literatura de specialitate relaţiile (429) (430) şi (431) sunt cunoscute sub
numele de relaţiile lui Steiner
47 Variaţia momentrlor de inerţie faţă de axe rotite
Direcţii principale şi momente de inerţie principale
Fie suprafaţa plană din figura 48 de arie 119860 pe care considerăm o suprafaţă
elementară de arie 119889119860 Pentru sistemul de axe 119911119874119910 se cunosc momentele de inerţie
119868119911 119868119910 119868119911119910 şi vom determina relaţiile de calcul pentru momentele de inerţie afererent unui
sistem de axe 11991111198741199101 rotit cu un unghi faţă de sistemul central
Faţă de sistemul de axe 11991111198741199101 elementul de arie 119889119860 are coordonatele
1199101 = 119875119877 = 119875119876 minus 119877119876 = 119910 ∙ cos 120572 minus 119911 ∙ sin 120572
1199111 = 119873119872 = 119873119875 minus 119875119872 = 119911 ∙ cos 120572 + 119910 ∙ sin 120572 (432)
Fig 47 Variaţia momentelor de inerţie față de axe rotite
Pe baza relaţiilor de calcul ale momentelor de inerţie şi a notaţiilor din figura 42
şi ale relaţiilor (432) momentele de inerţie faţă de sistemul de axe rotit 11991111198741199101 sunt
1198681199111 =119868119911 + 119868119910
2+119868119911 minus 119868119910
2∙ cos 2120572 minus 119868119911119910 ∙ sin 2120572 (433)
1198681199101 =119868119911 + 119868119910
2minus119868119911 minus 119868119910
2∙ cos 2120572 + 119868119911119910 ∙ sin 2120572 (434)
11986811991111199101 =119868119911 minus 119868119910
2∙ sin 2120572 + 119868119911119910 ∙ cos 2120572 (435)
Din relaţiile 433divide435 se observă că icircntre momentele de inerţie axiale şi cele
polare există relaţia
1198681199111 + 1198681199101 = 119868119911 + 119868119910 = 119868119901 (436)
adică suma momentelor de inerţie axiale icircn raport cu orice pereche de axe ortogonale
care trec printr-un pol dat este o constantă şi egală cu momentul de inerţie polar
Prin rotirea sistemului de axe din relaţiile 433divide435 rezultă că momentele de inerţie
variază icircnsă suma lor rămacircne constantă deci există o poziţie a sistemului de axe pentru
care momentele de inerţie au valori extreme maxim respectiv minim
471 Direcţii principale de inerţie
Valoarea unghiului 120572 pentru care momentele de inerţie axiale au valori extreme
este
1205721 =1
2∙ 119886119903119888119905119886119899 (minus
2 ∙ 119868119911119910
119868119911 minus 119868119910) (437)
Poziţia celeilalte direcţii este perpendiculară pe cea dată de unghiul 1205721
Din relaţia (437) se constată că faţă de aceste direcţii rotite pentru care momentele
de inerţie axiale prezintă valori extreme momentul de inerţie centrifugal 11986811991111199101este nul
Atunci se poate afirma că momentele de inerţie axiale au valori extreme icircn raport cu
direcţiile faţă de care momentul de inerţie centrifugal este nul Aceste direcţii se numesc
direcţii principale iar momentele de inerţie faţă de aceste direcţii poartă numele de
momente de inerţie principale
Icircn calculele de rezistenţă interesează icircn mod special poziţia direcţiilor principale
care trec prin centrul de greutate al suprafeţei aşa numitele direcţii principale centrale şi
evident momentele de inerţie principale centrale
Direcţiile principale de inerţie se notează cu 1 respectiv 2 Axa principală 1
corespunde direcţiei faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea maximă iar
axa principală 2 pentru direcţia faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea
minimă
472 Momente de inerţie principale
Momentele de inerţie principale se notează cu litera 119868 la care se pune indicele 1
sau 2 după cum valoarea acestuia este maximă sau minimă deci avem un moment de
inerţie principal 1 (notat 1198681) respectiv moment de inerţie principal 2 (notat 1198682)
Expresiile pentru momentele de inerţie principale sunt
11986812 =119868119911 + 119868119910
2plusmn1
2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)
2+ 4 ∙ (119868119911119910)
2 (438)
Dacă momentul de inerţie centrifugal este negativ (119868119911119910 lt 0) direcţia principală
care trece prin primul cadran (definit de sistemul 119911119862119910) este direcţia principală 120783
Pentru suprafeţele cu cel puţin o axă de simetrie direcţiile centrale 119862119911 119862119910 sunt şi
direcții principale de inerţie și evident momentele de inerţie axiale 119868119911 119868119910 sunt momente
de inerţie principale
48 Caracteristici mecanice ale metalelor
Alegerea materialului pentru confecţionarea unei anumite piese se face şi pe baza
aşa numitelor caracteristici mecanice pe care le prezintă materialul Cunoaşterea acestor
caracteristici mecanice are loc numai pe baza unor icircncercări mecanice care să scoată icircn
evidenţă comportarea materialului icircn condiţii de solicitare
Cea mai utilizată icircncercare icircn urma căreia se pun icircn evidenţă caracteristicile
mecanice ale unui material este icircncercarea la tracţiune
481 Icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general
Icircncercarea la tracţiune a oţelului ca de altfel toate icircncercările de materiale este
standardizată
Icircn cele ce urmează se va prezenta numai partea care interesează strict din punct
de vedere al caracteristicilor mecanice ale oţelului
Epruveta de diametru iniţial 1198890 pentru icircncercarea la tracţiune are o porţiune de
lungime 1198710 numită baza de măsurare pe care se măsoară lungirea acesteia sub acţiunea
solicitării
Icircn funcţie de raportul dintre baza de măsurare 1198710 şi diametrul iniţial 1198890 epruvetele
utilizate pentru icircncercări sunt
epruvete normale (scurte) cacircnd 11987101198890 = 5
epruvete lungi cacircnd 11987101198890 = 10
Icircn timpul icircncercării la diferite valori ale forţei 119865 se măsoară lungirea bazei de
măsurare
∆119871 = 120575 = 119871 minus 1198710 (439)
unde
119871 este dimensiunea bazei de măsurare la un moment dat
Curba forţă-lungire (119865 minus ) icircnregistrată icircn urma icircncercării reprezintă curba
caracteristică la tracţiune
La icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general diagrama caracteristică care se
obţine are forma din figura 48
Curba caracteristică la tracţiune depinde de lungimea bazei de măsurare Pentru
icircnlăturarea acestui neajuns curba caracteristică se reprezintă icircn coordonate şi definite
astfel
120590 =119865
1198600 휀 =
120575
1198710 (440)
unde
1198600 este aria iniţială a secţiunii transversale a epruvetei (icircnainte de solicitare) icircn
zona bazei de măsurare
1198600 =120587 ∙ 1198890
2
4
Deoarece mărimile icircn care se reprezintă curba caracteristică la tracţiune sunt
raportate la aria iniţială a secţiunii transversale (mărimi specifice) curba poartă numele
de curbă caracteristică convenţională la tracţiune
Fig 48 Curba caracteristică convenţională la tracțiune
Pe curba caracteristică convenţională la tracţiune figura 48 se pot stabili o serie
de puncte cărora le corespund mai multe mărimi importante
Ordonata punctului A pacircnă unde curba caracteristică convenţională este linie
dreaptă se numeşte limita de proporţionalitate a materialului 120590119901(1205901) Porţiunea 119874119860 este
zona de proporţionalitate a curbei caracteristice pe acest domeniu este valabilă legea lui
Hooke care exprimă o proporţionalitate icircntre tensiune şi deformaţie specifică
120590 = 119864 ∙ 휀 (441)
unde
119864 = reprezintă panta porţiunii liniare a curbei convenționale caracteristice
la tracțiune Caracteristica de material 119864 se numeşte modul de elasticitate longitudinal
(modulul lui Young)
Ordonata punctului 119861 pacircnă unde materialul se comportă perfect elastic adică
după descărcare icircşi recapătă dimensiunea iniţială 1198710 se numeşte limita de elasticitate
120590119890(119877119890) Icircn realitate nici un material nu are comportare perfect elastică sub acţiunea
solicitărilor el capătă deformaţii permanente (remanente plastice)
După punctul 119861 urmează o porţiune 119861119862119863 icircn care cu toate că icircncărcarea
continuă forţa nu mai creşte avacircnd mici oscilaţii icircn jurul unei valori Se spune că icircn
această porţiune materialul curge iar intervalul 119861119862119863 este un palier de curgere Tensiunea
corespunzătoare palierului de curgere se numeşte limită de curgere aparentă 120590119888(119877119888) Limita de curgere aparentă se calculează cu relaţia
120590119888 =1198651198881198600 (442)
unde
119865119888 reprezintă valoarea forţei icircnregistrată icircn momentul curgerii materialului
După punctul 119863 curba caracteristică are un traseu ascendent pacircnă icircn punctul 119864
Porţiunea 119863119864 este numită zonă de icircntărire (ecruisare) Icircn zona de ecruisare unde se
produc deformaţii plastice semnificative legea lui Hooke nu mai este valabilă La
descărcare relaţia dintre tensiunea şi deformaţia specifică este liniară paralelă cu
porţiunea liniară a curbei caracteristice (dreapta 119872119873)
Deformaţia totală (휀119905) are două componente una elastică (휀119890) şi una plastică (휀119901)
Ordonata punctului 119864 reprezintă rezistenţa de rupere 120590119903(119877119898) a materialului
care se poate calcula cu relaţia
120590119903 = 119877119898 =1198651198981198861199091198600
(443)
unde
119865119898119886119909 reprezintă valoarea maximă a forţei icircnregistrată icircn timpul icircncercării
La atingerea valorii 119865119898119886119909 (punctul 119864) icircntr-un anumit loc al epruvetei secţiunea
icircncepe să se micşoreze (se produce gacirctuirea) continuacircnd pacircnă cacircnd se produce ruperea
totală (punctul 119865)
Dacă după ruperea epruvetei cele două părţi rezultate se aşează cap la cap şi se
măsoară dimensiunea bazei de măsurare 119871119906 (lungimea ultimă) se determină alungirea la
rupere sau lungirea specifică la rupere 휀119903
휀119903 =119871119906 minus 11987101198710
=∆119871
1198710=120575
1198710 (444)
De obicei alungirea se exprimă icircn procente şi se notează cu 119860119899 unde 119899 reprezintă
numărul dat de raportul 11987101198890 (epruvete normale 119899 = 5 epruvete lungi 119899 = 10)
119860119899 =119871119906 minus 11987101198710
∙ 100 [] (445)
Altă mărime care se determină la icircncercarea la tracţiune este gacirctuirea la rupere
(exprimată de obicei icircn procente) şi definită de relaţia
119885 =1198600 minus 1198601199061198600
∙ 100 [] (446)
Mărimile determinate limita de proporţionalitate modulul de elasticitate
longitudinal limita de elasticitate limita de curgere aparentă rezistenţa de rupere
alungirea la rupere şi gacirctuirea la rupere sunt cunoscute ca fiind caracteristici mecanice
ale materialului
Din curba caracteristică convenţională observăm faptul că ruperea (punctul 119865 din
figura 48 se produce la o tensiune mai mică decacirct cea corespunzătoare punctului 119864 Dacă
icircnsă forţa din timpul icircncercării s-ar raporta la aria secţiunii din momentul icircnregistrării
forţei (care este mai mică decacirct cea iniţială 1198600) s-ar obţine aşa numita curbă
caracteristică reală a materialului (traseul 1198741198601198611198621198631198651 din figura 48) La curba
caracteristică reală ruperea se produce icircn punctul 1198651 la o icircncărcare mai mare decacirct cea
corespunzătoare punctului 119864 Icircnseamnă că rezistenţa reală la rupere este mai mare decacirct
rezistenţa la rupere dată de punctul 119864 din diagrama caracteristică convenţională
Dificultatea obţinerii diagramei caracteristice reale faţă de cea a diagramei caracteristice
convenţionale şi considerarea unei rezistenţe la rupere mai mică decacirct a celei reale face
icircn practică utilizarea pe scară mare a diagramei caracteristice convenţionale
Caracteristicile mecanice determinate pe baza curbei caracteristice convenţionale
sunt şi ele caracteristici mecanice convenţionale
Caracteristicile mecanice convenţionale limita de proporţionalitate convenţională
120590119901 limita de elasticitate convenţională 120590119890 limita de curgere convenţională 120590119888 şi rezistenţa
de rupere 120590119903 constituie tensiuni limită pentru un material Pe baza acestor caracteristici
de material se alege valoarea tensiunii admisibile 120590119886 (vezi paragraful 35) pentru
calculele de rezistenţă Cea mai utilizată stare limită pentru stabilirea tensiunii admisibile
120590119886 este limita de curgere convenţională 120590119888
120590119886 =120590119897119894119898119888
=120590119888119888 119904119886119906 120590119886 =
120590119903119888 (447)
Caracteristicile mecanice ale materialului sunt influenţate de o serie de factori
temperatura viteza de solicitare factorii tehnologici iar valorile lor sunt date icircn tabele și
diagrame
Aplicaţie Pentru suprafaţa plană compusă din două dreptunghiuri avacircnd
dimensiunile din figura 49a să se calculeze
a) centrul de greutate al secțiunii compuse 119910119866 119911119866
b) momentele de inerție axiale 119868119911 119868119910 și momentul de inerție centrifugal 119868119911119910
c) razele de inerție 119894119911 119894119910
d) modulele de rezistență 119882119911119898119894119899 119882119911119898119886119909 119882119910119898119894119899 119882119910119898119886119909
e) momentele de inerție principale 1198681 1198682 și direcțiile principale de inerție 1205721
f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 119878119911
Fig 49 Aplicație
Rezolvare Pentru rezolvare vom parcurge următoarele etape
icircmpărțim suprafața compusă icircn două suprafețe simple (dreptunghiuri) notate cu
① și respectiv ② figura 49b
poziționăm centrele de greutate a celor două suprafețe simple ① și respectiv ②
notate cu 1198661 și respectiv 1198662 figura 49c
poziționăm sistemele de axe de coordonate 119911111986611199101 pentru dreptunghiul ① și
119911211986621199102 pentru dreptunghiul ② aflate la intersecția diagonalelor figura 49c
poziționăm sistemele de axe de coordonate 11991101198741199100 ales arbitrar față de care
determinăm poziția centrului de greutate 119866 figura 49c
a) calculăm poziția centrului de greutate folosind relațiile (46) icircn care
1198601 = 6119905 ∙ 119905 = 61199052 1198602 = 4119905 ∙ 119905 = 41199052 119860 = 1198601 + 1198602 = 61199052 + 41199052 = 101199052
iar centrele de greutate 1198661 și respectiv 1198662 au coordonatele (față de sistemul 11991101198741199100)
1198661 1199101 = 3119905 1199111 = 05119905
1198662 1199102 = 051199051199112 = 3119905
cu acestea obținem
119910119866 =1198601 ∙ 1199101 + 1198602 ∙ 1199102
119860=61199052 ∙ 3119905 + 41199052 ∙ 05119905
101199052=201199053
101199052= 2119905
119911119866 =1198601 ∙ 1199111 + 1198602 ∙ 1199112
119860=61199052 ∙ 05119905 + 41199052 ∙ 3119905
101199052=151199053
101199052= 15119905
Poziționăm centrul de greutate 119866 al suprafeței compuse figura 49c
Fig 49 Aplicație
b) pentru determinarea momentelor de inerție axiale 119868119911 119868119910 și a momentului de
inerție centrifugal 119868119910119911 determinăm constantele 1198881 1198882 1198891 1198892 care intervin icircn relația lui
Stainer
1198881 = 1199101 minus 119910119866 = 3119905 minus 2119905 = 119905 1198882 = minus(119910119866 minus 1199102) = minus(2119905 minus 05119905) = minus15119905
1198891 = minus(119911119866 minus 1199111) = minus(15119905 minus 05119905) = minus119905 1198892 = 1199112 minus 119911119892 = 3119905 minus 15119905 = 15119905
Folosind relațiile lui Stainer (429) (430) și (431) calculăm momentele de
inerție axiale și centrifugale față de sistemul central 119911119866119866119910119866
119868119911 =sum(119868119911119894 + 1198881198942 ∙ 119860119894) = 1198681199111 + 1198881
2 ∙ 1198601 + 1198681199112 + 11988822 ∙ 1198602
119868119910 =sum(119868119910119894 + 1198891198942 ∙ 119860119894) = 1198681199101 + 1198891
2 ∙ 1198601 + 1198681199102 + 11988922 ∙ 1198602
119868119911119910 =sum(119868119911119894119910119894 + 119888119894 ∙ 119889119894 ∙ 119860119894) = 11986811991111199101 + 1198881 ∙ 1198891 ∙ 1198601 + 11986811991121199102 + 1198882 ∙ 1198892 ∙ 1198602
1198681199111 = (119887 ∙ ℎ3
12) =
119905 ∙ (6119905)3
12= 181199054 1198681199112 = (
119887 ∙ ℎ3
12) =
4119905 ∙ 1199053
12= 031199054
1198681199101 = (1198873 ∙ ℎ
12) =
1199053 ∙ 6119905
12= 051199054 1198681199102 = (
1198873 ∙ ℎ
12) =
(4119905)3 ∙ 119905
12= 531199054
11986811991111199101 = 11986811991121199102 = 0 deoarece cele două triunghiuri au cel puțin o axă de simetrie
Cu acestea momentele de inerție axiale și momentul de inerție centrifugal devin
119868119911 = 181199054 + 1199052 ∙ 61199052 + 031199054 + (minus15119905)2 ∙ 41199052 = 3331199054
119868119910 = 051199054 + (minus119905)2 ∙ 61199052 + 531199054 + (15119905)2 ∙ 41199052 = 2081199054
119868119911119910 = 0 + 119905 ∙ (minus119905) ∙ 61199052 + 0 + (minus15119905) ∙ (15119905) ∙ 41199052 = minus151199054
c) razele de inerție sau de girație față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910
se calculează cu relațiile (411)
119894119911 = radic119868119911119860= radic
3331199054
101199052= 182119905 119894119910 = radic
119868119910
119860= radic
2081199054
101199052= 144119905
d) modulele de rezistență față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910 se
calculează cu relațiile (412) și (413)
Avacircnd icircn vedere figura 419c obținem
119910119898119886119909 = 6119905 minus 119910119866 = 6119905 minus 2119905 = 4119905 119910119898119894119899 = minus119910119866 = minus2119905
119911119898119886119909 = 5119905 minus 119911119866 = 5119905 minus 15119905 = 35119905 119911119898119894119899 = minus119911119866 = minus15119905
Se obține astfel
119882119911119898119894119899 =119868119911
|119910119898119886119909|=3331199054
4119905= 8331199053
119882119911119898119886119909 =119868119911
|119910119898119894119899|=3331199054
2119905= 16651199053
119882119910119898119894119899 =119868119910
|119911119898119886119909|=2081199054
35119905= 5941199053
119882119910119898119886119909 =119868119910
|119911119898119894119899|=2081199054
15119905= 13871199053
e) momentele de inerție principale 1198681 și respectiv 1198682 se calculează cu relațiile
(438)
11986812 =119868119911 + 119868119910
2plusmn1
2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)
2+ 4 ∙ (119868119911119910)
2=
=3331199054 + 2081199054
2plusmn1
2∙ radic(3331199054 minus 2081199054)2 + 4 ∙ (minus151199054)2 = 27051199054 plusmn 16251199054
De unde obținem
1198681 = 27051199054 + 16251199054 = 4331199054
1198682 = 27051199054 minus 16251199054 = 1081199054
Prima direcție principală de inerție 1 face cu axa centrală 119866119911 unghiul 1205721 dat de
relația (437)
1205721 =1
2∙ arctan (minus
2 ∙ 119868119911119910
119868119911 minus 119868119910) =
1
2∙ arctan [minus
2 ∙ (minus151199054)
3331199054 minus 2081199054] =33 70
Deoarece 1205721 gt 0 rotirea axelor se face acircn sens antiorar acelor de ceasornic figura
49d
Poziția axe principale 2 față de care momentul de inerție are valoarea minimă
1198682 = 119868119898119894119899 este dată de unghiul
1205722 = 1205721 + 900 = 33 70 + 900 = 123 70
f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 se determină cu relația
(45)
1198781199111198602 = 1198602 ∙ 1198882 = 41199052 ∙ (minus15119905) = minus61199053
= (100 minus 100 minus 2121) ∙ 119894 + (0 + 1732 minus 2121) ∙ 119895 = (minus2121) ∙ 119894 + (minus389) ∙ 119895
rArr 119883 = minus2121 [119873]
119884 = minus389 [119873]
Cu acestea obținem rezultanta
119877 = radic1198832 + 1198842 = radic(minus2121)2 + (minus389)2 = 21564 [119873]
Se reprezintă grafic rezultanta icircn sistemul de coordonate 119909119874119910 după care se
calculează unghiul 120572 pe care aceasta rezultantă icircl face cu axa 119874119909 figura 18
tan 120572 =119884
119883=minus389
minus2121= 0183 rArr 120572 = arctan(0183) = 10 40
Fig 18 Reazultanta forțelor aplicate
b) Rezolvare tabelară
Forţa 119894 Componenta 119883119894 Componenta 119884119894
1 1198651 = 100 1198651 = 0
2 minus1198652 ∙ cos 600 = minus100 1198652 ∙ sin 60
0 = 1732
3 minus1198653 ∙ cos 450 = minus2121 minus1198653 ∙ sin 45
0 = minus2121
= sum119894 119883 =sum119883119894 = minus2121 119884 =sum119884119894 = minus389
După determinarea tabelară a celor două componente ale rezultandei calculele se
continua ca şi icircn cazul rezolvării analitice
142 Să se calculeze momentul forţei verticale = 100 [119873] icircn raport cu punctele
B D O şi icircn raport cu axele Ox Oy şi Oz figura 19 și să se determine componentele
torsorului de reducere ale forţei icircn punctul O dacă se cunosc 119886 = 3 [119898] şi 119887 = 4 [119898]
Fig 19 Aplicația 142
Fig 110 Icircnclinarea momentului 119872119874
119861 = 119861119860 times
119872119861 = 119886 ∙ 119865 = 3 ∙ 100 = 300 [119873 ∙ 119898]
119863 = 119863119860 times
119872119863 = 119887 ∙ 119865 = 4 ∙ 100 = 400 [119873 ∙ 119898]
119874 = 119874119860 times
119872119874 = 119888 ∙ 119865 = radic1198862 + 1198872 ∙ 119865 = radic32 + 42 ∙ 100 = 5 ∙ 100 = 500 [119873 ∙ 119898]
119874 se află icircn planul 119909119874119910 cu icircnclinarea 120572 (figura 110)
tan120572 =119886
119887=3
4= 075 rArr 120572 = arctan(075) = 36860
Deci
120572 = 900 minus 120573 = 900 minus 36860 = 53140
Concluzie Componentele torsorului de reducere al forței icircn punctul O sunt o forta
icircn O identică cu forța din punctul A și momentul forței icircn raport cu punctul O 119874
2 INTRODUCERE IcircN REZISTENŢA MATERIALELOR
21 Obiectul şi problemele Rezistenţei materialelor
Rezistenţa materialelor este o disciplină de cultură tehnică generală care continuă
logic şi dezvoltă Mecanica prin introducerea icircn calcule a proprietăţilor de deformabilitate
ale corpurilor solide reale Icircn Mecanică corpul solid este considerat rigid nedeformabil
iar vectorii forţă de icircncărcare sunt consideraţi alunecători Rezistenţa materialelor ia icircn
studiu corpurile reale care sub acţiunea forţelor exterioare (vectori legaţi) icircşi schimbă
forma geometrică respectiv dimensiunile iniţiale şi se distrug prin rupere la valori mari
ale acestora Prin calculele de rezistenţă se determină dimensiunile secţiunilor
transversale ale corpurilor (elemente de rezistenţă) icircn funcţie de mărimea poziţia şi modul
de acţionare a forţelor exterioare proprietăţile mecanice ale materialelor dimensiunile
constructive forma şi importanţa ansamblului icircn care se icircnglobează iar icircn anumite cazuri
şi de durata de funcţionare Elementele de rezistenţă trebuie să icircndeplinească următoarele
condiţii de bază
- condiţia de rezistenţă care are icircn vedere ca eforturile din elementul de rezistenţă
să nu producă distrugerea acestuia prin rupere sau spargere icircn bucăţi
- condiţia de rigiditate se referă la valorile deformaţiilor care nu trebuie să
depăşească anumite mărimile admisibile
- condiţia de stabilitate care consideră posibilitatea menţinerii formei de echilibru
stabil pentru o anumită stare de icircncărcare
Criteriile de rezolvare ale problemelor de Rezistenţa materialelor sunt
- criteriul economic prin care se impune ca orice element de rezistenţă (piesă) să
fie proiectat şi realizat cu soluţia cea mai economică icircn privinţa materialului utilizat şi al
manoperei
- criteriul de bună funcţionalitate a ansamblului din care face parte elementul de
rezistenţă proiectat respectacircnd condiţiile de rezistenţă rigiditate şi stabilitate
Icircn cadrul Rezistenţei materialelor se admit ipoteze simplificatoare care permit
obţinerea unor relaţii de calcul relativ simple şi care exprimă destul de fidel fenomenul
de solicitare real Experimentările practice icircn laborator permit verificarea legilor
rezistenţei materialelor şi determinarea caracteristicilor mecanice ale materialelor
Rezistenţa materialelor permite rezolvarea următoarelor categorii de probleme
- probleme de dimensionare prin care se stabilesc dimensiunile optime ale
elementelor de rezistenţă proiectate icircn funcţie de icircncărcările exterioare (forţe sau
momente) şi de caracteristicile mecanice ale materialului utilizat
- probleme de verificare la care se determină dacă un element de rezistenţă de
dimensiuni cunoscute satisface condiţiile de rezistenţă rigiditate şi stabilitate cunoscacircnd
icircncărcarea exterioară şi caracteristicile mecanice ale materialului utilizat
- probleme de calcul al capacităţii de icircncărcare al unui element de rezistenţă
cunoscacircndu-se caracteristicile mecanice ale materialului dimensiunile şi modul de
solicitare se determină icircncărcarea maximă pe care o poate suporta elementul de rezistență
fără a ceda sau a se deforma periculos
22 Clasificarea corpurilor icircn Rezistenţa materialelor
Corpurile (elementele de rezistenţă) au icircn general forme constructive relativ
complicate Icircn Rezistenţa materialelor pentru simplificarea calculelor corpurile se
schematizează prin forme geometrice mai simple obţinacircndu-se următoarele grupe
a) corpuri solide cu o dimensiune mult mai mare decacirct celelalte două (corpuri cu
fibră medie) Elementele geometrice caracteristice sunt axa longitudinală şi secţiunea
transversală Aceste corpuri solide pot fi
- fire dacă dimensiunile secţiunii transversale sunt foarte mici astfel icircncacirct axa
longitudinală este flexibilă (icircşi schimbă forma uşor) iar sarcinile transversale nu pot fi
preluate de acesta Un fir nu poate fi solicitat decacirct la icircntindere (exemplu cabluri de
macara lanţuri etc)
- bare care rezistă atacirct la solicitări axiale cacirct şi la solicitări transversale
După modul de solicitare barele poartă diferite denumiri convenţionale
tiranţi-solicitaţi la icircntindere figura 21a
stacirclpi-solicitaţi la compresiune figura 21b
grinzi-solicitate la icircncovoiere figura 21c
arbori-solicitaţi la torsiune (răsucire) figura 21d
Fig 21 Denumirea barelor după modul de solicitare
După modul cum variază secţiunea icircn lungul axei barele pot fi
de secţiune constantă figura 22a
de secţiune variabilă continuă figura 22b sau icircn trepte figura 22c
Fig 22 Denumirea barelor după secțiune
După forma axei longitudinale barele pot fi
drepte figura 21
curbe icircn plan figura 23a sau icircn spaţiu figura 23b (numite și curbe stracircmbe)
cotite (axa barei este o linie fracircntă) plane figura 23c sau spațiale figura 23d
Fig 23 Tipuri de bare curbe și cotite
Secţiunea transversală (plană şi normală pe axa barei) poate avea orice formă
geometrică constantă sau variabilă icircn lungul barei
Dacă una din dimensiunile secţiunii transversale (grosimea) este mai mică
comparativ cu celelalte bara se numește bară cu pereţi subţiri (exemplu barele
realizate din platbande sudate cu secţiuni sub formă de profil I profil U cornier etc)
b) corpuri care au două dimensiuni mult mai mari icircn raport cu a treia (grosimea)
se numesc plăci Elementele geometrice caracteristice ale unei plăci sunt forma şi
dimensiunile suprafeţei mediane respectiv grosimea Plăcile se reprezintă schematic
printr-o suprafață care imită forma și dimensiunile suprafeței mediane Suprafaţa mediană
reprezintă locul geometric al tuturor punctelor egal depărtate de cele două feţe ale plăcii
puncte aflate pe perpendicularele duse icircntre cele două feţe figura 24
După destinaţie și forma suprafeței mediane se deosebesc
plăci plane figura 24b
plăci curbe (icircnvelişuri) cu o singură curbură figura 24a sau avacircnd curbură
dublă figura 24c
Fig 24 Tipuri de plăci plane
Plăcile cu grosime mare sunt denumite frecvent dale O placă de grosime mică
ce nu poate prelua decacirct solicitări la icircntindere poartă numele de membrană
Exemple de plăci icircnvelişurile vasele de revoluţie discurile etc
c) corpuri masive care au toate cele trei dimensiuni aproximativ de acelaşi ordin
de mărime (blocuri de fundaţii bile şi role de rulmenţi tuburi cu pereţi groşi etc)
Calculele de rezistenţă sunt mai simple icircn cazul barelor drepte şi mai complicate
la barele curbe plăci respectiv blocuri
23 Clasificarea icircncărcărilor exterioare
Un corp icircşi păstrează forma şi dimensiunile datorită forţelor de atracţie dintre
particulele sale elementare atacircta timp cicirct asupra sa nu acţionează alte forţe aplicate din
exterior care să-l deformeze Icircn construcţia de maşini elementele de rezistenţă preiau şi
transmit acţiunea unor sarcini exterioare (forţe şisau cupluri) pe care le vom denumi
generic forțe sau icircncărcări exterioare Efectul pe care-l au sarcinile este acela de a
modifica forma şi dimensiunile corpului asupra căruia se aplică Icircn punctele de rezemare
(de sprijin sau de legătură cu alte elemente de rezistenţă icircnvecinate) ca urmare a
principiului acţiunii şi reacţiunii apar forţe de legătură sau reacţiuni Ansamblul format
din sarcini şi reacţiuni este cunoscut sub numele de forţe exterioare Sub acţiunea
forţelor exterioare elementele de rezistenţă trebuie să fie icircn echilibru
Forţele exterioare pot fi clasificate după următoarele criterii
a) după mărimea suprafeţei pe care se aplică
- forțe concentrate aplicate teoretic icircntr-un punct figura 25a
- forțe distribuite uniform sau cu intensitate variabilă icircn lungul barei sau pe o
suprafaţă figura 25bc şi d
- momente concentrate care acţionează icircntr-un punct M sau momente uniform
distribut pe o anumită lungime m
Fig 25 Tipuri de sarcini după mărimea suprafeţei de aplicare
b) după locul de aplicare se deosebesc
- forţe de suprafaţă sau de contur care sunt aplicate din exterior pe suprafaţa
corpurilor şi indică legătura cu piesele icircnvecinate
- forţe masice sau de volum distribuite icircn tot corpul (greutăţi forţe de inerţie
respectiv forţe electromagnetice)
c) după modul de acţiune icircn timp se disting
- forţe statice care se aplică lent şi progresiv pacircnă la valoarea nominală de lucru
şi apoi rămacircn constante figura 26a
- forţe dinamice care rezultă din
aplicarea cu icircntreaga intensitate de la icircnceputul perioadei de solicitare iar apoi forţa se
menţine constantă timp icircndelungat figura 26b (forţe de inerţie)
aplicarea bruscă a sarcinii asupra corpului durata de acţiune a sarcinii fiind mică figura
26c (forţe de şoc)
variaţia periodică icircn timp a intensităţii forţei aplicate figura 26d (forţe de oboseală)
Fig26 Tipuri de forţe exterioare (cicluri de solicitare)
Funcţie de modul de variaţie al forţelor exterioare solicitările pot fi statice
oscilante pulsante alternante etc Experimental s-a constatat că rezistenţa unui material
depinde foarte mult de modul de variaţie a forţelor icircn timp Bach a clasificat solicitările
icircn 3 categorii 1-solicitări statice 2-solicitări pulsante 3-solicitări alternant simetrice
Rezistenţa unui material este icircn raportul 321 pentru cele 3 cazuri de solicitare ale lui
Bach Aceasta icircnseamnă că o piesă solicitată static rezistă la o forţă de 3 ori mai mare
decacirct forţa maximă care produce ruperea aceleaşi piese solicitate alternant simetric
d) după poziţia icircn timp a forțelor se disting
- forţe fixe ale căror puncte de aplicaţie sunt mereu aceleaşi
- forţe mobile ale căror puncte de aplicaţie se deplasează icircn timp De exemplu
sarcinile produse de vehiculele care circulă pe un pod sarcinile unei grinzi de pod rulant
icircntr-o halăetc
24 Reazeme Forțe interioare Eforturi Diagrame de eforturi icircn barele
drepte
241 Reazeme Reacțiuni (forțe de legătură)
Pentru a prelua şi transmite acţiunea sarcinilor exterioare elementele de rezistenţă
din componenţa unei structuri sunt fixate icircntre ele prin intermediul unor legături
exterioare numite reazeme Aceste legături au ca scop icircmpiedicarea anumitor mişcări ale
corpului pe direcţiile pe care acestea nu trebuie să se producă O legătură are deci rolul
de a anula unul sau mai multe grade de libertate ale corpului icircn punctul de rezemare Dacă
este anulat un singur grad de libertate legătura este simplă iar dacă sunt impiedicate mai
multe grade de libertate legătura este una compusă Datorită existenţei sarcinilor
exterioare icircn punctele de rezemare pe direcţiile pe care mişcările sunt icircmpiedicate apar
forţe de legătură numite reacţiuni Numărul natura şi direcţiile reacţiunilor depind de
tipul reazemelor Icircn construcţiile reale există o varietate mare de realizare practică a
reazemelor dar icircn calcule se acceptă anumite schematizări care reţin doar aspectul esenţial
al unui reazem şi anume gradul sau gradele de libertate anulate
Pentru o structură de rezistenţă spaţială icircntr-un punct oarecare sunt posibile şase
deplasări trei deplasări liniare (după direcţiile axelor unui sistem ortogonal) şi trei rotiri
(deplasări unghiulare) icircn jurul aceloraşi axe Ca urmare ar fi posibil de realizat maximum
şase tipuri de reazem
Pentru un element de rezistenţă plan icircncărcat cu eforturi cuprinse icircn planul
elementului icircn orice punct sunt posibile trei gade de libertate două deplasări liniare şi o
rotiri Ca urmare pentru cazul unei bare plane se icircntacirclnesc următoarele tipuri de reazeme
1 Reazemul simplu sau reazemul mobil care icircmpiedică deplasarea pe o direcţie
normală pe suprafaţa de rezemare permiţacircnd deplasarea pe o direcţie paralelă cu
suprafaţa de rezemare şi rotirea barei icircn jurul unei axe perpendiculare pe plan icircn punctul
de rezemare Icircn urma icircmpiedicării deplasării şi datorită unor sarcini exterioare icircn
reazemul simplu apare o reacţiune de tip forţă a cărei suport trece prin punctul de
rezemare şi a cărei direcţie este perpendiculară pe suprafaţa de rezemare figura 27
Fig 27 Reazem simplu (mobil)
Icircn figura 27 este reprezentat un reazem mobil poziţionat pe capătul A al unei bare
plane orizontale fiind evidenţiate punctul şi suprafaţa de rezemare direcţia suportului
reacţiunii şi modul de schematizare al reazemului Cea mai des icircntacirclnită reprezentare a
reazemului mobil este a unui triunghi a cărui bază poate luneca pe suprafaţa de rezemare
2 Reazemul fix sau articulaţia icircmpiedică deplasările liniare după toate direcţiile
din planul barei permiţacircnd doar rotirea barei icircn jurul unei axe perpendiculare pe plan şi
care trece prin puncul de rezemare Reacţiunea este cuprinsă icircn planul barei care trece
prin punctul de rezemare dar a cărei mărime şi direcţie nu sunt cunoscute (forţa R)
figura 28
Fig 28 Reazem fix
Se preferă ca icircn locul unei forţe R avacircnd direcţia oarecare icircn plan necunoscută să
se introducă două forţe (HA şi VA) cărora li se cunoaşte direcţia şi pentru care se vor
determina modulele ca valori din condiţiile de echilibru static Icircntr-un reazem fix apar
icircntotdeauna reacţiuni atacirct pe direcţia perpendiculară pe suprafaţa de rezemare
(verticală) cacirct şi pe direcţia paralelă cu prima (orizontală) chiar dacă uneori una sau
chiar ambele reacţiuni au valoarea zero Reprezentarea schematică a articulaţiei este cea
a unui triunghi cu baza fixă şi cu vacircrful icircn punctul de rezemare sau cea a unui pendul
dublu figura 28
3 Icircncastrarea (sau icircnţepenirea) anulează toate gradele de libertate ale capătului
unei bare icircmpiedicacircnd deplasarea liniară după orice direcţie din plan precum şi rotirea
barei icircn jurul unei axe perpendiculare pe plan şi care trece prin punctul de icircncastrare
Urmare a existenţei sarcinilor exterioare şi a blocării deplasărilor icircn icircncastrare apare o
reacţiune căreia nu i se cunoaşte nici mărimea nici direcţia şi nici punctul de aplicaţie
figura 29
Fig 29 Icircncastrarea
Sub acţiunea forţelor exterioare un sistem este icircn echilibru Valoarea reacţinilor
se determină din condiţia de echilibru a sistemului solicitat
Este cunoscut faptul că un sistem plan este icircn echilibru dacă
nu se deplasează pe o direcţie (fie x această direcţie)
nu se deplasează pe o direcţie perpendiculară pe prima (fie y această direcţie)
nu se roteşte faţă de un punct al planului (fie K acest punct)
Cele trei condiţii enunţate mai sus sunt satisfăcute dacă suma proiecţiilor tuturor
forţelor pe direcţia x respectiv y este nulă şi suma tuturor momentelor (cuplurilor) faţă
de un punct al planului este nulă
242 Forțe interioare Metoda secțiunilor
Icircn vederea calculului de rezistenţă de rigiditate şi de stabilitate a barelor sau a
sistemelor de bare este necesară determinarea forţelor şi momentelor interioare
(eforturilor) care apar icircn secţiunile transversale ale acestora şi datorate icircncărcărilor
exterioare Forțele interioare indică legătura dintre particulele din interiorul corpului şi
se pun icircn evidenţă prin metoda secţiunilor care este un procedeu de raţionament
imaginar propus de Cauchy echivalent cu teoria echilibrului părţilor Conform acestui
raționament bdquodacă un corp solid deformabil este icircn echilibru sub acţiunea unui sistem
generalizat de forţe atunci după secționare fiecare parte a sa va fi icircn echilibru sub
acţiunea forţelor exterioare care-i revin şi a unui sistem de forţe pe care trebuie să-l
introducem icircn secţiunea ce delimitează fiecare parte echivalent cu acţiunea forţelor
aplicate pe partea icircndepărtatărdquo
Problemele care apar la aplicarea metodei secţiunilor sunt
- să pună icircn evidenţă existenţa forţelor interioare mai ales că din ceea ce se ştie o
forţă apare icircn prezenţa a două corpuri ca urmare a principiului acţiunii şi reacţiunii
- să explice modul de distribuţie al forţelor interioare pe secţiune
Considerăm un corp aflat icircn echilibru sub acţiunea unui sistem de forţe exterioare
1 2 3⋯119894 ⋯ 119899minus1 119899 şi presupunem că-l secţionăm cu un plan transversal Q (sau cu
o suprafaţă oarecare) figura 210a Icircn urma secţionării fictive (imaginare) conform
principiului echilibrului părţilor fiecare din cele două părţi obţinute trebuie să fie icircn
echilibru sub acţiunea forţelor exterioare care le revin şi a cacircte unui sistem de forţe
interioare pe care trebuie să-l introducem icircn secţiunile rezultate sistem echivalent cu
acţiunea forţelor exterioare ce acţionează asupra celeilalte părţi Astfel pe partea din
dreapta (notată cu II) delimitată de secţiunea de arie Ad sunt aplicate forţele exterioare
119894 ⋯ 119899minus1 119899 şi un sistem de forţe interioare căruia nu i se cunoaşte decacirct efectul acelaşi
cu cel al forţelor 1 2 3 de pe parea din stacircnga (notată cu I şi delimitată de secţiunea
de arie As) figura 210b Prin metoda secţiunilor am reuşit să punem icircn evidenţă existenţa
forţelor interioare şi să le trecem icircn categoria celor exterioare cărora le putem aplica
relaţiile de echivalenţă şi de echilibru cunoscute din statică Ideal ar fi să cunoaştem
distribuţia şi intensitatea punctuală a acestor forţe pentru că s-ar putea ca icircn anumite
puncte ale secţiunii valoarea forţelor să depăşească limita de rezistenţă (limita de curgere)
a materialului Cunoaşterea distribuţiei punctuale a forţelor interioare nu se poate realiza
decacirct icircn cazuri particulare relativ simple de solicitare
Să considerăm partea din dreapta a corpului asupra căreia acționează forțele
119894 ⋯ 119899minus1 119899 mărginit de aria Ad pe care acționează un sistem de forțe interioare
echivalent cu 1 2 3 Deși forțele interioare de pe Ad nu se cunosc totuși efectul lor
este același cu cel al forțelor 1 2 3 deci le putem reduce icircn centrul de greutate C al
secțiunii Ad rezultacircnd componentele torsorului de reducere al forțelor interioare
(119894119889 119894119889) și pentru partea din stacircnga (119894119904 119894119904) Evident conform principiului acțiunii și
reacțiunii
119894119889 = minus119894119904
119894119889 = minus119894119904 (21)
Pe de altă parte cum fiecare dintre părțile corpului după secționare trebuie să fie
icircn echilibru sub acțiunea forțelor exterioare care le revin și a forțelor interioare introduse
rezultă
119894119889 = minus119890119889
119894119889 = minus119890119889
119894119904 = minus119890119889
119894119904 = minus119890119904 (22)
Combinacircnd (21) cu (22) rezultă
119894119889 = 119890119889
119894119889 = 119890119889
119894119904 = 119890119904
119894119904 = 119890119904 (23)
Fig 210 Forțe interioare
Relațiile (22) și (23) permit determinarea componentelor torsorului de reducere
al forțelor interioare din (23) rezultă componentele torsorului forțelor interioare care
acționează icircn secțiunea Ad sunt egale cu componentele torsorului de reducere al forțelor
exterioare de pe partea din stacircnga din (22) rezultă componentele torsorului forțelor
interioare care acționează icircn secțiunea Ad sunt egale și de sens contrar cu componentele
torsorului de reducere al forțelor exterioare de pe partea din dreapta
Observații
1 Torsorul forțelor interioare diferă de la o secțiune la alta dar pentru aceeași
secțiune el este unic și trebuie să respecte condițiile de compatibilitate a deformațiilor
2 Reducacircnd forțele interioare icircn centrul de greutate al secțiunii s-a făcut o
aproximare icircn ceea ce privește efectul modului de dispunere al forțelor
3 Punctul de reducere trebuie să fie
pentru forțele interioare normale la secțiune centrul de greutate
pentru forțele interioare tangente la planul secțiunii centrul de răsucire sau de
tăiere
243 Eforturi
Prin metoda secțiunilor am pus icircn evidență existența forțelor interioare și modul
icircn care se determină componentele torsorului de reducere al forțelor interioare (119894119889 119894119889) de pe fața din dreapta secțiunii (Ad) Cele două componente ale torsorului de reducere al
forțelor interioare de pe Ad se pot descompune după axele unui sistem de referință
triortogonal xCyz astfel
119894119889 = +
119894119889 = 119909 +119872119894 (24)
unde și 119909 sunt proiecțiile lui 119894119889 și respectiv 119894119889 pe axa longitudinală Cx a
barei iar și 119894 sunt proiecțiile acelorași componente 119894119889 și respectiv 119894119889 pe planul yCz
al secțiunii transversale Ad figura 211
Fig 211 Torsorul de reducere al forţelor interioare
La racircndul lor și 119894 se pot descompune după axele sistemului yCz figura 212
= 119910 + 119911
119894 = 119894119910 + 119894119911 (25)
Fig 212 Descompunerea forţei tăietoare şi a momentului icircncovoietor
Cele șase componente ale torsorului de reducere al forțelor interioare ( 119910 119911
119909 119894119910 119894119911) orientate după axele sistemului de referință xCyz se numesc eforturi
Fiecare efort are o denumire stabilită icircn funcție de tipul de deformație pe care-l produce
De asemenea semnul plus (bdquo+rdquo) sau minus (bdquondashrdquo) al fiecărui efort nu depinde de sensul
pozitiv sau negativ al sistemului de axe ci doar de efectul icircn deformații al fiecărui efort
Denumirile celor șase eforturi sunt
119873 este forța axială
119879119910 119879119911 sunt forțe tăietoare orientate după axele Cy și respectiv Cz
119872119909 notat de cele mai multe ori cu 119872119905 este moment de torsiune sau de răsucire
119872119894119911 119872119894119910 sunt momente de icircncovoiere icircn jurul axei Cz și respectiv Cy
Forța axială 119873 poate fi forță axială de icircntindere cacircnd produce o lungire a
tronsonului pe a cărei față acționează (119873 gt 0) figura 213a sau forță axială de
compresiune cacircnd sub efectul ei bara se scurtează (119873 lt 0) figura 213b
Fig 213 Forța axială
Forțele tăietoare 119879119910 și 119879119911 au ca efect lunecarea secțiunii icircn centrul căreia
acționează icircn raport cu secțiunea icircnvecinată lunecare ce se produce pe direcția și icircn sensul
forței Sub acțiunea unei forțe tăietoare bara este solicitată la forfecare Forța tăietoare
este pozitivă 119879119910 gt 0 dacă icircn raport cu un punct oarecare K de pe axa Cx a barei tinde să
rotească secțiunea pe care acționează icircn sens orar
Fig 214 Forța tăietoare
Momentele de icircncovoiere 119872119894119911 și 119872119894119910 au ca efect o rotire a secțiunii icircn centrul
cărora acționează icircn jurul axei după care sunt orientate Icircn figura 215a se vede că
datorită momentului 119872119894119911 fibrele de deasupra axei Cz se alungesc icircn timp ce fibrele de sub
axa Cz se scurtează Fibrele care trec prin axa de icircncovoiere Cz nu se deformează sunt
fibre neutre la icircncovoiere adică axa neutră este Cz Icircn cazul momentului de icircncovoiere
119872119894119910 fibrele care nu se deformează sunt cele care trec prin axa neutră la icircncovoiere Cy
Momentele de icircncovoiere se consideră a fi pozitive (119872119894119911 gt 0119872119894119910 gt 0) dacă
observatorul care privește bara deformată vizualizează fibrele icircntinse
Fig 215 Momentul icircncovoietor
Momentul de torsiune sau de răsucire 119872119909 equiv 119872119905 are ca efect o rotire a secțiunii
icircn al cărei centru acționează icircn jurul axei longitudinale Cx Ca efect secțiunea icircși schimbă
forma (se deformează) adică unghiurile inițiale se modifică dreptunghiul inițial Ad
devine paralelogram Convențional se consideră 119872119905 gt 0 dacă vectorul moment are
aceeași orientare ca și sensul pozitiv ales pextru axa Cx Icircn figura 216 momentul este
negativ
Fig 216 Momentul de torsiune
25 Definiții și convenții de semne pentru eforturile
din secțiunile unei bare drepte plane icircncărcate cu sarcini coplanare
Vom considera o bară plană icircncărcată cu un sistem de forțe arbitrar figura 217
Ne propunem să determinăm eforturile care apar icircn secțiunea barei aflată la distanța 119909 de
reazemul din stacircnga (A)
Pentru aceasta vom aplica metoda secțiunilor vom secționa bara cu un plan
perpendicular pe axa longitudinală a barei și vom analiza doar partea din dreapta secțiunii
mărginită de fața Ad Pentru ca această porțiune de bară să fie icircn echilibru sub acțiunea
forțelor exterioare care acționează asupra sa 1198653 și 119881119861 va trebui să introducem icircn centrul
secțiunii Ad eforturile care pot să apară 119873 119879119910 119872119894119911 Acțiunea acestor eforturi trebuie să
fie echivalentă cu acțiunea forțelor exterioare aplicate pe partea icircnlăturată (parcursă) a
barei 119867119860 119881119860 1198651 1198652 1198720
Deoarece bara este plană și este icircncărcată doar cu sarcini ce aparțin
planului barei
icircn secțiunea Ad apar doar 3 componente ale torsorului de reducere al forțelor
interioare (eforturi)
- 119873 = forța axială
- 119879119910 = forța tăietoare pe care o vom nota cu 119879
- 119872119894119911 = momentul icircncovoietor notat cu Mi
Fig 217 Bară plană icircncărcată cu un sistem de forțe
Vom prezenta următoarele definiții corespunzătoare eforturilor din secțiunea Ad
119873 = forța axială dintr-o secțiune este egală cu suma algebrică a proiecțiilor pe
axa longitudinală a tuturor forțelor exterioare (sarcini și reacțiuni) aplicate pe partea
din stacircnga secțiunii adică pe porțiunea parcursă Forța axială 119873 este pozitivă dacă trage
de tronsonul pe a cărei față acționează (are orientarea normalei exterioare la secțiunea
Ad)
119873(119909) = minus119867119860 + 1198651119867 (26)
119879 = forța tăietoare icircntr-o secțiune este egală cu suma algebrică a proiecțiilor
pe o axă perpendiculară pe axa barei a tuturor forțelor exterioare (sarcini și reacțiuni)
aplicate pe porțiunea de bară aflată icircn stacircnga secțiunii considerate Forța tăietoare 119879
este pozitivă dacă tinde să rotească tronsonul pe a cărui față acționează icircn sens orar icircn
raport cu un punct de pe axa barei aflat la dreapta secțiunii
119879(119909) = 119881119860 minus 1198651119881 minus 1198652 (27)
119872119894 = momentul icircncovoietor icircntr-o secțiune este egal cu suma algebrică a
momentelor obținute prin reducerea tuturor forțelor exterioare ( cupluri sarcini
reacțiuni) aplicate pe porțiunea de bară aflată la stacircnga secțiunii icircn centrul secțiunii
considerate 119872119894 este considerat pozitiv dacă tinde să deformeze bara astfel icircncacirct fibrele
spre care privește un observator să fie icircntinse Cum poziția observatorului este de regulă
sub bară bara se deformează dacă 119872119894 gt 0 astfel icircncacirct partea jos a barei este icircntinsă Se
spune că bara deformată rdquoține apaldquo
119872119894(119909) = 119881119860 ∙ 119909 minus 1198651119881 ∙ (119909 minus 1198971) minus 1198652 ∙ [119909 minus (1198971 + 1198972)] + 1198720 (28)
Sensurile pozitive ale eforturilor care apar icircn centrul secțiunii Ad (deci atunci cacircnd
sensul de parcurs la aplicarea metodei secțiunilor este cel de la stacircnga la dreapta) sunt
indicate icircn figura 218a iar dacă sensul de parcurs este de la dreapta la stacircnga sensurile
pozitive ale eforturilor sunt indicate icircn figura 218b
Fig 218 Convenţia de semne
Definiții asemănătoare se pot da și pentru eforturile din centrul secțiunii As figura
218b adică pentru cazul icircn care sensul de parcurs este cel de la dreapta la stacircnga și deci
partea luată icircn considerare este cea din stacircnga iar partea parcursă din dreapta secțiunii
este icircnlăturată
119873(1199091) = 1198653119867
119879(1199091) = 1198653119881 minus 119881119861
119872119894(1199091) = 119881119861 ∙ 1199091 minus 1198653119881 ∙ (1199091 minus 1198975)
(29)
Avacircnd icircn vedere că fețele Ad și As aparțin aceleeași secțiuni este evident faptul că
eforturile 119873(119909) 119879(119909) și 119872119894(119909) sunt identice cu eforturile 119873(119961120783) 119879(119961120783) și respectiv
119872119894(119961120783) Icircn figura 218c se prezintă o sinteză a convențiilor de semne pozitive pentru cele
3 eforturi atacirct pentru sensul de parcurs de la stacircnga la dreapta (secțiunea Ad) cacirct și pentru
sensul invers (secțiunea As)
Semnele eforturilor sunt importante icircntrucacirct există materiale cu comportări diferite
la icircntindere față de compresiune iar o schimbare a semnului unui efort poate produce
erori grave icircn calcule Semnele eforturilor au fost stabilite icircn funcție de deformațiile
produse și nu depind de sensul axelor sistemului de coordonate
26 Relaţii diferenţiale icircntre eforturi şi sarcini
Pentru a vedea ce legătură există icircntre eforturi și sarcini vom considera o bară
dreaptă icircncărcată cu o sarcină distribuită după o lege oarecare figura 219a Din această
bară vom decupa prin dublă secționare un element de lungime infinit mică 119889119909 Deoarece
lungimea 119889119909 este foarte mică se poate considera sarcina 119901 uniform distribuită Icircn
secțiunile rezultate trebuie să introducem eforturile care pot apărea
- 119879 şi 119872119894 icircn centrul secțiunii din sticircnga eforturi pe care le considerăm pozitive
- 119879 + 119889119879 şi 119872119894 + 119889119872119894 icircn centrul secțiunii din dreapta elementului
Aceste eforturi au o variație mică (119889119879 şi 119889119872119894) față de secțiunea anterioară Spre
deosebire de cazul icircn care bara este secționată o singură dată icircn acest caz eforturile nu
pot fi determinate din cele 2 condiții de echilibru independente deoarece icircn ecuațiile de
echilibru apar 4 necunoscute 119879 119889119879119872119894 și 119889119872119894 deci că problema este dublu static
nedeterminată figura 219
Fig 219 Echivalența icircntre eforturi și sarcini
Ecuațiile de echilibru scrise pentru elementul din figura 219b conduc la stabilirea
unor relaţii foarte importante
(sum119865)119910= 0 hArr 119879 minus 119901 ∙ 119889119909 minus (119879 + 119889119879) = 0 rArr
119889119879
119889119909= minus119901 (210)
Relația (210) arată că derivata funcţiei forţei tăietoare icircn raport cu abscisa
secţiunii este egală cu sarcina distribuită normală la axa barei din acea secţiune luată
cu semn schimbat
Observații
dacă 119901 = 0 nu există sarcină distribuită atunci forța tăietoare T este constantă
icircnclinarea pantei diagramei forței 119879 este egală cu (ndash 119901) (sarcina distribuită cu
semn schimbat)
dacă 119901 = 119888119900119899119904119905 119879 variază liniar pe acel interval
Asemănător se deduce că derivata funcţiei forţei axiale icircn raport cu abscisa
secţiunii este egală cu sarcina distribuită axială din acea secţiune luată cu semn
schimbat adică
119889119873
119889119909= minus119901119867 (211)
Din condiția de echilibru suma de momente faţă de centrul de greutate al secţiunii
din dreapta
(sum119872)119862= 0 hArr 119872119894 minus (119872 + 119889119872119894) + 119879 ∙ 119889119909 minus 119901 ∙
(119889119909)2
2= 0 rArr
119889119872119894
119889119909= 119879 (212)
Relația (212) s-a obținut dupa reducerea termenilor și prin neglijarea infinitului
mic de ordinul 2
119901 ∙(119889119909)2
2
Relația (212) arată că derivata funcţiei moment icircncovoietor icircn raport cu abscisa
secţiunii este egală cu forţa tăietoare din acea secţiune
Observații
dacă 119879 = 0 momentul 119872119894 are un punct de extrem se obține o valoare maximă
pentru 119872119894119898119886119909 dacă forța tăietoare 119879 se anulează trecacircnd de la plus icircn stacircnga la minus icircn
dreapta secțiunii
dacă forța tăietoare este pozitivă pe un interval 119879 gt 0 atunci 119872119894 este crescătoare
pe acel interval
dacă forța tăietoare este negativă pe un interval 119879 lt 0 atunci 119872119894 este
descrescătoare pe acel interval
dacă pe un interval 119901 = 0 forța tăietoare este constantă 119879 = 119888119905 iar 119872119894 variază
liniar pe acel interval
dacă 119901 = 119888119900119899119904119905 119879 variază liniar pe acel interval iar 119872119894 variază parabolic pe
acel interval
Relaţiile diferenţiale sunt utile la reprezentarea corectă şi verificarea diagramelor
de eforturi astfel
pentru porţiunile de grindă pe care p = 0 eforturile N şi T sunt constante iar pe
porţiunile cu p = const eforturile N şi T variază liniar (relaţiile 211 şi 210)
dacă pe o porţiune T = const momentul icircncovoietor Miz variază liniar iar dacă
T variază liniar atunci momentul Miz variază parabolic (relaţia 212)
pe domeniile pe care T gt 0 funcţia Mi(x) este crescătoare iar icircn secţiunea icircn
care T = 0 (graficul funcţiei T intersectează axa x) momentul icircncovoietor are un punct
de extrem local (maxim sau minim relaţia 212)
Pentru rezolvarea problemelor referitoare la trasarea diagramelor de eforturi
pentru barele drepte solicitate de sisteme de forţe plane se parcurg următoarele etape
1) identificarea forţelor aplicate (date) şi pregătirea lor pentru calcule
(descompunerea forţelor concentrate pe direcţiile x şi y calculul rezultantelor forţelor
distribuite)
2) identificarea reazemelor şi introducerea reacţiunilor corespunzătoare (vezi
figurile 27divide29)
3) stabilirea ecuaţiilor de echilibru static calculul şi verificarea reacţiunilor Icircn
rezistența materialelor se folosește sistemul de ecuații (vezi figura 217)
(sum119865)
119909= 0
(sum119872)119860= 0
(sum119872)119861= 0
(213)
4) identificarea domeniilor de variaţie şi scrierea funcţiilor de eforturi pentru N T
şi Mi
5) reprezentarea grafică a diagramelor de eforturi
6) verificarea corectitudinii diagramelor pe baza relaţiilor diferenţiale icircntre eforturi
şi sarcini
Aplicație Pentru grinda dreaptă icircncărcată cu sistemul de forţe reprezentat icircn figura
220 se cere
a) să se calculeze şi să se verifice reacţiunile
b) să se stabilească funcţiile eforturilor Nx Ty şi Miz şi să se reprezinte diagramele
de variaţie
c) să se analizeze relaţiile diferenţiale icircntre eforturi şi sarcini
Dimensiunile grinzii au valorile a = 6 [m] b = 4 [m] și c = 4[m] sistemul de
forţe aplicat fiind format din p = 10 [kN mfrasl ] F = 20 [kN] (icircnclinată cu unghiul α =300 faţă de orizontală) şi M0 = 40 [kN ∙ m]
Rezolvare
a) Se fac următoarele precizări
grinda dreaptă se reprezintă prin axa geometrică
forţa icircnclinată F se descompune după direcţiile orizontală şi verticală icircn FV =F ∙ sin α = 10 [kN] şi FH = F ∙ cos α = 173 [kN]
forţa distribuită uniform p este echivalentă din punct de vedere static cu
rezultanta sa R = p ∙ a = 60 [kN] care acţionează la jumătatea porţiunii de lungime a
icircn reazemele 119860 şi 119861 se introduc componentele HA şi VA respectiv VB ale
reacţiunilor
Pentru calculul reacţiunilor se utilizează ecuaţiile de echilibru static al grinzii
sumXi = 0 HA minus FH = 0 sumYi = 0 VA + VB minus R minus FV = 0 (sumM)B = 0 VA ∙ (b + a) minus R ∙ (b + 05 ∙ a) minus M0 + FV ∙ c = 0
(A1)
Din prima ecuaţie se obţine HA iar din cea de-a treia ecuaţie rezultă VA
HA = FH = 173 [kN]
VA =[R ∙ (b + 05 ∙ a) + M0 minus FV ∙ c]
(b + a)=[60 ∙ (4 + 05 ∙ 6) + 40 minus 10 ∙ 4]
(4 + 6)
VA = 42 [kN]
(A2)
Fig 220 Aplicație
Se observă că cea de-a doua ecuaţie de echilibru conţine două necunoscute
reacţiunile VA şi VB Pentru a calcula componenta VB nu este indicată introducerea lui VA
icircn cea de-a doua ecuaţie a sistemului (A1) pentru că o valoare determinată greşit pentru
VA conduce la o valoare VB de asemenea greşită O ecuaţie independentă din care se poate
determina componenta VB este următoarea
(sumM)A= 0 FV ∙ (a + b + c) minus VB ∙ (a + b) minus M0 + R ∙ 05 ∙ a = 0 (A3)
de unde se obţine
VB =[FV ∙ (a + b + c) minusM0 + R ∙ 05 ∙ a]
(b + a)=[10 ∙ (6 + 4 + 4) minus 40 + 60 ∙ 05 ∙ 6]
(6 + 4)
VB = 28 [kN] (A4)
Ecuaţia de proiecţii ale forţelor pe direcţia verticală (a doua ecuaţie din sistemul
A1) se utilizează pentru verificarea reacţiunilor deja determinate
VA + VB minus R minus FV = 0 rArr 42 + 28 minus 60 minus 10 = 0 (A5)
Ultima egalitate demonstrează că reacţiunile verticale au fost calculate corect
Din cele de mai sus rezultă ordinea firească pentru determinarea reacţiunilor icircn
cazul grinzilor simplu rezemate
sumXi = 0
(sumM)A = 0
(sumM)B = 0
(A6)
iar pentru verificarea componentelor verticale VA şi VB se folosește ecuaţia sumY = 0
b) La stabilirea funcţiilor de eforturi se parcurg icircn general etapele următoare
se notează (numeric sau literal după preferinţă) secţiunile care delimitează
domeniile (intervalele sau tronsoanele) pe care eforturile nu-şi modifică funcţiile (au legi
unice de variaţie)
pe fiecare domeniu se marchează secţiunea imaginară icircn care se stabilesc
funcţiile eforturilor
secţiunea astfel aleasă separă icircn două părţi grinda şi anume porţiunea din stacircnga
şi porţiunea din dreapta secţiunii
se va considera parcursă (şi icircndepărtată) acea parte pe care acţionează mai puţine
sarcini exterioare pentru că acestea vor interveni icircn expresiile funcţiilor de eforturi
poziţiile secţiunilor imaginare se vor determina prin variabilele x1 ⋯ xn (unde
n reprezintă numărul domeniilor de variaţie) cu originea fixată icircn capătul intervalului şi
sensul de parcurgere spre partea considerată rămasă
Grinda prezentată icircn figura 220 are trei domenii de variaţie pentru funcţiile de
eforturi după cum urmează (A-1) (2-B) şi (B-1)
Domeniul (A-1) x1 isin [0 a = 6 m] Porţiunea parcursă şi considerată icircndepărtată este cea de coordonată x1 pe care
acţionează reacţiunile HA şi VA precum şi rezultanta parţială a sarcinii distribuite R1 =p ∙ x1
Funcţia forţă axială Nx are expresia
Nx(x1) = NAminus1 = minusHA = minus173 [kN] = const
(A7)
Funcţia forţă tăietoare Ty are exspresia
Ty(x1) = TAminus1 = VA minus R1 = VA minus p ∙ x1 (A8)
care reprezintă o variaţie liniară de variabilă x1 Se calculează valorile forţei tăietoare la
limitele intervalului de variaţie
- pentru x1 = 0 Ty(x1 = 0) = TA = VA = 42 [kN]
- pentru x1 = a = 6 [m] Ty(x1 = 6) = T1 = VA minus p ∙ a = minus18 [kN]
Observaţie Aşa cum a fost stabilită secţiunea fictivă poziţionată prin coordonata
x1 sar părea că rezultanta R ar trebui luată icircn calculul lui Ty(x1) Acest lucru ar fi greşit
pentru că R = p ∙ a reprezintă rezultanta sarcinii distribuite pe toată lungimea a iar
rezultanta pe porţiunea parcursă de lungime x1 este R1 = p ∙ x1 ne R = p ∙ a
Cu valorile obţinute se trasează diagramele forţelor axială Nx = f(x) şi tăietoare
Ty = f(x) figura 220 Din diagrama forţei tăietoare şi din valorile obţinute analitic se
observă că forţa tăietoare icircşi schimbă semnul pe intervalul analizat deci se anulează pe
acest interval Poziţia secţiunii unde Ty se anulează se determină din ecuaţia
Ty(x1) = 0 rArr VA minus p ∙ x1 = 0 (A9)
cu soluţia x1lowast = ξ = 42 [m] Important de reamintit că icircn această secţiune momentul
icircncovoietor va avea un extrem local adică Miz are un extrem la Ty = 0
Funcţia moment icircncovoietor Miz are expresia
Miz(x1) = VA ∙ x1 minus R1 ∙x12= VA ∙ x1 minus (p ∙ x1) ∙
x12
(A10)
Se observă că funcţia moment icircncovoietor de variabilă x1 are o variaţie parabolică
(gradul al II-lea) Pentru reprezentarea grafică a funcţiei parabolice se calculează valorile
momentului icircncovoietor icircn trei secţiuni
- pentru x1 = 0 Miz(x1 = 0) = MA = 0 [kN ∙ m] - pentru x1 = a = 6 [m] Miz(x1 = 6) = M1 = 72 [kN ∙ m] - pentru x1
lowast = ξ = 42 [m] Miz(x1lowast = ξ = 42 [m]) = Mimax = 882 [kN ∙ m]
Cu acestea se trasează diagrama Miz = f(x) pe intervalul (A-1) figura 220
Observaţie Icircn unele cazuri pe un anumit interval forţa tăietoare nu se anulează
şi momentul icircncovoietor nu are un extrem local Icircn acest caz pentru reprezentarea
variaţiei parabolice a momentului icircncovoietor se va studia semnul derivatei a doua a
funcţiei Miz = f(x1) acesta determinacircnd convexitatea curbei momentului icircncovoietor
Domeniul (2-B) x2 isin [0 c = 4 m] Porţiunile din grindă libere (nerezemate) la un capăt se numesc console iar
stabilirea funcţiilor de eforturi devine mai simplă dacă se consideră icircndepărtată partea din
dreapta secţiunii prin schimbarea sensului pozitiv al axei x Astfel se obţin funcţiile eforturilor
Funcţia forţă axială Nx are expresia
Nx(x2) = N2minusB = minusFH = minus173 [kN] = const
(A11)
Funcţia forţă tăietoare Ty are exspresia
Ty(x2) = T2minusB = FV = 10 [kN] = const (A12)
Funcţia moment icircncovoietor Miz are expresia
Miz(x2) = minusFV ∙ x2 rArr Miz(x2 = 0) = M2 = 0 [kN ∙ m]
Miz(x2 = 4) = MB = minus40 [kN ∙ m] (A13)
variaţie liniară (gradul I)
Domeniul (B-1) x3 isin [0 b = 4 m] Pe acest domeniu se acceptă parcurgerea grinzii de la dreapta adică se consideră
icircndepărtată partea din dreapta secţiunii fictive pentru că are doar două sarcini aplicate F
şi VB faţă de partea din stacircnga secţiunii pe care sunt aplicate trei sarcini p VA şi M0
Astfel se obţin funcţiile eforturilor
Funcţia forţă axială Nx are expresia
Nx(x3) = NBminus1 = minusFH = minus173 [kN] = const
(A14)
Funcţia forţă tăietoare Ty are exspresia
Ty(x3) = TBminus1 = FV minus VB = minus18 [kN] = const (A15)
Funcţia moment icircncovoietor Miz are expresia
Miz(x3) = minusFV ∙ (x3 + c) + VB ∙ x3 rArr
rArr Miz(x3 = 0) = MB = minus40 [kN ∙ m]
Miz(x3 = 4) = M1 = 32 [kN ∙ m]
(A16)
variaţie liniară (gradul I)
Diagramele eforturilor sunt prezentate icircn figura 220
c) Relaţiile diferenţiale dintre eforturi şi sarcini se analizează pe diagramele
eforturilor după cum urmează
sarcina distribuită nu are componentă orizontală adică ph = 0 şi icircn
conformitate cu formula (211) rezultă că Nx = const pe toată lungimea grinzii fapt care
a rezultat din funcţia şi reprezentarea diagramei forţei axiale
pe intervalul (A-1) sarcina distribuită are doar componenta verticală pozitivă
pV = p gt 0 prin urmare forţa tăietoare scade (are panta negativă dTy 119889119909frasl = minusp vezi
relaţia 210) iar momentul icircncovoietor avacircnd derivata a doua negativă d2M119894119911 1198891199092frasl =minuspare convexitatea curbei orientată spre sensul pozitiv al axei momentului Miz adică icircn
jos
pe domeniile (2-B) şi (B-1) deoarece pv = 0 forţa tăietoare Ty este constantă
iar momentul icircncovoietor Miz variază liniar
referitor la relaţia (212) pe porţiunile unde Ty gt 0 momentul Miz este
monoton crescător pe porţiunile unde Ty lt 0 momentul Miz este monoton descrescător
iar icircn secţiunea icircn care Ty = 0 momentul icircncovoietor are un extrem local Mξ =
882 [kN ∙ m] icircn diagrama forţei tăietoare discontinuităţile (salturile) se produc icircn secţiunile
unde acţionează VA VB şi FV iar icircn diagrama momentului icircncovoietor se produce un
singur salt icircn secţiunea icircn care este aplicat M0
se poate scrie
Mξ = suprafața diagramei Ty |ξ0=1
2∙ 42 ∙ 42 = 882 [kN ∙ m]
sau parcurgacircnd grinda de la dreapta la stacircnga rezultă
MB = minussuprafața diagramei Ty |c0= minus10 ∙ 4 = minus40 [kN ∙ m]
Toate aspectele analizate teoretic referitoare la relaţiile diferenţiale dintre eforturi
şi sarcini se regăsesc icircn diagramele de eforturi din figura 220 ceea ce icircnseamnă că
diagramele au fost reprezentate corect
3 TENSIUNI DEPLASĂRI ŞI DEFORMAŢII SPECIFICE
31 Tensiuni
Eforturile obținute icircn urma reducerii forțelor interioare icircn centrul de greutate al
secțiunii nu pot da informații asupra solicitării fiecărui punct al secțiunii respective Este
necesar să se cunoască modul cum se distribuie forțele interioare icircn fiecare punct al
secțiunii pentru a ști care este intensitatea maximă a solicitării Această intensitate
maximă se poate compara cu o valoare critică specifică materialului stabilindu-se astfel
dacă solicitarea este periculoasă sau nu
Mărimea care caracterizează solicitarea locală punctuală o vom denumi tensiune
și o vom defini icircn cele ce urmează Să considerăm partea din dreapta a unui corp solicitat
de forțele exterioare 1198651 1198652 și 1198653 obținută prin secționarea corpului și mărginită de fața
din dreapta Ad a secțiunii Pe secțiunea Ad vom considera un element de arie infinit mic
∆119860 caracterizat de normala la elementul de arie normală care are cosinușii directori
120573 și icircn raport cu un sistem de axe considerat fix Pe elementul infinit mic ∆119860 acționează
forțele interioare care au o rezultantă oarecare figura 31
Prin definiție tensiunea totală este
= lim∆119860rarr0
∆
∆119860 (31)
Tensiunea are aceeaşi direcţie cu forţa elementară ∆ iar mărimea ei este
determinată atacirct de mărimea forţei ∆ cacirct şi de orientarea suprafeţei ∆119860 faţă de direcţia
forţei
Tensiunea 119901 poate fi descompusă icircntr-o componentă orientată după direcţia
normalei la secţiune tensiunea normală notată cu 120590119909 şi o componentă icircn planul secţiunii
tensiunea tangenţială notată cu figura 32
= 119909 + 120591 (32)
Fig 31 Tensiunea totală Fig 32 Tensiunea normală și tangențială
La racircndul ei componenta tensiunii cuprinsă icircn planul secțiunii poate fi
descompusă după direcțiile axelor y și z
120591 = 120591119909119910 + 120591119909119911 (33)
Icircntre cele trei componente ale tensiunii totale care acționează pe elementul de arie
∆119860 este valabilă relația
1199012 = 1205901199092 + 120591119909119910
2 + 1205911199091199112 (34)
După sensul pe care icircl are tensiunea normală 120590 poate avea efect de tracţiune sau
de compresiune exercitat de către partea de corp icircnlăturată asupra părţii rămase Analog
tensiunea tangenţială 120591 poate avea efect de tăiere forfecare sau alunecare Pentru
componentele tensiunii tangențiale 120591119909119910 pe direcţia 119910 respectiv 120591119909119911 pe direcţia 119911 primul
indice indică axa pe care tensiunea este normală iar cel de-al doilea indice indică axa cu
care aceasta este paralel
Tensiunea este o mărime tensorială valoarea ei depinzacircnd atacirct de poziția
punctului icircn planul secțiunii cicirct și de orientarea planului de secționare deci de normala
Operaţiile vectoriale nu pot fi aplicate tensiunilor decacirct după ce acestea au fost icircnmulţite
cu ariile respective adică au fost transformate icircn forţe
Icircn literatura de specialitate mai ales icircn manualele mai vechi pentru noţiunea de
tensiune se mai foloseşte şi denumirea de efort specific
Dacă se consideră un alt element de arie ∆119860 cu centrul icircn același punct avacircnd ca
normală axa 119910 se vor obține alte tensiuni și anume
- 120590119910 este tensiunea normală (paralelă cu axa y)
- 120591119911119909 și 120591119910119911 sunt tensiuni tangențiale paralele cu axele 119909 și respectiv 119911 aflate icircn
planul care are ca normală axa 119910
Dacă icircn jurul unui punct dintr-un corp solicitat se consider un element de volum
infinit mic de forma unui cub icircn cazul cel mai general pe fețele sale vor acționa
tensiunile normale 120590119909 120590119910 și 120590119911 și respectiv tensiunile tangențiale 120591119909119910 120591119909119911 120591119910119909 120591119910119911 120591119911119909
și respectiv 120591119911119910 figura 33 Aceste tensiuni definesc starea de tensiune a punctului
observacircnd faptul că tensorul tensiune are 9 componente Dacă se consideră elementul
de volum finit ca fiind foarte mic se poate presupune că icircn interiorul său nu apar forțe
Ca urmare el va fi icircn echilibru sub acțiunea forțelor elementare produse de tensiunile de
pe fețele sale
Din condiția ca elementul să nu se rotească icircn jurul unor axe care trec prin centrul
său și sunt paralele cu axele sistemului 119909119874119910119911 rezultă
2 ∙ 120591119909119910 ∙ (119889119910 ∙ 119889119911) ∙119889119909
2= 2 ∙ 120591119910119909 ∙ (119889119909 ∙ 119889119911) ∙
119889119910
2 rArr 120591119909119910 = 120591119910119909 (35)
2 ∙ 120591119910119911 ∙ (119889119909 ∙ 119889119911) ∙119889119910
2= 2 ∙ 120591119911119910 ∙ (119889119909 ∙ 119889119910) ∙
119889119911
2 rArr 120591119910119911 = 120591119911119910 (36)
2 ∙ 120591119909119911 ∙ (119889119910 ∙ 119889119911) ∙119889119909
2= 2 ∙ 120591119911119909 ∙ (119889119909 ∙ 119889119910) ∙
119889119911
2 rArr 120591119909119911 = 120591119911119909 (37)
Relațiile (35divide37) 120591119909119910 = 120591119910119909 120591119910119911 = 120591119911119910 120591119909119911 = 120591119911119909 exprimă principiul dualității
tensiunilor tangențiale
Fig 33 Tensiunile normale și tangențiale pe fețele unui cub
Din condiția ca elementul considerat să nu se deplaseze icircn lungul axelor de
coordonate pe fețele opuse acționează aceleași tensiuni normale 120590119909 120590119910 și respectiv 120590119911
Definirea tensorului tensiune este posibilă dacă se cunosc cele 6 componente
independente ale acestuia aflate icircn trei plane perpendicular ce trec prin punctul respectiv
=
120590119909 120591119909119910 120591119909119911120591119910119909 120590119910 120591119910119911120591119911119909 120591119911119910 120590119911
Observaţii
Tensiunile se măsoară icircn [119873 1198982frasl ] (1119873 1198982frasl = 1 119875119886) sau icircn [119872119875119886]
(1 119872119875119886 = 106119875119886 = 106 119873
1198982 1 119872119875119886 = 1
119873
1198981198982)
Starea de tensiune dintr-un punct este considerată cunoscută dacă se cunosc
tensiunile 119901 care acționează pe infinitatea de elemente de suprafață ce trec prin punctual
considerat
Starea de tensiune a unui corp se consider cunoscută dacă se cunosc stările de
tensiune de pe infinitatea de puncte ale corpului considerat
32 Deplasări Deformaţii specifice
321 Deplasări
Aceste noțiuni sunt utile icircn analiza aspectului geometric al problemelor de rezistența
materialelor Deplasările care se analizează sunt cele datorate schimbării formei și
dimensiunilor corpurilor ca urmare a acțiunii forțelor exterioare și nu cele cinematice
posibile pentru solidul rigid care se poate deplasa cu anumită viteză și accelerație
Spre exemplu icircn figura 34a și figura 34b sub acțiunea forței 119865 tronsonul de
bară AB se deformează icircn timp ce tronsonul BC deși punctele sale au deplasări rămacircne
nedeformat (fiind nesolicitat) Toate punctele de pe axele barelor cu excepția celor din
icircncastrare (secțiunile A) au deplasări liniare De cele mai multe ori deformațiile barelor
datorate acțiunii forțelor exterioare se anulează la icircndepărtarea forțelor se spune că
deformațiile sunt elastice Secțiunile transversale ale barei din figura 34a se și rotesc icircn
raport cu pozițiile lor inițiale Spre exemplu secțiunea de căpăt cu centrul icircn C se rotește
cu unghiul
Fig 34 Deformațiile unei grinzi
Oricacirct de complexă ar fi delormația unui corp ea poate fi descrisă de lungiri sau
scurtări și de modificări ale unghiurilor inițiale
Deplasările măsoară schimbarea poziției unui punct al corpului și pot fi liniare
sau unghiulare
Prin deplasare liniară a unui punct se icircnțelege drumul parcurs de acest punct icircn
decursul procesului de deformație după o dreaptă suport dreapta 1198611198611 din figura 34a
Prin deplasare unghiulară se icircnțelege rotirea dintre segmentele de dreaptă
determinate de două puncte ale corpului icircnainte și după deformarea acestuia unghiul
pe care-l fac segmentele 119861119862 și 11986111198621 din figura 34a Această rotire se măsoară prin
unghiul pe care-l fac proiecțiile dreptelor ce conțin cele două segmente icircntr-un sistem
triortogonal
Icircn cazul cel mai general vectorul deplasare liniară se poate descompune icircntr-un
sistem triortogonal icircn trei componente 119906 119907 și 119908 figura 35
Fig 35 Deplasarea liniară
Se consideră acum un corp solid raportat la un sistem de axe ortogonal 119909119874119910119911
figura 35 după deformarea corpului un punct oarecare 119870 al acestuia se deplasează icircn
poziţia 1198701 vectorul 1198701198701 poartă numele de vectorul deplasării totale
Deplasarea totală este suma deplasărilor pe cele trei direcţii ortogonale iar
aceste deplasări se notează astfel
deplasarea pe direcţia 119909 cu ∥ 119874119909
deplasarea pe direcţia 119910 cu ∥ 119874119910
deplasarea pe direcţia 119911 cu ∥ 119874119911
Componentele deplasărilor și formeză matricea deplasărilor liniare 119906119907119908
322 Deformații
Prin deformație icircn general se icircnțelege orice schimbare de formă a unui corp fără
o evaluare cantitativă Icircn Rezistența Materialelor deformația măsoară variația
dimensiunilor geometrice ale corpului considerat din vecinătatea unui punct analog
deplasărilor deformațiile pot fi liniare și unghiulare (lunecări)
Fig 36 Deplasarea liniară
Deformația liniară ∆119897 reprezintă variația lungimii 119897 a unui element liniar al
corpului deformat figura 36 Deformația liniară specifică se definește ca fiind raportul
dintre deformația liniară și lungimea inițială
휀 =∆119897
119897 (38)
unde ∆119897 este lungirea sau scurtarea care este echivalentă cu deformția liniară totală iar
este alungirea
Deformația unghiulară sau lunecarea unui punct 119860 icircn planul 119861119860119862 se definește
prin relația figura 37
120574 = lim119861119860rarr0119862119860rarr0
(119861119860 minus 119861111986011198621 ) (39)
Fig 36 Deformația unghiulară
Schimbacircnd orientarea planului care trece prin 119860 se obțin alte deformații
unghiulare Dacă elementele liniare 119861119860 și 119862119860 sunt inițial perpendiculare deformația 120574 se
numește deformație unghiulară specifică sau lunecare specifică figura 37
Un exemplu de deplasare unghiulară și de deformație unghiulară este prezentat icircn
figura 38 Unghiul este deplasarea unghiulară și măsoară rotirea relativă dintre două
secțiuni aflate la distanța 119897 Unghiul este deformația specifică unghiulară (lunecarea
specifică) din punctul 119870 Aceste deplasări și deformații se obțin icircn urma solicitării barei
de către cele două momente 1198720 egale și de sens contrar
Fig 38 Deplasarea unghiulară
Pentru a analiza starea de deformație din vecinătatea unui punct al unui corp
solicitat complex se decupează din jurul punctului un element de volum mic figura 39a
avacircnd laturile 119889119909 119889119910 și 119889119911 Ca urmare a solicitării laturile acestuia se vor lungi sau
scurta Reprezentarea elementului deformat icircn spațiu este dificilă pentru simplificare
vom analiza doar deformațiile din planul 119909119874119910 Observăm că dimensiunile 119889119909 și 119889119910 s-au
modificat cu valoarea ∆119889119909 respectiv cu ∆119889119910 analog se acceptă și pentru 119889119911 o modificare
de forma ∆119889119911 Astfel se pot defini deformațiile specifice liniare
휀119909 =∆119889119909
119889119909 휀119910 =
∆119889119910
119889119910 휀119911 =
∆119889119911
119889119911 (310)
De cele mai multe ori aceste deformații specifice liniare se pot exprima procentual
și se mai numesc alungiri
Fig 39 Starea de deformație
Icircn figura 39c se vede că unghiul inițial drept dintre muchiile 119889119909 și 119889119910 ale
elementului de volum s-a modificat Se definește deformația specifică unghiulară (sau
lunecarea specifică) mărimea cu care se modifică unghiul inițial drept
120574119909119910 = 120574119909119910prime + 120574119910119909
prime = 120574119910119909120574119910119911 = 120574119910119911
prime + 120574119911119910prime = 120574119911119910
120574119911119909 = 120574119911119909prime + 120574119909119911
prime = 120574119909119911
(311)
Deformațiile 휀119909 휀119910 휀119911 120574119909119910 120574119910119911 120574119911119909 constituie cele șase componente
independente ale tensorului deformațiilor specifice care pot fi scrise de forma
119863 =
휀119909 120574119909119910 120574119909119911120574119910119909 휀119910 120574119910119911120574119911119909 120574119911119910 휀119911
(312)
323 Contracţia transversală
Practica arată că odată cu lungirea unei bare apare o micşorare a mărimii secţiunii
transversale mărime numită contracţie transversală figura 310
Fig 310 Contracția transversală
Contracţia transversală este proporţională cu lungirea specifică coeficientul de
proporţionalitate se notează cu 120599 şi se numeşte coeficient de contracţie transversală sau
coeficientul lui Poisson
La o lungire specifică a barei contracţia transversală este dată de relația
휀119905119903 = 휀119910 = 휀119911 = minus120599 ∙ 휀119909 (313)
Semnul minus bdquo-rdquo arată că cele două mărimi sunt contrare dacă una creşte cealaltă
scade şi invers
Considerăm o bară cilindrică de lungime 119897 şi aria secţiunii transversale 119860 solicitată
la icircntindere axială La un moment dat datorită solicitării lungimea barei devine
[119897 ∙ (1 + 휀)] diametrul devine [119889 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)] iar aria secţiunii transversale devine
[119860 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)2] Dacă volumul barei icircnainte de solicitare a fost (119860 ∙ 119897) după solicitare
acesta devine
119881 + ∆119881 = 119860 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)2 ∙ 119897 ∙ (1 + 휀) =
= 119860 ∙ 119897 ∙ (1 + 휀 minus 2 ∙ 120599 ∙ 휀 minus 2 ∙ 120599 ∙ 휀2 + 1205992 ∙ 휀2 + 1205992 ∙ 휀3) (314)
Deoarece lungirile sunt foarte mici ultimii trei termeni din paranteză fiind infinit mici se pot neglija obţinacircnd
119881 + ∆119881 = 119860 ∙ 119897 + 119860 ∙ 119897 ∙ 휀 ∙ (1 minus 2 ∙ 120599) ⟺ ∆119881 = 휀 ∙ (1 minus 2 ∙ 120599) ∙ 119860 ∙ 119897 (315)
Practica arătă că o astfel de bară solicitată la icircntindere icircşi măreşte volumul deci
∆119881 gt 0 de unde rezultă că
1 minus 2 ∙ 120599 gt 0 rArr 120599 lt 05 (316)
Pentru majoritatea materialelor 120599 = 033 iar pentru materialele care-şi păstrează
volumul constant 120599 = 05
33 Relaţii de echivalenţă icircntre eforturi şi tensiuni
Considerăm un element de suprafață infinit mic 119889119860 situat pe fața de arie (119860) a
secțiunii barei din figura 311 Icircn centrul de greutate 119862 al secțiunii acționează eforturile
119873 119879119910 119879119911 119872119909 119872119894119910 și 119872119894119911 determinate prin metoda secțiunilor
Icircn raport cu un sistem de axe de referință 119909119862119910119911 coordonatele elementului 119889119860 sunt
- 119910 este ordonata elementului de arie 119889119860
- 119911 este abscisa elementului de arie 119889119860
Pe elementul de arie 119889119860 acționează tensiunile
120590119909 tensiunea normală
120591119909119910 și 120591119909119911 tensiuni tangențiale
Dacă se icircnsumează forțele elementare de tipul 120590119909 ∙ 119889119860 120591119909119910 ∙ 119889119860 și 120591119909119911 ∙ 119889119860
va trebui să obținem eforturile 119873 119879119910 și 119879119911
Fig 311 Element de suprafață mic din secțiunea unei bare
Dacă eforturile sunt privite ca forțe exterioare și se scriu ecuațiile de
echilibru ale secțiunii (119860) se vor obține șase relații de echivalență icircntre eforturi și
tensiuni
(sum119883) = 0 rArr int 120590119909 ∙ 119889119860
119860
= 119873 (317)
(sum119884) = 0 rArr int 120591119909119910 ∙ 119889119860
119860
= 119879119910 (318)
(sum119885) = 0 rArr int 120591119909119911 ∙ 119889119860
119860
= 119879119911 (319)
(sum119872)119909= 0 rArr int(120591119909119911 ∙ 119889119860) ∙ 119910
119860
minus int(120591119909119910 ∙ 119889119860) ∙ 119911
119860
= 119872119909 rArr
rArr int(119910 ∙ 120591119909119911 minus 119911 ∙ 120591119909119910) ∙ 119889119860
119860
= 119872119909
(320)
(sum119872)119910= 0 rArr int(120590119909 ∙ 119889119860) ∙ 119911
119860
= 119872119894119910 (321)
(sum119872)119911= 0 rArr int(120590119909 ∙ 119889119860) ∙ 119910
119860
= 119872119894119911 (322)
Cele șase relații de echivalență icircntre eforturi și tensiuni constituie un pas icircnainte
icircn rezolvarea unei probleme de rezistența materialelor Aceste relații vor permite
determinarea tensiunilor maxime
Pentru a rezolva cele 6 relații de echivalență trebuie să se cunoască tensiunile și
ca funcții de punct adică funcții de forma
120590119909 = 120590119909(119909 119910 119911) 120591119909119910 = 120591119909119910(119909 119910 119911) 120591119909119911 = 120591119909119911(119909 119910 119911) (32
3)
Cunoașterea acestor funcții presupune icircnsă analizarea aspectului geometric al
problemei precum și utilizarea unor ipoteze simplificatoare care să permită simplificarea
problemelor
34 Ipoteze de bază icircn rezistenţa materialelor
Depășirea dificultăților legate de interpretarea unor fenomene specifice mecanicii
solidului deformabil a impus acceptarea unor ipoteze care să simplifice fenomenele și să
contribuie la elaborarea unor modele de calcul cicirct mai generale și cacirct mai simple Aceste
ipoteze se referă la structura materialelor şi la comportarea lor sub acţiunea forţelor
exterioare Ipotezele acceptate trebuie să fie icircn deplină concordanţă cu realitatea și să
conducă la rezultate verificate icircn practică
Funcție de aspectele la care se referă ipotezele pot fi
Ipoteze fizice (de material)
Ipoteze de calcul
341 Ipoteze fizice
Se acceptă deoarece teoriile structurale au condus la rezultate care contravin
icircncercărilor experimentale
Ipoteza mediului continuu consideră că orice domeniu elementar al corpului
este ocupat de materie adică nu se acceptă existența unor goluri sau a unor crăpături
microscopice (fisuri) Deși nu corespunde realităţii poate fi acceptată deoarece
dimensiunile corpului sunt mult mai mari decacirct dimensiunile particulelor elemantare Are
avantajul că permite utilizarea proprietăților matematice ale funcțiilor continue pentru
tensiunile și deformațiile din orice punct al corpului Ea este mai apropiată de realitate la
corpurile amorfe şi mai depărtată la cele cristaline dar conduce la rezultate satisfăcătoare
icircn calculele de rezistenţă
Ipoteza nu se poate aplica la corpurile care au goluri tăieturi (multiplu conexe)
pentru unele puncte singulare icircn care tensiunile și deformațiile tind la infinit sau icircn unele
probleme de plasticitate icircn care proprietățile de material au un rol esențial
Ipoteza izotropiei conform acestei ipoteze materialul din care este confecționat
un element de rezistență are aceleași proprietăți după orice direcție un astfel de material
este considerat izotrop Din punct de vedere macroscopic metalele pot fi considerate
izotrope deși la nivel microscopic proprietățile lor diferă de la o direcție cristalografică
la alta Orice conglomerat de cristale poate fi considerat izotrop
Există cazuri cacircnd această ipoteză a izotropiei nu se acceptă
la metalele puternic deformate după o direcție (prin laminare trefilare)
la piesele confecționate din lemn lemnul este anizotrop deoarece proprietățile sale
diferă după două direcții (icircn lungul fibrelor și perpendicular pe această direcție)
Ipoteza omogenității consideră că un corp are aceleași proprietăți icircn orice
punct al său Deși majoritatea materialelor utilizate icircn tehnică sunt eterogene la scară
micro fiind constituite din mai multe faze cu proprietăți diferite la scară macro ele pot
fi considerate omogene Omogenitatea și izotropia sunt proprietăți statistice medii care
nu se condiționează una pe cealaltă Chiar și materialele monofazice pot avea la scară
micro unele segregații care le fac eterogene
Ipoteza elasticităţii perfecte presupune că atacircta timp cacirct solicitările nu
depăşesc anumite limite materialul are o comportare elastică adică icircşi recapătă forma şi
dimensiunile iniţiale odată cu icircnlăturarea sarcinilor Icircn realitate materialele nu prezintă o
elasticitate perfectă ele avacircnd deformaţii remanente mici care icircnsă pot fi neglijate icircn
calculele de rezistenţă
Acceptarea acestei ipoteze a elasticității perfecte permite
- aplicarea relației biunivoce icircntre tensiuni și deformații relație exprimată de legea
lui Hooke ( = 119864 ∙ 휀) unde E este un factor de proporţionalitate numit modul de
elasticitate longitudinal al materialului pentru oţel 119864 = 21 ∙ 105 [119872119875119886] - acceptarea valabilității afirmației bdquolucrul mecanic efectuat de forțele exterioare
ca urmare a parcurgerii deplasărilor punctelor de aplicație se icircnmagazinează integral icircn
corp sub formă de energie de deformație energie cedată la icircndepărtarea sarcinilorrdquo
- este valabilă teoria conform căreia bdquoenergia icircnmagazinată și deformațiile depind
doar de starea inițială și finală de eforturi fără a ține cont de modul icircn care s-a ajuns la
starea finalărdquo
Icircn realitate oricacirct de mici ar fi sarcinile aplicate se produc și deformații plastice
dar acestea pot fi neglijate dacă solicitarea nu depășește anumite limite
342 Ipoteze de calcul
Ipoteza micilor deplasări bdquodeplasările datorate deformării sunt mult mai mici
decacirct dimensiunile corpurilor și ca urmare pot fi neglijate produsele dintre o deplasare și
ea icircnsăşirdquo Pentru cele mai multe corpuri deformaţiile elastice sunt de mărimi mici deci
corpurile solide sub acţiunea sarcinilor icircşi modifică foarte puţin forma iniţială Această
ipoteză este cunoscută şi sub denumirea de ipoteza menţinerii dimensiunilor iniţiale Ea
permite scrierea ecuaţiilor de echilibru ale staticii pe starea nedeformată a elementului
cacircnd nu se iau icircn considerare deplasările punctelor de aplicaţie ale forţelor care se produc
ca urmare a deformării acestuia Calculul efectuat pe schema nedeformată poartă numele
de calcul de ordinul I
Ipoteza micilor deplasări nu poate fi acceptată pentru studiul problemelor de
stabilitate sau la problemele la care nu pot fi icircndeplinite condiţiile de echilibru icircn starea
nedeformată
Calculul de ordinul II admite ipoteza micilor deplasări dar ecuaţiile de echilibru
se scriu icircnsă pentru starea deformată a elementului de rezistenţă
Calculul de ordinul III nu mai acceptă ipoteza micilor deplasări el referindu-se
la cazul deformaţiilor mari cacircnd ecuaţiile de echilibru trebuie scrise pentru starea
deformată
Chiar dacă materialul satisface legea lui Hooke icircn urma calculelor de ordinul II
se obţin de obicei relaţii neliniare icircntre sarcini şi deplasări iar pentru calculul de ordinul
III rezultă ecuaţii diferenţiale neliniare
Principiul efectului local al acțiunii sarcinilor enunțat de Barre de Saint-
Venant Acest principiu destul de folosit icircn Rezistenţa Materialelor precizează că dacă
se icircnlocuiesc forţele care acţionează asupra unui element de suprafață al unui corp
elastic printr-un alt sistem de forţe echivalent din punct de vedere static cu primul noua
distribuţie a forţelor produce la locul de aplicare diferenţe semnificative faţă de prima
dar rămacircne fără efect sau cu efect neglijabil la distanţe mari de locul de aplicare al
forţelor figura 312
Ca o cosecință o sarcină uniform distribuită figura 312a poate fi icircnlocuită cu
rezultanta ei figura 312b dacă se analizează efectul sarcinii la distanță mare de locul icircn
care se aplică sarcina
Fig 312 Principiul Saint-Venant
Icircn prima variantă figura 312a forţa 119865 se aplică pe o porțiune oarecare 119897 (sarcină
uniform distribuită) iar icircn a doua figura 312b icircntru-un punct (forţă concentrată) La
locul de aplicare a sarcinii efectul asupra barei este cu totul diferit de la o variantă la
cealaltă Icircnsă la o distanţă mare de punctul de aplicaţie spre exemplu icircn secţiunea situată
la distanţa 119886 de capătul barei sau chiar icircn icircncastrare ambele bare sunt solicitate la fel
Icircn cazul din figura 312a
119872119894(119909) =119901 ∙ 1199092
2 119909 le 119897 119872119894(119909) = 119901 ∙ 119897 ∙ (119909 minus
119897
2) 119909 gt 119897 (324)
Icircn cazul din figura 312b
119872119894(119909) = 0 119909 lt119897
2 119872119894(119909) = 119901 ∙ 119897 ∙ (119909 minus
119897
2) 119909 gt
119897
2 (325)
Se vede că pentru (119909 gt 119897) adică după depășirea locului icircn care se aplică sarcina
efectul este același
Ipoteza lui Bernoulli sau ipoteza secţiunilor plane precizează că o secţiune
plană şi normală pe axa barei icircnainte de deformare rămacircne plană şi normală pe axa
barei şi după deformare figura 313
Fig 313 Ipoteza lui Bernoulli
Ipoteza stării naturale a corpului sau ipoteza absenţei tensiunilor conform
căreia pentru un corp nesolicitat starea de tensiune şi deformaţie este nulă
Perfecţionarea mijloacelor de calcul şi de investigare pot conduce la renunţarea la
unele ipoteze sau la introducerea altora noi mai aproape de stările reale De aici rezultă
caracterul de continuă perfecţionare a metodelor Rezistenţei Materialelor
35 Coeficienţi de siguranţă Tensiuni admisibile
O piesă corespunde din punct de vedere tehnic dacă tensiunile care iau naştere icircn
interiorul piesei datorită sarcinilor aplicate nu depăşesc anumite valori limită stabilite
convenţional Aceste valori limită ale tensiunii sunt corelate cu caracteristicile mecanice
ale materialelor
Tensiunea limită utilizată icircn calculele de rezistenţă este cunoscută sub denumirea
de tensiune admisibilă sau rezistenţă admisibilă Rezistenţa admisibilă reprezintă
valoarea convenţională aleasă icircn calcul pe baza practicii pentru tensiunea maximă care
poate apare icircntr-o piesă icircn condiţii date de material şi solicitare
Rezistenţa admisibilă (120590119886 sau 120591119886) poate fi definită faţă de o stare limită
periculoasă stare care trebuie evitată deoarece poate conduce distrugere
120590119886 =120590119897119894119898119888
(326)
unde
120590119897119894119898 este tensiunea corespunzătoare stării limită periculoase
119888 estesupraunitar 119888 gt 1 și reprezintă coeficientul de siguranţă faţă de starea limită
periculoasă considerată
Alegerea unor valori inferioare pentru rezistenţa admisibilă faţă de tensiunea
corespunzătoare stării limită periculoase este necesară deoarece
cunoaşterea sarcinilor este de cele mai multe ori aproximativă şi o depăşire a
acestora este foarte posibilă
caracteristicile mecanice ale materialelor variază icircn limite destul de mari ele
fiind influenţate de mulţi factori
schema aleasă pentru calcul (aplicarea sarcinilor schematizarea structurii
ipotezele de calcul etc) depărtează modelul faţă de cel real
Pentru calculele de verificare tensiunea efectivă maximă din elementul de
rezistenţă trebuie să fie mai mică sau cel mult egală cu cea admisibilă
120590119890119891119898119886119909 le 120590119886 (327)
Valoarea rezistenţei admisibile este influenţată de foarte mulţi factori natura
materialului tratamentele termice aplicate piesei durata de funcţionare a piesei modul
de acţionare icircn timp a sarcinilor felul solicitării temperatura gradul de periculozitate
icircn cazul cedării piesei etc
De asemenea valoarea coeficientului de siguranţă se alege icircn principal ţinacircnd
seama de aceiaşi factori care influenţează şi rezistenţa admisibilă
Rezistenţele admisibile pentru cacircteva materiale sunt următoarele
pentru oțelul de uz general OL37 solicitat la icircntindere compresiune sau
icircncovoiere 120590119886 = 150 [119872119875119886] pentru lemnul de brad solicitat la
- compresiune icircn lungul fibrelor şi solicitat la icircncovoiere 120590119886 = 10 [119872119875119886] - tracţiune icircn lungul fibrelor 120590119886 = 7 [119872119875119886] - compresiune perpendiculară pe fibre 120590119886 = 15 [119872119875119886] - forfecare icircn lungul fibrelor 120591119886 = 2 [119872119875119886] - forfecare perpendiculară pe fibre 120590119886 = 45 [119872119875119886]
terenuri de fundaţie din pămacircnt uscat sau umed 120590119886 = 020 divide 025 [119872119875119886]
4 CARACTERISTICI GEOMETRICE ALE SECȚIUNILOR PLANE
41 Noţiuni introductive
Icircn relaţiile de calcul ale tensiunilor şi deformaţiilor elementelor de rezistenţă
pentru unele solicitări (icircncovoierea și torsiunea) secțiunile plane intervin atacirct prin
dimensiunile lor (aria 119860) cicirct și prin forma și poziția pe care o are secțiunea icircn raport cu
planul solicitării Mărimile care caracterizează o secțiune icircn raport cu forma și poziția față
de axele unui sistem de referință sunt denumite caracteristici geometrice de ordin
superior Aria secțiunii este caracteristica geometrică ce depinde doar de dimensiunile
geometrice ale acesteia
Să considerăm o grindă solicitată de o forță exterioară 119865 aşezată icircn două poziții icircn
raport cu planul forţei figura 41 Icircn urma aplicării forței deși avem aceeași grindă
(aceeași arie a secțiunii transversale) și aceeași forță se constată că pentru varianta din
figura 41a deformațiile sunt mult mai mari adică rezistența la icircncovoiere a grinzii din
figura 41a este mai mare decacirct icircn cazul grinzii din figura 41b Comportarea diferită se
explică prin aceea că modificarea poziţiei secţiunii transversale faţă de planul forţelor
modifică caracteristicile geometrice ale secţiunii transversale a grinzii
Fig 41 Grindă solicitată de forța 119865
Pentru realizarea calculelor de rezistenţă şi rigiditate este foarte importantă
cunoaşterea caracteristicilor geometrice ale suprafeţei secţiunii transversale a elementelor
de rezistenţă
Caracteristicile geometrice ale secţiunii transversale a unui element de rezistenţă
sunt
- aria secțiunii notată cu 119860
- momentul static icircn raport cu o axă notat 119878119911 și respectiv 119878119910
- momentul de inerție care poate fi
axial notat 119868119911 și respectiv 119868119910
centrifugal notat 119868119911119910
polar notat 119868119901
- raza de inerţie (giraţie)notată 119894119911 și respectiv 119894119910
- modulul de rezistență care poate fi
axial notat 119882119911 și respectiv 119882119910
polar notat 119882119901
42 Aria și momentul static al suprafețelor plane
Fie o suprafaţă plană de arie 119860 pe care se ia un element infinit mic de arie 119889119860 şi
un sistem de axe rectangulare 119911119874119910 figura 42 Notăm cu 119862 centrul de greutate al suprafeţei
119860 Poziţia suprafeţei elementare 119889119860 faţă de acelaşi sistem de coordonate 119911119874119910 este dată
de abscisa 119911 ordonata 119910 și raza polară
Fig 42 Suprafață plană de arie 119860
Aria suprafeţei 119860 figura 42 se defineşte ca fiind
119860 ≝ int 119889119860
119860
(41)
Aria suprafeţei este icircntotdeauna pozitivă și se măsoară icircn [1198981198982] Momentul static al suprafeţei de arie 119860 icircn raport cu axele 119874119911 și respectiv 119874119910
figura 42 sunt date de relaţiile
119878119911 ≝ int 119910 ∙ 119889119860
119860
119878119910 ≝ int 119911 ∙ 119889119860
119860
(42)
Momentul static poate fi pozitiv negativ sau nul şi se măsoară icircn [1198981198983] Coordonatele centrului de greutate ale suprafeței 119860 se detrmină cu relațiile
119910119862 ≝int 119910 ∙ 119889119860119860
119860 119911119862 ≝
int 119911 ∙ 119889119860119860
119860
(43)
Cunoscacircnd coordonatele 119910119862 și 119911119862 ale centrului de greutate 119862 al secțiunii 119860 atunci
momentele statice se pot determina cu relațiile
119878119911 ≝ int 119910 ∙ 119889119860
119860
= 119910119862 ∙ 119889119860 119878119910 ≝ int 119911 ∙ 119889119860
119860
= 119911119862 ∙ 119889119860 (44)
Aceste relații arată că momentul static al unei suprafețe icircn raport cu o axă este
egal cu produsul dintre aria suprafeței și distanța de la centrul ariei la axa respectivă
Dacă suprafaţa se poate descompune icircn 119899 suprafeţe simple la care se cunosc ariile
(1198601 1198602 ⋯ 119860119894⋯ 119860119899) și poziţiile centrelor de greutate 119862119894 faţă de sistemul de referinţă
expresiile momentelor statice capătă următoarea formă
119878119911 = sum 119910119862119894 ∙ 119860119894119899119894=1 = 119910119862 ∙ 119860 119878119910 = sum 119911119862119894 ∙ 119860119894
119899119894=1 = 119911119862 ∙ 119860 (45)
Din relaţiile (45) rezultă că poziţia centrului de greutate 119862 al unei suprafeţe
compuse poate fi determinată cu relaţiile
119910119862 = (sum119910119862119894 ∙ 119860119894
119899
119894=1
) 119860frasl 119911119862 = (sum119911119862119894 ∙ 119860119894
119899
119894=1
) 119860frasl (46)
Icircn relația (45) 119910119862119894 și respectiv 119911119862119894 reprezintă coordonatele centrelor de greutate 119862119894
ale fiecărei suprafețe simple 119860119894 icircn raport sistemul de axe 119911119874119910
Se constată (relaţia 42) că dacă axele sistemului de referinţă trec prin centrul de
greutate (119910119862 = 119911119862 = 0) momentele statice sunt nule Axele icircn raport cu care momentele
statice sunt nule şi care trec prin centrul de greutate al suprafeţei se numesc axe centrale
Observație dacă secțiunea compusă are o axă de simetrie centrul secțiunii se
găsește pe acea axă iar dacă secțiunea este dublu simetrică poziția centrului secțiunii este
la intersecția axelor de simetrie
43 Momente de inerţie
Momentele de inerţie axiale ale unei suprafețe se calculează icircn raport cu axele de
coordonate 119874119911 și respectiv 119874119910 figura 42 și se determină cu relațiile
119868119911 ≝ int 1199102 ∙ 119889119860
119860
119868119910 ≝ int 1199112 ∙ 119889119860
119860
(47)
Unde 119910 și 119911 sunt distanțele de la elementul de arie 119889119860 la cele două axe de
coordonate 119874119911 și respectiv 119874119910
Momentele de inerţie axiale se măsoară icircn [1198981198984] şi sunt icircntotdeauna pozitive (aria
119889119860 este icircntotdeauna pozitivă și este multiplicată cu patratul distanței 1199102 dacă 119868119911 sau 119868119910
sunt nule icircnseamnă ca secțiunea nu există)
Momentele de inerție axiale se calculează icircndeosebi pentru axele centrale (care
trec prin centrul secțiunii) deoarece icircn raport cu acele axe 119868119911 și 119868119910 au valori minime
Momentul de inerţie centrifugal calculat faţă ambele axe ale sistemului de
referinţă 119911119874119910 este definit de relația
119868119911119910 ≝ int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860
(48)
Momentul de inerţie centrifugal se măsoară icircn [1198981198984] şi poate fi pozitiv negativ
sau nul
Momentul de ineție centrifugal este nul 119868119911119910 = 0 dacă cel puțin una din axele 119874119911
sau 119874119910 este axă de simetrie pentru secțiune
Se consideră o suprafaţă dreptunghiulară pe care faţă de axa de simetrie 119874119910 se iau
două suprafeţe elementare de arie 119889119860 simetrice faţă de axa 119874119910 figura 43
Fig 43 Suprafață dreptunghiulară cu două arii elementare 119889119860
Făcacircnd suma momentelor de inerţie centrifugale pentru cele două suprafeţe
elementare 119889119860 (din stacircnga şi din dreapta faţă de axa 119874119910) se obţine
int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860119889119903
+ int (minus119911) ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860119904119905119892
= int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860119889119903
minus int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860119904119905119892
= 0 (49)
Acelaşi raţionament se poate face și pentru icircntreaga suprafaţă de unde obținem că
momentul de inerție centrifugal este nul 119868119911119910 = 0 Deci pentru o suprafaţă plană care
are cel puţin o axă de simetrie momentul de inerţie centrifugal faţă de sistemul care
conţine acea axă de simetrie este nul
Momentul de inerţie polar al unei suprafeţei icircn raport cu un punct (pol) 119874 figura
42 este definit prin relaţia
1198680 = 119868119901 ≝ int 1205882 ∙ 119889119860
119860
= int(1199102 + 1199112) ∙ 119889119860
119860
= 119868119911 + 119868119910 (410)
unde este distanţa de la polul 119874 la elementul de arie 119889119860 Momentul de inerţie polar se
măsoară icircn [1198981198984] şi este totdeauna pozitiv
Momentul de inerţie polar este egal cu suma momentelor de inerţie faţă de două axe
perpendiculare oarecare şi care trec prin polul considerat
Razele de giraţie sau razele de inerţie sunt mărimi calculate icircn raport cu axele
secțiunii și definite de relaţiile
119894119911 ≝ radic119868119911119860 119894119910 = radic
119868119910
119860 (411)
Se exprimă icircn [119898119898] şi sunt icircntotdeauna pozitive Semnificația unei raze de inerție
este distanța la care dacă ar fi concentrată icircntreaga arie s-ar obține același moment de
inerție ca și cel calculat pentru aria reală
44 Modulul de rezistenţă
Modulul de rezistență se calculează icircn raport cu axele de referință sau icircn raport cu
un pol figura 42 și pot fi axiale (119882119911119882119910) sau polar (119882119901) și se determină numai pe baza
momentelor de inerţie cu relațiile figura 43
119882119911119898119894119899 ≝119868119911119910119898119886119909
119882119911119898119886119909 ≝119868119911119910119898119894119899
(412)
119882119910119898119894119899 ≝119868119910
119911119898119886119909 119882119910119898119886119909 ≝
119868119910
119911119898119894119899 (413)
119882119901 ≝119868119901
120588119898119886119909 (414)
unde
119910119898119886119909 119910119898119894119899 reprezintă distanţa de la axa 119874119911 la punctele extreme cele mai
depărtate respectiv cele mai apropiate ale suprafeţei de această axă
119911119898119886119909 119911119898119894119899 reprezintă distanţa de la axa 119874119910 la punctele extreme cele mai
depărtate respectiv cele mai apropiate ale suprafeţei de această axă
120588119898119886119909 reprezintă distanța maximă de la polul 119874 la punctul secțiunii cel mai
icircndepărtat de acesta
Fig 43 Suprafață dreptunghiulară cu două arii elementare 119889119860
Modulele de rezistenţă se exprimă icircn [1198981198983] şi sunt icircntotdeauna pozitive
Explicația este aceea că momentele de inerție care intră icircn relațiile de definiție sunt
pozitive iar distanțele la punctele extreme sunt pozitive (119910119898119886119909 119910119898119894119899 119911119898119886119909 119911119898119894119899 120588119898119886119909 se
iau icircn valoare absolută)
Icircn cazul suprafeţelor compuse modulul de rezistenţă nu se obţine prin icircnsumarea
algebrică a modulelor de rezistenţă ale suprafeţelor simple componente ci numai prin
intermediul momentului de inerţie axial calculat pentru icircntreaga secțiune
Ca și momentele de inerție modulele de rezistență se calculează numai pentru
sistemele de axe centrale
45 Momente de inerţie şi module de rezistenţă pentru suprafeţe simple
451 Secțiune dreptunghiulară
Fie suprafaţa dreptunghiulară din figura 44 de icircnălțime ℎ și lățime 119887 pe care se
consideră suprafaţă elementară de arie 119889119860 = 119887119889119910 la distanța 119910 de axa 119862119911 sistemul de
axe 119911119862119910 trece prin centrul secțiunii iar axele sunt axe de simetrie pentru dreptunghi
Fig 44 Suprafață dreptunghiulară
Pe baza relațiilor de definiți a momentului de inerție 119868119911 se obține
119868119911 ≝ int 1199102 ∙ 119889119860
119860
= int 1199102 ∙ 119887 ∙ 119889119910 = 2int 1199102 ∙ 119887 ∙ 119889119910 = 2 ∙ 119887 ∙1199103
3|ℎ 2frasl
0rArr
ℎ 2frasl
0
ℎ 2frasl
minusℎ 2frasl
rArr 119868119911 =119887 ∙ ℎ3
12
(415)
Analog pentru un element de arie 119889119860 = ℎ ∙ 119889119911 paralel cu axa 119862119910 situat la distanța
119911 de axa 119862119910
119868119910 ≝ int 1199112 ∙ 119889119860
119860
= int 1199112 ∙ ℎ ∙ 119889119911 = 2int 1199112 ∙ ℎ ∙ 119889119910 = 2 ∙ ℎ ∙1199113
3|119887 2frasl
0rArr
119887 2frasl
0
119887 2frasl
minus119887 2frasl
rArr 119868119910 =1198873 ∙ ℎ
12
(416)
Deoarece axele 119862119911 și 119862119910 sunt axe de simetrie momentul de inerție centrifugal este
119868119911119910 = 0 (417)
Pentru un pătrat avacircnd laturile egale (ℎ = 119887 = 119886) momentele de inerţie faţă de
axele centrale au expresia
119868119911 = 119868119910 =1198864
12 (418)
Modulele de rezistență axiale se calculează cu relațiile de definiție ținacircnd cont că
distanțele pacircnă la fibrele extreme sunt
119910119898119886119909 = 119910119898119894119899 =ℎ
2 119911119898119886119909 = 119911119898119894119899 =
119887
2 (419)
Obținem
119882119911119898119894119899 = 119882119911119898119886119909 =119868119911
119910119898119886119909119898119894119899=119887 ∙ ℎ3
12frasl
ℎ2frasl
=119887 ∙ ℎ2
6
119882119910119898119894119899 = 119882119910119898119886119909 =119868119910
119911119898119886119909119898119894119899=1198873 ∙ ℎ
12frasl
1198872frasl
=1198872 ∙ ℎ
6
(420)
452 Suprafaţă circulară
Din motive de simetrie pentru suprafeţele circulare momentele de inerţie faţă de
orice diametru (care reprezintă şi axe centrale) sunt aceleaşi
Considerăm o secțiune circulară plină cu diametrul 119889 și centrul de greutate 119862 Prin
centrul de greutate 119862 trece sistemul de axe ortogonal 119911119862119910 figura 45
Fig 45 Suprafață circulară
La distanța de centrul de greutate 119862 vom lua un element de suprafață mic de arie
(119889119860) de forma unui inel de grosime 119889 Elementul de arie 119889119860 are expresia
119889119860 = (2 ∙ 120587 ∙ 120588) ∙ (119889120588)
Pornind de la relația de definiție a momentului de inerție polar obținem
119868119901 ≝ int 1205882 ∙ 119889119860
119860
= int 1205882 ∙ (2 ∙ 120587 ∙ 120588) ∙ 119889120588
119903=119889 2frasl
0
= 2 ∙ 120587 ∙1205884
4|119889 2frasl0 rArr
rArr 119868119901 =120587 ∙ 1198894
32
(421)
Secțiunea este perfect simetrică deci sunt valabile relațiile
119868119911 = 119868119910 rArr 119868119901 = 119868119911 + 119868119910 = 2 ∙ 119868119911 = 2 ∙ 119868119910 =119868119901
2=120587 ∙ 1198894
64 (422)
Și modulele de rezistenţă faţă de orice diametru sunt egale şi se calculează cu
relaţiile
119882119911 = 119882119910 =1198681199111198892frasl=120587 ∙ 1198893
32 (423)
Modulul de rezistenţă polar este
119882119901 =1198681199011198892frasl=120587 ∙ 1198893
16 (424)
453 Secţiune inelară
Calculul momentelor de inerţie axiale pentru o secţiune inelară avacircnd diametrul
interior 119889 şi diametrul exterior 119863 se determină analog pentru suprafaţa circulară plină cu
observaţia că integrala pentru calculul momentului de inerție polar 119868119901 se face icircntre
limitele 119903 = 119889 2frasl şi R= 1198632frasl (icircntre raza interioară 119903 şi raza exterioară 119877) figura 46
Se obţin relaţiile
119868119901 =120587 ∙ 1198634
32∙ [1 minus (
119889
119863)4
] =120587 ∙ 1198634
32∙ (1 minus 1198964) (425)
119868119910 = 119868119910 =120587 ∙ 1198634
64∙ [1 minus (
119889
119863)4
] =120587 ∙ 1198633
64∙ (1 minus 1198964) (426)
Fig 46 Secțiune inelară
119882119901 =120587 ∙ 1198633
16∙ [1 minus (
119889
119863)4
] =120587 ∙ 1198633
16∙ (1 minus 1198964) (427)
119882119911 = 119882119910 =120587 ∙ 1198633
32∙ [1 minus (
119889
119863)4
] =120587 ∙ 1198633
32∙ (1 minus 1198964) (428)
unde 119896 = 119889119863frasl
46 Variaţia momentelor de inerţie faţă de axe paralele
( Relațiile lui STEINER)
Se consideră o suprafaţă oarecare de arie 119860 cu elementul de arie 119889119860 și un sistemul
de axe central 119911119862119910 faţă de care se cunosc momentele de inerţie 119868119911 119868119910 119868119911119910 şi considerăm
un sistem de axe 11991111198741199101 paralele cu sistemul central figura 47 Se pune problema
determinării momentele de inerţie 1198681199111 1198681199101 11986811991111199101 faţă de sistemul de axe paralel cu sistemul
central 11991111198741199101 axe aflate la distanţele 119910119862 = 119888 respectiv 119911119862 = 119889 de acesta
461 Momente de inerţie axiale
Pe baza relaţiilor de definire şi a notaţiilor din figura 42 pentru momentele de
inerţie faţă de axele 1198741199111 1198741199101 se poate scrie
1198681199111 = int 11991012 ∙ 119889119860
119860
= int(119910 + 119888)2 ∙ 119889119860
119860
= int 1199102 ∙ 119889119860
119860
+ 2 ∙ 119888 ∙ int 119910 ∙ 119889119860
119860
+
+1198882int 119889119860
119860
rArr 1198681199111 = 119868119911 + 2 ∙ 119888 ∙ 119878119911 + 1198882 ∙ 119860 hArr 1198681199111 = 119868119911 + 119888
2 ∙ 119860
(429)
Fig 47 Variaţia momentelor de inerţie față de axe paralele
S-a ajuns la relația (429) deoarece momentul static 119878119911 este nul deoarece axa 119862119885
este axă centrală
Pentru momentul de inerție axial icircn raport cu axa 1198741199101 se obține
1198681199101 = int 11991112 ∙ 119889119860
119860
= int(119911 + 119889)2 ∙ 119889119860
119860
= int 1199112 ∙ 119889119860
119860
+ 2 ∙ 119889 ∙ int 119911 ∙ 119889119860
119860
+
+1198892 ∙ int 119889119860
119860
rArr 1198681199101 = 119868119910 + 2 ∙ 119889 ∙ 119878119910 + 1198892 ∙ 119860 hArr 1198681199101 = 119868119910 + 119889
2 ∙ 119860
(430)
Pentru momentul de inerție centrifugal obținem
11986811991111199101 = int 1199101 ∙ 1199111 ∙ 119889119860
119860
= int(119910 + 119888) ∙ (119911 + 119889) ∙ 119889119860
119860
= int 119910 ∙ 119911 ∙ 119889119860 +
119860
+119888 ∙ int 119911 ∙ 119889119860
119860
+ 119889 ∙ int 119910 ∙ 119889119860
119860
rArr 11986811991111199101 = 119868119911119910 + 119888 ∙ 119889 ∙ 119860
(431)
Deoarece
int 119911 ∙ 119889119860
119860
= 119878119910 = 0 int 119910 ∙ 119889119860
119860
= 119878119911 = 0 int 119910 ∙ 119911 ∙ 119889119860
119860
= 119868119911119910
Relaţiile (429) şi (430) arată că momentul de inerţie faţă de o axă oarecare
este egal cu momentul de inerţie faţă de o axă paralelă cu ea trecacircnd prin centrul de
greutate la care se adaugă produsul dintre aria suprafeţei şi pătratul distanţei dintre
cele două axe
Din relaţiile (429) și (430) rezultă de asemenea că momentul de inerţie faţă de o
axă centrală (care trece prin centrul de greutate) este cel mai mic dintre infinitatea de
momente de inerţie obținute faţă de alte axe paralele cu ea
Relaţia (431) arată de asemenea că momentul de inerţie centrifugal faţă de un
sistem de axe oarecare este egal cu momentul de inerţie centrifugal faţă de un sistem
paralele cu el trecacircnd prin centrul de greutate a suprafeţei la care se adaugă produsul
dintre aria suprafeţei şi distanţele dintre axele sistemelor respective
Icircn literatura de specialitate relaţiile (429) (430) şi (431) sunt cunoscute sub
numele de relaţiile lui Steiner
47 Variaţia momentrlor de inerţie faţă de axe rotite
Direcţii principale şi momente de inerţie principale
Fie suprafaţa plană din figura 48 de arie 119860 pe care considerăm o suprafaţă
elementară de arie 119889119860 Pentru sistemul de axe 119911119874119910 se cunosc momentele de inerţie
119868119911 119868119910 119868119911119910 şi vom determina relaţiile de calcul pentru momentele de inerţie afererent unui
sistem de axe 11991111198741199101 rotit cu un unghi faţă de sistemul central
Faţă de sistemul de axe 11991111198741199101 elementul de arie 119889119860 are coordonatele
1199101 = 119875119877 = 119875119876 minus 119877119876 = 119910 ∙ cos 120572 minus 119911 ∙ sin 120572
1199111 = 119873119872 = 119873119875 minus 119875119872 = 119911 ∙ cos 120572 + 119910 ∙ sin 120572 (432)
Fig 47 Variaţia momentelor de inerţie față de axe rotite
Pe baza relaţiilor de calcul ale momentelor de inerţie şi a notaţiilor din figura 42
şi ale relaţiilor (432) momentele de inerţie faţă de sistemul de axe rotit 11991111198741199101 sunt
1198681199111 =119868119911 + 119868119910
2+119868119911 minus 119868119910
2∙ cos 2120572 minus 119868119911119910 ∙ sin 2120572 (433)
1198681199101 =119868119911 + 119868119910
2minus119868119911 minus 119868119910
2∙ cos 2120572 + 119868119911119910 ∙ sin 2120572 (434)
11986811991111199101 =119868119911 minus 119868119910
2∙ sin 2120572 + 119868119911119910 ∙ cos 2120572 (435)
Din relaţiile 433divide435 se observă că icircntre momentele de inerţie axiale şi cele
polare există relaţia
1198681199111 + 1198681199101 = 119868119911 + 119868119910 = 119868119901 (436)
adică suma momentelor de inerţie axiale icircn raport cu orice pereche de axe ortogonale
care trec printr-un pol dat este o constantă şi egală cu momentul de inerţie polar
Prin rotirea sistemului de axe din relaţiile 433divide435 rezultă că momentele de inerţie
variază icircnsă suma lor rămacircne constantă deci există o poziţie a sistemului de axe pentru
care momentele de inerţie au valori extreme maxim respectiv minim
471 Direcţii principale de inerţie
Valoarea unghiului 120572 pentru care momentele de inerţie axiale au valori extreme
este
1205721 =1
2∙ 119886119903119888119905119886119899 (minus
2 ∙ 119868119911119910
119868119911 minus 119868119910) (437)
Poziţia celeilalte direcţii este perpendiculară pe cea dată de unghiul 1205721
Din relaţia (437) se constată că faţă de aceste direcţii rotite pentru care momentele
de inerţie axiale prezintă valori extreme momentul de inerţie centrifugal 11986811991111199101este nul
Atunci se poate afirma că momentele de inerţie axiale au valori extreme icircn raport cu
direcţiile faţă de care momentul de inerţie centrifugal este nul Aceste direcţii se numesc
direcţii principale iar momentele de inerţie faţă de aceste direcţii poartă numele de
momente de inerţie principale
Icircn calculele de rezistenţă interesează icircn mod special poziţia direcţiilor principale
care trec prin centrul de greutate al suprafeţei aşa numitele direcţii principale centrale şi
evident momentele de inerţie principale centrale
Direcţiile principale de inerţie se notează cu 1 respectiv 2 Axa principală 1
corespunde direcţiei faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea maximă iar
axa principală 2 pentru direcţia faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea
minimă
472 Momente de inerţie principale
Momentele de inerţie principale se notează cu litera 119868 la care se pune indicele 1
sau 2 după cum valoarea acestuia este maximă sau minimă deci avem un moment de
inerţie principal 1 (notat 1198681) respectiv moment de inerţie principal 2 (notat 1198682)
Expresiile pentru momentele de inerţie principale sunt
11986812 =119868119911 + 119868119910
2plusmn1
2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)
2+ 4 ∙ (119868119911119910)
2 (438)
Dacă momentul de inerţie centrifugal este negativ (119868119911119910 lt 0) direcţia principală
care trece prin primul cadran (definit de sistemul 119911119862119910) este direcţia principală 120783
Pentru suprafeţele cu cel puţin o axă de simetrie direcţiile centrale 119862119911 119862119910 sunt şi
direcții principale de inerţie și evident momentele de inerţie axiale 119868119911 119868119910 sunt momente
de inerţie principale
48 Caracteristici mecanice ale metalelor
Alegerea materialului pentru confecţionarea unei anumite piese se face şi pe baza
aşa numitelor caracteristici mecanice pe care le prezintă materialul Cunoaşterea acestor
caracteristici mecanice are loc numai pe baza unor icircncercări mecanice care să scoată icircn
evidenţă comportarea materialului icircn condiţii de solicitare
Cea mai utilizată icircncercare icircn urma căreia se pun icircn evidenţă caracteristicile
mecanice ale unui material este icircncercarea la tracţiune
481 Icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general
Icircncercarea la tracţiune a oţelului ca de altfel toate icircncercările de materiale este
standardizată
Icircn cele ce urmează se va prezenta numai partea care interesează strict din punct
de vedere al caracteristicilor mecanice ale oţelului
Epruveta de diametru iniţial 1198890 pentru icircncercarea la tracţiune are o porţiune de
lungime 1198710 numită baza de măsurare pe care se măsoară lungirea acesteia sub acţiunea
solicitării
Icircn funcţie de raportul dintre baza de măsurare 1198710 şi diametrul iniţial 1198890 epruvetele
utilizate pentru icircncercări sunt
epruvete normale (scurte) cacircnd 11987101198890 = 5
epruvete lungi cacircnd 11987101198890 = 10
Icircn timpul icircncercării la diferite valori ale forţei 119865 se măsoară lungirea bazei de
măsurare
∆119871 = 120575 = 119871 minus 1198710 (439)
unde
119871 este dimensiunea bazei de măsurare la un moment dat
Curba forţă-lungire (119865 minus ) icircnregistrată icircn urma icircncercării reprezintă curba
caracteristică la tracţiune
La icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general diagrama caracteristică care se
obţine are forma din figura 48
Curba caracteristică la tracţiune depinde de lungimea bazei de măsurare Pentru
icircnlăturarea acestui neajuns curba caracteristică se reprezintă icircn coordonate şi definite
astfel
120590 =119865
1198600 휀 =
120575
1198710 (440)
unde
1198600 este aria iniţială a secţiunii transversale a epruvetei (icircnainte de solicitare) icircn
zona bazei de măsurare
1198600 =120587 ∙ 1198890
2
4
Deoarece mărimile icircn care se reprezintă curba caracteristică la tracţiune sunt
raportate la aria iniţială a secţiunii transversale (mărimi specifice) curba poartă numele
de curbă caracteristică convenţională la tracţiune
Fig 48 Curba caracteristică convenţională la tracțiune
Pe curba caracteristică convenţională la tracţiune figura 48 se pot stabili o serie
de puncte cărora le corespund mai multe mărimi importante
Ordonata punctului A pacircnă unde curba caracteristică convenţională este linie
dreaptă se numeşte limita de proporţionalitate a materialului 120590119901(1205901) Porţiunea 119874119860 este
zona de proporţionalitate a curbei caracteristice pe acest domeniu este valabilă legea lui
Hooke care exprimă o proporţionalitate icircntre tensiune şi deformaţie specifică
120590 = 119864 ∙ 휀 (441)
unde
119864 = reprezintă panta porţiunii liniare a curbei convenționale caracteristice
la tracțiune Caracteristica de material 119864 se numeşte modul de elasticitate longitudinal
(modulul lui Young)
Ordonata punctului 119861 pacircnă unde materialul se comportă perfect elastic adică
după descărcare icircşi recapătă dimensiunea iniţială 1198710 se numeşte limita de elasticitate
120590119890(119877119890) Icircn realitate nici un material nu are comportare perfect elastică sub acţiunea
solicitărilor el capătă deformaţii permanente (remanente plastice)
După punctul 119861 urmează o porţiune 119861119862119863 icircn care cu toate că icircncărcarea
continuă forţa nu mai creşte avacircnd mici oscilaţii icircn jurul unei valori Se spune că icircn
această porţiune materialul curge iar intervalul 119861119862119863 este un palier de curgere Tensiunea
corespunzătoare palierului de curgere se numeşte limită de curgere aparentă 120590119888(119877119888) Limita de curgere aparentă se calculează cu relaţia
120590119888 =1198651198881198600 (442)
unde
119865119888 reprezintă valoarea forţei icircnregistrată icircn momentul curgerii materialului
După punctul 119863 curba caracteristică are un traseu ascendent pacircnă icircn punctul 119864
Porţiunea 119863119864 este numită zonă de icircntărire (ecruisare) Icircn zona de ecruisare unde se
produc deformaţii plastice semnificative legea lui Hooke nu mai este valabilă La
descărcare relaţia dintre tensiunea şi deformaţia specifică este liniară paralelă cu
porţiunea liniară a curbei caracteristice (dreapta 119872119873)
Deformaţia totală (휀119905) are două componente una elastică (휀119890) şi una plastică (휀119901)
Ordonata punctului 119864 reprezintă rezistenţa de rupere 120590119903(119877119898) a materialului
care se poate calcula cu relaţia
120590119903 = 119877119898 =1198651198981198861199091198600
(443)
unde
119865119898119886119909 reprezintă valoarea maximă a forţei icircnregistrată icircn timpul icircncercării
La atingerea valorii 119865119898119886119909 (punctul 119864) icircntr-un anumit loc al epruvetei secţiunea
icircncepe să se micşoreze (se produce gacirctuirea) continuacircnd pacircnă cacircnd se produce ruperea
totală (punctul 119865)
Dacă după ruperea epruvetei cele două părţi rezultate se aşează cap la cap şi se
măsoară dimensiunea bazei de măsurare 119871119906 (lungimea ultimă) se determină alungirea la
rupere sau lungirea specifică la rupere 휀119903
휀119903 =119871119906 minus 11987101198710
=∆119871
1198710=120575
1198710 (444)
De obicei alungirea se exprimă icircn procente şi se notează cu 119860119899 unde 119899 reprezintă
numărul dat de raportul 11987101198890 (epruvete normale 119899 = 5 epruvete lungi 119899 = 10)
119860119899 =119871119906 minus 11987101198710
∙ 100 [] (445)
Altă mărime care se determină la icircncercarea la tracţiune este gacirctuirea la rupere
(exprimată de obicei icircn procente) şi definită de relaţia
119885 =1198600 minus 1198601199061198600
∙ 100 [] (446)
Mărimile determinate limita de proporţionalitate modulul de elasticitate
longitudinal limita de elasticitate limita de curgere aparentă rezistenţa de rupere
alungirea la rupere şi gacirctuirea la rupere sunt cunoscute ca fiind caracteristici mecanice
ale materialului
Din curba caracteristică convenţională observăm faptul că ruperea (punctul 119865 din
figura 48 se produce la o tensiune mai mică decacirct cea corespunzătoare punctului 119864 Dacă
icircnsă forţa din timpul icircncercării s-ar raporta la aria secţiunii din momentul icircnregistrării
forţei (care este mai mică decacirct cea iniţială 1198600) s-ar obţine aşa numita curbă
caracteristică reală a materialului (traseul 1198741198601198611198621198631198651 din figura 48) La curba
caracteristică reală ruperea se produce icircn punctul 1198651 la o icircncărcare mai mare decacirct cea
corespunzătoare punctului 119864 Icircnseamnă că rezistenţa reală la rupere este mai mare decacirct
rezistenţa la rupere dată de punctul 119864 din diagrama caracteristică convenţională
Dificultatea obţinerii diagramei caracteristice reale faţă de cea a diagramei caracteristice
convenţionale şi considerarea unei rezistenţe la rupere mai mică decacirct a celei reale face
icircn practică utilizarea pe scară mare a diagramei caracteristice convenţionale
Caracteristicile mecanice determinate pe baza curbei caracteristice convenţionale
sunt şi ele caracteristici mecanice convenţionale
Caracteristicile mecanice convenţionale limita de proporţionalitate convenţională
120590119901 limita de elasticitate convenţională 120590119890 limita de curgere convenţională 120590119888 şi rezistenţa
de rupere 120590119903 constituie tensiuni limită pentru un material Pe baza acestor caracteristici
de material se alege valoarea tensiunii admisibile 120590119886 (vezi paragraful 35) pentru
calculele de rezistenţă Cea mai utilizată stare limită pentru stabilirea tensiunii admisibile
120590119886 este limita de curgere convenţională 120590119888
120590119886 =120590119897119894119898119888
=120590119888119888 119904119886119906 120590119886 =
120590119903119888 (447)
Caracteristicile mecanice ale materialului sunt influenţate de o serie de factori
temperatura viteza de solicitare factorii tehnologici iar valorile lor sunt date icircn tabele și
diagrame
Aplicaţie Pentru suprafaţa plană compusă din două dreptunghiuri avacircnd
dimensiunile din figura 49a să se calculeze
a) centrul de greutate al secțiunii compuse 119910119866 119911119866
b) momentele de inerție axiale 119868119911 119868119910 și momentul de inerție centrifugal 119868119911119910
c) razele de inerție 119894119911 119894119910
d) modulele de rezistență 119882119911119898119894119899 119882119911119898119886119909 119882119910119898119894119899 119882119910119898119886119909
e) momentele de inerție principale 1198681 1198682 și direcțiile principale de inerție 1205721
f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 119878119911
Fig 49 Aplicație
Rezolvare Pentru rezolvare vom parcurge următoarele etape
icircmpărțim suprafața compusă icircn două suprafețe simple (dreptunghiuri) notate cu
① și respectiv ② figura 49b
poziționăm centrele de greutate a celor două suprafețe simple ① și respectiv ②
notate cu 1198661 și respectiv 1198662 figura 49c
poziționăm sistemele de axe de coordonate 119911111986611199101 pentru dreptunghiul ① și
119911211986621199102 pentru dreptunghiul ② aflate la intersecția diagonalelor figura 49c
poziționăm sistemele de axe de coordonate 11991101198741199100 ales arbitrar față de care
determinăm poziția centrului de greutate 119866 figura 49c
a) calculăm poziția centrului de greutate folosind relațiile (46) icircn care
1198601 = 6119905 ∙ 119905 = 61199052 1198602 = 4119905 ∙ 119905 = 41199052 119860 = 1198601 + 1198602 = 61199052 + 41199052 = 101199052
iar centrele de greutate 1198661 și respectiv 1198662 au coordonatele (față de sistemul 11991101198741199100)
1198661 1199101 = 3119905 1199111 = 05119905
1198662 1199102 = 051199051199112 = 3119905
cu acestea obținem
119910119866 =1198601 ∙ 1199101 + 1198602 ∙ 1199102
119860=61199052 ∙ 3119905 + 41199052 ∙ 05119905
101199052=201199053
101199052= 2119905
119911119866 =1198601 ∙ 1199111 + 1198602 ∙ 1199112
119860=61199052 ∙ 05119905 + 41199052 ∙ 3119905
101199052=151199053
101199052= 15119905
Poziționăm centrul de greutate 119866 al suprafeței compuse figura 49c
Fig 49 Aplicație
b) pentru determinarea momentelor de inerție axiale 119868119911 119868119910 și a momentului de
inerție centrifugal 119868119910119911 determinăm constantele 1198881 1198882 1198891 1198892 care intervin icircn relația lui
Stainer
1198881 = 1199101 minus 119910119866 = 3119905 minus 2119905 = 119905 1198882 = minus(119910119866 minus 1199102) = minus(2119905 minus 05119905) = minus15119905
1198891 = minus(119911119866 minus 1199111) = minus(15119905 minus 05119905) = minus119905 1198892 = 1199112 minus 119911119892 = 3119905 minus 15119905 = 15119905
Folosind relațiile lui Stainer (429) (430) și (431) calculăm momentele de
inerție axiale și centrifugale față de sistemul central 119911119866119866119910119866
119868119911 =sum(119868119911119894 + 1198881198942 ∙ 119860119894) = 1198681199111 + 1198881
2 ∙ 1198601 + 1198681199112 + 11988822 ∙ 1198602
119868119910 =sum(119868119910119894 + 1198891198942 ∙ 119860119894) = 1198681199101 + 1198891
2 ∙ 1198601 + 1198681199102 + 11988922 ∙ 1198602
119868119911119910 =sum(119868119911119894119910119894 + 119888119894 ∙ 119889119894 ∙ 119860119894) = 11986811991111199101 + 1198881 ∙ 1198891 ∙ 1198601 + 11986811991121199102 + 1198882 ∙ 1198892 ∙ 1198602
1198681199111 = (119887 ∙ ℎ3
12) =
119905 ∙ (6119905)3
12= 181199054 1198681199112 = (
119887 ∙ ℎ3
12) =
4119905 ∙ 1199053
12= 031199054
1198681199101 = (1198873 ∙ ℎ
12) =
1199053 ∙ 6119905
12= 051199054 1198681199102 = (
1198873 ∙ ℎ
12) =
(4119905)3 ∙ 119905
12= 531199054
11986811991111199101 = 11986811991121199102 = 0 deoarece cele două triunghiuri au cel puțin o axă de simetrie
Cu acestea momentele de inerție axiale și momentul de inerție centrifugal devin
119868119911 = 181199054 + 1199052 ∙ 61199052 + 031199054 + (minus15119905)2 ∙ 41199052 = 3331199054
119868119910 = 051199054 + (minus119905)2 ∙ 61199052 + 531199054 + (15119905)2 ∙ 41199052 = 2081199054
119868119911119910 = 0 + 119905 ∙ (minus119905) ∙ 61199052 + 0 + (minus15119905) ∙ (15119905) ∙ 41199052 = minus151199054
c) razele de inerție sau de girație față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910
se calculează cu relațiile (411)
119894119911 = radic119868119911119860= radic
3331199054
101199052= 182119905 119894119910 = radic
119868119910
119860= radic
2081199054
101199052= 144119905
d) modulele de rezistență față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910 se
calculează cu relațiile (412) și (413)
Avacircnd icircn vedere figura 419c obținem
119910119898119886119909 = 6119905 minus 119910119866 = 6119905 minus 2119905 = 4119905 119910119898119894119899 = minus119910119866 = minus2119905
119911119898119886119909 = 5119905 minus 119911119866 = 5119905 minus 15119905 = 35119905 119911119898119894119899 = minus119911119866 = minus15119905
Se obține astfel
119882119911119898119894119899 =119868119911
|119910119898119886119909|=3331199054
4119905= 8331199053
119882119911119898119886119909 =119868119911
|119910119898119894119899|=3331199054
2119905= 16651199053
119882119910119898119894119899 =119868119910
|119911119898119886119909|=2081199054
35119905= 5941199053
119882119910119898119886119909 =119868119910
|119911119898119894119899|=2081199054
15119905= 13871199053
e) momentele de inerție principale 1198681 și respectiv 1198682 se calculează cu relațiile
(438)
11986812 =119868119911 + 119868119910
2plusmn1
2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)
2+ 4 ∙ (119868119911119910)
2=
=3331199054 + 2081199054
2plusmn1
2∙ radic(3331199054 minus 2081199054)2 + 4 ∙ (minus151199054)2 = 27051199054 plusmn 16251199054
De unde obținem
1198681 = 27051199054 + 16251199054 = 4331199054
1198682 = 27051199054 minus 16251199054 = 1081199054
Prima direcție principală de inerție 1 face cu axa centrală 119866119911 unghiul 1205721 dat de
relația (437)
1205721 =1
2∙ arctan (minus
2 ∙ 119868119911119910
119868119911 minus 119868119910) =
1
2∙ arctan [minus
2 ∙ (minus151199054)
3331199054 minus 2081199054] =33 70
Deoarece 1205721 gt 0 rotirea axelor se face acircn sens antiorar acelor de ceasornic figura
49d
Poziția axe principale 2 față de care momentul de inerție are valoarea minimă
1198682 = 119868119898119894119899 este dată de unghiul
1205722 = 1205721 + 900 = 33 70 + 900 = 123 70
f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 se determină cu relația
(45)
1198781199111198602 = 1198602 ∙ 1198882 = 41199052 ∙ (minus15119905) = minus61199053
Fig 19 Aplicația 142
Fig 110 Icircnclinarea momentului 119872119874
119861 = 119861119860 times
119872119861 = 119886 ∙ 119865 = 3 ∙ 100 = 300 [119873 ∙ 119898]
119863 = 119863119860 times
119872119863 = 119887 ∙ 119865 = 4 ∙ 100 = 400 [119873 ∙ 119898]
119874 = 119874119860 times
119872119874 = 119888 ∙ 119865 = radic1198862 + 1198872 ∙ 119865 = radic32 + 42 ∙ 100 = 5 ∙ 100 = 500 [119873 ∙ 119898]
119874 se află icircn planul 119909119874119910 cu icircnclinarea 120572 (figura 110)
tan120572 =119886
119887=3
4= 075 rArr 120572 = arctan(075) = 36860
Deci
120572 = 900 minus 120573 = 900 minus 36860 = 53140
Concluzie Componentele torsorului de reducere al forței icircn punctul O sunt o forta
icircn O identică cu forța din punctul A și momentul forței icircn raport cu punctul O 119874
2 INTRODUCERE IcircN REZISTENŢA MATERIALELOR
21 Obiectul şi problemele Rezistenţei materialelor
Rezistenţa materialelor este o disciplină de cultură tehnică generală care continuă
logic şi dezvoltă Mecanica prin introducerea icircn calcule a proprietăţilor de deformabilitate
ale corpurilor solide reale Icircn Mecanică corpul solid este considerat rigid nedeformabil
iar vectorii forţă de icircncărcare sunt consideraţi alunecători Rezistenţa materialelor ia icircn
studiu corpurile reale care sub acţiunea forţelor exterioare (vectori legaţi) icircşi schimbă
forma geometrică respectiv dimensiunile iniţiale şi se distrug prin rupere la valori mari
ale acestora Prin calculele de rezistenţă se determină dimensiunile secţiunilor
transversale ale corpurilor (elemente de rezistenţă) icircn funcţie de mărimea poziţia şi modul
de acţionare a forţelor exterioare proprietăţile mecanice ale materialelor dimensiunile
constructive forma şi importanţa ansamblului icircn care se icircnglobează iar icircn anumite cazuri
şi de durata de funcţionare Elementele de rezistenţă trebuie să icircndeplinească următoarele
condiţii de bază
- condiţia de rezistenţă care are icircn vedere ca eforturile din elementul de rezistenţă
să nu producă distrugerea acestuia prin rupere sau spargere icircn bucăţi
- condiţia de rigiditate se referă la valorile deformaţiilor care nu trebuie să
depăşească anumite mărimile admisibile
- condiţia de stabilitate care consideră posibilitatea menţinerii formei de echilibru
stabil pentru o anumită stare de icircncărcare
Criteriile de rezolvare ale problemelor de Rezistenţa materialelor sunt
- criteriul economic prin care se impune ca orice element de rezistenţă (piesă) să
fie proiectat şi realizat cu soluţia cea mai economică icircn privinţa materialului utilizat şi al
manoperei
- criteriul de bună funcţionalitate a ansamblului din care face parte elementul de
rezistenţă proiectat respectacircnd condiţiile de rezistenţă rigiditate şi stabilitate
Icircn cadrul Rezistenţei materialelor se admit ipoteze simplificatoare care permit
obţinerea unor relaţii de calcul relativ simple şi care exprimă destul de fidel fenomenul
de solicitare real Experimentările practice icircn laborator permit verificarea legilor
rezistenţei materialelor şi determinarea caracteristicilor mecanice ale materialelor
Rezistenţa materialelor permite rezolvarea următoarelor categorii de probleme
- probleme de dimensionare prin care se stabilesc dimensiunile optime ale
elementelor de rezistenţă proiectate icircn funcţie de icircncărcările exterioare (forţe sau
momente) şi de caracteristicile mecanice ale materialului utilizat
- probleme de verificare la care se determină dacă un element de rezistenţă de
dimensiuni cunoscute satisface condiţiile de rezistenţă rigiditate şi stabilitate cunoscacircnd
icircncărcarea exterioară şi caracteristicile mecanice ale materialului utilizat
- probleme de calcul al capacităţii de icircncărcare al unui element de rezistenţă
cunoscacircndu-se caracteristicile mecanice ale materialului dimensiunile şi modul de
solicitare se determină icircncărcarea maximă pe care o poate suporta elementul de rezistență
fără a ceda sau a se deforma periculos
22 Clasificarea corpurilor icircn Rezistenţa materialelor
Corpurile (elementele de rezistenţă) au icircn general forme constructive relativ
complicate Icircn Rezistenţa materialelor pentru simplificarea calculelor corpurile se
schematizează prin forme geometrice mai simple obţinacircndu-se următoarele grupe
a) corpuri solide cu o dimensiune mult mai mare decacirct celelalte două (corpuri cu
fibră medie) Elementele geometrice caracteristice sunt axa longitudinală şi secţiunea
transversală Aceste corpuri solide pot fi
- fire dacă dimensiunile secţiunii transversale sunt foarte mici astfel icircncacirct axa
longitudinală este flexibilă (icircşi schimbă forma uşor) iar sarcinile transversale nu pot fi
preluate de acesta Un fir nu poate fi solicitat decacirct la icircntindere (exemplu cabluri de
macara lanţuri etc)
- bare care rezistă atacirct la solicitări axiale cacirct şi la solicitări transversale
După modul de solicitare barele poartă diferite denumiri convenţionale
tiranţi-solicitaţi la icircntindere figura 21a
stacirclpi-solicitaţi la compresiune figura 21b
grinzi-solicitate la icircncovoiere figura 21c
arbori-solicitaţi la torsiune (răsucire) figura 21d
Fig 21 Denumirea barelor după modul de solicitare
După modul cum variază secţiunea icircn lungul axei barele pot fi
de secţiune constantă figura 22a
de secţiune variabilă continuă figura 22b sau icircn trepte figura 22c
Fig 22 Denumirea barelor după secțiune
După forma axei longitudinale barele pot fi
drepte figura 21
curbe icircn plan figura 23a sau icircn spaţiu figura 23b (numite și curbe stracircmbe)
cotite (axa barei este o linie fracircntă) plane figura 23c sau spațiale figura 23d
Fig 23 Tipuri de bare curbe și cotite
Secţiunea transversală (plană şi normală pe axa barei) poate avea orice formă
geometrică constantă sau variabilă icircn lungul barei
Dacă una din dimensiunile secţiunii transversale (grosimea) este mai mică
comparativ cu celelalte bara se numește bară cu pereţi subţiri (exemplu barele
realizate din platbande sudate cu secţiuni sub formă de profil I profil U cornier etc)
b) corpuri care au două dimensiuni mult mai mari icircn raport cu a treia (grosimea)
se numesc plăci Elementele geometrice caracteristice ale unei plăci sunt forma şi
dimensiunile suprafeţei mediane respectiv grosimea Plăcile se reprezintă schematic
printr-o suprafață care imită forma și dimensiunile suprafeței mediane Suprafaţa mediană
reprezintă locul geometric al tuturor punctelor egal depărtate de cele două feţe ale plăcii
puncte aflate pe perpendicularele duse icircntre cele două feţe figura 24
După destinaţie și forma suprafeței mediane se deosebesc
plăci plane figura 24b
plăci curbe (icircnvelişuri) cu o singură curbură figura 24a sau avacircnd curbură
dublă figura 24c
Fig 24 Tipuri de plăci plane
Plăcile cu grosime mare sunt denumite frecvent dale O placă de grosime mică
ce nu poate prelua decacirct solicitări la icircntindere poartă numele de membrană
Exemple de plăci icircnvelişurile vasele de revoluţie discurile etc
c) corpuri masive care au toate cele trei dimensiuni aproximativ de acelaşi ordin
de mărime (blocuri de fundaţii bile şi role de rulmenţi tuburi cu pereţi groşi etc)
Calculele de rezistenţă sunt mai simple icircn cazul barelor drepte şi mai complicate
la barele curbe plăci respectiv blocuri
23 Clasificarea icircncărcărilor exterioare
Un corp icircşi păstrează forma şi dimensiunile datorită forţelor de atracţie dintre
particulele sale elementare atacircta timp cicirct asupra sa nu acţionează alte forţe aplicate din
exterior care să-l deformeze Icircn construcţia de maşini elementele de rezistenţă preiau şi
transmit acţiunea unor sarcini exterioare (forţe şisau cupluri) pe care le vom denumi
generic forțe sau icircncărcări exterioare Efectul pe care-l au sarcinile este acela de a
modifica forma şi dimensiunile corpului asupra căruia se aplică Icircn punctele de rezemare
(de sprijin sau de legătură cu alte elemente de rezistenţă icircnvecinate) ca urmare a
principiului acţiunii şi reacţiunii apar forţe de legătură sau reacţiuni Ansamblul format
din sarcini şi reacţiuni este cunoscut sub numele de forţe exterioare Sub acţiunea
forţelor exterioare elementele de rezistenţă trebuie să fie icircn echilibru
Forţele exterioare pot fi clasificate după următoarele criterii
a) după mărimea suprafeţei pe care se aplică
- forțe concentrate aplicate teoretic icircntr-un punct figura 25a
- forțe distribuite uniform sau cu intensitate variabilă icircn lungul barei sau pe o
suprafaţă figura 25bc şi d
- momente concentrate care acţionează icircntr-un punct M sau momente uniform
distribut pe o anumită lungime m
Fig 25 Tipuri de sarcini după mărimea suprafeţei de aplicare
b) după locul de aplicare se deosebesc
- forţe de suprafaţă sau de contur care sunt aplicate din exterior pe suprafaţa
corpurilor şi indică legătura cu piesele icircnvecinate
- forţe masice sau de volum distribuite icircn tot corpul (greutăţi forţe de inerţie
respectiv forţe electromagnetice)
c) după modul de acţiune icircn timp se disting
- forţe statice care se aplică lent şi progresiv pacircnă la valoarea nominală de lucru
şi apoi rămacircn constante figura 26a
- forţe dinamice care rezultă din
aplicarea cu icircntreaga intensitate de la icircnceputul perioadei de solicitare iar apoi forţa se
menţine constantă timp icircndelungat figura 26b (forţe de inerţie)
aplicarea bruscă a sarcinii asupra corpului durata de acţiune a sarcinii fiind mică figura
26c (forţe de şoc)
variaţia periodică icircn timp a intensităţii forţei aplicate figura 26d (forţe de oboseală)
Fig26 Tipuri de forţe exterioare (cicluri de solicitare)
Funcţie de modul de variaţie al forţelor exterioare solicitările pot fi statice
oscilante pulsante alternante etc Experimental s-a constatat că rezistenţa unui material
depinde foarte mult de modul de variaţie a forţelor icircn timp Bach a clasificat solicitările
icircn 3 categorii 1-solicitări statice 2-solicitări pulsante 3-solicitări alternant simetrice
Rezistenţa unui material este icircn raportul 321 pentru cele 3 cazuri de solicitare ale lui
Bach Aceasta icircnseamnă că o piesă solicitată static rezistă la o forţă de 3 ori mai mare
decacirct forţa maximă care produce ruperea aceleaşi piese solicitate alternant simetric
d) după poziţia icircn timp a forțelor se disting
- forţe fixe ale căror puncte de aplicaţie sunt mereu aceleaşi
- forţe mobile ale căror puncte de aplicaţie se deplasează icircn timp De exemplu
sarcinile produse de vehiculele care circulă pe un pod sarcinile unei grinzi de pod rulant
icircntr-o halăetc
24 Reazeme Forțe interioare Eforturi Diagrame de eforturi icircn barele
drepte
241 Reazeme Reacțiuni (forțe de legătură)
Pentru a prelua şi transmite acţiunea sarcinilor exterioare elementele de rezistenţă
din componenţa unei structuri sunt fixate icircntre ele prin intermediul unor legături
exterioare numite reazeme Aceste legături au ca scop icircmpiedicarea anumitor mişcări ale
corpului pe direcţiile pe care acestea nu trebuie să se producă O legătură are deci rolul
de a anula unul sau mai multe grade de libertate ale corpului icircn punctul de rezemare Dacă
este anulat un singur grad de libertate legătura este simplă iar dacă sunt impiedicate mai
multe grade de libertate legătura este una compusă Datorită existenţei sarcinilor
exterioare icircn punctele de rezemare pe direcţiile pe care mişcările sunt icircmpiedicate apar
forţe de legătură numite reacţiuni Numărul natura şi direcţiile reacţiunilor depind de
tipul reazemelor Icircn construcţiile reale există o varietate mare de realizare practică a
reazemelor dar icircn calcule se acceptă anumite schematizări care reţin doar aspectul esenţial
al unui reazem şi anume gradul sau gradele de libertate anulate
Pentru o structură de rezistenţă spaţială icircntr-un punct oarecare sunt posibile şase
deplasări trei deplasări liniare (după direcţiile axelor unui sistem ortogonal) şi trei rotiri
(deplasări unghiulare) icircn jurul aceloraşi axe Ca urmare ar fi posibil de realizat maximum
şase tipuri de reazem
Pentru un element de rezistenţă plan icircncărcat cu eforturi cuprinse icircn planul
elementului icircn orice punct sunt posibile trei gade de libertate două deplasări liniare şi o
rotiri Ca urmare pentru cazul unei bare plane se icircntacirclnesc următoarele tipuri de reazeme
1 Reazemul simplu sau reazemul mobil care icircmpiedică deplasarea pe o direcţie
normală pe suprafaţa de rezemare permiţacircnd deplasarea pe o direcţie paralelă cu
suprafaţa de rezemare şi rotirea barei icircn jurul unei axe perpendiculare pe plan icircn punctul
de rezemare Icircn urma icircmpiedicării deplasării şi datorită unor sarcini exterioare icircn
reazemul simplu apare o reacţiune de tip forţă a cărei suport trece prin punctul de
rezemare şi a cărei direcţie este perpendiculară pe suprafaţa de rezemare figura 27
Fig 27 Reazem simplu (mobil)
Icircn figura 27 este reprezentat un reazem mobil poziţionat pe capătul A al unei bare
plane orizontale fiind evidenţiate punctul şi suprafaţa de rezemare direcţia suportului
reacţiunii şi modul de schematizare al reazemului Cea mai des icircntacirclnită reprezentare a
reazemului mobil este a unui triunghi a cărui bază poate luneca pe suprafaţa de rezemare
2 Reazemul fix sau articulaţia icircmpiedică deplasările liniare după toate direcţiile
din planul barei permiţacircnd doar rotirea barei icircn jurul unei axe perpendiculare pe plan şi
care trece prin puncul de rezemare Reacţiunea este cuprinsă icircn planul barei care trece
prin punctul de rezemare dar a cărei mărime şi direcţie nu sunt cunoscute (forţa R)
figura 28
Fig 28 Reazem fix
Se preferă ca icircn locul unei forţe R avacircnd direcţia oarecare icircn plan necunoscută să
se introducă două forţe (HA şi VA) cărora li se cunoaşte direcţia şi pentru care se vor
determina modulele ca valori din condiţiile de echilibru static Icircntr-un reazem fix apar
icircntotdeauna reacţiuni atacirct pe direcţia perpendiculară pe suprafaţa de rezemare
(verticală) cacirct şi pe direcţia paralelă cu prima (orizontală) chiar dacă uneori una sau
chiar ambele reacţiuni au valoarea zero Reprezentarea schematică a articulaţiei este cea
a unui triunghi cu baza fixă şi cu vacircrful icircn punctul de rezemare sau cea a unui pendul
dublu figura 28
3 Icircncastrarea (sau icircnţepenirea) anulează toate gradele de libertate ale capătului
unei bare icircmpiedicacircnd deplasarea liniară după orice direcţie din plan precum şi rotirea
barei icircn jurul unei axe perpendiculare pe plan şi care trece prin punctul de icircncastrare
Urmare a existenţei sarcinilor exterioare şi a blocării deplasărilor icircn icircncastrare apare o
reacţiune căreia nu i se cunoaşte nici mărimea nici direcţia şi nici punctul de aplicaţie
figura 29
Fig 29 Icircncastrarea
Sub acţiunea forţelor exterioare un sistem este icircn echilibru Valoarea reacţinilor
se determină din condiţia de echilibru a sistemului solicitat
Este cunoscut faptul că un sistem plan este icircn echilibru dacă
nu se deplasează pe o direcţie (fie x această direcţie)
nu se deplasează pe o direcţie perpendiculară pe prima (fie y această direcţie)
nu se roteşte faţă de un punct al planului (fie K acest punct)
Cele trei condiţii enunţate mai sus sunt satisfăcute dacă suma proiecţiilor tuturor
forţelor pe direcţia x respectiv y este nulă şi suma tuturor momentelor (cuplurilor) faţă
de un punct al planului este nulă
242 Forțe interioare Metoda secțiunilor
Icircn vederea calculului de rezistenţă de rigiditate şi de stabilitate a barelor sau a
sistemelor de bare este necesară determinarea forţelor şi momentelor interioare
(eforturilor) care apar icircn secţiunile transversale ale acestora şi datorate icircncărcărilor
exterioare Forțele interioare indică legătura dintre particulele din interiorul corpului şi
se pun icircn evidenţă prin metoda secţiunilor care este un procedeu de raţionament
imaginar propus de Cauchy echivalent cu teoria echilibrului părţilor Conform acestui
raționament bdquodacă un corp solid deformabil este icircn echilibru sub acţiunea unui sistem
generalizat de forţe atunci după secționare fiecare parte a sa va fi icircn echilibru sub
acţiunea forţelor exterioare care-i revin şi a unui sistem de forţe pe care trebuie să-l
introducem icircn secţiunea ce delimitează fiecare parte echivalent cu acţiunea forţelor
aplicate pe partea icircndepărtatărdquo
Problemele care apar la aplicarea metodei secţiunilor sunt
- să pună icircn evidenţă existenţa forţelor interioare mai ales că din ceea ce se ştie o
forţă apare icircn prezenţa a două corpuri ca urmare a principiului acţiunii şi reacţiunii
- să explice modul de distribuţie al forţelor interioare pe secţiune
Considerăm un corp aflat icircn echilibru sub acţiunea unui sistem de forţe exterioare
1 2 3⋯119894 ⋯ 119899minus1 119899 şi presupunem că-l secţionăm cu un plan transversal Q (sau cu
o suprafaţă oarecare) figura 210a Icircn urma secţionării fictive (imaginare) conform
principiului echilibrului părţilor fiecare din cele două părţi obţinute trebuie să fie icircn
echilibru sub acţiunea forţelor exterioare care le revin şi a cacircte unui sistem de forţe
interioare pe care trebuie să-l introducem icircn secţiunile rezultate sistem echivalent cu
acţiunea forţelor exterioare ce acţionează asupra celeilalte părţi Astfel pe partea din
dreapta (notată cu II) delimitată de secţiunea de arie Ad sunt aplicate forţele exterioare
119894 ⋯ 119899minus1 119899 şi un sistem de forţe interioare căruia nu i se cunoaşte decacirct efectul acelaşi
cu cel al forţelor 1 2 3 de pe parea din stacircnga (notată cu I şi delimitată de secţiunea
de arie As) figura 210b Prin metoda secţiunilor am reuşit să punem icircn evidenţă existenţa
forţelor interioare şi să le trecem icircn categoria celor exterioare cărora le putem aplica
relaţiile de echivalenţă şi de echilibru cunoscute din statică Ideal ar fi să cunoaştem
distribuţia şi intensitatea punctuală a acestor forţe pentru că s-ar putea ca icircn anumite
puncte ale secţiunii valoarea forţelor să depăşească limita de rezistenţă (limita de curgere)
a materialului Cunoaşterea distribuţiei punctuale a forţelor interioare nu se poate realiza
decacirct icircn cazuri particulare relativ simple de solicitare
Să considerăm partea din dreapta a corpului asupra căreia acționează forțele
119894 ⋯ 119899minus1 119899 mărginit de aria Ad pe care acționează un sistem de forțe interioare
echivalent cu 1 2 3 Deși forțele interioare de pe Ad nu se cunosc totuși efectul lor
este același cu cel al forțelor 1 2 3 deci le putem reduce icircn centrul de greutate C al
secțiunii Ad rezultacircnd componentele torsorului de reducere al forțelor interioare
(119894119889 119894119889) și pentru partea din stacircnga (119894119904 119894119904) Evident conform principiului acțiunii și
reacțiunii
119894119889 = minus119894119904
119894119889 = minus119894119904 (21)
Pe de altă parte cum fiecare dintre părțile corpului după secționare trebuie să fie
icircn echilibru sub acțiunea forțelor exterioare care le revin și a forțelor interioare introduse
rezultă
119894119889 = minus119890119889
119894119889 = minus119890119889
119894119904 = minus119890119889
119894119904 = minus119890119904 (22)
Combinacircnd (21) cu (22) rezultă
119894119889 = 119890119889
119894119889 = 119890119889
119894119904 = 119890119904
119894119904 = 119890119904 (23)
Fig 210 Forțe interioare
Relațiile (22) și (23) permit determinarea componentelor torsorului de reducere
al forțelor interioare din (23) rezultă componentele torsorului forțelor interioare care
acționează icircn secțiunea Ad sunt egale cu componentele torsorului de reducere al forțelor
exterioare de pe partea din stacircnga din (22) rezultă componentele torsorului forțelor
interioare care acționează icircn secțiunea Ad sunt egale și de sens contrar cu componentele
torsorului de reducere al forțelor exterioare de pe partea din dreapta
Observații
1 Torsorul forțelor interioare diferă de la o secțiune la alta dar pentru aceeași
secțiune el este unic și trebuie să respecte condițiile de compatibilitate a deformațiilor
2 Reducacircnd forțele interioare icircn centrul de greutate al secțiunii s-a făcut o
aproximare icircn ceea ce privește efectul modului de dispunere al forțelor
3 Punctul de reducere trebuie să fie
pentru forțele interioare normale la secțiune centrul de greutate
pentru forțele interioare tangente la planul secțiunii centrul de răsucire sau de
tăiere
243 Eforturi
Prin metoda secțiunilor am pus icircn evidență existența forțelor interioare și modul
icircn care se determină componentele torsorului de reducere al forțelor interioare (119894119889 119894119889) de pe fața din dreapta secțiunii (Ad) Cele două componente ale torsorului de reducere al
forțelor interioare de pe Ad se pot descompune după axele unui sistem de referință
triortogonal xCyz astfel
119894119889 = +
119894119889 = 119909 +119872119894 (24)
unde și 119909 sunt proiecțiile lui 119894119889 și respectiv 119894119889 pe axa longitudinală Cx a
barei iar și 119894 sunt proiecțiile acelorași componente 119894119889 și respectiv 119894119889 pe planul yCz
al secțiunii transversale Ad figura 211
Fig 211 Torsorul de reducere al forţelor interioare
La racircndul lor și 119894 se pot descompune după axele sistemului yCz figura 212
= 119910 + 119911
119894 = 119894119910 + 119894119911 (25)
Fig 212 Descompunerea forţei tăietoare şi a momentului icircncovoietor
Cele șase componente ale torsorului de reducere al forțelor interioare ( 119910 119911
119909 119894119910 119894119911) orientate după axele sistemului de referință xCyz se numesc eforturi
Fiecare efort are o denumire stabilită icircn funcție de tipul de deformație pe care-l produce
De asemenea semnul plus (bdquo+rdquo) sau minus (bdquondashrdquo) al fiecărui efort nu depinde de sensul
pozitiv sau negativ al sistemului de axe ci doar de efectul icircn deformații al fiecărui efort
Denumirile celor șase eforturi sunt
119873 este forța axială
119879119910 119879119911 sunt forțe tăietoare orientate după axele Cy și respectiv Cz
119872119909 notat de cele mai multe ori cu 119872119905 este moment de torsiune sau de răsucire
119872119894119911 119872119894119910 sunt momente de icircncovoiere icircn jurul axei Cz și respectiv Cy
Forța axială 119873 poate fi forță axială de icircntindere cacircnd produce o lungire a
tronsonului pe a cărei față acționează (119873 gt 0) figura 213a sau forță axială de
compresiune cacircnd sub efectul ei bara se scurtează (119873 lt 0) figura 213b
Fig 213 Forța axială
Forțele tăietoare 119879119910 și 119879119911 au ca efect lunecarea secțiunii icircn centrul căreia
acționează icircn raport cu secțiunea icircnvecinată lunecare ce se produce pe direcția și icircn sensul
forței Sub acțiunea unei forțe tăietoare bara este solicitată la forfecare Forța tăietoare
este pozitivă 119879119910 gt 0 dacă icircn raport cu un punct oarecare K de pe axa Cx a barei tinde să
rotească secțiunea pe care acționează icircn sens orar
Fig 214 Forța tăietoare
Momentele de icircncovoiere 119872119894119911 și 119872119894119910 au ca efect o rotire a secțiunii icircn centrul
cărora acționează icircn jurul axei după care sunt orientate Icircn figura 215a se vede că
datorită momentului 119872119894119911 fibrele de deasupra axei Cz se alungesc icircn timp ce fibrele de sub
axa Cz se scurtează Fibrele care trec prin axa de icircncovoiere Cz nu se deformează sunt
fibre neutre la icircncovoiere adică axa neutră este Cz Icircn cazul momentului de icircncovoiere
119872119894119910 fibrele care nu se deformează sunt cele care trec prin axa neutră la icircncovoiere Cy
Momentele de icircncovoiere se consideră a fi pozitive (119872119894119911 gt 0119872119894119910 gt 0) dacă
observatorul care privește bara deformată vizualizează fibrele icircntinse
Fig 215 Momentul icircncovoietor
Momentul de torsiune sau de răsucire 119872119909 equiv 119872119905 are ca efect o rotire a secțiunii
icircn al cărei centru acționează icircn jurul axei longitudinale Cx Ca efect secțiunea icircși schimbă
forma (se deformează) adică unghiurile inițiale se modifică dreptunghiul inițial Ad
devine paralelogram Convențional se consideră 119872119905 gt 0 dacă vectorul moment are
aceeași orientare ca și sensul pozitiv ales pextru axa Cx Icircn figura 216 momentul este
negativ
Fig 216 Momentul de torsiune
25 Definiții și convenții de semne pentru eforturile
din secțiunile unei bare drepte plane icircncărcate cu sarcini coplanare
Vom considera o bară plană icircncărcată cu un sistem de forțe arbitrar figura 217
Ne propunem să determinăm eforturile care apar icircn secțiunea barei aflată la distanța 119909 de
reazemul din stacircnga (A)
Pentru aceasta vom aplica metoda secțiunilor vom secționa bara cu un plan
perpendicular pe axa longitudinală a barei și vom analiza doar partea din dreapta secțiunii
mărginită de fața Ad Pentru ca această porțiune de bară să fie icircn echilibru sub acțiunea
forțelor exterioare care acționează asupra sa 1198653 și 119881119861 va trebui să introducem icircn centrul
secțiunii Ad eforturile care pot să apară 119873 119879119910 119872119894119911 Acțiunea acestor eforturi trebuie să
fie echivalentă cu acțiunea forțelor exterioare aplicate pe partea icircnlăturată (parcursă) a
barei 119867119860 119881119860 1198651 1198652 1198720
Deoarece bara este plană și este icircncărcată doar cu sarcini ce aparțin
planului barei
icircn secțiunea Ad apar doar 3 componente ale torsorului de reducere al forțelor
interioare (eforturi)
- 119873 = forța axială
- 119879119910 = forța tăietoare pe care o vom nota cu 119879
- 119872119894119911 = momentul icircncovoietor notat cu Mi
Fig 217 Bară plană icircncărcată cu un sistem de forțe
Vom prezenta următoarele definiții corespunzătoare eforturilor din secțiunea Ad
119873 = forța axială dintr-o secțiune este egală cu suma algebrică a proiecțiilor pe
axa longitudinală a tuturor forțelor exterioare (sarcini și reacțiuni) aplicate pe partea
din stacircnga secțiunii adică pe porțiunea parcursă Forța axială 119873 este pozitivă dacă trage
de tronsonul pe a cărei față acționează (are orientarea normalei exterioare la secțiunea
Ad)
119873(119909) = minus119867119860 + 1198651119867 (26)
119879 = forța tăietoare icircntr-o secțiune este egală cu suma algebrică a proiecțiilor
pe o axă perpendiculară pe axa barei a tuturor forțelor exterioare (sarcini și reacțiuni)
aplicate pe porțiunea de bară aflată icircn stacircnga secțiunii considerate Forța tăietoare 119879
este pozitivă dacă tinde să rotească tronsonul pe a cărui față acționează icircn sens orar icircn
raport cu un punct de pe axa barei aflat la dreapta secțiunii
119879(119909) = 119881119860 minus 1198651119881 minus 1198652 (27)
119872119894 = momentul icircncovoietor icircntr-o secțiune este egal cu suma algebrică a
momentelor obținute prin reducerea tuturor forțelor exterioare ( cupluri sarcini
reacțiuni) aplicate pe porțiunea de bară aflată la stacircnga secțiunii icircn centrul secțiunii
considerate 119872119894 este considerat pozitiv dacă tinde să deformeze bara astfel icircncacirct fibrele
spre care privește un observator să fie icircntinse Cum poziția observatorului este de regulă
sub bară bara se deformează dacă 119872119894 gt 0 astfel icircncacirct partea jos a barei este icircntinsă Se
spune că bara deformată rdquoține apaldquo
119872119894(119909) = 119881119860 ∙ 119909 minus 1198651119881 ∙ (119909 minus 1198971) minus 1198652 ∙ [119909 minus (1198971 + 1198972)] + 1198720 (28)
Sensurile pozitive ale eforturilor care apar icircn centrul secțiunii Ad (deci atunci cacircnd
sensul de parcurs la aplicarea metodei secțiunilor este cel de la stacircnga la dreapta) sunt
indicate icircn figura 218a iar dacă sensul de parcurs este de la dreapta la stacircnga sensurile
pozitive ale eforturilor sunt indicate icircn figura 218b
Fig 218 Convenţia de semne
Definiții asemănătoare se pot da și pentru eforturile din centrul secțiunii As figura
218b adică pentru cazul icircn care sensul de parcurs este cel de la dreapta la stacircnga și deci
partea luată icircn considerare este cea din stacircnga iar partea parcursă din dreapta secțiunii
este icircnlăturată
119873(1199091) = 1198653119867
119879(1199091) = 1198653119881 minus 119881119861
119872119894(1199091) = 119881119861 ∙ 1199091 minus 1198653119881 ∙ (1199091 minus 1198975)
(29)
Avacircnd icircn vedere că fețele Ad și As aparțin aceleeași secțiuni este evident faptul că
eforturile 119873(119909) 119879(119909) și 119872119894(119909) sunt identice cu eforturile 119873(119961120783) 119879(119961120783) și respectiv
119872119894(119961120783) Icircn figura 218c se prezintă o sinteză a convențiilor de semne pozitive pentru cele
3 eforturi atacirct pentru sensul de parcurs de la stacircnga la dreapta (secțiunea Ad) cacirct și pentru
sensul invers (secțiunea As)
Semnele eforturilor sunt importante icircntrucacirct există materiale cu comportări diferite
la icircntindere față de compresiune iar o schimbare a semnului unui efort poate produce
erori grave icircn calcule Semnele eforturilor au fost stabilite icircn funcție de deformațiile
produse și nu depind de sensul axelor sistemului de coordonate
26 Relaţii diferenţiale icircntre eforturi şi sarcini
Pentru a vedea ce legătură există icircntre eforturi și sarcini vom considera o bară
dreaptă icircncărcată cu o sarcină distribuită după o lege oarecare figura 219a Din această
bară vom decupa prin dublă secționare un element de lungime infinit mică 119889119909 Deoarece
lungimea 119889119909 este foarte mică se poate considera sarcina 119901 uniform distribuită Icircn
secțiunile rezultate trebuie să introducem eforturile care pot apărea
- 119879 şi 119872119894 icircn centrul secțiunii din sticircnga eforturi pe care le considerăm pozitive
- 119879 + 119889119879 şi 119872119894 + 119889119872119894 icircn centrul secțiunii din dreapta elementului
Aceste eforturi au o variație mică (119889119879 şi 119889119872119894) față de secțiunea anterioară Spre
deosebire de cazul icircn care bara este secționată o singură dată icircn acest caz eforturile nu
pot fi determinate din cele 2 condiții de echilibru independente deoarece icircn ecuațiile de
echilibru apar 4 necunoscute 119879 119889119879119872119894 și 119889119872119894 deci că problema este dublu static
nedeterminată figura 219
Fig 219 Echivalența icircntre eforturi și sarcini
Ecuațiile de echilibru scrise pentru elementul din figura 219b conduc la stabilirea
unor relaţii foarte importante
(sum119865)119910= 0 hArr 119879 minus 119901 ∙ 119889119909 minus (119879 + 119889119879) = 0 rArr
119889119879
119889119909= minus119901 (210)
Relația (210) arată că derivata funcţiei forţei tăietoare icircn raport cu abscisa
secţiunii este egală cu sarcina distribuită normală la axa barei din acea secţiune luată
cu semn schimbat
Observații
dacă 119901 = 0 nu există sarcină distribuită atunci forța tăietoare T este constantă
icircnclinarea pantei diagramei forței 119879 este egală cu (ndash 119901) (sarcina distribuită cu
semn schimbat)
dacă 119901 = 119888119900119899119904119905 119879 variază liniar pe acel interval
Asemănător se deduce că derivata funcţiei forţei axiale icircn raport cu abscisa
secţiunii este egală cu sarcina distribuită axială din acea secţiune luată cu semn
schimbat adică
119889119873
119889119909= minus119901119867 (211)
Din condiția de echilibru suma de momente faţă de centrul de greutate al secţiunii
din dreapta
(sum119872)119862= 0 hArr 119872119894 minus (119872 + 119889119872119894) + 119879 ∙ 119889119909 minus 119901 ∙
(119889119909)2
2= 0 rArr
119889119872119894
119889119909= 119879 (212)
Relația (212) s-a obținut dupa reducerea termenilor și prin neglijarea infinitului
mic de ordinul 2
119901 ∙(119889119909)2
2
Relația (212) arată că derivata funcţiei moment icircncovoietor icircn raport cu abscisa
secţiunii este egală cu forţa tăietoare din acea secţiune
Observații
dacă 119879 = 0 momentul 119872119894 are un punct de extrem se obține o valoare maximă
pentru 119872119894119898119886119909 dacă forța tăietoare 119879 se anulează trecacircnd de la plus icircn stacircnga la minus icircn
dreapta secțiunii
dacă forța tăietoare este pozitivă pe un interval 119879 gt 0 atunci 119872119894 este crescătoare
pe acel interval
dacă forța tăietoare este negativă pe un interval 119879 lt 0 atunci 119872119894 este
descrescătoare pe acel interval
dacă pe un interval 119901 = 0 forța tăietoare este constantă 119879 = 119888119905 iar 119872119894 variază
liniar pe acel interval
dacă 119901 = 119888119900119899119904119905 119879 variază liniar pe acel interval iar 119872119894 variază parabolic pe
acel interval
Relaţiile diferenţiale sunt utile la reprezentarea corectă şi verificarea diagramelor
de eforturi astfel
pentru porţiunile de grindă pe care p = 0 eforturile N şi T sunt constante iar pe
porţiunile cu p = const eforturile N şi T variază liniar (relaţiile 211 şi 210)
dacă pe o porţiune T = const momentul icircncovoietor Miz variază liniar iar dacă
T variază liniar atunci momentul Miz variază parabolic (relaţia 212)
pe domeniile pe care T gt 0 funcţia Mi(x) este crescătoare iar icircn secţiunea icircn
care T = 0 (graficul funcţiei T intersectează axa x) momentul icircncovoietor are un punct
de extrem local (maxim sau minim relaţia 212)
Pentru rezolvarea problemelor referitoare la trasarea diagramelor de eforturi
pentru barele drepte solicitate de sisteme de forţe plane se parcurg următoarele etape
1) identificarea forţelor aplicate (date) şi pregătirea lor pentru calcule
(descompunerea forţelor concentrate pe direcţiile x şi y calculul rezultantelor forţelor
distribuite)
2) identificarea reazemelor şi introducerea reacţiunilor corespunzătoare (vezi
figurile 27divide29)
3) stabilirea ecuaţiilor de echilibru static calculul şi verificarea reacţiunilor Icircn
rezistența materialelor se folosește sistemul de ecuații (vezi figura 217)
(sum119865)
119909= 0
(sum119872)119860= 0
(sum119872)119861= 0
(213)
4) identificarea domeniilor de variaţie şi scrierea funcţiilor de eforturi pentru N T
şi Mi
5) reprezentarea grafică a diagramelor de eforturi
6) verificarea corectitudinii diagramelor pe baza relaţiilor diferenţiale icircntre eforturi
şi sarcini
Aplicație Pentru grinda dreaptă icircncărcată cu sistemul de forţe reprezentat icircn figura
220 se cere
a) să se calculeze şi să se verifice reacţiunile
b) să se stabilească funcţiile eforturilor Nx Ty şi Miz şi să se reprezinte diagramele
de variaţie
c) să se analizeze relaţiile diferenţiale icircntre eforturi şi sarcini
Dimensiunile grinzii au valorile a = 6 [m] b = 4 [m] și c = 4[m] sistemul de
forţe aplicat fiind format din p = 10 [kN mfrasl ] F = 20 [kN] (icircnclinată cu unghiul α =300 faţă de orizontală) şi M0 = 40 [kN ∙ m]
Rezolvare
a) Se fac următoarele precizări
grinda dreaptă se reprezintă prin axa geometrică
forţa icircnclinată F se descompune după direcţiile orizontală şi verticală icircn FV =F ∙ sin α = 10 [kN] şi FH = F ∙ cos α = 173 [kN]
forţa distribuită uniform p este echivalentă din punct de vedere static cu
rezultanta sa R = p ∙ a = 60 [kN] care acţionează la jumătatea porţiunii de lungime a
icircn reazemele 119860 şi 119861 se introduc componentele HA şi VA respectiv VB ale
reacţiunilor
Pentru calculul reacţiunilor se utilizează ecuaţiile de echilibru static al grinzii
sumXi = 0 HA minus FH = 0 sumYi = 0 VA + VB minus R minus FV = 0 (sumM)B = 0 VA ∙ (b + a) minus R ∙ (b + 05 ∙ a) minus M0 + FV ∙ c = 0
(A1)
Din prima ecuaţie se obţine HA iar din cea de-a treia ecuaţie rezultă VA
HA = FH = 173 [kN]
VA =[R ∙ (b + 05 ∙ a) + M0 minus FV ∙ c]
(b + a)=[60 ∙ (4 + 05 ∙ 6) + 40 minus 10 ∙ 4]
(4 + 6)
VA = 42 [kN]
(A2)
Fig 220 Aplicație
Se observă că cea de-a doua ecuaţie de echilibru conţine două necunoscute
reacţiunile VA şi VB Pentru a calcula componenta VB nu este indicată introducerea lui VA
icircn cea de-a doua ecuaţie a sistemului (A1) pentru că o valoare determinată greşit pentru
VA conduce la o valoare VB de asemenea greşită O ecuaţie independentă din care se poate
determina componenta VB este următoarea
(sumM)A= 0 FV ∙ (a + b + c) minus VB ∙ (a + b) minus M0 + R ∙ 05 ∙ a = 0 (A3)
de unde se obţine
VB =[FV ∙ (a + b + c) minusM0 + R ∙ 05 ∙ a]
(b + a)=[10 ∙ (6 + 4 + 4) minus 40 + 60 ∙ 05 ∙ 6]
(6 + 4)
VB = 28 [kN] (A4)
Ecuaţia de proiecţii ale forţelor pe direcţia verticală (a doua ecuaţie din sistemul
A1) se utilizează pentru verificarea reacţiunilor deja determinate
VA + VB minus R minus FV = 0 rArr 42 + 28 minus 60 minus 10 = 0 (A5)
Ultima egalitate demonstrează că reacţiunile verticale au fost calculate corect
Din cele de mai sus rezultă ordinea firească pentru determinarea reacţiunilor icircn
cazul grinzilor simplu rezemate
sumXi = 0
(sumM)A = 0
(sumM)B = 0
(A6)
iar pentru verificarea componentelor verticale VA şi VB se folosește ecuaţia sumY = 0
b) La stabilirea funcţiilor de eforturi se parcurg icircn general etapele următoare
se notează (numeric sau literal după preferinţă) secţiunile care delimitează
domeniile (intervalele sau tronsoanele) pe care eforturile nu-şi modifică funcţiile (au legi
unice de variaţie)
pe fiecare domeniu se marchează secţiunea imaginară icircn care se stabilesc
funcţiile eforturilor
secţiunea astfel aleasă separă icircn două părţi grinda şi anume porţiunea din stacircnga
şi porţiunea din dreapta secţiunii
se va considera parcursă (şi icircndepărtată) acea parte pe care acţionează mai puţine
sarcini exterioare pentru că acestea vor interveni icircn expresiile funcţiilor de eforturi
poziţiile secţiunilor imaginare se vor determina prin variabilele x1 ⋯ xn (unde
n reprezintă numărul domeniilor de variaţie) cu originea fixată icircn capătul intervalului şi
sensul de parcurgere spre partea considerată rămasă
Grinda prezentată icircn figura 220 are trei domenii de variaţie pentru funcţiile de
eforturi după cum urmează (A-1) (2-B) şi (B-1)
Domeniul (A-1) x1 isin [0 a = 6 m] Porţiunea parcursă şi considerată icircndepărtată este cea de coordonată x1 pe care
acţionează reacţiunile HA şi VA precum şi rezultanta parţială a sarcinii distribuite R1 =p ∙ x1
Funcţia forţă axială Nx are expresia
Nx(x1) = NAminus1 = minusHA = minus173 [kN] = const
(A7)
Funcţia forţă tăietoare Ty are exspresia
Ty(x1) = TAminus1 = VA minus R1 = VA minus p ∙ x1 (A8)
care reprezintă o variaţie liniară de variabilă x1 Se calculează valorile forţei tăietoare la
limitele intervalului de variaţie
- pentru x1 = 0 Ty(x1 = 0) = TA = VA = 42 [kN]
- pentru x1 = a = 6 [m] Ty(x1 = 6) = T1 = VA minus p ∙ a = minus18 [kN]
Observaţie Aşa cum a fost stabilită secţiunea fictivă poziţionată prin coordonata
x1 sar părea că rezultanta R ar trebui luată icircn calculul lui Ty(x1) Acest lucru ar fi greşit
pentru că R = p ∙ a reprezintă rezultanta sarcinii distribuite pe toată lungimea a iar
rezultanta pe porţiunea parcursă de lungime x1 este R1 = p ∙ x1 ne R = p ∙ a
Cu valorile obţinute se trasează diagramele forţelor axială Nx = f(x) şi tăietoare
Ty = f(x) figura 220 Din diagrama forţei tăietoare şi din valorile obţinute analitic se
observă că forţa tăietoare icircşi schimbă semnul pe intervalul analizat deci se anulează pe
acest interval Poziţia secţiunii unde Ty se anulează se determină din ecuaţia
Ty(x1) = 0 rArr VA minus p ∙ x1 = 0 (A9)
cu soluţia x1lowast = ξ = 42 [m] Important de reamintit că icircn această secţiune momentul
icircncovoietor va avea un extrem local adică Miz are un extrem la Ty = 0
Funcţia moment icircncovoietor Miz are expresia
Miz(x1) = VA ∙ x1 minus R1 ∙x12= VA ∙ x1 minus (p ∙ x1) ∙
x12
(A10)
Se observă că funcţia moment icircncovoietor de variabilă x1 are o variaţie parabolică
(gradul al II-lea) Pentru reprezentarea grafică a funcţiei parabolice se calculează valorile
momentului icircncovoietor icircn trei secţiuni
- pentru x1 = 0 Miz(x1 = 0) = MA = 0 [kN ∙ m] - pentru x1 = a = 6 [m] Miz(x1 = 6) = M1 = 72 [kN ∙ m] - pentru x1
lowast = ξ = 42 [m] Miz(x1lowast = ξ = 42 [m]) = Mimax = 882 [kN ∙ m]
Cu acestea se trasează diagrama Miz = f(x) pe intervalul (A-1) figura 220
Observaţie Icircn unele cazuri pe un anumit interval forţa tăietoare nu se anulează
şi momentul icircncovoietor nu are un extrem local Icircn acest caz pentru reprezentarea
variaţiei parabolice a momentului icircncovoietor se va studia semnul derivatei a doua a
funcţiei Miz = f(x1) acesta determinacircnd convexitatea curbei momentului icircncovoietor
Domeniul (2-B) x2 isin [0 c = 4 m] Porţiunile din grindă libere (nerezemate) la un capăt se numesc console iar
stabilirea funcţiilor de eforturi devine mai simplă dacă se consideră icircndepărtată partea din
dreapta secţiunii prin schimbarea sensului pozitiv al axei x Astfel se obţin funcţiile eforturilor
Funcţia forţă axială Nx are expresia
Nx(x2) = N2minusB = minusFH = minus173 [kN] = const
(A11)
Funcţia forţă tăietoare Ty are exspresia
Ty(x2) = T2minusB = FV = 10 [kN] = const (A12)
Funcţia moment icircncovoietor Miz are expresia
Miz(x2) = minusFV ∙ x2 rArr Miz(x2 = 0) = M2 = 0 [kN ∙ m]
Miz(x2 = 4) = MB = minus40 [kN ∙ m] (A13)
variaţie liniară (gradul I)
Domeniul (B-1) x3 isin [0 b = 4 m] Pe acest domeniu se acceptă parcurgerea grinzii de la dreapta adică se consideră
icircndepărtată partea din dreapta secţiunii fictive pentru că are doar două sarcini aplicate F
şi VB faţă de partea din stacircnga secţiunii pe care sunt aplicate trei sarcini p VA şi M0
Astfel se obţin funcţiile eforturilor
Funcţia forţă axială Nx are expresia
Nx(x3) = NBminus1 = minusFH = minus173 [kN] = const
(A14)
Funcţia forţă tăietoare Ty are exspresia
Ty(x3) = TBminus1 = FV minus VB = minus18 [kN] = const (A15)
Funcţia moment icircncovoietor Miz are expresia
Miz(x3) = minusFV ∙ (x3 + c) + VB ∙ x3 rArr
rArr Miz(x3 = 0) = MB = minus40 [kN ∙ m]
Miz(x3 = 4) = M1 = 32 [kN ∙ m]
(A16)
variaţie liniară (gradul I)
Diagramele eforturilor sunt prezentate icircn figura 220
c) Relaţiile diferenţiale dintre eforturi şi sarcini se analizează pe diagramele
eforturilor după cum urmează
sarcina distribuită nu are componentă orizontală adică ph = 0 şi icircn
conformitate cu formula (211) rezultă că Nx = const pe toată lungimea grinzii fapt care
a rezultat din funcţia şi reprezentarea diagramei forţei axiale
pe intervalul (A-1) sarcina distribuită are doar componenta verticală pozitivă
pV = p gt 0 prin urmare forţa tăietoare scade (are panta negativă dTy 119889119909frasl = minusp vezi
relaţia 210) iar momentul icircncovoietor avacircnd derivata a doua negativă d2M119894119911 1198891199092frasl =minuspare convexitatea curbei orientată spre sensul pozitiv al axei momentului Miz adică icircn
jos
pe domeniile (2-B) şi (B-1) deoarece pv = 0 forţa tăietoare Ty este constantă
iar momentul icircncovoietor Miz variază liniar
referitor la relaţia (212) pe porţiunile unde Ty gt 0 momentul Miz este
monoton crescător pe porţiunile unde Ty lt 0 momentul Miz este monoton descrescător
iar icircn secţiunea icircn care Ty = 0 momentul icircncovoietor are un extrem local Mξ =
882 [kN ∙ m] icircn diagrama forţei tăietoare discontinuităţile (salturile) se produc icircn secţiunile
unde acţionează VA VB şi FV iar icircn diagrama momentului icircncovoietor se produce un
singur salt icircn secţiunea icircn care este aplicat M0
se poate scrie
Mξ = suprafața diagramei Ty |ξ0=1
2∙ 42 ∙ 42 = 882 [kN ∙ m]
sau parcurgacircnd grinda de la dreapta la stacircnga rezultă
MB = minussuprafața diagramei Ty |c0= minus10 ∙ 4 = minus40 [kN ∙ m]
Toate aspectele analizate teoretic referitoare la relaţiile diferenţiale dintre eforturi
şi sarcini se regăsesc icircn diagramele de eforturi din figura 220 ceea ce icircnseamnă că
diagramele au fost reprezentate corect
3 TENSIUNI DEPLASĂRI ŞI DEFORMAŢII SPECIFICE
31 Tensiuni
Eforturile obținute icircn urma reducerii forțelor interioare icircn centrul de greutate al
secțiunii nu pot da informații asupra solicitării fiecărui punct al secțiunii respective Este
necesar să se cunoască modul cum se distribuie forțele interioare icircn fiecare punct al
secțiunii pentru a ști care este intensitatea maximă a solicitării Această intensitate
maximă se poate compara cu o valoare critică specifică materialului stabilindu-se astfel
dacă solicitarea este periculoasă sau nu
Mărimea care caracterizează solicitarea locală punctuală o vom denumi tensiune
și o vom defini icircn cele ce urmează Să considerăm partea din dreapta a unui corp solicitat
de forțele exterioare 1198651 1198652 și 1198653 obținută prin secționarea corpului și mărginită de fața
din dreapta Ad a secțiunii Pe secțiunea Ad vom considera un element de arie infinit mic
∆119860 caracterizat de normala la elementul de arie normală care are cosinușii directori
120573 și icircn raport cu un sistem de axe considerat fix Pe elementul infinit mic ∆119860 acționează
forțele interioare care au o rezultantă oarecare figura 31
Prin definiție tensiunea totală este
= lim∆119860rarr0
∆
∆119860 (31)
Tensiunea are aceeaşi direcţie cu forţa elementară ∆ iar mărimea ei este
determinată atacirct de mărimea forţei ∆ cacirct şi de orientarea suprafeţei ∆119860 faţă de direcţia
forţei
Tensiunea 119901 poate fi descompusă icircntr-o componentă orientată după direcţia
normalei la secţiune tensiunea normală notată cu 120590119909 şi o componentă icircn planul secţiunii
tensiunea tangenţială notată cu figura 32
= 119909 + 120591 (32)
Fig 31 Tensiunea totală Fig 32 Tensiunea normală și tangențială
La racircndul ei componenta tensiunii cuprinsă icircn planul secțiunii poate fi
descompusă după direcțiile axelor y și z
120591 = 120591119909119910 + 120591119909119911 (33)
Icircntre cele trei componente ale tensiunii totale care acționează pe elementul de arie
∆119860 este valabilă relația
1199012 = 1205901199092 + 120591119909119910
2 + 1205911199091199112 (34)
După sensul pe care icircl are tensiunea normală 120590 poate avea efect de tracţiune sau
de compresiune exercitat de către partea de corp icircnlăturată asupra părţii rămase Analog
tensiunea tangenţială 120591 poate avea efect de tăiere forfecare sau alunecare Pentru
componentele tensiunii tangențiale 120591119909119910 pe direcţia 119910 respectiv 120591119909119911 pe direcţia 119911 primul
indice indică axa pe care tensiunea este normală iar cel de-al doilea indice indică axa cu
care aceasta este paralel
Tensiunea este o mărime tensorială valoarea ei depinzacircnd atacirct de poziția
punctului icircn planul secțiunii cicirct și de orientarea planului de secționare deci de normala
Operaţiile vectoriale nu pot fi aplicate tensiunilor decacirct după ce acestea au fost icircnmulţite
cu ariile respective adică au fost transformate icircn forţe
Icircn literatura de specialitate mai ales icircn manualele mai vechi pentru noţiunea de
tensiune se mai foloseşte şi denumirea de efort specific
Dacă se consideră un alt element de arie ∆119860 cu centrul icircn același punct avacircnd ca
normală axa 119910 se vor obține alte tensiuni și anume
- 120590119910 este tensiunea normală (paralelă cu axa y)
- 120591119911119909 și 120591119910119911 sunt tensiuni tangențiale paralele cu axele 119909 și respectiv 119911 aflate icircn
planul care are ca normală axa 119910
Dacă icircn jurul unui punct dintr-un corp solicitat se consider un element de volum
infinit mic de forma unui cub icircn cazul cel mai general pe fețele sale vor acționa
tensiunile normale 120590119909 120590119910 și 120590119911 și respectiv tensiunile tangențiale 120591119909119910 120591119909119911 120591119910119909 120591119910119911 120591119911119909
și respectiv 120591119911119910 figura 33 Aceste tensiuni definesc starea de tensiune a punctului
observacircnd faptul că tensorul tensiune are 9 componente Dacă se consideră elementul
de volum finit ca fiind foarte mic se poate presupune că icircn interiorul său nu apar forțe
Ca urmare el va fi icircn echilibru sub acțiunea forțelor elementare produse de tensiunile de
pe fețele sale
Din condiția ca elementul să nu se rotească icircn jurul unor axe care trec prin centrul
său și sunt paralele cu axele sistemului 119909119874119910119911 rezultă
2 ∙ 120591119909119910 ∙ (119889119910 ∙ 119889119911) ∙119889119909
2= 2 ∙ 120591119910119909 ∙ (119889119909 ∙ 119889119911) ∙
119889119910
2 rArr 120591119909119910 = 120591119910119909 (35)
2 ∙ 120591119910119911 ∙ (119889119909 ∙ 119889119911) ∙119889119910
2= 2 ∙ 120591119911119910 ∙ (119889119909 ∙ 119889119910) ∙
119889119911
2 rArr 120591119910119911 = 120591119911119910 (36)
2 ∙ 120591119909119911 ∙ (119889119910 ∙ 119889119911) ∙119889119909
2= 2 ∙ 120591119911119909 ∙ (119889119909 ∙ 119889119910) ∙
119889119911
2 rArr 120591119909119911 = 120591119911119909 (37)
Relațiile (35divide37) 120591119909119910 = 120591119910119909 120591119910119911 = 120591119911119910 120591119909119911 = 120591119911119909 exprimă principiul dualității
tensiunilor tangențiale
Fig 33 Tensiunile normale și tangențiale pe fețele unui cub
Din condiția ca elementul considerat să nu se deplaseze icircn lungul axelor de
coordonate pe fețele opuse acționează aceleași tensiuni normale 120590119909 120590119910 și respectiv 120590119911
Definirea tensorului tensiune este posibilă dacă se cunosc cele 6 componente
independente ale acestuia aflate icircn trei plane perpendicular ce trec prin punctul respectiv
=
120590119909 120591119909119910 120591119909119911120591119910119909 120590119910 120591119910119911120591119911119909 120591119911119910 120590119911
Observaţii
Tensiunile se măsoară icircn [119873 1198982frasl ] (1119873 1198982frasl = 1 119875119886) sau icircn [119872119875119886]
(1 119872119875119886 = 106119875119886 = 106 119873
1198982 1 119872119875119886 = 1
119873
1198981198982)
Starea de tensiune dintr-un punct este considerată cunoscută dacă se cunosc
tensiunile 119901 care acționează pe infinitatea de elemente de suprafață ce trec prin punctual
considerat
Starea de tensiune a unui corp se consider cunoscută dacă se cunosc stările de
tensiune de pe infinitatea de puncte ale corpului considerat
32 Deplasări Deformaţii specifice
321 Deplasări
Aceste noțiuni sunt utile icircn analiza aspectului geometric al problemelor de rezistența
materialelor Deplasările care se analizează sunt cele datorate schimbării formei și
dimensiunilor corpurilor ca urmare a acțiunii forțelor exterioare și nu cele cinematice
posibile pentru solidul rigid care se poate deplasa cu anumită viteză și accelerație
Spre exemplu icircn figura 34a și figura 34b sub acțiunea forței 119865 tronsonul de
bară AB se deformează icircn timp ce tronsonul BC deși punctele sale au deplasări rămacircne
nedeformat (fiind nesolicitat) Toate punctele de pe axele barelor cu excepția celor din
icircncastrare (secțiunile A) au deplasări liniare De cele mai multe ori deformațiile barelor
datorate acțiunii forțelor exterioare se anulează la icircndepărtarea forțelor se spune că
deformațiile sunt elastice Secțiunile transversale ale barei din figura 34a se și rotesc icircn
raport cu pozițiile lor inițiale Spre exemplu secțiunea de căpăt cu centrul icircn C se rotește
cu unghiul
Fig 34 Deformațiile unei grinzi
Oricacirct de complexă ar fi delormația unui corp ea poate fi descrisă de lungiri sau
scurtări și de modificări ale unghiurilor inițiale
Deplasările măsoară schimbarea poziției unui punct al corpului și pot fi liniare
sau unghiulare
Prin deplasare liniară a unui punct se icircnțelege drumul parcurs de acest punct icircn
decursul procesului de deformație după o dreaptă suport dreapta 1198611198611 din figura 34a
Prin deplasare unghiulară se icircnțelege rotirea dintre segmentele de dreaptă
determinate de două puncte ale corpului icircnainte și după deformarea acestuia unghiul
pe care-l fac segmentele 119861119862 și 11986111198621 din figura 34a Această rotire se măsoară prin
unghiul pe care-l fac proiecțiile dreptelor ce conțin cele două segmente icircntr-un sistem
triortogonal
Icircn cazul cel mai general vectorul deplasare liniară se poate descompune icircntr-un
sistem triortogonal icircn trei componente 119906 119907 și 119908 figura 35
Fig 35 Deplasarea liniară
Se consideră acum un corp solid raportat la un sistem de axe ortogonal 119909119874119910119911
figura 35 după deformarea corpului un punct oarecare 119870 al acestuia se deplasează icircn
poziţia 1198701 vectorul 1198701198701 poartă numele de vectorul deplasării totale
Deplasarea totală este suma deplasărilor pe cele trei direcţii ortogonale iar
aceste deplasări se notează astfel
deplasarea pe direcţia 119909 cu ∥ 119874119909
deplasarea pe direcţia 119910 cu ∥ 119874119910
deplasarea pe direcţia 119911 cu ∥ 119874119911
Componentele deplasărilor și formeză matricea deplasărilor liniare 119906119907119908
322 Deformații
Prin deformație icircn general se icircnțelege orice schimbare de formă a unui corp fără
o evaluare cantitativă Icircn Rezistența Materialelor deformația măsoară variația
dimensiunilor geometrice ale corpului considerat din vecinătatea unui punct analog
deplasărilor deformațiile pot fi liniare și unghiulare (lunecări)
Fig 36 Deplasarea liniară
Deformația liniară ∆119897 reprezintă variația lungimii 119897 a unui element liniar al
corpului deformat figura 36 Deformația liniară specifică se definește ca fiind raportul
dintre deformația liniară și lungimea inițială
휀 =∆119897
119897 (38)
unde ∆119897 este lungirea sau scurtarea care este echivalentă cu deformția liniară totală iar
este alungirea
Deformația unghiulară sau lunecarea unui punct 119860 icircn planul 119861119860119862 se definește
prin relația figura 37
120574 = lim119861119860rarr0119862119860rarr0
(119861119860 minus 119861111986011198621 ) (39)
Fig 36 Deformația unghiulară
Schimbacircnd orientarea planului care trece prin 119860 se obțin alte deformații
unghiulare Dacă elementele liniare 119861119860 și 119862119860 sunt inițial perpendiculare deformația 120574 se
numește deformație unghiulară specifică sau lunecare specifică figura 37
Un exemplu de deplasare unghiulară și de deformație unghiulară este prezentat icircn
figura 38 Unghiul este deplasarea unghiulară și măsoară rotirea relativă dintre două
secțiuni aflate la distanța 119897 Unghiul este deformația specifică unghiulară (lunecarea
specifică) din punctul 119870 Aceste deplasări și deformații se obțin icircn urma solicitării barei
de către cele două momente 1198720 egale și de sens contrar
Fig 38 Deplasarea unghiulară
Pentru a analiza starea de deformație din vecinătatea unui punct al unui corp
solicitat complex se decupează din jurul punctului un element de volum mic figura 39a
avacircnd laturile 119889119909 119889119910 și 119889119911 Ca urmare a solicitării laturile acestuia se vor lungi sau
scurta Reprezentarea elementului deformat icircn spațiu este dificilă pentru simplificare
vom analiza doar deformațiile din planul 119909119874119910 Observăm că dimensiunile 119889119909 și 119889119910 s-au
modificat cu valoarea ∆119889119909 respectiv cu ∆119889119910 analog se acceptă și pentru 119889119911 o modificare
de forma ∆119889119911 Astfel se pot defini deformațiile specifice liniare
휀119909 =∆119889119909
119889119909 휀119910 =
∆119889119910
119889119910 휀119911 =
∆119889119911
119889119911 (310)
De cele mai multe ori aceste deformații specifice liniare se pot exprima procentual
și se mai numesc alungiri
Fig 39 Starea de deformație
Icircn figura 39c se vede că unghiul inițial drept dintre muchiile 119889119909 și 119889119910 ale
elementului de volum s-a modificat Se definește deformația specifică unghiulară (sau
lunecarea specifică) mărimea cu care se modifică unghiul inițial drept
120574119909119910 = 120574119909119910prime + 120574119910119909
prime = 120574119910119909120574119910119911 = 120574119910119911
prime + 120574119911119910prime = 120574119911119910
120574119911119909 = 120574119911119909prime + 120574119909119911
prime = 120574119909119911
(311)
Deformațiile 휀119909 휀119910 휀119911 120574119909119910 120574119910119911 120574119911119909 constituie cele șase componente
independente ale tensorului deformațiilor specifice care pot fi scrise de forma
119863 =
휀119909 120574119909119910 120574119909119911120574119910119909 휀119910 120574119910119911120574119911119909 120574119911119910 휀119911
(312)
323 Contracţia transversală
Practica arată că odată cu lungirea unei bare apare o micşorare a mărimii secţiunii
transversale mărime numită contracţie transversală figura 310
Fig 310 Contracția transversală
Contracţia transversală este proporţională cu lungirea specifică coeficientul de
proporţionalitate se notează cu 120599 şi se numeşte coeficient de contracţie transversală sau
coeficientul lui Poisson
La o lungire specifică a barei contracţia transversală este dată de relația
휀119905119903 = 휀119910 = 휀119911 = minus120599 ∙ 휀119909 (313)
Semnul minus bdquo-rdquo arată că cele două mărimi sunt contrare dacă una creşte cealaltă
scade şi invers
Considerăm o bară cilindrică de lungime 119897 şi aria secţiunii transversale 119860 solicitată
la icircntindere axială La un moment dat datorită solicitării lungimea barei devine
[119897 ∙ (1 + 휀)] diametrul devine [119889 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)] iar aria secţiunii transversale devine
[119860 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)2] Dacă volumul barei icircnainte de solicitare a fost (119860 ∙ 119897) după solicitare
acesta devine
119881 + ∆119881 = 119860 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)2 ∙ 119897 ∙ (1 + 휀) =
= 119860 ∙ 119897 ∙ (1 + 휀 minus 2 ∙ 120599 ∙ 휀 minus 2 ∙ 120599 ∙ 휀2 + 1205992 ∙ 휀2 + 1205992 ∙ 휀3) (314)
Deoarece lungirile sunt foarte mici ultimii trei termeni din paranteză fiind infinit mici se pot neglija obţinacircnd
119881 + ∆119881 = 119860 ∙ 119897 + 119860 ∙ 119897 ∙ 휀 ∙ (1 minus 2 ∙ 120599) ⟺ ∆119881 = 휀 ∙ (1 minus 2 ∙ 120599) ∙ 119860 ∙ 119897 (315)
Practica arătă că o astfel de bară solicitată la icircntindere icircşi măreşte volumul deci
∆119881 gt 0 de unde rezultă că
1 minus 2 ∙ 120599 gt 0 rArr 120599 lt 05 (316)
Pentru majoritatea materialelor 120599 = 033 iar pentru materialele care-şi păstrează
volumul constant 120599 = 05
33 Relaţii de echivalenţă icircntre eforturi şi tensiuni
Considerăm un element de suprafață infinit mic 119889119860 situat pe fața de arie (119860) a
secțiunii barei din figura 311 Icircn centrul de greutate 119862 al secțiunii acționează eforturile
119873 119879119910 119879119911 119872119909 119872119894119910 și 119872119894119911 determinate prin metoda secțiunilor
Icircn raport cu un sistem de axe de referință 119909119862119910119911 coordonatele elementului 119889119860 sunt
- 119910 este ordonata elementului de arie 119889119860
- 119911 este abscisa elementului de arie 119889119860
Pe elementul de arie 119889119860 acționează tensiunile
120590119909 tensiunea normală
120591119909119910 și 120591119909119911 tensiuni tangențiale
Dacă se icircnsumează forțele elementare de tipul 120590119909 ∙ 119889119860 120591119909119910 ∙ 119889119860 și 120591119909119911 ∙ 119889119860
va trebui să obținem eforturile 119873 119879119910 și 119879119911
Fig 311 Element de suprafață mic din secțiunea unei bare
Dacă eforturile sunt privite ca forțe exterioare și se scriu ecuațiile de
echilibru ale secțiunii (119860) se vor obține șase relații de echivalență icircntre eforturi și
tensiuni
(sum119883) = 0 rArr int 120590119909 ∙ 119889119860
119860
= 119873 (317)
(sum119884) = 0 rArr int 120591119909119910 ∙ 119889119860
119860
= 119879119910 (318)
(sum119885) = 0 rArr int 120591119909119911 ∙ 119889119860
119860
= 119879119911 (319)
(sum119872)119909= 0 rArr int(120591119909119911 ∙ 119889119860) ∙ 119910
119860
minus int(120591119909119910 ∙ 119889119860) ∙ 119911
119860
= 119872119909 rArr
rArr int(119910 ∙ 120591119909119911 minus 119911 ∙ 120591119909119910) ∙ 119889119860
119860
= 119872119909
(320)
(sum119872)119910= 0 rArr int(120590119909 ∙ 119889119860) ∙ 119911
119860
= 119872119894119910 (321)
(sum119872)119911= 0 rArr int(120590119909 ∙ 119889119860) ∙ 119910
119860
= 119872119894119911 (322)
Cele șase relații de echivalență icircntre eforturi și tensiuni constituie un pas icircnainte
icircn rezolvarea unei probleme de rezistența materialelor Aceste relații vor permite
determinarea tensiunilor maxime
Pentru a rezolva cele 6 relații de echivalență trebuie să se cunoască tensiunile și
ca funcții de punct adică funcții de forma
120590119909 = 120590119909(119909 119910 119911) 120591119909119910 = 120591119909119910(119909 119910 119911) 120591119909119911 = 120591119909119911(119909 119910 119911) (32
3)
Cunoașterea acestor funcții presupune icircnsă analizarea aspectului geometric al
problemei precum și utilizarea unor ipoteze simplificatoare care să permită simplificarea
problemelor
34 Ipoteze de bază icircn rezistenţa materialelor
Depășirea dificultăților legate de interpretarea unor fenomene specifice mecanicii
solidului deformabil a impus acceptarea unor ipoteze care să simplifice fenomenele și să
contribuie la elaborarea unor modele de calcul cicirct mai generale și cacirct mai simple Aceste
ipoteze se referă la structura materialelor şi la comportarea lor sub acţiunea forţelor
exterioare Ipotezele acceptate trebuie să fie icircn deplină concordanţă cu realitatea și să
conducă la rezultate verificate icircn practică
Funcție de aspectele la care se referă ipotezele pot fi
Ipoteze fizice (de material)
Ipoteze de calcul
341 Ipoteze fizice
Se acceptă deoarece teoriile structurale au condus la rezultate care contravin
icircncercărilor experimentale
Ipoteza mediului continuu consideră că orice domeniu elementar al corpului
este ocupat de materie adică nu se acceptă existența unor goluri sau a unor crăpături
microscopice (fisuri) Deși nu corespunde realităţii poate fi acceptată deoarece
dimensiunile corpului sunt mult mai mari decacirct dimensiunile particulelor elemantare Are
avantajul că permite utilizarea proprietăților matematice ale funcțiilor continue pentru
tensiunile și deformațiile din orice punct al corpului Ea este mai apropiată de realitate la
corpurile amorfe şi mai depărtată la cele cristaline dar conduce la rezultate satisfăcătoare
icircn calculele de rezistenţă
Ipoteza nu se poate aplica la corpurile care au goluri tăieturi (multiplu conexe)
pentru unele puncte singulare icircn care tensiunile și deformațiile tind la infinit sau icircn unele
probleme de plasticitate icircn care proprietățile de material au un rol esențial
Ipoteza izotropiei conform acestei ipoteze materialul din care este confecționat
un element de rezistență are aceleași proprietăți după orice direcție un astfel de material
este considerat izotrop Din punct de vedere macroscopic metalele pot fi considerate
izotrope deși la nivel microscopic proprietățile lor diferă de la o direcție cristalografică
la alta Orice conglomerat de cristale poate fi considerat izotrop
Există cazuri cacircnd această ipoteză a izotropiei nu se acceptă
la metalele puternic deformate după o direcție (prin laminare trefilare)
la piesele confecționate din lemn lemnul este anizotrop deoarece proprietățile sale
diferă după două direcții (icircn lungul fibrelor și perpendicular pe această direcție)
Ipoteza omogenității consideră că un corp are aceleași proprietăți icircn orice
punct al său Deși majoritatea materialelor utilizate icircn tehnică sunt eterogene la scară
micro fiind constituite din mai multe faze cu proprietăți diferite la scară macro ele pot
fi considerate omogene Omogenitatea și izotropia sunt proprietăți statistice medii care
nu se condiționează una pe cealaltă Chiar și materialele monofazice pot avea la scară
micro unele segregații care le fac eterogene
Ipoteza elasticităţii perfecte presupune că atacircta timp cacirct solicitările nu
depăşesc anumite limite materialul are o comportare elastică adică icircşi recapătă forma şi
dimensiunile iniţiale odată cu icircnlăturarea sarcinilor Icircn realitate materialele nu prezintă o
elasticitate perfectă ele avacircnd deformaţii remanente mici care icircnsă pot fi neglijate icircn
calculele de rezistenţă
Acceptarea acestei ipoteze a elasticității perfecte permite
- aplicarea relației biunivoce icircntre tensiuni și deformații relație exprimată de legea
lui Hooke ( = 119864 ∙ 휀) unde E este un factor de proporţionalitate numit modul de
elasticitate longitudinal al materialului pentru oţel 119864 = 21 ∙ 105 [119872119875119886] - acceptarea valabilității afirmației bdquolucrul mecanic efectuat de forțele exterioare
ca urmare a parcurgerii deplasărilor punctelor de aplicație se icircnmagazinează integral icircn
corp sub formă de energie de deformație energie cedată la icircndepărtarea sarcinilorrdquo
- este valabilă teoria conform căreia bdquoenergia icircnmagazinată și deformațiile depind
doar de starea inițială și finală de eforturi fără a ține cont de modul icircn care s-a ajuns la
starea finalărdquo
Icircn realitate oricacirct de mici ar fi sarcinile aplicate se produc și deformații plastice
dar acestea pot fi neglijate dacă solicitarea nu depășește anumite limite
342 Ipoteze de calcul
Ipoteza micilor deplasări bdquodeplasările datorate deformării sunt mult mai mici
decacirct dimensiunile corpurilor și ca urmare pot fi neglijate produsele dintre o deplasare și
ea icircnsăşirdquo Pentru cele mai multe corpuri deformaţiile elastice sunt de mărimi mici deci
corpurile solide sub acţiunea sarcinilor icircşi modifică foarte puţin forma iniţială Această
ipoteză este cunoscută şi sub denumirea de ipoteza menţinerii dimensiunilor iniţiale Ea
permite scrierea ecuaţiilor de echilibru ale staticii pe starea nedeformată a elementului
cacircnd nu se iau icircn considerare deplasările punctelor de aplicaţie ale forţelor care se produc
ca urmare a deformării acestuia Calculul efectuat pe schema nedeformată poartă numele
de calcul de ordinul I
Ipoteza micilor deplasări nu poate fi acceptată pentru studiul problemelor de
stabilitate sau la problemele la care nu pot fi icircndeplinite condiţiile de echilibru icircn starea
nedeformată
Calculul de ordinul II admite ipoteza micilor deplasări dar ecuaţiile de echilibru
se scriu icircnsă pentru starea deformată a elementului de rezistenţă
Calculul de ordinul III nu mai acceptă ipoteza micilor deplasări el referindu-se
la cazul deformaţiilor mari cacircnd ecuaţiile de echilibru trebuie scrise pentru starea
deformată
Chiar dacă materialul satisface legea lui Hooke icircn urma calculelor de ordinul II
se obţin de obicei relaţii neliniare icircntre sarcini şi deplasări iar pentru calculul de ordinul
III rezultă ecuaţii diferenţiale neliniare
Principiul efectului local al acțiunii sarcinilor enunțat de Barre de Saint-
Venant Acest principiu destul de folosit icircn Rezistenţa Materialelor precizează că dacă
se icircnlocuiesc forţele care acţionează asupra unui element de suprafață al unui corp
elastic printr-un alt sistem de forţe echivalent din punct de vedere static cu primul noua
distribuţie a forţelor produce la locul de aplicare diferenţe semnificative faţă de prima
dar rămacircne fără efect sau cu efect neglijabil la distanţe mari de locul de aplicare al
forţelor figura 312
Ca o cosecință o sarcină uniform distribuită figura 312a poate fi icircnlocuită cu
rezultanta ei figura 312b dacă se analizează efectul sarcinii la distanță mare de locul icircn
care se aplică sarcina
Fig 312 Principiul Saint-Venant
Icircn prima variantă figura 312a forţa 119865 se aplică pe o porțiune oarecare 119897 (sarcină
uniform distribuită) iar icircn a doua figura 312b icircntru-un punct (forţă concentrată) La
locul de aplicare a sarcinii efectul asupra barei este cu totul diferit de la o variantă la
cealaltă Icircnsă la o distanţă mare de punctul de aplicaţie spre exemplu icircn secţiunea situată
la distanţa 119886 de capătul barei sau chiar icircn icircncastrare ambele bare sunt solicitate la fel
Icircn cazul din figura 312a
119872119894(119909) =119901 ∙ 1199092
2 119909 le 119897 119872119894(119909) = 119901 ∙ 119897 ∙ (119909 minus
119897
2) 119909 gt 119897 (324)
Icircn cazul din figura 312b
119872119894(119909) = 0 119909 lt119897
2 119872119894(119909) = 119901 ∙ 119897 ∙ (119909 minus
119897
2) 119909 gt
119897
2 (325)
Se vede că pentru (119909 gt 119897) adică după depășirea locului icircn care se aplică sarcina
efectul este același
Ipoteza lui Bernoulli sau ipoteza secţiunilor plane precizează că o secţiune
plană şi normală pe axa barei icircnainte de deformare rămacircne plană şi normală pe axa
barei şi după deformare figura 313
Fig 313 Ipoteza lui Bernoulli
Ipoteza stării naturale a corpului sau ipoteza absenţei tensiunilor conform
căreia pentru un corp nesolicitat starea de tensiune şi deformaţie este nulă
Perfecţionarea mijloacelor de calcul şi de investigare pot conduce la renunţarea la
unele ipoteze sau la introducerea altora noi mai aproape de stările reale De aici rezultă
caracterul de continuă perfecţionare a metodelor Rezistenţei Materialelor
35 Coeficienţi de siguranţă Tensiuni admisibile
O piesă corespunde din punct de vedere tehnic dacă tensiunile care iau naştere icircn
interiorul piesei datorită sarcinilor aplicate nu depăşesc anumite valori limită stabilite
convenţional Aceste valori limită ale tensiunii sunt corelate cu caracteristicile mecanice
ale materialelor
Tensiunea limită utilizată icircn calculele de rezistenţă este cunoscută sub denumirea
de tensiune admisibilă sau rezistenţă admisibilă Rezistenţa admisibilă reprezintă
valoarea convenţională aleasă icircn calcul pe baza practicii pentru tensiunea maximă care
poate apare icircntr-o piesă icircn condiţii date de material şi solicitare
Rezistenţa admisibilă (120590119886 sau 120591119886) poate fi definită faţă de o stare limită
periculoasă stare care trebuie evitată deoarece poate conduce distrugere
120590119886 =120590119897119894119898119888
(326)
unde
120590119897119894119898 este tensiunea corespunzătoare stării limită periculoase
119888 estesupraunitar 119888 gt 1 și reprezintă coeficientul de siguranţă faţă de starea limită
periculoasă considerată
Alegerea unor valori inferioare pentru rezistenţa admisibilă faţă de tensiunea
corespunzătoare stării limită periculoase este necesară deoarece
cunoaşterea sarcinilor este de cele mai multe ori aproximativă şi o depăşire a
acestora este foarte posibilă
caracteristicile mecanice ale materialelor variază icircn limite destul de mari ele
fiind influenţate de mulţi factori
schema aleasă pentru calcul (aplicarea sarcinilor schematizarea structurii
ipotezele de calcul etc) depărtează modelul faţă de cel real
Pentru calculele de verificare tensiunea efectivă maximă din elementul de
rezistenţă trebuie să fie mai mică sau cel mult egală cu cea admisibilă
120590119890119891119898119886119909 le 120590119886 (327)
Valoarea rezistenţei admisibile este influenţată de foarte mulţi factori natura
materialului tratamentele termice aplicate piesei durata de funcţionare a piesei modul
de acţionare icircn timp a sarcinilor felul solicitării temperatura gradul de periculozitate
icircn cazul cedării piesei etc
De asemenea valoarea coeficientului de siguranţă se alege icircn principal ţinacircnd
seama de aceiaşi factori care influenţează şi rezistenţa admisibilă
Rezistenţele admisibile pentru cacircteva materiale sunt următoarele
pentru oțelul de uz general OL37 solicitat la icircntindere compresiune sau
icircncovoiere 120590119886 = 150 [119872119875119886] pentru lemnul de brad solicitat la
- compresiune icircn lungul fibrelor şi solicitat la icircncovoiere 120590119886 = 10 [119872119875119886] - tracţiune icircn lungul fibrelor 120590119886 = 7 [119872119875119886] - compresiune perpendiculară pe fibre 120590119886 = 15 [119872119875119886] - forfecare icircn lungul fibrelor 120591119886 = 2 [119872119875119886] - forfecare perpendiculară pe fibre 120590119886 = 45 [119872119875119886]
terenuri de fundaţie din pămacircnt uscat sau umed 120590119886 = 020 divide 025 [119872119875119886]
4 CARACTERISTICI GEOMETRICE ALE SECȚIUNILOR PLANE
41 Noţiuni introductive
Icircn relaţiile de calcul ale tensiunilor şi deformaţiilor elementelor de rezistenţă
pentru unele solicitări (icircncovoierea și torsiunea) secțiunile plane intervin atacirct prin
dimensiunile lor (aria 119860) cicirct și prin forma și poziția pe care o are secțiunea icircn raport cu
planul solicitării Mărimile care caracterizează o secțiune icircn raport cu forma și poziția față
de axele unui sistem de referință sunt denumite caracteristici geometrice de ordin
superior Aria secțiunii este caracteristica geometrică ce depinde doar de dimensiunile
geometrice ale acesteia
Să considerăm o grindă solicitată de o forță exterioară 119865 aşezată icircn două poziții icircn
raport cu planul forţei figura 41 Icircn urma aplicării forței deși avem aceeași grindă
(aceeași arie a secțiunii transversale) și aceeași forță se constată că pentru varianta din
figura 41a deformațiile sunt mult mai mari adică rezistența la icircncovoiere a grinzii din
figura 41a este mai mare decacirct icircn cazul grinzii din figura 41b Comportarea diferită se
explică prin aceea că modificarea poziţiei secţiunii transversale faţă de planul forţelor
modifică caracteristicile geometrice ale secţiunii transversale a grinzii
Fig 41 Grindă solicitată de forța 119865
Pentru realizarea calculelor de rezistenţă şi rigiditate este foarte importantă
cunoaşterea caracteristicilor geometrice ale suprafeţei secţiunii transversale a elementelor
de rezistenţă
Caracteristicile geometrice ale secţiunii transversale a unui element de rezistenţă
sunt
- aria secțiunii notată cu 119860
- momentul static icircn raport cu o axă notat 119878119911 și respectiv 119878119910
- momentul de inerție care poate fi
axial notat 119868119911 și respectiv 119868119910
centrifugal notat 119868119911119910
polar notat 119868119901
- raza de inerţie (giraţie)notată 119894119911 și respectiv 119894119910
- modulul de rezistență care poate fi
axial notat 119882119911 și respectiv 119882119910
polar notat 119882119901
42 Aria și momentul static al suprafețelor plane
Fie o suprafaţă plană de arie 119860 pe care se ia un element infinit mic de arie 119889119860 şi
un sistem de axe rectangulare 119911119874119910 figura 42 Notăm cu 119862 centrul de greutate al suprafeţei
119860 Poziţia suprafeţei elementare 119889119860 faţă de acelaşi sistem de coordonate 119911119874119910 este dată
de abscisa 119911 ordonata 119910 și raza polară
Fig 42 Suprafață plană de arie 119860
Aria suprafeţei 119860 figura 42 se defineşte ca fiind
119860 ≝ int 119889119860
119860
(41)
Aria suprafeţei este icircntotdeauna pozitivă și se măsoară icircn [1198981198982] Momentul static al suprafeţei de arie 119860 icircn raport cu axele 119874119911 și respectiv 119874119910
figura 42 sunt date de relaţiile
119878119911 ≝ int 119910 ∙ 119889119860
119860
119878119910 ≝ int 119911 ∙ 119889119860
119860
(42)
Momentul static poate fi pozitiv negativ sau nul şi se măsoară icircn [1198981198983] Coordonatele centrului de greutate ale suprafeței 119860 se detrmină cu relațiile
119910119862 ≝int 119910 ∙ 119889119860119860
119860 119911119862 ≝
int 119911 ∙ 119889119860119860
119860
(43)
Cunoscacircnd coordonatele 119910119862 și 119911119862 ale centrului de greutate 119862 al secțiunii 119860 atunci
momentele statice se pot determina cu relațiile
119878119911 ≝ int 119910 ∙ 119889119860
119860
= 119910119862 ∙ 119889119860 119878119910 ≝ int 119911 ∙ 119889119860
119860
= 119911119862 ∙ 119889119860 (44)
Aceste relații arată că momentul static al unei suprafețe icircn raport cu o axă este
egal cu produsul dintre aria suprafeței și distanța de la centrul ariei la axa respectivă
Dacă suprafaţa se poate descompune icircn 119899 suprafeţe simple la care se cunosc ariile
(1198601 1198602 ⋯ 119860119894⋯ 119860119899) și poziţiile centrelor de greutate 119862119894 faţă de sistemul de referinţă
expresiile momentelor statice capătă următoarea formă
119878119911 = sum 119910119862119894 ∙ 119860119894119899119894=1 = 119910119862 ∙ 119860 119878119910 = sum 119911119862119894 ∙ 119860119894
119899119894=1 = 119911119862 ∙ 119860 (45)
Din relaţiile (45) rezultă că poziţia centrului de greutate 119862 al unei suprafeţe
compuse poate fi determinată cu relaţiile
119910119862 = (sum119910119862119894 ∙ 119860119894
119899
119894=1
) 119860frasl 119911119862 = (sum119911119862119894 ∙ 119860119894
119899
119894=1
) 119860frasl (46)
Icircn relația (45) 119910119862119894 și respectiv 119911119862119894 reprezintă coordonatele centrelor de greutate 119862119894
ale fiecărei suprafețe simple 119860119894 icircn raport sistemul de axe 119911119874119910
Se constată (relaţia 42) că dacă axele sistemului de referinţă trec prin centrul de
greutate (119910119862 = 119911119862 = 0) momentele statice sunt nule Axele icircn raport cu care momentele
statice sunt nule şi care trec prin centrul de greutate al suprafeţei se numesc axe centrale
Observație dacă secțiunea compusă are o axă de simetrie centrul secțiunii se
găsește pe acea axă iar dacă secțiunea este dublu simetrică poziția centrului secțiunii este
la intersecția axelor de simetrie
43 Momente de inerţie
Momentele de inerţie axiale ale unei suprafețe se calculează icircn raport cu axele de
coordonate 119874119911 și respectiv 119874119910 figura 42 și se determină cu relațiile
119868119911 ≝ int 1199102 ∙ 119889119860
119860
119868119910 ≝ int 1199112 ∙ 119889119860
119860
(47)
Unde 119910 și 119911 sunt distanțele de la elementul de arie 119889119860 la cele două axe de
coordonate 119874119911 și respectiv 119874119910
Momentele de inerţie axiale se măsoară icircn [1198981198984] şi sunt icircntotdeauna pozitive (aria
119889119860 este icircntotdeauna pozitivă și este multiplicată cu patratul distanței 1199102 dacă 119868119911 sau 119868119910
sunt nule icircnseamnă ca secțiunea nu există)
Momentele de inerție axiale se calculează icircndeosebi pentru axele centrale (care
trec prin centrul secțiunii) deoarece icircn raport cu acele axe 119868119911 și 119868119910 au valori minime
Momentul de inerţie centrifugal calculat faţă ambele axe ale sistemului de
referinţă 119911119874119910 este definit de relația
119868119911119910 ≝ int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860
(48)
Momentul de inerţie centrifugal se măsoară icircn [1198981198984] şi poate fi pozitiv negativ
sau nul
Momentul de ineție centrifugal este nul 119868119911119910 = 0 dacă cel puțin una din axele 119874119911
sau 119874119910 este axă de simetrie pentru secțiune
Se consideră o suprafaţă dreptunghiulară pe care faţă de axa de simetrie 119874119910 se iau
două suprafeţe elementare de arie 119889119860 simetrice faţă de axa 119874119910 figura 43
Fig 43 Suprafață dreptunghiulară cu două arii elementare 119889119860
Făcacircnd suma momentelor de inerţie centrifugale pentru cele două suprafeţe
elementare 119889119860 (din stacircnga şi din dreapta faţă de axa 119874119910) se obţine
int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860119889119903
+ int (minus119911) ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860119904119905119892
= int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860119889119903
minus int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860119904119905119892
= 0 (49)
Acelaşi raţionament se poate face și pentru icircntreaga suprafaţă de unde obținem că
momentul de inerție centrifugal este nul 119868119911119910 = 0 Deci pentru o suprafaţă plană care
are cel puţin o axă de simetrie momentul de inerţie centrifugal faţă de sistemul care
conţine acea axă de simetrie este nul
Momentul de inerţie polar al unei suprafeţei icircn raport cu un punct (pol) 119874 figura
42 este definit prin relaţia
1198680 = 119868119901 ≝ int 1205882 ∙ 119889119860
119860
= int(1199102 + 1199112) ∙ 119889119860
119860
= 119868119911 + 119868119910 (410)
unde este distanţa de la polul 119874 la elementul de arie 119889119860 Momentul de inerţie polar se
măsoară icircn [1198981198984] şi este totdeauna pozitiv
Momentul de inerţie polar este egal cu suma momentelor de inerţie faţă de două axe
perpendiculare oarecare şi care trec prin polul considerat
Razele de giraţie sau razele de inerţie sunt mărimi calculate icircn raport cu axele
secțiunii și definite de relaţiile
119894119911 ≝ radic119868119911119860 119894119910 = radic
119868119910
119860 (411)
Se exprimă icircn [119898119898] şi sunt icircntotdeauna pozitive Semnificația unei raze de inerție
este distanța la care dacă ar fi concentrată icircntreaga arie s-ar obține același moment de
inerție ca și cel calculat pentru aria reală
44 Modulul de rezistenţă
Modulul de rezistență se calculează icircn raport cu axele de referință sau icircn raport cu
un pol figura 42 și pot fi axiale (119882119911119882119910) sau polar (119882119901) și se determină numai pe baza
momentelor de inerţie cu relațiile figura 43
119882119911119898119894119899 ≝119868119911119910119898119886119909
119882119911119898119886119909 ≝119868119911119910119898119894119899
(412)
119882119910119898119894119899 ≝119868119910
119911119898119886119909 119882119910119898119886119909 ≝
119868119910
119911119898119894119899 (413)
119882119901 ≝119868119901
120588119898119886119909 (414)
unde
119910119898119886119909 119910119898119894119899 reprezintă distanţa de la axa 119874119911 la punctele extreme cele mai
depărtate respectiv cele mai apropiate ale suprafeţei de această axă
119911119898119886119909 119911119898119894119899 reprezintă distanţa de la axa 119874119910 la punctele extreme cele mai
depărtate respectiv cele mai apropiate ale suprafeţei de această axă
120588119898119886119909 reprezintă distanța maximă de la polul 119874 la punctul secțiunii cel mai
icircndepărtat de acesta
Fig 43 Suprafață dreptunghiulară cu două arii elementare 119889119860
Modulele de rezistenţă se exprimă icircn [1198981198983] şi sunt icircntotdeauna pozitive
Explicația este aceea că momentele de inerție care intră icircn relațiile de definiție sunt
pozitive iar distanțele la punctele extreme sunt pozitive (119910119898119886119909 119910119898119894119899 119911119898119886119909 119911119898119894119899 120588119898119886119909 se
iau icircn valoare absolută)
Icircn cazul suprafeţelor compuse modulul de rezistenţă nu se obţine prin icircnsumarea
algebrică a modulelor de rezistenţă ale suprafeţelor simple componente ci numai prin
intermediul momentului de inerţie axial calculat pentru icircntreaga secțiune
Ca și momentele de inerție modulele de rezistență se calculează numai pentru
sistemele de axe centrale
45 Momente de inerţie şi module de rezistenţă pentru suprafeţe simple
451 Secțiune dreptunghiulară
Fie suprafaţa dreptunghiulară din figura 44 de icircnălțime ℎ și lățime 119887 pe care se
consideră suprafaţă elementară de arie 119889119860 = 119887119889119910 la distanța 119910 de axa 119862119911 sistemul de
axe 119911119862119910 trece prin centrul secțiunii iar axele sunt axe de simetrie pentru dreptunghi
Fig 44 Suprafață dreptunghiulară
Pe baza relațiilor de definiți a momentului de inerție 119868119911 se obține
119868119911 ≝ int 1199102 ∙ 119889119860
119860
= int 1199102 ∙ 119887 ∙ 119889119910 = 2int 1199102 ∙ 119887 ∙ 119889119910 = 2 ∙ 119887 ∙1199103
3|ℎ 2frasl
0rArr
ℎ 2frasl
0
ℎ 2frasl
minusℎ 2frasl
rArr 119868119911 =119887 ∙ ℎ3
12
(415)
Analog pentru un element de arie 119889119860 = ℎ ∙ 119889119911 paralel cu axa 119862119910 situat la distanța
119911 de axa 119862119910
119868119910 ≝ int 1199112 ∙ 119889119860
119860
= int 1199112 ∙ ℎ ∙ 119889119911 = 2int 1199112 ∙ ℎ ∙ 119889119910 = 2 ∙ ℎ ∙1199113
3|119887 2frasl
0rArr
119887 2frasl
0
119887 2frasl
minus119887 2frasl
rArr 119868119910 =1198873 ∙ ℎ
12
(416)
Deoarece axele 119862119911 și 119862119910 sunt axe de simetrie momentul de inerție centrifugal este
119868119911119910 = 0 (417)
Pentru un pătrat avacircnd laturile egale (ℎ = 119887 = 119886) momentele de inerţie faţă de
axele centrale au expresia
119868119911 = 119868119910 =1198864
12 (418)
Modulele de rezistență axiale se calculează cu relațiile de definiție ținacircnd cont că
distanțele pacircnă la fibrele extreme sunt
119910119898119886119909 = 119910119898119894119899 =ℎ
2 119911119898119886119909 = 119911119898119894119899 =
119887
2 (419)
Obținem
119882119911119898119894119899 = 119882119911119898119886119909 =119868119911
119910119898119886119909119898119894119899=119887 ∙ ℎ3
12frasl
ℎ2frasl
=119887 ∙ ℎ2
6
119882119910119898119894119899 = 119882119910119898119886119909 =119868119910
119911119898119886119909119898119894119899=1198873 ∙ ℎ
12frasl
1198872frasl
=1198872 ∙ ℎ
6
(420)
452 Suprafaţă circulară
Din motive de simetrie pentru suprafeţele circulare momentele de inerţie faţă de
orice diametru (care reprezintă şi axe centrale) sunt aceleaşi
Considerăm o secțiune circulară plină cu diametrul 119889 și centrul de greutate 119862 Prin
centrul de greutate 119862 trece sistemul de axe ortogonal 119911119862119910 figura 45
Fig 45 Suprafață circulară
La distanța de centrul de greutate 119862 vom lua un element de suprafață mic de arie
(119889119860) de forma unui inel de grosime 119889 Elementul de arie 119889119860 are expresia
119889119860 = (2 ∙ 120587 ∙ 120588) ∙ (119889120588)
Pornind de la relația de definiție a momentului de inerție polar obținem
119868119901 ≝ int 1205882 ∙ 119889119860
119860
= int 1205882 ∙ (2 ∙ 120587 ∙ 120588) ∙ 119889120588
119903=119889 2frasl
0
= 2 ∙ 120587 ∙1205884
4|119889 2frasl0 rArr
rArr 119868119901 =120587 ∙ 1198894
32
(421)
Secțiunea este perfect simetrică deci sunt valabile relațiile
119868119911 = 119868119910 rArr 119868119901 = 119868119911 + 119868119910 = 2 ∙ 119868119911 = 2 ∙ 119868119910 =119868119901
2=120587 ∙ 1198894
64 (422)
Și modulele de rezistenţă faţă de orice diametru sunt egale şi se calculează cu
relaţiile
119882119911 = 119882119910 =1198681199111198892frasl=120587 ∙ 1198893
32 (423)
Modulul de rezistenţă polar este
119882119901 =1198681199011198892frasl=120587 ∙ 1198893
16 (424)
453 Secţiune inelară
Calculul momentelor de inerţie axiale pentru o secţiune inelară avacircnd diametrul
interior 119889 şi diametrul exterior 119863 se determină analog pentru suprafaţa circulară plină cu
observaţia că integrala pentru calculul momentului de inerție polar 119868119901 se face icircntre
limitele 119903 = 119889 2frasl şi R= 1198632frasl (icircntre raza interioară 119903 şi raza exterioară 119877) figura 46
Se obţin relaţiile
119868119901 =120587 ∙ 1198634
32∙ [1 minus (
119889
119863)4
] =120587 ∙ 1198634
32∙ (1 minus 1198964) (425)
119868119910 = 119868119910 =120587 ∙ 1198634
64∙ [1 minus (
119889
119863)4
] =120587 ∙ 1198633
64∙ (1 minus 1198964) (426)
Fig 46 Secțiune inelară
119882119901 =120587 ∙ 1198633
16∙ [1 minus (
119889
119863)4
] =120587 ∙ 1198633
16∙ (1 minus 1198964) (427)
119882119911 = 119882119910 =120587 ∙ 1198633
32∙ [1 minus (
119889
119863)4
] =120587 ∙ 1198633
32∙ (1 minus 1198964) (428)
unde 119896 = 119889119863frasl
46 Variaţia momentelor de inerţie faţă de axe paralele
( Relațiile lui STEINER)
Se consideră o suprafaţă oarecare de arie 119860 cu elementul de arie 119889119860 și un sistemul
de axe central 119911119862119910 faţă de care se cunosc momentele de inerţie 119868119911 119868119910 119868119911119910 şi considerăm
un sistem de axe 11991111198741199101 paralele cu sistemul central figura 47 Se pune problema
determinării momentele de inerţie 1198681199111 1198681199101 11986811991111199101 faţă de sistemul de axe paralel cu sistemul
central 11991111198741199101 axe aflate la distanţele 119910119862 = 119888 respectiv 119911119862 = 119889 de acesta
461 Momente de inerţie axiale
Pe baza relaţiilor de definire şi a notaţiilor din figura 42 pentru momentele de
inerţie faţă de axele 1198741199111 1198741199101 se poate scrie
1198681199111 = int 11991012 ∙ 119889119860
119860
= int(119910 + 119888)2 ∙ 119889119860
119860
= int 1199102 ∙ 119889119860
119860
+ 2 ∙ 119888 ∙ int 119910 ∙ 119889119860
119860
+
+1198882int 119889119860
119860
rArr 1198681199111 = 119868119911 + 2 ∙ 119888 ∙ 119878119911 + 1198882 ∙ 119860 hArr 1198681199111 = 119868119911 + 119888
2 ∙ 119860
(429)
Fig 47 Variaţia momentelor de inerţie față de axe paralele
S-a ajuns la relația (429) deoarece momentul static 119878119911 este nul deoarece axa 119862119885
este axă centrală
Pentru momentul de inerție axial icircn raport cu axa 1198741199101 se obține
1198681199101 = int 11991112 ∙ 119889119860
119860
= int(119911 + 119889)2 ∙ 119889119860
119860
= int 1199112 ∙ 119889119860
119860
+ 2 ∙ 119889 ∙ int 119911 ∙ 119889119860
119860
+
+1198892 ∙ int 119889119860
119860
rArr 1198681199101 = 119868119910 + 2 ∙ 119889 ∙ 119878119910 + 1198892 ∙ 119860 hArr 1198681199101 = 119868119910 + 119889
2 ∙ 119860
(430)
Pentru momentul de inerție centrifugal obținem
11986811991111199101 = int 1199101 ∙ 1199111 ∙ 119889119860
119860
= int(119910 + 119888) ∙ (119911 + 119889) ∙ 119889119860
119860
= int 119910 ∙ 119911 ∙ 119889119860 +
119860
+119888 ∙ int 119911 ∙ 119889119860
119860
+ 119889 ∙ int 119910 ∙ 119889119860
119860
rArr 11986811991111199101 = 119868119911119910 + 119888 ∙ 119889 ∙ 119860
(431)
Deoarece
int 119911 ∙ 119889119860
119860
= 119878119910 = 0 int 119910 ∙ 119889119860
119860
= 119878119911 = 0 int 119910 ∙ 119911 ∙ 119889119860
119860
= 119868119911119910
Relaţiile (429) şi (430) arată că momentul de inerţie faţă de o axă oarecare
este egal cu momentul de inerţie faţă de o axă paralelă cu ea trecacircnd prin centrul de
greutate la care se adaugă produsul dintre aria suprafeţei şi pătratul distanţei dintre
cele două axe
Din relaţiile (429) și (430) rezultă de asemenea că momentul de inerţie faţă de o
axă centrală (care trece prin centrul de greutate) este cel mai mic dintre infinitatea de
momente de inerţie obținute faţă de alte axe paralele cu ea
Relaţia (431) arată de asemenea că momentul de inerţie centrifugal faţă de un
sistem de axe oarecare este egal cu momentul de inerţie centrifugal faţă de un sistem
paralele cu el trecacircnd prin centrul de greutate a suprafeţei la care se adaugă produsul
dintre aria suprafeţei şi distanţele dintre axele sistemelor respective
Icircn literatura de specialitate relaţiile (429) (430) şi (431) sunt cunoscute sub
numele de relaţiile lui Steiner
47 Variaţia momentrlor de inerţie faţă de axe rotite
Direcţii principale şi momente de inerţie principale
Fie suprafaţa plană din figura 48 de arie 119860 pe care considerăm o suprafaţă
elementară de arie 119889119860 Pentru sistemul de axe 119911119874119910 se cunosc momentele de inerţie
119868119911 119868119910 119868119911119910 şi vom determina relaţiile de calcul pentru momentele de inerţie afererent unui
sistem de axe 11991111198741199101 rotit cu un unghi faţă de sistemul central
Faţă de sistemul de axe 11991111198741199101 elementul de arie 119889119860 are coordonatele
1199101 = 119875119877 = 119875119876 minus 119877119876 = 119910 ∙ cos 120572 minus 119911 ∙ sin 120572
1199111 = 119873119872 = 119873119875 minus 119875119872 = 119911 ∙ cos 120572 + 119910 ∙ sin 120572 (432)
Fig 47 Variaţia momentelor de inerţie față de axe rotite
Pe baza relaţiilor de calcul ale momentelor de inerţie şi a notaţiilor din figura 42
şi ale relaţiilor (432) momentele de inerţie faţă de sistemul de axe rotit 11991111198741199101 sunt
1198681199111 =119868119911 + 119868119910
2+119868119911 minus 119868119910
2∙ cos 2120572 minus 119868119911119910 ∙ sin 2120572 (433)
1198681199101 =119868119911 + 119868119910
2minus119868119911 minus 119868119910
2∙ cos 2120572 + 119868119911119910 ∙ sin 2120572 (434)
11986811991111199101 =119868119911 minus 119868119910
2∙ sin 2120572 + 119868119911119910 ∙ cos 2120572 (435)
Din relaţiile 433divide435 se observă că icircntre momentele de inerţie axiale şi cele
polare există relaţia
1198681199111 + 1198681199101 = 119868119911 + 119868119910 = 119868119901 (436)
adică suma momentelor de inerţie axiale icircn raport cu orice pereche de axe ortogonale
care trec printr-un pol dat este o constantă şi egală cu momentul de inerţie polar
Prin rotirea sistemului de axe din relaţiile 433divide435 rezultă că momentele de inerţie
variază icircnsă suma lor rămacircne constantă deci există o poziţie a sistemului de axe pentru
care momentele de inerţie au valori extreme maxim respectiv minim
471 Direcţii principale de inerţie
Valoarea unghiului 120572 pentru care momentele de inerţie axiale au valori extreme
este
1205721 =1
2∙ 119886119903119888119905119886119899 (minus
2 ∙ 119868119911119910
119868119911 minus 119868119910) (437)
Poziţia celeilalte direcţii este perpendiculară pe cea dată de unghiul 1205721
Din relaţia (437) se constată că faţă de aceste direcţii rotite pentru care momentele
de inerţie axiale prezintă valori extreme momentul de inerţie centrifugal 11986811991111199101este nul
Atunci se poate afirma că momentele de inerţie axiale au valori extreme icircn raport cu
direcţiile faţă de care momentul de inerţie centrifugal este nul Aceste direcţii se numesc
direcţii principale iar momentele de inerţie faţă de aceste direcţii poartă numele de
momente de inerţie principale
Icircn calculele de rezistenţă interesează icircn mod special poziţia direcţiilor principale
care trec prin centrul de greutate al suprafeţei aşa numitele direcţii principale centrale şi
evident momentele de inerţie principale centrale
Direcţiile principale de inerţie se notează cu 1 respectiv 2 Axa principală 1
corespunde direcţiei faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea maximă iar
axa principală 2 pentru direcţia faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea
minimă
472 Momente de inerţie principale
Momentele de inerţie principale se notează cu litera 119868 la care se pune indicele 1
sau 2 după cum valoarea acestuia este maximă sau minimă deci avem un moment de
inerţie principal 1 (notat 1198681) respectiv moment de inerţie principal 2 (notat 1198682)
Expresiile pentru momentele de inerţie principale sunt
11986812 =119868119911 + 119868119910
2plusmn1
2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)
2+ 4 ∙ (119868119911119910)
2 (438)
Dacă momentul de inerţie centrifugal este negativ (119868119911119910 lt 0) direcţia principală
care trece prin primul cadran (definit de sistemul 119911119862119910) este direcţia principală 120783
Pentru suprafeţele cu cel puţin o axă de simetrie direcţiile centrale 119862119911 119862119910 sunt şi
direcții principale de inerţie și evident momentele de inerţie axiale 119868119911 119868119910 sunt momente
de inerţie principale
48 Caracteristici mecanice ale metalelor
Alegerea materialului pentru confecţionarea unei anumite piese se face şi pe baza
aşa numitelor caracteristici mecanice pe care le prezintă materialul Cunoaşterea acestor
caracteristici mecanice are loc numai pe baza unor icircncercări mecanice care să scoată icircn
evidenţă comportarea materialului icircn condiţii de solicitare
Cea mai utilizată icircncercare icircn urma căreia se pun icircn evidenţă caracteristicile
mecanice ale unui material este icircncercarea la tracţiune
481 Icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general
Icircncercarea la tracţiune a oţelului ca de altfel toate icircncercările de materiale este
standardizată
Icircn cele ce urmează se va prezenta numai partea care interesează strict din punct
de vedere al caracteristicilor mecanice ale oţelului
Epruveta de diametru iniţial 1198890 pentru icircncercarea la tracţiune are o porţiune de
lungime 1198710 numită baza de măsurare pe care se măsoară lungirea acesteia sub acţiunea
solicitării
Icircn funcţie de raportul dintre baza de măsurare 1198710 şi diametrul iniţial 1198890 epruvetele
utilizate pentru icircncercări sunt
epruvete normale (scurte) cacircnd 11987101198890 = 5
epruvete lungi cacircnd 11987101198890 = 10
Icircn timpul icircncercării la diferite valori ale forţei 119865 se măsoară lungirea bazei de
măsurare
∆119871 = 120575 = 119871 minus 1198710 (439)
unde
119871 este dimensiunea bazei de măsurare la un moment dat
Curba forţă-lungire (119865 minus ) icircnregistrată icircn urma icircncercării reprezintă curba
caracteristică la tracţiune
La icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general diagrama caracteristică care se
obţine are forma din figura 48
Curba caracteristică la tracţiune depinde de lungimea bazei de măsurare Pentru
icircnlăturarea acestui neajuns curba caracteristică se reprezintă icircn coordonate şi definite
astfel
120590 =119865
1198600 휀 =
120575
1198710 (440)
unde
1198600 este aria iniţială a secţiunii transversale a epruvetei (icircnainte de solicitare) icircn
zona bazei de măsurare
1198600 =120587 ∙ 1198890
2
4
Deoarece mărimile icircn care se reprezintă curba caracteristică la tracţiune sunt
raportate la aria iniţială a secţiunii transversale (mărimi specifice) curba poartă numele
de curbă caracteristică convenţională la tracţiune
Fig 48 Curba caracteristică convenţională la tracțiune
Pe curba caracteristică convenţională la tracţiune figura 48 se pot stabili o serie
de puncte cărora le corespund mai multe mărimi importante
Ordonata punctului A pacircnă unde curba caracteristică convenţională este linie
dreaptă se numeşte limita de proporţionalitate a materialului 120590119901(1205901) Porţiunea 119874119860 este
zona de proporţionalitate a curbei caracteristice pe acest domeniu este valabilă legea lui
Hooke care exprimă o proporţionalitate icircntre tensiune şi deformaţie specifică
120590 = 119864 ∙ 휀 (441)
unde
119864 = reprezintă panta porţiunii liniare a curbei convenționale caracteristice
la tracțiune Caracteristica de material 119864 se numeşte modul de elasticitate longitudinal
(modulul lui Young)
Ordonata punctului 119861 pacircnă unde materialul se comportă perfect elastic adică
după descărcare icircşi recapătă dimensiunea iniţială 1198710 se numeşte limita de elasticitate
120590119890(119877119890) Icircn realitate nici un material nu are comportare perfect elastică sub acţiunea
solicitărilor el capătă deformaţii permanente (remanente plastice)
După punctul 119861 urmează o porţiune 119861119862119863 icircn care cu toate că icircncărcarea
continuă forţa nu mai creşte avacircnd mici oscilaţii icircn jurul unei valori Se spune că icircn
această porţiune materialul curge iar intervalul 119861119862119863 este un palier de curgere Tensiunea
corespunzătoare palierului de curgere se numeşte limită de curgere aparentă 120590119888(119877119888) Limita de curgere aparentă se calculează cu relaţia
120590119888 =1198651198881198600 (442)
unde
119865119888 reprezintă valoarea forţei icircnregistrată icircn momentul curgerii materialului
După punctul 119863 curba caracteristică are un traseu ascendent pacircnă icircn punctul 119864
Porţiunea 119863119864 este numită zonă de icircntărire (ecruisare) Icircn zona de ecruisare unde se
produc deformaţii plastice semnificative legea lui Hooke nu mai este valabilă La
descărcare relaţia dintre tensiunea şi deformaţia specifică este liniară paralelă cu
porţiunea liniară a curbei caracteristice (dreapta 119872119873)
Deformaţia totală (휀119905) are două componente una elastică (휀119890) şi una plastică (휀119901)
Ordonata punctului 119864 reprezintă rezistenţa de rupere 120590119903(119877119898) a materialului
care se poate calcula cu relaţia
120590119903 = 119877119898 =1198651198981198861199091198600
(443)
unde
119865119898119886119909 reprezintă valoarea maximă a forţei icircnregistrată icircn timpul icircncercării
La atingerea valorii 119865119898119886119909 (punctul 119864) icircntr-un anumit loc al epruvetei secţiunea
icircncepe să se micşoreze (se produce gacirctuirea) continuacircnd pacircnă cacircnd se produce ruperea
totală (punctul 119865)
Dacă după ruperea epruvetei cele două părţi rezultate se aşează cap la cap şi se
măsoară dimensiunea bazei de măsurare 119871119906 (lungimea ultimă) se determină alungirea la
rupere sau lungirea specifică la rupere 휀119903
휀119903 =119871119906 minus 11987101198710
=∆119871
1198710=120575
1198710 (444)
De obicei alungirea se exprimă icircn procente şi se notează cu 119860119899 unde 119899 reprezintă
numărul dat de raportul 11987101198890 (epruvete normale 119899 = 5 epruvete lungi 119899 = 10)
119860119899 =119871119906 minus 11987101198710
∙ 100 [] (445)
Altă mărime care se determină la icircncercarea la tracţiune este gacirctuirea la rupere
(exprimată de obicei icircn procente) şi definită de relaţia
119885 =1198600 minus 1198601199061198600
∙ 100 [] (446)
Mărimile determinate limita de proporţionalitate modulul de elasticitate
longitudinal limita de elasticitate limita de curgere aparentă rezistenţa de rupere
alungirea la rupere şi gacirctuirea la rupere sunt cunoscute ca fiind caracteristici mecanice
ale materialului
Din curba caracteristică convenţională observăm faptul că ruperea (punctul 119865 din
figura 48 se produce la o tensiune mai mică decacirct cea corespunzătoare punctului 119864 Dacă
icircnsă forţa din timpul icircncercării s-ar raporta la aria secţiunii din momentul icircnregistrării
forţei (care este mai mică decacirct cea iniţială 1198600) s-ar obţine aşa numita curbă
caracteristică reală a materialului (traseul 1198741198601198611198621198631198651 din figura 48) La curba
caracteristică reală ruperea se produce icircn punctul 1198651 la o icircncărcare mai mare decacirct cea
corespunzătoare punctului 119864 Icircnseamnă că rezistenţa reală la rupere este mai mare decacirct
rezistenţa la rupere dată de punctul 119864 din diagrama caracteristică convenţională
Dificultatea obţinerii diagramei caracteristice reale faţă de cea a diagramei caracteristice
convenţionale şi considerarea unei rezistenţe la rupere mai mică decacirct a celei reale face
icircn practică utilizarea pe scară mare a diagramei caracteristice convenţionale
Caracteristicile mecanice determinate pe baza curbei caracteristice convenţionale
sunt şi ele caracteristici mecanice convenţionale
Caracteristicile mecanice convenţionale limita de proporţionalitate convenţională
120590119901 limita de elasticitate convenţională 120590119890 limita de curgere convenţională 120590119888 şi rezistenţa
de rupere 120590119903 constituie tensiuni limită pentru un material Pe baza acestor caracteristici
de material se alege valoarea tensiunii admisibile 120590119886 (vezi paragraful 35) pentru
calculele de rezistenţă Cea mai utilizată stare limită pentru stabilirea tensiunii admisibile
120590119886 este limita de curgere convenţională 120590119888
120590119886 =120590119897119894119898119888
=120590119888119888 119904119886119906 120590119886 =
120590119903119888 (447)
Caracteristicile mecanice ale materialului sunt influenţate de o serie de factori
temperatura viteza de solicitare factorii tehnologici iar valorile lor sunt date icircn tabele și
diagrame
Aplicaţie Pentru suprafaţa plană compusă din două dreptunghiuri avacircnd
dimensiunile din figura 49a să se calculeze
a) centrul de greutate al secțiunii compuse 119910119866 119911119866
b) momentele de inerție axiale 119868119911 119868119910 și momentul de inerție centrifugal 119868119911119910
c) razele de inerție 119894119911 119894119910
d) modulele de rezistență 119882119911119898119894119899 119882119911119898119886119909 119882119910119898119894119899 119882119910119898119886119909
e) momentele de inerție principale 1198681 1198682 și direcțiile principale de inerție 1205721
f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 119878119911
Fig 49 Aplicație
Rezolvare Pentru rezolvare vom parcurge următoarele etape
icircmpărțim suprafața compusă icircn două suprafețe simple (dreptunghiuri) notate cu
① și respectiv ② figura 49b
poziționăm centrele de greutate a celor două suprafețe simple ① și respectiv ②
notate cu 1198661 și respectiv 1198662 figura 49c
poziționăm sistemele de axe de coordonate 119911111986611199101 pentru dreptunghiul ① și
119911211986621199102 pentru dreptunghiul ② aflate la intersecția diagonalelor figura 49c
poziționăm sistemele de axe de coordonate 11991101198741199100 ales arbitrar față de care
determinăm poziția centrului de greutate 119866 figura 49c
a) calculăm poziția centrului de greutate folosind relațiile (46) icircn care
1198601 = 6119905 ∙ 119905 = 61199052 1198602 = 4119905 ∙ 119905 = 41199052 119860 = 1198601 + 1198602 = 61199052 + 41199052 = 101199052
iar centrele de greutate 1198661 și respectiv 1198662 au coordonatele (față de sistemul 11991101198741199100)
1198661 1199101 = 3119905 1199111 = 05119905
1198662 1199102 = 051199051199112 = 3119905
cu acestea obținem
119910119866 =1198601 ∙ 1199101 + 1198602 ∙ 1199102
119860=61199052 ∙ 3119905 + 41199052 ∙ 05119905
101199052=201199053
101199052= 2119905
119911119866 =1198601 ∙ 1199111 + 1198602 ∙ 1199112
119860=61199052 ∙ 05119905 + 41199052 ∙ 3119905
101199052=151199053
101199052= 15119905
Poziționăm centrul de greutate 119866 al suprafeței compuse figura 49c
Fig 49 Aplicație
b) pentru determinarea momentelor de inerție axiale 119868119911 119868119910 și a momentului de
inerție centrifugal 119868119910119911 determinăm constantele 1198881 1198882 1198891 1198892 care intervin icircn relația lui
Stainer
1198881 = 1199101 minus 119910119866 = 3119905 minus 2119905 = 119905 1198882 = minus(119910119866 minus 1199102) = minus(2119905 minus 05119905) = minus15119905
1198891 = minus(119911119866 minus 1199111) = minus(15119905 minus 05119905) = minus119905 1198892 = 1199112 minus 119911119892 = 3119905 minus 15119905 = 15119905
Folosind relațiile lui Stainer (429) (430) și (431) calculăm momentele de
inerție axiale și centrifugale față de sistemul central 119911119866119866119910119866
119868119911 =sum(119868119911119894 + 1198881198942 ∙ 119860119894) = 1198681199111 + 1198881
2 ∙ 1198601 + 1198681199112 + 11988822 ∙ 1198602
119868119910 =sum(119868119910119894 + 1198891198942 ∙ 119860119894) = 1198681199101 + 1198891
2 ∙ 1198601 + 1198681199102 + 11988922 ∙ 1198602
119868119911119910 =sum(119868119911119894119910119894 + 119888119894 ∙ 119889119894 ∙ 119860119894) = 11986811991111199101 + 1198881 ∙ 1198891 ∙ 1198601 + 11986811991121199102 + 1198882 ∙ 1198892 ∙ 1198602
1198681199111 = (119887 ∙ ℎ3
12) =
119905 ∙ (6119905)3
12= 181199054 1198681199112 = (
119887 ∙ ℎ3
12) =
4119905 ∙ 1199053
12= 031199054
1198681199101 = (1198873 ∙ ℎ
12) =
1199053 ∙ 6119905
12= 051199054 1198681199102 = (
1198873 ∙ ℎ
12) =
(4119905)3 ∙ 119905
12= 531199054
11986811991111199101 = 11986811991121199102 = 0 deoarece cele două triunghiuri au cel puțin o axă de simetrie
Cu acestea momentele de inerție axiale și momentul de inerție centrifugal devin
119868119911 = 181199054 + 1199052 ∙ 61199052 + 031199054 + (minus15119905)2 ∙ 41199052 = 3331199054
119868119910 = 051199054 + (minus119905)2 ∙ 61199052 + 531199054 + (15119905)2 ∙ 41199052 = 2081199054
119868119911119910 = 0 + 119905 ∙ (minus119905) ∙ 61199052 + 0 + (minus15119905) ∙ (15119905) ∙ 41199052 = minus151199054
c) razele de inerție sau de girație față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910
se calculează cu relațiile (411)
119894119911 = radic119868119911119860= radic
3331199054
101199052= 182119905 119894119910 = radic
119868119910
119860= radic
2081199054
101199052= 144119905
d) modulele de rezistență față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910 se
calculează cu relațiile (412) și (413)
Avacircnd icircn vedere figura 419c obținem
119910119898119886119909 = 6119905 minus 119910119866 = 6119905 minus 2119905 = 4119905 119910119898119894119899 = minus119910119866 = minus2119905
119911119898119886119909 = 5119905 minus 119911119866 = 5119905 minus 15119905 = 35119905 119911119898119894119899 = minus119911119866 = minus15119905
Se obține astfel
119882119911119898119894119899 =119868119911
|119910119898119886119909|=3331199054
4119905= 8331199053
119882119911119898119886119909 =119868119911
|119910119898119894119899|=3331199054
2119905= 16651199053
119882119910119898119894119899 =119868119910
|119911119898119886119909|=2081199054
35119905= 5941199053
119882119910119898119886119909 =119868119910
|119911119898119894119899|=2081199054
15119905= 13871199053
e) momentele de inerție principale 1198681 și respectiv 1198682 se calculează cu relațiile
(438)
11986812 =119868119911 + 119868119910
2plusmn1
2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)
2+ 4 ∙ (119868119911119910)
2=
=3331199054 + 2081199054
2plusmn1
2∙ radic(3331199054 minus 2081199054)2 + 4 ∙ (minus151199054)2 = 27051199054 plusmn 16251199054
De unde obținem
1198681 = 27051199054 + 16251199054 = 4331199054
1198682 = 27051199054 minus 16251199054 = 1081199054
Prima direcție principală de inerție 1 face cu axa centrală 119866119911 unghiul 1205721 dat de
relația (437)
1205721 =1
2∙ arctan (minus
2 ∙ 119868119911119910
119868119911 minus 119868119910) =
1
2∙ arctan [minus
2 ∙ (minus151199054)
3331199054 minus 2081199054] =33 70
Deoarece 1205721 gt 0 rotirea axelor se face acircn sens antiorar acelor de ceasornic figura
49d
Poziția axe principale 2 față de care momentul de inerție are valoarea minimă
1198682 = 119868119898119894119899 este dată de unghiul
1205722 = 1205721 + 900 = 33 70 + 900 = 123 70
f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 se determină cu relația
(45)
1198781199111198602 = 1198602 ∙ 1198882 = 41199052 ∙ (minus15119905) = minus61199053
2 INTRODUCERE IcircN REZISTENŢA MATERIALELOR
21 Obiectul şi problemele Rezistenţei materialelor
Rezistenţa materialelor este o disciplină de cultură tehnică generală care continuă
logic şi dezvoltă Mecanica prin introducerea icircn calcule a proprietăţilor de deformabilitate
ale corpurilor solide reale Icircn Mecanică corpul solid este considerat rigid nedeformabil
iar vectorii forţă de icircncărcare sunt consideraţi alunecători Rezistenţa materialelor ia icircn
studiu corpurile reale care sub acţiunea forţelor exterioare (vectori legaţi) icircşi schimbă
forma geometrică respectiv dimensiunile iniţiale şi se distrug prin rupere la valori mari
ale acestora Prin calculele de rezistenţă se determină dimensiunile secţiunilor
transversale ale corpurilor (elemente de rezistenţă) icircn funcţie de mărimea poziţia şi modul
de acţionare a forţelor exterioare proprietăţile mecanice ale materialelor dimensiunile
constructive forma şi importanţa ansamblului icircn care se icircnglobează iar icircn anumite cazuri
şi de durata de funcţionare Elementele de rezistenţă trebuie să icircndeplinească următoarele
condiţii de bază
- condiţia de rezistenţă care are icircn vedere ca eforturile din elementul de rezistenţă
să nu producă distrugerea acestuia prin rupere sau spargere icircn bucăţi
- condiţia de rigiditate se referă la valorile deformaţiilor care nu trebuie să
depăşească anumite mărimile admisibile
- condiţia de stabilitate care consideră posibilitatea menţinerii formei de echilibru
stabil pentru o anumită stare de icircncărcare
Criteriile de rezolvare ale problemelor de Rezistenţa materialelor sunt
- criteriul economic prin care se impune ca orice element de rezistenţă (piesă) să
fie proiectat şi realizat cu soluţia cea mai economică icircn privinţa materialului utilizat şi al
manoperei
- criteriul de bună funcţionalitate a ansamblului din care face parte elementul de
rezistenţă proiectat respectacircnd condiţiile de rezistenţă rigiditate şi stabilitate
Icircn cadrul Rezistenţei materialelor se admit ipoteze simplificatoare care permit
obţinerea unor relaţii de calcul relativ simple şi care exprimă destul de fidel fenomenul
de solicitare real Experimentările practice icircn laborator permit verificarea legilor
rezistenţei materialelor şi determinarea caracteristicilor mecanice ale materialelor
Rezistenţa materialelor permite rezolvarea următoarelor categorii de probleme
- probleme de dimensionare prin care se stabilesc dimensiunile optime ale
elementelor de rezistenţă proiectate icircn funcţie de icircncărcările exterioare (forţe sau
momente) şi de caracteristicile mecanice ale materialului utilizat
- probleme de verificare la care se determină dacă un element de rezistenţă de
dimensiuni cunoscute satisface condiţiile de rezistenţă rigiditate şi stabilitate cunoscacircnd
icircncărcarea exterioară şi caracteristicile mecanice ale materialului utilizat
- probleme de calcul al capacităţii de icircncărcare al unui element de rezistenţă
cunoscacircndu-se caracteristicile mecanice ale materialului dimensiunile şi modul de
solicitare se determină icircncărcarea maximă pe care o poate suporta elementul de rezistență
fără a ceda sau a se deforma periculos
22 Clasificarea corpurilor icircn Rezistenţa materialelor
Corpurile (elementele de rezistenţă) au icircn general forme constructive relativ
complicate Icircn Rezistenţa materialelor pentru simplificarea calculelor corpurile se
schematizează prin forme geometrice mai simple obţinacircndu-se următoarele grupe
a) corpuri solide cu o dimensiune mult mai mare decacirct celelalte două (corpuri cu
fibră medie) Elementele geometrice caracteristice sunt axa longitudinală şi secţiunea
transversală Aceste corpuri solide pot fi
- fire dacă dimensiunile secţiunii transversale sunt foarte mici astfel icircncacirct axa
longitudinală este flexibilă (icircşi schimbă forma uşor) iar sarcinile transversale nu pot fi
preluate de acesta Un fir nu poate fi solicitat decacirct la icircntindere (exemplu cabluri de
macara lanţuri etc)
- bare care rezistă atacirct la solicitări axiale cacirct şi la solicitări transversale
După modul de solicitare barele poartă diferite denumiri convenţionale
tiranţi-solicitaţi la icircntindere figura 21a
stacirclpi-solicitaţi la compresiune figura 21b
grinzi-solicitate la icircncovoiere figura 21c
arbori-solicitaţi la torsiune (răsucire) figura 21d
Fig 21 Denumirea barelor după modul de solicitare
După modul cum variază secţiunea icircn lungul axei barele pot fi
de secţiune constantă figura 22a
de secţiune variabilă continuă figura 22b sau icircn trepte figura 22c
Fig 22 Denumirea barelor după secțiune
După forma axei longitudinale barele pot fi
drepte figura 21
curbe icircn plan figura 23a sau icircn spaţiu figura 23b (numite și curbe stracircmbe)
cotite (axa barei este o linie fracircntă) plane figura 23c sau spațiale figura 23d
Fig 23 Tipuri de bare curbe și cotite
Secţiunea transversală (plană şi normală pe axa barei) poate avea orice formă
geometrică constantă sau variabilă icircn lungul barei
Dacă una din dimensiunile secţiunii transversale (grosimea) este mai mică
comparativ cu celelalte bara se numește bară cu pereţi subţiri (exemplu barele
realizate din platbande sudate cu secţiuni sub formă de profil I profil U cornier etc)
b) corpuri care au două dimensiuni mult mai mari icircn raport cu a treia (grosimea)
se numesc plăci Elementele geometrice caracteristice ale unei plăci sunt forma şi
dimensiunile suprafeţei mediane respectiv grosimea Plăcile se reprezintă schematic
printr-o suprafață care imită forma și dimensiunile suprafeței mediane Suprafaţa mediană
reprezintă locul geometric al tuturor punctelor egal depărtate de cele două feţe ale plăcii
puncte aflate pe perpendicularele duse icircntre cele două feţe figura 24
După destinaţie și forma suprafeței mediane se deosebesc
plăci plane figura 24b
plăci curbe (icircnvelişuri) cu o singură curbură figura 24a sau avacircnd curbură
dublă figura 24c
Fig 24 Tipuri de plăci plane
Plăcile cu grosime mare sunt denumite frecvent dale O placă de grosime mică
ce nu poate prelua decacirct solicitări la icircntindere poartă numele de membrană
Exemple de plăci icircnvelişurile vasele de revoluţie discurile etc
c) corpuri masive care au toate cele trei dimensiuni aproximativ de acelaşi ordin
de mărime (blocuri de fundaţii bile şi role de rulmenţi tuburi cu pereţi groşi etc)
Calculele de rezistenţă sunt mai simple icircn cazul barelor drepte şi mai complicate
la barele curbe plăci respectiv blocuri
23 Clasificarea icircncărcărilor exterioare
Un corp icircşi păstrează forma şi dimensiunile datorită forţelor de atracţie dintre
particulele sale elementare atacircta timp cicirct asupra sa nu acţionează alte forţe aplicate din
exterior care să-l deformeze Icircn construcţia de maşini elementele de rezistenţă preiau şi
transmit acţiunea unor sarcini exterioare (forţe şisau cupluri) pe care le vom denumi
generic forțe sau icircncărcări exterioare Efectul pe care-l au sarcinile este acela de a
modifica forma şi dimensiunile corpului asupra căruia se aplică Icircn punctele de rezemare
(de sprijin sau de legătură cu alte elemente de rezistenţă icircnvecinate) ca urmare a
principiului acţiunii şi reacţiunii apar forţe de legătură sau reacţiuni Ansamblul format
din sarcini şi reacţiuni este cunoscut sub numele de forţe exterioare Sub acţiunea
forţelor exterioare elementele de rezistenţă trebuie să fie icircn echilibru
Forţele exterioare pot fi clasificate după următoarele criterii
a) după mărimea suprafeţei pe care se aplică
- forțe concentrate aplicate teoretic icircntr-un punct figura 25a
- forțe distribuite uniform sau cu intensitate variabilă icircn lungul barei sau pe o
suprafaţă figura 25bc şi d
- momente concentrate care acţionează icircntr-un punct M sau momente uniform
distribut pe o anumită lungime m
Fig 25 Tipuri de sarcini după mărimea suprafeţei de aplicare
b) după locul de aplicare se deosebesc
- forţe de suprafaţă sau de contur care sunt aplicate din exterior pe suprafaţa
corpurilor şi indică legătura cu piesele icircnvecinate
- forţe masice sau de volum distribuite icircn tot corpul (greutăţi forţe de inerţie
respectiv forţe electromagnetice)
c) după modul de acţiune icircn timp se disting
- forţe statice care se aplică lent şi progresiv pacircnă la valoarea nominală de lucru
şi apoi rămacircn constante figura 26a
- forţe dinamice care rezultă din
aplicarea cu icircntreaga intensitate de la icircnceputul perioadei de solicitare iar apoi forţa se
menţine constantă timp icircndelungat figura 26b (forţe de inerţie)
aplicarea bruscă a sarcinii asupra corpului durata de acţiune a sarcinii fiind mică figura
26c (forţe de şoc)
variaţia periodică icircn timp a intensităţii forţei aplicate figura 26d (forţe de oboseală)
Fig26 Tipuri de forţe exterioare (cicluri de solicitare)
Funcţie de modul de variaţie al forţelor exterioare solicitările pot fi statice
oscilante pulsante alternante etc Experimental s-a constatat că rezistenţa unui material
depinde foarte mult de modul de variaţie a forţelor icircn timp Bach a clasificat solicitările
icircn 3 categorii 1-solicitări statice 2-solicitări pulsante 3-solicitări alternant simetrice
Rezistenţa unui material este icircn raportul 321 pentru cele 3 cazuri de solicitare ale lui
Bach Aceasta icircnseamnă că o piesă solicitată static rezistă la o forţă de 3 ori mai mare
decacirct forţa maximă care produce ruperea aceleaşi piese solicitate alternant simetric
d) după poziţia icircn timp a forțelor se disting
- forţe fixe ale căror puncte de aplicaţie sunt mereu aceleaşi
- forţe mobile ale căror puncte de aplicaţie se deplasează icircn timp De exemplu
sarcinile produse de vehiculele care circulă pe un pod sarcinile unei grinzi de pod rulant
icircntr-o halăetc
24 Reazeme Forțe interioare Eforturi Diagrame de eforturi icircn barele
drepte
241 Reazeme Reacțiuni (forțe de legătură)
Pentru a prelua şi transmite acţiunea sarcinilor exterioare elementele de rezistenţă
din componenţa unei structuri sunt fixate icircntre ele prin intermediul unor legături
exterioare numite reazeme Aceste legături au ca scop icircmpiedicarea anumitor mişcări ale
corpului pe direcţiile pe care acestea nu trebuie să se producă O legătură are deci rolul
de a anula unul sau mai multe grade de libertate ale corpului icircn punctul de rezemare Dacă
este anulat un singur grad de libertate legătura este simplă iar dacă sunt impiedicate mai
multe grade de libertate legătura este una compusă Datorită existenţei sarcinilor
exterioare icircn punctele de rezemare pe direcţiile pe care mişcările sunt icircmpiedicate apar
forţe de legătură numite reacţiuni Numărul natura şi direcţiile reacţiunilor depind de
tipul reazemelor Icircn construcţiile reale există o varietate mare de realizare practică a
reazemelor dar icircn calcule se acceptă anumite schematizări care reţin doar aspectul esenţial
al unui reazem şi anume gradul sau gradele de libertate anulate
Pentru o structură de rezistenţă spaţială icircntr-un punct oarecare sunt posibile şase
deplasări trei deplasări liniare (după direcţiile axelor unui sistem ortogonal) şi trei rotiri
(deplasări unghiulare) icircn jurul aceloraşi axe Ca urmare ar fi posibil de realizat maximum
şase tipuri de reazem
Pentru un element de rezistenţă plan icircncărcat cu eforturi cuprinse icircn planul
elementului icircn orice punct sunt posibile trei gade de libertate două deplasări liniare şi o
rotiri Ca urmare pentru cazul unei bare plane se icircntacirclnesc următoarele tipuri de reazeme
1 Reazemul simplu sau reazemul mobil care icircmpiedică deplasarea pe o direcţie
normală pe suprafaţa de rezemare permiţacircnd deplasarea pe o direcţie paralelă cu
suprafaţa de rezemare şi rotirea barei icircn jurul unei axe perpendiculare pe plan icircn punctul
de rezemare Icircn urma icircmpiedicării deplasării şi datorită unor sarcini exterioare icircn
reazemul simplu apare o reacţiune de tip forţă a cărei suport trece prin punctul de
rezemare şi a cărei direcţie este perpendiculară pe suprafaţa de rezemare figura 27
Fig 27 Reazem simplu (mobil)
Icircn figura 27 este reprezentat un reazem mobil poziţionat pe capătul A al unei bare
plane orizontale fiind evidenţiate punctul şi suprafaţa de rezemare direcţia suportului
reacţiunii şi modul de schematizare al reazemului Cea mai des icircntacirclnită reprezentare a
reazemului mobil este a unui triunghi a cărui bază poate luneca pe suprafaţa de rezemare
2 Reazemul fix sau articulaţia icircmpiedică deplasările liniare după toate direcţiile
din planul barei permiţacircnd doar rotirea barei icircn jurul unei axe perpendiculare pe plan şi
care trece prin puncul de rezemare Reacţiunea este cuprinsă icircn planul barei care trece
prin punctul de rezemare dar a cărei mărime şi direcţie nu sunt cunoscute (forţa R)
figura 28
Fig 28 Reazem fix
Se preferă ca icircn locul unei forţe R avacircnd direcţia oarecare icircn plan necunoscută să
se introducă două forţe (HA şi VA) cărora li se cunoaşte direcţia şi pentru care se vor
determina modulele ca valori din condiţiile de echilibru static Icircntr-un reazem fix apar
icircntotdeauna reacţiuni atacirct pe direcţia perpendiculară pe suprafaţa de rezemare
(verticală) cacirct şi pe direcţia paralelă cu prima (orizontală) chiar dacă uneori una sau
chiar ambele reacţiuni au valoarea zero Reprezentarea schematică a articulaţiei este cea
a unui triunghi cu baza fixă şi cu vacircrful icircn punctul de rezemare sau cea a unui pendul
dublu figura 28
3 Icircncastrarea (sau icircnţepenirea) anulează toate gradele de libertate ale capătului
unei bare icircmpiedicacircnd deplasarea liniară după orice direcţie din plan precum şi rotirea
barei icircn jurul unei axe perpendiculare pe plan şi care trece prin punctul de icircncastrare
Urmare a existenţei sarcinilor exterioare şi a blocării deplasărilor icircn icircncastrare apare o
reacţiune căreia nu i se cunoaşte nici mărimea nici direcţia şi nici punctul de aplicaţie
figura 29
Fig 29 Icircncastrarea
Sub acţiunea forţelor exterioare un sistem este icircn echilibru Valoarea reacţinilor
se determină din condiţia de echilibru a sistemului solicitat
Este cunoscut faptul că un sistem plan este icircn echilibru dacă
nu se deplasează pe o direcţie (fie x această direcţie)
nu se deplasează pe o direcţie perpendiculară pe prima (fie y această direcţie)
nu se roteşte faţă de un punct al planului (fie K acest punct)
Cele trei condiţii enunţate mai sus sunt satisfăcute dacă suma proiecţiilor tuturor
forţelor pe direcţia x respectiv y este nulă şi suma tuturor momentelor (cuplurilor) faţă
de un punct al planului este nulă
242 Forțe interioare Metoda secțiunilor
Icircn vederea calculului de rezistenţă de rigiditate şi de stabilitate a barelor sau a
sistemelor de bare este necesară determinarea forţelor şi momentelor interioare
(eforturilor) care apar icircn secţiunile transversale ale acestora şi datorate icircncărcărilor
exterioare Forțele interioare indică legătura dintre particulele din interiorul corpului şi
se pun icircn evidenţă prin metoda secţiunilor care este un procedeu de raţionament
imaginar propus de Cauchy echivalent cu teoria echilibrului părţilor Conform acestui
raționament bdquodacă un corp solid deformabil este icircn echilibru sub acţiunea unui sistem
generalizat de forţe atunci după secționare fiecare parte a sa va fi icircn echilibru sub
acţiunea forţelor exterioare care-i revin şi a unui sistem de forţe pe care trebuie să-l
introducem icircn secţiunea ce delimitează fiecare parte echivalent cu acţiunea forţelor
aplicate pe partea icircndepărtatărdquo
Problemele care apar la aplicarea metodei secţiunilor sunt
- să pună icircn evidenţă existenţa forţelor interioare mai ales că din ceea ce se ştie o
forţă apare icircn prezenţa a două corpuri ca urmare a principiului acţiunii şi reacţiunii
- să explice modul de distribuţie al forţelor interioare pe secţiune
Considerăm un corp aflat icircn echilibru sub acţiunea unui sistem de forţe exterioare
1 2 3⋯119894 ⋯ 119899minus1 119899 şi presupunem că-l secţionăm cu un plan transversal Q (sau cu
o suprafaţă oarecare) figura 210a Icircn urma secţionării fictive (imaginare) conform
principiului echilibrului părţilor fiecare din cele două părţi obţinute trebuie să fie icircn
echilibru sub acţiunea forţelor exterioare care le revin şi a cacircte unui sistem de forţe
interioare pe care trebuie să-l introducem icircn secţiunile rezultate sistem echivalent cu
acţiunea forţelor exterioare ce acţionează asupra celeilalte părţi Astfel pe partea din
dreapta (notată cu II) delimitată de secţiunea de arie Ad sunt aplicate forţele exterioare
119894 ⋯ 119899minus1 119899 şi un sistem de forţe interioare căruia nu i se cunoaşte decacirct efectul acelaşi
cu cel al forţelor 1 2 3 de pe parea din stacircnga (notată cu I şi delimitată de secţiunea
de arie As) figura 210b Prin metoda secţiunilor am reuşit să punem icircn evidenţă existenţa
forţelor interioare şi să le trecem icircn categoria celor exterioare cărora le putem aplica
relaţiile de echivalenţă şi de echilibru cunoscute din statică Ideal ar fi să cunoaştem
distribuţia şi intensitatea punctuală a acestor forţe pentru că s-ar putea ca icircn anumite
puncte ale secţiunii valoarea forţelor să depăşească limita de rezistenţă (limita de curgere)
a materialului Cunoaşterea distribuţiei punctuale a forţelor interioare nu se poate realiza
decacirct icircn cazuri particulare relativ simple de solicitare
Să considerăm partea din dreapta a corpului asupra căreia acționează forțele
119894 ⋯ 119899minus1 119899 mărginit de aria Ad pe care acționează un sistem de forțe interioare
echivalent cu 1 2 3 Deși forțele interioare de pe Ad nu se cunosc totuși efectul lor
este același cu cel al forțelor 1 2 3 deci le putem reduce icircn centrul de greutate C al
secțiunii Ad rezultacircnd componentele torsorului de reducere al forțelor interioare
(119894119889 119894119889) și pentru partea din stacircnga (119894119904 119894119904) Evident conform principiului acțiunii și
reacțiunii
119894119889 = minus119894119904
119894119889 = minus119894119904 (21)
Pe de altă parte cum fiecare dintre părțile corpului după secționare trebuie să fie
icircn echilibru sub acțiunea forțelor exterioare care le revin și a forțelor interioare introduse
rezultă
119894119889 = minus119890119889
119894119889 = minus119890119889
119894119904 = minus119890119889
119894119904 = minus119890119904 (22)
Combinacircnd (21) cu (22) rezultă
119894119889 = 119890119889
119894119889 = 119890119889
119894119904 = 119890119904
119894119904 = 119890119904 (23)
Fig 210 Forțe interioare
Relațiile (22) și (23) permit determinarea componentelor torsorului de reducere
al forțelor interioare din (23) rezultă componentele torsorului forțelor interioare care
acționează icircn secțiunea Ad sunt egale cu componentele torsorului de reducere al forțelor
exterioare de pe partea din stacircnga din (22) rezultă componentele torsorului forțelor
interioare care acționează icircn secțiunea Ad sunt egale și de sens contrar cu componentele
torsorului de reducere al forțelor exterioare de pe partea din dreapta
Observații
1 Torsorul forțelor interioare diferă de la o secțiune la alta dar pentru aceeași
secțiune el este unic și trebuie să respecte condițiile de compatibilitate a deformațiilor
2 Reducacircnd forțele interioare icircn centrul de greutate al secțiunii s-a făcut o
aproximare icircn ceea ce privește efectul modului de dispunere al forțelor
3 Punctul de reducere trebuie să fie
pentru forțele interioare normale la secțiune centrul de greutate
pentru forțele interioare tangente la planul secțiunii centrul de răsucire sau de
tăiere
243 Eforturi
Prin metoda secțiunilor am pus icircn evidență existența forțelor interioare și modul
icircn care se determină componentele torsorului de reducere al forțelor interioare (119894119889 119894119889) de pe fața din dreapta secțiunii (Ad) Cele două componente ale torsorului de reducere al
forțelor interioare de pe Ad se pot descompune după axele unui sistem de referință
triortogonal xCyz astfel
119894119889 = +
119894119889 = 119909 +119872119894 (24)
unde și 119909 sunt proiecțiile lui 119894119889 și respectiv 119894119889 pe axa longitudinală Cx a
barei iar și 119894 sunt proiecțiile acelorași componente 119894119889 și respectiv 119894119889 pe planul yCz
al secțiunii transversale Ad figura 211
Fig 211 Torsorul de reducere al forţelor interioare
La racircndul lor și 119894 se pot descompune după axele sistemului yCz figura 212
= 119910 + 119911
119894 = 119894119910 + 119894119911 (25)
Fig 212 Descompunerea forţei tăietoare şi a momentului icircncovoietor
Cele șase componente ale torsorului de reducere al forțelor interioare ( 119910 119911
119909 119894119910 119894119911) orientate după axele sistemului de referință xCyz se numesc eforturi
Fiecare efort are o denumire stabilită icircn funcție de tipul de deformație pe care-l produce
De asemenea semnul plus (bdquo+rdquo) sau minus (bdquondashrdquo) al fiecărui efort nu depinde de sensul
pozitiv sau negativ al sistemului de axe ci doar de efectul icircn deformații al fiecărui efort
Denumirile celor șase eforturi sunt
119873 este forța axială
119879119910 119879119911 sunt forțe tăietoare orientate după axele Cy și respectiv Cz
119872119909 notat de cele mai multe ori cu 119872119905 este moment de torsiune sau de răsucire
119872119894119911 119872119894119910 sunt momente de icircncovoiere icircn jurul axei Cz și respectiv Cy
Forța axială 119873 poate fi forță axială de icircntindere cacircnd produce o lungire a
tronsonului pe a cărei față acționează (119873 gt 0) figura 213a sau forță axială de
compresiune cacircnd sub efectul ei bara se scurtează (119873 lt 0) figura 213b
Fig 213 Forța axială
Forțele tăietoare 119879119910 și 119879119911 au ca efect lunecarea secțiunii icircn centrul căreia
acționează icircn raport cu secțiunea icircnvecinată lunecare ce se produce pe direcția și icircn sensul
forței Sub acțiunea unei forțe tăietoare bara este solicitată la forfecare Forța tăietoare
este pozitivă 119879119910 gt 0 dacă icircn raport cu un punct oarecare K de pe axa Cx a barei tinde să
rotească secțiunea pe care acționează icircn sens orar
Fig 214 Forța tăietoare
Momentele de icircncovoiere 119872119894119911 și 119872119894119910 au ca efect o rotire a secțiunii icircn centrul
cărora acționează icircn jurul axei după care sunt orientate Icircn figura 215a se vede că
datorită momentului 119872119894119911 fibrele de deasupra axei Cz se alungesc icircn timp ce fibrele de sub
axa Cz se scurtează Fibrele care trec prin axa de icircncovoiere Cz nu se deformează sunt
fibre neutre la icircncovoiere adică axa neutră este Cz Icircn cazul momentului de icircncovoiere
119872119894119910 fibrele care nu se deformează sunt cele care trec prin axa neutră la icircncovoiere Cy
Momentele de icircncovoiere se consideră a fi pozitive (119872119894119911 gt 0119872119894119910 gt 0) dacă
observatorul care privește bara deformată vizualizează fibrele icircntinse
Fig 215 Momentul icircncovoietor
Momentul de torsiune sau de răsucire 119872119909 equiv 119872119905 are ca efect o rotire a secțiunii
icircn al cărei centru acționează icircn jurul axei longitudinale Cx Ca efect secțiunea icircși schimbă
forma (se deformează) adică unghiurile inițiale se modifică dreptunghiul inițial Ad
devine paralelogram Convențional se consideră 119872119905 gt 0 dacă vectorul moment are
aceeași orientare ca și sensul pozitiv ales pextru axa Cx Icircn figura 216 momentul este
negativ
Fig 216 Momentul de torsiune
25 Definiții și convenții de semne pentru eforturile
din secțiunile unei bare drepte plane icircncărcate cu sarcini coplanare
Vom considera o bară plană icircncărcată cu un sistem de forțe arbitrar figura 217
Ne propunem să determinăm eforturile care apar icircn secțiunea barei aflată la distanța 119909 de
reazemul din stacircnga (A)
Pentru aceasta vom aplica metoda secțiunilor vom secționa bara cu un plan
perpendicular pe axa longitudinală a barei și vom analiza doar partea din dreapta secțiunii
mărginită de fața Ad Pentru ca această porțiune de bară să fie icircn echilibru sub acțiunea
forțelor exterioare care acționează asupra sa 1198653 și 119881119861 va trebui să introducem icircn centrul
secțiunii Ad eforturile care pot să apară 119873 119879119910 119872119894119911 Acțiunea acestor eforturi trebuie să
fie echivalentă cu acțiunea forțelor exterioare aplicate pe partea icircnlăturată (parcursă) a
barei 119867119860 119881119860 1198651 1198652 1198720
Deoarece bara este plană și este icircncărcată doar cu sarcini ce aparțin
planului barei
icircn secțiunea Ad apar doar 3 componente ale torsorului de reducere al forțelor
interioare (eforturi)
- 119873 = forța axială
- 119879119910 = forța tăietoare pe care o vom nota cu 119879
- 119872119894119911 = momentul icircncovoietor notat cu Mi
Fig 217 Bară plană icircncărcată cu un sistem de forțe
Vom prezenta următoarele definiții corespunzătoare eforturilor din secțiunea Ad
119873 = forța axială dintr-o secțiune este egală cu suma algebrică a proiecțiilor pe
axa longitudinală a tuturor forțelor exterioare (sarcini și reacțiuni) aplicate pe partea
din stacircnga secțiunii adică pe porțiunea parcursă Forța axială 119873 este pozitivă dacă trage
de tronsonul pe a cărei față acționează (are orientarea normalei exterioare la secțiunea
Ad)
119873(119909) = minus119867119860 + 1198651119867 (26)
119879 = forța tăietoare icircntr-o secțiune este egală cu suma algebrică a proiecțiilor
pe o axă perpendiculară pe axa barei a tuturor forțelor exterioare (sarcini și reacțiuni)
aplicate pe porțiunea de bară aflată icircn stacircnga secțiunii considerate Forța tăietoare 119879
este pozitivă dacă tinde să rotească tronsonul pe a cărui față acționează icircn sens orar icircn
raport cu un punct de pe axa barei aflat la dreapta secțiunii
119879(119909) = 119881119860 minus 1198651119881 minus 1198652 (27)
119872119894 = momentul icircncovoietor icircntr-o secțiune este egal cu suma algebrică a
momentelor obținute prin reducerea tuturor forțelor exterioare ( cupluri sarcini
reacțiuni) aplicate pe porțiunea de bară aflată la stacircnga secțiunii icircn centrul secțiunii
considerate 119872119894 este considerat pozitiv dacă tinde să deformeze bara astfel icircncacirct fibrele
spre care privește un observator să fie icircntinse Cum poziția observatorului este de regulă
sub bară bara se deformează dacă 119872119894 gt 0 astfel icircncacirct partea jos a barei este icircntinsă Se
spune că bara deformată rdquoține apaldquo
119872119894(119909) = 119881119860 ∙ 119909 minus 1198651119881 ∙ (119909 minus 1198971) minus 1198652 ∙ [119909 minus (1198971 + 1198972)] + 1198720 (28)
Sensurile pozitive ale eforturilor care apar icircn centrul secțiunii Ad (deci atunci cacircnd
sensul de parcurs la aplicarea metodei secțiunilor este cel de la stacircnga la dreapta) sunt
indicate icircn figura 218a iar dacă sensul de parcurs este de la dreapta la stacircnga sensurile
pozitive ale eforturilor sunt indicate icircn figura 218b
Fig 218 Convenţia de semne
Definiții asemănătoare se pot da și pentru eforturile din centrul secțiunii As figura
218b adică pentru cazul icircn care sensul de parcurs este cel de la dreapta la stacircnga și deci
partea luată icircn considerare este cea din stacircnga iar partea parcursă din dreapta secțiunii
este icircnlăturată
119873(1199091) = 1198653119867
119879(1199091) = 1198653119881 minus 119881119861
119872119894(1199091) = 119881119861 ∙ 1199091 minus 1198653119881 ∙ (1199091 minus 1198975)
(29)
Avacircnd icircn vedere că fețele Ad și As aparțin aceleeași secțiuni este evident faptul că
eforturile 119873(119909) 119879(119909) și 119872119894(119909) sunt identice cu eforturile 119873(119961120783) 119879(119961120783) și respectiv
119872119894(119961120783) Icircn figura 218c se prezintă o sinteză a convențiilor de semne pozitive pentru cele
3 eforturi atacirct pentru sensul de parcurs de la stacircnga la dreapta (secțiunea Ad) cacirct și pentru
sensul invers (secțiunea As)
Semnele eforturilor sunt importante icircntrucacirct există materiale cu comportări diferite
la icircntindere față de compresiune iar o schimbare a semnului unui efort poate produce
erori grave icircn calcule Semnele eforturilor au fost stabilite icircn funcție de deformațiile
produse și nu depind de sensul axelor sistemului de coordonate
26 Relaţii diferenţiale icircntre eforturi şi sarcini
Pentru a vedea ce legătură există icircntre eforturi și sarcini vom considera o bară
dreaptă icircncărcată cu o sarcină distribuită după o lege oarecare figura 219a Din această
bară vom decupa prin dublă secționare un element de lungime infinit mică 119889119909 Deoarece
lungimea 119889119909 este foarte mică se poate considera sarcina 119901 uniform distribuită Icircn
secțiunile rezultate trebuie să introducem eforturile care pot apărea
- 119879 şi 119872119894 icircn centrul secțiunii din sticircnga eforturi pe care le considerăm pozitive
- 119879 + 119889119879 şi 119872119894 + 119889119872119894 icircn centrul secțiunii din dreapta elementului
Aceste eforturi au o variație mică (119889119879 şi 119889119872119894) față de secțiunea anterioară Spre
deosebire de cazul icircn care bara este secționată o singură dată icircn acest caz eforturile nu
pot fi determinate din cele 2 condiții de echilibru independente deoarece icircn ecuațiile de
echilibru apar 4 necunoscute 119879 119889119879119872119894 și 119889119872119894 deci că problema este dublu static
nedeterminată figura 219
Fig 219 Echivalența icircntre eforturi și sarcini
Ecuațiile de echilibru scrise pentru elementul din figura 219b conduc la stabilirea
unor relaţii foarte importante
(sum119865)119910= 0 hArr 119879 minus 119901 ∙ 119889119909 minus (119879 + 119889119879) = 0 rArr
119889119879
119889119909= minus119901 (210)
Relația (210) arată că derivata funcţiei forţei tăietoare icircn raport cu abscisa
secţiunii este egală cu sarcina distribuită normală la axa barei din acea secţiune luată
cu semn schimbat
Observații
dacă 119901 = 0 nu există sarcină distribuită atunci forța tăietoare T este constantă
icircnclinarea pantei diagramei forței 119879 este egală cu (ndash 119901) (sarcina distribuită cu
semn schimbat)
dacă 119901 = 119888119900119899119904119905 119879 variază liniar pe acel interval
Asemănător se deduce că derivata funcţiei forţei axiale icircn raport cu abscisa
secţiunii este egală cu sarcina distribuită axială din acea secţiune luată cu semn
schimbat adică
119889119873
119889119909= minus119901119867 (211)
Din condiția de echilibru suma de momente faţă de centrul de greutate al secţiunii
din dreapta
(sum119872)119862= 0 hArr 119872119894 minus (119872 + 119889119872119894) + 119879 ∙ 119889119909 minus 119901 ∙
(119889119909)2
2= 0 rArr
119889119872119894
119889119909= 119879 (212)
Relația (212) s-a obținut dupa reducerea termenilor și prin neglijarea infinitului
mic de ordinul 2
119901 ∙(119889119909)2
2
Relația (212) arată că derivata funcţiei moment icircncovoietor icircn raport cu abscisa
secţiunii este egală cu forţa tăietoare din acea secţiune
Observații
dacă 119879 = 0 momentul 119872119894 are un punct de extrem se obține o valoare maximă
pentru 119872119894119898119886119909 dacă forța tăietoare 119879 se anulează trecacircnd de la plus icircn stacircnga la minus icircn
dreapta secțiunii
dacă forța tăietoare este pozitivă pe un interval 119879 gt 0 atunci 119872119894 este crescătoare
pe acel interval
dacă forța tăietoare este negativă pe un interval 119879 lt 0 atunci 119872119894 este
descrescătoare pe acel interval
dacă pe un interval 119901 = 0 forța tăietoare este constantă 119879 = 119888119905 iar 119872119894 variază
liniar pe acel interval
dacă 119901 = 119888119900119899119904119905 119879 variază liniar pe acel interval iar 119872119894 variază parabolic pe
acel interval
Relaţiile diferenţiale sunt utile la reprezentarea corectă şi verificarea diagramelor
de eforturi astfel
pentru porţiunile de grindă pe care p = 0 eforturile N şi T sunt constante iar pe
porţiunile cu p = const eforturile N şi T variază liniar (relaţiile 211 şi 210)
dacă pe o porţiune T = const momentul icircncovoietor Miz variază liniar iar dacă
T variază liniar atunci momentul Miz variază parabolic (relaţia 212)
pe domeniile pe care T gt 0 funcţia Mi(x) este crescătoare iar icircn secţiunea icircn
care T = 0 (graficul funcţiei T intersectează axa x) momentul icircncovoietor are un punct
de extrem local (maxim sau minim relaţia 212)
Pentru rezolvarea problemelor referitoare la trasarea diagramelor de eforturi
pentru barele drepte solicitate de sisteme de forţe plane se parcurg următoarele etape
1) identificarea forţelor aplicate (date) şi pregătirea lor pentru calcule
(descompunerea forţelor concentrate pe direcţiile x şi y calculul rezultantelor forţelor
distribuite)
2) identificarea reazemelor şi introducerea reacţiunilor corespunzătoare (vezi
figurile 27divide29)
3) stabilirea ecuaţiilor de echilibru static calculul şi verificarea reacţiunilor Icircn
rezistența materialelor se folosește sistemul de ecuații (vezi figura 217)
(sum119865)
119909= 0
(sum119872)119860= 0
(sum119872)119861= 0
(213)
4) identificarea domeniilor de variaţie şi scrierea funcţiilor de eforturi pentru N T
şi Mi
5) reprezentarea grafică a diagramelor de eforturi
6) verificarea corectitudinii diagramelor pe baza relaţiilor diferenţiale icircntre eforturi
şi sarcini
Aplicație Pentru grinda dreaptă icircncărcată cu sistemul de forţe reprezentat icircn figura
220 se cere
a) să se calculeze şi să se verifice reacţiunile
b) să se stabilească funcţiile eforturilor Nx Ty şi Miz şi să se reprezinte diagramele
de variaţie
c) să se analizeze relaţiile diferenţiale icircntre eforturi şi sarcini
Dimensiunile grinzii au valorile a = 6 [m] b = 4 [m] și c = 4[m] sistemul de
forţe aplicat fiind format din p = 10 [kN mfrasl ] F = 20 [kN] (icircnclinată cu unghiul α =300 faţă de orizontală) şi M0 = 40 [kN ∙ m]
Rezolvare
a) Se fac următoarele precizări
grinda dreaptă se reprezintă prin axa geometrică
forţa icircnclinată F se descompune după direcţiile orizontală şi verticală icircn FV =F ∙ sin α = 10 [kN] şi FH = F ∙ cos α = 173 [kN]
forţa distribuită uniform p este echivalentă din punct de vedere static cu
rezultanta sa R = p ∙ a = 60 [kN] care acţionează la jumătatea porţiunii de lungime a
icircn reazemele 119860 şi 119861 se introduc componentele HA şi VA respectiv VB ale
reacţiunilor
Pentru calculul reacţiunilor se utilizează ecuaţiile de echilibru static al grinzii
sumXi = 0 HA minus FH = 0 sumYi = 0 VA + VB minus R minus FV = 0 (sumM)B = 0 VA ∙ (b + a) minus R ∙ (b + 05 ∙ a) minus M0 + FV ∙ c = 0
(A1)
Din prima ecuaţie se obţine HA iar din cea de-a treia ecuaţie rezultă VA
HA = FH = 173 [kN]
VA =[R ∙ (b + 05 ∙ a) + M0 minus FV ∙ c]
(b + a)=[60 ∙ (4 + 05 ∙ 6) + 40 minus 10 ∙ 4]
(4 + 6)
VA = 42 [kN]
(A2)
Fig 220 Aplicație
Se observă că cea de-a doua ecuaţie de echilibru conţine două necunoscute
reacţiunile VA şi VB Pentru a calcula componenta VB nu este indicată introducerea lui VA
icircn cea de-a doua ecuaţie a sistemului (A1) pentru că o valoare determinată greşit pentru
VA conduce la o valoare VB de asemenea greşită O ecuaţie independentă din care se poate
determina componenta VB este următoarea
(sumM)A= 0 FV ∙ (a + b + c) minus VB ∙ (a + b) minus M0 + R ∙ 05 ∙ a = 0 (A3)
de unde se obţine
VB =[FV ∙ (a + b + c) minusM0 + R ∙ 05 ∙ a]
(b + a)=[10 ∙ (6 + 4 + 4) minus 40 + 60 ∙ 05 ∙ 6]
(6 + 4)
VB = 28 [kN] (A4)
Ecuaţia de proiecţii ale forţelor pe direcţia verticală (a doua ecuaţie din sistemul
A1) se utilizează pentru verificarea reacţiunilor deja determinate
VA + VB minus R minus FV = 0 rArr 42 + 28 minus 60 minus 10 = 0 (A5)
Ultima egalitate demonstrează că reacţiunile verticale au fost calculate corect
Din cele de mai sus rezultă ordinea firească pentru determinarea reacţiunilor icircn
cazul grinzilor simplu rezemate
sumXi = 0
(sumM)A = 0
(sumM)B = 0
(A6)
iar pentru verificarea componentelor verticale VA şi VB se folosește ecuaţia sumY = 0
b) La stabilirea funcţiilor de eforturi se parcurg icircn general etapele următoare
se notează (numeric sau literal după preferinţă) secţiunile care delimitează
domeniile (intervalele sau tronsoanele) pe care eforturile nu-şi modifică funcţiile (au legi
unice de variaţie)
pe fiecare domeniu se marchează secţiunea imaginară icircn care se stabilesc
funcţiile eforturilor
secţiunea astfel aleasă separă icircn două părţi grinda şi anume porţiunea din stacircnga
şi porţiunea din dreapta secţiunii
se va considera parcursă (şi icircndepărtată) acea parte pe care acţionează mai puţine
sarcini exterioare pentru că acestea vor interveni icircn expresiile funcţiilor de eforturi
poziţiile secţiunilor imaginare se vor determina prin variabilele x1 ⋯ xn (unde
n reprezintă numărul domeniilor de variaţie) cu originea fixată icircn capătul intervalului şi
sensul de parcurgere spre partea considerată rămasă
Grinda prezentată icircn figura 220 are trei domenii de variaţie pentru funcţiile de
eforturi după cum urmează (A-1) (2-B) şi (B-1)
Domeniul (A-1) x1 isin [0 a = 6 m] Porţiunea parcursă şi considerată icircndepărtată este cea de coordonată x1 pe care
acţionează reacţiunile HA şi VA precum şi rezultanta parţială a sarcinii distribuite R1 =p ∙ x1
Funcţia forţă axială Nx are expresia
Nx(x1) = NAminus1 = minusHA = minus173 [kN] = const
(A7)
Funcţia forţă tăietoare Ty are exspresia
Ty(x1) = TAminus1 = VA minus R1 = VA minus p ∙ x1 (A8)
care reprezintă o variaţie liniară de variabilă x1 Se calculează valorile forţei tăietoare la
limitele intervalului de variaţie
- pentru x1 = 0 Ty(x1 = 0) = TA = VA = 42 [kN]
- pentru x1 = a = 6 [m] Ty(x1 = 6) = T1 = VA minus p ∙ a = minus18 [kN]
Observaţie Aşa cum a fost stabilită secţiunea fictivă poziţionată prin coordonata
x1 sar părea că rezultanta R ar trebui luată icircn calculul lui Ty(x1) Acest lucru ar fi greşit
pentru că R = p ∙ a reprezintă rezultanta sarcinii distribuite pe toată lungimea a iar
rezultanta pe porţiunea parcursă de lungime x1 este R1 = p ∙ x1 ne R = p ∙ a
Cu valorile obţinute se trasează diagramele forţelor axială Nx = f(x) şi tăietoare
Ty = f(x) figura 220 Din diagrama forţei tăietoare şi din valorile obţinute analitic se
observă că forţa tăietoare icircşi schimbă semnul pe intervalul analizat deci se anulează pe
acest interval Poziţia secţiunii unde Ty se anulează se determină din ecuaţia
Ty(x1) = 0 rArr VA minus p ∙ x1 = 0 (A9)
cu soluţia x1lowast = ξ = 42 [m] Important de reamintit că icircn această secţiune momentul
icircncovoietor va avea un extrem local adică Miz are un extrem la Ty = 0
Funcţia moment icircncovoietor Miz are expresia
Miz(x1) = VA ∙ x1 minus R1 ∙x12= VA ∙ x1 minus (p ∙ x1) ∙
x12
(A10)
Se observă că funcţia moment icircncovoietor de variabilă x1 are o variaţie parabolică
(gradul al II-lea) Pentru reprezentarea grafică a funcţiei parabolice se calculează valorile
momentului icircncovoietor icircn trei secţiuni
- pentru x1 = 0 Miz(x1 = 0) = MA = 0 [kN ∙ m] - pentru x1 = a = 6 [m] Miz(x1 = 6) = M1 = 72 [kN ∙ m] - pentru x1
lowast = ξ = 42 [m] Miz(x1lowast = ξ = 42 [m]) = Mimax = 882 [kN ∙ m]
Cu acestea se trasează diagrama Miz = f(x) pe intervalul (A-1) figura 220
Observaţie Icircn unele cazuri pe un anumit interval forţa tăietoare nu se anulează
şi momentul icircncovoietor nu are un extrem local Icircn acest caz pentru reprezentarea
variaţiei parabolice a momentului icircncovoietor se va studia semnul derivatei a doua a
funcţiei Miz = f(x1) acesta determinacircnd convexitatea curbei momentului icircncovoietor
Domeniul (2-B) x2 isin [0 c = 4 m] Porţiunile din grindă libere (nerezemate) la un capăt se numesc console iar
stabilirea funcţiilor de eforturi devine mai simplă dacă se consideră icircndepărtată partea din
dreapta secţiunii prin schimbarea sensului pozitiv al axei x Astfel se obţin funcţiile eforturilor
Funcţia forţă axială Nx are expresia
Nx(x2) = N2minusB = minusFH = minus173 [kN] = const
(A11)
Funcţia forţă tăietoare Ty are exspresia
Ty(x2) = T2minusB = FV = 10 [kN] = const (A12)
Funcţia moment icircncovoietor Miz are expresia
Miz(x2) = minusFV ∙ x2 rArr Miz(x2 = 0) = M2 = 0 [kN ∙ m]
Miz(x2 = 4) = MB = minus40 [kN ∙ m] (A13)
variaţie liniară (gradul I)
Domeniul (B-1) x3 isin [0 b = 4 m] Pe acest domeniu se acceptă parcurgerea grinzii de la dreapta adică se consideră
icircndepărtată partea din dreapta secţiunii fictive pentru că are doar două sarcini aplicate F
şi VB faţă de partea din stacircnga secţiunii pe care sunt aplicate trei sarcini p VA şi M0
Astfel se obţin funcţiile eforturilor
Funcţia forţă axială Nx are expresia
Nx(x3) = NBminus1 = minusFH = minus173 [kN] = const
(A14)
Funcţia forţă tăietoare Ty are exspresia
Ty(x3) = TBminus1 = FV minus VB = minus18 [kN] = const (A15)
Funcţia moment icircncovoietor Miz are expresia
Miz(x3) = minusFV ∙ (x3 + c) + VB ∙ x3 rArr
rArr Miz(x3 = 0) = MB = minus40 [kN ∙ m]
Miz(x3 = 4) = M1 = 32 [kN ∙ m]
(A16)
variaţie liniară (gradul I)
Diagramele eforturilor sunt prezentate icircn figura 220
c) Relaţiile diferenţiale dintre eforturi şi sarcini se analizează pe diagramele
eforturilor după cum urmează
sarcina distribuită nu are componentă orizontală adică ph = 0 şi icircn
conformitate cu formula (211) rezultă că Nx = const pe toată lungimea grinzii fapt care
a rezultat din funcţia şi reprezentarea diagramei forţei axiale
pe intervalul (A-1) sarcina distribuită are doar componenta verticală pozitivă
pV = p gt 0 prin urmare forţa tăietoare scade (are panta negativă dTy 119889119909frasl = minusp vezi
relaţia 210) iar momentul icircncovoietor avacircnd derivata a doua negativă d2M119894119911 1198891199092frasl =minuspare convexitatea curbei orientată spre sensul pozitiv al axei momentului Miz adică icircn
jos
pe domeniile (2-B) şi (B-1) deoarece pv = 0 forţa tăietoare Ty este constantă
iar momentul icircncovoietor Miz variază liniar
referitor la relaţia (212) pe porţiunile unde Ty gt 0 momentul Miz este
monoton crescător pe porţiunile unde Ty lt 0 momentul Miz este monoton descrescător
iar icircn secţiunea icircn care Ty = 0 momentul icircncovoietor are un extrem local Mξ =
882 [kN ∙ m] icircn diagrama forţei tăietoare discontinuităţile (salturile) se produc icircn secţiunile
unde acţionează VA VB şi FV iar icircn diagrama momentului icircncovoietor se produce un
singur salt icircn secţiunea icircn care este aplicat M0
se poate scrie
Mξ = suprafața diagramei Ty |ξ0=1
2∙ 42 ∙ 42 = 882 [kN ∙ m]
sau parcurgacircnd grinda de la dreapta la stacircnga rezultă
MB = minussuprafața diagramei Ty |c0= minus10 ∙ 4 = minus40 [kN ∙ m]
Toate aspectele analizate teoretic referitoare la relaţiile diferenţiale dintre eforturi
şi sarcini se regăsesc icircn diagramele de eforturi din figura 220 ceea ce icircnseamnă că
diagramele au fost reprezentate corect
3 TENSIUNI DEPLASĂRI ŞI DEFORMAŢII SPECIFICE
31 Tensiuni
Eforturile obținute icircn urma reducerii forțelor interioare icircn centrul de greutate al
secțiunii nu pot da informații asupra solicitării fiecărui punct al secțiunii respective Este
necesar să se cunoască modul cum se distribuie forțele interioare icircn fiecare punct al
secțiunii pentru a ști care este intensitatea maximă a solicitării Această intensitate
maximă se poate compara cu o valoare critică specifică materialului stabilindu-se astfel
dacă solicitarea este periculoasă sau nu
Mărimea care caracterizează solicitarea locală punctuală o vom denumi tensiune
și o vom defini icircn cele ce urmează Să considerăm partea din dreapta a unui corp solicitat
de forțele exterioare 1198651 1198652 și 1198653 obținută prin secționarea corpului și mărginită de fața
din dreapta Ad a secțiunii Pe secțiunea Ad vom considera un element de arie infinit mic
∆119860 caracterizat de normala la elementul de arie normală care are cosinușii directori
120573 și icircn raport cu un sistem de axe considerat fix Pe elementul infinit mic ∆119860 acționează
forțele interioare care au o rezultantă oarecare figura 31
Prin definiție tensiunea totală este
= lim∆119860rarr0
∆
∆119860 (31)
Tensiunea are aceeaşi direcţie cu forţa elementară ∆ iar mărimea ei este
determinată atacirct de mărimea forţei ∆ cacirct şi de orientarea suprafeţei ∆119860 faţă de direcţia
forţei
Tensiunea 119901 poate fi descompusă icircntr-o componentă orientată după direcţia
normalei la secţiune tensiunea normală notată cu 120590119909 şi o componentă icircn planul secţiunii
tensiunea tangenţială notată cu figura 32
= 119909 + 120591 (32)
Fig 31 Tensiunea totală Fig 32 Tensiunea normală și tangențială
La racircndul ei componenta tensiunii cuprinsă icircn planul secțiunii poate fi
descompusă după direcțiile axelor y și z
120591 = 120591119909119910 + 120591119909119911 (33)
Icircntre cele trei componente ale tensiunii totale care acționează pe elementul de arie
∆119860 este valabilă relația
1199012 = 1205901199092 + 120591119909119910
2 + 1205911199091199112 (34)
După sensul pe care icircl are tensiunea normală 120590 poate avea efect de tracţiune sau
de compresiune exercitat de către partea de corp icircnlăturată asupra părţii rămase Analog
tensiunea tangenţială 120591 poate avea efect de tăiere forfecare sau alunecare Pentru
componentele tensiunii tangențiale 120591119909119910 pe direcţia 119910 respectiv 120591119909119911 pe direcţia 119911 primul
indice indică axa pe care tensiunea este normală iar cel de-al doilea indice indică axa cu
care aceasta este paralel
Tensiunea este o mărime tensorială valoarea ei depinzacircnd atacirct de poziția
punctului icircn planul secțiunii cicirct și de orientarea planului de secționare deci de normala
Operaţiile vectoriale nu pot fi aplicate tensiunilor decacirct după ce acestea au fost icircnmulţite
cu ariile respective adică au fost transformate icircn forţe
Icircn literatura de specialitate mai ales icircn manualele mai vechi pentru noţiunea de
tensiune se mai foloseşte şi denumirea de efort specific
Dacă se consideră un alt element de arie ∆119860 cu centrul icircn același punct avacircnd ca
normală axa 119910 se vor obține alte tensiuni și anume
- 120590119910 este tensiunea normală (paralelă cu axa y)
- 120591119911119909 și 120591119910119911 sunt tensiuni tangențiale paralele cu axele 119909 și respectiv 119911 aflate icircn
planul care are ca normală axa 119910
Dacă icircn jurul unui punct dintr-un corp solicitat se consider un element de volum
infinit mic de forma unui cub icircn cazul cel mai general pe fețele sale vor acționa
tensiunile normale 120590119909 120590119910 și 120590119911 și respectiv tensiunile tangențiale 120591119909119910 120591119909119911 120591119910119909 120591119910119911 120591119911119909
și respectiv 120591119911119910 figura 33 Aceste tensiuni definesc starea de tensiune a punctului
observacircnd faptul că tensorul tensiune are 9 componente Dacă se consideră elementul
de volum finit ca fiind foarte mic se poate presupune că icircn interiorul său nu apar forțe
Ca urmare el va fi icircn echilibru sub acțiunea forțelor elementare produse de tensiunile de
pe fețele sale
Din condiția ca elementul să nu se rotească icircn jurul unor axe care trec prin centrul
său și sunt paralele cu axele sistemului 119909119874119910119911 rezultă
2 ∙ 120591119909119910 ∙ (119889119910 ∙ 119889119911) ∙119889119909
2= 2 ∙ 120591119910119909 ∙ (119889119909 ∙ 119889119911) ∙
119889119910
2 rArr 120591119909119910 = 120591119910119909 (35)
2 ∙ 120591119910119911 ∙ (119889119909 ∙ 119889119911) ∙119889119910
2= 2 ∙ 120591119911119910 ∙ (119889119909 ∙ 119889119910) ∙
119889119911
2 rArr 120591119910119911 = 120591119911119910 (36)
2 ∙ 120591119909119911 ∙ (119889119910 ∙ 119889119911) ∙119889119909
2= 2 ∙ 120591119911119909 ∙ (119889119909 ∙ 119889119910) ∙
119889119911
2 rArr 120591119909119911 = 120591119911119909 (37)
Relațiile (35divide37) 120591119909119910 = 120591119910119909 120591119910119911 = 120591119911119910 120591119909119911 = 120591119911119909 exprimă principiul dualității
tensiunilor tangențiale
Fig 33 Tensiunile normale și tangențiale pe fețele unui cub
Din condiția ca elementul considerat să nu se deplaseze icircn lungul axelor de
coordonate pe fețele opuse acționează aceleași tensiuni normale 120590119909 120590119910 și respectiv 120590119911
Definirea tensorului tensiune este posibilă dacă se cunosc cele 6 componente
independente ale acestuia aflate icircn trei plane perpendicular ce trec prin punctul respectiv
=
120590119909 120591119909119910 120591119909119911120591119910119909 120590119910 120591119910119911120591119911119909 120591119911119910 120590119911
Observaţii
Tensiunile se măsoară icircn [119873 1198982frasl ] (1119873 1198982frasl = 1 119875119886) sau icircn [119872119875119886]
(1 119872119875119886 = 106119875119886 = 106 119873
1198982 1 119872119875119886 = 1
119873
1198981198982)
Starea de tensiune dintr-un punct este considerată cunoscută dacă se cunosc
tensiunile 119901 care acționează pe infinitatea de elemente de suprafață ce trec prin punctual
considerat
Starea de tensiune a unui corp se consider cunoscută dacă se cunosc stările de
tensiune de pe infinitatea de puncte ale corpului considerat
32 Deplasări Deformaţii specifice
321 Deplasări
Aceste noțiuni sunt utile icircn analiza aspectului geometric al problemelor de rezistența
materialelor Deplasările care se analizează sunt cele datorate schimbării formei și
dimensiunilor corpurilor ca urmare a acțiunii forțelor exterioare și nu cele cinematice
posibile pentru solidul rigid care se poate deplasa cu anumită viteză și accelerație
Spre exemplu icircn figura 34a și figura 34b sub acțiunea forței 119865 tronsonul de
bară AB se deformează icircn timp ce tronsonul BC deși punctele sale au deplasări rămacircne
nedeformat (fiind nesolicitat) Toate punctele de pe axele barelor cu excepția celor din
icircncastrare (secțiunile A) au deplasări liniare De cele mai multe ori deformațiile barelor
datorate acțiunii forțelor exterioare se anulează la icircndepărtarea forțelor se spune că
deformațiile sunt elastice Secțiunile transversale ale barei din figura 34a se și rotesc icircn
raport cu pozițiile lor inițiale Spre exemplu secțiunea de căpăt cu centrul icircn C se rotește
cu unghiul
Fig 34 Deformațiile unei grinzi
Oricacirct de complexă ar fi delormația unui corp ea poate fi descrisă de lungiri sau
scurtări și de modificări ale unghiurilor inițiale
Deplasările măsoară schimbarea poziției unui punct al corpului și pot fi liniare
sau unghiulare
Prin deplasare liniară a unui punct se icircnțelege drumul parcurs de acest punct icircn
decursul procesului de deformație după o dreaptă suport dreapta 1198611198611 din figura 34a
Prin deplasare unghiulară se icircnțelege rotirea dintre segmentele de dreaptă
determinate de două puncte ale corpului icircnainte și după deformarea acestuia unghiul
pe care-l fac segmentele 119861119862 și 11986111198621 din figura 34a Această rotire se măsoară prin
unghiul pe care-l fac proiecțiile dreptelor ce conțin cele două segmente icircntr-un sistem
triortogonal
Icircn cazul cel mai general vectorul deplasare liniară se poate descompune icircntr-un
sistem triortogonal icircn trei componente 119906 119907 și 119908 figura 35
Fig 35 Deplasarea liniară
Se consideră acum un corp solid raportat la un sistem de axe ortogonal 119909119874119910119911
figura 35 după deformarea corpului un punct oarecare 119870 al acestuia se deplasează icircn
poziţia 1198701 vectorul 1198701198701 poartă numele de vectorul deplasării totale
Deplasarea totală este suma deplasărilor pe cele trei direcţii ortogonale iar
aceste deplasări se notează astfel
deplasarea pe direcţia 119909 cu ∥ 119874119909
deplasarea pe direcţia 119910 cu ∥ 119874119910
deplasarea pe direcţia 119911 cu ∥ 119874119911
Componentele deplasărilor și formeză matricea deplasărilor liniare 119906119907119908
322 Deformații
Prin deformație icircn general se icircnțelege orice schimbare de formă a unui corp fără
o evaluare cantitativă Icircn Rezistența Materialelor deformația măsoară variația
dimensiunilor geometrice ale corpului considerat din vecinătatea unui punct analog
deplasărilor deformațiile pot fi liniare și unghiulare (lunecări)
Fig 36 Deplasarea liniară
Deformația liniară ∆119897 reprezintă variația lungimii 119897 a unui element liniar al
corpului deformat figura 36 Deformația liniară specifică se definește ca fiind raportul
dintre deformația liniară și lungimea inițială
휀 =∆119897
119897 (38)
unde ∆119897 este lungirea sau scurtarea care este echivalentă cu deformția liniară totală iar
este alungirea
Deformația unghiulară sau lunecarea unui punct 119860 icircn planul 119861119860119862 se definește
prin relația figura 37
120574 = lim119861119860rarr0119862119860rarr0
(119861119860 minus 119861111986011198621 ) (39)
Fig 36 Deformația unghiulară
Schimbacircnd orientarea planului care trece prin 119860 se obțin alte deformații
unghiulare Dacă elementele liniare 119861119860 și 119862119860 sunt inițial perpendiculare deformația 120574 se
numește deformație unghiulară specifică sau lunecare specifică figura 37
Un exemplu de deplasare unghiulară și de deformație unghiulară este prezentat icircn
figura 38 Unghiul este deplasarea unghiulară și măsoară rotirea relativă dintre două
secțiuni aflate la distanța 119897 Unghiul este deformația specifică unghiulară (lunecarea
specifică) din punctul 119870 Aceste deplasări și deformații se obțin icircn urma solicitării barei
de către cele două momente 1198720 egale și de sens contrar
Fig 38 Deplasarea unghiulară
Pentru a analiza starea de deformație din vecinătatea unui punct al unui corp
solicitat complex se decupează din jurul punctului un element de volum mic figura 39a
avacircnd laturile 119889119909 119889119910 și 119889119911 Ca urmare a solicitării laturile acestuia se vor lungi sau
scurta Reprezentarea elementului deformat icircn spațiu este dificilă pentru simplificare
vom analiza doar deformațiile din planul 119909119874119910 Observăm că dimensiunile 119889119909 și 119889119910 s-au
modificat cu valoarea ∆119889119909 respectiv cu ∆119889119910 analog se acceptă și pentru 119889119911 o modificare
de forma ∆119889119911 Astfel se pot defini deformațiile specifice liniare
휀119909 =∆119889119909
119889119909 휀119910 =
∆119889119910
119889119910 휀119911 =
∆119889119911
119889119911 (310)
De cele mai multe ori aceste deformații specifice liniare se pot exprima procentual
și se mai numesc alungiri
Fig 39 Starea de deformație
Icircn figura 39c se vede că unghiul inițial drept dintre muchiile 119889119909 și 119889119910 ale
elementului de volum s-a modificat Se definește deformația specifică unghiulară (sau
lunecarea specifică) mărimea cu care se modifică unghiul inițial drept
120574119909119910 = 120574119909119910prime + 120574119910119909
prime = 120574119910119909120574119910119911 = 120574119910119911
prime + 120574119911119910prime = 120574119911119910
120574119911119909 = 120574119911119909prime + 120574119909119911
prime = 120574119909119911
(311)
Deformațiile 휀119909 휀119910 휀119911 120574119909119910 120574119910119911 120574119911119909 constituie cele șase componente
independente ale tensorului deformațiilor specifice care pot fi scrise de forma
119863 =
휀119909 120574119909119910 120574119909119911120574119910119909 휀119910 120574119910119911120574119911119909 120574119911119910 휀119911
(312)
323 Contracţia transversală
Practica arată că odată cu lungirea unei bare apare o micşorare a mărimii secţiunii
transversale mărime numită contracţie transversală figura 310
Fig 310 Contracția transversală
Contracţia transversală este proporţională cu lungirea specifică coeficientul de
proporţionalitate se notează cu 120599 şi se numeşte coeficient de contracţie transversală sau
coeficientul lui Poisson
La o lungire specifică a barei contracţia transversală este dată de relația
휀119905119903 = 휀119910 = 휀119911 = minus120599 ∙ 휀119909 (313)
Semnul minus bdquo-rdquo arată că cele două mărimi sunt contrare dacă una creşte cealaltă
scade şi invers
Considerăm o bară cilindrică de lungime 119897 şi aria secţiunii transversale 119860 solicitată
la icircntindere axială La un moment dat datorită solicitării lungimea barei devine
[119897 ∙ (1 + 휀)] diametrul devine [119889 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)] iar aria secţiunii transversale devine
[119860 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)2] Dacă volumul barei icircnainte de solicitare a fost (119860 ∙ 119897) după solicitare
acesta devine
119881 + ∆119881 = 119860 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)2 ∙ 119897 ∙ (1 + 휀) =
= 119860 ∙ 119897 ∙ (1 + 휀 minus 2 ∙ 120599 ∙ 휀 minus 2 ∙ 120599 ∙ 휀2 + 1205992 ∙ 휀2 + 1205992 ∙ 휀3) (314)
Deoarece lungirile sunt foarte mici ultimii trei termeni din paranteză fiind infinit mici se pot neglija obţinacircnd
119881 + ∆119881 = 119860 ∙ 119897 + 119860 ∙ 119897 ∙ 휀 ∙ (1 minus 2 ∙ 120599) ⟺ ∆119881 = 휀 ∙ (1 minus 2 ∙ 120599) ∙ 119860 ∙ 119897 (315)
Practica arătă că o astfel de bară solicitată la icircntindere icircşi măreşte volumul deci
∆119881 gt 0 de unde rezultă că
1 minus 2 ∙ 120599 gt 0 rArr 120599 lt 05 (316)
Pentru majoritatea materialelor 120599 = 033 iar pentru materialele care-şi păstrează
volumul constant 120599 = 05
33 Relaţii de echivalenţă icircntre eforturi şi tensiuni
Considerăm un element de suprafață infinit mic 119889119860 situat pe fața de arie (119860) a
secțiunii barei din figura 311 Icircn centrul de greutate 119862 al secțiunii acționează eforturile
119873 119879119910 119879119911 119872119909 119872119894119910 și 119872119894119911 determinate prin metoda secțiunilor
Icircn raport cu un sistem de axe de referință 119909119862119910119911 coordonatele elementului 119889119860 sunt
- 119910 este ordonata elementului de arie 119889119860
- 119911 este abscisa elementului de arie 119889119860
Pe elementul de arie 119889119860 acționează tensiunile
120590119909 tensiunea normală
120591119909119910 și 120591119909119911 tensiuni tangențiale
Dacă se icircnsumează forțele elementare de tipul 120590119909 ∙ 119889119860 120591119909119910 ∙ 119889119860 și 120591119909119911 ∙ 119889119860
va trebui să obținem eforturile 119873 119879119910 și 119879119911
Fig 311 Element de suprafață mic din secțiunea unei bare
Dacă eforturile sunt privite ca forțe exterioare și se scriu ecuațiile de
echilibru ale secțiunii (119860) se vor obține șase relații de echivalență icircntre eforturi și
tensiuni
(sum119883) = 0 rArr int 120590119909 ∙ 119889119860
119860
= 119873 (317)
(sum119884) = 0 rArr int 120591119909119910 ∙ 119889119860
119860
= 119879119910 (318)
(sum119885) = 0 rArr int 120591119909119911 ∙ 119889119860
119860
= 119879119911 (319)
(sum119872)119909= 0 rArr int(120591119909119911 ∙ 119889119860) ∙ 119910
119860
minus int(120591119909119910 ∙ 119889119860) ∙ 119911
119860
= 119872119909 rArr
rArr int(119910 ∙ 120591119909119911 minus 119911 ∙ 120591119909119910) ∙ 119889119860
119860
= 119872119909
(320)
(sum119872)119910= 0 rArr int(120590119909 ∙ 119889119860) ∙ 119911
119860
= 119872119894119910 (321)
(sum119872)119911= 0 rArr int(120590119909 ∙ 119889119860) ∙ 119910
119860
= 119872119894119911 (322)
Cele șase relații de echivalență icircntre eforturi și tensiuni constituie un pas icircnainte
icircn rezolvarea unei probleme de rezistența materialelor Aceste relații vor permite
determinarea tensiunilor maxime
Pentru a rezolva cele 6 relații de echivalență trebuie să se cunoască tensiunile și
ca funcții de punct adică funcții de forma
120590119909 = 120590119909(119909 119910 119911) 120591119909119910 = 120591119909119910(119909 119910 119911) 120591119909119911 = 120591119909119911(119909 119910 119911) (32
3)
Cunoașterea acestor funcții presupune icircnsă analizarea aspectului geometric al
problemei precum și utilizarea unor ipoteze simplificatoare care să permită simplificarea
problemelor
34 Ipoteze de bază icircn rezistenţa materialelor
Depășirea dificultăților legate de interpretarea unor fenomene specifice mecanicii
solidului deformabil a impus acceptarea unor ipoteze care să simplifice fenomenele și să
contribuie la elaborarea unor modele de calcul cicirct mai generale și cacirct mai simple Aceste
ipoteze se referă la structura materialelor şi la comportarea lor sub acţiunea forţelor
exterioare Ipotezele acceptate trebuie să fie icircn deplină concordanţă cu realitatea și să
conducă la rezultate verificate icircn practică
Funcție de aspectele la care se referă ipotezele pot fi
Ipoteze fizice (de material)
Ipoteze de calcul
341 Ipoteze fizice
Se acceptă deoarece teoriile structurale au condus la rezultate care contravin
icircncercărilor experimentale
Ipoteza mediului continuu consideră că orice domeniu elementar al corpului
este ocupat de materie adică nu se acceptă existența unor goluri sau a unor crăpături
microscopice (fisuri) Deși nu corespunde realităţii poate fi acceptată deoarece
dimensiunile corpului sunt mult mai mari decacirct dimensiunile particulelor elemantare Are
avantajul că permite utilizarea proprietăților matematice ale funcțiilor continue pentru
tensiunile și deformațiile din orice punct al corpului Ea este mai apropiată de realitate la
corpurile amorfe şi mai depărtată la cele cristaline dar conduce la rezultate satisfăcătoare
icircn calculele de rezistenţă
Ipoteza nu se poate aplica la corpurile care au goluri tăieturi (multiplu conexe)
pentru unele puncte singulare icircn care tensiunile și deformațiile tind la infinit sau icircn unele
probleme de plasticitate icircn care proprietățile de material au un rol esențial
Ipoteza izotropiei conform acestei ipoteze materialul din care este confecționat
un element de rezistență are aceleași proprietăți după orice direcție un astfel de material
este considerat izotrop Din punct de vedere macroscopic metalele pot fi considerate
izotrope deși la nivel microscopic proprietățile lor diferă de la o direcție cristalografică
la alta Orice conglomerat de cristale poate fi considerat izotrop
Există cazuri cacircnd această ipoteză a izotropiei nu se acceptă
la metalele puternic deformate după o direcție (prin laminare trefilare)
la piesele confecționate din lemn lemnul este anizotrop deoarece proprietățile sale
diferă după două direcții (icircn lungul fibrelor și perpendicular pe această direcție)
Ipoteza omogenității consideră că un corp are aceleași proprietăți icircn orice
punct al său Deși majoritatea materialelor utilizate icircn tehnică sunt eterogene la scară
micro fiind constituite din mai multe faze cu proprietăți diferite la scară macro ele pot
fi considerate omogene Omogenitatea și izotropia sunt proprietăți statistice medii care
nu se condiționează una pe cealaltă Chiar și materialele monofazice pot avea la scară
micro unele segregații care le fac eterogene
Ipoteza elasticităţii perfecte presupune că atacircta timp cacirct solicitările nu
depăşesc anumite limite materialul are o comportare elastică adică icircşi recapătă forma şi
dimensiunile iniţiale odată cu icircnlăturarea sarcinilor Icircn realitate materialele nu prezintă o
elasticitate perfectă ele avacircnd deformaţii remanente mici care icircnsă pot fi neglijate icircn
calculele de rezistenţă
Acceptarea acestei ipoteze a elasticității perfecte permite
- aplicarea relației biunivoce icircntre tensiuni și deformații relație exprimată de legea
lui Hooke ( = 119864 ∙ 휀) unde E este un factor de proporţionalitate numit modul de
elasticitate longitudinal al materialului pentru oţel 119864 = 21 ∙ 105 [119872119875119886] - acceptarea valabilității afirmației bdquolucrul mecanic efectuat de forțele exterioare
ca urmare a parcurgerii deplasărilor punctelor de aplicație se icircnmagazinează integral icircn
corp sub formă de energie de deformație energie cedată la icircndepărtarea sarcinilorrdquo
- este valabilă teoria conform căreia bdquoenergia icircnmagazinată și deformațiile depind
doar de starea inițială și finală de eforturi fără a ține cont de modul icircn care s-a ajuns la
starea finalărdquo
Icircn realitate oricacirct de mici ar fi sarcinile aplicate se produc și deformații plastice
dar acestea pot fi neglijate dacă solicitarea nu depășește anumite limite
342 Ipoteze de calcul
Ipoteza micilor deplasări bdquodeplasările datorate deformării sunt mult mai mici
decacirct dimensiunile corpurilor și ca urmare pot fi neglijate produsele dintre o deplasare și
ea icircnsăşirdquo Pentru cele mai multe corpuri deformaţiile elastice sunt de mărimi mici deci
corpurile solide sub acţiunea sarcinilor icircşi modifică foarte puţin forma iniţială Această
ipoteză este cunoscută şi sub denumirea de ipoteza menţinerii dimensiunilor iniţiale Ea
permite scrierea ecuaţiilor de echilibru ale staticii pe starea nedeformată a elementului
cacircnd nu se iau icircn considerare deplasările punctelor de aplicaţie ale forţelor care se produc
ca urmare a deformării acestuia Calculul efectuat pe schema nedeformată poartă numele
de calcul de ordinul I
Ipoteza micilor deplasări nu poate fi acceptată pentru studiul problemelor de
stabilitate sau la problemele la care nu pot fi icircndeplinite condiţiile de echilibru icircn starea
nedeformată
Calculul de ordinul II admite ipoteza micilor deplasări dar ecuaţiile de echilibru
se scriu icircnsă pentru starea deformată a elementului de rezistenţă
Calculul de ordinul III nu mai acceptă ipoteza micilor deplasări el referindu-se
la cazul deformaţiilor mari cacircnd ecuaţiile de echilibru trebuie scrise pentru starea
deformată
Chiar dacă materialul satisface legea lui Hooke icircn urma calculelor de ordinul II
se obţin de obicei relaţii neliniare icircntre sarcini şi deplasări iar pentru calculul de ordinul
III rezultă ecuaţii diferenţiale neliniare
Principiul efectului local al acțiunii sarcinilor enunțat de Barre de Saint-
Venant Acest principiu destul de folosit icircn Rezistenţa Materialelor precizează că dacă
se icircnlocuiesc forţele care acţionează asupra unui element de suprafață al unui corp
elastic printr-un alt sistem de forţe echivalent din punct de vedere static cu primul noua
distribuţie a forţelor produce la locul de aplicare diferenţe semnificative faţă de prima
dar rămacircne fără efect sau cu efect neglijabil la distanţe mari de locul de aplicare al
forţelor figura 312
Ca o cosecință o sarcină uniform distribuită figura 312a poate fi icircnlocuită cu
rezultanta ei figura 312b dacă se analizează efectul sarcinii la distanță mare de locul icircn
care se aplică sarcina
Fig 312 Principiul Saint-Venant
Icircn prima variantă figura 312a forţa 119865 se aplică pe o porțiune oarecare 119897 (sarcină
uniform distribuită) iar icircn a doua figura 312b icircntru-un punct (forţă concentrată) La
locul de aplicare a sarcinii efectul asupra barei este cu totul diferit de la o variantă la
cealaltă Icircnsă la o distanţă mare de punctul de aplicaţie spre exemplu icircn secţiunea situată
la distanţa 119886 de capătul barei sau chiar icircn icircncastrare ambele bare sunt solicitate la fel
Icircn cazul din figura 312a
119872119894(119909) =119901 ∙ 1199092
2 119909 le 119897 119872119894(119909) = 119901 ∙ 119897 ∙ (119909 minus
119897
2) 119909 gt 119897 (324)
Icircn cazul din figura 312b
119872119894(119909) = 0 119909 lt119897
2 119872119894(119909) = 119901 ∙ 119897 ∙ (119909 minus
119897
2) 119909 gt
119897
2 (325)
Se vede că pentru (119909 gt 119897) adică după depășirea locului icircn care se aplică sarcina
efectul este același
Ipoteza lui Bernoulli sau ipoteza secţiunilor plane precizează că o secţiune
plană şi normală pe axa barei icircnainte de deformare rămacircne plană şi normală pe axa
barei şi după deformare figura 313
Fig 313 Ipoteza lui Bernoulli
Ipoteza stării naturale a corpului sau ipoteza absenţei tensiunilor conform
căreia pentru un corp nesolicitat starea de tensiune şi deformaţie este nulă
Perfecţionarea mijloacelor de calcul şi de investigare pot conduce la renunţarea la
unele ipoteze sau la introducerea altora noi mai aproape de stările reale De aici rezultă
caracterul de continuă perfecţionare a metodelor Rezistenţei Materialelor
35 Coeficienţi de siguranţă Tensiuni admisibile
O piesă corespunde din punct de vedere tehnic dacă tensiunile care iau naştere icircn
interiorul piesei datorită sarcinilor aplicate nu depăşesc anumite valori limită stabilite
convenţional Aceste valori limită ale tensiunii sunt corelate cu caracteristicile mecanice
ale materialelor
Tensiunea limită utilizată icircn calculele de rezistenţă este cunoscută sub denumirea
de tensiune admisibilă sau rezistenţă admisibilă Rezistenţa admisibilă reprezintă
valoarea convenţională aleasă icircn calcul pe baza practicii pentru tensiunea maximă care
poate apare icircntr-o piesă icircn condiţii date de material şi solicitare
Rezistenţa admisibilă (120590119886 sau 120591119886) poate fi definită faţă de o stare limită
periculoasă stare care trebuie evitată deoarece poate conduce distrugere
120590119886 =120590119897119894119898119888
(326)
unde
120590119897119894119898 este tensiunea corespunzătoare stării limită periculoase
119888 estesupraunitar 119888 gt 1 și reprezintă coeficientul de siguranţă faţă de starea limită
periculoasă considerată
Alegerea unor valori inferioare pentru rezistenţa admisibilă faţă de tensiunea
corespunzătoare stării limită periculoase este necesară deoarece
cunoaşterea sarcinilor este de cele mai multe ori aproximativă şi o depăşire a
acestora este foarte posibilă
caracteristicile mecanice ale materialelor variază icircn limite destul de mari ele
fiind influenţate de mulţi factori
schema aleasă pentru calcul (aplicarea sarcinilor schematizarea structurii
ipotezele de calcul etc) depărtează modelul faţă de cel real
Pentru calculele de verificare tensiunea efectivă maximă din elementul de
rezistenţă trebuie să fie mai mică sau cel mult egală cu cea admisibilă
120590119890119891119898119886119909 le 120590119886 (327)
Valoarea rezistenţei admisibile este influenţată de foarte mulţi factori natura
materialului tratamentele termice aplicate piesei durata de funcţionare a piesei modul
de acţionare icircn timp a sarcinilor felul solicitării temperatura gradul de periculozitate
icircn cazul cedării piesei etc
De asemenea valoarea coeficientului de siguranţă se alege icircn principal ţinacircnd
seama de aceiaşi factori care influenţează şi rezistenţa admisibilă
Rezistenţele admisibile pentru cacircteva materiale sunt următoarele
pentru oțelul de uz general OL37 solicitat la icircntindere compresiune sau
icircncovoiere 120590119886 = 150 [119872119875119886] pentru lemnul de brad solicitat la
- compresiune icircn lungul fibrelor şi solicitat la icircncovoiere 120590119886 = 10 [119872119875119886] - tracţiune icircn lungul fibrelor 120590119886 = 7 [119872119875119886] - compresiune perpendiculară pe fibre 120590119886 = 15 [119872119875119886] - forfecare icircn lungul fibrelor 120591119886 = 2 [119872119875119886] - forfecare perpendiculară pe fibre 120590119886 = 45 [119872119875119886]
terenuri de fundaţie din pămacircnt uscat sau umed 120590119886 = 020 divide 025 [119872119875119886]
4 CARACTERISTICI GEOMETRICE ALE SECȚIUNILOR PLANE
41 Noţiuni introductive
Icircn relaţiile de calcul ale tensiunilor şi deformaţiilor elementelor de rezistenţă
pentru unele solicitări (icircncovoierea și torsiunea) secțiunile plane intervin atacirct prin
dimensiunile lor (aria 119860) cicirct și prin forma și poziția pe care o are secțiunea icircn raport cu
planul solicitării Mărimile care caracterizează o secțiune icircn raport cu forma și poziția față
de axele unui sistem de referință sunt denumite caracteristici geometrice de ordin
superior Aria secțiunii este caracteristica geometrică ce depinde doar de dimensiunile
geometrice ale acesteia
Să considerăm o grindă solicitată de o forță exterioară 119865 aşezată icircn două poziții icircn
raport cu planul forţei figura 41 Icircn urma aplicării forței deși avem aceeași grindă
(aceeași arie a secțiunii transversale) și aceeași forță se constată că pentru varianta din
figura 41a deformațiile sunt mult mai mari adică rezistența la icircncovoiere a grinzii din
figura 41a este mai mare decacirct icircn cazul grinzii din figura 41b Comportarea diferită se
explică prin aceea că modificarea poziţiei secţiunii transversale faţă de planul forţelor
modifică caracteristicile geometrice ale secţiunii transversale a grinzii
Fig 41 Grindă solicitată de forța 119865
Pentru realizarea calculelor de rezistenţă şi rigiditate este foarte importantă
cunoaşterea caracteristicilor geometrice ale suprafeţei secţiunii transversale a elementelor
de rezistenţă
Caracteristicile geometrice ale secţiunii transversale a unui element de rezistenţă
sunt
- aria secțiunii notată cu 119860
- momentul static icircn raport cu o axă notat 119878119911 și respectiv 119878119910
- momentul de inerție care poate fi
axial notat 119868119911 și respectiv 119868119910
centrifugal notat 119868119911119910
polar notat 119868119901
- raza de inerţie (giraţie)notată 119894119911 și respectiv 119894119910
- modulul de rezistență care poate fi
axial notat 119882119911 și respectiv 119882119910
polar notat 119882119901
42 Aria și momentul static al suprafețelor plane
Fie o suprafaţă plană de arie 119860 pe care se ia un element infinit mic de arie 119889119860 şi
un sistem de axe rectangulare 119911119874119910 figura 42 Notăm cu 119862 centrul de greutate al suprafeţei
119860 Poziţia suprafeţei elementare 119889119860 faţă de acelaşi sistem de coordonate 119911119874119910 este dată
de abscisa 119911 ordonata 119910 și raza polară
Fig 42 Suprafață plană de arie 119860
Aria suprafeţei 119860 figura 42 se defineşte ca fiind
119860 ≝ int 119889119860
119860
(41)
Aria suprafeţei este icircntotdeauna pozitivă și se măsoară icircn [1198981198982] Momentul static al suprafeţei de arie 119860 icircn raport cu axele 119874119911 și respectiv 119874119910
figura 42 sunt date de relaţiile
119878119911 ≝ int 119910 ∙ 119889119860
119860
119878119910 ≝ int 119911 ∙ 119889119860
119860
(42)
Momentul static poate fi pozitiv negativ sau nul şi se măsoară icircn [1198981198983] Coordonatele centrului de greutate ale suprafeței 119860 se detrmină cu relațiile
119910119862 ≝int 119910 ∙ 119889119860119860
119860 119911119862 ≝
int 119911 ∙ 119889119860119860
119860
(43)
Cunoscacircnd coordonatele 119910119862 și 119911119862 ale centrului de greutate 119862 al secțiunii 119860 atunci
momentele statice se pot determina cu relațiile
119878119911 ≝ int 119910 ∙ 119889119860
119860
= 119910119862 ∙ 119889119860 119878119910 ≝ int 119911 ∙ 119889119860
119860
= 119911119862 ∙ 119889119860 (44)
Aceste relații arată că momentul static al unei suprafețe icircn raport cu o axă este
egal cu produsul dintre aria suprafeței și distanța de la centrul ariei la axa respectivă
Dacă suprafaţa se poate descompune icircn 119899 suprafeţe simple la care se cunosc ariile
(1198601 1198602 ⋯ 119860119894⋯ 119860119899) și poziţiile centrelor de greutate 119862119894 faţă de sistemul de referinţă
expresiile momentelor statice capătă următoarea formă
119878119911 = sum 119910119862119894 ∙ 119860119894119899119894=1 = 119910119862 ∙ 119860 119878119910 = sum 119911119862119894 ∙ 119860119894
119899119894=1 = 119911119862 ∙ 119860 (45)
Din relaţiile (45) rezultă că poziţia centrului de greutate 119862 al unei suprafeţe
compuse poate fi determinată cu relaţiile
119910119862 = (sum119910119862119894 ∙ 119860119894
119899
119894=1
) 119860frasl 119911119862 = (sum119911119862119894 ∙ 119860119894
119899
119894=1
) 119860frasl (46)
Icircn relația (45) 119910119862119894 și respectiv 119911119862119894 reprezintă coordonatele centrelor de greutate 119862119894
ale fiecărei suprafețe simple 119860119894 icircn raport sistemul de axe 119911119874119910
Se constată (relaţia 42) că dacă axele sistemului de referinţă trec prin centrul de
greutate (119910119862 = 119911119862 = 0) momentele statice sunt nule Axele icircn raport cu care momentele
statice sunt nule şi care trec prin centrul de greutate al suprafeţei se numesc axe centrale
Observație dacă secțiunea compusă are o axă de simetrie centrul secțiunii se
găsește pe acea axă iar dacă secțiunea este dublu simetrică poziția centrului secțiunii este
la intersecția axelor de simetrie
43 Momente de inerţie
Momentele de inerţie axiale ale unei suprafețe se calculează icircn raport cu axele de
coordonate 119874119911 și respectiv 119874119910 figura 42 și se determină cu relațiile
119868119911 ≝ int 1199102 ∙ 119889119860
119860
119868119910 ≝ int 1199112 ∙ 119889119860
119860
(47)
Unde 119910 și 119911 sunt distanțele de la elementul de arie 119889119860 la cele două axe de
coordonate 119874119911 și respectiv 119874119910
Momentele de inerţie axiale se măsoară icircn [1198981198984] şi sunt icircntotdeauna pozitive (aria
119889119860 este icircntotdeauna pozitivă și este multiplicată cu patratul distanței 1199102 dacă 119868119911 sau 119868119910
sunt nule icircnseamnă ca secțiunea nu există)
Momentele de inerție axiale se calculează icircndeosebi pentru axele centrale (care
trec prin centrul secțiunii) deoarece icircn raport cu acele axe 119868119911 și 119868119910 au valori minime
Momentul de inerţie centrifugal calculat faţă ambele axe ale sistemului de
referinţă 119911119874119910 este definit de relația
119868119911119910 ≝ int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860
(48)
Momentul de inerţie centrifugal se măsoară icircn [1198981198984] şi poate fi pozitiv negativ
sau nul
Momentul de ineție centrifugal este nul 119868119911119910 = 0 dacă cel puțin una din axele 119874119911
sau 119874119910 este axă de simetrie pentru secțiune
Se consideră o suprafaţă dreptunghiulară pe care faţă de axa de simetrie 119874119910 se iau
două suprafeţe elementare de arie 119889119860 simetrice faţă de axa 119874119910 figura 43
Fig 43 Suprafață dreptunghiulară cu două arii elementare 119889119860
Făcacircnd suma momentelor de inerţie centrifugale pentru cele două suprafeţe
elementare 119889119860 (din stacircnga şi din dreapta faţă de axa 119874119910) se obţine
int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860119889119903
+ int (minus119911) ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860119904119905119892
= int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860119889119903
minus int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860119904119905119892
= 0 (49)
Acelaşi raţionament se poate face și pentru icircntreaga suprafaţă de unde obținem că
momentul de inerție centrifugal este nul 119868119911119910 = 0 Deci pentru o suprafaţă plană care
are cel puţin o axă de simetrie momentul de inerţie centrifugal faţă de sistemul care
conţine acea axă de simetrie este nul
Momentul de inerţie polar al unei suprafeţei icircn raport cu un punct (pol) 119874 figura
42 este definit prin relaţia
1198680 = 119868119901 ≝ int 1205882 ∙ 119889119860
119860
= int(1199102 + 1199112) ∙ 119889119860
119860
= 119868119911 + 119868119910 (410)
unde este distanţa de la polul 119874 la elementul de arie 119889119860 Momentul de inerţie polar se
măsoară icircn [1198981198984] şi este totdeauna pozitiv
Momentul de inerţie polar este egal cu suma momentelor de inerţie faţă de două axe
perpendiculare oarecare şi care trec prin polul considerat
Razele de giraţie sau razele de inerţie sunt mărimi calculate icircn raport cu axele
secțiunii și definite de relaţiile
119894119911 ≝ radic119868119911119860 119894119910 = radic
119868119910
119860 (411)
Se exprimă icircn [119898119898] şi sunt icircntotdeauna pozitive Semnificația unei raze de inerție
este distanța la care dacă ar fi concentrată icircntreaga arie s-ar obține același moment de
inerție ca și cel calculat pentru aria reală
44 Modulul de rezistenţă
Modulul de rezistență se calculează icircn raport cu axele de referință sau icircn raport cu
un pol figura 42 și pot fi axiale (119882119911119882119910) sau polar (119882119901) și se determină numai pe baza
momentelor de inerţie cu relațiile figura 43
119882119911119898119894119899 ≝119868119911119910119898119886119909
119882119911119898119886119909 ≝119868119911119910119898119894119899
(412)
119882119910119898119894119899 ≝119868119910
119911119898119886119909 119882119910119898119886119909 ≝
119868119910
119911119898119894119899 (413)
119882119901 ≝119868119901
120588119898119886119909 (414)
unde
119910119898119886119909 119910119898119894119899 reprezintă distanţa de la axa 119874119911 la punctele extreme cele mai
depărtate respectiv cele mai apropiate ale suprafeţei de această axă
119911119898119886119909 119911119898119894119899 reprezintă distanţa de la axa 119874119910 la punctele extreme cele mai
depărtate respectiv cele mai apropiate ale suprafeţei de această axă
120588119898119886119909 reprezintă distanța maximă de la polul 119874 la punctul secțiunii cel mai
icircndepărtat de acesta
Fig 43 Suprafață dreptunghiulară cu două arii elementare 119889119860
Modulele de rezistenţă se exprimă icircn [1198981198983] şi sunt icircntotdeauna pozitive
Explicația este aceea că momentele de inerție care intră icircn relațiile de definiție sunt
pozitive iar distanțele la punctele extreme sunt pozitive (119910119898119886119909 119910119898119894119899 119911119898119886119909 119911119898119894119899 120588119898119886119909 se
iau icircn valoare absolută)
Icircn cazul suprafeţelor compuse modulul de rezistenţă nu se obţine prin icircnsumarea
algebrică a modulelor de rezistenţă ale suprafeţelor simple componente ci numai prin
intermediul momentului de inerţie axial calculat pentru icircntreaga secțiune
Ca și momentele de inerție modulele de rezistență se calculează numai pentru
sistemele de axe centrale
45 Momente de inerţie şi module de rezistenţă pentru suprafeţe simple
451 Secțiune dreptunghiulară
Fie suprafaţa dreptunghiulară din figura 44 de icircnălțime ℎ și lățime 119887 pe care se
consideră suprafaţă elementară de arie 119889119860 = 119887119889119910 la distanța 119910 de axa 119862119911 sistemul de
axe 119911119862119910 trece prin centrul secțiunii iar axele sunt axe de simetrie pentru dreptunghi
Fig 44 Suprafață dreptunghiulară
Pe baza relațiilor de definiți a momentului de inerție 119868119911 se obține
119868119911 ≝ int 1199102 ∙ 119889119860
119860
= int 1199102 ∙ 119887 ∙ 119889119910 = 2int 1199102 ∙ 119887 ∙ 119889119910 = 2 ∙ 119887 ∙1199103
3|ℎ 2frasl
0rArr
ℎ 2frasl
0
ℎ 2frasl
minusℎ 2frasl
rArr 119868119911 =119887 ∙ ℎ3
12
(415)
Analog pentru un element de arie 119889119860 = ℎ ∙ 119889119911 paralel cu axa 119862119910 situat la distanța
119911 de axa 119862119910
119868119910 ≝ int 1199112 ∙ 119889119860
119860
= int 1199112 ∙ ℎ ∙ 119889119911 = 2int 1199112 ∙ ℎ ∙ 119889119910 = 2 ∙ ℎ ∙1199113
3|119887 2frasl
0rArr
119887 2frasl
0
119887 2frasl
minus119887 2frasl
rArr 119868119910 =1198873 ∙ ℎ
12
(416)
Deoarece axele 119862119911 și 119862119910 sunt axe de simetrie momentul de inerție centrifugal este
119868119911119910 = 0 (417)
Pentru un pătrat avacircnd laturile egale (ℎ = 119887 = 119886) momentele de inerţie faţă de
axele centrale au expresia
119868119911 = 119868119910 =1198864
12 (418)
Modulele de rezistență axiale se calculează cu relațiile de definiție ținacircnd cont că
distanțele pacircnă la fibrele extreme sunt
119910119898119886119909 = 119910119898119894119899 =ℎ
2 119911119898119886119909 = 119911119898119894119899 =
119887
2 (419)
Obținem
119882119911119898119894119899 = 119882119911119898119886119909 =119868119911
119910119898119886119909119898119894119899=119887 ∙ ℎ3
12frasl
ℎ2frasl
=119887 ∙ ℎ2
6
119882119910119898119894119899 = 119882119910119898119886119909 =119868119910
119911119898119886119909119898119894119899=1198873 ∙ ℎ
12frasl
1198872frasl
=1198872 ∙ ℎ
6
(420)
452 Suprafaţă circulară
Din motive de simetrie pentru suprafeţele circulare momentele de inerţie faţă de
orice diametru (care reprezintă şi axe centrale) sunt aceleaşi
Considerăm o secțiune circulară plină cu diametrul 119889 și centrul de greutate 119862 Prin
centrul de greutate 119862 trece sistemul de axe ortogonal 119911119862119910 figura 45
Fig 45 Suprafață circulară
La distanța de centrul de greutate 119862 vom lua un element de suprafață mic de arie
(119889119860) de forma unui inel de grosime 119889 Elementul de arie 119889119860 are expresia
119889119860 = (2 ∙ 120587 ∙ 120588) ∙ (119889120588)
Pornind de la relația de definiție a momentului de inerție polar obținem
119868119901 ≝ int 1205882 ∙ 119889119860
119860
= int 1205882 ∙ (2 ∙ 120587 ∙ 120588) ∙ 119889120588
119903=119889 2frasl
0
= 2 ∙ 120587 ∙1205884
4|119889 2frasl0 rArr
rArr 119868119901 =120587 ∙ 1198894
32
(421)
Secțiunea este perfect simetrică deci sunt valabile relațiile
119868119911 = 119868119910 rArr 119868119901 = 119868119911 + 119868119910 = 2 ∙ 119868119911 = 2 ∙ 119868119910 =119868119901
2=120587 ∙ 1198894
64 (422)
Și modulele de rezistenţă faţă de orice diametru sunt egale şi se calculează cu
relaţiile
119882119911 = 119882119910 =1198681199111198892frasl=120587 ∙ 1198893
32 (423)
Modulul de rezistenţă polar este
119882119901 =1198681199011198892frasl=120587 ∙ 1198893
16 (424)
453 Secţiune inelară
Calculul momentelor de inerţie axiale pentru o secţiune inelară avacircnd diametrul
interior 119889 şi diametrul exterior 119863 se determină analog pentru suprafaţa circulară plină cu
observaţia că integrala pentru calculul momentului de inerție polar 119868119901 se face icircntre
limitele 119903 = 119889 2frasl şi R= 1198632frasl (icircntre raza interioară 119903 şi raza exterioară 119877) figura 46
Se obţin relaţiile
119868119901 =120587 ∙ 1198634
32∙ [1 minus (
119889
119863)4
] =120587 ∙ 1198634
32∙ (1 minus 1198964) (425)
119868119910 = 119868119910 =120587 ∙ 1198634
64∙ [1 minus (
119889
119863)4
] =120587 ∙ 1198633
64∙ (1 minus 1198964) (426)
Fig 46 Secțiune inelară
119882119901 =120587 ∙ 1198633
16∙ [1 minus (
119889
119863)4
] =120587 ∙ 1198633
16∙ (1 minus 1198964) (427)
119882119911 = 119882119910 =120587 ∙ 1198633
32∙ [1 minus (
119889
119863)4
] =120587 ∙ 1198633
32∙ (1 minus 1198964) (428)
unde 119896 = 119889119863frasl
46 Variaţia momentelor de inerţie faţă de axe paralele
( Relațiile lui STEINER)
Se consideră o suprafaţă oarecare de arie 119860 cu elementul de arie 119889119860 și un sistemul
de axe central 119911119862119910 faţă de care se cunosc momentele de inerţie 119868119911 119868119910 119868119911119910 şi considerăm
un sistem de axe 11991111198741199101 paralele cu sistemul central figura 47 Se pune problema
determinării momentele de inerţie 1198681199111 1198681199101 11986811991111199101 faţă de sistemul de axe paralel cu sistemul
central 11991111198741199101 axe aflate la distanţele 119910119862 = 119888 respectiv 119911119862 = 119889 de acesta
461 Momente de inerţie axiale
Pe baza relaţiilor de definire şi a notaţiilor din figura 42 pentru momentele de
inerţie faţă de axele 1198741199111 1198741199101 se poate scrie
1198681199111 = int 11991012 ∙ 119889119860
119860
= int(119910 + 119888)2 ∙ 119889119860
119860
= int 1199102 ∙ 119889119860
119860
+ 2 ∙ 119888 ∙ int 119910 ∙ 119889119860
119860
+
+1198882int 119889119860
119860
rArr 1198681199111 = 119868119911 + 2 ∙ 119888 ∙ 119878119911 + 1198882 ∙ 119860 hArr 1198681199111 = 119868119911 + 119888
2 ∙ 119860
(429)
Fig 47 Variaţia momentelor de inerţie față de axe paralele
S-a ajuns la relația (429) deoarece momentul static 119878119911 este nul deoarece axa 119862119885
este axă centrală
Pentru momentul de inerție axial icircn raport cu axa 1198741199101 se obține
1198681199101 = int 11991112 ∙ 119889119860
119860
= int(119911 + 119889)2 ∙ 119889119860
119860
= int 1199112 ∙ 119889119860
119860
+ 2 ∙ 119889 ∙ int 119911 ∙ 119889119860
119860
+
+1198892 ∙ int 119889119860
119860
rArr 1198681199101 = 119868119910 + 2 ∙ 119889 ∙ 119878119910 + 1198892 ∙ 119860 hArr 1198681199101 = 119868119910 + 119889
2 ∙ 119860
(430)
Pentru momentul de inerție centrifugal obținem
11986811991111199101 = int 1199101 ∙ 1199111 ∙ 119889119860
119860
= int(119910 + 119888) ∙ (119911 + 119889) ∙ 119889119860
119860
= int 119910 ∙ 119911 ∙ 119889119860 +
119860
+119888 ∙ int 119911 ∙ 119889119860
119860
+ 119889 ∙ int 119910 ∙ 119889119860
119860
rArr 11986811991111199101 = 119868119911119910 + 119888 ∙ 119889 ∙ 119860
(431)
Deoarece
int 119911 ∙ 119889119860
119860
= 119878119910 = 0 int 119910 ∙ 119889119860
119860
= 119878119911 = 0 int 119910 ∙ 119911 ∙ 119889119860
119860
= 119868119911119910
Relaţiile (429) şi (430) arată că momentul de inerţie faţă de o axă oarecare
este egal cu momentul de inerţie faţă de o axă paralelă cu ea trecacircnd prin centrul de
greutate la care se adaugă produsul dintre aria suprafeţei şi pătratul distanţei dintre
cele două axe
Din relaţiile (429) și (430) rezultă de asemenea că momentul de inerţie faţă de o
axă centrală (care trece prin centrul de greutate) este cel mai mic dintre infinitatea de
momente de inerţie obținute faţă de alte axe paralele cu ea
Relaţia (431) arată de asemenea că momentul de inerţie centrifugal faţă de un
sistem de axe oarecare este egal cu momentul de inerţie centrifugal faţă de un sistem
paralele cu el trecacircnd prin centrul de greutate a suprafeţei la care se adaugă produsul
dintre aria suprafeţei şi distanţele dintre axele sistemelor respective
Icircn literatura de specialitate relaţiile (429) (430) şi (431) sunt cunoscute sub
numele de relaţiile lui Steiner
47 Variaţia momentrlor de inerţie faţă de axe rotite
Direcţii principale şi momente de inerţie principale
Fie suprafaţa plană din figura 48 de arie 119860 pe care considerăm o suprafaţă
elementară de arie 119889119860 Pentru sistemul de axe 119911119874119910 se cunosc momentele de inerţie
119868119911 119868119910 119868119911119910 şi vom determina relaţiile de calcul pentru momentele de inerţie afererent unui
sistem de axe 11991111198741199101 rotit cu un unghi faţă de sistemul central
Faţă de sistemul de axe 11991111198741199101 elementul de arie 119889119860 are coordonatele
1199101 = 119875119877 = 119875119876 minus 119877119876 = 119910 ∙ cos 120572 minus 119911 ∙ sin 120572
1199111 = 119873119872 = 119873119875 minus 119875119872 = 119911 ∙ cos 120572 + 119910 ∙ sin 120572 (432)
Fig 47 Variaţia momentelor de inerţie față de axe rotite
Pe baza relaţiilor de calcul ale momentelor de inerţie şi a notaţiilor din figura 42
şi ale relaţiilor (432) momentele de inerţie faţă de sistemul de axe rotit 11991111198741199101 sunt
1198681199111 =119868119911 + 119868119910
2+119868119911 minus 119868119910
2∙ cos 2120572 minus 119868119911119910 ∙ sin 2120572 (433)
1198681199101 =119868119911 + 119868119910
2minus119868119911 minus 119868119910
2∙ cos 2120572 + 119868119911119910 ∙ sin 2120572 (434)
11986811991111199101 =119868119911 minus 119868119910
2∙ sin 2120572 + 119868119911119910 ∙ cos 2120572 (435)
Din relaţiile 433divide435 se observă că icircntre momentele de inerţie axiale şi cele
polare există relaţia
1198681199111 + 1198681199101 = 119868119911 + 119868119910 = 119868119901 (436)
adică suma momentelor de inerţie axiale icircn raport cu orice pereche de axe ortogonale
care trec printr-un pol dat este o constantă şi egală cu momentul de inerţie polar
Prin rotirea sistemului de axe din relaţiile 433divide435 rezultă că momentele de inerţie
variază icircnsă suma lor rămacircne constantă deci există o poziţie a sistemului de axe pentru
care momentele de inerţie au valori extreme maxim respectiv minim
471 Direcţii principale de inerţie
Valoarea unghiului 120572 pentru care momentele de inerţie axiale au valori extreme
este
1205721 =1
2∙ 119886119903119888119905119886119899 (minus
2 ∙ 119868119911119910
119868119911 minus 119868119910) (437)
Poziţia celeilalte direcţii este perpendiculară pe cea dată de unghiul 1205721
Din relaţia (437) se constată că faţă de aceste direcţii rotite pentru care momentele
de inerţie axiale prezintă valori extreme momentul de inerţie centrifugal 11986811991111199101este nul
Atunci se poate afirma că momentele de inerţie axiale au valori extreme icircn raport cu
direcţiile faţă de care momentul de inerţie centrifugal este nul Aceste direcţii se numesc
direcţii principale iar momentele de inerţie faţă de aceste direcţii poartă numele de
momente de inerţie principale
Icircn calculele de rezistenţă interesează icircn mod special poziţia direcţiilor principale
care trec prin centrul de greutate al suprafeţei aşa numitele direcţii principale centrale şi
evident momentele de inerţie principale centrale
Direcţiile principale de inerţie se notează cu 1 respectiv 2 Axa principală 1
corespunde direcţiei faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea maximă iar
axa principală 2 pentru direcţia faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea
minimă
472 Momente de inerţie principale
Momentele de inerţie principale se notează cu litera 119868 la care se pune indicele 1
sau 2 după cum valoarea acestuia este maximă sau minimă deci avem un moment de
inerţie principal 1 (notat 1198681) respectiv moment de inerţie principal 2 (notat 1198682)
Expresiile pentru momentele de inerţie principale sunt
11986812 =119868119911 + 119868119910
2plusmn1
2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)
2+ 4 ∙ (119868119911119910)
2 (438)
Dacă momentul de inerţie centrifugal este negativ (119868119911119910 lt 0) direcţia principală
care trece prin primul cadran (definit de sistemul 119911119862119910) este direcţia principală 120783
Pentru suprafeţele cu cel puţin o axă de simetrie direcţiile centrale 119862119911 119862119910 sunt şi
direcții principale de inerţie și evident momentele de inerţie axiale 119868119911 119868119910 sunt momente
de inerţie principale
48 Caracteristici mecanice ale metalelor
Alegerea materialului pentru confecţionarea unei anumite piese se face şi pe baza
aşa numitelor caracteristici mecanice pe care le prezintă materialul Cunoaşterea acestor
caracteristici mecanice are loc numai pe baza unor icircncercări mecanice care să scoată icircn
evidenţă comportarea materialului icircn condiţii de solicitare
Cea mai utilizată icircncercare icircn urma căreia se pun icircn evidenţă caracteristicile
mecanice ale unui material este icircncercarea la tracţiune
481 Icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general
Icircncercarea la tracţiune a oţelului ca de altfel toate icircncercările de materiale este
standardizată
Icircn cele ce urmează se va prezenta numai partea care interesează strict din punct
de vedere al caracteristicilor mecanice ale oţelului
Epruveta de diametru iniţial 1198890 pentru icircncercarea la tracţiune are o porţiune de
lungime 1198710 numită baza de măsurare pe care se măsoară lungirea acesteia sub acţiunea
solicitării
Icircn funcţie de raportul dintre baza de măsurare 1198710 şi diametrul iniţial 1198890 epruvetele
utilizate pentru icircncercări sunt
epruvete normale (scurte) cacircnd 11987101198890 = 5
epruvete lungi cacircnd 11987101198890 = 10
Icircn timpul icircncercării la diferite valori ale forţei 119865 se măsoară lungirea bazei de
măsurare
∆119871 = 120575 = 119871 minus 1198710 (439)
unde
119871 este dimensiunea bazei de măsurare la un moment dat
Curba forţă-lungire (119865 minus ) icircnregistrată icircn urma icircncercării reprezintă curba
caracteristică la tracţiune
La icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general diagrama caracteristică care se
obţine are forma din figura 48
Curba caracteristică la tracţiune depinde de lungimea bazei de măsurare Pentru
icircnlăturarea acestui neajuns curba caracteristică se reprezintă icircn coordonate şi definite
astfel
120590 =119865
1198600 휀 =
120575
1198710 (440)
unde
1198600 este aria iniţială a secţiunii transversale a epruvetei (icircnainte de solicitare) icircn
zona bazei de măsurare
1198600 =120587 ∙ 1198890
2
4
Deoarece mărimile icircn care se reprezintă curba caracteristică la tracţiune sunt
raportate la aria iniţială a secţiunii transversale (mărimi specifice) curba poartă numele
de curbă caracteristică convenţională la tracţiune
Fig 48 Curba caracteristică convenţională la tracțiune
Pe curba caracteristică convenţională la tracţiune figura 48 se pot stabili o serie
de puncte cărora le corespund mai multe mărimi importante
Ordonata punctului A pacircnă unde curba caracteristică convenţională este linie
dreaptă se numeşte limita de proporţionalitate a materialului 120590119901(1205901) Porţiunea 119874119860 este
zona de proporţionalitate a curbei caracteristice pe acest domeniu este valabilă legea lui
Hooke care exprimă o proporţionalitate icircntre tensiune şi deformaţie specifică
120590 = 119864 ∙ 휀 (441)
unde
119864 = reprezintă panta porţiunii liniare a curbei convenționale caracteristice
la tracțiune Caracteristica de material 119864 se numeşte modul de elasticitate longitudinal
(modulul lui Young)
Ordonata punctului 119861 pacircnă unde materialul se comportă perfect elastic adică
după descărcare icircşi recapătă dimensiunea iniţială 1198710 se numeşte limita de elasticitate
120590119890(119877119890) Icircn realitate nici un material nu are comportare perfect elastică sub acţiunea
solicitărilor el capătă deformaţii permanente (remanente plastice)
După punctul 119861 urmează o porţiune 119861119862119863 icircn care cu toate că icircncărcarea
continuă forţa nu mai creşte avacircnd mici oscilaţii icircn jurul unei valori Se spune că icircn
această porţiune materialul curge iar intervalul 119861119862119863 este un palier de curgere Tensiunea
corespunzătoare palierului de curgere se numeşte limită de curgere aparentă 120590119888(119877119888) Limita de curgere aparentă se calculează cu relaţia
120590119888 =1198651198881198600 (442)
unde
119865119888 reprezintă valoarea forţei icircnregistrată icircn momentul curgerii materialului
După punctul 119863 curba caracteristică are un traseu ascendent pacircnă icircn punctul 119864
Porţiunea 119863119864 este numită zonă de icircntărire (ecruisare) Icircn zona de ecruisare unde se
produc deformaţii plastice semnificative legea lui Hooke nu mai este valabilă La
descărcare relaţia dintre tensiunea şi deformaţia specifică este liniară paralelă cu
porţiunea liniară a curbei caracteristice (dreapta 119872119873)
Deformaţia totală (휀119905) are două componente una elastică (휀119890) şi una plastică (휀119901)
Ordonata punctului 119864 reprezintă rezistenţa de rupere 120590119903(119877119898) a materialului
care se poate calcula cu relaţia
120590119903 = 119877119898 =1198651198981198861199091198600
(443)
unde
119865119898119886119909 reprezintă valoarea maximă a forţei icircnregistrată icircn timpul icircncercării
La atingerea valorii 119865119898119886119909 (punctul 119864) icircntr-un anumit loc al epruvetei secţiunea
icircncepe să se micşoreze (se produce gacirctuirea) continuacircnd pacircnă cacircnd se produce ruperea
totală (punctul 119865)
Dacă după ruperea epruvetei cele două părţi rezultate se aşează cap la cap şi se
măsoară dimensiunea bazei de măsurare 119871119906 (lungimea ultimă) se determină alungirea la
rupere sau lungirea specifică la rupere 휀119903
휀119903 =119871119906 minus 11987101198710
=∆119871
1198710=120575
1198710 (444)
De obicei alungirea se exprimă icircn procente şi se notează cu 119860119899 unde 119899 reprezintă
numărul dat de raportul 11987101198890 (epruvete normale 119899 = 5 epruvete lungi 119899 = 10)
119860119899 =119871119906 minus 11987101198710
∙ 100 [] (445)
Altă mărime care se determină la icircncercarea la tracţiune este gacirctuirea la rupere
(exprimată de obicei icircn procente) şi definită de relaţia
119885 =1198600 minus 1198601199061198600
∙ 100 [] (446)
Mărimile determinate limita de proporţionalitate modulul de elasticitate
longitudinal limita de elasticitate limita de curgere aparentă rezistenţa de rupere
alungirea la rupere şi gacirctuirea la rupere sunt cunoscute ca fiind caracteristici mecanice
ale materialului
Din curba caracteristică convenţională observăm faptul că ruperea (punctul 119865 din
figura 48 se produce la o tensiune mai mică decacirct cea corespunzătoare punctului 119864 Dacă
icircnsă forţa din timpul icircncercării s-ar raporta la aria secţiunii din momentul icircnregistrării
forţei (care este mai mică decacirct cea iniţială 1198600) s-ar obţine aşa numita curbă
caracteristică reală a materialului (traseul 1198741198601198611198621198631198651 din figura 48) La curba
caracteristică reală ruperea se produce icircn punctul 1198651 la o icircncărcare mai mare decacirct cea
corespunzătoare punctului 119864 Icircnseamnă că rezistenţa reală la rupere este mai mare decacirct
rezistenţa la rupere dată de punctul 119864 din diagrama caracteristică convenţională
Dificultatea obţinerii diagramei caracteristice reale faţă de cea a diagramei caracteristice
convenţionale şi considerarea unei rezistenţe la rupere mai mică decacirct a celei reale face
icircn practică utilizarea pe scară mare a diagramei caracteristice convenţionale
Caracteristicile mecanice determinate pe baza curbei caracteristice convenţionale
sunt şi ele caracteristici mecanice convenţionale
Caracteristicile mecanice convenţionale limita de proporţionalitate convenţională
120590119901 limita de elasticitate convenţională 120590119890 limita de curgere convenţională 120590119888 şi rezistenţa
de rupere 120590119903 constituie tensiuni limită pentru un material Pe baza acestor caracteristici
de material se alege valoarea tensiunii admisibile 120590119886 (vezi paragraful 35) pentru
calculele de rezistenţă Cea mai utilizată stare limită pentru stabilirea tensiunii admisibile
120590119886 este limita de curgere convenţională 120590119888
120590119886 =120590119897119894119898119888
=120590119888119888 119904119886119906 120590119886 =
120590119903119888 (447)
Caracteristicile mecanice ale materialului sunt influenţate de o serie de factori
temperatura viteza de solicitare factorii tehnologici iar valorile lor sunt date icircn tabele și
diagrame
Aplicaţie Pentru suprafaţa plană compusă din două dreptunghiuri avacircnd
dimensiunile din figura 49a să se calculeze
a) centrul de greutate al secțiunii compuse 119910119866 119911119866
b) momentele de inerție axiale 119868119911 119868119910 și momentul de inerție centrifugal 119868119911119910
c) razele de inerție 119894119911 119894119910
d) modulele de rezistență 119882119911119898119894119899 119882119911119898119886119909 119882119910119898119894119899 119882119910119898119886119909
e) momentele de inerție principale 1198681 1198682 și direcțiile principale de inerție 1205721
f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 119878119911
Fig 49 Aplicație
Rezolvare Pentru rezolvare vom parcurge următoarele etape
icircmpărțim suprafața compusă icircn două suprafețe simple (dreptunghiuri) notate cu
① și respectiv ② figura 49b
poziționăm centrele de greutate a celor două suprafețe simple ① și respectiv ②
notate cu 1198661 și respectiv 1198662 figura 49c
poziționăm sistemele de axe de coordonate 119911111986611199101 pentru dreptunghiul ① și
119911211986621199102 pentru dreptunghiul ② aflate la intersecția diagonalelor figura 49c
poziționăm sistemele de axe de coordonate 11991101198741199100 ales arbitrar față de care
determinăm poziția centrului de greutate 119866 figura 49c
a) calculăm poziția centrului de greutate folosind relațiile (46) icircn care
1198601 = 6119905 ∙ 119905 = 61199052 1198602 = 4119905 ∙ 119905 = 41199052 119860 = 1198601 + 1198602 = 61199052 + 41199052 = 101199052
iar centrele de greutate 1198661 și respectiv 1198662 au coordonatele (față de sistemul 11991101198741199100)
1198661 1199101 = 3119905 1199111 = 05119905
1198662 1199102 = 051199051199112 = 3119905
cu acestea obținem
119910119866 =1198601 ∙ 1199101 + 1198602 ∙ 1199102
119860=61199052 ∙ 3119905 + 41199052 ∙ 05119905
101199052=201199053
101199052= 2119905
119911119866 =1198601 ∙ 1199111 + 1198602 ∙ 1199112
119860=61199052 ∙ 05119905 + 41199052 ∙ 3119905
101199052=151199053
101199052= 15119905
Poziționăm centrul de greutate 119866 al suprafeței compuse figura 49c
Fig 49 Aplicație
b) pentru determinarea momentelor de inerție axiale 119868119911 119868119910 și a momentului de
inerție centrifugal 119868119910119911 determinăm constantele 1198881 1198882 1198891 1198892 care intervin icircn relația lui
Stainer
1198881 = 1199101 minus 119910119866 = 3119905 minus 2119905 = 119905 1198882 = minus(119910119866 minus 1199102) = minus(2119905 minus 05119905) = minus15119905
1198891 = minus(119911119866 minus 1199111) = minus(15119905 minus 05119905) = minus119905 1198892 = 1199112 minus 119911119892 = 3119905 minus 15119905 = 15119905
Folosind relațiile lui Stainer (429) (430) și (431) calculăm momentele de
inerție axiale și centrifugale față de sistemul central 119911119866119866119910119866
119868119911 =sum(119868119911119894 + 1198881198942 ∙ 119860119894) = 1198681199111 + 1198881
2 ∙ 1198601 + 1198681199112 + 11988822 ∙ 1198602
119868119910 =sum(119868119910119894 + 1198891198942 ∙ 119860119894) = 1198681199101 + 1198891
2 ∙ 1198601 + 1198681199102 + 11988922 ∙ 1198602
119868119911119910 =sum(119868119911119894119910119894 + 119888119894 ∙ 119889119894 ∙ 119860119894) = 11986811991111199101 + 1198881 ∙ 1198891 ∙ 1198601 + 11986811991121199102 + 1198882 ∙ 1198892 ∙ 1198602
1198681199111 = (119887 ∙ ℎ3
12) =
119905 ∙ (6119905)3
12= 181199054 1198681199112 = (
119887 ∙ ℎ3
12) =
4119905 ∙ 1199053
12= 031199054
1198681199101 = (1198873 ∙ ℎ
12) =
1199053 ∙ 6119905
12= 051199054 1198681199102 = (
1198873 ∙ ℎ
12) =
(4119905)3 ∙ 119905
12= 531199054
11986811991111199101 = 11986811991121199102 = 0 deoarece cele două triunghiuri au cel puțin o axă de simetrie
Cu acestea momentele de inerție axiale și momentul de inerție centrifugal devin
119868119911 = 181199054 + 1199052 ∙ 61199052 + 031199054 + (minus15119905)2 ∙ 41199052 = 3331199054
119868119910 = 051199054 + (minus119905)2 ∙ 61199052 + 531199054 + (15119905)2 ∙ 41199052 = 2081199054
119868119911119910 = 0 + 119905 ∙ (minus119905) ∙ 61199052 + 0 + (minus15119905) ∙ (15119905) ∙ 41199052 = minus151199054
c) razele de inerție sau de girație față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910
se calculează cu relațiile (411)
119894119911 = radic119868119911119860= radic
3331199054
101199052= 182119905 119894119910 = radic
119868119910
119860= radic
2081199054
101199052= 144119905
d) modulele de rezistență față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910 se
calculează cu relațiile (412) și (413)
Avacircnd icircn vedere figura 419c obținem
119910119898119886119909 = 6119905 minus 119910119866 = 6119905 minus 2119905 = 4119905 119910119898119894119899 = minus119910119866 = minus2119905
119911119898119886119909 = 5119905 minus 119911119866 = 5119905 minus 15119905 = 35119905 119911119898119894119899 = minus119911119866 = minus15119905
Se obține astfel
119882119911119898119894119899 =119868119911
|119910119898119886119909|=3331199054
4119905= 8331199053
119882119911119898119886119909 =119868119911
|119910119898119894119899|=3331199054
2119905= 16651199053
119882119910119898119894119899 =119868119910
|119911119898119886119909|=2081199054
35119905= 5941199053
119882119910119898119886119909 =119868119910
|119911119898119894119899|=2081199054
15119905= 13871199053
e) momentele de inerție principale 1198681 și respectiv 1198682 se calculează cu relațiile
(438)
11986812 =119868119911 + 119868119910
2plusmn1
2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)
2+ 4 ∙ (119868119911119910)
2=
=3331199054 + 2081199054
2plusmn1
2∙ radic(3331199054 minus 2081199054)2 + 4 ∙ (minus151199054)2 = 27051199054 plusmn 16251199054
De unde obținem
1198681 = 27051199054 + 16251199054 = 4331199054
1198682 = 27051199054 minus 16251199054 = 1081199054
Prima direcție principală de inerție 1 face cu axa centrală 119866119911 unghiul 1205721 dat de
relația (437)
1205721 =1
2∙ arctan (minus
2 ∙ 119868119911119910
119868119911 minus 119868119910) =
1
2∙ arctan [minus
2 ∙ (minus151199054)
3331199054 minus 2081199054] =33 70
Deoarece 1205721 gt 0 rotirea axelor se face acircn sens antiorar acelor de ceasornic figura
49d
Poziția axe principale 2 față de care momentul de inerție are valoarea minimă
1198682 = 119868119898119894119899 este dată de unghiul
1205722 = 1205721 + 900 = 33 70 + 900 = 123 70
f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 se determină cu relația
(45)
1198781199111198602 = 1198602 ∙ 1198882 = 41199052 ∙ (minus15119905) = minus61199053
a) corpuri solide cu o dimensiune mult mai mare decacirct celelalte două (corpuri cu
fibră medie) Elementele geometrice caracteristice sunt axa longitudinală şi secţiunea
transversală Aceste corpuri solide pot fi
- fire dacă dimensiunile secţiunii transversale sunt foarte mici astfel icircncacirct axa
longitudinală este flexibilă (icircşi schimbă forma uşor) iar sarcinile transversale nu pot fi
preluate de acesta Un fir nu poate fi solicitat decacirct la icircntindere (exemplu cabluri de
macara lanţuri etc)
- bare care rezistă atacirct la solicitări axiale cacirct şi la solicitări transversale
După modul de solicitare barele poartă diferite denumiri convenţionale
tiranţi-solicitaţi la icircntindere figura 21a
stacirclpi-solicitaţi la compresiune figura 21b
grinzi-solicitate la icircncovoiere figura 21c
arbori-solicitaţi la torsiune (răsucire) figura 21d
Fig 21 Denumirea barelor după modul de solicitare
După modul cum variază secţiunea icircn lungul axei barele pot fi
de secţiune constantă figura 22a
de secţiune variabilă continuă figura 22b sau icircn trepte figura 22c
Fig 22 Denumirea barelor după secțiune
După forma axei longitudinale barele pot fi
drepte figura 21
curbe icircn plan figura 23a sau icircn spaţiu figura 23b (numite și curbe stracircmbe)
cotite (axa barei este o linie fracircntă) plane figura 23c sau spațiale figura 23d
Fig 23 Tipuri de bare curbe și cotite
Secţiunea transversală (plană şi normală pe axa barei) poate avea orice formă
geometrică constantă sau variabilă icircn lungul barei
Dacă una din dimensiunile secţiunii transversale (grosimea) este mai mică
comparativ cu celelalte bara se numește bară cu pereţi subţiri (exemplu barele
realizate din platbande sudate cu secţiuni sub formă de profil I profil U cornier etc)
b) corpuri care au două dimensiuni mult mai mari icircn raport cu a treia (grosimea)
se numesc plăci Elementele geometrice caracteristice ale unei plăci sunt forma şi
dimensiunile suprafeţei mediane respectiv grosimea Plăcile se reprezintă schematic
printr-o suprafață care imită forma și dimensiunile suprafeței mediane Suprafaţa mediană
reprezintă locul geometric al tuturor punctelor egal depărtate de cele două feţe ale plăcii
puncte aflate pe perpendicularele duse icircntre cele două feţe figura 24
După destinaţie și forma suprafeței mediane se deosebesc
plăci plane figura 24b
plăci curbe (icircnvelişuri) cu o singură curbură figura 24a sau avacircnd curbură
dublă figura 24c
Fig 24 Tipuri de plăci plane
Plăcile cu grosime mare sunt denumite frecvent dale O placă de grosime mică
ce nu poate prelua decacirct solicitări la icircntindere poartă numele de membrană
Exemple de plăci icircnvelişurile vasele de revoluţie discurile etc
c) corpuri masive care au toate cele trei dimensiuni aproximativ de acelaşi ordin
de mărime (blocuri de fundaţii bile şi role de rulmenţi tuburi cu pereţi groşi etc)
Calculele de rezistenţă sunt mai simple icircn cazul barelor drepte şi mai complicate
la barele curbe plăci respectiv blocuri
23 Clasificarea icircncărcărilor exterioare
Un corp icircşi păstrează forma şi dimensiunile datorită forţelor de atracţie dintre
particulele sale elementare atacircta timp cicirct asupra sa nu acţionează alte forţe aplicate din
exterior care să-l deformeze Icircn construcţia de maşini elementele de rezistenţă preiau şi
transmit acţiunea unor sarcini exterioare (forţe şisau cupluri) pe care le vom denumi
generic forțe sau icircncărcări exterioare Efectul pe care-l au sarcinile este acela de a
modifica forma şi dimensiunile corpului asupra căruia se aplică Icircn punctele de rezemare
(de sprijin sau de legătură cu alte elemente de rezistenţă icircnvecinate) ca urmare a
principiului acţiunii şi reacţiunii apar forţe de legătură sau reacţiuni Ansamblul format
din sarcini şi reacţiuni este cunoscut sub numele de forţe exterioare Sub acţiunea
forţelor exterioare elementele de rezistenţă trebuie să fie icircn echilibru
Forţele exterioare pot fi clasificate după următoarele criterii
a) după mărimea suprafeţei pe care se aplică
- forțe concentrate aplicate teoretic icircntr-un punct figura 25a
- forțe distribuite uniform sau cu intensitate variabilă icircn lungul barei sau pe o
suprafaţă figura 25bc şi d
- momente concentrate care acţionează icircntr-un punct M sau momente uniform
distribut pe o anumită lungime m
Fig 25 Tipuri de sarcini după mărimea suprafeţei de aplicare
b) după locul de aplicare se deosebesc
- forţe de suprafaţă sau de contur care sunt aplicate din exterior pe suprafaţa
corpurilor şi indică legătura cu piesele icircnvecinate
- forţe masice sau de volum distribuite icircn tot corpul (greutăţi forţe de inerţie
respectiv forţe electromagnetice)
c) după modul de acţiune icircn timp se disting
- forţe statice care se aplică lent şi progresiv pacircnă la valoarea nominală de lucru
şi apoi rămacircn constante figura 26a
- forţe dinamice care rezultă din
aplicarea cu icircntreaga intensitate de la icircnceputul perioadei de solicitare iar apoi forţa se
menţine constantă timp icircndelungat figura 26b (forţe de inerţie)
aplicarea bruscă a sarcinii asupra corpului durata de acţiune a sarcinii fiind mică figura
26c (forţe de şoc)
variaţia periodică icircn timp a intensităţii forţei aplicate figura 26d (forţe de oboseală)
Fig26 Tipuri de forţe exterioare (cicluri de solicitare)
Funcţie de modul de variaţie al forţelor exterioare solicitările pot fi statice
oscilante pulsante alternante etc Experimental s-a constatat că rezistenţa unui material
depinde foarte mult de modul de variaţie a forţelor icircn timp Bach a clasificat solicitările
icircn 3 categorii 1-solicitări statice 2-solicitări pulsante 3-solicitări alternant simetrice
Rezistenţa unui material este icircn raportul 321 pentru cele 3 cazuri de solicitare ale lui
Bach Aceasta icircnseamnă că o piesă solicitată static rezistă la o forţă de 3 ori mai mare
decacirct forţa maximă care produce ruperea aceleaşi piese solicitate alternant simetric
d) după poziţia icircn timp a forțelor se disting
- forţe fixe ale căror puncte de aplicaţie sunt mereu aceleaşi
- forţe mobile ale căror puncte de aplicaţie se deplasează icircn timp De exemplu
sarcinile produse de vehiculele care circulă pe un pod sarcinile unei grinzi de pod rulant
icircntr-o halăetc
24 Reazeme Forțe interioare Eforturi Diagrame de eforturi icircn barele
drepte
241 Reazeme Reacțiuni (forțe de legătură)
Pentru a prelua şi transmite acţiunea sarcinilor exterioare elementele de rezistenţă
din componenţa unei structuri sunt fixate icircntre ele prin intermediul unor legături
exterioare numite reazeme Aceste legături au ca scop icircmpiedicarea anumitor mişcări ale
corpului pe direcţiile pe care acestea nu trebuie să se producă O legătură are deci rolul
de a anula unul sau mai multe grade de libertate ale corpului icircn punctul de rezemare Dacă
este anulat un singur grad de libertate legătura este simplă iar dacă sunt impiedicate mai
multe grade de libertate legătura este una compusă Datorită existenţei sarcinilor
exterioare icircn punctele de rezemare pe direcţiile pe care mişcările sunt icircmpiedicate apar
forţe de legătură numite reacţiuni Numărul natura şi direcţiile reacţiunilor depind de
tipul reazemelor Icircn construcţiile reale există o varietate mare de realizare practică a
reazemelor dar icircn calcule se acceptă anumite schematizări care reţin doar aspectul esenţial
al unui reazem şi anume gradul sau gradele de libertate anulate
Pentru o structură de rezistenţă spaţială icircntr-un punct oarecare sunt posibile şase
deplasări trei deplasări liniare (după direcţiile axelor unui sistem ortogonal) şi trei rotiri
(deplasări unghiulare) icircn jurul aceloraşi axe Ca urmare ar fi posibil de realizat maximum
şase tipuri de reazem
Pentru un element de rezistenţă plan icircncărcat cu eforturi cuprinse icircn planul
elementului icircn orice punct sunt posibile trei gade de libertate două deplasări liniare şi o
rotiri Ca urmare pentru cazul unei bare plane se icircntacirclnesc următoarele tipuri de reazeme
1 Reazemul simplu sau reazemul mobil care icircmpiedică deplasarea pe o direcţie
normală pe suprafaţa de rezemare permiţacircnd deplasarea pe o direcţie paralelă cu
suprafaţa de rezemare şi rotirea barei icircn jurul unei axe perpendiculare pe plan icircn punctul
de rezemare Icircn urma icircmpiedicării deplasării şi datorită unor sarcini exterioare icircn
reazemul simplu apare o reacţiune de tip forţă a cărei suport trece prin punctul de
rezemare şi a cărei direcţie este perpendiculară pe suprafaţa de rezemare figura 27
Fig 27 Reazem simplu (mobil)
Icircn figura 27 este reprezentat un reazem mobil poziţionat pe capătul A al unei bare
plane orizontale fiind evidenţiate punctul şi suprafaţa de rezemare direcţia suportului
reacţiunii şi modul de schematizare al reazemului Cea mai des icircntacirclnită reprezentare a
reazemului mobil este a unui triunghi a cărui bază poate luneca pe suprafaţa de rezemare
2 Reazemul fix sau articulaţia icircmpiedică deplasările liniare după toate direcţiile
din planul barei permiţacircnd doar rotirea barei icircn jurul unei axe perpendiculare pe plan şi
care trece prin puncul de rezemare Reacţiunea este cuprinsă icircn planul barei care trece
prin punctul de rezemare dar a cărei mărime şi direcţie nu sunt cunoscute (forţa R)
figura 28
Fig 28 Reazem fix
Se preferă ca icircn locul unei forţe R avacircnd direcţia oarecare icircn plan necunoscută să
se introducă două forţe (HA şi VA) cărora li se cunoaşte direcţia şi pentru care se vor
determina modulele ca valori din condiţiile de echilibru static Icircntr-un reazem fix apar
icircntotdeauna reacţiuni atacirct pe direcţia perpendiculară pe suprafaţa de rezemare
(verticală) cacirct şi pe direcţia paralelă cu prima (orizontală) chiar dacă uneori una sau
chiar ambele reacţiuni au valoarea zero Reprezentarea schematică a articulaţiei este cea
a unui triunghi cu baza fixă şi cu vacircrful icircn punctul de rezemare sau cea a unui pendul
dublu figura 28
3 Icircncastrarea (sau icircnţepenirea) anulează toate gradele de libertate ale capătului
unei bare icircmpiedicacircnd deplasarea liniară după orice direcţie din plan precum şi rotirea
barei icircn jurul unei axe perpendiculare pe plan şi care trece prin punctul de icircncastrare
Urmare a existenţei sarcinilor exterioare şi a blocării deplasărilor icircn icircncastrare apare o
reacţiune căreia nu i se cunoaşte nici mărimea nici direcţia şi nici punctul de aplicaţie
figura 29
Fig 29 Icircncastrarea
Sub acţiunea forţelor exterioare un sistem este icircn echilibru Valoarea reacţinilor
se determină din condiţia de echilibru a sistemului solicitat
Este cunoscut faptul că un sistem plan este icircn echilibru dacă
nu se deplasează pe o direcţie (fie x această direcţie)
nu se deplasează pe o direcţie perpendiculară pe prima (fie y această direcţie)
nu se roteşte faţă de un punct al planului (fie K acest punct)
Cele trei condiţii enunţate mai sus sunt satisfăcute dacă suma proiecţiilor tuturor
forţelor pe direcţia x respectiv y este nulă şi suma tuturor momentelor (cuplurilor) faţă
de un punct al planului este nulă
242 Forțe interioare Metoda secțiunilor
Icircn vederea calculului de rezistenţă de rigiditate şi de stabilitate a barelor sau a
sistemelor de bare este necesară determinarea forţelor şi momentelor interioare
(eforturilor) care apar icircn secţiunile transversale ale acestora şi datorate icircncărcărilor
exterioare Forțele interioare indică legătura dintre particulele din interiorul corpului şi
se pun icircn evidenţă prin metoda secţiunilor care este un procedeu de raţionament
imaginar propus de Cauchy echivalent cu teoria echilibrului părţilor Conform acestui
raționament bdquodacă un corp solid deformabil este icircn echilibru sub acţiunea unui sistem
generalizat de forţe atunci după secționare fiecare parte a sa va fi icircn echilibru sub
acţiunea forţelor exterioare care-i revin şi a unui sistem de forţe pe care trebuie să-l
introducem icircn secţiunea ce delimitează fiecare parte echivalent cu acţiunea forţelor
aplicate pe partea icircndepărtatărdquo
Problemele care apar la aplicarea metodei secţiunilor sunt
- să pună icircn evidenţă existenţa forţelor interioare mai ales că din ceea ce se ştie o
forţă apare icircn prezenţa a două corpuri ca urmare a principiului acţiunii şi reacţiunii
- să explice modul de distribuţie al forţelor interioare pe secţiune
Considerăm un corp aflat icircn echilibru sub acţiunea unui sistem de forţe exterioare
1 2 3⋯119894 ⋯ 119899minus1 119899 şi presupunem că-l secţionăm cu un plan transversal Q (sau cu
o suprafaţă oarecare) figura 210a Icircn urma secţionării fictive (imaginare) conform
principiului echilibrului părţilor fiecare din cele două părţi obţinute trebuie să fie icircn
echilibru sub acţiunea forţelor exterioare care le revin şi a cacircte unui sistem de forţe
interioare pe care trebuie să-l introducem icircn secţiunile rezultate sistem echivalent cu
acţiunea forţelor exterioare ce acţionează asupra celeilalte părţi Astfel pe partea din
dreapta (notată cu II) delimitată de secţiunea de arie Ad sunt aplicate forţele exterioare
119894 ⋯ 119899minus1 119899 şi un sistem de forţe interioare căruia nu i se cunoaşte decacirct efectul acelaşi
cu cel al forţelor 1 2 3 de pe parea din stacircnga (notată cu I şi delimitată de secţiunea
de arie As) figura 210b Prin metoda secţiunilor am reuşit să punem icircn evidenţă existenţa
forţelor interioare şi să le trecem icircn categoria celor exterioare cărora le putem aplica
relaţiile de echivalenţă şi de echilibru cunoscute din statică Ideal ar fi să cunoaştem
distribuţia şi intensitatea punctuală a acestor forţe pentru că s-ar putea ca icircn anumite
puncte ale secţiunii valoarea forţelor să depăşească limita de rezistenţă (limita de curgere)
a materialului Cunoaşterea distribuţiei punctuale a forţelor interioare nu se poate realiza
decacirct icircn cazuri particulare relativ simple de solicitare
Să considerăm partea din dreapta a corpului asupra căreia acționează forțele
119894 ⋯ 119899minus1 119899 mărginit de aria Ad pe care acționează un sistem de forțe interioare
echivalent cu 1 2 3 Deși forțele interioare de pe Ad nu se cunosc totuși efectul lor
este același cu cel al forțelor 1 2 3 deci le putem reduce icircn centrul de greutate C al
secțiunii Ad rezultacircnd componentele torsorului de reducere al forțelor interioare
(119894119889 119894119889) și pentru partea din stacircnga (119894119904 119894119904) Evident conform principiului acțiunii și
reacțiunii
119894119889 = minus119894119904
119894119889 = minus119894119904 (21)
Pe de altă parte cum fiecare dintre părțile corpului după secționare trebuie să fie
icircn echilibru sub acțiunea forțelor exterioare care le revin și a forțelor interioare introduse
rezultă
119894119889 = minus119890119889
119894119889 = minus119890119889
119894119904 = minus119890119889
119894119904 = minus119890119904 (22)
Combinacircnd (21) cu (22) rezultă
119894119889 = 119890119889
119894119889 = 119890119889
119894119904 = 119890119904
119894119904 = 119890119904 (23)
Fig 210 Forțe interioare
Relațiile (22) și (23) permit determinarea componentelor torsorului de reducere
al forțelor interioare din (23) rezultă componentele torsorului forțelor interioare care
acționează icircn secțiunea Ad sunt egale cu componentele torsorului de reducere al forțelor
exterioare de pe partea din stacircnga din (22) rezultă componentele torsorului forțelor
interioare care acționează icircn secțiunea Ad sunt egale și de sens contrar cu componentele
torsorului de reducere al forțelor exterioare de pe partea din dreapta
Observații
1 Torsorul forțelor interioare diferă de la o secțiune la alta dar pentru aceeași
secțiune el este unic și trebuie să respecte condițiile de compatibilitate a deformațiilor
2 Reducacircnd forțele interioare icircn centrul de greutate al secțiunii s-a făcut o
aproximare icircn ceea ce privește efectul modului de dispunere al forțelor
3 Punctul de reducere trebuie să fie
pentru forțele interioare normale la secțiune centrul de greutate
pentru forțele interioare tangente la planul secțiunii centrul de răsucire sau de
tăiere
243 Eforturi
Prin metoda secțiunilor am pus icircn evidență existența forțelor interioare și modul
icircn care se determină componentele torsorului de reducere al forțelor interioare (119894119889 119894119889) de pe fața din dreapta secțiunii (Ad) Cele două componente ale torsorului de reducere al
forțelor interioare de pe Ad se pot descompune după axele unui sistem de referință
triortogonal xCyz astfel
119894119889 = +
119894119889 = 119909 +119872119894 (24)
unde și 119909 sunt proiecțiile lui 119894119889 și respectiv 119894119889 pe axa longitudinală Cx a
barei iar și 119894 sunt proiecțiile acelorași componente 119894119889 și respectiv 119894119889 pe planul yCz
al secțiunii transversale Ad figura 211
Fig 211 Torsorul de reducere al forţelor interioare
La racircndul lor și 119894 se pot descompune după axele sistemului yCz figura 212
= 119910 + 119911
119894 = 119894119910 + 119894119911 (25)
Fig 212 Descompunerea forţei tăietoare şi a momentului icircncovoietor
Cele șase componente ale torsorului de reducere al forțelor interioare ( 119910 119911
119909 119894119910 119894119911) orientate după axele sistemului de referință xCyz se numesc eforturi
Fiecare efort are o denumire stabilită icircn funcție de tipul de deformație pe care-l produce
De asemenea semnul plus (bdquo+rdquo) sau minus (bdquondashrdquo) al fiecărui efort nu depinde de sensul
pozitiv sau negativ al sistemului de axe ci doar de efectul icircn deformații al fiecărui efort
Denumirile celor șase eforturi sunt
119873 este forța axială
119879119910 119879119911 sunt forțe tăietoare orientate după axele Cy și respectiv Cz
119872119909 notat de cele mai multe ori cu 119872119905 este moment de torsiune sau de răsucire
119872119894119911 119872119894119910 sunt momente de icircncovoiere icircn jurul axei Cz și respectiv Cy
Forța axială 119873 poate fi forță axială de icircntindere cacircnd produce o lungire a
tronsonului pe a cărei față acționează (119873 gt 0) figura 213a sau forță axială de
compresiune cacircnd sub efectul ei bara se scurtează (119873 lt 0) figura 213b
Fig 213 Forța axială
Forțele tăietoare 119879119910 și 119879119911 au ca efect lunecarea secțiunii icircn centrul căreia
acționează icircn raport cu secțiunea icircnvecinată lunecare ce se produce pe direcția și icircn sensul
forței Sub acțiunea unei forțe tăietoare bara este solicitată la forfecare Forța tăietoare
este pozitivă 119879119910 gt 0 dacă icircn raport cu un punct oarecare K de pe axa Cx a barei tinde să
rotească secțiunea pe care acționează icircn sens orar
Fig 214 Forța tăietoare
Momentele de icircncovoiere 119872119894119911 și 119872119894119910 au ca efect o rotire a secțiunii icircn centrul
cărora acționează icircn jurul axei după care sunt orientate Icircn figura 215a se vede că
datorită momentului 119872119894119911 fibrele de deasupra axei Cz se alungesc icircn timp ce fibrele de sub
axa Cz se scurtează Fibrele care trec prin axa de icircncovoiere Cz nu se deformează sunt
fibre neutre la icircncovoiere adică axa neutră este Cz Icircn cazul momentului de icircncovoiere
119872119894119910 fibrele care nu se deformează sunt cele care trec prin axa neutră la icircncovoiere Cy
Momentele de icircncovoiere se consideră a fi pozitive (119872119894119911 gt 0119872119894119910 gt 0) dacă
observatorul care privește bara deformată vizualizează fibrele icircntinse
Fig 215 Momentul icircncovoietor
Momentul de torsiune sau de răsucire 119872119909 equiv 119872119905 are ca efect o rotire a secțiunii
icircn al cărei centru acționează icircn jurul axei longitudinale Cx Ca efect secțiunea icircși schimbă
forma (se deformează) adică unghiurile inițiale se modifică dreptunghiul inițial Ad
devine paralelogram Convențional se consideră 119872119905 gt 0 dacă vectorul moment are
aceeași orientare ca și sensul pozitiv ales pextru axa Cx Icircn figura 216 momentul este
negativ
Fig 216 Momentul de torsiune
25 Definiții și convenții de semne pentru eforturile
din secțiunile unei bare drepte plane icircncărcate cu sarcini coplanare
Vom considera o bară plană icircncărcată cu un sistem de forțe arbitrar figura 217
Ne propunem să determinăm eforturile care apar icircn secțiunea barei aflată la distanța 119909 de
reazemul din stacircnga (A)
Pentru aceasta vom aplica metoda secțiunilor vom secționa bara cu un plan
perpendicular pe axa longitudinală a barei și vom analiza doar partea din dreapta secțiunii
mărginită de fața Ad Pentru ca această porțiune de bară să fie icircn echilibru sub acțiunea
forțelor exterioare care acționează asupra sa 1198653 și 119881119861 va trebui să introducem icircn centrul
secțiunii Ad eforturile care pot să apară 119873 119879119910 119872119894119911 Acțiunea acestor eforturi trebuie să
fie echivalentă cu acțiunea forțelor exterioare aplicate pe partea icircnlăturată (parcursă) a
barei 119867119860 119881119860 1198651 1198652 1198720
Deoarece bara este plană și este icircncărcată doar cu sarcini ce aparțin
planului barei
icircn secțiunea Ad apar doar 3 componente ale torsorului de reducere al forțelor
interioare (eforturi)
- 119873 = forța axială
- 119879119910 = forța tăietoare pe care o vom nota cu 119879
- 119872119894119911 = momentul icircncovoietor notat cu Mi
Fig 217 Bară plană icircncărcată cu un sistem de forțe
Vom prezenta următoarele definiții corespunzătoare eforturilor din secțiunea Ad
119873 = forța axială dintr-o secțiune este egală cu suma algebrică a proiecțiilor pe
axa longitudinală a tuturor forțelor exterioare (sarcini și reacțiuni) aplicate pe partea
din stacircnga secțiunii adică pe porțiunea parcursă Forța axială 119873 este pozitivă dacă trage
de tronsonul pe a cărei față acționează (are orientarea normalei exterioare la secțiunea
Ad)
119873(119909) = minus119867119860 + 1198651119867 (26)
119879 = forța tăietoare icircntr-o secțiune este egală cu suma algebrică a proiecțiilor
pe o axă perpendiculară pe axa barei a tuturor forțelor exterioare (sarcini și reacțiuni)
aplicate pe porțiunea de bară aflată icircn stacircnga secțiunii considerate Forța tăietoare 119879
este pozitivă dacă tinde să rotească tronsonul pe a cărui față acționează icircn sens orar icircn
raport cu un punct de pe axa barei aflat la dreapta secțiunii
119879(119909) = 119881119860 minus 1198651119881 minus 1198652 (27)
119872119894 = momentul icircncovoietor icircntr-o secțiune este egal cu suma algebrică a
momentelor obținute prin reducerea tuturor forțelor exterioare ( cupluri sarcini
reacțiuni) aplicate pe porțiunea de bară aflată la stacircnga secțiunii icircn centrul secțiunii
considerate 119872119894 este considerat pozitiv dacă tinde să deformeze bara astfel icircncacirct fibrele
spre care privește un observator să fie icircntinse Cum poziția observatorului este de regulă
sub bară bara se deformează dacă 119872119894 gt 0 astfel icircncacirct partea jos a barei este icircntinsă Se
spune că bara deformată rdquoține apaldquo
119872119894(119909) = 119881119860 ∙ 119909 minus 1198651119881 ∙ (119909 minus 1198971) minus 1198652 ∙ [119909 minus (1198971 + 1198972)] + 1198720 (28)
Sensurile pozitive ale eforturilor care apar icircn centrul secțiunii Ad (deci atunci cacircnd
sensul de parcurs la aplicarea metodei secțiunilor este cel de la stacircnga la dreapta) sunt
indicate icircn figura 218a iar dacă sensul de parcurs este de la dreapta la stacircnga sensurile
pozitive ale eforturilor sunt indicate icircn figura 218b
Fig 218 Convenţia de semne
Definiții asemănătoare se pot da și pentru eforturile din centrul secțiunii As figura
218b adică pentru cazul icircn care sensul de parcurs este cel de la dreapta la stacircnga și deci
partea luată icircn considerare este cea din stacircnga iar partea parcursă din dreapta secțiunii
este icircnlăturată
119873(1199091) = 1198653119867
119879(1199091) = 1198653119881 minus 119881119861
119872119894(1199091) = 119881119861 ∙ 1199091 minus 1198653119881 ∙ (1199091 minus 1198975)
(29)
Avacircnd icircn vedere că fețele Ad și As aparțin aceleeași secțiuni este evident faptul că
eforturile 119873(119909) 119879(119909) și 119872119894(119909) sunt identice cu eforturile 119873(119961120783) 119879(119961120783) și respectiv
119872119894(119961120783) Icircn figura 218c se prezintă o sinteză a convențiilor de semne pozitive pentru cele
3 eforturi atacirct pentru sensul de parcurs de la stacircnga la dreapta (secțiunea Ad) cacirct și pentru
sensul invers (secțiunea As)
Semnele eforturilor sunt importante icircntrucacirct există materiale cu comportări diferite
la icircntindere față de compresiune iar o schimbare a semnului unui efort poate produce
erori grave icircn calcule Semnele eforturilor au fost stabilite icircn funcție de deformațiile
produse și nu depind de sensul axelor sistemului de coordonate
26 Relaţii diferenţiale icircntre eforturi şi sarcini
Pentru a vedea ce legătură există icircntre eforturi și sarcini vom considera o bară
dreaptă icircncărcată cu o sarcină distribuită după o lege oarecare figura 219a Din această
bară vom decupa prin dublă secționare un element de lungime infinit mică 119889119909 Deoarece
lungimea 119889119909 este foarte mică se poate considera sarcina 119901 uniform distribuită Icircn
secțiunile rezultate trebuie să introducem eforturile care pot apărea
- 119879 şi 119872119894 icircn centrul secțiunii din sticircnga eforturi pe care le considerăm pozitive
- 119879 + 119889119879 şi 119872119894 + 119889119872119894 icircn centrul secțiunii din dreapta elementului
Aceste eforturi au o variație mică (119889119879 şi 119889119872119894) față de secțiunea anterioară Spre
deosebire de cazul icircn care bara este secționată o singură dată icircn acest caz eforturile nu
pot fi determinate din cele 2 condiții de echilibru independente deoarece icircn ecuațiile de
echilibru apar 4 necunoscute 119879 119889119879119872119894 și 119889119872119894 deci că problema este dublu static
nedeterminată figura 219
Fig 219 Echivalența icircntre eforturi și sarcini
Ecuațiile de echilibru scrise pentru elementul din figura 219b conduc la stabilirea
unor relaţii foarte importante
(sum119865)119910= 0 hArr 119879 minus 119901 ∙ 119889119909 minus (119879 + 119889119879) = 0 rArr
119889119879
119889119909= minus119901 (210)
Relația (210) arată că derivata funcţiei forţei tăietoare icircn raport cu abscisa
secţiunii este egală cu sarcina distribuită normală la axa barei din acea secţiune luată
cu semn schimbat
Observații
dacă 119901 = 0 nu există sarcină distribuită atunci forța tăietoare T este constantă
icircnclinarea pantei diagramei forței 119879 este egală cu (ndash 119901) (sarcina distribuită cu
semn schimbat)
dacă 119901 = 119888119900119899119904119905 119879 variază liniar pe acel interval
Asemănător se deduce că derivata funcţiei forţei axiale icircn raport cu abscisa
secţiunii este egală cu sarcina distribuită axială din acea secţiune luată cu semn
schimbat adică
119889119873
119889119909= minus119901119867 (211)
Din condiția de echilibru suma de momente faţă de centrul de greutate al secţiunii
din dreapta
(sum119872)119862= 0 hArr 119872119894 minus (119872 + 119889119872119894) + 119879 ∙ 119889119909 minus 119901 ∙
(119889119909)2
2= 0 rArr
119889119872119894
119889119909= 119879 (212)
Relația (212) s-a obținut dupa reducerea termenilor și prin neglijarea infinitului
mic de ordinul 2
119901 ∙(119889119909)2
2
Relația (212) arată că derivata funcţiei moment icircncovoietor icircn raport cu abscisa
secţiunii este egală cu forţa tăietoare din acea secţiune
Observații
dacă 119879 = 0 momentul 119872119894 are un punct de extrem se obține o valoare maximă
pentru 119872119894119898119886119909 dacă forța tăietoare 119879 se anulează trecacircnd de la plus icircn stacircnga la minus icircn
dreapta secțiunii
dacă forța tăietoare este pozitivă pe un interval 119879 gt 0 atunci 119872119894 este crescătoare
pe acel interval
dacă forța tăietoare este negativă pe un interval 119879 lt 0 atunci 119872119894 este
descrescătoare pe acel interval
dacă pe un interval 119901 = 0 forța tăietoare este constantă 119879 = 119888119905 iar 119872119894 variază
liniar pe acel interval
dacă 119901 = 119888119900119899119904119905 119879 variază liniar pe acel interval iar 119872119894 variază parabolic pe
acel interval
Relaţiile diferenţiale sunt utile la reprezentarea corectă şi verificarea diagramelor
de eforturi astfel
pentru porţiunile de grindă pe care p = 0 eforturile N şi T sunt constante iar pe
porţiunile cu p = const eforturile N şi T variază liniar (relaţiile 211 şi 210)
dacă pe o porţiune T = const momentul icircncovoietor Miz variază liniar iar dacă
T variază liniar atunci momentul Miz variază parabolic (relaţia 212)
pe domeniile pe care T gt 0 funcţia Mi(x) este crescătoare iar icircn secţiunea icircn
care T = 0 (graficul funcţiei T intersectează axa x) momentul icircncovoietor are un punct
de extrem local (maxim sau minim relaţia 212)
Pentru rezolvarea problemelor referitoare la trasarea diagramelor de eforturi
pentru barele drepte solicitate de sisteme de forţe plane se parcurg următoarele etape
1) identificarea forţelor aplicate (date) şi pregătirea lor pentru calcule
(descompunerea forţelor concentrate pe direcţiile x şi y calculul rezultantelor forţelor
distribuite)
2) identificarea reazemelor şi introducerea reacţiunilor corespunzătoare (vezi
figurile 27divide29)
3) stabilirea ecuaţiilor de echilibru static calculul şi verificarea reacţiunilor Icircn
rezistența materialelor se folosește sistemul de ecuații (vezi figura 217)
(sum119865)
119909= 0
(sum119872)119860= 0
(sum119872)119861= 0
(213)
4) identificarea domeniilor de variaţie şi scrierea funcţiilor de eforturi pentru N T
şi Mi
5) reprezentarea grafică a diagramelor de eforturi
6) verificarea corectitudinii diagramelor pe baza relaţiilor diferenţiale icircntre eforturi
şi sarcini
Aplicație Pentru grinda dreaptă icircncărcată cu sistemul de forţe reprezentat icircn figura
220 se cere
a) să se calculeze şi să se verifice reacţiunile
b) să se stabilească funcţiile eforturilor Nx Ty şi Miz şi să se reprezinte diagramele
de variaţie
c) să se analizeze relaţiile diferenţiale icircntre eforturi şi sarcini
Dimensiunile grinzii au valorile a = 6 [m] b = 4 [m] și c = 4[m] sistemul de
forţe aplicat fiind format din p = 10 [kN mfrasl ] F = 20 [kN] (icircnclinată cu unghiul α =300 faţă de orizontală) şi M0 = 40 [kN ∙ m]
Rezolvare
a) Se fac următoarele precizări
grinda dreaptă se reprezintă prin axa geometrică
forţa icircnclinată F se descompune după direcţiile orizontală şi verticală icircn FV =F ∙ sin α = 10 [kN] şi FH = F ∙ cos α = 173 [kN]
forţa distribuită uniform p este echivalentă din punct de vedere static cu
rezultanta sa R = p ∙ a = 60 [kN] care acţionează la jumătatea porţiunii de lungime a
icircn reazemele 119860 şi 119861 se introduc componentele HA şi VA respectiv VB ale
reacţiunilor
Pentru calculul reacţiunilor se utilizează ecuaţiile de echilibru static al grinzii
sumXi = 0 HA minus FH = 0 sumYi = 0 VA + VB minus R minus FV = 0 (sumM)B = 0 VA ∙ (b + a) minus R ∙ (b + 05 ∙ a) minus M0 + FV ∙ c = 0
(A1)
Din prima ecuaţie se obţine HA iar din cea de-a treia ecuaţie rezultă VA
HA = FH = 173 [kN]
VA =[R ∙ (b + 05 ∙ a) + M0 minus FV ∙ c]
(b + a)=[60 ∙ (4 + 05 ∙ 6) + 40 minus 10 ∙ 4]
(4 + 6)
VA = 42 [kN]
(A2)
Fig 220 Aplicație
Se observă că cea de-a doua ecuaţie de echilibru conţine două necunoscute
reacţiunile VA şi VB Pentru a calcula componenta VB nu este indicată introducerea lui VA
icircn cea de-a doua ecuaţie a sistemului (A1) pentru că o valoare determinată greşit pentru
VA conduce la o valoare VB de asemenea greşită O ecuaţie independentă din care se poate
determina componenta VB este următoarea
(sumM)A= 0 FV ∙ (a + b + c) minus VB ∙ (a + b) minus M0 + R ∙ 05 ∙ a = 0 (A3)
de unde se obţine
VB =[FV ∙ (a + b + c) minusM0 + R ∙ 05 ∙ a]
(b + a)=[10 ∙ (6 + 4 + 4) minus 40 + 60 ∙ 05 ∙ 6]
(6 + 4)
VB = 28 [kN] (A4)
Ecuaţia de proiecţii ale forţelor pe direcţia verticală (a doua ecuaţie din sistemul
A1) se utilizează pentru verificarea reacţiunilor deja determinate
VA + VB minus R minus FV = 0 rArr 42 + 28 minus 60 minus 10 = 0 (A5)
Ultima egalitate demonstrează că reacţiunile verticale au fost calculate corect
Din cele de mai sus rezultă ordinea firească pentru determinarea reacţiunilor icircn
cazul grinzilor simplu rezemate
sumXi = 0
(sumM)A = 0
(sumM)B = 0
(A6)
iar pentru verificarea componentelor verticale VA şi VB se folosește ecuaţia sumY = 0
b) La stabilirea funcţiilor de eforturi se parcurg icircn general etapele următoare
se notează (numeric sau literal după preferinţă) secţiunile care delimitează
domeniile (intervalele sau tronsoanele) pe care eforturile nu-şi modifică funcţiile (au legi
unice de variaţie)
pe fiecare domeniu se marchează secţiunea imaginară icircn care se stabilesc
funcţiile eforturilor
secţiunea astfel aleasă separă icircn două părţi grinda şi anume porţiunea din stacircnga
şi porţiunea din dreapta secţiunii
se va considera parcursă (şi icircndepărtată) acea parte pe care acţionează mai puţine
sarcini exterioare pentru că acestea vor interveni icircn expresiile funcţiilor de eforturi
poziţiile secţiunilor imaginare se vor determina prin variabilele x1 ⋯ xn (unde
n reprezintă numărul domeniilor de variaţie) cu originea fixată icircn capătul intervalului şi
sensul de parcurgere spre partea considerată rămasă
Grinda prezentată icircn figura 220 are trei domenii de variaţie pentru funcţiile de
eforturi după cum urmează (A-1) (2-B) şi (B-1)
Domeniul (A-1) x1 isin [0 a = 6 m] Porţiunea parcursă şi considerată icircndepărtată este cea de coordonată x1 pe care
acţionează reacţiunile HA şi VA precum şi rezultanta parţială a sarcinii distribuite R1 =p ∙ x1
Funcţia forţă axială Nx are expresia
Nx(x1) = NAminus1 = minusHA = minus173 [kN] = const
(A7)
Funcţia forţă tăietoare Ty are exspresia
Ty(x1) = TAminus1 = VA minus R1 = VA minus p ∙ x1 (A8)
care reprezintă o variaţie liniară de variabilă x1 Se calculează valorile forţei tăietoare la
limitele intervalului de variaţie
- pentru x1 = 0 Ty(x1 = 0) = TA = VA = 42 [kN]
- pentru x1 = a = 6 [m] Ty(x1 = 6) = T1 = VA minus p ∙ a = minus18 [kN]
Observaţie Aşa cum a fost stabilită secţiunea fictivă poziţionată prin coordonata
x1 sar părea că rezultanta R ar trebui luată icircn calculul lui Ty(x1) Acest lucru ar fi greşit
pentru că R = p ∙ a reprezintă rezultanta sarcinii distribuite pe toată lungimea a iar
rezultanta pe porţiunea parcursă de lungime x1 este R1 = p ∙ x1 ne R = p ∙ a
Cu valorile obţinute se trasează diagramele forţelor axială Nx = f(x) şi tăietoare
Ty = f(x) figura 220 Din diagrama forţei tăietoare şi din valorile obţinute analitic se
observă că forţa tăietoare icircşi schimbă semnul pe intervalul analizat deci se anulează pe
acest interval Poziţia secţiunii unde Ty se anulează se determină din ecuaţia
Ty(x1) = 0 rArr VA minus p ∙ x1 = 0 (A9)
cu soluţia x1lowast = ξ = 42 [m] Important de reamintit că icircn această secţiune momentul
icircncovoietor va avea un extrem local adică Miz are un extrem la Ty = 0
Funcţia moment icircncovoietor Miz are expresia
Miz(x1) = VA ∙ x1 minus R1 ∙x12= VA ∙ x1 minus (p ∙ x1) ∙
x12
(A10)
Se observă că funcţia moment icircncovoietor de variabilă x1 are o variaţie parabolică
(gradul al II-lea) Pentru reprezentarea grafică a funcţiei parabolice se calculează valorile
momentului icircncovoietor icircn trei secţiuni
- pentru x1 = 0 Miz(x1 = 0) = MA = 0 [kN ∙ m] - pentru x1 = a = 6 [m] Miz(x1 = 6) = M1 = 72 [kN ∙ m] - pentru x1
lowast = ξ = 42 [m] Miz(x1lowast = ξ = 42 [m]) = Mimax = 882 [kN ∙ m]
Cu acestea se trasează diagrama Miz = f(x) pe intervalul (A-1) figura 220
Observaţie Icircn unele cazuri pe un anumit interval forţa tăietoare nu se anulează
şi momentul icircncovoietor nu are un extrem local Icircn acest caz pentru reprezentarea
variaţiei parabolice a momentului icircncovoietor se va studia semnul derivatei a doua a
funcţiei Miz = f(x1) acesta determinacircnd convexitatea curbei momentului icircncovoietor
Domeniul (2-B) x2 isin [0 c = 4 m] Porţiunile din grindă libere (nerezemate) la un capăt se numesc console iar
stabilirea funcţiilor de eforturi devine mai simplă dacă se consideră icircndepărtată partea din
dreapta secţiunii prin schimbarea sensului pozitiv al axei x Astfel se obţin funcţiile eforturilor
Funcţia forţă axială Nx are expresia
Nx(x2) = N2minusB = minusFH = minus173 [kN] = const
(A11)
Funcţia forţă tăietoare Ty are exspresia
Ty(x2) = T2minusB = FV = 10 [kN] = const (A12)
Funcţia moment icircncovoietor Miz are expresia
Miz(x2) = minusFV ∙ x2 rArr Miz(x2 = 0) = M2 = 0 [kN ∙ m]
Miz(x2 = 4) = MB = minus40 [kN ∙ m] (A13)
variaţie liniară (gradul I)
Domeniul (B-1) x3 isin [0 b = 4 m] Pe acest domeniu se acceptă parcurgerea grinzii de la dreapta adică se consideră
icircndepărtată partea din dreapta secţiunii fictive pentru că are doar două sarcini aplicate F
şi VB faţă de partea din stacircnga secţiunii pe care sunt aplicate trei sarcini p VA şi M0
Astfel se obţin funcţiile eforturilor
Funcţia forţă axială Nx are expresia
Nx(x3) = NBminus1 = minusFH = minus173 [kN] = const
(A14)
Funcţia forţă tăietoare Ty are exspresia
Ty(x3) = TBminus1 = FV minus VB = minus18 [kN] = const (A15)
Funcţia moment icircncovoietor Miz are expresia
Miz(x3) = minusFV ∙ (x3 + c) + VB ∙ x3 rArr
rArr Miz(x3 = 0) = MB = minus40 [kN ∙ m]
Miz(x3 = 4) = M1 = 32 [kN ∙ m]
(A16)
variaţie liniară (gradul I)
Diagramele eforturilor sunt prezentate icircn figura 220
c) Relaţiile diferenţiale dintre eforturi şi sarcini se analizează pe diagramele
eforturilor după cum urmează
sarcina distribuită nu are componentă orizontală adică ph = 0 şi icircn
conformitate cu formula (211) rezultă că Nx = const pe toată lungimea grinzii fapt care
a rezultat din funcţia şi reprezentarea diagramei forţei axiale
pe intervalul (A-1) sarcina distribuită are doar componenta verticală pozitivă
pV = p gt 0 prin urmare forţa tăietoare scade (are panta negativă dTy 119889119909frasl = minusp vezi
relaţia 210) iar momentul icircncovoietor avacircnd derivata a doua negativă d2M119894119911 1198891199092frasl =minuspare convexitatea curbei orientată spre sensul pozitiv al axei momentului Miz adică icircn
jos
pe domeniile (2-B) şi (B-1) deoarece pv = 0 forţa tăietoare Ty este constantă
iar momentul icircncovoietor Miz variază liniar
referitor la relaţia (212) pe porţiunile unde Ty gt 0 momentul Miz este
monoton crescător pe porţiunile unde Ty lt 0 momentul Miz este monoton descrescător
iar icircn secţiunea icircn care Ty = 0 momentul icircncovoietor are un extrem local Mξ =
882 [kN ∙ m] icircn diagrama forţei tăietoare discontinuităţile (salturile) se produc icircn secţiunile
unde acţionează VA VB şi FV iar icircn diagrama momentului icircncovoietor se produce un
singur salt icircn secţiunea icircn care este aplicat M0
se poate scrie
Mξ = suprafața diagramei Ty |ξ0=1
2∙ 42 ∙ 42 = 882 [kN ∙ m]
sau parcurgacircnd grinda de la dreapta la stacircnga rezultă
MB = minussuprafața diagramei Ty |c0= minus10 ∙ 4 = minus40 [kN ∙ m]
Toate aspectele analizate teoretic referitoare la relaţiile diferenţiale dintre eforturi
şi sarcini se regăsesc icircn diagramele de eforturi din figura 220 ceea ce icircnseamnă că
diagramele au fost reprezentate corect
3 TENSIUNI DEPLASĂRI ŞI DEFORMAŢII SPECIFICE
31 Tensiuni
Eforturile obținute icircn urma reducerii forțelor interioare icircn centrul de greutate al
secțiunii nu pot da informații asupra solicitării fiecărui punct al secțiunii respective Este
necesar să se cunoască modul cum se distribuie forțele interioare icircn fiecare punct al
secțiunii pentru a ști care este intensitatea maximă a solicitării Această intensitate
maximă se poate compara cu o valoare critică specifică materialului stabilindu-se astfel
dacă solicitarea este periculoasă sau nu
Mărimea care caracterizează solicitarea locală punctuală o vom denumi tensiune
și o vom defini icircn cele ce urmează Să considerăm partea din dreapta a unui corp solicitat
de forțele exterioare 1198651 1198652 și 1198653 obținută prin secționarea corpului și mărginită de fața
din dreapta Ad a secțiunii Pe secțiunea Ad vom considera un element de arie infinit mic
∆119860 caracterizat de normala la elementul de arie normală care are cosinușii directori
120573 și icircn raport cu un sistem de axe considerat fix Pe elementul infinit mic ∆119860 acționează
forțele interioare care au o rezultantă oarecare figura 31
Prin definiție tensiunea totală este
= lim∆119860rarr0
∆
∆119860 (31)
Tensiunea are aceeaşi direcţie cu forţa elementară ∆ iar mărimea ei este
determinată atacirct de mărimea forţei ∆ cacirct şi de orientarea suprafeţei ∆119860 faţă de direcţia
forţei
Tensiunea 119901 poate fi descompusă icircntr-o componentă orientată după direcţia
normalei la secţiune tensiunea normală notată cu 120590119909 şi o componentă icircn planul secţiunii
tensiunea tangenţială notată cu figura 32
= 119909 + 120591 (32)
Fig 31 Tensiunea totală Fig 32 Tensiunea normală și tangențială
La racircndul ei componenta tensiunii cuprinsă icircn planul secțiunii poate fi
descompusă după direcțiile axelor y și z
120591 = 120591119909119910 + 120591119909119911 (33)
Icircntre cele trei componente ale tensiunii totale care acționează pe elementul de arie
∆119860 este valabilă relația
1199012 = 1205901199092 + 120591119909119910
2 + 1205911199091199112 (34)
După sensul pe care icircl are tensiunea normală 120590 poate avea efect de tracţiune sau
de compresiune exercitat de către partea de corp icircnlăturată asupra părţii rămase Analog
tensiunea tangenţială 120591 poate avea efect de tăiere forfecare sau alunecare Pentru
componentele tensiunii tangențiale 120591119909119910 pe direcţia 119910 respectiv 120591119909119911 pe direcţia 119911 primul
indice indică axa pe care tensiunea este normală iar cel de-al doilea indice indică axa cu
care aceasta este paralel
Tensiunea este o mărime tensorială valoarea ei depinzacircnd atacirct de poziția
punctului icircn planul secțiunii cicirct și de orientarea planului de secționare deci de normala
Operaţiile vectoriale nu pot fi aplicate tensiunilor decacirct după ce acestea au fost icircnmulţite
cu ariile respective adică au fost transformate icircn forţe
Icircn literatura de specialitate mai ales icircn manualele mai vechi pentru noţiunea de
tensiune se mai foloseşte şi denumirea de efort specific
Dacă se consideră un alt element de arie ∆119860 cu centrul icircn același punct avacircnd ca
normală axa 119910 se vor obține alte tensiuni și anume
- 120590119910 este tensiunea normală (paralelă cu axa y)
- 120591119911119909 și 120591119910119911 sunt tensiuni tangențiale paralele cu axele 119909 și respectiv 119911 aflate icircn
planul care are ca normală axa 119910
Dacă icircn jurul unui punct dintr-un corp solicitat se consider un element de volum
infinit mic de forma unui cub icircn cazul cel mai general pe fețele sale vor acționa
tensiunile normale 120590119909 120590119910 și 120590119911 și respectiv tensiunile tangențiale 120591119909119910 120591119909119911 120591119910119909 120591119910119911 120591119911119909
și respectiv 120591119911119910 figura 33 Aceste tensiuni definesc starea de tensiune a punctului
observacircnd faptul că tensorul tensiune are 9 componente Dacă se consideră elementul
de volum finit ca fiind foarte mic se poate presupune că icircn interiorul său nu apar forțe
Ca urmare el va fi icircn echilibru sub acțiunea forțelor elementare produse de tensiunile de
pe fețele sale
Din condiția ca elementul să nu se rotească icircn jurul unor axe care trec prin centrul
său și sunt paralele cu axele sistemului 119909119874119910119911 rezultă
2 ∙ 120591119909119910 ∙ (119889119910 ∙ 119889119911) ∙119889119909
2= 2 ∙ 120591119910119909 ∙ (119889119909 ∙ 119889119911) ∙
119889119910
2 rArr 120591119909119910 = 120591119910119909 (35)
2 ∙ 120591119910119911 ∙ (119889119909 ∙ 119889119911) ∙119889119910
2= 2 ∙ 120591119911119910 ∙ (119889119909 ∙ 119889119910) ∙
119889119911
2 rArr 120591119910119911 = 120591119911119910 (36)
2 ∙ 120591119909119911 ∙ (119889119910 ∙ 119889119911) ∙119889119909
2= 2 ∙ 120591119911119909 ∙ (119889119909 ∙ 119889119910) ∙
119889119911
2 rArr 120591119909119911 = 120591119911119909 (37)
Relațiile (35divide37) 120591119909119910 = 120591119910119909 120591119910119911 = 120591119911119910 120591119909119911 = 120591119911119909 exprimă principiul dualității
tensiunilor tangențiale
Fig 33 Tensiunile normale și tangențiale pe fețele unui cub
Din condiția ca elementul considerat să nu se deplaseze icircn lungul axelor de
coordonate pe fețele opuse acționează aceleași tensiuni normale 120590119909 120590119910 și respectiv 120590119911
Definirea tensorului tensiune este posibilă dacă se cunosc cele 6 componente
independente ale acestuia aflate icircn trei plane perpendicular ce trec prin punctul respectiv
=
120590119909 120591119909119910 120591119909119911120591119910119909 120590119910 120591119910119911120591119911119909 120591119911119910 120590119911
Observaţii
Tensiunile se măsoară icircn [119873 1198982frasl ] (1119873 1198982frasl = 1 119875119886) sau icircn [119872119875119886]
(1 119872119875119886 = 106119875119886 = 106 119873
1198982 1 119872119875119886 = 1
119873
1198981198982)
Starea de tensiune dintr-un punct este considerată cunoscută dacă se cunosc
tensiunile 119901 care acționează pe infinitatea de elemente de suprafață ce trec prin punctual
considerat
Starea de tensiune a unui corp se consider cunoscută dacă se cunosc stările de
tensiune de pe infinitatea de puncte ale corpului considerat
32 Deplasări Deformaţii specifice
321 Deplasări
Aceste noțiuni sunt utile icircn analiza aspectului geometric al problemelor de rezistența
materialelor Deplasările care se analizează sunt cele datorate schimbării formei și
dimensiunilor corpurilor ca urmare a acțiunii forțelor exterioare și nu cele cinematice
posibile pentru solidul rigid care se poate deplasa cu anumită viteză și accelerație
Spre exemplu icircn figura 34a și figura 34b sub acțiunea forței 119865 tronsonul de
bară AB se deformează icircn timp ce tronsonul BC deși punctele sale au deplasări rămacircne
nedeformat (fiind nesolicitat) Toate punctele de pe axele barelor cu excepția celor din
icircncastrare (secțiunile A) au deplasări liniare De cele mai multe ori deformațiile barelor
datorate acțiunii forțelor exterioare se anulează la icircndepărtarea forțelor se spune că
deformațiile sunt elastice Secțiunile transversale ale barei din figura 34a se și rotesc icircn
raport cu pozițiile lor inițiale Spre exemplu secțiunea de căpăt cu centrul icircn C se rotește
cu unghiul
Fig 34 Deformațiile unei grinzi
Oricacirct de complexă ar fi delormația unui corp ea poate fi descrisă de lungiri sau
scurtări și de modificări ale unghiurilor inițiale
Deplasările măsoară schimbarea poziției unui punct al corpului și pot fi liniare
sau unghiulare
Prin deplasare liniară a unui punct se icircnțelege drumul parcurs de acest punct icircn
decursul procesului de deformație după o dreaptă suport dreapta 1198611198611 din figura 34a
Prin deplasare unghiulară se icircnțelege rotirea dintre segmentele de dreaptă
determinate de două puncte ale corpului icircnainte și după deformarea acestuia unghiul
pe care-l fac segmentele 119861119862 și 11986111198621 din figura 34a Această rotire se măsoară prin
unghiul pe care-l fac proiecțiile dreptelor ce conțin cele două segmente icircntr-un sistem
triortogonal
Icircn cazul cel mai general vectorul deplasare liniară se poate descompune icircntr-un
sistem triortogonal icircn trei componente 119906 119907 și 119908 figura 35
Fig 35 Deplasarea liniară
Se consideră acum un corp solid raportat la un sistem de axe ortogonal 119909119874119910119911
figura 35 după deformarea corpului un punct oarecare 119870 al acestuia se deplasează icircn
poziţia 1198701 vectorul 1198701198701 poartă numele de vectorul deplasării totale
Deplasarea totală este suma deplasărilor pe cele trei direcţii ortogonale iar
aceste deplasări se notează astfel
deplasarea pe direcţia 119909 cu ∥ 119874119909
deplasarea pe direcţia 119910 cu ∥ 119874119910
deplasarea pe direcţia 119911 cu ∥ 119874119911
Componentele deplasărilor și formeză matricea deplasărilor liniare 119906119907119908
322 Deformații
Prin deformație icircn general se icircnțelege orice schimbare de formă a unui corp fără
o evaluare cantitativă Icircn Rezistența Materialelor deformația măsoară variația
dimensiunilor geometrice ale corpului considerat din vecinătatea unui punct analog
deplasărilor deformațiile pot fi liniare și unghiulare (lunecări)
Fig 36 Deplasarea liniară
Deformația liniară ∆119897 reprezintă variația lungimii 119897 a unui element liniar al
corpului deformat figura 36 Deformația liniară specifică se definește ca fiind raportul
dintre deformația liniară și lungimea inițială
휀 =∆119897
119897 (38)
unde ∆119897 este lungirea sau scurtarea care este echivalentă cu deformția liniară totală iar
este alungirea
Deformația unghiulară sau lunecarea unui punct 119860 icircn planul 119861119860119862 se definește
prin relația figura 37
120574 = lim119861119860rarr0119862119860rarr0
(119861119860 minus 119861111986011198621 ) (39)
Fig 36 Deformația unghiulară
Schimbacircnd orientarea planului care trece prin 119860 se obțin alte deformații
unghiulare Dacă elementele liniare 119861119860 și 119862119860 sunt inițial perpendiculare deformația 120574 se
numește deformație unghiulară specifică sau lunecare specifică figura 37
Un exemplu de deplasare unghiulară și de deformație unghiulară este prezentat icircn
figura 38 Unghiul este deplasarea unghiulară și măsoară rotirea relativă dintre două
secțiuni aflate la distanța 119897 Unghiul este deformația specifică unghiulară (lunecarea
specifică) din punctul 119870 Aceste deplasări și deformații se obțin icircn urma solicitării barei
de către cele două momente 1198720 egale și de sens contrar
Fig 38 Deplasarea unghiulară
Pentru a analiza starea de deformație din vecinătatea unui punct al unui corp
solicitat complex se decupează din jurul punctului un element de volum mic figura 39a
avacircnd laturile 119889119909 119889119910 și 119889119911 Ca urmare a solicitării laturile acestuia se vor lungi sau
scurta Reprezentarea elementului deformat icircn spațiu este dificilă pentru simplificare
vom analiza doar deformațiile din planul 119909119874119910 Observăm că dimensiunile 119889119909 și 119889119910 s-au
modificat cu valoarea ∆119889119909 respectiv cu ∆119889119910 analog se acceptă și pentru 119889119911 o modificare
de forma ∆119889119911 Astfel se pot defini deformațiile specifice liniare
휀119909 =∆119889119909
119889119909 휀119910 =
∆119889119910
119889119910 휀119911 =
∆119889119911
119889119911 (310)
De cele mai multe ori aceste deformații specifice liniare se pot exprima procentual
și se mai numesc alungiri
Fig 39 Starea de deformație
Icircn figura 39c se vede că unghiul inițial drept dintre muchiile 119889119909 și 119889119910 ale
elementului de volum s-a modificat Se definește deformația specifică unghiulară (sau
lunecarea specifică) mărimea cu care se modifică unghiul inițial drept
120574119909119910 = 120574119909119910prime + 120574119910119909
prime = 120574119910119909120574119910119911 = 120574119910119911
prime + 120574119911119910prime = 120574119911119910
120574119911119909 = 120574119911119909prime + 120574119909119911
prime = 120574119909119911
(311)
Deformațiile 휀119909 휀119910 휀119911 120574119909119910 120574119910119911 120574119911119909 constituie cele șase componente
independente ale tensorului deformațiilor specifice care pot fi scrise de forma
119863 =
휀119909 120574119909119910 120574119909119911120574119910119909 휀119910 120574119910119911120574119911119909 120574119911119910 휀119911
(312)
323 Contracţia transversală
Practica arată că odată cu lungirea unei bare apare o micşorare a mărimii secţiunii
transversale mărime numită contracţie transversală figura 310
Fig 310 Contracția transversală
Contracţia transversală este proporţională cu lungirea specifică coeficientul de
proporţionalitate se notează cu 120599 şi se numeşte coeficient de contracţie transversală sau
coeficientul lui Poisson
La o lungire specifică a barei contracţia transversală este dată de relația
휀119905119903 = 휀119910 = 휀119911 = minus120599 ∙ 휀119909 (313)
Semnul minus bdquo-rdquo arată că cele două mărimi sunt contrare dacă una creşte cealaltă
scade şi invers
Considerăm o bară cilindrică de lungime 119897 şi aria secţiunii transversale 119860 solicitată
la icircntindere axială La un moment dat datorită solicitării lungimea barei devine
[119897 ∙ (1 + 휀)] diametrul devine [119889 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)] iar aria secţiunii transversale devine
[119860 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)2] Dacă volumul barei icircnainte de solicitare a fost (119860 ∙ 119897) după solicitare
acesta devine
119881 + ∆119881 = 119860 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)2 ∙ 119897 ∙ (1 + 휀) =
= 119860 ∙ 119897 ∙ (1 + 휀 minus 2 ∙ 120599 ∙ 휀 minus 2 ∙ 120599 ∙ 휀2 + 1205992 ∙ 휀2 + 1205992 ∙ 휀3) (314)
Deoarece lungirile sunt foarte mici ultimii trei termeni din paranteză fiind infinit mici se pot neglija obţinacircnd
119881 + ∆119881 = 119860 ∙ 119897 + 119860 ∙ 119897 ∙ 휀 ∙ (1 minus 2 ∙ 120599) ⟺ ∆119881 = 휀 ∙ (1 minus 2 ∙ 120599) ∙ 119860 ∙ 119897 (315)
Practica arătă că o astfel de bară solicitată la icircntindere icircşi măreşte volumul deci
∆119881 gt 0 de unde rezultă că
1 minus 2 ∙ 120599 gt 0 rArr 120599 lt 05 (316)
Pentru majoritatea materialelor 120599 = 033 iar pentru materialele care-şi păstrează
volumul constant 120599 = 05
33 Relaţii de echivalenţă icircntre eforturi şi tensiuni
Considerăm un element de suprafață infinit mic 119889119860 situat pe fața de arie (119860) a
secțiunii barei din figura 311 Icircn centrul de greutate 119862 al secțiunii acționează eforturile
119873 119879119910 119879119911 119872119909 119872119894119910 și 119872119894119911 determinate prin metoda secțiunilor
Icircn raport cu un sistem de axe de referință 119909119862119910119911 coordonatele elementului 119889119860 sunt
- 119910 este ordonata elementului de arie 119889119860
- 119911 este abscisa elementului de arie 119889119860
Pe elementul de arie 119889119860 acționează tensiunile
120590119909 tensiunea normală
120591119909119910 și 120591119909119911 tensiuni tangențiale
Dacă se icircnsumează forțele elementare de tipul 120590119909 ∙ 119889119860 120591119909119910 ∙ 119889119860 și 120591119909119911 ∙ 119889119860
va trebui să obținem eforturile 119873 119879119910 și 119879119911
Fig 311 Element de suprafață mic din secțiunea unei bare
Dacă eforturile sunt privite ca forțe exterioare și se scriu ecuațiile de
echilibru ale secțiunii (119860) se vor obține șase relații de echivalență icircntre eforturi și
tensiuni
(sum119883) = 0 rArr int 120590119909 ∙ 119889119860
119860
= 119873 (317)
(sum119884) = 0 rArr int 120591119909119910 ∙ 119889119860
119860
= 119879119910 (318)
(sum119885) = 0 rArr int 120591119909119911 ∙ 119889119860
119860
= 119879119911 (319)
(sum119872)119909= 0 rArr int(120591119909119911 ∙ 119889119860) ∙ 119910
119860
minus int(120591119909119910 ∙ 119889119860) ∙ 119911
119860
= 119872119909 rArr
rArr int(119910 ∙ 120591119909119911 minus 119911 ∙ 120591119909119910) ∙ 119889119860
119860
= 119872119909
(320)
(sum119872)119910= 0 rArr int(120590119909 ∙ 119889119860) ∙ 119911
119860
= 119872119894119910 (321)
(sum119872)119911= 0 rArr int(120590119909 ∙ 119889119860) ∙ 119910
119860
= 119872119894119911 (322)
Cele șase relații de echivalență icircntre eforturi și tensiuni constituie un pas icircnainte
icircn rezolvarea unei probleme de rezistența materialelor Aceste relații vor permite
determinarea tensiunilor maxime
Pentru a rezolva cele 6 relații de echivalență trebuie să se cunoască tensiunile și
ca funcții de punct adică funcții de forma
120590119909 = 120590119909(119909 119910 119911) 120591119909119910 = 120591119909119910(119909 119910 119911) 120591119909119911 = 120591119909119911(119909 119910 119911) (32
3)
Cunoașterea acestor funcții presupune icircnsă analizarea aspectului geometric al
problemei precum și utilizarea unor ipoteze simplificatoare care să permită simplificarea
problemelor
34 Ipoteze de bază icircn rezistenţa materialelor
Depășirea dificultăților legate de interpretarea unor fenomene specifice mecanicii
solidului deformabil a impus acceptarea unor ipoteze care să simplifice fenomenele și să
contribuie la elaborarea unor modele de calcul cicirct mai generale și cacirct mai simple Aceste
ipoteze se referă la structura materialelor şi la comportarea lor sub acţiunea forţelor
exterioare Ipotezele acceptate trebuie să fie icircn deplină concordanţă cu realitatea și să
conducă la rezultate verificate icircn practică
Funcție de aspectele la care se referă ipotezele pot fi
Ipoteze fizice (de material)
Ipoteze de calcul
341 Ipoteze fizice
Se acceptă deoarece teoriile structurale au condus la rezultate care contravin
icircncercărilor experimentale
Ipoteza mediului continuu consideră că orice domeniu elementar al corpului
este ocupat de materie adică nu se acceptă existența unor goluri sau a unor crăpături
microscopice (fisuri) Deși nu corespunde realităţii poate fi acceptată deoarece
dimensiunile corpului sunt mult mai mari decacirct dimensiunile particulelor elemantare Are
avantajul că permite utilizarea proprietăților matematice ale funcțiilor continue pentru
tensiunile și deformațiile din orice punct al corpului Ea este mai apropiată de realitate la
corpurile amorfe şi mai depărtată la cele cristaline dar conduce la rezultate satisfăcătoare
icircn calculele de rezistenţă
Ipoteza nu se poate aplica la corpurile care au goluri tăieturi (multiplu conexe)
pentru unele puncte singulare icircn care tensiunile și deformațiile tind la infinit sau icircn unele
probleme de plasticitate icircn care proprietățile de material au un rol esențial
Ipoteza izotropiei conform acestei ipoteze materialul din care este confecționat
un element de rezistență are aceleași proprietăți după orice direcție un astfel de material
este considerat izotrop Din punct de vedere macroscopic metalele pot fi considerate
izotrope deși la nivel microscopic proprietățile lor diferă de la o direcție cristalografică
la alta Orice conglomerat de cristale poate fi considerat izotrop
Există cazuri cacircnd această ipoteză a izotropiei nu se acceptă
la metalele puternic deformate după o direcție (prin laminare trefilare)
la piesele confecționate din lemn lemnul este anizotrop deoarece proprietățile sale
diferă după două direcții (icircn lungul fibrelor și perpendicular pe această direcție)
Ipoteza omogenității consideră că un corp are aceleași proprietăți icircn orice
punct al său Deși majoritatea materialelor utilizate icircn tehnică sunt eterogene la scară
micro fiind constituite din mai multe faze cu proprietăți diferite la scară macro ele pot
fi considerate omogene Omogenitatea și izotropia sunt proprietăți statistice medii care
nu se condiționează una pe cealaltă Chiar și materialele monofazice pot avea la scară
micro unele segregații care le fac eterogene
Ipoteza elasticităţii perfecte presupune că atacircta timp cacirct solicitările nu
depăşesc anumite limite materialul are o comportare elastică adică icircşi recapătă forma şi
dimensiunile iniţiale odată cu icircnlăturarea sarcinilor Icircn realitate materialele nu prezintă o
elasticitate perfectă ele avacircnd deformaţii remanente mici care icircnsă pot fi neglijate icircn
calculele de rezistenţă
Acceptarea acestei ipoteze a elasticității perfecte permite
- aplicarea relației biunivoce icircntre tensiuni și deformații relație exprimată de legea
lui Hooke ( = 119864 ∙ 휀) unde E este un factor de proporţionalitate numit modul de
elasticitate longitudinal al materialului pentru oţel 119864 = 21 ∙ 105 [119872119875119886] - acceptarea valabilității afirmației bdquolucrul mecanic efectuat de forțele exterioare
ca urmare a parcurgerii deplasărilor punctelor de aplicație se icircnmagazinează integral icircn
corp sub formă de energie de deformație energie cedată la icircndepărtarea sarcinilorrdquo
- este valabilă teoria conform căreia bdquoenergia icircnmagazinată și deformațiile depind
doar de starea inițială și finală de eforturi fără a ține cont de modul icircn care s-a ajuns la
starea finalărdquo
Icircn realitate oricacirct de mici ar fi sarcinile aplicate se produc și deformații plastice
dar acestea pot fi neglijate dacă solicitarea nu depășește anumite limite
342 Ipoteze de calcul
Ipoteza micilor deplasări bdquodeplasările datorate deformării sunt mult mai mici
decacirct dimensiunile corpurilor și ca urmare pot fi neglijate produsele dintre o deplasare și
ea icircnsăşirdquo Pentru cele mai multe corpuri deformaţiile elastice sunt de mărimi mici deci
corpurile solide sub acţiunea sarcinilor icircşi modifică foarte puţin forma iniţială Această
ipoteză este cunoscută şi sub denumirea de ipoteza menţinerii dimensiunilor iniţiale Ea
permite scrierea ecuaţiilor de echilibru ale staticii pe starea nedeformată a elementului
cacircnd nu se iau icircn considerare deplasările punctelor de aplicaţie ale forţelor care se produc
ca urmare a deformării acestuia Calculul efectuat pe schema nedeformată poartă numele
de calcul de ordinul I
Ipoteza micilor deplasări nu poate fi acceptată pentru studiul problemelor de
stabilitate sau la problemele la care nu pot fi icircndeplinite condiţiile de echilibru icircn starea
nedeformată
Calculul de ordinul II admite ipoteza micilor deplasări dar ecuaţiile de echilibru
se scriu icircnsă pentru starea deformată a elementului de rezistenţă
Calculul de ordinul III nu mai acceptă ipoteza micilor deplasări el referindu-se
la cazul deformaţiilor mari cacircnd ecuaţiile de echilibru trebuie scrise pentru starea
deformată
Chiar dacă materialul satisface legea lui Hooke icircn urma calculelor de ordinul II
se obţin de obicei relaţii neliniare icircntre sarcini şi deplasări iar pentru calculul de ordinul
III rezultă ecuaţii diferenţiale neliniare
Principiul efectului local al acțiunii sarcinilor enunțat de Barre de Saint-
Venant Acest principiu destul de folosit icircn Rezistenţa Materialelor precizează că dacă
se icircnlocuiesc forţele care acţionează asupra unui element de suprafață al unui corp
elastic printr-un alt sistem de forţe echivalent din punct de vedere static cu primul noua
distribuţie a forţelor produce la locul de aplicare diferenţe semnificative faţă de prima
dar rămacircne fără efect sau cu efect neglijabil la distanţe mari de locul de aplicare al
forţelor figura 312
Ca o cosecință o sarcină uniform distribuită figura 312a poate fi icircnlocuită cu
rezultanta ei figura 312b dacă se analizează efectul sarcinii la distanță mare de locul icircn
care se aplică sarcina
Fig 312 Principiul Saint-Venant
Icircn prima variantă figura 312a forţa 119865 se aplică pe o porțiune oarecare 119897 (sarcină
uniform distribuită) iar icircn a doua figura 312b icircntru-un punct (forţă concentrată) La
locul de aplicare a sarcinii efectul asupra barei este cu totul diferit de la o variantă la
cealaltă Icircnsă la o distanţă mare de punctul de aplicaţie spre exemplu icircn secţiunea situată
la distanţa 119886 de capătul barei sau chiar icircn icircncastrare ambele bare sunt solicitate la fel
Icircn cazul din figura 312a
119872119894(119909) =119901 ∙ 1199092
2 119909 le 119897 119872119894(119909) = 119901 ∙ 119897 ∙ (119909 minus
119897
2) 119909 gt 119897 (324)
Icircn cazul din figura 312b
119872119894(119909) = 0 119909 lt119897
2 119872119894(119909) = 119901 ∙ 119897 ∙ (119909 minus
119897
2) 119909 gt
119897
2 (325)
Se vede că pentru (119909 gt 119897) adică după depășirea locului icircn care se aplică sarcina
efectul este același
Ipoteza lui Bernoulli sau ipoteza secţiunilor plane precizează că o secţiune
plană şi normală pe axa barei icircnainte de deformare rămacircne plană şi normală pe axa
barei şi după deformare figura 313
Fig 313 Ipoteza lui Bernoulli
Ipoteza stării naturale a corpului sau ipoteza absenţei tensiunilor conform
căreia pentru un corp nesolicitat starea de tensiune şi deformaţie este nulă
Perfecţionarea mijloacelor de calcul şi de investigare pot conduce la renunţarea la
unele ipoteze sau la introducerea altora noi mai aproape de stările reale De aici rezultă
caracterul de continuă perfecţionare a metodelor Rezistenţei Materialelor
35 Coeficienţi de siguranţă Tensiuni admisibile
O piesă corespunde din punct de vedere tehnic dacă tensiunile care iau naştere icircn
interiorul piesei datorită sarcinilor aplicate nu depăşesc anumite valori limită stabilite
convenţional Aceste valori limită ale tensiunii sunt corelate cu caracteristicile mecanice
ale materialelor
Tensiunea limită utilizată icircn calculele de rezistenţă este cunoscută sub denumirea
de tensiune admisibilă sau rezistenţă admisibilă Rezistenţa admisibilă reprezintă
valoarea convenţională aleasă icircn calcul pe baza practicii pentru tensiunea maximă care
poate apare icircntr-o piesă icircn condiţii date de material şi solicitare
Rezistenţa admisibilă (120590119886 sau 120591119886) poate fi definită faţă de o stare limită
periculoasă stare care trebuie evitată deoarece poate conduce distrugere
120590119886 =120590119897119894119898119888
(326)
unde
120590119897119894119898 este tensiunea corespunzătoare stării limită periculoase
119888 estesupraunitar 119888 gt 1 și reprezintă coeficientul de siguranţă faţă de starea limită
periculoasă considerată
Alegerea unor valori inferioare pentru rezistenţa admisibilă faţă de tensiunea
corespunzătoare stării limită periculoase este necesară deoarece
cunoaşterea sarcinilor este de cele mai multe ori aproximativă şi o depăşire a
acestora este foarte posibilă
caracteristicile mecanice ale materialelor variază icircn limite destul de mari ele
fiind influenţate de mulţi factori
schema aleasă pentru calcul (aplicarea sarcinilor schematizarea structurii
ipotezele de calcul etc) depărtează modelul faţă de cel real
Pentru calculele de verificare tensiunea efectivă maximă din elementul de
rezistenţă trebuie să fie mai mică sau cel mult egală cu cea admisibilă
120590119890119891119898119886119909 le 120590119886 (327)
Valoarea rezistenţei admisibile este influenţată de foarte mulţi factori natura
materialului tratamentele termice aplicate piesei durata de funcţionare a piesei modul
de acţionare icircn timp a sarcinilor felul solicitării temperatura gradul de periculozitate
icircn cazul cedării piesei etc
De asemenea valoarea coeficientului de siguranţă se alege icircn principal ţinacircnd
seama de aceiaşi factori care influenţează şi rezistenţa admisibilă
Rezistenţele admisibile pentru cacircteva materiale sunt următoarele
pentru oțelul de uz general OL37 solicitat la icircntindere compresiune sau
icircncovoiere 120590119886 = 150 [119872119875119886] pentru lemnul de brad solicitat la
- compresiune icircn lungul fibrelor şi solicitat la icircncovoiere 120590119886 = 10 [119872119875119886] - tracţiune icircn lungul fibrelor 120590119886 = 7 [119872119875119886] - compresiune perpendiculară pe fibre 120590119886 = 15 [119872119875119886] - forfecare icircn lungul fibrelor 120591119886 = 2 [119872119875119886] - forfecare perpendiculară pe fibre 120590119886 = 45 [119872119875119886]
terenuri de fundaţie din pămacircnt uscat sau umed 120590119886 = 020 divide 025 [119872119875119886]
4 CARACTERISTICI GEOMETRICE ALE SECȚIUNILOR PLANE
41 Noţiuni introductive
Icircn relaţiile de calcul ale tensiunilor şi deformaţiilor elementelor de rezistenţă
pentru unele solicitări (icircncovoierea și torsiunea) secțiunile plane intervin atacirct prin
dimensiunile lor (aria 119860) cicirct și prin forma și poziția pe care o are secțiunea icircn raport cu
planul solicitării Mărimile care caracterizează o secțiune icircn raport cu forma și poziția față
de axele unui sistem de referință sunt denumite caracteristici geometrice de ordin
superior Aria secțiunii este caracteristica geometrică ce depinde doar de dimensiunile
geometrice ale acesteia
Să considerăm o grindă solicitată de o forță exterioară 119865 aşezată icircn două poziții icircn
raport cu planul forţei figura 41 Icircn urma aplicării forței deși avem aceeași grindă
(aceeași arie a secțiunii transversale) și aceeași forță se constată că pentru varianta din
figura 41a deformațiile sunt mult mai mari adică rezistența la icircncovoiere a grinzii din
figura 41a este mai mare decacirct icircn cazul grinzii din figura 41b Comportarea diferită se
explică prin aceea că modificarea poziţiei secţiunii transversale faţă de planul forţelor
modifică caracteristicile geometrice ale secţiunii transversale a grinzii
Fig 41 Grindă solicitată de forța 119865
Pentru realizarea calculelor de rezistenţă şi rigiditate este foarte importantă
cunoaşterea caracteristicilor geometrice ale suprafeţei secţiunii transversale a elementelor
de rezistenţă
Caracteristicile geometrice ale secţiunii transversale a unui element de rezistenţă
sunt
- aria secțiunii notată cu 119860
- momentul static icircn raport cu o axă notat 119878119911 și respectiv 119878119910
- momentul de inerție care poate fi
axial notat 119868119911 și respectiv 119868119910
centrifugal notat 119868119911119910
polar notat 119868119901
- raza de inerţie (giraţie)notată 119894119911 și respectiv 119894119910
- modulul de rezistență care poate fi
axial notat 119882119911 și respectiv 119882119910
polar notat 119882119901
42 Aria și momentul static al suprafețelor plane
Fie o suprafaţă plană de arie 119860 pe care se ia un element infinit mic de arie 119889119860 şi
un sistem de axe rectangulare 119911119874119910 figura 42 Notăm cu 119862 centrul de greutate al suprafeţei
119860 Poziţia suprafeţei elementare 119889119860 faţă de acelaşi sistem de coordonate 119911119874119910 este dată
de abscisa 119911 ordonata 119910 și raza polară
Fig 42 Suprafață plană de arie 119860
Aria suprafeţei 119860 figura 42 se defineşte ca fiind
119860 ≝ int 119889119860
119860
(41)
Aria suprafeţei este icircntotdeauna pozitivă și se măsoară icircn [1198981198982] Momentul static al suprafeţei de arie 119860 icircn raport cu axele 119874119911 și respectiv 119874119910
figura 42 sunt date de relaţiile
119878119911 ≝ int 119910 ∙ 119889119860
119860
119878119910 ≝ int 119911 ∙ 119889119860
119860
(42)
Momentul static poate fi pozitiv negativ sau nul şi se măsoară icircn [1198981198983] Coordonatele centrului de greutate ale suprafeței 119860 se detrmină cu relațiile
119910119862 ≝int 119910 ∙ 119889119860119860
119860 119911119862 ≝
int 119911 ∙ 119889119860119860
119860
(43)
Cunoscacircnd coordonatele 119910119862 și 119911119862 ale centrului de greutate 119862 al secțiunii 119860 atunci
momentele statice se pot determina cu relațiile
119878119911 ≝ int 119910 ∙ 119889119860
119860
= 119910119862 ∙ 119889119860 119878119910 ≝ int 119911 ∙ 119889119860
119860
= 119911119862 ∙ 119889119860 (44)
Aceste relații arată că momentul static al unei suprafețe icircn raport cu o axă este
egal cu produsul dintre aria suprafeței și distanța de la centrul ariei la axa respectivă
Dacă suprafaţa se poate descompune icircn 119899 suprafeţe simple la care se cunosc ariile
(1198601 1198602 ⋯ 119860119894⋯ 119860119899) și poziţiile centrelor de greutate 119862119894 faţă de sistemul de referinţă
expresiile momentelor statice capătă următoarea formă
119878119911 = sum 119910119862119894 ∙ 119860119894119899119894=1 = 119910119862 ∙ 119860 119878119910 = sum 119911119862119894 ∙ 119860119894
119899119894=1 = 119911119862 ∙ 119860 (45)
Din relaţiile (45) rezultă că poziţia centrului de greutate 119862 al unei suprafeţe
compuse poate fi determinată cu relaţiile
119910119862 = (sum119910119862119894 ∙ 119860119894
119899
119894=1
) 119860frasl 119911119862 = (sum119911119862119894 ∙ 119860119894
119899
119894=1
) 119860frasl (46)
Icircn relația (45) 119910119862119894 și respectiv 119911119862119894 reprezintă coordonatele centrelor de greutate 119862119894
ale fiecărei suprafețe simple 119860119894 icircn raport sistemul de axe 119911119874119910
Se constată (relaţia 42) că dacă axele sistemului de referinţă trec prin centrul de
greutate (119910119862 = 119911119862 = 0) momentele statice sunt nule Axele icircn raport cu care momentele
statice sunt nule şi care trec prin centrul de greutate al suprafeţei se numesc axe centrale
Observație dacă secțiunea compusă are o axă de simetrie centrul secțiunii se
găsește pe acea axă iar dacă secțiunea este dublu simetrică poziția centrului secțiunii este
la intersecția axelor de simetrie
43 Momente de inerţie
Momentele de inerţie axiale ale unei suprafețe se calculează icircn raport cu axele de
coordonate 119874119911 și respectiv 119874119910 figura 42 și se determină cu relațiile
119868119911 ≝ int 1199102 ∙ 119889119860
119860
119868119910 ≝ int 1199112 ∙ 119889119860
119860
(47)
Unde 119910 și 119911 sunt distanțele de la elementul de arie 119889119860 la cele două axe de
coordonate 119874119911 și respectiv 119874119910
Momentele de inerţie axiale se măsoară icircn [1198981198984] şi sunt icircntotdeauna pozitive (aria
119889119860 este icircntotdeauna pozitivă și este multiplicată cu patratul distanței 1199102 dacă 119868119911 sau 119868119910
sunt nule icircnseamnă ca secțiunea nu există)
Momentele de inerție axiale se calculează icircndeosebi pentru axele centrale (care
trec prin centrul secțiunii) deoarece icircn raport cu acele axe 119868119911 și 119868119910 au valori minime
Momentul de inerţie centrifugal calculat faţă ambele axe ale sistemului de
referinţă 119911119874119910 este definit de relația
119868119911119910 ≝ int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860
(48)
Momentul de inerţie centrifugal se măsoară icircn [1198981198984] şi poate fi pozitiv negativ
sau nul
Momentul de ineție centrifugal este nul 119868119911119910 = 0 dacă cel puțin una din axele 119874119911
sau 119874119910 este axă de simetrie pentru secțiune
Se consideră o suprafaţă dreptunghiulară pe care faţă de axa de simetrie 119874119910 se iau
două suprafeţe elementare de arie 119889119860 simetrice faţă de axa 119874119910 figura 43
Fig 43 Suprafață dreptunghiulară cu două arii elementare 119889119860
Făcacircnd suma momentelor de inerţie centrifugale pentru cele două suprafeţe
elementare 119889119860 (din stacircnga şi din dreapta faţă de axa 119874119910) se obţine
int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860119889119903
+ int (minus119911) ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860119904119905119892
= int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860119889119903
minus int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860119904119905119892
= 0 (49)
Acelaşi raţionament se poate face și pentru icircntreaga suprafaţă de unde obținem că
momentul de inerție centrifugal este nul 119868119911119910 = 0 Deci pentru o suprafaţă plană care
are cel puţin o axă de simetrie momentul de inerţie centrifugal faţă de sistemul care
conţine acea axă de simetrie este nul
Momentul de inerţie polar al unei suprafeţei icircn raport cu un punct (pol) 119874 figura
42 este definit prin relaţia
1198680 = 119868119901 ≝ int 1205882 ∙ 119889119860
119860
= int(1199102 + 1199112) ∙ 119889119860
119860
= 119868119911 + 119868119910 (410)
unde este distanţa de la polul 119874 la elementul de arie 119889119860 Momentul de inerţie polar se
măsoară icircn [1198981198984] şi este totdeauna pozitiv
Momentul de inerţie polar este egal cu suma momentelor de inerţie faţă de două axe
perpendiculare oarecare şi care trec prin polul considerat
Razele de giraţie sau razele de inerţie sunt mărimi calculate icircn raport cu axele
secțiunii și definite de relaţiile
119894119911 ≝ radic119868119911119860 119894119910 = radic
119868119910
119860 (411)
Se exprimă icircn [119898119898] şi sunt icircntotdeauna pozitive Semnificația unei raze de inerție
este distanța la care dacă ar fi concentrată icircntreaga arie s-ar obține același moment de
inerție ca și cel calculat pentru aria reală
44 Modulul de rezistenţă
Modulul de rezistență se calculează icircn raport cu axele de referință sau icircn raport cu
un pol figura 42 și pot fi axiale (119882119911119882119910) sau polar (119882119901) și se determină numai pe baza
momentelor de inerţie cu relațiile figura 43
119882119911119898119894119899 ≝119868119911119910119898119886119909
119882119911119898119886119909 ≝119868119911119910119898119894119899
(412)
119882119910119898119894119899 ≝119868119910
119911119898119886119909 119882119910119898119886119909 ≝
119868119910
119911119898119894119899 (413)
119882119901 ≝119868119901
120588119898119886119909 (414)
unde
119910119898119886119909 119910119898119894119899 reprezintă distanţa de la axa 119874119911 la punctele extreme cele mai
depărtate respectiv cele mai apropiate ale suprafeţei de această axă
119911119898119886119909 119911119898119894119899 reprezintă distanţa de la axa 119874119910 la punctele extreme cele mai
depărtate respectiv cele mai apropiate ale suprafeţei de această axă
120588119898119886119909 reprezintă distanța maximă de la polul 119874 la punctul secțiunii cel mai
icircndepărtat de acesta
Fig 43 Suprafață dreptunghiulară cu două arii elementare 119889119860
Modulele de rezistenţă se exprimă icircn [1198981198983] şi sunt icircntotdeauna pozitive
Explicația este aceea că momentele de inerție care intră icircn relațiile de definiție sunt
pozitive iar distanțele la punctele extreme sunt pozitive (119910119898119886119909 119910119898119894119899 119911119898119886119909 119911119898119894119899 120588119898119886119909 se
iau icircn valoare absolută)
Icircn cazul suprafeţelor compuse modulul de rezistenţă nu se obţine prin icircnsumarea
algebrică a modulelor de rezistenţă ale suprafeţelor simple componente ci numai prin
intermediul momentului de inerţie axial calculat pentru icircntreaga secțiune
Ca și momentele de inerție modulele de rezistență se calculează numai pentru
sistemele de axe centrale
45 Momente de inerţie şi module de rezistenţă pentru suprafeţe simple
451 Secțiune dreptunghiulară
Fie suprafaţa dreptunghiulară din figura 44 de icircnălțime ℎ și lățime 119887 pe care se
consideră suprafaţă elementară de arie 119889119860 = 119887119889119910 la distanța 119910 de axa 119862119911 sistemul de
axe 119911119862119910 trece prin centrul secțiunii iar axele sunt axe de simetrie pentru dreptunghi
Fig 44 Suprafață dreptunghiulară
Pe baza relațiilor de definiți a momentului de inerție 119868119911 se obține
119868119911 ≝ int 1199102 ∙ 119889119860
119860
= int 1199102 ∙ 119887 ∙ 119889119910 = 2int 1199102 ∙ 119887 ∙ 119889119910 = 2 ∙ 119887 ∙1199103
3|ℎ 2frasl
0rArr
ℎ 2frasl
0
ℎ 2frasl
minusℎ 2frasl
rArr 119868119911 =119887 ∙ ℎ3
12
(415)
Analog pentru un element de arie 119889119860 = ℎ ∙ 119889119911 paralel cu axa 119862119910 situat la distanța
119911 de axa 119862119910
119868119910 ≝ int 1199112 ∙ 119889119860
119860
= int 1199112 ∙ ℎ ∙ 119889119911 = 2int 1199112 ∙ ℎ ∙ 119889119910 = 2 ∙ ℎ ∙1199113
3|119887 2frasl
0rArr
119887 2frasl
0
119887 2frasl
minus119887 2frasl
rArr 119868119910 =1198873 ∙ ℎ
12
(416)
Deoarece axele 119862119911 și 119862119910 sunt axe de simetrie momentul de inerție centrifugal este
119868119911119910 = 0 (417)
Pentru un pătrat avacircnd laturile egale (ℎ = 119887 = 119886) momentele de inerţie faţă de
axele centrale au expresia
119868119911 = 119868119910 =1198864
12 (418)
Modulele de rezistență axiale se calculează cu relațiile de definiție ținacircnd cont că
distanțele pacircnă la fibrele extreme sunt
119910119898119886119909 = 119910119898119894119899 =ℎ
2 119911119898119886119909 = 119911119898119894119899 =
119887
2 (419)
Obținem
119882119911119898119894119899 = 119882119911119898119886119909 =119868119911
119910119898119886119909119898119894119899=119887 ∙ ℎ3
12frasl
ℎ2frasl
=119887 ∙ ℎ2
6
119882119910119898119894119899 = 119882119910119898119886119909 =119868119910
119911119898119886119909119898119894119899=1198873 ∙ ℎ
12frasl
1198872frasl
=1198872 ∙ ℎ
6
(420)
452 Suprafaţă circulară
Din motive de simetrie pentru suprafeţele circulare momentele de inerţie faţă de
orice diametru (care reprezintă şi axe centrale) sunt aceleaşi
Considerăm o secțiune circulară plină cu diametrul 119889 și centrul de greutate 119862 Prin
centrul de greutate 119862 trece sistemul de axe ortogonal 119911119862119910 figura 45
Fig 45 Suprafață circulară
La distanța de centrul de greutate 119862 vom lua un element de suprafață mic de arie
(119889119860) de forma unui inel de grosime 119889 Elementul de arie 119889119860 are expresia
119889119860 = (2 ∙ 120587 ∙ 120588) ∙ (119889120588)
Pornind de la relația de definiție a momentului de inerție polar obținem
119868119901 ≝ int 1205882 ∙ 119889119860
119860
= int 1205882 ∙ (2 ∙ 120587 ∙ 120588) ∙ 119889120588
119903=119889 2frasl
0
= 2 ∙ 120587 ∙1205884
4|119889 2frasl0 rArr
rArr 119868119901 =120587 ∙ 1198894
32
(421)
Secțiunea este perfect simetrică deci sunt valabile relațiile
119868119911 = 119868119910 rArr 119868119901 = 119868119911 + 119868119910 = 2 ∙ 119868119911 = 2 ∙ 119868119910 =119868119901
2=120587 ∙ 1198894
64 (422)
Și modulele de rezistenţă faţă de orice diametru sunt egale şi se calculează cu
relaţiile
119882119911 = 119882119910 =1198681199111198892frasl=120587 ∙ 1198893
32 (423)
Modulul de rezistenţă polar este
119882119901 =1198681199011198892frasl=120587 ∙ 1198893
16 (424)
453 Secţiune inelară
Calculul momentelor de inerţie axiale pentru o secţiune inelară avacircnd diametrul
interior 119889 şi diametrul exterior 119863 se determină analog pentru suprafaţa circulară plină cu
observaţia că integrala pentru calculul momentului de inerție polar 119868119901 se face icircntre
limitele 119903 = 119889 2frasl şi R= 1198632frasl (icircntre raza interioară 119903 şi raza exterioară 119877) figura 46
Se obţin relaţiile
119868119901 =120587 ∙ 1198634
32∙ [1 minus (
119889
119863)4
] =120587 ∙ 1198634
32∙ (1 minus 1198964) (425)
119868119910 = 119868119910 =120587 ∙ 1198634
64∙ [1 minus (
119889
119863)4
] =120587 ∙ 1198633
64∙ (1 minus 1198964) (426)
Fig 46 Secțiune inelară
119882119901 =120587 ∙ 1198633
16∙ [1 minus (
119889
119863)4
] =120587 ∙ 1198633
16∙ (1 minus 1198964) (427)
119882119911 = 119882119910 =120587 ∙ 1198633
32∙ [1 minus (
119889
119863)4
] =120587 ∙ 1198633
32∙ (1 minus 1198964) (428)
unde 119896 = 119889119863frasl
46 Variaţia momentelor de inerţie faţă de axe paralele
( Relațiile lui STEINER)
Se consideră o suprafaţă oarecare de arie 119860 cu elementul de arie 119889119860 și un sistemul
de axe central 119911119862119910 faţă de care se cunosc momentele de inerţie 119868119911 119868119910 119868119911119910 şi considerăm
un sistem de axe 11991111198741199101 paralele cu sistemul central figura 47 Se pune problema
determinării momentele de inerţie 1198681199111 1198681199101 11986811991111199101 faţă de sistemul de axe paralel cu sistemul
central 11991111198741199101 axe aflate la distanţele 119910119862 = 119888 respectiv 119911119862 = 119889 de acesta
461 Momente de inerţie axiale
Pe baza relaţiilor de definire şi a notaţiilor din figura 42 pentru momentele de
inerţie faţă de axele 1198741199111 1198741199101 se poate scrie
1198681199111 = int 11991012 ∙ 119889119860
119860
= int(119910 + 119888)2 ∙ 119889119860
119860
= int 1199102 ∙ 119889119860
119860
+ 2 ∙ 119888 ∙ int 119910 ∙ 119889119860
119860
+
+1198882int 119889119860
119860
rArr 1198681199111 = 119868119911 + 2 ∙ 119888 ∙ 119878119911 + 1198882 ∙ 119860 hArr 1198681199111 = 119868119911 + 119888
2 ∙ 119860
(429)
Fig 47 Variaţia momentelor de inerţie față de axe paralele
S-a ajuns la relația (429) deoarece momentul static 119878119911 este nul deoarece axa 119862119885
este axă centrală
Pentru momentul de inerție axial icircn raport cu axa 1198741199101 se obține
1198681199101 = int 11991112 ∙ 119889119860
119860
= int(119911 + 119889)2 ∙ 119889119860
119860
= int 1199112 ∙ 119889119860
119860
+ 2 ∙ 119889 ∙ int 119911 ∙ 119889119860
119860
+
+1198892 ∙ int 119889119860
119860
rArr 1198681199101 = 119868119910 + 2 ∙ 119889 ∙ 119878119910 + 1198892 ∙ 119860 hArr 1198681199101 = 119868119910 + 119889
2 ∙ 119860
(430)
Pentru momentul de inerție centrifugal obținem
11986811991111199101 = int 1199101 ∙ 1199111 ∙ 119889119860
119860
= int(119910 + 119888) ∙ (119911 + 119889) ∙ 119889119860
119860
= int 119910 ∙ 119911 ∙ 119889119860 +
119860
+119888 ∙ int 119911 ∙ 119889119860
119860
+ 119889 ∙ int 119910 ∙ 119889119860
119860
rArr 11986811991111199101 = 119868119911119910 + 119888 ∙ 119889 ∙ 119860
(431)
Deoarece
int 119911 ∙ 119889119860
119860
= 119878119910 = 0 int 119910 ∙ 119889119860
119860
= 119878119911 = 0 int 119910 ∙ 119911 ∙ 119889119860
119860
= 119868119911119910
Relaţiile (429) şi (430) arată că momentul de inerţie faţă de o axă oarecare
este egal cu momentul de inerţie faţă de o axă paralelă cu ea trecacircnd prin centrul de
greutate la care se adaugă produsul dintre aria suprafeţei şi pătratul distanţei dintre
cele două axe
Din relaţiile (429) și (430) rezultă de asemenea că momentul de inerţie faţă de o
axă centrală (care trece prin centrul de greutate) este cel mai mic dintre infinitatea de
momente de inerţie obținute faţă de alte axe paralele cu ea
Relaţia (431) arată de asemenea că momentul de inerţie centrifugal faţă de un
sistem de axe oarecare este egal cu momentul de inerţie centrifugal faţă de un sistem
paralele cu el trecacircnd prin centrul de greutate a suprafeţei la care se adaugă produsul
dintre aria suprafeţei şi distanţele dintre axele sistemelor respective
Icircn literatura de specialitate relaţiile (429) (430) şi (431) sunt cunoscute sub
numele de relaţiile lui Steiner
47 Variaţia momentrlor de inerţie faţă de axe rotite
Direcţii principale şi momente de inerţie principale
Fie suprafaţa plană din figura 48 de arie 119860 pe care considerăm o suprafaţă
elementară de arie 119889119860 Pentru sistemul de axe 119911119874119910 se cunosc momentele de inerţie
119868119911 119868119910 119868119911119910 şi vom determina relaţiile de calcul pentru momentele de inerţie afererent unui
sistem de axe 11991111198741199101 rotit cu un unghi faţă de sistemul central
Faţă de sistemul de axe 11991111198741199101 elementul de arie 119889119860 are coordonatele
1199101 = 119875119877 = 119875119876 minus 119877119876 = 119910 ∙ cos 120572 minus 119911 ∙ sin 120572
1199111 = 119873119872 = 119873119875 minus 119875119872 = 119911 ∙ cos 120572 + 119910 ∙ sin 120572 (432)
Fig 47 Variaţia momentelor de inerţie față de axe rotite
Pe baza relaţiilor de calcul ale momentelor de inerţie şi a notaţiilor din figura 42
şi ale relaţiilor (432) momentele de inerţie faţă de sistemul de axe rotit 11991111198741199101 sunt
1198681199111 =119868119911 + 119868119910
2+119868119911 minus 119868119910
2∙ cos 2120572 minus 119868119911119910 ∙ sin 2120572 (433)
1198681199101 =119868119911 + 119868119910
2minus119868119911 minus 119868119910
2∙ cos 2120572 + 119868119911119910 ∙ sin 2120572 (434)
11986811991111199101 =119868119911 minus 119868119910
2∙ sin 2120572 + 119868119911119910 ∙ cos 2120572 (435)
Din relaţiile 433divide435 se observă că icircntre momentele de inerţie axiale şi cele
polare există relaţia
1198681199111 + 1198681199101 = 119868119911 + 119868119910 = 119868119901 (436)
adică suma momentelor de inerţie axiale icircn raport cu orice pereche de axe ortogonale
care trec printr-un pol dat este o constantă şi egală cu momentul de inerţie polar
Prin rotirea sistemului de axe din relaţiile 433divide435 rezultă că momentele de inerţie
variază icircnsă suma lor rămacircne constantă deci există o poziţie a sistemului de axe pentru
care momentele de inerţie au valori extreme maxim respectiv minim
471 Direcţii principale de inerţie
Valoarea unghiului 120572 pentru care momentele de inerţie axiale au valori extreme
este
1205721 =1
2∙ 119886119903119888119905119886119899 (minus
2 ∙ 119868119911119910
119868119911 minus 119868119910) (437)
Poziţia celeilalte direcţii este perpendiculară pe cea dată de unghiul 1205721
Din relaţia (437) se constată că faţă de aceste direcţii rotite pentru care momentele
de inerţie axiale prezintă valori extreme momentul de inerţie centrifugal 11986811991111199101este nul
Atunci se poate afirma că momentele de inerţie axiale au valori extreme icircn raport cu
direcţiile faţă de care momentul de inerţie centrifugal este nul Aceste direcţii se numesc
direcţii principale iar momentele de inerţie faţă de aceste direcţii poartă numele de
momente de inerţie principale
Icircn calculele de rezistenţă interesează icircn mod special poziţia direcţiilor principale
care trec prin centrul de greutate al suprafeţei aşa numitele direcţii principale centrale şi
evident momentele de inerţie principale centrale
Direcţiile principale de inerţie se notează cu 1 respectiv 2 Axa principală 1
corespunde direcţiei faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea maximă iar
axa principală 2 pentru direcţia faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea
minimă
472 Momente de inerţie principale
Momentele de inerţie principale se notează cu litera 119868 la care se pune indicele 1
sau 2 după cum valoarea acestuia este maximă sau minimă deci avem un moment de
inerţie principal 1 (notat 1198681) respectiv moment de inerţie principal 2 (notat 1198682)
Expresiile pentru momentele de inerţie principale sunt
11986812 =119868119911 + 119868119910
2plusmn1
2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)
2+ 4 ∙ (119868119911119910)
2 (438)
Dacă momentul de inerţie centrifugal este negativ (119868119911119910 lt 0) direcţia principală
care trece prin primul cadran (definit de sistemul 119911119862119910) este direcţia principală 120783
Pentru suprafeţele cu cel puţin o axă de simetrie direcţiile centrale 119862119911 119862119910 sunt şi
direcții principale de inerţie și evident momentele de inerţie axiale 119868119911 119868119910 sunt momente
de inerţie principale
48 Caracteristici mecanice ale metalelor
Alegerea materialului pentru confecţionarea unei anumite piese se face şi pe baza
aşa numitelor caracteristici mecanice pe care le prezintă materialul Cunoaşterea acestor
caracteristici mecanice are loc numai pe baza unor icircncercări mecanice care să scoată icircn
evidenţă comportarea materialului icircn condiţii de solicitare
Cea mai utilizată icircncercare icircn urma căreia se pun icircn evidenţă caracteristicile
mecanice ale unui material este icircncercarea la tracţiune
481 Icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general
Icircncercarea la tracţiune a oţelului ca de altfel toate icircncercările de materiale este
standardizată
Icircn cele ce urmează se va prezenta numai partea care interesează strict din punct
de vedere al caracteristicilor mecanice ale oţelului
Epruveta de diametru iniţial 1198890 pentru icircncercarea la tracţiune are o porţiune de
lungime 1198710 numită baza de măsurare pe care se măsoară lungirea acesteia sub acţiunea
solicitării
Icircn funcţie de raportul dintre baza de măsurare 1198710 şi diametrul iniţial 1198890 epruvetele
utilizate pentru icircncercări sunt
epruvete normale (scurte) cacircnd 11987101198890 = 5
epruvete lungi cacircnd 11987101198890 = 10
Icircn timpul icircncercării la diferite valori ale forţei 119865 se măsoară lungirea bazei de
măsurare
∆119871 = 120575 = 119871 minus 1198710 (439)
unde
119871 este dimensiunea bazei de măsurare la un moment dat
Curba forţă-lungire (119865 minus ) icircnregistrată icircn urma icircncercării reprezintă curba
caracteristică la tracţiune
La icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general diagrama caracteristică care se
obţine are forma din figura 48
Curba caracteristică la tracţiune depinde de lungimea bazei de măsurare Pentru
icircnlăturarea acestui neajuns curba caracteristică se reprezintă icircn coordonate şi definite
astfel
120590 =119865
1198600 휀 =
120575
1198710 (440)
unde
1198600 este aria iniţială a secţiunii transversale a epruvetei (icircnainte de solicitare) icircn
zona bazei de măsurare
1198600 =120587 ∙ 1198890
2
4
Deoarece mărimile icircn care se reprezintă curba caracteristică la tracţiune sunt
raportate la aria iniţială a secţiunii transversale (mărimi specifice) curba poartă numele
de curbă caracteristică convenţională la tracţiune
Fig 48 Curba caracteristică convenţională la tracțiune
Pe curba caracteristică convenţională la tracţiune figura 48 se pot stabili o serie
de puncte cărora le corespund mai multe mărimi importante
Ordonata punctului A pacircnă unde curba caracteristică convenţională este linie
dreaptă se numeşte limita de proporţionalitate a materialului 120590119901(1205901) Porţiunea 119874119860 este
zona de proporţionalitate a curbei caracteristice pe acest domeniu este valabilă legea lui
Hooke care exprimă o proporţionalitate icircntre tensiune şi deformaţie specifică
120590 = 119864 ∙ 휀 (441)
unde
119864 = reprezintă panta porţiunii liniare a curbei convenționale caracteristice
la tracțiune Caracteristica de material 119864 se numeşte modul de elasticitate longitudinal
(modulul lui Young)
Ordonata punctului 119861 pacircnă unde materialul se comportă perfect elastic adică
după descărcare icircşi recapătă dimensiunea iniţială 1198710 se numeşte limita de elasticitate
120590119890(119877119890) Icircn realitate nici un material nu are comportare perfect elastică sub acţiunea
solicitărilor el capătă deformaţii permanente (remanente plastice)
După punctul 119861 urmează o porţiune 119861119862119863 icircn care cu toate că icircncărcarea
continuă forţa nu mai creşte avacircnd mici oscilaţii icircn jurul unei valori Se spune că icircn
această porţiune materialul curge iar intervalul 119861119862119863 este un palier de curgere Tensiunea
corespunzătoare palierului de curgere se numeşte limită de curgere aparentă 120590119888(119877119888) Limita de curgere aparentă se calculează cu relaţia
120590119888 =1198651198881198600 (442)
unde
119865119888 reprezintă valoarea forţei icircnregistrată icircn momentul curgerii materialului
După punctul 119863 curba caracteristică are un traseu ascendent pacircnă icircn punctul 119864
Porţiunea 119863119864 este numită zonă de icircntărire (ecruisare) Icircn zona de ecruisare unde se
produc deformaţii plastice semnificative legea lui Hooke nu mai este valabilă La
descărcare relaţia dintre tensiunea şi deformaţia specifică este liniară paralelă cu
porţiunea liniară a curbei caracteristice (dreapta 119872119873)
Deformaţia totală (휀119905) are două componente una elastică (휀119890) şi una plastică (휀119901)
Ordonata punctului 119864 reprezintă rezistenţa de rupere 120590119903(119877119898) a materialului
care se poate calcula cu relaţia
120590119903 = 119877119898 =1198651198981198861199091198600
(443)
unde
119865119898119886119909 reprezintă valoarea maximă a forţei icircnregistrată icircn timpul icircncercării
La atingerea valorii 119865119898119886119909 (punctul 119864) icircntr-un anumit loc al epruvetei secţiunea
icircncepe să se micşoreze (se produce gacirctuirea) continuacircnd pacircnă cacircnd se produce ruperea
totală (punctul 119865)
Dacă după ruperea epruvetei cele două părţi rezultate se aşează cap la cap şi se
măsoară dimensiunea bazei de măsurare 119871119906 (lungimea ultimă) se determină alungirea la
rupere sau lungirea specifică la rupere 휀119903
휀119903 =119871119906 minus 11987101198710
=∆119871
1198710=120575
1198710 (444)
De obicei alungirea se exprimă icircn procente şi se notează cu 119860119899 unde 119899 reprezintă
numărul dat de raportul 11987101198890 (epruvete normale 119899 = 5 epruvete lungi 119899 = 10)
119860119899 =119871119906 minus 11987101198710
∙ 100 [] (445)
Altă mărime care se determină la icircncercarea la tracţiune este gacirctuirea la rupere
(exprimată de obicei icircn procente) şi definită de relaţia
119885 =1198600 minus 1198601199061198600
∙ 100 [] (446)
Mărimile determinate limita de proporţionalitate modulul de elasticitate
longitudinal limita de elasticitate limita de curgere aparentă rezistenţa de rupere
alungirea la rupere şi gacirctuirea la rupere sunt cunoscute ca fiind caracteristici mecanice
ale materialului
Din curba caracteristică convenţională observăm faptul că ruperea (punctul 119865 din
figura 48 se produce la o tensiune mai mică decacirct cea corespunzătoare punctului 119864 Dacă
icircnsă forţa din timpul icircncercării s-ar raporta la aria secţiunii din momentul icircnregistrării
forţei (care este mai mică decacirct cea iniţială 1198600) s-ar obţine aşa numita curbă
caracteristică reală a materialului (traseul 1198741198601198611198621198631198651 din figura 48) La curba
caracteristică reală ruperea se produce icircn punctul 1198651 la o icircncărcare mai mare decacirct cea
corespunzătoare punctului 119864 Icircnseamnă că rezistenţa reală la rupere este mai mare decacirct
rezistenţa la rupere dată de punctul 119864 din diagrama caracteristică convenţională
Dificultatea obţinerii diagramei caracteristice reale faţă de cea a diagramei caracteristice
convenţionale şi considerarea unei rezistenţe la rupere mai mică decacirct a celei reale face
icircn practică utilizarea pe scară mare a diagramei caracteristice convenţionale
Caracteristicile mecanice determinate pe baza curbei caracteristice convenţionale
sunt şi ele caracteristici mecanice convenţionale
Caracteristicile mecanice convenţionale limita de proporţionalitate convenţională
120590119901 limita de elasticitate convenţională 120590119890 limita de curgere convenţională 120590119888 şi rezistenţa
de rupere 120590119903 constituie tensiuni limită pentru un material Pe baza acestor caracteristici
de material se alege valoarea tensiunii admisibile 120590119886 (vezi paragraful 35) pentru
calculele de rezistenţă Cea mai utilizată stare limită pentru stabilirea tensiunii admisibile
120590119886 este limita de curgere convenţională 120590119888
120590119886 =120590119897119894119898119888
=120590119888119888 119904119886119906 120590119886 =
120590119903119888 (447)
Caracteristicile mecanice ale materialului sunt influenţate de o serie de factori
temperatura viteza de solicitare factorii tehnologici iar valorile lor sunt date icircn tabele și
diagrame
Aplicaţie Pentru suprafaţa plană compusă din două dreptunghiuri avacircnd
dimensiunile din figura 49a să se calculeze
a) centrul de greutate al secțiunii compuse 119910119866 119911119866
b) momentele de inerție axiale 119868119911 119868119910 și momentul de inerție centrifugal 119868119911119910
c) razele de inerție 119894119911 119894119910
d) modulele de rezistență 119882119911119898119894119899 119882119911119898119886119909 119882119910119898119894119899 119882119910119898119886119909
e) momentele de inerție principale 1198681 1198682 și direcțiile principale de inerție 1205721
f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 119878119911
Fig 49 Aplicație
Rezolvare Pentru rezolvare vom parcurge următoarele etape
icircmpărțim suprafața compusă icircn două suprafețe simple (dreptunghiuri) notate cu
① și respectiv ② figura 49b
poziționăm centrele de greutate a celor două suprafețe simple ① și respectiv ②
notate cu 1198661 și respectiv 1198662 figura 49c
poziționăm sistemele de axe de coordonate 119911111986611199101 pentru dreptunghiul ① și
119911211986621199102 pentru dreptunghiul ② aflate la intersecția diagonalelor figura 49c
poziționăm sistemele de axe de coordonate 11991101198741199100 ales arbitrar față de care
determinăm poziția centrului de greutate 119866 figura 49c
a) calculăm poziția centrului de greutate folosind relațiile (46) icircn care
1198601 = 6119905 ∙ 119905 = 61199052 1198602 = 4119905 ∙ 119905 = 41199052 119860 = 1198601 + 1198602 = 61199052 + 41199052 = 101199052
iar centrele de greutate 1198661 și respectiv 1198662 au coordonatele (față de sistemul 11991101198741199100)
1198661 1199101 = 3119905 1199111 = 05119905
1198662 1199102 = 051199051199112 = 3119905
cu acestea obținem
119910119866 =1198601 ∙ 1199101 + 1198602 ∙ 1199102
119860=61199052 ∙ 3119905 + 41199052 ∙ 05119905
101199052=201199053
101199052= 2119905
119911119866 =1198601 ∙ 1199111 + 1198602 ∙ 1199112
119860=61199052 ∙ 05119905 + 41199052 ∙ 3119905
101199052=151199053
101199052= 15119905
Poziționăm centrul de greutate 119866 al suprafeței compuse figura 49c
Fig 49 Aplicație
b) pentru determinarea momentelor de inerție axiale 119868119911 119868119910 și a momentului de
inerție centrifugal 119868119910119911 determinăm constantele 1198881 1198882 1198891 1198892 care intervin icircn relația lui
Stainer
1198881 = 1199101 minus 119910119866 = 3119905 minus 2119905 = 119905 1198882 = minus(119910119866 minus 1199102) = minus(2119905 minus 05119905) = minus15119905
1198891 = minus(119911119866 minus 1199111) = minus(15119905 minus 05119905) = minus119905 1198892 = 1199112 minus 119911119892 = 3119905 minus 15119905 = 15119905
Folosind relațiile lui Stainer (429) (430) și (431) calculăm momentele de
inerție axiale și centrifugale față de sistemul central 119911119866119866119910119866
119868119911 =sum(119868119911119894 + 1198881198942 ∙ 119860119894) = 1198681199111 + 1198881
2 ∙ 1198601 + 1198681199112 + 11988822 ∙ 1198602
119868119910 =sum(119868119910119894 + 1198891198942 ∙ 119860119894) = 1198681199101 + 1198891
2 ∙ 1198601 + 1198681199102 + 11988922 ∙ 1198602
119868119911119910 =sum(119868119911119894119910119894 + 119888119894 ∙ 119889119894 ∙ 119860119894) = 11986811991111199101 + 1198881 ∙ 1198891 ∙ 1198601 + 11986811991121199102 + 1198882 ∙ 1198892 ∙ 1198602
1198681199111 = (119887 ∙ ℎ3
12) =
119905 ∙ (6119905)3
12= 181199054 1198681199112 = (
119887 ∙ ℎ3
12) =
4119905 ∙ 1199053
12= 031199054
1198681199101 = (1198873 ∙ ℎ
12) =
1199053 ∙ 6119905
12= 051199054 1198681199102 = (
1198873 ∙ ℎ
12) =
(4119905)3 ∙ 119905
12= 531199054
11986811991111199101 = 11986811991121199102 = 0 deoarece cele două triunghiuri au cel puțin o axă de simetrie
Cu acestea momentele de inerție axiale și momentul de inerție centrifugal devin
119868119911 = 181199054 + 1199052 ∙ 61199052 + 031199054 + (minus15119905)2 ∙ 41199052 = 3331199054
119868119910 = 051199054 + (minus119905)2 ∙ 61199052 + 531199054 + (15119905)2 ∙ 41199052 = 2081199054
119868119911119910 = 0 + 119905 ∙ (minus119905) ∙ 61199052 + 0 + (minus15119905) ∙ (15119905) ∙ 41199052 = minus151199054
c) razele de inerție sau de girație față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910
se calculează cu relațiile (411)
119894119911 = radic119868119911119860= radic
3331199054
101199052= 182119905 119894119910 = radic
119868119910
119860= radic
2081199054
101199052= 144119905
d) modulele de rezistență față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910 se
calculează cu relațiile (412) și (413)
Avacircnd icircn vedere figura 419c obținem
119910119898119886119909 = 6119905 minus 119910119866 = 6119905 minus 2119905 = 4119905 119910119898119894119899 = minus119910119866 = minus2119905
119911119898119886119909 = 5119905 minus 119911119866 = 5119905 minus 15119905 = 35119905 119911119898119894119899 = minus119911119866 = minus15119905
Se obține astfel
119882119911119898119894119899 =119868119911
|119910119898119886119909|=3331199054
4119905= 8331199053
119882119911119898119886119909 =119868119911
|119910119898119894119899|=3331199054
2119905= 16651199053
119882119910119898119894119899 =119868119910
|119911119898119886119909|=2081199054
35119905= 5941199053
119882119910119898119886119909 =119868119910
|119911119898119894119899|=2081199054
15119905= 13871199053
e) momentele de inerție principale 1198681 și respectiv 1198682 se calculează cu relațiile
(438)
11986812 =119868119911 + 119868119910
2plusmn1
2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)
2+ 4 ∙ (119868119911119910)
2=
=3331199054 + 2081199054
2plusmn1
2∙ radic(3331199054 minus 2081199054)2 + 4 ∙ (minus151199054)2 = 27051199054 plusmn 16251199054
De unde obținem
1198681 = 27051199054 + 16251199054 = 4331199054
1198682 = 27051199054 minus 16251199054 = 1081199054
Prima direcție principală de inerție 1 face cu axa centrală 119866119911 unghiul 1205721 dat de
relația (437)
1205721 =1
2∙ arctan (minus
2 ∙ 119868119911119910
119868119911 minus 119868119910) =
1
2∙ arctan [minus
2 ∙ (minus151199054)
3331199054 minus 2081199054] =33 70
Deoarece 1205721 gt 0 rotirea axelor se face acircn sens antiorar acelor de ceasornic figura
49d
Poziția axe principale 2 față de care momentul de inerție are valoarea minimă
1198682 = 119868119898119894119899 este dată de unghiul
1205722 = 1205721 + 900 = 33 70 + 900 = 123 70
f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 se determină cu relația
(45)
1198781199111198602 = 1198602 ∙ 1198882 = 41199052 ∙ (minus15119905) = minus61199053
Secţiunea transversală (plană şi normală pe axa barei) poate avea orice formă
geometrică constantă sau variabilă icircn lungul barei
Dacă una din dimensiunile secţiunii transversale (grosimea) este mai mică
comparativ cu celelalte bara se numește bară cu pereţi subţiri (exemplu barele
realizate din platbande sudate cu secţiuni sub formă de profil I profil U cornier etc)
b) corpuri care au două dimensiuni mult mai mari icircn raport cu a treia (grosimea)
se numesc plăci Elementele geometrice caracteristice ale unei plăci sunt forma şi
dimensiunile suprafeţei mediane respectiv grosimea Plăcile se reprezintă schematic
printr-o suprafață care imită forma și dimensiunile suprafeței mediane Suprafaţa mediană
reprezintă locul geometric al tuturor punctelor egal depărtate de cele două feţe ale plăcii
puncte aflate pe perpendicularele duse icircntre cele două feţe figura 24
După destinaţie și forma suprafeței mediane se deosebesc
plăci plane figura 24b
plăci curbe (icircnvelişuri) cu o singură curbură figura 24a sau avacircnd curbură
dublă figura 24c
Fig 24 Tipuri de plăci plane
Plăcile cu grosime mare sunt denumite frecvent dale O placă de grosime mică
ce nu poate prelua decacirct solicitări la icircntindere poartă numele de membrană
Exemple de plăci icircnvelişurile vasele de revoluţie discurile etc
c) corpuri masive care au toate cele trei dimensiuni aproximativ de acelaşi ordin
de mărime (blocuri de fundaţii bile şi role de rulmenţi tuburi cu pereţi groşi etc)
Calculele de rezistenţă sunt mai simple icircn cazul barelor drepte şi mai complicate
la barele curbe plăci respectiv blocuri
23 Clasificarea icircncărcărilor exterioare
Un corp icircşi păstrează forma şi dimensiunile datorită forţelor de atracţie dintre
particulele sale elementare atacircta timp cicirct asupra sa nu acţionează alte forţe aplicate din
exterior care să-l deformeze Icircn construcţia de maşini elementele de rezistenţă preiau şi
transmit acţiunea unor sarcini exterioare (forţe şisau cupluri) pe care le vom denumi
generic forțe sau icircncărcări exterioare Efectul pe care-l au sarcinile este acela de a
modifica forma şi dimensiunile corpului asupra căruia se aplică Icircn punctele de rezemare
(de sprijin sau de legătură cu alte elemente de rezistenţă icircnvecinate) ca urmare a
principiului acţiunii şi reacţiunii apar forţe de legătură sau reacţiuni Ansamblul format
din sarcini şi reacţiuni este cunoscut sub numele de forţe exterioare Sub acţiunea
forţelor exterioare elementele de rezistenţă trebuie să fie icircn echilibru
Forţele exterioare pot fi clasificate după următoarele criterii
a) după mărimea suprafeţei pe care se aplică
- forțe concentrate aplicate teoretic icircntr-un punct figura 25a
- forțe distribuite uniform sau cu intensitate variabilă icircn lungul barei sau pe o
suprafaţă figura 25bc şi d
- momente concentrate care acţionează icircntr-un punct M sau momente uniform
distribut pe o anumită lungime m
Fig 25 Tipuri de sarcini după mărimea suprafeţei de aplicare
b) după locul de aplicare se deosebesc
- forţe de suprafaţă sau de contur care sunt aplicate din exterior pe suprafaţa
corpurilor şi indică legătura cu piesele icircnvecinate
- forţe masice sau de volum distribuite icircn tot corpul (greutăţi forţe de inerţie
respectiv forţe electromagnetice)
c) după modul de acţiune icircn timp se disting
- forţe statice care se aplică lent şi progresiv pacircnă la valoarea nominală de lucru
şi apoi rămacircn constante figura 26a
- forţe dinamice care rezultă din
aplicarea cu icircntreaga intensitate de la icircnceputul perioadei de solicitare iar apoi forţa se
menţine constantă timp icircndelungat figura 26b (forţe de inerţie)
aplicarea bruscă a sarcinii asupra corpului durata de acţiune a sarcinii fiind mică figura
26c (forţe de şoc)
variaţia periodică icircn timp a intensităţii forţei aplicate figura 26d (forţe de oboseală)
Fig26 Tipuri de forţe exterioare (cicluri de solicitare)
Funcţie de modul de variaţie al forţelor exterioare solicitările pot fi statice
oscilante pulsante alternante etc Experimental s-a constatat că rezistenţa unui material
depinde foarte mult de modul de variaţie a forţelor icircn timp Bach a clasificat solicitările
icircn 3 categorii 1-solicitări statice 2-solicitări pulsante 3-solicitări alternant simetrice
Rezistenţa unui material este icircn raportul 321 pentru cele 3 cazuri de solicitare ale lui
Bach Aceasta icircnseamnă că o piesă solicitată static rezistă la o forţă de 3 ori mai mare
decacirct forţa maximă care produce ruperea aceleaşi piese solicitate alternant simetric
d) după poziţia icircn timp a forțelor se disting
- forţe fixe ale căror puncte de aplicaţie sunt mereu aceleaşi
- forţe mobile ale căror puncte de aplicaţie se deplasează icircn timp De exemplu
sarcinile produse de vehiculele care circulă pe un pod sarcinile unei grinzi de pod rulant
icircntr-o halăetc
24 Reazeme Forțe interioare Eforturi Diagrame de eforturi icircn barele
drepte
241 Reazeme Reacțiuni (forțe de legătură)
Pentru a prelua şi transmite acţiunea sarcinilor exterioare elementele de rezistenţă
din componenţa unei structuri sunt fixate icircntre ele prin intermediul unor legături
exterioare numite reazeme Aceste legături au ca scop icircmpiedicarea anumitor mişcări ale
corpului pe direcţiile pe care acestea nu trebuie să se producă O legătură are deci rolul
de a anula unul sau mai multe grade de libertate ale corpului icircn punctul de rezemare Dacă
este anulat un singur grad de libertate legătura este simplă iar dacă sunt impiedicate mai
multe grade de libertate legătura este una compusă Datorită existenţei sarcinilor
exterioare icircn punctele de rezemare pe direcţiile pe care mişcările sunt icircmpiedicate apar
forţe de legătură numite reacţiuni Numărul natura şi direcţiile reacţiunilor depind de
tipul reazemelor Icircn construcţiile reale există o varietate mare de realizare practică a
reazemelor dar icircn calcule se acceptă anumite schematizări care reţin doar aspectul esenţial
al unui reazem şi anume gradul sau gradele de libertate anulate
Pentru o structură de rezistenţă spaţială icircntr-un punct oarecare sunt posibile şase
deplasări trei deplasări liniare (după direcţiile axelor unui sistem ortogonal) şi trei rotiri
(deplasări unghiulare) icircn jurul aceloraşi axe Ca urmare ar fi posibil de realizat maximum
şase tipuri de reazem
Pentru un element de rezistenţă plan icircncărcat cu eforturi cuprinse icircn planul
elementului icircn orice punct sunt posibile trei gade de libertate două deplasări liniare şi o
rotiri Ca urmare pentru cazul unei bare plane se icircntacirclnesc următoarele tipuri de reazeme
1 Reazemul simplu sau reazemul mobil care icircmpiedică deplasarea pe o direcţie
normală pe suprafaţa de rezemare permiţacircnd deplasarea pe o direcţie paralelă cu
suprafaţa de rezemare şi rotirea barei icircn jurul unei axe perpendiculare pe plan icircn punctul
de rezemare Icircn urma icircmpiedicării deplasării şi datorită unor sarcini exterioare icircn
reazemul simplu apare o reacţiune de tip forţă a cărei suport trece prin punctul de
rezemare şi a cărei direcţie este perpendiculară pe suprafaţa de rezemare figura 27
Fig 27 Reazem simplu (mobil)
Icircn figura 27 este reprezentat un reazem mobil poziţionat pe capătul A al unei bare
plane orizontale fiind evidenţiate punctul şi suprafaţa de rezemare direcţia suportului
reacţiunii şi modul de schematizare al reazemului Cea mai des icircntacirclnită reprezentare a
reazemului mobil este a unui triunghi a cărui bază poate luneca pe suprafaţa de rezemare
2 Reazemul fix sau articulaţia icircmpiedică deplasările liniare după toate direcţiile
din planul barei permiţacircnd doar rotirea barei icircn jurul unei axe perpendiculare pe plan şi
care trece prin puncul de rezemare Reacţiunea este cuprinsă icircn planul barei care trece
prin punctul de rezemare dar a cărei mărime şi direcţie nu sunt cunoscute (forţa R)
figura 28
Fig 28 Reazem fix
Se preferă ca icircn locul unei forţe R avacircnd direcţia oarecare icircn plan necunoscută să
se introducă două forţe (HA şi VA) cărora li se cunoaşte direcţia şi pentru care se vor
determina modulele ca valori din condiţiile de echilibru static Icircntr-un reazem fix apar
icircntotdeauna reacţiuni atacirct pe direcţia perpendiculară pe suprafaţa de rezemare
(verticală) cacirct şi pe direcţia paralelă cu prima (orizontală) chiar dacă uneori una sau
chiar ambele reacţiuni au valoarea zero Reprezentarea schematică a articulaţiei este cea
a unui triunghi cu baza fixă şi cu vacircrful icircn punctul de rezemare sau cea a unui pendul
dublu figura 28
3 Icircncastrarea (sau icircnţepenirea) anulează toate gradele de libertate ale capătului
unei bare icircmpiedicacircnd deplasarea liniară după orice direcţie din plan precum şi rotirea
barei icircn jurul unei axe perpendiculare pe plan şi care trece prin punctul de icircncastrare
Urmare a existenţei sarcinilor exterioare şi a blocării deplasărilor icircn icircncastrare apare o
reacţiune căreia nu i se cunoaşte nici mărimea nici direcţia şi nici punctul de aplicaţie
figura 29
Fig 29 Icircncastrarea
Sub acţiunea forţelor exterioare un sistem este icircn echilibru Valoarea reacţinilor
se determină din condiţia de echilibru a sistemului solicitat
Este cunoscut faptul că un sistem plan este icircn echilibru dacă
nu se deplasează pe o direcţie (fie x această direcţie)
nu se deplasează pe o direcţie perpendiculară pe prima (fie y această direcţie)
nu se roteşte faţă de un punct al planului (fie K acest punct)
Cele trei condiţii enunţate mai sus sunt satisfăcute dacă suma proiecţiilor tuturor
forţelor pe direcţia x respectiv y este nulă şi suma tuturor momentelor (cuplurilor) faţă
de un punct al planului este nulă
242 Forțe interioare Metoda secțiunilor
Icircn vederea calculului de rezistenţă de rigiditate şi de stabilitate a barelor sau a
sistemelor de bare este necesară determinarea forţelor şi momentelor interioare
(eforturilor) care apar icircn secţiunile transversale ale acestora şi datorate icircncărcărilor
exterioare Forțele interioare indică legătura dintre particulele din interiorul corpului şi
se pun icircn evidenţă prin metoda secţiunilor care este un procedeu de raţionament
imaginar propus de Cauchy echivalent cu teoria echilibrului părţilor Conform acestui
raționament bdquodacă un corp solid deformabil este icircn echilibru sub acţiunea unui sistem
generalizat de forţe atunci după secționare fiecare parte a sa va fi icircn echilibru sub
acţiunea forţelor exterioare care-i revin şi a unui sistem de forţe pe care trebuie să-l
introducem icircn secţiunea ce delimitează fiecare parte echivalent cu acţiunea forţelor
aplicate pe partea icircndepărtatărdquo
Problemele care apar la aplicarea metodei secţiunilor sunt
- să pună icircn evidenţă existenţa forţelor interioare mai ales că din ceea ce se ştie o
forţă apare icircn prezenţa a două corpuri ca urmare a principiului acţiunii şi reacţiunii
- să explice modul de distribuţie al forţelor interioare pe secţiune
Considerăm un corp aflat icircn echilibru sub acţiunea unui sistem de forţe exterioare
1 2 3⋯119894 ⋯ 119899minus1 119899 şi presupunem că-l secţionăm cu un plan transversal Q (sau cu
o suprafaţă oarecare) figura 210a Icircn urma secţionării fictive (imaginare) conform
principiului echilibrului părţilor fiecare din cele două părţi obţinute trebuie să fie icircn
echilibru sub acţiunea forţelor exterioare care le revin şi a cacircte unui sistem de forţe
interioare pe care trebuie să-l introducem icircn secţiunile rezultate sistem echivalent cu
acţiunea forţelor exterioare ce acţionează asupra celeilalte părţi Astfel pe partea din
dreapta (notată cu II) delimitată de secţiunea de arie Ad sunt aplicate forţele exterioare
119894 ⋯ 119899minus1 119899 şi un sistem de forţe interioare căruia nu i se cunoaşte decacirct efectul acelaşi
cu cel al forţelor 1 2 3 de pe parea din stacircnga (notată cu I şi delimitată de secţiunea
de arie As) figura 210b Prin metoda secţiunilor am reuşit să punem icircn evidenţă existenţa
forţelor interioare şi să le trecem icircn categoria celor exterioare cărora le putem aplica
relaţiile de echivalenţă şi de echilibru cunoscute din statică Ideal ar fi să cunoaştem
distribuţia şi intensitatea punctuală a acestor forţe pentru că s-ar putea ca icircn anumite
puncte ale secţiunii valoarea forţelor să depăşească limita de rezistenţă (limita de curgere)
a materialului Cunoaşterea distribuţiei punctuale a forţelor interioare nu se poate realiza
decacirct icircn cazuri particulare relativ simple de solicitare
Să considerăm partea din dreapta a corpului asupra căreia acționează forțele
119894 ⋯ 119899minus1 119899 mărginit de aria Ad pe care acționează un sistem de forțe interioare
echivalent cu 1 2 3 Deși forțele interioare de pe Ad nu se cunosc totuși efectul lor
este același cu cel al forțelor 1 2 3 deci le putem reduce icircn centrul de greutate C al
secțiunii Ad rezultacircnd componentele torsorului de reducere al forțelor interioare
(119894119889 119894119889) și pentru partea din stacircnga (119894119904 119894119904) Evident conform principiului acțiunii și
reacțiunii
119894119889 = minus119894119904
119894119889 = minus119894119904 (21)
Pe de altă parte cum fiecare dintre părțile corpului după secționare trebuie să fie
icircn echilibru sub acțiunea forțelor exterioare care le revin și a forțelor interioare introduse
rezultă
119894119889 = minus119890119889
119894119889 = minus119890119889
119894119904 = minus119890119889
119894119904 = minus119890119904 (22)
Combinacircnd (21) cu (22) rezultă
119894119889 = 119890119889
119894119889 = 119890119889
119894119904 = 119890119904
119894119904 = 119890119904 (23)
Fig 210 Forțe interioare
Relațiile (22) și (23) permit determinarea componentelor torsorului de reducere
al forțelor interioare din (23) rezultă componentele torsorului forțelor interioare care
acționează icircn secțiunea Ad sunt egale cu componentele torsorului de reducere al forțelor
exterioare de pe partea din stacircnga din (22) rezultă componentele torsorului forțelor
interioare care acționează icircn secțiunea Ad sunt egale și de sens contrar cu componentele
torsorului de reducere al forțelor exterioare de pe partea din dreapta
Observații
1 Torsorul forțelor interioare diferă de la o secțiune la alta dar pentru aceeași
secțiune el este unic și trebuie să respecte condițiile de compatibilitate a deformațiilor
2 Reducacircnd forțele interioare icircn centrul de greutate al secțiunii s-a făcut o
aproximare icircn ceea ce privește efectul modului de dispunere al forțelor
3 Punctul de reducere trebuie să fie
pentru forțele interioare normale la secțiune centrul de greutate
pentru forțele interioare tangente la planul secțiunii centrul de răsucire sau de
tăiere
243 Eforturi
Prin metoda secțiunilor am pus icircn evidență existența forțelor interioare și modul
icircn care se determină componentele torsorului de reducere al forțelor interioare (119894119889 119894119889) de pe fața din dreapta secțiunii (Ad) Cele două componente ale torsorului de reducere al
forțelor interioare de pe Ad se pot descompune după axele unui sistem de referință
triortogonal xCyz astfel
119894119889 = +
119894119889 = 119909 +119872119894 (24)
unde și 119909 sunt proiecțiile lui 119894119889 și respectiv 119894119889 pe axa longitudinală Cx a
barei iar și 119894 sunt proiecțiile acelorași componente 119894119889 și respectiv 119894119889 pe planul yCz
al secțiunii transversale Ad figura 211
Fig 211 Torsorul de reducere al forţelor interioare
La racircndul lor și 119894 se pot descompune după axele sistemului yCz figura 212
= 119910 + 119911
119894 = 119894119910 + 119894119911 (25)
Fig 212 Descompunerea forţei tăietoare şi a momentului icircncovoietor
Cele șase componente ale torsorului de reducere al forțelor interioare ( 119910 119911
119909 119894119910 119894119911) orientate după axele sistemului de referință xCyz se numesc eforturi
Fiecare efort are o denumire stabilită icircn funcție de tipul de deformație pe care-l produce
De asemenea semnul plus (bdquo+rdquo) sau minus (bdquondashrdquo) al fiecărui efort nu depinde de sensul
pozitiv sau negativ al sistemului de axe ci doar de efectul icircn deformații al fiecărui efort
Denumirile celor șase eforturi sunt
119873 este forța axială
119879119910 119879119911 sunt forțe tăietoare orientate după axele Cy și respectiv Cz
119872119909 notat de cele mai multe ori cu 119872119905 este moment de torsiune sau de răsucire
119872119894119911 119872119894119910 sunt momente de icircncovoiere icircn jurul axei Cz și respectiv Cy
Forța axială 119873 poate fi forță axială de icircntindere cacircnd produce o lungire a
tronsonului pe a cărei față acționează (119873 gt 0) figura 213a sau forță axială de
compresiune cacircnd sub efectul ei bara se scurtează (119873 lt 0) figura 213b
Fig 213 Forța axială
Forțele tăietoare 119879119910 și 119879119911 au ca efect lunecarea secțiunii icircn centrul căreia
acționează icircn raport cu secțiunea icircnvecinată lunecare ce se produce pe direcția și icircn sensul
forței Sub acțiunea unei forțe tăietoare bara este solicitată la forfecare Forța tăietoare
este pozitivă 119879119910 gt 0 dacă icircn raport cu un punct oarecare K de pe axa Cx a barei tinde să
rotească secțiunea pe care acționează icircn sens orar
Fig 214 Forța tăietoare
Momentele de icircncovoiere 119872119894119911 și 119872119894119910 au ca efect o rotire a secțiunii icircn centrul
cărora acționează icircn jurul axei după care sunt orientate Icircn figura 215a se vede că
datorită momentului 119872119894119911 fibrele de deasupra axei Cz se alungesc icircn timp ce fibrele de sub
axa Cz se scurtează Fibrele care trec prin axa de icircncovoiere Cz nu se deformează sunt
fibre neutre la icircncovoiere adică axa neutră este Cz Icircn cazul momentului de icircncovoiere
119872119894119910 fibrele care nu se deformează sunt cele care trec prin axa neutră la icircncovoiere Cy
Momentele de icircncovoiere se consideră a fi pozitive (119872119894119911 gt 0119872119894119910 gt 0) dacă
observatorul care privește bara deformată vizualizează fibrele icircntinse
Fig 215 Momentul icircncovoietor
Momentul de torsiune sau de răsucire 119872119909 equiv 119872119905 are ca efect o rotire a secțiunii
icircn al cărei centru acționează icircn jurul axei longitudinale Cx Ca efect secțiunea icircși schimbă
forma (se deformează) adică unghiurile inițiale se modifică dreptunghiul inițial Ad
devine paralelogram Convențional se consideră 119872119905 gt 0 dacă vectorul moment are
aceeași orientare ca și sensul pozitiv ales pextru axa Cx Icircn figura 216 momentul este
negativ
Fig 216 Momentul de torsiune
25 Definiții și convenții de semne pentru eforturile
din secțiunile unei bare drepte plane icircncărcate cu sarcini coplanare
Vom considera o bară plană icircncărcată cu un sistem de forțe arbitrar figura 217
Ne propunem să determinăm eforturile care apar icircn secțiunea barei aflată la distanța 119909 de
reazemul din stacircnga (A)
Pentru aceasta vom aplica metoda secțiunilor vom secționa bara cu un plan
perpendicular pe axa longitudinală a barei și vom analiza doar partea din dreapta secțiunii
mărginită de fața Ad Pentru ca această porțiune de bară să fie icircn echilibru sub acțiunea
forțelor exterioare care acționează asupra sa 1198653 și 119881119861 va trebui să introducem icircn centrul
secțiunii Ad eforturile care pot să apară 119873 119879119910 119872119894119911 Acțiunea acestor eforturi trebuie să
fie echivalentă cu acțiunea forțelor exterioare aplicate pe partea icircnlăturată (parcursă) a
barei 119867119860 119881119860 1198651 1198652 1198720
Deoarece bara este plană și este icircncărcată doar cu sarcini ce aparțin
planului barei
icircn secțiunea Ad apar doar 3 componente ale torsorului de reducere al forțelor
interioare (eforturi)
- 119873 = forța axială
- 119879119910 = forța tăietoare pe care o vom nota cu 119879
- 119872119894119911 = momentul icircncovoietor notat cu Mi
Fig 217 Bară plană icircncărcată cu un sistem de forțe
Vom prezenta următoarele definiții corespunzătoare eforturilor din secțiunea Ad
119873 = forța axială dintr-o secțiune este egală cu suma algebrică a proiecțiilor pe
axa longitudinală a tuturor forțelor exterioare (sarcini și reacțiuni) aplicate pe partea
din stacircnga secțiunii adică pe porțiunea parcursă Forța axială 119873 este pozitivă dacă trage
de tronsonul pe a cărei față acționează (are orientarea normalei exterioare la secțiunea
Ad)
119873(119909) = minus119867119860 + 1198651119867 (26)
119879 = forța tăietoare icircntr-o secțiune este egală cu suma algebrică a proiecțiilor
pe o axă perpendiculară pe axa barei a tuturor forțelor exterioare (sarcini și reacțiuni)
aplicate pe porțiunea de bară aflată icircn stacircnga secțiunii considerate Forța tăietoare 119879
este pozitivă dacă tinde să rotească tronsonul pe a cărui față acționează icircn sens orar icircn
raport cu un punct de pe axa barei aflat la dreapta secțiunii
119879(119909) = 119881119860 minus 1198651119881 minus 1198652 (27)
119872119894 = momentul icircncovoietor icircntr-o secțiune este egal cu suma algebrică a
momentelor obținute prin reducerea tuturor forțelor exterioare ( cupluri sarcini
reacțiuni) aplicate pe porțiunea de bară aflată la stacircnga secțiunii icircn centrul secțiunii
considerate 119872119894 este considerat pozitiv dacă tinde să deformeze bara astfel icircncacirct fibrele
spre care privește un observator să fie icircntinse Cum poziția observatorului este de regulă
sub bară bara se deformează dacă 119872119894 gt 0 astfel icircncacirct partea jos a barei este icircntinsă Se
spune că bara deformată rdquoține apaldquo
119872119894(119909) = 119881119860 ∙ 119909 minus 1198651119881 ∙ (119909 minus 1198971) minus 1198652 ∙ [119909 minus (1198971 + 1198972)] + 1198720 (28)
Sensurile pozitive ale eforturilor care apar icircn centrul secțiunii Ad (deci atunci cacircnd
sensul de parcurs la aplicarea metodei secțiunilor este cel de la stacircnga la dreapta) sunt
indicate icircn figura 218a iar dacă sensul de parcurs este de la dreapta la stacircnga sensurile
pozitive ale eforturilor sunt indicate icircn figura 218b
Fig 218 Convenţia de semne
Definiții asemănătoare se pot da și pentru eforturile din centrul secțiunii As figura
218b adică pentru cazul icircn care sensul de parcurs este cel de la dreapta la stacircnga și deci
partea luată icircn considerare este cea din stacircnga iar partea parcursă din dreapta secțiunii
este icircnlăturată
119873(1199091) = 1198653119867
119879(1199091) = 1198653119881 minus 119881119861
119872119894(1199091) = 119881119861 ∙ 1199091 minus 1198653119881 ∙ (1199091 minus 1198975)
(29)
Avacircnd icircn vedere că fețele Ad și As aparțin aceleeași secțiuni este evident faptul că
eforturile 119873(119909) 119879(119909) și 119872119894(119909) sunt identice cu eforturile 119873(119961120783) 119879(119961120783) și respectiv
119872119894(119961120783) Icircn figura 218c se prezintă o sinteză a convențiilor de semne pozitive pentru cele
3 eforturi atacirct pentru sensul de parcurs de la stacircnga la dreapta (secțiunea Ad) cacirct și pentru
sensul invers (secțiunea As)
Semnele eforturilor sunt importante icircntrucacirct există materiale cu comportări diferite
la icircntindere față de compresiune iar o schimbare a semnului unui efort poate produce
erori grave icircn calcule Semnele eforturilor au fost stabilite icircn funcție de deformațiile
produse și nu depind de sensul axelor sistemului de coordonate
26 Relaţii diferenţiale icircntre eforturi şi sarcini
Pentru a vedea ce legătură există icircntre eforturi și sarcini vom considera o bară
dreaptă icircncărcată cu o sarcină distribuită după o lege oarecare figura 219a Din această
bară vom decupa prin dublă secționare un element de lungime infinit mică 119889119909 Deoarece
lungimea 119889119909 este foarte mică se poate considera sarcina 119901 uniform distribuită Icircn
secțiunile rezultate trebuie să introducem eforturile care pot apărea
- 119879 şi 119872119894 icircn centrul secțiunii din sticircnga eforturi pe care le considerăm pozitive
- 119879 + 119889119879 şi 119872119894 + 119889119872119894 icircn centrul secțiunii din dreapta elementului
Aceste eforturi au o variație mică (119889119879 şi 119889119872119894) față de secțiunea anterioară Spre
deosebire de cazul icircn care bara este secționată o singură dată icircn acest caz eforturile nu
pot fi determinate din cele 2 condiții de echilibru independente deoarece icircn ecuațiile de
echilibru apar 4 necunoscute 119879 119889119879119872119894 și 119889119872119894 deci că problema este dublu static
nedeterminată figura 219
Fig 219 Echivalența icircntre eforturi și sarcini
Ecuațiile de echilibru scrise pentru elementul din figura 219b conduc la stabilirea
unor relaţii foarte importante
(sum119865)119910= 0 hArr 119879 minus 119901 ∙ 119889119909 minus (119879 + 119889119879) = 0 rArr
119889119879
119889119909= minus119901 (210)
Relația (210) arată că derivata funcţiei forţei tăietoare icircn raport cu abscisa
secţiunii este egală cu sarcina distribuită normală la axa barei din acea secţiune luată
cu semn schimbat
Observații
dacă 119901 = 0 nu există sarcină distribuită atunci forța tăietoare T este constantă
icircnclinarea pantei diagramei forței 119879 este egală cu (ndash 119901) (sarcina distribuită cu
semn schimbat)
dacă 119901 = 119888119900119899119904119905 119879 variază liniar pe acel interval
Asemănător se deduce că derivata funcţiei forţei axiale icircn raport cu abscisa
secţiunii este egală cu sarcina distribuită axială din acea secţiune luată cu semn
schimbat adică
119889119873
119889119909= minus119901119867 (211)
Din condiția de echilibru suma de momente faţă de centrul de greutate al secţiunii
din dreapta
(sum119872)119862= 0 hArr 119872119894 minus (119872 + 119889119872119894) + 119879 ∙ 119889119909 minus 119901 ∙
(119889119909)2
2= 0 rArr
119889119872119894
119889119909= 119879 (212)
Relația (212) s-a obținut dupa reducerea termenilor și prin neglijarea infinitului
mic de ordinul 2
119901 ∙(119889119909)2
2
Relația (212) arată că derivata funcţiei moment icircncovoietor icircn raport cu abscisa
secţiunii este egală cu forţa tăietoare din acea secţiune
Observații
dacă 119879 = 0 momentul 119872119894 are un punct de extrem se obține o valoare maximă
pentru 119872119894119898119886119909 dacă forța tăietoare 119879 se anulează trecacircnd de la plus icircn stacircnga la minus icircn
dreapta secțiunii
dacă forța tăietoare este pozitivă pe un interval 119879 gt 0 atunci 119872119894 este crescătoare
pe acel interval
dacă forța tăietoare este negativă pe un interval 119879 lt 0 atunci 119872119894 este
descrescătoare pe acel interval
dacă pe un interval 119901 = 0 forța tăietoare este constantă 119879 = 119888119905 iar 119872119894 variază
liniar pe acel interval
dacă 119901 = 119888119900119899119904119905 119879 variază liniar pe acel interval iar 119872119894 variază parabolic pe
acel interval
Relaţiile diferenţiale sunt utile la reprezentarea corectă şi verificarea diagramelor
de eforturi astfel
pentru porţiunile de grindă pe care p = 0 eforturile N şi T sunt constante iar pe
porţiunile cu p = const eforturile N şi T variază liniar (relaţiile 211 şi 210)
dacă pe o porţiune T = const momentul icircncovoietor Miz variază liniar iar dacă
T variază liniar atunci momentul Miz variază parabolic (relaţia 212)
pe domeniile pe care T gt 0 funcţia Mi(x) este crescătoare iar icircn secţiunea icircn
care T = 0 (graficul funcţiei T intersectează axa x) momentul icircncovoietor are un punct
de extrem local (maxim sau minim relaţia 212)
Pentru rezolvarea problemelor referitoare la trasarea diagramelor de eforturi
pentru barele drepte solicitate de sisteme de forţe plane se parcurg următoarele etape
1) identificarea forţelor aplicate (date) şi pregătirea lor pentru calcule
(descompunerea forţelor concentrate pe direcţiile x şi y calculul rezultantelor forţelor
distribuite)
2) identificarea reazemelor şi introducerea reacţiunilor corespunzătoare (vezi
figurile 27divide29)
3) stabilirea ecuaţiilor de echilibru static calculul şi verificarea reacţiunilor Icircn
rezistența materialelor se folosește sistemul de ecuații (vezi figura 217)
(sum119865)
119909= 0
(sum119872)119860= 0
(sum119872)119861= 0
(213)
4) identificarea domeniilor de variaţie şi scrierea funcţiilor de eforturi pentru N T
şi Mi
5) reprezentarea grafică a diagramelor de eforturi
6) verificarea corectitudinii diagramelor pe baza relaţiilor diferenţiale icircntre eforturi
şi sarcini
Aplicație Pentru grinda dreaptă icircncărcată cu sistemul de forţe reprezentat icircn figura
220 se cere
a) să se calculeze şi să se verifice reacţiunile
b) să se stabilească funcţiile eforturilor Nx Ty şi Miz şi să se reprezinte diagramele
de variaţie
c) să se analizeze relaţiile diferenţiale icircntre eforturi şi sarcini
Dimensiunile grinzii au valorile a = 6 [m] b = 4 [m] și c = 4[m] sistemul de
forţe aplicat fiind format din p = 10 [kN mfrasl ] F = 20 [kN] (icircnclinată cu unghiul α =300 faţă de orizontală) şi M0 = 40 [kN ∙ m]
Rezolvare
a) Se fac următoarele precizări
grinda dreaptă se reprezintă prin axa geometrică
forţa icircnclinată F se descompune după direcţiile orizontală şi verticală icircn FV =F ∙ sin α = 10 [kN] şi FH = F ∙ cos α = 173 [kN]
forţa distribuită uniform p este echivalentă din punct de vedere static cu
rezultanta sa R = p ∙ a = 60 [kN] care acţionează la jumătatea porţiunii de lungime a
icircn reazemele 119860 şi 119861 se introduc componentele HA şi VA respectiv VB ale
reacţiunilor
Pentru calculul reacţiunilor se utilizează ecuaţiile de echilibru static al grinzii
sumXi = 0 HA minus FH = 0 sumYi = 0 VA + VB minus R minus FV = 0 (sumM)B = 0 VA ∙ (b + a) minus R ∙ (b + 05 ∙ a) minus M0 + FV ∙ c = 0
(A1)
Din prima ecuaţie se obţine HA iar din cea de-a treia ecuaţie rezultă VA
HA = FH = 173 [kN]
VA =[R ∙ (b + 05 ∙ a) + M0 minus FV ∙ c]
(b + a)=[60 ∙ (4 + 05 ∙ 6) + 40 minus 10 ∙ 4]
(4 + 6)
VA = 42 [kN]
(A2)
Fig 220 Aplicație
Se observă că cea de-a doua ecuaţie de echilibru conţine două necunoscute
reacţiunile VA şi VB Pentru a calcula componenta VB nu este indicată introducerea lui VA
icircn cea de-a doua ecuaţie a sistemului (A1) pentru că o valoare determinată greşit pentru
VA conduce la o valoare VB de asemenea greşită O ecuaţie independentă din care se poate
determina componenta VB este următoarea
(sumM)A= 0 FV ∙ (a + b + c) minus VB ∙ (a + b) minus M0 + R ∙ 05 ∙ a = 0 (A3)
de unde se obţine
VB =[FV ∙ (a + b + c) minusM0 + R ∙ 05 ∙ a]
(b + a)=[10 ∙ (6 + 4 + 4) minus 40 + 60 ∙ 05 ∙ 6]
(6 + 4)
VB = 28 [kN] (A4)
Ecuaţia de proiecţii ale forţelor pe direcţia verticală (a doua ecuaţie din sistemul
A1) se utilizează pentru verificarea reacţiunilor deja determinate
VA + VB minus R minus FV = 0 rArr 42 + 28 minus 60 minus 10 = 0 (A5)
Ultima egalitate demonstrează că reacţiunile verticale au fost calculate corect
Din cele de mai sus rezultă ordinea firească pentru determinarea reacţiunilor icircn
cazul grinzilor simplu rezemate
sumXi = 0
(sumM)A = 0
(sumM)B = 0
(A6)
iar pentru verificarea componentelor verticale VA şi VB se folosește ecuaţia sumY = 0
b) La stabilirea funcţiilor de eforturi se parcurg icircn general etapele următoare
se notează (numeric sau literal după preferinţă) secţiunile care delimitează
domeniile (intervalele sau tronsoanele) pe care eforturile nu-şi modifică funcţiile (au legi
unice de variaţie)
pe fiecare domeniu se marchează secţiunea imaginară icircn care se stabilesc
funcţiile eforturilor
secţiunea astfel aleasă separă icircn două părţi grinda şi anume porţiunea din stacircnga
şi porţiunea din dreapta secţiunii
se va considera parcursă (şi icircndepărtată) acea parte pe care acţionează mai puţine
sarcini exterioare pentru că acestea vor interveni icircn expresiile funcţiilor de eforturi
poziţiile secţiunilor imaginare se vor determina prin variabilele x1 ⋯ xn (unde
n reprezintă numărul domeniilor de variaţie) cu originea fixată icircn capătul intervalului şi
sensul de parcurgere spre partea considerată rămasă
Grinda prezentată icircn figura 220 are trei domenii de variaţie pentru funcţiile de
eforturi după cum urmează (A-1) (2-B) şi (B-1)
Domeniul (A-1) x1 isin [0 a = 6 m] Porţiunea parcursă şi considerată icircndepărtată este cea de coordonată x1 pe care
acţionează reacţiunile HA şi VA precum şi rezultanta parţială a sarcinii distribuite R1 =p ∙ x1
Funcţia forţă axială Nx are expresia
Nx(x1) = NAminus1 = minusHA = minus173 [kN] = const
(A7)
Funcţia forţă tăietoare Ty are exspresia
Ty(x1) = TAminus1 = VA minus R1 = VA minus p ∙ x1 (A8)
care reprezintă o variaţie liniară de variabilă x1 Se calculează valorile forţei tăietoare la
limitele intervalului de variaţie
- pentru x1 = 0 Ty(x1 = 0) = TA = VA = 42 [kN]
- pentru x1 = a = 6 [m] Ty(x1 = 6) = T1 = VA minus p ∙ a = minus18 [kN]
Observaţie Aşa cum a fost stabilită secţiunea fictivă poziţionată prin coordonata
x1 sar părea că rezultanta R ar trebui luată icircn calculul lui Ty(x1) Acest lucru ar fi greşit
pentru că R = p ∙ a reprezintă rezultanta sarcinii distribuite pe toată lungimea a iar
rezultanta pe porţiunea parcursă de lungime x1 este R1 = p ∙ x1 ne R = p ∙ a
Cu valorile obţinute se trasează diagramele forţelor axială Nx = f(x) şi tăietoare
Ty = f(x) figura 220 Din diagrama forţei tăietoare şi din valorile obţinute analitic se
observă că forţa tăietoare icircşi schimbă semnul pe intervalul analizat deci se anulează pe
acest interval Poziţia secţiunii unde Ty se anulează se determină din ecuaţia
Ty(x1) = 0 rArr VA minus p ∙ x1 = 0 (A9)
cu soluţia x1lowast = ξ = 42 [m] Important de reamintit că icircn această secţiune momentul
icircncovoietor va avea un extrem local adică Miz are un extrem la Ty = 0
Funcţia moment icircncovoietor Miz are expresia
Miz(x1) = VA ∙ x1 minus R1 ∙x12= VA ∙ x1 minus (p ∙ x1) ∙
x12
(A10)
Se observă că funcţia moment icircncovoietor de variabilă x1 are o variaţie parabolică
(gradul al II-lea) Pentru reprezentarea grafică a funcţiei parabolice se calculează valorile
momentului icircncovoietor icircn trei secţiuni
- pentru x1 = 0 Miz(x1 = 0) = MA = 0 [kN ∙ m] - pentru x1 = a = 6 [m] Miz(x1 = 6) = M1 = 72 [kN ∙ m] - pentru x1
lowast = ξ = 42 [m] Miz(x1lowast = ξ = 42 [m]) = Mimax = 882 [kN ∙ m]
Cu acestea se trasează diagrama Miz = f(x) pe intervalul (A-1) figura 220
Observaţie Icircn unele cazuri pe un anumit interval forţa tăietoare nu se anulează
şi momentul icircncovoietor nu are un extrem local Icircn acest caz pentru reprezentarea
variaţiei parabolice a momentului icircncovoietor se va studia semnul derivatei a doua a
funcţiei Miz = f(x1) acesta determinacircnd convexitatea curbei momentului icircncovoietor
Domeniul (2-B) x2 isin [0 c = 4 m] Porţiunile din grindă libere (nerezemate) la un capăt se numesc console iar
stabilirea funcţiilor de eforturi devine mai simplă dacă se consideră icircndepărtată partea din
dreapta secţiunii prin schimbarea sensului pozitiv al axei x Astfel se obţin funcţiile eforturilor
Funcţia forţă axială Nx are expresia
Nx(x2) = N2minusB = minusFH = minus173 [kN] = const
(A11)
Funcţia forţă tăietoare Ty are exspresia
Ty(x2) = T2minusB = FV = 10 [kN] = const (A12)
Funcţia moment icircncovoietor Miz are expresia
Miz(x2) = minusFV ∙ x2 rArr Miz(x2 = 0) = M2 = 0 [kN ∙ m]
Miz(x2 = 4) = MB = minus40 [kN ∙ m] (A13)
variaţie liniară (gradul I)
Domeniul (B-1) x3 isin [0 b = 4 m] Pe acest domeniu se acceptă parcurgerea grinzii de la dreapta adică se consideră
icircndepărtată partea din dreapta secţiunii fictive pentru că are doar două sarcini aplicate F
şi VB faţă de partea din stacircnga secţiunii pe care sunt aplicate trei sarcini p VA şi M0
Astfel se obţin funcţiile eforturilor
Funcţia forţă axială Nx are expresia
Nx(x3) = NBminus1 = minusFH = minus173 [kN] = const
(A14)
Funcţia forţă tăietoare Ty are exspresia
Ty(x3) = TBminus1 = FV minus VB = minus18 [kN] = const (A15)
Funcţia moment icircncovoietor Miz are expresia
Miz(x3) = minusFV ∙ (x3 + c) + VB ∙ x3 rArr
rArr Miz(x3 = 0) = MB = minus40 [kN ∙ m]
Miz(x3 = 4) = M1 = 32 [kN ∙ m]
(A16)
variaţie liniară (gradul I)
Diagramele eforturilor sunt prezentate icircn figura 220
c) Relaţiile diferenţiale dintre eforturi şi sarcini se analizează pe diagramele
eforturilor după cum urmează
sarcina distribuită nu are componentă orizontală adică ph = 0 şi icircn
conformitate cu formula (211) rezultă că Nx = const pe toată lungimea grinzii fapt care
a rezultat din funcţia şi reprezentarea diagramei forţei axiale
pe intervalul (A-1) sarcina distribuită are doar componenta verticală pozitivă
pV = p gt 0 prin urmare forţa tăietoare scade (are panta negativă dTy 119889119909frasl = minusp vezi
relaţia 210) iar momentul icircncovoietor avacircnd derivata a doua negativă d2M119894119911 1198891199092frasl =minuspare convexitatea curbei orientată spre sensul pozitiv al axei momentului Miz adică icircn
jos
pe domeniile (2-B) şi (B-1) deoarece pv = 0 forţa tăietoare Ty este constantă
iar momentul icircncovoietor Miz variază liniar
referitor la relaţia (212) pe porţiunile unde Ty gt 0 momentul Miz este
monoton crescător pe porţiunile unde Ty lt 0 momentul Miz este monoton descrescător
iar icircn secţiunea icircn care Ty = 0 momentul icircncovoietor are un extrem local Mξ =
882 [kN ∙ m] icircn diagrama forţei tăietoare discontinuităţile (salturile) se produc icircn secţiunile
unde acţionează VA VB şi FV iar icircn diagrama momentului icircncovoietor se produce un
singur salt icircn secţiunea icircn care este aplicat M0
se poate scrie
Mξ = suprafața diagramei Ty |ξ0=1
2∙ 42 ∙ 42 = 882 [kN ∙ m]
sau parcurgacircnd grinda de la dreapta la stacircnga rezultă
MB = minussuprafața diagramei Ty |c0= minus10 ∙ 4 = minus40 [kN ∙ m]
Toate aspectele analizate teoretic referitoare la relaţiile diferenţiale dintre eforturi
şi sarcini se regăsesc icircn diagramele de eforturi din figura 220 ceea ce icircnseamnă că
diagramele au fost reprezentate corect
3 TENSIUNI DEPLASĂRI ŞI DEFORMAŢII SPECIFICE
31 Tensiuni
Eforturile obținute icircn urma reducerii forțelor interioare icircn centrul de greutate al
secțiunii nu pot da informații asupra solicitării fiecărui punct al secțiunii respective Este
necesar să se cunoască modul cum se distribuie forțele interioare icircn fiecare punct al
secțiunii pentru a ști care este intensitatea maximă a solicitării Această intensitate
maximă se poate compara cu o valoare critică specifică materialului stabilindu-se astfel
dacă solicitarea este periculoasă sau nu
Mărimea care caracterizează solicitarea locală punctuală o vom denumi tensiune
și o vom defini icircn cele ce urmează Să considerăm partea din dreapta a unui corp solicitat
de forțele exterioare 1198651 1198652 și 1198653 obținută prin secționarea corpului și mărginită de fața
din dreapta Ad a secțiunii Pe secțiunea Ad vom considera un element de arie infinit mic
∆119860 caracterizat de normala la elementul de arie normală care are cosinușii directori
120573 și icircn raport cu un sistem de axe considerat fix Pe elementul infinit mic ∆119860 acționează
forțele interioare care au o rezultantă oarecare figura 31
Prin definiție tensiunea totală este
= lim∆119860rarr0
∆
∆119860 (31)
Tensiunea are aceeaşi direcţie cu forţa elementară ∆ iar mărimea ei este
determinată atacirct de mărimea forţei ∆ cacirct şi de orientarea suprafeţei ∆119860 faţă de direcţia
forţei
Tensiunea 119901 poate fi descompusă icircntr-o componentă orientată după direcţia
normalei la secţiune tensiunea normală notată cu 120590119909 şi o componentă icircn planul secţiunii
tensiunea tangenţială notată cu figura 32
= 119909 + 120591 (32)
Fig 31 Tensiunea totală Fig 32 Tensiunea normală și tangențială
La racircndul ei componenta tensiunii cuprinsă icircn planul secțiunii poate fi
descompusă după direcțiile axelor y și z
120591 = 120591119909119910 + 120591119909119911 (33)
Icircntre cele trei componente ale tensiunii totale care acționează pe elementul de arie
∆119860 este valabilă relația
1199012 = 1205901199092 + 120591119909119910
2 + 1205911199091199112 (34)
După sensul pe care icircl are tensiunea normală 120590 poate avea efect de tracţiune sau
de compresiune exercitat de către partea de corp icircnlăturată asupra părţii rămase Analog
tensiunea tangenţială 120591 poate avea efect de tăiere forfecare sau alunecare Pentru
componentele tensiunii tangențiale 120591119909119910 pe direcţia 119910 respectiv 120591119909119911 pe direcţia 119911 primul
indice indică axa pe care tensiunea este normală iar cel de-al doilea indice indică axa cu
care aceasta este paralel
Tensiunea este o mărime tensorială valoarea ei depinzacircnd atacirct de poziția
punctului icircn planul secțiunii cicirct și de orientarea planului de secționare deci de normala
Operaţiile vectoriale nu pot fi aplicate tensiunilor decacirct după ce acestea au fost icircnmulţite
cu ariile respective adică au fost transformate icircn forţe
Icircn literatura de specialitate mai ales icircn manualele mai vechi pentru noţiunea de
tensiune se mai foloseşte şi denumirea de efort specific
Dacă se consideră un alt element de arie ∆119860 cu centrul icircn același punct avacircnd ca
normală axa 119910 se vor obține alte tensiuni și anume
- 120590119910 este tensiunea normală (paralelă cu axa y)
- 120591119911119909 și 120591119910119911 sunt tensiuni tangențiale paralele cu axele 119909 și respectiv 119911 aflate icircn
planul care are ca normală axa 119910
Dacă icircn jurul unui punct dintr-un corp solicitat se consider un element de volum
infinit mic de forma unui cub icircn cazul cel mai general pe fețele sale vor acționa
tensiunile normale 120590119909 120590119910 și 120590119911 și respectiv tensiunile tangențiale 120591119909119910 120591119909119911 120591119910119909 120591119910119911 120591119911119909
și respectiv 120591119911119910 figura 33 Aceste tensiuni definesc starea de tensiune a punctului
observacircnd faptul că tensorul tensiune are 9 componente Dacă se consideră elementul
de volum finit ca fiind foarte mic se poate presupune că icircn interiorul său nu apar forțe
Ca urmare el va fi icircn echilibru sub acțiunea forțelor elementare produse de tensiunile de
pe fețele sale
Din condiția ca elementul să nu se rotească icircn jurul unor axe care trec prin centrul
său și sunt paralele cu axele sistemului 119909119874119910119911 rezultă
2 ∙ 120591119909119910 ∙ (119889119910 ∙ 119889119911) ∙119889119909
2= 2 ∙ 120591119910119909 ∙ (119889119909 ∙ 119889119911) ∙
119889119910
2 rArr 120591119909119910 = 120591119910119909 (35)
2 ∙ 120591119910119911 ∙ (119889119909 ∙ 119889119911) ∙119889119910
2= 2 ∙ 120591119911119910 ∙ (119889119909 ∙ 119889119910) ∙
119889119911
2 rArr 120591119910119911 = 120591119911119910 (36)
2 ∙ 120591119909119911 ∙ (119889119910 ∙ 119889119911) ∙119889119909
2= 2 ∙ 120591119911119909 ∙ (119889119909 ∙ 119889119910) ∙
119889119911
2 rArr 120591119909119911 = 120591119911119909 (37)
Relațiile (35divide37) 120591119909119910 = 120591119910119909 120591119910119911 = 120591119911119910 120591119909119911 = 120591119911119909 exprimă principiul dualității
tensiunilor tangențiale
Fig 33 Tensiunile normale și tangențiale pe fețele unui cub
Din condiția ca elementul considerat să nu se deplaseze icircn lungul axelor de
coordonate pe fețele opuse acționează aceleași tensiuni normale 120590119909 120590119910 și respectiv 120590119911
Definirea tensorului tensiune este posibilă dacă se cunosc cele 6 componente
independente ale acestuia aflate icircn trei plane perpendicular ce trec prin punctul respectiv
=
120590119909 120591119909119910 120591119909119911120591119910119909 120590119910 120591119910119911120591119911119909 120591119911119910 120590119911
Observaţii
Tensiunile se măsoară icircn [119873 1198982frasl ] (1119873 1198982frasl = 1 119875119886) sau icircn [119872119875119886]
(1 119872119875119886 = 106119875119886 = 106 119873
1198982 1 119872119875119886 = 1
119873
1198981198982)
Starea de tensiune dintr-un punct este considerată cunoscută dacă se cunosc
tensiunile 119901 care acționează pe infinitatea de elemente de suprafață ce trec prin punctual
considerat
Starea de tensiune a unui corp se consider cunoscută dacă se cunosc stările de
tensiune de pe infinitatea de puncte ale corpului considerat
32 Deplasări Deformaţii specifice
321 Deplasări
Aceste noțiuni sunt utile icircn analiza aspectului geometric al problemelor de rezistența
materialelor Deplasările care se analizează sunt cele datorate schimbării formei și
dimensiunilor corpurilor ca urmare a acțiunii forțelor exterioare și nu cele cinematice
posibile pentru solidul rigid care se poate deplasa cu anumită viteză și accelerație
Spre exemplu icircn figura 34a și figura 34b sub acțiunea forței 119865 tronsonul de
bară AB se deformează icircn timp ce tronsonul BC deși punctele sale au deplasări rămacircne
nedeformat (fiind nesolicitat) Toate punctele de pe axele barelor cu excepția celor din
icircncastrare (secțiunile A) au deplasări liniare De cele mai multe ori deformațiile barelor
datorate acțiunii forțelor exterioare se anulează la icircndepărtarea forțelor se spune că
deformațiile sunt elastice Secțiunile transversale ale barei din figura 34a se și rotesc icircn
raport cu pozițiile lor inițiale Spre exemplu secțiunea de căpăt cu centrul icircn C se rotește
cu unghiul
Fig 34 Deformațiile unei grinzi
Oricacirct de complexă ar fi delormația unui corp ea poate fi descrisă de lungiri sau
scurtări și de modificări ale unghiurilor inițiale
Deplasările măsoară schimbarea poziției unui punct al corpului și pot fi liniare
sau unghiulare
Prin deplasare liniară a unui punct se icircnțelege drumul parcurs de acest punct icircn
decursul procesului de deformație după o dreaptă suport dreapta 1198611198611 din figura 34a
Prin deplasare unghiulară se icircnțelege rotirea dintre segmentele de dreaptă
determinate de două puncte ale corpului icircnainte și după deformarea acestuia unghiul
pe care-l fac segmentele 119861119862 și 11986111198621 din figura 34a Această rotire se măsoară prin
unghiul pe care-l fac proiecțiile dreptelor ce conțin cele două segmente icircntr-un sistem
triortogonal
Icircn cazul cel mai general vectorul deplasare liniară se poate descompune icircntr-un
sistem triortogonal icircn trei componente 119906 119907 și 119908 figura 35
Fig 35 Deplasarea liniară
Se consideră acum un corp solid raportat la un sistem de axe ortogonal 119909119874119910119911
figura 35 după deformarea corpului un punct oarecare 119870 al acestuia se deplasează icircn
poziţia 1198701 vectorul 1198701198701 poartă numele de vectorul deplasării totale
Deplasarea totală este suma deplasărilor pe cele trei direcţii ortogonale iar
aceste deplasări se notează astfel
deplasarea pe direcţia 119909 cu ∥ 119874119909
deplasarea pe direcţia 119910 cu ∥ 119874119910
deplasarea pe direcţia 119911 cu ∥ 119874119911
Componentele deplasărilor și formeză matricea deplasărilor liniare 119906119907119908
322 Deformații
Prin deformație icircn general se icircnțelege orice schimbare de formă a unui corp fără
o evaluare cantitativă Icircn Rezistența Materialelor deformația măsoară variația
dimensiunilor geometrice ale corpului considerat din vecinătatea unui punct analog
deplasărilor deformațiile pot fi liniare și unghiulare (lunecări)
Fig 36 Deplasarea liniară
Deformația liniară ∆119897 reprezintă variația lungimii 119897 a unui element liniar al
corpului deformat figura 36 Deformația liniară specifică se definește ca fiind raportul
dintre deformația liniară și lungimea inițială
휀 =∆119897
119897 (38)
unde ∆119897 este lungirea sau scurtarea care este echivalentă cu deformția liniară totală iar
este alungirea
Deformația unghiulară sau lunecarea unui punct 119860 icircn planul 119861119860119862 se definește
prin relația figura 37
120574 = lim119861119860rarr0119862119860rarr0
(119861119860 minus 119861111986011198621 ) (39)
Fig 36 Deformația unghiulară
Schimbacircnd orientarea planului care trece prin 119860 se obțin alte deformații
unghiulare Dacă elementele liniare 119861119860 și 119862119860 sunt inițial perpendiculare deformația 120574 se
numește deformație unghiulară specifică sau lunecare specifică figura 37
Un exemplu de deplasare unghiulară și de deformație unghiulară este prezentat icircn
figura 38 Unghiul este deplasarea unghiulară și măsoară rotirea relativă dintre două
secțiuni aflate la distanța 119897 Unghiul este deformația specifică unghiulară (lunecarea
specifică) din punctul 119870 Aceste deplasări și deformații se obțin icircn urma solicitării barei
de către cele două momente 1198720 egale și de sens contrar
Fig 38 Deplasarea unghiulară
Pentru a analiza starea de deformație din vecinătatea unui punct al unui corp
solicitat complex se decupează din jurul punctului un element de volum mic figura 39a
avacircnd laturile 119889119909 119889119910 și 119889119911 Ca urmare a solicitării laturile acestuia se vor lungi sau
scurta Reprezentarea elementului deformat icircn spațiu este dificilă pentru simplificare
vom analiza doar deformațiile din planul 119909119874119910 Observăm că dimensiunile 119889119909 și 119889119910 s-au
modificat cu valoarea ∆119889119909 respectiv cu ∆119889119910 analog se acceptă și pentru 119889119911 o modificare
de forma ∆119889119911 Astfel se pot defini deformațiile specifice liniare
휀119909 =∆119889119909
119889119909 휀119910 =
∆119889119910
119889119910 휀119911 =
∆119889119911
119889119911 (310)
De cele mai multe ori aceste deformații specifice liniare se pot exprima procentual
și se mai numesc alungiri
Fig 39 Starea de deformație
Icircn figura 39c se vede că unghiul inițial drept dintre muchiile 119889119909 și 119889119910 ale
elementului de volum s-a modificat Se definește deformația specifică unghiulară (sau
lunecarea specifică) mărimea cu care se modifică unghiul inițial drept
120574119909119910 = 120574119909119910prime + 120574119910119909
prime = 120574119910119909120574119910119911 = 120574119910119911
prime + 120574119911119910prime = 120574119911119910
120574119911119909 = 120574119911119909prime + 120574119909119911
prime = 120574119909119911
(311)
Deformațiile 휀119909 휀119910 휀119911 120574119909119910 120574119910119911 120574119911119909 constituie cele șase componente
independente ale tensorului deformațiilor specifice care pot fi scrise de forma
119863 =
휀119909 120574119909119910 120574119909119911120574119910119909 휀119910 120574119910119911120574119911119909 120574119911119910 휀119911
(312)
323 Contracţia transversală
Practica arată că odată cu lungirea unei bare apare o micşorare a mărimii secţiunii
transversale mărime numită contracţie transversală figura 310
Fig 310 Contracția transversală
Contracţia transversală este proporţională cu lungirea specifică coeficientul de
proporţionalitate se notează cu 120599 şi se numeşte coeficient de contracţie transversală sau
coeficientul lui Poisson
La o lungire specifică a barei contracţia transversală este dată de relația
휀119905119903 = 휀119910 = 휀119911 = minus120599 ∙ 휀119909 (313)
Semnul minus bdquo-rdquo arată că cele două mărimi sunt contrare dacă una creşte cealaltă
scade şi invers
Considerăm o bară cilindrică de lungime 119897 şi aria secţiunii transversale 119860 solicitată
la icircntindere axială La un moment dat datorită solicitării lungimea barei devine
[119897 ∙ (1 + 휀)] diametrul devine [119889 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)] iar aria secţiunii transversale devine
[119860 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)2] Dacă volumul barei icircnainte de solicitare a fost (119860 ∙ 119897) după solicitare
acesta devine
119881 + ∆119881 = 119860 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)2 ∙ 119897 ∙ (1 + 휀) =
= 119860 ∙ 119897 ∙ (1 + 휀 minus 2 ∙ 120599 ∙ 휀 minus 2 ∙ 120599 ∙ 휀2 + 1205992 ∙ 휀2 + 1205992 ∙ 휀3) (314)
Deoarece lungirile sunt foarte mici ultimii trei termeni din paranteză fiind infinit mici se pot neglija obţinacircnd
119881 + ∆119881 = 119860 ∙ 119897 + 119860 ∙ 119897 ∙ 휀 ∙ (1 minus 2 ∙ 120599) ⟺ ∆119881 = 휀 ∙ (1 minus 2 ∙ 120599) ∙ 119860 ∙ 119897 (315)
Practica arătă că o astfel de bară solicitată la icircntindere icircşi măreşte volumul deci
∆119881 gt 0 de unde rezultă că
1 minus 2 ∙ 120599 gt 0 rArr 120599 lt 05 (316)
Pentru majoritatea materialelor 120599 = 033 iar pentru materialele care-şi păstrează
volumul constant 120599 = 05
33 Relaţii de echivalenţă icircntre eforturi şi tensiuni
Considerăm un element de suprafață infinit mic 119889119860 situat pe fața de arie (119860) a
secțiunii barei din figura 311 Icircn centrul de greutate 119862 al secțiunii acționează eforturile
119873 119879119910 119879119911 119872119909 119872119894119910 și 119872119894119911 determinate prin metoda secțiunilor
Icircn raport cu un sistem de axe de referință 119909119862119910119911 coordonatele elementului 119889119860 sunt
- 119910 este ordonata elementului de arie 119889119860
- 119911 este abscisa elementului de arie 119889119860
Pe elementul de arie 119889119860 acționează tensiunile
120590119909 tensiunea normală
120591119909119910 și 120591119909119911 tensiuni tangențiale
Dacă se icircnsumează forțele elementare de tipul 120590119909 ∙ 119889119860 120591119909119910 ∙ 119889119860 și 120591119909119911 ∙ 119889119860
va trebui să obținem eforturile 119873 119879119910 și 119879119911
Fig 311 Element de suprafață mic din secțiunea unei bare
Dacă eforturile sunt privite ca forțe exterioare și se scriu ecuațiile de
echilibru ale secțiunii (119860) se vor obține șase relații de echivalență icircntre eforturi și
tensiuni
(sum119883) = 0 rArr int 120590119909 ∙ 119889119860
119860
= 119873 (317)
(sum119884) = 0 rArr int 120591119909119910 ∙ 119889119860
119860
= 119879119910 (318)
(sum119885) = 0 rArr int 120591119909119911 ∙ 119889119860
119860
= 119879119911 (319)
(sum119872)119909= 0 rArr int(120591119909119911 ∙ 119889119860) ∙ 119910
119860
minus int(120591119909119910 ∙ 119889119860) ∙ 119911
119860
= 119872119909 rArr
rArr int(119910 ∙ 120591119909119911 minus 119911 ∙ 120591119909119910) ∙ 119889119860
119860
= 119872119909
(320)
(sum119872)119910= 0 rArr int(120590119909 ∙ 119889119860) ∙ 119911
119860
= 119872119894119910 (321)
(sum119872)119911= 0 rArr int(120590119909 ∙ 119889119860) ∙ 119910
119860
= 119872119894119911 (322)
Cele șase relații de echivalență icircntre eforturi și tensiuni constituie un pas icircnainte
icircn rezolvarea unei probleme de rezistența materialelor Aceste relații vor permite
determinarea tensiunilor maxime
Pentru a rezolva cele 6 relații de echivalență trebuie să se cunoască tensiunile și
ca funcții de punct adică funcții de forma
120590119909 = 120590119909(119909 119910 119911) 120591119909119910 = 120591119909119910(119909 119910 119911) 120591119909119911 = 120591119909119911(119909 119910 119911) (32
3)
Cunoașterea acestor funcții presupune icircnsă analizarea aspectului geometric al
problemei precum și utilizarea unor ipoteze simplificatoare care să permită simplificarea
problemelor
34 Ipoteze de bază icircn rezistenţa materialelor
Depășirea dificultăților legate de interpretarea unor fenomene specifice mecanicii
solidului deformabil a impus acceptarea unor ipoteze care să simplifice fenomenele și să
contribuie la elaborarea unor modele de calcul cicirct mai generale și cacirct mai simple Aceste
ipoteze se referă la structura materialelor şi la comportarea lor sub acţiunea forţelor
exterioare Ipotezele acceptate trebuie să fie icircn deplină concordanţă cu realitatea și să
conducă la rezultate verificate icircn practică
Funcție de aspectele la care se referă ipotezele pot fi
Ipoteze fizice (de material)
Ipoteze de calcul
341 Ipoteze fizice
Se acceptă deoarece teoriile structurale au condus la rezultate care contravin
icircncercărilor experimentale
Ipoteza mediului continuu consideră că orice domeniu elementar al corpului
este ocupat de materie adică nu se acceptă existența unor goluri sau a unor crăpături
microscopice (fisuri) Deși nu corespunde realităţii poate fi acceptată deoarece
dimensiunile corpului sunt mult mai mari decacirct dimensiunile particulelor elemantare Are
avantajul că permite utilizarea proprietăților matematice ale funcțiilor continue pentru
tensiunile și deformațiile din orice punct al corpului Ea este mai apropiată de realitate la
corpurile amorfe şi mai depărtată la cele cristaline dar conduce la rezultate satisfăcătoare
icircn calculele de rezistenţă
Ipoteza nu se poate aplica la corpurile care au goluri tăieturi (multiplu conexe)
pentru unele puncte singulare icircn care tensiunile și deformațiile tind la infinit sau icircn unele
probleme de plasticitate icircn care proprietățile de material au un rol esențial
Ipoteza izotropiei conform acestei ipoteze materialul din care este confecționat
un element de rezistență are aceleași proprietăți după orice direcție un astfel de material
este considerat izotrop Din punct de vedere macroscopic metalele pot fi considerate
izotrope deși la nivel microscopic proprietățile lor diferă de la o direcție cristalografică
la alta Orice conglomerat de cristale poate fi considerat izotrop
Există cazuri cacircnd această ipoteză a izotropiei nu se acceptă
la metalele puternic deformate după o direcție (prin laminare trefilare)
la piesele confecționate din lemn lemnul este anizotrop deoarece proprietățile sale
diferă după două direcții (icircn lungul fibrelor și perpendicular pe această direcție)
Ipoteza omogenității consideră că un corp are aceleași proprietăți icircn orice
punct al său Deși majoritatea materialelor utilizate icircn tehnică sunt eterogene la scară
micro fiind constituite din mai multe faze cu proprietăți diferite la scară macro ele pot
fi considerate omogene Omogenitatea și izotropia sunt proprietăți statistice medii care
nu se condiționează una pe cealaltă Chiar și materialele monofazice pot avea la scară
micro unele segregații care le fac eterogene
Ipoteza elasticităţii perfecte presupune că atacircta timp cacirct solicitările nu
depăşesc anumite limite materialul are o comportare elastică adică icircşi recapătă forma şi
dimensiunile iniţiale odată cu icircnlăturarea sarcinilor Icircn realitate materialele nu prezintă o
elasticitate perfectă ele avacircnd deformaţii remanente mici care icircnsă pot fi neglijate icircn
calculele de rezistenţă
Acceptarea acestei ipoteze a elasticității perfecte permite
- aplicarea relației biunivoce icircntre tensiuni și deformații relație exprimată de legea
lui Hooke ( = 119864 ∙ 휀) unde E este un factor de proporţionalitate numit modul de
elasticitate longitudinal al materialului pentru oţel 119864 = 21 ∙ 105 [119872119875119886] - acceptarea valabilității afirmației bdquolucrul mecanic efectuat de forțele exterioare
ca urmare a parcurgerii deplasărilor punctelor de aplicație se icircnmagazinează integral icircn
corp sub formă de energie de deformație energie cedată la icircndepărtarea sarcinilorrdquo
- este valabilă teoria conform căreia bdquoenergia icircnmagazinată și deformațiile depind
doar de starea inițială și finală de eforturi fără a ține cont de modul icircn care s-a ajuns la
starea finalărdquo
Icircn realitate oricacirct de mici ar fi sarcinile aplicate se produc și deformații plastice
dar acestea pot fi neglijate dacă solicitarea nu depășește anumite limite
342 Ipoteze de calcul
Ipoteza micilor deplasări bdquodeplasările datorate deformării sunt mult mai mici
decacirct dimensiunile corpurilor și ca urmare pot fi neglijate produsele dintre o deplasare și
ea icircnsăşirdquo Pentru cele mai multe corpuri deformaţiile elastice sunt de mărimi mici deci
corpurile solide sub acţiunea sarcinilor icircşi modifică foarte puţin forma iniţială Această
ipoteză este cunoscută şi sub denumirea de ipoteza menţinerii dimensiunilor iniţiale Ea
permite scrierea ecuaţiilor de echilibru ale staticii pe starea nedeformată a elementului
cacircnd nu se iau icircn considerare deplasările punctelor de aplicaţie ale forţelor care se produc
ca urmare a deformării acestuia Calculul efectuat pe schema nedeformată poartă numele
de calcul de ordinul I
Ipoteza micilor deplasări nu poate fi acceptată pentru studiul problemelor de
stabilitate sau la problemele la care nu pot fi icircndeplinite condiţiile de echilibru icircn starea
nedeformată
Calculul de ordinul II admite ipoteza micilor deplasări dar ecuaţiile de echilibru
se scriu icircnsă pentru starea deformată a elementului de rezistenţă
Calculul de ordinul III nu mai acceptă ipoteza micilor deplasări el referindu-se
la cazul deformaţiilor mari cacircnd ecuaţiile de echilibru trebuie scrise pentru starea
deformată
Chiar dacă materialul satisface legea lui Hooke icircn urma calculelor de ordinul II
se obţin de obicei relaţii neliniare icircntre sarcini şi deplasări iar pentru calculul de ordinul
III rezultă ecuaţii diferenţiale neliniare
Principiul efectului local al acțiunii sarcinilor enunțat de Barre de Saint-
Venant Acest principiu destul de folosit icircn Rezistenţa Materialelor precizează că dacă
se icircnlocuiesc forţele care acţionează asupra unui element de suprafață al unui corp
elastic printr-un alt sistem de forţe echivalent din punct de vedere static cu primul noua
distribuţie a forţelor produce la locul de aplicare diferenţe semnificative faţă de prima
dar rămacircne fără efect sau cu efect neglijabil la distanţe mari de locul de aplicare al
forţelor figura 312
Ca o cosecință o sarcină uniform distribuită figura 312a poate fi icircnlocuită cu
rezultanta ei figura 312b dacă se analizează efectul sarcinii la distanță mare de locul icircn
care se aplică sarcina
Fig 312 Principiul Saint-Venant
Icircn prima variantă figura 312a forţa 119865 se aplică pe o porțiune oarecare 119897 (sarcină
uniform distribuită) iar icircn a doua figura 312b icircntru-un punct (forţă concentrată) La
locul de aplicare a sarcinii efectul asupra barei este cu totul diferit de la o variantă la
cealaltă Icircnsă la o distanţă mare de punctul de aplicaţie spre exemplu icircn secţiunea situată
la distanţa 119886 de capătul barei sau chiar icircn icircncastrare ambele bare sunt solicitate la fel
Icircn cazul din figura 312a
119872119894(119909) =119901 ∙ 1199092
2 119909 le 119897 119872119894(119909) = 119901 ∙ 119897 ∙ (119909 minus
119897
2) 119909 gt 119897 (324)
Icircn cazul din figura 312b
119872119894(119909) = 0 119909 lt119897
2 119872119894(119909) = 119901 ∙ 119897 ∙ (119909 minus
119897
2) 119909 gt
119897
2 (325)
Se vede că pentru (119909 gt 119897) adică după depășirea locului icircn care se aplică sarcina
efectul este același
Ipoteza lui Bernoulli sau ipoteza secţiunilor plane precizează că o secţiune
plană şi normală pe axa barei icircnainte de deformare rămacircne plană şi normală pe axa
barei şi după deformare figura 313
Fig 313 Ipoteza lui Bernoulli
Ipoteza stării naturale a corpului sau ipoteza absenţei tensiunilor conform
căreia pentru un corp nesolicitat starea de tensiune şi deformaţie este nulă
Perfecţionarea mijloacelor de calcul şi de investigare pot conduce la renunţarea la
unele ipoteze sau la introducerea altora noi mai aproape de stările reale De aici rezultă
caracterul de continuă perfecţionare a metodelor Rezistenţei Materialelor
35 Coeficienţi de siguranţă Tensiuni admisibile
O piesă corespunde din punct de vedere tehnic dacă tensiunile care iau naştere icircn
interiorul piesei datorită sarcinilor aplicate nu depăşesc anumite valori limită stabilite
convenţional Aceste valori limită ale tensiunii sunt corelate cu caracteristicile mecanice
ale materialelor
Tensiunea limită utilizată icircn calculele de rezistenţă este cunoscută sub denumirea
de tensiune admisibilă sau rezistenţă admisibilă Rezistenţa admisibilă reprezintă
valoarea convenţională aleasă icircn calcul pe baza practicii pentru tensiunea maximă care
poate apare icircntr-o piesă icircn condiţii date de material şi solicitare
Rezistenţa admisibilă (120590119886 sau 120591119886) poate fi definită faţă de o stare limită
periculoasă stare care trebuie evitată deoarece poate conduce distrugere
120590119886 =120590119897119894119898119888
(326)
unde
120590119897119894119898 este tensiunea corespunzătoare stării limită periculoase
119888 estesupraunitar 119888 gt 1 și reprezintă coeficientul de siguranţă faţă de starea limită
periculoasă considerată
Alegerea unor valori inferioare pentru rezistenţa admisibilă faţă de tensiunea
corespunzătoare stării limită periculoase este necesară deoarece
cunoaşterea sarcinilor este de cele mai multe ori aproximativă şi o depăşire a
acestora este foarte posibilă
caracteristicile mecanice ale materialelor variază icircn limite destul de mari ele
fiind influenţate de mulţi factori
schema aleasă pentru calcul (aplicarea sarcinilor schematizarea structurii
ipotezele de calcul etc) depărtează modelul faţă de cel real
Pentru calculele de verificare tensiunea efectivă maximă din elementul de
rezistenţă trebuie să fie mai mică sau cel mult egală cu cea admisibilă
120590119890119891119898119886119909 le 120590119886 (327)
Valoarea rezistenţei admisibile este influenţată de foarte mulţi factori natura
materialului tratamentele termice aplicate piesei durata de funcţionare a piesei modul
de acţionare icircn timp a sarcinilor felul solicitării temperatura gradul de periculozitate
icircn cazul cedării piesei etc
De asemenea valoarea coeficientului de siguranţă se alege icircn principal ţinacircnd
seama de aceiaşi factori care influenţează şi rezistenţa admisibilă
Rezistenţele admisibile pentru cacircteva materiale sunt următoarele
pentru oțelul de uz general OL37 solicitat la icircntindere compresiune sau
icircncovoiere 120590119886 = 150 [119872119875119886] pentru lemnul de brad solicitat la
- compresiune icircn lungul fibrelor şi solicitat la icircncovoiere 120590119886 = 10 [119872119875119886] - tracţiune icircn lungul fibrelor 120590119886 = 7 [119872119875119886] - compresiune perpendiculară pe fibre 120590119886 = 15 [119872119875119886] - forfecare icircn lungul fibrelor 120591119886 = 2 [119872119875119886] - forfecare perpendiculară pe fibre 120590119886 = 45 [119872119875119886]
terenuri de fundaţie din pămacircnt uscat sau umed 120590119886 = 020 divide 025 [119872119875119886]
4 CARACTERISTICI GEOMETRICE ALE SECȚIUNILOR PLANE
41 Noţiuni introductive
Icircn relaţiile de calcul ale tensiunilor şi deformaţiilor elementelor de rezistenţă
pentru unele solicitări (icircncovoierea și torsiunea) secțiunile plane intervin atacirct prin
dimensiunile lor (aria 119860) cicirct și prin forma și poziția pe care o are secțiunea icircn raport cu
planul solicitării Mărimile care caracterizează o secțiune icircn raport cu forma și poziția față
de axele unui sistem de referință sunt denumite caracteristici geometrice de ordin
superior Aria secțiunii este caracteristica geometrică ce depinde doar de dimensiunile
geometrice ale acesteia
Să considerăm o grindă solicitată de o forță exterioară 119865 aşezată icircn două poziții icircn
raport cu planul forţei figura 41 Icircn urma aplicării forței deși avem aceeași grindă
(aceeași arie a secțiunii transversale) și aceeași forță se constată că pentru varianta din
figura 41a deformațiile sunt mult mai mari adică rezistența la icircncovoiere a grinzii din
figura 41a este mai mare decacirct icircn cazul grinzii din figura 41b Comportarea diferită se
explică prin aceea că modificarea poziţiei secţiunii transversale faţă de planul forţelor
modifică caracteristicile geometrice ale secţiunii transversale a grinzii
Fig 41 Grindă solicitată de forța 119865
Pentru realizarea calculelor de rezistenţă şi rigiditate este foarte importantă
cunoaşterea caracteristicilor geometrice ale suprafeţei secţiunii transversale a elementelor
de rezistenţă
Caracteristicile geometrice ale secţiunii transversale a unui element de rezistenţă
sunt
- aria secțiunii notată cu 119860
- momentul static icircn raport cu o axă notat 119878119911 și respectiv 119878119910
- momentul de inerție care poate fi
axial notat 119868119911 și respectiv 119868119910
centrifugal notat 119868119911119910
polar notat 119868119901
- raza de inerţie (giraţie)notată 119894119911 și respectiv 119894119910
- modulul de rezistență care poate fi
axial notat 119882119911 și respectiv 119882119910
polar notat 119882119901
42 Aria și momentul static al suprafețelor plane
Fie o suprafaţă plană de arie 119860 pe care se ia un element infinit mic de arie 119889119860 şi
un sistem de axe rectangulare 119911119874119910 figura 42 Notăm cu 119862 centrul de greutate al suprafeţei
119860 Poziţia suprafeţei elementare 119889119860 faţă de acelaşi sistem de coordonate 119911119874119910 este dată
de abscisa 119911 ordonata 119910 și raza polară
Fig 42 Suprafață plană de arie 119860
Aria suprafeţei 119860 figura 42 se defineşte ca fiind
119860 ≝ int 119889119860
119860
(41)
Aria suprafeţei este icircntotdeauna pozitivă și se măsoară icircn [1198981198982] Momentul static al suprafeţei de arie 119860 icircn raport cu axele 119874119911 și respectiv 119874119910
figura 42 sunt date de relaţiile
119878119911 ≝ int 119910 ∙ 119889119860
119860
119878119910 ≝ int 119911 ∙ 119889119860
119860
(42)
Momentul static poate fi pozitiv negativ sau nul şi se măsoară icircn [1198981198983] Coordonatele centrului de greutate ale suprafeței 119860 se detrmină cu relațiile
119910119862 ≝int 119910 ∙ 119889119860119860
119860 119911119862 ≝
int 119911 ∙ 119889119860119860
119860
(43)
Cunoscacircnd coordonatele 119910119862 și 119911119862 ale centrului de greutate 119862 al secțiunii 119860 atunci
momentele statice se pot determina cu relațiile
119878119911 ≝ int 119910 ∙ 119889119860
119860
= 119910119862 ∙ 119889119860 119878119910 ≝ int 119911 ∙ 119889119860
119860
= 119911119862 ∙ 119889119860 (44)
Aceste relații arată că momentul static al unei suprafețe icircn raport cu o axă este
egal cu produsul dintre aria suprafeței și distanța de la centrul ariei la axa respectivă
Dacă suprafaţa se poate descompune icircn 119899 suprafeţe simple la care se cunosc ariile
(1198601 1198602 ⋯ 119860119894⋯ 119860119899) și poziţiile centrelor de greutate 119862119894 faţă de sistemul de referinţă
expresiile momentelor statice capătă următoarea formă
119878119911 = sum 119910119862119894 ∙ 119860119894119899119894=1 = 119910119862 ∙ 119860 119878119910 = sum 119911119862119894 ∙ 119860119894
119899119894=1 = 119911119862 ∙ 119860 (45)
Din relaţiile (45) rezultă că poziţia centrului de greutate 119862 al unei suprafeţe
compuse poate fi determinată cu relaţiile
119910119862 = (sum119910119862119894 ∙ 119860119894
119899
119894=1
) 119860frasl 119911119862 = (sum119911119862119894 ∙ 119860119894
119899
119894=1
) 119860frasl (46)
Icircn relația (45) 119910119862119894 și respectiv 119911119862119894 reprezintă coordonatele centrelor de greutate 119862119894
ale fiecărei suprafețe simple 119860119894 icircn raport sistemul de axe 119911119874119910
Se constată (relaţia 42) că dacă axele sistemului de referinţă trec prin centrul de
greutate (119910119862 = 119911119862 = 0) momentele statice sunt nule Axele icircn raport cu care momentele
statice sunt nule şi care trec prin centrul de greutate al suprafeţei se numesc axe centrale
Observație dacă secțiunea compusă are o axă de simetrie centrul secțiunii se
găsește pe acea axă iar dacă secțiunea este dublu simetrică poziția centrului secțiunii este
la intersecția axelor de simetrie
43 Momente de inerţie
Momentele de inerţie axiale ale unei suprafețe se calculează icircn raport cu axele de
coordonate 119874119911 și respectiv 119874119910 figura 42 și se determină cu relațiile
119868119911 ≝ int 1199102 ∙ 119889119860
119860
119868119910 ≝ int 1199112 ∙ 119889119860
119860
(47)
Unde 119910 și 119911 sunt distanțele de la elementul de arie 119889119860 la cele două axe de
coordonate 119874119911 și respectiv 119874119910
Momentele de inerţie axiale se măsoară icircn [1198981198984] şi sunt icircntotdeauna pozitive (aria
119889119860 este icircntotdeauna pozitivă și este multiplicată cu patratul distanței 1199102 dacă 119868119911 sau 119868119910
sunt nule icircnseamnă ca secțiunea nu există)
Momentele de inerție axiale se calculează icircndeosebi pentru axele centrale (care
trec prin centrul secțiunii) deoarece icircn raport cu acele axe 119868119911 și 119868119910 au valori minime
Momentul de inerţie centrifugal calculat faţă ambele axe ale sistemului de
referinţă 119911119874119910 este definit de relația
119868119911119910 ≝ int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860
(48)
Momentul de inerţie centrifugal se măsoară icircn [1198981198984] şi poate fi pozitiv negativ
sau nul
Momentul de ineție centrifugal este nul 119868119911119910 = 0 dacă cel puțin una din axele 119874119911
sau 119874119910 este axă de simetrie pentru secțiune
Se consideră o suprafaţă dreptunghiulară pe care faţă de axa de simetrie 119874119910 se iau
două suprafeţe elementare de arie 119889119860 simetrice faţă de axa 119874119910 figura 43
Fig 43 Suprafață dreptunghiulară cu două arii elementare 119889119860
Făcacircnd suma momentelor de inerţie centrifugale pentru cele două suprafeţe
elementare 119889119860 (din stacircnga şi din dreapta faţă de axa 119874119910) se obţine
int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860119889119903
+ int (minus119911) ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860119904119905119892
= int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860119889119903
minus int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860119904119905119892
= 0 (49)
Acelaşi raţionament se poate face și pentru icircntreaga suprafaţă de unde obținem că
momentul de inerție centrifugal este nul 119868119911119910 = 0 Deci pentru o suprafaţă plană care
are cel puţin o axă de simetrie momentul de inerţie centrifugal faţă de sistemul care
conţine acea axă de simetrie este nul
Momentul de inerţie polar al unei suprafeţei icircn raport cu un punct (pol) 119874 figura
42 este definit prin relaţia
1198680 = 119868119901 ≝ int 1205882 ∙ 119889119860
119860
= int(1199102 + 1199112) ∙ 119889119860
119860
= 119868119911 + 119868119910 (410)
unde este distanţa de la polul 119874 la elementul de arie 119889119860 Momentul de inerţie polar se
măsoară icircn [1198981198984] şi este totdeauna pozitiv
Momentul de inerţie polar este egal cu suma momentelor de inerţie faţă de două axe
perpendiculare oarecare şi care trec prin polul considerat
Razele de giraţie sau razele de inerţie sunt mărimi calculate icircn raport cu axele
secțiunii și definite de relaţiile
119894119911 ≝ radic119868119911119860 119894119910 = radic
119868119910
119860 (411)
Se exprimă icircn [119898119898] şi sunt icircntotdeauna pozitive Semnificația unei raze de inerție
este distanța la care dacă ar fi concentrată icircntreaga arie s-ar obține același moment de
inerție ca și cel calculat pentru aria reală
44 Modulul de rezistenţă
Modulul de rezistență se calculează icircn raport cu axele de referință sau icircn raport cu
un pol figura 42 și pot fi axiale (119882119911119882119910) sau polar (119882119901) și se determină numai pe baza
momentelor de inerţie cu relațiile figura 43
119882119911119898119894119899 ≝119868119911119910119898119886119909
119882119911119898119886119909 ≝119868119911119910119898119894119899
(412)
119882119910119898119894119899 ≝119868119910
119911119898119886119909 119882119910119898119886119909 ≝
119868119910
119911119898119894119899 (413)
119882119901 ≝119868119901
120588119898119886119909 (414)
unde
119910119898119886119909 119910119898119894119899 reprezintă distanţa de la axa 119874119911 la punctele extreme cele mai
depărtate respectiv cele mai apropiate ale suprafeţei de această axă
119911119898119886119909 119911119898119894119899 reprezintă distanţa de la axa 119874119910 la punctele extreme cele mai
depărtate respectiv cele mai apropiate ale suprafeţei de această axă
120588119898119886119909 reprezintă distanța maximă de la polul 119874 la punctul secțiunii cel mai
icircndepărtat de acesta
Fig 43 Suprafață dreptunghiulară cu două arii elementare 119889119860
Modulele de rezistenţă se exprimă icircn [1198981198983] şi sunt icircntotdeauna pozitive
Explicația este aceea că momentele de inerție care intră icircn relațiile de definiție sunt
pozitive iar distanțele la punctele extreme sunt pozitive (119910119898119886119909 119910119898119894119899 119911119898119886119909 119911119898119894119899 120588119898119886119909 se
iau icircn valoare absolută)
Icircn cazul suprafeţelor compuse modulul de rezistenţă nu se obţine prin icircnsumarea
algebrică a modulelor de rezistenţă ale suprafeţelor simple componente ci numai prin
intermediul momentului de inerţie axial calculat pentru icircntreaga secțiune
Ca și momentele de inerție modulele de rezistență se calculează numai pentru
sistemele de axe centrale
45 Momente de inerţie şi module de rezistenţă pentru suprafeţe simple
451 Secțiune dreptunghiulară
Fie suprafaţa dreptunghiulară din figura 44 de icircnălțime ℎ și lățime 119887 pe care se
consideră suprafaţă elementară de arie 119889119860 = 119887119889119910 la distanța 119910 de axa 119862119911 sistemul de
axe 119911119862119910 trece prin centrul secțiunii iar axele sunt axe de simetrie pentru dreptunghi
Fig 44 Suprafață dreptunghiulară
Pe baza relațiilor de definiți a momentului de inerție 119868119911 se obține
119868119911 ≝ int 1199102 ∙ 119889119860
119860
= int 1199102 ∙ 119887 ∙ 119889119910 = 2int 1199102 ∙ 119887 ∙ 119889119910 = 2 ∙ 119887 ∙1199103
3|ℎ 2frasl
0rArr
ℎ 2frasl
0
ℎ 2frasl
minusℎ 2frasl
rArr 119868119911 =119887 ∙ ℎ3
12
(415)
Analog pentru un element de arie 119889119860 = ℎ ∙ 119889119911 paralel cu axa 119862119910 situat la distanța
119911 de axa 119862119910
119868119910 ≝ int 1199112 ∙ 119889119860
119860
= int 1199112 ∙ ℎ ∙ 119889119911 = 2int 1199112 ∙ ℎ ∙ 119889119910 = 2 ∙ ℎ ∙1199113
3|119887 2frasl
0rArr
119887 2frasl
0
119887 2frasl
minus119887 2frasl
rArr 119868119910 =1198873 ∙ ℎ
12
(416)
Deoarece axele 119862119911 și 119862119910 sunt axe de simetrie momentul de inerție centrifugal este
119868119911119910 = 0 (417)
Pentru un pătrat avacircnd laturile egale (ℎ = 119887 = 119886) momentele de inerţie faţă de
axele centrale au expresia
119868119911 = 119868119910 =1198864
12 (418)
Modulele de rezistență axiale se calculează cu relațiile de definiție ținacircnd cont că
distanțele pacircnă la fibrele extreme sunt
119910119898119886119909 = 119910119898119894119899 =ℎ
2 119911119898119886119909 = 119911119898119894119899 =
119887
2 (419)
Obținem
119882119911119898119894119899 = 119882119911119898119886119909 =119868119911
119910119898119886119909119898119894119899=119887 ∙ ℎ3
12frasl
ℎ2frasl
=119887 ∙ ℎ2
6
119882119910119898119894119899 = 119882119910119898119886119909 =119868119910
119911119898119886119909119898119894119899=1198873 ∙ ℎ
12frasl
1198872frasl
=1198872 ∙ ℎ
6
(420)
452 Suprafaţă circulară
Din motive de simetrie pentru suprafeţele circulare momentele de inerţie faţă de
orice diametru (care reprezintă şi axe centrale) sunt aceleaşi
Considerăm o secțiune circulară plină cu diametrul 119889 și centrul de greutate 119862 Prin
centrul de greutate 119862 trece sistemul de axe ortogonal 119911119862119910 figura 45
Fig 45 Suprafață circulară
La distanța de centrul de greutate 119862 vom lua un element de suprafață mic de arie
(119889119860) de forma unui inel de grosime 119889 Elementul de arie 119889119860 are expresia
119889119860 = (2 ∙ 120587 ∙ 120588) ∙ (119889120588)
Pornind de la relația de definiție a momentului de inerție polar obținem
119868119901 ≝ int 1205882 ∙ 119889119860
119860
= int 1205882 ∙ (2 ∙ 120587 ∙ 120588) ∙ 119889120588
119903=119889 2frasl
0
= 2 ∙ 120587 ∙1205884
4|119889 2frasl0 rArr
rArr 119868119901 =120587 ∙ 1198894
32
(421)
Secțiunea este perfect simetrică deci sunt valabile relațiile
119868119911 = 119868119910 rArr 119868119901 = 119868119911 + 119868119910 = 2 ∙ 119868119911 = 2 ∙ 119868119910 =119868119901
2=120587 ∙ 1198894
64 (422)
Și modulele de rezistenţă faţă de orice diametru sunt egale şi se calculează cu
relaţiile
119882119911 = 119882119910 =1198681199111198892frasl=120587 ∙ 1198893
32 (423)
Modulul de rezistenţă polar este
119882119901 =1198681199011198892frasl=120587 ∙ 1198893
16 (424)
453 Secţiune inelară
Calculul momentelor de inerţie axiale pentru o secţiune inelară avacircnd diametrul
interior 119889 şi diametrul exterior 119863 se determină analog pentru suprafaţa circulară plină cu
observaţia că integrala pentru calculul momentului de inerție polar 119868119901 se face icircntre
limitele 119903 = 119889 2frasl şi R= 1198632frasl (icircntre raza interioară 119903 şi raza exterioară 119877) figura 46
Se obţin relaţiile
119868119901 =120587 ∙ 1198634
32∙ [1 minus (
119889
119863)4
] =120587 ∙ 1198634
32∙ (1 minus 1198964) (425)
119868119910 = 119868119910 =120587 ∙ 1198634
64∙ [1 minus (
119889
119863)4
] =120587 ∙ 1198633
64∙ (1 minus 1198964) (426)
Fig 46 Secțiune inelară
119882119901 =120587 ∙ 1198633
16∙ [1 minus (
119889
119863)4
] =120587 ∙ 1198633
16∙ (1 minus 1198964) (427)
119882119911 = 119882119910 =120587 ∙ 1198633
32∙ [1 minus (
119889
119863)4
] =120587 ∙ 1198633
32∙ (1 minus 1198964) (428)
unde 119896 = 119889119863frasl
46 Variaţia momentelor de inerţie faţă de axe paralele
( Relațiile lui STEINER)
Se consideră o suprafaţă oarecare de arie 119860 cu elementul de arie 119889119860 și un sistemul
de axe central 119911119862119910 faţă de care se cunosc momentele de inerţie 119868119911 119868119910 119868119911119910 şi considerăm
un sistem de axe 11991111198741199101 paralele cu sistemul central figura 47 Se pune problema
determinării momentele de inerţie 1198681199111 1198681199101 11986811991111199101 faţă de sistemul de axe paralel cu sistemul
central 11991111198741199101 axe aflate la distanţele 119910119862 = 119888 respectiv 119911119862 = 119889 de acesta
461 Momente de inerţie axiale
Pe baza relaţiilor de definire şi a notaţiilor din figura 42 pentru momentele de
inerţie faţă de axele 1198741199111 1198741199101 se poate scrie
1198681199111 = int 11991012 ∙ 119889119860
119860
= int(119910 + 119888)2 ∙ 119889119860
119860
= int 1199102 ∙ 119889119860
119860
+ 2 ∙ 119888 ∙ int 119910 ∙ 119889119860
119860
+
+1198882int 119889119860
119860
rArr 1198681199111 = 119868119911 + 2 ∙ 119888 ∙ 119878119911 + 1198882 ∙ 119860 hArr 1198681199111 = 119868119911 + 119888
2 ∙ 119860
(429)
Fig 47 Variaţia momentelor de inerţie față de axe paralele
S-a ajuns la relația (429) deoarece momentul static 119878119911 este nul deoarece axa 119862119885
este axă centrală
Pentru momentul de inerție axial icircn raport cu axa 1198741199101 se obține
1198681199101 = int 11991112 ∙ 119889119860
119860
= int(119911 + 119889)2 ∙ 119889119860
119860
= int 1199112 ∙ 119889119860
119860
+ 2 ∙ 119889 ∙ int 119911 ∙ 119889119860
119860
+
+1198892 ∙ int 119889119860
119860
rArr 1198681199101 = 119868119910 + 2 ∙ 119889 ∙ 119878119910 + 1198892 ∙ 119860 hArr 1198681199101 = 119868119910 + 119889
2 ∙ 119860
(430)
Pentru momentul de inerție centrifugal obținem
11986811991111199101 = int 1199101 ∙ 1199111 ∙ 119889119860
119860
= int(119910 + 119888) ∙ (119911 + 119889) ∙ 119889119860
119860
= int 119910 ∙ 119911 ∙ 119889119860 +
119860
+119888 ∙ int 119911 ∙ 119889119860
119860
+ 119889 ∙ int 119910 ∙ 119889119860
119860
rArr 11986811991111199101 = 119868119911119910 + 119888 ∙ 119889 ∙ 119860
(431)
Deoarece
int 119911 ∙ 119889119860
119860
= 119878119910 = 0 int 119910 ∙ 119889119860
119860
= 119878119911 = 0 int 119910 ∙ 119911 ∙ 119889119860
119860
= 119868119911119910
Relaţiile (429) şi (430) arată că momentul de inerţie faţă de o axă oarecare
este egal cu momentul de inerţie faţă de o axă paralelă cu ea trecacircnd prin centrul de
greutate la care se adaugă produsul dintre aria suprafeţei şi pătratul distanţei dintre
cele două axe
Din relaţiile (429) și (430) rezultă de asemenea că momentul de inerţie faţă de o
axă centrală (care trece prin centrul de greutate) este cel mai mic dintre infinitatea de
momente de inerţie obținute faţă de alte axe paralele cu ea
Relaţia (431) arată de asemenea că momentul de inerţie centrifugal faţă de un
sistem de axe oarecare este egal cu momentul de inerţie centrifugal faţă de un sistem
paralele cu el trecacircnd prin centrul de greutate a suprafeţei la care se adaugă produsul
dintre aria suprafeţei şi distanţele dintre axele sistemelor respective
Icircn literatura de specialitate relaţiile (429) (430) şi (431) sunt cunoscute sub
numele de relaţiile lui Steiner
47 Variaţia momentrlor de inerţie faţă de axe rotite
Direcţii principale şi momente de inerţie principale
Fie suprafaţa plană din figura 48 de arie 119860 pe care considerăm o suprafaţă
elementară de arie 119889119860 Pentru sistemul de axe 119911119874119910 se cunosc momentele de inerţie
119868119911 119868119910 119868119911119910 şi vom determina relaţiile de calcul pentru momentele de inerţie afererent unui
sistem de axe 11991111198741199101 rotit cu un unghi faţă de sistemul central
Faţă de sistemul de axe 11991111198741199101 elementul de arie 119889119860 are coordonatele
1199101 = 119875119877 = 119875119876 minus 119877119876 = 119910 ∙ cos 120572 minus 119911 ∙ sin 120572
1199111 = 119873119872 = 119873119875 minus 119875119872 = 119911 ∙ cos 120572 + 119910 ∙ sin 120572 (432)
Fig 47 Variaţia momentelor de inerţie față de axe rotite
Pe baza relaţiilor de calcul ale momentelor de inerţie şi a notaţiilor din figura 42
şi ale relaţiilor (432) momentele de inerţie faţă de sistemul de axe rotit 11991111198741199101 sunt
1198681199111 =119868119911 + 119868119910
2+119868119911 minus 119868119910
2∙ cos 2120572 minus 119868119911119910 ∙ sin 2120572 (433)
1198681199101 =119868119911 + 119868119910
2minus119868119911 minus 119868119910
2∙ cos 2120572 + 119868119911119910 ∙ sin 2120572 (434)
11986811991111199101 =119868119911 minus 119868119910
2∙ sin 2120572 + 119868119911119910 ∙ cos 2120572 (435)
Din relaţiile 433divide435 se observă că icircntre momentele de inerţie axiale şi cele
polare există relaţia
1198681199111 + 1198681199101 = 119868119911 + 119868119910 = 119868119901 (436)
adică suma momentelor de inerţie axiale icircn raport cu orice pereche de axe ortogonale
care trec printr-un pol dat este o constantă şi egală cu momentul de inerţie polar
Prin rotirea sistemului de axe din relaţiile 433divide435 rezultă că momentele de inerţie
variază icircnsă suma lor rămacircne constantă deci există o poziţie a sistemului de axe pentru
care momentele de inerţie au valori extreme maxim respectiv minim
471 Direcţii principale de inerţie
Valoarea unghiului 120572 pentru care momentele de inerţie axiale au valori extreme
este
1205721 =1
2∙ 119886119903119888119905119886119899 (minus
2 ∙ 119868119911119910
119868119911 minus 119868119910) (437)
Poziţia celeilalte direcţii este perpendiculară pe cea dată de unghiul 1205721
Din relaţia (437) se constată că faţă de aceste direcţii rotite pentru care momentele
de inerţie axiale prezintă valori extreme momentul de inerţie centrifugal 11986811991111199101este nul
Atunci se poate afirma că momentele de inerţie axiale au valori extreme icircn raport cu
direcţiile faţă de care momentul de inerţie centrifugal este nul Aceste direcţii se numesc
direcţii principale iar momentele de inerţie faţă de aceste direcţii poartă numele de
momente de inerţie principale
Icircn calculele de rezistenţă interesează icircn mod special poziţia direcţiilor principale
care trec prin centrul de greutate al suprafeţei aşa numitele direcţii principale centrale şi
evident momentele de inerţie principale centrale
Direcţiile principale de inerţie se notează cu 1 respectiv 2 Axa principală 1
corespunde direcţiei faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea maximă iar
axa principală 2 pentru direcţia faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea
minimă
472 Momente de inerţie principale
Momentele de inerţie principale se notează cu litera 119868 la care se pune indicele 1
sau 2 după cum valoarea acestuia este maximă sau minimă deci avem un moment de
inerţie principal 1 (notat 1198681) respectiv moment de inerţie principal 2 (notat 1198682)
Expresiile pentru momentele de inerţie principale sunt
11986812 =119868119911 + 119868119910
2plusmn1
2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)
2+ 4 ∙ (119868119911119910)
2 (438)
Dacă momentul de inerţie centrifugal este negativ (119868119911119910 lt 0) direcţia principală
care trece prin primul cadran (definit de sistemul 119911119862119910) este direcţia principală 120783
Pentru suprafeţele cu cel puţin o axă de simetrie direcţiile centrale 119862119911 119862119910 sunt şi
direcții principale de inerţie și evident momentele de inerţie axiale 119868119911 119868119910 sunt momente
de inerţie principale
48 Caracteristici mecanice ale metalelor
Alegerea materialului pentru confecţionarea unei anumite piese se face şi pe baza
aşa numitelor caracteristici mecanice pe care le prezintă materialul Cunoaşterea acestor
caracteristici mecanice are loc numai pe baza unor icircncercări mecanice care să scoată icircn
evidenţă comportarea materialului icircn condiţii de solicitare
Cea mai utilizată icircncercare icircn urma căreia se pun icircn evidenţă caracteristicile
mecanice ale unui material este icircncercarea la tracţiune
481 Icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general
Icircncercarea la tracţiune a oţelului ca de altfel toate icircncercările de materiale este
standardizată
Icircn cele ce urmează se va prezenta numai partea care interesează strict din punct
de vedere al caracteristicilor mecanice ale oţelului
Epruveta de diametru iniţial 1198890 pentru icircncercarea la tracţiune are o porţiune de
lungime 1198710 numită baza de măsurare pe care se măsoară lungirea acesteia sub acţiunea
solicitării
Icircn funcţie de raportul dintre baza de măsurare 1198710 şi diametrul iniţial 1198890 epruvetele
utilizate pentru icircncercări sunt
epruvete normale (scurte) cacircnd 11987101198890 = 5
epruvete lungi cacircnd 11987101198890 = 10
Icircn timpul icircncercării la diferite valori ale forţei 119865 se măsoară lungirea bazei de
măsurare
∆119871 = 120575 = 119871 minus 1198710 (439)
unde
119871 este dimensiunea bazei de măsurare la un moment dat
Curba forţă-lungire (119865 minus ) icircnregistrată icircn urma icircncercării reprezintă curba
caracteristică la tracţiune
La icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general diagrama caracteristică care se
obţine are forma din figura 48
Curba caracteristică la tracţiune depinde de lungimea bazei de măsurare Pentru
icircnlăturarea acestui neajuns curba caracteristică se reprezintă icircn coordonate şi definite
astfel
120590 =119865
1198600 휀 =
120575
1198710 (440)
unde
1198600 este aria iniţială a secţiunii transversale a epruvetei (icircnainte de solicitare) icircn
zona bazei de măsurare
1198600 =120587 ∙ 1198890
2
4
Deoarece mărimile icircn care se reprezintă curba caracteristică la tracţiune sunt
raportate la aria iniţială a secţiunii transversale (mărimi specifice) curba poartă numele
de curbă caracteristică convenţională la tracţiune
Fig 48 Curba caracteristică convenţională la tracțiune
Pe curba caracteristică convenţională la tracţiune figura 48 se pot stabili o serie
de puncte cărora le corespund mai multe mărimi importante
Ordonata punctului A pacircnă unde curba caracteristică convenţională este linie
dreaptă se numeşte limita de proporţionalitate a materialului 120590119901(1205901) Porţiunea 119874119860 este
zona de proporţionalitate a curbei caracteristice pe acest domeniu este valabilă legea lui
Hooke care exprimă o proporţionalitate icircntre tensiune şi deformaţie specifică
120590 = 119864 ∙ 휀 (441)
unde
119864 = reprezintă panta porţiunii liniare a curbei convenționale caracteristice
la tracțiune Caracteristica de material 119864 se numeşte modul de elasticitate longitudinal
(modulul lui Young)
Ordonata punctului 119861 pacircnă unde materialul se comportă perfect elastic adică
după descărcare icircşi recapătă dimensiunea iniţială 1198710 se numeşte limita de elasticitate
120590119890(119877119890) Icircn realitate nici un material nu are comportare perfect elastică sub acţiunea
solicitărilor el capătă deformaţii permanente (remanente plastice)
După punctul 119861 urmează o porţiune 119861119862119863 icircn care cu toate că icircncărcarea
continuă forţa nu mai creşte avacircnd mici oscilaţii icircn jurul unei valori Se spune că icircn
această porţiune materialul curge iar intervalul 119861119862119863 este un palier de curgere Tensiunea
corespunzătoare palierului de curgere se numeşte limită de curgere aparentă 120590119888(119877119888) Limita de curgere aparentă se calculează cu relaţia
120590119888 =1198651198881198600 (442)
unde
119865119888 reprezintă valoarea forţei icircnregistrată icircn momentul curgerii materialului
După punctul 119863 curba caracteristică are un traseu ascendent pacircnă icircn punctul 119864
Porţiunea 119863119864 este numită zonă de icircntărire (ecruisare) Icircn zona de ecruisare unde se
produc deformaţii plastice semnificative legea lui Hooke nu mai este valabilă La
descărcare relaţia dintre tensiunea şi deformaţia specifică este liniară paralelă cu
porţiunea liniară a curbei caracteristice (dreapta 119872119873)
Deformaţia totală (휀119905) are două componente una elastică (휀119890) şi una plastică (휀119901)
Ordonata punctului 119864 reprezintă rezistenţa de rupere 120590119903(119877119898) a materialului
care se poate calcula cu relaţia
120590119903 = 119877119898 =1198651198981198861199091198600
(443)
unde
119865119898119886119909 reprezintă valoarea maximă a forţei icircnregistrată icircn timpul icircncercării
La atingerea valorii 119865119898119886119909 (punctul 119864) icircntr-un anumit loc al epruvetei secţiunea
icircncepe să se micşoreze (se produce gacirctuirea) continuacircnd pacircnă cacircnd se produce ruperea
totală (punctul 119865)
Dacă după ruperea epruvetei cele două părţi rezultate se aşează cap la cap şi se
măsoară dimensiunea bazei de măsurare 119871119906 (lungimea ultimă) se determină alungirea la
rupere sau lungirea specifică la rupere 휀119903
휀119903 =119871119906 minus 11987101198710
=∆119871
1198710=120575
1198710 (444)
De obicei alungirea se exprimă icircn procente şi se notează cu 119860119899 unde 119899 reprezintă
numărul dat de raportul 11987101198890 (epruvete normale 119899 = 5 epruvete lungi 119899 = 10)
119860119899 =119871119906 minus 11987101198710
∙ 100 [] (445)
Altă mărime care se determină la icircncercarea la tracţiune este gacirctuirea la rupere
(exprimată de obicei icircn procente) şi definită de relaţia
119885 =1198600 minus 1198601199061198600
∙ 100 [] (446)
Mărimile determinate limita de proporţionalitate modulul de elasticitate
longitudinal limita de elasticitate limita de curgere aparentă rezistenţa de rupere
alungirea la rupere şi gacirctuirea la rupere sunt cunoscute ca fiind caracteristici mecanice
ale materialului
Din curba caracteristică convenţională observăm faptul că ruperea (punctul 119865 din
figura 48 se produce la o tensiune mai mică decacirct cea corespunzătoare punctului 119864 Dacă
icircnsă forţa din timpul icircncercării s-ar raporta la aria secţiunii din momentul icircnregistrării
forţei (care este mai mică decacirct cea iniţială 1198600) s-ar obţine aşa numita curbă
caracteristică reală a materialului (traseul 1198741198601198611198621198631198651 din figura 48) La curba
caracteristică reală ruperea se produce icircn punctul 1198651 la o icircncărcare mai mare decacirct cea
corespunzătoare punctului 119864 Icircnseamnă că rezistenţa reală la rupere este mai mare decacirct
rezistenţa la rupere dată de punctul 119864 din diagrama caracteristică convenţională
Dificultatea obţinerii diagramei caracteristice reale faţă de cea a diagramei caracteristice
convenţionale şi considerarea unei rezistenţe la rupere mai mică decacirct a celei reale face
icircn practică utilizarea pe scară mare a diagramei caracteristice convenţionale
Caracteristicile mecanice determinate pe baza curbei caracteristice convenţionale
sunt şi ele caracteristici mecanice convenţionale
Caracteristicile mecanice convenţionale limita de proporţionalitate convenţională
120590119901 limita de elasticitate convenţională 120590119890 limita de curgere convenţională 120590119888 şi rezistenţa
de rupere 120590119903 constituie tensiuni limită pentru un material Pe baza acestor caracteristici
de material se alege valoarea tensiunii admisibile 120590119886 (vezi paragraful 35) pentru
calculele de rezistenţă Cea mai utilizată stare limită pentru stabilirea tensiunii admisibile
120590119886 este limita de curgere convenţională 120590119888
120590119886 =120590119897119894119898119888
=120590119888119888 119904119886119906 120590119886 =
120590119903119888 (447)
Caracteristicile mecanice ale materialului sunt influenţate de o serie de factori
temperatura viteza de solicitare factorii tehnologici iar valorile lor sunt date icircn tabele și
diagrame
Aplicaţie Pentru suprafaţa plană compusă din două dreptunghiuri avacircnd
dimensiunile din figura 49a să se calculeze
a) centrul de greutate al secțiunii compuse 119910119866 119911119866
b) momentele de inerție axiale 119868119911 119868119910 și momentul de inerție centrifugal 119868119911119910
c) razele de inerție 119894119911 119894119910
d) modulele de rezistență 119882119911119898119894119899 119882119911119898119886119909 119882119910119898119894119899 119882119910119898119886119909
e) momentele de inerție principale 1198681 1198682 și direcțiile principale de inerție 1205721
f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 119878119911
Fig 49 Aplicație
Rezolvare Pentru rezolvare vom parcurge următoarele etape
icircmpărțim suprafața compusă icircn două suprafețe simple (dreptunghiuri) notate cu
① și respectiv ② figura 49b
poziționăm centrele de greutate a celor două suprafețe simple ① și respectiv ②
notate cu 1198661 și respectiv 1198662 figura 49c
poziționăm sistemele de axe de coordonate 119911111986611199101 pentru dreptunghiul ① și
119911211986621199102 pentru dreptunghiul ② aflate la intersecția diagonalelor figura 49c
poziționăm sistemele de axe de coordonate 11991101198741199100 ales arbitrar față de care
determinăm poziția centrului de greutate 119866 figura 49c
a) calculăm poziția centrului de greutate folosind relațiile (46) icircn care
1198601 = 6119905 ∙ 119905 = 61199052 1198602 = 4119905 ∙ 119905 = 41199052 119860 = 1198601 + 1198602 = 61199052 + 41199052 = 101199052
iar centrele de greutate 1198661 și respectiv 1198662 au coordonatele (față de sistemul 11991101198741199100)
1198661 1199101 = 3119905 1199111 = 05119905
1198662 1199102 = 051199051199112 = 3119905
cu acestea obținem
119910119866 =1198601 ∙ 1199101 + 1198602 ∙ 1199102
119860=61199052 ∙ 3119905 + 41199052 ∙ 05119905
101199052=201199053
101199052= 2119905
119911119866 =1198601 ∙ 1199111 + 1198602 ∙ 1199112
119860=61199052 ∙ 05119905 + 41199052 ∙ 3119905
101199052=151199053
101199052= 15119905
Poziționăm centrul de greutate 119866 al suprafeței compuse figura 49c
Fig 49 Aplicație
b) pentru determinarea momentelor de inerție axiale 119868119911 119868119910 și a momentului de
inerție centrifugal 119868119910119911 determinăm constantele 1198881 1198882 1198891 1198892 care intervin icircn relația lui
Stainer
1198881 = 1199101 minus 119910119866 = 3119905 minus 2119905 = 119905 1198882 = minus(119910119866 minus 1199102) = minus(2119905 minus 05119905) = minus15119905
1198891 = minus(119911119866 minus 1199111) = minus(15119905 minus 05119905) = minus119905 1198892 = 1199112 minus 119911119892 = 3119905 minus 15119905 = 15119905
Folosind relațiile lui Stainer (429) (430) și (431) calculăm momentele de
inerție axiale și centrifugale față de sistemul central 119911119866119866119910119866
119868119911 =sum(119868119911119894 + 1198881198942 ∙ 119860119894) = 1198681199111 + 1198881
2 ∙ 1198601 + 1198681199112 + 11988822 ∙ 1198602
119868119910 =sum(119868119910119894 + 1198891198942 ∙ 119860119894) = 1198681199101 + 1198891
2 ∙ 1198601 + 1198681199102 + 11988922 ∙ 1198602
119868119911119910 =sum(119868119911119894119910119894 + 119888119894 ∙ 119889119894 ∙ 119860119894) = 11986811991111199101 + 1198881 ∙ 1198891 ∙ 1198601 + 11986811991121199102 + 1198882 ∙ 1198892 ∙ 1198602
1198681199111 = (119887 ∙ ℎ3
12) =
119905 ∙ (6119905)3
12= 181199054 1198681199112 = (
119887 ∙ ℎ3
12) =
4119905 ∙ 1199053
12= 031199054
1198681199101 = (1198873 ∙ ℎ
12) =
1199053 ∙ 6119905
12= 051199054 1198681199102 = (
1198873 ∙ ℎ
12) =
(4119905)3 ∙ 119905
12= 531199054
11986811991111199101 = 11986811991121199102 = 0 deoarece cele două triunghiuri au cel puțin o axă de simetrie
Cu acestea momentele de inerție axiale și momentul de inerție centrifugal devin
119868119911 = 181199054 + 1199052 ∙ 61199052 + 031199054 + (minus15119905)2 ∙ 41199052 = 3331199054
119868119910 = 051199054 + (minus119905)2 ∙ 61199052 + 531199054 + (15119905)2 ∙ 41199052 = 2081199054
119868119911119910 = 0 + 119905 ∙ (minus119905) ∙ 61199052 + 0 + (minus15119905) ∙ (15119905) ∙ 41199052 = minus151199054
c) razele de inerție sau de girație față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910
se calculează cu relațiile (411)
119894119911 = radic119868119911119860= radic
3331199054
101199052= 182119905 119894119910 = radic
119868119910
119860= radic
2081199054
101199052= 144119905
d) modulele de rezistență față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910 se
calculează cu relațiile (412) și (413)
Avacircnd icircn vedere figura 419c obținem
119910119898119886119909 = 6119905 minus 119910119866 = 6119905 minus 2119905 = 4119905 119910119898119894119899 = minus119910119866 = minus2119905
119911119898119886119909 = 5119905 minus 119911119866 = 5119905 minus 15119905 = 35119905 119911119898119894119899 = minus119911119866 = minus15119905
Se obține astfel
119882119911119898119894119899 =119868119911
|119910119898119886119909|=3331199054
4119905= 8331199053
119882119911119898119886119909 =119868119911
|119910119898119894119899|=3331199054
2119905= 16651199053
119882119910119898119894119899 =119868119910
|119911119898119886119909|=2081199054
35119905= 5941199053
119882119910119898119886119909 =119868119910
|119911119898119894119899|=2081199054
15119905= 13871199053
e) momentele de inerție principale 1198681 și respectiv 1198682 se calculează cu relațiile
(438)
11986812 =119868119911 + 119868119910
2plusmn1
2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)
2+ 4 ∙ (119868119911119910)
2=
=3331199054 + 2081199054
2plusmn1
2∙ radic(3331199054 minus 2081199054)2 + 4 ∙ (minus151199054)2 = 27051199054 plusmn 16251199054
De unde obținem
1198681 = 27051199054 + 16251199054 = 4331199054
1198682 = 27051199054 minus 16251199054 = 1081199054
Prima direcție principală de inerție 1 face cu axa centrală 119866119911 unghiul 1205721 dat de
relația (437)
1205721 =1
2∙ arctan (minus
2 ∙ 119868119911119910
119868119911 minus 119868119910) =
1
2∙ arctan [minus
2 ∙ (minus151199054)
3331199054 minus 2081199054] =33 70
Deoarece 1205721 gt 0 rotirea axelor se face acircn sens antiorar acelor de ceasornic figura
49d
Poziția axe principale 2 față de care momentul de inerție are valoarea minimă
1198682 = 119868119898119894119899 este dată de unghiul
1205722 = 1205721 + 900 = 33 70 + 900 = 123 70
f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 se determină cu relația
(45)
1198781199111198602 = 1198602 ∙ 1198882 = 41199052 ∙ (minus15119905) = minus61199053
din sarcini şi reacţiuni este cunoscut sub numele de forţe exterioare Sub acţiunea
forţelor exterioare elementele de rezistenţă trebuie să fie icircn echilibru
Forţele exterioare pot fi clasificate după următoarele criterii
a) după mărimea suprafeţei pe care se aplică
- forțe concentrate aplicate teoretic icircntr-un punct figura 25a
- forțe distribuite uniform sau cu intensitate variabilă icircn lungul barei sau pe o
suprafaţă figura 25bc şi d
- momente concentrate care acţionează icircntr-un punct M sau momente uniform
distribut pe o anumită lungime m
Fig 25 Tipuri de sarcini după mărimea suprafeţei de aplicare
b) după locul de aplicare se deosebesc
- forţe de suprafaţă sau de contur care sunt aplicate din exterior pe suprafaţa
corpurilor şi indică legătura cu piesele icircnvecinate
- forţe masice sau de volum distribuite icircn tot corpul (greutăţi forţe de inerţie
respectiv forţe electromagnetice)
c) după modul de acţiune icircn timp se disting
- forţe statice care se aplică lent şi progresiv pacircnă la valoarea nominală de lucru
şi apoi rămacircn constante figura 26a
- forţe dinamice care rezultă din
aplicarea cu icircntreaga intensitate de la icircnceputul perioadei de solicitare iar apoi forţa se
menţine constantă timp icircndelungat figura 26b (forţe de inerţie)
aplicarea bruscă a sarcinii asupra corpului durata de acţiune a sarcinii fiind mică figura
26c (forţe de şoc)
variaţia periodică icircn timp a intensităţii forţei aplicate figura 26d (forţe de oboseală)
Fig26 Tipuri de forţe exterioare (cicluri de solicitare)
Funcţie de modul de variaţie al forţelor exterioare solicitările pot fi statice
oscilante pulsante alternante etc Experimental s-a constatat că rezistenţa unui material
depinde foarte mult de modul de variaţie a forţelor icircn timp Bach a clasificat solicitările
icircn 3 categorii 1-solicitări statice 2-solicitări pulsante 3-solicitări alternant simetrice
Rezistenţa unui material este icircn raportul 321 pentru cele 3 cazuri de solicitare ale lui
Bach Aceasta icircnseamnă că o piesă solicitată static rezistă la o forţă de 3 ori mai mare
decacirct forţa maximă care produce ruperea aceleaşi piese solicitate alternant simetric
d) după poziţia icircn timp a forțelor se disting
- forţe fixe ale căror puncte de aplicaţie sunt mereu aceleaşi
- forţe mobile ale căror puncte de aplicaţie se deplasează icircn timp De exemplu
sarcinile produse de vehiculele care circulă pe un pod sarcinile unei grinzi de pod rulant
icircntr-o halăetc
24 Reazeme Forțe interioare Eforturi Diagrame de eforturi icircn barele
drepte
241 Reazeme Reacțiuni (forțe de legătură)
Pentru a prelua şi transmite acţiunea sarcinilor exterioare elementele de rezistenţă
din componenţa unei structuri sunt fixate icircntre ele prin intermediul unor legături
exterioare numite reazeme Aceste legături au ca scop icircmpiedicarea anumitor mişcări ale
corpului pe direcţiile pe care acestea nu trebuie să se producă O legătură are deci rolul
de a anula unul sau mai multe grade de libertate ale corpului icircn punctul de rezemare Dacă
este anulat un singur grad de libertate legătura este simplă iar dacă sunt impiedicate mai
multe grade de libertate legătura este una compusă Datorită existenţei sarcinilor
exterioare icircn punctele de rezemare pe direcţiile pe care mişcările sunt icircmpiedicate apar
forţe de legătură numite reacţiuni Numărul natura şi direcţiile reacţiunilor depind de
tipul reazemelor Icircn construcţiile reale există o varietate mare de realizare practică a
reazemelor dar icircn calcule se acceptă anumite schematizări care reţin doar aspectul esenţial
al unui reazem şi anume gradul sau gradele de libertate anulate
Pentru o structură de rezistenţă spaţială icircntr-un punct oarecare sunt posibile şase
deplasări trei deplasări liniare (după direcţiile axelor unui sistem ortogonal) şi trei rotiri
(deplasări unghiulare) icircn jurul aceloraşi axe Ca urmare ar fi posibil de realizat maximum
şase tipuri de reazem
Pentru un element de rezistenţă plan icircncărcat cu eforturi cuprinse icircn planul
elementului icircn orice punct sunt posibile trei gade de libertate două deplasări liniare şi o
rotiri Ca urmare pentru cazul unei bare plane se icircntacirclnesc următoarele tipuri de reazeme
1 Reazemul simplu sau reazemul mobil care icircmpiedică deplasarea pe o direcţie
normală pe suprafaţa de rezemare permiţacircnd deplasarea pe o direcţie paralelă cu
suprafaţa de rezemare şi rotirea barei icircn jurul unei axe perpendiculare pe plan icircn punctul
de rezemare Icircn urma icircmpiedicării deplasării şi datorită unor sarcini exterioare icircn
reazemul simplu apare o reacţiune de tip forţă a cărei suport trece prin punctul de
rezemare şi a cărei direcţie este perpendiculară pe suprafaţa de rezemare figura 27
Fig 27 Reazem simplu (mobil)
Icircn figura 27 este reprezentat un reazem mobil poziţionat pe capătul A al unei bare
plane orizontale fiind evidenţiate punctul şi suprafaţa de rezemare direcţia suportului
reacţiunii şi modul de schematizare al reazemului Cea mai des icircntacirclnită reprezentare a
reazemului mobil este a unui triunghi a cărui bază poate luneca pe suprafaţa de rezemare
2 Reazemul fix sau articulaţia icircmpiedică deplasările liniare după toate direcţiile
din planul barei permiţacircnd doar rotirea barei icircn jurul unei axe perpendiculare pe plan şi
care trece prin puncul de rezemare Reacţiunea este cuprinsă icircn planul barei care trece
prin punctul de rezemare dar a cărei mărime şi direcţie nu sunt cunoscute (forţa R)
figura 28
Fig 28 Reazem fix
Se preferă ca icircn locul unei forţe R avacircnd direcţia oarecare icircn plan necunoscută să
se introducă două forţe (HA şi VA) cărora li se cunoaşte direcţia şi pentru care se vor
determina modulele ca valori din condiţiile de echilibru static Icircntr-un reazem fix apar
icircntotdeauna reacţiuni atacirct pe direcţia perpendiculară pe suprafaţa de rezemare
(verticală) cacirct şi pe direcţia paralelă cu prima (orizontală) chiar dacă uneori una sau
chiar ambele reacţiuni au valoarea zero Reprezentarea schematică a articulaţiei este cea
a unui triunghi cu baza fixă şi cu vacircrful icircn punctul de rezemare sau cea a unui pendul
dublu figura 28
3 Icircncastrarea (sau icircnţepenirea) anulează toate gradele de libertate ale capătului
unei bare icircmpiedicacircnd deplasarea liniară după orice direcţie din plan precum şi rotirea
barei icircn jurul unei axe perpendiculare pe plan şi care trece prin punctul de icircncastrare
Urmare a existenţei sarcinilor exterioare şi a blocării deplasărilor icircn icircncastrare apare o
reacţiune căreia nu i se cunoaşte nici mărimea nici direcţia şi nici punctul de aplicaţie
figura 29
Fig 29 Icircncastrarea
Sub acţiunea forţelor exterioare un sistem este icircn echilibru Valoarea reacţinilor
se determină din condiţia de echilibru a sistemului solicitat
Este cunoscut faptul că un sistem plan este icircn echilibru dacă
nu se deplasează pe o direcţie (fie x această direcţie)
nu se deplasează pe o direcţie perpendiculară pe prima (fie y această direcţie)
nu se roteşte faţă de un punct al planului (fie K acest punct)
Cele trei condiţii enunţate mai sus sunt satisfăcute dacă suma proiecţiilor tuturor
forţelor pe direcţia x respectiv y este nulă şi suma tuturor momentelor (cuplurilor) faţă
de un punct al planului este nulă
242 Forțe interioare Metoda secțiunilor
Icircn vederea calculului de rezistenţă de rigiditate şi de stabilitate a barelor sau a
sistemelor de bare este necesară determinarea forţelor şi momentelor interioare
(eforturilor) care apar icircn secţiunile transversale ale acestora şi datorate icircncărcărilor
exterioare Forțele interioare indică legătura dintre particulele din interiorul corpului şi
se pun icircn evidenţă prin metoda secţiunilor care este un procedeu de raţionament
imaginar propus de Cauchy echivalent cu teoria echilibrului părţilor Conform acestui
raționament bdquodacă un corp solid deformabil este icircn echilibru sub acţiunea unui sistem
generalizat de forţe atunci după secționare fiecare parte a sa va fi icircn echilibru sub
acţiunea forţelor exterioare care-i revin şi a unui sistem de forţe pe care trebuie să-l
introducem icircn secţiunea ce delimitează fiecare parte echivalent cu acţiunea forţelor
aplicate pe partea icircndepărtatărdquo
Problemele care apar la aplicarea metodei secţiunilor sunt
- să pună icircn evidenţă existenţa forţelor interioare mai ales că din ceea ce se ştie o
forţă apare icircn prezenţa a două corpuri ca urmare a principiului acţiunii şi reacţiunii
- să explice modul de distribuţie al forţelor interioare pe secţiune
Considerăm un corp aflat icircn echilibru sub acţiunea unui sistem de forţe exterioare
1 2 3⋯119894 ⋯ 119899minus1 119899 şi presupunem că-l secţionăm cu un plan transversal Q (sau cu
o suprafaţă oarecare) figura 210a Icircn urma secţionării fictive (imaginare) conform
principiului echilibrului părţilor fiecare din cele două părţi obţinute trebuie să fie icircn
echilibru sub acţiunea forţelor exterioare care le revin şi a cacircte unui sistem de forţe
interioare pe care trebuie să-l introducem icircn secţiunile rezultate sistem echivalent cu
acţiunea forţelor exterioare ce acţionează asupra celeilalte părţi Astfel pe partea din
dreapta (notată cu II) delimitată de secţiunea de arie Ad sunt aplicate forţele exterioare
119894 ⋯ 119899minus1 119899 şi un sistem de forţe interioare căruia nu i se cunoaşte decacirct efectul acelaşi
cu cel al forţelor 1 2 3 de pe parea din stacircnga (notată cu I şi delimitată de secţiunea
de arie As) figura 210b Prin metoda secţiunilor am reuşit să punem icircn evidenţă existenţa
forţelor interioare şi să le trecem icircn categoria celor exterioare cărora le putem aplica
relaţiile de echivalenţă şi de echilibru cunoscute din statică Ideal ar fi să cunoaştem
distribuţia şi intensitatea punctuală a acestor forţe pentru că s-ar putea ca icircn anumite
puncte ale secţiunii valoarea forţelor să depăşească limita de rezistenţă (limita de curgere)
a materialului Cunoaşterea distribuţiei punctuale a forţelor interioare nu se poate realiza
decacirct icircn cazuri particulare relativ simple de solicitare
Să considerăm partea din dreapta a corpului asupra căreia acționează forțele
119894 ⋯ 119899minus1 119899 mărginit de aria Ad pe care acționează un sistem de forțe interioare
echivalent cu 1 2 3 Deși forțele interioare de pe Ad nu se cunosc totuși efectul lor
este același cu cel al forțelor 1 2 3 deci le putem reduce icircn centrul de greutate C al
secțiunii Ad rezultacircnd componentele torsorului de reducere al forțelor interioare
(119894119889 119894119889) și pentru partea din stacircnga (119894119904 119894119904) Evident conform principiului acțiunii și
reacțiunii
119894119889 = minus119894119904
119894119889 = minus119894119904 (21)
Pe de altă parte cum fiecare dintre părțile corpului după secționare trebuie să fie
icircn echilibru sub acțiunea forțelor exterioare care le revin și a forțelor interioare introduse
rezultă
119894119889 = minus119890119889
119894119889 = minus119890119889
119894119904 = minus119890119889
119894119904 = minus119890119904 (22)
Combinacircnd (21) cu (22) rezultă
119894119889 = 119890119889
119894119889 = 119890119889
119894119904 = 119890119904
119894119904 = 119890119904 (23)
Fig 210 Forțe interioare
Relațiile (22) și (23) permit determinarea componentelor torsorului de reducere
al forțelor interioare din (23) rezultă componentele torsorului forțelor interioare care
acționează icircn secțiunea Ad sunt egale cu componentele torsorului de reducere al forțelor
exterioare de pe partea din stacircnga din (22) rezultă componentele torsorului forțelor
interioare care acționează icircn secțiunea Ad sunt egale și de sens contrar cu componentele
torsorului de reducere al forțelor exterioare de pe partea din dreapta
Observații
1 Torsorul forțelor interioare diferă de la o secțiune la alta dar pentru aceeași
secțiune el este unic și trebuie să respecte condițiile de compatibilitate a deformațiilor
2 Reducacircnd forțele interioare icircn centrul de greutate al secțiunii s-a făcut o
aproximare icircn ceea ce privește efectul modului de dispunere al forțelor
3 Punctul de reducere trebuie să fie
pentru forțele interioare normale la secțiune centrul de greutate
pentru forțele interioare tangente la planul secțiunii centrul de răsucire sau de
tăiere
243 Eforturi
Prin metoda secțiunilor am pus icircn evidență existența forțelor interioare și modul
icircn care se determină componentele torsorului de reducere al forțelor interioare (119894119889 119894119889) de pe fața din dreapta secțiunii (Ad) Cele două componente ale torsorului de reducere al
forțelor interioare de pe Ad se pot descompune după axele unui sistem de referință
triortogonal xCyz astfel
119894119889 = +
119894119889 = 119909 +119872119894 (24)
unde și 119909 sunt proiecțiile lui 119894119889 și respectiv 119894119889 pe axa longitudinală Cx a
barei iar și 119894 sunt proiecțiile acelorași componente 119894119889 și respectiv 119894119889 pe planul yCz
al secțiunii transversale Ad figura 211
Fig 211 Torsorul de reducere al forţelor interioare
La racircndul lor și 119894 se pot descompune după axele sistemului yCz figura 212
= 119910 + 119911
119894 = 119894119910 + 119894119911 (25)
Fig 212 Descompunerea forţei tăietoare şi a momentului icircncovoietor
Cele șase componente ale torsorului de reducere al forțelor interioare ( 119910 119911
119909 119894119910 119894119911) orientate după axele sistemului de referință xCyz se numesc eforturi
Fiecare efort are o denumire stabilită icircn funcție de tipul de deformație pe care-l produce
De asemenea semnul plus (bdquo+rdquo) sau minus (bdquondashrdquo) al fiecărui efort nu depinde de sensul
pozitiv sau negativ al sistemului de axe ci doar de efectul icircn deformații al fiecărui efort
Denumirile celor șase eforturi sunt
119873 este forța axială
119879119910 119879119911 sunt forțe tăietoare orientate după axele Cy și respectiv Cz
119872119909 notat de cele mai multe ori cu 119872119905 este moment de torsiune sau de răsucire
119872119894119911 119872119894119910 sunt momente de icircncovoiere icircn jurul axei Cz și respectiv Cy
Forța axială 119873 poate fi forță axială de icircntindere cacircnd produce o lungire a
tronsonului pe a cărei față acționează (119873 gt 0) figura 213a sau forță axială de
compresiune cacircnd sub efectul ei bara se scurtează (119873 lt 0) figura 213b
Fig 213 Forța axială
Forțele tăietoare 119879119910 și 119879119911 au ca efect lunecarea secțiunii icircn centrul căreia
acționează icircn raport cu secțiunea icircnvecinată lunecare ce se produce pe direcția și icircn sensul
forței Sub acțiunea unei forțe tăietoare bara este solicitată la forfecare Forța tăietoare
este pozitivă 119879119910 gt 0 dacă icircn raport cu un punct oarecare K de pe axa Cx a barei tinde să
rotească secțiunea pe care acționează icircn sens orar
Fig 214 Forța tăietoare
Momentele de icircncovoiere 119872119894119911 și 119872119894119910 au ca efect o rotire a secțiunii icircn centrul
cărora acționează icircn jurul axei după care sunt orientate Icircn figura 215a se vede că
datorită momentului 119872119894119911 fibrele de deasupra axei Cz se alungesc icircn timp ce fibrele de sub
axa Cz se scurtează Fibrele care trec prin axa de icircncovoiere Cz nu se deformează sunt
fibre neutre la icircncovoiere adică axa neutră este Cz Icircn cazul momentului de icircncovoiere
119872119894119910 fibrele care nu se deformează sunt cele care trec prin axa neutră la icircncovoiere Cy
Momentele de icircncovoiere se consideră a fi pozitive (119872119894119911 gt 0119872119894119910 gt 0) dacă
observatorul care privește bara deformată vizualizează fibrele icircntinse
Fig 215 Momentul icircncovoietor
Momentul de torsiune sau de răsucire 119872119909 equiv 119872119905 are ca efect o rotire a secțiunii
icircn al cărei centru acționează icircn jurul axei longitudinale Cx Ca efect secțiunea icircși schimbă
forma (se deformează) adică unghiurile inițiale se modifică dreptunghiul inițial Ad
devine paralelogram Convențional se consideră 119872119905 gt 0 dacă vectorul moment are
aceeași orientare ca și sensul pozitiv ales pextru axa Cx Icircn figura 216 momentul este
negativ
Fig 216 Momentul de torsiune
25 Definiții și convenții de semne pentru eforturile
din secțiunile unei bare drepte plane icircncărcate cu sarcini coplanare
Vom considera o bară plană icircncărcată cu un sistem de forțe arbitrar figura 217
Ne propunem să determinăm eforturile care apar icircn secțiunea barei aflată la distanța 119909 de
reazemul din stacircnga (A)
Pentru aceasta vom aplica metoda secțiunilor vom secționa bara cu un plan
perpendicular pe axa longitudinală a barei și vom analiza doar partea din dreapta secțiunii
mărginită de fața Ad Pentru ca această porțiune de bară să fie icircn echilibru sub acțiunea
forțelor exterioare care acționează asupra sa 1198653 și 119881119861 va trebui să introducem icircn centrul
secțiunii Ad eforturile care pot să apară 119873 119879119910 119872119894119911 Acțiunea acestor eforturi trebuie să
fie echivalentă cu acțiunea forțelor exterioare aplicate pe partea icircnlăturată (parcursă) a
barei 119867119860 119881119860 1198651 1198652 1198720
Deoarece bara este plană și este icircncărcată doar cu sarcini ce aparțin
planului barei
icircn secțiunea Ad apar doar 3 componente ale torsorului de reducere al forțelor
interioare (eforturi)
- 119873 = forța axială
- 119879119910 = forța tăietoare pe care o vom nota cu 119879
- 119872119894119911 = momentul icircncovoietor notat cu Mi
Fig 217 Bară plană icircncărcată cu un sistem de forțe
Vom prezenta următoarele definiții corespunzătoare eforturilor din secțiunea Ad
119873 = forța axială dintr-o secțiune este egală cu suma algebrică a proiecțiilor pe
axa longitudinală a tuturor forțelor exterioare (sarcini și reacțiuni) aplicate pe partea
din stacircnga secțiunii adică pe porțiunea parcursă Forța axială 119873 este pozitivă dacă trage
de tronsonul pe a cărei față acționează (are orientarea normalei exterioare la secțiunea
Ad)
119873(119909) = minus119867119860 + 1198651119867 (26)
119879 = forța tăietoare icircntr-o secțiune este egală cu suma algebrică a proiecțiilor
pe o axă perpendiculară pe axa barei a tuturor forțelor exterioare (sarcini și reacțiuni)
aplicate pe porțiunea de bară aflată icircn stacircnga secțiunii considerate Forța tăietoare 119879
este pozitivă dacă tinde să rotească tronsonul pe a cărui față acționează icircn sens orar icircn
raport cu un punct de pe axa barei aflat la dreapta secțiunii
119879(119909) = 119881119860 minus 1198651119881 minus 1198652 (27)
119872119894 = momentul icircncovoietor icircntr-o secțiune este egal cu suma algebrică a
momentelor obținute prin reducerea tuturor forțelor exterioare ( cupluri sarcini
reacțiuni) aplicate pe porțiunea de bară aflată la stacircnga secțiunii icircn centrul secțiunii
considerate 119872119894 este considerat pozitiv dacă tinde să deformeze bara astfel icircncacirct fibrele
spre care privește un observator să fie icircntinse Cum poziția observatorului este de regulă
sub bară bara se deformează dacă 119872119894 gt 0 astfel icircncacirct partea jos a barei este icircntinsă Se
spune că bara deformată rdquoține apaldquo
119872119894(119909) = 119881119860 ∙ 119909 minus 1198651119881 ∙ (119909 minus 1198971) minus 1198652 ∙ [119909 minus (1198971 + 1198972)] + 1198720 (28)
Sensurile pozitive ale eforturilor care apar icircn centrul secțiunii Ad (deci atunci cacircnd
sensul de parcurs la aplicarea metodei secțiunilor este cel de la stacircnga la dreapta) sunt
indicate icircn figura 218a iar dacă sensul de parcurs este de la dreapta la stacircnga sensurile
pozitive ale eforturilor sunt indicate icircn figura 218b
Fig 218 Convenţia de semne
Definiții asemănătoare se pot da și pentru eforturile din centrul secțiunii As figura
218b adică pentru cazul icircn care sensul de parcurs este cel de la dreapta la stacircnga și deci
partea luată icircn considerare este cea din stacircnga iar partea parcursă din dreapta secțiunii
este icircnlăturată
119873(1199091) = 1198653119867
119879(1199091) = 1198653119881 minus 119881119861
119872119894(1199091) = 119881119861 ∙ 1199091 minus 1198653119881 ∙ (1199091 minus 1198975)
(29)
Avacircnd icircn vedere că fețele Ad și As aparțin aceleeași secțiuni este evident faptul că
eforturile 119873(119909) 119879(119909) și 119872119894(119909) sunt identice cu eforturile 119873(119961120783) 119879(119961120783) și respectiv
119872119894(119961120783) Icircn figura 218c se prezintă o sinteză a convențiilor de semne pozitive pentru cele
3 eforturi atacirct pentru sensul de parcurs de la stacircnga la dreapta (secțiunea Ad) cacirct și pentru
sensul invers (secțiunea As)
Semnele eforturilor sunt importante icircntrucacirct există materiale cu comportări diferite
la icircntindere față de compresiune iar o schimbare a semnului unui efort poate produce
erori grave icircn calcule Semnele eforturilor au fost stabilite icircn funcție de deformațiile
produse și nu depind de sensul axelor sistemului de coordonate
26 Relaţii diferenţiale icircntre eforturi şi sarcini
Pentru a vedea ce legătură există icircntre eforturi și sarcini vom considera o bară
dreaptă icircncărcată cu o sarcină distribuită după o lege oarecare figura 219a Din această
bară vom decupa prin dublă secționare un element de lungime infinit mică 119889119909 Deoarece
lungimea 119889119909 este foarte mică se poate considera sarcina 119901 uniform distribuită Icircn
secțiunile rezultate trebuie să introducem eforturile care pot apărea
- 119879 şi 119872119894 icircn centrul secțiunii din sticircnga eforturi pe care le considerăm pozitive
- 119879 + 119889119879 şi 119872119894 + 119889119872119894 icircn centrul secțiunii din dreapta elementului
Aceste eforturi au o variație mică (119889119879 şi 119889119872119894) față de secțiunea anterioară Spre
deosebire de cazul icircn care bara este secționată o singură dată icircn acest caz eforturile nu
pot fi determinate din cele 2 condiții de echilibru independente deoarece icircn ecuațiile de
echilibru apar 4 necunoscute 119879 119889119879119872119894 și 119889119872119894 deci că problema este dublu static
nedeterminată figura 219
Fig 219 Echivalența icircntre eforturi și sarcini
Ecuațiile de echilibru scrise pentru elementul din figura 219b conduc la stabilirea
unor relaţii foarte importante
(sum119865)119910= 0 hArr 119879 minus 119901 ∙ 119889119909 minus (119879 + 119889119879) = 0 rArr
119889119879
119889119909= minus119901 (210)
Relația (210) arată că derivata funcţiei forţei tăietoare icircn raport cu abscisa
secţiunii este egală cu sarcina distribuită normală la axa barei din acea secţiune luată
cu semn schimbat
Observații
dacă 119901 = 0 nu există sarcină distribuită atunci forța tăietoare T este constantă
icircnclinarea pantei diagramei forței 119879 este egală cu (ndash 119901) (sarcina distribuită cu
semn schimbat)
dacă 119901 = 119888119900119899119904119905 119879 variază liniar pe acel interval
Asemănător se deduce că derivata funcţiei forţei axiale icircn raport cu abscisa
secţiunii este egală cu sarcina distribuită axială din acea secţiune luată cu semn
schimbat adică
119889119873
119889119909= minus119901119867 (211)
Din condiția de echilibru suma de momente faţă de centrul de greutate al secţiunii
din dreapta
(sum119872)119862= 0 hArr 119872119894 minus (119872 + 119889119872119894) + 119879 ∙ 119889119909 minus 119901 ∙
(119889119909)2
2= 0 rArr
119889119872119894
119889119909= 119879 (212)
Relația (212) s-a obținut dupa reducerea termenilor și prin neglijarea infinitului
mic de ordinul 2
119901 ∙(119889119909)2
2
Relația (212) arată că derivata funcţiei moment icircncovoietor icircn raport cu abscisa
secţiunii este egală cu forţa tăietoare din acea secţiune
Observații
dacă 119879 = 0 momentul 119872119894 are un punct de extrem se obține o valoare maximă
pentru 119872119894119898119886119909 dacă forța tăietoare 119879 se anulează trecacircnd de la plus icircn stacircnga la minus icircn
dreapta secțiunii
dacă forța tăietoare este pozitivă pe un interval 119879 gt 0 atunci 119872119894 este crescătoare
pe acel interval
dacă forța tăietoare este negativă pe un interval 119879 lt 0 atunci 119872119894 este
descrescătoare pe acel interval
dacă pe un interval 119901 = 0 forța tăietoare este constantă 119879 = 119888119905 iar 119872119894 variază
liniar pe acel interval
dacă 119901 = 119888119900119899119904119905 119879 variază liniar pe acel interval iar 119872119894 variază parabolic pe
acel interval
Relaţiile diferenţiale sunt utile la reprezentarea corectă şi verificarea diagramelor
de eforturi astfel
pentru porţiunile de grindă pe care p = 0 eforturile N şi T sunt constante iar pe
porţiunile cu p = const eforturile N şi T variază liniar (relaţiile 211 şi 210)
dacă pe o porţiune T = const momentul icircncovoietor Miz variază liniar iar dacă
T variază liniar atunci momentul Miz variază parabolic (relaţia 212)
pe domeniile pe care T gt 0 funcţia Mi(x) este crescătoare iar icircn secţiunea icircn
care T = 0 (graficul funcţiei T intersectează axa x) momentul icircncovoietor are un punct
de extrem local (maxim sau minim relaţia 212)
Pentru rezolvarea problemelor referitoare la trasarea diagramelor de eforturi
pentru barele drepte solicitate de sisteme de forţe plane se parcurg următoarele etape
1) identificarea forţelor aplicate (date) şi pregătirea lor pentru calcule
(descompunerea forţelor concentrate pe direcţiile x şi y calculul rezultantelor forţelor
distribuite)
2) identificarea reazemelor şi introducerea reacţiunilor corespunzătoare (vezi
figurile 27divide29)
3) stabilirea ecuaţiilor de echilibru static calculul şi verificarea reacţiunilor Icircn
rezistența materialelor se folosește sistemul de ecuații (vezi figura 217)
(sum119865)
119909= 0
(sum119872)119860= 0
(sum119872)119861= 0
(213)
4) identificarea domeniilor de variaţie şi scrierea funcţiilor de eforturi pentru N T
şi Mi
5) reprezentarea grafică a diagramelor de eforturi
6) verificarea corectitudinii diagramelor pe baza relaţiilor diferenţiale icircntre eforturi
şi sarcini
Aplicație Pentru grinda dreaptă icircncărcată cu sistemul de forţe reprezentat icircn figura
220 se cere
a) să se calculeze şi să se verifice reacţiunile
b) să se stabilească funcţiile eforturilor Nx Ty şi Miz şi să se reprezinte diagramele
de variaţie
c) să se analizeze relaţiile diferenţiale icircntre eforturi şi sarcini
Dimensiunile grinzii au valorile a = 6 [m] b = 4 [m] și c = 4[m] sistemul de
forţe aplicat fiind format din p = 10 [kN mfrasl ] F = 20 [kN] (icircnclinată cu unghiul α =300 faţă de orizontală) şi M0 = 40 [kN ∙ m]
Rezolvare
a) Se fac următoarele precizări
grinda dreaptă se reprezintă prin axa geometrică
forţa icircnclinată F se descompune după direcţiile orizontală şi verticală icircn FV =F ∙ sin α = 10 [kN] şi FH = F ∙ cos α = 173 [kN]
forţa distribuită uniform p este echivalentă din punct de vedere static cu
rezultanta sa R = p ∙ a = 60 [kN] care acţionează la jumătatea porţiunii de lungime a
icircn reazemele 119860 şi 119861 se introduc componentele HA şi VA respectiv VB ale
reacţiunilor
Pentru calculul reacţiunilor se utilizează ecuaţiile de echilibru static al grinzii
sumXi = 0 HA minus FH = 0 sumYi = 0 VA + VB minus R minus FV = 0 (sumM)B = 0 VA ∙ (b + a) minus R ∙ (b + 05 ∙ a) minus M0 + FV ∙ c = 0
(A1)
Din prima ecuaţie se obţine HA iar din cea de-a treia ecuaţie rezultă VA
HA = FH = 173 [kN]
VA =[R ∙ (b + 05 ∙ a) + M0 minus FV ∙ c]
(b + a)=[60 ∙ (4 + 05 ∙ 6) + 40 minus 10 ∙ 4]
(4 + 6)
VA = 42 [kN]
(A2)
Fig 220 Aplicație
Se observă că cea de-a doua ecuaţie de echilibru conţine două necunoscute
reacţiunile VA şi VB Pentru a calcula componenta VB nu este indicată introducerea lui VA
icircn cea de-a doua ecuaţie a sistemului (A1) pentru că o valoare determinată greşit pentru
VA conduce la o valoare VB de asemenea greşită O ecuaţie independentă din care se poate
determina componenta VB este următoarea
(sumM)A= 0 FV ∙ (a + b + c) minus VB ∙ (a + b) minus M0 + R ∙ 05 ∙ a = 0 (A3)
de unde se obţine
VB =[FV ∙ (a + b + c) minusM0 + R ∙ 05 ∙ a]
(b + a)=[10 ∙ (6 + 4 + 4) minus 40 + 60 ∙ 05 ∙ 6]
(6 + 4)
VB = 28 [kN] (A4)
Ecuaţia de proiecţii ale forţelor pe direcţia verticală (a doua ecuaţie din sistemul
A1) se utilizează pentru verificarea reacţiunilor deja determinate
VA + VB minus R minus FV = 0 rArr 42 + 28 minus 60 minus 10 = 0 (A5)
Ultima egalitate demonstrează că reacţiunile verticale au fost calculate corect
Din cele de mai sus rezultă ordinea firească pentru determinarea reacţiunilor icircn
cazul grinzilor simplu rezemate
sumXi = 0
(sumM)A = 0
(sumM)B = 0
(A6)
iar pentru verificarea componentelor verticale VA şi VB se folosește ecuaţia sumY = 0
b) La stabilirea funcţiilor de eforturi se parcurg icircn general etapele următoare
se notează (numeric sau literal după preferinţă) secţiunile care delimitează
domeniile (intervalele sau tronsoanele) pe care eforturile nu-şi modifică funcţiile (au legi
unice de variaţie)
pe fiecare domeniu se marchează secţiunea imaginară icircn care se stabilesc
funcţiile eforturilor
secţiunea astfel aleasă separă icircn două părţi grinda şi anume porţiunea din stacircnga
şi porţiunea din dreapta secţiunii
se va considera parcursă (şi icircndepărtată) acea parte pe care acţionează mai puţine
sarcini exterioare pentru că acestea vor interveni icircn expresiile funcţiilor de eforturi
poziţiile secţiunilor imaginare se vor determina prin variabilele x1 ⋯ xn (unde
n reprezintă numărul domeniilor de variaţie) cu originea fixată icircn capătul intervalului şi
sensul de parcurgere spre partea considerată rămasă
Grinda prezentată icircn figura 220 are trei domenii de variaţie pentru funcţiile de
eforturi după cum urmează (A-1) (2-B) şi (B-1)
Domeniul (A-1) x1 isin [0 a = 6 m] Porţiunea parcursă şi considerată icircndepărtată este cea de coordonată x1 pe care
acţionează reacţiunile HA şi VA precum şi rezultanta parţială a sarcinii distribuite R1 =p ∙ x1
Funcţia forţă axială Nx are expresia
Nx(x1) = NAminus1 = minusHA = minus173 [kN] = const
(A7)
Funcţia forţă tăietoare Ty are exspresia
Ty(x1) = TAminus1 = VA minus R1 = VA minus p ∙ x1 (A8)
care reprezintă o variaţie liniară de variabilă x1 Se calculează valorile forţei tăietoare la
limitele intervalului de variaţie
- pentru x1 = 0 Ty(x1 = 0) = TA = VA = 42 [kN]
- pentru x1 = a = 6 [m] Ty(x1 = 6) = T1 = VA minus p ∙ a = minus18 [kN]
Observaţie Aşa cum a fost stabilită secţiunea fictivă poziţionată prin coordonata
x1 sar părea că rezultanta R ar trebui luată icircn calculul lui Ty(x1) Acest lucru ar fi greşit
pentru că R = p ∙ a reprezintă rezultanta sarcinii distribuite pe toată lungimea a iar
rezultanta pe porţiunea parcursă de lungime x1 este R1 = p ∙ x1 ne R = p ∙ a
Cu valorile obţinute se trasează diagramele forţelor axială Nx = f(x) şi tăietoare
Ty = f(x) figura 220 Din diagrama forţei tăietoare şi din valorile obţinute analitic se
observă că forţa tăietoare icircşi schimbă semnul pe intervalul analizat deci se anulează pe
acest interval Poziţia secţiunii unde Ty se anulează se determină din ecuaţia
Ty(x1) = 0 rArr VA minus p ∙ x1 = 0 (A9)
cu soluţia x1lowast = ξ = 42 [m] Important de reamintit că icircn această secţiune momentul
icircncovoietor va avea un extrem local adică Miz are un extrem la Ty = 0
Funcţia moment icircncovoietor Miz are expresia
Miz(x1) = VA ∙ x1 minus R1 ∙x12= VA ∙ x1 minus (p ∙ x1) ∙
x12
(A10)
Se observă că funcţia moment icircncovoietor de variabilă x1 are o variaţie parabolică
(gradul al II-lea) Pentru reprezentarea grafică a funcţiei parabolice se calculează valorile
momentului icircncovoietor icircn trei secţiuni
- pentru x1 = 0 Miz(x1 = 0) = MA = 0 [kN ∙ m] - pentru x1 = a = 6 [m] Miz(x1 = 6) = M1 = 72 [kN ∙ m] - pentru x1
lowast = ξ = 42 [m] Miz(x1lowast = ξ = 42 [m]) = Mimax = 882 [kN ∙ m]
Cu acestea se trasează diagrama Miz = f(x) pe intervalul (A-1) figura 220
Observaţie Icircn unele cazuri pe un anumit interval forţa tăietoare nu se anulează
şi momentul icircncovoietor nu are un extrem local Icircn acest caz pentru reprezentarea
variaţiei parabolice a momentului icircncovoietor se va studia semnul derivatei a doua a
funcţiei Miz = f(x1) acesta determinacircnd convexitatea curbei momentului icircncovoietor
Domeniul (2-B) x2 isin [0 c = 4 m] Porţiunile din grindă libere (nerezemate) la un capăt se numesc console iar
stabilirea funcţiilor de eforturi devine mai simplă dacă se consideră icircndepărtată partea din
dreapta secţiunii prin schimbarea sensului pozitiv al axei x Astfel se obţin funcţiile eforturilor
Funcţia forţă axială Nx are expresia
Nx(x2) = N2minusB = minusFH = minus173 [kN] = const
(A11)
Funcţia forţă tăietoare Ty are exspresia
Ty(x2) = T2minusB = FV = 10 [kN] = const (A12)
Funcţia moment icircncovoietor Miz are expresia
Miz(x2) = minusFV ∙ x2 rArr Miz(x2 = 0) = M2 = 0 [kN ∙ m]
Miz(x2 = 4) = MB = minus40 [kN ∙ m] (A13)
variaţie liniară (gradul I)
Domeniul (B-1) x3 isin [0 b = 4 m] Pe acest domeniu se acceptă parcurgerea grinzii de la dreapta adică se consideră
icircndepărtată partea din dreapta secţiunii fictive pentru că are doar două sarcini aplicate F
şi VB faţă de partea din stacircnga secţiunii pe care sunt aplicate trei sarcini p VA şi M0
Astfel se obţin funcţiile eforturilor
Funcţia forţă axială Nx are expresia
Nx(x3) = NBminus1 = minusFH = minus173 [kN] = const
(A14)
Funcţia forţă tăietoare Ty are exspresia
Ty(x3) = TBminus1 = FV minus VB = minus18 [kN] = const (A15)
Funcţia moment icircncovoietor Miz are expresia
Miz(x3) = minusFV ∙ (x3 + c) + VB ∙ x3 rArr
rArr Miz(x3 = 0) = MB = minus40 [kN ∙ m]
Miz(x3 = 4) = M1 = 32 [kN ∙ m]
(A16)
variaţie liniară (gradul I)
Diagramele eforturilor sunt prezentate icircn figura 220
c) Relaţiile diferenţiale dintre eforturi şi sarcini se analizează pe diagramele
eforturilor după cum urmează
sarcina distribuită nu are componentă orizontală adică ph = 0 şi icircn
conformitate cu formula (211) rezultă că Nx = const pe toată lungimea grinzii fapt care
a rezultat din funcţia şi reprezentarea diagramei forţei axiale
pe intervalul (A-1) sarcina distribuită are doar componenta verticală pozitivă
pV = p gt 0 prin urmare forţa tăietoare scade (are panta negativă dTy 119889119909frasl = minusp vezi
relaţia 210) iar momentul icircncovoietor avacircnd derivata a doua negativă d2M119894119911 1198891199092frasl =minuspare convexitatea curbei orientată spre sensul pozitiv al axei momentului Miz adică icircn
jos
pe domeniile (2-B) şi (B-1) deoarece pv = 0 forţa tăietoare Ty este constantă
iar momentul icircncovoietor Miz variază liniar
referitor la relaţia (212) pe porţiunile unde Ty gt 0 momentul Miz este
monoton crescător pe porţiunile unde Ty lt 0 momentul Miz este monoton descrescător
iar icircn secţiunea icircn care Ty = 0 momentul icircncovoietor are un extrem local Mξ =
882 [kN ∙ m] icircn diagrama forţei tăietoare discontinuităţile (salturile) se produc icircn secţiunile
unde acţionează VA VB şi FV iar icircn diagrama momentului icircncovoietor se produce un
singur salt icircn secţiunea icircn care este aplicat M0
se poate scrie
Mξ = suprafața diagramei Ty |ξ0=1
2∙ 42 ∙ 42 = 882 [kN ∙ m]
sau parcurgacircnd grinda de la dreapta la stacircnga rezultă
MB = minussuprafața diagramei Ty |c0= minus10 ∙ 4 = minus40 [kN ∙ m]
Toate aspectele analizate teoretic referitoare la relaţiile diferenţiale dintre eforturi
şi sarcini se regăsesc icircn diagramele de eforturi din figura 220 ceea ce icircnseamnă că
diagramele au fost reprezentate corect
3 TENSIUNI DEPLASĂRI ŞI DEFORMAŢII SPECIFICE
31 Tensiuni
Eforturile obținute icircn urma reducerii forțelor interioare icircn centrul de greutate al
secțiunii nu pot da informații asupra solicitării fiecărui punct al secțiunii respective Este
necesar să se cunoască modul cum se distribuie forțele interioare icircn fiecare punct al
secțiunii pentru a ști care este intensitatea maximă a solicitării Această intensitate
maximă se poate compara cu o valoare critică specifică materialului stabilindu-se astfel
dacă solicitarea este periculoasă sau nu
Mărimea care caracterizează solicitarea locală punctuală o vom denumi tensiune
și o vom defini icircn cele ce urmează Să considerăm partea din dreapta a unui corp solicitat
de forțele exterioare 1198651 1198652 și 1198653 obținută prin secționarea corpului și mărginită de fața
din dreapta Ad a secțiunii Pe secțiunea Ad vom considera un element de arie infinit mic
∆119860 caracterizat de normala la elementul de arie normală care are cosinușii directori
120573 și icircn raport cu un sistem de axe considerat fix Pe elementul infinit mic ∆119860 acționează
forțele interioare care au o rezultantă oarecare figura 31
Prin definiție tensiunea totală este
= lim∆119860rarr0
∆
∆119860 (31)
Tensiunea are aceeaşi direcţie cu forţa elementară ∆ iar mărimea ei este
determinată atacirct de mărimea forţei ∆ cacirct şi de orientarea suprafeţei ∆119860 faţă de direcţia
forţei
Tensiunea 119901 poate fi descompusă icircntr-o componentă orientată după direcţia
normalei la secţiune tensiunea normală notată cu 120590119909 şi o componentă icircn planul secţiunii
tensiunea tangenţială notată cu figura 32
= 119909 + 120591 (32)
Fig 31 Tensiunea totală Fig 32 Tensiunea normală și tangențială
La racircndul ei componenta tensiunii cuprinsă icircn planul secțiunii poate fi
descompusă după direcțiile axelor y și z
120591 = 120591119909119910 + 120591119909119911 (33)
Icircntre cele trei componente ale tensiunii totale care acționează pe elementul de arie
∆119860 este valabilă relația
1199012 = 1205901199092 + 120591119909119910
2 + 1205911199091199112 (34)
După sensul pe care icircl are tensiunea normală 120590 poate avea efect de tracţiune sau
de compresiune exercitat de către partea de corp icircnlăturată asupra părţii rămase Analog
tensiunea tangenţială 120591 poate avea efect de tăiere forfecare sau alunecare Pentru
componentele tensiunii tangențiale 120591119909119910 pe direcţia 119910 respectiv 120591119909119911 pe direcţia 119911 primul
indice indică axa pe care tensiunea este normală iar cel de-al doilea indice indică axa cu
care aceasta este paralel
Tensiunea este o mărime tensorială valoarea ei depinzacircnd atacirct de poziția
punctului icircn planul secțiunii cicirct și de orientarea planului de secționare deci de normala
Operaţiile vectoriale nu pot fi aplicate tensiunilor decacirct după ce acestea au fost icircnmulţite
cu ariile respective adică au fost transformate icircn forţe
Icircn literatura de specialitate mai ales icircn manualele mai vechi pentru noţiunea de
tensiune se mai foloseşte şi denumirea de efort specific
Dacă se consideră un alt element de arie ∆119860 cu centrul icircn același punct avacircnd ca
normală axa 119910 se vor obține alte tensiuni și anume
- 120590119910 este tensiunea normală (paralelă cu axa y)
- 120591119911119909 și 120591119910119911 sunt tensiuni tangențiale paralele cu axele 119909 și respectiv 119911 aflate icircn
planul care are ca normală axa 119910
Dacă icircn jurul unui punct dintr-un corp solicitat se consider un element de volum
infinit mic de forma unui cub icircn cazul cel mai general pe fețele sale vor acționa
tensiunile normale 120590119909 120590119910 și 120590119911 și respectiv tensiunile tangențiale 120591119909119910 120591119909119911 120591119910119909 120591119910119911 120591119911119909
și respectiv 120591119911119910 figura 33 Aceste tensiuni definesc starea de tensiune a punctului
observacircnd faptul că tensorul tensiune are 9 componente Dacă se consideră elementul
de volum finit ca fiind foarte mic se poate presupune că icircn interiorul său nu apar forțe
Ca urmare el va fi icircn echilibru sub acțiunea forțelor elementare produse de tensiunile de
pe fețele sale
Din condiția ca elementul să nu se rotească icircn jurul unor axe care trec prin centrul
său și sunt paralele cu axele sistemului 119909119874119910119911 rezultă
2 ∙ 120591119909119910 ∙ (119889119910 ∙ 119889119911) ∙119889119909
2= 2 ∙ 120591119910119909 ∙ (119889119909 ∙ 119889119911) ∙
119889119910
2 rArr 120591119909119910 = 120591119910119909 (35)
2 ∙ 120591119910119911 ∙ (119889119909 ∙ 119889119911) ∙119889119910
2= 2 ∙ 120591119911119910 ∙ (119889119909 ∙ 119889119910) ∙
119889119911
2 rArr 120591119910119911 = 120591119911119910 (36)
2 ∙ 120591119909119911 ∙ (119889119910 ∙ 119889119911) ∙119889119909
2= 2 ∙ 120591119911119909 ∙ (119889119909 ∙ 119889119910) ∙
119889119911
2 rArr 120591119909119911 = 120591119911119909 (37)
Relațiile (35divide37) 120591119909119910 = 120591119910119909 120591119910119911 = 120591119911119910 120591119909119911 = 120591119911119909 exprimă principiul dualității
tensiunilor tangențiale
Fig 33 Tensiunile normale și tangențiale pe fețele unui cub
Din condiția ca elementul considerat să nu se deplaseze icircn lungul axelor de
coordonate pe fețele opuse acționează aceleași tensiuni normale 120590119909 120590119910 și respectiv 120590119911
Definirea tensorului tensiune este posibilă dacă se cunosc cele 6 componente
independente ale acestuia aflate icircn trei plane perpendicular ce trec prin punctul respectiv
=
120590119909 120591119909119910 120591119909119911120591119910119909 120590119910 120591119910119911120591119911119909 120591119911119910 120590119911
Observaţii
Tensiunile se măsoară icircn [119873 1198982frasl ] (1119873 1198982frasl = 1 119875119886) sau icircn [119872119875119886]
(1 119872119875119886 = 106119875119886 = 106 119873
1198982 1 119872119875119886 = 1
119873
1198981198982)
Starea de tensiune dintr-un punct este considerată cunoscută dacă se cunosc
tensiunile 119901 care acționează pe infinitatea de elemente de suprafață ce trec prin punctual
considerat
Starea de tensiune a unui corp se consider cunoscută dacă se cunosc stările de
tensiune de pe infinitatea de puncte ale corpului considerat
32 Deplasări Deformaţii specifice
321 Deplasări
Aceste noțiuni sunt utile icircn analiza aspectului geometric al problemelor de rezistența
materialelor Deplasările care se analizează sunt cele datorate schimbării formei și
dimensiunilor corpurilor ca urmare a acțiunii forțelor exterioare și nu cele cinematice
posibile pentru solidul rigid care se poate deplasa cu anumită viteză și accelerație
Spre exemplu icircn figura 34a și figura 34b sub acțiunea forței 119865 tronsonul de
bară AB se deformează icircn timp ce tronsonul BC deși punctele sale au deplasări rămacircne
nedeformat (fiind nesolicitat) Toate punctele de pe axele barelor cu excepția celor din
icircncastrare (secțiunile A) au deplasări liniare De cele mai multe ori deformațiile barelor
datorate acțiunii forțelor exterioare se anulează la icircndepărtarea forțelor se spune că
deformațiile sunt elastice Secțiunile transversale ale barei din figura 34a se și rotesc icircn
raport cu pozițiile lor inițiale Spre exemplu secțiunea de căpăt cu centrul icircn C se rotește
cu unghiul
Fig 34 Deformațiile unei grinzi
Oricacirct de complexă ar fi delormația unui corp ea poate fi descrisă de lungiri sau
scurtări și de modificări ale unghiurilor inițiale
Deplasările măsoară schimbarea poziției unui punct al corpului și pot fi liniare
sau unghiulare
Prin deplasare liniară a unui punct se icircnțelege drumul parcurs de acest punct icircn
decursul procesului de deformație după o dreaptă suport dreapta 1198611198611 din figura 34a
Prin deplasare unghiulară se icircnțelege rotirea dintre segmentele de dreaptă
determinate de două puncte ale corpului icircnainte și după deformarea acestuia unghiul
pe care-l fac segmentele 119861119862 și 11986111198621 din figura 34a Această rotire se măsoară prin
unghiul pe care-l fac proiecțiile dreptelor ce conțin cele două segmente icircntr-un sistem
triortogonal
Icircn cazul cel mai general vectorul deplasare liniară se poate descompune icircntr-un
sistem triortogonal icircn trei componente 119906 119907 și 119908 figura 35
Fig 35 Deplasarea liniară
Se consideră acum un corp solid raportat la un sistem de axe ortogonal 119909119874119910119911
figura 35 după deformarea corpului un punct oarecare 119870 al acestuia se deplasează icircn
poziţia 1198701 vectorul 1198701198701 poartă numele de vectorul deplasării totale
Deplasarea totală este suma deplasărilor pe cele trei direcţii ortogonale iar
aceste deplasări se notează astfel
deplasarea pe direcţia 119909 cu ∥ 119874119909
deplasarea pe direcţia 119910 cu ∥ 119874119910
deplasarea pe direcţia 119911 cu ∥ 119874119911
Componentele deplasărilor și formeză matricea deplasărilor liniare 119906119907119908
322 Deformații
Prin deformație icircn general se icircnțelege orice schimbare de formă a unui corp fără
o evaluare cantitativă Icircn Rezistența Materialelor deformația măsoară variația
dimensiunilor geometrice ale corpului considerat din vecinătatea unui punct analog
deplasărilor deformațiile pot fi liniare și unghiulare (lunecări)
Fig 36 Deplasarea liniară
Deformația liniară ∆119897 reprezintă variația lungimii 119897 a unui element liniar al
corpului deformat figura 36 Deformația liniară specifică se definește ca fiind raportul
dintre deformația liniară și lungimea inițială
휀 =∆119897
119897 (38)
unde ∆119897 este lungirea sau scurtarea care este echivalentă cu deformția liniară totală iar
este alungirea
Deformația unghiulară sau lunecarea unui punct 119860 icircn planul 119861119860119862 se definește
prin relația figura 37
120574 = lim119861119860rarr0119862119860rarr0
(119861119860 minus 119861111986011198621 ) (39)
Fig 36 Deformația unghiulară
Schimbacircnd orientarea planului care trece prin 119860 se obțin alte deformații
unghiulare Dacă elementele liniare 119861119860 și 119862119860 sunt inițial perpendiculare deformația 120574 se
numește deformație unghiulară specifică sau lunecare specifică figura 37
Un exemplu de deplasare unghiulară și de deformație unghiulară este prezentat icircn
figura 38 Unghiul este deplasarea unghiulară și măsoară rotirea relativă dintre două
secțiuni aflate la distanța 119897 Unghiul este deformația specifică unghiulară (lunecarea
specifică) din punctul 119870 Aceste deplasări și deformații se obțin icircn urma solicitării barei
de către cele două momente 1198720 egale și de sens contrar
Fig 38 Deplasarea unghiulară
Pentru a analiza starea de deformație din vecinătatea unui punct al unui corp
solicitat complex se decupează din jurul punctului un element de volum mic figura 39a
avacircnd laturile 119889119909 119889119910 și 119889119911 Ca urmare a solicitării laturile acestuia se vor lungi sau
scurta Reprezentarea elementului deformat icircn spațiu este dificilă pentru simplificare
vom analiza doar deformațiile din planul 119909119874119910 Observăm că dimensiunile 119889119909 și 119889119910 s-au
modificat cu valoarea ∆119889119909 respectiv cu ∆119889119910 analog se acceptă și pentru 119889119911 o modificare
de forma ∆119889119911 Astfel se pot defini deformațiile specifice liniare
휀119909 =∆119889119909
119889119909 휀119910 =
∆119889119910
119889119910 휀119911 =
∆119889119911
119889119911 (310)
De cele mai multe ori aceste deformații specifice liniare se pot exprima procentual
și se mai numesc alungiri
Fig 39 Starea de deformație
Icircn figura 39c se vede că unghiul inițial drept dintre muchiile 119889119909 și 119889119910 ale
elementului de volum s-a modificat Se definește deformația specifică unghiulară (sau
lunecarea specifică) mărimea cu care se modifică unghiul inițial drept
120574119909119910 = 120574119909119910prime + 120574119910119909
prime = 120574119910119909120574119910119911 = 120574119910119911
prime + 120574119911119910prime = 120574119911119910
120574119911119909 = 120574119911119909prime + 120574119909119911
prime = 120574119909119911
(311)
Deformațiile 휀119909 휀119910 휀119911 120574119909119910 120574119910119911 120574119911119909 constituie cele șase componente
independente ale tensorului deformațiilor specifice care pot fi scrise de forma
119863 =
휀119909 120574119909119910 120574119909119911120574119910119909 휀119910 120574119910119911120574119911119909 120574119911119910 휀119911
(312)
323 Contracţia transversală
Practica arată că odată cu lungirea unei bare apare o micşorare a mărimii secţiunii
transversale mărime numită contracţie transversală figura 310
Fig 310 Contracția transversală
Contracţia transversală este proporţională cu lungirea specifică coeficientul de
proporţionalitate se notează cu 120599 şi se numeşte coeficient de contracţie transversală sau
coeficientul lui Poisson
La o lungire specifică a barei contracţia transversală este dată de relația
휀119905119903 = 휀119910 = 휀119911 = minus120599 ∙ 휀119909 (313)
Semnul minus bdquo-rdquo arată că cele două mărimi sunt contrare dacă una creşte cealaltă
scade şi invers
Considerăm o bară cilindrică de lungime 119897 şi aria secţiunii transversale 119860 solicitată
la icircntindere axială La un moment dat datorită solicitării lungimea barei devine
[119897 ∙ (1 + 휀)] diametrul devine [119889 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)] iar aria secţiunii transversale devine
[119860 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)2] Dacă volumul barei icircnainte de solicitare a fost (119860 ∙ 119897) după solicitare
acesta devine
119881 + ∆119881 = 119860 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)2 ∙ 119897 ∙ (1 + 휀) =
= 119860 ∙ 119897 ∙ (1 + 휀 minus 2 ∙ 120599 ∙ 휀 minus 2 ∙ 120599 ∙ 휀2 + 1205992 ∙ 휀2 + 1205992 ∙ 휀3) (314)
Deoarece lungirile sunt foarte mici ultimii trei termeni din paranteză fiind infinit mici se pot neglija obţinacircnd
119881 + ∆119881 = 119860 ∙ 119897 + 119860 ∙ 119897 ∙ 휀 ∙ (1 minus 2 ∙ 120599) ⟺ ∆119881 = 휀 ∙ (1 minus 2 ∙ 120599) ∙ 119860 ∙ 119897 (315)
Practica arătă că o astfel de bară solicitată la icircntindere icircşi măreşte volumul deci
∆119881 gt 0 de unde rezultă că
1 minus 2 ∙ 120599 gt 0 rArr 120599 lt 05 (316)
Pentru majoritatea materialelor 120599 = 033 iar pentru materialele care-şi păstrează
volumul constant 120599 = 05
33 Relaţii de echivalenţă icircntre eforturi şi tensiuni
Considerăm un element de suprafață infinit mic 119889119860 situat pe fața de arie (119860) a
secțiunii barei din figura 311 Icircn centrul de greutate 119862 al secțiunii acționează eforturile
119873 119879119910 119879119911 119872119909 119872119894119910 și 119872119894119911 determinate prin metoda secțiunilor
Icircn raport cu un sistem de axe de referință 119909119862119910119911 coordonatele elementului 119889119860 sunt
- 119910 este ordonata elementului de arie 119889119860
- 119911 este abscisa elementului de arie 119889119860
Pe elementul de arie 119889119860 acționează tensiunile
120590119909 tensiunea normală
120591119909119910 și 120591119909119911 tensiuni tangențiale
Dacă se icircnsumează forțele elementare de tipul 120590119909 ∙ 119889119860 120591119909119910 ∙ 119889119860 și 120591119909119911 ∙ 119889119860
va trebui să obținem eforturile 119873 119879119910 și 119879119911
Fig 311 Element de suprafață mic din secțiunea unei bare
Dacă eforturile sunt privite ca forțe exterioare și se scriu ecuațiile de
echilibru ale secțiunii (119860) se vor obține șase relații de echivalență icircntre eforturi și
tensiuni
(sum119883) = 0 rArr int 120590119909 ∙ 119889119860
119860
= 119873 (317)
(sum119884) = 0 rArr int 120591119909119910 ∙ 119889119860
119860
= 119879119910 (318)
(sum119885) = 0 rArr int 120591119909119911 ∙ 119889119860
119860
= 119879119911 (319)
(sum119872)119909= 0 rArr int(120591119909119911 ∙ 119889119860) ∙ 119910
119860
minus int(120591119909119910 ∙ 119889119860) ∙ 119911
119860
= 119872119909 rArr
rArr int(119910 ∙ 120591119909119911 minus 119911 ∙ 120591119909119910) ∙ 119889119860
119860
= 119872119909
(320)
(sum119872)119910= 0 rArr int(120590119909 ∙ 119889119860) ∙ 119911
119860
= 119872119894119910 (321)
(sum119872)119911= 0 rArr int(120590119909 ∙ 119889119860) ∙ 119910
119860
= 119872119894119911 (322)
Cele șase relații de echivalență icircntre eforturi și tensiuni constituie un pas icircnainte
icircn rezolvarea unei probleme de rezistența materialelor Aceste relații vor permite
determinarea tensiunilor maxime
Pentru a rezolva cele 6 relații de echivalență trebuie să se cunoască tensiunile și
ca funcții de punct adică funcții de forma
120590119909 = 120590119909(119909 119910 119911) 120591119909119910 = 120591119909119910(119909 119910 119911) 120591119909119911 = 120591119909119911(119909 119910 119911) (32
3)
Cunoașterea acestor funcții presupune icircnsă analizarea aspectului geometric al
problemei precum și utilizarea unor ipoteze simplificatoare care să permită simplificarea
problemelor
34 Ipoteze de bază icircn rezistenţa materialelor
Depășirea dificultăților legate de interpretarea unor fenomene specifice mecanicii
solidului deformabil a impus acceptarea unor ipoteze care să simplifice fenomenele și să
contribuie la elaborarea unor modele de calcul cicirct mai generale și cacirct mai simple Aceste
ipoteze se referă la structura materialelor şi la comportarea lor sub acţiunea forţelor
exterioare Ipotezele acceptate trebuie să fie icircn deplină concordanţă cu realitatea și să
conducă la rezultate verificate icircn practică
Funcție de aspectele la care se referă ipotezele pot fi
Ipoteze fizice (de material)
Ipoteze de calcul
341 Ipoteze fizice
Se acceptă deoarece teoriile structurale au condus la rezultate care contravin
icircncercărilor experimentale
Ipoteza mediului continuu consideră că orice domeniu elementar al corpului
este ocupat de materie adică nu se acceptă existența unor goluri sau a unor crăpături
microscopice (fisuri) Deși nu corespunde realităţii poate fi acceptată deoarece
dimensiunile corpului sunt mult mai mari decacirct dimensiunile particulelor elemantare Are
avantajul că permite utilizarea proprietăților matematice ale funcțiilor continue pentru
tensiunile și deformațiile din orice punct al corpului Ea este mai apropiată de realitate la
corpurile amorfe şi mai depărtată la cele cristaline dar conduce la rezultate satisfăcătoare
icircn calculele de rezistenţă
Ipoteza nu se poate aplica la corpurile care au goluri tăieturi (multiplu conexe)
pentru unele puncte singulare icircn care tensiunile și deformațiile tind la infinit sau icircn unele
probleme de plasticitate icircn care proprietățile de material au un rol esențial
Ipoteza izotropiei conform acestei ipoteze materialul din care este confecționat
un element de rezistență are aceleași proprietăți după orice direcție un astfel de material
este considerat izotrop Din punct de vedere macroscopic metalele pot fi considerate
izotrope deși la nivel microscopic proprietățile lor diferă de la o direcție cristalografică
la alta Orice conglomerat de cristale poate fi considerat izotrop
Există cazuri cacircnd această ipoteză a izotropiei nu se acceptă
la metalele puternic deformate după o direcție (prin laminare trefilare)
la piesele confecționate din lemn lemnul este anizotrop deoarece proprietățile sale
diferă după două direcții (icircn lungul fibrelor și perpendicular pe această direcție)
Ipoteza omogenității consideră că un corp are aceleași proprietăți icircn orice
punct al său Deși majoritatea materialelor utilizate icircn tehnică sunt eterogene la scară
micro fiind constituite din mai multe faze cu proprietăți diferite la scară macro ele pot
fi considerate omogene Omogenitatea și izotropia sunt proprietăți statistice medii care
nu se condiționează una pe cealaltă Chiar și materialele monofazice pot avea la scară
micro unele segregații care le fac eterogene
Ipoteza elasticităţii perfecte presupune că atacircta timp cacirct solicitările nu
depăşesc anumite limite materialul are o comportare elastică adică icircşi recapătă forma şi
dimensiunile iniţiale odată cu icircnlăturarea sarcinilor Icircn realitate materialele nu prezintă o
elasticitate perfectă ele avacircnd deformaţii remanente mici care icircnsă pot fi neglijate icircn
calculele de rezistenţă
Acceptarea acestei ipoteze a elasticității perfecte permite
- aplicarea relației biunivoce icircntre tensiuni și deformații relație exprimată de legea
lui Hooke ( = 119864 ∙ 휀) unde E este un factor de proporţionalitate numit modul de
elasticitate longitudinal al materialului pentru oţel 119864 = 21 ∙ 105 [119872119875119886] - acceptarea valabilității afirmației bdquolucrul mecanic efectuat de forțele exterioare
ca urmare a parcurgerii deplasărilor punctelor de aplicație se icircnmagazinează integral icircn
corp sub formă de energie de deformație energie cedată la icircndepărtarea sarcinilorrdquo
- este valabilă teoria conform căreia bdquoenergia icircnmagazinată și deformațiile depind
doar de starea inițială și finală de eforturi fără a ține cont de modul icircn care s-a ajuns la
starea finalărdquo
Icircn realitate oricacirct de mici ar fi sarcinile aplicate se produc și deformații plastice
dar acestea pot fi neglijate dacă solicitarea nu depășește anumite limite
342 Ipoteze de calcul
Ipoteza micilor deplasări bdquodeplasările datorate deformării sunt mult mai mici
decacirct dimensiunile corpurilor și ca urmare pot fi neglijate produsele dintre o deplasare și
ea icircnsăşirdquo Pentru cele mai multe corpuri deformaţiile elastice sunt de mărimi mici deci
corpurile solide sub acţiunea sarcinilor icircşi modifică foarte puţin forma iniţială Această
ipoteză este cunoscută şi sub denumirea de ipoteza menţinerii dimensiunilor iniţiale Ea
permite scrierea ecuaţiilor de echilibru ale staticii pe starea nedeformată a elementului
cacircnd nu se iau icircn considerare deplasările punctelor de aplicaţie ale forţelor care se produc
ca urmare a deformării acestuia Calculul efectuat pe schema nedeformată poartă numele
de calcul de ordinul I
Ipoteza micilor deplasări nu poate fi acceptată pentru studiul problemelor de
stabilitate sau la problemele la care nu pot fi icircndeplinite condiţiile de echilibru icircn starea
nedeformată
Calculul de ordinul II admite ipoteza micilor deplasări dar ecuaţiile de echilibru
se scriu icircnsă pentru starea deformată a elementului de rezistenţă
Calculul de ordinul III nu mai acceptă ipoteza micilor deplasări el referindu-se
la cazul deformaţiilor mari cacircnd ecuaţiile de echilibru trebuie scrise pentru starea
deformată
Chiar dacă materialul satisface legea lui Hooke icircn urma calculelor de ordinul II
se obţin de obicei relaţii neliniare icircntre sarcini şi deplasări iar pentru calculul de ordinul
III rezultă ecuaţii diferenţiale neliniare
Principiul efectului local al acțiunii sarcinilor enunțat de Barre de Saint-
Venant Acest principiu destul de folosit icircn Rezistenţa Materialelor precizează că dacă
se icircnlocuiesc forţele care acţionează asupra unui element de suprafață al unui corp
elastic printr-un alt sistem de forţe echivalent din punct de vedere static cu primul noua
distribuţie a forţelor produce la locul de aplicare diferenţe semnificative faţă de prima
dar rămacircne fără efect sau cu efect neglijabil la distanţe mari de locul de aplicare al
forţelor figura 312
Ca o cosecință o sarcină uniform distribuită figura 312a poate fi icircnlocuită cu
rezultanta ei figura 312b dacă se analizează efectul sarcinii la distanță mare de locul icircn
care se aplică sarcina
Fig 312 Principiul Saint-Venant
Icircn prima variantă figura 312a forţa 119865 se aplică pe o porțiune oarecare 119897 (sarcină
uniform distribuită) iar icircn a doua figura 312b icircntru-un punct (forţă concentrată) La
locul de aplicare a sarcinii efectul asupra barei este cu totul diferit de la o variantă la
cealaltă Icircnsă la o distanţă mare de punctul de aplicaţie spre exemplu icircn secţiunea situată
la distanţa 119886 de capătul barei sau chiar icircn icircncastrare ambele bare sunt solicitate la fel
Icircn cazul din figura 312a
119872119894(119909) =119901 ∙ 1199092
2 119909 le 119897 119872119894(119909) = 119901 ∙ 119897 ∙ (119909 minus
119897
2) 119909 gt 119897 (324)
Icircn cazul din figura 312b
119872119894(119909) = 0 119909 lt119897
2 119872119894(119909) = 119901 ∙ 119897 ∙ (119909 minus
119897
2) 119909 gt
119897
2 (325)
Se vede că pentru (119909 gt 119897) adică după depășirea locului icircn care se aplică sarcina
efectul este același
Ipoteza lui Bernoulli sau ipoteza secţiunilor plane precizează că o secţiune
plană şi normală pe axa barei icircnainte de deformare rămacircne plană şi normală pe axa
barei şi după deformare figura 313
Fig 313 Ipoteza lui Bernoulli
Ipoteza stării naturale a corpului sau ipoteza absenţei tensiunilor conform
căreia pentru un corp nesolicitat starea de tensiune şi deformaţie este nulă
Perfecţionarea mijloacelor de calcul şi de investigare pot conduce la renunţarea la
unele ipoteze sau la introducerea altora noi mai aproape de stările reale De aici rezultă
caracterul de continuă perfecţionare a metodelor Rezistenţei Materialelor
35 Coeficienţi de siguranţă Tensiuni admisibile
O piesă corespunde din punct de vedere tehnic dacă tensiunile care iau naştere icircn
interiorul piesei datorită sarcinilor aplicate nu depăşesc anumite valori limită stabilite
convenţional Aceste valori limită ale tensiunii sunt corelate cu caracteristicile mecanice
ale materialelor
Tensiunea limită utilizată icircn calculele de rezistenţă este cunoscută sub denumirea
de tensiune admisibilă sau rezistenţă admisibilă Rezistenţa admisibilă reprezintă
valoarea convenţională aleasă icircn calcul pe baza practicii pentru tensiunea maximă care
poate apare icircntr-o piesă icircn condiţii date de material şi solicitare
Rezistenţa admisibilă (120590119886 sau 120591119886) poate fi definită faţă de o stare limită
periculoasă stare care trebuie evitată deoarece poate conduce distrugere
120590119886 =120590119897119894119898119888
(326)
unde
120590119897119894119898 este tensiunea corespunzătoare stării limită periculoase
119888 estesupraunitar 119888 gt 1 și reprezintă coeficientul de siguranţă faţă de starea limită
periculoasă considerată
Alegerea unor valori inferioare pentru rezistenţa admisibilă faţă de tensiunea
corespunzătoare stării limită periculoase este necesară deoarece
cunoaşterea sarcinilor este de cele mai multe ori aproximativă şi o depăşire a
acestora este foarte posibilă
caracteristicile mecanice ale materialelor variază icircn limite destul de mari ele
fiind influenţate de mulţi factori
schema aleasă pentru calcul (aplicarea sarcinilor schematizarea structurii
ipotezele de calcul etc) depărtează modelul faţă de cel real
Pentru calculele de verificare tensiunea efectivă maximă din elementul de
rezistenţă trebuie să fie mai mică sau cel mult egală cu cea admisibilă
120590119890119891119898119886119909 le 120590119886 (327)
Valoarea rezistenţei admisibile este influenţată de foarte mulţi factori natura
materialului tratamentele termice aplicate piesei durata de funcţionare a piesei modul
de acţionare icircn timp a sarcinilor felul solicitării temperatura gradul de periculozitate
icircn cazul cedării piesei etc
De asemenea valoarea coeficientului de siguranţă se alege icircn principal ţinacircnd
seama de aceiaşi factori care influenţează şi rezistenţa admisibilă
Rezistenţele admisibile pentru cacircteva materiale sunt următoarele
pentru oțelul de uz general OL37 solicitat la icircntindere compresiune sau
icircncovoiere 120590119886 = 150 [119872119875119886] pentru lemnul de brad solicitat la
- compresiune icircn lungul fibrelor şi solicitat la icircncovoiere 120590119886 = 10 [119872119875119886] - tracţiune icircn lungul fibrelor 120590119886 = 7 [119872119875119886] - compresiune perpendiculară pe fibre 120590119886 = 15 [119872119875119886] - forfecare icircn lungul fibrelor 120591119886 = 2 [119872119875119886] - forfecare perpendiculară pe fibre 120590119886 = 45 [119872119875119886]
terenuri de fundaţie din pămacircnt uscat sau umed 120590119886 = 020 divide 025 [119872119875119886]
4 CARACTERISTICI GEOMETRICE ALE SECȚIUNILOR PLANE
41 Noţiuni introductive
Icircn relaţiile de calcul ale tensiunilor şi deformaţiilor elementelor de rezistenţă
pentru unele solicitări (icircncovoierea și torsiunea) secțiunile plane intervin atacirct prin
dimensiunile lor (aria 119860) cicirct și prin forma și poziția pe care o are secțiunea icircn raport cu
planul solicitării Mărimile care caracterizează o secțiune icircn raport cu forma și poziția față
de axele unui sistem de referință sunt denumite caracteristici geometrice de ordin
superior Aria secțiunii este caracteristica geometrică ce depinde doar de dimensiunile
geometrice ale acesteia
Să considerăm o grindă solicitată de o forță exterioară 119865 aşezată icircn două poziții icircn
raport cu planul forţei figura 41 Icircn urma aplicării forței deși avem aceeași grindă
(aceeași arie a secțiunii transversale) și aceeași forță se constată că pentru varianta din
figura 41a deformațiile sunt mult mai mari adică rezistența la icircncovoiere a grinzii din
figura 41a este mai mare decacirct icircn cazul grinzii din figura 41b Comportarea diferită se
explică prin aceea că modificarea poziţiei secţiunii transversale faţă de planul forţelor
modifică caracteristicile geometrice ale secţiunii transversale a grinzii
Fig 41 Grindă solicitată de forța 119865
Pentru realizarea calculelor de rezistenţă şi rigiditate este foarte importantă
cunoaşterea caracteristicilor geometrice ale suprafeţei secţiunii transversale a elementelor
de rezistenţă
Caracteristicile geometrice ale secţiunii transversale a unui element de rezistenţă
sunt
- aria secțiunii notată cu 119860
- momentul static icircn raport cu o axă notat 119878119911 și respectiv 119878119910
- momentul de inerție care poate fi
axial notat 119868119911 și respectiv 119868119910
centrifugal notat 119868119911119910
polar notat 119868119901
- raza de inerţie (giraţie)notată 119894119911 și respectiv 119894119910
- modulul de rezistență care poate fi
axial notat 119882119911 și respectiv 119882119910
polar notat 119882119901
42 Aria și momentul static al suprafețelor plane
Fie o suprafaţă plană de arie 119860 pe care se ia un element infinit mic de arie 119889119860 şi
un sistem de axe rectangulare 119911119874119910 figura 42 Notăm cu 119862 centrul de greutate al suprafeţei
119860 Poziţia suprafeţei elementare 119889119860 faţă de acelaşi sistem de coordonate 119911119874119910 este dată
de abscisa 119911 ordonata 119910 și raza polară
Fig 42 Suprafață plană de arie 119860
Aria suprafeţei 119860 figura 42 se defineşte ca fiind
119860 ≝ int 119889119860
119860
(41)
Aria suprafeţei este icircntotdeauna pozitivă și se măsoară icircn [1198981198982] Momentul static al suprafeţei de arie 119860 icircn raport cu axele 119874119911 și respectiv 119874119910
figura 42 sunt date de relaţiile
119878119911 ≝ int 119910 ∙ 119889119860
119860
119878119910 ≝ int 119911 ∙ 119889119860
119860
(42)
Momentul static poate fi pozitiv negativ sau nul şi se măsoară icircn [1198981198983] Coordonatele centrului de greutate ale suprafeței 119860 se detrmină cu relațiile
119910119862 ≝int 119910 ∙ 119889119860119860
119860 119911119862 ≝
int 119911 ∙ 119889119860119860
119860
(43)
Cunoscacircnd coordonatele 119910119862 și 119911119862 ale centrului de greutate 119862 al secțiunii 119860 atunci
momentele statice se pot determina cu relațiile
119878119911 ≝ int 119910 ∙ 119889119860
119860
= 119910119862 ∙ 119889119860 119878119910 ≝ int 119911 ∙ 119889119860
119860
= 119911119862 ∙ 119889119860 (44)
Aceste relații arată că momentul static al unei suprafețe icircn raport cu o axă este
egal cu produsul dintre aria suprafeței și distanța de la centrul ariei la axa respectivă
Dacă suprafaţa se poate descompune icircn 119899 suprafeţe simple la care se cunosc ariile
(1198601 1198602 ⋯ 119860119894⋯ 119860119899) și poziţiile centrelor de greutate 119862119894 faţă de sistemul de referinţă
expresiile momentelor statice capătă următoarea formă
119878119911 = sum 119910119862119894 ∙ 119860119894119899119894=1 = 119910119862 ∙ 119860 119878119910 = sum 119911119862119894 ∙ 119860119894
119899119894=1 = 119911119862 ∙ 119860 (45)
Din relaţiile (45) rezultă că poziţia centrului de greutate 119862 al unei suprafeţe
compuse poate fi determinată cu relaţiile
119910119862 = (sum119910119862119894 ∙ 119860119894
119899
119894=1
) 119860frasl 119911119862 = (sum119911119862119894 ∙ 119860119894
119899
119894=1
) 119860frasl (46)
Icircn relația (45) 119910119862119894 și respectiv 119911119862119894 reprezintă coordonatele centrelor de greutate 119862119894
ale fiecărei suprafețe simple 119860119894 icircn raport sistemul de axe 119911119874119910
Se constată (relaţia 42) că dacă axele sistemului de referinţă trec prin centrul de
greutate (119910119862 = 119911119862 = 0) momentele statice sunt nule Axele icircn raport cu care momentele
statice sunt nule şi care trec prin centrul de greutate al suprafeţei se numesc axe centrale
Observație dacă secțiunea compusă are o axă de simetrie centrul secțiunii se
găsește pe acea axă iar dacă secțiunea este dublu simetrică poziția centrului secțiunii este
la intersecția axelor de simetrie
43 Momente de inerţie
Momentele de inerţie axiale ale unei suprafețe se calculează icircn raport cu axele de
coordonate 119874119911 și respectiv 119874119910 figura 42 și se determină cu relațiile
119868119911 ≝ int 1199102 ∙ 119889119860
119860
119868119910 ≝ int 1199112 ∙ 119889119860
119860
(47)
Unde 119910 și 119911 sunt distanțele de la elementul de arie 119889119860 la cele două axe de
coordonate 119874119911 și respectiv 119874119910
Momentele de inerţie axiale se măsoară icircn [1198981198984] şi sunt icircntotdeauna pozitive (aria
119889119860 este icircntotdeauna pozitivă și este multiplicată cu patratul distanței 1199102 dacă 119868119911 sau 119868119910
sunt nule icircnseamnă ca secțiunea nu există)
Momentele de inerție axiale se calculează icircndeosebi pentru axele centrale (care
trec prin centrul secțiunii) deoarece icircn raport cu acele axe 119868119911 și 119868119910 au valori minime
Momentul de inerţie centrifugal calculat faţă ambele axe ale sistemului de
referinţă 119911119874119910 este definit de relația
119868119911119910 ≝ int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860
(48)
Momentul de inerţie centrifugal se măsoară icircn [1198981198984] şi poate fi pozitiv negativ
sau nul
Momentul de ineție centrifugal este nul 119868119911119910 = 0 dacă cel puțin una din axele 119874119911
sau 119874119910 este axă de simetrie pentru secțiune
Se consideră o suprafaţă dreptunghiulară pe care faţă de axa de simetrie 119874119910 se iau
două suprafeţe elementare de arie 119889119860 simetrice faţă de axa 119874119910 figura 43
Fig 43 Suprafață dreptunghiulară cu două arii elementare 119889119860
Făcacircnd suma momentelor de inerţie centrifugale pentru cele două suprafeţe
elementare 119889119860 (din stacircnga şi din dreapta faţă de axa 119874119910) se obţine
int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860119889119903
+ int (minus119911) ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860119904119905119892
= int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860119889119903
minus int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860119904119905119892
= 0 (49)
Acelaşi raţionament se poate face și pentru icircntreaga suprafaţă de unde obținem că
momentul de inerție centrifugal este nul 119868119911119910 = 0 Deci pentru o suprafaţă plană care
are cel puţin o axă de simetrie momentul de inerţie centrifugal faţă de sistemul care
conţine acea axă de simetrie este nul
Momentul de inerţie polar al unei suprafeţei icircn raport cu un punct (pol) 119874 figura
42 este definit prin relaţia
1198680 = 119868119901 ≝ int 1205882 ∙ 119889119860
119860
= int(1199102 + 1199112) ∙ 119889119860
119860
= 119868119911 + 119868119910 (410)
unde este distanţa de la polul 119874 la elementul de arie 119889119860 Momentul de inerţie polar se
măsoară icircn [1198981198984] şi este totdeauna pozitiv
Momentul de inerţie polar este egal cu suma momentelor de inerţie faţă de două axe
perpendiculare oarecare şi care trec prin polul considerat
Razele de giraţie sau razele de inerţie sunt mărimi calculate icircn raport cu axele
secțiunii și definite de relaţiile
119894119911 ≝ radic119868119911119860 119894119910 = radic
119868119910
119860 (411)
Se exprimă icircn [119898119898] şi sunt icircntotdeauna pozitive Semnificația unei raze de inerție
este distanța la care dacă ar fi concentrată icircntreaga arie s-ar obține același moment de
inerție ca și cel calculat pentru aria reală
44 Modulul de rezistenţă
Modulul de rezistență se calculează icircn raport cu axele de referință sau icircn raport cu
un pol figura 42 și pot fi axiale (119882119911119882119910) sau polar (119882119901) și se determină numai pe baza
momentelor de inerţie cu relațiile figura 43
119882119911119898119894119899 ≝119868119911119910119898119886119909
119882119911119898119886119909 ≝119868119911119910119898119894119899
(412)
119882119910119898119894119899 ≝119868119910
119911119898119886119909 119882119910119898119886119909 ≝
119868119910
119911119898119894119899 (413)
119882119901 ≝119868119901
120588119898119886119909 (414)
unde
119910119898119886119909 119910119898119894119899 reprezintă distanţa de la axa 119874119911 la punctele extreme cele mai
depărtate respectiv cele mai apropiate ale suprafeţei de această axă
119911119898119886119909 119911119898119894119899 reprezintă distanţa de la axa 119874119910 la punctele extreme cele mai
depărtate respectiv cele mai apropiate ale suprafeţei de această axă
120588119898119886119909 reprezintă distanța maximă de la polul 119874 la punctul secțiunii cel mai
icircndepărtat de acesta
Fig 43 Suprafață dreptunghiulară cu două arii elementare 119889119860
Modulele de rezistenţă se exprimă icircn [1198981198983] şi sunt icircntotdeauna pozitive
Explicația este aceea că momentele de inerție care intră icircn relațiile de definiție sunt
pozitive iar distanțele la punctele extreme sunt pozitive (119910119898119886119909 119910119898119894119899 119911119898119886119909 119911119898119894119899 120588119898119886119909 se
iau icircn valoare absolută)
Icircn cazul suprafeţelor compuse modulul de rezistenţă nu se obţine prin icircnsumarea
algebrică a modulelor de rezistenţă ale suprafeţelor simple componente ci numai prin
intermediul momentului de inerţie axial calculat pentru icircntreaga secțiune
Ca și momentele de inerție modulele de rezistență se calculează numai pentru
sistemele de axe centrale
45 Momente de inerţie şi module de rezistenţă pentru suprafeţe simple
451 Secțiune dreptunghiulară
Fie suprafaţa dreptunghiulară din figura 44 de icircnălțime ℎ și lățime 119887 pe care se
consideră suprafaţă elementară de arie 119889119860 = 119887119889119910 la distanța 119910 de axa 119862119911 sistemul de
axe 119911119862119910 trece prin centrul secțiunii iar axele sunt axe de simetrie pentru dreptunghi
Fig 44 Suprafață dreptunghiulară
Pe baza relațiilor de definiți a momentului de inerție 119868119911 se obține
119868119911 ≝ int 1199102 ∙ 119889119860
119860
= int 1199102 ∙ 119887 ∙ 119889119910 = 2int 1199102 ∙ 119887 ∙ 119889119910 = 2 ∙ 119887 ∙1199103
3|ℎ 2frasl
0rArr
ℎ 2frasl
0
ℎ 2frasl
minusℎ 2frasl
rArr 119868119911 =119887 ∙ ℎ3
12
(415)
Analog pentru un element de arie 119889119860 = ℎ ∙ 119889119911 paralel cu axa 119862119910 situat la distanța
119911 de axa 119862119910
119868119910 ≝ int 1199112 ∙ 119889119860
119860
= int 1199112 ∙ ℎ ∙ 119889119911 = 2int 1199112 ∙ ℎ ∙ 119889119910 = 2 ∙ ℎ ∙1199113
3|119887 2frasl
0rArr
119887 2frasl
0
119887 2frasl
minus119887 2frasl
rArr 119868119910 =1198873 ∙ ℎ
12
(416)
Deoarece axele 119862119911 și 119862119910 sunt axe de simetrie momentul de inerție centrifugal este
119868119911119910 = 0 (417)
Pentru un pătrat avacircnd laturile egale (ℎ = 119887 = 119886) momentele de inerţie faţă de
axele centrale au expresia
119868119911 = 119868119910 =1198864
12 (418)
Modulele de rezistență axiale se calculează cu relațiile de definiție ținacircnd cont că
distanțele pacircnă la fibrele extreme sunt
119910119898119886119909 = 119910119898119894119899 =ℎ
2 119911119898119886119909 = 119911119898119894119899 =
119887
2 (419)
Obținem
119882119911119898119894119899 = 119882119911119898119886119909 =119868119911
119910119898119886119909119898119894119899=119887 ∙ ℎ3
12frasl
ℎ2frasl
=119887 ∙ ℎ2
6
119882119910119898119894119899 = 119882119910119898119886119909 =119868119910
119911119898119886119909119898119894119899=1198873 ∙ ℎ
12frasl
1198872frasl
=1198872 ∙ ℎ
6
(420)
452 Suprafaţă circulară
Din motive de simetrie pentru suprafeţele circulare momentele de inerţie faţă de
orice diametru (care reprezintă şi axe centrale) sunt aceleaşi
Considerăm o secțiune circulară plină cu diametrul 119889 și centrul de greutate 119862 Prin
centrul de greutate 119862 trece sistemul de axe ortogonal 119911119862119910 figura 45
Fig 45 Suprafață circulară
La distanța de centrul de greutate 119862 vom lua un element de suprafață mic de arie
(119889119860) de forma unui inel de grosime 119889 Elementul de arie 119889119860 are expresia
119889119860 = (2 ∙ 120587 ∙ 120588) ∙ (119889120588)
Pornind de la relația de definiție a momentului de inerție polar obținem
119868119901 ≝ int 1205882 ∙ 119889119860
119860
= int 1205882 ∙ (2 ∙ 120587 ∙ 120588) ∙ 119889120588
119903=119889 2frasl
0
= 2 ∙ 120587 ∙1205884
4|119889 2frasl0 rArr
rArr 119868119901 =120587 ∙ 1198894
32
(421)
Secțiunea este perfect simetrică deci sunt valabile relațiile
119868119911 = 119868119910 rArr 119868119901 = 119868119911 + 119868119910 = 2 ∙ 119868119911 = 2 ∙ 119868119910 =119868119901
2=120587 ∙ 1198894
64 (422)
Și modulele de rezistenţă faţă de orice diametru sunt egale şi se calculează cu
relaţiile
119882119911 = 119882119910 =1198681199111198892frasl=120587 ∙ 1198893
32 (423)
Modulul de rezistenţă polar este
119882119901 =1198681199011198892frasl=120587 ∙ 1198893
16 (424)
453 Secţiune inelară
Calculul momentelor de inerţie axiale pentru o secţiune inelară avacircnd diametrul
interior 119889 şi diametrul exterior 119863 se determină analog pentru suprafaţa circulară plină cu
observaţia că integrala pentru calculul momentului de inerție polar 119868119901 se face icircntre
limitele 119903 = 119889 2frasl şi R= 1198632frasl (icircntre raza interioară 119903 şi raza exterioară 119877) figura 46
Se obţin relaţiile
119868119901 =120587 ∙ 1198634
32∙ [1 minus (
119889
119863)4
] =120587 ∙ 1198634
32∙ (1 minus 1198964) (425)
119868119910 = 119868119910 =120587 ∙ 1198634
64∙ [1 minus (
119889
119863)4
] =120587 ∙ 1198633
64∙ (1 minus 1198964) (426)
Fig 46 Secțiune inelară
119882119901 =120587 ∙ 1198633
16∙ [1 minus (
119889
119863)4
] =120587 ∙ 1198633
16∙ (1 minus 1198964) (427)
119882119911 = 119882119910 =120587 ∙ 1198633
32∙ [1 minus (
119889
119863)4
] =120587 ∙ 1198633
32∙ (1 minus 1198964) (428)
unde 119896 = 119889119863frasl
46 Variaţia momentelor de inerţie faţă de axe paralele
( Relațiile lui STEINER)
Se consideră o suprafaţă oarecare de arie 119860 cu elementul de arie 119889119860 și un sistemul
de axe central 119911119862119910 faţă de care se cunosc momentele de inerţie 119868119911 119868119910 119868119911119910 şi considerăm
un sistem de axe 11991111198741199101 paralele cu sistemul central figura 47 Se pune problema
determinării momentele de inerţie 1198681199111 1198681199101 11986811991111199101 faţă de sistemul de axe paralel cu sistemul
central 11991111198741199101 axe aflate la distanţele 119910119862 = 119888 respectiv 119911119862 = 119889 de acesta
461 Momente de inerţie axiale
Pe baza relaţiilor de definire şi a notaţiilor din figura 42 pentru momentele de
inerţie faţă de axele 1198741199111 1198741199101 se poate scrie
1198681199111 = int 11991012 ∙ 119889119860
119860
= int(119910 + 119888)2 ∙ 119889119860
119860
= int 1199102 ∙ 119889119860
119860
+ 2 ∙ 119888 ∙ int 119910 ∙ 119889119860
119860
+
+1198882int 119889119860
119860
rArr 1198681199111 = 119868119911 + 2 ∙ 119888 ∙ 119878119911 + 1198882 ∙ 119860 hArr 1198681199111 = 119868119911 + 119888
2 ∙ 119860
(429)
Fig 47 Variaţia momentelor de inerţie față de axe paralele
S-a ajuns la relația (429) deoarece momentul static 119878119911 este nul deoarece axa 119862119885
este axă centrală
Pentru momentul de inerție axial icircn raport cu axa 1198741199101 se obține
1198681199101 = int 11991112 ∙ 119889119860
119860
= int(119911 + 119889)2 ∙ 119889119860
119860
= int 1199112 ∙ 119889119860
119860
+ 2 ∙ 119889 ∙ int 119911 ∙ 119889119860
119860
+
+1198892 ∙ int 119889119860
119860
rArr 1198681199101 = 119868119910 + 2 ∙ 119889 ∙ 119878119910 + 1198892 ∙ 119860 hArr 1198681199101 = 119868119910 + 119889
2 ∙ 119860
(430)
Pentru momentul de inerție centrifugal obținem
11986811991111199101 = int 1199101 ∙ 1199111 ∙ 119889119860
119860
= int(119910 + 119888) ∙ (119911 + 119889) ∙ 119889119860
119860
= int 119910 ∙ 119911 ∙ 119889119860 +
119860
+119888 ∙ int 119911 ∙ 119889119860
119860
+ 119889 ∙ int 119910 ∙ 119889119860
119860
rArr 11986811991111199101 = 119868119911119910 + 119888 ∙ 119889 ∙ 119860
(431)
Deoarece
int 119911 ∙ 119889119860
119860
= 119878119910 = 0 int 119910 ∙ 119889119860
119860
= 119878119911 = 0 int 119910 ∙ 119911 ∙ 119889119860
119860
= 119868119911119910
Relaţiile (429) şi (430) arată că momentul de inerţie faţă de o axă oarecare
este egal cu momentul de inerţie faţă de o axă paralelă cu ea trecacircnd prin centrul de
greutate la care se adaugă produsul dintre aria suprafeţei şi pătratul distanţei dintre
cele două axe
Din relaţiile (429) și (430) rezultă de asemenea că momentul de inerţie faţă de o
axă centrală (care trece prin centrul de greutate) este cel mai mic dintre infinitatea de
momente de inerţie obținute faţă de alte axe paralele cu ea
Relaţia (431) arată de asemenea că momentul de inerţie centrifugal faţă de un
sistem de axe oarecare este egal cu momentul de inerţie centrifugal faţă de un sistem
paralele cu el trecacircnd prin centrul de greutate a suprafeţei la care se adaugă produsul
dintre aria suprafeţei şi distanţele dintre axele sistemelor respective
Icircn literatura de specialitate relaţiile (429) (430) şi (431) sunt cunoscute sub
numele de relaţiile lui Steiner
47 Variaţia momentrlor de inerţie faţă de axe rotite
Direcţii principale şi momente de inerţie principale
Fie suprafaţa plană din figura 48 de arie 119860 pe care considerăm o suprafaţă
elementară de arie 119889119860 Pentru sistemul de axe 119911119874119910 se cunosc momentele de inerţie
119868119911 119868119910 119868119911119910 şi vom determina relaţiile de calcul pentru momentele de inerţie afererent unui
sistem de axe 11991111198741199101 rotit cu un unghi faţă de sistemul central
Faţă de sistemul de axe 11991111198741199101 elementul de arie 119889119860 are coordonatele
1199101 = 119875119877 = 119875119876 minus 119877119876 = 119910 ∙ cos 120572 minus 119911 ∙ sin 120572
1199111 = 119873119872 = 119873119875 minus 119875119872 = 119911 ∙ cos 120572 + 119910 ∙ sin 120572 (432)
Fig 47 Variaţia momentelor de inerţie față de axe rotite
Pe baza relaţiilor de calcul ale momentelor de inerţie şi a notaţiilor din figura 42
şi ale relaţiilor (432) momentele de inerţie faţă de sistemul de axe rotit 11991111198741199101 sunt
1198681199111 =119868119911 + 119868119910
2+119868119911 minus 119868119910
2∙ cos 2120572 minus 119868119911119910 ∙ sin 2120572 (433)
1198681199101 =119868119911 + 119868119910
2minus119868119911 minus 119868119910
2∙ cos 2120572 + 119868119911119910 ∙ sin 2120572 (434)
11986811991111199101 =119868119911 minus 119868119910
2∙ sin 2120572 + 119868119911119910 ∙ cos 2120572 (435)
Din relaţiile 433divide435 se observă că icircntre momentele de inerţie axiale şi cele
polare există relaţia
1198681199111 + 1198681199101 = 119868119911 + 119868119910 = 119868119901 (436)
adică suma momentelor de inerţie axiale icircn raport cu orice pereche de axe ortogonale
care trec printr-un pol dat este o constantă şi egală cu momentul de inerţie polar
Prin rotirea sistemului de axe din relaţiile 433divide435 rezultă că momentele de inerţie
variază icircnsă suma lor rămacircne constantă deci există o poziţie a sistemului de axe pentru
care momentele de inerţie au valori extreme maxim respectiv minim
471 Direcţii principale de inerţie
Valoarea unghiului 120572 pentru care momentele de inerţie axiale au valori extreme
este
1205721 =1
2∙ 119886119903119888119905119886119899 (minus
2 ∙ 119868119911119910
119868119911 minus 119868119910) (437)
Poziţia celeilalte direcţii este perpendiculară pe cea dată de unghiul 1205721
Din relaţia (437) se constată că faţă de aceste direcţii rotite pentru care momentele
de inerţie axiale prezintă valori extreme momentul de inerţie centrifugal 11986811991111199101este nul
Atunci se poate afirma că momentele de inerţie axiale au valori extreme icircn raport cu
direcţiile faţă de care momentul de inerţie centrifugal este nul Aceste direcţii se numesc
direcţii principale iar momentele de inerţie faţă de aceste direcţii poartă numele de
momente de inerţie principale
Icircn calculele de rezistenţă interesează icircn mod special poziţia direcţiilor principale
care trec prin centrul de greutate al suprafeţei aşa numitele direcţii principale centrale şi
evident momentele de inerţie principale centrale
Direcţiile principale de inerţie se notează cu 1 respectiv 2 Axa principală 1
corespunde direcţiei faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea maximă iar
axa principală 2 pentru direcţia faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea
minimă
472 Momente de inerţie principale
Momentele de inerţie principale se notează cu litera 119868 la care se pune indicele 1
sau 2 după cum valoarea acestuia este maximă sau minimă deci avem un moment de
inerţie principal 1 (notat 1198681) respectiv moment de inerţie principal 2 (notat 1198682)
Expresiile pentru momentele de inerţie principale sunt
11986812 =119868119911 + 119868119910
2plusmn1
2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)
2+ 4 ∙ (119868119911119910)
2 (438)
Dacă momentul de inerţie centrifugal este negativ (119868119911119910 lt 0) direcţia principală
care trece prin primul cadran (definit de sistemul 119911119862119910) este direcţia principală 120783
Pentru suprafeţele cu cel puţin o axă de simetrie direcţiile centrale 119862119911 119862119910 sunt şi
direcții principale de inerţie și evident momentele de inerţie axiale 119868119911 119868119910 sunt momente
de inerţie principale
48 Caracteristici mecanice ale metalelor
Alegerea materialului pentru confecţionarea unei anumite piese se face şi pe baza
aşa numitelor caracteristici mecanice pe care le prezintă materialul Cunoaşterea acestor
caracteristici mecanice are loc numai pe baza unor icircncercări mecanice care să scoată icircn
evidenţă comportarea materialului icircn condiţii de solicitare
Cea mai utilizată icircncercare icircn urma căreia se pun icircn evidenţă caracteristicile
mecanice ale unui material este icircncercarea la tracţiune
481 Icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general
Icircncercarea la tracţiune a oţelului ca de altfel toate icircncercările de materiale este
standardizată
Icircn cele ce urmează se va prezenta numai partea care interesează strict din punct
de vedere al caracteristicilor mecanice ale oţelului
Epruveta de diametru iniţial 1198890 pentru icircncercarea la tracţiune are o porţiune de
lungime 1198710 numită baza de măsurare pe care se măsoară lungirea acesteia sub acţiunea
solicitării
Icircn funcţie de raportul dintre baza de măsurare 1198710 şi diametrul iniţial 1198890 epruvetele
utilizate pentru icircncercări sunt
epruvete normale (scurte) cacircnd 11987101198890 = 5
epruvete lungi cacircnd 11987101198890 = 10
Icircn timpul icircncercării la diferite valori ale forţei 119865 se măsoară lungirea bazei de
măsurare
∆119871 = 120575 = 119871 minus 1198710 (439)
unde
119871 este dimensiunea bazei de măsurare la un moment dat
Curba forţă-lungire (119865 minus ) icircnregistrată icircn urma icircncercării reprezintă curba
caracteristică la tracţiune
La icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general diagrama caracteristică care se
obţine are forma din figura 48
Curba caracteristică la tracţiune depinde de lungimea bazei de măsurare Pentru
icircnlăturarea acestui neajuns curba caracteristică se reprezintă icircn coordonate şi definite
astfel
120590 =119865
1198600 휀 =
120575
1198710 (440)
unde
1198600 este aria iniţială a secţiunii transversale a epruvetei (icircnainte de solicitare) icircn
zona bazei de măsurare
1198600 =120587 ∙ 1198890
2
4
Deoarece mărimile icircn care se reprezintă curba caracteristică la tracţiune sunt
raportate la aria iniţială a secţiunii transversale (mărimi specifice) curba poartă numele
de curbă caracteristică convenţională la tracţiune
Fig 48 Curba caracteristică convenţională la tracțiune
Pe curba caracteristică convenţională la tracţiune figura 48 se pot stabili o serie
de puncte cărora le corespund mai multe mărimi importante
Ordonata punctului A pacircnă unde curba caracteristică convenţională este linie
dreaptă se numeşte limita de proporţionalitate a materialului 120590119901(1205901) Porţiunea 119874119860 este
zona de proporţionalitate a curbei caracteristice pe acest domeniu este valabilă legea lui
Hooke care exprimă o proporţionalitate icircntre tensiune şi deformaţie specifică
120590 = 119864 ∙ 휀 (441)
unde
119864 = reprezintă panta porţiunii liniare a curbei convenționale caracteristice
la tracțiune Caracteristica de material 119864 se numeşte modul de elasticitate longitudinal
(modulul lui Young)
Ordonata punctului 119861 pacircnă unde materialul se comportă perfect elastic adică
după descărcare icircşi recapătă dimensiunea iniţială 1198710 se numeşte limita de elasticitate
120590119890(119877119890) Icircn realitate nici un material nu are comportare perfect elastică sub acţiunea
solicitărilor el capătă deformaţii permanente (remanente plastice)
După punctul 119861 urmează o porţiune 119861119862119863 icircn care cu toate că icircncărcarea
continuă forţa nu mai creşte avacircnd mici oscilaţii icircn jurul unei valori Se spune că icircn
această porţiune materialul curge iar intervalul 119861119862119863 este un palier de curgere Tensiunea
corespunzătoare palierului de curgere se numeşte limită de curgere aparentă 120590119888(119877119888) Limita de curgere aparentă se calculează cu relaţia
120590119888 =1198651198881198600 (442)
unde
119865119888 reprezintă valoarea forţei icircnregistrată icircn momentul curgerii materialului
După punctul 119863 curba caracteristică are un traseu ascendent pacircnă icircn punctul 119864
Porţiunea 119863119864 este numită zonă de icircntărire (ecruisare) Icircn zona de ecruisare unde se
produc deformaţii plastice semnificative legea lui Hooke nu mai este valabilă La
descărcare relaţia dintre tensiunea şi deformaţia specifică este liniară paralelă cu
porţiunea liniară a curbei caracteristice (dreapta 119872119873)
Deformaţia totală (휀119905) are două componente una elastică (휀119890) şi una plastică (휀119901)
Ordonata punctului 119864 reprezintă rezistenţa de rupere 120590119903(119877119898) a materialului
care se poate calcula cu relaţia
120590119903 = 119877119898 =1198651198981198861199091198600
(443)
unde
119865119898119886119909 reprezintă valoarea maximă a forţei icircnregistrată icircn timpul icircncercării
La atingerea valorii 119865119898119886119909 (punctul 119864) icircntr-un anumit loc al epruvetei secţiunea
icircncepe să se micşoreze (se produce gacirctuirea) continuacircnd pacircnă cacircnd se produce ruperea
totală (punctul 119865)
Dacă după ruperea epruvetei cele două părţi rezultate se aşează cap la cap şi se
măsoară dimensiunea bazei de măsurare 119871119906 (lungimea ultimă) se determină alungirea la
rupere sau lungirea specifică la rupere 휀119903
휀119903 =119871119906 minus 11987101198710
=∆119871
1198710=120575
1198710 (444)
De obicei alungirea se exprimă icircn procente şi se notează cu 119860119899 unde 119899 reprezintă
numărul dat de raportul 11987101198890 (epruvete normale 119899 = 5 epruvete lungi 119899 = 10)
119860119899 =119871119906 minus 11987101198710
∙ 100 [] (445)
Altă mărime care se determină la icircncercarea la tracţiune este gacirctuirea la rupere
(exprimată de obicei icircn procente) şi definită de relaţia
119885 =1198600 minus 1198601199061198600
∙ 100 [] (446)
Mărimile determinate limita de proporţionalitate modulul de elasticitate
longitudinal limita de elasticitate limita de curgere aparentă rezistenţa de rupere
alungirea la rupere şi gacirctuirea la rupere sunt cunoscute ca fiind caracteristici mecanice
ale materialului
Din curba caracteristică convenţională observăm faptul că ruperea (punctul 119865 din
figura 48 se produce la o tensiune mai mică decacirct cea corespunzătoare punctului 119864 Dacă
icircnsă forţa din timpul icircncercării s-ar raporta la aria secţiunii din momentul icircnregistrării
forţei (care este mai mică decacirct cea iniţială 1198600) s-ar obţine aşa numita curbă
caracteristică reală a materialului (traseul 1198741198601198611198621198631198651 din figura 48) La curba
caracteristică reală ruperea se produce icircn punctul 1198651 la o icircncărcare mai mare decacirct cea
corespunzătoare punctului 119864 Icircnseamnă că rezistenţa reală la rupere este mai mare decacirct
rezistenţa la rupere dată de punctul 119864 din diagrama caracteristică convenţională
Dificultatea obţinerii diagramei caracteristice reale faţă de cea a diagramei caracteristice
convenţionale şi considerarea unei rezistenţe la rupere mai mică decacirct a celei reale face
icircn practică utilizarea pe scară mare a diagramei caracteristice convenţionale
Caracteristicile mecanice determinate pe baza curbei caracteristice convenţionale
sunt şi ele caracteristici mecanice convenţionale
Caracteristicile mecanice convenţionale limita de proporţionalitate convenţională
120590119901 limita de elasticitate convenţională 120590119890 limita de curgere convenţională 120590119888 şi rezistenţa
de rupere 120590119903 constituie tensiuni limită pentru un material Pe baza acestor caracteristici
de material se alege valoarea tensiunii admisibile 120590119886 (vezi paragraful 35) pentru
calculele de rezistenţă Cea mai utilizată stare limită pentru stabilirea tensiunii admisibile
120590119886 este limita de curgere convenţională 120590119888
120590119886 =120590119897119894119898119888
=120590119888119888 119904119886119906 120590119886 =
120590119903119888 (447)
Caracteristicile mecanice ale materialului sunt influenţate de o serie de factori
temperatura viteza de solicitare factorii tehnologici iar valorile lor sunt date icircn tabele și
diagrame
Aplicaţie Pentru suprafaţa plană compusă din două dreptunghiuri avacircnd
dimensiunile din figura 49a să se calculeze
a) centrul de greutate al secțiunii compuse 119910119866 119911119866
b) momentele de inerție axiale 119868119911 119868119910 și momentul de inerție centrifugal 119868119911119910
c) razele de inerție 119894119911 119894119910
d) modulele de rezistență 119882119911119898119894119899 119882119911119898119886119909 119882119910119898119894119899 119882119910119898119886119909
e) momentele de inerție principale 1198681 1198682 și direcțiile principale de inerție 1205721
f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 119878119911
Fig 49 Aplicație
Rezolvare Pentru rezolvare vom parcurge următoarele etape
icircmpărțim suprafața compusă icircn două suprafețe simple (dreptunghiuri) notate cu
① și respectiv ② figura 49b
poziționăm centrele de greutate a celor două suprafețe simple ① și respectiv ②
notate cu 1198661 și respectiv 1198662 figura 49c
poziționăm sistemele de axe de coordonate 119911111986611199101 pentru dreptunghiul ① și
119911211986621199102 pentru dreptunghiul ② aflate la intersecția diagonalelor figura 49c
poziționăm sistemele de axe de coordonate 11991101198741199100 ales arbitrar față de care
determinăm poziția centrului de greutate 119866 figura 49c
a) calculăm poziția centrului de greutate folosind relațiile (46) icircn care
1198601 = 6119905 ∙ 119905 = 61199052 1198602 = 4119905 ∙ 119905 = 41199052 119860 = 1198601 + 1198602 = 61199052 + 41199052 = 101199052
iar centrele de greutate 1198661 și respectiv 1198662 au coordonatele (față de sistemul 11991101198741199100)
1198661 1199101 = 3119905 1199111 = 05119905
1198662 1199102 = 051199051199112 = 3119905
cu acestea obținem
119910119866 =1198601 ∙ 1199101 + 1198602 ∙ 1199102
119860=61199052 ∙ 3119905 + 41199052 ∙ 05119905
101199052=201199053
101199052= 2119905
119911119866 =1198601 ∙ 1199111 + 1198602 ∙ 1199112
119860=61199052 ∙ 05119905 + 41199052 ∙ 3119905
101199052=151199053
101199052= 15119905
Poziționăm centrul de greutate 119866 al suprafeței compuse figura 49c
Fig 49 Aplicație
b) pentru determinarea momentelor de inerție axiale 119868119911 119868119910 și a momentului de
inerție centrifugal 119868119910119911 determinăm constantele 1198881 1198882 1198891 1198892 care intervin icircn relația lui
Stainer
1198881 = 1199101 minus 119910119866 = 3119905 minus 2119905 = 119905 1198882 = minus(119910119866 minus 1199102) = minus(2119905 minus 05119905) = minus15119905
1198891 = minus(119911119866 minus 1199111) = minus(15119905 minus 05119905) = minus119905 1198892 = 1199112 minus 119911119892 = 3119905 minus 15119905 = 15119905
Folosind relațiile lui Stainer (429) (430) și (431) calculăm momentele de
inerție axiale și centrifugale față de sistemul central 119911119866119866119910119866
119868119911 =sum(119868119911119894 + 1198881198942 ∙ 119860119894) = 1198681199111 + 1198881
2 ∙ 1198601 + 1198681199112 + 11988822 ∙ 1198602
119868119910 =sum(119868119910119894 + 1198891198942 ∙ 119860119894) = 1198681199101 + 1198891
2 ∙ 1198601 + 1198681199102 + 11988922 ∙ 1198602
119868119911119910 =sum(119868119911119894119910119894 + 119888119894 ∙ 119889119894 ∙ 119860119894) = 11986811991111199101 + 1198881 ∙ 1198891 ∙ 1198601 + 11986811991121199102 + 1198882 ∙ 1198892 ∙ 1198602
1198681199111 = (119887 ∙ ℎ3
12) =
119905 ∙ (6119905)3
12= 181199054 1198681199112 = (
119887 ∙ ℎ3
12) =
4119905 ∙ 1199053
12= 031199054
1198681199101 = (1198873 ∙ ℎ
12) =
1199053 ∙ 6119905
12= 051199054 1198681199102 = (
1198873 ∙ ℎ
12) =
(4119905)3 ∙ 119905
12= 531199054
11986811991111199101 = 11986811991121199102 = 0 deoarece cele două triunghiuri au cel puțin o axă de simetrie
Cu acestea momentele de inerție axiale și momentul de inerție centrifugal devin
119868119911 = 181199054 + 1199052 ∙ 61199052 + 031199054 + (minus15119905)2 ∙ 41199052 = 3331199054
119868119910 = 051199054 + (minus119905)2 ∙ 61199052 + 531199054 + (15119905)2 ∙ 41199052 = 2081199054
119868119911119910 = 0 + 119905 ∙ (minus119905) ∙ 61199052 + 0 + (minus15119905) ∙ (15119905) ∙ 41199052 = minus151199054
c) razele de inerție sau de girație față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910
se calculează cu relațiile (411)
119894119911 = radic119868119911119860= radic
3331199054
101199052= 182119905 119894119910 = radic
119868119910
119860= radic
2081199054
101199052= 144119905
d) modulele de rezistență față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910 se
calculează cu relațiile (412) și (413)
Avacircnd icircn vedere figura 419c obținem
119910119898119886119909 = 6119905 minus 119910119866 = 6119905 minus 2119905 = 4119905 119910119898119894119899 = minus119910119866 = minus2119905
119911119898119886119909 = 5119905 minus 119911119866 = 5119905 minus 15119905 = 35119905 119911119898119894119899 = minus119911119866 = minus15119905
Se obține astfel
119882119911119898119894119899 =119868119911
|119910119898119886119909|=3331199054
4119905= 8331199053
119882119911119898119886119909 =119868119911
|119910119898119894119899|=3331199054
2119905= 16651199053
119882119910119898119894119899 =119868119910
|119911119898119886119909|=2081199054
35119905= 5941199053
119882119910119898119886119909 =119868119910
|119911119898119894119899|=2081199054
15119905= 13871199053
e) momentele de inerție principale 1198681 și respectiv 1198682 se calculează cu relațiile
(438)
11986812 =119868119911 + 119868119910
2plusmn1
2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)
2+ 4 ∙ (119868119911119910)
2=
=3331199054 + 2081199054
2plusmn1
2∙ radic(3331199054 minus 2081199054)2 + 4 ∙ (minus151199054)2 = 27051199054 plusmn 16251199054
De unde obținem
1198681 = 27051199054 + 16251199054 = 4331199054
1198682 = 27051199054 minus 16251199054 = 1081199054
Prima direcție principală de inerție 1 face cu axa centrală 119866119911 unghiul 1205721 dat de
relația (437)
1205721 =1
2∙ arctan (minus
2 ∙ 119868119911119910
119868119911 minus 119868119910) =
1
2∙ arctan [minus
2 ∙ (minus151199054)
3331199054 minus 2081199054] =33 70
Deoarece 1205721 gt 0 rotirea axelor se face acircn sens antiorar acelor de ceasornic figura
49d
Poziția axe principale 2 față de care momentul de inerție are valoarea minimă
1198682 = 119868119898119894119899 este dată de unghiul
1205722 = 1205721 + 900 = 33 70 + 900 = 123 70
f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 se determină cu relația
(45)
1198781199111198602 = 1198602 ∙ 1198882 = 41199052 ∙ (minus15119905) = minus61199053
depinde foarte mult de modul de variaţie a forţelor icircn timp Bach a clasificat solicitările
icircn 3 categorii 1-solicitări statice 2-solicitări pulsante 3-solicitări alternant simetrice
Rezistenţa unui material este icircn raportul 321 pentru cele 3 cazuri de solicitare ale lui
Bach Aceasta icircnseamnă că o piesă solicitată static rezistă la o forţă de 3 ori mai mare
decacirct forţa maximă care produce ruperea aceleaşi piese solicitate alternant simetric
d) după poziţia icircn timp a forțelor se disting
- forţe fixe ale căror puncte de aplicaţie sunt mereu aceleaşi
- forţe mobile ale căror puncte de aplicaţie se deplasează icircn timp De exemplu
sarcinile produse de vehiculele care circulă pe un pod sarcinile unei grinzi de pod rulant
icircntr-o halăetc
24 Reazeme Forțe interioare Eforturi Diagrame de eforturi icircn barele
drepte
241 Reazeme Reacțiuni (forțe de legătură)
Pentru a prelua şi transmite acţiunea sarcinilor exterioare elementele de rezistenţă
din componenţa unei structuri sunt fixate icircntre ele prin intermediul unor legături
exterioare numite reazeme Aceste legături au ca scop icircmpiedicarea anumitor mişcări ale
corpului pe direcţiile pe care acestea nu trebuie să se producă O legătură are deci rolul
de a anula unul sau mai multe grade de libertate ale corpului icircn punctul de rezemare Dacă
este anulat un singur grad de libertate legătura este simplă iar dacă sunt impiedicate mai
multe grade de libertate legătura este una compusă Datorită existenţei sarcinilor
exterioare icircn punctele de rezemare pe direcţiile pe care mişcările sunt icircmpiedicate apar
forţe de legătură numite reacţiuni Numărul natura şi direcţiile reacţiunilor depind de
tipul reazemelor Icircn construcţiile reale există o varietate mare de realizare practică a
reazemelor dar icircn calcule se acceptă anumite schematizări care reţin doar aspectul esenţial
al unui reazem şi anume gradul sau gradele de libertate anulate
Pentru o structură de rezistenţă spaţială icircntr-un punct oarecare sunt posibile şase
deplasări trei deplasări liniare (după direcţiile axelor unui sistem ortogonal) şi trei rotiri
(deplasări unghiulare) icircn jurul aceloraşi axe Ca urmare ar fi posibil de realizat maximum
şase tipuri de reazem
Pentru un element de rezistenţă plan icircncărcat cu eforturi cuprinse icircn planul
elementului icircn orice punct sunt posibile trei gade de libertate două deplasări liniare şi o
rotiri Ca urmare pentru cazul unei bare plane se icircntacirclnesc următoarele tipuri de reazeme
1 Reazemul simplu sau reazemul mobil care icircmpiedică deplasarea pe o direcţie
normală pe suprafaţa de rezemare permiţacircnd deplasarea pe o direcţie paralelă cu
suprafaţa de rezemare şi rotirea barei icircn jurul unei axe perpendiculare pe plan icircn punctul
de rezemare Icircn urma icircmpiedicării deplasării şi datorită unor sarcini exterioare icircn
reazemul simplu apare o reacţiune de tip forţă a cărei suport trece prin punctul de
rezemare şi a cărei direcţie este perpendiculară pe suprafaţa de rezemare figura 27
Fig 27 Reazem simplu (mobil)
Icircn figura 27 este reprezentat un reazem mobil poziţionat pe capătul A al unei bare
plane orizontale fiind evidenţiate punctul şi suprafaţa de rezemare direcţia suportului
reacţiunii şi modul de schematizare al reazemului Cea mai des icircntacirclnită reprezentare a
reazemului mobil este a unui triunghi a cărui bază poate luneca pe suprafaţa de rezemare
2 Reazemul fix sau articulaţia icircmpiedică deplasările liniare după toate direcţiile
din planul barei permiţacircnd doar rotirea barei icircn jurul unei axe perpendiculare pe plan şi
care trece prin puncul de rezemare Reacţiunea este cuprinsă icircn planul barei care trece
prin punctul de rezemare dar a cărei mărime şi direcţie nu sunt cunoscute (forţa R)
figura 28
Fig 28 Reazem fix
Se preferă ca icircn locul unei forţe R avacircnd direcţia oarecare icircn plan necunoscută să
se introducă două forţe (HA şi VA) cărora li se cunoaşte direcţia şi pentru care se vor
determina modulele ca valori din condiţiile de echilibru static Icircntr-un reazem fix apar
icircntotdeauna reacţiuni atacirct pe direcţia perpendiculară pe suprafaţa de rezemare
(verticală) cacirct şi pe direcţia paralelă cu prima (orizontală) chiar dacă uneori una sau
chiar ambele reacţiuni au valoarea zero Reprezentarea schematică a articulaţiei este cea
a unui triunghi cu baza fixă şi cu vacircrful icircn punctul de rezemare sau cea a unui pendul
dublu figura 28
3 Icircncastrarea (sau icircnţepenirea) anulează toate gradele de libertate ale capătului
unei bare icircmpiedicacircnd deplasarea liniară după orice direcţie din plan precum şi rotirea
barei icircn jurul unei axe perpendiculare pe plan şi care trece prin punctul de icircncastrare
Urmare a existenţei sarcinilor exterioare şi a blocării deplasărilor icircn icircncastrare apare o
reacţiune căreia nu i se cunoaşte nici mărimea nici direcţia şi nici punctul de aplicaţie
figura 29
Fig 29 Icircncastrarea
Sub acţiunea forţelor exterioare un sistem este icircn echilibru Valoarea reacţinilor
se determină din condiţia de echilibru a sistemului solicitat
Este cunoscut faptul că un sistem plan este icircn echilibru dacă
nu se deplasează pe o direcţie (fie x această direcţie)
nu se deplasează pe o direcţie perpendiculară pe prima (fie y această direcţie)
nu se roteşte faţă de un punct al planului (fie K acest punct)
Cele trei condiţii enunţate mai sus sunt satisfăcute dacă suma proiecţiilor tuturor
forţelor pe direcţia x respectiv y este nulă şi suma tuturor momentelor (cuplurilor) faţă
de un punct al planului este nulă
242 Forțe interioare Metoda secțiunilor
Icircn vederea calculului de rezistenţă de rigiditate şi de stabilitate a barelor sau a
sistemelor de bare este necesară determinarea forţelor şi momentelor interioare
(eforturilor) care apar icircn secţiunile transversale ale acestora şi datorate icircncărcărilor
exterioare Forțele interioare indică legătura dintre particulele din interiorul corpului şi
se pun icircn evidenţă prin metoda secţiunilor care este un procedeu de raţionament
imaginar propus de Cauchy echivalent cu teoria echilibrului părţilor Conform acestui
raționament bdquodacă un corp solid deformabil este icircn echilibru sub acţiunea unui sistem
generalizat de forţe atunci după secționare fiecare parte a sa va fi icircn echilibru sub
acţiunea forţelor exterioare care-i revin şi a unui sistem de forţe pe care trebuie să-l
introducem icircn secţiunea ce delimitează fiecare parte echivalent cu acţiunea forţelor
aplicate pe partea icircndepărtatărdquo
Problemele care apar la aplicarea metodei secţiunilor sunt
- să pună icircn evidenţă existenţa forţelor interioare mai ales că din ceea ce se ştie o
forţă apare icircn prezenţa a două corpuri ca urmare a principiului acţiunii şi reacţiunii
- să explice modul de distribuţie al forţelor interioare pe secţiune
Considerăm un corp aflat icircn echilibru sub acţiunea unui sistem de forţe exterioare
1 2 3⋯119894 ⋯ 119899minus1 119899 şi presupunem că-l secţionăm cu un plan transversal Q (sau cu
o suprafaţă oarecare) figura 210a Icircn urma secţionării fictive (imaginare) conform
principiului echilibrului părţilor fiecare din cele două părţi obţinute trebuie să fie icircn
echilibru sub acţiunea forţelor exterioare care le revin şi a cacircte unui sistem de forţe
interioare pe care trebuie să-l introducem icircn secţiunile rezultate sistem echivalent cu
acţiunea forţelor exterioare ce acţionează asupra celeilalte părţi Astfel pe partea din
dreapta (notată cu II) delimitată de secţiunea de arie Ad sunt aplicate forţele exterioare
119894 ⋯ 119899minus1 119899 şi un sistem de forţe interioare căruia nu i se cunoaşte decacirct efectul acelaşi
cu cel al forţelor 1 2 3 de pe parea din stacircnga (notată cu I şi delimitată de secţiunea
de arie As) figura 210b Prin metoda secţiunilor am reuşit să punem icircn evidenţă existenţa
forţelor interioare şi să le trecem icircn categoria celor exterioare cărora le putem aplica
relaţiile de echivalenţă şi de echilibru cunoscute din statică Ideal ar fi să cunoaştem
distribuţia şi intensitatea punctuală a acestor forţe pentru că s-ar putea ca icircn anumite
puncte ale secţiunii valoarea forţelor să depăşească limita de rezistenţă (limita de curgere)
a materialului Cunoaşterea distribuţiei punctuale a forţelor interioare nu se poate realiza
decacirct icircn cazuri particulare relativ simple de solicitare
Să considerăm partea din dreapta a corpului asupra căreia acționează forțele
119894 ⋯ 119899minus1 119899 mărginit de aria Ad pe care acționează un sistem de forțe interioare
echivalent cu 1 2 3 Deși forțele interioare de pe Ad nu se cunosc totuși efectul lor
este același cu cel al forțelor 1 2 3 deci le putem reduce icircn centrul de greutate C al
secțiunii Ad rezultacircnd componentele torsorului de reducere al forțelor interioare
(119894119889 119894119889) și pentru partea din stacircnga (119894119904 119894119904) Evident conform principiului acțiunii și
reacțiunii
119894119889 = minus119894119904
119894119889 = minus119894119904 (21)
Pe de altă parte cum fiecare dintre părțile corpului după secționare trebuie să fie
icircn echilibru sub acțiunea forțelor exterioare care le revin și a forțelor interioare introduse
rezultă
119894119889 = minus119890119889
119894119889 = minus119890119889
119894119904 = minus119890119889
119894119904 = minus119890119904 (22)
Combinacircnd (21) cu (22) rezultă
119894119889 = 119890119889
119894119889 = 119890119889
119894119904 = 119890119904
119894119904 = 119890119904 (23)
Fig 210 Forțe interioare
Relațiile (22) și (23) permit determinarea componentelor torsorului de reducere
al forțelor interioare din (23) rezultă componentele torsorului forțelor interioare care
acționează icircn secțiunea Ad sunt egale cu componentele torsorului de reducere al forțelor
exterioare de pe partea din stacircnga din (22) rezultă componentele torsorului forțelor
interioare care acționează icircn secțiunea Ad sunt egale și de sens contrar cu componentele
torsorului de reducere al forțelor exterioare de pe partea din dreapta
Observații
1 Torsorul forțelor interioare diferă de la o secțiune la alta dar pentru aceeași
secțiune el este unic și trebuie să respecte condițiile de compatibilitate a deformațiilor
2 Reducacircnd forțele interioare icircn centrul de greutate al secțiunii s-a făcut o
aproximare icircn ceea ce privește efectul modului de dispunere al forțelor
3 Punctul de reducere trebuie să fie
pentru forțele interioare normale la secțiune centrul de greutate
pentru forțele interioare tangente la planul secțiunii centrul de răsucire sau de
tăiere
243 Eforturi
Prin metoda secțiunilor am pus icircn evidență existența forțelor interioare și modul
icircn care se determină componentele torsorului de reducere al forțelor interioare (119894119889 119894119889) de pe fața din dreapta secțiunii (Ad) Cele două componente ale torsorului de reducere al
forțelor interioare de pe Ad se pot descompune după axele unui sistem de referință
triortogonal xCyz astfel
119894119889 = +
119894119889 = 119909 +119872119894 (24)
unde și 119909 sunt proiecțiile lui 119894119889 și respectiv 119894119889 pe axa longitudinală Cx a
barei iar și 119894 sunt proiecțiile acelorași componente 119894119889 și respectiv 119894119889 pe planul yCz
al secțiunii transversale Ad figura 211
Fig 211 Torsorul de reducere al forţelor interioare
La racircndul lor și 119894 se pot descompune după axele sistemului yCz figura 212
= 119910 + 119911
119894 = 119894119910 + 119894119911 (25)
Fig 212 Descompunerea forţei tăietoare şi a momentului icircncovoietor
Cele șase componente ale torsorului de reducere al forțelor interioare ( 119910 119911
119909 119894119910 119894119911) orientate după axele sistemului de referință xCyz se numesc eforturi
Fiecare efort are o denumire stabilită icircn funcție de tipul de deformație pe care-l produce
De asemenea semnul plus (bdquo+rdquo) sau minus (bdquondashrdquo) al fiecărui efort nu depinde de sensul
pozitiv sau negativ al sistemului de axe ci doar de efectul icircn deformații al fiecărui efort
Denumirile celor șase eforturi sunt
119873 este forța axială
119879119910 119879119911 sunt forțe tăietoare orientate după axele Cy și respectiv Cz
119872119909 notat de cele mai multe ori cu 119872119905 este moment de torsiune sau de răsucire
119872119894119911 119872119894119910 sunt momente de icircncovoiere icircn jurul axei Cz și respectiv Cy
Forța axială 119873 poate fi forță axială de icircntindere cacircnd produce o lungire a
tronsonului pe a cărei față acționează (119873 gt 0) figura 213a sau forță axială de
compresiune cacircnd sub efectul ei bara se scurtează (119873 lt 0) figura 213b
Fig 213 Forța axială
Forțele tăietoare 119879119910 și 119879119911 au ca efect lunecarea secțiunii icircn centrul căreia
acționează icircn raport cu secțiunea icircnvecinată lunecare ce se produce pe direcția și icircn sensul
forței Sub acțiunea unei forțe tăietoare bara este solicitată la forfecare Forța tăietoare
este pozitivă 119879119910 gt 0 dacă icircn raport cu un punct oarecare K de pe axa Cx a barei tinde să
rotească secțiunea pe care acționează icircn sens orar
Fig 214 Forța tăietoare
Momentele de icircncovoiere 119872119894119911 și 119872119894119910 au ca efect o rotire a secțiunii icircn centrul
cărora acționează icircn jurul axei după care sunt orientate Icircn figura 215a se vede că
datorită momentului 119872119894119911 fibrele de deasupra axei Cz se alungesc icircn timp ce fibrele de sub
axa Cz se scurtează Fibrele care trec prin axa de icircncovoiere Cz nu se deformează sunt
fibre neutre la icircncovoiere adică axa neutră este Cz Icircn cazul momentului de icircncovoiere
119872119894119910 fibrele care nu se deformează sunt cele care trec prin axa neutră la icircncovoiere Cy
Momentele de icircncovoiere se consideră a fi pozitive (119872119894119911 gt 0119872119894119910 gt 0) dacă
observatorul care privește bara deformată vizualizează fibrele icircntinse
Fig 215 Momentul icircncovoietor
Momentul de torsiune sau de răsucire 119872119909 equiv 119872119905 are ca efect o rotire a secțiunii
icircn al cărei centru acționează icircn jurul axei longitudinale Cx Ca efect secțiunea icircși schimbă
forma (se deformează) adică unghiurile inițiale se modifică dreptunghiul inițial Ad
devine paralelogram Convențional se consideră 119872119905 gt 0 dacă vectorul moment are
aceeași orientare ca și sensul pozitiv ales pextru axa Cx Icircn figura 216 momentul este
negativ
Fig 216 Momentul de torsiune
25 Definiții și convenții de semne pentru eforturile
din secțiunile unei bare drepte plane icircncărcate cu sarcini coplanare
Vom considera o bară plană icircncărcată cu un sistem de forțe arbitrar figura 217
Ne propunem să determinăm eforturile care apar icircn secțiunea barei aflată la distanța 119909 de
reazemul din stacircnga (A)
Pentru aceasta vom aplica metoda secțiunilor vom secționa bara cu un plan
perpendicular pe axa longitudinală a barei și vom analiza doar partea din dreapta secțiunii
mărginită de fața Ad Pentru ca această porțiune de bară să fie icircn echilibru sub acțiunea
forțelor exterioare care acționează asupra sa 1198653 și 119881119861 va trebui să introducem icircn centrul
secțiunii Ad eforturile care pot să apară 119873 119879119910 119872119894119911 Acțiunea acestor eforturi trebuie să
fie echivalentă cu acțiunea forțelor exterioare aplicate pe partea icircnlăturată (parcursă) a
barei 119867119860 119881119860 1198651 1198652 1198720
Deoarece bara este plană și este icircncărcată doar cu sarcini ce aparțin
planului barei
icircn secțiunea Ad apar doar 3 componente ale torsorului de reducere al forțelor
interioare (eforturi)
- 119873 = forța axială
- 119879119910 = forța tăietoare pe care o vom nota cu 119879
- 119872119894119911 = momentul icircncovoietor notat cu Mi
Fig 217 Bară plană icircncărcată cu un sistem de forțe
Vom prezenta următoarele definiții corespunzătoare eforturilor din secțiunea Ad
119873 = forța axială dintr-o secțiune este egală cu suma algebrică a proiecțiilor pe
axa longitudinală a tuturor forțelor exterioare (sarcini și reacțiuni) aplicate pe partea
din stacircnga secțiunii adică pe porțiunea parcursă Forța axială 119873 este pozitivă dacă trage
de tronsonul pe a cărei față acționează (are orientarea normalei exterioare la secțiunea
Ad)
119873(119909) = minus119867119860 + 1198651119867 (26)
119879 = forța tăietoare icircntr-o secțiune este egală cu suma algebrică a proiecțiilor
pe o axă perpendiculară pe axa barei a tuturor forțelor exterioare (sarcini și reacțiuni)
aplicate pe porțiunea de bară aflată icircn stacircnga secțiunii considerate Forța tăietoare 119879
este pozitivă dacă tinde să rotească tronsonul pe a cărui față acționează icircn sens orar icircn
raport cu un punct de pe axa barei aflat la dreapta secțiunii
119879(119909) = 119881119860 minus 1198651119881 minus 1198652 (27)
119872119894 = momentul icircncovoietor icircntr-o secțiune este egal cu suma algebrică a
momentelor obținute prin reducerea tuturor forțelor exterioare ( cupluri sarcini
reacțiuni) aplicate pe porțiunea de bară aflată la stacircnga secțiunii icircn centrul secțiunii
considerate 119872119894 este considerat pozitiv dacă tinde să deformeze bara astfel icircncacirct fibrele
spre care privește un observator să fie icircntinse Cum poziția observatorului este de regulă
sub bară bara se deformează dacă 119872119894 gt 0 astfel icircncacirct partea jos a barei este icircntinsă Se
spune că bara deformată rdquoține apaldquo
119872119894(119909) = 119881119860 ∙ 119909 minus 1198651119881 ∙ (119909 minus 1198971) minus 1198652 ∙ [119909 minus (1198971 + 1198972)] + 1198720 (28)
Sensurile pozitive ale eforturilor care apar icircn centrul secțiunii Ad (deci atunci cacircnd
sensul de parcurs la aplicarea metodei secțiunilor este cel de la stacircnga la dreapta) sunt
indicate icircn figura 218a iar dacă sensul de parcurs este de la dreapta la stacircnga sensurile
pozitive ale eforturilor sunt indicate icircn figura 218b
Fig 218 Convenţia de semne
Definiții asemănătoare se pot da și pentru eforturile din centrul secțiunii As figura
218b adică pentru cazul icircn care sensul de parcurs este cel de la dreapta la stacircnga și deci
partea luată icircn considerare este cea din stacircnga iar partea parcursă din dreapta secțiunii
este icircnlăturată
119873(1199091) = 1198653119867
119879(1199091) = 1198653119881 minus 119881119861
119872119894(1199091) = 119881119861 ∙ 1199091 minus 1198653119881 ∙ (1199091 minus 1198975)
(29)
Avacircnd icircn vedere că fețele Ad și As aparțin aceleeași secțiuni este evident faptul că
eforturile 119873(119909) 119879(119909) și 119872119894(119909) sunt identice cu eforturile 119873(119961120783) 119879(119961120783) și respectiv
119872119894(119961120783) Icircn figura 218c se prezintă o sinteză a convențiilor de semne pozitive pentru cele
3 eforturi atacirct pentru sensul de parcurs de la stacircnga la dreapta (secțiunea Ad) cacirct și pentru
sensul invers (secțiunea As)
Semnele eforturilor sunt importante icircntrucacirct există materiale cu comportări diferite
la icircntindere față de compresiune iar o schimbare a semnului unui efort poate produce
erori grave icircn calcule Semnele eforturilor au fost stabilite icircn funcție de deformațiile
produse și nu depind de sensul axelor sistemului de coordonate
26 Relaţii diferenţiale icircntre eforturi şi sarcini
Pentru a vedea ce legătură există icircntre eforturi și sarcini vom considera o bară
dreaptă icircncărcată cu o sarcină distribuită după o lege oarecare figura 219a Din această
bară vom decupa prin dublă secționare un element de lungime infinit mică 119889119909 Deoarece
lungimea 119889119909 este foarte mică se poate considera sarcina 119901 uniform distribuită Icircn
secțiunile rezultate trebuie să introducem eforturile care pot apărea
- 119879 şi 119872119894 icircn centrul secțiunii din sticircnga eforturi pe care le considerăm pozitive
- 119879 + 119889119879 şi 119872119894 + 119889119872119894 icircn centrul secțiunii din dreapta elementului
Aceste eforturi au o variație mică (119889119879 şi 119889119872119894) față de secțiunea anterioară Spre
deosebire de cazul icircn care bara este secționată o singură dată icircn acest caz eforturile nu
pot fi determinate din cele 2 condiții de echilibru independente deoarece icircn ecuațiile de
echilibru apar 4 necunoscute 119879 119889119879119872119894 și 119889119872119894 deci că problema este dublu static
nedeterminată figura 219
Fig 219 Echivalența icircntre eforturi și sarcini
Ecuațiile de echilibru scrise pentru elementul din figura 219b conduc la stabilirea
unor relaţii foarte importante
(sum119865)119910= 0 hArr 119879 minus 119901 ∙ 119889119909 minus (119879 + 119889119879) = 0 rArr
119889119879
119889119909= minus119901 (210)
Relația (210) arată că derivata funcţiei forţei tăietoare icircn raport cu abscisa
secţiunii este egală cu sarcina distribuită normală la axa barei din acea secţiune luată
cu semn schimbat
Observații
dacă 119901 = 0 nu există sarcină distribuită atunci forța tăietoare T este constantă
icircnclinarea pantei diagramei forței 119879 este egală cu (ndash 119901) (sarcina distribuită cu
semn schimbat)
dacă 119901 = 119888119900119899119904119905 119879 variază liniar pe acel interval
Asemănător se deduce că derivata funcţiei forţei axiale icircn raport cu abscisa
secţiunii este egală cu sarcina distribuită axială din acea secţiune luată cu semn
schimbat adică
119889119873
119889119909= minus119901119867 (211)
Din condiția de echilibru suma de momente faţă de centrul de greutate al secţiunii
din dreapta
(sum119872)119862= 0 hArr 119872119894 minus (119872 + 119889119872119894) + 119879 ∙ 119889119909 minus 119901 ∙
(119889119909)2
2= 0 rArr
119889119872119894
119889119909= 119879 (212)
Relația (212) s-a obținut dupa reducerea termenilor și prin neglijarea infinitului
mic de ordinul 2
119901 ∙(119889119909)2
2
Relația (212) arată că derivata funcţiei moment icircncovoietor icircn raport cu abscisa
secţiunii este egală cu forţa tăietoare din acea secţiune
Observații
dacă 119879 = 0 momentul 119872119894 are un punct de extrem se obține o valoare maximă
pentru 119872119894119898119886119909 dacă forța tăietoare 119879 se anulează trecacircnd de la plus icircn stacircnga la minus icircn
dreapta secțiunii
dacă forța tăietoare este pozitivă pe un interval 119879 gt 0 atunci 119872119894 este crescătoare
pe acel interval
dacă forța tăietoare este negativă pe un interval 119879 lt 0 atunci 119872119894 este
descrescătoare pe acel interval
dacă pe un interval 119901 = 0 forța tăietoare este constantă 119879 = 119888119905 iar 119872119894 variază
liniar pe acel interval
dacă 119901 = 119888119900119899119904119905 119879 variază liniar pe acel interval iar 119872119894 variază parabolic pe
acel interval
Relaţiile diferenţiale sunt utile la reprezentarea corectă şi verificarea diagramelor
de eforturi astfel
pentru porţiunile de grindă pe care p = 0 eforturile N şi T sunt constante iar pe
porţiunile cu p = const eforturile N şi T variază liniar (relaţiile 211 şi 210)
dacă pe o porţiune T = const momentul icircncovoietor Miz variază liniar iar dacă
T variază liniar atunci momentul Miz variază parabolic (relaţia 212)
pe domeniile pe care T gt 0 funcţia Mi(x) este crescătoare iar icircn secţiunea icircn
care T = 0 (graficul funcţiei T intersectează axa x) momentul icircncovoietor are un punct
de extrem local (maxim sau minim relaţia 212)
Pentru rezolvarea problemelor referitoare la trasarea diagramelor de eforturi
pentru barele drepte solicitate de sisteme de forţe plane se parcurg următoarele etape
1) identificarea forţelor aplicate (date) şi pregătirea lor pentru calcule
(descompunerea forţelor concentrate pe direcţiile x şi y calculul rezultantelor forţelor
distribuite)
2) identificarea reazemelor şi introducerea reacţiunilor corespunzătoare (vezi
figurile 27divide29)
3) stabilirea ecuaţiilor de echilibru static calculul şi verificarea reacţiunilor Icircn
rezistența materialelor se folosește sistemul de ecuații (vezi figura 217)
(sum119865)
119909= 0
(sum119872)119860= 0
(sum119872)119861= 0
(213)
4) identificarea domeniilor de variaţie şi scrierea funcţiilor de eforturi pentru N T
şi Mi
5) reprezentarea grafică a diagramelor de eforturi
6) verificarea corectitudinii diagramelor pe baza relaţiilor diferenţiale icircntre eforturi
şi sarcini
Aplicație Pentru grinda dreaptă icircncărcată cu sistemul de forţe reprezentat icircn figura
220 se cere
a) să se calculeze şi să se verifice reacţiunile
b) să se stabilească funcţiile eforturilor Nx Ty şi Miz şi să se reprezinte diagramele
de variaţie
c) să se analizeze relaţiile diferenţiale icircntre eforturi şi sarcini
Dimensiunile grinzii au valorile a = 6 [m] b = 4 [m] și c = 4[m] sistemul de
forţe aplicat fiind format din p = 10 [kN mfrasl ] F = 20 [kN] (icircnclinată cu unghiul α =300 faţă de orizontală) şi M0 = 40 [kN ∙ m]
Rezolvare
a) Se fac următoarele precizări
grinda dreaptă se reprezintă prin axa geometrică
forţa icircnclinată F se descompune după direcţiile orizontală şi verticală icircn FV =F ∙ sin α = 10 [kN] şi FH = F ∙ cos α = 173 [kN]
forţa distribuită uniform p este echivalentă din punct de vedere static cu
rezultanta sa R = p ∙ a = 60 [kN] care acţionează la jumătatea porţiunii de lungime a
icircn reazemele 119860 şi 119861 se introduc componentele HA şi VA respectiv VB ale
reacţiunilor
Pentru calculul reacţiunilor se utilizează ecuaţiile de echilibru static al grinzii
sumXi = 0 HA minus FH = 0 sumYi = 0 VA + VB minus R minus FV = 0 (sumM)B = 0 VA ∙ (b + a) minus R ∙ (b + 05 ∙ a) minus M0 + FV ∙ c = 0
(A1)
Din prima ecuaţie se obţine HA iar din cea de-a treia ecuaţie rezultă VA
HA = FH = 173 [kN]
VA =[R ∙ (b + 05 ∙ a) + M0 minus FV ∙ c]
(b + a)=[60 ∙ (4 + 05 ∙ 6) + 40 minus 10 ∙ 4]
(4 + 6)
VA = 42 [kN]
(A2)
Fig 220 Aplicație
Se observă că cea de-a doua ecuaţie de echilibru conţine două necunoscute
reacţiunile VA şi VB Pentru a calcula componenta VB nu este indicată introducerea lui VA
icircn cea de-a doua ecuaţie a sistemului (A1) pentru că o valoare determinată greşit pentru
VA conduce la o valoare VB de asemenea greşită O ecuaţie independentă din care se poate
determina componenta VB este următoarea
(sumM)A= 0 FV ∙ (a + b + c) minus VB ∙ (a + b) minus M0 + R ∙ 05 ∙ a = 0 (A3)
de unde se obţine
VB =[FV ∙ (a + b + c) minusM0 + R ∙ 05 ∙ a]
(b + a)=[10 ∙ (6 + 4 + 4) minus 40 + 60 ∙ 05 ∙ 6]
(6 + 4)
VB = 28 [kN] (A4)
Ecuaţia de proiecţii ale forţelor pe direcţia verticală (a doua ecuaţie din sistemul
A1) se utilizează pentru verificarea reacţiunilor deja determinate
VA + VB minus R minus FV = 0 rArr 42 + 28 minus 60 minus 10 = 0 (A5)
Ultima egalitate demonstrează că reacţiunile verticale au fost calculate corect
Din cele de mai sus rezultă ordinea firească pentru determinarea reacţiunilor icircn
cazul grinzilor simplu rezemate
sumXi = 0
(sumM)A = 0
(sumM)B = 0
(A6)
iar pentru verificarea componentelor verticale VA şi VB se folosește ecuaţia sumY = 0
b) La stabilirea funcţiilor de eforturi se parcurg icircn general etapele următoare
se notează (numeric sau literal după preferinţă) secţiunile care delimitează
domeniile (intervalele sau tronsoanele) pe care eforturile nu-şi modifică funcţiile (au legi
unice de variaţie)
pe fiecare domeniu se marchează secţiunea imaginară icircn care se stabilesc
funcţiile eforturilor
secţiunea astfel aleasă separă icircn două părţi grinda şi anume porţiunea din stacircnga
şi porţiunea din dreapta secţiunii
se va considera parcursă (şi icircndepărtată) acea parte pe care acţionează mai puţine
sarcini exterioare pentru că acestea vor interveni icircn expresiile funcţiilor de eforturi
poziţiile secţiunilor imaginare se vor determina prin variabilele x1 ⋯ xn (unde
n reprezintă numărul domeniilor de variaţie) cu originea fixată icircn capătul intervalului şi
sensul de parcurgere spre partea considerată rămasă
Grinda prezentată icircn figura 220 are trei domenii de variaţie pentru funcţiile de
eforturi după cum urmează (A-1) (2-B) şi (B-1)
Domeniul (A-1) x1 isin [0 a = 6 m] Porţiunea parcursă şi considerată icircndepărtată este cea de coordonată x1 pe care
acţionează reacţiunile HA şi VA precum şi rezultanta parţială a sarcinii distribuite R1 =p ∙ x1
Funcţia forţă axială Nx are expresia
Nx(x1) = NAminus1 = minusHA = minus173 [kN] = const
(A7)
Funcţia forţă tăietoare Ty are exspresia
Ty(x1) = TAminus1 = VA minus R1 = VA minus p ∙ x1 (A8)
care reprezintă o variaţie liniară de variabilă x1 Se calculează valorile forţei tăietoare la
limitele intervalului de variaţie
- pentru x1 = 0 Ty(x1 = 0) = TA = VA = 42 [kN]
- pentru x1 = a = 6 [m] Ty(x1 = 6) = T1 = VA minus p ∙ a = minus18 [kN]
Observaţie Aşa cum a fost stabilită secţiunea fictivă poziţionată prin coordonata
x1 sar părea că rezultanta R ar trebui luată icircn calculul lui Ty(x1) Acest lucru ar fi greşit
pentru că R = p ∙ a reprezintă rezultanta sarcinii distribuite pe toată lungimea a iar
rezultanta pe porţiunea parcursă de lungime x1 este R1 = p ∙ x1 ne R = p ∙ a
Cu valorile obţinute se trasează diagramele forţelor axială Nx = f(x) şi tăietoare
Ty = f(x) figura 220 Din diagrama forţei tăietoare şi din valorile obţinute analitic se
observă că forţa tăietoare icircşi schimbă semnul pe intervalul analizat deci se anulează pe
acest interval Poziţia secţiunii unde Ty se anulează se determină din ecuaţia
Ty(x1) = 0 rArr VA minus p ∙ x1 = 0 (A9)
cu soluţia x1lowast = ξ = 42 [m] Important de reamintit că icircn această secţiune momentul
icircncovoietor va avea un extrem local adică Miz are un extrem la Ty = 0
Funcţia moment icircncovoietor Miz are expresia
Miz(x1) = VA ∙ x1 minus R1 ∙x12= VA ∙ x1 minus (p ∙ x1) ∙
x12
(A10)
Se observă că funcţia moment icircncovoietor de variabilă x1 are o variaţie parabolică
(gradul al II-lea) Pentru reprezentarea grafică a funcţiei parabolice se calculează valorile
momentului icircncovoietor icircn trei secţiuni
- pentru x1 = 0 Miz(x1 = 0) = MA = 0 [kN ∙ m] - pentru x1 = a = 6 [m] Miz(x1 = 6) = M1 = 72 [kN ∙ m] - pentru x1
lowast = ξ = 42 [m] Miz(x1lowast = ξ = 42 [m]) = Mimax = 882 [kN ∙ m]
Cu acestea se trasează diagrama Miz = f(x) pe intervalul (A-1) figura 220
Observaţie Icircn unele cazuri pe un anumit interval forţa tăietoare nu se anulează
şi momentul icircncovoietor nu are un extrem local Icircn acest caz pentru reprezentarea
variaţiei parabolice a momentului icircncovoietor se va studia semnul derivatei a doua a
funcţiei Miz = f(x1) acesta determinacircnd convexitatea curbei momentului icircncovoietor
Domeniul (2-B) x2 isin [0 c = 4 m] Porţiunile din grindă libere (nerezemate) la un capăt se numesc console iar
stabilirea funcţiilor de eforturi devine mai simplă dacă se consideră icircndepărtată partea din
dreapta secţiunii prin schimbarea sensului pozitiv al axei x Astfel se obţin funcţiile eforturilor
Funcţia forţă axială Nx are expresia
Nx(x2) = N2minusB = minusFH = minus173 [kN] = const
(A11)
Funcţia forţă tăietoare Ty are exspresia
Ty(x2) = T2minusB = FV = 10 [kN] = const (A12)
Funcţia moment icircncovoietor Miz are expresia
Miz(x2) = minusFV ∙ x2 rArr Miz(x2 = 0) = M2 = 0 [kN ∙ m]
Miz(x2 = 4) = MB = minus40 [kN ∙ m] (A13)
variaţie liniară (gradul I)
Domeniul (B-1) x3 isin [0 b = 4 m] Pe acest domeniu se acceptă parcurgerea grinzii de la dreapta adică se consideră
icircndepărtată partea din dreapta secţiunii fictive pentru că are doar două sarcini aplicate F
şi VB faţă de partea din stacircnga secţiunii pe care sunt aplicate trei sarcini p VA şi M0
Astfel se obţin funcţiile eforturilor
Funcţia forţă axială Nx are expresia
Nx(x3) = NBminus1 = minusFH = minus173 [kN] = const
(A14)
Funcţia forţă tăietoare Ty are exspresia
Ty(x3) = TBminus1 = FV minus VB = minus18 [kN] = const (A15)
Funcţia moment icircncovoietor Miz are expresia
Miz(x3) = minusFV ∙ (x3 + c) + VB ∙ x3 rArr
rArr Miz(x3 = 0) = MB = minus40 [kN ∙ m]
Miz(x3 = 4) = M1 = 32 [kN ∙ m]
(A16)
variaţie liniară (gradul I)
Diagramele eforturilor sunt prezentate icircn figura 220
c) Relaţiile diferenţiale dintre eforturi şi sarcini se analizează pe diagramele
eforturilor după cum urmează
sarcina distribuită nu are componentă orizontală adică ph = 0 şi icircn
conformitate cu formula (211) rezultă că Nx = const pe toată lungimea grinzii fapt care
a rezultat din funcţia şi reprezentarea diagramei forţei axiale
pe intervalul (A-1) sarcina distribuită are doar componenta verticală pozitivă
pV = p gt 0 prin urmare forţa tăietoare scade (are panta negativă dTy 119889119909frasl = minusp vezi
relaţia 210) iar momentul icircncovoietor avacircnd derivata a doua negativă d2M119894119911 1198891199092frasl =minuspare convexitatea curbei orientată spre sensul pozitiv al axei momentului Miz adică icircn
jos
pe domeniile (2-B) şi (B-1) deoarece pv = 0 forţa tăietoare Ty este constantă
iar momentul icircncovoietor Miz variază liniar
referitor la relaţia (212) pe porţiunile unde Ty gt 0 momentul Miz este
monoton crescător pe porţiunile unde Ty lt 0 momentul Miz este monoton descrescător
iar icircn secţiunea icircn care Ty = 0 momentul icircncovoietor are un extrem local Mξ =
882 [kN ∙ m] icircn diagrama forţei tăietoare discontinuităţile (salturile) se produc icircn secţiunile
unde acţionează VA VB şi FV iar icircn diagrama momentului icircncovoietor se produce un
singur salt icircn secţiunea icircn care este aplicat M0
se poate scrie
Mξ = suprafața diagramei Ty |ξ0=1
2∙ 42 ∙ 42 = 882 [kN ∙ m]
sau parcurgacircnd grinda de la dreapta la stacircnga rezultă
MB = minussuprafața diagramei Ty |c0= minus10 ∙ 4 = minus40 [kN ∙ m]
Toate aspectele analizate teoretic referitoare la relaţiile diferenţiale dintre eforturi
şi sarcini se regăsesc icircn diagramele de eforturi din figura 220 ceea ce icircnseamnă că
diagramele au fost reprezentate corect
3 TENSIUNI DEPLASĂRI ŞI DEFORMAŢII SPECIFICE
31 Tensiuni
Eforturile obținute icircn urma reducerii forțelor interioare icircn centrul de greutate al
secțiunii nu pot da informații asupra solicitării fiecărui punct al secțiunii respective Este
necesar să se cunoască modul cum se distribuie forțele interioare icircn fiecare punct al
secțiunii pentru a ști care este intensitatea maximă a solicitării Această intensitate
maximă se poate compara cu o valoare critică specifică materialului stabilindu-se astfel
dacă solicitarea este periculoasă sau nu
Mărimea care caracterizează solicitarea locală punctuală o vom denumi tensiune
și o vom defini icircn cele ce urmează Să considerăm partea din dreapta a unui corp solicitat
de forțele exterioare 1198651 1198652 și 1198653 obținută prin secționarea corpului și mărginită de fața
din dreapta Ad a secțiunii Pe secțiunea Ad vom considera un element de arie infinit mic
∆119860 caracterizat de normala la elementul de arie normală care are cosinușii directori
120573 și icircn raport cu un sistem de axe considerat fix Pe elementul infinit mic ∆119860 acționează
forțele interioare care au o rezultantă oarecare figura 31
Prin definiție tensiunea totală este
= lim∆119860rarr0
∆
∆119860 (31)
Tensiunea are aceeaşi direcţie cu forţa elementară ∆ iar mărimea ei este
determinată atacirct de mărimea forţei ∆ cacirct şi de orientarea suprafeţei ∆119860 faţă de direcţia
forţei
Tensiunea 119901 poate fi descompusă icircntr-o componentă orientată după direcţia
normalei la secţiune tensiunea normală notată cu 120590119909 şi o componentă icircn planul secţiunii
tensiunea tangenţială notată cu figura 32
= 119909 + 120591 (32)
Fig 31 Tensiunea totală Fig 32 Tensiunea normală și tangențială
La racircndul ei componenta tensiunii cuprinsă icircn planul secțiunii poate fi
descompusă după direcțiile axelor y și z
120591 = 120591119909119910 + 120591119909119911 (33)
Icircntre cele trei componente ale tensiunii totale care acționează pe elementul de arie
∆119860 este valabilă relația
1199012 = 1205901199092 + 120591119909119910
2 + 1205911199091199112 (34)
După sensul pe care icircl are tensiunea normală 120590 poate avea efect de tracţiune sau
de compresiune exercitat de către partea de corp icircnlăturată asupra părţii rămase Analog
tensiunea tangenţială 120591 poate avea efect de tăiere forfecare sau alunecare Pentru
componentele tensiunii tangențiale 120591119909119910 pe direcţia 119910 respectiv 120591119909119911 pe direcţia 119911 primul
indice indică axa pe care tensiunea este normală iar cel de-al doilea indice indică axa cu
care aceasta este paralel
Tensiunea este o mărime tensorială valoarea ei depinzacircnd atacirct de poziția
punctului icircn planul secțiunii cicirct și de orientarea planului de secționare deci de normala
Operaţiile vectoriale nu pot fi aplicate tensiunilor decacirct după ce acestea au fost icircnmulţite
cu ariile respective adică au fost transformate icircn forţe
Icircn literatura de specialitate mai ales icircn manualele mai vechi pentru noţiunea de
tensiune se mai foloseşte şi denumirea de efort specific
Dacă se consideră un alt element de arie ∆119860 cu centrul icircn același punct avacircnd ca
normală axa 119910 se vor obține alte tensiuni și anume
- 120590119910 este tensiunea normală (paralelă cu axa y)
- 120591119911119909 și 120591119910119911 sunt tensiuni tangențiale paralele cu axele 119909 și respectiv 119911 aflate icircn
planul care are ca normală axa 119910
Dacă icircn jurul unui punct dintr-un corp solicitat se consider un element de volum
infinit mic de forma unui cub icircn cazul cel mai general pe fețele sale vor acționa
tensiunile normale 120590119909 120590119910 și 120590119911 și respectiv tensiunile tangențiale 120591119909119910 120591119909119911 120591119910119909 120591119910119911 120591119911119909
și respectiv 120591119911119910 figura 33 Aceste tensiuni definesc starea de tensiune a punctului
observacircnd faptul că tensorul tensiune are 9 componente Dacă se consideră elementul
de volum finit ca fiind foarte mic se poate presupune că icircn interiorul său nu apar forțe
Ca urmare el va fi icircn echilibru sub acțiunea forțelor elementare produse de tensiunile de
pe fețele sale
Din condiția ca elementul să nu se rotească icircn jurul unor axe care trec prin centrul
său și sunt paralele cu axele sistemului 119909119874119910119911 rezultă
2 ∙ 120591119909119910 ∙ (119889119910 ∙ 119889119911) ∙119889119909
2= 2 ∙ 120591119910119909 ∙ (119889119909 ∙ 119889119911) ∙
119889119910
2 rArr 120591119909119910 = 120591119910119909 (35)
2 ∙ 120591119910119911 ∙ (119889119909 ∙ 119889119911) ∙119889119910
2= 2 ∙ 120591119911119910 ∙ (119889119909 ∙ 119889119910) ∙
119889119911
2 rArr 120591119910119911 = 120591119911119910 (36)
2 ∙ 120591119909119911 ∙ (119889119910 ∙ 119889119911) ∙119889119909
2= 2 ∙ 120591119911119909 ∙ (119889119909 ∙ 119889119910) ∙
119889119911
2 rArr 120591119909119911 = 120591119911119909 (37)
Relațiile (35divide37) 120591119909119910 = 120591119910119909 120591119910119911 = 120591119911119910 120591119909119911 = 120591119911119909 exprimă principiul dualității
tensiunilor tangențiale
Fig 33 Tensiunile normale și tangențiale pe fețele unui cub
Din condiția ca elementul considerat să nu se deplaseze icircn lungul axelor de
coordonate pe fețele opuse acționează aceleași tensiuni normale 120590119909 120590119910 și respectiv 120590119911
Definirea tensorului tensiune este posibilă dacă se cunosc cele 6 componente
independente ale acestuia aflate icircn trei plane perpendicular ce trec prin punctul respectiv
=
120590119909 120591119909119910 120591119909119911120591119910119909 120590119910 120591119910119911120591119911119909 120591119911119910 120590119911
Observaţii
Tensiunile se măsoară icircn [119873 1198982frasl ] (1119873 1198982frasl = 1 119875119886) sau icircn [119872119875119886]
(1 119872119875119886 = 106119875119886 = 106 119873
1198982 1 119872119875119886 = 1
119873
1198981198982)
Starea de tensiune dintr-un punct este considerată cunoscută dacă se cunosc
tensiunile 119901 care acționează pe infinitatea de elemente de suprafață ce trec prin punctual
considerat
Starea de tensiune a unui corp se consider cunoscută dacă se cunosc stările de
tensiune de pe infinitatea de puncte ale corpului considerat
32 Deplasări Deformaţii specifice
321 Deplasări
Aceste noțiuni sunt utile icircn analiza aspectului geometric al problemelor de rezistența
materialelor Deplasările care se analizează sunt cele datorate schimbării formei și
dimensiunilor corpurilor ca urmare a acțiunii forțelor exterioare și nu cele cinematice
posibile pentru solidul rigid care se poate deplasa cu anumită viteză și accelerație
Spre exemplu icircn figura 34a și figura 34b sub acțiunea forței 119865 tronsonul de
bară AB se deformează icircn timp ce tronsonul BC deși punctele sale au deplasări rămacircne
nedeformat (fiind nesolicitat) Toate punctele de pe axele barelor cu excepția celor din
icircncastrare (secțiunile A) au deplasări liniare De cele mai multe ori deformațiile barelor
datorate acțiunii forțelor exterioare se anulează la icircndepărtarea forțelor se spune că
deformațiile sunt elastice Secțiunile transversale ale barei din figura 34a se și rotesc icircn
raport cu pozițiile lor inițiale Spre exemplu secțiunea de căpăt cu centrul icircn C se rotește
cu unghiul
Fig 34 Deformațiile unei grinzi
Oricacirct de complexă ar fi delormația unui corp ea poate fi descrisă de lungiri sau
scurtări și de modificări ale unghiurilor inițiale
Deplasările măsoară schimbarea poziției unui punct al corpului și pot fi liniare
sau unghiulare
Prin deplasare liniară a unui punct se icircnțelege drumul parcurs de acest punct icircn
decursul procesului de deformație după o dreaptă suport dreapta 1198611198611 din figura 34a
Prin deplasare unghiulară se icircnțelege rotirea dintre segmentele de dreaptă
determinate de două puncte ale corpului icircnainte și după deformarea acestuia unghiul
pe care-l fac segmentele 119861119862 și 11986111198621 din figura 34a Această rotire se măsoară prin
unghiul pe care-l fac proiecțiile dreptelor ce conțin cele două segmente icircntr-un sistem
triortogonal
Icircn cazul cel mai general vectorul deplasare liniară se poate descompune icircntr-un
sistem triortogonal icircn trei componente 119906 119907 și 119908 figura 35
Fig 35 Deplasarea liniară
Se consideră acum un corp solid raportat la un sistem de axe ortogonal 119909119874119910119911
figura 35 după deformarea corpului un punct oarecare 119870 al acestuia se deplasează icircn
poziţia 1198701 vectorul 1198701198701 poartă numele de vectorul deplasării totale
Deplasarea totală este suma deplasărilor pe cele trei direcţii ortogonale iar
aceste deplasări se notează astfel
deplasarea pe direcţia 119909 cu ∥ 119874119909
deplasarea pe direcţia 119910 cu ∥ 119874119910
deplasarea pe direcţia 119911 cu ∥ 119874119911
Componentele deplasărilor și formeză matricea deplasărilor liniare 119906119907119908
322 Deformații
Prin deformație icircn general se icircnțelege orice schimbare de formă a unui corp fără
o evaluare cantitativă Icircn Rezistența Materialelor deformația măsoară variația
dimensiunilor geometrice ale corpului considerat din vecinătatea unui punct analog
deplasărilor deformațiile pot fi liniare și unghiulare (lunecări)
Fig 36 Deplasarea liniară
Deformația liniară ∆119897 reprezintă variația lungimii 119897 a unui element liniar al
corpului deformat figura 36 Deformația liniară specifică se definește ca fiind raportul
dintre deformația liniară și lungimea inițială
휀 =∆119897
119897 (38)
unde ∆119897 este lungirea sau scurtarea care este echivalentă cu deformția liniară totală iar
este alungirea
Deformația unghiulară sau lunecarea unui punct 119860 icircn planul 119861119860119862 se definește
prin relația figura 37
120574 = lim119861119860rarr0119862119860rarr0
(119861119860 minus 119861111986011198621 ) (39)
Fig 36 Deformația unghiulară
Schimbacircnd orientarea planului care trece prin 119860 se obțin alte deformații
unghiulare Dacă elementele liniare 119861119860 și 119862119860 sunt inițial perpendiculare deformația 120574 se
numește deformație unghiulară specifică sau lunecare specifică figura 37
Un exemplu de deplasare unghiulară și de deformație unghiulară este prezentat icircn
figura 38 Unghiul este deplasarea unghiulară și măsoară rotirea relativă dintre două
secțiuni aflate la distanța 119897 Unghiul este deformația specifică unghiulară (lunecarea
specifică) din punctul 119870 Aceste deplasări și deformații se obțin icircn urma solicitării barei
de către cele două momente 1198720 egale și de sens contrar
Fig 38 Deplasarea unghiulară
Pentru a analiza starea de deformație din vecinătatea unui punct al unui corp
solicitat complex se decupează din jurul punctului un element de volum mic figura 39a
avacircnd laturile 119889119909 119889119910 și 119889119911 Ca urmare a solicitării laturile acestuia se vor lungi sau
scurta Reprezentarea elementului deformat icircn spațiu este dificilă pentru simplificare
vom analiza doar deformațiile din planul 119909119874119910 Observăm că dimensiunile 119889119909 și 119889119910 s-au
modificat cu valoarea ∆119889119909 respectiv cu ∆119889119910 analog se acceptă și pentru 119889119911 o modificare
de forma ∆119889119911 Astfel se pot defini deformațiile specifice liniare
휀119909 =∆119889119909
119889119909 휀119910 =
∆119889119910
119889119910 휀119911 =
∆119889119911
119889119911 (310)
De cele mai multe ori aceste deformații specifice liniare se pot exprima procentual
și se mai numesc alungiri
Fig 39 Starea de deformație
Icircn figura 39c se vede că unghiul inițial drept dintre muchiile 119889119909 și 119889119910 ale
elementului de volum s-a modificat Se definește deformația specifică unghiulară (sau
lunecarea specifică) mărimea cu care se modifică unghiul inițial drept
120574119909119910 = 120574119909119910prime + 120574119910119909
prime = 120574119910119909120574119910119911 = 120574119910119911
prime + 120574119911119910prime = 120574119911119910
120574119911119909 = 120574119911119909prime + 120574119909119911
prime = 120574119909119911
(311)
Deformațiile 휀119909 휀119910 휀119911 120574119909119910 120574119910119911 120574119911119909 constituie cele șase componente
independente ale tensorului deformațiilor specifice care pot fi scrise de forma
119863 =
휀119909 120574119909119910 120574119909119911120574119910119909 휀119910 120574119910119911120574119911119909 120574119911119910 휀119911
(312)
323 Contracţia transversală
Practica arată că odată cu lungirea unei bare apare o micşorare a mărimii secţiunii
transversale mărime numită contracţie transversală figura 310
Fig 310 Contracția transversală
Contracţia transversală este proporţională cu lungirea specifică coeficientul de
proporţionalitate se notează cu 120599 şi se numeşte coeficient de contracţie transversală sau
coeficientul lui Poisson
La o lungire specifică a barei contracţia transversală este dată de relația
휀119905119903 = 휀119910 = 휀119911 = minus120599 ∙ 휀119909 (313)
Semnul minus bdquo-rdquo arată că cele două mărimi sunt contrare dacă una creşte cealaltă
scade şi invers
Considerăm o bară cilindrică de lungime 119897 şi aria secţiunii transversale 119860 solicitată
la icircntindere axială La un moment dat datorită solicitării lungimea barei devine
[119897 ∙ (1 + 휀)] diametrul devine [119889 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)] iar aria secţiunii transversale devine
[119860 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)2] Dacă volumul barei icircnainte de solicitare a fost (119860 ∙ 119897) după solicitare
acesta devine
119881 + ∆119881 = 119860 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)2 ∙ 119897 ∙ (1 + 휀) =
= 119860 ∙ 119897 ∙ (1 + 휀 minus 2 ∙ 120599 ∙ 휀 minus 2 ∙ 120599 ∙ 휀2 + 1205992 ∙ 휀2 + 1205992 ∙ 휀3) (314)
Deoarece lungirile sunt foarte mici ultimii trei termeni din paranteză fiind infinit mici se pot neglija obţinacircnd
119881 + ∆119881 = 119860 ∙ 119897 + 119860 ∙ 119897 ∙ 휀 ∙ (1 minus 2 ∙ 120599) ⟺ ∆119881 = 휀 ∙ (1 minus 2 ∙ 120599) ∙ 119860 ∙ 119897 (315)
Practica arătă că o astfel de bară solicitată la icircntindere icircşi măreşte volumul deci
∆119881 gt 0 de unde rezultă că
1 minus 2 ∙ 120599 gt 0 rArr 120599 lt 05 (316)
Pentru majoritatea materialelor 120599 = 033 iar pentru materialele care-şi păstrează
volumul constant 120599 = 05
33 Relaţii de echivalenţă icircntre eforturi şi tensiuni
Considerăm un element de suprafață infinit mic 119889119860 situat pe fața de arie (119860) a
secțiunii barei din figura 311 Icircn centrul de greutate 119862 al secțiunii acționează eforturile
119873 119879119910 119879119911 119872119909 119872119894119910 și 119872119894119911 determinate prin metoda secțiunilor
Icircn raport cu un sistem de axe de referință 119909119862119910119911 coordonatele elementului 119889119860 sunt
- 119910 este ordonata elementului de arie 119889119860
- 119911 este abscisa elementului de arie 119889119860
Pe elementul de arie 119889119860 acționează tensiunile
120590119909 tensiunea normală
120591119909119910 și 120591119909119911 tensiuni tangențiale
Dacă se icircnsumează forțele elementare de tipul 120590119909 ∙ 119889119860 120591119909119910 ∙ 119889119860 și 120591119909119911 ∙ 119889119860
va trebui să obținem eforturile 119873 119879119910 și 119879119911
Fig 311 Element de suprafață mic din secțiunea unei bare
Dacă eforturile sunt privite ca forțe exterioare și se scriu ecuațiile de
echilibru ale secțiunii (119860) se vor obține șase relații de echivalență icircntre eforturi și
tensiuni
(sum119883) = 0 rArr int 120590119909 ∙ 119889119860
119860
= 119873 (317)
(sum119884) = 0 rArr int 120591119909119910 ∙ 119889119860
119860
= 119879119910 (318)
(sum119885) = 0 rArr int 120591119909119911 ∙ 119889119860
119860
= 119879119911 (319)
(sum119872)119909= 0 rArr int(120591119909119911 ∙ 119889119860) ∙ 119910
119860
minus int(120591119909119910 ∙ 119889119860) ∙ 119911
119860
= 119872119909 rArr
rArr int(119910 ∙ 120591119909119911 minus 119911 ∙ 120591119909119910) ∙ 119889119860
119860
= 119872119909
(320)
(sum119872)119910= 0 rArr int(120590119909 ∙ 119889119860) ∙ 119911
119860
= 119872119894119910 (321)
(sum119872)119911= 0 rArr int(120590119909 ∙ 119889119860) ∙ 119910
119860
= 119872119894119911 (322)
Cele șase relații de echivalență icircntre eforturi și tensiuni constituie un pas icircnainte
icircn rezolvarea unei probleme de rezistența materialelor Aceste relații vor permite
determinarea tensiunilor maxime
Pentru a rezolva cele 6 relații de echivalență trebuie să se cunoască tensiunile și
ca funcții de punct adică funcții de forma
120590119909 = 120590119909(119909 119910 119911) 120591119909119910 = 120591119909119910(119909 119910 119911) 120591119909119911 = 120591119909119911(119909 119910 119911) (32
3)
Cunoașterea acestor funcții presupune icircnsă analizarea aspectului geometric al
problemei precum și utilizarea unor ipoteze simplificatoare care să permită simplificarea
problemelor
34 Ipoteze de bază icircn rezistenţa materialelor
Depășirea dificultăților legate de interpretarea unor fenomene specifice mecanicii
solidului deformabil a impus acceptarea unor ipoteze care să simplifice fenomenele și să
contribuie la elaborarea unor modele de calcul cicirct mai generale și cacirct mai simple Aceste
ipoteze se referă la structura materialelor şi la comportarea lor sub acţiunea forţelor
exterioare Ipotezele acceptate trebuie să fie icircn deplină concordanţă cu realitatea și să
conducă la rezultate verificate icircn practică
Funcție de aspectele la care se referă ipotezele pot fi
Ipoteze fizice (de material)
Ipoteze de calcul
341 Ipoteze fizice
Se acceptă deoarece teoriile structurale au condus la rezultate care contravin
icircncercărilor experimentale
Ipoteza mediului continuu consideră că orice domeniu elementar al corpului
este ocupat de materie adică nu se acceptă existența unor goluri sau a unor crăpături
microscopice (fisuri) Deși nu corespunde realităţii poate fi acceptată deoarece
dimensiunile corpului sunt mult mai mari decacirct dimensiunile particulelor elemantare Are
avantajul că permite utilizarea proprietăților matematice ale funcțiilor continue pentru
tensiunile și deformațiile din orice punct al corpului Ea este mai apropiată de realitate la
corpurile amorfe şi mai depărtată la cele cristaline dar conduce la rezultate satisfăcătoare
icircn calculele de rezistenţă
Ipoteza nu se poate aplica la corpurile care au goluri tăieturi (multiplu conexe)
pentru unele puncte singulare icircn care tensiunile și deformațiile tind la infinit sau icircn unele
probleme de plasticitate icircn care proprietățile de material au un rol esențial
Ipoteza izotropiei conform acestei ipoteze materialul din care este confecționat
un element de rezistență are aceleași proprietăți după orice direcție un astfel de material
este considerat izotrop Din punct de vedere macroscopic metalele pot fi considerate
izotrope deși la nivel microscopic proprietățile lor diferă de la o direcție cristalografică
la alta Orice conglomerat de cristale poate fi considerat izotrop
Există cazuri cacircnd această ipoteză a izotropiei nu se acceptă
la metalele puternic deformate după o direcție (prin laminare trefilare)
la piesele confecționate din lemn lemnul este anizotrop deoarece proprietățile sale
diferă după două direcții (icircn lungul fibrelor și perpendicular pe această direcție)
Ipoteza omogenității consideră că un corp are aceleași proprietăți icircn orice
punct al său Deși majoritatea materialelor utilizate icircn tehnică sunt eterogene la scară
micro fiind constituite din mai multe faze cu proprietăți diferite la scară macro ele pot
fi considerate omogene Omogenitatea și izotropia sunt proprietăți statistice medii care
nu se condiționează una pe cealaltă Chiar și materialele monofazice pot avea la scară
micro unele segregații care le fac eterogene
Ipoteza elasticităţii perfecte presupune că atacircta timp cacirct solicitările nu
depăşesc anumite limite materialul are o comportare elastică adică icircşi recapătă forma şi
dimensiunile iniţiale odată cu icircnlăturarea sarcinilor Icircn realitate materialele nu prezintă o
elasticitate perfectă ele avacircnd deformaţii remanente mici care icircnsă pot fi neglijate icircn
calculele de rezistenţă
Acceptarea acestei ipoteze a elasticității perfecte permite
- aplicarea relației biunivoce icircntre tensiuni și deformații relație exprimată de legea
lui Hooke ( = 119864 ∙ 휀) unde E este un factor de proporţionalitate numit modul de
elasticitate longitudinal al materialului pentru oţel 119864 = 21 ∙ 105 [119872119875119886] - acceptarea valabilității afirmației bdquolucrul mecanic efectuat de forțele exterioare
ca urmare a parcurgerii deplasărilor punctelor de aplicație se icircnmagazinează integral icircn
corp sub formă de energie de deformație energie cedată la icircndepărtarea sarcinilorrdquo
- este valabilă teoria conform căreia bdquoenergia icircnmagazinată și deformațiile depind
doar de starea inițială și finală de eforturi fără a ține cont de modul icircn care s-a ajuns la
starea finalărdquo
Icircn realitate oricacirct de mici ar fi sarcinile aplicate se produc și deformații plastice
dar acestea pot fi neglijate dacă solicitarea nu depășește anumite limite
342 Ipoteze de calcul
Ipoteza micilor deplasări bdquodeplasările datorate deformării sunt mult mai mici
decacirct dimensiunile corpurilor și ca urmare pot fi neglijate produsele dintre o deplasare și
ea icircnsăşirdquo Pentru cele mai multe corpuri deformaţiile elastice sunt de mărimi mici deci
corpurile solide sub acţiunea sarcinilor icircşi modifică foarte puţin forma iniţială Această
ipoteză este cunoscută şi sub denumirea de ipoteza menţinerii dimensiunilor iniţiale Ea
permite scrierea ecuaţiilor de echilibru ale staticii pe starea nedeformată a elementului
cacircnd nu se iau icircn considerare deplasările punctelor de aplicaţie ale forţelor care se produc
ca urmare a deformării acestuia Calculul efectuat pe schema nedeformată poartă numele
de calcul de ordinul I
Ipoteza micilor deplasări nu poate fi acceptată pentru studiul problemelor de
stabilitate sau la problemele la care nu pot fi icircndeplinite condiţiile de echilibru icircn starea
nedeformată
Calculul de ordinul II admite ipoteza micilor deplasări dar ecuaţiile de echilibru
se scriu icircnsă pentru starea deformată a elementului de rezistenţă
Calculul de ordinul III nu mai acceptă ipoteza micilor deplasări el referindu-se
la cazul deformaţiilor mari cacircnd ecuaţiile de echilibru trebuie scrise pentru starea
deformată
Chiar dacă materialul satisface legea lui Hooke icircn urma calculelor de ordinul II
se obţin de obicei relaţii neliniare icircntre sarcini şi deplasări iar pentru calculul de ordinul
III rezultă ecuaţii diferenţiale neliniare
Principiul efectului local al acțiunii sarcinilor enunțat de Barre de Saint-
Venant Acest principiu destul de folosit icircn Rezistenţa Materialelor precizează că dacă
se icircnlocuiesc forţele care acţionează asupra unui element de suprafață al unui corp
elastic printr-un alt sistem de forţe echivalent din punct de vedere static cu primul noua
distribuţie a forţelor produce la locul de aplicare diferenţe semnificative faţă de prima
dar rămacircne fără efect sau cu efect neglijabil la distanţe mari de locul de aplicare al
forţelor figura 312
Ca o cosecință o sarcină uniform distribuită figura 312a poate fi icircnlocuită cu
rezultanta ei figura 312b dacă se analizează efectul sarcinii la distanță mare de locul icircn
care se aplică sarcina
Fig 312 Principiul Saint-Venant
Icircn prima variantă figura 312a forţa 119865 se aplică pe o porțiune oarecare 119897 (sarcină
uniform distribuită) iar icircn a doua figura 312b icircntru-un punct (forţă concentrată) La
locul de aplicare a sarcinii efectul asupra barei este cu totul diferit de la o variantă la
cealaltă Icircnsă la o distanţă mare de punctul de aplicaţie spre exemplu icircn secţiunea situată
la distanţa 119886 de capătul barei sau chiar icircn icircncastrare ambele bare sunt solicitate la fel
Icircn cazul din figura 312a
119872119894(119909) =119901 ∙ 1199092
2 119909 le 119897 119872119894(119909) = 119901 ∙ 119897 ∙ (119909 minus
119897
2) 119909 gt 119897 (324)
Icircn cazul din figura 312b
119872119894(119909) = 0 119909 lt119897
2 119872119894(119909) = 119901 ∙ 119897 ∙ (119909 minus
119897
2) 119909 gt
119897
2 (325)
Se vede că pentru (119909 gt 119897) adică după depășirea locului icircn care se aplică sarcina
efectul este același
Ipoteza lui Bernoulli sau ipoteza secţiunilor plane precizează că o secţiune
plană şi normală pe axa barei icircnainte de deformare rămacircne plană şi normală pe axa
barei şi după deformare figura 313
Fig 313 Ipoteza lui Bernoulli
Ipoteza stării naturale a corpului sau ipoteza absenţei tensiunilor conform
căreia pentru un corp nesolicitat starea de tensiune şi deformaţie este nulă
Perfecţionarea mijloacelor de calcul şi de investigare pot conduce la renunţarea la
unele ipoteze sau la introducerea altora noi mai aproape de stările reale De aici rezultă
caracterul de continuă perfecţionare a metodelor Rezistenţei Materialelor
35 Coeficienţi de siguranţă Tensiuni admisibile
O piesă corespunde din punct de vedere tehnic dacă tensiunile care iau naştere icircn
interiorul piesei datorită sarcinilor aplicate nu depăşesc anumite valori limită stabilite
convenţional Aceste valori limită ale tensiunii sunt corelate cu caracteristicile mecanice
ale materialelor
Tensiunea limită utilizată icircn calculele de rezistenţă este cunoscută sub denumirea
de tensiune admisibilă sau rezistenţă admisibilă Rezistenţa admisibilă reprezintă
valoarea convenţională aleasă icircn calcul pe baza practicii pentru tensiunea maximă care
poate apare icircntr-o piesă icircn condiţii date de material şi solicitare
Rezistenţa admisibilă (120590119886 sau 120591119886) poate fi definită faţă de o stare limită
periculoasă stare care trebuie evitată deoarece poate conduce distrugere
120590119886 =120590119897119894119898119888
(326)
unde
120590119897119894119898 este tensiunea corespunzătoare stării limită periculoase
119888 estesupraunitar 119888 gt 1 și reprezintă coeficientul de siguranţă faţă de starea limită
periculoasă considerată
Alegerea unor valori inferioare pentru rezistenţa admisibilă faţă de tensiunea
corespunzătoare stării limită periculoase este necesară deoarece
cunoaşterea sarcinilor este de cele mai multe ori aproximativă şi o depăşire a
acestora este foarte posibilă
caracteristicile mecanice ale materialelor variază icircn limite destul de mari ele
fiind influenţate de mulţi factori
schema aleasă pentru calcul (aplicarea sarcinilor schematizarea structurii
ipotezele de calcul etc) depărtează modelul faţă de cel real
Pentru calculele de verificare tensiunea efectivă maximă din elementul de
rezistenţă trebuie să fie mai mică sau cel mult egală cu cea admisibilă
120590119890119891119898119886119909 le 120590119886 (327)
Valoarea rezistenţei admisibile este influenţată de foarte mulţi factori natura
materialului tratamentele termice aplicate piesei durata de funcţionare a piesei modul
de acţionare icircn timp a sarcinilor felul solicitării temperatura gradul de periculozitate
icircn cazul cedării piesei etc
De asemenea valoarea coeficientului de siguranţă se alege icircn principal ţinacircnd
seama de aceiaşi factori care influenţează şi rezistenţa admisibilă
Rezistenţele admisibile pentru cacircteva materiale sunt următoarele
pentru oțelul de uz general OL37 solicitat la icircntindere compresiune sau
icircncovoiere 120590119886 = 150 [119872119875119886] pentru lemnul de brad solicitat la
- compresiune icircn lungul fibrelor şi solicitat la icircncovoiere 120590119886 = 10 [119872119875119886] - tracţiune icircn lungul fibrelor 120590119886 = 7 [119872119875119886] - compresiune perpendiculară pe fibre 120590119886 = 15 [119872119875119886] - forfecare icircn lungul fibrelor 120591119886 = 2 [119872119875119886] - forfecare perpendiculară pe fibre 120590119886 = 45 [119872119875119886]
terenuri de fundaţie din pămacircnt uscat sau umed 120590119886 = 020 divide 025 [119872119875119886]
4 CARACTERISTICI GEOMETRICE ALE SECȚIUNILOR PLANE
41 Noţiuni introductive
Icircn relaţiile de calcul ale tensiunilor şi deformaţiilor elementelor de rezistenţă
pentru unele solicitări (icircncovoierea și torsiunea) secțiunile plane intervin atacirct prin
dimensiunile lor (aria 119860) cicirct și prin forma și poziția pe care o are secțiunea icircn raport cu
planul solicitării Mărimile care caracterizează o secțiune icircn raport cu forma și poziția față
de axele unui sistem de referință sunt denumite caracteristici geometrice de ordin
superior Aria secțiunii este caracteristica geometrică ce depinde doar de dimensiunile
geometrice ale acesteia
Să considerăm o grindă solicitată de o forță exterioară 119865 aşezată icircn două poziții icircn
raport cu planul forţei figura 41 Icircn urma aplicării forței deși avem aceeași grindă
(aceeași arie a secțiunii transversale) și aceeași forță se constată că pentru varianta din
figura 41a deformațiile sunt mult mai mari adică rezistența la icircncovoiere a grinzii din
figura 41a este mai mare decacirct icircn cazul grinzii din figura 41b Comportarea diferită se
explică prin aceea că modificarea poziţiei secţiunii transversale faţă de planul forţelor
modifică caracteristicile geometrice ale secţiunii transversale a grinzii
Fig 41 Grindă solicitată de forța 119865
Pentru realizarea calculelor de rezistenţă şi rigiditate este foarte importantă
cunoaşterea caracteristicilor geometrice ale suprafeţei secţiunii transversale a elementelor
de rezistenţă
Caracteristicile geometrice ale secţiunii transversale a unui element de rezistenţă
sunt
- aria secțiunii notată cu 119860
- momentul static icircn raport cu o axă notat 119878119911 și respectiv 119878119910
- momentul de inerție care poate fi
axial notat 119868119911 și respectiv 119868119910
centrifugal notat 119868119911119910
polar notat 119868119901
- raza de inerţie (giraţie)notată 119894119911 și respectiv 119894119910
- modulul de rezistență care poate fi
axial notat 119882119911 și respectiv 119882119910
polar notat 119882119901
42 Aria și momentul static al suprafețelor plane
Fie o suprafaţă plană de arie 119860 pe care se ia un element infinit mic de arie 119889119860 şi
un sistem de axe rectangulare 119911119874119910 figura 42 Notăm cu 119862 centrul de greutate al suprafeţei
119860 Poziţia suprafeţei elementare 119889119860 faţă de acelaşi sistem de coordonate 119911119874119910 este dată
de abscisa 119911 ordonata 119910 și raza polară
Fig 42 Suprafață plană de arie 119860
Aria suprafeţei 119860 figura 42 se defineşte ca fiind
119860 ≝ int 119889119860
119860
(41)
Aria suprafeţei este icircntotdeauna pozitivă și se măsoară icircn [1198981198982] Momentul static al suprafeţei de arie 119860 icircn raport cu axele 119874119911 și respectiv 119874119910
figura 42 sunt date de relaţiile
119878119911 ≝ int 119910 ∙ 119889119860
119860
119878119910 ≝ int 119911 ∙ 119889119860
119860
(42)
Momentul static poate fi pozitiv negativ sau nul şi se măsoară icircn [1198981198983] Coordonatele centrului de greutate ale suprafeței 119860 se detrmină cu relațiile
119910119862 ≝int 119910 ∙ 119889119860119860
119860 119911119862 ≝
int 119911 ∙ 119889119860119860
119860
(43)
Cunoscacircnd coordonatele 119910119862 și 119911119862 ale centrului de greutate 119862 al secțiunii 119860 atunci
momentele statice se pot determina cu relațiile
119878119911 ≝ int 119910 ∙ 119889119860
119860
= 119910119862 ∙ 119889119860 119878119910 ≝ int 119911 ∙ 119889119860
119860
= 119911119862 ∙ 119889119860 (44)
Aceste relații arată că momentul static al unei suprafețe icircn raport cu o axă este
egal cu produsul dintre aria suprafeței și distanța de la centrul ariei la axa respectivă
Dacă suprafaţa se poate descompune icircn 119899 suprafeţe simple la care se cunosc ariile
(1198601 1198602 ⋯ 119860119894⋯ 119860119899) și poziţiile centrelor de greutate 119862119894 faţă de sistemul de referinţă
expresiile momentelor statice capătă următoarea formă
119878119911 = sum 119910119862119894 ∙ 119860119894119899119894=1 = 119910119862 ∙ 119860 119878119910 = sum 119911119862119894 ∙ 119860119894
119899119894=1 = 119911119862 ∙ 119860 (45)
Din relaţiile (45) rezultă că poziţia centrului de greutate 119862 al unei suprafeţe
compuse poate fi determinată cu relaţiile
119910119862 = (sum119910119862119894 ∙ 119860119894
119899
119894=1
) 119860frasl 119911119862 = (sum119911119862119894 ∙ 119860119894
119899
119894=1
) 119860frasl (46)
Icircn relația (45) 119910119862119894 și respectiv 119911119862119894 reprezintă coordonatele centrelor de greutate 119862119894
ale fiecărei suprafețe simple 119860119894 icircn raport sistemul de axe 119911119874119910
Se constată (relaţia 42) că dacă axele sistemului de referinţă trec prin centrul de
greutate (119910119862 = 119911119862 = 0) momentele statice sunt nule Axele icircn raport cu care momentele
statice sunt nule şi care trec prin centrul de greutate al suprafeţei se numesc axe centrale
Observație dacă secțiunea compusă are o axă de simetrie centrul secțiunii se
găsește pe acea axă iar dacă secțiunea este dublu simetrică poziția centrului secțiunii este
la intersecția axelor de simetrie
43 Momente de inerţie
Momentele de inerţie axiale ale unei suprafețe se calculează icircn raport cu axele de
coordonate 119874119911 și respectiv 119874119910 figura 42 și se determină cu relațiile
119868119911 ≝ int 1199102 ∙ 119889119860
119860
119868119910 ≝ int 1199112 ∙ 119889119860
119860
(47)
Unde 119910 și 119911 sunt distanțele de la elementul de arie 119889119860 la cele două axe de
coordonate 119874119911 și respectiv 119874119910
Momentele de inerţie axiale se măsoară icircn [1198981198984] şi sunt icircntotdeauna pozitive (aria
119889119860 este icircntotdeauna pozitivă și este multiplicată cu patratul distanței 1199102 dacă 119868119911 sau 119868119910
sunt nule icircnseamnă ca secțiunea nu există)
Momentele de inerție axiale se calculează icircndeosebi pentru axele centrale (care
trec prin centrul secțiunii) deoarece icircn raport cu acele axe 119868119911 și 119868119910 au valori minime
Momentul de inerţie centrifugal calculat faţă ambele axe ale sistemului de
referinţă 119911119874119910 este definit de relația
119868119911119910 ≝ int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860
(48)
Momentul de inerţie centrifugal se măsoară icircn [1198981198984] şi poate fi pozitiv negativ
sau nul
Momentul de ineție centrifugal este nul 119868119911119910 = 0 dacă cel puțin una din axele 119874119911
sau 119874119910 este axă de simetrie pentru secțiune
Se consideră o suprafaţă dreptunghiulară pe care faţă de axa de simetrie 119874119910 se iau
două suprafeţe elementare de arie 119889119860 simetrice faţă de axa 119874119910 figura 43
Fig 43 Suprafață dreptunghiulară cu două arii elementare 119889119860
Făcacircnd suma momentelor de inerţie centrifugale pentru cele două suprafeţe
elementare 119889119860 (din stacircnga şi din dreapta faţă de axa 119874119910) se obţine
int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860119889119903
+ int (minus119911) ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860119904119905119892
= int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860119889119903
minus int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860119904119905119892
= 0 (49)
Acelaşi raţionament se poate face și pentru icircntreaga suprafaţă de unde obținem că
momentul de inerție centrifugal este nul 119868119911119910 = 0 Deci pentru o suprafaţă plană care
are cel puţin o axă de simetrie momentul de inerţie centrifugal faţă de sistemul care
conţine acea axă de simetrie este nul
Momentul de inerţie polar al unei suprafeţei icircn raport cu un punct (pol) 119874 figura
42 este definit prin relaţia
1198680 = 119868119901 ≝ int 1205882 ∙ 119889119860
119860
= int(1199102 + 1199112) ∙ 119889119860
119860
= 119868119911 + 119868119910 (410)
unde este distanţa de la polul 119874 la elementul de arie 119889119860 Momentul de inerţie polar se
măsoară icircn [1198981198984] şi este totdeauna pozitiv
Momentul de inerţie polar este egal cu suma momentelor de inerţie faţă de două axe
perpendiculare oarecare şi care trec prin polul considerat
Razele de giraţie sau razele de inerţie sunt mărimi calculate icircn raport cu axele
secțiunii și definite de relaţiile
119894119911 ≝ radic119868119911119860 119894119910 = radic
119868119910
119860 (411)
Se exprimă icircn [119898119898] şi sunt icircntotdeauna pozitive Semnificația unei raze de inerție
este distanța la care dacă ar fi concentrată icircntreaga arie s-ar obține același moment de
inerție ca și cel calculat pentru aria reală
44 Modulul de rezistenţă
Modulul de rezistență se calculează icircn raport cu axele de referință sau icircn raport cu
un pol figura 42 și pot fi axiale (119882119911119882119910) sau polar (119882119901) și se determină numai pe baza
momentelor de inerţie cu relațiile figura 43
119882119911119898119894119899 ≝119868119911119910119898119886119909
119882119911119898119886119909 ≝119868119911119910119898119894119899
(412)
119882119910119898119894119899 ≝119868119910
119911119898119886119909 119882119910119898119886119909 ≝
119868119910
119911119898119894119899 (413)
119882119901 ≝119868119901
120588119898119886119909 (414)
unde
119910119898119886119909 119910119898119894119899 reprezintă distanţa de la axa 119874119911 la punctele extreme cele mai
depărtate respectiv cele mai apropiate ale suprafeţei de această axă
119911119898119886119909 119911119898119894119899 reprezintă distanţa de la axa 119874119910 la punctele extreme cele mai
depărtate respectiv cele mai apropiate ale suprafeţei de această axă
120588119898119886119909 reprezintă distanța maximă de la polul 119874 la punctul secțiunii cel mai
icircndepărtat de acesta
Fig 43 Suprafață dreptunghiulară cu două arii elementare 119889119860
Modulele de rezistenţă se exprimă icircn [1198981198983] şi sunt icircntotdeauna pozitive
Explicația este aceea că momentele de inerție care intră icircn relațiile de definiție sunt
pozitive iar distanțele la punctele extreme sunt pozitive (119910119898119886119909 119910119898119894119899 119911119898119886119909 119911119898119894119899 120588119898119886119909 se
iau icircn valoare absolută)
Icircn cazul suprafeţelor compuse modulul de rezistenţă nu se obţine prin icircnsumarea
algebrică a modulelor de rezistenţă ale suprafeţelor simple componente ci numai prin
intermediul momentului de inerţie axial calculat pentru icircntreaga secțiune
Ca și momentele de inerție modulele de rezistență se calculează numai pentru
sistemele de axe centrale
45 Momente de inerţie şi module de rezistenţă pentru suprafeţe simple
451 Secțiune dreptunghiulară
Fie suprafaţa dreptunghiulară din figura 44 de icircnălțime ℎ și lățime 119887 pe care se
consideră suprafaţă elementară de arie 119889119860 = 119887119889119910 la distanța 119910 de axa 119862119911 sistemul de
axe 119911119862119910 trece prin centrul secțiunii iar axele sunt axe de simetrie pentru dreptunghi
Fig 44 Suprafață dreptunghiulară
Pe baza relațiilor de definiți a momentului de inerție 119868119911 se obține
119868119911 ≝ int 1199102 ∙ 119889119860
119860
= int 1199102 ∙ 119887 ∙ 119889119910 = 2int 1199102 ∙ 119887 ∙ 119889119910 = 2 ∙ 119887 ∙1199103
3|ℎ 2frasl
0rArr
ℎ 2frasl
0
ℎ 2frasl
minusℎ 2frasl
rArr 119868119911 =119887 ∙ ℎ3
12
(415)
Analog pentru un element de arie 119889119860 = ℎ ∙ 119889119911 paralel cu axa 119862119910 situat la distanța
119911 de axa 119862119910
119868119910 ≝ int 1199112 ∙ 119889119860
119860
= int 1199112 ∙ ℎ ∙ 119889119911 = 2int 1199112 ∙ ℎ ∙ 119889119910 = 2 ∙ ℎ ∙1199113
3|119887 2frasl
0rArr
119887 2frasl
0
119887 2frasl
minus119887 2frasl
rArr 119868119910 =1198873 ∙ ℎ
12
(416)
Deoarece axele 119862119911 și 119862119910 sunt axe de simetrie momentul de inerție centrifugal este
119868119911119910 = 0 (417)
Pentru un pătrat avacircnd laturile egale (ℎ = 119887 = 119886) momentele de inerţie faţă de
axele centrale au expresia
119868119911 = 119868119910 =1198864
12 (418)
Modulele de rezistență axiale se calculează cu relațiile de definiție ținacircnd cont că
distanțele pacircnă la fibrele extreme sunt
119910119898119886119909 = 119910119898119894119899 =ℎ
2 119911119898119886119909 = 119911119898119894119899 =
119887
2 (419)
Obținem
119882119911119898119894119899 = 119882119911119898119886119909 =119868119911
119910119898119886119909119898119894119899=119887 ∙ ℎ3
12frasl
ℎ2frasl
=119887 ∙ ℎ2
6
119882119910119898119894119899 = 119882119910119898119886119909 =119868119910
119911119898119886119909119898119894119899=1198873 ∙ ℎ
12frasl
1198872frasl
=1198872 ∙ ℎ
6
(420)
452 Suprafaţă circulară
Din motive de simetrie pentru suprafeţele circulare momentele de inerţie faţă de
orice diametru (care reprezintă şi axe centrale) sunt aceleaşi
Considerăm o secțiune circulară plină cu diametrul 119889 și centrul de greutate 119862 Prin
centrul de greutate 119862 trece sistemul de axe ortogonal 119911119862119910 figura 45
Fig 45 Suprafață circulară
La distanța de centrul de greutate 119862 vom lua un element de suprafață mic de arie
(119889119860) de forma unui inel de grosime 119889 Elementul de arie 119889119860 are expresia
119889119860 = (2 ∙ 120587 ∙ 120588) ∙ (119889120588)
Pornind de la relația de definiție a momentului de inerție polar obținem
119868119901 ≝ int 1205882 ∙ 119889119860
119860
= int 1205882 ∙ (2 ∙ 120587 ∙ 120588) ∙ 119889120588
119903=119889 2frasl
0
= 2 ∙ 120587 ∙1205884
4|119889 2frasl0 rArr
rArr 119868119901 =120587 ∙ 1198894
32
(421)
Secțiunea este perfect simetrică deci sunt valabile relațiile
119868119911 = 119868119910 rArr 119868119901 = 119868119911 + 119868119910 = 2 ∙ 119868119911 = 2 ∙ 119868119910 =119868119901
2=120587 ∙ 1198894
64 (422)
Și modulele de rezistenţă faţă de orice diametru sunt egale şi se calculează cu
relaţiile
119882119911 = 119882119910 =1198681199111198892frasl=120587 ∙ 1198893
32 (423)
Modulul de rezistenţă polar este
119882119901 =1198681199011198892frasl=120587 ∙ 1198893
16 (424)
453 Secţiune inelară
Calculul momentelor de inerţie axiale pentru o secţiune inelară avacircnd diametrul
interior 119889 şi diametrul exterior 119863 se determină analog pentru suprafaţa circulară plină cu
observaţia că integrala pentru calculul momentului de inerție polar 119868119901 se face icircntre
limitele 119903 = 119889 2frasl şi R= 1198632frasl (icircntre raza interioară 119903 şi raza exterioară 119877) figura 46
Se obţin relaţiile
119868119901 =120587 ∙ 1198634
32∙ [1 minus (
119889
119863)4
] =120587 ∙ 1198634
32∙ (1 minus 1198964) (425)
119868119910 = 119868119910 =120587 ∙ 1198634
64∙ [1 minus (
119889
119863)4
] =120587 ∙ 1198633
64∙ (1 minus 1198964) (426)
Fig 46 Secțiune inelară
119882119901 =120587 ∙ 1198633
16∙ [1 minus (
119889
119863)4
] =120587 ∙ 1198633
16∙ (1 minus 1198964) (427)
119882119911 = 119882119910 =120587 ∙ 1198633
32∙ [1 minus (
119889
119863)4
] =120587 ∙ 1198633
32∙ (1 minus 1198964) (428)
unde 119896 = 119889119863frasl
46 Variaţia momentelor de inerţie faţă de axe paralele
( Relațiile lui STEINER)
Se consideră o suprafaţă oarecare de arie 119860 cu elementul de arie 119889119860 și un sistemul
de axe central 119911119862119910 faţă de care se cunosc momentele de inerţie 119868119911 119868119910 119868119911119910 şi considerăm
un sistem de axe 11991111198741199101 paralele cu sistemul central figura 47 Se pune problema
determinării momentele de inerţie 1198681199111 1198681199101 11986811991111199101 faţă de sistemul de axe paralel cu sistemul
central 11991111198741199101 axe aflate la distanţele 119910119862 = 119888 respectiv 119911119862 = 119889 de acesta
461 Momente de inerţie axiale
Pe baza relaţiilor de definire şi a notaţiilor din figura 42 pentru momentele de
inerţie faţă de axele 1198741199111 1198741199101 se poate scrie
1198681199111 = int 11991012 ∙ 119889119860
119860
= int(119910 + 119888)2 ∙ 119889119860
119860
= int 1199102 ∙ 119889119860
119860
+ 2 ∙ 119888 ∙ int 119910 ∙ 119889119860
119860
+
+1198882int 119889119860
119860
rArr 1198681199111 = 119868119911 + 2 ∙ 119888 ∙ 119878119911 + 1198882 ∙ 119860 hArr 1198681199111 = 119868119911 + 119888
2 ∙ 119860
(429)
Fig 47 Variaţia momentelor de inerţie față de axe paralele
S-a ajuns la relația (429) deoarece momentul static 119878119911 este nul deoarece axa 119862119885
este axă centrală
Pentru momentul de inerție axial icircn raport cu axa 1198741199101 se obține
1198681199101 = int 11991112 ∙ 119889119860
119860
= int(119911 + 119889)2 ∙ 119889119860
119860
= int 1199112 ∙ 119889119860
119860
+ 2 ∙ 119889 ∙ int 119911 ∙ 119889119860
119860
+
+1198892 ∙ int 119889119860
119860
rArr 1198681199101 = 119868119910 + 2 ∙ 119889 ∙ 119878119910 + 1198892 ∙ 119860 hArr 1198681199101 = 119868119910 + 119889
2 ∙ 119860
(430)
Pentru momentul de inerție centrifugal obținem
11986811991111199101 = int 1199101 ∙ 1199111 ∙ 119889119860
119860
= int(119910 + 119888) ∙ (119911 + 119889) ∙ 119889119860
119860
= int 119910 ∙ 119911 ∙ 119889119860 +
119860
+119888 ∙ int 119911 ∙ 119889119860
119860
+ 119889 ∙ int 119910 ∙ 119889119860
119860
rArr 11986811991111199101 = 119868119911119910 + 119888 ∙ 119889 ∙ 119860
(431)
Deoarece
int 119911 ∙ 119889119860
119860
= 119878119910 = 0 int 119910 ∙ 119889119860
119860
= 119878119911 = 0 int 119910 ∙ 119911 ∙ 119889119860
119860
= 119868119911119910
Relaţiile (429) şi (430) arată că momentul de inerţie faţă de o axă oarecare
este egal cu momentul de inerţie faţă de o axă paralelă cu ea trecacircnd prin centrul de
greutate la care se adaugă produsul dintre aria suprafeţei şi pătratul distanţei dintre
cele două axe
Din relaţiile (429) și (430) rezultă de asemenea că momentul de inerţie faţă de o
axă centrală (care trece prin centrul de greutate) este cel mai mic dintre infinitatea de
momente de inerţie obținute faţă de alte axe paralele cu ea
Relaţia (431) arată de asemenea că momentul de inerţie centrifugal faţă de un
sistem de axe oarecare este egal cu momentul de inerţie centrifugal faţă de un sistem
paralele cu el trecacircnd prin centrul de greutate a suprafeţei la care se adaugă produsul
dintre aria suprafeţei şi distanţele dintre axele sistemelor respective
Icircn literatura de specialitate relaţiile (429) (430) şi (431) sunt cunoscute sub
numele de relaţiile lui Steiner
47 Variaţia momentrlor de inerţie faţă de axe rotite
Direcţii principale şi momente de inerţie principale
Fie suprafaţa plană din figura 48 de arie 119860 pe care considerăm o suprafaţă
elementară de arie 119889119860 Pentru sistemul de axe 119911119874119910 se cunosc momentele de inerţie
119868119911 119868119910 119868119911119910 şi vom determina relaţiile de calcul pentru momentele de inerţie afererent unui
sistem de axe 11991111198741199101 rotit cu un unghi faţă de sistemul central
Faţă de sistemul de axe 11991111198741199101 elementul de arie 119889119860 are coordonatele
1199101 = 119875119877 = 119875119876 minus 119877119876 = 119910 ∙ cos 120572 minus 119911 ∙ sin 120572
1199111 = 119873119872 = 119873119875 minus 119875119872 = 119911 ∙ cos 120572 + 119910 ∙ sin 120572 (432)
Fig 47 Variaţia momentelor de inerţie față de axe rotite
Pe baza relaţiilor de calcul ale momentelor de inerţie şi a notaţiilor din figura 42
şi ale relaţiilor (432) momentele de inerţie faţă de sistemul de axe rotit 11991111198741199101 sunt
1198681199111 =119868119911 + 119868119910
2+119868119911 minus 119868119910
2∙ cos 2120572 minus 119868119911119910 ∙ sin 2120572 (433)
1198681199101 =119868119911 + 119868119910
2minus119868119911 minus 119868119910
2∙ cos 2120572 + 119868119911119910 ∙ sin 2120572 (434)
11986811991111199101 =119868119911 minus 119868119910
2∙ sin 2120572 + 119868119911119910 ∙ cos 2120572 (435)
Din relaţiile 433divide435 se observă că icircntre momentele de inerţie axiale şi cele
polare există relaţia
1198681199111 + 1198681199101 = 119868119911 + 119868119910 = 119868119901 (436)
adică suma momentelor de inerţie axiale icircn raport cu orice pereche de axe ortogonale
care trec printr-un pol dat este o constantă şi egală cu momentul de inerţie polar
Prin rotirea sistemului de axe din relaţiile 433divide435 rezultă că momentele de inerţie
variază icircnsă suma lor rămacircne constantă deci există o poziţie a sistemului de axe pentru
care momentele de inerţie au valori extreme maxim respectiv minim
471 Direcţii principale de inerţie
Valoarea unghiului 120572 pentru care momentele de inerţie axiale au valori extreme
este
1205721 =1
2∙ 119886119903119888119905119886119899 (minus
2 ∙ 119868119911119910
119868119911 minus 119868119910) (437)
Poziţia celeilalte direcţii este perpendiculară pe cea dată de unghiul 1205721
Din relaţia (437) se constată că faţă de aceste direcţii rotite pentru care momentele
de inerţie axiale prezintă valori extreme momentul de inerţie centrifugal 11986811991111199101este nul
Atunci se poate afirma că momentele de inerţie axiale au valori extreme icircn raport cu
direcţiile faţă de care momentul de inerţie centrifugal este nul Aceste direcţii se numesc
direcţii principale iar momentele de inerţie faţă de aceste direcţii poartă numele de
momente de inerţie principale
Icircn calculele de rezistenţă interesează icircn mod special poziţia direcţiilor principale
care trec prin centrul de greutate al suprafeţei aşa numitele direcţii principale centrale şi
evident momentele de inerţie principale centrale
Direcţiile principale de inerţie se notează cu 1 respectiv 2 Axa principală 1
corespunde direcţiei faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea maximă iar
axa principală 2 pentru direcţia faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea
minimă
472 Momente de inerţie principale
Momentele de inerţie principale se notează cu litera 119868 la care se pune indicele 1
sau 2 după cum valoarea acestuia este maximă sau minimă deci avem un moment de
inerţie principal 1 (notat 1198681) respectiv moment de inerţie principal 2 (notat 1198682)
Expresiile pentru momentele de inerţie principale sunt
11986812 =119868119911 + 119868119910
2plusmn1
2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)
2+ 4 ∙ (119868119911119910)
2 (438)
Dacă momentul de inerţie centrifugal este negativ (119868119911119910 lt 0) direcţia principală
care trece prin primul cadran (definit de sistemul 119911119862119910) este direcţia principală 120783
Pentru suprafeţele cu cel puţin o axă de simetrie direcţiile centrale 119862119911 119862119910 sunt şi
direcții principale de inerţie și evident momentele de inerţie axiale 119868119911 119868119910 sunt momente
de inerţie principale
48 Caracteristici mecanice ale metalelor
Alegerea materialului pentru confecţionarea unei anumite piese se face şi pe baza
aşa numitelor caracteristici mecanice pe care le prezintă materialul Cunoaşterea acestor
caracteristici mecanice are loc numai pe baza unor icircncercări mecanice care să scoată icircn
evidenţă comportarea materialului icircn condiţii de solicitare
Cea mai utilizată icircncercare icircn urma căreia se pun icircn evidenţă caracteristicile
mecanice ale unui material este icircncercarea la tracţiune
481 Icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general
Icircncercarea la tracţiune a oţelului ca de altfel toate icircncercările de materiale este
standardizată
Icircn cele ce urmează se va prezenta numai partea care interesează strict din punct
de vedere al caracteristicilor mecanice ale oţelului
Epruveta de diametru iniţial 1198890 pentru icircncercarea la tracţiune are o porţiune de
lungime 1198710 numită baza de măsurare pe care se măsoară lungirea acesteia sub acţiunea
solicitării
Icircn funcţie de raportul dintre baza de măsurare 1198710 şi diametrul iniţial 1198890 epruvetele
utilizate pentru icircncercări sunt
epruvete normale (scurte) cacircnd 11987101198890 = 5
epruvete lungi cacircnd 11987101198890 = 10
Icircn timpul icircncercării la diferite valori ale forţei 119865 se măsoară lungirea bazei de
măsurare
∆119871 = 120575 = 119871 minus 1198710 (439)
unde
119871 este dimensiunea bazei de măsurare la un moment dat
Curba forţă-lungire (119865 minus ) icircnregistrată icircn urma icircncercării reprezintă curba
caracteristică la tracţiune
La icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general diagrama caracteristică care se
obţine are forma din figura 48
Curba caracteristică la tracţiune depinde de lungimea bazei de măsurare Pentru
icircnlăturarea acestui neajuns curba caracteristică se reprezintă icircn coordonate şi definite
astfel
120590 =119865
1198600 휀 =
120575
1198710 (440)
unde
1198600 este aria iniţială a secţiunii transversale a epruvetei (icircnainte de solicitare) icircn
zona bazei de măsurare
1198600 =120587 ∙ 1198890
2
4
Deoarece mărimile icircn care se reprezintă curba caracteristică la tracţiune sunt
raportate la aria iniţială a secţiunii transversale (mărimi specifice) curba poartă numele
de curbă caracteristică convenţională la tracţiune
Fig 48 Curba caracteristică convenţională la tracțiune
Pe curba caracteristică convenţională la tracţiune figura 48 se pot stabili o serie
de puncte cărora le corespund mai multe mărimi importante
Ordonata punctului A pacircnă unde curba caracteristică convenţională este linie
dreaptă se numeşte limita de proporţionalitate a materialului 120590119901(1205901) Porţiunea 119874119860 este
zona de proporţionalitate a curbei caracteristice pe acest domeniu este valabilă legea lui
Hooke care exprimă o proporţionalitate icircntre tensiune şi deformaţie specifică
120590 = 119864 ∙ 휀 (441)
unde
119864 = reprezintă panta porţiunii liniare a curbei convenționale caracteristice
la tracțiune Caracteristica de material 119864 se numeşte modul de elasticitate longitudinal
(modulul lui Young)
Ordonata punctului 119861 pacircnă unde materialul se comportă perfect elastic adică
după descărcare icircşi recapătă dimensiunea iniţială 1198710 se numeşte limita de elasticitate
120590119890(119877119890) Icircn realitate nici un material nu are comportare perfect elastică sub acţiunea
solicitărilor el capătă deformaţii permanente (remanente plastice)
După punctul 119861 urmează o porţiune 119861119862119863 icircn care cu toate că icircncărcarea
continuă forţa nu mai creşte avacircnd mici oscilaţii icircn jurul unei valori Se spune că icircn
această porţiune materialul curge iar intervalul 119861119862119863 este un palier de curgere Tensiunea
corespunzătoare palierului de curgere se numeşte limită de curgere aparentă 120590119888(119877119888) Limita de curgere aparentă se calculează cu relaţia
120590119888 =1198651198881198600 (442)
unde
119865119888 reprezintă valoarea forţei icircnregistrată icircn momentul curgerii materialului
După punctul 119863 curba caracteristică are un traseu ascendent pacircnă icircn punctul 119864
Porţiunea 119863119864 este numită zonă de icircntărire (ecruisare) Icircn zona de ecruisare unde se
produc deformaţii plastice semnificative legea lui Hooke nu mai este valabilă La
descărcare relaţia dintre tensiunea şi deformaţia specifică este liniară paralelă cu
porţiunea liniară a curbei caracteristice (dreapta 119872119873)
Deformaţia totală (휀119905) are două componente una elastică (휀119890) şi una plastică (휀119901)
Ordonata punctului 119864 reprezintă rezistenţa de rupere 120590119903(119877119898) a materialului
care se poate calcula cu relaţia
120590119903 = 119877119898 =1198651198981198861199091198600
(443)
unde
119865119898119886119909 reprezintă valoarea maximă a forţei icircnregistrată icircn timpul icircncercării
La atingerea valorii 119865119898119886119909 (punctul 119864) icircntr-un anumit loc al epruvetei secţiunea
icircncepe să se micşoreze (se produce gacirctuirea) continuacircnd pacircnă cacircnd se produce ruperea
totală (punctul 119865)
Dacă după ruperea epruvetei cele două părţi rezultate se aşează cap la cap şi se
măsoară dimensiunea bazei de măsurare 119871119906 (lungimea ultimă) se determină alungirea la
rupere sau lungirea specifică la rupere 휀119903
휀119903 =119871119906 minus 11987101198710
=∆119871
1198710=120575
1198710 (444)
De obicei alungirea se exprimă icircn procente şi se notează cu 119860119899 unde 119899 reprezintă
numărul dat de raportul 11987101198890 (epruvete normale 119899 = 5 epruvete lungi 119899 = 10)
119860119899 =119871119906 minus 11987101198710
∙ 100 [] (445)
Altă mărime care se determină la icircncercarea la tracţiune este gacirctuirea la rupere
(exprimată de obicei icircn procente) şi definită de relaţia
119885 =1198600 minus 1198601199061198600
∙ 100 [] (446)
Mărimile determinate limita de proporţionalitate modulul de elasticitate
longitudinal limita de elasticitate limita de curgere aparentă rezistenţa de rupere
alungirea la rupere şi gacirctuirea la rupere sunt cunoscute ca fiind caracteristici mecanice
ale materialului
Din curba caracteristică convenţională observăm faptul că ruperea (punctul 119865 din
figura 48 se produce la o tensiune mai mică decacirct cea corespunzătoare punctului 119864 Dacă
icircnsă forţa din timpul icircncercării s-ar raporta la aria secţiunii din momentul icircnregistrării
forţei (care este mai mică decacirct cea iniţială 1198600) s-ar obţine aşa numita curbă
caracteristică reală a materialului (traseul 1198741198601198611198621198631198651 din figura 48) La curba
caracteristică reală ruperea se produce icircn punctul 1198651 la o icircncărcare mai mare decacirct cea
corespunzătoare punctului 119864 Icircnseamnă că rezistenţa reală la rupere este mai mare decacirct
rezistenţa la rupere dată de punctul 119864 din diagrama caracteristică convenţională
Dificultatea obţinerii diagramei caracteristice reale faţă de cea a diagramei caracteristice
convenţionale şi considerarea unei rezistenţe la rupere mai mică decacirct a celei reale face
icircn practică utilizarea pe scară mare a diagramei caracteristice convenţionale
Caracteristicile mecanice determinate pe baza curbei caracteristice convenţionale
sunt şi ele caracteristici mecanice convenţionale
Caracteristicile mecanice convenţionale limita de proporţionalitate convenţională
120590119901 limita de elasticitate convenţională 120590119890 limita de curgere convenţională 120590119888 şi rezistenţa
de rupere 120590119903 constituie tensiuni limită pentru un material Pe baza acestor caracteristici
de material se alege valoarea tensiunii admisibile 120590119886 (vezi paragraful 35) pentru
calculele de rezistenţă Cea mai utilizată stare limită pentru stabilirea tensiunii admisibile
120590119886 este limita de curgere convenţională 120590119888
120590119886 =120590119897119894119898119888
=120590119888119888 119904119886119906 120590119886 =
120590119903119888 (447)
Caracteristicile mecanice ale materialului sunt influenţate de o serie de factori
temperatura viteza de solicitare factorii tehnologici iar valorile lor sunt date icircn tabele și
diagrame
Aplicaţie Pentru suprafaţa plană compusă din două dreptunghiuri avacircnd
dimensiunile din figura 49a să se calculeze
a) centrul de greutate al secțiunii compuse 119910119866 119911119866
b) momentele de inerție axiale 119868119911 119868119910 și momentul de inerție centrifugal 119868119911119910
c) razele de inerție 119894119911 119894119910
d) modulele de rezistență 119882119911119898119894119899 119882119911119898119886119909 119882119910119898119894119899 119882119910119898119886119909
e) momentele de inerție principale 1198681 1198682 și direcțiile principale de inerție 1205721
f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 119878119911
Fig 49 Aplicație
Rezolvare Pentru rezolvare vom parcurge următoarele etape
icircmpărțim suprafața compusă icircn două suprafețe simple (dreptunghiuri) notate cu
① și respectiv ② figura 49b
poziționăm centrele de greutate a celor două suprafețe simple ① și respectiv ②
notate cu 1198661 și respectiv 1198662 figura 49c
poziționăm sistemele de axe de coordonate 119911111986611199101 pentru dreptunghiul ① și
119911211986621199102 pentru dreptunghiul ② aflate la intersecția diagonalelor figura 49c
poziționăm sistemele de axe de coordonate 11991101198741199100 ales arbitrar față de care
determinăm poziția centrului de greutate 119866 figura 49c
a) calculăm poziția centrului de greutate folosind relațiile (46) icircn care
1198601 = 6119905 ∙ 119905 = 61199052 1198602 = 4119905 ∙ 119905 = 41199052 119860 = 1198601 + 1198602 = 61199052 + 41199052 = 101199052
iar centrele de greutate 1198661 și respectiv 1198662 au coordonatele (față de sistemul 11991101198741199100)
1198661 1199101 = 3119905 1199111 = 05119905
1198662 1199102 = 051199051199112 = 3119905
cu acestea obținem
119910119866 =1198601 ∙ 1199101 + 1198602 ∙ 1199102
119860=61199052 ∙ 3119905 + 41199052 ∙ 05119905
101199052=201199053
101199052= 2119905
119911119866 =1198601 ∙ 1199111 + 1198602 ∙ 1199112
119860=61199052 ∙ 05119905 + 41199052 ∙ 3119905
101199052=151199053
101199052= 15119905
Poziționăm centrul de greutate 119866 al suprafeței compuse figura 49c
Fig 49 Aplicație
b) pentru determinarea momentelor de inerție axiale 119868119911 119868119910 și a momentului de
inerție centrifugal 119868119910119911 determinăm constantele 1198881 1198882 1198891 1198892 care intervin icircn relația lui
Stainer
1198881 = 1199101 minus 119910119866 = 3119905 minus 2119905 = 119905 1198882 = minus(119910119866 minus 1199102) = minus(2119905 minus 05119905) = minus15119905
1198891 = minus(119911119866 minus 1199111) = minus(15119905 minus 05119905) = minus119905 1198892 = 1199112 minus 119911119892 = 3119905 minus 15119905 = 15119905
Folosind relațiile lui Stainer (429) (430) și (431) calculăm momentele de
inerție axiale și centrifugale față de sistemul central 119911119866119866119910119866
119868119911 =sum(119868119911119894 + 1198881198942 ∙ 119860119894) = 1198681199111 + 1198881
2 ∙ 1198601 + 1198681199112 + 11988822 ∙ 1198602
119868119910 =sum(119868119910119894 + 1198891198942 ∙ 119860119894) = 1198681199101 + 1198891
2 ∙ 1198601 + 1198681199102 + 11988922 ∙ 1198602
119868119911119910 =sum(119868119911119894119910119894 + 119888119894 ∙ 119889119894 ∙ 119860119894) = 11986811991111199101 + 1198881 ∙ 1198891 ∙ 1198601 + 11986811991121199102 + 1198882 ∙ 1198892 ∙ 1198602
1198681199111 = (119887 ∙ ℎ3
12) =
119905 ∙ (6119905)3
12= 181199054 1198681199112 = (
119887 ∙ ℎ3
12) =
4119905 ∙ 1199053
12= 031199054
1198681199101 = (1198873 ∙ ℎ
12) =
1199053 ∙ 6119905
12= 051199054 1198681199102 = (
1198873 ∙ ℎ
12) =
(4119905)3 ∙ 119905
12= 531199054
11986811991111199101 = 11986811991121199102 = 0 deoarece cele două triunghiuri au cel puțin o axă de simetrie
Cu acestea momentele de inerție axiale și momentul de inerție centrifugal devin
119868119911 = 181199054 + 1199052 ∙ 61199052 + 031199054 + (minus15119905)2 ∙ 41199052 = 3331199054
119868119910 = 051199054 + (minus119905)2 ∙ 61199052 + 531199054 + (15119905)2 ∙ 41199052 = 2081199054
119868119911119910 = 0 + 119905 ∙ (minus119905) ∙ 61199052 + 0 + (minus15119905) ∙ (15119905) ∙ 41199052 = minus151199054
c) razele de inerție sau de girație față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910
se calculează cu relațiile (411)
119894119911 = radic119868119911119860= radic
3331199054
101199052= 182119905 119894119910 = radic
119868119910
119860= radic
2081199054
101199052= 144119905
d) modulele de rezistență față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910 se
calculează cu relațiile (412) și (413)
Avacircnd icircn vedere figura 419c obținem
119910119898119886119909 = 6119905 minus 119910119866 = 6119905 minus 2119905 = 4119905 119910119898119894119899 = minus119910119866 = minus2119905
119911119898119886119909 = 5119905 minus 119911119866 = 5119905 minus 15119905 = 35119905 119911119898119894119899 = minus119911119866 = minus15119905
Se obține astfel
119882119911119898119894119899 =119868119911
|119910119898119886119909|=3331199054
4119905= 8331199053
119882119911119898119886119909 =119868119911
|119910119898119894119899|=3331199054
2119905= 16651199053
119882119910119898119894119899 =119868119910
|119911119898119886119909|=2081199054
35119905= 5941199053
119882119910119898119886119909 =119868119910
|119911119898119894119899|=2081199054
15119905= 13871199053
e) momentele de inerție principale 1198681 și respectiv 1198682 se calculează cu relațiile
(438)
11986812 =119868119911 + 119868119910
2plusmn1
2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)
2+ 4 ∙ (119868119911119910)
2=
=3331199054 + 2081199054
2plusmn1
2∙ radic(3331199054 minus 2081199054)2 + 4 ∙ (minus151199054)2 = 27051199054 plusmn 16251199054
De unde obținem
1198681 = 27051199054 + 16251199054 = 4331199054
1198682 = 27051199054 minus 16251199054 = 1081199054
Prima direcție principală de inerție 1 face cu axa centrală 119866119911 unghiul 1205721 dat de
relația (437)
1205721 =1
2∙ arctan (minus
2 ∙ 119868119911119910
119868119911 minus 119868119910) =
1
2∙ arctan [minus
2 ∙ (minus151199054)
3331199054 minus 2081199054] =33 70
Deoarece 1205721 gt 0 rotirea axelor se face acircn sens antiorar acelor de ceasornic figura
49d
Poziția axe principale 2 față de care momentul de inerție are valoarea minimă
1198682 = 119868119898119894119899 este dată de unghiul
1205722 = 1205721 + 900 = 33 70 + 900 = 123 70
f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 se determină cu relația
(45)
1198781199111198602 = 1198602 ∙ 1198882 = 41199052 ∙ (minus15119905) = minus61199053
Icircn figura 27 este reprezentat un reazem mobil poziţionat pe capătul A al unei bare
plane orizontale fiind evidenţiate punctul şi suprafaţa de rezemare direcţia suportului
reacţiunii şi modul de schematizare al reazemului Cea mai des icircntacirclnită reprezentare a
reazemului mobil este a unui triunghi a cărui bază poate luneca pe suprafaţa de rezemare
2 Reazemul fix sau articulaţia icircmpiedică deplasările liniare după toate direcţiile
din planul barei permiţacircnd doar rotirea barei icircn jurul unei axe perpendiculare pe plan şi
care trece prin puncul de rezemare Reacţiunea este cuprinsă icircn planul barei care trece
prin punctul de rezemare dar a cărei mărime şi direcţie nu sunt cunoscute (forţa R)
figura 28
Fig 28 Reazem fix
Se preferă ca icircn locul unei forţe R avacircnd direcţia oarecare icircn plan necunoscută să
se introducă două forţe (HA şi VA) cărora li se cunoaşte direcţia şi pentru care se vor
determina modulele ca valori din condiţiile de echilibru static Icircntr-un reazem fix apar
icircntotdeauna reacţiuni atacirct pe direcţia perpendiculară pe suprafaţa de rezemare
(verticală) cacirct şi pe direcţia paralelă cu prima (orizontală) chiar dacă uneori una sau
chiar ambele reacţiuni au valoarea zero Reprezentarea schematică a articulaţiei este cea
a unui triunghi cu baza fixă şi cu vacircrful icircn punctul de rezemare sau cea a unui pendul
dublu figura 28
3 Icircncastrarea (sau icircnţepenirea) anulează toate gradele de libertate ale capătului
unei bare icircmpiedicacircnd deplasarea liniară după orice direcţie din plan precum şi rotirea
barei icircn jurul unei axe perpendiculare pe plan şi care trece prin punctul de icircncastrare
Urmare a existenţei sarcinilor exterioare şi a blocării deplasărilor icircn icircncastrare apare o
reacţiune căreia nu i se cunoaşte nici mărimea nici direcţia şi nici punctul de aplicaţie
figura 29
Fig 29 Icircncastrarea
Sub acţiunea forţelor exterioare un sistem este icircn echilibru Valoarea reacţinilor
se determină din condiţia de echilibru a sistemului solicitat
Este cunoscut faptul că un sistem plan este icircn echilibru dacă
nu se deplasează pe o direcţie (fie x această direcţie)
nu se deplasează pe o direcţie perpendiculară pe prima (fie y această direcţie)
nu se roteşte faţă de un punct al planului (fie K acest punct)
Cele trei condiţii enunţate mai sus sunt satisfăcute dacă suma proiecţiilor tuturor
forţelor pe direcţia x respectiv y este nulă şi suma tuturor momentelor (cuplurilor) faţă
de un punct al planului este nulă
242 Forțe interioare Metoda secțiunilor
Icircn vederea calculului de rezistenţă de rigiditate şi de stabilitate a barelor sau a
sistemelor de bare este necesară determinarea forţelor şi momentelor interioare
(eforturilor) care apar icircn secţiunile transversale ale acestora şi datorate icircncărcărilor
exterioare Forțele interioare indică legătura dintre particulele din interiorul corpului şi
se pun icircn evidenţă prin metoda secţiunilor care este un procedeu de raţionament
imaginar propus de Cauchy echivalent cu teoria echilibrului părţilor Conform acestui
raționament bdquodacă un corp solid deformabil este icircn echilibru sub acţiunea unui sistem
generalizat de forţe atunci după secționare fiecare parte a sa va fi icircn echilibru sub
acţiunea forţelor exterioare care-i revin şi a unui sistem de forţe pe care trebuie să-l
introducem icircn secţiunea ce delimitează fiecare parte echivalent cu acţiunea forţelor
aplicate pe partea icircndepărtatărdquo
Problemele care apar la aplicarea metodei secţiunilor sunt
- să pună icircn evidenţă existenţa forţelor interioare mai ales că din ceea ce se ştie o
forţă apare icircn prezenţa a două corpuri ca urmare a principiului acţiunii şi reacţiunii
- să explice modul de distribuţie al forţelor interioare pe secţiune
Considerăm un corp aflat icircn echilibru sub acţiunea unui sistem de forţe exterioare
1 2 3⋯119894 ⋯ 119899minus1 119899 şi presupunem că-l secţionăm cu un plan transversal Q (sau cu
o suprafaţă oarecare) figura 210a Icircn urma secţionării fictive (imaginare) conform
principiului echilibrului părţilor fiecare din cele două părţi obţinute trebuie să fie icircn
echilibru sub acţiunea forţelor exterioare care le revin şi a cacircte unui sistem de forţe
interioare pe care trebuie să-l introducem icircn secţiunile rezultate sistem echivalent cu
acţiunea forţelor exterioare ce acţionează asupra celeilalte părţi Astfel pe partea din
dreapta (notată cu II) delimitată de secţiunea de arie Ad sunt aplicate forţele exterioare
119894 ⋯ 119899minus1 119899 şi un sistem de forţe interioare căruia nu i se cunoaşte decacirct efectul acelaşi
cu cel al forţelor 1 2 3 de pe parea din stacircnga (notată cu I şi delimitată de secţiunea
de arie As) figura 210b Prin metoda secţiunilor am reuşit să punem icircn evidenţă existenţa
forţelor interioare şi să le trecem icircn categoria celor exterioare cărora le putem aplica
relaţiile de echivalenţă şi de echilibru cunoscute din statică Ideal ar fi să cunoaştem
distribuţia şi intensitatea punctuală a acestor forţe pentru că s-ar putea ca icircn anumite
puncte ale secţiunii valoarea forţelor să depăşească limita de rezistenţă (limita de curgere)
a materialului Cunoaşterea distribuţiei punctuale a forţelor interioare nu se poate realiza
decacirct icircn cazuri particulare relativ simple de solicitare
Să considerăm partea din dreapta a corpului asupra căreia acționează forțele
119894 ⋯ 119899minus1 119899 mărginit de aria Ad pe care acționează un sistem de forțe interioare
echivalent cu 1 2 3 Deși forțele interioare de pe Ad nu se cunosc totuși efectul lor
este același cu cel al forțelor 1 2 3 deci le putem reduce icircn centrul de greutate C al
secțiunii Ad rezultacircnd componentele torsorului de reducere al forțelor interioare
(119894119889 119894119889) și pentru partea din stacircnga (119894119904 119894119904) Evident conform principiului acțiunii și
reacțiunii
119894119889 = minus119894119904
119894119889 = minus119894119904 (21)
Pe de altă parte cum fiecare dintre părțile corpului după secționare trebuie să fie
icircn echilibru sub acțiunea forțelor exterioare care le revin și a forțelor interioare introduse
rezultă
119894119889 = minus119890119889
119894119889 = minus119890119889
119894119904 = minus119890119889
119894119904 = minus119890119904 (22)
Combinacircnd (21) cu (22) rezultă
119894119889 = 119890119889
119894119889 = 119890119889
119894119904 = 119890119904
119894119904 = 119890119904 (23)
Fig 210 Forțe interioare
Relațiile (22) și (23) permit determinarea componentelor torsorului de reducere
al forțelor interioare din (23) rezultă componentele torsorului forțelor interioare care
acționează icircn secțiunea Ad sunt egale cu componentele torsorului de reducere al forțelor
exterioare de pe partea din stacircnga din (22) rezultă componentele torsorului forțelor
interioare care acționează icircn secțiunea Ad sunt egale și de sens contrar cu componentele
torsorului de reducere al forțelor exterioare de pe partea din dreapta
Observații
1 Torsorul forțelor interioare diferă de la o secțiune la alta dar pentru aceeași
secțiune el este unic și trebuie să respecte condițiile de compatibilitate a deformațiilor
2 Reducacircnd forțele interioare icircn centrul de greutate al secțiunii s-a făcut o
aproximare icircn ceea ce privește efectul modului de dispunere al forțelor
3 Punctul de reducere trebuie să fie
pentru forțele interioare normale la secțiune centrul de greutate
pentru forțele interioare tangente la planul secțiunii centrul de răsucire sau de
tăiere
243 Eforturi
Prin metoda secțiunilor am pus icircn evidență existența forțelor interioare și modul
icircn care se determină componentele torsorului de reducere al forțelor interioare (119894119889 119894119889) de pe fața din dreapta secțiunii (Ad) Cele două componente ale torsorului de reducere al
forțelor interioare de pe Ad se pot descompune după axele unui sistem de referință
triortogonal xCyz astfel
119894119889 = +
119894119889 = 119909 +119872119894 (24)
unde și 119909 sunt proiecțiile lui 119894119889 și respectiv 119894119889 pe axa longitudinală Cx a
barei iar și 119894 sunt proiecțiile acelorași componente 119894119889 și respectiv 119894119889 pe planul yCz
al secțiunii transversale Ad figura 211
Fig 211 Torsorul de reducere al forţelor interioare
La racircndul lor și 119894 se pot descompune după axele sistemului yCz figura 212
= 119910 + 119911
119894 = 119894119910 + 119894119911 (25)
Fig 212 Descompunerea forţei tăietoare şi a momentului icircncovoietor
Cele șase componente ale torsorului de reducere al forțelor interioare ( 119910 119911
119909 119894119910 119894119911) orientate după axele sistemului de referință xCyz se numesc eforturi
Fiecare efort are o denumire stabilită icircn funcție de tipul de deformație pe care-l produce
De asemenea semnul plus (bdquo+rdquo) sau minus (bdquondashrdquo) al fiecărui efort nu depinde de sensul
pozitiv sau negativ al sistemului de axe ci doar de efectul icircn deformații al fiecărui efort
Denumirile celor șase eforturi sunt
119873 este forța axială
119879119910 119879119911 sunt forțe tăietoare orientate după axele Cy și respectiv Cz
119872119909 notat de cele mai multe ori cu 119872119905 este moment de torsiune sau de răsucire
119872119894119911 119872119894119910 sunt momente de icircncovoiere icircn jurul axei Cz și respectiv Cy
Forța axială 119873 poate fi forță axială de icircntindere cacircnd produce o lungire a
tronsonului pe a cărei față acționează (119873 gt 0) figura 213a sau forță axială de
compresiune cacircnd sub efectul ei bara se scurtează (119873 lt 0) figura 213b
Fig 213 Forța axială
Forțele tăietoare 119879119910 și 119879119911 au ca efect lunecarea secțiunii icircn centrul căreia
acționează icircn raport cu secțiunea icircnvecinată lunecare ce se produce pe direcția și icircn sensul
forței Sub acțiunea unei forțe tăietoare bara este solicitată la forfecare Forța tăietoare
este pozitivă 119879119910 gt 0 dacă icircn raport cu un punct oarecare K de pe axa Cx a barei tinde să
rotească secțiunea pe care acționează icircn sens orar
Fig 214 Forța tăietoare
Momentele de icircncovoiere 119872119894119911 și 119872119894119910 au ca efect o rotire a secțiunii icircn centrul
cărora acționează icircn jurul axei după care sunt orientate Icircn figura 215a se vede că
datorită momentului 119872119894119911 fibrele de deasupra axei Cz se alungesc icircn timp ce fibrele de sub
axa Cz se scurtează Fibrele care trec prin axa de icircncovoiere Cz nu se deformează sunt
fibre neutre la icircncovoiere adică axa neutră este Cz Icircn cazul momentului de icircncovoiere
119872119894119910 fibrele care nu se deformează sunt cele care trec prin axa neutră la icircncovoiere Cy
Momentele de icircncovoiere se consideră a fi pozitive (119872119894119911 gt 0119872119894119910 gt 0) dacă
observatorul care privește bara deformată vizualizează fibrele icircntinse
Fig 215 Momentul icircncovoietor
Momentul de torsiune sau de răsucire 119872119909 equiv 119872119905 are ca efect o rotire a secțiunii
icircn al cărei centru acționează icircn jurul axei longitudinale Cx Ca efect secțiunea icircși schimbă
forma (se deformează) adică unghiurile inițiale se modifică dreptunghiul inițial Ad
devine paralelogram Convențional se consideră 119872119905 gt 0 dacă vectorul moment are
aceeași orientare ca și sensul pozitiv ales pextru axa Cx Icircn figura 216 momentul este
negativ
Fig 216 Momentul de torsiune
25 Definiții și convenții de semne pentru eforturile
din secțiunile unei bare drepte plane icircncărcate cu sarcini coplanare
Vom considera o bară plană icircncărcată cu un sistem de forțe arbitrar figura 217
Ne propunem să determinăm eforturile care apar icircn secțiunea barei aflată la distanța 119909 de
reazemul din stacircnga (A)
Pentru aceasta vom aplica metoda secțiunilor vom secționa bara cu un plan
perpendicular pe axa longitudinală a barei și vom analiza doar partea din dreapta secțiunii
mărginită de fața Ad Pentru ca această porțiune de bară să fie icircn echilibru sub acțiunea
forțelor exterioare care acționează asupra sa 1198653 și 119881119861 va trebui să introducem icircn centrul
secțiunii Ad eforturile care pot să apară 119873 119879119910 119872119894119911 Acțiunea acestor eforturi trebuie să
fie echivalentă cu acțiunea forțelor exterioare aplicate pe partea icircnlăturată (parcursă) a
barei 119867119860 119881119860 1198651 1198652 1198720
Deoarece bara este plană și este icircncărcată doar cu sarcini ce aparțin
planului barei
icircn secțiunea Ad apar doar 3 componente ale torsorului de reducere al forțelor
interioare (eforturi)
- 119873 = forța axială
- 119879119910 = forța tăietoare pe care o vom nota cu 119879
- 119872119894119911 = momentul icircncovoietor notat cu Mi
Fig 217 Bară plană icircncărcată cu un sistem de forțe
Vom prezenta următoarele definiții corespunzătoare eforturilor din secțiunea Ad
119873 = forța axială dintr-o secțiune este egală cu suma algebrică a proiecțiilor pe
axa longitudinală a tuturor forțelor exterioare (sarcini și reacțiuni) aplicate pe partea
din stacircnga secțiunii adică pe porțiunea parcursă Forța axială 119873 este pozitivă dacă trage
de tronsonul pe a cărei față acționează (are orientarea normalei exterioare la secțiunea
Ad)
119873(119909) = minus119867119860 + 1198651119867 (26)
119879 = forța tăietoare icircntr-o secțiune este egală cu suma algebrică a proiecțiilor
pe o axă perpendiculară pe axa barei a tuturor forțelor exterioare (sarcini și reacțiuni)
aplicate pe porțiunea de bară aflată icircn stacircnga secțiunii considerate Forța tăietoare 119879
este pozitivă dacă tinde să rotească tronsonul pe a cărui față acționează icircn sens orar icircn
raport cu un punct de pe axa barei aflat la dreapta secțiunii
119879(119909) = 119881119860 minus 1198651119881 minus 1198652 (27)
119872119894 = momentul icircncovoietor icircntr-o secțiune este egal cu suma algebrică a
momentelor obținute prin reducerea tuturor forțelor exterioare ( cupluri sarcini
reacțiuni) aplicate pe porțiunea de bară aflată la stacircnga secțiunii icircn centrul secțiunii
considerate 119872119894 este considerat pozitiv dacă tinde să deformeze bara astfel icircncacirct fibrele
spre care privește un observator să fie icircntinse Cum poziția observatorului este de regulă
sub bară bara se deformează dacă 119872119894 gt 0 astfel icircncacirct partea jos a barei este icircntinsă Se
spune că bara deformată rdquoține apaldquo
119872119894(119909) = 119881119860 ∙ 119909 minus 1198651119881 ∙ (119909 minus 1198971) minus 1198652 ∙ [119909 minus (1198971 + 1198972)] + 1198720 (28)
Sensurile pozitive ale eforturilor care apar icircn centrul secțiunii Ad (deci atunci cacircnd
sensul de parcurs la aplicarea metodei secțiunilor este cel de la stacircnga la dreapta) sunt
indicate icircn figura 218a iar dacă sensul de parcurs este de la dreapta la stacircnga sensurile
pozitive ale eforturilor sunt indicate icircn figura 218b
Fig 218 Convenţia de semne
Definiții asemănătoare se pot da și pentru eforturile din centrul secțiunii As figura
218b adică pentru cazul icircn care sensul de parcurs este cel de la dreapta la stacircnga și deci
partea luată icircn considerare este cea din stacircnga iar partea parcursă din dreapta secțiunii
este icircnlăturată
119873(1199091) = 1198653119867
119879(1199091) = 1198653119881 minus 119881119861
119872119894(1199091) = 119881119861 ∙ 1199091 minus 1198653119881 ∙ (1199091 minus 1198975)
(29)
Avacircnd icircn vedere că fețele Ad și As aparțin aceleeași secțiuni este evident faptul că
eforturile 119873(119909) 119879(119909) și 119872119894(119909) sunt identice cu eforturile 119873(119961120783) 119879(119961120783) și respectiv
119872119894(119961120783) Icircn figura 218c se prezintă o sinteză a convențiilor de semne pozitive pentru cele
3 eforturi atacirct pentru sensul de parcurs de la stacircnga la dreapta (secțiunea Ad) cacirct și pentru
sensul invers (secțiunea As)
Semnele eforturilor sunt importante icircntrucacirct există materiale cu comportări diferite
la icircntindere față de compresiune iar o schimbare a semnului unui efort poate produce
erori grave icircn calcule Semnele eforturilor au fost stabilite icircn funcție de deformațiile
produse și nu depind de sensul axelor sistemului de coordonate
26 Relaţii diferenţiale icircntre eforturi şi sarcini
Pentru a vedea ce legătură există icircntre eforturi și sarcini vom considera o bară
dreaptă icircncărcată cu o sarcină distribuită după o lege oarecare figura 219a Din această
bară vom decupa prin dublă secționare un element de lungime infinit mică 119889119909 Deoarece
lungimea 119889119909 este foarte mică se poate considera sarcina 119901 uniform distribuită Icircn
secțiunile rezultate trebuie să introducem eforturile care pot apărea
- 119879 şi 119872119894 icircn centrul secțiunii din sticircnga eforturi pe care le considerăm pozitive
- 119879 + 119889119879 şi 119872119894 + 119889119872119894 icircn centrul secțiunii din dreapta elementului
Aceste eforturi au o variație mică (119889119879 şi 119889119872119894) față de secțiunea anterioară Spre
deosebire de cazul icircn care bara este secționată o singură dată icircn acest caz eforturile nu
pot fi determinate din cele 2 condiții de echilibru independente deoarece icircn ecuațiile de
echilibru apar 4 necunoscute 119879 119889119879119872119894 și 119889119872119894 deci că problema este dublu static
nedeterminată figura 219
Fig 219 Echivalența icircntre eforturi și sarcini
Ecuațiile de echilibru scrise pentru elementul din figura 219b conduc la stabilirea
unor relaţii foarte importante
(sum119865)119910= 0 hArr 119879 minus 119901 ∙ 119889119909 minus (119879 + 119889119879) = 0 rArr
119889119879
119889119909= minus119901 (210)
Relația (210) arată că derivata funcţiei forţei tăietoare icircn raport cu abscisa
secţiunii este egală cu sarcina distribuită normală la axa barei din acea secţiune luată
cu semn schimbat
Observații
dacă 119901 = 0 nu există sarcină distribuită atunci forța tăietoare T este constantă
icircnclinarea pantei diagramei forței 119879 este egală cu (ndash 119901) (sarcina distribuită cu
semn schimbat)
dacă 119901 = 119888119900119899119904119905 119879 variază liniar pe acel interval
Asemănător se deduce că derivata funcţiei forţei axiale icircn raport cu abscisa
secţiunii este egală cu sarcina distribuită axială din acea secţiune luată cu semn
schimbat adică
119889119873
119889119909= minus119901119867 (211)
Din condiția de echilibru suma de momente faţă de centrul de greutate al secţiunii
din dreapta
(sum119872)119862= 0 hArr 119872119894 minus (119872 + 119889119872119894) + 119879 ∙ 119889119909 minus 119901 ∙
(119889119909)2
2= 0 rArr
119889119872119894
119889119909= 119879 (212)
Relația (212) s-a obținut dupa reducerea termenilor și prin neglijarea infinitului
mic de ordinul 2
119901 ∙(119889119909)2
2
Relația (212) arată că derivata funcţiei moment icircncovoietor icircn raport cu abscisa
secţiunii este egală cu forţa tăietoare din acea secţiune
Observații
dacă 119879 = 0 momentul 119872119894 are un punct de extrem se obține o valoare maximă
pentru 119872119894119898119886119909 dacă forța tăietoare 119879 se anulează trecacircnd de la plus icircn stacircnga la minus icircn
dreapta secțiunii
dacă forța tăietoare este pozitivă pe un interval 119879 gt 0 atunci 119872119894 este crescătoare
pe acel interval
dacă forța tăietoare este negativă pe un interval 119879 lt 0 atunci 119872119894 este
descrescătoare pe acel interval
dacă pe un interval 119901 = 0 forța tăietoare este constantă 119879 = 119888119905 iar 119872119894 variază
liniar pe acel interval
dacă 119901 = 119888119900119899119904119905 119879 variază liniar pe acel interval iar 119872119894 variază parabolic pe
acel interval
Relaţiile diferenţiale sunt utile la reprezentarea corectă şi verificarea diagramelor
de eforturi astfel
pentru porţiunile de grindă pe care p = 0 eforturile N şi T sunt constante iar pe
porţiunile cu p = const eforturile N şi T variază liniar (relaţiile 211 şi 210)
dacă pe o porţiune T = const momentul icircncovoietor Miz variază liniar iar dacă
T variază liniar atunci momentul Miz variază parabolic (relaţia 212)
pe domeniile pe care T gt 0 funcţia Mi(x) este crescătoare iar icircn secţiunea icircn
care T = 0 (graficul funcţiei T intersectează axa x) momentul icircncovoietor are un punct
de extrem local (maxim sau minim relaţia 212)
Pentru rezolvarea problemelor referitoare la trasarea diagramelor de eforturi
pentru barele drepte solicitate de sisteme de forţe plane se parcurg următoarele etape
1) identificarea forţelor aplicate (date) şi pregătirea lor pentru calcule
(descompunerea forţelor concentrate pe direcţiile x şi y calculul rezultantelor forţelor
distribuite)
2) identificarea reazemelor şi introducerea reacţiunilor corespunzătoare (vezi
figurile 27divide29)
3) stabilirea ecuaţiilor de echilibru static calculul şi verificarea reacţiunilor Icircn
rezistența materialelor se folosește sistemul de ecuații (vezi figura 217)
(sum119865)
119909= 0
(sum119872)119860= 0
(sum119872)119861= 0
(213)
4) identificarea domeniilor de variaţie şi scrierea funcţiilor de eforturi pentru N T
şi Mi
5) reprezentarea grafică a diagramelor de eforturi
6) verificarea corectitudinii diagramelor pe baza relaţiilor diferenţiale icircntre eforturi
şi sarcini
Aplicație Pentru grinda dreaptă icircncărcată cu sistemul de forţe reprezentat icircn figura
220 se cere
a) să se calculeze şi să se verifice reacţiunile
b) să se stabilească funcţiile eforturilor Nx Ty şi Miz şi să se reprezinte diagramele
de variaţie
c) să se analizeze relaţiile diferenţiale icircntre eforturi şi sarcini
Dimensiunile grinzii au valorile a = 6 [m] b = 4 [m] și c = 4[m] sistemul de
forţe aplicat fiind format din p = 10 [kN mfrasl ] F = 20 [kN] (icircnclinată cu unghiul α =300 faţă de orizontală) şi M0 = 40 [kN ∙ m]
Rezolvare
a) Se fac următoarele precizări
grinda dreaptă se reprezintă prin axa geometrică
forţa icircnclinată F se descompune după direcţiile orizontală şi verticală icircn FV =F ∙ sin α = 10 [kN] şi FH = F ∙ cos α = 173 [kN]
forţa distribuită uniform p este echivalentă din punct de vedere static cu
rezultanta sa R = p ∙ a = 60 [kN] care acţionează la jumătatea porţiunii de lungime a
icircn reazemele 119860 şi 119861 se introduc componentele HA şi VA respectiv VB ale
reacţiunilor
Pentru calculul reacţiunilor se utilizează ecuaţiile de echilibru static al grinzii
sumXi = 0 HA minus FH = 0 sumYi = 0 VA + VB minus R minus FV = 0 (sumM)B = 0 VA ∙ (b + a) minus R ∙ (b + 05 ∙ a) minus M0 + FV ∙ c = 0
(A1)
Din prima ecuaţie se obţine HA iar din cea de-a treia ecuaţie rezultă VA
HA = FH = 173 [kN]
VA =[R ∙ (b + 05 ∙ a) + M0 minus FV ∙ c]
(b + a)=[60 ∙ (4 + 05 ∙ 6) + 40 minus 10 ∙ 4]
(4 + 6)
VA = 42 [kN]
(A2)
Fig 220 Aplicație
Se observă că cea de-a doua ecuaţie de echilibru conţine două necunoscute
reacţiunile VA şi VB Pentru a calcula componenta VB nu este indicată introducerea lui VA
icircn cea de-a doua ecuaţie a sistemului (A1) pentru că o valoare determinată greşit pentru
VA conduce la o valoare VB de asemenea greşită O ecuaţie independentă din care se poate
determina componenta VB este următoarea
(sumM)A= 0 FV ∙ (a + b + c) minus VB ∙ (a + b) minus M0 + R ∙ 05 ∙ a = 0 (A3)
de unde se obţine
VB =[FV ∙ (a + b + c) minusM0 + R ∙ 05 ∙ a]
(b + a)=[10 ∙ (6 + 4 + 4) minus 40 + 60 ∙ 05 ∙ 6]
(6 + 4)
VB = 28 [kN] (A4)
Ecuaţia de proiecţii ale forţelor pe direcţia verticală (a doua ecuaţie din sistemul
A1) se utilizează pentru verificarea reacţiunilor deja determinate
VA + VB minus R minus FV = 0 rArr 42 + 28 minus 60 minus 10 = 0 (A5)
Ultima egalitate demonstrează că reacţiunile verticale au fost calculate corect
Din cele de mai sus rezultă ordinea firească pentru determinarea reacţiunilor icircn
cazul grinzilor simplu rezemate
sumXi = 0
(sumM)A = 0
(sumM)B = 0
(A6)
iar pentru verificarea componentelor verticale VA şi VB se folosește ecuaţia sumY = 0
b) La stabilirea funcţiilor de eforturi se parcurg icircn general etapele următoare
se notează (numeric sau literal după preferinţă) secţiunile care delimitează
domeniile (intervalele sau tronsoanele) pe care eforturile nu-şi modifică funcţiile (au legi
unice de variaţie)
pe fiecare domeniu se marchează secţiunea imaginară icircn care se stabilesc
funcţiile eforturilor
secţiunea astfel aleasă separă icircn două părţi grinda şi anume porţiunea din stacircnga
şi porţiunea din dreapta secţiunii
se va considera parcursă (şi icircndepărtată) acea parte pe care acţionează mai puţine
sarcini exterioare pentru că acestea vor interveni icircn expresiile funcţiilor de eforturi
poziţiile secţiunilor imaginare se vor determina prin variabilele x1 ⋯ xn (unde
n reprezintă numărul domeniilor de variaţie) cu originea fixată icircn capătul intervalului şi
sensul de parcurgere spre partea considerată rămasă
Grinda prezentată icircn figura 220 are trei domenii de variaţie pentru funcţiile de
eforturi după cum urmează (A-1) (2-B) şi (B-1)
Domeniul (A-1) x1 isin [0 a = 6 m] Porţiunea parcursă şi considerată icircndepărtată este cea de coordonată x1 pe care
acţionează reacţiunile HA şi VA precum şi rezultanta parţială a sarcinii distribuite R1 =p ∙ x1
Funcţia forţă axială Nx are expresia
Nx(x1) = NAminus1 = minusHA = minus173 [kN] = const
(A7)
Funcţia forţă tăietoare Ty are exspresia
Ty(x1) = TAminus1 = VA minus R1 = VA minus p ∙ x1 (A8)
care reprezintă o variaţie liniară de variabilă x1 Se calculează valorile forţei tăietoare la
limitele intervalului de variaţie
- pentru x1 = 0 Ty(x1 = 0) = TA = VA = 42 [kN]
- pentru x1 = a = 6 [m] Ty(x1 = 6) = T1 = VA minus p ∙ a = minus18 [kN]
Observaţie Aşa cum a fost stabilită secţiunea fictivă poziţionată prin coordonata
x1 sar părea că rezultanta R ar trebui luată icircn calculul lui Ty(x1) Acest lucru ar fi greşit
pentru că R = p ∙ a reprezintă rezultanta sarcinii distribuite pe toată lungimea a iar
rezultanta pe porţiunea parcursă de lungime x1 este R1 = p ∙ x1 ne R = p ∙ a
Cu valorile obţinute se trasează diagramele forţelor axială Nx = f(x) şi tăietoare
Ty = f(x) figura 220 Din diagrama forţei tăietoare şi din valorile obţinute analitic se
observă că forţa tăietoare icircşi schimbă semnul pe intervalul analizat deci se anulează pe
acest interval Poziţia secţiunii unde Ty se anulează se determină din ecuaţia
Ty(x1) = 0 rArr VA minus p ∙ x1 = 0 (A9)
cu soluţia x1lowast = ξ = 42 [m] Important de reamintit că icircn această secţiune momentul
icircncovoietor va avea un extrem local adică Miz are un extrem la Ty = 0
Funcţia moment icircncovoietor Miz are expresia
Miz(x1) = VA ∙ x1 minus R1 ∙x12= VA ∙ x1 minus (p ∙ x1) ∙
x12
(A10)
Se observă că funcţia moment icircncovoietor de variabilă x1 are o variaţie parabolică
(gradul al II-lea) Pentru reprezentarea grafică a funcţiei parabolice se calculează valorile
momentului icircncovoietor icircn trei secţiuni
- pentru x1 = 0 Miz(x1 = 0) = MA = 0 [kN ∙ m] - pentru x1 = a = 6 [m] Miz(x1 = 6) = M1 = 72 [kN ∙ m] - pentru x1
lowast = ξ = 42 [m] Miz(x1lowast = ξ = 42 [m]) = Mimax = 882 [kN ∙ m]
Cu acestea se trasează diagrama Miz = f(x) pe intervalul (A-1) figura 220
Observaţie Icircn unele cazuri pe un anumit interval forţa tăietoare nu se anulează
şi momentul icircncovoietor nu are un extrem local Icircn acest caz pentru reprezentarea
variaţiei parabolice a momentului icircncovoietor se va studia semnul derivatei a doua a
funcţiei Miz = f(x1) acesta determinacircnd convexitatea curbei momentului icircncovoietor
Domeniul (2-B) x2 isin [0 c = 4 m] Porţiunile din grindă libere (nerezemate) la un capăt se numesc console iar
stabilirea funcţiilor de eforturi devine mai simplă dacă se consideră icircndepărtată partea din
dreapta secţiunii prin schimbarea sensului pozitiv al axei x Astfel se obţin funcţiile eforturilor
Funcţia forţă axială Nx are expresia
Nx(x2) = N2minusB = minusFH = minus173 [kN] = const
(A11)
Funcţia forţă tăietoare Ty are exspresia
Ty(x2) = T2minusB = FV = 10 [kN] = const (A12)
Funcţia moment icircncovoietor Miz are expresia
Miz(x2) = minusFV ∙ x2 rArr Miz(x2 = 0) = M2 = 0 [kN ∙ m]
Miz(x2 = 4) = MB = minus40 [kN ∙ m] (A13)
variaţie liniară (gradul I)
Domeniul (B-1) x3 isin [0 b = 4 m] Pe acest domeniu se acceptă parcurgerea grinzii de la dreapta adică se consideră
icircndepărtată partea din dreapta secţiunii fictive pentru că are doar două sarcini aplicate F
şi VB faţă de partea din stacircnga secţiunii pe care sunt aplicate trei sarcini p VA şi M0
Astfel se obţin funcţiile eforturilor
Funcţia forţă axială Nx are expresia
Nx(x3) = NBminus1 = minusFH = minus173 [kN] = const
(A14)
Funcţia forţă tăietoare Ty are exspresia
Ty(x3) = TBminus1 = FV minus VB = minus18 [kN] = const (A15)
Funcţia moment icircncovoietor Miz are expresia
Miz(x3) = minusFV ∙ (x3 + c) + VB ∙ x3 rArr
rArr Miz(x3 = 0) = MB = minus40 [kN ∙ m]
Miz(x3 = 4) = M1 = 32 [kN ∙ m]
(A16)
variaţie liniară (gradul I)
Diagramele eforturilor sunt prezentate icircn figura 220
c) Relaţiile diferenţiale dintre eforturi şi sarcini se analizează pe diagramele
eforturilor după cum urmează
sarcina distribuită nu are componentă orizontală adică ph = 0 şi icircn
conformitate cu formula (211) rezultă că Nx = const pe toată lungimea grinzii fapt care
a rezultat din funcţia şi reprezentarea diagramei forţei axiale
pe intervalul (A-1) sarcina distribuită are doar componenta verticală pozitivă
pV = p gt 0 prin urmare forţa tăietoare scade (are panta negativă dTy 119889119909frasl = minusp vezi
relaţia 210) iar momentul icircncovoietor avacircnd derivata a doua negativă d2M119894119911 1198891199092frasl =minuspare convexitatea curbei orientată spre sensul pozitiv al axei momentului Miz adică icircn
jos
pe domeniile (2-B) şi (B-1) deoarece pv = 0 forţa tăietoare Ty este constantă
iar momentul icircncovoietor Miz variază liniar
referitor la relaţia (212) pe porţiunile unde Ty gt 0 momentul Miz este
monoton crescător pe porţiunile unde Ty lt 0 momentul Miz este monoton descrescător
iar icircn secţiunea icircn care Ty = 0 momentul icircncovoietor are un extrem local Mξ =
882 [kN ∙ m] icircn diagrama forţei tăietoare discontinuităţile (salturile) se produc icircn secţiunile
unde acţionează VA VB şi FV iar icircn diagrama momentului icircncovoietor se produce un
singur salt icircn secţiunea icircn care este aplicat M0
se poate scrie
Mξ = suprafața diagramei Ty |ξ0=1
2∙ 42 ∙ 42 = 882 [kN ∙ m]
sau parcurgacircnd grinda de la dreapta la stacircnga rezultă
MB = minussuprafața diagramei Ty |c0= minus10 ∙ 4 = minus40 [kN ∙ m]
Toate aspectele analizate teoretic referitoare la relaţiile diferenţiale dintre eforturi
şi sarcini se regăsesc icircn diagramele de eforturi din figura 220 ceea ce icircnseamnă că
diagramele au fost reprezentate corect
3 TENSIUNI DEPLASĂRI ŞI DEFORMAŢII SPECIFICE
31 Tensiuni
Eforturile obținute icircn urma reducerii forțelor interioare icircn centrul de greutate al
secțiunii nu pot da informații asupra solicitării fiecărui punct al secțiunii respective Este
necesar să se cunoască modul cum se distribuie forțele interioare icircn fiecare punct al
secțiunii pentru a ști care este intensitatea maximă a solicitării Această intensitate
maximă se poate compara cu o valoare critică specifică materialului stabilindu-se astfel
dacă solicitarea este periculoasă sau nu
Mărimea care caracterizează solicitarea locală punctuală o vom denumi tensiune
și o vom defini icircn cele ce urmează Să considerăm partea din dreapta a unui corp solicitat
de forțele exterioare 1198651 1198652 și 1198653 obținută prin secționarea corpului și mărginită de fața
din dreapta Ad a secțiunii Pe secțiunea Ad vom considera un element de arie infinit mic
∆119860 caracterizat de normala la elementul de arie normală care are cosinușii directori
120573 și icircn raport cu un sistem de axe considerat fix Pe elementul infinit mic ∆119860 acționează
forțele interioare care au o rezultantă oarecare figura 31
Prin definiție tensiunea totală este
= lim∆119860rarr0
∆
∆119860 (31)
Tensiunea are aceeaşi direcţie cu forţa elementară ∆ iar mărimea ei este
determinată atacirct de mărimea forţei ∆ cacirct şi de orientarea suprafeţei ∆119860 faţă de direcţia
forţei
Tensiunea 119901 poate fi descompusă icircntr-o componentă orientată după direcţia
normalei la secţiune tensiunea normală notată cu 120590119909 şi o componentă icircn planul secţiunii
tensiunea tangenţială notată cu figura 32
= 119909 + 120591 (32)
Fig 31 Tensiunea totală Fig 32 Tensiunea normală și tangențială
La racircndul ei componenta tensiunii cuprinsă icircn planul secțiunii poate fi
descompusă după direcțiile axelor y și z
120591 = 120591119909119910 + 120591119909119911 (33)
Icircntre cele trei componente ale tensiunii totale care acționează pe elementul de arie
∆119860 este valabilă relația
1199012 = 1205901199092 + 120591119909119910
2 + 1205911199091199112 (34)
După sensul pe care icircl are tensiunea normală 120590 poate avea efect de tracţiune sau
de compresiune exercitat de către partea de corp icircnlăturată asupra părţii rămase Analog
tensiunea tangenţială 120591 poate avea efect de tăiere forfecare sau alunecare Pentru
componentele tensiunii tangențiale 120591119909119910 pe direcţia 119910 respectiv 120591119909119911 pe direcţia 119911 primul
indice indică axa pe care tensiunea este normală iar cel de-al doilea indice indică axa cu
care aceasta este paralel
Tensiunea este o mărime tensorială valoarea ei depinzacircnd atacirct de poziția
punctului icircn planul secțiunii cicirct și de orientarea planului de secționare deci de normala
Operaţiile vectoriale nu pot fi aplicate tensiunilor decacirct după ce acestea au fost icircnmulţite
cu ariile respective adică au fost transformate icircn forţe
Icircn literatura de specialitate mai ales icircn manualele mai vechi pentru noţiunea de
tensiune se mai foloseşte şi denumirea de efort specific
Dacă se consideră un alt element de arie ∆119860 cu centrul icircn același punct avacircnd ca
normală axa 119910 se vor obține alte tensiuni și anume
- 120590119910 este tensiunea normală (paralelă cu axa y)
- 120591119911119909 și 120591119910119911 sunt tensiuni tangențiale paralele cu axele 119909 și respectiv 119911 aflate icircn
planul care are ca normală axa 119910
Dacă icircn jurul unui punct dintr-un corp solicitat se consider un element de volum
infinit mic de forma unui cub icircn cazul cel mai general pe fețele sale vor acționa
tensiunile normale 120590119909 120590119910 și 120590119911 și respectiv tensiunile tangențiale 120591119909119910 120591119909119911 120591119910119909 120591119910119911 120591119911119909
și respectiv 120591119911119910 figura 33 Aceste tensiuni definesc starea de tensiune a punctului
observacircnd faptul că tensorul tensiune are 9 componente Dacă se consideră elementul
de volum finit ca fiind foarte mic se poate presupune că icircn interiorul său nu apar forțe
Ca urmare el va fi icircn echilibru sub acțiunea forțelor elementare produse de tensiunile de
pe fețele sale
Din condiția ca elementul să nu se rotească icircn jurul unor axe care trec prin centrul
său și sunt paralele cu axele sistemului 119909119874119910119911 rezultă
2 ∙ 120591119909119910 ∙ (119889119910 ∙ 119889119911) ∙119889119909
2= 2 ∙ 120591119910119909 ∙ (119889119909 ∙ 119889119911) ∙
119889119910
2 rArr 120591119909119910 = 120591119910119909 (35)
2 ∙ 120591119910119911 ∙ (119889119909 ∙ 119889119911) ∙119889119910
2= 2 ∙ 120591119911119910 ∙ (119889119909 ∙ 119889119910) ∙
119889119911
2 rArr 120591119910119911 = 120591119911119910 (36)
2 ∙ 120591119909119911 ∙ (119889119910 ∙ 119889119911) ∙119889119909
2= 2 ∙ 120591119911119909 ∙ (119889119909 ∙ 119889119910) ∙
119889119911
2 rArr 120591119909119911 = 120591119911119909 (37)
Relațiile (35divide37) 120591119909119910 = 120591119910119909 120591119910119911 = 120591119911119910 120591119909119911 = 120591119911119909 exprimă principiul dualității
tensiunilor tangențiale
Fig 33 Tensiunile normale și tangențiale pe fețele unui cub
Din condiția ca elementul considerat să nu se deplaseze icircn lungul axelor de
coordonate pe fețele opuse acționează aceleași tensiuni normale 120590119909 120590119910 și respectiv 120590119911
Definirea tensorului tensiune este posibilă dacă se cunosc cele 6 componente
independente ale acestuia aflate icircn trei plane perpendicular ce trec prin punctul respectiv
=
120590119909 120591119909119910 120591119909119911120591119910119909 120590119910 120591119910119911120591119911119909 120591119911119910 120590119911
Observaţii
Tensiunile se măsoară icircn [119873 1198982frasl ] (1119873 1198982frasl = 1 119875119886) sau icircn [119872119875119886]
(1 119872119875119886 = 106119875119886 = 106 119873
1198982 1 119872119875119886 = 1
119873
1198981198982)
Starea de tensiune dintr-un punct este considerată cunoscută dacă se cunosc
tensiunile 119901 care acționează pe infinitatea de elemente de suprafață ce trec prin punctual
considerat
Starea de tensiune a unui corp se consider cunoscută dacă se cunosc stările de
tensiune de pe infinitatea de puncte ale corpului considerat
32 Deplasări Deformaţii specifice
321 Deplasări
Aceste noțiuni sunt utile icircn analiza aspectului geometric al problemelor de rezistența
materialelor Deplasările care se analizează sunt cele datorate schimbării formei și
dimensiunilor corpurilor ca urmare a acțiunii forțelor exterioare și nu cele cinematice
posibile pentru solidul rigid care se poate deplasa cu anumită viteză și accelerație
Spre exemplu icircn figura 34a și figura 34b sub acțiunea forței 119865 tronsonul de
bară AB se deformează icircn timp ce tronsonul BC deși punctele sale au deplasări rămacircne
nedeformat (fiind nesolicitat) Toate punctele de pe axele barelor cu excepția celor din
icircncastrare (secțiunile A) au deplasări liniare De cele mai multe ori deformațiile barelor
datorate acțiunii forțelor exterioare se anulează la icircndepărtarea forțelor se spune că
deformațiile sunt elastice Secțiunile transversale ale barei din figura 34a se și rotesc icircn
raport cu pozițiile lor inițiale Spre exemplu secțiunea de căpăt cu centrul icircn C se rotește
cu unghiul
Fig 34 Deformațiile unei grinzi
Oricacirct de complexă ar fi delormația unui corp ea poate fi descrisă de lungiri sau
scurtări și de modificări ale unghiurilor inițiale
Deplasările măsoară schimbarea poziției unui punct al corpului și pot fi liniare
sau unghiulare
Prin deplasare liniară a unui punct se icircnțelege drumul parcurs de acest punct icircn
decursul procesului de deformație după o dreaptă suport dreapta 1198611198611 din figura 34a
Prin deplasare unghiulară se icircnțelege rotirea dintre segmentele de dreaptă
determinate de două puncte ale corpului icircnainte și după deformarea acestuia unghiul
pe care-l fac segmentele 119861119862 și 11986111198621 din figura 34a Această rotire se măsoară prin
unghiul pe care-l fac proiecțiile dreptelor ce conțin cele două segmente icircntr-un sistem
triortogonal
Icircn cazul cel mai general vectorul deplasare liniară se poate descompune icircntr-un
sistem triortogonal icircn trei componente 119906 119907 și 119908 figura 35
Fig 35 Deplasarea liniară
Se consideră acum un corp solid raportat la un sistem de axe ortogonal 119909119874119910119911
figura 35 după deformarea corpului un punct oarecare 119870 al acestuia se deplasează icircn
poziţia 1198701 vectorul 1198701198701 poartă numele de vectorul deplasării totale
Deplasarea totală este suma deplasărilor pe cele trei direcţii ortogonale iar
aceste deplasări se notează astfel
deplasarea pe direcţia 119909 cu ∥ 119874119909
deplasarea pe direcţia 119910 cu ∥ 119874119910
deplasarea pe direcţia 119911 cu ∥ 119874119911
Componentele deplasărilor și formeză matricea deplasărilor liniare 119906119907119908
322 Deformații
Prin deformație icircn general se icircnțelege orice schimbare de formă a unui corp fără
o evaluare cantitativă Icircn Rezistența Materialelor deformația măsoară variația
dimensiunilor geometrice ale corpului considerat din vecinătatea unui punct analog
deplasărilor deformațiile pot fi liniare și unghiulare (lunecări)
Fig 36 Deplasarea liniară
Deformația liniară ∆119897 reprezintă variația lungimii 119897 a unui element liniar al
corpului deformat figura 36 Deformația liniară specifică se definește ca fiind raportul
dintre deformația liniară și lungimea inițială
휀 =∆119897
119897 (38)
unde ∆119897 este lungirea sau scurtarea care este echivalentă cu deformția liniară totală iar
este alungirea
Deformația unghiulară sau lunecarea unui punct 119860 icircn planul 119861119860119862 se definește
prin relația figura 37
120574 = lim119861119860rarr0119862119860rarr0
(119861119860 minus 119861111986011198621 ) (39)
Fig 36 Deformația unghiulară
Schimbacircnd orientarea planului care trece prin 119860 se obțin alte deformații
unghiulare Dacă elementele liniare 119861119860 și 119862119860 sunt inițial perpendiculare deformația 120574 se
numește deformație unghiulară specifică sau lunecare specifică figura 37
Un exemplu de deplasare unghiulară și de deformație unghiulară este prezentat icircn
figura 38 Unghiul este deplasarea unghiulară și măsoară rotirea relativă dintre două
secțiuni aflate la distanța 119897 Unghiul este deformația specifică unghiulară (lunecarea
specifică) din punctul 119870 Aceste deplasări și deformații se obțin icircn urma solicitării barei
de către cele două momente 1198720 egale și de sens contrar
Fig 38 Deplasarea unghiulară
Pentru a analiza starea de deformație din vecinătatea unui punct al unui corp
solicitat complex se decupează din jurul punctului un element de volum mic figura 39a
avacircnd laturile 119889119909 119889119910 și 119889119911 Ca urmare a solicitării laturile acestuia se vor lungi sau
scurta Reprezentarea elementului deformat icircn spațiu este dificilă pentru simplificare
vom analiza doar deformațiile din planul 119909119874119910 Observăm că dimensiunile 119889119909 și 119889119910 s-au
modificat cu valoarea ∆119889119909 respectiv cu ∆119889119910 analog se acceptă și pentru 119889119911 o modificare
de forma ∆119889119911 Astfel se pot defini deformațiile specifice liniare
휀119909 =∆119889119909
119889119909 휀119910 =
∆119889119910
119889119910 휀119911 =
∆119889119911
119889119911 (310)
De cele mai multe ori aceste deformații specifice liniare se pot exprima procentual
și se mai numesc alungiri
Fig 39 Starea de deformație
Icircn figura 39c se vede că unghiul inițial drept dintre muchiile 119889119909 și 119889119910 ale
elementului de volum s-a modificat Se definește deformația specifică unghiulară (sau
lunecarea specifică) mărimea cu care se modifică unghiul inițial drept
120574119909119910 = 120574119909119910prime + 120574119910119909
prime = 120574119910119909120574119910119911 = 120574119910119911
prime + 120574119911119910prime = 120574119911119910
120574119911119909 = 120574119911119909prime + 120574119909119911
prime = 120574119909119911
(311)
Deformațiile 휀119909 휀119910 휀119911 120574119909119910 120574119910119911 120574119911119909 constituie cele șase componente
independente ale tensorului deformațiilor specifice care pot fi scrise de forma
119863 =
휀119909 120574119909119910 120574119909119911120574119910119909 휀119910 120574119910119911120574119911119909 120574119911119910 휀119911
(312)
323 Contracţia transversală
Practica arată că odată cu lungirea unei bare apare o micşorare a mărimii secţiunii
transversale mărime numită contracţie transversală figura 310
Fig 310 Contracția transversală
Contracţia transversală este proporţională cu lungirea specifică coeficientul de
proporţionalitate se notează cu 120599 şi se numeşte coeficient de contracţie transversală sau
coeficientul lui Poisson
La o lungire specifică a barei contracţia transversală este dată de relația
휀119905119903 = 휀119910 = 휀119911 = minus120599 ∙ 휀119909 (313)
Semnul minus bdquo-rdquo arată că cele două mărimi sunt contrare dacă una creşte cealaltă
scade şi invers
Considerăm o bară cilindrică de lungime 119897 şi aria secţiunii transversale 119860 solicitată
la icircntindere axială La un moment dat datorită solicitării lungimea barei devine
[119897 ∙ (1 + 휀)] diametrul devine [119889 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)] iar aria secţiunii transversale devine
[119860 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)2] Dacă volumul barei icircnainte de solicitare a fost (119860 ∙ 119897) după solicitare
acesta devine
119881 + ∆119881 = 119860 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)2 ∙ 119897 ∙ (1 + 휀) =
= 119860 ∙ 119897 ∙ (1 + 휀 minus 2 ∙ 120599 ∙ 휀 minus 2 ∙ 120599 ∙ 휀2 + 1205992 ∙ 휀2 + 1205992 ∙ 휀3) (314)
Deoarece lungirile sunt foarte mici ultimii trei termeni din paranteză fiind infinit mici se pot neglija obţinacircnd
119881 + ∆119881 = 119860 ∙ 119897 + 119860 ∙ 119897 ∙ 휀 ∙ (1 minus 2 ∙ 120599) ⟺ ∆119881 = 휀 ∙ (1 minus 2 ∙ 120599) ∙ 119860 ∙ 119897 (315)
Practica arătă că o astfel de bară solicitată la icircntindere icircşi măreşte volumul deci
∆119881 gt 0 de unde rezultă că
1 minus 2 ∙ 120599 gt 0 rArr 120599 lt 05 (316)
Pentru majoritatea materialelor 120599 = 033 iar pentru materialele care-şi păstrează
volumul constant 120599 = 05
33 Relaţii de echivalenţă icircntre eforturi şi tensiuni
Considerăm un element de suprafață infinit mic 119889119860 situat pe fața de arie (119860) a
secțiunii barei din figura 311 Icircn centrul de greutate 119862 al secțiunii acționează eforturile
119873 119879119910 119879119911 119872119909 119872119894119910 și 119872119894119911 determinate prin metoda secțiunilor
Icircn raport cu un sistem de axe de referință 119909119862119910119911 coordonatele elementului 119889119860 sunt
- 119910 este ordonata elementului de arie 119889119860
- 119911 este abscisa elementului de arie 119889119860
Pe elementul de arie 119889119860 acționează tensiunile
120590119909 tensiunea normală
120591119909119910 și 120591119909119911 tensiuni tangențiale
Dacă se icircnsumează forțele elementare de tipul 120590119909 ∙ 119889119860 120591119909119910 ∙ 119889119860 și 120591119909119911 ∙ 119889119860
va trebui să obținem eforturile 119873 119879119910 și 119879119911
Fig 311 Element de suprafață mic din secțiunea unei bare
Dacă eforturile sunt privite ca forțe exterioare și se scriu ecuațiile de
echilibru ale secțiunii (119860) se vor obține șase relații de echivalență icircntre eforturi și
tensiuni
(sum119883) = 0 rArr int 120590119909 ∙ 119889119860
119860
= 119873 (317)
(sum119884) = 0 rArr int 120591119909119910 ∙ 119889119860
119860
= 119879119910 (318)
(sum119885) = 0 rArr int 120591119909119911 ∙ 119889119860
119860
= 119879119911 (319)
(sum119872)119909= 0 rArr int(120591119909119911 ∙ 119889119860) ∙ 119910
119860
minus int(120591119909119910 ∙ 119889119860) ∙ 119911
119860
= 119872119909 rArr
rArr int(119910 ∙ 120591119909119911 minus 119911 ∙ 120591119909119910) ∙ 119889119860
119860
= 119872119909
(320)
(sum119872)119910= 0 rArr int(120590119909 ∙ 119889119860) ∙ 119911
119860
= 119872119894119910 (321)
(sum119872)119911= 0 rArr int(120590119909 ∙ 119889119860) ∙ 119910
119860
= 119872119894119911 (322)
Cele șase relații de echivalență icircntre eforturi și tensiuni constituie un pas icircnainte
icircn rezolvarea unei probleme de rezistența materialelor Aceste relații vor permite
determinarea tensiunilor maxime
Pentru a rezolva cele 6 relații de echivalență trebuie să se cunoască tensiunile și
ca funcții de punct adică funcții de forma
120590119909 = 120590119909(119909 119910 119911) 120591119909119910 = 120591119909119910(119909 119910 119911) 120591119909119911 = 120591119909119911(119909 119910 119911) (32
3)
Cunoașterea acestor funcții presupune icircnsă analizarea aspectului geometric al
problemei precum și utilizarea unor ipoteze simplificatoare care să permită simplificarea
problemelor
34 Ipoteze de bază icircn rezistenţa materialelor
Depășirea dificultăților legate de interpretarea unor fenomene specifice mecanicii
solidului deformabil a impus acceptarea unor ipoteze care să simplifice fenomenele și să
contribuie la elaborarea unor modele de calcul cicirct mai generale și cacirct mai simple Aceste
ipoteze se referă la structura materialelor şi la comportarea lor sub acţiunea forţelor
exterioare Ipotezele acceptate trebuie să fie icircn deplină concordanţă cu realitatea și să
conducă la rezultate verificate icircn practică
Funcție de aspectele la care se referă ipotezele pot fi
Ipoteze fizice (de material)
Ipoteze de calcul
341 Ipoteze fizice
Se acceptă deoarece teoriile structurale au condus la rezultate care contravin
icircncercărilor experimentale
Ipoteza mediului continuu consideră că orice domeniu elementar al corpului
este ocupat de materie adică nu se acceptă existența unor goluri sau a unor crăpături
microscopice (fisuri) Deși nu corespunde realităţii poate fi acceptată deoarece
dimensiunile corpului sunt mult mai mari decacirct dimensiunile particulelor elemantare Are
avantajul că permite utilizarea proprietăților matematice ale funcțiilor continue pentru
tensiunile și deformațiile din orice punct al corpului Ea este mai apropiată de realitate la
corpurile amorfe şi mai depărtată la cele cristaline dar conduce la rezultate satisfăcătoare
icircn calculele de rezistenţă
Ipoteza nu se poate aplica la corpurile care au goluri tăieturi (multiplu conexe)
pentru unele puncte singulare icircn care tensiunile și deformațiile tind la infinit sau icircn unele
probleme de plasticitate icircn care proprietățile de material au un rol esențial
Ipoteza izotropiei conform acestei ipoteze materialul din care este confecționat
un element de rezistență are aceleași proprietăți după orice direcție un astfel de material
este considerat izotrop Din punct de vedere macroscopic metalele pot fi considerate
izotrope deși la nivel microscopic proprietățile lor diferă de la o direcție cristalografică
la alta Orice conglomerat de cristale poate fi considerat izotrop
Există cazuri cacircnd această ipoteză a izotropiei nu se acceptă
la metalele puternic deformate după o direcție (prin laminare trefilare)
la piesele confecționate din lemn lemnul este anizotrop deoarece proprietățile sale
diferă după două direcții (icircn lungul fibrelor și perpendicular pe această direcție)
Ipoteza omogenității consideră că un corp are aceleași proprietăți icircn orice
punct al său Deși majoritatea materialelor utilizate icircn tehnică sunt eterogene la scară
micro fiind constituite din mai multe faze cu proprietăți diferite la scară macro ele pot
fi considerate omogene Omogenitatea și izotropia sunt proprietăți statistice medii care
nu se condiționează una pe cealaltă Chiar și materialele monofazice pot avea la scară
micro unele segregații care le fac eterogene
Ipoteza elasticităţii perfecte presupune că atacircta timp cacirct solicitările nu
depăşesc anumite limite materialul are o comportare elastică adică icircşi recapătă forma şi
dimensiunile iniţiale odată cu icircnlăturarea sarcinilor Icircn realitate materialele nu prezintă o
elasticitate perfectă ele avacircnd deformaţii remanente mici care icircnsă pot fi neglijate icircn
calculele de rezistenţă
Acceptarea acestei ipoteze a elasticității perfecte permite
- aplicarea relației biunivoce icircntre tensiuni și deformații relație exprimată de legea
lui Hooke ( = 119864 ∙ 휀) unde E este un factor de proporţionalitate numit modul de
elasticitate longitudinal al materialului pentru oţel 119864 = 21 ∙ 105 [119872119875119886] - acceptarea valabilității afirmației bdquolucrul mecanic efectuat de forțele exterioare
ca urmare a parcurgerii deplasărilor punctelor de aplicație se icircnmagazinează integral icircn
corp sub formă de energie de deformație energie cedată la icircndepărtarea sarcinilorrdquo
- este valabilă teoria conform căreia bdquoenergia icircnmagazinată și deformațiile depind
doar de starea inițială și finală de eforturi fără a ține cont de modul icircn care s-a ajuns la
starea finalărdquo
Icircn realitate oricacirct de mici ar fi sarcinile aplicate se produc și deformații plastice
dar acestea pot fi neglijate dacă solicitarea nu depășește anumite limite
342 Ipoteze de calcul
Ipoteza micilor deplasări bdquodeplasările datorate deformării sunt mult mai mici
decacirct dimensiunile corpurilor și ca urmare pot fi neglijate produsele dintre o deplasare și
ea icircnsăşirdquo Pentru cele mai multe corpuri deformaţiile elastice sunt de mărimi mici deci
corpurile solide sub acţiunea sarcinilor icircşi modifică foarte puţin forma iniţială Această
ipoteză este cunoscută şi sub denumirea de ipoteza menţinerii dimensiunilor iniţiale Ea
permite scrierea ecuaţiilor de echilibru ale staticii pe starea nedeformată a elementului
cacircnd nu se iau icircn considerare deplasările punctelor de aplicaţie ale forţelor care se produc
ca urmare a deformării acestuia Calculul efectuat pe schema nedeformată poartă numele
de calcul de ordinul I
Ipoteza micilor deplasări nu poate fi acceptată pentru studiul problemelor de
stabilitate sau la problemele la care nu pot fi icircndeplinite condiţiile de echilibru icircn starea
nedeformată
Calculul de ordinul II admite ipoteza micilor deplasări dar ecuaţiile de echilibru
se scriu icircnsă pentru starea deformată a elementului de rezistenţă
Calculul de ordinul III nu mai acceptă ipoteza micilor deplasări el referindu-se
la cazul deformaţiilor mari cacircnd ecuaţiile de echilibru trebuie scrise pentru starea
deformată
Chiar dacă materialul satisface legea lui Hooke icircn urma calculelor de ordinul II
se obţin de obicei relaţii neliniare icircntre sarcini şi deplasări iar pentru calculul de ordinul
III rezultă ecuaţii diferenţiale neliniare
Principiul efectului local al acțiunii sarcinilor enunțat de Barre de Saint-
Venant Acest principiu destul de folosit icircn Rezistenţa Materialelor precizează că dacă
se icircnlocuiesc forţele care acţionează asupra unui element de suprafață al unui corp
elastic printr-un alt sistem de forţe echivalent din punct de vedere static cu primul noua
distribuţie a forţelor produce la locul de aplicare diferenţe semnificative faţă de prima
dar rămacircne fără efect sau cu efect neglijabil la distanţe mari de locul de aplicare al
forţelor figura 312
Ca o cosecință o sarcină uniform distribuită figura 312a poate fi icircnlocuită cu
rezultanta ei figura 312b dacă se analizează efectul sarcinii la distanță mare de locul icircn
care se aplică sarcina
Fig 312 Principiul Saint-Venant
Icircn prima variantă figura 312a forţa 119865 se aplică pe o porțiune oarecare 119897 (sarcină
uniform distribuită) iar icircn a doua figura 312b icircntru-un punct (forţă concentrată) La
locul de aplicare a sarcinii efectul asupra barei este cu totul diferit de la o variantă la
cealaltă Icircnsă la o distanţă mare de punctul de aplicaţie spre exemplu icircn secţiunea situată
la distanţa 119886 de capătul barei sau chiar icircn icircncastrare ambele bare sunt solicitate la fel
Icircn cazul din figura 312a
119872119894(119909) =119901 ∙ 1199092
2 119909 le 119897 119872119894(119909) = 119901 ∙ 119897 ∙ (119909 minus
119897
2) 119909 gt 119897 (324)
Icircn cazul din figura 312b
119872119894(119909) = 0 119909 lt119897
2 119872119894(119909) = 119901 ∙ 119897 ∙ (119909 minus
119897
2) 119909 gt
119897
2 (325)
Se vede că pentru (119909 gt 119897) adică după depășirea locului icircn care se aplică sarcina
efectul este același
Ipoteza lui Bernoulli sau ipoteza secţiunilor plane precizează că o secţiune
plană şi normală pe axa barei icircnainte de deformare rămacircne plană şi normală pe axa
barei şi după deformare figura 313
Fig 313 Ipoteza lui Bernoulli
Ipoteza stării naturale a corpului sau ipoteza absenţei tensiunilor conform
căreia pentru un corp nesolicitat starea de tensiune şi deformaţie este nulă
Perfecţionarea mijloacelor de calcul şi de investigare pot conduce la renunţarea la
unele ipoteze sau la introducerea altora noi mai aproape de stările reale De aici rezultă
caracterul de continuă perfecţionare a metodelor Rezistenţei Materialelor
35 Coeficienţi de siguranţă Tensiuni admisibile
O piesă corespunde din punct de vedere tehnic dacă tensiunile care iau naştere icircn
interiorul piesei datorită sarcinilor aplicate nu depăşesc anumite valori limită stabilite
convenţional Aceste valori limită ale tensiunii sunt corelate cu caracteristicile mecanice
ale materialelor
Tensiunea limită utilizată icircn calculele de rezistenţă este cunoscută sub denumirea
de tensiune admisibilă sau rezistenţă admisibilă Rezistenţa admisibilă reprezintă
valoarea convenţională aleasă icircn calcul pe baza practicii pentru tensiunea maximă care
poate apare icircntr-o piesă icircn condiţii date de material şi solicitare
Rezistenţa admisibilă (120590119886 sau 120591119886) poate fi definită faţă de o stare limită
periculoasă stare care trebuie evitată deoarece poate conduce distrugere
120590119886 =120590119897119894119898119888
(326)
unde
120590119897119894119898 este tensiunea corespunzătoare stării limită periculoase
119888 estesupraunitar 119888 gt 1 și reprezintă coeficientul de siguranţă faţă de starea limită
periculoasă considerată
Alegerea unor valori inferioare pentru rezistenţa admisibilă faţă de tensiunea
corespunzătoare stării limită periculoase este necesară deoarece
cunoaşterea sarcinilor este de cele mai multe ori aproximativă şi o depăşire a
acestora este foarte posibilă
caracteristicile mecanice ale materialelor variază icircn limite destul de mari ele
fiind influenţate de mulţi factori
schema aleasă pentru calcul (aplicarea sarcinilor schematizarea structurii
ipotezele de calcul etc) depărtează modelul faţă de cel real
Pentru calculele de verificare tensiunea efectivă maximă din elementul de
rezistenţă trebuie să fie mai mică sau cel mult egală cu cea admisibilă
120590119890119891119898119886119909 le 120590119886 (327)
Valoarea rezistenţei admisibile este influenţată de foarte mulţi factori natura
materialului tratamentele termice aplicate piesei durata de funcţionare a piesei modul
de acţionare icircn timp a sarcinilor felul solicitării temperatura gradul de periculozitate
icircn cazul cedării piesei etc
De asemenea valoarea coeficientului de siguranţă se alege icircn principal ţinacircnd
seama de aceiaşi factori care influenţează şi rezistenţa admisibilă
Rezistenţele admisibile pentru cacircteva materiale sunt următoarele
pentru oțelul de uz general OL37 solicitat la icircntindere compresiune sau
icircncovoiere 120590119886 = 150 [119872119875119886] pentru lemnul de brad solicitat la
- compresiune icircn lungul fibrelor şi solicitat la icircncovoiere 120590119886 = 10 [119872119875119886] - tracţiune icircn lungul fibrelor 120590119886 = 7 [119872119875119886] - compresiune perpendiculară pe fibre 120590119886 = 15 [119872119875119886] - forfecare icircn lungul fibrelor 120591119886 = 2 [119872119875119886] - forfecare perpendiculară pe fibre 120590119886 = 45 [119872119875119886]
terenuri de fundaţie din pămacircnt uscat sau umed 120590119886 = 020 divide 025 [119872119875119886]
4 CARACTERISTICI GEOMETRICE ALE SECȚIUNILOR PLANE
41 Noţiuni introductive
Icircn relaţiile de calcul ale tensiunilor şi deformaţiilor elementelor de rezistenţă
pentru unele solicitări (icircncovoierea și torsiunea) secțiunile plane intervin atacirct prin
dimensiunile lor (aria 119860) cicirct și prin forma și poziția pe care o are secțiunea icircn raport cu
planul solicitării Mărimile care caracterizează o secțiune icircn raport cu forma și poziția față
de axele unui sistem de referință sunt denumite caracteristici geometrice de ordin
superior Aria secțiunii este caracteristica geometrică ce depinde doar de dimensiunile
geometrice ale acesteia
Să considerăm o grindă solicitată de o forță exterioară 119865 aşezată icircn două poziții icircn
raport cu planul forţei figura 41 Icircn urma aplicării forței deși avem aceeași grindă
(aceeași arie a secțiunii transversale) și aceeași forță se constată că pentru varianta din
figura 41a deformațiile sunt mult mai mari adică rezistența la icircncovoiere a grinzii din
figura 41a este mai mare decacirct icircn cazul grinzii din figura 41b Comportarea diferită se
explică prin aceea că modificarea poziţiei secţiunii transversale faţă de planul forţelor
modifică caracteristicile geometrice ale secţiunii transversale a grinzii
Fig 41 Grindă solicitată de forța 119865
Pentru realizarea calculelor de rezistenţă şi rigiditate este foarte importantă
cunoaşterea caracteristicilor geometrice ale suprafeţei secţiunii transversale a elementelor
de rezistenţă
Caracteristicile geometrice ale secţiunii transversale a unui element de rezistenţă
sunt
- aria secțiunii notată cu 119860
- momentul static icircn raport cu o axă notat 119878119911 și respectiv 119878119910
- momentul de inerție care poate fi
axial notat 119868119911 și respectiv 119868119910
centrifugal notat 119868119911119910
polar notat 119868119901
- raza de inerţie (giraţie)notată 119894119911 și respectiv 119894119910
- modulul de rezistență care poate fi
axial notat 119882119911 și respectiv 119882119910
polar notat 119882119901
42 Aria și momentul static al suprafețelor plane
Fie o suprafaţă plană de arie 119860 pe care se ia un element infinit mic de arie 119889119860 şi
un sistem de axe rectangulare 119911119874119910 figura 42 Notăm cu 119862 centrul de greutate al suprafeţei
119860 Poziţia suprafeţei elementare 119889119860 faţă de acelaşi sistem de coordonate 119911119874119910 este dată
de abscisa 119911 ordonata 119910 și raza polară
Fig 42 Suprafață plană de arie 119860
Aria suprafeţei 119860 figura 42 se defineşte ca fiind
119860 ≝ int 119889119860
119860
(41)
Aria suprafeţei este icircntotdeauna pozitivă și se măsoară icircn [1198981198982] Momentul static al suprafeţei de arie 119860 icircn raport cu axele 119874119911 și respectiv 119874119910
figura 42 sunt date de relaţiile
119878119911 ≝ int 119910 ∙ 119889119860
119860
119878119910 ≝ int 119911 ∙ 119889119860
119860
(42)
Momentul static poate fi pozitiv negativ sau nul şi se măsoară icircn [1198981198983] Coordonatele centrului de greutate ale suprafeței 119860 se detrmină cu relațiile
119910119862 ≝int 119910 ∙ 119889119860119860
119860 119911119862 ≝
int 119911 ∙ 119889119860119860
119860
(43)
Cunoscacircnd coordonatele 119910119862 și 119911119862 ale centrului de greutate 119862 al secțiunii 119860 atunci
momentele statice se pot determina cu relațiile
119878119911 ≝ int 119910 ∙ 119889119860
119860
= 119910119862 ∙ 119889119860 119878119910 ≝ int 119911 ∙ 119889119860
119860
= 119911119862 ∙ 119889119860 (44)
Aceste relații arată că momentul static al unei suprafețe icircn raport cu o axă este
egal cu produsul dintre aria suprafeței și distanța de la centrul ariei la axa respectivă
Dacă suprafaţa se poate descompune icircn 119899 suprafeţe simple la care se cunosc ariile
(1198601 1198602 ⋯ 119860119894⋯ 119860119899) și poziţiile centrelor de greutate 119862119894 faţă de sistemul de referinţă
expresiile momentelor statice capătă următoarea formă
119878119911 = sum 119910119862119894 ∙ 119860119894119899119894=1 = 119910119862 ∙ 119860 119878119910 = sum 119911119862119894 ∙ 119860119894
119899119894=1 = 119911119862 ∙ 119860 (45)
Din relaţiile (45) rezultă că poziţia centrului de greutate 119862 al unei suprafeţe
compuse poate fi determinată cu relaţiile
119910119862 = (sum119910119862119894 ∙ 119860119894
119899
119894=1
) 119860frasl 119911119862 = (sum119911119862119894 ∙ 119860119894
119899
119894=1
) 119860frasl (46)
Icircn relația (45) 119910119862119894 și respectiv 119911119862119894 reprezintă coordonatele centrelor de greutate 119862119894
ale fiecărei suprafețe simple 119860119894 icircn raport sistemul de axe 119911119874119910
Se constată (relaţia 42) că dacă axele sistemului de referinţă trec prin centrul de
greutate (119910119862 = 119911119862 = 0) momentele statice sunt nule Axele icircn raport cu care momentele
statice sunt nule şi care trec prin centrul de greutate al suprafeţei se numesc axe centrale
Observație dacă secțiunea compusă are o axă de simetrie centrul secțiunii se
găsește pe acea axă iar dacă secțiunea este dublu simetrică poziția centrului secțiunii este
la intersecția axelor de simetrie
43 Momente de inerţie
Momentele de inerţie axiale ale unei suprafețe se calculează icircn raport cu axele de
coordonate 119874119911 și respectiv 119874119910 figura 42 și se determină cu relațiile
119868119911 ≝ int 1199102 ∙ 119889119860
119860
119868119910 ≝ int 1199112 ∙ 119889119860
119860
(47)
Unde 119910 și 119911 sunt distanțele de la elementul de arie 119889119860 la cele două axe de
coordonate 119874119911 și respectiv 119874119910
Momentele de inerţie axiale se măsoară icircn [1198981198984] şi sunt icircntotdeauna pozitive (aria
119889119860 este icircntotdeauna pozitivă și este multiplicată cu patratul distanței 1199102 dacă 119868119911 sau 119868119910
sunt nule icircnseamnă ca secțiunea nu există)
Momentele de inerție axiale se calculează icircndeosebi pentru axele centrale (care
trec prin centrul secțiunii) deoarece icircn raport cu acele axe 119868119911 și 119868119910 au valori minime
Momentul de inerţie centrifugal calculat faţă ambele axe ale sistemului de
referinţă 119911119874119910 este definit de relația
119868119911119910 ≝ int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860
(48)
Momentul de inerţie centrifugal se măsoară icircn [1198981198984] şi poate fi pozitiv negativ
sau nul
Momentul de ineție centrifugal este nul 119868119911119910 = 0 dacă cel puțin una din axele 119874119911
sau 119874119910 este axă de simetrie pentru secțiune
Se consideră o suprafaţă dreptunghiulară pe care faţă de axa de simetrie 119874119910 se iau
două suprafeţe elementare de arie 119889119860 simetrice faţă de axa 119874119910 figura 43
Fig 43 Suprafață dreptunghiulară cu două arii elementare 119889119860
Făcacircnd suma momentelor de inerţie centrifugale pentru cele două suprafeţe
elementare 119889119860 (din stacircnga şi din dreapta faţă de axa 119874119910) se obţine
int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860119889119903
+ int (minus119911) ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860119904119905119892
= int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860119889119903
minus int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860119904119905119892
= 0 (49)
Acelaşi raţionament se poate face și pentru icircntreaga suprafaţă de unde obținem că
momentul de inerție centrifugal este nul 119868119911119910 = 0 Deci pentru o suprafaţă plană care
are cel puţin o axă de simetrie momentul de inerţie centrifugal faţă de sistemul care
conţine acea axă de simetrie este nul
Momentul de inerţie polar al unei suprafeţei icircn raport cu un punct (pol) 119874 figura
42 este definit prin relaţia
1198680 = 119868119901 ≝ int 1205882 ∙ 119889119860
119860
= int(1199102 + 1199112) ∙ 119889119860
119860
= 119868119911 + 119868119910 (410)
unde este distanţa de la polul 119874 la elementul de arie 119889119860 Momentul de inerţie polar se
măsoară icircn [1198981198984] şi este totdeauna pozitiv
Momentul de inerţie polar este egal cu suma momentelor de inerţie faţă de două axe
perpendiculare oarecare şi care trec prin polul considerat
Razele de giraţie sau razele de inerţie sunt mărimi calculate icircn raport cu axele
secțiunii și definite de relaţiile
119894119911 ≝ radic119868119911119860 119894119910 = radic
119868119910
119860 (411)
Se exprimă icircn [119898119898] şi sunt icircntotdeauna pozitive Semnificația unei raze de inerție
este distanța la care dacă ar fi concentrată icircntreaga arie s-ar obține același moment de
inerție ca și cel calculat pentru aria reală
44 Modulul de rezistenţă
Modulul de rezistență se calculează icircn raport cu axele de referință sau icircn raport cu
un pol figura 42 și pot fi axiale (119882119911119882119910) sau polar (119882119901) și se determină numai pe baza
momentelor de inerţie cu relațiile figura 43
119882119911119898119894119899 ≝119868119911119910119898119886119909
119882119911119898119886119909 ≝119868119911119910119898119894119899
(412)
119882119910119898119894119899 ≝119868119910
119911119898119886119909 119882119910119898119886119909 ≝
119868119910
119911119898119894119899 (413)
119882119901 ≝119868119901
120588119898119886119909 (414)
unde
119910119898119886119909 119910119898119894119899 reprezintă distanţa de la axa 119874119911 la punctele extreme cele mai
depărtate respectiv cele mai apropiate ale suprafeţei de această axă
119911119898119886119909 119911119898119894119899 reprezintă distanţa de la axa 119874119910 la punctele extreme cele mai
depărtate respectiv cele mai apropiate ale suprafeţei de această axă
120588119898119886119909 reprezintă distanța maximă de la polul 119874 la punctul secțiunii cel mai
icircndepărtat de acesta
Fig 43 Suprafață dreptunghiulară cu două arii elementare 119889119860
Modulele de rezistenţă se exprimă icircn [1198981198983] şi sunt icircntotdeauna pozitive
Explicația este aceea că momentele de inerție care intră icircn relațiile de definiție sunt
pozitive iar distanțele la punctele extreme sunt pozitive (119910119898119886119909 119910119898119894119899 119911119898119886119909 119911119898119894119899 120588119898119886119909 se
iau icircn valoare absolută)
Icircn cazul suprafeţelor compuse modulul de rezistenţă nu se obţine prin icircnsumarea
algebrică a modulelor de rezistenţă ale suprafeţelor simple componente ci numai prin
intermediul momentului de inerţie axial calculat pentru icircntreaga secțiune
Ca și momentele de inerție modulele de rezistență se calculează numai pentru
sistemele de axe centrale
45 Momente de inerţie şi module de rezistenţă pentru suprafeţe simple
451 Secțiune dreptunghiulară
Fie suprafaţa dreptunghiulară din figura 44 de icircnălțime ℎ și lățime 119887 pe care se
consideră suprafaţă elementară de arie 119889119860 = 119887119889119910 la distanța 119910 de axa 119862119911 sistemul de
axe 119911119862119910 trece prin centrul secțiunii iar axele sunt axe de simetrie pentru dreptunghi
Fig 44 Suprafață dreptunghiulară
Pe baza relațiilor de definiți a momentului de inerție 119868119911 se obține
119868119911 ≝ int 1199102 ∙ 119889119860
119860
= int 1199102 ∙ 119887 ∙ 119889119910 = 2int 1199102 ∙ 119887 ∙ 119889119910 = 2 ∙ 119887 ∙1199103
3|ℎ 2frasl
0rArr
ℎ 2frasl
0
ℎ 2frasl
minusℎ 2frasl
rArr 119868119911 =119887 ∙ ℎ3
12
(415)
Analog pentru un element de arie 119889119860 = ℎ ∙ 119889119911 paralel cu axa 119862119910 situat la distanța
119911 de axa 119862119910
119868119910 ≝ int 1199112 ∙ 119889119860
119860
= int 1199112 ∙ ℎ ∙ 119889119911 = 2int 1199112 ∙ ℎ ∙ 119889119910 = 2 ∙ ℎ ∙1199113
3|119887 2frasl
0rArr
119887 2frasl
0
119887 2frasl
minus119887 2frasl
rArr 119868119910 =1198873 ∙ ℎ
12
(416)
Deoarece axele 119862119911 și 119862119910 sunt axe de simetrie momentul de inerție centrifugal este
119868119911119910 = 0 (417)
Pentru un pătrat avacircnd laturile egale (ℎ = 119887 = 119886) momentele de inerţie faţă de
axele centrale au expresia
119868119911 = 119868119910 =1198864
12 (418)
Modulele de rezistență axiale se calculează cu relațiile de definiție ținacircnd cont că
distanțele pacircnă la fibrele extreme sunt
119910119898119886119909 = 119910119898119894119899 =ℎ
2 119911119898119886119909 = 119911119898119894119899 =
119887
2 (419)
Obținem
119882119911119898119894119899 = 119882119911119898119886119909 =119868119911
119910119898119886119909119898119894119899=119887 ∙ ℎ3
12frasl
ℎ2frasl
=119887 ∙ ℎ2
6
119882119910119898119894119899 = 119882119910119898119886119909 =119868119910
119911119898119886119909119898119894119899=1198873 ∙ ℎ
12frasl
1198872frasl
=1198872 ∙ ℎ
6
(420)
452 Suprafaţă circulară
Din motive de simetrie pentru suprafeţele circulare momentele de inerţie faţă de
orice diametru (care reprezintă şi axe centrale) sunt aceleaşi
Considerăm o secțiune circulară plină cu diametrul 119889 și centrul de greutate 119862 Prin
centrul de greutate 119862 trece sistemul de axe ortogonal 119911119862119910 figura 45
Fig 45 Suprafață circulară
La distanța de centrul de greutate 119862 vom lua un element de suprafață mic de arie
(119889119860) de forma unui inel de grosime 119889 Elementul de arie 119889119860 are expresia
119889119860 = (2 ∙ 120587 ∙ 120588) ∙ (119889120588)
Pornind de la relația de definiție a momentului de inerție polar obținem
119868119901 ≝ int 1205882 ∙ 119889119860
119860
= int 1205882 ∙ (2 ∙ 120587 ∙ 120588) ∙ 119889120588
119903=119889 2frasl
0
= 2 ∙ 120587 ∙1205884
4|119889 2frasl0 rArr
rArr 119868119901 =120587 ∙ 1198894
32
(421)
Secțiunea este perfect simetrică deci sunt valabile relațiile
119868119911 = 119868119910 rArr 119868119901 = 119868119911 + 119868119910 = 2 ∙ 119868119911 = 2 ∙ 119868119910 =119868119901
2=120587 ∙ 1198894
64 (422)
Și modulele de rezistenţă faţă de orice diametru sunt egale şi se calculează cu
relaţiile
119882119911 = 119882119910 =1198681199111198892frasl=120587 ∙ 1198893
32 (423)
Modulul de rezistenţă polar este
119882119901 =1198681199011198892frasl=120587 ∙ 1198893
16 (424)
453 Secţiune inelară
Calculul momentelor de inerţie axiale pentru o secţiune inelară avacircnd diametrul
interior 119889 şi diametrul exterior 119863 se determină analog pentru suprafaţa circulară plină cu
observaţia că integrala pentru calculul momentului de inerție polar 119868119901 se face icircntre
limitele 119903 = 119889 2frasl şi R= 1198632frasl (icircntre raza interioară 119903 şi raza exterioară 119877) figura 46
Se obţin relaţiile
119868119901 =120587 ∙ 1198634
32∙ [1 minus (
119889
119863)4
] =120587 ∙ 1198634
32∙ (1 minus 1198964) (425)
119868119910 = 119868119910 =120587 ∙ 1198634
64∙ [1 minus (
119889
119863)4
] =120587 ∙ 1198633
64∙ (1 minus 1198964) (426)
Fig 46 Secțiune inelară
119882119901 =120587 ∙ 1198633
16∙ [1 minus (
119889
119863)4
] =120587 ∙ 1198633
16∙ (1 minus 1198964) (427)
119882119911 = 119882119910 =120587 ∙ 1198633
32∙ [1 minus (
119889
119863)4
] =120587 ∙ 1198633
32∙ (1 minus 1198964) (428)
unde 119896 = 119889119863frasl
46 Variaţia momentelor de inerţie faţă de axe paralele
( Relațiile lui STEINER)
Se consideră o suprafaţă oarecare de arie 119860 cu elementul de arie 119889119860 și un sistemul
de axe central 119911119862119910 faţă de care se cunosc momentele de inerţie 119868119911 119868119910 119868119911119910 şi considerăm
un sistem de axe 11991111198741199101 paralele cu sistemul central figura 47 Se pune problema
determinării momentele de inerţie 1198681199111 1198681199101 11986811991111199101 faţă de sistemul de axe paralel cu sistemul
central 11991111198741199101 axe aflate la distanţele 119910119862 = 119888 respectiv 119911119862 = 119889 de acesta
461 Momente de inerţie axiale
Pe baza relaţiilor de definire şi a notaţiilor din figura 42 pentru momentele de
inerţie faţă de axele 1198741199111 1198741199101 se poate scrie
1198681199111 = int 11991012 ∙ 119889119860
119860
= int(119910 + 119888)2 ∙ 119889119860
119860
= int 1199102 ∙ 119889119860
119860
+ 2 ∙ 119888 ∙ int 119910 ∙ 119889119860
119860
+
+1198882int 119889119860
119860
rArr 1198681199111 = 119868119911 + 2 ∙ 119888 ∙ 119878119911 + 1198882 ∙ 119860 hArr 1198681199111 = 119868119911 + 119888
2 ∙ 119860
(429)
Fig 47 Variaţia momentelor de inerţie față de axe paralele
S-a ajuns la relația (429) deoarece momentul static 119878119911 este nul deoarece axa 119862119885
este axă centrală
Pentru momentul de inerție axial icircn raport cu axa 1198741199101 se obține
1198681199101 = int 11991112 ∙ 119889119860
119860
= int(119911 + 119889)2 ∙ 119889119860
119860
= int 1199112 ∙ 119889119860
119860
+ 2 ∙ 119889 ∙ int 119911 ∙ 119889119860
119860
+
+1198892 ∙ int 119889119860
119860
rArr 1198681199101 = 119868119910 + 2 ∙ 119889 ∙ 119878119910 + 1198892 ∙ 119860 hArr 1198681199101 = 119868119910 + 119889
2 ∙ 119860
(430)
Pentru momentul de inerție centrifugal obținem
11986811991111199101 = int 1199101 ∙ 1199111 ∙ 119889119860
119860
= int(119910 + 119888) ∙ (119911 + 119889) ∙ 119889119860
119860
= int 119910 ∙ 119911 ∙ 119889119860 +
119860
+119888 ∙ int 119911 ∙ 119889119860
119860
+ 119889 ∙ int 119910 ∙ 119889119860
119860
rArr 11986811991111199101 = 119868119911119910 + 119888 ∙ 119889 ∙ 119860
(431)
Deoarece
int 119911 ∙ 119889119860
119860
= 119878119910 = 0 int 119910 ∙ 119889119860
119860
= 119878119911 = 0 int 119910 ∙ 119911 ∙ 119889119860
119860
= 119868119911119910
Relaţiile (429) şi (430) arată că momentul de inerţie faţă de o axă oarecare
este egal cu momentul de inerţie faţă de o axă paralelă cu ea trecacircnd prin centrul de
greutate la care se adaugă produsul dintre aria suprafeţei şi pătratul distanţei dintre
cele două axe
Din relaţiile (429) și (430) rezultă de asemenea că momentul de inerţie faţă de o
axă centrală (care trece prin centrul de greutate) este cel mai mic dintre infinitatea de
momente de inerţie obținute faţă de alte axe paralele cu ea
Relaţia (431) arată de asemenea că momentul de inerţie centrifugal faţă de un
sistem de axe oarecare este egal cu momentul de inerţie centrifugal faţă de un sistem
paralele cu el trecacircnd prin centrul de greutate a suprafeţei la care se adaugă produsul
dintre aria suprafeţei şi distanţele dintre axele sistemelor respective
Icircn literatura de specialitate relaţiile (429) (430) şi (431) sunt cunoscute sub
numele de relaţiile lui Steiner
47 Variaţia momentrlor de inerţie faţă de axe rotite
Direcţii principale şi momente de inerţie principale
Fie suprafaţa plană din figura 48 de arie 119860 pe care considerăm o suprafaţă
elementară de arie 119889119860 Pentru sistemul de axe 119911119874119910 se cunosc momentele de inerţie
119868119911 119868119910 119868119911119910 şi vom determina relaţiile de calcul pentru momentele de inerţie afererent unui
sistem de axe 11991111198741199101 rotit cu un unghi faţă de sistemul central
Faţă de sistemul de axe 11991111198741199101 elementul de arie 119889119860 are coordonatele
1199101 = 119875119877 = 119875119876 minus 119877119876 = 119910 ∙ cos 120572 minus 119911 ∙ sin 120572
1199111 = 119873119872 = 119873119875 minus 119875119872 = 119911 ∙ cos 120572 + 119910 ∙ sin 120572 (432)
Fig 47 Variaţia momentelor de inerţie față de axe rotite
Pe baza relaţiilor de calcul ale momentelor de inerţie şi a notaţiilor din figura 42
şi ale relaţiilor (432) momentele de inerţie faţă de sistemul de axe rotit 11991111198741199101 sunt
1198681199111 =119868119911 + 119868119910
2+119868119911 minus 119868119910
2∙ cos 2120572 minus 119868119911119910 ∙ sin 2120572 (433)
1198681199101 =119868119911 + 119868119910
2minus119868119911 minus 119868119910
2∙ cos 2120572 + 119868119911119910 ∙ sin 2120572 (434)
11986811991111199101 =119868119911 minus 119868119910
2∙ sin 2120572 + 119868119911119910 ∙ cos 2120572 (435)
Din relaţiile 433divide435 se observă că icircntre momentele de inerţie axiale şi cele
polare există relaţia
1198681199111 + 1198681199101 = 119868119911 + 119868119910 = 119868119901 (436)
adică suma momentelor de inerţie axiale icircn raport cu orice pereche de axe ortogonale
care trec printr-un pol dat este o constantă şi egală cu momentul de inerţie polar
Prin rotirea sistemului de axe din relaţiile 433divide435 rezultă că momentele de inerţie
variază icircnsă suma lor rămacircne constantă deci există o poziţie a sistemului de axe pentru
care momentele de inerţie au valori extreme maxim respectiv minim
471 Direcţii principale de inerţie
Valoarea unghiului 120572 pentru care momentele de inerţie axiale au valori extreme
este
1205721 =1
2∙ 119886119903119888119905119886119899 (minus
2 ∙ 119868119911119910
119868119911 minus 119868119910) (437)
Poziţia celeilalte direcţii este perpendiculară pe cea dată de unghiul 1205721
Din relaţia (437) se constată că faţă de aceste direcţii rotite pentru care momentele
de inerţie axiale prezintă valori extreme momentul de inerţie centrifugal 11986811991111199101este nul
Atunci se poate afirma că momentele de inerţie axiale au valori extreme icircn raport cu
direcţiile faţă de care momentul de inerţie centrifugal este nul Aceste direcţii se numesc
direcţii principale iar momentele de inerţie faţă de aceste direcţii poartă numele de
momente de inerţie principale
Icircn calculele de rezistenţă interesează icircn mod special poziţia direcţiilor principale
care trec prin centrul de greutate al suprafeţei aşa numitele direcţii principale centrale şi
evident momentele de inerţie principale centrale
Direcţiile principale de inerţie se notează cu 1 respectiv 2 Axa principală 1
corespunde direcţiei faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea maximă iar
axa principală 2 pentru direcţia faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea
minimă
472 Momente de inerţie principale
Momentele de inerţie principale se notează cu litera 119868 la care se pune indicele 1
sau 2 după cum valoarea acestuia este maximă sau minimă deci avem un moment de
inerţie principal 1 (notat 1198681) respectiv moment de inerţie principal 2 (notat 1198682)
Expresiile pentru momentele de inerţie principale sunt
11986812 =119868119911 + 119868119910
2plusmn1
2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)
2+ 4 ∙ (119868119911119910)
2 (438)
Dacă momentul de inerţie centrifugal este negativ (119868119911119910 lt 0) direcţia principală
care trece prin primul cadran (definit de sistemul 119911119862119910) este direcţia principală 120783
Pentru suprafeţele cu cel puţin o axă de simetrie direcţiile centrale 119862119911 119862119910 sunt şi
direcții principale de inerţie și evident momentele de inerţie axiale 119868119911 119868119910 sunt momente
de inerţie principale
48 Caracteristici mecanice ale metalelor
Alegerea materialului pentru confecţionarea unei anumite piese se face şi pe baza
aşa numitelor caracteristici mecanice pe care le prezintă materialul Cunoaşterea acestor
caracteristici mecanice are loc numai pe baza unor icircncercări mecanice care să scoată icircn
evidenţă comportarea materialului icircn condiţii de solicitare
Cea mai utilizată icircncercare icircn urma căreia se pun icircn evidenţă caracteristicile
mecanice ale unui material este icircncercarea la tracţiune
481 Icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general
Icircncercarea la tracţiune a oţelului ca de altfel toate icircncercările de materiale este
standardizată
Icircn cele ce urmează se va prezenta numai partea care interesează strict din punct
de vedere al caracteristicilor mecanice ale oţelului
Epruveta de diametru iniţial 1198890 pentru icircncercarea la tracţiune are o porţiune de
lungime 1198710 numită baza de măsurare pe care se măsoară lungirea acesteia sub acţiunea
solicitării
Icircn funcţie de raportul dintre baza de măsurare 1198710 şi diametrul iniţial 1198890 epruvetele
utilizate pentru icircncercări sunt
epruvete normale (scurte) cacircnd 11987101198890 = 5
epruvete lungi cacircnd 11987101198890 = 10
Icircn timpul icircncercării la diferite valori ale forţei 119865 se măsoară lungirea bazei de
măsurare
∆119871 = 120575 = 119871 minus 1198710 (439)
unde
119871 este dimensiunea bazei de măsurare la un moment dat
Curba forţă-lungire (119865 minus ) icircnregistrată icircn urma icircncercării reprezintă curba
caracteristică la tracţiune
La icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general diagrama caracteristică care se
obţine are forma din figura 48
Curba caracteristică la tracţiune depinde de lungimea bazei de măsurare Pentru
icircnlăturarea acestui neajuns curba caracteristică se reprezintă icircn coordonate şi definite
astfel
120590 =119865
1198600 휀 =
120575
1198710 (440)
unde
1198600 este aria iniţială a secţiunii transversale a epruvetei (icircnainte de solicitare) icircn
zona bazei de măsurare
1198600 =120587 ∙ 1198890
2
4
Deoarece mărimile icircn care se reprezintă curba caracteristică la tracţiune sunt
raportate la aria iniţială a secţiunii transversale (mărimi specifice) curba poartă numele
de curbă caracteristică convenţională la tracţiune
Fig 48 Curba caracteristică convenţională la tracțiune
Pe curba caracteristică convenţională la tracţiune figura 48 se pot stabili o serie
de puncte cărora le corespund mai multe mărimi importante
Ordonata punctului A pacircnă unde curba caracteristică convenţională este linie
dreaptă se numeşte limita de proporţionalitate a materialului 120590119901(1205901) Porţiunea 119874119860 este
zona de proporţionalitate a curbei caracteristice pe acest domeniu este valabilă legea lui
Hooke care exprimă o proporţionalitate icircntre tensiune şi deformaţie specifică
120590 = 119864 ∙ 휀 (441)
unde
119864 = reprezintă panta porţiunii liniare a curbei convenționale caracteristice
la tracțiune Caracteristica de material 119864 se numeşte modul de elasticitate longitudinal
(modulul lui Young)
Ordonata punctului 119861 pacircnă unde materialul se comportă perfect elastic adică
după descărcare icircşi recapătă dimensiunea iniţială 1198710 se numeşte limita de elasticitate
120590119890(119877119890) Icircn realitate nici un material nu are comportare perfect elastică sub acţiunea
solicitărilor el capătă deformaţii permanente (remanente plastice)
După punctul 119861 urmează o porţiune 119861119862119863 icircn care cu toate că icircncărcarea
continuă forţa nu mai creşte avacircnd mici oscilaţii icircn jurul unei valori Se spune că icircn
această porţiune materialul curge iar intervalul 119861119862119863 este un palier de curgere Tensiunea
corespunzătoare palierului de curgere se numeşte limită de curgere aparentă 120590119888(119877119888) Limita de curgere aparentă se calculează cu relaţia
120590119888 =1198651198881198600 (442)
unde
119865119888 reprezintă valoarea forţei icircnregistrată icircn momentul curgerii materialului
După punctul 119863 curba caracteristică are un traseu ascendent pacircnă icircn punctul 119864
Porţiunea 119863119864 este numită zonă de icircntărire (ecruisare) Icircn zona de ecruisare unde se
produc deformaţii plastice semnificative legea lui Hooke nu mai este valabilă La
descărcare relaţia dintre tensiunea şi deformaţia specifică este liniară paralelă cu
porţiunea liniară a curbei caracteristice (dreapta 119872119873)
Deformaţia totală (휀119905) are două componente una elastică (휀119890) şi una plastică (휀119901)
Ordonata punctului 119864 reprezintă rezistenţa de rupere 120590119903(119877119898) a materialului
care se poate calcula cu relaţia
120590119903 = 119877119898 =1198651198981198861199091198600
(443)
unde
119865119898119886119909 reprezintă valoarea maximă a forţei icircnregistrată icircn timpul icircncercării
La atingerea valorii 119865119898119886119909 (punctul 119864) icircntr-un anumit loc al epruvetei secţiunea
icircncepe să se micşoreze (se produce gacirctuirea) continuacircnd pacircnă cacircnd se produce ruperea
totală (punctul 119865)
Dacă după ruperea epruvetei cele două părţi rezultate se aşează cap la cap şi se
măsoară dimensiunea bazei de măsurare 119871119906 (lungimea ultimă) se determină alungirea la
rupere sau lungirea specifică la rupere 휀119903
휀119903 =119871119906 minus 11987101198710
=∆119871
1198710=120575
1198710 (444)
De obicei alungirea se exprimă icircn procente şi se notează cu 119860119899 unde 119899 reprezintă
numărul dat de raportul 11987101198890 (epruvete normale 119899 = 5 epruvete lungi 119899 = 10)
119860119899 =119871119906 minus 11987101198710
∙ 100 [] (445)
Altă mărime care se determină la icircncercarea la tracţiune este gacirctuirea la rupere
(exprimată de obicei icircn procente) şi definită de relaţia
119885 =1198600 minus 1198601199061198600
∙ 100 [] (446)
Mărimile determinate limita de proporţionalitate modulul de elasticitate
longitudinal limita de elasticitate limita de curgere aparentă rezistenţa de rupere
alungirea la rupere şi gacirctuirea la rupere sunt cunoscute ca fiind caracteristici mecanice
ale materialului
Din curba caracteristică convenţională observăm faptul că ruperea (punctul 119865 din
figura 48 se produce la o tensiune mai mică decacirct cea corespunzătoare punctului 119864 Dacă
icircnsă forţa din timpul icircncercării s-ar raporta la aria secţiunii din momentul icircnregistrării
forţei (care este mai mică decacirct cea iniţială 1198600) s-ar obţine aşa numita curbă
caracteristică reală a materialului (traseul 1198741198601198611198621198631198651 din figura 48) La curba
caracteristică reală ruperea se produce icircn punctul 1198651 la o icircncărcare mai mare decacirct cea
corespunzătoare punctului 119864 Icircnseamnă că rezistenţa reală la rupere este mai mare decacirct
rezistenţa la rupere dată de punctul 119864 din diagrama caracteristică convenţională
Dificultatea obţinerii diagramei caracteristice reale faţă de cea a diagramei caracteristice
convenţionale şi considerarea unei rezistenţe la rupere mai mică decacirct a celei reale face
icircn practică utilizarea pe scară mare a diagramei caracteristice convenţionale
Caracteristicile mecanice determinate pe baza curbei caracteristice convenţionale
sunt şi ele caracteristici mecanice convenţionale
Caracteristicile mecanice convenţionale limita de proporţionalitate convenţională
120590119901 limita de elasticitate convenţională 120590119890 limita de curgere convenţională 120590119888 şi rezistenţa
de rupere 120590119903 constituie tensiuni limită pentru un material Pe baza acestor caracteristici
de material se alege valoarea tensiunii admisibile 120590119886 (vezi paragraful 35) pentru
calculele de rezistenţă Cea mai utilizată stare limită pentru stabilirea tensiunii admisibile
120590119886 este limita de curgere convenţională 120590119888
120590119886 =120590119897119894119898119888
=120590119888119888 119904119886119906 120590119886 =
120590119903119888 (447)
Caracteristicile mecanice ale materialului sunt influenţate de o serie de factori
temperatura viteza de solicitare factorii tehnologici iar valorile lor sunt date icircn tabele și
diagrame
Aplicaţie Pentru suprafaţa plană compusă din două dreptunghiuri avacircnd
dimensiunile din figura 49a să se calculeze
a) centrul de greutate al secțiunii compuse 119910119866 119911119866
b) momentele de inerție axiale 119868119911 119868119910 și momentul de inerție centrifugal 119868119911119910
c) razele de inerție 119894119911 119894119910
d) modulele de rezistență 119882119911119898119894119899 119882119911119898119886119909 119882119910119898119894119899 119882119910119898119886119909
e) momentele de inerție principale 1198681 1198682 și direcțiile principale de inerție 1205721
f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 119878119911
Fig 49 Aplicație
Rezolvare Pentru rezolvare vom parcurge următoarele etape
icircmpărțim suprafața compusă icircn două suprafețe simple (dreptunghiuri) notate cu
① și respectiv ② figura 49b
poziționăm centrele de greutate a celor două suprafețe simple ① și respectiv ②
notate cu 1198661 și respectiv 1198662 figura 49c
poziționăm sistemele de axe de coordonate 119911111986611199101 pentru dreptunghiul ① și
119911211986621199102 pentru dreptunghiul ② aflate la intersecția diagonalelor figura 49c
poziționăm sistemele de axe de coordonate 11991101198741199100 ales arbitrar față de care
determinăm poziția centrului de greutate 119866 figura 49c
a) calculăm poziția centrului de greutate folosind relațiile (46) icircn care
1198601 = 6119905 ∙ 119905 = 61199052 1198602 = 4119905 ∙ 119905 = 41199052 119860 = 1198601 + 1198602 = 61199052 + 41199052 = 101199052
iar centrele de greutate 1198661 și respectiv 1198662 au coordonatele (față de sistemul 11991101198741199100)
1198661 1199101 = 3119905 1199111 = 05119905
1198662 1199102 = 051199051199112 = 3119905
cu acestea obținem
119910119866 =1198601 ∙ 1199101 + 1198602 ∙ 1199102
119860=61199052 ∙ 3119905 + 41199052 ∙ 05119905
101199052=201199053
101199052= 2119905
119911119866 =1198601 ∙ 1199111 + 1198602 ∙ 1199112
119860=61199052 ∙ 05119905 + 41199052 ∙ 3119905
101199052=151199053
101199052= 15119905
Poziționăm centrul de greutate 119866 al suprafeței compuse figura 49c
Fig 49 Aplicație
b) pentru determinarea momentelor de inerție axiale 119868119911 119868119910 și a momentului de
inerție centrifugal 119868119910119911 determinăm constantele 1198881 1198882 1198891 1198892 care intervin icircn relația lui
Stainer
1198881 = 1199101 minus 119910119866 = 3119905 minus 2119905 = 119905 1198882 = minus(119910119866 minus 1199102) = minus(2119905 minus 05119905) = minus15119905
1198891 = minus(119911119866 minus 1199111) = minus(15119905 minus 05119905) = minus119905 1198892 = 1199112 minus 119911119892 = 3119905 minus 15119905 = 15119905
Folosind relațiile lui Stainer (429) (430) și (431) calculăm momentele de
inerție axiale și centrifugale față de sistemul central 119911119866119866119910119866
119868119911 =sum(119868119911119894 + 1198881198942 ∙ 119860119894) = 1198681199111 + 1198881
2 ∙ 1198601 + 1198681199112 + 11988822 ∙ 1198602
119868119910 =sum(119868119910119894 + 1198891198942 ∙ 119860119894) = 1198681199101 + 1198891
2 ∙ 1198601 + 1198681199102 + 11988922 ∙ 1198602
119868119911119910 =sum(119868119911119894119910119894 + 119888119894 ∙ 119889119894 ∙ 119860119894) = 11986811991111199101 + 1198881 ∙ 1198891 ∙ 1198601 + 11986811991121199102 + 1198882 ∙ 1198892 ∙ 1198602
1198681199111 = (119887 ∙ ℎ3
12) =
119905 ∙ (6119905)3
12= 181199054 1198681199112 = (
119887 ∙ ℎ3
12) =
4119905 ∙ 1199053
12= 031199054
1198681199101 = (1198873 ∙ ℎ
12) =
1199053 ∙ 6119905
12= 051199054 1198681199102 = (
1198873 ∙ ℎ
12) =
(4119905)3 ∙ 119905
12= 531199054
11986811991111199101 = 11986811991121199102 = 0 deoarece cele două triunghiuri au cel puțin o axă de simetrie
Cu acestea momentele de inerție axiale și momentul de inerție centrifugal devin
119868119911 = 181199054 + 1199052 ∙ 61199052 + 031199054 + (minus15119905)2 ∙ 41199052 = 3331199054
119868119910 = 051199054 + (minus119905)2 ∙ 61199052 + 531199054 + (15119905)2 ∙ 41199052 = 2081199054
119868119911119910 = 0 + 119905 ∙ (minus119905) ∙ 61199052 + 0 + (minus15119905) ∙ (15119905) ∙ 41199052 = minus151199054
c) razele de inerție sau de girație față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910
se calculează cu relațiile (411)
119894119911 = radic119868119911119860= radic
3331199054
101199052= 182119905 119894119910 = radic
119868119910
119860= radic
2081199054
101199052= 144119905
d) modulele de rezistență față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910 se
calculează cu relațiile (412) și (413)
Avacircnd icircn vedere figura 419c obținem
119910119898119886119909 = 6119905 minus 119910119866 = 6119905 minus 2119905 = 4119905 119910119898119894119899 = minus119910119866 = minus2119905
119911119898119886119909 = 5119905 minus 119911119866 = 5119905 minus 15119905 = 35119905 119911119898119894119899 = minus119911119866 = minus15119905
Se obține astfel
119882119911119898119894119899 =119868119911
|119910119898119886119909|=3331199054
4119905= 8331199053
119882119911119898119886119909 =119868119911
|119910119898119894119899|=3331199054
2119905= 16651199053
119882119910119898119894119899 =119868119910
|119911119898119886119909|=2081199054
35119905= 5941199053
119882119910119898119886119909 =119868119910
|119911119898119894119899|=2081199054
15119905= 13871199053
e) momentele de inerție principale 1198681 și respectiv 1198682 se calculează cu relațiile
(438)
11986812 =119868119911 + 119868119910
2plusmn1
2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)
2+ 4 ∙ (119868119911119910)
2=
=3331199054 + 2081199054
2plusmn1
2∙ radic(3331199054 minus 2081199054)2 + 4 ∙ (minus151199054)2 = 27051199054 plusmn 16251199054
De unde obținem
1198681 = 27051199054 + 16251199054 = 4331199054
1198682 = 27051199054 minus 16251199054 = 1081199054
Prima direcție principală de inerție 1 face cu axa centrală 119866119911 unghiul 1205721 dat de
relația (437)
1205721 =1
2∙ arctan (minus
2 ∙ 119868119911119910
119868119911 minus 119868119910) =
1
2∙ arctan [minus
2 ∙ (minus151199054)
3331199054 minus 2081199054] =33 70
Deoarece 1205721 gt 0 rotirea axelor se face acircn sens antiorar acelor de ceasornic figura
49d
Poziția axe principale 2 față de care momentul de inerție are valoarea minimă
1198682 = 119868119898119894119899 este dată de unghiul
1205722 = 1205721 + 900 = 33 70 + 900 = 123 70
f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 se determină cu relația
(45)
1198781199111198602 = 1198602 ∙ 1198882 = 41199052 ∙ (minus15119905) = minus61199053
242 Forțe interioare Metoda secțiunilor
Icircn vederea calculului de rezistenţă de rigiditate şi de stabilitate a barelor sau a
sistemelor de bare este necesară determinarea forţelor şi momentelor interioare
(eforturilor) care apar icircn secţiunile transversale ale acestora şi datorate icircncărcărilor
exterioare Forțele interioare indică legătura dintre particulele din interiorul corpului şi
se pun icircn evidenţă prin metoda secţiunilor care este un procedeu de raţionament
imaginar propus de Cauchy echivalent cu teoria echilibrului părţilor Conform acestui
raționament bdquodacă un corp solid deformabil este icircn echilibru sub acţiunea unui sistem
generalizat de forţe atunci după secționare fiecare parte a sa va fi icircn echilibru sub
acţiunea forţelor exterioare care-i revin şi a unui sistem de forţe pe care trebuie să-l
introducem icircn secţiunea ce delimitează fiecare parte echivalent cu acţiunea forţelor
aplicate pe partea icircndepărtatărdquo
Problemele care apar la aplicarea metodei secţiunilor sunt
- să pună icircn evidenţă existenţa forţelor interioare mai ales că din ceea ce se ştie o
forţă apare icircn prezenţa a două corpuri ca urmare a principiului acţiunii şi reacţiunii
- să explice modul de distribuţie al forţelor interioare pe secţiune
Considerăm un corp aflat icircn echilibru sub acţiunea unui sistem de forţe exterioare
1 2 3⋯119894 ⋯ 119899minus1 119899 şi presupunem că-l secţionăm cu un plan transversal Q (sau cu
o suprafaţă oarecare) figura 210a Icircn urma secţionării fictive (imaginare) conform
principiului echilibrului părţilor fiecare din cele două părţi obţinute trebuie să fie icircn
echilibru sub acţiunea forţelor exterioare care le revin şi a cacircte unui sistem de forţe
interioare pe care trebuie să-l introducem icircn secţiunile rezultate sistem echivalent cu
acţiunea forţelor exterioare ce acţionează asupra celeilalte părţi Astfel pe partea din
dreapta (notată cu II) delimitată de secţiunea de arie Ad sunt aplicate forţele exterioare
119894 ⋯ 119899minus1 119899 şi un sistem de forţe interioare căruia nu i se cunoaşte decacirct efectul acelaşi
cu cel al forţelor 1 2 3 de pe parea din stacircnga (notată cu I şi delimitată de secţiunea
de arie As) figura 210b Prin metoda secţiunilor am reuşit să punem icircn evidenţă existenţa
forţelor interioare şi să le trecem icircn categoria celor exterioare cărora le putem aplica
relaţiile de echivalenţă şi de echilibru cunoscute din statică Ideal ar fi să cunoaştem
distribuţia şi intensitatea punctuală a acestor forţe pentru că s-ar putea ca icircn anumite
puncte ale secţiunii valoarea forţelor să depăşească limita de rezistenţă (limita de curgere)
a materialului Cunoaşterea distribuţiei punctuale a forţelor interioare nu se poate realiza
decacirct icircn cazuri particulare relativ simple de solicitare
Să considerăm partea din dreapta a corpului asupra căreia acționează forțele
119894 ⋯ 119899minus1 119899 mărginit de aria Ad pe care acționează un sistem de forțe interioare
echivalent cu 1 2 3 Deși forțele interioare de pe Ad nu se cunosc totuși efectul lor
este același cu cel al forțelor 1 2 3 deci le putem reduce icircn centrul de greutate C al
secțiunii Ad rezultacircnd componentele torsorului de reducere al forțelor interioare
(119894119889 119894119889) și pentru partea din stacircnga (119894119904 119894119904) Evident conform principiului acțiunii și
reacțiunii
119894119889 = minus119894119904
119894119889 = minus119894119904 (21)
Pe de altă parte cum fiecare dintre părțile corpului după secționare trebuie să fie
icircn echilibru sub acțiunea forțelor exterioare care le revin și a forțelor interioare introduse
rezultă
119894119889 = minus119890119889
119894119889 = minus119890119889
119894119904 = minus119890119889
119894119904 = minus119890119904 (22)
Combinacircnd (21) cu (22) rezultă
119894119889 = 119890119889
119894119889 = 119890119889
119894119904 = 119890119904
119894119904 = 119890119904 (23)
Fig 210 Forțe interioare
Relațiile (22) și (23) permit determinarea componentelor torsorului de reducere
al forțelor interioare din (23) rezultă componentele torsorului forțelor interioare care
acționează icircn secțiunea Ad sunt egale cu componentele torsorului de reducere al forțelor
exterioare de pe partea din stacircnga din (22) rezultă componentele torsorului forțelor
interioare care acționează icircn secțiunea Ad sunt egale și de sens contrar cu componentele
torsorului de reducere al forțelor exterioare de pe partea din dreapta
Observații
1 Torsorul forțelor interioare diferă de la o secțiune la alta dar pentru aceeași
secțiune el este unic și trebuie să respecte condițiile de compatibilitate a deformațiilor
2 Reducacircnd forțele interioare icircn centrul de greutate al secțiunii s-a făcut o
aproximare icircn ceea ce privește efectul modului de dispunere al forțelor
3 Punctul de reducere trebuie să fie
pentru forțele interioare normale la secțiune centrul de greutate
pentru forțele interioare tangente la planul secțiunii centrul de răsucire sau de
tăiere
243 Eforturi
Prin metoda secțiunilor am pus icircn evidență existența forțelor interioare și modul
icircn care se determină componentele torsorului de reducere al forțelor interioare (119894119889 119894119889) de pe fața din dreapta secțiunii (Ad) Cele două componente ale torsorului de reducere al
forțelor interioare de pe Ad se pot descompune după axele unui sistem de referință
triortogonal xCyz astfel
119894119889 = +
119894119889 = 119909 +119872119894 (24)
unde și 119909 sunt proiecțiile lui 119894119889 și respectiv 119894119889 pe axa longitudinală Cx a
barei iar și 119894 sunt proiecțiile acelorași componente 119894119889 și respectiv 119894119889 pe planul yCz
al secțiunii transversale Ad figura 211
Fig 211 Torsorul de reducere al forţelor interioare
La racircndul lor și 119894 se pot descompune după axele sistemului yCz figura 212
= 119910 + 119911
119894 = 119894119910 + 119894119911 (25)
Fig 212 Descompunerea forţei tăietoare şi a momentului icircncovoietor
Cele șase componente ale torsorului de reducere al forțelor interioare ( 119910 119911
119909 119894119910 119894119911) orientate după axele sistemului de referință xCyz se numesc eforturi
Fiecare efort are o denumire stabilită icircn funcție de tipul de deformație pe care-l produce
De asemenea semnul plus (bdquo+rdquo) sau minus (bdquondashrdquo) al fiecărui efort nu depinde de sensul
pozitiv sau negativ al sistemului de axe ci doar de efectul icircn deformații al fiecărui efort
Denumirile celor șase eforturi sunt
119873 este forța axială
119879119910 119879119911 sunt forțe tăietoare orientate după axele Cy și respectiv Cz
119872119909 notat de cele mai multe ori cu 119872119905 este moment de torsiune sau de răsucire
119872119894119911 119872119894119910 sunt momente de icircncovoiere icircn jurul axei Cz și respectiv Cy
Forța axială 119873 poate fi forță axială de icircntindere cacircnd produce o lungire a
tronsonului pe a cărei față acționează (119873 gt 0) figura 213a sau forță axială de
compresiune cacircnd sub efectul ei bara se scurtează (119873 lt 0) figura 213b
Fig 213 Forța axială
Forțele tăietoare 119879119910 și 119879119911 au ca efect lunecarea secțiunii icircn centrul căreia
acționează icircn raport cu secțiunea icircnvecinată lunecare ce se produce pe direcția și icircn sensul
forței Sub acțiunea unei forțe tăietoare bara este solicitată la forfecare Forța tăietoare
este pozitivă 119879119910 gt 0 dacă icircn raport cu un punct oarecare K de pe axa Cx a barei tinde să
rotească secțiunea pe care acționează icircn sens orar
Fig 214 Forța tăietoare
Momentele de icircncovoiere 119872119894119911 și 119872119894119910 au ca efect o rotire a secțiunii icircn centrul
cărora acționează icircn jurul axei după care sunt orientate Icircn figura 215a se vede că
datorită momentului 119872119894119911 fibrele de deasupra axei Cz se alungesc icircn timp ce fibrele de sub
axa Cz se scurtează Fibrele care trec prin axa de icircncovoiere Cz nu se deformează sunt
fibre neutre la icircncovoiere adică axa neutră este Cz Icircn cazul momentului de icircncovoiere
119872119894119910 fibrele care nu se deformează sunt cele care trec prin axa neutră la icircncovoiere Cy
Momentele de icircncovoiere se consideră a fi pozitive (119872119894119911 gt 0119872119894119910 gt 0) dacă
observatorul care privește bara deformată vizualizează fibrele icircntinse
Fig 215 Momentul icircncovoietor
Momentul de torsiune sau de răsucire 119872119909 equiv 119872119905 are ca efect o rotire a secțiunii
icircn al cărei centru acționează icircn jurul axei longitudinale Cx Ca efect secțiunea icircși schimbă
forma (se deformează) adică unghiurile inițiale se modifică dreptunghiul inițial Ad
devine paralelogram Convențional se consideră 119872119905 gt 0 dacă vectorul moment are
aceeași orientare ca și sensul pozitiv ales pextru axa Cx Icircn figura 216 momentul este
negativ
Fig 216 Momentul de torsiune
25 Definiții și convenții de semne pentru eforturile
din secțiunile unei bare drepte plane icircncărcate cu sarcini coplanare
Vom considera o bară plană icircncărcată cu un sistem de forțe arbitrar figura 217
Ne propunem să determinăm eforturile care apar icircn secțiunea barei aflată la distanța 119909 de
reazemul din stacircnga (A)
Pentru aceasta vom aplica metoda secțiunilor vom secționa bara cu un plan
perpendicular pe axa longitudinală a barei și vom analiza doar partea din dreapta secțiunii
mărginită de fața Ad Pentru ca această porțiune de bară să fie icircn echilibru sub acțiunea
forțelor exterioare care acționează asupra sa 1198653 și 119881119861 va trebui să introducem icircn centrul
secțiunii Ad eforturile care pot să apară 119873 119879119910 119872119894119911 Acțiunea acestor eforturi trebuie să
fie echivalentă cu acțiunea forțelor exterioare aplicate pe partea icircnlăturată (parcursă) a
barei 119867119860 119881119860 1198651 1198652 1198720
Deoarece bara este plană și este icircncărcată doar cu sarcini ce aparțin
planului barei
icircn secțiunea Ad apar doar 3 componente ale torsorului de reducere al forțelor
interioare (eforturi)
- 119873 = forța axială
- 119879119910 = forța tăietoare pe care o vom nota cu 119879
- 119872119894119911 = momentul icircncovoietor notat cu Mi
Fig 217 Bară plană icircncărcată cu un sistem de forțe
Vom prezenta următoarele definiții corespunzătoare eforturilor din secțiunea Ad
119873 = forța axială dintr-o secțiune este egală cu suma algebrică a proiecțiilor pe
axa longitudinală a tuturor forțelor exterioare (sarcini și reacțiuni) aplicate pe partea
din stacircnga secțiunii adică pe porțiunea parcursă Forța axială 119873 este pozitivă dacă trage
de tronsonul pe a cărei față acționează (are orientarea normalei exterioare la secțiunea
Ad)
119873(119909) = minus119867119860 + 1198651119867 (26)
119879 = forța tăietoare icircntr-o secțiune este egală cu suma algebrică a proiecțiilor
pe o axă perpendiculară pe axa barei a tuturor forțelor exterioare (sarcini și reacțiuni)
aplicate pe porțiunea de bară aflată icircn stacircnga secțiunii considerate Forța tăietoare 119879
este pozitivă dacă tinde să rotească tronsonul pe a cărui față acționează icircn sens orar icircn
raport cu un punct de pe axa barei aflat la dreapta secțiunii
119879(119909) = 119881119860 minus 1198651119881 minus 1198652 (27)
119872119894 = momentul icircncovoietor icircntr-o secțiune este egal cu suma algebrică a
momentelor obținute prin reducerea tuturor forțelor exterioare ( cupluri sarcini
reacțiuni) aplicate pe porțiunea de bară aflată la stacircnga secțiunii icircn centrul secțiunii
considerate 119872119894 este considerat pozitiv dacă tinde să deformeze bara astfel icircncacirct fibrele
spre care privește un observator să fie icircntinse Cum poziția observatorului este de regulă
sub bară bara se deformează dacă 119872119894 gt 0 astfel icircncacirct partea jos a barei este icircntinsă Se
spune că bara deformată rdquoține apaldquo
119872119894(119909) = 119881119860 ∙ 119909 minus 1198651119881 ∙ (119909 minus 1198971) minus 1198652 ∙ [119909 minus (1198971 + 1198972)] + 1198720 (28)
Sensurile pozitive ale eforturilor care apar icircn centrul secțiunii Ad (deci atunci cacircnd
sensul de parcurs la aplicarea metodei secțiunilor este cel de la stacircnga la dreapta) sunt
indicate icircn figura 218a iar dacă sensul de parcurs este de la dreapta la stacircnga sensurile
pozitive ale eforturilor sunt indicate icircn figura 218b
Fig 218 Convenţia de semne
Definiții asemănătoare se pot da și pentru eforturile din centrul secțiunii As figura
218b adică pentru cazul icircn care sensul de parcurs este cel de la dreapta la stacircnga și deci
partea luată icircn considerare este cea din stacircnga iar partea parcursă din dreapta secțiunii
este icircnlăturată
119873(1199091) = 1198653119867
119879(1199091) = 1198653119881 minus 119881119861
119872119894(1199091) = 119881119861 ∙ 1199091 minus 1198653119881 ∙ (1199091 minus 1198975)
(29)
Avacircnd icircn vedere că fețele Ad și As aparțin aceleeași secțiuni este evident faptul că
eforturile 119873(119909) 119879(119909) și 119872119894(119909) sunt identice cu eforturile 119873(119961120783) 119879(119961120783) și respectiv
119872119894(119961120783) Icircn figura 218c se prezintă o sinteză a convențiilor de semne pozitive pentru cele
3 eforturi atacirct pentru sensul de parcurs de la stacircnga la dreapta (secțiunea Ad) cacirct și pentru
sensul invers (secțiunea As)
Semnele eforturilor sunt importante icircntrucacirct există materiale cu comportări diferite
la icircntindere față de compresiune iar o schimbare a semnului unui efort poate produce
erori grave icircn calcule Semnele eforturilor au fost stabilite icircn funcție de deformațiile
produse și nu depind de sensul axelor sistemului de coordonate
26 Relaţii diferenţiale icircntre eforturi şi sarcini
Pentru a vedea ce legătură există icircntre eforturi și sarcini vom considera o bară
dreaptă icircncărcată cu o sarcină distribuită după o lege oarecare figura 219a Din această
bară vom decupa prin dublă secționare un element de lungime infinit mică 119889119909 Deoarece
lungimea 119889119909 este foarte mică se poate considera sarcina 119901 uniform distribuită Icircn
secțiunile rezultate trebuie să introducem eforturile care pot apărea
- 119879 şi 119872119894 icircn centrul secțiunii din sticircnga eforturi pe care le considerăm pozitive
- 119879 + 119889119879 şi 119872119894 + 119889119872119894 icircn centrul secțiunii din dreapta elementului
Aceste eforturi au o variație mică (119889119879 şi 119889119872119894) față de secțiunea anterioară Spre
deosebire de cazul icircn care bara este secționată o singură dată icircn acest caz eforturile nu
pot fi determinate din cele 2 condiții de echilibru independente deoarece icircn ecuațiile de
echilibru apar 4 necunoscute 119879 119889119879119872119894 și 119889119872119894 deci că problema este dublu static
nedeterminată figura 219
Fig 219 Echivalența icircntre eforturi și sarcini
Ecuațiile de echilibru scrise pentru elementul din figura 219b conduc la stabilirea
unor relaţii foarte importante
(sum119865)119910= 0 hArr 119879 minus 119901 ∙ 119889119909 minus (119879 + 119889119879) = 0 rArr
119889119879
119889119909= minus119901 (210)
Relația (210) arată că derivata funcţiei forţei tăietoare icircn raport cu abscisa
secţiunii este egală cu sarcina distribuită normală la axa barei din acea secţiune luată
cu semn schimbat
Observații
dacă 119901 = 0 nu există sarcină distribuită atunci forța tăietoare T este constantă
icircnclinarea pantei diagramei forței 119879 este egală cu (ndash 119901) (sarcina distribuită cu
semn schimbat)
dacă 119901 = 119888119900119899119904119905 119879 variază liniar pe acel interval
Asemănător se deduce că derivata funcţiei forţei axiale icircn raport cu abscisa
secţiunii este egală cu sarcina distribuită axială din acea secţiune luată cu semn
schimbat adică
119889119873
119889119909= minus119901119867 (211)
Din condiția de echilibru suma de momente faţă de centrul de greutate al secţiunii
din dreapta
(sum119872)119862= 0 hArr 119872119894 minus (119872 + 119889119872119894) + 119879 ∙ 119889119909 minus 119901 ∙
(119889119909)2
2= 0 rArr
119889119872119894
119889119909= 119879 (212)
Relația (212) s-a obținut dupa reducerea termenilor și prin neglijarea infinitului
mic de ordinul 2
119901 ∙(119889119909)2
2
Relația (212) arată că derivata funcţiei moment icircncovoietor icircn raport cu abscisa
secţiunii este egală cu forţa tăietoare din acea secţiune
Observații
dacă 119879 = 0 momentul 119872119894 are un punct de extrem se obține o valoare maximă
pentru 119872119894119898119886119909 dacă forța tăietoare 119879 se anulează trecacircnd de la plus icircn stacircnga la minus icircn
dreapta secțiunii
dacă forța tăietoare este pozitivă pe un interval 119879 gt 0 atunci 119872119894 este crescătoare
pe acel interval
dacă forța tăietoare este negativă pe un interval 119879 lt 0 atunci 119872119894 este
descrescătoare pe acel interval
dacă pe un interval 119901 = 0 forța tăietoare este constantă 119879 = 119888119905 iar 119872119894 variază
liniar pe acel interval
dacă 119901 = 119888119900119899119904119905 119879 variază liniar pe acel interval iar 119872119894 variază parabolic pe
acel interval
Relaţiile diferenţiale sunt utile la reprezentarea corectă şi verificarea diagramelor
de eforturi astfel
pentru porţiunile de grindă pe care p = 0 eforturile N şi T sunt constante iar pe
porţiunile cu p = const eforturile N şi T variază liniar (relaţiile 211 şi 210)
dacă pe o porţiune T = const momentul icircncovoietor Miz variază liniar iar dacă
T variază liniar atunci momentul Miz variază parabolic (relaţia 212)
pe domeniile pe care T gt 0 funcţia Mi(x) este crescătoare iar icircn secţiunea icircn
care T = 0 (graficul funcţiei T intersectează axa x) momentul icircncovoietor are un punct
de extrem local (maxim sau minim relaţia 212)
Pentru rezolvarea problemelor referitoare la trasarea diagramelor de eforturi
pentru barele drepte solicitate de sisteme de forţe plane se parcurg următoarele etape
1) identificarea forţelor aplicate (date) şi pregătirea lor pentru calcule
(descompunerea forţelor concentrate pe direcţiile x şi y calculul rezultantelor forţelor
distribuite)
2) identificarea reazemelor şi introducerea reacţiunilor corespunzătoare (vezi
figurile 27divide29)
3) stabilirea ecuaţiilor de echilibru static calculul şi verificarea reacţiunilor Icircn
rezistența materialelor se folosește sistemul de ecuații (vezi figura 217)
(sum119865)
119909= 0
(sum119872)119860= 0
(sum119872)119861= 0
(213)
4) identificarea domeniilor de variaţie şi scrierea funcţiilor de eforturi pentru N T
şi Mi
5) reprezentarea grafică a diagramelor de eforturi
6) verificarea corectitudinii diagramelor pe baza relaţiilor diferenţiale icircntre eforturi
şi sarcini
Aplicație Pentru grinda dreaptă icircncărcată cu sistemul de forţe reprezentat icircn figura
220 se cere
a) să se calculeze şi să se verifice reacţiunile
b) să se stabilească funcţiile eforturilor Nx Ty şi Miz şi să se reprezinte diagramele
de variaţie
c) să se analizeze relaţiile diferenţiale icircntre eforturi şi sarcini
Dimensiunile grinzii au valorile a = 6 [m] b = 4 [m] și c = 4[m] sistemul de
forţe aplicat fiind format din p = 10 [kN mfrasl ] F = 20 [kN] (icircnclinată cu unghiul α =300 faţă de orizontală) şi M0 = 40 [kN ∙ m]
Rezolvare
a) Se fac următoarele precizări
grinda dreaptă se reprezintă prin axa geometrică
forţa icircnclinată F se descompune după direcţiile orizontală şi verticală icircn FV =F ∙ sin α = 10 [kN] şi FH = F ∙ cos α = 173 [kN]
forţa distribuită uniform p este echivalentă din punct de vedere static cu
rezultanta sa R = p ∙ a = 60 [kN] care acţionează la jumătatea porţiunii de lungime a
icircn reazemele 119860 şi 119861 se introduc componentele HA şi VA respectiv VB ale
reacţiunilor
Pentru calculul reacţiunilor se utilizează ecuaţiile de echilibru static al grinzii
sumXi = 0 HA minus FH = 0 sumYi = 0 VA + VB minus R minus FV = 0 (sumM)B = 0 VA ∙ (b + a) minus R ∙ (b + 05 ∙ a) minus M0 + FV ∙ c = 0
(A1)
Din prima ecuaţie se obţine HA iar din cea de-a treia ecuaţie rezultă VA
HA = FH = 173 [kN]
VA =[R ∙ (b + 05 ∙ a) + M0 minus FV ∙ c]
(b + a)=[60 ∙ (4 + 05 ∙ 6) + 40 minus 10 ∙ 4]
(4 + 6)
VA = 42 [kN]
(A2)
Fig 220 Aplicație
Se observă că cea de-a doua ecuaţie de echilibru conţine două necunoscute
reacţiunile VA şi VB Pentru a calcula componenta VB nu este indicată introducerea lui VA
icircn cea de-a doua ecuaţie a sistemului (A1) pentru că o valoare determinată greşit pentru
VA conduce la o valoare VB de asemenea greşită O ecuaţie independentă din care se poate
determina componenta VB este următoarea
(sumM)A= 0 FV ∙ (a + b + c) minus VB ∙ (a + b) minus M0 + R ∙ 05 ∙ a = 0 (A3)
de unde se obţine
VB =[FV ∙ (a + b + c) minusM0 + R ∙ 05 ∙ a]
(b + a)=[10 ∙ (6 + 4 + 4) minus 40 + 60 ∙ 05 ∙ 6]
(6 + 4)
VB = 28 [kN] (A4)
Ecuaţia de proiecţii ale forţelor pe direcţia verticală (a doua ecuaţie din sistemul
A1) se utilizează pentru verificarea reacţiunilor deja determinate
VA + VB minus R minus FV = 0 rArr 42 + 28 minus 60 minus 10 = 0 (A5)
Ultima egalitate demonstrează că reacţiunile verticale au fost calculate corect
Din cele de mai sus rezultă ordinea firească pentru determinarea reacţiunilor icircn
cazul grinzilor simplu rezemate
sumXi = 0
(sumM)A = 0
(sumM)B = 0
(A6)
iar pentru verificarea componentelor verticale VA şi VB se folosește ecuaţia sumY = 0
b) La stabilirea funcţiilor de eforturi se parcurg icircn general etapele următoare
se notează (numeric sau literal după preferinţă) secţiunile care delimitează
domeniile (intervalele sau tronsoanele) pe care eforturile nu-şi modifică funcţiile (au legi
unice de variaţie)
pe fiecare domeniu se marchează secţiunea imaginară icircn care se stabilesc
funcţiile eforturilor
secţiunea astfel aleasă separă icircn două părţi grinda şi anume porţiunea din stacircnga
şi porţiunea din dreapta secţiunii
se va considera parcursă (şi icircndepărtată) acea parte pe care acţionează mai puţine
sarcini exterioare pentru că acestea vor interveni icircn expresiile funcţiilor de eforturi
poziţiile secţiunilor imaginare se vor determina prin variabilele x1 ⋯ xn (unde
n reprezintă numărul domeniilor de variaţie) cu originea fixată icircn capătul intervalului şi
sensul de parcurgere spre partea considerată rămasă
Grinda prezentată icircn figura 220 are trei domenii de variaţie pentru funcţiile de
eforturi după cum urmează (A-1) (2-B) şi (B-1)
Domeniul (A-1) x1 isin [0 a = 6 m] Porţiunea parcursă şi considerată icircndepărtată este cea de coordonată x1 pe care
acţionează reacţiunile HA şi VA precum şi rezultanta parţială a sarcinii distribuite R1 =p ∙ x1
Funcţia forţă axială Nx are expresia
Nx(x1) = NAminus1 = minusHA = minus173 [kN] = const
(A7)
Funcţia forţă tăietoare Ty are exspresia
Ty(x1) = TAminus1 = VA minus R1 = VA minus p ∙ x1 (A8)
care reprezintă o variaţie liniară de variabilă x1 Se calculează valorile forţei tăietoare la
limitele intervalului de variaţie
- pentru x1 = 0 Ty(x1 = 0) = TA = VA = 42 [kN]
- pentru x1 = a = 6 [m] Ty(x1 = 6) = T1 = VA minus p ∙ a = minus18 [kN]
Observaţie Aşa cum a fost stabilită secţiunea fictivă poziţionată prin coordonata
x1 sar părea că rezultanta R ar trebui luată icircn calculul lui Ty(x1) Acest lucru ar fi greşit
pentru că R = p ∙ a reprezintă rezultanta sarcinii distribuite pe toată lungimea a iar
rezultanta pe porţiunea parcursă de lungime x1 este R1 = p ∙ x1 ne R = p ∙ a
Cu valorile obţinute se trasează diagramele forţelor axială Nx = f(x) şi tăietoare
Ty = f(x) figura 220 Din diagrama forţei tăietoare şi din valorile obţinute analitic se
observă că forţa tăietoare icircşi schimbă semnul pe intervalul analizat deci se anulează pe
acest interval Poziţia secţiunii unde Ty se anulează se determină din ecuaţia
Ty(x1) = 0 rArr VA minus p ∙ x1 = 0 (A9)
cu soluţia x1lowast = ξ = 42 [m] Important de reamintit că icircn această secţiune momentul
icircncovoietor va avea un extrem local adică Miz are un extrem la Ty = 0
Funcţia moment icircncovoietor Miz are expresia
Miz(x1) = VA ∙ x1 minus R1 ∙x12= VA ∙ x1 minus (p ∙ x1) ∙
x12
(A10)
Se observă că funcţia moment icircncovoietor de variabilă x1 are o variaţie parabolică
(gradul al II-lea) Pentru reprezentarea grafică a funcţiei parabolice se calculează valorile
momentului icircncovoietor icircn trei secţiuni
- pentru x1 = 0 Miz(x1 = 0) = MA = 0 [kN ∙ m] - pentru x1 = a = 6 [m] Miz(x1 = 6) = M1 = 72 [kN ∙ m] - pentru x1
lowast = ξ = 42 [m] Miz(x1lowast = ξ = 42 [m]) = Mimax = 882 [kN ∙ m]
Cu acestea se trasează diagrama Miz = f(x) pe intervalul (A-1) figura 220
Observaţie Icircn unele cazuri pe un anumit interval forţa tăietoare nu se anulează
şi momentul icircncovoietor nu are un extrem local Icircn acest caz pentru reprezentarea
variaţiei parabolice a momentului icircncovoietor se va studia semnul derivatei a doua a
funcţiei Miz = f(x1) acesta determinacircnd convexitatea curbei momentului icircncovoietor
Domeniul (2-B) x2 isin [0 c = 4 m] Porţiunile din grindă libere (nerezemate) la un capăt se numesc console iar
stabilirea funcţiilor de eforturi devine mai simplă dacă se consideră icircndepărtată partea din
dreapta secţiunii prin schimbarea sensului pozitiv al axei x Astfel se obţin funcţiile eforturilor
Funcţia forţă axială Nx are expresia
Nx(x2) = N2minusB = minusFH = minus173 [kN] = const
(A11)
Funcţia forţă tăietoare Ty are exspresia
Ty(x2) = T2minusB = FV = 10 [kN] = const (A12)
Funcţia moment icircncovoietor Miz are expresia
Miz(x2) = minusFV ∙ x2 rArr Miz(x2 = 0) = M2 = 0 [kN ∙ m]
Miz(x2 = 4) = MB = minus40 [kN ∙ m] (A13)
variaţie liniară (gradul I)
Domeniul (B-1) x3 isin [0 b = 4 m] Pe acest domeniu se acceptă parcurgerea grinzii de la dreapta adică se consideră
icircndepărtată partea din dreapta secţiunii fictive pentru că are doar două sarcini aplicate F
şi VB faţă de partea din stacircnga secţiunii pe care sunt aplicate trei sarcini p VA şi M0
Astfel se obţin funcţiile eforturilor
Funcţia forţă axială Nx are expresia
Nx(x3) = NBminus1 = minusFH = minus173 [kN] = const
(A14)
Funcţia forţă tăietoare Ty are exspresia
Ty(x3) = TBminus1 = FV minus VB = minus18 [kN] = const (A15)
Funcţia moment icircncovoietor Miz are expresia
Miz(x3) = minusFV ∙ (x3 + c) + VB ∙ x3 rArr
rArr Miz(x3 = 0) = MB = minus40 [kN ∙ m]
Miz(x3 = 4) = M1 = 32 [kN ∙ m]
(A16)
variaţie liniară (gradul I)
Diagramele eforturilor sunt prezentate icircn figura 220
c) Relaţiile diferenţiale dintre eforturi şi sarcini se analizează pe diagramele
eforturilor după cum urmează
sarcina distribuită nu are componentă orizontală adică ph = 0 şi icircn
conformitate cu formula (211) rezultă că Nx = const pe toată lungimea grinzii fapt care
a rezultat din funcţia şi reprezentarea diagramei forţei axiale
pe intervalul (A-1) sarcina distribuită are doar componenta verticală pozitivă
pV = p gt 0 prin urmare forţa tăietoare scade (are panta negativă dTy 119889119909frasl = minusp vezi
relaţia 210) iar momentul icircncovoietor avacircnd derivata a doua negativă d2M119894119911 1198891199092frasl =minuspare convexitatea curbei orientată spre sensul pozitiv al axei momentului Miz adică icircn
jos
pe domeniile (2-B) şi (B-1) deoarece pv = 0 forţa tăietoare Ty este constantă
iar momentul icircncovoietor Miz variază liniar
referitor la relaţia (212) pe porţiunile unde Ty gt 0 momentul Miz este
monoton crescător pe porţiunile unde Ty lt 0 momentul Miz este monoton descrescător
iar icircn secţiunea icircn care Ty = 0 momentul icircncovoietor are un extrem local Mξ =
882 [kN ∙ m] icircn diagrama forţei tăietoare discontinuităţile (salturile) se produc icircn secţiunile
unde acţionează VA VB şi FV iar icircn diagrama momentului icircncovoietor se produce un
singur salt icircn secţiunea icircn care este aplicat M0
se poate scrie
Mξ = suprafața diagramei Ty |ξ0=1
2∙ 42 ∙ 42 = 882 [kN ∙ m]
sau parcurgacircnd grinda de la dreapta la stacircnga rezultă
MB = minussuprafața diagramei Ty |c0= minus10 ∙ 4 = minus40 [kN ∙ m]
Toate aspectele analizate teoretic referitoare la relaţiile diferenţiale dintre eforturi
şi sarcini se regăsesc icircn diagramele de eforturi din figura 220 ceea ce icircnseamnă că
diagramele au fost reprezentate corect
3 TENSIUNI DEPLASĂRI ŞI DEFORMAŢII SPECIFICE
31 Tensiuni
Eforturile obținute icircn urma reducerii forțelor interioare icircn centrul de greutate al
secțiunii nu pot da informații asupra solicitării fiecărui punct al secțiunii respective Este
necesar să se cunoască modul cum se distribuie forțele interioare icircn fiecare punct al
secțiunii pentru a ști care este intensitatea maximă a solicitării Această intensitate
maximă se poate compara cu o valoare critică specifică materialului stabilindu-se astfel
dacă solicitarea este periculoasă sau nu
Mărimea care caracterizează solicitarea locală punctuală o vom denumi tensiune
și o vom defini icircn cele ce urmează Să considerăm partea din dreapta a unui corp solicitat
de forțele exterioare 1198651 1198652 și 1198653 obținută prin secționarea corpului și mărginită de fața
din dreapta Ad a secțiunii Pe secțiunea Ad vom considera un element de arie infinit mic
∆119860 caracterizat de normala la elementul de arie normală care are cosinușii directori
120573 și icircn raport cu un sistem de axe considerat fix Pe elementul infinit mic ∆119860 acționează
forțele interioare care au o rezultantă oarecare figura 31
Prin definiție tensiunea totală este
= lim∆119860rarr0
∆
∆119860 (31)
Tensiunea are aceeaşi direcţie cu forţa elementară ∆ iar mărimea ei este
determinată atacirct de mărimea forţei ∆ cacirct şi de orientarea suprafeţei ∆119860 faţă de direcţia
forţei
Tensiunea 119901 poate fi descompusă icircntr-o componentă orientată după direcţia
normalei la secţiune tensiunea normală notată cu 120590119909 şi o componentă icircn planul secţiunii
tensiunea tangenţială notată cu figura 32
= 119909 + 120591 (32)
Fig 31 Tensiunea totală Fig 32 Tensiunea normală și tangențială
La racircndul ei componenta tensiunii cuprinsă icircn planul secțiunii poate fi
descompusă după direcțiile axelor y și z
120591 = 120591119909119910 + 120591119909119911 (33)
Icircntre cele trei componente ale tensiunii totale care acționează pe elementul de arie
∆119860 este valabilă relația
1199012 = 1205901199092 + 120591119909119910
2 + 1205911199091199112 (34)
După sensul pe care icircl are tensiunea normală 120590 poate avea efect de tracţiune sau
de compresiune exercitat de către partea de corp icircnlăturată asupra părţii rămase Analog
tensiunea tangenţială 120591 poate avea efect de tăiere forfecare sau alunecare Pentru
componentele tensiunii tangențiale 120591119909119910 pe direcţia 119910 respectiv 120591119909119911 pe direcţia 119911 primul
indice indică axa pe care tensiunea este normală iar cel de-al doilea indice indică axa cu
care aceasta este paralel
Tensiunea este o mărime tensorială valoarea ei depinzacircnd atacirct de poziția
punctului icircn planul secțiunii cicirct și de orientarea planului de secționare deci de normala
Operaţiile vectoriale nu pot fi aplicate tensiunilor decacirct după ce acestea au fost icircnmulţite
cu ariile respective adică au fost transformate icircn forţe
Icircn literatura de specialitate mai ales icircn manualele mai vechi pentru noţiunea de
tensiune se mai foloseşte şi denumirea de efort specific
Dacă se consideră un alt element de arie ∆119860 cu centrul icircn același punct avacircnd ca
normală axa 119910 se vor obține alte tensiuni și anume
- 120590119910 este tensiunea normală (paralelă cu axa y)
- 120591119911119909 și 120591119910119911 sunt tensiuni tangențiale paralele cu axele 119909 și respectiv 119911 aflate icircn
planul care are ca normală axa 119910
Dacă icircn jurul unui punct dintr-un corp solicitat se consider un element de volum
infinit mic de forma unui cub icircn cazul cel mai general pe fețele sale vor acționa
tensiunile normale 120590119909 120590119910 și 120590119911 și respectiv tensiunile tangențiale 120591119909119910 120591119909119911 120591119910119909 120591119910119911 120591119911119909
și respectiv 120591119911119910 figura 33 Aceste tensiuni definesc starea de tensiune a punctului
observacircnd faptul că tensorul tensiune are 9 componente Dacă se consideră elementul
de volum finit ca fiind foarte mic se poate presupune că icircn interiorul său nu apar forțe
Ca urmare el va fi icircn echilibru sub acțiunea forțelor elementare produse de tensiunile de
pe fețele sale
Din condiția ca elementul să nu se rotească icircn jurul unor axe care trec prin centrul
său și sunt paralele cu axele sistemului 119909119874119910119911 rezultă
2 ∙ 120591119909119910 ∙ (119889119910 ∙ 119889119911) ∙119889119909
2= 2 ∙ 120591119910119909 ∙ (119889119909 ∙ 119889119911) ∙
119889119910
2 rArr 120591119909119910 = 120591119910119909 (35)
2 ∙ 120591119910119911 ∙ (119889119909 ∙ 119889119911) ∙119889119910
2= 2 ∙ 120591119911119910 ∙ (119889119909 ∙ 119889119910) ∙
119889119911
2 rArr 120591119910119911 = 120591119911119910 (36)
2 ∙ 120591119909119911 ∙ (119889119910 ∙ 119889119911) ∙119889119909
2= 2 ∙ 120591119911119909 ∙ (119889119909 ∙ 119889119910) ∙
119889119911
2 rArr 120591119909119911 = 120591119911119909 (37)
Relațiile (35divide37) 120591119909119910 = 120591119910119909 120591119910119911 = 120591119911119910 120591119909119911 = 120591119911119909 exprimă principiul dualității
tensiunilor tangențiale
Fig 33 Tensiunile normale și tangențiale pe fețele unui cub
Din condiția ca elementul considerat să nu se deplaseze icircn lungul axelor de
coordonate pe fețele opuse acționează aceleași tensiuni normale 120590119909 120590119910 și respectiv 120590119911
Definirea tensorului tensiune este posibilă dacă se cunosc cele 6 componente
independente ale acestuia aflate icircn trei plane perpendicular ce trec prin punctul respectiv
=
120590119909 120591119909119910 120591119909119911120591119910119909 120590119910 120591119910119911120591119911119909 120591119911119910 120590119911
Observaţii
Tensiunile se măsoară icircn [119873 1198982frasl ] (1119873 1198982frasl = 1 119875119886) sau icircn [119872119875119886]
(1 119872119875119886 = 106119875119886 = 106 119873
1198982 1 119872119875119886 = 1
119873
1198981198982)
Starea de tensiune dintr-un punct este considerată cunoscută dacă se cunosc
tensiunile 119901 care acționează pe infinitatea de elemente de suprafață ce trec prin punctual
considerat
Starea de tensiune a unui corp se consider cunoscută dacă se cunosc stările de
tensiune de pe infinitatea de puncte ale corpului considerat
32 Deplasări Deformaţii specifice
321 Deplasări
Aceste noțiuni sunt utile icircn analiza aspectului geometric al problemelor de rezistența
materialelor Deplasările care se analizează sunt cele datorate schimbării formei și
dimensiunilor corpurilor ca urmare a acțiunii forțelor exterioare și nu cele cinematice
posibile pentru solidul rigid care se poate deplasa cu anumită viteză și accelerație
Spre exemplu icircn figura 34a și figura 34b sub acțiunea forței 119865 tronsonul de
bară AB se deformează icircn timp ce tronsonul BC deși punctele sale au deplasări rămacircne
nedeformat (fiind nesolicitat) Toate punctele de pe axele barelor cu excepția celor din
icircncastrare (secțiunile A) au deplasări liniare De cele mai multe ori deformațiile barelor
datorate acțiunii forțelor exterioare se anulează la icircndepărtarea forțelor se spune că
deformațiile sunt elastice Secțiunile transversale ale barei din figura 34a se și rotesc icircn
raport cu pozițiile lor inițiale Spre exemplu secțiunea de căpăt cu centrul icircn C se rotește
cu unghiul
Fig 34 Deformațiile unei grinzi
Oricacirct de complexă ar fi delormația unui corp ea poate fi descrisă de lungiri sau
scurtări și de modificări ale unghiurilor inițiale
Deplasările măsoară schimbarea poziției unui punct al corpului și pot fi liniare
sau unghiulare
Prin deplasare liniară a unui punct se icircnțelege drumul parcurs de acest punct icircn
decursul procesului de deformație după o dreaptă suport dreapta 1198611198611 din figura 34a
Prin deplasare unghiulară se icircnțelege rotirea dintre segmentele de dreaptă
determinate de două puncte ale corpului icircnainte și după deformarea acestuia unghiul
pe care-l fac segmentele 119861119862 și 11986111198621 din figura 34a Această rotire se măsoară prin
unghiul pe care-l fac proiecțiile dreptelor ce conțin cele două segmente icircntr-un sistem
triortogonal
Icircn cazul cel mai general vectorul deplasare liniară se poate descompune icircntr-un
sistem triortogonal icircn trei componente 119906 119907 și 119908 figura 35
Fig 35 Deplasarea liniară
Se consideră acum un corp solid raportat la un sistem de axe ortogonal 119909119874119910119911
figura 35 după deformarea corpului un punct oarecare 119870 al acestuia se deplasează icircn
poziţia 1198701 vectorul 1198701198701 poartă numele de vectorul deplasării totale
Deplasarea totală este suma deplasărilor pe cele trei direcţii ortogonale iar
aceste deplasări se notează astfel
deplasarea pe direcţia 119909 cu ∥ 119874119909
deplasarea pe direcţia 119910 cu ∥ 119874119910
deplasarea pe direcţia 119911 cu ∥ 119874119911
Componentele deplasărilor și formeză matricea deplasărilor liniare 119906119907119908
322 Deformații
Prin deformație icircn general se icircnțelege orice schimbare de formă a unui corp fără
o evaluare cantitativă Icircn Rezistența Materialelor deformația măsoară variația
dimensiunilor geometrice ale corpului considerat din vecinătatea unui punct analog
deplasărilor deformațiile pot fi liniare și unghiulare (lunecări)
Fig 36 Deplasarea liniară
Deformația liniară ∆119897 reprezintă variația lungimii 119897 a unui element liniar al
corpului deformat figura 36 Deformația liniară specifică se definește ca fiind raportul
dintre deformația liniară și lungimea inițială
휀 =∆119897
119897 (38)
unde ∆119897 este lungirea sau scurtarea care este echivalentă cu deformția liniară totală iar
este alungirea
Deformația unghiulară sau lunecarea unui punct 119860 icircn planul 119861119860119862 se definește
prin relația figura 37
120574 = lim119861119860rarr0119862119860rarr0
(119861119860 minus 119861111986011198621 ) (39)
Fig 36 Deformația unghiulară
Schimbacircnd orientarea planului care trece prin 119860 se obțin alte deformații
unghiulare Dacă elementele liniare 119861119860 și 119862119860 sunt inițial perpendiculare deformația 120574 se
numește deformație unghiulară specifică sau lunecare specifică figura 37
Un exemplu de deplasare unghiulară și de deformație unghiulară este prezentat icircn
figura 38 Unghiul este deplasarea unghiulară și măsoară rotirea relativă dintre două
secțiuni aflate la distanța 119897 Unghiul este deformația specifică unghiulară (lunecarea
specifică) din punctul 119870 Aceste deplasări și deformații se obțin icircn urma solicitării barei
de către cele două momente 1198720 egale și de sens contrar
Fig 38 Deplasarea unghiulară
Pentru a analiza starea de deformație din vecinătatea unui punct al unui corp
solicitat complex se decupează din jurul punctului un element de volum mic figura 39a
avacircnd laturile 119889119909 119889119910 și 119889119911 Ca urmare a solicitării laturile acestuia se vor lungi sau
scurta Reprezentarea elementului deformat icircn spațiu este dificilă pentru simplificare
vom analiza doar deformațiile din planul 119909119874119910 Observăm că dimensiunile 119889119909 și 119889119910 s-au
modificat cu valoarea ∆119889119909 respectiv cu ∆119889119910 analog se acceptă și pentru 119889119911 o modificare
de forma ∆119889119911 Astfel se pot defini deformațiile specifice liniare
휀119909 =∆119889119909
119889119909 휀119910 =
∆119889119910
119889119910 휀119911 =
∆119889119911
119889119911 (310)
De cele mai multe ori aceste deformații specifice liniare se pot exprima procentual
și se mai numesc alungiri
Fig 39 Starea de deformație
Icircn figura 39c se vede că unghiul inițial drept dintre muchiile 119889119909 și 119889119910 ale
elementului de volum s-a modificat Se definește deformația specifică unghiulară (sau
lunecarea specifică) mărimea cu care se modifică unghiul inițial drept
120574119909119910 = 120574119909119910prime + 120574119910119909
prime = 120574119910119909120574119910119911 = 120574119910119911
prime + 120574119911119910prime = 120574119911119910
120574119911119909 = 120574119911119909prime + 120574119909119911
prime = 120574119909119911
(311)
Deformațiile 휀119909 휀119910 휀119911 120574119909119910 120574119910119911 120574119911119909 constituie cele șase componente
independente ale tensorului deformațiilor specifice care pot fi scrise de forma
119863 =
휀119909 120574119909119910 120574119909119911120574119910119909 휀119910 120574119910119911120574119911119909 120574119911119910 휀119911
(312)
323 Contracţia transversală
Practica arată că odată cu lungirea unei bare apare o micşorare a mărimii secţiunii
transversale mărime numită contracţie transversală figura 310
Fig 310 Contracția transversală
Contracţia transversală este proporţională cu lungirea specifică coeficientul de
proporţionalitate se notează cu 120599 şi se numeşte coeficient de contracţie transversală sau
coeficientul lui Poisson
La o lungire specifică a barei contracţia transversală este dată de relația
휀119905119903 = 휀119910 = 휀119911 = minus120599 ∙ 휀119909 (313)
Semnul minus bdquo-rdquo arată că cele două mărimi sunt contrare dacă una creşte cealaltă
scade şi invers
Considerăm o bară cilindrică de lungime 119897 şi aria secţiunii transversale 119860 solicitată
la icircntindere axială La un moment dat datorită solicitării lungimea barei devine
[119897 ∙ (1 + 휀)] diametrul devine [119889 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)] iar aria secţiunii transversale devine
[119860 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)2] Dacă volumul barei icircnainte de solicitare a fost (119860 ∙ 119897) după solicitare
acesta devine
119881 + ∆119881 = 119860 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)2 ∙ 119897 ∙ (1 + 휀) =
= 119860 ∙ 119897 ∙ (1 + 휀 minus 2 ∙ 120599 ∙ 휀 minus 2 ∙ 120599 ∙ 휀2 + 1205992 ∙ 휀2 + 1205992 ∙ 휀3) (314)
Deoarece lungirile sunt foarte mici ultimii trei termeni din paranteză fiind infinit mici se pot neglija obţinacircnd
119881 + ∆119881 = 119860 ∙ 119897 + 119860 ∙ 119897 ∙ 휀 ∙ (1 minus 2 ∙ 120599) ⟺ ∆119881 = 휀 ∙ (1 minus 2 ∙ 120599) ∙ 119860 ∙ 119897 (315)
Practica arătă că o astfel de bară solicitată la icircntindere icircşi măreşte volumul deci
∆119881 gt 0 de unde rezultă că
1 minus 2 ∙ 120599 gt 0 rArr 120599 lt 05 (316)
Pentru majoritatea materialelor 120599 = 033 iar pentru materialele care-şi păstrează
volumul constant 120599 = 05
33 Relaţii de echivalenţă icircntre eforturi şi tensiuni
Considerăm un element de suprafață infinit mic 119889119860 situat pe fața de arie (119860) a
secțiunii barei din figura 311 Icircn centrul de greutate 119862 al secțiunii acționează eforturile
119873 119879119910 119879119911 119872119909 119872119894119910 și 119872119894119911 determinate prin metoda secțiunilor
Icircn raport cu un sistem de axe de referință 119909119862119910119911 coordonatele elementului 119889119860 sunt
- 119910 este ordonata elementului de arie 119889119860
- 119911 este abscisa elementului de arie 119889119860
Pe elementul de arie 119889119860 acționează tensiunile
120590119909 tensiunea normală
120591119909119910 și 120591119909119911 tensiuni tangențiale
Dacă se icircnsumează forțele elementare de tipul 120590119909 ∙ 119889119860 120591119909119910 ∙ 119889119860 și 120591119909119911 ∙ 119889119860
va trebui să obținem eforturile 119873 119879119910 și 119879119911
Fig 311 Element de suprafață mic din secțiunea unei bare
Dacă eforturile sunt privite ca forțe exterioare și se scriu ecuațiile de
echilibru ale secțiunii (119860) se vor obține șase relații de echivalență icircntre eforturi și
tensiuni
(sum119883) = 0 rArr int 120590119909 ∙ 119889119860
119860
= 119873 (317)
(sum119884) = 0 rArr int 120591119909119910 ∙ 119889119860
119860
= 119879119910 (318)
(sum119885) = 0 rArr int 120591119909119911 ∙ 119889119860
119860
= 119879119911 (319)
(sum119872)119909= 0 rArr int(120591119909119911 ∙ 119889119860) ∙ 119910
119860
minus int(120591119909119910 ∙ 119889119860) ∙ 119911
119860
= 119872119909 rArr
rArr int(119910 ∙ 120591119909119911 minus 119911 ∙ 120591119909119910) ∙ 119889119860
119860
= 119872119909
(320)
(sum119872)119910= 0 rArr int(120590119909 ∙ 119889119860) ∙ 119911
119860
= 119872119894119910 (321)
(sum119872)119911= 0 rArr int(120590119909 ∙ 119889119860) ∙ 119910
119860
= 119872119894119911 (322)
Cele șase relații de echivalență icircntre eforturi și tensiuni constituie un pas icircnainte
icircn rezolvarea unei probleme de rezistența materialelor Aceste relații vor permite
determinarea tensiunilor maxime
Pentru a rezolva cele 6 relații de echivalență trebuie să se cunoască tensiunile și
ca funcții de punct adică funcții de forma
120590119909 = 120590119909(119909 119910 119911) 120591119909119910 = 120591119909119910(119909 119910 119911) 120591119909119911 = 120591119909119911(119909 119910 119911) (32
3)
Cunoașterea acestor funcții presupune icircnsă analizarea aspectului geometric al
problemei precum și utilizarea unor ipoteze simplificatoare care să permită simplificarea
problemelor
34 Ipoteze de bază icircn rezistenţa materialelor
Depășirea dificultăților legate de interpretarea unor fenomene specifice mecanicii
solidului deformabil a impus acceptarea unor ipoteze care să simplifice fenomenele și să
contribuie la elaborarea unor modele de calcul cicirct mai generale și cacirct mai simple Aceste
ipoteze se referă la structura materialelor şi la comportarea lor sub acţiunea forţelor
exterioare Ipotezele acceptate trebuie să fie icircn deplină concordanţă cu realitatea și să
conducă la rezultate verificate icircn practică
Funcție de aspectele la care se referă ipotezele pot fi
Ipoteze fizice (de material)
Ipoteze de calcul
341 Ipoteze fizice
Se acceptă deoarece teoriile structurale au condus la rezultate care contravin
icircncercărilor experimentale
Ipoteza mediului continuu consideră că orice domeniu elementar al corpului
este ocupat de materie adică nu se acceptă existența unor goluri sau a unor crăpături
microscopice (fisuri) Deși nu corespunde realităţii poate fi acceptată deoarece
dimensiunile corpului sunt mult mai mari decacirct dimensiunile particulelor elemantare Are
avantajul că permite utilizarea proprietăților matematice ale funcțiilor continue pentru
tensiunile și deformațiile din orice punct al corpului Ea este mai apropiată de realitate la
corpurile amorfe şi mai depărtată la cele cristaline dar conduce la rezultate satisfăcătoare
icircn calculele de rezistenţă
Ipoteza nu se poate aplica la corpurile care au goluri tăieturi (multiplu conexe)
pentru unele puncte singulare icircn care tensiunile și deformațiile tind la infinit sau icircn unele
probleme de plasticitate icircn care proprietățile de material au un rol esențial
Ipoteza izotropiei conform acestei ipoteze materialul din care este confecționat
un element de rezistență are aceleași proprietăți după orice direcție un astfel de material
este considerat izotrop Din punct de vedere macroscopic metalele pot fi considerate
izotrope deși la nivel microscopic proprietățile lor diferă de la o direcție cristalografică
la alta Orice conglomerat de cristale poate fi considerat izotrop
Există cazuri cacircnd această ipoteză a izotropiei nu se acceptă
la metalele puternic deformate după o direcție (prin laminare trefilare)
la piesele confecționate din lemn lemnul este anizotrop deoarece proprietățile sale
diferă după două direcții (icircn lungul fibrelor și perpendicular pe această direcție)
Ipoteza omogenității consideră că un corp are aceleași proprietăți icircn orice
punct al său Deși majoritatea materialelor utilizate icircn tehnică sunt eterogene la scară
micro fiind constituite din mai multe faze cu proprietăți diferite la scară macro ele pot
fi considerate omogene Omogenitatea și izotropia sunt proprietăți statistice medii care
nu se condiționează una pe cealaltă Chiar și materialele monofazice pot avea la scară
micro unele segregații care le fac eterogene
Ipoteza elasticităţii perfecte presupune că atacircta timp cacirct solicitările nu
depăşesc anumite limite materialul are o comportare elastică adică icircşi recapătă forma şi
dimensiunile iniţiale odată cu icircnlăturarea sarcinilor Icircn realitate materialele nu prezintă o
elasticitate perfectă ele avacircnd deformaţii remanente mici care icircnsă pot fi neglijate icircn
calculele de rezistenţă
Acceptarea acestei ipoteze a elasticității perfecte permite
- aplicarea relației biunivoce icircntre tensiuni și deformații relație exprimată de legea
lui Hooke ( = 119864 ∙ 휀) unde E este un factor de proporţionalitate numit modul de
elasticitate longitudinal al materialului pentru oţel 119864 = 21 ∙ 105 [119872119875119886] - acceptarea valabilității afirmației bdquolucrul mecanic efectuat de forțele exterioare
ca urmare a parcurgerii deplasărilor punctelor de aplicație se icircnmagazinează integral icircn
corp sub formă de energie de deformație energie cedată la icircndepărtarea sarcinilorrdquo
- este valabilă teoria conform căreia bdquoenergia icircnmagazinată și deformațiile depind
doar de starea inițială și finală de eforturi fără a ține cont de modul icircn care s-a ajuns la
starea finalărdquo
Icircn realitate oricacirct de mici ar fi sarcinile aplicate se produc și deformații plastice
dar acestea pot fi neglijate dacă solicitarea nu depășește anumite limite
342 Ipoteze de calcul
Ipoteza micilor deplasări bdquodeplasările datorate deformării sunt mult mai mici
decacirct dimensiunile corpurilor și ca urmare pot fi neglijate produsele dintre o deplasare și
ea icircnsăşirdquo Pentru cele mai multe corpuri deformaţiile elastice sunt de mărimi mici deci
corpurile solide sub acţiunea sarcinilor icircşi modifică foarte puţin forma iniţială Această
ipoteză este cunoscută şi sub denumirea de ipoteza menţinerii dimensiunilor iniţiale Ea
permite scrierea ecuaţiilor de echilibru ale staticii pe starea nedeformată a elementului
cacircnd nu se iau icircn considerare deplasările punctelor de aplicaţie ale forţelor care se produc
ca urmare a deformării acestuia Calculul efectuat pe schema nedeformată poartă numele
de calcul de ordinul I
Ipoteza micilor deplasări nu poate fi acceptată pentru studiul problemelor de
stabilitate sau la problemele la care nu pot fi icircndeplinite condiţiile de echilibru icircn starea
nedeformată
Calculul de ordinul II admite ipoteza micilor deplasări dar ecuaţiile de echilibru
se scriu icircnsă pentru starea deformată a elementului de rezistenţă
Calculul de ordinul III nu mai acceptă ipoteza micilor deplasări el referindu-se
la cazul deformaţiilor mari cacircnd ecuaţiile de echilibru trebuie scrise pentru starea
deformată
Chiar dacă materialul satisface legea lui Hooke icircn urma calculelor de ordinul II
se obţin de obicei relaţii neliniare icircntre sarcini şi deplasări iar pentru calculul de ordinul
III rezultă ecuaţii diferenţiale neliniare
Principiul efectului local al acțiunii sarcinilor enunțat de Barre de Saint-
Venant Acest principiu destul de folosit icircn Rezistenţa Materialelor precizează că dacă
se icircnlocuiesc forţele care acţionează asupra unui element de suprafață al unui corp
elastic printr-un alt sistem de forţe echivalent din punct de vedere static cu primul noua
distribuţie a forţelor produce la locul de aplicare diferenţe semnificative faţă de prima
dar rămacircne fără efect sau cu efect neglijabil la distanţe mari de locul de aplicare al
forţelor figura 312
Ca o cosecință o sarcină uniform distribuită figura 312a poate fi icircnlocuită cu
rezultanta ei figura 312b dacă se analizează efectul sarcinii la distanță mare de locul icircn
care se aplică sarcina
Fig 312 Principiul Saint-Venant
Icircn prima variantă figura 312a forţa 119865 se aplică pe o porțiune oarecare 119897 (sarcină
uniform distribuită) iar icircn a doua figura 312b icircntru-un punct (forţă concentrată) La
locul de aplicare a sarcinii efectul asupra barei este cu totul diferit de la o variantă la
cealaltă Icircnsă la o distanţă mare de punctul de aplicaţie spre exemplu icircn secţiunea situată
la distanţa 119886 de capătul barei sau chiar icircn icircncastrare ambele bare sunt solicitate la fel
Icircn cazul din figura 312a
119872119894(119909) =119901 ∙ 1199092
2 119909 le 119897 119872119894(119909) = 119901 ∙ 119897 ∙ (119909 minus
119897
2) 119909 gt 119897 (324)
Icircn cazul din figura 312b
119872119894(119909) = 0 119909 lt119897
2 119872119894(119909) = 119901 ∙ 119897 ∙ (119909 minus
119897
2) 119909 gt
119897
2 (325)
Se vede că pentru (119909 gt 119897) adică după depășirea locului icircn care se aplică sarcina
efectul este același
Ipoteza lui Bernoulli sau ipoteza secţiunilor plane precizează că o secţiune
plană şi normală pe axa barei icircnainte de deformare rămacircne plană şi normală pe axa
barei şi după deformare figura 313
Fig 313 Ipoteza lui Bernoulli
Ipoteza stării naturale a corpului sau ipoteza absenţei tensiunilor conform
căreia pentru un corp nesolicitat starea de tensiune şi deformaţie este nulă
Perfecţionarea mijloacelor de calcul şi de investigare pot conduce la renunţarea la
unele ipoteze sau la introducerea altora noi mai aproape de stările reale De aici rezultă
caracterul de continuă perfecţionare a metodelor Rezistenţei Materialelor
35 Coeficienţi de siguranţă Tensiuni admisibile
O piesă corespunde din punct de vedere tehnic dacă tensiunile care iau naştere icircn
interiorul piesei datorită sarcinilor aplicate nu depăşesc anumite valori limită stabilite
convenţional Aceste valori limită ale tensiunii sunt corelate cu caracteristicile mecanice
ale materialelor
Tensiunea limită utilizată icircn calculele de rezistenţă este cunoscută sub denumirea
de tensiune admisibilă sau rezistenţă admisibilă Rezistenţa admisibilă reprezintă
valoarea convenţională aleasă icircn calcul pe baza practicii pentru tensiunea maximă care
poate apare icircntr-o piesă icircn condiţii date de material şi solicitare
Rezistenţa admisibilă (120590119886 sau 120591119886) poate fi definită faţă de o stare limită
periculoasă stare care trebuie evitată deoarece poate conduce distrugere
120590119886 =120590119897119894119898119888
(326)
unde
120590119897119894119898 este tensiunea corespunzătoare stării limită periculoase
119888 estesupraunitar 119888 gt 1 și reprezintă coeficientul de siguranţă faţă de starea limită
periculoasă considerată
Alegerea unor valori inferioare pentru rezistenţa admisibilă faţă de tensiunea
corespunzătoare stării limită periculoase este necesară deoarece
cunoaşterea sarcinilor este de cele mai multe ori aproximativă şi o depăşire a
acestora este foarte posibilă
caracteristicile mecanice ale materialelor variază icircn limite destul de mari ele
fiind influenţate de mulţi factori
schema aleasă pentru calcul (aplicarea sarcinilor schematizarea structurii
ipotezele de calcul etc) depărtează modelul faţă de cel real
Pentru calculele de verificare tensiunea efectivă maximă din elementul de
rezistenţă trebuie să fie mai mică sau cel mult egală cu cea admisibilă
120590119890119891119898119886119909 le 120590119886 (327)
Valoarea rezistenţei admisibile este influenţată de foarte mulţi factori natura
materialului tratamentele termice aplicate piesei durata de funcţionare a piesei modul
de acţionare icircn timp a sarcinilor felul solicitării temperatura gradul de periculozitate
icircn cazul cedării piesei etc
De asemenea valoarea coeficientului de siguranţă se alege icircn principal ţinacircnd
seama de aceiaşi factori care influenţează şi rezistenţa admisibilă
Rezistenţele admisibile pentru cacircteva materiale sunt următoarele
pentru oțelul de uz general OL37 solicitat la icircntindere compresiune sau
icircncovoiere 120590119886 = 150 [119872119875119886] pentru lemnul de brad solicitat la
- compresiune icircn lungul fibrelor şi solicitat la icircncovoiere 120590119886 = 10 [119872119875119886] - tracţiune icircn lungul fibrelor 120590119886 = 7 [119872119875119886] - compresiune perpendiculară pe fibre 120590119886 = 15 [119872119875119886] - forfecare icircn lungul fibrelor 120591119886 = 2 [119872119875119886] - forfecare perpendiculară pe fibre 120590119886 = 45 [119872119875119886]
terenuri de fundaţie din pămacircnt uscat sau umed 120590119886 = 020 divide 025 [119872119875119886]
4 CARACTERISTICI GEOMETRICE ALE SECȚIUNILOR PLANE
41 Noţiuni introductive
Icircn relaţiile de calcul ale tensiunilor şi deformaţiilor elementelor de rezistenţă
pentru unele solicitări (icircncovoierea și torsiunea) secțiunile plane intervin atacirct prin
dimensiunile lor (aria 119860) cicirct și prin forma și poziția pe care o are secțiunea icircn raport cu
planul solicitării Mărimile care caracterizează o secțiune icircn raport cu forma și poziția față
de axele unui sistem de referință sunt denumite caracteristici geometrice de ordin
superior Aria secțiunii este caracteristica geometrică ce depinde doar de dimensiunile
geometrice ale acesteia
Să considerăm o grindă solicitată de o forță exterioară 119865 aşezată icircn două poziții icircn
raport cu planul forţei figura 41 Icircn urma aplicării forței deși avem aceeași grindă
(aceeași arie a secțiunii transversale) și aceeași forță se constată că pentru varianta din
figura 41a deformațiile sunt mult mai mari adică rezistența la icircncovoiere a grinzii din
figura 41a este mai mare decacirct icircn cazul grinzii din figura 41b Comportarea diferită se
explică prin aceea că modificarea poziţiei secţiunii transversale faţă de planul forţelor
modifică caracteristicile geometrice ale secţiunii transversale a grinzii
Fig 41 Grindă solicitată de forța 119865
Pentru realizarea calculelor de rezistenţă şi rigiditate este foarte importantă
cunoaşterea caracteristicilor geometrice ale suprafeţei secţiunii transversale a elementelor
de rezistenţă
Caracteristicile geometrice ale secţiunii transversale a unui element de rezistenţă
sunt
- aria secțiunii notată cu 119860
- momentul static icircn raport cu o axă notat 119878119911 și respectiv 119878119910
- momentul de inerție care poate fi
axial notat 119868119911 și respectiv 119868119910
centrifugal notat 119868119911119910
polar notat 119868119901
- raza de inerţie (giraţie)notată 119894119911 și respectiv 119894119910
- modulul de rezistență care poate fi
axial notat 119882119911 și respectiv 119882119910
polar notat 119882119901
42 Aria și momentul static al suprafețelor plane
Fie o suprafaţă plană de arie 119860 pe care se ia un element infinit mic de arie 119889119860 şi
un sistem de axe rectangulare 119911119874119910 figura 42 Notăm cu 119862 centrul de greutate al suprafeţei
119860 Poziţia suprafeţei elementare 119889119860 faţă de acelaşi sistem de coordonate 119911119874119910 este dată
de abscisa 119911 ordonata 119910 și raza polară
Fig 42 Suprafață plană de arie 119860
Aria suprafeţei 119860 figura 42 se defineşte ca fiind
119860 ≝ int 119889119860
119860
(41)
Aria suprafeţei este icircntotdeauna pozitivă și se măsoară icircn [1198981198982] Momentul static al suprafeţei de arie 119860 icircn raport cu axele 119874119911 și respectiv 119874119910
figura 42 sunt date de relaţiile
119878119911 ≝ int 119910 ∙ 119889119860
119860
119878119910 ≝ int 119911 ∙ 119889119860
119860
(42)
Momentul static poate fi pozitiv negativ sau nul şi se măsoară icircn [1198981198983] Coordonatele centrului de greutate ale suprafeței 119860 se detrmină cu relațiile
119910119862 ≝int 119910 ∙ 119889119860119860
119860 119911119862 ≝
int 119911 ∙ 119889119860119860
119860
(43)
Cunoscacircnd coordonatele 119910119862 și 119911119862 ale centrului de greutate 119862 al secțiunii 119860 atunci
momentele statice se pot determina cu relațiile
119878119911 ≝ int 119910 ∙ 119889119860
119860
= 119910119862 ∙ 119889119860 119878119910 ≝ int 119911 ∙ 119889119860
119860
= 119911119862 ∙ 119889119860 (44)
Aceste relații arată că momentul static al unei suprafețe icircn raport cu o axă este
egal cu produsul dintre aria suprafeței și distanța de la centrul ariei la axa respectivă
Dacă suprafaţa se poate descompune icircn 119899 suprafeţe simple la care se cunosc ariile
(1198601 1198602 ⋯ 119860119894⋯ 119860119899) și poziţiile centrelor de greutate 119862119894 faţă de sistemul de referinţă
expresiile momentelor statice capătă următoarea formă
119878119911 = sum 119910119862119894 ∙ 119860119894119899119894=1 = 119910119862 ∙ 119860 119878119910 = sum 119911119862119894 ∙ 119860119894
119899119894=1 = 119911119862 ∙ 119860 (45)
Din relaţiile (45) rezultă că poziţia centrului de greutate 119862 al unei suprafeţe
compuse poate fi determinată cu relaţiile
119910119862 = (sum119910119862119894 ∙ 119860119894
119899
119894=1
) 119860frasl 119911119862 = (sum119911119862119894 ∙ 119860119894
119899
119894=1
) 119860frasl (46)
Icircn relația (45) 119910119862119894 și respectiv 119911119862119894 reprezintă coordonatele centrelor de greutate 119862119894
ale fiecărei suprafețe simple 119860119894 icircn raport sistemul de axe 119911119874119910
Se constată (relaţia 42) că dacă axele sistemului de referinţă trec prin centrul de
greutate (119910119862 = 119911119862 = 0) momentele statice sunt nule Axele icircn raport cu care momentele
statice sunt nule şi care trec prin centrul de greutate al suprafeţei se numesc axe centrale
Observație dacă secțiunea compusă are o axă de simetrie centrul secțiunii se
găsește pe acea axă iar dacă secțiunea este dublu simetrică poziția centrului secțiunii este
la intersecția axelor de simetrie
43 Momente de inerţie
Momentele de inerţie axiale ale unei suprafețe se calculează icircn raport cu axele de
coordonate 119874119911 și respectiv 119874119910 figura 42 și se determină cu relațiile
119868119911 ≝ int 1199102 ∙ 119889119860
119860
119868119910 ≝ int 1199112 ∙ 119889119860
119860
(47)
Unde 119910 și 119911 sunt distanțele de la elementul de arie 119889119860 la cele două axe de
coordonate 119874119911 și respectiv 119874119910
Momentele de inerţie axiale se măsoară icircn [1198981198984] şi sunt icircntotdeauna pozitive (aria
119889119860 este icircntotdeauna pozitivă și este multiplicată cu patratul distanței 1199102 dacă 119868119911 sau 119868119910
sunt nule icircnseamnă ca secțiunea nu există)
Momentele de inerție axiale se calculează icircndeosebi pentru axele centrale (care
trec prin centrul secțiunii) deoarece icircn raport cu acele axe 119868119911 și 119868119910 au valori minime
Momentul de inerţie centrifugal calculat faţă ambele axe ale sistemului de
referinţă 119911119874119910 este definit de relația
119868119911119910 ≝ int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860
(48)
Momentul de inerţie centrifugal se măsoară icircn [1198981198984] şi poate fi pozitiv negativ
sau nul
Momentul de ineție centrifugal este nul 119868119911119910 = 0 dacă cel puțin una din axele 119874119911
sau 119874119910 este axă de simetrie pentru secțiune
Se consideră o suprafaţă dreptunghiulară pe care faţă de axa de simetrie 119874119910 se iau
două suprafeţe elementare de arie 119889119860 simetrice faţă de axa 119874119910 figura 43
Fig 43 Suprafață dreptunghiulară cu două arii elementare 119889119860
Făcacircnd suma momentelor de inerţie centrifugale pentru cele două suprafeţe
elementare 119889119860 (din stacircnga şi din dreapta faţă de axa 119874119910) se obţine
int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860119889119903
+ int (minus119911) ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860119904119905119892
= int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860119889119903
minus int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860119904119905119892
= 0 (49)
Acelaşi raţionament se poate face și pentru icircntreaga suprafaţă de unde obținem că
momentul de inerție centrifugal este nul 119868119911119910 = 0 Deci pentru o suprafaţă plană care
are cel puţin o axă de simetrie momentul de inerţie centrifugal faţă de sistemul care
conţine acea axă de simetrie este nul
Momentul de inerţie polar al unei suprafeţei icircn raport cu un punct (pol) 119874 figura
42 este definit prin relaţia
1198680 = 119868119901 ≝ int 1205882 ∙ 119889119860
119860
= int(1199102 + 1199112) ∙ 119889119860
119860
= 119868119911 + 119868119910 (410)
unde este distanţa de la polul 119874 la elementul de arie 119889119860 Momentul de inerţie polar se
măsoară icircn [1198981198984] şi este totdeauna pozitiv
Momentul de inerţie polar este egal cu suma momentelor de inerţie faţă de două axe
perpendiculare oarecare şi care trec prin polul considerat
Razele de giraţie sau razele de inerţie sunt mărimi calculate icircn raport cu axele
secțiunii și definite de relaţiile
119894119911 ≝ radic119868119911119860 119894119910 = radic
119868119910
119860 (411)
Se exprimă icircn [119898119898] şi sunt icircntotdeauna pozitive Semnificația unei raze de inerție
este distanța la care dacă ar fi concentrată icircntreaga arie s-ar obține același moment de
inerție ca și cel calculat pentru aria reală
44 Modulul de rezistenţă
Modulul de rezistență se calculează icircn raport cu axele de referință sau icircn raport cu
un pol figura 42 și pot fi axiale (119882119911119882119910) sau polar (119882119901) și se determină numai pe baza
momentelor de inerţie cu relațiile figura 43
119882119911119898119894119899 ≝119868119911119910119898119886119909
119882119911119898119886119909 ≝119868119911119910119898119894119899
(412)
119882119910119898119894119899 ≝119868119910
119911119898119886119909 119882119910119898119886119909 ≝
119868119910
119911119898119894119899 (413)
119882119901 ≝119868119901
120588119898119886119909 (414)
unde
119910119898119886119909 119910119898119894119899 reprezintă distanţa de la axa 119874119911 la punctele extreme cele mai
depărtate respectiv cele mai apropiate ale suprafeţei de această axă
119911119898119886119909 119911119898119894119899 reprezintă distanţa de la axa 119874119910 la punctele extreme cele mai
depărtate respectiv cele mai apropiate ale suprafeţei de această axă
120588119898119886119909 reprezintă distanța maximă de la polul 119874 la punctul secțiunii cel mai
icircndepărtat de acesta
Fig 43 Suprafață dreptunghiulară cu două arii elementare 119889119860
Modulele de rezistenţă se exprimă icircn [1198981198983] şi sunt icircntotdeauna pozitive
Explicația este aceea că momentele de inerție care intră icircn relațiile de definiție sunt
pozitive iar distanțele la punctele extreme sunt pozitive (119910119898119886119909 119910119898119894119899 119911119898119886119909 119911119898119894119899 120588119898119886119909 se
iau icircn valoare absolută)
Icircn cazul suprafeţelor compuse modulul de rezistenţă nu se obţine prin icircnsumarea
algebrică a modulelor de rezistenţă ale suprafeţelor simple componente ci numai prin
intermediul momentului de inerţie axial calculat pentru icircntreaga secțiune
Ca și momentele de inerție modulele de rezistență se calculează numai pentru
sistemele de axe centrale
45 Momente de inerţie şi module de rezistenţă pentru suprafeţe simple
451 Secțiune dreptunghiulară
Fie suprafaţa dreptunghiulară din figura 44 de icircnălțime ℎ și lățime 119887 pe care se
consideră suprafaţă elementară de arie 119889119860 = 119887119889119910 la distanța 119910 de axa 119862119911 sistemul de
axe 119911119862119910 trece prin centrul secțiunii iar axele sunt axe de simetrie pentru dreptunghi
Fig 44 Suprafață dreptunghiulară
Pe baza relațiilor de definiți a momentului de inerție 119868119911 se obține
119868119911 ≝ int 1199102 ∙ 119889119860
119860
= int 1199102 ∙ 119887 ∙ 119889119910 = 2int 1199102 ∙ 119887 ∙ 119889119910 = 2 ∙ 119887 ∙1199103
3|ℎ 2frasl
0rArr
ℎ 2frasl
0
ℎ 2frasl
minusℎ 2frasl
rArr 119868119911 =119887 ∙ ℎ3
12
(415)
Analog pentru un element de arie 119889119860 = ℎ ∙ 119889119911 paralel cu axa 119862119910 situat la distanța
119911 de axa 119862119910
119868119910 ≝ int 1199112 ∙ 119889119860
119860
= int 1199112 ∙ ℎ ∙ 119889119911 = 2int 1199112 ∙ ℎ ∙ 119889119910 = 2 ∙ ℎ ∙1199113
3|119887 2frasl
0rArr
119887 2frasl
0
119887 2frasl
minus119887 2frasl
rArr 119868119910 =1198873 ∙ ℎ
12
(416)
Deoarece axele 119862119911 și 119862119910 sunt axe de simetrie momentul de inerție centrifugal este
119868119911119910 = 0 (417)
Pentru un pătrat avacircnd laturile egale (ℎ = 119887 = 119886) momentele de inerţie faţă de
axele centrale au expresia
119868119911 = 119868119910 =1198864
12 (418)
Modulele de rezistență axiale se calculează cu relațiile de definiție ținacircnd cont că
distanțele pacircnă la fibrele extreme sunt
119910119898119886119909 = 119910119898119894119899 =ℎ
2 119911119898119886119909 = 119911119898119894119899 =
119887
2 (419)
Obținem
119882119911119898119894119899 = 119882119911119898119886119909 =119868119911
119910119898119886119909119898119894119899=119887 ∙ ℎ3
12frasl
ℎ2frasl
=119887 ∙ ℎ2
6
119882119910119898119894119899 = 119882119910119898119886119909 =119868119910
119911119898119886119909119898119894119899=1198873 ∙ ℎ
12frasl
1198872frasl
=1198872 ∙ ℎ
6
(420)
452 Suprafaţă circulară
Din motive de simetrie pentru suprafeţele circulare momentele de inerţie faţă de
orice diametru (care reprezintă şi axe centrale) sunt aceleaşi
Considerăm o secțiune circulară plină cu diametrul 119889 și centrul de greutate 119862 Prin
centrul de greutate 119862 trece sistemul de axe ortogonal 119911119862119910 figura 45
Fig 45 Suprafață circulară
La distanța de centrul de greutate 119862 vom lua un element de suprafață mic de arie
(119889119860) de forma unui inel de grosime 119889 Elementul de arie 119889119860 are expresia
119889119860 = (2 ∙ 120587 ∙ 120588) ∙ (119889120588)
Pornind de la relația de definiție a momentului de inerție polar obținem
119868119901 ≝ int 1205882 ∙ 119889119860
119860
= int 1205882 ∙ (2 ∙ 120587 ∙ 120588) ∙ 119889120588
119903=119889 2frasl
0
= 2 ∙ 120587 ∙1205884
4|119889 2frasl0 rArr
rArr 119868119901 =120587 ∙ 1198894
32
(421)
Secțiunea este perfect simetrică deci sunt valabile relațiile
119868119911 = 119868119910 rArr 119868119901 = 119868119911 + 119868119910 = 2 ∙ 119868119911 = 2 ∙ 119868119910 =119868119901
2=120587 ∙ 1198894
64 (422)
Și modulele de rezistenţă faţă de orice diametru sunt egale şi se calculează cu
relaţiile
119882119911 = 119882119910 =1198681199111198892frasl=120587 ∙ 1198893
32 (423)
Modulul de rezistenţă polar este
119882119901 =1198681199011198892frasl=120587 ∙ 1198893
16 (424)
453 Secţiune inelară
Calculul momentelor de inerţie axiale pentru o secţiune inelară avacircnd diametrul
interior 119889 şi diametrul exterior 119863 se determină analog pentru suprafaţa circulară plină cu
observaţia că integrala pentru calculul momentului de inerție polar 119868119901 se face icircntre
limitele 119903 = 119889 2frasl şi R= 1198632frasl (icircntre raza interioară 119903 şi raza exterioară 119877) figura 46
Se obţin relaţiile
119868119901 =120587 ∙ 1198634
32∙ [1 minus (
119889
119863)4
] =120587 ∙ 1198634
32∙ (1 minus 1198964) (425)
119868119910 = 119868119910 =120587 ∙ 1198634
64∙ [1 minus (
119889
119863)4
] =120587 ∙ 1198633
64∙ (1 minus 1198964) (426)
Fig 46 Secțiune inelară
119882119901 =120587 ∙ 1198633
16∙ [1 minus (
119889
119863)4
] =120587 ∙ 1198633
16∙ (1 minus 1198964) (427)
119882119911 = 119882119910 =120587 ∙ 1198633
32∙ [1 minus (
119889
119863)4
] =120587 ∙ 1198633
32∙ (1 minus 1198964) (428)
unde 119896 = 119889119863frasl
46 Variaţia momentelor de inerţie faţă de axe paralele
( Relațiile lui STEINER)
Se consideră o suprafaţă oarecare de arie 119860 cu elementul de arie 119889119860 și un sistemul
de axe central 119911119862119910 faţă de care se cunosc momentele de inerţie 119868119911 119868119910 119868119911119910 şi considerăm
un sistem de axe 11991111198741199101 paralele cu sistemul central figura 47 Se pune problema
determinării momentele de inerţie 1198681199111 1198681199101 11986811991111199101 faţă de sistemul de axe paralel cu sistemul
central 11991111198741199101 axe aflate la distanţele 119910119862 = 119888 respectiv 119911119862 = 119889 de acesta
461 Momente de inerţie axiale
Pe baza relaţiilor de definire şi a notaţiilor din figura 42 pentru momentele de
inerţie faţă de axele 1198741199111 1198741199101 se poate scrie
1198681199111 = int 11991012 ∙ 119889119860
119860
= int(119910 + 119888)2 ∙ 119889119860
119860
= int 1199102 ∙ 119889119860
119860
+ 2 ∙ 119888 ∙ int 119910 ∙ 119889119860
119860
+
+1198882int 119889119860
119860
rArr 1198681199111 = 119868119911 + 2 ∙ 119888 ∙ 119878119911 + 1198882 ∙ 119860 hArr 1198681199111 = 119868119911 + 119888
2 ∙ 119860
(429)
Fig 47 Variaţia momentelor de inerţie față de axe paralele
S-a ajuns la relația (429) deoarece momentul static 119878119911 este nul deoarece axa 119862119885
este axă centrală
Pentru momentul de inerție axial icircn raport cu axa 1198741199101 se obține
1198681199101 = int 11991112 ∙ 119889119860
119860
= int(119911 + 119889)2 ∙ 119889119860
119860
= int 1199112 ∙ 119889119860
119860
+ 2 ∙ 119889 ∙ int 119911 ∙ 119889119860
119860
+
+1198892 ∙ int 119889119860
119860
rArr 1198681199101 = 119868119910 + 2 ∙ 119889 ∙ 119878119910 + 1198892 ∙ 119860 hArr 1198681199101 = 119868119910 + 119889
2 ∙ 119860
(430)
Pentru momentul de inerție centrifugal obținem
11986811991111199101 = int 1199101 ∙ 1199111 ∙ 119889119860
119860
= int(119910 + 119888) ∙ (119911 + 119889) ∙ 119889119860
119860
= int 119910 ∙ 119911 ∙ 119889119860 +
119860
+119888 ∙ int 119911 ∙ 119889119860
119860
+ 119889 ∙ int 119910 ∙ 119889119860
119860
rArr 11986811991111199101 = 119868119911119910 + 119888 ∙ 119889 ∙ 119860
(431)
Deoarece
int 119911 ∙ 119889119860
119860
= 119878119910 = 0 int 119910 ∙ 119889119860
119860
= 119878119911 = 0 int 119910 ∙ 119911 ∙ 119889119860
119860
= 119868119911119910
Relaţiile (429) şi (430) arată că momentul de inerţie faţă de o axă oarecare
este egal cu momentul de inerţie faţă de o axă paralelă cu ea trecacircnd prin centrul de
greutate la care se adaugă produsul dintre aria suprafeţei şi pătratul distanţei dintre
cele două axe
Din relaţiile (429) și (430) rezultă de asemenea că momentul de inerţie faţă de o
axă centrală (care trece prin centrul de greutate) este cel mai mic dintre infinitatea de
momente de inerţie obținute faţă de alte axe paralele cu ea
Relaţia (431) arată de asemenea că momentul de inerţie centrifugal faţă de un
sistem de axe oarecare este egal cu momentul de inerţie centrifugal faţă de un sistem
paralele cu el trecacircnd prin centrul de greutate a suprafeţei la care se adaugă produsul
dintre aria suprafeţei şi distanţele dintre axele sistemelor respective
Icircn literatura de specialitate relaţiile (429) (430) şi (431) sunt cunoscute sub
numele de relaţiile lui Steiner
47 Variaţia momentrlor de inerţie faţă de axe rotite
Direcţii principale şi momente de inerţie principale
Fie suprafaţa plană din figura 48 de arie 119860 pe care considerăm o suprafaţă
elementară de arie 119889119860 Pentru sistemul de axe 119911119874119910 se cunosc momentele de inerţie
119868119911 119868119910 119868119911119910 şi vom determina relaţiile de calcul pentru momentele de inerţie afererent unui
sistem de axe 11991111198741199101 rotit cu un unghi faţă de sistemul central
Faţă de sistemul de axe 11991111198741199101 elementul de arie 119889119860 are coordonatele
1199101 = 119875119877 = 119875119876 minus 119877119876 = 119910 ∙ cos 120572 minus 119911 ∙ sin 120572
1199111 = 119873119872 = 119873119875 minus 119875119872 = 119911 ∙ cos 120572 + 119910 ∙ sin 120572 (432)
Fig 47 Variaţia momentelor de inerţie față de axe rotite
Pe baza relaţiilor de calcul ale momentelor de inerţie şi a notaţiilor din figura 42
şi ale relaţiilor (432) momentele de inerţie faţă de sistemul de axe rotit 11991111198741199101 sunt
1198681199111 =119868119911 + 119868119910
2+119868119911 minus 119868119910
2∙ cos 2120572 minus 119868119911119910 ∙ sin 2120572 (433)
1198681199101 =119868119911 + 119868119910
2minus119868119911 minus 119868119910
2∙ cos 2120572 + 119868119911119910 ∙ sin 2120572 (434)
11986811991111199101 =119868119911 minus 119868119910
2∙ sin 2120572 + 119868119911119910 ∙ cos 2120572 (435)
Din relaţiile 433divide435 se observă că icircntre momentele de inerţie axiale şi cele
polare există relaţia
1198681199111 + 1198681199101 = 119868119911 + 119868119910 = 119868119901 (436)
adică suma momentelor de inerţie axiale icircn raport cu orice pereche de axe ortogonale
care trec printr-un pol dat este o constantă şi egală cu momentul de inerţie polar
Prin rotirea sistemului de axe din relaţiile 433divide435 rezultă că momentele de inerţie
variază icircnsă suma lor rămacircne constantă deci există o poziţie a sistemului de axe pentru
care momentele de inerţie au valori extreme maxim respectiv minim
471 Direcţii principale de inerţie
Valoarea unghiului 120572 pentru care momentele de inerţie axiale au valori extreme
este
1205721 =1
2∙ 119886119903119888119905119886119899 (minus
2 ∙ 119868119911119910
119868119911 minus 119868119910) (437)
Poziţia celeilalte direcţii este perpendiculară pe cea dată de unghiul 1205721
Din relaţia (437) se constată că faţă de aceste direcţii rotite pentru care momentele
de inerţie axiale prezintă valori extreme momentul de inerţie centrifugal 11986811991111199101este nul
Atunci se poate afirma că momentele de inerţie axiale au valori extreme icircn raport cu
direcţiile faţă de care momentul de inerţie centrifugal este nul Aceste direcţii se numesc
direcţii principale iar momentele de inerţie faţă de aceste direcţii poartă numele de
momente de inerţie principale
Icircn calculele de rezistenţă interesează icircn mod special poziţia direcţiilor principale
care trec prin centrul de greutate al suprafeţei aşa numitele direcţii principale centrale şi
evident momentele de inerţie principale centrale
Direcţiile principale de inerţie se notează cu 1 respectiv 2 Axa principală 1
corespunde direcţiei faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea maximă iar
axa principală 2 pentru direcţia faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea
minimă
472 Momente de inerţie principale
Momentele de inerţie principale se notează cu litera 119868 la care se pune indicele 1
sau 2 după cum valoarea acestuia este maximă sau minimă deci avem un moment de
inerţie principal 1 (notat 1198681) respectiv moment de inerţie principal 2 (notat 1198682)
Expresiile pentru momentele de inerţie principale sunt
11986812 =119868119911 + 119868119910
2plusmn1
2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)
2+ 4 ∙ (119868119911119910)
2 (438)
Dacă momentul de inerţie centrifugal este negativ (119868119911119910 lt 0) direcţia principală
care trece prin primul cadran (definit de sistemul 119911119862119910) este direcţia principală 120783
Pentru suprafeţele cu cel puţin o axă de simetrie direcţiile centrale 119862119911 119862119910 sunt şi
direcții principale de inerţie și evident momentele de inerţie axiale 119868119911 119868119910 sunt momente
de inerţie principale
48 Caracteristici mecanice ale metalelor
Alegerea materialului pentru confecţionarea unei anumite piese se face şi pe baza
aşa numitelor caracteristici mecanice pe care le prezintă materialul Cunoaşterea acestor
caracteristici mecanice are loc numai pe baza unor icircncercări mecanice care să scoată icircn
evidenţă comportarea materialului icircn condiţii de solicitare
Cea mai utilizată icircncercare icircn urma căreia se pun icircn evidenţă caracteristicile
mecanice ale unui material este icircncercarea la tracţiune
481 Icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general
Icircncercarea la tracţiune a oţelului ca de altfel toate icircncercările de materiale este
standardizată
Icircn cele ce urmează se va prezenta numai partea care interesează strict din punct
de vedere al caracteristicilor mecanice ale oţelului
Epruveta de diametru iniţial 1198890 pentru icircncercarea la tracţiune are o porţiune de
lungime 1198710 numită baza de măsurare pe care se măsoară lungirea acesteia sub acţiunea
solicitării
Icircn funcţie de raportul dintre baza de măsurare 1198710 şi diametrul iniţial 1198890 epruvetele
utilizate pentru icircncercări sunt
epruvete normale (scurte) cacircnd 11987101198890 = 5
epruvete lungi cacircnd 11987101198890 = 10
Icircn timpul icircncercării la diferite valori ale forţei 119865 se măsoară lungirea bazei de
măsurare
∆119871 = 120575 = 119871 minus 1198710 (439)
unde
119871 este dimensiunea bazei de măsurare la un moment dat
Curba forţă-lungire (119865 minus ) icircnregistrată icircn urma icircncercării reprezintă curba
caracteristică la tracţiune
La icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general diagrama caracteristică care se
obţine are forma din figura 48
Curba caracteristică la tracţiune depinde de lungimea bazei de măsurare Pentru
icircnlăturarea acestui neajuns curba caracteristică se reprezintă icircn coordonate şi definite
astfel
120590 =119865
1198600 휀 =
120575
1198710 (440)
unde
1198600 este aria iniţială a secţiunii transversale a epruvetei (icircnainte de solicitare) icircn
zona bazei de măsurare
1198600 =120587 ∙ 1198890
2
4
Deoarece mărimile icircn care se reprezintă curba caracteristică la tracţiune sunt
raportate la aria iniţială a secţiunii transversale (mărimi specifice) curba poartă numele
de curbă caracteristică convenţională la tracţiune
Fig 48 Curba caracteristică convenţională la tracțiune
Pe curba caracteristică convenţională la tracţiune figura 48 se pot stabili o serie
de puncte cărora le corespund mai multe mărimi importante
Ordonata punctului A pacircnă unde curba caracteristică convenţională este linie
dreaptă se numeşte limita de proporţionalitate a materialului 120590119901(1205901) Porţiunea 119874119860 este
zona de proporţionalitate a curbei caracteristice pe acest domeniu este valabilă legea lui
Hooke care exprimă o proporţionalitate icircntre tensiune şi deformaţie specifică
120590 = 119864 ∙ 휀 (441)
unde
119864 = reprezintă panta porţiunii liniare a curbei convenționale caracteristice
la tracțiune Caracteristica de material 119864 se numeşte modul de elasticitate longitudinal
(modulul lui Young)
Ordonata punctului 119861 pacircnă unde materialul se comportă perfect elastic adică
după descărcare icircşi recapătă dimensiunea iniţială 1198710 se numeşte limita de elasticitate
120590119890(119877119890) Icircn realitate nici un material nu are comportare perfect elastică sub acţiunea
solicitărilor el capătă deformaţii permanente (remanente plastice)
După punctul 119861 urmează o porţiune 119861119862119863 icircn care cu toate că icircncărcarea
continuă forţa nu mai creşte avacircnd mici oscilaţii icircn jurul unei valori Se spune că icircn
această porţiune materialul curge iar intervalul 119861119862119863 este un palier de curgere Tensiunea
corespunzătoare palierului de curgere se numeşte limită de curgere aparentă 120590119888(119877119888) Limita de curgere aparentă se calculează cu relaţia
120590119888 =1198651198881198600 (442)
unde
119865119888 reprezintă valoarea forţei icircnregistrată icircn momentul curgerii materialului
După punctul 119863 curba caracteristică are un traseu ascendent pacircnă icircn punctul 119864
Porţiunea 119863119864 este numită zonă de icircntărire (ecruisare) Icircn zona de ecruisare unde se
produc deformaţii plastice semnificative legea lui Hooke nu mai este valabilă La
descărcare relaţia dintre tensiunea şi deformaţia specifică este liniară paralelă cu
porţiunea liniară a curbei caracteristice (dreapta 119872119873)
Deformaţia totală (휀119905) are două componente una elastică (휀119890) şi una plastică (휀119901)
Ordonata punctului 119864 reprezintă rezistenţa de rupere 120590119903(119877119898) a materialului
care se poate calcula cu relaţia
120590119903 = 119877119898 =1198651198981198861199091198600
(443)
unde
119865119898119886119909 reprezintă valoarea maximă a forţei icircnregistrată icircn timpul icircncercării
La atingerea valorii 119865119898119886119909 (punctul 119864) icircntr-un anumit loc al epruvetei secţiunea
icircncepe să se micşoreze (se produce gacirctuirea) continuacircnd pacircnă cacircnd se produce ruperea
totală (punctul 119865)
Dacă după ruperea epruvetei cele două părţi rezultate se aşează cap la cap şi se
măsoară dimensiunea bazei de măsurare 119871119906 (lungimea ultimă) se determină alungirea la
rupere sau lungirea specifică la rupere 휀119903
휀119903 =119871119906 minus 11987101198710
=∆119871
1198710=120575
1198710 (444)
De obicei alungirea se exprimă icircn procente şi se notează cu 119860119899 unde 119899 reprezintă
numărul dat de raportul 11987101198890 (epruvete normale 119899 = 5 epruvete lungi 119899 = 10)
119860119899 =119871119906 minus 11987101198710
∙ 100 [] (445)
Altă mărime care se determină la icircncercarea la tracţiune este gacirctuirea la rupere
(exprimată de obicei icircn procente) şi definită de relaţia
119885 =1198600 minus 1198601199061198600
∙ 100 [] (446)
Mărimile determinate limita de proporţionalitate modulul de elasticitate
longitudinal limita de elasticitate limita de curgere aparentă rezistenţa de rupere
alungirea la rupere şi gacirctuirea la rupere sunt cunoscute ca fiind caracteristici mecanice
ale materialului
Din curba caracteristică convenţională observăm faptul că ruperea (punctul 119865 din
figura 48 se produce la o tensiune mai mică decacirct cea corespunzătoare punctului 119864 Dacă
icircnsă forţa din timpul icircncercării s-ar raporta la aria secţiunii din momentul icircnregistrării
forţei (care este mai mică decacirct cea iniţială 1198600) s-ar obţine aşa numita curbă
caracteristică reală a materialului (traseul 1198741198601198611198621198631198651 din figura 48) La curba
caracteristică reală ruperea se produce icircn punctul 1198651 la o icircncărcare mai mare decacirct cea
corespunzătoare punctului 119864 Icircnseamnă că rezistenţa reală la rupere este mai mare decacirct
rezistenţa la rupere dată de punctul 119864 din diagrama caracteristică convenţională
Dificultatea obţinerii diagramei caracteristice reale faţă de cea a diagramei caracteristice
convenţionale şi considerarea unei rezistenţe la rupere mai mică decacirct a celei reale face
icircn practică utilizarea pe scară mare a diagramei caracteristice convenţionale
Caracteristicile mecanice determinate pe baza curbei caracteristice convenţionale
sunt şi ele caracteristici mecanice convenţionale
Caracteristicile mecanice convenţionale limita de proporţionalitate convenţională
120590119901 limita de elasticitate convenţională 120590119890 limita de curgere convenţională 120590119888 şi rezistenţa
de rupere 120590119903 constituie tensiuni limită pentru un material Pe baza acestor caracteristici
de material se alege valoarea tensiunii admisibile 120590119886 (vezi paragraful 35) pentru
calculele de rezistenţă Cea mai utilizată stare limită pentru stabilirea tensiunii admisibile
120590119886 este limita de curgere convenţională 120590119888
120590119886 =120590119897119894119898119888
=120590119888119888 119904119886119906 120590119886 =
120590119903119888 (447)
Caracteristicile mecanice ale materialului sunt influenţate de o serie de factori
temperatura viteza de solicitare factorii tehnologici iar valorile lor sunt date icircn tabele și
diagrame
Aplicaţie Pentru suprafaţa plană compusă din două dreptunghiuri avacircnd
dimensiunile din figura 49a să se calculeze
a) centrul de greutate al secțiunii compuse 119910119866 119911119866
b) momentele de inerție axiale 119868119911 119868119910 și momentul de inerție centrifugal 119868119911119910
c) razele de inerție 119894119911 119894119910
d) modulele de rezistență 119882119911119898119894119899 119882119911119898119886119909 119882119910119898119894119899 119882119910119898119886119909
e) momentele de inerție principale 1198681 1198682 și direcțiile principale de inerție 1205721
f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 119878119911
Fig 49 Aplicație
Rezolvare Pentru rezolvare vom parcurge următoarele etape
icircmpărțim suprafața compusă icircn două suprafețe simple (dreptunghiuri) notate cu
① și respectiv ② figura 49b
poziționăm centrele de greutate a celor două suprafețe simple ① și respectiv ②
notate cu 1198661 și respectiv 1198662 figura 49c
poziționăm sistemele de axe de coordonate 119911111986611199101 pentru dreptunghiul ① și
119911211986621199102 pentru dreptunghiul ② aflate la intersecția diagonalelor figura 49c
poziționăm sistemele de axe de coordonate 11991101198741199100 ales arbitrar față de care
determinăm poziția centrului de greutate 119866 figura 49c
a) calculăm poziția centrului de greutate folosind relațiile (46) icircn care
1198601 = 6119905 ∙ 119905 = 61199052 1198602 = 4119905 ∙ 119905 = 41199052 119860 = 1198601 + 1198602 = 61199052 + 41199052 = 101199052
iar centrele de greutate 1198661 și respectiv 1198662 au coordonatele (față de sistemul 11991101198741199100)
1198661 1199101 = 3119905 1199111 = 05119905
1198662 1199102 = 051199051199112 = 3119905
cu acestea obținem
119910119866 =1198601 ∙ 1199101 + 1198602 ∙ 1199102
119860=61199052 ∙ 3119905 + 41199052 ∙ 05119905
101199052=201199053
101199052= 2119905
119911119866 =1198601 ∙ 1199111 + 1198602 ∙ 1199112
119860=61199052 ∙ 05119905 + 41199052 ∙ 3119905
101199052=151199053
101199052= 15119905
Poziționăm centrul de greutate 119866 al suprafeței compuse figura 49c
Fig 49 Aplicație
b) pentru determinarea momentelor de inerție axiale 119868119911 119868119910 și a momentului de
inerție centrifugal 119868119910119911 determinăm constantele 1198881 1198882 1198891 1198892 care intervin icircn relația lui
Stainer
1198881 = 1199101 minus 119910119866 = 3119905 minus 2119905 = 119905 1198882 = minus(119910119866 minus 1199102) = minus(2119905 minus 05119905) = minus15119905
1198891 = minus(119911119866 minus 1199111) = minus(15119905 minus 05119905) = minus119905 1198892 = 1199112 minus 119911119892 = 3119905 minus 15119905 = 15119905
Folosind relațiile lui Stainer (429) (430) și (431) calculăm momentele de
inerție axiale și centrifugale față de sistemul central 119911119866119866119910119866
119868119911 =sum(119868119911119894 + 1198881198942 ∙ 119860119894) = 1198681199111 + 1198881
2 ∙ 1198601 + 1198681199112 + 11988822 ∙ 1198602
119868119910 =sum(119868119910119894 + 1198891198942 ∙ 119860119894) = 1198681199101 + 1198891
2 ∙ 1198601 + 1198681199102 + 11988922 ∙ 1198602
119868119911119910 =sum(119868119911119894119910119894 + 119888119894 ∙ 119889119894 ∙ 119860119894) = 11986811991111199101 + 1198881 ∙ 1198891 ∙ 1198601 + 11986811991121199102 + 1198882 ∙ 1198892 ∙ 1198602
1198681199111 = (119887 ∙ ℎ3
12) =
119905 ∙ (6119905)3
12= 181199054 1198681199112 = (
119887 ∙ ℎ3
12) =
4119905 ∙ 1199053
12= 031199054
1198681199101 = (1198873 ∙ ℎ
12) =
1199053 ∙ 6119905
12= 051199054 1198681199102 = (
1198873 ∙ ℎ
12) =
(4119905)3 ∙ 119905
12= 531199054
11986811991111199101 = 11986811991121199102 = 0 deoarece cele două triunghiuri au cel puțin o axă de simetrie
Cu acestea momentele de inerție axiale și momentul de inerție centrifugal devin
119868119911 = 181199054 + 1199052 ∙ 61199052 + 031199054 + (minus15119905)2 ∙ 41199052 = 3331199054
119868119910 = 051199054 + (minus119905)2 ∙ 61199052 + 531199054 + (15119905)2 ∙ 41199052 = 2081199054
119868119911119910 = 0 + 119905 ∙ (minus119905) ∙ 61199052 + 0 + (minus15119905) ∙ (15119905) ∙ 41199052 = minus151199054
c) razele de inerție sau de girație față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910
se calculează cu relațiile (411)
119894119911 = radic119868119911119860= radic
3331199054
101199052= 182119905 119894119910 = radic
119868119910
119860= radic
2081199054
101199052= 144119905
d) modulele de rezistență față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910 se
calculează cu relațiile (412) și (413)
Avacircnd icircn vedere figura 419c obținem
119910119898119886119909 = 6119905 minus 119910119866 = 6119905 minus 2119905 = 4119905 119910119898119894119899 = minus119910119866 = minus2119905
119911119898119886119909 = 5119905 minus 119911119866 = 5119905 minus 15119905 = 35119905 119911119898119894119899 = minus119911119866 = minus15119905
Se obține astfel
119882119911119898119894119899 =119868119911
|119910119898119886119909|=3331199054
4119905= 8331199053
119882119911119898119886119909 =119868119911
|119910119898119894119899|=3331199054
2119905= 16651199053
119882119910119898119894119899 =119868119910
|119911119898119886119909|=2081199054
35119905= 5941199053
119882119910119898119886119909 =119868119910
|119911119898119894119899|=2081199054
15119905= 13871199053
e) momentele de inerție principale 1198681 și respectiv 1198682 se calculează cu relațiile
(438)
11986812 =119868119911 + 119868119910
2plusmn1
2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)
2+ 4 ∙ (119868119911119910)
2=
=3331199054 + 2081199054
2plusmn1
2∙ radic(3331199054 minus 2081199054)2 + 4 ∙ (minus151199054)2 = 27051199054 plusmn 16251199054
De unde obținem
1198681 = 27051199054 + 16251199054 = 4331199054
1198682 = 27051199054 minus 16251199054 = 1081199054
Prima direcție principală de inerție 1 face cu axa centrală 119866119911 unghiul 1205721 dat de
relația (437)
1205721 =1
2∙ arctan (minus
2 ∙ 119868119911119910
119868119911 minus 119868119910) =
1
2∙ arctan [minus
2 ∙ (minus151199054)
3331199054 minus 2081199054] =33 70
Deoarece 1205721 gt 0 rotirea axelor se face acircn sens antiorar acelor de ceasornic figura
49d
Poziția axe principale 2 față de care momentul de inerție are valoarea minimă
1198682 = 119868119898119894119899 este dată de unghiul
1205722 = 1205721 + 900 = 33 70 + 900 = 123 70
f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 se determină cu relația
(45)
1198781199111198602 = 1198602 ∙ 1198882 = 41199052 ∙ (minus15119905) = minus61199053
119894119889 = minus119890119889
119894119889 = minus119890119889
119894119904 = minus119890119889
119894119904 = minus119890119904 (22)
Combinacircnd (21) cu (22) rezultă
119894119889 = 119890119889
119894119889 = 119890119889
119894119904 = 119890119904
119894119904 = 119890119904 (23)
Fig 210 Forțe interioare
Relațiile (22) și (23) permit determinarea componentelor torsorului de reducere
al forțelor interioare din (23) rezultă componentele torsorului forțelor interioare care
acționează icircn secțiunea Ad sunt egale cu componentele torsorului de reducere al forțelor
exterioare de pe partea din stacircnga din (22) rezultă componentele torsorului forțelor
interioare care acționează icircn secțiunea Ad sunt egale și de sens contrar cu componentele
torsorului de reducere al forțelor exterioare de pe partea din dreapta
Observații
1 Torsorul forțelor interioare diferă de la o secțiune la alta dar pentru aceeași
secțiune el este unic și trebuie să respecte condițiile de compatibilitate a deformațiilor
2 Reducacircnd forțele interioare icircn centrul de greutate al secțiunii s-a făcut o
aproximare icircn ceea ce privește efectul modului de dispunere al forțelor
3 Punctul de reducere trebuie să fie
pentru forțele interioare normale la secțiune centrul de greutate
pentru forțele interioare tangente la planul secțiunii centrul de răsucire sau de
tăiere
243 Eforturi
Prin metoda secțiunilor am pus icircn evidență existența forțelor interioare și modul
icircn care se determină componentele torsorului de reducere al forțelor interioare (119894119889 119894119889) de pe fața din dreapta secțiunii (Ad) Cele două componente ale torsorului de reducere al
forțelor interioare de pe Ad se pot descompune după axele unui sistem de referință
triortogonal xCyz astfel
119894119889 = +
119894119889 = 119909 +119872119894 (24)
unde și 119909 sunt proiecțiile lui 119894119889 și respectiv 119894119889 pe axa longitudinală Cx a
barei iar și 119894 sunt proiecțiile acelorași componente 119894119889 și respectiv 119894119889 pe planul yCz
al secțiunii transversale Ad figura 211
Fig 211 Torsorul de reducere al forţelor interioare
La racircndul lor și 119894 se pot descompune după axele sistemului yCz figura 212
= 119910 + 119911
119894 = 119894119910 + 119894119911 (25)
Fig 212 Descompunerea forţei tăietoare şi a momentului icircncovoietor
Cele șase componente ale torsorului de reducere al forțelor interioare ( 119910 119911
119909 119894119910 119894119911) orientate după axele sistemului de referință xCyz se numesc eforturi
Fiecare efort are o denumire stabilită icircn funcție de tipul de deformație pe care-l produce
De asemenea semnul plus (bdquo+rdquo) sau minus (bdquondashrdquo) al fiecărui efort nu depinde de sensul
pozitiv sau negativ al sistemului de axe ci doar de efectul icircn deformații al fiecărui efort
Denumirile celor șase eforturi sunt
119873 este forța axială
119879119910 119879119911 sunt forțe tăietoare orientate după axele Cy și respectiv Cz
119872119909 notat de cele mai multe ori cu 119872119905 este moment de torsiune sau de răsucire
119872119894119911 119872119894119910 sunt momente de icircncovoiere icircn jurul axei Cz și respectiv Cy
Forța axială 119873 poate fi forță axială de icircntindere cacircnd produce o lungire a
tronsonului pe a cărei față acționează (119873 gt 0) figura 213a sau forță axială de
compresiune cacircnd sub efectul ei bara se scurtează (119873 lt 0) figura 213b
Fig 213 Forța axială
Forțele tăietoare 119879119910 și 119879119911 au ca efect lunecarea secțiunii icircn centrul căreia
acționează icircn raport cu secțiunea icircnvecinată lunecare ce se produce pe direcția și icircn sensul
forței Sub acțiunea unei forțe tăietoare bara este solicitată la forfecare Forța tăietoare
este pozitivă 119879119910 gt 0 dacă icircn raport cu un punct oarecare K de pe axa Cx a barei tinde să
rotească secțiunea pe care acționează icircn sens orar
Fig 214 Forța tăietoare
Momentele de icircncovoiere 119872119894119911 și 119872119894119910 au ca efect o rotire a secțiunii icircn centrul
cărora acționează icircn jurul axei după care sunt orientate Icircn figura 215a se vede că
datorită momentului 119872119894119911 fibrele de deasupra axei Cz se alungesc icircn timp ce fibrele de sub
axa Cz se scurtează Fibrele care trec prin axa de icircncovoiere Cz nu se deformează sunt
fibre neutre la icircncovoiere adică axa neutră este Cz Icircn cazul momentului de icircncovoiere
119872119894119910 fibrele care nu se deformează sunt cele care trec prin axa neutră la icircncovoiere Cy
Momentele de icircncovoiere se consideră a fi pozitive (119872119894119911 gt 0119872119894119910 gt 0) dacă
observatorul care privește bara deformată vizualizează fibrele icircntinse
Fig 215 Momentul icircncovoietor
Momentul de torsiune sau de răsucire 119872119909 equiv 119872119905 are ca efect o rotire a secțiunii
icircn al cărei centru acționează icircn jurul axei longitudinale Cx Ca efect secțiunea icircși schimbă
forma (se deformează) adică unghiurile inițiale se modifică dreptunghiul inițial Ad
devine paralelogram Convențional se consideră 119872119905 gt 0 dacă vectorul moment are
aceeași orientare ca și sensul pozitiv ales pextru axa Cx Icircn figura 216 momentul este
negativ
Fig 216 Momentul de torsiune
25 Definiții și convenții de semne pentru eforturile
din secțiunile unei bare drepte plane icircncărcate cu sarcini coplanare
Vom considera o bară plană icircncărcată cu un sistem de forțe arbitrar figura 217
Ne propunem să determinăm eforturile care apar icircn secțiunea barei aflată la distanța 119909 de
reazemul din stacircnga (A)
Pentru aceasta vom aplica metoda secțiunilor vom secționa bara cu un plan
perpendicular pe axa longitudinală a barei și vom analiza doar partea din dreapta secțiunii
mărginită de fața Ad Pentru ca această porțiune de bară să fie icircn echilibru sub acțiunea
forțelor exterioare care acționează asupra sa 1198653 și 119881119861 va trebui să introducem icircn centrul
secțiunii Ad eforturile care pot să apară 119873 119879119910 119872119894119911 Acțiunea acestor eforturi trebuie să
fie echivalentă cu acțiunea forțelor exterioare aplicate pe partea icircnlăturată (parcursă) a
barei 119867119860 119881119860 1198651 1198652 1198720
Deoarece bara este plană și este icircncărcată doar cu sarcini ce aparțin
planului barei
icircn secțiunea Ad apar doar 3 componente ale torsorului de reducere al forțelor
interioare (eforturi)
- 119873 = forța axială
- 119879119910 = forța tăietoare pe care o vom nota cu 119879
- 119872119894119911 = momentul icircncovoietor notat cu Mi
Fig 217 Bară plană icircncărcată cu un sistem de forțe
Vom prezenta următoarele definiții corespunzătoare eforturilor din secțiunea Ad
119873 = forța axială dintr-o secțiune este egală cu suma algebrică a proiecțiilor pe
axa longitudinală a tuturor forțelor exterioare (sarcini și reacțiuni) aplicate pe partea
din stacircnga secțiunii adică pe porțiunea parcursă Forța axială 119873 este pozitivă dacă trage
de tronsonul pe a cărei față acționează (are orientarea normalei exterioare la secțiunea
Ad)
119873(119909) = minus119867119860 + 1198651119867 (26)
119879 = forța tăietoare icircntr-o secțiune este egală cu suma algebrică a proiecțiilor
pe o axă perpendiculară pe axa barei a tuturor forțelor exterioare (sarcini și reacțiuni)
aplicate pe porțiunea de bară aflată icircn stacircnga secțiunii considerate Forța tăietoare 119879
este pozitivă dacă tinde să rotească tronsonul pe a cărui față acționează icircn sens orar icircn
raport cu un punct de pe axa barei aflat la dreapta secțiunii
119879(119909) = 119881119860 minus 1198651119881 minus 1198652 (27)
119872119894 = momentul icircncovoietor icircntr-o secțiune este egal cu suma algebrică a
momentelor obținute prin reducerea tuturor forțelor exterioare ( cupluri sarcini
reacțiuni) aplicate pe porțiunea de bară aflată la stacircnga secțiunii icircn centrul secțiunii
considerate 119872119894 este considerat pozitiv dacă tinde să deformeze bara astfel icircncacirct fibrele
spre care privește un observator să fie icircntinse Cum poziția observatorului este de regulă
sub bară bara se deformează dacă 119872119894 gt 0 astfel icircncacirct partea jos a barei este icircntinsă Se
spune că bara deformată rdquoține apaldquo
119872119894(119909) = 119881119860 ∙ 119909 minus 1198651119881 ∙ (119909 minus 1198971) minus 1198652 ∙ [119909 minus (1198971 + 1198972)] + 1198720 (28)
Sensurile pozitive ale eforturilor care apar icircn centrul secțiunii Ad (deci atunci cacircnd
sensul de parcurs la aplicarea metodei secțiunilor este cel de la stacircnga la dreapta) sunt
indicate icircn figura 218a iar dacă sensul de parcurs este de la dreapta la stacircnga sensurile
pozitive ale eforturilor sunt indicate icircn figura 218b
Fig 218 Convenţia de semne
Definiții asemănătoare se pot da și pentru eforturile din centrul secțiunii As figura
218b adică pentru cazul icircn care sensul de parcurs este cel de la dreapta la stacircnga și deci
partea luată icircn considerare este cea din stacircnga iar partea parcursă din dreapta secțiunii
este icircnlăturată
119873(1199091) = 1198653119867
119879(1199091) = 1198653119881 minus 119881119861
119872119894(1199091) = 119881119861 ∙ 1199091 minus 1198653119881 ∙ (1199091 minus 1198975)
(29)
Avacircnd icircn vedere că fețele Ad și As aparțin aceleeași secțiuni este evident faptul că
eforturile 119873(119909) 119879(119909) și 119872119894(119909) sunt identice cu eforturile 119873(119961120783) 119879(119961120783) și respectiv
119872119894(119961120783) Icircn figura 218c se prezintă o sinteză a convențiilor de semne pozitive pentru cele
3 eforturi atacirct pentru sensul de parcurs de la stacircnga la dreapta (secțiunea Ad) cacirct și pentru
sensul invers (secțiunea As)
Semnele eforturilor sunt importante icircntrucacirct există materiale cu comportări diferite
la icircntindere față de compresiune iar o schimbare a semnului unui efort poate produce
erori grave icircn calcule Semnele eforturilor au fost stabilite icircn funcție de deformațiile
produse și nu depind de sensul axelor sistemului de coordonate
26 Relaţii diferenţiale icircntre eforturi şi sarcini
Pentru a vedea ce legătură există icircntre eforturi și sarcini vom considera o bară
dreaptă icircncărcată cu o sarcină distribuită după o lege oarecare figura 219a Din această
bară vom decupa prin dublă secționare un element de lungime infinit mică 119889119909 Deoarece
lungimea 119889119909 este foarte mică se poate considera sarcina 119901 uniform distribuită Icircn
secțiunile rezultate trebuie să introducem eforturile care pot apărea
- 119879 şi 119872119894 icircn centrul secțiunii din sticircnga eforturi pe care le considerăm pozitive
- 119879 + 119889119879 şi 119872119894 + 119889119872119894 icircn centrul secțiunii din dreapta elementului
Aceste eforturi au o variație mică (119889119879 şi 119889119872119894) față de secțiunea anterioară Spre
deosebire de cazul icircn care bara este secționată o singură dată icircn acest caz eforturile nu
pot fi determinate din cele 2 condiții de echilibru independente deoarece icircn ecuațiile de
echilibru apar 4 necunoscute 119879 119889119879119872119894 și 119889119872119894 deci că problema este dublu static
nedeterminată figura 219
Fig 219 Echivalența icircntre eforturi și sarcini
Ecuațiile de echilibru scrise pentru elementul din figura 219b conduc la stabilirea
unor relaţii foarte importante
(sum119865)119910= 0 hArr 119879 minus 119901 ∙ 119889119909 minus (119879 + 119889119879) = 0 rArr
119889119879
119889119909= minus119901 (210)
Relația (210) arată că derivata funcţiei forţei tăietoare icircn raport cu abscisa
secţiunii este egală cu sarcina distribuită normală la axa barei din acea secţiune luată
cu semn schimbat
Observații
dacă 119901 = 0 nu există sarcină distribuită atunci forța tăietoare T este constantă
icircnclinarea pantei diagramei forței 119879 este egală cu (ndash 119901) (sarcina distribuită cu
semn schimbat)
dacă 119901 = 119888119900119899119904119905 119879 variază liniar pe acel interval
Asemănător se deduce că derivata funcţiei forţei axiale icircn raport cu abscisa
secţiunii este egală cu sarcina distribuită axială din acea secţiune luată cu semn
schimbat adică
119889119873
119889119909= minus119901119867 (211)
Din condiția de echilibru suma de momente faţă de centrul de greutate al secţiunii
din dreapta
(sum119872)119862= 0 hArr 119872119894 minus (119872 + 119889119872119894) + 119879 ∙ 119889119909 minus 119901 ∙
(119889119909)2
2= 0 rArr
119889119872119894
119889119909= 119879 (212)
Relația (212) s-a obținut dupa reducerea termenilor și prin neglijarea infinitului
mic de ordinul 2
119901 ∙(119889119909)2
2
Relația (212) arată că derivata funcţiei moment icircncovoietor icircn raport cu abscisa
secţiunii este egală cu forţa tăietoare din acea secţiune
Observații
dacă 119879 = 0 momentul 119872119894 are un punct de extrem se obține o valoare maximă
pentru 119872119894119898119886119909 dacă forța tăietoare 119879 se anulează trecacircnd de la plus icircn stacircnga la minus icircn
dreapta secțiunii
dacă forța tăietoare este pozitivă pe un interval 119879 gt 0 atunci 119872119894 este crescătoare
pe acel interval
dacă forța tăietoare este negativă pe un interval 119879 lt 0 atunci 119872119894 este
descrescătoare pe acel interval
dacă pe un interval 119901 = 0 forța tăietoare este constantă 119879 = 119888119905 iar 119872119894 variază
liniar pe acel interval
dacă 119901 = 119888119900119899119904119905 119879 variază liniar pe acel interval iar 119872119894 variază parabolic pe
acel interval
Relaţiile diferenţiale sunt utile la reprezentarea corectă şi verificarea diagramelor
de eforturi astfel
pentru porţiunile de grindă pe care p = 0 eforturile N şi T sunt constante iar pe
porţiunile cu p = const eforturile N şi T variază liniar (relaţiile 211 şi 210)
dacă pe o porţiune T = const momentul icircncovoietor Miz variază liniar iar dacă
T variază liniar atunci momentul Miz variază parabolic (relaţia 212)
pe domeniile pe care T gt 0 funcţia Mi(x) este crescătoare iar icircn secţiunea icircn
care T = 0 (graficul funcţiei T intersectează axa x) momentul icircncovoietor are un punct
de extrem local (maxim sau minim relaţia 212)
Pentru rezolvarea problemelor referitoare la trasarea diagramelor de eforturi
pentru barele drepte solicitate de sisteme de forţe plane se parcurg următoarele etape
1) identificarea forţelor aplicate (date) şi pregătirea lor pentru calcule
(descompunerea forţelor concentrate pe direcţiile x şi y calculul rezultantelor forţelor
distribuite)
2) identificarea reazemelor şi introducerea reacţiunilor corespunzătoare (vezi
figurile 27divide29)
3) stabilirea ecuaţiilor de echilibru static calculul şi verificarea reacţiunilor Icircn
rezistența materialelor se folosește sistemul de ecuații (vezi figura 217)
(sum119865)
119909= 0
(sum119872)119860= 0
(sum119872)119861= 0
(213)
4) identificarea domeniilor de variaţie şi scrierea funcţiilor de eforturi pentru N T
şi Mi
5) reprezentarea grafică a diagramelor de eforturi
6) verificarea corectitudinii diagramelor pe baza relaţiilor diferenţiale icircntre eforturi
şi sarcini
Aplicație Pentru grinda dreaptă icircncărcată cu sistemul de forţe reprezentat icircn figura
220 se cere
a) să se calculeze şi să se verifice reacţiunile
b) să se stabilească funcţiile eforturilor Nx Ty şi Miz şi să se reprezinte diagramele
de variaţie
c) să se analizeze relaţiile diferenţiale icircntre eforturi şi sarcini
Dimensiunile grinzii au valorile a = 6 [m] b = 4 [m] și c = 4[m] sistemul de
forţe aplicat fiind format din p = 10 [kN mfrasl ] F = 20 [kN] (icircnclinată cu unghiul α =300 faţă de orizontală) şi M0 = 40 [kN ∙ m]
Rezolvare
a) Se fac următoarele precizări
grinda dreaptă se reprezintă prin axa geometrică
forţa icircnclinată F se descompune după direcţiile orizontală şi verticală icircn FV =F ∙ sin α = 10 [kN] şi FH = F ∙ cos α = 173 [kN]
forţa distribuită uniform p este echivalentă din punct de vedere static cu
rezultanta sa R = p ∙ a = 60 [kN] care acţionează la jumătatea porţiunii de lungime a
icircn reazemele 119860 şi 119861 se introduc componentele HA şi VA respectiv VB ale
reacţiunilor
Pentru calculul reacţiunilor se utilizează ecuaţiile de echilibru static al grinzii
sumXi = 0 HA minus FH = 0 sumYi = 0 VA + VB minus R minus FV = 0 (sumM)B = 0 VA ∙ (b + a) minus R ∙ (b + 05 ∙ a) minus M0 + FV ∙ c = 0
(A1)
Din prima ecuaţie se obţine HA iar din cea de-a treia ecuaţie rezultă VA
HA = FH = 173 [kN]
VA =[R ∙ (b + 05 ∙ a) + M0 minus FV ∙ c]
(b + a)=[60 ∙ (4 + 05 ∙ 6) + 40 minus 10 ∙ 4]
(4 + 6)
VA = 42 [kN]
(A2)
Fig 220 Aplicație
Se observă că cea de-a doua ecuaţie de echilibru conţine două necunoscute
reacţiunile VA şi VB Pentru a calcula componenta VB nu este indicată introducerea lui VA
icircn cea de-a doua ecuaţie a sistemului (A1) pentru că o valoare determinată greşit pentru
VA conduce la o valoare VB de asemenea greşită O ecuaţie independentă din care se poate
determina componenta VB este următoarea
(sumM)A= 0 FV ∙ (a + b + c) minus VB ∙ (a + b) minus M0 + R ∙ 05 ∙ a = 0 (A3)
de unde se obţine
VB =[FV ∙ (a + b + c) minusM0 + R ∙ 05 ∙ a]
(b + a)=[10 ∙ (6 + 4 + 4) minus 40 + 60 ∙ 05 ∙ 6]
(6 + 4)
VB = 28 [kN] (A4)
Ecuaţia de proiecţii ale forţelor pe direcţia verticală (a doua ecuaţie din sistemul
A1) se utilizează pentru verificarea reacţiunilor deja determinate
VA + VB minus R minus FV = 0 rArr 42 + 28 minus 60 minus 10 = 0 (A5)
Ultima egalitate demonstrează că reacţiunile verticale au fost calculate corect
Din cele de mai sus rezultă ordinea firească pentru determinarea reacţiunilor icircn
cazul grinzilor simplu rezemate
sumXi = 0
(sumM)A = 0
(sumM)B = 0
(A6)
iar pentru verificarea componentelor verticale VA şi VB se folosește ecuaţia sumY = 0
b) La stabilirea funcţiilor de eforturi se parcurg icircn general etapele următoare
se notează (numeric sau literal după preferinţă) secţiunile care delimitează
domeniile (intervalele sau tronsoanele) pe care eforturile nu-şi modifică funcţiile (au legi
unice de variaţie)
pe fiecare domeniu se marchează secţiunea imaginară icircn care se stabilesc
funcţiile eforturilor
secţiunea astfel aleasă separă icircn două părţi grinda şi anume porţiunea din stacircnga
şi porţiunea din dreapta secţiunii
se va considera parcursă (şi icircndepărtată) acea parte pe care acţionează mai puţine
sarcini exterioare pentru că acestea vor interveni icircn expresiile funcţiilor de eforturi
poziţiile secţiunilor imaginare se vor determina prin variabilele x1 ⋯ xn (unde
n reprezintă numărul domeniilor de variaţie) cu originea fixată icircn capătul intervalului şi
sensul de parcurgere spre partea considerată rămasă
Grinda prezentată icircn figura 220 are trei domenii de variaţie pentru funcţiile de
eforturi după cum urmează (A-1) (2-B) şi (B-1)
Domeniul (A-1) x1 isin [0 a = 6 m] Porţiunea parcursă şi considerată icircndepărtată este cea de coordonată x1 pe care
acţionează reacţiunile HA şi VA precum şi rezultanta parţială a sarcinii distribuite R1 =p ∙ x1
Funcţia forţă axială Nx are expresia
Nx(x1) = NAminus1 = minusHA = minus173 [kN] = const
(A7)
Funcţia forţă tăietoare Ty are exspresia
Ty(x1) = TAminus1 = VA minus R1 = VA minus p ∙ x1 (A8)
care reprezintă o variaţie liniară de variabilă x1 Se calculează valorile forţei tăietoare la
limitele intervalului de variaţie
- pentru x1 = 0 Ty(x1 = 0) = TA = VA = 42 [kN]
- pentru x1 = a = 6 [m] Ty(x1 = 6) = T1 = VA minus p ∙ a = minus18 [kN]
Observaţie Aşa cum a fost stabilită secţiunea fictivă poziţionată prin coordonata
x1 sar părea că rezultanta R ar trebui luată icircn calculul lui Ty(x1) Acest lucru ar fi greşit
pentru că R = p ∙ a reprezintă rezultanta sarcinii distribuite pe toată lungimea a iar
rezultanta pe porţiunea parcursă de lungime x1 este R1 = p ∙ x1 ne R = p ∙ a
Cu valorile obţinute se trasează diagramele forţelor axială Nx = f(x) şi tăietoare
Ty = f(x) figura 220 Din diagrama forţei tăietoare şi din valorile obţinute analitic se
observă că forţa tăietoare icircşi schimbă semnul pe intervalul analizat deci se anulează pe
acest interval Poziţia secţiunii unde Ty se anulează se determină din ecuaţia
Ty(x1) = 0 rArr VA minus p ∙ x1 = 0 (A9)
cu soluţia x1lowast = ξ = 42 [m] Important de reamintit că icircn această secţiune momentul
icircncovoietor va avea un extrem local adică Miz are un extrem la Ty = 0
Funcţia moment icircncovoietor Miz are expresia
Miz(x1) = VA ∙ x1 minus R1 ∙x12= VA ∙ x1 minus (p ∙ x1) ∙
x12
(A10)
Se observă că funcţia moment icircncovoietor de variabilă x1 are o variaţie parabolică
(gradul al II-lea) Pentru reprezentarea grafică a funcţiei parabolice se calculează valorile
momentului icircncovoietor icircn trei secţiuni
- pentru x1 = 0 Miz(x1 = 0) = MA = 0 [kN ∙ m] - pentru x1 = a = 6 [m] Miz(x1 = 6) = M1 = 72 [kN ∙ m] - pentru x1
lowast = ξ = 42 [m] Miz(x1lowast = ξ = 42 [m]) = Mimax = 882 [kN ∙ m]
Cu acestea se trasează diagrama Miz = f(x) pe intervalul (A-1) figura 220
Observaţie Icircn unele cazuri pe un anumit interval forţa tăietoare nu se anulează
şi momentul icircncovoietor nu are un extrem local Icircn acest caz pentru reprezentarea
variaţiei parabolice a momentului icircncovoietor se va studia semnul derivatei a doua a
funcţiei Miz = f(x1) acesta determinacircnd convexitatea curbei momentului icircncovoietor
Domeniul (2-B) x2 isin [0 c = 4 m] Porţiunile din grindă libere (nerezemate) la un capăt se numesc console iar
stabilirea funcţiilor de eforturi devine mai simplă dacă se consideră icircndepărtată partea din
dreapta secţiunii prin schimbarea sensului pozitiv al axei x Astfel se obţin funcţiile eforturilor
Funcţia forţă axială Nx are expresia
Nx(x2) = N2minusB = minusFH = minus173 [kN] = const
(A11)
Funcţia forţă tăietoare Ty are exspresia
Ty(x2) = T2minusB = FV = 10 [kN] = const (A12)
Funcţia moment icircncovoietor Miz are expresia
Miz(x2) = minusFV ∙ x2 rArr Miz(x2 = 0) = M2 = 0 [kN ∙ m]
Miz(x2 = 4) = MB = minus40 [kN ∙ m] (A13)
variaţie liniară (gradul I)
Domeniul (B-1) x3 isin [0 b = 4 m] Pe acest domeniu se acceptă parcurgerea grinzii de la dreapta adică se consideră
icircndepărtată partea din dreapta secţiunii fictive pentru că are doar două sarcini aplicate F
şi VB faţă de partea din stacircnga secţiunii pe care sunt aplicate trei sarcini p VA şi M0
Astfel se obţin funcţiile eforturilor
Funcţia forţă axială Nx are expresia
Nx(x3) = NBminus1 = minusFH = minus173 [kN] = const
(A14)
Funcţia forţă tăietoare Ty are exspresia
Ty(x3) = TBminus1 = FV minus VB = minus18 [kN] = const (A15)
Funcţia moment icircncovoietor Miz are expresia
Miz(x3) = minusFV ∙ (x3 + c) + VB ∙ x3 rArr
rArr Miz(x3 = 0) = MB = minus40 [kN ∙ m]
Miz(x3 = 4) = M1 = 32 [kN ∙ m]
(A16)
variaţie liniară (gradul I)
Diagramele eforturilor sunt prezentate icircn figura 220
c) Relaţiile diferenţiale dintre eforturi şi sarcini se analizează pe diagramele
eforturilor după cum urmează
sarcina distribuită nu are componentă orizontală adică ph = 0 şi icircn
conformitate cu formula (211) rezultă că Nx = const pe toată lungimea grinzii fapt care
a rezultat din funcţia şi reprezentarea diagramei forţei axiale
pe intervalul (A-1) sarcina distribuită are doar componenta verticală pozitivă
pV = p gt 0 prin urmare forţa tăietoare scade (are panta negativă dTy 119889119909frasl = minusp vezi
relaţia 210) iar momentul icircncovoietor avacircnd derivata a doua negativă d2M119894119911 1198891199092frasl =minuspare convexitatea curbei orientată spre sensul pozitiv al axei momentului Miz adică icircn
jos
pe domeniile (2-B) şi (B-1) deoarece pv = 0 forţa tăietoare Ty este constantă
iar momentul icircncovoietor Miz variază liniar
referitor la relaţia (212) pe porţiunile unde Ty gt 0 momentul Miz este
monoton crescător pe porţiunile unde Ty lt 0 momentul Miz este monoton descrescător
iar icircn secţiunea icircn care Ty = 0 momentul icircncovoietor are un extrem local Mξ =
882 [kN ∙ m] icircn diagrama forţei tăietoare discontinuităţile (salturile) se produc icircn secţiunile
unde acţionează VA VB şi FV iar icircn diagrama momentului icircncovoietor se produce un
singur salt icircn secţiunea icircn care este aplicat M0
se poate scrie
Mξ = suprafața diagramei Ty |ξ0=1
2∙ 42 ∙ 42 = 882 [kN ∙ m]
sau parcurgacircnd grinda de la dreapta la stacircnga rezultă
MB = minussuprafața diagramei Ty |c0= minus10 ∙ 4 = minus40 [kN ∙ m]
Toate aspectele analizate teoretic referitoare la relaţiile diferenţiale dintre eforturi
şi sarcini se regăsesc icircn diagramele de eforturi din figura 220 ceea ce icircnseamnă că
diagramele au fost reprezentate corect
3 TENSIUNI DEPLASĂRI ŞI DEFORMAŢII SPECIFICE
31 Tensiuni
Eforturile obținute icircn urma reducerii forțelor interioare icircn centrul de greutate al
secțiunii nu pot da informații asupra solicitării fiecărui punct al secțiunii respective Este
necesar să se cunoască modul cum se distribuie forțele interioare icircn fiecare punct al
secțiunii pentru a ști care este intensitatea maximă a solicitării Această intensitate
maximă se poate compara cu o valoare critică specifică materialului stabilindu-se astfel
dacă solicitarea este periculoasă sau nu
Mărimea care caracterizează solicitarea locală punctuală o vom denumi tensiune
și o vom defini icircn cele ce urmează Să considerăm partea din dreapta a unui corp solicitat
de forțele exterioare 1198651 1198652 și 1198653 obținută prin secționarea corpului și mărginită de fața
din dreapta Ad a secțiunii Pe secțiunea Ad vom considera un element de arie infinit mic
∆119860 caracterizat de normala la elementul de arie normală care are cosinușii directori
120573 și icircn raport cu un sistem de axe considerat fix Pe elementul infinit mic ∆119860 acționează
forțele interioare care au o rezultantă oarecare figura 31
Prin definiție tensiunea totală este
= lim∆119860rarr0
∆
∆119860 (31)
Tensiunea are aceeaşi direcţie cu forţa elementară ∆ iar mărimea ei este
determinată atacirct de mărimea forţei ∆ cacirct şi de orientarea suprafeţei ∆119860 faţă de direcţia
forţei
Tensiunea 119901 poate fi descompusă icircntr-o componentă orientată după direcţia
normalei la secţiune tensiunea normală notată cu 120590119909 şi o componentă icircn planul secţiunii
tensiunea tangenţială notată cu figura 32
= 119909 + 120591 (32)
Fig 31 Tensiunea totală Fig 32 Tensiunea normală și tangențială
La racircndul ei componenta tensiunii cuprinsă icircn planul secțiunii poate fi
descompusă după direcțiile axelor y și z
120591 = 120591119909119910 + 120591119909119911 (33)
Icircntre cele trei componente ale tensiunii totale care acționează pe elementul de arie
∆119860 este valabilă relația
1199012 = 1205901199092 + 120591119909119910
2 + 1205911199091199112 (34)
După sensul pe care icircl are tensiunea normală 120590 poate avea efect de tracţiune sau
de compresiune exercitat de către partea de corp icircnlăturată asupra părţii rămase Analog
tensiunea tangenţială 120591 poate avea efect de tăiere forfecare sau alunecare Pentru
componentele tensiunii tangențiale 120591119909119910 pe direcţia 119910 respectiv 120591119909119911 pe direcţia 119911 primul
indice indică axa pe care tensiunea este normală iar cel de-al doilea indice indică axa cu
care aceasta este paralel
Tensiunea este o mărime tensorială valoarea ei depinzacircnd atacirct de poziția
punctului icircn planul secțiunii cicirct și de orientarea planului de secționare deci de normala
Operaţiile vectoriale nu pot fi aplicate tensiunilor decacirct după ce acestea au fost icircnmulţite
cu ariile respective adică au fost transformate icircn forţe
Icircn literatura de specialitate mai ales icircn manualele mai vechi pentru noţiunea de
tensiune se mai foloseşte şi denumirea de efort specific
Dacă se consideră un alt element de arie ∆119860 cu centrul icircn același punct avacircnd ca
normală axa 119910 se vor obține alte tensiuni și anume
- 120590119910 este tensiunea normală (paralelă cu axa y)
- 120591119911119909 și 120591119910119911 sunt tensiuni tangențiale paralele cu axele 119909 și respectiv 119911 aflate icircn
planul care are ca normală axa 119910
Dacă icircn jurul unui punct dintr-un corp solicitat se consider un element de volum
infinit mic de forma unui cub icircn cazul cel mai general pe fețele sale vor acționa
tensiunile normale 120590119909 120590119910 și 120590119911 și respectiv tensiunile tangențiale 120591119909119910 120591119909119911 120591119910119909 120591119910119911 120591119911119909
și respectiv 120591119911119910 figura 33 Aceste tensiuni definesc starea de tensiune a punctului
observacircnd faptul că tensorul tensiune are 9 componente Dacă se consideră elementul
de volum finit ca fiind foarte mic se poate presupune că icircn interiorul său nu apar forțe
Ca urmare el va fi icircn echilibru sub acțiunea forțelor elementare produse de tensiunile de
pe fețele sale
Din condiția ca elementul să nu se rotească icircn jurul unor axe care trec prin centrul
său și sunt paralele cu axele sistemului 119909119874119910119911 rezultă
2 ∙ 120591119909119910 ∙ (119889119910 ∙ 119889119911) ∙119889119909
2= 2 ∙ 120591119910119909 ∙ (119889119909 ∙ 119889119911) ∙
119889119910
2 rArr 120591119909119910 = 120591119910119909 (35)
2 ∙ 120591119910119911 ∙ (119889119909 ∙ 119889119911) ∙119889119910
2= 2 ∙ 120591119911119910 ∙ (119889119909 ∙ 119889119910) ∙
119889119911
2 rArr 120591119910119911 = 120591119911119910 (36)
2 ∙ 120591119909119911 ∙ (119889119910 ∙ 119889119911) ∙119889119909
2= 2 ∙ 120591119911119909 ∙ (119889119909 ∙ 119889119910) ∙
119889119911
2 rArr 120591119909119911 = 120591119911119909 (37)
Relațiile (35divide37) 120591119909119910 = 120591119910119909 120591119910119911 = 120591119911119910 120591119909119911 = 120591119911119909 exprimă principiul dualității
tensiunilor tangențiale
Fig 33 Tensiunile normale și tangențiale pe fețele unui cub
Din condiția ca elementul considerat să nu se deplaseze icircn lungul axelor de
coordonate pe fețele opuse acționează aceleași tensiuni normale 120590119909 120590119910 și respectiv 120590119911
Definirea tensorului tensiune este posibilă dacă se cunosc cele 6 componente
independente ale acestuia aflate icircn trei plane perpendicular ce trec prin punctul respectiv
=
120590119909 120591119909119910 120591119909119911120591119910119909 120590119910 120591119910119911120591119911119909 120591119911119910 120590119911
Observaţii
Tensiunile se măsoară icircn [119873 1198982frasl ] (1119873 1198982frasl = 1 119875119886) sau icircn [119872119875119886]
(1 119872119875119886 = 106119875119886 = 106 119873
1198982 1 119872119875119886 = 1
119873
1198981198982)
Starea de tensiune dintr-un punct este considerată cunoscută dacă se cunosc
tensiunile 119901 care acționează pe infinitatea de elemente de suprafață ce trec prin punctual
considerat
Starea de tensiune a unui corp se consider cunoscută dacă se cunosc stările de
tensiune de pe infinitatea de puncte ale corpului considerat
32 Deplasări Deformaţii specifice
321 Deplasări
Aceste noțiuni sunt utile icircn analiza aspectului geometric al problemelor de rezistența
materialelor Deplasările care se analizează sunt cele datorate schimbării formei și
dimensiunilor corpurilor ca urmare a acțiunii forțelor exterioare și nu cele cinematice
posibile pentru solidul rigid care se poate deplasa cu anumită viteză și accelerație
Spre exemplu icircn figura 34a și figura 34b sub acțiunea forței 119865 tronsonul de
bară AB se deformează icircn timp ce tronsonul BC deși punctele sale au deplasări rămacircne
nedeformat (fiind nesolicitat) Toate punctele de pe axele barelor cu excepția celor din
icircncastrare (secțiunile A) au deplasări liniare De cele mai multe ori deformațiile barelor
datorate acțiunii forțelor exterioare se anulează la icircndepărtarea forțelor se spune că
deformațiile sunt elastice Secțiunile transversale ale barei din figura 34a se și rotesc icircn
raport cu pozițiile lor inițiale Spre exemplu secțiunea de căpăt cu centrul icircn C se rotește
cu unghiul
Fig 34 Deformațiile unei grinzi
Oricacirct de complexă ar fi delormația unui corp ea poate fi descrisă de lungiri sau
scurtări și de modificări ale unghiurilor inițiale
Deplasările măsoară schimbarea poziției unui punct al corpului și pot fi liniare
sau unghiulare
Prin deplasare liniară a unui punct se icircnțelege drumul parcurs de acest punct icircn
decursul procesului de deformație după o dreaptă suport dreapta 1198611198611 din figura 34a
Prin deplasare unghiulară se icircnțelege rotirea dintre segmentele de dreaptă
determinate de două puncte ale corpului icircnainte și după deformarea acestuia unghiul
pe care-l fac segmentele 119861119862 și 11986111198621 din figura 34a Această rotire se măsoară prin
unghiul pe care-l fac proiecțiile dreptelor ce conțin cele două segmente icircntr-un sistem
triortogonal
Icircn cazul cel mai general vectorul deplasare liniară se poate descompune icircntr-un
sistem triortogonal icircn trei componente 119906 119907 și 119908 figura 35
Fig 35 Deplasarea liniară
Se consideră acum un corp solid raportat la un sistem de axe ortogonal 119909119874119910119911
figura 35 după deformarea corpului un punct oarecare 119870 al acestuia se deplasează icircn
poziţia 1198701 vectorul 1198701198701 poartă numele de vectorul deplasării totale
Deplasarea totală este suma deplasărilor pe cele trei direcţii ortogonale iar
aceste deplasări se notează astfel
deplasarea pe direcţia 119909 cu ∥ 119874119909
deplasarea pe direcţia 119910 cu ∥ 119874119910
deplasarea pe direcţia 119911 cu ∥ 119874119911
Componentele deplasărilor și formeză matricea deplasărilor liniare 119906119907119908
322 Deformații
Prin deformație icircn general se icircnțelege orice schimbare de formă a unui corp fără
o evaluare cantitativă Icircn Rezistența Materialelor deformația măsoară variația
dimensiunilor geometrice ale corpului considerat din vecinătatea unui punct analog
deplasărilor deformațiile pot fi liniare și unghiulare (lunecări)
Fig 36 Deplasarea liniară
Deformația liniară ∆119897 reprezintă variația lungimii 119897 a unui element liniar al
corpului deformat figura 36 Deformația liniară specifică se definește ca fiind raportul
dintre deformația liniară și lungimea inițială
휀 =∆119897
119897 (38)
unde ∆119897 este lungirea sau scurtarea care este echivalentă cu deformția liniară totală iar
este alungirea
Deformația unghiulară sau lunecarea unui punct 119860 icircn planul 119861119860119862 se definește
prin relația figura 37
120574 = lim119861119860rarr0119862119860rarr0
(119861119860 minus 119861111986011198621 ) (39)
Fig 36 Deformația unghiulară
Schimbacircnd orientarea planului care trece prin 119860 se obțin alte deformații
unghiulare Dacă elementele liniare 119861119860 și 119862119860 sunt inițial perpendiculare deformația 120574 se
numește deformație unghiulară specifică sau lunecare specifică figura 37
Un exemplu de deplasare unghiulară și de deformație unghiulară este prezentat icircn
figura 38 Unghiul este deplasarea unghiulară și măsoară rotirea relativă dintre două
secțiuni aflate la distanța 119897 Unghiul este deformația specifică unghiulară (lunecarea
specifică) din punctul 119870 Aceste deplasări și deformații se obțin icircn urma solicitării barei
de către cele două momente 1198720 egale și de sens contrar
Fig 38 Deplasarea unghiulară
Pentru a analiza starea de deformație din vecinătatea unui punct al unui corp
solicitat complex se decupează din jurul punctului un element de volum mic figura 39a
avacircnd laturile 119889119909 119889119910 și 119889119911 Ca urmare a solicitării laturile acestuia se vor lungi sau
scurta Reprezentarea elementului deformat icircn spațiu este dificilă pentru simplificare
vom analiza doar deformațiile din planul 119909119874119910 Observăm că dimensiunile 119889119909 și 119889119910 s-au
modificat cu valoarea ∆119889119909 respectiv cu ∆119889119910 analog se acceptă și pentru 119889119911 o modificare
de forma ∆119889119911 Astfel se pot defini deformațiile specifice liniare
휀119909 =∆119889119909
119889119909 휀119910 =
∆119889119910
119889119910 휀119911 =
∆119889119911
119889119911 (310)
De cele mai multe ori aceste deformații specifice liniare se pot exprima procentual
și se mai numesc alungiri
Fig 39 Starea de deformație
Icircn figura 39c se vede că unghiul inițial drept dintre muchiile 119889119909 și 119889119910 ale
elementului de volum s-a modificat Se definește deformația specifică unghiulară (sau
lunecarea specifică) mărimea cu care se modifică unghiul inițial drept
120574119909119910 = 120574119909119910prime + 120574119910119909
prime = 120574119910119909120574119910119911 = 120574119910119911
prime + 120574119911119910prime = 120574119911119910
120574119911119909 = 120574119911119909prime + 120574119909119911
prime = 120574119909119911
(311)
Deformațiile 휀119909 휀119910 휀119911 120574119909119910 120574119910119911 120574119911119909 constituie cele șase componente
independente ale tensorului deformațiilor specifice care pot fi scrise de forma
119863 =
휀119909 120574119909119910 120574119909119911120574119910119909 휀119910 120574119910119911120574119911119909 120574119911119910 휀119911
(312)
323 Contracţia transversală
Practica arată că odată cu lungirea unei bare apare o micşorare a mărimii secţiunii
transversale mărime numită contracţie transversală figura 310
Fig 310 Contracția transversală
Contracţia transversală este proporţională cu lungirea specifică coeficientul de
proporţionalitate se notează cu 120599 şi se numeşte coeficient de contracţie transversală sau
coeficientul lui Poisson
La o lungire specifică a barei contracţia transversală este dată de relația
휀119905119903 = 휀119910 = 휀119911 = minus120599 ∙ 휀119909 (313)
Semnul minus bdquo-rdquo arată că cele două mărimi sunt contrare dacă una creşte cealaltă
scade şi invers
Considerăm o bară cilindrică de lungime 119897 şi aria secţiunii transversale 119860 solicitată
la icircntindere axială La un moment dat datorită solicitării lungimea barei devine
[119897 ∙ (1 + 휀)] diametrul devine [119889 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)] iar aria secţiunii transversale devine
[119860 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)2] Dacă volumul barei icircnainte de solicitare a fost (119860 ∙ 119897) după solicitare
acesta devine
119881 + ∆119881 = 119860 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)2 ∙ 119897 ∙ (1 + 휀) =
= 119860 ∙ 119897 ∙ (1 + 휀 minus 2 ∙ 120599 ∙ 휀 minus 2 ∙ 120599 ∙ 휀2 + 1205992 ∙ 휀2 + 1205992 ∙ 휀3) (314)
Deoarece lungirile sunt foarte mici ultimii trei termeni din paranteză fiind infinit mici se pot neglija obţinacircnd
119881 + ∆119881 = 119860 ∙ 119897 + 119860 ∙ 119897 ∙ 휀 ∙ (1 minus 2 ∙ 120599) ⟺ ∆119881 = 휀 ∙ (1 minus 2 ∙ 120599) ∙ 119860 ∙ 119897 (315)
Practica arătă că o astfel de bară solicitată la icircntindere icircşi măreşte volumul deci
∆119881 gt 0 de unde rezultă că
1 minus 2 ∙ 120599 gt 0 rArr 120599 lt 05 (316)
Pentru majoritatea materialelor 120599 = 033 iar pentru materialele care-şi păstrează
volumul constant 120599 = 05
33 Relaţii de echivalenţă icircntre eforturi şi tensiuni
Considerăm un element de suprafață infinit mic 119889119860 situat pe fața de arie (119860) a
secțiunii barei din figura 311 Icircn centrul de greutate 119862 al secțiunii acționează eforturile
119873 119879119910 119879119911 119872119909 119872119894119910 și 119872119894119911 determinate prin metoda secțiunilor
Icircn raport cu un sistem de axe de referință 119909119862119910119911 coordonatele elementului 119889119860 sunt
- 119910 este ordonata elementului de arie 119889119860
- 119911 este abscisa elementului de arie 119889119860
Pe elementul de arie 119889119860 acționează tensiunile
120590119909 tensiunea normală
120591119909119910 și 120591119909119911 tensiuni tangențiale
Dacă se icircnsumează forțele elementare de tipul 120590119909 ∙ 119889119860 120591119909119910 ∙ 119889119860 și 120591119909119911 ∙ 119889119860
va trebui să obținem eforturile 119873 119879119910 și 119879119911
Fig 311 Element de suprafață mic din secțiunea unei bare
Dacă eforturile sunt privite ca forțe exterioare și se scriu ecuațiile de
echilibru ale secțiunii (119860) se vor obține șase relații de echivalență icircntre eforturi și
tensiuni
(sum119883) = 0 rArr int 120590119909 ∙ 119889119860
119860
= 119873 (317)
(sum119884) = 0 rArr int 120591119909119910 ∙ 119889119860
119860
= 119879119910 (318)
(sum119885) = 0 rArr int 120591119909119911 ∙ 119889119860
119860
= 119879119911 (319)
(sum119872)119909= 0 rArr int(120591119909119911 ∙ 119889119860) ∙ 119910
119860
minus int(120591119909119910 ∙ 119889119860) ∙ 119911
119860
= 119872119909 rArr
rArr int(119910 ∙ 120591119909119911 minus 119911 ∙ 120591119909119910) ∙ 119889119860
119860
= 119872119909
(320)
(sum119872)119910= 0 rArr int(120590119909 ∙ 119889119860) ∙ 119911
119860
= 119872119894119910 (321)
(sum119872)119911= 0 rArr int(120590119909 ∙ 119889119860) ∙ 119910
119860
= 119872119894119911 (322)
Cele șase relații de echivalență icircntre eforturi și tensiuni constituie un pas icircnainte
icircn rezolvarea unei probleme de rezistența materialelor Aceste relații vor permite
determinarea tensiunilor maxime
Pentru a rezolva cele 6 relații de echivalență trebuie să se cunoască tensiunile și
ca funcții de punct adică funcții de forma
120590119909 = 120590119909(119909 119910 119911) 120591119909119910 = 120591119909119910(119909 119910 119911) 120591119909119911 = 120591119909119911(119909 119910 119911) (32
3)
Cunoașterea acestor funcții presupune icircnsă analizarea aspectului geometric al
problemei precum și utilizarea unor ipoteze simplificatoare care să permită simplificarea
problemelor
34 Ipoteze de bază icircn rezistenţa materialelor
Depășirea dificultăților legate de interpretarea unor fenomene specifice mecanicii
solidului deformabil a impus acceptarea unor ipoteze care să simplifice fenomenele și să
contribuie la elaborarea unor modele de calcul cicirct mai generale și cacirct mai simple Aceste
ipoteze se referă la structura materialelor şi la comportarea lor sub acţiunea forţelor
exterioare Ipotezele acceptate trebuie să fie icircn deplină concordanţă cu realitatea și să
conducă la rezultate verificate icircn practică
Funcție de aspectele la care se referă ipotezele pot fi
Ipoteze fizice (de material)
Ipoteze de calcul
341 Ipoteze fizice
Se acceptă deoarece teoriile structurale au condus la rezultate care contravin
icircncercărilor experimentale
Ipoteza mediului continuu consideră că orice domeniu elementar al corpului
este ocupat de materie adică nu se acceptă existența unor goluri sau a unor crăpături
microscopice (fisuri) Deși nu corespunde realităţii poate fi acceptată deoarece
dimensiunile corpului sunt mult mai mari decacirct dimensiunile particulelor elemantare Are
avantajul că permite utilizarea proprietăților matematice ale funcțiilor continue pentru
tensiunile și deformațiile din orice punct al corpului Ea este mai apropiată de realitate la
corpurile amorfe şi mai depărtată la cele cristaline dar conduce la rezultate satisfăcătoare
icircn calculele de rezistenţă
Ipoteza nu se poate aplica la corpurile care au goluri tăieturi (multiplu conexe)
pentru unele puncte singulare icircn care tensiunile și deformațiile tind la infinit sau icircn unele
probleme de plasticitate icircn care proprietățile de material au un rol esențial
Ipoteza izotropiei conform acestei ipoteze materialul din care este confecționat
un element de rezistență are aceleași proprietăți după orice direcție un astfel de material
este considerat izotrop Din punct de vedere macroscopic metalele pot fi considerate
izotrope deși la nivel microscopic proprietățile lor diferă de la o direcție cristalografică
la alta Orice conglomerat de cristale poate fi considerat izotrop
Există cazuri cacircnd această ipoteză a izotropiei nu se acceptă
la metalele puternic deformate după o direcție (prin laminare trefilare)
la piesele confecționate din lemn lemnul este anizotrop deoarece proprietățile sale
diferă după două direcții (icircn lungul fibrelor și perpendicular pe această direcție)
Ipoteza omogenității consideră că un corp are aceleași proprietăți icircn orice
punct al său Deși majoritatea materialelor utilizate icircn tehnică sunt eterogene la scară
micro fiind constituite din mai multe faze cu proprietăți diferite la scară macro ele pot
fi considerate omogene Omogenitatea și izotropia sunt proprietăți statistice medii care
nu se condiționează una pe cealaltă Chiar și materialele monofazice pot avea la scară
micro unele segregații care le fac eterogene
Ipoteza elasticităţii perfecte presupune că atacircta timp cacirct solicitările nu
depăşesc anumite limite materialul are o comportare elastică adică icircşi recapătă forma şi
dimensiunile iniţiale odată cu icircnlăturarea sarcinilor Icircn realitate materialele nu prezintă o
elasticitate perfectă ele avacircnd deformaţii remanente mici care icircnsă pot fi neglijate icircn
calculele de rezistenţă
Acceptarea acestei ipoteze a elasticității perfecte permite
- aplicarea relației biunivoce icircntre tensiuni și deformații relație exprimată de legea
lui Hooke ( = 119864 ∙ 휀) unde E este un factor de proporţionalitate numit modul de
elasticitate longitudinal al materialului pentru oţel 119864 = 21 ∙ 105 [119872119875119886] - acceptarea valabilității afirmației bdquolucrul mecanic efectuat de forțele exterioare
ca urmare a parcurgerii deplasărilor punctelor de aplicație se icircnmagazinează integral icircn
corp sub formă de energie de deformație energie cedată la icircndepărtarea sarcinilorrdquo
- este valabilă teoria conform căreia bdquoenergia icircnmagazinată și deformațiile depind
doar de starea inițială și finală de eforturi fără a ține cont de modul icircn care s-a ajuns la
starea finalărdquo
Icircn realitate oricacirct de mici ar fi sarcinile aplicate se produc și deformații plastice
dar acestea pot fi neglijate dacă solicitarea nu depășește anumite limite
342 Ipoteze de calcul
Ipoteza micilor deplasări bdquodeplasările datorate deformării sunt mult mai mici
decacirct dimensiunile corpurilor și ca urmare pot fi neglijate produsele dintre o deplasare și
ea icircnsăşirdquo Pentru cele mai multe corpuri deformaţiile elastice sunt de mărimi mici deci
corpurile solide sub acţiunea sarcinilor icircşi modifică foarte puţin forma iniţială Această
ipoteză este cunoscută şi sub denumirea de ipoteza menţinerii dimensiunilor iniţiale Ea
permite scrierea ecuaţiilor de echilibru ale staticii pe starea nedeformată a elementului
cacircnd nu se iau icircn considerare deplasările punctelor de aplicaţie ale forţelor care se produc
ca urmare a deformării acestuia Calculul efectuat pe schema nedeformată poartă numele
de calcul de ordinul I
Ipoteza micilor deplasări nu poate fi acceptată pentru studiul problemelor de
stabilitate sau la problemele la care nu pot fi icircndeplinite condiţiile de echilibru icircn starea
nedeformată
Calculul de ordinul II admite ipoteza micilor deplasări dar ecuaţiile de echilibru
se scriu icircnsă pentru starea deformată a elementului de rezistenţă
Calculul de ordinul III nu mai acceptă ipoteza micilor deplasări el referindu-se
la cazul deformaţiilor mari cacircnd ecuaţiile de echilibru trebuie scrise pentru starea
deformată
Chiar dacă materialul satisface legea lui Hooke icircn urma calculelor de ordinul II
se obţin de obicei relaţii neliniare icircntre sarcini şi deplasări iar pentru calculul de ordinul
III rezultă ecuaţii diferenţiale neliniare
Principiul efectului local al acțiunii sarcinilor enunțat de Barre de Saint-
Venant Acest principiu destul de folosit icircn Rezistenţa Materialelor precizează că dacă
se icircnlocuiesc forţele care acţionează asupra unui element de suprafață al unui corp
elastic printr-un alt sistem de forţe echivalent din punct de vedere static cu primul noua
distribuţie a forţelor produce la locul de aplicare diferenţe semnificative faţă de prima
dar rămacircne fără efect sau cu efect neglijabil la distanţe mari de locul de aplicare al
forţelor figura 312
Ca o cosecință o sarcină uniform distribuită figura 312a poate fi icircnlocuită cu
rezultanta ei figura 312b dacă se analizează efectul sarcinii la distanță mare de locul icircn
care se aplică sarcina
Fig 312 Principiul Saint-Venant
Icircn prima variantă figura 312a forţa 119865 se aplică pe o porțiune oarecare 119897 (sarcină
uniform distribuită) iar icircn a doua figura 312b icircntru-un punct (forţă concentrată) La
locul de aplicare a sarcinii efectul asupra barei este cu totul diferit de la o variantă la
cealaltă Icircnsă la o distanţă mare de punctul de aplicaţie spre exemplu icircn secţiunea situată
la distanţa 119886 de capătul barei sau chiar icircn icircncastrare ambele bare sunt solicitate la fel
Icircn cazul din figura 312a
119872119894(119909) =119901 ∙ 1199092
2 119909 le 119897 119872119894(119909) = 119901 ∙ 119897 ∙ (119909 minus
119897
2) 119909 gt 119897 (324)
Icircn cazul din figura 312b
119872119894(119909) = 0 119909 lt119897
2 119872119894(119909) = 119901 ∙ 119897 ∙ (119909 minus
119897
2) 119909 gt
119897
2 (325)
Se vede că pentru (119909 gt 119897) adică după depășirea locului icircn care se aplică sarcina
efectul este același
Ipoteza lui Bernoulli sau ipoteza secţiunilor plane precizează că o secţiune
plană şi normală pe axa barei icircnainte de deformare rămacircne plană şi normală pe axa
barei şi după deformare figura 313
Fig 313 Ipoteza lui Bernoulli
Ipoteza stării naturale a corpului sau ipoteza absenţei tensiunilor conform
căreia pentru un corp nesolicitat starea de tensiune şi deformaţie este nulă
Perfecţionarea mijloacelor de calcul şi de investigare pot conduce la renunţarea la
unele ipoteze sau la introducerea altora noi mai aproape de stările reale De aici rezultă
caracterul de continuă perfecţionare a metodelor Rezistenţei Materialelor
35 Coeficienţi de siguranţă Tensiuni admisibile
O piesă corespunde din punct de vedere tehnic dacă tensiunile care iau naştere icircn
interiorul piesei datorită sarcinilor aplicate nu depăşesc anumite valori limită stabilite
convenţional Aceste valori limită ale tensiunii sunt corelate cu caracteristicile mecanice
ale materialelor
Tensiunea limită utilizată icircn calculele de rezistenţă este cunoscută sub denumirea
de tensiune admisibilă sau rezistenţă admisibilă Rezistenţa admisibilă reprezintă
valoarea convenţională aleasă icircn calcul pe baza practicii pentru tensiunea maximă care
poate apare icircntr-o piesă icircn condiţii date de material şi solicitare
Rezistenţa admisibilă (120590119886 sau 120591119886) poate fi definită faţă de o stare limită
periculoasă stare care trebuie evitată deoarece poate conduce distrugere
120590119886 =120590119897119894119898119888
(326)
unde
120590119897119894119898 este tensiunea corespunzătoare stării limită periculoase
119888 estesupraunitar 119888 gt 1 și reprezintă coeficientul de siguranţă faţă de starea limită
periculoasă considerată
Alegerea unor valori inferioare pentru rezistenţa admisibilă faţă de tensiunea
corespunzătoare stării limită periculoase este necesară deoarece
cunoaşterea sarcinilor este de cele mai multe ori aproximativă şi o depăşire a
acestora este foarte posibilă
caracteristicile mecanice ale materialelor variază icircn limite destul de mari ele
fiind influenţate de mulţi factori
schema aleasă pentru calcul (aplicarea sarcinilor schematizarea structurii
ipotezele de calcul etc) depărtează modelul faţă de cel real
Pentru calculele de verificare tensiunea efectivă maximă din elementul de
rezistenţă trebuie să fie mai mică sau cel mult egală cu cea admisibilă
120590119890119891119898119886119909 le 120590119886 (327)
Valoarea rezistenţei admisibile este influenţată de foarte mulţi factori natura
materialului tratamentele termice aplicate piesei durata de funcţionare a piesei modul
de acţionare icircn timp a sarcinilor felul solicitării temperatura gradul de periculozitate
icircn cazul cedării piesei etc
De asemenea valoarea coeficientului de siguranţă se alege icircn principal ţinacircnd
seama de aceiaşi factori care influenţează şi rezistenţa admisibilă
Rezistenţele admisibile pentru cacircteva materiale sunt următoarele
pentru oțelul de uz general OL37 solicitat la icircntindere compresiune sau
icircncovoiere 120590119886 = 150 [119872119875119886] pentru lemnul de brad solicitat la
- compresiune icircn lungul fibrelor şi solicitat la icircncovoiere 120590119886 = 10 [119872119875119886] - tracţiune icircn lungul fibrelor 120590119886 = 7 [119872119875119886] - compresiune perpendiculară pe fibre 120590119886 = 15 [119872119875119886] - forfecare icircn lungul fibrelor 120591119886 = 2 [119872119875119886] - forfecare perpendiculară pe fibre 120590119886 = 45 [119872119875119886]
terenuri de fundaţie din pămacircnt uscat sau umed 120590119886 = 020 divide 025 [119872119875119886]
4 CARACTERISTICI GEOMETRICE ALE SECȚIUNILOR PLANE
41 Noţiuni introductive
Icircn relaţiile de calcul ale tensiunilor şi deformaţiilor elementelor de rezistenţă
pentru unele solicitări (icircncovoierea și torsiunea) secțiunile plane intervin atacirct prin
dimensiunile lor (aria 119860) cicirct și prin forma și poziția pe care o are secțiunea icircn raport cu
planul solicitării Mărimile care caracterizează o secțiune icircn raport cu forma și poziția față
de axele unui sistem de referință sunt denumite caracteristici geometrice de ordin
superior Aria secțiunii este caracteristica geometrică ce depinde doar de dimensiunile
geometrice ale acesteia
Să considerăm o grindă solicitată de o forță exterioară 119865 aşezată icircn două poziții icircn
raport cu planul forţei figura 41 Icircn urma aplicării forței deși avem aceeași grindă
(aceeași arie a secțiunii transversale) și aceeași forță se constată că pentru varianta din
figura 41a deformațiile sunt mult mai mari adică rezistența la icircncovoiere a grinzii din
figura 41a este mai mare decacirct icircn cazul grinzii din figura 41b Comportarea diferită se
explică prin aceea că modificarea poziţiei secţiunii transversale faţă de planul forţelor
modifică caracteristicile geometrice ale secţiunii transversale a grinzii
Fig 41 Grindă solicitată de forța 119865
Pentru realizarea calculelor de rezistenţă şi rigiditate este foarte importantă
cunoaşterea caracteristicilor geometrice ale suprafeţei secţiunii transversale a elementelor
de rezistenţă
Caracteristicile geometrice ale secţiunii transversale a unui element de rezistenţă
sunt
- aria secțiunii notată cu 119860
- momentul static icircn raport cu o axă notat 119878119911 și respectiv 119878119910
- momentul de inerție care poate fi
axial notat 119868119911 și respectiv 119868119910
centrifugal notat 119868119911119910
polar notat 119868119901
- raza de inerţie (giraţie)notată 119894119911 și respectiv 119894119910
- modulul de rezistență care poate fi
axial notat 119882119911 și respectiv 119882119910
polar notat 119882119901
42 Aria și momentul static al suprafețelor plane
Fie o suprafaţă plană de arie 119860 pe care se ia un element infinit mic de arie 119889119860 şi
un sistem de axe rectangulare 119911119874119910 figura 42 Notăm cu 119862 centrul de greutate al suprafeţei
119860 Poziţia suprafeţei elementare 119889119860 faţă de acelaşi sistem de coordonate 119911119874119910 este dată
de abscisa 119911 ordonata 119910 și raza polară
Fig 42 Suprafață plană de arie 119860
Aria suprafeţei 119860 figura 42 se defineşte ca fiind
119860 ≝ int 119889119860
119860
(41)
Aria suprafeţei este icircntotdeauna pozitivă și se măsoară icircn [1198981198982] Momentul static al suprafeţei de arie 119860 icircn raport cu axele 119874119911 și respectiv 119874119910
figura 42 sunt date de relaţiile
119878119911 ≝ int 119910 ∙ 119889119860
119860
119878119910 ≝ int 119911 ∙ 119889119860
119860
(42)
Momentul static poate fi pozitiv negativ sau nul şi se măsoară icircn [1198981198983] Coordonatele centrului de greutate ale suprafeței 119860 se detrmină cu relațiile
119910119862 ≝int 119910 ∙ 119889119860119860
119860 119911119862 ≝
int 119911 ∙ 119889119860119860
119860
(43)
Cunoscacircnd coordonatele 119910119862 și 119911119862 ale centrului de greutate 119862 al secțiunii 119860 atunci
momentele statice se pot determina cu relațiile
119878119911 ≝ int 119910 ∙ 119889119860
119860
= 119910119862 ∙ 119889119860 119878119910 ≝ int 119911 ∙ 119889119860
119860
= 119911119862 ∙ 119889119860 (44)
Aceste relații arată că momentul static al unei suprafețe icircn raport cu o axă este
egal cu produsul dintre aria suprafeței și distanța de la centrul ariei la axa respectivă
Dacă suprafaţa se poate descompune icircn 119899 suprafeţe simple la care se cunosc ariile
(1198601 1198602 ⋯ 119860119894⋯ 119860119899) și poziţiile centrelor de greutate 119862119894 faţă de sistemul de referinţă
expresiile momentelor statice capătă următoarea formă
119878119911 = sum 119910119862119894 ∙ 119860119894119899119894=1 = 119910119862 ∙ 119860 119878119910 = sum 119911119862119894 ∙ 119860119894
119899119894=1 = 119911119862 ∙ 119860 (45)
Din relaţiile (45) rezultă că poziţia centrului de greutate 119862 al unei suprafeţe
compuse poate fi determinată cu relaţiile
119910119862 = (sum119910119862119894 ∙ 119860119894
119899
119894=1
) 119860frasl 119911119862 = (sum119911119862119894 ∙ 119860119894
119899
119894=1
) 119860frasl (46)
Icircn relația (45) 119910119862119894 și respectiv 119911119862119894 reprezintă coordonatele centrelor de greutate 119862119894
ale fiecărei suprafețe simple 119860119894 icircn raport sistemul de axe 119911119874119910
Se constată (relaţia 42) că dacă axele sistemului de referinţă trec prin centrul de
greutate (119910119862 = 119911119862 = 0) momentele statice sunt nule Axele icircn raport cu care momentele
statice sunt nule şi care trec prin centrul de greutate al suprafeţei se numesc axe centrale
Observație dacă secțiunea compusă are o axă de simetrie centrul secțiunii se
găsește pe acea axă iar dacă secțiunea este dublu simetrică poziția centrului secțiunii este
la intersecția axelor de simetrie
43 Momente de inerţie
Momentele de inerţie axiale ale unei suprafețe se calculează icircn raport cu axele de
coordonate 119874119911 și respectiv 119874119910 figura 42 și se determină cu relațiile
119868119911 ≝ int 1199102 ∙ 119889119860
119860
119868119910 ≝ int 1199112 ∙ 119889119860
119860
(47)
Unde 119910 și 119911 sunt distanțele de la elementul de arie 119889119860 la cele două axe de
coordonate 119874119911 și respectiv 119874119910
Momentele de inerţie axiale se măsoară icircn [1198981198984] şi sunt icircntotdeauna pozitive (aria
119889119860 este icircntotdeauna pozitivă și este multiplicată cu patratul distanței 1199102 dacă 119868119911 sau 119868119910
sunt nule icircnseamnă ca secțiunea nu există)
Momentele de inerție axiale se calculează icircndeosebi pentru axele centrale (care
trec prin centrul secțiunii) deoarece icircn raport cu acele axe 119868119911 și 119868119910 au valori minime
Momentul de inerţie centrifugal calculat faţă ambele axe ale sistemului de
referinţă 119911119874119910 este definit de relația
119868119911119910 ≝ int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860
(48)
Momentul de inerţie centrifugal se măsoară icircn [1198981198984] şi poate fi pozitiv negativ
sau nul
Momentul de ineție centrifugal este nul 119868119911119910 = 0 dacă cel puțin una din axele 119874119911
sau 119874119910 este axă de simetrie pentru secțiune
Se consideră o suprafaţă dreptunghiulară pe care faţă de axa de simetrie 119874119910 se iau
două suprafeţe elementare de arie 119889119860 simetrice faţă de axa 119874119910 figura 43
Fig 43 Suprafață dreptunghiulară cu două arii elementare 119889119860
Făcacircnd suma momentelor de inerţie centrifugale pentru cele două suprafeţe
elementare 119889119860 (din stacircnga şi din dreapta faţă de axa 119874119910) se obţine
int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860119889119903
+ int (minus119911) ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860119904119905119892
= int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860119889119903
minus int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860119904119905119892
= 0 (49)
Acelaşi raţionament se poate face și pentru icircntreaga suprafaţă de unde obținem că
momentul de inerție centrifugal este nul 119868119911119910 = 0 Deci pentru o suprafaţă plană care
are cel puţin o axă de simetrie momentul de inerţie centrifugal faţă de sistemul care
conţine acea axă de simetrie este nul
Momentul de inerţie polar al unei suprafeţei icircn raport cu un punct (pol) 119874 figura
42 este definit prin relaţia
1198680 = 119868119901 ≝ int 1205882 ∙ 119889119860
119860
= int(1199102 + 1199112) ∙ 119889119860
119860
= 119868119911 + 119868119910 (410)
unde este distanţa de la polul 119874 la elementul de arie 119889119860 Momentul de inerţie polar se
măsoară icircn [1198981198984] şi este totdeauna pozitiv
Momentul de inerţie polar este egal cu suma momentelor de inerţie faţă de două axe
perpendiculare oarecare şi care trec prin polul considerat
Razele de giraţie sau razele de inerţie sunt mărimi calculate icircn raport cu axele
secțiunii și definite de relaţiile
119894119911 ≝ radic119868119911119860 119894119910 = radic
119868119910
119860 (411)
Se exprimă icircn [119898119898] şi sunt icircntotdeauna pozitive Semnificația unei raze de inerție
este distanța la care dacă ar fi concentrată icircntreaga arie s-ar obține același moment de
inerție ca și cel calculat pentru aria reală
44 Modulul de rezistenţă
Modulul de rezistență se calculează icircn raport cu axele de referință sau icircn raport cu
un pol figura 42 și pot fi axiale (119882119911119882119910) sau polar (119882119901) și se determină numai pe baza
momentelor de inerţie cu relațiile figura 43
119882119911119898119894119899 ≝119868119911119910119898119886119909
119882119911119898119886119909 ≝119868119911119910119898119894119899
(412)
119882119910119898119894119899 ≝119868119910
119911119898119886119909 119882119910119898119886119909 ≝
119868119910
119911119898119894119899 (413)
119882119901 ≝119868119901
120588119898119886119909 (414)
unde
119910119898119886119909 119910119898119894119899 reprezintă distanţa de la axa 119874119911 la punctele extreme cele mai
depărtate respectiv cele mai apropiate ale suprafeţei de această axă
119911119898119886119909 119911119898119894119899 reprezintă distanţa de la axa 119874119910 la punctele extreme cele mai
depărtate respectiv cele mai apropiate ale suprafeţei de această axă
120588119898119886119909 reprezintă distanța maximă de la polul 119874 la punctul secțiunii cel mai
icircndepărtat de acesta
Fig 43 Suprafață dreptunghiulară cu două arii elementare 119889119860
Modulele de rezistenţă se exprimă icircn [1198981198983] şi sunt icircntotdeauna pozitive
Explicația este aceea că momentele de inerție care intră icircn relațiile de definiție sunt
pozitive iar distanțele la punctele extreme sunt pozitive (119910119898119886119909 119910119898119894119899 119911119898119886119909 119911119898119894119899 120588119898119886119909 se
iau icircn valoare absolută)
Icircn cazul suprafeţelor compuse modulul de rezistenţă nu se obţine prin icircnsumarea
algebrică a modulelor de rezistenţă ale suprafeţelor simple componente ci numai prin
intermediul momentului de inerţie axial calculat pentru icircntreaga secțiune
Ca și momentele de inerție modulele de rezistență se calculează numai pentru
sistemele de axe centrale
45 Momente de inerţie şi module de rezistenţă pentru suprafeţe simple
451 Secțiune dreptunghiulară
Fie suprafaţa dreptunghiulară din figura 44 de icircnălțime ℎ și lățime 119887 pe care se
consideră suprafaţă elementară de arie 119889119860 = 119887119889119910 la distanța 119910 de axa 119862119911 sistemul de
axe 119911119862119910 trece prin centrul secțiunii iar axele sunt axe de simetrie pentru dreptunghi
Fig 44 Suprafață dreptunghiulară
Pe baza relațiilor de definiți a momentului de inerție 119868119911 se obține
119868119911 ≝ int 1199102 ∙ 119889119860
119860
= int 1199102 ∙ 119887 ∙ 119889119910 = 2int 1199102 ∙ 119887 ∙ 119889119910 = 2 ∙ 119887 ∙1199103
3|ℎ 2frasl
0rArr
ℎ 2frasl
0
ℎ 2frasl
minusℎ 2frasl
rArr 119868119911 =119887 ∙ ℎ3
12
(415)
Analog pentru un element de arie 119889119860 = ℎ ∙ 119889119911 paralel cu axa 119862119910 situat la distanța
119911 de axa 119862119910
119868119910 ≝ int 1199112 ∙ 119889119860
119860
= int 1199112 ∙ ℎ ∙ 119889119911 = 2int 1199112 ∙ ℎ ∙ 119889119910 = 2 ∙ ℎ ∙1199113
3|119887 2frasl
0rArr
119887 2frasl
0
119887 2frasl
minus119887 2frasl
rArr 119868119910 =1198873 ∙ ℎ
12
(416)
Deoarece axele 119862119911 și 119862119910 sunt axe de simetrie momentul de inerție centrifugal este
119868119911119910 = 0 (417)
Pentru un pătrat avacircnd laturile egale (ℎ = 119887 = 119886) momentele de inerţie faţă de
axele centrale au expresia
119868119911 = 119868119910 =1198864
12 (418)
Modulele de rezistență axiale se calculează cu relațiile de definiție ținacircnd cont că
distanțele pacircnă la fibrele extreme sunt
119910119898119886119909 = 119910119898119894119899 =ℎ
2 119911119898119886119909 = 119911119898119894119899 =
119887
2 (419)
Obținem
119882119911119898119894119899 = 119882119911119898119886119909 =119868119911
119910119898119886119909119898119894119899=119887 ∙ ℎ3
12frasl
ℎ2frasl
=119887 ∙ ℎ2
6
119882119910119898119894119899 = 119882119910119898119886119909 =119868119910
119911119898119886119909119898119894119899=1198873 ∙ ℎ
12frasl
1198872frasl
=1198872 ∙ ℎ
6
(420)
452 Suprafaţă circulară
Din motive de simetrie pentru suprafeţele circulare momentele de inerţie faţă de
orice diametru (care reprezintă şi axe centrale) sunt aceleaşi
Considerăm o secțiune circulară plină cu diametrul 119889 și centrul de greutate 119862 Prin
centrul de greutate 119862 trece sistemul de axe ortogonal 119911119862119910 figura 45
Fig 45 Suprafață circulară
La distanța de centrul de greutate 119862 vom lua un element de suprafață mic de arie
(119889119860) de forma unui inel de grosime 119889 Elementul de arie 119889119860 are expresia
119889119860 = (2 ∙ 120587 ∙ 120588) ∙ (119889120588)
Pornind de la relația de definiție a momentului de inerție polar obținem
119868119901 ≝ int 1205882 ∙ 119889119860
119860
= int 1205882 ∙ (2 ∙ 120587 ∙ 120588) ∙ 119889120588
119903=119889 2frasl
0
= 2 ∙ 120587 ∙1205884
4|119889 2frasl0 rArr
rArr 119868119901 =120587 ∙ 1198894
32
(421)
Secțiunea este perfect simetrică deci sunt valabile relațiile
119868119911 = 119868119910 rArr 119868119901 = 119868119911 + 119868119910 = 2 ∙ 119868119911 = 2 ∙ 119868119910 =119868119901
2=120587 ∙ 1198894
64 (422)
Și modulele de rezistenţă faţă de orice diametru sunt egale şi se calculează cu
relaţiile
119882119911 = 119882119910 =1198681199111198892frasl=120587 ∙ 1198893
32 (423)
Modulul de rezistenţă polar este
119882119901 =1198681199011198892frasl=120587 ∙ 1198893
16 (424)
453 Secţiune inelară
Calculul momentelor de inerţie axiale pentru o secţiune inelară avacircnd diametrul
interior 119889 şi diametrul exterior 119863 se determină analog pentru suprafaţa circulară plină cu
observaţia că integrala pentru calculul momentului de inerție polar 119868119901 se face icircntre
limitele 119903 = 119889 2frasl şi R= 1198632frasl (icircntre raza interioară 119903 şi raza exterioară 119877) figura 46
Se obţin relaţiile
119868119901 =120587 ∙ 1198634
32∙ [1 minus (
119889
119863)4
] =120587 ∙ 1198634
32∙ (1 minus 1198964) (425)
119868119910 = 119868119910 =120587 ∙ 1198634
64∙ [1 minus (
119889
119863)4
] =120587 ∙ 1198633
64∙ (1 minus 1198964) (426)
Fig 46 Secțiune inelară
119882119901 =120587 ∙ 1198633
16∙ [1 minus (
119889
119863)4
] =120587 ∙ 1198633
16∙ (1 minus 1198964) (427)
119882119911 = 119882119910 =120587 ∙ 1198633
32∙ [1 minus (
119889
119863)4
] =120587 ∙ 1198633
32∙ (1 minus 1198964) (428)
unde 119896 = 119889119863frasl
46 Variaţia momentelor de inerţie faţă de axe paralele
( Relațiile lui STEINER)
Se consideră o suprafaţă oarecare de arie 119860 cu elementul de arie 119889119860 și un sistemul
de axe central 119911119862119910 faţă de care se cunosc momentele de inerţie 119868119911 119868119910 119868119911119910 şi considerăm
un sistem de axe 11991111198741199101 paralele cu sistemul central figura 47 Se pune problema
determinării momentele de inerţie 1198681199111 1198681199101 11986811991111199101 faţă de sistemul de axe paralel cu sistemul
central 11991111198741199101 axe aflate la distanţele 119910119862 = 119888 respectiv 119911119862 = 119889 de acesta
461 Momente de inerţie axiale
Pe baza relaţiilor de definire şi a notaţiilor din figura 42 pentru momentele de
inerţie faţă de axele 1198741199111 1198741199101 se poate scrie
1198681199111 = int 11991012 ∙ 119889119860
119860
= int(119910 + 119888)2 ∙ 119889119860
119860
= int 1199102 ∙ 119889119860
119860
+ 2 ∙ 119888 ∙ int 119910 ∙ 119889119860
119860
+
+1198882int 119889119860
119860
rArr 1198681199111 = 119868119911 + 2 ∙ 119888 ∙ 119878119911 + 1198882 ∙ 119860 hArr 1198681199111 = 119868119911 + 119888
2 ∙ 119860
(429)
Fig 47 Variaţia momentelor de inerţie față de axe paralele
S-a ajuns la relația (429) deoarece momentul static 119878119911 este nul deoarece axa 119862119885
este axă centrală
Pentru momentul de inerție axial icircn raport cu axa 1198741199101 se obține
1198681199101 = int 11991112 ∙ 119889119860
119860
= int(119911 + 119889)2 ∙ 119889119860
119860
= int 1199112 ∙ 119889119860
119860
+ 2 ∙ 119889 ∙ int 119911 ∙ 119889119860
119860
+
+1198892 ∙ int 119889119860
119860
rArr 1198681199101 = 119868119910 + 2 ∙ 119889 ∙ 119878119910 + 1198892 ∙ 119860 hArr 1198681199101 = 119868119910 + 119889
2 ∙ 119860
(430)
Pentru momentul de inerție centrifugal obținem
11986811991111199101 = int 1199101 ∙ 1199111 ∙ 119889119860
119860
= int(119910 + 119888) ∙ (119911 + 119889) ∙ 119889119860
119860
= int 119910 ∙ 119911 ∙ 119889119860 +
119860
+119888 ∙ int 119911 ∙ 119889119860
119860
+ 119889 ∙ int 119910 ∙ 119889119860
119860
rArr 11986811991111199101 = 119868119911119910 + 119888 ∙ 119889 ∙ 119860
(431)
Deoarece
int 119911 ∙ 119889119860
119860
= 119878119910 = 0 int 119910 ∙ 119889119860
119860
= 119878119911 = 0 int 119910 ∙ 119911 ∙ 119889119860
119860
= 119868119911119910
Relaţiile (429) şi (430) arată că momentul de inerţie faţă de o axă oarecare
este egal cu momentul de inerţie faţă de o axă paralelă cu ea trecacircnd prin centrul de
greutate la care se adaugă produsul dintre aria suprafeţei şi pătratul distanţei dintre
cele două axe
Din relaţiile (429) și (430) rezultă de asemenea că momentul de inerţie faţă de o
axă centrală (care trece prin centrul de greutate) este cel mai mic dintre infinitatea de
momente de inerţie obținute faţă de alte axe paralele cu ea
Relaţia (431) arată de asemenea că momentul de inerţie centrifugal faţă de un
sistem de axe oarecare este egal cu momentul de inerţie centrifugal faţă de un sistem
paralele cu el trecacircnd prin centrul de greutate a suprafeţei la care se adaugă produsul
dintre aria suprafeţei şi distanţele dintre axele sistemelor respective
Icircn literatura de specialitate relaţiile (429) (430) şi (431) sunt cunoscute sub
numele de relaţiile lui Steiner
47 Variaţia momentrlor de inerţie faţă de axe rotite
Direcţii principale şi momente de inerţie principale
Fie suprafaţa plană din figura 48 de arie 119860 pe care considerăm o suprafaţă
elementară de arie 119889119860 Pentru sistemul de axe 119911119874119910 se cunosc momentele de inerţie
119868119911 119868119910 119868119911119910 şi vom determina relaţiile de calcul pentru momentele de inerţie afererent unui
sistem de axe 11991111198741199101 rotit cu un unghi faţă de sistemul central
Faţă de sistemul de axe 11991111198741199101 elementul de arie 119889119860 are coordonatele
1199101 = 119875119877 = 119875119876 minus 119877119876 = 119910 ∙ cos 120572 minus 119911 ∙ sin 120572
1199111 = 119873119872 = 119873119875 minus 119875119872 = 119911 ∙ cos 120572 + 119910 ∙ sin 120572 (432)
Fig 47 Variaţia momentelor de inerţie față de axe rotite
Pe baza relaţiilor de calcul ale momentelor de inerţie şi a notaţiilor din figura 42
şi ale relaţiilor (432) momentele de inerţie faţă de sistemul de axe rotit 11991111198741199101 sunt
1198681199111 =119868119911 + 119868119910
2+119868119911 minus 119868119910
2∙ cos 2120572 minus 119868119911119910 ∙ sin 2120572 (433)
1198681199101 =119868119911 + 119868119910
2minus119868119911 minus 119868119910
2∙ cos 2120572 + 119868119911119910 ∙ sin 2120572 (434)
11986811991111199101 =119868119911 minus 119868119910
2∙ sin 2120572 + 119868119911119910 ∙ cos 2120572 (435)
Din relaţiile 433divide435 se observă că icircntre momentele de inerţie axiale şi cele
polare există relaţia
1198681199111 + 1198681199101 = 119868119911 + 119868119910 = 119868119901 (436)
adică suma momentelor de inerţie axiale icircn raport cu orice pereche de axe ortogonale
care trec printr-un pol dat este o constantă şi egală cu momentul de inerţie polar
Prin rotirea sistemului de axe din relaţiile 433divide435 rezultă că momentele de inerţie
variază icircnsă suma lor rămacircne constantă deci există o poziţie a sistemului de axe pentru
care momentele de inerţie au valori extreme maxim respectiv minim
471 Direcţii principale de inerţie
Valoarea unghiului 120572 pentru care momentele de inerţie axiale au valori extreme
este
1205721 =1
2∙ 119886119903119888119905119886119899 (minus
2 ∙ 119868119911119910
119868119911 minus 119868119910) (437)
Poziţia celeilalte direcţii este perpendiculară pe cea dată de unghiul 1205721
Din relaţia (437) se constată că faţă de aceste direcţii rotite pentru care momentele
de inerţie axiale prezintă valori extreme momentul de inerţie centrifugal 11986811991111199101este nul
Atunci se poate afirma că momentele de inerţie axiale au valori extreme icircn raport cu
direcţiile faţă de care momentul de inerţie centrifugal este nul Aceste direcţii se numesc
direcţii principale iar momentele de inerţie faţă de aceste direcţii poartă numele de
momente de inerţie principale
Icircn calculele de rezistenţă interesează icircn mod special poziţia direcţiilor principale
care trec prin centrul de greutate al suprafeţei aşa numitele direcţii principale centrale şi
evident momentele de inerţie principale centrale
Direcţiile principale de inerţie se notează cu 1 respectiv 2 Axa principală 1
corespunde direcţiei faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea maximă iar
axa principală 2 pentru direcţia faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea
minimă
472 Momente de inerţie principale
Momentele de inerţie principale se notează cu litera 119868 la care se pune indicele 1
sau 2 după cum valoarea acestuia este maximă sau minimă deci avem un moment de
inerţie principal 1 (notat 1198681) respectiv moment de inerţie principal 2 (notat 1198682)
Expresiile pentru momentele de inerţie principale sunt
11986812 =119868119911 + 119868119910
2plusmn1
2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)
2+ 4 ∙ (119868119911119910)
2 (438)
Dacă momentul de inerţie centrifugal este negativ (119868119911119910 lt 0) direcţia principală
care trece prin primul cadran (definit de sistemul 119911119862119910) este direcţia principală 120783
Pentru suprafeţele cu cel puţin o axă de simetrie direcţiile centrale 119862119911 119862119910 sunt şi
direcții principale de inerţie și evident momentele de inerţie axiale 119868119911 119868119910 sunt momente
de inerţie principale
48 Caracteristici mecanice ale metalelor
Alegerea materialului pentru confecţionarea unei anumite piese se face şi pe baza
aşa numitelor caracteristici mecanice pe care le prezintă materialul Cunoaşterea acestor
caracteristici mecanice are loc numai pe baza unor icircncercări mecanice care să scoată icircn
evidenţă comportarea materialului icircn condiţii de solicitare
Cea mai utilizată icircncercare icircn urma căreia se pun icircn evidenţă caracteristicile
mecanice ale unui material este icircncercarea la tracţiune
481 Icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general
Icircncercarea la tracţiune a oţelului ca de altfel toate icircncercările de materiale este
standardizată
Icircn cele ce urmează se va prezenta numai partea care interesează strict din punct
de vedere al caracteristicilor mecanice ale oţelului
Epruveta de diametru iniţial 1198890 pentru icircncercarea la tracţiune are o porţiune de
lungime 1198710 numită baza de măsurare pe care se măsoară lungirea acesteia sub acţiunea
solicitării
Icircn funcţie de raportul dintre baza de măsurare 1198710 şi diametrul iniţial 1198890 epruvetele
utilizate pentru icircncercări sunt
epruvete normale (scurte) cacircnd 11987101198890 = 5
epruvete lungi cacircnd 11987101198890 = 10
Icircn timpul icircncercării la diferite valori ale forţei 119865 se măsoară lungirea bazei de
măsurare
∆119871 = 120575 = 119871 minus 1198710 (439)
unde
119871 este dimensiunea bazei de măsurare la un moment dat
Curba forţă-lungire (119865 minus ) icircnregistrată icircn urma icircncercării reprezintă curba
caracteristică la tracţiune
La icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general diagrama caracteristică care se
obţine are forma din figura 48
Curba caracteristică la tracţiune depinde de lungimea bazei de măsurare Pentru
icircnlăturarea acestui neajuns curba caracteristică se reprezintă icircn coordonate şi definite
astfel
120590 =119865
1198600 휀 =
120575
1198710 (440)
unde
1198600 este aria iniţială a secţiunii transversale a epruvetei (icircnainte de solicitare) icircn
zona bazei de măsurare
1198600 =120587 ∙ 1198890
2
4
Deoarece mărimile icircn care se reprezintă curba caracteristică la tracţiune sunt
raportate la aria iniţială a secţiunii transversale (mărimi specifice) curba poartă numele
de curbă caracteristică convenţională la tracţiune
Fig 48 Curba caracteristică convenţională la tracțiune
Pe curba caracteristică convenţională la tracţiune figura 48 se pot stabili o serie
de puncte cărora le corespund mai multe mărimi importante
Ordonata punctului A pacircnă unde curba caracteristică convenţională este linie
dreaptă se numeşte limita de proporţionalitate a materialului 120590119901(1205901) Porţiunea 119874119860 este
zona de proporţionalitate a curbei caracteristice pe acest domeniu este valabilă legea lui
Hooke care exprimă o proporţionalitate icircntre tensiune şi deformaţie specifică
120590 = 119864 ∙ 휀 (441)
unde
119864 = reprezintă panta porţiunii liniare a curbei convenționale caracteristice
la tracțiune Caracteristica de material 119864 se numeşte modul de elasticitate longitudinal
(modulul lui Young)
Ordonata punctului 119861 pacircnă unde materialul se comportă perfect elastic adică
după descărcare icircşi recapătă dimensiunea iniţială 1198710 se numeşte limita de elasticitate
120590119890(119877119890) Icircn realitate nici un material nu are comportare perfect elastică sub acţiunea
solicitărilor el capătă deformaţii permanente (remanente plastice)
După punctul 119861 urmează o porţiune 119861119862119863 icircn care cu toate că icircncărcarea
continuă forţa nu mai creşte avacircnd mici oscilaţii icircn jurul unei valori Se spune că icircn
această porţiune materialul curge iar intervalul 119861119862119863 este un palier de curgere Tensiunea
corespunzătoare palierului de curgere se numeşte limită de curgere aparentă 120590119888(119877119888) Limita de curgere aparentă se calculează cu relaţia
120590119888 =1198651198881198600 (442)
unde
119865119888 reprezintă valoarea forţei icircnregistrată icircn momentul curgerii materialului
După punctul 119863 curba caracteristică are un traseu ascendent pacircnă icircn punctul 119864
Porţiunea 119863119864 este numită zonă de icircntărire (ecruisare) Icircn zona de ecruisare unde se
produc deformaţii plastice semnificative legea lui Hooke nu mai este valabilă La
descărcare relaţia dintre tensiunea şi deformaţia specifică este liniară paralelă cu
porţiunea liniară a curbei caracteristice (dreapta 119872119873)
Deformaţia totală (휀119905) are două componente una elastică (휀119890) şi una plastică (휀119901)
Ordonata punctului 119864 reprezintă rezistenţa de rupere 120590119903(119877119898) a materialului
care se poate calcula cu relaţia
120590119903 = 119877119898 =1198651198981198861199091198600
(443)
unde
119865119898119886119909 reprezintă valoarea maximă a forţei icircnregistrată icircn timpul icircncercării
La atingerea valorii 119865119898119886119909 (punctul 119864) icircntr-un anumit loc al epruvetei secţiunea
icircncepe să se micşoreze (se produce gacirctuirea) continuacircnd pacircnă cacircnd se produce ruperea
totală (punctul 119865)
Dacă după ruperea epruvetei cele două părţi rezultate se aşează cap la cap şi se
măsoară dimensiunea bazei de măsurare 119871119906 (lungimea ultimă) se determină alungirea la
rupere sau lungirea specifică la rupere 휀119903
휀119903 =119871119906 minus 11987101198710
=∆119871
1198710=120575
1198710 (444)
De obicei alungirea se exprimă icircn procente şi se notează cu 119860119899 unde 119899 reprezintă
numărul dat de raportul 11987101198890 (epruvete normale 119899 = 5 epruvete lungi 119899 = 10)
119860119899 =119871119906 minus 11987101198710
∙ 100 [] (445)
Altă mărime care se determină la icircncercarea la tracţiune este gacirctuirea la rupere
(exprimată de obicei icircn procente) şi definită de relaţia
119885 =1198600 minus 1198601199061198600
∙ 100 [] (446)
Mărimile determinate limita de proporţionalitate modulul de elasticitate
longitudinal limita de elasticitate limita de curgere aparentă rezistenţa de rupere
alungirea la rupere şi gacirctuirea la rupere sunt cunoscute ca fiind caracteristici mecanice
ale materialului
Din curba caracteristică convenţională observăm faptul că ruperea (punctul 119865 din
figura 48 se produce la o tensiune mai mică decacirct cea corespunzătoare punctului 119864 Dacă
icircnsă forţa din timpul icircncercării s-ar raporta la aria secţiunii din momentul icircnregistrării
forţei (care este mai mică decacirct cea iniţială 1198600) s-ar obţine aşa numita curbă
caracteristică reală a materialului (traseul 1198741198601198611198621198631198651 din figura 48) La curba
caracteristică reală ruperea se produce icircn punctul 1198651 la o icircncărcare mai mare decacirct cea
corespunzătoare punctului 119864 Icircnseamnă că rezistenţa reală la rupere este mai mare decacirct
rezistenţa la rupere dată de punctul 119864 din diagrama caracteristică convenţională
Dificultatea obţinerii diagramei caracteristice reale faţă de cea a diagramei caracteristice
convenţionale şi considerarea unei rezistenţe la rupere mai mică decacirct a celei reale face
icircn practică utilizarea pe scară mare a diagramei caracteristice convenţionale
Caracteristicile mecanice determinate pe baza curbei caracteristice convenţionale
sunt şi ele caracteristici mecanice convenţionale
Caracteristicile mecanice convenţionale limita de proporţionalitate convenţională
120590119901 limita de elasticitate convenţională 120590119890 limita de curgere convenţională 120590119888 şi rezistenţa
de rupere 120590119903 constituie tensiuni limită pentru un material Pe baza acestor caracteristici
de material se alege valoarea tensiunii admisibile 120590119886 (vezi paragraful 35) pentru
calculele de rezistenţă Cea mai utilizată stare limită pentru stabilirea tensiunii admisibile
120590119886 este limita de curgere convenţională 120590119888
120590119886 =120590119897119894119898119888
=120590119888119888 119904119886119906 120590119886 =
120590119903119888 (447)
Caracteristicile mecanice ale materialului sunt influenţate de o serie de factori
temperatura viteza de solicitare factorii tehnologici iar valorile lor sunt date icircn tabele și
diagrame
Aplicaţie Pentru suprafaţa plană compusă din două dreptunghiuri avacircnd
dimensiunile din figura 49a să se calculeze
a) centrul de greutate al secțiunii compuse 119910119866 119911119866
b) momentele de inerție axiale 119868119911 119868119910 și momentul de inerție centrifugal 119868119911119910
c) razele de inerție 119894119911 119894119910
d) modulele de rezistență 119882119911119898119894119899 119882119911119898119886119909 119882119910119898119894119899 119882119910119898119886119909
e) momentele de inerție principale 1198681 1198682 și direcțiile principale de inerție 1205721
f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 119878119911
Fig 49 Aplicație
Rezolvare Pentru rezolvare vom parcurge următoarele etape
icircmpărțim suprafața compusă icircn două suprafețe simple (dreptunghiuri) notate cu
① și respectiv ② figura 49b
poziționăm centrele de greutate a celor două suprafețe simple ① și respectiv ②
notate cu 1198661 și respectiv 1198662 figura 49c
poziționăm sistemele de axe de coordonate 119911111986611199101 pentru dreptunghiul ① și
119911211986621199102 pentru dreptunghiul ② aflate la intersecția diagonalelor figura 49c
poziționăm sistemele de axe de coordonate 11991101198741199100 ales arbitrar față de care
determinăm poziția centrului de greutate 119866 figura 49c
a) calculăm poziția centrului de greutate folosind relațiile (46) icircn care
1198601 = 6119905 ∙ 119905 = 61199052 1198602 = 4119905 ∙ 119905 = 41199052 119860 = 1198601 + 1198602 = 61199052 + 41199052 = 101199052
iar centrele de greutate 1198661 și respectiv 1198662 au coordonatele (față de sistemul 11991101198741199100)
1198661 1199101 = 3119905 1199111 = 05119905
1198662 1199102 = 051199051199112 = 3119905
cu acestea obținem
119910119866 =1198601 ∙ 1199101 + 1198602 ∙ 1199102
119860=61199052 ∙ 3119905 + 41199052 ∙ 05119905
101199052=201199053
101199052= 2119905
119911119866 =1198601 ∙ 1199111 + 1198602 ∙ 1199112
119860=61199052 ∙ 05119905 + 41199052 ∙ 3119905
101199052=151199053
101199052= 15119905
Poziționăm centrul de greutate 119866 al suprafeței compuse figura 49c
Fig 49 Aplicație
b) pentru determinarea momentelor de inerție axiale 119868119911 119868119910 și a momentului de
inerție centrifugal 119868119910119911 determinăm constantele 1198881 1198882 1198891 1198892 care intervin icircn relația lui
Stainer
1198881 = 1199101 minus 119910119866 = 3119905 minus 2119905 = 119905 1198882 = minus(119910119866 minus 1199102) = minus(2119905 minus 05119905) = minus15119905
1198891 = minus(119911119866 minus 1199111) = minus(15119905 minus 05119905) = minus119905 1198892 = 1199112 minus 119911119892 = 3119905 minus 15119905 = 15119905
Folosind relațiile lui Stainer (429) (430) și (431) calculăm momentele de
inerție axiale și centrifugale față de sistemul central 119911119866119866119910119866
119868119911 =sum(119868119911119894 + 1198881198942 ∙ 119860119894) = 1198681199111 + 1198881
2 ∙ 1198601 + 1198681199112 + 11988822 ∙ 1198602
119868119910 =sum(119868119910119894 + 1198891198942 ∙ 119860119894) = 1198681199101 + 1198891
2 ∙ 1198601 + 1198681199102 + 11988922 ∙ 1198602
119868119911119910 =sum(119868119911119894119910119894 + 119888119894 ∙ 119889119894 ∙ 119860119894) = 11986811991111199101 + 1198881 ∙ 1198891 ∙ 1198601 + 11986811991121199102 + 1198882 ∙ 1198892 ∙ 1198602
1198681199111 = (119887 ∙ ℎ3
12) =
119905 ∙ (6119905)3
12= 181199054 1198681199112 = (
119887 ∙ ℎ3
12) =
4119905 ∙ 1199053
12= 031199054
1198681199101 = (1198873 ∙ ℎ
12) =
1199053 ∙ 6119905
12= 051199054 1198681199102 = (
1198873 ∙ ℎ
12) =
(4119905)3 ∙ 119905
12= 531199054
11986811991111199101 = 11986811991121199102 = 0 deoarece cele două triunghiuri au cel puțin o axă de simetrie
Cu acestea momentele de inerție axiale și momentul de inerție centrifugal devin
119868119911 = 181199054 + 1199052 ∙ 61199052 + 031199054 + (minus15119905)2 ∙ 41199052 = 3331199054
119868119910 = 051199054 + (minus119905)2 ∙ 61199052 + 531199054 + (15119905)2 ∙ 41199052 = 2081199054
119868119911119910 = 0 + 119905 ∙ (minus119905) ∙ 61199052 + 0 + (minus15119905) ∙ (15119905) ∙ 41199052 = minus151199054
c) razele de inerție sau de girație față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910
se calculează cu relațiile (411)
119894119911 = radic119868119911119860= radic
3331199054
101199052= 182119905 119894119910 = radic
119868119910
119860= radic
2081199054
101199052= 144119905
d) modulele de rezistență față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910 se
calculează cu relațiile (412) și (413)
Avacircnd icircn vedere figura 419c obținem
119910119898119886119909 = 6119905 minus 119910119866 = 6119905 minus 2119905 = 4119905 119910119898119894119899 = minus119910119866 = minus2119905
119911119898119886119909 = 5119905 minus 119911119866 = 5119905 minus 15119905 = 35119905 119911119898119894119899 = minus119911119866 = minus15119905
Se obține astfel
119882119911119898119894119899 =119868119911
|119910119898119886119909|=3331199054
4119905= 8331199053
119882119911119898119886119909 =119868119911
|119910119898119894119899|=3331199054
2119905= 16651199053
119882119910119898119894119899 =119868119910
|119911119898119886119909|=2081199054
35119905= 5941199053
119882119910119898119886119909 =119868119910
|119911119898119894119899|=2081199054
15119905= 13871199053
e) momentele de inerție principale 1198681 și respectiv 1198682 se calculează cu relațiile
(438)
11986812 =119868119911 + 119868119910
2plusmn1
2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)
2+ 4 ∙ (119868119911119910)
2=
=3331199054 + 2081199054
2plusmn1
2∙ radic(3331199054 minus 2081199054)2 + 4 ∙ (minus151199054)2 = 27051199054 plusmn 16251199054
De unde obținem
1198681 = 27051199054 + 16251199054 = 4331199054
1198682 = 27051199054 minus 16251199054 = 1081199054
Prima direcție principală de inerție 1 face cu axa centrală 119866119911 unghiul 1205721 dat de
relația (437)
1205721 =1
2∙ arctan (minus
2 ∙ 119868119911119910
119868119911 minus 119868119910) =
1
2∙ arctan [minus
2 ∙ (minus151199054)
3331199054 minus 2081199054] =33 70
Deoarece 1205721 gt 0 rotirea axelor se face acircn sens antiorar acelor de ceasornic figura
49d
Poziția axe principale 2 față de care momentul de inerție are valoarea minimă
1198682 = 119868119898119894119899 este dată de unghiul
1205722 = 1205721 + 900 = 33 70 + 900 = 123 70
f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 se determină cu relația
(45)
1198781199111198602 = 1198602 ∙ 1198882 = 41199052 ∙ (minus15119905) = minus61199053
2 Reducacircnd forțele interioare icircn centrul de greutate al secțiunii s-a făcut o
aproximare icircn ceea ce privește efectul modului de dispunere al forțelor
3 Punctul de reducere trebuie să fie
pentru forțele interioare normale la secțiune centrul de greutate
pentru forțele interioare tangente la planul secțiunii centrul de răsucire sau de
tăiere
243 Eforturi
Prin metoda secțiunilor am pus icircn evidență existența forțelor interioare și modul
icircn care se determină componentele torsorului de reducere al forțelor interioare (119894119889 119894119889) de pe fața din dreapta secțiunii (Ad) Cele două componente ale torsorului de reducere al
forțelor interioare de pe Ad se pot descompune după axele unui sistem de referință
triortogonal xCyz astfel
119894119889 = +
119894119889 = 119909 +119872119894 (24)
unde și 119909 sunt proiecțiile lui 119894119889 și respectiv 119894119889 pe axa longitudinală Cx a
barei iar și 119894 sunt proiecțiile acelorași componente 119894119889 și respectiv 119894119889 pe planul yCz
al secțiunii transversale Ad figura 211
Fig 211 Torsorul de reducere al forţelor interioare
La racircndul lor și 119894 se pot descompune după axele sistemului yCz figura 212
= 119910 + 119911
119894 = 119894119910 + 119894119911 (25)
Fig 212 Descompunerea forţei tăietoare şi a momentului icircncovoietor
Cele șase componente ale torsorului de reducere al forțelor interioare ( 119910 119911
119909 119894119910 119894119911) orientate după axele sistemului de referință xCyz se numesc eforturi
Fiecare efort are o denumire stabilită icircn funcție de tipul de deformație pe care-l produce
De asemenea semnul plus (bdquo+rdquo) sau minus (bdquondashrdquo) al fiecărui efort nu depinde de sensul
pozitiv sau negativ al sistemului de axe ci doar de efectul icircn deformații al fiecărui efort
Denumirile celor șase eforturi sunt
119873 este forța axială
119879119910 119879119911 sunt forțe tăietoare orientate după axele Cy și respectiv Cz
119872119909 notat de cele mai multe ori cu 119872119905 este moment de torsiune sau de răsucire
119872119894119911 119872119894119910 sunt momente de icircncovoiere icircn jurul axei Cz și respectiv Cy
Forța axială 119873 poate fi forță axială de icircntindere cacircnd produce o lungire a
tronsonului pe a cărei față acționează (119873 gt 0) figura 213a sau forță axială de
compresiune cacircnd sub efectul ei bara se scurtează (119873 lt 0) figura 213b
Fig 213 Forța axială
Forțele tăietoare 119879119910 și 119879119911 au ca efect lunecarea secțiunii icircn centrul căreia
acționează icircn raport cu secțiunea icircnvecinată lunecare ce se produce pe direcția și icircn sensul
forței Sub acțiunea unei forțe tăietoare bara este solicitată la forfecare Forța tăietoare
este pozitivă 119879119910 gt 0 dacă icircn raport cu un punct oarecare K de pe axa Cx a barei tinde să
rotească secțiunea pe care acționează icircn sens orar
Fig 214 Forța tăietoare
Momentele de icircncovoiere 119872119894119911 și 119872119894119910 au ca efect o rotire a secțiunii icircn centrul
cărora acționează icircn jurul axei după care sunt orientate Icircn figura 215a se vede că
datorită momentului 119872119894119911 fibrele de deasupra axei Cz se alungesc icircn timp ce fibrele de sub
axa Cz se scurtează Fibrele care trec prin axa de icircncovoiere Cz nu se deformează sunt
fibre neutre la icircncovoiere adică axa neutră este Cz Icircn cazul momentului de icircncovoiere
119872119894119910 fibrele care nu se deformează sunt cele care trec prin axa neutră la icircncovoiere Cy
Momentele de icircncovoiere se consideră a fi pozitive (119872119894119911 gt 0119872119894119910 gt 0) dacă
observatorul care privește bara deformată vizualizează fibrele icircntinse
Fig 215 Momentul icircncovoietor
Momentul de torsiune sau de răsucire 119872119909 equiv 119872119905 are ca efect o rotire a secțiunii
icircn al cărei centru acționează icircn jurul axei longitudinale Cx Ca efect secțiunea icircși schimbă
forma (se deformează) adică unghiurile inițiale se modifică dreptunghiul inițial Ad
devine paralelogram Convențional se consideră 119872119905 gt 0 dacă vectorul moment are
aceeași orientare ca și sensul pozitiv ales pextru axa Cx Icircn figura 216 momentul este
negativ
Fig 216 Momentul de torsiune
25 Definiții și convenții de semne pentru eforturile
din secțiunile unei bare drepte plane icircncărcate cu sarcini coplanare
Vom considera o bară plană icircncărcată cu un sistem de forțe arbitrar figura 217
Ne propunem să determinăm eforturile care apar icircn secțiunea barei aflată la distanța 119909 de
reazemul din stacircnga (A)
Pentru aceasta vom aplica metoda secțiunilor vom secționa bara cu un plan
perpendicular pe axa longitudinală a barei și vom analiza doar partea din dreapta secțiunii
mărginită de fața Ad Pentru ca această porțiune de bară să fie icircn echilibru sub acțiunea
forțelor exterioare care acționează asupra sa 1198653 și 119881119861 va trebui să introducem icircn centrul
secțiunii Ad eforturile care pot să apară 119873 119879119910 119872119894119911 Acțiunea acestor eforturi trebuie să
fie echivalentă cu acțiunea forțelor exterioare aplicate pe partea icircnlăturată (parcursă) a
barei 119867119860 119881119860 1198651 1198652 1198720
Deoarece bara este plană și este icircncărcată doar cu sarcini ce aparțin
planului barei
icircn secțiunea Ad apar doar 3 componente ale torsorului de reducere al forțelor
interioare (eforturi)
- 119873 = forța axială
- 119879119910 = forța tăietoare pe care o vom nota cu 119879
- 119872119894119911 = momentul icircncovoietor notat cu Mi
Fig 217 Bară plană icircncărcată cu un sistem de forțe
Vom prezenta următoarele definiții corespunzătoare eforturilor din secțiunea Ad
119873 = forța axială dintr-o secțiune este egală cu suma algebrică a proiecțiilor pe
axa longitudinală a tuturor forțelor exterioare (sarcini și reacțiuni) aplicate pe partea
din stacircnga secțiunii adică pe porțiunea parcursă Forța axială 119873 este pozitivă dacă trage
de tronsonul pe a cărei față acționează (are orientarea normalei exterioare la secțiunea
Ad)
119873(119909) = minus119867119860 + 1198651119867 (26)
119879 = forța tăietoare icircntr-o secțiune este egală cu suma algebrică a proiecțiilor
pe o axă perpendiculară pe axa barei a tuturor forțelor exterioare (sarcini și reacțiuni)
aplicate pe porțiunea de bară aflată icircn stacircnga secțiunii considerate Forța tăietoare 119879
este pozitivă dacă tinde să rotească tronsonul pe a cărui față acționează icircn sens orar icircn
raport cu un punct de pe axa barei aflat la dreapta secțiunii
119879(119909) = 119881119860 minus 1198651119881 minus 1198652 (27)
119872119894 = momentul icircncovoietor icircntr-o secțiune este egal cu suma algebrică a
momentelor obținute prin reducerea tuturor forțelor exterioare ( cupluri sarcini
reacțiuni) aplicate pe porțiunea de bară aflată la stacircnga secțiunii icircn centrul secțiunii
considerate 119872119894 este considerat pozitiv dacă tinde să deformeze bara astfel icircncacirct fibrele
spre care privește un observator să fie icircntinse Cum poziția observatorului este de regulă
sub bară bara se deformează dacă 119872119894 gt 0 astfel icircncacirct partea jos a barei este icircntinsă Se
spune că bara deformată rdquoține apaldquo
119872119894(119909) = 119881119860 ∙ 119909 minus 1198651119881 ∙ (119909 minus 1198971) minus 1198652 ∙ [119909 minus (1198971 + 1198972)] + 1198720 (28)
Sensurile pozitive ale eforturilor care apar icircn centrul secțiunii Ad (deci atunci cacircnd
sensul de parcurs la aplicarea metodei secțiunilor este cel de la stacircnga la dreapta) sunt
indicate icircn figura 218a iar dacă sensul de parcurs este de la dreapta la stacircnga sensurile
pozitive ale eforturilor sunt indicate icircn figura 218b
Fig 218 Convenţia de semne
Definiții asemănătoare se pot da și pentru eforturile din centrul secțiunii As figura
218b adică pentru cazul icircn care sensul de parcurs este cel de la dreapta la stacircnga și deci
partea luată icircn considerare este cea din stacircnga iar partea parcursă din dreapta secțiunii
este icircnlăturată
119873(1199091) = 1198653119867
119879(1199091) = 1198653119881 minus 119881119861
119872119894(1199091) = 119881119861 ∙ 1199091 minus 1198653119881 ∙ (1199091 minus 1198975)
(29)
Avacircnd icircn vedere că fețele Ad și As aparțin aceleeași secțiuni este evident faptul că
eforturile 119873(119909) 119879(119909) și 119872119894(119909) sunt identice cu eforturile 119873(119961120783) 119879(119961120783) și respectiv
119872119894(119961120783) Icircn figura 218c se prezintă o sinteză a convențiilor de semne pozitive pentru cele
3 eforturi atacirct pentru sensul de parcurs de la stacircnga la dreapta (secțiunea Ad) cacirct și pentru
sensul invers (secțiunea As)
Semnele eforturilor sunt importante icircntrucacirct există materiale cu comportări diferite
la icircntindere față de compresiune iar o schimbare a semnului unui efort poate produce
erori grave icircn calcule Semnele eforturilor au fost stabilite icircn funcție de deformațiile
produse și nu depind de sensul axelor sistemului de coordonate
26 Relaţii diferenţiale icircntre eforturi şi sarcini
Pentru a vedea ce legătură există icircntre eforturi și sarcini vom considera o bară
dreaptă icircncărcată cu o sarcină distribuită după o lege oarecare figura 219a Din această
bară vom decupa prin dublă secționare un element de lungime infinit mică 119889119909 Deoarece
lungimea 119889119909 este foarte mică se poate considera sarcina 119901 uniform distribuită Icircn
secțiunile rezultate trebuie să introducem eforturile care pot apărea
- 119879 şi 119872119894 icircn centrul secțiunii din sticircnga eforturi pe care le considerăm pozitive
- 119879 + 119889119879 şi 119872119894 + 119889119872119894 icircn centrul secțiunii din dreapta elementului
Aceste eforturi au o variație mică (119889119879 şi 119889119872119894) față de secțiunea anterioară Spre
deosebire de cazul icircn care bara este secționată o singură dată icircn acest caz eforturile nu
pot fi determinate din cele 2 condiții de echilibru independente deoarece icircn ecuațiile de
echilibru apar 4 necunoscute 119879 119889119879119872119894 și 119889119872119894 deci că problema este dublu static
nedeterminată figura 219
Fig 219 Echivalența icircntre eforturi și sarcini
Ecuațiile de echilibru scrise pentru elementul din figura 219b conduc la stabilirea
unor relaţii foarte importante
(sum119865)119910= 0 hArr 119879 minus 119901 ∙ 119889119909 minus (119879 + 119889119879) = 0 rArr
119889119879
119889119909= minus119901 (210)
Relația (210) arată că derivata funcţiei forţei tăietoare icircn raport cu abscisa
secţiunii este egală cu sarcina distribuită normală la axa barei din acea secţiune luată
cu semn schimbat
Observații
dacă 119901 = 0 nu există sarcină distribuită atunci forța tăietoare T este constantă
icircnclinarea pantei diagramei forței 119879 este egală cu (ndash 119901) (sarcina distribuită cu
semn schimbat)
dacă 119901 = 119888119900119899119904119905 119879 variază liniar pe acel interval
Asemănător se deduce că derivata funcţiei forţei axiale icircn raport cu abscisa
secţiunii este egală cu sarcina distribuită axială din acea secţiune luată cu semn
schimbat adică
119889119873
119889119909= minus119901119867 (211)
Din condiția de echilibru suma de momente faţă de centrul de greutate al secţiunii
din dreapta
(sum119872)119862= 0 hArr 119872119894 minus (119872 + 119889119872119894) + 119879 ∙ 119889119909 minus 119901 ∙
(119889119909)2
2= 0 rArr
119889119872119894
119889119909= 119879 (212)
Relația (212) s-a obținut dupa reducerea termenilor și prin neglijarea infinitului
mic de ordinul 2
119901 ∙(119889119909)2
2
Relația (212) arată că derivata funcţiei moment icircncovoietor icircn raport cu abscisa
secţiunii este egală cu forţa tăietoare din acea secţiune
Observații
dacă 119879 = 0 momentul 119872119894 are un punct de extrem se obține o valoare maximă
pentru 119872119894119898119886119909 dacă forța tăietoare 119879 se anulează trecacircnd de la plus icircn stacircnga la minus icircn
dreapta secțiunii
dacă forța tăietoare este pozitivă pe un interval 119879 gt 0 atunci 119872119894 este crescătoare
pe acel interval
dacă forța tăietoare este negativă pe un interval 119879 lt 0 atunci 119872119894 este
descrescătoare pe acel interval
dacă pe un interval 119901 = 0 forța tăietoare este constantă 119879 = 119888119905 iar 119872119894 variază
liniar pe acel interval
dacă 119901 = 119888119900119899119904119905 119879 variază liniar pe acel interval iar 119872119894 variază parabolic pe
acel interval
Relaţiile diferenţiale sunt utile la reprezentarea corectă şi verificarea diagramelor
de eforturi astfel
pentru porţiunile de grindă pe care p = 0 eforturile N şi T sunt constante iar pe
porţiunile cu p = const eforturile N şi T variază liniar (relaţiile 211 şi 210)
dacă pe o porţiune T = const momentul icircncovoietor Miz variază liniar iar dacă
T variază liniar atunci momentul Miz variază parabolic (relaţia 212)
pe domeniile pe care T gt 0 funcţia Mi(x) este crescătoare iar icircn secţiunea icircn
care T = 0 (graficul funcţiei T intersectează axa x) momentul icircncovoietor are un punct
de extrem local (maxim sau minim relaţia 212)
Pentru rezolvarea problemelor referitoare la trasarea diagramelor de eforturi
pentru barele drepte solicitate de sisteme de forţe plane se parcurg următoarele etape
1) identificarea forţelor aplicate (date) şi pregătirea lor pentru calcule
(descompunerea forţelor concentrate pe direcţiile x şi y calculul rezultantelor forţelor
distribuite)
2) identificarea reazemelor şi introducerea reacţiunilor corespunzătoare (vezi
figurile 27divide29)
3) stabilirea ecuaţiilor de echilibru static calculul şi verificarea reacţiunilor Icircn
rezistența materialelor se folosește sistemul de ecuații (vezi figura 217)
(sum119865)
119909= 0
(sum119872)119860= 0
(sum119872)119861= 0
(213)
4) identificarea domeniilor de variaţie şi scrierea funcţiilor de eforturi pentru N T
şi Mi
5) reprezentarea grafică a diagramelor de eforturi
6) verificarea corectitudinii diagramelor pe baza relaţiilor diferenţiale icircntre eforturi
şi sarcini
Aplicație Pentru grinda dreaptă icircncărcată cu sistemul de forţe reprezentat icircn figura
220 se cere
a) să se calculeze şi să se verifice reacţiunile
b) să se stabilească funcţiile eforturilor Nx Ty şi Miz şi să se reprezinte diagramele
de variaţie
c) să se analizeze relaţiile diferenţiale icircntre eforturi şi sarcini
Dimensiunile grinzii au valorile a = 6 [m] b = 4 [m] și c = 4[m] sistemul de
forţe aplicat fiind format din p = 10 [kN mfrasl ] F = 20 [kN] (icircnclinată cu unghiul α =300 faţă de orizontală) şi M0 = 40 [kN ∙ m]
Rezolvare
a) Se fac următoarele precizări
grinda dreaptă se reprezintă prin axa geometrică
forţa icircnclinată F se descompune după direcţiile orizontală şi verticală icircn FV =F ∙ sin α = 10 [kN] şi FH = F ∙ cos α = 173 [kN]
forţa distribuită uniform p este echivalentă din punct de vedere static cu
rezultanta sa R = p ∙ a = 60 [kN] care acţionează la jumătatea porţiunii de lungime a
icircn reazemele 119860 şi 119861 se introduc componentele HA şi VA respectiv VB ale
reacţiunilor
Pentru calculul reacţiunilor se utilizează ecuaţiile de echilibru static al grinzii
sumXi = 0 HA minus FH = 0 sumYi = 0 VA + VB minus R minus FV = 0 (sumM)B = 0 VA ∙ (b + a) minus R ∙ (b + 05 ∙ a) minus M0 + FV ∙ c = 0
(A1)
Din prima ecuaţie se obţine HA iar din cea de-a treia ecuaţie rezultă VA
HA = FH = 173 [kN]
VA =[R ∙ (b + 05 ∙ a) + M0 minus FV ∙ c]
(b + a)=[60 ∙ (4 + 05 ∙ 6) + 40 minus 10 ∙ 4]
(4 + 6)
VA = 42 [kN]
(A2)
Fig 220 Aplicație
Se observă că cea de-a doua ecuaţie de echilibru conţine două necunoscute
reacţiunile VA şi VB Pentru a calcula componenta VB nu este indicată introducerea lui VA
icircn cea de-a doua ecuaţie a sistemului (A1) pentru că o valoare determinată greşit pentru
VA conduce la o valoare VB de asemenea greşită O ecuaţie independentă din care se poate
determina componenta VB este următoarea
(sumM)A= 0 FV ∙ (a + b + c) minus VB ∙ (a + b) minus M0 + R ∙ 05 ∙ a = 0 (A3)
de unde se obţine
VB =[FV ∙ (a + b + c) minusM0 + R ∙ 05 ∙ a]
(b + a)=[10 ∙ (6 + 4 + 4) minus 40 + 60 ∙ 05 ∙ 6]
(6 + 4)
VB = 28 [kN] (A4)
Ecuaţia de proiecţii ale forţelor pe direcţia verticală (a doua ecuaţie din sistemul
A1) se utilizează pentru verificarea reacţiunilor deja determinate
VA + VB minus R minus FV = 0 rArr 42 + 28 minus 60 minus 10 = 0 (A5)
Ultima egalitate demonstrează că reacţiunile verticale au fost calculate corect
Din cele de mai sus rezultă ordinea firească pentru determinarea reacţiunilor icircn
cazul grinzilor simplu rezemate
sumXi = 0
(sumM)A = 0
(sumM)B = 0
(A6)
iar pentru verificarea componentelor verticale VA şi VB se folosește ecuaţia sumY = 0
b) La stabilirea funcţiilor de eforturi se parcurg icircn general etapele următoare
se notează (numeric sau literal după preferinţă) secţiunile care delimitează
domeniile (intervalele sau tronsoanele) pe care eforturile nu-şi modifică funcţiile (au legi
unice de variaţie)
pe fiecare domeniu se marchează secţiunea imaginară icircn care se stabilesc
funcţiile eforturilor
secţiunea astfel aleasă separă icircn două părţi grinda şi anume porţiunea din stacircnga
şi porţiunea din dreapta secţiunii
se va considera parcursă (şi icircndepărtată) acea parte pe care acţionează mai puţine
sarcini exterioare pentru că acestea vor interveni icircn expresiile funcţiilor de eforturi
poziţiile secţiunilor imaginare se vor determina prin variabilele x1 ⋯ xn (unde
n reprezintă numărul domeniilor de variaţie) cu originea fixată icircn capătul intervalului şi
sensul de parcurgere spre partea considerată rămasă
Grinda prezentată icircn figura 220 are trei domenii de variaţie pentru funcţiile de
eforturi după cum urmează (A-1) (2-B) şi (B-1)
Domeniul (A-1) x1 isin [0 a = 6 m] Porţiunea parcursă şi considerată icircndepărtată este cea de coordonată x1 pe care
acţionează reacţiunile HA şi VA precum şi rezultanta parţială a sarcinii distribuite R1 =p ∙ x1
Funcţia forţă axială Nx are expresia
Nx(x1) = NAminus1 = minusHA = minus173 [kN] = const
(A7)
Funcţia forţă tăietoare Ty are exspresia
Ty(x1) = TAminus1 = VA minus R1 = VA minus p ∙ x1 (A8)
care reprezintă o variaţie liniară de variabilă x1 Se calculează valorile forţei tăietoare la
limitele intervalului de variaţie
- pentru x1 = 0 Ty(x1 = 0) = TA = VA = 42 [kN]
- pentru x1 = a = 6 [m] Ty(x1 = 6) = T1 = VA minus p ∙ a = minus18 [kN]
Observaţie Aşa cum a fost stabilită secţiunea fictivă poziţionată prin coordonata
x1 sar părea că rezultanta R ar trebui luată icircn calculul lui Ty(x1) Acest lucru ar fi greşit
pentru că R = p ∙ a reprezintă rezultanta sarcinii distribuite pe toată lungimea a iar
rezultanta pe porţiunea parcursă de lungime x1 este R1 = p ∙ x1 ne R = p ∙ a
Cu valorile obţinute se trasează diagramele forţelor axială Nx = f(x) şi tăietoare
Ty = f(x) figura 220 Din diagrama forţei tăietoare şi din valorile obţinute analitic se
observă că forţa tăietoare icircşi schimbă semnul pe intervalul analizat deci se anulează pe
acest interval Poziţia secţiunii unde Ty se anulează se determină din ecuaţia
Ty(x1) = 0 rArr VA minus p ∙ x1 = 0 (A9)
cu soluţia x1lowast = ξ = 42 [m] Important de reamintit că icircn această secţiune momentul
icircncovoietor va avea un extrem local adică Miz are un extrem la Ty = 0
Funcţia moment icircncovoietor Miz are expresia
Miz(x1) = VA ∙ x1 minus R1 ∙x12= VA ∙ x1 minus (p ∙ x1) ∙
x12
(A10)
Se observă că funcţia moment icircncovoietor de variabilă x1 are o variaţie parabolică
(gradul al II-lea) Pentru reprezentarea grafică a funcţiei parabolice se calculează valorile
momentului icircncovoietor icircn trei secţiuni
- pentru x1 = 0 Miz(x1 = 0) = MA = 0 [kN ∙ m] - pentru x1 = a = 6 [m] Miz(x1 = 6) = M1 = 72 [kN ∙ m] - pentru x1
lowast = ξ = 42 [m] Miz(x1lowast = ξ = 42 [m]) = Mimax = 882 [kN ∙ m]
Cu acestea se trasează diagrama Miz = f(x) pe intervalul (A-1) figura 220
Observaţie Icircn unele cazuri pe un anumit interval forţa tăietoare nu se anulează
şi momentul icircncovoietor nu are un extrem local Icircn acest caz pentru reprezentarea
variaţiei parabolice a momentului icircncovoietor se va studia semnul derivatei a doua a
funcţiei Miz = f(x1) acesta determinacircnd convexitatea curbei momentului icircncovoietor
Domeniul (2-B) x2 isin [0 c = 4 m] Porţiunile din grindă libere (nerezemate) la un capăt se numesc console iar
stabilirea funcţiilor de eforturi devine mai simplă dacă se consideră icircndepărtată partea din
dreapta secţiunii prin schimbarea sensului pozitiv al axei x Astfel se obţin funcţiile eforturilor
Funcţia forţă axială Nx are expresia
Nx(x2) = N2minusB = minusFH = minus173 [kN] = const
(A11)
Funcţia forţă tăietoare Ty are exspresia
Ty(x2) = T2minusB = FV = 10 [kN] = const (A12)
Funcţia moment icircncovoietor Miz are expresia
Miz(x2) = minusFV ∙ x2 rArr Miz(x2 = 0) = M2 = 0 [kN ∙ m]
Miz(x2 = 4) = MB = minus40 [kN ∙ m] (A13)
variaţie liniară (gradul I)
Domeniul (B-1) x3 isin [0 b = 4 m] Pe acest domeniu se acceptă parcurgerea grinzii de la dreapta adică se consideră
icircndepărtată partea din dreapta secţiunii fictive pentru că are doar două sarcini aplicate F
şi VB faţă de partea din stacircnga secţiunii pe care sunt aplicate trei sarcini p VA şi M0
Astfel se obţin funcţiile eforturilor
Funcţia forţă axială Nx are expresia
Nx(x3) = NBminus1 = minusFH = minus173 [kN] = const
(A14)
Funcţia forţă tăietoare Ty are exspresia
Ty(x3) = TBminus1 = FV minus VB = minus18 [kN] = const (A15)
Funcţia moment icircncovoietor Miz are expresia
Miz(x3) = minusFV ∙ (x3 + c) + VB ∙ x3 rArr
rArr Miz(x3 = 0) = MB = minus40 [kN ∙ m]
Miz(x3 = 4) = M1 = 32 [kN ∙ m]
(A16)
variaţie liniară (gradul I)
Diagramele eforturilor sunt prezentate icircn figura 220
c) Relaţiile diferenţiale dintre eforturi şi sarcini se analizează pe diagramele
eforturilor după cum urmează
sarcina distribuită nu are componentă orizontală adică ph = 0 şi icircn
conformitate cu formula (211) rezultă că Nx = const pe toată lungimea grinzii fapt care
a rezultat din funcţia şi reprezentarea diagramei forţei axiale
pe intervalul (A-1) sarcina distribuită are doar componenta verticală pozitivă
pV = p gt 0 prin urmare forţa tăietoare scade (are panta negativă dTy 119889119909frasl = minusp vezi
relaţia 210) iar momentul icircncovoietor avacircnd derivata a doua negativă d2M119894119911 1198891199092frasl =minuspare convexitatea curbei orientată spre sensul pozitiv al axei momentului Miz adică icircn
jos
pe domeniile (2-B) şi (B-1) deoarece pv = 0 forţa tăietoare Ty este constantă
iar momentul icircncovoietor Miz variază liniar
referitor la relaţia (212) pe porţiunile unde Ty gt 0 momentul Miz este
monoton crescător pe porţiunile unde Ty lt 0 momentul Miz este monoton descrescător
iar icircn secţiunea icircn care Ty = 0 momentul icircncovoietor are un extrem local Mξ =
882 [kN ∙ m] icircn diagrama forţei tăietoare discontinuităţile (salturile) se produc icircn secţiunile
unde acţionează VA VB şi FV iar icircn diagrama momentului icircncovoietor se produce un
singur salt icircn secţiunea icircn care este aplicat M0
se poate scrie
Mξ = suprafața diagramei Ty |ξ0=1
2∙ 42 ∙ 42 = 882 [kN ∙ m]
sau parcurgacircnd grinda de la dreapta la stacircnga rezultă
MB = minussuprafața diagramei Ty |c0= minus10 ∙ 4 = minus40 [kN ∙ m]
Toate aspectele analizate teoretic referitoare la relaţiile diferenţiale dintre eforturi
şi sarcini se regăsesc icircn diagramele de eforturi din figura 220 ceea ce icircnseamnă că
diagramele au fost reprezentate corect
3 TENSIUNI DEPLASĂRI ŞI DEFORMAŢII SPECIFICE
31 Tensiuni
Eforturile obținute icircn urma reducerii forțelor interioare icircn centrul de greutate al
secțiunii nu pot da informații asupra solicitării fiecărui punct al secțiunii respective Este
necesar să se cunoască modul cum se distribuie forțele interioare icircn fiecare punct al
secțiunii pentru a ști care este intensitatea maximă a solicitării Această intensitate
maximă se poate compara cu o valoare critică specifică materialului stabilindu-se astfel
dacă solicitarea este periculoasă sau nu
Mărimea care caracterizează solicitarea locală punctuală o vom denumi tensiune
și o vom defini icircn cele ce urmează Să considerăm partea din dreapta a unui corp solicitat
de forțele exterioare 1198651 1198652 și 1198653 obținută prin secționarea corpului și mărginită de fața
din dreapta Ad a secțiunii Pe secțiunea Ad vom considera un element de arie infinit mic
∆119860 caracterizat de normala la elementul de arie normală care are cosinușii directori
120573 și icircn raport cu un sistem de axe considerat fix Pe elementul infinit mic ∆119860 acționează
forțele interioare care au o rezultantă oarecare figura 31
Prin definiție tensiunea totală este
= lim∆119860rarr0
∆
∆119860 (31)
Tensiunea are aceeaşi direcţie cu forţa elementară ∆ iar mărimea ei este
determinată atacirct de mărimea forţei ∆ cacirct şi de orientarea suprafeţei ∆119860 faţă de direcţia
forţei
Tensiunea 119901 poate fi descompusă icircntr-o componentă orientată după direcţia
normalei la secţiune tensiunea normală notată cu 120590119909 şi o componentă icircn planul secţiunii
tensiunea tangenţială notată cu figura 32
= 119909 + 120591 (32)
Fig 31 Tensiunea totală Fig 32 Tensiunea normală și tangențială
La racircndul ei componenta tensiunii cuprinsă icircn planul secțiunii poate fi
descompusă după direcțiile axelor y și z
120591 = 120591119909119910 + 120591119909119911 (33)
Icircntre cele trei componente ale tensiunii totale care acționează pe elementul de arie
∆119860 este valabilă relația
1199012 = 1205901199092 + 120591119909119910
2 + 1205911199091199112 (34)
După sensul pe care icircl are tensiunea normală 120590 poate avea efect de tracţiune sau
de compresiune exercitat de către partea de corp icircnlăturată asupra părţii rămase Analog
tensiunea tangenţială 120591 poate avea efect de tăiere forfecare sau alunecare Pentru
componentele tensiunii tangențiale 120591119909119910 pe direcţia 119910 respectiv 120591119909119911 pe direcţia 119911 primul
indice indică axa pe care tensiunea este normală iar cel de-al doilea indice indică axa cu
care aceasta este paralel
Tensiunea este o mărime tensorială valoarea ei depinzacircnd atacirct de poziția
punctului icircn planul secțiunii cicirct și de orientarea planului de secționare deci de normala
Operaţiile vectoriale nu pot fi aplicate tensiunilor decacirct după ce acestea au fost icircnmulţite
cu ariile respective adică au fost transformate icircn forţe
Icircn literatura de specialitate mai ales icircn manualele mai vechi pentru noţiunea de
tensiune se mai foloseşte şi denumirea de efort specific
Dacă se consideră un alt element de arie ∆119860 cu centrul icircn același punct avacircnd ca
normală axa 119910 se vor obține alte tensiuni și anume
- 120590119910 este tensiunea normală (paralelă cu axa y)
- 120591119911119909 și 120591119910119911 sunt tensiuni tangențiale paralele cu axele 119909 și respectiv 119911 aflate icircn
planul care are ca normală axa 119910
Dacă icircn jurul unui punct dintr-un corp solicitat se consider un element de volum
infinit mic de forma unui cub icircn cazul cel mai general pe fețele sale vor acționa
tensiunile normale 120590119909 120590119910 și 120590119911 și respectiv tensiunile tangențiale 120591119909119910 120591119909119911 120591119910119909 120591119910119911 120591119911119909
și respectiv 120591119911119910 figura 33 Aceste tensiuni definesc starea de tensiune a punctului
observacircnd faptul că tensorul tensiune are 9 componente Dacă se consideră elementul
de volum finit ca fiind foarte mic se poate presupune că icircn interiorul său nu apar forțe
Ca urmare el va fi icircn echilibru sub acțiunea forțelor elementare produse de tensiunile de
pe fețele sale
Din condiția ca elementul să nu se rotească icircn jurul unor axe care trec prin centrul
său și sunt paralele cu axele sistemului 119909119874119910119911 rezultă
2 ∙ 120591119909119910 ∙ (119889119910 ∙ 119889119911) ∙119889119909
2= 2 ∙ 120591119910119909 ∙ (119889119909 ∙ 119889119911) ∙
119889119910
2 rArr 120591119909119910 = 120591119910119909 (35)
2 ∙ 120591119910119911 ∙ (119889119909 ∙ 119889119911) ∙119889119910
2= 2 ∙ 120591119911119910 ∙ (119889119909 ∙ 119889119910) ∙
119889119911
2 rArr 120591119910119911 = 120591119911119910 (36)
2 ∙ 120591119909119911 ∙ (119889119910 ∙ 119889119911) ∙119889119909
2= 2 ∙ 120591119911119909 ∙ (119889119909 ∙ 119889119910) ∙
119889119911
2 rArr 120591119909119911 = 120591119911119909 (37)
Relațiile (35divide37) 120591119909119910 = 120591119910119909 120591119910119911 = 120591119911119910 120591119909119911 = 120591119911119909 exprimă principiul dualității
tensiunilor tangențiale
Fig 33 Tensiunile normale și tangențiale pe fețele unui cub
Din condiția ca elementul considerat să nu se deplaseze icircn lungul axelor de
coordonate pe fețele opuse acționează aceleași tensiuni normale 120590119909 120590119910 și respectiv 120590119911
Definirea tensorului tensiune este posibilă dacă se cunosc cele 6 componente
independente ale acestuia aflate icircn trei plane perpendicular ce trec prin punctul respectiv
=
120590119909 120591119909119910 120591119909119911120591119910119909 120590119910 120591119910119911120591119911119909 120591119911119910 120590119911
Observaţii
Tensiunile se măsoară icircn [119873 1198982frasl ] (1119873 1198982frasl = 1 119875119886) sau icircn [119872119875119886]
(1 119872119875119886 = 106119875119886 = 106 119873
1198982 1 119872119875119886 = 1
119873
1198981198982)
Starea de tensiune dintr-un punct este considerată cunoscută dacă se cunosc
tensiunile 119901 care acționează pe infinitatea de elemente de suprafață ce trec prin punctual
considerat
Starea de tensiune a unui corp se consider cunoscută dacă se cunosc stările de
tensiune de pe infinitatea de puncte ale corpului considerat
32 Deplasări Deformaţii specifice
321 Deplasări
Aceste noțiuni sunt utile icircn analiza aspectului geometric al problemelor de rezistența
materialelor Deplasările care se analizează sunt cele datorate schimbării formei și
dimensiunilor corpurilor ca urmare a acțiunii forțelor exterioare și nu cele cinematice
posibile pentru solidul rigid care se poate deplasa cu anumită viteză și accelerație
Spre exemplu icircn figura 34a și figura 34b sub acțiunea forței 119865 tronsonul de
bară AB se deformează icircn timp ce tronsonul BC deși punctele sale au deplasări rămacircne
nedeformat (fiind nesolicitat) Toate punctele de pe axele barelor cu excepția celor din
icircncastrare (secțiunile A) au deplasări liniare De cele mai multe ori deformațiile barelor
datorate acțiunii forțelor exterioare se anulează la icircndepărtarea forțelor se spune că
deformațiile sunt elastice Secțiunile transversale ale barei din figura 34a se și rotesc icircn
raport cu pozițiile lor inițiale Spre exemplu secțiunea de căpăt cu centrul icircn C se rotește
cu unghiul
Fig 34 Deformațiile unei grinzi
Oricacirct de complexă ar fi delormația unui corp ea poate fi descrisă de lungiri sau
scurtări și de modificări ale unghiurilor inițiale
Deplasările măsoară schimbarea poziției unui punct al corpului și pot fi liniare
sau unghiulare
Prin deplasare liniară a unui punct se icircnțelege drumul parcurs de acest punct icircn
decursul procesului de deformație după o dreaptă suport dreapta 1198611198611 din figura 34a
Prin deplasare unghiulară se icircnțelege rotirea dintre segmentele de dreaptă
determinate de două puncte ale corpului icircnainte și după deformarea acestuia unghiul
pe care-l fac segmentele 119861119862 și 11986111198621 din figura 34a Această rotire se măsoară prin
unghiul pe care-l fac proiecțiile dreptelor ce conțin cele două segmente icircntr-un sistem
triortogonal
Icircn cazul cel mai general vectorul deplasare liniară se poate descompune icircntr-un
sistem triortogonal icircn trei componente 119906 119907 și 119908 figura 35
Fig 35 Deplasarea liniară
Se consideră acum un corp solid raportat la un sistem de axe ortogonal 119909119874119910119911
figura 35 după deformarea corpului un punct oarecare 119870 al acestuia se deplasează icircn
poziţia 1198701 vectorul 1198701198701 poartă numele de vectorul deplasării totale
Deplasarea totală este suma deplasărilor pe cele trei direcţii ortogonale iar
aceste deplasări se notează astfel
deplasarea pe direcţia 119909 cu ∥ 119874119909
deplasarea pe direcţia 119910 cu ∥ 119874119910
deplasarea pe direcţia 119911 cu ∥ 119874119911
Componentele deplasărilor și formeză matricea deplasărilor liniare 119906119907119908
322 Deformații
Prin deformație icircn general se icircnțelege orice schimbare de formă a unui corp fără
o evaluare cantitativă Icircn Rezistența Materialelor deformația măsoară variația
dimensiunilor geometrice ale corpului considerat din vecinătatea unui punct analog
deplasărilor deformațiile pot fi liniare și unghiulare (lunecări)
Fig 36 Deplasarea liniară
Deformația liniară ∆119897 reprezintă variația lungimii 119897 a unui element liniar al
corpului deformat figura 36 Deformația liniară specifică se definește ca fiind raportul
dintre deformația liniară și lungimea inițială
휀 =∆119897
119897 (38)
unde ∆119897 este lungirea sau scurtarea care este echivalentă cu deformția liniară totală iar
este alungirea
Deformația unghiulară sau lunecarea unui punct 119860 icircn planul 119861119860119862 se definește
prin relația figura 37
120574 = lim119861119860rarr0119862119860rarr0
(119861119860 minus 119861111986011198621 ) (39)
Fig 36 Deformația unghiulară
Schimbacircnd orientarea planului care trece prin 119860 se obțin alte deformații
unghiulare Dacă elementele liniare 119861119860 și 119862119860 sunt inițial perpendiculare deformația 120574 se
numește deformație unghiulară specifică sau lunecare specifică figura 37
Un exemplu de deplasare unghiulară și de deformație unghiulară este prezentat icircn
figura 38 Unghiul este deplasarea unghiulară și măsoară rotirea relativă dintre două
secțiuni aflate la distanța 119897 Unghiul este deformația specifică unghiulară (lunecarea
specifică) din punctul 119870 Aceste deplasări și deformații se obțin icircn urma solicitării barei
de către cele două momente 1198720 egale și de sens contrar
Fig 38 Deplasarea unghiulară
Pentru a analiza starea de deformație din vecinătatea unui punct al unui corp
solicitat complex se decupează din jurul punctului un element de volum mic figura 39a
avacircnd laturile 119889119909 119889119910 și 119889119911 Ca urmare a solicitării laturile acestuia se vor lungi sau
scurta Reprezentarea elementului deformat icircn spațiu este dificilă pentru simplificare
vom analiza doar deformațiile din planul 119909119874119910 Observăm că dimensiunile 119889119909 și 119889119910 s-au
modificat cu valoarea ∆119889119909 respectiv cu ∆119889119910 analog se acceptă și pentru 119889119911 o modificare
de forma ∆119889119911 Astfel se pot defini deformațiile specifice liniare
휀119909 =∆119889119909
119889119909 휀119910 =
∆119889119910
119889119910 휀119911 =
∆119889119911
119889119911 (310)
De cele mai multe ori aceste deformații specifice liniare se pot exprima procentual
și se mai numesc alungiri
Fig 39 Starea de deformație
Icircn figura 39c se vede că unghiul inițial drept dintre muchiile 119889119909 și 119889119910 ale
elementului de volum s-a modificat Se definește deformația specifică unghiulară (sau
lunecarea specifică) mărimea cu care se modifică unghiul inițial drept
120574119909119910 = 120574119909119910prime + 120574119910119909
prime = 120574119910119909120574119910119911 = 120574119910119911
prime + 120574119911119910prime = 120574119911119910
120574119911119909 = 120574119911119909prime + 120574119909119911
prime = 120574119909119911
(311)
Deformațiile 휀119909 휀119910 휀119911 120574119909119910 120574119910119911 120574119911119909 constituie cele șase componente
independente ale tensorului deformațiilor specifice care pot fi scrise de forma
119863 =
휀119909 120574119909119910 120574119909119911120574119910119909 휀119910 120574119910119911120574119911119909 120574119911119910 휀119911
(312)
323 Contracţia transversală
Practica arată că odată cu lungirea unei bare apare o micşorare a mărimii secţiunii
transversale mărime numită contracţie transversală figura 310
Fig 310 Contracția transversală
Contracţia transversală este proporţională cu lungirea specifică coeficientul de
proporţionalitate se notează cu 120599 şi se numeşte coeficient de contracţie transversală sau
coeficientul lui Poisson
La o lungire specifică a barei contracţia transversală este dată de relația
휀119905119903 = 휀119910 = 휀119911 = minus120599 ∙ 휀119909 (313)
Semnul minus bdquo-rdquo arată că cele două mărimi sunt contrare dacă una creşte cealaltă
scade şi invers
Considerăm o bară cilindrică de lungime 119897 şi aria secţiunii transversale 119860 solicitată
la icircntindere axială La un moment dat datorită solicitării lungimea barei devine
[119897 ∙ (1 + 휀)] diametrul devine [119889 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)] iar aria secţiunii transversale devine
[119860 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)2] Dacă volumul barei icircnainte de solicitare a fost (119860 ∙ 119897) după solicitare
acesta devine
119881 + ∆119881 = 119860 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)2 ∙ 119897 ∙ (1 + 휀) =
= 119860 ∙ 119897 ∙ (1 + 휀 minus 2 ∙ 120599 ∙ 휀 minus 2 ∙ 120599 ∙ 휀2 + 1205992 ∙ 휀2 + 1205992 ∙ 휀3) (314)
Deoarece lungirile sunt foarte mici ultimii trei termeni din paranteză fiind infinit mici se pot neglija obţinacircnd
119881 + ∆119881 = 119860 ∙ 119897 + 119860 ∙ 119897 ∙ 휀 ∙ (1 minus 2 ∙ 120599) ⟺ ∆119881 = 휀 ∙ (1 minus 2 ∙ 120599) ∙ 119860 ∙ 119897 (315)
Practica arătă că o astfel de bară solicitată la icircntindere icircşi măreşte volumul deci
∆119881 gt 0 de unde rezultă că
1 minus 2 ∙ 120599 gt 0 rArr 120599 lt 05 (316)
Pentru majoritatea materialelor 120599 = 033 iar pentru materialele care-şi păstrează
volumul constant 120599 = 05
33 Relaţii de echivalenţă icircntre eforturi şi tensiuni
Considerăm un element de suprafață infinit mic 119889119860 situat pe fața de arie (119860) a
secțiunii barei din figura 311 Icircn centrul de greutate 119862 al secțiunii acționează eforturile
119873 119879119910 119879119911 119872119909 119872119894119910 și 119872119894119911 determinate prin metoda secțiunilor
Icircn raport cu un sistem de axe de referință 119909119862119910119911 coordonatele elementului 119889119860 sunt
- 119910 este ordonata elementului de arie 119889119860
- 119911 este abscisa elementului de arie 119889119860
Pe elementul de arie 119889119860 acționează tensiunile
120590119909 tensiunea normală
120591119909119910 și 120591119909119911 tensiuni tangențiale
Dacă se icircnsumează forțele elementare de tipul 120590119909 ∙ 119889119860 120591119909119910 ∙ 119889119860 și 120591119909119911 ∙ 119889119860
va trebui să obținem eforturile 119873 119879119910 și 119879119911
Fig 311 Element de suprafață mic din secțiunea unei bare
Dacă eforturile sunt privite ca forțe exterioare și se scriu ecuațiile de
echilibru ale secțiunii (119860) se vor obține șase relații de echivalență icircntre eforturi și
tensiuni
(sum119883) = 0 rArr int 120590119909 ∙ 119889119860
119860
= 119873 (317)
(sum119884) = 0 rArr int 120591119909119910 ∙ 119889119860
119860
= 119879119910 (318)
(sum119885) = 0 rArr int 120591119909119911 ∙ 119889119860
119860
= 119879119911 (319)
(sum119872)119909= 0 rArr int(120591119909119911 ∙ 119889119860) ∙ 119910
119860
minus int(120591119909119910 ∙ 119889119860) ∙ 119911
119860
= 119872119909 rArr
rArr int(119910 ∙ 120591119909119911 minus 119911 ∙ 120591119909119910) ∙ 119889119860
119860
= 119872119909
(320)
(sum119872)119910= 0 rArr int(120590119909 ∙ 119889119860) ∙ 119911
119860
= 119872119894119910 (321)
(sum119872)119911= 0 rArr int(120590119909 ∙ 119889119860) ∙ 119910
119860
= 119872119894119911 (322)
Cele șase relații de echivalență icircntre eforturi și tensiuni constituie un pas icircnainte
icircn rezolvarea unei probleme de rezistența materialelor Aceste relații vor permite
determinarea tensiunilor maxime
Pentru a rezolva cele 6 relații de echivalență trebuie să se cunoască tensiunile și
ca funcții de punct adică funcții de forma
120590119909 = 120590119909(119909 119910 119911) 120591119909119910 = 120591119909119910(119909 119910 119911) 120591119909119911 = 120591119909119911(119909 119910 119911) (32
3)
Cunoașterea acestor funcții presupune icircnsă analizarea aspectului geometric al
problemei precum și utilizarea unor ipoteze simplificatoare care să permită simplificarea
problemelor
34 Ipoteze de bază icircn rezistenţa materialelor
Depășirea dificultăților legate de interpretarea unor fenomene specifice mecanicii
solidului deformabil a impus acceptarea unor ipoteze care să simplifice fenomenele și să
contribuie la elaborarea unor modele de calcul cicirct mai generale și cacirct mai simple Aceste
ipoteze se referă la structura materialelor şi la comportarea lor sub acţiunea forţelor
exterioare Ipotezele acceptate trebuie să fie icircn deplină concordanţă cu realitatea și să
conducă la rezultate verificate icircn practică
Funcție de aspectele la care se referă ipotezele pot fi
Ipoteze fizice (de material)
Ipoteze de calcul
341 Ipoteze fizice
Se acceptă deoarece teoriile structurale au condus la rezultate care contravin
icircncercărilor experimentale
Ipoteza mediului continuu consideră că orice domeniu elementar al corpului
este ocupat de materie adică nu se acceptă existența unor goluri sau a unor crăpături
microscopice (fisuri) Deși nu corespunde realităţii poate fi acceptată deoarece
dimensiunile corpului sunt mult mai mari decacirct dimensiunile particulelor elemantare Are
avantajul că permite utilizarea proprietăților matematice ale funcțiilor continue pentru
tensiunile și deformațiile din orice punct al corpului Ea este mai apropiată de realitate la
corpurile amorfe şi mai depărtată la cele cristaline dar conduce la rezultate satisfăcătoare
icircn calculele de rezistenţă
Ipoteza nu se poate aplica la corpurile care au goluri tăieturi (multiplu conexe)
pentru unele puncte singulare icircn care tensiunile și deformațiile tind la infinit sau icircn unele
probleme de plasticitate icircn care proprietățile de material au un rol esențial
Ipoteza izotropiei conform acestei ipoteze materialul din care este confecționat
un element de rezistență are aceleași proprietăți după orice direcție un astfel de material
este considerat izotrop Din punct de vedere macroscopic metalele pot fi considerate
izotrope deși la nivel microscopic proprietățile lor diferă de la o direcție cristalografică
la alta Orice conglomerat de cristale poate fi considerat izotrop
Există cazuri cacircnd această ipoteză a izotropiei nu se acceptă
la metalele puternic deformate după o direcție (prin laminare trefilare)
la piesele confecționate din lemn lemnul este anizotrop deoarece proprietățile sale
diferă după două direcții (icircn lungul fibrelor și perpendicular pe această direcție)
Ipoteza omogenității consideră că un corp are aceleași proprietăți icircn orice
punct al său Deși majoritatea materialelor utilizate icircn tehnică sunt eterogene la scară
micro fiind constituite din mai multe faze cu proprietăți diferite la scară macro ele pot
fi considerate omogene Omogenitatea și izotropia sunt proprietăți statistice medii care
nu se condiționează una pe cealaltă Chiar și materialele monofazice pot avea la scară
micro unele segregații care le fac eterogene
Ipoteza elasticităţii perfecte presupune că atacircta timp cacirct solicitările nu
depăşesc anumite limite materialul are o comportare elastică adică icircşi recapătă forma şi
dimensiunile iniţiale odată cu icircnlăturarea sarcinilor Icircn realitate materialele nu prezintă o
elasticitate perfectă ele avacircnd deformaţii remanente mici care icircnsă pot fi neglijate icircn
calculele de rezistenţă
Acceptarea acestei ipoteze a elasticității perfecte permite
- aplicarea relației biunivoce icircntre tensiuni și deformații relație exprimată de legea
lui Hooke ( = 119864 ∙ 휀) unde E este un factor de proporţionalitate numit modul de
elasticitate longitudinal al materialului pentru oţel 119864 = 21 ∙ 105 [119872119875119886] - acceptarea valabilității afirmației bdquolucrul mecanic efectuat de forțele exterioare
ca urmare a parcurgerii deplasărilor punctelor de aplicație se icircnmagazinează integral icircn
corp sub formă de energie de deformație energie cedată la icircndepărtarea sarcinilorrdquo
- este valabilă teoria conform căreia bdquoenergia icircnmagazinată și deformațiile depind
doar de starea inițială și finală de eforturi fără a ține cont de modul icircn care s-a ajuns la
starea finalărdquo
Icircn realitate oricacirct de mici ar fi sarcinile aplicate se produc și deformații plastice
dar acestea pot fi neglijate dacă solicitarea nu depășește anumite limite
342 Ipoteze de calcul
Ipoteza micilor deplasări bdquodeplasările datorate deformării sunt mult mai mici
decacirct dimensiunile corpurilor și ca urmare pot fi neglijate produsele dintre o deplasare și
ea icircnsăşirdquo Pentru cele mai multe corpuri deformaţiile elastice sunt de mărimi mici deci
corpurile solide sub acţiunea sarcinilor icircşi modifică foarte puţin forma iniţială Această
ipoteză este cunoscută şi sub denumirea de ipoteza menţinerii dimensiunilor iniţiale Ea
permite scrierea ecuaţiilor de echilibru ale staticii pe starea nedeformată a elementului
cacircnd nu se iau icircn considerare deplasările punctelor de aplicaţie ale forţelor care se produc
ca urmare a deformării acestuia Calculul efectuat pe schema nedeformată poartă numele
de calcul de ordinul I
Ipoteza micilor deplasări nu poate fi acceptată pentru studiul problemelor de
stabilitate sau la problemele la care nu pot fi icircndeplinite condiţiile de echilibru icircn starea
nedeformată
Calculul de ordinul II admite ipoteza micilor deplasări dar ecuaţiile de echilibru
se scriu icircnsă pentru starea deformată a elementului de rezistenţă
Calculul de ordinul III nu mai acceptă ipoteza micilor deplasări el referindu-se
la cazul deformaţiilor mari cacircnd ecuaţiile de echilibru trebuie scrise pentru starea
deformată
Chiar dacă materialul satisface legea lui Hooke icircn urma calculelor de ordinul II
se obţin de obicei relaţii neliniare icircntre sarcini şi deplasări iar pentru calculul de ordinul
III rezultă ecuaţii diferenţiale neliniare
Principiul efectului local al acțiunii sarcinilor enunțat de Barre de Saint-
Venant Acest principiu destul de folosit icircn Rezistenţa Materialelor precizează că dacă
se icircnlocuiesc forţele care acţionează asupra unui element de suprafață al unui corp
elastic printr-un alt sistem de forţe echivalent din punct de vedere static cu primul noua
distribuţie a forţelor produce la locul de aplicare diferenţe semnificative faţă de prima
dar rămacircne fără efect sau cu efect neglijabil la distanţe mari de locul de aplicare al
forţelor figura 312
Ca o cosecință o sarcină uniform distribuită figura 312a poate fi icircnlocuită cu
rezultanta ei figura 312b dacă se analizează efectul sarcinii la distanță mare de locul icircn
care se aplică sarcina
Fig 312 Principiul Saint-Venant
Icircn prima variantă figura 312a forţa 119865 se aplică pe o porțiune oarecare 119897 (sarcină
uniform distribuită) iar icircn a doua figura 312b icircntru-un punct (forţă concentrată) La
locul de aplicare a sarcinii efectul asupra barei este cu totul diferit de la o variantă la
cealaltă Icircnsă la o distanţă mare de punctul de aplicaţie spre exemplu icircn secţiunea situată
la distanţa 119886 de capătul barei sau chiar icircn icircncastrare ambele bare sunt solicitate la fel
Icircn cazul din figura 312a
119872119894(119909) =119901 ∙ 1199092
2 119909 le 119897 119872119894(119909) = 119901 ∙ 119897 ∙ (119909 minus
119897
2) 119909 gt 119897 (324)
Icircn cazul din figura 312b
119872119894(119909) = 0 119909 lt119897
2 119872119894(119909) = 119901 ∙ 119897 ∙ (119909 minus
119897
2) 119909 gt
119897
2 (325)
Se vede că pentru (119909 gt 119897) adică după depășirea locului icircn care se aplică sarcina
efectul este același
Ipoteza lui Bernoulli sau ipoteza secţiunilor plane precizează că o secţiune
plană şi normală pe axa barei icircnainte de deformare rămacircne plană şi normală pe axa
barei şi după deformare figura 313
Fig 313 Ipoteza lui Bernoulli
Ipoteza stării naturale a corpului sau ipoteza absenţei tensiunilor conform
căreia pentru un corp nesolicitat starea de tensiune şi deformaţie este nulă
Perfecţionarea mijloacelor de calcul şi de investigare pot conduce la renunţarea la
unele ipoteze sau la introducerea altora noi mai aproape de stările reale De aici rezultă
caracterul de continuă perfecţionare a metodelor Rezistenţei Materialelor
35 Coeficienţi de siguranţă Tensiuni admisibile
O piesă corespunde din punct de vedere tehnic dacă tensiunile care iau naştere icircn
interiorul piesei datorită sarcinilor aplicate nu depăşesc anumite valori limită stabilite
convenţional Aceste valori limită ale tensiunii sunt corelate cu caracteristicile mecanice
ale materialelor
Tensiunea limită utilizată icircn calculele de rezistenţă este cunoscută sub denumirea
de tensiune admisibilă sau rezistenţă admisibilă Rezistenţa admisibilă reprezintă
valoarea convenţională aleasă icircn calcul pe baza practicii pentru tensiunea maximă care
poate apare icircntr-o piesă icircn condiţii date de material şi solicitare
Rezistenţa admisibilă (120590119886 sau 120591119886) poate fi definită faţă de o stare limită
periculoasă stare care trebuie evitată deoarece poate conduce distrugere
120590119886 =120590119897119894119898119888
(326)
unde
120590119897119894119898 este tensiunea corespunzătoare stării limită periculoase
119888 estesupraunitar 119888 gt 1 și reprezintă coeficientul de siguranţă faţă de starea limită
periculoasă considerată
Alegerea unor valori inferioare pentru rezistenţa admisibilă faţă de tensiunea
corespunzătoare stării limită periculoase este necesară deoarece
cunoaşterea sarcinilor este de cele mai multe ori aproximativă şi o depăşire a
acestora este foarte posibilă
caracteristicile mecanice ale materialelor variază icircn limite destul de mari ele
fiind influenţate de mulţi factori
schema aleasă pentru calcul (aplicarea sarcinilor schematizarea structurii
ipotezele de calcul etc) depărtează modelul faţă de cel real
Pentru calculele de verificare tensiunea efectivă maximă din elementul de
rezistenţă trebuie să fie mai mică sau cel mult egală cu cea admisibilă
120590119890119891119898119886119909 le 120590119886 (327)
Valoarea rezistenţei admisibile este influenţată de foarte mulţi factori natura
materialului tratamentele termice aplicate piesei durata de funcţionare a piesei modul
de acţionare icircn timp a sarcinilor felul solicitării temperatura gradul de periculozitate
icircn cazul cedării piesei etc
De asemenea valoarea coeficientului de siguranţă se alege icircn principal ţinacircnd
seama de aceiaşi factori care influenţează şi rezistenţa admisibilă
Rezistenţele admisibile pentru cacircteva materiale sunt următoarele
pentru oțelul de uz general OL37 solicitat la icircntindere compresiune sau
icircncovoiere 120590119886 = 150 [119872119875119886] pentru lemnul de brad solicitat la
- compresiune icircn lungul fibrelor şi solicitat la icircncovoiere 120590119886 = 10 [119872119875119886] - tracţiune icircn lungul fibrelor 120590119886 = 7 [119872119875119886] - compresiune perpendiculară pe fibre 120590119886 = 15 [119872119875119886] - forfecare icircn lungul fibrelor 120591119886 = 2 [119872119875119886] - forfecare perpendiculară pe fibre 120590119886 = 45 [119872119875119886]
terenuri de fundaţie din pămacircnt uscat sau umed 120590119886 = 020 divide 025 [119872119875119886]
4 CARACTERISTICI GEOMETRICE ALE SECȚIUNILOR PLANE
41 Noţiuni introductive
Icircn relaţiile de calcul ale tensiunilor şi deformaţiilor elementelor de rezistenţă
pentru unele solicitări (icircncovoierea și torsiunea) secțiunile plane intervin atacirct prin
dimensiunile lor (aria 119860) cicirct și prin forma și poziția pe care o are secțiunea icircn raport cu
planul solicitării Mărimile care caracterizează o secțiune icircn raport cu forma și poziția față
de axele unui sistem de referință sunt denumite caracteristici geometrice de ordin
superior Aria secțiunii este caracteristica geometrică ce depinde doar de dimensiunile
geometrice ale acesteia
Să considerăm o grindă solicitată de o forță exterioară 119865 aşezată icircn două poziții icircn
raport cu planul forţei figura 41 Icircn urma aplicării forței deși avem aceeași grindă
(aceeași arie a secțiunii transversale) și aceeași forță se constată că pentru varianta din
figura 41a deformațiile sunt mult mai mari adică rezistența la icircncovoiere a grinzii din
figura 41a este mai mare decacirct icircn cazul grinzii din figura 41b Comportarea diferită se
explică prin aceea că modificarea poziţiei secţiunii transversale faţă de planul forţelor
modifică caracteristicile geometrice ale secţiunii transversale a grinzii
Fig 41 Grindă solicitată de forța 119865
Pentru realizarea calculelor de rezistenţă şi rigiditate este foarte importantă
cunoaşterea caracteristicilor geometrice ale suprafeţei secţiunii transversale a elementelor
de rezistenţă
Caracteristicile geometrice ale secţiunii transversale a unui element de rezistenţă
sunt
- aria secțiunii notată cu 119860
- momentul static icircn raport cu o axă notat 119878119911 și respectiv 119878119910
- momentul de inerție care poate fi
axial notat 119868119911 și respectiv 119868119910
centrifugal notat 119868119911119910
polar notat 119868119901
- raza de inerţie (giraţie)notată 119894119911 și respectiv 119894119910
- modulul de rezistență care poate fi
axial notat 119882119911 și respectiv 119882119910
polar notat 119882119901
42 Aria și momentul static al suprafețelor plane
Fie o suprafaţă plană de arie 119860 pe care se ia un element infinit mic de arie 119889119860 şi
un sistem de axe rectangulare 119911119874119910 figura 42 Notăm cu 119862 centrul de greutate al suprafeţei
119860 Poziţia suprafeţei elementare 119889119860 faţă de acelaşi sistem de coordonate 119911119874119910 este dată
de abscisa 119911 ordonata 119910 și raza polară
Fig 42 Suprafață plană de arie 119860
Aria suprafeţei 119860 figura 42 se defineşte ca fiind
119860 ≝ int 119889119860
119860
(41)
Aria suprafeţei este icircntotdeauna pozitivă și se măsoară icircn [1198981198982] Momentul static al suprafeţei de arie 119860 icircn raport cu axele 119874119911 și respectiv 119874119910
figura 42 sunt date de relaţiile
119878119911 ≝ int 119910 ∙ 119889119860
119860
119878119910 ≝ int 119911 ∙ 119889119860
119860
(42)
Momentul static poate fi pozitiv negativ sau nul şi se măsoară icircn [1198981198983] Coordonatele centrului de greutate ale suprafeței 119860 se detrmină cu relațiile
119910119862 ≝int 119910 ∙ 119889119860119860
119860 119911119862 ≝
int 119911 ∙ 119889119860119860
119860
(43)
Cunoscacircnd coordonatele 119910119862 și 119911119862 ale centrului de greutate 119862 al secțiunii 119860 atunci
momentele statice se pot determina cu relațiile
119878119911 ≝ int 119910 ∙ 119889119860
119860
= 119910119862 ∙ 119889119860 119878119910 ≝ int 119911 ∙ 119889119860
119860
= 119911119862 ∙ 119889119860 (44)
Aceste relații arată că momentul static al unei suprafețe icircn raport cu o axă este
egal cu produsul dintre aria suprafeței și distanța de la centrul ariei la axa respectivă
Dacă suprafaţa se poate descompune icircn 119899 suprafeţe simple la care se cunosc ariile
(1198601 1198602 ⋯ 119860119894⋯ 119860119899) și poziţiile centrelor de greutate 119862119894 faţă de sistemul de referinţă
expresiile momentelor statice capătă următoarea formă
119878119911 = sum 119910119862119894 ∙ 119860119894119899119894=1 = 119910119862 ∙ 119860 119878119910 = sum 119911119862119894 ∙ 119860119894
119899119894=1 = 119911119862 ∙ 119860 (45)
Din relaţiile (45) rezultă că poziţia centrului de greutate 119862 al unei suprafeţe
compuse poate fi determinată cu relaţiile
119910119862 = (sum119910119862119894 ∙ 119860119894
119899
119894=1
) 119860frasl 119911119862 = (sum119911119862119894 ∙ 119860119894
119899
119894=1
) 119860frasl (46)
Icircn relația (45) 119910119862119894 și respectiv 119911119862119894 reprezintă coordonatele centrelor de greutate 119862119894
ale fiecărei suprafețe simple 119860119894 icircn raport sistemul de axe 119911119874119910
Se constată (relaţia 42) că dacă axele sistemului de referinţă trec prin centrul de
greutate (119910119862 = 119911119862 = 0) momentele statice sunt nule Axele icircn raport cu care momentele
statice sunt nule şi care trec prin centrul de greutate al suprafeţei se numesc axe centrale
Observație dacă secțiunea compusă are o axă de simetrie centrul secțiunii se
găsește pe acea axă iar dacă secțiunea este dublu simetrică poziția centrului secțiunii este
la intersecția axelor de simetrie
43 Momente de inerţie
Momentele de inerţie axiale ale unei suprafețe se calculează icircn raport cu axele de
coordonate 119874119911 și respectiv 119874119910 figura 42 și se determină cu relațiile
119868119911 ≝ int 1199102 ∙ 119889119860
119860
119868119910 ≝ int 1199112 ∙ 119889119860
119860
(47)
Unde 119910 și 119911 sunt distanțele de la elementul de arie 119889119860 la cele două axe de
coordonate 119874119911 și respectiv 119874119910
Momentele de inerţie axiale se măsoară icircn [1198981198984] şi sunt icircntotdeauna pozitive (aria
119889119860 este icircntotdeauna pozitivă și este multiplicată cu patratul distanței 1199102 dacă 119868119911 sau 119868119910
sunt nule icircnseamnă ca secțiunea nu există)
Momentele de inerție axiale se calculează icircndeosebi pentru axele centrale (care
trec prin centrul secțiunii) deoarece icircn raport cu acele axe 119868119911 și 119868119910 au valori minime
Momentul de inerţie centrifugal calculat faţă ambele axe ale sistemului de
referinţă 119911119874119910 este definit de relația
119868119911119910 ≝ int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860
(48)
Momentul de inerţie centrifugal se măsoară icircn [1198981198984] şi poate fi pozitiv negativ
sau nul
Momentul de ineție centrifugal este nul 119868119911119910 = 0 dacă cel puțin una din axele 119874119911
sau 119874119910 este axă de simetrie pentru secțiune
Se consideră o suprafaţă dreptunghiulară pe care faţă de axa de simetrie 119874119910 se iau
două suprafeţe elementare de arie 119889119860 simetrice faţă de axa 119874119910 figura 43
Fig 43 Suprafață dreptunghiulară cu două arii elementare 119889119860
Făcacircnd suma momentelor de inerţie centrifugale pentru cele două suprafeţe
elementare 119889119860 (din stacircnga şi din dreapta faţă de axa 119874119910) se obţine
int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860119889119903
+ int (minus119911) ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860119904119905119892
= int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860119889119903
minus int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860119904119905119892
= 0 (49)
Acelaşi raţionament se poate face și pentru icircntreaga suprafaţă de unde obținem că
momentul de inerție centrifugal este nul 119868119911119910 = 0 Deci pentru o suprafaţă plană care
are cel puţin o axă de simetrie momentul de inerţie centrifugal faţă de sistemul care
conţine acea axă de simetrie este nul
Momentul de inerţie polar al unei suprafeţei icircn raport cu un punct (pol) 119874 figura
42 este definit prin relaţia
1198680 = 119868119901 ≝ int 1205882 ∙ 119889119860
119860
= int(1199102 + 1199112) ∙ 119889119860
119860
= 119868119911 + 119868119910 (410)
unde este distanţa de la polul 119874 la elementul de arie 119889119860 Momentul de inerţie polar se
măsoară icircn [1198981198984] şi este totdeauna pozitiv
Momentul de inerţie polar este egal cu suma momentelor de inerţie faţă de două axe
perpendiculare oarecare şi care trec prin polul considerat
Razele de giraţie sau razele de inerţie sunt mărimi calculate icircn raport cu axele
secțiunii și definite de relaţiile
119894119911 ≝ radic119868119911119860 119894119910 = radic
119868119910
119860 (411)
Se exprimă icircn [119898119898] şi sunt icircntotdeauna pozitive Semnificația unei raze de inerție
este distanța la care dacă ar fi concentrată icircntreaga arie s-ar obține același moment de
inerție ca și cel calculat pentru aria reală
44 Modulul de rezistenţă
Modulul de rezistență se calculează icircn raport cu axele de referință sau icircn raport cu
un pol figura 42 și pot fi axiale (119882119911119882119910) sau polar (119882119901) și se determină numai pe baza
momentelor de inerţie cu relațiile figura 43
119882119911119898119894119899 ≝119868119911119910119898119886119909
119882119911119898119886119909 ≝119868119911119910119898119894119899
(412)
119882119910119898119894119899 ≝119868119910
119911119898119886119909 119882119910119898119886119909 ≝
119868119910
119911119898119894119899 (413)
119882119901 ≝119868119901
120588119898119886119909 (414)
unde
119910119898119886119909 119910119898119894119899 reprezintă distanţa de la axa 119874119911 la punctele extreme cele mai
depărtate respectiv cele mai apropiate ale suprafeţei de această axă
119911119898119886119909 119911119898119894119899 reprezintă distanţa de la axa 119874119910 la punctele extreme cele mai
depărtate respectiv cele mai apropiate ale suprafeţei de această axă
120588119898119886119909 reprezintă distanța maximă de la polul 119874 la punctul secțiunii cel mai
icircndepărtat de acesta
Fig 43 Suprafață dreptunghiulară cu două arii elementare 119889119860
Modulele de rezistenţă se exprimă icircn [1198981198983] şi sunt icircntotdeauna pozitive
Explicația este aceea că momentele de inerție care intră icircn relațiile de definiție sunt
pozitive iar distanțele la punctele extreme sunt pozitive (119910119898119886119909 119910119898119894119899 119911119898119886119909 119911119898119894119899 120588119898119886119909 se
iau icircn valoare absolută)
Icircn cazul suprafeţelor compuse modulul de rezistenţă nu se obţine prin icircnsumarea
algebrică a modulelor de rezistenţă ale suprafeţelor simple componente ci numai prin
intermediul momentului de inerţie axial calculat pentru icircntreaga secțiune
Ca și momentele de inerție modulele de rezistență se calculează numai pentru
sistemele de axe centrale
45 Momente de inerţie şi module de rezistenţă pentru suprafeţe simple
451 Secțiune dreptunghiulară
Fie suprafaţa dreptunghiulară din figura 44 de icircnălțime ℎ și lățime 119887 pe care se
consideră suprafaţă elementară de arie 119889119860 = 119887119889119910 la distanța 119910 de axa 119862119911 sistemul de
axe 119911119862119910 trece prin centrul secțiunii iar axele sunt axe de simetrie pentru dreptunghi
Fig 44 Suprafață dreptunghiulară
Pe baza relațiilor de definiți a momentului de inerție 119868119911 se obține
119868119911 ≝ int 1199102 ∙ 119889119860
119860
= int 1199102 ∙ 119887 ∙ 119889119910 = 2int 1199102 ∙ 119887 ∙ 119889119910 = 2 ∙ 119887 ∙1199103
3|ℎ 2frasl
0rArr
ℎ 2frasl
0
ℎ 2frasl
minusℎ 2frasl
rArr 119868119911 =119887 ∙ ℎ3
12
(415)
Analog pentru un element de arie 119889119860 = ℎ ∙ 119889119911 paralel cu axa 119862119910 situat la distanța
119911 de axa 119862119910
119868119910 ≝ int 1199112 ∙ 119889119860
119860
= int 1199112 ∙ ℎ ∙ 119889119911 = 2int 1199112 ∙ ℎ ∙ 119889119910 = 2 ∙ ℎ ∙1199113
3|119887 2frasl
0rArr
119887 2frasl
0
119887 2frasl
minus119887 2frasl
rArr 119868119910 =1198873 ∙ ℎ
12
(416)
Deoarece axele 119862119911 și 119862119910 sunt axe de simetrie momentul de inerție centrifugal este
119868119911119910 = 0 (417)
Pentru un pătrat avacircnd laturile egale (ℎ = 119887 = 119886) momentele de inerţie faţă de
axele centrale au expresia
119868119911 = 119868119910 =1198864
12 (418)
Modulele de rezistență axiale se calculează cu relațiile de definiție ținacircnd cont că
distanțele pacircnă la fibrele extreme sunt
119910119898119886119909 = 119910119898119894119899 =ℎ
2 119911119898119886119909 = 119911119898119894119899 =
119887
2 (419)
Obținem
119882119911119898119894119899 = 119882119911119898119886119909 =119868119911
119910119898119886119909119898119894119899=119887 ∙ ℎ3
12frasl
ℎ2frasl
=119887 ∙ ℎ2
6
119882119910119898119894119899 = 119882119910119898119886119909 =119868119910
119911119898119886119909119898119894119899=1198873 ∙ ℎ
12frasl
1198872frasl
=1198872 ∙ ℎ
6
(420)
452 Suprafaţă circulară
Din motive de simetrie pentru suprafeţele circulare momentele de inerţie faţă de
orice diametru (care reprezintă şi axe centrale) sunt aceleaşi
Considerăm o secțiune circulară plină cu diametrul 119889 și centrul de greutate 119862 Prin
centrul de greutate 119862 trece sistemul de axe ortogonal 119911119862119910 figura 45
Fig 45 Suprafață circulară
La distanța de centrul de greutate 119862 vom lua un element de suprafață mic de arie
(119889119860) de forma unui inel de grosime 119889 Elementul de arie 119889119860 are expresia
119889119860 = (2 ∙ 120587 ∙ 120588) ∙ (119889120588)
Pornind de la relația de definiție a momentului de inerție polar obținem
119868119901 ≝ int 1205882 ∙ 119889119860
119860
= int 1205882 ∙ (2 ∙ 120587 ∙ 120588) ∙ 119889120588
119903=119889 2frasl
0
= 2 ∙ 120587 ∙1205884
4|119889 2frasl0 rArr
rArr 119868119901 =120587 ∙ 1198894
32
(421)
Secțiunea este perfect simetrică deci sunt valabile relațiile
119868119911 = 119868119910 rArr 119868119901 = 119868119911 + 119868119910 = 2 ∙ 119868119911 = 2 ∙ 119868119910 =119868119901
2=120587 ∙ 1198894
64 (422)
Și modulele de rezistenţă faţă de orice diametru sunt egale şi se calculează cu
relaţiile
119882119911 = 119882119910 =1198681199111198892frasl=120587 ∙ 1198893
32 (423)
Modulul de rezistenţă polar este
119882119901 =1198681199011198892frasl=120587 ∙ 1198893
16 (424)
453 Secţiune inelară
Calculul momentelor de inerţie axiale pentru o secţiune inelară avacircnd diametrul
interior 119889 şi diametrul exterior 119863 se determină analog pentru suprafaţa circulară plină cu
observaţia că integrala pentru calculul momentului de inerție polar 119868119901 se face icircntre
limitele 119903 = 119889 2frasl şi R= 1198632frasl (icircntre raza interioară 119903 şi raza exterioară 119877) figura 46
Se obţin relaţiile
119868119901 =120587 ∙ 1198634
32∙ [1 minus (
119889
119863)4
] =120587 ∙ 1198634
32∙ (1 minus 1198964) (425)
119868119910 = 119868119910 =120587 ∙ 1198634
64∙ [1 minus (
119889
119863)4
] =120587 ∙ 1198633
64∙ (1 minus 1198964) (426)
Fig 46 Secțiune inelară
119882119901 =120587 ∙ 1198633
16∙ [1 minus (
119889
119863)4
] =120587 ∙ 1198633
16∙ (1 minus 1198964) (427)
119882119911 = 119882119910 =120587 ∙ 1198633
32∙ [1 minus (
119889
119863)4
] =120587 ∙ 1198633
32∙ (1 minus 1198964) (428)
unde 119896 = 119889119863frasl
46 Variaţia momentelor de inerţie faţă de axe paralele
( Relațiile lui STEINER)
Se consideră o suprafaţă oarecare de arie 119860 cu elementul de arie 119889119860 și un sistemul
de axe central 119911119862119910 faţă de care se cunosc momentele de inerţie 119868119911 119868119910 119868119911119910 şi considerăm
un sistem de axe 11991111198741199101 paralele cu sistemul central figura 47 Se pune problema
determinării momentele de inerţie 1198681199111 1198681199101 11986811991111199101 faţă de sistemul de axe paralel cu sistemul
central 11991111198741199101 axe aflate la distanţele 119910119862 = 119888 respectiv 119911119862 = 119889 de acesta
461 Momente de inerţie axiale
Pe baza relaţiilor de definire şi a notaţiilor din figura 42 pentru momentele de
inerţie faţă de axele 1198741199111 1198741199101 se poate scrie
1198681199111 = int 11991012 ∙ 119889119860
119860
= int(119910 + 119888)2 ∙ 119889119860
119860
= int 1199102 ∙ 119889119860
119860
+ 2 ∙ 119888 ∙ int 119910 ∙ 119889119860
119860
+
+1198882int 119889119860
119860
rArr 1198681199111 = 119868119911 + 2 ∙ 119888 ∙ 119878119911 + 1198882 ∙ 119860 hArr 1198681199111 = 119868119911 + 119888
2 ∙ 119860
(429)
Fig 47 Variaţia momentelor de inerţie față de axe paralele
S-a ajuns la relația (429) deoarece momentul static 119878119911 este nul deoarece axa 119862119885
este axă centrală
Pentru momentul de inerție axial icircn raport cu axa 1198741199101 se obține
1198681199101 = int 11991112 ∙ 119889119860
119860
= int(119911 + 119889)2 ∙ 119889119860
119860
= int 1199112 ∙ 119889119860
119860
+ 2 ∙ 119889 ∙ int 119911 ∙ 119889119860
119860
+
+1198892 ∙ int 119889119860
119860
rArr 1198681199101 = 119868119910 + 2 ∙ 119889 ∙ 119878119910 + 1198892 ∙ 119860 hArr 1198681199101 = 119868119910 + 119889
2 ∙ 119860
(430)
Pentru momentul de inerție centrifugal obținem
11986811991111199101 = int 1199101 ∙ 1199111 ∙ 119889119860
119860
= int(119910 + 119888) ∙ (119911 + 119889) ∙ 119889119860
119860
= int 119910 ∙ 119911 ∙ 119889119860 +
119860
+119888 ∙ int 119911 ∙ 119889119860
119860
+ 119889 ∙ int 119910 ∙ 119889119860
119860
rArr 11986811991111199101 = 119868119911119910 + 119888 ∙ 119889 ∙ 119860
(431)
Deoarece
int 119911 ∙ 119889119860
119860
= 119878119910 = 0 int 119910 ∙ 119889119860
119860
= 119878119911 = 0 int 119910 ∙ 119911 ∙ 119889119860
119860
= 119868119911119910
Relaţiile (429) şi (430) arată că momentul de inerţie faţă de o axă oarecare
este egal cu momentul de inerţie faţă de o axă paralelă cu ea trecacircnd prin centrul de
greutate la care se adaugă produsul dintre aria suprafeţei şi pătratul distanţei dintre
cele două axe
Din relaţiile (429) și (430) rezultă de asemenea că momentul de inerţie faţă de o
axă centrală (care trece prin centrul de greutate) este cel mai mic dintre infinitatea de
momente de inerţie obținute faţă de alte axe paralele cu ea
Relaţia (431) arată de asemenea că momentul de inerţie centrifugal faţă de un
sistem de axe oarecare este egal cu momentul de inerţie centrifugal faţă de un sistem
paralele cu el trecacircnd prin centrul de greutate a suprafeţei la care se adaugă produsul
dintre aria suprafeţei şi distanţele dintre axele sistemelor respective
Icircn literatura de specialitate relaţiile (429) (430) şi (431) sunt cunoscute sub
numele de relaţiile lui Steiner
47 Variaţia momentrlor de inerţie faţă de axe rotite
Direcţii principale şi momente de inerţie principale
Fie suprafaţa plană din figura 48 de arie 119860 pe care considerăm o suprafaţă
elementară de arie 119889119860 Pentru sistemul de axe 119911119874119910 se cunosc momentele de inerţie
119868119911 119868119910 119868119911119910 şi vom determina relaţiile de calcul pentru momentele de inerţie afererent unui
sistem de axe 11991111198741199101 rotit cu un unghi faţă de sistemul central
Faţă de sistemul de axe 11991111198741199101 elementul de arie 119889119860 are coordonatele
1199101 = 119875119877 = 119875119876 minus 119877119876 = 119910 ∙ cos 120572 minus 119911 ∙ sin 120572
1199111 = 119873119872 = 119873119875 minus 119875119872 = 119911 ∙ cos 120572 + 119910 ∙ sin 120572 (432)
Fig 47 Variaţia momentelor de inerţie față de axe rotite
Pe baza relaţiilor de calcul ale momentelor de inerţie şi a notaţiilor din figura 42
şi ale relaţiilor (432) momentele de inerţie faţă de sistemul de axe rotit 11991111198741199101 sunt
1198681199111 =119868119911 + 119868119910
2+119868119911 minus 119868119910
2∙ cos 2120572 minus 119868119911119910 ∙ sin 2120572 (433)
1198681199101 =119868119911 + 119868119910
2minus119868119911 minus 119868119910
2∙ cos 2120572 + 119868119911119910 ∙ sin 2120572 (434)
11986811991111199101 =119868119911 minus 119868119910
2∙ sin 2120572 + 119868119911119910 ∙ cos 2120572 (435)
Din relaţiile 433divide435 se observă că icircntre momentele de inerţie axiale şi cele
polare există relaţia
1198681199111 + 1198681199101 = 119868119911 + 119868119910 = 119868119901 (436)
adică suma momentelor de inerţie axiale icircn raport cu orice pereche de axe ortogonale
care trec printr-un pol dat este o constantă şi egală cu momentul de inerţie polar
Prin rotirea sistemului de axe din relaţiile 433divide435 rezultă că momentele de inerţie
variază icircnsă suma lor rămacircne constantă deci există o poziţie a sistemului de axe pentru
care momentele de inerţie au valori extreme maxim respectiv minim
471 Direcţii principale de inerţie
Valoarea unghiului 120572 pentru care momentele de inerţie axiale au valori extreme
este
1205721 =1
2∙ 119886119903119888119905119886119899 (minus
2 ∙ 119868119911119910
119868119911 minus 119868119910) (437)
Poziţia celeilalte direcţii este perpendiculară pe cea dată de unghiul 1205721
Din relaţia (437) se constată că faţă de aceste direcţii rotite pentru care momentele
de inerţie axiale prezintă valori extreme momentul de inerţie centrifugal 11986811991111199101este nul
Atunci se poate afirma că momentele de inerţie axiale au valori extreme icircn raport cu
direcţiile faţă de care momentul de inerţie centrifugal este nul Aceste direcţii se numesc
direcţii principale iar momentele de inerţie faţă de aceste direcţii poartă numele de
momente de inerţie principale
Icircn calculele de rezistenţă interesează icircn mod special poziţia direcţiilor principale
care trec prin centrul de greutate al suprafeţei aşa numitele direcţii principale centrale şi
evident momentele de inerţie principale centrale
Direcţiile principale de inerţie se notează cu 1 respectiv 2 Axa principală 1
corespunde direcţiei faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea maximă iar
axa principală 2 pentru direcţia faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea
minimă
472 Momente de inerţie principale
Momentele de inerţie principale se notează cu litera 119868 la care se pune indicele 1
sau 2 după cum valoarea acestuia este maximă sau minimă deci avem un moment de
inerţie principal 1 (notat 1198681) respectiv moment de inerţie principal 2 (notat 1198682)
Expresiile pentru momentele de inerţie principale sunt
11986812 =119868119911 + 119868119910
2plusmn1
2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)
2+ 4 ∙ (119868119911119910)
2 (438)
Dacă momentul de inerţie centrifugal este negativ (119868119911119910 lt 0) direcţia principală
care trece prin primul cadran (definit de sistemul 119911119862119910) este direcţia principală 120783
Pentru suprafeţele cu cel puţin o axă de simetrie direcţiile centrale 119862119911 119862119910 sunt şi
direcții principale de inerţie și evident momentele de inerţie axiale 119868119911 119868119910 sunt momente
de inerţie principale
48 Caracteristici mecanice ale metalelor
Alegerea materialului pentru confecţionarea unei anumite piese se face şi pe baza
aşa numitelor caracteristici mecanice pe care le prezintă materialul Cunoaşterea acestor
caracteristici mecanice are loc numai pe baza unor icircncercări mecanice care să scoată icircn
evidenţă comportarea materialului icircn condiţii de solicitare
Cea mai utilizată icircncercare icircn urma căreia se pun icircn evidenţă caracteristicile
mecanice ale unui material este icircncercarea la tracţiune
481 Icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general
Icircncercarea la tracţiune a oţelului ca de altfel toate icircncercările de materiale este
standardizată
Icircn cele ce urmează se va prezenta numai partea care interesează strict din punct
de vedere al caracteristicilor mecanice ale oţelului
Epruveta de diametru iniţial 1198890 pentru icircncercarea la tracţiune are o porţiune de
lungime 1198710 numită baza de măsurare pe care se măsoară lungirea acesteia sub acţiunea
solicitării
Icircn funcţie de raportul dintre baza de măsurare 1198710 şi diametrul iniţial 1198890 epruvetele
utilizate pentru icircncercări sunt
epruvete normale (scurte) cacircnd 11987101198890 = 5
epruvete lungi cacircnd 11987101198890 = 10
Icircn timpul icircncercării la diferite valori ale forţei 119865 se măsoară lungirea bazei de
măsurare
∆119871 = 120575 = 119871 minus 1198710 (439)
unde
119871 este dimensiunea bazei de măsurare la un moment dat
Curba forţă-lungire (119865 minus ) icircnregistrată icircn urma icircncercării reprezintă curba
caracteristică la tracţiune
La icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general diagrama caracteristică care se
obţine are forma din figura 48
Curba caracteristică la tracţiune depinde de lungimea bazei de măsurare Pentru
icircnlăturarea acestui neajuns curba caracteristică se reprezintă icircn coordonate şi definite
astfel
120590 =119865
1198600 휀 =
120575
1198710 (440)
unde
1198600 este aria iniţială a secţiunii transversale a epruvetei (icircnainte de solicitare) icircn
zona bazei de măsurare
1198600 =120587 ∙ 1198890
2
4
Deoarece mărimile icircn care se reprezintă curba caracteristică la tracţiune sunt
raportate la aria iniţială a secţiunii transversale (mărimi specifice) curba poartă numele
de curbă caracteristică convenţională la tracţiune
Fig 48 Curba caracteristică convenţională la tracțiune
Pe curba caracteristică convenţională la tracţiune figura 48 se pot stabili o serie
de puncte cărora le corespund mai multe mărimi importante
Ordonata punctului A pacircnă unde curba caracteristică convenţională este linie
dreaptă se numeşte limita de proporţionalitate a materialului 120590119901(1205901) Porţiunea 119874119860 este
zona de proporţionalitate a curbei caracteristice pe acest domeniu este valabilă legea lui
Hooke care exprimă o proporţionalitate icircntre tensiune şi deformaţie specifică
120590 = 119864 ∙ 휀 (441)
unde
119864 = reprezintă panta porţiunii liniare a curbei convenționale caracteristice
la tracțiune Caracteristica de material 119864 se numeşte modul de elasticitate longitudinal
(modulul lui Young)
Ordonata punctului 119861 pacircnă unde materialul se comportă perfect elastic adică
după descărcare icircşi recapătă dimensiunea iniţială 1198710 se numeşte limita de elasticitate
120590119890(119877119890) Icircn realitate nici un material nu are comportare perfect elastică sub acţiunea
solicitărilor el capătă deformaţii permanente (remanente plastice)
După punctul 119861 urmează o porţiune 119861119862119863 icircn care cu toate că icircncărcarea
continuă forţa nu mai creşte avacircnd mici oscilaţii icircn jurul unei valori Se spune că icircn
această porţiune materialul curge iar intervalul 119861119862119863 este un palier de curgere Tensiunea
corespunzătoare palierului de curgere se numeşte limită de curgere aparentă 120590119888(119877119888) Limita de curgere aparentă se calculează cu relaţia
120590119888 =1198651198881198600 (442)
unde
119865119888 reprezintă valoarea forţei icircnregistrată icircn momentul curgerii materialului
După punctul 119863 curba caracteristică are un traseu ascendent pacircnă icircn punctul 119864
Porţiunea 119863119864 este numită zonă de icircntărire (ecruisare) Icircn zona de ecruisare unde se
produc deformaţii plastice semnificative legea lui Hooke nu mai este valabilă La
descărcare relaţia dintre tensiunea şi deformaţia specifică este liniară paralelă cu
porţiunea liniară a curbei caracteristice (dreapta 119872119873)
Deformaţia totală (휀119905) are două componente una elastică (휀119890) şi una plastică (휀119901)
Ordonata punctului 119864 reprezintă rezistenţa de rupere 120590119903(119877119898) a materialului
care se poate calcula cu relaţia
120590119903 = 119877119898 =1198651198981198861199091198600
(443)
unde
119865119898119886119909 reprezintă valoarea maximă a forţei icircnregistrată icircn timpul icircncercării
La atingerea valorii 119865119898119886119909 (punctul 119864) icircntr-un anumit loc al epruvetei secţiunea
icircncepe să se micşoreze (se produce gacirctuirea) continuacircnd pacircnă cacircnd se produce ruperea
totală (punctul 119865)
Dacă după ruperea epruvetei cele două părţi rezultate se aşează cap la cap şi se
măsoară dimensiunea bazei de măsurare 119871119906 (lungimea ultimă) se determină alungirea la
rupere sau lungirea specifică la rupere 휀119903
휀119903 =119871119906 minus 11987101198710
=∆119871
1198710=120575
1198710 (444)
De obicei alungirea se exprimă icircn procente şi se notează cu 119860119899 unde 119899 reprezintă
numărul dat de raportul 11987101198890 (epruvete normale 119899 = 5 epruvete lungi 119899 = 10)
119860119899 =119871119906 minus 11987101198710
∙ 100 [] (445)
Altă mărime care se determină la icircncercarea la tracţiune este gacirctuirea la rupere
(exprimată de obicei icircn procente) şi definită de relaţia
119885 =1198600 minus 1198601199061198600
∙ 100 [] (446)
Mărimile determinate limita de proporţionalitate modulul de elasticitate
longitudinal limita de elasticitate limita de curgere aparentă rezistenţa de rupere
alungirea la rupere şi gacirctuirea la rupere sunt cunoscute ca fiind caracteristici mecanice
ale materialului
Din curba caracteristică convenţională observăm faptul că ruperea (punctul 119865 din
figura 48 se produce la o tensiune mai mică decacirct cea corespunzătoare punctului 119864 Dacă
icircnsă forţa din timpul icircncercării s-ar raporta la aria secţiunii din momentul icircnregistrării
forţei (care este mai mică decacirct cea iniţială 1198600) s-ar obţine aşa numita curbă
caracteristică reală a materialului (traseul 1198741198601198611198621198631198651 din figura 48) La curba
caracteristică reală ruperea se produce icircn punctul 1198651 la o icircncărcare mai mare decacirct cea
corespunzătoare punctului 119864 Icircnseamnă că rezistenţa reală la rupere este mai mare decacirct
rezistenţa la rupere dată de punctul 119864 din diagrama caracteristică convenţională
Dificultatea obţinerii diagramei caracteristice reale faţă de cea a diagramei caracteristice
convenţionale şi considerarea unei rezistenţe la rupere mai mică decacirct a celei reale face
icircn practică utilizarea pe scară mare a diagramei caracteristice convenţionale
Caracteristicile mecanice determinate pe baza curbei caracteristice convenţionale
sunt şi ele caracteristici mecanice convenţionale
Caracteristicile mecanice convenţionale limita de proporţionalitate convenţională
120590119901 limita de elasticitate convenţională 120590119890 limita de curgere convenţională 120590119888 şi rezistenţa
de rupere 120590119903 constituie tensiuni limită pentru un material Pe baza acestor caracteristici
de material se alege valoarea tensiunii admisibile 120590119886 (vezi paragraful 35) pentru
calculele de rezistenţă Cea mai utilizată stare limită pentru stabilirea tensiunii admisibile
120590119886 este limita de curgere convenţională 120590119888
120590119886 =120590119897119894119898119888
=120590119888119888 119904119886119906 120590119886 =
120590119903119888 (447)
Caracteristicile mecanice ale materialului sunt influenţate de o serie de factori
temperatura viteza de solicitare factorii tehnologici iar valorile lor sunt date icircn tabele și
diagrame
Aplicaţie Pentru suprafaţa plană compusă din două dreptunghiuri avacircnd
dimensiunile din figura 49a să se calculeze
a) centrul de greutate al secțiunii compuse 119910119866 119911119866
b) momentele de inerție axiale 119868119911 119868119910 și momentul de inerție centrifugal 119868119911119910
c) razele de inerție 119894119911 119894119910
d) modulele de rezistență 119882119911119898119894119899 119882119911119898119886119909 119882119910119898119894119899 119882119910119898119886119909
e) momentele de inerție principale 1198681 1198682 și direcțiile principale de inerție 1205721
f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 119878119911
Fig 49 Aplicație
Rezolvare Pentru rezolvare vom parcurge următoarele etape
icircmpărțim suprafața compusă icircn două suprafețe simple (dreptunghiuri) notate cu
① și respectiv ② figura 49b
poziționăm centrele de greutate a celor două suprafețe simple ① și respectiv ②
notate cu 1198661 și respectiv 1198662 figura 49c
poziționăm sistemele de axe de coordonate 119911111986611199101 pentru dreptunghiul ① și
119911211986621199102 pentru dreptunghiul ② aflate la intersecția diagonalelor figura 49c
poziționăm sistemele de axe de coordonate 11991101198741199100 ales arbitrar față de care
determinăm poziția centrului de greutate 119866 figura 49c
a) calculăm poziția centrului de greutate folosind relațiile (46) icircn care
1198601 = 6119905 ∙ 119905 = 61199052 1198602 = 4119905 ∙ 119905 = 41199052 119860 = 1198601 + 1198602 = 61199052 + 41199052 = 101199052
iar centrele de greutate 1198661 și respectiv 1198662 au coordonatele (față de sistemul 11991101198741199100)
1198661 1199101 = 3119905 1199111 = 05119905
1198662 1199102 = 051199051199112 = 3119905
cu acestea obținem
119910119866 =1198601 ∙ 1199101 + 1198602 ∙ 1199102
119860=61199052 ∙ 3119905 + 41199052 ∙ 05119905
101199052=201199053
101199052= 2119905
119911119866 =1198601 ∙ 1199111 + 1198602 ∙ 1199112
119860=61199052 ∙ 05119905 + 41199052 ∙ 3119905
101199052=151199053
101199052= 15119905
Poziționăm centrul de greutate 119866 al suprafeței compuse figura 49c
Fig 49 Aplicație
b) pentru determinarea momentelor de inerție axiale 119868119911 119868119910 și a momentului de
inerție centrifugal 119868119910119911 determinăm constantele 1198881 1198882 1198891 1198892 care intervin icircn relația lui
Stainer
1198881 = 1199101 minus 119910119866 = 3119905 minus 2119905 = 119905 1198882 = minus(119910119866 minus 1199102) = minus(2119905 minus 05119905) = minus15119905
1198891 = minus(119911119866 minus 1199111) = minus(15119905 minus 05119905) = minus119905 1198892 = 1199112 minus 119911119892 = 3119905 minus 15119905 = 15119905
Folosind relațiile lui Stainer (429) (430) și (431) calculăm momentele de
inerție axiale și centrifugale față de sistemul central 119911119866119866119910119866
119868119911 =sum(119868119911119894 + 1198881198942 ∙ 119860119894) = 1198681199111 + 1198881
2 ∙ 1198601 + 1198681199112 + 11988822 ∙ 1198602
119868119910 =sum(119868119910119894 + 1198891198942 ∙ 119860119894) = 1198681199101 + 1198891
2 ∙ 1198601 + 1198681199102 + 11988922 ∙ 1198602
119868119911119910 =sum(119868119911119894119910119894 + 119888119894 ∙ 119889119894 ∙ 119860119894) = 11986811991111199101 + 1198881 ∙ 1198891 ∙ 1198601 + 11986811991121199102 + 1198882 ∙ 1198892 ∙ 1198602
1198681199111 = (119887 ∙ ℎ3
12) =
119905 ∙ (6119905)3
12= 181199054 1198681199112 = (
119887 ∙ ℎ3
12) =
4119905 ∙ 1199053
12= 031199054
1198681199101 = (1198873 ∙ ℎ
12) =
1199053 ∙ 6119905
12= 051199054 1198681199102 = (
1198873 ∙ ℎ
12) =
(4119905)3 ∙ 119905
12= 531199054
11986811991111199101 = 11986811991121199102 = 0 deoarece cele două triunghiuri au cel puțin o axă de simetrie
Cu acestea momentele de inerție axiale și momentul de inerție centrifugal devin
119868119911 = 181199054 + 1199052 ∙ 61199052 + 031199054 + (minus15119905)2 ∙ 41199052 = 3331199054
119868119910 = 051199054 + (minus119905)2 ∙ 61199052 + 531199054 + (15119905)2 ∙ 41199052 = 2081199054
119868119911119910 = 0 + 119905 ∙ (minus119905) ∙ 61199052 + 0 + (minus15119905) ∙ (15119905) ∙ 41199052 = minus151199054
c) razele de inerție sau de girație față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910
se calculează cu relațiile (411)
119894119911 = radic119868119911119860= radic
3331199054
101199052= 182119905 119894119910 = radic
119868119910
119860= radic
2081199054
101199052= 144119905
d) modulele de rezistență față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910 se
calculează cu relațiile (412) și (413)
Avacircnd icircn vedere figura 419c obținem
119910119898119886119909 = 6119905 minus 119910119866 = 6119905 minus 2119905 = 4119905 119910119898119894119899 = minus119910119866 = minus2119905
119911119898119886119909 = 5119905 minus 119911119866 = 5119905 minus 15119905 = 35119905 119911119898119894119899 = minus119911119866 = minus15119905
Se obține astfel
119882119911119898119894119899 =119868119911
|119910119898119886119909|=3331199054
4119905= 8331199053
119882119911119898119886119909 =119868119911
|119910119898119894119899|=3331199054
2119905= 16651199053
119882119910119898119894119899 =119868119910
|119911119898119886119909|=2081199054
35119905= 5941199053
119882119910119898119886119909 =119868119910
|119911119898119894119899|=2081199054
15119905= 13871199053
e) momentele de inerție principale 1198681 și respectiv 1198682 se calculează cu relațiile
(438)
11986812 =119868119911 + 119868119910
2plusmn1
2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)
2+ 4 ∙ (119868119911119910)
2=
=3331199054 + 2081199054
2plusmn1
2∙ radic(3331199054 minus 2081199054)2 + 4 ∙ (minus151199054)2 = 27051199054 plusmn 16251199054
De unde obținem
1198681 = 27051199054 + 16251199054 = 4331199054
1198682 = 27051199054 minus 16251199054 = 1081199054
Prima direcție principală de inerție 1 face cu axa centrală 119866119911 unghiul 1205721 dat de
relația (437)
1205721 =1
2∙ arctan (minus
2 ∙ 119868119911119910
119868119911 minus 119868119910) =
1
2∙ arctan [minus
2 ∙ (minus151199054)
3331199054 minus 2081199054] =33 70
Deoarece 1205721 gt 0 rotirea axelor se face acircn sens antiorar acelor de ceasornic figura
49d
Poziția axe principale 2 față de care momentul de inerție are valoarea minimă
1198682 = 119868119898119894119899 este dată de unghiul
1205722 = 1205721 + 900 = 33 70 + 900 = 123 70
f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 se determină cu relația
(45)
1198781199111198602 = 1198602 ∙ 1198882 = 41199052 ∙ (minus15119905) = minus61199053
Fig 212 Descompunerea forţei tăietoare şi a momentului icircncovoietor
Cele șase componente ale torsorului de reducere al forțelor interioare ( 119910 119911
119909 119894119910 119894119911) orientate după axele sistemului de referință xCyz se numesc eforturi
Fiecare efort are o denumire stabilită icircn funcție de tipul de deformație pe care-l produce
De asemenea semnul plus (bdquo+rdquo) sau minus (bdquondashrdquo) al fiecărui efort nu depinde de sensul
pozitiv sau negativ al sistemului de axe ci doar de efectul icircn deformații al fiecărui efort
Denumirile celor șase eforturi sunt
119873 este forța axială
119879119910 119879119911 sunt forțe tăietoare orientate după axele Cy și respectiv Cz
119872119909 notat de cele mai multe ori cu 119872119905 este moment de torsiune sau de răsucire
119872119894119911 119872119894119910 sunt momente de icircncovoiere icircn jurul axei Cz și respectiv Cy
Forța axială 119873 poate fi forță axială de icircntindere cacircnd produce o lungire a
tronsonului pe a cărei față acționează (119873 gt 0) figura 213a sau forță axială de
compresiune cacircnd sub efectul ei bara se scurtează (119873 lt 0) figura 213b
Fig 213 Forța axială
Forțele tăietoare 119879119910 și 119879119911 au ca efect lunecarea secțiunii icircn centrul căreia
acționează icircn raport cu secțiunea icircnvecinată lunecare ce se produce pe direcția și icircn sensul
forței Sub acțiunea unei forțe tăietoare bara este solicitată la forfecare Forța tăietoare
este pozitivă 119879119910 gt 0 dacă icircn raport cu un punct oarecare K de pe axa Cx a barei tinde să
rotească secțiunea pe care acționează icircn sens orar
Fig 214 Forța tăietoare
Momentele de icircncovoiere 119872119894119911 și 119872119894119910 au ca efect o rotire a secțiunii icircn centrul
cărora acționează icircn jurul axei după care sunt orientate Icircn figura 215a se vede că
datorită momentului 119872119894119911 fibrele de deasupra axei Cz se alungesc icircn timp ce fibrele de sub
axa Cz se scurtează Fibrele care trec prin axa de icircncovoiere Cz nu se deformează sunt
fibre neutre la icircncovoiere adică axa neutră este Cz Icircn cazul momentului de icircncovoiere
119872119894119910 fibrele care nu se deformează sunt cele care trec prin axa neutră la icircncovoiere Cy
Momentele de icircncovoiere se consideră a fi pozitive (119872119894119911 gt 0119872119894119910 gt 0) dacă
observatorul care privește bara deformată vizualizează fibrele icircntinse
Fig 215 Momentul icircncovoietor
Momentul de torsiune sau de răsucire 119872119909 equiv 119872119905 are ca efect o rotire a secțiunii
icircn al cărei centru acționează icircn jurul axei longitudinale Cx Ca efect secțiunea icircși schimbă
forma (se deformează) adică unghiurile inițiale se modifică dreptunghiul inițial Ad
devine paralelogram Convențional se consideră 119872119905 gt 0 dacă vectorul moment are
aceeași orientare ca și sensul pozitiv ales pextru axa Cx Icircn figura 216 momentul este
negativ
Fig 216 Momentul de torsiune
25 Definiții și convenții de semne pentru eforturile
din secțiunile unei bare drepte plane icircncărcate cu sarcini coplanare
Vom considera o bară plană icircncărcată cu un sistem de forțe arbitrar figura 217
Ne propunem să determinăm eforturile care apar icircn secțiunea barei aflată la distanța 119909 de
reazemul din stacircnga (A)
Pentru aceasta vom aplica metoda secțiunilor vom secționa bara cu un plan
perpendicular pe axa longitudinală a barei și vom analiza doar partea din dreapta secțiunii
mărginită de fața Ad Pentru ca această porțiune de bară să fie icircn echilibru sub acțiunea
forțelor exterioare care acționează asupra sa 1198653 și 119881119861 va trebui să introducem icircn centrul
secțiunii Ad eforturile care pot să apară 119873 119879119910 119872119894119911 Acțiunea acestor eforturi trebuie să
fie echivalentă cu acțiunea forțelor exterioare aplicate pe partea icircnlăturată (parcursă) a
barei 119867119860 119881119860 1198651 1198652 1198720
Deoarece bara este plană și este icircncărcată doar cu sarcini ce aparțin
planului barei
icircn secțiunea Ad apar doar 3 componente ale torsorului de reducere al forțelor
interioare (eforturi)
- 119873 = forța axială
- 119879119910 = forța tăietoare pe care o vom nota cu 119879
- 119872119894119911 = momentul icircncovoietor notat cu Mi
Fig 217 Bară plană icircncărcată cu un sistem de forțe
Vom prezenta următoarele definiții corespunzătoare eforturilor din secțiunea Ad
119873 = forța axială dintr-o secțiune este egală cu suma algebrică a proiecțiilor pe
axa longitudinală a tuturor forțelor exterioare (sarcini și reacțiuni) aplicate pe partea
din stacircnga secțiunii adică pe porțiunea parcursă Forța axială 119873 este pozitivă dacă trage
de tronsonul pe a cărei față acționează (are orientarea normalei exterioare la secțiunea
Ad)
119873(119909) = minus119867119860 + 1198651119867 (26)
119879 = forța tăietoare icircntr-o secțiune este egală cu suma algebrică a proiecțiilor
pe o axă perpendiculară pe axa barei a tuturor forțelor exterioare (sarcini și reacțiuni)
aplicate pe porțiunea de bară aflată icircn stacircnga secțiunii considerate Forța tăietoare 119879
este pozitivă dacă tinde să rotească tronsonul pe a cărui față acționează icircn sens orar icircn
raport cu un punct de pe axa barei aflat la dreapta secțiunii
119879(119909) = 119881119860 minus 1198651119881 minus 1198652 (27)
119872119894 = momentul icircncovoietor icircntr-o secțiune este egal cu suma algebrică a
momentelor obținute prin reducerea tuturor forțelor exterioare ( cupluri sarcini
reacțiuni) aplicate pe porțiunea de bară aflată la stacircnga secțiunii icircn centrul secțiunii
considerate 119872119894 este considerat pozitiv dacă tinde să deformeze bara astfel icircncacirct fibrele
spre care privește un observator să fie icircntinse Cum poziția observatorului este de regulă
sub bară bara se deformează dacă 119872119894 gt 0 astfel icircncacirct partea jos a barei este icircntinsă Se
spune că bara deformată rdquoține apaldquo
119872119894(119909) = 119881119860 ∙ 119909 minus 1198651119881 ∙ (119909 minus 1198971) minus 1198652 ∙ [119909 minus (1198971 + 1198972)] + 1198720 (28)
Sensurile pozitive ale eforturilor care apar icircn centrul secțiunii Ad (deci atunci cacircnd
sensul de parcurs la aplicarea metodei secțiunilor este cel de la stacircnga la dreapta) sunt
indicate icircn figura 218a iar dacă sensul de parcurs este de la dreapta la stacircnga sensurile
pozitive ale eforturilor sunt indicate icircn figura 218b
Fig 218 Convenţia de semne
Definiții asemănătoare se pot da și pentru eforturile din centrul secțiunii As figura
218b adică pentru cazul icircn care sensul de parcurs este cel de la dreapta la stacircnga și deci
partea luată icircn considerare este cea din stacircnga iar partea parcursă din dreapta secțiunii
este icircnlăturată
119873(1199091) = 1198653119867
119879(1199091) = 1198653119881 minus 119881119861
119872119894(1199091) = 119881119861 ∙ 1199091 minus 1198653119881 ∙ (1199091 minus 1198975)
(29)
Avacircnd icircn vedere că fețele Ad și As aparțin aceleeași secțiuni este evident faptul că
eforturile 119873(119909) 119879(119909) și 119872119894(119909) sunt identice cu eforturile 119873(119961120783) 119879(119961120783) și respectiv
119872119894(119961120783) Icircn figura 218c se prezintă o sinteză a convențiilor de semne pozitive pentru cele
3 eforturi atacirct pentru sensul de parcurs de la stacircnga la dreapta (secțiunea Ad) cacirct și pentru
sensul invers (secțiunea As)
Semnele eforturilor sunt importante icircntrucacirct există materiale cu comportări diferite
la icircntindere față de compresiune iar o schimbare a semnului unui efort poate produce
erori grave icircn calcule Semnele eforturilor au fost stabilite icircn funcție de deformațiile
produse și nu depind de sensul axelor sistemului de coordonate
26 Relaţii diferenţiale icircntre eforturi şi sarcini
Pentru a vedea ce legătură există icircntre eforturi și sarcini vom considera o bară
dreaptă icircncărcată cu o sarcină distribuită după o lege oarecare figura 219a Din această
bară vom decupa prin dublă secționare un element de lungime infinit mică 119889119909 Deoarece
lungimea 119889119909 este foarte mică se poate considera sarcina 119901 uniform distribuită Icircn
secțiunile rezultate trebuie să introducem eforturile care pot apărea
- 119879 şi 119872119894 icircn centrul secțiunii din sticircnga eforturi pe care le considerăm pozitive
- 119879 + 119889119879 şi 119872119894 + 119889119872119894 icircn centrul secțiunii din dreapta elementului
Aceste eforturi au o variație mică (119889119879 şi 119889119872119894) față de secțiunea anterioară Spre
deosebire de cazul icircn care bara este secționată o singură dată icircn acest caz eforturile nu
pot fi determinate din cele 2 condiții de echilibru independente deoarece icircn ecuațiile de
echilibru apar 4 necunoscute 119879 119889119879119872119894 și 119889119872119894 deci că problema este dublu static
nedeterminată figura 219
Fig 219 Echivalența icircntre eforturi și sarcini
Ecuațiile de echilibru scrise pentru elementul din figura 219b conduc la stabilirea
unor relaţii foarte importante
(sum119865)119910= 0 hArr 119879 minus 119901 ∙ 119889119909 minus (119879 + 119889119879) = 0 rArr
119889119879
119889119909= minus119901 (210)
Relația (210) arată că derivata funcţiei forţei tăietoare icircn raport cu abscisa
secţiunii este egală cu sarcina distribuită normală la axa barei din acea secţiune luată
cu semn schimbat
Observații
dacă 119901 = 0 nu există sarcină distribuită atunci forța tăietoare T este constantă
icircnclinarea pantei diagramei forței 119879 este egală cu (ndash 119901) (sarcina distribuită cu
semn schimbat)
dacă 119901 = 119888119900119899119904119905 119879 variază liniar pe acel interval
Asemănător se deduce că derivata funcţiei forţei axiale icircn raport cu abscisa
secţiunii este egală cu sarcina distribuită axială din acea secţiune luată cu semn
schimbat adică
119889119873
119889119909= minus119901119867 (211)
Din condiția de echilibru suma de momente faţă de centrul de greutate al secţiunii
din dreapta
(sum119872)119862= 0 hArr 119872119894 minus (119872 + 119889119872119894) + 119879 ∙ 119889119909 minus 119901 ∙
(119889119909)2
2= 0 rArr
119889119872119894
119889119909= 119879 (212)
Relația (212) s-a obținut dupa reducerea termenilor și prin neglijarea infinitului
mic de ordinul 2
119901 ∙(119889119909)2
2
Relația (212) arată că derivata funcţiei moment icircncovoietor icircn raport cu abscisa
secţiunii este egală cu forţa tăietoare din acea secţiune
Observații
dacă 119879 = 0 momentul 119872119894 are un punct de extrem se obține o valoare maximă
pentru 119872119894119898119886119909 dacă forța tăietoare 119879 se anulează trecacircnd de la plus icircn stacircnga la minus icircn
dreapta secțiunii
dacă forța tăietoare este pozitivă pe un interval 119879 gt 0 atunci 119872119894 este crescătoare
pe acel interval
dacă forța tăietoare este negativă pe un interval 119879 lt 0 atunci 119872119894 este
descrescătoare pe acel interval
dacă pe un interval 119901 = 0 forța tăietoare este constantă 119879 = 119888119905 iar 119872119894 variază
liniar pe acel interval
dacă 119901 = 119888119900119899119904119905 119879 variază liniar pe acel interval iar 119872119894 variază parabolic pe
acel interval
Relaţiile diferenţiale sunt utile la reprezentarea corectă şi verificarea diagramelor
de eforturi astfel
pentru porţiunile de grindă pe care p = 0 eforturile N şi T sunt constante iar pe
porţiunile cu p = const eforturile N şi T variază liniar (relaţiile 211 şi 210)
dacă pe o porţiune T = const momentul icircncovoietor Miz variază liniar iar dacă
T variază liniar atunci momentul Miz variază parabolic (relaţia 212)
pe domeniile pe care T gt 0 funcţia Mi(x) este crescătoare iar icircn secţiunea icircn
care T = 0 (graficul funcţiei T intersectează axa x) momentul icircncovoietor are un punct
de extrem local (maxim sau minim relaţia 212)
Pentru rezolvarea problemelor referitoare la trasarea diagramelor de eforturi
pentru barele drepte solicitate de sisteme de forţe plane se parcurg următoarele etape
1) identificarea forţelor aplicate (date) şi pregătirea lor pentru calcule
(descompunerea forţelor concentrate pe direcţiile x şi y calculul rezultantelor forţelor
distribuite)
2) identificarea reazemelor şi introducerea reacţiunilor corespunzătoare (vezi
figurile 27divide29)
3) stabilirea ecuaţiilor de echilibru static calculul şi verificarea reacţiunilor Icircn
rezistența materialelor se folosește sistemul de ecuații (vezi figura 217)
(sum119865)
119909= 0
(sum119872)119860= 0
(sum119872)119861= 0
(213)
4) identificarea domeniilor de variaţie şi scrierea funcţiilor de eforturi pentru N T
şi Mi
5) reprezentarea grafică a diagramelor de eforturi
6) verificarea corectitudinii diagramelor pe baza relaţiilor diferenţiale icircntre eforturi
şi sarcini
Aplicație Pentru grinda dreaptă icircncărcată cu sistemul de forţe reprezentat icircn figura
220 se cere
a) să se calculeze şi să se verifice reacţiunile
b) să se stabilească funcţiile eforturilor Nx Ty şi Miz şi să se reprezinte diagramele
de variaţie
c) să se analizeze relaţiile diferenţiale icircntre eforturi şi sarcini
Dimensiunile grinzii au valorile a = 6 [m] b = 4 [m] și c = 4[m] sistemul de
forţe aplicat fiind format din p = 10 [kN mfrasl ] F = 20 [kN] (icircnclinată cu unghiul α =300 faţă de orizontală) şi M0 = 40 [kN ∙ m]
Rezolvare
a) Se fac următoarele precizări
grinda dreaptă se reprezintă prin axa geometrică
forţa icircnclinată F se descompune după direcţiile orizontală şi verticală icircn FV =F ∙ sin α = 10 [kN] şi FH = F ∙ cos α = 173 [kN]
forţa distribuită uniform p este echivalentă din punct de vedere static cu
rezultanta sa R = p ∙ a = 60 [kN] care acţionează la jumătatea porţiunii de lungime a
icircn reazemele 119860 şi 119861 se introduc componentele HA şi VA respectiv VB ale
reacţiunilor
Pentru calculul reacţiunilor se utilizează ecuaţiile de echilibru static al grinzii
sumXi = 0 HA minus FH = 0 sumYi = 0 VA + VB minus R minus FV = 0 (sumM)B = 0 VA ∙ (b + a) minus R ∙ (b + 05 ∙ a) minus M0 + FV ∙ c = 0
(A1)
Din prima ecuaţie se obţine HA iar din cea de-a treia ecuaţie rezultă VA
HA = FH = 173 [kN]
VA =[R ∙ (b + 05 ∙ a) + M0 minus FV ∙ c]
(b + a)=[60 ∙ (4 + 05 ∙ 6) + 40 minus 10 ∙ 4]
(4 + 6)
VA = 42 [kN]
(A2)
Fig 220 Aplicație
Se observă că cea de-a doua ecuaţie de echilibru conţine două necunoscute
reacţiunile VA şi VB Pentru a calcula componenta VB nu este indicată introducerea lui VA
icircn cea de-a doua ecuaţie a sistemului (A1) pentru că o valoare determinată greşit pentru
VA conduce la o valoare VB de asemenea greşită O ecuaţie independentă din care se poate
determina componenta VB este următoarea
(sumM)A= 0 FV ∙ (a + b + c) minus VB ∙ (a + b) minus M0 + R ∙ 05 ∙ a = 0 (A3)
de unde se obţine
VB =[FV ∙ (a + b + c) minusM0 + R ∙ 05 ∙ a]
(b + a)=[10 ∙ (6 + 4 + 4) minus 40 + 60 ∙ 05 ∙ 6]
(6 + 4)
VB = 28 [kN] (A4)
Ecuaţia de proiecţii ale forţelor pe direcţia verticală (a doua ecuaţie din sistemul
A1) se utilizează pentru verificarea reacţiunilor deja determinate
VA + VB minus R minus FV = 0 rArr 42 + 28 minus 60 minus 10 = 0 (A5)
Ultima egalitate demonstrează că reacţiunile verticale au fost calculate corect
Din cele de mai sus rezultă ordinea firească pentru determinarea reacţiunilor icircn
cazul grinzilor simplu rezemate
sumXi = 0
(sumM)A = 0
(sumM)B = 0
(A6)
iar pentru verificarea componentelor verticale VA şi VB se folosește ecuaţia sumY = 0
b) La stabilirea funcţiilor de eforturi se parcurg icircn general etapele următoare
se notează (numeric sau literal după preferinţă) secţiunile care delimitează
domeniile (intervalele sau tronsoanele) pe care eforturile nu-şi modifică funcţiile (au legi
unice de variaţie)
pe fiecare domeniu se marchează secţiunea imaginară icircn care se stabilesc
funcţiile eforturilor
secţiunea astfel aleasă separă icircn două părţi grinda şi anume porţiunea din stacircnga
şi porţiunea din dreapta secţiunii
se va considera parcursă (şi icircndepărtată) acea parte pe care acţionează mai puţine
sarcini exterioare pentru că acestea vor interveni icircn expresiile funcţiilor de eforturi
poziţiile secţiunilor imaginare se vor determina prin variabilele x1 ⋯ xn (unde
n reprezintă numărul domeniilor de variaţie) cu originea fixată icircn capătul intervalului şi
sensul de parcurgere spre partea considerată rămasă
Grinda prezentată icircn figura 220 are trei domenii de variaţie pentru funcţiile de
eforturi după cum urmează (A-1) (2-B) şi (B-1)
Domeniul (A-1) x1 isin [0 a = 6 m] Porţiunea parcursă şi considerată icircndepărtată este cea de coordonată x1 pe care
acţionează reacţiunile HA şi VA precum şi rezultanta parţială a sarcinii distribuite R1 =p ∙ x1
Funcţia forţă axială Nx are expresia
Nx(x1) = NAminus1 = minusHA = minus173 [kN] = const
(A7)
Funcţia forţă tăietoare Ty are exspresia
Ty(x1) = TAminus1 = VA minus R1 = VA minus p ∙ x1 (A8)
care reprezintă o variaţie liniară de variabilă x1 Se calculează valorile forţei tăietoare la
limitele intervalului de variaţie
- pentru x1 = 0 Ty(x1 = 0) = TA = VA = 42 [kN]
- pentru x1 = a = 6 [m] Ty(x1 = 6) = T1 = VA minus p ∙ a = minus18 [kN]
Observaţie Aşa cum a fost stabilită secţiunea fictivă poziţionată prin coordonata
x1 sar părea că rezultanta R ar trebui luată icircn calculul lui Ty(x1) Acest lucru ar fi greşit
pentru că R = p ∙ a reprezintă rezultanta sarcinii distribuite pe toată lungimea a iar
rezultanta pe porţiunea parcursă de lungime x1 este R1 = p ∙ x1 ne R = p ∙ a
Cu valorile obţinute se trasează diagramele forţelor axială Nx = f(x) şi tăietoare
Ty = f(x) figura 220 Din diagrama forţei tăietoare şi din valorile obţinute analitic se
observă că forţa tăietoare icircşi schimbă semnul pe intervalul analizat deci se anulează pe
acest interval Poziţia secţiunii unde Ty se anulează se determină din ecuaţia
Ty(x1) = 0 rArr VA minus p ∙ x1 = 0 (A9)
cu soluţia x1lowast = ξ = 42 [m] Important de reamintit că icircn această secţiune momentul
icircncovoietor va avea un extrem local adică Miz are un extrem la Ty = 0
Funcţia moment icircncovoietor Miz are expresia
Miz(x1) = VA ∙ x1 minus R1 ∙x12= VA ∙ x1 minus (p ∙ x1) ∙
x12
(A10)
Se observă că funcţia moment icircncovoietor de variabilă x1 are o variaţie parabolică
(gradul al II-lea) Pentru reprezentarea grafică a funcţiei parabolice se calculează valorile
momentului icircncovoietor icircn trei secţiuni
- pentru x1 = 0 Miz(x1 = 0) = MA = 0 [kN ∙ m] - pentru x1 = a = 6 [m] Miz(x1 = 6) = M1 = 72 [kN ∙ m] - pentru x1
lowast = ξ = 42 [m] Miz(x1lowast = ξ = 42 [m]) = Mimax = 882 [kN ∙ m]
Cu acestea se trasează diagrama Miz = f(x) pe intervalul (A-1) figura 220
Observaţie Icircn unele cazuri pe un anumit interval forţa tăietoare nu se anulează
şi momentul icircncovoietor nu are un extrem local Icircn acest caz pentru reprezentarea
variaţiei parabolice a momentului icircncovoietor se va studia semnul derivatei a doua a
funcţiei Miz = f(x1) acesta determinacircnd convexitatea curbei momentului icircncovoietor
Domeniul (2-B) x2 isin [0 c = 4 m] Porţiunile din grindă libere (nerezemate) la un capăt se numesc console iar
stabilirea funcţiilor de eforturi devine mai simplă dacă se consideră icircndepărtată partea din
dreapta secţiunii prin schimbarea sensului pozitiv al axei x Astfel se obţin funcţiile eforturilor
Funcţia forţă axială Nx are expresia
Nx(x2) = N2minusB = minusFH = minus173 [kN] = const
(A11)
Funcţia forţă tăietoare Ty are exspresia
Ty(x2) = T2minusB = FV = 10 [kN] = const (A12)
Funcţia moment icircncovoietor Miz are expresia
Miz(x2) = minusFV ∙ x2 rArr Miz(x2 = 0) = M2 = 0 [kN ∙ m]
Miz(x2 = 4) = MB = minus40 [kN ∙ m] (A13)
variaţie liniară (gradul I)
Domeniul (B-1) x3 isin [0 b = 4 m] Pe acest domeniu se acceptă parcurgerea grinzii de la dreapta adică se consideră
icircndepărtată partea din dreapta secţiunii fictive pentru că are doar două sarcini aplicate F
şi VB faţă de partea din stacircnga secţiunii pe care sunt aplicate trei sarcini p VA şi M0
Astfel se obţin funcţiile eforturilor
Funcţia forţă axială Nx are expresia
Nx(x3) = NBminus1 = minusFH = minus173 [kN] = const
(A14)
Funcţia forţă tăietoare Ty are exspresia
Ty(x3) = TBminus1 = FV minus VB = minus18 [kN] = const (A15)
Funcţia moment icircncovoietor Miz are expresia
Miz(x3) = minusFV ∙ (x3 + c) + VB ∙ x3 rArr
rArr Miz(x3 = 0) = MB = minus40 [kN ∙ m]
Miz(x3 = 4) = M1 = 32 [kN ∙ m]
(A16)
variaţie liniară (gradul I)
Diagramele eforturilor sunt prezentate icircn figura 220
c) Relaţiile diferenţiale dintre eforturi şi sarcini se analizează pe diagramele
eforturilor după cum urmează
sarcina distribuită nu are componentă orizontală adică ph = 0 şi icircn
conformitate cu formula (211) rezultă că Nx = const pe toată lungimea grinzii fapt care
a rezultat din funcţia şi reprezentarea diagramei forţei axiale
pe intervalul (A-1) sarcina distribuită are doar componenta verticală pozitivă
pV = p gt 0 prin urmare forţa tăietoare scade (are panta negativă dTy 119889119909frasl = minusp vezi
relaţia 210) iar momentul icircncovoietor avacircnd derivata a doua negativă d2M119894119911 1198891199092frasl =minuspare convexitatea curbei orientată spre sensul pozitiv al axei momentului Miz adică icircn
jos
pe domeniile (2-B) şi (B-1) deoarece pv = 0 forţa tăietoare Ty este constantă
iar momentul icircncovoietor Miz variază liniar
referitor la relaţia (212) pe porţiunile unde Ty gt 0 momentul Miz este
monoton crescător pe porţiunile unde Ty lt 0 momentul Miz este monoton descrescător
iar icircn secţiunea icircn care Ty = 0 momentul icircncovoietor are un extrem local Mξ =
882 [kN ∙ m] icircn diagrama forţei tăietoare discontinuităţile (salturile) se produc icircn secţiunile
unde acţionează VA VB şi FV iar icircn diagrama momentului icircncovoietor se produce un
singur salt icircn secţiunea icircn care este aplicat M0
se poate scrie
Mξ = suprafața diagramei Ty |ξ0=1
2∙ 42 ∙ 42 = 882 [kN ∙ m]
sau parcurgacircnd grinda de la dreapta la stacircnga rezultă
MB = minussuprafața diagramei Ty |c0= minus10 ∙ 4 = minus40 [kN ∙ m]
Toate aspectele analizate teoretic referitoare la relaţiile diferenţiale dintre eforturi
şi sarcini se regăsesc icircn diagramele de eforturi din figura 220 ceea ce icircnseamnă că
diagramele au fost reprezentate corect
3 TENSIUNI DEPLASĂRI ŞI DEFORMAŢII SPECIFICE
31 Tensiuni
Eforturile obținute icircn urma reducerii forțelor interioare icircn centrul de greutate al
secțiunii nu pot da informații asupra solicitării fiecărui punct al secțiunii respective Este
necesar să se cunoască modul cum se distribuie forțele interioare icircn fiecare punct al
secțiunii pentru a ști care este intensitatea maximă a solicitării Această intensitate
maximă se poate compara cu o valoare critică specifică materialului stabilindu-se astfel
dacă solicitarea este periculoasă sau nu
Mărimea care caracterizează solicitarea locală punctuală o vom denumi tensiune
și o vom defini icircn cele ce urmează Să considerăm partea din dreapta a unui corp solicitat
de forțele exterioare 1198651 1198652 și 1198653 obținută prin secționarea corpului și mărginită de fața
din dreapta Ad a secțiunii Pe secțiunea Ad vom considera un element de arie infinit mic
∆119860 caracterizat de normala la elementul de arie normală care are cosinușii directori
120573 și icircn raport cu un sistem de axe considerat fix Pe elementul infinit mic ∆119860 acționează
forțele interioare care au o rezultantă oarecare figura 31
Prin definiție tensiunea totală este
= lim∆119860rarr0
∆
∆119860 (31)
Tensiunea are aceeaşi direcţie cu forţa elementară ∆ iar mărimea ei este
determinată atacirct de mărimea forţei ∆ cacirct şi de orientarea suprafeţei ∆119860 faţă de direcţia
forţei
Tensiunea 119901 poate fi descompusă icircntr-o componentă orientată după direcţia
normalei la secţiune tensiunea normală notată cu 120590119909 şi o componentă icircn planul secţiunii
tensiunea tangenţială notată cu figura 32
= 119909 + 120591 (32)
Fig 31 Tensiunea totală Fig 32 Tensiunea normală și tangențială
La racircndul ei componenta tensiunii cuprinsă icircn planul secțiunii poate fi
descompusă după direcțiile axelor y și z
120591 = 120591119909119910 + 120591119909119911 (33)
Icircntre cele trei componente ale tensiunii totale care acționează pe elementul de arie
∆119860 este valabilă relația
1199012 = 1205901199092 + 120591119909119910
2 + 1205911199091199112 (34)
După sensul pe care icircl are tensiunea normală 120590 poate avea efect de tracţiune sau
de compresiune exercitat de către partea de corp icircnlăturată asupra părţii rămase Analog
tensiunea tangenţială 120591 poate avea efect de tăiere forfecare sau alunecare Pentru
componentele tensiunii tangențiale 120591119909119910 pe direcţia 119910 respectiv 120591119909119911 pe direcţia 119911 primul
indice indică axa pe care tensiunea este normală iar cel de-al doilea indice indică axa cu
care aceasta este paralel
Tensiunea este o mărime tensorială valoarea ei depinzacircnd atacirct de poziția
punctului icircn planul secțiunii cicirct și de orientarea planului de secționare deci de normala
Operaţiile vectoriale nu pot fi aplicate tensiunilor decacirct după ce acestea au fost icircnmulţite
cu ariile respective adică au fost transformate icircn forţe
Icircn literatura de specialitate mai ales icircn manualele mai vechi pentru noţiunea de
tensiune se mai foloseşte şi denumirea de efort specific
Dacă se consideră un alt element de arie ∆119860 cu centrul icircn același punct avacircnd ca
normală axa 119910 se vor obține alte tensiuni și anume
- 120590119910 este tensiunea normală (paralelă cu axa y)
- 120591119911119909 și 120591119910119911 sunt tensiuni tangențiale paralele cu axele 119909 și respectiv 119911 aflate icircn
planul care are ca normală axa 119910
Dacă icircn jurul unui punct dintr-un corp solicitat se consider un element de volum
infinit mic de forma unui cub icircn cazul cel mai general pe fețele sale vor acționa
tensiunile normale 120590119909 120590119910 și 120590119911 și respectiv tensiunile tangențiale 120591119909119910 120591119909119911 120591119910119909 120591119910119911 120591119911119909
și respectiv 120591119911119910 figura 33 Aceste tensiuni definesc starea de tensiune a punctului
observacircnd faptul că tensorul tensiune are 9 componente Dacă se consideră elementul
de volum finit ca fiind foarte mic se poate presupune că icircn interiorul său nu apar forțe
Ca urmare el va fi icircn echilibru sub acțiunea forțelor elementare produse de tensiunile de
pe fețele sale
Din condiția ca elementul să nu se rotească icircn jurul unor axe care trec prin centrul
său și sunt paralele cu axele sistemului 119909119874119910119911 rezultă
2 ∙ 120591119909119910 ∙ (119889119910 ∙ 119889119911) ∙119889119909
2= 2 ∙ 120591119910119909 ∙ (119889119909 ∙ 119889119911) ∙
119889119910
2 rArr 120591119909119910 = 120591119910119909 (35)
2 ∙ 120591119910119911 ∙ (119889119909 ∙ 119889119911) ∙119889119910
2= 2 ∙ 120591119911119910 ∙ (119889119909 ∙ 119889119910) ∙
119889119911
2 rArr 120591119910119911 = 120591119911119910 (36)
2 ∙ 120591119909119911 ∙ (119889119910 ∙ 119889119911) ∙119889119909
2= 2 ∙ 120591119911119909 ∙ (119889119909 ∙ 119889119910) ∙
119889119911
2 rArr 120591119909119911 = 120591119911119909 (37)
Relațiile (35divide37) 120591119909119910 = 120591119910119909 120591119910119911 = 120591119911119910 120591119909119911 = 120591119911119909 exprimă principiul dualității
tensiunilor tangențiale
Fig 33 Tensiunile normale și tangențiale pe fețele unui cub
Din condiția ca elementul considerat să nu se deplaseze icircn lungul axelor de
coordonate pe fețele opuse acționează aceleași tensiuni normale 120590119909 120590119910 și respectiv 120590119911
Definirea tensorului tensiune este posibilă dacă se cunosc cele 6 componente
independente ale acestuia aflate icircn trei plane perpendicular ce trec prin punctul respectiv
=
120590119909 120591119909119910 120591119909119911120591119910119909 120590119910 120591119910119911120591119911119909 120591119911119910 120590119911
Observaţii
Tensiunile se măsoară icircn [119873 1198982frasl ] (1119873 1198982frasl = 1 119875119886) sau icircn [119872119875119886]
(1 119872119875119886 = 106119875119886 = 106 119873
1198982 1 119872119875119886 = 1
119873
1198981198982)
Starea de tensiune dintr-un punct este considerată cunoscută dacă se cunosc
tensiunile 119901 care acționează pe infinitatea de elemente de suprafață ce trec prin punctual
considerat
Starea de tensiune a unui corp se consider cunoscută dacă se cunosc stările de
tensiune de pe infinitatea de puncte ale corpului considerat
32 Deplasări Deformaţii specifice
321 Deplasări
Aceste noțiuni sunt utile icircn analiza aspectului geometric al problemelor de rezistența
materialelor Deplasările care se analizează sunt cele datorate schimbării formei și
dimensiunilor corpurilor ca urmare a acțiunii forțelor exterioare și nu cele cinematice
posibile pentru solidul rigid care se poate deplasa cu anumită viteză și accelerație
Spre exemplu icircn figura 34a și figura 34b sub acțiunea forței 119865 tronsonul de
bară AB se deformează icircn timp ce tronsonul BC deși punctele sale au deplasări rămacircne
nedeformat (fiind nesolicitat) Toate punctele de pe axele barelor cu excepția celor din
icircncastrare (secțiunile A) au deplasări liniare De cele mai multe ori deformațiile barelor
datorate acțiunii forțelor exterioare se anulează la icircndepărtarea forțelor se spune că
deformațiile sunt elastice Secțiunile transversale ale barei din figura 34a se și rotesc icircn
raport cu pozițiile lor inițiale Spre exemplu secțiunea de căpăt cu centrul icircn C se rotește
cu unghiul
Fig 34 Deformațiile unei grinzi
Oricacirct de complexă ar fi delormația unui corp ea poate fi descrisă de lungiri sau
scurtări și de modificări ale unghiurilor inițiale
Deplasările măsoară schimbarea poziției unui punct al corpului și pot fi liniare
sau unghiulare
Prin deplasare liniară a unui punct se icircnțelege drumul parcurs de acest punct icircn
decursul procesului de deformație după o dreaptă suport dreapta 1198611198611 din figura 34a
Prin deplasare unghiulară se icircnțelege rotirea dintre segmentele de dreaptă
determinate de două puncte ale corpului icircnainte și după deformarea acestuia unghiul
pe care-l fac segmentele 119861119862 și 11986111198621 din figura 34a Această rotire se măsoară prin
unghiul pe care-l fac proiecțiile dreptelor ce conțin cele două segmente icircntr-un sistem
triortogonal
Icircn cazul cel mai general vectorul deplasare liniară se poate descompune icircntr-un
sistem triortogonal icircn trei componente 119906 119907 și 119908 figura 35
Fig 35 Deplasarea liniară
Se consideră acum un corp solid raportat la un sistem de axe ortogonal 119909119874119910119911
figura 35 după deformarea corpului un punct oarecare 119870 al acestuia se deplasează icircn
poziţia 1198701 vectorul 1198701198701 poartă numele de vectorul deplasării totale
Deplasarea totală este suma deplasărilor pe cele trei direcţii ortogonale iar
aceste deplasări se notează astfel
deplasarea pe direcţia 119909 cu ∥ 119874119909
deplasarea pe direcţia 119910 cu ∥ 119874119910
deplasarea pe direcţia 119911 cu ∥ 119874119911
Componentele deplasărilor și formeză matricea deplasărilor liniare 119906119907119908
322 Deformații
Prin deformație icircn general se icircnțelege orice schimbare de formă a unui corp fără
o evaluare cantitativă Icircn Rezistența Materialelor deformația măsoară variația
dimensiunilor geometrice ale corpului considerat din vecinătatea unui punct analog
deplasărilor deformațiile pot fi liniare și unghiulare (lunecări)
Fig 36 Deplasarea liniară
Deformația liniară ∆119897 reprezintă variația lungimii 119897 a unui element liniar al
corpului deformat figura 36 Deformația liniară specifică se definește ca fiind raportul
dintre deformația liniară și lungimea inițială
휀 =∆119897
119897 (38)
unde ∆119897 este lungirea sau scurtarea care este echivalentă cu deformția liniară totală iar
este alungirea
Deformația unghiulară sau lunecarea unui punct 119860 icircn planul 119861119860119862 se definește
prin relația figura 37
120574 = lim119861119860rarr0119862119860rarr0
(119861119860 minus 119861111986011198621 ) (39)
Fig 36 Deformația unghiulară
Schimbacircnd orientarea planului care trece prin 119860 se obțin alte deformații
unghiulare Dacă elementele liniare 119861119860 și 119862119860 sunt inițial perpendiculare deformația 120574 se
numește deformație unghiulară specifică sau lunecare specifică figura 37
Un exemplu de deplasare unghiulară și de deformație unghiulară este prezentat icircn
figura 38 Unghiul este deplasarea unghiulară și măsoară rotirea relativă dintre două
secțiuni aflate la distanța 119897 Unghiul este deformația specifică unghiulară (lunecarea
specifică) din punctul 119870 Aceste deplasări și deformații se obțin icircn urma solicitării barei
de către cele două momente 1198720 egale și de sens contrar
Fig 38 Deplasarea unghiulară
Pentru a analiza starea de deformație din vecinătatea unui punct al unui corp
solicitat complex se decupează din jurul punctului un element de volum mic figura 39a
avacircnd laturile 119889119909 119889119910 și 119889119911 Ca urmare a solicitării laturile acestuia se vor lungi sau
scurta Reprezentarea elementului deformat icircn spațiu este dificilă pentru simplificare
vom analiza doar deformațiile din planul 119909119874119910 Observăm că dimensiunile 119889119909 și 119889119910 s-au
modificat cu valoarea ∆119889119909 respectiv cu ∆119889119910 analog se acceptă și pentru 119889119911 o modificare
de forma ∆119889119911 Astfel se pot defini deformațiile specifice liniare
휀119909 =∆119889119909
119889119909 휀119910 =
∆119889119910
119889119910 휀119911 =
∆119889119911
119889119911 (310)
De cele mai multe ori aceste deformații specifice liniare se pot exprima procentual
și se mai numesc alungiri
Fig 39 Starea de deformație
Icircn figura 39c se vede că unghiul inițial drept dintre muchiile 119889119909 și 119889119910 ale
elementului de volum s-a modificat Se definește deformația specifică unghiulară (sau
lunecarea specifică) mărimea cu care se modifică unghiul inițial drept
120574119909119910 = 120574119909119910prime + 120574119910119909
prime = 120574119910119909120574119910119911 = 120574119910119911
prime + 120574119911119910prime = 120574119911119910
120574119911119909 = 120574119911119909prime + 120574119909119911
prime = 120574119909119911
(311)
Deformațiile 휀119909 휀119910 휀119911 120574119909119910 120574119910119911 120574119911119909 constituie cele șase componente
independente ale tensorului deformațiilor specifice care pot fi scrise de forma
119863 =
휀119909 120574119909119910 120574119909119911120574119910119909 휀119910 120574119910119911120574119911119909 120574119911119910 휀119911
(312)
323 Contracţia transversală
Practica arată că odată cu lungirea unei bare apare o micşorare a mărimii secţiunii
transversale mărime numită contracţie transversală figura 310
Fig 310 Contracția transversală
Contracţia transversală este proporţională cu lungirea specifică coeficientul de
proporţionalitate se notează cu 120599 şi se numeşte coeficient de contracţie transversală sau
coeficientul lui Poisson
La o lungire specifică a barei contracţia transversală este dată de relația
휀119905119903 = 휀119910 = 휀119911 = minus120599 ∙ 휀119909 (313)
Semnul minus bdquo-rdquo arată că cele două mărimi sunt contrare dacă una creşte cealaltă
scade şi invers
Considerăm o bară cilindrică de lungime 119897 şi aria secţiunii transversale 119860 solicitată
la icircntindere axială La un moment dat datorită solicitării lungimea barei devine
[119897 ∙ (1 + 휀)] diametrul devine [119889 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)] iar aria secţiunii transversale devine
[119860 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)2] Dacă volumul barei icircnainte de solicitare a fost (119860 ∙ 119897) după solicitare
acesta devine
119881 + ∆119881 = 119860 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)2 ∙ 119897 ∙ (1 + 휀) =
= 119860 ∙ 119897 ∙ (1 + 휀 minus 2 ∙ 120599 ∙ 휀 minus 2 ∙ 120599 ∙ 휀2 + 1205992 ∙ 휀2 + 1205992 ∙ 휀3) (314)
Deoarece lungirile sunt foarte mici ultimii trei termeni din paranteză fiind infinit mici se pot neglija obţinacircnd
119881 + ∆119881 = 119860 ∙ 119897 + 119860 ∙ 119897 ∙ 휀 ∙ (1 minus 2 ∙ 120599) ⟺ ∆119881 = 휀 ∙ (1 minus 2 ∙ 120599) ∙ 119860 ∙ 119897 (315)
Practica arătă că o astfel de bară solicitată la icircntindere icircşi măreşte volumul deci
∆119881 gt 0 de unde rezultă că
1 minus 2 ∙ 120599 gt 0 rArr 120599 lt 05 (316)
Pentru majoritatea materialelor 120599 = 033 iar pentru materialele care-şi păstrează
volumul constant 120599 = 05
33 Relaţii de echivalenţă icircntre eforturi şi tensiuni
Considerăm un element de suprafață infinit mic 119889119860 situat pe fața de arie (119860) a
secțiunii barei din figura 311 Icircn centrul de greutate 119862 al secțiunii acționează eforturile
119873 119879119910 119879119911 119872119909 119872119894119910 și 119872119894119911 determinate prin metoda secțiunilor
Icircn raport cu un sistem de axe de referință 119909119862119910119911 coordonatele elementului 119889119860 sunt
- 119910 este ordonata elementului de arie 119889119860
- 119911 este abscisa elementului de arie 119889119860
Pe elementul de arie 119889119860 acționează tensiunile
120590119909 tensiunea normală
120591119909119910 și 120591119909119911 tensiuni tangențiale
Dacă se icircnsumează forțele elementare de tipul 120590119909 ∙ 119889119860 120591119909119910 ∙ 119889119860 și 120591119909119911 ∙ 119889119860
va trebui să obținem eforturile 119873 119879119910 și 119879119911
Fig 311 Element de suprafață mic din secțiunea unei bare
Dacă eforturile sunt privite ca forțe exterioare și se scriu ecuațiile de
echilibru ale secțiunii (119860) se vor obține șase relații de echivalență icircntre eforturi și
tensiuni
(sum119883) = 0 rArr int 120590119909 ∙ 119889119860
119860
= 119873 (317)
(sum119884) = 0 rArr int 120591119909119910 ∙ 119889119860
119860
= 119879119910 (318)
(sum119885) = 0 rArr int 120591119909119911 ∙ 119889119860
119860
= 119879119911 (319)
(sum119872)119909= 0 rArr int(120591119909119911 ∙ 119889119860) ∙ 119910
119860
minus int(120591119909119910 ∙ 119889119860) ∙ 119911
119860
= 119872119909 rArr
rArr int(119910 ∙ 120591119909119911 minus 119911 ∙ 120591119909119910) ∙ 119889119860
119860
= 119872119909
(320)
(sum119872)119910= 0 rArr int(120590119909 ∙ 119889119860) ∙ 119911
119860
= 119872119894119910 (321)
(sum119872)119911= 0 rArr int(120590119909 ∙ 119889119860) ∙ 119910
119860
= 119872119894119911 (322)
Cele șase relații de echivalență icircntre eforturi și tensiuni constituie un pas icircnainte
icircn rezolvarea unei probleme de rezistența materialelor Aceste relații vor permite
determinarea tensiunilor maxime
Pentru a rezolva cele 6 relații de echivalență trebuie să se cunoască tensiunile și
ca funcții de punct adică funcții de forma
120590119909 = 120590119909(119909 119910 119911) 120591119909119910 = 120591119909119910(119909 119910 119911) 120591119909119911 = 120591119909119911(119909 119910 119911) (32
3)
Cunoașterea acestor funcții presupune icircnsă analizarea aspectului geometric al
problemei precum și utilizarea unor ipoteze simplificatoare care să permită simplificarea
problemelor
34 Ipoteze de bază icircn rezistenţa materialelor
Depășirea dificultăților legate de interpretarea unor fenomene specifice mecanicii
solidului deformabil a impus acceptarea unor ipoteze care să simplifice fenomenele și să
contribuie la elaborarea unor modele de calcul cicirct mai generale și cacirct mai simple Aceste
ipoteze se referă la structura materialelor şi la comportarea lor sub acţiunea forţelor
exterioare Ipotezele acceptate trebuie să fie icircn deplină concordanţă cu realitatea și să
conducă la rezultate verificate icircn practică
Funcție de aspectele la care se referă ipotezele pot fi
Ipoteze fizice (de material)
Ipoteze de calcul
341 Ipoteze fizice
Se acceptă deoarece teoriile structurale au condus la rezultate care contravin
icircncercărilor experimentale
Ipoteza mediului continuu consideră că orice domeniu elementar al corpului
este ocupat de materie adică nu se acceptă existența unor goluri sau a unor crăpături
microscopice (fisuri) Deși nu corespunde realităţii poate fi acceptată deoarece
dimensiunile corpului sunt mult mai mari decacirct dimensiunile particulelor elemantare Are
avantajul că permite utilizarea proprietăților matematice ale funcțiilor continue pentru
tensiunile și deformațiile din orice punct al corpului Ea este mai apropiată de realitate la
corpurile amorfe şi mai depărtată la cele cristaline dar conduce la rezultate satisfăcătoare
icircn calculele de rezistenţă
Ipoteza nu se poate aplica la corpurile care au goluri tăieturi (multiplu conexe)
pentru unele puncte singulare icircn care tensiunile și deformațiile tind la infinit sau icircn unele
probleme de plasticitate icircn care proprietățile de material au un rol esențial
Ipoteza izotropiei conform acestei ipoteze materialul din care este confecționat
un element de rezistență are aceleași proprietăți după orice direcție un astfel de material
este considerat izotrop Din punct de vedere macroscopic metalele pot fi considerate
izotrope deși la nivel microscopic proprietățile lor diferă de la o direcție cristalografică
la alta Orice conglomerat de cristale poate fi considerat izotrop
Există cazuri cacircnd această ipoteză a izotropiei nu se acceptă
la metalele puternic deformate după o direcție (prin laminare trefilare)
la piesele confecționate din lemn lemnul este anizotrop deoarece proprietățile sale
diferă după două direcții (icircn lungul fibrelor și perpendicular pe această direcție)
Ipoteza omogenității consideră că un corp are aceleași proprietăți icircn orice
punct al său Deși majoritatea materialelor utilizate icircn tehnică sunt eterogene la scară
micro fiind constituite din mai multe faze cu proprietăți diferite la scară macro ele pot
fi considerate omogene Omogenitatea și izotropia sunt proprietăți statistice medii care
nu se condiționează una pe cealaltă Chiar și materialele monofazice pot avea la scară
micro unele segregații care le fac eterogene
Ipoteza elasticităţii perfecte presupune că atacircta timp cacirct solicitările nu
depăşesc anumite limite materialul are o comportare elastică adică icircşi recapătă forma şi
dimensiunile iniţiale odată cu icircnlăturarea sarcinilor Icircn realitate materialele nu prezintă o
elasticitate perfectă ele avacircnd deformaţii remanente mici care icircnsă pot fi neglijate icircn
calculele de rezistenţă
Acceptarea acestei ipoteze a elasticității perfecte permite
- aplicarea relației biunivoce icircntre tensiuni și deformații relație exprimată de legea
lui Hooke ( = 119864 ∙ 휀) unde E este un factor de proporţionalitate numit modul de
elasticitate longitudinal al materialului pentru oţel 119864 = 21 ∙ 105 [119872119875119886] - acceptarea valabilității afirmației bdquolucrul mecanic efectuat de forțele exterioare
ca urmare a parcurgerii deplasărilor punctelor de aplicație se icircnmagazinează integral icircn
corp sub formă de energie de deformație energie cedată la icircndepărtarea sarcinilorrdquo
- este valabilă teoria conform căreia bdquoenergia icircnmagazinată și deformațiile depind
doar de starea inițială și finală de eforturi fără a ține cont de modul icircn care s-a ajuns la
starea finalărdquo
Icircn realitate oricacirct de mici ar fi sarcinile aplicate se produc și deformații plastice
dar acestea pot fi neglijate dacă solicitarea nu depășește anumite limite
342 Ipoteze de calcul
Ipoteza micilor deplasări bdquodeplasările datorate deformării sunt mult mai mici
decacirct dimensiunile corpurilor și ca urmare pot fi neglijate produsele dintre o deplasare și
ea icircnsăşirdquo Pentru cele mai multe corpuri deformaţiile elastice sunt de mărimi mici deci
corpurile solide sub acţiunea sarcinilor icircşi modifică foarte puţin forma iniţială Această
ipoteză este cunoscută şi sub denumirea de ipoteza menţinerii dimensiunilor iniţiale Ea
permite scrierea ecuaţiilor de echilibru ale staticii pe starea nedeformată a elementului
cacircnd nu se iau icircn considerare deplasările punctelor de aplicaţie ale forţelor care se produc
ca urmare a deformării acestuia Calculul efectuat pe schema nedeformată poartă numele
de calcul de ordinul I
Ipoteza micilor deplasări nu poate fi acceptată pentru studiul problemelor de
stabilitate sau la problemele la care nu pot fi icircndeplinite condiţiile de echilibru icircn starea
nedeformată
Calculul de ordinul II admite ipoteza micilor deplasări dar ecuaţiile de echilibru
se scriu icircnsă pentru starea deformată a elementului de rezistenţă
Calculul de ordinul III nu mai acceptă ipoteza micilor deplasări el referindu-se
la cazul deformaţiilor mari cacircnd ecuaţiile de echilibru trebuie scrise pentru starea
deformată
Chiar dacă materialul satisface legea lui Hooke icircn urma calculelor de ordinul II
se obţin de obicei relaţii neliniare icircntre sarcini şi deplasări iar pentru calculul de ordinul
III rezultă ecuaţii diferenţiale neliniare
Principiul efectului local al acțiunii sarcinilor enunțat de Barre de Saint-
Venant Acest principiu destul de folosit icircn Rezistenţa Materialelor precizează că dacă
se icircnlocuiesc forţele care acţionează asupra unui element de suprafață al unui corp
elastic printr-un alt sistem de forţe echivalent din punct de vedere static cu primul noua
distribuţie a forţelor produce la locul de aplicare diferenţe semnificative faţă de prima
dar rămacircne fără efect sau cu efect neglijabil la distanţe mari de locul de aplicare al
forţelor figura 312
Ca o cosecință o sarcină uniform distribuită figura 312a poate fi icircnlocuită cu
rezultanta ei figura 312b dacă se analizează efectul sarcinii la distanță mare de locul icircn
care se aplică sarcina
Fig 312 Principiul Saint-Venant
Icircn prima variantă figura 312a forţa 119865 se aplică pe o porțiune oarecare 119897 (sarcină
uniform distribuită) iar icircn a doua figura 312b icircntru-un punct (forţă concentrată) La
locul de aplicare a sarcinii efectul asupra barei este cu totul diferit de la o variantă la
cealaltă Icircnsă la o distanţă mare de punctul de aplicaţie spre exemplu icircn secţiunea situată
la distanţa 119886 de capătul barei sau chiar icircn icircncastrare ambele bare sunt solicitate la fel
Icircn cazul din figura 312a
119872119894(119909) =119901 ∙ 1199092
2 119909 le 119897 119872119894(119909) = 119901 ∙ 119897 ∙ (119909 minus
119897
2) 119909 gt 119897 (324)
Icircn cazul din figura 312b
119872119894(119909) = 0 119909 lt119897
2 119872119894(119909) = 119901 ∙ 119897 ∙ (119909 minus
119897
2) 119909 gt
119897
2 (325)
Se vede că pentru (119909 gt 119897) adică după depășirea locului icircn care se aplică sarcina
efectul este același
Ipoteza lui Bernoulli sau ipoteza secţiunilor plane precizează că o secţiune
plană şi normală pe axa barei icircnainte de deformare rămacircne plană şi normală pe axa
barei şi după deformare figura 313
Fig 313 Ipoteza lui Bernoulli
Ipoteza stării naturale a corpului sau ipoteza absenţei tensiunilor conform
căreia pentru un corp nesolicitat starea de tensiune şi deformaţie este nulă
Perfecţionarea mijloacelor de calcul şi de investigare pot conduce la renunţarea la
unele ipoteze sau la introducerea altora noi mai aproape de stările reale De aici rezultă
caracterul de continuă perfecţionare a metodelor Rezistenţei Materialelor
35 Coeficienţi de siguranţă Tensiuni admisibile
O piesă corespunde din punct de vedere tehnic dacă tensiunile care iau naştere icircn
interiorul piesei datorită sarcinilor aplicate nu depăşesc anumite valori limită stabilite
convenţional Aceste valori limită ale tensiunii sunt corelate cu caracteristicile mecanice
ale materialelor
Tensiunea limită utilizată icircn calculele de rezistenţă este cunoscută sub denumirea
de tensiune admisibilă sau rezistenţă admisibilă Rezistenţa admisibilă reprezintă
valoarea convenţională aleasă icircn calcul pe baza practicii pentru tensiunea maximă care
poate apare icircntr-o piesă icircn condiţii date de material şi solicitare
Rezistenţa admisibilă (120590119886 sau 120591119886) poate fi definită faţă de o stare limită
periculoasă stare care trebuie evitată deoarece poate conduce distrugere
120590119886 =120590119897119894119898119888
(326)
unde
120590119897119894119898 este tensiunea corespunzătoare stării limită periculoase
119888 estesupraunitar 119888 gt 1 și reprezintă coeficientul de siguranţă faţă de starea limită
periculoasă considerată
Alegerea unor valori inferioare pentru rezistenţa admisibilă faţă de tensiunea
corespunzătoare stării limită periculoase este necesară deoarece
cunoaşterea sarcinilor este de cele mai multe ori aproximativă şi o depăşire a
acestora este foarte posibilă
caracteristicile mecanice ale materialelor variază icircn limite destul de mari ele
fiind influenţate de mulţi factori
schema aleasă pentru calcul (aplicarea sarcinilor schematizarea structurii
ipotezele de calcul etc) depărtează modelul faţă de cel real
Pentru calculele de verificare tensiunea efectivă maximă din elementul de
rezistenţă trebuie să fie mai mică sau cel mult egală cu cea admisibilă
120590119890119891119898119886119909 le 120590119886 (327)
Valoarea rezistenţei admisibile este influenţată de foarte mulţi factori natura
materialului tratamentele termice aplicate piesei durata de funcţionare a piesei modul
de acţionare icircn timp a sarcinilor felul solicitării temperatura gradul de periculozitate
icircn cazul cedării piesei etc
De asemenea valoarea coeficientului de siguranţă se alege icircn principal ţinacircnd
seama de aceiaşi factori care influenţează şi rezistenţa admisibilă
Rezistenţele admisibile pentru cacircteva materiale sunt următoarele
pentru oțelul de uz general OL37 solicitat la icircntindere compresiune sau
icircncovoiere 120590119886 = 150 [119872119875119886] pentru lemnul de brad solicitat la
- compresiune icircn lungul fibrelor şi solicitat la icircncovoiere 120590119886 = 10 [119872119875119886] - tracţiune icircn lungul fibrelor 120590119886 = 7 [119872119875119886] - compresiune perpendiculară pe fibre 120590119886 = 15 [119872119875119886] - forfecare icircn lungul fibrelor 120591119886 = 2 [119872119875119886] - forfecare perpendiculară pe fibre 120590119886 = 45 [119872119875119886]
terenuri de fundaţie din pămacircnt uscat sau umed 120590119886 = 020 divide 025 [119872119875119886]
4 CARACTERISTICI GEOMETRICE ALE SECȚIUNILOR PLANE
41 Noţiuni introductive
Icircn relaţiile de calcul ale tensiunilor şi deformaţiilor elementelor de rezistenţă
pentru unele solicitări (icircncovoierea și torsiunea) secțiunile plane intervin atacirct prin
dimensiunile lor (aria 119860) cicirct și prin forma și poziția pe care o are secțiunea icircn raport cu
planul solicitării Mărimile care caracterizează o secțiune icircn raport cu forma și poziția față
de axele unui sistem de referință sunt denumite caracteristici geometrice de ordin
superior Aria secțiunii este caracteristica geometrică ce depinde doar de dimensiunile
geometrice ale acesteia
Să considerăm o grindă solicitată de o forță exterioară 119865 aşezată icircn două poziții icircn
raport cu planul forţei figura 41 Icircn urma aplicării forței deși avem aceeași grindă
(aceeași arie a secțiunii transversale) și aceeași forță se constată că pentru varianta din
figura 41a deformațiile sunt mult mai mari adică rezistența la icircncovoiere a grinzii din
figura 41a este mai mare decacirct icircn cazul grinzii din figura 41b Comportarea diferită se
explică prin aceea că modificarea poziţiei secţiunii transversale faţă de planul forţelor
modifică caracteristicile geometrice ale secţiunii transversale a grinzii
Fig 41 Grindă solicitată de forța 119865
Pentru realizarea calculelor de rezistenţă şi rigiditate este foarte importantă
cunoaşterea caracteristicilor geometrice ale suprafeţei secţiunii transversale a elementelor
de rezistenţă
Caracteristicile geometrice ale secţiunii transversale a unui element de rezistenţă
sunt
- aria secțiunii notată cu 119860
- momentul static icircn raport cu o axă notat 119878119911 și respectiv 119878119910
- momentul de inerție care poate fi
axial notat 119868119911 și respectiv 119868119910
centrifugal notat 119868119911119910
polar notat 119868119901
- raza de inerţie (giraţie)notată 119894119911 și respectiv 119894119910
- modulul de rezistență care poate fi
axial notat 119882119911 și respectiv 119882119910
polar notat 119882119901
42 Aria și momentul static al suprafețelor plane
Fie o suprafaţă plană de arie 119860 pe care se ia un element infinit mic de arie 119889119860 şi
un sistem de axe rectangulare 119911119874119910 figura 42 Notăm cu 119862 centrul de greutate al suprafeţei
119860 Poziţia suprafeţei elementare 119889119860 faţă de acelaşi sistem de coordonate 119911119874119910 este dată
de abscisa 119911 ordonata 119910 și raza polară
Fig 42 Suprafață plană de arie 119860
Aria suprafeţei 119860 figura 42 se defineşte ca fiind
119860 ≝ int 119889119860
119860
(41)
Aria suprafeţei este icircntotdeauna pozitivă și se măsoară icircn [1198981198982] Momentul static al suprafeţei de arie 119860 icircn raport cu axele 119874119911 și respectiv 119874119910
figura 42 sunt date de relaţiile
119878119911 ≝ int 119910 ∙ 119889119860
119860
119878119910 ≝ int 119911 ∙ 119889119860
119860
(42)
Momentul static poate fi pozitiv negativ sau nul şi se măsoară icircn [1198981198983] Coordonatele centrului de greutate ale suprafeței 119860 se detrmină cu relațiile
119910119862 ≝int 119910 ∙ 119889119860119860
119860 119911119862 ≝
int 119911 ∙ 119889119860119860
119860
(43)
Cunoscacircnd coordonatele 119910119862 și 119911119862 ale centrului de greutate 119862 al secțiunii 119860 atunci
momentele statice se pot determina cu relațiile
119878119911 ≝ int 119910 ∙ 119889119860
119860
= 119910119862 ∙ 119889119860 119878119910 ≝ int 119911 ∙ 119889119860
119860
= 119911119862 ∙ 119889119860 (44)
Aceste relații arată că momentul static al unei suprafețe icircn raport cu o axă este
egal cu produsul dintre aria suprafeței și distanța de la centrul ariei la axa respectivă
Dacă suprafaţa se poate descompune icircn 119899 suprafeţe simple la care se cunosc ariile
(1198601 1198602 ⋯ 119860119894⋯ 119860119899) și poziţiile centrelor de greutate 119862119894 faţă de sistemul de referinţă
expresiile momentelor statice capătă următoarea formă
119878119911 = sum 119910119862119894 ∙ 119860119894119899119894=1 = 119910119862 ∙ 119860 119878119910 = sum 119911119862119894 ∙ 119860119894
119899119894=1 = 119911119862 ∙ 119860 (45)
Din relaţiile (45) rezultă că poziţia centrului de greutate 119862 al unei suprafeţe
compuse poate fi determinată cu relaţiile
119910119862 = (sum119910119862119894 ∙ 119860119894
119899
119894=1
) 119860frasl 119911119862 = (sum119911119862119894 ∙ 119860119894
119899
119894=1
) 119860frasl (46)
Icircn relația (45) 119910119862119894 și respectiv 119911119862119894 reprezintă coordonatele centrelor de greutate 119862119894
ale fiecărei suprafețe simple 119860119894 icircn raport sistemul de axe 119911119874119910
Se constată (relaţia 42) că dacă axele sistemului de referinţă trec prin centrul de
greutate (119910119862 = 119911119862 = 0) momentele statice sunt nule Axele icircn raport cu care momentele
statice sunt nule şi care trec prin centrul de greutate al suprafeţei se numesc axe centrale
Observație dacă secțiunea compusă are o axă de simetrie centrul secțiunii se
găsește pe acea axă iar dacă secțiunea este dublu simetrică poziția centrului secțiunii este
la intersecția axelor de simetrie
43 Momente de inerţie
Momentele de inerţie axiale ale unei suprafețe se calculează icircn raport cu axele de
coordonate 119874119911 și respectiv 119874119910 figura 42 și se determină cu relațiile
119868119911 ≝ int 1199102 ∙ 119889119860
119860
119868119910 ≝ int 1199112 ∙ 119889119860
119860
(47)
Unde 119910 și 119911 sunt distanțele de la elementul de arie 119889119860 la cele două axe de
coordonate 119874119911 și respectiv 119874119910
Momentele de inerţie axiale se măsoară icircn [1198981198984] şi sunt icircntotdeauna pozitive (aria
119889119860 este icircntotdeauna pozitivă și este multiplicată cu patratul distanței 1199102 dacă 119868119911 sau 119868119910
sunt nule icircnseamnă ca secțiunea nu există)
Momentele de inerție axiale se calculează icircndeosebi pentru axele centrale (care
trec prin centrul secțiunii) deoarece icircn raport cu acele axe 119868119911 și 119868119910 au valori minime
Momentul de inerţie centrifugal calculat faţă ambele axe ale sistemului de
referinţă 119911119874119910 este definit de relația
119868119911119910 ≝ int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860
(48)
Momentul de inerţie centrifugal se măsoară icircn [1198981198984] şi poate fi pozitiv negativ
sau nul
Momentul de ineție centrifugal este nul 119868119911119910 = 0 dacă cel puțin una din axele 119874119911
sau 119874119910 este axă de simetrie pentru secțiune
Se consideră o suprafaţă dreptunghiulară pe care faţă de axa de simetrie 119874119910 se iau
două suprafeţe elementare de arie 119889119860 simetrice faţă de axa 119874119910 figura 43
Fig 43 Suprafață dreptunghiulară cu două arii elementare 119889119860
Făcacircnd suma momentelor de inerţie centrifugale pentru cele două suprafeţe
elementare 119889119860 (din stacircnga şi din dreapta faţă de axa 119874119910) se obţine
int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860119889119903
+ int (minus119911) ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860119904119905119892
= int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860119889119903
minus int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860119904119905119892
= 0 (49)
Acelaşi raţionament se poate face și pentru icircntreaga suprafaţă de unde obținem că
momentul de inerție centrifugal este nul 119868119911119910 = 0 Deci pentru o suprafaţă plană care
are cel puţin o axă de simetrie momentul de inerţie centrifugal faţă de sistemul care
conţine acea axă de simetrie este nul
Momentul de inerţie polar al unei suprafeţei icircn raport cu un punct (pol) 119874 figura
42 este definit prin relaţia
1198680 = 119868119901 ≝ int 1205882 ∙ 119889119860
119860
= int(1199102 + 1199112) ∙ 119889119860
119860
= 119868119911 + 119868119910 (410)
unde este distanţa de la polul 119874 la elementul de arie 119889119860 Momentul de inerţie polar se
măsoară icircn [1198981198984] şi este totdeauna pozitiv
Momentul de inerţie polar este egal cu suma momentelor de inerţie faţă de două axe
perpendiculare oarecare şi care trec prin polul considerat
Razele de giraţie sau razele de inerţie sunt mărimi calculate icircn raport cu axele
secțiunii și definite de relaţiile
119894119911 ≝ radic119868119911119860 119894119910 = radic
119868119910
119860 (411)
Se exprimă icircn [119898119898] şi sunt icircntotdeauna pozitive Semnificația unei raze de inerție
este distanța la care dacă ar fi concentrată icircntreaga arie s-ar obține același moment de
inerție ca și cel calculat pentru aria reală
44 Modulul de rezistenţă
Modulul de rezistență se calculează icircn raport cu axele de referință sau icircn raport cu
un pol figura 42 și pot fi axiale (119882119911119882119910) sau polar (119882119901) și se determină numai pe baza
momentelor de inerţie cu relațiile figura 43
119882119911119898119894119899 ≝119868119911119910119898119886119909
119882119911119898119886119909 ≝119868119911119910119898119894119899
(412)
119882119910119898119894119899 ≝119868119910
119911119898119886119909 119882119910119898119886119909 ≝
119868119910
119911119898119894119899 (413)
119882119901 ≝119868119901
120588119898119886119909 (414)
unde
119910119898119886119909 119910119898119894119899 reprezintă distanţa de la axa 119874119911 la punctele extreme cele mai
depărtate respectiv cele mai apropiate ale suprafeţei de această axă
119911119898119886119909 119911119898119894119899 reprezintă distanţa de la axa 119874119910 la punctele extreme cele mai
depărtate respectiv cele mai apropiate ale suprafeţei de această axă
120588119898119886119909 reprezintă distanța maximă de la polul 119874 la punctul secțiunii cel mai
icircndepărtat de acesta
Fig 43 Suprafață dreptunghiulară cu două arii elementare 119889119860
Modulele de rezistenţă se exprimă icircn [1198981198983] şi sunt icircntotdeauna pozitive
Explicația este aceea că momentele de inerție care intră icircn relațiile de definiție sunt
pozitive iar distanțele la punctele extreme sunt pozitive (119910119898119886119909 119910119898119894119899 119911119898119886119909 119911119898119894119899 120588119898119886119909 se
iau icircn valoare absolută)
Icircn cazul suprafeţelor compuse modulul de rezistenţă nu se obţine prin icircnsumarea
algebrică a modulelor de rezistenţă ale suprafeţelor simple componente ci numai prin
intermediul momentului de inerţie axial calculat pentru icircntreaga secțiune
Ca și momentele de inerție modulele de rezistență se calculează numai pentru
sistemele de axe centrale
45 Momente de inerţie şi module de rezistenţă pentru suprafeţe simple
451 Secțiune dreptunghiulară
Fie suprafaţa dreptunghiulară din figura 44 de icircnălțime ℎ și lățime 119887 pe care se
consideră suprafaţă elementară de arie 119889119860 = 119887119889119910 la distanța 119910 de axa 119862119911 sistemul de
axe 119911119862119910 trece prin centrul secțiunii iar axele sunt axe de simetrie pentru dreptunghi
Fig 44 Suprafață dreptunghiulară
Pe baza relațiilor de definiți a momentului de inerție 119868119911 se obține
119868119911 ≝ int 1199102 ∙ 119889119860
119860
= int 1199102 ∙ 119887 ∙ 119889119910 = 2int 1199102 ∙ 119887 ∙ 119889119910 = 2 ∙ 119887 ∙1199103
3|ℎ 2frasl
0rArr
ℎ 2frasl
0
ℎ 2frasl
minusℎ 2frasl
rArr 119868119911 =119887 ∙ ℎ3
12
(415)
Analog pentru un element de arie 119889119860 = ℎ ∙ 119889119911 paralel cu axa 119862119910 situat la distanța
119911 de axa 119862119910
119868119910 ≝ int 1199112 ∙ 119889119860
119860
= int 1199112 ∙ ℎ ∙ 119889119911 = 2int 1199112 ∙ ℎ ∙ 119889119910 = 2 ∙ ℎ ∙1199113
3|119887 2frasl
0rArr
119887 2frasl
0
119887 2frasl
minus119887 2frasl
rArr 119868119910 =1198873 ∙ ℎ
12
(416)
Deoarece axele 119862119911 și 119862119910 sunt axe de simetrie momentul de inerție centrifugal este
119868119911119910 = 0 (417)
Pentru un pătrat avacircnd laturile egale (ℎ = 119887 = 119886) momentele de inerţie faţă de
axele centrale au expresia
119868119911 = 119868119910 =1198864
12 (418)
Modulele de rezistență axiale se calculează cu relațiile de definiție ținacircnd cont că
distanțele pacircnă la fibrele extreme sunt
119910119898119886119909 = 119910119898119894119899 =ℎ
2 119911119898119886119909 = 119911119898119894119899 =
119887
2 (419)
Obținem
119882119911119898119894119899 = 119882119911119898119886119909 =119868119911
119910119898119886119909119898119894119899=119887 ∙ ℎ3
12frasl
ℎ2frasl
=119887 ∙ ℎ2
6
119882119910119898119894119899 = 119882119910119898119886119909 =119868119910
119911119898119886119909119898119894119899=1198873 ∙ ℎ
12frasl
1198872frasl
=1198872 ∙ ℎ
6
(420)
452 Suprafaţă circulară
Din motive de simetrie pentru suprafeţele circulare momentele de inerţie faţă de
orice diametru (care reprezintă şi axe centrale) sunt aceleaşi
Considerăm o secțiune circulară plină cu diametrul 119889 și centrul de greutate 119862 Prin
centrul de greutate 119862 trece sistemul de axe ortogonal 119911119862119910 figura 45
Fig 45 Suprafață circulară
La distanța de centrul de greutate 119862 vom lua un element de suprafață mic de arie
(119889119860) de forma unui inel de grosime 119889 Elementul de arie 119889119860 are expresia
119889119860 = (2 ∙ 120587 ∙ 120588) ∙ (119889120588)
Pornind de la relația de definiție a momentului de inerție polar obținem
119868119901 ≝ int 1205882 ∙ 119889119860
119860
= int 1205882 ∙ (2 ∙ 120587 ∙ 120588) ∙ 119889120588
119903=119889 2frasl
0
= 2 ∙ 120587 ∙1205884
4|119889 2frasl0 rArr
rArr 119868119901 =120587 ∙ 1198894
32
(421)
Secțiunea este perfect simetrică deci sunt valabile relațiile
119868119911 = 119868119910 rArr 119868119901 = 119868119911 + 119868119910 = 2 ∙ 119868119911 = 2 ∙ 119868119910 =119868119901
2=120587 ∙ 1198894
64 (422)
Și modulele de rezistenţă faţă de orice diametru sunt egale şi se calculează cu
relaţiile
119882119911 = 119882119910 =1198681199111198892frasl=120587 ∙ 1198893
32 (423)
Modulul de rezistenţă polar este
119882119901 =1198681199011198892frasl=120587 ∙ 1198893
16 (424)
453 Secţiune inelară
Calculul momentelor de inerţie axiale pentru o secţiune inelară avacircnd diametrul
interior 119889 şi diametrul exterior 119863 se determină analog pentru suprafaţa circulară plină cu
observaţia că integrala pentru calculul momentului de inerție polar 119868119901 se face icircntre
limitele 119903 = 119889 2frasl şi R= 1198632frasl (icircntre raza interioară 119903 şi raza exterioară 119877) figura 46
Se obţin relaţiile
119868119901 =120587 ∙ 1198634
32∙ [1 minus (
119889
119863)4
] =120587 ∙ 1198634
32∙ (1 minus 1198964) (425)
119868119910 = 119868119910 =120587 ∙ 1198634
64∙ [1 minus (
119889
119863)4
] =120587 ∙ 1198633
64∙ (1 minus 1198964) (426)
Fig 46 Secțiune inelară
119882119901 =120587 ∙ 1198633
16∙ [1 minus (
119889
119863)4
] =120587 ∙ 1198633
16∙ (1 minus 1198964) (427)
119882119911 = 119882119910 =120587 ∙ 1198633
32∙ [1 minus (
119889
119863)4
] =120587 ∙ 1198633
32∙ (1 minus 1198964) (428)
unde 119896 = 119889119863frasl
46 Variaţia momentelor de inerţie faţă de axe paralele
( Relațiile lui STEINER)
Se consideră o suprafaţă oarecare de arie 119860 cu elementul de arie 119889119860 și un sistemul
de axe central 119911119862119910 faţă de care se cunosc momentele de inerţie 119868119911 119868119910 119868119911119910 şi considerăm
un sistem de axe 11991111198741199101 paralele cu sistemul central figura 47 Se pune problema
determinării momentele de inerţie 1198681199111 1198681199101 11986811991111199101 faţă de sistemul de axe paralel cu sistemul
central 11991111198741199101 axe aflate la distanţele 119910119862 = 119888 respectiv 119911119862 = 119889 de acesta
461 Momente de inerţie axiale
Pe baza relaţiilor de definire şi a notaţiilor din figura 42 pentru momentele de
inerţie faţă de axele 1198741199111 1198741199101 se poate scrie
1198681199111 = int 11991012 ∙ 119889119860
119860
= int(119910 + 119888)2 ∙ 119889119860
119860
= int 1199102 ∙ 119889119860
119860
+ 2 ∙ 119888 ∙ int 119910 ∙ 119889119860
119860
+
+1198882int 119889119860
119860
rArr 1198681199111 = 119868119911 + 2 ∙ 119888 ∙ 119878119911 + 1198882 ∙ 119860 hArr 1198681199111 = 119868119911 + 119888
2 ∙ 119860
(429)
Fig 47 Variaţia momentelor de inerţie față de axe paralele
S-a ajuns la relația (429) deoarece momentul static 119878119911 este nul deoarece axa 119862119885
este axă centrală
Pentru momentul de inerție axial icircn raport cu axa 1198741199101 se obține
1198681199101 = int 11991112 ∙ 119889119860
119860
= int(119911 + 119889)2 ∙ 119889119860
119860
= int 1199112 ∙ 119889119860
119860
+ 2 ∙ 119889 ∙ int 119911 ∙ 119889119860
119860
+
+1198892 ∙ int 119889119860
119860
rArr 1198681199101 = 119868119910 + 2 ∙ 119889 ∙ 119878119910 + 1198892 ∙ 119860 hArr 1198681199101 = 119868119910 + 119889
2 ∙ 119860
(430)
Pentru momentul de inerție centrifugal obținem
11986811991111199101 = int 1199101 ∙ 1199111 ∙ 119889119860
119860
= int(119910 + 119888) ∙ (119911 + 119889) ∙ 119889119860
119860
= int 119910 ∙ 119911 ∙ 119889119860 +
119860
+119888 ∙ int 119911 ∙ 119889119860
119860
+ 119889 ∙ int 119910 ∙ 119889119860
119860
rArr 11986811991111199101 = 119868119911119910 + 119888 ∙ 119889 ∙ 119860
(431)
Deoarece
int 119911 ∙ 119889119860
119860
= 119878119910 = 0 int 119910 ∙ 119889119860
119860
= 119878119911 = 0 int 119910 ∙ 119911 ∙ 119889119860
119860
= 119868119911119910
Relaţiile (429) şi (430) arată că momentul de inerţie faţă de o axă oarecare
este egal cu momentul de inerţie faţă de o axă paralelă cu ea trecacircnd prin centrul de
greutate la care se adaugă produsul dintre aria suprafeţei şi pătratul distanţei dintre
cele două axe
Din relaţiile (429) și (430) rezultă de asemenea că momentul de inerţie faţă de o
axă centrală (care trece prin centrul de greutate) este cel mai mic dintre infinitatea de
momente de inerţie obținute faţă de alte axe paralele cu ea
Relaţia (431) arată de asemenea că momentul de inerţie centrifugal faţă de un
sistem de axe oarecare este egal cu momentul de inerţie centrifugal faţă de un sistem
paralele cu el trecacircnd prin centrul de greutate a suprafeţei la care se adaugă produsul
dintre aria suprafeţei şi distanţele dintre axele sistemelor respective
Icircn literatura de specialitate relaţiile (429) (430) şi (431) sunt cunoscute sub
numele de relaţiile lui Steiner
47 Variaţia momentrlor de inerţie faţă de axe rotite
Direcţii principale şi momente de inerţie principale
Fie suprafaţa plană din figura 48 de arie 119860 pe care considerăm o suprafaţă
elementară de arie 119889119860 Pentru sistemul de axe 119911119874119910 se cunosc momentele de inerţie
119868119911 119868119910 119868119911119910 şi vom determina relaţiile de calcul pentru momentele de inerţie afererent unui
sistem de axe 11991111198741199101 rotit cu un unghi faţă de sistemul central
Faţă de sistemul de axe 11991111198741199101 elementul de arie 119889119860 are coordonatele
1199101 = 119875119877 = 119875119876 minus 119877119876 = 119910 ∙ cos 120572 minus 119911 ∙ sin 120572
1199111 = 119873119872 = 119873119875 minus 119875119872 = 119911 ∙ cos 120572 + 119910 ∙ sin 120572 (432)
Fig 47 Variaţia momentelor de inerţie față de axe rotite
Pe baza relaţiilor de calcul ale momentelor de inerţie şi a notaţiilor din figura 42
şi ale relaţiilor (432) momentele de inerţie faţă de sistemul de axe rotit 11991111198741199101 sunt
1198681199111 =119868119911 + 119868119910
2+119868119911 minus 119868119910
2∙ cos 2120572 minus 119868119911119910 ∙ sin 2120572 (433)
1198681199101 =119868119911 + 119868119910
2minus119868119911 minus 119868119910
2∙ cos 2120572 + 119868119911119910 ∙ sin 2120572 (434)
11986811991111199101 =119868119911 minus 119868119910
2∙ sin 2120572 + 119868119911119910 ∙ cos 2120572 (435)
Din relaţiile 433divide435 se observă că icircntre momentele de inerţie axiale şi cele
polare există relaţia
1198681199111 + 1198681199101 = 119868119911 + 119868119910 = 119868119901 (436)
adică suma momentelor de inerţie axiale icircn raport cu orice pereche de axe ortogonale
care trec printr-un pol dat este o constantă şi egală cu momentul de inerţie polar
Prin rotirea sistemului de axe din relaţiile 433divide435 rezultă că momentele de inerţie
variază icircnsă suma lor rămacircne constantă deci există o poziţie a sistemului de axe pentru
care momentele de inerţie au valori extreme maxim respectiv minim
471 Direcţii principale de inerţie
Valoarea unghiului 120572 pentru care momentele de inerţie axiale au valori extreme
este
1205721 =1
2∙ 119886119903119888119905119886119899 (minus
2 ∙ 119868119911119910
119868119911 minus 119868119910) (437)
Poziţia celeilalte direcţii este perpendiculară pe cea dată de unghiul 1205721
Din relaţia (437) se constată că faţă de aceste direcţii rotite pentru care momentele
de inerţie axiale prezintă valori extreme momentul de inerţie centrifugal 11986811991111199101este nul
Atunci se poate afirma că momentele de inerţie axiale au valori extreme icircn raport cu
direcţiile faţă de care momentul de inerţie centrifugal este nul Aceste direcţii se numesc
direcţii principale iar momentele de inerţie faţă de aceste direcţii poartă numele de
momente de inerţie principale
Icircn calculele de rezistenţă interesează icircn mod special poziţia direcţiilor principale
care trec prin centrul de greutate al suprafeţei aşa numitele direcţii principale centrale şi
evident momentele de inerţie principale centrale
Direcţiile principale de inerţie se notează cu 1 respectiv 2 Axa principală 1
corespunde direcţiei faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea maximă iar
axa principală 2 pentru direcţia faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea
minimă
472 Momente de inerţie principale
Momentele de inerţie principale se notează cu litera 119868 la care se pune indicele 1
sau 2 după cum valoarea acestuia este maximă sau minimă deci avem un moment de
inerţie principal 1 (notat 1198681) respectiv moment de inerţie principal 2 (notat 1198682)
Expresiile pentru momentele de inerţie principale sunt
11986812 =119868119911 + 119868119910
2plusmn1
2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)
2+ 4 ∙ (119868119911119910)
2 (438)
Dacă momentul de inerţie centrifugal este negativ (119868119911119910 lt 0) direcţia principală
care trece prin primul cadran (definit de sistemul 119911119862119910) este direcţia principală 120783
Pentru suprafeţele cu cel puţin o axă de simetrie direcţiile centrale 119862119911 119862119910 sunt şi
direcții principale de inerţie și evident momentele de inerţie axiale 119868119911 119868119910 sunt momente
de inerţie principale
48 Caracteristici mecanice ale metalelor
Alegerea materialului pentru confecţionarea unei anumite piese se face şi pe baza
aşa numitelor caracteristici mecanice pe care le prezintă materialul Cunoaşterea acestor
caracteristici mecanice are loc numai pe baza unor icircncercări mecanice care să scoată icircn
evidenţă comportarea materialului icircn condiţii de solicitare
Cea mai utilizată icircncercare icircn urma căreia se pun icircn evidenţă caracteristicile
mecanice ale unui material este icircncercarea la tracţiune
481 Icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general
Icircncercarea la tracţiune a oţelului ca de altfel toate icircncercările de materiale este
standardizată
Icircn cele ce urmează se va prezenta numai partea care interesează strict din punct
de vedere al caracteristicilor mecanice ale oţelului
Epruveta de diametru iniţial 1198890 pentru icircncercarea la tracţiune are o porţiune de
lungime 1198710 numită baza de măsurare pe care se măsoară lungirea acesteia sub acţiunea
solicitării
Icircn funcţie de raportul dintre baza de măsurare 1198710 şi diametrul iniţial 1198890 epruvetele
utilizate pentru icircncercări sunt
epruvete normale (scurte) cacircnd 11987101198890 = 5
epruvete lungi cacircnd 11987101198890 = 10
Icircn timpul icircncercării la diferite valori ale forţei 119865 se măsoară lungirea bazei de
măsurare
∆119871 = 120575 = 119871 minus 1198710 (439)
unde
119871 este dimensiunea bazei de măsurare la un moment dat
Curba forţă-lungire (119865 minus ) icircnregistrată icircn urma icircncercării reprezintă curba
caracteristică la tracţiune
La icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general diagrama caracteristică care se
obţine are forma din figura 48
Curba caracteristică la tracţiune depinde de lungimea bazei de măsurare Pentru
icircnlăturarea acestui neajuns curba caracteristică se reprezintă icircn coordonate şi definite
astfel
120590 =119865
1198600 휀 =
120575
1198710 (440)
unde
1198600 este aria iniţială a secţiunii transversale a epruvetei (icircnainte de solicitare) icircn
zona bazei de măsurare
1198600 =120587 ∙ 1198890
2
4
Deoarece mărimile icircn care se reprezintă curba caracteristică la tracţiune sunt
raportate la aria iniţială a secţiunii transversale (mărimi specifice) curba poartă numele
de curbă caracteristică convenţională la tracţiune
Fig 48 Curba caracteristică convenţională la tracțiune
Pe curba caracteristică convenţională la tracţiune figura 48 se pot stabili o serie
de puncte cărora le corespund mai multe mărimi importante
Ordonata punctului A pacircnă unde curba caracteristică convenţională este linie
dreaptă se numeşte limita de proporţionalitate a materialului 120590119901(1205901) Porţiunea 119874119860 este
zona de proporţionalitate a curbei caracteristice pe acest domeniu este valabilă legea lui
Hooke care exprimă o proporţionalitate icircntre tensiune şi deformaţie specifică
120590 = 119864 ∙ 휀 (441)
unde
119864 = reprezintă panta porţiunii liniare a curbei convenționale caracteristice
la tracțiune Caracteristica de material 119864 se numeşte modul de elasticitate longitudinal
(modulul lui Young)
Ordonata punctului 119861 pacircnă unde materialul se comportă perfect elastic adică
după descărcare icircşi recapătă dimensiunea iniţială 1198710 se numeşte limita de elasticitate
120590119890(119877119890) Icircn realitate nici un material nu are comportare perfect elastică sub acţiunea
solicitărilor el capătă deformaţii permanente (remanente plastice)
După punctul 119861 urmează o porţiune 119861119862119863 icircn care cu toate că icircncărcarea
continuă forţa nu mai creşte avacircnd mici oscilaţii icircn jurul unei valori Se spune că icircn
această porţiune materialul curge iar intervalul 119861119862119863 este un palier de curgere Tensiunea
corespunzătoare palierului de curgere se numeşte limită de curgere aparentă 120590119888(119877119888) Limita de curgere aparentă se calculează cu relaţia
120590119888 =1198651198881198600 (442)
unde
119865119888 reprezintă valoarea forţei icircnregistrată icircn momentul curgerii materialului
După punctul 119863 curba caracteristică are un traseu ascendent pacircnă icircn punctul 119864
Porţiunea 119863119864 este numită zonă de icircntărire (ecruisare) Icircn zona de ecruisare unde se
produc deformaţii plastice semnificative legea lui Hooke nu mai este valabilă La
descărcare relaţia dintre tensiunea şi deformaţia specifică este liniară paralelă cu
porţiunea liniară a curbei caracteristice (dreapta 119872119873)
Deformaţia totală (휀119905) are două componente una elastică (휀119890) şi una plastică (휀119901)
Ordonata punctului 119864 reprezintă rezistenţa de rupere 120590119903(119877119898) a materialului
care se poate calcula cu relaţia
120590119903 = 119877119898 =1198651198981198861199091198600
(443)
unde
119865119898119886119909 reprezintă valoarea maximă a forţei icircnregistrată icircn timpul icircncercării
La atingerea valorii 119865119898119886119909 (punctul 119864) icircntr-un anumit loc al epruvetei secţiunea
icircncepe să se micşoreze (se produce gacirctuirea) continuacircnd pacircnă cacircnd se produce ruperea
totală (punctul 119865)
Dacă după ruperea epruvetei cele două părţi rezultate se aşează cap la cap şi se
măsoară dimensiunea bazei de măsurare 119871119906 (lungimea ultimă) se determină alungirea la
rupere sau lungirea specifică la rupere 휀119903
휀119903 =119871119906 minus 11987101198710
=∆119871
1198710=120575
1198710 (444)
De obicei alungirea se exprimă icircn procente şi se notează cu 119860119899 unde 119899 reprezintă
numărul dat de raportul 11987101198890 (epruvete normale 119899 = 5 epruvete lungi 119899 = 10)
119860119899 =119871119906 minus 11987101198710
∙ 100 [] (445)
Altă mărime care se determină la icircncercarea la tracţiune este gacirctuirea la rupere
(exprimată de obicei icircn procente) şi definită de relaţia
119885 =1198600 minus 1198601199061198600
∙ 100 [] (446)
Mărimile determinate limita de proporţionalitate modulul de elasticitate
longitudinal limita de elasticitate limita de curgere aparentă rezistenţa de rupere
alungirea la rupere şi gacirctuirea la rupere sunt cunoscute ca fiind caracteristici mecanice
ale materialului
Din curba caracteristică convenţională observăm faptul că ruperea (punctul 119865 din
figura 48 se produce la o tensiune mai mică decacirct cea corespunzătoare punctului 119864 Dacă
icircnsă forţa din timpul icircncercării s-ar raporta la aria secţiunii din momentul icircnregistrării
forţei (care este mai mică decacirct cea iniţială 1198600) s-ar obţine aşa numita curbă
caracteristică reală a materialului (traseul 1198741198601198611198621198631198651 din figura 48) La curba
caracteristică reală ruperea se produce icircn punctul 1198651 la o icircncărcare mai mare decacirct cea
corespunzătoare punctului 119864 Icircnseamnă că rezistenţa reală la rupere este mai mare decacirct
rezistenţa la rupere dată de punctul 119864 din diagrama caracteristică convenţională
Dificultatea obţinerii diagramei caracteristice reale faţă de cea a diagramei caracteristice
convenţionale şi considerarea unei rezistenţe la rupere mai mică decacirct a celei reale face
icircn practică utilizarea pe scară mare a diagramei caracteristice convenţionale
Caracteristicile mecanice determinate pe baza curbei caracteristice convenţionale
sunt şi ele caracteristici mecanice convenţionale
Caracteristicile mecanice convenţionale limita de proporţionalitate convenţională
120590119901 limita de elasticitate convenţională 120590119890 limita de curgere convenţională 120590119888 şi rezistenţa
de rupere 120590119903 constituie tensiuni limită pentru un material Pe baza acestor caracteristici
de material se alege valoarea tensiunii admisibile 120590119886 (vezi paragraful 35) pentru
calculele de rezistenţă Cea mai utilizată stare limită pentru stabilirea tensiunii admisibile
120590119886 este limita de curgere convenţională 120590119888
120590119886 =120590119897119894119898119888
=120590119888119888 119904119886119906 120590119886 =
120590119903119888 (447)
Caracteristicile mecanice ale materialului sunt influenţate de o serie de factori
temperatura viteza de solicitare factorii tehnologici iar valorile lor sunt date icircn tabele și
diagrame
Aplicaţie Pentru suprafaţa plană compusă din două dreptunghiuri avacircnd
dimensiunile din figura 49a să se calculeze
a) centrul de greutate al secțiunii compuse 119910119866 119911119866
b) momentele de inerție axiale 119868119911 119868119910 și momentul de inerție centrifugal 119868119911119910
c) razele de inerție 119894119911 119894119910
d) modulele de rezistență 119882119911119898119894119899 119882119911119898119886119909 119882119910119898119894119899 119882119910119898119886119909
e) momentele de inerție principale 1198681 1198682 și direcțiile principale de inerție 1205721
f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 119878119911
Fig 49 Aplicație
Rezolvare Pentru rezolvare vom parcurge următoarele etape
icircmpărțim suprafața compusă icircn două suprafețe simple (dreptunghiuri) notate cu
① și respectiv ② figura 49b
poziționăm centrele de greutate a celor două suprafețe simple ① și respectiv ②
notate cu 1198661 și respectiv 1198662 figura 49c
poziționăm sistemele de axe de coordonate 119911111986611199101 pentru dreptunghiul ① și
119911211986621199102 pentru dreptunghiul ② aflate la intersecția diagonalelor figura 49c
poziționăm sistemele de axe de coordonate 11991101198741199100 ales arbitrar față de care
determinăm poziția centrului de greutate 119866 figura 49c
a) calculăm poziția centrului de greutate folosind relațiile (46) icircn care
1198601 = 6119905 ∙ 119905 = 61199052 1198602 = 4119905 ∙ 119905 = 41199052 119860 = 1198601 + 1198602 = 61199052 + 41199052 = 101199052
iar centrele de greutate 1198661 și respectiv 1198662 au coordonatele (față de sistemul 11991101198741199100)
1198661 1199101 = 3119905 1199111 = 05119905
1198662 1199102 = 051199051199112 = 3119905
cu acestea obținem
119910119866 =1198601 ∙ 1199101 + 1198602 ∙ 1199102
119860=61199052 ∙ 3119905 + 41199052 ∙ 05119905
101199052=201199053
101199052= 2119905
119911119866 =1198601 ∙ 1199111 + 1198602 ∙ 1199112
119860=61199052 ∙ 05119905 + 41199052 ∙ 3119905
101199052=151199053
101199052= 15119905
Poziționăm centrul de greutate 119866 al suprafeței compuse figura 49c
Fig 49 Aplicație
b) pentru determinarea momentelor de inerție axiale 119868119911 119868119910 și a momentului de
inerție centrifugal 119868119910119911 determinăm constantele 1198881 1198882 1198891 1198892 care intervin icircn relația lui
Stainer
1198881 = 1199101 minus 119910119866 = 3119905 minus 2119905 = 119905 1198882 = minus(119910119866 minus 1199102) = minus(2119905 minus 05119905) = minus15119905
1198891 = minus(119911119866 minus 1199111) = minus(15119905 minus 05119905) = minus119905 1198892 = 1199112 minus 119911119892 = 3119905 minus 15119905 = 15119905
Folosind relațiile lui Stainer (429) (430) și (431) calculăm momentele de
inerție axiale și centrifugale față de sistemul central 119911119866119866119910119866
119868119911 =sum(119868119911119894 + 1198881198942 ∙ 119860119894) = 1198681199111 + 1198881
2 ∙ 1198601 + 1198681199112 + 11988822 ∙ 1198602
119868119910 =sum(119868119910119894 + 1198891198942 ∙ 119860119894) = 1198681199101 + 1198891
2 ∙ 1198601 + 1198681199102 + 11988922 ∙ 1198602
119868119911119910 =sum(119868119911119894119910119894 + 119888119894 ∙ 119889119894 ∙ 119860119894) = 11986811991111199101 + 1198881 ∙ 1198891 ∙ 1198601 + 11986811991121199102 + 1198882 ∙ 1198892 ∙ 1198602
1198681199111 = (119887 ∙ ℎ3
12) =
119905 ∙ (6119905)3
12= 181199054 1198681199112 = (
119887 ∙ ℎ3
12) =
4119905 ∙ 1199053
12= 031199054
1198681199101 = (1198873 ∙ ℎ
12) =
1199053 ∙ 6119905
12= 051199054 1198681199102 = (
1198873 ∙ ℎ
12) =
(4119905)3 ∙ 119905
12= 531199054
11986811991111199101 = 11986811991121199102 = 0 deoarece cele două triunghiuri au cel puțin o axă de simetrie
Cu acestea momentele de inerție axiale și momentul de inerție centrifugal devin
119868119911 = 181199054 + 1199052 ∙ 61199052 + 031199054 + (minus15119905)2 ∙ 41199052 = 3331199054
119868119910 = 051199054 + (minus119905)2 ∙ 61199052 + 531199054 + (15119905)2 ∙ 41199052 = 2081199054
119868119911119910 = 0 + 119905 ∙ (minus119905) ∙ 61199052 + 0 + (minus15119905) ∙ (15119905) ∙ 41199052 = minus151199054
c) razele de inerție sau de girație față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910
se calculează cu relațiile (411)
119894119911 = radic119868119911119860= radic
3331199054
101199052= 182119905 119894119910 = radic
119868119910
119860= radic
2081199054
101199052= 144119905
d) modulele de rezistență față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910 se
calculează cu relațiile (412) și (413)
Avacircnd icircn vedere figura 419c obținem
119910119898119886119909 = 6119905 minus 119910119866 = 6119905 minus 2119905 = 4119905 119910119898119894119899 = minus119910119866 = minus2119905
119911119898119886119909 = 5119905 minus 119911119866 = 5119905 minus 15119905 = 35119905 119911119898119894119899 = minus119911119866 = minus15119905
Se obține astfel
119882119911119898119894119899 =119868119911
|119910119898119886119909|=3331199054
4119905= 8331199053
119882119911119898119886119909 =119868119911
|119910119898119894119899|=3331199054
2119905= 16651199053
119882119910119898119894119899 =119868119910
|119911119898119886119909|=2081199054
35119905= 5941199053
119882119910119898119886119909 =119868119910
|119911119898119894119899|=2081199054
15119905= 13871199053
e) momentele de inerție principale 1198681 și respectiv 1198682 se calculează cu relațiile
(438)
11986812 =119868119911 + 119868119910
2plusmn1
2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)
2+ 4 ∙ (119868119911119910)
2=
=3331199054 + 2081199054
2plusmn1
2∙ radic(3331199054 minus 2081199054)2 + 4 ∙ (minus151199054)2 = 27051199054 plusmn 16251199054
De unde obținem
1198681 = 27051199054 + 16251199054 = 4331199054
1198682 = 27051199054 minus 16251199054 = 1081199054
Prima direcție principală de inerție 1 face cu axa centrală 119866119911 unghiul 1205721 dat de
relația (437)
1205721 =1
2∙ arctan (minus
2 ∙ 119868119911119910
119868119911 minus 119868119910) =
1
2∙ arctan [minus
2 ∙ (minus151199054)
3331199054 minus 2081199054] =33 70
Deoarece 1205721 gt 0 rotirea axelor se face acircn sens antiorar acelor de ceasornic figura
49d
Poziția axe principale 2 față de care momentul de inerție are valoarea minimă
1198682 = 119868119898119894119899 este dată de unghiul
1205722 = 1205721 + 900 = 33 70 + 900 = 123 70
f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 se determină cu relația
(45)
1198781199111198602 = 1198602 ∙ 1198882 = 41199052 ∙ (minus15119905) = minus61199053
Fig 214 Forța tăietoare
Momentele de icircncovoiere 119872119894119911 și 119872119894119910 au ca efect o rotire a secțiunii icircn centrul
cărora acționează icircn jurul axei după care sunt orientate Icircn figura 215a se vede că
datorită momentului 119872119894119911 fibrele de deasupra axei Cz se alungesc icircn timp ce fibrele de sub
axa Cz se scurtează Fibrele care trec prin axa de icircncovoiere Cz nu se deformează sunt
fibre neutre la icircncovoiere adică axa neutră este Cz Icircn cazul momentului de icircncovoiere
119872119894119910 fibrele care nu se deformează sunt cele care trec prin axa neutră la icircncovoiere Cy
Momentele de icircncovoiere se consideră a fi pozitive (119872119894119911 gt 0119872119894119910 gt 0) dacă
observatorul care privește bara deformată vizualizează fibrele icircntinse
Fig 215 Momentul icircncovoietor
Momentul de torsiune sau de răsucire 119872119909 equiv 119872119905 are ca efect o rotire a secțiunii
icircn al cărei centru acționează icircn jurul axei longitudinale Cx Ca efect secțiunea icircși schimbă
forma (se deformează) adică unghiurile inițiale se modifică dreptunghiul inițial Ad
devine paralelogram Convențional se consideră 119872119905 gt 0 dacă vectorul moment are
aceeași orientare ca și sensul pozitiv ales pextru axa Cx Icircn figura 216 momentul este
negativ
Fig 216 Momentul de torsiune
25 Definiții și convenții de semne pentru eforturile
din secțiunile unei bare drepte plane icircncărcate cu sarcini coplanare
Vom considera o bară plană icircncărcată cu un sistem de forțe arbitrar figura 217
Ne propunem să determinăm eforturile care apar icircn secțiunea barei aflată la distanța 119909 de
reazemul din stacircnga (A)
Pentru aceasta vom aplica metoda secțiunilor vom secționa bara cu un plan
perpendicular pe axa longitudinală a barei și vom analiza doar partea din dreapta secțiunii
mărginită de fața Ad Pentru ca această porțiune de bară să fie icircn echilibru sub acțiunea
forțelor exterioare care acționează asupra sa 1198653 și 119881119861 va trebui să introducem icircn centrul
secțiunii Ad eforturile care pot să apară 119873 119879119910 119872119894119911 Acțiunea acestor eforturi trebuie să
fie echivalentă cu acțiunea forțelor exterioare aplicate pe partea icircnlăturată (parcursă) a
barei 119867119860 119881119860 1198651 1198652 1198720
Deoarece bara este plană și este icircncărcată doar cu sarcini ce aparțin
planului barei
icircn secțiunea Ad apar doar 3 componente ale torsorului de reducere al forțelor
interioare (eforturi)
- 119873 = forța axială
- 119879119910 = forța tăietoare pe care o vom nota cu 119879
- 119872119894119911 = momentul icircncovoietor notat cu Mi
Fig 217 Bară plană icircncărcată cu un sistem de forțe
Vom prezenta următoarele definiții corespunzătoare eforturilor din secțiunea Ad
119873 = forța axială dintr-o secțiune este egală cu suma algebrică a proiecțiilor pe
axa longitudinală a tuturor forțelor exterioare (sarcini și reacțiuni) aplicate pe partea
din stacircnga secțiunii adică pe porțiunea parcursă Forța axială 119873 este pozitivă dacă trage
de tronsonul pe a cărei față acționează (are orientarea normalei exterioare la secțiunea
Ad)
119873(119909) = minus119867119860 + 1198651119867 (26)
119879 = forța tăietoare icircntr-o secțiune este egală cu suma algebrică a proiecțiilor
pe o axă perpendiculară pe axa barei a tuturor forțelor exterioare (sarcini și reacțiuni)
aplicate pe porțiunea de bară aflată icircn stacircnga secțiunii considerate Forța tăietoare 119879
este pozitivă dacă tinde să rotească tronsonul pe a cărui față acționează icircn sens orar icircn
raport cu un punct de pe axa barei aflat la dreapta secțiunii
119879(119909) = 119881119860 minus 1198651119881 minus 1198652 (27)
119872119894 = momentul icircncovoietor icircntr-o secțiune este egal cu suma algebrică a
momentelor obținute prin reducerea tuturor forțelor exterioare ( cupluri sarcini
reacțiuni) aplicate pe porțiunea de bară aflată la stacircnga secțiunii icircn centrul secțiunii
considerate 119872119894 este considerat pozitiv dacă tinde să deformeze bara astfel icircncacirct fibrele
spre care privește un observator să fie icircntinse Cum poziția observatorului este de regulă
sub bară bara se deformează dacă 119872119894 gt 0 astfel icircncacirct partea jos a barei este icircntinsă Se
spune că bara deformată rdquoține apaldquo
119872119894(119909) = 119881119860 ∙ 119909 minus 1198651119881 ∙ (119909 minus 1198971) minus 1198652 ∙ [119909 minus (1198971 + 1198972)] + 1198720 (28)
Sensurile pozitive ale eforturilor care apar icircn centrul secțiunii Ad (deci atunci cacircnd
sensul de parcurs la aplicarea metodei secțiunilor este cel de la stacircnga la dreapta) sunt
indicate icircn figura 218a iar dacă sensul de parcurs este de la dreapta la stacircnga sensurile
pozitive ale eforturilor sunt indicate icircn figura 218b
Fig 218 Convenţia de semne
Definiții asemănătoare se pot da și pentru eforturile din centrul secțiunii As figura
218b adică pentru cazul icircn care sensul de parcurs este cel de la dreapta la stacircnga și deci
partea luată icircn considerare este cea din stacircnga iar partea parcursă din dreapta secțiunii
este icircnlăturată
119873(1199091) = 1198653119867
119879(1199091) = 1198653119881 minus 119881119861
119872119894(1199091) = 119881119861 ∙ 1199091 minus 1198653119881 ∙ (1199091 minus 1198975)
(29)
Avacircnd icircn vedere că fețele Ad și As aparțin aceleeași secțiuni este evident faptul că
eforturile 119873(119909) 119879(119909) și 119872119894(119909) sunt identice cu eforturile 119873(119961120783) 119879(119961120783) și respectiv
119872119894(119961120783) Icircn figura 218c se prezintă o sinteză a convențiilor de semne pozitive pentru cele
3 eforturi atacirct pentru sensul de parcurs de la stacircnga la dreapta (secțiunea Ad) cacirct și pentru
sensul invers (secțiunea As)
Semnele eforturilor sunt importante icircntrucacirct există materiale cu comportări diferite
la icircntindere față de compresiune iar o schimbare a semnului unui efort poate produce
erori grave icircn calcule Semnele eforturilor au fost stabilite icircn funcție de deformațiile
produse și nu depind de sensul axelor sistemului de coordonate
26 Relaţii diferenţiale icircntre eforturi şi sarcini
Pentru a vedea ce legătură există icircntre eforturi și sarcini vom considera o bară
dreaptă icircncărcată cu o sarcină distribuită după o lege oarecare figura 219a Din această
bară vom decupa prin dublă secționare un element de lungime infinit mică 119889119909 Deoarece
lungimea 119889119909 este foarte mică se poate considera sarcina 119901 uniform distribuită Icircn
secțiunile rezultate trebuie să introducem eforturile care pot apărea
- 119879 şi 119872119894 icircn centrul secțiunii din sticircnga eforturi pe care le considerăm pozitive
- 119879 + 119889119879 şi 119872119894 + 119889119872119894 icircn centrul secțiunii din dreapta elementului
Aceste eforturi au o variație mică (119889119879 şi 119889119872119894) față de secțiunea anterioară Spre
deosebire de cazul icircn care bara este secționată o singură dată icircn acest caz eforturile nu
pot fi determinate din cele 2 condiții de echilibru independente deoarece icircn ecuațiile de
echilibru apar 4 necunoscute 119879 119889119879119872119894 și 119889119872119894 deci că problema este dublu static
nedeterminată figura 219
Fig 219 Echivalența icircntre eforturi și sarcini
Ecuațiile de echilibru scrise pentru elementul din figura 219b conduc la stabilirea
unor relaţii foarte importante
(sum119865)119910= 0 hArr 119879 minus 119901 ∙ 119889119909 minus (119879 + 119889119879) = 0 rArr
119889119879
119889119909= minus119901 (210)
Relația (210) arată că derivata funcţiei forţei tăietoare icircn raport cu abscisa
secţiunii este egală cu sarcina distribuită normală la axa barei din acea secţiune luată
cu semn schimbat
Observații
dacă 119901 = 0 nu există sarcină distribuită atunci forța tăietoare T este constantă
icircnclinarea pantei diagramei forței 119879 este egală cu (ndash 119901) (sarcina distribuită cu
semn schimbat)
dacă 119901 = 119888119900119899119904119905 119879 variază liniar pe acel interval
Asemănător se deduce că derivata funcţiei forţei axiale icircn raport cu abscisa
secţiunii este egală cu sarcina distribuită axială din acea secţiune luată cu semn
schimbat adică
119889119873
119889119909= minus119901119867 (211)
Din condiția de echilibru suma de momente faţă de centrul de greutate al secţiunii
din dreapta
(sum119872)119862= 0 hArr 119872119894 minus (119872 + 119889119872119894) + 119879 ∙ 119889119909 minus 119901 ∙
(119889119909)2
2= 0 rArr
119889119872119894
119889119909= 119879 (212)
Relația (212) s-a obținut dupa reducerea termenilor și prin neglijarea infinitului
mic de ordinul 2
119901 ∙(119889119909)2
2
Relația (212) arată că derivata funcţiei moment icircncovoietor icircn raport cu abscisa
secţiunii este egală cu forţa tăietoare din acea secţiune
Observații
dacă 119879 = 0 momentul 119872119894 are un punct de extrem se obține o valoare maximă
pentru 119872119894119898119886119909 dacă forța tăietoare 119879 se anulează trecacircnd de la plus icircn stacircnga la minus icircn
dreapta secțiunii
dacă forța tăietoare este pozitivă pe un interval 119879 gt 0 atunci 119872119894 este crescătoare
pe acel interval
dacă forța tăietoare este negativă pe un interval 119879 lt 0 atunci 119872119894 este
descrescătoare pe acel interval
dacă pe un interval 119901 = 0 forța tăietoare este constantă 119879 = 119888119905 iar 119872119894 variază
liniar pe acel interval
dacă 119901 = 119888119900119899119904119905 119879 variază liniar pe acel interval iar 119872119894 variază parabolic pe
acel interval
Relaţiile diferenţiale sunt utile la reprezentarea corectă şi verificarea diagramelor
de eforturi astfel
pentru porţiunile de grindă pe care p = 0 eforturile N şi T sunt constante iar pe
porţiunile cu p = const eforturile N şi T variază liniar (relaţiile 211 şi 210)
dacă pe o porţiune T = const momentul icircncovoietor Miz variază liniar iar dacă
T variază liniar atunci momentul Miz variază parabolic (relaţia 212)
pe domeniile pe care T gt 0 funcţia Mi(x) este crescătoare iar icircn secţiunea icircn
care T = 0 (graficul funcţiei T intersectează axa x) momentul icircncovoietor are un punct
de extrem local (maxim sau minim relaţia 212)
Pentru rezolvarea problemelor referitoare la trasarea diagramelor de eforturi
pentru barele drepte solicitate de sisteme de forţe plane se parcurg următoarele etape
1) identificarea forţelor aplicate (date) şi pregătirea lor pentru calcule
(descompunerea forţelor concentrate pe direcţiile x şi y calculul rezultantelor forţelor
distribuite)
2) identificarea reazemelor şi introducerea reacţiunilor corespunzătoare (vezi
figurile 27divide29)
3) stabilirea ecuaţiilor de echilibru static calculul şi verificarea reacţiunilor Icircn
rezistența materialelor se folosește sistemul de ecuații (vezi figura 217)
(sum119865)
119909= 0
(sum119872)119860= 0
(sum119872)119861= 0
(213)
4) identificarea domeniilor de variaţie şi scrierea funcţiilor de eforturi pentru N T
şi Mi
5) reprezentarea grafică a diagramelor de eforturi
6) verificarea corectitudinii diagramelor pe baza relaţiilor diferenţiale icircntre eforturi
şi sarcini
Aplicație Pentru grinda dreaptă icircncărcată cu sistemul de forţe reprezentat icircn figura
220 se cere
a) să se calculeze şi să se verifice reacţiunile
b) să se stabilească funcţiile eforturilor Nx Ty şi Miz şi să se reprezinte diagramele
de variaţie
c) să se analizeze relaţiile diferenţiale icircntre eforturi şi sarcini
Dimensiunile grinzii au valorile a = 6 [m] b = 4 [m] și c = 4[m] sistemul de
forţe aplicat fiind format din p = 10 [kN mfrasl ] F = 20 [kN] (icircnclinată cu unghiul α =300 faţă de orizontală) şi M0 = 40 [kN ∙ m]
Rezolvare
a) Se fac următoarele precizări
grinda dreaptă se reprezintă prin axa geometrică
forţa icircnclinată F se descompune după direcţiile orizontală şi verticală icircn FV =F ∙ sin α = 10 [kN] şi FH = F ∙ cos α = 173 [kN]
forţa distribuită uniform p este echivalentă din punct de vedere static cu
rezultanta sa R = p ∙ a = 60 [kN] care acţionează la jumătatea porţiunii de lungime a
icircn reazemele 119860 şi 119861 se introduc componentele HA şi VA respectiv VB ale
reacţiunilor
Pentru calculul reacţiunilor se utilizează ecuaţiile de echilibru static al grinzii
sumXi = 0 HA minus FH = 0 sumYi = 0 VA + VB minus R minus FV = 0 (sumM)B = 0 VA ∙ (b + a) minus R ∙ (b + 05 ∙ a) minus M0 + FV ∙ c = 0
(A1)
Din prima ecuaţie se obţine HA iar din cea de-a treia ecuaţie rezultă VA
HA = FH = 173 [kN]
VA =[R ∙ (b + 05 ∙ a) + M0 minus FV ∙ c]
(b + a)=[60 ∙ (4 + 05 ∙ 6) + 40 minus 10 ∙ 4]
(4 + 6)
VA = 42 [kN]
(A2)
Fig 220 Aplicație
Se observă că cea de-a doua ecuaţie de echilibru conţine două necunoscute
reacţiunile VA şi VB Pentru a calcula componenta VB nu este indicată introducerea lui VA
icircn cea de-a doua ecuaţie a sistemului (A1) pentru că o valoare determinată greşit pentru
VA conduce la o valoare VB de asemenea greşită O ecuaţie independentă din care se poate
determina componenta VB este următoarea
(sumM)A= 0 FV ∙ (a + b + c) minus VB ∙ (a + b) minus M0 + R ∙ 05 ∙ a = 0 (A3)
de unde se obţine
VB =[FV ∙ (a + b + c) minusM0 + R ∙ 05 ∙ a]
(b + a)=[10 ∙ (6 + 4 + 4) minus 40 + 60 ∙ 05 ∙ 6]
(6 + 4)
VB = 28 [kN] (A4)
Ecuaţia de proiecţii ale forţelor pe direcţia verticală (a doua ecuaţie din sistemul
A1) se utilizează pentru verificarea reacţiunilor deja determinate
VA + VB minus R minus FV = 0 rArr 42 + 28 minus 60 minus 10 = 0 (A5)
Ultima egalitate demonstrează că reacţiunile verticale au fost calculate corect
Din cele de mai sus rezultă ordinea firească pentru determinarea reacţiunilor icircn
cazul grinzilor simplu rezemate
sumXi = 0
(sumM)A = 0
(sumM)B = 0
(A6)
iar pentru verificarea componentelor verticale VA şi VB se folosește ecuaţia sumY = 0
b) La stabilirea funcţiilor de eforturi se parcurg icircn general etapele următoare
se notează (numeric sau literal după preferinţă) secţiunile care delimitează
domeniile (intervalele sau tronsoanele) pe care eforturile nu-şi modifică funcţiile (au legi
unice de variaţie)
pe fiecare domeniu se marchează secţiunea imaginară icircn care se stabilesc
funcţiile eforturilor
secţiunea astfel aleasă separă icircn două părţi grinda şi anume porţiunea din stacircnga
şi porţiunea din dreapta secţiunii
se va considera parcursă (şi icircndepărtată) acea parte pe care acţionează mai puţine
sarcini exterioare pentru că acestea vor interveni icircn expresiile funcţiilor de eforturi
poziţiile secţiunilor imaginare se vor determina prin variabilele x1 ⋯ xn (unde
n reprezintă numărul domeniilor de variaţie) cu originea fixată icircn capătul intervalului şi
sensul de parcurgere spre partea considerată rămasă
Grinda prezentată icircn figura 220 are trei domenii de variaţie pentru funcţiile de
eforturi după cum urmează (A-1) (2-B) şi (B-1)
Domeniul (A-1) x1 isin [0 a = 6 m] Porţiunea parcursă şi considerată icircndepărtată este cea de coordonată x1 pe care
acţionează reacţiunile HA şi VA precum şi rezultanta parţială a sarcinii distribuite R1 =p ∙ x1
Funcţia forţă axială Nx are expresia
Nx(x1) = NAminus1 = minusHA = minus173 [kN] = const
(A7)
Funcţia forţă tăietoare Ty are exspresia
Ty(x1) = TAminus1 = VA minus R1 = VA minus p ∙ x1 (A8)
care reprezintă o variaţie liniară de variabilă x1 Se calculează valorile forţei tăietoare la
limitele intervalului de variaţie
- pentru x1 = 0 Ty(x1 = 0) = TA = VA = 42 [kN]
- pentru x1 = a = 6 [m] Ty(x1 = 6) = T1 = VA minus p ∙ a = minus18 [kN]
Observaţie Aşa cum a fost stabilită secţiunea fictivă poziţionată prin coordonata
x1 sar părea că rezultanta R ar trebui luată icircn calculul lui Ty(x1) Acest lucru ar fi greşit
pentru că R = p ∙ a reprezintă rezultanta sarcinii distribuite pe toată lungimea a iar
rezultanta pe porţiunea parcursă de lungime x1 este R1 = p ∙ x1 ne R = p ∙ a
Cu valorile obţinute se trasează diagramele forţelor axială Nx = f(x) şi tăietoare
Ty = f(x) figura 220 Din diagrama forţei tăietoare şi din valorile obţinute analitic se
observă că forţa tăietoare icircşi schimbă semnul pe intervalul analizat deci se anulează pe
acest interval Poziţia secţiunii unde Ty se anulează se determină din ecuaţia
Ty(x1) = 0 rArr VA minus p ∙ x1 = 0 (A9)
cu soluţia x1lowast = ξ = 42 [m] Important de reamintit că icircn această secţiune momentul
icircncovoietor va avea un extrem local adică Miz are un extrem la Ty = 0
Funcţia moment icircncovoietor Miz are expresia
Miz(x1) = VA ∙ x1 minus R1 ∙x12= VA ∙ x1 minus (p ∙ x1) ∙
x12
(A10)
Se observă că funcţia moment icircncovoietor de variabilă x1 are o variaţie parabolică
(gradul al II-lea) Pentru reprezentarea grafică a funcţiei parabolice se calculează valorile
momentului icircncovoietor icircn trei secţiuni
- pentru x1 = 0 Miz(x1 = 0) = MA = 0 [kN ∙ m] - pentru x1 = a = 6 [m] Miz(x1 = 6) = M1 = 72 [kN ∙ m] - pentru x1
lowast = ξ = 42 [m] Miz(x1lowast = ξ = 42 [m]) = Mimax = 882 [kN ∙ m]
Cu acestea se trasează diagrama Miz = f(x) pe intervalul (A-1) figura 220
Observaţie Icircn unele cazuri pe un anumit interval forţa tăietoare nu se anulează
şi momentul icircncovoietor nu are un extrem local Icircn acest caz pentru reprezentarea
variaţiei parabolice a momentului icircncovoietor se va studia semnul derivatei a doua a
funcţiei Miz = f(x1) acesta determinacircnd convexitatea curbei momentului icircncovoietor
Domeniul (2-B) x2 isin [0 c = 4 m] Porţiunile din grindă libere (nerezemate) la un capăt se numesc console iar
stabilirea funcţiilor de eforturi devine mai simplă dacă se consideră icircndepărtată partea din
dreapta secţiunii prin schimbarea sensului pozitiv al axei x Astfel se obţin funcţiile eforturilor
Funcţia forţă axială Nx are expresia
Nx(x2) = N2minusB = minusFH = minus173 [kN] = const
(A11)
Funcţia forţă tăietoare Ty are exspresia
Ty(x2) = T2minusB = FV = 10 [kN] = const (A12)
Funcţia moment icircncovoietor Miz are expresia
Miz(x2) = minusFV ∙ x2 rArr Miz(x2 = 0) = M2 = 0 [kN ∙ m]
Miz(x2 = 4) = MB = minus40 [kN ∙ m] (A13)
variaţie liniară (gradul I)
Domeniul (B-1) x3 isin [0 b = 4 m] Pe acest domeniu se acceptă parcurgerea grinzii de la dreapta adică se consideră
icircndepărtată partea din dreapta secţiunii fictive pentru că are doar două sarcini aplicate F
şi VB faţă de partea din stacircnga secţiunii pe care sunt aplicate trei sarcini p VA şi M0
Astfel se obţin funcţiile eforturilor
Funcţia forţă axială Nx are expresia
Nx(x3) = NBminus1 = minusFH = minus173 [kN] = const
(A14)
Funcţia forţă tăietoare Ty are exspresia
Ty(x3) = TBminus1 = FV minus VB = minus18 [kN] = const (A15)
Funcţia moment icircncovoietor Miz are expresia
Miz(x3) = minusFV ∙ (x3 + c) + VB ∙ x3 rArr
rArr Miz(x3 = 0) = MB = minus40 [kN ∙ m]
Miz(x3 = 4) = M1 = 32 [kN ∙ m]
(A16)
variaţie liniară (gradul I)
Diagramele eforturilor sunt prezentate icircn figura 220
c) Relaţiile diferenţiale dintre eforturi şi sarcini se analizează pe diagramele
eforturilor după cum urmează
sarcina distribuită nu are componentă orizontală adică ph = 0 şi icircn
conformitate cu formula (211) rezultă că Nx = const pe toată lungimea grinzii fapt care
a rezultat din funcţia şi reprezentarea diagramei forţei axiale
pe intervalul (A-1) sarcina distribuită are doar componenta verticală pozitivă
pV = p gt 0 prin urmare forţa tăietoare scade (are panta negativă dTy 119889119909frasl = minusp vezi
relaţia 210) iar momentul icircncovoietor avacircnd derivata a doua negativă d2M119894119911 1198891199092frasl =minuspare convexitatea curbei orientată spre sensul pozitiv al axei momentului Miz adică icircn
jos
pe domeniile (2-B) şi (B-1) deoarece pv = 0 forţa tăietoare Ty este constantă
iar momentul icircncovoietor Miz variază liniar
referitor la relaţia (212) pe porţiunile unde Ty gt 0 momentul Miz este
monoton crescător pe porţiunile unde Ty lt 0 momentul Miz este monoton descrescător
iar icircn secţiunea icircn care Ty = 0 momentul icircncovoietor are un extrem local Mξ =
882 [kN ∙ m] icircn diagrama forţei tăietoare discontinuităţile (salturile) se produc icircn secţiunile
unde acţionează VA VB şi FV iar icircn diagrama momentului icircncovoietor se produce un
singur salt icircn secţiunea icircn care este aplicat M0
se poate scrie
Mξ = suprafața diagramei Ty |ξ0=1
2∙ 42 ∙ 42 = 882 [kN ∙ m]
sau parcurgacircnd grinda de la dreapta la stacircnga rezultă
MB = minussuprafața diagramei Ty |c0= minus10 ∙ 4 = minus40 [kN ∙ m]
Toate aspectele analizate teoretic referitoare la relaţiile diferenţiale dintre eforturi
şi sarcini se regăsesc icircn diagramele de eforturi din figura 220 ceea ce icircnseamnă că
diagramele au fost reprezentate corect
3 TENSIUNI DEPLASĂRI ŞI DEFORMAŢII SPECIFICE
31 Tensiuni
Eforturile obținute icircn urma reducerii forțelor interioare icircn centrul de greutate al
secțiunii nu pot da informații asupra solicitării fiecărui punct al secțiunii respective Este
necesar să se cunoască modul cum se distribuie forțele interioare icircn fiecare punct al
secțiunii pentru a ști care este intensitatea maximă a solicitării Această intensitate
maximă se poate compara cu o valoare critică specifică materialului stabilindu-se astfel
dacă solicitarea este periculoasă sau nu
Mărimea care caracterizează solicitarea locală punctuală o vom denumi tensiune
și o vom defini icircn cele ce urmează Să considerăm partea din dreapta a unui corp solicitat
de forțele exterioare 1198651 1198652 și 1198653 obținută prin secționarea corpului și mărginită de fața
din dreapta Ad a secțiunii Pe secțiunea Ad vom considera un element de arie infinit mic
∆119860 caracterizat de normala la elementul de arie normală care are cosinușii directori
120573 și icircn raport cu un sistem de axe considerat fix Pe elementul infinit mic ∆119860 acționează
forțele interioare care au o rezultantă oarecare figura 31
Prin definiție tensiunea totală este
= lim∆119860rarr0
∆
∆119860 (31)
Tensiunea are aceeaşi direcţie cu forţa elementară ∆ iar mărimea ei este
determinată atacirct de mărimea forţei ∆ cacirct şi de orientarea suprafeţei ∆119860 faţă de direcţia
forţei
Tensiunea 119901 poate fi descompusă icircntr-o componentă orientată după direcţia
normalei la secţiune tensiunea normală notată cu 120590119909 şi o componentă icircn planul secţiunii
tensiunea tangenţială notată cu figura 32
= 119909 + 120591 (32)
Fig 31 Tensiunea totală Fig 32 Tensiunea normală și tangențială
La racircndul ei componenta tensiunii cuprinsă icircn planul secțiunii poate fi
descompusă după direcțiile axelor y și z
120591 = 120591119909119910 + 120591119909119911 (33)
Icircntre cele trei componente ale tensiunii totale care acționează pe elementul de arie
∆119860 este valabilă relația
1199012 = 1205901199092 + 120591119909119910
2 + 1205911199091199112 (34)
După sensul pe care icircl are tensiunea normală 120590 poate avea efect de tracţiune sau
de compresiune exercitat de către partea de corp icircnlăturată asupra părţii rămase Analog
tensiunea tangenţială 120591 poate avea efect de tăiere forfecare sau alunecare Pentru
componentele tensiunii tangențiale 120591119909119910 pe direcţia 119910 respectiv 120591119909119911 pe direcţia 119911 primul
indice indică axa pe care tensiunea este normală iar cel de-al doilea indice indică axa cu
care aceasta este paralel
Tensiunea este o mărime tensorială valoarea ei depinzacircnd atacirct de poziția
punctului icircn planul secțiunii cicirct și de orientarea planului de secționare deci de normala
Operaţiile vectoriale nu pot fi aplicate tensiunilor decacirct după ce acestea au fost icircnmulţite
cu ariile respective adică au fost transformate icircn forţe
Icircn literatura de specialitate mai ales icircn manualele mai vechi pentru noţiunea de
tensiune se mai foloseşte şi denumirea de efort specific
Dacă se consideră un alt element de arie ∆119860 cu centrul icircn același punct avacircnd ca
normală axa 119910 se vor obține alte tensiuni și anume
- 120590119910 este tensiunea normală (paralelă cu axa y)
- 120591119911119909 și 120591119910119911 sunt tensiuni tangențiale paralele cu axele 119909 și respectiv 119911 aflate icircn
planul care are ca normală axa 119910
Dacă icircn jurul unui punct dintr-un corp solicitat se consider un element de volum
infinit mic de forma unui cub icircn cazul cel mai general pe fețele sale vor acționa
tensiunile normale 120590119909 120590119910 și 120590119911 și respectiv tensiunile tangențiale 120591119909119910 120591119909119911 120591119910119909 120591119910119911 120591119911119909
și respectiv 120591119911119910 figura 33 Aceste tensiuni definesc starea de tensiune a punctului
observacircnd faptul că tensorul tensiune are 9 componente Dacă se consideră elementul
de volum finit ca fiind foarte mic se poate presupune că icircn interiorul său nu apar forțe
Ca urmare el va fi icircn echilibru sub acțiunea forțelor elementare produse de tensiunile de
pe fețele sale
Din condiția ca elementul să nu se rotească icircn jurul unor axe care trec prin centrul
său și sunt paralele cu axele sistemului 119909119874119910119911 rezultă
2 ∙ 120591119909119910 ∙ (119889119910 ∙ 119889119911) ∙119889119909
2= 2 ∙ 120591119910119909 ∙ (119889119909 ∙ 119889119911) ∙
119889119910
2 rArr 120591119909119910 = 120591119910119909 (35)
2 ∙ 120591119910119911 ∙ (119889119909 ∙ 119889119911) ∙119889119910
2= 2 ∙ 120591119911119910 ∙ (119889119909 ∙ 119889119910) ∙
119889119911
2 rArr 120591119910119911 = 120591119911119910 (36)
2 ∙ 120591119909119911 ∙ (119889119910 ∙ 119889119911) ∙119889119909
2= 2 ∙ 120591119911119909 ∙ (119889119909 ∙ 119889119910) ∙
119889119911
2 rArr 120591119909119911 = 120591119911119909 (37)
Relațiile (35divide37) 120591119909119910 = 120591119910119909 120591119910119911 = 120591119911119910 120591119909119911 = 120591119911119909 exprimă principiul dualității
tensiunilor tangențiale
Fig 33 Tensiunile normale și tangențiale pe fețele unui cub
Din condiția ca elementul considerat să nu se deplaseze icircn lungul axelor de
coordonate pe fețele opuse acționează aceleași tensiuni normale 120590119909 120590119910 și respectiv 120590119911
Definirea tensorului tensiune este posibilă dacă se cunosc cele 6 componente
independente ale acestuia aflate icircn trei plane perpendicular ce trec prin punctul respectiv
=
120590119909 120591119909119910 120591119909119911120591119910119909 120590119910 120591119910119911120591119911119909 120591119911119910 120590119911
Observaţii
Tensiunile se măsoară icircn [119873 1198982frasl ] (1119873 1198982frasl = 1 119875119886) sau icircn [119872119875119886]
(1 119872119875119886 = 106119875119886 = 106 119873
1198982 1 119872119875119886 = 1
119873
1198981198982)
Starea de tensiune dintr-un punct este considerată cunoscută dacă se cunosc
tensiunile 119901 care acționează pe infinitatea de elemente de suprafață ce trec prin punctual
considerat
Starea de tensiune a unui corp se consider cunoscută dacă se cunosc stările de
tensiune de pe infinitatea de puncte ale corpului considerat
32 Deplasări Deformaţii specifice
321 Deplasări
Aceste noțiuni sunt utile icircn analiza aspectului geometric al problemelor de rezistența
materialelor Deplasările care se analizează sunt cele datorate schimbării formei și
dimensiunilor corpurilor ca urmare a acțiunii forțelor exterioare și nu cele cinematice
posibile pentru solidul rigid care se poate deplasa cu anumită viteză și accelerație
Spre exemplu icircn figura 34a și figura 34b sub acțiunea forței 119865 tronsonul de
bară AB se deformează icircn timp ce tronsonul BC deși punctele sale au deplasări rămacircne
nedeformat (fiind nesolicitat) Toate punctele de pe axele barelor cu excepția celor din
icircncastrare (secțiunile A) au deplasări liniare De cele mai multe ori deformațiile barelor
datorate acțiunii forțelor exterioare se anulează la icircndepărtarea forțelor se spune că
deformațiile sunt elastice Secțiunile transversale ale barei din figura 34a se și rotesc icircn
raport cu pozițiile lor inițiale Spre exemplu secțiunea de căpăt cu centrul icircn C se rotește
cu unghiul
Fig 34 Deformațiile unei grinzi
Oricacirct de complexă ar fi delormația unui corp ea poate fi descrisă de lungiri sau
scurtări și de modificări ale unghiurilor inițiale
Deplasările măsoară schimbarea poziției unui punct al corpului și pot fi liniare
sau unghiulare
Prin deplasare liniară a unui punct se icircnțelege drumul parcurs de acest punct icircn
decursul procesului de deformație după o dreaptă suport dreapta 1198611198611 din figura 34a
Prin deplasare unghiulară se icircnțelege rotirea dintre segmentele de dreaptă
determinate de două puncte ale corpului icircnainte și după deformarea acestuia unghiul
pe care-l fac segmentele 119861119862 și 11986111198621 din figura 34a Această rotire se măsoară prin
unghiul pe care-l fac proiecțiile dreptelor ce conțin cele două segmente icircntr-un sistem
triortogonal
Icircn cazul cel mai general vectorul deplasare liniară se poate descompune icircntr-un
sistem triortogonal icircn trei componente 119906 119907 și 119908 figura 35
Fig 35 Deplasarea liniară
Se consideră acum un corp solid raportat la un sistem de axe ortogonal 119909119874119910119911
figura 35 după deformarea corpului un punct oarecare 119870 al acestuia se deplasează icircn
poziţia 1198701 vectorul 1198701198701 poartă numele de vectorul deplasării totale
Deplasarea totală este suma deplasărilor pe cele trei direcţii ortogonale iar
aceste deplasări se notează astfel
deplasarea pe direcţia 119909 cu ∥ 119874119909
deplasarea pe direcţia 119910 cu ∥ 119874119910
deplasarea pe direcţia 119911 cu ∥ 119874119911
Componentele deplasărilor și formeză matricea deplasărilor liniare 119906119907119908
322 Deformații
Prin deformație icircn general se icircnțelege orice schimbare de formă a unui corp fără
o evaluare cantitativă Icircn Rezistența Materialelor deformația măsoară variația
dimensiunilor geometrice ale corpului considerat din vecinătatea unui punct analog
deplasărilor deformațiile pot fi liniare și unghiulare (lunecări)
Fig 36 Deplasarea liniară
Deformația liniară ∆119897 reprezintă variația lungimii 119897 a unui element liniar al
corpului deformat figura 36 Deformația liniară specifică se definește ca fiind raportul
dintre deformația liniară și lungimea inițială
휀 =∆119897
119897 (38)
unde ∆119897 este lungirea sau scurtarea care este echivalentă cu deformția liniară totală iar
este alungirea
Deformația unghiulară sau lunecarea unui punct 119860 icircn planul 119861119860119862 se definește
prin relația figura 37
120574 = lim119861119860rarr0119862119860rarr0
(119861119860 minus 119861111986011198621 ) (39)
Fig 36 Deformația unghiulară
Schimbacircnd orientarea planului care trece prin 119860 se obțin alte deformații
unghiulare Dacă elementele liniare 119861119860 și 119862119860 sunt inițial perpendiculare deformația 120574 se
numește deformație unghiulară specifică sau lunecare specifică figura 37
Un exemplu de deplasare unghiulară și de deformație unghiulară este prezentat icircn
figura 38 Unghiul este deplasarea unghiulară și măsoară rotirea relativă dintre două
secțiuni aflate la distanța 119897 Unghiul este deformația specifică unghiulară (lunecarea
specifică) din punctul 119870 Aceste deplasări și deformații se obțin icircn urma solicitării barei
de către cele două momente 1198720 egale și de sens contrar
Fig 38 Deplasarea unghiulară
Pentru a analiza starea de deformație din vecinătatea unui punct al unui corp
solicitat complex se decupează din jurul punctului un element de volum mic figura 39a
avacircnd laturile 119889119909 119889119910 și 119889119911 Ca urmare a solicitării laturile acestuia se vor lungi sau
scurta Reprezentarea elementului deformat icircn spațiu este dificilă pentru simplificare
vom analiza doar deformațiile din planul 119909119874119910 Observăm că dimensiunile 119889119909 și 119889119910 s-au
modificat cu valoarea ∆119889119909 respectiv cu ∆119889119910 analog se acceptă și pentru 119889119911 o modificare
de forma ∆119889119911 Astfel se pot defini deformațiile specifice liniare
휀119909 =∆119889119909
119889119909 휀119910 =
∆119889119910
119889119910 휀119911 =
∆119889119911
119889119911 (310)
De cele mai multe ori aceste deformații specifice liniare se pot exprima procentual
și se mai numesc alungiri
Fig 39 Starea de deformație
Icircn figura 39c se vede că unghiul inițial drept dintre muchiile 119889119909 și 119889119910 ale
elementului de volum s-a modificat Se definește deformația specifică unghiulară (sau
lunecarea specifică) mărimea cu care se modifică unghiul inițial drept
120574119909119910 = 120574119909119910prime + 120574119910119909
prime = 120574119910119909120574119910119911 = 120574119910119911
prime + 120574119911119910prime = 120574119911119910
120574119911119909 = 120574119911119909prime + 120574119909119911
prime = 120574119909119911
(311)
Deformațiile 휀119909 휀119910 휀119911 120574119909119910 120574119910119911 120574119911119909 constituie cele șase componente
independente ale tensorului deformațiilor specifice care pot fi scrise de forma
119863 =
휀119909 120574119909119910 120574119909119911120574119910119909 휀119910 120574119910119911120574119911119909 120574119911119910 휀119911
(312)
323 Contracţia transversală
Practica arată că odată cu lungirea unei bare apare o micşorare a mărimii secţiunii
transversale mărime numită contracţie transversală figura 310
Fig 310 Contracția transversală
Contracţia transversală este proporţională cu lungirea specifică coeficientul de
proporţionalitate se notează cu 120599 şi se numeşte coeficient de contracţie transversală sau
coeficientul lui Poisson
La o lungire specifică a barei contracţia transversală este dată de relația
휀119905119903 = 휀119910 = 휀119911 = minus120599 ∙ 휀119909 (313)
Semnul minus bdquo-rdquo arată că cele două mărimi sunt contrare dacă una creşte cealaltă
scade şi invers
Considerăm o bară cilindrică de lungime 119897 şi aria secţiunii transversale 119860 solicitată
la icircntindere axială La un moment dat datorită solicitării lungimea barei devine
[119897 ∙ (1 + 휀)] diametrul devine [119889 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)] iar aria secţiunii transversale devine
[119860 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)2] Dacă volumul barei icircnainte de solicitare a fost (119860 ∙ 119897) după solicitare
acesta devine
119881 + ∆119881 = 119860 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)2 ∙ 119897 ∙ (1 + 휀) =
= 119860 ∙ 119897 ∙ (1 + 휀 minus 2 ∙ 120599 ∙ 휀 minus 2 ∙ 120599 ∙ 휀2 + 1205992 ∙ 휀2 + 1205992 ∙ 휀3) (314)
Deoarece lungirile sunt foarte mici ultimii trei termeni din paranteză fiind infinit mici se pot neglija obţinacircnd
119881 + ∆119881 = 119860 ∙ 119897 + 119860 ∙ 119897 ∙ 휀 ∙ (1 minus 2 ∙ 120599) ⟺ ∆119881 = 휀 ∙ (1 minus 2 ∙ 120599) ∙ 119860 ∙ 119897 (315)
Practica arătă că o astfel de bară solicitată la icircntindere icircşi măreşte volumul deci
∆119881 gt 0 de unde rezultă că
1 minus 2 ∙ 120599 gt 0 rArr 120599 lt 05 (316)
Pentru majoritatea materialelor 120599 = 033 iar pentru materialele care-şi păstrează
volumul constant 120599 = 05
33 Relaţii de echivalenţă icircntre eforturi şi tensiuni
Considerăm un element de suprafață infinit mic 119889119860 situat pe fața de arie (119860) a
secțiunii barei din figura 311 Icircn centrul de greutate 119862 al secțiunii acționează eforturile
119873 119879119910 119879119911 119872119909 119872119894119910 și 119872119894119911 determinate prin metoda secțiunilor
Icircn raport cu un sistem de axe de referință 119909119862119910119911 coordonatele elementului 119889119860 sunt
- 119910 este ordonata elementului de arie 119889119860
- 119911 este abscisa elementului de arie 119889119860
Pe elementul de arie 119889119860 acționează tensiunile
120590119909 tensiunea normală
120591119909119910 și 120591119909119911 tensiuni tangențiale
Dacă se icircnsumează forțele elementare de tipul 120590119909 ∙ 119889119860 120591119909119910 ∙ 119889119860 și 120591119909119911 ∙ 119889119860
va trebui să obținem eforturile 119873 119879119910 și 119879119911
Fig 311 Element de suprafață mic din secțiunea unei bare
Dacă eforturile sunt privite ca forțe exterioare și se scriu ecuațiile de
echilibru ale secțiunii (119860) se vor obține șase relații de echivalență icircntre eforturi și
tensiuni
(sum119883) = 0 rArr int 120590119909 ∙ 119889119860
119860
= 119873 (317)
(sum119884) = 0 rArr int 120591119909119910 ∙ 119889119860
119860
= 119879119910 (318)
(sum119885) = 0 rArr int 120591119909119911 ∙ 119889119860
119860
= 119879119911 (319)
(sum119872)119909= 0 rArr int(120591119909119911 ∙ 119889119860) ∙ 119910
119860
minus int(120591119909119910 ∙ 119889119860) ∙ 119911
119860
= 119872119909 rArr
rArr int(119910 ∙ 120591119909119911 minus 119911 ∙ 120591119909119910) ∙ 119889119860
119860
= 119872119909
(320)
(sum119872)119910= 0 rArr int(120590119909 ∙ 119889119860) ∙ 119911
119860
= 119872119894119910 (321)
(sum119872)119911= 0 rArr int(120590119909 ∙ 119889119860) ∙ 119910
119860
= 119872119894119911 (322)
Cele șase relații de echivalență icircntre eforturi și tensiuni constituie un pas icircnainte
icircn rezolvarea unei probleme de rezistența materialelor Aceste relații vor permite
determinarea tensiunilor maxime
Pentru a rezolva cele 6 relații de echivalență trebuie să se cunoască tensiunile și
ca funcții de punct adică funcții de forma
120590119909 = 120590119909(119909 119910 119911) 120591119909119910 = 120591119909119910(119909 119910 119911) 120591119909119911 = 120591119909119911(119909 119910 119911) (32
3)
Cunoașterea acestor funcții presupune icircnsă analizarea aspectului geometric al
problemei precum și utilizarea unor ipoteze simplificatoare care să permită simplificarea
problemelor
34 Ipoteze de bază icircn rezistenţa materialelor
Depășirea dificultăților legate de interpretarea unor fenomene specifice mecanicii
solidului deformabil a impus acceptarea unor ipoteze care să simplifice fenomenele și să
contribuie la elaborarea unor modele de calcul cicirct mai generale și cacirct mai simple Aceste
ipoteze se referă la structura materialelor şi la comportarea lor sub acţiunea forţelor
exterioare Ipotezele acceptate trebuie să fie icircn deplină concordanţă cu realitatea și să
conducă la rezultate verificate icircn practică
Funcție de aspectele la care se referă ipotezele pot fi
Ipoteze fizice (de material)
Ipoteze de calcul
341 Ipoteze fizice
Se acceptă deoarece teoriile structurale au condus la rezultate care contravin
icircncercărilor experimentale
Ipoteza mediului continuu consideră că orice domeniu elementar al corpului
este ocupat de materie adică nu se acceptă existența unor goluri sau a unor crăpături
microscopice (fisuri) Deși nu corespunde realităţii poate fi acceptată deoarece
dimensiunile corpului sunt mult mai mari decacirct dimensiunile particulelor elemantare Are
avantajul că permite utilizarea proprietăților matematice ale funcțiilor continue pentru
tensiunile și deformațiile din orice punct al corpului Ea este mai apropiată de realitate la
corpurile amorfe şi mai depărtată la cele cristaline dar conduce la rezultate satisfăcătoare
icircn calculele de rezistenţă
Ipoteza nu se poate aplica la corpurile care au goluri tăieturi (multiplu conexe)
pentru unele puncte singulare icircn care tensiunile și deformațiile tind la infinit sau icircn unele
probleme de plasticitate icircn care proprietățile de material au un rol esențial
Ipoteza izotropiei conform acestei ipoteze materialul din care este confecționat
un element de rezistență are aceleași proprietăți după orice direcție un astfel de material
este considerat izotrop Din punct de vedere macroscopic metalele pot fi considerate
izotrope deși la nivel microscopic proprietățile lor diferă de la o direcție cristalografică
la alta Orice conglomerat de cristale poate fi considerat izotrop
Există cazuri cacircnd această ipoteză a izotropiei nu se acceptă
la metalele puternic deformate după o direcție (prin laminare trefilare)
la piesele confecționate din lemn lemnul este anizotrop deoarece proprietățile sale
diferă după două direcții (icircn lungul fibrelor și perpendicular pe această direcție)
Ipoteza omogenității consideră că un corp are aceleași proprietăți icircn orice
punct al său Deși majoritatea materialelor utilizate icircn tehnică sunt eterogene la scară
micro fiind constituite din mai multe faze cu proprietăți diferite la scară macro ele pot
fi considerate omogene Omogenitatea și izotropia sunt proprietăți statistice medii care
nu se condiționează una pe cealaltă Chiar și materialele monofazice pot avea la scară
micro unele segregații care le fac eterogene
Ipoteza elasticităţii perfecte presupune că atacircta timp cacirct solicitările nu
depăşesc anumite limite materialul are o comportare elastică adică icircşi recapătă forma şi
dimensiunile iniţiale odată cu icircnlăturarea sarcinilor Icircn realitate materialele nu prezintă o
elasticitate perfectă ele avacircnd deformaţii remanente mici care icircnsă pot fi neglijate icircn
calculele de rezistenţă
Acceptarea acestei ipoteze a elasticității perfecte permite
- aplicarea relației biunivoce icircntre tensiuni și deformații relație exprimată de legea
lui Hooke ( = 119864 ∙ 휀) unde E este un factor de proporţionalitate numit modul de
elasticitate longitudinal al materialului pentru oţel 119864 = 21 ∙ 105 [119872119875119886] - acceptarea valabilității afirmației bdquolucrul mecanic efectuat de forțele exterioare
ca urmare a parcurgerii deplasărilor punctelor de aplicație se icircnmagazinează integral icircn
corp sub formă de energie de deformație energie cedată la icircndepărtarea sarcinilorrdquo
- este valabilă teoria conform căreia bdquoenergia icircnmagazinată și deformațiile depind
doar de starea inițială și finală de eforturi fără a ține cont de modul icircn care s-a ajuns la
starea finalărdquo
Icircn realitate oricacirct de mici ar fi sarcinile aplicate se produc și deformații plastice
dar acestea pot fi neglijate dacă solicitarea nu depășește anumite limite
342 Ipoteze de calcul
Ipoteza micilor deplasări bdquodeplasările datorate deformării sunt mult mai mici
decacirct dimensiunile corpurilor și ca urmare pot fi neglijate produsele dintre o deplasare și
ea icircnsăşirdquo Pentru cele mai multe corpuri deformaţiile elastice sunt de mărimi mici deci
corpurile solide sub acţiunea sarcinilor icircşi modifică foarte puţin forma iniţială Această
ipoteză este cunoscută şi sub denumirea de ipoteza menţinerii dimensiunilor iniţiale Ea
permite scrierea ecuaţiilor de echilibru ale staticii pe starea nedeformată a elementului
cacircnd nu se iau icircn considerare deplasările punctelor de aplicaţie ale forţelor care se produc
ca urmare a deformării acestuia Calculul efectuat pe schema nedeformată poartă numele
de calcul de ordinul I
Ipoteza micilor deplasări nu poate fi acceptată pentru studiul problemelor de
stabilitate sau la problemele la care nu pot fi icircndeplinite condiţiile de echilibru icircn starea
nedeformată
Calculul de ordinul II admite ipoteza micilor deplasări dar ecuaţiile de echilibru
se scriu icircnsă pentru starea deformată a elementului de rezistenţă
Calculul de ordinul III nu mai acceptă ipoteza micilor deplasări el referindu-se
la cazul deformaţiilor mari cacircnd ecuaţiile de echilibru trebuie scrise pentru starea
deformată
Chiar dacă materialul satisface legea lui Hooke icircn urma calculelor de ordinul II
se obţin de obicei relaţii neliniare icircntre sarcini şi deplasări iar pentru calculul de ordinul
III rezultă ecuaţii diferenţiale neliniare
Principiul efectului local al acțiunii sarcinilor enunțat de Barre de Saint-
Venant Acest principiu destul de folosit icircn Rezistenţa Materialelor precizează că dacă
se icircnlocuiesc forţele care acţionează asupra unui element de suprafață al unui corp
elastic printr-un alt sistem de forţe echivalent din punct de vedere static cu primul noua
distribuţie a forţelor produce la locul de aplicare diferenţe semnificative faţă de prima
dar rămacircne fără efect sau cu efect neglijabil la distanţe mari de locul de aplicare al
forţelor figura 312
Ca o cosecință o sarcină uniform distribuită figura 312a poate fi icircnlocuită cu
rezultanta ei figura 312b dacă se analizează efectul sarcinii la distanță mare de locul icircn
care se aplică sarcina
Fig 312 Principiul Saint-Venant
Icircn prima variantă figura 312a forţa 119865 se aplică pe o porțiune oarecare 119897 (sarcină
uniform distribuită) iar icircn a doua figura 312b icircntru-un punct (forţă concentrată) La
locul de aplicare a sarcinii efectul asupra barei este cu totul diferit de la o variantă la
cealaltă Icircnsă la o distanţă mare de punctul de aplicaţie spre exemplu icircn secţiunea situată
la distanţa 119886 de capătul barei sau chiar icircn icircncastrare ambele bare sunt solicitate la fel
Icircn cazul din figura 312a
119872119894(119909) =119901 ∙ 1199092
2 119909 le 119897 119872119894(119909) = 119901 ∙ 119897 ∙ (119909 minus
119897
2) 119909 gt 119897 (324)
Icircn cazul din figura 312b
119872119894(119909) = 0 119909 lt119897
2 119872119894(119909) = 119901 ∙ 119897 ∙ (119909 minus
119897
2) 119909 gt
119897
2 (325)
Se vede că pentru (119909 gt 119897) adică după depășirea locului icircn care se aplică sarcina
efectul este același
Ipoteza lui Bernoulli sau ipoteza secţiunilor plane precizează că o secţiune
plană şi normală pe axa barei icircnainte de deformare rămacircne plană şi normală pe axa
barei şi după deformare figura 313
Fig 313 Ipoteza lui Bernoulli
Ipoteza stării naturale a corpului sau ipoteza absenţei tensiunilor conform
căreia pentru un corp nesolicitat starea de tensiune şi deformaţie este nulă
Perfecţionarea mijloacelor de calcul şi de investigare pot conduce la renunţarea la
unele ipoteze sau la introducerea altora noi mai aproape de stările reale De aici rezultă
caracterul de continuă perfecţionare a metodelor Rezistenţei Materialelor
35 Coeficienţi de siguranţă Tensiuni admisibile
O piesă corespunde din punct de vedere tehnic dacă tensiunile care iau naştere icircn
interiorul piesei datorită sarcinilor aplicate nu depăşesc anumite valori limită stabilite
convenţional Aceste valori limită ale tensiunii sunt corelate cu caracteristicile mecanice
ale materialelor
Tensiunea limită utilizată icircn calculele de rezistenţă este cunoscută sub denumirea
de tensiune admisibilă sau rezistenţă admisibilă Rezistenţa admisibilă reprezintă
valoarea convenţională aleasă icircn calcul pe baza practicii pentru tensiunea maximă care
poate apare icircntr-o piesă icircn condiţii date de material şi solicitare
Rezistenţa admisibilă (120590119886 sau 120591119886) poate fi definită faţă de o stare limită
periculoasă stare care trebuie evitată deoarece poate conduce distrugere
120590119886 =120590119897119894119898119888
(326)
unde
120590119897119894119898 este tensiunea corespunzătoare stării limită periculoase
119888 estesupraunitar 119888 gt 1 și reprezintă coeficientul de siguranţă faţă de starea limită
periculoasă considerată
Alegerea unor valori inferioare pentru rezistenţa admisibilă faţă de tensiunea
corespunzătoare stării limită periculoase este necesară deoarece
cunoaşterea sarcinilor este de cele mai multe ori aproximativă şi o depăşire a
acestora este foarte posibilă
caracteristicile mecanice ale materialelor variază icircn limite destul de mari ele
fiind influenţate de mulţi factori
schema aleasă pentru calcul (aplicarea sarcinilor schematizarea structurii
ipotezele de calcul etc) depărtează modelul faţă de cel real
Pentru calculele de verificare tensiunea efectivă maximă din elementul de
rezistenţă trebuie să fie mai mică sau cel mult egală cu cea admisibilă
120590119890119891119898119886119909 le 120590119886 (327)
Valoarea rezistenţei admisibile este influenţată de foarte mulţi factori natura
materialului tratamentele termice aplicate piesei durata de funcţionare a piesei modul
de acţionare icircn timp a sarcinilor felul solicitării temperatura gradul de periculozitate
icircn cazul cedării piesei etc
De asemenea valoarea coeficientului de siguranţă se alege icircn principal ţinacircnd
seama de aceiaşi factori care influenţează şi rezistenţa admisibilă
Rezistenţele admisibile pentru cacircteva materiale sunt următoarele
pentru oțelul de uz general OL37 solicitat la icircntindere compresiune sau
icircncovoiere 120590119886 = 150 [119872119875119886] pentru lemnul de brad solicitat la
- compresiune icircn lungul fibrelor şi solicitat la icircncovoiere 120590119886 = 10 [119872119875119886] - tracţiune icircn lungul fibrelor 120590119886 = 7 [119872119875119886] - compresiune perpendiculară pe fibre 120590119886 = 15 [119872119875119886] - forfecare icircn lungul fibrelor 120591119886 = 2 [119872119875119886] - forfecare perpendiculară pe fibre 120590119886 = 45 [119872119875119886]
terenuri de fundaţie din pămacircnt uscat sau umed 120590119886 = 020 divide 025 [119872119875119886]
4 CARACTERISTICI GEOMETRICE ALE SECȚIUNILOR PLANE
41 Noţiuni introductive
Icircn relaţiile de calcul ale tensiunilor şi deformaţiilor elementelor de rezistenţă
pentru unele solicitări (icircncovoierea și torsiunea) secțiunile plane intervin atacirct prin
dimensiunile lor (aria 119860) cicirct și prin forma și poziția pe care o are secțiunea icircn raport cu
planul solicitării Mărimile care caracterizează o secțiune icircn raport cu forma și poziția față
de axele unui sistem de referință sunt denumite caracteristici geometrice de ordin
superior Aria secțiunii este caracteristica geometrică ce depinde doar de dimensiunile
geometrice ale acesteia
Să considerăm o grindă solicitată de o forță exterioară 119865 aşezată icircn două poziții icircn
raport cu planul forţei figura 41 Icircn urma aplicării forței deși avem aceeași grindă
(aceeași arie a secțiunii transversale) și aceeași forță se constată că pentru varianta din
figura 41a deformațiile sunt mult mai mari adică rezistența la icircncovoiere a grinzii din
figura 41a este mai mare decacirct icircn cazul grinzii din figura 41b Comportarea diferită se
explică prin aceea că modificarea poziţiei secţiunii transversale faţă de planul forţelor
modifică caracteristicile geometrice ale secţiunii transversale a grinzii
Fig 41 Grindă solicitată de forța 119865
Pentru realizarea calculelor de rezistenţă şi rigiditate este foarte importantă
cunoaşterea caracteristicilor geometrice ale suprafeţei secţiunii transversale a elementelor
de rezistenţă
Caracteristicile geometrice ale secţiunii transversale a unui element de rezistenţă
sunt
- aria secțiunii notată cu 119860
- momentul static icircn raport cu o axă notat 119878119911 și respectiv 119878119910
- momentul de inerție care poate fi
axial notat 119868119911 și respectiv 119868119910
centrifugal notat 119868119911119910
polar notat 119868119901
- raza de inerţie (giraţie)notată 119894119911 și respectiv 119894119910
- modulul de rezistență care poate fi
axial notat 119882119911 și respectiv 119882119910
polar notat 119882119901
42 Aria și momentul static al suprafețelor plane
Fie o suprafaţă plană de arie 119860 pe care se ia un element infinit mic de arie 119889119860 şi
un sistem de axe rectangulare 119911119874119910 figura 42 Notăm cu 119862 centrul de greutate al suprafeţei
119860 Poziţia suprafeţei elementare 119889119860 faţă de acelaşi sistem de coordonate 119911119874119910 este dată
de abscisa 119911 ordonata 119910 și raza polară
Fig 42 Suprafață plană de arie 119860
Aria suprafeţei 119860 figura 42 se defineşte ca fiind
119860 ≝ int 119889119860
119860
(41)
Aria suprafeţei este icircntotdeauna pozitivă și se măsoară icircn [1198981198982] Momentul static al suprafeţei de arie 119860 icircn raport cu axele 119874119911 și respectiv 119874119910
figura 42 sunt date de relaţiile
119878119911 ≝ int 119910 ∙ 119889119860
119860
119878119910 ≝ int 119911 ∙ 119889119860
119860
(42)
Momentul static poate fi pozitiv negativ sau nul şi se măsoară icircn [1198981198983] Coordonatele centrului de greutate ale suprafeței 119860 se detrmină cu relațiile
119910119862 ≝int 119910 ∙ 119889119860119860
119860 119911119862 ≝
int 119911 ∙ 119889119860119860
119860
(43)
Cunoscacircnd coordonatele 119910119862 și 119911119862 ale centrului de greutate 119862 al secțiunii 119860 atunci
momentele statice se pot determina cu relațiile
119878119911 ≝ int 119910 ∙ 119889119860
119860
= 119910119862 ∙ 119889119860 119878119910 ≝ int 119911 ∙ 119889119860
119860
= 119911119862 ∙ 119889119860 (44)
Aceste relații arată că momentul static al unei suprafețe icircn raport cu o axă este
egal cu produsul dintre aria suprafeței și distanța de la centrul ariei la axa respectivă
Dacă suprafaţa se poate descompune icircn 119899 suprafeţe simple la care se cunosc ariile
(1198601 1198602 ⋯ 119860119894⋯ 119860119899) și poziţiile centrelor de greutate 119862119894 faţă de sistemul de referinţă
expresiile momentelor statice capătă următoarea formă
119878119911 = sum 119910119862119894 ∙ 119860119894119899119894=1 = 119910119862 ∙ 119860 119878119910 = sum 119911119862119894 ∙ 119860119894
119899119894=1 = 119911119862 ∙ 119860 (45)
Din relaţiile (45) rezultă că poziţia centrului de greutate 119862 al unei suprafeţe
compuse poate fi determinată cu relaţiile
119910119862 = (sum119910119862119894 ∙ 119860119894
119899
119894=1
) 119860frasl 119911119862 = (sum119911119862119894 ∙ 119860119894
119899
119894=1
) 119860frasl (46)
Icircn relația (45) 119910119862119894 și respectiv 119911119862119894 reprezintă coordonatele centrelor de greutate 119862119894
ale fiecărei suprafețe simple 119860119894 icircn raport sistemul de axe 119911119874119910
Se constată (relaţia 42) că dacă axele sistemului de referinţă trec prin centrul de
greutate (119910119862 = 119911119862 = 0) momentele statice sunt nule Axele icircn raport cu care momentele
statice sunt nule şi care trec prin centrul de greutate al suprafeţei se numesc axe centrale
Observație dacă secțiunea compusă are o axă de simetrie centrul secțiunii se
găsește pe acea axă iar dacă secțiunea este dublu simetrică poziția centrului secțiunii este
la intersecția axelor de simetrie
43 Momente de inerţie
Momentele de inerţie axiale ale unei suprafețe se calculează icircn raport cu axele de
coordonate 119874119911 și respectiv 119874119910 figura 42 și se determină cu relațiile
119868119911 ≝ int 1199102 ∙ 119889119860
119860
119868119910 ≝ int 1199112 ∙ 119889119860
119860
(47)
Unde 119910 și 119911 sunt distanțele de la elementul de arie 119889119860 la cele două axe de
coordonate 119874119911 și respectiv 119874119910
Momentele de inerţie axiale se măsoară icircn [1198981198984] şi sunt icircntotdeauna pozitive (aria
119889119860 este icircntotdeauna pozitivă și este multiplicată cu patratul distanței 1199102 dacă 119868119911 sau 119868119910
sunt nule icircnseamnă ca secțiunea nu există)
Momentele de inerție axiale se calculează icircndeosebi pentru axele centrale (care
trec prin centrul secțiunii) deoarece icircn raport cu acele axe 119868119911 și 119868119910 au valori minime
Momentul de inerţie centrifugal calculat faţă ambele axe ale sistemului de
referinţă 119911119874119910 este definit de relația
119868119911119910 ≝ int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860
(48)
Momentul de inerţie centrifugal se măsoară icircn [1198981198984] şi poate fi pozitiv negativ
sau nul
Momentul de ineție centrifugal este nul 119868119911119910 = 0 dacă cel puțin una din axele 119874119911
sau 119874119910 este axă de simetrie pentru secțiune
Se consideră o suprafaţă dreptunghiulară pe care faţă de axa de simetrie 119874119910 se iau
două suprafeţe elementare de arie 119889119860 simetrice faţă de axa 119874119910 figura 43
Fig 43 Suprafață dreptunghiulară cu două arii elementare 119889119860
Făcacircnd suma momentelor de inerţie centrifugale pentru cele două suprafeţe
elementare 119889119860 (din stacircnga şi din dreapta faţă de axa 119874119910) se obţine
int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860119889119903
+ int (minus119911) ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860119904119905119892
= int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860119889119903
minus int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860119904119905119892
= 0 (49)
Acelaşi raţionament se poate face și pentru icircntreaga suprafaţă de unde obținem că
momentul de inerție centrifugal este nul 119868119911119910 = 0 Deci pentru o suprafaţă plană care
are cel puţin o axă de simetrie momentul de inerţie centrifugal faţă de sistemul care
conţine acea axă de simetrie este nul
Momentul de inerţie polar al unei suprafeţei icircn raport cu un punct (pol) 119874 figura
42 este definit prin relaţia
1198680 = 119868119901 ≝ int 1205882 ∙ 119889119860
119860
= int(1199102 + 1199112) ∙ 119889119860
119860
= 119868119911 + 119868119910 (410)
unde este distanţa de la polul 119874 la elementul de arie 119889119860 Momentul de inerţie polar se
măsoară icircn [1198981198984] şi este totdeauna pozitiv
Momentul de inerţie polar este egal cu suma momentelor de inerţie faţă de două axe
perpendiculare oarecare şi care trec prin polul considerat
Razele de giraţie sau razele de inerţie sunt mărimi calculate icircn raport cu axele
secțiunii și definite de relaţiile
119894119911 ≝ radic119868119911119860 119894119910 = radic
119868119910
119860 (411)
Se exprimă icircn [119898119898] şi sunt icircntotdeauna pozitive Semnificația unei raze de inerție
este distanța la care dacă ar fi concentrată icircntreaga arie s-ar obține același moment de
inerție ca și cel calculat pentru aria reală
44 Modulul de rezistenţă
Modulul de rezistență se calculează icircn raport cu axele de referință sau icircn raport cu
un pol figura 42 și pot fi axiale (119882119911119882119910) sau polar (119882119901) și se determină numai pe baza
momentelor de inerţie cu relațiile figura 43
119882119911119898119894119899 ≝119868119911119910119898119886119909
119882119911119898119886119909 ≝119868119911119910119898119894119899
(412)
119882119910119898119894119899 ≝119868119910
119911119898119886119909 119882119910119898119886119909 ≝
119868119910
119911119898119894119899 (413)
119882119901 ≝119868119901
120588119898119886119909 (414)
unde
119910119898119886119909 119910119898119894119899 reprezintă distanţa de la axa 119874119911 la punctele extreme cele mai
depărtate respectiv cele mai apropiate ale suprafeţei de această axă
119911119898119886119909 119911119898119894119899 reprezintă distanţa de la axa 119874119910 la punctele extreme cele mai
depărtate respectiv cele mai apropiate ale suprafeţei de această axă
120588119898119886119909 reprezintă distanța maximă de la polul 119874 la punctul secțiunii cel mai
icircndepărtat de acesta
Fig 43 Suprafață dreptunghiulară cu două arii elementare 119889119860
Modulele de rezistenţă se exprimă icircn [1198981198983] şi sunt icircntotdeauna pozitive
Explicația este aceea că momentele de inerție care intră icircn relațiile de definiție sunt
pozitive iar distanțele la punctele extreme sunt pozitive (119910119898119886119909 119910119898119894119899 119911119898119886119909 119911119898119894119899 120588119898119886119909 se
iau icircn valoare absolută)
Icircn cazul suprafeţelor compuse modulul de rezistenţă nu se obţine prin icircnsumarea
algebrică a modulelor de rezistenţă ale suprafeţelor simple componente ci numai prin
intermediul momentului de inerţie axial calculat pentru icircntreaga secțiune
Ca și momentele de inerție modulele de rezistență se calculează numai pentru
sistemele de axe centrale
45 Momente de inerţie şi module de rezistenţă pentru suprafeţe simple
451 Secțiune dreptunghiulară
Fie suprafaţa dreptunghiulară din figura 44 de icircnălțime ℎ și lățime 119887 pe care se
consideră suprafaţă elementară de arie 119889119860 = 119887119889119910 la distanța 119910 de axa 119862119911 sistemul de
axe 119911119862119910 trece prin centrul secțiunii iar axele sunt axe de simetrie pentru dreptunghi
Fig 44 Suprafață dreptunghiulară
Pe baza relațiilor de definiți a momentului de inerție 119868119911 se obține
119868119911 ≝ int 1199102 ∙ 119889119860
119860
= int 1199102 ∙ 119887 ∙ 119889119910 = 2int 1199102 ∙ 119887 ∙ 119889119910 = 2 ∙ 119887 ∙1199103
3|ℎ 2frasl
0rArr
ℎ 2frasl
0
ℎ 2frasl
minusℎ 2frasl
rArr 119868119911 =119887 ∙ ℎ3
12
(415)
Analog pentru un element de arie 119889119860 = ℎ ∙ 119889119911 paralel cu axa 119862119910 situat la distanța
119911 de axa 119862119910
119868119910 ≝ int 1199112 ∙ 119889119860
119860
= int 1199112 ∙ ℎ ∙ 119889119911 = 2int 1199112 ∙ ℎ ∙ 119889119910 = 2 ∙ ℎ ∙1199113
3|119887 2frasl
0rArr
119887 2frasl
0
119887 2frasl
minus119887 2frasl
rArr 119868119910 =1198873 ∙ ℎ
12
(416)
Deoarece axele 119862119911 și 119862119910 sunt axe de simetrie momentul de inerție centrifugal este
119868119911119910 = 0 (417)
Pentru un pătrat avacircnd laturile egale (ℎ = 119887 = 119886) momentele de inerţie faţă de
axele centrale au expresia
119868119911 = 119868119910 =1198864
12 (418)
Modulele de rezistență axiale se calculează cu relațiile de definiție ținacircnd cont că
distanțele pacircnă la fibrele extreme sunt
119910119898119886119909 = 119910119898119894119899 =ℎ
2 119911119898119886119909 = 119911119898119894119899 =
119887
2 (419)
Obținem
119882119911119898119894119899 = 119882119911119898119886119909 =119868119911
119910119898119886119909119898119894119899=119887 ∙ ℎ3
12frasl
ℎ2frasl
=119887 ∙ ℎ2
6
119882119910119898119894119899 = 119882119910119898119886119909 =119868119910
119911119898119886119909119898119894119899=1198873 ∙ ℎ
12frasl
1198872frasl
=1198872 ∙ ℎ
6
(420)
452 Suprafaţă circulară
Din motive de simetrie pentru suprafeţele circulare momentele de inerţie faţă de
orice diametru (care reprezintă şi axe centrale) sunt aceleaşi
Considerăm o secțiune circulară plină cu diametrul 119889 și centrul de greutate 119862 Prin
centrul de greutate 119862 trece sistemul de axe ortogonal 119911119862119910 figura 45
Fig 45 Suprafață circulară
La distanța de centrul de greutate 119862 vom lua un element de suprafață mic de arie
(119889119860) de forma unui inel de grosime 119889 Elementul de arie 119889119860 are expresia
119889119860 = (2 ∙ 120587 ∙ 120588) ∙ (119889120588)
Pornind de la relația de definiție a momentului de inerție polar obținem
119868119901 ≝ int 1205882 ∙ 119889119860
119860
= int 1205882 ∙ (2 ∙ 120587 ∙ 120588) ∙ 119889120588
119903=119889 2frasl
0
= 2 ∙ 120587 ∙1205884
4|119889 2frasl0 rArr
rArr 119868119901 =120587 ∙ 1198894
32
(421)
Secțiunea este perfect simetrică deci sunt valabile relațiile
119868119911 = 119868119910 rArr 119868119901 = 119868119911 + 119868119910 = 2 ∙ 119868119911 = 2 ∙ 119868119910 =119868119901
2=120587 ∙ 1198894
64 (422)
Și modulele de rezistenţă faţă de orice diametru sunt egale şi se calculează cu
relaţiile
119882119911 = 119882119910 =1198681199111198892frasl=120587 ∙ 1198893
32 (423)
Modulul de rezistenţă polar este
119882119901 =1198681199011198892frasl=120587 ∙ 1198893
16 (424)
453 Secţiune inelară
Calculul momentelor de inerţie axiale pentru o secţiune inelară avacircnd diametrul
interior 119889 şi diametrul exterior 119863 se determină analog pentru suprafaţa circulară plină cu
observaţia că integrala pentru calculul momentului de inerție polar 119868119901 se face icircntre
limitele 119903 = 119889 2frasl şi R= 1198632frasl (icircntre raza interioară 119903 şi raza exterioară 119877) figura 46
Se obţin relaţiile
119868119901 =120587 ∙ 1198634
32∙ [1 minus (
119889
119863)4
] =120587 ∙ 1198634
32∙ (1 minus 1198964) (425)
119868119910 = 119868119910 =120587 ∙ 1198634
64∙ [1 minus (
119889
119863)4
] =120587 ∙ 1198633
64∙ (1 minus 1198964) (426)
Fig 46 Secțiune inelară
119882119901 =120587 ∙ 1198633
16∙ [1 minus (
119889
119863)4
] =120587 ∙ 1198633
16∙ (1 minus 1198964) (427)
119882119911 = 119882119910 =120587 ∙ 1198633
32∙ [1 minus (
119889
119863)4
] =120587 ∙ 1198633
32∙ (1 minus 1198964) (428)
unde 119896 = 119889119863frasl
46 Variaţia momentelor de inerţie faţă de axe paralele
( Relațiile lui STEINER)
Se consideră o suprafaţă oarecare de arie 119860 cu elementul de arie 119889119860 și un sistemul
de axe central 119911119862119910 faţă de care se cunosc momentele de inerţie 119868119911 119868119910 119868119911119910 şi considerăm
un sistem de axe 11991111198741199101 paralele cu sistemul central figura 47 Se pune problema
determinării momentele de inerţie 1198681199111 1198681199101 11986811991111199101 faţă de sistemul de axe paralel cu sistemul
central 11991111198741199101 axe aflate la distanţele 119910119862 = 119888 respectiv 119911119862 = 119889 de acesta
461 Momente de inerţie axiale
Pe baza relaţiilor de definire şi a notaţiilor din figura 42 pentru momentele de
inerţie faţă de axele 1198741199111 1198741199101 se poate scrie
1198681199111 = int 11991012 ∙ 119889119860
119860
= int(119910 + 119888)2 ∙ 119889119860
119860
= int 1199102 ∙ 119889119860
119860
+ 2 ∙ 119888 ∙ int 119910 ∙ 119889119860
119860
+
+1198882int 119889119860
119860
rArr 1198681199111 = 119868119911 + 2 ∙ 119888 ∙ 119878119911 + 1198882 ∙ 119860 hArr 1198681199111 = 119868119911 + 119888
2 ∙ 119860
(429)
Fig 47 Variaţia momentelor de inerţie față de axe paralele
S-a ajuns la relația (429) deoarece momentul static 119878119911 este nul deoarece axa 119862119885
este axă centrală
Pentru momentul de inerție axial icircn raport cu axa 1198741199101 se obține
1198681199101 = int 11991112 ∙ 119889119860
119860
= int(119911 + 119889)2 ∙ 119889119860
119860
= int 1199112 ∙ 119889119860
119860
+ 2 ∙ 119889 ∙ int 119911 ∙ 119889119860
119860
+
+1198892 ∙ int 119889119860
119860
rArr 1198681199101 = 119868119910 + 2 ∙ 119889 ∙ 119878119910 + 1198892 ∙ 119860 hArr 1198681199101 = 119868119910 + 119889
2 ∙ 119860
(430)
Pentru momentul de inerție centrifugal obținem
11986811991111199101 = int 1199101 ∙ 1199111 ∙ 119889119860
119860
= int(119910 + 119888) ∙ (119911 + 119889) ∙ 119889119860
119860
= int 119910 ∙ 119911 ∙ 119889119860 +
119860
+119888 ∙ int 119911 ∙ 119889119860
119860
+ 119889 ∙ int 119910 ∙ 119889119860
119860
rArr 11986811991111199101 = 119868119911119910 + 119888 ∙ 119889 ∙ 119860
(431)
Deoarece
int 119911 ∙ 119889119860
119860
= 119878119910 = 0 int 119910 ∙ 119889119860
119860
= 119878119911 = 0 int 119910 ∙ 119911 ∙ 119889119860
119860
= 119868119911119910
Relaţiile (429) şi (430) arată că momentul de inerţie faţă de o axă oarecare
este egal cu momentul de inerţie faţă de o axă paralelă cu ea trecacircnd prin centrul de
greutate la care se adaugă produsul dintre aria suprafeţei şi pătratul distanţei dintre
cele două axe
Din relaţiile (429) și (430) rezultă de asemenea că momentul de inerţie faţă de o
axă centrală (care trece prin centrul de greutate) este cel mai mic dintre infinitatea de
momente de inerţie obținute faţă de alte axe paralele cu ea
Relaţia (431) arată de asemenea că momentul de inerţie centrifugal faţă de un
sistem de axe oarecare este egal cu momentul de inerţie centrifugal faţă de un sistem
paralele cu el trecacircnd prin centrul de greutate a suprafeţei la care se adaugă produsul
dintre aria suprafeţei şi distanţele dintre axele sistemelor respective
Icircn literatura de specialitate relaţiile (429) (430) şi (431) sunt cunoscute sub
numele de relaţiile lui Steiner
47 Variaţia momentrlor de inerţie faţă de axe rotite
Direcţii principale şi momente de inerţie principale
Fie suprafaţa plană din figura 48 de arie 119860 pe care considerăm o suprafaţă
elementară de arie 119889119860 Pentru sistemul de axe 119911119874119910 se cunosc momentele de inerţie
119868119911 119868119910 119868119911119910 şi vom determina relaţiile de calcul pentru momentele de inerţie afererent unui
sistem de axe 11991111198741199101 rotit cu un unghi faţă de sistemul central
Faţă de sistemul de axe 11991111198741199101 elementul de arie 119889119860 are coordonatele
1199101 = 119875119877 = 119875119876 minus 119877119876 = 119910 ∙ cos 120572 minus 119911 ∙ sin 120572
1199111 = 119873119872 = 119873119875 minus 119875119872 = 119911 ∙ cos 120572 + 119910 ∙ sin 120572 (432)
Fig 47 Variaţia momentelor de inerţie față de axe rotite
Pe baza relaţiilor de calcul ale momentelor de inerţie şi a notaţiilor din figura 42
şi ale relaţiilor (432) momentele de inerţie faţă de sistemul de axe rotit 11991111198741199101 sunt
1198681199111 =119868119911 + 119868119910
2+119868119911 minus 119868119910
2∙ cos 2120572 minus 119868119911119910 ∙ sin 2120572 (433)
1198681199101 =119868119911 + 119868119910
2minus119868119911 minus 119868119910
2∙ cos 2120572 + 119868119911119910 ∙ sin 2120572 (434)
11986811991111199101 =119868119911 minus 119868119910
2∙ sin 2120572 + 119868119911119910 ∙ cos 2120572 (435)
Din relaţiile 433divide435 se observă că icircntre momentele de inerţie axiale şi cele
polare există relaţia
1198681199111 + 1198681199101 = 119868119911 + 119868119910 = 119868119901 (436)
adică suma momentelor de inerţie axiale icircn raport cu orice pereche de axe ortogonale
care trec printr-un pol dat este o constantă şi egală cu momentul de inerţie polar
Prin rotirea sistemului de axe din relaţiile 433divide435 rezultă că momentele de inerţie
variază icircnsă suma lor rămacircne constantă deci există o poziţie a sistemului de axe pentru
care momentele de inerţie au valori extreme maxim respectiv minim
471 Direcţii principale de inerţie
Valoarea unghiului 120572 pentru care momentele de inerţie axiale au valori extreme
este
1205721 =1
2∙ 119886119903119888119905119886119899 (minus
2 ∙ 119868119911119910
119868119911 minus 119868119910) (437)
Poziţia celeilalte direcţii este perpendiculară pe cea dată de unghiul 1205721
Din relaţia (437) se constată că faţă de aceste direcţii rotite pentru care momentele
de inerţie axiale prezintă valori extreme momentul de inerţie centrifugal 11986811991111199101este nul
Atunci se poate afirma că momentele de inerţie axiale au valori extreme icircn raport cu
direcţiile faţă de care momentul de inerţie centrifugal este nul Aceste direcţii se numesc
direcţii principale iar momentele de inerţie faţă de aceste direcţii poartă numele de
momente de inerţie principale
Icircn calculele de rezistenţă interesează icircn mod special poziţia direcţiilor principale
care trec prin centrul de greutate al suprafeţei aşa numitele direcţii principale centrale şi
evident momentele de inerţie principale centrale
Direcţiile principale de inerţie se notează cu 1 respectiv 2 Axa principală 1
corespunde direcţiei faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea maximă iar
axa principală 2 pentru direcţia faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea
minimă
472 Momente de inerţie principale
Momentele de inerţie principale se notează cu litera 119868 la care se pune indicele 1
sau 2 după cum valoarea acestuia este maximă sau minimă deci avem un moment de
inerţie principal 1 (notat 1198681) respectiv moment de inerţie principal 2 (notat 1198682)
Expresiile pentru momentele de inerţie principale sunt
11986812 =119868119911 + 119868119910
2plusmn1
2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)
2+ 4 ∙ (119868119911119910)
2 (438)
Dacă momentul de inerţie centrifugal este negativ (119868119911119910 lt 0) direcţia principală
care trece prin primul cadran (definit de sistemul 119911119862119910) este direcţia principală 120783
Pentru suprafeţele cu cel puţin o axă de simetrie direcţiile centrale 119862119911 119862119910 sunt şi
direcții principale de inerţie și evident momentele de inerţie axiale 119868119911 119868119910 sunt momente
de inerţie principale
48 Caracteristici mecanice ale metalelor
Alegerea materialului pentru confecţionarea unei anumite piese se face şi pe baza
aşa numitelor caracteristici mecanice pe care le prezintă materialul Cunoaşterea acestor
caracteristici mecanice are loc numai pe baza unor icircncercări mecanice care să scoată icircn
evidenţă comportarea materialului icircn condiţii de solicitare
Cea mai utilizată icircncercare icircn urma căreia se pun icircn evidenţă caracteristicile
mecanice ale unui material este icircncercarea la tracţiune
481 Icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general
Icircncercarea la tracţiune a oţelului ca de altfel toate icircncercările de materiale este
standardizată
Icircn cele ce urmează se va prezenta numai partea care interesează strict din punct
de vedere al caracteristicilor mecanice ale oţelului
Epruveta de diametru iniţial 1198890 pentru icircncercarea la tracţiune are o porţiune de
lungime 1198710 numită baza de măsurare pe care se măsoară lungirea acesteia sub acţiunea
solicitării
Icircn funcţie de raportul dintre baza de măsurare 1198710 şi diametrul iniţial 1198890 epruvetele
utilizate pentru icircncercări sunt
epruvete normale (scurte) cacircnd 11987101198890 = 5
epruvete lungi cacircnd 11987101198890 = 10
Icircn timpul icircncercării la diferite valori ale forţei 119865 se măsoară lungirea bazei de
măsurare
∆119871 = 120575 = 119871 minus 1198710 (439)
unde
119871 este dimensiunea bazei de măsurare la un moment dat
Curba forţă-lungire (119865 minus ) icircnregistrată icircn urma icircncercării reprezintă curba
caracteristică la tracţiune
La icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general diagrama caracteristică care se
obţine are forma din figura 48
Curba caracteristică la tracţiune depinde de lungimea bazei de măsurare Pentru
icircnlăturarea acestui neajuns curba caracteristică se reprezintă icircn coordonate şi definite
astfel
120590 =119865
1198600 휀 =
120575
1198710 (440)
unde
1198600 este aria iniţială a secţiunii transversale a epruvetei (icircnainte de solicitare) icircn
zona bazei de măsurare
1198600 =120587 ∙ 1198890
2
4
Deoarece mărimile icircn care se reprezintă curba caracteristică la tracţiune sunt
raportate la aria iniţială a secţiunii transversale (mărimi specifice) curba poartă numele
de curbă caracteristică convenţională la tracţiune
Fig 48 Curba caracteristică convenţională la tracțiune
Pe curba caracteristică convenţională la tracţiune figura 48 se pot stabili o serie
de puncte cărora le corespund mai multe mărimi importante
Ordonata punctului A pacircnă unde curba caracteristică convenţională este linie
dreaptă se numeşte limita de proporţionalitate a materialului 120590119901(1205901) Porţiunea 119874119860 este
zona de proporţionalitate a curbei caracteristice pe acest domeniu este valabilă legea lui
Hooke care exprimă o proporţionalitate icircntre tensiune şi deformaţie specifică
120590 = 119864 ∙ 휀 (441)
unde
119864 = reprezintă panta porţiunii liniare a curbei convenționale caracteristice
la tracțiune Caracteristica de material 119864 se numeşte modul de elasticitate longitudinal
(modulul lui Young)
Ordonata punctului 119861 pacircnă unde materialul se comportă perfect elastic adică
după descărcare icircşi recapătă dimensiunea iniţială 1198710 se numeşte limita de elasticitate
120590119890(119877119890) Icircn realitate nici un material nu are comportare perfect elastică sub acţiunea
solicitărilor el capătă deformaţii permanente (remanente plastice)
După punctul 119861 urmează o porţiune 119861119862119863 icircn care cu toate că icircncărcarea
continuă forţa nu mai creşte avacircnd mici oscilaţii icircn jurul unei valori Se spune că icircn
această porţiune materialul curge iar intervalul 119861119862119863 este un palier de curgere Tensiunea
corespunzătoare palierului de curgere se numeşte limită de curgere aparentă 120590119888(119877119888) Limita de curgere aparentă se calculează cu relaţia
120590119888 =1198651198881198600 (442)
unde
119865119888 reprezintă valoarea forţei icircnregistrată icircn momentul curgerii materialului
După punctul 119863 curba caracteristică are un traseu ascendent pacircnă icircn punctul 119864
Porţiunea 119863119864 este numită zonă de icircntărire (ecruisare) Icircn zona de ecruisare unde se
produc deformaţii plastice semnificative legea lui Hooke nu mai este valabilă La
descărcare relaţia dintre tensiunea şi deformaţia specifică este liniară paralelă cu
porţiunea liniară a curbei caracteristice (dreapta 119872119873)
Deformaţia totală (휀119905) are două componente una elastică (휀119890) şi una plastică (휀119901)
Ordonata punctului 119864 reprezintă rezistenţa de rupere 120590119903(119877119898) a materialului
care se poate calcula cu relaţia
120590119903 = 119877119898 =1198651198981198861199091198600
(443)
unde
119865119898119886119909 reprezintă valoarea maximă a forţei icircnregistrată icircn timpul icircncercării
La atingerea valorii 119865119898119886119909 (punctul 119864) icircntr-un anumit loc al epruvetei secţiunea
icircncepe să se micşoreze (se produce gacirctuirea) continuacircnd pacircnă cacircnd se produce ruperea
totală (punctul 119865)
Dacă după ruperea epruvetei cele două părţi rezultate se aşează cap la cap şi se
măsoară dimensiunea bazei de măsurare 119871119906 (lungimea ultimă) se determină alungirea la
rupere sau lungirea specifică la rupere 휀119903
휀119903 =119871119906 minus 11987101198710
=∆119871
1198710=120575
1198710 (444)
De obicei alungirea se exprimă icircn procente şi se notează cu 119860119899 unde 119899 reprezintă
numărul dat de raportul 11987101198890 (epruvete normale 119899 = 5 epruvete lungi 119899 = 10)
119860119899 =119871119906 minus 11987101198710
∙ 100 [] (445)
Altă mărime care se determină la icircncercarea la tracţiune este gacirctuirea la rupere
(exprimată de obicei icircn procente) şi definită de relaţia
119885 =1198600 minus 1198601199061198600
∙ 100 [] (446)
Mărimile determinate limita de proporţionalitate modulul de elasticitate
longitudinal limita de elasticitate limita de curgere aparentă rezistenţa de rupere
alungirea la rupere şi gacirctuirea la rupere sunt cunoscute ca fiind caracteristici mecanice
ale materialului
Din curba caracteristică convenţională observăm faptul că ruperea (punctul 119865 din
figura 48 se produce la o tensiune mai mică decacirct cea corespunzătoare punctului 119864 Dacă
icircnsă forţa din timpul icircncercării s-ar raporta la aria secţiunii din momentul icircnregistrării
forţei (care este mai mică decacirct cea iniţială 1198600) s-ar obţine aşa numita curbă
caracteristică reală a materialului (traseul 1198741198601198611198621198631198651 din figura 48) La curba
caracteristică reală ruperea se produce icircn punctul 1198651 la o icircncărcare mai mare decacirct cea
corespunzătoare punctului 119864 Icircnseamnă că rezistenţa reală la rupere este mai mare decacirct
rezistenţa la rupere dată de punctul 119864 din diagrama caracteristică convenţională
Dificultatea obţinerii diagramei caracteristice reale faţă de cea a diagramei caracteristice
convenţionale şi considerarea unei rezistenţe la rupere mai mică decacirct a celei reale face
icircn practică utilizarea pe scară mare a diagramei caracteristice convenţionale
Caracteristicile mecanice determinate pe baza curbei caracteristice convenţionale
sunt şi ele caracteristici mecanice convenţionale
Caracteristicile mecanice convenţionale limita de proporţionalitate convenţională
120590119901 limita de elasticitate convenţională 120590119890 limita de curgere convenţională 120590119888 şi rezistenţa
de rupere 120590119903 constituie tensiuni limită pentru un material Pe baza acestor caracteristici
de material se alege valoarea tensiunii admisibile 120590119886 (vezi paragraful 35) pentru
calculele de rezistenţă Cea mai utilizată stare limită pentru stabilirea tensiunii admisibile
120590119886 este limita de curgere convenţională 120590119888
120590119886 =120590119897119894119898119888
=120590119888119888 119904119886119906 120590119886 =
120590119903119888 (447)
Caracteristicile mecanice ale materialului sunt influenţate de o serie de factori
temperatura viteza de solicitare factorii tehnologici iar valorile lor sunt date icircn tabele și
diagrame
Aplicaţie Pentru suprafaţa plană compusă din două dreptunghiuri avacircnd
dimensiunile din figura 49a să se calculeze
a) centrul de greutate al secțiunii compuse 119910119866 119911119866
b) momentele de inerție axiale 119868119911 119868119910 și momentul de inerție centrifugal 119868119911119910
c) razele de inerție 119894119911 119894119910
d) modulele de rezistență 119882119911119898119894119899 119882119911119898119886119909 119882119910119898119894119899 119882119910119898119886119909
e) momentele de inerție principale 1198681 1198682 și direcțiile principale de inerție 1205721
f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 119878119911
Fig 49 Aplicație
Rezolvare Pentru rezolvare vom parcurge următoarele etape
icircmpărțim suprafața compusă icircn două suprafețe simple (dreptunghiuri) notate cu
① și respectiv ② figura 49b
poziționăm centrele de greutate a celor două suprafețe simple ① și respectiv ②
notate cu 1198661 și respectiv 1198662 figura 49c
poziționăm sistemele de axe de coordonate 119911111986611199101 pentru dreptunghiul ① și
119911211986621199102 pentru dreptunghiul ② aflate la intersecția diagonalelor figura 49c
poziționăm sistemele de axe de coordonate 11991101198741199100 ales arbitrar față de care
determinăm poziția centrului de greutate 119866 figura 49c
a) calculăm poziția centrului de greutate folosind relațiile (46) icircn care
1198601 = 6119905 ∙ 119905 = 61199052 1198602 = 4119905 ∙ 119905 = 41199052 119860 = 1198601 + 1198602 = 61199052 + 41199052 = 101199052
iar centrele de greutate 1198661 și respectiv 1198662 au coordonatele (față de sistemul 11991101198741199100)
1198661 1199101 = 3119905 1199111 = 05119905
1198662 1199102 = 051199051199112 = 3119905
cu acestea obținem
119910119866 =1198601 ∙ 1199101 + 1198602 ∙ 1199102
119860=61199052 ∙ 3119905 + 41199052 ∙ 05119905
101199052=201199053
101199052= 2119905
119911119866 =1198601 ∙ 1199111 + 1198602 ∙ 1199112
119860=61199052 ∙ 05119905 + 41199052 ∙ 3119905
101199052=151199053
101199052= 15119905
Poziționăm centrul de greutate 119866 al suprafeței compuse figura 49c
Fig 49 Aplicație
b) pentru determinarea momentelor de inerție axiale 119868119911 119868119910 și a momentului de
inerție centrifugal 119868119910119911 determinăm constantele 1198881 1198882 1198891 1198892 care intervin icircn relația lui
Stainer
1198881 = 1199101 minus 119910119866 = 3119905 minus 2119905 = 119905 1198882 = minus(119910119866 minus 1199102) = minus(2119905 minus 05119905) = minus15119905
1198891 = minus(119911119866 minus 1199111) = minus(15119905 minus 05119905) = minus119905 1198892 = 1199112 minus 119911119892 = 3119905 minus 15119905 = 15119905
Folosind relațiile lui Stainer (429) (430) și (431) calculăm momentele de
inerție axiale și centrifugale față de sistemul central 119911119866119866119910119866
119868119911 =sum(119868119911119894 + 1198881198942 ∙ 119860119894) = 1198681199111 + 1198881
2 ∙ 1198601 + 1198681199112 + 11988822 ∙ 1198602
119868119910 =sum(119868119910119894 + 1198891198942 ∙ 119860119894) = 1198681199101 + 1198891
2 ∙ 1198601 + 1198681199102 + 11988922 ∙ 1198602
119868119911119910 =sum(119868119911119894119910119894 + 119888119894 ∙ 119889119894 ∙ 119860119894) = 11986811991111199101 + 1198881 ∙ 1198891 ∙ 1198601 + 11986811991121199102 + 1198882 ∙ 1198892 ∙ 1198602
1198681199111 = (119887 ∙ ℎ3
12) =
119905 ∙ (6119905)3
12= 181199054 1198681199112 = (
119887 ∙ ℎ3
12) =
4119905 ∙ 1199053
12= 031199054
1198681199101 = (1198873 ∙ ℎ
12) =
1199053 ∙ 6119905
12= 051199054 1198681199102 = (
1198873 ∙ ℎ
12) =
(4119905)3 ∙ 119905
12= 531199054
11986811991111199101 = 11986811991121199102 = 0 deoarece cele două triunghiuri au cel puțin o axă de simetrie
Cu acestea momentele de inerție axiale și momentul de inerție centrifugal devin
119868119911 = 181199054 + 1199052 ∙ 61199052 + 031199054 + (minus15119905)2 ∙ 41199052 = 3331199054
119868119910 = 051199054 + (minus119905)2 ∙ 61199052 + 531199054 + (15119905)2 ∙ 41199052 = 2081199054
119868119911119910 = 0 + 119905 ∙ (minus119905) ∙ 61199052 + 0 + (minus15119905) ∙ (15119905) ∙ 41199052 = minus151199054
c) razele de inerție sau de girație față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910
se calculează cu relațiile (411)
119894119911 = radic119868119911119860= radic
3331199054
101199052= 182119905 119894119910 = radic
119868119910
119860= radic
2081199054
101199052= 144119905
d) modulele de rezistență față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910 se
calculează cu relațiile (412) și (413)
Avacircnd icircn vedere figura 419c obținem
119910119898119886119909 = 6119905 minus 119910119866 = 6119905 minus 2119905 = 4119905 119910119898119894119899 = minus119910119866 = minus2119905
119911119898119886119909 = 5119905 minus 119911119866 = 5119905 minus 15119905 = 35119905 119911119898119894119899 = minus119911119866 = minus15119905
Se obține astfel
119882119911119898119894119899 =119868119911
|119910119898119886119909|=3331199054
4119905= 8331199053
119882119911119898119886119909 =119868119911
|119910119898119894119899|=3331199054
2119905= 16651199053
119882119910119898119894119899 =119868119910
|119911119898119886119909|=2081199054
35119905= 5941199053
119882119910119898119886119909 =119868119910
|119911119898119894119899|=2081199054
15119905= 13871199053
e) momentele de inerție principale 1198681 și respectiv 1198682 se calculează cu relațiile
(438)
11986812 =119868119911 + 119868119910
2plusmn1
2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)
2+ 4 ∙ (119868119911119910)
2=
=3331199054 + 2081199054
2plusmn1
2∙ radic(3331199054 minus 2081199054)2 + 4 ∙ (minus151199054)2 = 27051199054 plusmn 16251199054
De unde obținem
1198681 = 27051199054 + 16251199054 = 4331199054
1198682 = 27051199054 minus 16251199054 = 1081199054
Prima direcție principală de inerție 1 face cu axa centrală 119866119911 unghiul 1205721 dat de
relația (437)
1205721 =1
2∙ arctan (minus
2 ∙ 119868119911119910
119868119911 minus 119868119910) =
1
2∙ arctan [minus
2 ∙ (minus151199054)
3331199054 minus 2081199054] =33 70
Deoarece 1205721 gt 0 rotirea axelor se face acircn sens antiorar acelor de ceasornic figura
49d
Poziția axe principale 2 față de care momentul de inerție are valoarea minimă
1198682 = 119868119898119894119899 este dată de unghiul
1205722 = 1205721 + 900 = 33 70 + 900 = 123 70
f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 se determină cu relația
(45)
1198781199111198602 = 1198602 ∙ 1198882 = 41199052 ∙ (minus15119905) = minus61199053
25 Definiții și convenții de semne pentru eforturile
din secțiunile unei bare drepte plane icircncărcate cu sarcini coplanare
Vom considera o bară plană icircncărcată cu un sistem de forțe arbitrar figura 217
Ne propunem să determinăm eforturile care apar icircn secțiunea barei aflată la distanța 119909 de
reazemul din stacircnga (A)
Pentru aceasta vom aplica metoda secțiunilor vom secționa bara cu un plan
perpendicular pe axa longitudinală a barei și vom analiza doar partea din dreapta secțiunii
mărginită de fața Ad Pentru ca această porțiune de bară să fie icircn echilibru sub acțiunea
forțelor exterioare care acționează asupra sa 1198653 și 119881119861 va trebui să introducem icircn centrul
secțiunii Ad eforturile care pot să apară 119873 119879119910 119872119894119911 Acțiunea acestor eforturi trebuie să
fie echivalentă cu acțiunea forțelor exterioare aplicate pe partea icircnlăturată (parcursă) a
barei 119867119860 119881119860 1198651 1198652 1198720
Deoarece bara este plană și este icircncărcată doar cu sarcini ce aparțin
planului barei
icircn secțiunea Ad apar doar 3 componente ale torsorului de reducere al forțelor
interioare (eforturi)
- 119873 = forța axială
- 119879119910 = forța tăietoare pe care o vom nota cu 119879
- 119872119894119911 = momentul icircncovoietor notat cu Mi
Fig 217 Bară plană icircncărcată cu un sistem de forțe
Vom prezenta următoarele definiții corespunzătoare eforturilor din secțiunea Ad
119873 = forța axială dintr-o secțiune este egală cu suma algebrică a proiecțiilor pe
axa longitudinală a tuturor forțelor exterioare (sarcini și reacțiuni) aplicate pe partea
din stacircnga secțiunii adică pe porțiunea parcursă Forța axială 119873 este pozitivă dacă trage
de tronsonul pe a cărei față acționează (are orientarea normalei exterioare la secțiunea
Ad)
119873(119909) = minus119867119860 + 1198651119867 (26)
119879 = forța tăietoare icircntr-o secțiune este egală cu suma algebrică a proiecțiilor
pe o axă perpendiculară pe axa barei a tuturor forțelor exterioare (sarcini și reacțiuni)
aplicate pe porțiunea de bară aflată icircn stacircnga secțiunii considerate Forța tăietoare 119879
este pozitivă dacă tinde să rotească tronsonul pe a cărui față acționează icircn sens orar icircn
raport cu un punct de pe axa barei aflat la dreapta secțiunii
119879(119909) = 119881119860 minus 1198651119881 minus 1198652 (27)
119872119894 = momentul icircncovoietor icircntr-o secțiune este egal cu suma algebrică a
momentelor obținute prin reducerea tuturor forțelor exterioare ( cupluri sarcini
reacțiuni) aplicate pe porțiunea de bară aflată la stacircnga secțiunii icircn centrul secțiunii
considerate 119872119894 este considerat pozitiv dacă tinde să deformeze bara astfel icircncacirct fibrele
spre care privește un observator să fie icircntinse Cum poziția observatorului este de regulă
sub bară bara se deformează dacă 119872119894 gt 0 astfel icircncacirct partea jos a barei este icircntinsă Se
spune că bara deformată rdquoține apaldquo
119872119894(119909) = 119881119860 ∙ 119909 minus 1198651119881 ∙ (119909 minus 1198971) minus 1198652 ∙ [119909 minus (1198971 + 1198972)] + 1198720 (28)
Sensurile pozitive ale eforturilor care apar icircn centrul secțiunii Ad (deci atunci cacircnd
sensul de parcurs la aplicarea metodei secțiunilor este cel de la stacircnga la dreapta) sunt
indicate icircn figura 218a iar dacă sensul de parcurs este de la dreapta la stacircnga sensurile
pozitive ale eforturilor sunt indicate icircn figura 218b
Fig 218 Convenţia de semne
Definiții asemănătoare se pot da și pentru eforturile din centrul secțiunii As figura
218b adică pentru cazul icircn care sensul de parcurs este cel de la dreapta la stacircnga și deci
partea luată icircn considerare este cea din stacircnga iar partea parcursă din dreapta secțiunii
este icircnlăturată
119873(1199091) = 1198653119867
119879(1199091) = 1198653119881 minus 119881119861
119872119894(1199091) = 119881119861 ∙ 1199091 minus 1198653119881 ∙ (1199091 minus 1198975)
(29)
Avacircnd icircn vedere că fețele Ad și As aparțin aceleeași secțiuni este evident faptul că
eforturile 119873(119909) 119879(119909) și 119872119894(119909) sunt identice cu eforturile 119873(119961120783) 119879(119961120783) și respectiv
119872119894(119961120783) Icircn figura 218c se prezintă o sinteză a convențiilor de semne pozitive pentru cele
3 eforturi atacirct pentru sensul de parcurs de la stacircnga la dreapta (secțiunea Ad) cacirct și pentru
sensul invers (secțiunea As)
Semnele eforturilor sunt importante icircntrucacirct există materiale cu comportări diferite
la icircntindere față de compresiune iar o schimbare a semnului unui efort poate produce
erori grave icircn calcule Semnele eforturilor au fost stabilite icircn funcție de deformațiile
produse și nu depind de sensul axelor sistemului de coordonate
26 Relaţii diferenţiale icircntre eforturi şi sarcini
Pentru a vedea ce legătură există icircntre eforturi și sarcini vom considera o bară
dreaptă icircncărcată cu o sarcină distribuită după o lege oarecare figura 219a Din această
bară vom decupa prin dublă secționare un element de lungime infinit mică 119889119909 Deoarece
lungimea 119889119909 este foarte mică se poate considera sarcina 119901 uniform distribuită Icircn
secțiunile rezultate trebuie să introducem eforturile care pot apărea
- 119879 şi 119872119894 icircn centrul secțiunii din sticircnga eforturi pe care le considerăm pozitive
- 119879 + 119889119879 şi 119872119894 + 119889119872119894 icircn centrul secțiunii din dreapta elementului
Aceste eforturi au o variație mică (119889119879 şi 119889119872119894) față de secțiunea anterioară Spre
deosebire de cazul icircn care bara este secționată o singură dată icircn acest caz eforturile nu
pot fi determinate din cele 2 condiții de echilibru independente deoarece icircn ecuațiile de
echilibru apar 4 necunoscute 119879 119889119879119872119894 și 119889119872119894 deci că problema este dublu static
nedeterminată figura 219
Fig 219 Echivalența icircntre eforturi și sarcini
Ecuațiile de echilibru scrise pentru elementul din figura 219b conduc la stabilirea
unor relaţii foarte importante
(sum119865)119910= 0 hArr 119879 minus 119901 ∙ 119889119909 minus (119879 + 119889119879) = 0 rArr
119889119879
119889119909= minus119901 (210)
Relația (210) arată că derivata funcţiei forţei tăietoare icircn raport cu abscisa
secţiunii este egală cu sarcina distribuită normală la axa barei din acea secţiune luată
cu semn schimbat
Observații
dacă 119901 = 0 nu există sarcină distribuită atunci forța tăietoare T este constantă
icircnclinarea pantei diagramei forței 119879 este egală cu (ndash 119901) (sarcina distribuită cu
semn schimbat)
dacă 119901 = 119888119900119899119904119905 119879 variază liniar pe acel interval
Asemănător se deduce că derivata funcţiei forţei axiale icircn raport cu abscisa
secţiunii este egală cu sarcina distribuită axială din acea secţiune luată cu semn
schimbat adică
119889119873
119889119909= minus119901119867 (211)
Din condiția de echilibru suma de momente faţă de centrul de greutate al secţiunii
din dreapta
(sum119872)119862= 0 hArr 119872119894 minus (119872 + 119889119872119894) + 119879 ∙ 119889119909 minus 119901 ∙
(119889119909)2
2= 0 rArr
119889119872119894
119889119909= 119879 (212)
Relația (212) s-a obținut dupa reducerea termenilor și prin neglijarea infinitului
mic de ordinul 2
119901 ∙(119889119909)2
2
Relația (212) arată că derivata funcţiei moment icircncovoietor icircn raport cu abscisa
secţiunii este egală cu forţa tăietoare din acea secţiune
Observații
dacă 119879 = 0 momentul 119872119894 are un punct de extrem se obține o valoare maximă
pentru 119872119894119898119886119909 dacă forța tăietoare 119879 se anulează trecacircnd de la plus icircn stacircnga la minus icircn
dreapta secțiunii
dacă forța tăietoare este pozitivă pe un interval 119879 gt 0 atunci 119872119894 este crescătoare
pe acel interval
dacă forța tăietoare este negativă pe un interval 119879 lt 0 atunci 119872119894 este
descrescătoare pe acel interval
dacă pe un interval 119901 = 0 forța tăietoare este constantă 119879 = 119888119905 iar 119872119894 variază
liniar pe acel interval
dacă 119901 = 119888119900119899119904119905 119879 variază liniar pe acel interval iar 119872119894 variază parabolic pe
acel interval
Relaţiile diferenţiale sunt utile la reprezentarea corectă şi verificarea diagramelor
de eforturi astfel
pentru porţiunile de grindă pe care p = 0 eforturile N şi T sunt constante iar pe
porţiunile cu p = const eforturile N şi T variază liniar (relaţiile 211 şi 210)
dacă pe o porţiune T = const momentul icircncovoietor Miz variază liniar iar dacă
T variază liniar atunci momentul Miz variază parabolic (relaţia 212)
pe domeniile pe care T gt 0 funcţia Mi(x) este crescătoare iar icircn secţiunea icircn
care T = 0 (graficul funcţiei T intersectează axa x) momentul icircncovoietor are un punct
de extrem local (maxim sau minim relaţia 212)
Pentru rezolvarea problemelor referitoare la trasarea diagramelor de eforturi
pentru barele drepte solicitate de sisteme de forţe plane se parcurg următoarele etape
1) identificarea forţelor aplicate (date) şi pregătirea lor pentru calcule
(descompunerea forţelor concentrate pe direcţiile x şi y calculul rezultantelor forţelor
distribuite)
2) identificarea reazemelor şi introducerea reacţiunilor corespunzătoare (vezi
figurile 27divide29)
3) stabilirea ecuaţiilor de echilibru static calculul şi verificarea reacţiunilor Icircn
rezistența materialelor se folosește sistemul de ecuații (vezi figura 217)
(sum119865)
119909= 0
(sum119872)119860= 0
(sum119872)119861= 0
(213)
4) identificarea domeniilor de variaţie şi scrierea funcţiilor de eforturi pentru N T
şi Mi
5) reprezentarea grafică a diagramelor de eforturi
6) verificarea corectitudinii diagramelor pe baza relaţiilor diferenţiale icircntre eforturi
şi sarcini
Aplicație Pentru grinda dreaptă icircncărcată cu sistemul de forţe reprezentat icircn figura
220 se cere
a) să se calculeze şi să se verifice reacţiunile
b) să se stabilească funcţiile eforturilor Nx Ty şi Miz şi să se reprezinte diagramele
de variaţie
c) să se analizeze relaţiile diferenţiale icircntre eforturi şi sarcini
Dimensiunile grinzii au valorile a = 6 [m] b = 4 [m] și c = 4[m] sistemul de
forţe aplicat fiind format din p = 10 [kN mfrasl ] F = 20 [kN] (icircnclinată cu unghiul α =300 faţă de orizontală) şi M0 = 40 [kN ∙ m]
Rezolvare
a) Se fac următoarele precizări
grinda dreaptă se reprezintă prin axa geometrică
forţa icircnclinată F se descompune după direcţiile orizontală şi verticală icircn FV =F ∙ sin α = 10 [kN] şi FH = F ∙ cos α = 173 [kN]
forţa distribuită uniform p este echivalentă din punct de vedere static cu
rezultanta sa R = p ∙ a = 60 [kN] care acţionează la jumătatea porţiunii de lungime a
icircn reazemele 119860 şi 119861 se introduc componentele HA şi VA respectiv VB ale
reacţiunilor
Pentru calculul reacţiunilor se utilizează ecuaţiile de echilibru static al grinzii
sumXi = 0 HA minus FH = 0 sumYi = 0 VA + VB minus R minus FV = 0 (sumM)B = 0 VA ∙ (b + a) minus R ∙ (b + 05 ∙ a) minus M0 + FV ∙ c = 0
(A1)
Din prima ecuaţie se obţine HA iar din cea de-a treia ecuaţie rezultă VA
HA = FH = 173 [kN]
VA =[R ∙ (b + 05 ∙ a) + M0 minus FV ∙ c]
(b + a)=[60 ∙ (4 + 05 ∙ 6) + 40 minus 10 ∙ 4]
(4 + 6)
VA = 42 [kN]
(A2)
Fig 220 Aplicație
Se observă că cea de-a doua ecuaţie de echilibru conţine două necunoscute
reacţiunile VA şi VB Pentru a calcula componenta VB nu este indicată introducerea lui VA
icircn cea de-a doua ecuaţie a sistemului (A1) pentru că o valoare determinată greşit pentru
VA conduce la o valoare VB de asemenea greşită O ecuaţie independentă din care se poate
determina componenta VB este următoarea
(sumM)A= 0 FV ∙ (a + b + c) minus VB ∙ (a + b) minus M0 + R ∙ 05 ∙ a = 0 (A3)
de unde se obţine
VB =[FV ∙ (a + b + c) minusM0 + R ∙ 05 ∙ a]
(b + a)=[10 ∙ (6 + 4 + 4) minus 40 + 60 ∙ 05 ∙ 6]
(6 + 4)
VB = 28 [kN] (A4)
Ecuaţia de proiecţii ale forţelor pe direcţia verticală (a doua ecuaţie din sistemul
A1) se utilizează pentru verificarea reacţiunilor deja determinate
VA + VB minus R minus FV = 0 rArr 42 + 28 minus 60 minus 10 = 0 (A5)
Ultima egalitate demonstrează că reacţiunile verticale au fost calculate corect
Din cele de mai sus rezultă ordinea firească pentru determinarea reacţiunilor icircn
cazul grinzilor simplu rezemate
sumXi = 0
(sumM)A = 0
(sumM)B = 0
(A6)
iar pentru verificarea componentelor verticale VA şi VB se folosește ecuaţia sumY = 0
b) La stabilirea funcţiilor de eforturi se parcurg icircn general etapele următoare
se notează (numeric sau literal după preferinţă) secţiunile care delimitează
domeniile (intervalele sau tronsoanele) pe care eforturile nu-şi modifică funcţiile (au legi
unice de variaţie)
pe fiecare domeniu se marchează secţiunea imaginară icircn care se stabilesc
funcţiile eforturilor
secţiunea astfel aleasă separă icircn două părţi grinda şi anume porţiunea din stacircnga
şi porţiunea din dreapta secţiunii
se va considera parcursă (şi icircndepărtată) acea parte pe care acţionează mai puţine
sarcini exterioare pentru că acestea vor interveni icircn expresiile funcţiilor de eforturi
poziţiile secţiunilor imaginare se vor determina prin variabilele x1 ⋯ xn (unde
n reprezintă numărul domeniilor de variaţie) cu originea fixată icircn capătul intervalului şi
sensul de parcurgere spre partea considerată rămasă
Grinda prezentată icircn figura 220 are trei domenii de variaţie pentru funcţiile de
eforturi după cum urmează (A-1) (2-B) şi (B-1)
Domeniul (A-1) x1 isin [0 a = 6 m] Porţiunea parcursă şi considerată icircndepărtată este cea de coordonată x1 pe care
acţionează reacţiunile HA şi VA precum şi rezultanta parţială a sarcinii distribuite R1 =p ∙ x1
Funcţia forţă axială Nx are expresia
Nx(x1) = NAminus1 = minusHA = minus173 [kN] = const
(A7)
Funcţia forţă tăietoare Ty are exspresia
Ty(x1) = TAminus1 = VA minus R1 = VA minus p ∙ x1 (A8)
care reprezintă o variaţie liniară de variabilă x1 Se calculează valorile forţei tăietoare la
limitele intervalului de variaţie
- pentru x1 = 0 Ty(x1 = 0) = TA = VA = 42 [kN]
- pentru x1 = a = 6 [m] Ty(x1 = 6) = T1 = VA minus p ∙ a = minus18 [kN]
Observaţie Aşa cum a fost stabilită secţiunea fictivă poziţionată prin coordonata
x1 sar părea că rezultanta R ar trebui luată icircn calculul lui Ty(x1) Acest lucru ar fi greşit
pentru că R = p ∙ a reprezintă rezultanta sarcinii distribuite pe toată lungimea a iar
rezultanta pe porţiunea parcursă de lungime x1 este R1 = p ∙ x1 ne R = p ∙ a
Cu valorile obţinute se trasează diagramele forţelor axială Nx = f(x) şi tăietoare
Ty = f(x) figura 220 Din diagrama forţei tăietoare şi din valorile obţinute analitic se
observă că forţa tăietoare icircşi schimbă semnul pe intervalul analizat deci se anulează pe
acest interval Poziţia secţiunii unde Ty se anulează se determină din ecuaţia
Ty(x1) = 0 rArr VA minus p ∙ x1 = 0 (A9)
cu soluţia x1lowast = ξ = 42 [m] Important de reamintit că icircn această secţiune momentul
icircncovoietor va avea un extrem local adică Miz are un extrem la Ty = 0
Funcţia moment icircncovoietor Miz are expresia
Miz(x1) = VA ∙ x1 minus R1 ∙x12= VA ∙ x1 minus (p ∙ x1) ∙
x12
(A10)
Se observă că funcţia moment icircncovoietor de variabilă x1 are o variaţie parabolică
(gradul al II-lea) Pentru reprezentarea grafică a funcţiei parabolice se calculează valorile
momentului icircncovoietor icircn trei secţiuni
- pentru x1 = 0 Miz(x1 = 0) = MA = 0 [kN ∙ m] - pentru x1 = a = 6 [m] Miz(x1 = 6) = M1 = 72 [kN ∙ m] - pentru x1
lowast = ξ = 42 [m] Miz(x1lowast = ξ = 42 [m]) = Mimax = 882 [kN ∙ m]
Cu acestea se trasează diagrama Miz = f(x) pe intervalul (A-1) figura 220
Observaţie Icircn unele cazuri pe un anumit interval forţa tăietoare nu se anulează
şi momentul icircncovoietor nu are un extrem local Icircn acest caz pentru reprezentarea
variaţiei parabolice a momentului icircncovoietor se va studia semnul derivatei a doua a
funcţiei Miz = f(x1) acesta determinacircnd convexitatea curbei momentului icircncovoietor
Domeniul (2-B) x2 isin [0 c = 4 m] Porţiunile din grindă libere (nerezemate) la un capăt se numesc console iar
stabilirea funcţiilor de eforturi devine mai simplă dacă se consideră icircndepărtată partea din
dreapta secţiunii prin schimbarea sensului pozitiv al axei x Astfel se obţin funcţiile eforturilor
Funcţia forţă axială Nx are expresia
Nx(x2) = N2minusB = minusFH = minus173 [kN] = const
(A11)
Funcţia forţă tăietoare Ty are exspresia
Ty(x2) = T2minusB = FV = 10 [kN] = const (A12)
Funcţia moment icircncovoietor Miz are expresia
Miz(x2) = minusFV ∙ x2 rArr Miz(x2 = 0) = M2 = 0 [kN ∙ m]
Miz(x2 = 4) = MB = minus40 [kN ∙ m] (A13)
variaţie liniară (gradul I)
Domeniul (B-1) x3 isin [0 b = 4 m] Pe acest domeniu se acceptă parcurgerea grinzii de la dreapta adică se consideră
icircndepărtată partea din dreapta secţiunii fictive pentru că are doar două sarcini aplicate F
şi VB faţă de partea din stacircnga secţiunii pe care sunt aplicate trei sarcini p VA şi M0
Astfel se obţin funcţiile eforturilor
Funcţia forţă axială Nx are expresia
Nx(x3) = NBminus1 = minusFH = minus173 [kN] = const
(A14)
Funcţia forţă tăietoare Ty are exspresia
Ty(x3) = TBminus1 = FV minus VB = minus18 [kN] = const (A15)
Funcţia moment icircncovoietor Miz are expresia
Miz(x3) = minusFV ∙ (x3 + c) + VB ∙ x3 rArr
rArr Miz(x3 = 0) = MB = minus40 [kN ∙ m]
Miz(x3 = 4) = M1 = 32 [kN ∙ m]
(A16)
variaţie liniară (gradul I)
Diagramele eforturilor sunt prezentate icircn figura 220
c) Relaţiile diferenţiale dintre eforturi şi sarcini se analizează pe diagramele
eforturilor după cum urmează
sarcina distribuită nu are componentă orizontală adică ph = 0 şi icircn
conformitate cu formula (211) rezultă că Nx = const pe toată lungimea grinzii fapt care
a rezultat din funcţia şi reprezentarea diagramei forţei axiale
pe intervalul (A-1) sarcina distribuită are doar componenta verticală pozitivă
pV = p gt 0 prin urmare forţa tăietoare scade (are panta negativă dTy 119889119909frasl = minusp vezi
relaţia 210) iar momentul icircncovoietor avacircnd derivata a doua negativă d2M119894119911 1198891199092frasl =minuspare convexitatea curbei orientată spre sensul pozitiv al axei momentului Miz adică icircn
jos
pe domeniile (2-B) şi (B-1) deoarece pv = 0 forţa tăietoare Ty este constantă
iar momentul icircncovoietor Miz variază liniar
referitor la relaţia (212) pe porţiunile unde Ty gt 0 momentul Miz este
monoton crescător pe porţiunile unde Ty lt 0 momentul Miz este monoton descrescător
iar icircn secţiunea icircn care Ty = 0 momentul icircncovoietor are un extrem local Mξ =
882 [kN ∙ m] icircn diagrama forţei tăietoare discontinuităţile (salturile) se produc icircn secţiunile
unde acţionează VA VB şi FV iar icircn diagrama momentului icircncovoietor se produce un
singur salt icircn secţiunea icircn care este aplicat M0
se poate scrie
Mξ = suprafața diagramei Ty |ξ0=1
2∙ 42 ∙ 42 = 882 [kN ∙ m]
sau parcurgacircnd grinda de la dreapta la stacircnga rezultă
MB = minussuprafața diagramei Ty |c0= minus10 ∙ 4 = minus40 [kN ∙ m]
Toate aspectele analizate teoretic referitoare la relaţiile diferenţiale dintre eforturi
şi sarcini se regăsesc icircn diagramele de eforturi din figura 220 ceea ce icircnseamnă că
diagramele au fost reprezentate corect
3 TENSIUNI DEPLASĂRI ŞI DEFORMAŢII SPECIFICE
31 Tensiuni
Eforturile obținute icircn urma reducerii forțelor interioare icircn centrul de greutate al
secțiunii nu pot da informații asupra solicitării fiecărui punct al secțiunii respective Este
necesar să se cunoască modul cum se distribuie forțele interioare icircn fiecare punct al
secțiunii pentru a ști care este intensitatea maximă a solicitării Această intensitate
maximă se poate compara cu o valoare critică specifică materialului stabilindu-se astfel
dacă solicitarea este periculoasă sau nu
Mărimea care caracterizează solicitarea locală punctuală o vom denumi tensiune
și o vom defini icircn cele ce urmează Să considerăm partea din dreapta a unui corp solicitat
de forțele exterioare 1198651 1198652 și 1198653 obținută prin secționarea corpului și mărginită de fața
din dreapta Ad a secțiunii Pe secțiunea Ad vom considera un element de arie infinit mic
∆119860 caracterizat de normala la elementul de arie normală care are cosinușii directori
120573 și icircn raport cu un sistem de axe considerat fix Pe elementul infinit mic ∆119860 acționează
forțele interioare care au o rezultantă oarecare figura 31
Prin definiție tensiunea totală este
= lim∆119860rarr0
∆
∆119860 (31)
Tensiunea are aceeaşi direcţie cu forţa elementară ∆ iar mărimea ei este
determinată atacirct de mărimea forţei ∆ cacirct şi de orientarea suprafeţei ∆119860 faţă de direcţia
forţei
Tensiunea 119901 poate fi descompusă icircntr-o componentă orientată după direcţia
normalei la secţiune tensiunea normală notată cu 120590119909 şi o componentă icircn planul secţiunii
tensiunea tangenţială notată cu figura 32
= 119909 + 120591 (32)
Fig 31 Tensiunea totală Fig 32 Tensiunea normală și tangențială
La racircndul ei componenta tensiunii cuprinsă icircn planul secțiunii poate fi
descompusă după direcțiile axelor y și z
120591 = 120591119909119910 + 120591119909119911 (33)
Icircntre cele trei componente ale tensiunii totale care acționează pe elementul de arie
∆119860 este valabilă relația
1199012 = 1205901199092 + 120591119909119910
2 + 1205911199091199112 (34)
După sensul pe care icircl are tensiunea normală 120590 poate avea efect de tracţiune sau
de compresiune exercitat de către partea de corp icircnlăturată asupra părţii rămase Analog
tensiunea tangenţială 120591 poate avea efect de tăiere forfecare sau alunecare Pentru
componentele tensiunii tangențiale 120591119909119910 pe direcţia 119910 respectiv 120591119909119911 pe direcţia 119911 primul
indice indică axa pe care tensiunea este normală iar cel de-al doilea indice indică axa cu
care aceasta este paralel
Tensiunea este o mărime tensorială valoarea ei depinzacircnd atacirct de poziția
punctului icircn planul secțiunii cicirct și de orientarea planului de secționare deci de normala
Operaţiile vectoriale nu pot fi aplicate tensiunilor decacirct după ce acestea au fost icircnmulţite
cu ariile respective adică au fost transformate icircn forţe
Icircn literatura de specialitate mai ales icircn manualele mai vechi pentru noţiunea de
tensiune se mai foloseşte şi denumirea de efort specific
Dacă se consideră un alt element de arie ∆119860 cu centrul icircn același punct avacircnd ca
normală axa 119910 se vor obține alte tensiuni și anume
- 120590119910 este tensiunea normală (paralelă cu axa y)
- 120591119911119909 și 120591119910119911 sunt tensiuni tangențiale paralele cu axele 119909 și respectiv 119911 aflate icircn
planul care are ca normală axa 119910
Dacă icircn jurul unui punct dintr-un corp solicitat se consider un element de volum
infinit mic de forma unui cub icircn cazul cel mai general pe fețele sale vor acționa
tensiunile normale 120590119909 120590119910 și 120590119911 și respectiv tensiunile tangențiale 120591119909119910 120591119909119911 120591119910119909 120591119910119911 120591119911119909
și respectiv 120591119911119910 figura 33 Aceste tensiuni definesc starea de tensiune a punctului
observacircnd faptul că tensorul tensiune are 9 componente Dacă se consideră elementul
de volum finit ca fiind foarte mic se poate presupune că icircn interiorul său nu apar forțe
Ca urmare el va fi icircn echilibru sub acțiunea forțelor elementare produse de tensiunile de
pe fețele sale
Din condiția ca elementul să nu se rotească icircn jurul unor axe care trec prin centrul
său și sunt paralele cu axele sistemului 119909119874119910119911 rezultă
2 ∙ 120591119909119910 ∙ (119889119910 ∙ 119889119911) ∙119889119909
2= 2 ∙ 120591119910119909 ∙ (119889119909 ∙ 119889119911) ∙
119889119910
2 rArr 120591119909119910 = 120591119910119909 (35)
2 ∙ 120591119910119911 ∙ (119889119909 ∙ 119889119911) ∙119889119910
2= 2 ∙ 120591119911119910 ∙ (119889119909 ∙ 119889119910) ∙
119889119911
2 rArr 120591119910119911 = 120591119911119910 (36)
2 ∙ 120591119909119911 ∙ (119889119910 ∙ 119889119911) ∙119889119909
2= 2 ∙ 120591119911119909 ∙ (119889119909 ∙ 119889119910) ∙
119889119911
2 rArr 120591119909119911 = 120591119911119909 (37)
Relațiile (35divide37) 120591119909119910 = 120591119910119909 120591119910119911 = 120591119911119910 120591119909119911 = 120591119911119909 exprimă principiul dualității
tensiunilor tangențiale
Fig 33 Tensiunile normale și tangențiale pe fețele unui cub
Din condiția ca elementul considerat să nu se deplaseze icircn lungul axelor de
coordonate pe fețele opuse acționează aceleași tensiuni normale 120590119909 120590119910 și respectiv 120590119911
Definirea tensorului tensiune este posibilă dacă se cunosc cele 6 componente
independente ale acestuia aflate icircn trei plane perpendicular ce trec prin punctul respectiv
=
120590119909 120591119909119910 120591119909119911120591119910119909 120590119910 120591119910119911120591119911119909 120591119911119910 120590119911
Observaţii
Tensiunile se măsoară icircn [119873 1198982frasl ] (1119873 1198982frasl = 1 119875119886) sau icircn [119872119875119886]
(1 119872119875119886 = 106119875119886 = 106 119873
1198982 1 119872119875119886 = 1
119873
1198981198982)
Starea de tensiune dintr-un punct este considerată cunoscută dacă se cunosc
tensiunile 119901 care acționează pe infinitatea de elemente de suprafață ce trec prin punctual
considerat
Starea de tensiune a unui corp se consider cunoscută dacă se cunosc stările de
tensiune de pe infinitatea de puncte ale corpului considerat
32 Deplasări Deformaţii specifice
321 Deplasări
Aceste noțiuni sunt utile icircn analiza aspectului geometric al problemelor de rezistența
materialelor Deplasările care se analizează sunt cele datorate schimbării formei și
dimensiunilor corpurilor ca urmare a acțiunii forțelor exterioare și nu cele cinematice
posibile pentru solidul rigid care se poate deplasa cu anumită viteză și accelerație
Spre exemplu icircn figura 34a și figura 34b sub acțiunea forței 119865 tronsonul de
bară AB se deformează icircn timp ce tronsonul BC deși punctele sale au deplasări rămacircne
nedeformat (fiind nesolicitat) Toate punctele de pe axele barelor cu excepția celor din
icircncastrare (secțiunile A) au deplasări liniare De cele mai multe ori deformațiile barelor
datorate acțiunii forțelor exterioare se anulează la icircndepărtarea forțelor se spune că
deformațiile sunt elastice Secțiunile transversale ale barei din figura 34a se și rotesc icircn
raport cu pozițiile lor inițiale Spre exemplu secțiunea de căpăt cu centrul icircn C se rotește
cu unghiul
Fig 34 Deformațiile unei grinzi
Oricacirct de complexă ar fi delormația unui corp ea poate fi descrisă de lungiri sau
scurtări și de modificări ale unghiurilor inițiale
Deplasările măsoară schimbarea poziției unui punct al corpului și pot fi liniare
sau unghiulare
Prin deplasare liniară a unui punct se icircnțelege drumul parcurs de acest punct icircn
decursul procesului de deformație după o dreaptă suport dreapta 1198611198611 din figura 34a
Prin deplasare unghiulară se icircnțelege rotirea dintre segmentele de dreaptă
determinate de două puncte ale corpului icircnainte și după deformarea acestuia unghiul
pe care-l fac segmentele 119861119862 și 11986111198621 din figura 34a Această rotire se măsoară prin
unghiul pe care-l fac proiecțiile dreptelor ce conțin cele două segmente icircntr-un sistem
triortogonal
Icircn cazul cel mai general vectorul deplasare liniară se poate descompune icircntr-un
sistem triortogonal icircn trei componente 119906 119907 și 119908 figura 35
Fig 35 Deplasarea liniară
Se consideră acum un corp solid raportat la un sistem de axe ortogonal 119909119874119910119911
figura 35 după deformarea corpului un punct oarecare 119870 al acestuia se deplasează icircn
poziţia 1198701 vectorul 1198701198701 poartă numele de vectorul deplasării totale
Deplasarea totală este suma deplasărilor pe cele trei direcţii ortogonale iar
aceste deplasări se notează astfel
deplasarea pe direcţia 119909 cu ∥ 119874119909
deplasarea pe direcţia 119910 cu ∥ 119874119910
deplasarea pe direcţia 119911 cu ∥ 119874119911
Componentele deplasărilor și formeză matricea deplasărilor liniare 119906119907119908
322 Deformații
Prin deformație icircn general se icircnțelege orice schimbare de formă a unui corp fără
o evaluare cantitativă Icircn Rezistența Materialelor deformația măsoară variația
dimensiunilor geometrice ale corpului considerat din vecinătatea unui punct analog
deplasărilor deformațiile pot fi liniare și unghiulare (lunecări)
Fig 36 Deplasarea liniară
Deformația liniară ∆119897 reprezintă variația lungimii 119897 a unui element liniar al
corpului deformat figura 36 Deformația liniară specifică se definește ca fiind raportul
dintre deformația liniară și lungimea inițială
휀 =∆119897
119897 (38)
unde ∆119897 este lungirea sau scurtarea care este echivalentă cu deformția liniară totală iar
este alungirea
Deformația unghiulară sau lunecarea unui punct 119860 icircn planul 119861119860119862 se definește
prin relația figura 37
120574 = lim119861119860rarr0119862119860rarr0
(119861119860 minus 119861111986011198621 ) (39)
Fig 36 Deformația unghiulară
Schimbacircnd orientarea planului care trece prin 119860 se obțin alte deformații
unghiulare Dacă elementele liniare 119861119860 și 119862119860 sunt inițial perpendiculare deformația 120574 se
numește deformație unghiulară specifică sau lunecare specifică figura 37
Un exemplu de deplasare unghiulară și de deformație unghiulară este prezentat icircn
figura 38 Unghiul este deplasarea unghiulară și măsoară rotirea relativă dintre două
secțiuni aflate la distanța 119897 Unghiul este deformația specifică unghiulară (lunecarea
specifică) din punctul 119870 Aceste deplasări și deformații se obțin icircn urma solicitării barei
de către cele două momente 1198720 egale și de sens contrar
Fig 38 Deplasarea unghiulară
Pentru a analiza starea de deformație din vecinătatea unui punct al unui corp
solicitat complex se decupează din jurul punctului un element de volum mic figura 39a
avacircnd laturile 119889119909 119889119910 și 119889119911 Ca urmare a solicitării laturile acestuia se vor lungi sau
scurta Reprezentarea elementului deformat icircn spațiu este dificilă pentru simplificare
vom analiza doar deformațiile din planul 119909119874119910 Observăm că dimensiunile 119889119909 și 119889119910 s-au
modificat cu valoarea ∆119889119909 respectiv cu ∆119889119910 analog se acceptă și pentru 119889119911 o modificare
de forma ∆119889119911 Astfel se pot defini deformațiile specifice liniare
휀119909 =∆119889119909
119889119909 휀119910 =
∆119889119910
119889119910 휀119911 =
∆119889119911
119889119911 (310)
De cele mai multe ori aceste deformații specifice liniare se pot exprima procentual
și se mai numesc alungiri
Fig 39 Starea de deformație
Icircn figura 39c se vede că unghiul inițial drept dintre muchiile 119889119909 și 119889119910 ale
elementului de volum s-a modificat Se definește deformația specifică unghiulară (sau
lunecarea specifică) mărimea cu care se modifică unghiul inițial drept
120574119909119910 = 120574119909119910prime + 120574119910119909
prime = 120574119910119909120574119910119911 = 120574119910119911
prime + 120574119911119910prime = 120574119911119910
120574119911119909 = 120574119911119909prime + 120574119909119911
prime = 120574119909119911
(311)
Deformațiile 휀119909 휀119910 휀119911 120574119909119910 120574119910119911 120574119911119909 constituie cele șase componente
independente ale tensorului deformațiilor specifice care pot fi scrise de forma
119863 =
휀119909 120574119909119910 120574119909119911120574119910119909 휀119910 120574119910119911120574119911119909 120574119911119910 휀119911
(312)
323 Contracţia transversală
Practica arată că odată cu lungirea unei bare apare o micşorare a mărimii secţiunii
transversale mărime numită contracţie transversală figura 310
Fig 310 Contracția transversală
Contracţia transversală este proporţională cu lungirea specifică coeficientul de
proporţionalitate se notează cu 120599 şi se numeşte coeficient de contracţie transversală sau
coeficientul lui Poisson
La o lungire specifică a barei contracţia transversală este dată de relația
휀119905119903 = 휀119910 = 휀119911 = minus120599 ∙ 휀119909 (313)
Semnul minus bdquo-rdquo arată că cele două mărimi sunt contrare dacă una creşte cealaltă
scade şi invers
Considerăm o bară cilindrică de lungime 119897 şi aria secţiunii transversale 119860 solicitată
la icircntindere axială La un moment dat datorită solicitării lungimea barei devine
[119897 ∙ (1 + 휀)] diametrul devine [119889 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)] iar aria secţiunii transversale devine
[119860 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)2] Dacă volumul barei icircnainte de solicitare a fost (119860 ∙ 119897) după solicitare
acesta devine
119881 + ∆119881 = 119860 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)2 ∙ 119897 ∙ (1 + 휀) =
= 119860 ∙ 119897 ∙ (1 + 휀 minus 2 ∙ 120599 ∙ 휀 minus 2 ∙ 120599 ∙ 휀2 + 1205992 ∙ 휀2 + 1205992 ∙ 휀3) (314)
Deoarece lungirile sunt foarte mici ultimii trei termeni din paranteză fiind infinit mici se pot neglija obţinacircnd
119881 + ∆119881 = 119860 ∙ 119897 + 119860 ∙ 119897 ∙ 휀 ∙ (1 minus 2 ∙ 120599) ⟺ ∆119881 = 휀 ∙ (1 minus 2 ∙ 120599) ∙ 119860 ∙ 119897 (315)
Practica arătă că o astfel de bară solicitată la icircntindere icircşi măreşte volumul deci
∆119881 gt 0 de unde rezultă că
1 minus 2 ∙ 120599 gt 0 rArr 120599 lt 05 (316)
Pentru majoritatea materialelor 120599 = 033 iar pentru materialele care-şi păstrează
volumul constant 120599 = 05
33 Relaţii de echivalenţă icircntre eforturi şi tensiuni
Considerăm un element de suprafață infinit mic 119889119860 situat pe fața de arie (119860) a
secțiunii barei din figura 311 Icircn centrul de greutate 119862 al secțiunii acționează eforturile
119873 119879119910 119879119911 119872119909 119872119894119910 și 119872119894119911 determinate prin metoda secțiunilor
Icircn raport cu un sistem de axe de referință 119909119862119910119911 coordonatele elementului 119889119860 sunt
- 119910 este ordonata elementului de arie 119889119860
- 119911 este abscisa elementului de arie 119889119860
Pe elementul de arie 119889119860 acționează tensiunile
120590119909 tensiunea normală
120591119909119910 și 120591119909119911 tensiuni tangențiale
Dacă se icircnsumează forțele elementare de tipul 120590119909 ∙ 119889119860 120591119909119910 ∙ 119889119860 și 120591119909119911 ∙ 119889119860
va trebui să obținem eforturile 119873 119879119910 și 119879119911
Fig 311 Element de suprafață mic din secțiunea unei bare
Dacă eforturile sunt privite ca forțe exterioare și se scriu ecuațiile de
echilibru ale secțiunii (119860) se vor obține șase relații de echivalență icircntre eforturi și
tensiuni
(sum119883) = 0 rArr int 120590119909 ∙ 119889119860
119860
= 119873 (317)
(sum119884) = 0 rArr int 120591119909119910 ∙ 119889119860
119860
= 119879119910 (318)
(sum119885) = 0 rArr int 120591119909119911 ∙ 119889119860
119860
= 119879119911 (319)
(sum119872)119909= 0 rArr int(120591119909119911 ∙ 119889119860) ∙ 119910
119860
minus int(120591119909119910 ∙ 119889119860) ∙ 119911
119860
= 119872119909 rArr
rArr int(119910 ∙ 120591119909119911 minus 119911 ∙ 120591119909119910) ∙ 119889119860
119860
= 119872119909
(320)
(sum119872)119910= 0 rArr int(120590119909 ∙ 119889119860) ∙ 119911
119860
= 119872119894119910 (321)
(sum119872)119911= 0 rArr int(120590119909 ∙ 119889119860) ∙ 119910
119860
= 119872119894119911 (322)
Cele șase relații de echivalență icircntre eforturi și tensiuni constituie un pas icircnainte
icircn rezolvarea unei probleme de rezistența materialelor Aceste relații vor permite
determinarea tensiunilor maxime
Pentru a rezolva cele 6 relații de echivalență trebuie să se cunoască tensiunile și
ca funcții de punct adică funcții de forma
120590119909 = 120590119909(119909 119910 119911) 120591119909119910 = 120591119909119910(119909 119910 119911) 120591119909119911 = 120591119909119911(119909 119910 119911) (32
3)
Cunoașterea acestor funcții presupune icircnsă analizarea aspectului geometric al
problemei precum și utilizarea unor ipoteze simplificatoare care să permită simplificarea
problemelor
34 Ipoteze de bază icircn rezistenţa materialelor
Depășirea dificultăților legate de interpretarea unor fenomene specifice mecanicii
solidului deformabil a impus acceptarea unor ipoteze care să simplifice fenomenele și să
contribuie la elaborarea unor modele de calcul cicirct mai generale și cacirct mai simple Aceste
ipoteze se referă la structura materialelor şi la comportarea lor sub acţiunea forţelor
exterioare Ipotezele acceptate trebuie să fie icircn deplină concordanţă cu realitatea și să
conducă la rezultate verificate icircn practică
Funcție de aspectele la care se referă ipotezele pot fi
Ipoteze fizice (de material)
Ipoteze de calcul
341 Ipoteze fizice
Se acceptă deoarece teoriile structurale au condus la rezultate care contravin
icircncercărilor experimentale
Ipoteza mediului continuu consideră că orice domeniu elementar al corpului
este ocupat de materie adică nu se acceptă existența unor goluri sau a unor crăpături
microscopice (fisuri) Deși nu corespunde realităţii poate fi acceptată deoarece
dimensiunile corpului sunt mult mai mari decacirct dimensiunile particulelor elemantare Are
avantajul că permite utilizarea proprietăților matematice ale funcțiilor continue pentru
tensiunile și deformațiile din orice punct al corpului Ea este mai apropiată de realitate la
corpurile amorfe şi mai depărtată la cele cristaline dar conduce la rezultate satisfăcătoare
icircn calculele de rezistenţă
Ipoteza nu se poate aplica la corpurile care au goluri tăieturi (multiplu conexe)
pentru unele puncte singulare icircn care tensiunile și deformațiile tind la infinit sau icircn unele
probleme de plasticitate icircn care proprietățile de material au un rol esențial
Ipoteza izotropiei conform acestei ipoteze materialul din care este confecționat
un element de rezistență are aceleași proprietăți după orice direcție un astfel de material
este considerat izotrop Din punct de vedere macroscopic metalele pot fi considerate
izotrope deși la nivel microscopic proprietățile lor diferă de la o direcție cristalografică
la alta Orice conglomerat de cristale poate fi considerat izotrop
Există cazuri cacircnd această ipoteză a izotropiei nu se acceptă
la metalele puternic deformate după o direcție (prin laminare trefilare)
la piesele confecționate din lemn lemnul este anizotrop deoarece proprietățile sale
diferă după două direcții (icircn lungul fibrelor și perpendicular pe această direcție)
Ipoteza omogenității consideră că un corp are aceleași proprietăți icircn orice
punct al său Deși majoritatea materialelor utilizate icircn tehnică sunt eterogene la scară
micro fiind constituite din mai multe faze cu proprietăți diferite la scară macro ele pot
fi considerate omogene Omogenitatea și izotropia sunt proprietăți statistice medii care
nu se condiționează una pe cealaltă Chiar și materialele monofazice pot avea la scară
micro unele segregații care le fac eterogene
Ipoteza elasticităţii perfecte presupune că atacircta timp cacirct solicitările nu
depăşesc anumite limite materialul are o comportare elastică adică icircşi recapătă forma şi
dimensiunile iniţiale odată cu icircnlăturarea sarcinilor Icircn realitate materialele nu prezintă o
elasticitate perfectă ele avacircnd deformaţii remanente mici care icircnsă pot fi neglijate icircn
calculele de rezistenţă
Acceptarea acestei ipoteze a elasticității perfecte permite
- aplicarea relației biunivoce icircntre tensiuni și deformații relație exprimată de legea
lui Hooke ( = 119864 ∙ 휀) unde E este un factor de proporţionalitate numit modul de
elasticitate longitudinal al materialului pentru oţel 119864 = 21 ∙ 105 [119872119875119886] - acceptarea valabilității afirmației bdquolucrul mecanic efectuat de forțele exterioare
ca urmare a parcurgerii deplasărilor punctelor de aplicație se icircnmagazinează integral icircn
corp sub formă de energie de deformație energie cedată la icircndepărtarea sarcinilorrdquo
- este valabilă teoria conform căreia bdquoenergia icircnmagazinată și deformațiile depind
doar de starea inițială și finală de eforturi fără a ține cont de modul icircn care s-a ajuns la
starea finalărdquo
Icircn realitate oricacirct de mici ar fi sarcinile aplicate se produc și deformații plastice
dar acestea pot fi neglijate dacă solicitarea nu depășește anumite limite
342 Ipoteze de calcul
Ipoteza micilor deplasări bdquodeplasările datorate deformării sunt mult mai mici
decacirct dimensiunile corpurilor și ca urmare pot fi neglijate produsele dintre o deplasare și
ea icircnsăşirdquo Pentru cele mai multe corpuri deformaţiile elastice sunt de mărimi mici deci
corpurile solide sub acţiunea sarcinilor icircşi modifică foarte puţin forma iniţială Această
ipoteză este cunoscută şi sub denumirea de ipoteza menţinerii dimensiunilor iniţiale Ea
permite scrierea ecuaţiilor de echilibru ale staticii pe starea nedeformată a elementului
cacircnd nu se iau icircn considerare deplasările punctelor de aplicaţie ale forţelor care se produc
ca urmare a deformării acestuia Calculul efectuat pe schema nedeformată poartă numele
de calcul de ordinul I
Ipoteza micilor deplasări nu poate fi acceptată pentru studiul problemelor de
stabilitate sau la problemele la care nu pot fi icircndeplinite condiţiile de echilibru icircn starea
nedeformată
Calculul de ordinul II admite ipoteza micilor deplasări dar ecuaţiile de echilibru
se scriu icircnsă pentru starea deformată a elementului de rezistenţă
Calculul de ordinul III nu mai acceptă ipoteza micilor deplasări el referindu-se
la cazul deformaţiilor mari cacircnd ecuaţiile de echilibru trebuie scrise pentru starea
deformată
Chiar dacă materialul satisface legea lui Hooke icircn urma calculelor de ordinul II
se obţin de obicei relaţii neliniare icircntre sarcini şi deplasări iar pentru calculul de ordinul
III rezultă ecuaţii diferenţiale neliniare
Principiul efectului local al acțiunii sarcinilor enunțat de Barre de Saint-
Venant Acest principiu destul de folosit icircn Rezistenţa Materialelor precizează că dacă
se icircnlocuiesc forţele care acţionează asupra unui element de suprafață al unui corp
elastic printr-un alt sistem de forţe echivalent din punct de vedere static cu primul noua
distribuţie a forţelor produce la locul de aplicare diferenţe semnificative faţă de prima
dar rămacircne fără efect sau cu efect neglijabil la distanţe mari de locul de aplicare al
forţelor figura 312
Ca o cosecință o sarcină uniform distribuită figura 312a poate fi icircnlocuită cu
rezultanta ei figura 312b dacă se analizează efectul sarcinii la distanță mare de locul icircn
care se aplică sarcina
Fig 312 Principiul Saint-Venant
Icircn prima variantă figura 312a forţa 119865 se aplică pe o porțiune oarecare 119897 (sarcină
uniform distribuită) iar icircn a doua figura 312b icircntru-un punct (forţă concentrată) La
locul de aplicare a sarcinii efectul asupra barei este cu totul diferit de la o variantă la
cealaltă Icircnsă la o distanţă mare de punctul de aplicaţie spre exemplu icircn secţiunea situată
la distanţa 119886 de capătul barei sau chiar icircn icircncastrare ambele bare sunt solicitate la fel
Icircn cazul din figura 312a
119872119894(119909) =119901 ∙ 1199092
2 119909 le 119897 119872119894(119909) = 119901 ∙ 119897 ∙ (119909 minus
119897
2) 119909 gt 119897 (324)
Icircn cazul din figura 312b
119872119894(119909) = 0 119909 lt119897
2 119872119894(119909) = 119901 ∙ 119897 ∙ (119909 minus
119897
2) 119909 gt
119897
2 (325)
Se vede că pentru (119909 gt 119897) adică după depășirea locului icircn care se aplică sarcina
efectul este același
Ipoteza lui Bernoulli sau ipoteza secţiunilor plane precizează că o secţiune
plană şi normală pe axa barei icircnainte de deformare rămacircne plană şi normală pe axa
barei şi după deformare figura 313
Fig 313 Ipoteza lui Bernoulli
Ipoteza stării naturale a corpului sau ipoteza absenţei tensiunilor conform
căreia pentru un corp nesolicitat starea de tensiune şi deformaţie este nulă
Perfecţionarea mijloacelor de calcul şi de investigare pot conduce la renunţarea la
unele ipoteze sau la introducerea altora noi mai aproape de stările reale De aici rezultă
caracterul de continuă perfecţionare a metodelor Rezistenţei Materialelor
35 Coeficienţi de siguranţă Tensiuni admisibile
O piesă corespunde din punct de vedere tehnic dacă tensiunile care iau naştere icircn
interiorul piesei datorită sarcinilor aplicate nu depăşesc anumite valori limită stabilite
convenţional Aceste valori limită ale tensiunii sunt corelate cu caracteristicile mecanice
ale materialelor
Tensiunea limită utilizată icircn calculele de rezistenţă este cunoscută sub denumirea
de tensiune admisibilă sau rezistenţă admisibilă Rezistenţa admisibilă reprezintă
valoarea convenţională aleasă icircn calcul pe baza practicii pentru tensiunea maximă care
poate apare icircntr-o piesă icircn condiţii date de material şi solicitare
Rezistenţa admisibilă (120590119886 sau 120591119886) poate fi definită faţă de o stare limită
periculoasă stare care trebuie evitată deoarece poate conduce distrugere
120590119886 =120590119897119894119898119888
(326)
unde
120590119897119894119898 este tensiunea corespunzătoare stării limită periculoase
119888 estesupraunitar 119888 gt 1 și reprezintă coeficientul de siguranţă faţă de starea limită
periculoasă considerată
Alegerea unor valori inferioare pentru rezistenţa admisibilă faţă de tensiunea
corespunzătoare stării limită periculoase este necesară deoarece
cunoaşterea sarcinilor este de cele mai multe ori aproximativă şi o depăşire a
acestora este foarte posibilă
caracteristicile mecanice ale materialelor variază icircn limite destul de mari ele
fiind influenţate de mulţi factori
schema aleasă pentru calcul (aplicarea sarcinilor schematizarea structurii
ipotezele de calcul etc) depărtează modelul faţă de cel real
Pentru calculele de verificare tensiunea efectivă maximă din elementul de
rezistenţă trebuie să fie mai mică sau cel mult egală cu cea admisibilă
120590119890119891119898119886119909 le 120590119886 (327)
Valoarea rezistenţei admisibile este influenţată de foarte mulţi factori natura
materialului tratamentele termice aplicate piesei durata de funcţionare a piesei modul
de acţionare icircn timp a sarcinilor felul solicitării temperatura gradul de periculozitate
icircn cazul cedării piesei etc
De asemenea valoarea coeficientului de siguranţă se alege icircn principal ţinacircnd
seama de aceiaşi factori care influenţează şi rezistenţa admisibilă
Rezistenţele admisibile pentru cacircteva materiale sunt următoarele
pentru oțelul de uz general OL37 solicitat la icircntindere compresiune sau
icircncovoiere 120590119886 = 150 [119872119875119886] pentru lemnul de brad solicitat la
- compresiune icircn lungul fibrelor şi solicitat la icircncovoiere 120590119886 = 10 [119872119875119886] - tracţiune icircn lungul fibrelor 120590119886 = 7 [119872119875119886] - compresiune perpendiculară pe fibre 120590119886 = 15 [119872119875119886] - forfecare icircn lungul fibrelor 120591119886 = 2 [119872119875119886] - forfecare perpendiculară pe fibre 120590119886 = 45 [119872119875119886]
terenuri de fundaţie din pămacircnt uscat sau umed 120590119886 = 020 divide 025 [119872119875119886]
4 CARACTERISTICI GEOMETRICE ALE SECȚIUNILOR PLANE
41 Noţiuni introductive
Icircn relaţiile de calcul ale tensiunilor şi deformaţiilor elementelor de rezistenţă
pentru unele solicitări (icircncovoierea și torsiunea) secțiunile plane intervin atacirct prin
dimensiunile lor (aria 119860) cicirct și prin forma și poziția pe care o are secțiunea icircn raport cu
planul solicitării Mărimile care caracterizează o secțiune icircn raport cu forma și poziția față
de axele unui sistem de referință sunt denumite caracteristici geometrice de ordin
superior Aria secțiunii este caracteristica geometrică ce depinde doar de dimensiunile
geometrice ale acesteia
Să considerăm o grindă solicitată de o forță exterioară 119865 aşezată icircn două poziții icircn
raport cu planul forţei figura 41 Icircn urma aplicării forței deși avem aceeași grindă
(aceeași arie a secțiunii transversale) și aceeași forță se constată că pentru varianta din
figura 41a deformațiile sunt mult mai mari adică rezistența la icircncovoiere a grinzii din
figura 41a este mai mare decacirct icircn cazul grinzii din figura 41b Comportarea diferită se
explică prin aceea că modificarea poziţiei secţiunii transversale faţă de planul forţelor
modifică caracteristicile geometrice ale secţiunii transversale a grinzii
Fig 41 Grindă solicitată de forța 119865
Pentru realizarea calculelor de rezistenţă şi rigiditate este foarte importantă
cunoaşterea caracteristicilor geometrice ale suprafeţei secţiunii transversale a elementelor
de rezistenţă
Caracteristicile geometrice ale secţiunii transversale a unui element de rezistenţă
sunt
- aria secțiunii notată cu 119860
- momentul static icircn raport cu o axă notat 119878119911 și respectiv 119878119910
- momentul de inerție care poate fi
axial notat 119868119911 și respectiv 119868119910
centrifugal notat 119868119911119910
polar notat 119868119901
- raza de inerţie (giraţie)notată 119894119911 și respectiv 119894119910
- modulul de rezistență care poate fi
axial notat 119882119911 și respectiv 119882119910
polar notat 119882119901
42 Aria și momentul static al suprafețelor plane
Fie o suprafaţă plană de arie 119860 pe care se ia un element infinit mic de arie 119889119860 şi
un sistem de axe rectangulare 119911119874119910 figura 42 Notăm cu 119862 centrul de greutate al suprafeţei
119860 Poziţia suprafeţei elementare 119889119860 faţă de acelaşi sistem de coordonate 119911119874119910 este dată
de abscisa 119911 ordonata 119910 și raza polară
Fig 42 Suprafață plană de arie 119860
Aria suprafeţei 119860 figura 42 se defineşte ca fiind
119860 ≝ int 119889119860
119860
(41)
Aria suprafeţei este icircntotdeauna pozitivă și se măsoară icircn [1198981198982] Momentul static al suprafeţei de arie 119860 icircn raport cu axele 119874119911 și respectiv 119874119910
figura 42 sunt date de relaţiile
119878119911 ≝ int 119910 ∙ 119889119860
119860
119878119910 ≝ int 119911 ∙ 119889119860
119860
(42)
Momentul static poate fi pozitiv negativ sau nul şi se măsoară icircn [1198981198983] Coordonatele centrului de greutate ale suprafeței 119860 se detrmină cu relațiile
119910119862 ≝int 119910 ∙ 119889119860119860
119860 119911119862 ≝
int 119911 ∙ 119889119860119860
119860
(43)
Cunoscacircnd coordonatele 119910119862 și 119911119862 ale centrului de greutate 119862 al secțiunii 119860 atunci
momentele statice se pot determina cu relațiile
119878119911 ≝ int 119910 ∙ 119889119860
119860
= 119910119862 ∙ 119889119860 119878119910 ≝ int 119911 ∙ 119889119860
119860
= 119911119862 ∙ 119889119860 (44)
Aceste relații arată că momentul static al unei suprafețe icircn raport cu o axă este
egal cu produsul dintre aria suprafeței și distanța de la centrul ariei la axa respectivă
Dacă suprafaţa se poate descompune icircn 119899 suprafeţe simple la care se cunosc ariile
(1198601 1198602 ⋯ 119860119894⋯ 119860119899) și poziţiile centrelor de greutate 119862119894 faţă de sistemul de referinţă
expresiile momentelor statice capătă următoarea formă
119878119911 = sum 119910119862119894 ∙ 119860119894119899119894=1 = 119910119862 ∙ 119860 119878119910 = sum 119911119862119894 ∙ 119860119894
119899119894=1 = 119911119862 ∙ 119860 (45)
Din relaţiile (45) rezultă că poziţia centrului de greutate 119862 al unei suprafeţe
compuse poate fi determinată cu relaţiile
119910119862 = (sum119910119862119894 ∙ 119860119894
119899
119894=1
) 119860frasl 119911119862 = (sum119911119862119894 ∙ 119860119894
119899
119894=1
) 119860frasl (46)
Icircn relația (45) 119910119862119894 și respectiv 119911119862119894 reprezintă coordonatele centrelor de greutate 119862119894
ale fiecărei suprafețe simple 119860119894 icircn raport sistemul de axe 119911119874119910
Se constată (relaţia 42) că dacă axele sistemului de referinţă trec prin centrul de
greutate (119910119862 = 119911119862 = 0) momentele statice sunt nule Axele icircn raport cu care momentele
statice sunt nule şi care trec prin centrul de greutate al suprafeţei se numesc axe centrale
Observație dacă secțiunea compusă are o axă de simetrie centrul secțiunii se
găsește pe acea axă iar dacă secțiunea este dublu simetrică poziția centrului secțiunii este
la intersecția axelor de simetrie
43 Momente de inerţie
Momentele de inerţie axiale ale unei suprafețe se calculează icircn raport cu axele de
coordonate 119874119911 și respectiv 119874119910 figura 42 și se determină cu relațiile
119868119911 ≝ int 1199102 ∙ 119889119860
119860
119868119910 ≝ int 1199112 ∙ 119889119860
119860
(47)
Unde 119910 și 119911 sunt distanțele de la elementul de arie 119889119860 la cele două axe de
coordonate 119874119911 și respectiv 119874119910
Momentele de inerţie axiale se măsoară icircn [1198981198984] şi sunt icircntotdeauna pozitive (aria
119889119860 este icircntotdeauna pozitivă și este multiplicată cu patratul distanței 1199102 dacă 119868119911 sau 119868119910
sunt nule icircnseamnă ca secțiunea nu există)
Momentele de inerție axiale se calculează icircndeosebi pentru axele centrale (care
trec prin centrul secțiunii) deoarece icircn raport cu acele axe 119868119911 și 119868119910 au valori minime
Momentul de inerţie centrifugal calculat faţă ambele axe ale sistemului de
referinţă 119911119874119910 este definit de relația
119868119911119910 ≝ int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860
(48)
Momentul de inerţie centrifugal se măsoară icircn [1198981198984] şi poate fi pozitiv negativ
sau nul
Momentul de ineție centrifugal este nul 119868119911119910 = 0 dacă cel puțin una din axele 119874119911
sau 119874119910 este axă de simetrie pentru secțiune
Se consideră o suprafaţă dreptunghiulară pe care faţă de axa de simetrie 119874119910 se iau
două suprafeţe elementare de arie 119889119860 simetrice faţă de axa 119874119910 figura 43
Fig 43 Suprafață dreptunghiulară cu două arii elementare 119889119860
Făcacircnd suma momentelor de inerţie centrifugale pentru cele două suprafeţe
elementare 119889119860 (din stacircnga şi din dreapta faţă de axa 119874119910) se obţine
int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860119889119903
+ int (minus119911) ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860119904119905119892
= int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860119889119903
minus int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860119904119905119892
= 0 (49)
Acelaşi raţionament se poate face și pentru icircntreaga suprafaţă de unde obținem că
momentul de inerție centrifugal este nul 119868119911119910 = 0 Deci pentru o suprafaţă plană care
are cel puţin o axă de simetrie momentul de inerţie centrifugal faţă de sistemul care
conţine acea axă de simetrie este nul
Momentul de inerţie polar al unei suprafeţei icircn raport cu un punct (pol) 119874 figura
42 este definit prin relaţia
1198680 = 119868119901 ≝ int 1205882 ∙ 119889119860
119860
= int(1199102 + 1199112) ∙ 119889119860
119860
= 119868119911 + 119868119910 (410)
unde este distanţa de la polul 119874 la elementul de arie 119889119860 Momentul de inerţie polar se
măsoară icircn [1198981198984] şi este totdeauna pozitiv
Momentul de inerţie polar este egal cu suma momentelor de inerţie faţă de două axe
perpendiculare oarecare şi care trec prin polul considerat
Razele de giraţie sau razele de inerţie sunt mărimi calculate icircn raport cu axele
secțiunii și definite de relaţiile
119894119911 ≝ radic119868119911119860 119894119910 = radic
119868119910
119860 (411)
Se exprimă icircn [119898119898] şi sunt icircntotdeauna pozitive Semnificația unei raze de inerție
este distanța la care dacă ar fi concentrată icircntreaga arie s-ar obține același moment de
inerție ca și cel calculat pentru aria reală
44 Modulul de rezistenţă
Modulul de rezistență se calculează icircn raport cu axele de referință sau icircn raport cu
un pol figura 42 și pot fi axiale (119882119911119882119910) sau polar (119882119901) și se determină numai pe baza
momentelor de inerţie cu relațiile figura 43
119882119911119898119894119899 ≝119868119911119910119898119886119909
119882119911119898119886119909 ≝119868119911119910119898119894119899
(412)
119882119910119898119894119899 ≝119868119910
119911119898119886119909 119882119910119898119886119909 ≝
119868119910
119911119898119894119899 (413)
119882119901 ≝119868119901
120588119898119886119909 (414)
unde
119910119898119886119909 119910119898119894119899 reprezintă distanţa de la axa 119874119911 la punctele extreme cele mai
depărtate respectiv cele mai apropiate ale suprafeţei de această axă
119911119898119886119909 119911119898119894119899 reprezintă distanţa de la axa 119874119910 la punctele extreme cele mai
depărtate respectiv cele mai apropiate ale suprafeţei de această axă
120588119898119886119909 reprezintă distanța maximă de la polul 119874 la punctul secțiunii cel mai
icircndepărtat de acesta
Fig 43 Suprafață dreptunghiulară cu două arii elementare 119889119860
Modulele de rezistenţă se exprimă icircn [1198981198983] şi sunt icircntotdeauna pozitive
Explicația este aceea că momentele de inerție care intră icircn relațiile de definiție sunt
pozitive iar distanțele la punctele extreme sunt pozitive (119910119898119886119909 119910119898119894119899 119911119898119886119909 119911119898119894119899 120588119898119886119909 se
iau icircn valoare absolută)
Icircn cazul suprafeţelor compuse modulul de rezistenţă nu se obţine prin icircnsumarea
algebrică a modulelor de rezistenţă ale suprafeţelor simple componente ci numai prin
intermediul momentului de inerţie axial calculat pentru icircntreaga secțiune
Ca și momentele de inerție modulele de rezistență se calculează numai pentru
sistemele de axe centrale
45 Momente de inerţie şi module de rezistenţă pentru suprafeţe simple
451 Secțiune dreptunghiulară
Fie suprafaţa dreptunghiulară din figura 44 de icircnălțime ℎ și lățime 119887 pe care se
consideră suprafaţă elementară de arie 119889119860 = 119887119889119910 la distanța 119910 de axa 119862119911 sistemul de
axe 119911119862119910 trece prin centrul secțiunii iar axele sunt axe de simetrie pentru dreptunghi
Fig 44 Suprafață dreptunghiulară
Pe baza relațiilor de definiți a momentului de inerție 119868119911 se obține
119868119911 ≝ int 1199102 ∙ 119889119860
119860
= int 1199102 ∙ 119887 ∙ 119889119910 = 2int 1199102 ∙ 119887 ∙ 119889119910 = 2 ∙ 119887 ∙1199103
3|ℎ 2frasl
0rArr
ℎ 2frasl
0
ℎ 2frasl
minusℎ 2frasl
rArr 119868119911 =119887 ∙ ℎ3
12
(415)
Analog pentru un element de arie 119889119860 = ℎ ∙ 119889119911 paralel cu axa 119862119910 situat la distanța
119911 de axa 119862119910
119868119910 ≝ int 1199112 ∙ 119889119860
119860
= int 1199112 ∙ ℎ ∙ 119889119911 = 2int 1199112 ∙ ℎ ∙ 119889119910 = 2 ∙ ℎ ∙1199113
3|119887 2frasl
0rArr
119887 2frasl
0
119887 2frasl
minus119887 2frasl
rArr 119868119910 =1198873 ∙ ℎ
12
(416)
Deoarece axele 119862119911 și 119862119910 sunt axe de simetrie momentul de inerție centrifugal este
119868119911119910 = 0 (417)
Pentru un pătrat avacircnd laturile egale (ℎ = 119887 = 119886) momentele de inerţie faţă de
axele centrale au expresia
119868119911 = 119868119910 =1198864
12 (418)
Modulele de rezistență axiale se calculează cu relațiile de definiție ținacircnd cont că
distanțele pacircnă la fibrele extreme sunt
119910119898119886119909 = 119910119898119894119899 =ℎ
2 119911119898119886119909 = 119911119898119894119899 =
119887
2 (419)
Obținem
119882119911119898119894119899 = 119882119911119898119886119909 =119868119911
119910119898119886119909119898119894119899=119887 ∙ ℎ3
12frasl
ℎ2frasl
=119887 ∙ ℎ2
6
119882119910119898119894119899 = 119882119910119898119886119909 =119868119910
119911119898119886119909119898119894119899=1198873 ∙ ℎ
12frasl
1198872frasl
=1198872 ∙ ℎ
6
(420)
452 Suprafaţă circulară
Din motive de simetrie pentru suprafeţele circulare momentele de inerţie faţă de
orice diametru (care reprezintă şi axe centrale) sunt aceleaşi
Considerăm o secțiune circulară plină cu diametrul 119889 și centrul de greutate 119862 Prin
centrul de greutate 119862 trece sistemul de axe ortogonal 119911119862119910 figura 45
Fig 45 Suprafață circulară
La distanța de centrul de greutate 119862 vom lua un element de suprafață mic de arie
(119889119860) de forma unui inel de grosime 119889 Elementul de arie 119889119860 are expresia
119889119860 = (2 ∙ 120587 ∙ 120588) ∙ (119889120588)
Pornind de la relația de definiție a momentului de inerție polar obținem
119868119901 ≝ int 1205882 ∙ 119889119860
119860
= int 1205882 ∙ (2 ∙ 120587 ∙ 120588) ∙ 119889120588
119903=119889 2frasl
0
= 2 ∙ 120587 ∙1205884
4|119889 2frasl0 rArr
rArr 119868119901 =120587 ∙ 1198894
32
(421)
Secțiunea este perfect simetrică deci sunt valabile relațiile
119868119911 = 119868119910 rArr 119868119901 = 119868119911 + 119868119910 = 2 ∙ 119868119911 = 2 ∙ 119868119910 =119868119901
2=120587 ∙ 1198894
64 (422)
Și modulele de rezistenţă faţă de orice diametru sunt egale şi se calculează cu
relaţiile
119882119911 = 119882119910 =1198681199111198892frasl=120587 ∙ 1198893
32 (423)
Modulul de rezistenţă polar este
119882119901 =1198681199011198892frasl=120587 ∙ 1198893
16 (424)
453 Secţiune inelară
Calculul momentelor de inerţie axiale pentru o secţiune inelară avacircnd diametrul
interior 119889 şi diametrul exterior 119863 se determină analog pentru suprafaţa circulară plină cu
observaţia că integrala pentru calculul momentului de inerție polar 119868119901 se face icircntre
limitele 119903 = 119889 2frasl şi R= 1198632frasl (icircntre raza interioară 119903 şi raza exterioară 119877) figura 46
Se obţin relaţiile
119868119901 =120587 ∙ 1198634
32∙ [1 minus (
119889
119863)4
] =120587 ∙ 1198634
32∙ (1 minus 1198964) (425)
119868119910 = 119868119910 =120587 ∙ 1198634
64∙ [1 minus (
119889
119863)4
] =120587 ∙ 1198633
64∙ (1 minus 1198964) (426)
Fig 46 Secțiune inelară
119882119901 =120587 ∙ 1198633
16∙ [1 minus (
119889
119863)4
] =120587 ∙ 1198633
16∙ (1 minus 1198964) (427)
119882119911 = 119882119910 =120587 ∙ 1198633
32∙ [1 minus (
119889
119863)4
] =120587 ∙ 1198633
32∙ (1 minus 1198964) (428)
unde 119896 = 119889119863frasl
46 Variaţia momentelor de inerţie faţă de axe paralele
( Relațiile lui STEINER)
Se consideră o suprafaţă oarecare de arie 119860 cu elementul de arie 119889119860 și un sistemul
de axe central 119911119862119910 faţă de care se cunosc momentele de inerţie 119868119911 119868119910 119868119911119910 şi considerăm
un sistem de axe 11991111198741199101 paralele cu sistemul central figura 47 Se pune problema
determinării momentele de inerţie 1198681199111 1198681199101 11986811991111199101 faţă de sistemul de axe paralel cu sistemul
central 11991111198741199101 axe aflate la distanţele 119910119862 = 119888 respectiv 119911119862 = 119889 de acesta
461 Momente de inerţie axiale
Pe baza relaţiilor de definire şi a notaţiilor din figura 42 pentru momentele de
inerţie faţă de axele 1198741199111 1198741199101 se poate scrie
1198681199111 = int 11991012 ∙ 119889119860
119860
= int(119910 + 119888)2 ∙ 119889119860
119860
= int 1199102 ∙ 119889119860
119860
+ 2 ∙ 119888 ∙ int 119910 ∙ 119889119860
119860
+
+1198882int 119889119860
119860
rArr 1198681199111 = 119868119911 + 2 ∙ 119888 ∙ 119878119911 + 1198882 ∙ 119860 hArr 1198681199111 = 119868119911 + 119888
2 ∙ 119860
(429)
Fig 47 Variaţia momentelor de inerţie față de axe paralele
S-a ajuns la relația (429) deoarece momentul static 119878119911 este nul deoarece axa 119862119885
este axă centrală
Pentru momentul de inerție axial icircn raport cu axa 1198741199101 se obține
1198681199101 = int 11991112 ∙ 119889119860
119860
= int(119911 + 119889)2 ∙ 119889119860
119860
= int 1199112 ∙ 119889119860
119860
+ 2 ∙ 119889 ∙ int 119911 ∙ 119889119860
119860
+
+1198892 ∙ int 119889119860
119860
rArr 1198681199101 = 119868119910 + 2 ∙ 119889 ∙ 119878119910 + 1198892 ∙ 119860 hArr 1198681199101 = 119868119910 + 119889
2 ∙ 119860
(430)
Pentru momentul de inerție centrifugal obținem
11986811991111199101 = int 1199101 ∙ 1199111 ∙ 119889119860
119860
= int(119910 + 119888) ∙ (119911 + 119889) ∙ 119889119860
119860
= int 119910 ∙ 119911 ∙ 119889119860 +
119860
+119888 ∙ int 119911 ∙ 119889119860
119860
+ 119889 ∙ int 119910 ∙ 119889119860
119860
rArr 11986811991111199101 = 119868119911119910 + 119888 ∙ 119889 ∙ 119860
(431)
Deoarece
int 119911 ∙ 119889119860
119860
= 119878119910 = 0 int 119910 ∙ 119889119860
119860
= 119878119911 = 0 int 119910 ∙ 119911 ∙ 119889119860
119860
= 119868119911119910
Relaţiile (429) şi (430) arată că momentul de inerţie faţă de o axă oarecare
este egal cu momentul de inerţie faţă de o axă paralelă cu ea trecacircnd prin centrul de
greutate la care se adaugă produsul dintre aria suprafeţei şi pătratul distanţei dintre
cele două axe
Din relaţiile (429) și (430) rezultă de asemenea că momentul de inerţie faţă de o
axă centrală (care trece prin centrul de greutate) este cel mai mic dintre infinitatea de
momente de inerţie obținute faţă de alte axe paralele cu ea
Relaţia (431) arată de asemenea că momentul de inerţie centrifugal faţă de un
sistem de axe oarecare este egal cu momentul de inerţie centrifugal faţă de un sistem
paralele cu el trecacircnd prin centrul de greutate a suprafeţei la care se adaugă produsul
dintre aria suprafeţei şi distanţele dintre axele sistemelor respective
Icircn literatura de specialitate relaţiile (429) (430) şi (431) sunt cunoscute sub
numele de relaţiile lui Steiner
47 Variaţia momentrlor de inerţie faţă de axe rotite
Direcţii principale şi momente de inerţie principale
Fie suprafaţa plană din figura 48 de arie 119860 pe care considerăm o suprafaţă
elementară de arie 119889119860 Pentru sistemul de axe 119911119874119910 se cunosc momentele de inerţie
119868119911 119868119910 119868119911119910 şi vom determina relaţiile de calcul pentru momentele de inerţie afererent unui
sistem de axe 11991111198741199101 rotit cu un unghi faţă de sistemul central
Faţă de sistemul de axe 11991111198741199101 elementul de arie 119889119860 are coordonatele
1199101 = 119875119877 = 119875119876 minus 119877119876 = 119910 ∙ cos 120572 minus 119911 ∙ sin 120572
1199111 = 119873119872 = 119873119875 minus 119875119872 = 119911 ∙ cos 120572 + 119910 ∙ sin 120572 (432)
Fig 47 Variaţia momentelor de inerţie față de axe rotite
Pe baza relaţiilor de calcul ale momentelor de inerţie şi a notaţiilor din figura 42
şi ale relaţiilor (432) momentele de inerţie faţă de sistemul de axe rotit 11991111198741199101 sunt
1198681199111 =119868119911 + 119868119910
2+119868119911 minus 119868119910
2∙ cos 2120572 minus 119868119911119910 ∙ sin 2120572 (433)
1198681199101 =119868119911 + 119868119910
2minus119868119911 minus 119868119910
2∙ cos 2120572 + 119868119911119910 ∙ sin 2120572 (434)
11986811991111199101 =119868119911 minus 119868119910
2∙ sin 2120572 + 119868119911119910 ∙ cos 2120572 (435)
Din relaţiile 433divide435 se observă că icircntre momentele de inerţie axiale şi cele
polare există relaţia
1198681199111 + 1198681199101 = 119868119911 + 119868119910 = 119868119901 (436)
adică suma momentelor de inerţie axiale icircn raport cu orice pereche de axe ortogonale
care trec printr-un pol dat este o constantă şi egală cu momentul de inerţie polar
Prin rotirea sistemului de axe din relaţiile 433divide435 rezultă că momentele de inerţie
variază icircnsă suma lor rămacircne constantă deci există o poziţie a sistemului de axe pentru
care momentele de inerţie au valori extreme maxim respectiv minim
471 Direcţii principale de inerţie
Valoarea unghiului 120572 pentru care momentele de inerţie axiale au valori extreme
este
1205721 =1
2∙ 119886119903119888119905119886119899 (minus
2 ∙ 119868119911119910
119868119911 minus 119868119910) (437)
Poziţia celeilalte direcţii este perpendiculară pe cea dată de unghiul 1205721
Din relaţia (437) se constată că faţă de aceste direcţii rotite pentru care momentele
de inerţie axiale prezintă valori extreme momentul de inerţie centrifugal 11986811991111199101este nul
Atunci se poate afirma că momentele de inerţie axiale au valori extreme icircn raport cu
direcţiile faţă de care momentul de inerţie centrifugal este nul Aceste direcţii se numesc
direcţii principale iar momentele de inerţie faţă de aceste direcţii poartă numele de
momente de inerţie principale
Icircn calculele de rezistenţă interesează icircn mod special poziţia direcţiilor principale
care trec prin centrul de greutate al suprafeţei aşa numitele direcţii principale centrale şi
evident momentele de inerţie principale centrale
Direcţiile principale de inerţie se notează cu 1 respectiv 2 Axa principală 1
corespunde direcţiei faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea maximă iar
axa principală 2 pentru direcţia faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea
minimă
472 Momente de inerţie principale
Momentele de inerţie principale se notează cu litera 119868 la care se pune indicele 1
sau 2 după cum valoarea acestuia este maximă sau minimă deci avem un moment de
inerţie principal 1 (notat 1198681) respectiv moment de inerţie principal 2 (notat 1198682)
Expresiile pentru momentele de inerţie principale sunt
11986812 =119868119911 + 119868119910
2plusmn1
2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)
2+ 4 ∙ (119868119911119910)
2 (438)
Dacă momentul de inerţie centrifugal este negativ (119868119911119910 lt 0) direcţia principală
care trece prin primul cadran (definit de sistemul 119911119862119910) este direcţia principală 120783
Pentru suprafeţele cu cel puţin o axă de simetrie direcţiile centrale 119862119911 119862119910 sunt şi
direcții principale de inerţie și evident momentele de inerţie axiale 119868119911 119868119910 sunt momente
de inerţie principale
48 Caracteristici mecanice ale metalelor
Alegerea materialului pentru confecţionarea unei anumite piese se face şi pe baza
aşa numitelor caracteristici mecanice pe care le prezintă materialul Cunoaşterea acestor
caracteristici mecanice are loc numai pe baza unor icircncercări mecanice care să scoată icircn
evidenţă comportarea materialului icircn condiţii de solicitare
Cea mai utilizată icircncercare icircn urma căreia se pun icircn evidenţă caracteristicile
mecanice ale unui material este icircncercarea la tracţiune
481 Icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general
Icircncercarea la tracţiune a oţelului ca de altfel toate icircncercările de materiale este
standardizată
Icircn cele ce urmează se va prezenta numai partea care interesează strict din punct
de vedere al caracteristicilor mecanice ale oţelului
Epruveta de diametru iniţial 1198890 pentru icircncercarea la tracţiune are o porţiune de
lungime 1198710 numită baza de măsurare pe care se măsoară lungirea acesteia sub acţiunea
solicitării
Icircn funcţie de raportul dintre baza de măsurare 1198710 şi diametrul iniţial 1198890 epruvetele
utilizate pentru icircncercări sunt
epruvete normale (scurte) cacircnd 11987101198890 = 5
epruvete lungi cacircnd 11987101198890 = 10
Icircn timpul icircncercării la diferite valori ale forţei 119865 se măsoară lungirea bazei de
măsurare
∆119871 = 120575 = 119871 minus 1198710 (439)
unde
119871 este dimensiunea bazei de măsurare la un moment dat
Curba forţă-lungire (119865 minus ) icircnregistrată icircn urma icircncercării reprezintă curba
caracteristică la tracţiune
La icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general diagrama caracteristică care se
obţine are forma din figura 48
Curba caracteristică la tracţiune depinde de lungimea bazei de măsurare Pentru
icircnlăturarea acestui neajuns curba caracteristică se reprezintă icircn coordonate şi definite
astfel
120590 =119865
1198600 휀 =
120575
1198710 (440)
unde
1198600 este aria iniţială a secţiunii transversale a epruvetei (icircnainte de solicitare) icircn
zona bazei de măsurare
1198600 =120587 ∙ 1198890
2
4
Deoarece mărimile icircn care se reprezintă curba caracteristică la tracţiune sunt
raportate la aria iniţială a secţiunii transversale (mărimi specifice) curba poartă numele
de curbă caracteristică convenţională la tracţiune
Fig 48 Curba caracteristică convenţională la tracțiune
Pe curba caracteristică convenţională la tracţiune figura 48 se pot stabili o serie
de puncte cărora le corespund mai multe mărimi importante
Ordonata punctului A pacircnă unde curba caracteristică convenţională este linie
dreaptă se numeşte limita de proporţionalitate a materialului 120590119901(1205901) Porţiunea 119874119860 este
zona de proporţionalitate a curbei caracteristice pe acest domeniu este valabilă legea lui
Hooke care exprimă o proporţionalitate icircntre tensiune şi deformaţie specifică
120590 = 119864 ∙ 휀 (441)
unde
119864 = reprezintă panta porţiunii liniare a curbei convenționale caracteristice
la tracțiune Caracteristica de material 119864 se numeşte modul de elasticitate longitudinal
(modulul lui Young)
Ordonata punctului 119861 pacircnă unde materialul se comportă perfect elastic adică
după descărcare icircşi recapătă dimensiunea iniţială 1198710 se numeşte limita de elasticitate
120590119890(119877119890) Icircn realitate nici un material nu are comportare perfect elastică sub acţiunea
solicitărilor el capătă deformaţii permanente (remanente plastice)
După punctul 119861 urmează o porţiune 119861119862119863 icircn care cu toate că icircncărcarea
continuă forţa nu mai creşte avacircnd mici oscilaţii icircn jurul unei valori Se spune că icircn
această porţiune materialul curge iar intervalul 119861119862119863 este un palier de curgere Tensiunea
corespunzătoare palierului de curgere se numeşte limită de curgere aparentă 120590119888(119877119888) Limita de curgere aparentă se calculează cu relaţia
120590119888 =1198651198881198600 (442)
unde
119865119888 reprezintă valoarea forţei icircnregistrată icircn momentul curgerii materialului
După punctul 119863 curba caracteristică are un traseu ascendent pacircnă icircn punctul 119864
Porţiunea 119863119864 este numită zonă de icircntărire (ecruisare) Icircn zona de ecruisare unde se
produc deformaţii plastice semnificative legea lui Hooke nu mai este valabilă La
descărcare relaţia dintre tensiunea şi deformaţia specifică este liniară paralelă cu
porţiunea liniară a curbei caracteristice (dreapta 119872119873)
Deformaţia totală (휀119905) are două componente una elastică (휀119890) şi una plastică (휀119901)
Ordonata punctului 119864 reprezintă rezistenţa de rupere 120590119903(119877119898) a materialului
care se poate calcula cu relaţia
120590119903 = 119877119898 =1198651198981198861199091198600
(443)
unde
119865119898119886119909 reprezintă valoarea maximă a forţei icircnregistrată icircn timpul icircncercării
La atingerea valorii 119865119898119886119909 (punctul 119864) icircntr-un anumit loc al epruvetei secţiunea
icircncepe să se micşoreze (se produce gacirctuirea) continuacircnd pacircnă cacircnd se produce ruperea
totală (punctul 119865)
Dacă după ruperea epruvetei cele două părţi rezultate se aşează cap la cap şi se
măsoară dimensiunea bazei de măsurare 119871119906 (lungimea ultimă) se determină alungirea la
rupere sau lungirea specifică la rupere 휀119903
휀119903 =119871119906 minus 11987101198710
=∆119871
1198710=120575
1198710 (444)
De obicei alungirea se exprimă icircn procente şi se notează cu 119860119899 unde 119899 reprezintă
numărul dat de raportul 11987101198890 (epruvete normale 119899 = 5 epruvete lungi 119899 = 10)
119860119899 =119871119906 minus 11987101198710
∙ 100 [] (445)
Altă mărime care se determină la icircncercarea la tracţiune este gacirctuirea la rupere
(exprimată de obicei icircn procente) şi definită de relaţia
119885 =1198600 minus 1198601199061198600
∙ 100 [] (446)
Mărimile determinate limita de proporţionalitate modulul de elasticitate
longitudinal limita de elasticitate limita de curgere aparentă rezistenţa de rupere
alungirea la rupere şi gacirctuirea la rupere sunt cunoscute ca fiind caracteristici mecanice
ale materialului
Din curba caracteristică convenţională observăm faptul că ruperea (punctul 119865 din
figura 48 se produce la o tensiune mai mică decacirct cea corespunzătoare punctului 119864 Dacă
icircnsă forţa din timpul icircncercării s-ar raporta la aria secţiunii din momentul icircnregistrării
forţei (care este mai mică decacirct cea iniţială 1198600) s-ar obţine aşa numita curbă
caracteristică reală a materialului (traseul 1198741198601198611198621198631198651 din figura 48) La curba
caracteristică reală ruperea se produce icircn punctul 1198651 la o icircncărcare mai mare decacirct cea
corespunzătoare punctului 119864 Icircnseamnă că rezistenţa reală la rupere este mai mare decacirct
rezistenţa la rupere dată de punctul 119864 din diagrama caracteristică convenţională
Dificultatea obţinerii diagramei caracteristice reale faţă de cea a diagramei caracteristice
convenţionale şi considerarea unei rezistenţe la rupere mai mică decacirct a celei reale face
icircn practică utilizarea pe scară mare a diagramei caracteristice convenţionale
Caracteristicile mecanice determinate pe baza curbei caracteristice convenţionale
sunt şi ele caracteristici mecanice convenţionale
Caracteristicile mecanice convenţionale limita de proporţionalitate convenţională
120590119901 limita de elasticitate convenţională 120590119890 limita de curgere convenţională 120590119888 şi rezistenţa
de rupere 120590119903 constituie tensiuni limită pentru un material Pe baza acestor caracteristici
de material se alege valoarea tensiunii admisibile 120590119886 (vezi paragraful 35) pentru
calculele de rezistenţă Cea mai utilizată stare limită pentru stabilirea tensiunii admisibile
120590119886 este limita de curgere convenţională 120590119888
120590119886 =120590119897119894119898119888
=120590119888119888 119904119886119906 120590119886 =
120590119903119888 (447)
Caracteristicile mecanice ale materialului sunt influenţate de o serie de factori
temperatura viteza de solicitare factorii tehnologici iar valorile lor sunt date icircn tabele și
diagrame
Aplicaţie Pentru suprafaţa plană compusă din două dreptunghiuri avacircnd
dimensiunile din figura 49a să se calculeze
a) centrul de greutate al secțiunii compuse 119910119866 119911119866
b) momentele de inerție axiale 119868119911 119868119910 și momentul de inerție centrifugal 119868119911119910
c) razele de inerție 119894119911 119894119910
d) modulele de rezistență 119882119911119898119894119899 119882119911119898119886119909 119882119910119898119894119899 119882119910119898119886119909
e) momentele de inerție principale 1198681 1198682 și direcțiile principale de inerție 1205721
f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 119878119911
Fig 49 Aplicație
Rezolvare Pentru rezolvare vom parcurge următoarele etape
icircmpărțim suprafața compusă icircn două suprafețe simple (dreptunghiuri) notate cu
① și respectiv ② figura 49b
poziționăm centrele de greutate a celor două suprafețe simple ① și respectiv ②
notate cu 1198661 și respectiv 1198662 figura 49c
poziționăm sistemele de axe de coordonate 119911111986611199101 pentru dreptunghiul ① și
119911211986621199102 pentru dreptunghiul ② aflate la intersecția diagonalelor figura 49c
poziționăm sistemele de axe de coordonate 11991101198741199100 ales arbitrar față de care
determinăm poziția centrului de greutate 119866 figura 49c
a) calculăm poziția centrului de greutate folosind relațiile (46) icircn care
1198601 = 6119905 ∙ 119905 = 61199052 1198602 = 4119905 ∙ 119905 = 41199052 119860 = 1198601 + 1198602 = 61199052 + 41199052 = 101199052
iar centrele de greutate 1198661 și respectiv 1198662 au coordonatele (față de sistemul 11991101198741199100)
1198661 1199101 = 3119905 1199111 = 05119905
1198662 1199102 = 051199051199112 = 3119905
cu acestea obținem
119910119866 =1198601 ∙ 1199101 + 1198602 ∙ 1199102
119860=61199052 ∙ 3119905 + 41199052 ∙ 05119905
101199052=201199053
101199052= 2119905
119911119866 =1198601 ∙ 1199111 + 1198602 ∙ 1199112
119860=61199052 ∙ 05119905 + 41199052 ∙ 3119905
101199052=151199053
101199052= 15119905
Poziționăm centrul de greutate 119866 al suprafeței compuse figura 49c
Fig 49 Aplicație
b) pentru determinarea momentelor de inerție axiale 119868119911 119868119910 și a momentului de
inerție centrifugal 119868119910119911 determinăm constantele 1198881 1198882 1198891 1198892 care intervin icircn relația lui
Stainer
1198881 = 1199101 minus 119910119866 = 3119905 minus 2119905 = 119905 1198882 = minus(119910119866 minus 1199102) = minus(2119905 minus 05119905) = minus15119905
1198891 = minus(119911119866 minus 1199111) = minus(15119905 minus 05119905) = minus119905 1198892 = 1199112 minus 119911119892 = 3119905 minus 15119905 = 15119905
Folosind relațiile lui Stainer (429) (430) și (431) calculăm momentele de
inerție axiale și centrifugale față de sistemul central 119911119866119866119910119866
119868119911 =sum(119868119911119894 + 1198881198942 ∙ 119860119894) = 1198681199111 + 1198881
2 ∙ 1198601 + 1198681199112 + 11988822 ∙ 1198602
119868119910 =sum(119868119910119894 + 1198891198942 ∙ 119860119894) = 1198681199101 + 1198891
2 ∙ 1198601 + 1198681199102 + 11988922 ∙ 1198602
119868119911119910 =sum(119868119911119894119910119894 + 119888119894 ∙ 119889119894 ∙ 119860119894) = 11986811991111199101 + 1198881 ∙ 1198891 ∙ 1198601 + 11986811991121199102 + 1198882 ∙ 1198892 ∙ 1198602
1198681199111 = (119887 ∙ ℎ3
12) =
119905 ∙ (6119905)3
12= 181199054 1198681199112 = (
119887 ∙ ℎ3
12) =
4119905 ∙ 1199053
12= 031199054
1198681199101 = (1198873 ∙ ℎ
12) =
1199053 ∙ 6119905
12= 051199054 1198681199102 = (
1198873 ∙ ℎ
12) =
(4119905)3 ∙ 119905
12= 531199054
11986811991111199101 = 11986811991121199102 = 0 deoarece cele două triunghiuri au cel puțin o axă de simetrie
Cu acestea momentele de inerție axiale și momentul de inerție centrifugal devin
119868119911 = 181199054 + 1199052 ∙ 61199052 + 031199054 + (minus15119905)2 ∙ 41199052 = 3331199054
119868119910 = 051199054 + (minus119905)2 ∙ 61199052 + 531199054 + (15119905)2 ∙ 41199052 = 2081199054
119868119911119910 = 0 + 119905 ∙ (minus119905) ∙ 61199052 + 0 + (minus15119905) ∙ (15119905) ∙ 41199052 = minus151199054
c) razele de inerție sau de girație față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910
se calculează cu relațiile (411)
119894119911 = radic119868119911119860= radic
3331199054
101199052= 182119905 119894119910 = radic
119868119910
119860= radic
2081199054
101199052= 144119905
d) modulele de rezistență față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910 se
calculează cu relațiile (412) și (413)
Avacircnd icircn vedere figura 419c obținem
119910119898119886119909 = 6119905 minus 119910119866 = 6119905 minus 2119905 = 4119905 119910119898119894119899 = minus119910119866 = minus2119905
119911119898119886119909 = 5119905 minus 119911119866 = 5119905 minus 15119905 = 35119905 119911119898119894119899 = minus119911119866 = minus15119905
Se obține astfel
119882119911119898119894119899 =119868119911
|119910119898119886119909|=3331199054
4119905= 8331199053
119882119911119898119886119909 =119868119911
|119910119898119894119899|=3331199054
2119905= 16651199053
119882119910119898119894119899 =119868119910
|119911119898119886119909|=2081199054
35119905= 5941199053
119882119910119898119886119909 =119868119910
|119911119898119894119899|=2081199054
15119905= 13871199053
e) momentele de inerție principale 1198681 și respectiv 1198682 se calculează cu relațiile
(438)
11986812 =119868119911 + 119868119910
2plusmn1
2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)
2+ 4 ∙ (119868119911119910)
2=
=3331199054 + 2081199054
2plusmn1
2∙ radic(3331199054 minus 2081199054)2 + 4 ∙ (minus151199054)2 = 27051199054 plusmn 16251199054
De unde obținem
1198681 = 27051199054 + 16251199054 = 4331199054
1198682 = 27051199054 minus 16251199054 = 1081199054
Prima direcție principală de inerție 1 face cu axa centrală 119866119911 unghiul 1205721 dat de
relația (437)
1205721 =1
2∙ arctan (minus
2 ∙ 119868119911119910
119868119911 minus 119868119910) =
1
2∙ arctan [minus
2 ∙ (minus151199054)
3331199054 minus 2081199054] =33 70
Deoarece 1205721 gt 0 rotirea axelor se face acircn sens antiorar acelor de ceasornic figura
49d
Poziția axe principale 2 față de care momentul de inerție are valoarea minimă
1198682 = 119868119898119894119899 este dată de unghiul
1205722 = 1205721 + 900 = 33 70 + 900 = 123 70
f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 se determină cu relația
(45)
1198781199111198602 = 1198602 ∙ 1198882 = 41199052 ∙ (minus15119905) = minus61199053
de tronsonul pe a cărei față acționează (are orientarea normalei exterioare la secțiunea
Ad)
119873(119909) = minus119867119860 + 1198651119867 (26)
119879 = forța tăietoare icircntr-o secțiune este egală cu suma algebrică a proiecțiilor
pe o axă perpendiculară pe axa barei a tuturor forțelor exterioare (sarcini și reacțiuni)
aplicate pe porțiunea de bară aflată icircn stacircnga secțiunii considerate Forța tăietoare 119879
este pozitivă dacă tinde să rotească tronsonul pe a cărui față acționează icircn sens orar icircn
raport cu un punct de pe axa barei aflat la dreapta secțiunii
119879(119909) = 119881119860 minus 1198651119881 minus 1198652 (27)
119872119894 = momentul icircncovoietor icircntr-o secțiune este egal cu suma algebrică a
momentelor obținute prin reducerea tuturor forțelor exterioare ( cupluri sarcini
reacțiuni) aplicate pe porțiunea de bară aflată la stacircnga secțiunii icircn centrul secțiunii
considerate 119872119894 este considerat pozitiv dacă tinde să deformeze bara astfel icircncacirct fibrele
spre care privește un observator să fie icircntinse Cum poziția observatorului este de regulă
sub bară bara se deformează dacă 119872119894 gt 0 astfel icircncacirct partea jos a barei este icircntinsă Se
spune că bara deformată rdquoține apaldquo
119872119894(119909) = 119881119860 ∙ 119909 minus 1198651119881 ∙ (119909 minus 1198971) minus 1198652 ∙ [119909 minus (1198971 + 1198972)] + 1198720 (28)
Sensurile pozitive ale eforturilor care apar icircn centrul secțiunii Ad (deci atunci cacircnd
sensul de parcurs la aplicarea metodei secțiunilor este cel de la stacircnga la dreapta) sunt
indicate icircn figura 218a iar dacă sensul de parcurs este de la dreapta la stacircnga sensurile
pozitive ale eforturilor sunt indicate icircn figura 218b
Fig 218 Convenţia de semne
Definiții asemănătoare se pot da și pentru eforturile din centrul secțiunii As figura
218b adică pentru cazul icircn care sensul de parcurs este cel de la dreapta la stacircnga și deci
partea luată icircn considerare este cea din stacircnga iar partea parcursă din dreapta secțiunii
este icircnlăturată
119873(1199091) = 1198653119867
119879(1199091) = 1198653119881 minus 119881119861
119872119894(1199091) = 119881119861 ∙ 1199091 minus 1198653119881 ∙ (1199091 minus 1198975)
(29)
Avacircnd icircn vedere că fețele Ad și As aparțin aceleeași secțiuni este evident faptul că
eforturile 119873(119909) 119879(119909) și 119872119894(119909) sunt identice cu eforturile 119873(119961120783) 119879(119961120783) și respectiv
119872119894(119961120783) Icircn figura 218c se prezintă o sinteză a convențiilor de semne pozitive pentru cele
3 eforturi atacirct pentru sensul de parcurs de la stacircnga la dreapta (secțiunea Ad) cacirct și pentru
sensul invers (secțiunea As)
Semnele eforturilor sunt importante icircntrucacirct există materiale cu comportări diferite
la icircntindere față de compresiune iar o schimbare a semnului unui efort poate produce
erori grave icircn calcule Semnele eforturilor au fost stabilite icircn funcție de deformațiile
produse și nu depind de sensul axelor sistemului de coordonate
26 Relaţii diferenţiale icircntre eforturi şi sarcini
Pentru a vedea ce legătură există icircntre eforturi și sarcini vom considera o bară
dreaptă icircncărcată cu o sarcină distribuită după o lege oarecare figura 219a Din această
bară vom decupa prin dublă secționare un element de lungime infinit mică 119889119909 Deoarece
lungimea 119889119909 este foarte mică se poate considera sarcina 119901 uniform distribuită Icircn
secțiunile rezultate trebuie să introducem eforturile care pot apărea
- 119879 şi 119872119894 icircn centrul secțiunii din sticircnga eforturi pe care le considerăm pozitive
- 119879 + 119889119879 şi 119872119894 + 119889119872119894 icircn centrul secțiunii din dreapta elementului
Aceste eforturi au o variație mică (119889119879 şi 119889119872119894) față de secțiunea anterioară Spre
deosebire de cazul icircn care bara este secționată o singură dată icircn acest caz eforturile nu
pot fi determinate din cele 2 condiții de echilibru independente deoarece icircn ecuațiile de
echilibru apar 4 necunoscute 119879 119889119879119872119894 și 119889119872119894 deci că problema este dublu static
nedeterminată figura 219
Fig 219 Echivalența icircntre eforturi și sarcini
Ecuațiile de echilibru scrise pentru elementul din figura 219b conduc la stabilirea
unor relaţii foarte importante
(sum119865)119910= 0 hArr 119879 minus 119901 ∙ 119889119909 minus (119879 + 119889119879) = 0 rArr
119889119879
119889119909= minus119901 (210)
Relația (210) arată că derivata funcţiei forţei tăietoare icircn raport cu abscisa
secţiunii este egală cu sarcina distribuită normală la axa barei din acea secţiune luată
cu semn schimbat
Observații
dacă 119901 = 0 nu există sarcină distribuită atunci forța tăietoare T este constantă
icircnclinarea pantei diagramei forței 119879 este egală cu (ndash 119901) (sarcina distribuită cu
semn schimbat)
dacă 119901 = 119888119900119899119904119905 119879 variază liniar pe acel interval
Asemănător se deduce că derivata funcţiei forţei axiale icircn raport cu abscisa
secţiunii este egală cu sarcina distribuită axială din acea secţiune luată cu semn
schimbat adică
119889119873
119889119909= minus119901119867 (211)
Din condiția de echilibru suma de momente faţă de centrul de greutate al secţiunii
din dreapta
(sum119872)119862= 0 hArr 119872119894 minus (119872 + 119889119872119894) + 119879 ∙ 119889119909 minus 119901 ∙
(119889119909)2
2= 0 rArr
119889119872119894
119889119909= 119879 (212)
Relația (212) s-a obținut dupa reducerea termenilor și prin neglijarea infinitului
mic de ordinul 2
119901 ∙(119889119909)2
2
Relația (212) arată că derivata funcţiei moment icircncovoietor icircn raport cu abscisa
secţiunii este egală cu forţa tăietoare din acea secţiune
Observații
dacă 119879 = 0 momentul 119872119894 are un punct de extrem se obține o valoare maximă
pentru 119872119894119898119886119909 dacă forța tăietoare 119879 se anulează trecacircnd de la plus icircn stacircnga la minus icircn
dreapta secțiunii
dacă forța tăietoare este pozitivă pe un interval 119879 gt 0 atunci 119872119894 este crescătoare
pe acel interval
dacă forța tăietoare este negativă pe un interval 119879 lt 0 atunci 119872119894 este
descrescătoare pe acel interval
dacă pe un interval 119901 = 0 forța tăietoare este constantă 119879 = 119888119905 iar 119872119894 variază
liniar pe acel interval
dacă 119901 = 119888119900119899119904119905 119879 variază liniar pe acel interval iar 119872119894 variază parabolic pe
acel interval
Relaţiile diferenţiale sunt utile la reprezentarea corectă şi verificarea diagramelor
de eforturi astfel
pentru porţiunile de grindă pe care p = 0 eforturile N şi T sunt constante iar pe
porţiunile cu p = const eforturile N şi T variază liniar (relaţiile 211 şi 210)
dacă pe o porţiune T = const momentul icircncovoietor Miz variază liniar iar dacă
T variază liniar atunci momentul Miz variază parabolic (relaţia 212)
pe domeniile pe care T gt 0 funcţia Mi(x) este crescătoare iar icircn secţiunea icircn
care T = 0 (graficul funcţiei T intersectează axa x) momentul icircncovoietor are un punct
de extrem local (maxim sau minim relaţia 212)
Pentru rezolvarea problemelor referitoare la trasarea diagramelor de eforturi
pentru barele drepte solicitate de sisteme de forţe plane se parcurg următoarele etape
1) identificarea forţelor aplicate (date) şi pregătirea lor pentru calcule
(descompunerea forţelor concentrate pe direcţiile x şi y calculul rezultantelor forţelor
distribuite)
2) identificarea reazemelor şi introducerea reacţiunilor corespunzătoare (vezi
figurile 27divide29)
3) stabilirea ecuaţiilor de echilibru static calculul şi verificarea reacţiunilor Icircn
rezistența materialelor se folosește sistemul de ecuații (vezi figura 217)
(sum119865)
119909= 0
(sum119872)119860= 0
(sum119872)119861= 0
(213)
4) identificarea domeniilor de variaţie şi scrierea funcţiilor de eforturi pentru N T
şi Mi
5) reprezentarea grafică a diagramelor de eforturi
6) verificarea corectitudinii diagramelor pe baza relaţiilor diferenţiale icircntre eforturi
şi sarcini
Aplicație Pentru grinda dreaptă icircncărcată cu sistemul de forţe reprezentat icircn figura
220 se cere
a) să se calculeze şi să se verifice reacţiunile
b) să se stabilească funcţiile eforturilor Nx Ty şi Miz şi să se reprezinte diagramele
de variaţie
c) să se analizeze relaţiile diferenţiale icircntre eforturi şi sarcini
Dimensiunile grinzii au valorile a = 6 [m] b = 4 [m] și c = 4[m] sistemul de
forţe aplicat fiind format din p = 10 [kN mfrasl ] F = 20 [kN] (icircnclinată cu unghiul α =300 faţă de orizontală) şi M0 = 40 [kN ∙ m]
Rezolvare
a) Se fac următoarele precizări
grinda dreaptă se reprezintă prin axa geometrică
forţa icircnclinată F se descompune după direcţiile orizontală şi verticală icircn FV =F ∙ sin α = 10 [kN] şi FH = F ∙ cos α = 173 [kN]
forţa distribuită uniform p este echivalentă din punct de vedere static cu
rezultanta sa R = p ∙ a = 60 [kN] care acţionează la jumătatea porţiunii de lungime a
icircn reazemele 119860 şi 119861 se introduc componentele HA şi VA respectiv VB ale
reacţiunilor
Pentru calculul reacţiunilor se utilizează ecuaţiile de echilibru static al grinzii
sumXi = 0 HA minus FH = 0 sumYi = 0 VA + VB minus R minus FV = 0 (sumM)B = 0 VA ∙ (b + a) minus R ∙ (b + 05 ∙ a) minus M0 + FV ∙ c = 0
(A1)
Din prima ecuaţie se obţine HA iar din cea de-a treia ecuaţie rezultă VA
HA = FH = 173 [kN]
VA =[R ∙ (b + 05 ∙ a) + M0 minus FV ∙ c]
(b + a)=[60 ∙ (4 + 05 ∙ 6) + 40 minus 10 ∙ 4]
(4 + 6)
VA = 42 [kN]
(A2)
Fig 220 Aplicație
Se observă că cea de-a doua ecuaţie de echilibru conţine două necunoscute
reacţiunile VA şi VB Pentru a calcula componenta VB nu este indicată introducerea lui VA
icircn cea de-a doua ecuaţie a sistemului (A1) pentru că o valoare determinată greşit pentru
VA conduce la o valoare VB de asemenea greşită O ecuaţie independentă din care se poate
determina componenta VB este următoarea
(sumM)A= 0 FV ∙ (a + b + c) minus VB ∙ (a + b) minus M0 + R ∙ 05 ∙ a = 0 (A3)
de unde se obţine
VB =[FV ∙ (a + b + c) minusM0 + R ∙ 05 ∙ a]
(b + a)=[10 ∙ (6 + 4 + 4) minus 40 + 60 ∙ 05 ∙ 6]
(6 + 4)
VB = 28 [kN] (A4)
Ecuaţia de proiecţii ale forţelor pe direcţia verticală (a doua ecuaţie din sistemul
A1) se utilizează pentru verificarea reacţiunilor deja determinate
VA + VB minus R minus FV = 0 rArr 42 + 28 minus 60 minus 10 = 0 (A5)
Ultima egalitate demonstrează că reacţiunile verticale au fost calculate corect
Din cele de mai sus rezultă ordinea firească pentru determinarea reacţiunilor icircn
cazul grinzilor simplu rezemate
sumXi = 0
(sumM)A = 0
(sumM)B = 0
(A6)
iar pentru verificarea componentelor verticale VA şi VB se folosește ecuaţia sumY = 0
b) La stabilirea funcţiilor de eforturi se parcurg icircn general etapele următoare
se notează (numeric sau literal după preferinţă) secţiunile care delimitează
domeniile (intervalele sau tronsoanele) pe care eforturile nu-şi modifică funcţiile (au legi
unice de variaţie)
pe fiecare domeniu se marchează secţiunea imaginară icircn care se stabilesc
funcţiile eforturilor
secţiunea astfel aleasă separă icircn două părţi grinda şi anume porţiunea din stacircnga
şi porţiunea din dreapta secţiunii
se va considera parcursă (şi icircndepărtată) acea parte pe care acţionează mai puţine
sarcini exterioare pentru că acestea vor interveni icircn expresiile funcţiilor de eforturi
poziţiile secţiunilor imaginare se vor determina prin variabilele x1 ⋯ xn (unde
n reprezintă numărul domeniilor de variaţie) cu originea fixată icircn capătul intervalului şi
sensul de parcurgere spre partea considerată rămasă
Grinda prezentată icircn figura 220 are trei domenii de variaţie pentru funcţiile de
eforturi după cum urmează (A-1) (2-B) şi (B-1)
Domeniul (A-1) x1 isin [0 a = 6 m] Porţiunea parcursă şi considerată icircndepărtată este cea de coordonată x1 pe care
acţionează reacţiunile HA şi VA precum şi rezultanta parţială a sarcinii distribuite R1 =p ∙ x1
Funcţia forţă axială Nx are expresia
Nx(x1) = NAminus1 = minusHA = minus173 [kN] = const
(A7)
Funcţia forţă tăietoare Ty are exspresia
Ty(x1) = TAminus1 = VA minus R1 = VA minus p ∙ x1 (A8)
care reprezintă o variaţie liniară de variabilă x1 Se calculează valorile forţei tăietoare la
limitele intervalului de variaţie
- pentru x1 = 0 Ty(x1 = 0) = TA = VA = 42 [kN]
- pentru x1 = a = 6 [m] Ty(x1 = 6) = T1 = VA minus p ∙ a = minus18 [kN]
Observaţie Aşa cum a fost stabilită secţiunea fictivă poziţionată prin coordonata
x1 sar părea că rezultanta R ar trebui luată icircn calculul lui Ty(x1) Acest lucru ar fi greşit
pentru că R = p ∙ a reprezintă rezultanta sarcinii distribuite pe toată lungimea a iar
rezultanta pe porţiunea parcursă de lungime x1 este R1 = p ∙ x1 ne R = p ∙ a
Cu valorile obţinute se trasează diagramele forţelor axială Nx = f(x) şi tăietoare
Ty = f(x) figura 220 Din diagrama forţei tăietoare şi din valorile obţinute analitic se
observă că forţa tăietoare icircşi schimbă semnul pe intervalul analizat deci se anulează pe
acest interval Poziţia secţiunii unde Ty se anulează se determină din ecuaţia
Ty(x1) = 0 rArr VA minus p ∙ x1 = 0 (A9)
cu soluţia x1lowast = ξ = 42 [m] Important de reamintit că icircn această secţiune momentul
icircncovoietor va avea un extrem local adică Miz are un extrem la Ty = 0
Funcţia moment icircncovoietor Miz are expresia
Miz(x1) = VA ∙ x1 minus R1 ∙x12= VA ∙ x1 minus (p ∙ x1) ∙
x12
(A10)
Se observă că funcţia moment icircncovoietor de variabilă x1 are o variaţie parabolică
(gradul al II-lea) Pentru reprezentarea grafică a funcţiei parabolice se calculează valorile
momentului icircncovoietor icircn trei secţiuni
- pentru x1 = 0 Miz(x1 = 0) = MA = 0 [kN ∙ m] - pentru x1 = a = 6 [m] Miz(x1 = 6) = M1 = 72 [kN ∙ m] - pentru x1
lowast = ξ = 42 [m] Miz(x1lowast = ξ = 42 [m]) = Mimax = 882 [kN ∙ m]
Cu acestea se trasează diagrama Miz = f(x) pe intervalul (A-1) figura 220
Observaţie Icircn unele cazuri pe un anumit interval forţa tăietoare nu se anulează
şi momentul icircncovoietor nu are un extrem local Icircn acest caz pentru reprezentarea
variaţiei parabolice a momentului icircncovoietor se va studia semnul derivatei a doua a
funcţiei Miz = f(x1) acesta determinacircnd convexitatea curbei momentului icircncovoietor
Domeniul (2-B) x2 isin [0 c = 4 m] Porţiunile din grindă libere (nerezemate) la un capăt se numesc console iar
stabilirea funcţiilor de eforturi devine mai simplă dacă se consideră icircndepărtată partea din
dreapta secţiunii prin schimbarea sensului pozitiv al axei x Astfel se obţin funcţiile eforturilor
Funcţia forţă axială Nx are expresia
Nx(x2) = N2minusB = minusFH = minus173 [kN] = const
(A11)
Funcţia forţă tăietoare Ty are exspresia
Ty(x2) = T2minusB = FV = 10 [kN] = const (A12)
Funcţia moment icircncovoietor Miz are expresia
Miz(x2) = minusFV ∙ x2 rArr Miz(x2 = 0) = M2 = 0 [kN ∙ m]
Miz(x2 = 4) = MB = minus40 [kN ∙ m] (A13)
variaţie liniară (gradul I)
Domeniul (B-1) x3 isin [0 b = 4 m] Pe acest domeniu se acceptă parcurgerea grinzii de la dreapta adică se consideră
icircndepărtată partea din dreapta secţiunii fictive pentru că are doar două sarcini aplicate F
şi VB faţă de partea din stacircnga secţiunii pe care sunt aplicate trei sarcini p VA şi M0
Astfel se obţin funcţiile eforturilor
Funcţia forţă axială Nx are expresia
Nx(x3) = NBminus1 = minusFH = minus173 [kN] = const
(A14)
Funcţia forţă tăietoare Ty are exspresia
Ty(x3) = TBminus1 = FV minus VB = minus18 [kN] = const (A15)
Funcţia moment icircncovoietor Miz are expresia
Miz(x3) = minusFV ∙ (x3 + c) + VB ∙ x3 rArr
rArr Miz(x3 = 0) = MB = minus40 [kN ∙ m]
Miz(x3 = 4) = M1 = 32 [kN ∙ m]
(A16)
variaţie liniară (gradul I)
Diagramele eforturilor sunt prezentate icircn figura 220
c) Relaţiile diferenţiale dintre eforturi şi sarcini se analizează pe diagramele
eforturilor după cum urmează
sarcina distribuită nu are componentă orizontală adică ph = 0 şi icircn
conformitate cu formula (211) rezultă că Nx = const pe toată lungimea grinzii fapt care
a rezultat din funcţia şi reprezentarea diagramei forţei axiale
pe intervalul (A-1) sarcina distribuită are doar componenta verticală pozitivă
pV = p gt 0 prin urmare forţa tăietoare scade (are panta negativă dTy 119889119909frasl = minusp vezi
relaţia 210) iar momentul icircncovoietor avacircnd derivata a doua negativă d2M119894119911 1198891199092frasl =minuspare convexitatea curbei orientată spre sensul pozitiv al axei momentului Miz adică icircn
jos
pe domeniile (2-B) şi (B-1) deoarece pv = 0 forţa tăietoare Ty este constantă
iar momentul icircncovoietor Miz variază liniar
referitor la relaţia (212) pe porţiunile unde Ty gt 0 momentul Miz este
monoton crescător pe porţiunile unde Ty lt 0 momentul Miz este monoton descrescător
iar icircn secţiunea icircn care Ty = 0 momentul icircncovoietor are un extrem local Mξ =
882 [kN ∙ m] icircn diagrama forţei tăietoare discontinuităţile (salturile) se produc icircn secţiunile
unde acţionează VA VB şi FV iar icircn diagrama momentului icircncovoietor se produce un
singur salt icircn secţiunea icircn care este aplicat M0
se poate scrie
Mξ = suprafața diagramei Ty |ξ0=1
2∙ 42 ∙ 42 = 882 [kN ∙ m]
sau parcurgacircnd grinda de la dreapta la stacircnga rezultă
MB = minussuprafața diagramei Ty |c0= minus10 ∙ 4 = minus40 [kN ∙ m]
Toate aspectele analizate teoretic referitoare la relaţiile diferenţiale dintre eforturi
şi sarcini se regăsesc icircn diagramele de eforturi din figura 220 ceea ce icircnseamnă că
diagramele au fost reprezentate corect
3 TENSIUNI DEPLASĂRI ŞI DEFORMAŢII SPECIFICE
31 Tensiuni
Eforturile obținute icircn urma reducerii forțelor interioare icircn centrul de greutate al
secțiunii nu pot da informații asupra solicitării fiecărui punct al secțiunii respective Este
necesar să se cunoască modul cum se distribuie forțele interioare icircn fiecare punct al
secțiunii pentru a ști care este intensitatea maximă a solicitării Această intensitate
maximă se poate compara cu o valoare critică specifică materialului stabilindu-se astfel
dacă solicitarea este periculoasă sau nu
Mărimea care caracterizează solicitarea locală punctuală o vom denumi tensiune
și o vom defini icircn cele ce urmează Să considerăm partea din dreapta a unui corp solicitat
de forțele exterioare 1198651 1198652 și 1198653 obținută prin secționarea corpului și mărginită de fața
din dreapta Ad a secțiunii Pe secțiunea Ad vom considera un element de arie infinit mic
∆119860 caracterizat de normala la elementul de arie normală care are cosinușii directori
120573 și icircn raport cu un sistem de axe considerat fix Pe elementul infinit mic ∆119860 acționează
forțele interioare care au o rezultantă oarecare figura 31
Prin definiție tensiunea totală este
= lim∆119860rarr0
∆
∆119860 (31)
Tensiunea are aceeaşi direcţie cu forţa elementară ∆ iar mărimea ei este
determinată atacirct de mărimea forţei ∆ cacirct şi de orientarea suprafeţei ∆119860 faţă de direcţia
forţei
Tensiunea 119901 poate fi descompusă icircntr-o componentă orientată după direcţia
normalei la secţiune tensiunea normală notată cu 120590119909 şi o componentă icircn planul secţiunii
tensiunea tangenţială notată cu figura 32
= 119909 + 120591 (32)
Fig 31 Tensiunea totală Fig 32 Tensiunea normală și tangențială
La racircndul ei componenta tensiunii cuprinsă icircn planul secțiunii poate fi
descompusă după direcțiile axelor y și z
120591 = 120591119909119910 + 120591119909119911 (33)
Icircntre cele trei componente ale tensiunii totale care acționează pe elementul de arie
∆119860 este valabilă relația
1199012 = 1205901199092 + 120591119909119910
2 + 1205911199091199112 (34)
După sensul pe care icircl are tensiunea normală 120590 poate avea efect de tracţiune sau
de compresiune exercitat de către partea de corp icircnlăturată asupra părţii rămase Analog
tensiunea tangenţială 120591 poate avea efect de tăiere forfecare sau alunecare Pentru
componentele tensiunii tangențiale 120591119909119910 pe direcţia 119910 respectiv 120591119909119911 pe direcţia 119911 primul
indice indică axa pe care tensiunea este normală iar cel de-al doilea indice indică axa cu
care aceasta este paralel
Tensiunea este o mărime tensorială valoarea ei depinzacircnd atacirct de poziția
punctului icircn planul secțiunii cicirct și de orientarea planului de secționare deci de normala
Operaţiile vectoriale nu pot fi aplicate tensiunilor decacirct după ce acestea au fost icircnmulţite
cu ariile respective adică au fost transformate icircn forţe
Icircn literatura de specialitate mai ales icircn manualele mai vechi pentru noţiunea de
tensiune se mai foloseşte şi denumirea de efort specific
Dacă se consideră un alt element de arie ∆119860 cu centrul icircn același punct avacircnd ca
normală axa 119910 se vor obține alte tensiuni și anume
- 120590119910 este tensiunea normală (paralelă cu axa y)
- 120591119911119909 și 120591119910119911 sunt tensiuni tangențiale paralele cu axele 119909 și respectiv 119911 aflate icircn
planul care are ca normală axa 119910
Dacă icircn jurul unui punct dintr-un corp solicitat se consider un element de volum
infinit mic de forma unui cub icircn cazul cel mai general pe fețele sale vor acționa
tensiunile normale 120590119909 120590119910 și 120590119911 și respectiv tensiunile tangențiale 120591119909119910 120591119909119911 120591119910119909 120591119910119911 120591119911119909
și respectiv 120591119911119910 figura 33 Aceste tensiuni definesc starea de tensiune a punctului
observacircnd faptul că tensorul tensiune are 9 componente Dacă se consideră elementul
de volum finit ca fiind foarte mic se poate presupune că icircn interiorul său nu apar forțe
Ca urmare el va fi icircn echilibru sub acțiunea forțelor elementare produse de tensiunile de
pe fețele sale
Din condiția ca elementul să nu se rotească icircn jurul unor axe care trec prin centrul
său și sunt paralele cu axele sistemului 119909119874119910119911 rezultă
2 ∙ 120591119909119910 ∙ (119889119910 ∙ 119889119911) ∙119889119909
2= 2 ∙ 120591119910119909 ∙ (119889119909 ∙ 119889119911) ∙
119889119910
2 rArr 120591119909119910 = 120591119910119909 (35)
2 ∙ 120591119910119911 ∙ (119889119909 ∙ 119889119911) ∙119889119910
2= 2 ∙ 120591119911119910 ∙ (119889119909 ∙ 119889119910) ∙
119889119911
2 rArr 120591119910119911 = 120591119911119910 (36)
2 ∙ 120591119909119911 ∙ (119889119910 ∙ 119889119911) ∙119889119909
2= 2 ∙ 120591119911119909 ∙ (119889119909 ∙ 119889119910) ∙
119889119911
2 rArr 120591119909119911 = 120591119911119909 (37)
Relațiile (35divide37) 120591119909119910 = 120591119910119909 120591119910119911 = 120591119911119910 120591119909119911 = 120591119911119909 exprimă principiul dualității
tensiunilor tangențiale
Fig 33 Tensiunile normale și tangențiale pe fețele unui cub
Din condiția ca elementul considerat să nu se deplaseze icircn lungul axelor de
coordonate pe fețele opuse acționează aceleași tensiuni normale 120590119909 120590119910 și respectiv 120590119911
Definirea tensorului tensiune este posibilă dacă se cunosc cele 6 componente
independente ale acestuia aflate icircn trei plane perpendicular ce trec prin punctul respectiv
=
120590119909 120591119909119910 120591119909119911120591119910119909 120590119910 120591119910119911120591119911119909 120591119911119910 120590119911
Observaţii
Tensiunile se măsoară icircn [119873 1198982frasl ] (1119873 1198982frasl = 1 119875119886) sau icircn [119872119875119886]
(1 119872119875119886 = 106119875119886 = 106 119873
1198982 1 119872119875119886 = 1
119873
1198981198982)
Starea de tensiune dintr-un punct este considerată cunoscută dacă se cunosc
tensiunile 119901 care acționează pe infinitatea de elemente de suprafață ce trec prin punctual
considerat
Starea de tensiune a unui corp se consider cunoscută dacă se cunosc stările de
tensiune de pe infinitatea de puncte ale corpului considerat
32 Deplasări Deformaţii specifice
321 Deplasări
Aceste noțiuni sunt utile icircn analiza aspectului geometric al problemelor de rezistența
materialelor Deplasările care se analizează sunt cele datorate schimbării formei și
dimensiunilor corpurilor ca urmare a acțiunii forțelor exterioare și nu cele cinematice
posibile pentru solidul rigid care se poate deplasa cu anumită viteză și accelerație
Spre exemplu icircn figura 34a și figura 34b sub acțiunea forței 119865 tronsonul de
bară AB se deformează icircn timp ce tronsonul BC deși punctele sale au deplasări rămacircne
nedeformat (fiind nesolicitat) Toate punctele de pe axele barelor cu excepția celor din
icircncastrare (secțiunile A) au deplasări liniare De cele mai multe ori deformațiile barelor
datorate acțiunii forțelor exterioare se anulează la icircndepărtarea forțelor se spune că
deformațiile sunt elastice Secțiunile transversale ale barei din figura 34a se și rotesc icircn
raport cu pozițiile lor inițiale Spre exemplu secțiunea de căpăt cu centrul icircn C se rotește
cu unghiul
Fig 34 Deformațiile unei grinzi
Oricacirct de complexă ar fi delormația unui corp ea poate fi descrisă de lungiri sau
scurtări și de modificări ale unghiurilor inițiale
Deplasările măsoară schimbarea poziției unui punct al corpului și pot fi liniare
sau unghiulare
Prin deplasare liniară a unui punct se icircnțelege drumul parcurs de acest punct icircn
decursul procesului de deformație după o dreaptă suport dreapta 1198611198611 din figura 34a
Prin deplasare unghiulară se icircnțelege rotirea dintre segmentele de dreaptă
determinate de două puncte ale corpului icircnainte și după deformarea acestuia unghiul
pe care-l fac segmentele 119861119862 și 11986111198621 din figura 34a Această rotire se măsoară prin
unghiul pe care-l fac proiecțiile dreptelor ce conțin cele două segmente icircntr-un sistem
triortogonal
Icircn cazul cel mai general vectorul deplasare liniară se poate descompune icircntr-un
sistem triortogonal icircn trei componente 119906 119907 și 119908 figura 35
Fig 35 Deplasarea liniară
Se consideră acum un corp solid raportat la un sistem de axe ortogonal 119909119874119910119911
figura 35 după deformarea corpului un punct oarecare 119870 al acestuia se deplasează icircn
poziţia 1198701 vectorul 1198701198701 poartă numele de vectorul deplasării totale
Deplasarea totală este suma deplasărilor pe cele trei direcţii ortogonale iar
aceste deplasări se notează astfel
deplasarea pe direcţia 119909 cu ∥ 119874119909
deplasarea pe direcţia 119910 cu ∥ 119874119910
deplasarea pe direcţia 119911 cu ∥ 119874119911
Componentele deplasărilor și formeză matricea deplasărilor liniare 119906119907119908
322 Deformații
Prin deformație icircn general se icircnțelege orice schimbare de formă a unui corp fără
o evaluare cantitativă Icircn Rezistența Materialelor deformația măsoară variația
dimensiunilor geometrice ale corpului considerat din vecinătatea unui punct analog
deplasărilor deformațiile pot fi liniare și unghiulare (lunecări)
Fig 36 Deplasarea liniară
Deformația liniară ∆119897 reprezintă variația lungimii 119897 a unui element liniar al
corpului deformat figura 36 Deformația liniară specifică se definește ca fiind raportul
dintre deformația liniară și lungimea inițială
휀 =∆119897
119897 (38)
unde ∆119897 este lungirea sau scurtarea care este echivalentă cu deformția liniară totală iar
este alungirea
Deformația unghiulară sau lunecarea unui punct 119860 icircn planul 119861119860119862 se definește
prin relația figura 37
120574 = lim119861119860rarr0119862119860rarr0
(119861119860 minus 119861111986011198621 ) (39)
Fig 36 Deformația unghiulară
Schimbacircnd orientarea planului care trece prin 119860 se obțin alte deformații
unghiulare Dacă elementele liniare 119861119860 și 119862119860 sunt inițial perpendiculare deformația 120574 se
numește deformație unghiulară specifică sau lunecare specifică figura 37
Un exemplu de deplasare unghiulară și de deformație unghiulară este prezentat icircn
figura 38 Unghiul este deplasarea unghiulară și măsoară rotirea relativă dintre două
secțiuni aflate la distanța 119897 Unghiul este deformația specifică unghiulară (lunecarea
specifică) din punctul 119870 Aceste deplasări și deformații se obțin icircn urma solicitării barei
de către cele două momente 1198720 egale și de sens contrar
Fig 38 Deplasarea unghiulară
Pentru a analiza starea de deformație din vecinătatea unui punct al unui corp
solicitat complex se decupează din jurul punctului un element de volum mic figura 39a
avacircnd laturile 119889119909 119889119910 și 119889119911 Ca urmare a solicitării laturile acestuia se vor lungi sau
scurta Reprezentarea elementului deformat icircn spațiu este dificilă pentru simplificare
vom analiza doar deformațiile din planul 119909119874119910 Observăm că dimensiunile 119889119909 și 119889119910 s-au
modificat cu valoarea ∆119889119909 respectiv cu ∆119889119910 analog se acceptă și pentru 119889119911 o modificare
de forma ∆119889119911 Astfel se pot defini deformațiile specifice liniare
휀119909 =∆119889119909
119889119909 휀119910 =
∆119889119910
119889119910 휀119911 =
∆119889119911
119889119911 (310)
De cele mai multe ori aceste deformații specifice liniare se pot exprima procentual
și se mai numesc alungiri
Fig 39 Starea de deformație
Icircn figura 39c se vede că unghiul inițial drept dintre muchiile 119889119909 și 119889119910 ale
elementului de volum s-a modificat Se definește deformația specifică unghiulară (sau
lunecarea specifică) mărimea cu care se modifică unghiul inițial drept
120574119909119910 = 120574119909119910prime + 120574119910119909
prime = 120574119910119909120574119910119911 = 120574119910119911
prime + 120574119911119910prime = 120574119911119910
120574119911119909 = 120574119911119909prime + 120574119909119911
prime = 120574119909119911
(311)
Deformațiile 휀119909 휀119910 휀119911 120574119909119910 120574119910119911 120574119911119909 constituie cele șase componente
independente ale tensorului deformațiilor specifice care pot fi scrise de forma
119863 =
휀119909 120574119909119910 120574119909119911120574119910119909 휀119910 120574119910119911120574119911119909 120574119911119910 휀119911
(312)
323 Contracţia transversală
Practica arată că odată cu lungirea unei bare apare o micşorare a mărimii secţiunii
transversale mărime numită contracţie transversală figura 310
Fig 310 Contracția transversală
Contracţia transversală este proporţională cu lungirea specifică coeficientul de
proporţionalitate se notează cu 120599 şi se numeşte coeficient de contracţie transversală sau
coeficientul lui Poisson
La o lungire specifică a barei contracţia transversală este dată de relația
휀119905119903 = 휀119910 = 휀119911 = minus120599 ∙ 휀119909 (313)
Semnul minus bdquo-rdquo arată că cele două mărimi sunt contrare dacă una creşte cealaltă
scade şi invers
Considerăm o bară cilindrică de lungime 119897 şi aria secţiunii transversale 119860 solicitată
la icircntindere axială La un moment dat datorită solicitării lungimea barei devine
[119897 ∙ (1 + 휀)] diametrul devine [119889 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)] iar aria secţiunii transversale devine
[119860 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)2] Dacă volumul barei icircnainte de solicitare a fost (119860 ∙ 119897) după solicitare
acesta devine
119881 + ∆119881 = 119860 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)2 ∙ 119897 ∙ (1 + 휀) =
= 119860 ∙ 119897 ∙ (1 + 휀 minus 2 ∙ 120599 ∙ 휀 minus 2 ∙ 120599 ∙ 휀2 + 1205992 ∙ 휀2 + 1205992 ∙ 휀3) (314)
Deoarece lungirile sunt foarte mici ultimii trei termeni din paranteză fiind infinit mici se pot neglija obţinacircnd
119881 + ∆119881 = 119860 ∙ 119897 + 119860 ∙ 119897 ∙ 휀 ∙ (1 minus 2 ∙ 120599) ⟺ ∆119881 = 휀 ∙ (1 minus 2 ∙ 120599) ∙ 119860 ∙ 119897 (315)
Practica arătă că o astfel de bară solicitată la icircntindere icircşi măreşte volumul deci
∆119881 gt 0 de unde rezultă că
1 minus 2 ∙ 120599 gt 0 rArr 120599 lt 05 (316)
Pentru majoritatea materialelor 120599 = 033 iar pentru materialele care-şi păstrează
volumul constant 120599 = 05
33 Relaţii de echivalenţă icircntre eforturi şi tensiuni
Considerăm un element de suprafață infinit mic 119889119860 situat pe fața de arie (119860) a
secțiunii barei din figura 311 Icircn centrul de greutate 119862 al secțiunii acționează eforturile
119873 119879119910 119879119911 119872119909 119872119894119910 și 119872119894119911 determinate prin metoda secțiunilor
Icircn raport cu un sistem de axe de referință 119909119862119910119911 coordonatele elementului 119889119860 sunt
- 119910 este ordonata elementului de arie 119889119860
- 119911 este abscisa elementului de arie 119889119860
Pe elementul de arie 119889119860 acționează tensiunile
120590119909 tensiunea normală
120591119909119910 și 120591119909119911 tensiuni tangențiale
Dacă se icircnsumează forțele elementare de tipul 120590119909 ∙ 119889119860 120591119909119910 ∙ 119889119860 și 120591119909119911 ∙ 119889119860
va trebui să obținem eforturile 119873 119879119910 și 119879119911
Fig 311 Element de suprafață mic din secțiunea unei bare
Dacă eforturile sunt privite ca forțe exterioare și se scriu ecuațiile de
echilibru ale secțiunii (119860) se vor obține șase relații de echivalență icircntre eforturi și
tensiuni
(sum119883) = 0 rArr int 120590119909 ∙ 119889119860
119860
= 119873 (317)
(sum119884) = 0 rArr int 120591119909119910 ∙ 119889119860
119860
= 119879119910 (318)
(sum119885) = 0 rArr int 120591119909119911 ∙ 119889119860
119860
= 119879119911 (319)
(sum119872)119909= 0 rArr int(120591119909119911 ∙ 119889119860) ∙ 119910
119860
minus int(120591119909119910 ∙ 119889119860) ∙ 119911
119860
= 119872119909 rArr
rArr int(119910 ∙ 120591119909119911 minus 119911 ∙ 120591119909119910) ∙ 119889119860
119860
= 119872119909
(320)
(sum119872)119910= 0 rArr int(120590119909 ∙ 119889119860) ∙ 119911
119860
= 119872119894119910 (321)
(sum119872)119911= 0 rArr int(120590119909 ∙ 119889119860) ∙ 119910
119860
= 119872119894119911 (322)
Cele șase relații de echivalență icircntre eforturi și tensiuni constituie un pas icircnainte
icircn rezolvarea unei probleme de rezistența materialelor Aceste relații vor permite
determinarea tensiunilor maxime
Pentru a rezolva cele 6 relații de echivalență trebuie să se cunoască tensiunile și
ca funcții de punct adică funcții de forma
120590119909 = 120590119909(119909 119910 119911) 120591119909119910 = 120591119909119910(119909 119910 119911) 120591119909119911 = 120591119909119911(119909 119910 119911) (32
3)
Cunoașterea acestor funcții presupune icircnsă analizarea aspectului geometric al
problemei precum și utilizarea unor ipoteze simplificatoare care să permită simplificarea
problemelor
34 Ipoteze de bază icircn rezistenţa materialelor
Depășirea dificultăților legate de interpretarea unor fenomene specifice mecanicii
solidului deformabil a impus acceptarea unor ipoteze care să simplifice fenomenele și să
contribuie la elaborarea unor modele de calcul cicirct mai generale și cacirct mai simple Aceste
ipoteze se referă la structura materialelor şi la comportarea lor sub acţiunea forţelor
exterioare Ipotezele acceptate trebuie să fie icircn deplină concordanţă cu realitatea și să
conducă la rezultate verificate icircn practică
Funcție de aspectele la care se referă ipotezele pot fi
Ipoteze fizice (de material)
Ipoteze de calcul
341 Ipoteze fizice
Se acceptă deoarece teoriile structurale au condus la rezultate care contravin
icircncercărilor experimentale
Ipoteza mediului continuu consideră că orice domeniu elementar al corpului
este ocupat de materie adică nu se acceptă existența unor goluri sau a unor crăpături
microscopice (fisuri) Deși nu corespunde realităţii poate fi acceptată deoarece
dimensiunile corpului sunt mult mai mari decacirct dimensiunile particulelor elemantare Are
avantajul că permite utilizarea proprietăților matematice ale funcțiilor continue pentru
tensiunile și deformațiile din orice punct al corpului Ea este mai apropiată de realitate la
corpurile amorfe şi mai depărtată la cele cristaline dar conduce la rezultate satisfăcătoare
icircn calculele de rezistenţă
Ipoteza nu se poate aplica la corpurile care au goluri tăieturi (multiplu conexe)
pentru unele puncte singulare icircn care tensiunile și deformațiile tind la infinit sau icircn unele
probleme de plasticitate icircn care proprietățile de material au un rol esențial
Ipoteza izotropiei conform acestei ipoteze materialul din care este confecționat
un element de rezistență are aceleași proprietăți după orice direcție un astfel de material
este considerat izotrop Din punct de vedere macroscopic metalele pot fi considerate
izotrope deși la nivel microscopic proprietățile lor diferă de la o direcție cristalografică
la alta Orice conglomerat de cristale poate fi considerat izotrop
Există cazuri cacircnd această ipoteză a izotropiei nu se acceptă
la metalele puternic deformate după o direcție (prin laminare trefilare)
la piesele confecționate din lemn lemnul este anizotrop deoarece proprietățile sale
diferă după două direcții (icircn lungul fibrelor și perpendicular pe această direcție)
Ipoteza omogenității consideră că un corp are aceleași proprietăți icircn orice
punct al său Deși majoritatea materialelor utilizate icircn tehnică sunt eterogene la scară
micro fiind constituite din mai multe faze cu proprietăți diferite la scară macro ele pot
fi considerate omogene Omogenitatea și izotropia sunt proprietăți statistice medii care
nu se condiționează una pe cealaltă Chiar și materialele monofazice pot avea la scară
micro unele segregații care le fac eterogene
Ipoteza elasticităţii perfecte presupune că atacircta timp cacirct solicitările nu
depăşesc anumite limite materialul are o comportare elastică adică icircşi recapătă forma şi
dimensiunile iniţiale odată cu icircnlăturarea sarcinilor Icircn realitate materialele nu prezintă o
elasticitate perfectă ele avacircnd deformaţii remanente mici care icircnsă pot fi neglijate icircn
calculele de rezistenţă
Acceptarea acestei ipoteze a elasticității perfecte permite
- aplicarea relației biunivoce icircntre tensiuni și deformații relație exprimată de legea
lui Hooke ( = 119864 ∙ 휀) unde E este un factor de proporţionalitate numit modul de
elasticitate longitudinal al materialului pentru oţel 119864 = 21 ∙ 105 [119872119875119886] - acceptarea valabilității afirmației bdquolucrul mecanic efectuat de forțele exterioare
ca urmare a parcurgerii deplasărilor punctelor de aplicație se icircnmagazinează integral icircn
corp sub formă de energie de deformație energie cedată la icircndepărtarea sarcinilorrdquo
- este valabilă teoria conform căreia bdquoenergia icircnmagazinată și deformațiile depind
doar de starea inițială și finală de eforturi fără a ține cont de modul icircn care s-a ajuns la
starea finalărdquo
Icircn realitate oricacirct de mici ar fi sarcinile aplicate se produc și deformații plastice
dar acestea pot fi neglijate dacă solicitarea nu depășește anumite limite
342 Ipoteze de calcul
Ipoteza micilor deplasări bdquodeplasările datorate deformării sunt mult mai mici
decacirct dimensiunile corpurilor și ca urmare pot fi neglijate produsele dintre o deplasare și
ea icircnsăşirdquo Pentru cele mai multe corpuri deformaţiile elastice sunt de mărimi mici deci
corpurile solide sub acţiunea sarcinilor icircşi modifică foarte puţin forma iniţială Această
ipoteză este cunoscută şi sub denumirea de ipoteza menţinerii dimensiunilor iniţiale Ea
permite scrierea ecuaţiilor de echilibru ale staticii pe starea nedeformată a elementului
cacircnd nu se iau icircn considerare deplasările punctelor de aplicaţie ale forţelor care se produc
ca urmare a deformării acestuia Calculul efectuat pe schema nedeformată poartă numele
de calcul de ordinul I
Ipoteza micilor deplasări nu poate fi acceptată pentru studiul problemelor de
stabilitate sau la problemele la care nu pot fi icircndeplinite condiţiile de echilibru icircn starea
nedeformată
Calculul de ordinul II admite ipoteza micilor deplasări dar ecuaţiile de echilibru
se scriu icircnsă pentru starea deformată a elementului de rezistenţă
Calculul de ordinul III nu mai acceptă ipoteza micilor deplasări el referindu-se
la cazul deformaţiilor mari cacircnd ecuaţiile de echilibru trebuie scrise pentru starea
deformată
Chiar dacă materialul satisface legea lui Hooke icircn urma calculelor de ordinul II
se obţin de obicei relaţii neliniare icircntre sarcini şi deplasări iar pentru calculul de ordinul
III rezultă ecuaţii diferenţiale neliniare
Principiul efectului local al acțiunii sarcinilor enunțat de Barre de Saint-
Venant Acest principiu destul de folosit icircn Rezistenţa Materialelor precizează că dacă
se icircnlocuiesc forţele care acţionează asupra unui element de suprafață al unui corp
elastic printr-un alt sistem de forţe echivalent din punct de vedere static cu primul noua
distribuţie a forţelor produce la locul de aplicare diferenţe semnificative faţă de prima
dar rămacircne fără efect sau cu efect neglijabil la distanţe mari de locul de aplicare al
forţelor figura 312
Ca o cosecință o sarcină uniform distribuită figura 312a poate fi icircnlocuită cu
rezultanta ei figura 312b dacă se analizează efectul sarcinii la distanță mare de locul icircn
care se aplică sarcina
Fig 312 Principiul Saint-Venant
Icircn prima variantă figura 312a forţa 119865 se aplică pe o porțiune oarecare 119897 (sarcină
uniform distribuită) iar icircn a doua figura 312b icircntru-un punct (forţă concentrată) La
locul de aplicare a sarcinii efectul asupra barei este cu totul diferit de la o variantă la
cealaltă Icircnsă la o distanţă mare de punctul de aplicaţie spre exemplu icircn secţiunea situată
la distanţa 119886 de capătul barei sau chiar icircn icircncastrare ambele bare sunt solicitate la fel
Icircn cazul din figura 312a
119872119894(119909) =119901 ∙ 1199092
2 119909 le 119897 119872119894(119909) = 119901 ∙ 119897 ∙ (119909 minus
119897
2) 119909 gt 119897 (324)
Icircn cazul din figura 312b
119872119894(119909) = 0 119909 lt119897
2 119872119894(119909) = 119901 ∙ 119897 ∙ (119909 minus
119897
2) 119909 gt
119897
2 (325)
Se vede că pentru (119909 gt 119897) adică după depășirea locului icircn care se aplică sarcina
efectul este același
Ipoteza lui Bernoulli sau ipoteza secţiunilor plane precizează că o secţiune
plană şi normală pe axa barei icircnainte de deformare rămacircne plană şi normală pe axa
barei şi după deformare figura 313
Fig 313 Ipoteza lui Bernoulli
Ipoteza stării naturale a corpului sau ipoteza absenţei tensiunilor conform
căreia pentru un corp nesolicitat starea de tensiune şi deformaţie este nulă
Perfecţionarea mijloacelor de calcul şi de investigare pot conduce la renunţarea la
unele ipoteze sau la introducerea altora noi mai aproape de stările reale De aici rezultă
caracterul de continuă perfecţionare a metodelor Rezistenţei Materialelor
35 Coeficienţi de siguranţă Tensiuni admisibile
O piesă corespunde din punct de vedere tehnic dacă tensiunile care iau naştere icircn
interiorul piesei datorită sarcinilor aplicate nu depăşesc anumite valori limită stabilite
convenţional Aceste valori limită ale tensiunii sunt corelate cu caracteristicile mecanice
ale materialelor
Tensiunea limită utilizată icircn calculele de rezistenţă este cunoscută sub denumirea
de tensiune admisibilă sau rezistenţă admisibilă Rezistenţa admisibilă reprezintă
valoarea convenţională aleasă icircn calcul pe baza practicii pentru tensiunea maximă care
poate apare icircntr-o piesă icircn condiţii date de material şi solicitare
Rezistenţa admisibilă (120590119886 sau 120591119886) poate fi definită faţă de o stare limită
periculoasă stare care trebuie evitată deoarece poate conduce distrugere
120590119886 =120590119897119894119898119888
(326)
unde
120590119897119894119898 este tensiunea corespunzătoare stării limită periculoase
119888 estesupraunitar 119888 gt 1 și reprezintă coeficientul de siguranţă faţă de starea limită
periculoasă considerată
Alegerea unor valori inferioare pentru rezistenţa admisibilă faţă de tensiunea
corespunzătoare stării limită periculoase este necesară deoarece
cunoaşterea sarcinilor este de cele mai multe ori aproximativă şi o depăşire a
acestora este foarte posibilă
caracteristicile mecanice ale materialelor variază icircn limite destul de mari ele
fiind influenţate de mulţi factori
schema aleasă pentru calcul (aplicarea sarcinilor schematizarea structurii
ipotezele de calcul etc) depărtează modelul faţă de cel real
Pentru calculele de verificare tensiunea efectivă maximă din elementul de
rezistenţă trebuie să fie mai mică sau cel mult egală cu cea admisibilă
120590119890119891119898119886119909 le 120590119886 (327)
Valoarea rezistenţei admisibile este influenţată de foarte mulţi factori natura
materialului tratamentele termice aplicate piesei durata de funcţionare a piesei modul
de acţionare icircn timp a sarcinilor felul solicitării temperatura gradul de periculozitate
icircn cazul cedării piesei etc
De asemenea valoarea coeficientului de siguranţă se alege icircn principal ţinacircnd
seama de aceiaşi factori care influenţează şi rezistenţa admisibilă
Rezistenţele admisibile pentru cacircteva materiale sunt următoarele
pentru oțelul de uz general OL37 solicitat la icircntindere compresiune sau
icircncovoiere 120590119886 = 150 [119872119875119886] pentru lemnul de brad solicitat la
- compresiune icircn lungul fibrelor şi solicitat la icircncovoiere 120590119886 = 10 [119872119875119886] - tracţiune icircn lungul fibrelor 120590119886 = 7 [119872119875119886] - compresiune perpendiculară pe fibre 120590119886 = 15 [119872119875119886] - forfecare icircn lungul fibrelor 120591119886 = 2 [119872119875119886] - forfecare perpendiculară pe fibre 120590119886 = 45 [119872119875119886]
terenuri de fundaţie din pămacircnt uscat sau umed 120590119886 = 020 divide 025 [119872119875119886]
4 CARACTERISTICI GEOMETRICE ALE SECȚIUNILOR PLANE
41 Noţiuni introductive
Icircn relaţiile de calcul ale tensiunilor şi deformaţiilor elementelor de rezistenţă
pentru unele solicitări (icircncovoierea și torsiunea) secțiunile plane intervin atacirct prin
dimensiunile lor (aria 119860) cicirct și prin forma și poziția pe care o are secțiunea icircn raport cu
planul solicitării Mărimile care caracterizează o secțiune icircn raport cu forma și poziția față
de axele unui sistem de referință sunt denumite caracteristici geometrice de ordin
superior Aria secțiunii este caracteristica geometrică ce depinde doar de dimensiunile
geometrice ale acesteia
Să considerăm o grindă solicitată de o forță exterioară 119865 aşezată icircn două poziții icircn
raport cu planul forţei figura 41 Icircn urma aplicării forței deși avem aceeași grindă
(aceeași arie a secțiunii transversale) și aceeași forță se constată că pentru varianta din
figura 41a deformațiile sunt mult mai mari adică rezistența la icircncovoiere a grinzii din
figura 41a este mai mare decacirct icircn cazul grinzii din figura 41b Comportarea diferită se
explică prin aceea că modificarea poziţiei secţiunii transversale faţă de planul forţelor
modifică caracteristicile geometrice ale secţiunii transversale a grinzii
Fig 41 Grindă solicitată de forța 119865
Pentru realizarea calculelor de rezistenţă şi rigiditate este foarte importantă
cunoaşterea caracteristicilor geometrice ale suprafeţei secţiunii transversale a elementelor
de rezistenţă
Caracteristicile geometrice ale secţiunii transversale a unui element de rezistenţă
sunt
- aria secțiunii notată cu 119860
- momentul static icircn raport cu o axă notat 119878119911 și respectiv 119878119910
- momentul de inerție care poate fi
axial notat 119868119911 și respectiv 119868119910
centrifugal notat 119868119911119910
polar notat 119868119901
- raza de inerţie (giraţie)notată 119894119911 și respectiv 119894119910
- modulul de rezistență care poate fi
axial notat 119882119911 și respectiv 119882119910
polar notat 119882119901
42 Aria și momentul static al suprafețelor plane
Fie o suprafaţă plană de arie 119860 pe care se ia un element infinit mic de arie 119889119860 şi
un sistem de axe rectangulare 119911119874119910 figura 42 Notăm cu 119862 centrul de greutate al suprafeţei
119860 Poziţia suprafeţei elementare 119889119860 faţă de acelaşi sistem de coordonate 119911119874119910 este dată
de abscisa 119911 ordonata 119910 și raza polară
Fig 42 Suprafață plană de arie 119860
Aria suprafeţei 119860 figura 42 se defineşte ca fiind
119860 ≝ int 119889119860
119860
(41)
Aria suprafeţei este icircntotdeauna pozitivă și se măsoară icircn [1198981198982] Momentul static al suprafeţei de arie 119860 icircn raport cu axele 119874119911 și respectiv 119874119910
figura 42 sunt date de relaţiile
119878119911 ≝ int 119910 ∙ 119889119860
119860
119878119910 ≝ int 119911 ∙ 119889119860
119860
(42)
Momentul static poate fi pozitiv negativ sau nul şi se măsoară icircn [1198981198983] Coordonatele centrului de greutate ale suprafeței 119860 se detrmină cu relațiile
119910119862 ≝int 119910 ∙ 119889119860119860
119860 119911119862 ≝
int 119911 ∙ 119889119860119860
119860
(43)
Cunoscacircnd coordonatele 119910119862 și 119911119862 ale centrului de greutate 119862 al secțiunii 119860 atunci
momentele statice se pot determina cu relațiile
119878119911 ≝ int 119910 ∙ 119889119860
119860
= 119910119862 ∙ 119889119860 119878119910 ≝ int 119911 ∙ 119889119860
119860
= 119911119862 ∙ 119889119860 (44)
Aceste relații arată că momentul static al unei suprafețe icircn raport cu o axă este
egal cu produsul dintre aria suprafeței și distanța de la centrul ariei la axa respectivă
Dacă suprafaţa se poate descompune icircn 119899 suprafeţe simple la care se cunosc ariile
(1198601 1198602 ⋯ 119860119894⋯ 119860119899) și poziţiile centrelor de greutate 119862119894 faţă de sistemul de referinţă
expresiile momentelor statice capătă următoarea formă
119878119911 = sum 119910119862119894 ∙ 119860119894119899119894=1 = 119910119862 ∙ 119860 119878119910 = sum 119911119862119894 ∙ 119860119894
119899119894=1 = 119911119862 ∙ 119860 (45)
Din relaţiile (45) rezultă că poziţia centrului de greutate 119862 al unei suprafeţe
compuse poate fi determinată cu relaţiile
119910119862 = (sum119910119862119894 ∙ 119860119894
119899
119894=1
) 119860frasl 119911119862 = (sum119911119862119894 ∙ 119860119894
119899
119894=1
) 119860frasl (46)
Icircn relația (45) 119910119862119894 și respectiv 119911119862119894 reprezintă coordonatele centrelor de greutate 119862119894
ale fiecărei suprafețe simple 119860119894 icircn raport sistemul de axe 119911119874119910
Se constată (relaţia 42) că dacă axele sistemului de referinţă trec prin centrul de
greutate (119910119862 = 119911119862 = 0) momentele statice sunt nule Axele icircn raport cu care momentele
statice sunt nule şi care trec prin centrul de greutate al suprafeţei se numesc axe centrale
Observație dacă secțiunea compusă are o axă de simetrie centrul secțiunii se
găsește pe acea axă iar dacă secțiunea este dublu simetrică poziția centrului secțiunii este
la intersecția axelor de simetrie
43 Momente de inerţie
Momentele de inerţie axiale ale unei suprafețe se calculează icircn raport cu axele de
coordonate 119874119911 și respectiv 119874119910 figura 42 și se determină cu relațiile
119868119911 ≝ int 1199102 ∙ 119889119860
119860
119868119910 ≝ int 1199112 ∙ 119889119860
119860
(47)
Unde 119910 și 119911 sunt distanțele de la elementul de arie 119889119860 la cele două axe de
coordonate 119874119911 și respectiv 119874119910
Momentele de inerţie axiale se măsoară icircn [1198981198984] şi sunt icircntotdeauna pozitive (aria
119889119860 este icircntotdeauna pozitivă și este multiplicată cu patratul distanței 1199102 dacă 119868119911 sau 119868119910
sunt nule icircnseamnă ca secțiunea nu există)
Momentele de inerție axiale se calculează icircndeosebi pentru axele centrale (care
trec prin centrul secțiunii) deoarece icircn raport cu acele axe 119868119911 și 119868119910 au valori minime
Momentul de inerţie centrifugal calculat faţă ambele axe ale sistemului de
referinţă 119911119874119910 este definit de relația
119868119911119910 ≝ int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860
(48)
Momentul de inerţie centrifugal se măsoară icircn [1198981198984] şi poate fi pozitiv negativ
sau nul
Momentul de ineție centrifugal este nul 119868119911119910 = 0 dacă cel puțin una din axele 119874119911
sau 119874119910 este axă de simetrie pentru secțiune
Se consideră o suprafaţă dreptunghiulară pe care faţă de axa de simetrie 119874119910 se iau
două suprafeţe elementare de arie 119889119860 simetrice faţă de axa 119874119910 figura 43
Fig 43 Suprafață dreptunghiulară cu două arii elementare 119889119860
Făcacircnd suma momentelor de inerţie centrifugale pentru cele două suprafeţe
elementare 119889119860 (din stacircnga şi din dreapta faţă de axa 119874119910) se obţine
int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860119889119903
+ int (minus119911) ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860119904119905119892
= int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860119889119903
minus int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860119904119905119892
= 0 (49)
Acelaşi raţionament se poate face și pentru icircntreaga suprafaţă de unde obținem că
momentul de inerție centrifugal este nul 119868119911119910 = 0 Deci pentru o suprafaţă plană care
are cel puţin o axă de simetrie momentul de inerţie centrifugal faţă de sistemul care
conţine acea axă de simetrie este nul
Momentul de inerţie polar al unei suprafeţei icircn raport cu un punct (pol) 119874 figura
42 este definit prin relaţia
1198680 = 119868119901 ≝ int 1205882 ∙ 119889119860
119860
= int(1199102 + 1199112) ∙ 119889119860
119860
= 119868119911 + 119868119910 (410)
unde este distanţa de la polul 119874 la elementul de arie 119889119860 Momentul de inerţie polar se
măsoară icircn [1198981198984] şi este totdeauna pozitiv
Momentul de inerţie polar este egal cu suma momentelor de inerţie faţă de două axe
perpendiculare oarecare şi care trec prin polul considerat
Razele de giraţie sau razele de inerţie sunt mărimi calculate icircn raport cu axele
secțiunii și definite de relaţiile
119894119911 ≝ radic119868119911119860 119894119910 = radic
119868119910
119860 (411)
Se exprimă icircn [119898119898] şi sunt icircntotdeauna pozitive Semnificația unei raze de inerție
este distanța la care dacă ar fi concentrată icircntreaga arie s-ar obține același moment de
inerție ca și cel calculat pentru aria reală
44 Modulul de rezistenţă
Modulul de rezistență se calculează icircn raport cu axele de referință sau icircn raport cu
un pol figura 42 și pot fi axiale (119882119911119882119910) sau polar (119882119901) și se determină numai pe baza
momentelor de inerţie cu relațiile figura 43
119882119911119898119894119899 ≝119868119911119910119898119886119909
119882119911119898119886119909 ≝119868119911119910119898119894119899
(412)
119882119910119898119894119899 ≝119868119910
119911119898119886119909 119882119910119898119886119909 ≝
119868119910
119911119898119894119899 (413)
119882119901 ≝119868119901
120588119898119886119909 (414)
unde
119910119898119886119909 119910119898119894119899 reprezintă distanţa de la axa 119874119911 la punctele extreme cele mai
depărtate respectiv cele mai apropiate ale suprafeţei de această axă
119911119898119886119909 119911119898119894119899 reprezintă distanţa de la axa 119874119910 la punctele extreme cele mai
depărtate respectiv cele mai apropiate ale suprafeţei de această axă
120588119898119886119909 reprezintă distanța maximă de la polul 119874 la punctul secțiunii cel mai
icircndepărtat de acesta
Fig 43 Suprafață dreptunghiulară cu două arii elementare 119889119860
Modulele de rezistenţă se exprimă icircn [1198981198983] şi sunt icircntotdeauna pozitive
Explicația este aceea că momentele de inerție care intră icircn relațiile de definiție sunt
pozitive iar distanțele la punctele extreme sunt pozitive (119910119898119886119909 119910119898119894119899 119911119898119886119909 119911119898119894119899 120588119898119886119909 se
iau icircn valoare absolută)
Icircn cazul suprafeţelor compuse modulul de rezistenţă nu se obţine prin icircnsumarea
algebrică a modulelor de rezistenţă ale suprafeţelor simple componente ci numai prin
intermediul momentului de inerţie axial calculat pentru icircntreaga secțiune
Ca și momentele de inerție modulele de rezistență se calculează numai pentru
sistemele de axe centrale
45 Momente de inerţie şi module de rezistenţă pentru suprafeţe simple
451 Secțiune dreptunghiulară
Fie suprafaţa dreptunghiulară din figura 44 de icircnălțime ℎ și lățime 119887 pe care se
consideră suprafaţă elementară de arie 119889119860 = 119887119889119910 la distanța 119910 de axa 119862119911 sistemul de
axe 119911119862119910 trece prin centrul secțiunii iar axele sunt axe de simetrie pentru dreptunghi
Fig 44 Suprafață dreptunghiulară
Pe baza relațiilor de definiți a momentului de inerție 119868119911 se obține
119868119911 ≝ int 1199102 ∙ 119889119860
119860
= int 1199102 ∙ 119887 ∙ 119889119910 = 2int 1199102 ∙ 119887 ∙ 119889119910 = 2 ∙ 119887 ∙1199103
3|ℎ 2frasl
0rArr
ℎ 2frasl
0
ℎ 2frasl
minusℎ 2frasl
rArr 119868119911 =119887 ∙ ℎ3
12
(415)
Analog pentru un element de arie 119889119860 = ℎ ∙ 119889119911 paralel cu axa 119862119910 situat la distanța
119911 de axa 119862119910
119868119910 ≝ int 1199112 ∙ 119889119860
119860
= int 1199112 ∙ ℎ ∙ 119889119911 = 2int 1199112 ∙ ℎ ∙ 119889119910 = 2 ∙ ℎ ∙1199113
3|119887 2frasl
0rArr
119887 2frasl
0
119887 2frasl
minus119887 2frasl
rArr 119868119910 =1198873 ∙ ℎ
12
(416)
Deoarece axele 119862119911 și 119862119910 sunt axe de simetrie momentul de inerție centrifugal este
119868119911119910 = 0 (417)
Pentru un pătrat avacircnd laturile egale (ℎ = 119887 = 119886) momentele de inerţie faţă de
axele centrale au expresia
119868119911 = 119868119910 =1198864
12 (418)
Modulele de rezistență axiale se calculează cu relațiile de definiție ținacircnd cont că
distanțele pacircnă la fibrele extreme sunt
119910119898119886119909 = 119910119898119894119899 =ℎ
2 119911119898119886119909 = 119911119898119894119899 =
119887
2 (419)
Obținem
119882119911119898119894119899 = 119882119911119898119886119909 =119868119911
119910119898119886119909119898119894119899=119887 ∙ ℎ3
12frasl
ℎ2frasl
=119887 ∙ ℎ2
6
119882119910119898119894119899 = 119882119910119898119886119909 =119868119910
119911119898119886119909119898119894119899=1198873 ∙ ℎ
12frasl
1198872frasl
=1198872 ∙ ℎ
6
(420)
452 Suprafaţă circulară
Din motive de simetrie pentru suprafeţele circulare momentele de inerţie faţă de
orice diametru (care reprezintă şi axe centrale) sunt aceleaşi
Considerăm o secțiune circulară plină cu diametrul 119889 și centrul de greutate 119862 Prin
centrul de greutate 119862 trece sistemul de axe ortogonal 119911119862119910 figura 45
Fig 45 Suprafață circulară
La distanța de centrul de greutate 119862 vom lua un element de suprafață mic de arie
(119889119860) de forma unui inel de grosime 119889 Elementul de arie 119889119860 are expresia
119889119860 = (2 ∙ 120587 ∙ 120588) ∙ (119889120588)
Pornind de la relația de definiție a momentului de inerție polar obținem
119868119901 ≝ int 1205882 ∙ 119889119860
119860
= int 1205882 ∙ (2 ∙ 120587 ∙ 120588) ∙ 119889120588
119903=119889 2frasl
0
= 2 ∙ 120587 ∙1205884
4|119889 2frasl0 rArr
rArr 119868119901 =120587 ∙ 1198894
32
(421)
Secțiunea este perfect simetrică deci sunt valabile relațiile
119868119911 = 119868119910 rArr 119868119901 = 119868119911 + 119868119910 = 2 ∙ 119868119911 = 2 ∙ 119868119910 =119868119901
2=120587 ∙ 1198894
64 (422)
Și modulele de rezistenţă faţă de orice diametru sunt egale şi se calculează cu
relaţiile
119882119911 = 119882119910 =1198681199111198892frasl=120587 ∙ 1198893
32 (423)
Modulul de rezistenţă polar este
119882119901 =1198681199011198892frasl=120587 ∙ 1198893
16 (424)
453 Secţiune inelară
Calculul momentelor de inerţie axiale pentru o secţiune inelară avacircnd diametrul
interior 119889 şi diametrul exterior 119863 se determină analog pentru suprafaţa circulară plină cu
observaţia că integrala pentru calculul momentului de inerție polar 119868119901 se face icircntre
limitele 119903 = 119889 2frasl şi R= 1198632frasl (icircntre raza interioară 119903 şi raza exterioară 119877) figura 46
Se obţin relaţiile
119868119901 =120587 ∙ 1198634
32∙ [1 minus (
119889
119863)4
] =120587 ∙ 1198634
32∙ (1 minus 1198964) (425)
119868119910 = 119868119910 =120587 ∙ 1198634
64∙ [1 minus (
119889
119863)4
] =120587 ∙ 1198633
64∙ (1 minus 1198964) (426)
Fig 46 Secțiune inelară
119882119901 =120587 ∙ 1198633
16∙ [1 minus (
119889
119863)4
] =120587 ∙ 1198633
16∙ (1 minus 1198964) (427)
119882119911 = 119882119910 =120587 ∙ 1198633
32∙ [1 minus (
119889
119863)4
] =120587 ∙ 1198633
32∙ (1 minus 1198964) (428)
unde 119896 = 119889119863frasl
46 Variaţia momentelor de inerţie faţă de axe paralele
( Relațiile lui STEINER)
Se consideră o suprafaţă oarecare de arie 119860 cu elementul de arie 119889119860 și un sistemul
de axe central 119911119862119910 faţă de care se cunosc momentele de inerţie 119868119911 119868119910 119868119911119910 şi considerăm
un sistem de axe 11991111198741199101 paralele cu sistemul central figura 47 Se pune problema
determinării momentele de inerţie 1198681199111 1198681199101 11986811991111199101 faţă de sistemul de axe paralel cu sistemul
central 11991111198741199101 axe aflate la distanţele 119910119862 = 119888 respectiv 119911119862 = 119889 de acesta
461 Momente de inerţie axiale
Pe baza relaţiilor de definire şi a notaţiilor din figura 42 pentru momentele de
inerţie faţă de axele 1198741199111 1198741199101 se poate scrie
1198681199111 = int 11991012 ∙ 119889119860
119860
= int(119910 + 119888)2 ∙ 119889119860
119860
= int 1199102 ∙ 119889119860
119860
+ 2 ∙ 119888 ∙ int 119910 ∙ 119889119860
119860
+
+1198882int 119889119860
119860
rArr 1198681199111 = 119868119911 + 2 ∙ 119888 ∙ 119878119911 + 1198882 ∙ 119860 hArr 1198681199111 = 119868119911 + 119888
2 ∙ 119860
(429)
Fig 47 Variaţia momentelor de inerţie față de axe paralele
S-a ajuns la relația (429) deoarece momentul static 119878119911 este nul deoarece axa 119862119885
este axă centrală
Pentru momentul de inerție axial icircn raport cu axa 1198741199101 se obține
1198681199101 = int 11991112 ∙ 119889119860
119860
= int(119911 + 119889)2 ∙ 119889119860
119860
= int 1199112 ∙ 119889119860
119860
+ 2 ∙ 119889 ∙ int 119911 ∙ 119889119860
119860
+
+1198892 ∙ int 119889119860
119860
rArr 1198681199101 = 119868119910 + 2 ∙ 119889 ∙ 119878119910 + 1198892 ∙ 119860 hArr 1198681199101 = 119868119910 + 119889
2 ∙ 119860
(430)
Pentru momentul de inerție centrifugal obținem
11986811991111199101 = int 1199101 ∙ 1199111 ∙ 119889119860
119860
= int(119910 + 119888) ∙ (119911 + 119889) ∙ 119889119860
119860
= int 119910 ∙ 119911 ∙ 119889119860 +
119860
+119888 ∙ int 119911 ∙ 119889119860
119860
+ 119889 ∙ int 119910 ∙ 119889119860
119860
rArr 11986811991111199101 = 119868119911119910 + 119888 ∙ 119889 ∙ 119860
(431)
Deoarece
int 119911 ∙ 119889119860
119860
= 119878119910 = 0 int 119910 ∙ 119889119860
119860
= 119878119911 = 0 int 119910 ∙ 119911 ∙ 119889119860
119860
= 119868119911119910
Relaţiile (429) şi (430) arată că momentul de inerţie faţă de o axă oarecare
este egal cu momentul de inerţie faţă de o axă paralelă cu ea trecacircnd prin centrul de
greutate la care se adaugă produsul dintre aria suprafeţei şi pătratul distanţei dintre
cele două axe
Din relaţiile (429) și (430) rezultă de asemenea că momentul de inerţie faţă de o
axă centrală (care trece prin centrul de greutate) este cel mai mic dintre infinitatea de
momente de inerţie obținute faţă de alte axe paralele cu ea
Relaţia (431) arată de asemenea că momentul de inerţie centrifugal faţă de un
sistem de axe oarecare este egal cu momentul de inerţie centrifugal faţă de un sistem
paralele cu el trecacircnd prin centrul de greutate a suprafeţei la care se adaugă produsul
dintre aria suprafeţei şi distanţele dintre axele sistemelor respective
Icircn literatura de specialitate relaţiile (429) (430) şi (431) sunt cunoscute sub
numele de relaţiile lui Steiner
47 Variaţia momentrlor de inerţie faţă de axe rotite
Direcţii principale şi momente de inerţie principale
Fie suprafaţa plană din figura 48 de arie 119860 pe care considerăm o suprafaţă
elementară de arie 119889119860 Pentru sistemul de axe 119911119874119910 se cunosc momentele de inerţie
119868119911 119868119910 119868119911119910 şi vom determina relaţiile de calcul pentru momentele de inerţie afererent unui
sistem de axe 11991111198741199101 rotit cu un unghi faţă de sistemul central
Faţă de sistemul de axe 11991111198741199101 elementul de arie 119889119860 are coordonatele
1199101 = 119875119877 = 119875119876 minus 119877119876 = 119910 ∙ cos 120572 minus 119911 ∙ sin 120572
1199111 = 119873119872 = 119873119875 minus 119875119872 = 119911 ∙ cos 120572 + 119910 ∙ sin 120572 (432)
Fig 47 Variaţia momentelor de inerţie față de axe rotite
Pe baza relaţiilor de calcul ale momentelor de inerţie şi a notaţiilor din figura 42
şi ale relaţiilor (432) momentele de inerţie faţă de sistemul de axe rotit 11991111198741199101 sunt
1198681199111 =119868119911 + 119868119910
2+119868119911 minus 119868119910
2∙ cos 2120572 minus 119868119911119910 ∙ sin 2120572 (433)
1198681199101 =119868119911 + 119868119910
2minus119868119911 minus 119868119910
2∙ cos 2120572 + 119868119911119910 ∙ sin 2120572 (434)
11986811991111199101 =119868119911 minus 119868119910
2∙ sin 2120572 + 119868119911119910 ∙ cos 2120572 (435)
Din relaţiile 433divide435 se observă că icircntre momentele de inerţie axiale şi cele
polare există relaţia
1198681199111 + 1198681199101 = 119868119911 + 119868119910 = 119868119901 (436)
adică suma momentelor de inerţie axiale icircn raport cu orice pereche de axe ortogonale
care trec printr-un pol dat este o constantă şi egală cu momentul de inerţie polar
Prin rotirea sistemului de axe din relaţiile 433divide435 rezultă că momentele de inerţie
variază icircnsă suma lor rămacircne constantă deci există o poziţie a sistemului de axe pentru
care momentele de inerţie au valori extreme maxim respectiv minim
471 Direcţii principale de inerţie
Valoarea unghiului 120572 pentru care momentele de inerţie axiale au valori extreme
este
1205721 =1
2∙ 119886119903119888119905119886119899 (minus
2 ∙ 119868119911119910
119868119911 minus 119868119910) (437)
Poziţia celeilalte direcţii este perpendiculară pe cea dată de unghiul 1205721
Din relaţia (437) se constată că faţă de aceste direcţii rotite pentru care momentele
de inerţie axiale prezintă valori extreme momentul de inerţie centrifugal 11986811991111199101este nul
Atunci se poate afirma că momentele de inerţie axiale au valori extreme icircn raport cu
direcţiile faţă de care momentul de inerţie centrifugal este nul Aceste direcţii se numesc
direcţii principale iar momentele de inerţie faţă de aceste direcţii poartă numele de
momente de inerţie principale
Icircn calculele de rezistenţă interesează icircn mod special poziţia direcţiilor principale
care trec prin centrul de greutate al suprafeţei aşa numitele direcţii principale centrale şi
evident momentele de inerţie principale centrale
Direcţiile principale de inerţie se notează cu 1 respectiv 2 Axa principală 1
corespunde direcţiei faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea maximă iar
axa principală 2 pentru direcţia faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea
minimă
472 Momente de inerţie principale
Momentele de inerţie principale se notează cu litera 119868 la care se pune indicele 1
sau 2 după cum valoarea acestuia este maximă sau minimă deci avem un moment de
inerţie principal 1 (notat 1198681) respectiv moment de inerţie principal 2 (notat 1198682)
Expresiile pentru momentele de inerţie principale sunt
11986812 =119868119911 + 119868119910
2plusmn1
2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)
2+ 4 ∙ (119868119911119910)
2 (438)
Dacă momentul de inerţie centrifugal este negativ (119868119911119910 lt 0) direcţia principală
care trece prin primul cadran (definit de sistemul 119911119862119910) este direcţia principală 120783
Pentru suprafeţele cu cel puţin o axă de simetrie direcţiile centrale 119862119911 119862119910 sunt şi
direcții principale de inerţie și evident momentele de inerţie axiale 119868119911 119868119910 sunt momente
de inerţie principale
48 Caracteristici mecanice ale metalelor
Alegerea materialului pentru confecţionarea unei anumite piese se face şi pe baza
aşa numitelor caracteristici mecanice pe care le prezintă materialul Cunoaşterea acestor
caracteristici mecanice are loc numai pe baza unor icircncercări mecanice care să scoată icircn
evidenţă comportarea materialului icircn condiţii de solicitare
Cea mai utilizată icircncercare icircn urma căreia se pun icircn evidenţă caracteristicile
mecanice ale unui material este icircncercarea la tracţiune
481 Icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general
Icircncercarea la tracţiune a oţelului ca de altfel toate icircncercările de materiale este
standardizată
Icircn cele ce urmează se va prezenta numai partea care interesează strict din punct
de vedere al caracteristicilor mecanice ale oţelului
Epruveta de diametru iniţial 1198890 pentru icircncercarea la tracţiune are o porţiune de
lungime 1198710 numită baza de măsurare pe care se măsoară lungirea acesteia sub acţiunea
solicitării
Icircn funcţie de raportul dintre baza de măsurare 1198710 şi diametrul iniţial 1198890 epruvetele
utilizate pentru icircncercări sunt
epruvete normale (scurte) cacircnd 11987101198890 = 5
epruvete lungi cacircnd 11987101198890 = 10
Icircn timpul icircncercării la diferite valori ale forţei 119865 se măsoară lungirea bazei de
măsurare
∆119871 = 120575 = 119871 minus 1198710 (439)
unde
119871 este dimensiunea bazei de măsurare la un moment dat
Curba forţă-lungire (119865 minus ) icircnregistrată icircn urma icircncercării reprezintă curba
caracteristică la tracţiune
La icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general diagrama caracteristică care se
obţine are forma din figura 48
Curba caracteristică la tracţiune depinde de lungimea bazei de măsurare Pentru
icircnlăturarea acestui neajuns curba caracteristică se reprezintă icircn coordonate şi definite
astfel
120590 =119865
1198600 휀 =
120575
1198710 (440)
unde
1198600 este aria iniţială a secţiunii transversale a epruvetei (icircnainte de solicitare) icircn
zona bazei de măsurare
1198600 =120587 ∙ 1198890
2
4
Deoarece mărimile icircn care se reprezintă curba caracteristică la tracţiune sunt
raportate la aria iniţială a secţiunii transversale (mărimi specifice) curba poartă numele
de curbă caracteristică convenţională la tracţiune
Fig 48 Curba caracteristică convenţională la tracțiune
Pe curba caracteristică convenţională la tracţiune figura 48 se pot stabili o serie
de puncte cărora le corespund mai multe mărimi importante
Ordonata punctului A pacircnă unde curba caracteristică convenţională este linie
dreaptă se numeşte limita de proporţionalitate a materialului 120590119901(1205901) Porţiunea 119874119860 este
zona de proporţionalitate a curbei caracteristice pe acest domeniu este valabilă legea lui
Hooke care exprimă o proporţionalitate icircntre tensiune şi deformaţie specifică
120590 = 119864 ∙ 휀 (441)
unde
119864 = reprezintă panta porţiunii liniare a curbei convenționale caracteristice
la tracțiune Caracteristica de material 119864 se numeşte modul de elasticitate longitudinal
(modulul lui Young)
Ordonata punctului 119861 pacircnă unde materialul se comportă perfect elastic adică
după descărcare icircşi recapătă dimensiunea iniţială 1198710 se numeşte limita de elasticitate
120590119890(119877119890) Icircn realitate nici un material nu are comportare perfect elastică sub acţiunea
solicitărilor el capătă deformaţii permanente (remanente plastice)
După punctul 119861 urmează o porţiune 119861119862119863 icircn care cu toate că icircncărcarea
continuă forţa nu mai creşte avacircnd mici oscilaţii icircn jurul unei valori Se spune că icircn
această porţiune materialul curge iar intervalul 119861119862119863 este un palier de curgere Tensiunea
corespunzătoare palierului de curgere se numeşte limită de curgere aparentă 120590119888(119877119888) Limita de curgere aparentă se calculează cu relaţia
120590119888 =1198651198881198600 (442)
unde
119865119888 reprezintă valoarea forţei icircnregistrată icircn momentul curgerii materialului
După punctul 119863 curba caracteristică are un traseu ascendent pacircnă icircn punctul 119864
Porţiunea 119863119864 este numită zonă de icircntărire (ecruisare) Icircn zona de ecruisare unde se
produc deformaţii plastice semnificative legea lui Hooke nu mai este valabilă La
descărcare relaţia dintre tensiunea şi deformaţia specifică este liniară paralelă cu
porţiunea liniară a curbei caracteristice (dreapta 119872119873)
Deformaţia totală (휀119905) are două componente una elastică (휀119890) şi una plastică (휀119901)
Ordonata punctului 119864 reprezintă rezistenţa de rupere 120590119903(119877119898) a materialului
care se poate calcula cu relaţia
120590119903 = 119877119898 =1198651198981198861199091198600
(443)
unde
119865119898119886119909 reprezintă valoarea maximă a forţei icircnregistrată icircn timpul icircncercării
La atingerea valorii 119865119898119886119909 (punctul 119864) icircntr-un anumit loc al epruvetei secţiunea
icircncepe să se micşoreze (se produce gacirctuirea) continuacircnd pacircnă cacircnd se produce ruperea
totală (punctul 119865)
Dacă după ruperea epruvetei cele două părţi rezultate se aşează cap la cap şi se
măsoară dimensiunea bazei de măsurare 119871119906 (lungimea ultimă) se determină alungirea la
rupere sau lungirea specifică la rupere 휀119903
휀119903 =119871119906 minus 11987101198710
=∆119871
1198710=120575
1198710 (444)
De obicei alungirea se exprimă icircn procente şi se notează cu 119860119899 unde 119899 reprezintă
numărul dat de raportul 11987101198890 (epruvete normale 119899 = 5 epruvete lungi 119899 = 10)
119860119899 =119871119906 minus 11987101198710
∙ 100 [] (445)
Altă mărime care se determină la icircncercarea la tracţiune este gacirctuirea la rupere
(exprimată de obicei icircn procente) şi definită de relaţia
119885 =1198600 minus 1198601199061198600
∙ 100 [] (446)
Mărimile determinate limita de proporţionalitate modulul de elasticitate
longitudinal limita de elasticitate limita de curgere aparentă rezistenţa de rupere
alungirea la rupere şi gacirctuirea la rupere sunt cunoscute ca fiind caracteristici mecanice
ale materialului
Din curba caracteristică convenţională observăm faptul că ruperea (punctul 119865 din
figura 48 se produce la o tensiune mai mică decacirct cea corespunzătoare punctului 119864 Dacă
icircnsă forţa din timpul icircncercării s-ar raporta la aria secţiunii din momentul icircnregistrării
forţei (care este mai mică decacirct cea iniţială 1198600) s-ar obţine aşa numita curbă
caracteristică reală a materialului (traseul 1198741198601198611198621198631198651 din figura 48) La curba
caracteristică reală ruperea se produce icircn punctul 1198651 la o icircncărcare mai mare decacirct cea
corespunzătoare punctului 119864 Icircnseamnă că rezistenţa reală la rupere este mai mare decacirct
rezistenţa la rupere dată de punctul 119864 din diagrama caracteristică convenţională
Dificultatea obţinerii diagramei caracteristice reale faţă de cea a diagramei caracteristice
convenţionale şi considerarea unei rezistenţe la rupere mai mică decacirct a celei reale face
icircn practică utilizarea pe scară mare a diagramei caracteristice convenţionale
Caracteristicile mecanice determinate pe baza curbei caracteristice convenţionale
sunt şi ele caracteristici mecanice convenţionale
Caracteristicile mecanice convenţionale limita de proporţionalitate convenţională
120590119901 limita de elasticitate convenţională 120590119890 limita de curgere convenţională 120590119888 şi rezistenţa
de rupere 120590119903 constituie tensiuni limită pentru un material Pe baza acestor caracteristici
de material se alege valoarea tensiunii admisibile 120590119886 (vezi paragraful 35) pentru
calculele de rezistenţă Cea mai utilizată stare limită pentru stabilirea tensiunii admisibile
120590119886 este limita de curgere convenţională 120590119888
120590119886 =120590119897119894119898119888
=120590119888119888 119904119886119906 120590119886 =
120590119903119888 (447)
Caracteristicile mecanice ale materialului sunt influenţate de o serie de factori
temperatura viteza de solicitare factorii tehnologici iar valorile lor sunt date icircn tabele și
diagrame
Aplicaţie Pentru suprafaţa plană compusă din două dreptunghiuri avacircnd
dimensiunile din figura 49a să se calculeze
a) centrul de greutate al secțiunii compuse 119910119866 119911119866
b) momentele de inerție axiale 119868119911 119868119910 și momentul de inerție centrifugal 119868119911119910
c) razele de inerție 119894119911 119894119910
d) modulele de rezistență 119882119911119898119894119899 119882119911119898119886119909 119882119910119898119894119899 119882119910119898119886119909
e) momentele de inerție principale 1198681 1198682 și direcțiile principale de inerție 1205721
f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 119878119911
Fig 49 Aplicație
Rezolvare Pentru rezolvare vom parcurge următoarele etape
icircmpărțim suprafața compusă icircn două suprafețe simple (dreptunghiuri) notate cu
① și respectiv ② figura 49b
poziționăm centrele de greutate a celor două suprafețe simple ① și respectiv ②
notate cu 1198661 și respectiv 1198662 figura 49c
poziționăm sistemele de axe de coordonate 119911111986611199101 pentru dreptunghiul ① și
119911211986621199102 pentru dreptunghiul ② aflate la intersecția diagonalelor figura 49c
poziționăm sistemele de axe de coordonate 11991101198741199100 ales arbitrar față de care
determinăm poziția centrului de greutate 119866 figura 49c
a) calculăm poziția centrului de greutate folosind relațiile (46) icircn care
1198601 = 6119905 ∙ 119905 = 61199052 1198602 = 4119905 ∙ 119905 = 41199052 119860 = 1198601 + 1198602 = 61199052 + 41199052 = 101199052
iar centrele de greutate 1198661 și respectiv 1198662 au coordonatele (față de sistemul 11991101198741199100)
1198661 1199101 = 3119905 1199111 = 05119905
1198662 1199102 = 051199051199112 = 3119905
cu acestea obținem
119910119866 =1198601 ∙ 1199101 + 1198602 ∙ 1199102
119860=61199052 ∙ 3119905 + 41199052 ∙ 05119905
101199052=201199053
101199052= 2119905
119911119866 =1198601 ∙ 1199111 + 1198602 ∙ 1199112
119860=61199052 ∙ 05119905 + 41199052 ∙ 3119905
101199052=151199053
101199052= 15119905
Poziționăm centrul de greutate 119866 al suprafeței compuse figura 49c
Fig 49 Aplicație
b) pentru determinarea momentelor de inerție axiale 119868119911 119868119910 și a momentului de
inerție centrifugal 119868119910119911 determinăm constantele 1198881 1198882 1198891 1198892 care intervin icircn relația lui
Stainer
1198881 = 1199101 minus 119910119866 = 3119905 minus 2119905 = 119905 1198882 = minus(119910119866 minus 1199102) = minus(2119905 minus 05119905) = minus15119905
1198891 = minus(119911119866 minus 1199111) = minus(15119905 minus 05119905) = minus119905 1198892 = 1199112 minus 119911119892 = 3119905 minus 15119905 = 15119905
Folosind relațiile lui Stainer (429) (430) și (431) calculăm momentele de
inerție axiale și centrifugale față de sistemul central 119911119866119866119910119866
119868119911 =sum(119868119911119894 + 1198881198942 ∙ 119860119894) = 1198681199111 + 1198881
2 ∙ 1198601 + 1198681199112 + 11988822 ∙ 1198602
119868119910 =sum(119868119910119894 + 1198891198942 ∙ 119860119894) = 1198681199101 + 1198891
2 ∙ 1198601 + 1198681199102 + 11988922 ∙ 1198602
119868119911119910 =sum(119868119911119894119910119894 + 119888119894 ∙ 119889119894 ∙ 119860119894) = 11986811991111199101 + 1198881 ∙ 1198891 ∙ 1198601 + 11986811991121199102 + 1198882 ∙ 1198892 ∙ 1198602
1198681199111 = (119887 ∙ ℎ3
12) =
119905 ∙ (6119905)3
12= 181199054 1198681199112 = (
119887 ∙ ℎ3
12) =
4119905 ∙ 1199053
12= 031199054
1198681199101 = (1198873 ∙ ℎ
12) =
1199053 ∙ 6119905
12= 051199054 1198681199102 = (
1198873 ∙ ℎ
12) =
(4119905)3 ∙ 119905
12= 531199054
11986811991111199101 = 11986811991121199102 = 0 deoarece cele două triunghiuri au cel puțin o axă de simetrie
Cu acestea momentele de inerție axiale și momentul de inerție centrifugal devin
119868119911 = 181199054 + 1199052 ∙ 61199052 + 031199054 + (minus15119905)2 ∙ 41199052 = 3331199054
119868119910 = 051199054 + (minus119905)2 ∙ 61199052 + 531199054 + (15119905)2 ∙ 41199052 = 2081199054
119868119911119910 = 0 + 119905 ∙ (minus119905) ∙ 61199052 + 0 + (minus15119905) ∙ (15119905) ∙ 41199052 = minus151199054
c) razele de inerție sau de girație față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910
se calculează cu relațiile (411)
119894119911 = radic119868119911119860= radic
3331199054
101199052= 182119905 119894119910 = radic
119868119910
119860= radic
2081199054
101199052= 144119905
d) modulele de rezistență față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910 se
calculează cu relațiile (412) și (413)
Avacircnd icircn vedere figura 419c obținem
119910119898119886119909 = 6119905 minus 119910119866 = 6119905 minus 2119905 = 4119905 119910119898119894119899 = minus119910119866 = minus2119905
119911119898119886119909 = 5119905 minus 119911119866 = 5119905 minus 15119905 = 35119905 119911119898119894119899 = minus119911119866 = minus15119905
Se obține astfel
119882119911119898119894119899 =119868119911
|119910119898119886119909|=3331199054
4119905= 8331199053
119882119911119898119886119909 =119868119911
|119910119898119894119899|=3331199054
2119905= 16651199053
119882119910119898119894119899 =119868119910
|119911119898119886119909|=2081199054
35119905= 5941199053
119882119910119898119886119909 =119868119910
|119911119898119894119899|=2081199054
15119905= 13871199053
e) momentele de inerție principale 1198681 și respectiv 1198682 se calculează cu relațiile
(438)
11986812 =119868119911 + 119868119910
2plusmn1
2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)
2+ 4 ∙ (119868119911119910)
2=
=3331199054 + 2081199054
2plusmn1
2∙ radic(3331199054 minus 2081199054)2 + 4 ∙ (minus151199054)2 = 27051199054 plusmn 16251199054
De unde obținem
1198681 = 27051199054 + 16251199054 = 4331199054
1198682 = 27051199054 minus 16251199054 = 1081199054
Prima direcție principală de inerție 1 face cu axa centrală 119866119911 unghiul 1205721 dat de
relația (437)
1205721 =1
2∙ arctan (minus
2 ∙ 119868119911119910
119868119911 minus 119868119910) =
1
2∙ arctan [minus
2 ∙ (minus151199054)
3331199054 minus 2081199054] =33 70
Deoarece 1205721 gt 0 rotirea axelor se face acircn sens antiorar acelor de ceasornic figura
49d
Poziția axe principale 2 față de care momentul de inerție are valoarea minimă
1198682 = 119868119898119894119899 este dată de unghiul
1205722 = 1205721 + 900 = 33 70 + 900 = 123 70
f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 se determină cu relația
(45)
1198781199111198602 = 1198602 ∙ 1198882 = 41199052 ∙ (minus15119905) = minus61199053
Avacircnd icircn vedere că fețele Ad și As aparțin aceleeași secțiuni este evident faptul că
eforturile 119873(119909) 119879(119909) și 119872119894(119909) sunt identice cu eforturile 119873(119961120783) 119879(119961120783) și respectiv
119872119894(119961120783) Icircn figura 218c se prezintă o sinteză a convențiilor de semne pozitive pentru cele
3 eforturi atacirct pentru sensul de parcurs de la stacircnga la dreapta (secțiunea Ad) cacirct și pentru
sensul invers (secțiunea As)
Semnele eforturilor sunt importante icircntrucacirct există materiale cu comportări diferite
la icircntindere față de compresiune iar o schimbare a semnului unui efort poate produce
erori grave icircn calcule Semnele eforturilor au fost stabilite icircn funcție de deformațiile
produse și nu depind de sensul axelor sistemului de coordonate
26 Relaţii diferenţiale icircntre eforturi şi sarcini
Pentru a vedea ce legătură există icircntre eforturi și sarcini vom considera o bară
dreaptă icircncărcată cu o sarcină distribuită după o lege oarecare figura 219a Din această
bară vom decupa prin dublă secționare un element de lungime infinit mică 119889119909 Deoarece
lungimea 119889119909 este foarte mică se poate considera sarcina 119901 uniform distribuită Icircn
secțiunile rezultate trebuie să introducem eforturile care pot apărea
- 119879 şi 119872119894 icircn centrul secțiunii din sticircnga eforturi pe care le considerăm pozitive
- 119879 + 119889119879 şi 119872119894 + 119889119872119894 icircn centrul secțiunii din dreapta elementului
Aceste eforturi au o variație mică (119889119879 şi 119889119872119894) față de secțiunea anterioară Spre
deosebire de cazul icircn care bara este secționată o singură dată icircn acest caz eforturile nu
pot fi determinate din cele 2 condiții de echilibru independente deoarece icircn ecuațiile de
echilibru apar 4 necunoscute 119879 119889119879119872119894 și 119889119872119894 deci că problema este dublu static
nedeterminată figura 219
Fig 219 Echivalența icircntre eforturi și sarcini
Ecuațiile de echilibru scrise pentru elementul din figura 219b conduc la stabilirea
unor relaţii foarte importante
(sum119865)119910= 0 hArr 119879 minus 119901 ∙ 119889119909 minus (119879 + 119889119879) = 0 rArr
119889119879
119889119909= minus119901 (210)
Relația (210) arată că derivata funcţiei forţei tăietoare icircn raport cu abscisa
secţiunii este egală cu sarcina distribuită normală la axa barei din acea secţiune luată
cu semn schimbat
Observații
dacă 119901 = 0 nu există sarcină distribuită atunci forța tăietoare T este constantă
icircnclinarea pantei diagramei forței 119879 este egală cu (ndash 119901) (sarcina distribuită cu
semn schimbat)
dacă 119901 = 119888119900119899119904119905 119879 variază liniar pe acel interval
Asemănător se deduce că derivata funcţiei forţei axiale icircn raport cu abscisa
secţiunii este egală cu sarcina distribuită axială din acea secţiune luată cu semn
schimbat adică
119889119873
119889119909= minus119901119867 (211)
Din condiția de echilibru suma de momente faţă de centrul de greutate al secţiunii
din dreapta
(sum119872)119862= 0 hArr 119872119894 minus (119872 + 119889119872119894) + 119879 ∙ 119889119909 minus 119901 ∙
(119889119909)2
2= 0 rArr
119889119872119894
119889119909= 119879 (212)
Relația (212) s-a obținut dupa reducerea termenilor și prin neglijarea infinitului
mic de ordinul 2
119901 ∙(119889119909)2
2
Relația (212) arată că derivata funcţiei moment icircncovoietor icircn raport cu abscisa
secţiunii este egală cu forţa tăietoare din acea secţiune
Observații
dacă 119879 = 0 momentul 119872119894 are un punct de extrem se obține o valoare maximă
pentru 119872119894119898119886119909 dacă forța tăietoare 119879 se anulează trecacircnd de la plus icircn stacircnga la minus icircn
dreapta secțiunii
dacă forța tăietoare este pozitivă pe un interval 119879 gt 0 atunci 119872119894 este crescătoare
pe acel interval
dacă forța tăietoare este negativă pe un interval 119879 lt 0 atunci 119872119894 este
descrescătoare pe acel interval
dacă pe un interval 119901 = 0 forța tăietoare este constantă 119879 = 119888119905 iar 119872119894 variază
liniar pe acel interval
dacă 119901 = 119888119900119899119904119905 119879 variază liniar pe acel interval iar 119872119894 variază parabolic pe
acel interval
Relaţiile diferenţiale sunt utile la reprezentarea corectă şi verificarea diagramelor
de eforturi astfel
pentru porţiunile de grindă pe care p = 0 eforturile N şi T sunt constante iar pe
porţiunile cu p = const eforturile N şi T variază liniar (relaţiile 211 şi 210)
dacă pe o porţiune T = const momentul icircncovoietor Miz variază liniar iar dacă
T variază liniar atunci momentul Miz variază parabolic (relaţia 212)
pe domeniile pe care T gt 0 funcţia Mi(x) este crescătoare iar icircn secţiunea icircn
care T = 0 (graficul funcţiei T intersectează axa x) momentul icircncovoietor are un punct
de extrem local (maxim sau minim relaţia 212)
Pentru rezolvarea problemelor referitoare la trasarea diagramelor de eforturi
pentru barele drepte solicitate de sisteme de forţe plane se parcurg următoarele etape
1) identificarea forţelor aplicate (date) şi pregătirea lor pentru calcule
(descompunerea forţelor concentrate pe direcţiile x şi y calculul rezultantelor forţelor
distribuite)
2) identificarea reazemelor şi introducerea reacţiunilor corespunzătoare (vezi
figurile 27divide29)
3) stabilirea ecuaţiilor de echilibru static calculul şi verificarea reacţiunilor Icircn
rezistența materialelor se folosește sistemul de ecuații (vezi figura 217)
(sum119865)
119909= 0
(sum119872)119860= 0
(sum119872)119861= 0
(213)
4) identificarea domeniilor de variaţie şi scrierea funcţiilor de eforturi pentru N T
şi Mi
5) reprezentarea grafică a diagramelor de eforturi
6) verificarea corectitudinii diagramelor pe baza relaţiilor diferenţiale icircntre eforturi
şi sarcini
Aplicație Pentru grinda dreaptă icircncărcată cu sistemul de forţe reprezentat icircn figura
220 se cere
a) să se calculeze şi să se verifice reacţiunile
b) să se stabilească funcţiile eforturilor Nx Ty şi Miz şi să se reprezinte diagramele
de variaţie
c) să se analizeze relaţiile diferenţiale icircntre eforturi şi sarcini
Dimensiunile grinzii au valorile a = 6 [m] b = 4 [m] și c = 4[m] sistemul de
forţe aplicat fiind format din p = 10 [kN mfrasl ] F = 20 [kN] (icircnclinată cu unghiul α =300 faţă de orizontală) şi M0 = 40 [kN ∙ m]
Rezolvare
a) Se fac următoarele precizări
grinda dreaptă se reprezintă prin axa geometrică
forţa icircnclinată F se descompune după direcţiile orizontală şi verticală icircn FV =F ∙ sin α = 10 [kN] şi FH = F ∙ cos α = 173 [kN]
forţa distribuită uniform p este echivalentă din punct de vedere static cu
rezultanta sa R = p ∙ a = 60 [kN] care acţionează la jumătatea porţiunii de lungime a
icircn reazemele 119860 şi 119861 se introduc componentele HA şi VA respectiv VB ale
reacţiunilor
Pentru calculul reacţiunilor se utilizează ecuaţiile de echilibru static al grinzii
sumXi = 0 HA minus FH = 0 sumYi = 0 VA + VB minus R minus FV = 0 (sumM)B = 0 VA ∙ (b + a) minus R ∙ (b + 05 ∙ a) minus M0 + FV ∙ c = 0
(A1)
Din prima ecuaţie se obţine HA iar din cea de-a treia ecuaţie rezultă VA
HA = FH = 173 [kN]
VA =[R ∙ (b + 05 ∙ a) + M0 minus FV ∙ c]
(b + a)=[60 ∙ (4 + 05 ∙ 6) + 40 minus 10 ∙ 4]
(4 + 6)
VA = 42 [kN]
(A2)
Fig 220 Aplicație
Se observă că cea de-a doua ecuaţie de echilibru conţine două necunoscute
reacţiunile VA şi VB Pentru a calcula componenta VB nu este indicată introducerea lui VA
icircn cea de-a doua ecuaţie a sistemului (A1) pentru că o valoare determinată greşit pentru
VA conduce la o valoare VB de asemenea greşită O ecuaţie independentă din care se poate
determina componenta VB este următoarea
(sumM)A= 0 FV ∙ (a + b + c) minus VB ∙ (a + b) minus M0 + R ∙ 05 ∙ a = 0 (A3)
de unde se obţine
VB =[FV ∙ (a + b + c) minusM0 + R ∙ 05 ∙ a]
(b + a)=[10 ∙ (6 + 4 + 4) minus 40 + 60 ∙ 05 ∙ 6]
(6 + 4)
VB = 28 [kN] (A4)
Ecuaţia de proiecţii ale forţelor pe direcţia verticală (a doua ecuaţie din sistemul
A1) se utilizează pentru verificarea reacţiunilor deja determinate
VA + VB minus R minus FV = 0 rArr 42 + 28 minus 60 minus 10 = 0 (A5)
Ultima egalitate demonstrează că reacţiunile verticale au fost calculate corect
Din cele de mai sus rezultă ordinea firească pentru determinarea reacţiunilor icircn
cazul grinzilor simplu rezemate
sumXi = 0
(sumM)A = 0
(sumM)B = 0
(A6)
iar pentru verificarea componentelor verticale VA şi VB se folosește ecuaţia sumY = 0
b) La stabilirea funcţiilor de eforturi se parcurg icircn general etapele următoare
se notează (numeric sau literal după preferinţă) secţiunile care delimitează
domeniile (intervalele sau tronsoanele) pe care eforturile nu-şi modifică funcţiile (au legi
unice de variaţie)
pe fiecare domeniu se marchează secţiunea imaginară icircn care se stabilesc
funcţiile eforturilor
secţiunea astfel aleasă separă icircn două părţi grinda şi anume porţiunea din stacircnga
şi porţiunea din dreapta secţiunii
se va considera parcursă (şi icircndepărtată) acea parte pe care acţionează mai puţine
sarcini exterioare pentru că acestea vor interveni icircn expresiile funcţiilor de eforturi
poziţiile secţiunilor imaginare se vor determina prin variabilele x1 ⋯ xn (unde
n reprezintă numărul domeniilor de variaţie) cu originea fixată icircn capătul intervalului şi
sensul de parcurgere spre partea considerată rămasă
Grinda prezentată icircn figura 220 are trei domenii de variaţie pentru funcţiile de
eforturi după cum urmează (A-1) (2-B) şi (B-1)
Domeniul (A-1) x1 isin [0 a = 6 m] Porţiunea parcursă şi considerată icircndepărtată este cea de coordonată x1 pe care
acţionează reacţiunile HA şi VA precum şi rezultanta parţială a sarcinii distribuite R1 =p ∙ x1
Funcţia forţă axială Nx are expresia
Nx(x1) = NAminus1 = minusHA = minus173 [kN] = const
(A7)
Funcţia forţă tăietoare Ty are exspresia
Ty(x1) = TAminus1 = VA minus R1 = VA minus p ∙ x1 (A8)
care reprezintă o variaţie liniară de variabilă x1 Se calculează valorile forţei tăietoare la
limitele intervalului de variaţie
- pentru x1 = 0 Ty(x1 = 0) = TA = VA = 42 [kN]
- pentru x1 = a = 6 [m] Ty(x1 = 6) = T1 = VA minus p ∙ a = minus18 [kN]
Observaţie Aşa cum a fost stabilită secţiunea fictivă poziţionată prin coordonata
x1 sar părea că rezultanta R ar trebui luată icircn calculul lui Ty(x1) Acest lucru ar fi greşit
pentru că R = p ∙ a reprezintă rezultanta sarcinii distribuite pe toată lungimea a iar
rezultanta pe porţiunea parcursă de lungime x1 este R1 = p ∙ x1 ne R = p ∙ a
Cu valorile obţinute se trasează diagramele forţelor axială Nx = f(x) şi tăietoare
Ty = f(x) figura 220 Din diagrama forţei tăietoare şi din valorile obţinute analitic se
observă că forţa tăietoare icircşi schimbă semnul pe intervalul analizat deci se anulează pe
acest interval Poziţia secţiunii unde Ty se anulează se determină din ecuaţia
Ty(x1) = 0 rArr VA minus p ∙ x1 = 0 (A9)
cu soluţia x1lowast = ξ = 42 [m] Important de reamintit că icircn această secţiune momentul
icircncovoietor va avea un extrem local adică Miz are un extrem la Ty = 0
Funcţia moment icircncovoietor Miz are expresia
Miz(x1) = VA ∙ x1 minus R1 ∙x12= VA ∙ x1 minus (p ∙ x1) ∙
x12
(A10)
Se observă că funcţia moment icircncovoietor de variabilă x1 are o variaţie parabolică
(gradul al II-lea) Pentru reprezentarea grafică a funcţiei parabolice se calculează valorile
momentului icircncovoietor icircn trei secţiuni
- pentru x1 = 0 Miz(x1 = 0) = MA = 0 [kN ∙ m] - pentru x1 = a = 6 [m] Miz(x1 = 6) = M1 = 72 [kN ∙ m] - pentru x1
lowast = ξ = 42 [m] Miz(x1lowast = ξ = 42 [m]) = Mimax = 882 [kN ∙ m]
Cu acestea se trasează diagrama Miz = f(x) pe intervalul (A-1) figura 220
Observaţie Icircn unele cazuri pe un anumit interval forţa tăietoare nu se anulează
şi momentul icircncovoietor nu are un extrem local Icircn acest caz pentru reprezentarea
variaţiei parabolice a momentului icircncovoietor se va studia semnul derivatei a doua a
funcţiei Miz = f(x1) acesta determinacircnd convexitatea curbei momentului icircncovoietor
Domeniul (2-B) x2 isin [0 c = 4 m] Porţiunile din grindă libere (nerezemate) la un capăt se numesc console iar
stabilirea funcţiilor de eforturi devine mai simplă dacă se consideră icircndepărtată partea din
dreapta secţiunii prin schimbarea sensului pozitiv al axei x Astfel se obţin funcţiile eforturilor
Funcţia forţă axială Nx are expresia
Nx(x2) = N2minusB = minusFH = minus173 [kN] = const
(A11)
Funcţia forţă tăietoare Ty are exspresia
Ty(x2) = T2minusB = FV = 10 [kN] = const (A12)
Funcţia moment icircncovoietor Miz are expresia
Miz(x2) = minusFV ∙ x2 rArr Miz(x2 = 0) = M2 = 0 [kN ∙ m]
Miz(x2 = 4) = MB = minus40 [kN ∙ m] (A13)
variaţie liniară (gradul I)
Domeniul (B-1) x3 isin [0 b = 4 m] Pe acest domeniu se acceptă parcurgerea grinzii de la dreapta adică se consideră
icircndepărtată partea din dreapta secţiunii fictive pentru că are doar două sarcini aplicate F
şi VB faţă de partea din stacircnga secţiunii pe care sunt aplicate trei sarcini p VA şi M0
Astfel se obţin funcţiile eforturilor
Funcţia forţă axială Nx are expresia
Nx(x3) = NBminus1 = minusFH = minus173 [kN] = const
(A14)
Funcţia forţă tăietoare Ty are exspresia
Ty(x3) = TBminus1 = FV minus VB = minus18 [kN] = const (A15)
Funcţia moment icircncovoietor Miz are expresia
Miz(x3) = minusFV ∙ (x3 + c) + VB ∙ x3 rArr
rArr Miz(x3 = 0) = MB = minus40 [kN ∙ m]
Miz(x3 = 4) = M1 = 32 [kN ∙ m]
(A16)
variaţie liniară (gradul I)
Diagramele eforturilor sunt prezentate icircn figura 220
c) Relaţiile diferenţiale dintre eforturi şi sarcini se analizează pe diagramele
eforturilor după cum urmează
sarcina distribuită nu are componentă orizontală adică ph = 0 şi icircn
conformitate cu formula (211) rezultă că Nx = const pe toată lungimea grinzii fapt care
a rezultat din funcţia şi reprezentarea diagramei forţei axiale
pe intervalul (A-1) sarcina distribuită are doar componenta verticală pozitivă
pV = p gt 0 prin urmare forţa tăietoare scade (are panta negativă dTy 119889119909frasl = minusp vezi
relaţia 210) iar momentul icircncovoietor avacircnd derivata a doua negativă d2M119894119911 1198891199092frasl =minuspare convexitatea curbei orientată spre sensul pozitiv al axei momentului Miz adică icircn
jos
pe domeniile (2-B) şi (B-1) deoarece pv = 0 forţa tăietoare Ty este constantă
iar momentul icircncovoietor Miz variază liniar
referitor la relaţia (212) pe porţiunile unde Ty gt 0 momentul Miz este
monoton crescător pe porţiunile unde Ty lt 0 momentul Miz este monoton descrescător
iar icircn secţiunea icircn care Ty = 0 momentul icircncovoietor are un extrem local Mξ =
882 [kN ∙ m] icircn diagrama forţei tăietoare discontinuităţile (salturile) se produc icircn secţiunile
unde acţionează VA VB şi FV iar icircn diagrama momentului icircncovoietor se produce un
singur salt icircn secţiunea icircn care este aplicat M0
se poate scrie
Mξ = suprafața diagramei Ty |ξ0=1
2∙ 42 ∙ 42 = 882 [kN ∙ m]
sau parcurgacircnd grinda de la dreapta la stacircnga rezultă
MB = minussuprafața diagramei Ty |c0= minus10 ∙ 4 = minus40 [kN ∙ m]
Toate aspectele analizate teoretic referitoare la relaţiile diferenţiale dintre eforturi
şi sarcini se regăsesc icircn diagramele de eforturi din figura 220 ceea ce icircnseamnă că
diagramele au fost reprezentate corect
3 TENSIUNI DEPLASĂRI ŞI DEFORMAŢII SPECIFICE
31 Tensiuni
Eforturile obținute icircn urma reducerii forțelor interioare icircn centrul de greutate al
secțiunii nu pot da informații asupra solicitării fiecărui punct al secțiunii respective Este
necesar să se cunoască modul cum se distribuie forțele interioare icircn fiecare punct al
secțiunii pentru a ști care este intensitatea maximă a solicitării Această intensitate
maximă se poate compara cu o valoare critică specifică materialului stabilindu-se astfel
dacă solicitarea este periculoasă sau nu
Mărimea care caracterizează solicitarea locală punctuală o vom denumi tensiune
și o vom defini icircn cele ce urmează Să considerăm partea din dreapta a unui corp solicitat
de forțele exterioare 1198651 1198652 și 1198653 obținută prin secționarea corpului și mărginită de fața
din dreapta Ad a secțiunii Pe secțiunea Ad vom considera un element de arie infinit mic
∆119860 caracterizat de normala la elementul de arie normală care are cosinușii directori
120573 și icircn raport cu un sistem de axe considerat fix Pe elementul infinit mic ∆119860 acționează
forțele interioare care au o rezultantă oarecare figura 31
Prin definiție tensiunea totală este
= lim∆119860rarr0
∆
∆119860 (31)
Tensiunea are aceeaşi direcţie cu forţa elementară ∆ iar mărimea ei este
determinată atacirct de mărimea forţei ∆ cacirct şi de orientarea suprafeţei ∆119860 faţă de direcţia
forţei
Tensiunea 119901 poate fi descompusă icircntr-o componentă orientată după direcţia
normalei la secţiune tensiunea normală notată cu 120590119909 şi o componentă icircn planul secţiunii
tensiunea tangenţială notată cu figura 32
= 119909 + 120591 (32)
Fig 31 Tensiunea totală Fig 32 Tensiunea normală și tangențială
La racircndul ei componenta tensiunii cuprinsă icircn planul secțiunii poate fi
descompusă după direcțiile axelor y și z
120591 = 120591119909119910 + 120591119909119911 (33)
Icircntre cele trei componente ale tensiunii totale care acționează pe elementul de arie
∆119860 este valabilă relația
1199012 = 1205901199092 + 120591119909119910
2 + 1205911199091199112 (34)
După sensul pe care icircl are tensiunea normală 120590 poate avea efect de tracţiune sau
de compresiune exercitat de către partea de corp icircnlăturată asupra părţii rămase Analog
tensiunea tangenţială 120591 poate avea efect de tăiere forfecare sau alunecare Pentru
componentele tensiunii tangențiale 120591119909119910 pe direcţia 119910 respectiv 120591119909119911 pe direcţia 119911 primul
indice indică axa pe care tensiunea este normală iar cel de-al doilea indice indică axa cu
care aceasta este paralel
Tensiunea este o mărime tensorială valoarea ei depinzacircnd atacirct de poziția
punctului icircn planul secțiunii cicirct și de orientarea planului de secționare deci de normala
Operaţiile vectoriale nu pot fi aplicate tensiunilor decacirct după ce acestea au fost icircnmulţite
cu ariile respective adică au fost transformate icircn forţe
Icircn literatura de specialitate mai ales icircn manualele mai vechi pentru noţiunea de
tensiune se mai foloseşte şi denumirea de efort specific
Dacă se consideră un alt element de arie ∆119860 cu centrul icircn același punct avacircnd ca
normală axa 119910 se vor obține alte tensiuni și anume
- 120590119910 este tensiunea normală (paralelă cu axa y)
- 120591119911119909 și 120591119910119911 sunt tensiuni tangențiale paralele cu axele 119909 și respectiv 119911 aflate icircn
planul care are ca normală axa 119910
Dacă icircn jurul unui punct dintr-un corp solicitat se consider un element de volum
infinit mic de forma unui cub icircn cazul cel mai general pe fețele sale vor acționa
tensiunile normale 120590119909 120590119910 și 120590119911 și respectiv tensiunile tangențiale 120591119909119910 120591119909119911 120591119910119909 120591119910119911 120591119911119909
și respectiv 120591119911119910 figura 33 Aceste tensiuni definesc starea de tensiune a punctului
observacircnd faptul că tensorul tensiune are 9 componente Dacă se consideră elementul
de volum finit ca fiind foarte mic se poate presupune că icircn interiorul său nu apar forțe
Ca urmare el va fi icircn echilibru sub acțiunea forțelor elementare produse de tensiunile de
pe fețele sale
Din condiția ca elementul să nu se rotească icircn jurul unor axe care trec prin centrul
său și sunt paralele cu axele sistemului 119909119874119910119911 rezultă
2 ∙ 120591119909119910 ∙ (119889119910 ∙ 119889119911) ∙119889119909
2= 2 ∙ 120591119910119909 ∙ (119889119909 ∙ 119889119911) ∙
119889119910
2 rArr 120591119909119910 = 120591119910119909 (35)
2 ∙ 120591119910119911 ∙ (119889119909 ∙ 119889119911) ∙119889119910
2= 2 ∙ 120591119911119910 ∙ (119889119909 ∙ 119889119910) ∙
119889119911
2 rArr 120591119910119911 = 120591119911119910 (36)
2 ∙ 120591119909119911 ∙ (119889119910 ∙ 119889119911) ∙119889119909
2= 2 ∙ 120591119911119909 ∙ (119889119909 ∙ 119889119910) ∙
119889119911
2 rArr 120591119909119911 = 120591119911119909 (37)
Relațiile (35divide37) 120591119909119910 = 120591119910119909 120591119910119911 = 120591119911119910 120591119909119911 = 120591119911119909 exprimă principiul dualității
tensiunilor tangențiale
Fig 33 Tensiunile normale și tangențiale pe fețele unui cub
Din condiția ca elementul considerat să nu se deplaseze icircn lungul axelor de
coordonate pe fețele opuse acționează aceleași tensiuni normale 120590119909 120590119910 și respectiv 120590119911
Definirea tensorului tensiune este posibilă dacă se cunosc cele 6 componente
independente ale acestuia aflate icircn trei plane perpendicular ce trec prin punctul respectiv
=
120590119909 120591119909119910 120591119909119911120591119910119909 120590119910 120591119910119911120591119911119909 120591119911119910 120590119911
Observaţii
Tensiunile se măsoară icircn [119873 1198982frasl ] (1119873 1198982frasl = 1 119875119886) sau icircn [119872119875119886]
(1 119872119875119886 = 106119875119886 = 106 119873
1198982 1 119872119875119886 = 1
119873
1198981198982)
Starea de tensiune dintr-un punct este considerată cunoscută dacă se cunosc
tensiunile 119901 care acționează pe infinitatea de elemente de suprafață ce trec prin punctual
considerat
Starea de tensiune a unui corp se consider cunoscută dacă se cunosc stările de
tensiune de pe infinitatea de puncte ale corpului considerat
32 Deplasări Deformaţii specifice
321 Deplasări
Aceste noțiuni sunt utile icircn analiza aspectului geometric al problemelor de rezistența
materialelor Deplasările care se analizează sunt cele datorate schimbării formei și
dimensiunilor corpurilor ca urmare a acțiunii forțelor exterioare și nu cele cinematice
posibile pentru solidul rigid care se poate deplasa cu anumită viteză și accelerație
Spre exemplu icircn figura 34a și figura 34b sub acțiunea forței 119865 tronsonul de
bară AB se deformează icircn timp ce tronsonul BC deși punctele sale au deplasări rămacircne
nedeformat (fiind nesolicitat) Toate punctele de pe axele barelor cu excepția celor din
icircncastrare (secțiunile A) au deplasări liniare De cele mai multe ori deformațiile barelor
datorate acțiunii forțelor exterioare se anulează la icircndepărtarea forțelor se spune că
deformațiile sunt elastice Secțiunile transversale ale barei din figura 34a se și rotesc icircn
raport cu pozițiile lor inițiale Spre exemplu secțiunea de căpăt cu centrul icircn C se rotește
cu unghiul
Fig 34 Deformațiile unei grinzi
Oricacirct de complexă ar fi delormația unui corp ea poate fi descrisă de lungiri sau
scurtări și de modificări ale unghiurilor inițiale
Deplasările măsoară schimbarea poziției unui punct al corpului și pot fi liniare
sau unghiulare
Prin deplasare liniară a unui punct se icircnțelege drumul parcurs de acest punct icircn
decursul procesului de deformație după o dreaptă suport dreapta 1198611198611 din figura 34a
Prin deplasare unghiulară se icircnțelege rotirea dintre segmentele de dreaptă
determinate de două puncte ale corpului icircnainte și după deformarea acestuia unghiul
pe care-l fac segmentele 119861119862 și 11986111198621 din figura 34a Această rotire se măsoară prin
unghiul pe care-l fac proiecțiile dreptelor ce conțin cele două segmente icircntr-un sistem
triortogonal
Icircn cazul cel mai general vectorul deplasare liniară se poate descompune icircntr-un
sistem triortogonal icircn trei componente 119906 119907 și 119908 figura 35
Fig 35 Deplasarea liniară
Se consideră acum un corp solid raportat la un sistem de axe ortogonal 119909119874119910119911
figura 35 după deformarea corpului un punct oarecare 119870 al acestuia se deplasează icircn
poziţia 1198701 vectorul 1198701198701 poartă numele de vectorul deplasării totale
Deplasarea totală este suma deplasărilor pe cele trei direcţii ortogonale iar
aceste deplasări se notează astfel
deplasarea pe direcţia 119909 cu ∥ 119874119909
deplasarea pe direcţia 119910 cu ∥ 119874119910
deplasarea pe direcţia 119911 cu ∥ 119874119911
Componentele deplasărilor și formeză matricea deplasărilor liniare 119906119907119908
322 Deformații
Prin deformație icircn general se icircnțelege orice schimbare de formă a unui corp fără
o evaluare cantitativă Icircn Rezistența Materialelor deformația măsoară variația
dimensiunilor geometrice ale corpului considerat din vecinătatea unui punct analog
deplasărilor deformațiile pot fi liniare și unghiulare (lunecări)
Fig 36 Deplasarea liniară
Deformația liniară ∆119897 reprezintă variația lungimii 119897 a unui element liniar al
corpului deformat figura 36 Deformația liniară specifică se definește ca fiind raportul
dintre deformația liniară și lungimea inițială
휀 =∆119897
119897 (38)
unde ∆119897 este lungirea sau scurtarea care este echivalentă cu deformția liniară totală iar
este alungirea
Deformația unghiulară sau lunecarea unui punct 119860 icircn planul 119861119860119862 se definește
prin relația figura 37
120574 = lim119861119860rarr0119862119860rarr0
(119861119860 minus 119861111986011198621 ) (39)
Fig 36 Deformația unghiulară
Schimbacircnd orientarea planului care trece prin 119860 se obțin alte deformații
unghiulare Dacă elementele liniare 119861119860 și 119862119860 sunt inițial perpendiculare deformația 120574 se
numește deformație unghiulară specifică sau lunecare specifică figura 37
Un exemplu de deplasare unghiulară și de deformație unghiulară este prezentat icircn
figura 38 Unghiul este deplasarea unghiulară și măsoară rotirea relativă dintre două
secțiuni aflate la distanța 119897 Unghiul este deformația specifică unghiulară (lunecarea
specifică) din punctul 119870 Aceste deplasări și deformații se obțin icircn urma solicitării barei
de către cele două momente 1198720 egale și de sens contrar
Fig 38 Deplasarea unghiulară
Pentru a analiza starea de deformație din vecinătatea unui punct al unui corp
solicitat complex se decupează din jurul punctului un element de volum mic figura 39a
avacircnd laturile 119889119909 119889119910 și 119889119911 Ca urmare a solicitării laturile acestuia se vor lungi sau
scurta Reprezentarea elementului deformat icircn spațiu este dificilă pentru simplificare
vom analiza doar deformațiile din planul 119909119874119910 Observăm că dimensiunile 119889119909 și 119889119910 s-au
modificat cu valoarea ∆119889119909 respectiv cu ∆119889119910 analog se acceptă și pentru 119889119911 o modificare
de forma ∆119889119911 Astfel se pot defini deformațiile specifice liniare
휀119909 =∆119889119909
119889119909 휀119910 =
∆119889119910
119889119910 휀119911 =
∆119889119911
119889119911 (310)
De cele mai multe ori aceste deformații specifice liniare se pot exprima procentual
și se mai numesc alungiri
Fig 39 Starea de deformație
Icircn figura 39c se vede că unghiul inițial drept dintre muchiile 119889119909 și 119889119910 ale
elementului de volum s-a modificat Se definește deformația specifică unghiulară (sau
lunecarea specifică) mărimea cu care se modifică unghiul inițial drept
120574119909119910 = 120574119909119910prime + 120574119910119909
prime = 120574119910119909120574119910119911 = 120574119910119911
prime + 120574119911119910prime = 120574119911119910
120574119911119909 = 120574119911119909prime + 120574119909119911
prime = 120574119909119911
(311)
Deformațiile 휀119909 휀119910 휀119911 120574119909119910 120574119910119911 120574119911119909 constituie cele șase componente
independente ale tensorului deformațiilor specifice care pot fi scrise de forma
119863 =
휀119909 120574119909119910 120574119909119911120574119910119909 휀119910 120574119910119911120574119911119909 120574119911119910 휀119911
(312)
323 Contracţia transversală
Practica arată că odată cu lungirea unei bare apare o micşorare a mărimii secţiunii
transversale mărime numită contracţie transversală figura 310
Fig 310 Contracția transversală
Contracţia transversală este proporţională cu lungirea specifică coeficientul de
proporţionalitate se notează cu 120599 şi se numeşte coeficient de contracţie transversală sau
coeficientul lui Poisson
La o lungire specifică a barei contracţia transversală este dată de relația
휀119905119903 = 휀119910 = 휀119911 = minus120599 ∙ 휀119909 (313)
Semnul minus bdquo-rdquo arată că cele două mărimi sunt contrare dacă una creşte cealaltă
scade şi invers
Considerăm o bară cilindrică de lungime 119897 şi aria secţiunii transversale 119860 solicitată
la icircntindere axială La un moment dat datorită solicitării lungimea barei devine
[119897 ∙ (1 + 휀)] diametrul devine [119889 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)] iar aria secţiunii transversale devine
[119860 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)2] Dacă volumul barei icircnainte de solicitare a fost (119860 ∙ 119897) după solicitare
acesta devine
119881 + ∆119881 = 119860 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)2 ∙ 119897 ∙ (1 + 휀) =
= 119860 ∙ 119897 ∙ (1 + 휀 minus 2 ∙ 120599 ∙ 휀 minus 2 ∙ 120599 ∙ 휀2 + 1205992 ∙ 휀2 + 1205992 ∙ 휀3) (314)
Deoarece lungirile sunt foarte mici ultimii trei termeni din paranteză fiind infinit mici se pot neglija obţinacircnd
119881 + ∆119881 = 119860 ∙ 119897 + 119860 ∙ 119897 ∙ 휀 ∙ (1 minus 2 ∙ 120599) ⟺ ∆119881 = 휀 ∙ (1 minus 2 ∙ 120599) ∙ 119860 ∙ 119897 (315)
Practica arătă că o astfel de bară solicitată la icircntindere icircşi măreşte volumul deci
∆119881 gt 0 de unde rezultă că
1 minus 2 ∙ 120599 gt 0 rArr 120599 lt 05 (316)
Pentru majoritatea materialelor 120599 = 033 iar pentru materialele care-şi păstrează
volumul constant 120599 = 05
33 Relaţii de echivalenţă icircntre eforturi şi tensiuni
Considerăm un element de suprafață infinit mic 119889119860 situat pe fața de arie (119860) a
secțiunii barei din figura 311 Icircn centrul de greutate 119862 al secțiunii acționează eforturile
119873 119879119910 119879119911 119872119909 119872119894119910 și 119872119894119911 determinate prin metoda secțiunilor
Icircn raport cu un sistem de axe de referință 119909119862119910119911 coordonatele elementului 119889119860 sunt
- 119910 este ordonata elementului de arie 119889119860
- 119911 este abscisa elementului de arie 119889119860
Pe elementul de arie 119889119860 acționează tensiunile
120590119909 tensiunea normală
120591119909119910 și 120591119909119911 tensiuni tangențiale
Dacă se icircnsumează forțele elementare de tipul 120590119909 ∙ 119889119860 120591119909119910 ∙ 119889119860 și 120591119909119911 ∙ 119889119860
va trebui să obținem eforturile 119873 119879119910 și 119879119911
Fig 311 Element de suprafață mic din secțiunea unei bare
Dacă eforturile sunt privite ca forțe exterioare și se scriu ecuațiile de
echilibru ale secțiunii (119860) se vor obține șase relații de echivalență icircntre eforturi și
tensiuni
(sum119883) = 0 rArr int 120590119909 ∙ 119889119860
119860
= 119873 (317)
(sum119884) = 0 rArr int 120591119909119910 ∙ 119889119860
119860
= 119879119910 (318)
(sum119885) = 0 rArr int 120591119909119911 ∙ 119889119860
119860
= 119879119911 (319)
(sum119872)119909= 0 rArr int(120591119909119911 ∙ 119889119860) ∙ 119910
119860
minus int(120591119909119910 ∙ 119889119860) ∙ 119911
119860
= 119872119909 rArr
rArr int(119910 ∙ 120591119909119911 minus 119911 ∙ 120591119909119910) ∙ 119889119860
119860
= 119872119909
(320)
(sum119872)119910= 0 rArr int(120590119909 ∙ 119889119860) ∙ 119911
119860
= 119872119894119910 (321)
(sum119872)119911= 0 rArr int(120590119909 ∙ 119889119860) ∙ 119910
119860
= 119872119894119911 (322)
Cele șase relații de echivalență icircntre eforturi și tensiuni constituie un pas icircnainte
icircn rezolvarea unei probleme de rezistența materialelor Aceste relații vor permite
determinarea tensiunilor maxime
Pentru a rezolva cele 6 relații de echivalență trebuie să se cunoască tensiunile și
ca funcții de punct adică funcții de forma
120590119909 = 120590119909(119909 119910 119911) 120591119909119910 = 120591119909119910(119909 119910 119911) 120591119909119911 = 120591119909119911(119909 119910 119911) (32
3)
Cunoașterea acestor funcții presupune icircnsă analizarea aspectului geometric al
problemei precum și utilizarea unor ipoteze simplificatoare care să permită simplificarea
problemelor
34 Ipoteze de bază icircn rezistenţa materialelor
Depășirea dificultăților legate de interpretarea unor fenomene specifice mecanicii
solidului deformabil a impus acceptarea unor ipoteze care să simplifice fenomenele și să
contribuie la elaborarea unor modele de calcul cicirct mai generale și cacirct mai simple Aceste
ipoteze se referă la structura materialelor şi la comportarea lor sub acţiunea forţelor
exterioare Ipotezele acceptate trebuie să fie icircn deplină concordanţă cu realitatea și să
conducă la rezultate verificate icircn practică
Funcție de aspectele la care se referă ipotezele pot fi
Ipoteze fizice (de material)
Ipoteze de calcul
341 Ipoteze fizice
Se acceptă deoarece teoriile structurale au condus la rezultate care contravin
icircncercărilor experimentale
Ipoteza mediului continuu consideră că orice domeniu elementar al corpului
este ocupat de materie adică nu se acceptă existența unor goluri sau a unor crăpături
microscopice (fisuri) Deși nu corespunde realităţii poate fi acceptată deoarece
dimensiunile corpului sunt mult mai mari decacirct dimensiunile particulelor elemantare Are
avantajul că permite utilizarea proprietăților matematice ale funcțiilor continue pentru
tensiunile și deformațiile din orice punct al corpului Ea este mai apropiată de realitate la
corpurile amorfe şi mai depărtată la cele cristaline dar conduce la rezultate satisfăcătoare
icircn calculele de rezistenţă
Ipoteza nu se poate aplica la corpurile care au goluri tăieturi (multiplu conexe)
pentru unele puncte singulare icircn care tensiunile și deformațiile tind la infinit sau icircn unele
probleme de plasticitate icircn care proprietățile de material au un rol esențial
Ipoteza izotropiei conform acestei ipoteze materialul din care este confecționat
un element de rezistență are aceleași proprietăți după orice direcție un astfel de material
este considerat izotrop Din punct de vedere macroscopic metalele pot fi considerate
izotrope deși la nivel microscopic proprietățile lor diferă de la o direcție cristalografică
la alta Orice conglomerat de cristale poate fi considerat izotrop
Există cazuri cacircnd această ipoteză a izotropiei nu se acceptă
la metalele puternic deformate după o direcție (prin laminare trefilare)
la piesele confecționate din lemn lemnul este anizotrop deoarece proprietățile sale
diferă după două direcții (icircn lungul fibrelor și perpendicular pe această direcție)
Ipoteza omogenității consideră că un corp are aceleași proprietăți icircn orice
punct al său Deși majoritatea materialelor utilizate icircn tehnică sunt eterogene la scară
micro fiind constituite din mai multe faze cu proprietăți diferite la scară macro ele pot
fi considerate omogene Omogenitatea și izotropia sunt proprietăți statistice medii care
nu se condiționează una pe cealaltă Chiar și materialele monofazice pot avea la scară
micro unele segregații care le fac eterogene
Ipoteza elasticităţii perfecte presupune că atacircta timp cacirct solicitările nu
depăşesc anumite limite materialul are o comportare elastică adică icircşi recapătă forma şi
dimensiunile iniţiale odată cu icircnlăturarea sarcinilor Icircn realitate materialele nu prezintă o
elasticitate perfectă ele avacircnd deformaţii remanente mici care icircnsă pot fi neglijate icircn
calculele de rezistenţă
Acceptarea acestei ipoteze a elasticității perfecte permite
- aplicarea relației biunivoce icircntre tensiuni și deformații relație exprimată de legea
lui Hooke ( = 119864 ∙ 휀) unde E este un factor de proporţionalitate numit modul de
elasticitate longitudinal al materialului pentru oţel 119864 = 21 ∙ 105 [119872119875119886] - acceptarea valabilității afirmației bdquolucrul mecanic efectuat de forțele exterioare
ca urmare a parcurgerii deplasărilor punctelor de aplicație se icircnmagazinează integral icircn
corp sub formă de energie de deformație energie cedată la icircndepărtarea sarcinilorrdquo
- este valabilă teoria conform căreia bdquoenergia icircnmagazinată și deformațiile depind
doar de starea inițială și finală de eforturi fără a ține cont de modul icircn care s-a ajuns la
starea finalărdquo
Icircn realitate oricacirct de mici ar fi sarcinile aplicate se produc și deformații plastice
dar acestea pot fi neglijate dacă solicitarea nu depășește anumite limite
342 Ipoteze de calcul
Ipoteza micilor deplasări bdquodeplasările datorate deformării sunt mult mai mici
decacirct dimensiunile corpurilor și ca urmare pot fi neglijate produsele dintre o deplasare și
ea icircnsăşirdquo Pentru cele mai multe corpuri deformaţiile elastice sunt de mărimi mici deci
corpurile solide sub acţiunea sarcinilor icircşi modifică foarte puţin forma iniţială Această
ipoteză este cunoscută şi sub denumirea de ipoteza menţinerii dimensiunilor iniţiale Ea
permite scrierea ecuaţiilor de echilibru ale staticii pe starea nedeformată a elementului
cacircnd nu se iau icircn considerare deplasările punctelor de aplicaţie ale forţelor care se produc
ca urmare a deformării acestuia Calculul efectuat pe schema nedeformată poartă numele
de calcul de ordinul I
Ipoteza micilor deplasări nu poate fi acceptată pentru studiul problemelor de
stabilitate sau la problemele la care nu pot fi icircndeplinite condiţiile de echilibru icircn starea
nedeformată
Calculul de ordinul II admite ipoteza micilor deplasări dar ecuaţiile de echilibru
se scriu icircnsă pentru starea deformată a elementului de rezistenţă
Calculul de ordinul III nu mai acceptă ipoteza micilor deplasări el referindu-se
la cazul deformaţiilor mari cacircnd ecuaţiile de echilibru trebuie scrise pentru starea
deformată
Chiar dacă materialul satisface legea lui Hooke icircn urma calculelor de ordinul II
se obţin de obicei relaţii neliniare icircntre sarcini şi deplasări iar pentru calculul de ordinul
III rezultă ecuaţii diferenţiale neliniare
Principiul efectului local al acțiunii sarcinilor enunțat de Barre de Saint-
Venant Acest principiu destul de folosit icircn Rezistenţa Materialelor precizează că dacă
se icircnlocuiesc forţele care acţionează asupra unui element de suprafață al unui corp
elastic printr-un alt sistem de forţe echivalent din punct de vedere static cu primul noua
distribuţie a forţelor produce la locul de aplicare diferenţe semnificative faţă de prima
dar rămacircne fără efect sau cu efect neglijabil la distanţe mari de locul de aplicare al
forţelor figura 312
Ca o cosecință o sarcină uniform distribuită figura 312a poate fi icircnlocuită cu
rezultanta ei figura 312b dacă se analizează efectul sarcinii la distanță mare de locul icircn
care se aplică sarcina
Fig 312 Principiul Saint-Venant
Icircn prima variantă figura 312a forţa 119865 se aplică pe o porțiune oarecare 119897 (sarcină
uniform distribuită) iar icircn a doua figura 312b icircntru-un punct (forţă concentrată) La
locul de aplicare a sarcinii efectul asupra barei este cu totul diferit de la o variantă la
cealaltă Icircnsă la o distanţă mare de punctul de aplicaţie spre exemplu icircn secţiunea situată
la distanţa 119886 de capătul barei sau chiar icircn icircncastrare ambele bare sunt solicitate la fel
Icircn cazul din figura 312a
119872119894(119909) =119901 ∙ 1199092
2 119909 le 119897 119872119894(119909) = 119901 ∙ 119897 ∙ (119909 minus
119897
2) 119909 gt 119897 (324)
Icircn cazul din figura 312b
119872119894(119909) = 0 119909 lt119897
2 119872119894(119909) = 119901 ∙ 119897 ∙ (119909 minus
119897
2) 119909 gt
119897
2 (325)
Se vede că pentru (119909 gt 119897) adică după depășirea locului icircn care se aplică sarcina
efectul este același
Ipoteza lui Bernoulli sau ipoteza secţiunilor plane precizează că o secţiune
plană şi normală pe axa barei icircnainte de deformare rămacircne plană şi normală pe axa
barei şi după deformare figura 313
Fig 313 Ipoteza lui Bernoulli
Ipoteza stării naturale a corpului sau ipoteza absenţei tensiunilor conform
căreia pentru un corp nesolicitat starea de tensiune şi deformaţie este nulă
Perfecţionarea mijloacelor de calcul şi de investigare pot conduce la renunţarea la
unele ipoteze sau la introducerea altora noi mai aproape de stările reale De aici rezultă
caracterul de continuă perfecţionare a metodelor Rezistenţei Materialelor
35 Coeficienţi de siguranţă Tensiuni admisibile
O piesă corespunde din punct de vedere tehnic dacă tensiunile care iau naştere icircn
interiorul piesei datorită sarcinilor aplicate nu depăşesc anumite valori limită stabilite
convenţional Aceste valori limită ale tensiunii sunt corelate cu caracteristicile mecanice
ale materialelor
Tensiunea limită utilizată icircn calculele de rezistenţă este cunoscută sub denumirea
de tensiune admisibilă sau rezistenţă admisibilă Rezistenţa admisibilă reprezintă
valoarea convenţională aleasă icircn calcul pe baza practicii pentru tensiunea maximă care
poate apare icircntr-o piesă icircn condiţii date de material şi solicitare
Rezistenţa admisibilă (120590119886 sau 120591119886) poate fi definită faţă de o stare limită
periculoasă stare care trebuie evitată deoarece poate conduce distrugere
120590119886 =120590119897119894119898119888
(326)
unde
120590119897119894119898 este tensiunea corespunzătoare stării limită periculoase
119888 estesupraunitar 119888 gt 1 și reprezintă coeficientul de siguranţă faţă de starea limită
periculoasă considerată
Alegerea unor valori inferioare pentru rezistenţa admisibilă faţă de tensiunea
corespunzătoare stării limită periculoase este necesară deoarece
cunoaşterea sarcinilor este de cele mai multe ori aproximativă şi o depăşire a
acestora este foarte posibilă
caracteristicile mecanice ale materialelor variază icircn limite destul de mari ele
fiind influenţate de mulţi factori
schema aleasă pentru calcul (aplicarea sarcinilor schematizarea structurii
ipotezele de calcul etc) depărtează modelul faţă de cel real
Pentru calculele de verificare tensiunea efectivă maximă din elementul de
rezistenţă trebuie să fie mai mică sau cel mult egală cu cea admisibilă
120590119890119891119898119886119909 le 120590119886 (327)
Valoarea rezistenţei admisibile este influenţată de foarte mulţi factori natura
materialului tratamentele termice aplicate piesei durata de funcţionare a piesei modul
de acţionare icircn timp a sarcinilor felul solicitării temperatura gradul de periculozitate
icircn cazul cedării piesei etc
De asemenea valoarea coeficientului de siguranţă se alege icircn principal ţinacircnd
seama de aceiaşi factori care influenţează şi rezistenţa admisibilă
Rezistenţele admisibile pentru cacircteva materiale sunt următoarele
pentru oțelul de uz general OL37 solicitat la icircntindere compresiune sau
icircncovoiere 120590119886 = 150 [119872119875119886] pentru lemnul de brad solicitat la
- compresiune icircn lungul fibrelor şi solicitat la icircncovoiere 120590119886 = 10 [119872119875119886] - tracţiune icircn lungul fibrelor 120590119886 = 7 [119872119875119886] - compresiune perpendiculară pe fibre 120590119886 = 15 [119872119875119886] - forfecare icircn lungul fibrelor 120591119886 = 2 [119872119875119886] - forfecare perpendiculară pe fibre 120590119886 = 45 [119872119875119886]
terenuri de fundaţie din pămacircnt uscat sau umed 120590119886 = 020 divide 025 [119872119875119886]
4 CARACTERISTICI GEOMETRICE ALE SECȚIUNILOR PLANE
41 Noţiuni introductive
Icircn relaţiile de calcul ale tensiunilor şi deformaţiilor elementelor de rezistenţă
pentru unele solicitări (icircncovoierea și torsiunea) secțiunile plane intervin atacirct prin
dimensiunile lor (aria 119860) cicirct și prin forma și poziția pe care o are secțiunea icircn raport cu
planul solicitării Mărimile care caracterizează o secțiune icircn raport cu forma și poziția față
de axele unui sistem de referință sunt denumite caracteristici geometrice de ordin
superior Aria secțiunii este caracteristica geometrică ce depinde doar de dimensiunile
geometrice ale acesteia
Să considerăm o grindă solicitată de o forță exterioară 119865 aşezată icircn două poziții icircn
raport cu planul forţei figura 41 Icircn urma aplicării forței deși avem aceeași grindă
(aceeași arie a secțiunii transversale) și aceeași forță se constată că pentru varianta din
figura 41a deformațiile sunt mult mai mari adică rezistența la icircncovoiere a grinzii din
figura 41a este mai mare decacirct icircn cazul grinzii din figura 41b Comportarea diferită se
explică prin aceea că modificarea poziţiei secţiunii transversale faţă de planul forţelor
modifică caracteristicile geometrice ale secţiunii transversale a grinzii
Fig 41 Grindă solicitată de forța 119865
Pentru realizarea calculelor de rezistenţă şi rigiditate este foarte importantă
cunoaşterea caracteristicilor geometrice ale suprafeţei secţiunii transversale a elementelor
de rezistenţă
Caracteristicile geometrice ale secţiunii transversale a unui element de rezistenţă
sunt
- aria secțiunii notată cu 119860
- momentul static icircn raport cu o axă notat 119878119911 și respectiv 119878119910
- momentul de inerție care poate fi
axial notat 119868119911 și respectiv 119868119910
centrifugal notat 119868119911119910
polar notat 119868119901
- raza de inerţie (giraţie)notată 119894119911 și respectiv 119894119910
- modulul de rezistență care poate fi
axial notat 119882119911 și respectiv 119882119910
polar notat 119882119901
42 Aria și momentul static al suprafețelor plane
Fie o suprafaţă plană de arie 119860 pe care se ia un element infinit mic de arie 119889119860 şi
un sistem de axe rectangulare 119911119874119910 figura 42 Notăm cu 119862 centrul de greutate al suprafeţei
119860 Poziţia suprafeţei elementare 119889119860 faţă de acelaşi sistem de coordonate 119911119874119910 este dată
de abscisa 119911 ordonata 119910 și raza polară
Fig 42 Suprafață plană de arie 119860
Aria suprafeţei 119860 figura 42 se defineşte ca fiind
119860 ≝ int 119889119860
119860
(41)
Aria suprafeţei este icircntotdeauna pozitivă și se măsoară icircn [1198981198982] Momentul static al suprafeţei de arie 119860 icircn raport cu axele 119874119911 și respectiv 119874119910
figura 42 sunt date de relaţiile
119878119911 ≝ int 119910 ∙ 119889119860
119860
119878119910 ≝ int 119911 ∙ 119889119860
119860
(42)
Momentul static poate fi pozitiv negativ sau nul şi se măsoară icircn [1198981198983] Coordonatele centrului de greutate ale suprafeței 119860 se detrmină cu relațiile
119910119862 ≝int 119910 ∙ 119889119860119860
119860 119911119862 ≝
int 119911 ∙ 119889119860119860
119860
(43)
Cunoscacircnd coordonatele 119910119862 și 119911119862 ale centrului de greutate 119862 al secțiunii 119860 atunci
momentele statice se pot determina cu relațiile
119878119911 ≝ int 119910 ∙ 119889119860
119860
= 119910119862 ∙ 119889119860 119878119910 ≝ int 119911 ∙ 119889119860
119860
= 119911119862 ∙ 119889119860 (44)
Aceste relații arată că momentul static al unei suprafețe icircn raport cu o axă este
egal cu produsul dintre aria suprafeței și distanța de la centrul ariei la axa respectivă
Dacă suprafaţa se poate descompune icircn 119899 suprafeţe simple la care se cunosc ariile
(1198601 1198602 ⋯ 119860119894⋯ 119860119899) și poziţiile centrelor de greutate 119862119894 faţă de sistemul de referinţă
expresiile momentelor statice capătă următoarea formă
119878119911 = sum 119910119862119894 ∙ 119860119894119899119894=1 = 119910119862 ∙ 119860 119878119910 = sum 119911119862119894 ∙ 119860119894
119899119894=1 = 119911119862 ∙ 119860 (45)
Din relaţiile (45) rezultă că poziţia centrului de greutate 119862 al unei suprafeţe
compuse poate fi determinată cu relaţiile
119910119862 = (sum119910119862119894 ∙ 119860119894
119899
119894=1
) 119860frasl 119911119862 = (sum119911119862119894 ∙ 119860119894
119899
119894=1
) 119860frasl (46)
Icircn relația (45) 119910119862119894 și respectiv 119911119862119894 reprezintă coordonatele centrelor de greutate 119862119894
ale fiecărei suprafețe simple 119860119894 icircn raport sistemul de axe 119911119874119910
Se constată (relaţia 42) că dacă axele sistemului de referinţă trec prin centrul de
greutate (119910119862 = 119911119862 = 0) momentele statice sunt nule Axele icircn raport cu care momentele
statice sunt nule şi care trec prin centrul de greutate al suprafeţei se numesc axe centrale
Observație dacă secțiunea compusă are o axă de simetrie centrul secțiunii se
găsește pe acea axă iar dacă secțiunea este dublu simetrică poziția centrului secțiunii este
la intersecția axelor de simetrie
43 Momente de inerţie
Momentele de inerţie axiale ale unei suprafețe se calculează icircn raport cu axele de
coordonate 119874119911 și respectiv 119874119910 figura 42 și se determină cu relațiile
119868119911 ≝ int 1199102 ∙ 119889119860
119860
119868119910 ≝ int 1199112 ∙ 119889119860
119860
(47)
Unde 119910 și 119911 sunt distanțele de la elementul de arie 119889119860 la cele două axe de
coordonate 119874119911 și respectiv 119874119910
Momentele de inerţie axiale se măsoară icircn [1198981198984] şi sunt icircntotdeauna pozitive (aria
119889119860 este icircntotdeauna pozitivă și este multiplicată cu patratul distanței 1199102 dacă 119868119911 sau 119868119910
sunt nule icircnseamnă ca secțiunea nu există)
Momentele de inerție axiale se calculează icircndeosebi pentru axele centrale (care
trec prin centrul secțiunii) deoarece icircn raport cu acele axe 119868119911 și 119868119910 au valori minime
Momentul de inerţie centrifugal calculat faţă ambele axe ale sistemului de
referinţă 119911119874119910 este definit de relația
119868119911119910 ≝ int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860
(48)
Momentul de inerţie centrifugal se măsoară icircn [1198981198984] şi poate fi pozitiv negativ
sau nul
Momentul de ineție centrifugal este nul 119868119911119910 = 0 dacă cel puțin una din axele 119874119911
sau 119874119910 este axă de simetrie pentru secțiune
Se consideră o suprafaţă dreptunghiulară pe care faţă de axa de simetrie 119874119910 se iau
două suprafeţe elementare de arie 119889119860 simetrice faţă de axa 119874119910 figura 43
Fig 43 Suprafață dreptunghiulară cu două arii elementare 119889119860
Făcacircnd suma momentelor de inerţie centrifugale pentru cele două suprafeţe
elementare 119889119860 (din stacircnga şi din dreapta faţă de axa 119874119910) se obţine
int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860119889119903
+ int (minus119911) ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860119904119905119892
= int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860119889119903
minus int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860119904119905119892
= 0 (49)
Acelaşi raţionament se poate face și pentru icircntreaga suprafaţă de unde obținem că
momentul de inerție centrifugal este nul 119868119911119910 = 0 Deci pentru o suprafaţă plană care
are cel puţin o axă de simetrie momentul de inerţie centrifugal faţă de sistemul care
conţine acea axă de simetrie este nul
Momentul de inerţie polar al unei suprafeţei icircn raport cu un punct (pol) 119874 figura
42 este definit prin relaţia
1198680 = 119868119901 ≝ int 1205882 ∙ 119889119860
119860
= int(1199102 + 1199112) ∙ 119889119860
119860
= 119868119911 + 119868119910 (410)
unde este distanţa de la polul 119874 la elementul de arie 119889119860 Momentul de inerţie polar se
măsoară icircn [1198981198984] şi este totdeauna pozitiv
Momentul de inerţie polar este egal cu suma momentelor de inerţie faţă de două axe
perpendiculare oarecare şi care trec prin polul considerat
Razele de giraţie sau razele de inerţie sunt mărimi calculate icircn raport cu axele
secțiunii și definite de relaţiile
119894119911 ≝ radic119868119911119860 119894119910 = radic
119868119910
119860 (411)
Se exprimă icircn [119898119898] şi sunt icircntotdeauna pozitive Semnificația unei raze de inerție
este distanța la care dacă ar fi concentrată icircntreaga arie s-ar obține același moment de
inerție ca și cel calculat pentru aria reală
44 Modulul de rezistenţă
Modulul de rezistență se calculează icircn raport cu axele de referință sau icircn raport cu
un pol figura 42 și pot fi axiale (119882119911119882119910) sau polar (119882119901) și se determină numai pe baza
momentelor de inerţie cu relațiile figura 43
119882119911119898119894119899 ≝119868119911119910119898119886119909
119882119911119898119886119909 ≝119868119911119910119898119894119899
(412)
119882119910119898119894119899 ≝119868119910
119911119898119886119909 119882119910119898119886119909 ≝
119868119910
119911119898119894119899 (413)
119882119901 ≝119868119901
120588119898119886119909 (414)
unde
119910119898119886119909 119910119898119894119899 reprezintă distanţa de la axa 119874119911 la punctele extreme cele mai
depărtate respectiv cele mai apropiate ale suprafeţei de această axă
119911119898119886119909 119911119898119894119899 reprezintă distanţa de la axa 119874119910 la punctele extreme cele mai
depărtate respectiv cele mai apropiate ale suprafeţei de această axă
120588119898119886119909 reprezintă distanța maximă de la polul 119874 la punctul secțiunii cel mai
icircndepărtat de acesta
Fig 43 Suprafață dreptunghiulară cu două arii elementare 119889119860
Modulele de rezistenţă se exprimă icircn [1198981198983] şi sunt icircntotdeauna pozitive
Explicația este aceea că momentele de inerție care intră icircn relațiile de definiție sunt
pozitive iar distanțele la punctele extreme sunt pozitive (119910119898119886119909 119910119898119894119899 119911119898119886119909 119911119898119894119899 120588119898119886119909 se
iau icircn valoare absolută)
Icircn cazul suprafeţelor compuse modulul de rezistenţă nu se obţine prin icircnsumarea
algebrică a modulelor de rezistenţă ale suprafeţelor simple componente ci numai prin
intermediul momentului de inerţie axial calculat pentru icircntreaga secțiune
Ca și momentele de inerție modulele de rezistență se calculează numai pentru
sistemele de axe centrale
45 Momente de inerţie şi module de rezistenţă pentru suprafeţe simple
451 Secțiune dreptunghiulară
Fie suprafaţa dreptunghiulară din figura 44 de icircnălțime ℎ și lățime 119887 pe care se
consideră suprafaţă elementară de arie 119889119860 = 119887119889119910 la distanța 119910 de axa 119862119911 sistemul de
axe 119911119862119910 trece prin centrul secțiunii iar axele sunt axe de simetrie pentru dreptunghi
Fig 44 Suprafață dreptunghiulară
Pe baza relațiilor de definiți a momentului de inerție 119868119911 se obține
119868119911 ≝ int 1199102 ∙ 119889119860
119860
= int 1199102 ∙ 119887 ∙ 119889119910 = 2int 1199102 ∙ 119887 ∙ 119889119910 = 2 ∙ 119887 ∙1199103
3|ℎ 2frasl
0rArr
ℎ 2frasl
0
ℎ 2frasl
minusℎ 2frasl
rArr 119868119911 =119887 ∙ ℎ3
12
(415)
Analog pentru un element de arie 119889119860 = ℎ ∙ 119889119911 paralel cu axa 119862119910 situat la distanța
119911 de axa 119862119910
119868119910 ≝ int 1199112 ∙ 119889119860
119860
= int 1199112 ∙ ℎ ∙ 119889119911 = 2int 1199112 ∙ ℎ ∙ 119889119910 = 2 ∙ ℎ ∙1199113
3|119887 2frasl
0rArr
119887 2frasl
0
119887 2frasl
minus119887 2frasl
rArr 119868119910 =1198873 ∙ ℎ
12
(416)
Deoarece axele 119862119911 și 119862119910 sunt axe de simetrie momentul de inerție centrifugal este
119868119911119910 = 0 (417)
Pentru un pătrat avacircnd laturile egale (ℎ = 119887 = 119886) momentele de inerţie faţă de
axele centrale au expresia
119868119911 = 119868119910 =1198864
12 (418)
Modulele de rezistență axiale se calculează cu relațiile de definiție ținacircnd cont că
distanțele pacircnă la fibrele extreme sunt
119910119898119886119909 = 119910119898119894119899 =ℎ
2 119911119898119886119909 = 119911119898119894119899 =
119887
2 (419)
Obținem
119882119911119898119894119899 = 119882119911119898119886119909 =119868119911
119910119898119886119909119898119894119899=119887 ∙ ℎ3
12frasl
ℎ2frasl
=119887 ∙ ℎ2
6
119882119910119898119894119899 = 119882119910119898119886119909 =119868119910
119911119898119886119909119898119894119899=1198873 ∙ ℎ
12frasl
1198872frasl
=1198872 ∙ ℎ
6
(420)
452 Suprafaţă circulară
Din motive de simetrie pentru suprafeţele circulare momentele de inerţie faţă de
orice diametru (care reprezintă şi axe centrale) sunt aceleaşi
Considerăm o secțiune circulară plină cu diametrul 119889 și centrul de greutate 119862 Prin
centrul de greutate 119862 trece sistemul de axe ortogonal 119911119862119910 figura 45
Fig 45 Suprafață circulară
La distanța de centrul de greutate 119862 vom lua un element de suprafață mic de arie
(119889119860) de forma unui inel de grosime 119889 Elementul de arie 119889119860 are expresia
119889119860 = (2 ∙ 120587 ∙ 120588) ∙ (119889120588)
Pornind de la relația de definiție a momentului de inerție polar obținem
119868119901 ≝ int 1205882 ∙ 119889119860
119860
= int 1205882 ∙ (2 ∙ 120587 ∙ 120588) ∙ 119889120588
119903=119889 2frasl
0
= 2 ∙ 120587 ∙1205884
4|119889 2frasl0 rArr
rArr 119868119901 =120587 ∙ 1198894
32
(421)
Secțiunea este perfect simetrică deci sunt valabile relațiile
119868119911 = 119868119910 rArr 119868119901 = 119868119911 + 119868119910 = 2 ∙ 119868119911 = 2 ∙ 119868119910 =119868119901
2=120587 ∙ 1198894
64 (422)
Și modulele de rezistenţă faţă de orice diametru sunt egale şi se calculează cu
relaţiile
119882119911 = 119882119910 =1198681199111198892frasl=120587 ∙ 1198893
32 (423)
Modulul de rezistenţă polar este
119882119901 =1198681199011198892frasl=120587 ∙ 1198893
16 (424)
453 Secţiune inelară
Calculul momentelor de inerţie axiale pentru o secţiune inelară avacircnd diametrul
interior 119889 şi diametrul exterior 119863 se determină analog pentru suprafaţa circulară plină cu
observaţia că integrala pentru calculul momentului de inerție polar 119868119901 se face icircntre
limitele 119903 = 119889 2frasl şi R= 1198632frasl (icircntre raza interioară 119903 şi raza exterioară 119877) figura 46
Se obţin relaţiile
119868119901 =120587 ∙ 1198634
32∙ [1 minus (
119889
119863)4
] =120587 ∙ 1198634
32∙ (1 minus 1198964) (425)
119868119910 = 119868119910 =120587 ∙ 1198634
64∙ [1 minus (
119889
119863)4
] =120587 ∙ 1198633
64∙ (1 minus 1198964) (426)
Fig 46 Secțiune inelară
119882119901 =120587 ∙ 1198633
16∙ [1 minus (
119889
119863)4
] =120587 ∙ 1198633
16∙ (1 minus 1198964) (427)
119882119911 = 119882119910 =120587 ∙ 1198633
32∙ [1 minus (
119889
119863)4
] =120587 ∙ 1198633
32∙ (1 minus 1198964) (428)
unde 119896 = 119889119863frasl
46 Variaţia momentelor de inerţie faţă de axe paralele
( Relațiile lui STEINER)
Se consideră o suprafaţă oarecare de arie 119860 cu elementul de arie 119889119860 și un sistemul
de axe central 119911119862119910 faţă de care se cunosc momentele de inerţie 119868119911 119868119910 119868119911119910 şi considerăm
un sistem de axe 11991111198741199101 paralele cu sistemul central figura 47 Se pune problema
determinării momentele de inerţie 1198681199111 1198681199101 11986811991111199101 faţă de sistemul de axe paralel cu sistemul
central 11991111198741199101 axe aflate la distanţele 119910119862 = 119888 respectiv 119911119862 = 119889 de acesta
461 Momente de inerţie axiale
Pe baza relaţiilor de definire şi a notaţiilor din figura 42 pentru momentele de
inerţie faţă de axele 1198741199111 1198741199101 se poate scrie
1198681199111 = int 11991012 ∙ 119889119860
119860
= int(119910 + 119888)2 ∙ 119889119860
119860
= int 1199102 ∙ 119889119860
119860
+ 2 ∙ 119888 ∙ int 119910 ∙ 119889119860
119860
+
+1198882int 119889119860
119860
rArr 1198681199111 = 119868119911 + 2 ∙ 119888 ∙ 119878119911 + 1198882 ∙ 119860 hArr 1198681199111 = 119868119911 + 119888
2 ∙ 119860
(429)
Fig 47 Variaţia momentelor de inerţie față de axe paralele
S-a ajuns la relația (429) deoarece momentul static 119878119911 este nul deoarece axa 119862119885
este axă centrală
Pentru momentul de inerție axial icircn raport cu axa 1198741199101 se obține
1198681199101 = int 11991112 ∙ 119889119860
119860
= int(119911 + 119889)2 ∙ 119889119860
119860
= int 1199112 ∙ 119889119860
119860
+ 2 ∙ 119889 ∙ int 119911 ∙ 119889119860
119860
+
+1198892 ∙ int 119889119860
119860
rArr 1198681199101 = 119868119910 + 2 ∙ 119889 ∙ 119878119910 + 1198892 ∙ 119860 hArr 1198681199101 = 119868119910 + 119889
2 ∙ 119860
(430)
Pentru momentul de inerție centrifugal obținem
11986811991111199101 = int 1199101 ∙ 1199111 ∙ 119889119860
119860
= int(119910 + 119888) ∙ (119911 + 119889) ∙ 119889119860
119860
= int 119910 ∙ 119911 ∙ 119889119860 +
119860
+119888 ∙ int 119911 ∙ 119889119860
119860
+ 119889 ∙ int 119910 ∙ 119889119860
119860
rArr 11986811991111199101 = 119868119911119910 + 119888 ∙ 119889 ∙ 119860
(431)
Deoarece
int 119911 ∙ 119889119860
119860
= 119878119910 = 0 int 119910 ∙ 119889119860
119860
= 119878119911 = 0 int 119910 ∙ 119911 ∙ 119889119860
119860
= 119868119911119910
Relaţiile (429) şi (430) arată că momentul de inerţie faţă de o axă oarecare
este egal cu momentul de inerţie faţă de o axă paralelă cu ea trecacircnd prin centrul de
greutate la care se adaugă produsul dintre aria suprafeţei şi pătratul distanţei dintre
cele două axe
Din relaţiile (429) și (430) rezultă de asemenea că momentul de inerţie faţă de o
axă centrală (care trece prin centrul de greutate) este cel mai mic dintre infinitatea de
momente de inerţie obținute faţă de alte axe paralele cu ea
Relaţia (431) arată de asemenea că momentul de inerţie centrifugal faţă de un
sistem de axe oarecare este egal cu momentul de inerţie centrifugal faţă de un sistem
paralele cu el trecacircnd prin centrul de greutate a suprafeţei la care se adaugă produsul
dintre aria suprafeţei şi distanţele dintre axele sistemelor respective
Icircn literatura de specialitate relaţiile (429) (430) şi (431) sunt cunoscute sub
numele de relaţiile lui Steiner
47 Variaţia momentrlor de inerţie faţă de axe rotite
Direcţii principale şi momente de inerţie principale
Fie suprafaţa plană din figura 48 de arie 119860 pe care considerăm o suprafaţă
elementară de arie 119889119860 Pentru sistemul de axe 119911119874119910 se cunosc momentele de inerţie
119868119911 119868119910 119868119911119910 şi vom determina relaţiile de calcul pentru momentele de inerţie afererent unui
sistem de axe 11991111198741199101 rotit cu un unghi faţă de sistemul central
Faţă de sistemul de axe 11991111198741199101 elementul de arie 119889119860 are coordonatele
1199101 = 119875119877 = 119875119876 minus 119877119876 = 119910 ∙ cos 120572 minus 119911 ∙ sin 120572
1199111 = 119873119872 = 119873119875 minus 119875119872 = 119911 ∙ cos 120572 + 119910 ∙ sin 120572 (432)
Fig 47 Variaţia momentelor de inerţie față de axe rotite
Pe baza relaţiilor de calcul ale momentelor de inerţie şi a notaţiilor din figura 42
şi ale relaţiilor (432) momentele de inerţie faţă de sistemul de axe rotit 11991111198741199101 sunt
1198681199111 =119868119911 + 119868119910
2+119868119911 minus 119868119910
2∙ cos 2120572 minus 119868119911119910 ∙ sin 2120572 (433)
1198681199101 =119868119911 + 119868119910
2minus119868119911 minus 119868119910
2∙ cos 2120572 + 119868119911119910 ∙ sin 2120572 (434)
11986811991111199101 =119868119911 minus 119868119910
2∙ sin 2120572 + 119868119911119910 ∙ cos 2120572 (435)
Din relaţiile 433divide435 se observă că icircntre momentele de inerţie axiale şi cele
polare există relaţia
1198681199111 + 1198681199101 = 119868119911 + 119868119910 = 119868119901 (436)
adică suma momentelor de inerţie axiale icircn raport cu orice pereche de axe ortogonale
care trec printr-un pol dat este o constantă şi egală cu momentul de inerţie polar
Prin rotirea sistemului de axe din relaţiile 433divide435 rezultă că momentele de inerţie
variază icircnsă suma lor rămacircne constantă deci există o poziţie a sistemului de axe pentru
care momentele de inerţie au valori extreme maxim respectiv minim
471 Direcţii principale de inerţie
Valoarea unghiului 120572 pentru care momentele de inerţie axiale au valori extreme
este
1205721 =1
2∙ 119886119903119888119905119886119899 (minus
2 ∙ 119868119911119910
119868119911 minus 119868119910) (437)
Poziţia celeilalte direcţii este perpendiculară pe cea dată de unghiul 1205721
Din relaţia (437) se constată că faţă de aceste direcţii rotite pentru care momentele
de inerţie axiale prezintă valori extreme momentul de inerţie centrifugal 11986811991111199101este nul
Atunci se poate afirma că momentele de inerţie axiale au valori extreme icircn raport cu
direcţiile faţă de care momentul de inerţie centrifugal este nul Aceste direcţii se numesc
direcţii principale iar momentele de inerţie faţă de aceste direcţii poartă numele de
momente de inerţie principale
Icircn calculele de rezistenţă interesează icircn mod special poziţia direcţiilor principale
care trec prin centrul de greutate al suprafeţei aşa numitele direcţii principale centrale şi
evident momentele de inerţie principale centrale
Direcţiile principale de inerţie se notează cu 1 respectiv 2 Axa principală 1
corespunde direcţiei faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea maximă iar
axa principală 2 pentru direcţia faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea
minimă
472 Momente de inerţie principale
Momentele de inerţie principale se notează cu litera 119868 la care se pune indicele 1
sau 2 după cum valoarea acestuia este maximă sau minimă deci avem un moment de
inerţie principal 1 (notat 1198681) respectiv moment de inerţie principal 2 (notat 1198682)
Expresiile pentru momentele de inerţie principale sunt
11986812 =119868119911 + 119868119910
2plusmn1
2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)
2+ 4 ∙ (119868119911119910)
2 (438)
Dacă momentul de inerţie centrifugal este negativ (119868119911119910 lt 0) direcţia principală
care trece prin primul cadran (definit de sistemul 119911119862119910) este direcţia principală 120783
Pentru suprafeţele cu cel puţin o axă de simetrie direcţiile centrale 119862119911 119862119910 sunt şi
direcții principale de inerţie și evident momentele de inerţie axiale 119868119911 119868119910 sunt momente
de inerţie principale
48 Caracteristici mecanice ale metalelor
Alegerea materialului pentru confecţionarea unei anumite piese se face şi pe baza
aşa numitelor caracteristici mecanice pe care le prezintă materialul Cunoaşterea acestor
caracteristici mecanice are loc numai pe baza unor icircncercări mecanice care să scoată icircn
evidenţă comportarea materialului icircn condiţii de solicitare
Cea mai utilizată icircncercare icircn urma căreia se pun icircn evidenţă caracteristicile
mecanice ale unui material este icircncercarea la tracţiune
481 Icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general
Icircncercarea la tracţiune a oţelului ca de altfel toate icircncercările de materiale este
standardizată
Icircn cele ce urmează se va prezenta numai partea care interesează strict din punct
de vedere al caracteristicilor mecanice ale oţelului
Epruveta de diametru iniţial 1198890 pentru icircncercarea la tracţiune are o porţiune de
lungime 1198710 numită baza de măsurare pe care se măsoară lungirea acesteia sub acţiunea
solicitării
Icircn funcţie de raportul dintre baza de măsurare 1198710 şi diametrul iniţial 1198890 epruvetele
utilizate pentru icircncercări sunt
epruvete normale (scurte) cacircnd 11987101198890 = 5
epruvete lungi cacircnd 11987101198890 = 10
Icircn timpul icircncercării la diferite valori ale forţei 119865 se măsoară lungirea bazei de
măsurare
∆119871 = 120575 = 119871 minus 1198710 (439)
unde
119871 este dimensiunea bazei de măsurare la un moment dat
Curba forţă-lungire (119865 minus ) icircnregistrată icircn urma icircncercării reprezintă curba
caracteristică la tracţiune
La icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general diagrama caracteristică care se
obţine are forma din figura 48
Curba caracteristică la tracţiune depinde de lungimea bazei de măsurare Pentru
icircnlăturarea acestui neajuns curba caracteristică se reprezintă icircn coordonate şi definite
astfel
120590 =119865
1198600 휀 =
120575
1198710 (440)
unde
1198600 este aria iniţială a secţiunii transversale a epruvetei (icircnainte de solicitare) icircn
zona bazei de măsurare
1198600 =120587 ∙ 1198890
2
4
Deoarece mărimile icircn care se reprezintă curba caracteristică la tracţiune sunt
raportate la aria iniţială a secţiunii transversale (mărimi specifice) curba poartă numele
de curbă caracteristică convenţională la tracţiune
Fig 48 Curba caracteristică convenţională la tracțiune
Pe curba caracteristică convenţională la tracţiune figura 48 se pot stabili o serie
de puncte cărora le corespund mai multe mărimi importante
Ordonata punctului A pacircnă unde curba caracteristică convenţională este linie
dreaptă se numeşte limita de proporţionalitate a materialului 120590119901(1205901) Porţiunea 119874119860 este
zona de proporţionalitate a curbei caracteristice pe acest domeniu este valabilă legea lui
Hooke care exprimă o proporţionalitate icircntre tensiune şi deformaţie specifică
120590 = 119864 ∙ 휀 (441)
unde
119864 = reprezintă panta porţiunii liniare a curbei convenționale caracteristice
la tracțiune Caracteristica de material 119864 se numeşte modul de elasticitate longitudinal
(modulul lui Young)
Ordonata punctului 119861 pacircnă unde materialul se comportă perfect elastic adică
după descărcare icircşi recapătă dimensiunea iniţială 1198710 se numeşte limita de elasticitate
120590119890(119877119890) Icircn realitate nici un material nu are comportare perfect elastică sub acţiunea
solicitărilor el capătă deformaţii permanente (remanente plastice)
După punctul 119861 urmează o porţiune 119861119862119863 icircn care cu toate că icircncărcarea
continuă forţa nu mai creşte avacircnd mici oscilaţii icircn jurul unei valori Se spune că icircn
această porţiune materialul curge iar intervalul 119861119862119863 este un palier de curgere Tensiunea
corespunzătoare palierului de curgere se numeşte limită de curgere aparentă 120590119888(119877119888) Limita de curgere aparentă se calculează cu relaţia
120590119888 =1198651198881198600 (442)
unde
119865119888 reprezintă valoarea forţei icircnregistrată icircn momentul curgerii materialului
După punctul 119863 curba caracteristică are un traseu ascendent pacircnă icircn punctul 119864
Porţiunea 119863119864 este numită zonă de icircntărire (ecruisare) Icircn zona de ecruisare unde se
produc deformaţii plastice semnificative legea lui Hooke nu mai este valabilă La
descărcare relaţia dintre tensiunea şi deformaţia specifică este liniară paralelă cu
porţiunea liniară a curbei caracteristice (dreapta 119872119873)
Deformaţia totală (휀119905) are două componente una elastică (휀119890) şi una plastică (휀119901)
Ordonata punctului 119864 reprezintă rezistenţa de rupere 120590119903(119877119898) a materialului
care se poate calcula cu relaţia
120590119903 = 119877119898 =1198651198981198861199091198600
(443)
unde
119865119898119886119909 reprezintă valoarea maximă a forţei icircnregistrată icircn timpul icircncercării
La atingerea valorii 119865119898119886119909 (punctul 119864) icircntr-un anumit loc al epruvetei secţiunea
icircncepe să se micşoreze (se produce gacirctuirea) continuacircnd pacircnă cacircnd se produce ruperea
totală (punctul 119865)
Dacă după ruperea epruvetei cele două părţi rezultate se aşează cap la cap şi se
măsoară dimensiunea bazei de măsurare 119871119906 (lungimea ultimă) se determină alungirea la
rupere sau lungirea specifică la rupere 휀119903
휀119903 =119871119906 minus 11987101198710
=∆119871
1198710=120575
1198710 (444)
De obicei alungirea se exprimă icircn procente şi se notează cu 119860119899 unde 119899 reprezintă
numărul dat de raportul 11987101198890 (epruvete normale 119899 = 5 epruvete lungi 119899 = 10)
119860119899 =119871119906 minus 11987101198710
∙ 100 [] (445)
Altă mărime care se determină la icircncercarea la tracţiune este gacirctuirea la rupere
(exprimată de obicei icircn procente) şi definită de relaţia
119885 =1198600 minus 1198601199061198600
∙ 100 [] (446)
Mărimile determinate limita de proporţionalitate modulul de elasticitate
longitudinal limita de elasticitate limita de curgere aparentă rezistenţa de rupere
alungirea la rupere şi gacirctuirea la rupere sunt cunoscute ca fiind caracteristici mecanice
ale materialului
Din curba caracteristică convenţională observăm faptul că ruperea (punctul 119865 din
figura 48 se produce la o tensiune mai mică decacirct cea corespunzătoare punctului 119864 Dacă
icircnsă forţa din timpul icircncercării s-ar raporta la aria secţiunii din momentul icircnregistrării
forţei (care este mai mică decacirct cea iniţială 1198600) s-ar obţine aşa numita curbă
caracteristică reală a materialului (traseul 1198741198601198611198621198631198651 din figura 48) La curba
caracteristică reală ruperea se produce icircn punctul 1198651 la o icircncărcare mai mare decacirct cea
corespunzătoare punctului 119864 Icircnseamnă că rezistenţa reală la rupere este mai mare decacirct
rezistenţa la rupere dată de punctul 119864 din diagrama caracteristică convenţională
Dificultatea obţinerii diagramei caracteristice reale faţă de cea a diagramei caracteristice
convenţionale şi considerarea unei rezistenţe la rupere mai mică decacirct a celei reale face
icircn practică utilizarea pe scară mare a diagramei caracteristice convenţionale
Caracteristicile mecanice determinate pe baza curbei caracteristice convenţionale
sunt şi ele caracteristici mecanice convenţionale
Caracteristicile mecanice convenţionale limita de proporţionalitate convenţională
120590119901 limita de elasticitate convenţională 120590119890 limita de curgere convenţională 120590119888 şi rezistenţa
de rupere 120590119903 constituie tensiuni limită pentru un material Pe baza acestor caracteristici
de material se alege valoarea tensiunii admisibile 120590119886 (vezi paragraful 35) pentru
calculele de rezistenţă Cea mai utilizată stare limită pentru stabilirea tensiunii admisibile
120590119886 este limita de curgere convenţională 120590119888
120590119886 =120590119897119894119898119888
=120590119888119888 119904119886119906 120590119886 =
120590119903119888 (447)
Caracteristicile mecanice ale materialului sunt influenţate de o serie de factori
temperatura viteza de solicitare factorii tehnologici iar valorile lor sunt date icircn tabele și
diagrame
Aplicaţie Pentru suprafaţa plană compusă din două dreptunghiuri avacircnd
dimensiunile din figura 49a să se calculeze
a) centrul de greutate al secțiunii compuse 119910119866 119911119866
b) momentele de inerție axiale 119868119911 119868119910 și momentul de inerție centrifugal 119868119911119910
c) razele de inerție 119894119911 119894119910
d) modulele de rezistență 119882119911119898119894119899 119882119911119898119886119909 119882119910119898119894119899 119882119910119898119886119909
e) momentele de inerție principale 1198681 1198682 și direcțiile principale de inerție 1205721
f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 119878119911
Fig 49 Aplicație
Rezolvare Pentru rezolvare vom parcurge următoarele etape
icircmpărțim suprafața compusă icircn două suprafețe simple (dreptunghiuri) notate cu
① și respectiv ② figura 49b
poziționăm centrele de greutate a celor două suprafețe simple ① și respectiv ②
notate cu 1198661 și respectiv 1198662 figura 49c
poziționăm sistemele de axe de coordonate 119911111986611199101 pentru dreptunghiul ① și
119911211986621199102 pentru dreptunghiul ② aflate la intersecția diagonalelor figura 49c
poziționăm sistemele de axe de coordonate 11991101198741199100 ales arbitrar față de care
determinăm poziția centrului de greutate 119866 figura 49c
a) calculăm poziția centrului de greutate folosind relațiile (46) icircn care
1198601 = 6119905 ∙ 119905 = 61199052 1198602 = 4119905 ∙ 119905 = 41199052 119860 = 1198601 + 1198602 = 61199052 + 41199052 = 101199052
iar centrele de greutate 1198661 și respectiv 1198662 au coordonatele (față de sistemul 11991101198741199100)
1198661 1199101 = 3119905 1199111 = 05119905
1198662 1199102 = 051199051199112 = 3119905
cu acestea obținem
119910119866 =1198601 ∙ 1199101 + 1198602 ∙ 1199102
119860=61199052 ∙ 3119905 + 41199052 ∙ 05119905
101199052=201199053
101199052= 2119905
119911119866 =1198601 ∙ 1199111 + 1198602 ∙ 1199112
119860=61199052 ∙ 05119905 + 41199052 ∙ 3119905
101199052=151199053
101199052= 15119905
Poziționăm centrul de greutate 119866 al suprafeței compuse figura 49c
Fig 49 Aplicație
b) pentru determinarea momentelor de inerție axiale 119868119911 119868119910 și a momentului de
inerție centrifugal 119868119910119911 determinăm constantele 1198881 1198882 1198891 1198892 care intervin icircn relația lui
Stainer
1198881 = 1199101 minus 119910119866 = 3119905 minus 2119905 = 119905 1198882 = minus(119910119866 minus 1199102) = minus(2119905 minus 05119905) = minus15119905
1198891 = minus(119911119866 minus 1199111) = minus(15119905 minus 05119905) = minus119905 1198892 = 1199112 minus 119911119892 = 3119905 minus 15119905 = 15119905
Folosind relațiile lui Stainer (429) (430) și (431) calculăm momentele de
inerție axiale și centrifugale față de sistemul central 119911119866119866119910119866
119868119911 =sum(119868119911119894 + 1198881198942 ∙ 119860119894) = 1198681199111 + 1198881
2 ∙ 1198601 + 1198681199112 + 11988822 ∙ 1198602
119868119910 =sum(119868119910119894 + 1198891198942 ∙ 119860119894) = 1198681199101 + 1198891
2 ∙ 1198601 + 1198681199102 + 11988922 ∙ 1198602
119868119911119910 =sum(119868119911119894119910119894 + 119888119894 ∙ 119889119894 ∙ 119860119894) = 11986811991111199101 + 1198881 ∙ 1198891 ∙ 1198601 + 11986811991121199102 + 1198882 ∙ 1198892 ∙ 1198602
1198681199111 = (119887 ∙ ℎ3
12) =
119905 ∙ (6119905)3
12= 181199054 1198681199112 = (
119887 ∙ ℎ3
12) =
4119905 ∙ 1199053
12= 031199054
1198681199101 = (1198873 ∙ ℎ
12) =
1199053 ∙ 6119905
12= 051199054 1198681199102 = (
1198873 ∙ ℎ
12) =
(4119905)3 ∙ 119905
12= 531199054
11986811991111199101 = 11986811991121199102 = 0 deoarece cele două triunghiuri au cel puțin o axă de simetrie
Cu acestea momentele de inerție axiale și momentul de inerție centrifugal devin
119868119911 = 181199054 + 1199052 ∙ 61199052 + 031199054 + (minus15119905)2 ∙ 41199052 = 3331199054
119868119910 = 051199054 + (minus119905)2 ∙ 61199052 + 531199054 + (15119905)2 ∙ 41199052 = 2081199054
119868119911119910 = 0 + 119905 ∙ (minus119905) ∙ 61199052 + 0 + (minus15119905) ∙ (15119905) ∙ 41199052 = minus151199054
c) razele de inerție sau de girație față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910
se calculează cu relațiile (411)
119894119911 = radic119868119911119860= radic
3331199054
101199052= 182119905 119894119910 = radic
119868119910
119860= radic
2081199054
101199052= 144119905
d) modulele de rezistență față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910 se
calculează cu relațiile (412) și (413)
Avacircnd icircn vedere figura 419c obținem
119910119898119886119909 = 6119905 minus 119910119866 = 6119905 minus 2119905 = 4119905 119910119898119894119899 = minus119910119866 = minus2119905
119911119898119886119909 = 5119905 minus 119911119866 = 5119905 minus 15119905 = 35119905 119911119898119894119899 = minus119911119866 = minus15119905
Se obține astfel
119882119911119898119894119899 =119868119911
|119910119898119886119909|=3331199054
4119905= 8331199053
119882119911119898119886119909 =119868119911
|119910119898119894119899|=3331199054
2119905= 16651199053
119882119910119898119894119899 =119868119910
|119911119898119886119909|=2081199054
35119905= 5941199053
119882119910119898119886119909 =119868119910
|119911119898119894119899|=2081199054
15119905= 13871199053
e) momentele de inerție principale 1198681 și respectiv 1198682 se calculează cu relațiile
(438)
11986812 =119868119911 + 119868119910
2plusmn1
2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)
2+ 4 ∙ (119868119911119910)
2=
=3331199054 + 2081199054
2plusmn1
2∙ radic(3331199054 minus 2081199054)2 + 4 ∙ (minus151199054)2 = 27051199054 plusmn 16251199054
De unde obținem
1198681 = 27051199054 + 16251199054 = 4331199054
1198682 = 27051199054 minus 16251199054 = 1081199054
Prima direcție principală de inerție 1 face cu axa centrală 119866119911 unghiul 1205721 dat de
relația (437)
1205721 =1
2∙ arctan (minus
2 ∙ 119868119911119910
119868119911 minus 119868119910) =
1
2∙ arctan [minus
2 ∙ (minus151199054)
3331199054 minus 2081199054] =33 70
Deoarece 1205721 gt 0 rotirea axelor se face acircn sens antiorar acelor de ceasornic figura
49d
Poziția axe principale 2 față de care momentul de inerție are valoarea minimă
1198682 = 119868119898119894119899 este dată de unghiul
1205722 = 1205721 + 900 = 33 70 + 900 = 123 70
f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 se determină cu relația
(45)
1198781199111198602 = 1198602 ∙ 1198882 = 41199052 ∙ (minus15119905) = minus61199053
icircnclinarea pantei diagramei forței 119879 este egală cu (ndash 119901) (sarcina distribuită cu
semn schimbat)
dacă 119901 = 119888119900119899119904119905 119879 variază liniar pe acel interval
Asemănător se deduce că derivata funcţiei forţei axiale icircn raport cu abscisa
secţiunii este egală cu sarcina distribuită axială din acea secţiune luată cu semn
schimbat adică
119889119873
119889119909= minus119901119867 (211)
Din condiția de echilibru suma de momente faţă de centrul de greutate al secţiunii
din dreapta
(sum119872)119862= 0 hArr 119872119894 minus (119872 + 119889119872119894) + 119879 ∙ 119889119909 minus 119901 ∙
(119889119909)2
2= 0 rArr
119889119872119894
119889119909= 119879 (212)
Relația (212) s-a obținut dupa reducerea termenilor și prin neglijarea infinitului
mic de ordinul 2
119901 ∙(119889119909)2
2
Relația (212) arată că derivata funcţiei moment icircncovoietor icircn raport cu abscisa
secţiunii este egală cu forţa tăietoare din acea secţiune
Observații
dacă 119879 = 0 momentul 119872119894 are un punct de extrem se obține o valoare maximă
pentru 119872119894119898119886119909 dacă forța tăietoare 119879 se anulează trecacircnd de la plus icircn stacircnga la minus icircn
dreapta secțiunii
dacă forța tăietoare este pozitivă pe un interval 119879 gt 0 atunci 119872119894 este crescătoare
pe acel interval
dacă forța tăietoare este negativă pe un interval 119879 lt 0 atunci 119872119894 este
descrescătoare pe acel interval
dacă pe un interval 119901 = 0 forța tăietoare este constantă 119879 = 119888119905 iar 119872119894 variază
liniar pe acel interval
dacă 119901 = 119888119900119899119904119905 119879 variază liniar pe acel interval iar 119872119894 variază parabolic pe
acel interval
Relaţiile diferenţiale sunt utile la reprezentarea corectă şi verificarea diagramelor
de eforturi astfel
pentru porţiunile de grindă pe care p = 0 eforturile N şi T sunt constante iar pe
porţiunile cu p = const eforturile N şi T variază liniar (relaţiile 211 şi 210)
dacă pe o porţiune T = const momentul icircncovoietor Miz variază liniar iar dacă
T variază liniar atunci momentul Miz variază parabolic (relaţia 212)
pe domeniile pe care T gt 0 funcţia Mi(x) este crescătoare iar icircn secţiunea icircn
care T = 0 (graficul funcţiei T intersectează axa x) momentul icircncovoietor are un punct
de extrem local (maxim sau minim relaţia 212)
Pentru rezolvarea problemelor referitoare la trasarea diagramelor de eforturi
pentru barele drepte solicitate de sisteme de forţe plane se parcurg următoarele etape
1) identificarea forţelor aplicate (date) şi pregătirea lor pentru calcule
(descompunerea forţelor concentrate pe direcţiile x şi y calculul rezultantelor forţelor
distribuite)
2) identificarea reazemelor şi introducerea reacţiunilor corespunzătoare (vezi
figurile 27divide29)
3) stabilirea ecuaţiilor de echilibru static calculul şi verificarea reacţiunilor Icircn
rezistența materialelor se folosește sistemul de ecuații (vezi figura 217)
(sum119865)
119909= 0
(sum119872)119860= 0
(sum119872)119861= 0
(213)
4) identificarea domeniilor de variaţie şi scrierea funcţiilor de eforturi pentru N T
şi Mi
5) reprezentarea grafică a diagramelor de eforturi
6) verificarea corectitudinii diagramelor pe baza relaţiilor diferenţiale icircntre eforturi
şi sarcini
Aplicație Pentru grinda dreaptă icircncărcată cu sistemul de forţe reprezentat icircn figura
220 se cere
a) să se calculeze şi să se verifice reacţiunile
b) să se stabilească funcţiile eforturilor Nx Ty şi Miz şi să se reprezinte diagramele
de variaţie
c) să se analizeze relaţiile diferenţiale icircntre eforturi şi sarcini
Dimensiunile grinzii au valorile a = 6 [m] b = 4 [m] și c = 4[m] sistemul de
forţe aplicat fiind format din p = 10 [kN mfrasl ] F = 20 [kN] (icircnclinată cu unghiul α =300 faţă de orizontală) şi M0 = 40 [kN ∙ m]
Rezolvare
a) Se fac următoarele precizări
grinda dreaptă se reprezintă prin axa geometrică
forţa icircnclinată F se descompune după direcţiile orizontală şi verticală icircn FV =F ∙ sin α = 10 [kN] şi FH = F ∙ cos α = 173 [kN]
forţa distribuită uniform p este echivalentă din punct de vedere static cu
rezultanta sa R = p ∙ a = 60 [kN] care acţionează la jumătatea porţiunii de lungime a
icircn reazemele 119860 şi 119861 se introduc componentele HA şi VA respectiv VB ale
reacţiunilor
Pentru calculul reacţiunilor se utilizează ecuaţiile de echilibru static al grinzii
sumXi = 0 HA minus FH = 0 sumYi = 0 VA + VB minus R minus FV = 0 (sumM)B = 0 VA ∙ (b + a) minus R ∙ (b + 05 ∙ a) minus M0 + FV ∙ c = 0
(A1)
Din prima ecuaţie se obţine HA iar din cea de-a treia ecuaţie rezultă VA
HA = FH = 173 [kN]
VA =[R ∙ (b + 05 ∙ a) + M0 minus FV ∙ c]
(b + a)=[60 ∙ (4 + 05 ∙ 6) + 40 minus 10 ∙ 4]
(4 + 6)
VA = 42 [kN]
(A2)
Fig 220 Aplicație
Se observă că cea de-a doua ecuaţie de echilibru conţine două necunoscute
reacţiunile VA şi VB Pentru a calcula componenta VB nu este indicată introducerea lui VA
icircn cea de-a doua ecuaţie a sistemului (A1) pentru că o valoare determinată greşit pentru
VA conduce la o valoare VB de asemenea greşită O ecuaţie independentă din care se poate
determina componenta VB este următoarea
(sumM)A= 0 FV ∙ (a + b + c) minus VB ∙ (a + b) minus M0 + R ∙ 05 ∙ a = 0 (A3)
de unde se obţine
VB =[FV ∙ (a + b + c) minusM0 + R ∙ 05 ∙ a]
(b + a)=[10 ∙ (6 + 4 + 4) minus 40 + 60 ∙ 05 ∙ 6]
(6 + 4)
VB = 28 [kN] (A4)
Ecuaţia de proiecţii ale forţelor pe direcţia verticală (a doua ecuaţie din sistemul
A1) se utilizează pentru verificarea reacţiunilor deja determinate
VA + VB minus R minus FV = 0 rArr 42 + 28 minus 60 minus 10 = 0 (A5)
Ultima egalitate demonstrează că reacţiunile verticale au fost calculate corect
Din cele de mai sus rezultă ordinea firească pentru determinarea reacţiunilor icircn
cazul grinzilor simplu rezemate
sumXi = 0
(sumM)A = 0
(sumM)B = 0
(A6)
iar pentru verificarea componentelor verticale VA şi VB se folosește ecuaţia sumY = 0
b) La stabilirea funcţiilor de eforturi se parcurg icircn general etapele următoare
se notează (numeric sau literal după preferinţă) secţiunile care delimitează
domeniile (intervalele sau tronsoanele) pe care eforturile nu-şi modifică funcţiile (au legi
unice de variaţie)
pe fiecare domeniu se marchează secţiunea imaginară icircn care se stabilesc
funcţiile eforturilor
secţiunea astfel aleasă separă icircn două părţi grinda şi anume porţiunea din stacircnga
şi porţiunea din dreapta secţiunii
se va considera parcursă (şi icircndepărtată) acea parte pe care acţionează mai puţine
sarcini exterioare pentru că acestea vor interveni icircn expresiile funcţiilor de eforturi
poziţiile secţiunilor imaginare se vor determina prin variabilele x1 ⋯ xn (unde
n reprezintă numărul domeniilor de variaţie) cu originea fixată icircn capătul intervalului şi
sensul de parcurgere spre partea considerată rămasă
Grinda prezentată icircn figura 220 are trei domenii de variaţie pentru funcţiile de
eforturi după cum urmează (A-1) (2-B) şi (B-1)
Domeniul (A-1) x1 isin [0 a = 6 m] Porţiunea parcursă şi considerată icircndepărtată este cea de coordonată x1 pe care
acţionează reacţiunile HA şi VA precum şi rezultanta parţială a sarcinii distribuite R1 =p ∙ x1
Funcţia forţă axială Nx are expresia
Nx(x1) = NAminus1 = minusHA = minus173 [kN] = const
(A7)
Funcţia forţă tăietoare Ty are exspresia
Ty(x1) = TAminus1 = VA minus R1 = VA minus p ∙ x1 (A8)
care reprezintă o variaţie liniară de variabilă x1 Se calculează valorile forţei tăietoare la
limitele intervalului de variaţie
- pentru x1 = 0 Ty(x1 = 0) = TA = VA = 42 [kN]
- pentru x1 = a = 6 [m] Ty(x1 = 6) = T1 = VA minus p ∙ a = minus18 [kN]
Observaţie Aşa cum a fost stabilită secţiunea fictivă poziţionată prin coordonata
x1 sar părea că rezultanta R ar trebui luată icircn calculul lui Ty(x1) Acest lucru ar fi greşit
pentru că R = p ∙ a reprezintă rezultanta sarcinii distribuite pe toată lungimea a iar
rezultanta pe porţiunea parcursă de lungime x1 este R1 = p ∙ x1 ne R = p ∙ a
Cu valorile obţinute se trasează diagramele forţelor axială Nx = f(x) şi tăietoare
Ty = f(x) figura 220 Din diagrama forţei tăietoare şi din valorile obţinute analitic se
observă că forţa tăietoare icircşi schimbă semnul pe intervalul analizat deci se anulează pe
acest interval Poziţia secţiunii unde Ty se anulează se determină din ecuaţia
Ty(x1) = 0 rArr VA minus p ∙ x1 = 0 (A9)
cu soluţia x1lowast = ξ = 42 [m] Important de reamintit că icircn această secţiune momentul
icircncovoietor va avea un extrem local adică Miz are un extrem la Ty = 0
Funcţia moment icircncovoietor Miz are expresia
Miz(x1) = VA ∙ x1 minus R1 ∙x12= VA ∙ x1 minus (p ∙ x1) ∙
x12
(A10)
Se observă că funcţia moment icircncovoietor de variabilă x1 are o variaţie parabolică
(gradul al II-lea) Pentru reprezentarea grafică a funcţiei parabolice se calculează valorile
momentului icircncovoietor icircn trei secţiuni
- pentru x1 = 0 Miz(x1 = 0) = MA = 0 [kN ∙ m] - pentru x1 = a = 6 [m] Miz(x1 = 6) = M1 = 72 [kN ∙ m] - pentru x1
lowast = ξ = 42 [m] Miz(x1lowast = ξ = 42 [m]) = Mimax = 882 [kN ∙ m]
Cu acestea se trasează diagrama Miz = f(x) pe intervalul (A-1) figura 220
Observaţie Icircn unele cazuri pe un anumit interval forţa tăietoare nu se anulează
şi momentul icircncovoietor nu are un extrem local Icircn acest caz pentru reprezentarea
variaţiei parabolice a momentului icircncovoietor se va studia semnul derivatei a doua a
funcţiei Miz = f(x1) acesta determinacircnd convexitatea curbei momentului icircncovoietor
Domeniul (2-B) x2 isin [0 c = 4 m] Porţiunile din grindă libere (nerezemate) la un capăt se numesc console iar
stabilirea funcţiilor de eforturi devine mai simplă dacă se consideră icircndepărtată partea din
dreapta secţiunii prin schimbarea sensului pozitiv al axei x Astfel se obţin funcţiile eforturilor
Funcţia forţă axială Nx are expresia
Nx(x2) = N2minusB = minusFH = minus173 [kN] = const
(A11)
Funcţia forţă tăietoare Ty are exspresia
Ty(x2) = T2minusB = FV = 10 [kN] = const (A12)
Funcţia moment icircncovoietor Miz are expresia
Miz(x2) = minusFV ∙ x2 rArr Miz(x2 = 0) = M2 = 0 [kN ∙ m]
Miz(x2 = 4) = MB = minus40 [kN ∙ m] (A13)
variaţie liniară (gradul I)
Domeniul (B-1) x3 isin [0 b = 4 m] Pe acest domeniu se acceptă parcurgerea grinzii de la dreapta adică se consideră
icircndepărtată partea din dreapta secţiunii fictive pentru că are doar două sarcini aplicate F
şi VB faţă de partea din stacircnga secţiunii pe care sunt aplicate trei sarcini p VA şi M0
Astfel se obţin funcţiile eforturilor
Funcţia forţă axială Nx are expresia
Nx(x3) = NBminus1 = minusFH = minus173 [kN] = const
(A14)
Funcţia forţă tăietoare Ty are exspresia
Ty(x3) = TBminus1 = FV minus VB = minus18 [kN] = const (A15)
Funcţia moment icircncovoietor Miz are expresia
Miz(x3) = minusFV ∙ (x3 + c) + VB ∙ x3 rArr
rArr Miz(x3 = 0) = MB = minus40 [kN ∙ m]
Miz(x3 = 4) = M1 = 32 [kN ∙ m]
(A16)
variaţie liniară (gradul I)
Diagramele eforturilor sunt prezentate icircn figura 220
c) Relaţiile diferenţiale dintre eforturi şi sarcini se analizează pe diagramele
eforturilor după cum urmează
sarcina distribuită nu are componentă orizontală adică ph = 0 şi icircn
conformitate cu formula (211) rezultă că Nx = const pe toată lungimea grinzii fapt care
a rezultat din funcţia şi reprezentarea diagramei forţei axiale
pe intervalul (A-1) sarcina distribuită are doar componenta verticală pozitivă
pV = p gt 0 prin urmare forţa tăietoare scade (are panta negativă dTy 119889119909frasl = minusp vezi
relaţia 210) iar momentul icircncovoietor avacircnd derivata a doua negativă d2M119894119911 1198891199092frasl =minuspare convexitatea curbei orientată spre sensul pozitiv al axei momentului Miz adică icircn
jos
pe domeniile (2-B) şi (B-1) deoarece pv = 0 forţa tăietoare Ty este constantă
iar momentul icircncovoietor Miz variază liniar
referitor la relaţia (212) pe porţiunile unde Ty gt 0 momentul Miz este
monoton crescător pe porţiunile unde Ty lt 0 momentul Miz este monoton descrescător
iar icircn secţiunea icircn care Ty = 0 momentul icircncovoietor are un extrem local Mξ =
882 [kN ∙ m] icircn diagrama forţei tăietoare discontinuităţile (salturile) se produc icircn secţiunile
unde acţionează VA VB şi FV iar icircn diagrama momentului icircncovoietor se produce un
singur salt icircn secţiunea icircn care este aplicat M0
se poate scrie
Mξ = suprafața diagramei Ty |ξ0=1
2∙ 42 ∙ 42 = 882 [kN ∙ m]
sau parcurgacircnd grinda de la dreapta la stacircnga rezultă
MB = minussuprafața diagramei Ty |c0= minus10 ∙ 4 = minus40 [kN ∙ m]
Toate aspectele analizate teoretic referitoare la relaţiile diferenţiale dintre eforturi
şi sarcini se regăsesc icircn diagramele de eforturi din figura 220 ceea ce icircnseamnă că
diagramele au fost reprezentate corect
3 TENSIUNI DEPLASĂRI ŞI DEFORMAŢII SPECIFICE
31 Tensiuni
Eforturile obținute icircn urma reducerii forțelor interioare icircn centrul de greutate al
secțiunii nu pot da informații asupra solicitării fiecărui punct al secțiunii respective Este
necesar să se cunoască modul cum se distribuie forțele interioare icircn fiecare punct al
secțiunii pentru a ști care este intensitatea maximă a solicitării Această intensitate
maximă se poate compara cu o valoare critică specifică materialului stabilindu-se astfel
dacă solicitarea este periculoasă sau nu
Mărimea care caracterizează solicitarea locală punctuală o vom denumi tensiune
și o vom defini icircn cele ce urmează Să considerăm partea din dreapta a unui corp solicitat
de forțele exterioare 1198651 1198652 și 1198653 obținută prin secționarea corpului și mărginită de fața
din dreapta Ad a secțiunii Pe secțiunea Ad vom considera un element de arie infinit mic
∆119860 caracterizat de normala la elementul de arie normală care are cosinușii directori
120573 și icircn raport cu un sistem de axe considerat fix Pe elementul infinit mic ∆119860 acționează
forțele interioare care au o rezultantă oarecare figura 31
Prin definiție tensiunea totală este
= lim∆119860rarr0
∆
∆119860 (31)
Tensiunea are aceeaşi direcţie cu forţa elementară ∆ iar mărimea ei este
determinată atacirct de mărimea forţei ∆ cacirct şi de orientarea suprafeţei ∆119860 faţă de direcţia
forţei
Tensiunea 119901 poate fi descompusă icircntr-o componentă orientată după direcţia
normalei la secţiune tensiunea normală notată cu 120590119909 şi o componentă icircn planul secţiunii
tensiunea tangenţială notată cu figura 32
= 119909 + 120591 (32)
Fig 31 Tensiunea totală Fig 32 Tensiunea normală și tangențială
La racircndul ei componenta tensiunii cuprinsă icircn planul secțiunii poate fi
descompusă după direcțiile axelor y și z
120591 = 120591119909119910 + 120591119909119911 (33)
Icircntre cele trei componente ale tensiunii totale care acționează pe elementul de arie
∆119860 este valabilă relația
1199012 = 1205901199092 + 120591119909119910
2 + 1205911199091199112 (34)
După sensul pe care icircl are tensiunea normală 120590 poate avea efect de tracţiune sau
de compresiune exercitat de către partea de corp icircnlăturată asupra părţii rămase Analog
tensiunea tangenţială 120591 poate avea efect de tăiere forfecare sau alunecare Pentru
componentele tensiunii tangențiale 120591119909119910 pe direcţia 119910 respectiv 120591119909119911 pe direcţia 119911 primul
indice indică axa pe care tensiunea este normală iar cel de-al doilea indice indică axa cu
care aceasta este paralel
Tensiunea este o mărime tensorială valoarea ei depinzacircnd atacirct de poziția
punctului icircn planul secțiunii cicirct și de orientarea planului de secționare deci de normala
Operaţiile vectoriale nu pot fi aplicate tensiunilor decacirct după ce acestea au fost icircnmulţite
cu ariile respective adică au fost transformate icircn forţe
Icircn literatura de specialitate mai ales icircn manualele mai vechi pentru noţiunea de
tensiune se mai foloseşte şi denumirea de efort specific
Dacă se consideră un alt element de arie ∆119860 cu centrul icircn același punct avacircnd ca
normală axa 119910 se vor obține alte tensiuni și anume
- 120590119910 este tensiunea normală (paralelă cu axa y)
- 120591119911119909 și 120591119910119911 sunt tensiuni tangențiale paralele cu axele 119909 și respectiv 119911 aflate icircn
planul care are ca normală axa 119910
Dacă icircn jurul unui punct dintr-un corp solicitat se consider un element de volum
infinit mic de forma unui cub icircn cazul cel mai general pe fețele sale vor acționa
tensiunile normale 120590119909 120590119910 și 120590119911 și respectiv tensiunile tangențiale 120591119909119910 120591119909119911 120591119910119909 120591119910119911 120591119911119909
și respectiv 120591119911119910 figura 33 Aceste tensiuni definesc starea de tensiune a punctului
observacircnd faptul că tensorul tensiune are 9 componente Dacă se consideră elementul
de volum finit ca fiind foarte mic se poate presupune că icircn interiorul său nu apar forțe
Ca urmare el va fi icircn echilibru sub acțiunea forțelor elementare produse de tensiunile de
pe fețele sale
Din condiția ca elementul să nu se rotească icircn jurul unor axe care trec prin centrul
său și sunt paralele cu axele sistemului 119909119874119910119911 rezultă
2 ∙ 120591119909119910 ∙ (119889119910 ∙ 119889119911) ∙119889119909
2= 2 ∙ 120591119910119909 ∙ (119889119909 ∙ 119889119911) ∙
119889119910
2 rArr 120591119909119910 = 120591119910119909 (35)
2 ∙ 120591119910119911 ∙ (119889119909 ∙ 119889119911) ∙119889119910
2= 2 ∙ 120591119911119910 ∙ (119889119909 ∙ 119889119910) ∙
119889119911
2 rArr 120591119910119911 = 120591119911119910 (36)
2 ∙ 120591119909119911 ∙ (119889119910 ∙ 119889119911) ∙119889119909
2= 2 ∙ 120591119911119909 ∙ (119889119909 ∙ 119889119910) ∙
119889119911
2 rArr 120591119909119911 = 120591119911119909 (37)
Relațiile (35divide37) 120591119909119910 = 120591119910119909 120591119910119911 = 120591119911119910 120591119909119911 = 120591119911119909 exprimă principiul dualității
tensiunilor tangențiale
Fig 33 Tensiunile normale și tangențiale pe fețele unui cub
Din condiția ca elementul considerat să nu se deplaseze icircn lungul axelor de
coordonate pe fețele opuse acționează aceleași tensiuni normale 120590119909 120590119910 și respectiv 120590119911
Definirea tensorului tensiune este posibilă dacă se cunosc cele 6 componente
independente ale acestuia aflate icircn trei plane perpendicular ce trec prin punctul respectiv
=
120590119909 120591119909119910 120591119909119911120591119910119909 120590119910 120591119910119911120591119911119909 120591119911119910 120590119911
Observaţii
Tensiunile se măsoară icircn [119873 1198982frasl ] (1119873 1198982frasl = 1 119875119886) sau icircn [119872119875119886]
(1 119872119875119886 = 106119875119886 = 106 119873
1198982 1 119872119875119886 = 1
119873
1198981198982)
Starea de tensiune dintr-un punct este considerată cunoscută dacă se cunosc
tensiunile 119901 care acționează pe infinitatea de elemente de suprafață ce trec prin punctual
considerat
Starea de tensiune a unui corp se consider cunoscută dacă se cunosc stările de
tensiune de pe infinitatea de puncte ale corpului considerat
32 Deplasări Deformaţii specifice
321 Deplasări
Aceste noțiuni sunt utile icircn analiza aspectului geometric al problemelor de rezistența
materialelor Deplasările care se analizează sunt cele datorate schimbării formei și
dimensiunilor corpurilor ca urmare a acțiunii forțelor exterioare și nu cele cinematice
posibile pentru solidul rigid care se poate deplasa cu anumită viteză și accelerație
Spre exemplu icircn figura 34a și figura 34b sub acțiunea forței 119865 tronsonul de
bară AB se deformează icircn timp ce tronsonul BC deși punctele sale au deplasări rămacircne
nedeformat (fiind nesolicitat) Toate punctele de pe axele barelor cu excepția celor din
icircncastrare (secțiunile A) au deplasări liniare De cele mai multe ori deformațiile barelor
datorate acțiunii forțelor exterioare se anulează la icircndepărtarea forțelor se spune că
deformațiile sunt elastice Secțiunile transversale ale barei din figura 34a se și rotesc icircn
raport cu pozițiile lor inițiale Spre exemplu secțiunea de căpăt cu centrul icircn C se rotește
cu unghiul
Fig 34 Deformațiile unei grinzi
Oricacirct de complexă ar fi delormația unui corp ea poate fi descrisă de lungiri sau
scurtări și de modificări ale unghiurilor inițiale
Deplasările măsoară schimbarea poziției unui punct al corpului și pot fi liniare
sau unghiulare
Prin deplasare liniară a unui punct se icircnțelege drumul parcurs de acest punct icircn
decursul procesului de deformație după o dreaptă suport dreapta 1198611198611 din figura 34a
Prin deplasare unghiulară se icircnțelege rotirea dintre segmentele de dreaptă
determinate de două puncte ale corpului icircnainte și după deformarea acestuia unghiul
pe care-l fac segmentele 119861119862 și 11986111198621 din figura 34a Această rotire se măsoară prin
unghiul pe care-l fac proiecțiile dreptelor ce conțin cele două segmente icircntr-un sistem
triortogonal
Icircn cazul cel mai general vectorul deplasare liniară se poate descompune icircntr-un
sistem triortogonal icircn trei componente 119906 119907 și 119908 figura 35
Fig 35 Deplasarea liniară
Se consideră acum un corp solid raportat la un sistem de axe ortogonal 119909119874119910119911
figura 35 după deformarea corpului un punct oarecare 119870 al acestuia se deplasează icircn
poziţia 1198701 vectorul 1198701198701 poartă numele de vectorul deplasării totale
Deplasarea totală este suma deplasărilor pe cele trei direcţii ortogonale iar
aceste deplasări se notează astfel
deplasarea pe direcţia 119909 cu ∥ 119874119909
deplasarea pe direcţia 119910 cu ∥ 119874119910
deplasarea pe direcţia 119911 cu ∥ 119874119911
Componentele deplasărilor și formeză matricea deplasărilor liniare 119906119907119908
322 Deformații
Prin deformație icircn general se icircnțelege orice schimbare de formă a unui corp fără
o evaluare cantitativă Icircn Rezistența Materialelor deformația măsoară variația
dimensiunilor geometrice ale corpului considerat din vecinătatea unui punct analog
deplasărilor deformațiile pot fi liniare și unghiulare (lunecări)
Fig 36 Deplasarea liniară
Deformația liniară ∆119897 reprezintă variația lungimii 119897 a unui element liniar al
corpului deformat figura 36 Deformația liniară specifică se definește ca fiind raportul
dintre deformația liniară și lungimea inițială
휀 =∆119897
119897 (38)
unde ∆119897 este lungirea sau scurtarea care este echivalentă cu deformția liniară totală iar
este alungirea
Deformația unghiulară sau lunecarea unui punct 119860 icircn planul 119861119860119862 se definește
prin relația figura 37
120574 = lim119861119860rarr0119862119860rarr0
(119861119860 minus 119861111986011198621 ) (39)
Fig 36 Deformația unghiulară
Schimbacircnd orientarea planului care trece prin 119860 se obțin alte deformații
unghiulare Dacă elementele liniare 119861119860 și 119862119860 sunt inițial perpendiculare deformația 120574 se
numește deformație unghiulară specifică sau lunecare specifică figura 37
Un exemplu de deplasare unghiulară și de deformație unghiulară este prezentat icircn
figura 38 Unghiul este deplasarea unghiulară și măsoară rotirea relativă dintre două
secțiuni aflate la distanța 119897 Unghiul este deformația specifică unghiulară (lunecarea
specifică) din punctul 119870 Aceste deplasări și deformații se obțin icircn urma solicitării barei
de către cele două momente 1198720 egale și de sens contrar
Fig 38 Deplasarea unghiulară
Pentru a analiza starea de deformație din vecinătatea unui punct al unui corp
solicitat complex se decupează din jurul punctului un element de volum mic figura 39a
avacircnd laturile 119889119909 119889119910 și 119889119911 Ca urmare a solicitării laturile acestuia se vor lungi sau
scurta Reprezentarea elementului deformat icircn spațiu este dificilă pentru simplificare
vom analiza doar deformațiile din planul 119909119874119910 Observăm că dimensiunile 119889119909 și 119889119910 s-au
modificat cu valoarea ∆119889119909 respectiv cu ∆119889119910 analog se acceptă și pentru 119889119911 o modificare
de forma ∆119889119911 Astfel se pot defini deformațiile specifice liniare
휀119909 =∆119889119909
119889119909 휀119910 =
∆119889119910
119889119910 휀119911 =
∆119889119911
119889119911 (310)
De cele mai multe ori aceste deformații specifice liniare se pot exprima procentual
și se mai numesc alungiri
Fig 39 Starea de deformație
Icircn figura 39c se vede că unghiul inițial drept dintre muchiile 119889119909 și 119889119910 ale
elementului de volum s-a modificat Se definește deformația specifică unghiulară (sau
lunecarea specifică) mărimea cu care se modifică unghiul inițial drept
120574119909119910 = 120574119909119910prime + 120574119910119909
prime = 120574119910119909120574119910119911 = 120574119910119911
prime + 120574119911119910prime = 120574119911119910
120574119911119909 = 120574119911119909prime + 120574119909119911
prime = 120574119909119911
(311)
Deformațiile 휀119909 휀119910 휀119911 120574119909119910 120574119910119911 120574119911119909 constituie cele șase componente
independente ale tensorului deformațiilor specifice care pot fi scrise de forma
119863 =
휀119909 120574119909119910 120574119909119911120574119910119909 휀119910 120574119910119911120574119911119909 120574119911119910 휀119911
(312)
323 Contracţia transversală
Practica arată că odată cu lungirea unei bare apare o micşorare a mărimii secţiunii
transversale mărime numită contracţie transversală figura 310
Fig 310 Contracția transversală
Contracţia transversală este proporţională cu lungirea specifică coeficientul de
proporţionalitate se notează cu 120599 şi se numeşte coeficient de contracţie transversală sau
coeficientul lui Poisson
La o lungire specifică a barei contracţia transversală este dată de relația
휀119905119903 = 휀119910 = 휀119911 = minus120599 ∙ 휀119909 (313)
Semnul minus bdquo-rdquo arată că cele două mărimi sunt contrare dacă una creşte cealaltă
scade şi invers
Considerăm o bară cilindrică de lungime 119897 şi aria secţiunii transversale 119860 solicitată
la icircntindere axială La un moment dat datorită solicitării lungimea barei devine
[119897 ∙ (1 + 휀)] diametrul devine [119889 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)] iar aria secţiunii transversale devine
[119860 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)2] Dacă volumul barei icircnainte de solicitare a fost (119860 ∙ 119897) după solicitare
acesta devine
119881 + ∆119881 = 119860 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)2 ∙ 119897 ∙ (1 + 휀) =
= 119860 ∙ 119897 ∙ (1 + 휀 minus 2 ∙ 120599 ∙ 휀 minus 2 ∙ 120599 ∙ 휀2 + 1205992 ∙ 휀2 + 1205992 ∙ 휀3) (314)
Deoarece lungirile sunt foarte mici ultimii trei termeni din paranteză fiind infinit mici se pot neglija obţinacircnd
119881 + ∆119881 = 119860 ∙ 119897 + 119860 ∙ 119897 ∙ 휀 ∙ (1 minus 2 ∙ 120599) ⟺ ∆119881 = 휀 ∙ (1 minus 2 ∙ 120599) ∙ 119860 ∙ 119897 (315)
Practica arătă că o astfel de bară solicitată la icircntindere icircşi măreşte volumul deci
∆119881 gt 0 de unde rezultă că
1 minus 2 ∙ 120599 gt 0 rArr 120599 lt 05 (316)
Pentru majoritatea materialelor 120599 = 033 iar pentru materialele care-şi păstrează
volumul constant 120599 = 05
33 Relaţii de echivalenţă icircntre eforturi şi tensiuni
Considerăm un element de suprafață infinit mic 119889119860 situat pe fața de arie (119860) a
secțiunii barei din figura 311 Icircn centrul de greutate 119862 al secțiunii acționează eforturile
119873 119879119910 119879119911 119872119909 119872119894119910 și 119872119894119911 determinate prin metoda secțiunilor
Icircn raport cu un sistem de axe de referință 119909119862119910119911 coordonatele elementului 119889119860 sunt
- 119910 este ordonata elementului de arie 119889119860
- 119911 este abscisa elementului de arie 119889119860
Pe elementul de arie 119889119860 acționează tensiunile
120590119909 tensiunea normală
120591119909119910 și 120591119909119911 tensiuni tangențiale
Dacă se icircnsumează forțele elementare de tipul 120590119909 ∙ 119889119860 120591119909119910 ∙ 119889119860 și 120591119909119911 ∙ 119889119860
va trebui să obținem eforturile 119873 119879119910 și 119879119911
Fig 311 Element de suprafață mic din secțiunea unei bare
Dacă eforturile sunt privite ca forțe exterioare și se scriu ecuațiile de
echilibru ale secțiunii (119860) se vor obține șase relații de echivalență icircntre eforturi și
tensiuni
(sum119883) = 0 rArr int 120590119909 ∙ 119889119860
119860
= 119873 (317)
(sum119884) = 0 rArr int 120591119909119910 ∙ 119889119860
119860
= 119879119910 (318)
(sum119885) = 0 rArr int 120591119909119911 ∙ 119889119860
119860
= 119879119911 (319)
(sum119872)119909= 0 rArr int(120591119909119911 ∙ 119889119860) ∙ 119910
119860
minus int(120591119909119910 ∙ 119889119860) ∙ 119911
119860
= 119872119909 rArr
rArr int(119910 ∙ 120591119909119911 minus 119911 ∙ 120591119909119910) ∙ 119889119860
119860
= 119872119909
(320)
(sum119872)119910= 0 rArr int(120590119909 ∙ 119889119860) ∙ 119911
119860
= 119872119894119910 (321)
(sum119872)119911= 0 rArr int(120590119909 ∙ 119889119860) ∙ 119910
119860
= 119872119894119911 (322)
Cele șase relații de echivalență icircntre eforturi și tensiuni constituie un pas icircnainte
icircn rezolvarea unei probleme de rezistența materialelor Aceste relații vor permite
determinarea tensiunilor maxime
Pentru a rezolva cele 6 relații de echivalență trebuie să se cunoască tensiunile și
ca funcții de punct adică funcții de forma
120590119909 = 120590119909(119909 119910 119911) 120591119909119910 = 120591119909119910(119909 119910 119911) 120591119909119911 = 120591119909119911(119909 119910 119911) (32
3)
Cunoașterea acestor funcții presupune icircnsă analizarea aspectului geometric al
problemei precum și utilizarea unor ipoteze simplificatoare care să permită simplificarea
problemelor
34 Ipoteze de bază icircn rezistenţa materialelor
Depășirea dificultăților legate de interpretarea unor fenomene specifice mecanicii
solidului deformabil a impus acceptarea unor ipoteze care să simplifice fenomenele și să
contribuie la elaborarea unor modele de calcul cicirct mai generale și cacirct mai simple Aceste
ipoteze se referă la structura materialelor şi la comportarea lor sub acţiunea forţelor
exterioare Ipotezele acceptate trebuie să fie icircn deplină concordanţă cu realitatea și să
conducă la rezultate verificate icircn practică
Funcție de aspectele la care se referă ipotezele pot fi
Ipoteze fizice (de material)
Ipoteze de calcul
341 Ipoteze fizice
Se acceptă deoarece teoriile structurale au condus la rezultate care contravin
icircncercărilor experimentale
Ipoteza mediului continuu consideră că orice domeniu elementar al corpului
este ocupat de materie adică nu se acceptă existența unor goluri sau a unor crăpături
microscopice (fisuri) Deși nu corespunde realităţii poate fi acceptată deoarece
dimensiunile corpului sunt mult mai mari decacirct dimensiunile particulelor elemantare Are
avantajul că permite utilizarea proprietăților matematice ale funcțiilor continue pentru
tensiunile și deformațiile din orice punct al corpului Ea este mai apropiată de realitate la
corpurile amorfe şi mai depărtată la cele cristaline dar conduce la rezultate satisfăcătoare
icircn calculele de rezistenţă
Ipoteza nu se poate aplica la corpurile care au goluri tăieturi (multiplu conexe)
pentru unele puncte singulare icircn care tensiunile și deformațiile tind la infinit sau icircn unele
probleme de plasticitate icircn care proprietățile de material au un rol esențial
Ipoteza izotropiei conform acestei ipoteze materialul din care este confecționat
un element de rezistență are aceleași proprietăți după orice direcție un astfel de material
este considerat izotrop Din punct de vedere macroscopic metalele pot fi considerate
izotrope deși la nivel microscopic proprietățile lor diferă de la o direcție cristalografică
la alta Orice conglomerat de cristale poate fi considerat izotrop
Există cazuri cacircnd această ipoteză a izotropiei nu se acceptă
la metalele puternic deformate după o direcție (prin laminare trefilare)
la piesele confecționate din lemn lemnul este anizotrop deoarece proprietățile sale
diferă după două direcții (icircn lungul fibrelor și perpendicular pe această direcție)
Ipoteza omogenității consideră că un corp are aceleași proprietăți icircn orice
punct al său Deși majoritatea materialelor utilizate icircn tehnică sunt eterogene la scară
micro fiind constituite din mai multe faze cu proprietăți diferite la scară macro ele pot
fi considerate omogene Omogenitatea și izotropia sunt proprietăți statistice medii care
nu se condiționează una pe cealaltă Chiar și materialele monofazice pot avea la scară
micro unele segregații care le fac eterogene
Ipoteza elasticităţii perfecte presupune că atacircta timp cacirct solicitările nu
depăşesc anumite limite materialul are o comportare elastică adică icircşi recapătă forma şi
dimensiunile iniţiale odată cu icircnlăturarea sarcinilor Icircn realitate materialele nu prezintă o
elasticitate perfectă ele avacircnd deformaţii remanente mici care icircnsă pot fi neglijate icircn
calculele de rezistenţă
Acceptarea acestei ipoteze a elasticității perfecte permite
- aplicarea relației biunivoce icircntre tensiuni și deformații relație exprimată de legea
lui Hooke ( = 119864 ∙ 휀) unde E este un factor de proporţionalitate numit modul de
elasticitate longitudinal al materialului pentru oţel 119864 = 21 ∙ 105 [119872119875119886] - acceptarea valabilității afirmației bdquolucrul mecanic efectuat de forțele exterioare
ca urmare a parcurgerii deplasărilor punctelor de aplicație se icircnmagazinează integral icircn
corp sub formă de energie de deformație energie cedată la icircndepărtarea sarcinilorrdquo
- este valabilă teoria conform căreia bdquoenergia icircnmagazinată și deformațiile depind
doar de starea inițială și finală de eforturi fără a ține cont de modul icircn care s-a ajuns la
starea finalărdquo
Icircn realitate oricacirct de mici ar fi sarcinile aplicate se produc și deformații plastice
dar acestea pot fi neglijate dacă solicitarea nu depășește anumite limite
342 Ipoteze de calcul
Ipoteza micilor deplasări bdquodeplasările datorate deformării sunt mult mai mici
decacirct dimensiunile corpurilor și ca urmare pot fi neglijate produsele dintre o deplasare și
ea icircnsăşirdquo Pentru cele mai multe corpuri deformaţiile elastice sunt de mărimi mici deci
corpurile solide sub acţiunea sarcinilor icircşi modifică foarte puţin forma iniţială Această
ipoteză este cunoscută şi sub denumirea de ipoteza menţinerii dimensiunilor iniţiale Ea
permite scrierea ecuaţiilor de echilibru ale staticii pe starea nedeformată a elementului
cacircnd nu se iau icircn considerare deplasările punctelor de aplicaţie ale forţelor care se produc
ca urmare a deformării acestuia Calculul efectuat pe schema nedeformată poartă numele
de calcul de ordinul I
Ipoteza micilor deplasări nu poate fi acceptată pentru studiul problemelor de
stabilitate sau la problemele la care nu pot fi icircndeplinite condiţiile de echilibru icircn starea
nedeformată
Calculul de ordinul II admite ipoteza micilor deplasări dar ecuaţiile de echilibru
se scriu icircnsă pentru starea deformată a elementului de rezistenţă
Calculul de ordinul III nu mai acceptă ipoteza micilor deplasări el referindu-se
la cazul deformaţiilor mari cacircnd ecuaţiile de echilibru trebuie scrise pentru starea
deformată
Chiar dacă materialul satisface legea lui Hooke icircn urma calculelor de ordinul II
se obţin de obicei relaţii neliniare icircntre sarcini şi deplasări iar pentru calculul de ordinul
III rezultă ecuaţii diferenţiale neliniare
Principiul efectului local al acțiunii sarcinilor enunțat de Barre de Saint-
Venant Acest principiu destul de folosit icircn Rezistenţa Materialelor precizează că dacă
se icircnlocuiesc forţele care acţionează asupra unui element de suprafață al unui corp
elastic printr-un alt sistem de forţe echivalent din punct de vedere static cu primul noua
distribuţie a forţelor produce la locul de aplicare diferenţe semnificative faţă de prima
dar rămacircne fără efect sau cu efect neglijabil la distanţe mari de locul de aplicare al
forţelor figura 312
Ca o cosecință o sarcină uniform distribuită figura 312a poate fi icircnlocuită cu
rezultanta ei figura 312b dacă se analizează efectul sarcinii la distanță mare de locul icircn
care se aplică sarcina
Fig 312 Principiul Saint-Venant
Icircn prima variantă figura 312a forţa 119865 se aplică pe o porțiune oarecare 119897 (sarcină
uniform distribuită) iar icircn a doua figura 312b icircntru-un punct (forţă concentrată) La
locul de aplicare a sarcinii efectul asupra barei este cu totul diferit de la o variantă la
cealaltă Icircnsă la o distanţă mare de punctul de aplicaţie spre exemplu icircn secţiunea situată
la distanţa 119886 de capătul barei sau chiar icircn icircncastrare ambele bare sunt solicitate la fel
Icircn cazul din figura 312a
119872119894(119909) =119901 ∙ 1199092
2 119909 le 119897 119872119894(119909) = 119901 ∙ 119897 ∙ (119909 minus
119897
2) 119909 gt 119897 (324)
Icircn cazul din figura 312b
119872119894(119909) = 0 119909 lt119897
2 119872119894(119909) = 119901 ∙ 119897 ∙ (119909 minus
119897
2) 119909 gt
119897
2 (325)
Se vede că pentru (119909 gt 119897) adică după depășirea locului icircn care se aplică sarcina
efectul este același
Ipoteza lui Bernoulli sau ipoteza secţiunilor plane precizează că o secţiune
plană şi normală pe axa barei icircnainte de deformare rămacircne plană şi normală pe axa
barei şi după deformare figura 313
Fig 313 Ipoteza lui Bernoulli
Ipoteza stării naturale a corpului sau ipoteza absenţei tensiunilor conform
căreia pentru un corp nesolicitat starea de tensiune şi deformaţie este nulă
Perfecţionarea mijloacelor de calcul şi de investigare pot conduce la renunţarea la
unele ipoteze sau la introducerea altora noi mai aproape de stările reale De aici rezultă
caracterul de continuă perfecţionare a metodelor Rezistenţei Materialelor
35 Coeficienţi de siguranţă Tensiuni admisibile
O piesă corespunde din punct de vedere tehnic dacă tensiunile care iau naştere icircn
interiorul piesei datorită sarcinilor aplicate nu depăşesc anumite valori limită stabilite
convenţional Aceste valori limită ale tensiunii sunt corelate cu caracteristicile mecanice
ale materialelor
Tensiunea limită utilizată icircn calculele de rezistenţă este cunoscută sub denumirea
de tensiune admisibilă sau rezistenţă admisibilă Rezistenţa admisibilă reprezintă
valoarea convenţională aleasă icircn calcul pe baza practicii pentru tensiunea maximă care
poate apare icircntr-o piesă icircn condiţii date de material şi solicitare
Rezistenţa admisibilă (120590119886 sau 120591119886) poate fi definită faţă de o stare limită
periculoasă stare care trebuie evitată deoarece poate conduce distrugere
120590119886 =120590119897119894119898119888
(326)
unde
120590119897119894119898 este tensiunea corespunzătoare stării limită periculoase
119888 estesupraunitar 119888 gt 1 și reprezintă coeficientul de siguranţă faţă de starea limită
periculoasă considerată
Alegerea unor valori inferioare pentru rezistenţa admisibilă faţă de tensiunea
corespunzătoare stării limită periculoase este necesară deoarece
cunoaşterea sarcinilor este de cele mai multe ori aproximativă şi o depăşire a
acestora este foarte posibilă
caracteristicile mecanice ale materialelor variază icircn limite destul de mari ele
fiind influenţate de mulţi factori
schema aleasă pentru calcul (aplicarea sarcinilor schematizarea structurii
ipotezele de calcul etc) depărtează modelul faţă de cel real
Pentru calculele de verificare tensiunea efectivă maximă din elementul de
rezistenţă trebuie să fie mai mică sau cel mult egală cu cea admisibilă
120590119890119891119898119886119909 le 120590119886 (327)
Valoarea rezistenţei admisibile este influenţată de foarte mulţi factori natura
materialului tratamentele termice aplicate piesei durata de funcţionare a piesei modul
de acţionare icircn timp a sarcinilor felul solicitării temperatura gradul de periculozitate
icircn cazul cedării piesei etc
De asemenea valoarea coeficientului de siguranţă se alege icircn principal ţinacircnd
seama de aceiaşi factori care influenţează şi rezistenţa admisibilă
Rezistenţele admisibile pentru cacircteva materiale sunt următoarele
pentru oțelul de uz general OL37 solicitat la icircntindere compresiune sau
icircncovoiere 120590119886 = 150 [119872119875119886] pentru lemnul de brad solicitat la
- compresiune icircn lungul fibrelor şi solicitat la icircncovoiere 120590119886 = 10 [119872119875119886] - tracţiune icircn lungul fibrelor 120590119886 = 7 [119872119875119886] - compresiune perpendiculară pe fibre 120590119886 = 15 [119872119875119886] - forfecare icircn lungul fibrelor 120591119886 = 2 [119872119875119886] - forfecare perpendiculară pe fibre 120590119886 = 45 [119872119875119886]
terenuri de fundaţie din pămacircnt uscat sau umed 120590119886 = 020 divide 025 [119872119875119886]
4 CARACTERISTICI GEOMETRICE ALE SECȚIUNILOR PLANE
41 Noţiuni introductive
Icircn relaţiile de calcul ale tensiunilor şi deformaţiilor elementelor de rezistenţă
pentru unele solicitări (icircncovoierea și torsiunea) secțiunile plane intervin atacirct prin
dimensiunile lor (aria 119860) cicirct și prin forma și poziția pe care o are secțiunea icircn raport cu
planul solicitării Mărimile care caracterizează o secțiune icircn raport cu forma și poziția față
de axele unui sistem de referință sunt denumite caracteristici geometrice de ordin
superior Aria secțiunii este caracteristica geometrică ce depinde doar de dimensiunile
geometrice ale acesteia
Să considerăm o grindă solicitată de o forță exterioară 119865 aşezată icircn două poziții icircn
raport cu planul forţei figura 41 Icircn urma aplicării forței deși avem aceeași grindă
(aceeași arie a secțiunii transversale) și aceeași forță se constată că pentru varianta din
figura 41a deformațiile sunt mult mai mari adică rezistența la icircncovoiere a grinzii din
figura 41a este mai mare decacirct icircn cazul grinzii din figura 41b Comportarea diferită se
explică prin aceea că modificarea poziţiei secţiunii transversale faţă de planul forţelor
modifică caracteristicile geometrice ale secţiunii transversale a grinzii
Fig 41 Grindă solicitată de forța 119865
Pentru realizarea calculelor de rezistenţă şi rigiditate este foarte importantă
cunoaşterea caracteristicilor geometrice ale suprafeţei secţiunii transversale a elementelor
de rezistenţă
Caracteristicile geometrice ale secţiunii transversale a unui element de rezistenţă
sunt
- aria secțiunii notată cu 119860
- momentul static icircn raport cu o axă notat 119878119911 și respectiv 119878119910
- momentul de inerție care poate fi
axial notat 119868119911 și respectiv 119868119910
centrifugal notat 119868119911119910
polar notat 119868119901
- raza de inerţie (giraţie)notată 119894119911 și respectiv 119894119910
- modulul de rezistență care poate fi
axial notat 119882119911 și respectiv 119882119910
polar notat 119882119901
42 Aria și momentul static al suprafețelor plane
Fie o suprafaţă plană de arie 119860 pe care se ia un element infinit mic de arie 119889119860 şi
un sistem de axe rectangulare 119911119874119910 figura 42 Notăm cu 119862 centrul de greutate al suprafeţei
119860 Poziţia suprafeţei elementare 119889119860 faţă de acelaşi sistem de coordonate 119911119874119910 este dată
de abscisa 119911 ordonata 119910 și raza polară
Fig 42 Suprafață plană de arie 119860
Aria suprafeţei 119860 figura 42 se defineşte ca fiind
119860 ≝ int 119889119860
119860
(41)
Aria suprafeţei este icircntotdeauna pozitivă și se măsoară icircn [1198981198982] Momentul static al suprafeţei de arie 119860 icircn raport cu axele 119874119911 și respectiv 119874119910
figura 42 sunt date de relaţiile
119878119911 ≝ int 119910 ∙ 119889119860
119860
119878119910 ≝ int 119911 ∙ 119889119860
119860
(42)
Momentul static poate fi pozitiv negativ sau nul şi se măsoară icircn [1198981198983] Coordonatele centrului de greutate ale suprafeței 119860 se detrmină cu relațiile
119910119862 ≝int 119910 ∙ 119889119860119860
119860 119911119862 ≝
int 119911 ∙ 119889119860119860
119860
(43)
Cunoscacircnd coordonatele 119910119862 și 119911119862 ale centrului de greutate 119862 al secțiunii 119860 atunci
momentele statice se pot determina cu relațiile
119878119911 ≝ int 119910 ∙ 119889119860
119860
= 119910119862 ∙ 119889119860 119878119910 ≝ int 119911 ∙ 119889119860
119860
= 119911119862 ∙ 119889119860 (44)
Aceste relații arată că momentul static al unei suprafețe icircn raport cu o axă este
egal cu produsul dintre aria suprafeței și distanța de la centrul ariei la axa respectivă
Dacă suprafaţa se poate descompune icircn 119899 suprafeţe simple la care se cunosc ariile
(1198601 1198602 ⋯ 119860119894⋯ 119860119899) și poziţiile centrelor de greutate 119862119894 faţă de sistemul de referinţă
expresiile momentelor statice capătă următoarea formă
119878119911 = sum 119910119862119894 ∙ 119860119894119899119894=1 = 119910119862 ∙ 119860 119878119910 = sum 119911119862119894 ∙ 119860119894
119899119894=1 = 119911119862 ∙ 119860 (45)
Din relaţiile (45) rezultă că poziţia centrului de greutate 119862 al unei suprafeţe
compuse poate fi determinată cu relaţiile
119910119862 = (sum119910119862119894 ∙ 119860119894
119899
119894=1
) 119860frasl 119911119862 = (sum119911119862119894 ∙ 119860119894
119899
119894=1
) 119860frasl (46)
Icircn relația (45) 119910119862119894 și respectiv 119911119862119894 reprezintă coordonatele centrelor de greutate 119862119894
ale fiecărei suprafețe simple 119860119894 icircn raport sistemul de axe 119911119874119910
Se constată (relaţia 42) că dacă axele sistemului de referinţă trec prin centrul de
greutate (119910119862 = 119911119862 = 0) momentele statice sunt nule Axele icircn raport cu care momentele
statice sunt nule şi care trec prin centrul de greutate al suprafeţei se numesc axe centrale
Observație dacă secțiunea compusă are o axă de simetrie centrul secțiunii se
găsește pe acea axă iar dacă secțiunea este dublu simetrică poziția centrului secțiunii este
la intersecția axelor de simetrie
43 Momente de inerţie
Momentele de inerţie axiale ale unei suprafețe se calculează icircn raport cu axele de
coordonate 119874119911 și respectiv 119874119910 figura 42 și se determină cu relațiile
119868119911 ≝ int 1199102 ∙ 119889119860
119860
119868119910 ≝ int 1199112 ∙ 119889119860
119860
(47)
Unde 119910 și 119911 sunt distanțele de la elementul de arie 119889119860 la cele două axe de
coordonate 119874119911 și respectiv 119874119910
Momentele de inerţie axiale se măsoară icircn [1198981198984] şi sunt icircntotdeauna pozitive (aria
119889119860 este icircntotdeauna pozitivă și este multiplicată cu patratul distanței 1199102 dacă 119868119911 sau 119868119910
sunt nule icircnseamnă ca secțiunea nu există)
Momentele de inerție axiale se calculează icircndeosebi pentru axele centrale (care
trec prin centrul secțiunii) deoarece icircn raport cu acele axe 119868119911 și 119868119910 au valori minime
Momentul de inerţie centrifugal calculat faţă ambele axe ale sistemului de
referinţă 119911119874119910 este definit de relația
119868119911119910 ≝ int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860
(48)
Momentul de inerţie centrifugal se măsoară icircn [1198981198984] şi poate fi pozitiv negativ
sau nul
Momentul de ineție centrifugal este nul 119868119911119910 = 0 dacă cel puțin una din axele 119874119911
sau 119874119910 este axă de simetrie pentru secțiune
Se consideră o suprafaţă dreptunghiulară pe care faţă de axa de simetrie 119874119910 se iau
două suprafeţe elementare de arie 119889119860 simetrice faţă de axa 119874119910 figura 43
Fig 43 Suprafață dreptunghiulară cu două arii elementare 119889119860
Făcacircnd suma momentelor de inerţie centrifugale pentru cele două suprafeţe
elementare 119889119860 (din stacircnga şi din dreapta faţă de axa 119874119910) se obţine
int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860119889119903
+ int (minus119911) ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860119904119905119892
= int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860119889119903
minus int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860119904119905119892
= 0 (49)
Acelaşi raţionament se poate face și pentru icircntreaga suprafaţă de unde obținem că
momentul de inerție centrifugal este nul 119868119911119910 = 0 Deci pentru o suprafaţă plană care
are cel puţin o axă de simetrie momentul de inerţie centrifugal faţă de sistemul care
conţine acea axă de simetrie este nul
Momentul de inerţie polar al unei suprafeţei icircn raport cu un punct (pol) 119874 figura
42 este definit prin relaţia
1198680 = 119868119901 ≝ int 1205882 ∙ 119889119860
119860
= int(1199102 + 1199112) ∙ 119889119860
119860
= 119868119911 + 119868119910 (410)
unde este distanţa de la polul 119874 la elementul de arie 119889119860 Momentul de inerţie polar se
măsoară icircn [1198981198984] şi este totdeauna pozitiv
Momentul de inerţie polar este egal cu suma momentelor de inerţie faţă de două axe
perpendiculare oarecare şi care trec prin polul considerat
Razele de giraţie sau razele de inerţie sunt mărimi calculate icircn raport cu axele
secțiunii și definite de relaţiile
119894119911 ≝ radic119868119911119860 119894119910 = radic
119868119910
119860 (411)
Se exprimă icircn [119898119898] şi sunt icircntotdeauna pozitive Semnificația unei raze de inerție
este distanța la care dacă ar fi concentrată icircntreaga arie s-ar obține același moment de
inerție ca și cel calculat pentru aria reală
44 Modulul de rezistenţă
Modulul de rezistență se calculează icircn raport cu axele de referință sau icircn raport cu
un pol figura 42 și pot fi axiale (119882119911119882119910) sau polar (119882119901) și se determină numai pe baza
momentelor de inerţie cu relațiile figura 43
119882119911119898119894119899 ≝119868119911119910119898119886119909
119882119911119898119886119909 ≝119868119911119910119898119894119899
(412)
119882119910119898119894119899 ≝119868119910
119911119898119886119909 119882119910119898119886119909 ≝
119868119910
119911119898119894119899 (413)
119882119901 ≝119868119901
120588119898119886119909 (414)
unde
119910119898119886119909 119910119898119894119899 reprezintă distanţa de la axa 119874119911 la punctele extreme cele mai
depărtate respectiv cele mai apropiate ale suprafeţei de această axă
119911119898119886119909 119911119898119894119899 reprezintă distanţa de la axa 119874119910 la punctele extreme cele mai
depărtate respectiv cele mai apropiate ale suprafeţei de această axă
120588119898119886119909 reprezintă distanța maximă de la polul 119874 la punctul secțiunii cel mai
icircndepărtat de acesta
Fig 43 Suprafață dreptunghiulară cu două arii elementare 119889119860
Modulele de rezistenţă se exprimă icircn [1198981198983] şi sunt icircntotdeauna pozitive
Explicația este aceea că momentele de inerție care intră icircn relațiile de definiție sunt
pozitive iar distanțele la punctele extreme sunt pozitive (119910119898119886119909 119910119898119894119899 119911119898119886119909 119911119898119894119899 120588119898119886119909 se
iau icircn valoare absolută)
Icircn cazul suprafeţelor compuse modulul de rezistenţă nu se obţine prin icircnsumarea
algebrică a modulelor de rezistenţă ale suprafeţelor simple componente ci numai prin
intermediul momentului de inerţie axial calculat pentru icircntreaga secțiune
Ca și momentele de inerție modulele de rezistență se calculează numai pentru
sistemele de axe centrale
45 Momente de inerţie şi module de rezistenţă pentru suprafeţe simple
451 Secțiune dreptunghiulară
Fie suprafaţa dreptunghiulară din figura 44 de icircnălțime ℎ și lățime 119887 pe care se
consideră suprafaţă elementară de arie 119889119860 = 119887119889119910 la distanța 119910 de axa 119862119911 sistemul de
axe 119911119862119910 trece prin centrul secțiunii iar axele sunt axe de simetrie pentru dreptunghi
Fig 44 Suprafață dreptunghiulară
Pe baza relațiilor de definiți a momentului de inerție 119868119911 se obține
119868119911 ≝ int 1199102 ∙ 119889119860
119860
= int 1199102 ∙ 119887 ∙ 119889119910 = 2int 1199102 ∙ 119887 ∙ 119889119910 = 2 ∙ 119887 ∙1199103
3|ℎ 2frasl
0rArr
ℎ 2frasl
0
ℎ 2frasl
minusℎ 2frasl
rArr 119868119911 =119887 ∙ ℎ3
12
(415)
Analog pentru un element de arie 119889119860 = ℎ ∙ 119889119911 paralel cu axa 119862119910 situat la distanța
119911 de axa 119862119910
119868119910 ≝ int 1199112 ∙ 119889119860
119860
= int 1199112 ∙ ℎ ∙ 119889119911 = 2int 1199112 ∙ ℎ ∙ 119889119910 = 2 ∙ ℎ ∙1199113
3|119887 2frasl
0rArr
119887 2frasl
0
119887 2frasl
minus119887 2frasl
rArr 119868119910 =1198873 ∙ ℎ
12
(416)
Deoarece axele 119862119911 și 119862119910 sunt axe de simetrie momentul de inerție centrifugal este
119868119911119910 = 0 (417)
Pentru un pătrat avacircnd laturile egale (ℎ = 119887 = 119886) momentele de inerţie faţă de
axele centrale au expresia
119868119911 = 119868119910 =1198864
12 (418)
Modulele de rezistență axiale se calculează cu relațiile de definiție ținacircnd cont că
distanțele pacircnă la fibrele extreme sunt
119910119898119886119909 = 119910119898119894119899 =ℎ
2 119911119898119886119909 = 119911119898119894119899 =
119887
2 (419)
Obținem
119882119911119898119894119899 = 119882119911119898119886119909 =119868119911
119910119898119886119909119898119894119899=119887 ∙ ℎ3
12frasl
ℎ2frasl
=119887 ∙ ℎ2
6
119882119910119898119894119899 = 119882119910119898119886119909 =119868119910
119911119898119886119909119898119894119899=1198873 ∙ ℎ
12frasl
1198872frasl
=1198872 ∙ ℎ
6
(420)
452 Suprafaţă circulară
Din motive de simetrie pentru suprafeţele circulare momentele de inerţie faţă de
orice diametru (care reprezintă şi axe centrale) sunt aceleaşi
Considerăm o secțiune circulară plină cu diametrul 119889 și centrul de greutate 119862 Prin
centrul de greutate 119862 trece sistemul de axe ortogonal 119911119862119910 figura 45
Fig 45 Suprafață circulară
La distanța de centrul de greutate 119862 vom lua un element de suprafață mic de arie
(119889119860) de forma unui inel de grosime 119889 Elementul de arie 119889119860 are expresia
119889119860 = (2 ∙ 120587 ∙ 120588) ∙ (119889120588)
Pornind de la relația de definiție a momentului de inerție polar obținem
119868119901 ≝ int 1205882 ∙ 119889119860
119860
= int 1205882 ∙ (2 ∙ 120587 ∙ 120588) ∙ 119889120588
119903=119889 2frasl
0
= 2 ∙ 120587 ∙1205884
4|119889 2frasl0 rArr
rArr 119868119901 =120587 ∙ 1198894
32
(421)
Secțiunea este perfect simetrică deci sunt valabile relațiile
119868119911 = 119868119910 rArr 119868119901 = 119868119911 + 119868119910 = 2 ∙ 119868119911 = 2 ∙ 119868119910 =119868119901
2=120587 ∙ 1198894
64 (422)
Și modulele de rezistenţă faţă de orice diametru sunt egale şi se calculează cu
relaţiile
119882119911 = 119882119910 =1198681199111198892frasl=120587 ∙ 1198893
32 (423)
Modulul de rezistenţă polar este
119882119901 =1198681199011198892frasl=120587 ∙ 1198893
16 (424)
453 Secţiune inelară
Calculul momentelor de inerţie axiale pentru o secţiune inelară avacircnd diametrul
interior 119889 şi diametrul exterior 119863 se determină analog pentru suprafaţa circulară plină cu
observaţia că integrala pentru calculul momentului de inerție polar 119868119901 se face icircntre
limitele 119903 = 119889 2frasl şi R= 1198632frasl (icircntre raza interioară 119903 şi raza exterioară 119877) figura 46
Se obţin relaţiile
119868119901 =120587 ∙ 1198634
32∙ [1 minus (
119889
119863)4
] =120587 ∙ 1198634
32∙ (1 minus 1198964) (425)
119868119910 = 119868119910 =120587 ∙ 1198634
64∙ [1 minus (
119889
119863)4
] =120587 ∙ 1198633
64∙ (1 minus 1198964) (426)
Fig 46 Secțiune inelară
119882119901 =120587 ∙ 1198633
16∙ [1 minus (
119889
119863)4
] =120587 ∙ 1198633
16∙ (1 minus 1198964) (427)
119882119911 = 119882119910 =120587 ∙ 1198633
32∙ [1 minus (
119889
119863)4
] =120587 ∙ 1198633
32∙ (1 minus 1198964) (428)
unde 119896 = 119889119863frasl
46 Variaţia momentelor de inerţie faţă de axe paralele
( Relațiile lui STEINER)
Se consideră o suprafaţă oarecare de arie 119860 cu elementul de arie 119889119860 și un sistemul
de axe central 119911119862119910 faţă de care se cunosc momentele de inerţie 119868119911 119868119910 119868119911119910 şi considerăm
un sistem de axe 11991111198741199101 paralele cu sistemul central figura 47 Se pune problema
determinării momentele de inerţie 1198681199111 1198681199101 11986811991111199101 faţă de sistemul de axe paralel cu sistemul
central 11991111198741199101 axe aflate la distanţele 119910119862 = 119888 respectiv 119911119862 = 119889 de acesta
461 Momente de inerţie axiale
Pe baza relaţiilor de definire şi a notaţiilor din figura 42 pentru momentele de
inerţie faţă de axele 1198741199111 1198741199101 se poate scrie
1198681199111 = int 11991012 ∙ 119889119860
119860
= int(119910 + 119888)2 ∙ 119889119860
119860
= int 1199102 ∙ 119889119860
119860
+ 2 ∙ 119888 ∙ int 119910 ∙ 119889119860
119860
+
+1198882int 119889119860
119860
rArr 1198681199111 = 119868119911 + 2 ∙ 119888 ∙ 119878119911 + 1198882 ∙ 119860 hArr 1198681199111 = 119868119911 + 119888
2 ∙ 119860
(429)
Fig 47 Variaţia momentelor de inerţie față de axe paralele
S-a ajuns la relația (429) deoarece momentul static 119878119911 este nul deoarece axa 119862119885
este axă centrală
Pentru momentul de inerție axial icircn raport cu axa 1198741199101 se obține
1198681199101 = int 11991112 ∙ 119889119860
119860
= int(119911 + 119889)2 ∙ 119889119860
119860
= int 1199112 ∙ 119889119860
119860
+ 2 ∙ 119889 ∙ int 119911 ∙ 119889119860
119860
+
+1198892 ∙ int 119889119860
119860
rArr 1198681199101 = 119868119910 + 2 ∙ 119889 ∙ 119878119910 + 1198892 ∙ 119860 hArr 1198681199101 = 119868119910 + 119889
2 ∙ 119860
(430)
Pentru momentul de inerție centrifugal obținem
11986811991111199101 = int 1199101 ∙ 1199111 ∙ 119889119860
119860
= int(119910 + 119888) ∙ (119911 + 119889) ∙ 119889119860
119860
= int 119910 ∙ 119911 ∙ 119889119860 +
119860
+119888 ∙ int 119911 ∙ 119889119860
119860
+ 119889 ∙ int 119910 ∙ 119889119860
119860
rArr 11986811991111199101 = 119868119911119910 + 119888 ∙ 119889 ∙ 119860
(431)
Deoarece
int 119911 ∙ 119889119860
119860
= 119878119910 = 0 int 119910 ∙ 119889119860
119860
= 119878119911 = 0 int 119910 ∙ 119911 ∙ 119889119860
119860
= 119868119911119910
Relaţiile (429) şi (430) arată că momentul de inerţie faţă de o axă oarecare
este egal cu momentul de inerţie faţă de o axă paralelă cu ea trecacircnd prin centrul de
greutate la care se adaugă produsul dintre aria suprafeţei şi pătratul distanţei dintre
cele două axe
Din relaţiile (429) și (430) rezultă de asemenea că momentul de inerţie faţă de o
axă centrală (care trece prin centrul de greutate) este cel mai mic dintre infinitatea de
momente de inerţie obținute faţă de alte axe paralele cu ea
Relaţia (431) arată de asemenea că momentul de inerţie centrifugal faţă de un
sistem de axe oarecare este egal cu momentul de inerţie centrifugal faţă de un sistem
paralele cu el trecacircnd prin centrul de greutate a suprafeţei la care se adaugă produsul
dintre aria suprafeţei şi distanţele dintre axele sistemelor respective
Icircn literatura de specialitate relaţiile (429) (430) şi (431) sunt cunoscute sub
numele de relaţiile lui Steiner
47 Variaţia momentrlor de inerţie faţă de axe rotite
Direcţii principale şi momente de inerţie principale
Fie suprafaţa plană din figura 48 de arie 119860 pe care considerăm o suprafaţă
elementară de arie 119889119860 Pentru sistemul de axe 119911119874119910 se cunosc momentele de inerţie
119868119911 119868119910 119868119911119910 şi vom determina relaţiile de calcul pentru momentele de inerţie afererent unui
sistem de axe 11991111198741199101 rotit cu un unghi faţă de sistemul central
Faţă de sistemul de axe 11991111198741199101 elementul de arie 119889119860 are coordonatele
1199101 = 119875119877 = 119875119876 minus 119877119876 = 119910 ∙ cos 120572 minus 119911 ∙ sin 120572
1199111 = 119873119872 = 119873119875 minus 119875119872 = 119911 ∙ cos 120572 + 119910 ∙ sin 120572 (432)
Fig 47 Variaţia momentelor de inerţie față de axe rotite
Pe baza relaţiilor de calcul ale momentelor de inerţie şi a notaţiilor din figura 42
şi ale relaţiilor (432) momentele de inerţie faţă de sistemul de axe rotit 11991111198741199101 sunt
1198681199111 =119868119911 + 119868119910
2+119868119911 minus 119868119910
2∙ cos 2120572 minus 119868119911119910 ∙ sin 2120572 (433)
1198681199101 =119868119911 + 119868119910
2minus119868119911 minus 119868119910
2∙ cos 2120572 + 119868119911119910 ∙ sin 2120572 (434)
11986811991111199101 =119868119911 minus 119868119910
2∙ sin 2120572 + 119868119911119910 ∙ cos 2120572 (435)
Din relaţiile 433divide435 se observă că icircntre momentele de inerţie axiale şi cele
polare există relaţia
1198681199111 + 1198681199101 = 119868119911 + 119868119910 = 119868119901 (436)
adică suma momentelor de inerţie axiale icircn raport cu orice pereche de axe ortogonale
care trec printr-un pol dat este o constantă şi egală cu momentul de inerţie polar
Prin rotirea sistemului de axe din relaţiile 433divide435 rezultă că momentele de inerţie
variază icircnsă suma lor rămacircne constantă deci există o poziţie a sistemului de axe pentru
care momentele de inerţie au valori extreme maxim respectiv minim
471 Direcţii principale de inerţie
Valoarea unghiului 120572 pentru care momentele de inerţie axiale au valori extreme
este
1205721 =1
2∙ 119886119903119888119905119886119899 (minus
2 ∙ 119868119911119910
119868119911 minus 119868119910) (437)
Poziţia celeilalte direcţii este perpendiculară pe cea dată de unghiul 1205721
Din relaţia (437) se constată că faţă de aceste direcţii rotite pentru care momentele
de inerţie axiale prezintă valori extreme momentul de inerţie centrifugal 11986811991111199101este nul
Atunci se poate afirma că momentele de inerţie axiale au valori extreme icircn raport cu
direcţiile faţă de care momentul de inerţie centrifugal este nul Aceste direcţii se numesc
direcţii principale iar momentele de inerţie faţă de aceste direcţii poartă numele de
momente de inerţie principale
Icircn calculele de rezistenţă interesează icircn mod special poziţia direcţiilor principale
care trec prin centrul de greutate al suprafeţei aşa numitele direcţii principale centrale şi
evident momentele de inerţie principale centrale
Direcţiile principale de inerţie se notează cu 1 respectiv 2 Axa principală 1
corespunde direcţiei faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea maximă iar
axa principală 2 pentru direcţia faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea
minimă
472 Momente de inerţie principale
Momentele de inerţie principale se notează cu litera 119868 la care se pune indicele 1
sau 2 după cum valoarea acestuia este maximă sau minimă deci avem un moment de
inerţie principal 1 (notat 1198681) respectiv moment de inerţie principal 2 (notat 1198682)
Expresiile pentru momentele de inerţie principale sunt
11986812 =119868119911 + 119868119910
2plusmn1
2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)
2+ 4 ∙ (119868119911119910)
2 (438)
Dacă momentul de inerţie centrifugal este negativ (119868119911119910 lt 0) direcţia principală
care trece prin primul cadran (definit de sistemul 119911119862119910) este direcţia principală 120783
Pentru suprafeţele cu cel puţin o axă de simetrie direcţiile centrale 119862119911 119862119910 sunt şi
direcții principale de inerţie și evident momentele de inerţie axiale 119868119911 119868119910 sunt momente
de inerţie principale
48 Caracteristici mecanice ale metalelor
Alegerea materialului pentru confecţionarea unei anumite piese se face şi pe baza
aşa numitelor caracteristici mecanice pe care le prezintă materialul Cunoaşterea acestor
caracteristici mecanice are loc numai pe baza unor icircncercări mecanice care să scoată icircn
evidenţă comportarea materialului icircn condiţii de solicitare
Cea mai utilizată icircncercare icircn urma căreia se pun icircn evidenţă caracteristicile
mecanice ale unui material este icircncercarea la tracţiune
481 Icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general
Icircncercarea la tracţiune a oţelului ca de altfel toate icircncercările de materiale este
standardizată
Icircn cele ce urmează se va prezenta numai partea care interesează strict din punct
de vedere al caracteristicilor mecanice ale oţelului
Epruveta de diametru iniţial 1198890 pentru icircncercarea la tracţiune are o porţiune de
lungime 1198710 numită baza de măsurare pe care se măsoară lungirea acesteia sub acţiunea
solicitării
Icircn funcţie de raportul dintre baza de măsurare 1198710 şi diametrul iniţial 1198890 epruvetele
utilizate pentru icircncercări sunt
epruvete normale (scurte) cacircnd 11987101198890 = 5
epruvete lungi cacircnd 11987101198890 = 10
Icircn timpul icircncercării la diferite valori ale forţei 119865 se măsoară lungirea bazei de
măsurare
∆119871 = 120575 = 119871 minus 1198710 (439)
unde
119871 este dimensiunea bazei de măsurare la un moment dat
Curba forţă-lungire (119865 minus ) icircnregistrată icircn urma icircncercării reprezintă curba
caracteristică la tracţiune
La icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general diagrama caracteristică care se
obţine are forma din figura 48
Curba caracteristică la tracţiune depinde de lungimea bazei de măsurare Pentru
icircnlăturarea acestui neajuns curba caracteristică se reprezintă icircn coordonate şi definite
astfel
120590 =119865
1198600 휀 =
120575
1198710 (440)
unde
1198600 este aria iniţială a secţiunii transversale a epruvetei (icircnainte de solicitare) icircn
zona bazei de măsurare
1198600 =120587 ∙ 1198890
2
4
Deoarece mărimile icircn care se reprezintă curba caracteristică la tracţiune sunt
raportate la aria iniţială a secţiunii transversale (mărimi specifice) curba poartă numele
de curbă caracteristică convenţională la tracţiune
Fig 48 Curba caracteristică convenţională la tracțiune
Pe curba caracteristică convenţională la tracţiune figura 48 se pot stabili o serie
de puncte cărora le corespund mai multe mărimi importante
Ordonata punctului A pacircnă unde curba caracteristică convenţională este linie
dreaptă se numeşte limita de proporţionalitate a materialului 120590119901(1205901) Porţiunea 119874119860 este
zona de proporţionalitate a curbei caracteristice pe acest domeniu este valabilă legea lui
Hooke care exprimă o proporţionalitate icircntre tensiune şi deformaţie specifică
120590 = 119864 ∙ 휀 (441)
unde
119864 = reprezintă panta porţiunii liniare a curbei convenționale caracteristice
la tracțiune Caracteristica de material 119864 se numeşte modul de elasticitate longitudinal
(modulul lui Young)
Ordonata punctului 119861 pacircnă unde materialul se comportă perfect elastic adică
după descărcare icircşi recapătă dimensiunea iniţială 1198710 se numeşte limita de elasticitate
120590119890(119877119890) Icircn realitate nici un material nu are comportare perfect elastică sub acţiunea
solicitărilor el capătă deformaţii permanente (remanente plastice)
După punctul 119861 urmează o porţiune 119861119862119863 icircn care cu toate că icircncărcarea
continuă forţa nu mai creşte avacircnd mici oscilaţii icircn jurul unei valori Se spune că icircn
această porţiune materialul curge iar intervalul 119861119862119863 este un palier de curgere Tensiunea
corespunzătoare palierului de curgere se numeşte limită de curgere aparentă 120590119888(119877119888) Limita de curgere aparentă se calculează cu relaţia
120590119888 =1198651198881198600 (442)
unde
119865119888 reprezintă valoarea forţei icircnregistrată icircn momentul curgerii materialului
După punctul 119863 curba caracteristică are un traseu ascendent pacircnă icircn punctul 119864
Porţiunea 119863119864 este numită zonă de icircntărire (ecruisare) Icircn zona de ecruisare unde se
produc deformaţii plastice semnificative legea lui Hooke nu mai este valabilă La
descărcare relaţia dintre tensiunea şi deformaţia specifică este liniară paralelă cu
porţiunea liniară a curbei caracteristice (dreapta 119872119873)
Deformaţia totală (휀119905) are două componente una elastică (휀119890) şi una plastică (휀119901)
Ordonata punctului 119864 reprezintă rezistenţa de rupere 120590119903(119877119898) a materialului
care se poate calcula cu relaţia
120590119903 = 119877119898 =1198651198981198861199091198600
(443)
unde
119865119898119886119909 reprezintă valoarea maximă a forţei icircnregistrată icircn timpul icircncercării
La atingerea valorii 119865119898119886119909 (punctul 119864) icircntr-un anumit loc al epruvetei secţiunea
icircncepe să se micşoreze (se produce gacirctuirea) continuacircnd pacircnă cacircnd se produce ruperea
totală (punctul 119865)
Dacă după ruperea epruvetei cele două părţi rezultate se aşează cap la cap şi se
măsoară dimensiunea bazei de măsurare 119871119906 (lungimea ultimă) se determină alungirea la
rupere sau lungirea specifică la rupere 휀119903
휀119903 =119871119906 minus 11987101198710
=∆119871
1198710=120575
1198710 (444)
De obicei alungirea se exprimă icircn procente şi se notează cu 119860119899 unde 119899 reprezintă
numărul dat de raportul 11987101198890 (epruvete normale 119899 = 5 epruvete lungi 119899 = 10)
119860119899 =119871119906 minus 11987101198710
∙ 100 [] (445)
Altă mărime care se determină la icircncercarea la tracţiune este gacirctuirea la rupere
(exprimată de obicei icircn procente) şi definită de relaţia
119885 =1198600 minus 1198601199061198600
∙ 100 [] (446)
Mărimile determinate limita de proporţionalitate modulul de elasticitate
longitudinal limita de elasticitate limita de curgere aparentă rezistenţa de rupere
alungirea la rupere şi gacirctuirea la rupere sunt cunoscute ca fiind caracteristici mecanice
ale materialului
Din curba caracteristică convenţională observăm faptul că ruperea (punctul 119865 din
figura 48 se produce la o tensiune mai mică decacirct cea corespunzătoare punctului 119864 Dacă
icircnsă forţa din timpul icircncercării s-ar raporta la aria secţiunii din momentul icircnregistrării
forţei (care este mai mică decacirct cea iniţială 1198600) s-ar obţine aşa numita curbă
caracteristică reală a materialului (traseul 1198741198601198611198621198631198651 din figura 48) La curba
caracteristică reală ruperea se produce icircn punctul 1198651 la o icircncărcare mai mare decacirct cea
corespunzătoare punctului 119864 Icircnseamnă că rezistenţa reală la rupere este mai mare decacirct
rezistenţa la rupere dată de punctul 119864 din diagrama caracteristică convenţională
Dificultatea obţinerii diagramei caracteristice reale faţă de cea a diagramei caracteristice
convenţionale şi considerarea unei rezistenţe la rupere mai mică decacirct a celei reale face
icircn practică utilizarea pe scară mare a diagramei caracteristice convenţionale
Caracteristicile mecanice determinate pe baza curbei caracteristice convenţionale
sunt şi ele caracteristici mecanice convenţionale
Caracteristicile mecanice convenţionale limita de proporţionalitate convenţională
120590119901 limita de elasticitate convenţională 120590119890 limita de curgere convenţională 120590119888 şi rezistenţa
de rupere 120590119903 constituie tensiuni limită pentru un material Pe baza acestor caracteristici
de material se alege valoarea tensiunii admisibile 120590119886 (vezi paragraful 35) pentru
calculele de rezistenţă Cea mai utilizată stare limită pentru stabilirea tensiunii admisibile
120590119886 este limita de curgere convenţională 120590119888
120590119886 =120590119897119894119898119888
=120590119888119888 119904119886119906 120590119886 =
120590119903119888 (447)
Caracteristicile mecanice ale materialului sunt influenţate de o serie de factori
temperatura viteza de solicitare factorii tehnologici iar valorile lor sunt date icircn tabele și
diagrame
Aplicaţie Pentru suprafaţa plană compusă din două dreptunghiuri avacircnd
dimensiunile din figura 49a să se calculeze
a) centrul de greutate al secțiunii compuse 119910119866 119911119866
b) momentele de inerție axiale 119868119911 119868119910 și momentul de inerție centrifugal 119868119911119910
c) razele de inerție 119894119911 119894119910
d) modulele de rezistență 119882119911119898119894119899 119882119911119898119886119909 119882119910119898119894119899 119882119910119898119886119909
e) momentele de inerție principale 1198681 1198682 și direcțiile principale de inerție 1205721
f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 119878119911
Fig 49 Aplicație
Rezolvare Pentru rezolvare vom parcurge următoarele etape
icircmpărțim suprafața compusă icircn două suprafețe simple (dreptunghiuri) notate cu
① și respectiv ② figura 49b
poziționăm centrele de greutate a celor două suprafețe simple ① și respectiv ②
notate cu 1198661 și respectiv 1198662 figura 49c
poziționăm sistemele de axe de coordonate 119911111986611199101 pentru dreptunghiul ① și
119911211986621199102 pentru dreptunghiul ② aflate la intersecția diagonalelor figura 49c
poziționăm sistemele de axe de coordonate 11991101198741199100 ales arbitrar față de care
determinăm poziția centrului de greutate 119866 figura 49c
a) calculăm poziția centrului de greutate folosind relațiile (46) icircn care
1198601 = 6119905 ∙ 119905 = 61199052 1198602 = 4119905 ∙ 119905 = 41199052 119860 = 1198601 + 1198602 = 61199052 + 41199052 = 101199052
iar centrele de greutate 1198661 și respectiv 1198662 au coordonatele (față de sistemul 11991101198741199100)
1198661 1199101 = 3119905 1199111 = 05119905
1198662 1199102 = 051199051199112 = 3119905
cu acestea obținem
119910119866 =1198601 ∙ 1199101 + 1198602 ∙ 1199102
119860=61199052 ∙ 3119905 + 41199052 ∙ 05119905
101199052=201199053
101199052= 2119905
119911119866 =1198601 ∙ 1199111 + 1198602 ∙ 1199112
119860=61199052 ∙ 05119905 + 41199052 ∙ 3119905
101199052=151199053
101199052= 15119905
Poziționăm centrul de greutate 119866 al suprafeței compuse figura 49c
Fig 49 Aplicație
b) pentru determinarea momentelor de inerție axiale 119868119911 119868119910 și a momentului de
inerție centrifugal 119868119910119911 determinăm constantele 1198881 1198882 1198891 1198892 care intervin icircn relația lui
Stainer
1198881 = 1199101 minus 119910119866 = 3119905 minus 2119905 = 119905 1198882 = minus(119910119866 minus 1199102) = minus(2119905 minus 05119905) = minus15119905
1198891 = minus(119911119866 minus 1199111) = minus(15119905 minus 05119905) = minus119905 1198892 = 1199112 minus 119911119892 = 3119905 minus 15119905 = 15119905
Folosind relațiile lui Stainer (429) (430) și (431) calculăm momentele de
inerție axiale și centrifugale față de sistemul central 119911119866119866119910119866
119868119911 =sum(119868119911119894 + 1198881198942 ∙ 119860119894) = 1198681199111 + 1198881
2 ∙ 1198601 + 1198681199112 + 11988822 ∙ 1198602
119868119910 =sum(119868119910119894 + 1198891198942 ∙ 119860119894) = 1198681199101 + 1198891
2 ∙ 1198601 + 1198681199102 + 11988922 ∙ 1198602
119868119911119910 =sum(119868119911119894119910119894 + 119888119894 ∙ 119889119894 ∙ 119860119894) = 11986811991111199101 + 1198881 ∙ 1198891 ∙ 1198601 + 11986811991121199102 + 1198882 ∙ 1198892 ∙ 1198602
1198681199111 = (119887 ∙ ℎ3
12) =
119905 ∙ (6119905)3
12= 181199054 1198681199112 = (
119887 ∙ ℎ3
12) =
4119905 ∙ 1199053
12= 031199054
1198681199101 = (1198873 ∙ ℎ
12) =
1199053 ∙ 6119905
12= 051199054 1198681199102 = (
1198873 ∙ ℎ
12) =
(4119905)3 ∙ 119905
12= 531199054
11986811991111199101 = 11986811991121199102 = 0 deoarece cele două triunghiuri au cel puțin o axă de simetrie
Cu acestea momentele de inerție axiale și momentul de inerție centrifugal devin
119868119911 = 181199054 + 1199052 ∙ 61199052 + 031199054 + (minus15119905)2 ∙ 41199052 = 3331199054
119868119910 = 051199054 + (minus119905)2 ∙ 61199052 + 531199054 + (15119905)2 ∙ 41199052 = 2081199054
119868119911119910 = 0 + 119905 ∙ (minus119905) ∙ 61199052 + 0 + (minus15119905) ∙ (15119905) ∙ 41199052 = minus151199054
c) razele de inerție sau de girație față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910
se calculează cu relațiile (411)
119894119911 = radic119868119911119860= radic
3331199054
101199052= 182119905 119894119910 = radic
119868119910
119860= radic
2081199054
101199052= 144119905
d) modulele de rezistență față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910 se
calculează cu relațiile (412) și (413)
Avacircnd icircn vedere figura 419c obținem
119910119898119886119909 = 6119905 minus 119910119866 = 6119905 minus 2119905 = 4119905 119910119898119894119899 = minus119910119866 = minus2119905
119911119898119886119909 = 5119905 minus 119911119866 = 5119905 minus 15119905 = 35119905 119911119898119894119899 = minus119911119866 = minus15119905
Se obține astfel
119882119911119898119894119899 =119868119911
|119910119898119886119909|=3331199054
4119905= 8331199053
119882119911119898119886119909 =119868119911
|119910119898119894119899|=3331199054
2119905= 16651199053
119882119910119898119894119899 =119868119910
|119911119898119886119909|=2081199054
35119905= 5941199053
119882119910119898119886119909 =119868119910
|119911119898119894119899|=2081199054
15119905= 13871199053
e) momentele de inerție principale 1198681 și respectiv 1198682 se calculează cu relațiile
(438)
11986812 =119868119911 + 119868119910
2plusmn1
2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)
2+ 4 ∙ (119868119911119910)
2=
=3331199054 + 2081199054
2plusmn1
2∙ radic(3331199054 minus 2081199054)2 + 4 ∙ (minus151199054)2 = 27051199054 plusmn 16251199054
De unde obținem
1198681 = 27051199054 + 16251199054 = 4331199054
1198682 = 27051199054 minus 16251199054 = 1081199054
Prima direcție principală de inerție 1 face cu axa centrală 119866119911 unghiul 1205721 dat de
relația (437)
1205721 =1
2∙ arctan (minus
2 ∙ 119868119911119910
119868119911 minus 119868119910) =
1
2∙ arctan [minus
2 ∙ (minus151199054)
3331199054 minus 2081199054] =33 70
Deoarece 1205721 gt 0 rotirea axelor se face acircn sens antiorar acelor de ceasornic figura
49d
Poziția axe principale 2 față de care momentul de inerție are valoarea minimă
1198682 = 119868119898119894119899 este dată de unghiul
1205722 = 1205721 + 900 = 33 70 + 900 = 123 70
f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 se determină cu relația
(45)
1198781199111198602 = 1198602 ∙ 1198882 = 41199052 ∙ (minus15119905) = minus61199053
2) identificarea reazemelor şi introducerea reacţiunilor corespunzătoare (vezi
figurile 27divide29)
3) stabilirea ecuaţiilor de echilibru static calculul şi verificarea reacţiunilor Icircn
rezistența materialelor se folosește sistemul de ecuații (vezi figura 217)
(sum119865)
119909= 0
(sum119872)119860= 0
(sum119872)119861= 0
(213)
4) identificarea domeniilor de variaţie şi scrierea funcţiilor de eforturi pentru N T
şi Mi
5) reprezentarea grafică a diagramelor de eforturi
6) verificarea corectitudinii diagramelor pe baza relaţiilor diferenţiale icircntre eforturi
şi sarcini
Aplicație Pentru grinda dreaptă icircncărcată cu sistemul de forţe reprezentat icircn figura
220 se cere
a) să se calculeze şi să se verifice reacţiunile
b) să se stabilească funcţiile eforturilor Nx Ty şi Miz şi să se reprezinte diagramele
de variaţie
c) să se analizeze relaţiile diferenţiale icircntre eforturi şi sarcini
Dimensiunile grinzii au valorile a = 6 [m] b = 4 [m] și c = 4[m] sistemul de
forţe aplicat fiind format din p = 10 [kN mfrasl ] F = 20 [kN] (icircnclinată cu unghiul α =300 faţă de orizontală) şi M0 = 40 [kN ∙ m]
Rezolvare
a) Se fac următoarele precizări
grinda dreaptă se reprezintă prin axa geometrică
forţa icircnclinată F se descompune după direcţiile orizontală şi verticală icircn FV =F ∙ sin α = 10 [kN] şi FH = F ∙ cos α = 173 [kN]
forţa distribuită uniform p este echivalentă din punct de vedere static cu
rezultanta sa R = p ∙ a = 60 [kN] care acţionează la jumătatea porţiunii de lungime a
icircn reazemele 119860 şi 119861 se introduc componentele HA şi VA respectiv VB ale
reacţiunilor
Pentru calculul reacţiunilor se utilizează ecuaţiile de echilibru static al grinzii
sumXi = 0 HA minus FH = 0 sumYi = 0 VA + VB minus R minus FV = 0 (sumM)B = 0 VA ∙ (b + a) minus R ∙ (b + 05 ∙ a) minus M0 + FV ∙ c = 0
(A1)
Din prima ecuaţie se obţine HA iar din cea de-a treia ecuaţie rezultă VA
HA = FH = 173 [kN]
VA =[R ∙ (b + 05 ∙ a) + M0 minus FV ∙ c]
(b + a)=[60 ∙ (4 + 05 ∙ 6) + 40 minus 10 ∙ 4]
(4 + 6)
VA = 42 [kN]
(A2)
Fig 220 Aplicație
Se observă că cea de-a doua ecuaţie de echilibru conţine două necunoscute
reacţiunile VA şi VB Pentru a calcula componenta VB nu este indicată introducerea lui VA
icircn cea de-a doua ecuaţie a sistemului (A1) pentru că o valoare determinată greşit pentru
VA conduce la o valoare VB de asemenea greşită O ecuaţie independentă din care se poate
determina componenta VB este următoarea
(sumM)A= 0 FV ∙ (a + b + c) minus VB ∙ (a + b) minus M0 + R ∙ 05 ∙ a = 0 (A3)
de unde se obţine
VB =[FV ∙ (a + b + c) minusM0 + R ∙ 05 ∙ a]
(b + a)=[10 ∙ (6 + 4 + 4) minus 40 + 60 ∙ 05 ∙ 6]
(6 + 4)
VB = 28 [kN] (A4)
Ecuaţia de proiecţii ale forţelor pe direcţia verticală (a doua ecuaţie din sistemul
A1) se utilizează pentru verificarea reacţiunilor deja determinate
VA + VB minus R minus FV = 0 rArr 42 + 28 minus 60 minus 10 = 0 (A5)
Ultima egalitate demonstrează că reacţiunile verticale au fost calculate corect
Din cele de mai sus rezultă ordinea firească pentru determinarea reacţiunilor icircn
cazul grinzilor simplu rezemate
sumXi = 0
(sumM)A = 0
(sumM)B = 0
(A6)
iar pentru verificarea componentelor verticale VA şi VB se folosește ecuaţia sumY = 0
b) La stabilirea funcţiilor de eforturi se parcurg icircn general etapele următoare
se notează (numeric sau literal după preferinţă) secţiunile care delimitează
domeniile (intervalele sau tronsoanele) pe care eforturile nu-şi modifică funcţiile (au legi
unice de variaţie)
pe fiecare domeniu se marchează secţiunea imaginară icircn care se stabilesc
funcţiile eforturilor
secţiunea astfel aleasă separă icircn două părţi grinda şi anume porţiunea din stacircnga
şi porţiunea din dreapta secţiunii
se va considera parcursă (şi icircndepărtată) acea parte pe care acţionează mai puţine
sarcini exterioare pentru că acestea vor interveni icircn expresiile funcţiilor de eforturi
poziţiile secţiunilor imaginare se vor determina prin variabilele x1 ⋯ xn (unde
n reprezintă numărul domeniilor de variaţie) cu originea fixată icircn capătul intervalului şi
sensul de parcurgere spre partea considerată rămasă
Grinda prezentată icircn figura 220 are trei domenii de variaţie pentru funcţiile de
eforturi după cum urmează (A-1) (2-B) şi (B-1)
Domeniul (A-1) x1 isin [0 a = 6 m] Porţiunea parcursă şi considerată icircndepărtată este cea de coordonată x1 pe care
acţionează reacţiunile HA şi VA precum şi rezultanta parţială a sarcinii distribuite R1 =p ∙ x1
Funcţia forţă axială Nx are expresia
Nx(x1) = NAminus1 = minusHA = minus173 [kN] = const
(A7)
Funcţia forţă tăietoare Ty are exspresia
Ty(x1) = TAminus1 = VA minus R1 = VA minus p ∙ x1 (A8)
care reprezintă o variaţie liniară de variabilă x1 Se calculează valorile forţei tăietoare la
limitele intervalului de variaţie
- pentru x1 = 0 Ty(x1 = 0) = TA = VA = 42 [kN]
- pentru x1 = a = 6 [m] Ty(x1 = 6) = T1 = VA minus p ∙ a = minus18 [kN]
Observaţie Aşa cum a fost stabilită secţiunea fictivă poziţionată prin coordonata
x1 sar părea că rezultanta R ar trebui luată icircn calculul lui Ty(x1) Acest lucru ar fi greşit
pentru că R = p ∙ a reprezintă rezultanta sarcinii distribuite pe toată lungimea a iar
rezultanta pe porţiunea parcursă de lungime x1 este R1 = p ∙ x1 ne R = p ∙ a
Cu valorile obţinute se trasează diagramele forţelor axială Nx = f(x) şi tăietoare
Ty = f(x) figura 220 Din diagrama forţei tăietoare şi din valorile obţinute analitic se
observă că forţa tăietoare icircşi schimbă semnul pe intervalul analizat deci se anulează pe
acest interval Poziţia secţiunii unde Ty se anulează se determină din ecuaţia
Ty(x1) = 0 rArr VA minus p ∙ x1 = 0 (A9)
cu soluţia x1lowast = ξ = 42 [m] Important de reamintit că icircn această secţiune momentul
icircncovoietor va avea un extrem local adică Miz are un extrem la Ty = 0
Funcţia moment icircncovoietor Miz are expresia
Miz(x1) = VA ∙ x1 minus R1 ∙x12= VA ∙ x1 minus (p ∙ x1) ∙
x12
(A10)
Se observă că funcţia moment icircncovoietor de variabilă x1 are o variaţie parabolică
(gradul al II-lea) Pentru reprezentarea grafică a funcţiei parabolice se calculează valorile
momentului icircncovoietor icircn trei secţiuni
- pentru x1 = 0 Miz(x1 = 0) = MA = 0 [kN ∙ m] - pentru x1 = a = 6 [m] Miz(x1 = 6) = M1 = 72 [kN ∙ m] - pentru x1
lowast = ξ = 42 [m] Miz(x1lowast = ξ = 42 [m]) = Mimax = 882 [kN ∙ m]
Cu acestea se trasează diagrama Miz = f(x) pe intervalul (A-1) figura 220
Observaţie Icircn unele cazuri pe un anumit interval forţa tăietoare nu se anulează
şi momentul icircncovoietor nu are un extrem local Icircn acest caz pentru reprezentarea
variaţiei parabolice a momentului icircncovoietor se va studia semnul derivatei a doua a
funcţiei Miz = f(x1) acesta determinacircnd convexitatea curbei momentului icircncovoietor
Domeniul (2-B) x2 isin [0 c = 4 m] Porţiunile din grindă libere (nerezemate) la un capăt se numesc console iar
stabilirea funcţiilor de eforturi devine mai simplă dacă se consideră icircndepărtată partea din
dreapta secţiunii prin schimbarea sensului pozitiv al axei x Astfel se obţin funcţiile eforturilor
Funcţia forţă axială Nx are expresia
Nx(x2) = N2minusB = minusFH = minus173 [kN] = const
(A11)
Funcţia forţă tăietoare Ty are exspresia
Ty(x2) = T2minusB = FV = 10 [kN] = const (A12)
Funcţia moment icircncovoietor Miz are expresia
Miz(x2) = minusFV ∙ x2 rArr Miz(x2 = 0) = M2 = 0 [kN ∙ m]
Miz(x2 = 4) = MB = minus40 [kN ∙ m] (A13)
variaţie liniară (gradul I)
Domeniul (B-1) x3 isin [0 b = 4 m] Pe acest domeniu se acceptă parcurgerea grinzii de la dreapta adică se consideră
icircndepărtată partea din dreapta secţiunii fictive pentru că are doar două sarcini aplicate F
şi VB faţă de partea din stacircnga secţiunii pe care sunt aplicate trei sarcini p VA şi M0
Astfel se obţin funcţiile eforturilor
Funcţia forţă axială Nx are expresia
Nx(x3) = NBminus1 = minusFH = minus173 [kN] = const
(A14)
Funcţia forţă tăietoare Ty are exspresia
Ty(x3) = TBminus1 = FV minus VB = minus18 [kN] = const (A15)
Funcţia moment icircncovoietor Miz are expresia
Miz(x3) = minusFV ∙ (x3 + c) + VB ∙ x3 rArr
rArr Miz(x3 = 0) = MB = minus40 [kN ∙ m]
Miz(x3 = 4) = M1 = 32 [kN ∙ m]
(A16)
variaţie liniară (gradul I)
Diagramele eforturilor sunt prezentate icircn figura 220
c) Relaţiile diferenţiale dintre eforturi şi sarcini se analizează pe diagramele
eforturilor după cum urmează
sarcina distribuită nu are componentă orizontală adică ph = 0 şi icircn
conformitate cu formula (211) rezultă că Nx = const pe toată lungimea grinzii fapt care
a rezultat din funcţia şi reprezentarea diagramei forţei axiale
pe intervalul (A-1) sarcina distribuită are doar componenta verticală pozitivă
pV = p gt 0 prin urmare forţa tăietoare scade (are panta negativă dTy 119889119909frasl = minusp vezi
relaţia 210) iar momentul icircncovoietor avacircnd derivata a doua negativă d2M119894119911 1198891199092frasl =minuspare convexitatea curbei orientată spre sensul pozitiv al axei momentului Miz adică icircn
jos
pe domeniile (2-B) şi (B-1) deoarece pv = 0 forţa tăietoare Ty este constantă
iar momentul icircncovoietor Miz variază liniar
referitor la relaţia (212) pe porţiunile unde Ty gt 0 momentul Miz este
monoton crescător pe porţiunile unde Ty lt 0 momentul Miz este monoton descrescător
iar icircn secţiunea icircn care Ty = 0 momentul icircncovoietor are un extrem local Mξ =
882 [kN ∙ m] icircn diagrama forţei tăietoare discontinuităţile (salturile) se produc icircn secţiunile
unde acţionează VA VB şi FV iar icircn diagrama momentului icircncovoietor se produce un
singur salt icircn secţiunea icircn care este aplicat M0
se poate scrie
Mξ = suprafața diagramei Ty |ξ0=1
2∙ 42 ∙ 42 = 882 [kN ∙ m]
sau parcurgacircnd grinda de la dreapta la stacircnga rezultă
MB = minussuprafața diagramei Ty |c0= minus10 ∙ 4 = minus40 [kN ∙ m]
Toate aspectele analizate teoretic referitoare la relaţiile diferenţiale dintre eforturi
şi sarcini se regăsesc icircn diagramele de eforturi din figura 220 ceea ce icircnseamnă că
diagramele au fost reprezentate corect
3 TENSIUNI DEPLASĂRI ŞI DEFORMAŢII SPECIFICE
31 Tensiuni
Eforturile obținute icircn urma reducerii forțelor interioare icircn centrul de greutate al
secțiunii nu pot da informații asupra solicitării fiecărui punct al secțiunii respective Este
necesar să se cunoască modul cum se distribuie forțele interioare icircn fiecare punct al
secțiunii pentru a ști care este intensitatea maximă a solicitării Această intensitate
maximă se poate compara cu o valoare critică specifică materialului stabilindu-se astfel
dacă solicitarea este periculoasă sau nu
Mărimea care caracterizează solicitarea locală punctuală o vom denumi tensiune
și o vom defini icircn cele ce urmează Să considerăm partea din dreapta a unui corp solicitat
de forțele exterioare 1198651 1198652 și 1198653 obținută prin secționarea corpului și mărginită de fața
din dreapta Ad a secțiunii Pe secțiunea Ad vom considera un element de arie infinit mic
∆119860 caracterizat de normala la elementul de arie normală care are cosinușii directori
120573 și icircn raport cu un sistem de axe considerat fix Pe elementul infinit mic ∆119860 acționează
forțele interioare care au o rezultantă oarecare figura 31
Prin definiție tensiunea totală este
= lim∆119860rarr0
∆
∆119860 (31)
Tensiunea are aceeaşi direcţie cu forţa elementară ∆ iar mărimea ei este
determinată atacirct de mărimea forţei ∆ cacirct şi de orientarea suprafeţei ∆119860 faţă de direcţia
forţei
Tensiunea 119901 poate fi descompusă icircntr-o componentă orientată după direcţia
normalei la secţiune tensiunea normală notată cu 120590119909 şi o componentă icircn planul secţiunii
tensiunea tangenţială notată cu figura 32
= 119909 + 120591 (32)
Fig 31 Tensiunea totală Fig 32 Tensiunea normală și tangențială
La racircndul ei componenta tensiunii cuprinsă icircn planul secțiunii poate fi
descompusă după direcțiile axelor y și z
120591 = 120591119909119910 + 120591119909119911 (33)
Icircntre cele trei componente ale tensiunii totale care acționează pe elementul de arie
∆119860 este valabilă relația
1199012 = 1205901199092 + 120591119909119910
2 + 1205911199091199112 (34)
După sensul pe care icircl are tensiunea normală 120590 poate avea efect de tracţiune sau
de compresiune exercitat de către partea de corp icircnlăturată asupra părţii rămase Analog
tensiunea tangenţială 120591 poate avea efect de tăiere forfecare sau alunecare Pentru
componentele tensiunii tangențiale 120591119909119910 pe direcţia 119910 respectiv 120591119909119911 pe direcţia 119911 primul
indice indică axa pe care tensiunea este normală iar cel de-al doilea indice indică axa cu
care aceasta este paralel
Tensiunea este o mărime tensorială valoarea ei depinzacircnd atacirct de poziția
punctului icircn planul secțiunii cicirct și de orientarea planului de secționare deci de normala
Operaţiile vectoriale nu pot fi aplicate tensiunilor decacirct după ce acestea au fost icircnmulţite
cu ariile respective adică au fost transformate icircn forţe
Icircn literatura de specialitate mai ales icircn manualele mai vechi pentru noţiunea de
tensiune se mai foloseşte şi denumirea de efort specific
Dacă se consideră un alt element de arie ∆119860 cu centrul icircn același punct avacircnd ca
normală axa 119910 se vor obține alte tensiuni și anume
- 120590119910 este tensiunea normală (paralelă cu axa y)
- 120591119911119909 și 120591119910119911 sunt tensiuni tangențiale paralele cu axele 119909 și respectiv 119911 aflate icircn
planul care are ca normală axa 119910
Dacă icircn jurul unui punct dintr-un corp solicitat se consider un element de volum
infinit mic de forma unui cub icircn cazul cel mai general pe fețele sale vor acționa
tensiunile normale 120590119909 120590119910 și 120590119911 și respectiv tensiunile tangențiale 120591119909119910 120591119909119911 120591119910119909 120591119910119911 120591119911119909
și respectiv 120591119911119910 figura 33 Aceste tensiuni definesc starea de tensiune a punctului
observacircnd faptul că tensorul tensiune are 9 componente Dacă se consideră elementul
de volum finit ca fiind foarte mic se poate presupune că icircn interiorul său nu apar forțe
Ca urmare el va fi icircn echilibru sub acțiunea forțelor elementare produse de tensiunile de
pe fețele sale
Din condiția ca elementul să nu se rotească icircn jurul unor axe care trec prin centrul
său și sunt paralele cu axele sistemului 119909119874119910119911 rezultă
2 ∙ 120591119909119910 ∙ (119889119910 ∙ 119889119911) ∙119889119909
2= 2 ∙ 120591119910119909 ∙ (119889119909 ∙ 119889119911) ∙
119889119910
2 rArr 120591119909119910 = 120591119910119909 (35)
2 ∙ 120591119910119911 ∙ (119889119909 ∙ 119889119911) ∙119889119910
2= 2 ∙ 120591119911119910 ∙ (119889119909 ∙ 119889119910) ∙
119889119911
2 rArr 120591119910119911 = 120591119911119910 (36)
2 ∙ 120591119909119911 ∙ (119889119910 ∙ 119889119911) ∙119889119909
2= 2 ∙ 120591119911119909 ∙ (119889119909 ∙ 119889119910) ∙
119889119911
2 rArr 120591119909119911 = 120591119911119909 (37)
Relațiile (35divide37) 120591119909119910 = 120591119910119909 120591119910119911 = 120591119911119910 120591119909119911 = 120591119911119909 exprimă principiul dualității
tensiunilor tangențiale
Fig 33 Tensiunile normale și tangențiale pe fețele unui cub
Din condiția ca elementul considerat să nu se deplaseze icircn lungul axelor de
coordonate pe fețele opuse acționează aceleași tensiuni normale 120590119909 120590119910 și respectiv 120590119911
Definirea tensorului tensiune este posibilă dacă se cunosc cele 6 componente
independente ale acestuia aflate icircn trei plane perpendicular ce trec prin punctul respectiv
=
120590119909 120591119909119910 120591119909119911120591119910119909 120590119910 120591119910119911120591119911119909 120591119911119910 120590119911
Observaţii
Tensiunile se măsoară icircn [119873 1198982frasl ] (1119873 1198982frasl = 1 119875119886) sau icircn [119872119875119886]
(1 119872119875119886 = 106119875119886 = 106 119873
1198982 1 119872119875119886 = 1
119873
1198981198982)
Starea de tensiune dintr-un punct este considerată cunoscută dacă se cunosc
tensiunile 119901 care acționează pe infinitatea de elemente de suprafață ce trec prin punctual
considerat
Starea de tensiune a unui corp se consider cunoscută dacă se cunosc stările de
tensiune de pe infinitatea de puncte ale corpului considerat
32 Deplasări Deformaţii specifice
321 Deplasări
Aceste noțiuni sunt utile icircn analiza aspectului geometric al problemelor de rezistența
materialelor Deplasările care se analizează sunt cele datorate schimbării formei și
dimensiunilor corpurilor ca urmare a acțiunii forțelor exterioare și nu cele cinematice
posibile pentru solidul rigid care se poate deplasa cu anumită viteză și accelerație
Spre exemplu icircn figura 34a și figura 34b sub acțiunea forței 119865 tronsonul de
bară AB se deformează icircn timp ce tronsonul BC deși punctele sale au deplasări rămacircne
nedeformat (fiind nesolicitat) Toate punctele de pe axele barelor cu excepția celor din
icircncastrare (secțiunile A) au deplasări liniare De cele mai multe ori deformațiile barelor
datorate acțiunii forțelor exterioare se anulează la icircndepărtarea forțelor se spune că
deformațiile sunt elastice Secțiunile transversale ale barei din figura 34a se și rotesc icircn
raport cu pozițiile lor inițiale Spre exemplu secțiunea de căpăt cu centrul icircn C se rotește
cu unghiul
Fig 34 Deformațiile unei grinzi
Oricacirct de complexă ar fi delormația unui corp ea poate fi descrisă de lungiri sau
scurtări și de modificări ale unghiurilor inițiale
Deplasările măsoară schimbarea poziției unui punct al corpului și pot fi liniare
sau unghiulare
Prin deplasare liniară a unui punct se icircnțelege drumul parcurs de acest punct icircn
decursul procesului de deformație după o dreaptă suport dreapta 1198611198611 din figura 34a
Prin deplasare unghiulară se icircnțelege rotirea dintre segmentele de dreaptă
determinate de două puncte ale corpului icircnainte și după deformarea acestuia unghiul
pe care-l fac segmentele 119861119862 și 11986111198621 din figura 34a Această rotire se măsoară prin
unghiul pe care-l fac proiecțiile dreptelor ce conțin cele două segmente icircntr-un sistem
triortogonal
Icircn cazul cel mai general vectorul deplasare liniară se poate descompune icircntr-un
sistem triortogonal icircn trei componente 119906 119907 și 119908 figura 35
Fig 35 Deplasarea liniară
Se consideră acum un corp solid raportat la un sistem de axe ortogonal 119909119874119910119911
figura 35 după deformarea corpului un punct oarecare 119870 al acestuia se deplasează icircn
poziţia 1198701 vectorul 1198701198701 poartă numele de vectorul deplasării totale
Deplasarea totală este suma deplasărilor pe cele trei direcţii ortogonale iar
aceste deplasări se notează astfel
deplasarea pe direcţia 119909 cu ∥ 119874119909
deplasarea pe direcţia 119910 cu ∥ 119874119910
deplasarea pe direcţia 119911 cu ∥ 119874119911
Componentele deplasărilor și formeză matricea deplasărilor liniare 119906119907119908
322 Deformații
Prin deformație icircn general se icircnțelege orice schimbare de formă a unui corp fără
o evaluare cantitativă Icircn Rezistența Materialelor deformația măsoară variația
dimensiunilor geometrice ale corpului considerat din vecinătatea unui punct analog
deplasărilor deformațiile pot fi liniare și unghiulare (lunecări)
Fig 36 Deplasarea liniară
Deformația liniară ∆119897 reprezintă variația lungimii 119897 a unui element liniar al
corpului deformat figura 36 Deformația liniară specifică se definește ca fiind raportul
dintre deformația liniară și lungimea inițială
휀 =∆119897
119897 (38)
unde ∆119897 este lungirea sau scurtarea care este echivalentă cu deformția liniară totală iar
este alungirea
Deformația unghiulară sau lunecarea unui punct 119860 icircn planul 119861119860119862 se definește
prin relația figura 37
120574 = lim119861119860rarr0119862119860rarr0
(119861119860 minus 119861111986011198621 ) (39)
Fig 36 Deformația unghiulară
Schimbacircnd orientarea planului care trece prin 119860 se obțin alte deformații
unghiulare Dacă elementele liniare 119861119860 și 119862119860 sunt inițial perpendiculare deformația 120574 se
numește deformație unghiulară specifică sau lunecare specifică figura 37
Un exemplu de deplasare unghiulară și de deformație unghiulară este prezentat icircn
figura 38 Unghiul este deplasarea unghiulară și măsoară rotirea relativă dintre două
secțiuni aflate la distanța 119897 Unghiul este deformația specifică unghiulară (lunecarea
specifică) din punctul 119870 Aceste deplasări și deformații se obțin icircn urma solicitării barei
de către cele două momente 1198720 egale și de sens contrar
Fig 38 Deplasarea unghiulară
Pentru a analiza starea de deformație din vecinătatea unui punct al unui corp
solicitat complex se decupează din jurul punctului un element de volum mic figura 39a
avacircnd laturile 119889119909 119889119910 și 119889119911 Ca urmare a solicitării laturile acestuia se vor lungi sau
scurta Reprezentarea elementului deformat icircn spațiu este dificilă pentru simplificare
vom analiza doar deformațiile din planul 119909119874119910 Observăm că dimensiunile 119889119909 și 119889119910 s-au
modificat cu valoarea ∆119889119909 respectiv cu ∆119889119910 analog se acceptă și pentru 119889119911 o modificare
de forma ∆119889119911 Astfel se pot defini deformațiile specifice liniare
휀119909 =∆119889119909
119889119909 휀119910 =
∆119889119910
119889119910 휀119911 =
∆119889119911
119889119911 (310)
De cele mai multe ori aceste deformații specifice liniare se pot exprima procentual
și se mai numesc alungiri
Fig 39 Starea de deformație
Icircn figura 39c se vede că unghiul inițial drept dintre muchiile 119889119909 și 119889119910 ale
elementului de volum s-a modificat Se definește deformația specifică unghiulară (sau
lunecarea specifică) mărimea cu care se modifică unghiul inițial drept
120574119909119910 = 120574119909119910prime + 120574119910119909
prime = 120574119910119909120574119910119911 = 120574119910119911
prime + 120574119911119910prime = 120574119911119910
120574119911119909 = 120574119911119909prime + 120574119909119911
prime = 120574119909119911
(311)
Deformațiile 휀119909 휀119910 휀119911 120574119909119910 120574119910119911 120574119911119909 constituie cele șase componente
independente ale tensorului deformațiilor specifice care pot fi scrise de forma
119863 =
휀119909 120574119909119910 120574119909119911120574119910119909 휀119910 120574119910119911120574119911119909 120574119911119910 휀119911
(312)
323 Contracţia transversală
Practica arată că odată cu lungirea unei bare apare o micşorare a mărimii secţiunii
transversale mărime numită contracţie transversală figura 310
Fig 310 Contracția transversală
Contracţia transversală este proporţională cu lungirea specifică coeficientul de
proporţionalitate se notează cu 120599 şi se numeşte coeficient de contracţie transversală sau
coeficientul lui Poisson
La o lungire specifică a barei contracţia transversală este dată de relația
휀119905119903 = 휀119910 = 휀119911 = minus120599 ∙ 휀119909 (313)
Semnul minus bdquo-rdquo arată că cele două mărimi sunt contrare dacă una creşte cealaltă
scade şi invers
Considerăm o bară cilindrică de lungime 119897 şi aria secţiunii transversale 119860 solicitată
la icircntindere axială La un moment dat datorită solicitării lungimea barei devine
[119897 ∙ (1 + 휀)] diametrul devine [119889 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)] iar aria secţiunii transversale devine
[119860 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)2] Dacă volumul barei icircnainte de solicitare a fost (119860 ∙ 119897) după solicitare
acesta devine
119881 + ∆119881 = 119860 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)2 ∙ 119897 ∙ (1 + 휀) =
= 119860 ∙ 119897 ∙ (1 + 휀 minus 2 ∙ 120599 ∙ 휀 minus 2 ∙ 120599 ∙ 휀2 + 1205992 ∙ 휀2 + 1205992 ∙ 휀3) (314)
Deoarece lungirile sunt foarte mici ultimii trei termeni din paranteză fiind infinit mici se pot neglija obţinacircnd
119881 + ∆119881 = 119860 ∙ 119897 + 119860 ∙ 119897 ∙ 휀 ∙ (1 minus 2 ∙ 120599) ⟺ ∆119881 = 휀 ∙ (1 minus 2 ∙ 120599) ∙ 119860 ∙ 119897 (315)
Practica arătă că o astfel de bară solicitată la icircntindere icircşi măreşte volumul deci
∆119881 gt 0 de unde rezultă că
1 minus 2 ∙ 120599 gt 0 rArr 120599 lt 05 (316)
Pentru majoritatea materialelor 120599 = 033 iar pentru materialele care-şi păstrează
volumul constant 120599 = 05
33 Relaţii de echivalenţă icircntre eforturi şi tensiuni
Considerăm un element de suprafață infinit mic 119889119860 situat pe fața de arie (119860) a
secțiunii barei din figura 311 Icircn centrul de greutate 119862 al secțiunii acționează eforturile
119873 119879119910 119879119911 119872119909 119872119894119910 și 119872119894119911 determinate prin metoda secțiunilor
Icircn raport cu un sistem de axe de referință 119909119862119910119911 coordonatele elementului 119889119860 sunt
- 119910 este ordonata elementului de arie 119889119860
- 119911 este abscisa elementului de arie 119889119860
Pe elementul de arie 119889119860 acționează tensiunile
120590119909 tensiunea normală
120591119909119910 și 120591119909119911 tensiuni tangențiale
Dacă se icircnsumează forțele elementare de tipul 120590119909 ∙ 119889119860 120591119909119910 ∙ 119889119860 și 120591119909119911 ∙ 119889119860
va trebui să obținem eforturile 119873 119879119910 și 119879119911
Fig 311 Element de suprafață mic din secțiunea unei bare
Dacă eforturile sunt privite ca forțe exterioare și se scriu ecuațiile de
echilibru ale secțiunii (119860) se vor obține șase relații de echivalență icircntre eforturi și
tensiuni
(sum119883) = 0 rArr int 120590119909 ∙ 119889119860
119860
= 119873 (317)
(sum119884) = 0 rArr int 120591119909119910 ∙ 119889119860
119860
= 119879119910 (318)
(sum119885) = 0 rArr int 120591119909119911 ∙ 119889119860
119860
= 119879119911 (319)
(sum119872)119909= 0 rArr int(120591119909119911 ∙ 119889119860) ∙ 119910
119860
minus int(120591119909119910 ∙ 119889119860) ∙ 119911
119860
= 119872119909 rArr
rArr int(119910 ∙ 120591119909119911 minus 119911 ∙ 120591119909119910) ∙ 119889119860
119860
= 119872119909
(320)
(sum119872)119910= 0 rArr int(120590119909 ∙ 119889119860) ∙ 119911
119860
= 119872119894119910 (321)
(sum119872)119911= 0 rArr int(120590119909 ∙ 119889119860) ∙ 119910
119860
= 119872119894119911 (322)
Cele șase relații de echivalență icircntre eforturi și tensiuni constituie un pas icircnainte
icircn rezolvarea unei probleme de rezistența materialelor Aceste relații vor permite
determinarea tensiunilor maxime
Pentru a rezolva cele 6 relații de echivalență trebuie să se cunoască tensiunile și
ca funcții de punct adică funcții de forma
120590119909 = 120590119909(119909 119910 119911) 120591119909119910 = 120591119909119910(119909 119910 119911) 120591119909119911 = 120591119909119911(119909 119910 119911) (32
3)
Cunoașterea acestor funcții presupune icircnsă analizarea aspectului geometric al
problemei precum și utilizarea unor ipoteze simplificatoare care să permită simplificarea
problemelor
34 Ipoteze de bază icircn rezistenţa materialelor
Depășirea dificultăților legate de interpretarea unor fenomene specifice mecanicii
solidului deformabil a impus acceptarea unor ipoteze care să simplifice fenomenele și să
contribuie la elaborarea unor modele de calcul cicirct mai generale și cacirct mai simple Aceste
ipoteze se referă la structura materialelor şi la comportarea lor sub acţiunea forţelor
exterioare Ipotezele acceptate trebuie să fie icircn deplină concordanţă cu realitatea și să
conducă la rezultate verificate icircn practică
Funcție de aspectele la care se referă ipotezele pot fi
Ipoteze fizice (de material)
Ipoteze de calcul
341 Ipoteze fizice
Se acceptă deoarece teoriile structurale au condus la rezultate care contravin
icircncercărilor experimentale
Ipoteza mediului continuu consideră că orice domeniu elementar al corpului
este ocupat de materie adică nu se acceptă existența unor goluri sau a unor crăpături
microscopice (fisuri) Deși nu corespunde realităţii poate fi acceptată deoarece
dimensiunile corpului sunt mult mai mari decacirct dimensiunile particulelor elemantare Are
avantajul că permite utilizarea proprietăților matematice ale funcțiilor continue pentru
tensiunile și deformațiile din orice punct al corpului Ea este mai apropiată de realitate la
corpurile amorfe şi mai depărtată la cele cristaline dar conduce la rezultate satisfăcătoare
icircn calculele de rezistenţă
Ipoteza nu se poate aplica la corpurile care au goluri tăieturi (multiplu conexe)
pentru unele puncte singulare icircn care tensiunile și deformațiile tind la infinit sau icircn unele
probleme de plasticitate icircn care proprietățile de material au un rol esențial
Ipoteza izotropiei conform acestei ipoteze materialul din care este confecționat
un element de rezistență are aceleași proprietăți după orice direcție un astfel de material
este considerat izotrop Din punct de vedere macroscopic metalele pot fi considerate
izotrope deși la nivel microscopic proprietățile lor diferă de la o direcție cristalografică
la alta Orice conglomerat de cristale poate fi considerat izotrop
Există cazuri cacircnd această ipoteză a izotropiei nu se acceptă
la metalele puternic deformate după o direcție (prin laminare trefilare)
la piesele confecționate din lemn lemnul este anizotrop deoarece proprietățile sale
diferă după două direcții (icircn lungul fibrelor și perpendicular pe această direcție)
Ipoteza omogenității consideră că un corp are aceleași proprietăți icircn orice
punct al său Deși majoritatea materialelor utilizate icircn tehnică sunt eterogene la scară
micro fiind constituite din mai multe faze cu proprietăți diferite la scară macro ele pot
fi considerate omogene Omogenitatea și izotropia sunt proprietăți statistice medii care
nu se condiționează una pe cealaltă Chiar și materialele monofazice pot avea la scară
micro unele segregații care le fac eterogene
Ipoteza elasticităţii perfecte presupune că atacircta timp cacirct solicitările nu
depăşesc anumite limite materialul are o comportare elastică adică icircşi recapătă forma şi
dimensiunile iniţiale odată cu icircnlăturarea sarcinilor Icircn realitate materialele nu prezintă o
elasticitate perfectă ele avacircnd deformaţii remanente mici care icircnsă pot fi neglijate icircn
calculele de rezistenţă
Acceptarea acestei ipoteze a elasticității perfecte permite
- aplicarea relației biunivoce icircntre tensiuni și deformații relație exprimată de legea
lui Hooke ( = 119864 ∙ 휀) unde E este un factor de proporţionalitate numit modul de
elasticitate longitudinal al materialului pentru oţel 119864 = 21 ∙ 105 [119872119875119886] - acceptarea valabilității afirmației bdquolucrul mecanic efectuat de forțele exterioare
ca urmare a parcurgerii deplasărilor punctelor de aplicație se icircnmagazinează integral icircn
corp sub formă de energie de deformație energie cedată la icircndepărtarea sarcinilorrdquo
- este valabilă teoria conform căreia bdquoenergia icircnmagazinată și deformațiile depind
doar de starea inițială și finală de eforturi fără a ține cont de modul icircn care s-a ajuns la
starea finalărdquo
Icircn realitate oricacirct de mici ar fi sarcinile aplicate se produc și deformații plastice
dar acestea pot fi neglijate dacă solicitarea nu depășește anumite limite
342 Ipoteze de calcul
Ipoteza micilor deplasări bdquodeplasările datorate deformării sunt mult mai mici
decacirct dimensiunile corpurilor și ca urmare pot fi neglijate produsele dintre o deplasare și
ea icircnsăşirdquo Pentru cele mai multe corpuri deformaţiile elastice sunt de mărimi mici deci
corpurile solide sub acţiunea sarcinilor icircşi modifică foarte puţin forma iniţială Această
ipoteză este cunoscută şi sub denumirea de ipoteza menţinerii dimensiunilor iniţiale Ea
permite scrierea ecuaţiilor de echilibru ale staticii pe starea nedeformată a elementului
cacircnd nu se iau icircn considerare deplasările punctelor de aplicaţie ale forţelor care se produc
ca urmare a deformării acestuia Calculul efectuat pe schema nedeformată poartă numele
de calcul de ordinul I
Ipoteza micilor deplasări nu poate fi acceptată pentru studiul problemelor de
stabilitate sau la problemele la care nu pot fi icircndeplinite condiţiile de echilibru icircn starea
nedeformată
Calculul de ordinul II admite ipoteza micilor deplasări dar ecuaţiile de echilibru
se scriu icircnsă pentru starea deformată a elementului de rezistenţă
Calculul de ordinul III nu mai acceptă ipoteza micilor deplasări el referindu-se
la cazul deformaţiilor mari cacircnd ecuaţiile de echilibru trebuie scrise pentru starea
deformată
Chiar dacă materialul satisface legea lui Hooke icircn urma calculelor de ordinul II
se obţin de obicei relaţii neliniare icircntre sarcini şi deplasări iar pentru calculul de ordinul
III rezultă ecuaţii diferenţiale neliniare
Principiul efectului local al acțiunii sarcinilor enunțat de Barre de Saint-
Venant Acest principiu destul de folosit icircn Rezistenţa Materialelor precizează că dacă
se icircnlocuiesc forţele care acţionează asupra unui element de suprafață al unui corp
elastic printr-un alt sistem de forţe echivalent din punct de vedere static cu primul noua
distribuţie a forţelor produce la locul de aplicare diferenţe semnificative faţă de prima
dar rămacircne fără efect sau cu efect neglijabil la distanţe mari de locul de aplicare al
forţelor figura 312
Ca o cosecință o sarcină uniform distribuită figura 312a poate fi icircnlocuită cu
rezultanta ei figura 312b dacă se analizează efectul sarcinii la distanță mare de locul icircn
care se aplică sarcina
Fig 312 Principiul Saint-Venant
Icircn prima variantă figura 312a forţa 119865 se aplică pe o porțiune oarecare 119897 (sarcină
uniform distribuită) iar icircn a doua figura 312b icircntru-un punct (forţă concentrată) La
locul de aplicare a sarcinii efectul asupra barei este cu totul diferit de la o variantă la
cealaltă Icircnsă la o distanţă mare de punctul de aplicaţie spre exemplu icircn secţiunea situată
la distanţa 119886 de capătul barei sau chiar icircn icircncastrare ambele bare sunt solicitate la fel
Icircn cazul din figura 312a
119872119894(119909) =119901 ∙ 1199092
2 119909 le 119897 119872119894(119909) = 119901 ∙ 119897 ∙ (119909 minus
119897
2) 119909 gt 119897 (324)
Icircn cazul din figura 312b
119872119894(119909) = 0 119909 lt119897
2 119872119894(119909) = 119901 ∙ 119897 ∙ (119909 minus
119897
2) 119909 gt
119897
2 (325)
Se vede că pentru (119909 gt 119897) adică după depășirea locului icircn care se aplică sarcina
efectul este același
Ipoteza lui Bernoulli sau ipoteza secţiunilor plane precizează că o secţiune
plană şi normală pe axa barei icircnainte de deformare rămacircne plană şi normală pe axa
barei şi după deformare figura 313
Fig 313 Ipoteza lui Bernoulli
Ipoteza stării naturale a corpului sau ipoteza absenţei tensiunilor conform
căreia pentru un corp nesolicitat starea de tensiune şi deformaţie este nulă
Perfecţionarea mijloacelor de calcul şi de investigare pot conduce la renunţarea la
unele ipoteze sau la introducerea altora noi mai aproape de stările reale De aici rezultă
caracterul de continuă perfecţionare a metodelor Rezistenţei Materialelor
35 Coeficienţi de siguranţă Tensiuni admisibile
O piesă corespunde din punct de vedere tehnic dacă tensiunile care iau naştere icircn
interiorul piesei datorită sarcinilor aplicate nu depăşesc anumite valori limită stabilite
convenţional Aceste valori limită ale tensiunii sunt corelate cu caracteristicile mecanice
ale materialelor
Tensiunea limită utilizată icircn calculele de rezistenţă este cunoscută sub denumirea
de tensiune admisibilă sau rezistenţă admisibilă Rezistenţa admisibilă reprezintă
valoarea convenţională aleasă icircn calcul pe baza practicii pentru tensiunea maximă care
poate apare icircntr-o piesă icircn condiţii date de material şi solicitare
Rezistenţa admisibilă (120590119886 sau 120591119886) poate fi definită faţă de o stare limită
periculoasă stare care trebuie evitată deoarece poate conduce distrugere
120590119886 =120590119897119894119898119888
(326)
unde
120590119897119894119898 este tensiunea corespunzătoare stării limită periculoase
119888 estesupraunitar 119888 gt 1 și reprezintă coeficientul de siguranţă faţă de starea limită
periculoasă considerată
Alegerea unor valori inferioare pentru rezistenţa admisibilă faţă de tensiunea
corespunzătoare stării limită periculoase este necesară deoarece
cunoaşterea sarcinilor este de cele mai multe ori aproximativă şi o depăşire a
acestora este foarte posibilă
caracteristicile mecanice ale materialelor variază icircn limite destul de mari ele
fiind influenţate de mulţi factori
schema aleasă pentru calcul (aplicarea sarcinilor schematizarea structurii
ipotezele de calcul etc) depărtează modelul faţă de cel real
Pentru calculele de verificare tensiunea efectivă maximă din elementul de
rezistenţă trebuie să fie mai mică sau cel mult egală cu cea admisibilă
120590119890119891119898119886119909 le 120590119886 (327)
Valoarea rezistenţei admisibile este influenţată de foarte mulţi factori natura
materialului tratamentele termice aplicate piesei durata de funcţionare a piesei modul
de acţionare icircn timp a sarcinilor felul solicitării temperatura gradul de periculozitate
icircn cazul cedării piesei etc
De asemenea valoarea coeficientului de siguranţă se alege icircn principal ţinacircnd
seama de aceiaşi factori care influenţează şi rezistenţa admisibilă
Rezistenţele admisibile pentru cacircteva materiale sunt următoarele
pentru oțelul de uz general OL37 solicitat la icircntindere compresiune sau
icircncovoiere 120590119886 = 150 [119872119875119886] pentru lemnul de brad solicitat la
- compresiune icircn lungul fibrelor şi solicitat la icircncovoiere 120590119886 = 10 [119872119875119886] - tracţiune icircn lungul fibrelor 120590119886 = 7 [119872119875119886] - compresiune perpendiculară pe fibre 120590119886 = 15 [119872119875119886] - forfecare icircn lungul fibrelor 120591119886 = 2 [119872119875119886] - forfecare perpendiculară pe fibre 120590119886 = 45 [119872119875119886]
terenuri de fundaţie din pămacircnt uscat sau umed 120590119886 = 020 divide 025 [119872119875119886]
4 CARACTERISTICI GEOMETRICE ALE SECȚIUNILOR PLANE
41 Noţiuni introductive
Icircn relaţiile de calcul ale tensiunilor şi deformaţiilor elementelor de rezistenţă
pentru unele solicitări (icircncovoierea și torsiunea) secțiunile plane intervin atacirct prin
dimensiunile lor (aria 119860) cicirct și prin forma și poziția pe care o are secțiunea icircn raport cu
planul solicitării Mărimile care caracterizează o secțiune icircn raport cu forma și poziția față
de axele unui sistem de referință sunt denumite caracteristici geometrice de ordin
superior Aria secțiunii este caracteristica geometrică ce depinde doar de dimensiunile
geometrice ale acesteia
Să considerăm o grindă solicitată de o forță exterioară 119865 aşezată icircn două poziții icircn
raport cu planul forţei figura 41 Icircn urma aplicării forței deși avem aceeași grindă
(aceeași arie a secțiunii transversale) și aceeași forță se constată că pentru varianta din
figura 41a deformațiile sunt mult mai mari adică rezistența la icircncovoiere a grinzii din
figura 41a este mai mare decacirct icircn cazul grinzii din figura 41b Comportarea diferită se
explică prin aceea că modificarea poziţiei secţiunii transversale faţă de planul forţelor
modifică caracteristicile geometrice ale secţiunii transversale a grinzii
Fig 41 Grindă solicitată de forța 119865
Pentru realizarea calculelor de rezistenţă şi rigiditate este foarte importantă
cunoaşterea caracteristicilor geometrice ale suprafeţei secţiunii transversale a elementelor
de rezistenţă
Caracteristicile geometrice ale secţiunii transversale a unui element de rezistenţă
sunt
- aria secțiunii notată cu 119860
- momentul static icircn raport cu o axă notat 119878119911 și respectiv 119878119910
- momentul de inerție care poate fi
axial notat 119868119911 și respectiv 119868119910
centrifugal notat 119868119911119910
polar notat 119868119901
- raza de inerţie (giraţie)notată 119894119911 și respectiv 119894119910
- modulul de rezistență care poate fi
axial notat 119882119911 și respectiv 119882119910
polar notat 119882119901
42 Aria și momentul static al suprafețelor plane
Fie o suprafaţă plană de arie 119860 pe care se ia un element infinit mic de arie 119889119860 şi
un sistem de axe rectangulare 119911119874119910 figura 42 Notăm cu 119862 centrul de greutate al suprafeţei
119860 Poziţia suprafeţei elementare 119889119860 faţă de acelaşi sistem de coordonate 119911119874119910 este dată
de abscisa 119911 ordonata 119910 și raza polară
Fig 42 Suprafață plană de arie 119860
Aria suprafeţei 119860 figura 42 se defineşte ca fiind
119860 ≝ int 119889119860
119860
(41)
Aria suprafeţei este icircntotdeauna pozitivă și se măsoară icircn [1198981198982] Momentul static al suprafeţei de arie 119860 icircn raport cu axele 119874119911 și respectiv 119874119910
figura 42 sunt date de relaţiile
119878119911 ≝ int 119910 ∙ 119889119860
119860
119878119910 ≝ int 119911 ∙ 119889119860
119860
(42)
Momentul static poate fi pozitiv negativ sau nul şi se măsoară icircn [1198981198983] Coordonatele centrului de greutate ale suprafeței 119860 se detrmină cu relațiile
119910119862 ≝int 119910 ∙ 119889119860119860
119860 119911119862 ≝
int 119911 ∙ 119889119860119860
119860
(43)
Cunoscacircnd coordonatele 119910119862 și 119911119862 ale centrului de greutate 119862 al secțiunii 119860 atunci
momentele statice se pot determina cu relațiile
119878119911 ≝ int 119910 ∙ 119889119860
119860
= 119910119862 ∙ 119889119860 119878119910 ≝ int 119911 ∙ 119889119860
119860
= 119911119862 ∙ 119889119860 (44)
Aceste relații arată că momentul static al unei suprafețe icircn raport cu o axă este
egal cu produsul dintre aria suprafeței și distanța de la centrul ariei la axa respectivă
Dacă suprafaţa se poate descompune icircn 119899 suprafeţe simple la care se cunosc ariile
(1198601 1198602 ⋯ 119860119894⋯ 119860119899) și poziţiile centrelor de greutate 119862119894 faţă de sistemul de referinţă
expresiile momentelor statice capătă următoarea formă
119878119911 = sum 119910119862119894 ∙ 119860119894119899119894=1 = 119910119862 ∙ 119860 119878119910 = sum 119911119862119894 ∙ 119860119894
119899119894=1 = 119911119862 ∙ 119860 (45)
Din relaţiile (45) rezultă că poziţia centrului de greutate 119862 al unei suprafeţe
compuse poate fi determinată cu relaţiile
119910119862 = (sum119910119862119894 ∙ 119860119894
119899
119894=1
) 119860frasl 119911119862 = (sum119911119862119894 ∙ 119860119894
119899
119894=1
) 119860frasl (46)
Icircn relația (45) 119910119862119894 și respectiv 119911119862119894 reprezintă coordonatele centrelor de greutate 119862119894
ale fiecărei suprafețe simple 119860119894 icircn raport sistemul de axe 119911119874119910
Se constată (relaţia 42) că dacă axele sistemului de referinţă trec prin centrul de
greutate (119910119862 = 119911119862 = 0) momentele statice sunt nule Axele icircn raport cu care momentele
statice sunt nule şi care trec prin centrul de greutate al suprafeţei se numesc axe centrale
Observație dacă secțiunea compusă are o axă de simetrie centrul secțiunii se
găsește pe acea axă iar dacă secțiunea este dublu simetrică poziția centrului secțiunii este
la intersecția axelor de simetrie
43 Momente de inerţie
Momentele de inerţie axiale ale unei suprafețe se calculează icircn raport cu axele de
coordonate 119874119911 și respectiv 119874119910 figura 42 și se determină cu relațiile
119868119911 ≝ int 1199102 ∙ 119889119860
119860
119868119910 ≝ int 1199112 ∙ 119889119860
119860
(47)
Unde 119910 și 119911 sunt distanțele de la elementul de arie 119889119860 la cele două axe de
coordonate 119874119911 și respectiv 119874119910
Momentele de inerţie axiale se măsoară icircn [1198981198984] şi sunt icircntotdeauna pozitive (aria
119889119860 este icircntotdeauna pozitivă și este multiplicată cu patratul distanței 1199102 dacă 119868119911 sau 119868119910
sunt nule icircnseamnă ca secțiunea nu există)
Momentele de inerție axiale se calculează icircndeosebi pentru axele centrale (care
trec prin centrul secțiunii) deoarece icircn raport cu acele axe 119868119911 și 119868119910 au valori minime
Momentul de inerţie centrifugal calculat faţă ambele axe ale sistemului de
referinţă 119911119874119910 este definit de relația
119868119911119910 ≝ int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860
(48)
Momentul de inerţie centrifugal se măsoară icircn [1198981198984] şi poate fi pozitiv negativ
sau nul
Momentul de ineție centrifugal este nul 119868119911119910 = 0 dacă cel puțin una din axele 119874119911
sau 119874119910 este axă de simetrie pentru secțiune
Se consideră o suprafaţă dreptunghiulară pe care faţă de axa de simetrie 119874119910 se iau
două suprafeţe elementare de arie 119889119860 simetrice faţă de axa 119874119910 figura 43
Fig 43 Suprafață dreptunghiulară cu două arii elementare 119889119860
Făcacircnd suma momentelor de inerţie centrifugale pentru cele două suprafeţe
elementare 119889119860 (din stacircnga şi din dreapta faţă de axa 119874119910) se obţine
int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860119889119903
+ int (minus119911) ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860119904119905119892
= int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860119889119903
minus int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860119904119905119892
= 0 (49)
Acelaşi raţionament se poate face și pentru icircntreaga suprafaţă de unde obținem că
momentul de inerție centrifugal este nul 119868119911119910 = 0 Deci pentru o suprafaţă plană care
are cel puţin o axă de simetrie momentul de inerţie centrifugal faţă de sistemul care
conţine acea axă de simetrie este nul
Momentul de inerţie polar al unei suprafeţei icircn raport cu un punct (pol) 119874 figura
42 este definit prin relaţia
1198680 = 119868119901 ≝ int 1205882 ∙ 119889119860
119860
= int(1199102 + 1199112) ∙ 119889119860
119860
= 119868119911 + 119868119910 (410)
unde este distanţa de la polul 119874 la elementul de arie 119889119860 Momentul de inerţie polar se
măsoară icircn [1198981198984] şi este totdeauna pozitiv
Momentul de inerţie polar este egal cu suma momentelor de inerţie faţă de două axe
perpendiculare oarecare şi care trec prin polul considerat
Razele de giraţie sau razele de inerţie sunt mărimi calculate icircn raport cu axele
secțiunii și definite de relaţiile
119894119911 ≝ radic119868119911119860 119894119910 = radic
119868119910
119860 (411)
Se exprimă icircn [119898119898] şi sunt icircntotdeauna pozitive Semnificația unei raze de inerție
este distanța la care dacă ar fi concentrată icircntreaga arie s-ar obține același moment de
inerție ca și cel calculat pentru aria reală
44 Modulul de rezistenţă
Modulul de rezistență se calculează icircn raport cu axele de referință sau icircn raport cu
un pol figura 42 și pot fi axiale (119882119911119882119910) sau polar (119882119901) și se determină numai pe baza
momentelor de inerţie cu relațiile figura 43
119882119911119898119894119899 ≝119868119911119910119898119886119909
119882119911119898119886119909 ≝119868119911119910119898119894119899
(412)
119882119910119898119894119899 ≝119868119910
119911119898119886119909 119882119910119898119886119909 ≝
119868119910
119911119898119894119899 (413)
119882119901 ≝119868119901
120588119898119886119909 (414)
unde
119910119898119886119909 119910119898119894119899 reprezintă distanţa de la axa 119874119911 la punctele extreme cele mai
depărtate respectiv cele mai apropiate ale suprafeţei de această axă
119911119898119886119909 119911119898119894119899 reprezintă distanţa de la axa 119874119910 la punctele extreme cele mai
depărtate respectiv cele mai apropiate ale suprafeţei de această axă
120588119898119886119909 reprezintă distanța maximă de la polul 119874 la punctul secțiunii cel mai
icircndepărtat de acesta
Fig 43 Suprafață dreptunghiulară cu două arii elementare 119889119860
Modulele de rezistenţă se exprimă icircn [1198981198983] şi sunt icircntotdeauna pozitive
Explicația este aceea că momentele de inerție care intră icircn relațiile de definiție sunt
pozitive iar distanțele la punctele extreme sunt pozitive (119910119898119886119909 119910119898119894119899 119911119898119886119909 119911119898119894119899 120588119898119886119909 se
iau icircn valoare absolută)
Icircn cazul suprafeţelor compuse modulul de rezistenţă nu se obţine prin icircnsumarea
algebrică a modulelor de rezistenţă ale suprafeţelor simple componente ci numai prin
intermediul momentului de inerţie axial calculat pentru icircntreaga secțiune
Ca și momentele de inerție modulele de rezistență se calculează numai pentru
sistemele de axe centrale
45 Momente de inerţie şi module de rezistenţă pentru suprafeţe simple
451 Secțiune dreptunghiulară
Fie suprafaţa dreptunghiulară din figura 44 de icircnălțime ℎ și lățime 119887 pe care se
consideră suprafaţă elementară de arie 119889119860 = 119887119889119910 la distanța 119910 de axa 119862119911 sistemul de
axe 119911119862119910 trece prin centrul secțiunii iar axele sunt axe de simetrie pentru dreptunghi
Fig 44 Suprafață dreptunghiulară
Pe baza relațiilor de definiți a momentului de inerție 119868119911 se obține
119868119911 ≝ int 1199102 ∙ 119889119860
119860
= int 1199102 ∙ 119887 ∙ 119889119910 = 2int 1199102 ∙ 119887 ∙ 119889119910 = 2 ∙ 119887 ∙1199103
3|ℎ 2frasl
0rArr
ℎ 2frasl
0
ℎ 2frasl
minusℎ 2frasl
rArr 119868119911 =119887 ∙ ℎ3
12
(415)
Analog pentru un element de arie 119889119860 = ℎ ∙ 119889119911 paralel cu axa 119862119910 situat la distanța
119911 de axa 119862119910
119868119910 ≝ int 1199112 ∙ 119889119860
119860
= int 1199112 ∙ ℎ ∙ 119889119911 = 2int 1199112 ∙ ℎ ∙ 119889119910 = 2 ∙ ℎ ∙1199113
3|119887 2frasl
0rArr
119887 2frasl
0
119887 2frasl
minus119887 2frasl
rArr 119868119910 =1198873 ∙ ℎ
12
(416)
Deoarece axele 119862119911 și 119862119910 sunt axe de simetrie momentul de inerție centrifugal este
119868119911119910 = 0 (417)
Pentru un pătrat avacircnd laturile egale (ℎ = 119887 = 119886) momentele de inerţie faţă de
axele centrale au expresia
119868119911 = 119868119910 =1198864
12 (418)
Modulele de rezistență axiale se calculează cu relațiile de definiție ținacircnd cont că
distanțele pacircnă la fibrele extreme sunt
119910119898119886119909 = 119910119898119894119899 =ℎ
2 119911119898119886119909 = 119911119898119894119899 =
119887
2 (419)
Obținem
119882119911119898119894119899 = 119882119911119898119886119909 =119868119911
119910119898119886119909119898119894119899=119887 ∙ ℎ3
12frasl
ℎ2frasl
=119887 ∙ ℎ2
6
119882119910119898119894119899 = 119882119910119898119886119909 =119868119910
119911119898119886119909119898119894119899=1198873 ∙ ℎ
12frasl
1198872frasl
=1198872 ∙ ℎ
6
(420)
452 Suprafaţă circulară
Din motive de simetrie pentru suprafeţele circulare momentele de inerţie faţă de
orice diametru (care reprezintă şi axe centrale) sunt aceleaşi
Considerăm o secțiune circulară plină cu diametrul 119889 și centrul de greutate 119862 Prin
centrul de greutate 119862 trece sistemul de axe ortogonal 119911119862119910 figura 45
Fig 45 Suprafață circulară
La distanța de centrul de greutate 119862 vom lua un element de suprafață mic de arie
(119889119860) de forma unui inel de grosime 119889 Elementul de arie 119889119860 are expresia
119889119860 = (2 ∙ 120587 ∙ 120588) ∙ (119889120588)
Pornind de la relația de definiție a momentului de inerție polar obținem
119868119901 ≝ int 1205882 ∙ 119889119860
119860
= int 1205882 ∙ (2 ∙ 120587 ∙ 120588) ∙ 119889120588
119903=119889 2frasl
0
= 2 ∙ 120587 ∙1205884
4|119889 2frasl0 rArr
rArr 119868119901 =120587 ∙ 1198894
32
(421)
Secțiunea este perfect simetrică deci sunt valabile relațiile
119868119911 = 119868119910 rArr 119868119901 = 119868119911 + 119868119910 = 2 ∙ 119868119911 = 2 ∙ 119868119910 =119868119901
2=120587 ∙ 1198894
64 (422)
Și modulele de rezistenţă faţă de orice diametru sunt egale şi se calculează cu
relaţiile
119882119911 = 119882119910 =1198681199111198892frasl=120587 ∙ 1198893
32 (423)
Modulul de rezistenţă polar este
119882119901 =1198681199011198892frasl=120587 ∙ 1198893
16 (424)
453 Secţiune inelară
Calculul momentelor de inerţie axiale pentru o secţiune inelară avacircnd diametrul
interior 119889 şi diametrul exterior 119863 se determină analog pentru suprafaţa circulară plină cu
observaţia că integrala pentru calculul momentului de inerție polar 119868119901 se face icircntre
limitele 119903 = 119889 2frasl şi R= 1198632frasl (icircntre raza interioară 119903 şi raza exterioară 119877) figura 46
Se obţin relaţiile
119868119901 =120587 ∙ 1198634
32∙ [1 minus (
119889
119863)4
] =120587 ∙ 1198634
32∙ (1 minus 1198964) (425)
119868119910 = 119868119910 =120587 ∙ 1198634
64∙ [1 minus (
119889
119863)4
] =120587 ∙ 1198633
64∙ (1 minus 1198964) (426)
Fig 46 Secțiune inelară
119882119901 =120587 ∙ 1198633
16∙ [1 minus (
119889
119863)4
] =120587 ∙ 1198633
16∙ (1 minus 1198964) (427)
119882119911 = 119882119910 =120587 ∙ 1198633
32∙ [1 minus (
119889
119863)4
] =120587 ∙ 1198633
32∙ (1 minus 1198964) (428)
unde 119896 = 119889119863frasl
46 Variaţia momentelor de inerţie faţă de axe paralele
( Relațiile lui STEINER)
Se consideră o suprafaţă oarecare de arie 119860 cu elementul de arie 119889119860 și un sistemul
de axe central 119911119862119910 faţă de care se cunosc momentele de inerţie 119868119911 119868119910 119868119911119910 şi considerăm
un sistem de axe 11991111198741199101 paralele cu sistemul central figura 47 Se pune problema
determinării momentele de inerţie 1198681199111 1198681199101 11986811991111199101 faţă de sistemul de axe paralel cu sistemul
central 11991111198741199101 axe aflate la distanţele 119910119862 = 119888 respectiv 119911119862 = 119889 de acesta
461 Momente de inerţie axiale
Pe baza relaţiilor de definire şi a notaţiilor din figura 42 pentru momentele de
inerţie faţă de axele 1198741199111 1198741199101 se poate scrie
1198681199111 = int 11991012 ∙ 119889119860
119860
= int(119910 + 119888)2 ∙ 119889119860
119860
= int 1199102 ∙ 119889119860
119860
+ 2 ∙ 119888 ∙ int 119910 ∙ 119889119860
119860
+
+1198882int 119889119860
119860
rArr 1198681199111 = 119868119911 + 2 ∙ 119888 ∙ 119878119911 + 1198882 ∙ 119860 hArr 1198681199111 = 119868119911 + 119888
2 ∙ 119860
(429)
Fig 47 Variaţia momentelor de inerţie față de axe paralele
S-a ajuns la relația (429) deoarece momentul static 119878119911 este nul deoarece axa 119862119885
este axă centrală
Pentru momentul de inerție axial icircn raport cu axa 1198741199101 se obține
1198681199101 = int 11991112 ∙ 119889119860
119860
= int(119911 + 119889)2 ∙ 119889119860
119860
= int 1199112 ∙ 119889119860
119860
+ 2 ∙ 119889 ∙ int 119911 ∙ 119889119860
119860
+
+1198892 ∙ int 119889119860
119860
rArr 1198681199101 = 119868119910 + 2 ∙ 119889 ∙ 119878119910 + 1198892 ∙ 119860 hArr 1198681199101 = 119868119910 + 119889
2 ∙ 119860
(430)
Pentru momentul de inerție centrifugal obținem
11986811991111199101 = int 1199101 ∙ 1199111 ∙ 119889119860
119860
= int(119910 + 119888) ∙ (119911 + 119889) ∙ 119889119860
119860
= int 119910 ∙ 119911 ∙ 119889119860 +
119860
+119888 ∙ int 119911 ∙ 119889119860
119860
+ 119889 ∙ int 119910 ∙ 119889119860
119860
rArr 11986811991111199101 = 119868119911119910 + 119888 ∙ 119889 ∙ 119860
(431)
Deoarece
int 119911 ∙ 119889119860
119860
= 119878119910 = 0 int 119910 ∙ 119889119860
119860
= 119878119911 = 0 int 119910 ∙ 119911 ∙ 119889119860
119860
= 119868119911119910
Relaţiile (429) şi (430) arată că momentul de inerţie faţă de o axă oarecare
este egal cu momentul de inerţie faţă de o axă paralelă cu ea trecacircnd prin centrul de
greutate la care se adaugă produsul dintre aria suprafeţei şi pătratul distanţei dintre
cele două axe
Din relaţiile (429) și (430) rezultă de asemenea că momentul de inerţie faţă de o
axă centrală (care trece prin centrul de greutate) este cel mai mic dintre infinitatea de
momente de inerţie obținute faţă de alte axe paralele cu ea
Relaţia (431) arată de asemenea că momentul de inerţie centrifugal faţă de un
sistem de axe oarecare este egal cu momentul de inerţie centrifugal faţă de un sistem
paralele cu el trecacircnd prin centrul de greutate a suprafeţei la care se adaugă produsul
dintre aria suprafeţei şi distanţele dintre axele sistemelor respective
Icircn literatura de specialitate relaţiile (429) (430) şi (431) sunt cunoscute sub
numele de relaţiile lui Steiner
47 Variaţia momentrlor de inerţie faţă de axe rotite
Direcţii principale şi momente de inerţie principale
Fie suprafaţa plană din figura 48 de arie 119860 pe care considerăm o suprafaţă
elementară de arie 119889119860 Pentru sistemul de axe 119911119874119910 se cunosc momentele de inerţie
119868119911 119868119910 119868119911119910 şi vom determina relaţiile de calcul pentru momentele de inerţie afererent unui
sistem de axe 11991111198741199101 rotit cu un unghi faţă de sistemul central
Faţă de sistemul de axe 11991111198741199101 elementul de arie 119889119860 are coordonatele
1199101 = 119875119877 = 119875119876 minus 119877119876 = 119910 ∙ cos 120572 minus 119911 ∙ sin 120572
1199111 = 119873119872 = 119873119875 minus 119875119872 = 119911 ∙ cos 120572 + 119910 ∙ sin 120572 (432)
Fig 47 Variaţia momentelor de inerţie față de axe rotite
Pe baza relaţiilor de calcul ale momentelor de inerţie şi a notaţiilor din figura 42
şi ale relaţiilor (432) momentele de inerţie faţă de sistemul de axe rotit 11991111198741199101 sunt
1198681199111 =119868119911 + 119868119910
2+119868119911 minus 119868119910
2∙ cos 2120572 minus 119868119911119910 ∙ sin 2120572 (433)
1198681199101 =119868119911 + 119868119910
2minus119868119911 minus 119868119910
2∙ cos 2120572 + 119868119911119910 ∙ sin 2120572 (434)
11986811991111199101 =119868119911 minus 119868119910
2∙ sin 2120572 + 119868119911119910 ∙ cos 2120572 (435)
Din relaţiile 433divide435 se observă că icircntre momentele de inerţie axiale şi cele
polare există relaţia
1198681199111 + 1198681199101 = 119868119911 + 119868119910 = 119868119901 (436)
adică suma momentelor de inerţie axiale icircn raport cu orice pereche de axe ortogonale
care trec printr-un pol dat este o constantă şi egală cu momentul de inerţie polar
Prin rotirea sistemului de axe din relaţiile 433divide435 rezultă că momentele de inerţie
variază icircnsă suma lor rămacircne constantă deci există o poziţie a sistemului de axe pentru
care momentele de inerţie au valori extreme maxim respectiv minim
471 Direcţii principale de inerţie
Valoarea unghiului 120572 pentru care momentele de inerţie axiale au valori extreme
este
1205721 =1
2∙ 119886119903119888119905119886119899 (minus
2 ∙ 119868119911119910
119868119911 minus 119868119910) (437)
Poziţia celeilalte direcţii este perpendiculară pe cea dată de unghiul 1205721
Din relaţia (437) se constată că faţă de aceste direcţii rotite pentru care momentele
de inerţie axiale prezintă valori extreme momentul de inerţie centrifugal 11986811991111199101este nul
Atunci se poate afirma că momentele de inerţie axiale au valori extreme icircn raport cu
direcţiile faţă de care momentul de inerţie centrifugal este nul Aceste direcţii se numesc
direcţii principale iar momentele de inerţie faţă de aceste direcţii poartă numele de
momente de inerţie principale
Icircn calculele de rezistenţă interesează icircn mod special poziţia direcţiilor principale
care trec prin centrul de greutate al suprafeţei aşa numitele direcţii principale centrale şi
evident momentele de inerţie principale centrale
Direcţiile principale de inerţie se notează cu 1 respectiv 2 Axa principală 1
corespunde direcţiei faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea maximă iar
axa principală 2 pentru direcţia faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea
minimă
472 Momente de inerţie principale
Momentele de inerţie principale se notează cu litera 119868 la care se pune indicele 1
sau 2 după cum valoarea acestuia este maximă sau minimă deci avem un moment de
inerţie principal 1 (notat 1198681) respectiv moment de inerţie principal 2 (notat 1198682)
Expresiile pentru momentele de inerţie principale sunt
11986812 =119868119911 + 119868119910
2plusmn1
2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)
2+ 4 ∙ (119868119911119910)
2 (438)
Dacă momentul de inerţie centrifugal este negativ (119868119911119910 lt 0) direcţia principală
care trece prin primul cadran (definit de sistemul 119911119862119910) este direcţia principală 120783
Pentru suprafeţele cu cel puţin o axă de simetrie direcţiile centrale 119862119911 119862119910 sunt şi
direcții principale de inerţie și evident momentele de inerţie axiale 119868119911 119868119910 sunt momente
de inerţie principale
48 Caracteristici mecanice ale metalelor
Alegerea materialului pentru confecţionarea unei anumite piese se face şi pe baza
aşa numitelor caracteristici mecanice pe care le prezintă materialul Cunoaşterea acestor
caracteristici mecanice are loc numai pe baza unor icircncercări mecanice care să scoată icircn
evidenţă comportarea materialului icircn condiţii de solicitare
Cea mai utilizată icircncercare icircn urma căreia se pun icircn evidenţă caracteristicile
mecanice ale unui material este icircncercarea la tracţiune
481 Icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general
Icircncercarea la tracţiune a oţelului ca de altfel toate icircncercările de materiale este
standardizată
Icircn cele ce urmează se va prezenta numai partea care interesează strict din punct
de vedere al caracteristicilor mecanice ale oţelului
Epruveta de diametru iniţial 1198890 pentru icircncercarea la tracţiune are o porţiune de
lungime 1198710 numită baza de măsurare pe care se măsoară lungirea acesteia sub acţiunea
solicitării
Icircn funcţie de raportul dintre baza de măsurare 1198710 şi diametrul iniţial 1198890 epruvetele
utilizate pentru icircncercări sunt
epruvete normale (scurte) cacircnd 11987101198890 = 5
epruvete lungi cacircnd 11987101198890 = 10
Icircn timpul icircncercării la diferite valori ale forţei 119865 se măsoară lungirea bazei de
măsurare
∆119871 = 120575 = 119871 minus 1198710 (439)
unde
119871 este dimensiunea bazei de măsurare la un moment dat
Curba forţă-lungire (119865 minus ) icircnregistrată icircn urma icircncercării reprezintă curba
caracteristică la tracţiune
La icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general diagrama caracteristică care se
obţine are forma din figura 48
Curba caracteristică la tracţiune depinde de lungimea bazei de măsurare Pentru
icircnlăturarea acestui neajuns curba caracteristică se reprezintă icircn coordonate şi definite
astfel
120590 =119865
1198600 휀 =
120575
1198710 (440)
unde
1198600 este aria iniţială a secţiunii transversale a epruvetei (icircnainte de solicitare) icircn
zona bazei de măsurare
1198600 =120587 ∙ 1198890
2
4
Deoarece mărimile icircn care se reprezintă curba caracteristică la tracţiune sunt
raportate la aria iniţială a secţiunii transversale (mărimi specifice) curba poartă numele
de curbă caracteristică convenţională la tracţiune
Fig 48 Curba caracteristică convenţională la tracțiune
Pe curba caracteristică convenţională la tracţiune figura 48 se pot stabili o serie
de puncte cărora le corespund mai multe mărimi importante
Ordonata punctului A pacircnă unde curba caracteristică convenţională este linie
dreaptă se numeşte limita de proporţionalitate a materialului 120590119901(1205901) Porţiunea 119874119860 este
zona de proporţionalitate a curbei caracteristice pe acest domeniu este valabilă legea lui
Hooke care exprimă o proporţionalitate icircntre tensiune şi deformaţie specifică
120590 = 119864 ∙ 휀 (441)
unde
119864 = reprezintă panta porţiunii liniare a curbei convenționale caracteristice
la tracțiune Caracteristica de material 119864 se numeşte modul de elasticitate longitudinal
(modulul lui Young)
Ordonata punctului 119861 pacircnă unde materialul se comportă perfect elastic adică
după descărcare icircşi recapătă dimensiunea iniţială 1198710 se numeşte limita de elasticitate
120590119890(119877119890) Icircn realitate nici un material nu are comportare perfect elastică sub acţiunea
solicitărilor el capătă deformaţii permanente (remanente plastice)
După punctul 119861 urmează o porţiune 119861119862119863 icircn care cu toate că icircncărcarea
continuă forţa nu mai creşte avacircnd mici oscilaţii icircn jurul unei valori Se spune că icircn
această porţiune materialul curge iar intervalul 119861119862119863 este un palier de curgere Tensiunea
corespunzătoare palierului de curgere se numeşte limită de curgere aparentă 120590119888(119877119888) Limita de curgere aparentă se calculează cu relaţia
120590119888 =1198651198881198600 (442)
unde
119865119888 reprezintă valoarea forţei icircnregistrată icircn momentul curgerii materialului
După punctul 119863 curba caracteristică are un traseu ascendent pacircnă icircn punctul 119864
Porţiunea 119863119864 este numită zonă de icircntărire (ecruisare) Icircn zona de ecruisare unde se
produc deformaţii plastice semnificative legea lui Hooke nu mai este valabilă La
descărcare relaţia dintre tensiunea şi deformaţia specifică este liniară paralelă cu
porţiunea liniară a curbei caracteristice (dreapta 119872119873)
Deformaţia totală (휀119905) are două componente una elastică (휀119890) şi una plastică (휀119901)
Ordonata punctului 119864 reprezintă rezistenţa de rupere 120590119903(119877119898) a materialului
care se poate calcula cu relaţia
120590119903 = 119877119898 =1198651198981198861199091198600
(443)
unde
119865119898119886119909 reprezintă valoarea maximă a forţei icircnregistrată icircn timpul icircncercării
La atingerea valorii 119865119898119886119909 (punctul 119864) icircntr-un anumit loc al epruvetei secţiunea
icircncepe să se micşoreze (se produce gacirctuirea) continuacircnd pacircnă cacircnd se produce ruperea
totală (punctul 119865)
Dacă după ruperea epruvetei cele două părţi rezultate se aşează cap la cap şi se
măsoară dimensiunea bazei de măsurare 119871119906 (lungimea ultimă) se determină alungirea la
rupere sau lungirea specifică la rupere 휀119903
휀119903 =119871119906 minus 11987101198710
=∆119871
1198710=120575
1198710 (444)
De obicei alungirea se exprimă icircn procente şi se notează cu 119860119899 unde 119899 reprezintă
numărul dat de raportul 11987101198890 (epruvete normale 119899 = 5 epruvete lungi 119899 = 10)
119860119899 =119871119906 minus 11987101198710
∙ 100 [] (445)
Altă mărime care se determină la icircncercarea la tracţiune este gacirctuirea la rupere
(exprimată de obicei icircn procente) şi definită de relaţia
119885 =1198600 minus 1198601199061198600
∙ 100 [] (446)
Mărimile determinate limita de proporţionalitate modulul de elasticitate
longitudinal limita de elasticitate limita de curgere aparentă rezistenţa de rupere
alungirea la rupere şi gacirctuirea la rupere sunt cunoscute ca fiind caracteristici mecanice
ale materialului
Din curba caracteristică convenţională observăm faptul că ruperea (punctul 119865 din
figura 48 se produce la o tensiune mai mică decacirct cea corespunzătoare punctului 119864 Dacă
icircnsă forţa din timpul icircncercării s-ar raporta la aria secţiunii din momentul icircnregistrării
forţei (care este mai mică decacirct cea iniţială 1198600) s-ar obţine aşa numita curbă
caracteristică reală a materialului (traseul 1198741198601198611198621198631198651 din figura 48) La curba
caracteristică reală ruperea se produce icircn punctul 1198651 la o icircncărcare mai mare decacirct cea
corespunzătoare punctului 119864 Icircnseamnă că rezistenţa reală la rupere este mai mare decacirct
rezistenţa la rupere dată de punctul 119864 din diagrama caracteristică convenţională
Dificultatea obţinerii diagramei caracteristice reale faţă de cea a diagramei caracteristice
convenţionale şi considerarea unei rezistenţe la rupere mai mică decacirct a celei reale face
icircn practică utilizarea pe scară mare a diagramei caracteristice convenţionale
Caracteristicile mecanice determinate pe baza curbei caracteristice convenţionale
sunt şi ele caracteristici mecanice convenţionale
Caracteristicile mecanice convenţionale limita de proporţionalitate convenţională
120590119901 limita de elasticitate convenţională 120590119890 limita de curgere convenţională 120590119888 şi rezistenţa
de rupere 120590119903 constituie tensiuni limită pentru un material Pe baza acestor caracteristici
de material se alege valoarea tensiunii admisibile 120590119886 (vezi paragraful 35) pentru
calculele de rezistenţă Cea mai utilizată stare limită pentru stabilirea tensiunii admisibile
120590119886 este limita de curgere convenţională 120590119888
120590119886 =120590119897119894119898119888
=120590119888119888 119904119886119906 120590119886 =
120590119903119888 (447)
Caracteristicile mecanice ale materialului sunt influenţate de o serie de factori
temperatura viteza de solicitare factorii tehnologici iar valorile lor sunt date icircn tabele și
diagrame
Aplicaţie Pentru suprafaţa plană compusă din două dreptunghiuri avacircnd
dimensiunile din figura 49a să se calculeze
a) centrul de greutate al secțiunii compuse 119910119866 119911119866
b) momentele de inerție axiale 119868119911 119868119910 și momentul de inerție centrifugal 119868119911119910
c) razele de inerție 119894119911 119894119910
d) modulele de rezistență 119882119911119898119894119899 119882119911119898119886119909 119882119910119898119894119899 119882119910119898119886119909
e) momentele de inerție principale 1198681 1198682 și direcțiile principale de inerție 1205721
f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 119878119911
Fig 49 Aplicație
Rezolvare Pentru rezolvare vom parcurge următoarele etape
icircmpărțim suprafața compusă icircn două suprafețe simple (dreptunghiuri) notate cu
① și respectiv ② figura 49b
poziționăm centrele de greutate a celor două suprafețe simple ① și respectiv ②
notate cu 1198661 și respectiv 1198662 figura 49c
poziționăm sistemele de axe de coordonate 119911111986611199101 pentru dreptunghiul ① și
119911211986621199102 pentru dreptunghiul ② aflate la intersecția diagonalelor figura 49c
poziționăm sistemele de axe de coordonate 11991101198741199100 ales arbitrar față de care
determinăm poziția centrului de greutate 119866 figura 49c
a) calculăm poziția centrului de greutate folosind relațiile (46) icircn care
1198601 = 6119905 ∙ 119905 = 61199052 1198602 = 4119905 ∙ 119905 = 41199052 119860 = 1198601 + 1198602 = 61199052 + 41199052 = 101199052
iar centrele de greutate 1198661 și respectiv 1198662 au coordonatele (față de sistemul 11991101198741199100)
1198661 1199101 = 3119905 1199111 = 05119905
1198662 1199102 = 051199051199112 = 3119905
cu acestea obținem
119910119866 =1198601 ∙ 1199101 + 1198602 ∙ 1199102
119860=61199052 ∙ 3119905 + 41199052 ∙ 05119905
101199052=201199053
101199052= 2119905
119911119866 =1198601 ∙ 1199111 + 1198602 ∙ 1199112
119860=61199052 ∙ 05119905 + 41199052 ∙ 3119905
101199052=151199053
101199052= 15119905
Poziționăm centrul de greutate 119866 al suprafeței compuse figura 49c
Fig 49 Aplicație
b) pentru determinarea momentelor de inerție axiale 119868119911 119868119910 și a momentului de
inerție centrifugal 119868119910119911 determinăm constantele 1198881 1198882 1198891 1198892 care intervin icircn relația lui
Stainer
1198881 = 1199101 minus 119910119866 = 3119905 minus 2119905 = 119905 1198882 = minus(119910119866 minus 1199102) = minus(2119905 minus 05119905) = minus15119905
1198891 = minus(119911119866 minus 1199111) = minus(15119905 minus 05119905) = minus119905 1198892 = 1199112 minus 119911119892 = 3119905 minus 15119905 = 15119905
Folosind relațiile lui Stainer (429) (430) și (431) calculăm momentele de
inerție axiale și centrifugale față de sistemul central 119911119866119866119910119866
119868119911 =sum(119868119911119894 + 1198881198942 ∙ 119860119894) = 1198681199111 + 1198881
2 ∙ 1198601 + 1198681199112 + 11988822 ∙ 1198602
119868119910 =sum(119868119910119894 + 1198891198942 ∙ 119860119894) = 1198681199101 + 1198891
2 ∙ 1198601 + 1198681199102 + 11988922 ∙ 1198602
119868119911119910 =sum(119868119911119894119910119894 + 119888119894 ∙ 119889119894 ∙ 119860119894) = 11986811991111199101 + 1198881 ∙ 1198891 ∙ 1198601 + 11986811991121199102 + 1198882 ∙ 1198892 ∙ 1198602
1198681199111 = (119887 ∙ ℎ3
12) =
119905 ∙ (6119905)3
12= 181199054 1198681199112 = (
119887 ∙ ℎ3
12) =
4119905 ∙ 1199053
12= 031199054
1198681199101 = (1198873 ∙ ℎ
12) =
1199053 ∙ 6119905
12= 051199054 1198681199102 = (
1198873 ∙ ℎ
12) =
(4119905)3 ∙ 119905
12= 531199054
11986811991111199101 = 11986811991121199102 = 0 deoarece cele două triunghiuri au cel puțin o axă de simetrie
Cu acestea momentele de inerție axiale și momentul de inerție centrifugal devin
119868119911 = 181199054 + 1199052 ∙ 61199052 + 031199054 + (minus15119905)2 ∙ 41199052 = 3331199054
119868119910 = 051199054 + (minus119905)2 ∙ 61199052 + 531199054 + (15119905)2 ∙ 41199052 = 2081199054
119868119911119910 = 0 + 119905 ∙ (minus119905) ∙ 61199052 + 0 + (minus15119905) ∙ (15119905) ∙ 41199052 = minus151199054
c) razele de inerție sau de girație față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910
se calculează cu relațiile (411)
119894119911 = radic119868119911119860= radic
3331199054
101199052= 182119905 119894119910 = radic
119868119910
119860= radic
2081199054
101199052= 144119905
d) modulele de rezistență față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910 se
calculează cu relațiile (412) și (413)
Avacircnd icircn vedere figura 419c obținem
119910119898119886119909 = 6119905 minus 119910119866 = 6119905 minus 2119905 = 4119905 119910119898119894119899 = minus119910119866 = minus2119905
119911119898119886119909 = 5119905 minus 119911119866 = 5119905 minus 15119905 = 35119905 119911119898119894119899 = minus119911119866 = minus15119905
Se obține astfel
119882119911119898119894119899 =119868119911
|119910119898119886119909|=3331199054
4119905= 8331199053
119882119911119898119886119909 =119868119911
|119910119898119894119899|=3331199054
2119905= 16651199053
119882119910119898119894119899 =119868119910
|119911119898119886119909|=2081199054
35119905= 5941199053
119882119910119898119886119909 =119868119910
|119911119898119894119899|=2081199054
15119905= 13871199053
e) momentele de inerție principale 1198681 și respectiv 1198682 se calculează cu relațiile
(438)
11986812 =119868119911 + 119868119910
2plusmn1
2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)
2+ 4 ∙ (119868119911119910)
2=
=3331199054 + 2081199054
2plusmn1
2∙ radic(3331199054 minus 2081199054)2 + 4 ∙ (minus151199054)2 = 27051199054 plusmn 16251199054
De unde obținem
1198681 = 27051199054 + 16251199054 = 4331199054
1198682 = 27051199054 minus 16251199054 = 1081199054
Prima direcție principală de inerție 1 face cu axa centrală 119866119911 unghiul 1205721 dat de
relația (437)
1205721 =1
2∙ arctan (minus
2 ∙ 119868119911119910
119868119911 minus 119868119910) =
1
2∙ arctan [minus
2 ∙ (minus151199054)
3331199054 minus 2081199054] =33 70
Deoarece 1205721 gt 0 rotirea axelor se face acircn sens antiorar acelor de ceasornic figura
49d
Poziția axe principale 2 față de care momentul de inerție are valoarea minimă
1198682 = 119868119898119894119899 este dată de unghiul
1205722 = 1205721 + 900 = 33 70 + 900 = 123 70
f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 se determină cu relația
(45)
1198781199111198602 = 1198602 ∙ 1198882 = 41199052 ∙ (minus15119905) = minus61199053
Fig 220 Aplicație
Se observă că cea de-a doua ecuaţie de echilibru conţine două necunoscute
reacţiunile VA şi VB Pentru a calcula componenta VB nu este indicată introducerea lui VA
icircn cea de-a doua ecuaţie a sistemului (A1) pentru că o valoare determinată greşit pentru
VA conduce la o valoare VB de asemenea greşită O ecuaţie independentă din care se poate
determina componenta VB este următoarea
(sumM)A= 0 FV ∙ (a + b + c) minus VB ∙ (a + b) minus M0 + R ∙ 05 ∙ a = 0 (A3)
de unde se obţine
VB =[FV ∙ (a + b + c) minusM0 + R ∙ 05 ∙ a]
(b + a)=[10 ∙ (6 + 4 + 4) minus 40 + 60 ∙ 05 ∙ 6]
(6 + 4)
VB = 28 [kN] (A4)
Ecuaţia de proiecţii ale forţelor pe direcţia verticală (a doua ecuaţie din sistemul
A1) se utilizează pentru verificarea reacţiunilor deja determinate
VA + VB minus R minus FV = 0 rArr 42 + 28 minus 60 minus 10 = 0 (A5)
Ultima egalitate demonstrează că reacţiunile verticale au fost calculate corect
Din cele de mai sus rezultă ordinea firească pentru determinarea reacţiunilor icircn
cazul grinzilor simplu rezemate
sumXi = 0
(sumM)A = 0
(sumM)B = 0
(A6)
iar pentru verificarea componentelor verticale VA şi VB se folosește ecuaţia sumY = 0
b) La stabilirea funcţiilor de eforturi se parcurg icircn general etapele următoare
se notează (numeric sau literal după preferinţă) secţiunile care delimitează
domeniile (intervalele sau tronsoanele) pe care eforturile nu-şi modifică funcţiile (au legi
unice de variaţie)
pe fiecare domeniu se marchează secţiunea imaginară icircn care se stabilesc
funcţiile eforturilor
secţiunea astfel aleasă separă icircn două părţi grinda şi anume porţiunea din stacircnga
şi porţiunea din dreapta secţiunii
se va considera parcursă (şi icircndepărtată) acea parte pe care acţionează mai puţine
sarcini exterioare pentru că acestea vor interveni icircn expresiile funcţiilor de eforturi
poziţiile secţiunilor imaginare se vor determina prin variabilele x1 ⋯ xn (unde
n reprezintă numărul domeniilor de variaţie) cu originea fixată icircn capătul intervalului şi
sensul de parcurgere spre partea considerată rămasă
Grinda prezentată icircn figura 220 are trei domenii de variaţie pentru funcţiile de
eforturi după cum urmează (A-1) (2-B) şi (B-1)
Domeniul (A-1) x1 isin [0 a = 6 m] Porţiunea parcursă şi considerată icircndepărtată este cea de coordonată x1 pe care
acţionează reacţiunile HA şi VA precum şi rezultanta parţială a sarcinii distribuite R1 =p ∙ x1
Funcţia forţă axială Nx are expresia
Nx(x1) = NAminus1 = minusHA = minus173 [kN] = const
(A7)
Funcţia forţă tăietoare Ty are exspresia
Ty(x1) = TAminus1 = VA minus R1 = VA minus p ∙ x1 (A8)
care reprezintă o variaţie liniară de variabilă x1 Se calculează valorile forţei tăietoare la
limitele intervalului de variaţie
- pentru x1 = 0 Ty(x1 = 0) = TA = VA = 42 [kN]
- pentru x1 = a = 6 [m] Ty(x1 = 6) = T1 = VA minus p ∙ a = minus18 [kN]
Observaţie Aşa cum a fost stabilită secţiunea fictivă poziţionată prin coordonata
x1 sar părea că rezultanta R ar trebui luată icircn calculul lui Ty(x1) Acest lucru ar fi greşit
pentru că R = p ∙ a reprezintă rezultanta sarcinii distribuite pe toată lungimea a iar
rezultanta pe porţiunea parcursă de lungime x1 este R1 = p ∙ x1 ne R = p ∙ a
Cu valorile obţinute se trasează diagramele forţelor axială Nx = f(x) şi tăietoare
Ty = f(x) figura 220 Din diagrama forţei tăietoare şi din valorile obţinute analitic se
observă că forţa tăietoare icircşi schimbă semnul pe intervalul analizat deci se anulează pe
acest interval Poziţia secţiunii unde Ty se anulează se determină din ecuaţia
Ty(x1) = 0 rArr VA minus p ∙ x1 = 0 (A9)
cu soluţia x1lowast = ξ = 42 [m] Important de reamintit că icircn această secţiune momentul
icircncovoietor va avea un extrem local adică Miz are un extrem la Ty = 0
Funcţia moment icircncovoietor Miz are expresia
Miz(x1) = VA ∙ x1 minus R1 ∙x12= VA ∙ x1 minus (p ∙ x1) ∙
x12
(A10)
Se observă că funcţia moment icircncovoietor de variabilă x1 are o variaţie parabolică
(gradul al II-lea) Pentru reprezentarea grafică a funcţiei parabolice se calculează valorile
momentului icircncovoietor icircn trei secţiuni
- pentru x1 = 0 Miz(x1 = 0) = MA = 0 [kN ∙ m] - pentru x1 = a = 6 [m] Miz(x1 = 6) = M1 = 72 [kN ∙ m] - pentru x1
lowast = ξ = 42 [m] Miz(x1lowast = ξ = 42 [m]) = Mimax = 882 [kN ∙ m]
Cu acestea se trasează diagrama Miz = f(x) pe intervalul (A-1) figura 220
Observaţie Icircn unele cazuri pe un anumit interval forţa tăietoare nu se anulează
şi momentul icircncovoietor nu are un extrem local Icircn acest caz pentru reprezentarea
variaţiei parabolice a momentului icircncovoietor se va studia semnul derivatei a doua a
funcţiei Miz = f(x1) acesta determinacircnd convexitatea curbei momentului icircncovoietor
Domeniul (2-B) x2 isin [0 c = 4 m] Porţiunile din grindă libere (nerezemate) la un capăt se numesc console iar
stabilirea funcţiilor de eforturi devine mai simplă dacă se consideră icircndepărtată partea din
dreapta secţiunii prin schimbarea sensului pozitiv al axei x Astfel se obţin funcţiile eforturilor
Funcţia forţă axială Nx are expresia
Nx(x2) = N2minusB = minusFH = minus173 [kN] = const
(A11)
Funcţia forţă tăietoare Ty are exspresia
Ty(x2) = T2minusB = FV = 10 [kN] = const (A12)
Funcţia moment icircncovoietor Miz are expresia
Miz(x2) = minusFV ∙ x2 rArr Miz(x2 = 0) = M2 = 0 [kN ∙ m]
Miz(x2 = 4) = MB = minus40 [kN ∙ m] (A13)
variaţie liniară (gradul I)
Domeniul (B-1) x3 isin [0 b = 4 m] Pe acest domeniu se acceptă parcurgerea grinzii de la dreapta adică se consideră
icircndepărtată partea din dreapta secţiunii fictive pentru că are doar două sarcini aplicate F
şi VB faţă de partea din stacircnga secţiunii pe care sunt aplicate trei sarcini p VA şi M0
Astfel se obţin funcţiile eforturilor
Funcţia forţă axială Nx are expresia
Nx(x3) = NBminus1 = minusFH = minus173 [kN] = const
(A14)
Funcţia forţă tăietoare Ty are exspresia
Ty(x3) = TBminus1 = FV minus VB = minus18 [kN] = const (A15)
Funcţia moment icircncovoietor Miz are expresia
Miz(x3) = minusFV ∙ (x3 + c) + VB ∙ x3 rArr
rArr Miz(x3 = 0) = MB = minus40 [kN ∙ m]
Miz(x3 = 4) = M1 = 32 [kN ∙ m]
(A16)
variaţie liniară (gradul I)
Diagramele eforturilor sunt prezentate icircn figura 220
c) Relaţiile diferenţiale dintre eforturi şi sarcini se analizează pe diagramele
eforturilor după cum urmează
sarcina distribuită nu are componentă orizontală adică ph = 0 şi icircn
conformitate cu formula (211) rezultă că Nx = const pe toată lungimea grinzii fapt care
a rezultat din funcţia şi reprezentarea diagramei forţei axiale
pe intervalul (A-1) sarcina distribuită are doar componenta verticală pozitivă
pV = p gt 0 prin urmare forţa tăietoare scade (are panta negativă dTy 119889119909frasl = minusp vezi
relaţia 210) iar momentul icircncovoietor avacircnd derivata a doua negativă d2M119894119911 1198891199092frasl =minuspare convexitatea curbei orientată spre sensul pozitiv al axei momentului Miz adică icircn
jos
pe domeniile (2-B) şi (B-1) deoarece pv = 0 forţa tăietoare Ty este constantă
iar momentul icircncovoietor Miz variază liniar
referitor la relaţia (212) pe porţiunile unde Ty gt 0 momentul Miz este
monoton crescător pe porţiunile unde Ty lt 0 momentul Miz este monoton descrescător
iar icircn secţiunea icircn care Ty = 0 momentul icircncovoietor are un extrem local Mξ =
882 [kN ∙ m] icircn diagrama forţei tăietoare discontinuităţile (salturile) se produc icircn secţiunile
unde acţionează VA VB şi FV iar icircn diagrama momentului icircncovoietor se produce un
singur salt icircn secţiunea icircn care este aplicat M0
se poate scrie
Mξ = suprafața diagramei Ty |ξ0=1
2∙ 42 ∙ 42 = 882 [kN ∙ m]
sau parcurgacircnd grinda de la dreapta la stacircnga rezultă
MB = minussuprafața diagramei Ty |c0= minus10 ∙ 4 = minus40 [kN ∙ m]
Toate aspectele analizate teoretic referitoare la relaţiile diferenţiale dintre eforturi
şi sarcini se regăsesc icircn diagramele de eforturi din figura 220 ceea ce icircnseamnă că
diagramele au fost reprezentate corect
3 TENSIUNI DEPLASĂRI ŞI DEFORMAŢII SPECIFICE
31 Tensiuni
Eforturile obținute icircn urma reducerii forțelor interioare icircn centrul de greutate al
secțiunii nu pot da informații asupra solicitării fiecărui punct al secțiunii respective Este
necesar să se cunoască modul cum se distribuie forțele interioare icircn fiecare punct al
secțiunii pentru a ști care este intensitatea maximă a solicitării Această intensitate
maximă se poate compara cu o valoare critică specifică materialului stabilindu-se astfel
dacă solicitarea este periculoasă sau nu
Mărimea care caracterizează solicitarea locală punctuală o vom denumi tensiune
și o vom defini icircn cele ce urmează Să considerăm partea din dreapta a unui corp solicitat
de forțele exterioare 1198651 1198652 și 1198653 obținută prin secționarea corpului și mărginită de fața
din dreapta Ad a secțiunii Pe secțiunea Ad vom considera un element de arie infinit mic
∆119860 caracterizat de normala la elementul de arie normală care are cosinușii directori
120573 și icircn raport cu un sistem de axe considerat fix Pe elementul infinit mic ∆119860 acționează
forțele interioare care au o rezultantă oarecare figura 31
Prin definiție tensiunea totală este
= lim∆119860rarr0
∆
∆119860 (31)
Tensiunea are aceeaşi direcţie cu forţa elementară ∆ iar mărimea ei este
determinată atacirct de mărimea forţei ∆ cacirct şi de orientarea suprafeţei ∆119860 faţă de direcţia
forţei
Tensiunea 119901 poate fi descompusă icircntr-o componentă orientată după direcţia
normalei la secţiune tensiunea normală notată cu 120590119909 şi o componentă icircn planul secţiunii
tensiunea tangenţială notată cu figura 32
= 119909 + 120591 (32)
Fig 31 Tensiunea totală Fig 32 Tensiunea normală și tangențială
La racircndul ei componenta tensiunii cuprinsă icircn planul secțiunii poate fi
descompusă după direcțiile axelor y și z
120591 = 120591119909119910 + 120591119909119911 (33)
Icircntre cele trei componente ale tensiunii totale care acționează pe elementul de arie
∆119860 este valabilă relația
1199012 = 1205901199092 + 120591119909119910
2 + 1205911199091199112 (34)
După sensul pe care icircl are tensiunea normală 120590 poate avea efect de tracţiune sau
de compresiune exercitat de către partea de corp icircnlăturată asupra părţii rămase Analog
tensiunea tangenţială 120591 poate avea efect de tăiere forfecare sau alunecare Pentru
componentele tensiunii tangențiale 120591119909119910 pe direcţia 119910 respectiv 120591119909119911 pe direcţia 119911 primul
indice indică axa pe care tensiunea este normală iar cel de-al doilea indice indică axa cu
care aceasta este paralel
Tensiunea este o mărime tensorială valoarea ei depinzacircnd atacirct de poziția
punctului icircn planul secțiunii cicirct și de orientarea planului de secționare deci de normala
Operaţiile vectoriale nu pot fi aplicate tensiunilor decacirct după ce acestea au fost icircnmulţite
cu ariile respective adică au fost transformate icircn forţe
Icircn literatura de specialitate mai ales icircn manualele mai vechi pentru noţiunea de
tensiune se mai foloseşte şi denumirea de efort specific
Dacă se consideră un alt element de arie ∆119860 cu centrul icircn același punct avacircnd ca
normală axa 119910 se vor obține alte tensiuni și anume
- 120590119910 este tensiunea normală (paralelă cu axa y)
- 120591119911119909 și 120591119910119911 sunt tensiuni tangențiale paralele cu axele 119909 și respectiv 119911 aflate icircn
planul care are ca normală axa 119910
Dacă icircn jurul unui punct dintr-un corp solicitat se consider un element de volum
infinit mic de forma unui cub icircn cazul cel mai general pe fețele sale vor acționa
tensiunile normale 120590119909 120590119910 și 120590119911 și respectiv tensiunile tangențiale 120591119909119910 120591119909119911 120591119910119909 120591119910119911 120591119911119909
și respectiv 120591119911119910 figura 33 Aceste tensiuni definesc starea de tensiune a punctului
observacircnd faptul că tensorul tensiune are 9 componente Dacă se consideră elementul
de volum finit ca fiind foarte mic se poate presupune că icircn interiorul său nu apar forțe
Ca urmare el va fi icircn echilibru sub acțiunea forțelor elementare produse de tensiunile de
pe fețele sale
Din condiția ca elementul să nu se rotească icircn jurul unor axe care trec prin centrul
său și sunt paralele cu axele sistemului 119909119874119910119911 rezultă
2 ∙ 120591119909119910 ∙ (119889119910 ∙ 119889119911) ∙119889119909
2= 2 ∙ 120591119910119909 ∙ (119889119909 ∙ 119889119911) ∙
119889119910
2 rArr 120591119909119910 = 120591119910119909 (35)
2 ∙ 120591119910119911 ∙ (119889119909 ∙ 119889119911) ∙119889119910
2= 2 ∙ 120591119911119910 ∙ (119889119909 ∙ 119889119910) ∙
119889119911
2 rArr 120591119910119911 = 120591119911119910 (36)
2 ∙ 120591119909119911 ∙ (119889119910 ∙ 119889119911) ∙119889119909
2= 2 ∙ 120591119911119909 ∙ (119889119909 ∙ 119889119910) ∙
119889119911
2 rArr 120591119909119911 = 120591119911119909 (37)
Relațiile (35divide37) 120591119909119910 = 120591119910119909 120591119910119911 = 120591119911119910 120591119909119911 = 120591119911119909 exprimă principiul dualității
tensiunilor tangențiale
Fig 33 Tensiunile normale și tangențiale pe fețele unui cub
Din condiția ca elementul considerat să nu se deplaseze icircn lungul axelor de
coordonate pe fețele opuse acționează aceleași tensiuni normale 120590119909 120590119910 și respectiv 120590119911
Definirea tensorului tensiune este posibilă dacă se cunosc cele 6 componente
independente ale acestuia aflate icircn trei plane perpendicular ce trec prin punctul respectiv
=
120590119909 120591119909119910 120591119909119911120591119910119909 120590119910 120591119910119911120591119911119909 120591119911119910 120590119911
Observaţii
Tensiunile se măsoară icircn [119873 1198982frasl ] (1119873 1198982frasl = 1 119875119886) sau icircn [119872119875119886]
(1 119872119875119886 = 106119875119886 = 106 119873
1198982 1 119872119875119886 = 1
119873
1198981198982)
Starea de tensiune dintr-un punct este considerată cunoscută dacă se cunosc
tensiunile 119901 care acționează pe infinitatea de elemente de suprafață ce trec prin punctual
considerat
Starea de tensiune a unui corp se consider cunoscută dacă se cunosc stările de
tensiune de pe infinitatea de puncte ale corpului considerat
32 Deplasări Deformaţii specifice
321 Deplasări
Aceste noțiuni sunt utile icircn analiza aspectului geometric al problemelor de rezistența
materialelor Deplasările care se analizează sunt cele datorate schimbării formei și
dimensiunilor corpurilor ca urmare a acțiunii forțelor exterioare și nu cele cinematice
posibile pentru solidul rigid care se poate deplasa cu anumită viteză și accelerație
Spre exemplu icircn figura 34a și figura 34b sub acțiunea forței 119865 tronsonul de
bară AB se deformează icircn timp ce tronsonul BC deși punctele sale au deplasări rămacircne
nedeformat (fiind nesolicitat) Toate punctele de pe axele barelor cu excepția celor din
icircncastrare (secțiunile A) au deplasări liniare De cele mai multe ori deformațiile barelor
datorate acțiunii forțelor exterioare se anulează la icircndepărtarea forțelor se spune că
deformațiile sunt elastice Secțiunile transversale ale barei din figura 34a se și rotesc icircn
raport cu pozițiile lor inițiale Spre exemplu secțiunea de căpăt cu centrul icircn C se rotește
cu unghiul
Fig 34 Deformațiile unei grinzi
Oricacirct de complexă ar fi delormația unui corp ea poate fi descrisă de lungiri sau
scurtări și de modificări ale unghiurilor inițiale
Deplasările măsoară schimbarea poziției unui punct al corpului și pot fi liniare
sau unghiulare
Prin deplasare liniară a unui punct se icircnțelege drumul parcurs de acest punct icircn
decursul procesului de deformație după o dreaptă suport dreapta 1198611198611 din figura 34a
Prin deplasare unghiulară se icircnțelege rotirea dintre segmentele de dreaptă
determinate de două puncte ale corpului icircnainte și după deformarea acestuia unghiul
pe care-l fac segmentele 119861119862 și 11986111198621 din figura 34a Această rotire se măsoară prin
unghiul pe care-l fac proiecțiile dreptelor ce conțin cele două segmente icircntr-un sistem
triortogonal
Icircn cazul cel mai general vectorul deplasare liniară se poate descompune icircntr-un
sistem triortogonal icircn trei componente 119906 119907 și 119908 figura 35
Fig 35 Deplasarea liniară
Se consideră acum un corp solid raportat la un sistem de axe ortogonal 119909119874119910119911
figura 35 după deformarea corpului un punct oarecare 119870 al acestuia se deplasează icircn
poziţia 1198701 vectorul 1198701198701 poartă numele de vectorul deplasării totale
Deplasarea totală este suma deplasărilor pe cele trei direcţii ortogonale iar
aceste deplasări se notează astfel
deplasarea pe direcţia 119909 cu ∥ 119874119909
deplasarea pe direcţia 119910 cu ∥ 119874119910
deplasarea pe direcţia 119911 cu ∥ 119874119911
Componentele deplasărilor și formeză matricea deplasărilor liniare 119906119907119908
322 Deformații
Prin deformație icircn general se icircnțelege orice schimbare de formă a unui corp fără
o evaluare cantitativă Icircn Rezistența Materialelor deformația măsoară variația
dimensiunilor geometrice ale corpului considerat din vecinătatea unui punct analog
deplasărilor deformațiile pot fi liniare și unghiulare (lunecări)
Fig 36 Deplasarea liniară
Deformația liniară ∆119897 reprezintă variația lungimii 119897 a unui element liniar al
corpului deformat figura 36 Deformația liniară specifică se definește ca fiind raportul
dintre deformația liniară și lungimea inițială
휀 =∆119897
119897 (38)
unde ∆119897 este lungirea sau scurtarea care este echivalentă cu deformția liniară totală iar
este alungirea
Deformația unghiulară sau lunecarea unui punct 119860 icircn planul 119861119860119862 se definește
prin relația figura 37
120574 = lim119861119860rarr0119862119860rarr0
(119861119860 minus 119861111986011198621 ) (39)
Fig 36 Deformația unghiulară
Schimbacircnd orientarea planului care trece prin 119860 se obțin alte deformații
unghiulare Dacă elementele liniare 119861119860 și 119862119860 sunt inițial perpendiculare deformația 120574 se
numește deformație unghiulară specifică sau lunecare specifică figura 37
Un exemplu de deplasare unghiulară și de deformație unghiulară este prezentat icircn
figura 38 Unghiul este deplasarea unghiulară și măsoară rotirea relativă dintre două
secțiuni aflate la distanța 119897 Unghiul este deformația specifică unghiulară (lunecarea
specifică) din punctul 119870 Aceste deplasări și deformații se obțin icircn urma solicitării barei
de către cele două momente 1198720 egale și de sens contrar
Fig 38 Deplasarea unghiulară
Pentru a analiza starea de deformație din vecinătatea unui punct al unui corp
solicitat complex se decupează din jurul punctului un element de volum mic figura 39a
avacircnd laturile 119889119909 119889119910 și 119889119911 Ca urmare a solicitării laturile acestuia se vor lungi sau
scurta Reprezentarea elementului deformat icircn spațiu este dificilă pentru simplificare
vom analiza doar deformațiile din planul 119909119874119910 Observăm că dimensiunile 119889119909 și 119889119910 s-au
modificat cu valoarea ∆119889119909 respectiv cu ∆119889119910 analog se acceptă și pentru 119889119911 o modificare
de forma ∆119889119911 Astfel se pot defini deformațiile specifice liniare
휀119909 =∆119889119909
119889119909 휀119910 =
∆119889119910
119889119910 휀119911 =
∆119889119911
119889119911 (310)
De cele mai multe ori aceste deformații specifice liniare se pot exprima procentual
și se mai numesc alungiri
Fig 39 Starea de deformație
Icircn figura 39c se vede că unghiul inițial drept dintre muchiile 119889119909 și 119889119910 ale
elementului de volum s-a modificat Se definește deformația specifică unghiulară (sau
lunecarea specifică) mărimea cu care se modifică unghiul inițial drept
120574119909119910 = 120574119909119910prime + 120574119910119909
prime = 120574119910119909120574119910119911 = 120574119910119911
prime + 120574119911119910prime = 120574119911119910
120574119911119909 = 120574119911119909prime + 120574119909119911
prime = 120574119909119911
(311)
Deformațiile 휀119909 휀119910 휀119911 120574119909119910 120574119910119911 120574119911119909 constituie cele șase componente
independente ale tensorului deformațiilor specifice care pot fi scrise de forma
119863 =
휀119909 120574119909119910 120574119909119911120574119910119909 휀119910 120574119910119911120574119911119909 120574119911119910 휀119911
(312)
323 Contracţia transversală
Practica arată că odată cu lungirea unei bare apare o micşorare a mărimii secţiunii
transversale mărime numită contracţie transversală figura 310
Fig 310 Contracția transversală
Contracţia transversală este proporţională cu lungirea specifică coeficientul de
proporţionalitate se notează cu 120599 şi se numeşte coeficient de contracţie transversală sau
coeficientul lui Poisson
La o lungire specifică a barei contracţia transversală este dată de relația
휀119905119903 = 휀119910 = 휀119911 = minus120599 ∙ 휀119909 (313)
Semnul minus bdquo-rdquo arată că cele două mărimi sunt contrare dacă una creşte cealaltă
scade şi invers
Considerăm o bară cilindrică de lungime 119897 şi aria secţiunii transversale 119860 solicitată
la icircntindere axială La un moment dat datorită solicitării lungimea barei devine
[119897 ∙ (1 + 휀)] diametrul devine [119889 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)] iar aria secţiunii transversale devine
[119860 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)2] Dacă volumul barei icircnainte de solicitare a fost (119860 ∙ 119897) după solicitare
acesta devine
119881 + ∆119881 = 119860 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)2 ∙ 119897 ∙ (1 + 휀) =
= 119860 ∙ 119897 ∙ (1 + 휀 minus 2 ∙ 120599 ∙ 휀 minus 2 ∙ 120599 ∙ 휀2 + 1205992 ∙ 휀2 + 1205992 ∙ 휀3) (314)
Deoarece lungirile sunt foarte mici ultimii trei termeni din paranteză fiind infinit mici se pot neglija obţinacircnd
119881 + ∆119881 = 119860 ∙ 119897 + 119860 ∙ 119897 ∙ 휀 ∙ (1 minus 2 ∙ 120599) ⟺ ∆119881 = 휀 ∙ (1 minus 2 ∙ 120599) ∙ 119860 ∙ 119897 (315)
Practica arătă că o astfel de bară solicitată la icircntindere icircşi măreşte volumul deci
∆119881 gt 0 de unde rezultă că
1 minus 2 ∙ 120599 gt 0 rArr 120599 lt 05 (316)
Pentru majoritatea materialelor 120599 = 033 iar pentru materialele care-şi păstrează
volumul constant 120599 = 05
33 Relaţii de echivalenţă icircntre eforturi şi tensiuni
Considerăm un element de suprafață infinit mic 119889119860 situat pe fața de arie (119860) a
secțiunii barei din figura 311 Icircn centrul de greutate 119862 al secțiunii acționează eforturile
119873 119879119910 119879119911 119872119909 119872119894119910 și 119872119894119911 determinate prin metoda secțiunilor
Icircn raport cu un sistem de axe de referință 119909119862119910119911 coordonatele elementului 119889119860 sunt
- 119910 este ordonata elementului de arie 119889119860
- 119911 este abscisa elementului de arie 119889119860
Pe elementul de arie 119889119860 acționează tensiunile
120590119909 tensiunea normală
120591119909119910 și 120591119909119911 tensiuni tangențiale
Dacă se icircnsumează forțele elementare de tipul 120590119909 ∙ 119889119860 120591119909119910 ∙ 119889119860 și 120591119909119911 ∙ 119889119860
va trebui să obținem eforturile 119873 119879119910 și 119879119911
Fig 311 Element de suprafață mic din secțiunea unei bare
Dacă eforturile sunt privite ca forțe exterioare și se scriu ecuațiile de
echilibru ale secțiunii (119860) se vor obține șase relații de echivalență icircntre eforturi și
tensiuni
(sum119883) = 0 rArr int 120590119909 ∙ 119889119860
119860
= 119873 (317)
(sum119884) = 0 rArr int 120591119909119910 ∙ 119889119860
119860
= 119879119910 (318)
(sum119885) = 0 rArr int 120591119909119911 ∙ 119889119860
119860
= 119879119911 (319)
(sum119872)119909= 0 rArr int(120591119909119911 ∙ 119889119860) ∙ 119910
119860
minus int(120591119909119910 ∙ 119889119860) ∙ 119911
119860
= 119872119909 rArr
rArr int(119910 ∙ 120591119909119911 minus 119911 ∙ 120591119909119910) ∙ 119889119860
119860
= 119872119909
(320)
(sum119872)119910= 0 rArr int(120590119909 ∙ 119889119860) ∙ 119911
119860
= 119872119894119910 (321)
(sum119872)119911= 0 rArr int(120590119909 ∙ 119889119860) ∙ 119910
119860
= 119872119894119911 (322)
Cele șase relații de echivalență icircntre eforturi și tensiuni constituie un pas icircnainte
icircn rezolvarea unei probleme de rezistența materialelor Aceste relații vor permite
determinarea tensiunilor maxime
Pentru a rezolva cele 6 relații de echivalență trebuie să se cunoască tensiunile și
ca funcții de punct adică funcții de forma
120590119909 = 120590119909(119909 119910 119911) 120591119909119910 = 120591119909119910(119909 119910 119911) 120591119909119911 = 120591119909119911(119909 119910 119911) (32
3)
Cunoașterea acestor funcții presupune icircnsă analizarea aspectului geometric al
problemei precum și utilizarea unor ipoteze simplificatoare care să permită simplificarea
problemelor
34 Ipoteze de bază icircn rezistenţa materialelor
Depășirea dificultăților legate de interpretarea unor fenomene specifice mecanicii
solidului deformabil a impus acceptarea unor ipoteze care să simplifice fenomenele și să
contribuie la elaborarea unor modele de calcul cicirct mai generale și cacirct mai simple Aceste
ipoteze se referă la structura materialelor şi la comportarea lor sub acţiunea forţelor
exterioare Ipotezele acceptate trebuie să fie icircn deplină concordanţă cu realitatea și să
conducă la rezultate verificate icircn practică
Funcție de aspectele la care se referă ipotezele pot fi
Ipoteze fizice (de material)
Ipoteze de calcul
341 Ipoteze fizice
Se acceptă deoarece teoriile structurale au condus la rezultate care contravin
icircncercărilor experimentale
Ipoteza mediului continuu consideră că orice domeniu elementar al corpului
este ocupat de materie adică nu se acceptă existența unor goluri sau a unor crăpături
microscopice (fisuri) Deși nu corespunde realităţii poate fi acceptată deoarece
dimensiunile corpului sunt mult mai mari decacirct dimensiunile particulelor elemantare Are
avantajul că permite utilizarea proprietăților matematice ale funcțiilor continue pentru
tensiunile și deformațiile din orice punct al corpului Ea este mai apropiată de realitate la
corpurile amorfe şi mai depărtată la cele cristaline dar conduce la rezultate satisfăcătoare
icircn calculele de rezistenţă
Ipoteza nu se poate aplica la corpurile care au goluri tăieturi (multiplu conexe)
pentru unele puncte singulare icircn care tensiunile și deformațiile tind la infinit sau icircn unele
probleme de plasticitate icircn care proprietățile de material au un rol esențial
Ipoteza izotropiei conform acestei ipoteze materialul din care este confecționat
un element de rezistență are aceleași proprietăți după orice direcție un astfel de material
este considerat izotrop Din punct de vedere macroscopic metalele pot fi considerate
izotrope deși la nivel microscopic proprietățile lor diferă de la o direcție cristalografică
la alta Orice conglomerat de cristale poate fi considerat izotrop
Există cazuri cacircnd această ipoteză a izotropiei nu se acceptă
la metalele puternic deformate după o direcție (prin laminare trefilare)
la piesele confecționate din lemn lemnul este anizotrop deoarece proprietățile sale
diferă după două direcții (icircn lungul fibrelor și perpendicular pe această direcție)
Ipoteza omogenității consideră că un corp are aceleași proprietăți icircn orice
punct al său Deși majoritatea materialelor utilizate icircn tehnică sunt eterogene la scară
micro fiind constituite din mai multe faze cu proprietăți diferite la scară macro ele pot
fi considerate omogene Omogenitatea și izotropia sunt proprietăți statistice medii care
nu se condiționează una pe cealaltă Chiar și materialele monofazice pot avea la scară
micro unele segregații care le fac eterogene
Ipoteza elasticităţii perfecte presupune că atacircta timp cacirct solicitările nu
depăşesc anumite limite materialul are o comportare elastică adică icircşi recapătă forma şi
dimensiunile iniţiale odată cu icircnlăturarea sarcinilor Icircn realitate materialele nu prezintă o
elasticitate perfectă ele avacircnd deformaţii remanente mici care icircnsă pot fi neglijate icircn
calculele de rezistenţă
Acceptarea acestei ipoteze a elasticității perfecte permite
- aplicarea relației biunivoce icircntre tensiuni și deformații relație exprimată de legea
lui Hooke ( = 119864 ∙ 휀) unde E este un factor de proporţionalitate numit modul de
elasticitate longitudinal al materialului pentru oţel 119864 = 21 ∙ 105 [119872119875119886] - acceptarea valabilității afirmației bdquolucrul mecanic efectuat de forțele exterioare
ca urmare a parcurgerii deplasărilor punctelor de aplicație se icircnmagazinează integral icircn
corp sub formă de energie de deformație energie cedată la icircndepărtarea sarcinilorrdquo
- este valabilă teoria conform căreia bdquoenergia icircnmagazinată și deformațiile depind
doar de starea inițială și finală de eforturi fără a ține cont de modul icircn care s-a ajuns la
starea finalărdquo
Icircn realitate oricacirct de mici ar fi sarcinile aplicate se produc și deformații plastice
dar acestea pot fi neglijate dacă solicitarea nu depășește anumite limite
342 Ipoteze de calcul
Ipoteza micilor deplasări bdquodeplasările datorate deformării sunt mult mai mici
decacirct dimensiunile corpurilor și ca urmare pot fi neglijate produsele dintre o deplasare și
ea icircnsăşirdquo Pentru cele mai multe corpuri deformaţiile elastice sunt de mărimi mici deci
corpurile solide sub acţiunea sarcinilor icircşi modifică foarte puţin forma iniţială Această
ipoteză este cunoscută şi sub denumirea de ipoteza menţinerii dimensiunilor iniţiale Ea
permite scrierea ecuaţiilor de echilibru ale staticii pe starea nedeformată a elementului
cacircnd nu se iau icircn considerare deplasările punctelor de aplicaţie ale forţelor care se produc
ca urmare a deformării acestuia Calculul efectuat pe schema nedeformată poartă numele
de calcul de ordinul I
Ipoteza micilor deplasări nu poate fi acceptată pentru studiul problemelor de
stabilitate sau la problemele la care nu pot fi icircndeplinite condiţiile de echilibru icircn starea
nedeformată
Calculul de ordinul II admite ipoteza micilor deplasări dar ecuaţiile de echilibru
se scriu icircnsă pentru starea deformată a elementului de rezistenţă
Calculul de ordinul III nu mai acceptă ipoteza micilor deplasări el referindu-se
la cazul deformaţiilor mari cacircnd ecuaţiile de echilibru trebuie scrise pentru starea
deformată
Chiar dacă materialul satisface legea lui Hooke icircn urma calculelor de ordinul II
se obţin de obicei relaţii neliniare icircntre sarcini şi deplasări iar pentru calculul de ordinul
III rezultă ecuaţii diferenţiale neliniare
Principiul efectului local al acțiunii sarcinilor enunțat de Barre de Saint-
Venant Acest principiu destul de folosit icircn Rezistenţa Materialelor precizează că dacă
se icircnlocuiesc forţele care acţionează asupra unui element de suprafață al unui corp
elastic printr-un alt sistem de forţe echivalent din punct de vedere static cu primul noua
distribuţie a forţelor produce la locul de aplicare diferenţe semnificative faţă de prima
dar rămacircne fără efect sau cu efect neglijabil la distanţe mari de locul de aplicare al
forţelor figura 312
Ca o cosecință o sarcină uniform distribuită figura 312a poate fi icircnlocuită cu
rezultanta ei figura 312b dacă se analizează efectul sarcinii la distanță mare de locul icircn
care se aplică sarcina
Fig 312 Principiul Saint-Venant
Icircn prima variantă figura 312a forţa 119865 se aplică pe o porțiune oarecare 119897 (sarcină
uniform distribuită) iar icircn a doua figura 312b icircntru-un punct (forţă concentrată) La
locul de aplicare a sarcinii efectul asupra barei este cu totul diferit de la o variantă la
cealaltă Icircnsă la o distanţă mare de punctul de aplicaţie spre exemplu icircn secţiunea situată
la distanţa 119886 de capătul barei sau chiar icircn icircncastrare ambele bare sunt solicitate la fel
Icircn cazul din figura 312a
119872119894(119909) =119901 ∙ 1199092
2 119909 le 119897 119872119894(119909) = 119901 ∙ 119897 ∙ (119909 minus
119897
2) 119909 gt 119897 (324)
Icircn cazul din figura 312b
119872119894(119909) = 0 119909 lt119897
2 119872119894(119909) = 119901 ∙ 119897 ∙ (119909 minus
119897
2) 119909 gt
119897
2 (325)
Se vede că pentru (119909 gt 119897) adică după depășirea locului icircn care se aplică sarcina
efectul este același
Ipoteza lui Bernoulli sau ipoteza secţiunilor plane precizează că o secţiune
plană şi normală pe axa barei icircnainte de deformare rămacircne plană şi normală pe axa
barei şi după deformare figura 313
Fig 313 Ipoteza lui Bernoulli
Ipoteza stării naturale a corpului sau ipoteza absenţei tensiunilor conform
căreia pentru un corp nesolicitat starea de tensiune şi deformaţie este nulă
Perfecţionarea mijloacelor de calcul şi de investigare pot conduce la renunţarea la
unele ipoteze sau la introducerea altora noi mai aproape de stările reale De aici rezultă
caracterul de continuă perfecţionare a metodelor Rezistenţei Materialelor
35 Coeficienţi de siguranţă Tensiuni admisibile
O piesă corespunde din punct de vedere tehnic dacă tensiunile care iau naştere icircn
interiorul piesei datorită sarcinilor aplicate nu depăşesc anumite valori limită stabilite
convenţional Aceste valori limită ale tensiunii sunt corelate cu caracteristicile mecanice
ale materialelor
Tensiunea limită utilizată icircn calculele de rezistenţă este cunoscută sub denumirea
de tensiune admisibilă sau rezistenţă admisibilă Rezistenţa admisibilă reprezintă
valoarea convenţională aleasă icircn calcul pe baza practicii pentru tensiunea maximă care
poate apare icircntr-o piesă icircn condiţii date de material şi solicitare
Rezistenţa admisibilă (120590119886 sau 120591119886) poate fi definită faţă de o stare limită
periculoasă stare care trebuie evitată deoarece poate conduce distrugere
120590119886 =120590119897119894119898119888
(326)
unde
120590119897119894119898 este tensiunea corespunzătoare stării limită periculoase
119888 estesupraunitar 119888 gt 1 și reprezintă coeficientul de siguranţă faţă de starea limită
periculoasă considerată
Alegerea unor valori inferioare pentru rezistenţa admisibilă faţă de tensiunea
corespunzătoare stării limită periculoase este necesară deoarece
cunoaşterea sarcinilor este de cele mai multe ori aproximativă şi o depăşire a
acestora este foarte posibilă
caracteristicile mecanice ale materialelor variază icircn limite destul de mari ele
fiind influenţate de mulţi factori
schema aleasă pentru calcul (aplicarea sarcinilor schematizarea structurii
ipotezele de calcul etc) depărtează modelul faţă de cel real
Pentru calculele de verificare tensiunea efectivă maximă din elementul de
rezistenţă trebuie să fie mai mică sau cel mult egală cu cea admisibilă
120590119890119891119898119886119909 le 120590119886 (327)
Valoarea rezistenţei admisibile este influenţată de foarte mulţi factori natura
materialului tratamentele termice aplicate piesei durata de funcţionare a piesei modul
de acţionare icircn timp a sarcinilor felul solicitării temperatura gradul de periculozitate
icircn cazul cedării piesei etc
De asemenea valoarea coeficientului de siguranţă se alege icircn principal ţinacircnd
seama de aceiaşi factori care influenţează şi rezistenţa admisibilă
Rezistenţele admisibile pentru cacircteva materiale sunt următoarele
pentru oțelul de uz general OL37 solicitat la icircntindere compresiune sau
icircncovoiere 120590119886 = 150 [119872119875119886] pentru lemnul de brad solicitat la
- compresiune icircn lungul fibrelor şi solicitat la icircncovoiere 120590119886 = 10 [119872119875119886] - tracţiune icircn lungul fibrelor 120590119886 = 7 [119872119875119886] - compresiune perpendiculară pe fibre 120590119886 = 15 [119872119875119886] - forfecare icircn lungul fibrelor 120591119886 = 2 [119872119875119886] - forfecare perpendiculară pe fibre 120590119886 = 45 [119872119875119886]
terenuri de fundaţie din pămacircnt uscat sau umed 120590119886 = 020 divide 025 [119872119875119886]
4 CARACTERISTICI GEOMETRICE ALE SECȚIUNILOR PLANE
41 Noţiuni introductive
Icircn relaţiile de calcul ale tensiunilor şi deformaţiilor elementelor de rezistenţă
pentru unele solicitări (icircncovoierea și torsiunea) secțiunile plane intervin atacirct prin
dimensiunile lor (aria 119860) cicirct și prin forma și poziția pe care o are secțiunea icircn raport cu
planul solicitării Mărimile care caracterizează o secțiune icircn raport cu forma și poziția față
de axele unui sistem de referință sunt denumite caracteristici geometrice de ordin
superior Aria secțiunii este caracteristica geometrică ce depinde doar de dimensiunile
geometrice ale acesteia
Să considerăm o grindă solicitată de o forță exterioară 119865 aşezată icircn două poziții icircn
raport cu planul forţei figura 41 Icircn urma aplicării forței deși avem aceeași grindă
(aceeași arie a secțiunii transversale) și aceeași forță se constată că pentru varianta din
figura 41a deformațiile sunt mult mai mari adică rezistența la icircncovoiere a grinzii din
figura 41a este mai mare decacirct icircn cazul grinzii din figura 41b Comportarea diferită se
explică prin aceea că modificarea poziţiei secţiunii transversale faţă de planul forţelor
modifică caracteristicile geometrice ale secţiunii transversale a grinzii
Fig 41 Grindă solicitată de forța 119865
Pentru realizarea calculelor de rezistenţă şi rigiditate este foarte importantă
cunoaşterea caracteristicilor geometrice ale suprafeţei secţiunii transversale a elementelor
de rezistenţă
Caracteristicile geometrice ale secţiunii transversale a unui element de rezistenţă
sunt
- aria secțiunii notată cu 119860
- momentul static icircn raport cu o axă notat 119878119911 și respectiv 119878119910
- momentul de inerție care poate fi
axial notat 119868119911 și respectiv 119868119910
centrifugal notat 119868119911119910
polar notat 119868119901
- raza de inerţie (giraţie)notată 119894119911 și respectiv 119894119910
- modulul de rezistență care poate fi
axial notat 119882119911 și respectiv 119882119910
polar notat 119882119901
42 Aria și momentul static al suprafețelor plane
Fie o suprafaţă plană de arie 119860 pe care se ia un element infinit mic de arie 119889119860 şi
un sistem de axe rectangulare 119911119874119910 figura 42 Notăm cu 119862 centrul de greutate al suprafeţei
119860 Poziţia suprafeţei elementare 119889119860 faţă de acelaşi sistem de coordonate 119911119874119910 este dată
de abscisa 119911 ordonata 119910 și raza polară
Fig 42 Suprafață plană de arie 119860
Aria suprafeţei 119860 figura 42 se defineşte ca fiind
119860 ≝ int 119889119860
119860
(41)
Aria suprafeţei este icircntotdeauna pozitivă și se măsoară icircn [1198981198982] Momentul static al suprafeţei de arie 119860 icircn raport cu axele 119874119911 și respectiv 119874119910
figura 42 sunt date de relaţiile
119878119911 ≝ int 119910 ∙ 119889119860
119860
119878119910 ≝ int 119911 ∙ 119889119860
119860
(42)
Momentul static poate fi pozitiv negativ sau nul şi se măsoară icircn [1198981198983] Coordonatele centrului de greutate ale suprafeței 119860 se detrmină cu relațiile
119910119862 ≝int 119910 ∙ 119889119860119860
119860 119911119862 ≝
int 119911 ∙ 119889119860119860
119860
(43)
Cunoscacircnd coordonatele 119910119862 și 119911119862 ale centrului de greutate 119862 al secțiunii 119860 atunci
momentele statice se pot determina cu relațiile
119878119911 ≝ int 119910 ∙ 119889119860
119860
= 119910119862 ∙ 119889119860 119878119910 ≝ int 119911 ∙ 119889119860
119860
= 119911119862 ∙ 119889119860 (44)
Aceste relații arată că momentul static al unei suprafețe icircn raport cu o axă este
egal cu produsul dintre aria suprafeței și distanța de la centrul ariei la axa respectivă
Dacă suprafaţa se poate descompune icircn 119899 suprafeţe simple la care se cunosc ariile
(1198601 1198602 ⋯ 119860119894⋯ 119860119899) și poziţiile centrelor de greutate 119862119894 faţă de sistemul de referinţă
expresiile momentelor statice capătă următoarea formă
119878119911 = sum 119910119862119894 ∙ 119860119894119899119894=1 = 119910119862 ∙ 119860 119878119910 = sum 119911119862119894 ∙ 119860119894
119899119894=1 = 119911119862 ∙ 119860 (45)
Din relaţiile (45) rezultă că poziţia centrului de greutate 119862 al unei suprafeţe
compuse poate fi determinată cu relaţiile
119910119862 = (sum119910119862119894 ∙ 119860119894
119899
119894=1
) 119860frasl 119911119862 = (sum119911119862119894 ∙ 119860119894
119899
119894=1
) 119860frasl (46)
Icircn relația (45) 119910119862119894 și respectiv 119911119862119894 reprezintă coordonatele centrelor de greutate 119862119894
ale fiecărei suprafețe simple 119860119894 icircn raport sistemul de axe 119911119874119910
Se constată (relaţia 42) că dacă axele sistemului de referinţă trec prin centrul de
greutate (119910119862 = 119911119862 = 0) momentele statice sunt nule Axele icircn raport cu care momentele
statice sunt nule şi care trec prin centrul de greutate al suprafeţei se numesc axe centrale
Observație dacă secțiunea compusă are o axă de simetrie centrul secțiunii se
găsește pe acea axă iar dacă secțiunea este dublu simetrică poziția centrului secțiunii este
la intersecția axelor de simetrie
43 Momente de inerţie
Momentele de inerţie axiale ale unei suprafețe se calculează icircn raport cu axele de
coordonate 119874119911 și respectiv 119874119910 figura 42 și se determină cu relațiile
119868119911 ≝ int 1199102 ∙ 119889119860
119860
119868119910 ≝ int 1199112 ∙ 119889119860
119860
(47)
Unde 119910 și 119911 sunt distanțele de la elementul de arie 119889119860 la cele două axe de
coordonate 119874119911 și respectiv 119874119910
Momentele de inerţie axiale se măsoară icircn [1198981198984] şi sunt icircntotdeauna pozitive (aria
119889119860 este icircntotdeauna pozitivă și este multiplicată cu patratul distanței 1199102 dacă 119868119911 sau 119868119910
sunt nule icircnseamnă ca secțiunea nu există)
Momentele de inerție axiale se calculează icircndeosebi pentru axele centrale (care
trec prin centrul secțiunii) deoarece icircn raport cu acele axe 119868119911 și 119868119910 au valori minime
Momentul de inerţie centrifugal calculat faţă ambele axe ale sistemului de
referinţă 119911119874119910 este definit de relația
119868119911119910 ≝ int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860
(48)
Momentul de inerţie centrifugal se măsoară icircn [1198981198984] şi poate fi pozitiv negativ
sau nul
Momentul de ineție centrifugal este nul 119868119911119910 = 0 dacă cel puțin una din axele 119874119911
sau 119874119910 este axă de simetrie pentru secțiune
Se consideră o suprafaţă dreptunghiulară pe care faţă de axa de simetrie 119874119910 se iau
două suprafeţe elementare de arie 119889119860 simetrice faţă de axa 119874119910 figura 43
Fig 43 Suprafață dreptunghiulară cu două arii elementare 119889119860
Făcacircnd suma momentelor de inerţie centrifugale pentru cele două suprafeţe
elementare 119889119860 (din stacircnga şi din dreapta faţă de axa 119874119910) se obţine
int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860119889119903
+ int (minus119911) ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860119904119905119892
= int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860119889119903
minus int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860119904119905119892
= 0 (49)
Acelaşi raţionament se poate face și pentru icircntreaga suprafaţă de unde obținem că
momentul de inerție centrifugal este nul 119868119911119910 = 0 Deci pentru o suprafaţă plană care
are cel puţin o axă de simetrie momentul de inerţie centrifugal faţă de sistemul care
conţine acea axă de simetrie este nul
Momentul de inerţie polar al unei suprafeţei icircn raport cu un punct (pol) 119874 figura
42 este definit prin relaţia
1198680 = 119868119901 ≝ int 1205882 ∙ 119889119860
119860
= int(1199102 + 1199112) ∙ 119889119860
119860
= 119868119911 + 119868119910 (410)
unde este distanţa de la polul 119874 la elementul de arie 119889119860 Momentul de inerţie polar se
măsoară icircn [1198981198984] şi este totdeauna pozitiv
Momentul de inerţie polar este egal cu suma momentelor de inerţie faţă de două axe
perpendiculare oarecare şi care trec prin polul considerat
Razele de giraţie sau razele de inerţie sunt mărimi calculate icircn raport cu axele
secțiunii și definite de relaţiile
119894119911 ≝ radic119868119911119860 119894119910 = radic
119868119910
119860 (411)
Se exprimă icircn [119898119898] şi sunt icircntotdeauna pozitive Semnificația unei raze de inerție
este distanța la care dacă ar fi concentrată icircntreaga arie s-ar obține același moment de
inerție ca și cel calculat pentru aria reală
44 Modulul de rezistenţă
Modulul de rezistență se calculează icircn raport cu axele de referință sau icircn raport cu
un pol figura 42 și pot fi axiale (119882119911119882119910) sau polar (119882119901) și se determină numai pe baza
momentelor de inerţie cu relațiile figura 43
119882119911119898119894119899 ≝119868119911119910119898119886119909
119882119911119898119886119909 ≝119868119911119910119898119894119899
(412)
119882119910119898119894119899 ≝119868119910
119911119898119886119909 119882119910119898119886119909 ≝
119868119910
119911119898119894119899 (413)
119882119901 ≝119868119901
120588119898119886119909 (414)
unde
119910119898119886119909 119910119898119894119899 reprezintă distanţa de la axa 119874119911 la punctele extreme cele mai
depărtate respectiv cele mai apropiate ale suprafeţei de această axă
119911119898119886119909 119911119898119894119899 reprezintă distanţa de la axa 119874119910 la punctele extreme cele mai
depărtate respectiv cele mai apropiate ale suprafeţei de această axă
120588119898119886119909 reprezintă distanța maximă de la polul 119874 la punctul secțiunii cel mai
icircndepărtat de acesta
Fig 43 Suprafață dreptunghiulară cu două arii elementare 119889119860
Modulele de rezistenţă se exprimă icircn [1198981198983] şi sunt icircntotdeauna pozitive
Explicația este aceea că momentele de inerție care intră icircn relațiile de definiție sunt
pozitive iar distanțele la punctele extreme sunt pozitive (119910119898119886119909 119910119898119894119899 119911119898119886119909 119911119898119894119899 120588119898119886119909 se
iau icircn valoare absolută)
Icircn cazul suprafeţelor compuse modulul de rezistenţă nu se obţine prin icircnsumarea
algebrică a modulelor de rezistenţă ale suprafeţelor simple componente ci numai prin
intermediul momentului de inerţie axial calculat pentru icircntreaga secțiune
Ca și momentele de inerție modulele de rezistență se calculează numai pentru
sistemele de axe centrale
45 Momente de inerţie şi module de rezistenţă pentru suprafeţe simple
451 Secțiune dreptunghiulară
Fie suprafaţa dreptunghiulară din figura 44 de icircnălțime ℎ și lățime 119887 pe care se
consideră suprafaţă elementară de arie 119889119860 = 119887119889119910 la distanța 119910 de axa 119862119911 sistemul de
axe 119911119862119910 trece prin centrul secțiunii iar axele sunt axe de simetrie pentru dreptunghi
Fig 44 Suprafață dreptunghiulară
Pe baza relațiilor de definiți a momentului de inerție 119868119911 se obține
119868119911 ≝ int 1199102 ∙ 119889119860
119860
= int 1199102 ∙ 119887 ∙ 119889119910 = 2int 1199102 ∙ 119887 ∙ 119889119910 = 2 ∙ 119887 ∙1199103
3|ℎ 2frasl
0rArr
ℎ 2frasl
0
ℎ 2frasl
minusℎ 2frasl
rArr 119868119911 =119887 ∙ ℎ3
12
(415)
Analog pentru un element de arie 119889119860 = ℎ ∙ 119889119911 paralel cu axa 119862119910 situat la distanța
119911 de axa 119862119910
119868119910 ≝ int 1199112 ∙ 119889119860
119860
= int 1199112 ∙ ℎ ∙ 119889119911 = 2int 1199112 ∙ ℎ ∙ 119889119910 = 2 ∙ ℎ ∙1199113
3|119887 2frasl
0rArr
119887 2frasl
0
119887 2frasl
minus119887 2frasl
rArr 119868119910 =1198873 ∙ ℎ
12
(416)
Deoarece axele 119862119911 și 119862119910 sunt axe de simetrie momentul de inerție centrifugal este
119868119911119910 = 0 (417)
Pentru un pătrat avacircnd laturile egale (ℎ = 119887 = 119886) momentele de inerţie faţă de
axele centrale au expresia
119868119911 = 119868119910 =1198864
12 (418)
Modulele de rezistență axiale se calculează cu relațiile de definiție ținacircnd cont că
distanțele pacircnă la fibrele extreme sunt
119910119898119886119909 = 119910119898119894119899 =ℎ
2 119911119898119886119909 = 119911119898119894119899 =
119887
2 (419)
Obținem
119882119911119898119894119899 = 119882119911119898119886119909 =119868119911
119910119898119886119909119898119894119899=119887 ∙ ℎ3
12frasl
ℎ2frasl
=119887 ∙ ℎ2
6
119882119910119898119894119899 = 119882119910119898119886119909 =119868119910
119911119898119886119909119898119894119899=1198873 ∙ ℎ
12frasl
1198872frasl
=1198872 ∙ ℎ
6
(420)
452 Suprafaţă circulară
Din motive de simetrie pentru suprafeţele circulare momentele de inerţie faţă de
orice diametru (care reprezintă şi axe centrale) sunt aceleaşi
Considerăm o secțiune circulară plină cu diametrul 119889 și centrul de greutate 119862 Prin
centrul de greutate 119862 trece sistemul de axe ortogonal 119911119862119910 figura 45
Fig 45 Suprafață circulară
La distanța de centrul de greutate 119862 vom lua un element de suprafață mic de arie
(119889119860) de forma unui inel de grosime 119889 Elementul de arie 119889119860 are expresia
119889119860 = (2 ∙ 120587 ∙ 120588) ∙ (119889120588)
Pornind de la relația de definiție a momentului de inerție polar obținem
119868119901 ≝ int 1205882 ∙ 119889119860
119860
= int 1205882 ∙ (2 ∙ 120587 ∙ 120588) ∙ 119889120588
119903=119889 2frasl
0
= 2 ∙ 120587 ∙1205884
4|119889 2frasl0 rArr
rArr 119868119901 =120587 ∙ 1198894
32
(421)
Secțiunea este perfect simetrică deci sunt valabile relațiile
119868119911 = 119868119910 rArr 119868119901 = 119868119911 + 119868119910 = 2 ∙ 119868119911 = 2 ∙ 119868119910 =119868119901
2=120587 ∙ 1198894
64 (422)
Și modulele de rezistenţă faţă de orice diametru sunt egale şi se calculează cu
relaţiile
119882119911 = 119882119910 =1198681199111198892frasl=120587 ∙ 1198893
32 (423)
Modulul de rezistenţă polar este
119882119901 =1198681199011198892frasl=120587 ∙ 1198893
16 (424)
453 Secţiune inelară
Calculul momentelor de inerţie axiale pentru o secţiune inelară avacircnd diametrul
interior 119889 şi diametrul exterior 119863 se determină analog pentru suprafaţa circulară plină cu
observaţia că integrala pentru calculul momentului de inerție polar 119868119901 se face icircntre
limitele 119903 = 119889 2frasl şi R= 1198632frasl (icircntre raza interioară 119903 şi raza exterioară 119877) figura 46
Se obţin relaţiile
119868119901 =120587 ∙ 1198634
32∙ [1 minus (
119889
119863)4
] =120587 ∙ 1198634
32∙ (1 minus 1198964) (425)
119868119910 = 119868119910 =120587 ∙ 1198634
64∙ [1 minus (
119889
119863)4
] =120587 ∙ 1198633
64∙ (1 minus 1198964) (426)
Fig 46 Secțiune inelară
119882119901 =120587 ∙ 1198633
16∙ [1 minus (
119889
119863)4
] =120587 ∙ 1198633
16∙ (1 minus 1198964) (427)
119882119911 = 119882119910 =120587 ∙ 1198633
32∙ [1 minus (
119889
119863)4
] =120587 ∙ 1198633
32∙ (1 minus 1198964) (428)
unde 119896 = 119889119863frasl
46 Variaţia momentelor de inerţie faţă de axe paralele
( Relațiile lui STEINER)
Se consideră o suprafaţă oarecare de arie 119860 cu elementul de arie 119889119860 și un sistemul
de axe central 119911119862119910 faţă de care se cunosc momentele de inerţie 119868119911 119868119910 119868119911119910 şi considerăm
un sistem de axe 11991111198741199101 paralele cu sistemul central figura 47 Se pune problema
determinării momentele de inerţie 1198681199111 1198681199101 11986811991111199101 faţă de sistemul de axe paralel cu sistemul
central 11991111198741199101 axe aflate la distanţele 119910119862 = 119888 respectiv 119911119862 = 119889 de acesta
461 Momente de inerţie axiale
Pe baza relaţiilor de definire şi a notaţiilor din figura 42 pentru momentele de
inerţie faţă de axele 1198741199111 1198741199101 se poate scrie
1198681199111 = int 11991012 ∙ 119889119860
119860
= int(119910 + 119888)2 ∙ 119889119860
119860
= int 1199102 ∙ 119889119860
119860
+ 2 ∙ 119888 ∙ int 119910 ∙ 119889119860
119860
+
+1198882int 119889119860
119860
rArr 1198681199111 = 119868119911 + 2 ∙ 119888 ∙ 119878119911 + 1198882 ∙ 119860 hArr 1198681199111 = 119868119911 + 119888
2 ∙ 119860
(429)
Fig 47 Variaţia momentelor de inerţie față de axe paralele
S-a ajuns la relația (429) deoarece momentul static 119878119911 este nul deoarece axa 119862119885
este axă centrală
Pentru momentul de inerție axial icircn raport cu axa 1198741199101 se obține
1198681199101 = int 11991112 ∙ 119889119860
119860
= int(119911 + 119889)2 ∙ 119889119860
119860
= int 1199112 ∙ 119889119860
119860
+ 2 ∙ 119889 ∙ int 119911 ∙ 119889119860
119860
+
+1198892 ∙ int 119889119860
119860
rArr 1198681199101 = 119868119910 + 2 ∙ 119889 ∙ 119878119910 + 1198892 ∙ 119860 hArr 1198681199101 = 119868119910 + 119889
2 ∙ 119860
(430)
Pentru momentul de inerție centrifugal obținem
11986811991111199101 = int 1199101 ∙ 1199111 ∙ 119889119860
119860
= int(119910 + 119888) ∙ (119911 + 119889) ∙ 119889119860
119860
= int 119910 ∙ 119911 ∙ 119889119860 +
119860
+119888 ∙ int 119911 ∙ 119889119860
119860
+ 119889 ∙ int 119910 ∙ 119889119860
119860
rArr 11986811991111199101 = 119868119911119910 + 119888 ∙ 119889 ∙ 119860
(431)
Deoarece
int 119911 ∙ 119889119860
119860
= 119878119910 = 0 int 119910 ∙ 119889119860
119860
= 119878119911 = 0 int 119910 ∙ 119911 ∙ 119889119860
119860
= 119868119911119910
Relaţiile (429) şi (430) arată că momentul de inerţie faţă de o axă oarecare
este egal cu momentul de inerţie faţă de o axă paralelă cu ea trecacircnd prin centrul de
greutate la care se adaugă produsul dintre aria suprafeţei şi pătratul distanţei dintre
cele două axe
Din relaţiile (429) și (430) rezultă de asemenea că momentul de inerţie faţă de o
axă centrală (care trece prin centrul de greutate) este cel mai mic dintre infinitatea de
momente de inerţie obținute faţă de alte axe paralele cu ea
Relaţia (431) arată de asemenea că momentul de inerţie centrifugal faţă de un
sistem de axe oarecare este egal cu momentul de inerţie centrifugal faţă de un sistem
paralele cu el trecacircnd prin centrul de greutate a suprafeţei la care se adaugă produsul
dintre aria suprafeţei şi distanţele dintre axele sistemelor respective
Icircn literatura de specialitate relaţiile (429) (430) şi (431) sunt cunoscute sub
numele de relaţiile lui Steiner
47 Variaţia momentrlor de inerţie faţă de axe rotite
Direcţii principale şi momente de inerţie principale
Fie suprafaţa plană din figura 48 de arie 119860 pe care considerăm o suprafaţă
elementară de arie 119889119860 Pentru sistemul de axe 119911119874119910 se cunosc momentele de inerţie
119868119911 119868119910 119868119911119910 şi vom determina relaţiile de calcul pentru momentele de inerţie afererent unui
sistem de axe 11991111198741199101 rotit cu un unghi faţă de sistemul central
Faţă de sistemul de axe 11991111198741199101 elementul de arie 119889119860 are coordonatele
1199101 = 119875119877 = 119875119876 minus 119877119876 = 119910 ∙ cos 120572 minus 119911 ∙ sin 120572
1199111 = 119873119872 = 119873119875 minus 119875119872 = 119911 ∙ cos 120572 + 119910 ∙ sin 120572 (432)
Fig 47 Variaţia momentelor de inerţie față de axe rotite
Pe baza relaţiilor de calcul ale momentelor de inerţie şi a notaţiilor din figura 42
şi ale relaţiilor (432) momentele de inerţie faţă de sistemul de axe rotit 11991111198741199101 sunt
1198681199111 =119868119911 + 119868119910
2+119868119911 minus 119868119910
2∙ cos 2120572 minus 119868119911119910 ∙ sin 2120572 (433)
1198681199101 =119868119911 + 119868119910
2minus119868119911 minus 119868119910
2∙ cos 2120572 + 119868119911119910 ∙ sin 2120572 (434)
11986811991111199101 =119868119911 minus 119868119910
2∙ sin 2120572 + 119868119911119910 ∙ cos 2120572 (435)
Din relaţiile 433divide435 se observă că icircntre momentele de inerţie axiale şi cele
polare există relaţia
1198681199111 + 1198681199101 = 119868119911 + 119868119910 = 119868119901 (436)
adică suma momentelor de inerţie axiale icircn raport cu orice pereche de axe ortogonale
care trec printr-un pol dat este o constantă şi egală cu momentul de inerţie polar
Prin rotirea sistemului de axe din relaţiile 433divide435 rezultă că momentele de inerţie
variază icircnsă suma lor rămacircne constantă deci există o poziţie a sistemului de axe pentru
care momentele de inerţie au valori extreme maxim respectiv minim
471 Direcţii principale de inerţie
Valoarea unghiului 120572 pentru care momentele de inerţie axiale au valori extreme
este
1205721 =1
2∙ 119886119903119888119905119886119899 (minus
2 ∙ 119868119911119910
119868119911 minus 119868119910) (437)
Poziţia celeilalte direcţii este perpendiculară pe cea dată de unghiul 1205721
Din relaţia (437) se constată că faţă de aceste direcţii rotite pentru care momentele
de inerţie axiale prezintă valori extreme momentul de inerţie centrifugal 11986811991111199101este nul
Atunci se poate afirma că momentele de inerţie axiale au valori extreme icircn raport cu
direcţiile faţă de care momentul de inerţie centrifugal este nul Aceste direcţii se numesc
direcţii principale iar momentele de inerţie faţă de aceste direcţii poartă numele de
momente de inerţie principale
Icircn calculele de rezistenţă interesează icircn mod special poziţia direcţiilor principale
care trec prin centrul de greutate al suprafeţei aşa numitele direcţii principale centrale şi
evident momentele de inerţie principale centrale
Direcţiile principale de inerţie se notează cu 1 respectiv 2 Axa principală 1
corespunde direcţiei faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea maximă iar
axa principală 2 pentru direcţia faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea
minimă
472 Momente de inerţie principale
Momentele de inerţie principale se notează cu litera 119868 la care se pune indicele 1
sau 2 după cum valoarea acestuia este maximă sau minimă deci avem un moment de
inerţie principal 1 (notat 1198681) respectiv moment de inerţie principal 2 (notat 1198682)
Expresiile pentru momentele de inerţie principale sunt
11986812 =119868119911 + 119868119910
2plusmn1
2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)
2+ 4 ∙ (119868119911119910)
2 (438)
Dacă momentul de inerţie centrifugal este negativ (119868119911119910 lt 0) direcţia principală
care trece prin primul cadran (definit de sistemul 119911119862119910) este direcţia principală 120783
Pentru suprafeţele cu cel puţin o axă de simetrie direcţiile centrale 119862119911 119862119910 sunt şi
direcții principale de inerţie și evident momentele de inerţie axiale 119868119911 119868119910 sunt momente
de inerţie principale
48 Caracteristici mecanice ale metalelor
Alegerea materialului pentru confecţionarea unei anumite piese se face şi pe baza
aşa numitelor caracteristici mecanice pe care le prezintă materialul Cunoaşterea acestor
caracteristici mecanice are loc numai pe baza unor icircncercări mecanice care să scoată icircn
evidenţă comportarea materialului icircn condiţii de solicitare
Cea mai utilizată icircncercare icircn urma căreia se pun icircn evidenţă caracteristicile
mecanice ale unui material este icircncercarea la tracţiune
481 Icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general
Icircncercarea la tracţiune a oţelului ca de altfel toate icircncercările de materiale este
standardizată
Icircn cele ce urmează se va prezenta numai partea care interesează strict din punct
de vedere al caracteristicilor mecanice ale oţelului
Epruveta de diametru iniţial 1198890 pentru icircncercarea la tracţiune are o porţiune de
lungime 1198710 numită baza de măsurare pe care se măsoară lungirea acesteia sub acţiunea
solicitării
Icircn funcţie de raportul dintre baza de măsurare 1198710 şi diametrul iniţial 1198890 epruvetele
utilizate pentru icircncercări sunt
epruvete normale (scurte) cacircnd 11987101198890 = 5
epruvete lungi cacircnd 11987101198890 = 10
Icircn timpul icircncercării la diferite valori ale forţei 119865 se măsoară lungirea bazei de
măsurare
∆119871 = 120575 = 119871 minus 1198710 (439)
unde
119871 este dimensiunea bazei de măsurare la un moment dat
Curba forţă-lungire (119865 minus ) icircnregistrată icircn urma icircncercării reprezintă curba
caracteristică la tracţiune
La icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general diagrama caracteristică care se
obţine are forma din figura 48
Curba caracteristică la tracţiune depinde de lungimea bazei de măsurare Pentru
icircnlăturarea acestui neajuns curba caracteristică se reprezintă icircn coordonate şi definite
astfel
120590 =119865
1198600 휀 =
120575
1198710 (440)
unde
1198600 este aria iniţială a secţiunii transversale a epruvetei (icircnainte de solicitare) icircn
zona bazei de măsurare
1198600 =120587 ∙ 1198890
2
4
Deoarece mărimile icircn care se reprezintă curba caracteristică la tracţiune sunt
raportate la aria iniţială a secţiunii transversale (mărimi specifice) curba poartă numele
de curbă caracteristică convenţională la tracţiune
Fig 48 Curba caracteristică convenţională la tracțiune
Pe curba caracteristică convenţională la tracţiune figura 48 se pot stabili o serie
de puncte cărora le corespund mai multe mărimi importante
Ordonata punctului A pacircnă unde curba caracteristică convenţională este linie
dreaptă se numeşte limita de proporţionalitate a materialului 120590119901(1205901) Porţiunea 119874119860 este
zona de proporţionalitate a curbei caracteristice pe acest domeniu este valabilă legea lui
Hooke care exprimă o proporţionalitate icircntre tensiune şi deformaţie specifică
120590 = 119864 ∙ 휀 (441)
unde
119864 = reprezintă panta porţiunii liniare a curbei convenționale caracteristice
la tracțiune Caracteristica de material 119864 se numeşte modul de elasticitate longitudinal
(modulul lui Young)
Ordonata punctului 119861 pacircnă unde materialul se comportă perfect elastic adică
după descărcare icircşi recapătă dimensiunea iniţială 1198710 se numeşte limita de elasticitate
120590119890(119877119890) Icircn realitate nici un material nu are comportare perfect elastică sub acţiunea
solicitărilor el capătă deformaţii permanente (remanente plastice)
După punctul 119861 urmează o porţiune 119861119862119863 icircn care cu toate că icircncărcarea
continuă forţa nu mai creşte avacircnd mici oscilaţii icircn jurul unei valori Se spune că icircn
această porţiune materialul curge iar intervalul 119861119862119863 este un palier de curgere Tensiunea
corespunzătoare palierului de curgere se numeşte limită de curgere aparentă 120590119888(119877119888) Limita de curgere aparentă se calculează cu relaţia
120590119888 =1198651198881198600 (442)
unde
119865119888 reprezintă valoarea forţei icircnregistrată icircn momentul curgerii materialului
După punctul 119863 curba caracteristică are un traseu ascendent pacircnă icircn punctul 119864
Porţiunea 119863119864 este numită zonă de icircntărire (ecruisare) Icircn zona de ecruisare unde se
produc deformaţii plastice semnificative legea lui Hooke nu mai este valabilă La
descărcare relaţia dintre tensiunea şi deformaţia specifică este liniară paralelă cu
porţiunea liniară a curbei caracteristice (dreapta 119872119873)
Deformaţia totală (휀119905) are două componente una elastică (휀119890) şi una plastică (휀119901)
Ordonata punctului 119864 reprezintă rezistenţa de rupere 120590119903(119877119898) a materialului
care se poate calcula cu relaţia
120590119903 = 119877119898 =1198651198981198861199091198600
(443)
unde
119865119898119886119909 reprezintă valoarea maximă a forţei icircnregistrată icircn timpul icircncercării
La atingerea valorii 119865119898119886119909 (punctul 119864) icircntr-un anumit loc al epruvetei secţiunea
icircncepe să se micşoreze (se produce gacirctuirea) continuacircnd pacircnă cacircnd se produce ruperea
totală (punctul 119865)
Dacă după ruperea epruvetei cele două părţi rezultate se aşează cap la cap şi se
măsoară dimensiunea bazei de măsurare 119871119906 (lungimea ultimă) se determină alungirea la
rupere sau lungirea specifică la rupere 휀119903
휀119903 =119871119906 minus 11987101198710
=∆119871
1198710=120575
1198710 (444)
De obicei alungirea se exprimă icircn procente şi se notează cu 119860119899 unde 119899 reprezintă
numărul dat de raportul 11987101198890 (epruvete normale 119899 = 5 epruvete lungi 119899 = 10)
119860119899 =119871119906 minus 11987101198710
∙ 100 [] (445)
Altă mărime care se determină la icircncercarea la tracţiune este gacirctuirea la rupere
(exprimată de obicei icircn procente) şi definită de relaţia
119885 =1198600 minus 1198601199061198600
∙ 100 [] (446)
Mărimile determinate limita de proporţionalitate modulul de elasticitate
longitudinal limita de elasticitate limita de curgere aparentă rezistenţa de rupere
alungirea la rupere şi gacirctuirea la rupere sunt cunoscute ca fiind caracteristici mecanice
ale materialului
Din curba caracteristică convenţională observăm faptul că ruperea (punctul 119865 din
figura 48 se produce la o tensiune mai mică decacirct cea corespunzătoare punctului 119864 Dacă
icircnsă forţa din timpul icircncercării s-ar raporta la aria secţiunii din momentul icircnregistrării
forţei (care este mai mică decacirct cea iniţială 1198600) s-ar obţine aşa numita curbă
caracteristică reală a materialului (traseul 1198741198601198611198621198631198651 din figura 48) La curba
caracteristică reală ruperea se produce icircn punctul 1198651 la o icircncărcare mai mare decacirct cea
corespunzătoare punctului 119864 Icircnseamnă că rezistenţa reală la rupere este mai mare decacirct
rezistenţa la rupere dată de punctul 119864 din diagrama caracteristică convenţională
Dificultatea obţinerii diagramei caracteristice reale faţă de cea a diagramei caracteristice
convenţionale şi considerarea unei rezistenţe la rupere mai mică decacirct a celei reale face
icircn practică utilizarea pe scară mare a diagramei caracteristice convenţionale
Caracteristicile mecanice determinate pe baza curbei caracteristice convenţionale
sunt şi ele caracteristici mecanice convenţionale
Caracteristicile mecanice convenţionale limita de proporţionalitate convenţională
120590119901 limita de elasticitate convenţională 120590119890 limita de curgere convenţională 120590119888 şi rezistenţa
de rupere 120590119903 constituie tensiuni limită pentru un material Pe baza acestor caracteristici
de material se alege valoarea tensiunii admisibile 120590119886 (vezi paragraful 35) pentru
calculele de rezistenţă Cea mai utilizată stare limită pentru stabilirea tensiunii admisibile
120590119886 este limita de curgere convenţională 120590119888
120590119886 =120590119897119894119898119888
=120590119888119888 119904119886119906 120590119886 =
120590119903119888 (447)
Caracteristicile mecanice ale materialului sunt influenţate de o serie de factori
temperatura viteza de solicitare factorii tehnologici iar valorile lor sunt date icircn tabele și
diagrame
Aplicaţie Pentru suprafaţa plană compusă din două dreptunghiuri avacircnd
dimensiunile din figura 49a să se calculeze
a) centrul de greutate al secțiunii compuse 119910119866 119911119866
b) momentele de inerție axiale 119868119911 119868119910 și momentul de inerție centrifugal 119868119911119910
c) razele de inerție 119894119911 119894119910
d) modulele de rezistență 119882119911119898119894119899 119882119911119898119886119909 119882119910119898119894119899 119882119910119898119886119909
e) momentele de inerție principale 1198681 1198682 și direcțiile principale de inerție 1205721
f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 119878119911
Fig 49 Aplicație
Rezolvare Pentru rezolvare vom parcurge următoarele etape
icircmpărțim suprafața compusă icircn două suprafețe simple (dreptunghiuri) notate cu
① și respectiv ② figura 49b
poziționăm centrele de greutate a celor două suprafețe simple ① și respectiv ②
notate cu 1198661 și respectiv 1198662 figura 49c
poziționăm sistemele de axe de coordonate 119911111986611199101 pentru dreptunghiul ① și
119911211986621199102 pentru dreptunghiul ② aflate la intersecția diagonalelor figura 49c
poziționăm sistemele de axe de coordonate 11991101198741199100 ales arbitrar față de care
determinăm poziția centrului de greutate 119866 figura 49c
a) calculăm poziția centrului de greutate folosind relațiile (46) icircn care
1198601 = 6119905 ∙ 119905 = 61199052 1198602 = 4119905 ∙ 119905 = 41199052 119860 = 1198601 + 1198602 = 61199052 + 41199052 = 101199052
iar centrele de greutate 1198661 și respectiv 1198662 au coordonatele (față de sistemul 11991101198741199100)
1198661 1199101 = 3119905 1199111 = 05119905
1198662 1199102 = 051199051199112 = 3119905
cu acestea obținem
119910119866 =1198601 ∙ 1199101 + 1198602 ∙ 1199102
119860=61199052 ∙ 3119905 + 41199052 ∙ 05119905
101199052=201199053
101199052= 2119905
119911119866 =1198601 ∙ 1199111 + 1198602 ∙ 1199112
119860=61199052 ∙ 05119905 + 41199052 ∙ 3119905
101199052=151199053
101199052= 15119905
Poziționăm centrul de greutate 119866 al suprafeței compuse figura 49c
Fig 49 Aplicație
b) pentru determinarea momentelor de inerție axiale 119868119911 119868119910 și a momentului de
inerție centrifugal 119868119910119911 determinăm constantele 1198881 1198882 1198891 1198892 care intervin icircn relația lui
Stainer
1198881 = 1199101 minus 119910119866 = 3119905 minus 2119905 = 119905 1198882 = minus(119910119866 minus 1199102) = minus(2119905 minus 05119905) = minus15119905
1198891 = minus(119911119866 minus 1199111) = minus(15119905 minus 05119905) = minus119905 1198892 = 1199112 minus 119911119892 = 3119905 minus 15119905 = 15119905
Folosind relațiile lui Stainer (429) (430) și (431) calculăm momentele de
inerție axiale și centrifugale față de sistemul central 119911119866119866119910119866
119868119911 =sum(119868119911119894 + 1198881198942 ∙ 119860119894) = 1198681199111 + 1198881
2 ∙ 1198601 + 1198681199112 + 11988822 ∙ 1198602
119868119910 =sum(119868119910119894 + 1198891198942 ∙ 119860119894) = 1198681199101 + 1198891
2 ∙ 1198601 + 1198681199102 + 11988922 ∙ 1198602
119868119911119910 =sum(119868119911119894119910119894 + 119888119894 ∙ 119889119894 ∙ 119860119894) = 11986811991111199101 + 1198881 ∙ 1198891 ∙ 1198601 + 11986811991121199102 + 1198882 ∙ 1198892 ∙ 1198602
1198681199111 = (119887 ∙ ℎ3
12) =
119905 ∙ (6119905)3
12= 181199054 1198681199112 = (
119887 ∙ ℎ3
12) =
4119905 ∙ 1199053
12= 031199054
1198681199101 = (1198873 ∙ ℎ
12) =
1199053 ∙ 6119905
12= 051199054 1198681199102 = (
1198873 ∙ ℎ
12) =
(4119905)3 ∙ 119905
12= 531199054
11986811991111199101 = 11986811991121199102 = 0 deoarece cele două triunghiuri au cel puțin o axă de simetrie
Cu acestea momentele de inerție axiale și momentul de inerție centrifugal devin
119868119911 = 181199054 + 1199052 ∙ 61199052 + 031199054 + (minus15119905)2 ∙ 41199052 = 3331199054
119868119910 = 051199054 + (minus119905)2 ∙ 61199052 + 531199054 + (15119905)2 ∙ 41199052 = 2081199054
119868119911119910 = 0 + 119905 ∙ (minus119905) ∙ 61199052 + 0 + (minus15119905) ∙ (15119905) ∙ 41199052 = minus151199054
c) razele de inerție sau de girație față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910
se calculează cu relațiile (411)
119894119911 = radic119868119911119860= radic
3331199054
101199052= 182119905 119894119910 = radic
119868119910
119860= radic
2081199054
101199052= 144119905
d) modulele de rezistență față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910 se
calculează cu relațiile (412) și (413)
Avacircnd icircn vedere figura 419c obținem
119910119898119886119909 = 6119905 minus 119910119866 = 6119905 minus 2119905 = 4119905 119910119898119894119899 = minus119910119866 = minus2119905
119911119898119886119909 = 5119905 minus 119911119866 = 5119905 minus 15119905 = 35119905 119911119898119894119899 = minus119911119866 = minus15119905
Se obține astfel
119882119911119898119894119899 =119868119911
|119910119898119886119909|=3331199054
4119905= 8331199053
119882119911119898119886119909 =119868119911
|119910119898119894119899|=3331199054
2119905= 16651199053
119882119910119898119894119899 =119868119910
|119911119898119886119909|=2081199054
35119905= 5941199053
119882119910119898119886119909 =119868119910
|119911119898119894119899|=2081199054
15119905= 13871199053
e) momentele de inerție principale 1198681 și respectiv 1198682 se calculează cu relațiile
(438)
11986812 =119868119911 + 119868119910
2plusmn1
2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)
2+ 4 ∙ (119868119911119910)
2=
=3331199054 + 2081199054
2plusmn1
2∙ radic(3331199054 minus 2081199054)2 + 4 ∙ (minus151199054)2 = 27051199054 plusmn 16251199054
De unde obținem
1198681 = 27051199054 + 16251199054 = 4331199054
1198682 = 27051199054 minus 16251199054 = 1081199054
Prima direcție principală de inerție 1 face cu axa centrală 119866119911 unghiul 1205721 dat de
relația (437)
1205721 =1
2∙ arctan (minus
2 ∙ 119868119911119910
119868119911 minus 119868119910) =
1
2∙ arctan [minus
2 ∙ (minus151199054)
3331199054 minus 2081199054] =33 70
Deoarece 1205721 gt 0 rotirea axelor se face acircn sens antiorar acelor de ceasornic figura
49d
Poziția axe principale 2 față de care momentul de inerție are valoarea minimă
1198682 = 119868119898119894119899 este dată de unghiul
1205722 = 1205721 + 900 = 33 70 + 900 = 123 70
f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 se determină cu relația
(45)
1198781199111198602 = 1198602 ∙ 1198882 = 41199052 ∙ (minus15119905) = minus61199053
VA + VB minus R minus FV = 0 rArr 42 + 28 minus 60 minus 10 = 0 (A5)
Ultima egalitate demonstrează că reacţiunile verticale au fost calculate corect
Din cele de mai sus rezultă ordinea firească pentru determinarea reacţiunilor icircn
cazul grinzilor simplu rezemate
sumXi = 0
(sumM)A = 0
(sumM)B = 0
(A6)
iar pentru verificarea componentelor verticale VA şi VB se folosește ecuaţia sumY = 0
b) La stabilirea funcţiilor de eforturi se parcurg icircn general etapele următoare
se notează (numeric sau literal după preferinţă) secţiunile care delimitează
domeniile (intervalele sau tronsoanele) pe care eforturile nu-şi modifică funcţiile (au legi
unice de variaţie)
pe fiecare domeniu se marchează secţiunea imaginară icircn care se stabilesc
funcţiile eforturilor
secţiunea astfel aleasă separă icircn două părţi grinda şi anume porţiunea din stacircnga
şi porţiunea din dreapta secţiunii
se va considera parcursă (şi icircndepărtată) acea parte pe care acţionează mai puţine
sarcini exterioare pentru că acestea vor interveni icircn expresiile funcţiilor de eforturi
poziţiile secţiunilor imaginare se vor determina prin variabilele x1 ⋯ xn (unde
n reprezintă numărul domeniilor de variaţie) cu originea fixată icircn capătul intervalului şi
sensul de parcurgere spre partea considerată rămasă
Grinda prezentată icircn figura 220 are trei domenii de variaţie pentru funcţiile de
eforturi după cum urmează (A-1) (2-B) şi (B-1)
Domeniul (A-1) x1 isin [0 a = 6 m] Porţiunea parcursă şi considerată icircndepărtată este cea de coordonată x1 pe care
acţionează reacţiunile HA şi VA precum şi rezultanta parţială a sarcinii distribuite R1 =p ∙ x1
Funcţia forţă axială Nx are expresia
Nx(x1) = NAminus1 = minusHA = minus173 [kN] = const
(A7)
Funcţia forţă tăietoare Ty are exspresia
Ty(x1) = TAminus1 = VA minus R1 = VA minus p ∙ x1 (A8)
care reprezintă o variaţie liniară de variabilă x1 Se calculează valorile forţei tăietoare la
limitele intervalului de variaţie
- pentru x1 = 0 Ty(x1 = 0) = TA = VA = 42 [kN]
- pentru x1 = a = 6 [m] Ty(x1 = 6) = T1 = VA minus p ∙ a = minus18 [kN]
Observaţie Aşa cum a fost stabilită secţiunea fictivă poziţionată prin coordonata
x1 sar părea că rezultanta R ar trebui luată icircn calculul lui Ty(x1) Acest lucru ar fi greşit
pentru că R = p ∙ a reprezintă rezultanta sarcinii distribuite pe toată lungimea a iar
rezultanta pe porţiunea parcursă de lungime x1 este R1 = p ∙ x1 ne R = p ∙ a
Cu valorile obţinute se trasează diagramele forţelor axială Nx = f(x) şi tăietoare
Ty = f(x) figura 220 Din diagrama forţei tăietoare şi din valorile obţinute analitic se
observă că forţa tăietoare icircşi schimbă semnul pe intervalul analizat deci se anulează pe
acest interval Poziţia secţiunii unde Ty se anulează se determină din ecuaţia
Ty(x1) = 0 rArr VA minus p ∙ x1 = 0 (A9)
cu soluţia x1lowast = ξ = 42 [m] Important de reamintit că icircn această secţiune momentul
icircncovoietor va avea un extrem local adică Miz are un extrem la Ty = 0
Funcţia moment icircncovoietor Miz are expresia
Miz(x1) = VA ∙ x1 minus R1 ∙x12= VA ∙ x1 minus (p ∙ x1) ∙
x12
(A10)
Se observă că funcţia moment icircncovoietor de variabilă x1 are o variaţie parabolică
(gradul al II-lea) Pentru reprezentarea grafică a funcţiei parabolice se calculează valorile
momentului icircncovoietor icircn trei secţiuni
- pentru x1 = 0 Miz(x1 = 0) = MA = 0 [kN ∙ m] - pentru x1 = a = 6 [m] Miz(x1 = 6) = M1 = 72 [kN ∙ m] - pentru x1
lowast = ξ = 42 [m] Miz(x1lowast = ξ = 42 [m]) = Mimax = 882 [kN ∙ m]
Cu acestea se trasează diagrama Miz = f(x) pe intervalul (A-1) figura 220
Observaţie Icircn unele cazuri pe un anumit interval forţa tăietoare nu se anulează
şi momentul icircncovoietor nu are un extrem local Icircn acest caz pentru reprezentarea
variaţiei parabolice a momentului icircncovoietor se va studia semnul derivatei a doua a
funcţiei Miz = f(x1) acesta determinacircnd convexitatea curbei momentului icircncovoietor
Domeniul (2-B) x2 isin [0 c = 4 m] Porţiunile din grindă libere (nerezemate) la un capăt se numesc console iar
stabilirea funcţiilor de eforturi devine mai simplă dacă se consideră icircndepărtată partea din
dreapta secţiunii prin schimbarea sensului pozitiv al axei x Astfel se obţin funcţiile eforturilor
Funcţia forţă axială Nx are expresia
Nx(x2) = N2minusB = minusFH = minus173 [kN] = const
(A11)
Funcţia forţă tăietoare Ty are exspresia
Ty(x2) = T2minusB = FV = 10 [kN] = const (A12)
Funcţia moment icircncovoietor Miz are expresia
Miz(x2) = minusFV ∙ x2 rArr Miz(x2 = 0) = M2 = 0 [kN ∙ m]
Miz(x2 = 4) = MB = minus40 [kN ∙ m] (A13)
variaţie liniară (gradul I)
Domeniul (B-1) x3 isin [0 b = 4 m] Pe acest domeniu se acceptă parcurgerea grinzii de la dreapta adică se consideră
icircndepărtată partea din dreapta secţiunii fictive pentru că are doar două sarcini aplicate F
şi VB faţă de partea din stacircnga secţiunii pe care sunt aplicate trei sarcini p VA şi M0
Astfel se obţin funcţiile eforturilor
Funcţia forţă axială Nx are expresia
Nx(x3) = NBminus1 = minusFH = minus173 [kN] = const
(A14)
Funcţia forţă tăietoare Ty are exspresia
Ty(x3) = TBminus1 = FV minus VB = minus18 [kN] = const (A15)
Funcţia moment icircncovoietor Miz are expresia
Miz(x3) = minusFV ∙ (x3 + c) + VB ∙ x3 rArr
rArr Miz(x3 = 0) = MB = minus40 [kN ∙ m]
Miz(x3 = 4) = M1 = 32 [kN ∙ m]
(A16)
variaţie liniară (gradul I)
Diagramele eforturilor sunt prezentate icircn figura 220
c) Relaţiile diferenţiale dintre eforturi şi sarcini se analizează pe diagramele
eforturilor după cum urmează
sarcina distribuită nu are componentă orizontală adică ph = 0 şi icircn
conformitate cu formula (211) rezultă că Nx = const pe toată lungimea grinzii fapt care
a rezultat din funcţia şi reprezentarea diagramei forţei axiale
pe intervalul (A-1) sarcina distribuită are doar componenta verticală pozitivă
pV = p gt 0 prin urmare forţa tăietoare scade (are panta negativă dTy 119889119909frasl = minusp vezi
relaţia 210) iar momentul icircncovoietor avacircnd derivata a doua negativă d2M119894119911 1198891199092frasl =minuspare convexitatea curbei orientată spre sensul pozitiv al axei momentului Miz adică icircn
jos
pe domeniile (2-B) şi (B-1) deoarece pv = 0 forţa tăietoare Ty este constantă
iar momentul icircncovoietor Miz variază liniar
referitor la relaţia (212) pe porţiunile unde Ty gt 0 momentul Miz este
monoton crescător pe porţiunile unde Ty lt 0 momentul Miz este monoton descrescător
iar icircn secţiunea icircn care Ty = 0 momentul icircncovoietor are un extrem local Mξ =
882 [kN ∙ m] icircn diagrama forţei tăietoare discontinuităţile (salturile) se produc icircn secţiunile
unde acţionează VA VB şi FV iar icircn diagrama momentului icircncovoietor se produce un
singur salt icircn secţiunea icircn care este aplicat M0
se poate scrie
Mξ = suprafața diagramei Ty |ξ0=1
2∙ 42 ∙ 42 = 882 [kN ∙ m]
sau parcurgacircnd grinda de la dreapta la stacircnga rezultă
MB = minussuprafața diagramei Ty |c0= minus10 ∙ 4 = minus40 [kN ∙ m]
Toate aspectele analizate teoretic referitoare la relaţiile diferenţiale dintre eforturi
şi sarcini se regăsesc icircn diagramele de eforturi din figura 220 ceea ce icircnseamnă că
diagramele au fost reprezentate corect
3 TENSIUNI DEPLASĂRI ŞI DEFORMAŢII SPECIFICE
31 Tensiuni
Eforturile obținute icircn urma reducerii forțelor interioare icircn centrul de greutate al
secțiunii nu pot da informații asupra solicitării fiecărui punct al secțiunii respective Este
necesar să se cunoască modul cum se distribuie forțele interioare icircn fiecare punct al
secțiunii pentru a ști care este intensitatea maximă a solicitării Această intensitate
maximă se poate compara cu o valoare critică specifică materialului stabilindu-se astfel
dacă solicitarea este periculoasă sau nu
Mărimea care caracterizează solicitarea locală punctuală o vom denumi tensiune
și o vom defini icircn cele ce urmează Să considerăm partea din dreapta a unui corp solicitat
de forțele exterioare 1198651 1198652 și 1198653 obținută prin secționarea corpului și mărginită de fața
din dreapta Ad a secțiunii Pe secțiunea Ad vom considera un element de arie infinit mic
∆119860 caracterizat de normala la elementul de arie normală care are cosinușii directori
120573 și icircn raport cu un sistem de axe considerat fix Pe elementul infinit mic ∆119860 acționează
forțele interioare care au o rezultantă oarecare figura 31
Prin definiție tensiunea totală este
= lim∆119860rarr0
∆
∆119860 (31)
Tensiunea are aceeaşi direcţie cu forţa elementară ∆ iar mărimea ei este
determinată atacirct de mărimea forţei ∆ cacirct şi de orientarea suprafeţei ∆119860 faţă de direcţia
forţei
Tensiunea 119901 poate fi descompusă icircntr-o componentă orientată după direcţia
normalei la secţiune tensiunea normală notată cu 120590119909 şi o componentă icircn planul secţiunii
tensiunea tangenţială notată cu figura 32
= 119909 + 120591 (32)
Fig 31 Tensiunea totală Fig 32 Tensiunea normală și tangențială
La racircndul ei componenta tensiunii cuprinsă icircn planul secțiunii poate fi
descompusă după direcțiile axelor y și z
120591 = 120591119909119910 + 120591119909119911 (33)
Icircntre cele trei componente ale tensiunii totale care acționează pe elementul de arie
∆119860 este valabilă relația
1199012 = 1205901199092 + 120591119909119910
2 + 1205911199091199112 (34)
După sensul pe care icircl are tensiunea normală 120590 poate avea efect de tracţiune sau
de compresiune exercitat de către partea de corp icircnlăturată asupra părţii rămase Analog
tensiunea tangenţială 120591 poate avea efect de tăiere forfecare sau alunecare Pentru
componentele tensiunii tangențiale 120591119909119910 pe direcţia 119910 respectiv 120591119909119911 pe direcţia 119911 primul
indice indică axa pe care tensiunea este normală iar cel de-al doilea indice indică axa cu
care aceasta este paralel
Tensiunea este o mărime tensorială valoarea ei depinzacircnd atacirct de poziția
punctului icircn planul secțiunii cicirct și de orientarea planului de secționare deci de normala
Operaţiile vectoriale nu pot fi aplicate tensiunilor decacirct după ce acestea au fost icircnmulţite
cu ariile respective adică au fost transformate icircn forţe
Icircn literatura de specialitate mai ales icircn manualele mai vechi pentru noţiunea de
tensiune se mai foloseşte şi denumirea de efort specific
Dacă se consideră un alt element de arie ∆119860 cu centrul icircn același punct avacircnd ca
normală axa 119910 se vor obține alte tensiuni și anume
- 120590119910 este tensiunea normală (paralelă cu axa y)
- 120591119911119909 și 120591119910119911 sunt tensiuni tangențiale paralele cu axele 119909 și respectiv 119911 aflate icircn
planul care are ca normală axa 119910
Dacă icircn jurul unui punct dintr-un corp solicitat se consider un element de volum
infinit mic de forma unui cub icircn cazul cel mai general pe fețele sale vor acționa
tensiunile normale 120590119909 120590119910 și 120590119911 și respectiv tensiunile tangențiale 120591119909119910 120591119909119911 120591119910119909 120591119910119911 120591119911119909
și respectiv 120591119911119910 figura 33 Aceste tensiuni definesc starea de tensiune a punctului
observacircnd faptul că tensorul tensiune are 9 componente Dacă se consideră elementul
de volum finit ca fiind foarte mic se poate presupune că icircn interiorul său nu apar forțe
Ca urmare el va fi icircn echilibru sub acțiunea forțelor elementare produse de tensiunile de
pe fețele sale
Din condiția ca elementul să nu se rotească icircn jurul unor axe care trec prin centrul
său și sunt paralele cu axele sistemului 119909119874119910119911 rezultă
2 ∙ 120591119909119910 ∙ (119889119910 ∙ 119889119911) ∙119889119909
2= 2 ∙ 120591119910119909 ∙ (119889119909 ∙ 119889119911) ∙
119889119910
2 rArr 120591119909119910 = 120591119910119909 (35)
2 ∙ 120591119910119911 ∙ (119889119909 ∙ 119889119911) ∙119889119910
2= 2 ∙ 120591119911119910 ∙ (119889119909 ∙ 119889119910) ∙
119889119911
2 rArr 120591119910119911 = 120591119911119910 (36)
2 ∙ 120591119909119911 ∙ (119889119910 ∙ 119889119911) ∙119889119909
2= 2 ∙ 120591119911119909 ∙ (119889119909 ∙ 119889119910) ∙
119889119911
2 rArr 120591119909119911 = 120591119911119909 (37)
Relațiile (35divide37) 120591119909119910 = 120591119910119909 120591119910119911 = 120591119911119910 120591119909119911 = 120591119911119909 exprimă principiul dualității
tensiunilor tangențiale
Fig 33 Tensiunile normale și tangențiale pe fețele unui cub
Din condiția ca elementul considerat să nu se deplaseze icircn lungul axelor de
coordonate pe fețele opuse acționează aceleași tensiuni normale 120590119909 120590119910 și respectiv 120590119911
Definirea tensorului tensiune este posibilă dacă se cunosc cele 6 componente
independente ale acestuia aflate icircn trei plane perpendicular ce trec prin punctul respectiv
=
120590119909 120591119909119910 120591119909119911120591119910119909 120590119910 120591119910119911120591119911119909 120591119911119910 120590119911
Observaţii
Tensiunile se măsoară icircn [119873 1198982frasl ] (1119873 1198982frasl = 1 119875119886) sau icircn [119872119875119886]
(1 119872119875119886 = 106119875119886 = 106 119873
1198982 1 119872119875119886 = 1
119873
1198981198982)
Starea de tensiune dintr-un punct este considerată cunoscută dacă se cunosc
tensiunile 119901 care acționează pe infinitatea de elemente de suprafață ce trec prin punctual
considerat
Starea de tensiune a unui corp se consider cunoscută dacă se cunosc stările de
tensiune de pe infinitatea de puncte ale corpului considerat
32 Deplasări Deformaţii specifice
321 Deplasări
Aceste noțiuni sunt utile icircn analiza aspectului geometric al problemelor de rezistența
materialelor Deplasările care se analizează sunt cele datorate schimbării formei și
dimensiunilor corpurilor ca urmare a acțiunii forțelor exterioare și nu cele cinematice
posibile pentru solidul rigid care se poate deplasa cu anumită viteză și accelerație
Spre exemplu icircn figura 34a și figura 34b sub acțiunea forței 119865 tronsonul de
bară AB se deformează icircn timp ce tronsonul BC deși punctele sale au deplasări rămacircne
nedeformat (fiind nesolicitat) Toate punctele de pe axele barelor cu excepția celor din
icircncastrare (secțiunile A) au deplasări liniare De cele mai multe ori deformațiile barelor
datorate acțiunii forțelor exterioare se anulează la icircndepărtarea forțelor se spune că
deformațiile sunt elastice Secțiunile transversale ale barei din figura 34a se și rotesc icircn
raport cu pozițiile lor inițiale Spre exemplu secțiunea de căpăt cu centrul icircn C se rotește
cu unghiul
Fig 34 Deformațiile unei grinzi
Oricacirct de complexă ar fi delormația unui corp ea poate fi descrisă de lungiri sau
scurtări și de modificări ale unghiurilor inițiale
Deplasările măsoară schimbarea poziției unui punct al corpului și pot fi liniare
sau unghiulare
Prin deplasare liniară a unui punct se icircnțelege drumul parcurs de acest punct icircn
decursul procesului de deformație după o dreaptă suport dreapta 1198611198611 din figura 34a
Prin deplasare unghiulară se icircnțelege rotirea dintre segmentele de dreaptă
determinate de două puncte ale corpului icircnainte și după deformarea acestuia unghiul
pe care-l fac segmentele 119861119862 și 11986111198621 din figura 34a Această rotire se măsoară prin
unghiul pe care-l fac proiecțiile dreptelor ce conțin cele două segmente icircntr-un sistem
triortogonal
Icircn cazul cel mai general vectorul deplasare liniară se poate descompune icircntr-un
sistem triortogonal icircn trei componente 119906 119907 și 119908 figura 35
Fig 35 Deplasarea liniară
Se consideră acum un corp solid raportat la un sistem de axe ortogonal 119909119874119910119911
figura 35 după deformarea corpului un punct oarecare 119870 al acestuia se deplasează icircn
poziţia 1198701 vectorul 1198701198701 poartă numele de vectorul deplasării totale
Deplasarea totală este suma deplasărilor pe cele trei direcţii ortogonale iar
aceste deplasări se notează astfel
deplasarea pe direcţia 119909 cu ∥ 119874119909
deplasarea pe direcţia 119910 cu ∥ 119874119910
deplasarea pe direcţia 119911 cu ∥ 119874119911
Componentele deplasărilor și formeză matricea deplasărilor liniare 119906119907119908
322 Deformații
Prin deformație icircn general se icircnțelege orice schimbare de formă a unui corp fără
o evaluare cantitativă Icircn Rezistența Materialelor deformația măsoară variația
dimensiunilor geometrice ale corpului considerat din vecinătatea unui punct analog
deplasărilor deformațiile pot fi liniare și unghiulare (lunecări)
Fig 36 Deplasarea liniară
Deformația liniară ∆119897 reprezintă variația lungimii 119897 a unui element liniar al
corpului deformat figura 36 Deformația liniară specifică se definește ca fiind raportul
dintre deformația liniară și lungimea inițială
휀 =∆119897
119897 (38)
unde ∆119897 este lungirea sau scurtarea care este echivalentă cu deformția liniară totală iar
este alungirea
Deformația unghiulară sau lunecarea unui punct 119860 icircn planul 119861119860119862 se definește
prin relația figura 37
120574 = lim119861119860rarr0119862119860rarr0
(119861119860 minus 119861111986011198621 ) (39)
Fig 36 Deformația unghiulară
Schimbacircnd orientarea planului care trece prin 119860 se obțin alte deformații
unghiulare Dacă elementele liniare 119861119860 și 119862119860 sunt inițial perpendiculare deformația 120574 se
numește deformație unghiulară specifică sau lunecare specifică figura 37
Un exemplu de deplasare unghiulară și de deformație unghiulară este prezentat icircn
figura 38 Unghiul este deplasarea unghiulară și măsoară rotirea relativă dintre două
secțiuni aflate la distanța 119897 Unghiul este deformația specifică unghiulară (lunecarea
specifică) din punctul 119870 Aceste deplasări și deformații se obțin icircn urma solicitării barei
de către cele două momente 1198720 egale și de sens contrar
Fig 38 Deplasarea unghiulară
Pentru a analiza starea de deformație din vecinătatea unui punct al unui corp
solicitat complex se decupează din jurul punctului un element de volum mic figura 39a
avacircnd laturile 119889119909 119889119910 și 119889119911 Ca urmare a solicitării laturile acestuia se vor lungi sau
scurta Reprezentarea elementului deformat icircn spațiu este dificilă pentru simplificare
vom analiza doar deformațiile din planul 119909119874119910 Observăm că dimensiunile 119889119909 și 119889119910 s-au
modificat cu valoarea ∆119889119909 respectiv cu ∆119889119910 analog se acceptă și pentru 119889119911 o modificare
de forma ∆119889119911 Astfel se pot defini deformațiile specifice liniare
휀119909 =∆119889119909
119889119909 휀119910 =
∆119889119910
119889119910 휀119911 =
∆119889119911
119889119911 (310)
De cele mai multe ori aceste deformații specifice liniare se pot exprima procentual
și se mai numesc alungiri
Fig 39 Starea de deformație
Icircn figura 39c se vede că unghiul inițial drept dintre muchiile 119889119909 și 119889119910 ale
elementului de volum s-a modificat Se definește deformația specifică unghiulară (sau
lunecarea specifică) mărimea cu care se modifică unghiul inițial drept
120574119909119910 = 120574119909119910prime + 120574119910119909
prime = 120574119910119909120574119910119911 = 120574119910119911
prime + 120574119911119910prime = 120574119911119910
120574119911119909 = 120574119911119909prime + 120574119909119911
prime = 120574119909119911
(311)
Deformațiile 휀119909 휀119910 휀119911 120574119909119910 120574119910119911 120574119911119909 constituie cele șase componente
independente ale tensorului deformațiilor specifice care pot fi scrise de forma
119863 =
휀119909 120574119909119910 120574119909119911120574119910119909 휀119910 120574119910119911120574119911119909 120574119911119910 휀119911
(312)
323 Contracţia transversală
Practica arată că odată cu lungirea unei bare apare o micşorare a mărimii secţiunii
transversale mărime numită contracţie transversală figura 310
Fig 310 Contracția transversală
Contracţia transversală este proporţională cu lungirea specifică coeficientul de
proporţionalitate se notează cu 120599 şi se numeşte coeficient de contracţie transversală sau
coeficientul lui Poisson
La o lungire specifică a barei contracţia transversală este dată de relația
휀119905119903 = 휀119910 = 휀119911 = minus120599 ∙ 휀119909 (313)
Semnul minus bdquo-rdquo arată că cele două mărimi sunt contrare dacă una creşte cealaltă
scade şi invers
Considerăm o bară cilindrică de lungime 119897 şi aria secţiunii transversale 119860 solicitată
la icircntindere axială La un moment dat datorită solicitării lungimea barei devine
[119897 ∙ (1 + 휀)] diametrul devine [119889 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)] iar aria secţiunii transversale devine
[119860 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)2] Dacă volumul barei icircnainte de solicitare a fost (119860 ∙ 119897) după solicitare
acesta devine
119881 + ∆119881 = 119860 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)2 ∙ 119897 ∙ (1 + 휀) =
= 119860 ∙ 119897 ∙ (1 + 휀 minus 2 ∙ 120599 ∙ 휀 minus 2 ∙ 120599 ∙ 휀2 + 1205992 ∙ 휀2 + 1205992 ∙ 휀3) (314)
Deoarece lungirile sunt foarte mici ultimii trei termeni din paranteză fiind infinit mici se pot neglija obţinacircnd
119881 + ∆119881 = 119860 ∙ 119897 + 119860 ∙ 119897 ∙ 휀 ∙ (1 minus 2 ∙ 120599) ⟺ ∆119881 = 휀 ∙ (1 minus 2 ∙ 120599) ∙ 119860 ∙ 119897 (315)
Practica arătă că o astfel de bară solicitată la icircntindere icircşi măreşte volumul deci
∆119881 gt 0 de unde rezultă că
1 minus 2 ∙ 120599 gt 0 rArr 120599 lt 05 (316)
Pentru majoritatea materialelor 120599 = 033 iar pentru materialele care-şi păstrează
volumul constant 120599 = 05
33 Relaţii de echivalenţă icircntre eforturi şi tensiuni
Considerăm un element de suprafață infinit mic 119889119860 situat pe fața de arie (119860) a
secțiunii barei din figura 311 Icircn centrul de greutate 119862 al secțiunii acționează eforturile
119873 119879119910 119879119911 119872119909 119872119894119910 și 119872119894119911 determinate prin metoda secțiunilor
Icircn raport cu un sistem de axe de referință 119909119862119910119911 coordonatele elementului 119889119860 sunt
- 119910 este ordonata elementului de arie 119889119860
- 119911 este abscisa elementului de arie 119889119860
Pe elementul de arie 119889119860 acționează tensiunile
120590119909 tensiunea normală
120591119909119910 și 120591119909119911 tensiuni tangențiale
Dacă se icircnsumează forțele elementare de tipul 120590119909 ∙ 119889119860 120591119909119910 ∙ 119889119860 și 120591119909119911 ∙ 119889119860
va trebui să obținem eforturile 119873 119879119910 și 119879119911
Fig 311 Element de suprafață mic din secțiunea unei bare
Dacă eforturile sunt privite ca forțe exterioare și se scriu ecuațiile de
echilibru ale secțiunii (119860) se vor obține șase relații de echivalență icircntre eforturi și
tensiuni
(sum119883) = 0 rArr int 120590119909 ∙ 119889119860
119860
= 119873 (317)
(sum119884) = 0 rArr int 120591119909119910 ∙ 119889119860
119860
= 119879119910 (318)
(sum119885) = 0 rArr int 120591119909119911 ∙ 119889119860
119860
= 119879119911 (319)
(sum119872)119909= 0 rArr int(120591119909119911 ∙ 119889119860) ∙ 119910
119860
minus int(120591119909119910 ∙ 119889119860) ∙ 119911
119860
= 119872119909 rArr
rArr int(119910 ∙ 120591119909119911 minus 119911 ∙ 120591119909119910) ∙ 119889119860
119860
= 119872119909
(320)
(sum119872)119910= 0 rArr int(120590119909 ∙ 119889119860) ∙ 119911
119860
= 119872119894119910 (321)
(sum119872)119911= 0 rArr int(120590119909 ∙ 119889119860) ∙ 119910
119860
= 119872119894119911 (322)
Cele șase relații de echivalență icircntre eforturi și tensiuni constituie un pas icircnainte
icircn rezolvarea unei probleme de rezistența materialelor Aceste relații vor permite
determinarea tensiunilor maxime
Pentru a rezolva cele 6 relații de echivalență trebuie să se cunoască tensiunile și
ca funcții de punct adică funcții de forma
120590119909 = 120590119909(119909 119910 119911) 120591119909119910 = 120591119909119910(119909 119910 119911) 120591119909119911 = 120591119909119911(119909 119910 119911) (32
3)
Cunoașterea acestor funcții presupune icircnsă analizarea aspectului geometric al
problemei precum și utilizarea unor ipoteze simplificatoare care să permită simplificarea
problemelor
34 Ipoteze de bază icircn rezistenţa materialelor
Depășirea dificultăților legate de interpretarea unor fenomene specifice mecanicii
solidului deformabil a impus acceptarea unor ipoteze care să simplifice fenomenele și să
contribuie la elaborarea unor modele de calcul cicirct mai generale și cacirct mai simple Aceste
ipoteze se referă la structura materialelor şi la comportarea lor sub acţiunea forţelor
exterioare Ipotezele acceptate trebuie să fie icircn deplină concordanţă cu realitatea și să
conducă la rezultate verificate icircn practică
Funcție de aspectele la care se referă ipotezele pot fi
Ipoteze fizice (de material)
Ipoteze de calcul
341 Ipoteze fizice
Se acceptă deoarece teoriile structurale au condus la rezultate care contravin
icircncercărilor experimentale
Ipoteza mediului continuu consideră că orice domeniu elementar al corpului
este ocupat de materie adică nu se acceptă existența unor goluri sau a unor crăpături
microscopice (fisuri) Deși nu corespunde realităţii poate fi acceptată deoarece
dimensiunile corpului sunt mult mai mari decacirct dimensiunile particulelor elemantare Are
avantajul că permite utilizarea proprietăților matematice ale funcțiilor continue pentru
tensiunile și deformațiile din orice punct al corpului Ea este mai apropiată de realitate la
corpurile amorfe şi mai depărtată la cele cristaline dar conduce la rezultate satisfăcătoare
icircn calculele de rezistenţă
Ipoteza nu se poate aplica la corpurile care au goluri tăieturi (multiplu conexe)
pentru unele puncte singulare icircn care tensiunile și deformațiile tind la infinit sau icircn unele
probleme de plasticitate icircn care proprietățile de material au un rol esențial
Ipoteza izotropiei conform acestei ipoteze materialul din care este confecționat
un element de rezistență are aceleași proprietăți după orice direcție un astfel de material
este considerat izotrop Din punct de vedere macroscopic metalele pot fi considerate
izotrope deși la nivel microscopic proprietățile lor diferă de la o direcție cristalografică
la alta Orice conglomerat de cristale poate fi considerat izotrop
Există cazuri cacircnd această ipoteză a izotropiei nu se acceptă
la metalele puternic deformate după o direcție (prin laminare trefilare)
la piesele confecționate din lemn lemnul este anizotrop deoarece proprietățile sale
diferă după două direcții (icircn lungul fibrelor și perpendicular pe această direcție)
Ipoteza omogenității consideră că un corp are aceleași proprietăți icircn orice
punct al său Deși majoritatea materialelor utilizate icircn tehnică sunt eterogene la scară
micro fiind constituite din mai multe faze cu proprietăți diferite la scară macro ele pot
fi considerate omogene Omogenitatea și izotropia sunt proprietăți statistice medii care
nu se condiționează una pe cealaltă Chiar și materialele monofazice pot avea la scară
micro unele segregații care le fac eterogene
Ipoteza elasticităţii perfecte presupune că atacircta timp cacirct solicitările nu
depăşesc anumite limite materialul are o comportare elastică adică icircşi recapătă forma şi
dimensiunile iniţiale odată cu icircnlăturarea sarcinilor Icircn realitate materialele nu prezintă o
elasticitate perfectă ele avacircnd deformaţii remanente mici care icircnsă pot fi neglijate icircn
calculele de rezistenţă
Acceptarea acestei ipoteze a elasticității perfecte permite
- aplicarea relației biunivoce icircntre tensiuni și deformații relație exprimată de legea
lui Hooke ( = 119864 ∙ 휀) unde E este un factor de proporţionalitate numit modul de
elasticitate longitudinal al materialului pentru oţel 119864 = 21 ∙ 105 [119872119875119886] - acceptarea valabilității afirmației bdquolucrul mecanic efectuat de forțele exterioare
ca urmare a parcurgerii deplasărilor punctelor de aplicație se icircnmagazinează integral icircn
corp sub formă de energie de deformație energie cedată la icircndepărtarea sarcinilorrdquo
- este valabilă teoria conform căreia bdquoenergia icircnmagazinată și deformațiile depind
doar de starea inițială și finală de eforturi fără a ține cont de modul icircn care s-a ajuns la
starea finalărdquo
Icircn realitate oricacirct de mici ar fi sarcinile aplicate se produc și deformații plastice
dar acestea pot fi neglijate dacă solicitarea nu depășește anumite limite
342 Ipoteze de calcul
Ipoteza micilor deplasări bdquodeplasările datorate deformării sunt mult mai mici
decacirct dimensiunile corpurilor și ca urmare pot fi neglijate produsele dintre o deplasare și
ea icircnsăşirdquo Pentru cele mai multe corpuri deformaţiile elastice sunt de mărimi mici deci
corpurile solide sub acţiunea sarcinilor icircşi modifică foarte puţin forma iniţială Această
ipoteză este cunoscută şi sub denumirea de ipoteza menţinerii dimensiunilor iniţiale Ea
permite scrierea ecuaţiilor de echilibru ale staticii pe starea nedeformată a elementului
cacircnd nu se iau icircn considerare deplasările punctelor de aplicaţie ale forţelor care se produc
ca urmare a deformării acestuia Calculul efectuat pe schema nedeformată poartă numele
de calcul de ordinul I
Ipoteza micilor deplasări nu poate fi acceptată pentru studiul problemelor de
stabilitate sau la problemele la care nu pot fi icircndeplinite condiţiile de echilibru icircn starea
nedeformată
Calculul de ordinul II admite ipoteza micilor deplasări dar ecuaţiile de echilibru
se scriu icircnsă pentru starea deformată a elementului de rezistenţă
Calculul de ordinul III nu mai acceptă ipoteza micilor deplasări el referindu-se
la cazul deformaţiilor mari cacircnd ecuaţiile de echilibru trebuie scrise pentru starea
deformată
Chiar dacă materialul satisface legea lui Hooke icircn urma calculelor de ordinul II
se obţin de obicei relaţii neliniare icircntre sarcini şi deplasări iar pentru calculul de ordinul
III rezultă ecuaţii diferenţiale neliniare
Principiul efectului local al acțiunii sarcinilor enunțat de Barre de Saint-
Venant Acest principiu destul de folosit icircn Rezistenţa Materialelor precizează că dacă
se icircnlocuiesc forţele care acţionează asupra unui element de suprafață al unui corp
elastic printr-un alt sistem de forţe echivalent din punct de vedere static cu primul noua
distribuţie a forţelor produce la locul de aplicare diferenţe semnificative faţă de prima
dar rămacircne fără efect sau cu efect neglijabil la distanţe mari de locul de aplicare al
forţelor figura 312
Ca o cosecință o sarcină uniform distribuită figura 312a poate fi icircnlocuită cu
rezultanta ei figura 312b dacă se analizează efectul sarcinii la distanță mare de locul icircn
care se aplică sarcina
Fig 312 Principiul Saint-Venant
Icircn prima variantă figura 312a forţa 119865 se aplică pe o porțiune oarecare 119897 (sarcină
uniform distribuită) iar icircn a doua figura 312b icircntru-un punct (forţă concentrată) La
locul de aplicare a sarcinii efectul asupra barei este cu totul diferit de la o variantă la
cealaltă Icircnsă la o distanţă mare de punctul de aplicaţie spre exemplu icircn secţiunea situată
la distanţa 119886 de capătul barei sau chiar icircn icircncastrare ambele bare sunt solicitate la fel
Icircn cazul din figura 312a
119872119894(119909) =119901 ∙ 1199092
2 119909 le 119897 119872119894(119909) = 119901 ∙ 119897 ∙ (119909 minus
119897
2) 119909 gt 119897 (324)
Icircn cazul din figura 312b
119872119894(119909) = 0 119909 lt119897
2 119872119894(119909) = 119901 ∙ 119897 ∙ (119909 minus
119897
2) 119909 gt
119897
2 (325)
Se vede că pentru (119909 gt 119897) adică după depășirea locului icircn care se aplică sarcina
efectul este același
Ipoteza lui Bernoulli sau ipoteza secţiunilor plane precizează că o secţiune
plană şi normală pe axa barei icircnainte de deformare rămacircne plană şi normală pe axa
barei şi după deformare figura 313
Fig 313 Ipoteza lui Bernoulli
Ipoteza stării naturale a corpului sau ipoteza absenţei tensiunilor conform
căreia pentru un corp nesolicitat starea de tensiune şi deformaţie este nulă
Perfecţionarea mijloacelor de calcul şi de investigare pot conduce la renunţarea la
unele ipoteze sau la introducerea altora noi mai aproape de stările reale De aici rezultă
caracterul de continuă perfecţionare a metodelor Rezistenţei Materialelor
35 Coeficienţi de siguranţă Tensiuni admisibile
O piesă corespunde din punct de vedere tehnic dacă tensiunile care iau naştere icircn
interiorul piesei datorită sarcinilor aplicate nu depăşesc anumite valori limită stabilite
convenţional Aceste valori limită ale tensiunii sunt corelate cu caracteristicile mecanice
ale materialelor
Tensiunea limită utilizată icircn calculele de rezistenţă este cunoscută sub denumirea
de tensiune admisibilă sau rezistenţă admisibilă Rezistenţa admisibilă reprezintă
valoarea convenţională aleasă icircn calcul pe baza practicii pentru tensiunea maximă care
poate apare icircntr-o piesă icircn condiţii date de material şi solicitare
Rezistenţa admisibilă (120590119886 sau 120591119886) poate fi definită faţă de o stare limită
periculoasă stare care trebuie evitată deoarece poate conduce distrugere
120590119886 =120590119897119894119898119888
(326)
unde
120590119897119894119898 este tensiunea corespunzătoare stării limită periculoase
119888 estesupraunitar 119888 gt 1 și reprezintă coeficientul de siguranţă faţă de starea limită
periculoasă considerată
Alegerea unor valori inferioare pentru rezistenţa admisibilă faţă de tensiunea
corespunzătoare stării limită periculoase este necesară deoarece
cunoaşterea sarcinilor este de cele mai multe ori aproximativă şi o depăşire a
acestora este foarte posibilă
caracteristicile mecanice ale materialelor variază icircn limite destul de mari ele
fiind influenţate de mulţi factori
schema aleasă pentru calcul (aplicarea sarcinilor schematizarea structurii
ipotezele de calcul etc) depărtează modelul faţă de cel real
Pentru calculele de verificare tensiunea efectivă maximă din elementul de
rezistenţă trebuie să fie mai mică sau cel mult egală cu cea admisibilă
120590119890119891119898119886119909 le 120590119886 (327)
Valoarea rezistenţei admisibile este influenţată de foarte mulţi factori natura
materialului tratamentele termice aplicate piesei durata de funcţionare a piesei modul
de acţionare icircn timp a sarcinilor felul solicitării temperatura gradul de periculozitate
icircn cazul cedării piesei etc
De asemenea valoarea coeficientului de siguranţă se alege icircn principal ţinacircnd
seama de aceiaşi factori care influenţează şi rezistenţa admisibilă
Rezistenţele admisibile pentru cacircteva materiale sunt următoarele
pentru oțelul de uz general OL37 solicitat la icircntindere compresiune sau
icircncovoiere 120590119886 = 150 [119872119875119886] pentru lemnul de brad solicitat la
- compresiune icircn lungul fibrelor şi solicitat la icircncovoiere 120590119886 = 10 [119872119875119886] - tracţiune icircn lungul fibrelor 120590119886 = 7 [119872119875119886] - compresiune perpendiculară pe fibre 120590119886 = 15 [119872119875119886] - forfecare icircn lungul fibrelor 120591119886 = 2 [119872119875119886] - forfecare perpendiculară pe fibre 120590119886 = 45 [119872119875119886]
terenuri de fundaţie din pămacircnt uscat sau umed 120590119886 = 020 divide 025 [119872119875119886]
4 CARACTERISTICI GEOMETRICE ALE SECȚIUNILOR PLANE
41 Noţiuni introductive
Icircn relaţiile de calcul ale tensiunilor şi deformaţiilor elementelor de rezistenţă
pentru unele solicitări (icircncovoierea și torsiunea) secțiunile plane intervin atacirct prin
dimensiunile lor (aria 119860) cicirct și prin forma și poziția pe care o are secțiunea icircn raport cu
planul solicitării Mărimile care caracterizează o secțiune icircn raport cu forma și poziția față
de axele unui sistem de referință sunt denumite caracteristici geometrice de ordin
superior Aria secțiunii este caracteristica geometrică ce depinde doar de dimensiunile
geometrice ale acesteia
Să considerăm o grindă solicitată de o forță exterioară 119865 aşezată icircn două poziții icircn
raport cu planul forţei figura 41 Icircn urma aplicării forței deși avem aceeași grindă
(aceeași arie a secțiunii transversale) și aceeași forță se constată că pentru varianta din
figura 41a deformațiile sunt mult mai mari adică rezistența la icircncovoiere a grinzii din
figura 41a este mai mare decacirct icircn cazul grinzii din figura 41b Comportarea diferită se
explică prin aceea că modificarea poziţiei secţiunii transversale faţă de planul forţelor
modifică caracteristicile geometrice ale secţiunii transversale a grinzii
Fig 41 Grindă solicitată de forța 119865
Pentru realizarea calculelor de rezistenţă şi rigiditate este foarte importantă
cunoaşterea caracteristicilor geometrice ale suprafeţei secţiunii transversale a elementelor
de rezistenţă
Caracteristicile geometrice ale secţiunii transversale a unui element de rezistenţă
sunt
- aria secțiunii notată cu 119860
- momentul static icircn raport cu o axă notat 119878119911 și respectiv 119878119910
- momentul de inerție care poate fi
axial notat 119868119911 și respectiv 119868119910
centrifugal notat 119868119911119910
polar notat 119868119901
- raza de inerţie (giraţie)notată 119894119911 și respectiv 119894119910
- modulul de rezistență care poate fi
axial notat 119882119911 și respectiv 119882119910
polar notat 119882119901
42 Aria și momentul static al suprafețelor plane
Fie o suprafaţă plană de arie 119860 pe care se ia un element infinit mic de arie 119889119860 şi
un sistem de axe rectangulare 119911119874119910 figura 42 Notăm cu 119862 centrul de greutate al suprafeţei
119860 Poziţia suprafeţei elementare 119889119860 faţă de acelaşi sistem de coordonate 119911119874119910 este dată
de abscisa 119911 ordonata 119910 și raza polară
Fig 42 Suprafață plană de arie 119860
Aria suprafeţei 119860 figura 42 se defineşte ca fiind
119860 ≝ int 119889119860
119860
(41)
Aria suprafeţei este icircntotdeauna pozitivă și se măsoară icircn [1198981198982] Momentul static al suprafeţei de arie 119860 icircn raport cu axele 119874119911 și respectiv 119874119910
figura 42 sunt date de relaţiile
119878119911 ≝ int 119910 ∙ 119889119860
119860
119878119910 ≝ int 119911 ∙ 119889119860
119860
(42)
Momentul static poate fi pozitiv negativ sau nul şi se măsoară icircn [1198981198983] Coordonatele centrului de greutate ale suprafeței 119860 se detrmină cu relațiile
119910119862 ≝int 119910 ∙ 119889119860119860
119860 119911119862 ≝
int 119911 ∙ 119889119860119860
119860
(43)
Cunoscacircnd coordonatele 119910119862 și 119911119862 ale centrului de greutate 119862 al secțiunii 119860 atunci
momentele statice se pot determina cu relațiile
119878119911 ≝ int 119910 ∙ 119889119860
119860
= 119910119862 ∙ 119889119860 119878119910 ≝ int 119911 ∙ 119889119860
119860
= 119911119862 ∙ 119889119860 (44)
Aceste relații arată că momentul static al unei suprafețe icircn raport cu o axă este
egal cu produsul dintre aria suprafeței și distanța de la centrul ariei la axa respectivă
Dacă suprafaţa se poate descompune icircn 119899 suprafeţe simple la care se cunosc ariile
(1198601 1198602 ⋯ 119860119894⋯ 119860119899) și poziţiile centrelor de greutate 119862119894 faţă de sistemul de referinţă
expresiile momentelor statice capătă următoarea formă
119878119911 = sum 119910119862119894 ∙ 119860119894119899119894=1 = 119910119862 ∙ 119860 119878119910 = sum 119911119862119894 ∙ 119860119894
119899119894=1 = 119911119862 ∙ 119860 (45)
Din relaţiile (45) rezultă că poziţia centrului de greutate 119862 al unei suprafeţe
compuse poate fi determinată cu relaţiile
119910119862 = (sum119910119862119894 ∙ 119860119894
119899
119894=1
) 119860frasl 119911119862 = (sum119911119862119894 ∙ 119860119894
119899
119894=1
) 119860frasl (46)
Icircn relația (45) 119910119862119894 și respectiv 119911119862119894 reprezintă coordonatele centrelor de greutate 119862119894
ale fiecărei suprafețe simple 119860119894 icircn raport sistemul de axe 119911119874119910
Se constată (relaţia 42) că dacă axele sistemului de referinţă trec prin centrul de
greutate (119910119862 = 119911119862 = 0) momentele statice sunt nule Axele icircn raport cu care momentele
statice sunt nule şi care trec prin centrul de greutate al suprafeţei se numesc axe centrale
Observație dacă secțiunea compusă are o axă de simetrie centrul secțiunii se
găsește pe acea axă iar dacă secțiunea este dublu simetrică poziția centrului secțiunii este
la intersecția axelor de simetrie
43 Momente de inerţie
Momentele de inerţie axiale ale unei suprafețe se calculează icircn raport cu axele de
coordonate 119874119911 și respectiv 119874119910 figura 42 și se determină cu relațiile
119868119911 ≝ int 1199102 ∙ 119889119860
119860
119868119910 ≝ int 1199112 ∙ 119889119860
119860
(47)
Unde 119910 și 119911 sunt distanțele de la elementul de arie 119889119860 la cele două axe de
coordonate 119874119911 și respectiv 119874119910
Momentele de inerţie axiale se măsoară icircn [1198981198984] şi sunt icircntotdeauna pozitive (aria
119889119860 este icircntotdeauna pozitivă și este multiplicată cu patratul distanței 1199102 dacă 119868119911 sau 119868119910
sunt nule icircnseamnă ca secțiunea nu există)
Momentele de inerție axiale se calculează icircndeosebi pentru axele centrale (care
trec prin centrul secțiunii) deoarece icircn raport cu acele axe 119868119911 și 119868119910 au valori minime
Momentul de inerţie centrifugal calculat faţă ambele axe ale sistemului de
referinţă 119911119874119910 este definit de relația
119868119911119910 ≝ int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860
(48)
Momentul de inerţie centrifugal se măsoară icircn [1198981198984] şi poate fi pozitiv negativ
sau nul
Momentul de ineție centrifugal este nul 119868119911119910 = 0 dacă cel puțin una din axele 119874119911
sau 119874119910 este axă de simetrie pentru secțiune
Se consideră o suprafaţă dreptunghiulară pe care faţă de axa de simetrie 119874119910 se iau
două suprafeţe elementare de arie 119889119860 simetrice faţă de axa 119874119910 figura 43
Fig 43 Suprafață dreptunghiulară cu două arii elementare 119889119860
Făcacircnd suma momentelor de inerţie centrifugale pentru cele două suprafeţe
elementare 119889119860 (din stacircnga şi din dreapta faţă de axa 119874119910) se obţine
int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860119889119903
+ int (minus119911) ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860119904119905119892
= int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860119889119903
minus int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860119904119905119892
= 0 (49)
Acelaşi raţionament se poate face și pentru icircntreaga suprafaţă de unde obținem că
momentul de inerție centrifugal este nul 119868119911119910 = 0 Deci pentru o suprafaţă plană care
are cel puţin o axă de simetrie momentul de inerţie centrifugal faţă de sistemul care
conţine acea axă de simetrie este nul
Momentul de inerţie polar al unei suprafeţei icircn raport cu un punct (pol) 119874 figura
42 este definit prin relaţia
1198680 = 119868119901 ≝ int 1205882 ∙ 119889119860
119860
= int(1199102 + 1199112) ∙ 119889119860
119860
= 119868119911 + 119868119910 (410)
unde este distanţa de la polul 119874 la elementul de arie 119889119860 Momentul de inerţie polar se
măsoară icircn [1198981198984] şi este totdeauna pozitiv
Momentul de inerţie polar este egal cu suma momentelor de inerţie faţă de două axe
perpendiculare oarecare şi care trec prin polul considerat
Razele de giraţie sau razele de inerţie sunt mărimi calculate icircn raport cu axele
secțiunii și definite de relaţiile
119894119911 ≝ radic119868119911119860 119894119910 = radic
119868119910
119860 (411)
Se exprimă icircn [119898119898] şi sunt icircntotdeauna pozitive Semnificația unei raze de inerție
este distanța la care dacă ar fi concentrată icircntreaga arie s-ar obține același moment de
inerție ca și cel calculat pentru aria reală
44 Modulul de rezistenţă
Modulul de rezistență se calculează icircn raport cu axele de referință sau icircn raport cu
un pol figura 42 și pot fi axiale (119882119911119882119910) sau polar (119882119901) și se determină numai pe baza
momentelor de inerţie cu relațiile figura 43
119882119911119898119894119899 ≝119868119911119910119898119886119909
119882119911119898119886119909 ≝119868119911119910119898119894119899
(412)
119882119910119898119894119899 ≝119868119910
119911119898119886119909 119882119910119898119886119909 ≝
119868119910
119911119898119894119899 (413)
119882119901 ≝119868119901
120588119898119886119909 (414)
unde
119910119898119886119909 119910119898119894119899 reprezintă distanţa de la axa 119874119911 la punctele extreme cele mai
depărtate respectiv cele mai apropiate ale suprafeţei de această axă
119911119898119886119909 119911119898119894119899 reprezintă distanţa de la axa 119874119910 la punctele extreme cele mai
depărtate respectiv cele mai apropiate ale suprafeţei de această axă
120588119898119886119909 reprezintă distanța maximă de la polul 119874 la punctul secțiunii cel mai
icircndepărtat de acesta
Fig 43 Suprafață dreptunghiulară cu două arii elementare 119889119860
Modulele de rezistenţă se exprimă icircn [1198981198983] şi sunt icircntotdeauna pozitive
Explicația este aceea că momentele de inerție care intră icircn relațiile de definiție sunt
pozitive iar distanțele la punctele extreme sunt pozitive (119910119898119886119909 119910119898119894119899 119911119898119886119909 119911119898119894119899 120588119898119886119909 se
iau icircn valoare absolută)
Icircn cazul suprafeţelor compuse modulul de rezistenţă nu se obţine prin icircnsumarea
algebrică a modulelor de rezistenţă ale suprafeţelor simple componente ci numai prin
intermediul momentului de inerţie axial calculat pentru icircntreaga secțiune
Ca și momentele de inerție modulele de rezistență se calculează numai pentru
sistemele de axe centrale
45 Momente de inerţie şi module de rezistenţă pentru suprafeţe simple
451 Secțiune dreptunghiulară
Fie suprafaţa dreptunghiulară din figura 44 de icircnălțime ℎ și lățime 119887 pe care se
consideră suprafaţă elementară de arie 119889119860 = 119887119889119910 la distanța 119910 de axa 119862119911 sistemul de
axe 119911119862119910 trece prin centrul secțiunii iar axele sunt axe de simetrie pentru dreptunghi
Fig 44 Suprafață dreptunghiulară
Pe baza relațiilor de definiți a momentului de inerție 119868119911 se obține
119868119911 ≝ int 1199102 ∙ 119889119860
119860
= int 1199102 ∙ 119887 ∙ 119889119910 = 2int 1199102 ∙ 119887 ∙ 119889119910 = 2 ∙ 119887 ∙1199103
3|ℎ 2frasl
0rArr
ℎ 2frasl
0
ℎ 2frasl
minusℎ 2frasl
rArr 119868119911 =119887 ∙ ℎ3
12
(415)
Analog pentru un element de arie 119889119860 = ℎ ∙ 119889119911 paralel cu axa 119862119910 situat la distanța
119911 de axa 119862119910
119868119910 ≝ int 1199112 ∙ 119889119860
119860
= int 1199112 ∙ ℎ ∙ 119889119911 = 2int 1199112 ∙ ℎ ∙ 119889119910 = 2 ∙ ℎ ∙1199113
3|119887 2frasl
0rArr
119887 2frasl
0
119887 2frasl
minus119887 2frasl
rArr 119868119910 =1198873 ∙ ℎ
12
(416)
Deoarece axele 119862119911 și 119862119910 sunt axe de simetrie momentul de inerție centrifugal este
119868119911119910 = 0 (417)
Pentru un pătrat avacircnd laturile egale (ℎ = 119887 = 119886) momentele de inerţie faţă de
axele centrale au expresia
119868119911 = 119868119910 =1198864
12 (418)
Modulele de rezistență axiale se calculează cu relațiile de definiție ținacircnd cont că
distanțele pacircnă la fibrele extreme sunt
119910119898119886119909 = 119910119898119894119899 =ℎ
2 119911119898119886119909 = 119911119898119894119899 =
119887
2 (419)
Obținem
119882119911119898119894119899 = 119882119911119898119886119909 =119868119911
119910119898119886119909119898119894119899=119887 ∙ ℎ3
12frasl
ℎ2frasl
=119887 ∙ ℎ2
6
119882119910119898119894119899 = 119882119910119898119886119909 =119868119910
119911119898119886119909119898119894119899=1198873 ∙ ℎ
12frasl
1198872frasl
=1198872 ∙ ℎ
6
(420)
452 Suprafaţă circulară
Din motive de simetrie pentru suprafeţele circulare momentele de inerţie faţă de
orice diametru (care reprezintă şi axe centrale) sunt aceleaşi
Considerăm o secțiune circulară plină cu diametrul 119889 și centrul de greutate 119862 Prin
centrul de greutate 119862 trece sistemul de axe ortogonal 119911119862119910 figura 45
Fig 45 Suprafață circulară
La distanța de centrul de greutate 119862 vom lua un element de suprafață mic de arie
(119889119860) de forma unui inel de grosime 119889 Elementul de arie 119889119860 are expresia
119889119860 = (2 ∙ 120587 ∙ 120588) ∙ (119889120588)
Pornind de la relația de definiție a momentului de inerție polar obținem
119868119901 ≝ int 1205882 ∙ 119889119860
119860
= int 1205882 ∙ (2 ∙ 120587 ∙ 120588) ∙ 119889120588
119903=119889 2frasl
0
= 2 ∙ 120587 ∙1205884
4|119889 2frasl0 rArr
rArr 119868119901 =120587 ∙ 1198894
32
(421)
Secțiunea este perfect simetrică deci sunt valabile relațiile
119868119911 = 119868119910 rArr 119868119901 = 119868119911 + 119868119910 = 2 ∙ 119868119911 = 2 ∙ 119868119910 =119868119901
2=120587 ∙ 1198894
64 (422)
Și modulele de rezistenţă faţă de orice diametru sunt egale şi se calculează cu
relaţiile
119882119911 = 119882119910 =1198681199111198892frasl=120587 ∙ 1198893
32 (423)
Modulul de rezistenţă polar este
119882119901 =1198681199011198892frasl=120587 ∙ 1198893
16 (424)
453 Secţiune inelară
Calculul momentelor de inerţie axiale pentru o secţiune inelară avacircnd diametrul
interior 119889 şi diametrul exterior 119863 se determină analog pentru suprafaţa circulară plină cu
observaţia că integrala pentru calculul momentului de inerție polar 119868119901 se face icircntre
limitele 119903 = 119889 2frasl şi R= 1198632frasl (icircntre raza interioară 119903 şi raza exterioară 119877) figura 46
Se obţin relaţiile
119868119901 =120587 ∙ 1198634
32∙ [1 minus (
119889
119863)4
] =120587 ∙ 1198634
32∙ (1 minus 1198964) (425)
119868119910 = 119868119910 =120587 ∙ 1198634
64∙ [1 minus (
119889
119863)4
] =120587 ∙ 1198633
64∙ (1 minus 1198964) (426)
Fig 46 Secțiune inelară
119882119901 =120587 ∙ 1198633
16∙ [1 minus (
119889
119863)4
] =120587 ∙ 1198633
16∙ (1 minus 1198964) (427)
119882119911 = 119882119910 =120587 ∙ 1198633
32∙ [1 minus (
119889
119863)4
] =120587 ∙ 1198633
32∙ (1 minus 1198964) (428)
unde 119896 = 119889119863frasl
46 Variaţia momentelor de inerţie faţă de axe paralele
( Relațiile lui STEINER)
Se consideră o suprafaţă oarecare de arie 119860 cu elementul de arie 119889119860 și un sistemul
de axe central 119911119862119910 faţă de care se cunosc momentele de inerţie 119868119911 119868119910 119868119911119910 şi considerăm
un sistem de axe 11991111198741199101 paralele cu sistemul central figura 47 Se pune problema
determinării momentele de inerţie 1198681199111 1198681199101 11986811991111199101 faţă de sistemul de axe paralel cu sistemul
central 11991111198741199101 axe aflate la distanţele 119910119862 = 119888 respectiv 119911119862 = 119889 de acesta
461 Momente de inerţie axiale
Pe baza relaţiilor de definire şi a notaţiilor din figura 42 pentru momentele de
inerţie faţă de axele 1198741199111 1198741199101 se poate scrie
1198681199111 = int 11991012 ∙ 119889119860
119860
= int(119910 + 119888)2 ∙ 119889119860
119860
= int 1199102 ∙ 119889119860
119860
+ 2 ∙ 119888 ∙ int 119910 ∙ 119889119860
119860
+
+1198882int 119889119860
119860
rArr 1198681199111 = 119868119911 + 2 ∙ 119888 ∙ 119878119911 + 1198882 ∙ 119860 hArr 1198681199111 = 119868119911 + 119888
2 ∙ 119860
(429)
Fig 47 Variaţia momentelor de inerţie față de axe paralele
S-a ajuns la relația (429) deoarece momentul static 119878119911 este nul deoarece axa 119862119885
este axă centrală
Pentru momentul de inerție axial icircn raport cu axa 1198741199101 se obține
1198681199101 = int 11991112 ∙ 119889119860
119860
= int(119911 + 119889)2 ∙ 119889119860
119860
= int 1199112 ∙ 119889119860
119860
+ 2 ∙ 119889 ∙ int 119911 ∙ 119889119860
119860
+
+1198892 ∙ int 119889119860
119860
rArr 1198681199101 = 119868119910 + 2 ∙ 119889 ∙ 119878119910 + 1198892 ∙ 119860 hArr 1198681199101 = 119868119910 + 119889
2 ∙ 119860
(430)
Pentru momentul de inerție centrifugal obținem
11986811991111199101 = int 1199101 ∙ 1199111 ∙ 119889119860
119860
= int(119910 + 119888) ∙ (119911 + 119889) ∙ 119889119860
119860
= int 119910 ∙ 119911 ∙ 119889119860 +
119860
+119888 ∙ int 119911 ∙ 119889119860
119860
+ 119889 ∙ int 119910 ∙ 119889119860
119860
rArr 11986811991111199101 = 119868119911119910 + 119888 ∙ 119889 ∙ 119860
(431)
Deoarece
int 119911 ∙ 119889119860
119860
= 119878119910 = 0 int 119910 ∙ 119889119860
119860
= 119878119911 = 0 int 119910 ∙ 119911 ∙ 119889119860
119860
= 119868119911119910
Relaţiile (429) şi (430) arată că momentul de inerţie faţă de o axă oarecare
este egal cu momentul de inerţie faţă de o axă paralelă cu ea trecacircnd prin centrul de
greutate la care se adaugă produsul dintre aria suprafeţei şi pătratul distanţei dintre
cele două axe
Din relaţiile (429) și (430) rezultă de asemenea că momentul de inerţie faţă de o
axă centrală (care trece prin centrul de greutate) este cel mai mic dintre infinitatea de
momente de inerţie obținute faţă de alte axe paralele cu ea
Relaţia (431) arată de asemenea că momentul de inerţie centrifugal faţă de un
sistem de axe oarecare este egal cu momentul de inerţie centrifugal faţă de un sistem
paralele cu el trecacircnd prin centrul de greutate a suprafeţei la care se adaugă produsul
dintre aria suprafeţei şi distanţele dintre axele sistemelor respective
Icircn literatura de specialitate relaţiile (429) (430) şi (431) sunt cunoscute sub
numele de relaţiile lui Steiner
47 Variaţia momentrlor de inerţie faţă de axe rotite
Direcţii principale şi momente de inerţie principale
Fie suprafaţa plană din figura 48 de arie 119860 pe care considerăm o suprafaţă
elementară de arie 119889119860 Pentru sistemul de axe 119911119874119910 se cunosc momentele de inerţie
119868119911 119868119910 119868119911119910 şi vom determina relaţiile de calcul pentru momentele de inerţie afererent unui
sistem de axe 11991111198741199101 rotit cu un unghi faţă de sistemul central
Faţă de sistemul de axe 11991111198741199101 elementul de arie 119889119860 are coordonatele
1199101 = 119875119877 = 119875119876 minus 119877119876 = 119910 ∙ cos 120572 minus 119911 ∙ sin 120572
1199111 = 119873119872 = 119873119875 minus 119875119872 = 119911 ∙ cos 120572 + 119910 ∙ sin 120572 (432)
Fig 47 Variaţia momentelor de inerţie față de axe rotite
Pe baza relaţiilor de calcul ale momentelor de inerţie şi a notaţiilor din figura 42
şi ale relaţiilor (432) momentele de inerţie faţă de sistemul de axe rotit 11991111198741199101 sunt
1198681199111 =119868119911 + 119868119910
2+119868119911 minus 119868119910
2∙ cos 2120572 minus 119868119911119910 ∙ sin 2120572 (433)
1198681199101 =119868119911 + 119868119910
2minus119868119911 minus 119868119910
2∙ cos 2120572 + 119868119911119910 ∙ sin 2120572 (434)
11986811991111199101 =119868119911 minus 119868119910
2∙ sin 2120572 + 119868119911119910 ∙ cos 2120572 (435)
Din relaţiile 433divide435 se observă că icircntre momentele de inerţie axiale şi cele
polare există relaţia
1198681199111 + 1198681199101 = 119868119911 + 119868119910 = 119868119901 (436)
adică suma momentelor de inerţie axiale icircn raport cu orice pereche de axe ortogonale
care trec printr-un pol dat este o constantă şi egală cu momentul de inerţie polar
Prin rotirea sistemului de axe din relaţiile 433divide435 rezultă că momentele de inerţie
variază icircnsă suma lor rămacircne constantă deci există o poziţie a sistemului de axe pentru
care momentele de inerţie au valori extreme maxim respectiv minim
471 Direcţii principale de inerţie
Valoarea unghiului 120572 pentru care momentele de inerţie axiale au valori extreme
este
1205721 =1
2∙ 119886119903119888119905119886119899 (minus
2 ∙ 119868119911119910
119868119911 minus 119868119910) (437)
Poziţia celeilalte direcţii este perpendiculară pe cea dată de unghiul 1205721
Din relaţia (437) se constată că faţă de aceste direcţii rotite pentru care momentele
de inerţie axiale prezintă valori extreme momentul de inerţie centrifugal 11986811991111199101este nul
Atunci se poate afirma că momentele de inerţie axiale au valori extreme icircn raport cu
direcţiile faţă de care momentul de inerţie centrifugal este nul Aceste direcţii se numesc
direcţii principale iar momentele de inerţie faţă de aceste direcţii poartă numele de
momente de inerţie principale
Icircn calculele de rezistenţă interesează icircn mod special poziţia direcţiilor principale
care trec prin centrul de greutate al suprafeţei aşa numitele direcţii principale centrale şi
evident momentele de inerţie principale centrale
Direcţiile principale de inerţie se notează cu 1 respectiv 2 Axa principală 1
corespunde direcţiei faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea maximă iar
axa principală 2 pentru direcţia faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea
minimă
472 Momente de inerţie principale
Momentele de inerţie principale se notează cu litera 119868 la care se pune indicele 1
sau 2 după cum valoarea acestuia este maximă sau minimă deci avem un moment de
inerţie principal 1 (notat 1198681) respectiv moment de inerţie principal 2 (notat 1198682)
Expresiile pentru momentele de inerţie principale sunt
11986812 =119868119911 + 119868119910
2plusmn1
2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)
2+ 4 ∙ (119868119911119910)
2 (438)
Dacă momentul de inerţie centrifugal este negativ (119868119911119910 lt 0) direcţia principală
care trece prin primul cadran (definit de sistemul 119911119862119910) este direcţia principală 120783
Pentru suprafeţele cu cel puţin o axă de simetrie direcţiile centrale 119862119911 119862119910 sunt şi
direcții principale de inerţie și evident momentele de inerţie axiale 119868119911 119868119910 sunt momente
de inerţie principale
48 Caracteristici mecanice ale metalelor
Alegerea materialului pentru confecţionarea unei anumite piese se face şi pe baza
aşa numitelor caracteristici mecanice pe care le prezintă materialul Cunoaşterea acestor
caracteristici mecanice are loc numai pe baza unor icircncercări mecanice care să scoată icircn
evidenţă comportarea materialului icircn condiţii de solicitare
Cea mai utilizată icircncercare icircn urma căreia se pun icircn evidenţă caracteristicile
mecanice ale unui material este icircncercarea la tracţiune
481 Icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general
Icircncercarea la tracţiune a oţelului ca de altfel toate icircncercările de materiale este
standardizată
Icircn cele ce urmează se va prezenta numai partea care interesează strict din punct
de vedere al caracteristicilor mecanice ale oţelului
Epruveta de diametru iniţial 1198890 pentru icircncercarea la tracţiune are o porţiune de
lungime 1198710 numită baza de măsurare pe care se măsoară lungirea acesteia sub acţiunea
solicitării
Icircn funcţie de raportul dintre baza de măsurare 1198710 şi diametrul iniţial 1198890 epruvetele
utilizate pentru icircncercări sunt
epruvete normale (scurte) cacircnd 11987101198890 = 5
epruvete lungi cacircnd 11987101198890 = 10
Icircn timpul icircncercării la diferite valori ale forţei 119865 se măsoară lungirea bazei de
măsurare
∆119871 = 120575 = 119871 minus 1198710 (439)
unde
119871 este dimensiunea bazei de măsurare la un moment dat
Curba forţă-lungire (119865 minus ) icircnregistrată icircn urma icircncercării reprezintă curba
caracteristică la tracţiune
La icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general diagrama caracteristică care se
obţine are forma din figura 48
Curba caracteristică la tracţiune depinde de lungimea bazei de măsurare Pentru
icircnlăturarea acestui neajuns curba caracteristică se reprezintă icircn coordonate şi definite
astfel
120590 =119865
1198600 휀 =
120575
1198710 (440)
unde
1198600 este aria iniţială a secţiunii transversale a epruvetei (icircnainte de solicitare) icircn
zona bazei de măsurare
1198600 =120587 ∙ 1198890
2
4
Deoarece mărimile icircn care se reprezintă curba caracteristică la tracţiune sunt
raportate la aria iniţială a secţiunii transversale (mărimi specifice) curba poartă numele
de curbă caracteristică convenţională la tracţiune
Fig 48 Curba caracteristică convenţională la tracțiune
Pe curba caracteristică convenţională la tracţiune figura 48 se pot stabili o serie
de puncte cărora le corespund mai multe mărimi importante
Ordonata punctului A pacircnă unde curba caracteristică convenţională este linie
dreaptă se numeşte limita de proporţionalitate a materialului 120590119901(1205901) Porţiunea 119874119860 este
zona de proporţionalitate a curbei caracteristice pe acest domeniu este valabilă legea lui
Hooke care exprimă o proporţionalitate icircntre tensiune şi deformaţie specifică
120590 = 119864 ∙ 휀 (441)
unde
119864 = reprezintă panta porţiunii liniare a curbei convenționale caracteristice
la tracțiune Caracteristica de material 119864 se numeşte modul de elasticitate longitudinal
(modulul lui Young)
Ordonata punctului 119861 pacircnă unde materialul se comportă perfect elastic adică
după descărcare icircşi recapătă dimensiunea iniţială 1198710 se numeşte limita de elasticitate
120590119890(119877119890) Icircn realitate nici un material nu are comportare perfect elastică sub acţiunea
solicitărilor el capătă deformaţii permanente (remanente plastice)
După punctul 119861 urmează o porţiune 119861119862119863 icircn care cu toate că icircncărcarea
continuă forţa nu mai creşte avacircnd mici oscilaţii icircn jurul unei valori Se spune că icircn
această porţiune materialul curge iar intervalul 119861119862119863 este un palier de curgere Tensiunea
corespunzătoare palierului de curgere se numeşte limită de curgere aparentă 120590119888(119877119888) Limita de curgere aparentă se calculează cu relaţia
120590119888 =1198651198881198600 (442)
unde
119865119888 reprezintă valoarea forţei icircnregistrată icircn momentul curgerii materialului
După punctul 119863 curba caracteristică are un traseu ascendent pacircnă icircn punctul 119864
Porţiunea 119863119864 este numită zonă de icircntărire (ecruisare) Icircn zona de ecruisare unde se
produc deformaţii plastice semnificative legea lui Hooke nu mai este valabilă La
descărcare relaţia dintre tensiunea şi deformaţia specifică este liniară paralelă cu
porţiunea liniară a curbei caracteristice (dreapta 119872119873)
Deformaţia totală (휀119905) are două componente una elastică (휀119890) şi una plastică (휀119901)
Ordonata punctului 119864 reprezintă rezistenţa de rupere 120590119903(119877119898) a materialului
care se poate calcula cu relaţia
120590119903 = 119877119898 =1198651198981198861199091198600
(443)
unde
119865119898119886119909 reprezintă valoarea maximă a forţei icircnregistrată icircn timpul icircncercării
La atingerea valorii 119865119898119886119909 (punctul 119864) icircntr-un anumit loc al epruvetei secţiunea
icircncepe să se micşoreze (se produce gacirctuirea) continuacircnd pacircnă cacircnd se produce ruperea
totală (punctul 119865)
Dacă după ruperea epruvetei cele două părţi rezultate se aşează cap la cap şi se
măsoară dimensiunea bazei de măsurare 119871119906 (lungimea ultimă) se determină alungirea la
rupere sau lungirea specifică la rupere 휀119903
휀119903 =119871119906 minus 11987101198710
=∆119871
1198710=120575
1198710 (444)
De obicei alungirea se exprimă icircn procente şi se notează cu 119860119899 unde 119899 reprezintă
numărul dat de raportul 11987101198890 (epruvete normale 119899 = 5 epruvete lungi 119899 = 10)
119860119899 =119871119906 minus 11987101198710
∙ 100 [] (445)
Altă mărime care se determină la icircncercarea la tracţiune este gacirctuirea la rupere
(exprimată de obicei icircn procente) şi definită de relaţia
119885 =1198600 minus 1198601199061198600
∙ 100 [] (446)
Mărimile determinate limita de proporţionalitate modulul de elasticitate
longitudinal limita de elasticitate limita de curgere aparentă rezistenţa de rupere
alungirea la rupere şi gacirctuirea la rupere sunt cunoscute ca fiind caracteristici mecanice
ale materialului
Din curba caracteristică convenţională observăm faptul că ruperea (punctul 119865 din
figura 48 se produce la o tensiune mai mică decacirct cea corespunzătoare punctului 119864 Dacă
icircnsă forţa din timpul icircncercării s-ar raporta la aria secţiunii din momentul icircnregistrării
forţei (care este mai mică decacirct cea iniţială 1198600) s-ar obţine aşa numita curbă
caracteristică reală a materialului (traseul 1198741198601198611198621198631198651 din figura 48) La curba
caracteristică reală ruperea se produce icircn punctul 1198651 la o icircncărcare mai mare decacirct cea
corespunzătoare punctului 119864 Icircnseamnă că rezistenţa reală la rupere este mai mare decacirct
rezistenţa la rupere dată de punctul 119864 din diagrama caracteristică convenţională
Dificultatea obţinerii diagramei caracteristice reale faţă de cea a diagramei caracteristice
convenţionale şi considerarea unei rezistenţe la rupere mai mică decacirct a celei reale face
icircn practică utilizarea pe scară mare a diagramei caracteristice convenţionale
Caracteristicile mecanice determinate pe baza curbei caracteristice convenţionale
sunt şi ele caracteristici mecanice convenţionale
Caracteristicile mecanice convenţionale limita de proporţionalitate convenţională
120590119901 limita de elasticitate convenţională 120590119890 limita de curgere convenţională 120590119888 şi rezistenţa
de rupere 120590119903 constituie tensiuni limită pentru un material Pe baza acestor caracteristici
de material se alege valoarea tensiunii admisibile 120590119886 (vezi paragraful 35) pentru
calculele de rezistenţă Cea mai utilizată stare limită pentru stabilirea tensiunii admisibile
120590119886 este limita de curgere convenţională 120590119888
120590119886 =120590119897119894119898119888
=120590119888119888 119904119886119906 120590119886 =
120590119903119888 (447)
Caracteristicile mecanice ale materialului sunt influenţate de o serie de factori
temperatura viteza de solicitare factorii tehnologici iar valorile lor sunt date icircn tabele și
diagrame
Aplicaţie Pentru suprafaţa plană compusă din două dreptunghiuri avacircnd
dimensiunile din figura 49a să se calculeze
a) centrul de greutate al secțiunii compuse 119910119866 119911119866
b) momentele de inerție axiale 119868119911 119868119910 și momentul de inerție centrifugal 119868119911119910
c) razele de inerție 119894119911 119894119910
d) modulele de rezistență 119882119911119898119894119899 119882119911119898119886119909 119882119910119898119894119899 119882119910119898119886119909
e) momentele de inerție principale 1198681 1198682 și direcțiile principale de inerție 1205721
f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 119878119911
Fig 49 Aplicație
Rezolvare Pentru rezolvare vom parcurge următoarele etape
icircmpărțim suprafața compusă icircn două suprafețe simple (dreptunghiuri) notate cu
① și respectiv ② figura 49b
poziționăm centrele de greutate a celor două suprafețe simple ① și respectiv ②
notate cu 1198661 și respectiv 1198662 figura 49c
poziționăm sistemele de axe de coordonate 119911111986611199101 pentru dreptunghiul ① și
119911211986621199102 pentru dreptunghiul ② aflate la intersecția diagonalelor figura 49c
poziționăm sistemele de axe de coordonate 11991101198741199100 ales arbitrar față de care
determinăm poziția centrului de greutate 119866 figura 49c
a) calculăm poziția centrului de greutate folosind relațiile (46) icircn care
1198601 = 6119905 ∙ 119905 = 61199052 1198602 = 4119905 ∙ 119905 = 41199052 119860 = 1198601 + 1198602 = 61199052 + 41199052 = 101199052
iar centrele de greutate 1198661 și respectiv 1198662 au coordonatele (față de sistemul 11991101198741199100)
1198661 1199101 = 3119905 1199111 = 05119905
1198662 1199102 = 051199051199112 = 3119905
cu acestea obținem
119910119866 =1198601 ∙ 1199101 + 1198602 ∙ 1199102
119860=61199052 ∙ 3119905 + 41199052 ∙ 05119905
101199052=201199053
101199052= 2119905
119911119866 =1198601 ∙ 1199111 + 1198602 ∙ 1199112
119860=61199052 ∙ 05119905 + 41199052 ∙ 3119905
101199052=151199053
101199052= 15119905
Poziționăm centrul de greutate 119866 al suprafeței compuse figura 49c
Fig 49 Aplicație
b) pentru determinarea momentelor de inerție axiale 119868119911 119868119910 și a momentului de
inerție centrifugal 119868119910119911 determinăm constantele 1198881 1198882 1198891 1198892 care intervin icircn relația lui
Stainer
1198881 = 1199101 minus 119910119866 = 3119905 minus 2119905 = 119905 1198882 = minus(119910119866 minus 1199102) = minus(2119905 minus 05119905) = minus15119905
1198891 = minus(119911119866 minus 1199111) = minus(15119905 minus 05119905) = minus119905 1198892 = 1199112 minus 119911119892 = 3119905 minus 15119905 = 15119905
Folosind relațiile lui Stainer (429) (430) și (431) calculăm momentele de
inerție axiale și centrifugale față de sistemul central 119911119866119866119910119866
119868119911 =sum(119868119911119894 + 1198881198942 ∙ 119860119894) = 1198681199111 + 1198881
2 ∙ 1198601 + 1198681199112 + 11988822 ∙ 1198602
119868119910 =sum(119868119910119894 + 1198891198942 ∙ 119860119894) = 1198681199101 + 1198891
2 ∙ 1198601 + 1198681199102 + 11988922 ∙ 1198602
119868119911119910 =sum(119868119911119894119910119894 + 119888119894 ∙ 119889119894 ∙ 119860119894) = 11986811991111199101 + 1198881 ∙ 1198891 ∙ 1198601 + 11986811991121199102 + 1198882 ∙ 1198892 ∙ 1198602
1198681199111 = (119887 ∙ ℎ3
12) =
119905 ∙ (6119905)3
12= 181199054 1198681199112 = (
119887 ∙ ℎ3
12) =
4119905 ∙ 1199053
12= 031199054
1198681199101 = (1198873 ∙ ℎ
12) =
1199053 ∙ 6119905
12= 051199054 1198681199102 = (
1198873 ∙ ℎ
12) =
(4119905)3 ∙ 119905
12= 531199054
11986811991111199101 = 11986811991121199102 = 0 deoarece cele două triunghiuri au cel puțin o axă de simetrie
Cu acestea momentele de inerție axiale și momentul de inerție centrifugal devin
119868119911 = 181199054 + 1199052 ∙ 61199052 + 031199054 + (minus15119905)2 ∙ 41199052 = 3331199054
119868119910 = 051199054 + (minus119905)2 ∙ 61199052 + 531199054 + (15119905)2 ∙ 41199052 = 2081199054
119868119911119910 = 0 + 119905 ∙ (minus119905) ∙ 61199052 + 0 + (minus15119905) ∙ (15119905) ∙ 41199052 = minus151199054
c) razele de inerție sau de girație față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910
se calculează cu relațiile (411)
119894119911 = radic119868119911119860= radic
3331199054
101199052= 182119905 119894119910 = radic
119868119910
119860= radic
2081199054
101199052= 144119905
d) modulele de rezistență față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910 se
calculează cu relațiile (412) și (413)
Avacircnd icircn vedere figura 419c obținem
119910119898119886119909 = 6119905 minus 119910119866 = 6119905 minus 2119905 = 4119905 119910119898119894119899 = minus119910119866 = minus2119905
119911119898119886119909 = 5119905 minus 119911119866 = 5119905 minus 15119905 = 35119905 119911119898119894119899 = minus119911119866 = minus15119905
Se obține astfel
119882119911119898119894119899 =119868119911
|119910119898119886119909|=3331199054
4119905= 8331199053
119882119911119898119886119909 =119868119911
|119910119898119894119899|=3331199054
2119905= 16651199053
119882119910119898119894119899 =119868119910
|119911119898119886119909|=2081199054
35119905= 5941199053
119882119910119898119886119909 =119868119910
|119911119898119894119899|=2081199054
15119905= 13871199053
e) momentele de inerție principale 1198681 și respectiv 1198682 se calculează cu relațiile
(438)
11986812 =119868119911 + 119868119910
2plusmn1
2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)
2+ 4 ∙ (119868119911119910)
2=
=3331199054 + 2081199054
2plusmn1
2∙ radic(3331199054 minus 2081199054)2 + 4 ∙ (minus151199054)2 = 27051199054 plusmn 16251199054
De unde obținem
1198681 = 27051199054 + 16251199054 = 4331199054
1198682 = 27051199054 minus 16251199054 = 1081199054
Prima direcție principală de inerție 1 face cu axa centrală 119866119911 unghiul 1205721 dat de
relația (437)
1205721 =1
2∙ arctan (minus
2 ∙ 119868119911119910
119868119911 minus 119868119910) =
1
2∙ arctan [minus
2 ∙ (minus151199054)
3331199054 minus 2081199054] =33 70
Deoarece 1205721 gt 0 rotirea axelor se face acircn sens antiorar acelor de ceasornic figura
49d
Poziția axe principale 2 față de care momentul de inerție are valoarea minimă
1198682 = 119868119898119894119899 este dată de unghiul
1205722 = 1205721 + 900 = 33 70 + 900 = 123 70
f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 se determină cu relația
(45)
1198781199111198602 = 1198602 ∙ 1198882 = 41199052 ∙ (minus15119905) = minus61199053
Cu valorile obţinute se trasează diagramele forţelor axială Nx = f(x) şi tăietoare
Ty = f(x) figura 220 Din diagrama forţei tăietoare şi din valorile obţinute analitic se
observă că forţa tăietoare icircşi schimbă semnul pe intervalul analizat deci se anulează pe
acest interval Poziţia secţiunii unde Ty se anulează se determină din ecuaţia
Ty(x1) = 0 rArr VA minus p ∙ x1 = 0 (A9)
cu soluţia x1lowast = ξ = 42 [m] Important de reamintit că icircn această secţiune momentul
icircncovoietor va avea un extrem local adică Miz are un extrem la Ty = 0
Funcţia moment icircncovoietor Miz are expresia
Miz(x1) = VA ∙ x1 minus R1 ∙x12= VA ∙ x1 minus (p ∙ x1) ∙
x12
(A10)
Se observă că funcţia moment icircncovoietor de variabilă x1 are o variaţie parabolică
(gradul al II-lea) Pentru reprezentarea grafică a funcţiei parabolice se calculează valorile
momentului icircncovoietor icircn trei secţiuni
- pentru x1 = 0 Miz(x1 = 0) = MA = 0 [kN ∙ m] - pentru x1 = a = 6 [m] Miz(x1 = 6) = M1 = 72 [kN ∙ m] - pentru x1
lowast = ξ = 42 [m] Miz(x1lowast = ξ = 42 [m]) = Mimax = 882 [kN ∙ m]
Cu acestea se trasează diagrama Miz = f(x) pe intervalul (A-1) figura 220
Observaţie Icircn unele cazuri pe un anumit interval forţa tăietoare nu se anulează
şi momentul icircncovoietor nu are un extrem local Icircn acest caz pentru reprezentarea
variaţiei parabolice a momentului icircncovoietor se va studia semnul derivatei a doua a
funcţiei Miz = f(x1) acesta determinacircnd convexitatea curbei momentului icircncovoietor
Domeniul (2-B) x2 isin [0 c = 4 m] Porţiunile din grindă libere (nerezemate) la un capăt se numesc console iar
stabilirea funcţiilor de eforturi devine mai simplă dacă se consideră icircndepărtată partea din
dreapta secţiunii prin schimbarea sensului pozitiv al axei x Astfel se obţin funcţiile eforturilor
Funcţia forţă axială Nx are expresia
Nx(x2) = N2minusB = minusFH = minus173 [kN] = const
(A11)
Funcţia forţă tăietoare Ty are exspresia
Ty(x2) = T2minusB = FV = 10 [kN] = const (A12)
Funcţia moment icircncovoietor Miz are expresia
Miz(x2) = minusFV ∙ x2 rArr Miz(x2 = 0) = M2 = 0 [kN ∙ m]
Miz(x2 = 4) = MB = minus40 [kN ∙ m] (A13)
variaţie liniară (gradul I)
Domeniul (B-1) x3 isin [0 b = 4 m] Pe acest domeniu se acceptă parcurgerea grinzii de la dreapta adică se consideră
icircndepărtată partea din dreapta secţiunii fictive pentru că are doar două sarcini aplicate F
şi VB faţă de partea din stacircnga secţiunii pe care sunt aplicate trei sarcini p VA şi M0
Astfel se obţin funcţiile eforturilor
Funcţia forţă axială Nx are expresia
Nx(x3) = NBminus1 = minusFH = minus173 [kN] = const
(A14)
Funcţia forţă tăietoare Ty are exspresia
Ty(x3) = TBminus1 = FV minus VB = minus18 [kN] = const (A15)
Funcţia moment icircncovoietor Miz are expresia
Miz(x3) = minusFV ∙ (x3 + c) + VB ∙ x3 rArr
rArr Miz(x3 = 0) = MB = minus40 [kN ∙ m]
Miz(x3 = 4) = M1 = 32 [kN ∙ m]
(A16)
variaţie liniară (gradul I)
Diagramele eforturilor sunt prezentate icircn figura 220
c) Relaţiile diferenţiale dintre eforturi şi sarcini se analizează pe diagramele
eforturilor după cum urmează
sarcina distribuită nu are componentă orizontală adică ph = 0 şi icircn
conformitate cu formula (211) rezultă că Nx = const pe toată lungimea grinzii fapt care
a rezultat din funcţia şi reprezentarea diagramei forţei axiale
pe intervalul (A-1) sarcina distribuită are doar componenta verticală pozitivă
pV = p gt 0 prin urmare forţa tăietoare scade (are panta negativă dTy 119889119909frasl = minusp vezi
relaţia 210) iar momentul icircncovoietor avacircnd derivata a doua negativă d2M119894119911 1198891199092frasl =minuspare convexitatea curbei orientată spre sensul pozitiv al axei momentului Miz adică icircn
jos
pe domeniile (2-B) şi (B-1) deoarece pv = 0 forţa tăietoare Ty este constantă
iar momentul icircncovoietor Miz variază liniar
referitor la relaţia (212) pe porţiunile unde Ty gt 0 momentul Miz este
monoton crescător pe porţiunile unde Ty lt 0 momentul Miz este monoton descrescător
iar icircn secţiunea icircn care Ty = 0 momentul icircncovoietor are un extrem local Mξ =
882 [kN ∙ m] icircn diagrama forţei tăietoare discontinuităţile (salturile) se produc icircn secţiunile
unde acţionează VA VB şi FV iar icircn diagrama momentului icircncovoietor se produce un
singur salt icircn secţiunea icircn care este aplicat M0
se poate scrie
Mξ = suprafața diagramei Ty |ξ0=1
2∙ 42 ∙ 42 = 882 [kN ∙ m]
sau parcurgacircnd grinda de la dreapta la stacircnga rezultă
MB = minussuprafața diagramei Ty |c0= minus10 ∙ 4 = minus40 [kN ∙ m]
Toate aspectele analizate teoretic referitoare la relaţiile diferenţiale dintre eforturi
şi sarcini se regăsesc icircn diagramele de eforturi din figura 220 ceea ce icircnseamnă că
diagramele au fost reprezentate corect
3 TENSIUNI DEPLASĂRI ŞI DEFORMAŢII SPECIFICE
31 Tensiuni
Eforturile obținute icircn urma reducerii forțelor interioare icircn centrul de greutate al
secțiunii nu pot da informații asupra solicitării fiecărui punct al secțiunii respective Este
necesar să se cunoască modul cum se distribuie forțele interioare icircn fiecare punct al
secțiunii pentru a ști care este intensitatea maximă a solicitării Această intensitate
maximă se poate compara cu o valoare critică specifică materialului stabilindu-se astfel
dacă solicitarea este periculoasă sau nu
Mărimea care caracterizează solicitarea locală punctuală o vom denumi tensiune
și o vom defini icircn cele ce urmează Să considerăm partea din dreapta a unui corp solicitat
de forțele exterioare 1198651 1198652 și 1198653 obținută prin secționarea corpului și mărginită de fața
din dreapta Ad a secțiunii Pe secțiunea Ad vom considera un element de arie infinit mic
∆119860 caracterizat de normala la elementul de arie normală care are cosinușii directori
120573 și icircn raport cu un sistem de axe considerat fix Pe elementul infinit mic ∆119860 acționează
forțele interioare care au o rezultantă oarecare figura 31
Prin definiție tensiunea totală este
= lim∆119860rarr0
∆
∆119860 (31)
Tensiunea are aceeaşi direcţie cu forţa elementară ∆ iar mărimea ei este
determinată atacirct de mărimea forţei ∆ cacirct şi de orientarea suprafeţei ∆119860 faţă de direcţia
forţei
Tensiunea 119901 poate fi descompusă icircntr-o componentă orientată după direcţia
normalei la secţiune tensiunea normală notată cu 120590119909 şi o componentă icircn planul secţiunii
tensiunea tangenţială notată cu figura 32
= 119909 + 120591 (32)
Fig 31 Tensiunea totală Fig 32 Tensiunea normală și tangențială
La racircndul ei componenta tensiunii cuprinsă icircn planul secțiunii poate fi
descompusă după direcțiile axelor y și z
120591 = 120591119909119910 + 120591119909119911 (33)
Icircntre cele trei componente ale tensiunii totale care acționează pe elementul de arie
∆119860 este valabilă relația
1199012 = 1205901199092 + 120591119909119910
2 + 1205911199091199112 (34)
După sensul pe care icircl are tensiunea normală 120590 poate avea efect de tracţiune sau
de compresiune exercitat de către partea de corp icircnlăturată asupra părţii rămase Analog
tensiunea tangenţială 120591 poate avea efect de tăiere forfecare sau alunecare Pentru
componentele tensiunii tangențiale 120591119909119910 pe direcţia 119910 respectiv 120591119909119911 pe direcţia 119911 primul
indice indică axa pe care tensiunea este normală iar cel de-al doilea indice indică axa cu
care aceasta este paralel
Tensiunea este o mărime tensorială valoarea ei depinzacircnd atacirct de poziția
punctului icircn planul secțiunii cicirct și de orientarea planului de secționare deci de normala
Operaţiile vectoriale nu pot fi aplicate tensiunilor decacirct după ce acestea au fost icircnmulţite
cu ariile respective adică au fost transformate icircn forţe
Icircn literatura de specialitate mai ales icircn manualele mai vechi pentru noţiunea de
tensiune se mai foloseşte şi denumirea de efort specific
Dacă se consideră un alt element de arie ∆119860 cu centrul icircn același punct avacircnd ca
normală axa 119910 se vor obține alte tensiuni și anume
- 120590119910 este tensiunea normală (paralelă cu axa y)
- 120591119911119909 și 120591119910119911 sunt tensiuni tangențiale paralele cu axele 119909 și respectiv 119911 aflate icircn
planul care are ca normală axa 119910
Dacă icircn jurul unui punct dintr-un corp solicitat se consider un element de volum
infinit mic de forma unui cub icircn cazul cel mai general pe fețele sale vor acționa
tensiunile normale 120590119909 120590119910 și 120590119911 și respectiv tensiunile tangențiale 120591119909119910 120591119909119911 120591119910119909 120591119910119911 120591119911119909
și respectiv 120591119911119910 figura 33 Aceste tensiuni definesc starea de tensiune a punctului
observacircnd faptul că tensorul tensiune are 9 componente Dacă se consideră elementul
de volum finit ca fiind foarte mic se poate presupune că icircn interiorul său nu apar forțe
Ca urmare el va fi icircn echilibru sub acțiunea forțelor elementare produse de tensiunile de
pe fețele sale
Din condiția ca elementul să nu se rotească icircn jurul unor axe care trec prin centrul
său și sunt paralele cu axele sistemului 119909119874119910119911 rezultă
2 ∙ 120591119909119910 ∙ (119889119910 ∙ 119889119911) ∙119889119909
2= 2 ∙ 120591119910119909 ∙ (119889119909 ∙ 119889119911) ∙
119889119910
2 rArr 120591119909119910 = 120591119910119909 (35)
2 ∙ 120591119910119911 ∙ (119889119909 ∙ 119889119911) ∙119889119910
2= 2 ∙ 120591119911119910 ∙ (119889119909 ∙ 119889119910) ∙
119889119911
2 rArr 120591119910119911 = 120591119911119910 (36)
2 ∙ 120591119909119911 ∙ (119889119910 ∙ 119889119911) ∙119889119909
2= 2 ∙ 120591119911119909 ∙ (119889119909 ∙ 119889119910) ∙
119889119911
2 rArr 120591119909119911 = 120591119911119909 (37)
Relațiile (35divide37) 120591119909119910 = 120591119910119909 120591119910119911 = 120591119911119910 120591119909119911 = 120591119911119909 exprimă principiul dualității
tensiunilor tangențiale
Fig 33 Tensiunile normale și tangențiale pe fețele unui cub
Din condiția ca elementul considerat să nu se deplaseze icircn lungul axelor de
coordonate pe fețele opuse acționează aceleași tensiuni normale 120590119909 120590119910 și respectiv 120590119911
Definirea tensorului tensiune este posibilă dacă se cunosc cele 6 componente
independente ale acestuia aflate icircn trei plane perpendicular ce trec prin punctul respectiv
=
120590119909 120591119909119910 120591119909119911120591119910119909 120590119910 120591119910119911120591119911119909 120591119911119910 120590119911
Observaţii
Tensiunile se măsoară icircn [119873 1198982frasl ] (1119873 1198982frasl = 1 119875119886) sau icircn [119872119875119886]
(1 119872119875119886 = 106119875119886 = 106 119873
1198982 1 119872119875119886 = 1
119873
1198981198982)
Starea de tensiune dintr-un punct este considerată cunoscută dacă se cunosc
tensiunile 119901 care acționează pe infinitatea de elemente de suprafață ce trec prin punctual
considerat
Starea de tensiune a unui corp se consider cunoscută dacă se cunosc stările de
tensiune de pe infinitatea de puncte ale corpului considerat
32 Deplasări Deformaţii specifice
321 Deplasări
Aceste noțiuni sunt utile icircn analiza aspectului geometric al problemelor de rezistența
materialelor Deplasările care se analizează sunt cele datorate schimbării formei și
dimensiunilor corpurilor ca urmare a acțiunii forțelor exterioare și nu cele cinematice
posibile pentru solidul rigid care se poate deplasa cu anumită viteză și accelerație
Spre exemplu icircn figura 34a și figura 34b sub acțiunea forței 119865 tronsonul de
bară AB se deformează icircn timp ce tronsonul BC deși punctele sale au deplasări rămacircne
nedeformat (fiind nesolicitat) Toate punctele de pe axele barelor cu excepția celor din
icircncastrare (secțiunile A) au deplasări liniare De cele mai multe ori deformațiile barelor
datorate acțiunii forțelor exterioare se anulează la icircndepărtarea forțelor se spune că
deformațiile sunt elastice Secțiunile transversale ale barei din figura 34a se și rotesc icircn
raport cu pozițiile lor inițiale Spre exemplu secțiunea de căpăt cu centrul icircn C se rotește
cu unghiul
Fig 34 Deformațiile unei grinzi
Oricacirct de complexă ar fi delormația unui corp ea poate fi descrisă de lungiri sau
scurtări și de modificări ale unghiurilor inițiale
Deplasările măsoară schimbarea poziției unui punct al corpului și pot fi liniare
sau unghiulare
Prin deplasare liniară a unui punct se icircnțelege drumul parcurs de acest punct icircn
decursul procesului de deformație după o dreaptă suport dreapta 1198611198611 din figura 34a
Prin deplasare unghiulară se icircnțelege rotirea dintre segmentele de dreaptă
determinate de două puncte ale corpului icircnainte și după deformarea acestuia unghiul
pe care-l fac segmentele 119861119862 și 11986111198621 din figura 34a Această rotire se măsoară prin
unghiul pe care-l fac proiecțiile dreptelor ce conțin cele două segmente icircntr-un sistem
triortogonal
Icircn cazul cel mai general vectorul deplasare liniară se poate descompune icircntr-un
sistem triortogonal icircn trei componente 119906 119907 și 119908 figura 35
Fig 35 Deplasarea liniară
Se consideră acum un corp solid raportat la un sistem de axe ortogonal 119909119874119910119911
figura 35 după deformarea corpului un punct oarecare 119870 al acestuia se deplasează icircn
poziţia 1198701 vectorul 1198701198701 poartă numele de vectorul deplasării totale
Deplasarea totală este suma deplasărilor pe cele trei direcţii ortogonale iar
aceste deplasări se notează astfel
deplasarea pe direcţia 119909 cu ∥ 119874119909
deplasarea pe direcţia 119910 cu ∥ 119874119910
deplasarea pe direcţia 119911 cu ∥ 119874119911
Componentele deplasărilor și formeză matricea deplasărilor liniare 119906119907119908
322 Deformații
Prin deformație icircn general se icircnțelege orice schimbare de formă a unui corp fără
o evaluare cantitativă Icircn Rezistența Materialelor deformația măsoară variația
dimensiunilor geometrice ale corpului considerat din vecinătatea unui punct analog
deplasărilor deformațiile pot fi liniare și unghiulare (lunecări)
Fig 36 Deplasarea liniară
Deformația liniară ∆119897 reprezintă variația lungimii 119897 a unui element liniar al
corpului deformat figura 36 Deformația liniară specifică se definește ca fiind raportul
dintre deformația liniară și lungimea inițială
휀 =∆119897
119897 (38)
unde ∆119897 este lungirea sau scurtarea care este echivalentă cu deformția liniară totală iar
este alungirea
Deformația unghiulară sau lunecarea unui punct 119860 icircn planul 119861119860119862 se definește
prin relația figura 37
120574 = lim119861119860rarr0119862119860rarr0
(119861119860 minus 119861111986011198621 ) (39)
Fig 36 Deformația unghiulară
Schimbacircnd orientarea planului care trece prin 119860 se obțin alte deformații
unghiulare Dacă elementele liniare 119861119860 și 119862119860 sunt inițial perpendiculare deformația 120574 se
numește deformație unghiulară specifică sau lunecare specifică figura 37
Un exemplu de deplasare unghiulară și de deformație unghiulară este prezentat icircn
figura 38 Unghiul este deplasarea unghiulară și măsoară rotirea relativă dintre două
secțiuni aflate la distanța 119897 Unghiul este deformația specifică unghiulară (lunecarea
specifică) din punctul 119870 Aceste deplasări și deformații se obțin icircn urma solicitării barei
de către cele două momente 1198720 egale și de sens contrar
Fig 38 Deplasarea unghiulară
Pentru a analiza starea de deformație din vecinătatea unui punct al unui corp
solicitat complex se decupează din jurul punctului un element de volum mic figura 39a
avacircnd laturile 119889119909 119889119910 și 119889119911 Ca urmare a solicitării laturile acestuia se vor lungi sau
scurta Reprezentarea elementului deformat icircn spațiu este dificilă pentru simplificare
vom analiza doar deformațiile din planul 119909119874119910 Observăm că dimensiunile 119889119909 și 119889119910 s-au
modificat cu valoarea ∆119889119909 respectiv cu ∆119889119910 analog se acceptă și pentru 119889119911 o modificare
de forma ∆119889119911 Astfel se pot defini deformațiile specifice liniare
휀119909 =∆119889119909
119889119909 휀119910 =
∆119889119910
119889119910 휀119911 =
∆119889119911
119889119911 (310)
De cele mai multe ori aceste deformații specifice liniare se pot exprima procentual
și se mai numesc alungiri
Fig 39 Starea de deformație
Icircn figura 39c se vede că unghiul inițial drept dintre muchiile 119889119909 și 119889119910 ale
elementului de volum s-a modificat Se definește deformația specifică unghiulară (sau
lunecarea specifică) mărimea cu care se modifică unghiul inițial drept
120574119909119910 = 120574119909119910prime + 120574119910119909
prime = 120574119910119909120574119910119911 = 120574119910119911
prime + 120574119911119910prime = 120574119911119910
120574119911119909 = 120574119911119909prime + 120574119909119911
prime = 120574119909119911
(311)
Deformațiile 휀119909 휀119910 휀119911 120574119909119910 120574119910119911 120574119911119909 constituie cele șase componente
independente ale tensorului deformațiilor specifice care pot fi scrise de forma
119863 =
휀119909 120574119909119910 120574119909119911120574119910119909 휀119910 120574119910119911120574119911119909 120574119911119910 휀119911
(312)
323 Contracţia transversală
Practica arată că odată cu lungirea unei bare apare o micşorare a mărimii secţiunii
transversale mărime numită contracţie transversală figura 310
Fig 310 Contracția transversală
Contracţia transversală este proporţională cu lungirea specifică coeficientul de
proporţionalitate se notează cu 120599 şi se numeşte coeficient de contracţie transversală sau
coeficientul lui Poisson
La o lungire specifică a barei contracţia transversală este dată de relația
휀119905119903 = 휀119910 = 휀119911 = minus120599 ∙ 휀119909 (313)
Semnul minus bdquo-rdquo arată că cele două mărimi sunt contrare dacă una creşte cealaltă
scade şi invers
Considerăm o bară cilindrică de lungime 119897 şi aria secţiunii transversale 119860 solicitată
la icircntindere axială La un moment dat datorită solicitării lungimea barei devine
[119897 ∙ (1 + 휀)] diametrul devine [119889 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)] iar aria secţiunii transversale devine
[119860 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)2] Dacă volumul barei icircnainte de solicitare a fost (119860 ∙ 119897) după solicitare
acesta devine
119881 + ∆119881 = 119860 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)2 ∙ 119897 ∙ (1 + 휀) =
= 119860 ∙ 119897 ∙ (1 + 휀 minus 2 ∙ 120599 ∙ 휀 minus 2 ∙ 120599 ∙ 휀2 + 1205992 ∙ 휀2 + 1205992 ∙ 휀3) (314)
Deoarece lungirile sunt foarte mici ultimii trei termeni din paranteză fiind infinit mici se pot neglija obţinacircnd
119881 + ∆119881 = 119860 ∙ 119897 + 119860 ∙ 119897 ∙ 휀 ∙ (1 minus 2 ∙ 120599) ⟺ ∆119881 = 휀 ∙ (1 minus 2 ∙ 120599) ∙ 119860 ∙ 119897 (315)
Practica arătă că o astfel de bară solicitată la icircntindere icircşi măreşte volumul deci
∆119881 gt 0 de unde rezultă că
1 minus 2 ∙ 120599 gt 0 rArr 120599 lt 05 (316)
Pentru majoritatea materialelor 120599 = 033 iar pentru materialele care-şi păstrează
volumul constant 120599 = 05
33 Relaţii de echivalenţă icircntre eforturi şi tensiuni
Considerăm un element de suprafață infinit mic 119889119860 situat pe fața de arie (119860) a
secțiunii barei din figura 311 Icircn centrul de greutate 119862 al secțiunii acționează eforturile
119873 119879119910 119879119911 119872119909 119872119894119910 și 119872119894119911 determinate prin metoda secțiunilor
Icircn raport cu un sistem de axe de referință 119909119862119910119911 coordonatele elementului 119889119860 sunt
- 119910 este ordonata elementului de arie 119889119860
- 119911 este abscisa elementului de arie 119889119860
Pe elementul de arie 119889119860 acționează tensiunile
120590119909 tensiunea normală
120591119909119910 și 120591119909119911 tensiuni tangențiale
Dacă se icircnsumează forțele elementare de tipul 120590119909 ∙ 119889119860 120591119909119910 ∙ 119889119860 și 120591119909119911 ∙ 119889119860
va trebui să obținem eforturile 119873 119879119910 și 119879119911
Fig 311 Element de suprafață mic din secțiunea unei bare
Dacă eforturile sunt privite ca forțe exterioare și se scriu ecuațiile de
echilibru ale secțiunii (119860) se vor obține șase relații de echivalență icircntre eforturi și
tensiuni
(sum119883) = 0 rArr int 120590119909 ∙ 119889119860
119860
= 119873 (317)
(sum119884) = 0 rArr int 120591119909119910 ∙ 119889119860
119860
= 119879119910 (318)
(sum119885) = 0 rArr int 120591119909119911 ∙ 119889119860
119860
= 119879119911 (319)
(sum119872)119909= 0 rArr int(120591119909119911 ∙ 119889119860) ∙ 119910
119860
minus int(120591119909119910 ∙ 119889119860) ∙ 119911
119860
= 119872119909 rArr
rArr int(119910 ∙ 120591119909119911 minus 119911 ∙ 120591119909119910) ∙ 119889119860
119860
= 119872119909
(320)
(sum119872)119910= 0 rArr int(120590119909 ∙ 119889119860) ∙ 119911
119860
= 119872119894119910 (321)
(sum119872)119911= 0 rArr int(120590119909 ∙ 119889119860) ∙ 119910
119860
= 119872119894119911 (322)
Cele șase relații de echivalență icircntre eforturi și tensiuni constituie un pas icircnainte
icircn rezolvarea unei probleme de rezistența materialelor Aceste relații vor permite
determinarea tensiunilor maxime
Pentru a rezolva cele 6 relații de echivalență trebuie să se cunoască tensiunile și
ca funcții de punct adică funcții de forma
120590119909 = 120590119909(119909 119910 119911) 120591119909119910 = 120591119909119910(119909 119910 119911) 120591119909119911 = 120591119909119911(119909 119910 119911) (32
3)
Cunoașterea acestor funcții presupune icircnsă analizarea aspectului geometric al
problemei precum și utilizarea unor ipoteze simplificatoare care să permită simplificarea
problemelor
34 Ipoteze de bază icircn rezistenţa materialelor
Depășirea dificultăților legate de interpretarea unor fenomene specifice mecanicii
solidului deformabil a impus acceptarea unor ipoteze care să simplifice fenomenele și să
contribuie la elaborarea unor modele de calcul cicirct mai generale și cacirct mai simple Aceste
ipoteze se referă la structura materialelor şi la comportarea lor sub acţiunea forţelor
exterioare Ipotezele acceptate trebuie să fie icircn deplină concordanţă cu realitatea și să
conducă la rezultate verificate icircn practică
Funcție de aspectele la care se referă ipotezele pot fi
Ipoteze fizice (de material)
Ipoteze de calcul
341 Ipoteze fizice
Se acceptă deoarece teoriile structurale au condus la rezultate care contravin
icircncercărilor experimentale
Ipoteza mediului continuu consideră că orice domeniu elementar al corpului
este ocupat de materie adică nu se acceptă existența unor goluri sau a unor crăpături
microscopice (fisuri) Deși nu corespunde realităţii poate fi acceptată deoarece
dimensiunile corpului sunt mult mai mari decacirct dimensiunile particulelor elemantare Are
avantajul că permite utilizarea proprietăților matematice ale funcțiilor continue pentru
tensiunile și deformațiile din orice punct al corpului Ea este mai apropiată de realitate la
corpurile amorfe şi mai depărtată la cele cristaline dar conduce la rezultate satisfăcătoare
icircn calculele de rezistenţă
Ipoteza nu se poate aplica la corpurile care au goluri tăieturi (multiplu conexe)
pentru unele puncte singulare icircn care tensiunile și deformațiile tind la infinit sau icircn unele
probleme de plasticitate icircn care proprietățile de material au un rol esențial
Ipoteza izotropiei conform acestei ipoteze materialul din care este confecționat
un element de rezistență are aceleași proprietăți după orice direcție un astfel de material
este considerat izotrop Din punct de vedere macroscopic metalele pot fi considerate
izotrope deși la nivel microscopic proprietățile lor diferă de la o direcție cristalografică
la alta Orice conglomerat de cristale poate fi considerat izotrop
Există cazuri cacircnd această ipoteză a izotropiei nu se acceptă
la metalele puternic deformate după o direcție (prin laminare trefilare)
la piesele confecționate din lemn lemnul este anizotrop deoarece proprietățile sale
diferă după două direcții (icircn lungul fibrelor și perpendicular pe această direcție)
Ipoteza omogenității consideră că un corp are aceleași proprietăți icircn orice
punct al său Deși majoritatea materialelor utilizate icircn tehnică sunt eterogene la scară
micro fiind constituite din mai multe faze cu proprietăți diferite la scară macro ele pot
fi considerate omogene Omogenitatea și izotropia sunt proprietăți statistice medii care
nu se condiționează una pe cealaltă Chiar și materialele monofazice pot avea la scară
micro unele segregații care le fac eterogene
Ipoteza elasticităţii perfecte presupune că atacircta timp cacirct solicitările nu
depăşesc anumite limite materialul are o comportare elastică adică icircşi recapătă forma şi
dimensiunile iniţiale odată cu icircnlăturarea sarcinilor Icircn realitate materialele nu prezintă o
elasticitate perfectă ele avacircnd deformaţii remanente mici care icircnsă pot fi neglijate icircn
calculele de rezistenţă
Acceptarea acestei ipoteze a elasticității perfecte permite
- aplicarea relației biunivoce icircntre tensiuni și deformații relație exprimată de legea
lui Hooke ( = 119864 ∙ 휀) unde E este un factor de proporţionalitate numit modul de
elasticitate longitudinal al materialului pentru oţel 119864 = 21 ∙ 105 [119872119875119886] - acceptarea valabilității afirmației bdquolucrul mecanic efectuat de forțele exterioare
ca urmare a parcurgerii deplasărilor punctelor de aplicație se icircnmagazinează integral icircn
corp sub formă de energie de deformație energie cedată la icircndepărtarea sarcinilorrdquo
- este valabilă teoria conform căreia bdquoenergia icircnmagazinată și deformațiile depind
doar de starea inițială și finală de eforturi fără a ține cont de modul icircn care s-a ajuns la
starea finalărdquo
Icircn realitate oricacirct de mici ar fi sarcinile aplicate se produc și deformații plastice
dar acestea pot fi neglijate dacă solicitarea nu depășește anumite limite
342 Ipoteze de calcul
Ipoteza micilor deplasări bdquodeplasările datorate deformării sunt mult mai mici
decacirct dimensiunile corpurilor și ca urmare pot fi neglijate produsele dintre o deplasare și
ea icircnsăşirdquo Pentru cele mai multe corpuri deformaţiile elastice sunt de mărimi mici deci
corpurile solide sub acţiunea sarcinilor icircşi modifică foarte puţin forma iniţială Această
ipoteză este cunoscută şi sub denumirea de ipoteza menţinerii dimensiunilor iniţiale Ea
permite scrierea ecuaţiilor de echilibru ale staticii pe starea nedeformată a elementului
cacircnd nu se iau icircn considerare deplasările punctelor de aplicaţie ale forţelor care se produc
ca urmare a deformării acestuia Calculul efectuat pe schema nedeformată poartă numele
de calcul de ordinul I
Ipoteza micilor deplasări nu poate fi acceptată pentru studiul problemelor de
stabilitate sau la problemele la care nu pot fi icircndeplinite condiţiile de echilibru icircn starea
nedeformată
Calculul de ordinul II admite ipoteza micilor deplasări dar ecuaţiile de echilibru
se scriu icircnsă pentru starea deformată a elementului de rezistenţă
Calculul de ordinul III nu mai acceptă ipoteza micilor deplasări el referindu-se
la cazul deformaţiilor mari cacircnd ecuaţiile de echilibru trebuie scrise pentru starea
deformată
Chiar dacă materialul satisface legea lui Hooke icircn urma calculelor de ordinul II
se obţin de obicei relaţii neliniare icircntre sarcini şi deplasări iar pentru calculul de ordinul
III rezultă ecuaţii diferenţiale neliniare
Principiul efectului local al acțiunii sarcinilor enunțat de Barre de Saint-
Venant Acest principiu destul de folosit icircn Rezistenţa Materialelor precizează că dacă
se icircnlocuiesc forţele care acţionează asupra unui element de suprafață al unui corp
elastic printr-un alt sistem de forţe echivalent din punct de vedere static cu primul noua
distribuţie a forţelor produce la locul de aplicare diferenţe semnificative faţă de prima
dar rămacircne fără efect sau cu efect neglijabil la distanţe mari de locul de aplicare al
forţelor figura 312
Ca o cosecință o sarcină uniform distribuită figura 312a poate fi icircnlocuită cu
rezultanta ei figura 312b dacă se analizează efectul sarcinii la distanță mare de locul icircn
care se aplică sarcina
Fig 312 Principiul Saint-Venant
Icircn prima variantă figura 312a forţa 119865 se aplică pe o porțiune oarecare 119897 (sarcină
uniform distribuită) iar icircn a doua figura 312b icircntru-un punct (forţă concentrată) La
locul de aplicare a sarcinii efectul asupra barei este cu totul diferit de la o variantă la
cealaltă Icircnsă la o distanţă mare de punctul de aplicaţie spre exemplu icircn secţiunea situată
la distanţa 119886 de capătul barei sau chiar icircn icircncastrare ambele bare sunt solicitate la fel
Icircn cazul din figura 312a
119872119894(119909) =119901 ∙ 1199092
2 119909 le 119897 119872119894(119909) = 119901 ∙ 119897 ∙ (119909 minus
119897
2) 119909 gt 119897 (324)
Icircn cazul din figura 312b
119872119894(119909) = 0 119909 lt119897
2 119872119894(119909) = 119901 ∙ 119897 ∙ (119909 minus
119897
2) 119909 gt
119897
2 (325)
Se vede că pentru (119909 gt 119897) adică după depășirea locului icircn care se aplică sarcina
efectul este același
Ipoteza lui Bernoulli sau ipoteza secţiunilor plane precizează că o secţiune
plană şi normală pe axa barei icircnainte de deformare rămacircne plană şi normală pe axa
barei şi după deformare figura 313
Fig 313 Ipoteza lui Bernoulli
Ipoteza stării naturale a corpului sau ipoteza absenţei tensiunilor conform
căreia pentru un corp nesolicitat starea de tensiune şi deformaţie este nulă
Perfecţionarea mijloacelor de calcul şi de investigare pot conduce la renunţarea la
unele ipoteze sau la introducerea altora noi mai aproape de stările reale De aici rezultă
caracterul de continuă perfecţionare a metodelor Rezistenţei Materialelor
35 Coeficienţi de siguranţă Tensiuni admisibile
O piesă corespunde din punct de vedere tehnic dacă tensiunile care iau naştere icircn
interiorul piesei datorită sarcinilor aplicate nu depăşesc anumite valori limită stabilite
convenţional Aceste valori limită ale tensiunii sunt corelate cu caracteristicile mecanice
ale materialelor
Tensiunea limită utilizată icircn calculele de rezistenţă este cunoscută sub denumirea
de tensiune admisibilă sau rezistenţă admisibilă Rezistenţa admisibilă reprezintă
valoarea convenţională aleasă icircn calcul pe baza practicii pentru tensiunea maximă care
poate apare icircntr-o piesă icircn condiţii date de material şi solicitare
Rezistenţa admisibilă (120590119886 sau 120591119886) poate fi definită faţă de o stare limită
periculoasă stare care trebuie evitată deoarece poate conduce distrugere
120590119886 =120590119897119894119898119888
(326)
unde
120590119897119894119898 este tensiunea corespunzătoare stării limită periculoase
119888 estesupraunitar 119888 gt 1 și reprezintă coeficientul de siguranţă faţă de starea limită
periculoasă considerată
Alegerea unor valori inferioare pentru rezistenţa admisibilă faţă de tensiunea
corespunzătoare stării limită periculoase este necesară deoarece
cunoaşterea sarcinilor este de cele mai multe ori aproximativă şi o depăşire a
acestora este foarte posibilă
caracteristicile mecanice ale materialelor variază icircn limite destul de mari ele
fiind influenţate de mulţi factori
schema aleasă pentru calcul (aplicarea sarcinilor schematizarea structurii
ipotezele de calcul etc) depărtează modelul faţă de cel real
Pentru calculele de verificare tensiunea efectivă maximă din elementul de
rezistenţă trebuie să fie mai mică sau cel mult egală cu cea admisibilă
120590119890119891119898119886119909 le 120590119886 (327)
Valoarea rezistenţei admisibile este influenţată de foarte mulţi factori natura
materialului tratamentele termice aplicate piesei durata de funcţionare a piesei modul
de acţionare icircn timp a sarcinilor felul solicitării temperatura gradul de periculozitate
icircn cazul cedării piesei etc
De asemenea valoarea coeficientului de siguranţă se alege icircn principal ţinacircnd
seama de aceiaşi factori care influenţează şi rezistenţa admisibilă
Rezistenţele admisibile pentru cacircteva materiale sunt următoarele
pentru oțelul de uz general OL37 solicitat la icircntindere compresiune sau
icircncovoiere 120590119886 = 150 [119872119875119886] pentru lemnul de brad solicitat la
- compresiune icircn lungul fibrelor şi solicitat la icircncovoiere 120590119886 = 10 [119872119875119886] - tracţiune icircn lungul fibrelor 120590119886 = 7 [119872119875119886] - compresiune perpendiculară pe fibre 120590119886 = 15 [119872119875119886] - forfecare icircn lungul fibrelor 120591119886 = 2 [119872119875119886] - forfecare perpendiculară pe fibre 120590119886 = 45 [119872119875119886]
terenuri de fundaţie din pămacircnt uscat sau umed 120590119886 = 020 divide 025 [119872119875119886]
4 CARACTERISTICI GEOMETRICE ALE SECȚIUNILOR PLANE
41 Noţiuni introductive
Icircn relaţiile de calcul ale tensiunilor şi deformaţiilor elementelor de rezistenţă
pentru unele solicitări (icircncovoierea și torsiunea) secțiunile plane intervin atacirct prin
dimensiunile lor (aria 119860) cicirct și prin forma și poziția pe care o are secțiunea icircn raport cu
planul solicitării Mărimile care caracterizează o secțiune icircn raport cu forma și poziția față
de axele unui sistem de referință sunt denumite caracteristici geometrice de ordin
superior Aria secțiunii este caracteristica geometrică ce depinde doar de dimensiunile
geometrice ale acesteia
Să considerăm o grindă solicitată de o forță exterioară 119865 aşezată icircn două poziții icircn
raport cu planul forţei figura 41 Icircn urma aplicării forței deși avem aceeași grindă
(aceeași arie a secțiunii transversale) și aceeași forță se constată că pentru varianta din
figura 41a deformațiile sunt mult mai mari adică rezistența la icircncovoiere a grinzii din
figura 41a este mai mare decacirct icircn cazul grinzii din figura 41b Comportarea diferită se
explică prin aceea că modificarea poziţiei secţiunii transversale faţă de planul forţelor
modifică caracteristicile geometrice ale secţiunii transversale a grinzii
Fig 41 Grindă solicitată de forța 119865
Pentru realizarea calculelor de rezistenţă şi rigiditate este foarte importantă
cunoaşterea caracteristicilor geometrice ale suprafeţei secţiunii transversale a elementelor
de rezistenţă
Caracteristicile geometrice ale secţiunii transversale a unui element de rezistenţă
sunt
- aria secțiunii notată cu 119860
- momentul static icircn raport cu o axă notat 119878119911 și respectiv 119878119910
- momentul de inerție care poate fi
axial notat 119868119911 și respectiv 119868119910
centrifugal notat 119868119911119910
polar notat 119868119901
- raza de inerţie (giraţie)notată 119894119911 și respectiv 119894119910
- modulul de rezistență care poate fi
axial notat 119882119911 și respectiv 119882119910
polar notat 119882119901
42 Aria și momentul static al suprafețelor plane
Fie o suprafaţă plană de arie 119860 pe care se ia un element infinit mic de arie 119889119860 şi
un sistem de axe rectangulare 119911119874119910 figura 42 Notăm cu 119862 centrul de greutate al suprafeţei
119860 Poziţia suprafeţei elementare 119889119860 faţă de acelaşi sistem de coordonate 119911119874119910 este dată
de abscisa 119911 ordonata 119910 și raza polară
Fig 42 Suprafață plană de arie 119860
Aria suprafeţei 119860 figura 42 se defineşte ca fiind
119860 ≝ int 119889119860
119860
(41)
Aria suprafeţei este icircntotdeauna pozitivă și se măsoară icircn [1198981198982] Momentul static al suprafeţei de arie 119860 icircn raport cu axele 119874119911 și respectiv 119874119910
figura 42 sunt date de relaţiile
119878119911 ≝ int 119910 ∙ 119889119860
119860
119878119910 ≝ int 119911 ∙ 119889119860
119860
(42)
Momentul static poate fi pozitiv negativ sau nul şi se măsoară icircn [1198981198983] Coordonatele centrului de greutate ale suprafeței 119860 se detrmină cu relațiile
119910119862 ≝int 119910 ∙ 119889119860119860
119860 119911119862 ≝
int 119911 ∙ 119889119860119860
119860
(43)
Cunoscacircnd coordonatele 119910119862 și 119911119862 ale centrului de greutate 119862 al secțiunii 119860 atunci
momentele statice se pot determina cu relațiile
119878119911 ≝ int 119910 ∙ 119889119860
119860
= 119910119862 ∙ 119889119860 119878119910 ≝ int 119911 ∙ 119889119860
119860
= 119911119862 ∙ 119889119860 (44)
Aceste relații arată că momentul static al unei suprafețe icircn raport cu o axă este
egal cu produsul dintre aria suprafeței și distanța de la centrul ariei la axa respectivă
Dacă suprafaţa se poate descompune icircn 119899 suprafeţe simple la care se cunosc ariile
(1198601 1198602 ⋯ 119860119894⋯ 119860119899) și poziţiile centrelor de greutate 119862119894 faţă de sistemul de referinţă
expresiile momentelor statice capătă următoarea formă
119878119911 = sum 119910119862119894 ∙ 119860119894119899119894=1 = 119910119862 ∙ 119860 119878119910 = sum 119911119862119894 ∙ 119860119894
119899119894=1 = 119911119862 ∙ 119860 (45)
Din relaţiile (45) rezultă că poziţia centrului de greutate 119862 al unei suprafeţe
compuse poate fi determinată cu relaţiile
119910119862 = (sum119910119862119894 ∙ 119860119894
119899
119894=1
) 119860frasl 119911119862 = (sum119911119862119894 ∙ 119860119894
119899
119894=1
) 119860frasl (46)
Icircn relația (45) 119910119862119894 și respectiv 119911119862119894 reprezintă coordonatele centrelor de greutate 119862119894
ale fiecărei suprafețe simple 119860119894 icircn raport sistemul de axe 119911119874119910
Se constată (relaţia 42) că dacă axele sistemului de referinţă trec prin centrul de
greutate (119910119862 = 119911119862 = 0) momentele statice sunt nule Axele icircn raport cu care momentele
statice sunt nule şi care trec prin centrul de greutate al suprafeţei se numesc axe centrale
Observație dacă secțiunea compusă are o axă de simetrie centrul secțiunii se
găsește pe acea axă iar dacă secțiunea este dublu simetrică poziția centrului secțiunii este
la intersecția axelor de simetrie
43 Momente de inerţie
Momentele de inerţie axiale ale unei suprafețe se calculează icircn raport cu axele de
coordonate 119874119911 și respectiv 119874119910 figura 42 și se determină cu relațiile
119868119911 ≝ int 1199102 ∙ 119889119860
119860
119868119910 ≝ int 1199112 ∙ 119889119860
119860
(47)
Unde 119910 și 119911 sunt distanțele de la elementul de arie 119889119860 la cele două axe de
coordonate 119874119911 și respectiv 119874119910
Momentele de inerţie axiale se măsoară icircn [1198981198984] şi sunt icircntotdeauna pozitive (aria
119889119860 este icircntotdeauna pozitivă și este multiplicată cu patratul distanței 1199102 dacă 119868119911 sau 119868119910
sunt nule icircnseamnă ca secțiunea nu există)
Momentele de inerție axiale se calculează icircndeosebi pentru axele centrale (care
trec prin centrul secțiunii) deoarece icircn raport cu acele axe 119868119911 și 119868119910 au valori minime
Momentul de inerţie centrifugal calculat faţă ambele axe ale sistemului de
referinţă 119911119874119910 este definit de relația
119868119911119910 ≝ int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860
(48)
Momentul de inerţie centrifugal se măsoară icircn [1198981198984] şi poate fi pozitiv negativ
sau nul
Momentul de ineție centrifugal este nul 119868119911119910 = 0 dacă cel puțin una din axele 119874119911
sau 119874119910 este axă de simetrie pentru secțiune
Se consideră o suprafaţă dreptunghiulară pe care faţă de axa de simetrie 119874119910 se iau
două suprafeţe elementare de arie 119889119860 simetrice faţă de axa 119874119910 figura 43
Fig 43 Suprafață dreptunghiulară cu două arii elementare 119889119860
Făcacircnd suma momentelor de inerţie centrifugale pentru cele două suprafeţe
elementare 119889119860 (din stacircnga şi din dreapta faţă de axa 119874119910) se obţine
int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860119889119903
+ int (minus119911) ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860119904119905119892
= int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860119889119903
minus int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860119904119905119892
= 0 (49)
Acelaşi raţionament se poate face și pentru icircntreaga suprafaţă de unde obținem că
momentul de inerție centrifugal este nul 119868119911119910 = 0 Deci pentru o suprafaţă plană care
are cel puţin o axă de simetrie momentul de inerţie centrifugal faţă de sistemul care
conţine acea axă de simetrie este nul
Momentul de inerţie polar al unei suprafeţei icircn raport cu un punct (pol) 119874 figura
42 este definit prin relaţia
1198680 = 119868119901 ≝ int 1205882 ∙ 119889119860
119860
= int(1199102 + 1199112) ∙ 119889119860
119860
= 119868119911 + 119868119910 (410)
unde este distanţa de la polul 119874 la elementul de arie 119889119860 Momentul de inerţie polar se
măsoară icircn [1198981198984] şi este totdeauna pozitiv
Momentul de inerţie polar este egal cu suma momentelor de inerţie faţă de două axe
perpendiculare oarecare şi care trec prin polul considerat
Razele de giraţie sau razele de inerţie sunt mărimi calculate icircn raport cu axele
secțiunii și definite de relaţiile
119894119911 ≝ radic119868119911119860 119894119910 = radic
119868119910
119860 (411)
Se exprimă icircn [119898119898] şi sunt icircntotdeauna pozitive Semnificația unei raze de inerție
este distanța la care dacă ar fi concentrată icircntreaga arie s-ar obține același moment de
inerție ca și cel calculat pentru aria reală
44 Modulul de rezistenţă
Modulul de rezistență se calculează icircn raport cu axele de referință sau icircn raport cu
un pol figura 42 și pot fi axiale (119882119911119882119910) sau polar (119882119901) și se determină numai pe baza
momentelor de inerţie cu relațiile figura 43
119882119911119898119894119899 ≝119868119911119910119898119886119909
119882119911119898119886119909 ≝119868119911119910119898119894119899
(412)
119882119910119898119894119899 ≝119868119910
119911119898119886119909 119882119910119898119886119909 ≝
119868119910
119911119898119894119899 (413)
119882119901 ≝119868119901
120588119898119886119909 (414)
unde
119910119898119886119909 119910119898119894119899 reprezintă distanţa de la axa 119874119911 la punctele extreme cele mai
depărtate respectiv cele mai apropiate ale suprafeţei de această axă
119911119898119886119909 119911119898119894119899 reprezintă distanţa de la axa 119874119910 la punctele extreme cele mai
depărtate respectiv cele mai apropiate ale suprafeţei de această axă
120588119898119886119909 reprezintă distanța maximă de la polul 119874 la punctul secțiunii cel mai
icircndepărtat de acesta
Fig 43 Suprafață dreptunghiulară cu două arii elementare 119889119860
Modulele de rezistenţă se exprimă icircn [1198981198983] şi sunt icircntotdeauna pozitive
Explicația este aceea că momentele de inerție care intră icircn relațiile de definiție sunt
pozitive iar distanțele la punctele extreme sunt pozitive (119910119898119886119909 119910119898119894119899 119911119898119886119909 119911119898119894119899 120588119898119886119909 se
iau icircn valoare absolută)
Icircn cazul suprafeţelor compuse modulul de rezistenţă nu se obţine prin icircnsumarea
algebrică a modulelor de rezistenţă ale suprafeţelor simple componente ci numai prin
intermediul momentului de inerţie axial calculat pentru icircntreaga secțiune
Ca și momentele de inerție modulele de rezistență se calculează numai pentru
sistemele de axe centrale
45 Momente de inerţie şi module de rezistenţă pentru suprafeţe simple
451 Secțiune dreptunghiulară
Fie suprafaţa dreptunghiulară din figura 44 de icircnălțime ℎ și lățime 119887 pe care se
consideră suprafaţă elementară de arie 119889119860 = 119887119889119910 la distanța 119910 de axa 119862119911 sistemul de
axe 119911119862119910 trece prin centrul secțiunii iar axele sunt axe de simetrie pentru dreptunghi
Fig 44 Suprafață dreptunghiulară
Pe baza relațiilor de definiți a momentului de inerție 119868119911 se obține
119868119911 ≝ int 1199102 ∙ 119889119860
119860
= int 1199102 ∙ 119887 ∙ 119889119910 = 2int 1199102 ∙ 119887 ∙ 119889119910 = 2 ∙ 119887 ∙1199103
3|ℎ 2frasl
0rArr
ℎ 2frasl
0
ℎ 2frasl
minusℎ 2frasl
rArr 119868119911 =119887 ∙ ℎ3
12
(415)
Analog pentru un element de arie 119889119860 = ℎ ∙ 119889119911 paralel cu axa 119862119910 situat la distanța
119911 de axa 119862119910
119868119910 ≝ int 1199112 ∙ 119889119860
119860
= int 1199112 ∙ ℎ ∙ 119889119911 = 2int 1199112 ∙ ℎ ∙ 119889119910 = 2 ∙ ℎ ∙1199113
3|119887 2frasl
0rArr
119887 2frasl
0
119887 2frasl
minus119887 2frasl
rArr 119868119910 =1198873 ∙ ℎ
12
(416)
Deoarece axele 119862119911 și 119862119910 sunt axe de simetrie momentul de inerție centrifugal este
119868119911119910 = 0 (417)
Pentru un pătrat avacircnd laturile egale (ℎ = 119887 = 119886) momentele de inerţie faţă de
axele centrale au expresia
119868119911 = 119868119910 =1198864
12 (418)
Modulele de rezistență axiale se calculează cu relațiile de definiție ținacircnd cont că
distanțele pacircnă la fibrele extreme sunt
119910119898119886119909 = 119910119898119894119899 =ℎ
2 119911119898119886119909 = 119911119898119894119899 =
119887
2 (419)
Obținem
119882119911119898119894119899 = 119882119911119898119886119909 =119868119911
119910119898119886119909119898119894119899=119887 ∙ ℎ3
12frasl
ℎ2frasl
=119887 ∙ ℎ2
6
119882119910119898119894119899 = 119882119910119898119886119909 =119868119910
119911119898119886119909119898119894119899=1198873 ∙ ℎ
12frasl
1198872frasl
=1198872 ∙ ℎ
6
(420)
452 Suprafaţă circulară
Din motive de simetrie pentru suprafeţele circulare momentele de inerţie faţă de
orice diametru (care reprezintă şi axe centrale) sunt aceleaşi
Considerăm o secțiune circulară plină cu diametrul 119889 și centrul de greutate 119862 Prin
centrul de greutate 119862 trece sistemul de axe ortogonal 119911119862119910 figura 45
Fig 45 Suprafață circulară
La distanța de centrul de greutate 119862 vom lua un element de suprafață mic de arie
(119889119860) de forma unui inel de grosime 119889 Elementul de arie 119889119860 are expresia
119889119860 = (2 ∙ 120587 ∙ 120588) ∙ (119889120588)
Pornind de la relația de definiție a momentului de inerție polar obținem
119868119901 ≝ int 1205882 ∙ 119889119860
119860
= int 1205882 ∙ (2 ∙ 120587 ∙ 120588) ∙ 119889120588
119903=119889 2frasl
0
= 2 ∙ 120587 ∙1205884
4|119889 2frasl0 rArr
rArr 119868119901 =120587 ∙ 1198894
32
(421)
Secțiunea este perfect simetrică deci sunt valabile relațiile
119868119911 = 119868119910 rArr 119868119901 = 119868119911 + 119868119910 = 2 ∙ 119868119911 = 2 ∙ 119868119910 =119868119901
2=120587 ∙ 1198894
64 (422)
Și modulele de rezistenţă faţă de orice diametru sunt egale şi se calculează cu
relaţiile
119882119911 = 119882119910 =1198681199111198892frasl=120587 ∙ 1198893
32 (423)
Modulul de rezistenţă polar este
119882119901 =1198681199011198892frasl=120587 ∙ 1198893
16 (424)
453 Secţiune inelară
Calculul momentelor de inerţie axiale pentru o secţiune inelară avacircnd diametrul
interior 119889 şi diametrul exterior 119863 se determină analog pentru suprafaţa circulară plină cu
observaţia că integrala pentru calculul momentului de inerție polar 119868119901 se face icircntre
limitele 119903 = 119889 2frasl şi R= 1198632frasl (icircntre raza interioară 119903 şi raza exterioară 119877) figura 46
Se obţin relaţiile
119868119901 =120587 ∙ 1198634
32∙ [1 minus (
119889
119863)4
] =120587 ∙ 1198634
32∙ (1 minus 1198964) (425)
119868119910 = 119868119910 =120587 ∙ 1198634
64∙ [1 minus (
119889
119863)4
] =120587 ∙ 1198633
64∙ (1 minus 1198964) (426)
Fig 46 Secțiune inelară
119882119901 =120587 ∙ 1198633
16∙ [1 minus (
119889
119863)4
] =120587 ∙ 1198633
16∙ (1 minus 1198964) (427)
119882119911 = 119882119910 =120587 ∙ 1198633
32∙ [1 minus (
119889
119863)4
] =120587 ∙ 1198633
32∙ (1 minus 1198964) (428)
unde 119896 = 119889119863frasl
46 Variaţia momentelor de inerţie faţă de axe paralele
( Relațiile lui STEINER)
Se consideră o suprafaţă oarecare de arie 119860 cu elementul de arie 119889119860 și un sistemul
de axe central 119911119862119910 faţă de care se cunosc momentele de inerţie 119868119911 119868119910 119868119911119910 şi considerăm
un sistem de axe 11991111198741199101 paralele cu sistemul central figura 47 Se pune problema
determinării momentele de inerţie 1198681199111 1198681199101 11986811991111199101 faţă de sistemul de axe paralel cu sistemul
central 11991111198741199101 axe aflate la distanţele 119910119862 = 119888 respectiv 119911119862 = 119889 de acesta
461 Momente de inerţie axiale
Pe baza relaţiilor de definire şi a notaţiilor din figura 42 pentru momentele de
inerţie faţă de axele 1198741199111 1198741199101 se poate scrie
1198681199111 = int 11991012 ∙ 119889119860
119860
= int(119910 + 119888)2 ∙ 119889119860
119860
= int 1199102 ∙ 119889119860
119860
+ 2 ∙ 119888 ∙ int 119910 ∙ 119889119860
119860
+
+1198882int 119889119860
119860
rArr 1198681199111 = 119868119911 + 2 ∙ 119888 ∙ 119878119911 + 1198882 ∙ 119860 hArr 1198681199111 = 119868119911 + 119888
2 ∙ 119860
(429)
Fig 47 Variaţia momentelor de inerţie față de axe paralele
S-a ajuns la relația (429) deoarece momentul static 119878119911 este nul deoarece axa 119862119885
este axă centrală
Pentru momentul de inerție axial icircn raport cu axa 1198741199101 se obține
1198681199101 = int 11991112 ∙ 119889119860
119860
= int(119911 + 119889)2 ∙ 119889119860
119860
= int 1199112 ∙ 119889119860
119860
+ 2 ∙ 119889 ∙ int 119911 ∙ 119889119860
119860
+
+1198892 ∙ int 119889119860
119860
rArr 1198681199101 = 119868119910 + 2 ∙ 119889 ∙ 119878119910 + 1198892 ∙ 119860 hArr 1198681199101 = 119868119910 + 119889
2 ∙ 119860
(430)
Pentru momentul de inerție centrifugal obținem
11986811991111199101 = int 1199101 ∙ 1199111 ∙ 119889119860
119860
= int(119910 + 119888) ∙ (119911 + 119889) ∙ 119889119860
119860
= int 119910 ∙ 119911 ∙ 119889119860 +
119860
+119888 ∙ int 119911 ∙ 119889119860
119860
+ 119889 ∙ int 119910 ∙ 119889119860
119860
rArr 11986811991111199101 = 119868119911119910 + 119888 ∙ 119889 ∙ 119860
(431)
Deoarece
int 119911 ∙ 119889119860
119860
= 119878119910 = 0 int 119910 ∙ 119889119860
119860
= 119878119911 = 0 int 119910 ∙ 119911 ∙ 119889119860
119860
= 119868119911119910
Relaţiile (429) şi (430) arată că momentul de inerţie faţă de o axă oarecare
este egal cu momentul de inerţie faţă de o axă paralelă cu ea trecacircnd prin centrul de
greutate la care se adaugă produsul dintre aria suprafeţei şi pătratul distanţei dintre
cele două axe
Din relaţiile (429) și (430) rezultă de asemenea că momentul de inerţie faţă de o
axă centrală (care trece prin centrul de greutate) este cel mai mic dintre infinitatea de
momente de inerţie obținute faţă de alte axe paralele cu ea
Relaţia (431) arată de asemenea că momentul de inerţie centrifugal faţă de un
sistem de axe oarecare este egal cu momentul de inerţie centrifugal faţă de un sistem
paralele cu el trecacircnd prin centrul de greutate a suprafeţei la care se adaugă produsul
dintre aria suprafeţei şi distanţele dintre axele sistemelor respective
Icircn literatura de specialitate relaţiile (429) (430) şi (431) sunt cunoscute sub
numele de relaţiile lui Steiner
47 Variaţia momentrlor de inerţie faţă de axe rotite
Direcţii principale şi momente de inerţie principale
Fie suprafaţa plană din figura 48 de arie 119860 pe care considerăm o suprafaţă
elementară de arie 119889119860 Pentru sistemul de axe 119911119874119910 se cunosc momentele de inerţie
119868119911 119868119910 119868119911119910 şi vom determina relaţiile de calcul pentru momentele de inerţie afererent unui
sistem de axe 11991111198741199101 rotit cu un unghi faţă de sistemul central
Faţă de sistemul de axe 11991111198741199101 elementul de arie 119889119860 are coordonatele
1199101 = 119875119877 = 119875119876 minus 119877119876 = 119910 ∙ cos 120572 minus 119911 ∙ sin 120572
1199111 = 119873119872 = 119873119875 minus 119875119872 = 119911 ∙ cos 120572 + 119910 ∙ sin 120572 (432)
Fig 47 Variaţia momentelor de inerţie față de axe rotite
Pe baza relaţiilor de calcul ale momentelor de inerţie şi a notaţiilor din figura 42
şi ale relaţiilor (432) momentele de inerţie faţă de sistemul de axe rotit 11991111198741199101 sunt
1198681199111 =119868119911 + 119868119910
2+119868119911 minus 119868119910
2∙ cos 2120572 minus 119868119911119910 ∙ sin 2120572 (433)
1198681199101 =119868119911 + 119868119910
2minus119868119911 minus 119868119910
2∙ cos 2120572 + 119868119911119910 ∙ sin 2120572 (434)
11986811991111199101 =119868119911 minus 119868119910
2∙ sin 2120572 + 119868119911119910 ∙ cos 2120572 (435)
Din relaţiile 433divide435 se observă că icircntre momentele de inerţie axiale şi cele
polare există relaţia
1198681199111 + 1198681199101 = 119868119911 + 119868119910 = 119868119901 (436)
adică suma momentelor de inerţie axiale icircn raport cu orice pereche de axe ortogonale
care trec printr-un pol dat este o constantă şi egală cu momentul de inerţie polar
Prin rotirea sistemului de axe din relaţiile 433divide435 rezultă că momentele de inerţie
variază icircnsă suma lor rămacircne constantă deci există o poziţie a sistemului de axe pentru
care momentele de inerţie au valori extreme maxim respectiv minim
471 Direcţii principale de inerţie
Valoarea unghiului 120572 pentru care momentele de inerţie axiale au valori extreme
este
1205721 =1
2∙ 119886119903119888119905119886119899 (minus
2 ∙ 119868119911119910
119868119911 minus 119868119910) (437)
Poziţia celeilalte direcţii este perpendiculară pe cea dată de unghiul 1205721
Din relaţia (437) se constată că faţă de aceste direcţii rotite pentru care momentele
de inerţie axiale prezintă valori extreme momentul de inerţie centrifugal 11986811991111199101este nul
Atunci se poate afirma că momentele de inerţie axiale au valori extreme icircn raport cu
direcţiile faţă de care momentul de inerţie centrifugal este nul Aceste direcţii se numesc
direcţii principale iar momentele de inerţie faţă de aceste direcţii poartă numele de
momente de inerţie principale
Icircn calculele de rezistenţă interesează icircn mod special poziţia direcţiilor principale
care trec prin centrul de greutate al suprafeţei aşa numitele direcţii principale centrale şi
evident momentele de inerţie principale centrale
Direcţiile principale de inerţie se notează cu 1 respectiv 2 Axa principală 1
corespunde direcţiei faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea maximă iar
axa principală 2 pentru direcţia faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea
minimă
472 Momente de inerţie principale
Momentele de inerţie principale se notează cu litera 119868 la care se pune indicele 1
sau 2 după cum valoarea acestuia este maximă sau minimă deci avem un moment de
inerţie principal 1 (notat 1198681) respectiv moment de inerţie principal 2 (notat 1198682)
Expresiile pentru momentele de inerţie principale sunt
11986812 =119868119911 + 119868119910
2plusmn1
2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)
2+ 4 ∙ (119868119911119910)
2 (438)
Dacă momentul de inerţie centrifugal este negativ (119868119911119910 lt 0) direcţia principală
care trece prin primul cadran (definit de sistemul 119911119862119910) este direcţia principală 120783
Pentru suprafeţele cu cel puţin o axă de simetrie direcţiile centrale 119862119911 119862119910 sunt şi
direcții principale de inerţie și evident momentele de inerţie axiale 119868119911 119868119910 sunt momente
de inerţie principale
48 Caracteristici mecanice ale metalelor
Alegerea materialului pentru confecţionarea unei anumite piese se face şi pe baza
aşa numitelor caracteristici mecanice pe care le prezintă materialul Cunoaşterea acestor
caracteristici mecanice are loc numai pe baza unor icircncercări mecanice care să scoată icircn
evidenţă comportarea materialului icircn condiţii de solicitare
Cea mai utilizată icircncercare icircn urma căreia se pun icircn evidenţă caracteristicile
mecanice ale unui material este icircncercarea la tracţiune
481 Icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general
Icircncercarea la tracţiune a oţelului ca de altfel toate icircncercările de materiale este
standardizată
Icircn cele ce urmează se va prezenta numai partea care interesează strict din punct
de vedere al caracteristicilor mecanice ale oţelului
Epruveta de diametru iniţial 1198890 pentru icircncercarea la tracţiune are o porţiune de
lungime 1198710 numită baza de măsurare pe care se măsoară lungirea acesteia sub acţiunea
solicitării
Icircn funcţie de raportul dintre baza de măsurare 1198710 şi diametrul iniţial 1198890 epruvetele
utilizate pentru icircncercări sunt
epruvete normale (scurte) cacircnd 11987101198890 = 5
epruvete lungi cacircnd 11987101198890 = 10
Icircn timpul icircncercării la diferite valori ale forţei 119865 se măsoară lungirea bazei de
măsurare
∆119871 = 120575 = 119871 minus 1198710 (439)
unde
119871 este dimensiunea bazei de măsurare la un moment dat
Curba forţă-lungire (119865 minus ) icircnregistrată icircn urma icircncercării reprezintă curba
caracteristică la tracţiune
La icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general diagrama caracteristică care se
obţine are forma din figura 48
Curba caracteristică la tracţiune depinde de lungimea bazei de măsurare Pentru
icircnlăturarea acestui neajuns curba caracteristică se reprezintă icircn coordonate şi definite
astfel
120590 =119865
1198600 휀 =
120575
1198710 (440)
unde
1198600 este aria iniţială a secţiunii transversale a epruvetei (icircnainte de solicitare) icircn
zona bazei de măsurare
1198600 =120587 ∙ 1198890
2
4
Deoarece mărimile icircn care se reprezintă curba caracteristică la tracţiune sunt
raportate la aria iniţială a secţiunii transversale (mărimi specifice) curba poartă numele
de curbă caracteristică convenţională la tracţiune
Fig 48 Curba caracteristică convenţională la tracțiune
Pe curba caracteristică convenţională la tracţiune figura 48 se pot stabili o serie
de puncte cărora le corespund mai multe mărimi importante
Ordonata punctului A pacircnă unde curba caracteristică convenţională este linie
dreaptă se numeşte limita de proporţionalitate a materialului 120590119901(1205901) Porţiunea 119874119860 este
zona de proporţionalitate a curbei caracteristice pe acest domeniu este valabilă legea lui
Hooke care exprimă o proporţionalitate icircntre tensiune şi deformaţie specifică
120590 = 119864 ∙ 휀 (441)
unde
119864 = reprezintă panta porţiunii liniare a curbei convenționale caracteristice
la tracțiune Caracteristica de material 119864 se numeşte modul de elasticitate longitudinal
(modulul lui Young)
Ordonata punctului 119861 pacircnă unde materialul se comportă perfect elastic adică
după descărcare icircşi recapătă dimensiunea iniţială 1198710 se numeşte limita de elasticitate
120590119890(119877119890) Icircn realitate nici un material nu are comportare perfect elastică sub acţiunea
solicitărilor el capătă deformaţii permanente (remanente plastice)
După punctul 119861 urmează o porţiune 119861119862119863 icircn care cu toate că icircncărcarea
continuă forţa nu mai creşte avacircnd mici oscilaţii icircn jurul unei valori Se spune că icircn
această porţiune materialul curge iar intervalul 119861119862119863 este un palier de curgere Tensiunea
corespunzătoare palierului de curgere se numeşte limită de curgere aparentă 120590119888(119877119888) Limita de curgere aparentă se calculează cu relaţia
120590119888 =1198651198881198600 (442)
unde
119865119888 reprezintă valoarea forţei icircnregistrată icircn momentul curgerii materialului
După punctul 119863 curba caracteristică are un traseu ascendent pacircnă icircn punctul 119864
Porţiunea 119863119864 este numită zonă de icircntărire (ecruisare) Icircn zona de ecruisare unde se
produc deformaţii plastice semnificative legea lui Hooke nu mai este valabilă La
descărcare relaţia dintre tensiunea şi deformaţia specifică este liniară paralelă cu
porţiunea liniară a curbei caracteristice (dreapta 119872119873)
Deformaţia totală (휀119905) are două componente una elastică (휀119890) şi una plastică (휀119901)
Ordonata punctului 119864 reprezintă rezistenţa de rupere 120590119903(119877119898) a materialului
care se poate calcula cu relaţia
120590119903 = 119877119898 =1198651198981198861199091198600
(443)
unde
119865119898119886119909 reprezintă valoarea maximă a forţei icircnregistrată icircn timpul icircncercării
La atingerea valorii 119865119898119886119909 (punctul 119864) icircntr-un anumit loc al epruvetei secţiunea
icircncepe să se micşoreze (se produce gacirctuirea) continuacircnd pacircnă cacircnd se produce ruperea
totală (punctul 119865)
Dacă după ruperea epruvetei cele două părţi rezultate se aşează cap la cap şi se
măsoară dimensiunea bazei de măsurare 119871119906 (lungimea ultimă) se determină alungirea la
rupere sau lungirea specifică la rupere 휀119903
휀119903 =119871119906 minus 11987101198710
=∆119871
1198710=120575
1198710 (444)
De obicei alungirea se exprimă icircn procente şi se notează cu 119860119899 unde 119899 reprezintă
numărul dat de raportul 11987101198890 (epruvete normale 119899 = 5 epruvete lungi 119899 = 10)
119860119899 =119871119906 minus 11987101198710
∙ 100 [] (445)
Altă mărime care se determină la icircncercarea la tracţiune este gacirctuirea la rupere
(exprimată de obicei icircn procente) şi definită de relaţia
119885 =1198600 minus 1198601199061198600
∙ 100 [] (446)
Mărimile determinate limita de proporţionalitate modulul de elasticitate
longitudinal limita de elasticitate limita de curgere aparentă rezistenţa de rupere
alungirea la rupere şi gacirctuirea la rupere sunt cunoscute ca fiind caracteristici mecanice
ale materialului
Din curba caracteristică convenţională observăm faptul că ruperea (punctul 119865 din
figura 48 se produce la o tensiune mai mică decacirct cea corespunzătoare punctului 119864 Dacă
icircnsă forţa din timpul icircncercării s-ar raporta la aria secţiunii din momentul icircnregistrării
forţei (care este mai mică decacirct cea iniţială 1198600) s-ar obţine aşa numita curbă
caracteristică reală a materialului (traseul 1198741198601198611198621198631198651 din figura 48) La curba
caracteristică reală ruperea se produce icircn punctul 1198651 la o icircncărcare mai mare decacirct cea
corespunzătoare punctului 119864 Icircnseamnă că rezistenţa reală la rupere este mai mare decacirct
rezistenţa la rupere dată de punctul 119864 din diagrama caracteristică convenţională
Dificultatea obţinerii diagramei caracteristice reale faţă de cea a diagramei caracteristice
convenţionale şi considerarea unei rezistenţe la rupere mai mică decacirct a celei reale face
icircn practică utilizarea pe scară mare a diagramei caracteristice convenţionale
Caracteristicile mecanice determinate pe baza curbei caracteristice convenţionale
sunt şi ele caracteristici mecanice convenţionale
Caracteristicile mecanice convenţionale limita de proporţionalitate convenţională
120590119901 limita de elasticitate convenţională 120590119890 limita de curgere convenţională 120590119888 şi rezistenţa
de rupere 120590119903 constituie tensiuni limită pentru un material Pe baza acestor caracteristici
de material se alege valoarea tensiunii admisibile 120590119886 (vezi paragraful 35) pentru
calculele de rezistenţă Cea mai utilizată stare limită pentru stabilirea tensiunii admisibile
120590119886 este limita de curgere convenţională 120590119888
120590119886 =120590119897119894119898119888
=120590119888119888 119904119886119906 120590119886 =
120590119903119888 (447)
Caracteristicile mecanice ale materialului sunt influenţate de o serie de factori
temperatura viteza de solicitare factorii tehnologici iar valorile lor sunt date icircn tabele și
diagrame
Aplicaţie Pentru suprafaţa plană compusă din două dreptunghiuri avacircnd
dimensiunile din figura 49a să se calculeze
a) centrul de greutate al secțiunii compuse 119910119866 119911119866
b) momentele de inerție axiale 119868119911 119868119910 și momentul de inerție centrifugal 119868119911119910
c) razele de inerție 119894119911 119894119910
d) modulele de rezistență 119882119911119898119894119899 119882119911119898119886119909 119882119910119898119894119899 119882119910119898119886119909
e) momentele de inerție principale 1198681 1198682 și direcțiile principale de inerție 1205721
f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 119878119911
Fig 49 Aplicație
Rezolvare Pentru rezolvare vom parcurge următoarele etape
icircmpărțim suprafața compusă icircn două suprafețe simple (dreptunghiuri) notate cu
① și respectiv ② figura 49b
poziționăm centrele de greutate a celor două suprafețe simple ① și respectiv ②
notate cu 1198661 și respectiv 1198662 figura 49c
poziționăm sistemele de axe de coordonate 119911111986611199101 pentru dreptunghiul ① și
119911211986621199102 pentru dreptunghiul ② aflate la intersecția diagonalelor figura 49c
poziționăm sistemele de axe de coordonate 11991101198741199100 ales arbitrar față de care
determinăm poziția centrului de greutate 119866 figura 49c
a) calculăm poziția centrului de greutate folosind relațiile (46) icircn care
1198601 = 6119905 ∙ 119905 = 61199052 1198602 = 4119905 ∙ 119905 = 41199052 119860 = 1198601 + 1198602 = 61199052 + 41199052 = 101199052
iar centrele de greutate 1198661 și respectiv 1198662 au coordonatele (față de sistemul 11991101198741199100)
1198661 1199101 = 3119905 1199111 = 05119905
1198662 1199102 = 051199051199112 = 3119905
cu acestea obținem
119910119866 =1198601 ∙ 1199101 + 1198602 ∙ 1199102
119860=61199052 ∙ 3119905 + 41199052 ∙ 05119905
101199052=201199053
101199052= 2119905
119911119866 =1198601 ∙ 1199111 + 1198602 ∙ 1199112
119860=61199052 ∙ 05119905 + 41199052 ∙ 3119905
101199052=151199053
101199052= 15119905
Poziționăm centrul de greutate 119866 al suprafeței compuse figura 49c
Fig 49 Aplicație
b) pentru determinarea momentelor de inerție axiale 119868119911 119868119910 și a momentului de
inerție centrifugal 119868119910119911 determinăm constantele 1198881 1198882 1198891 1198892 care intervin icircn relația lui
Stainer
1198881 = 1199101 minus 119910119866 = 3119905 minus 2119905 = 119905 1198882 = minus(119910119866 minus 1199102) = minus(2119905 minus 05119905) = minus15119905
1198891 = minus(119911119866 minus 1199111) = minus(15119905 minus 05119905) = minus119905 1198892 = 1199112 minus 119911119892 = 3119905 minus 15119905 = 15119905
Folosind relațiile lui Stainer (429) (430) și (431) calculăm momentele de
inerție axiale și centrifugale față de sistemul central 119911119866119866119910119866
119868119911 =sum(119868119911119894 + 1198881198942 ∙ 119860119894) = 1198681199111 + 1198881
2 ∙ 1198601 + 1198681199112 + 11988822 ∙ 1198602
119868119910 =sum(119868119910119894 + 1198891198942 ∙ 119860119894) = 1198681199101 + 1198891
2 ∙ 1198601 + 1198681199102 + 11988922 ∙ 1198602
119868119911119910 =sum(119868119911119894119910119894 + 119888119894 ∙ 119889119894 ∙ 119860119894) = 11986811991111199101 + 1198881 ∙ 1198891 ∙ 1198601 + 11986811991121199102 + 1198882 ∙ 1198892 ∙ 1198602
1198681199111 = (119887 ∙ ℎ3
12) =
119905 ∙ (6119905)3
12= 181199054 1198681199112 = (
119887 ∙ ℎ3
12) =
4119905 ∙ 1199053
12= 031199054
1198681199101 = (1198873 ∙ ℎ
12) =
1199053 ∙ 6119905
12= 051199054 1198681199102 = (
1198873 ∙ ℎ
12) =
(4119905)3 ∙ 119905
12= 531199054
11986811991111199101 = 11986811991121199102 = 0 deoarece cele două triunghiuri au cel puțin o axă de simetrie
Cu acestea momentele de inerție axiale și momentul de inerție centrifugal devin
119868119911 = 181199054 + 1199052 ∙ 61199052 + 031199054 + (minus15119905)2 ∙ 41199052 = 3331199054
119868119910 = 051199054 + (minus119905)2 ∙ 61199052 + 531199054 + (15119905)2 ∙ 41199052 = 2081199054
119868119911119910 = 0 + 119905 ∙ (minus119905) ∙ 61199052 + 0 + (minus15119905) ∙ (15119905) ∙ 41199052 = minus151199054
c) razele de inerție sau de girație față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910
se calculează cu relațiile (411)
119894119911 = radic119868119911119860= radic
3331199054
101199052= 182119905 119894119910 = radic
119868119910
119860= radic
2081199054
101199052= 144119905
d) modulele de rezistență față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910 se
calculează cu relațiile (412) și (413)
Avacircnd icircn vedere figura 419c obținem
119910119898119886119909 = 6119905 minus 119910119866 = 6119905 minus 2119905 = 4119905 119910119898119894119899 = minus119910119866 = minus2119905
119911119898119886119909 = 5119905 minus 119911119866 = 5119905 minus 15119905 = 35119905 119911119898119894119899 = minus119911119866 = minus15119905
Se obține astfel
119882119911119898119894119899 =119868119911
|119910119898119886119909|=3331199054
4119905= 8331199053
119882119911119898119886119909 =119868119911
|119910119898119894119899|=3331199054
2119905= 16651199053
119882119910119898119894119899 =119868119910
|119911119898119886119909|=2081199054
35119905= 5941199053
119882119910119898119886119909 =119868119910
|119911119898119894119899|=2081199054
15119905= 13871199053
e) momentele de inerție principale 1198681 și respectiv 1198682 se calculează cu relațiile
(438)
11986812 =119868119911 + 119868119910
2plusmn1
2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)
2+ 4 ∙ (119868119911119910)
2=
=3331199054 + 2081199054
2plusmn1
2∙ radic(3331199054 minus 2081199054)2 + 4 ∙ (minus151199054)2 = 27051199054 plusmn 16251199054
De unde obținem
1198681 = 27051199054 + 16251199054 = 4331199054
1198682 = 27051199054 minus 16251199054 = 1081199054
Prima direcție principală de inerție 1 face cu axa centrală 119866119911 unghiul 1205721 dat de
relația (437)
1205721 =1
2∙ arctan (minus
2 ∙ 119868119911119910
119868119911 minus 119868119910) =
1
2∙ arctan [minus
2 ∙ (minus151199054)
3331199054 minus 2081199054] =33 70
Deoarece 1205721 gt 0 rotirea axelor se face acircn sens antiorar acelor de ceasornic figura
49d
Poziția axe principale 2 față de care momentul de inerție are valoarea minimă
1198682 = 119868119898119894119899 este dată de unghiul
1205722 = 1205721 + 900 = 33 70 + 900 = 123 70
f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 se determină cu relația
(45)
1198781199111198602 = 1198602 ∙ 1198882 = 41199052 ∙ (minus15119905) = minus61199053
Astfel se obţin funcţiile eforturilor
Funcţia forţă axială Nx are expresia
Nx(x3) = NBminus1 = minusFH = minus173 [kN] = const
(A14)
Funcţia forţă tăietoare Ty are exspresia
Ty(x3) = TBminus1 = FV minus VB = minus18 [kN] = const (A15)
Funcţia moment icircncovoietor Miz are expresia
Miz(x3) = minusFV ∙ (x3 + c) + VB ∙ x3 rArr
rArr Miz(x3 = 0) = MB = minus40 [kN ∙ m]
Miz(x3 = 4) = M1 = 32 [kN ∙ m]
(A16)
variaţie liniară (gradul I)
Diagramele eforturilor sunt prezentate icircn figura 220
c) Relaţiile diferenţiale dintre eforturi şi sarcini se analizează pe diagramele
eforturilor după cum urmează
sarcina distribuită nu are componentă orizontală adică ph = 0 şi icircn
conformitate cu formula (211) rezultă că Nx = const pe toată lungimea grinzii fapt care
a rezultat din funcţia şi reprezentarea diagramei forţei axiale
pe intervalul (A-1) sarcina distribuită are doar componenta verticală pozitivă
pV = p gt 0 prin urmare forţa tăietoare scade (are panta negativă dTy 119889119909frasl = minusp vezi
relaţia 210) iar momentul icircncovoietor avacircnd derivata a doua negativă d2M119894119911 1198891199092frasl =minuspare convexitatea curbei orientată spre sensul pozitiv al axei momentului Miz adică icircn
jos
pe domeniile (2-B) şi (B-1) deoarece pv = 0 forţa tăietoare Ty este constantă
iar momentul icircncovoietor Miz variază liniar
referitor la relaţia (212) pe porţiunile unde Ty gt 0 momentul Miz este
monoton crescător pe porţiunile unde Ty lt 0 momentul Miz este monoton descrescător
iar icircn secţiunea icircn care Ty = 0 momentul icircncovoietor are un extrem local Mξ =
882 [kN ∙ m] icircn diagrama forţei tăietoare discontinuităţile (salturile) se produc icircn secţiunile
unde acţionează VA VB şi FV iar icircn diagrama momentului icircncovoietor se produce un
singur salt icircn secţiunea icircn care este aplicat M0
se poate scrie
Mξ = suprafața diagramei Ty |ξ0=1
2∙ 42 ∙ 42 = 882 [kN ∙ m]
sau parcurgacircnd grinda de la dreapta la stacircnga rezultă
MB = minussuprafața diagramei Ty |c0= minus10 ∙ 4 = minus40 [kN ∙ m]
Toate aspectele analizate teoretic referitoare la relaţiile diferenţiale dintre eforturi
şi sarcini se regăsesc icircn diagramele de eforturi din figura 220 ceea ce icircnseamnă că
diagramele au fost reprezentate corect
3 TENSIUNI DEPLASĂRI ŞI DEFORMAŢII SPECIFICE
31 Tensiuni
Eforturile obținute icircn urma reducerii forțelor interioare icircn centrul de greutate al
secțiunii nu pot da informații asupra solicitării fiecărui punct al secțiunii respective Este
necesar să se cunoască modul cum se distribuie forțele interioare icircn fiecare punct al
secțiunii pentru a ști care este intensitatea maximă a solicitării Această intensitate
maximă se poate compara cu o valoare critică specifică materialului stabilindu-se astfel
dacă solicitarea este periculoasă sau nu
Mărimea care caracterizează solicitarea locală punctuală o vom denumi tensiune
și o vom defini icircn cele ce urmează Să considerăm partea din dreapta a unui corp solicitat
de forțele exterioare 1198651 1198652 și 1198653 obținută prin secționarea corpului și mărginită de fața
din dreapta Ad a secțiunii Pe secțiunea Ad vom considera un element de arie infinit mic
∆119860 caracterizat de normala la elementul de arie normală care are cosinușii directori
120573 și icircn raport cu un sistem de axe considerat fix Pe elementul infinit mic ∆119860 acționează
forțele interioare care au o rezultantă oarecare figura 31
Prin definiție tensiunea totală este
= lim∆119860rarr0
∆
∆119860 (31)
Tensiunea are aceeaşi direcţie cu forţa elementară ∆ iar mărimea ei este
determinată atacirct de mărimea forţei ∆ cacirct şi de orientarea suprafeţei ∆119860 faţă de direcţia
forţei
Tensiunea 119901 poate fi descompusă icircntr-o componentă orientată după direcţia
normalei la secţiune tensiunea normală notată cu 120590119909 şi o componentă icircn planul secţiunii
tensiunea tangenţială notată cu figura 32
= 119909 + 120591 (32)
Fig 31 Tensiunea totală Fig 32 Tensiunea normală și tangențială
La racircndul ei componenta tensiunii cuprinsă icircn planul secțiunii poate fi
descompusă după direcțiile axelor y și z
120591 = 120591119909119910 + 120591119909119911 (33)
Icircntre cele trei componente ale tensiunii totale care acționează pe elementul de arie
∆119860 este valabilă relația
1199012 = 1205901199092 + 120591119909119910
2 + 1205911199091199112 (34)
După sensul pe care icircl are tensiunea normală 120590 poate avea efect de tracţiune sau
de compresiune exercitat de către partea de corp icircnlăturată asupra părţii rămase Analog
tensiunea tangenţială 120591 poate avea efect de tăiere forfecare sau alunecare Pentru
componentele tensiunii tangențiale 120591119909119910 pe direcţia 119910 respectiv 120591119909119911 pe direcţia 119911 primul
indice indică axa pe care tensiunea este normală iar cel de-al doilea indice indică axa cu
care aceasta este paralel
Tensiunea este o mărime tensorială valoarea ei depinzacircnd atacirct de poziția
punctului icircn planul secțiunii cicirct și de orientarea planului de secționare deci de normala
Operaţiile vectoriale nu pot fi aplicate tensiunilor decacirct după ce acestea au fost icircnmulţite
cu ariile respective adică au fost transformate icircn forţe
Icircn literatura de specialitate mai ales icircn manualele mai vechi pentru noţiunea de
tensiune se mai foloseşte şi denumirea de efort specific
Dacă se consideră un alt element de arie ∆119860 cu centrul icircn același punct avacircnd ca
normală axa 119910 se vor obține alte tensiuni și anume
- 120590119910 este tensiunea normală (paralelă cu axa y)
- 120591119911119909 și 120591119910119911 sunt tensiuni tangențiale paralele cu axele 119909 și respectiv 119911 aflate icircn
planul care are ca normală axa 119910
Dacă icircn jurul unui punct dintr-un corp solicitat se consider un element de volum
infinit mic de forma unui cub icircn cazul cel mai general pe fețele sale vor acționa
tensiunile normale 120590119909 120590119910 și 120590119911 și respectiv tensiunile tangențiale 120591119909119910 120591119909119911 120591119910119909 120591119910119911 120591119911119909
și respectiv 120591119911119910 figura 33 Aceste tensiuni definesc starea de tensiune a punctului
observacircnd faptul că tensorul tensiune are 9 componente Dacă se consideră elementul
de volum finit ca fiind foarte mic se poate presupune că icircn interiorul său nu apar forțe
Ca urmare el va fi icircn echilibru sub acțiunea forțelor elementare produse de tensiunile de
pe fețele sale
Din condiția ca elementul să nu se rotească icircn jurul unor axe care trec prin centrul
său și sunt paralele cu axele sistemului 119909119874119910119911 rezultă
2 ∙ 120591119909119910 ∙ (119889119910 ∙ 119889119911) ∙119889119909
2= 2 ∙ 120591119910119909 ∙ (119889119909 ∙ 119889119911) ∙
119889119910
2 rArr 120591119909119910 = 120591119910119909 (35)
2 ∙ 120591119910119911 ∙ (119889119909 ∙ 119889119911) ∙119889119910
2= 2 ∙ 120591119911119910 ∙ (119889119909 ∙ 119889119910) ∙
119889119911
2 rArr 120591119910119911 = 120591119911119910 (36)
2 ∙ 120591119909119911 ∙ (119889119910 ∙ 119889119911) ∙119889119909
2= 2 ∙ 120591119911119909 ∙ (119889119909 ∙ 119889119910) ∙
119889119911
2 rArr 120591119909119911 = 120591119911119909 (37)
Relațiile (35divide37) 120591119909119910 = 120591119910119909 120591119910119911 = 120591119911119910 120591119909119911 = 120591119911119909 exprimă principiul dualității
tensiunilor tangențiale
Fig 33 Tensiunile normale și tangențiale pe fețele unui cub
Din condiția ca elementul considerat să nu se deplaseze icircn lungul axelor de
coordonate pe fețele opuse acționează aceleași tensiuni normale 120590119909 120590119910 și respectiv 120590119911
Definirea tensorului tensiune este posibilă dacă se cunosc cele 6 componente
independente ale acestuia aflate icircn trei plane perpendicular ce trec prin punctul respectiv
=
120590119909 120591119909119910 120591119909119911120591119910119909 120590119910 120591119910119911120591119911119909 120591119911119910 120590119911
Observaţii
Tensiunile se măsoară icircn [119873 1198982frasl ] (1119873 1198982frasl = 1 119875119886) sau icircn [119872119875119886]
(1 119872119875119886 = 106119875119886 = 106 119873
1198982 1 119872119875119886 = 1
119873
1198981198982)
Starea de tensiune dintr-un punct este considerată cunoscută dacă se cunosc
tensiunile 119901 care acționează pe infinitatea de elemente de suprafață ce trec prin punctual
considerat
Starea de tensiune a unui corp se consider cunoscută dacă se cunosc stările de
tensiune de pe infinitatea de puncte ale corpului considerat
32 Deplasări Deformaţii specifice
321 Deplasări
Aceste noțiuni sunt utile icircn analiza aspectului geometric al problemelor de rezistența
materialelor Deplasările care se analizează sunt cele datorate schimbării formei și
dimensiunilor corpurilor ca urmare a acțiunii forțelor exterioare și nu cele cinematice
posibile pentru solidul rigid care se poate deplasa cu anumită viteză și accelerație
Spre exemplu icircn figura 34a și figura 34b sub acțiunea forței 119865 tronsonul de
bară AB se deformează icircn timp ce tronsonul BC deși punctele sale au deplasări rămacircne
nedeformat (fiind nesolicitat) Toate punctele de pe axele barelor cu excepția celor din
icircncastrare (secțiunile A) au deplasări liniare De cele mai multe ori deformațiile barelor
datorate acțiunii forțelor exterioare se anulează la icircndepărtarea forțelor se spune că
deformațiile sunt elastice Secțiunile transversale ale barei din figura 34a se și rotesc icircn
raport cu pozițiile lor inițiale Spre exemplu secțiunea de căpăt cu centrul icircn C se rotește
cu unghiul
Fig 34 Deformațiile unei grinzi
Oricacirct de complexă ar fi delormația unui corp ea poate fi descrisă de lungiri sau
scurtări și de modificări ale unghiurilor inițiale
Deplasările măsoară schimbarea poziției unui punct al corpului și pot fi liniare
sau unghiulare
Prin deplasare liniară a unui punct se icircnțelege drumul parcurs de acest punct icircn
decursul procesului de deformație după o dreaptă suport dreapta 1198611198611 din figura 34a
Prin deplasare unghiulară se icircnțelege rotirea dintre segmentele de dreaptă
determinate de două puncte ale corpului icircnainte și după deformarea acestuia unghiul
pe care-l fac segmentele 119861119862 și 11986111198621 din figura 34a Această rotire se măsoară prin
unghiul pe care-l fac proiecțiile dreptelor ce conțin cele două segmente icircntr-un sistem
triortogonal
Icircn cazul cel mai general vectorul deplasare liniară se poate descompune icircntr-un
sistem triortogonal icircn trei componente 119906 119907 și 119908 figura 35
Fig 35 Deplasarea liniară
Se consideră acum un corp solid raportat la un sistem de axe ortogonal 119909119874119910119911
figura 35 după deformarea corpului un punct oarecare 119870 al acestuia se deplasează icircn
poziţia 1198701 vectorul 1198701198701 poartă numele de vectorul deplasării totale
Deplasarea totală este suma deplasărilor pe cele trei direcţii ortogonale iar
aceste deplasări se notează astfel
deplasarea pe direcţia 119909 cu ∥ 119874119909
deplasarea pe direcţia 119910 cu ∥ 119874119910
deplasarea pe direcţia 119911 cu ∥ 119874119911
Componentele deplasărilor și formeză matricea deplasărilor liniare 119906119907119908
322 Deformații
Prin deformație icircn general se icircnțelege orice schimbare de formă a unui corp fără
o evaluare cantitativă Icircn Rezistența Materialelor deformația măsoară variația
dimensiunilor geometrice ale corpului considerat din vecinătatea unui punct analog
deplasărilor deformațiile pot fi liniare și unghiulare (lunecări)
Fig 36 Deplasarea liniară
Deformația liniară ∆119897 reprezintă variația lungimii 119897 a unui element liniar al
corpului deformat figura 36 Deformația liniară specifică se definește ca fiind raportul
dintre deformația liniară și lungimea inițială
휀 =∆119897
119897 (38)
unde ∆119897 este lungirea sau scurtarea care este echivalentă cu deformția liniară totală iar
este alungirea
Deformația unghiulară sau lunecarea unui punct 119860 icircn planul 119861119860119862 se definește
prin relația figura 37
120574 = lim119861119860rarr0119862119860rarr0
(119861119860 minus 119861111986011198621 ) (39)
Fig 36 Deformația unghiulară
Schimbacircnd orientarea planului care trece prin 119860 se obțin alte deformații
unghiulare Dacă elementele liniare 119861119860 și 119862119860 sunt inițial perpendiculare deformația 120574 se
numește deformație unghiulară specifică sau lunecare specifică figura 37
Un exemplu de deplasare unghiulară și de deformație unghiulară este prezentat icircn
figura 38 Unghiul este deplasarea unghiulară și măsoară rotirea relativă dintre două
secțiuni aflate la distanța 119897 Unghiul este deformația specifică unghiulară (lunecarea
specifică) din punctul 119870 Aceste deplasări și deformații se obțin icircn urma solicitării barei
de către cele două momente 1198720 egale și de sens contrar
Fig 38 Deplasarea unghiulară
Pentru a analiza starea de deformație din vecinătatea unui punct al unui corp
solicitat complex se decupează din jurul punctului un element de volum mic figura 39a
avacircnd laturile 119889119909 119889119910 și 119889119911 Ca urmare a solicitării laturile acestuia se vor lungi sau
scurta Reprezentarea elementului deformat icircn spațiu este dificilă pentru simplificare
vom analiza doar deformațiile din planul 119909119874119910 Observăm că dimensiunile 119889119909 și 119889119910 s-au
modificat cu valoarea ∆119889119909 respectiv cu ∆119889119910 analog se acceptă și pentru 119889119911 o modificare
de forma ∆119889119911 Astfel se pot defini deformațiile specifice liniare
휀119909 =∆119889119909
119889119909 휀119910 =
∆119889119910
119889119910 휀119911 =
∆119889119911
119889119911 (310)
De cele mai multe ori aceste deformații specifice liniare se pot exprima procentual
și se mai numesc alungiri
Fig 39 Starea de deformație
Icircn figura 39c se vede că unghiul inițial drept dintre muchiile 119889119909 și 119889119910 ale
elementului de volum s-a modificat Se definește deformația specifică unghiulară (sau
lunecarea specifică) mărimea cu care se modifică unghiul inițial drept
120574119909119910 = 120574119909119910prime + 120574119910119909
prime = 120574119910119909120574119910119911 = 120574119910119911
prime + 120574119911119910prime = 120574119911119910
120574119911119909 = 120574119911119909prime + 120574119909119911
prime = 120574119909119911
(311)
Deformațiile 휀119909 휀119910 휀119911 120574119909119910 120574119910119911 120574119911119909 constituie cele șase componente
independente ale tensorului deformațiilor specifice care pot fi scrise de forma
119863 =
휀119909 120574119909119910 120574119909119911120574119910119909 휀119910 120574119910119911120574119911119909 120574119911119910 휀119911
(312)
323 Contracţia transversală
Practica arată că odată cu lungirea unei bare apare o micşorare a mărimii secţiunii
transversale mărime numită contracţie transversală figura 310
Fig 310 Contracția transversală
Contracţia transversală este proporţională cu lungirea specifică coeficientul de
proporţionalitate se notează cu 120599 şi se numeşte coeficient de contracţie transversală sau
coeficientul lui Poisson
La o lungire specifică a barei contracţia transversală este dată de relația
휀119905119903 = 휀119910 = 휀119911 = minus120599 ∙ 휀119909 (313)
Semnul minus bdquo-rdquo arată că cele două mărimi sunt contrare dacă una creşte cealaltă
scade şi invers
Considerăm o bară cilindrică de lungime 119897 şi aria secţiunii transversale 119860 solicitată
la icircntindere axială La un moment dat datorită solicitării lungimea barei devine
[119897 ∙ (1 + 휀)] diametrul devine [119889 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)] iar aria secţiunii transversale devine
[119860 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)2] Dacă volumul barei icircnainte de solicitare a fost (119860 ∙ 119897) după solicitare
acesta devine
119881 + ∆119881 = 119860 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)2 ∙ 119897 ∙ (1 + 휀) =
= 119860 ∙ 119897 ∙ (1 + 휀 minus 2 ∙ 120599 ∙ 휀 minus 2 ∙ 120599 ∙ 휀2 + 1205992 ∙ 휀2 + 1205992 ∙ 휀3) (314)
Deoarece lungirile sunt foarte mici ultimii trei termeni din paranteză fiind infinit mici se pot neglija obţinacircnd
119881 + ∆119881 = 119860 ∙ 119897 + 119860 ∙ 119897 ∙ 휀 ∙ (1 minus 2 ∙ 120599) ⟺ ∆119881 = 휀 ∙ (1 minus 2 ∙ 120599) ∙ 119860 ∙ 119897 (315)
Practica arătă că o astfel de bară solicitată la icircntindere icircşi măreşte volumul deci
∆119881 gt 0 de unde rezultă că
1 minus 2 ∙ 120599 gt 0 rArr 120599 lt 05 (316)
Pentru majoritatea materialelor 120599 = 033 iar pentru materialele care-şi păstrează
volumul constant 120599 = 05
33 Relaţii de echivalenţă icircntre eforturi şi tensiuni
Considerăm un element de suprafață infinit mic 119889119860 situat pe fața de arie (119860) a
secțiunii barei din figura 311 Icircn centrul de greutate 119862 al secțiunii acționează eforturile
119873 119879119910 119879119911 119872119909 119872119894119910 și 119872119894119911 determinate prin metoda secțiunilor
Icircn raport cu un sistem de axe de referință 119909119862119910119911 coordonatele elementului 119889119860 sunt
- 119910 este ordonata elementului de arie 119889119860
- 119911 este abscisa elementului de arie 119889119860
Pe elementul de arie 119889119860 acționează tensiunile
120590119909 tensiunea normală
120591119909119910 și 120591119909119911 tensiuni tangențiale
Dacă se icircnsumează forțele elementare de tipul 120590119909 ∙ 119889119860 120591119909119910 ∙ 119889119860 și 120591119909119911 ∙ 119889119860
va trebui să obținem eforturile 119873 119879119910 și 119879119911
Fig 311 Element de suprafață mic din secțiunea unei bare
Dacă eforturile sunt privite ca forțe exterioare și se scriu ecuațiile de
echilibru ale secțiunii (119860) se vor obține șase relații de echivalență icircntre eforturi și
tensiuni
(sum119883) = 0 rArr int 120590119909 ∙ 119889119860
119860
= 119873 (317)
(sum119884) = 0 rArr int 120591119909119910 ∙ 119889119860
119860
= 119879119910 (318)
(sum119885) = 0 rArr int 120591119909119911 ∙ 119889119860
119860
= 119879119911 (319)
(sum119872)119909= 0 rArr int(120591119909119911 ∙ 119889119860) ∙ 119910
119860
minus int(120591119909119910 ∙ 119889119860) ∙ 119911
119860
= 119872119909 rArr
rArr int(119910 ∙ 120591119909119911 minus 119911 ∙ 120591119909119910) ∙ 119889119860
119860
= 119872119909
(320)
(sum119872)119910= 0 rArr int(120590119909 ∙ 119889119860) ∙ 119911
119860
= 119872119894119910 (321)
(sum119872)119911= 0 rArr int(120590119909 ∙ 119889119860) ∙ 119910
119860
= 119872119894119911 (322)
Cele șase relații de echivalență icircntre eforturi și tensiuni constituie un pas icircnainte
icircn rezolvarea unei probleme de rezistența materialelor Aceste relații vor permite
determinarea tensiunilor maxime
Pentru a rezolva cele 6 relații de echivalență trebuie să se cunoască tensiunile și
ca funcții de punct adică funcții de forma
120590119909 = 120590119909(119909 119910 119911) 120591119909119910 = 120591119909119910(119909 119910 119911) 120591119909119911 = 120591119909119911(119909 119910 119911) (32
3)
Cunoașterea acestor funcții presupune icircnsă analizarea aspectului geometric al
problemei precum și utilizarea unor ipoteze simplificatoare care să permită simplificarea
problemelor
34 Ipoteze de bază icircn rezistenţa materialelor
Depășirea dificultăților legate de interpretarea unor fenomene specifice mecanicii
solidului deformabil a impus acceptarea unor ipoteze care să simplifice fenomenele și să
contribuie la elaborarea unor modele de calcul cicirct mai generale și cacirct mai simple Aceste
ipoteze se referă la structura materialelor şi la comportarea lor sub acţiunea forţelor
exterioare Ipotezele acceptate trebuie să fie icircn deplină concordanţă cu realitatea și să
conducă la rezultate verificate icircn practică
Funcție de aspectele la care se referă ipotezele pot fi
Ipoteze fizice (de material)
Ipoteze de calcul
341 Ipoteze fizice
Se acceptă deoarece teoriile structurale au condus la rezultate care contravin
icircncercărilor experimentale
Ipoteza mediului continuu consideră că orice domeniu elementar al corpului
este ocupat de materie adică nu se acceptă existența unor goluri sau a unor crăpături
microscopice (fisuri) Deși nu corespunde realităţii poate fi acceptată deoarece
dimensiunile corpului sunt mult mai mari decacirct dimensiunile particulelor elemantare Are
avantajul că permite utilizarea proprietăților matematice ale funcțiilor continue pentru
tensiunile și deformațiile din orice punct al corpului Ea este mai apropiată de realitate la
corpurile amorfe şi mai depărtată la cele cristaline dar conduce la rezultate satisfăcătoare
icircn calculele de rezistenţă
Ipoteza nu se poate aplica la corpurile care au goluri tăieturi (multiplu conexe)
pentru unele puncte singulare icircn care tensiunile și deformațiile tind la infinit sau icircn unele
probleme de plasticitate icircn care proprietățile de material au un rol esențial
Ipoteza izotropiei conform acestei ipoteze materialul din care este confecționat
un element de rezistență are aceleași proprietăți după orice direcție un astfel de material
este considerat izotrop Din punct de vedere macroscopic metalele pot fi considerate
izotrope deși la nivel microscopic proprietățile lor diferă de la o direcție cristalografică
la alta Orice conglomerat de cristale poate fi considerat izotrop
Există cazuri cacircnd această ipoteză a izotropiei nu se acceptă
la metalele puternic deformate după o direcție (prin laminare trefilare)
la piesele confecționate din lemn lemnul este anizotrop deoarece proprietățile sale
diferă după două direcții (icircn lungul fibrelor și perpendicular pe această direcție)
Ipoteza omogenității consideră că un corp are aceleași proprietăți icircn orice
punct al său Deși majoritatea materialelor utilizate icircn tehnică sunt eterogene la scară
micro fiind constituite din mai multe faze cu proprietăți diferite la scară macro ele pot
fi considerate omogene Omogenitatea și izotropia sunt proprietăți statistice medii care
nu se condiționează una pe cealaltă Chiar și materialele monofazice pot avea la scară
micro unele segregații care le fac eterogene
Ipoteza elasticităţii perfecte presupune că atacircta timp cacirct solicitările nu
depăşesc anumite limite materialul are o comportare elastică adică icircşi recapătă forma şi
dimensiunile iniţiale odată cu icircnlăturarea sarcinilor Icircn realitate materialele nu prezintă o
elasticitate perfectă ele avacircnd deformaţii remanente mici care icircnsă pot fi neglijate icircn
calculele de rezistenţă
Acceptarea acestei ipoteze a elasticității perfecte permite
- aplicarea relației biunivoce icircntre tensiuni și deformații relație exprimată de legea
lui Hooke ( = 119864 ∙ 휀) unde E este un factor de proporţionalitate numit modul de
elasticitate longitudinal al materialului pentru oţel 119864 = 21 ∙ 105 [119872119875119886] - acceptarea valabilității afirmației bdquolucrul mecanic efectuat de forțele exterioare
ca urmare a parcurgerii deplasărilor punctelor de aplicație se icircnmagazinează integral icircn
corp sub formă de energie de deformație energie cedată la icircndepărtarea sarcinilorrdquo
- este valabilă teoria conform căreia bdquoenergia icircnmagazinată și deformațiile depind
doar de starea inițială și finală de eforturi fără a ține cont de modul icircn care s-a ajuns la
starea finalărdquo
Icircn realitate oricacirct de mici ar fi sarcinile aplicate se produc și deformații plastice
dar acestea pot fi neglijate dacă solicitarea nu depășește anumite limite
342 Ipoteze de calcul
Ipoteza micilor deplasări bdquodeplasările datorate deformării sunt mult mai mici
decacirct dimensiunile corpurilor și ca urmare pot fi neglijate produsele dintre o deplasare și
ea icircnsăşirdquo Pentru cele mai multe corpuri deformaţiile elastice sunt de mărimi mici deci
corpurile solide sub acţiunea sarcinilor icircşi modifică foarte puţin forma iniţială Această
ipoteză este cunoscută şi sub denumirea de ipoteza menţinerii dimensiunilor iniţiale Ea
permite scrierea ecuaţiilor de echilibru ale staticii pe starea nedeformată a elementului
cacircnd nu se iau icircn considerare deplasările punctelor de aplicaţie ale forţelor care se produc
ca urmare a deformării acestuia Calculul efectuat pe schema nedeformată poartă numele
de calcul de ordinul I
Ipoteza micilor deplasări nu poate fi acceptată pentru studiul problemelor de
stabilitate sau la problemele la care nu pot fi icircndeplinite condiţiile de echilibru icircn starea
nedeformată
Calculul de ordinul II admite ipoteza micilor deplasări dar ecuaţiile de echilibru
se scriu icircnsă pentru starea deformată a elementului de rezistenţă
Calculul de ordinul III nu mai acceptă ipoteza micilor deplasări el referindu-se
la cazul deformaţiilor mari cacircnd ecuaţiile de echilibru trebuie scrise pentru starea
deformată
Chiar dacă materialul satisface legea lui Hooke icircn urma calculelor de ordinul II
se obţin de obicei relaţii neliniare icircntre sarcini şi deplasări iar pentru calculul de ordinul
III rezultă ecuaţii diferenţiale neliniare
Principiul efectului local al acțiunii sarcinilor enunțat de Barre de Saint-
Venant Acest principiu destul de folosit icircn Rezistenţa Materialelor precizează că dacă
se icircnlocuiesc forţele care acţionează asupra unui element de suprafață al unui corp
elastic printr-un alt sistem de forţe echivalent din punct de vedere static cu primul noua
distribuţie a forţelor produce la locul de aplicare diferenţe semnificative faţă de prima
dar rămacircne fără efect sau cu efect neglijabil la distanţe mari de locul de aplicare al
forţelor figura 312
Ca o cosecință o sarcină uniform distribuită figura 312a poate fi icircnlocuită cu
rezultanta ei figura 312b dacă se analizează efectul sarcinii la distanță mare de locul icircn
care se aplică sarcina
Fig 312 Principiul Saint-Venant
Icircn prima variantă figura 312a forţa 119865 se aplică pe o porțiune oarecare 119897 (sarcină
uniform distribuită) iar icircn a doua figura 312b icircntru-un punct (forţă concentrată) La
locul de aplicare a sarcinii efectul asupra barei este cu totul diferit de la o variantă la
cealaltă Icircnsă la o distanţă mare de punctul de aplicaţie spre exemplu icircn secţiunea situată
la distanţa 119886 de capătul barei sau chiar icircn icircncastrare ambele bare sunt solicitate la fel
Icircn cazul din figura 312a
119872119894(119909) =119901 ∙ 1199092
2 119909 le 119897 119872119894(119909) = 119901 ∙ 119897 ∙ (119909 minus
119897
2) 119909 gt 119897 (324)
Icircn cazul din figura 312b
119872119894(119909) = 0 119909 lt119897
2 119872119894(119909) = 119901 ∙ 119897 ∙ (119909 minus
119897
2) 119909 gt
119897
2 (325)
Se vede că pentru (119909 gt 119897) adică după depășirea locului icircn care se aplică sarcina
efectul este același
Ipoteza lui Bernoulli sau ipoteza secţiunilor plane precizează că o secţiune
plană şi normală pe axa barei icircnainte de deformare rămacircne plană şi normală pe axa
barei şi după deformare figura 313
Fig 313 Ipoteza lui Bernoulli
Ipoteza stării naturale a corpului sau ipoteza absenţei tensiunilor conform
căreia pentru un corp nesolicitat starea de tensiune şi deformaţie este nulă
Perfecţionarea mijloacelor de calcul şi de investigare pot conduce la renunţarea la
unele ipoteze sau la introducerea altora noi mai aproape de stările reale De aici rezultă
caracterul de continuă perfecţionare a metodelor Rezistenţei Materialelor
35 Coeficienţi de siguranţă Tensiuni admisibile
O piesă corespunde din punct de vedere tehnic dacă tensiunile care iau naştere icircn
interiorul piesei datorită sarcinilor aplicate nu depăşesc anumite valori limită stabilite
convenţional Aceste valori limită ale tensiunii sunt corelate cu caracteristicile mecanice
ale materialelor
Tensiunea limită utilizată icircn calculele de rezistenţă este cunoscută sub denumirea
de tensiune admisibilă sau rezistenţă admisibilă Rezistenţa admisibilă reprezintă
valoarea convenţională aleasă icircn calcul pe baza practicii pentru tensiunea maximă care
poate apare icircntr-o piesă icircn condiţii date de material şi solicitare
Rezistenţa admisibilă (120590119886 sau 120591119886) poate fi definită faţă de o stare limită
periculoasă stare care trebuie evitată deoarece poate conduce distrugere
120590119886 =120590119897119894119898119888
(326)
unde
120590119897119894119898 este tensiunea corespunzătoare stării limită periculoase
119888 estesupraunitar 119888 gt 1 și reprezintă coeficientul de siguranţă faţă de starea limită
periculoasă considerată
Alegerea unor valori inferioare pentru rezistenţa admisibilă faţă de tensiunea
corespunzătoare stării limită periculoase este necesară deoarece
cunoaşterea sarcinilor este de cele mai multe ori aproximativă şi o depăşire a
acestora este foarte posibilă
caracteristicile mecanice ale materialelor variază icircn limite destul de mari ele
fiind influenţate de mulţi factori
schema aleasă pentru calcul (aplicarea sarcinilor schematizarea structurii
ipotezele de calcul etc) depărtează modelul faţă de cel real
Pentru calculele de verificare tensiunea efectivă maximă din elementul de
rezistenţă trebuie să fie mai mică sau cel mult egală cu cea admisibilă
120590119890119891119898119886119909 le 120590119886 (327)
Valoarea rezistenţei admisibile este influenţată de foarte mulţi factori natura
materialului tratamentele termice aplicate piesei durata de funcţionare a piesei modul
de acţionare icircn timp a sarcinilor felul solicitării temperatura gradul de periculozitate
icircn cazul cedării piesei etc
De asemenea valoarea coeficientului de siguranţă se alege icircn principal ţinacircnd
seama de aceiaşi factori care influenţează şi rezistenţa admisibilă
Rezistenţele admisibile pentru cacircteva materiale sunt următoarele
pentru oțelul de uz general OL37 solicitat la icircntindere compresiune sau
icircncovoiere 120590119886 = 150 [119872119875119886] pentru lemnul de brad solicitat la
- compresiune icircn lungul fibrelor şi solicitat la icircncovoiere 120590119886 = 10 [119872119875119886] - tracţiune icircn lungul fibrelor 120590119886 = 7 [119872119875119886] - compresiune perpendiculară pe fibre 120590119886 = 15 [119872119875119886] - forfecare icircn lungul fibrelor 120591119886 = 2 [119872119875119886] - forfecare perpendiculară pe fibre 120590119886 = 45 [119872119875119886]
terenuri de fundaţie din pămacircnt uscat sau umed 120590119886 = 020 divide 025 [119872119875119886]
4 CARACTERISTICI GEOMETRICE ALE SECȚIUNILOR PLANE
41 Noţiuni introductive
Icircn relaţiile de calcul ale tensiunilor şi deformaţiilor elementelor de rezistenţă
pentru unele solicitări (icircncovoierea și torsiunea) secțiunile plane intervin atacirct prin
dimensiunile lor (aria 119860) cicirct și prin forma și poziția pe care o are secțiunea icircn raport cu
planul solicitării Mărimile care caracterizează o secțiune icircn raport cu forma și poziția față
de axele unui sistem de referință sunt denumite caracteristici geometrice de ordin
superior Aria secțiunii este caracteristica geometrică ce depinde doar de dimensiunile
geometrice ale acesteia
Să considerăm o grindă solicitată de o forță exterioară 119865 aşezată icircn două poziții icircn
raport cu planul forţei figura 41 Icircn urma aplicării forței deși avem aceeași grindă
(aceeași arie a secțiunii transversale) și aceeași forță se constată că pentru varianta din
figura 41a deformațiile sunt mult mai mari adică rezistența la icircncovoiere a grinzii din
figura 41a este mai mare decacirct icircn cazul grinzii din figura 41b Comportarea diferită se
explică prin aceea că modificarea poziţiei secţiunii transversale faţă de planul forţelor
modifică caracteristicile geometrice ale secţiunii transversale a grinzii
Fig 41 Grindă solicitată de forța 119865
Pentru realizarea calculelor de rezistenţă şi rigiditate este foarte importantă
cunoaşterea caracteristicilor geometrice ale suprafeţei secţiunii transversale a elementelor
de rezistenţă
Caracteristicile geometrice ale secţiunii transversale a unui element de rezistenţă
sunt
- aria secțiunii notată cu 119860
- momentul static icircn raport cu o axă notat 119878119911 și respectiv 119878119910
- momentul de inerție care poate fi
axial notat 119868119911 și respectiv 119868119910
centrifugal notat 119868119911119910
polar notat 119868119901
- raza de inerţie (giraţie)notată 119894119911 și respectiv 119894119910
- modulul de rezistență care poate fi
axial notat 119882119911 și respectiv 119882119910
polar notat 119882119901
42 Aria și momentul static al suprafețelor plane
Fie o suprafaţă plană de arie 119860 pe care se ia un element infinit mic de arie 119889119860 şi
un sistem de axe rectangulare 119911119874119910 figura 42 Notăm cu 119862 centrul de greutate al suprafeţei
119860 Poziţia suprafeţei elementare 119889119860 faţă de acelaşi sistem de coordonate 119911119874119910 este dată
de abscisa 119911 ordonata 119910 și raza polară
Fig 42 Suprafață plană de arie 119860
Aria suprafeţei 119860 figura 42 se defineşte ca fiind
119860 ≝ int 119889119860
119860
(41)
Aria suprafeţei este icircntotdeauna pozitivă și se măsoară icircn [1198981198982] Momentul static al suprafeţei de arie 119860 icircn raport cu axele 119874119911 și respectiv 119874119910
figura 42 sunt date de relaţiile
119878119911 ≝ int 119910 ∙ 119889119860
119860
119878119910 ≝ int 119911 ∙ 119889119860
119860
(42)
Momentul static poate fi pozitiv negativ sau nul şi se măsoară icircn [1198981198983] Coordonatele centrului de greutate ale suprafeței 119860 se detrmină cu relațiile
119910119862 ≝int 119910 ∙ 119889119860119860
119860 119911119862 ≝
int 119911 ∙ 119889119860119860
119860
(43)
Cunoscacircnd coordonatele 119910119862 și 119911119862 ale centrului de greutate 119862 al secțiunii 119860 atunci
momentele statice se pot determina cu relațiile
119878119911 ≝ int 119910 ∙ 119889119860
119860
= 119910119862 ∙ 119889119860 119878119910 ≝ int 119911 ∙ 119889119860
119860
= 119911119862 ∙ 119889119860 (44)
Aceste relații arată că momentul static al unei suprafețe icircn raport cu o axă este
egal cu produsul dintre aria suprafeței și distanța de la centrul ariei la axa respectivă
Dacă suprafaţa se poate descompune icircn 119899 suprafeţe simple la care se cunosc ariile
(1198601 1198602 ⋯ 119860119894⋯ 119860119899) și poziţiile centrelor de greutate 119862119894 faţă de sistemul de referinţă
expresiile momentelor statice capătă următoarea formă
119878119911 = sum 119910119862119894 ∙ 119860119894119899119894=1 = 119910119862 ∙ 119860 119878119910 = sum 119911119862119894 ∙ 119860119894
119899119894=1 = 119911119862 ∙ 119860 (45)
Din relaţiile (45) rezultă că poziţia centrului de greutate 119862 al unei suprafeţe
compuse poate fi determinată cu relaţiile
119910119862 = (sum119910119862119894 ∙ 119860119894
119899
119894=1
) 119860frasl 119911119862 = (sum119911119862119894 ∙ 119860119894
119899
119894=1
) 119860frasl (46)
Icircn relația (45) 119910119862119894 și respectiv 119911119862119894 reprezintă coordonatele centrelor de greutate 119862119894
ale fiecărei suprafețe simple 119860119894 icircn raport sistemul de axe 119911119874119910
Se constată (relaţia 42) că dacă axele sistemului de referinţă trec prin centrul de
greutate (119910119862 = 119911119862 = 0) momentele statice sunt nule Axele icircn raport cu care momentele
statice sunt nule şi care trec prin centrul de greutate al suprafeţei se numesc axe centrale
Observație dacă secțiunea compusă are o axă de simetrie centrul secțiunii se
găsește pe acea axă iar dacă secțiunea este dublu simetrică poziția centrului secțiunii este
la intersecția axelor de simetrie
43 Momente de inerţie
Momentele de inerţie axiale ale unei suprafețe se calculează icircn raport cu axele de
coordonate 119874119911 și respectiv 119874119910 figura 42 și se determină cu relațiile
119868119911 ≝ int 1199102 ∙ 119889119860
119860
119868119910 ≝ int 1199112 ∙ 119889119860
119860
(47)
Unde 119910 și 119911 sunt distanțele de la elementul de arie 119889119860 la cele două axe de
coordonate 119874119911 și respectiv 119874119910
Momentele de inerţie axiale se măsoară icircn [1198981198984] şi sunt icircntotdeauna pozitive (aria
119889119860 este icircntotdeauna pozitivă și este multiplicată cu patratul distanței 1199102 dacă 119868119911 sau 119868119910
sunt nule icircnseamnă ca secțiunea nu există)
Momentele de inerție axiale se calculează icircndeosebi pentru axele centrale (care
trec prin centrul secțiunii) deoarece icircn raport cu acele axe 119868119911 și 119868119910 au valori minime
Momentul de inerţie centrifugal calculat faţă ambele axe ale sistemului de
referinţă 119911119874119910 este definit de relația
119868119911119910 ≝ int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860
(48)
Momentul de inerţie centrifugal se măsoară icircn [1198981198984] şi poate fi pozitiv negativ
sau nul
Momentul de ineție centrifugal este nul 119868119911119910 = 0 dacă cel puțin una din axele 119874119911
sau 119874119910 este axă de simetrie pentru secțiune
Se consideră o suprafaţă dreptunghiulară pe care faţă de axa de simetrie 119874119910 se iau
două suprafeţe elementare de arie 119889119860 simetrice faţă de axa 119874119910 figura 43
Fig 43 Suprafață dreptunghiulară cu două arii elementare 119889119860
Făcacircnd suma momentelor de inerţie centrifugale pentru cele două suprafeţe
elementare 119889119860 (din stacircnga şi din dreapta faţă de axa 119874119910) se obţine
int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860119889119903
+ int (minus119911) ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860119904119905119892
= int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860119889119903
minus int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860119904119905119892
= 0 (49)
Acelaşi raţionament se poate face și pentru icircntreaga suprafaţă de unde obținem că
momentul de inerție centrifugal este nul 119868119911119910 = 0 Deci pentru o suprafaţă plană care
are cel puţin o axă de simetrie momentul de inerţie centrifugal faţă de sistemul care
conţine acea axă de simetrie este nul
Momentul de inerţie polar al unei suprafeţei icircn raport cu un punct (pol) 119874 figura
42 este definit prin relaţia
1198680 = 119868119901 ≝ int 1205882 ∙ 119889119860
119860
= int(1199102 + 1199112) ∙ 119889119860
119860
= 119868119911 + 119868119910 (410)
unde este distanţa de la polul 119874 la elementul de arie 119889119860 Momentul de inerţie polar se
măsoară icircn [1198981198984] şi este totdeauna pozitiv
Momentul de inerţie polar este egal cu suma momentelor de inerţie faţă de două axe
perpendiculare oarecare şi care trec prin polul considerat
Razele de giraţie sau razele de inerţie sunt mărimi calculate icircn raport cu axele
secțiunii și definite de relaţiile
119894119911 ≝ radic119868119911119860 119894119910 = radic
119868119910
119860 (411)
Se exprimă icircn [119898119898] şi sunt icircntotdeauna pozitive Semnificația unei raze de inerție
este distanța la care dacă ar fi concentrată icircntreaga arie s-ar obține același moment de
inerție ca și cel calculat pentru aria reală
44 Modulul de rezistenţă
Modulul de rezistență se calculează icircn raport cu axele de referință sau icircn raport cu
un pol figura 42 și pot fi axiale (119882119911119882119910) sau polar (119882119901) și se determină numai pe baza
momentelor de inerţie cu relațiile figura 43
119882119911119898119894119899 ≝119868119911119910119898119886119909
119882119911119898119886119909 ≝119868119911119910119898119894119899
(412)
119882119910119898119894119899 ≝119868119910
119911119898119886119909 119882119910119898119886119909 ≝
119868119910
119911119898119894119899 (413)
119882119901 ≝119868119901
120588119898119886119909 (414)
unde
119910119898119886119909 119910119898119894119899 reprezintă distanţa de la axa 119874119911 la punctele extreme cele mai
depărtate respectiv cele mai apropiate ale suprafeţei de această axă
119911119898119886119909 119911119898119894119899 reprezintă distanţa de la axa 119874119910 la punctele extreme cele mai
depărtate respectiv cele mai apropiate ale suprafeţei de această axă
120588119898119886119909 reprezintă distanța maximă de la polul 119874 la punctul secțiunii cel mai
icircndepărtat de acesta
Fig 43 Suprafață dreptunghiulară cu două arii elementare 119889119860
Modulele de rezistenţă se exprimă icircn [1198981198983] şi sunt icircntotdeauna pozitive
Explicația este aceea că momentele de inerție care intră icircn relațiile de definiție sunt
pozitive iar distanțele la punctele extreme sunt pozitive (119910119898119886119909 119910119898119894119899 119911119898119886119909 119911119898119894119899 120588119898119886119909 se
iau icircn valoare absolută)
Icircn cazul suprafeţelor compuse modulul de rezistenţă nu se obţine prin icircnsumarea
algebrică a modulelor de rezistenţă ale suprafeţelor simple componente ci numai prin
intermediul momentului de inerţie axial calculat pentru icircntreaga secțiune
Ca și momentele de inerție modulele de rezistență se calculează numai pentru
sistemele de axe centrale
45 Momente de inerţie şi module de rezistenţă pentru suprafeţe simple
451 Secțiune dreptunghiulară
Fie suprafaţa dreptunghiulară din figura 44 de icircnălțime ℎ și lățime 119887 pe care se
consideră suprafaţă elementară de arie 119889119860 = 119887119889119910 la distanța 119910 de axa 119862119911 sistemul de
axe 119911119862119910 trece prin centrul secțiunii iar axele sunt axe de simetrie pentru dreptunghi
Fig 44 Suprafață dreptunghiulară
Pe baza relațiilor de definiți a momentului de inerție 119868119911 se obține
119868119911 ≝ int 1199102 ∙ 119889119860
119860
= int 1199102 ∙ 119887 ∙ 119889119910 = 2int 1199102 ∙ 119887 ∙ 119889119910 = 2 ∙ 119887 ∙1199103
3|ℎ 2frasl
0rArr
ℎ 2frasl
0
ℎ 2frasl
minusℎ 2frasl
rArr 119868119911 =119887 ∙ ℎ3
12
(415)
Analog pentru un element de arie 119889119860 = ℎ ∙ 119889119911 paralel cu axa 119862119910 situat la distanța
119911 de axa 119862119910
119868119910 ≝ int 1199112 ∙ 119889119860
119860
= int 1199112 ∙ ℎ ∙ 119889119911 = 2int 1199112 ∙ ℎ ∙ 119889119910 = 2 ∙ ℎ ∙1199113
3|119887 2frasl
0rArr
119887 2frasl
0
119887 2frasl
minus119887 2frasl
rArr 119868119910 =1198873 ∙ ℎ
12
(416)
Deoarece axele 119862119911 și 119862119910 sunt axe de simetrie momentul de inerție centrifugal este
119868119911119910 = 0 (417)
Pentru un pătrat avacircnd laturile egale (ℎ = 119887 = 119886) momentele de inerţie faţă de
axele centrale au expresia
119868119911 = 119868119910 =1198864
12 (418)
Modulele de rezistență axiale se calculează cu relațiile de definiție ținacircnd cont că
distanțele pacircnă la fibrele extreme sunt
119910119898119886119909 = 119910119898119894119899 =ℎ
2 119911119898119886119909 = 119911119898119894119899 =
119887
2 (419)
Obținem
119882119911119898119894119899 = 119882119911119898119886119909 =119868119911
119910119898119886119909119898119894119899=119887 ∙ ℎ3
12frasl
ℎ2frasl
=119887 ∙ ℎ2
6
119882119910119898119894119899 = 119882119910119898119886119909 =119868119910
119911119898119886119909119898119894119899=1198873 ∙ ℎ
12frasl
1198872frasl
=1198872 ∙ ℎ
6
(420)
452 Suprafaţă circulară
Din motive de simetrie pentru suprafeţele circulare momentele de inerţie faţă de
orice diametru (care reprezintă şi axe centrale) sunt aceleaşi
Considerăm o secțiune circulară plină cu diametrul 119889 și centrul de greutate 119862 Prin
centrul de greutate 119862 trece sistemul de axe ortogonal 119911119862119910 figura 45
Fig 45 Suprafață circulară
La distanța de centrul de greutate 119862 vom lua un element de suprafață mic de arie
(119889119860) de forma unui inel de grosime 119889 Elementul de arie 119889119860 are expresia
119889119860 = (2 ∙ 120587 ∙ 120588) ∙ (119889120588)
Pornind de la relația de definiție a momentului de inerție polar obținem
119868119901 ≝ int 1205882 ∙ 119889119860
119860
= int 1205882 ∙ (2 ∙ 120587 ∙ 120588) ∙ 119889120588
119903=119889 2frasl
0
= 2 ∙ 120587 ∙1205884
4|119889 2frasl0 rArr
rArr 119868119901 =120587 ∙ 1198894
32
(421)
Secțiunea este perfect simetrică deci sunt valabile relațiile
119868119911 = 119868119910 rArr 119868119901 = 119868119911 + 119868119910 = 2 ∙ 119868119911 = 2 ∙ 119868119910 =119868119901
2=120587 ∙ 1198894
64 (422)
Și modulele de rezistenţă faţă de orice diametru sunt egale şi se calculează cu
relaţiile
119882119911 = 119882119910 =1198681199111198892frasl=120587 ∙ 1198893
32 (423)
Modulul de rezistenţă polar este
119882119901 =1198681199011198892frasl=120587 ∙ 1198893
16 (424)
453 Secţiune inelară
Calculul momentelor de inerţie axiale pentru o secţiune inelară avacircnd diametrul
interior 119889 şi diametrul exterior 119863 se determină analog pentru suprafaţa circulară plină cu
observaţia că integrala pentru calculul momentului de inerție polar 119868119901 se face icircntre
limitele 119903 = 119889 2frasl şi R= 1198632frasl (icircntre raza interioară 119903 şi raza exterioară 119877) figura 46
Se obţin relaţiile
119868119901 =120587 ∙ 1198634
32∙ [1 minus (
119889
119863)4
] =120587 ∙ 1198634
32∙ (1 minus 1198964) (425)
119868119910 = 119868119910 =120587 ∙ 1198634
64∙ [1 minus (
119889
119863)4
] =120587 ∙ 1198633
64∙ (1 minus 1198964) (426)
Fig 46 Secțiune inelară
119882119901 =120587 ∙ 1198633
16∙ [1 minus (
119889
119863)4
] =120587 ∙ 1198633
16∙ (1 minus 1198964) (427)
119882119911 = 119882119910 =120587 ∙ 1198633
32∙ [1 minus (
119889
119863)4
] =120587 ∙ 1198633
32∙ (1 minus 1198964) (428)
unde 119896 = 119889119863frasl
46 Variaţia momentelor de inerţie faţă de axe paralele
( Relațiile lui STEINER)
Se consideră o suprafaţă oarecare de arie 119860 cu elementul de arie 119889119860 și un sistemul
de axe central 119911119862119910 faţă de care se cunosc momentele de inerţie 119868119911 119868119910 119868119911119910 şi considerăm
un sistem de axe 11991111198741199101 paralele cu sistemul central figura 47 Se pune problema
determinării momentele de inerţie 1198681199111 1198681199101 11986811991111199101 faţă de sistemul de axe paralel cu sistemul
central 11991111198741199101 axe aflate la distanţele 119910119862 = 119888 respectiv 119911119862 = 119889 de acesta
461 Momente de inerţie axiale
Pe baza relaţiilor de definire şi a notaţiilor din figura 42 pentru momentele de
inerţie faţă de axele 1198741199111 1198741199101 se poate scrie
1198681199111 = int 11991012 ∙ 119889119860
119860
= int(119910 + 119888)2 ∙ 119889119860
119860
= int 1199102 ∙ 119889119860
119860
+ 2 ∙ 119888 ∙ int 119910 ∙ 119889119860
119860
+
+1198882int 119889119860
119860
rArr 1198681199111 = 119868119911 + 2 ∙ 119888 ∙ 119878119911 + 1198882 ∙ 119860 hArr 1198681199111 = 119868119911 + 119888
2 ∙ 119860
(429)
Fig 47 Variaţia momentelor de inerţie față de axe paralele
S-a ajuns la relația (429) deoarece momentul static 119878119911 este nul deoarece axa 119862119885
este axă centrală
Pentru momentul de inerție axial icircn raport cu axa 1198741199101 se obține
1198681199101 = int 11991112 ∙ 119889119860
119860
= int(119911 + 119889)2 ∙ 119889119860
119860
= int 1199112 ∙ 119889119860
119860
+ 2 ∙ 119889 ∙ int 119911 ∙ 119889119860
119860
+
+1198892 ∙ int 119889119860
119860
rArr 1198681199101 = 119868119910 + 2 ∙ 119889 ∙ 119878119910 + 1198892 ∙ 119860 hArr 1198681199101 = 119868119910 + 119889
2 ∙ 119860
(430)
Pentru momentul de inerție centrifugal obținem
11986811991111199101 = int 1199101 ∙ 1199111 ∙ 119889119860
119860
= int(119910 + 119888) ∙ (119911 + 119889) ∙ 119889119860
119860
= int 119910 ∙ 119911 ∙ 119889119860 +
119860
+119888 ∙ int 119911 ∙ 119889119860
119860
+ 119889 ∙ int 119910 ∙ 119889119860
119860
rArr 11986811991111199101 = 119868119911119910 + 119888 ∙ 119889 ∙ 119860
(431)
Deoarece
int 119911 ∙ 119889119860
119860
= 119878119910 = 0 int 119910 ∙ 119889119860
119860
= 119878119911 = 0 int 119910 ∙ 119911 ∙ 119889119860
119860
= 119868119911119910
Relaţiile (429) şi (430) arată că momentul de inerţie faţă de o axă oarecare
este egal cu momentul de inerţie faţă de o axă paralelă cu ea trecacircnd prin centrul de
greutate la care se adaugă produsul dintre aria suprafeţei şi pătratul distanţei dintre
cele două axe
Din relaţiile (429) și (430) rezultă de asemenea că momentul de inerţie faţă de o
axă centrală (care trece prin centrul de greutate) este cel mai mic dintre infinitatea de
momente de inerţie obținute faţă de alte axe paralele cu ea
Relaţia (431) arată de asemenea că momentul de inerţie centrifugal faţă de un
sistem de axe oarecare este egal cu momentul de inerţie centrifugal faţă de un sistem
paralele cu el trecacircnd prin centrul de greutate a suprafeţei la care se adaugă produsul
dintre aria suprafeţei şi distanţele dintre axele sistemelor respective
Icircn literatura de specialitate relaţiile (429) (430) şi (431) sunt cunoscute sub
numele de relaţiile lui Steiner
47 Variaţia momentrlor de inerţie faţă de axe rotite
Direcţii principale şi momente de inerţie principale
Fie suprafaţa plană din figura 48 de arie 119860 pe care considerăm o suprafaţă
elementară de arie 119889119860 Pentru sistemul de axe 119911119874119910 se cunosc momentele de inerţie
119868119911 119868119910 119868119911119910 şi vom determina relaţiile de calcul pentru momentele de inerţie afererent unui
sistem de axe 11991111198741199101 rotit cu un unghi faţă de sistemul central
Faţă de sistemul de axe 11991111198741199101 elementul de arie 119889119860 are coordonatele
1199101 = 119875119877 = 119875119876 minus 119877119876 = 119910 ∙ cos 120572 minus 119911 ∙ sin 120572
1199111 = 119873119872 = 119873119875 minus 119875119872 = 119911 ∙ cos 120572 + 119910 ∙ sin 120572 (432)
Fig 47 Variaţia momentelor de inerţie față de axe rotite
Pe baza relaţiilor de calcul ale momentelor de inerţie şi a notaţiilor din figura 42
şi ale relaţiilor (432) momentele de inerţie faţă de sistemul de axe rotit 11991111198741199101 sunt
1198681199111 =119868119911 + 119868119910
2+119868119911 minus 119868119910
2∙ cos 2120572 minus 119868119911119910 ∙ sin 2120572 (433)
1198681199101 =119868119911 + 119868119910
2minus119868119911 minus 119868119910
2∙ cos 2120572 + 119868119911119910 ∙ sin 2120572 (434)
11986811991111199101 =119868119911 minus 119868119910
2∙ sin 2120572 + 119868119911119910 ∙ cos 2120572 (435)
Din relaţiile 433divide435 se observă că icircntre momentele de inerţie axiale şi cele
polare există relaţia
1198681199111 + 1198681199101 = 119868119911 + 119868119910 = 119868119901 (436)
adică suma momentelor de inerţie axiale icircn raport cu orice pereche de axe ortogonale
care trec printr-un pol dat este o constantă şi egală cu momentul de inerţie polar
Prin rotirea sistemului de axe din relaţiile 433divide435 rezultă că momentele de inerţie
variază icircnsă suma lor rămacircne constantă deci există o poziţie a sistemului de axe pentru
care momentele de inerţie au valori extreme maxim respectiv minim
471 Direcţii principale de inerţie
Valoarea unghiului 120572 pentru care momentele de inerţie axiale au valori extreme
este
1205721 =1
2∙ 119886119903119888119905119886119899 (minus
2 ∙ 119868119911119910
119868119911 minus 119868119910) (437)
Poziţia celeilalte direcţii este perpendiculară pe cea dată de unghiul 1205721
Din relaţia (437) se constată că faţă de aceste direcţii rotite pentru care momentele
de inerţie axiale prezintă valori extreme momentul de inerţie centrifugal 11986811991111199101este nul
Atunci se poate afirma că momentele de inerţie axiale au valori extreme icircn raport cu
direcţiile faţă de care momentul de inerţie centrifugal este nul Aceste direcţii se numesc
direcţii principale iar momentele de inerţie faţă de aceste direcţii poartă numele de
momente de inerţie principale
Icircn calculele de rezistenţă interesează icircn mod special poziţia direcţiilor principale
care trec prin centrul de greutate al suprafeţei aşa numitele direcţii principale centrale şi
evident momentele de inerţie principale centrale
Direcţiile principale de inerţie se notează cu 1 respectiv 2 Axa principală 1
corespunde direcţiei faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea maximă iar
axa principală 2 pentru direcţia faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea
minimă
472 Momente de inerţie principale
Momentele de inerţie principale se notează cu litera 119868 la care se pune indicele 1
sau 2 după cum valoarea acestuia este maximă sau minimă deci avem un moment de
inerţie principal 1 (notat 1198681) respectiv moment de inerţie principal 2 (notat 1198682)
Expresiile pentru momentele de inerţie principale sunt
11986812 =119868119911 + 119868119910
2plusmn1
2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)
2+ 4 ∙ (119868119911119910)
2 (438)
Dacă momentul de inerţie centrifugal este negativ (119868119911119910 lt 0) direcţia principală
care trece prin primul cadran (definit de sistemul 119911119862119910) este direcţia principală 120783
Pentru suprafeţele cu cel puţin o axă de simetrie direcţiile centrale 119862119911 119862119910 sunt şi
direcții principale de inerţie și evident momentele de inerţie axiale 119868119911 119868119910 sunt momente
de inerţie principale
48 Caracteristici mecanice ale metalelor
Alegerea materialului pentru confecţionarea unei anumite piese se face şi pe baza
aşa numitelor caracteristici mecanice pe care le prezintă materialul Cunoaşterea acestor
caracteristici mecanice are loc numai pe baza unor icircncercări mecanice care să scoată icircn
evidenţă comportarea materialului icircn condiţii de solicitare
Cea mai utilizată icircncercare icircn urma căreia se pun icircn evidenţă caracteristicile
mecanice ale unui material este icircncercarea la tracţiune
481 Icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general
Icircncercarea la tracţiune a oţelului ca de altfel toate icircncercările de materiale este
standardizată
Icircn cele ce urmează se va prezenta numai partea care interesează strict din punct
de vedere al caracteristicilor mecanice ale oţelului
Epruveta de diametru iniţial 1198890 pentru icircncercarea la tracţiune are o porţiune de
lungime 1198710 numită baza de măsurare pe care se măsoară lungirea acesteia sub acţiunea
solicitării
Icircn funcţie de raportul dintre baza de măsurare 1198710 şi diametrul iniţial 1198890 epruvetele
utilizate pentru icircncercări sunt
epruvete normale (scurte) cacircnd 11987101198890 = 5
epruvete lungi cacircnd 11987101198890 = 10
Icircn timpul icircncercării la diferite valori ale forţei 119865 se măsoară lungirea bazei de
măsurare
∆119871 = 120575 = 119871 minus 1198710 (439)
unde
119871 este dimensiunea bazei de măsurare la un moment dat
Curba forţă-lungire (119865 minus ) icircnregistrată icircn urma icircncercării reprezintă curba
caracteristică la tracţiune
La icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general diagrama caracteristică care se
obţine are forma din figura 48
Curba caracteristică la tracţiune depinde de lungimea bazei de măsurare Pentru
icircnlăturarea acestui neajuns curba caracteristică se reprezintă icircn coordonate şi definite
astfel
120590 =119865
1198600 휀 =
120575
1198710 (440)
unde
1198600 este aria iniţială a secţiunii transversale a epruvetei (icircnainte de solicitare) icircn
zona bazei de măsurare
1198600 =120587 ∙ 1198890
2
4
Deoarece mărimile icircn care se reprezintă curba caracteristică la tracţiune sunt
raportate la aria iniţială a secţiunii transversale (mărimi specifice) curba poartă numele
de curbă caracteristică convenţională la tracţiune
Fig 48 Curba caracteristică convenţională la tracțiune
Pe curba caracteristică convenţională la tracţiune figura 48 se pot stabili o serie
de puncte cărora le corespund mai multe mărimi importante
Ordonata punctului A pacircnă unde curba caracteristică convenţională este linie
dreaptă se numeşte limita de proporţionalitate a materialului 120590119901(1205901) Porţiunea 119874119860 este
zona de proporţionalitate a curbei caracteristice pe acest domeniu este valabilă legea lui
Hooke care exprimă o proporţionalitate icircntre tensiune şi deformaţie specifică
120590 = 119864 ∙ 휀 (441)
unde
119864 = reprezintă panta porţiunii liniare a curbei convenționale caracteristice
la tracțiune Caracteristica de material 119864 se numeşte modul de elasticitate longitudinal
(modulul lui Young)
Ordonata punctului 119861 pacircnă unde materialul se comportă perfect elastic adică
după descărcare icircşi recapătă dimensiunea iniţială 1198710 se numeşte limita de elasticitate
120590119890(119877119890) Icircn realitate nici un material nu are comportare perfect elastică sub acţiunea
solicitărilor el capătă deformaţii permanente (remanente plastice)
După punctul 119861 urmează o porţiune 119861119862119863 icircn care cu toate că icircncărcarea
continuă forţa nu mai creşte avacircnd mici oscilaţii icircn jurul unei valori Se spune că icircn
această porţiune materialul curge iar intervalul 119861119862119863 este un palier de curgere Tensiunea
corespunzătoare palierului de curgere se numeşte limită de curgere aparentă 120590119888(119877119888) Limita de curgere aparentă se calculează cu relaţia
120590119888 =1198651198881198600 (442)
unde
119865119888 reprezintă valoarea forţei icircnregistrată icircn momentul curgerii materialului
După punctul 119863 curba caracteristică are un traseu ascendent pacircnă icircn punctul 119864
Porţiunea 119863119864 este numită zonă de icircntărire (ecruisare) Icircn zona de ecruisare unde se
produc deformaţii plastice semnificative legea lui Hooke nu mai este valabilă La
descărcare relaţia dintre tensiunea şi deformaţia specifică este liniară paralelă cu
porţiunea liniară a curbei caracteristice (dreapta 119872119873)
Deformaţia totală (휀119905) are două componente una elastică (휀119890) şi una plastică (휀119901)
Ordonata punctului 119864 reprezintă rezistenţa de rupere 120590119903(119877119898) a materialului
care se poate calcula cu relaţia
120590119903 = 119877119898 =1198651198981198861199091198600
(443)
unde
119865119898119886119909 reprezintă valoarea maximă a forţei icircnregistrată icircn timpul icircncercării
La atingerea valorii 119865119898119886119909 (punctul 119864) icircntr-un anumit loc al epruvetei secţiunea
icircncepe să se micşoreze (se produce gacirctuirea) continuacircnd pacircnă cacircnd se produce ruperea
totală (punctul 119865)
Dacă după ruperea epruvetei cele două părţi rezultate se aşează cap la cap şi se
măsoară dimensiunea bazei de măsurare 119871119906 (lungimea ultimă) se determină alungirea la
rupere sau lungirea specifică la rupere 휀119903
휀119903 =119871119906 minus 11987101198710
=∆119871
1198710=120575
1198710 (444)
De obicei alungirea se exprimă icircn procente şi se notează cu 119860119899 unde 119899 reprezintă
numărul dat de raportul 11987101198890 (epruvete normale 119899 = 5 epruvete lungi 119899 = 10)
119860119899 =119871119906 minus 11987101198710
∙ 100 [] (445)
Altă mărime care se determină la icircncercarea la tracţiune este gacirctuirea la rupere
(exprimată de obicei icircn procente) şi definită de relaţia
119885 =1198600 minus 1198601199061198600
∙ 100 [] (446)
Mărimile determinate limita de proporţionalitate modulul de elasticitate
longitudinal limita de elasticitate limita de curgere aparentă rezistenţa de rupere
alungirea la rupere şi gacirctuirea la rupere sunt cunoscute ca fiind caracteristici mecanice
ale materialului
Din curba caracteristică convenţională observăm faptul că ruperea (punctul 119865 din
figura 48 se produce la o tensiune mai mică decacirct cea corespunzătoare punctului 119864 Dacă
icircnsă forţa din timpul icircncercării s-ar raporta la aria secţiunii din momentul icircnregistrării
forţei (care este mai mică decacirct cea iniţială 1198600) s-ar obţine aşa numita curbă
caracteristică reală a materialului (traseul 1198741198601198611198621198631198651 din figura 48) La curba
caracteristică reală ruperea se produce icircn punctul 1198651 la o icircncărcare mai mare decacirct cea
corespunzătoare punctului 119864 Icircnseamnă că rezistenţa reală la rupere este mai mare decacirct
rezistenţa la rupere dată de punctul 119864 din diagrama caracteristică convenţională
Dificultatea obţinerii diagramei caracteristice reale faţă de cea a diagramei caracteristice
convenţionale şi considerarea unei rezistenţe la rupere mai mică decacirct a celei reale face
icircn practică utilizarea pe scară mare a diagramei caracteristice convenţionale
Caracteristicile mecanice determinate pe baza curbei caracteristice convenţionale
sunt şi ele caracteristici mecanice convenţionale
Caracteristicile mecanice convenţionale limita de proporţionalitate convenţională
120590119901 limita de elasticitate convenţională 120590119890 limita de curgere convenţională 120590119888 şi rezistenţa
de rupere 120590119903 constituie tensiuni limită pentru un material Pe baza acestor caracteristici
de material se alege valoarea tensiunii admisibile 120590119886 (vezi paragraful 35) pentru
calculele de rezistenţă Cea mai utilizată stare limită pentru stabilirea tensiunii admisibile
120590119886 este limita de curgere convenţională 120590119888
120590119886 =120590119897119894119898119888
=120590119888119888 119904119886119906 120590119886 =
120590119903119888 (447)
Caracteristicile mecanice ale materialului sunt influenţate de o serie de factori
temperatura viteza de solicitare factorii tehnologici iar valorile lor sunt date icircn tabele și
diagrame
Aplicaţie Pentru suprafaţa plană compusă din două dreptunghiuri avacircnd
dimensiunile din figura 49a să se calculeze
a) centrul de greutate al secțiunii compuse 119910119866 119911119866
b) momentele de inerție axiale 119868119911 119868119910 și momentul de inerție centrifugal 119868119911119910
c) razele de inerție 119894119911 119894119910
d) modulele de rezistență 119882119911119898119894119899 119882119911119898119886119909 119882119910119898119894119899 119882119910119898119886119909
e) momentele de inerție principale 1198681 1198682 și direcțiile principale de inerție 1205721
f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 119878119911
Fig 49 Aplicație
Rezolvare Pentru rezolvare vom parcurge următoarele etape
icircmpărțim suprafața compusă icircn două suprafețe simple (dreptunghiuri) notate cu
① și respectiv ② figura 49b
poziționăm centrele de greutate a celor două suprafețe simple ① și respectiv ②
notate cu 1198661 și respectiv 1198662 figura 49c
poziționăm sistemele de axe de coordonate 119911111986611199101 pentru dreptunghiul ① și
119911211986621199102 pentru dreptunghiul ② aflate la intersecția diagonalelor figura 49c
poziționăm sistemele de axe de coordonate 11991101198741199100 ales arbitrar față de care
determinăm poziția centrului de greutate 119866 figura 49c
a) calculăm poziția centrului de greutate folosind relațiile (46) icircn care
1198601 = 6119905 ∙ 119905 = 61199052 1198602 = 4119905 ∙ 119905 = 41199052 119860 = 1198601 + 1198602 = 61199052 + 41199052 = 101199052
iar centrele de greutate 1198661 și respectiv 1198662 au coordonatele (față de sistemul 11991101198741199100)
1198661 1199101 = 3119905 1199111 = 05119905
1198662 1199102 = 051199051199112 = 3119905
cu acestea obținem
119910119866 =1198601 ∙ 1199101 + 1198602 ∙ 1199102
119860=61199052 ∙ 3119905 + 41199052 ∙ 05119905
101199052=201199053
101199052= 2119905
119911119866 =1198601 ∙ 1199111 + 1198602 ∙ 1199112
119860=61199052 ∙ 05119905 + 41199052 ∙ 3119905
101199052=151199053
101199052= 15119905
Poziționăm centrul de greutate 119866 al suprafeței compuse figura 49c
Fig 49 Aplicație
b) pentru determinarea momentelor de inerție axiale 119868119911 119868119910 și a momentului de
inerție centrifugal 119868119910119911 determinăm constantele 1198881 1198882 1198891 1198892 care intervin icircn relația lui
Stainer
1198881 = 1199101 minus 119910119866 = 3119905 minus 2119905 = 119905 1198882 = minus(119910119866 minus 1199102) = minus(2119905 minus 05119905) = minus15119905
1198891 = minus(119911119866 minus 1199111) = minus(15119905 minus 05119905) = minus119905 1198892 = 1199112 minus 119911119892 = 3119905 minus 15119905 = 15119905
Folosind relațiile lui Stainer (429) (430) și (431) calculăm momentele de
inerție axiale și centrifugale față de sistemul central 119911119866119866119910119866
119868119911 =sum(119868119911119894 + 1198881198942 ∙ 119860119894) = 1198681199111 + 1198881
2 ∙ 1198601 + 1198681199112 + 11988822 ∙ 1198602
119868119910 =sum(119868119910119894 + 1198891198942 ∙ 119860119894) = 1198681199101 + 1198891
2 ∙ 1198601 + 1198681199102 + 11988922 ∙ 1198602
119868119911119910 =sum(119868119911119894119910119894 + 119888119894 ∙ 119889119894 ∙ 119860119894) = 11986811991111199101 + 1198881 ∙ 1198891 ∙ 1198601 + 11986811991121199102 + 1198882 ∙ 1198892 ∙ 1198602
1198681199111 = (119887 ∙ ℎ3
12) =
119905 ∙ (6119905)3
12= 181199054 1198681199112 = (
119887 ∙ ℎ3
12) =
4119905 ∙ 1199053
12= 031199054
1198681199101 = (1198873 ∙ ℎ
12) =
1199053 ∙ 6119905
12= 051199054 1198681199102 = (
1198873 ∙ ℎ
12) =
(4119905)3 ∙ 119905
12= 531199054
11986811991111199101 = 11986811991121199102 = 0 deoarece cele două triunghiuri au cel puțin o axă de simetrie
Cu acestea momentele de inerție axiale și momentul de inerție centrifugal devin
119868119911 = 181199054 + 1199052 ∙ 61199052 + 031199054 + (minus15119905)2 ∙ 41199052 = 3331199054
119868119910 = 051199054 + (minus119905)2 ∙ 61199052 + 531199054 + (15119905)2 ∙ 41199052 = 2081199054
119868119911119910 = 0 + 119905 ∙ (minus119905) ∙ 61199052 + 0 + (minus15119905) ∙ (15119905) ∙ 41199052 = minus151199054
c) razele de inerție sau de girație față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910
se calculează cu relațiile (411)
119894119911 = radic119868119911119860= radic
3331199054
101199052= 182119905 119894119910 = radic
119868119910
119860= radic
2081199054
101199052= 144119905
d) modulele de rezistență față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910 se
calculează cu relațiile (412) și (413)
Avacircnd icircn vedere figura 419c obținem
119910119898119886119909 = 6119905 minus 119910119866 = 6119905 minus 2119905 = 4119905 119910119898119894119899 = minus119910119866 = minus2119905
119911119898119886119909 = 5119905 minus 119911119866 = 5119905 minus 15119905 = 35119905 119911119898119894119899 = minus119911119866 = minus15119905
Se obține astfel
119882119911119898119894119899 =119868119911
|119910119898119886119909|=3331199054
4119905= 8331199053
119882119911119898119886119909 =119868119911
|119910119898119894119899|=3331199054
2119905= 16651199053
119882119910119898119894119899 =119868119910
|119911119898119886119909|=2081199054
35119905= 5941199053
119882119910119898119886119909 =119868119910
|119911119898119894119899|=2081199054
15119905= 13871199053
e) momentele de inerție principale 1198681 și respectiv 1198682 se calculează cu relațiile
(438)
11986812 =119868119911 + 119868119910
2plusmn1
2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)
2+ 4 ∙ (119868119911119910)
2=
=3331199054 + 2081199054
2plusmn1
2∙ radic(3331199054 minus 2081199054)2 + 4 ∙ (minus151199054)2 = 27051199054 plusmn 16251199054
De unde obținem
1198681 = 27051199054 + 16251199054 = 4331199054
1198682 = 27051199054 minus 16251199054 = 1081199054
Prima direcție principală de inerție 1 face cu axa centrală 119866119911 unghiul 1205721 dat de
relația (437)
1205721 =1
2∙ arctan (minus
2 ∙ 119868119911119910
119868119911 minus 119868119910) =
1
2∙ arctan [minus
2 ∙ (minus151199054)
3331199054 minus 2081199054] =33 70
Deoarece 1205721 gt 0 rotirea axelor se face acircn sens antiorar acelor de ceasornic figura
49d
Poziția axe principale 2 față de care momentul de inerție are valoarea minimă
1198682 = 119868119898119894119899 este dată de unghiul
1205722 = 1205721 + 900 = 33 70 + 900 = 123 70
f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 se determină cu relația
(45)
1198781199111198602 = 1198602 ∙ 1198882 = 41199052 ∙ (minus15119905) = minus61199053
3 TENSIUNI DEPLASĂRI ŞI DEFORMAŢII SPECIFICE
31 Tensiuni
Eforturile obținute icircn urma reducerii forțelor interioare icircn centrul de greutate al
secțiunii nu pot da informații asupra solicitării fiecărui punct al secțiunii respective Este
necesar să se cunoască modul cum se distribuie forțele interioare icircn fiecare punct al
secțiunii pentru a ști care este intensitatea maximă a solicitării Această intensitate
maximă se poate compara cu o valoare critică specifică materialului stabilindu-se astfel
dacă solicitarea este periculoasă sau nu
Mărimea care caracterizează solicitarea locală punctuală o vom denumi tensiune
și o vom defini icircn cele ce urmează Să considerăm partea din dreapta a unui corp solicitat
de forțele exterioare 1198651 1198652 și 1198653 obținută prin secționarea corpului și mărginită de fața
din dreapta Ad a secțiunii Pe secțiunea Ad vom considera un element de arie infinit mic
∆119860 caracterizat de normala la elementul de arie normală care are cosinușii directori
120573 și icircn raport cu un sistem de axe considerat fix Pe elementul infinit mic ∆119860 acționează
forțele interioare care au o rezultantă oarecare figura 31
Prin definiție tensiunea totală este
= lim∆119860rarr0
∆
∆119860 (31)
Tensiunea are aceeaşi direcţie cu forţa elementară ∆ iar mărimea ei este
determinată atacirct de mărimea forţei ∆ cacirct şi de orientarea suprafeţei ∆119860 faţă de direcţia
forţei
Tensiunea 119901 poate fi descompusă icircntr-o componentă orientată după direcţia
normalei la secţiune tensiunea normală notată cu 120590119909 şi o componentă icircn planul secţiunii
tensiunea tangenţială notată cu figura 32
= 119909 + 120591 (32)
Fig 31 Tensiunea totală Fig 32 Tensiunea normală și tangențială
La racircndul ei componenta tensiunii cuprinsă icircn planul secțiunii poate fi
descompusă după direcțiile axelor y și z
120591 = 120591119909119910 + 120591119909119911 (33)
Icircntre cele trei componente ale tensiunii totale care acționează pe elementul de arie
∆119860 este valabilă relația
1199012 = 1205901199092 + 120591119909119910
2 + 1205911199091199112 (34)
După sensul pe care icircl are tensiunea normală 120590 poate avea efect de tracţiune sau
de compresiune exercitat de către partea de corp icircnlăturată asupra părţii rămase Analog
tensiunea tangenţială 120591 poate avea efect de tăiere forfecare sau alunecare Pentru
componentele tensiunii tangențiale 120591119909119910 pe direcţia 119910 respectiv 120591119909119911 pe direcţia 119911 primul
indice indică axa pe care tensiunea este normală iar cel de-al doilea indice indică axa cu
care aceasta este paralel
Tensiunea este o mărime tensorială valoarea ei depinzacircnd atacirct de poziția
punctului icircn planul secțiunii cicirct și de orientarea planului de secționare deci de normala
Operaţiile vectoriale nu pot fi aplicate tensiunilor decacirct după ce acestea au fost icircnmulţite
cu ariile respective adică au fost transformate icircn forţe
Icircn literatura de specialitate mai ales icircn manualele mai vechi pentru noţiunea de
tensiune se mai foloseşte şi denumirea de efort specific
Dacă se consideră un alt element de arie ∆119860 cu centrul icircn același punct avacircnd ca
normală axa 119910 se vor obține alte tensiuni și anume
- 120590119910 este tensiunea normală (paralelă cu axa y)
- 120591119911119909 și 120591119910119911 sunt tensiuni tangențiale paralele cu axele 119909 și respectiv 119911 aflate icircn
planul care are ca normală axa 119910
Dacă icircn jurul unui punct dintr-un corp solicitat se consider un element de volum
infinit mic de forma unui cub icircn cazul cel mai general pe fețele sale vor acționa
tensiunile normale 120590119909 120590119910 și 120590119911 și respectiv tensiunile tangențiale 120591119909119910 120591119909119911 120591119910119909 120591119910119911 120591119911119909
și respectiv 120591119911119910 figura 33 Aceste tensiuni definesc starea de tensiune a punctului
observacircnd faptul că tensorul tensiune are 9 componente Dacă se consideră elementul
de volum finit ca fiind foarte mic se poate presupune că icircn interiorul său nu apar forțe
Ca urmare el va fi icircn echilibru sub acțiunea forțelor elementare produse de tensiunile de
pe fețele sale
Din condiția ca elementul să nu se rotească icircn jurul unor axe care trec prin centrul
său și sunt paralele cu axele sistemului 119909119874119910119911 rezultă
2 ∙ 120591119909119910 ∙ (119889119910 ∙ 119889119911) ∙119889119909
2= 2 ∙ 120591119910119909 ∙ (119889119909 ∙ 119889119911) ∙
119889119910
2 rArr 120591119909119910 = 120591119910119909 (35)
2 ∙ 120591119910119911 ∙ (119889119909 ∙ 119889119911) ∙119889119910
2= 2 ∙ 120591119911119910 ∙ (119889119909 ∙ 119889119910) ∙
119889119911
2 rArr 120591119910119911 = 120591119911119910 (36)
2 ∙ 120591119909119911 ∙ (119889119910 ∙ 119889119911) ∙119889119909
2= 2 ∙ 120591119911119909 ∙ (119889119909 ∙ 119889119910) ∙
119889119911
2 rArr 120591119909119911 = 120591119911119909 (37)
Relațiile (35divide37) 120591119909119910 = 120591119910119909 120591119910119911 = 120591119911119910 120591119909119911 = 120591119911119909 exprimă principiul dualității
tensiunilor tangențiale
Fig 33 Tensiunile normale și tangențiale pe fețele unui cub
Din condiția ca elementul considerat să nu se deplaseze icircn lungul axelor de
coordonate pe fețele opuse acționează aceleași tensiuni normale 120590119909 120590119910 și respectiv 120590119911
Definirea tensorului tensiune este posibilă dacă se cunosc cele 6 componente
independente ale acestuia aflate icircn trei plane perpendicular ce trec prin punctul respectiv
=
120590119909 120591119909119910 120591119909119911120591119910119909 120590119910 120591119910119911120591119911119909 120591119911119910 120590119911
Observaţii
Tensiunile se măsoară icircn [119873 1198982frasl ] (1119873 1198982frasl = 1 119875119886) sau icircn [119872119875119886]
(1 119872119875119886 = 106119875119886 = 106 119873
1198982 1 119872119875119886 = 1
119873
1198981198982)
Starea de tensiune dintr-un punct este considerată cunoscută dacă se cunosc
tensiunile 119901 care acționează pe infinitatea de elemente de suprafață ce trec prin punctual
considerat
Starea de tensiune a unui corp se consider cunoscută dacă se cunosc stările de
tensiune de pe infinitatea de puncte ale corpului considerat
32 Deplasări Deformaţii specifice
321 Deplasări
Aceste noțiuni sunt utile icircn analiza aspectului geometric al problemelor de rezistența
materialelor Deplasările care se analizează sunt cele datorate schimbării formei și
dimensiunilor corpurilor ca urmare a acțiunii forțelor exterioare și nu cele cinematice
posibile pentru solidul rigid care se poate deplasa cu anumită viteză și accelerație
Spre exemplu icircn figura 34a și figura 34b sub acțiunea forței 119865 tronsonul de
bară AB se deformează icircn timp ce tronsonul BC deși punctele sale au deplasări rămacircne
nedeformat (fiind nesolicitat) Toate punctele de pe axele barelor cu excepția celor din
icircncastrare (secțiunile A) au deplasări liniare De cele mai multe ori deformațiile barelor
datorate acțiunii forțelor exterioare se anulează la icircndepărtarea forțelor se spune că
deformațiile sunt elastice Secțiunile transversale ale barei din figura 34a se și rotesc icircn
raport cu pozițiile lor inițiale Spre exemplu secțiunea de căpăt cu centrul icircn C se rotește
cu unghiul
Fig 34 Deformațiile unei grinzi
Oricacirct de complexă ar fi delormația unui corp ea poate fi descrisă de lungiri sau
scurtări și de modificări ale unghiurilor inițiale
Deplasările măsoară schimbarea poziției unui punct al corpului și pot fi liniare
sau unghiulare
Prin deplasare liniară a unui punct se icircnțelege drumul parcurs de acest punct icircn
decursul procesului de deformație după o dreaptă suport dreapta 1198611198611 din figura 34a
Prin deplasare unghiulară se icircnțelege rotirea dintre segmentele de dreaptă
determinate de două puncte ale corpului icircnainte și după deformarea acestuia unghiul
pe care-l fac segmentele 119861119862 și 11986111198621 din figura 34a Această rotire se măsoară prin
unghiul pe care-l fac proiecțiile dreptelor ce conțin cele două segmente icircntr-un sistem
triortogonal
Icircn cazul cel mai general vectorul deplasare liniară se poate descompune icircntr-un
sistem triortogonal icircn trei componente 119906 119907 și 119908 figura 35
Fig 35 Deplasarea liniară
Se consideră acum un corp solid raportat la un sistem de axe ortogonal 119909119874119910119911
figura 35 după deformarea corpului un punct oarecare 119870 al acestuia se deplasează icircn
poziţia 1198701 vectorul 1198701198701 poartă numele de vectorul deplasării totale
Deplasarea totală este suma deplasărilor pe cele trei direcţii ortogonale iar
aceste deplasări se notează astfel
deplasarea pe direcţia 119909 cu ∥ 119874119909
deplasarea pe direcţia 119910 cu ∥ 119874119910
deplasarea pe direcţia 119911 cu ∥ 119874119911
Componentele deplasărilor și formeză matricea deplasărilor liniare 119906119907119908
322 Deformații
Prin deformație icircn general se icircnțelege orice schimbare de formă a unui corp fără
o evaluare cantitativă Icircn Rezistența Materialelor deformația măsoară variația
dimensiunilor geometrice ale corpului considerat din vecinătatea unui punct analog
deplasărilor deformațiile pot fi liniare și unghiulare (lunecări)
Fig 36 Deplasarea liniară
Deformația liniară ∆119897 reprezintă variația lungimii 119897 a unui element liniar al
corpului deformat figura 36 Deformația liniară specifică se definește ca fiind raportul
dintre deformația liniară și lungimea inițială
휀 =∆119897
119897 (38)
unde ∆119897 este lungirea sau scurtarea care este echivalentă cu deformția liniară totală iar
este alungirea
Deformația unghiulară sau lunecarea unui punct 119860 icircn planul 119861119860119862 se definește
prin relația figura 37
120574 = lim119861119860rarr0119862119860rarr0
(119861119860 minus 119861111986011198621 ) (39)
Fig 36 Deformația unghiulară
Schimbacircnd orientarea planului care trece prin 119860 se obțin alte deformații
unghiulare Dacă elementele liniare 119861119860 și 119862119860 sunt inițial perpendiculare deformația 120574 se
numește deformație unghiulară specifică sau lunecare specifică figura 37
Un exemplu de deplasare unghiulară și de deformație unghiulară este prezentat icircn
figura 38 Unghiul este deplasarea unghiulară și măsoară rotirea relativă dintre două
secțiuni aflate la distanța 119897 Unghiul este deformația specifică unghiulară (lunecarea
specifică) din punctul 119870 Aceste deplasări și deformații se obțin icircn urma solicitării barei
de către cele două momente 1198720 egale și de sens contrar
Fig 38 Deplasarea unghiulară
Pentru a analiza starea de deformație din vecinătatea unui punct al unui corp
solicitat complex se decupează din jurul punctului un element de volum mic figura 39a
avacircnd laturile 119889119909 119889119910 și 119889119911 Ca urmare a solicitării laturile acestuia se vor lungi sau
scurta Reprezentarea elementului deformat icircn spațiu este dificilă pentru simplificare
vom analiza doar deformațiile din planul 119909119874119910 Observăm că dimensiunile 119889119909 și 119889119910 s-au
modificat cu valoarea ∆119889119909 respectiv cu ∆119889119910 analog se acceptă și pentru 119889119911 o modificare
de forma ∆119889119911 Astfel se pot defini deformațiile specifice liniare
휀119909 =∆119889119909
119889119909 휀119910 =
∆119889119910
119889119910 휀119911 =
∆119889119911
119889119911 (310)
De cele mai multe ori aceste deformații specifice liniare se pot exprima procentual
și se mai numesc alungiri
Fig 39 Starea de deformație
Icircn figura 39c se vede că unghiul inițial drept dintre muchiile 119889119909 și 119889119910 ale
elementului de volum s-a modificat Se definește deformația specifică unghiulară (sau
lunecarea specifică) mărimea cu care se modifică unghiul inițial drept
120574119909119910 = 120574119909119910prime + 120574119910119909
prime = 120574119910119909120574119910119911 = 120574119910119911
prime + 120574119911119910prime = 120574119911119910
120574119911119909 = 120574119911119909prime + 120574119909119911
prime = 120574119909119911
(311)
Deformațiile 휀119909 휀119910 휀119911 120574119909119910 120574119910119911 120574119911119909 constituie cele șase componente
independente ale tensorului deformațiilor specifice care pot fi scrise de forma
119863 =
휀119909 120574119909119910 120574119909119911120574119910119909 휀119910 120574119910119911120574119911119909 120574119911119910 휀119911
(312)
323 Contracţia transversală
Practica arată că odată cu lungirea unei bare apare o micşorare a mărimii secţiunii
transversale mărime numită contracţie transversală figura 310
Fig 310 Contracția transversală
Contracţia transversală este proporţională cu lungirea specifică coeficientul de
proporţionalitate se notează cu 120599 şi se numeşte coeficient de contracţie transversală sau
coeficientul lui Poisson
La o lungire specifică a barei contracţia transversală este dată de relația
휀119905119903 = 휀119910 = 휀119911 = minus120599 ∙ 휀119909 (313)
Semnul minus bdquo-rdquo arată că cele două mărimi sunt contrare dacă una creşte cealaltă
scade şi invers
Considerăm o bară cilindrică de lungime 119897 şi aria secţiunii transversale 119860 solicitată
la icircntindere axială La un moment dat datorită solicitării lungimea barei devine
[119897 ∙ (1 + 휀)] diametrul devine [119889 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)] iar aria secţiunii transversale devine
[119860 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)2] Dacă volumul barei icircnainte de solicitare a fost (119860 ∙ 119897) după solicitare
acesta devine
119881 + ∆119881 = 119860 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)2 ∙ 119897 ∙ (1 + 휀) =
= 119860 ∙ 119897 ∙ (1 + 휀 minus 2 ∙ 120599 ∙ 휀 minus 2 ∙ 120599 ∙ 휀2 + 1205992 ∙ 휀2 + 1205992 ∙ 휀3) (314)
Deoarece lungirile sunt foarte mici ultimii trei termeni din paranteză fiind infinit mici se pot neglija obţinacircnd
119881 + ∆119881 = 119860 ∙ 119897 + 119860 ∙ 119897 ∙ 휀 ∙ (1 minus 2 ∙ 120599) ⟺ ∆119881 = 휀 ∙ (1 minus 2 ∙ 120599) ∙ 119860 ∙ 119897 (315)
Practica arătă că o astfel de bară solicitată la icircntindere icircşi măreşte volumul deci
∆119881 gt 0 de unde rezultă că
1 minus 2 ∙ 120599 gt 0 rArr 120599 lt 05 (316)
Pentru majoritatea materialelor 120599 = 033 iar pentru materialele care-şi păstrează
volumul constant 120599 = 05
33 Relaţii de echivalenţă icircntre eforturi şi tensiuni
Considerăm un element de suprafață infinit mic 119889119860 situat pe fața de arie (119860) a
secțiunii barei din figura 311 Icircn centrul de greutate 119862 al secțiunii acționează eforturile
119873 119879119910 119879119911 119872119909 119872119894119910 și 119872119894119911 determinate prin metoda secțiunilor
Icircn raport cu un sistem de axe de referință 119909119862119910119911 coordonatele elementului 119889119860 sunt
- 119910 este ordonata elementului de arie 119889119860
- 119911 este abscisa elementului de arie 119889119860
Pe elementul de arie 119889119860 acționează tensiunile
120590119909 tensiunea normală
120591119909119910 și 120591119909119911 tensiuni tangențiale
Dacă se icircnsumează forțele elementare de tipul 120590119909 ∙ 119889119860 120591119909119910 ∙ 119889119860 și 120591119909119911 ∙ 119889119860
va trebui să obținem eforturile 119873 119879119910 și 119879119911
Fig 311 Element de suprafață mic din secțiunea unei bare
Dacă eforturile sunt privite ca forțe exterioare și se scriu ecuațiile de
echilibru ale secțiunii (119860) se vor obține șase relații de echivalență icircntre eforturi și
tensiuni
(sum119883) = 0 rArr int 120590119909 ∙ 119889119860
119860
= 119873 (317)
(sum119884) = 0 rArr int 120591119909119910 ∙ 119889119860
119860
= 119879119910 (318)
(sum119885) = 0 rArr int 120591119909119911 ∙ 119889119860
119860
= 119879119911 (319)
(sum119872)119909= 0 rArr int(120591119909119911 ∙ 119889119860) ∙ 119910
119860
minus int(120591119909119910 ∙ 119889119860) ∙ 119911
119860
= 119872119909 rArr
rArr int(119910 ∙ 120591119909119911 minus 119911 ∙ 120591119909119910) ∙ 119889119860
119860
= 119872119909
(320)
(sum119872)119910= 0 rArr int(120590119909 ∙ 119889119860) ∙ 119911
119860
= 119872119894119910 (321)
(sum119872)119911= 0 rArr int(120590119909 ∙ 119889119860) ∙ 119910
119860
= 119872119894119911 (322)
Cele șase relații de echivalență icircntre eforturi și tensiuni constituie un pas icircnainte
icircn rezolvarea unei probleme de rezistența materialelor Aceste relații vor permite
determinarea tensiunilor maxime
Pentru a rezolva cele 6 relații de echivalență trebuie să se cunoască tensiunile și
ca funcții de punct adică funcții de forma
120590119909 = 120590119909(119909 119910 119911) 120591119909119910 = 120591119909119910(119909 119910 119911) 120591119909119911 = 120591119909119911(119909 119910 119911) (32
3)
Cunoașterea acestor funcții presupune icircnsă analizarea aspectului geometric al
problemei precum și utilizarea unor ipoteze simplificatoare care să permită simplificarea
problemelor
34 Ipoteze de bază icircn rezistenţa materialelor
Depășirea dificultăților legate de interpretarea unor fenomene specifice mecanicii
solidului deformabil a impus acceptarea unor ipoteze care să simplifice fenomenele și să
contribuie la elaborarea unor modele de calcul cicirct mai generale și cacirct mai simple Aceste
ipoteze se referă la structura materialelor şi la comportarea lor sub acţiunea forţelor
exterioare Ipotezele acceptate trebuie să fie icircn deplină concordanţă cu realitatea și să
conducă la rezultate verificate icircn practică
Funcție de aspectele la care se referă ipotezele pot fi
Ipoteze fizice (de material)
Ipoteze de calcul
341 Ipoteze fizice
Se acceptă deoarece teoriile structurale au condus la rezultate care contravin
icircncercărilor experimentale
Ipoteza mediului continuu consideră că orice domeniu elementar al corpului
este ocupat de materie adică nu se acceptă existența unor goluri sau a unor crăpături
microscopice (fisuri) Deși nu corespunde realităţii poate fi acceptată deoarece
dimensiunile corpului sunt mult mai mari decacirct dimensiunile particulelor elemantare Are
avantajul că permite utilizarea proprietăților matematice ale funcțiilor continue pentru
tensiunile și deformațiile din orice punct al corpului Ea este mai apropiată de realitate la
corpurile amorfe şi mai depărtată la cele cristaline dar conduce la rezultate satisfăcătoare
icircn calculele de rezistenţă
Ipoteza nu se poate aplica la corpurile care au goluri tăieturi (multiplu conexe)
pentru unele puncte singulare icircn care tensiunile și deformațiile tind la infinit sau icircn unele
probleme de plasticitate icircn care proprietățile de material au un rol esențial
Ipoteza izotropiei conform acestei ipoteze materialul din care este confecționat
un element de rezistență are aceleași proprietăți după orice direcție un astfel de material
este considerat izotrop Din punct de vedere macroscopic metalele pot fi considerate
izotrope deși la nivel microscopic proprietățile lor diferă de la o direcție cristalografică
la alta Orice conglomerat de cristale poate fi considerat izotrop
Există cazuri cacircnd această ipoteză a izotropiei nu se acceptă
la metalele puternic deformate după o direcție (prin laminare trefilare)
la piesele confecționate din lemn lemnul este anizotrop deoarece proprietățile sale
diferă după două direcții (icircn lungul fibrelor și perpendicular pe această direcție)
Ipoteza omogenității consideră că un corp are aceleași proprietăți icircn orice
punct al său Deși majoritatea materialelor utilizate icircn tehnică sunt eterogene la scară
micro fiind constituite din mai multe faze cu proprietăți diferite la scară macro ele pot
fi considerate omogene Omogenitatea și izotropia sunt proprietăți statistice medii care
nu se condiționează una pe cealaltă Chiar și materialele monofazice pot avea la scară
micro unele segregații care le fac eterogene
Ipoteza elasticităţii perfecte presupune că atacircta timp cacirct solicitările nu
depăşesc anumite limite materialul are o comportare elastică adică icircşi recapătă forma şi
dimensiunile iniţiale odată cu icircnlăturarea sarcinilor Icircn realitate materialele nu prezintă o
elasticitate perfectă ele avacircnd deformaţii remanente mici care icircnsă pot fi neglijate icircn
calculele de rezistenţă
Acceptarea acestei ipoteze a elasticității perfecte permite
- aplicarea relației biunivoce icircntre tensiuni și deformații relație exprimată de legea
lui Hooke ( = 119864 ∙ 휀) unde E este un factor de proporţionalitate numit modul de
elasticitate longitudinal al materialului pentru oţel 119864 = 21 ∙ 105 [119872119875119886] - acceptarea valabilității afirmației bdquolucrul mecanic efectuat de forțele exterioare
ca urmare a parcurgerii deplasărilor punctelor de aplicație se icircnmagazinează integral icircn
corp sub formă de energie de deformație energie cedată la icircndepărtarea sarcinilorrdquo
- este valabilă teoria conform căreia bdquoenergia icircnmagazinată și deformațiile depind
doar de starea inițială și finală de eforturi fără a ține cont de modul icircn care s-a ajuns la
starea finalărdquo
Icircn realitate oricacirct de mici ar fi sarcinile aplicate se produc și deformații plastice
dar acestea pot fi neglijate dacă solicitarea nu depășește anumite limite
342 Ipoteze de calcul
Ipoteza micilor deplasări bdquodeplasările datorate deformării sunt mult mai mici
decacirct dimensiunile corpurilor și ca urmare pot fi neglijate produsele dintre o deplasare și
ea icircnsăşirdquo Pentru cele mai multe corpuri deformaţiile elastice sunt de mărimi mici deci
corpurile solide sub acţiunea sarcinilor icircşi modifică foarte puţin forma iniţială Această
ipoteză este cunoscută şi sub denumirea de ipoteza menţinerii dimensiunilor iniţiale Ea
permite scrierea ecuaţiilor de echilibru ale staticii pe starea nedeformată a elementului
cacircnd nu se iau icircn considerare deplasările punctelor de aplicaţie ale forţelor care se produc
ca urmare a deformării acestuia Calculul efectuat pe schema nedeformată poartă numele
de calcul de ordinul I
Ipoteza micilor deplasări nu poate fi acceptată pentru studiul problemelor de
stabilitate sau la problemele la care nu pot fi icircndeplinite condiţiile de echilibru icircn starea
nedeformată
Calculul de ordinul II admite ipoteza micilor deplasări dar ecuaţiile de echilibru
se scriu icircnsă pentru starea deformată a elementului de rezistenţă
Calculul de ordinul III nu mai acceptă ipoteza micilor deplasări el referindu-se
la cazul deformaţiilor mari cacircnd ecuaţiile de echilibru trebuie scrise pentru starea
deformată
Chiar dacă materialul satisface legea lui Hooke icircn urma calculelor de ordinul II
se obţin de obicei relaţii neliniare icircntre sarcini şi deplasări iar pentru calculul de ordinul
III rezultă ecuaţii diferenţiale neliniare
Principiul efectului local al acțiunii sarcinilor enunțat de Barre de Saint-
Venant Acest principiu destul de folosit icircn Rezistenţa Materialelor precizează că dacă
se icircnlocuiesc forţele care acţionează asupra unui element de suprafață al unui corp
elastic printr-un alt sistem de forţe echivalent din punct de vedere static cu primul noua
distribuţie a forţelor produce la locul de aplicare diferenţe semnificative faţă de prima
dar rămacircne fără efect sau cu efect neglijabil la distanţe mari de locul de aplicare al
forţelor figura 312
Ca o cosecință o sarcină uniform distribuită figura 312a poate fi icircnlocuită cu
rezultanta ei figura 312b dacă se analizează efectul sarcinii la distanță mare de locul icircn
care se aplică sarcina
Fig 312 Principiul Saint-Venant
Icircn prima variantă figura 312a forţa 119865 se aplică pe o porțiune oarecare 119897 (sarcină
uniform distribuită) iar icircn a doua figura 312b icircntru-un punct (forţă concentrată) La
locul de aplicare a sarcinii efectul asupra barei este cu totul diferit de la o variantă la
cealaltă Icircnsă la o distanţă mare de punctul de aplicaţie spre exemplu icircn secţiunea situată
la distanţa 119886 de capătul barei sau chiar icircn icircncastrare ambele bare sunt solicitate la fel
Icircn cazul din figura 312a
119872119894(119909) =119901 ∙ 1199092
2 119909 le 119897 119872119894(119909) = 119901 ∙ 119897 ∙ (119909 minus
119897
2) 119909 gt 119897 (324)
Icircn cazul din figura 312b
119872119894(119909) = 0 119909 lt119897
2 119872119894(119909) = 119901 ∙ 119897 ∙ (119909 minus
119897
2) 119909 gt
119897
2 (325)
Se vede că pentru (119909 gt 119897) adică după depășirea locului icircn care se aplică sarcina
efectul este același
Ipoteza lui Bernoulli sau ipoteza secţiunilor plane precizează că o secţiune
plană şi normală pe axa barei icircnainte de deformare rămacircne plană şi normală pe axa
barei şi după deformare figura 313
Fig 313 Ipoteza lui Bernoulli
Ipoteza stării naturale a corpului sau ipoteza absenţei tensiunilor conform
căreia pentru un corp nesolicitat starea de tensiune şi deformaţie este nulă
Perfecţionarea mijloacelor de calcul şi de investigare pot conduce la renunţarea la
unele ipoteze sau la introducerea altora noi mai aproape de stările reale De aici rezultă
caracterul de continuă perfecţionare a metodelor Rezistenţei Materialelor
35 Coeficienţi de siguranţă Tensiuni admisibile
O piesă corespunde din punct de vedere tehnic dacă tensiunile care iau naştere icircn
interiorul piesei datorită sarcinilor aplicate nu depăşesc anumite valori limită stabilite
convenţional Aceste valori limită ale tensiunii sunt corelate cu caracteristicile mecanice
ale materialelor
Tensiunea limită utilizată icircn calculele de rezistenţă este cunoscută sub denumirea
de tensiune admisibilă sau rezistenţă admisibilă Rezistenţa admisibilă reprezintă
valoarea convenţională aleasă icircn calcul pe baza practicii pentru tensiunea maximă care
poate apare icircntr-o piesă icircn condiţii date de material şi solicitare
Rezistenţa admisibilă (120590119886 sau 120591119886) poate fi definită faţă de o stare limită
periculoasă stare care trebuie evitată deoarece poate conduce distrugere
120590119886 =120590119897119894119898119888
(326)
unde
120590119897119894119898 este tensiunea corespunzătoare stării limită periculoase
119888 estesupraunitar 119888 gt 1 și reprezintă coeficientul de siguranţă faţă de starea limită
periculoasă considerată
Alegerea unor valori inferioare pentru rezistenţa admisibilă faţă de tensiunea
corespunzătoare stării limită periculoase este necesară deoarece
cunoaşterea sarcinilor este de cele mai multe ori aproximativă şi o depăşire a
acestora este foarte posibilă
caracteristicile mecanice ale materialelor variază icircn limite destul de mari ele
fiind influenţate de mulţi factori
schema aleasă pentru calcul (aplicarea sarcinilor schematizarea structurii
ipotezele de calcul etc) depărtează modelul faţă de cel real
Pentru calculele de verificare tensiunea efectivă maximă din elementul de
rezistenţă trebuie să fie mai mică sau cel mult egală cu cea admisibilă
120590119890119891119898119886119909 le 120590119886 (327)
Valoarea rezistenţei admisibile este influenţată de foarte mulţi factori natura
materialului tratamentele termice aplicate piesei durata de funcţionare a piesei modul
de acţionare icircn timp a sarcinilor felul solicitării temperatura gradul de periculozitate
icircn cazul cedării piesei etc
De asemenea valoarea coeficientului de siguranţă se alege icircn principal ţinacircnd
seama de aceiaşi factori care influenţează şi rezistenţa admisibilă
Rezistenţele admisibile pentru cacircteva materiale sunt următoarele
pentru oțelul de uz general OL37 solicitat la icircntindere compresiune sau
icircncovoiere 120590119886 = 150 [119872119875119886] pentru lemnul de brad solicitat la
- compresiune icircn lungul fibrelor şi solicitat la icircncovoiere 120590119886 = 10 [119872119875119886] - tracţiune icircn lungul fibrelor 120590119886 = 7 [119872119875119886] - compresiune perpendiculară pe fibre 120590119886 = 15 [119872119875119886] - forfecare icircn lungul fibrelor 120591119886 = 2 [119872119875119886] - forfecare perpendiculară pe fibre 120590119886 = 45 [119872119875119886]
terenuri de fundaţie din pămacircnt uscat sau umed 120590119886 = 020 divide 025 [119872119875119886]
4 CARACTERISTICI GEOMETRICE ALE SECȚIUNILOR PLANE
41 Noţiuni introductive
Icircn relaţiile de calcul ale tensiunilor şi deformaţiilor elementelor de rezistenţă
pentru unele solicitări (icircncovoierea și torsiunea) secțiunile plane intervin atacirct prin
dimensiunile lor (aria 119860) cicirct și prin forma și poziția pe care o are secțiunea icircn raport cu
planul solicitării Mărimile care caracterizează o secțiune icircn raport cu forma și poziția față
de axele unui sistem de referință sunt denumite caracteristici geometrice de ordin
superior Aria secțiunii este caracteristica geometrică ce depinde doar de dimensiunile
geometrice ale acesteia
Să considerăm o grindă solicitată de o forță exterioară 119865 aşezată icircn două poziții icircn
raport cu planul forţei figura 41 Icircn urma aplicării forței deși avem aceeași grindă
(aceeași arie a secțiunii transversale) și aceeași forță se constată că pentru varianta din
figura 41a deformațiile sunt mult mai mari adică rezistența la icircncovoiere a grinzii din
figura 41a este mai mare decacirct icircn cazul grinzii din figura 41b Comportarea diferită se
explică prin aceea că modificarea poziţiei secţiunii transversale faţă de planul forţelor
modifică caracteristicile geometrice ale secţiunii transversale a grinzii
Fig 41 Grindă solicitată de forța 119865
Pentru realizarea calculelor de rezistenţă şi rigiditate este foarte importantă
cunoaşterea caracteristicilor geometrice ale suprafeţei secţiunii transversale a elementelor
de rezistenţă
Caracteristicile geometrice ale secţiunii transversale a unui element de rezistenţă
sunt
- aria secțiunii notată cu 119860
- momentul static icircn raport cu o axă notat 119878119911 și respectiv 119878119910
- momentul de inerție care poate fi
axial notat 119868119911 și respectiv 119868119910
centrifugal notat 119868119911119910
polar notat 119868119901
- raza de inerţie (giraţie)notată 119894119911 și respectiv 119894119910
- modulul de rezistență care poate fi
axial notat 119882119911 și respectiv 119882119910
polar notat 119882119901
42 Aria și momentul static al suprafețelor plane
Fie o suprafaţă plană de arie 119860 pe care se ia un element infinit mic de arie 119889119860 şi
un sistem de axe rectangulare 119911119874119910 figura 42 Notăm cu 119862 centrul de greutate al suprafeţei
119860 Poziţia suprafeţei elementare 119889119860 faţă de acelaşi sistem de coordonate 119911119874119910 este dată
de abscisa 119911 ordonata 119910 și raza polară
Fig 42 Suprafață plană de arie 119860
Aria suprafeţei 119860 figura 42 se defineşte ca fiind
119860 ≝ int 119889119860
119860
(41)
Aria suprafeţei este icircntotdeauna pozitivă și se măsoară icircn [1198981198982] Momentul static al suprafeţei de arie 119860 icircn raport cu axele 119874119911 și respectiv 119874119910
figura 42 sunt date de relaţiile
119878119911 ≝ int 119910 ∙ 119889119860
119860
119878119910 ≝ int 119911 ∙ 119889119860
119860
(42)
Momentul static poate fi pozitiv negativ sau nul şi se măsoară icircn [1198981198983] Coordonatele centrului de greutate ale suprafeței 119860 se detrmină cu relațiile
119910119862 ≝int 119910 ∙ 119889119860119860
119860 119911119862 ≝
int 119911 ∙ 119889119860119860
119860
(43)
Cunoscacircnd coordonatele 119910119862 și 119911119862 ale centrului de greutate 119862 al secțiunii 119860 atunci
momentele statice se pot determina cu relațiile
119878119911 ≝ int 119910 ∙ 119889119860
119860
= 119910119862 ∙ 119889119860 119878119910 ≝ int 119911 ∙ 119889119860
119860
= 119911119862 ∙ 119889119860 (44)
Aceste relații arată că momentul static al unei suprafețe icircn raport cu o axă este
egal cu produsul dintre aria suprafeței și distanța de la centrul ariei la axa respectivă
Dacă suprafaţa se poate descompune icircn 119899 suprafeţe simple la care se cunosc ariile
(1198601 1198602 ⋯ 119860119894⋯ 119860119899) și poziţiile centrelor de greutate 119862119894 faţă de sistemul de referinţă
expresiile momentelor statice capătă următoarea formă
119878119911 = sum 119910119862119894 ∙ 119860119894119899119894=1 = 119910119862 ∙ 119860 119878119910 = sum 119911119862119894 ∙ 119860119894
119899119894=1 = 119911119862 ∙ 119860 (45)
Din relaţiile (45) rezultă că poziţia centrului de greutate 119862 al unei suprafeţe
compuse poate fi determinată cu relaţiile
119910119862 = (sum119910119862119894 ∙ 119860119894
119899
119894=1
) 119860frasl 119911119862 = (sum119911119862119894 ∙ 119860119894
119899
119894=1
) 119860frasl (46)
Icircn relația (45) 119910119862119894 și respectiv 119911119862119894 reprezintă coordonatele centrelor de greutate 119862119894
ale fiecărei suprafețe simple 119860119894 icircn raport sistemul de axe 119911119874119910
Se constată (relaţia 42) că dacă axele sistemului de referinţă trec prin centrul de
greutate (119910119862 = 119911119862 = 0) momentele statice sunt nule Axele icircn raport cu care momentele
statice sunt nule şi care trec prin centrul de greutate al suprafeţei se numesc axe centrale
Observație dacă secțiunea compusă are o axă de simetrie centrul secțiunii se
găsește pe acea axă iar dacă secțiunea este dublu simetrică poziția centrului secțiunii este
la intersecția axelor de simetrie
43 Momente de inerţie
Momentele de inerţie axiale ale unei suprafețe se calculează icircn raport cu axele de
coordonate 119874119911 și respectiv 119874119910 figura 42 și se determină cu relațiile
119868119911 ≝ int 1199102 ∙ 119889119860
119860
119868119910 ≝ int 1199112 ∙ 119889119860
119860
(47)
Unde 119910 și 119911 sunt distanțele de la elementul de arie 119889119860 la cele două axe de
coordonate 119874119911 și respectiv 119874119910
Momentele de inerţie axiale se măsoară icircn [1198981198984] şi sunt icircntotdeauna pozitive (aria
119889119860 este icircntotdeauna pozitivă și este multiplicată cu patratul distanței 1199102 dacă 119868119911 sau 119868119910
sunt nule icircnseamnă ca secțiunea nu există)
Momentele de inerție axiale se calculează icircndeosebi pentru axele centrale (care
trec prin centrul secțiunii) deoarece icircn raport cu acele axe 119868119911 și 119868119910 au valori minime
Momentul de inerţie centrifugal calculat faţă ambele axe ale sistemului de
referinţă 119911119874119910 este definit de relația
119868119911119910 ≝ int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860
(48)
Momentul de inerţie centrifugal se măsoară icircn [1198981198984] şi poate fi pozitiv negativ
sau nul
Momentul de ineție centrifugal este nul 119868119911119910 = 0 dacă cel puțin una din axele 119874119911
sau 119874119910 este axă de simetrie pentru secțiune
Se consideră o suprafaţă dreptunghiulară pe care faţă de axa de simetrie 119874119910 se iau
două suprafeţe elementare de arie 119889119860 simetrice faţă de axa 119874119910 figura 43
Fig 43 Suprafață dreptunghiulară cu două arii elementare 119889119860
Făcacircnd suma momentelor de inerţie centrifugale pentru cele două suprafeţe
elementare 119889119860 (din stacircnga şi din dreapta faţă de axa 119874119910) se obţine
int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860119889119903
+ int (minus119911) ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860119904119905119892
= int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860119889119903
minus int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860119904119905119892
= 0 (49)
Acelaşi raţionament se poate face și pentru icircntreaga suprafaţă de unde obținem că
momentul de inerție centrifugal este nul 119868119911119910 = 0 Deci pentru o suprafaţă plană care
are cel puţin o axă de simetrie momentul de inerţie centrifugal faţă de sistemul care
conţine acea axă de simetrie este nul
Momentul de inerţie polar al unei suprafeţei icircn raport cu un punct (pol) 119874 figura
42 este definit prin relaţia
1198680 = 119868119901 ≝ int 1205882 ∙ 119889119860
119860
= int(1199102 + 1199112) ∙ 119889119860
119860
= 119868119911 + 119868119910 (410)
unde este distanţa de la polul 119874 la elementul de arie 119889119860 Momentul de inerţie polar se
măsoară icircn [1198981198984] şi este totdeauna pozitiv
Momentul de inerţie polar este egal cu suma momentelor de inerţie faţă de două axe
perpendiculare oarecare şi care trec prin polul considerat
Razele de giraţie sau razele de inerţie sunt mărimi calculate icircn raport cu axele
secțiunii și definite de relaţiile
119894119911 ≝ radic119868119911119860 119894119910 = radic
119868119910
119860 (411)
Se exprimă icircn [119898119898] şi sunt icircntotdeauna pozitive Semnificația unei raze de inerție
este distanța la care dacă ar fi concentrată icircntreaga arie s-ar obține același moment de
inerție ca și cel calculat pentru aria reală
44 Modulul de rezistenţă
Modulul de rezistență se calculează icircn raport cu axele de referință sau icircn raport cu
un pol figura 42 și pot fi axiale (119882119911119882119910) sau polar (119882119901) și se determină numai pe baza
momentelor de inerţie cu relațiile figura 43
119882119911119898119894119899 ≝119868119911119910119898119886119909
119882119911119898119886119909 ≝119868119911119910119898119894119899
(412)
119882119910119898119894119899 ≝119868119910
119911119898119886119909 119882119910119898119886119909 ≝
119868119910
119911119898119894119899 (413)
119882119901 ≝119868119901
120588119898119886119909 (414)
unde
119910119898119886119909 119910119898119894119899 reprezintă distanţa de la axa 119874119911 la punctele extreme cele mai
depărtate respectiv cele mai apropiate ale suprafeţei de această axă
119911119898119886119909 119911119898119894119899 reprezintă distanţa de la axa 119874119910 la punctele extreme cele mai
depărtate respectiv cele mai apropiate ale suprafeţei de această axă
120588119898119886119909 reprezintă distanța maximă de la polul 119874 la punctul secțiunii cel mai
icircndepărtat de acesta
Fig 43 Suprafață dreptunghiulară cu două arii elementare 119889119860
Modulele de rezistenţă se exprimă icircn [1198981198983] şi sunt icircntotdeauna pozitive
Explicația este aceea că momentele de inerție care intră icircn relațiile de definiție sunt
pozitive iar distanțele la punctele extreme sunt pozitive (119910119898119886119909 119910119898119894119899 119911119898119886119909 119911119898119894119899 120588119898119886119909 se
iau icircn valoare absolută)
Icircn cazul suprafeţelor compuse modulul de rezistenţă nu se obţine prin icircnsumarea
algebrică a modulelor de rezistenţă ale suprafeţelor simple componente ci numai prin
intermediul momentului de inerţie axial calculat pentru icircntreaga secțiune
Ca și momentele de inerție modulele de rezistență se calculează numai pentru
sistemele de axe centrale
45 Momente de inerţie şi module de rezistenţă pentru suprafeţe simple
451 Secțiune dreptunghiulară
Fie suprafaţa dreptunghiulară din figura 44 de icircnălțime ℎ și lățime 119887 pe care se
consideră suprafaţă elementară de arie 119889119860 = 119887119889119910 la distanța 119910 de axa 119862119911 sistemul de
axe 119911119862119910 trece prin centrul secțiunii iar axele sunt axe de simetrie pentru dreptunghi
Fig 44 Suprafață dreptunghiulară
Pe baza relațiilor de definiți a momentului de inerție 119868119911 se obține
119868119911 ≝ int 1199102 ∙ 119889119860
119860
= int 1199102 ∙ 119887 ∙ 119889119910 = 2int 1199102 ∙ 119887 ∙ 119889119910 = 2 ∙ 119887 ∙1199103
3|ℎ 2frasl
0rArr
ℎ 2frasl
0
ℎ 2frasl
minusℎ 2frasl
rArr 119868119911 =119887 ∙ ℎ3
12
(415)
Analog pentru un element de arie 119889119860 = ℎ ∙ 119889119911 paralel cu axa 119862119910 situat la distanța
119911 de axa 119862119910
119868119910 ≝ int 1199112 ∙ 119889119860
119860
= int 1199112 ∙ ℎ ∙ 119889119911 = 2int 1199112 ∙ ℎ ∙ 119889119910 = 2 ∙ ℎ ∙1199113
3|119887 2frasl
0rArr
119887 2frasl
0
119887 2frasl
minus119887 2frasl
rArr 119868119910 =1198873 ∙ ℎ
12
(416)
Deoarece axele 119862119911 și 119862119910 sunt axe de simetrie momentul de inerție centrifugal este
119868119911119910 = 0 (417)
Pentru un pătrat avacircnd laturile egale (ℎ = 119887 = 119886) momentele de inerţie faţă de
axele centrale au expresia
119868119911 = 119868119910 =1198864
12 (418)
Modulele de rezistență axiale se calculează cu relațiile de definiție ținacircnd cont că
distanțele pacircnă la fibrele extreme sunt
119910119898119886119909 = 119910119898119894119899 =ℎ
2 119911119898119886119909 = 119911119898119894119899 =
119887
2 (419)
Obținem
119882119911119898119894119899 = 119882119911119898119886119909 =119868119911
119910119898119886119909119898119894119899=119887 ∙ ℎ3
12frasl
ℎ2frasl
=119887 ∙ ℎ2
6
119882119910119898119894119899 = 119882119910119898119886119909 =119868119910
119911119898119886119909119898119894119899=1198873 ∙ ℎ
12frasl
1198872frasl
=1198872 ∙ ℎ
6
(420)
452 Suprafaţă circulară
Din motive de simetrie pentru suprafeţele circulare momentele de inerţie faţă de
orice diametru (care reprezintă şi axe centrale) sunt aceleaşi
Considerăm o secțiune circulară plină cu diametrul 119889 și centrul de greutate 119862 Prin
centrul de greutate 119862 trece sistemul de axe ortogonal 119911119862119910 figura 45
Fig 45 Suprafață circulară
La distanța de centrul de greutate 119862 vom lua un element de suprafață mic de arie
(119889119860) de forma unui inel de grosime 119889 Elementul de arie 119889119860 are expresia
119889119860 = (2 ∙ 120587 ∙ 120588) ∙ (119889120588)
Pornind de la relația de definiție a momentului de inerție polar obținem
119868119901 ≝ int 1205882 ∙ 119889119860
119860
= int 1205882 ∙ (2 ∙ 120587 ∙ 120588) ∙ 119889120588
119903=119889 2frasl
0
= 2 ∙ 120587 ∙1205884
4|119889 2frasl0 rArr
rArr 119868119901 =120587 ∙ 1198894
32
(421)
Secțiunea este perfect simetrică deci sunt valabile relațiile
119868119911 = 119868119910 rArr 119868119901 = 119868119911 + 119868119910 = 2 ∙ 119868119911 = 2 ∙ 119868119910 =119868119901
2=120587 ∙ 1198894
64 (422)
Și modulele de rezistenţă faţă de orice diametru sunt egale şi se calculează cu
relaţiile
119882119911 = 119882119910 =1198681199111198892frasl=120587 ∙ 1198893
32 (423)
Modulul de rezistenţă polar este
119882119901 =1198681199011198892frasl=120587 ∙ 1198893
16 (424)
453 Secţiune inelară
Calculul momentelor de inerţie axiale pentru o secţiune inelară avacircnd diametrul
interior 119889 şi diametrul exterior 119863 se determină analog pentru suprafaţa circulară plină cu
observaţia că integrala pentru calculul momentului de inerție polar 119868119901 se face icircntre
limitele 119903 = 119889 2frasl şi R= 1198632frasl (icircntre raza interioară 119903 şi raza exterioară 119877) figura 46
Se obţin relaţiile
119868119901 =120587 ∙ 1198634
32∙ [1 minus (
119889
119863)4
] =120587 ∙ 1198634
32∙ (1 minus 1198964) (425)
119868119910 = 119868119910 =120587 ∙ 1198634
64∙ [1 minus (
119889
119863)4
] =120587 ∙ 1198633
64∙ (1 minus 1198964) (426)
Fig 46 Secțiune inelară
119882119901 =120587 ∙ 1198633
16∙ [1 minus (
119889
119863)4
] =120587 ∙ 1198633
16∙ (1 minus 1198964) (427)
119882119911 = 119882119910 =120587 ∙ 1198633
32∙ [1 minus (
119889
119863)4
] =120587 ∙ 1198633
32∙ (1 minus 1198964) (428)
unde 119896 = 119889119863frasl
46 Variaţia momentelor de inerţie faţă de axe paralele
( Relațiile lui STEINER)
Se consideră o suprafaţă oarecare de arie 119860 cu elementul de arie 119889119860 și un sistemul
de axe central 119911119862119910 faţă de care se cunosc momentele de inerţie 119868119911 119868119910 119868119911119910 şi considerăm
un sistem de axe 11991111198741199101 paralele cu sistemul central figura 47 Se pune problema
determinării momentele de inerţie 1198681199111 1198681199101 11986811991111199101 faţă de sistemul de axe paralel cu sistemul
central 11991111198741199101 axe aflate la distanţele 119910119862 = 119888 respectiv 119911119862 = 119889 de acesta
461 Momente de inerţie axiale
Pe baza relaţiilor de definire şi a notaţiilor din figura 42 pentru momentele de
inerţie faţă de axele 1198741199111 1198741199101 se poate scrie
1198681199111 = int 11991012 ∙ 119889119860
119860
= int(119910 + 119888)2 ∙ 119889119860
119860
= int 1199102 ∙ 119889119860
119860
+ 2 ∙ 119888 ∙ int 119910 ∙ 119889119860
119860
+
+1198882int 119889119860
119860
rArr 1198681199111 = 119868119911 + 2 ∙ 119888 ∙ 119878119911 + 1198882 ∙ 119860 hArr 1198681199111 = 119868119911 + 119888
2 ∙ 119860
(429)
Fig 47 Variaţia momentelor de inerţie față de axe paralele
S-a ajuns la relația (429) deoarece momentul static 119878119911 este nul deoarece axa 119862119885
este axă centrală
Pentru momentul de inerție axial icircn raport cu axa 1198741199101 se obține
1198681199101 = int 11991112 ∙ 119889119860
119860
= int(119911 + 119889)2 ∙ 119889119860
119860
= int 1199112 ∙ 119889119860
119860
+ 2 ∙ 119889 ∙ int 119911 ∙ 119889119860
119860
+
+1198892 ∙ int 119889119860
119860
rArr 1198681199101 = 119868119910 + 2 ∙ 119889 ∙ 119878119910 + 1198892 ∙ 119860 hArr 1198681199101 = 119868119910 + 119889
2 ∙ 119860
(430)
Pentru momentul de inerție centrifugal obținem
11986811991111199101 = int 1199101 ∙ 1199111 ∙ 119889119860
119860
= int(119910 + 119888) ∙ (119911 + 119889) ∙ 119889119860
119860
= int 119910 ∙ 119911 ∙ 119889119860 +
119860
+119888 ∙ int 119911 ∙ 119889119860
119860
+ 119889 ∙ int 119910 ∙ 119889119860
119860
rArr 11986811991111199101 = 119868119911119910 + 119888 ∙ 119889 ∙ 119860
(431)
Deoarece
int 119911 ∙ 119889119860
119860
= 119878119910 = 0 int 119910 ∙ 119889119860
119860
= 119878119911 = 0 int 119910 ∙ 119911 ∙ 119889119860
119860
= 119868119911119910
Relaţiile (429) şi (430) arată că momentul de inerţie faţă de o axă oarecare
este egal cu momentul de inerţie faţă de o axă paralelă cu ea trecacircnd prin centrul de
greutate la care se adaugă produsul dintre aria suprafeţei şi pătratul distanţei dintre
cele două axe
Din relaţiile (429) și (430) rezultă de asemenea că momentul de inerţie faţă de o
axă centrală (care trece prin centrul de greutate) este cel mai mic dintre infinitatea de
momente de inerţie obținute faţă de alte axe paralele cu ea
Relaţia (431) arată de asemenea că momentul de inerţie centrifugal faţă de un
sistem de axe oarecare este egal cu momentul de inerţie centrifugal faţă de un sistem
paralele cu el trecacircnd prin centrul de greutate a suprafeţei la care se adaugă produsul
dintre aria suprafeţei şi distanţele dintre axele sistemelor respective
Icircn literatura de specialitate relaţiile (429) (430) şi (431) sunt cunoscute sub
numele de relaţiile lui Steiner
47 Variaţia momentrlor de inerţie faţă de axe rotite
Direcţii principale şi momente de inerţie principale
Fie suprafaţa plană din figura 48 de arie 119860 pe care considerăm o suprafaţă
elementară de arie 119889119860 Pentru sistemul de axe 119911119874119910 se cunosc momentele de inerţie
119868119911 119868119910 119868119911119910 şi vom determina relaţiile de calcul pentru momentele de inerţie afererent unui
sistem de axe 11991111198741199101 rotit cu un unghi faţă de sistemul central
Faţă de sistemul de axe 11991111198741199101 elementul de arie 119889119860 are coordonatele
1199101 = 119875119877 = 119875119876 minus 119877119876 = 119910 ∙ cos 120572 minus 119911 ∙ sin 120572
1199111 = 119873119872 = 119873119875 minus 119875119872 = 119911 ∙ cos 120572 + 119910 ∙ sin 120572 (432)
Fig 47 Variaţia momentelor de inerţie față de axe rotite
Pe baza relaţiilor de calcul ale momentelor de inerţie şi a notaţiilor din figura 42
şi ale relaţiilor (432) momentele de inerţie faţă de sistemul de axe rotit 11991111198741199101 sunt
1198681199111 =119868119911 + 119868119910
2+119868119911 minus 119868119910
2∙ cos 2120572 minus 119868119911119910 ∙ sin 2120572 (433)
1198681199101 =119868119911 + 119868119910
2minus119868119911 minus 119868119910
2∙ cos 2120572 + 119868119911119910 ∙ sin 2120572 (434)
11986811991111199101 =119868119911 minus 119868119910
2∙ sin 2120572 + 119868119911119910 ∙ cos 2120572 (435)
Din relaţiile 433divide435 se observă că icircntre momentele de inerţie axiale şi cele
polare există relaţia
1198681199111 + 1198681199101 = 119868119911 + 119868119910 = 119868119901 (436)
adică suma momentelor de inerţie axiale icircn raport cu orice pereche de axe ortogonale
care trec printr-un pol dat este o constantă şi egală cu momentul de inerţie polar
Prin rotirea sistemului de axe din relaţiile 433divide435 rezultă că momentele de inerţie
variază icircnsă suma lor rămacircne constantă deci există o poziţie a sistemului de axe pentru
care momentele de inerţie au valori extreme maxim respectiv minim
471 Direcţii principale de inerţie
Valoarea unghiului 120572 pentru care momentele de inerţie axiale au valori extreme
este
1205721 =1
2∙ 119886119903119888119905119886119899 (minus
2 ∙ 119868119911119910
119868119911 minus 119868119910) (437)
Poziţia celeilalte direcţii este perpendiculară pe cea dată de unghiul 1205721
Din relaţia (437) se constată că faţă de aceste direcţii rotite pentru care momentele
de inerţie axiale prezintă valori extreme momentul de inerţie centrifugal 11986811991111199101este nul
Atunci se poate afirma că momentele de inerţie axiale au valori extreme icircn raport cu
direcţiile faţă de care momentul de inerţie centrifugal este nul Aceste direcţii se numesc
direcţii principale iar momentele de inerţie faţă de aceste direcţii poartă numele de
momente de inerţie principale
Icircn calculele de rezistenţă interesează icircn mod special poziţia direcţiilor principale
care trec prin centrul de greutate al suprafeţei aşa numitele direcţii principale centrale şi
evident momentele de inerţie principale centrale
Direcţiile principale de inerţie se notează cu 1 respectiv 2 Axa principală 1
corespunde direcţiei faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea maximă iar
axa principală 2 pentru direcţia faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea
minimă
472 Momente de inerţie principale
Momentele de inerţie principale se notează cu litera 119868 la care se pune indicele 1
sau 2 după cum valoarea acestuia este maximă sau minimă deci avem un moment de
inerţie principal 1 (notat 1198681) respectiv moment de inerţie principal 2 (notat 1198682)
Expresiile pentru momentele de inerţie principale sunt
11986812 =119868119911 + 119868119910
2plusmn1
2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)
2+ 4 ∙ (119868119911119910)
2 (438)
Dacă momentul de inerţie centrifugal este negativ (119868119911119910 lt 0) direcţia principală
care trece prin primul cadran (definit de sistemul 119911119862119910) este direcţia principală 120783
Pentru suprafeţele cu cel puţin o axă de simetrie direcţiile centrale 119862119911 119862119910 sunt şi
direcții principale de inerţie și evident momentele de inerţie axiale 119868119911 119868119910 sunt momente
de inerţie principale
48 Caracteristici mecanice ale metalelor
Alegerea materialului pentru confecţionarea unei anumite piese se face şi pe baza
aşa numitelor caracteristici mecanice pe care le prezintă materialul Cunoaşterea acestor
caracteristici mecanice are loc numai pe baza unor icircncercări mecanice care să scoată icircn
evidenţă comportarea materialului icircn condiţii de solicitare
Cea mai utilizată icircncercare icircn urma căreia se pun icircn evidenţă caracteristicile
mecanice ale unui material este icircncercarea la tracţiune
481 Icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general
Icircncercarea la tracţiune a oţelului ca de altfel toate icircncercările de materiale este
standardizată
Icircn cele ce urmează se va prezenta numai partea care interesează strict din punct
de vedere al caracteristicilor mecanice ale oţelului
Epruveta de diametru iniţial 1198890 pentru icircncercarea la tracţiune are o porţiune de
lungime 1198710 numită baza de măsurare pe care se măsoară lungirea acesteia sub acţiunea
solicitării
Icircn funcţie de raportul dintre baza de măsurare 1198710 şi diametrul iniţial 1198890 epruvetele
utilizate pentru icircncercări sunt
epruvete normale (scurte) cacircnd 11987101198890 = 5
epruvete lungi cacircnd 11987101198890 = 10
Icircn timpul icircncercării la diferite valori ale forţei 119865 se măsoară lungirea bazei de
măsurare
∆119871 = 120575 = 119871 minus 1198710 (439)
unde
119871 este dimensiunea bazei de măsurare la un moment dat
Curba forţă-lungire (119865 minus ) icircnregistrată icircn urma icircncercării reprezintă curba
caracteristică la tracţiune
La icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general diagrama caracteristică care se
obţine are forma din figura 48
Curba caracteristică la tracţiune depinde de lungimea bazei de măsurare Pentru
icircnlăturarea acestui neajuns curba caracteristică se reprezintă icircn coordonate şi definite
astfel
120590 =119865
1198600 휀 =
120575
1198710 (440)
unde
1198600 este aria iniţială a secţiunii transversale a epruvetei (icircnainte de solicitare) icircn
zona bazei de măsurare
1198600 =120587 ∙ 1198890
2
4
Deoarece mărimile icircn care se reprezintă curba caracteristică la tracţiune sunt
raportate la aria iniţială a secţiunii transversale (mărimi specifice) curba poartă numele
de curbă caracteristică convenţională la tracţiune
Fig 48 Curba caracteristică convenţională la tracțiune
Pe curba caracteristică convenţională la tracţiune figura 48 se pot stabili o serie
de puncte cărora le corespund mai multe mărimi importante
Ordonata punctului A pacircnă unde curba caracteristică convenţională este linie
dreaptă se numeşte limita de proporţionalitate a materialului 120590119901(1205901) Porţiunea 119874119860 este
zona de proporţionalitate a curbei caracteristice pe acest domeniu este valabilă legea lui
Hooke care exprimă o proporţionalitate icircntre tensiune şi deformaţie specifică
120590 = 119864 ∙ 휀 (441)
unde
119864 = reprezintă panta porţiunii liniare a curbei convenționale caracteristice
la tracțiune Caracteristica de material 119864 se numeşte modul de elasticitate longitudinal
(modulul lui Young)
Ordonata punctului 119861 pacircnă unde materialul se comportă perfect elastic adică
după descărcare icircşi recapătă dimensiunea iniţială 1198710 se numeşte limita de elasticitate
120590119890(119877119890) Icircn realitate nici un material nu are comportare perfect elastică sub acţiunea
solicitărilor el capătă deformaţii permanente (remanente plastice)
După punctul 119861 urmează o porţiune 119861119862119863 icircn care cu toate că icircncărcarea
continuă forţa nu mai creşte avacircnd mici oscilaţii icircn jurul unei valori Se spune că icircn
această porţiune materialul curge iar intervalul 119861119862119863 este un palier de curgere Tensiunea
corespunzătoare palierului de curgere se numeşte limită de curgere aparentă 120590119888(119877119888) Limita de curgere aparentă se calculează cu relaţia
120590119888 =1198651198881198600 (442)
unde
119865119888 reprezintă valoarea forţei icircnregistrată icircn momentul curgerii materialului
După punctul 119863 curba caracteristică are un traseu ascendent pacircnă icircn punctul 119864
Porţiunea 119863119864 este numită zonă de icircntărire (ecruisare) Icircn zona de ecruisare unde se
produc deformaţii plastice semnificative legea lui Hooke nu mai este valabilă La
descărcare relaţia dintre tensiunea şi deformaţia specifică este liniară paralelă cu
porţiunea liniară a curbei caracteristice (dreapta 119872119873)
Deformaţia totală (휀119905) are două componente una elastică (휀119890) şi una plastică (휀119901)
Ordonata punctului 119864 reprezintă rezistenţa de rupere 120590119903(119877119898) a materialului
care se poate calcula cu relaţia
120590119903 = 119877119898 =1198651198981198861199091198600
(443)
unde
119865119898119886119909 reprezintă valoarea maximă a forţei icircnregistrată icircn timpul icircncercării
La atingerea valorii 119865119898119886119909 (punctul 119864) icircntr-un anumit loc al epruvetei secţiunea
icircncepe să se micşoreze (se produce gacirctuirea) continuacircnd pacircnă cacircnd se produce ruperea
totală (punctul 119865)
Dacă după ruperea epruvetei cele două părţi rezultate se aşează cap la cap şi se
măsoară dimensiunea bazei de măsurare 119871119906 (lungimea ultimă) se determină alungirea la
rupere sau lungirea specifică la rupere 휀119903
휀119903 =119871119906 minus 11987101198710
=∆119871
1198710=120575
1198710 (444)
De obicei alungirea se exprimă icircn procente şi se notează cu 119860119899 unde 119899 reprezintă
numărul dat de raportul 11987101198890 (epruvete normale 119899 = 5 epruvete lungi 119899 = 10)
119860119899 =119871119906 minus 11987101198710
∙ 100 [] (445)
Altă mărime care se determină la icircncercarea la tracţiune este gacirctuirea la rupere
(exprimată de obicei icircn procente) şi definită de relaţia
119885 =1198600 minus 1198601199061198600
∙ 100 [] (446)
Mărimile determinate limita de proporţionalitate modulul de elasticitate
longitudinal limita de elasticitate limita de curgere aparentă rezistenţa de rupere
alungirea la rupere şi gacirctuirea la rupere sunt cunoscute ca fiind caracteristici mecanice
ale materialului
Din curba caracteristică convenţională observăm faptul că ruperea (punctul 119865 din
figura 48 se produce la o tensiune mai mică decacirct cea corespunzătoare punctului 119864 Dacă
icircnsă forţa din timpul icircncercării s-ar raporta la aria secţiunii din momentul icircnregistrării
forţei (care este mai mică decacirct cea iniţială 1198600) s-ar obţine aşa numita curbă
caracteristică reală a materialului (traseul 1198741198601198611198621198631198651 din figura 48) La curba
caracteristică reală ruperea se produce icircn punctul 1198651 la o icircncărcare mai mare decacirct cea
corespunzătoare punctului 119864 Icircnseamnă că rezistenţa reală la rupere este mai mare decacirct
rezistenţa la rupere dată de punctul 119864 din diagrama caracteristică convenţională
Dificultatea obţinerii diagramei caracteristice reale faţă de cea a diagramei caracteristice
convenţionale şi considerarea unei rezistenţe la rupere mai mică decacirct a celei reale face
icircn practică utilizarea pe scară mare a diagramei caracteristice convenţionale
Caracteristicile mecanice determinate pe baza curbei caracteristice convenţionale
sunt şi ele caracteristici mecanice convenţionale
Caracteristicile mecanice convenţionale limita de proporţionalitate convenţională
120590119901 limita de elasticitate convenţională 120590119890 limita de curgere convenţională 120590119888 şi rezistenţa
de rupere 120590119903 constituie tensiuni limită pentru un material Pe baza acestor caracteristici
de material se alege valoarea tensiunii admisibile 120590119886 (vezi paragraful 35) pentru
calculele de rezistenţă Cea mai utilizată stare limită pentru stabilirea tensiunii admisibile
120590119886 este limita de curgere convenţională 120590119888
120590119886 =120590119897119894119898119888
=120590119888119888 119904119886119906 120590119886 =
120590119903119888 (447)
Caracteristicile mecanice ale materialului sunt influenţate de o serie de factori
temperatura viteza de solicitare factorii tehnologici iar valorile lor sunt date icircn tabele și
diagrame
Aplicaţie Pentru suprafaţa plană compusă din două dreptunghiuri avacircnd
dimensiunile din figura 49a să se calculeze
a) centrul de greutate al secțiunii compuse 119910119866 119911119866
b) momentele de inerție axiale 119868119911 119868119910 și momentul de inerție centrifugal 119868119911119910
c) razele de inerție 119894119911 119894119910
d) modulele de rezistență 119882119911119898119894119899 119882119911119898119886119909 119882119910119898119894119899 119882119910119898119886119909
e) momentele de inerție principale 1198681 1198682 și direcțiile principale de inerție 1205721
f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 119878119911
Fig 49 Aplicație
Rezolvare Pentru rezolvare vom parcurge următoarele etape
icircmpărțim suprafața compusă icircn două suprafețe simple (dreptunghiuri) notate cu
① și respectiv ② figura 49b
poziționăm centrele de greutate a celor două suprafețe simple ① și respectiv ②
notate cu 1198661 și respectiv 1198662 figura 49c
poziționăm sistemele de axe de coordonate 119911111986611199101 pentru dreptunghiul ① și
119911211986621199102 pentru dreptunghiul ② aflate la intersecția diagonalelor figura 49c
poziționăm sistemele de axe de coordonate 11991101198741199100 ales arbitrar față de care
determinăm poziția centrului de greutate 119866 figura 49c
a) calculăm poziția centrului de greutate folosind relațiile (46) icircn care
1198601 = 6119905 ∙ 119905 = 61199052 1198602 = 4119905 ∙ 119905 = 41199052 119860 = 1198601 + 1198602 = 61199052 + 41199052 = 101199052
iar centrele de greutate 1198661 și respectiv 1198662 au coordonatele (față de sistemul 11991101198741199100)
1198661 1199101 = 3119905 1199111 = 05119905
1198662 1199102 = 051199051199112 = 3119905
cu acestea obținem
119910119866 =1198601 ∙ 1199101 + 1198602 ∙ 1199102
119860=61199052 ∙ 3119905 + 41199052 ∙ 05119905
101199052=201199053
101199052= 2119905
119911119866 =1198601 ∙ 1199111 + 1198602 ∙ 1199112
119860=61199052 ∙ 05119905 + 41199052 ∙ 3119905
101199052=151199053
101199052= 15119905
Poziționăm centrul de greutate 119866 al suprafeței compuse figura 49c
Fig 49 Aplicație
b) pentru determinarea momentelor de inerție axiale 119868119911 119868119910 și a momentului de
inerție centrifugal 119868119910119911 determinăm constantele 1198881 1198882 1198891 1198892 care intervin icircn relația lui
Stainer
1198881 = 1199101 minus 119910119866 = 3119905 minus 2119905 = 119905 1198882 = minus(119910119866 minus 1199102) = minus(2119905 minus 05119905) = minus15119905
1198891 = minus(119911119866 minus 1199111) = minus(15119905 minus 05119905) = minus119905 1198892 = 1199112 minus 119911119892 = 3119905 minus 15119905 = 15119905
Folosind relațiile lui Stainer (429) (430) și (431) calculăm momentele de
inerție axiale și centrifugale față de sistemul central 119911119866119866119910119866
119868119911 =sum(119868119911119894 + 1198881198942 ∙ 119860119894) = 1198681199111 + 1198881
2 ∙ 1198601 + 1198681199112 + 11988822 ∙ 1198602
119868119910 =sum(119868119910119894 + 1198891198942 ∙ 119860119894) = 1198681199101 + 1198891
2 ∙ 1198601 + 1198681199102 + 11988922 ∙ 1198602
119868119911119910 =sum(119868119911119894119910119894 + 119888119894 ∙ 119889119894 ∙ 119860119894) = 11986811991111199101 + 1198881 ∙ 1198891 ∙ 1198601 + 11986811991121199102 + 1198882 ∙ 1198892 ∙ 1198602
1198681199111 = (119887 ∙ ℎ3
12) =
119905 ∙ (6119905)3
12= 181199054 1198681199112 = (
119887 ∙ ℎ3
12) =
4119905 ∙ 1199053
12= 031199054
1198681199101 = (1198873 ∙ ℎ
12) =
1199053 ∙ 6119905
12= 051199054 1198681199102 = (
1198873 ∙ ℎ
12) =
(4119905)3 ∙ 119905
12= 531199054
11986811991111199101 = 11986811991121199102 = 0 deoarece cele două triunghiuri au cel puțin o axă de simetrie
Cu acestea momentele de inerție axiale și momentul de inerție centrifugal devin
119868119911 = 181199054 + 1199052 ∙ 61199052 + 031199054 + (minus15119905)2 ∙ 41199052 = 3331199054
119868119910 = 051199054 + (minus119905)2 ∙ 61199052 + 531199054 + (15119905)2 ∙ 41199052 = 2081199054
119868119911119910 = 0 + 119905 ∙ (minus119905) ∙ 61199052 + 0 + (minus15119905) ∙ (15119905) ∙ 41199052 = minus151199054
c) razele de inerție sau de girație față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910
se calculează cu relațiile (411)
119894119911 = radic119868119911119860= radic
3331199054
101199052= 182119905 119894119910 = radic
119868119910
119860= radic
2081199054
101199052= 144119905
d) modulele de rezistență față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910 se
calculează cu relațiile (412) și (413)
Avacircnd icircn vedere figura 419c obținem
119910119898119886119909 = 6119905 minus 119910119866 = 6119905 minus 2119905 = 4119905 119910119898119894119899 = minus119910119866 = minus2119905
119911119898119886119909 = 5119905 minus 119911119866 = 5119905 minus 15119905 = 35119905 119911119898119894119899 = minus119911119866 = minus15119905
Se obține astfel
119882119911119898119894119899 =119868119911
|119910119898119886119909|=3331199054
4119905= 8331199053
119882119911119898119886119909 =119868119911
|119910119898119894119899|=3331199054
2119905= 16651199053
119882119910119898119894119899 =119868119910
|119911119898119886119909|=2081199054
35119905= 5941199053
119882119910119898119886119909 =119868119910
|119911119898119894119899|=2081199054
15119905= 13871199053
e) momentele de inerție principale 1198681 și respectiv 1198682 se calculează cu relațiile
(438)
11986812 =119868119911 + 119868119910
2plusmn1
2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)
2+ 4 ∙ (119868119911119910)
2=
=3331199054 + 2081199054
2plusmn1
2∙ radic(3331199054 minus 2081199054)2 + 4 ∙ (minus151199054)2 = 27051199054 plusmn 16251199054
De unde obținem
1198681 = 27051199054 + 16251199054 = 4331199054
1198682 = 27051199054 minus 16251199054 = 1081199054
Prima direcție principală de inerție 1 face cu axa centrală 119866119911 unghiul 1205721 dat de
relația (437)
1205721 =1
2∙ arctan (minus
2 ∙ 119868119911119910
119868119911 minus 119868119910) =
1
2∙ arctan [minus
2 ∙ (minus151199054)
3331199054 minus 2081199054] =33 70
Deoarece 1205721 gt 0 rotirea axelor se face acircn sens antiorar acelor de ceasornic figura
49d
Poziția axe principale 2 față de care momentul de inerție are valoarea minimă
1198682 = 119868119898119894119899 este dată de unghiul
1205722 = 1205721 + 900 = 33 70 + 900 = 123 70
f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 se determină cu relația
(45)
1198781199111198602 = 1198602 ∙ 1198882 = 41199052 ∙ (minus15119905) = minus61199053
Icircntre cele trei componente ale tensiunii totale care acționează pe elementul de arie
∆119860 este valabilă relația
1199012 = 1205901199092 + 120591119909119910
2 + 1205911199091199112 (34)
După sensul pe care icircl are tensiunea normală 120590 poate avea efect de tracţiune sau
de compresiune exercitat de către partea de corp icircnlăturată asupra părţii rămase Analog
tensiunea tangenţială 120591 poate avea efect de tăiere forfecare sau alunecare Pentru
componentele tensiunii tangențiale 120591119909119910 pe direcţia 119910 respectiv 120591119909119911 pe direcţia 119911 primul
indice indică axa pe care tensiunea este normală iar cel de-al doilea indice indică axa cu
care aceasta este paralel
Tensiunea este o mărime tensorială valoarea ei depinzacircnd atacirct de poziția
punctului icircn planul secțiunii cicirct și de orientarea planului de secționare deci de normala
Operaţiile vectoriale nu pot fi aplicate tensiunilor decacirct după ce acestea au fost icircnmulţite
cu ariile respective adică au fost transformate icircn forţe
Icircn literatura de specialitate mai ales icircn manualele mai vechi pentru noţiunea de
tensiune se mai foloseşte şi denumirea de efort specific
Dacă se consideră un alt element de arie ∆119860 cu centrul icircn același punct avacircnd ca
normală axa 119910 se vor obține alte tensiuni și anume
- 120590119910 este tensiunea normală (paralelă cu axa y)
- 120591119911119909 și 120591119910119911 sunt tensiuni tangențiale paralele cu axele 119909 și respectiv 119911 aflate icircn
planul care are ca normală axa 119910
Dacă icircn jurul unui punct dintr-un corp solicitat se consider un element de volum
infinit mic de forma unui cub icircn cazul cel mai general pe fețele sale vor acționa
tensiunile normale 120590119909 120590119910 și 120590119911 și respectiv tensiunile tangențiale 120591119909119910 120591119909119911 120591119910119909 120591119910119911 120591119911119909
și respectiv 120591119911119910 figura 33 Aceste tensiuni definesc starea de tensiune a punctului
observacircnd faptul că tensorul tensiune are 9 componente Dacă se consideră elementul
de volum finit ca fiind foarte mic se poate presupune că icircn interiorul său nu apar forțe
Ca urmare el va fi icircn echilibru sub acțiunea forțelor elementare produse de tensiunile de
pe fețele sale
Din condiția ca elementul să nu se rotească icircn jurul unor axe care trec prin centrul
său și sunt paralele cu axele sistemului 119909119874119910119911 rezultă
2 ∙ 120591119909119910 ∙ (119889119910 ∙ 119889119911) ∙119889119909
2= 2 ∙ 120591119910119909 ∙ (119889119909 ∙ 119889119911) ∙
119889119910
2 rArr 120591119909119910 = 120591119910119909 (35)
2 ∙ 120591119910119911 ∙ (119889119909 ∙ 119889119911) ∙119889119910
2= 2 ∙ 120591119911119910 ∙ (119889119909 ∙ 119889119910) ∙
119889119911
2 rArr 120591119910119911 = 120591119911119910 (36)
2 ∙ 120591119909119911 ∙ (119889119910 ∙ 119889119911) ∙119889119909
2= 2 ∙ 120591119911119909 ∙ (119889119909 ∙ 119889119910) ∙
119889119911
2 rArr 120591119909119911 = 120591119911119909 (37)
Relațiile (35divide37) 120591119909119910 = 120591119910119909 120591119910119911 = 120591119911119910 120591119909119911 = 120591119911119909 exprimă principiul dualității
tensiunilor tangențiale
Fig 33 Tensiunile normale și tangențiale pe fețele unui cub
Din condiția ca elementul considerat să nu se deplaseze icircn lungul axelor de
coordonate pe fețele opuse acționează aceleași tensiuni normale 120590119909 120590119910 și respectiv 120590119911
Definirea tensorului tensiune este posibilă dacă se cunosc cele 6 componente
independente ale acestuia aflate icircn trei plane perpendicular ce trec prin punctul respectiv
=
120590119909 120591119909119910 120591119909119911120591119910119909 120590119910 120591119910119911120591119911119909 120591119911119910 120590119911
Observaţii
Tensiunile se măsoară icircn [119873 1198982frasl ] (1119873 1198982frasl = 1 119875119886) sau icircn [119872119875119886]
(1 119872119875119886 = 106119875119886 = 106 119873
1198982 1 119872119875119886 = 1
119873
1198981198982)
Starea de tensiune dintr-un punct este considerată cunoscută dacă se cunosc
tensiunile 119901 care acționează pe infinitatea de elemente de suprafață ce trec prin punctual
considerat
Starea de tensiune a unui corp se consider cunoscută dacă se cunosc stările de
tensiune de pe infinitatea de puncte ale corpului considerat
32 Deplasări Deformaţii specifice
321 Deplasări
Aceste noțiuni sunt utile icircn analiza aspectului geometric al problemelor de rezistența
materialelor Deplasările care se analizează sunt cele datorate schimbării formei și
dimensiunilor corpurilor ca urmare a acțiunii forțelor exterioare și nu cele cinematice
posibile pentru solidul rigid care se poate deplasa cu anumită viteză și accelerație
Spre exemplu icircn figura 34a și figura 34b sub acțiunea forței 119865 tronsonul de
bară AB se deformează icircn timp ce tronsonul BC deși punctele sale au deplasări rămacircne
nedeformat (fiind nesolicitat) Toate punctele de pe axele barelor cu excepția celor din
icircncastrare (secțiunile A) au deplasări liniare De cele mai multe ori deformațiile barelor
datorate acțiunii forțelor exterioare se anulează la icircndepărtarea forțelor se spune că
deformațiile sunt elastice Secțiunile transversale ale barei din figura 34a se și rotesc icircn
raport cu pozițiile lor inițiale Spre exemplu secțiunea de căpăt cu centrul icircn C se rotește
cu unghiul
Fig 34 Deformațiile unei grinzi
Oricacirct de complexă ar fi delormația unui corp ea poate fi descrisă de lungiri sau
scurtări și de modificări ale unghiurilor inițiale
Deplasările măsoară schimbarea poziției unui punct al corpului și pot fi liniare
sau unghiulare
Prin deplasare liniară a unui punct se icircnțelege drumul parcurs de acest punct icircn
decursul procesului de deformație după o dreaptă suport dreapta 1198611198611 din figura 34a
Prin deplasare unghiulară se icircnțelege rotirea dintre segmentele de dreaptă
determinate de două puncte ale corpului icircnainte și după deformarea acestuia unghiul
pe care-l fac segmentele 119861119862 și 11986111198621 din figura 34a Această rotire se măsoară prin
unghiul pe care-l fac proiecțiile dreptelor ce conțin cele două segmente icircntr-un sistem
triortogonal
Icircn cazul cel mai general vectorul deplasare liniară se poate descompune icircntr-un
sistem triortogonal icircn trei componente 119906 119907 și 119908 figura 35
Fig 35 Deplasarea liniară
Se consideră acum un corp solid raportat la un sistem de axe ortogonal 119909119874119910119911
figura 35 după deformarea corpului un punct oarecare 119870 al acestuia se deplasează icircn
poziţia 1198701 vectorul 1198701198701 poartă numele de vectorul deplasării totale
Deplasarea totală este suma deplasărilor pe cele trei direcţii ortogonale iar
aceste deplasări se notează astfel
deplasarea pe direcţia 119909 cu ∥ 119874119909
deplasarea pe direcţia 119910 cu ∥ 119874119910
deplasarea pe direcţia 119911 cu ∥ 119874119911
Componentele deplasărilor și formeză matricea deplasărilor liniare 119906119907119908
322 Deformații
Prin deformație icircn general se icircnțelege orice schimbare de formă a unui corp fără
o evaluare cantitativă Icircn Rezistența Materialelor deformația măsoară variația
dimensiunilor geometrice ale corpului considerat din vecinătatea unui punct analog
deplasărilor deformațiile pot fi liniare și unghiulare (lunecări)
Fig 36 Deplasarea liniară
Deformația liniară ∆119897 reprezintă variația lungimii 119897 a unui element liniar al
corpului deformat figura 36 Deformația liniară specifică se definește ca fiind raportul
dintre deformația liniară și lungimea inițială
휀 =∆119897
119897 (38)
unde ∆119897 este lungirea sau scurtarea care este echivalentă cu deformția liniară totală iar
este alungirea
Deformația unghiulară sau lunecarea unui punct 119860 icircn planul 119861119860119862 se definește
prin relația figura 37
120574 = lim119861119860rarr0119862119860rarr0
(119861119860 minus 119861111986011198621 ) (39)
Fig 36 Deformația unghiulară
Schimbacircnd orientarea planului care trece prin 119860 se obțin alte deformații
unghiulare Dacă elementele liniare 119861119860 și 119862119860 sunt inițial perpendiculare deformația 120574 se
numește deformație unghiulară specifică sau lunecare specifică figura 37
Un exemplu de deplasare unghiulară și de deformație unghiulară este prezentat icircn
figura 38 Unghiul este deplasarea unghiulară și măsoară rotirea relativă dintre două
secțiuni aflate la distanța 119897 Unghiul este deformația specifică unghiulară (lunecarea
specifică) din punctul 119870 Aceste deplasări și deformații se obțin icircn urma solicitării barei
de către cele două momente 1198720 egale și de sens contrar
Fig 38 Deplasarea unghiulară
Pentru a analiza starea de deformație din vecinătatea unui punct al unui corp
solicitat complex se decupează din jurul punctului un element de volum mic figura 39a
avacircnd laturile 119889119909 119889119910 și 119889119911 Ca urmare a solicitării laturile acestuia se vor lungi sau
scurta Reprezentarea elementului deformat icircn spațiu este dificilă pentru simplificare
vom analiza doar deformațiile din planul 119909119874119910 Observăm că dimensiunile 119889119909 și 119889119910 s-au
modificat cu valoarea ∆119889119909 respectiv cu ∆119889119910 analog se acceptă și pentru 119889119911 o modificare
de forma ∆119889119911 Astfel se pot defini deformațiile specifice liniare
휀119909 =∆119889119909
119889119909 휀119910 =
∆119889119910
119889119910 휀119911 =
∆119889119911
119889119911 (310)
De cele mai multe ori aceste deformații specifice liniare se pot exprima procentual
și se mai numesc alungiri
Fig 39 Starea de deformație
Icircn figura 39c se vede că unghiul inițial drept dintre muchiile 119889119909 și 119889119910 ale
elementului de volum s-a modificat Se definește deformația specifică unghiulară (sau
lunecarea specifică) mărimea cu care se modifică unghiul inițial drept
120574119909119910 = 120574119909119910prime + 120574119910119909
prime = 120574119910119909120574119910119911 = 120574119910119911
prime + 120574119911119910prime = 120574119911119910
120574119911119909 = 120574119911119909prime + 120574119909119911
prime = 120574119909119911
(311)
Deformațiile 휀119909 휀119910 휀119911 120574119909119910 120574119910119911 120574119911119909 constituie cele șase componente
independente ale tensorului deformațiilor specifice care pot fi scrise de forma
119863 =
휀119909 120574119909119910 120574119909119911120574119910119909 휀119910 120574119910119911120574119911119909 120574119911119910 휀119911
(312)
323 Contracţia transversală
Practica arată că odată cu lungirea unei bare apare o micşorare a mărimii secţiunii
transversale mărime numită contracţie transversală figura 310
Fig 310 Contracția transversală
Contracţia transversală este proporţională cu lungirea specifică coeficientul de
proporţionalitate se notează cu 120599 şi se numeşte coeficient de contracţie transversală sau
coeficientul lui Poisson
La o lungire specifică a barei contracţia transversală este dată de relația
휀119905119903 = 휀119910 = 휀119911 = minus120599 ∙ 휀119909 (313)
Semnul minus bdquo-rdquo arată că cele două mărimi sunt contrare dacă una creşte cealaltă
scade şi invers
Considerăm o bară cilindrică de lungime 119897 şi aria secţiunii transversale 119860 solicitată
la icircntindere axială La un moment dat datorită solicitării lungimea barei devine
[119897 ∙ (1 + 휀)] diametrul devine [119889 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)] iar aria secţiunii transversale devine
[119860 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)2] Dacă volumul barei icircnainte de solicitare a fost (119860 ∙ 119897) după solicitare
acesta devine
119881 + ∆119881 = 119860 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)2 ∙ 119897 ∙ (1 + 휀) =
= 119860 ∙ 119897 ∙ (1 + 휀 minus 2 ∙ 120599 ∙ 휀 minus 2 ∙ 120599 ∙ 휀2 + 1205992 ∙ 휀2 + 1205992 ∙ 휀3) (314)
Deoarece lungirile sunt foarte mici ultimii trei termeni din paranteză fiind infinit mici se pot neglija obţinacircnd
119881 + ∆119881 = 119860 ∙ 119897 + 119860 ∙ 119897 ∙ 휀 ∙ (1 minus 2 ∙ 120599) ⟺ ∆119881 = 휀 ∙ (1 minus 2 ∙ 120599) ∙ 119860 ∙ 119897 (315)
Practica arătă că o astfel de bară solicitată la icircntindere icircşi măreşte volumul deci
∆119881 gt 0 de unde rezultă că
1 minus 2 ∙ 120599 gt 0 rArr 120599 lt 05 (316)
Pentru majoritatea materialelor 120599 = 033 iar pentru materialele care-şi păstrează
volumul constant 120599 = 05
33 Relaţii de echivalenţă icircntre eforturi şi tensiuni
Considerăm un element de suprafață infinit mic 119889119860 situat pe fața de arie (119860) a
secțiunii barei din figura 311 Icircn centrul de greutate 119862 al secțiunii acționează eforturile
119873 119879119910 119879119911 119872119909 119872119894119910 și 119872119894119911 determinate prin metoda secțiunilor
Icircn raport cu un sistem de axe de referință 119909119862119910119911 coordonatele elementului 119889119860 sunt
- 119910 este ordonata elementului de arie 119889119860
- 119911 este abscisa elementului de arie 119889119860
Pe elementul de arie 119889119860 acționează tensiunile
120590119909 tensiunea normală
120591119909119910 și 120591119909119911 tensiuni tangențiale
Dacă se icircnsumează forțele elementare de tipul 120590119909 ∙ 119889119860 120591119909119910 ∙ 119889119860 și 120591119909119911 ∙ 119889119860
va trebui să obținem eforturile 119873 119879119910 și 119879119911
Fig 311 Element de suprafață mic din secțiunea unei bare
Dacă eforturile sunt privite ca forțe exterioare și se scriu ecuațiile de
echilibru ale secțiunii (119860) se vor obține șase relații de echivalență icircntre eforturi și
tensiuni
(sum119883) = 0 rArr int 120590119909 ∙ 119889119860
119860
= 119873 (317)
(sum119884) = 0 rArr int 120591119909119910 ∙ 119889119860
119860
= 119879119910 (318)
(sum119885) = 0 rArr int 120591119909119911 ∙ 119889119860
119860
= 119879119911 (319)
(sum119872)119909= 0 rArr int(120591119909119911 ∙ 119889119860) ∙ 119910
119860
minus int(120591119909119910 ∙ 119889119860) ∙ 119911
119860
= 119872119909 rArr
rArr int(119910 ∙ 120591119909119911 minus 119911 ∙ 120591119909119910) ∙ 119889119860
119860
= 119872119909
(320)
(sum119872)119910= 0 rArr int(120590119909 ∙ 119889119860) ∙ 119911
119860
= 119872119894119910 (321)
(sum119872)119911= 0 rArr int(120590119909 ∙ 119889119860) ∙ 119910
119860
= 119872119894119911 (322)
Cele șase relații de echivalență icircntre eforturi și tensiuni constituie un pas icircnainte
icircn rezolvarea unei probleme de rezistența materialelor Aceste relații vor permite
determinarea tensiunilor maxime
Pentru a rezolva cele 6 relații de echivalență trebuie să se cunoască tensiunile și
ca funcții de punct adică funcții de forma
120590119909 = 120590119909(119909 119910 119911) 120591119909119910 = 120591119909119910(119909 119910 119911) 120591119909119911 = 120591119909119911(119909 119910 119911) (32
3)
Cunoașterea acestor funcții presupune icircnsă analizarea aspectului geometric al
problemei precum și utilizarea unor ipoteze simplificatoare care să permită simplificarea
problemelor
34 Ipoteze de bază icircn rezistenţa materialelor
Depășirea dificultăților legate de interpretarea unor fenomene specifice mecanicii
solidului deformabil a impus acceptarea unor ipoteze care să simplifice fenomenele și să
contribuie la elaborarea unor modele de calcul cicirct mai generale și cacirct mai simple Aceste
ipoteze se referă la structura materialelor şi la comportarea lor sub acţiunea forţelor
exterioare Ipotezele acceptate trebuie să fie icircn deplină concordanţă cu realitatea și să
conducă la rezultate verificate icircn practică
Funcție de aspectele la care se referă ipotezele pot fi
Ipoteze fizice (de material)
Ipoteze de calcul
341 Ipoteze fizice
Se acceptă deoarece teoriile structurale au condus la rezultate care contravin
icircncercărilor experimentale
Ipoteza mediului continuu consideră că orice domeniu elementar al corpului
este ocupat de materie adică nu se acceptă existența unor goluri sau a unor crăpături
microscopice (fisuri) Deși nu corespunde realităţii poate fi acceptată deoarece
dimensiunile corpului sunt mult mai mari decacirct dimensiunile particulelor elemantare Are
avantajul că permite utilizarea proprietăților matematice ale funcțiilor continue pentru
tensiunile și deformațiile din orice punct al corpului Ea este mai apropiată de realitate la
corpurile amorfe şi mai depărtată la cele cristaline dar conduce la rezultate satisfăcătoare
icircn calculele de rezistenţă
Ipoteza nu se poate aplica la corpurile care au goluri tăieturi (multiplu conexe)
pentru unele puncte singulare icircn care tensiunile și deformațiile tind la infinit sau icircn unele
probleme de plasticitate icircn care proprietățile de material au un rol esențial
Ipoteza izotropiei conform acestei ipoteze materialul din care este confecționat
un element de rezistență are aceleași proprietăți după orice direcție un astfel de material
este considerat izotrop Din punct de vedere macroscopic metalele pot fi considerate
izotrope deși la nivel microscopic proprietățile lor diferă de la o direcție cristalografică
la alta Orice conglomerat de cristale poate fi considerat izotrop
Există cazuri cacircnd această ipoteză a izotropiei nu se acceptă
la metalele puternic deformate după o direcție (prin laminare trefilare)
la piesele confecționate din lemn lemnul este anizotrop deoarece proprietățile sale
diferă după două direcții (icircn lungul fibrelor și perpendicular pe această direcție)
Ipoteza omogenității consideră că un corp are aceleași proprietăți icircn orice
punct al său Deși majoritatea materialelor utilizate icircn tehnică sunt eterogene la scară
micro fiind constituite din mai multe faze cu proprietăți diferite la scară macro ele pot
fi considerate omogene Omogenitatea și izotropia sunt proprietăți statistice medii care
nu se condiționează una pe cealaltă Chiar și materialele monofazice pot avea la scară
micro unele segregații care le fac eterogene
Ipoteza elasticităţii perfecte presupune că atacircta timp cacirct solicitările nu
depăşesc anumite limite materialul are o comportare elastică adică icircşi recapătă forma şi
dimensiunile iniţiale odată cu icircnlăturarea sarcinilor Icircn realitate materialele nu prezintă o
elasticitate perfectă ele avacircnd deformaţii remanente mici care icircnsă pot fi neglijate icircn
calculele de rezistenţă
Acceptarea acestei ipoteze a elasticității perfecte permite
- aplicarea relației biunivoce icircntre tensiuni și deformații relație exprimată de legea
lui Hooke ( = 119864 ∙ 휀) unde E este un factor de proporţionalitate numit modul de
elasticitate longitudinal al materialului pentru oţel 119864 = 21 ∙ 105 [119872119875119886] - acceptarea valabilității afirmației bdquolucrul mecanic efectuat de forțele exterioare
ca urmare a parcurgerii deplasărilor punctelor de aplicație se icircnmagazinează integral icircn
corp sub formă de energie de deformație energie cedată la icircndepărtarea sarcinilorrdquo
- este valabilă teoria conform căreia bdquoenergia icircnmagazinată și deformațiile depind
doar de starea inițială și finală de eforturi fără a ține cont de modul icircn care s-a ajuns la
starea finalărdquo
Icircn realitate oricacirct de mici ar fi sarcinile aplicate se produc și deformații plastice
dar acestea pot fi neglijate dacă solicitarea nu depășește anumite limite
342 Ipoteze de calcul
Ipoteza micilor deplasări bdquodeplasările datorate deformării sunt mult mai mici
decacirct dimensiunile corpurilor și ca urmare pot fi neglijate produsele dintre o deplasare și
ea icircnsăşirdquo Pentru cele mai multe corpuri deformaţiile elastice sunt de mărimi mici deci
corpurile solide sub acţiunea sarcinilor icircşi modifică foarte puţin forma iniţială Această
ipoteză este cunoscută şi sub denumirea de ipoteza menţinerii dimensiunilor iniţiale Ea
permite scrierea ecuaţiilor de echilibru ale staticii pe starea nedeformată a elementului
cacircnd nu se iau icircn considerare deplasările punctelor de aplicaţie ale forţelor care se produc
ca urmare a deformării acestuia Calculul efectuat pe schema nedeformată poartă numele
de calcul de ordinul I
Ipoteza micilor deplasări nu poate fi acceptată pentru studiul problemelor de
stabilitate sau la problemele la care nu pot fi icircndeplinite condiţiile de echilibru icircn starea
nedeformată
Calculul de ordinul II admite ipoteza micilor deplasări dar ecuaţiile de echilibru
se scriu icircnsă pentru starea deformată a elementului de rezistenţă
Calculul de ordinul III nu mai acceptă ipoteza micilor deplasări el referindu-se
la cazul deformaţiilor mari cacircnd ecuaţiile de echilibru trebuie scrise pentru starea
deformată
Chiar dacă materialul satisface legea lui Hooke icircn urma calculelor de ordinul II
se obţin de obicei relaţii neliniare icircntre sarcini şi deplasări iar pentru calculul de ordinul
III rezultă ecuaţii diferenţiale neliniare
Principiul efectului local al acțiunii sarcinilor enunțat de Barre de Saint-
Venant Acest principiu destul de folosit icircn Rezistenţa Materialelor precizează că dacă
se icircnlocuiesc forţele care acţionează asupra unui element de suprafață al unui corp
elastic printr-un alt sistem de forţe echivalent din punct de vedere static cu primul noua
distribuţie a forţelor produce la locul de aplicare diferenţe semnificative faţă de prima
dar rămacircne fără efect sau cu efect neglijabil la distanţe mari de locul de aplicare al
forţelor figura 312
Ca o cosecință o sarcină uniform distribuită figura 312a poate fi icircnlocuită cu
rezultanta ei figura 312b dacă se analizează efectul sarcinii la distanță mare de locul icircn
care se aplică sarcina
Fig 312 Principiul Saint-Venant
Icircn prima variantă figura 312a forţa 119865 se aplică pe o porțiune oarecare 119897 (sarcină
uniform distribuită) iar icircn a doua figura 312b icircntru-un punct (forţă concentrată) La
locul de aplicare a sarcinii efectul asupra barei este cu totul diferit de la o variantă la
cealaltă Icircnsă la o distanţă mare de punctul de aplicaţie spre exemplu icircn secţiunea situată
la distanţa 119886 de capătul barei sau chiar icircn icircncastrare ambele bare sunt solicitate la fel
Icircn cazul din figura 312a
119872119894(119909) =119901 ∙ 1199092
2 119909 le 119897 119872119894(119909) = 119901 ∙ 119897 ∙ (119909 minus
119897
2) 119909 gt 119897 (324)
Icircn cazul din figura 312b
119872119894(119909) = 0 119909 lt119897
2 119872119894(119909) = 119901 ∙ 119897 ∙ (119909 minus
119897
2) 119909 gt
119897
2 (325)
Se vede că pentru (119909 gt 119897) adică după depășirea locului icircn care se aplică sarcina
efectul este același
Ipoteza lui Bernoulli sau ipoteza secţiunilor plane precizează că o secţiune
plană şi normală pe axa barei icircnainte de deformare rămacircne plană şi normală pe axa
barei şi după deformare figura 313
Fig 313 Ipoteza lui Bernoulli
Ipoteza stării naturale a corpului sau ipoteza absenţei tensiunilor conform
căreia pentru un corp nesolicitat starea de tensiune şi deformaţie este nulă
Perfecţionarea mijloacelor de calcul şi de investigare pot conduce la renunţarea la
unele ipoteze sau la introducerea altora noi mai aproape de stările reale De aici rezultă
caracterul de continuă perfecţionare a metodelor Rezistenţei Materialelor
35 Coeficienţi de siguranţă Tensiuni admisibile
O piesă corespunde din punct de vedere tehnic dacă tensiunile care iau naştere icircn
interiorul piesei datorită sarcinilor aplicate nu depăşesc anumite valori limită stabilite
convenţional Aceste valori limită ale tensiunii sunt corelate cu caracteristicile mecanice
ale materialelor
Tensiunea limită utilizată icircn calculele de rezistenţă este cunoscută sub denumirea
de tensiune admisibilă sau rezistenţă admisibilă Rezistenţa admisibilă reprezintă
valoarea convenţională aleasă icircn calcul pe baza practicii pentru tensiunea maximă care
poate apare icircntr-o piesă icircn condiţii date de material şi solicitare
Rezistenţa admisibilă (120590119886 sau 120591119886) poate fi definită faţă de o stare limită
periculoasă stare care trebuie evitată deoarece poate conduce distrugere
120590119886 =120590119897119894119898119888
(326)
unde
120590119897119894119898 este tensiunea corespunzătoare stării limită periculoase
119888 estesupraunitar 119888 gt 1 și reprezintă coeficientul de siguranţă faţă de starea limită
periculoasă considerată
Alegerea unor valori inferioare pentru rezistenţa admisibilă faţă de tensiunea
corespunzătoare stării limită periculoase este necesară deoarece
cunoaşterea sarcinilor este de cele mai multe ori aproximativă şi o depăşire a
acestora este foarte posibilă
caracteristicile mecanice ale materialelor variază icircn limite destul de mari ele
fiind influenţate de mulţi factori
schema aleasă pentru calcul (aplicarea sarcinilor schematizarea structurii
ipotezele de calcul etc) depărtează modelul faţă de cel real
Pentru calculele de verificare tensiunea efectivă maximă din elementul de
rezistenţă trebuie să fie mai mică sau cel mult egală cu cea admisibilă
120590119890119891119898119886119909 le 120590119886 (327)
Valoarea rezistenţei admisibile este influenţată de foarte mulţi factori natura
materialului tratamentele termice aplicate piesei durata de funcţionare a piesei modul
de acţionare icircn timp a sarcinilor felul solicitării temperatura gradul de periculozitate
icircn cazul cedării piesei etc
De asemenea valoarea coeficientului de siguranţă se alege icircn principal ţinacircnd
seama de aceiaşi factori care influenţează şi rezistenţa admisibilă
Rezistenţele admisibile pentru cacircteva materiale sunt următoarele
pentru oțelul de uz general OL37 solicitat la icircntindere compresiune sau
icircncovoiere 120590119886 = 150 [119872119875119886] pentru lemnul de brad solicitat la
- compresiune icircn lungul fibrelor şi solicitat la icircncovoiere 120590119886 = 10 [119872119875119886] - tracţiune icircn lungul fibrelor 120590119886 = 7 [119872119875119886] - compresiune perpendiculară pe fibre 120590119886 = 15 [119872119875119886] - forfecare icircn lungul fibrelor 120591119886 = 2 [119872119875119886] - forfecare perpendiculară pe fibre 120590119886 = 45 [119872119875119886]
terenuri de fundaţie din pămacircnt uscat sau umed 120590119886 = 020 divide 025 [119872119875119886]
4 CARACTERISTICI GEOMETRICE ALE SECȚIUNILOR PLANE
41 Noţiuni introductive
Icircn relaţiile de calcul ale tensiunilor şi deformaţiilor elementelor de rezistenţă
pentru unele solicitări (icircncovoierea și torsiunea) secțiunile plane intervin atacirct prin
dimensiunile lor (aria 119860) cicirct și prin forma și poziția pe care o are secțiunea icircn raport cu
planul solicitării Mărimile care caracterizează o secțiune icircn raport cu forma și poziția față
de axele unui sistem de referință sunt denumite caracteristici geometrice de ordin
superior Aria secțiunii este caracteristica geometrică ce depinde doar de dimensiunile
geometrice ale acesteia
Să considerăm o grindă solicitată de o forță exterioară 119865 aşezată icircn două poziții icircn
raport cu planul forţei figura 41 Icircn urma aplicării forței deși avem aceeași grindă
(aceeași arie a secțiunii transversale) și aceeași forță se constată că pentru varianta din
figura 41a deformațiile sunt mult mai mari adică rezistența la icircncovoiere a grinzii din
figura 41a este mai mare decacirct icircn cazul grinzii din figura 41b Comportarea diferită se
explică prin aceea că modificarea poziţiei secţiunii transversale faţă de planul forţelor
modifică caracteristicile geometrice ale secţiunii transversale a grinzii
Fig 41 Grindă solicitată de forța 119865
Pentru realizarea calculelor de rezistenţă şi rigiditate este foarte importantă
cunoaşterea caracteristicilor geometrice ale suprafeţei secţiunii transversale a elementelor
de rezistenţă
Caracteristicile geometrice ale secţiunii transversale a unui element de rezistenţă
sunt
- aria secțiunii notată cu 119860
- momentul static icircn raport cu o axă notat 119878119911 și respectiv 119878119910
- momentul de inerție care poate fi
axial notat 119868119911 și respectiv 119868119910
centrifugal notat 119868119911119910
polar notat 119868119901
- raza de inerţie (giraţie)notată 119894119911 și respectiv 119894119910
- modulul de rezistență care poate fi
axial notat 119882119911 și respectiv 119882119910
polar notat 119882119901
42 Aria și momentul static al suprafețelor plane
Fie o suprafaţă plană de arie 119860 pe care se ia un element infinit mic de arie 119889119860 şi
un sistem de axe rectangulare 119911119874119910 figura 42 Notăm cu 119862 centrul de greutate al suprafeţei
119860 Poziţia suprafeţei elementare 119889119860 faţă de acelaşi sistem de coordonate 119911119874119910 este dată
de abscisa 119911 ordonata 119910 și raza polară
Fig 42 Suprafață plană de arie 119860
Aria suprafeţei 119860 figura 42 se defineşte ca fiind
119860 ≝ int 119889119860
119860
(41)
Aria suprafeţei este icircntotdeauna pozitivă și se măsoară icircn [1198981198982] Momentul static al suprafeţei de arie 119860 icircn raport cu axele 119874119911 și respectiv 119874119910
figura 42 sunt date de relaţiile
119878119911 ≝ int 119910 ∙ 119889119860
119860
119878119910 ≝ int 119911 ∙ 119889119860
119860
(42)
Momentul static poate fi pozitiv negativ sau nul şi se măsoară icircn [1198981198983] Coordonatele centrului de greutate ale suprafeței 119860 se detrmină cu relațiile
119910119862 ≝int 119910 ∙ 119889119860119860
119860 119911119862 ≝
int 119911 ∙ 119889119860119860
119860
(43)
Cunoscacircnd coordonatele 119910119862 și 119911119862 ale centrului de greutate 119862 al secțiunii 119860 atunci
momentele statice se pot determina cu relațiile
119878119911 ≝ int 119910 ∙ 119889119860
119860
= 119910119862 ∙ 119889119860 119878119910 ≝ int 119911 ∙ 119889119860
119860
= 119911119862 ∙ 119889119860 (44)
Aceste relații arată că momentul static al unei suprafețe icircn raport cu o axă este
egal cu produsul dintre aria suprafeței și distanța de la centrul ariei la axa respectivă
Dacă suprafaţa se poate descompune icircn 119899 suprafeţe simple la care se cunosc ariile
(1198601 1198602 ⋯ 119860119894⋯ 119860119899) și poziţiile centrelor de greutate 119862119894 faţă de sistemul de referinţă
expresiile momentelor statice capătă următoarea formă
119878119911 = sum 119910119862119894 ∙ 119860119894119899119894=1 = 119910119862 ∙ 119860 119878119910 = sum 119911119862119894 ∙ 119860119894
119899119894=1 = 119911119862 ∙ 119860 (45)
Din relaţiile (45) rezultă că poziţia centrului de greutate 119862 al unei suprafeţe
compuse poate fi determinată cu relaţiile
119910119862 = (sum119910119862119894 ∙ 119860119894
119899
119894=1
) 119860frasl 119911119862 = (sum119911119862119894 ∙ 119860119894
119899
119894=1
) 119860frasl (46)
Icircn relația (45) 119910119862119894 și respectiv 119911119862119894 reprezintă coordonatele centrelor de greutate 119862119894
ale fiecărei suprafețe simple 119860119894 icircn raport sistemul de axe 119911119874119910
Se constată (relaţia 42) că dacă axele sistemului de referinţă trec prin centrul de
greutate (119910119862 = 119911119862 = 0) momentele statice sunt nule Axele icircn raport cu care momentele
statice sunt nule şi care trec prin centrul de greutate al suprafeţei se numesc axe centrale
Observație dacă secțiunea compusă are o axă de simetrie centrul secțiunii se
găsește pe acea axă iar dacă secțiunea este dublu simetrică poziția centrului secțiunii este
la intersecția axelor de simetrie
43 Momente de inerţie
Momentele de inerţie axiale ale unei suprafețe se calculează icircn raport cu axele de
coordonate 119874119911 și respectiv 119874119910 figura 42 și se determină cu relațiile
119868119911 ≝ int 1199102 ∙ 119889119860
119860
119868119910 ≝ int 1199112 ∙ 119889119860
119860
(47)
Unde 119910 și 119911 sunt distanțele de la elementul de arie 119889119860 la cele două axe de
coordonate 119874119911 și respectiv 119874119910
Momentele de inerţie axiale se măsoară icircn [1198981198984] şi sunt icircntotdeauna pozitive (aria
119889119860 este icircntotdeauna pozitivă și este multiplicată cu patratul distanței 1199102 dacă 119868119911 sau 119868119910
sunt nule icircnseamnă ca secțiunea nu există)
Momentele de inerție axiale se calculează icircndeosebi pentru axele centrale (care
trec prin centrul secțiunii) deoarece icircn raport cu acele axe 119868119911 și 119868119910 au valori minime
Momentul de inerţie centrifugal calculat faţă ambele axe ale sistemului de
referinţă 119911119874119910 este definit de relația
119868119911119910 ≝ int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860
(48)
Momentul de inerţie centrifugal se măsoară icircn [1198981198984] şi poate fi pozitiv negativ
sau nul
Momentul de ineție centrifugal este nul 119868119911119910 = 0 dacă cel puțin una din axele 119874119911
sau 119874119910 este axă de simetrie pentru secțiune
Se consideră o suprafaţă dreptunghiulară pe care faţă de axa de simetrie 119874119910 se iau
două suprafeţe elementare de arie 119889119860 simetrice faţă de axa 119874119910 figura 43
Fig 43 Suprafață dreptunghiulară cu două arii elementare 119889119860
Făcacircnd suma momentelor de inerţie centrifugale pentru cele două suprafeţe
elementare 119889119860 (din stacircnga şi din dreapta faţă de axa 119874119910) se obţine
int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860119889119903
+ int (minus119911) ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860119904119905119892
= int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860119889119903
minus int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860119904119905119892
= 0 (49)
Acelaşi raţionament se poate face și pentru icircntreaga suprafaţă de unde obținem că
momentul de inerție centrifugal este nul 119868119911119910 = 0 Deci pentru o suprafaţă plană care
are cel puţin o axă de simetrie momentul de inerţie centrifugal faţă de sistemul care
conţine acea axă de simetrie este nul
Momentul de inerţie polar al unei suprafeţei icircn raport cu un punct (pol) 119874 figura
42 este definit prin relaţia
1198680 = 119868119901 ≝ int 1205882 ∙ 119889119860
119860
= int(1199102 + 1199112) ∙ 119889119860
119860
= 119868119911 + 119868119910 (410)
unde este distanţa de la polul 119874 la elementul de arie 119889119860 Momentul de inerţie polar se
măsoară icircn [1198981198984] şi este totdeauna pozitiv
Momentul de inerţie polar este egal cu suma momentelor de inerţie faţă de două axe
perpendiculare oarecare şi care trec prin polul considerat
Razele de giraţie sau razele de inerţie sunt mărimi calculate icircn raport cu axele
secțiunii și definite de relaţiile
119894119911 ≝ radic119868119911119860 119894119910 = radic
119868119910
119860 (411)
Se exprimă icircn [119898119898] şi sunt icircntotdeauna pozitive Semnificația unei raze de inerție
este distanța la care dacă ar fi concentrată icircntreaga arie s-ar obține același moment de
inerție ca și cel calculat pentru aria reală
44 Modulul de rezistenţă
Modulul de rezistență se calculează icircn raport cu axele de referință sau icircn raport cu
un pol figura 42 și pot fi axiale (119882119911119882119910) sau polar (119882119901) și se determină numai pe baza
momentelor de inerţie cu relațiile figura 43
119882119911119898119894119899 ≝119868119911119910119898119886119909
119882119911119898119886119909 ≝119868119911119910119898119894119899
(412)
119882119910119898119894119899 ≝119868119910
119911119898119886119909 119882119910119898119886119909 ≝
119868119910
119911119898119894119899 (413)
119882119901 ≝119868119901
120588119898119886119909 (414)
unde
119910119898119886119909 119910119898119894119899 reprezintă distanţa de la axa 119874119911 la punctele extreme cele mai
depărtate respectiv cele mai apropiate ale suprafeţei de această axă
119911119898119886119909 119911119898119894119899 reprezintă distanţa de la axa 119874119910 la punctele extreme cele mai
depărtate respectiv cele mai apropiate ale suprafeţei de această axă
120588119898119886119909 reprezintă distanța maximă de la polul 119874 la punctul secțiunii cel mai
icircndepărtat de acesta
Fig 43 Suprafață dreptunghiulară cu două arii elementare 119889119860
Modulele de rezistenţă se exprimă icircn [1198981198983] şi sunt icircntotdeauna pozitive
Explicația este aceea că momentele de inerție care intră icircn relațiile de definiție sunt
pozitive iar distanțele la punctele extreme sunt pozitive (119910119898119886119909 119910119898119894119899 119911119898119886119909 119911119898119894119899 120588119898119886119909 se
iau icircn valoare absolută)
Icircn cazul suprafeţelor compuse modulul de rezistenţă nu se obţine prin icircnsumarea
algebrică a modulelor de rezistenţă ale suprafeţelor simple componente ci numai prin
intermediul momentului de inerţie axial calculat pentru icircntreaga secțiune
Ca și momentele de inerție modulele de rezistență se calculează numai pentru
sistemele de axe centrale
45 Momente de inerţie şi module de rezistenţă pentru suprafeţe simple
451 Secțiune dreptunghiulară
Fie suprafaţa dreptunghiulară din figura 44 de icircnălțime ℎ și lățime 119887 pe care se
consideră suprafaţă elementară de arie 119889119860 = 119887119889119910 la distanța 119910 de axa 119862119911 sistemul de
axe 119911119862119910 trece prin centrul secțiunii iar axele sunt axe de simetrie pentru dreptunghi
Fig 44 Suprafață dreptunghiulară
Pe baza relațiilor de definiți a momentului de inerție 119868119911 se obține
119868119911 ≝ int 1199102 ∙ 119889119860
119860
= int 1199102 ∙ 119887 ∙ 119889119910 = 2int 1199102 ∙ 119887 ∙ 119889119910 = 2 ∙ 119887 ∙1199103
3|ℎ 2frasl
0rArr
ℎ 2frasl
0
ℎ 2frasl
minusℎ 2frasl
rArr 119868119911 =119887 ∙ ℎ3
12
(415)
Analog pentru un element de arie 119889119860 = ℎ ∙ 119889119911 paralel cu axa 119862119910 situat la distanța
119911 de axa 119862119910
119868119910 ≝ int 1199112 ∙ 119889119860
119860
= int 1199112 ∙ ℎ ∙ 119889119911 = 2int 1199112 ∙ ℎ ∙ 119889119910 = 2 ∙ ℎ ∙1199113
3|119887 2frasl
0rArr
119887 2frasl
0
119887 2frasl
minus119887 2frasl
rArr 119868119910 =1198873 ∙ ℎ
12
(416)
Deoarece axele 119862119911 și 119862119910 sunt axe de simetrie momentul de inerție centrifugal este
119868119911119910 = 0 (417)
Pentru un pătrat avacircnd laturile egale (ℎ = 119887 = 119886) momentele de inerţie faţă de
axele centrale au expresia
119868119911 = 119868119910 =1198864
12 (418)
Modulele de rezistență axiale se calculează cu relațiile de definiție ținacircnd cont că
distanțele pacircnă la fibrele extreme sunt
119910119898119886119909 = 119910119898119894119899 =ℎ
2 119911119898119886119909 = 119911119898119894119899 =
119887
2 (419)
Obținem
119882119911119898119894119899 = 119882119911119898119886119909 =119868119911
119910119898119886119909119898119894119899=119887 ∙ ℎ3
12frasl
ℎ2frasl
=119887 ∙ ℎ2
6
119882119910119898119894119899 = 119882119910119898119886119909 =119868119910
119911119898119886119909119898119894119899=1198873 ∙ ℎ
12frasl
1198872frasl
=1198872 ∙ ℎ
6
(420)
452 Suprafaţă circulară
Din motive de simetrie pentru suprafeţele circulare momentele de inerţie faţă de
orice diametru (care reprezintă şi axe centrale) sunt aceleaşi
Considerăm o secțiune circulară plină cu diametrul 119889 și centrul de greutate 119862 Prin
centrul de greutate 119862 trece sistemul de axe ortogonal 119911119862119910 figura 45
Fig 45 Suprafață circulară
La distanța de centrul de greutate 119862 vom lua un element de suprafață mic de arie
(119889119860) de forma unui inel de grosime 119889 Elementul de arie 119889119860 are expresia
119889119860 = (2 ∙ 120587 ∙ 120588) ∙ (119889120588)
Pornind de la relația de definiție a momentului de inerție polar obținem
119868119901 ≝ int 1205882 ∙ 119889119860
119860
= int 1205882 ∙ (2 ∙ 120587 ∙ 120588) ∙ 119889120588
119903=119889 2frasl
0
= 2 ∙ 120587 ∙1205884
4|119889 2frasl0 rArr
rArr 119868119901 =120587 ∙ 1198894
32
(421)
Secțiunea este perfect simetrică deci sunt valabile relațiile
119868119911 = 119868119910 rArr 119868119901 = 119868119911 + 119868119910 = 2 ∙ 119868119911 = 2 ∙ 119868119910 =119868119901
2=120587 ∙ 1198894
64 (422)
Și modulele de rezistenţă faţă de orice diametru sunt egale şi se calculează cu
relaţiile
119882119911 = 119882119910 =1198681199111198892frasl=120587 ∙ 1198893
32 (423)
Modulul de rezistenţă polar este
119882119901 =1198681199011198892frasl=120587 ∙ 1198893
16 (424)
453 Secţiune inelară
Calculul momentelor de inerţie axiale pentru o secţiune inelară avacircnd diametrul
interior 119889 şi diametrul exterior 119863 se determină analog pentru suprafaţa circulară plină cu
observaţia că integrala pentru calculul momentului de inerție polar 119868119901 se face icircntre
limitele 119903 = 119889 2frasl şi R= 1198632frasl (icircntre raza interioară 119903 şi raza exterioară 119877) figura 46
Se obţin relaţiile
119868119901 =120587 ∙ 1198634
32∙ [1 minus (
119889
119863)4
] =120587 ∙ 1198634
32∙ (1 minus 1198964) (425)
119868119910 = 119868119910 =120587 ∙ 1198634
64∙ [1 minus (
119889
119863)4
] =120587 ∙ 1198633
64∙ (1 minus 1198964) (426)
Fig 46 Secțiune inelară
119882119901 =120587 ∙ 1198633
16∙ [1 minus (
119889
119863)4
] =120587 ∙ 1198633
16∙ (1 minus 1198964) (427)
119882119911 = 119882119910 =120587 ∙ 1198633
32∙ [1 minus (
119889
119863)4
] =120587 ∙ 1198633
32∙ (1 minus 1198964) (428)
unde 119896 = 119889119863frasl
46 Variaţia momentelor de inerţie faţă de axe paralele
( Relațiile lui STEINER)
Se consideră o suprafaţă oarecare de arie 119860 cu elementul de arie 119889119860 și un sistemul
de axe central 119911119862119910 faţă de care se cunosc momentele de inerţie 119868119911 119868119910 119868119911119910 şi considerăm
un sistem de axe 11991111198741199101 paralele cu sistemul central figura 47 Se pune problema
determinării momentele de inerţie 1198681199111 1198681199101 11986811991111199101 faţă de sistemul de axe paralel cu sistemul
central 11991111198741199101 axe aflate la distanţele 119910119862 = 119888 respectiv 119911119862 = 119889 de acesta
461 Momente de inerţie axiale
Pe baza relaţiilor de definire şi a notaţiilor din figura 42 pentru momentele de
inerţie faţă de axele 1198741199111 1198741199101 se poate scrie
1198681199111 = int 11991012 ∙ 119889119860
119860
= int(119910 + 119888)2 ∙ 119889119860
119860
= int 1199102 ∙ 119889119860
119860
+ 2 ∙ 119888 ∙ int 119910 ∙ 119889119860
119860
+
+1198882int 119889119860
119860
rArr 1198681199111 = 119868119911 + 2 ∙ 119888 ∙ 119878119911 + 1198882 ∙ 119860 hArr 1198681199111 = 119868119911 + 119888
2 ∙ 119860
(429)
Fig 47 Variaţia momentelor de inerţie față de axe paralele
S-a ajuns la relația (429) deoarece momentul static 119878119911 este nul deoarece axa 119862119885
este axă centrală
Pentru momentul de inerție axial icircn raport cu axa 1198741199101 se obține
1198681199101 = int 11991112 ∙ 119889119860
119860
= int(119911 + 119889)2 ∙ 119889119860
119860
= int 1199112 ∙ 119889119860
119860
+ 2 ∙ 119889 ∙ int 119911 ∙ 119889119860
119860
+
+1198892 ∙ int 119889119860
119860
rArr 1198681199101 = 119868119910 + 2 ∙ 119889 ∙ 119878119910 + 1198892 ∙ 119860 hArr 1198681199101 = 119868119910 + 119889
2 ∙ 119860
(430)
Pentru momentul de inerție centrifugal obținem
11986811991111199101 = int 1199101 ∙ 1199111 ∙ 119889119860
119860
= int(119910 + 119888) ∙ (119911 + 119889) ∙ 119889119860
119860
= int 119910 ∙ 119911 ∙ 119889119860 +
119860
+119888 ∙ int 119911 ∙ 119889119860
119860
+ 119889 ∙ int 119910 ∙ 119889119860
119860
rArr 11986811991111199101 = 119868119911119910 + 119888 ∙ 119889 ∙ 119860
(431)
Deoarece
int 119911 ∙ 119889119860
119860
= 119878119910 = 0 int 119910 ∙ 119889119860
119860
= 119878119911 = 0 int 119910 ∙ 119911 ∙ 119889119860
119860
= 119868119911119910
Relaţiile (429) şi (430) arată că momentul de inerţie faţă de o axă oarecare
este egal cu momentul de inerţie faţă de o axă paralelă cu ea trecacircnd prin centrul de
greutate la care se adaugă produsul dintre aria suprafeţei şi pătratul distanţei dintre
cele două axe
Din relaţiile (429) și (430) rezultă de asemenea că momentul de inerţie faţă de o
axă centrală (care trece prin centrul de greutate) este cel mai mic dintre infinitatea de
momente de inerţie obținute faţă de alte axe paralele cu ea
Relaţia (431) arată de asemenea că momentul de inerţie centrifugal faţă de un
sistem de axe oarecare este egal cu momentul de inerţie centrifugal faţă de un sistem
paralele cu el trecacircnd prin centrul de greutate a suprafeţei la care se adaugă produsul
dintre aria suprafeţei şi distanţele dintre axele sistemelor respective
Icircn literatura de specialitate relaţiile (429) (430) şi (431) sunt cunoscute sub
numele de relaţiile lui Steiner
47 Variaţia momentrlor de inerţie faţă de axe rotite
Direcţii principale şi momente de inerţie principale
Fie suprafaţa plană din figura 48 de arie 119860 pe care considerăm o suprafaţă
elementară de arie 119889119860 Pentru sistemul de axe 119911119874119910 se cunosc momentele de inerţie
119868119911 119868119910 119868119911119910 şi vom determina relaţiile de calcul pentru momentele de inerţie afererent unui
sistem de axe 11991111198741199101 rotit cu un unghi faţă de sistemul central
Faţă de sistemul de axe 11991111198741199101 elementul de arie 119889119860 are coordonatele
1199101 = 119875119877 = 119875119876 minus 119877119876 = 119910 ∙ cos 120572 minus 119911 ∙ sin 120572
1199111 = 119873119872 = 119873119875 minus 119875119872 = 119911 ∙ cos 120572 + 119910 ∙ sin 120572 (432)
Fig 47 Variaţia momentelor de inerţie față de axe rotite
Pe baza relaţiilor de calcul ale momentelor de inerţie şi a notaţiilor din figura 42
şi ale relaţiilor (432) momentele de inerţie faţă de sistemul de axe rotit 11991111198741199101 sunt
1198681199111 =119868119911 + 119868119910
2+119868119911 minus 119868119910
2∙ cos 2120572 minus 119868119911119910 ∙ sin 2120572 (433)
1198681199101 =119868119911 + 119868119910
2minus119868119911 minus 119868119910
2∙ cos 2120572 + 119868119911119910 ∙ sin 2120572 (434)
11986811991111199101 =119868119911 minus 119868119910
2∙ sin 2120572 + 119868119911119910 ∙ cos 2120572 (435)
Din relaţiile 433divide435 se observă că icircntre momentele de inerţie axiale şi cele
polare există relaţia
1198681199111 + 1198681199101 = 119868119911 + 119868119910 = 119868119901 (436)
adică suma momentelor de inerţie axiale icircn raport cu orice pereche de axe ortogonale
care trec printr-un pol dat este o constantă şi egală cu momentul de inerţie polar
Prin rotirea sistemului de axe din relaţiile 433divide435 rezultă că momentele de inerţie
variază icircnsă suma lor rămacircne constantă deci există o poziţie a sistemului de axe pentru
care momentele de inerţie au valori extreme maxim respectiv minim
471 Direcţii principale de inerţie
Valoarea unghiului 120572 pentru care momentele de inerţie axiale au valori extreme
este
1205721 =1
2∙ 119886119903119888119905119886119899 (minus
2 ∙ 119868119911119910
119868119911 minus 119868119910) (437)
Poziţia celeilalte direcţii este perpendiculară pe cea dată de unghiul 1205721
Din relaţia (437) se constată că faţă de aceste direcţii rotite pentru care momentele
de inerţie axiale prezintă valori extreme momentul de inerţie centrifugal 11986811991111199101este nul
Atunci se poate afirma că momentele de inerţie axiale au valori extreme icircn raport cu
direcţiile faţă de care momentul de inerţie centrifugal este nul Aceste direcţii se numesc
direcţii principale iar momentele de inerţie faţă de aceste direcţii poartă numele de
momente de inerţie principale
Icircn calculele de rezistenţă interesează icircn mod special poziţia direcţiilor principale
care trec prin centrul de greutate al suprafeţei aşa numitele direcţii principale centrale şi
evident momentele de inerţie principale centrale
Direcţiile principale de inerţie se notează cu 1 respectiv 2 Axa principală 1
corespunde direcţiei faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea maximă iar
axa principală 2 pentru direcţia faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea
minimă
472 Momente de inerţie principale
Momentele de inerţie principale se notează cu litera 119868 la care se pune indicele 1
sau 2 după cum valoarea acestuia este maximă sau minimă deci avem un moment de
inerţie principal 1 (notat 1198681) respectiv moment de inerţie principal 2 (notat 1198682)
Expresiile pentru momentele de inerţie principale sunt
11986812 =119868119911 + 119868119910
2plusmn1
2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)
2+ 4 ∙ (119868119911119910)
2 (438)
Dacă momentul de inerţie centrifugal este negativ (119868119911119910 lt 0) direcţia principală
care trece prin primul cadran (definit de sistemul 119911119862119910) este direcţia principală 120783
Pentru suprafeţele cu cel puţin o axă de simetrie direcţiile centrale 119862119911 119862119910 sunt şi
direcții principale de inerţie și evident momentele de inerţie axiale 119868119911 119868119910 sunt momente
de inerţie principale
48 Caracteristici mecanice ale metalelor
Alegerea materialului pentru confecţionarea unei anumite piese se face şi pe baza
aşa numitelor caracteristici mecanice pe care le prezintă materialul Cunoaşterea acestor
caracteristici mecanice are loc numai pe baza unor icircncercări mecanice care să scoată icircn
evidenţă comportarea materialului icircn condiţii de solicitare
Cea mai utilizată icircncercare icircn urma căreia se pun icircn evidenţă caracteristicile
mecanice ale unui material este icircncercarea la tracţiune
481 Icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general
Icircncercarea la tracţiune a oţelului ca de altfel toate icircncercările de materiale este
standardizată
Icircn cele ce urmează se va prezenta numai partea care interesează strict din punct
de vedere al caracteristicilor mecanice ale oţelului
Epruveta de diametru iniţial 1198890 pentru icircncercarea la tracţiune are o porţiune de
lungime 1198710 numită baza de măsurare pe care se măsoară lungirea acesteia sub acţiunea
solicitării
Icircn funcţie de raportul dintre baza de măsurare 1198710 şi diametrul iniţial 1198890 epruvetele
utilizate pentru icircncercări sunt
epruvete normale (scurte) cacircnd 11987101198890 = 5
epruvete lungi cacircnd 11987101198890 = 10
Icircn timpul icircncercării la diferite valori ale forţei 119865 se măsoară lungirea bazei de
măsurare
∆119871 = 120575 = 119871 minus 1198710 (439)
unde
119871 este dimensiunea bazei de măsurare la un moment dat
Curba forţă-lungire (119865 minus ) icircnregistrată icircn urma icircncercării reprezintă curba
caracteristică la tracţiune
La icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general diagrama caracteristică care se
obţine are forma din figura 48
Curba caracteristică la tracţiune depinde de lungimea bazei de măsurare Pentru
icircnlăturarea acestui neajuns curba caracteristică se reprezintă icircn coordonate şi definite
astfel
120590 =119865
1198600 휀 =
120575
1198710 (440)
unde
1198600 este aria iniţială a secţiunii transversale a epruvetei (icircnainte de solicitare) icircn
zona bazei de măsurare
1198600 =120587 ∙ 1198890
2
4
Deoarece mărimile icircn care se reprezintă curba caracteristică la tracţiune sunt
raportate la aria iniţială a secţiunii transversale (mărimi specifice) curba poartă numele
de curbă caracteristică convenţională la tracţiune
Fig 48 Curba caracteristică convenţională la tracțiune
Pe curba caracteristică convenţională la tracţiune figura 48 se pot stabili o serie
de puncte cărora le corespund mai multe mărimi importante
Ordonata punctului A pacircnă unde curba caracteristică convenţională este linie
dreaptă se numeşte limita de proporţionalitate a materialului 120590119901(1205901) Porţiunea 119874119860 este
zona de proporţionalitate a curbei caracteristice pe acest domeniu este valabilă legea lui
Hooke care exprimă o proporţionalitate icircntre tensiune şi deformaţie specifică
120590 = 119864 ∙ 휀 (441)
unde
119864 = reprezintă panta porţiunii liniare a curbei convenționale caracteristice
la tracțiune Caracteristica de material 119864 se numeşte modul de elasticitate longitudinal
(modulul lui Young)
Ordonata punctului 119861 pacircnă unde materialul se comportă perfect elastic adică
după descărcare icircşi recapătă dimensiunea iniţială 1198710 se numeşte limita de elasticitate
120590119890(119877119890) Icircn realitate nici un material nu are comportare perfect elastică sub acţiunea
solicitărilor el capătă deformaţii permanente (remanente plastice)
După punctul 119861 urmează o porţiune 119861119862119863 icircn care cu toate că icircncărcarea
continuă forţa nu mai creşte avacircnd mici oscilaţii icircn jurul unei valori Se spune că icircn
această porţiune materialul curge iar intervalul 119861119862119863 este un palier de curgere Tensiunea
corespunzătoare palierului de curgere se numeşte limită de curgere aparentă 120590119888(119877119888) Limita de curgere aparentă se calculează cu relaţia
120590119888 =1198651198881198600 (442)
unde
119865119888 reprezintă valoarea forţei icircnregistrată icircn momentul curgerii materialului
După punctul 119863 curba caracteristică are un traseu ascendent pacircnă icircn punctul 119864
Porţiunea 119863119864 este numită zonă de icircntărire (ecruisare) Icircn zona de ecruisare unde se
produc deformaţii plastice semnificative legea lui Hooke nu mai este valabilă La
descărcare relaţia dintre tensiunea şi deformaţia specifică este liniară paralelă cu
porţiunea liniară a curbei caracteristice (dreapta 119872119873)
Deformaţia totală (휀119905) are două componente una elastică (휀119890) şi una plastică (휀119901)
Ordonata punctului 119864 reprezintă rezistenţa de rupere 120590119903(119877119898) a materialului
care se poate calcula cu relaţia
120590119903 = 119877119898 =1198651198981198861199091198600
(443)
unde
119865119898119886119909 reprezintă valoarea maximă a forţei icircnregistrată icircn timpul icircncercării
La atingerea valorii 119865119898119886119909 (punctul 119864) icircntr-un anumit loc al epruvetei secţiunea
icircncepe să se micşoreze (se produce gacirctuirea) continuacircnd pacircnă cacircnd se produce ruperea
totală (punctul 119865)
Dacă după ruperea epruvetei cele două părţi rezultate se aşează cap la cap şi se
măsoară dimensiunea bazei de măsurare 119871119906 (lungimea ultimă) se determină alungirea la
rupere sau lungirea specifică la rupere 휀119903
휀119903 =119871119906 minus 11987101198710
=∆119871
1198710=120575
1198710 (444)
De obicei alungirea se exprimă icircn procente şi se notează cu 119860119899 unde 119899 reprezintă
numărul dat de raportul 11987101198890 (epruvete normale 119899 = 5 epruvete lungi 119899 = 10)
119860119899 =119871119906 minus 11987101198710
∙ 100 [] (445)
Altă mărime care se determină la icircncercarea la tracţiune este gacirctuirea la rupere
(exprimată de obicei icircn procente) şi definită de relaţia
119885 =1198600 minus 1198601199061198600
∙ 100 [] (446)
Mărimile determinate limita de proporţionalitate modulul de elasticitate
longitudinal limita de elasticitate limita de curgere aparentă rezistenţa de rupere
alungirea la rupere şi gacirctuirea la rupere sunt cunoscute ca fiind caracteristici mecanice
ale materialului
Din curba caracteristică convenţională observăm faptul că ruperea (punctul 119865 din
figura 48 se produce la o tensiune mai mică decacirct cea corespunzătoare punctului 119864 Dacă
icircnsă forţa din timpul icircncercării s-ar raporta la aria secţiunii din momentul icircnregistrării
forţei (care este mai mică decacirct cea iniţială 1198600) s-ar obţine aşa numita curbă
caracteristică reală a materialului (traseul 1198741198601198611198621198631198651 din figura 48) La curba
caracteristică reală ruperea se produce icircn punctul 1198651 la o icircncărcare mai mare decacirct cea
corespunzătoare punctului 119864 Icircnseamnă că rezistenţa reală la rupere este mai mare decacirct
rezistenţa la rupere dată de punctul 119864 din diagrama caracteristică convenţională
Dificultatea obţinerii diagramei caracteristice reale faţă de cea a diagramei caracteristice
convenţionale şi considerarea unei rezistenţe la rupere mai mică decacirct a celei reale face
icircn practică utilizarea pe scară mare a diagramei caracteristice convenţionale
Caracteristicile mecanice determinate pe baza curbei caracteristice convenţionale
sunt şi ele caracteristici mecanice convenţionale
Caracteristicile mecanice convenţionale limita de proporţionalitate convenţională
120590119901 limita de elasticitate convenţională 120590119890 limita de curgere convenţională 120590119888 şi rezistenţa
de rupere 120590119903 constituie tensiuni limită pentru un material Pe baza acestor caracteristici
de material se alege valoarea tensiunii admisibile 120590119886 (vezi paragraful 35) pentru
calculele de rezistenţă Cea mai utilizată stare limită pentru stabilirea tensiunii admisibile
120590119886 este limita de curgere convenţională 120590119888
120590119886 =120590119897119894119898119888
=120590119888119888 119904119886119906 120590119886 =
120590119903119888 (447)
Caracteristicile mecanice ale materialului sunt influenţate de o serie de factori
temperatura viteza de solicitare factorii tehnologici iar valorile lor sunt date icircn tabele și
diagrame
Aplicaţie Pentru suprafaţa plană compusă din două dreptunghiuri avacircnd
dimensiunile din figura 49a să se calculeze
a) centrul de greutate al secțiunii compuse 119910119866 119911119866
b) momentele de inerție axiale 119868119911 119868119910 și momentul de inerție centrifugal 119868119911119910
c) razele de inerție 119894119911 119894119910
d) modulele de rezistență 119882119911119898119894119899 119882119911119898119886119909 119882119910119898119894119899 119882119910119898119886119909
e) momentele de inerție principale 1198681 1198682 și direcțiile principale de inerție 1205721
f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 119878119911
Fig 49 Aplicație
Rezolvare Pentru rezolvare vom parcurge următoarele etape
icircmpărțim suprafața compusă icircn două suprafețe simple (dreptunghiuri) notate cu
① și respectiv ② figura 49b
poziționăm centrele de greutate a celor două suprafețe simple ① și respectiv ②
notate cu 1198661 și respectiv 1198662 figura 49c
poziționăm sistemele de axe de coordonate 119911111986611199101 pentru dreptunghiul ① și
119911211986621199102 pentru dreptunghiul ② aflate la intersecția diagonalelor figura 49c
poziționăm sistemele de axe de coordonate 11991101198741199100 ales arbitrar față de care
determinăm poziția centrului de greutate 119866 figura 49c
a) calculăm poziția centrului de greutate folosind relațiile (46) icircn care
1198601 = 6119905 ∙ 119905 = 61199052 1198602 = 4119905 ∙ 119905 = 41199052 119860 = 1198601 + 1198602 = 61199052 + 41199052 = 101199052
iar centrele de greutate 1198661 și respectiv 1198662 au coordonatele (față de sistemul 11991101198741199100)
1198661 1199101 = 3119905 1199111 = 05119905
1198662 1199102 = 051199051199112 = 3119905
cu acestea obținem
119910119866 =1198601 ∙ 1199101 + 1198602 ∙ 1199102
119860=61199052 ∙ 3119905 + 41199052 ∙ 05119905
101199052=201199053
101199052= 2119905
119911119866 =1198601 ∙ 1199111 + 1198602 ∙ 1199112
119860=61199052 ∙ 05119905 + 41199052 ∙ 3119905
101199052=151199053
101199052= 15119905
Poziționăm centrul de greutate 119866 al suprafeței compuse figura 49c
Fig 49 Aplicație
b) pentru determinarea momentelor de inerție axiale 119868119911 119868119910 și a momentului de
inerție centrifugal 119868119910119911 determinăm constantele 1198881 1198882 1198891 1198892 care intervin icircn relația lui
Stainer
1198881 = 1199101 minus 119910119866 = 3119905 minus 2119905 = 119905 1198882 = minus(119910119866 minus 1199102) = minus(2119905 minus 05119905) = minus15119905
1198891 = minus(119911119866 minus 1199111) = minus(15119905 minus 05119905) = minus119905 1198892 = 1199112 minus 119911119892 = 3119905 minus 15119905 = 15119905
Folosind relațiile lui Stainer (429) (430) și (431) calculăm momentele de
inerție axiale și centrifugale față de sistemul central 119911119866119866119910119866
119868119911 =sum(119868119911119894 + 1198881198942 ∙ 119860119894) = 1198681199111 + 1198881
2 ∙ 1198601 + 1198681199112 + 11988822 ∙ 1198602
119868119910 =sum(119868119910119894 + 1198891198942 ∙ 119860119894) = 1198681199101 + 1198891
2 ∙ 1198601 + 1198681199102 + 11988922 ∙ 1198602
119868119911119910 =sum(119868119911119894119910119894 + 119888119894 ∙ 119889119894 ∙ 119860119894) = 11986811991111199101 + 1198881 ∙ 1198891 ∙ 1198601 + 11986811991121199102 + 1198882 ∙ 1198892 ∙ 1198602
1198681199111 = (119887 ∙ ℎ3
12) =
119905 ∙ (6119905)3
12= 181199054 1198681199112 = (
119887 ∙ ℎ3
12) =
4119905 ∙ 1199053
12= 031199054
1198681199101 = (1198873 ∙ ℎ
12) =
1199053 ∙ 6119905
12= 051199054 1198681199102 = (
1198873 ∙ ℎ
12) =
(4119905)3 ∙ 119905
12= 531199054
11986811991111199101 = 11986811991121199102 = 0 deoarece cele două triunghiuri au cel puțin o axă de simetrie
Cu acestea momentele de inerție axiale și momentul de inerție centrifugal devin
119868119911 = 181199054 + 1199052 ∙ 61199052 + 031199054 + (minus15119905)2 ∙ 41199052 = 3331199054
119868119910 = 051199054 + (minus119905)2 ∙ 61199052 + 531199054 + (15119905)2 ∙ 41199052 = 2081199054
119868119911119910 = 0 + 119905 ∙ (minus119905) ∙ 61199052 + 0 + (minus15119905) ∙ (15119905) ∙ 41199052 = minus151199054
c) razele de inerție sau de girație față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910
se calculează cu relațiile (411)
119894119911 = radic119868119911119860= radic
3331199054
101199052= 182119905 119894119910 = radic
119868119910
119860= radic
2081199054
101199052= 144119905
d) modulele de rezistență față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910 se
calculează cu relațiile (412) și (413)
Avacircnd icircn vedere figura 419c obținem
119910119898119886119909 = 6119905 minus 119910119866 = 6119905 minus 2119905 = 4119905 119910119898119894119899 = minus119910119866 = minus2119905
119911119898119886119909 = 5119905 minus 119911119866 = 5119905 minus 15119905 = 35119905 119911119898119894119899 = minus119911119866 = minus15119905
Se obține astfel
119882119911119898119894119899 =119868119911
|119910119898119886119909|=3331199054
4119905= 8331199053
119882119911119898119886119909 =119868119911
|119910119898119894119899|=3331199054
2119905= 16651199053
119882119910119898119894119899 =119868119910
|119911119898119886119909|=2081199054
35119905= 5941199053
119882119910119898119886119909 =119868119910
|119911119898119894119899|=2081199054
15119905= 13871199053
e) momentele de inerție principale 1198681 și respectiv 1198682 se calculează cu relațiile
(438)
11986812 =119868119911 + 119868119910
2plusmn1
2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)
2+ 4 ∙ (119868119911119910)
2=
=3331199054 + 2081199054
2plusmn1
2∙ radic(3331199054 minus 2081199054)2 + 4 ∙ (minus151199054)2 = 27051199054 plusmn 16251199054
De unde obținem
1198681 = 27051199054 + 16251199054 = 4331199054
1198682 = 27051199054 minus 16251199054 = 1081199054
Prima direcție principală de inerție 1 face cu axa centrală 119866119911 unghiul 1205721 dat de
relația (437)
1205721 =1
2∙ arctan (minus
2 ∙ 119868119911119910
119868119911 minus 119868119910) =
1
2∙ arctan [minus
2 ∙ (minus151199054)
3331199054 minus 2081199054] =33 70
Deoarece 1205721 gt 0 rotirea axelor se face acircn sens antiorar acelor de ceasornic figura
49d
Poziția axe principale 2 față de care momentul de inerție are valoarea minimă
1198682 = 119868119898119894119899 este dată de unghiul
1205722 = 1205721 + 900 = 33 70 + 900 = 123 70
f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 se determină cu relația
(45)
1198781199111198602 = 1198602 ∙ 1198882 = 41199052 ∙ (minus15119905) = minus61199053
Fig 33 Tensiunile normale și tangențiale pe fețele unui cub
Din condiția ca elementul considerat să nu se deplaseze icircn lungul axelor de
coordonate pe fețele opuse acționează aceleași tensiuni normale 120590119909 120590119910 și respectiv 120590119911
Definirea tensorului tensiune este posibilă dacă se cunosc cele 6 componente
independente ale acestuia aflate icircn trei plane perpendicular ce trec prin punctul respectiv
=
120590119909 120591119909119910 120591119909119911120591119910119909 120590119910 120591119910119911120591119911119909 120591119911119910 120590119911
Observaţii
Tensiunile se măsoară icircn [119873 1198982frasl ] (1119873 1198982frasl = 1 119875119886) sau icircn [119872119875119886]
(1 119872119875119886 = 106119875119886 = 106 119873
1198982 1 119872119875119886 = 1
119873
1198981198982)
Starea de tensiune dintr-un punct este considerată cunoscută dacă se cunosc
tensiunile 119901 care acționează pe infinitatea de elemente de suprafață ce trec prin punctual
considerat
Starea de tensiune a unui corp se consider cunoscută dacă se cunosc stările de
tensiune de pe infinitatea de puncte ale corpului considerat
32 Deplasări Deformaţii specifice
321 Deplasări
Aceste noțiuni sunt utile icircn analiza aspectului geometric al problemelor de rezistența
materialelor Deplasările care se analizează sunt cele datorate schimbării formei și
dimensiunilor corpurilor ca urmare a acțiunii forțelor exterioare și nu cele cinematice
posibile pentru solidul rigid care se poate deplasa cu anumită viteză și accelerație
Spre exemplu icircn figura 34a și figura 34b sub acțiunea forței 119865 tronsonul de
bară AB se deformează icircn timp ce tronsonul BC deși punctele sale au deplasări rămacircne
nedeformat (fiind nesolicitat) Toate punctele de pe axele barelor cu excepția celor din
icircncastrare (secțiunile A) au deplasări liniare De cele mai multe ori deformațiile barelor
datorate acțiunii forțelor exterioare se anulează la icircndepărtarea forțelor se spune că
deformațiile sunt elastice Secțiunile transversale ale barei din figura 34a se și rotesc icircn
raport cu pozițiile lor inițiale Spre exemplu secțiunea de căpăt cu centrul icircn C se rotește
cu unghiul
Fig 34 Deformațiile unei grinzi
Oricacirct de complexă ar fi delormația unui corp ea poate fi descrisă de lungiri sau
scurtări și de modificări ale unghiurilor inițiale
Deplasările măsoară schimbarea poziției unui punct al corpului și pot fi liniare
sau unghiulare
Prin deplasare liniară a unui punct se icircnțelege drumul parcurs de acest punct icircn
decursul procesului de deformație după o dreaptă suport dreapta 1198611198611 din figura 34a
Prin deplasare unghiulară se icircnțelege rotirea dintre segmentele de dreaptă
determinate de două puncte ale corpului icircnainte și după deformarea acestuia unghiul
pe care-l fac segmentele 119861119862 și 11986111198621 din figura 34a Această rotire se măsoară prin
unghiul pe care-l fac proiecțiile dreptelor ce conțin cele două segmente icircntr-un sistem
triortogonal
Icircn cazul cel mai general vectorul deplasare liniară se poate descompune icircntr-un
sistem triortogonal icircn trei componente 119906 119907 și 119908 figura 35
Fig 35 Deplasarea liniară
Se consideră acum un corp solid raportat la un sistem de axe ortogonal 119909119874119910119911
figura 35 după deformarea corpului un punct oarecare 119870 al acestuia se deplasează icircn
poziţia 1198701 vectorul 1198701198701 poartă numele de vectorul deplasării totale
Deplasarea totală este suma deplasărilor pe cele trei direcţii ortogonale iar
aceste deplasări se notează astfel
deplasarea pe direcţia 119909 cu ∥ 119874119909
deplasarea pe direcţia 119910 cu ∥ 119874119910
deplasarea pe direcţia 119911 cu ∥ 119874119911
Componentele deplasărilor și formeză matricea deplasărilor liniare 119906119907119908
322 Deformații
Prin deformație icircn general se icircnțelege orice schimbare de formă a unui corp fără
o evaluare cantitativă Icircn Rezistența Materialelor deformația măsoară variația
dimensiunilor geometrice ale corpului considerat din vecinătatea unui punct analog
deplasărilor deformațiile pot fi liniare și unghiulare (lunecări)
Fig 36 Deplasarea liniară
Deformația liniară ∆119897 reprezintă variația lungimii 119897 a unui element liniar al
corpului deformat figura 36 Deformația liniară specifică se definește ca fiind raportul
dintre deformația liniară și lungimea inițială
휀 =∆119897
119897 (38)
unde ∆119897 este lungirea sau scurtarea care este echivalentă cu deformția liniară totală iar
este alungirea
Deformația unghiulară sau lunecarea unui punct 119860 icircn planul 119861119860119862 se definește
prin relația figura 37
120574 = lim119861119860rarr0119862119860rarr0
(119861119860 minus 119861111986011198621 ) (39)
Fig 36 Deformația unghiulară
Schimbacircnd orientarea planului care trece prin 119860 se obțin alte deformații
unghiulare Dacă elementele liniare 119861119860 și 119862119860 sunt inițial perpendiculare deformația 120574 se
numește deformație unghiulară specifică sau lunecare specifică figura 37
Un exemplu de deplasare unghiulară și de deformație unghiulară este prezentat icircn
figura 38 Unghiul este deplasarea unghiulară și măsoară rotirea relativă dintre două
secțiuni aflate la distanța 119897 Unghiul este deformația specifică unghiulară (lunecarea
specifică) din punctul 119870 Aceste deplasări și deformații se obțin icircn urma solicitării barei
de către cele două momente 1198720 egale și de sens contrar
Fig 38 Deplasarea unghiulară
Pentru a analiza starea de deformație din vecinătatea unui punct al unui corp
solicitat complex se decupează din jurul punctului un element de volum mic figura 39a
avacircnd laturile 119889119909 119889119910 și 119889119911 Ca urmare a solicitării laturile acestuia se vor lungi sau
scurta Reprezentarea elementului deformat icircn spațiu este dificilă pentru simplificare
vom analiza doar deformațiile din planul 119909119874119910 Observăm că dimensiunile 119889119909 și 119889119910 s-au
modificat cu valoarea ∆119889119909 respectiv cu ∆119889119910 analog se acceptă și pentru 119889119911 o modificare
de forma ∆119889119911 Astfel se pot defini deformațiile specifice liniare
휀119909 =∆119889119909
119889119909 휀119910 =
∆119889119910
119889119910 휀119911 =
∆119889119911
119889119911 (310)
De cele mai multe ori aceste deformații specifice liniare se pot exprima procentual
și se mai numesc alungiri
Fig 39 Starea de deformație
Icircn figura 39c se vede că unghiul inițial drept dintre muchiile 119889119909 și 119889119910 ale
elementului de volum s-a modificat Se definește deformația specifică unghiulară (sau
lunecarea specifică) mărimea cu care se modifică unghiul inițial drept
120574119909119910 = 120574119909119910prime + 120574119910119909
prime = 120574119910119909120574119910119911 = 120574119910119911
prime + 120574119911119910prime = 120574119911119910
120574119911119909 = 120574119911119909prime + 120574119909119911
prime = 120574119909119911
(311)
Deformațiile 휀119909 휀119910 휀119911 120574119909119910 120574119910119911 120574119911119909 constituie cele șase componente
independente ale tensorului deformațiilor specifice care pot fi scrise de forma
119863 =
휀119909 120574119909119910 120574119909119911120574119910119909 휀119910 120574119910119911120574119911119909 120574119911119910 휀119911
(312)
323 Contracţia transversală
Practica arată că odată cu lungirea unei bare apare o micşorare a mărimii secţiunii
transversale mărime numită contracţie transversală figura 310
Fig 310 Contracția transversală
Contracţia transversală este proporţională cu lungirea specifică coeficientul de
proporţionalitate se notează cu 120599 şi se numeşte coeficient de contracţie transversală sau
coeficientul lui Poisson
La o lungire specifică a barei contracţia transversală este dată de relația
휀119905119903 = 휀119910 = 휀119911 = minus120599 ∙ 휀119909 (313)
Semnul minus bdquo-rdquo arată că cele două mărimi sunt contrare dacă una creşte cealaltă
scade şi invers
Considerăm o bară cilindrică de lungime 119897 şi aria secţiunii transversale 119860 solicitată
la icircntindere axială La un moment dat datorită solicitării lungimea barei devine
[119897 ∙ (1 + 휀)] diametrul devine [119889 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)] iar aria secţiunii transversale devine
[119860 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)2] Dacă volumul barei icircnainte de solicitare a fost (119860 ∙ 119897) după solicitare
acesta devine
119881 + ∆119881 = 119860 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)2 ∙ 119897 ∙ (1 + 휀) =
= 119860 ∙ 119897 ∙ (1 + 휀 minus 2 ∙ 120599 ∙ 휀 minus 2 ∙ 120599 ∙ 휀2 + 1205992 ∙ 휀2 + 1205992 ∙ 휀3) (314)
Deoarece lungirile sunt foarte mici ultimii trei termeni din paranteză fiind infinit mici se pot neglija obţinacircnd
119881 + ∆119881 = 119860 ∙ 119897 + 119860 ∙ 119897 ∙ 휀 ∙ (1 minus 2 ∙ 120599) ⟺ ∆119881 = 휀 ∙ (1 minus 2 ∙ 120599) ∙ 119860 ∙ 119897 (315)
Practica arătă că o astfel de bară solicitată la icircntindere icircşi măreşte volumul deci
∆119881 gt 0 de unde rezultă că
1 minus 2 ∙ 120599 gt 0 rArr 120599 lt 05 (316)
Pentru majoritatea materialelor 120599 = 033 iar pentru materialele care-şi păstrează
volumul constant 120599 = 05
33 Relaţii de echivalenţă icircntre eforturi şi tensiuni
Considerăm un element de suprafață infinit mic 119889119860 situat pe fața de arie (119860) a
secțiunii barei din figura 311 Icircn centrul de greutate 119862 al secțiunii acționează eforturile
119873 119879119910 119879119911 119872119909 119872119894119910 și 119872119894119911 determinate prin metoda secțiunilor
Icircn raport cu un sistem de axe de referință 119909119862119910119911 coordonatele elementului 119889119860 sunt
- 119910 este ordonata elementului de arie 119889119860
- 119911 este abscisa elementului de arie 119889119860
Pe elementul de arie 119889119860 acționează tensiunile
120590119909 tensiunea normală
120591119909119910 și 120591119909119911 tensiuni tangențiale
Dacă se icircnsumează forțele elementare de tipul 120590119909 ∙ 119889119860 120591119909119910 ∙ 119889119860 și 120591119909119911 ∙ 119889119860
va trebui să obținem eforturile 119873 119879119910 și 119879119911
Fig 311 Element de suprafață mic din secțiunea unei bare
Dacă eforturile sunt privite ca forțe exterioare și se scriu ecuațiile de
echilibru ale secțiunii (119860) se vor obține șase relații de echivalență icircntre eforturi și
tensiuni
(sum119883) = 0 rArr int 120590119909 ∙ 119889119860
119860
= 119873 (317)
(sum119884) = 0 rArr int 120591119909119910 ∙ 119889119860
119860
= 119879119910 (318)
(sum119885) = 0 rArr int 120591119909119911 ∙ 119889119860
119860
= 119879119911 (319)
(sum119872)119909= 0 rArr int(120591119909119911 ∙ 119889119860) ∙ 119910
119860
minus int(120591119909119910 ∙ 119889119860) ∙ 119911
119860
= 119872119909 rArr
rArr int(119910 ∙ 120591119909119911 minus 119911 ∙ 120591119909119910) ∙ 119889119860
119860
= 119872119909
(320)
(sum119872)119910= 0 rArr int(120590119909 ∙ 119889119860) ∙ 119911
119860
= 119872119894119910 (321)
(sum119872)119911= 0 rArr int(120590119909 ∙ 119889119860) ∙ 119910
119860
= 119872119894119911 (322)
Cele șase relații de echivalență icircntre eforturi și tensiuni constituie un pas icircnainte
icircn rezolvarea unei probleme de rezistența materialelor Aceste relații vor permite
determinarea tensiunilor maxime
Pentru a rezolva cele 6 relații de echivalență trebuie să se cunoască tensiunile și
ca funcții de punct adică funcții de forma
120590119909 = 120590119909(119909 119910 119911) 120591119909119910 = 120591119909119910(119909 119910 119911) 120591119909119911 = 120591119909119911(119909 119910 119911) (32
3)
Cunoașterea acestor funcții presupune icircnsă analizarea aspectului geometric al
problemei precum și utilizarea unor ipoteze simplificatoare care să permită simplificarea
problemelor
34 Ipoteze de bază icircn rezistenţa materialelor
Depășirea dificultăților legate de interpretarea unor fenomene specifice mecanicii
solidului deformabil a impus acceptarea unor ipoteze care să simplifice fenomenele și să
contribuie la elaborarea unor modele de calcul cicirct mai generale și cacirct mai simple Aceste
ipoteze se referă la structura materialelor şi la comportarea lor sub acţiunea forţelor
exterioare Ipotezele acceptate trebuie să fie icircn deplină concordanţă cu realitatea și să
conducă la rezultate verificate icircn practică
Funcție de aspectele la care se referă ipotezele pot fi
Ipoteze fizice (de material)
Ipoteze de calcul
341 Ipoteze fizice
Se acceptă deoarece teoriile structurale au condus la rezultate care contravin
icircncercărilor experimentale
Ipoteza mediului continuu consideră că orice domeniu elementar al corpului
este ocupat de materie adică nu se acceptă existența unor goluri sau a unor crăpături
microscopice (fisuri) Deși nu corespunde realităţii poate fi acceptată deoarece
dimensiunile corpului sunt mult mai mari decacirct dimensiunile particulelor elemantare Are
avantajul că permite utilizarea proprietăților matematice ale funcțiilor continue pentru
tensiunile și deformațiile din orice punct al corpului Ea este mai apropiată de realitate la
corpurile amorfe şi mai depărtată la cele cristaline dar conduce la rezultate satisfăcătoare
icircn calculele de rezistenţă
Ipoteza nu se poate aplica la corpurile care au goluri tăieturi (multiplu conexe)
pentru unele puncte singulare icircn care tensiunile și deformațiile tind la infinit sau icircn unele
probleme de plasticitate icircn care proprietățile de material au un rol esențial
Ipoteza izotropiei conform acestei ipoteze materialul din care este confecționat
un element de rezistență are aceleași proprietăți după orice direcție un astfel de material
este considerat izotrop Din punct de vedere macroscopic metalele pot fi considerate
izotrope deși la nivel microscopic proprietățile lor diferă de la o direcție cristalografică
la alta Orice conglomerat de cristale poate fi considerat izotrop
Există cazuri cacircnd această ipoteză a izotropiei nu se acceptă
la metalele puternic deformate după o direcție (prin laminare trefilare)
la piesele confecționate din lemn lemnul este anizotrop deoarece proprietățile sale
diferă după două direcții (icircn lungul fibrelor și perpendicular pe această direcție)
Ipoteza omogenității consideră că un corp are aceleași proprietăți icircn orice
punct al său Deși majoritatea materialelor utilizate icircn tehnică sunt eterogene la scară
micro fiind constituite din mai multe faze cu proprietăți diferite la scară macro ele pot
fi considerate omogene Omogenitatea și izotropia sunt proprietăți statistice medii care
nu se condiționează una pe cealaltă Chiar și materialele monofazice pot avea la scară
micro unele segregații care le fac eterogene
Ipoteza elasticităţii perfecte presupune că atacircta timp cacirct solicitările nu
depăşesc anumite limite materialul are o comportare elastică adică icircşi recapătă forma şi
dimensiunile iniţiale odată cu icircnlăturarea sarcinilor Icircn realitate materialele nu prezintă o
elasticitate perfectă ele avacircnd deformaţii remanente mici care icircnsă pot fi neglijate icircn
calculele de rezistenţă
Acceptarea acestei ipoteze a elasticității perfecte permite
- aplicarea relației biunivoce icircntre tensiuni și deformații relație exprimată de legea
lui Hooke ( = 119864 ∙ 휀) unde E este un factor de proporţionalitate numit modul de
elasticitate longitudinal al materialului pentru oţel 119864 = 21 ∙ 105 [119872119875119886] - acceptarea valabilității afirmației bdquolucrul mecanic efectuat de forțele exterioare
ca urmare a parcurgerii deplasărilor punctelor de aplicație se icircnmagazinează integral icircn
corp sub formă de energie de deformație energie cedată la icircndepărtarea sarcinilorrdquo
- este valabilă teoria conform căreia bdquoenergia icircnmagazinată și deformațiile depind
doar de starea inițială și finală de eforturi fără a ține cont de modul icircn care s-a ajuns la
starea finalărdquo
Icircn realitate oricacirct de mici ar fi sarcinile aplicate se produc și deformații plastice
dar acestea pot fi neglijate dacă solicitarea nu depășește anumite limite
342 Ipoteze de calcul
Ipoteza micilor deplasări bdquodeplasările datorate deformării sunt mult mai mici
decacirct dimensiunile corpurilor și ca urmare pot fi neglijate produsele dintre o deplasare și
ea icircnsăşirdquo Pentru cele mai multe corpuri deformaţiile elastice sunt de mărimi mici deci
corpurile solide sub acţiunea sarcinilor icircşi modifică foarte puţin forma iniţială Această
ipoteză este cunoscută şi sub denumirea de ipoteza menţinerii dimensiunilor iniţiale Ea
permite scrierea ecuaţiilor de echilibru ale staticii pe starea nedeformată a elementului
cacircnd nu se iau icircn considerare deplasările punctelor de aplicaţie ale forţelor care se produc
ca urmare a deformării acestuia Calculul efectuat pe schema nedeformată poartă numele
de calcul de ordinul I
Ipoteza micilor deplasări nu poate fi acceptată pentru studiul problemelor de
stabilitate sau la problemele la care nu pot fi icircndeplinite condiţiile de echilibru icircn starea
nedeformată
Calculul de ordinul II admite ipoteza micilor deplasări dar ecuaţiile de echilibru
se scriu icircnsă pentru starea deformată a elementului de rezistenţă
Calculul de ordinul III nu mai acceptă ipoteza micilor deplasări el referindu-se
la cazul deformaţiilor mari cacircnd ecuaţiile de echilibru trebuie scrise pentru starea
deformată
Chiar dacă materialul satisface legea lui Hooke icircn urma calculelor de ordinul II
se obţin de obicei relaţii neliniare icircntre sarcini şi deplasări iar pentru calculul de ordinul
III rezultă ecuaţii diferenţiale neliniare
Principiul efectului local al acțiunii sarcinilor enunțat de Barre de Saint-
Venant Acest principiu destul de folosit icircn Rezistenţa Materialelor precizează că dacă
se icircnlocuiesc forţele care acţionează asupra unui element de suprafață al unui corp
elastic printr-un alt sistem de forţe echivalent din punct de vedere static cu primul noua
distribuţie a forţelor produce la locul de aplicare diferenţe semnificative faţă de prima
dar rămacircne fără efect sau cu efect neglijabil la distanţe mari de locul de aplicare al
forţelor figura 312
Ca o cosecință o sarcină uniform distribuită figura 312a poate fi icircnlocuită cu
rezultanta ei figura 312b dacă se analizează efectul sarcinii la distanță mare de locul icircn
care se aplică sarcina
Fig 312 Principiul Saint-Venant
Icircn prima variantă figura 312a forţa 119865 se aplică pe o porțiune oarecare 119897 (sarcină
uniform distribuită) iar icircn a doua figura 312b icircntru-un punct (forţă concentrată) La
locul de aplicare a sarcinii efectul asupra barei este cu totul diferit de la o variantă la
cealaltă Icircnsă la o distanţă mare de punctul de aplicaţie spre exemplu icircn secţiunea situată
la distanţa 119886 de capătul barei sau chiar icircn icircncastrare ambele bare sunt solicitate la fel
Icircn cazul din figura 312a
119872119894(119909) =119901 ∙ 1199092
2 119909 le 119897 119872119894(119909) = 119901 ∙ 119897 ∙ (119909 minus
119897
2) 119909 gt 119897 (324)
Icircn cazul din figura 312b
119872119894(119909) = 0 119909 lt119897
2 119872119894(119909) = 119901 ∙ 119897 ∙ (119909 minus
119897
2) 119909 gt
119897
2 (325)
Se vede că pentru (119909 gt 119897) adică după depășirea locului icircn care se aplică sarcina
efectul este același
Ipoteza lui Bernoulli sau ipoteza secţiunilor plane precizează că o secţiune
plană şi normală pe axa barei icircnainte de deformare rămacircne plană şi normală pe axa
barei şi după deformare figura 313
Fig 313 Ipoteza lui Bernoulli
Ipoteza stării naturale a corpului sau ipoteza absenţei tensiunilor conform
căreia pentru un corp nesolicitat starea de tensiune şi deformaţie este nulă
Perfecţionarea mijloacelor de calcul şi de investigare pot conduce la renunţarea la
unele ipoteze sau la introducerea altora noi mai aproape de stările reale De aici rezultă
caracterul de continuă perfecţionare a metodelor Rezistenţei Materialelor
35 Coeficienţi de siguranţă Tensiuni admisibile
O piesă corespunde din punct de vedere tehnic dacă tensiunile care iau naştere icircn
interiorul piesei datorită sarcinilor aplicate nu depăşesc anumite valori limită stabilite
convenţional Aceste valori limită ale tensiunii sunt corelate cu caracteristicile mecanice
ale materialelor
Tensiunea limită utilizată icircn calculele de rezistenţă este cunoscută sub denumirea
de tensiune admisibilă sau rezistenţă admisibilă Rezistenţa admisibilă reprezintă
valoarea convenţională aleasă icircn calcul pe baza practicii pentru tensiunea maximă care
poate apare icircntr-o piesă icircn condiţii date de material şi solicitare
Rezistenţa admisibilă (120590119886 sau 120591119886) poate fi definită faţă de o stare limită
periculoasă stare care trebuie evitată deoarece poate conduce distrugere
120590119886 =120590119897119894119898119888
(326)
unde
120590119897119894119898 este tensiunea corespunzătoare stării limită periculoase
119888 estesupraunitar 119888 gt 1 și reprezintă coeficientul de siguranţă faţă de starea limită
periculoasă considerată
Alegerea unor valori inferioare pentru rezistenţa admisibilă faţă de tensiunea
corespunzătoare stării limită periculoase este necesară deoarece
cunoaşterea sarcinilor este de cele mai multe ori aproximativă şi o depăşire a
acestora este foarte posibilă
caracteristicile mecanice ale materialelor variază icircn limite destul de mari ele
fiind influenţate de mulţi factori
schema aleasă pentru calcul (aplicarea sarcinilor schematizarea structurii
ipotezele de calcul etc) depărtează modelul faţă de cel real
Pentru calculele de verificare tensiunea efectivă maximă din elementul de
rezistenţă trebuie să fie mai mică sau cel mult egală cu cea admisibilă
120590119890119891119898119886119909 le 120590119886 (327)
Valoarea rezistenţei admisibile este influenţată de foarte mulţi factori natura
materialului tratamentele termice aplicate piesei durata de funcţionare a piesei modul
de acţionare icircn timp a sarcinilor felul solicitării temperatura gradul de periculozitate
icircn cazul cedării piesei etc
De asemenea valoarea coeficientului de siguranţă se alege icircn principal ţinacircnd
seama de aceiaşi factori care influenţează şi rezistenţa admisibilă
Rezistenţele admisibile pentru cacircteva materiale sunt următoarele
pentru oțelul de uz general OL37 solicitat la icircntindere compresiune sau
icircncovoiere 120590119886 = 150 [119872119875119886] pentru lemnul de brad solicitat la
- compresiune icircn lungul fibrelor şi solicitat la icircncovoiere 120590119886 = 10 [119872119875119886] - tracţiune icircn lungul fibrelor 120590119886 = 7 [119872119875119886] - compresiune perpendiculară pe fibre 120590119886 = 15 [119872119875119886] - forfecare icircn lungul fibrelor 120591119886 = 2 [119872119875119886] - forfecare perpendiculară pe fibre 120590119886 = 45 [119872119875119886]
terenuri de fundaţie din pămacircnt uscat sau umed 120590119886 = 020 divide 025 [119872119875119886]
4 CARACTERISTICI GEOMETRICE ALE SECȚIUNILOR PLANE
41 Noţiuni introductive
Icircn relaţiile de calcul ale tensiunilor şi deformaţiilor elementelor de rezistenţă
pentru unele solicitări (icircncovoierea și torsiunea) secțiunile plane intervin atacirct prin
dimensiunile lor (aria 119860) cicirct și prin forma și poziția pe care o are secțiunea icircn raport cu
planul solicitării Mărimile care caracterizează o secțiune icircn raport cu forma și poziția față
de axele unui sistem de referință sunt denumite caracteristici geometrice de ordin
superior Aria secțiunii este caracteristica geometrică ce depinde doar de dimensiunile
geometrice ale acesteia
Să considerăm o grindă solicitată de o forță exterioară 119865 aşezată icircn două poziții icircn
raport cu planul forţei figura 41 Icircn urma aplicării forței deși avem aceeași grindă
(aceeași arie a secțiunii transversale) și aceeași forță se constată că pentru varianta din
figura 41a deformațiile sunt mult mai mari adică rezistența la icircncovoiere a grinzii din
figura 41a este mai mare decacirct icircn cazul grinzii din figura 41b Comportarea diferită se
explică prin aceea că modificarea poziţiei secţiunii transversale faţă de planul forţelor
modifică caracteristicile geometrice ale secţiunii transversale a grinzii
Fig 41 Grindă solicitată de forța 119865
Pentru realizarea calculelor de rezistenţă şi rigiditate este foarte importantă
cunoaşterea caracteristicilor geometrice ale suprafeţei secţiunii transversale a elementelor
de rezistenţă
Caracteristicile geometrice ale secţiunii transversale a unui element de rezistenţă
sunt
- aria secțiunii notată cu 119860
- momentul static icircn raport cu o axă notat 119878119911 și respectiv 119878119910
- momentul de inerție care poate fi
axial notat 119868119911 și respectiv 119868119910
centrifugal notat 119868119911119910
polar notat 119868119901
- raza de inerţie (giraţie)notată 119894119911 și respectiv 119894119910
- modulul de rezistență care poate fi
axial notat 119882119911 și respectiv 119882119910
polar notat 119882119901
42 Aria și momentul static al suprafețelor plane
Fie o suprafaţă plană de arie 119860 pe care se ia un element infinit mic de arie 119889119860 şi
un sistem de axe rectangulare 119911119874119910 figura 42 Notăm cu 119862 centrul de greutate al suprafeţei
119860 Poziţia suprafeţei elementare 119889119860 faţă de acelaşi sistem de coordonate 119911119874119910 este dată
de abscisa 119911 ordonata 119910 și raza polară
Fig 42 Suprafață plană de arie 119860
Aria suprafeţei 119860 figura 42 se defineşte ca fiind
119860 ≝ int 119889119860
119860
(41)
Aria suprafeţei este icircntotdeauna pozitivă și se măsoară icircn [1198981198982] Momentul static al suprafeţei de arie 119860 icircn raport cu axele 119874119911 și respectiv 119874119910
figura 42 sunt date de relaţiile
119878119911 ≝ int 119910 ∙ 119889119860
119860
119878119910 ≝ int 119911 ∙ 119889119860
119860
(42)
Momentul static poate fi pozitiv negativ sau nul şi se măsoară icircn [1198981198983] Coordonatele centrului de greutate ale suprafeței 119860 se detrmină cu relațiile
119910119862 ≝int 119910 ∙ 119889119860119860
119860 119911119862 ≝
int 119911 ∙ 119889119860119860
119860
(43)
Cunoscacircnd coordonatele 119910119862 și 119911119862 ale centrului de greutate 119862 al secțiunii 119860 atunci
momentele statice se pot determina cu relațiile
119878119911 ≝ int 119910 ∙ 119889119860
119860
= 119910119862 ∙ 119889119860 119878119910 ≝ int 119911 ∙ 119889119860
119860
= 119911119862 ∙ 119889119860 (44)
Aceste relații arată că momentul static al unei suprafețe icircn raport cu o axă este
egal cu produsul dintre aria suprafeței și distanța de la centrul ariei la axa respectivă
Dacă suprafaţa se poate descompune icircn 119899 suprafeţe simple la care se cunosc ariile
(1198601 1198602 ⋯ 119860119894⋯ 119860119899) și poziţiile centrelor de greutate 119862119894 faţă de sistemul de referinţă
expresiile momentelor statice capătă următoarea formă
119878119911 = sum 119910119862119894 ∙ 119860119894119899119894=1 = 119910119862 ∙ 119860 119878119910 = sum 119911119862119894 ∙ 119860119894
119899119894=1 = 119911119862 ∙ 119860 (45)
Din relaţiile (45) rezultă că poziţia centrului de greutate 119862 al unei suprafeţe
compuse poate fi determinată cu relaţiile
119910119862 = (sum119910119862119894 ∙ 119860119894
119899
119894=1
) 119860frasl 119911119862 = (sum119911119862119894 ∙ 119860119894
119899
119894=1
) 119860frasl (46)
Icircn relația (45) 119910119862119894 și respectiv 119911119862119894 reprezintă coordonatele centrelor de greutate 119862119894
ale fiecărei suprafețe simple 119860119894 icircn raport sistemul de axe 119911119874119910
Se constată (relaţia 42) că dacă axele sistemului de referinţă trec prin centrul de
greutate (119910119862 = 119911119862 = 0) momentele statice sunt nule Axele icircn raport cu care momentele
statice sunt nule şi care trec prin centrul de greutate al suprafeţei se numesc axe centrale
Observație dacă secțiunea compusă are o axă de simetrie centrul secțiunii se
găsește pe acea axă iar dacă secțiunea este dublu simetrică poziția centrului secțiunii este
la intersecția axelor de simetrie
43 Momente de inerţie
Momentele de inerţie axiale ale unei suprafețe se calculează icircn raport cu axele de
coordonate 119874119911 și respectiv 119874119910 figura 42 și se determină cu relațiile
119868119911 ≝ int 1199102 ∙ 119889119860
119860
119868119910 ≝ int 1199112 ∙ 119889119860
119860
(47)
Unde 119910 și 119911 sunt distanțele de la elementul de arie 119889119860 la cele două axe de
coordonate 119874119911 și respectiv 119874119910
Momentele de inerţie axiale se măsoară icircn [1198981198984] şi sunt icircntotdeauna pozitive (aria
119889119860 este icircntotdeauna pozitivă și este multiplicată cu patratul distanței 1199102 dacă 119868119911 sau 119868119910
sunt nule icircnseamnă ca secțiunea nu există)
Momentele de inerție axiale se calculează icircndeosebi pentru axele centrale (care
trec prin centrul secțiunii) deoarece icircn raport cu acele axe 119868119911 și 119868119910 au valori minime
Momentul de inerţie centrifugal calculat faţă ambele axe ale sistemului de
referinţă 119911119874119910 este definit de relația
119868119911119910 ≝ int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860
(48)
Momentul de inerţie centrifugal se măsoară icircn [1198981198984] şi poate fi pozitiv negativ
sau nul
Momentul de ineție centrifugal este nul 119868119911119910 = 0 dacă cel puțin una din axele 119874119911
sau 119874119910 este axă de simetrie pentru secțiune
Se consideră o suprafaţă dreptunghiulară pe care faţă de axa de simetrie 119874119910 se iau
două suprafeţe elementare de arie 119889119860 simetrice faţă de axa 119874119910 figura 43
Fig 43 Suprafață dreptunghiulară cu două arii elementare 119889119860
Făcacircnd suma momentelor de inerţie centrifugale pentru cele două suprafeţe
elementare 119889119860 (din stacircnga şi din dreapta faţă de axa 119874119910) se obţine
int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860119889119903
+ int (minus119911) ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860119904119905119892
= int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860119889119903
minus int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860119904119905119892
= 0 (49)
Acelaşi raţionament se poate face și pentru icircntreaga suprafaţă de unde obținem că
momentul de inerție centrifugal este nul 119868119911119910 = 0 Deci pentru o suprafaţă plană care
are cel puţin o axă de simetrie momentul de inerţie centrifugal faţă de sistemul care
conţine acea axă de simetrie este nul
Momentul de inerţie polar al unei suprafeţei icircn raport cu un punct (pol) 119874 figura
42 este definit prin relaţia
1198680 = 119868119901 ≝ int 1205882 ∙ 119889119860
119860
= int(1199102 + 1199112) ∙ 119889119860
119860
= 119868119911 + 119868119910 (410)
unde este distanţa de la polul 119874 la elementul de arie 119889119860 Momentul de inerţie polar se
măsoară icircn [1198981198984] şi este totdeauna pozitiv
Momentul de inerţie polar este egal cu suma momentelor de inerţie faţă de două axe
perpendiculare oarecare şi care trec prin polul considerat
Razele de giraţie sau razele de inerţie sunt mărimi calculate icircn raport cu axele
secțiunii și definite de relaţiile
119894119911 ≝ radic119868119911119860 119894119910 = radic
119868119910
119860 (411)
Se exprimă icircn [119898119898] şi sunt icircntotdeauna pozitive Semnificația unei raze de inerție
este distanța la care dacă ar fi concentrată icircntreaga arie s-ar obține același moment de
inerție ca și cel calculat pentru aria reală
44 Modulul de rezistenţă
Modulul de rezistență se calculează icircn raport cu axele de referință sau icircn raport cu
un pol figura 42 și pot fi axiale (119882119911119882119910) sau polar (119882119901) și se determină numai pe baza
momentelor de inerţie cu relațiile figura 43
119882119911119898119894119899 ≝119868119911119910119898119886119909
119882119911119898119886119909 ≝119868119911119910119898119894119899
(412)
119882119910119898119894119899 ≝119868119910
119911119898119886119909 119882119910119898119886119909 ≝
119868119910
119911119898119894119899 (413)
119882119901 ≝119868119901
120588119898119886119909 (414)
unde
119910119898119886119909 119910119898119894119899 reprezintă distanţa de la axa 119874119911 la punctele extreme cele mai
depărtate respectiv cele mai apropiate ale suprafeţei de această axă
119911119898119886119909 119911119898119894119899 reprezintă distanţa de la axa 119874119910 la punctele extreme cele mai
depărtate respectiv cele mai apropiate ale suprafeţei de această axă
120588119898119886119909 reprezintă distanța maximă de la polul 119874 la punctul secțiunii cel mai
icircndepărtat de acesta
Fig 43 Suprafață dreptunghiulară cu două arii elementare 119889119860
Modulele de rezistenţă se exprimă icircn [1198981198983] şi sunt icircntotdeauna pozitive
Explicația este aceea că momentele de inerție care intră icircn relațiile de definiție sunt
pozitive iar distanțele la punctele extreme sunt pozitive (119910119898119886119909 119910119898119894119899 119911119898119886119909 119911119898119894119899 120588119898119886119909 se
iau icircn valoare absolută)
Icircn cazul suprafeţelor compuse modulul de rezistenţă nu se obţine prin icircnsumarea
algebrică a modulelor de rezistenţă ale suprafeţelor simple componente ci numai prin
intermediul momentului de inerţie axial calculat pentru icircntreaga secțiune
Ca și momentele de inerție modulele de rezistență se calculează numai pentru
sistemele de axe centrale
45 Momente de inerţie şi module de rezistenţă pentru suprafeţe simple
451 Secțiune dreptunghiulară
Fie suprafaţa dreptunghiulară din figura 44 de icircnălțime ℎ și lățime 119887 pe care se
consideră suprafaţă elementară de arie 119889119860 = 119887119889119910 la distanța 119910 de axa 119862119911 sistemul de
axe 119911119862119910 trece prin centrul secțiunii iar axele sunt axe de simetrie pentru dreptunghi
Fig 44 Suprafață dreptunghiulară
Pe baza relațiilor de definiți a momentului de inerție 119868119911 se obține
119868119911 ≝ int 1199102 ∙ 119889119860
119860
= int 1199102 ∙ 119887 ∙ 119889119910 = 2int 1199102 ∙ 119887 ∙ 119889119910 = 2 ∙ 119887 ∙1199103
3|ℎ 2frasl
0rArr
ℎ 2frasl
0
ℎ 2frasl
minusℎ 2frasl
rArr 119868119911 =119887 ∙ ℎ3
12
(415)
Analog pentru un element de arie 119889119860 = ℎ ∙ 119889119911 paralel cu axa 119862119910 situat la distanța
119911 de axa 119862119910
119868119910 ≝ int 1199112 ∙ 119889119860
119860
= int 1199112 ∙ ℎ ∙ 119889119911 = 2int 1199112 ∙ ℎ ∙ 119889119910 = 2 ∙ ℎ ∙1199113
3|119887 2frasl
0rArr
119887 2frasl
0
119887 2frasl
minus119887 2frasl
rArr 119868119910 =1198873 ∙ ℎ
12
(416)
Deoarece axele 119862119911 și 119862119910 sunt axe de simetrie momentul de inerție centrifugal este
119868119911119910 = 0 (417)
Pentru un pătrat avacircnd laturile egale (ℎ = 119887 = 119886) momentele de inerţie faţă de
axele centrale au expresia
119868119911 = 119868119910 =1198864
12 (418)
Modulele de rezistență axiale se calculează cu relațiile de definiție ținacircnd cont că
distanțele pacircnă la fibrele extreme sunt
119910119898119886119909 = 119910119898119894119899 =ℎ
2 119911119898119886119909 = 119911119898119894119899 =
119887
2 (419)
Obținem
119882119911119898119894119899 = 119882119911119898119886119909 =119868119911
119910119898119886119909119898119894119899=119887 ∙ ℎ3
12frasl
ℎ2frasl
=119887 ∙ ℎ2
6
119882119910119898119894119899 = 119882119910119898119886119909 =119868119910
119911119898119886119909119898119894119899=1198873 ∙ ℎ
12frasl
1198872frasl
=1198872 ∙ ℎ
6
(420)
452 Suprafaţă circulară
Din motive de simetrie pentru suprafeţele circulare momentele de inerţie faţă de
orice diametru (care reprezintă şi axe centrale) sunt aceleaşi
Considerăm o secțiune circulară plină cu diametrul 119889 și centrul de greutate 119862 Prin
centrul de greutate 119862 trece sistemul de axe ortogonal 119911119862119910 figura 45
Fig 45 Suprafață circulară
La distanța de centrul de greutate 119862 vom lua un element de suprafață mic de arie
(119889119860) de forma unui inel de grosime 119889 Elementul de arie 119889119860 are expresia
119889119860 = (2 ∙ 120587 ∙ 120588) ∙ (119889120588)
Pornind de la relația de definiție a momentului de inerție polar obținem
119868119901 ≝ int 1205882 ∙ 119889119860
119860
= int 1205882 ∙ (2 ∙ 120587 ∙ 120588) ∙ 119889120588
119903=119889 2frasl
0
= 2 ∙ 120587 ∙1205884
4|119889 2frasl0 rArr
rArr 119868119901 =120587 ∙ 1198894
32
(421)
Secțiunea este perfect simetrică deci sunt valabile relațiile
119868119911 = 119868119910 rArr 119868119901 = 119868119911 + 119868119910 = 2 ∙ 119868119911 = 2 ∙ 119868119910 =119868119901
2=120587 ∙ 1198894
64 (422)
Și modulele de rezistenţă faţă de orice diametru sunt egale şi se calculează cu
relaţiile
119882119911 = 119882119910 =1198681199111198892frasl=120587 ∙ 1198893
32 (423)
Modulul de rezistenţă polar este
119882119901 =1198681199011198892frasl=120587 ∙ 1198893
16 (424)
453 Secţiune inelară
Calculul momentelor de inerţie axiale pentru o secţiune inelară avacircnd diametrul
interior 119889 şi diametrul exterior 119863 se determină analog pentru suprafaţa circulară plină cu
observaţia că integrala pentru calculul momentului de inerție polar 119868119901 se face icircntre
limitele 119903 = 119889 2frasl şi R= 1198632frasl (icircntre raza interioară 119903 şi raza exterioară 119877) figura 46
Se obţin relaţiile
119868119901 =120587 ∙ 1198634
32∙ [1 minus (
119889
119863)4
] =120587 ∙ 1198634
32∙ (1 minus 1198964) (425)
119868119910 = 119868119910 =120587 ∙ 1198634
64∙ [1 minus (
119889
119863)4
] =120587 ∙ 1198633
64∙ (1 minus 1198964) (426)
Fig 46 Secțiune inelară
119882119901 =120587 ∙ 1198633
16∙ [1 minus (
119889
119863)4
] =120587 ∙ 1198633
16∙ (1 minus 1198964) (427)
119882119911 = 119882119910 =120587 ∙ 1198633
32∙ [1 minus (
119889
119863)4
] =120587 ∙ 1198633
32∙ (1 minus 1198964) (428)
unde 119896 = 119889119863frasl
46 Variaţia momentelor de inerţie faţă de axe paralele
( Relațiile lui STEINER)
Se consideră o suprafaţă oarecare de arie 119860 cu elementul de arie 119889119860 și un sistemul
de axe central 119911119862119910 faţă de care se cunosc momentele de inerţie 119868119911 119868119910 119868119911119910 şi considerăm
un sistem de axe 11991111198741199101 paralele cu sistemul central figura 47 Se pune problema
determinării momentele de inerţie 1198681199111 1198681199101 11986811991111199101 faţă de sistemul de axe paralel cu sistemul
central 11991111198741199101 axe aflate la distanţele 119910119862 = 119888 respectiv 119911119862 = 119889 de acesta
461 Momente de inerţie axiale
Pe baza relaţiilor de definire şi a notaţiilor din figura 42 pentru momentele de
inerţie faţă de axele 1198741199111 1198741199101 se poate scrie
1198681199111 = int 11991012 ∙ 119889119860
119860
= int(119910 + 119888)2 ∙ 119889119860
119860
= int 1199102 ∙ 119889119860
119860
+ 2 ∙ 119888 ∙ int 119910 ∙ 119889119860
119860
+
+1198882int 119889119860
119860
rArr 1198681199111 = 119868119911 + 2 ∙ 119888 ∙ 119878119911 + 1198882 ∙ 119860 hArr 1198681199111 = 119868119911 + 119888
2 ∙ 119860
(429)
Fig 47 Variaţia momentelor de inerţie față de axe paralele
S-a ajuns la relația (429) deoarece momentul static 119878119911 este nul deoarece axa 119862119885
este axă centrală
Pentru momentul de inerție axial icircn raport cu axa 1198741199101 se obține
1198681199101 = int 11991112 ∙ 119889119860
119860
= int(119911 + 119889)2 ∙ 119889119860
119860
= int 1199112 ∙ 119889119860
119860
+ 2 ∙ 119889 ∙ int 119911 ∙ 119889119860
119860
+
+1198892 ∙ int 119889119860
119860
rArr 1198681199101 = 119868119910 + 2 ∙ 119889 ∙ 119878119910 + 1198892 ∙ 119860 hArr 1198681199101 = 119868119910 + 119889
2 ∙ 119860
(430)
Pentru momentul de inerție centrifugal obținem
11986811991111199101 = int 1199101 ∙ 1199111 ∙ 119889119860
119860
= int(119910 + 119888) ∙ (119911 + 119889) ∙ 119889119860
119860
= int 119910 ∙ 119911 ∙ 119889119860 +
119860
+119888 ∙ int 119911 ∙ 119889119860
119860
+ 119889 ∙ int 119910 ∙ 119889119860
119860
rArr 11986811991111199101 = 119868119911119910 + 119888 ∙ 119889 ∙ 119860
(431)
Deoarece
int 119911 ∙ 119889119860
119860
= 119878119910 = 0 int 119910 ∙ 119889119860
119860
= 119878119911 = 0 int 119910 ∙ 119911 ∙ 119889119860
119860
= 119868119911119910
Relaţiile (429) şi (430) arată că momentul de inerţie faţă de o axă oarecare
este egal cu momentul de inerţie faţă de o axă paralelă cu ea trecacircnd prin centrul de
greutate la care se adaugă produsul dintre aria suprafeţei şi pătratul distanţei dintre
cele două axe
Din relaţiile (429) și (430) rezultă de asemenea că momentul de inerţie faţă de o
axă centrală (care trece prin centrul de greutate) este cel mai mic dintre infinitatea de
momente de inerţie obținute faţă de alte axe paralele cu ea
Relaţia (431) arată de asemenea că momentul de inerţie centrifugal faţă de un
sistem de axe oarecare este egal cu momentul de inerţie centrifugal faţă de un sistem
paralele cu el trecacircnd prin centrul de greutate a suprafeţei la care se adaugă produsul
dintre aria suprafeţei şi distanţele dintre axele sistemelor respective
Icircn literatura de specialitate relaţiile (429) (430) şi (431) sunt cunoscute sub
numele de relaţiile lui Steiner
47 Variaţia momentrlor de inerţie faţă de axe rotite
Direcţii principale şi momente de inerţie principale
Fie suprafaţa plană din figura 48 de arie 119860 pe care considerăm o suprafaţă
elementară de arie 119889119860 Pentru sistemul de axe 119911119874119910 se cunosc momentele de inerţie
119868119911 119868119910 119868119911119910 şi vom determina relaţiile de calcul pentru momentele de inerţie afererent unui
sistem de axe 11991111198741199101 rotit cu un unghi faţă de sistemul central
Faţă de sistemul de axe 11991111198741199101 elementul de arie 119889119860 are coordonatele
1199101 = 119875119877 = 119875119876 minus 119877119876 = 119910 ∙ cos 120572 minus 119911 ∙ sin 120572
1199111 = 119873119872 = 119873119875 minus 119875119872 = 119911 ∙ cos 120572 + 119910 ∙ sin 120572 (432)
Fig 47 Variaţia momentelor de inerţie față de axe rotite
Pe baza relaţiilor de calcul ale momentelor de inerţie şi a notaţiilor din figura 42
şi ale relaţiilor (432) momentele de inerţie faţă de sistemul de axe rotit 11991111198741199101 sunt
1198681199111 =119868119911 + 119868119910
2+119868119911 minus 119868119910
2∙ cos 2120572 minus 119868119911119910 ∙ sin 2120572 (433)
1198681199101 =119868119911 + 119868119910
2minus119868119911 minus 119868119910
2∙ cos 2120572 + 119868119911119910 ∙ sin 2120572 (434)
11986811991111199101 =119868119911 minus 119868119910
2∙ sin 2120572 + 119868119911119910 ∙ cos 2120572 (435)
Din relaţiile 433divide435 se observă că icircntre momentele de inerţie axiale şi cele
polare există relaţia
1198681199111 + 1198681199101 = 119868119911 + 119868119910 = 119868119901 (436)
adică suma momentelor de inerţie axiale icircn raport cu orice pereche de axe ortogonale
care trec printr-un pol dat este o constantă şi egală cu momentul de inerţie polar
Prin rotirea sistemului de axe din relaţiile 433divide435 rezultă că momentele de inerţie
variază icircnsă suma lor rămacircne constantă deci există o poziţie a sistemului de axe pentru
care momentele de inerţie au valori extreme maxim respectiv minim
471 Direcţii principale de inerţie
Valoarea unghiului 120572 pentru care momentele de inerţie axiale au valori extreme
este
1205721 =1
2∙ 119886119903119888119905119886119899 (minus
2 ∙ 119868119911119910
119868119911 minus 119868119910) (437)
Poziţia celeilalte direcţii este perpendiculară pe cea dată de unghiul 1205721
Din relaţia (437) se constată că faţă de aceste direcţii rotite pentru care momentele
de inerţie axiale prezintă valori extreme momentul de inerţie centrifugal 11986811991111199101este nul
Atunci se poate afirma că momentele de inerţie axiale au valori extreme icircn raport cu
direcţiile faţă de care momentul de inerţie centrifugal este nul Aceste direcţii se numesc
direcţii principale iar momentele de inerţie faţă de aceste direcţii poartă numele de
momente de inerţie principale
Icircn calculele de rezistenţă interesează icircn mod special poziţia direcţiilor principale
care trec prin centrul de greutate al suprafeţei aşa numitele direcţii principale centrale şi
evident momentele de inerţie principale centrale
Direcţiile principale de inerţie se notează cu 1 respectiv 2 Axa principală 1
corespunde direcţiei faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea maximă iar
axa principală 2 pentru direcţia faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea
minimă
472 Momente de inerţie principale
Momentele de inerţie principale se notează cu litera 119868 la care se pune indicele 1
sau 2 după cum valoarea acestuia este maximă sau minimă deci avem un moment de
inerţie principal 1 (notat 1198681) respectiv moment de inerţie principal 2 (notat 1198682)
Expresiile pentru momentele de inerţie principale sunt
11986812 =119868119911 + 119868119910
2plusmn1
2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)
2+ 4 ∙ (119868119911119910)
2 (438)
Dacă momentul de inerţie centrifugal este negativ (119868119911119910 lt 0) direcţia principală
care trece prin primul cadran (definit de sistemul 119911119862119910) este direcţia principală 120783
Pentru suprafeţele cu cel puţin o axă de simetrie direcţiile centrale 119862119911 119862119910 sunt şi
direcții principale de inerţie și evident momentele de inerţie axiale 119868119911 119868119910 sunt momente
de inerţie principale
48 Caracteristici mecanice ale metalelor
Alegerea materialului pentru confecţionarea unei anumite piese se face şi pe baza
aşa numitelor caracteristici mecanice pe care le prezintă materialul Cunoaşterea acestor
caracteristici mecanice are loc numai pe baza unor icircncercări mecanice care să scoată icircn
evidenţă comportarea materialului icircn condiţii de solicitare
Cea mai utilizată icircncercare icircn urma căreia se pun icircn evidenţă caracteristicile
mecanice ale unui material este icircncercarea la tracţiune
481 Icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general
Icircncercarea la tracţiune a oţelului ca de altfel toate icircncercările de materiale este
standardizată
Icircn cele ce urmează se va prezenta numai partea care interesează strict din punct
de vedere al caracteristicilor mecanice ale oţelului
Epruveta de diametru iniţial 1198890 pentru icircncercarea la tracţiune are o porţiune de
lungime 1198710 numită baza de măsurare pe care se măsoară lungirea acesteia sub acţiunea
solicitării
Icircn funcţie de raportul dintre baza de măsurare 1198710 şi diametrul iniţial 1198890 epruvetele
utilizate pentru icircncercări sunt
epruvete normale (scurte) cacircnd 11987101198890 = 5
epruvete lungi cacircnd 11987101198890 = 10
Icircn timpul icircncercării la diferite valori ale forţei 119865 se măsoară lungirea bazei de
măsurare
∆119871 = 120575 = 119871 minus 1198710 (439)
unde
119871 este dimensiunea bazei de măsurare la un moment dat
Curba forţă-lungire (119865 minus ) icircnregistrată icircn urma icircncercării reprezintă curba
caracteristică la tracţiune
La icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general diagrama caracteristică care se
obţine are forma din figura 48
Curba caracteristică la tracţiune depinde de lungimea bazei de măsurare Pentru
icircnlăturarea acestui neajuns curba caracteristică se reprezintă icircn coordonate şi definite
astfel
120590 =119865
1198600 휀 =
120575
1198710 (440)
unde
1198600 este aria iniţială a secţiunii transversale a epruvetei (icircnainte de solicitare) icircn
zona bazei de măsurare
1198600 =120587 ∙ 1198890
2
4
Deoarece mărimile icircn care se reprezintă curba caracteristică la tracţiune sunt
raportate la aria iniţială a secţiunii transversale (mărimi specifice) curba poartă numele
de curbă caracteristică convenţională la tracţiune
Fig 48 Curba caracteristică convenţională la tracțiune
Pe curba caracteristică convenţională la tracţiune figura 48 se pot stabili o serie
de puncte cărora le corespund mai multe mărimi importante
Ordonata punctului A pacircnă unde curba caracteristică convenţională este linie
dreaptă se numeşte limita de proporţionalitate a materialului 120590119901(1205901) Porţiunea 119874119860 este
zona de proporţionalitate a curbei caracteristice pe acest domeniu este valabilă legea lui
Hooke care exprimă o proporţionalitate icircntre tensiune şi deformaţie specifică
120590 = 119864 ∙ 휀 (441)
unde
119864 = reprezintă panta porţiunii liniare a curbei convenționale caracteristice
la tracțiune Caracteristica de material 119864 se numeşte modul de elasticitate longitudinal
(modulul lui Young)
Ordonata punctului 119861 pacircnă unde materialul se comportă perfect elastic adică
după descărcare icircşi recapătă dimensiunea iniţială 1198710 se numeşte limita de elasticitate
120590119890(119877119890) Icircn realitate nici un material nu are comportare perfect elastică sub acţiunea
solicitărilor el capătă deformaţii permanente (remanente plastice)
După punctul 119861 urmează o porţiune 119861119862119863 icircn care cu toate că icircncărcarea
continuă forţa nu mai creşte avacircnd mici oscilaţii icircn jurul unei valori Se spune că icircn
această porţiune materialul curge iar intervalul 119861119862119863 este un palier de curgere Tensiunea
corespunzătoare palierului de curgere se numeşte limită de curgere aparentă 120590119888(119877119888) Limita de curgere aparentă se calculează cu relaţia
120590119888 =1198651198881198600 (442)
unde
119865119888 reprezintă valoarea forţei icircnregistrată icircn momentul curgerii materialului
După punctul 119863 curba caracteristică are un traseu ascendent pacircnă icircn punctul 119864
Porţiunea 119863119864 este numită zonă de icircntărire (ecruisare) Icircn zona de ecruisare unde se
produc deformaţii plastice semnificative legea lui Hooke nu mai este valabilă La
descărcare relaţia dintre tensiunea şi deformaţia specifică este liniară paralelă cu
porţiunea liniară a curbei caracteristice (dreapta 119872119873)
Deformaţia totală (휀119905) are două componente una elastică (휀119890) şi una plastică (휀119901)
Ordonata punctului 119864 reprezintă rezistenţa de rupere 120590119903(119877119898) a materialului
care se poate calcula cu relaţia
120590119903 = 119877119898 =1198651198981198861199091198600
(443)
unde
119865119898119886119909 reprezintă valoarea maximă a forţei icircnregistrată icircn timpul icircncercării
La atingerea valorii 119865119898119886119909 (punctul 119864) icircntr-un anumit loc al epruvetei secţiunea
icircncepe să se micşoreze (se produce gacirctuirea) continuacircnd pacircnă cacircnd se produce ruperea
totală (punctul 119865)
Dacă după ruperea epruvetei cele două părţi rezultate se aşează cap la cap şi se
măsoară dimensiunea bazei de măsurare 119871119906 (lungimea ultimă) se determină alungirea la
rupere sau lungirea specifică la rupere 휀119903
휀119903 =119871119906 minus 11987101198710
=∆119871
1198710=120575
1198710 (444)
De obicei alungirea se exprimă icircn procente şi se notează cu 119860119899 unde 119899 reprezintă
numărul dat de raportul 11987101198890 (epruvete normale 119899 = 5 epruvete lungi 119899 = 10)
119860119899 =119871119906 minus 11987101198710
∙ 100 [] (445)
Altă mărime care se determină la icircncercarea la tracţiune este gacirctuirea la rupere
(exprimată de obicei icircn procente) şi definită de relaţia
119885 =1198600 minus 1198601199061198600
∙ 100 [] (446)
Mărimile determinate limita de proporţionalitate modulul de elasticitate
longitudinal limita de elasticitate limita de curgere aparentă rezistenţa de rupere
alungirea la rupere şi gacirctuirea la rupere sunt cunoscute ca fiind caracteristici mecanice
ale materialului
Din curba caracteristică convenţională observăm faptul că ruperea (punctul 119865 din
figura 48 se produce la o tensiune mai mică decacirct cea corespunzătoare punctului 119864 Dacă
icircnsă forţa din timpul icircncercării s-ar raporta la aria secţiunii din momentul icircnregistrării
forţei (care este mai mică decacirct cea iniţială 1198600) s-ar obţine aşa numita curbă
caracteristică reală a materialului (traseul 1198741198601198611198621198631198651 din figura 48) La curba
caracteristică reală ruperea se produce icircn punctul 1198651 la o icircncărcare mai mare decacirct cea
corespunzătoare punctului 119864 Icircnseamnă că rezistenţa reală la rupere este mai mare decacirct
rezistenţa la rupere dată de punctul 119864 din diagrama caracteristică convenţională
Dificultatea obţinerii diagramei caracteristice reale faţă de cea a diagramei caracteristice
convenţionale şi considerarea unei rezistenţe la rupere mai mică decacirct a celei reale face
icircn practică utilizarea pe scară mare a diagramei caracteristice convenţionale
Caracteristicile mecanice determinate pe baza curbei caracteristice convenţionale
sunt şi ele caracteristici mecanice convenţionale
Caracteristicile mecanice convenţionale limita de proporţionalitate convenţională
120590119901 limita de elasticitate convenţională 120590119890 limita de curgere convenţională 120590119888 şi rezistenţa
de rupere 120590119903 constituie tensiuni limită pentru un material Pe baza acestor caracteristici
de material se alege valoarea tensiunii admisibile 120590119886 (vezi paragraful 35) pentru
calculele de rezistenţă Cea mai utilizată stare limită pentru stabilirea tensiunii admisibile
120590119886 este limita de curgere convenţională 120590119888
120590119886 =120590119897119894119898119888
=120590119888119888 119904119886119906 120590119886 =
120590119903119888 (447)
Caracteristicile mecanice ale materialului sunt influenţate de o serie de factori
temperatura viteza de solicitare factorii tehnologici iar valorile lor sunt date icircn tabele și
diagrame
Aplicaţie Pentru suprafaţa plană compusă din două dreptunghiuri avacircnd
dimensiunile din figura 49a să se calculeze
a) centrul de greutate al secțiunii compuse 119910119866 119911119866
b) momentele de inerție axiale 119868119911 119868119910 și momentul de inerție centrifugal 119868119911119910
c) razele de inerție 119894119911 119894119910
d) modulele de rezistență 119882119911119898119894119899 119882119911119898119886119909 119882119910119898119894119899 119882119910119898119886119909
e) momentele de inerție principale 1198681 1198682 și direcțiile principale de inerție 1205721
f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 119878119911
Fig 49 Aplicație
Rezolvare Pentru rezolvare vom parcurge următoarele etape
icircmpărțim suprafața compusă icircn două suprafețe simple (dreptunghiuri) notate cu
① și respectiv ② figura 49b
poziționăm centrele de greutate a celor două suprafețe simple ① și respectiv ②
notate cu 1198661 și respectiv 1198662 figura 49c
poziționăm sistemele de axe de coordonate 119911111986611199101 pentru dreptunghiul ① și
119911211986621199102 pentru dreptunghiul ② aflate la intersecția diagonalelor figura 49c
poziționăm sistemele de axe de coordonate 11991101198741199100 ales arbitrar față de care
determinăm poziția centrului de greutate 119866 figura 49c
a) calculăm poziția centrului de greutate folosind relațiile (46) icircn care
1198601 = 6119905 ∙ 119905 = 61199052 1198602 = 4119905 ∙ 119905 = 41199052 119860 = 1198601 + 1198602 = 61199052 + 41199052 = 101199052
iar centrele de greutate 1198661 și respectiv 1198662 au coordonatele (față de sistemul 11991101198741199100)
1198661 1199101 = 3119905 1199111 = 05119905
1198662 1199102 = 051199051199112 = 3119905
cu acestea obținem
119910119866 =1198601 ∙ 1199101 + 1198602 ∙ 1199102
119860=61199052 ∙ 3119905 + 41199052 ∙ 05119905
101199052=201199053
101199052= 2119905
119911119866 =1198601 ∙ 1199111 + 1198602 ∙ 1199112
119860=61199052 ∙ 05119905 + 41199052 ∙ 3119905
101199052=151199053
101199052= 15119905
Poziționăm centrul de greutate 119866 al suprafeței compuse figura 49c
Fig 49 Aplicație
b) pentru determinarea momentelor de inerție axiale 119868119911 119868119910 și a momentului de
inerție centrifugal 119868119910119911 determinăm constantele 1198881 1198882 1198891 1198892 care intervin icircn relația lui
Stainer
1198881 = 1199101 minus 119910119866 = 3119905 minus 2119905 = 119905 1198882 = minus(119910119866 minus 1199102) = minus(2119905 minus 05119905) = minus15119905
1198891 = minus(119911119866 minus 1199111) = minus(15119905 minus 05119905) = minus119905 1198892 = 1199112 minus 119911119892 = 3119905 minus 15119905 = 15119905
Folosind relațiile lui Stainer (429) (430) și (431) calculăm momentele de
inerție axiale și centrifugale față de sistemul central 119911119866119866119910119866
119868119911 =sum(119868119911119894 + 1198881198942 ∙ 119860119894) = 1198681199111 + 1198881
2 ∙ 1198601 + 1198681199112 + 11988822 ∙ 1198602
119868119910 =sum(119868119910119894 + 1198891198942 ∙ 119860119894) = 1198681199101 + 1198891
2 ∙ 1198601 + 1198681199102 + 11988922 ∙ 1198602
119868119911119910 =sum(119868119911119894119910119894 + 119888119894 ∙ 119889119894 ∙ 119860119894) = 11986811991111199101 + 1198881 ∙ 1198891 ∙ 1198601 + 11986811991121199102 + 1198882 ∙ 1198892 ∙ 1198602
1198681199111 = (119887 ∙ ℎ3
12) =
119905 ∙ (6119905)3
12= 181199054 1198681199112 = (
119887 ∙ ℎ3
12) =
4119905 ∙ 1199053
12= 031199054
1198681199101 = (1198873 ∙ ℎ
12) =
1199053 ∙ 6119905
12= 051199054 1198681199102 = (
1198873 ∙ ℎ
12) =
(4119905)3 ∙ 119905
12= 531199054
11986811991111199101 = 11986811991121199102 = 0 deoarece cele două triunghiuri au cel puțin o axă de simetrie
Cu acestea momentele de inerție axiale și momentul de inerție centrifugal devin
119868119911 = 181199054 + 1199052 ∙ 61199052 + 031199054 + (minus15119905)2 ∙ 41199052 = 3331199054
119868119910 = 051199054 + (minus119905)2 ∙ 61199052 + 531199054 + (15119905)2 ∙ 41199052 = 2081199054
119868119911119910 = 0 + 119905 ∙ (minus119905) ∙ 61199052 + 0 + (minus15119905) ∙ (15119905) ∙ 41199052 = minus151199054
c) razele de inerție sau de girație față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910
se calculează cu relațiile (411)
119894119911 = radic119868119911119860= radic
3331199054
101199052= 182119905 119894119910 = radic
119868119910
119860= radic
2081199054
101199052= 144119905
d) modulele de rezistență față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910 se
calculează cu relațiile (412) și (413)
Avacircnd icircn vedere figura 419c obținem
119910119898119886119909 = 6119905 minus 119910119866 = 6119905 minus 2119905 = 4119905 119910119898119894119899 = minus119910119866 = minus2119905
119911119898119886119909 = 5119905 minus 119911119866 = 5119905 minus 15119905 = 35119905 119911119898119894119899 = minus119911119866 = minus15119905
Se obține astfel
119882119911119898119894119899 =119868119911
|119910119898119886119909|=3331199054
4119905= 8331199053
119882119911119898119886119909 =119868119911
|119910119898119894119899|=3331199054
2119905= 16651199053
119882119910119898119894119899 =119868119910
|119911119898119886119909|=2081199054
35119905= 5941199053
119882119910119898119886119909 =119868119910
|119911119898119894119899|=2081199054
15119905= 13871199053
e) momentele de inerție principale 1198681 și respectiv 1198682 se calculează cu relațiile
(438)
11986812 =119868119911 + 119868119910
2plusmn1
2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)
2+ 4 ∙ (119868119911119910)
2=
=3331199054 + 2081199054
2plusmn1
2∙ radic(3331199054 minus 2081199054)2 + 4 ∙ (minus151199054)2 = 27051199054 plusmn 16251199054
De unde obținem
1198681 = 27051199054 + 16251199054 = 4331199054
1198682 = 27051199054 minus 16251199054 = 1081199054
Prima direcție principală de inerție 1 face cu axa centrală 119866119911 unghiul 1205721 dat de
relația (437)
1205721 =1
2∙ arctan (minus
2 ∙ 119868119911119910
119868119911 minus 119868119910) =
1
2∙ arctan [minus
2 ∙ (minus151199054)
3331199054 minus 2081199054] =33 70
Deoarece 1205721 gt 0 rotirea axelor se face acircn sens antiorar acelor de ceasornic figura
49d
Poziția axe principale 2 față de care momentul de inerție are valoarea minimă
1198682 = 119868119898119894119899 este dată de unghiul
1205722 = 1205721 + 900 = 33 70 + 900 = 123 70
f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 se determină cu relația
(45)
1198781199111198602 = 1198602 ∙ 1198882 = 41199052 ∙ (minus15119905) = minus61199053
dimensiunilor corpurilor ca urmare a acțiunii forțelor exterioare și nu cele cinematice
posibile pentru solidul rigid care se poate deplasa cu anumită viteză și accelerație
Spre exemplu icircn figura 34a și figura 34b sub acțiunea forței 119865 tronsonul de
bară AB se deformează icircn timp ce tronsonul BC deși punctele sale au deplasări rămacircne
nedeformat (fiind nesolicitat) Toate punctele de pe axele barelor cu excepția celor din
icircncastrare (secțiunile A) au deplasări liniare De cele mai multe ori deformațiile barelor
datorate acțiunii forțelor exterioare se anulează la icircndepărtarea forțelor se spune că
deformațiile sunt elastice Secțiunile transversale ale barei din figura 34a se și rotesc icircn
raport cu pozițiile lor inițiale Spre exemplu secțiunea de căpăt cu centrul icircn C se rotește
cu unghiul
Fig 34 Deformațiile unei grinzi
Oricacirct de complexă ar fi delormația unui corp ea poate fi descrisă de lungiri sau
scurtări și de modificări ale unghiurilor inițiale
Deplasările măsoară schimbarea poziției unui punct al corpului și pot fi liniare
sau unghiulare
Prin deplasare liniară a unui punct se icircnțelege drumul parcurs de acest punct icircn
decursul procesului de deformație după o dreaptă suport dreapta 1198611198611 din figura 34a
Prin deplasare unghiulară se icircnțelege rotirea dintre segmentele de dreaptă
determinate de două puncte ale corpului icircnainte și după deformarea acestuia unghiul
pe care-l fac segmentele 119861119862 și 11986111198621 din figura 34a Această rotire se măsoară prin
unghiul pe care-l fac proiecțiile dreptelor ce conțin cele două segmente icircntr-un sistem
triortogonal
Icircn cazul cel mai general vectorul deplasare liniară se poate descompune icircntr-un
sistem triortogonal icircn trei componente 119906 119907 și 119908 figura 35
Fig 35 Deplasarea liniară
Se consideră acum un corp solid raportat la un sistem de axe ortogonal 119909119874119910119911
figura 35 după deformarea corpului un punct oarecare 119870 al acestuia se deplasează icircn
poziţia 1198701 vectorul 1198701198701 poartă numele de vectorul deplasării totale
Deplasarea totală este suma deplasărilor pe cele trei direcţii ortogonale iar
aceste deplasări se notează astfel
deplasarea pe direcţia 119909 cu ∥ 119874119909
deplasarea pe direcţia 119910 cu ∥ 119874119910
deplasarea pe direcţia 119911 cu ∥ 119874119911
Componentele deplasărilor și formeză matricea deplasărilor liniare 119906119907119908
322 Deformații
Prin deformație icircn general se icircnțelege orice schimbare de formă a unui corp fără
o evaluare cantitativă Icircn Rezistența Materialelor deformația măsoară variația
dimensiunilor geometrice ale corpului considerat din vecinătatea unui punct analog
deplasărilor deformațiile pot fi liniare și unghiulare (lunecări)
Fig 36 Deplasarea liniară
Deformația liniară ∆119897 reprezintă variația lungimii 119897 a unui element liniar al
corpului deformat figura 36 Deformația liniară specifică se definește ca fiind raportul
dintre deformația liniară și lungimea inițială
휀 =∆119897
119897 (38)
unde ∆119897 este lungirea sau scurtarea care este echivalentă cu deformția liniară totală iar
este alungirea
Deformația unghiulară sau lunecarea unui punct 119860 icircn planul 119861119860119862 se definește
prin relația figura 37
120574 = lim119861119860rarr0119862119860rarr0
(119861119860 minus 119861111986011198621 ) (39)
Fig 36 Deformația unghiulară
Schimbacircnd orientarea planului care trece prin 119860 se obțin alte deformații
unghiulare Dacă elementele liniare 119861119860 și 119862119860 sunt inițial perpendiculare deformația 120574 se
numește deformație unghiulară specifică sau lunecare specifică figura 37
Un exemplu de deplasare unghiulară și de deformație unghiulară este prezentat icircn
figura 38 Unghiul este deplasarea unghiulară și măsoară rotirea relativă dintre două
secțiuni aflate la distanța 119897 Unghiul este deformația specifică unghiulară (lunecarea
specifică) din punctul 119870 Aceste deplasări și deformații se obțin icircn urma solicitării barei
de către cele două momente 1198720 egale și de sens contrar
Fig 38 Deplasarea unghiulară
Pentru a analiza starea de deformație din vecinătatea unui punct al unui corp
solicitat complex se decupează din jurul punctului un element de volum mic figura 39a
avacircnd laturile 119889119909 119889119910 și 119889119911 Ca urmare a solicitării laturile acestuia se vor lungi sau
scurta Reprezentarea elementului deformat icircn spațiu este dificilă pentru simplificare
vom analiza doar deformațiile din planul 119909119874119910 Observăm că dimensiunile 119889119909 și 119889119910 s-au
modificat cu valoarea ∆119889119909 respectiv cu ∆119889119910 analog se acceptă și pentru 119889119911 o modificare
de forma ∆119889119911 Astfel se pot defini deformațiile specifice liniare
휀119909 =∆119889119909
119889119909 휀119910 =
∆119889119910
119889119910 휀119911 =
∆119889119911
119889119911 (310)
De cele mai multe ori aceste deformații specifice liniare se pot exprima procentual
și se mai numesc alungiri
Fig 39 Starea de deformație
Icircn figura 39c se vede că unghiul inițial drept dintre muchiile 119889119909 și 119889119910 ale
elementului de volum s-a modificat Se definește deformația specifică unghiulară (sau
lunecarea specifică) mărimea cu care se modifică unghiul inițial drept
120574119909119910 = 120574119909119910prime + 120574119910119909
prime = 120574119910119909120574119910119911 = 120574119910119911
prime + 120574119911119910prime = 120574119911119910
120574119911119909 = 120574119911119909prime + 120574119909119911
prime = 120574119909119911
(311)
Deformațiile 휀119909 휀119910 휀119911 120574119909119910 120574119910119911 120574119911119909 constituie cele șase componente
independente ale tensorului deformațiilor specifice care pot fi scrise de forma
119863 =
휀119909 120574119909119910 120574119909119911120574119910119909 휀119910 120574119910119911120574119911119909 120574119911119910 휀119911
(312)
323 Contracţia transversală
Practica arată că odată cu lungirea unei bare apare o micşorare a mărimii secţiunii
transversale mărime numită contracţie transversală figura 310
Fig 310 Contracția transversală
Contracţia transversală este proporţională cu lungirea specifică coeficientul de
proporţionalitate se notează cu 120599 şi se numeşte coeficient de contracţie transversală sau
coeficientul lui Poisson
La o lungire specifică a barei contracţia transversală este dată de relația
휀119905119903 = 휀119910 = 휀119911 = minus120599 ∙ 휀119909 (313)
Semnul minus bdquo-rdquo arată că cele două mărimi sunt contrare dacă una creşte cealaltă
scade şi invers
Considerăm o bară cilindrică de lungime 119897 şi aria secţiunii transversale 119860 solicitată
la icircntindere axială La un moment dat datorită solicitării lungimea barei devine
[119897 ∙ (1 + 휀)] diametrul devine [119889 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)] iar aria secţiunii transversale devine
[119860 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)2] Dacă volumul barei icircnainte de solicitare a fost (119860 ∙ 119897) după solicitare
acesta devine
119881 + ∆119881 = 119860 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)2 ∙ 119897 ∙ (1 + 휀) =
= 119860 ∙ 119897 ∙ (1 + 휀 minus 2 ∙ 120599 ∙ 휀 minus 2 ∙ 120599 ∙ 휀2 + 1205992 ∙ 휀2 + 1205992 ∙ 휀3) (314)
Deoarece lungirile sunt foarte mici ultimii trei termeni din paranteză fiind infinit mici se pot neglija obţinacircnd
119881 + ∆119881 = 119860 ∙ 119897 + 119860 ∙ 119897 ∙ 휀 ∙ (1 minus 2 ∙ 120599) ⟺ ∆119881 = 휀 ∙ (1 minus 2 ∙ 120599) ∙ 119860 ∙ 119897 (315)
Practica arătă că o astfel de bară solicitată la icircntindere icircşi măreşte volumul deci
∆119881 gt 0 de unde rezultă că
1 minus 2 ∙ 120599 gt 0 rArr 120599 lt 05 (316)
Pentru majoritatea materialelor 120599 = 033 iar pentru materialele care-şi păstrează
volumul constant 120599 = 05
33 Relaţii de echivalenţă icircntre eforturi şi tensiuni
Considerăm un element de suprafață infinit mic 119889119860 situat pe fața de arie (119860) a
secțiunii barei din figura 311 Icircn centrul de greutate 119862 al secțiunii acționează eforturile
119873 119879119910 119879119911 119872119909 119872119894119910 și 119872119894119911 determinate prin metoda secțiunilor
Icircn raport cu un sistem de axe de referință 119909119862119910119911 coordonatele elementului 119889119860 sunt
- 119910 este ordonata elementului de arie 119889119860
- 119911 este abscisa elementului de arie 119889119860
Pe elementul de arie 119889119860 acționează tensiunile
120590119909 tensiunea normală
120591119909119910 și 120591119909119911 tensiuni tangențiale
Dacă se icircnsumează forțele elementare de tipul 120590119909 ∙ 119889119860 120591119909119910 ∙ 119889119860 și 120591119909119911 ∙ 119889119860
va trebui să obținem eforturile 119873 119879119910 și 119879119911
Fig 311 Element de suprafață mic din secțiunea unei bare
Dacă eforturile sunt privite ca forțe exterioare și se scriu ecuațiile de
echilibru ale secțiunii (119860) se vor obține șase relații de echivalență icircntre eforturi și
tensiuni
(sum119883) = 0 rArr int 120590119909 ∙ 119889119860
119860
= 119873 (317)
(sum119884) = 0 rArr int 120591119909119910 ∙ 119889119860
119860
= 119879119910 (318)
(sum119885) = 0 rArr int 120591119909119911 ∙ 119889119860
119860
= 119879119911 (319)
(sum119872)119909= 0 rArr int(120591119909119911 ∙ 119889119860) ∙ 119910
119860
minus int(120591119909119910 ∙ 119889119860) ∙ 119911
119860
= 119872119909 rArr
rArr int(119910 ∙ 120591119909119911 minus 119911 ∙ 120591119909119910) ∙ 119889119860
119860
= 119872119909
(320)
(sum119872)119910= 0 rArr int(120590119909 ∙ 119889119860) ∙ 119911
119860
= 119872119894119910 (321)
(sum119872)119911= 0 rArr int(120590119909 ∙ 119889119860) ∙ 119910
119860
= 119872119894119911 (322)
Cele șase relații de echivalență icircntre eforturi și tensiuni constituie un pas icircnainte
icircn rezolvarea unei probleme de rezistența materialelor Aceste relații vor permite
determinarea tensiunilor maxime
Pentru a rezolva cele 6 relații de echivalență trebuie să se cunoască tensiunile și
ca funcții de punct adică funcții de forma
120590119909 = 120590119909(119909 119910 119911) 120591119909119910 = 120591119909119910(119909 119910 119911) 120591119909119911 = 120591119909119911(119909 119910 119911) (32
3)
Cunoașterea acestor funcții presupune icircnsă analizarea aspectului geometric al
problemei precum și utilizarea unor ipoteze simplificatoare care să permită simplificarea
problemelor
34 Ipoteze de bază icircn rezistenţa materialelor
Depășirea dificultăților legate de interpretarea unor fenomene specifice mecanicii
solidului deformabil a impus acceptarea unor ipoteze care să simplifice fenomenele și să
contribuie la elaborarea unor modele de calcul cicirct mai generale și cacirct mai simple Aceste
ipoteze se referă la structura materialelor şi la comportarea lor sub acţiunea forţelor
exterioare Ipotezele acceptate trebuie să fie icircn deplină concordanţă cu realitatea și să
conducă la rezultate verificate icircn practică
Funcție de aspectele la care se referă ipotezele pot fi
Ipoteze fizice (de material)
Ipoteze de calcul
341 Ipoteze fizice
Se acceptă deoarece teoriile structurale au condus la rezultate care contravin
icircncercărilor experimentale
Ipoteza mediului continuu consideră că orice domeniu elementar al corpului
este ocupat de materie adică nu se acceptă existența unor goluri sau a unor crăpături
microscopice (fisuri) Deși nu corespunde realităţii poate fi acceptată deoarece
dimensiunile corpului sunt mult mai mari decacirct dimensiunile particulelor elemantare Are
avantajul că permite utilizarea proprietăților matematice ale funcțiilor continue pentru
tensiunile și deformațiile din orice punct al corpului Ea este mai apropiată de realitate la
corpurile amorfe şi mai depărtată la cele cristaline dar conduce la rezultate satisfăcătoare
icircn calculele de rezistenţă
Ipoteza nu se poate aplica la corpurile care au goluri tăieturi (multiplu conexe)
pentru unele puncte singulare icircn care tensiunile și deformațiile tind la infinit sau icircn unele
probleme de plasticitate icircn care proprietățile de material au un rol esențial
Ipoteza izotropiei conform acestei ipoteze materialul din care este confecționat
un element de rezistență are aceleași proprietăți după orice direcție un astfel de material
este considerat izotrop Din punct de vedere macroscopic metalele pot fi considerate
izotrope deși la nivel microscopic proprietățile lor diferă de la o direcție cristalografică
la alta Orice conglomerat de cristale poate fi considerat izotrop
Există cazuri cacircnd această ipoteză a izotropiei nu se acceptă
la metalele puternic deformate după o direcție (prin laminare trefilare)
la piesele confecționate din lemn lemnul este anizotrop deoarece proprietățile sale
diferă după două direcții (icircn lungul fibrelor și perpendicular pe această direcție)
Ipoteza omogenității consideră că un corp are aceleași proprietăți icircn orice
punct al său Deși majoritatea materialelor utilizate icircn tehnică sunt eterogene la scară
micro fiind constituite din mai multe faze cu proprietăți diferite la scară macro ele pot
fi considerate omogene Omogenitatea și izotropia sunt proprietăți statistice medii care
nu se condiționează una pe cealaltă Chiar și materialele monofazice pot avea la scară
micro unele segregații care le fac eterogene
Ipoteza elasticităţii perfecte presupune că atacircta timp cacirct solicitările nu
depăşesc anumite limite materialul are o comportare elastică adică icircşi recapătă forma şi
dimensiunile iniţiale odată cu icircnlăturarea sarcinilor Icircn realitate materialele nu prezintă o
elasticitate perfectă ele avacircnd deformaţii remanente mici care icircnsă pot fi neglijate icircn
calculele de rezistenţă
Acceptarea acestei ipoteze a elasticității perfecte permite
- aplicarea relației biunivoce icircntre tensiuni și deformații relație exprimată de legea
lui Hooke ( = 119864 ∙ 휀) unde E este un factor de proporţionalitate numit modul de
elasticitate longitudinal al materialului pentru oţel 119864 = 21 ∙ 105 [119872119875119886] - acceptarea valabilității afirmației bdquolucrul mecanic efectuat de forțele exterioare
ca urmare a parcurgerii deplasărilor punctelor de aplicație se icircnmagazinează integral icircn
corp sub formă de energie de deformație energie cedată la icircndepărtarea sarcinilorrdquo
- este valabilă teoria conform căreia bdquoenergia icircnmagazinată și deformațiile depind
doar de starea inițială și finală de eforturi fără a ține cont de modul icircn care s-a ajuns la
starea finalărdquo
Icircn realitate oricacirct de mici ar fi sarcinile aplicate se produc și deformații plastice
dar acestea pot fi neglijate dacă solicitarea nu depășește anumite limite
342 Ipoteze de calcul
Ipoteza micilor deplasări bdquodeplasările datorate deformării sunt mult mai mici
decacirct dimensiunile corpurilor și ca urmare pot fi neglijate produsele dintre o deplasare și
ea icircnsăşirdquo Pentru cele mai multe corpuri deformaţiile elastice sunt de mărimi mici deci
corpurile solide sub acţiunea sarcinilor icircşi modifică foarte puţin forma iniţială Această
ipoteză este cunoscută şi sub denumirea de ipoteza menţinerii dimensiunilor iniţiale Ea
permite scrierea ecuaţiilor de echilibru ale staticii pe starea nedeformată a elementului
cacircnd nu se iau icircn considerare deplasările punctelor de aplicaţie ale forţelor care se produc
ca urmare a deformării acestuia Calculul efectuat pe schema nedeformată poartă numele
de calcul de ordinul I
Ipoteza micilor deplasări nu poate fi acceptată pentru studiul problemelor de
stabilitate sau la problemele la care nu pot fi icircndeplinite condiţiile de echilibru icircn starea
nedeformată
Calculul de ordinul II admite ipoteza micilor deplasări dar ecuaţiile de echilibru
se scriu icircnsă pentru starea deformată a elementului de rezistenţă
Calculul de ordinul III nu mai acceptă ipoteza micilor deplasări el referindu-se
la cazul deformaţiilor mari cacircnd ecuaţiile de echilibru trebuie scrise pentru starea
deformată
Chiar dacă materialul satisface legea lui Hooke icircn urma calculelor de ordinul II
se obţin de obicei relaţii neliniare icircntre sarcini şi deplasări iar pentru calculul de ordinul
III rezultă ecuaţii diferenţiale neliniare
Principiul efectului local al acțiunii sarcinilor enunțat de Barre de Saint-
Venant Acest principiu destul de folosit icircn Rezistenţa Materialelor precizează că dacă
se icircnlocuiesc forţele care acţionează asupra unui element de suprafață al unui corp
elastic printr-un alt sistem de forţe echivalent din punct de vedere static cu primul noua
distribuţie a forţelor produce la locul de aplicare diferenţe semnificative faţă de prima
dar rămacircne fără efect sau cu efect neglijabil la distanţe mari de locul de aplicare al
forţelor figura 312
Ca o cosecință o sarcină uniform distribuită figura 312a poate fi icircnlocuită cu
rezultanta ei figura 312b dacă se analizează efectul sarcinii la distanță mare de locul icircn
care se aplică sarcina
Fig 312 Principiul Saint-Venant
Icircn prima variantă figura 312a forţa 119865 se aplică pe o porțiune oarecare 119897 (sarcină
uniform distribuită) iar icircn a doua figura 312b icircntru-un punct (forţă concentrată) La
locul de aplicare a sarcinii efectul asupra barei este cu totul diferit de la o variantă la
cealaltă Icircnsă la o distanţă mare de punctul de aplicaţie spre exemplu icircn secţiunea situată
la distanţa 119886 de capătul barei sau chiar icircn icircncastrare ambele bare sunt solicitate la fel
Icircn cazul din figura 312a
119872119894(119909) =119901 ∙ 1199092
2 119909 le 119897 119872119894(119909) = 119901 ∙ 119897 ∙ (119909 minus
119897
2) 119909 gt 119897 (324)
Icircn cazul din figura 312b
119872119894(119909) = 0 119909 lt119897
2 119872119894(119909) = 119901 ∙ 119897 ∙ (119909 minus
119897
2) 119909 gt
119897
2 (325)
Se vede că pentru (119909 gt 119897) adică după depășirea locului icircn care se aplică sarcina
efectul este același
Ipoteza lui Bernoulli sau ipoteza secţiunilor plane precizează că o secţiune
plană şi normală pe axa barei icircnainte de deformare rămacircne plană şi normală pe axa
barei şi după deformare figura 313
Fig 313 Ipoteza lui Bernoulli
Ipoteza stării naturale a corpului sau ipoteza absenţei tensiunilor conform
căreia pentru un corp nesolicitat starea de tensiune şi deformaţie este nulă
Perfecţionarea mijloacelor de calcul şi de investigare pot conduce la renunţarea la
unele ipoteze sau la introducerea altora noi mai aproape de stările reale De aici rezultă
caracterul de continuă perfecţionare a metodelor Rezistenţei Materialelor
35 Coeficienţi de siguranţă Tensiuni admisibile
O piesă corespunde din punct de vedere tehnic dacă tensiunile care iau naştere icircn
interiorul piesei datorită sarcinilor aplicate nu depăşesc anumite valori limită stabilite
convenţional Aceste valori limită ale tensiunii sunt corelate cu caracteristicile mecanice
ale materialelor
Tensiunea limită utilizată icircn calculele de rezistenţă este cunoscută sub denumirea
de tensiune admisibilă sau rezistenţă admisibilă Rezistenţa admisibilă reprezintă
valoarea convenţională aleasă icircn calcul pe baza practicii pentru tensiunea maximă care
poate apare icircntr-o piesă icircn condiţii date de material şi solicitare
Rezistenţa admisibilă (120590119886 sau 120591119886) poate fi definită faţă de o stare limită
periculoasă stare care trebuie evitată deoarece poate conduce distrugere
120590119886 =120590119897119894119898119888
(326)
unde
120590119897119894119898 este tensiunea corespunzătoare stării limită periculoase
119888 estesupraunitar 119888 gt 1 și reprezintă coeficientul de siguranţă faţă de starea limită
periculoasă considerată
Alegerea unor valori inferioare pentru rezistenţa admisibilă faţă de tensiunea
corespunzătoare stării limită periculoase este necesară deoarece
cunoaşterea sarcinilor este de cele mai multe ori aproximativă şi o depăşire a
acestora este foarte posibilă
caracteristicile mecanice ale materialelor variază icircn limite destul de mari ele
fiind influenţate de mulţi factori
schema aleasă pentru calcul (aplicarea sarcinilor schematizarea structurii
ipotezele de calcul etc) depărtează modelul faţă de cel real
Pentru calculele de verificare tensiunea efectivă maximă din elementul de
rezistenţă trebuie să fie mai mică sau cel mult egală cu cea admisibilă
120590119890119891119898119886119909 le 120590119886 (327)
Valoarea rezistenţei admisibile este influenţată de foarte mulţi factori natura
materialului tratamentele termice aplicate piesei durata de funcţionare a piesei modul
de acţionare icircn timp a sarcinilor felul solicitării temperatura gradul de periculozitate
icircn cazul cedării piesei etc
De asemenea valoarea coeficientului de siguranţă se alege icircn principal ţinacircnd
seama de aceiaşi factori care influenţează şi rezistenţa admisibilă
Rezistenţele admisibile pentru cacircteva materiale sunt următoarele
pentru oțelul de uz general OL37 solicitat la icircntindere compresiune sau
icircncovoiere 120590119886 = 150 [119872119875119886] pentru lemnul de brad solicitat la
- compresiune icircn lungul fibrelor şi solicitat la icircncovoiere 120590119886 = 10 [119872119875119886] - tracţiune icircn lungul fibrelor 120590119886 = 7 [119872119875119886] - compresiune perpendiculară pe fibre 120590119886 = 15 [119872119875119886] - forfecare icircn lungul fibrelor 120591119886 = 2 [119872119875119886] - forfecare perpendiculară pe fibre 120590119886 = 45 [119872119875119886]
terenuri de fundaţie din pămacircnt uscat sau umed 120590119886 = 020 divide 025 [119872119875119886]
4 CARACTERISTICI GEOMETRICE ALE SECȚIUNILOR PLANE
41 Noţiuni introductive
Icircn relaţiile de calcul ale tensiunilor şi deformaţiilor elementelor de rezistenţă
pentru unele solicitări (icircncovoierea și torsiunea) secțiunile plane intervin atacirct prin
dimensiunile lor (aria 119860) cicirct și prin forma și poziția pe care o are secțiunea icircn raport cu
planul solicitării Mărimile care caracterizează o secțiune icircn raport cu forma și poziția față
de axele unui sistem de referință sunt denumite caracteristici geometrice de ordin
superior Aria secțiunii este caracteristica geometrică ce depinde doar de dimensiunile
geometrice ale acesteia
Să considerăm o grindă solicitată de o forță exterioară 119865 aşezată icircn două poziții icircn
raport cu planul forţei figura 41 Icircn urma aplicării forței deși avem aceeași grindă
(aceeași arie a secțiunii transversale) și aceeași forță se constată că pentru varianta din
figura 41a deformațiile sunt mult mai mari adică rezistența la icircncovoiere a grinzii din
figura 41a este mai mare decacirct icircn cazul grinzii din figura 41b Comportarea diferită se
explică prin aceea că modificarea poziţiei secţiunii transversale faţă de planul forţelor
modifică caracteristicile geometrice ale secţiunii transversale a grinzii
Fig 41 Grindă solicitată de forța 119865
Pentru realizarea calculelor de rezistenţă şi rigiditate este foarte importantă
cunoaşterea caracteristicilor geometrice ale suprafeţei secţiunii transversale a elementelor
de rezistenţă
Caracteristicile geometrice ale secţiunii transversale a unui element de rezistenţă
sunt
- aria secțiunii notată cu 119860
- momentul static icircn raport cu o axă notat 119878119911 și respectiv 119878119910
- momentul de inerție care poate fi
axial notat 119868119911 și respectiv 119868119910
centrifugal notat 119868119911119910
polar notat 119868119901
- raza de inerţie (giraţie)notată 119894119911 și respectiv 119894119910
- modulul de rezistență care poate fi
axial notat 119882119911 și respectiv 119882119910
polar notat 119882119901
42 Aria și momentul static al suprafețelor plane
Fie o suprafaţă plană de arie 119860 pe care se ia un element infinit mic de arie 119889119860 şi
un sistem de axe rectangulare 119911119874119910 figura 42 Notăm cu 119862 centrul de greutate al suprafeţei
119860 Poziţia suprafeţei elementare 119889119860 faţă de acelaşi sistem de coordonate 119911119874119910 este dată
de abscisa 119911 ordonata 119910 și raza polară
Fig 42 Suprafață plană de arie 119860
Aria suprafeţei 119860 figura 42 se defineşte ca fiind
119860 ≝ int 119889119860
119860
(41)
Aria suprafeţei este icircntotdeauna pozitivă și se măsoară icircn [1198981198982] Momentul static al suprafeţei de arie 119860 icircn raport cu axele 119874119911 și respectiv 119874119910
figura 42 sunt date de relaţiile
119878119911 ≝ int 119910 ∙ 119889119860
119860
119878119910 ≝ int 119911 ∙ 119889119860
119860
(42)
Momentul static poate fi pozitiv negativ sau nul şi se măsoară icircn [1198981198983] Coordonatele centrului de greutate ale suprafeței 119860 se detrmină cu relațiile
119910119862 ≝int 119910 ∙ 119889119860119860
119860 119911119862 ≝
int 119911 ∙ 119889119860119860
119860
(43)
Cunoscacircnd coordonatele 119910119862 și 119911119862 ale centrului de greutate 119862 al secțiunii 119860 atunci
momentele statice se pot determina cu relațiile
119878119911 ≝ int 119910 ∙ 119889119860
119860
= 119910119862 ∙ 119889119860 119878119910 ≝ int 119911 ∙ 119889119860
119860
= 119911119862 ∙ 119889119860 (44)
Aceste relații arată că momentul static al unei suprafețe icircn raport cu o axă este
egal cu produsul dintre aria suprafeței și distanța de la centrul ariei la axa respectivă
Dacă suprafaţa se poate descompune icircn 119899 suprafeţe simple la care se cunosc ariile
(1198601 1198602 ⋯ 119860119894⋯ 119860119899) și poziţiile centrelor de greutate 119862119894 faţă de sistemul de referinţă
expresiile momentelor statice capătă următoarea formă
119878119911 = sum 119910119862119894 ∙ 119860119894119899119894=1 = 119910119862 ∙ 119860 119878119910 = sum 119911119862119894 ∙ 119860119894
119899119894=1 = 119911119862 ∙ 119860 (45)
Din relaţiile (45) rezultă că poziţia centrului de greutate 119862 al unei suprafeţe
compuse poate fi determinată cu relaţiile
119910119862 = (sum119910119862119894 ∙ 119860119894
119899
119894=1
) 119860frasl 119911119862 = (sum119911119862119894 ∙ 119860119894
119899
119894=1
) 119860frasl (46)
Icircn relația (45) 119910119862119894 și respectiv 119911119862119894 reprezintă coordonatele centrelor de greutate 119862119894
ale fiecărei suprafețe simple 119860119894 icircn raport sistemul de axe 119911119874119910
Se constată (relaţia 42) că dacă axele sistemului de referinţă trec prin centrul de
greutate (119910119862 = 119911119862 = 0) momentele statice sunt nule Axele icircn raport cu care momentele
statice sunt nule şi care trec prin centrul de greutate al suprafeţei se numesc axe centrale
Observație dacă secțiunea compusă are o axă de simetrie centrul secțiunii se
găsește pe acea axă iar dacă secțiunea este dublu simetrică poziția centrului secțiunii este
la intersecția axelor de simetrie
43 Momente de inerţie
Momentele de inerţie axiale ale unei suprafețe se calculează icircn raport cu axele de
coordonate 119874119911 și respectiv 119874119910 figura 42 și se determină cu relațiile
119868119911 ≝ int 1199102 ∙ 119889119860
119860
119868119910 ≝ int 1199112 ∙ 119889119860
119860
(47)
Unde 119910 și 119911 sunt distanțele de la elementul de arie 119889119860 la cele două axe de
coordonate 119874119911 și respectiv 119874119910
Momentele de inerţie axiale se măsoară icircn [1198981198984] şi sunt icircntotdeauna pozitive (aria
119889119860 este icircntotdeauna pozitivă și este multiplicată cu patratul distanței 1199102 dacă 119868119911 sau 119868119910
sunt nule icircnseamnă ca secțiunea nu există)
Momentele de inerție axiale se calculează icircndeosebi pentru axele centrale (care
trec prin centrul secțiunii) deoarece icircn raport cu acele axe 119868119911 și 119868119910 au valori minime
Momentul de inerţie centrifugal calculat faţă ambele axe ale sistemului de
referinţă 119911119874119910 este definit de relația
119868119911119910 ≝ int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860
(48)
Momentul de inerţie centrifugal se măsoară icircn [1198981198984] şi poate fi pozitiv negativ
sau nul
Momentul de ineție centrifugal este nul 119868119911119910 = 0 dacă cel puțin una din axele 119874119911
sau 119874119910 este axă de simetrie pentru secțiune
Se consideră o suprafaţă dreptunghiulară pe care faţă de axa de simetrie 119874119910 se iau
două suprafeţe elementare de arie 119889119860 simetrice faţă de axa 119874119910 figura 43
Fig 43 Suprafață dreptunghiulară cu două arii elementare 119889119860
Făcacircnd suma momentelor de inerţie centrifugale pentru cele două suprafeţe
elementare 119889119860 (din stacircnga şi din dreapta faţă de axa 119874119910) se obţine
int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860119889119903
+ int (minus119911) ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860119904119905119892
= int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860119889119903
minus int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860119904119905119892
= 0 (49)
Acelaşi raţionament se poate face și pentru icircntreaga suprafaţă de unde obținem că
momentul de inerție centrifugal este nul 119868119911119910 = 0 Deci pentru o suprafaţă plană care
are cel puţin o axă de simetrie momentul de inerţie centrifugal faţă de sistemul care
conţine acea axă de simetrie este nul
Momentul de inerţie polar al unei suprafeţei icircn raport cu un punct (pol) 119874 figura
42 este definit prin relaţia
1198680 = 119868119901 ≝ int 1205882 ∙ 119889119860
119860
= int(1199102 + 1199112) ∙ 119889119860
119860
= 119868119911 + 119868119910 (410)
unde este distanţa de la polul 119874 la elementul de arie 119889119860 Momentul de inerţie polar se
măsoară icircn [1198981198984] şi este totdeauna pozitiv
Momentul de inerţie polar este egal cu suma momentelor de inerţie faţă de două axe
perpendiculare oarecare şi care trec prin polul considerat
Razele de giraţie sau razele de inerţie sunt mărimi calculate icircn raport cu axele
secțiunii și definite de relaţiile
119894119911 ≝ radic119868119911119860 119894119910 = radic
119868119910
119860 (411)
Se exprimă icircn [119898119898] şi sunt icircntotdeauna pozitive Semnificația unei raze de inerție
este distanța la care dacă ar fi concentrată icircntreaga arie s-ar obține același moment de
inerție ca și cel calculat pentru aria reală
44 Modulul de rezistenţă
Modulul de rezistență se calculează icircn raport cu axele de referință sau icircn raport cu
un pol figura 42 și pot fi axiale (119882119911119882119910) sau polar (119882119901) și se determină numai pe baza
momentelor de inerţie cu relațiile figura 43
119882119911119898119894119899 ≝119868119911119910119898119886119909
119882119911119898119886119909 ≝119868119911119910119898119894119899
(412)
119882119910119898119894119899 ≝119868119910
119911119898119886119909 119882119910119898119886119909 ≝
119868119910
119911119898119894119899 (413)
119882119901 ≝119868119901
120588119898119886119909 (414)
unde
119910119898119886119909 119910119898119894119899 reprezintă distanţa de la axa 119874119911 la punctele extreme cele mai
depărtate respectiv cele mai apropiate ale suprafeţei de această axă
119911119898119886119909 119911119898119894119899 reprezintă distanţa de la axa 119874119910 la punctele extreme cele mai
depărtate respectiv cele mai apropiate ale suprafeţei de această axă
120588119898119886119909 reprezintă distanța maximă de la polul 119874 la punctul secțiunii cel mai
icircndepărtat de acesta
Fig 43 Suprafață dreptunghiulară cu două arii elementare 119889119860
Modulele de rezistenţă se exprimă icircn [1198981198983] şi sunt icircntotdeauna pozitive
Explicația este aceea că momentele de inerție care intră icircn relațiile de definiție sunt
pozitive iar distanțele la punctele extreme sunt pozitive (119910119898119886119909 119910119898119894119899 119911119898119886119909 119911119898119894119899 120588119898119886119909 se
iau icircn valoare absolută)
Icircn cazul suprafeţelor compuse modulul de rezistenţă nu se obţine prin icircnsumarea
algebrică a modulelor de rezistenţă ale suprafeţelor simple componente ci numai prin
intermediul momentului de inerţie axial calculat pentru icircntreaga secțiune
Ca și momentele de inerție modulele de rezistență se calculează numai pentru
sistemele de axe centrale
45 Momente de inerţie şi module de rezistenţă pentru suprafeţe simple
451 Secțiune dreptunghiulară
Fie suprafaţa dreptunghiulară din figura 44 de icircnălțime ℎ și lățime 119887 pe care se
consideră suprafaţă elementară de arie 119889119860 = 119887119889119910 la distanța 119910 de axa 119862119911 sistemul de
axe 119911119862119910 trece prin centrul secțiunii iar axele sunt axe de simetrie pentru dreptunghi
Fig 44 Suprafață dreptunghiulară
Pe baza relațiilor de definiți a momentului de inerție 119868119911 se obține
119868119911 ≝ int 1199102 ∙ 119889119860
119860
= int 1199102 ∙ 119887 ∙ 119889119910 = 2int 1199102 ∙ 119887 ∙ 119889119910 = 2 ∙ 119887 ∙1199103
3|ℎ 2frasl
0rArr
ℎ 2frasl
0
ℎ 2frasl
minusℎ 2frasl
rArr 119868119911 =119887 ∙ ℎ3
12
(415)
Analog pentru un element de arie 119889119860 = ℎ ∙ 119889119911 paralel cu axa 119862119910 situat la distanța
119911 de axa 119862119910
119868119910 ≝ int 1199112 ∙ 119889119860
119860
= int 1199112 ∙ ℎ ∙ 119889119911 = 2int 1199112 ∙ ℎ ∙ 119889119910 = 2 ∙ ℎ ∙1199113
3|119887 2frasl
0rArr
119887 2frasl
0
119887 2frasl
minus119887 2frasl
rArr 119868119910 =1198873 ∙ ℎ
12
(416)
Deoarece axele 119862119911 și 119862119910 sunt axe de simetrie momentul de inerție centrifugal este
119868119911119910 = 0 (417)
Pentru un pătrat avacircnd laturile egale (ℎ = 119887 = 119886) momentele de inerţie faţă de
axele centrale au expresia
119868119911 = 119868119910 =1198864
12 (418)
Modulele de rezistență axiale se calculează cu relațiile de definiție ținacircnd cont că
distanțele pacircnă la fibrele extreme sunt
119910119898119886119909 = 119910119898119894119899 =ℎ
2 119911119898119886119909 = 119911119898119894119899 =
119887
2 (419)
Obținem
119882119911119898119894119899 = 119882119911119898119886119909 =119868119911
119910119898119886119909119898119894119899=119887 ∙ ℎ3
12frasl
ℎ2frasl
=119887 ∙ ℎ2
6
119882119910119898119894119899 = 119882119910119898119886119909 =119868119910
119911119898119886119909119898119894119899=1198873 ∙ ℎ
12frasl
1198872frasl
=1198872 ∙ ℎ
6
(420)
452 Suprafaţă circulară
Din motive de simetrie pentru suprafeţele circulare momentele de inerţie faţă de
orice diametru (care reprezintă şi axe centrale) sunt aceleaşi
Considerăm o secțiune circulară plină cu diametrul 119889 și centrul de greutate 119862 Prin
centrul de greutate 119862 trece sistemul de axe ortogonal 119911119862119910 figura 45
Fig 45 Suprafață circulară
La distanța de centrul de greutate 119862 vom lua un element de suprafață mic de arie
(119889119860) de forma unui inel de grosime 119889 Elementul de arie 119889119860 are expresia
119889119860 = (2 ∙ 120587 ∙ 120588) ∙ (119889120588)
Pornind de la relația de definiție a momentului de inerție polar obținem
119868119901 ≝ int 1205882 ∙ 119889119860
119860
= int 1205882 ∙ (2 ∙ 120587 ∙ 120588) ∙ 119889120588
119903=119889 2frasl
0
= 2 ∙ 120587 ∙1205884
4|119889 2frasl0 rArr
rArr 119868119901 =120587 ∙ 1198894
32
(421)
Secțiunea este perfect simetrică deci sunt valabile relațiile
119868119911 = 119868119910 rArr 119868119901 = 119868119911 + 119868119910 = 2 ∙ 119868119911 = 2 ∙ 119868119910 =119868119901
2=120587 ∙ 1198894
64 (422)
Și modulele de rezistenţă faţă de orice diametru sunt egale şi se calculează cu
relaţiile
119882119911 = 119882119910 =1198681199111198892frasl=120587 ∙ 1198893
32 (423)
Modulul de rezistenţă polar este
119882119901 =1198681199011198892frasl=120587 ∙ 1198893
16 (424)
453 Secţiune inelară
Calculul momentelor de inerţie axiale pentru o secţiune inelară avacircnd diametrul
interior 119889 şi diametrul exterior 119863 se determină analog pentru suprafaţa circulară plină cu
observaţia că integrala pentru calculul momentului de inerție polar 119868119901 se face icircntre
limitele 119903 = 119889 2frasl şi R= 1198632frasl (icircntre raza interioară 119903 şi raza exterioară 119877) figura 46
Se obţin relaţiile
119868119901 =120587 ∙ 1198634
32∙ [1 minus (
119889
119863)4
] =120587 ∙ 1198634
32∙ (1 minus 1198964) (425)
119868119910 = 119868119910 =120587 ∙ 1198634
64∙ [1 minus (
119889
119863)4
] =120587 ∙ 1198633
64∙ (1 minus 1198964) (426)
Fig 46 Secțiune inelară
119882119901 =120587 ∙ 1198633
16∙ [1 minus (
119889
119863)4
] =120587 ∙ 1198633
16∙ (1 minus 1198964) (427)
119882119911 = 119882119910 =120587 ∙ 1198633
32∙ [1 minus (
119889
119863)4
] =120587 ∙ 1198633
32∙ (1 minus 1198964) (428)
unde 119896 = 119889119863frasl
46 Variaţia momentelor de inerţie faţă de axe paralele
( Relațiile lui STEINER)
Se consideră o suprafaţă oarecare de arie 119860 cu elementul de arie 119889119860 și un sistemul
de axe central 119911119862119910 faţă de care se cunosc momentele de inerţie 119868119911 119868119910 119868119911119910 şi considerăm
un sistem de axe 11991111198741199101 paralele cu sistemul central figura 47 Se pune problema
determinării momentele de inerţie 1198681199111 1198681199101 11986811991111199101 faţă de sistemul de axe paralel cu sistemul
central 11991111198741199101 axe aflate la distanţele 119910119862 = 119888 respectiv 119911119862 = 119889 de acesta
461 Momente de inerţie axiale
Pe baza relaţiilor de definire şi a notaţiilor din figura 42 pentru momentele de
inerţie faţă de axele 1198741199111 1198741199101 se poate scrie
1198681199111 = int 11991012 ∙ 119889119860
119860
= int(119910 + 119888)2 ∙ 119889119860
119860
= int 1199102 ∙ 119889119860
119860
+ 2 ∙ 119888 ∙ int 119910 ∙ 119889119860
119860
+
+1198882int 119889119860
119860
rArr 1198681199111 = 119868119911 + 2 ∙ 119888 ∙ 119878119911 + 1198882 ∙ 119860 hArr 1198681199111 = 119868119911 + 119888
2 ∙ 119860
(429)
Fig 47 Variaţia momentelor de inerţie față de axe paralele
S-a ajuns la relația (429) deoarece momentul static 119878119911 este nul deoarece axa 119862119885
este axă centrală
Pentru momentul de inerție axial icircn raport cu axa 1198741199101 se obține
1198681199101 = int 11991112 ∙ 119889119860
119860
= int(119911 + 119889)2 ∙ 119889119860
119860
= int 1199112 ∙ 119889119860
119860
+ 2 ∙ 119889 ∙ int 119911 ∙ 119889119860
119860
+
+1198892 ∙ int 119889119860
119860
rArr 1198681199101 = 119868119910 + 2 ∙ 119889 ∙ 119878119910 + 1198892 ∙ 119860 hArr 1198681199101 = 119868119910 + 119889
2 ∙ 119860
(430)
Pentru momentul de inerție centrifugal obținem
11986811991111199101 = int 1199101 ∙ 1199111 ∙ 119889119860
119860
= int(119910 + 119888) ∙ (119911 + 119889) ∙ 119889119860
119860
= int 119910 ∙ 119911 ∙ 119889119860 +
119860
+119888 ∙ int 119911 ∙ 119889119860
119860
+ 119889 ∙ int 119910 ∙ 119889119860
119860
rArr 11986811991111199101 = 119868119911119910 + 119888 ∙ 119889 ∙ 119860
(431)
Deoarece
int 119911 ∙ 119889119860
119860
= 119878119910 = 0 int 119910 ∙ 119889119860
119860
= 119878119911 = 0 int 119910 ∙ 119911 ∙ 119889119860
119860
= 119868119911119910
Relaţiile (429) şi (430) arată că momentul de inerţie faţă de o axă oarecare
este egal cu momentul de inerţie faţă de o axă paralelă cu ea trecacircnd prin centrul de
greutate la care se adaugă produsul dintre aria suprafeţei şi pătratul distanţei dintre
cele două axe
Din relaţiile (429) și (430) rezultă de asemenea că momentul de inerţie faţă de o
axă centrală (care trece prin centrul de greutate) este cel mai mic dintre infinitatea de
momente de inerţie obținute faţă de alte axe paralele cu ea
Relaţia (431) arată de asemenea că momentul de inerţie centrifugal faţă de un
sistem de axe oarecare este egal cu momentul de inerţie centrifugal faţă de un sistem
paralele cu el trecacircnd prin centrul de greutate a suprafeţei la care se adaugă produsul
dintre aria suprafeţei şi distanţele dintre axele sistemelor respective
Icircn literatura de specialitate relaţiile (429) (430) şi (431) sunt cunoscute sub
numele de relaţiile lui Steiner
47 Variaţia momentrlor de inerţie faţă de axe rotite
Direcţii principale şi momente de inerţie principale
Fie suprafaţa plană din figura 48 de arie 119860 pe care considerăm o suprafaţă
elementară de arie 119889119860 Pentru sistemul de axe 119911119874119910 se cunosc momentele de inerţie
119868119911 119868119910 119868119911119910 şi vom determina relaţiile de calcul pentru momentele de inerţie afererent unui
sistem de axe 11991111198741199101 rotit cu un unghi faţă de sistemul central
Faţă de sistemul de axe 11991111198741199101 elementul de arie 119889119860 are coordonatele
1199101 = 119875119877 = 119875119876 minus 119877119876 = 119910 ∙ cos 120572 minus 119911 ∙ sin 120572
1199111 = 119873119872 = 119873119875 minus 119875119872 = 119911 ∙ cos 120572 + 119910 ∙ sin 120572 (432)
Fig 47 Variaţia momentelor de inerţie față de axe rotite
Pe baza relaţiilor de calcul ale momentelor de inerţie şi a notaţiilor din figura 42
şi ale relaţiilor (432) momentele de inerţie faţă de sistemul de axe rotit 11991111198741199101 sunt
1198681199111 =119868119911 + 119868119910
2+119868119911 minus 119868119910
2∙ cos 2120572 minus 119868119911119910 ∙ sin 2120572 (433)
1198681199101 =119868119911 + 119868119910
2minus119868119911 minus 119868119910
2∙ cos 2120572 + 119868119911119910 ∙ sin 2120572 (434)
11986811991111199101 =119868119911 minus 119868119910
2∙ sin 2120572 + 119868119911119910 ∙ cos 2120572 (435)
Din relaţiile 433divide435 se observă că icircntre momentele de inerţie axiale şi cele
polare există relaţia
1198681199111 + 1198681199101 = 119868119911 + 119868119910 = 119868119901 (436)
adică suma momentelor de inerţie axiale icircn raport cu orice pereche de axe ortogonale
care trec printr-un pol dat este o constantă şi egală cu momentul de inerţie polar
Prin rotirea sistemului de axe din relaţiile 433divide435 rezultă că momentele de inerţie
variază icircnsă suma lor rămacircne constantă deci există o poziţie a sistemului de axe pentru
care momentele de inerţie au valori extreme maxim respectiv minim
471 Direcţii principale de inerţie
Valoarea unghiului 120572 pentru care momentele de inerţie axiale au valori extreme
este
1205721 =1
2∙ 119886119903119888119905119886119899 (minus
2 ∙ 119868119911119910
119868119911 minus 119868119910) (437)
Poziţia celeilalte direcţii este perpendiculară pe cea dată de unghiul 1205721
Din relaţia (437) se constată că faţă de aceste direcţii rotite pentru care momentele
de inerţie axiale prezintă valori extreme momentul de inerţie centrifugal 11986811991111199101este nul
Atunci se poate afirma că momentele de inerţie axiale au valori extreme icircn raport cu
direcţiile faţă de care momentul de inerţie centrifugal este nul Aceste direcţii se numesc
direcţii principale iar momentele de inerţie faţă de aceste direcţii poartă numele de
momente de inerţie principale
Icircn calculele de rezistenţă interesează icircn mod special poziţia direcţiilor principale
care trec prin centrul de greutate al suprafeţei aşa numitele direcţii principale centrale şi
evident momentele de inerţie principale centrale
Direcţiile principale de inerţie se notează cu 1 respectiv 2 Axa principală 1
corespunde direcţiei faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea maximă iar
axa principală 2 pentru direcţia faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea
minimă
472 Momente de inerţie principale
Momentele de inerţie principale se notează cu litera 119868 la care se pune indicele 1
sau 2 după cum valoarea acestuia este maximă sau minimă deci avem un moment de
inerţie principal 1 (notat 1198681) respectiv moment de inerţie principal 2 (notat 1198682)
Expresiile pentru momentele de inerţie principale sunt
11986812 =119868119911 + 119868119910
2plusmn1
2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)
2+ 4 ∙ (119868119911119910)
2 (438)
Dacă momentul de inerţie centrifugal este negativ (119868119911119910 lt 0) direcţia principală
care trece prin primul cadran (definit de sistemul 119911119862119910) este direcţia principală 120783
Pentru suprafeţele cu cel puţin o axă de simetrie direcţiile centrale 119862119911 119862119910 sunt şi
direcții principale de inerţie și evident momentele de inerţie axiale 119868119911 119868119910 sunt momente
de inerţie principale
48 Caracteristici mecanice ale metalelor
Alegerea materialului pentru confecţionarea unei anumite piese se face şi pe baza
aşa numitelor caracteristici mecanice pe care le prezintă materialul Cunoaşterea acestor
caracteristici mecanice are loc numai pe baza unor icircncercări mecanice care să scoată icircn
evidenţă comportarea materialului icircn condiţii de solicitare
Cea mai utilizată icircncercare icircn urma căreia se pun icircn evidenţă caracteristicile
mecanice ale unui material este icircncercarea la tracţiune
481 Icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general
Icircncercarea la tracţiune a oţelului ca de altfel toate icircncercările de materiale este
standardizată
Icircn cele ce urmează se va prezenta numai partea care interesează strict din punct
de vedere al caracteristicilor mecanice ale oţelului
Epruveta de diametru iniţial 1198890 pentru icircncercarea la tracţiune are o porţiune de
lungime 1198710 numită baza de măsurare pe care se măsoară lungirea acesteia sub acţiunea
solicitării
Icircn funcţie de raportul dintre baza de măsurare 1198710 şi diametrul iniţial 1198890 epruvetele
utilizate pentru icircncercări sunt
epruvete normale (scurte) cacircnd 11987101198890 = 5
epruvete lungi cacircnd 11987101198890 = 10
Icircn timpul icircncercării la diferite valori ale forţei 119865 se măsoară lungirea bazei de
măsurare
∆119871 = 120575 = 119871 minus 1198710 (439)
unde
119871 este dimensiunea bazei de măsurare la un moment dat
Curba forţă-lungire (119865 minus ) icircnregistrată icircn urma icircncercării reprezintă curba
caracteristică la tracţiune
La icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general diagrama caracteristică care se
obţine are forma din figura 48
Curba caracteristică la tracţiune depinde de lungimea bazei de măsurare Pentru
icircnlăturarea acestui neajuns curba caracteristică se reprezintă icircn coordonate şi definite
astfel
120590 =119865
1198600 휀 =
120575
1198710 (440)
unde
1198600 este aria iniţială a secţiunii transversale a epruvetei (icircnainte de solicitare) icircn
zona bazei de măsurare
1198600 =120587 ∙ 1198890
2
4
Deoarece mărimile icircn care se reprezintă curba caracteristică la tracţiune sunt
raportate la aria iniţială a secţiunii transversale (mărimi specifice) curba poartă numele
de curbă caracteristică convenţională la tracţiune
Fig 48 Curba caracteristică convenţională la tracțiune
Pe curba caracteristică convenţională la tracţiune figura 48 se pot stabili o serie
de puncte cărora le corespund mai multe mărimi importante
Ordonata punctului A pacircnă unde curba caracteristică convenţională este linie
dreaptă se numeşte limita de proporţionalitate a materialului 120590119901(1205901) Porţiunea 119874119860 este
zona de proporţionalitate a curbei caracteristice pe acest domeniu este valabilă legea lui
Hooke care exprimă o proporţionalitate icircntre tensiune şi deformaţie specifică
120590 = 119864 ∙ 휀 (441)
unde
119864 = reprezintă panta porţiunii liniare a curbei convenționale caracteristice
la tracțiune Caracteristica de material 119864 se numeşte modul de elasticitate longitudinal
(modulul lui Young)
Ordonata punctului 119861 pacircnă unde materialul se comportă perfect elastic adică
după descărcare icircşi recapătă dimensiunea iniţială 1198710 se numeşte limita de elasticitate
120590119890(119877119890) Icircn realitate nici un material nu are comportare perfect elastică sub acţiunea
solicitărilor el capătă deformaţii permanente (remanente plastice)
După punctul 119861 urmează o porţiune 119861119862119863 icircn care cu toate că icircncărcarea
continuă forţa nu mai creşte avacircnd mici oscilaţii icircn jurul unei valori Se spune că icircn
această porţiune materialul curge iar intervalul 119861119862119863 este un palier de curgere Tensiunea
corespunzătoare palierului de curgere se numeşte limită de curgere aparentă 120590119888(119877119888) Limita de curgere aparentă se calculează cu relaţia
120590119888 =1198651198881198600 (442)
unde
119865119888 reprezintă valoarea forţei icircnregistrată icircn momentul curgerii materialului
După punctul 119863 curba caracteristică are un traseu ascendent pacircnă icircn punctul 119864
Porţiunea 119863119864 este numită zonă de icircntărire (ecruisare) Icircn zona de ecruisare unde se
produc deformaţii plastice semnificative legea lui Hooke nu mai este valabilă La
descărcare relaţia dintre tensiunea şi deformaţia specifică este liniară paralelă cu
porţiunea liniară a curbei caracteristice (dreapta 119872119873)
Deformaţia totală (휀119905) are două componente una elastică (휀119890) şi una plastică (휀119901)
Ordonata punctului 119864 reprezintă rezistenţa de rupere 120590119903(119877119898) a materialului
care se poate calcula cu relaţia
120590119903 = 119877119898 =1198651198981198861199091198600
(443)
unde
119865119898119886119909 reprezintă valoarea maximă a forţei icircnregistrată icircn timpul icircncercării
La atingerea valorii 119865119898119886119909 (punctul 119864) icircntr-un anumit loc al epruvetei secţiunea
icircncepe să se micşoreze (se produce gacirctuirea) continuacircnd pacircnă cacircnd se produce ruperea
totală (punctul 119865)
Dacă după ruperea epruvetei cele două părţi rezultate se aşează cap la cap şi se
măsoară dimensiunea bazei de măsurare 119871119906 (lungimea ultimă) se determină alungirea la
rupere sau lungirea specifică la rupere 휀119903
휀119903 =119871119906 minus 11987101198710
=∆119871
1198710=120575
1198710 (444)
De obicei alungirea se exprimă icircn procente şi se notează cu 119860119899 unde 119899 reprezintă
numărul dat de raportul 11987101198890 (epruvete normale 119899 = 5 epruvete lungi 119899 = 10)
119860119899 =119871119906 minus 11987101198710
∙ 100 [] (445)
Altă mărime care se determină la icircncercarea la tracţiune este gacirctuirea la rupere
(exprimată de obicei icircn procente) şi definită de relaţia
119885 =1198600 minus 1198601199061198600
∙ 100 [] (446)
Mărimile determinate limita de proporţionalitate modulul de elasticitate
longitudinal limita de elasticitate limita de curgere aparentă rezistenţa de rupere
alungirea la rupere şi gacirctuirea la rupere sunt cunoscute ca fiind caracteristici mecanice
ale materialului
Din curba caracteristică convenţională observăm faptul că ruperea (punctul 119865 din
figura 48 se produce la o tensiune mai mică decacirct cea corespunzătoare punctului 119864 Dacă
icircnsă forţa din timpul icircncercării s-ar raporta la aria secţiunii din momentul icircnregistrării
forţei (care este mai mică decacirct cea iniţială 1198600) s-ar obţine aşa numita curbă
caracteristică reală a materialului (traseul 1198741198601198611198621198631198651 din figura 48) La curba
caracteristică reală ruperea se produce icircn punctul 1198651 la o icircncărcare mai mare decacirct cea
corespunzătoare punctului 119864 Icircnseamnă că rezistenţa reală la rupere este mai mare decacirct
rezistenţa la rupere dată de punctul 119864 din diagrama caracteristică convenţională
Dificultatea obţinerii diagramei caracteristice reale faţă de cea a diagramei caracteristice
convenţionale şi considerarea unei rezistenţe la rupere mai mică decacirct a celei reale face
icircn practică utilizarea pe scară mare a diagramei caracteristice convenţionale
Caracteristicile mecanice determinate pe baza curbei caracteristice convenţionale
sunt şi ele caracteristici mecanice convenţionale
Caracteristicile mecanice convenţionale limita de proporţionalitate convenţională
120590119901 limita de elasticitate convenţională 120590119890 limita de curgere convenţională 120590119888 şi rezistenţa
de rupere 120590119903 constituie tensiuni limită pentru un material Pe baza acestor caracteristici
de material se alege valoarea tensiunii admisibile 120590119886 (vezi paragraful 35) pentru
calculele de rezistenţă Cea mai utilizată stare limită pentru stabilirea tensiunii admisibile
120590119886 este limita de curgere convenţională 120590119888
120590119886 =120590119897119894119898119888
=120590119888119888 119904119886119906 120590119886 =
120590119903119888 (447)
Caracteristicile mecanice ale materialului sunt influenţate de o serie de factori
temperatura viteza de solicitare factorii tehnologici iar valorile lor sunt date icircn tabele și
diagrame
Aplicaţie Pentru suprafaţa plană compusă din două dreptunghiuri avacircnd
dimensiunile din figura 49a să se calculeze
a) centrul de greutate al secțiunii compuse 119910119866 119911119866
b) momentele de inerție axiale 119868119911 119868119910 și momentul de inerție centrifugal 119868119911119910
c) razele de inerție 119894119911 119894119910
d) modulele de rezistență 119882119911119898119894119899 119882119911119898119886119909 119882119910119898119894119899 119882119910119898119886119909
e) momentele de inerție principale 1198681 1198682 și direcțiile principale de inerție 1205721
f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 119878119911
Fig 49 Aplicație
Rezolvare Pentru rezolvare vom parcurge următoarele etape
icircmpărțim suprafața compusă icircn două suprafețe simple (dreptunghiuri) notate cu
① și respectiv ② figura 49b
poziționăm centrele de greutate a celor două suprafețe simple ① și respectiv ②
notate cu 1198661 și respectiv 1198662 figura 49c
poziționăm sistemele de axe de coordonate 119911111986611199101 pentru dreptunghiul ① și
119911211986621199102 pentru dreptunghiul ② aflate la intersecția diagonalelor figura 49c
poziționăm sistemele de axe de coordonate 11991101198741199100 ales arbitrar față de care
determinăm poziția centrului de greutate 119866 figura 49c
a) calculăm poziția centrului de greutate folosind relațiile (46) icircn care
1198601 = 6119905 ∙ 119905 = 61199052 1198602 = 4119905 ∙ 119905 = 41199052 119860 = 1198601 + 1198602 = 61199052 + 41199052 = 101199052
iar centrele de greutate 1198661 și respectiv 1198662 au coordonatele (față de sistemul 11991101198741199100)
1198661 1199101 = 3119905 1199111 = 05119905
1198662 1199102 = 051199051199112 = 3119905
cu acestea obținem
119910119866 =1198601 ∙ 1199101 + 1198602 ∙ 1199102
119860=61199052 ∙ 3119905 + 41199052 ∙ 05119905
101199052=201199053
101199052= 2119905
119911119866 =1198601 ∙ 1199111 + 1198602 ∙ 1199112
119860=61199052 ∙ 05119905 + 41199052 ∙ 3119905
101199052=151199053
101199052= 15119905
Poziționăm centrul de greutate 119866 al suprafeței compuse figura 49c
Fig 49 Aplicație
b) pentru determinarea momentelor de inerție axiale 119868119911 119868119910 și a momentului de
inerție centrifugal 119868119910119911 determinăm constantele 1198881 1198882 1198891 1198892 care intervin icircn relația lui
Stainer
1198881 = 1199101 minus 119910119866 = 3119905 minus 2119905 = 119905 1198882 = minus(119910119866 minus 1199102) = minus(2119905 minus 05119905) = minus15119905
1198891 = minus(119911119866 minus 1199111) = minus(15119905 minus 05119905) = minus119905 1198892 = 1199112 minus 119911119892 = 3119905 minus 15119905 = 15119905
Folosind relațiile lui Stainer (429) (430) și (431) calculăm momentele de
inerție axiale și centrifugale față de sistemul central 119911119866119866119910119866
119868119911 =sum(119868119911119894 + 1198881198942 ∙ 119860119894) = 1198681199111 + 1198881
2 ∙ 1198601 + 1198681199112 + 11988822 ∙ 1198602
119868119910 =sum(119868119910119894 + 1198891198942 ∙ 119860119894) = 1198681199101 + 1198891
2 ∙ 1198601 + 1198681199102 + 11988922 ∙ 1198602
119868119911119910 =sum(119868119911119894119910119894 + 119888119894 ∙ 119889119894 ∙ 119860119894) = 11986811991111199101 + 1198881 ∙ 1198891 ∙ 1198601 + 11986811991121199102 + 1198882 ∙ 1198892 ∙ 1198602
1198681199111 = (119887 ∙ ℎ3
12) =
119905 ∙ (6119905)3
12= 181199054 1198681199112 = (
119887 ∙ ℎ3
12) =
4119905 ∙ 1199053
12= 031199054
1198681199101 = (1198873 ∙ ℎ
12) =
1199053 ∙ 6119905
12= 051199054 1198681199102 = (
1198873 ∙ ℎ
12) =
(4119905)3 ∙ 119905
12= 531199054
11986811991111199101 = 11986811991121199102 = 0 deoarece cele două triunghiuri au cel puțin o axă de simetrie
Cu acestea momentele de inerție axiale și momentul de inerție centrifugal devin
119868119911 = 181199054 + 1199052 ∙ 61199052 + 031199054 + (minus15119905)2 ∙ 41199052 = 3331199054
119868119910 = 051199054 + (minus119905)2 ∙ 61199052 + 531199054 + (15119905)2 ∙ 41199052 = 2081199054
119868119911119910 = 0 + 119905 ∙ (minus119905) ∙ 61199052 + 0 + (minus15119905) ∙ (15119905) ∙ 41199052 = minus151199054
c) razele de inerție sau de girație față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910
se calculează cu relațiile (411)
119894119911 = radic119868119911119860= radic
3331199054
101199052= 182119905 119894119910 = radic
119868119910
119860= radic
2081199054
101199052= 144119905
d) modulele de rezistență față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910 se
calculează cu relațiile (412) și (413)
Avacircnd icircn vedere figura 419c obținem
119910119898119886119909 = 6119905 minus 119910119866 = 6119905 minus 2119905 = 4119905 119910119898119894119899 = minus119910119866 = minus2119905
119911119898119886119909 = 5119905 minus 119911119866 = 5119905 minus 15119905 = 35119905 119911119898119894119899 = minus119911119866 = minus15119905
Se obține astfel
119882119911119898119894119899 =119868119911
|119910119898119886119909|=3331199054
4119905= 8331199053
119882119911119898119886119909 =119868119911
|119910119898119894119899|=3331199054
2119905= 16651199053
119882119910119898119894119899 =119868119910
|119911119898119886119909|=2081199054
35119905= 5941199053
119882119910119898119886119909 =119868119910
|119911119898119894119899|=2081199054
15119905= 13871199053
e) momentele de inerție principale 1198681 și respectiv 1198682 se calculează cu relațiile
(438)
11986812 =119868119911 + 119868119910
2plusmn1
2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)
2+ 4 ∙ (119868119911119910)
2=
=3331199054 + 2081199054
2plusmn1
2∙ radic(3331199054 minus 2081199054)2 + 4 ∙ (minus151199054)2 = 27051199054 plusmn 16251199054
De unde obținem
1198681 = 27051199054 + 16251199054 = 4331199054
1198682 = 27051199054 minus 16251199054 = 1081199054
Prima direcție principală de inerție 1 face cu axa centrală 119866119911 unghiul 1205721 dat de
relația (437)
1205721 =1
2∙ arctan (minus
2 ∙ 119868119911119910
119868119911 minus 119868119910) =
1
2∙ arctan [minus
2 ∙ (minus151199054)
3331199054 minus 2081199054] =33 70
Deoarece 1205721 gt 0 rotirea axelor se face acircn sens antiorar acelor de ceasornic figura
49d
Poziția axe principale 2 față de care momentul de inerție are valoarea minimă
1198682 = 119868119898119894119899 este dată de unghiul
1205722 = 1205721 + 900 = 33 70 + 900 = 123 70
f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 se determină cu relația
(45)
1198781199111198602 = 1198602 ∙ 1198882 = 41199052 ∙ (minus15119905) = minus61199053
deplasarea pe direcţia 119909 cu ∥ 119874119909
deplasarea pe direcţia 119910 cu ∥ 119874119910
deplasarea pe direcţia 119911 cu ∥ 119874119911
Componentele deplasărilor și formeză matricea deplasărilor liniare 119906119907119908
322 Deformații
Prin deformație icircn general se icircnțelege orice schimbare de formă a unui corp fără
o evaluare cantitativă Icircn Rezistența Materialelor deformația măsoară variația
dimensiunilor geometrice ale corpului considerat din vecinătatea unui punct analog
deplasărilor deformațiile pot fi liniare și unghiulare (lunecări)
Fig 36 Deplasarea liniară
Deformația liniară ∆119897 reprezintă variația lungimii 119897 a unui element liniar al
corpului deformat figura 36 Deformația liniară specifică se definește ca fiind raportul
dintre deformația liniară și lungimea inițială
휀 =∆119897
119897 (38)
unde ∆119897 este lungirea sau scurtarea care este echivalentă cu deformția liniară totală iar
este alungirea
Deformația unghiulară sau lunecarea unui punct 119860 icircn planul 119861119860119862 se definește
prin relația figura 37
120574 = lim119861119860rarr0119862119860rarr0
(119861119860 minus 119861111986011198621 ) (39)
Fig 36 Deformația unghiulară
Schimbacircnd orientarea planului care trece prin 119860 se obțin alte deformații
unghiulare Dacă elementele liniare 119861119860 și 119862119860 sunt inițial perpendiculare deformația 120574 se
numește deformație unghiulară specifică sau lunecare specifică figura 37
Un exemplu de deplasare unghiulară și de deformație unghiulară este prezentat icircn
figura 38 Unghiul este deplasarea unghiulară și măsoară rotirea relativă dintre două
secțiuni aflate la distanța 119897 Unghiul este deformația specifică unghiulară (lunecarea
specifică) din punctul 119870 Aceste deplasări și deformații se obțin icircn urma solicitării barei
de către cele două momente 1198720 egale și de sens contrar
Fig 38 Deplasarea unghiulară
Pentru a analiza starea de deformație din vecinătatea unui punct al unui corp
solicitat complex se decupează din jurul punctului un element de volum mic figura 39a
avacircnd laturile 119889119909 119889119910 și 119889119911 Ca urmare a solicitării laturile acestuia se vor lungi sau
scurta Reprezentarea elementului deformat icircn spațiu este dificilă pentru simplificare
vom analiza doar deformațiile din planul 119909119874119910 Observăm că dimensiunile 119889119909 și 119889119910 s-au
modificat cu valoarea ∆119889119909 respectiv cu ∆119889119910 analog se acceptă și pentru 119889119911 o modificare
de forma ∆119889119911 Astfel se pot defini deformațiile specifice liniare
휀119909 =∆119889119909
119889119909 휀119910 =
∆119889119910
119889119910 휀119911 =
∆119889119911
119889119911 (310)
De cele mai multe ori aceste deformații specifice liniare se pot exprima procentual
și se mai numesc alungiri
Fig 39 Starea de deformație
Icircn figura 39c se vede că unghiul inițial drept dintre muchiile 119889119909 și 119889119910 ale
elementului de volum s-a modificat Se definește deformația specifică unghiulară (sau
lunecarea specifică) mărimea cu care se modifică unghiul inițial drept
120574119909119910 = 120574119909119910prime + 120574119910119909
prime = 120574119910119909120574119910119911 = 120574119910119911
prime + 120574119911119910prime = 120574119911119910
120574119911119909 = 120574119911119909prime + 120574119909119911
prime = 120574119909119911
(311)
Deformațiile 휀119909 휀119910 휀119911 120574119909119910 120574119910119911 120574119911119909 constituie cele șase componente
independente ale tensorului deformațiilor specifice care pot fi scrise de forma
119863 =
휀119909 120574119909119910 120574119909119911120574119910119909 휀119910 120574119910119911120574119911119909 120574119911119910 휀119911
(312)
323 Contracţia transversală
Practica arată că odată cu lungirea unei bare apare o micşorare a mărimii secţiunii
transversale mărime numită contracţie transversală figura 310
Fig 310 Contracția transversală
Contracţia transversală este proporţională cu lungirea specifică coeficientul de
proporţionalitate se notează cu 120599 şi se numeşte coeficient de contracţie transversală sau
coeficientul lui Poisson
La o lungire specifică a barei contracţia transversală este dată de relația
휀119905119903 = 휀119910 = 휀119911 = minus120599 ∙ 휀119909 (313)
Semnul minus bdquo-rdquo arată că cele două mărimi sunt contrare dacă una creşte cealaltă
scade şi invers
Considerăm o bară cilindrică de lungime 119897 şi aria secţiunii transversale 119860 solicitată
la icircntindere axială La un moment dat datorită solicitării lungimea barei devine
[119897 ∙ (1 + 휀)] diametrul devine [119889 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)] iar aria secţiunii transversale devine
[119860 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)2] Dacă volumul barei icircnainte de solicitare a fost (119860 ∙ 119897) după solicitare
acesta devine
119881 + ∆119881 = 119860 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)2 ∙ 119897 ∙ (1 + 휀) =
= 119860 ∙ 119897 ∙ (1 + 휀 minus 2 ∙ 120599 ∙ 휀 minus 2 ∙ 120599 ∙ 휀2 + 1205992 ∙ 휀2 + 1205992 ∙ 휀3) (314)
Deoarece lungirile sunt foarte mici ultimii trei termeni din paranteză fiind infinit mici se pot neglija obţinacircnd
119881 + ∆119881 = 119860 ∙ 119897 + 119860 ∙ 119897 ∙ 휀 ∙ (1 minus 2 ∙ 120599) ⟺ ∆119881 = 휀 ∙ (1 minus 2 ∙ 120599) ∙ 119860 ∙ 119897 (315)
Practica arătă că o astfel de bară solicitată la icircntindere icircşi măreşte volumul deci
∆119881 gt 0 de unde rezultă că
1 minus 2 ∙ 120599 gt 0 rArr 120599 lt 05 (316)
Pentru majoritatea materialelor 120599 = 033 iar pentru materialele care-şi păstrează
volumul constant 120599 = 05
33 Relaţii de echivalenţă icircntre eforturi şi tensiuni
Considerăm un element de suprafață infinit mic 119889119860 situat pe fața de arie (119860) a
secțiunii barei din figura 311 Icircn centrul de greutate 119862 al secțiunii acționează eforturile
119873 119879119910 119879119911 119872119909 119872119894119910 și 119872119894119911 determinate prin metoda secțiunilor
Icircn raport cu un sistem de axe de referință 119909119862119910119911 coordonatele elementului 119889119860 sunt
- 119910 este ordonata elementului de arie 119889119860
- 119911 este abscisa elementului de arie 119889119860
Pe elementul de arie 119889119860 acționează tensiunile
120590119909 tensiunea normală
120591119909119910 și 120591119909119911 tensiuni tangențiale
Dacă se icircnsumează forțele elementare de tipul 120590119909 ∙ 119889119860 120591119909119910 ∙ 119889119860 și 120591119909119911 ∙ 119889119860
va trebui să obținem eforturile 119873 119879119910 și 119879119911
Fig 311 Element de suprafață mic din secțiunea unei bare
Dacă eforturile sunt privite ca forțe exterioare și se scriu ecuațiile de
echilibru ale secțiunii (119860) se vor obține șase relații de echivalență icircntre eforturi și
tensiuni
(sum119883) = 0 rArr int 120590119909 ∙ 119889119860
119860
= 119873 (317)
(sum119884) = 0 rArr int 120591119909119910 ∙ 119889119860
119860
= 119879119910 (318)
(sum119885) = 0 rArr int 120591119909119911 ∙ 119889119860
119860
= 119879119911 (319)
(sum119872)119909= 0 rArr int(120591119909119911 ∙ 119889119860) ∙ 119910
119860
minus int(120591119909119910 ∙ 119889119860) ∙ 119911
119860
= 119872119909 rArr
rArr int(119910 ∙ 120591119909119911 minus 119911 ∙ 120591119909119910) ∙ 119889119860
119860
= 119872119909
(320)
(sum119872)119910= 0 rArr int(120590119909 ∙ 119889119860) ∙ 119911
119860
= 119872119894119910 (321)
(sum119872)119911= 0 rArr int(120590119909 ∙ 119889119860) ∙ 119910
119860
= 119872119894119911 (322)
Cele șase relații de echivalență icircntre eforturi și tensiuni constituie un pas icircnainte
icircn rezolvarea unei probleme de rezistența materialelor Aceste relații vor permite
determinarea tensiunilor maxime
Pentru a rezolva cele 6 relații de echivalență trebuie să se cunoască tensiunile și
ca funcții de punct adică funcții de forma
120590119909 = 120590119909(119909 119910 119911) 120591119909119910 = 120591119909119910(119909 119910 119911) 120591119909119911 = 120591119909119911(119909 119910 119911) (32
3)
Cunoașterea acestor funcții presupune icircnsă analizarea aspectului geometric al
problemei precum și utilizarea unor ipoteze simplificatoare care să permită simplificarea
problemelor
34 Ipoteze de bază icircn rezistenţa materialelor
Depășirea dificultăților legate de interpretarea unor fenomene specifice mecanicii
solidului deformabil a impus acceptarea unor ipoteze care să simplifice fenomenele și să
contribuie la elaborarea unor modele de calcul cicirct mai generale și cacirct mai simple Aceste
ipoteze se referă la structura materialelor şi la comportarea lor sub acţiunea forţelor
exterioare Ipotezele acceptate trebuie să fie icircn deplină concordanţă cu realitatea și să
conducă la rezultate verificate icircn practică
Funcție de aspectele la care se referă ipotezele pot fi
Ipoteze fizice (de material)
Ipoteze de calcul
341 Ipoteze fizice
Se acceptă deoarece teoriile structurale au condus la rezultate care contravin
icircncercărilor experimentale
Ipoteza mediului continuu consideră că orice domeniu elementar al corpului
este ocupat de materie adică nu se acceptă existența unor goluri sau a unor crăpături
microscopice (fisuri) Deși nu corespunde realităţii poate fi acceptată deoarece
dimensiunile corpului sunt mult mai mari decacirct dimensiunile particulelor elemantare Are
avantajul că permite utilizarea proprietăților matematice ale funcțiilor continue pentru
tensiunile și deformațiile din orice punct al corpului Ea este mai apropiată de realitate la
corpurile amorfe şi mai depărtată la cele cristaline dar conduce la rezultate satisfăcătoare
icircn calculele de rezistenţă
Ipoteza nu se poate aplica la corpurile care au goluri tăieturi (multiplu conexe)
pentru unele puncte singulare icircn care tensiunile și deformațiile tind la infinit sau icircn unele
probleme de plasticitate icircn care proprietățile de material au un rol esențial
Ipoteza izotropiei conform acestei ipoteze materialul din care este confecționat
un element de rezistență are aceleași proprietăți după orice direcție un astfel de material
este considerat izotrop Din punct de vedere macroscopic metalele pot fi considerate
izotrope deși la nivel microscopic proprietățile lor diferă de la o direcție cristalografică
la alta Orice conglomerat de cristale poate fi considerat izotrop
Există cazuri cacircnd această ipoteză a izotropiei nu se acceptă
la metalele puternic deformate după o direcție (prin laminare trefilare)
la piesele confecționate din lemn lemnul este anizotrop deoarece proprietățile sale
diferă după două direcții (icircn lungul fibrelor și perpendicular pe această direcție)
Ipoteza omogenității consideră că un corp are aceleași proprietăți icircn orice
punct al său Deși majoritatea materialelor utilizate icircn tehnică sunt eterogene la scară
micro fiind constituite din mai multe faze cu proprietăți diferite la scară macro ele pot
fi considerate omogene Omogenitatea și izotropia sunt proprietăți statistice medii care
nu se condiționează una pe cealaltă Chiar și materialele monofazice pot avea la scară
micro unele segregații care le fac eterogene
Ipoteza elasticităţii perfecte presupune că atacircta timp cacirct solicitările nu
depăşesc anumite limite materialul are o comportare elastică adică icircşi recapătă forma şi
dimensiunile iniţiale odată cu icircnlăturarea sarcinilor Icircn realitate materialele nu prezintă o
elasticitate perfectă ele avacircnd deformaţii remanente mici care icircnsă pot fi neglijate icircn
calculele de rezistenţă
Acceptarea acestei ipoteze a elasticității perfecte permite
- aplicarea relației biunivoce icircntre tensiuni și deformații relație exprimată de legea
lui Hooke ( = 119864 ∙ 휀) unde E este un factor de proporţionalitate numit modul de
elasticitate longitudinal al materialului pentru oţel 119864 = 21 ∙ 105 [119872119875119886] - acceptarea valabilității afirmației bdquolucrul mecanic efectuat de forțele exterioare
ca urmare a parcurgerii deplasărilor punctelor de aplicație se icircnmagazinează integral icircn
corp sub formă de energie de deformație energie cedată la icircndepărtarea sarcinilorrdquo
- este valabilă teoria conform căreia bdquoenergia icircnmagazinată și deformațiile depind
doar de starea inițială și finală de eforturi fără a ține cont de modul icircn care s-a ajuns la
starea finalărdquo
Icircn realitate oricacirct de mici ar fi sarcinile aplicate se produc și deformații plastice
dar acestea pot fi neglijate dacă solicitarea nu depășește anumite limite
342 Ipoteze de calcul
Ipoteza micilor deplasări bdquodeplasările datorate deformării sunt mult mai mici
decacirct dimensiunile corpurilor și ca urmare pot fi neglijate produsele dintre o deplasare și
ea icircnsăşirdquo Pentru cele mai multe corpuri deformaţiile elastice sunt de mărimi mici deci
corpurile solide sub acţiunea sarcinilor icircşi modifică foarte puţin forma iniţială Această
ipoteză este cunoscută şi sub denumirea de ipoteza menţinerii dimensiunilor iniţiale Ea
permite scrierea ecuaţiilor de echilibru ale staticii pe starea nedeformată a elementului
cacircnd nu se iau icircn considerare deplasările punctelor de aplicaţie ale forţelor care se produc
ca urmare a deformării acestuia Calculul efectuat pe schema nedeformată poartă numele
de calcul de ordinul I
Ipoteza micilor deplasări nu poate fi acceptată pentru studiul problemelor de
stabilitate sau la problemele la care nu pot fi icircndeplinite condiţiile de echilibru icircn starea
nedeformată
Calculul de ordinul II admite ipoteza micilor deplasări dar ecuaţiile de echilibru
se scriu icircnsă pentru starea deformată a elementului de rezistenţă
Calculul de ordinul III nu mai acceptă ipoteza micilor deplasări el referindu-se
la cazul deformaţiilor mari cacircnd ecuaţiile de echilibru trebuie scrise pentru starea
deformată
Chiar dacă materialul satisface legea lui Hooke icircn urma calculelor de ordinul II
se obţin de obicei relaţii neliniare icircntre sarcini şi deplasări iar pentru calculul de ordinul
III rezultă ecuaţii diferenţiale neliniare
Principiul efectului local al acțiunii sarcinilor enunțat de Barre de Saint-
Venant Acest principiu destul de folosit icircn Rezistenţa Materialelor precizează că dacă
se icircnlocuiesc forţele care acţionează asupra unui element de suprafață al unui corp
elastic printr-un alt sistem de forţe echivalent din punct de vedere static cu primul noua
distribuţie a forţelor produce la locul de aplicare diferenţe semnificative faţă de prima
dar rămacircne fără efect sau cu efect neglijabil la distanţe mari de locul de aplicare al
forţelor figura 312
Ca o cosecință o sarcină uniform distribuită figura 312a poate fi icircnlocuită cu
rezultanta ei figura 312b dacă se analizează efectul sarcinii la distanță mare de locul icircn
care se aplică sarcina
Fig 312 Principiul Saint-Venant
Icircn prima variantă figura 312a forţa 119865 se aplică pe o porțiune oarecare 119897 (sarcină
uniform distribuită) iar icircn a doua figura 312b icircntru-un punct (forţă concentrată) La
locul de aplicare a sarcinii efectul asupra barei este cu totul diferit de la o variantă la
cealaltă Icircnsă la o distanţă mare de punctul de aplicaţie spre exemplu icircn secţiunea situată
la distanţa 119886 de capătul barei sau chiar icircn icircncastrare ambele bare sunt solicitate la fel
Icircn cazul din figura 312a
119872119894(119909) =119901 ∙ 1199092
2 119909 le 119897 119872119894(119909) = 119901 ∙ 119897 ∙ (119909 minus
119897
2) 119909 gt 119897 (324)
Icircn cazul din figura 312b
119872119894(119909) = 0 119909 lt119897
2 119872119894(119909) = 119901 ∙ 119897 ∙ (119909 minus
119897
2) 119909 gt
119897
2 (325)
Se vede că pentru (119909 gt 119897) adică după depășirea locului icircn care se aplică sarcina
efectul este același
Ipoteza lui Bernoulli sau ipoteza secţiunilor plane precizează că o secţiune
plană şi normală pe axa barei icircnainte de deformare rămacircne plană şi normală pe axa
barei şi după deformare figura 313
Fig 313 Ipoteza lui Bernoulli
Ipoteza stării naturale a corpului sau ipoteza absenţei tensiunilor conform
căreia pentru un corp nesolicitat starea de tensiune şi deformaţie este nulă
Perfecţionarea mijloacelor de calcul şi de investigare pot conduce la renunţarea la
unele ipoteze sau la introducerea altora noi mai aproape de stările reale De aici rezultă
caracterul de continuă perfecţionare a metodelor Rezistenţei Materialelor
35 Coeficienţi de siguranţă Tensiuni admisibile
O piesă corespunde din punct de vedere tehnic dacă tensiunile care iau naştere icircn
interiorul piesei datorită sarcinilor aplicate nu depăşesc anumite valori limită stabilite
convenţional Aceste valori limită ale tensiunii sunt corelate cu caracteristicile mecanice
ale materialelor
Tensiunea limită utilizată icircn calculele de rezistenţă este cunoscută sub denumirea
de tensiune admisibilă sau rezistenţă admisibilă Rezistenţa admisibilă reprezintă
valoarea convenţională aleasă icircn calcul pe baza practicii pentru tensiunea maximă care
poate apare icircntr-o piesă icircn condiţii date de material şi solicitare
Rezistenţa admisibilă (120590119886 sau 120591119886) poate fi definită faţă de o stare limită
periculoasă stare care trebuie evitată deoarece poate conduce distrugere
120590119886 =120590119897119894119898119888
(326)
unde
120590119897119894119898 este tensiunea corespunzătoare stării limită periculoase
119888 estesupraunitar 119888 gt 1 și reprezintă coeficientul de siguranţă faţă de starea limită
periculoasă considerată
Alegerea unor valori inferioare pentru rezistenţa admisibilă faţă de tensiunea
corespunzătoare stării limită periculoase este necesară deoarece
cunoaşterea sarcinilor este de cele mai multe ori aproximativă şi o depăşire a
acestora este foarte posibilă
caracteristicile mecanice ale materialelor variază icircn limite destul de mari ele
fiind influenţate de mulţi factori
schema aleasă pentru calcul (aplicarea sarcinilor schematizarea structurii
ipotezele de calcul etc) depărtează modelul faţă de cel real
Pentru calculele de verificare tensiunea efectivă maximă din elementul de
rezistenţă trebuie să fie mai mică sau cel mult egală cu cea admisibilă
120590119890119891119898119886119909 le 120590119886 (327)
Valoarea rezistenţei admisibile este influenţată de foarte mulţi factori natura
materialului tratamentele termice aplicate piesei durata de funcţionare a piesei modul
de acţionare icircn timp a sarcinilor felul solicitării temperatura gradul de periculozitate
icircn cazul cedării piesei etc
De asemenea valoarea coeficientului de siguranţă se alege icircn principal ţinacircnd
seama de aceiaşi factori care influenţează şi rezistenţa admisibilă
Rezistenţele admisibile pentru cacircteva materiale sunt următoarele
pentru oțelul de uz general OL37 solicitat la icircntindere compresiune sau
icircncovoiere 120590119886 = 150 [119872119875119886] pentru lemnul de brad solicitat la
- compresiune icircn lungul fibrelor şi solicitat la icircncovoiere 120590119886 = 10 [119872119875119886] - tracţiune icircn lungul fibrelor 120590119886 = 7 [119872119875119886] - compresiune perpendiculară pe fibre 120590119886 = 15 [119872119875119886] - forfecare icircn lungul fibrelor 120591119886 = 2 [119872119875119886] - forfecare perpendiculară pe fibre 120590119886 = 45 [119872119875119886]
terenuri de fundaţie din pămacircnt uscat sau umed 120590119886 = 020 divide 025 [119872119875119886]
4 CARACTERISTICI GEOMETRICE ALE SECȚIUNILOR PLANE
41 Noţiuni introductive
Icircn relaţiile de calcul ale tensiunilor şi deformaţiilor elementelor de rezistenţă
pentru unele solicitări (icircncovoierea și torsiunea) secțiunile plane intervin atacirct prin
dimensiunile lor (aria 119860) cicirct și prin forma și poziția pe care o are secțiunea icircn raport cu
planul solicitării Mărimile care caracterizează o secțiune icircn raport cu forma și poziția față
de axele unui sistem de referință sunt denumite caracteristici geometrice de ordin
superior Aria secțiunii este caracteristica geometrică ce depinde doar de dimensiunile
geometrice ale acesteia
Să considerăm o grindă solicitată de o forță exterioară 119865 aşezată icircn două poziții icircn
raport cu planul forţei figura 41 Icircn urma aplicării forței deși avem aceeași grindă
(aceeași arie a secțiunii transversale) și aceeași forță se constată că pentru varianta din
figura 41a deformațiile sunt mult mai mari adică rezistența la icircncovoiere a grinzii din
figura 41a este mai mare decacirct icircn cazul grinzii din figura 41b Comportarea diferită se
explică prin aceea că modificarea poziţiei secţiunii transversale faţă de planul forţelor
modifică caracteristicile geometrice ale secţiunii transversale a grinzii
Fig 41 Grindă solicitată de forța 119865
Pentru realizarea calculelor de rezistenţă şi rigiditate este foarte importantă
cunoaşterea caracteristicilor geometrice ale suprafeţei secţiunii transversale a elementelor
de rezistenţă
Caracteristicile geometrice ale secţiunii transversale a unui element de rezistenţă
sunt
- aria secțiunii notată cu 119860
- momentul static icircn raport cu o axă notat 119878119911 și respectiv 119878119910
- momentul de inerție care poate fi
axial notat 119868119911 și respectiv 119868119910
centrifugal notat 119868119911119910
polar notat 119868119901
- raza de inerţie (giraţie)notată 119894119911 și respectiv 119894119910
- modulul de rezistență care poate fi
axial notat 119882119911 și respectiv 119882119910
polar notat 119882119901
42 Aria și momentul static al suprafețelor plane
Fie o suprafaţă plană de arie 119860 pe care se ia un element infinit mic de arie 119889119860 şi
un sistem de axe rectangulare 119911119874119910 figura 42 Notăm cu 119862 centrul de greutate al suprafeţei
119860 Poziţia suprafeţei elementare 119889119860 faţă de acelaşi sistem de coordonate 119911119874119910 este dată
de abscisa 119911 ordonata 119910 și raza polară
Fig 42 Suprafață plană de arie 119860
Aria suprafeţei 119860 figura 42 se defineşte ca fiind
119860 ≝ int 119889119860
119860
(41)
Aria suprafeţei este icircntotdeauna pozitivă și se măsoară icircn [1198981198982] Momentul static al suprafeţei de arie 119860 icircn raport cu axele 119874119911 și respectiv 119874119910
figura 42 sunt date de relaţiile
119878119911 ≝ int 119910 ∙ 119889119860
119860
119878119910 ≝ int 119911 ∙ 119889119860
119860
(42)
Momentul static poate fi pozitiv negativ sau nul şi se măsoară icircn [1198981198983] Coordonatele centrului de greutate ale suprafeței 119860 se detrmină cu relațiile
119910119862 ≝int 119910 ∙ 119889119860119860
119860 119911119862 ≝
int 119911 ∙ 119889119860119860
119860
(43)
Cunoscacircnd coordonatele 119910119862 și 119911119862 ale centrului de greutate 119862 al secțiunii 119860 atunci
momentele statice se pot determina cu relațiile
119878119911 ≝ int 119910 ∙ 119889119860
119860
= 119910119862 ∙ 119889119860 119878119910 ≝ int 119911 ∙ 119889119860
119860
= 119911119862 ∙ 119889119860 (44)
Aceste relații arată că momentul static al unei suprafețe icircn raport cu o axă este
egal cu produsul dintre aria suprafeței și distanța de la centrul ariei la axa respectivă
Dacă suprafaţa se poate descompune icircn 119899 suprafeţe simple la care se cunosc ariile
(1198601 1198602 ⋯ 119860119894⋯ 119860119899) și poziţiile centrelor de greutate 119862119894 faţă de sistemul de referinţă
expresiile momentelor statice capătă următoarea formă
119878119911 = sum 119910119862119894 ∙ 119860119894119899119894=1 = 119910119862 ∙ 119860 119878119910 = sum 119911119862119894 ∙ 119860119894
119899119894=1 = 119911119862 ∙ 119860 (45)
Din relaţiile (45) rezultă că poziţia centrului de greutate 119862 al unei suprafeţe
compuse poate fi determinată cu relaţiile
119910119862 = (sum119910119862119894 ∙ 119860119894
119899
119894=1
) 119860frasl 119911119862 = (sum119911119862119894 ∙ 119860119894
119899
119894=1
) 119860frasl (46)
Icircn relația (45) 119910119862119894 și respectiv 119911119862119894 reprezintă coordonatele centrelor de greutate 119862119894
ale fiecărei suprafețe simple 119860119894 icircn raport sistemul de axe 119911119874119910
Se constată (relaţia 42) că dacă axele sistemului de referinţă trec prin centrul de
greutate (119910119862 = 119911119862 = 0) momentele statice sunt nule Axele icircn raport cu care momentele
statice sunt nule şi care trec prin centrul de greutate al suprafeţei se numesc axe centrale
Observație dacă secțiunea compusă are o axă de simetrie centrul secțiunii se
găsește pe acea axă iar dacă secțiunea este dublu simetrică poziția centrului secțiunii este
la intersecția axelor de simetrie
43 Momente de inerţie
Momentele de inerţie axiale ale unei suprafețe se calculează icircn raport cu axele de
coordonate 119874119911 și respectiv 119874119910 figura 42 și se determină cu relațiile
119868119911 ≝ int 1199102 ∙ 119889119860
119860
119868119910 ≝ int 1199112 ∙ 119889119860
119860
(47)
Unde 119910 și 119911 sunt distanțele de la elementul de arie 119889119860 la cele două axe de
coordonate 119874119911 și respectiv 119874119910
Momentele de inerţie axiale se măsoară icircn [1198981198984] şi sunt icircntotdeauna pozitive (aria
119889119860 este icircntotdeauna pozitivă și este multiplicată cu patratul distanței 1199102 dacă 119868119911 sau 119868119910
sunt nule icircnseamnă ca secțiunea nu există)
Momentele de inerție axiale se calculează icircndeosebi pentru axele centrale (care
trec prin centrul secțiunii) deoarece icircn raport cu acele axe 119868119911 și 119868119910 au valori minime
Momentul de inerţie centrifugal calculat faţă ambele axe ale sistemului de
referinţă 119911119874119910 este definit de relația
119868119911119910 ≝ int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860
(48)
Momentul de inerţie centrifugal se măsoară icircn [1198981198984] şi poate fi pozitiv negativ
sau nul
Momentul de ineție centrifugal este nul 119868119911119910 = 0 dacă cel puțin una din axele 119874119911
sau 119874119910 este axă de simetrie pentru secțiune
Se consideră o suprafaţă dreptunghiulară pe care faţă de axa de simetrie 119874119910 se iau
două suprafeţe elementare de arie 119889119860 simetrice faţă de axa 119874119910 figura 43
Fig 43 Suprafață dreptunghiulară cu două arii elementare 119889119860
Făcacircnd suma momentelor de inerţie centrifugale pentru cele două suprafeţe
elementare 119889119860 (din stacircnga şi din dreapta faţă de axa 119874119910) se obţine
int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860119889119903
+ int (minus119911) ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860119904119905119892
= int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860119889119903
minus int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860119904119905119892
= 0 (49)
Acelaşi raţionament se poate face și pentru icircntreaga suprafaţă de unde obținem că
momentul de inerție centrifugal este nul 119868119911119910 = 0 Deci pentru o suprafaţă plană care
are cel puţin o axă de simetrie momentul de inerţie centrifugal faţă de sistemul care
conţine acea axă de simetrie este nul
Momentul de inerţie polar al unei suprafeţei icircn raport cu un punct (pol) 119874 figura
42 este definit prin relaţia
1198680 = 119868119901 ≝ int 1205882 ∙ 119889119860
119860
= int(1199102 + 1199112) ∙ 119889119860
119860
= 119868119911 + 119868119910 (410)
unde este distanţa de la polul 119874 la elementul de arie 119889119860 Momentul de inerţie polar se
măsoară icircn [1198981198984] şi este totdeauna pozitiv
Momentul de inerţie polar este egal cu suma momentelor de inerţie faţă de două axe
perpendiculare oarecare şi care trec prin polul considerat
Razele de giraţie sau razele de inerţie sunt mărimi calculate icircn raport cu axele
secțiunii și definite de relaţiile
119894119911 ≝ radic119868119911119860 119894119910 = radic
119868119910
119860 (411)
Se exprimă icircn [119898119898] şi sunt icircntotdeauna pozitive Semnificația unei raze de inerție
este distanța la care dacă ar fi concentrată icircntreaga arie s-ar obține același moment de
inerție ca și cel calculat pentru aria reală
44 Modulul de rezistenţă
Modulul de rezistență se calculează icircn raport cu axele de referință sau icircn raport cu
un pol figura 42 și pot fi axiale (119882119911119882119910) sau polar (119882119901) și se determină numai pe baza
momentelor de inerţie cu relațiile figura 43
119882119911119898119894119899 ≝119868119911119910119898119886119909
119882119911119898119886119909 ≝119868119911119910119898119894119899
(412)
119882119910119898119894119899 ≝119868119910
119911119898119886119909 119882119910119898119886119909 ≝
119868119910
119911119898119894119899 (413)
119882119901 ≝119868119901
120588119898119886119909 (414)
unde
119910119898119886119909 119910119898119894119899 reprezintă distanţa de la axa 119874119911 la punctele extreme cele mai
depărtate respectiv cele mai apropiate ale suprafeţei de această axă
119911119898119886119909 119911119898119894119899 reprezintă distanţa de la axa 119874119910 la punctele extreme cele mai
depărtate respectiv cele mai apropiate ale suprafeţei de această axă
120588119898119886119909 reprezintă distanța maximă de la polul 119874 la punctul secțiunii cel mai
icircndepărtat de acesta
Fig 43 Suprafață dreptunghiulară cu două arii elementare 119889119860
Modulele de rezistenţă se exprimă icircn [1198981198983] şi sunt icircntotdeauna pozitive
Explicația este aceea că momentele de inerție care intră icircn relațiile de definiție sunt
pozitive iar distanțele la punctele extreme sunt pozitive (119910119898119886119909 119910119898119894119899 119911119898119886119909 119911119898119894119899 120588119898119886119909 se
iau icircn valoare absolută)
Icircn cazul suprafeţelor compuse modulul de rezistenţă nu se obţine prin icircnsumarea
algebrică a modulelor de rezistenţă ale suprafeţelor simple componente ci numai prin
intermediul momentului de inerţie axial calculat pentru icircntreaga secțiune
Ca și momentele de inerție modulele de rezistență se calculează numai pentru
sistemele de axe centrale
45 Momente de inerţie şi module de rezistenţă pentru suprafeţe simple
451 Secțiune dreptunghiulară
Fie suprafaţa dreptunghiulară din figura 44 de icircnălțime ℎ și lățime 119887 pe care se
consideră suprafaţă elementară de arie 119889119860 = 119887119889119910 la distanța 119910 de axa 119862119911 sistemul de
axe 119911119862119910 trece prin centrul secțiunii iar axele sunt axe de simetrie pentru dreptunghi
Fig 44 Suprafață dreptunghiulară
Pe baza relațiilor de definiți a momentului de inerție 119868119911 se obține
119868119911 ≝ int 1199102 ∙ 119889119860
119860
= int 1199102 ∙ 119887 ∙ 119889119910 = 2int 1199102 ∙ 119887 ∙ 119889119910 = 2 ∙ 119887 ∙1199103
3|ℎ 2frasl
0rArr
ℎ 2frasl
0
ℎ 2frasl
minusℎ 2frasl
rArr 119868119911 =119887 ∙ ℎ3
12
(415)
Analog pentru un element de arie 119889119860 = ℎ ∙ 119889119911 paralel cu axa 119862119910 situat la distanța
119911 de axa 119862119910
119868119910 ≝ int 1199112 ∙ 119889119860
119860
= int 1199112 ∙ ℎ ∙ 119889119911 = 2int 1199112 ∙ ℎ ∙ 119889119910 = 2 ∙ ℎ ∙1199113
3|119887 2frasl
0rArr
119887 2frasl
0
119887 2frasl
minus119887 2frasl
rArr 119868119910 =1198873 ∙ ℎ
12
(416)
Deoarece axele 119862119911 și 119862119910 sunt axe de simetrie momentul de inerție centrifugal este
119868119911119910 = 0 (417)
Pentru un pătrat avacircnd laturile egale (ℎ = 119887 = 119886) momentele de inerţie faţă de
axele centrale au expresia
119868119911 = 119868119910 =1198864
12 (418)
Modulele de rezistență axiale se calculează cu relațiile de definiție ținacircnd cont că
distanțele pacircnă la fibrele extreme sunt
119910119898119886119909 = 119910119898119894119899 =ℎ
2 119911119898119886119909 = 119911119898119894119899 =
119887
2 (419)
Obținem
119882119911119898119894119899 = 119882119911119898119886119909 =119868119911
119910119898119886119909119898119894119899=119887 ∙ ℎ3
12frasl
ℎ2frasl
=119887 ∙ ℎ2
6
119882119910119898119894119899 = 119882119910119898119886119909 =119868119910
119911119898119886119909119898119894119899=1198873 ∙ ℎ
12frasl
1198872frasl
=1198872 ∙ ℎ
6
(420)
452 Suprafaţă circulară
Din motive de simetrie pentru suprafeţele circulare momentele de inerţie faţă de
orice diametru (care reprezintă şi axe centrale) sunt aceleaşi
Considerăm o secțiune circulară plină cu diametrul 119889 și centrul de greutate 119862 Prin
centrul de greutate 119862 trece sistemul de axe ortogonal 119911119862119910 figura 45
Fig 45 Suprafață circulară
La distanța de centrul de greutate 119862 vom lua un element de suprafață mic de arie
(119889119860) de forma unui inel de grosime 119889 Elementul de arie 119889119860 are expresia
119889119860 = (2 ∙ 120587 ∙ 120588) ∙ (119889120588)
Pornind de la relația de definiție a momentului de inerție polar obținem
119868119901 ≝ int 1205882 ∙ 119889119860
119860
= int 1205882 ∙ (2 ∙ 120587 ∙ 120588) ∙ 119889120588
119903=119889 2frasl
0
= 2 ∙ 120587 ∙1205884
4|119889 2frasl0 rArr
rArr 119868119901 =120587 ∙ 1198894
32
(421)
Secțiunea este perfect simetrică deci sunt valabile relațiile
119868119911 = 119868119910 rArr 119868119901 = 119868119911 + 119868119910 = 2 ∙ 119868119911 = 2 ∙ 119868119910 =119868119901
2=120587 ∙ 1198894
64 (422)
Și modulele de rezistenţă faţă de orice diametru sunt egale şi se calculează cu
relaţiile
119882119911 = 119882119910 =1198681199111198892frasl=120587 ∙ 1198893
32 (423)
Modulul de rezistenţă polar este
119882119901 =1198681199011198892frasl=120587 ∙ 1198893
16 (424)
453 Secţiune inelară
Calculul momentelor de inerţie axiale pentru o secţiune inelară avacircnd diametrul
interior 119889 şi diametrul exterior 119863 se determină analog pentru suprafaţa circulară plină cu
observaţia că integrala pentru calculul momentului de inerție polar 119868119901 se face icircntre
limitele 119903 = 119889 2frasl şi R= 1198632frasl (icircntre raza interioară 119903 şi raza exterioară 119877) figura 46
Se obţin relaţiile
119868119901 =120587 ∙ 1198634
32∙ [1 minus (
119889
119863)4
] =120587 ∙ 1198634
32∙ (1 minus 1198964) (425)
119868119910 = 119868119910 =120587 ∙ 1198634
64∙ [1 minus (
119889
119863)4
] =120587 ∙ 1198633
64∙ (1 minus 1198964) (426)
Fig 46 Secțiune inelară
119882119901 =120587 ∙ 1198633
16∙ [1 minus (
119889
119863)4
] =120587 ∙ 1198633
16∙ (1 minus 1198964) (427)
119882119911 = 119882119910 =120587 ∙ 1198633
32∙ [1 minus (
119889
119863)4
] =120587 ∙ 1198633
32∙ (1 minus 1198964) (428)
unde 119896 = 119889119863frasl
46 Variaţia momentelor de inerţie faţă de axe paralele
( Relațiile lui STEINER)
Se consideră o suprafaţă oarecare de arie 119860 cu elementul de arie 119889119860 și un sistemul
de axe central 119911119862119910 faţă de care se cunosc momentele de inerţie 119868119911 119868119910 119868119911119910 şi considerăm
un sistem de axe 11991111198741199101 paralele cu sistemul central figura 47 Se pune problema
determinării momentele de inerţie 1198681199111 1198681199101 11986811991111199101 faţă de sistemul de axe paralel cu sistemul
central 11991111198741199101 axe aflate la distanţele 119910119862 = 119888 respectiv 119911119862 = 119889 de acesta
461 Momente de inerţie axiale
Pe baza relaţiilor de definire şi a notaţiilor din figura 42 pentru momentele de
inerţie faţă de axele 1198741199111 1198741199101 se poate scrie
1198681199111 = int 11991012 ∙ 119889119860
119860
= int(119910 + 119888)2 ∙ 119889119860
119860
= int 1199102 ∙ 119889119860
119860
+ 2 ∙ 119888 ∙ int 119910 ∙ 119889119860
119860
+
+1198882int 119889119860
119860
rArr 1198681199111 = 119868119911 + 2 ∙ 119888 ∙ 119878119911 + 1198882 ∙ 119860 hArr 1198681199111 = 119868119911 + 119888
2 ∙ 119860
(429)
Fig 47 Variaţia momentelor de inerţie față de axe paralele
S-a ajuns la relația (429) deoarece momentul static 119878119911 este nul deoarece axa 119862119885
este axă centrală
Pentru momentul de inerție axial icircn raport cu axa 1198741199101 se obține
1198681199101 = int 11991112 ∙ 119889119860
119860
= int(119911 + 119889)2 ∙ 119889119860
119860
= int 1199112 ∙ 119889119860
119860
+ 2 ∙ 119889 ∙ int 119911 ∙ 119889119860
119860
+
+1198892 ∙ int 119889119860
119860
rArr 1198681199101 = 119868119910 + 2 ∙ 119889 ∙ 119878119910 + 1198892 ∙ 119860 hArr 1198681199101 = 119868119910 + 119889
2 ∙ 119860
(430)
Pentru momentul de inerție centrifugal obținem
11986811991111199101 = int 1199101 ∙ 1199111 ∙ 119889119860
119860
= int(119910 + 119888) ∙ (119911 + 119889) ∙ 119889119860
119860
= int 119910 ∙ 119911 ∙ 119889119860 +
119860
+119888 ∙ int 119911 ∙ 119889119860
119860
+ 119889 ∙ int 119910 ∙ 119889119860
119860
rArr 11986811991111199101 = 119868119911119910 + 119888 ∙ 119889 ∙ 119860
(431)
Deoarece
int 119911 ∙ 119889119860
119860
= 119878119910 = 0 int 119910 ∙ 119889119860
119860
= 119878119911 = 0 int 119910 ∙ 119911 ∙ 119889119860
119860
= 119868119911119910
Relaţiile (429) şi (430) arată că momentul de inerţie faţă de o axă oarecare
este egal cu momentul de inerţie faţă de o axă paralelă cu ea trecacircnd prin centrul de
greutate la care se adaugă produsul dintre aria suprafeţei şi pătratul distanţei dintre
cele două axe
Din relaţiile (429) și (430) rezultă de asemenea că momentul de inerţie faţă de o
axă centrală (care trece prin centrul de greutate) este cel mai mic dintre infinitatea de
momente de inerţie obținute faţă de alte axe paralele cu ea
Relaţia (431) arată de asemenea că momentul de inerţie centrifugal faţă de un
sistem de axe oarecare este egal cu momentul de inerţie centrifugal faţă de un sistem
paralele cu el trecacircnd prin centrul de greutate a suprafeţei la care se adaugă produsul
dintre aria suprafeţei şi distanţele dintre axele sistemelor respective
Icircn literatura de specialitate relaţiile (429) (430) şi (431) sunt cunoscute sub
numele de relaţiile lui Steiner
47 Variaţia momentrlor de inerţie faţă de axe rotite
Direcţii principale şi momente de inerţie principale
Fie suprafaţa plană din figura 48 de arie 119860 pe care considerăm o suprafaţă
elementară de arie 119889119860 Pentru sistemul de axe 119911119874119910 se cunosc momentele de inerţie
119868119911 119868119910 119868119911119910 şi vom determina relaţiile de calcul pentru momentele de inerţie afererent unui
sistem de axe 11991111198741199101 rotit cu un unghi faţă de sistemul central
Faţă de sistemul de axe 11991111198741199101 elementul de arie 119889119860 are coordonatele
1199101 = 119875119877 = 119875119876 minus 119877119876 = 119910 ∙ cos 120572 minus 119911 ∙ sin 120572
1199111 = 119873119872 = 119873119875 minus 119875119872 = 119911 ∙ cos 120572 + 119910 ∙ sin 120572 (432)
Fig 47 Variaţia momentelor de inerţie față de axe rotite
Pe baza relaţiilor de calcul ale momentelor de inerţie şi a notaţiilor din figura 42
şi ale relaţiilor (432) momentele de inerţie faţă de sistemul de axe rotit 11991111198741199101 sunt
1198681199111 =119868119911 + 119868119910
2+119868119911 minus 119868119910
2∙ cos 2120572 minus 119868119911119910 ∙ sin 2120572 (433)
1198681199101 =119868119911 + 119868119910
2minus119868119911 minus 119868119910
2∙ cos 2120572 + 119868119911119910 ∙ sin 2120572 (434)
11986811991111199101 =119868119911 minus 119868119910
2∙ sin 2120572 + 119868119911119910 ∙ cos 2120572 (435)
Din relaţiile 433divide435 se observă că icircntre momentele de inerţie axiale şi cele
polare există relaţia
1198681199111 + 1198681199101 = 119868119911 + 119868119910 = 119868119901 (436)
adică suma momentelor de inerţie axiale icircn raport cu orice pereche de axe ortogonale
care trec printr-un pol dat este o constantă şi egală cu momentul de inerţie polar
Prin rotirea sistemului de axe din relaţiile 433divide435 rezultă că momentele de inerţie
variază icircnsă suma lor rămacircne constantă deci există o poziţie a sistemului de axe pentru
care momentele de inerţie au valori extreme maxim respectiv minim
471 Direcţii principale de inerţie
Valoarea unghiului 120572 pentru care momentele de inerţie axiale au valori extreme
este
1205721 =1
2∙ 119886119903119888119905119886119899 (minus
2 ∙ 119868119911119910
119868119911 minus 119868119910) (437)
Poziţia celeilalte direcţii este perpendiculară pe cea dată de unghiul 1205721
Din relaţia (437) se constată că faţă de aceste direcţii rotite pentru care momentele
de inerţie axiale prezintă valori extreme momentul de inerţie centrifugal 11986811991111199101este nul
Atunci se poate afirma că momentele de inerţie axiale au valori extreme icircn raport cu
direcţiile faţă de care momentul de inerţie centrifugal este nul Aceste direcţii se numesc
direcţii principale iar momentele de inerţie faţă de aceste direcţii poartă numele de
momente de inerţie principale
Icircn calculele de rezistenţă interesează icircn mod special poziţia direcţiilor principale
care trec prin centrul de greutate al suprafeţei aşa numitele direcţii principale centrale şi
evident momentele de inerţie principale centrale
Direcţiile principale de inerţie se notează cu 1 respectiv 2 Axa principală 1
corespunde direcţiei faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea maximă iar
axa principală 2 pentru direcţia faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea
minimă
472 Momente de inerţie principale
Momentele de inerţie principale se notează cu litera 119868 la care se pune indicele 1
sau 2 după cum valoarea acestuia este maximă sau minimă deci avem un moment de
inerţie principal 1 (notat 1198681) respectiv moment de inerţie principal 2 (notat 1198682)
Expresiile pentru momentele de inerţie principale sunt
11986812 =119868119911 + 119868119910
2plusmn1
2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)
2+ 4 ∙ (119868119911119910)
2 (438)
Dacă momentul de inerţie centrifugal este negativ (119868119911119910 lt 0) direcţia principală
care trece prin primul cadran (definit de sistemul 119911119862119910) este direcţia principală 120783
Pentru suprafeţele cu cel puţin o axă de simetrie direcţiile centrale 119862119911 119862119910 sunt şi
direcții principale de inerţie și evident momentele de inerţie axiale 119868119911 119868119910 sunt momente
de inerţie principale
48 Caracteristici mecanice ale metalelor
Alegerea materialului pentru confecţionarea unei anumite piese se face şi pe baza
aşa numitelor caracteristici mecanice pe care le prezintă materialul Cunoaşterea acestor
caracteristici mecanice are loc numai pe baza unor icircncercări mecanice care să scoată icircn
evidenţă comportarea materialului icircn condiţii de solicitare
Cea mai utilizată icircncercare icircn urma căreia se pun icircn evidenţă caracteristicile
mecanice ale unui material este icircncercarea la tracţiune
481 Icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general
Icircncercarea la tracţiune a oţelului ca de altfel toate icircncercările de materiale este
standardizată
Icircn cele ce urmează se va prezenta numai partea care interesează strict din punct
de vedere al caracteristicilor mecanice ale oţelului
Epruveta de diametru iniţial 1198890 pentru icircncercarea la tracţiune are o porţiune de
lungime 1198710 numită baza de măsurare pe care se măsoară lungirea acesteia sub acţiunea
solicitării
Icircn funcţie de raportul dintre baza de măsurare 1198710 şi diametrul iniţial 1198890 epruvetele
utilizate pentru icircncercări sunt
epruvete normale (scurte) cacircnd 11987101198890 = 5
epruvete lungi cacircnd 11987101198890 = 10
Icircn timpul icircncercării la diferite valori ale forţei 119865 se măsoară lungirea bazei de
măsurare
∆119871 = 120575 = 119871 minus 1198710 (439)
unde
119871 este dimensiunea bazei de măsurare la un moment dat
Curba forţă-lungire (119865 minus ) icircnregistrată icircn urma icircncercării reprezintă curba
caracteristică la tracţiune
La icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general diagrama caracteristică care se
obţine are forma din figura 48
Curba caracteristică la tracţiune depinde de lungimea bazei de măsurare Pentru
icircnlăturarea acestui neajuns curba caracteristică se reprezintă icircn coordonate şi definite
astfel
120590 =119865
1198600 휀 =
120575
1198710 (440)
unde
1198600 este aria iniţială a secţiunii transversale a epruvetei (icircnainte de solicitare) icircn
zona bazei de măsurare
1198600 =120587 ∙ 1198890
2
4
Deoarece mărimile icircn care se reprezintă curba caracteristică la tracţiune sunt
raportate la aria iniţială a secţiunii transversale (mărimi specifice) curba poartă numele
de curbă caracteristică convenţională la tracţiune
Fig 48 Curba caracteristică convenţională la tracțiune
Pe curba caracteristică convenţională la tracţiune figura 48 se pot stabili o serie
de puncte cărora le corespund mai multe mărimi importante
Ordonata punctului A pacircnă unde curba caracteristică convenţională este linie
dreaptă se numeşte limita de proporţionalitate a materialului 120590119901(1205901) Porţiunea 119874119860 este
zona de proporţionalitate a curbei caracteristice pe acest domeniu este valabilă legea lui
Hooke care exprimă o proporţionalitate icircntre tensiune şi deformaţie specifică
120590 = 119864 ∙ 휀 (441)
unde
119864 = reprezintă panta porţiunii liniare a curbei convenționale caracteristice
la tracțiune Caracteristica de material 119864 se numeşte modul de elasticitate longitudinal
(modulul lui Young)
Ordonata punctului 119861 pacircnă unde materialul se comportă perfect elastic adică
după descărcare icircşi recapătă dimensiunea iniţială 1198710 se numeşte limita de elasticitate
120590119890(119877119890) Icircn realitate nici un material nu are comportare perfect elastică sub acţiunea
solicitărilor el capătă deformaţii permanente (remanente plastice)
După punctul 119861 urmează o porţiune 119861119862119863 icircn care cu toate că icircncărcarea
continuă forţa nu mai creşte avacircnd mici oscilaţii icircn jurul unei valori Se spune că icircn
această porţiune materialul curge iar intervalul 119861119862119863 este un palier de curgere Tensiunea
corespunzătoare palierului de curgere se numeşte limită de curgere aparentă 120590119888(119877119888) Limita de curgere aparentă se calculează cu relaţia
120590119888 =1198651198881198600 (442)
unde
119865119888 reprezintă valoarea forţei icircnregistrată icircn momentul curgerii materialului
După punctul 119863 curba caracteristică are un traseu ascendent pacircnă icircn punctul 119864
Porţiunea 119863119864 este numită zonă de icircntărire (ecruisare) Icircn zona de ecruisare unde se
produc deformaţii plastice semnificative legea lui Hooke nu mai este valabilă La
descărcare relaţia dintre tensiunea şi deformaţia specifică este liniară paralelă cu
porţiunea liniară a curbei caracteristice (dreapta 119872119873)
Deformaţia totală (휀119905) are două componente una elastică (휀119890) şi una plastică (휀119901)
Ordonata punctului 119864 reprezintă rezistenţa de rupere 120590119903(119877119898) a materialului
care se poate calcula cu relaţia
120590119903 = 119877119898 =1198651198981198861199091198600
(443)
unde
119865119898119886119909 reprezintă valoarea maximă a forţei icircnregistrată icircn timpul icircncercării
La atingerea valorii 119865119898119886119909 (punctul 119864) icircntr-un anumit loc al epruvetei secţiunea
icircncepe să se micşoreze (se produce gacirctuirea) continuacircnd pacircnă cacircnd se produce ruperea
totală (punctul 119865)
Dacă după ruperea epruvetei cele două părţi rezultate se aşează cap la cap şi se
măsoară dimensiunea bazei de măsurare 119871119906 (lungimea ultimă) se determină alungirea la
rupere sau lungirea specifică la rupere 휀119903
휀119903 =119871119906 minus 11987101198710
=∆119871
1198710=120575
1198710 (444)
De obicei alungirea se exprimă icircn procente şi se notează cu 119860119899 unde 119899 reprezintă
numărul dat de raportul 11987101198890 (epruvete normale 119899 = 5 epruvete lungi 119899 = 10)
119860119899 =119871119906 minus 11987101198710
∙ 100 [] (445)
Altă mărime care se determină la icircncercarea la tracţiune este gacirctuirea la rupere
(exprimată de obicei icircn procente) şi definită de relaţia
119885 =1198600 minus 1198601199061198600
∙ 100 [] (446)
Mărimile determinate limita de proporţionalitate modulul de elasticitate
longitudinal limita de elasticitate limita de curgere aparentă rezistenţa de rupere
alungirea la rupere şi gacirctuirea la rupere sunt cunoscute ca fiind caracteristici mecanice
ale materialului
Din curba caracteristică convenţională observăm faptul că ruperea (punctul 119865 din
figura 48 se produce la o tensiune mai mică decacirct cea corespunzătoare punctului 119864 Dacă
icircnsă forţa din timpul icircncercării s-ar raporta la aria secţiunii din momentul icircnregistrării
forţei (care este mai mică decacirct cea iniţială 1198600) s-ar obţine aşa numita curbă
caracteristică reală a materialului (traseul 1198741198601198611198621198631198651 din figura 48) La curba
caracteristică reală ruperea se produce icircn punctul 1198651 la o icircncărcare mai mare decacirct cea
corespunzătoare punctului 119864 Icircnseamnă că rezistenţa reală la rupere este mai mare decacirct
rezistenţa la rupere dată de punctul 119864 din diagrama caracteristică convenţională
Dificultatea obţinerii diagramei caracteristice reale faţă de cea a diagramei caracteristice
convenţionale şi considerarea unei rezistenţe la rupere mai mică decacirct a celei reale face
icircn practică utilizarea pe scară mare a diagramei caracteristice convenţionale
Caracteristicile mecanice determinate pe baza curbei caracteristice convenţionale
sunt şi ele caracteristici mecanice convenţionale
Caracteristicile mecanice convenţionale limita de proporţionalitate convenţională
120590119901 limita de elasticitate convenţională 120590119890 limita de curgere convenţională 120590119888 şi rezistenţa
de rupere 120590119903 constituie tensiuni limită pentru un material Pe baza acestor caracteristici
de material se alege valoarea tensiunii admisibile 120590119886 (vezi paragraful 35) pentru
calculele de rezistenţă Cea mai utilizată stare limită pentru stabilirea tensiunii admisibile
120590119886 este limita de curgere convenţională 120590119888
120590119886 =120590119897119894119898119888
=120590119888119888 119904119886119906 120590119886 =
120590119903119888 (447)
Caracteristicile mecanice ale materialului sunt influenţate de o serie de factori
temperatura viteza de solicitare factorii tehnologici iar valorile lor sunt date icircn tabele și
diagrame
Aplicaţie Pentru suprafaţa plană compusă din două dreptunghiuri avacircnd
dimensiunile din figura 49a să se calculeze
a) centrul de greutate al secțiunii compuse 119910119866 119911119866
b) momentele de inerție axiale 119868119911 119868119910 și momentul de inerție centrifugal 119868119911119910
c) razele de inerție 119894119911 119894119910
d) modulele de rezistență 119882119911119898119894119899 119882119911119898119886119909 119882119910119898119894119899 119882119910119898119886119909
e) momentele de inerție principale 1198681 1198682 și direcțiile principale de inerție 1205721
f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 119878119911
Fig 49 Aplicație
Rezolvare Pentru rezolvare vom parcurge următoarele etape
icircmpărțim suprafața compusă icircn două suprafețe simple (dreptunghiuri) notate cu
① și respectiv ② figura 49b
poziționăm centrele de greutate a celor două suprafețe simple ① și respectiv ②
notate cu 1198661 și respectiv 1198662 figura 49c
poziționăm sistemele de axe de coordonate 119911111986611199101 pentru dreptunghiul ① și
119911211986621199102 pentru dreptunghiul ② aflate la intersecția diagonalelor figura 49c
poziționăm sistemele de axe de coordonate 11991101198741199100 ales arbitrar față de care
determinăm poziția centrului de greutate 119866 figura 49c
a) calculăm poziția centrului de greutate folosind relațiile (46) icircn care
1198601 = 6119905 ∙ 119905 = 61199052 1198602 = 4119905 ∙ 119905 = 41199052 119860 = 1198601 + 1198602 = 61199052 + 41199052 = 101199052
iar centrele de greutate 1198661 și respectiv 1198662 au coordonatele (față de sistemul 11991101198741199100)
1198661 1199101 = 3119905 1199111 = 05119905
1198662 1199102 = 051199051199112 = 3119905
cu acestea obținem
119910119866 =1198601 ∙ 1199101 + 1198602 ∙ 1199102
119860=61199052 ∙ 3119905 + 41199052 ∙ 05119905
101199052=201199053
101199052= 2119905
119911119866 =1198601 ∙ 1199111 + 1198602 ∙ 1199112
119860=61199052 ∙ 05119905 + 41199052 ∙ 3119905
101199052=151199053
101199052= 15119905
Poziționăm centrul de greutate 119866 al suprafeței compuse figura 49c
Fig 49 Aplicație
b) pentru determinarea momentelor de inerție axiale 119868119911 119868119910 și a momentului de
inerție centrifugal 119868119910119911 determinăm constantele 1198881 1198882 1198891 1198892 care intervin icircn relația lui
Stainer
1198881 = 1199101 minus 119910119866 = 3119905 minus 2119905 = 119905 1198882 = minus(119910119866 minus 1199102) = minus(2119905 minus 05119905) = minus15119905
1198891 = minus(119911119866 minus 1199111) = minus(15119905 minus 05119905) = minus119905 1198892 = 1199112 minus 119911119892 = 3119905 minus 15119905 = 15119905
Folosind relațiile lui Stainer (429) (430) și (431) calculăm momentele de
inerție axiale și centrifugale față de sistemul central 119911119866119866119910119866
119868119911 =sum(119868119911119894 + 1198881198942 ∙ 119860119894) = 1198681199111 + 1198881
2 ∙ 1198601 + 1198681199112 + 11988822 ∙ 1198602
119868119910 =sum(119868119910119894 + 1198891198942 ∙ 119860119894) = 1198681199101 + 1198891
2 ∙ 1198601 + 1198681199102 + 11988922 ∙ 1198602
119868119911119910 =sum(119868119911119894119910119894 + 119888119894 ∙ 119889119894 ∙ 119860119894) = 11986811991111199101 + 1198881 ∙ 1198891 ∙ 1198601 + 11986811991121199102 + 1198882 ∙ 1198892 ∙ 1198602
1198681199111 = (119887 ∙ ℎ3
12) =
119905 ∙ (6119905)3
12= 181199054 1198681199112 = (
119887 ∙ ℎ3
12) =
4119905 ∙ 1199053
12= 031199054
1198681199101 = (1198873 ∙ ℎ
12) =
1199053 ∙ 6119905
12= 051199054 1198681199102 = (
1198873 ∙ ℎ
12) =
(4119905)3 ∙ 119905
12= 531199054
11986811991111199101 = 11986811991121199102 = 0 deoarece cele două triunghiuri au cel puțin o axă de simetrie
Cu acestea momentele de inerție axiale și momentul de inerție centrifugal devin
119868119911 = 181199054 + 1199052 ∙ 61199052 + 031199054 + (minus15119905)2 ∙ 41199052 = 3331199054
119868119910 = 051199054 + (minus119905)2 ∙ 61199052 + 531199054 + (15119905)2 ∙ 41199052 = 2081199054
119868119911119910 = 0 + 119905 ∙ (minus119905) ∙ 61199052 + 0 + (minus15119905) ∙ (15119905) ∙ 41199052 = minus151199054
c) razele de inerție sau de girație față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910
se calculează cu relațiile (411)
119894119911 = radic119868119911119860= radic
3331199054
101199052= 182119905 119894119910 = radic
119868119910
119860= radic
2081199054
101199052= 144119905
d) modulele de rezistență față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910 se
calculează cu relațiile (412) și (413)
Avacircnd icircn vedere figura 419c obținem
119910119898119886119909 = 6119905 minus 119910119866 = 6119905 minus 2119905 = 4119905 119910119898119894119899 = minus119910119866 = minus2119905
119911119898119886119909 = 5119905 minus 119911119866 = 5119905 minus 15119905 = 35119905 119911119898119894119899 = minus119911119866 = minus15119905
Se obține astfel
119882119911119898119894119899 =119868119911
|119910119898119886119909|=3331199054
4119905= 8331199053
119882119911119898119886119909 =119868119911
|119910119898119894119899|=3331199054
2119905= 16651199053
119882119910119898119894119899 =119868119910
|119911119898119886119909|=2081199054
35119905= 5941199053
119882119910119898119886119909 =119868119910
|119911119898119894119899|=2081199054
15119905= 13871199053
e) momentele de inerție principale 1198681 și respectiv 1198682 se calculează cu relațiile
(438)
11986812 =119868119911 + 119868119910
2plusmn1
2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)
2+ 4 ∙ (119868119911119910)
2=
=3331199054 + 2081199054
2plusmn1
2∙ radic(3331199054 minus 2081199054)2 + 4 ∙ (minus151199054)2 = 27051199054 plusmn 16251199054
De unde obținem
1198681 = 27051199054 + 16251199054 = 4331199054
1198682 = 27051199054 minus 16251199054 = 1081199054
Prima direcție principală de inerție 1 face cu axa centrală 119866119911 unghiul 1205721 dat de
relația (437)
1205721 =1
2∙ arctan (minus
2 ∙ 119868119911119910
119868119911 minus 119868119910) =
1
2∙ arctan [minus
2 ∙ (minus151199054)
3331199054 minus 2081199054] =33 70
Deoarece 1205721 gt 0 rotirea axelor se face acircn sens antiorar acelor de ceasornic figura
49d
Poziția axe principale 2 față de care momentul de inerție are valoarea minimă
1198682 = 119868119898119894119899 este dată de unghiul
1205722 = 1205721 + 900 = 33 70 + 900 = 123 70
f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 se determină cu relația
(45)
1198781199111198602 = 1198602 ∙ 1198882 = 41199052 ∙ (minus15119905) = minus61199053
Schimbacircnd orientarea planului care trece prin 119860 se obțin alte deformații
unghiulare Dacă elementele liniare 119861119860 și 119862119860 sunt inițial perpendiculare deformația 120574 se
numește deformație unghiulară specifică sau lunecare specifică figura 37
Un exemplu de deplasare unghiulară și de deformație unghiulară este prezentat icircn
figura 38 Unghiul este deplasarea unghiulară și măsoară rotirea relativă dintre două
secțiuni aflate la distanța 119897 Unghiul este deformația specifică unghiulară (lunecarea
specifică) din punctul 119870 Aceste deplasări și deformații se obțin icircn urma solicitării barei
de către cele două momente 1198720 egale și de sens contrar
Fig 38 Deplasarea unghiulară
Pentru a analiza starea de deformație din vecinătatea unui punct al unui corp
solicitat complex se decupează din jurul punctului un element de volum mic figura 39a
avacircnd laturile 119889119909 119889119910 și 119889119911 Ca urmare a solicitării laturile acestuia se vor lungi sau
scurta Reprezentarea elementului deformat icircn spațiu este dificilă pentru simplificare
vom analiza doar deformațiile din planul 119909119874119910 Observăm că dimensiunile 119889119909 și 119889119910 s-au
modificat cu valoarea ∆119889119909 respectiv cu ∆119889119910 analog se acceptă și pentru 119889119911 o modificare
de forma ∆119889119911 Astfel se pot defini deformațiile specifice liniare
휀119909 =∆119889119909
119889119909 휀119910 =
∆119889119910
119889119910 휀119911 =
∆119889119911
119889119911 (310)
De cele mai multe ori aceste deformații specifice liniare se pot exprima procentual
și se mai numesc alungiri
Fig 39 Starea de deformație
Icircn figura 39c se vede că unghiul inițial drept dintre muchiile 119889119909 și 119889119910 ale
elementului de volum s-a modificat Se definește deformația specifică unghiulară (sau
lunecarea specifică) mărimea cu care se modifică unghiul inițial drept
120574119909119910 = 120574119909119910prime + 120574119910119909
prime = 120574119910119909120574119910119911 = 120574119910119911
prime + 120574119911119910prime = 120574119911119910
120574119911119909 = 120574119911119909prime + 120574119909119911
prime = 120574119909119911
(311)
Deformațiile 휀119909 휀119910 휀119911 120574119909119910 120574119910119911 120574119911119909 constituie cele șase componente
independente ale tensorului deformațiilor specifice care pot fi scrise de forma
119863 =
휀119909 120574119909119910 120574119909119911120574119910119909 휀119910 120574119910119911120574119911119909 120574119911119910 휀119911
(312)
323 Contracţia transversală
Practica arată că odată cu lungirea unei bare apare o micşorare a mărimii secţiunii
transversale mărime numită contracţie transversală figura 310
Fig 310 Contracția transversală
Contracţia transversală este proporţională cu lungirea specifică coeficientul de
proporţionalitate se notează cu 120599 şi se numeşte coeficient de contracţie transversală sau
coeficientul lui Poisson
La o lungire specifică a barei contracţia transversală este dată de relația
휀119905119903 = 휀119910 = 휀119911 = minus120599 ∙ 휀119909 (313)
Semnul minus bdquo-rdquo arată că cele două mărimi sunt contrare dacă una creşte cealaltă
scade şi invers
Considerăm o bară cilindrică de lungime 119897 şi aria secţiunii transversale 119860 solicitată
la icircntindere axială La un moment dat datorită solicitării lungimea barei devine
[119897 ∙ (1 + 휀)] diametrul devine [119889 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)] iar aria secţiunii transversale devine
[119860 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)2] Dacă volumul barei icircnainte de solicitare a fost (119860 ∙ 119897) după solicitare
acesta devine
119881 + ∆119881 = 119860 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)2 ∙ 119897 ∙ (1 + 휀) =
= 119860 ∙ 119897 ∙ (1 + 휀 minus 2 ∙ 120599 ∙ 휀 minus 2 ∙ 120599 ∙ 휀2 + 1205992 ∙ 휀2 + 1205992 ∙ 휀3) (314)
Deoarece lungirile sunt foarte mici ultimii trei termeni din paranteză fiind infinit mici se pot neglija obţinacircnd
119881 + ∆119881 = 119860 ∙ 119897 + 119860 ∙ 119897 ∙ 휀 ∙ (1 minus 2 ∙ 120599) ⟺ ∆119881 = 휀 ∙ (1 minus 2 ∙ 120599) ∙ 119860 ∙ 119897 (315)
Practica arătă că o astfel de bară solicitată la icircntindere icircşi măreşte volumul deci
∆119881 gt 0 de unde rezultă că
1 minus 2 ∙ 120599 gt 0 rArr 120599 lt 05 (316)
Pentru majoritatea materialelor 120599 = 033 iar pentru materialele care-şi păstrează
volumul constant 120599 = 05
33 Relaţii de echivalenţă icircntre eforturi şi tensiuni
Considerăm un element de suprafață infinit mic 119889119860 situat pe fața de arie (119860) a
secțiunii barei din figura 311 Icircn centrul de greutate 119862 al secțiunii acționează eforturile
119873 119879119910 119879119911 119872119909 119872119894119910 și 119872119894119911 determinate prin metoda secțiunilor
Icircn raport cu un sistem de axe de referință 119909119862119910119911 coordonatele elementului 119889119860 sunt
- 119910 este ordonata elementului de arie 119889119860
- 119911 este abscisa elementului de arie 119889119860
Pe elementul de arie 119889119860 acționează tensiunile
120590119909 tensiunea normală
120591119909119910 și 120591119909119911 tensiuni tangențiale
Dacă se icircnsumează forțele elementare de tipul 120590119909 ∙ 119889119860 120591119909119910 ∙ 119889119860 și 120591119909119911 ∙ 119889119860
va trebui să obținem eforturile 119873 119879119910 și 119879119911
Fig 311 Element de suprafață mic din secțiunea unei bare
Dacă eforturile sunt privite ca forțe exterioare și se scriu ecuațiile de
echilibru ale secțiunii (119860) se vor obține șase relații de echivalență icircntre eforturi și
tensiuni
(sum119883) = 0 rArr int 120590119909 ∙ 119889119860
119860
= 119873 (317)
(sum119884) = 0 rArr int 120591119909119910 ∙ 119889119860
119860
= 119879119910 (318)
(sum119885) = 0 rArr int 120591119909119911 ∙ 119889119860
119860
= 119879119911 (319)
(sum119872)119909= 0 rArr int(120591119909119911 ∙ 119889119860) ∙ 119910
119860
minus int(120591119909119910 ∙ 119889119860) ∙ 119911
119860
= 119872119909 rArr
rArr int(119910 ∙ 120591119909119911 minus 119911 ∙ 120591119909119910) ∙ 119889119860
119860
= 119872119909
(320)
(sum119872)119910= 0 rArr int(120590119909 ∙ 119889119860) ∙ 119911
119860
= 119872119894119910 (321)
(sum119872)119911= 0 rArr int(120590119909 ∙ 119889119860) ∙ 119910
119860
= 119872119894119911 (322)
Cele șase relații de echivalență icircntre eforturi și tensiuni constituie un pas icircnainte
icircn rezolvarea unei probleme de rezistența materialelor Aceste relații vor permite
determinarea tensiunilor maxime
Pentru a rezolva cele 6 relații de echivalență trebuie să se cunoască tensiunile și
ca funcții de punct adică funcții de forma
120590119909 = 120590119909(119909 119910 119911) 120591119909119910 = 120591119909119910(119909 119910 119911) 120591119909119911 = 120591119909119911(119909 119910 119911) (32
3)
Cunoașterea acestor funcții presupune icircnsă analizarea aspectului geometric al
problemei precum și utilizarea unor ipoteze simplificatoare care să permită simplificarea
problemelor
34 Ipoteze de bază icircn rezistenţa materialelor
Depășirea dificultăților legate de interpretarea unor fenomene specifice mecanicii
solidului deformabil a impus acceptarea unor ipoteze care să simplifice fenomenele și să
contribuie la elaborarea unor modele de calcul cicirct mai generale și cacirct mai simple Aceste
ipoteze se referă la structura materialelor şi la comportarea lor sub acţiunea forţelor
exterioare Ipotezele acceptate trebuie să fie icircn deplină concordanţă cu realitatea și să
conducă la rezultate verificate icircn practică
Funcție de aspectele la care se referă ipotezele pot fi
Ipoteze fizice (de material)
Ipoteze de calcul
341 Ipoteze fizice
Se acceptă deoarece teoriile structurale au condus la rezultate care contravin
icircncercărilor experimentale
Ipoteza mediului continuu consideră că orice domeniu elementar al corpului
este ocupat de materie adică nu se acceptă existența unor goluri sau a unor crăpături
microscopice (fisuri) Deși nu corespunde realităţii poate fi acceptată deoarece
dimensiunile corpului sunt mult mai mari decacirct dimensiunile particulelor elemantare Are
avantajul că permite utilizarea proprietăților matematice ale funcțiilor continue pentru
tensiunile și deformațiile din orice punct al corpului Ea este mai apropiată de realitate la
corpurile amorfe şi mai depărtată la cele cristaline dar conduce la rezultate satisfăcătoare
icircn calculele de rezistenţă
Ipoteza nu se poate aplica la corpurile care au goluri tăieturi (multiplu conexe)
pentru unele puncte singulare icircn care tensiunile și deformațiile tind la infinit sau icircn unele
probleme de plasticitate icircn care proprietățile de material au un rol esențial
Ipoteza izotropiei conform acestei ipoteze materialul din care este confecționat
un element de rezistență are aceleași proprietăți după orice direcție un astfel de material
este considerat izotrop Din punct de vedere macroscopic metalele pot fi considerate
izotrope deși la nivel microscopic proprietățile lor diferă de la o direcție cristalografică
la alta Orice conglomerat de cristale poate fi considerat izotrop
Există cazuri cacircnd această ipoteză a izotropiei nu se acceptă
la metalele puternic deformate după o direcție (prin laminare trefilare)
la piesele confecționate din lemn lemnul este anizotrop deoarece proprietățile sale
diferă după două direcții (icircn lungul fibrelor și perpendicular pe această direcție)
Ipoteza omogenității consideră că un corp are aceleași proprietăți icircn orice
punct al său Deși majoritatea materialelor utilizate icircn tehnică sunt eterogene la scară
micro fiind constituite din mai multe faze cu proprietăți diferite la scară macro ele pot
fi considerate omogene Omogenitatea și izotropia sunt proprietăți statistice medii care
nu se condiționează una pe cealaltă Chiar și materialele monofazice pot avea la scară
micro unele segregații care le fac eterogene
Ipoteza elasticităţii perfecte presupune că atacircta timp cacirct solicitările nu
depăşesc anumite limite materialul are o comportare elastică adică icircşi recapătă forma şi
dimensiunile iniţiale odată cu icircnlăturarea sarcinilor Icircn realitate materialele nu prezintă o
elasticitate perfectă ele avacircnd deformaţii remanente mici care icircnsă pot fi neglijate icircn
calculele de rezistenţă
Acceptarea acestei ipoteze a elasticității perfecte permite
- aplicarea relației biunivoce icircntre tensiuni și deformații relație exprimată de legea
lui Hooke ( = 119864 ∙ 휀) unde E este un factor de proporţionalitate numit modul de
elasticitate longitudinal al materialului pentru oţel 119864 = 21 ∙ 105 [119872119875119886] - acceptarea valabilității afirmației bdquolucrul mecanic efectuat de forțele exterioare
ca urmare a parcurgerii deplasărilor punctelor de aplicație se icircnmagazinează integral icircn
corp sub formă de energie de deformație energie cedată la icircndepărtarea sarcinilorrdquo
- este valabilă teoria conform căreia bdquoenergia icircnmagazinată și deformațiile depind
doar de starea inițială și finală de eforturi fără a ține cont de modul icircn care s-a ajuns la
starea finalărdquo
Icircn realitate oricacirct de mici ar fi sarcinile aplicate se produc și deformații plastice
dar acestea pot fi neglijate dacă solicitarea nu depășește anumite limite
342 Ipoteze de calcul
Ipoteza micilor deplasări bdquodeplasările datorate deformării sunt mult mai mici
decacirct dimensiunile corpurilor și ca urmare pot fi neglijate produsele dintre o deplasare și
ea icircnsăşirdquo Pentru cele mai multe corpuri deformaţiile elastice sunt de mărimi mici deci
corpurile solide sub acţiunea sarcinilor icircşi modifică foarte puţin forma iniţială Această
ipoteză este cunoscută şi sub denumirea de ipoteza menţinerii dimensiunilor iniţiale Ea
permite scrierea ecuaţiilor de echilibru ale staticii pe starea nedeformată a elementului
cacircnd nu se iau icircn considerare deplasările punctelor de aplicaţie ale forţelor care se produc
ca urmare a deformării acestuia Calculul efectuat pe schema nedeformată poartă numele
de calcul de ordinul I
Ipoteza micilor deplasări nu poate fi acceptată pentru studiul problemelor de
stabilitate sau la problemele la care nu pot fi icircndeplinite condiţiile de echilibru icircn starea
nedeformată
Calculul de ordinul II admite ipoteza micilor deplasări dar ecuaţiile de echilibru
se scriu icircnsă pentru starea deformată a elementului de rezistenţă
Calculul de ordinul III nu mai acceptă ipoteza micilor deplasări el referindu-se
la cazul deformaţiilor mari cacircnd ecuaţiile de echilibru trebuie scrise pentru starea
deformată
Chiar dacă materialul satisface legea lui Hooke icircn urma calculelor de ordinul II
se obţin de obicei relaţii neliniare icircntre sarcini şi deplasări iar pentru calculul de ordinul
III rezultă ecuaţii diferenţiale neliniare
Principiul efectului local al acțiunii sarcinilor enunțat de Barre de Saint-
Venant Acest principiu destul de folosit icircn Rezistenţa Materialelor precizează că dacă
se icircnlocuiesc forţele care acţionează asupra unui element de suprafață al unui corp
elastic printr-un alt sistem de forţe echivalent din punct de vedere static cu primul noua
distribuţie a forţelor produce la locul de aplicare diferenţe semnificative faţă de prima
dar rămacircne fără efect sau cu efect neglijabil la distanţe mari de locul de aplicare al
forţelor figura 312
Ca o cosecință o sarcină uniform distribuită figura 312a poate fi icircnlocuită cu
rezultanta ei figura 312b dacă se analizează efectul sarcinii la distanță mare de locul icircn
care se aplică sarcina
Fig 312 Principiul Saint-Venant
Icircn prima variantă figura 312a forţa 119865 se aplică pe o porțiune oarecare 119897 (sarcină
uniform distribuită) iar icircn a doua figura 312b icircntru-un punct (forţă concentrată) La
locul de aplicare a sarcinii efectul asupra barei este cu totul diferit de la o variantă la
cealaltă Icircnsă la o distanţă mare de punctul de aplicaţie spre exemplu icircn secţiunea situată
la distanţa 119886 de capătul barei sau chiar icircn icircncastrare ambele bare sunt solicitate la fel
Icircn cazul din figura 312a
119872119894(119909) =119901 ∙ 1199092
2 119909 le 119897 119872119894(119909) = 119901 ∙ 119897 ∙ (119909 minus
119897
2) 119909 gt 119897 (324)
Icircn cazul din figura 312b
119872119894(119909) = 0 119909 lt119897
2 119872119894(119909) = 119901 ∙ 119897 ∙ (119909 minus
119897
2) 119909 gt
119897
2 (325)
Se vede că pentru (119909 gt 119897) adică după depășirea locului icircn care se aplică sarcina
efectul este același
Ipoteza lui Bernoulli sau ipoteza secţiunilor plane precizează că o secţiune
plană şi normală pe axa barei icircnainte de deformare rămacircne plană şi normală pe axa
barei şi după deformare figura 313
Fig 313 Ipoteza lui Bernoulli
Ipoteza stării naturale a corpului sau ipoteza absenţei tensiunilor conform
căreia pentru un corp nesolicitat starea de tensiune şi deformaţie este nulă
Perfecţionarea mijloacelor de calcul şi de investigare pot conduce la renunţarea la
unele ipoteze sau la introducerea altora noi mai aproape de stările reale De aici rezultă
caracterul de continuă perfecţionare a metodelor Rezistenţei Materialelor
35 Coeficienţi de siguranţă Tensiuni admisibile
O piesă corespunde din punct de vedere tehnic dacă tensiunile care iau naştere icircn
interiorul piesei datorită sarcinilor aplicate nu depăşesc anumite valori limită stabilite
convenţional Aceste valori limită ale tensiunii sunt corelate cu caracteristicile mecanice
ale materialelor
Tensiunea limită utilizată icircn calculele de rezistenţă este cunoscută sub denumirea
de tensiune admisibilă sau rezistenţă admisibilă Rezistenţa admisibilă reprezintă
valoarea convenţională aleasă icircn calcul pe baza practicii pentru tensiunea maximă care
poate apare icircntr-o piesă icircn condiţii date de material şi solicitare
Rezistenţa admisibilă (120590119886 sau 120591119886) poate fi definită faţă de o stare limită
periculoasă stare care trebuie evitată deoarece poate conduce distrugere
120590119886 =120590119897119894119898119888
(326)
unde
120590119897119894119898 este tensiunea corespunzătoare stării limită periculoase
119888 estesupraunitar 119888 gt 1 și reprezintă coeficientul de siguranţă faţă de starea limită
periculoasă considerată
Alegerea unor valori inferioare pentru rezistenţa admisibilă faţă de tensiunea
corespunzătoare stării limită periculoase este necesară deoarece
cunoaşterea sarcinilor este de cele mai multe ori aproximativă şi o depăşire a
acestora este foarte posibilă
caracteristicile mecanice ale materialelor variază icircn limite destul de mari ele
fiind influenţate de mulţi factori
schema aleasă pentru calcul (aplicarea sarcinilor schematizarea structurii
ipotezele de calcul etc) depărtează modelul faţă de cel real
Pentru calculele de verificare tensiunea efectivă maximă din elementul de
rezistenţă trebuie să fie mai mică sau cel mult egală cu cea admisibilă
120590119890119891119898119886119909 le 120590119886 (327)
Valoarea rezistenţei admisibile este influenţată de foarte mulţi factori natura
materialului tratamentele termice aplicate piesei durata de funcţionare a piesei modul
de acţionare icircn timp a sarcinilor felul solicitării temperatura gradul de periculozitate
icircn cazul cedării piesei etc
De asemenea valoarea coeficientului de siguranţă se alege icircn principal ţinacircnd
seama de aceiaşi factori care influenţează şi rezistenţa admisibilă
Rezistenţele admisibile pentru cacircteva materiale sunt următoarele
pentru oțelul de uz general OL37 solicitat la icircntindere compresiune sau
icircncovoiere 120590119886 = 150 [119872119875119886] pentru lemnul de brad solicitat la
- compresiune icircn lungul fibrelor şi solicitat la icircncovoiere 120590119886 = 10 [119872119875119886] - tracţiune icircn lungul fibrelor 120590119886 = 7 [119872119875119886] - compresiune perpendiculară pe fibre 120590119886 = 15 [119872119875119886] - forfecare icircn lungul fibrelor 120591119886 = 2 [119872119875119886] - forfecare perpendiculară pe fibre 120590119886 = 45 [119872119875119886]
terenuri de fundaţie din pămacircnt uscat sau umed 120590119886 = 020 divide 025 [119872119875119886]
4 CARACTERISTICI GEOMETRICE ALE SECȚIUNILOR PLANE
41 Noţiuni introductive
Icircn relaţiile de calcul ale tensiunilor şi deformaţiilor elementelor de rezistenţă
pentru unele solicitări (icircncovoierea și torsiunea) secțiunile plane intervin atacirct prin
dimensiunile lor (aria 119860) cicirct și prin forma și poziția pe care o are secțiunea icircn raport cu
planul solicitării Mărimile care caracterizează o secțiune icircn raport cu forma și poziția față
de axele unui sistem de referință sunt denumite caracteristici geometrice de ordin
superior Aria secțiunii este caracteristica geometrică ce depinde doar de dimensiunile
geometrice ale acesteia
Să considerăm o grindă solicitată de o forță exterioară 119865 aşezată icircn două poziții icircn
raport cu planul forţei figura 41 Icircn urma aplicării forței deși avem aceeași grindă
(aceeași arie a secțiunii transversale) și aceeași forță se constată că pentru varianta din
figura 41a deformațiile sunt mult mai mari adică rezistența la icircncovoiere a grinzii din
figura 41a este mai mare decacirct icircn cazul grinzii din figura 41b Comportarea diferită se
explică prin aceea că modificarea poziţiei secţiunii transversale faţă de planul forţelor
modifică caracteristicile geometrice ale secţiunii transversale a grinzii
Fig 41 Grindă solicitată de forța 119865
Pentru realizarea calculelor de rezistenţă şi rigiditate este foarte importantă
cunoaşterea caracteristicilor geometrice ale suprafeţei secţiunii transversale a elementelor
de rezistenţă
Caracteristicile geometrice ale secţiunii transversale a unui element de rezistenţă
sunt
- aria secțiunii notată cu 119860
- momentul static icircn raport cu o axă notat 119878119911 și respectiv 119878119910
- momentul de inerție care poate fi
axial notat 119868119911 și respectiv 119868119910
centrifugal notat 119868119911119910
polar notat 119868119901
- raza de inerţie (giraţie)notată 119894119911 și respectiv 119894119910
- modulul de rezistență care poate fi
axial notat 119882119911 și respectiv 119882119910
polar notat 119882119901
42 Aria și momentul static al suprafețelor plane
Fie o suprafaţă plană de arie 119860 pe care se ia un element infinit mic de arie 119889119860 şi
un sistem de axe rectangulare 119911119874119910 figura 42 Notăm cu 119862 centrul de greutate al suprafeţei
119860 Poziţia suprafeţei elementare 119889119860 faţă de acelaşi sistem de coordonate 119911119874119910 este dată
de abscisa 119911 ordonata 119910 și raza polară
Fig 42 Suprafață plană de arie 119860
Aria suprafeţei 119860 figura 42 se defineşte ca fiind
119860 ≝ int 119889119860
119860
(41)
Aria suprafeţei este icircntotdeauna pozitivă și se măsoară icircn [1198981198982] Momentul static al suprafeţei de arie 119860 icircn raport cu axele 119874119911 și respectiv 119874119910
figura 42 sunt date de relaţiile
119878119911 ≝ int 119910 ∙ 119889119860
119860
119878119910 ≝ int 119911 ∙ 119889119860
119860
(42)
Momentul static poate fi pozitiv negativ sau nul şi se măsoară icircn [1198981198983] Coordonatele centrului de greutate ale suprafeței 119860 se detrmină cu relațiile
119910119862 ≝int 119910 ∙ 119889119860119860
119860 119911119862 ≝
int 119911 ∙ 119889119860119860
119860
(43)
Cunoscacircnd coordonatele 119910119862 și 119911119862 ale centrului de greutate 119862 al secțiunii 119860 atunci
momentele statice se pot determina cu relațiile
119878119911 ≝ int 119910 ∙ 119889119860
119860
= 119910119862 ∙ 119889119860 119878119910 ≝ int 119911 ∙ 119889119860
119860
= 119911119862 ∙ 119889119860 (44)
Aceste relații arată că momentul static al unei suprafețe icircn raport cu o axă este
egal cu produsul dintre aria suprafeței și distanța de la centrul ariei la axa respectivă
Dacă suprafaţa se poate descompune icircn 119899 suprafeţe simple la care se cunosc ariile
(1198601 1198602 ⋯ 119860119894⋯ 119860119899) și poziţiile centrelor de greutate 119862119894 faţă de sistemul de referinţă
expresiile momentelor statice capătă următoarea formă
119878119911 = sum 119910119862119894 ∙ 119860119894119899119894=1 = 119910119862 ∙ 119860 119878119910 = sum 119911119862119894 ∙ 119860119894
119899119894=1 = 119911119862 ∙ 119860 (45)
Din relaţiile (45) rezultă că poziţia centrului de greutate 119862 al unei suprafeţe
compuse poate fi determinată cu relaţiile
119910119862 = (sum119910119862119894 ∙ 119860119894
119899
119894=1
) 119860frasl 119911119862 = (sum119911119862119894 ∙ 119860119894
119899
119894=1
) 119860frasl (46)
Icircn relația (45) 119910119862119894 și respectiv 119911119862119894 reprezintă coordonatele centrelor de greutate 119862119894
ale fiecărei suprafețe simple 119860119894 icircn raport sistemul de axe 119911119874119910
Se constată (relaţia 42) că dacă axele sistemului de referinţă trec prin centrul de
greutate (119910119862 = 119911119862 = 0) momentele statice sunt nule Axele icircn raport cu care momentele
statice sunt nule şi care trec prin centrul de greutate al suprafeţei se numesc axe centrale
Observație dacă secțiunea compusă are o axă de simetrie centrul secțiunii se
găsește pe acea axă iar dacă secțiunea este dublu simetrică poziția centrului secțiunii este
la intersecția axelor de simetrie
43 Momente de inerţie
Momentele de inerţie axiale ale unei suprafețe se calculează icircn raport cu axele de
coordonate 119874119911 și respectiv 119874119910 figura 42 și se determină cu relațiile
119868119911 ≝ int 1199102 ∙ 119889119860
119860
119868119910 ≝ int 1199112 ∙ 119889119860
119860
(47)
Unde 119910 și 119911 sunt distanțele de la elementul de arie 119889119860 la cele două axe de
coordonate 119874119911 și respectiv 119874119910
Momentele de inerţie axiale se măsoară icircn [1198981198984] şi sunt icircntotdeauna pozitive (aria
119889119860 este icircntotdeauna pozitivă și este multiplicată cu patratul distanței 1199102 dacă 119868119911 sau 119868119910
sunt nule icircnseamnă ca secțiunea nu există)
Momentele de inerție axiale se calculează icircndeosebi pentru axele centrale (care
trec prin centrul secțiunii) deoarece icircn raport cu acele axe 119868119911 și 119868119910 au valori minime
Momentul de inerţie centrifugal calculat faţă ambele axe ale sistemului de
referinţă 119911119874119910 este definit de relația
119868119911119910 ≝ int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860
(48)
Momentul de inerţie centrifugal se măsoară icircn [1198981198984] şi poate fi pozitiv negativ
sau nul
Momentul de ineție centrifugal este nul 119868119911119910 = 0 dacă cel puțin una din axele 119874119911
sau 119874119910 este axă de simetrie pentru secțiune
Se consideră o suprafaţă dreptunghiulară pe care faţă de axa de simetrie 119874119910 se iau
două suprafeţe elementare de arie 119889119860 simetrice faţă de axa 119874119910 figura 43
Fig 43 Suprafață dreptunghiulară cu două arii elementare 119889119860
Făcacircnd suma momentelor de inerţie centrifugale pentru cele două suprafeţe
elementare 119889119860 (din stacircnga şi din dreapta faţă de axa 119874119910) se obţine
int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860119889119903
+ int (minus119911) ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860119904119905119892
= int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860119889119903
minus int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860119904119905119892
= 0 (49)
Acelaşi raţionament se poate face și pentru icircntreaga suprafaţă de unde obținem că
momentul de inerție centrifugal este nul 119868119911119910 = 0 Deci pentru o suprafaţă plană care
are cel puţin o axă de simetrie momentul de inerţie centrifugal faţă de sistemul care
conţine acea axă de simetrie este nul
Momentul de inerţie polar al unei suprafeţei icircn raport cu un punct (pol) 119874 figura
42 este definit prin relaţia
1198680 = 119868119901 ≝ int 1205882 ∙ 119889119860
119860
= int(1199102 + 1199112) ∙ 119889119860
119860
= 119868119911 + 119868119910 (410)
unde este distanţa de la polul 119874 la elementul de arie 119889119860 Momentul de inerţie polar se
măsoară icircn [1198981198984] şi este totdeauna pozitiv
Momentul de inerţie polar este egal cu suma momentelor de inerţie faţă de două axe
perpendiculare oarecare şi care trec prin polul considerat
Razele de giraţie sau razele de inerţie sunt mărimi calculate icircn raport cu axele
secțiunii și definite de relaţiile
119894119911 ≝ radic119868119911119860 119894119910 = radic
119868119910
119860 (411)
Se exprimă icircn [119898119898] şi sunt icircntotdeauna pozitive Semnificația unei raze de inerție
este distanța la care dacă ar fi concentrată icircntreaga arie s-ar obține același moment de
inerție ca și cel calculat pentru aria reală
44 Modulul de rezistenţă
Modulul de rezistență se calculează icircn raport cu axele de referință sau icircn raport cu
un pol figura 42 și pot fi axiale (119882119911119882119910) sau polar (119882119901) și se determină numai pe baza
momentelor de inerţie cu relațiile figura 43
119882119911119898119894119899 ≝119868119911119910119898119886119909
119882119911119898119886119909 ≝119868119911119910119898119894119899
(412)
119882119910119898119894119899 ≝119868119910
119911119898119886119909 119882119910119898119886119909 ≝
119868119910
119911119898119894119899 (413)
119882119901 ≝119868119901
120588119898119886119909 (414)
unde
119910119898119886119909 119910119898119894119899 reprezintă distanţa de la axa 119874119911 la punctele extreme cele mai
depărtate respectiv cele mai apropiate ale suprafeţei de această axă
119911119898119886119909 119911119898119894119899 reprezintă distanţa de la axa 119874119910 la punctele extreme cele mai
depărtate respectiv cele mai apropiate ale suprafeţei de această axă
120588119898119886119909 reprezintă distanța maximă de la polul 119874 la punctul secțiunii cel mai
icircndepărtat de acesta
Fig 43 Suprafață dreptunghiulară cu două arii elementare 119889119860
Modulele de rezistenţă se exprimă icircn [1198981198983] şi sunt icircntotdeauna pozitive
Explicația este aceea că momentele de inerție care intră icircn relațiile de definiție sunt
pozitive iar distanțele la punctele extreme sunt pozitive (119910119898119886119909 119910119898119894119899 119911119898119886119909 119911119898119894119899 120588119898119886119909 se
iau icircn valoare absolută)
Icircn cazul suprafeţelor compuse modulul de rezistenţă nu se obţine prin icircnsumarea
algebrică a modulelor de rezistenţă ale suprafeţelor simple componente ci numai prin
intermediul momentului de inerţie axial calculat pentru icircntreaga secțiune
Ca și momentele de inerție modulele de rezistență se calculează numai pentru
sistemele de axe centrale
45 Momente de inerţie şi module de rezistenţă pentru suprafeţe simple
451 Secțiune dreptunghiulară
Fie suprafaţa dreptunghiulară din figura 44 de icircnălțime ℎ și lățime 119887 pe care se
consideră suprafaţă elementară de arie 119889119860 = 119887119889119910 la distanța 119910 de axa 119862119911 sistemul de
axe 119911119862119910 trece prin centrul secțiunii iar axele sunt axe de simetrie pentru dreptunghi
Fig 44 Suprafață dreptunghiulară
Pe baza relațiilor de definiți a momentului de inerție 119868119911 se obține
119868119911 ≝ int 1199102 ∙ 119889119860
119860
= int 1199102 ∙ 119887 ∙ 119889119910 = 2int 1199102 ∙ 119887 ∙ 119889119910 = 2 ∙ 119887 ∙1199103
3|ℎ 2frasl
0rArr
ℎ 2frasl
0
ℎ 2frasl
minusℎ 2frasl
rArr 119868119911 =119887 ∙ ℎ3
12
(415)
Analog pentru un element de arie 119889119860 = ℎ ∙ 119889119911 paralel cu axa 119862119910 situat la distanța
119911 de axa 119862119910
119868119910 ≝ int 1199112 ∙ 119889119860
119860
= int 1199112 ∙ ℎ ∙ 119889119911 = 2int 1199112 ∙ ℎ ∙ 119889119910 = 2 ∙ ℎ ∙1199113
3|119887 2frasl
0rArr
119887 2frasl
0
119887 2frasl
minus119887 2frasl
rArr 119868119910 =1198873 ∙ ℎ
12
(416)
Deoarece axele 119862119911 și 119862119910 sunt axe de simetrie momentul de inerție centrifugal este
119868119911119910 = 0 (417)
Pentru un pătrat avacircnd laturile egale (ℎ = 119887 = 119886) momentele de inerţie faţă de
axele centrale au expresia
119868119911 = 119868119910 =1198864
12 (418)
Modulele de rezistență axiale se calculează cu relațiile de definiție ținacircnd cont că
distanțele pacircnă la fibrele extreme sunt
119910119898119886119909 = 119910119898119894119899 =ℎ
2 119911119898119886119909 = 119911119898119894119899 =
119887
2 (419)
Obținem
119882119911119898119894119899 = 119882119911119898119886119909 =119868119911
119910119898119886119909119898119894119899=119887 ∙ ℎ3
12frasl
ℎ2frasl
=119887 ∙ ℎ2
6
119882119910119898119894119899 = 119882119910119898119886119909 =119868119910
119911119898119886119909119898119894119899=1198873 ∙ ℎ
12frasl
1198872frasl
=1198872 ∙ ℎ
6
(420)
452 Suprafaţă circulară
Din motive de simetrie pentru suprafeţele circulare momentele de inerţie faţă de
orice diametru (care reprezintă şi axe centrale) sunt aceleaşi
Considerăm o secțiune circulară plină cu diametrul 119889 și centrul de greutate 119862 Prin
centrul de greutate 119862 trece sistemul de axe ortogonal 119911119862119910 figura 45
Fig 45 Suprafață circulară
La distanța de centrul de greutate 119862 vom lua un element de suprafață mic de arie
(119889119860) de forma unui inel de grosime 119889 Elementul de arie 119889119860 are expresia
119889119860 = (2 ∙ 120587 ∙ 120588) ∙ (119889120588)
Pornind de la relația de definiție a momentului de inerție polar obținem
119868119901 ≝ int 1205882 ∙ 119889119860
119860
= int 1205882 ∙ (2 ∙ 120587 ∙ 120588) ∙ 119889120588
119903=119889 2frasl
0
= 2 ∙ 120587 ∙1205884
4|119889 2frasl0 rArr
rArr 119868119901 =120587 ∙ 1198894
32
(421)
Secțiunea este perfect simetrică deci sunt valabile relațiile
119868119911 = 119868119910 rArr 119868119901 = 119868119911 + 119868119910 = 2 ∙ 119868119911 = 2 ∙ 119868119910 =119868119901
2=120587 ∙ 1198894
64 (422)
Și modulele de rezistenţă faţă de orice diametru sunt egale şi se calculează cu
relaţiile
119882119911 = 119882119910 =1198681199111198892frasl=120587 ∙ 1198893
32 (423)
Modulul de rezistenţă polar este
119882119901 =1198681199011198892frasl=120587 ∙ 1198893
16 (424)
453 Secţiune inelară
Calculul momentelor de inerţie axiale pentru o secţiune inelară avacircnd diametrul
interior 119889 şi diametrul exterior 119863 se determină analog pentru suprafaţa circulară plină cu
observaţia că integrala pentru calculul momentului de inerție polar 119868119901 se face icircntre
limitele 119903 = 119889 2frasl şi R= 1198632frasl (icircntre raza interioară 119903 şi raza exterioară 119877) figura 46
Se obţin relaţiile
119868119901 =120587 ∙ 1198634
32∙ [1 minus (
119889
119863)4
] =120587 ∙ 1198634
32∙ (1 minus 1198964) (425)
119868119910 = 119868119910 =120587 ∙ 1198634
64∙ [1 minus (
119889
119863)4
] =120587 ∙ 1198633
64∙ (1 minus 1198964) (426)
Fig 46 Secțiune inelară
119882119901 =120587 ∙ 1198633
16∙ [1 minus (
119889
119863)4
] =120587 ∙ 1198633
16∙ (1 minus 1198964) (427)
119882119911 = 119882119910 =120587 ∙ 1198633
32∙ [1 minus (
119889
119863)4
] =120587 ∙ 1198633
32∙ (1 minus 1198964) (428)
unde 119896 = 119889119863frasl
46 Variaţia momentelor de inerţie faţă de axe paralele
( Relațiile lui STEINER)
Se consideră o suprafaţă oarecare de arie 119860 cu elementul de arie 119889119860 și un sistemul
de axe central 119911119862119910 faţă de care se cunosc momentele de inerţie 119868119911 119868119910 119868119911119910 şi considerăm
un sistem de axe 11991111198741199101 paralele cu sistemul central figura 47 Se pune problema
determinării momentele de inerţie 1198681199111 1198681199101 11986811991111199101 faţă de sistemul de axe paralel cu sistemul
central 11991111198741199101 axe aflate la distanţele 119910119862 = 119888 respectiv 119911119862 = 119889 de acesta
461 Momente de inerţie axiale
Pe baza relaţiilor de definire şi a notaţiilor din figura 42 pentru momentele de
inerţie faţă de axele 1198741199111 1198741199101 se poate scrie
1198681199111 = int 11991012 ∙ 119889119860
119860
= int(119910 + 119888)2 ∙ 119889119860
119860
= int 1199102 ∙ 119889119860
119860
+ 2 ∙ 119888 ∙ int 119910 ∙ 119889119860
119860
+
+1198882int 119889119860
119860
rArr 1198681199111 = 119868119911 + 2 ∙ 119888 ∙ 119878119911 + 1198882 ∙ 119860 hArr 1198681199111 = 119868119911 + 119888
2 ∙ 119860
(429)
Fig 47 Variaţia momentelor de inerţie față de axe paralele
S-a ajuns la relația (429) deoarece momentul static 119878119911 este nul deoarece axa 119862119885
este axă centrală
Pentru momentul de inerție axial icircn raport cu axa 1198741199101 se obține
1198681199101 = int 11991112 ∙ 119889119860
119860
= int(119911 + 119889)2 ∙ 119889119860
119860
= int 1199112 ∙ 119889119860
119860
+ 2 ∙ 119889 ∙ int 119911 ∙ 119889119860
119860
+
+1198892 ∙ int 119889119860
119860
rArr 1198681199101 = 119868119910 + 2 ∙ 119889 ∙ 119878119910 + 1198892 ∙ 119860 hArr 1198681199101 = 119868119910 + 119889
2 ∙ 119860
(430)
Pentru momentul de inerție centrifugal obținem
11986811991111199101 = int 1199101 ∙ 1199111 ∙ 119889119860
119860
= int(119910 + 119888) ∙ (119911 + 119889) ∙ 119889119860
119860
= int 119910 ∙ 119911 ∙ 119889119860 +
119860
+119888 ∙ int 119911 ∙ 119889119860
119860
+ 119889 ∙ int 119910 ∙ 119889119860
119860
rArr 11986811991111199101 = 119868119911119910 + 119888 ∙ 119889 ∙ 119860
(431)
Deoarece
int 119911 ∙ 119889119860
119860
= 119878119910 = 0 int 119910 ∙ 119889119860
119860
= 119878119911 = 0 int 119910 ∙ 119911 ∙ 119889119860
119860
= 119868119911119910
Relaţiile (429) şi (430) arată că momentul de inerţie faţă de o axă oarecare
este egal cu momentul de inerţie faţă de o axă paralelă cu ea trecacircnd prin centrul de
greutate la care se adaugă produsul dintre aria suprafeţei şi pătratul distanţei dintre
cele două axe
Din relaţiile (429) și (430) rezultă de asemenea că momentul de inerţie faţă de o
axă centrală (care trece prin centrul de greutate) este cel mai mic dintre infinitatea de
momente de inerţie obținute faţă de alte axe paralele cu ea
Relaţia (431) arată de asemenea că momentul de inerţie centrifugal faţă de un
sistem de axe oarecare este egal cu momentul de inerţie centrifugal faţă de un sistem
paralele cu el trecacircnd prin centrul de greutate a suprafeţei la care se adaugă produsul
dintre aria suprafeţei şi distanţele dintre axele sistemelor respective
Icircn literatura de specialitate relaţiile (429) (430) şi (431) sunt cunoscute sub
numele de relaţiile lui Steiner
47 Variaţia momentrlor de inerţie faţă de axe rotite
Direcţii principale şi momente de inerţie principale
Fie suprafaţa plană din figura 48 de arie 119860 pe care considerăm o suprafaţă
elementară de arie 119889119860 Pentru sistemul de axe 119911119874119910 se cunosc momentele de inerţie
119868119911 119868119910 119868119911119910 şi vom determina relaţiile de calcul pentru momentele de inerţie afererent unui
sistem de axe 11991111198741199101 rotit cu un unghi faţă de sistemul central
Faţă de sistemul de axe 11991111198741199101 elementul de arie 119889119860 are coordonatele
1199101 = 119875119877 = 119875119876 minus 119877119876 = 119910 ∙ cos 120572 minus 119911 ∙ sin 120572
1199111 = 119873119872 = 119873119875 minus 119875119872 = 119911 ∙ cos 120572 + 119910 ∙ sin 120572 (432)
Fig 47 Variaţia momentelor de inerţie față de axe rotite
Pe baza relaţiilor de calcul ale momentelor de inerţie şi a notaţiilor din figura 42
şi ale relaţiilor (432) momentele de inerţie faţă de sistemul de axe rotit 11991111198741199101 sunt
1198681199111 =119868119911 + 119868119910
2+119868119911 minus 119868119910
2∙ cos 2120572 minus 119868119911119910 ∙ sin 2120572 (433)
1198681199101 =119868119911 + 119868119910
2minus119868119911 minus 119868119910
2∙ cos 2120572 + 119868119911119910 ∙ sin 2120572 (434)
11986811991111199101 =119868119911 minus 119868119910
2∙ sin 2120572 + 119868119911119910 ∙ cos 2120572 (435)
Din relaţiile 433divide435 se observă că icircntre momentele de inerţie axiale şi cele
polare există relaţia
1198681199111 + 1198681199101 = 119868119911 + 119868119910 = 119868119901 (436)
adică suma momentelor de inerţie axiale icircn raport cu orice pereche de axe ortogonale
care trec printr-un pol dat este o constantă şi egală cu momentul de inerţie polar
Prin rotirea sistemului de axe din relaţiile 433divide435 rezultă că momentele de inerţie
variază icircnsă suma lor rămacircne constantă deci există o poziţie a sistemului de axe pentru
care momentele de inerţie au valori extreme maxim respectiv minim
471 Direcţii principale de inerţie
Valoarea unghiului 120572 pentru care momentele de inerţie axiale au valori extreme
este
1205721 =1
2∙ 119886119903119888119905119886119899 (minus
2 ∙ 119868119911119910
119868119911 minus 119868119910) (437)
Poziţia celeilalte direcţii este perpendiculară pe cea dată de unghiul 1205721
Din relaţia (437) se constată că faţă de aceste direcţii rotite pentru care momentele
de inerţie axiale prezintă valori extreme momentul de inerţie centrifugal 11986811991111199101este nul
Atunci se poate afirma că momentele de inerţie axiale au valori extreme icircn raport cu
direcţiile faţă de care momentul de inerţie centrifugal este nul Aceste direcţii se numesc
direcţii principale iar momentele de inerţie faţă de aceste direcţii poartă numele de
momente de inerţie principale
Icircn calculele de rezistenţă interesează icircn mod special poziţia direcţiilor principale
care trec prin centrul de greutate al suprafeţei aşa numitele direcţii principale centrale şi
evident momentele de inerţie principale centrale
Direcţiile principale de inerţie se notează cu 1 respectiv 2 Axa principală 1
corespunde direcţiei faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea maximă iar
axa principală 2 pentru direcţia faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea
minimă
472 Momente de inerţie principale
Momentele de inerţie principale se notează cu litera 119868 la care se pune indicele 1
sau 2 după cum valoarea acestuia este maximă sau minimă deci avem un moment de
inerţie principal 1 (notat 1198681) respectiv moment de inerţie principal 2 (notat 1198682)
Expresiile pentru momentele de inerţie principale sunt
11986812 =119868119911 + 119868119910
2plusmn1
2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)
2+ 4 ∙ (119868119911119910)
2 (438)
Dacă momentul de inerţie centrifugal este negativ (119868119911119910 lt 0) direcţia principală
care trece prin primul cadran (definit de sistemul 119911119862119910) este direcţia principală 120783
Pentru suprafeţele cu cel puţin o axă de simetrie direcţiile centrale 119862119911 119862119910 sunt şi
direcții principale de inerţie și evident momentele de inerţie axiale 119868119911 119868119910 sunt momente
de inerţie principale
48 Caracteristici mecanice ale metalelor
Alegerea materialului pentru confecţionarea unei anumite piese se face şi pe baza
aşa numitelor caracteristici mecanice pe care le prezintă materialul Cunoaşterea acestor
caracteristici mecanice are loc numai pe baza unor icircncercări mecanice care să scoată icircn
evidenţă comportarea materialului icircn condiţii de solicitare
Cea mai utilizată icircncercare icircn urma căreia se pun icircn evidenţă caracteristicile
mecanice ale unui material este icircncercarea la tracţiune
481 Icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general
Icircncercarea la tracţiune a oţelului ca de altfel toate icircncercările de materiale este
standardizată
Icircn cele ce urmează se va prezenta numai partea care interesează strict din punct
de vedere al caracteristicilor mecanice ale oţelului
Epruveta de diametru iniţial 1198890 pentru icircncercarea la tracţiune are o porţiune de
lungime 1198710 numită baza de măsurare pe care se măsoară lungirea acesteia sub acţiunea
solicitării
Icircn funcţie de raportul dintre baza de măsurare 1198710 şi diametrul iniţial 1198890 epruvetele
utilizate pentru icircncercări sunt
epruvete normale (scurte) cacircnd 11987101198890 = 5
epruvete lungi cacircnd 11987101198890 = 10
Icircn timpul icircncercării la diferite valori ale forţei 119865 se măsoară lungirea bazei de
măsurare
∆119871 = 120575 = 119871 minus 1198710 (439)
unde
119871 este dimensiunea bazei de măsurare la un moment dat
Curba forţă-lungire (119865 minus ) icircnregistrată icircn urma icircncercării reprezintă curba
caracteristică la tracţiune
La icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general diagrama caracteristică care se
obţine are forma din figura 48
Curba caracteristică la tracţiune depinde de lungimea bazei de măsurare Pentru
icircnlăturarea acestui neajuns curba caracteristică se reprezintă icircn coordonate şi definite
astfel
120590 =119865
1198600 휀 =
120575
1198710 (440)
unde
1198600 este aria iniţială a secţiunii transversale a epruvetei (icircnainte de solicitare) icircn
zona bazei de măsurare
1198600 =120587 ∙ 1198890
2
4
Deoarece mărimile icircn care se reprezintă curba caracteristică la tracţiune sunt
raportate la aria iniţială a secţiunii transversale (mărimi specifice) curba poartă numele
de curbă caracteristică convenţională la tracţiune
Fig 48 Curba caracteristică convenţională la tracțiune
Pe curba caracteristică convenţională la tracţiune figura 48 se pot stabili o serie
de puncte cărora le corespund mai multe mărimi importante
Ordonata punctului A pacircnă unde curba caracteristică convenţională este linie
dreaptă se numeşte limita de proporţionalitate a materialului 120590119901(1205901) Porţiunea 119874119860 este
zona de proporţionalitate a curbei caracteristice pe acest domeniu este valabilă legea lui
Hooke care exprimă o proporţionalitate icircntre tensiune şi deformaţie specifică
120590 = 119864 ∙ 휀 (441)
unde
119864 = reprezintă panta porţiunii liniare a curbei convenționale caracteristice
la tracțiune Caracteristica de material 119864 se numeşte modul de elasticitate longitudinal
(modulul lui Young)
Ordonata punctului 119861 pacircnă unde materialul se comportă perfect elastic adică
după descărcare icircşi recapătă dimensiunea iniţială 1198710 se numeşte limita de elasticitate
120590119890(119877119890) Icircn realitate nici un material nu are comportare perfect elastică sub acţiunea
solicitărilor el capătă deformaţii permanente (remanente plastice)
După punctul 119861 urmează o porţiune 119861119862119863 icircn care cu toate că icircncărcarea
continuă forţa nu mai creşte avacircnd mici oscilaţii icircn jurul unei valori Se spune că icircn
această porţiune materialul curge iar intervalul 119861119862119863 este un palier de curgere Tensiunea
corespunzătoare palierului de curgere se numeşte limită de curgere aparentă 120590119888(119877119888) Limita de curgere aparentă se calculează cu relaţia
120590119888 =1198651198881198600 (442)
unde
119865119888 reprezintă valoarea forţei icircnregistrată icircn momentul curgerii materialului
După punctul 119863 curba caracteristică are un traseu ascendent pacircnă icircn punctul 119864
Porţiunea 119863119864 este numită zonă de icircntărire (ecruisare) Icircn zona de ecruisare unde se
produc deformaţii plastice semnificative legea lui Hooke nu mai este valabilă La
descărcare relaţia dintre tensiunea şi deformaţia specifică este liniară paralelă cu
porţiunea liniară a curbei caracteristice (dreapta 119872119873)
Deformaţia totală (휀119905) are două componente una elastică (휀119890) şi una plastică (휀119901)
Ordonata punctului 119864 reprezintă rezistenţa de rupere 120590119903(119877119898) a materialului
care se poate calcula cu relaţia
120590119903 = 119877119898 =1198651198981198861199091198600
(443)
unde
119865119898119886119909 reprezintă valoarea maximă a forţei icircnregistrată icircn timpul icircncercării
La atingerea valorii 119865119898119886119909 (punctul 119864) icircntr-un anumit loc al epruvetei secţiunea
icircncepe să se micşoreze (se produce gacirctuirea) continuacircnd pacircnă cacircnd se produce ruperea
totală (punctul 119865)
Dacă după ruperea epruvetei cele două părţi rezultate se aşează cap la cap şi se
măsoară dimensiunea bazei de măsurare 119871119906 (lungimea ultimă) se determină alungirea la
rupere sau lungirea specifică la rupere 휀119903
휀119903 =119871119906 minus 11987101198710
=∆119871
1198710=120575
1198710 (444)
De obicei alungirea se exprimă icircn procente şi se notează cu 119860119899 unde 119899 reprezintă
numărul dat de raportul 11987101198890 (epruvete normale 119899 = 5 epruvete lungi 119899 = 10)
119860119899 =119871119906 minus 11987101198710
∙ 100 [] (445)
Altă mărime care se determină la icircncercarea la tracţiune este gacirctuirea la rupere
(exprimată de obicei icircn procente) şi definită de relaţia
119885 =1198600 minus 1198601199061198600
∙ 100 [] (446)
Mărimile determinate limita de proporţionalitate modulul de elasticitate
longitudinal limita de elasticitate limita de curgere aparentă rezistenţa de rupere
alungirea la rupere şi gacirctuirea la rupere sunt cunoscute ca fiind caracteristici mecanice
ale materialului
Din curba caracteristică convenţională observăm faptul că ruperea (punctul 119865 din
figura 48 se produce la o tensiune mai mică decacirct cea corespunzătoare punctului 119864 Dacă
icircnsă forţa din timpul icircncercării s-ar raporta la aria secţiunii din momentul icircnregistrării
forţei (care este mai mică decacirct cea iniţială 1198600) s-ar obţine aşa numita curbă
caracteristică reală a materialului (traseul 1198741198601198611198621198631198651 din figura 48) La curba
caracteristică reală ruperea se produce icircn punctul 1198651 la o icircncărcare mai mare decacirct cea
corespunzătoare punctului 119864 Icircnseamnă că rezistenţa reală la rupere este mai mare decacirct
rezistenţa la rupere dată de punctul 119864 din diagrama caracteristică convenţională
Dificultatea obţinerii diagramei caracteristice reale faţă de cea a diagramei caracteristice
convenţionale şi considerarea unei rezistenţe la rupere mai mică decacirct a celei reale face
icircn practică utilizarea pe scară mare a diagramei caracteristice convenţionale
Caracteristicile mecanice determinate pe baza curbei caracteristice convenţionale
sunt şi ele caracteristici mecanice convenţionale
Caracteristicile mecanice convenţionale limita de proporţionalitate convenţională
120590119901 limita de elasticitate convenţională 120590119890 limita de curgere convenţională 120590119888 şi rezistenţa
de rupere 120590119903 constituie tensiuni limită pentru un material Pe baza acestor caracteristici
de material se alege valoarea tensiunii admisibile 120590119886 (vezi paragraful 35) pentru
calculele de rezistenţă Cea mai utilizată stare limită pentru stabilirea tensiunii admisibile
120590119886 este limita de curgere convenţională 120590119888
120590119886 =120590119897119894119898119888
=120590119888119888 119904119886119906 120590119886 =
120590119903119888 (447)
Caracteristicile mecanice ale materialului sunt influenţate de o serie de factori
temperatura viteza de solicitare factorii tehnologici iar valorile lor sunt date icircn tabele și
diagrame
Aplicaţie Pentru suprafaţa plană compusă din două dreptunghiuri avacircnd
dimensiunile din figura 49a să se calculeze
a) centrul de greutate al secțiunii compuse 119910119866 119911119866
b) momentele de inerție axiale 119868119911 119868119910 și momentul de inerție centrifugal 119868119911119910
c) razele de inerție 119894119911 119894119910
d) modulele de rezistență 119882119911119898119894119899 119882119911119898119886119909 119882119910119898119894119899 119882119910119898119886119909
e) momentele de inerție principale 1198681 1198682 și direcțiile principale de inerție 1205721
f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 119878119911
Fig 49 Aplicație
Rezolvare Pentru rezolvare vom parcurge următoarele etape
icircmpărțim suprafața compusă icircn două suprafețe simple (dreptunghiuri) notate cu
① și respectiv ② figura 49b
poziționăm centrele de greutate a celor două suprafețe simple ① și respectiv ②
notate cu 1198661 și respectiv 1198662 figura 49c
poziționăm sistemele de axe de coordonate 119911111986611199101 pentru dreptunghiul ① și
119911211986621199102 pentru dreptunghiul ② aflate la intersecția diagonalelor figura 49c
poziționăm sistemele de axe de coordonate 11991101198741199100 ales arbitrar față de care
determinăm poziția centrului de greutate 119866 figura 49c
a) calculăm poziția centrului de greutate folosind relațiile (46) icircn care
1198601 = 6119905 ∙ 119905 = 61199052 1198602 = 4119905 ∙ 119905 = 41199052 119860 = 1198601 + 1198602 = 61199052 + 41199052 = 101199052
iar centrele de greutate 1198661 și respectiv 1198662 au coordonatele (față de sistemul 11991101198741199100)
1198661 1199101 = 3119905 1199111 = 05119905
1198662 1199102 = 051199051199112 = 3119905
cu acestea obținem
119910119866 =1198601 ∙ 1199101 + 1198602 ∙ 1199102
119860=61199052 ∙ 3119905 + 41199052 ∙ 05119905
101199052=201199053
101199052= 2119905
119911119866 =1198601 ∙ 1199111 + 1198602 ∙ 1199112
119860=61199052 ∙ 05119905 + 41199052 ∙ 3119905
101199052=151199053
101199052= 15119905
Poziționăm centrul de greutate 119866 al suprafeței compuse figura 49c
Fig 49 Aplicație
b) pentru determinarea momentelor de inerție axiale 119868119911 119868119910 și a momentului de
inerție centrifugal 119868119910119911 determinăm constantele 1198881 1198882 1198891 1198892 care intervin icircn relația lui
Stainer
1198881 = 1199101 minus 119910119866 = 3119905 minus 2119905 = 119905 1198882 = minus(119910119866 minus 1199102) = minus(2119905 minus 05119905) = minus15119905
1198891 = minus(119911119866 minus 1199111) = minus(15119905 minus 05119905) = minus119905 1198892 = 1199112 minus 119911119892 = 3119905 minus 15119905 = 15119905
Folosind relațiile lui Stainer (429) (430) și (431) calculăm momentele de
inerție axiale și centrifugale față de sistemul central 119911119866119866119910119866
119868119911 =sum(119868119911119894 + 1198881198942 ∙ 119860119894) = 1198681199111 + 1198881
2 ∙ 1198601 + 1198681199112 + 11988822 ∙ 1198602
119868119910 =sum(119868119910119894 + 1198891198942 ∙ 119860119894) = 1198681199101 + 1198891
2 ∙ 1198601 + 1198681199102 + 11988922 ∙ 1198602
119868119911119910 =sum(119868119911119894119910119894 + 119888119894 ∙ 119889119894 ∙ 119860119894) = 11986811991111199101 + 1198881 ∙ 1198891 ∙ 1198601 + 11986811991121199102 + 1198882 ∙ 1198892 ∙ 1198602
1198681199111 = (119887 ∙ ℎ3
12) =
119905 ∙ (6119905)3
12= 181199054 1198681199112 = (
119887 ∙ ℎ3
12) =
4119905 ∙ 1199053
12= 031199054
1198681199101 = (1198873 ∙ ℎ
12) =
1199053 ∙ 6119905
12= 051199054 1198681199102 = (
1198873 ∙ ℎ
12) =
(4119905)3 ∙ 119905
12= 531199054
11986811991111199101 = 11986811991121199102 = 0 deoarece cele două triunghiuri au cel puțin o axă de simetrie
Cu acestea momentele de inerție axiale și momentul de inerție centrifugal devin
119868119911 = 181199054 + 1199052 ∙ 61199052 + 031199054 + (minus15119905)2 ∙ 41199052 = 3331199054
119868119910 = 051199054 + (minus119905)2 ∙ 61199052 + 531199054 + (15119905)2 ∙ 41199052 = 2081199054
119868119911119910 = 0 + 119905 ∙ (minus119905) ∙ 61199052 + 0 + (minus15119905) ∙ (15119905) ∙ 41199052 = minus151199054
c) razele de inerție sau de girație față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910
se calculează cu relațiile (411)
119894119911 = radic119868119911119860= radic
3331199054
101199052= 182119905 119894119910 = radic
119868119910
119860= radic
2081199054
101199052= 144119905
d) modulele de rezistență față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910 se
calculează cu relațiile (412) și (413)
Avacircnd icircn vedere figura 419c obținem
119910119898119886119909 = 6119905 minus 119910119866 = 6119905 minus 2119905 = 4119905 119910119898119894119899 = minus119910119866 = minus2119905
119911119898119886119909 = 5119905 minus 119911119866 = 5119905 minus 15119905 = 35119905 119911119898119894119899 = minus119911119866 = minus15119905
Se obține astfel
119882119911119898119894119899 =119868119911
|119910119898119886119909|=3331199054
4119905= 8331199053
119882119911119898119886119909 =119868119911
|119910119898119894119899|=3331199054
2119905= 16651199053
119882119910119898119894119899 =119868119910
|119911119898119886119909|=2081199054
35119905= 5941199053
119882119910119898119886119909 =119868119910
|119911119898119894119899|=2081199054
15119905= 13871199053
e) momentele de inerție principale 1198681 și respectiv 1198682 se calculează cu relațiile
(438)
11986812 =119868119911 + 119868119910
2plusmn1
2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)
2+ 4 ∙ (119868119911119910)
2=
=3331199054 + 2081199054
2plusmn1
2∙ radic(3331199054 minus 2081199054)2 + 4 ∙ (minus151199054)2 = 27051199054 plusmn 16251199054
De unde obținem
1198681 = 27051199054 + 16251199054 = 4331199054
1198682 = 27051199054 minus 16251199054 = 1081199054
Prima direcție principală de inerție 1 face cu axa centrală 119866119911 unghiul 1205721 dat de
relația (437)
1205721 =1
2∙ arctan (minus
2 ∙ 119868119911119910
119868119911 minus 119868119910) =
1
2∙ arctan [minus
2 ∙ (minus151199054)
3331199054 minus 2081199054] =33 70
Deoarece 1205721 gt 0 rotirea axelor se face acircn sens antiorar acelor de ceasornic figura
49d
Poziția axe principale 2 față de care momentul de inerție are valoarea minimă
1198682 = 119868119898119894119899 este dată de unghiul
1205722 = 1205721 + 900 = 33 70 + 900 = 123 70
f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 se determină cu relația
(45)
1198781199111198602 = 1198602 ∙ 1198882 = 41199052 ∙ (minus15119905) = minus61199053
120574119909119910 = 120574119909119910prime + 120574119910119909
prime = 120574119910119909120574119910119911 = 120574119910119911
prime + 120574119911119910prime = 120574119911119910
120574119911119909 = 120574119911119909prime + 120574119909119911
prime = 120574119909119911
(311)
Deformațiile 휀119909 휀119910 휀119911 120574119909119910 120574119910119911 120574119911119909 constituie cele șase componente
independente ale tensorului deformațiilor specifice care pot fi scrise de forma
119863 =
휀119909 120574119909119910 120574119909119911120574119910119909 휀119910 120574119910119911120574119911119909 120574119911119910 휀119911
(312)
323 Contracţia transversală
Practica arată că odată cu lungirea unei bare apare o micşorare a mărimii secţiunii
transversale mărime numită contracţie transversală figura 310
Fig 310 Contracția transversală
Contracţia transversală este proporţională cu lungirea specifică coeficientul de
proporţionalitate se notează cu 120599 şi se numeşte coeficient de contracţie transversală sau
coeficientul lui Poisson
La o lungire specifică a barei contracţia transversală este dată de relația
휀119905119903 = 휀119910 = 휀119911 = minus120599 ∙ 휀119909 (313)
Semnul minus bdquo-rdquo arată că cele două mărimi sunt contrare dacă una creşte cealaltă
scade şi invers
Considerăm o bară cilindrică de lungime 119897 şi aria secţiunii transversale 119860 solicitată
la icircntindere axială La un moment dat datorită solicitării lungimea barei devine
[119897 ∙ (1 + 휀)] diametrul devine [119889 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)] iar aria secţiunii transversale devine
[119860 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)2] Dacă volumul barei icircnainte de solicitare a fost (119860 ∙ 119897) după solicitare
acesta devine
119881 + ∆119881 = 119860 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)2 ∙ 119897 ∙ (1 + 휀) =
= 119860 ∙ 119897 ∙ (1 + 휀 minus 2 ∙ 120599 ∙ 휀 minus 2 ∙ 120599 ∙ 휀2 + 1205992 ∙ 휀2 + 1205992 ∙ 휀3) (314)
Deoarece lungirile sunt foarte mici ultimii trei termeni din paranteză fiind infinit mici se pot neglija obţinacircnd
119881 + ∆119881 = 119860 ∙ 119897 + 119860 ∙ 119897 ∙ 휀 ∙ (1 minus 2 ∙ 120599) ⟺ ∆119881 = 휀 ∙ (1 minus 2 ∙ 120599) ∙ 119860 ∙ 119897 (315)
Practica arătă că o astfel de bară solicitată la icircntindere icircşi măreşte volumul deci
∆119881 gt 0 de unde rezultă că
1 minus 2 ∙ 120599 gt 0 rArr 120599 lt 05 (316)
Pentru majoritatea materialelor 120599 = 033 iar pentru materialele care-şi păstrează
volumul constant 120599 = 05
33 Relaţii de echivalenţă icircntre eforturi şi tensiuni
Considerăm un element de suprafață infinit mic 119889119860 situat pe fața de arie (119860) a
secțiunii barei din figura 311 Icircn centrul de greutate 119862 al secțiunii acționează eforturile
119873 119879119910 119879119911 119872119909 119872119894119910 și 119872119894119911 determinate prin metoda secțiunilor
Icircn raport cu un sistem de axe de referință 119909119862119910119911 coordonatele elementului 119889119860 sunt
- 119910 este ordonata elementului de arie 119889119860
- 119911 este abscisa elementului de arie 119889119860
Pe elementul de arie 119889119860 acționează tensiunile
120590119909 tensiunea normală
120591119909119910 și 120591119909119911 tensiuni tangențiale
Dacă se icircnsumează forțele elementare de tipul 120590119909 ∙ 119889119860 120591119909119910 ∙ 119889119860 și 120591119909119911 ∙ 119889119860
va trebui să obținem eforturile 119873 119879119910 și 119879119911
Fig 311 Element de suprafață mic din secțiunea unei bare
Dacă eforturile sunt privite ca forțe exterioare și se scriu ecuațiile de
echilibru ale secțiunii (119860) se vor obține șase relații de echivalență icircntre eforturi și
tensiuni
(sum119883) = 0 rArr int 120590119909 ∙ 119889119860
119860
= 119873 (317)
(sum119884) = 0 rArr int 120591119909119910 ∙ 119889119860
119860
= 119879119910 (318)
(sum119885) = 0 rArr int 120591119909119911 ∙ 119889119860
119860
= 119879119911 (319)
(sum119872)119909= 0 rArr int(120591119909119911 ∙ 119889119860) ∙ 119910
119860
minus int(120591119909119910 ∙ 119889119860) ∙ 119911
119860
= 119872119909 rArr
rArr int(119910 ∙ 120591119909119911 minus 119911 ∙ 120591119909119910) ∙ 119889119860
119860
= 119872119909
(320)
(sum119872)119910= 0 rArr int(120590119909 ∙ 119889119860) ∙ 119911
119860
= 119872119894119910 (321)
(sum119872)119911= 0 rArr int(120590119909 ∙ 119889119860) ∙ 119910
119860
= 119872119894119911 (322)
Cele șase relații de echivalență icircntre eforturi și tensiuni constituie un pas icircnainte
icircn rezolvarea unei probleme de rezistența materialelor Aceste relații vor permite
determinarea tensiunilor maxime
Pentru a rezolva cele 6 relații de echivalență trebuie să se cunoască tensiunile și
ca funcții de punct adică funcții de forma
120590119909 = 120590119909(119909 119910 119911) 120591119909119910 = 120591119909119910(119909 119910 119911) 120591119909119911 = 120591119909119911(119909 119910 119911) (32
3)
Cunoașterea acestor funcții presupune icircnsă analizarea aspectului geometric al
problemei precum și utilizarea unor ipoteze simplificatoare care să permită simplificarea
problemelor
34 Ipoteze de bază icircn rezistenţa materialelor
Depășirea dificultăților legate de interpretarea unor fenomene specifice mecanicii
solidului deformabil a impus acceptarea unor ipoteze care să simplifice fenomenele și să
contribuie la elaborarea unor modele de calcul cicirct mai generale și cacirct mai simple Aceste
ipoteze se referă la structura materialelor şi la comportarea lor sub acţiunea forţelor
exterioare Ipotezele acceptate trebuie să fie icircn deplină concordanţă cu realitatea și să
conducă la rezultate verificate icircn practică
Funcție de aspectele la care se referă ipotezele pot fi
Ipoteze fizice (de material)
Ipoteze de calcul
341 Ipoteze fizice
Se acceptă deoarece teoriile structurale au condus la rezultate care contravin
icircncercărilor experimentale
Ipoteza mediului continuu consideră că orice domeniu elementar al corpului
este ocupat de materie adică nu se acceptă existența unor goluri sau a unor crăpături
microscopice (fisuri) Deși nu corespunde realităţii poate fi acceptată deoarece
dimensiunile corpului sunt mult mai mari decacirct dimensiunile particulelor elemantare Are
avantajul că permite utilizarea proprietăților matematice ale funcțiilor continue pentru
tensiunile și deformațiile din orice punct al corpului Ea este mai apropiată de realitate la
corpurile amorfe şi mai depărtată la cele cristaline dar conduce la rezultate satisfăcătoare
icircn calculele de rezistenţă
Ipoteza nu se poate aplica la corpurile care au goluri tăieturi (multiplu conexe)
pentru unele puncte singulare icircn care tensiunile și deformațiile tind la infinit sau icircn unele
probleme de plasticitate icircn care proprietățile de material au un rol esențial
Ipoteza izotropiei conform acestei ipoteze materialul din care este confecționat
un element de rezistență are aceleași proprietăți după orice direcție un astfel de material
este considerat izotrop Din punct de vedere macroscopic metalele pot fi considerate
izotrope deși la nivel microscopic proprietățile lor diferă de la o direcție cristalografică
la alta Orice conglomerat de cristale poate fi considerat izotrop
Există cazuri cacircnd această ipoteză a izotropiei nu se acceptă
la metalele puternic deformate după o direcție (prin laminare trefilare)
la piesele confecționate din lemn lemnul este anizotrop deoarece proprietățile sale
diferă după două direcții (icircn lungul fibrelor și perpendicular pe această direcție)
Ipoteza omogenității consideră că un corp are aceleași proprietăți icircn orice
punct al său Deși majoritatea materialelor utilizate icircn tehnică sunt eterogene la scară
micro fiind constituite din mai multe faze cu proprietăți diferite la scară macro ele pot
fi considerate omogene Omogenitatea și izotropia sunt proprietăți statistice medii care
nu se condiționează una pe cealaltă Chiar și materialele monofazice pot avea la scară
micro unele segregații care le fac eterogene
Ipoteza elasticităţii perfecte presupune că atacircta timp cacirct solicitările nu
depăşesc anumite limite materialul are o comportare elastică adică icircşi recapătă forma şi
dimensiunile iniţiale odată cu icircnlăturarea sarcinilor Icircn realitate materialele nu prezintă o
elasticitate perfectă ele avacircnd deformaţii remanente mici care icircnsă pot fi neglijate icircn
calculele de rezistenţă
Acceptarea acestei ipoteze a elasticității perfecte permite
- aplicarea relației biunivoce icircntre tensiuni și deformații relație exprimată de legea
lui Hooke ( = 119864 ∙ 휀) unde E este un factor de proporţionalitate numit modul de
elasticitate longitudinal al materialului pentru oţel 119864 = 21 ∙ 105 [119872119875119886] - acceptarea valabilității afirmației bdquolucrul mecanic efectuat de forțele exterioare
ca urmare a parcurgerii deplasărilor punctelor de aplicație se icircnmagazinează integral icircn
corp sub formă de energie de deformație energie cedată la icircndepărtarea sarcinilorrdquo
- este valabilă teoria conform căreia bdquoenergia icircnmagazinată și deformațiile depind
doar de starea inițială și finală de eforturi fără a ține cont de modul icircn care s-a ajuns la
starea finalărdquo
Icircn realitate oricacirct de mici ar fi sarcinile aplicate se produc și deformații plastice
dar acestea pot fi neglijate dacă solicitarea nu depășește anumite limite
342 Ipoteze de calcul
Ipoteza micilor deplasări bdquodeplasările datorate deformării sunt mult mai mici
decacirct dimensiunile corpurilor și ca urmare pot fi neglijate produsele dintre o deplasare și
ea icircnsăşirdquo Pentru cele mai multe corpuri deformaţiile elastice sunt de mărimi mici deci
corpurile solide sub acţiunea sarcinilor icircşi modifică foarte puţin forma iniţială Această
ipoteză este cunoscută şi sub denumirea de ipoteza menţinerii dimensiunilor iniţiale Ea
permite scrierea ecuaţiilor de echilibru ale staticii pe starea nedeformată a elementului
cacircnd nu se iau icircn considerare deplasările punctelor de aplicaţie ale forţelor care se produc
ca urmare a deformării acestuia Calculul efectuat pe schema nedeformată poartă numele
de calcul de ordinul I
Ipoteza micilor deplasări nu poate fi acceptată pentru studiul problemelor de
stabilitate sau la problemele la care nu pot fi icircndeplinite condiţiile de echilibru icircn starea
nedeformată
Calculul de ordinul II admite ipoteza micilor deplasări dar ecuaţiile de echilibru
se scriu icircnsă pentru starea deformată a elementului de rezistenţă
Calculul de ordinul III nu mai acceptă ipoteza micilor deplasări el referindu-se
la cazul deformaţiilor mari cacircnd ecuaţiile de echilibru trebuie scrise pentru starea
deformată
Chiar dacă materialul satisface legea lui Hooke icircn urma calculelor de ordinul II
se obţin de obicei relaţii neliniare icircntre sarcini şi deplasări iar pentru calculul de ordinul
III rezultă ecuaţii diferenţiale neliniare
Principiul efectului local al acțiunii sarcinilor enunțat de Barre de Saint-
Venant Acest principiu destul de folosit icircn Rezistenţa Materialelor precizează că dacă
se icircnlocuiesc forţele care acţionează asupra unui element de suprafață al unui corp
elastic printr-un alt sistem de forţe echivalent din punct de vedere static cu primul noua
distribuţie a forţelor produce la locul de aplicare diferenţe semnificative faţă de prima
dar rămacircne fără efect sau cu efect neglijabil la distanţe mari de locul de aplicare al
forţelor figura 312
Ca o cosecință o sarcină uniform distribuită figura 312a poate fi icircnlocuită cu
rezultanta ei figura 312b dacă se analizează efectul sarcinii la distanță mare de locul icircn
care se aplică sarcina
Fig 312 Principiul Saint-Venant
Icircn prima variantă figura 312a forţa 119865 se aplică pe o porțiune oarecare 119897 (sarcină
uniform distribuită) iar icircn a doua figura 312b icircntru-un punct (forţă concentrată) La
locul de aplicare a sarcinii efectul asupra barei este cu totul diferit de la o variantă la
cealaltă Icircnsă la o distanţă mare de punctul de aplicaţie spre exemplu icircn secţiunea situată
la distanţa 119886 de capătul barei sau chiar icircn icircncastrare ambele bare sunt solicitate la fel
Icircn cazul din figura 312a
119872119894(119909) =119901 ∙ 1199092
2 119909 le 119897 119872119894(119909) = 119901 ∙ 119897 ∙ (119909 minus
119897
2) 119909 gt 119897 (324)
Icircn cazul din figura 312b
119872119894(119909) = 0 119909 lt119897
2 119872119894(119909) = 119901 ∙ 119897 ∙ (119909 minus
119897
2) 119909 gt
119897
2 (325)
Se vede că pentru (119909 gt 119897) adică după depășirea locului icircn care se aplică sarcina
efectul este același
Ipoteza lui Bernoulli sau ipoteza secţiunilor plane precizează că o secţiune
plană şi normală pe axa barei icircnainte de deformare rămacircne plană şi normală pe axa
barei şi după deformare figura 313
Fig 313 Ipoteza lui Bernoulli
Ipoteza stării naturale a corpului sau ipoteza absenţei tensiunilor conform
căreia pentru un corp nesolicitat starea de tensiune şi deformaţie este nulă
Perfecţionarea mijloacelor de calcul şi de investigare pot conduce la renunţarea la
unele ipoteze sau la introducerea altora noi mai aproape de stările reale De aici rezultă
caracterul de continuă perfecţionare a metodelor Rezistenţei Materialelor
35 Coeficienţi de siguranţă Tensiuni admisibile
O piesă corespunde din punct de vedere tehnic dacă tensiunile care iau naştere icircn
interiorul piesei datorită sarcinilor aplicate nu depăşesc anumite valori limită stabilite
convenţional Aceste valori limită ale tensiunii sunt corelate cu caracteristicile mecanice
ale materialelor
Tensiunea limită utilizată icircn calculele de rezistenţă este cunoscută sub denumirea
de tensiune admisibilă sau rezistenţă admisibilă Rezistenţa admisibilă reprezintă
valoarea convenţională aleasă icircn calcul pe baza practicii pentru tensiunea maximă care
poate apare icircntr-o piesă icircn condiţii date de material şi solicitare
Rezistenţa admisibilă (120590119886 sau 120591119886) poate fi definită faţă de o stare limită
periculoasă stare care trebuie evitată deoarece poate conduce distrugere
120590119886 =120590119897119894119898119888
(326)
unde
120590119897119894119898 este tensiunea corespunzătoare stării limită periculoase
119888 estesupraunitar 119888 gt 1 și reprezintă coeficientul de siguranţă faţă de starea limită
periculoasă considerată
Alegerea unor valori inferioare pentru rezistenţa admisibilă faţă de tensiunea
corespunzătoare stării limită periculoase este necesară deoarece
cunoaşterea sarcinilor este de cele mai multe ori aproximativă şi o depăşire a
acestora este foarte posibilă
caracteristicile mecanice ale materialelor variază icircn limite destul de mari ele
fiind influenţate de mulţi factori
schema aleasă pentru calcul (aplicarea sarcinilor schematizarea structurii
ipotezele de calcul etc) depărtează modelul faţă de cel real
Pentru calculele de verificare tensiunea efectivă maximă din elementul de
rezistenţă trebuie să fie mai mică sau cel mult egală cu cea admisibilă
120590119890119891119898119886119909 le 120590119886 (327)
Valoarea rezistenţei admisibile este influenţată de foarte mulţi factori natura
materialului tratamentele termice aplicate piesei durata de funcţionare a piesei modul
de acţionare icircn timp a sarcinilor felul solicitării temperatura gradul de periculozitate
icircn cazul cedării piesei etc
De asemenea valoarea coeficientului de siguranţă se alege icircn principal ţinacircnd
seama de aceiaşi factori care influenţează şi rezistenţa admisibilă
Rezistenţele admisibile pentru cacircteva materiale sunt următoarele
pentru oțelul de uz general OL37 solicitat la icircntindere compresiune sau
icircncovoiere 120590119886 = 150 [119872119875119886] pentru lemnul de brad solicitat la
- compresiune icircn lungul fibrelor şi solicitat la icircncovoiere 120590119886 = 10 [119872119875119886] - tracţiune icircn lungul fibrelor 120590119886 = 7 [119872119875119886] - compresiune perpendiculară pe fibre 120590119886 = 15 [119872119875119886] - forfecare icircn lungul fibrelor 120591119886 = 2 [119872119875119886] - forfecare perpendiculară pe fibre 120590119886 = 45 [119872119875119886]
terenuri de fundaţie din pămacircnt uscat sau umed 120590119886 = 020 divide 025 [119872119875119886]
4 CARACTERISTICI GEOMETRICE ALE SECȚIUNILOR PLANE
41 Noţiuni introductive
Icircn relaţiile de calcul ale tensiunilor şi deformaţiilor elementelor de rezistenţă
pentru unele solicitări (icircncovoierea și torsiunea) secțiunile plane intervin atacirct prin
dimensiunile lor (aria 119860) cicirct și prin forma și poziția pe care o are secțiunea icircn raport cu
planul solicitării Mărimile care caracterizează o secțiune icircn raport cu forma și poziția față
de axele unui sistem de referință sunt denumite caracteristici geometrice de ordin
superior Aria secțiunii este caracteristica geometrică ce depinde doar de dimensiunile
geometrice ale acesteia
Să considerăm o grindă solicitată de o forță exterioară 119865 aşezată icircn două poziții icircn
raport cu planul forţei figura 41 Icircn urma aplicării forței deși avem aceeași grindă
(aceeași arie a secțiunii transversale) și aceeași forță se constată că pentru varianta din
figura 41a deformațiile sunt mult mai mari adică rezistența la icircncovoiere a grinzii din
figura 41a este mai mare decacirct icircn cazul grinzii din figura 41b Comportarea diferită se
explică prin aceea că modificarea poziţiei secţiunii transversale faţă de planul forţelor
modifică caracteristicile geometrice ale secţiunii transversale a grinzii
Fig 41 Grindă solicitată de forța 119865
Pentru realizarea calculelor de rezistenţă şi rigiditate este foarte importantă
cunoaşterea caracteristicilor geometrice ale suprafeţei secţiunii transversale a elementelor
de rezistenţă
Caracteristicile geometrice ale secţiunii transversale a unui element de rezistenţă
sunt
- aria secțiunii notată cu 119860
- momentul static icircn raport cu o axă notat 119878119911 și respectiv 119878119910
- momentul de inerție care poate fi
axial notat 119868119911 și respectiv 119868119910
centrifugal notat 119868119911119910
polar notat 119868119901
- raza de inerţie (giraţie)notată 119894119911 și respectiv 119894119910
- modulul de rezistență care poate fi
axial notat 119882119911 și respectiv 119882119910
polar notat 119882119901
42 Aria și momentul static al suprafețelor plane
Fie o suprafaţă plană de arie 119860 pe care se ia un element infinit mic de arie 119889119860 şi
un sistem de axe rectangulare 119911119874119910 figura 42 Notăm cu 119862 centrul de greutate al suprafeţei
119860 Poziţia suprafeţei elementare 119889119860 faţă de acelaşi sistem de coordonate 119911119874119910 este dată
de abscisa 119911 ordonata 119910 și raza polară
Fig 42 Suprafață plană de arie 119860
Aria suprafeţei 119860 figura 42 se defineşte ca fiind
119860 ≝ int 119889119860
119860
(41)
Aria suprafeţei este icircntotdeauna pozitivă și se măsoară icircn [1198981198982] Momentul static al suprafeţei de arie 119860 icircn raport cu axele 119874119911 și respectiv 119874119910
figura 42 sunt date de relaţiile
119878119911 ≝ int 119910 ∙ 119889119860
119860
119878119910 ≝ int 119911 ∙ 119889119860
119860
(42)
Momentul static poate fi pozitiv negativ sau nul şi se măsoară icircn [1198981198983] Coordonatele centrului de greutate ale suprafeței 119860 se detrmină cu relațiile
119910119862 ≝int 119910 ∙ 119889119860119860
119860 119911119862 ≝
int 119911 ∙ 119889119860119860
119860
(43)
Cunoscacircnd coordonatele 119910119862 și 119911119862 ale centrului de greutate 119862 al secțiunii 119860 atunci
momentele statice se pot determina cu relațiile
119878119911 ≝ int 119910 ∙ 119889119860
119860
= 119910119862 ∙ 119889119860 119878119910 ≝ int 119911 ∙ 119889119860
119860
= 119911119862 ∙ 119889119860 (44)
Aceste relații arată că momentul static al unei suprafețe icircn raport cu o axă este
egal cu produsul dintre aria suprafeței și distanța de la centrul ariei la axa respectivă
Dacă suprafaţa se poate descompune icircn 119899 suprafeţe simple la care se cunosc ariile
(1198601 1198602 ⋯ 119860119894⋯ 119860119899) și poziţiile centrelor de greutate 119862119894 faţă de sistemul de referinţă
expresiile momentelor statice capătă următoarea formă
119878119911 = sum 119910119862119894 ∙ 119860119894119899119894=1 = 119910119862 ∙ 119860 119878119910 = sum 119911119862119894 ∙ 119860119894
119899119894=1 = 119911119862 ∙ 119860 (45)
Din relaţiile (45) rezultă că poziţia centrului de greutate 119862 al unei suprafeţe
compuse poate fi determinată cu relaţiile
119910119862 = (sum119910119862119894 ∙ 119860119894
119899
119894=1
) 119860frasl 119911119862 = (sum119911119862119894 ∙ 119860119894
119899
119894=1
) 119860frasl (46)
Icircn relația (45) 119910119862119894 și respectiv 119911119862119894 reprezintă coordonatele centrelor de greutate 119862119894
ale fiecărei suprafețe simple 119860119894 icircn raport sistemul de axe 119911119874119910
Se constată (relaţia 42) că dacă axele sistemului de referinţă trec prin centrul de
greutate (119910119862 = 119911119862 = 0) momentele statice sunt nule Axele icircn raport cu care momentele
statice sunt nule şi care trec prin centrul de greutate al suprafeţei se numesc axe centrale
Observație dacă secțiunea compusă are o axă de simetrie centrul secțiunii se
găsește pe acea axă iar dacă secțiunea este dublu simetrică poziția centrului secțiunii este
la intersecția axelor de simetrie
43 Momente de inerţie
Momentele de inerţie axiale ale unei suprafețe se calculează icircn raport cu axele de
coordonate 119874119911 și respectiv 119874119910 figura 42 și se determină cu relațiile
119868119911 ≝ int 1199102 ∙ 119889119860
119860
119868119910 ≝ int 1199112 ∙ 119889119860
119860
(47)
Unde 119910 și 119911 sunt distanțele de la elementul de arie 119889119860 la cele două axe de
coordonate 119874119911 și respectiv 119874119910
Momentele de inerţie axiale se măsoară icircn [1198981198984] şi sunt icircntotdeauna pozitive (aria
119889119860 este icircntotdeauna pozitivă și este multiplicată cu patratul distanței 1199102 dacă 119868119911 sau 119868119910
sunt nule icircnseamnă ca secțiunea nu există)
Momentele de inerție axiale se calculează icircndeosebi pentru axele centrale (care
trec prin centrul secțiunii) deoarece icircn raport cu acele axe 119868119911 și 119868119910 au valori minime
Momentul de inerţie centrifugal calculat faţă ambele axe ale sistemului de
referinţă 119911119874119910 este definit de relația
119868119911119910 ≝ int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860
(48)
Momentul de inerţie centrifugal se măsoară icircn [1198981198984] şi poate fi pozitiv negativ
sau nul
Momentul de ineție centrifugal este nul 119868119911119910 = 0 dacă cel puțin una din axele 119874119911
sau 119874119910 este axă de simetrie pentru secțiune
Se consideră o suprafaţă dreptunghiulară pe care faţă de axa de simetrie 119874119910 se iau
două suprafeţe elementare de arie 119889119860 simetrice faţă de axa 119874119910 figura 43
Fig 43 Suprafață dreptunghiulară cu două arii elementare 119889119860
Făcacircnd suma momentelor de inerţie centrifugale pentru cele două suprafeţe
elementare 119889119860 (din stacircnga şi din dreapta faţă de axa 119874119910) se obţine
int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860119889119903
+ int (minus119911) ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860119904119905119892
= int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860119889119903
minus int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860119904119905119892
= 0 (49)
Acelaşi raţionament se poate face și pentru icircntreaga suprafaţă de unde obținem că
momentul de inerție centrifugal este nul 119868119911119910 = 0 Deci pentru o suprafaţă plană care
are cel puţin o axă de simetrie momentul de inerţie centrifugal faţă de sistemul care
conţine acea axă de simetrie este nul
Momentul de inerţie polar al unei suprafeţei icircn raport cu un punct (pol) 119874 figura
42 este definit prin relaţia
1198680 = 119868119901 ≝ int 1205882 ∙ 119889119860
119860
= int(1199102 + 1199112) ∙ 119889119860
119860
= 119868119911 + 119868119910 (410)
unde este distanţa de la polul 119874 la elementul de arie 119889119860 Momentul de inerţie polar se
măsoară icircn [1198981198984] şi este totdeauna pozitiv
Momentul de inerţie polar este egal cu suma momentelor de inerţie faţă de două axe
perpendiculare oarecare şi care trec prin polul considerat
Razele de giraţie sau razele de inerţie sunt mărimi calculate icircn raport cu axele
secțiunii și definite de relaţiile
119894119911 ≝ radic119868119911119860 119894119910 = radic
119868119910
119860 (411)
Se exprimă icircn [119898119898] şi sunt icircntotdeauna pozitive Semnificația unei raze de inerție
este distanța la care dacă ar fi concentrată icircntreaga arie s-ar obține același moment de
inerție ca și cel calculat pentru aria reală
44 Modulul de rezistenţă
Modulul de rezistență se calculează icircn raport cu axele de referință sau icircn raport cu
un pol figura 42 și pot fi axiale (119882119911119882119910) sau polar (119882119901) și se determină numai pe baza
momentelor de inerţie cu relațiile figura 43
119882119911119898119894119899 ≝119868119911119910119898119886119909
119882119911119898119886119909 ≝119868119911119910119898119894119899
(412)
119882119910119898119894119899 ≝119868119910
119911119898119886119909 119882119910119898119886119909 ≝
119868119910
119911119898119894119899 (413)
119882119901 ≝119868119901
120588119898119886119909 (414)
unde
119910119898119886119909 119910119898119894119899 reprezintă distanţa de la axa 119874119911 la punctele extreme cele mai
depărtate respectiv cele mai apropiate ale suprafeţei de această axă
119911119898119886119909 119911119898119894119899 reprezintă distanţa de la axa 119874119910 la punctele extreme cele mai
depărtate respectiv cele mai apropiate ale suprafeţei de această axă
120588119898119886119909 reprezintă distanța maximă de la polul 119874 la punctul secțiunii cel mai
icircndepărtat de acesta
Fig 43 Suprafață dreptunghiulară cu două arii elementare 119889119860
Modulele de rezistenţă se exprimă icircn [1198981198983] şi sunt icircntotdeauna pozitive
Explicația este aceea că momentele de inerție care intră icircn relațiile de definiție sunt
pozitive iar distanțele la punctele extreme sunt pozitive (119910119898119886119909 119910119898119894119899 119911119898119886119909 119911119898119894119899 120588119898119886119909 se
iau icircn valoare absolută)
Icircn cazul suprafeţelor compuse modulul de rezistenţă nu se obţine prin icircnsumarea
algebrică a modulelor de rezistenţă ale suprafeţelor simple componente ci numai prin
intermediul momentului de inerţie axial calculat pentru icircntreaga secțiune
Ca și momentele de inerție modulele de rezistență se calculează numai pentru
sistemele de axe centrale
45 Momente de inerţie şi module de rezistenţă pentru suprafeţe simple
451 Secțiune dreptunghiulară
Fie suprafaţa dreptunghiulară din figura 44 de icircnălțime ℎ și lățime 119887 pe care se
consideră suprafaţă elementară de arie 119889119860 = 119887119889119910 la distanța 119910 de axa 119862119911 sistemul de
axe 119911119862119910 trece prin centrul secțiunii iar axele sunt axe de simetrie pentru dreptunghi
Fig 44 Suprafață dreptunghiulară
Pe baza relațiilor de definiți a momentului de inerție 119868119911 se obține
119868119911 ≝ int 1199102 ∙ 119889119860
119860
= int 1199102 ∙ 119887 ∙ 119889119910 = 2int 1199102 ∙ 119887 ∙ 119889119910 = 2 ∙ 119887 ∙1199103
3|ℎ 2frasl
0rArr
ℎ 2frasl
0
ℎ 2frasl
minusℎ 2frasl
rArr 119868119911 =119887 ∙ ℎ3
12
(415)
Analog pentru un element de arie 119889119860 = ℎ ∙ 119889119911 paralel cu axa 119862119910 situat la distanța
119911 de axa 119862119910
119868119910 ≝ int 1199112 ∙ 119889119860
119860
= int 1199112 ∙ ℎ ∙ 119889119911 = 2int 1199112 ∙ ℎ ∙ 119889119910 = 2 ∙ ℎ ∙1199113
3|119887 2frasl
0rArr
119887 2frasl
0
119887 2frasl
minus119887 2frasl
rArr 119868119910 =1198873 ∙ ℎ
12
(416)
Deoarece axele 119862119911 și 119862119910 sunt axe de simetrie momentul de inerție centrifugal este
119868119911119910 = 0 (417)
Pentru un pătrat avacircnd laturile egale (ℎ = 119887 = 119886) momentele de inerţie faţă de
axele centrale au expresia
119868119911 = 119868119910 =1198864
12 (418)
Modulele de rezistență axiale se calculează cu relațiile de definiție ținacircnd cont că
distanțele pacircnă la fibrele extreme sunt
119910119898119886119909 = 119910119898119894119899 =ℎ
2 119911119898119886119909 = 119911119898119894119899 =
119887
2 (419)
Obținem
119882119911119898119894119899 = 119882119911119898119886119909 =119868119911
119910119898119886119909119898119894119899=119887 ∙ ℎ3
12frasl
ℎ2frasl
=119887 ∙ ℎ2
6
119882119910119898119894119899 = 119882119910119898119886119909 =119868119910
119911119898119886119909119898119894119899=1198873 ∙ ℎ
12frasl
1198872frasl
=1198872 ∙ ℎ
6
(420)
452 Suprafaţă circulară
Din motive de simetrie pentru suprafeţele circulare momentele de inerţie faţă de
orice diametru (care reprezintă şi axe centrale) sunt aceleaşi
Considerăm o secțiune circulară plină cu diametrul 119889 și centrul de greutate 119862 Prin
centrul de greutate 119862 trece sistemul de axe ortogonal 119911119862119910 figura 45
Fig 45 Suprafață circulară
La distanța de centrul de greutate 119862 vom lua un element de suprafață mic de arie
(119889119860) de forma unui inel de grosime 119889 Elementul de arie 119889119860 are expresia
119889119860 = (2 ∙ 120587 ∙ 120588) ∙ (119889120588)
Pornind de la relația de definiție a momentului de inerție polar obținem
119868119901 ≝ int 1205882 ∙ 119889119860
119860
= int 1205882 ∙ (2 ∙ 120587 ∙ 120588) ∙ 119889120588
119903=119889 2frasl
0
= 2 ∙ 120587 ∙1205884
4|119889 2frasl0 rArr
rArr 119868119901 =120587 ∙ 1198894
32
(421)
Secțiunea este perfect simetrică deci sunt valabile relațiile
119868119911 = 119868119910 rArr 119868119901 = 119868119911 + 119868119910 = 2 ∙ 119868119911 = 2 ∙ 119868119910 =119868119901
2=120587 ∙ 1198894
64 (422)
Și modulele de rezistenţă faţă de orice diametru sunt egale şi se calculează cu
relaţiile
119882119911 = 119882119910 =1198681199111198892frasl=120587 ∙ 1198893
32 (423)
Modulul de rezistenţă polar este
119882119901 =1198681199011198892frasl=120587 ∙ 1198893
16 (424)
453 Secţiune inelară
Calculul momentelor de inerţie axiale pentru o secţiune inelară avacircnd diametrul
interior 119889 şi diametrul exterior 119863 se determină analog pentru suprafaţa circulară plină cu
observaţia că integrala pentru calculul momentului de inerție polar 119868119901 se face icircntre
limitele 119903 = 119889 2frasl şi R= 1198632frasl (icircntre raza interioară 119903 şi raza exterioară 119877) figura 46
Se obţin relaţiile
119868119901 =120587 ∙ 1198634
32∙ [1 minus (
119889
119863)4
] =120587 ∙ 1198634
32∙ (1 minus 1198964) (425)
119868119910 = 119868119910 =120587 ∙ 1198634
64∙ [1 minus (
119889
119863)4
] =120587 ∙ 1198633
64∙ (1 minus 1198964) (426)
Fig 46 Secțiune inelară
119882119901 =120587 ∙ 1198633
16∙ [1 minus (
119889
119863)4
] =120587 ∙ 1198633
16∙ (1 minus 1198964) (427)
119882119911 = 119882119910 =120587 ∙ 1198633
32∙ [1 minus (
119889
119863)4
] =120587 ∙ 1198633
32∙ (1 minus 1198964) (428)
unde 119896 = 119889119863frasl
46 Variaţia momentelor de inerţie faţă de axe paralele
( Relațiile lui STEINER)
Se consideră o suprafaţă oarecare de arie 119860 cu elementul de arie 119889119860 și un sistemul
de axe central 119911119862119910 faţă de care se cunosc momentele de inerţie 119868119911 119868119910 119868119911119910 şi considerăm
un sistem de axe 11991111198741199101 paralele cu sistemul central figura 47 Se pune problema
determinării momentele de inerţie 1198681199111 1198681199101 11986811991111199101 faţă de sistemul de axe paralel cu sistemul
central 11991111198741199101 axe aflate la distanţele 119910119862 = 119888 respectiv 119911119862 = 119889 de acesta
461 Momente de inerţie axiale
Pe baza relaţiilor de definire şi a notaţiilor din figura 42 pentru momentele de
inerţie faţă de axele 1198741199111 1198741199101 se poate scrie
1198681199111 = int 11991012 ∙ 119889119860
119860
= int(119910 + 119888)2 ∙ 119889119860
119860
= int 1199102 ∙ 119889119860
119860
+ 2 ∙ 119888 ∙ int 119910 ∙ 119889119860
119860
+
+1198882int 119889119860
119860
rArr 1198681199111 = 119868119911 + 2 ∙ 119888 ∙ 119878119911 + 1198882 ∙ 119860 hArr 1198681199111 = 119868119911 + 119888
2 ∙ 119860
(429)
Fig 47 Variaţia momentelor de inerţie față de axe paralele
S-a ajuns la relația (429) deoarece momentul static 119878119911 este nul deoarece axa 119862119885
este axă centrală
Pentru momentul de inerție axial icircn raport cu axa 1198741199101 se obține
1198681199101 = int 11991112 ∙ 119889119860
119860
= int(119911 + 119889)2 ∙ 119889119860
119860
= int 1199112 ∙ 119889119860
119860
+ 2 ∙ 119889 ∙ int 119911 ∙ 119889119860
119860
+
+1198892 ∙ int 119889119860
119860
rArr 1198681199101 = 119868119910 + 2 ∙ 119889 ∙ 119878119910 + 1198892 ∙ 119860 hArr 1198681199101 = 119868119910 + 119889
2 ∙ 119860
(430)
Pentru momentul de inerție centrifugal obținem
11986811991111199101 = int 1199101 ∙ 1199111 ∙ 119889119860
119860
= int(119910 + 119888) ∙ (119911 + 119889) ∙ 119889119860
119860
= int 119910 ∙ 119911 ∙ 119889119860 +
119860
+119888 ∙ int 119911 ∙ 119889119860
119860
+ 119889 ∙ int 119910 ∙ 119889119860
119860
rArr 11986811991111199101 = 119868119911119910 + 119888 ∙ 119889 ∙ 119860
(431)
Deoarece
int 119911 ∙ 119889119860
119860
= 119878119910 = 0 int 119910 ∙ 119889119860
119860
= 119878119911 = 0 int 119910 ∙ 119911 ∙ 119889119860
119860
= 119868119911119910
Relaţiile (429) şi (430) arată că momentul de inerţie faţă de o axă oarecare
este egal cu momentul de inerţie faţă de o axă paralelă cu ea trecacircnd prin centrul de
greutate la care se adaugă produsul dintre aria suprafeţei şi pătratul distanţei dintre
cele două axe
Din relaţiile (429) și (430) rezultă de asemenea că momentul de inerţie faţă de o
axă centrală (care trece prin centrul de greutate) este cel mai mic dintre infinitatea de
momente de inerţie obținute faţă de alte axe paralele cu ea
Relaţia (431) arată de asemenea că momentul de inerţie centrifugal faţă de un
sistem de axe oarecare este egal cu momentul de inerţie centrifugal faţă de un sistem
paralele cu el trecacircnd prin centrul de greutate a suprafeţei la care se adaugă produsul
dintre aria suprafeţei şi distanţele dintre axele sistemelor respective
Icircn literatura de specialitate relaţiile (429) (430) şi (431) sunt cunoscute sub
numele de relaţiile lui Steiner
47 Variaţia momentrlor de inerţie faţă de axe rotite
Direcţii principale şi momente de inerţie principale
Fie suprafaţa plană din figura 48 de arie 119860 pe care considerăm o suprafaţă
elementară de arie 119889119860 Pentru sistemul de axe 119911119874119910 se cunosc momentele de inerţie
119868119911 119868119910 119868119911119910 şi vom determina relaţiile de calcul pentru momentele de inerţie afererent unui
sistem de axe 11991111198741199101 rotit cu un unghi faţă de sistemul central
Faţă de sistemul de axe 11991111198741199101 elementul de arie 119889119860 are coordonatele
1199101 = 119875119877 = 119875119876 minus 119877119876 = 119910 ∙ cos 120572 minus 119911 ∙ sin 120572
1199111 = 119873119872 = 119873119875 minus 119875119872 = 119911 ∙ cos 120572 + 119910 ∙ sin 120572 (432)
Fig 47 Variaţia momentelor de inerţie față de axe rotite
Pe baza relaţiilor de calcul ale momentelor de inerţie şi a notaţiilor din figura 42
şi ale relaţiilor (432) momentele de inerţie faţă de sistemul de axe rotit 11991111198741199101 sunt
1198681199111 =119868119911 + 119868119910
2+119868119911 minus 119868119910
2∙ cos 2120572 minus 119868119911119910 ∙ sin 2120572 (433)
1198681199101 =119868119911 + 119868119910
2minus119868119911 minus 119868119910
2∙ cos 2120572 + 119868119911119910 ∙ sin 2120572 (434)
11986811991111199101 =119868119911 minus 119868119910
2∙ sin 2120572 + 119868119911119910 ∙ cos 2120572 (435)
Din relaţiile 433divide435 se observă că icircntre momentele de inerţie axiale şi cele
polare există relaţia
1198681199111 + 1198681199101 = 119868119911 + 119868119910 = 119868119901 (436)
adică suma momentelor de inerţie axiale icircn raport cu orice pereche de axe ortogonale
care trec printr-un pol dat este o constantă şi egală cu momentul de inerţie polar
Prin rotirea sistemului de axe din relaţiile 433divide435 rezultă că momentele de inerţie
variază icircnsă suma lor rămacircne constantă deci există o poziţie a sistemului de axe pentru
care momentele de inerţie au valori extreme maxim respectiv minim
471 Direcţii principale de inerţie
Valoarea unghiului 120572 pentru care momentele de inerţie axiale au valori extreme
este
1205721 =1
2∙ 119886119903119888119905119886119899 (minus
2 ∙ 119868119911119910
119868119911 minus 119868119910) (437)
Poziţia celeilalte direcţii este perpendiculară pe cea dată de unghiul 1205721
Din relaţia (437) se constată că faţă de aceste direcţii rotite pentru care momentele
de inerţie axiale prezintă valori extreme momentul de inerţie centrifugal 11986811991111199101este nul
Atunci se poate afirma că momentele de inerţie axiale au valori extreme icircn raport cu
direcţiile faţă de care momentul de inerţie centrifugal este nul Aceste direcţii se numesc
direcţii principale iar momentele de inerţie faţă de aceste direcţii poartă numele de
momente de inerţie principale
Icircn calculele de rezistenţă interesează icircn mod special poziţia direcţiilor principale
care trec prin centrul de greutate al suprafeţei aşa numitele direcţii principale centrale şi
evident momentele de inerţie principale centrale
Direcţiile principale de inerţie se notează cu 1 respectiv 2 Axa principală 1
corespunde direcţiei faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea maximă iar
axa principală 2 pentru direcţia faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea
minimă
472 Momente de inerţie principale
Momentele de inerţie principale se notează cu litera 119868 la care se pune indicele 1
sau 2 după cum valoarea acestuia este maximă sau minimă deci avem un moment de
inerţie principal 1 (notat 1198681) respectiv moment de inerţie principal 2 (notat 1198682)
Expresiile pentru momentele de inerţie principale sunt
11986812 =119868119911 + 119868119910
2plusmn1
2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)
2+ 4 ∙ (119868119911119910)
2 (438)
Dacă momentul de inerţie centrifugal este negativ (119868119911119910 lt 0) direcţia principală
care trece prin primul cadran (definit de sistemul 119911119862119910) este direcţia principală 120783
Pentru suprafeţele cu cel puţin o axă de simetrie direcţiile centrale 119862119911 119862119910 sunt şi
direcții principale de inerţie și evident momentele de inerţie axiale 119868119911 119868119910 sunt momente
de inerţie principale
48 Caracteristici mecanice ale metalelor
Alegerea materialului pentru confecţionarea unei anumite piese se face şi pe baza
aşa numitelor caracteristici mecanice pe care le prezintă materialul Cunoaşterea acestor
caracteristici mecanice are loc numai pe baza unor icircncercări mecanice care să scoată icircn
evidenţă comportarea materialului icircn condiţii de solicitare
Cea mai utilizată icircncercare icircn urma căreia se pun icircn evidenţă caracteristicile
mecanice ale unui material este icircncercarea la tracţiune
481 Icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general
Icircncercarea la tracţiune a oţelului ca de altfel toate icircncercările de materiale este
standardizată
Icircn cele ce urmează se va prezenta numai partea care interesează strict din punct
de vedere al caracteristicilor mecanice ale oţelului
Epruveta de diametru iniţial 1198890 pentru icircncercarea la tracţiune are o porţiune de
lungime 1198710 numită baza de măsurare pe care se măsoară lungirea acesteia sub acţiunea
solicitării
Icircn funcţie de raportul dintre baza de măsurare 1198710 şi diametrul iniţial 1198890 epruvetele
utilizate pentru icircncercări sunt
epruvete normale (scurte) cacircnd 11987101198890 = 5
epruvete lungi cacircnd 11987101198890 = 10
Icircn timpul icircncercării la diferite valori ale forţei 119865 se măsoară lungirea bazei de
măsurare
∆119871 = 120575 = 119871 minus 1198710 (439)
unde
119871 este dimensiunea bazei de măsurare la un moment dat
Curba forţă-lungire (119865 minus ) icircnregistrată icircn urma icircncercării reprezintă curba
caracteristică la tracţiune
La icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general diagrama caracteristică care se
obţine are forma din figura 48
Curba caracteristică la tracţiune depinde de lungimea bazei de măsurare Pentru
icircnlăturarea acestui neajuns curba caracteristică se reprezintă icircn coordonate şi definite
astfel
120590 =119865
1198600 휀 =
120575
1198710 (440)
unde
1198600 este aria iniţială a secţiunii transversale a epruvetei (icircnainte de solicitare) icircn
zona bazei de măsurare
1198600 =120587 ∙ 1198890
2
4
Deoarece mărimile icircn care se reprezintă curba caracteristică la tracţiune sunt
raportate la aria iniţială a secţiunii transversale (mărimi specifice) curba poartă numele
de curbă caracteristică convenţională la tracţiune
Fig 48 Curba caracteristică convenţională la tracțiune
Pe curba caracteristică convenţională la tracţiune figura 48 se pot stabili o serie
de puncte cărora le corespund mai multe mărimi importante
Ordonata punctului A pacircnă unde curba caracteristică convenţională este linie
dreaptă se numeşte limita de proporţionalitate a materialului 120590119901(1205901) Porţiunea 119874119860 este
zona de proporţionalitate a curbei caracteristice pe acest domeniu este valabilă legea lui
Hooke care exprimă o proporţionalitate icircntre tensiune şi deformaţie specifică
120590 = 119864 ∙ 휀 (441)
unde
119864 = reprezintă panta porţiunii liniare a curbei convenționale caracteristice
la tracțiune Caracteristica de material 119864 se numeşte modul de elasticitate longitudinal
(modulul lui Young)
Ordonata punctului 119861 pacircnă unde materialul se comportă perfect elastic adică
după descărcare icircşi recapătă dimensiunea iniţială 1198710 se numeşte limita de elasticitate
120590119890(119877119890) Icircn realitate nici un material nu are comportare perfect elastică sub acţiunea
solicitărilor el capătă deformaţii permanente (remanente plastice)
După punctul 119861 urmează o porţiune 119861119862119863 icircn care cu toate că icircncărcarea
continuă forţa nu mai creşte avacircnd mici oscilaţii icircn jurul unei valori Se spune că icircn
această porţiune materialul curge iar intervalul 119861119862119863 este un palier de curgere Tensiunea
corespunzătoare palierului de curgere se numeşte limită de curgere aparentă 120590119888(119877119888) Limita de curgere aparentă se calculează cu relaţia
120590119888 =1198651198881198600 (442)
unde
119865119888 reprezintă valoarea forţei icircnregistrată icircn momentul curgerii materialului
După punctul 119863 curba caracteristică are un traseu ascendent pacircnă icircn punctul 119864
Porţiunea 119863119864 este numită zonă de icircntărire (ecruisare) Icircn zona de ecruisare unde se
produc deformaţii plastice semnificative legea lui Hooke nu mai este valabilă La
descărcare relaţia dintre tensiunea şi deformaţia specifică este liniară paralelă cu
porţiunea liniară a curbei caracteristice (dreapta 119872119873)
Deformaţia totală (휀119905) are două componente una elastică (휀119890) şi una plastică (휀119901)
Ordonata punctului 119864 reprezintă rezistenţa de rupere 120590119903(119877119898) a materialului
care se poate calcula cu relaţia
120590119903 = 119877119898 =1198651198981198861199091198600
(443)
unde
119865119898119886119909 reprezintă valoarea maximă a forţei icircnregistrată icircn timpul icircncercării
La atingerea valorii 119865119898119886119909 (punctul 119864) icircntr-un anumit loc al epruvetei secţiunea
icircncepe să se micşoreze (se produce gacirctuirea) continuacircnd pacircnă cacircnd se produce ruperea
totală (punctul 119865)
Dacă după ruperea epruvetei cele două părţi rezultate se aşează cap la cap şi se
măsoară dimensiunea bazei de măsurare 119871119906 (lungimea ultimă) se determină alungirea la
rupere sau lungirea specifică la rupere 휀119903
휀119903 =119871119906 minus 11987101198710
=∆119871
1198710=120575
1198710 (444)
De obicei alungirea se exprimă icircn procente şi se notează cu 119860119899 unde 119899 reprezintă
numărul dat de raportul 11987101198890 (epruvete normale 119899 = 5 epruvete lungi 119899 = 10)
119860119899 =119871119906 minus 11987101198710
∙ 100 [] (445)
Altă mărime care se determină la icircncercarea la tracţiune este gacirctuirea la rupere
(exprimată de obicei icircn procente) şi definită de relaţia
119885 =1198600 minus 1198601199061198600
∙ 100 [] (446)
Mărimile determinate limita de proporţionalitate modulul de elasticitate
longitudinal limita de elasticitate limita de curgere aparentă rezistenţa de rupere
alungirea la rupere şi gacirctuirea la rupere sunt cunoscute ca fiind caracteristici mecanice
ale materialului
Din curba caracteristică convenţională observăm faptul că ruperea (punctul 119865 din
figura 48 se produce la o tensiune mai mică decacirct cea corespunzătoare punctului 119864 Dacă
icircnsă forţa din timpul icircncercării s-ar raporta la aria secţiunii din momentul icircnregistrării
forţei (care este mai mică decacirct cea iniţială 1198600) s-ar obţine aşa numita curbă
caracteristică reală a materialului (traseul 1198741198601198611198621198631198651 din figura 48) La curba
caracteristică reală ruperea se produce icircn punctul 1198651 la o icircncărcare mai mare decacirct cea
corespunzătoare punctului 119864 Icircnseamnă că rezistenţa reală la rupere este mai mare decacirct
rezistenţa la rupere dată de punctul 119864 din diagrama caracteristică convenţională
Dificultatea obţinerii diagramei caracteristice reale faţă de cea a diagramei caracteristice
convenţionale şi considerarea unei rezistenţe la rupere mai mică decacirct a celei reale face
icircn practică utilizarea pe scară mare a diagramei caracteristice convenţionale
Caracteristicile mecanice determinate pe baza curbei caracteristice convenţionale
sunt şi ele caracteristici mecanice convenţionale
Caracteristicile mecanice convenţionale limita de proporţionalitate convenţională
120590119901 limita de elasticitate convenţională 120590119890 limita de curgere convenţională 120590119888 şi rezistenţa
de rupere 120590119903 constituie tensiuni limită pentru un material Pe baza acestor caracteristici
de material se alege valoarea tensiunii admisibile 120590119886 (vezi paragraful 35) pentru
calculele de rezistenţă Cea mai utilizată stare limită pentru stabilirea tensiunii admisibile
120590119886 este limita de curgere convenţională 120590119888
120590119886 =120590119897119894119898119888
=120590119888119888 119904119886119906 120590119886 =
120590119903119888 (447)
Caracteristicile mecanice ale materialului sunt influenţate de o serie de factori
temperatura viteza de solicitare factorii tehnologici iar valorile lor sunt date icircn tabele și
diagrame
Aplicaţie Pentru suprafaţa plană compusă din două dreptunghiuri avacircnd
dimensiunile din figura 49a să se calculeze
a) centrul de greutate al secțiunii compuse 119910119866 119911119866
b) momentele de inerție axiale 119868119911 119868119910 și momentul de inerție centrifugal 119868119911119910
c) razele de inerție 119894119911 119894119910
d) modulele de rezistență 119882119911119898119894119899 119882119911119898119886119909 119882119910119898119894119899 119882119910119898119886119909
e) momentele de inerție principale 1198681 1198682 și direcțiile principale de inerție 1205721
f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 119878119911
Fig 49 Aplicație
Rezolvare Pentru rezolvare vom parcurge următoarele etape
icircmpărțim suprafața compusă icircn două suprafețe simple (dreptunghiuri) notate cu
① și respectiv ② figura 49b
poziționăm centrele de greutate a celor două suprafețe simple ① și respectiv ②
notate cu 1198661 și respectiv 1198662 figura 49c
poziționăm sistemele de axe de coordonate 119911111986611199101 pentru dreptunghiul ① și
119911211986621199102 pentru dreptunghiul ② aflate la intersecția diagonalelor figura 49c
poziționăm sistemele de axe de coordonate 11991101198741199100 ales arbitrar față de care
determinăm poziția centrului de greutate 119866 figura 49c
a) calculăm poziția centrului de greutate folosind relațiile (46) icircn care
1198601 = 6119905 ∙ 119905 = 61199052 1198602 = 4119905 ∙ 119905 = 41199052 119860 = 1198601 + 1198602 = 61199052 + 41199052 = 101199052
iar centrele de greutate 1198661 și respectiv 1198662 au coordonatele (față de sistemul 11991101198741199100)
1198661 1199101 = 3119905 1199111 = 05119905
1198662 1199102 = 051199051199112 = 3119905
cu acestea obținem
119910119866 =1198601 ∙ 1199101 + 1198602 ∙ 1199102
119860=61199052 ∙ 3119905 + 41199052 ∙ 05119905
101199052=201199053
101199052= 2119905
119911119866 =1198601 ∙ 1199111 + 1198602 ∙ 1199112
119860=61199052 ∙ 05119905 + 41199052 ∙ 3119905
101199052=151199053
101199052= 15119905
Poziționăm centrul de greutate 119866 al suprafeței compuse figura 49c
Fig 49 Aplicație
b) pentru determinarea momentelor de inerție axiale 119868119911 119868119910 și a momentului de
inerție centrifugal 119868119910119911 determinăm constantele 1198881 1198882 1198891 1198892 care intervin icircn relația lui
Stainer
1198881 = 1199101 minus 119910119866 = 3119905 minus 2119905 = 119905 1198882 = minus(119910119866 minus 1199102) = minus(2119905 minus 05119905) = minus15119905
1198891 = minus(119911119866 minus 1199111) = minus(15119905 minus 05119905) = minus119905 1198892 = 1199112 minus 119911119892 = 3119905 minus 15119905 = 15119905
Folosind relațiile lui Stainer (429) (430) și (431) calculăm momentele de
inerție axiale și centrifugale față de sistemul central 119911119866119866119910119866
119868119911 =sum(119868119911119894 + 1198881198942 ∙ 119860119894) = 1198681199111 + 1198881
2 ∙ 1198601 + 1198681199112 + 11988822 ∙ 1198602
119868119910 =sum(119868119910119894 + 1198891198942 ∙ 119860119894) = 1198681199101 + 1198891
2 ∙ 1198601 + 1198681199102 + 11988922 ∙ 1198602
119868119911119910 =sum(119868119911119894119910119894 + 119888119894 ∙ 119889119894 ∙ 119860119894) = 11986811991111199101 + 1198881 ∙ 1198891 ∙ 1198601 + 11986811991121199102 + 1198882 ∙ 1198892 ∙ 1198602
1198681199111 = (119887 ∙ ℎ3
12) =
119905 ∙ (6119905)3
12= 181199054 1198681199112 = (
119887 ∙ ℎ3
12) =
4119905 ∙ 1199053
12= 031199054
1198681199101 = (1198873 ∙ ℎ
12) =
1199053 ∙ 6119905
12= 051199054 1198681199102 = (
1198873 ∙ ℎ
12) =
(4119905)3 ∙ 119905
12= 531199054
11986811991111199101 = 11986811991121199102 = 0 deoarece cele două triunghiuri au cel puțin o axă de simetrie
Cu acestea momentele de inerție axiale și momentul de inerție centrifugal devin
119868119911 = 181199054 + 1199052 ∙ 61199052 + 031199054 + (minus15119905)2 ∙ 41199052 = 3331199054
119868119910 = 051199054 + (minus119905)2 ∙ 61199052 + 531199054 + (15119905)2 ∙ 41199052 = 2081199054
119868119911119910 = 0 + 119905 ∙ (minus119905) ∙ 61199052 + 0 + (minus15119905) ∙ (15119905) ∙ 41199052 = minus151199054
c) razele de inerție sau de girație față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910
se calculează cu relațiile (411)
119894119911 = radic119868119911119860= radic
3331199054
101199052= 182119905 119894119910 = radic
119868119910
119860= radic
2081199054
101199052= 144119905
d) modulele de rezistență față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910 se
calculează cu relațiile (412) și (413)
Avacircnd icircn vedere figura 419c obținem
119910119898119886119909 = 6119905 minus 119910119866 = 6119905 minus 2119905 = 4119905 119910119898119894119899 = minus119910119866 = minus2119905
119911119898119886119909 = 5119905 minus 119911119866 = 5119905 minus 15119905 = 35119905 119911119898119894119899 = minus119911119866 = minus15119905
Se obține astfel
119882119911119898119894119899 =119868119911
|119910119898119886119909|=3331199054
4119905= 8331199053
119882119911119898119886119909 =119868119911
|119910119898119894119899|=3331199054
2119905= 16651199053
119882119910119898119894119899 =119868119910
|119911119898119886119909|=2081199054
35119905= 5941199053
119882119910119898119886119909 =119868119910
|119911119898119894119899|=2081199054
15119905= 13871199053
e) momentele de inerție principale 1198681 și respectiv 1198682 se calculează cu relațiile
(438)
11986812 =119868119911 + 119868119910
2plusmn1
2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)
2+ 4 ∙ (119868119911119910)
2=
=3331199054 + 2081199054
2plusmn1
2∙ radic(3331199054 minus 2081199054)2 + 4 ∙ (minus151199054)2 = 27051199054 plusmn 16251199054
De unde obținem
1198681 = 27051199054 + 16251199054 = 4331199054
1198682 = 27051199054 minus 16251199054 = 1081199054
Prima direcție principală de inerție 1 face cu axa centrală 119866119911 unghiul 1205721 dat de
relația (437)
1205721 =1
2∙ arctan (minus
2 ∙ 119868119911119910
119868119911 minus 119868119910) =
1
2∙ arctan [minus
2 ∙ (minus151199054)
3331199054 minus 2081199054] =33 70
Deoarece 1205721 gt 0 rotirea axelor se face acircn sens antiorar acelor de ceasornic figura
49d
Poziția axe principale 2 față de care momentul de inerție are valoarea minimă
1198682 = 119868119898119894119899 este dată de unghiul
1205722 = 1205721 + 900 = 33 70 + 900 = 123 70
f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 se determină cu relația
(45)
1198781199111198602 = 1198602 ∙ 1198882 = 41199052 ∙ (minus15119905) = minus61199053
Pentru majoritatea materialelor 120599 = 033 iar pentru materialele care-şi păstrează
volumul constant 120599 = 05
33 Relaţii de echivalenţă icircntre eforturi şi tensiuni
Considerăm un element de suprafață infinit mic 119889119860 situat pe fața de arie (119860) a
secțiunii barei din figura 311 Icircn centrul de greutate 119862 al secțiunii acționează eforturile
119873 119879119910 119879119911 119872119909 119872119894119910 și 119872119894119911 determinate prin metoda secțiunilor
Icircn raport cu un sistem de axe de referință 119909119862119910119911 coordonatele elementului 119889119860 sunt
- 119910 este ordonata elementului de arie 119889119860
- 119911 este abscisa elementului de arie 119889119860
Pe elementul de arie 119889119860 acționează tensiunile
120590119909 tensiunea normală
120591119909119910 și 120591119909119911 tensiuni tangențiale
Dacă se icircnsumează forțele elementare de tipul 120590119909 ∙ 119889119860 120591119909119910 ∙ 119889119860 și 120591119909119911 ∙ 119889119860
va trebui să obținem eforturile 119873 119879119910 și 119879119911
Fig 311 Element de suprafață mic din secțiunea unei bare
Dacă eforturile sunt privite ca forțe exterioare și se scriu ecuațiile de
echilibru ale secțiunii (119860) se vor obține șase relații de echivalență icircntre eforturi și
tensiuni
(sum119883) = 0 rArr int 120590119909 ∙ 119889119860
119860
= 119873 (317)
(sum119884) = 0 rArr int 120591119909119910 ∙ 119889119860
119860
= 119879119910 (318)
(sum119885) = 0 rArr int 120591119909119911 ∙ 119889119860
119860
= 119879119911 (319)
(sum119872)119909= 0 rArr int(120591119909119911 ∙ 119889119860) ∙ 119910
119860
minus int(120591119909119910 ∙ 119889119860) ∙ 119911
119860
= 119872119909 rArr
rArr int(119910 ∙ 120591119909119911 minus 119911 ∙ 120591119909119910) ∙ 119889119860
119860
= 119872119909
(320)
(sum119872)119910= 0 rArr int(120590119909 ∙ 119889119860) ∙ 119911
119860
= 119872119894119910 (321)
(sum119872)119911= 0 rArr int(120590119909 ∙ 119889119860) ∙ 119910
119860
= 119872119894119911 (322)
Cele șase relații de echivalență icircntre eforturi și tensiuni constituie un pas icircnainte
icircn rezolvarea unei probleme de rezistența materialelor Aceste relații vor permite
determinarea tensiunilor maxime
Pentru a rezolva cele 6 relații de echivalență trebuie să se cunoască tensiunile și
ca funcții de punct adică funcții de forma
120590119909 = 120590119909(119909 119910 119911) 120591119909119910 = 120591119909119910(119909 119910 119911) 120591119909119911 = 120591119909119911(119909 119910 119911) (32
3)
Cunoașterea acestor funcții presupune icircnsă analizarea aspectului geometric al
problemei precum și utilizarea unor ipoteze simplificatoare care să permită simplificarea
problemelor
34 Ipoteze de bază icircn rezistenţa materialelor
Depășirea dificultăților legate de interpretarea unor fenomene specifice mecanicii
solidului deformabil a impus acceptarea unor ipoteze care să simplifice fenomenele și să
contribuie la elaborarea unor modele de calcul cicirct mai generale și cacirct mai simple Aceste
ipoteze se referă la structura materialelor şi la comportarea lor sub acţiunea forţelor
exterioare Ipotezele acceptate trebuie să fie icircn deplină concordanţă cu realitatea și să
conducă la rezultate verificate icircn practică
Funcție de aspectele la care se referă ipotezele pot fi
Ipoteze fizice (de material)
Ipoteze de calcul
341 Ipoteze fizice
Se acceptă deoarece teoriile structurale au condus la rezultate care contravin
icircncercărilor experimentale
Ipoteza mediului continuu consideră că orice domeniu elementar al corpului
este ocupat de materie adică nu se acceptă existența unor goluri sau a unor crăpături
microscopice (fisuri) Deși nu corespunde realităţii poate fi acceptată deoarece
dimensiunile corpului sunt mult mai mari decacirct dimensiunile particulelor elemantare Are
avantajul că permite utilizarea proprietăților matematice ale funcțiilor continue pentru
tensiunile și deformațiile din orice punct al corpului Ea este mai apropiată de realitate la
corpurile amorfe şi mai depărtată la cele cristaline dar conduce la rezultate satisfăcătoare
icircn calculele de rezistenţă
Ipoteza nu se poate aplica la corpurile care au goluri tăieturi (multiplu conexe)
pentru unele puncte singulare icircn care tensiunile și deformațiile tind la infinit sau icircn unele
probleme de plasticitate icircn care proprietățile de material au un rol esențial
Ipoteza izotropiei conform acestei ipoteze materialul din care este confecționat
un element de rezistență are aceleași proprietăți după orice direcție un astfel de material
este considerat izotrop Din punct de vedere macroscopic metalele pot fi considerate
izotrope deși la nivel microscopic proprietățile lor diferă de la o direcție cristalografică
la alta Orice conglomerat de cristale poate fi considerat izotrop
Există cazuri cacircnd această ipoteză a izotropiei nu se acceptă
la metalele puternic deformate după o direcție (prin laminare trefilare)
la piesele confecționate din lemn lemnul este anizotrop deoarece proprietățile sale
diferă după două direcții (icircn lungul fibrelor și perpendicular pe această direcție)
Ipoteza omogenității consideră că un corp are aceleași proprietăți icircn orice
punct al său Deși majoritatea materialelor utilizate icircn tehnică sunt eterogene la scară
micro fiind constituite din mai multe faze cu proprietăți diferite la scară macro ele pot
fi considerate omogene Omogenitatea și izotropia sunt proprietăți statistice medii care
nu se condiționează una pe cealaltă Chiar și materialele monofazice pot avea la scară
micro unele segregații care le fac eterogene
Ipoteza elasticităţii perfecte presupune că atacircta timp cacirct solicitările nu
depăşesc anumite limite materialul are o comportare elastică adică icircşi recapătă forma şi
dimensiunile iniţiale odată cu icircnlăturarea sarcinilor Icircn realitate materialele nu prezintă o
elasticitate perfectă ele avacircnd deformaţii remanente mici care icircnsă pot fi neglijate icircn
calculele de rezistenţă
Acceptarea acestei ipoteze a elasticității perfecte permite
- aplicarea relației biunivoce icircntre tensiuni și deformații relație exprimată de legea
lui Hooke ( = 119864 ∙ 휀) unde E este un factor de proporţionalitate numit modul de
elasticitate longitudinal al materialului pentru oţel 119864 = 21 ∙ 105 [119872119875119886] - acceptarea valabilității afirmației bdquolucrul mecanic efectuat de forțele exterioare
ca urmare a parcurgerii deplasărilor punctelor de aplicație se icircnmagazinează integral icircn
corp sub formă de energie de deformație energie cedată la icircndepărtarea sarcinilorrdquo
- este valabilă teoria conform căreia bdquoenergia icircnmagazinată și deformațiile depind
doar de starea inițială și finală de eforturi fără a ține cont de modul icircn care s-a ajuns la
starea finalărdquo
Icircn realitate oricacirct de mici ar fi sarcinile aplicate se produc și deformații plastice
dar acestea pot fi neglijate dacă solicitarea nu depășește anumite limite
342 Ipoteze de calcul
Ipoteza micilor deplasări bdquodeplasările datorate deformării sunt mult mai mici
decacirct dimensiunile corpurilor și ca urmare pot fi neglijate produsele dintre o deplasare și
ea icircnsăşirdquo Pentru cele mai multe corpuri deformaţiile elastice sunt de mărimi mici deci
corpurile solide sub acţiunea sarcinilor icircşi modifică foarte puţin forma iniţială Această
ipoteză este cunoscută şi sub denumirea de ipoteza menţinerii dimensiunilor iniţiale Ea
permite scrierea ecuaţiilor de echilibru ale staticii pe starea nedeformată a elementului
cacircnd nu se iau icircn considerare deplasările punctelor de aplicaţie ale forţelor care se produc
ca urmare a deformării acestuia Calculul efectuat pe schema nedeformată poartă numele
de calcul de ordinul I
Ipoteza micilor deplasări nu poate fi acceptată pentru studiul problemelor de
stabilitate sau la problemele la care nu pot fi icircndeplinite condiţiile de echilibru icircn starea
nedeformată
Calculul de ordinul II admite ipoteza micilor deplasări dar ecuaţiile de echilibru
se scriu icircnsă pentru starea deformată a elementului de rezistenţă
Calculul de ordinul III nu mai acceptă ipoteza micilor deplasări el referindu-se
la cazul deformaţiilor mari cacircnd ecuaţiile de echilibru trebuie scrise pentru starea
deformată
Chiar dacă materialul satisface legea lui Hooke icircn urma calculelor de ordinul II
se obţin de obicei relaţii neliniare icircntre sarcini şi deplasări iar pentru calculul de ordinul
III rezultă ecuaţii diferenţiale neliniare
Principiul efectului local al acțiunii sarcinilor enunțat de Barre de Saint-
Venant Acest principiu destul de folosit icircn Rezistenţa Materialelor precizează că dacă
se icircnlocuiesc forţele care acţionează asupra unui element de suprafață al unui corp
elastic printr-un alt sistem de forţe echivalent din punct de vedere static cu primul noua
distribuţie a forţelor produce la locul de aplicare diferenţe semnificative faţă de prima
dar rămacircne fără efect sau cu efect neglijabil la distanţe mari de locul de aplicare al
forţelor figura 312
Ca o cosecință o sarcină uniform distribuită figura 312a poate fi icircnlocuită cu
rezultanta ei figura 312b dacă se analizează efectul sarcinii la distanță mare de locul icircn
care se aplică sarcina
Fig 312 Principiul Saint-Venant
Icircn prima variantă figura 312a forţa 119865 se aplică pe o porțiune oarecare 119897 (sarcină
uniform distribuită) iar icircn a doua figura 312b icircntru-un punct (forţă concentrată) La
locul de aplicare a sarcinii efectul asupra barei este cu totul diferit de la o variantă la
cealaltă Icircnsă la o distanţă mare de punctul de aplicaţie spre exemplu icircn secţiunea situată
la distanţa 119886 de capătul barei sau chiar icircn icircncastrare ambele bare sunt solicitate la fel
Icircn cazul din figura 312a
119872119894(119909) =119901 ∙ 1199092
2 119909 le 119897 119872119894(119909) = 119901 ∙ 119897 ∙ (119909 minus
119897
2) 119909 gt 119897 (324)
Icircn cazul din figura 312b
119872119894(119909) = 0 119909 lt119897
2 119872119894(119909) = 119901 ∙ 119897 ∙ (119909 minus
119897
2) 119909 gt
119897
2 (325)
Se vede că pentru (119909 gt 119897) adică după depășirea locului icircn care se aplică sarcina
efectul este același
Ipoteza lui Bernoulli sau ipoteza secţiunilor plane precizează că o secţiune
plană şi normală pe axa barei icircnainte de deformare rămacircne plană şi normală pe axa
barei şi după deformare figura 313
Fig 313 Ipoteza lui Bernoulli
Ipoteza stării naturale a corpului sau ipoteza absenţei tensiunilor conform
căreia pentru un corp nesolicitat starea de tensiune şi deformaţie este nulă
Perfecţionarea mijloacelor de calcul şi de investigare pot conduce la renunţarea la
unele ipoteze sau la introducerea altora noi mai aproape de stările reale De aici rezultă
caracterul de continuă perfecţionare a metodelor Rezistenţei Materialelor
35 Coeficienţi de siguranţă Tensiuni admisibile
O piesă corespunde din punct de vedere tehnic dacă tensiunile care iau naştere icircn
interiorul piesei datorită sarcinilor aplicate nu depăşesc anumite valori limită stabilite
convenţional Aceste valori limită ale tensiunii sunt corelate cu caracteristicile mecanice
ale materialelor
Tensiunea limită utilizată icircn calculele de rezistenţă este cunoscută sub denumirea
de tensiune admisibilă sau rezistenţă admisibilă Rezistenţa admisibilă reprezintă
valoarea convenţională aleasă icircn calcul pe baza practicii pentru tensiunea maximă care
poate apare icircntr-o piesă icircn condiţii date de material şi solicitare
Rezistenţa admisibilă (120590119886 sau 120591119886) poate fi definită faţă de o stare limită
periculoasă stare care trebuie evitată deoarece poate conduce distrugere
120590119886 =120590119897119894119898119888
(326)
unde
120590119897119894119898 este tensiunea corespunzătoare stării limită periculoase
119888 estesupraunitar 119888 gt 1 și reprezintă coeficientul de siguranţă faţă de starea limită
periculoasă considerată
Alegerea unor valori inferioare pentru rezistenţa admisibilă faţă de tensiunea
corespunzătoare stării limită periculoase este necesară deoarece
cunoaşterea sarcinilor este de cele mai multe ori aproximativă şi o depăşire a
acestora este foarte posibilă
caracteristicile mecanice ale materialelor variază icircn limite destul de mari ele
fiind influenţate de mulţi factori
schema aleasă pentru calcul (aplicarea sarcinilor schematizarea structurii
ipotezele de calcul etc) depărtează modelul faţă de cel real
Pentru calculele de verificare tensiunea efectivă maximă din elementul de
rezistenţă trebuie să fie mai mică sau cel mult egală cu cea admisibilă
120590119890119891119898119886119909 le 120590119886 (327)
Valoarea rezistenţei admisibile este influenţată de foarte mulţi factori natura
materialului tratamentele termice aplicate piesei durata de funcţionare a piesei modul
de acţionare icircn timp a sarcinilor felul solicitării temperatura gradul de periculozitate
icircn cazul cedării piesei etc
De asemenea valoarea coeficientului de siguranţă se alege icircn principal ţinacircnd
seama de aceiaşi factori care influenţează şi rezistenţa admisibilă
Rezistenţele admisibile pentru cacircteva materiale sunt următoarele
pentru oțelul de uz general OL37 solicitat la icircntindere compresiune sau
icircncovoiere 120590119886 = 150 [119872119875119886] pentru lemnul de brad solicitat la
- compresiune icircn lungul fibrelor şi solicitat la icircncovoiere 120590119886 = 10 [119872119875119886] - tracţiune icircn lungul fibrelor 120590119886 = 7 [119872119875119886] - compresiune perpendiculară pe fibre 120590119886 = 15 [119872119875119886] - forfecare icircn lungul fibrelor 120591119886 = 2 [119872119875119886] - forfecare perpendiculară pe fibre 120590119886 = 45 [119872119875119886]
terenuri de fundaţie din pămacircnt uscat sau umed 120590119886 = 020 divide 025 [119872119875119886]
4 CARACTERISTICI GEOMETRICE ALE SECȚIUNILOR PLANE
41 Noţiuni introductive
Icircn relaţiile de calcul ale tensiunilor şi deformaţiilor elementelor de rezistenţă
pentru unele solicitări (icircncovoierea și torsiunea) secțiunile plane intervin atacirct prin
dimensiunile lor (aria 119860) cicirct și prin forma și poziția pe care o are secțiunea icircn raport cu
planul solicitării Mărimile care caracterizează o secțiune icircn raport cu forma și poziția față
de axele unui sistem de referință sunt denumite caracteristici geometrice de ordin
superior Aria secțiunii este caracteristica geometrică ce depinde doar de dimensiunile
geometrice ale acesteia
Să considerăm o grindă solicitată de o forță exterioară 119865 aşezată icircn două poziții icircn
raport cu planul forţei figura 41 Icircn urma aplicării forței deși avem aceeași grindă
(aceeași arie a secțiunii transversale) și aceeași forță se constată că pentru varianta din
figura 41a deformațiile sunt mult mai mari adică rezistența la icircncovoiere a grinzii din
figura 41a este mai mare decacirct icircn cazul grinzii din figura 41b Comportarea diferită se
explică prin aceea că modificarea poziţiei secţiunii transversale faţă de planul forţelor
modifică caracteristicile geometrice ale secţiunii transversale a grinzii
Fig 41 Grindă solicitată de forța 119865
Pentru realizarea calculelor de rezistenţă şi rigiditate este foarte importantă
cunoaşterea caracteristicilor geometrice ale suprafeţei secţiunii transversale a elementelor
de rezistenţă
Caracteristicile geometrice ale secţiunii transversale a unui element de rezistenţă
sunt
- aria secțiunii notată cu 119860
- momentul static icircn raport cu o axă notat 119878119911 și respectiv 119878119910
- momentul de inerție care poate fi
axial notat 119868119911 și respectiv 119868119910
centrifugal notat 119868119911119910
polar notat 119868119901
- raza de inerţie (giraţie)notată 119894119911 și respectiv 119894119910
- modulul de rezistență care poate fi
axial notat 119882119911 și respectiv 119882119910
polar notat 119882119901
42 Aria și momentul static al suprafețelor plane
Fie o suprafaţă plană de arie 119860 pe care se ia un element infinit mic de arie 119889119860 şi
un sistem de axe rectangulare 119911119874119910 figura 42 Notăm cu 119862 centrul de greutate al suprafeţei
119860 Poziţia suprafeţei elementare 119889119860 faţă de acelaşi sistem de coordonate 119911119874119910 este dată
de abscisa 119911 ordonata 119910 și raza polară
Fig 42 Suprafață plană de arie 119860
Aria suprafeţei 119860 figura 42 se defineşte ca fiind
119860 ≝ int 119889119860
119860
(41)
Aria suprafeţei este icircntotdeauna pozitivă și se măsoară icircn [1198981198982] Momentul static al suprafeţei de arie 119860 icircn raport cu axele 119874119911 și respectiv 119874119910
figura 42 sunt date de relaţiile
119878119911 ≝ int 119910 ∙ 119889119860
119860
119878119910 ≝ int 119911 ∙ 119889119860
119860
(42)
Momentul static poate fi pozitiv negativ sau nul şi se măsoară icircn [1198981198983] Coordonatele centrului de greutate ale suprafeței 119860 se detrmină cu relațiile
119910119862 ≝int 119910 ∙ 119889119860119860
119860 119911119862 ≝
int 119911 ∙ 119889119860119860
119860
(43)
Cunoscacircnd coordonatele 119910119862 și 119911119862 ale centrului de greutate 119862 al secțiunii 119860 atunci
momentele statice se pot determina cu relațiile
119878119911 ≝ int 119910 ∙ 119889119860
119860
= 119910119862 ∙ 119889119860 119878119910 ≝ int 119911 ∙ 119889119860
119860
= 119911119862 ∙ 119889119860 (44)
Aceste relații arată că momentul static al unei suprafețe icircn raport cu o axă este
egal cu produsul dintre aria suprafeței și distanța de la centrul ariei la axa respectivă
Dacă suprafaţa se poate descompune icircn 119899 suprafeţe simple la care se cunosc ariile
(1198601 1198602 ⋯ 119860119894⋯ 119860119899) și poziţiile centrelor de greutate 119862119894 faţă de sistemul de referinţă
expresiile momentelor statice capătă următoarea formă
119878119911 = sum 119910119862119894 ∙ 119860119894119899119894=1 = 119910119862 ∙ 119860 119878119910 = sum 119911119862119894 ∙ 119860119894
119899119894=1 = 119911119862 ∙ 119860 (45)
Din relaţiile (45) rezultă că poziţia centrului de greutate 119862 al unei suprafeţe
compuse poate fi determinată cu relaţiile
119910119862 = (sum119910119862119894 ∙ 119860119894
119899
119894=1
) 119860frasl 119911119862 = (sum119911119862119894 ∙ 119860119894
119899
119894=1
) 119860frasl (46)
Icircn relația (45) 119910119862119894 și respectiv 119911119862119894 reprezintă coordonatele centrelor de greutate 119862119894
ale fiecărei suprafețe simple 119860119894 icircn raport sistemul de axe 119911119874119910
Se constată (relaţia 42) că dacă axele sistemului de referinţă trec prin centrul de
greutate (119910119862 = 119911119862 = 0) momentele statice sunt nule Axele icircn raport cu care momentele
statice sunt nule şi care trec prin centrul de greutate al suprafeţei se numesc axe centrale
Observație dacă secțiunea compusă are o axă de simetrie centrul secțiunii se
găsește pe acea axă iar dacă secțiunea este dublu simetrică poziția centrului secțiunii este
la intersecția axelor de simetrie
43 Momente de inerţie
Momentele de inerţie axiale ale unei suprafețe se calculează icircn raport cu axele de
coordonate 119874119911 și respectiv 119874119910 figura 42 și se determină cu relațiile
119868119911 ≝ int 1199102 ∙ 119889119860
119860
119868119910 ≝ int 1199112 ∙ 119889119860
119860
(47)
Unde 119910 și 119911 sunt distanțele de la elementul de arie 119889119860 la cele două axe de
coordonate 119874119911 și respectiv 119874119910
Momentele de inerţie axiale se măsoară icircn [1198981198984] şi sunt icircntotdeauna pozitive (aria
119889119860 este icircntotdeauna pozitivă și este multiplicată cu patratul distanței 1199102 dacă 119868119911 sau 119868119910
sunt nule icircnseamnă ca secțiunea nu există)
Momentele de inerție axiale se calculează icircndeosebi pentru axele centrale (care
trec prin centrul secțiunii) deoarece icircn raport cu acele axe 119868119911 și 119868119910 au valori minime
Momentul de inerţie centrifugal calculat faţă ambele axe ale sistemului de
referinţă 119911119874119910 este definit de relația
119868119911119910 ≝ int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860
(48)
Momentul de inerţie centrifugal se măsoară icircn [1198981198984] şi poate fi pozitiv negativ
sau nul
Momentul de ineție centrifugal este nul 119868119911119910 = 0 dacă cel puțin una din axele 119874119911
sau 119874119910 este axă de simetrie pentru secțiune
Se consideră o suprafaţă dreptunghiulară pe care faţă de axa de simetrie 119874119910 se iau
două suprafeţe elementare de arie 119889119860 simetrice faţă de axa 119874119910 figura 43
Fig 43 Suprafață dreptunghiulară cu două arii elementare 119889119860
Făcacircnd suma momentelor de inerţie centrifugale pentru cele două suprafeţe
elementare 119889119860 (din stacircnga şi din dreapta faţă de axa 119874119910) se obţine
int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860119889119903
+ int (minus119911) ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860119904119905119892
= int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860119889119903
minus int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860119904119905119892
= 0 (49)
Acelaşi raţionament se poate face și pentru icircntreaga suprafaţă de unde obținem că
momentul de inerție centrifugal este nul 119868119911119910 = 0 Deci pentru o suprafaţă plană care
are cel puţin o axă de simetrie momentul de inerţie centrifugal faţă de sistemul care
conţine acea axă de simetrie este nul
Momentul de inerţie polar al unei suprafeţei icircn raport cu un punct (pol) 119874 figura
42 este definit prin relaţia
1198680 = 119868119901 ≝ int 1205882 ∙ 119889119860
119860
= int(1199102 + 1199112) ∙ 119889119860
119860
= 119868119911 + 119868119910 (410)
unde este distanţa de la polul 119874 la elementul de arie 119889119860 Momentul de inerţie polar se
măsoară icircn [1198981198984] şi este totdeauna pozitiv
Momentul de inerţie polar este egal cu suma momentelor de inerţie faţă de două axe
perpendiculare oarecare şi care trec prin polul considerat
Razele de giraţie sau razele de inerţie sunt mărimi calculate icircn raport cu axele
secțiunii și definite de relaţiile
119894119911 ≝ radic119868119911119860 119894119910 = radic
119868119910
119860 (411)
Se exprimă icircn [119898119898] şi sunt icircntotdeauna pozitive Semnificația unei raze de inerție
este distanța la care dacă ar fi concentrată icircntreaga arie s-ar obține același moment de
inerție ca și cel calculat pentru aria reală
44 Modulul de rezistenţă
Modulul de rezistență se calculează icircn raport cu axele de referință sau icircn raport cu
un pol figura 42 și pot fi axiale (119882119911119882119910) sau polar (119882119901) și se determină numai pe baza
momentelor de inerţie cu relațiile figura 43
119882119911119898119894119899 ≝119868119911119910119898119886119909
119882119911119898119886119909 ≝119868119911119910119898119894119899
(412)
119882119910119898119894119899 ≝119868119910
119911119898119886119909 119882119910119898119886119909 ≝
119868119910
119911119898119894119899 (413)
119882119901 ≝119868119901
120588119898119886119909 (414)
unde
119910119898119886119909 119910119898119894119899 reprezintă distanţa de la axa 119874119911 la punctele extreme cele mai
depărtate respectiv cele mai apropiate ale suprafeţei de această axă
119911119898119886119909 119911119898119894119899 reprezintă distanţa de la axa 119874119910 la punctele extreme cele mai
depărtate respectiv cele mai apropiate ale suprafeţei de această axă
120588119898119886119909 reprezintă distanța maximă de la polul 119874 la punctul secțiunii cel mai
icircndepărtat de acesta
Fig 43 Suprafață dreptunghiulară cu două arii elementare 119889119860
Modulele de rezistenţă se exprimă icircn [1198981198983] şi sunt icircntotdeauna pozitive
Explicația este aceea că momentele de inerție care intră icircn relațiile de definiție sunt
pozitive iar distanțele la punctele extreme sunt pozitive (119910119898119886119909 119910119898119894119899 119911119898119886119909 119911119898119894119899 120588119898119886119909 se
iau icircn valoare absolută)
Icircn cazul suprafeţelor compuse modulul de rezistenţă nu se obţine prin icircnsumarea
algebrică a modulelor de rezistenţă ale suprafeţelor simple componente ci numai prin
intermediul momentului de inerţie axial calculat pentru icircntreaga secțiune
Ca și momentele de inerție modulele de rezistență se calculează numai pentru
sistemele de axe centrale
45 Momente de inerţie şi module de rezistenţă pentru suprafeţe simple
451 Secțiune dreptunghiulară
Fie suprafaţa dreptunghiulară din figura 44 de icircnălțime ℎ și lățime 119887 pe care se
consideră suprafaţă elementară de arie 119889119860 = 119887119889119910 la distanța 119910 de axa 119862119911 sistemul de
axe 119911119862119910 trece prin centrul secțiunii iar axele sunt axe de simetrie pentru dreptunghi
Fig 44 Suprafață dreptunghiulară
Pe baza relațiilor de definiți a momentului de inerție 119868119911 se obține
119868119911 ≝ int 1199102 ∙ 119889119860
119860
= int 1199102 ∙ 119887 ∙ 119889119910 = 2int 1199102 ∙ 119887 ∙ 119889119910 = 2 ∙ 119887 ∙1199103
3|ℎ 2frasl
0rArr
ℎ 2frasl
0
ℎ 2frasl
minusℎ 2frasl
rArr 119868119911 =119887 ∙ ℎ3
12
(415)
Analog pentru un element de arie 119889119860 = ℎ ∙ 119889119911 paralel cu axa 119862119910 situat la distanța
119911 de axa 119862119910
119868119910 ≝ int 1199112 ∙ 119889119860
119860
= int 1199112 ∙ ℎ ∙ 119889119911 = 2int 1199112 ∙ ℎ ∙ 119889119910 = 2 ∙ ℎ ∙1199113
3|119887 2frasl
0rArr
119887 2frasl
0
119887 2frasl
minus119887 2frasl
rArr 119868119910 =1198873 ∙ ℎ
12
(416)
Deoarece axele 119862119911 și 119862119910 sunt axe de simetrie momentul de inerție centrifugal este
119868119911119910 = 0 (417)
Pentru un pătrat avacircnd laturile egale (ℎ = 119887 = 119886) momentele de inerţie faţă de
axele centrale au expresia
119868119911 = 119868119910 =1198864
12 (418)
Modulele de rezistență axiale se calculează cu relațiile de definiție ținacircnd cont că
distanțele pacircnă la fibrele extreme sunt
119910119898119886119909 = 119910119898119894119899 =ℎ
2 119911119898119886119909 = 119911119898119894119899 =
119887
2 (419)
Obținem
119882119911119898119894119899 = 119882119911119898119886119909 =119868119911
119910119898119886119909119898119894119899=119887 ∙ ℎ3
12frasl
ℎ2frasl
=119887 ∙ ℎ2
6
119882119910119898119894119899 = 119882119910119898119886119909 =119868119910
119911119898119886119909119898119894119899=1198873 ∙ ℎ
12frasl
1198872frasl
=1198872 ∙ ℎ
6
(420)
452 Suprafaţă circulară
Din motive de simetrie pentru suprafeţele circulare momentele de inerţie faţă de
orice diametru (care reprezintă şi axe centrale) sunt aceleaşi
Considerăm o secțiune circulară plină cu diametrul 119889 și centrul de greutate 119862 Prin
centrul de greutate 119862 trece sistemul de axe ortogonal 119911119862119910 figura 45
Fig 45 Suprafață circulară
La distanța de centrul de greutate 119862 vom lua un element de suprafață mic de arie
(119889119860) de forma unui inel de grosime 119889 Elementul de arie 119889119860 are expresia
119889119860 = (2 ∙ 120587 ∙ 120588) ∙ (119889120588)
Pornind de la relația de definiție a momentului de inerție polar obținem
119868119901 ≝ int 1205882 ∙ 119889119860
119860
= int 1205882 ∙ (2 ∙ 120587 ∙ 120588) ∙ 119889120588
119903=119889 2frasl
0
= 2 ∙ 120587 ∙1205884
4|119889 2frasl0 rArr
rArr 119868119901 =120587 ∙ 1198894
32
(421)
Secțiunea este perfect simetrică deci sunt valabile relațiile
119868119911 = 119868119910 rArr 119868119901 = 119868119911 + 119868119910 = 2 ∙ 119868119911 = 2 ∙ 119868119910 =119868119901
2=120587 ∙ 1198894
64 (422)
Și modulele de rezistenţă faţă de orice diametru sunt egale şi se calculează cu
relaţiile
119882119911 = 119882119910 =1198681199111198892frasl=120587 ∙ 1198893
32 (423)
Modulul de rezistenţă polar este
119882119901 =1198681199011198892frasl=120587 ∙ 1198893
16 (424)
453 Secţiune inelară
Calculul momentelor de inerţie axiale pentru o secţiune inelară avacircnd diametrul
interior 119889 şi diametrul exterior 119863 se determină analog pentru suprafaţa circulară plină cu
observaţia că integrala pentru calculul momentului de inerție polar 119868119901 se face icircntre
limitele 119903 = 119889 2frasl şi R= 1198632frasl (icircntre raza interioară 119903 şi raza exterioară 119877) figura 46
Se obţin relaţiile
119868119901 =120587 ∙ 1198634
32∙ [1 minus (
119889
119863)4
] =120587 ∙ 1198634
32∙ (1 minus 1198964) (425)
119868119910 = 119868119910 =120587 ∙ 1198634
64∙ [1 minus (
119889
119863)4
] =120587 ∙ 1198633
64∙ (1 minus 1198964) (426)
Fig 46 Secțiune inelară
119882119901 =120587 ∙ 1198633
16∙ [1 minus (
119889
119863)4
] =120587 ∙ 1198633
16∙ (1 minus 1198964) (427)
119882119911 = 119882119910 =120587 ∙ 1198633
32∙ [1 minus (
119889
119863)4
] =120587 ∙ 1198633
32∙ (1 minus 1198964) (428)
unde 119896 = 119889119863frasl
46 Variaţia momentelor de inerţie faţă de axe paralele
( Relațiile lui STEINER)
Se consideră o suprafaţă oarecare de arie 119860 cu elementul de arie 119889119860 și un sistemul
de axe central 119911119862119910 faţă de care se cunosc momentele de inerţie 119868119911 119868119910 119868119911119910 şi considerăm
un sistem de axe 11991111198741199101 paralele cu sistemul central figura 47 Se pune problema
determinării momentele de inerţie 1198681199111 1198681199101 11986811991111199101 faţă de sistemul de axe paralel cu sistemul
central 11991111198741199101 axe aflate la distanţele 119910119862 = 119888 respectiv 119911119862 = 119889 de acesta
461 Momente de inerţie axiale
Pe baza relaţiilor de definire şi a notaţiilor din figura 42 pentru momentele de
inerţie faţă de axele 1198741199111 1198741199101 se poate scrie
1198681199111 = int 11991012 ∙ 119889119860
119860
= int(119910 + 119888)2 ∙ 119889119860
119860
= int 1199102 ∙ 119889119860
119860
+ 2 ∙ 119888 ∙ int 119910 ∙ 119889119860
119860
+
+1198882int 119889119860
119860
rArr 1198681199111 = 119868119911 + 2 ∙ 119888 ∙ 119878119911 + 1198882 ∙ 119860 hArr 1198681199111 = 119868119911 + 119888
2 ∙ 119860
(429)
Fig 47 Variaţia momentelor de inerţie față de axe paralele
S-a ajuns la relația (429) deoarece momentul static 119878119911 este nul deoarece axa 119862119885
este axă centrală
Pentru momentul de inerție axial icircn raport cu axa 1198741199101 se obține
1198681199101 = int 11991112 ∙ 119889119860
119860
= int(119911 + 119889)2 ∙ 119889119860
119860
= int 1199112 ∙ 119889119860
119860
+ 2 ∙ 119889 ∙ int 119911 ∙ 119889119860
119860
+
+1198892 ∙ int 119889119860
119860
rArr 1198681199101 = 119868119910 + 2 ∙ 119889 ∙ 119878119910 + 1198892 ∙ 119860 hArr 1198681199101 = 119868119910 + 119889
2 ∙ 119860
(430)
Pentru momentul de inerție centrifugal obținem
11986811991111199101 = int 1199101 ∙ 1199111 ∙ 119889119860
119860
= int(119910 + 119888) ∙ (119911 + 119889) ∙ 119889119860
119860
= int 119910 ∙ 119911 ∙ 119889119860 +
119860
+119888 ∙ int 119911 ∙ 119889119860
119860
+ 119889 ∙ int 119910 ∙ 119889119860
119860
rArr 11986811991111199101 = 119868119911119910 + 119888 ∙ 119889 ∙ 119860
(431)
Deoarece
int 119911 ∙ 119889119860
119860
= 119878119910 = 0 int 119910 ∙ 119889119860
119860
= 119878119911 = 0 int 119910 ∙ 119911 ∙ 119889119860
119860
= 119868119911119910
Relaţiile (429) şi (430) arată că momentul de inerţie faţă de o axă oarecare
este egal cu momentul de inerţie faţă de o axă paralelă cu ea trecacircnd prin centrul de
greutate la care se adaugă produsul dintre aria suprafeţei şi pătratul distanţei dintre
cele două axe
Din relaţiile (429) și (430) rezultă de asemenea că momentul de inerţie faţă de o
axă centrală (care trece prin centrul de greutate) este cel mai mic dintre infinitatea de
momente de inerţie obținute faţă de alte axe paralele cu ea
Relaţia (431) arată de asemenea că momentul de inerţie centrifugal faţă de un
sistem de axe oarecare este egal cu momentul de inerţie centrifugal faţă de un sistem
paralele cu el trecacircnd prin centrul de greutate a suprafeţei la care se adaugă produsul
dintre aria suprafeţei şi distanţele dintre axele sistemelor respective
Icircn literatura de specialitate relaţiile (429) (430) şi (431) sunt cunoscute sub
numele de relaţiile lui Steiner
47 Variaţia momentrlor de inerţie faţă de axe rotite
Direcţii principale şi momente de inerţie principale
Fie suprafaţa plană din figura 48 de arie 119860 pe care considerăm o suprafaţă
elementară de arie 119889119860 Pentru sistemul de axe 119911119874119910 se cunosc momentele de inerţie
119868119911 119868119910 119868119911119910 şi vom determina relaţiile de calcul pentru momentele de inerţie afererent unui
sistem de axe 11991111198741199101 rotit cu un unghi faţă de sistemul central
Faţă de sistemul de axe 11991111198741199101 elementul de arie 119889119860 are coordonatele
1199101 = 119875119877 = 119875119876 minus 119877119876 = 119910 ∙ cos 120572 minus 119911 ∙ sin 120572
1199111 = 119873119872 = 119873119875 minus 119875119872 = 119911 ∙ cos 120572 + 119910 ∙ sin 120572 (432)
Fig 47 Variaţia momentelor de inerţie față de axe rotite
Pe baza relaţiilor de calcul ale momentelor de inerţie şi a notaţiilor din figura 42
şi ale relaţiilor (432) momentele de inerţie faţă de sistemul de axe rotit 11991111198741199101 sunt
1198681199111 =119868119911 + 119868119910
2+119868119911 minus 119868119910
2∙ cos 2120572 minus 119868119911119910 ∙ sin 2120572 (433)
1198681199101 =119868119911 + 119868119910
2minus119868119911 minus 119868119910
2∙ cos 2120572 + 119868119911119910 ∙ sin 2120572 (434)
11986811991111199101 =119868119911 minus 119868119910
2∙ sin 2120572 + 119868119911119910 ∙ cos 2120572 (435)
Din relaţiile 433divide435 se observă că icircntre momentele de inerţie axiale şi cele
polare există relaţia
1198681199111 + 1198681199101 = 119868119911 + 119868119910 = 119868119901 (436)
adică suma momentelor de inerţie axiale icircn raport cu orice pereche de axe ortogonale
care trec printr-un pol dat este o constantă şi egală cu momentul de inerţie polar
Prin rotirea sistemului de axe din relaţiile 433divide435 rezultă că momentele de inerţie
variază icircnsă suma lor rămacircne constantă deci există o poziţie a sistemului de axe pentru
care momentele de inerţie au valori extreme maxim respectiv minim
471 Direcţii principale de inerţie
Valoarea unghiului 120572 pentru care momentele de inerţie axiale au valori extreme
este
1205721 =1
2∙ 119886119903119888119905119886119899 (minus
2 ∙ 119868119911119910
119868119911 minus 119868119910) (437)
Poziţia celeilalte direcţii este perpendiculară pe cea dată de unghiul 1205721
Din relaţia (437) se constată că faţă de aceste direcţii rotite pentru care momentele
de inerţie axiale prezintă valori extreme momentul de inerţie centrifugal 11986811991111199101este nul
Atunci se poate afirma că momentele de inerţie axiale au valori extreme icircn raport cu
direcţiile faţă de care momentul de inerţie centrifugal este nul Aceste direcţii se numesc
direcţii principale iar momentele de inerţie faţă de aceste direcţii poartă numele de
momente de inerţie principale
Icircn calculele de rezistenţă interesează icircn mod special poziţia direcţiilor principale
care trec prin centrul de greutate al suprafeţei aşa numitele direcţii principale centrale şi
evident momentele de inerţie principale centrale
Direcţiile principale de inerţie se notează cu 1 respectiv 2 Axa principală 1
corespunde direcţiei faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea maximă iar
axa principală 2 pentru direcţia faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea
minimă
472 Momente de inerţie principale
Momentele de inerţie principale se notează cu litera 119868 la care se pune indicele 1
sau 2 după cum valoarea acestuia este maximă sau minimă deci avem un moment de
inerţie principal 1 (notat 1198681) respectiv moment de inerţie principal 2 (notat 1198682)
Expresiile pentru momentele de inerţie principale sunt
11986812 =119868119911 + 119868119910
2plusmn1
2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)
2+ 4 ∙ (119868119911119910)
2 (438)
Dacă momentul de inerţie centrifugal este negativ (119868119911119910 lt 0) direcţia principală
care trece prin primul cadran (definit de sistemul 119911119862119910) este direcţia principală 120783
Pentru suprafeţele cu cel puţin o axă de simetrie direcţiile centrale 119862119911 119862119910 sunt şi
direcții principale de inerţie și evident momentele de inerţie axiale 119868119911 119868119910 sunt momente
de inerţie principale
48 Caracteristici mecanice ale metalelor
Alegerea materialului pentru confecţionarea unei anumite piese se face şi pe baza
aşa numitelor caracteristici mecanice pe care le prezintă materialul Cunoaşterea acestor
caracteristici mecanice are loc numai pe baza unor icircncercări mecanice care să scoată icircn
evidenţă comportarea materialului icircn condiţii de solicitare
Cea mai utilizată icircncercare icircn urma căreia se pun icircn evidenţă caracteristicile
mecanice ale unui material este icircncercarea la tracţiune
481 Icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general
Icircncercarea la tracţiune a oţelului ca de altfel toate icircncercările de materiale este
standardizată
Icircn cele ce urmează se va prezenta numai partea care interesează strict din punct
de vedere al caracteristicilor mecanice ale oţelului
Epruveta de diametru iniţial 1198890 pentru icircncercarea la tracţiune are o porţiune de
lungime 1198710 numită baza de măsurare pe care se măsoară lungirea acesteia sub acţiunea
solicitării
Icircn funcţie de raportul dintre baza de măsurare 1198710 şi diametrul iniţial 1198890 epruvetele
utilizate pentru icircncercări sunt
epruvete normale (scurte) cacircnd 11987101198890 = 5
epruvete lungi cacircnd 11987101198890 = 10
Icircn timpul icircncercării la diferite valori ale forţei 119865 se măsoară lungirea bazei de
măsurare
∆119871 = 120575 = 119871 minus 1198710 (439)
unde
119871 este dimensiunea bazei de măsurare la un moment dat
Curba forţă-lungire (119865 minus ) icircnregistrată icircn urma icircncercării reprezintă curba
caracteristică la tracţiune
La icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general diagrama caracteristică care se
obţine are forma din figura 48
Curba caracteristică la tracţiune depinde de lungimea bazei de măsurare Pentru
icircnlăturarea acestui neajuns curba caracteristică se reprezintă icircn coordonate şi definite
astfel
120590 =119865
1198600 휀 =
120575
1198710 (440)
unde
1198600 este aria iniţială a secţiunii transversale a epruvetei (icircnainte de solicitare) icircn
zona bazei de măsurare
1198600 =120587 ∙ 1198890
2
4
Deoarece mărimile icircn care se reprezintă curba caracteristică la tracţiune sunt
raportate la aria iniţială a secţiunii transversale (mărimi specifice) curba poartă numele
de curbă caracteristică convenţională la tracţiune
Fig 48 Curba caracteristică convenţională la tracțiune
Pe curba caracteristică convenţională la tracţiune figura 48 se pot stabili o serie
de puncte cărora le corespund mai multe mărimi importante
Ordonata punctului A pacircnă unde curba caracteristică convenţională este linie
dreaptă se numeşte limita de proporţionalitate a materialului 120590119901(1205901) Porţiunea 119874119860 este
zona de proporţionalitate a curbei caracteristice pe acest domeniu este valabilă legea lui
Hooke care exprimă o proporţionalitate icircntre tensiune şi deformaţie specifică
120590 = 119864 ∙ 휀 (441)
unde
119864 = reprezintă panta porţiunii liniare a curbei convenționale caracteristice
la tracțiune Caracteristica de material 119864 se numeşte modul de elasticitate longitudinal
(modulul lui Young)
Ordonata punctului 119861 pacircnă unde materialul se comportă perfect elastic adică
după descărcare icircşi recapătă dimensiunea iniţială 1198710 se numeşte limita de elasticitate
120590119890(119877119890) Icircn realitate nici un material nu are comportare perfect elastică sub acţiunea
solicitărilor el capătă deformaţii permanente (remanente plastice)
După punctul 119861 urmează o porţiune 119861119862119863 icircn care cu toate că icircncărcarea
continuă forţa nu mai creşte avacircnd mici oscilaţii icircn jurul unei valori Se spune că icircn
această porţiune materialul curge iar intervalul 119861119862119863 este un palier de curgere Tensiunea
corespunzătoare palierului de curgere se numeşte limită de curgere aparentă 120590119888(119877119888) Limita de curgere aparentă se calculează cu relaţia
120590119888 =1198651198881198600 (442)
unde
119865119888 reprezintă valoarea forţei icircnregistrată icircn momentul curgerii materialului
După punctul 119863 curba caracteristică are un traseu ascendent pacircnă icircn punctul 119864
Porţiunea 119863119864 este numită zonă de icircntărire (ecruisare) Icircn zona de ecruisare unde se
produc deformaţii plastice semnificative legea lui Hooke nu mai este valabilă La
descărcare relaţia dintre tensiunea şi deformaţia specifică este liniară paralelă cu
porţiunea liniară a curbei caracteristice (dreapta 119872119873)
Deformaţia totală (휀119905) are două componente una elastică (휀119890) şi una plastică (휀119901)
Ordonata punctului 119864 reprezintă rezistenţa de rupere 120590119903(119877119898) a materialului
care se poate calcula cu relaţia
120590119903 = 119877119898 =1198651198981198861199091198600
(443)
unde
119865119898119886119909 reprezintă valoarea maximă a forţei icircnregistrată icircn timpul icircncercării
La atingerea valorii 119865119898119886119909 (punctul 119864) icircntr-un anumit loc al epruvetei secţiunea
icircncepe să se micşoreze (se produce gacirctuirea) continuacircnd pacircnă cacircnd se produce ruperea
totală (punctul 119865)
Dacă după ruperea epruvetei cele două părţi rezultate se aşează cap la cap şi se
măsoară dimensiunea bazei de măsurare 119871119906 (lungimea ultimă) se determină alungirea la
rupere sau lungirea specifică la rupere 휀119903
휀119903 =119871119906 minus 11987101198710
=∆119871
1198710=120575
1198710 (444)
De obicei alungirea se exprimă icircn procente şi se notează cu 119860119899 unde 119899 reprezintă
numărul dat de raportul 11987101198890 (epruvete normale 119899 = 5 epruvete lungi 119899 = 10)
119860119899 =119871119906 minus 11987101198710
∙ 100 [] (445)
Altă mărime care se determină la icircncercarea la tracţiune este gacirctuirea la rupere
(exprimată de obicei icircn procente) şi definită de relaţia
119885 =1198600 minus 1198601199061198600
∙ 100 [] (446)
Mărimile determinate limita de proporţionalitate modulul de elasticitate
longitudinal limita de elasticitate limita de curgere aparentă rezistenţa de rupere
alungirea la rupere şi gacirctuirea la rupere sunt cunoscute ca fiind caracteristici mecanice
ale materialului
Din curba caracteristică convenţională observăm faptul că ruperea (punctul 119865 din
figura 48 se produce la o tensiune mai mică decacirct cea corespunzătoare punctului 119864 Dacă
icircnsă forţa din timpul icircncercării s-ar raporta la aria secţiunii din momentul icircnregistrării
forţei (care este mai mică decacirct cea iniţială 1198600) s-ar obţine aşa numita curbă
caracteristică reală a materialului (traseul 1198741198601198611198621198631198651 din figura 48) La curba
caracteristică reală ruperea se produce icircn punctul 1198651 la o icircncărcare mai mare decacirct cea
corespunzătoare punctului 119864 Icircnseamnă că rezistenţa reală la rupere este mai mare decacirct
rezistenţa la rupere dată de punctul 119864 din diagrama caracteristică convenţională
Dificultatea obţinerii diagramei caracteristice reale faţă de cea a diagramei caracteristice
convenţionale şi considerarea unei rezistenţe la rupere mai mică decacirct a celei reale face
icircn practică utilizarea pe scară mare a diagramei caracteristice convenţionale
Caracteristicile mecanice determinate pe baza curbei caracteristice convenţionale
sunt şi ele caracteristici mecanice convenţionale
Caracteristicile mecanice convenţionale limita de proporţionalitate convenţională
120590119901 limita de elasticitate convenţională 120590119890 limita de curgere convenţională 120590119888 şi rezistenţa
de rupere 120590119903 constituie tensiuni limită pentru un material Pe baza acestor caracteristici
de material se alege valoarea tensiunii admisibile 120590119886 (vezi paragraful 35) pentru
calculele de rezistenţă Cea mai utilizată stare limită pentru stabilirea tensiunii admisibile
120590119886 este limita de curgere convenţională 120590119888
120590119886 =120590119897119894119898119888
=120590119888119888 119904119886119906 120590119886 =
120590119903119888 (447)
Caracteristicile mecanice ale materialului sunt influenţate de o serie de factori
temperatura viteza de solicitare factorii tehnologici iar valorile lor sunt date icircn tabele și
diagrame
Aplicaţie Pentru suprafaţa plană compusă din două dreptunghiuri avacircnd
dimensiunile din figura 49a să se calculeze
a) centrul de greutate al secțiunii compuse 119910119866 119911119866
b) momentele de inerție axiale 119868119911 119868119910 și momentul de inerție centrifugal 119868119911119910
c) razele de inerție 119894119911 119894119910
d) modulele de rezistență 119882119911119898119894119899 119882119911119898119886119909 119882119910119898119894119899 119882119910119898119886119909
e) momentele de inerție principale 1198681 1198682 și direcțiile principale de inerție 1205721
f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 119878119911
Fig 49 Aplicație
Rezolvare Pentru rezolvare vom parcurge următoarele etape
icircmpărțim suprafața compusă icircn două suprafețe simple (dreptunghiuri) notate cu
① și respectiv ② figura 49b
poziționăm centrele de greutate a celor două suprafețe simple ① și respectiv ②
notate cu 1198661 și respectiv 1198662 figura 49c
poziționăm sistemele de axe de coordonate 119911111986611199101 pentru dreptunghiul ① și
119911211986621199102 pentru dreptunghiul ② aflate la intersecția diagonalelor figura 49c
poziționăm sistemele de axe de coordonate 11991101198741199100 ales arbitrar față de care
determinăm poziția centrului de greutate 119866 figura 49c
a) calculăm poziția centrului de greutate folosind relațiile (46) icircn care
1198601 = 6119905 ∙ 119905 = 61199052 1198602 = 4119905 ∙ 119905 = 41199052 119860 = 1198601 + 1198602 = 61199052 + 41199052 = 101199052
iar centrele de greutate 1198661 și respectiv 1198662 au coordonatele (față de sistemul 11991101198741199100)
1198661 1199101 = 3119905 1199111 = 05119905
1198662 1199102 = 051199051199112 = 3119905
cu acestea obținem
119910119866 =1198601 ∙ 1199101 + 1198602 ∙ 1199102
119860=61199052 ∙ 3119905 + 41199052 ∙ 05119905
101199052=201199053
101199052= 2119905
119911119866 =1198601 ∙ 1199111 + 1198602 ∙ 1199112
119860=61199052 ∙ 05119905 + 41199052 ∙ 3119905
101199052=151199053
101199052= 15119905
Poziționăm centrul de greutate 119866 al suprafeței compuse figura 49c
Fig 49 Aplicație
b) pentru determinarea momentelor de inerție axiale 119868119911 119868119910 și a momentului de
inerție centrifugal 119868119910119911 determinăm constantele 1198881 1198882 1198891 1198892 care intervin icircn relația lui
Stainer
1198881 = 1199101 minus 119910119866 = 3119905 minus 2119905 = 119905 1198882 = minus(119910119866 minus 1199102) = minus(2119905 minus 05119905) = minus15119905
1198891 = minus(119911119866 minus 1199111) = minus(15119905 minus 05119905) = minus119905 1198892 = 1199112 minus 119911119892 = 3119905 minus 15119905 = 15119905
Folosind relațiile lui Stainer (429) (430) și (431) calculăm momentele de
inerție axiale și centrifugale față de sistemul central 119911119866119866119910119866
119868119911 =sum(119868119911119894 + 1198881198942 ∙ 119860119894) = 1198681199111 + 1198881
2 ∙ 1198601 + 1198681199112 + 11988822 ∙ 1198602
119868119910 =sum(119868119910119894 + 1198891198942 ∙ 119860119894) = 1198681199101 + 1198891
2 ∙ 1198601 + 1198681199102 + 11988922 ∙ 1198602
119868119911119910 =sum(119868119911119894119910119894 + 119888119894 ∙ 119889119894 ∙ 119860119894) = 11986811991111199101 + 1198881 ∙ 1198891 ∙ 1198601 + 11986811991121199102 + 1198882 ∙ 1198892 ∙ 1198602
1198681199111 = (119887 ∙ ℎ3
12) =
119905 ∙ (6119905)3
12= 181199054 1198681199112 = (
119887 ∙ ℎ3
12) =
4119905 ∙ 1199053
12= 031199054
1198681199101 = (1198873 ∙ ℎ
12) =
1199053 ∙ 6119905
12= 051199054 1198681199102 = (
1198873 ∙ ℎ
12) =
(4119905)3 ∙ 119905
12= 531199054
11986811991111199101 = 11986811991121199102 = 0 deoarece cele două triunghiuri au cel puțin o axă de simetrie
Cu acestea momentele de inerție axiale și momentul de inerție centrifugal devin
119868119911 = 181199054 + 1199052 ∙ 61199052 + 031199054 + (minus15119905)2 ∙ 41199052 = 3331199054
119868119910 = 051199054 + (minus119905)2 ∙ 61199052 + 531199054 + (15119905)2 ∙ 41199052 = 2081199054
119868119911119910 = 0 + 119905 ∙ (minus119905) ∙ 61199052 + 0 + (minus15119905) ∙ (15119905) ∙ 41199052 = minus151199054
c) razele de inerție sau de girație față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910
se calculează cu relațiile (411)
119894119911 = radic119868119911119860= radic
3331199054
101199052= 182119905 119894119910 = radic
119868119910
119860= radic
2081199054
101199052= 144119905
d) modulele de rezistență față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910 se
calculează cu relațiile (412) și (413)
Avacircnd icircn vedere figura 419c obținem
119910119898119886119909 = 6119905 minus 119910119866 = 6119905 minus 2119905 = 4119905 119910119898119894119899 = minus119910119866 = minus2119905
119911119898119886119909 = 5119905 minus 119911119866 = 5119905 minus 15119905 = 35119905 119911119898119894119899 = minus119911119866 = minus15119905
Se obține astfel
119882119911119898119894119899 =119868119911
|119910119898119886119909|=3331199054
4119905= 8331199053
119882119911119898119886119909 =119868119911
|119910119898119894119899|=3331199054
2119905= 16651199053
119882119910119898119894119899 =119868119910
|119911119898119886119909|=2081199054
35119905= 5941199053
119882119910119898119886119909 =119868119910
|119911119898119894119899|=2081199054
15119905= 13871199053
e) momentele de inerție principale 1198681 și respectiv 1198682 se calculează cu relațiile
(438)
11986812 =119868119911 + 119868119910
2plusmn1
2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)
2+ 4 ∙ (119868119911119910)
2=
=3331199054 + 2081199054
2plusmn1
2∙ radic(3331199054 minus 2081199054)2 + 4 ∙ (minus151199054)2 = 27051199054 plusmn 16251199054
De unde obținem
1198681 = 27051199054 + 16251199054 = 4331199054
1198682 = 27051199054 minus 16251199054 = 1081199054
Prima direcție principală de inerție 1 face cu axa centrală 119866119911 unghiul 1205721 dat de
relația (437)
1205721 =1
2∙ arctan (minus
2 ∙ 119868119911119910
119868119911 minus 119868119910) =
1
2∙ arctan [minus
2 ∙ (minus151199054)
3331199054 minus 2081199054] =33 70
Deoarece 1205721 gt 0 rotirea axelor se face acircn sens antiorar acelor de ceasornic figura
49d
Poziția axe principale 2 față de care momentul de inerție are valoarea minimă
1198682 = 119868119898119894119899 este dată de unghiul
1205722 = 1205721 + 900 = 33 70 + 900 = 123 70
f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 se determină cu relația
(45)
1198781199111198602 = 1198602 ∙ 1198882 = 41199052 ∙ (minus15119905) = minus61199053
(sum119885) = 0 rArr int 120591119909119911 ∙ 119889119860
119860
= 119879119911 (319)
(sum119872)119909= 0 rArr int(120591119909119911 ∙ 119889119860) ∙ 119910
119860
minus int(120591119909119910 ∙ 119889119860) ∙ 119911
119860
= 119872119909 rArr
rArr int(119910 ∙ 120591119909119911 minus 119911 ∙ 120591119909119910) ∙ 119889119860
119860
= 119872119909
(320)
(sum119872)119910= 0 rArr int(120590119909 ∙ 119889119860) ∙ 119911
119860
= 119872119894119910 (321)
(sum119872)119911= 0 rArr int(120590119909 ∙ 119889119860) ∙ 119910
119860
= 119872119894119911 (322)
Cele șase relații de echivalență icircntre eforturi și tensiuni constituie un pas icircnainte
icircn rezolvarea unei probleme de rezistența materialelor Aceste relații vor permite
determinarea tensiunilor maxime
Pentru a rezolva cele 6 relații de echivalență trebuie să se cunoască tensiunile și
ca funcții de punct adică funcții de forma
120590119909 = 120590119909(119909 119910 119911) 120591119909119910 = 120591119909119910(119909 119910 119911) 120591119909119911 = 120591119909119911(119909 119910 119911) (32
3)
Cunoașterea acestor funcții presupune icircnsă analizarea aspectului geometric al
problemei precum și utilizarea unor ipoteze simplificatoare care să permită simplificarea
problemelor
34 Ipoteze de bază icircn rezistenţa materialelor
Depășirea dificultăților legate de interpretarea unor fenomene specifice mecanicii
solidului deformabil a impus acceptarea unor ipoteze care să simplifice fenomenele și să
contribuie la elaborarea unor modele de calcul cicirct mai generale și cacirct mai simple Aceste
ipoteze se referă la structura materialelor şi la comportarea lor sub acţiunea forţelor
exterioare Ipotezele acceptate trebuie să fie icircn deplină concordanţă cu realitatea și să
conducă la rezultate verificate icircn practică
Funcție de aspectele la care se referă ipotezele pot fi
Ipoteze fizice (de material)
Ipoteze de calcul
341 Ipoteze fizice
Se acceptă deoarece teoriile structurale au condus la rezultate care contravin
icircncercărilor experimentale
Ipoteza mediului continuu consideră că orice domeniu elementar al corpului
este ocupat de materie adică nu se acceptă existența unor goluri sau a unor crăpături
microscopice (fisuri) Deși nu corespunde realităţii poate fi acceptată deoarece
dimensiunile corpului sunt mult mai mari decacirct dimensiunile particulelor elemantare Are
avantajul că permite utilizarea proprietăților matematice ale funcțiilor continue pentru
tensiunile și deformațiile din orice punct al corpului Ea este mai apropiată de realitate la
corpurile amorfe şi mai depărtată la cele cristaline dar conduce la rezultate satisfăcătoare
icircn calculele de rezistenţă
Ipoteza nu se poate aplica la corpurile care au goluri tăieturi (multiplu conexe)
pentru unele puncte singulare icircn care tensiunile și deformațiile tind la infinit sau icircn unele
probleme de plasticitate icircn care proprietățile de material au un rol esențial
Ipoteza izotropiei conform acestei ipoteze materialul din care este confecționat
un element de rezistență are aceleași proprietăți după orice direcție un astfel de material
este considerat izotrop Din punct de vedere macroscopic metalele pot fi considerate
izotrope deși la nivel microscopic proprietățile lor diferă de la o direcție cristalografică
la alta Orice conglomerat de cristale poate fi considerat izotrop
Există cazuri cacircnd această ipoteză a izotropiei nu se acceptă
la metalele puternic deformate după o direcție (prin laminare trefilare)
la piesele confecționate din lemn lemnul este anizotrop deoarece proprietățile sale
diferă după două direcții (icircn lungul fibrelor și perpendicular pe această direcție)
Ipoteza omogenității consideră că un corp are aceleași proprietăți icircn orice
punct al său Deși majoritatea materialelor utilizate icircn tehnică sunt eterogene la scară
micro fiind constituite din mai multe faze cu proprietăți diferite la scară macro ele pot
fi considerate omogene Omogenitatea și izotropia sunt proprietăți statistice medii care
nu se condiționează una pe cealaltă Chiar și materialele monofazice pot avea la scară
micro unele segregații care le fac eterogene
Ipoteza elasticităţii perfecte presupune că atacircta timp cacirct solicitările nu
depăşesc anumite limite materialul are o comportare elastică adică icircşi recapătă forma şi
dimensiunile iniţiale odată cu icircnlăturarea sarcinilor Icircn realitate materialele nu prezintă o
elasticitate perfectă ele avacircnd deformaţii remanente mici care icircnsă pot fi neglijate icircn
calculele de rezistenţă
Acceptarea acestei ipoteze a elasticității perfecte permite
- aplicarea relației biunivoce icircntre tensiuni și deformații relație exprimată de legea
lui Hooke ( = 119864 ∙ 휀) unde E este un factor de proporţionalitate numit modul de
elasticitate longitudinal al materialului pentru oţel 119864 = 21 ∙ 105 [119872119875119886] - acceptarea valabilității afirmației bdquolucrul mecanic efectuat de forțele exterioare
ca urmare a parcurgerii deplasărilor punctelor de aplicație se icircnmagazinează integral icircn
corp sub formă de energie de deformație energie cedată la icircndepărtarea sarcinilorrdquo
- este valabilă teoria conform căreia bdquoenergia icircnmagazinată și deformațiile depind
doar de starea inițială și finală de eforturi fără a ține cont de modul icircn care s-a ajuns la
starea finalărdquo
Icircn realitate oricacirct de mici ar fi sarcinile aplicate se produc și deformații plastice
dar acestea pot fi neglijate dacă solicitarea nu depășește anumite limite
342 Ipoteze de calcul
Ipoteza micilor deplasări bdquodeplasările datorate deformării sunt mult mai mici
decacirct dimensiunile corpurilor și ca urmare pot fi neglijate produsele dintre o deplasare și
ea icircnsăşirdquo Pentru cele mai multe corpuri deformaţiile elastice sunt de mărimi mici deci
corpurile solide sub acţiunea sarcinilor icircşi modifică foarte puţin forma iniţială Această
ipoteză este cunoscută şi sub denumirea de ipoteza menţinerii dimensiunilor iniţiale Ea
permite scrierea ecuaţiilor de echilibru ale staticii pe starea nedeformată a elementului
cacircnd nu se iau icircn considerare deplasările punctelor de aplicaţie ale forţelor care se produc
ca urmare a deformării acestuia Calculul efectuat pe schema nedeformată poartă numele
de calcul de ordinul I
Ipoteza micilor deplasări nu poate fi acceptată pentru studiul problemelor de
stabilitate sau la problemele la care nu pot fi icircndeplinite condiţiile de echilibru icircn starea
nedeformată
Calculul de ordinul II admite ipoteza micilor deplasări dar ecuaţiile de echilibru
se scriu icircnsă pentru starea deformată a elementului de rezistenţă
Calculul de ordinul III nu mai acceptă ipoteza micilor deplasări el referindu-se
la cazul deformaţiilor mari cacircnd ecuaţiile de echilibru trebuie scrise pentru starea
deformată
Chiar dacă materialul satisface legea lui Hooke icircn urma calculelor de ordinul II
se obţin de obicei relaţii neliniare icircntre sarcini şi deplasări iar pentru calculul de ordinul
III rezultă ecuaţii diferenţiale neliniare
Principiul efectului local al acțiunii sarcinilor enunțat de Barre de Saint-
Venant Acest principiu destul de folosit icircn Rezistenţa Materialelor precizează că dacă
se icircnlocuiesc forţele care acţionează asupra unui element de suprafață al unui corp
elastic printr-un alt sistem de forţe echivalent din punct de vedere static cu primul noua
distribuţie a forţelor produce la locul de aplicare diferenţe semnificative faţă de prima
dar rămacircne fără efect sau cu efect neglijabil la distanţe mari de locul de aplicare al
forţelor figura 312
Ca o cosecință o sarcină uniform distribuită figura 312a poate fi icircnlocuită cu
rezultanta ei figura 312b dacă se analizează efectul sarcinii la distanță mare de locul icircn
care se aplică sarcina
Fig 312 Principiul Saint-Venant
Icircn prima variantă figura 312a forţa 119865 se aplică pe o porțiune oarecare 119897 (sarcină
uniform distribuită) iar icircn a doua figura 312b icircntru-un punct (forţă concentrată) La
locul de aplicare a sarcinii efectul asupra barei este cu totul diferit de la o variantă la
cealaltă Icircnsă la o distanţă mare de punctul de aplicaţie spre exemplu icircn secţiunea situată
la distanţa 119886 de capătul barei sau chiar icircn icircncastrare ambele bare sunt solicitate la fel
Icircn cazul din figura 312a
119872119894(119909) =119901 ∙ 1199092
2 119909 le 119897 119872119894(119909) = 119901 ∙ 119897 ∙ (119909 minus
119897
2) 119909 gt 119897 (324)
Icircn cazul din figura 312b
119872119894(119909) = 0 119909 lt119897
2 119872119894(119909) = 119901 ∙ 119897 ∙ (119909 minus
119897
2) 119909 gt
119897
2 (325)
Se vede că pentru (119909 gt 119897) adică după depășirea locului icircn care se aplică sarcina
efectul este același
Ipoteza lui Bernoulli sau ipoteza secţiunilor plane precizează că o secţiune
plană şi normală pe axa barei icircnainte de deformare rămacircne plană şi normală pe axa
barei şi după deformare figura 313
Fig 313 Ipoteza lui Bernoulli
Ipoteza stării naturale a corpului sau ipoteza absenţei tensiunilor conform
căreia pentru un corp nesolicitat starea de tensiune şi deformaţie este nulă
Perfecţionarea mijloacelor de calcul şi de investigare pot conduce la renunţarea la
unele ipoteze sau la introducerea altora noi mai aproape de stările reale De aici rezultă
caracterul de continuă perfecţionare a metodelor Rezistenţei Materialelor
35 Coeficienţi de siguranţă Tensiuni admisibile
O piesă corespunde din punct de vedere tehnic dacă tensiunile care iau naştere icircn
interiorul piesei datorită sarcinilor aplicate nu depăşesc anumite valori limită stabilite
convenţional Aceste valori limită ale tensiunii sunt corelate cu caracteristicile mecanice
ale materialelor
Tensiunea limită utilizată icircn calculele de rezistenţă este cunoscută sub denumirea
de tensiune admisibilă sau rezistenţă admisibilă Rezistenţa admisibilă reprezintă
valoarea convenţională aleasă icircn calcul pe baza practicii pentru tensiunea maximă care
poate apare icircntr-o piesă icircn condiţii date de material şi solicitare
Rezistenţa admisibilă (120590119886 sau 120591119886) poate fi definită faţă de o stare limită
periculoasă stare care trebuie evitată deoarece poate conduce distrugere
120590119886 =120590119897119894119898119888
(326)
unde
120590119897119894119898 este tensiunea corespunzătoare stării limită periculoase
119888 estesupraunitar 119888 gt 1 și reprezintă coeficientul de siguranţă faţă de starea limită
periculoasă considerată
Alegerea unor valori inferioare pentru rezistenţa admisibilă faţă de tensiunea
corespunzătoare stării limită periculoase este necesară deoarece
cunoaşterea sarcinilor este de cele mai multe ori aproximativă şi o depăşire a
acestora este foarte posibilă
caracteristicile mecanice ale materialelor variază icircn limite destul de mari ele
fiind influenţate de mulţi factori
schema aleasă pentru calcul (aplicarea sarcinilor schematizarea structurii
ipotezele de calcul etc) depărtează modelul faţă de cel real
Pentru calculele de verificare tensiunea efectivă maximă din elementul de
rezistenţă trebuie să fie mai mică sau cel mult egală cu cea admisibilă
120590119890119891119898119886119909 le 120590119886 (327)
Valoarea rezistenţei admisibile este influenţată de foarte mulţi factori natura
materialului tratamentele termice aplicate piesei durata de funcţionare a piesei modul
de acţionare icircn timp a sarcinilor felul solicitării temperatura gradul de periculozitate
icircn cazul cedării piesei etc
De asemenea valoarea coeficientului de siguranţă se alege icircn principal ţinacircnd
seama de aceiaşi factori care influenţează şi rezistenţa admisibilă
Rezistenţele admisibile pentru cacircteva materiale sunt următoarele
pentru oțelul de uz general OL37 solicitat la icircntindere compresiune sau
icircncovoiere 120590119886 = 150 [119872119875119886] pentru lemnul de brad solicitat la
- compresiune icircn lungul fibrelor şi solicitat la icircncovoiere 120590119886 = 10 [119872119875119886] - tracţiune icircn lungul fibrelor 120590119886 = 7 [119872119875119886] - compresiune perpendiculară pe fibre 120590119886 = 15 [119872119875119886] - forfecare icircn lungul fibrelor 120591119886 = 2 [119872119875119886] - forfecare perpendiculară pe fibre 120590119886 = 45 [119872119875119886]
terenuri de fundaţie din pămacircnt uscat sau umed 120590119886 = 020 divide 025 [119872119875119886]
4 CARACTERISTICI GEOMETRICE ALE SECȚIUNILOR PLANE
41 Noţiuni introductive
Icircn relaţiile de calcul ale tensiunilor şi deformaţiilor elementelor de rezistenţă
pentru unele solicitări (icircncovoierea și torsiunea) secțiunile plane intervin atacirct prin
dimensiunile lor (aria 119860) cicirct și prin forma și poziția pe care o are secțiunea icircn raport cu
planul solicitării Mărimile care caracterizează o secțiune icircn raport cu forma și poziția față
de axele unui sistem de referință sunt denumite caracteristici geometrice de ordin
superior Aria secțiunii este caracteristica geometrică ce depinde doar de dimensiunile
geometrice ale acesteia
Să considerăm o grindă solicitată de o forță exterioară 119865 aşezată icircn două poziții icircn
raport cu planul forţei figura 41 Icircn urma aplicării forței deși avem aceeași grindă
(aceeași arie a secțiunii transversale) și aceeași forță se constată că pentru varianta din
figura 41a deformațiile sunt mult mai mari adică rezistența la icircncovoiere a grinzii din
figura 41a este mai mare decacirct icircn cazul grinzii din figura 41b Comportarea diferită se
explică prin aceea că modificarea poziţiei secţiunii transversale faţă de planul forţelor
modifică caracteristicile geometrice ale secţiunii transversale a grinzii
Fig 41 Grindă solicitată de forța 119865
Pentru realizarea calculelor de rezistenţă şi rigiditate este foarte importantă
cunoaşterea caracteristicilor geometrice ale suprafeţei secţiunii transversale a elementelor
de rezistenţă
Caracteristicile geometrice ale secţiunii transversale a unui element de rezistenţă
sunt
- aria secțiunii notată cu 119860
- momentul static icircn raport cu o axă notat 119878119911 și respectiv 119878119910
- momentul de inerție care poate fi
axial notat 119868119911 și respectiv 119868119910
centrifugal notat 119868119911119910
polar notat 119868119901
- raza de inerţie (giraţie)notată 119894119911 și respectiv 119894119910
- modulul de rezistență care poate fi
axial notat 119882119911 și respectiv 119882119910
polar notat 119882119901
42 Aria și momentul static al suprafețelor plane
Fie o suprafaţă plană de arie 119860 pe care se ia un element infinit mic de arie 119889119860 şi
un sistem de axe rectangulare 119911119874119910 figura 42 Notăm cu 119862 centrul de greutate al suprafeţei
119860 Poziţia suprafeţei elementare 119889119860 faţă de acelaşi sistem de coordonate 119911119874119910 este dată
de abscisa 119911 ordonata 119910 și raza polară
Fig 42 Suprafață plană de arie 119860
Aria suprafeţei 119860 figura 42 se defineşte ca fiind
119860 ≝ int 119889119860
119860
(41)
Aria suprafeţei este icircntotdeauna pozitivă și se măsoară icircn [1198981198982] Momentul static al suprafeţei de arie 119860 icircn raport cu axele 119874119911 și respectiv 119874119910
figura 42 sunt date de relaţiile
119878119911 ≝ int 119910 ∙ 119889119860
119860
119878119910 ≝ int 119911 ∙ 119889119860
119860
(42)
Momentul static poate fi pozitiv negativ sau nul şi se măsoară icircn [1198981198983] Coordonatele centrului de greutate ale suprafeței 119860 se detrmină cu relațiile
119910119862 ≝int 119910 ∙ 119889119860119860
119860 119911119862 ≝
int 119911 ∙ 119889119860119860
119860
(43)
Cunoscacircnd coordonatele 119910119862 și 119911119862 ale centrului de greutate 119862 al secțiunii 119860 atunci
momentele statice se pot determina cu relațiile
119878119911 ≝ int 119910 ∙ 119889119860
119860
= 119910119862 ∙ 119889119860 119878119910 ≝ int 119911 ∙ 119889119860
119860
= 119911119862 ∙ 119889119860 (44)
Aceste relații arată că momentul static al unei suprafețe icircn raport cu o axă este
egal cu produsul dintre aria suprafeței și distanța de la centrul ariei la axa respectivă
Dacă suprafaţa se poate descompune icircn 119899 suprafeţe simple la care se cunosc ariile
(1198601 1198602 ⋯ 119860119894⋯ 119860119899) și poziţiile centrelor de greutate 119862119894 faţă de sistemul de referinţă
expresiile momentelor statice capătă următoarea formă
119878119911 = sum 119910119862119894 ∙ 119860119894119899119894=1 = 119910119862 ∙ 119860 119878119910 = sum 119911119862119894 ∙ 119860119894
119899119894=1 = 119911119862 ∙ 119860 (45)
Din relaţiile (45) rezultă că poziţia centrului de greutate 119862 al unei suprafeţe
compuse poate fi determinată cu relaţiile
119910119862 = (sum119910119862119894 ∙ 119860119894
119899
119894=1
) 119860frasl 119911119862 = (sum119911119862119894 ∙ 119860119894
119899
119894=1
) 119860frasl (46)
Icircn relația (45) 119910119862119894 și respectiv 119911119862119894 reprezintă coordonatele centrelor de greutate 119862119894
ale fiecărei suprafețe simple 119860119894 icircn raport sistemul de axe 119911119874119910
Se constată (relaţia 42) că dacă axele sistemului de referinţă trec prin centrul de
greutate (119910119862 = 119911119862 = 0) momentele statice sunt nule Axele icircn raport cu care momentele
statice sunt nule şi care trec prin centrul de greutate al suprafeţei se numesc axe centrale
Observație dacă secțiunea compusă are o axă de simetrie centrul secțiunii se
găsește pe acea axă iar dacă secțiunea este dublu simetrică poziția centrului secțiunii este
la intersecția axelor de simetrie
43 Momente de inerţie
Momentele de inerţie axiale ale unei suprafețe se calculează icircn raport cu axele de
coordonate 119874119911 și respectiv 119874119910 figura 42 și se determină cu relațiile
119868119911 ≝ int 1199102 ∙ 119889119860
119860
119868119910 ≝ int 1199112 ∙ 119889119860
119860
(47)
Unde 119910 și 119911 sunt distanțele de la elementul de arie 119889119860 la cele două axe de
coordonate 119874119911 și respectiv 119874119910
Momentele de inerţie axiale se măsoară icircn [1198981198984] şi sunt icircntotdeauna pozitive (aria
119889119860 este icircntotdeauna pozitivă și este multiplicată cu patratul distanței 1199102 dacă 119868119911 sau 119868119910
sunt nule icircnseamnă ca secțiunea nu există)
Momentele de inerție axiale se calculează icircndeosebi pentru axele centrale (care
trec prin centrul secțiunii) deoarece icircn raport cu acele axe 119868119911 și 119868119910 au valori minime
Momentul de inerţie centrifugal calculat faţă ambele axe ale sistemului de
referinţă 119911119874119910 este definit de relația
119868119911119910 ≝ int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860
(48)
Momentul de inerţie centrifugal se măsoară icircn [1198981198984] şi poate fi pozitiv negativ
sau nul
Momentul de ineție centrifugal este nul 119868119911119910 = 0 dacă cel puțin una din axele 119874119911
sau 119874119910 este axă de simetrie pentru secțiune
Se consideră o suprafaţă dreptunghiulară pe care faţă de axa de simetrie 119874119910 se iau
două suprafeţe elementare de arie 119889119860 simetrice faţă de axa 119874119910 figura 43
Fig 43 Suprafață dreptunghiulară cu două arii elementare 119889119860
Făcacircnd suma momentelor de inerţie centrifugale pentru cele două suprafeţe
elementare 119889119860 (din stacircnga şi din dreapta faţă de axa 119874119910) se obţine
int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860119889119903
+ int (minus119911) ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860119904119905119892
= int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860119889119903
minus int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860119904119905119892
= 0 (49)
Acelaşi raţionament se poate face și pentru icircntreaga suprafaţă de unde obținem că
momentul de inerție centrifugal este nul 119868119911119910 = 0 Deci pentru o suprafaţă plană care
are cel puţin o axă de simetrie momentul de inerţie centrifugal faţă de sistemul care
conţine acea axă de simetrie este nul
Momentul de inerţie polar al unei suprafeţei icircn raport cu un punct (pol) 119874 figura
42 este definit prin relaţia
1198680 = 119868119901 ≝ int 1205882 ∙ 119889119860
119860
= int(1199102 + 1199112) ∙ 119889119860
119860
= 119868119911 + 119868119910 (410)
unde este distanţa de la polul 119874 la elementul de arie 119889119860 Momentul de inerţie polar se
măsoară icircn [1198981198984] şi este totdeauna pozitiv
Momentul de inerţie polar este egal cu suma momentelor de inerţie faţă de două axe
perpendiculare oarecare şi care trec prin polul considerat
Razele de giraţie sau razele de inerţie sunt mărimi calculate icircn raport cu axele
secțiunii și definite de relaţiile
119894119911 ≝ radic119868119911119860 119894119910 = radic
119868119910
119860 (411)
Se exprimă icircn [119898119898] şi sunt icircntotdeauna pozitive Semnificația unei raze de inerție
este distanța la care dacă ar fi concentrată icircntreaga arie s-ar obține același moment de
inerție ca și cel calculat pentru aria reală
44 Modulul de rezistenţă
Modulul de rezistență se calculează icircn raport cu axele de referință sau icircn raport cu
un pol figura 42 și pot fi axiale (119882119911119882119910) sau polar (119882119901) și se determină numai pe baza
momentelor de inerţie cu relațiile figura 43
119882119911119898119894119899 ≝119868119911119910119898119886119909
119882119911119898119886119909 ≝119868119911119910119898119894119899
(412)
119882119910119898119894119899 ≝119868119910
119911119898119886119909 119882119910119898119886119909 ≝
119868119910
119911119898119894119899 (413)
119882119901 ≝119868119901
120588119898119886119909 (414)
unde
119910119898119886119909 119910119898119894119899 reprezintă distanţa de la axa 119874119911 la punctele extreme cele mai
depărtate respectiv cele mai apropiate ale suprafeţei de această axă
119911119898119886119909 119911119898119894119899 reprezintă distanţa de la axa 119874119910 la punctele extreme cele mai
depărtate respectiv cele mai apropiate ale suprafeţei de această axă
120588119898119886119909 reprezintă distanța maximă de la polul 119874 la punctul secțiunii cel mai
icircndepărtat de acesta
Fig 43 Suprafață dreptunghiulară cu două arii elementare 119889119860
Modulele de rezistenţă se exprimă icircn [1198981198983] şi sunt icircntotdeauna pozitive
Explicația este aceea că momentele de inerție care intră icircn relațiile de definiție sunt
pozitive iar distanțele la punctele extreme sunt pozitive (119910119898119886119909 119910119898119894119899 119911119898119886119909 119911119898119894119899 120588119898119886119909 se
iau icircn valoare absolută)
Icircn cazul suprafeţelor compuse modulul de rezistenţă nu se obţine prin icircnsumarea
algebrică a modulelor de rezistenţă ale suprafeţelor simple componente ci numai prin
intermediul momentului de inerţie axial calculat pentru icircntreaga secțiune
Ca și momentele de inerție modulele de rezistență se calculează numai pentru
sistemele de axe centrale
45 Momente de inerţie şi module de rezistenţă pentru suprafeţe simple
451 Secțiune dreptunghiulară
Fie suprafaţa dreptunghiulară din figura 44 de icircnălțime ℎ și lățime 119887 pe care se
consideră suprafaţă elementară de arie 119889119860 = 119887119889119910 la distanța 119910 de axa 119862119911 sistemul de
axe 119911119862119910 trece prin centrul secțiunii iar axele sunt axe de simetrie pentru dreptunghi
Fig 44 Suprafață dreptunghiulară
Pe baza relațiilor de definiți a momentului de inerție 119868119911 se obține
119868119911 ≝ int 1199102 ∙ 119889119860
119860
= int 1199102 ∙ 119887 ∙ 119889119910 = 2int 1199102 ∙ 119887 ∙ 119889119910 = 2 ∙ 119887 ∙1199103
3|ℎ 2frasl
0rArr
ℎ 2frasl
0
ℎ 2frasl
minusℎ 2frasl
rArr 119868119911 =119887 ∙ ℎ3
12
(415)
Analog pentru un element de arie 119889119860 = ℎ ∙ 119889119911 paralel cu axa 119862119910 situat la distanța
119911 de axa 119862119910
119868119910 ≝ int 1199112 ∙ 119889119860
119860
= int 1199112 ∙ ℎ ∙ 119889119911 = 2int 1199112 ∙ ℎ ∙ 119889119910 = 2 ∙ ℎ ∙1199113
3|119887 2frasl
0rArr
119887 2frasl
0
119887 2frasl
minus119887 2frasl
rArr 119868119910 =1198873 ∙ ℎ
12
(416)
Deoarece axele 119862119911 și 119862119910 sunt axe de simetrie momentul de inerție centrifugal este
119868119911119910 = 0 (417)
Pentru un pătrat avacircnd laturile egale (ℎ = 119887 = 119886) momentele de inerţie faţă de
axele centrale au expresia
119868119911 = 119868119910 =1198864
12 (418)
Modulele de rezistență axiale se calculează cu relațiile de definiție ținacircnd cont că
distanțele pacircnă la fibrele extreme sunt
119910119898119886119909 = 119910119898119894119899 =ℎ
2 119911119898119886119909 = 119911119898119894119899 =
119887
2 (419)
Obținem
119882119911119898119894119899 = 119882119911119898119886119909 =119868119911
119910119898119886119909119898119894119899=119887 ∙ ℎ3
12frasl
ℎ2frasl
=119887 ∙ ℎ2
6
119882119910119898119894119899 = 119882119910119898119886119909 =119868119910
119911119898119886119909119898119894119899=1198873 ∙ ℎ
12frasl
1198872frasl
=1198872 ∙ ℎ
6
(420)
452 Suprafaţă circulară
Din motive de simetrie pentru suprafeţele circulare momentele de inerţie faţă de
orice diametru (care reprezintă şi axe centrale) sunt aceleaşi
Considerăm o secțiune circulară plină cu diametrul 119889 și centrul de greutate 119862 Prin
centrul de greutate 119862 trece sistemul de axe ortogonal 119911119862119910 figura 45
Fig 45 Suprafață circulară
La distanța de centrul de greutate 119862 vom lua un element de suprafață mic de arie
(119889119860) de forma unui inel de grosime 119889 Elementul de arie 119889119860 are expresia
119889119860 = (2 ∙ 120587 ∙ 120588) ∙ (119889120588)
Pornind de la relația de definiție a momentului de inerție polar obținem
119868119901 ≝ int 1205882 ∙ 119889119860
119860
= int 1205882 ∙ (2 ∙ 120587 ∙ 120588) ∙ 119889120588
119903=119889 2frasl
0
= 2 ∙ 120587 ∙1205884
4|119889 2frasl0 rArr
rArr 119868119901 =120587 ∙ 1198894
32
(421)
Secțiunea este perfect simetrică deci sunt valabile relațiile
119868119911 = 119868119910 rArr 119868119901 = 119868119911 + 119868119910 = 2 ∙ 119868119911 = 2 ∙ 119868119910 =119868119901
2=120587 ∙ 1198894
64 (422)
Și modulele de rezistenţă faţă de orice diametru sunt egale şi se calculează cu
relaţiile
119882119911 = 119882119910 =1198681199111198892frasl=120587 ∙ 1198893
32 (423)
Modulul de rezistenţă polar este
119882119901 =1198681199011198892frasl=120587 ∙ 1198893
16 (424)
453 Secţiune inelară
Calculul momentelor de inerţie axiale pentru o secţiune inelară avacircnd diametrul
interior 119889 şi diametrul exterior 119863 se determină analog pentru suprafaţa circulară plină cu
observaţia că integrala pentru calculul momentului de inerție polar 119868119901 se face icircntre
limitele 119903 = 119889 2frasl şi R= 1198632frasl (icircntre raza interioară 119903 şi raza exterioară 119877) figura 46
Se obţin relaţiile
119868119901 =120587 ∙ 1198634
32∙ [1 minus (
119889
119863)4
] =120587 ∙ 1198634
32∙ (1 minus 1198964) (425)
119868119910 = 119868119910 =120587 ∙ 1198634
64∙ [1 minus (
119889
119863)4
] =120587 ∙ 1198633
64∙ (1 minus 1198964) (426)
Fig 46 Secțiune inelară
119882119901 =120587 ∙ 1198633
16∙ [1 minus (
119889
119863)4
] =120587 ∙ 1198633
16∙ (1 minus 1198964) (427)
119882119911 = 119882119910 =120587 ∙ 1198633
32∙ [1 minus (
119889
119863)4
] =120587 ∙ 1198633
32∙ (1 minus 1198964) (428)
unde 119896 = 119889119863frasl
46 Variaţia momentelor de inerţie faţă de axe paralele
( Relațiile lui STEINER)
Se consideră o suprafaţă oarecare de arie 119860 cu elementul de arie 119889119860 și un sistemul
de axe central 119911119862119910 faţă de care se cunosc momentele de inerţie 119868119911 119868119910 119868119911119910 şi considerăm
un sistem de axe 11991111198741199101 paralele cu sistemul central figura 47 Se pune problema
determinării momentele de inerţie 1198681199111 1198681199101 11986811991111199101 faţă de sistemul de axe paralel cu sistemul
central 11991111198741199101 axe aflate la distanţele 119910119862 = 119888 respectiv 119911119862 = 119889 de acesta
461 Momente de inerţie axiale
Pe baza relaţiilor de definire şi a notaţiilor din figura 42 pentru momentele de
inerţie faţă de axele 1198741199111 1198741199101 se poate scrie
1198681199111 = int 11991012 ∙ 119889119860
119860
= int(119910 + 119888)2 ∙ 119889119860
119860
= int 1199102 ∙ 119889119860
119860
+ 2 ∙ 119888 ∙ int 119910 ∙ 119889119860
119860
+
+1198882int 119889119860
119860
rArr 1198681199111 = 119868119911 + 2 ∙ 119888 ∙ 119878119911 + 1198882 ∙ 119860 hArr 1198681199111 = 119868119911 + 119888
2 ∙ 119860
(429)
Fig 47 Variaţia momentelor de inerţie față de axe paralele
S-a ajuns la relația (429) deoarece momentul static 119878119911 este nul deoarece axa 119862119885
este axă centrală
Pentru momentul de inerție axial icircn raport cu axa 1198741199101 se obține
1198681199101 = int 11991112 ∙ 119889119860
119860
= int(119911 + 119889)2 ∙ 119889119860
119860
= int 1199112 ∙ 119889119860
119860
+ 2 ∙ 119889 ∙ int 119911 ∙ 119889119860
119860
+
+1198892 ∙ int 119889119860
119860
rArr 1198681199101 = 119868119910 + 2 ∙ 119889 ∙ 119878119910 + 1198892 ∙ 119860 hArr 1198681199101 = 119868119910 + 119889
2 ∙ 119860
(430)
Pentru momentul de inerție centrifugal obținem
11986811991111199101 = int 1199101 ∙ 1199111 ∙ 119889119860
119860
= int(119910 + 119888) ∙ (119911 + 119889) ∙ 119889119860
119860
= int 119910 ∙ 119911 ∙ 119889119860 +
119860
+119888 ∙ int 119911 ∙ 119889119860
119860
+ 119889 ∙ int 119910 ∙ 119889119860
119860
rArr 11986811991111199101 = 119868119911119910 + 119888 ∙ 119889 ∙ 119860
(431)
Deoarece
int 119911 ∙ 119889119860
119860
= 119878119910 = 0 int 119910 ∙ 119889119860
119860
= 119878119911 = 0 int 119910 ∙ 119911 ∙ 119889119860
119860
= 119868119911119910
Relaţiile (429) şi (430) arată că momentul de inerţie faţă de o axă oarecare
este egal cu momentul de inerţie faţă de o axă paralelă cu ea trecacircnd prin centrul de
greutate la care se adaugă produsul dintre aria suprafeţei şi pătratul distanţei dintre
cele două axe
Din relaţiile (429) și (430) rezultă de asemenea că momentul de inerţie faţă de o
axă centrală (care trece prin centrul de greutate) este cel mai mic dintre infinitatea de
momente de inerţie obținute faţă de alte axe paralele cu ea
Relaţia (431) arată de asemenea că momentul de inerţie centrifugal faţă de un
sistem de axe oarecare este egal cu momentul de inerţie centrifugal faţă de un sistem
paralele cu el trecacircnd prin centrul de greutate a suprafeţei la care se adaugă produsul
dintre aria suprafeţei şi distanţele dintre axele sistemelor respective
Icircn literatura de specialitate relaţiile (429) (430) şi (431) sunt cunoscute sub
numele de relaţiile lui Steiner
47 Variaţia momentrlor de inerţie faţă de axe rotite
Direcţii principale şi momente de inerţie principale
Fie suprafaţa plană din figura 48 de arie 119860 pe care considerăm o suprafaţă
elementară de arie 119889119860 Pentru sistemul de axe 119911119874119910 se cunosc momentele de inerţie
119868119911 119868119910 119868119911119910 şi vom determina relaţiile de calcul pentru momentele de inerţie afererent unui
sistem de axe 11991111198741199101 rotit cu un unghi faţă de sistemul central
Faţă de sistemul de axe 11991111198741199101 elementul de arie 119889119860 are coordonatele
1199101 = 119875119877 = 119875119876 minus 119877119876 = 119910 ∙ cos 120572 minus 119911 ∙ sin 120572
1199111 = 119873119872 = 119873119875 minus 119875119872 = 119911 ∙ cos 120572 + 119910 ∙ sin 120572 (432)
Fig 47 Variaţia momentelor de inerţie față de axe rotite
Pe baza relaţiilor de calcul ale momentelor de inerţie şi a notaţiilor din figura 42
şi ale relaţiilor (432) momentele de inerţie faţă de sistemul de axe rotit 11991111198741199101 sunt
1198681199111 =119868119911 + 119868119910
2+119868119911 minus 119868119910
2∙ cos 2120572 minus 119868119911119910 ∙ sin 2120572 (433)
1198681199101 =119868119911 + 119868119910
2minus119868119911 minus 119868119910
2∙ cos 2120572 + 119868119911119910 ∙ sin 2120572 (434)
11986811991111199101 =119868119911 minus 119868119910
2∙ sin 2120572 + 119868119911119910 ∙ cos 2120572 (435)
Din relaţiile 433divide435 se observă că icircntre momentele de inerţie axiale şi cele
polare există relaţia
1198681199111 + 1198681199101 = 119868119911 + 119868119910 = 119868119901 (436)
adică suma momentelor de inerţie axiale icircn raport cu orice pereche de axe ortogonale
care trec printr-un pol dat este o constantă şi egală cu momentul de inerţie polar
Prin rotirea sistemului de axe din relaţiile 433divide435 rezultă că momentele de inerţie
variază icircnsă suma lor rămacircne constantă deci există o poziţie a sistemului de axe pentru
care momentele de inerţie au valori extreme maxim respectiv minim
471 Direcţii principale de inerţie
Valoarea unghiului 120572 pentru care momentele de inerţie axiale au valori extreme
este
1205721 =1
2∙ 119886119903119888119905119886119899 (minus
2 ∙ 119868119911119910
119868119911 minus 119868119910) (437)
Poziţia celeilalte direcţii este perpendiculară pe cea dată de unghiul 1205721
Din relaţia (437) se constată că faţă de aceste direcţii rotite pentru care momentele
de inerţie axiale prezintă valori extreme momentul de inerţie centrifugal 11986811991111199101este nul
Atunci se poate afirma că momentele de inerţie axiale au valori extreme icircn raport cu
direcţiile faţă de care momentul de inerţie centrifugal este nul Aceste direcţii se numesc
direcţii principale iar momentele de inerţie faţă de aceste direcţii poartă numele de
momente de inerţie principale
Icircn calculele de rezistenţă interesează icircn mod special poziţia direcţiilor principale
care trec prin centrul de greutate al suprafeţei aşa numitele direcţii principale centrale şi
evident momentele de inerţie principale centrale
Direcţiile principale de inerţie se notează cu 1 respectiv 2 Axa principală 1
corespunde direcţiei faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea maximă iar
axa principală 2 pentru direcţia faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea
minimă
472 Momente de inerţie principale
Momentele de inerţie principale se notează cu litera 119868 la care se pune indicele 1
sau 2 după cum valoarea acestuia este maximă sau minimă deci avem un moment de
inerţie principal 1 (notat 1198681) respectiv moment de inerţie principal 2 (notat 1198682)
Expresiile pentru momentele de inerţie principale sunt
11986812 =119868119911 + 119868119910
2plusmn1
2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)
2+ 4 ∙ (119868119911119910)
2 (438)
Dacă momentul de inerţie centrifugal este negativ (119868119911119910 lt 0) direcţia principală
care trece prin primul cadran (definit de sistemul 119911119862119910) este direcţia principală 120783
Pentru suprafeţele cu cel puţin o axă de simetrie direcţiile centrale 119862119911 119862119910 sunt şi
direcții principale de inerţie și evident momentele de inerţie axiale 119868119911 119868119910 sunt momente
de inerţie principale
48 Caracteristici mecanice ale metalelor
Alegerea materialului pentru confecţionarea unei anumite piese se face şi pe baza
aşa numitelor caracteristici mecanice pe care le prezintă materialul Cunoaşterea acestor
caracteristici mecanice are loc numai pe baza unor icircncercări mecanice care să scoată icircn
evidenţă comportarea materialului icircn condiţii de solicitare
Cea mai utilizată icircncercare icircn urma căreia se pun icircn evidenţă caracteristicile
mecanice ale unui material este icircncercarea la tracţiune
481 Icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general
Icircncercarea la tracţiune a oţelului ca de altfel toate icircncercările de materiale este
standardizată
Icircn cele ce urmează se va prezenta numai partea care interesează strict din punct
de vedere al caracteristicilor mecanice ale oţelului
Epruveta de diametru iniţial 1198890 pentru icircncercarea la tracţiune are o porţiune de
lungime 1198710 numită baza de măsurare pe care se măsoară lungirea acesteia sub acţiunea
solicitării
Icircn funcţie de raportul dintre baza de măsurare 1198710 şi diametrul iniţial 1198890 epruvetele
utilizate pentru icircncercări sunt
epruvete normale (scurte) cacircnd 11987101198890 = 5
epruvete lungi cacircnd 11987101198890 = 10
Icircn timpul icircncercării la diferite valori ale forţei 119865 se măsoară lungirea bazei de
măsurare
∆119871 = 120575 = 119871 minus 1198710 (439)
unde
119871 este dimensiunea bazei de măsurare la un moment dat
Curba forţă-lungire (119865 minus ) icircnregistrată icircn urma icircncercării reprezintă curba
caracteristică la tracţiune
La icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general diagrama caracteristică care se
obţine are forma din figura 48
Curba caracteristică la tracţiune depinde de lungimea bazei de măsurare Pentru
icircnlăturarea acestui neajuns curba caracteristică se reprezintă icircn coordonate şi definite
astfel
120590 =119865
1198600 휀 =
120575
1198710 (440)
unde
1198600 este aria iniţială a secţiunii transversale a epruvetei (icircnainte de solicitare) icircn
zona bazei de măsurare
1198600 =120587 ∙ 1198890
2
4
Deoarece mărimile icircn care se reprezintă curba caracteristică la tracţiune sunt
raportate la aria iniţială a secţiunii transversale (mărimi specifice) curba poartă numele
de curbă caracteristică convenţională la tracţiune
Fig 48 Curba caracteristică convenţională la tracțiune
Pe curba caracteristică convenţională la tracţiune figura 48 se pot stabili o serie
de puncte cărora le corespund mai multe mărimi importante
Ordonata punctului A pacircnă unde curba caracteristică convenţională este linie
dreaptă se numeşte limita de proporţionalitate a materialului 120590119901(1205901) Porţiunea 119874119860 este
zona de proporţionalitate a curbei caracteristice pe acest domeniu este valabilă legea lui
Hooke care exprimă o proporţionalitate icircntre tensiune şi deformaţie specifică
120590 = 119864 ∙ 휀 (441)
unde
119864 = reprezintă panta porţiunii liniare a curbei convenționale caracteristice
la tracțiune Caracteristica de material 119864 se numeşte modul de elasticitate longitudinal
(modulul lui Young)
Ordonata punctului 119861 pacircnă unde materialul se comportă perfect elastic adică
după descărcare icircşi recapătă dimensiunea iniţială 1198710 se numeşte limita de elasticitate
120590119890(119877119890) Icircn realitate nici un material nu are comportare perfect elastică sub acţiunea
solicitărilor el capătă deformaţii permanente (remanente plastice)
După punctul 119861 urmează o porţiune 119861119862119863 icircn care cu toate că icircncărcarea
continuă forţa nu mai creşte avacircnd mici oscilaţii icircn jurul unei valori Se spune că icircn
această porţiune materialul curge iar intervalul 119861119862119863 este un palier de curgere Tensiunea
corespunzătoare palierului de curgere se numeşte limită de curgere aparentă 120590119888(119877119888) Limita de curgere aparentă se calculează cu relaţia
120590119888 =1198651198881198600 (442)
unde
119865119888 reprezintă valoarea forţei icircnregistrată icircn momentul curgerii materialului
După punctul 119863 curba caracteristică are un traseu ascendent pacircnă icircn punctul 119864
Porţiunea 119863119864 este numită zonă de icircntărire (ecruisare) Icircn zona de ecruisare unde se
produc deformaţii plastice semnificative legea lui Hooke nu mai este valabilă La
descărcare relaţia dintre tensiunea şi deformaţia specifică este liniară paralelă cu
porţiunea liniară a curbei caracteristice (dreapta 119872119873)
Deformaţia totală (휀119905) are două componente una elastică (휀119890) şi una plastică (휀119901)
Ordonata punctului 119864 reprezintă rezistenţa de rupere 120590119903(119877119898) a materialului
care se poate calcula cu relaţia
120590119903 = 119877119898 =1198651198981198861199091198600
(443)
unde
119865119898119886119909 reprezintă valoarea maximă a forţei icircnregistrată icircn timpul icircncercării
La atingerea valorii 119865119898119886119909 (punctul 119864) icircntr-un anumit loc al epruvetei secţiunea
icircncepe să se micşoreze (se produce gacirctuirea) continuacircnd pacircnă cacircnd se produce ruperea
totală (punctul 119865)
Dacă după ruperea epruvetei cele două părţi rezultate se aşează cap la cap şi se
măsoară dimensiunea bazei de măsurare 119871119906 (lungimea ultimă) se determină alungirea la
rupere sau lungirea specifică la rupere 휀119903
휀119903 =119871119906 minus 11987101198710
=∆119871
1198710=120575
1198710 (444)
De obicei alungirea se exprimă icircn procente şi se notează cu 119860119899 unde 119899 reprezintă
numărul dat de raportul 11987101198890 (epruvete normale 119899 = 5 epruvete lungi 119899 = 10)
119860119899 =119871119906 minus 11987101198710
∙ 100 [] (445)
Altă mărime care se determină la icircncercarea la tracţiune este gacirctuirea la rupere
(exprimată de obicei icircn procente) şi definită de relaţia
119885 =1198600 minus 1198601199061198600
∙ 100 [] (446)
Mărimile determinate limita de proporţionalitate modulul de elasticitate
longitudinal limita de elasticitate limita de curgere aparentă rezistenţa de rupere
alungirea la rupere şi gacirctuirea la rupere sunt cunoscute ca fiind caracteristici mecanice
ale materialului
Din curba caracteristică convenţională observăm faptul că ruperea (punctul 119865 din
figura 48 se produce la o tensiune mai mică decacirct cea corespunzătoare punctului 119864 Dacă
icircnsă forţa din timpul icircncercării s-ar raporta la aria secţiunii din momentul icircnregistrării
forţei (care este mai mică decacirct cea iniţială 1198600) s-ar obţine aşa numita curbă
caracteristică reală a materialului (traseul 1198741198601198611198621198631198651 din figura 48) La curba
caracteristică reală ruperea se produce icircn punctul 1198651 la o icircncărcare mai mare decacirct cea
corespunzătoare punctului 119864 Icircnseamnă că rezistenţa reală la rupere este mai mare decacirct
rezistenţa la rupere dată de punctul 119864 din diagrama caracteristică convenţională
Dificultatea obţinerii diagramei caracteristice reale faţă de cea a diagramei caracteristice
convenţionale şi considerarea unei rezistenţe la rupere mai mică decacirct a celei reale face
icircn practică utilizarea pe scară mare a diagramei caracteristice convenţionale
Caracteristicile mecanice determinate pe baza curbei caracteristice convenţionale
sunt şi ele caracteristici mecanice convenţionale
Caracteristicile mecanice convenţionale limita de proporţionalitate convenţională
120590119901 limita de elasticitate convenţională 120590119890 limita de curgere convenţională 120590119888 şi rezistenţa
de rupere 120590119903 constituie tensiuni limită pentru un material Pe baza acestor caracteristici
de material se alege valoarea tensiunii admisibile 120590119886 (vezi paragraful 35) pentru
calculele de rezistenţă Cea mai utilizată stare limită pentru stabilirea tensiunii admisibile
120590119886 este limita de curgere convenţională 120590119888
120590119886 =120590119897119894119898119888
=120590119888119888 119904119886119906 120590119886 =
120590119903119888 (447)
Caracteristicile mecanice ale materialului sunt influenţate de o serie de factori
temperatura viteza de solicitare factorii tehnologici iar valorile lor sunt date icircn tabele și
diagrame
Aplicaţie Pentru suprafaţa plană compusă din două dreptunghiuri avacircnd
dimensiunile din figura 49a să se calculeze
a) centrul de greutate al secțiunii compuse 119910119866 119911119866
b) momentele de inerție axiale 119868119911 119868119910 și momentul de inerție centrifugal 119868119911119910
c) razele de inerție 119894119911 119894119910
d) modulele de rezistență 119882119911119898119894119899 119882119911119898119886119909 119882119910119898119894119899 119882119910119898119886119909
e) momentele de inerție principale 1198681 1198682 și direcțiile principale de inerție 1205721
f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 119878119911
Fig 49 Aplicație
Rezolvare Pentru rezolvare vom parcurge următoarele etape
icircmpărțim suprafața compusă icircn două suprafețe simple (dreptunghiuri) notate cu
① și respectiv ② figura 49b
poziționăm centrele de greutate a celor două suprafețe simple ① și respectiv ②
notate cu 1198661 și respectiv 1198662 figura 49c
poziționăm sistemele de axe de coordonate 119911111986611199101 pentru dreptunghiul ① și
119911211986621199102 pentru dreptunghiul ② aflate la intersecția diagonalelor figura 49c
poziționăm sistemele de axe de coordonate 11991101198741199100 ales arbitrar față de care
determinăm poziția centrului de greutate 119866 figura 49c
a) calculăm poziția centrului de greutate folosind relațiile (46) icircn care
1198601 = 6119905 ∙ 119905 = 61199052 1198602 = 4119905 ∙ 119905 = 41199052 119860 = 1198601 + 1198602 = 61199052 + 41199052 = 101199052
iar centrele de greutate 1198661 și respectiv 1198662 au coordonatele (față de sistemul 11991101198741199100)
1198661 1199101 = 3119905 1199111 = 05119905
1198662 1199102 = 051199051199112 = 3119905
cu acestea obținem
119910119866 =1198601 ∙ 1199101 + 1198602 ∙ 1199102
119860=61199052 ∙ 3119905 + 41199052 ∙ 05119905
101199052=201199053
101199052= 2119905
119911119866 =1198601 ∙ 1199111 + 1198602 ∙ 1199112
119860=61199052 ∙ 05119905 + 41199052 ∙ 3119905
101199052=151199053
101199052= 15119905
Poziționăm centrul de greutate 119866 al suprafeței compuse figura 49c
Fig 49 Aplicație
b) pentru determinarea momentelor de inerție axiale 119868119911 119868119910 și a momentului de
inerție centrifugal 119868119910119911 determinăm constantele 1198881 1198882 1198891 1198892 care intervin icircn relația lui
Stainer
1198881 = 1199101 minus 119910119866 = 3119905 minus 2119905 = 119905 1198882 = minus(119910119866 minus 1199102) = minus(2119905 minus 05119905) = minus15119905
1198891 = minus(119911119866 minus 1199111) = minus(15119905 minus 05119905) = minus119905 1198892 = 1199112 minus 119911119892 = 3119905 minus 15119905 = 15119905
Folosind relațiile lui Stainer (429) (430) și (431) calculăm momentele de
inerție axiale și centrifugale față de sistemul central 119911119866119866119910119866
119868119911 =sum(119868119911119894 + 1198881198942 ∙ 119860119894) = 1198681199111 + 1198881
2 ∙ 1198601 + 1198681199112 + 11988822 ∙ 1198602
119868119910 =sum(119868119910119894 + 1198891198942 ∙ 119860119894) = 1198681199101 + 1198891
2 ∙ 1198601 + 1198681199102 + 11988922 ∙ 1198602
119868119911119910 =sum(119868119911119894119910119894 + 119888119894 ∙ 119889119894 ∙ 119860119894) = 11986811991111199101 + 1198881 ∙ 1198891 ∙ 1198601 + 11986811991121199102 + 1198882 ∙ 1198892 ∙ 1198602
1198681199111 = (119887 ∙ ℎ3
12) =
119905 ∙ (6119905)3
12= 181199054 1198681199112 = (
119887 ∙ ℎ3
12) =
4119905 ∙ 1199053
12= 031199054
1198681199101 = (1198873 ∙ ℎ
12) =
1199053 ∙ 6119905
12= 051199054 1198681199102 = (
1198873 ∙ ℎ
12) =
(4119905)3 ∙ 119905
12= 531199054
11986811991111199101 = 11986811991121199102 = 0 deoarece cele două triunghiuri au cel puțin o axă de simetrie
Cu acestea momentele de inerție axiale și momentul de inerție centrifugal devin
119868119911 = 181199054 + 1199052 ∙ 61199052 + 031199054 + (minus15119905)2 ∙ 41199052 = 3331199054
119868119910 = 051199054 + (minus119905)2 ∙ 61199052 + 531199054 + (15119905)2 ∙ 41199052 = 2081199054
119868119911119910 = 0 + 119905 ∙ (minus119905) ∙ 61199052 + 0 + (minus15119905) ∙ (15119905) ∙ 41199052 = minus151199054
c) razele de inerție sau de girație față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910
se calculează cu relațiile (411)
119894119911 = radic119868119911119860= radic
3331199054
101199052= 182119905 119894119910 = radic
119868119910
119860= radic
2081199054
101199052= 144119905
d) modulele de rezistență față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910 se
calculează cu relațiile (412) și (413)
Avacircnd icircn vedere figura 419c obținem
119910119898119886119909 = 6119905 minus 119910119866 = 6119905 minus 2119905 = 4119905 119910119898119894119899 = minus119910119866 = minus2119905
119911119898119886119909 = 5119905 minus 119911119866 = 5119905 minus 15119905 = 35119905 119911119898119894119899 = minus119911119866 = minus15119905
Se obține astfel
119882119911119898119894119899 =119868119911
|119910119898119886119909|=3331199054
4119905= 8331199053
119882119911119898119886119909 =119868119911
|119910119898119894119899|=3331199054
2119905= 16651199053
119882119910119898119894119899 =119868119910
|119911119898119886119909|=2081199054
35119905= 5941199053
119882119910119898119886119909 =119868119910
|119911119898119894119899|=2081199054
15119905= 13871199053
e) momentele de inerție principale 1198681 și respectiv 1198682 se calculează cu relațiile
(438)
11986812 =119868119911 + 119868119910
2plusmn1
2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)
2+ 4 ∙ (119868119911119910)
2=
=3331199054 + 2081199054
2plusmn1
2∙ radic(3331199054 minus 2081199054)2 + 4 ∙ (minus151199054)2 = 27051199054 plusmn 16251199054
De unde obținem
1198681 = 27051199054 + 16251199054 = 4331199054
1198682 = 27051199054 minus 16251199054 = 1081199054
Prima direcție principală de inerție 1 face cu axa centrală 119866119911 unghiul 1205721 dat de
relația (437)
1205721 =1
2∙ arctan (minus
2 ∙ 119868119911119910
119868119911 minus 119868119910) =
1
2∙ arctan [minus
2 ∙ (minus151199054)
3331199054 minus 2081199054] =33 70
Deoarece 1205721 gt 0 rotirea axelor se face acircn sens antiorar acelor de ceasornic figura
49d
Poziția axe principale 2 față de care momentul de inerție are valoarea minimă
1198682 = 119868119898119894119899 este dată de unghiul
1205722 = 1205721 + 900 = 33 70 + 900 = 123 70
f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 se determină cu relația
(45)
1198781199111198602 = 1198602 ∙ 1198882 = 41199052 ∙ (minus15119905) = minus61199053
tensiunile și deformațiile din orice punct al corpului Ea este mai apropiată de realitate la
corpurile amorfe şi mai depărtată la cele cristaline dar conduce la rezultate satisfăcătoare
icircn calculele de rezistenţă
Ipoteza nu se poate aplica la corpurile care au goluri tăieturi (multiplu conexe)
pentru unele puncte singulare icircn care tensiunile și deformațiile tind la infinit sau icircn unele
probleme de plasticitate icircn care proprietățile de material au un rol esențial
Ipoteza izotropiei conform acestei ipoteze materialul din care este confecționat
un element de rezistență are aceleași proprietăți după orice direcție un astfel de material
este considerat izotrop Din punct de vedere macroscopic metalele pot fi considerate
izotrope deși la nivel microscopic proprietățile lor diferă de la o direcție cristalografică
la alta Orice conglomerat de cristale poate fi considerat izotrop
Există cazuri cacircnd această ipoteză a izotropiei nu se acceptă
la metalele puternic deformate după o direcție (prin laminare trefilare)
la piesele confecționate din lemn lemnul este anizotrop deoarece proprietățile sale
diferă după două direcții (icircn lungul fibrelor și perpendicular pe această direcție)
Ipoteza omogenității consideră că un corp are aceleași proprietăți icircn orice
punct al său Deși majoritatea materialelor utilizate icircn tehnică sunt eterogene la scară
micro fiind constituite din mai multe faze cu proprietăți diferite la scară macro ele pot
fi considerate omogene Omogenitatea și izotropia sunt proprietăți statistice medii care
nu se condiționează una pe cealaltă Chiar și materialele monofazice pot avea la scară
micro unele segregații care le fac eterogene
Ipoteza elasticităţii perfecte presupune că atacircta timp cacirct solicitările nu
depăşesc anumite limite materialul are o comportare elastică adică icircşi recapătă forma şi
dimensiunile iniţiale odată cu icircnlăturarea sarcinilor Icircn realitate materialele nu prezintă o
elasticitate perfectă ele avacircnd deformaţii remanente mici care icircnsă pot fi neglijate icircn
calculele de rezistenţă
Acceptarea acestei ipoteze a elasticității perfecte permite
- aplicarea relației biunivoce icircntre tensiuni și deformații relație exprimată de legea
lui Hooke ( = 119864 ∙ 휀) unde E este un factor de proporţionalitate numit modul de
elasticitate longitudinal al materialului pentru oţel 119864 = 21 ∙ 105 [119872119875119886] - acceptarea valabilității afirmației bdquolucrul mecanic efectuat de forțele exterioare
ca urmare a parcurgerii deplasărilor punctelor de aplicație se icircnmagazinează integral icircn
corp sub formă de energie de deformație energie cedată la icircndepărtarea sarcinilorrdquo
- este valabilă teoria conform căreia bdquoenergia icircnmagazinată și deformațiile depind
doar de starea inițială și finală de eforturi fără a ține cont de modul icircn care s-a ajuns la
starea finalărdquo
Icircn realitate oricacirct de mici ar fi sarcinile aplicate se produc și deformații plastice
dar acestea pot fi neglijate dacă solicitarea nu depășește anumite limite
342 Ipoteze de calcul
Ipoteza micilor deplasări bdquodeplasările datorate deformării sunt mult mai mici
decacirct dimensiunile corpurilor și ca urmare pot fi neglijate produsele dintre o deplasare și
ea icircnsăşirdquo Pentru cele mai multe corpuri deformaţiile elastice sunt de mărimi mici deci
corpurile solide sub acţiunea sarcinilor icircşi modifică foarte puţin forma iniţială Această
ipoteză este cunoscută şi sub denumirea de ipoteza menţinerii dimensiunilor iniţiale Ea
permite scrierea ecuaţiilor de echilibru ale staticii pe starea nedeformată a elementului
cacircnd nu se iau icircn considerare deplasările punctelor de aplicaţie ale forţelor care se produc
ca urmare a deformării acestuia Calculul efectuat pe schema nedeformată poartă numele
de calcul de ordinul I
Ipoteza micilor deplasări nu poate fi acceptată pentru studiul problemelor de
stabilitate sau la problemele la care nu pot fi icircndeplinite condiţiile de echilibru icircn starea
nedeformată
Calculul de ordinul II admite ipoteza micilor deplasări dar ecuaţiile de echilibru
se scriu icircnsă pentru starea deformată a elementului de rezistenţă
Calculul de ordinul III nu mai acceptă ipoteza micilor deplasări el referindu-se
la cazul deformaţiilor mari cacircnd ecuaţiile de echilibru trebuie scrise pentru starea
deformată
Chiar dacă materialul satisface legea lui Hooke icircn urma calculelor de ordinul II
se obţin de obicei relaţii neliniare icircntre sarcini şi deplasări iar pentru calculul de ordinul
III rezultă ecuaţii diferenţiale neliniare
Principiul efectului local al acțiunii sarcinilor enunțat de Barre de Saint-
Venant Acest principiu destul de folosit icircn Rezistenţa Materialelor precizează că dacă
se icircnlocuiesc forţele care acţionează asupra unui element de suprafață al unui corp
elastic printr-un alt sistem de forţe echivalent din punct de vedere static cu primul noua
distribuţie a forţelor produce la locul de aplicare diferenţe semnificative faţă de prima
dar rămacircne fără efect sau cu efect neglijabil la distanţe mari de locul de aplicare al
forţelor figura 312
Ca o cosecință o sarcină uniform distribuită figura 312a poate fi icircnlocuită cu
rezultanta ei figura 312b dacă se analizează efectul sarcinii la distanță mare de locul icircn
care se aplică sarcina
Fig 312 Principiul Saint-Venant
Icircn prima variantă figura 312a forţa 119865 se aplică pe o porțiune oarecare 119897 (sarcină
uniform distribuită) iar icircn a doua figura 312b icircntru-un punct (forţă concentrată) La
locul de aplicare a sarcinii efectul asupra barei este cu totul diferit de la o variantă la
cealaltă Icircnsă la o distanţă mare de punctul de aplicaţie spre exemplu icircn secţiunea situată
la distanţa 119886 de capătul barei sau chiar icircn icircncastrare ambele bare sunt solicitate la fel
Icircn cazul din figura 312a
119872119894(119909) =119901 ∙ 1199092
2 119909 le 119897 119872119894(119909) = 119901 ∙ 119897 ∙ (119909 minus
119897
2) 119909 gt 119897 (324)
Icircn cazul din figura 312b
119872119894(119909) = 0 119909 lt119897
2 119872119894(119909) = 119901 ∙ 119897 ∙ (119909 minus
119897
2) 119909 gt
119897
2 (325)
Se vede că pentru (119909 gt 119897) adică după depășirea locului icircn care se aplică sarcina
efectul este același
Ipoteza lui Bernoulli sau ipoteza secţiunilor plane precizează că o secţiune
plană şi normală pe axa barei icircnainte de deformare rămacircne plană şi normală pe axa
barei şi după deformare figura 313
Fig 313 Ipoteza lui Bernoulli
Ipoteza stării naturale a corpului sau ipoteza absenţei tensiunilor conform
căreia pentru un corp nesolicitat starea de tensiune şi deformaţie este nulă
Perfecţionarea mijloacelor de calcul şi de investigare pot conduce la renunţarea la
unele ipoteze sau la introducerea altora noi mai aproape de stările reale De aici rezultă
caracterul de continuă perfecţionare a metodelor Rezistenţei Materialelor
35 Coeficienţi de siguranţă Tensiuni admisibile
O piesă corespunde din punct de vedere tehnic dacă tensiunile care iau naştere icircn
interiorul piesei datorită sarcinilor aplicate nu depăşesc anumite valori limită stabilite
convenţional Aceste valori limită ale tensiunii sunt corelate cu caracteristicile mecanice
ale materialelor
Tensiunea limită utilizată icircn calculele de rezistenţă este cunoscută sub denumirea
de tensiune admisibilă sau rezistenţă admisibilă Rezistenţa admisibilă reprezintă
valoarea convenţională aleasă icircn calcul pe baza practicii pentru tensiunea maximă care
poate apare icircntr-o piesă icircn condiţii date de material şi solicitare
Rezistenţa admisibilă (120590119886 sau 120591119886) poate fi definită faţă de o stare limită
periculoasă stare care trebuie evitată deoarece poate conduce distrugere
120590119886 =120590119897119894119898119888
(326)
unde
120590119897119894119898 este tensiunea corespunzătoare stării limită periculoase
119888 estesupraunitar 119888 gt 1 și reprezintă coeficientul de siguranţă faţă de starea limită
periculoasă considerată
Alegerea unor valori inferioare pentru rezistenţa admisibilă faţă de tensiunea
corespunzătoare stării limită periculoase este necesară deoarece
cunoaşterea sarcinilor este de cele mai multe ori aproximativă şi o depăşire a
acestora este foarte posibilă
caracteristicile mecanice ale materialelor variază icircn limite destul de mari ele
fiind influenţate de mulţi factori
schema aleasă pentru calcul (aplicarea sarcinilor schematizarea structurii
ipotezele de calcul etc) depărtează modelul faţă de cel real
Pentru calculele de verificare tensiunea efectivă maximă din elementul de
rezistenţă trebuie să fie mai mică sau cel mult egală cu cea admisibilă
120590119890119891119898119886119909 le 120590119886 (327)
Valoarea rezistenţei admisibile este influenţată de foarte mulţi factori natura
materialului tratamentele termice aplicate piesei durata de funcţionare a piesei modul
de acţionare icircn timp a sarcinilor felul solicitării temperatura gradul de periculozitate
icircn cazul cedării piesei etc
De asemenea valoarea coeficientului de siguranţă se alege icircn principal ţinacircnd
seama de aceiaşi factori care influenţează şi rezistenţa admisibilă
Rezistenţele admisibile pentru cacircteva materiale sunt următoarele
pentru oțelul de uz general OL37 solicitat la icircntindere compresiune sau
icircncovoiere 120590119886 = 150 [119872119875119886] pentru lemnul de brad solicitat la
- compresiune icircn lungul fibrelor şi solicitat la icircncovoiere 120590119886 = 10 [119872119875119886] - tracţiune icircn lungul fibrelor 120590119886 = 7 [119872119875119886] - compresiune perpendiculară pe fibre 120590119886 = 15 [119872119875119886] - forfecare icircn lungul fibrelor 120591119886 = 2 [119872119875119886] - forfecare perpendiculară pe fibre 120590119886 = 45 [119872119875119886]
terenuri de fundaţie din pămacircnt uscat sau umed 120590119886 = 020 divide 025 [119872119875119886]
4 CARACTERISTICI GEOMETRICE ALE SECȚIUNILOR PLANE
41 Noţiuni introductive
Icircn relaţiile de calcul ale tensiunilor şi deformaţiilor elementelor de rezistenţă
pentru unele solicitări (icircncovoierea și torsiunea) secțiunile plane intervin atacirct prin
dimensiunile lor (aria 119860) cicirct și prin forma și poziția pe care o are secțiunea icircn raport cu
planul solicitării Mărimile care caracterizează o secțiune icircn raport cu forma și poziția față
de axele unui sistem de referință sunt denumite caracteristici geometrice de ordin
superior Aria secțiunii este caracteristica geometrică ce depinde doar de dimensiunile
geometrice ale acesteia
Să considerăm o grindă solicitată de o forță exterioară 119865 aşezată icircn două poziții icircn
raport cu planul forţei figura 41 Icircn urma aplicării forței deși avem aceeași grindă
(aceeași arie a secțiunii transversale) și aceeași forță se constată că pentru varianta din
figura 41a deformațiile sunt mult mai mari adică rezistența la icircncovoiere a grinzii din
figura 41a este mai mare decacirct icircn cazul grinzii din figura 41b Comportarea diferită se
explică prin aceea că modificarea poziţiei secţiunii transversale faţă de planul forţelor
modifică caracteristicile geometrice ale secţiunii transversale a grinzii
Fig 41 Grindă solicitată de forța 119865
Pentru realizarea calculelor de rezistenţă şi rigiditate este foarte importantă
cunoaşterea caracteristicilor geometrice ale suprafeţei secţiunii transversale a elementelor
de rezistenţă
Caracteristicile geometrice ale secţiunii transversale a unui element de rezistenţă
sunt
- aria secțiunii notată cu 119860
- momentul static icircn raport cu o axă notat 119878119911 și respectiv 119878119910
- momentul de inerție care poate fi
axial notat 119868119911 și respectiv 119868119910
centrifugal notat 119868119911119910
polar notat 119868119901
- raza de inerţie (giraţie)notată 119894119911 și respectiv 119894119910
- modulul de rezistență care poate fi
axial notat 119882119911 și respectiv 119882119910
polar notat 119882119901
42 Aria și momentul static al suprafețelor plane
Fie o suprafaţă plană de arie 119860 pe care se ia un element infinit mic de arie 119889119860 şi
un sistem de axe rectangulare 119911119874119910 figura 42 Notăm cu 119862 centrul de greutate al suprafeţei
119860 Poziţia suprafeţei elementare 119889119860 faţă de acelaşi sistem de coordonate 119911119874119910 este dată
de abscisa 119911 ordonata 119910 și raza polară
Fig 42 Suprafață plană de arie 119860
Aria suprafeţei 119860 figura 42 se defineşte ca fiind
119860 ≝ int 119889119860
119860
(41)
Aria suprafeţei este icircntotdeauna pozitivă și se măsoară icircn [1198981198982] Momentul static al suprafeţei de arie 119860 icircn raport cu axele 119874119911 și respectiv 119874119910
figura 42 sunt date de relaţiile
119878119911 ≝ int 119910 ∙ 119889119860
119860
119878119910 ≝ int 119911 ∙ 119889119860
119860
(42)
Momentul static poate fi pozitiv negativ sau nul şi se măsoară icircn [1198981198983] Coordonatele centrului de greutate ale suprafeței 119860 se detrmină cu relațiile
119910119862 ≝int 119910 ∙ 119889119860119860
119860 119911119862 ≝
int 119911 ∙ 119889119860119860
119860
(43)
Cunoscacircnd coordonatele 119910119862 și 119911119862 ale centrului de greutate 119862 al secțiunii 119860 atunci
momentele statice se pot determina cu relațiile
119878119911 ≝ int 119910 ∙ 119889119860
119860
= 119910119862 ∙ 119889119860 119878119910 ≝ int 119911 ∙ 119889119860
119860
= 119911119862 ∙ 119889119860 (44)
Aceste relații arată că momentul static al unei suprafețe icircn raport cu o axă este
egal cu produsul dintre aria suprafeței și distanța de la centrul ariei la axa respectivă
Dacă suprafaţa se poate descompune icircn 119899 suprafeţe simple la care se cunosc ariile
(1198601 1198602 ⋯ 119860119894⋯ 119860119899) și poziţiile centrelor de greutate 119862119894 faţă de sistemul de referinţă
expresiile momentelor statice capătă următoarea formă
119878119911 = sum 119910119862119894 ∙ 119860119894119899119894=1 = 119910119862 ∙ 119860 119878119910 = sum 119911119862119894 ∙ 119860119894
119899119894=1 = 119911119862 ∙ 119860 (45)
Din relaţiile (45) rezultă că poziţia centrului de greutate 119862 al unei suprafeţe
compuse poate fi determinată cu relaţiile
119910119862 = (sum119910119862119894 ∙ 119860119894
119899
119894=1
) 119860frasl 119911119862 = (sum119911119862119894 ∙ 119860119894
119899
119894=1
) 119860frasl (46)
Icircn relația (45) 119910119862119894 și respectiv 119911119862119894 reprezintă coordonatele centrelor de greutate 119862119894
ale fiecărei suprafețe simple 119860119894 icircn raport sistemul de axe 119911119874119910
Se constată (relaţia 42) că dacă axele sistemului de referinţă trec prin centrul de
greutate (119910119862 = 119911119862 = 0) momentele statice sunt nule Axele icircn raport cu care momentele
statice sunt nule şi care trec prin centrul de greutate al suprafeţei se numesc axe centrale
Observație dacă secțiunea compusă are o axă de simetrie centrul secțiunii se
găsește pe acea axă iar dacă secțiunea este dublu simetrică poziția centrului secțiunii este
la intersecția axelor de simetrie
43 Momente de inerţie
Momentele de inerţie axiale ale unei suprafețe se calculează icircn raport cu axele de
coordonate 119874119911 și respectiv 119874119910 figura 42 și se determină cu relațiile
119868119911 ≝ int 1199102 ∙ 119889119860
119860
119868119910 ≝ int 1199112 ∙ 119889119860
119860
(47)
Unde 119910 și 119911 sunt distanțele de la elementul de arie 119889119860 la cele două axe de
coordonate 119874119911 și respectiv 119874119910
Momentele de inerţie axiale se măsoară icircn [1198981198984] şi sunt icircntotdeauna pozitive (aria
119889119860 este icircntotdeauna pozitivă și este multiplicată cu patratul distanței 1199102 dacă 119868119911 sau 119868119910
sunt nule icircnseamnă ca secțiunea nu există)
Momentele de inerție axiale se calculează icircndeosebi pentru axele centrale (care
trec prin centrul secțiunii) deoarece icircn raport cu acele axe 119868119911 și 119868119910 au valori minime
Momentul de inerţie centrifugal calculat faţă ambele axe ale sistemului de
referinţă 119911119874119910 este definit de relația
119868119911119910 ≝ int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860
(48)
Momentul de inerţie centrifugal se măsoară icircn [1198981198984] şi poate fi pozitiv negativ
sau nul
Momentul de ineție centrifugal este nul 119868119911119910 = 0 dacă cel puțin una din axele 119874119911
sau 119874119910 este axă de simetrie pentru secțiune
Se consideră o suprafaţă dreptunghiulară pe care faţă de axa de simetrie 119874119910 se iau
două suprafeţe elementare de arie 119889119860 simetrice faţă de axa 119874119910 figura 43
Fig 43 Suprafață dreptunghiulară cu două arii elementare 119889119860
Făcacircnd suma momentelor de inerţie centrifugale pentru cele două suprafeţe
elementare 119889119860 (din stacircnga şi din dreapta faţă de axa 119874119910) se obţine
int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860119889119903
+ int (minus119911) ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860119904119905119892
= int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860119889119903
minus int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860119904119905119892
= 0 (49)
Acelaşi raţionament se poate face și pentru icircntreaga suprafaţă de unde obținem că
momentul de inerție centrifugal este nul 119868119911119910 = 0 Deci pentru o suprafaţă plană care
are cel puţin o axă de simetrie momentul de inerţie centrifugal faţă de sistemul care
conţine acea axă de simetrie este nul
Momentul de inerţie polar al unei suprafeţei icircn raport cu un punct (pol) 119874 figura
42 este definit prin relaţia
1198680 = 119868119901 ≝ int 1205882 ∙ 119889119860
119860
= int(1199102 + 1199112) ∙ 119889119860
119860
= 119868119911 + 119868119910 (410)
unde este distanţa de la polul 119874 la elementul de arie 119889119860 Momentul de inerţie polar se
măsoară icircn [1198981198984] şi este totdeauna pozitiv
Momentul de inerţie polar este egal cu suma momentelor de inerţie faţă de două axe
perpendiculare oarecare şi care trec prin polul considerat
Razele de giraţie sau razele de inerţie sunt mărimi calculate icircn raport cu axele
secțiunii și definite de relaţiile
119894119911 ≝ radic119868119911119860 119894119910 = radic
119868119910
119860 (411)
Se exprimă icircn [119898119898] şi sunt icircntotdeauna pozitive Semnificația unei raze de inerție
este distanța la care dacă ar fi concentrată icircntreaga arie s-ar obține același moment de
inerție ca și cel calculat pentru aria reală
44 Modulul de rezistenţă
Modulul de rezistență se calculează icircn raport cu axele de referință sau icircn raport cu
un pol figura 42 și pot fi axiale (119882119911119882119910) sau polar (119882119901) și se determină numai pe baza
momentelor de inerţie cu relațiile figura 43
119882119911119898119894119899 ≝119868119911119910119898119886119909
119882119911119898119886119909 ≝119868119911119910119898119894119899
(412)
119882119910119898119894119899 ≝119868119910
119911119898119886119909 119882119910119898119886119909 ≝
119868119910
119911119898119894119899 (413)
119882119901 ≝119868119901
120588119898119886119909 (414)
unde
119910119898119886119909 119910119898119894119899 reprezintă distanţa de la axa 119874119911 la punctele extreme cele mai
depărtate respectiv cele mai apropiate ale suprafeţei de această axă
119911119898119886119909 119911119898119894119899 reprezintă distanţa de la axa 119874119910 la punctele extreme cele mai
depărtate respectiv cele mai apropiate ale suprafeţei de această axă
120588119898119886119909 reprezintă distanța maximă de la polul 119874 la punctul secțiunii cel mai
icircndepărtat de acesta
Fig 43 Suprafață dreptunghiulară cu două arii elementare 119889119860
Modulele de rezistenţă se exprimă icircn [1198981198983] şi sunt icircntotdeauna pozitive
Explicația este aceea că momentele de inerție care intră icircn relațiile de definiție sunt
pozitive iar distanțele la punctele extreme sunt pozitive (119910119898119886119909 119910119898119894119899 119911119898119886119909 119911119898119894119899 120588119898119886119909 se
iau icircn valoare absolută)
Icircn cazul suprafeţelor compuse modulul de rezistenţă nu se obţine prin icircnsumarea
algebrică a modulelor de rezistenţă ale suprafeţelor simple componente ci numai prin
intermediul momentului de inerţie axial calculat pentru icircntreaga secțiune
Ca și momentele de inerție modulele de rezistență se calculează numai pentru
sistemele de axe centrale
45 Momente de inerţie şi module de rezistenţă pentru suprafeţe simple
451 Secțiune dreptunghiulară
Fie suprafaţa dreptunghiulară din figura 44 de icircnălțime ℎ și lățime 119887 pe care se
consideră suprafaţă elementară de arie 119889119860 = 119887119889119910 la distanța 119910 de axa 119862119911 sistemul de
axe 119911119862119910 trece prin centrul secțiunii iar axele sunt axe de simetrie pentru dreptunghi
Fig 44 Suprafață dreptunghiulară
Pe baza relațiilor de definiți a momentului de inerție 119868119911 se obține
119868119911 ≝ int 1199102 ∙ 119889119860
119860
= int 1199102 ∙ 119887 ∙ 119889119910 = 2int 1199102 ∙ 119887 ∙ 119889119910 = 2 ∙ 119887 ∙1199103
3|ℎ 2frasl
0rArr
ℎ 2frasl
0
ℎ 2frasl
minusℎ 2frasl
rArr 119868119911 =119887 ∙ ℎ3
12
(415)
Analog pentru un element de arie 119889119860 = ℎ ∙ 119889119911 paralel cu axa 119862119910 situat la distanța
119911 de axa 119862119910
119868119910 ≝ int 1199112 ∙ 119889119860
119860
= int 1199112 ∙ ℎ ∙ 119889119911 = 2int 1199112 ∙ ℎ ∙ 119889119910 = 2 ∙ ℎ ∙1199113
3|119887 2frasl
0rArr
119887 2frasl
0
119887 2frasl
minus119887 2frasl
rArr 119868119910 =1198873 ∙ ℎ
12
(416)
Deoarece axele 119862119911 și 119862119910 sunt axe de simetrie momentul de inerție centrifugal este
119868119911119910 = 0 (417)
Pentru un pătrat avacircnd laturile egale (ℎ = 119887 = 119886) momentele de inerţie faţă de
axele centrale au expresia
119868119911 = 119868119910 =1198864
12 (418)
Modulele de rezistență axiale se calculează cu relațiile de definiție ținacircnd cont că
distanțele pacircnă la fibrele extreme sunt
119910119898119886119909 = 119910119898119894119899 =ℎ
2 119911119898119886119909 = 119911119898119894119899 =
119887
2 (419)
Obținem
119882119911119898119894119899 = 119882119911119898119886119909 =119868119911
119910119898119886119909119898119894119899=119887 ∙ ℎ3
12frasl
ℎ2frasl
=119887 ∙ ℎ2
6
119882119910119898119894119899 = 119882119910119898119886119909 =119868119910
119911119898119886119909119898119894119899=1198873 ∙ ℎ
12frasl
1198872frasl
=1198872 ∙ ℎ
6
(420)
452 Suprafaţă circulară
Din motive de simetrie pentru suprafeţele circulare momentele de inerţie faţă de
orice diametru (care reprezintă şi axe centrale) sunt aceleaşi
Considerăm o secțiune circulară plină cu diametrul 119889 și centrul de greutate 119862 Prin
centrul de greutate 119862 trece sistemul de axe ortogonal 119911119862119910 figura 45
Fig 45 Suprafață circulară
La distanța de centrul de greutate 119862 vom lua un element de suprafață mic de arie
(119889119860) de forma unui inel de grosime 119889 Elementul de arie 119889119860 are expresia
119889119860 = (2 ∙ 120587 ∙ 120588) ∙ (119889120588)
Pornind de la relația de definiție a momentului de inerție polar obținem
119868119901 ≝ int 1205882 ∙ 119889119860
119860
= int 1205882 ∙ (2 ∙ 120587 ∙ 120588) ∙ 119889120588
119903=119889 2frasl
0
= 2 ∙ 120587 ∙1205884
4|119889 2frasl0 rArr
rArr 119868119901 =120587 ∙ 1198894
32
(421)
Secțiunea este perfect simetrică deci sunt valabile relațiile
119868119911 = 119868119910 rArr 119868119901 = 119868119911 + 119868119910 = 2 ∙ 119868119911 = 2 ∙ 119868119910 =119868119901
2=120587 ∙ 1198894
64 (422)
Și modulele de rezistenţă faţă de orice diametru sunt egale şi se calculează cu
relaţiile
119882119911 = 119882119910 =1198681199111198892frasl=120587 ∙ 1198893
32 (423)
Modulul de rezistenţă polar este
119882119901 =1198681199011198892frasl=120587 ∙ 1198893
16 (424)
453 Secţiune inelară
Calculul momentelor de inerţie axiale pentru o secţiune inelară avacircnd diametrul
interior 119889 şi diametrul exterior 119863 se determină analog pentru suprafaţa circulară plină cu
observaţia că integrala pentru calculul momentului de inerție polar 119868119901 se face icircntre
limitele 119903 = 119889 2frasl şi R= 1198632frasl (icircntre raza interioară 119903 şi raza exterioară 119877) figura 46
Se obţin relaţiile
119868119901 =120587 ∙ 1198634
32∙ [1 minus (
119889
119863)4
] =120587 ∙ 1198634
32∙ (1 minus 1198964) (425)
119868119910 = 119868119910 =120587 ∙ 1198634
64∙ [1 minus (
119889
119863)4
] =120587 ∙ 1198633
64∙ (1 minus 1198964) (426)
Fig 46 Secțiune inelară
119882119901 =120587 ∙ 1198633
16∙ [1 minus (
119889
119863)4
] =120587 ∙ 1198633
16∙ (1 minus 1198964) (427)
119882119911 = 119882119910 =120587 ∙ 1198633
32∙ [1 minus (
119889
119863)4
] =120587 ∙ 1198633
32∙ (1 minus 1198964) (428)
unde 119896 = 119889119863frasl
46 Variaţia momentelor de inerţie faţă de axe paralele
( Relațiile lui STEINER)
Se consideră o suprafaţă oarecare de arie 119860 cu elementul de arie 119889119860 și un sistemul
de axe central 119911119862119910 faţă de care se cunosc momentele de inerţie 119868119911 119868119910 119868119911119910 şi considerăm
un sistem de axe 11991111198741199101 paralele cu sistemul central figura 47 Se pune problema
determinării momentele de inerţie 1198681199111 1198681199101 11986811991111199101 faţă de sistemul de axe paralel cu sistemul
central 11991111198741199101 axe aflate la distanţele 119910119862 = 119888 respectiv 119911119862 = 119889 de acesta
461 Momente de inerţie axiale
Pe baza relaţiilor de definire şi a notaţiilor din figura 42 pentru momentele de
inerţie faţă de axele 1198741199111 1198741199101 se poate scrie
1198681199111 = int 11991012 ∙ 119889119860
119860
= int(119910 + 119888)2 ∙ 119889119860
119860
= int 1199102 ∙ 119889119860
119860
+ 2 ∙ 119888 ∙ int 119910 ∙ 119889119860
119860
+
+1198882int 119889119860
119860
rArr 1198681199111 = 119868119911 + 2 ∙ 119888 ∙ 119878119911 + 1198882 ∙ 119860 hArr 1198681199111 = 119868119911 + 119888
2 ∙ 119860
(429)
Fig 47 Variaţia momentelor de inerţie față de axe paralele
S-a ajuns la relația (429) deoarece momentul static 119878119911 este nul deoarece axa 119862119885
este axă centrală
Pentru momentul de inerție axial icircn raport cu axa 1198741199101 se obține
1198681199101 = int 11991112 ∙ 119889119860
119860
= int(119911 + 119889)2 ∙ 119889119860
119860
= int 1199112 ∙ 119889119860
119860
+ 2 ∙ 119889 ∙ int 119911 ∙ 119889119860
119860
+
+1198892 ∙ int 119889119860
119860
rArr 1198681199101 = 119868119910 + 2 ∙ 119889 ∙ 119878119910 + 1198892 ∙ 119860 hArr 1198681199101 = 119868119910 + 119889
2 ∙ 119860
(430)
Pentru momentul de inerție centrifugal obținem
11986811991111199101 = int 1199101 ∙ 1199111 ∙ 119889119860
119860
= int(119910 + 119888) ∙ (119911 + 119889) ∙ 119889119860
119860
= int 119910 ∙ 119911 ∙ 119889119860 +
119860
+119888 ∙ int 119911 ∙ 119889119860
119860
+ 119889 ∙ int 119910 ∙ 119889119860
119860
rArr 11986811991111199101 = 119868119911119910 + 119888 ∙ 119889 ∙ 119860
(431)
Deoarece
int 119911 ∙ 119889119860
119860
= 119878119910 = 0 int 119910 ∙ 119889119860
119860
= 119878119911 = 0 int 119910 ∙ 119911 ∙ 119889119860
119860
= 119868119911119910
Relaţiile (429) şi (430) arată că momentul de inerţie faţă de o axă oarecare
este egal cu momentul de inerţie faţă de o axă paralelă cu ea trecacircnd prin centrul de
greutate la care se adaugă produsul dintre aria suprafeţei şi pătratul distanţei dintre
cele două axe
Din relaţiile (429) și (430) rezultă de asemenea că momentul de inerţie faţă de o
axă centrală (care trece prin centrul de greutate) este cel mai mic dintre infinitatea de
momente de inerţie obținute faţă de alte axe paralele cu ea
Relaţia (431) arată de asemenea că momentul de inerţie centrifugal faţă de un
sistem de axe oarecare este egal cu momentul de inerţie centrifugal faţă de un sistem
paralele cu el trecacircnd prin centrul de greutate a suprafeţei la care se adaugă produsul
dintre aria suprafeţei şi distanţele dintre axele sistemelor respective
Icircn literatura de specialitate relaţiile (429) (430) şi (431) sunt cunoscute sub
numele de relaţiile lui Steiner
47 Variaţia momentrlor de inerţie faţă de axe rotite
Direcţii principale şi momente de inerţie principale
Fie suprafaţa plană din figura 48 de arie 119860 pe care considerăm o suprafaţă
elementară de arie 119889119860 Pentru sistemul de axe 119911119874119910 se cunosc momentele de inerţie
119868119911 119868119910 119868119911119910 şi vom determina relaţiile de calcul pentru momentele de inerţie afererent unui
sistem de axe 11991111198741199101 rotit cu un unghi faţă de sistemul central
Faţă de sistemul de axe 11991111198741199101 elementul de arie 119889119860 are coordonatele
1199101 = 119875119877 = 119875119876 minus 119877119876 = 119910 ∙ cos 120572 minus 119911 ∙ sin 120572
1199111 = 119873119872 = 119873119875 minus 119875119872 = 119911 ∙ cos 120572 + 119910 ∙ sin 120572 (432)
Fig 47 Variaţia momentelor de inerţie față de axe rotite
Pe baza relaţiilor de calcul ale momentelor de inerţie şi a notaţiilor din figura 42
şi ale relaţiilor (432) momentele de inerţie faţă de sistemul de axe rotit 11991111198741199101 sunt
1198681199111 =119868119911 + 119868119910
2+119868119911 minus 119868119910
2∙ cos 2120572 minus 119868119911119910 ∙ sin 2120572 (433)
1198681199101 =119868119911 + 119868119910
2minus119868119911 minus 119868119910
2∙ cos 2120572 + 119868119911119910 ∙ sin 2120572 (434)
11986811991111199101 =119868119911 minus 119868119910
2∙ sin 2120572 + 119868119911119910 ∙ cos 2120572 (435)
Din relaţiile 433divide435 se observă că icircntre momentele de inerţie axiale şi cele
polare există relaţia
1198681199111 + 1198681199101 = 119868119911 + 119868119910 = 119868119901 (436)
adică suma momentelor de inerţie axiale icircn raport cu orice pereche de axe ortogonale
care trec printr-un pol dat este o constantă şi egală cu momentul de inerţie polar
Prin rotirea sistemului de axe din relaţiile 433divide435 rezultă că momentele de inerţie
variază icircnsă suma lor rămacircne constantă deci există o poziţie a sistemului de axe pentru
care momentele de inerţie au valori extreme maxim respectiv minim
471 Direcţii principale de inerţie
Valoarea unghiului 120572 pentru care momentele de inerţie axiale au valori extreme
este
1205721 =1
2∙ 119886119903119888119905119886119899 (minus
2 ∙ 119868119911119910
119868119911 minus 119868119910) (437)
Poziţia celeilalte direcţii este perpendiculară pe cea dată de unghiul 1205721
Din relaţia (437) se constată că faţă de aceste direcţii rotite pentru care momentele
de inerţie axiale prezintă valori extreme momentul de inerţie centrifugal 11986811991111199101este nul
Atunci se poate afirma că momentele de inerţie axiale au valori extreme icircn raport cu
direcţiile faţă de care momentul de inerţie centrifugal este nul Aceste direcţii se numesc
direcţii principale iar momentele de inerţie faţă de aceste direcţii poartă numele de
momente de inerţie principale
Icircn calculele de rezistenţă interesează icircn mod special poziţia direcţiilor principale
care trec prin centrul de greutate al suprafeţei aşa numitele direcţii principale centrale şi
evident momentele de inerţie principale centrale
Direcţiile principale de inerţie se notează cu 1 respectiv 2 Axa principală 1
corespunde direcţiei faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea maximă iar
axa principală 2 pentru direcţia faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea
minimă
472 Momente de inerţie principale
Momentele de inerţie principale se notează cu litera 119868 la care se pune indicele 1
sau 2 după cum valoarea acestuia este maximă sau minimă deci avem un moment de
inerţie principal 1 (notat 1198681) respectiv moment de inerţie principal 2 (notat 1198682)
Expresiile pentru momentele de inerţie principale sunt
11986812 =119868119911 + 119868119910
2plusmn1
2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)
2+ 4 ∙ (119868119911119910)
2 (438)
Dacă momentul de inerţie centrifugal este negativ (119868119911119910 lt 0) direcţia principală
care trece prin primul cadran (definit de sistemul 119911119862119910) este direcţia principală 120783
Pentru suprafeţele cu cel puţin o axă de simetrie direcţiile centrale 119862119911 119862119910 sunt şi
direcții principale de inerţie și evident momentele de inerţie axiale 119868119911 119868119910 sunt momente
de inerţie principale
48 Caracteristici mecanice ale metalelor
Alegerea materialului pentru confecţionarea unei anumite piese se face şi pe baza
aşa numitelor caracteristici mecanice pe care le prezintă materialul Cunoaşterea acestor
caracteristici mecanice are loc numai pe baza unor icircncercări mecanice care să scoată icircn
evidenţă comportarea materialului icircn condiţii de solicitare
Cea mai utilizată icircncercare icircn urma căreia se pun icircn evidenţă caracteristicile
mecanice ale unui material este icircncercarea la tracţiune
481 Icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general
Icircncercarea la tracţiune a oţelului ca de altfel toate icircncercările de materiale este
standardizată
Icircn cele ce urmează se va prezenta numai partea care interesează strict din punct
de vedere al caracteristicilor mecanice ale oţelului
Epruveta de diametru iniţial 1198890 pentru icircncercarea la tracţiune are o porţiune de
lungime 1198710 numită baza de măsurare pe care se măsoară lungirea acesteia sub acţiunea
solicitării
Icircn funcţie de raportul dintre baza de măsurare 1198710 şi diametrul iniţial 1198890 epruvetele
utilizate pentru icircncercări sunt
epruvete normale (scurte) cacircnd 11987101198890 = 5
epruvete lungi cacircnd 11987101198890 = 10
Icircn timpul icircncercării la diferite valori ale forţei 119865 se măsoară lungirea bazei de
măsurare
∆119871 = 120575 = 119871 minus 1198710 (439)
unde
119871 este dimensiunea bazei de măsurare la un moment dat
Curba forţă-lungire (119865 minus ) icircnregistrată icircn urma icircncercării reprezintă curba
caracteristică la tracţiune
La icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general diagrama caracteristică care se
obţine are forma din figura 48
Curba caracteristică la tracţiune depinde de lungimea bazei de măsurare Pentru
icircnlăturarea acestui neajuns curba caracteristică se reprezintă icircn coordonate şi definite
astfel
120590 =119865
1198600 휀 =
120575
1198710 (440)
unde
1198600 este aria iniţială a secţiunii transversale a epruvetei (icircnainte de solicitare) icircn
zona bazei de măsurare
1198600 =120587 ∙ 1198890
2
4
Deoarece mărimile icircn care se reprezintă curba caracteristică la tracţiune sunt
raportate la aria iniţială a secţiunii transversale (mărimi specifice) curba poartă numele
de curbă caracteristică convenţională la tracţiune
Fig 48 Curba caracteristică convenţională la tracțiune
Pe curba caracteristică convenţională la tracţiune figura 48 se pot stabili o serie
de puncte cărora le corespund mai multe mărimi importante
Ordonata punctului A pacircnă unde curba caracteristică convenţională este linie
dreaptă se numeşte limita de proporţionalitate a materialului 120590119901(1205901) Porţiunea 119874119860 este
zona de proporţionalitate a curbei caracteristice pe acest domeniu este valabilă legea lui
Hooke care exprimă o proporţionalitate icircntre tensiune şi deformaţie specifică
120590 = 119864 ∙ 휀 (441)
unde
119864 = reprezintă panta porţiunii liniare a curbei convenționale caracteristice
la tracțiune Caracteristica de material 119864 se numeşte modul de elasticitate longitudinal
(modulul lui Young)
Ordonata punctului 119861 pacircnă unde materialul se comportă perfect elastic adică
după descărcare icircşi recapătă dimensiunea iniţială 1198710 se numeşte limita de elasticitate
120590119890(119877119890) Icircn realitate nici un material nu are comportare perfect elastică sub acţiunea
solicitărilor el capătă deformaţii permanente (remanente plastice)
După punctul 119861 urmează o porţiune 119861119862119863 icircn care cu toate că icircncărcarea
continuă forţa nu mai creşte avacircnd mici oscilaţii icircn jurul unei valori Se spune că icircn
această porţiune materialul curge iar intervalul 119861119862119863 este un palier de curgere Tensiunea
corespunzătoare palierului de curgere se numeşte limită de curgere aparentă 120590119888(119877119888) Limita de curgere aparentă se calculează cu relaţia
120590119888 =1198651198881198600 (442)
unde
119865119888 reprezintă valoarea forţei icircnregistrată icircn momentul curgerii materialului
După punctul 119863 curba caracteristică are un traseu ascendent pacircnă icircn punctul 119864
Porţiunea 119863119864 este numită zonă de icircntărire (ecruisare) Icircn zona de ecruisare unde se
produc deformaţii plastice semnificative legea lui Hooke nu mai este valabilă La
descărcare relaţia dintre tensiunea şi deformaţia specifică este liniară paralelă cu
porţiunea liniară a curbei caracteristice (dreapta 119872119873)
Deformaţia totală (휀119905) are două componente una elastică (휀119890) şi una plastică (휀119901)
Ordonata punctului 119864 reprezintă rezistenţa de rupere 120590119903(119877119898) a materialului
care se poate calcula cu relaţia
120590119903 = 119877119898 =1198651198981198861199091198600
(443)
unde
119865119898119886119909 reprezintă valoarea maximă a forţei icircnregistrată icircn timpul icircncercării
La atingerea valorii 119865119898119886119909 (punctul 119864) icircntr-un anumit loc al epruvetei secţiunea
icircncepe să se micşoreze (se produce gacirctuirea) continuacircnd pacircnă cacircnd se produce ruperea
totală (punctul 119865)
Dacă după ruperea epruvetei cele două părţi rezultate se aşează cap la cap şi se
măsoară dimensiunea bazei de măsurare 119871119906 (lungimea ultimă) se determină alungirea la
rupere sau lungirea specifică la rupere 휀119903
휀119903 =119871119906 minus 11987101198710
=∆119871
1198710=120575
1198710 (444)
De obicei alungirea se exprimă icircn procente şi se notează cu 119860119899 unde 119899 reprezintă
numărul dat de raportul 11987101198890 (epruvete normale 119899 = 5 epruvete lungi 119899 = 10)
119860119899 =119871119906 minus 11987101198710
∙ 100 [] (445)
Altă mărime care se determină la icircncercarea la tracţiune este gacirctuirea la rupere
(exprimată de obicei icircn procente) şi definită de relaţia
119885 =1198600 minus 1198601199061198600
∙ 100 [] (446)
Mărimile determinate limita de proporţionalitate modulul de elasticitate
longitudinal limita de elasticitate limita de curgere aparentă rezistenţa de rupere
alungirea la rupere şi gacirctuirea la rupere sunt cunoscute ca fiind caracteristici mecanice
ale materialului
Din curba caracteristică convenţională observăm faptul că ruperea (punctul 119865 din
figura 48 se produce la o tensiune mai mică decacirct cea corespunzătoare punctului 119864 Dacă
icircnsă forţa din timpul icircncercării s-ar raporta la aria secţiunii din momentul icircnregistrării
forţei (care este mai mică decacirct cea iniţială 1198600) s-ar obţine aşa numita curbă
caracteristică reală a materialului (traseul 1198741198601198611198621198631198651 din figura 48) La curba
caracteristică reală ruperea se produce icircn punctul 1198651 la o icircncărcare mai mare decacirct cea
corespunzătoare punctului 119864 Icircnseamnă că rezistenţa reală la rupere este mai mare decacirct
rezistenţa la rupere dată de punctul 119864 din diagrama caracteristică convenţională
Dificultatea obţinerii diagramei caracteristice reale faţă de cea a diagramei caracteristice
convenţionale şi considerarea unei rezistenţe la rupere mai mică decacirct a celei reale face
icircn practică utilizarea pe scară mare a diagramei caracteristice convenţionale
Caracteristicile mecanice determinate pe baza curbei caracteristice convenţionale
sunt şi ele caracteristici mecanice convenţionale
Caracteristicile mecanice convenţionale limita de proporţionalitate convenţională
120590119901 limita de elasticitate convenţională 120590119890 limita de curgere convenţională 120590119888 şi rezistenţa
de rupere 120590119903 constituie tensiuni limită pentru un material Pe baza acestor caracteristici
de material se alege valoarea tensiunii admisibile 120590119886 (vezi paragraful 35) pentru
calculele de rezistenţă Cea mai utilizată stare limită pentru stabilirea tensiunii admisibile
120590119886 este limita de curgere convenţională 120590119888
120590119886 =120590119897119894119898119888
=120590119888119888 119904119886119906 120590119886 =
120590119903119888 (447)
Caracteristicile mecanice ale materialului sunt influenţate de o serie de factori
temperatura viteza de solicitare factorii tehnologici iar valorile lor sunt date icircn tabele și
diagrame
Aplicaţie Pentru suprafaţa plană compusă din două dreptunghiuri avacircnd
dimensiunile din figura 49a să se calculeze
a) centrul de greutate al secțiunii compuse 119910119866 119911119866
b) momentele de inerție axiale 119868119911 119868119910 și momentul de inerție centrifugal 119868119911119910
c) razele de inerție 119894119911 119894119910
d) modulele de rezistență 119882119911119898119894119899 119882119911119898119886119909 119882119910119898119894119899 119882119910119898119886119909
e) momentele de inerție principale 1198681 1198682 și direcțiile principale de inerție 1205721
f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 119878119911
Fig 49 Aplicație
Rezolvare Pentru rezolvare vom parcurge următoarele etape
icircmpărțim suprafața compusă icircn două suprafețe simple (dreptunghiuri) notate cu
① și respectiv ② figura 49b
poziționăm centrele de greutate a celor două suprafețe simple ① și respectiv ②
notate cu 1198661 și respectiv 1198662 figura 49c
poziționăm sistemele de axe de coordonate 119911111986611199101 pentru dreptunghiul ① și
119911211986621199102 pentru dreptunghiul ② aflate la intersecția diagonalelor figura 49c
poziționăm sistemele de axe de coordonate 11991101198741199100 ales arbitrar față de care
determinăm poziția centrului de greutate 119866 figura 49c
a) calculăm poziția centrului de greutate folosind relațiile (46) icircn care
1198601 = 6119905 ∙ 119905 = 61199052 1198602 = 4119905 ∙ 119905 = 41199052 119860 = 1198601 + 1198602 = 61199052 + 41199052 = 101199052
iar centrele de greutate 1198661 și respectiv 1198662 au coordonatele (față de sistemul 11991101198741199100)
1198661 1199101 = 3119905 1199111 = 05119905
1198662 1199102 = 051199051199112 = 3119905
cu acestea obținem
119910119866 =1198601 ∙ 1199101 + 1198602 ∙ 1199102
119860=61199052 ∙ 3119905 + 41199052 ∙ 05119905
101199052=201199053
101199052= 2119905
119911119866 =1198601 ∙ 1199111 + 1198602 ∙ 1199112
119860=61199052 ∙ 05119905 + 41199052 ∙ 3119905
101199052=151199053
101199052= 15119905
Poziționăm centrul de greutate 119866 al suprafeței compuse figura 49c
Fig 49 Aplicație
b) pentru determinarea momentelor de inerție axiale 119868119911 119868119910 și a momentului de
inerție centrifugal 119868119910119911 determinăm constantele 1198881 1198882 1198891 1198892 care intervin icircn relația lui
Stainer
1198881 = 1199101 minus 119910119866 = 3119905 minus 2119905 = 119905 1198882 = minus(119910119866 minus 1199102) = minus(2119905 minus 05119905) = minus15119905
1198891 = minus(119911119866 minus 1199111) = minus(15119905 minus 05119905) = minus119905 1198892 = 1199112 minus 119911119892 = 3119905 minus 15119905 = 15119905
Folosind relațiile lui Stainer (429) (430) și (431) calculăm momentele de
inerție axiale și centrifugale față de sistemul central 119911119866119866119910119866
119868119911 =sum(119868119911119894 + 1198881198942 ∙ 119860119894) = 1198681199111 + 1198881
2 ∙ 1198601 + 1198681199112 + 11988822 ∙ 1198602
119868119910 =sum(119868119910119894 + 1198891198942 ∙ 119860119894) = 1198681199101 + 1198891
2 ∙ 1198601 + 1198681199102 + 11988922 ∙ 1198602
119868119911119910 =sum(119868119911119894119910119894 + 119888119894 ∙ 119889119894 ∙ 119860119894) = 11986811991111199101 + 1198881 ∙ 1198891 ∙ 1198601 + 11986811991121199102 + 1198882 ∙ 1198892 ∙ 1198602
1198681199111 = (119887 ∙ ℎ3
12) =
119905 ∙ (6119905)3
12= 181199054 1198681199112 = (
119887 ∙ ℎ3
12) =
4119905 ∙ 1199053
12= 031199054
1198681199101 = (1198873 ∙ ℎ
12) =
1199053 ∙ 6119905
12= 051199054 1198681199102 = (
1198873 ∙ ℎ
12) =
(4119905)3 ∙ 119905
12= 531199054
11986811991111199101 = 11986811991121199102 = 0 deoarece cele două triunghiuri au cel puțin o axă de simetrie
Cu acestea momentele de inerție axiale și momentul de inerție centrifugal devin
119868119911 = 181199054 + 1199052 ∙ 61199052 + 031199054 + (minus15119905)2 ∙ 41199052 = 3331199054
119868119910 = 051199054 + (minus119905)2 ∙ 61199052 + 531199054 + (15119905)2 ∙ 41199052 = 2081199054
119868119911119910 = 0 + 119905 ∙ (minus119905) ∙ 61199052 + 0 + (minus15119905) ∙ (15119905) ∙ 41199052 = minus151199054
c) razele de inerție sau de girație față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910
se calculează cu relațiile (411)
119894119911 = radic119868119911119860= radic
3331199054
101199052= 182119905 119894119910 = radic
119868119910
119860= radic
2081199054
101199052= 144119905
d) modulele de rezistență față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910 se
calculează cu relațiile (412) și (413)
Avacircnd icircn vedere figura 419c obținem
119910119898119886119909 = 6119905 minus 119910119866 = 6119905 minus 2119905 = 4119905 119910119898119894119899 = minus119910119866 = minus2119905
119911119898119886119909 = 5119905 minus 119911119866 = 5119905 minus 15119905 = 35119905 119911119898119894119899 = minus119911119866 = minus15119905
Se obține astfel
119882119911119898119894119899 =119868119911
|119910119898119886119909|=3331199054
4119905= 8331199053
119882119911119898119886119909 =119868119911
|119910119898119894119899|=3331199054
2119905= 16651199053
119882119910119898119894119899 =119868119910
|119911119898119886119909|=2081199054
35119905= 5941199053
119882119910119898119886119909 =119868119910
|119911119898119894119899|=2081199054
15119905= 13871199053
e) momentele de inerție principale 1198681 și respectiv 1198682 se calculează cu relațiile
(438)
11986812 =119868119911 + 119868119910
2plusmn1
2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)
2+ 4 ∙ (119868119911119910)
2=
=3331199054 + 2081199054
2plusmn1
2∙ radic(3331199054 minus 2081199054)2 + 4 ∙ (minus151199054)2 = 27051199054 plusmn 16251199054
De unde obținem
1198681 = 27051199054 + 16251199054 = 4331199054
1198682 = 27051199054 minus 16251199054 = 1081199054
Prima direcție principală de inerție 1 face cu axa centrală 119866119911 unghiul 1205721 dat de
relația (437)
1205721 =1
2∙ arctan (minus
2 ∙ 119868119911119910
119868119911 minus 119868119910) =
1
2∙ arctan [minus
2 ∙ (minus151199054)
3331199054 minus 2081199054] =33 70
Deoarece 1205721 gt 0 rotirea axelor se face acircn sens antiorar acelor de ceasornic figura
49d
Poziția axe principale 2 față de care momentul de inerție are valoarea minimă
1198682 = 119868119898119894119899 este dată de unghiul
1205722 = 1205721 + 900 = 33 70 + 900 = 123 70
f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 se determină cu relația
(45)
1198781199111198602 = 1198602 ∙ 1198882 = 41199052 ∙ (minus15119905) = minus61199053
Ipoteza micilor deplasări nu poate fi acceptată pentru studiul problemelor de
stabilitate sau la problemele la care nu pot fi icircndeplinite condiţiile de echilibru icircn starea
nedeformată
Calculul de ordinul II admite ipoteza micilor deplasări dar ecuaţiile de echilibru
se scriu icircnsă pentru starea deformată a elementului de rezistenţă
Calculul de ordinul III nu mai acceptă ipoteza micilor deplasări el referindu-se
la cazul deformaţiilor mari cacircnd ecuaţiile de echilibru trebuie scrise pentru starea
deformată
Chiar dacă materialul satisface legea lui Hooke icircn urma calculelor de ordinul II
se obţin de obicei relaţii neliniare icircntre sarcini şi deplasări iar pentru calculul de ordinul
III rezultă ecuaţii diferenţiale neliniare
Principiul efectului local al acțiunii sarcinilor enunțat de Barre de Saint-
Venant Acest principiu destul de folosit icircn Rezistenţa Materialelor precizează că dacă
se icircnlocuiesc forţele care acţionează asupra unui element de suprafață al unui corp
elastic printr-un alt sistem de forţe echivalent din punct de vedere static cu primul noua
distribuţie a forţelor produce la locul de aplicare diferenţe semnificative faţă de prima
dar rămacircne fără efect sau cu efect neglijabil la distanţe mari de locul de aplicare al
forţelor figura 312
Ca o cosecință o sarcină uniform distribuită figura 312a poate fi icircnlocuită cu
rezultanta ei figura 312b dacă se analizează efectul sarcinii la distanță mare de locul icircn
care se aplică sarcina
Fig 312 Principiul Saint-Venant
Icircn prima variantă figura 312a forţa 119865 se aplică pe o porțiune oarecare 119897 (sarcină
uniform distribuită) iar icircn a doua figura 312b icircntru-un punct (forţă concentrată) La
locul de aplicare a sarcinii efectul asupra barei este cu totul diferit de la o variantă la
cealaltă Icircnsă la o distanţă mare de punctul de aplicaţie spre exemplu icircn secţiunea situată
la distanţa 119886 de capătul barei sau chiar icircn icircncastrare ambele bare sunt solicitate la fel
Icircn cazul din figura 312a
119872119894(119909) =119901 ∙ 1199092
2 119909 le 119897 119872119894(119909) = 119901 ∙ 119897 ∙ (119909 minus
119897
2) 119909 gt 119897 (324)
Icircn cazul din figura 312b
119872119894(119909) = 0 119909 lt119897
2 119872119894(119909) = 119901 ∙ 119897 ∙ (119909 minus
119897
2) 119909 gt
119897
2 (325)
Se vede că pentru (119909 gt 119897) adică după depășirea locului icircn care se aplică sarcina
efectul este același
Ipoteza lui Bernoulli sau ipoteza secţiunilor plane precizează că o secţiune
plană şi normală pe axa barei icircnainte de deformare rămacircne plană şi normală pe axa
barei şi după deformare figura 313
Fig 313 Ipoteza lui Bernoulli
Ipoteza stării naturale a corpului sau ipoteza absenţei tensiunilor conform
căreia pentru un corp nesolicitat starea de tensiune şi deformaţie este nulă
Perfecţionarea mijloacelor de calcul şi de investigare pot conduce la renunţarea la
unele ipoteze sau la introducerea altora noi mai aproape de stările reale De aici rezultă
caracterul de continuă perfecţionare a metodelor Rezistenţei Materialelor
35 Coeficienţi de siguranţă Tensiuni admisibile
O piesă corespunde din punct de vedere tehnic dacă tensiunile care iau naştere icircn
interiorul piesei datorită sarcinilor aplicate nu depăşesc anumite valori limită stabilite
convenţional Aceste valori limită ale tensiunii sunt corelate cu caracteristicile mecanice
ale materialelor
Tensiunea limită utilizată icircn calculele de rezistenţă este cunoscută sub denumirea
de tensiune admisibilă sau rezistenţă admisibilă Rezistenţa admisibilă reprezintă
valoarea convenţională aleasă icircn calcul pe baza practicii pentru tensiunea maximă care
poate apare icircntr-o piesă icircn condiţii date de material şi solicitare
Rezistenţa admisibilă (120590119886 sau 120591119886) poate fi definită faţă de o stare limită
periculoasă stare care trebuie evitată deoarece poate conduce distrugere
120590119886 =120590119897119894119898119888
(326)
unde
120590119897119894119898 este tensiunea corespunzătoare stării limită periculoase
119888 estesupraunitar 119888 gt 1 și reprezintă coeficientul de siguranţă faţă de starea limită
periculoasă considerată
Alegerea unor valori inferioare pentru rezistenţa admisibilă faţă de tensiunea
corespunzătoare stării limită periculoase este necesară deoarece
cunoaşterea sarcinilor este de cele mai multe ori aproximativă şi o depăşire a
acestora este foarte posibilă
caracteristicile mecanice ale materialelor variază icircn limite destul de mari ele
fiind influenţate de mulţi factori
schema aleasă pentru calcul (aplicarea sarcinilor schematizarea structurii
ipotezele de calcul etc) depărtează modelul faţă de cel real
Pentru calculele de verificare tensiunea efectivă maximă din elementul de
rezistenţă trebuie să fie mai mică sau cel mult egală cu cea admisibilă
120590119890119891119898119886119909 le 120590119886 (327)
Valoarea rezistenţei admisibile este influenţată de foarte mulţi factori natura
materialului tratamentele termice aplicate piesei durata de funcţionare a piesei modul
de acţionare icircn timp a sarcinilor felul solicitării temperatura gradul de periculozitate
icircn cazul cedării piesei etc
De asemenea valoarea coeficientului de siguranţă se alege icircn principal ţinacircnd
seama de aceiaşi factori care influenţează şi rezistenţa admisibilă
Rezistenţele admisibile pentru cacircteva materiale sunt următoarele
pentru oțelul de uz general OL37 solicitat la icircntindere compresiune sau
icircncovoiere 120590119886 = 150 [119872119875119886] pentru lemnul de brad solicitat la
- compresiune icircn lungul fibrelor şi solicitat la icircncovoiere 120590119886 = 10 [119872119875119886] - tracţiune icircn lungul fibrelor 120590119886 = 7 [119872119875119886] - compresiune perpendiculară pe fibre 120590119886 = 15 [119872119875119886] - forfecare icircn lungul fibrelor 120591119886 = 2 [119872119875119886] - forfecare perpendiculară pe fibre 120590119886 = 45 [119872119875119886]
terenuri de fundaţie din pămacircnt uscat sau umed 120590119886 = 020 divide 025 [119872119875119886]
4 CARACTERISTICI GEOMETRICE ALE SECȚIUNILOR PLANE
41 Noţiuni introductive
Icircn relaţiile de calcul ale tensiunilor şi deformaţiilor elementelor de rezistenţă
pentru unele solicitări (icircncovoierea și torsiunea) secțiunile plane intervin atacirct prin
dimensiunile lor (aria 119860) cicirct și prin forma și poziția pe care o are secțiunea icircn raport cu
planul solicitării Mărimile care caracterizează o secțiune icircn raport cu forma și poziția față
de axele unui sistem de referință sunt denumite caracteristici geometrice de ordin
superior Aria secțiunii este caracteristica geometrică ce depinde doar de dimensiunile
geometrice ale acesteia
Să considerăm o grindă solicitată de o forță exterioară 119865 aşezată icircn două poziții icircn
raport cu planul forţei figura 41 Icircn urma aplicării forței deși avem aceeași grindă
(aceeași arie a secțiunii transversale) și aceeași forță se constată că pentru varianta din
figura 41a deformațiile sunt mult mai mari adică rezistența la icircncovoiere a grinzii din
figura 41a este mai mare decacirct icircn cazul grinzii din figura 41b Comportarea diferită se
explică prin aceea că modificarea poziţiei secţiunii transversale faţă de planul forţelor
modifică caracteristicile geometrice ale secţiunii transversale a grinzii
Fig 41 Grindă solicitată de forța 119865
Pentru realizarea calculelor de rezistenţă şi rigiditate este foarte importantă
cunoaşterea caracteristicilor geometrice ale suprafeţei secţiunii transversale a elementelor
de rezistenţă
Caracteristicile geometrice ale secţiunii transversale a unui element de rezistenţă
sunt
- aria secțiunii notată cu 119860
- momentul static icircn raport cu o axă notat 119878119911 și respectiv 119878119910
- momentul de inerție care poate fi
axial notat 119868119911 și respectiv 119868119910
centrifugal notat 119868119911119910
polar notat 119868119901
- raza de inerţie (giraţie)notată 119894119911 și respectiv 119894119910
- modulul de rezistență care poate fi
axial notat 119882119911 și respectiv 119882119910
polar notat 119882119901
42 Aria și momentul static al suprafețelor plane
Fie o suprafaţă plană de arie 119860 pe care se ia un element infinit mic de arie 119889119860 şi
un sistem de axe rectangulare 119911119874119910 figura 42 Notăm cu 119862 centrul de greutate al suprafeţei
119860 Poziţia suprafeţei elementare 119889119860 faţă de acelaşi sistem de coordonate 119911119874119910 este dată
de abscisa 119911 ordonata 119910 și raza polară
Fig 42 Suprafață plană de arie 119860
Aria suprafeţei 119860 figura 42 se defineşte ca fiind
119860 ≝ int 119889119860
119860
(41)
Aria suprafeţei este icircntotdeauna pozitivă și se măsoară icircn [1198981198982] Momentul static al suprafeţei de arie 119860 icircn raport cu axele 119874119911 și respectiv 119874119910
figura 42 sunt date de relaţiile
119878119911 ≝ int 119910 ∙ 119889119860
119860
119878119910 ≝ int 119911 ∙ 119889119860
119860
(42)
Momentul static poate fi pozitiv negativ sau nul şi se măsoară icircn [1198981198983] Coordonatele centrului de greutate ale suprafeței 119860 se detrmină cu relațiile
119910119862 ≝int 119910 ∙ 119889119860119860
119860 119911119862 ≝
int 119911 ∙ 119889119860119860
119860
(43)
Cunoscacircnd coordonatele 119910119862 și 119911119862 ale centrului de greutate 119862 al secțiunii 119860 atunci
momentele statice se pot determina cu relațiile
119878119911 ≝ int 119910 ∙ 119889119860
119860
= 119910119862 ∙ 119889119860 119878119910 ≝ int 119911 ∙ 119889119860
119860
= 119911119862 ∙ 119889119860 (44)
Aceste relații arată că momentul static al unei suprafețe icircn raport cu o axă este
egal cu produsul dintre aria suprafeței și distanța de la centrul ariei la axa respectivă
Dacă suprafaţa se poate descompune icircn 119899 suprafeţe simple la care se cunosc ariile
(1198601 1198602 ⋯ 119860119894⋯ 119860119899) și poziţiile centrelor de greutate 119862119894 faţă de sistemul de referinţă
expresiile momentelor statice capătă următoarea formă
119878119911 = sum 119910119862119894 ∙ 119860119894119899119894=1 = 119910119862 ∙ 119860 119878119910 = sum 119911119862119894 ∙ 119860119894
119899119894=1 = 119911119862 ∙ 119860 (45)
Din relaţiile (45) rezultă că poziţia centrului de greutate 119862 al unei suprafeţe
compuse poate fi determinată cu relaţiile
119910119862 = (sum119910119862119894 ∙ 119860119894
119899
119894=1
) 119860frasl 119911119862 = (sum119911119862119894 ∙ 119860119894
119899
119894=1
) 119860frasl (46)
Icircn relația (45) 119910119862119894 și respectiv 119911119862119894 reprezintă coordonatele centrelor de greutate 119862119894
ale fiecărei suprafețe simple 119860119894 icircn raport sistemul de axe 119911119874119910
Se constată (relaţia 42) că dacă axele sistemului de referinţă trec prin centrul de
greutate (119910119862 = 119911119862 = 0) momentele statice sunt nule Axele icircn raport cu care momentele
statice sunt nule şi care trec prin centrul de greutate al suprafeţei se numesc axe centrale
Observație dacă secțiunea compusă are o axă de simetrie centrul secțiunii se
găsește pe acea axă iar dacă secțiunea este dublu simetrică poziția centrului secțiunii este
la intersecția axelor de simetrie
43 Momente de inerţie
Momentele de inerţie axiale ale unei suprafețe se calculează icircn raport cu axele de
coordonate 119874119911 și respectiv 119874119910 figura 42 și se determină cu relațiile
119868119911 ≝ int 1199102 ∙ 119889119860
119860
119868119910 ≝ int 1199112 ∙ 119889119860
119860
(47)
Unde 119910 și 119911 sunt distanțele de la elementul de arie 119889119860 la cele două axe de
coordonate 119874119911 și respectiv 119874119910
Momentele de inerţie axiale se măsoară icircn [1198981198984] şi sunt icircntotdeauna pozitive (aria
119889119860 este icircntotdeauna pozitivă și este multiplicată cu patratul distanței 1199102 dacă 119868119911 sau 119868119910
sunt nule icircnseamnă ca secțiunea nu există)
Momentele de inerție axiale se calculează icircndeosebi pentru axele centrale (care
trec prin centrul secțiunii) deoarece icircn raport cu acele axe 119868119911 și 119868119910 au valori minime
Momentul de inerţie centrifugal calculat faţă ambele axe ale sistemului de
referinţă 119911119874119910 este definit de relația
119868119911119910 ≝ int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860
(48)
Momentul de inerţie centrifugal se măsoară icircn [1198981198984] şi poate fi pozitiv negativ
sau nul
Momentul de ineție centrifugal este nul 119868119911119910 = 0 dacă cel puțin una din axele 119874119911
sau 119874119910 este axă de simetrie pentru secțiune
Se consideră o suprafaţă dreptunghiulară pe care faţă de axa de simetrie 119874119910 se iau
două suprafeţe elementare de arie 119889119860 simetrice faţă de axa 119874119910 figura 43
Fig 43 Suprafață dreptunghiulară cu două arii elementare 119889119860
Făcacircnd suma momentelor de inerţie centrifugale pentru cele două suprafeţe
elementare 119889119860 (din stacircnga şi din dreapta faţă de axa 119874119910) se obţine
int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860119889119903
+ int (minus119911) ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860119904119905119892
= int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860119889119903
minus int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860119904119905119892
= 0 (49)
Acelaşi raţionament se poate face și pentru icircntreaga suprafaţă de unde obținem că
momentul de inerție centrifugal este nul 119868119911119910 = 0 Deci pentru o suprafaţă plană care
are cel puţin o axă de simetrie momentul de inerţie centrifugal faţă de sistemul care
conţine acea axă de simetrie este nul
Momentul de inerţie polar al unei suprafeţei icircn raport cu un punct (pol) 119874 figura
42 este definit prin relaţia
1198680 = 119868119901 ≝ int 1205882 ∙ 119889119860
119860
= int(1199102 + 1199112) ∙ 119889119860
119860
= 119868119911 + 119868119910 (410)
unde este distanţa de la polul 119874 la elementul de arie 119889119860 Momentul de inerţie polar se
măsoară icircn [1198981198984] şi este totdeauna pozitiv
Momentul de inerţie polar este egal cu suma momentelor de inerţie faţă de două axe
perpendiculare oarecare şi care trec prin polul considerat
Razele de giraţie sau razele de inerţie sunt mărimi calculate icircn raport cu axele
secțiunii și definite de relaţiile
119894119911 ≝ radic119868119911119860 119894119910 = radic
119868119910
119860 (411)
Se exprimă icircn [119898119898] şi sunt icircntotdeauna pozitive Semnificația unei raze de inerție
este distanța la care dacă ar fi concentrată icircntreaga arie s-ar obține același moment de
inerție ca și cel calculat pentru aria reală
44 Modulul de rezistenţă
Modulul de rezistență se calculează icircn raport cu axele de referință sau icircn raport cu
un pol figura 42 și pot fi axiale (119882119911119882119910) sau polar (119882119901) și se determină numai pe baza
momentelor de inerţie cu relațiile figura 43
119882119911119898119894119899 ≝119868119911119910119898119886119909
119882119911119898119886119909 ≝119868119911119910119898119894119899
(412)
119882119910119898119894119899 ≝119868119910
119911119898119886119909 119882119910119898119886119909 ≝
119868119910
119911119898119894119899 (413)
119882119901 ≝119868119901
120588119898119886119909 (414)
unde
119910119898119886119909 119910119898119894119899 reprezintă distanţa de la axa 119874119911 la punctele extreme cele mai
depărtate respectiv cele mai apropiate ale suprafeţei de această axă
119911119898119886119909 119911119898119894119899 reprezintă distanţa de la axa 119874119910 la punctele extreme cele mai
depărtate respectiv cele mai apropiate ale suprafeţei de această axă
120588119898119886119909 reprezintă distanța maximă de la polul 119874 la punctul secțiunii cel mai
icircndepărtat de acesta
Fig 43 Suprafață dreptunghiulară cu două arii elementare 119889119860
Modulele de rezistenţă se exprimă icircn [1198981198983] şi sunt icircntotdeauna pozitive
Explicația este aceea că momentele de inerție care intră icircn relațiile de definiție sunt
pozitive iar distanțele la punctele extreme sunt pozitive (119910119898119886119909 119910119898119894119899 119911119898119886119909 119911119898119894119899 120588119898119886119909 se
iau icircn valoare absolută)
Icircn cazul suprafeţelor compuse modulul de rezistenţă nu se obţine prin icircnsumarea
algebrică a modulelor de rezistenţă ale suprafeţelor simple componente ci numai prin
intermediul momentului de inerţie axial calculat pentru icircntreaga secțiune
Ca și momentele de inerție modulele de rezistență se calculează numai pentru
sistemele de axe centrale
45 Momente de inerţie şi module de rezistenţă pentru suprafeţe simple
451 Secțiune dreptunghiulară
Fie suprafaţa dreptunghiulară din figura 44 de icircnălțime ℎ și lățime 119887 pe care se
consideră suprafaţă elementară de arie 119889119860 = 119887119889119910 la distanța 119910 de axa 119862119911 sistemul de
axe 119911119862119910 trece prin centrul secțiunii iar axele sunt axe de simetrie pentru dreptunghi
Fig 44 Suprafață dreptunghiulară
Pe baza relațiilor de definiți a momentului de inerție 119868119911 se obține
119868119911 ≝ int 1199102 ∙ 119889119860
119860
= int 1199102 ∙ 119887 ∙ 119889119910 = 2int 1199102 ∙ 119887 ∙ 119889119910 = 2 ∙ 119887 ∙1199103
3|ℎ 2frasl
0rArr
ℎ 2frasl
0
ℎ 2frasl
minusℎ 2frasl
rArr 119868119911 =119887 ∙ ℎ3
12
(415)
Analog pentru un element de arie 119889119860 = ℎ ∙ 119889119911 paralel cu axa 119862119910 situat la distanța
119911 de axa 119862119910
119868119910 ≝ int 1199112 ∙ 119889119860
119860
= int 1199112 ∙ ℎ ∙ 119889119911 = 2int 1199112 ∙ ℎ ∙ 119889119910 = 2 ∙ ℎ ∙1199113
3|119887 2frasl
0rArr
119887 2frasl
0
119887 2frasl
minus119887 2frasl
rArr 119868119910 =1198873 ∙ ℎ
12
(416)
Deoarece axele 119862119911 și 119862119910 sunt axe de simetrie momentul de inerție centrifugal este
119868119911119910 = 0 (417)
Pentru un pătrat avacircnd laturile egale (ℎ = 119887 = 119886) momentele de inerţie faţă de
axele centrale au expresia
119868119911 = 119868119910 =1198864
12 (418)
Modulele de rezistență axiale se calculează cu relațiile de definiție ținacircnd cont că
distanțele pacircnă la fibrele extreme sunt
119910119898119886119909 = 119910119898119894119899 =ℎ
2 119911119898119886119909 = 119911119898119894119899 =
119887
2 (419)
Obținem
119882119911119898119894119899 = 119882119911119898119886119909 =119868119911
119910119898119886119909119898119894119899=119887 ∙ ℎ3
12frasl
ℎ2frasl
=119887 ∙ ℎ2
6
119882119910119898119894119899 = 119882119910119898119886119909 =119868119910
119911119898119886119909119898119894119899=1198873 ∙ ℎ
12frasl
1198872frasl
=1198872 ∙ ℎ
6
(420)
452 Suprafaţă circulară
Din motive de simetrie pentru suprafeţele circulare momentele de inerţie faţă de
orice diametru (care reprezintă şi axe centrale) sunt aceleaşi
Considerăm o secțiune circulară plină cu diametrul 119889 și centrul de greutate 119862 Prin
centrul de greutate 119862 trece sistemul de axe ortogonal 119911119862119910 figura 45
Fig 45 Suprafață circulară
La distanța de centrul de greutate 119862 vom lua un element de suprafață mic de arie
(119889119860) de forma unui inel de grosime 119889 Elementul de arie 119889119860 are expresia
119889119860 = (2 ∙ 120587 ∙ 120588) ∙ (119889120588)
Pornind de la relația de definiție a momentului de inerție polar obținem
119868119901 ≝ int 1205882 ∙ 119889119860
119860
= int 1205882 ∙ (2 ∙ 120587 ∙ 120588) ∙ 119889120588
119903=119889 2frasl
0
= 2 ∙ 120587 ∙1205884
4|119889 2frasl0 rArr
rArr 119868119901 =120587 ∙ 1198894
32
(421)
Secțiunea este perfect simetrică deci sunt valabile relațiile
119868119911 = 119868119910 rArr 119868119901 = 119868119911 + 119868119910 = 2 ∙ 119868119911 = 2 ∙ 119868119910 =119868119901
2=120587 ∙ 1198894
64 (422)
Și modulele de rezistenţă faţă de orice diametru sunt egale şi se calculează cu
relaţiile
119882119911 = 119882119910 =1198681199111198892frasl=120587 ∙ 1198893
32 (423)
Modulul de rezistenţă polar este
119882119901 =1198681199011198892frasl=120587 ∙ 1198893
16 (424)
453 Secţiune inelară
Calculul momentelor de inerţie axiale pentru o secţiune inelară avacircnd diametrul
interior 119889 şi diametrul exterior 119863 se determină analog pentru suprafaţa circulară plină cu
observaţia că integrala pentru calculul momentului de inerție polar 119868119901 se face icircntre
limitele 119903 = 119889 2frasl şi R= 1198632frasl (icircntre raza interioară 119903 şi raza exterioară 119877) figura 46
Se obţin relaţiile
119868119901 =120587 ∙ 1198634
32∙ [1 minus (
119889
119863)4
] =120587 ∙ 1198634
32∙ (1 minus 1198964) (425)
119868119910 = 119868119910 =120587 ∙ 1198634
64∙ [1 minus (
119889
119863)4
] =120587 ∙ 1198633
64∙ (1 minus 1198964) (426)
Fig 46 Secțiune inelară
119882119901 =120587 ∙ 1198633
16∙ [1 minus (
119889
119863)4
] =120587 ∙ 1198633
16∙ (1 minus 1198964) (427)
119882119911 = 119882119910 =120587 ∙ 1198633
32∙ [1 minus (
119889
119863)4
] =120587 ∙ 1198633
32∙ (1 minus 1198964) (428)
unde 119896 = 119889119863frasl
46 Variaţia momentelor de inerţie faţă de axe paralele
( Relațiile lui STEINER)
Se consideră o suprafaţă oarecare de arie 119860 cu elementul de arie 119889119860 și un sistemul
de axe central 119911119862119910 faţă de care se cunosc momentele de inerţie 119868119911 119868119910 119868119911119910 şi considerăm
un sistem de axe 11991111198741199101 paralele cu sistemul central figura 47 Se pune problema
determinării momentele de inerţie 1198681199111 1198681199101 11986811991111199101 faţă de sistemul de axe paralel cu sistemul
central 11991111198741199101 axe aflate la distanţele 119910119862 = 119888 respectiv 119911119862 = 119889 de acesta
461 Momente de inerţie axiale
Pe baza relaţiilor de definire şi a notaţiilor din figura 42 pentru momentele de
inerţie faţă de axele 1198741199111 1198741199101 se poate scrie
1198681199111 = int 11991012 ∙ 119889119860
119860
= int(119910 + 119888)2 ∙ 119889119860
119860
= int 1199102 ∙ 119889119860
119860
+ 2 ∙ 119888 ∙ int 119910 ∙ 119889119860
119860
+
+1198882int 119889119860
119860
rArr 1198681199111 = 119868119911 + 2 ∙ 119888 ∙ 119878119911 + 1198882 ∙ 119860 hArr 1198681199111 = 119868119911 + 119888
2 ∙ 119860
(429)
Fig 47 Variaţia momentelor de inerţie față de axe paralele
S-a ajuns la relația (429) deoarece momentul static 119878119911 este nul deoarece axa 119862119885
este axă centrală
Pentru momentul de inerție axial icircn raport cu axa 1198741199101 se obține
1198681199101 = int 11991112 ∙ 119889119860
119860
= int(119911 + 119889)2 ∙ 119889119860
119860
= int 1199112 ∙ 119889119860
119860
+ 2 ∙ 119889 ∙ int 119911 ∙ 119889119860
119860
+
+1198892 ∙ int 119889119860
119860
rArr 1198681199101 = 119868119910 + 2 ∙ 119889 ∙ 119878119910 + 1198892 ∙ 119860 hArr 1198681199101 = 119868119910 + 119889
2 ∙ 119860
(430)
Pentru momentul de inerție centrifugal obținem
11986811991111199101 = int 1199101 ∙ 1199111 ∙ 119889119860
119860
= int(119910 + 119888) ∙ (119911 + 119889) ∙ 119889119860
119860
= int 119910 ∙ 119911 ∙ 119889119860 +
119860
+119888 ∙ int 119911 ∙ 119889119860
119860
+ 119889 ∙ int 119910 ∙ 119889119860
119860
rArr 11986811991111199101 = 119868119911119910 + 119888 ∙ 119889 ∙ 119860
(431)
Deoarece
int 119911 ∙ 119889119860
119860
= 119878119910 = 0 int 119910 ∙ 119889119860
119860
= 119878119911 = 0 int 119910 ∙ 119911 ∙ 119889119860
119860
= 119868119911119910
Relaţiile (429) şi (430) arată că momentul de inerţie faţă de o axă oarecare
este egal cu momentul de inerţie faţă de o axă paralelă cu ea trecacircnd prin centrul de
greutate la care se adaugă produsul dintre aria suprafeţei şi pătratul distanţei dintre
cele două axe
Din relaţiile (429) și (430) rezultă de asemenea că momentul de inerţie faţă de o
axă centrală (care trece prin centrul de greutate) este cel mai mic dintre infinitatea de
momente de inerţie obținute faţă de alte axe paralele cu ea
Relaţia (431) arată de asemenea că momentul de inerţie centrifugal faţă de un
sistem de axe oarecare este egal cu momentul de inerţie centrifugal faţă de un sistem
paralele cu el trecacircnd prin centrul de greutate a suprafeţei la care se adaugă produsul
dintre aria suprafeţei şi distanţele dintre axele sistemelor respective
Icircn literatura de specialitate relaţiile (429) (430) şi (431) sunt cunoscute sub
numele de relaţiile lui Steiner
47 Variaţia momentrlor de inerţie faţă de axe rotite
Direcţii principale şi momente de inerţie principale
Fie suprafaţa plană din figura 48 de arie 119860 pe care considerăm o suprafaţă
elementară de arie 119889119860 Pentru sistemul de axe 119911119874119910 se cunosc momentele de inerţie
119868119911 119868119910 119868119911119910 şi vom determina relaţiile de calcul pentru momentele de inerţie afererent unui
sistem de axe 11991111198741199101 rotit cu un unghi faţă de sistemul central
Faţă de sistemul de axe 11991111198741199101 elementul de arie 119889119860 are coordonatele
1199101 = 119875119877 = 119875119876 minus 119877119876 = 119910 ∙ cos 120572 minus 119911 ∙ sin 120572
1199111 = 119873119872 = 119873119875 minus 119875119872 = 119911 ∙ cos 120572 + 119910 ∙ sin 120572 (432)
Fig 47 Variaţia momentelor de inerţie față de axe rotite
Pe baza relaţiilor de calcul ale momentelor de inerţie şi a notaţiilor din figura 42
şi ale relaţiilor (432) momentele de inerţie faţă de sistemul de axe rotit 11991111198741199101 sunt
1198681199111 =119868119911 + 119868119910
2+119868119911 minus 119868119910
2∙ cos 2120572 minus 119868119911119910 ∙ sin 2120572 (433)
1198681199101 =119868119911 + 119868119910
2minus119868119911 minus 119868119910
2∙ cos 2120572 + 119868119911119910 ∙ sin 2120572 (434)
11986811991111199101 =119868119911 minus 119868119910
2∙ sin 2120572 + 119868119911119910 ∙ cos 2120572 (435)
Din relaţiile 433divide435 se observă că icircntre momentele de inerţie axiale şi cele
polare există relaţia
1198681199111 + 1198681199101 = 119868119911 + 119868119910 = 119868119901 (436)
adică suma momentelor de inerţie axiale icircn raport cu orice pereche de axe ortogonale
care trec printr-un pol dat este o constantă şi egală cu momentul de inerţie polar
Prin rotirea sistemului de axe din relaţiile 433divide435 rezultă că momentele de inerţie
variază icircnsă suma lor rămacircne constantă deci există o poziţie a sistemului de axe pentru
care momentele de inerţie au valori extreme maxim respectiv minim
471 Direcţii principale de inerţie
Valoarea unghiului 120572 pentru care momentele de inerţie axiale au valori extreme
este
1205721 =1
2∙ 119886119903119888119905119886119899 (minus
2 ∙ 119868119911119910
119868119911 minus 119868119910) (437)
Poziţia celeilalte direcţii este perpendiculară pe cea dată de unghiul 1205721
Din relaţia (437) se constată că faţă de aceste direcţii rotite pentru care momentele
de inerţie axiale prezintă valori extreme momentul de inerţie centrifugal 11986811991111199101este nul
Atunci se poate afirma că momentele de inerţie axiale au valori extreme icircn raport cu
direcţiile faţă de care momentul de inerţie centrifugal este nul Aceste direcţii se numesc
direcţii principale iar momentele de inerţie faţă de aceste direcţii poartă numele de
momente de inerţie principale
Icircn calculele de rezistenţă interesează icircn mod special poziţia direcţiilor principale
care trec prin centrul de greutate al suprafeţei aşa numitele direcţii principale centrale şi
evident momentele de inerţie principale centrale
Direcţiile principale de inerţie se notează cu 1 respectiv 2 Axa principală 1
corespunde direcţiei faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea maximă iar
axa principală 2 pentru direcţia faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea
minimă
472 Momente de inerţie principale
Momentele de inerţie principale se notează cu litera 119868 la care se pune indicele 1
sau 2 după cum valoarea acestuia este maximă sau minimă deci avem un moment de
inerţie principal 1 (notat 1198681) respectiv moment de inerţie principal 2 (notat 1198682)
Expresiile pentru momentele de inerţie principale sunt
11986812 =119868119911 + 119868119910
2plusmn1
2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)
2+ 4 ∙ (119868119911119910)
2 (438)
Dacă momentul de inerţie centrifugal este negativ (119868119911119910 lt 0) direcţia principală
care trece prin primul cadran (definit de sistemul 119911119862119910) este direcţia principală 120783
Pentru suprafeţele cu cel puţin o axă de simetrie direcţiile centrale 119862119911 119862119910 sunt şi
direcții principale de inerţie și evident momentele de inerţie axiale 119868119911 119868119910 sunt momente
de inerţie principale
48 Caracteristici mecanice ale metalelor
Alegerea materialului pentru confecţionarea unei anumite piese se face şi pe baza
aşa numitelor caracteristici mecanice pe care le prezintă materialul Cunoaşterea acestor
caracteristici mecanice are loc numai pe baza unor icircncercări mecanice care să scoată icircn
evidenţă comportarea materialului icircn condiţii de solicitare
Cea mai utilizată icircncercare icircn urma căreia se pun icircn evidenţă caracteristicile
mecanice ale unui material este icircncercarea la tracţiune
481 Icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general
Icircncercarea la tracţiune a oţelului ca de altfel toate icircncercările de materiale este
standardizată
Icircn cele ce urmează se va prezenta numai partea care interesează strict din punct
de vedere al caracteristicilor mecanice ale oţelului
Epruveta de diametru iniţial 1198890 pentru icircncercarea la tracţiune are o porţiune de
lungime 1198710 numită baza de măsurare pe care se măsoară lungirea acesteia sub acţiunea
solicitării
Icircn funcţie de raportul dintre baza de măsurare 1198710 şi diametrul iniţial 1198890 epruvetele
utilizate pentru icircncercări sunt
epruvete normale (scurte) cacircnd 11987101198890 = 5
epruvete lungi cacircnd 11987101198890 = 10
Icircn timpul icircncercării la diferite valori ale forţei 119865 se măsoară lungirea bazei de
măsurare
∆119871 = 120575 = 119871 minus 1198710 (439)
unde
119871 este dimensiunea bazei de măsurare la un moment dat
Curba forţă-lungire (119865 minus ) icircnregistrată icircn urma icircncercării reprezintă curba
caracteristică la tracţiune
La icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general diagrama caracteristică care se
obţine are forma din figura 48
Curba caracteristică la tracţiune depinde de lungimea bazei de măsurare Pentru
icircnlăturarea acestui neajuns curba caracteristică se reprezintă icircn coordonate şi definite
astfel
120590 =119865
1198600 휀 =
120575
1198710 (440)
unde
1198600 este aria iniţială a secţiunii transversale a epruvetei (icircnainte de solicitare) icircn
zona bazei de măsurare
1198600 =120587 ∙ 1198890
2
4
Deoarece mărimile icircn care se reprezintă curba caracteristică la tracţiune sunt
raportate la aria iniţială a secţiunii transversale (mărimi specifice) curba poartă numele
de curbă caracteristică convenţională la tracţiune
Fig 48 Curba caracteristică convenţională la tracțiune
Pe curba caracteristică convenţională la tracţiune figura 48 se pot stabili o serie
de puncte cărora le corespund mai multe mărimi importante
Ordonata punctului A pacircnă unde curba caracteristică convenţională este linie
dreaptă se numeşte limita de proporţionalitate a materialului 120590119901(1205901) Porţiunea 119874119860 este
zona de proporţionalitate a curbei caracteristice pe acest domeniu este valabilă legea lui
Hooke care exprimă o proporţionalitate icircntre tensiune şi deformaţie specifică
120590 = 119864 ∙ 휀 (441)
unde
119864 = reprezintă panta porţiunii liniare a curbei convenționale caracteristice
la tracțiune Caracteristica de material 119864 se numeşte modul de elasticitate longitudinal
(modulul lui Young)
Ordonata punctului 119861 pacircnă unde materialul se comportă perfect elastic adică
după descărcare icircşi recapătă dimensiunea iniţială 1198710 se numeşte limita de elasticitate
120590119890(119877119890) Icircn realitate nici un material nu are comportare perfect elastică sub acţiunea
solicitărilor el capătă deformaţii permanente (remanente plastice)
După punctul 119861 urmează o porţiune 119861119862119863 icircn care cu toate că icircncărcarea
continuă forţa nu mai creşte avacircnd mici oscilaţii icircn jurul unei valori Se spune că icircn
această porţiune materialul curge iar intervalul 119861119862119863 este un palier de curgere Tensiunea
corespunzătoare palierului de curgere se numeşte limită de curgere aparentă 120590119888(119877119888) Limita de curgere aparentă se calculează cu relaţia
120590119888 =1198651198881198600 (442)
unde
119865119888 reprezintă valoarea forţei icircnregistrată icircn momentul curgerii materialului
După punctul 119863 curba caracteristică are un traseu ascendent pacircnă icircn punctul 119864
Porţiunea 119863119864 este numită zonă de icircntărire (ecruisare) Icircn zona de ecruisare unde se
produc deformaţii plastice semnificative legea lui Hooke nu mai este valabilă La
descărcare relaţia dintre tensiunea şi deformaţia specifică este liniară paralelă cu
porţiunea liniară a curbei caracteristice (dreapta 119872119873)
Deformaţia totală (휀119905) are două componente una elastică (휀119890) şi una plastică (휀119901)
Ordonata punctului 119864 reprezintă rezistenţa de rupere 120590119903(119877119898) a materialului
care se poate calcula cu relaţia
120590119903 = 119877119898 =1198651198981198861199091198600
(443)
unde
119865119898119886119909 reprezintă valoarea maximă a forţei icircnregistrată icircn timpul icircncercării
La atingerea valorii 119865119898119886119909 (punctul 119864) icircntr-un anumit loc al epruvetei secţiunea
icircncepe să se micşoreze (se produce gacirctuirea) continuacircnd pacircnă cacircnd se produce ruperea
totală (punctul 119865)
Dacă după ruperea epruvetei cele două părţi rezultate se aşează cap la cap şi se
măsoară dimensiunea bazei de măsurare 119871119906 (lungimea ultimă) se determină alungirea la
rupere sau lungirea specifică la rupere 휀119903
휀119903 =119871119906 minus 11987101198710
=∆119871
1198710=120575
1198710 (444)
De obicei alungirea se exprimă icircn procente şi se notează cu 119860119899 unde 119899 reprezintă
numărul dat de raportul 11987101198890 (epruvete normale 119899 = 5 epruvete lungi 119899 = 10)
119860119899 =119871119906 minus 11987101198710
∙ 100 [] (445)
Altă mărime care se determină la icircncercarea la tracţiune este gacirctuirea la rupere
(exprimată de obicei icircn procente) şi definită de relaţia
119885 =1198600 minus 1198601199061198600
∙ 100 [] (446)
Mărimile determinate limita de proporţionalitate modulul de elasticitate
longitudinal limita de elasticitate limita de curgere aparentă rezistenţa de rupere
alungirea la rupere şi gacirctuirea la rupere sunt cunoscute ca fiind caracteristici mecanice
ale materialului
Din curba caracteristică convenţională observăm faptul că ruperea (punctul 119865 din
figura 48 se produce la o tensiune mai mică decacirct cea corespunzătoare punctului 119864 Dacă
icircnsă forţa din timpul icircncercării s-ar raporta la aria secţiunii din momentul icircnregistrării
forţei (care este mai mică decacirct cea iniţială 1198600) s-ar obţine aşa numita curbă
caracteristică reală a materialului (traseul 1198741198601198611198621198631198651 din figura 48) La curba
caracteristică reală ruperea se produce icircn punctul 1198651 la o icircncărcare mai mare decacirct cea
corespunzătoare punctului 119864 Icircnseamnă că rezistenţa reală la rupere este mai mare decacirct
rezistenţa la rupere dată de punctul 119864 din diagrama caracteristică convenţională
Dificultatea obţinerii diagramei caracteristice reale faţă de cea a diagramei caracteristice
convenţionale şi considerarea unei rezistenţe la rupere mai mică decacirct a celei reale face
icircn practică utilizarea pe scară mare a diagramei caracteristice convenţionale
Caracteristicile mecanice determinate pe baza curbei caracteristice convenţionale
sunt şi ele caracteristici mecanice convenţionale
Caracteristicile mecanice convenţionale limita de proporţionalitate convenţională
120590119901 limita de elasticitate convenţională 120590119890 limita de curgere convenţională 120590119888 şi rezistenţa
de rupere 120590119903 constituie tensiuni limită pentru un material Pe baza acestor caracteristici
de material se alege valoarea tensiunii admisibile 120590119886 (vezi paragraful 35) pentru
calculele de rezistenţă Cea mai utilizată stare limită pentru stabilirea tensiunii admisibile
120590119886 este limita de curgere convenţională 120590119888
120590119886 =120590119897119894119898119888
=120590119888119888 119904119886119906 120590119886 =
120590119903119888 (447)
Caracteristicile mecanice ale materialului sunt influenţate de o serie de factori
temperatura viteza de solicitare factorii tehnologici iar valorile lor sunt date icircn tabele și
diagrame
Aplicaţie Pentru suprafaţa plană compusă din două dreptunghiuri avacircnd
dimensiunile din figura 49a să se calculeze
a) centrul de greutate al secțiunii compuse 119910119866 119911119866
b) momentele de inerție axiale 119868119911 119868119910 și momentul de inerție centrifugal 119868119911119910
c) razele de inerție 119894119911 119894119910
d) modulele de rezistență 119882119911119898119894119899 119882119911119898119886119909 119882119910119898119894119899 119882119910119898119886119909
e) momentele de inerție principale 1198681 1198682 și direcțiile principale de inerție 1205721
f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 119878119911
Fig 49 Aplicație
Rezolvare Pentru rezolvare vom parcurge următoarele etape
icircmpărțim suprafața compusă icircn două suprafețe simple (dreptunghiuri) notate cu
① și respectiv ② figura 49b
poziționăm centrele de greutate a celor două suprafețe simple ① și respectiv ②
notate cu 1198661 și respectiv 1198662 figura 49c
poziționăm sistemele de axe de coordonate 119911111986611199101 pentru dreptunghiul ① și
119911211986621199102 pentru dreptunghiul ② aflate la intersecția diagonalelor figura 49c
poziționăm sistemele de axe de coordonate 11991101198741199100 ales arbitrar față de care
determinăm poziția centrului de greutate 119866 figura 49c
a) calculăm poziția centrului de greutate folosind relațiile (46) icircn care
1198601 = 6119905 ∙ 119905 = 61199052 1198602 = 4119905 ∙ 119905 = 41199052 119860 = 1198601 + 1198602 = 61199052 + 41199052 = 101199052
iar centrele de greutate 1198661 și respectiv 1198662 au coordonatele (față de sistemul 11991101198741199100)
1198661 1199101 = 3119905 1199111 = 05119905
1198662 1199102 = 051199051199112 = 3119905
cu acestea obținem
119910119866 =1198601 ∙ 1199101 + 1198602 ∙ 1199102
119860=61199052 ∙ 3119905 + 41199052 ∙ 05119905
101199052=201199053
101199052= 2119905
119911119866 =1198601 ∙ 1199111 + 1198602 ∙ 1199112
119860=61199052 ∙ 05119905 + 41199052 ∙ 3119905
101199052=151199053
101199052= 15119905
Poziționăm centrul de greutate 119866 al suprafeței compuse figura 49c
Fig 49 Aplicație
b) pentru determinarea momentelor de inerție axiale 119868119911 119868119910 și a momentului de
inerție centrifugal 119868119910119911 determinăm constantele 1198881 1198882 1198891 1198892 care intervin icircn relația lui
Stainer
1198881 = 1199101 minus 119910119866 = 3119905 minus 2119905 = 119905 1198882 = minus(119910119866 minus 1199102) = minus(2119905 minus 05119905) = minus15119905
1198891 = minus(119911119866 minus 1199111) = minus(15119905 minus 05119905) = minus119905 1198892 = 1199112 minus 119911119892 = 3119905 minus 15119905 = 15119905
Folosind relațiile lui Stainer (429) (430) și (431) calculăm momentele de
inerție axiale și centrifugale față de sistemul central 119911119866119866119910119866
119868119911 =sum(119868119911119894 + 1198881198942 ∙ 119860119894) = 1198681199111 + 1198881
2 ∙ 1198601 + 1198681199112 + 11988822 ∙ 1198602
119868119910 =sum(119868119910119894 + 1198891198942 ∙ 119860119894) = 1198681199101 + 1198891
2 ∙ 1198601 + 1198681199102 + 11988922 ∙ 1198602
119868119911119910 =sum(119868119911119894119910119894 + 119888119894 ∙ 119889119894 ∙ 119860119894) = 11986811991111199101 + 1198881 ∙ 1198891 ∙ 1198601 + 11986811991121199102 + 1198882 ∙ 1198892 ∙ 1198602
1198681199111 = (119887 ∙ ℎ3
12) =
119905 ∙ (6119905)3
12= 181199054 1198681199112 = (
119887 ∙ ℎ3
12) =
4119905 ∙ 1199053
12= 031199054
1198681199101 = (1198873 ∙ ℎ
12) =
1199053 ∙ 6119905
12= 051199054 1198681199102 = (
1198873 ∙ ℎ
12) =
(4119905)3 ∙ 119905
12= 531199054
11986811991111199101 = 11986811991121199102 = 0 deoarece cele două triunghiuri au cel puțin o axă de simetrie
Cu acestea momentele de inerție axiale și momentul de inerție centrifugal devin
119868119911 = 181199054 + 1199052 ∙ 61199052 + 031199054 + (minus15119905)2 ∙ 41199052 = 3331199054
119868119910 = 051199054 + (minus119905)2 ∙ 61199052 + 531199054 + (15119905)2 ∙ 41199052 = 2081199054
119868119911119910 = 0 + 119905 ∙ (minus119905) ∙ 61199052 + 0 + (minus15119905) ∙ (15119905) ∙ 41199052 = minus151199054
c) razele de inerție sau de girație față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910
se calculează cu relațiile (411)
119894119911 = radic119868119911119860= radic
3331199054
101199052= 182119905 119894119910 = radic
119868119910
119860= radic
2081199054
101199052= 144119905
d) modulele de rezistență față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910 se
calculează cu relațiile (412) și (413)
Avacircnd icircn vedere figura 419c obținem
119910119898119886119909 = 6119905 minus 119910119866 = 6119905 minus 2119905 = 4119905 119910119898119894119899 = minus119910119866 = minus2119905
119911119898119886119909 = 5119905 minus 119911119866 = 5119905 minus 15119905 = 35119905 119911119898119894119899 = minus119911119866 = minus15119905
Se obține astfel
119882119911119898119894119899 =119868119911
|119910119898119886119909|=3331199054
4119905= 8331199053
119882119911119898119886119909 =119868119911
|119910119898119894119899|=3331199054
2119905= 16651199053
119882119910119898119894119899 =119868119910
|119911119898119886119909|=2081199054
35119905= 5941199053
119882119910119898119886119909 =119868119910
|119911119898119894119899|=2081199054
15119905= 13871199053
e) momentele de inerție principale 1198681 și respectiv 1198682 se calculează cu relațiile
(438)
11986812 =119868119911 + 119868119910
2plusmn1
2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)
2+ 4 ∙ (119868119911119910)
2=
=3331199054 + 2081199054
2plusmn1
2∙ radic(3331199054 minus 2081199054)2 + 4 ∙ (minus151199054)2 = 27051199054 plusmn 16251199054
De unde obținem
1198681 = 27051199054 + 16251199054 = 4331199054
1198682 = 27051199054 minus 16251199054 = 1081199054
Prima direcție principală de inerție 1 face cu axa centrală 119866119911 unghiul 1205721 dat de
relația (437)
1205721 =1
2∙ arctan (minus
2 ∙ 119868119911119910
119868119911 minus 119868119910) =
1
2∙ arctan [minus
2 ∙ (minus151199054)
3331199054 minus 2081199054] =33 70
Deoarece 1205721 gt 0 rotirea axelor se face acircn sens antiorar acelor de ceasornic figura
49d
Poziția axe principale 2 față de care momentul de inerție are valoarea minimă
1198682 = 119868119898119894119899 este dată de unghiul
1205722 = 1205721 + 900 = 33 70 + 900 = 123 70
f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 se determină cu relația
(45)
1198781199111198602 = 1198602 ∙ 1198882 = 41199052 ∙ (minus15119905) = minus61199053
Ipoteza lui Bernoulli sau ipoteza secţiunilor plane precizează că o secţiune
plană şi normală pe axa barei icircnainte de deformare rămacircne plană şi normală pe axa
barei şi după deformare figura 313
Fig 313 Ipoteza lui Bernoulli
Ipoteza stării naturale a corpului sau ipoteza absenţei tensiunilor conform
căreia pentru un corp nesolicitat starea de tensiune şi deformaţie este nulă
Perfecţionarea mijloacelor de calcul şi de investigare pot conduce la renunţarea la
unele ipoteze sau la introducerea altora noi mai aproape de stările reale De aici rezultă
caracterul de continuă perfecţionare a metodelor Rezistenţei Materialelor
35 Coeficienţi de siguranţă Tensiuni admisibile
O piesă corespunde din punct de vedere tehnic dacă tensiunile care iau naştere icircn
interiorul piesei datorită sarcinilor aplicate nu depăşesc anumite valori limită stabilite
convenţional Aceste valori limită ale tensiunii sunt corelate cu caracteristicile mecanice
ale materialelor
Tensiunea limită utilizată icircn calculele de rezistenţă este cunoscută sub denumirea
de tensiune admisibilă sau rezistenţă admisibilă Rezistenţa admisibilă reprezintă
valoarea convenţională aleasă icircn calcul pe baza practicii pentru tensiunea maximă care
poate apare icircntr-o piesă icircn condiţii date de material şi solicitare
Rezistenţa admisibilă (120590119886 sau 120591119886) poate fi definită faţă de o stare limită
periculoasă stare care trebuie evitată deoarece poate conduce distrugere
120590119886 =120590119897119894119898119888
(326)
unde
120590119897119894119898 este tensiunea corespunzătoare stării limită periculoase
119888 estesupraunitar 119888 gt 1 și reprezintă coeficientul de siguranţă faţă de starea limită
periculoasă considerată
Alegerea unor valori inferioare pentru rezistenţa admisibilă faţă de tensiunea
corespunzătoare stării limită periculoase este necesară deoarece
cunoaşterea sarcinilor este de cele mai multe ori aproximativă şi o depăşire a
acestora este foarte posibilă
caracteristicile mecanice ale materialelor variază icircn limite destul de mari ele
fiind influenţate de mulţi factori
schema aleasă pentru calcul (aplicarea sarcinilor schematizarea structurii
ipotezele de calcul etc) depărtează modelul faţă de cel real
Pentru calculele de verificare tensiunea efectivă maximă din elementul de
rezistenţă trebuie să fie mai mică sau cel mult egală cu cea admisibilă
120590119890119891119898119886119909 le 120590119886 (327)
Valoarea rezistenţei admisibile este influenţată de foarte mulţi factori natura
materialului tratamentele termice aplicate piesei durata de funcţionare a piesei modul
de acţionare icircn timp a sarcinilor felul solicitării temperatura gradul de periculozitate
icircn cazul cedării piesei etc
De asemenea valoarea coeficientului de siguranţă se alege icircn principal ţinacircnd
seama de aceiaşi factori care influenţează şi rezistenţa admisibilă
Rezistenţele admisibile pentru cacircteva materiale sunt următoarele
pentru oțelul de uz general OL37 solicitat la icircntindere compresiune sau
icircncovoiere 120590119886 = 150 [119872119875119886] pentru lemnul de brad solicitat la
- compresiune icircn lungul fibrelor şi solicitat la icircncovoiere 120590119886 = 10 [119872119875119886] - tracţiune icircn lungul fibrelor 120590119886 = 7 [119872119875119886] - compresiune perpendiculară pe fibre 120590119886 = 15 [119872119875119886] - forfecare icircn lungul fibrelor 120591119886 = 2 [119872119875119886] - forfecare perpendiculară pe fibre 120590119886 = 45 [119872119875119886]
terenuri de fundaţie din pămacircnt uscat sau umed 120590119886 = 020 divide 025 [119872119875119886]
4 CARACTERISTICI GEOMETRICE ALE SECȚIUNILOR PLANE
41 Noţiuni introductive
Icircn relaţiile de calcul ale tensiunilor şi deformaţiilor elementelor de rezistenţă
pentru unele solicitări (icircncovoierea și torsiunea) secțiunile plane intervin atacirct prin
dimensiunile lor (aria 119860) cicirct și prin forma și poziția pe care o are secțiunea icircn raport cu
planul solicitării Mărimile care caracterizează o secțiune icircn raport cu forma și poziția față
de axele unui sistem de referință sunt denumite caracteristici geometrice de ordin
superior Aria secțiunii este caracteristica geometrică ce depinde doar de dimensiunile
geometrice ale acesteia
Să considerăm o grindă solicitată de o forță exterioară 119865 aşezată icircn două poziții icircn
raport cu planul forţei figura 41 Icircn urma aplicării forței deși avem aceeași grindă
(aceeași arie a secțiunii transversale) și aceeași forță se constată că pentru varianta din
figura 41a deformațiile sunt mult mai mari adică rezistența la icircncovoiere a grinzii din
figura 41a este mai mare decacirct icircn cazul grinzii din figura 41b Comportarea diferită se
explică prin aceea că modificarea poziţiei secţiunii transversale faţă de planul forţelor
modifică caracteristicile geometrice ale secţiunii transversale a grinzii
Fig 41 Grindă solicitată de forța 119865
Pentru realizarea calculelor de rezistenţă şi rigiditate este foarte importantă
cunoaşterea caracteristicilor geometrice ale suprafeţei secţiunii transversale a elementelor
de rezistenţă
Caracteristicile geometrice ale secţiunii transversale a unui element de rezistenţă
sunt
- aria secțiunii notată cu 119860
- momentul static icircn raport cu o axă notat 119878119911 și respectiv 119878119910
- momentul de inerție care poate fi
axial notat 119868119911 și respectiv 119868119910
centrifugal notat 119868119911119910
polar notat 119868119901
- raza de inerţie (giraţie)notată 119894119911 și respectiv 119894119910
- modulul de rezistență care poate fi
axial notat 119882119911 și respectiv 119882119910
polar notat 119882119901
42 Aria și momentul static al suprafețelor plane
Fie o suprafaţă plană de arie 119860 pe care se ia un element infinit mic de arie 119889119860 şi
un sistem de axe rectangulare 119911119874119910 figura 42 Notăm cu 119862 centrul de greutate al suprafeţei
119860 Poziţia suprafeţei elementare 119889119860 faţă de acelaşi sistem de coordonate 119911119874119910 este dată
de abscisa 119911 ordonata 119910 și raza polară
Fig 42 Suprafață plană de arie 119860
Aria suprafeţei 119860 figura 42 se defineşte ca fiind
119860 ≝ int 119889119860
119860
(41)
Aria suprafeţei este icircntotdeauna pozitivă și se măsoară icircn [1198981198982] Momentul static al suprafeţei de arie 119860 icircn raport cu axele 119874119911 și respectiv 119874119910
figura 42 sunt date de relaţiile
119878119911 ≝ int 119910 ∙ 119889119860
119860
119878119910 ≝ int 119911 ∙ 119889119860
119860
(42)
Momentul static poate fi pozitiv negativ sau nul şi se măsoară icircn [1198981198983] Coordonatele centrului de greutate ale suprafeței 119860 se detrmină cu relațiile
119910119862 ≝int 119910 ∙ 119889119860119860
119860 119911119862 ≝
int 119911 ∙ 119889119860119860
119860
(43)
Cunoscacircnd coordonatele 119910119862 și 119911119862 ale centrului de greutate 119862 al secțiunii 119860 atunci
momentele statice se pot determina cu relațiile
119878119911 ≝ int 119910 ∙ 119889119860
119860
= 119910119862 ∙ 119889119860 119878119910 ≝ int 119911 ∙ 119889119860
119860
= 119911119862 ∙ 119889119860 (44)
Aceste relații arată că momentul static al unei suprafețe icircn raport cu o axă este
egal cu produsul dintre aria suprafeței și distanța de la centrul ariei la axa respectivă
Dacă suprafaţa se poate descompune icircn 119899 suprafeţe simple la care se cunosc ariile
(1198601 1198602 ⋯ 119860119894⋯ 119860119899) și poziţiile centrelor de greutate 119862119894 faţă de sistemul de referinţă
expresiile momentelor statice capătă următoarea formă
119878119911 = sum 119910119862119894 ∙ 119860119894119899119894=1 = 119910119862 ∙ 119860 119878119910 = sum 119911119862119894 ∙ 119860119894
119899119894=1 = 119911119862 ∙ 119860 (45)
Din relaţiile (45) rezultă că poziţia centrului de greutate 119862 al unei suprafeţe
compuse poate fi determinată cu relaţiile
119910119862 = (sum119910119862119894 ∙ 119860119894
119899
119894=1
) 119860frasl 119911119862 = (sum119911119862119894 ∙ 119860119894
119899
119894=1
) 119860frasl (46)
Icircn relația (45) 119910119862119894 și respectiv 119911119862119894 reprezintă coordonatele centrelor de greutate 119862119894
ale fiecărei suprafețe simple 119860119894 icircn raport sistemul de axe 119911119874119910
Se constată (relaţia 42) că dacă axele sistemului de referinţă trec prin centrul de
greutate (119910119862 = 119911119862 = 0) momentele statice sunt nule Axele icircn raport cu care momentele
statice sunt nule şi care trec prin centrul de greutate al suprafeţei se numesc axe centrale
Observație dacă secțiunea compusă are o axă de simetrie centrul secțiunii se
găsește pe acea axă iar dacă secțiunea este dublu simetrică poziția centrului secțiunii este
la intersecția axelor de simetrie
43 Momente de inerţie
Momentele de inerţie axiale ale unei suprafețe se calculează icircn raport cu axele de
coordonate 119874119911 și respectiv 119874119910 figura 42 și se determină cu relațiile
119868119911 ≝ int 1199102 ∙ 119889119860
119860
119868119910 ≝ int 1199112 ∙ 119889119860
119860
(47)
Unde 119910 și 119911 sunt distanțele de la elementul de arie 119889119860 la cele două axe de
coordonate 119874119911 și respectiv 119874119910
Momentele de inerţie axiale se măsoară icircn [1198981198984] şi sunt icircntotdeauna pozitive (aria
119889119860 este icircntotdeauna pozitivă și este multiplicată cu patratul distanței 1199102 dacă 119868119911 sau 119868119910
sunt nule icircnseamnă ca secțiunea nu există)
Momentele de inerție axiale se calculează icircndeosebi pentru axele centrale (care
trec prin centrul secțiunii) deoarece icircn raport cu acele axe 119868119911 și 119868119910 au valori minime
Momentul de inerţie centrifugal calculat faţă ambele axe ale sistemului de
referinţă 119911119874119910 este definit de relația
119868119911119910 ≝ int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860
(48)
Momentul de inerţie centrifugal se măsoară icircn [1198981198984] şi poate fi pozitiv negativ
sau nul
Momentul de ineție centrifugal este nul 119868119911119910 = 0 dacă cel puțin una din axele 119874119911
sau 119874119910 este axă de simetrie pentru secțiune
Se consideră o suprafaţă dreptunghiulară pe care faţă de axa de simetrie 119874119910 se iau
două suprafeţe elementare de arie 119889119860 simetrice faţă de axa 119874119910 figura 43
Fig 43 Suprafață dreptunghiulară cu două arii elementare 119889119860
Făcacircnd suma momentelor de inerţie centrifugale pentru cele două suprafeţe
elementare 119889119860 (din stacircnga şi din dreapta faţă de axa 119874119910) se obţine
int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860119889119903
+ int (minus119911) ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860119904119905119892
= int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860119889119903
minus int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860119904119905119892
= 0 (49)
Acelaşi raţionament se poate face și pentru icircntreaga suprafaţă de unde obținem că
momentul de inerție centrifugal este nul 119868119911119910 = 0 Deci pentru o suprafaţă plană care
are cel puţin o axă de simetrie momentul de inerţie centrifugal faţă de sistemul care
conţine acea axă de simetrie este nul
Momentul de inerţie polar al unei suprafeţei icircn raport cu un punct (pol) 119874 figura
42 este definit prin relaţia
1198680 = 119868119901 ≝ int 1205882 ∙ 119889119860
119860
= int(1199102 + 1199112) ∙ 119889119860
119860
= 119868119911 + 119868119910 (410)
unde este distanţa de la polul 119874 la elementul de arie 119889119860 Momentul de inerţie polar se
măsoară icircn [1198981198984] şi este totdeauna pozitiv
Momentul de inerţie polar este egal cu suma momentelor de inerţie faţă de două axe
perpendiculare oarecare şi care trec prin polul considerat
Razele de giraţie sau razele de inerţie sunt mărimi calculate icircn raport cu axele
secțiunii și definite de relaţiile
119894119911 ≝ radic119868119911119860 119894119910 = radic
119868119910
119860 (411)
Se exprimă icircn [119898119898] şi sunt icircntotdeauna pozitive Semnificația unei raze de inerție
este distanța la care dacă ar fi concentrată icircntreaga arie s-ar obține același moment de
inerție ca și cel calculat pentru aria reală
44 Modulul de rezistenţă
Modulul de rezistență se calculează icircn raport cu axele de referință sau icircn raport cu
un pol figura 42 și pot fi axiale (119882119911119882119910) sau polar (119882119901) și se determină numai pe baza
momentelor de inerţie cu relațiile figura 43
119882119911119898119894119899 ≝119868119911119910119898119886119909
119882119911119898119886119909 ≝119868119911119910119898119894119899
(412)
119882119910119898119894119899 ≝119868119910
119911119898119886119909 119882119910119898119886119909 ≝
119868119910
119911119898119894119899 (413)
119882119901 ≝119868119901
120588119898119886119909 (414)
unde
119910119898119886119909 119910119898119894119899 reprezintă distanţa de la axa 119874119911 la punctele extreme cele mai
depărtate respectiv cele mai apropiate ale suprafeţei de această axă
119911119898119886119909 119911119898119894119899 reprezintă distanţa de la axa 119874119910 la punctele extreme cele mai
depărtate respectiv cele mai apropiate ale suprafeţei de această axă
120588119898119886119909 reprezintă distanța maximă de la polul 119874 la punctul secțiunii cel mai
icircndepărtat de acesta
Fig 43 Suprafață dreptunghiulară cu două arii elementare 119889119860
Modulele de rezistenţă se exprimă icircn [1198981198983] şi sunt icircntotdeauna pozitive
Explicația este aceea că momentele de inerție care intră icircn relațiile de definiție sunt
pozitive iar distanțele la punctele extreme sunt pozitive (119910119898119886119909 119910119898119894119899 119911119898119886119909 119911119898119894119899 120588119898119886119909 se
iau icircn valoare absolută)
Icircn cazul suprafeţelor compuse modulul de rezistenţă nu se obţine prin icircnsumarea
algebrică a modulelor de rezistenţă ale suprafeţelor simple componente ci numai prin
intermediul momentului de inerţie axial calculat pentru icircntreaga secțiune
Ca și momentele de inerție modulele de rezistență se calculează numai pentru
sistemele de axe centrale
45 Momente de inerţie şi module de rezistenţă pentru suprafeţe simple
451 Secțiune dreptunghiulară
Fie suprafaţa dreptunghiulară din figura 44 de icircnălțime ℎ și lățime 119887 pe care se
consideră suprafaţă elementară de arie 119889119860 = 119887119889119910 la distanța 119910 de axa 119862119911 sistemul de
axe 119911119862119910 trece prin centrul secțiunii iar axele sunt axe de simetrie pentru dreptunghi
Fig 44 Suprafață dreptunghiulară
Pe baza relațiilor de definiți a momentului de inerție 119868119911 se obține
119868119911 ≝ int 1199102 ∙ 119889119860
119860
= int 1199102 ∙ 119887 ∙ 119889119910 = 2int 1199102 ∙ 119887 ∙ 119889119910 = 2 ∙ 119887 ∙1199103
3|ℎ 2frasl
0rArr
ℎ 2frasl
0
ℎ 2frasl
minusℎ 2frasl
rArr 119868119911 =119887 ∙ ℎ3
12
(415)
Analog pentru un element de arie 119889119860 = ℎ ∙ 119889119911 paralel cu axa 119862119910 situat la distanța
119911 de axa 119862119910
119868119910 ≝ int 1199112 ∙ 119889119860
119860
= int 1199112 ∙ ℎ ∙ 119889119911 = 2int 1199112 ∙ ℎ ∙ 119889119910 = 2 ∙ ℎ ∙1199113
3|119887 2frasl
0rArr
119887 2frasl
0
119887 2frasl
minus119887 2frasl
rArr 119868119910 =1198873 ∙ ℎ
12
(416)
Deoarece axele 119862119911 și 119862119910 sunt axe de simetrie momentul de inerție centrifugal este
119868119911119910 = 0 (417)
Pentru un pătrat avacircnd laturile egale (ℎ = 119887 = 119886) momentele de inerţie faţă de
axele centrale au expresia
119868119911 = 119868119910 =1198864
12 (418)
Modulele de rezistență axiale se calculează cu relațiile de definiție ținacircnd cont că
distanțele pacircnă la fibrele extreme sunt
119910119898119886119909 = 119910119898119894119899 =ℎ
2 119911119898119886119909 = 119911119898119894119899 =
119887
2 (419)
Obținem
119882119911119898119894119899 = 119882119911119898119886119909 =119868119911
119910119898119886119909119898119894119899=119887 ∙ ℎ3
12frasl
ℎ2frasl
=119887 ∙ ℎ2
6
119882119910119898119894119899 = 119882119910119898119886119909 =119868119910
119911119898119886119909119898119894119899=1198873 ∙ ℎ
12frasl
1198872frasl
=1198872 ∙ ℎ
6
(420)
452 Suprafaţă circulară
Din motive de simetrie pentru suprafeţele circulare momentele de inerţie faţă de
orice diametru (care reprezintă şi axe centrale) sunt aceleaşi
Considerăm o secțiune circulară plină cu diametrul 119889 și centrul de greutate 119862 Prin
centrul de greutate 119862 trece sistemul de axe ortogonal 119911119862119910 figura 45
Fig 45 Suprafață circulară
La distanța de centrul de greutate 119862 vom lua un element de suprafață mic de arie
(119889119860) de forma unui inel de grosime 119889 Elementul de arie 119889119860 are expresia
119889119860 = (2 ∙ 120587 ∙ 120588) ∙ (119889120588)
Pornind de la relația de definiție a momentului de inerție polar obținem
119868119901 ≝ int 1205882 ∙ 119889119860
119860
= int 1205882 ∙ (2 ∙ 120587 ∙ 120588) ∙ 119889120588
119903=119889 2frasl
0
= 2 ∙ 120587 ∙1205884
4|119889 2frasl0 rArr
rArr 119868119901 =120587 ∙ 1198894
32
(421)
Secțiunea este perfect simetrică deci sunt valabile relațiile
119868119911 = 119868119910 rArr 119868119901 = 119868119911 + 119868119910 = 2 ∙ 119868119911 = 2 ∙ 119868119910 =119868119901
2=120587 ∙ 1198894
64 (422)
Și modulele de rezistenţă faţă de orice diametru sunt egale şi se calculează cu
relaţiile
119882119911 = 119882119910 =1198681199111198892frasl=120587 ∙ 1198893
32 (423)
Modulul de rezistenţă polar este
119882119901 =1198681199011198892frasl=120587 ∙ 1198893
16 (424)
453 Secţiune inelară
Calculul momentelor de inerţie axiale pentru o secţiune inelară avacircnd diametrul
interior 119889 şi diametrul exterior 119863 se determină analog pentru suprafaţa circulară plină cu
observaţia că integrala pentru calculul momentului de inerție polar 119868119901 se face icircntre
limitele 119903 = 119889 2frasl şi R= 1198632frasl (icircntre raza interioară 119903 şi raza exterioară 119877) figura 46
Se obţin relaţiile
119868119901 =120587 ∙ 1198634
32∙ [1 minus (
119889
119863)4
] =120587 ∙ 1198634
32∙ (1 minus 1198964) (425)
119868119910 = 119868119910 =120587 ∙ 1198634
64∙ [1 minus (
119889
119863)4
] =120587 ∙ 1198633
64∙ (1 minus 1198964) (426)
Fig 46 Secțiune inelară
119882119901 =120587 ∙ 1198633
16∙ [1 minus (
119889
119863)4
] =120587 ∙ 1198633
16∙ (1 minus 1198964) (427)
119882119911 = 119882119910 =120587 ∙ 1198633
32∙ [1 minus (
119889
119863)4
] =120587 ∙ 1198633
32∙ (1 minus 1198964) (428)
unde 119896 = 119889119863frasl
46 Variaţia momentelor de inerţie faţă de axe paralele
( Relațiile lui STEINER)
Se consideră o suprafaţă oarecare de arie 119860 cu elementul de arie 119889119860 și un sistemul
de axe central 119911119862119910 faţă de care se cunosc momentele de inerţie 119868119911 119868119910 119868119911119910 şi considerăm
un sistem de axe 11991111198741199101 paralele cu sistemul central figura 47 Se pune problema
determinării momentele de inerţie 1198681199111 1198681199101 11986811991111199101 faţă de sistemul de axe paralel cu sistemul
central 11991111198741199101 axe aflate la distanţele 119910119862 = 119888 respectiv 119911119862 = 119889 de acesta
461 Momente de inerţie axiale
Pe baza relaţiilor de definire şi a notaţiilor din figura 42 pentru momentele de
inerţie faţă de axele 1198741199111 1198741199101 se poate scrie
1198681199111 = int 11991012 ∙ 119889119860
119860
= int(119910 + 119888)2 ∙ 119889119860
119860
= int 1199102 ∙ 119889119860
119860
+ 2 ∙ 119888 ∙ int 119910 ∙ 119889119860
119860
+
+1198882int 119889119860
119860
rArr 1198681199111 = 119868119911 + 2 ∙ 119888 ∙ 119878119911 + 1198882 ∙ 119860 hArr 1198681199111 = 119868119911 + 119888
2 ∙ 119860
(429)
Fig 47 Variaţia momentelor de inerţie față de axe paralele
S-a ajuns la relația (429) deoarece momentul static 119878119911 este nul deoarece axa 119862119885
este axă centrală
Pentru momentul de inerție axial icircn raport cu axa 1198741199101 se obține
1198681199101 = int 11991112 ∙ 119889119860
119860
= int(119911 + 119889)2 ∙ 119889119860
119860
= int 1199112 ∙ 119889119860
119860
+ 2 ∙ 119889 ∙ int 119911 ∙ 119889119860
119860
+
+1198892 ∙ int 119889119860
119860
rArr 1198681199101 = 119868119910 + 2 ∙ 119889 ∙ 119878119910 + 1198892 ∙ 119860 hArr 1198681199101 = 119868119910 + 119889
2 ∙ 119860
(430)
Pentru momentul de inerție centrifugal obținem
11986811991111199101 = int 1199101 ∙ 1199111 ∙ 119889119860
119860
= int(119910 + 119888) ∙ (119911 + 119889) ∙ 119889119860
119860
= int 119910 ∙ 119911 ∙ 119889119860 +
119860
+119888 ∙ int 119911 ∙ 119889119860
119860
+ 119889 ∙ int 119910 ∙ 119889119860
119860
rArr 11986811991111199101 = 119868119911119910 + 119888 ∙ 119889 ∙ 119860
(431)
Deoarece
int 119911 ∙ 119889119860
119860
= 119878119910 = 0 int 119910 ∙ 119889119860
119860
= 119878119911 = 0 int 119910 ∙ 119911 ∙ 119889119860
119860
= 119868119911119910
Relaţiile (429) şi (430) arată că momentul de inerţie faţă de o axă oarecare
este egal cu momentul de inerţie faţă de o axă paralelă cu ea trecacircnd prin centrul de
greutate la care se adaugă produsul dintre aria suprafeţei şi pătratul distanţei dintre
cele două axe
Din relaţiile (429) și (430) rezultă de asemenea că momentul de inerţie faţă de o
axă centrală (care trece prin centrul de greutate) este cel mai mic dintre infinitatea de
momente de inerţie obținute faţă de alte axe paralele cu ea
Relaţia (431) arată de asemenea că momentul de inerţie centrifugal faţă de un
sistem de axe oarecare este egal cu momentul de inerţie centrifugal faţă de un sistem
paralele cu el trecacircnd prin centrul de greutate a suprafeţei la care se adaugă produsul
dintre aria suprafeţei şi distanţele dintre axele sistemelor respective
Icircn literatura de specialitate relaţiile (429) (430) şi (431) sunt cunoscute sub
numele de relaţiile lui Steiner
47 Variaţia momentrlor de inerţie faţă de axe rotite
Direcţii principale şi momente de inerţie principale
Fie suprafaţa plană din figura 48 de arie 119860 pe care considerăm o suprafaţă
elementară de arie 119889119860 Pentru sistemul de axe 119911119874119910 se cunosc momentele de inerţie
119868119911 119868119910 119868119911119910 şi vom determina relaţiile de calcul pentru momentele de inerţie afererent unui
sistem de axe 11991111198741199101 rotit cu un unghi faţă de sistemul central
Faţă de sistemul de axe 11991111198741199101 elementul de arie 119889119860 are coordonatele
1199101 = 119875119877 = 119875119876 minus 119877119876 = 119910 ∙ cos 120572 minus 119911 ∙ sin 120572
1199111 = 119873119872 = 119873119875 minus 119875119872 = 119911 ∙ cos 120572 + 119910 ∙ sin 120572 (432)
Fig 47 Variaţia momentelor de inerţie față de axe rotite
Pe baza relaţiilor de calcul ale momentelor de inerţie şi a notaţiilor din figura 42
şi ale relaţiilor (432) momentele de inerţie faţă de sistemul de axe rotit 11991111198741199101 sunt
1198681199111 =119868119911 + 119868119910
2+119868119911 minus 119868119910
2∙ cos 2120572 minus 119868119911119910 ∙ sin 2120572 (433)
1198681199101 =119868119911 + 119868119910
2minus119868119911 minus 119868119910
2∙ cos 2120572 + 119868119911119910 ∙ sin 2120572 (434)
11986811991111199101 =119868119911 minus 119868119910
2∙ sin 2120572 + 119868119911119910 ∙ cos 2120572 (435)
Din relaţiile 433divide435 se observă că icircntre momentele de inerţie axiale şi cele
polare există relaţia
1198681199111 + 1198681199101 = 119868119911 + 119868119910 = 119868119901 (436)
adică suma momentelor de inerţie axiale icircn raport cu orice pereche de axe ortogonale
care trec printr-un pol dat este o constantă şi egală cu momentul de inerţie polar
Prin rotirea sistemului de axe din relaţiile 433divide435 rezultă că momentele de inerţie
variază icircnsă suma lor rămacircne constantă deci există o poziţie a sistemului de axe pentru
care momentele de inerţie au valori extreme maxim respectiv minim
471 Direcţii principale de inerţie
Valoarea unghiului 120572 pentru care momentele de inerţie axiale au valori extreme
este
1205721 =1
2∙ 119886119903119888119905119886119899 (minus
2 ∙ 119868119911119910
119868119911 minus 119868119910) (437)
Poziţia celeilalte direcţii este perpendiculară pe cea dată de unghiul 1205721
Din relaţia (437) se constată că faţă de aceste direcţii rotite pentru care momentele
de inerţie axiale prezintă valori extreme momentul de inerţie centrifugal 11986811991111199101este nul
Atunci se poate afirma că momentele de inerţie axiale au valori extreme icircn raport cu
direcţiile faţă de care momentul de inerţie centrifugal este nul Aceste direcţii se numesc
direcţii principale iar momentele de inerţie faţă de aceste direcţii poartă numele de
momente de inerţie principale
Icircn calculele de rezistenţă interesează icircn mod special poziţia direcţiilor principale
care trec prin centrul de greutate al suprafeţei aşa numitele direcţii principale centrale şi
evident momentele de inerţie principale centrale
Direcţiile principale de inerţie se notează cu 1 respectiv 2 Axa principală 1
corespunde direcţiei faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea maximă iar
axa principală 2 pentru direcţia faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea
minimă
472 Momente de inerţie principale
Momentele de inerţie principale se notează cu litera 119868 la care se pune indicele 1
sau 2 după cum valoarea acestuia este maximă sau minimă deci avem un moment de
inerţie principal 1 (notat 1198681) respectiv moment de inerţie principal 2 (notat 1198682)
Expresiile pentru momentele de inerţie principale sunt
11986812 =119868119911 + 119868119910
2plusmn1
2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)
2+ 4 ∙ (119868119911119910)
2 (438)
Dacă momentul de inerţie centrifugal este negativ (119868119911119910 lt 0) direcţia principală
care trece prin primul cadran (definit de sistemul 119911119862119910) este direcţia principală 120783
Pentru suprafeţele cu cel puţin o axă de simetrie direcţiile centrale 119862119911 119862119910 sunt şi
direcții principale de inerţie și evident momentele de inerţie axiale 119868119911 119868119910 sunt momente
de inerţie principale
48 Caracteristici mecanice ale metalelor
Alegerea materialului pentru confecţionarea unei anumite piese se face şi pe baza
aşa numitelor caracteristici mecanice pe care le prezintă materialul Cunoaşterea acestor
caracteristici mecanice are loc numai pe baza unor icircncercări mecanice care să scoată icircn
evidenţă comportarea materialului icircn condiţii de solicitare
Cea mai utilizată icircncercare icircn urma căreia se pun icircn evidenţă caracteristicile
mecanice ale unui material este icircncercarea la tracţiune
481 Icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general
Icircncercarea la tracţiune a oţelului ca de altfel toate icircncercările de materiale este
standardizată
Icircn cele ce urmează se va prezenta numai partea care interesează strict din punct
de vedere al caracteristicilor mecanice ale oţelului
Epruveta de diametru iniţial 1198890 pentru icircncercarea la tracţiune are o porţiune de
lungime 1198710 numită baza de măsurare pe care se măsoară lungirea acesteia sub acţiunea
solicitării
Icircn funcţie de raportul dintre baza de măsurare 1198710 şi diametrul iniţial 1198890 epruvetele
utilizate pentru icircncercări sunt
epruvete normale (scurte) cacircnd 11987101198890 = 5
epruvete lungi cacircnd 11987101198890 = 10
Icircn timpul icircncercării la diferite valori ale forţei 119865 se măsoară lungirea bazei de
măsurare
∆119871 = 120575 = 119871 minus 1198710 (439)
unde
119871 este dimensiunea bazei de măsurare la un moment dat
Curba forţă-lungire (119865 minus ) icircnregistrată icircn urma icircncercării reprezintă curba
caracteristică la tracţiune
La icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general diagrama caracteristică care se
obţine are forma din figura 48
Curba caracteristică la tracţiune depinde de lungimea bazei de măsurare Pentru
icircnlăturarea acestui neajuns curba caracteristică se reprezintă icircn coordonate şi definite
astfel
120590 =119865
1198600 휀 =
120575
1198710 (440)
unde
1198600 este aria iniţială a secţiunii transversale a epruvetei (icircnainte de solicitare) icircn
zona bazei de măsurare
1198600 =120587 ∙ 1198890
2
4
Deoarece mărimile icircn care se reprezintă curba caracteristică la tracţiune sunt
raportate la aria iniţială a secţiunii transversale (mărimi specifice) curba poartă numele
de curbă caracteristică convenţională la tracţiune
Fig 48 Curba caracteristică convenţională la tracțiune
Pe curba caracteristică convenţională la tracţiune figura 48 se pot stabili o serie
de puncte cărora le corespund mai multe mărimi importante
Ordonata punctului A pacircnă unde curba caracteristică convenţională este linie
dreaptă se numeşte limita de proporţionalitate a materialului 120590119901(1205901) Porţiunea 119874119860 este
zona de proporţionalitate a curbei caracteristice pe acest domeniu este valabilă legea lui
Hooke care exprimă o proporţionalitate icircntre tensiune şi deformaţie specifică
120590 = 119864 ∙ 휀 (441)
unde
119864 = reprezintă panta porţiunii liniare a curbei convenționale caracteristice
la tracțiune Caracteristica de material 119864 se numeşte modul de elasticitate longitudinal
(modulul lui Young)
Ordonata punctului 119861 pacircnă unde materialul se comportă perfect elastic adică
după descărcare icircşi recapătă dimensiunea iniţială 1198710 se numeşte limita de elasticitate
120590119890(119877119890) Icircn realitate nici un material nu are comportare perfect elastică sub acţiunea
solicitărilor el capătă deformaţii permanente (remanente plastice)
După punctul 119861 urmează o porţiune 119861119862119863 icircn care cu toate că icircncărcarea
continuă forţa nu mai creşte avacircnd mici oscilaţii icircn jurul unei valori Se spune că icircn
această porţiune materialul curge iar intervalul 119861119862119863 este un palier de curgere Tensiunea
corespunzătoare palierului de curgere se numeşte limită de curgere aparentă 120590119888(119877119888) Limita de curgere aparentă se calculează cu relaţia
120590119888 =1198651198881198600 (442)
unde
119865119888 reprezintă valoarea forţei icircnregistrată icircn momentul curgerii materialului
După punctul 119863 curba caracteristică are un traseu ascendent pacircnă icircn punctul 119864
Porţiunea 119863119864 este numită zonă de icircntărire (ecruisare) Icircn zona de ecruisare unde se
produc deformaţii plastice semnificative legea lui Hooke nu mai este valabilă La
descărcare relaţia dintre tensiunea şi deformaţia specifică este liniară paralelă cu
porţiunea liniară a curbei caracteristice (dreapta 119872119873)
Deformaţia totală (휀119905) are două componente una elastică (휀119890) şi una plastică (휀119901)
Ordonata punctului 119864 reprezintă rezistenţa de rupere 120590119903(119877119898) a materialului
care se poate calcula cu relaţia
120590119903 = 119877119898 =1198651198981198861199091198600
(443)
unde
119865119898119886119909 reprezintă valoarea maximă a forţei icircnregistrată icircn timpul icircncercării
La atingerea valorii 119865119898119886119909 (punctul 119864) icircntr-un anumit loc al epruvetei secţiunea
icircncepe să se micşoreze (se produce gacirctuirea) continuacircnd pacircnă cacircnd se produce ruperea
totală (punctul 119865)
Dacă după ruperea epruvetei cele două părţi rezultate se aşează cap la cap şi se
măsoară dimensiunea bazei de măsurare 119871119906 (lungimea ultimă) se determină alungirea la
rupere sau lungirea specifică la rupere 휀119903
휀119903 =119871119906 minus 11987101198710
=∆119871
1198710=120575
1198710 (444)
De obicei alungirea se exprimă icircn procente şi se notează cu 119860119899 unde 119899 reprezintă
numărul dat de raportul 11987101198890 (epruvete normale 119899 = 5 epruvete lungi 119899 = 10)
119860119899 =119871119906 minus 11987101198710
∙ 100 [] (445)
Altă mărime care se determină la icircncercarea la tracţiune este gacirctuirea la rupere
(exprimată de obicei icircn procente) şi definită de relaţia
119885 =1198600 minus 1198601199061198600
∙ 100 [] (446)
Mărimile determinate limita de proporţionalitate modulul de elasticitate
longitudinal limita de elasticitate limita de curgere aparentă rezistenţa de rupere
alungirea la rupere şi gacirctuirea la rupere sunt cunoscute ca fiind caracteristici mecanice
ale materialului
Din curba caracteristică convenţională observăm faptul că ruperea (punctul 119865 din
figura 48 se produce la o tensiune mai mică decacirct cea corespunzătoare punctului 119864 Dacă
icircnsă forţa din timpul icircncercării s-ar raporta la aria secţiunii din momentul icircnregistrării
forţei (care este mai mică decacirct cea iniţială 1198600) s-ar obţine aşa numita curbă
caracteristică reală a materialului (traseul 1198741198601198611198621198631198651 din figura 48) La curba
caracteristică reală ruperea se produce icircn punctul 1198651 la o icircncărcare mai mare decacirct cea
corespunzătoare punctului 119864 Icircnseamnă că rezistenţa reală la rupere este mai mare decacirct
rezistenţa la rupere dată de punctul 119864 din diagrama caracteristică convenţională
Dificultatea obţinerii diagramei caracteristice reale faţă de cea a diagramei caracteristice
convenţionale şi considerarea unei rezistenţe la rupere mai mică decacirct a celei reale face
icircn practică utilizarea pe scară mare a diagramei caracteristice convenţionale
Caracteristicile mecanice determinate pe baza curbei caracteristice convenţionale
sunt şi ele caracteristici mecanice convenţionale
Caracteristicile mecanice convenţionale limita de proporţionalitate convenţională
120590119901 limita de elasticitate convenţională 120590119890 limita de curgere convenţională 120590119888 şi rezistenţa
de rupere 120590119903 constituie tensiuni limită pentru un material Pe baza acestor caracteristici
de material se alege valoarea tensiunii admisibile 120590119886 (vezi paragraful 35) pentru
calculele de rezistenţă Cea mai utilizată stare limită pentru stabilirea tensiunii admisibile
120590119886 este limita de curgere convenţională 120590119888
120590119886 =120590119897119894119898119888
=120590119888119888 119904119886119906 120590119886 =
120590119903119888 (447)
Caracteristicile mecanice ale materialului sunt influenţate de o serie de factori
temperatura viteza de solicitare factorii tehnologici iar valorile lor sunt date icircn tabele și
diagrame
Aplicaţie Pentru suprafaţa plană compusă din două dreptunghiuri avacircnd
dimensiunile din figura 49a să se calculeze
a) centrul de greutate al secțiunii compuse 119910119866 119911119866
b) momentele de inerție axiale 119868119911 119868119910 și momentul de inerție centrifugal 119868119911119910
c) razele de inerție 119894119911 119894119910
d) modulele de rezistență 119882119911119898119894119899 119882119911119898119886119909 119882119910119898119894119899 119882119910119898119886119909
e) momentele de inerție principale 1198681 1198682 și direcțiile principale de inerție 1205721
f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 119878119911
Fig 49 Aplicație
Rezolvare Pentru rezolvare vom parcurge următoarele etape
icircmpărțim suprafața compusă icircn două suprafețe simple (dreptunghiuri) notate cu
① și respectiv ② figura 49b
poziționăm centrele de greutate a celor două suprafețe simple ① și respectiv ②
notate cu 1198661 și respectiv 1198662 figura 49c
poziționăm sistemele de axe de coordonate 119911111986611199101 pentru dreptunghiul ① și
119911211986621199102 pentru dreptunghiul ② aflate la intersecția diagonalelor figura 49c
poziționăm sistemele de axe de coordonate 11991101198741199100 ales arbitrar față de care
determinăm poziția centrului de greutate 119866 figura 49c
a) calculăm poziția centrului de greutate folosind relațiile (46) icircn care
1198601 = 6119905 ∙ 119905 = 61199052 1198602 = 4119905 ∙ 119905 = 41199052 119860 = 1198601 + 1198602 = 61199052 + 41199052 = 101199052
iar centrele de greutate 1198661 și respectiv 1198662 au coordonatele (față de sistemul 11991101198741199100)
1198661 1199101 = 3119905 1199111 = 05119905
1198662 1199102 = 051199051199112 = 3119905
cu acestea obținem
119910119866 =1198601 ∙ 1199101 + 1198602 ∙ 1199102
119860=61199052 ∙ 3119905 + 41199052 ∙ 05119905
101199052=201199053
101199052= 2119905
119911119866 =1198601 ∙ 1199111 + 1198602 ∙ 1199112
119860=61199052 ∙ 05119905 + 41199052 ∙ 3119905
101199052=151199053
101199052= 15119905
Poziționăm centrul de greutate 119866 al suprafeței compuse figura 49c
Fig 49 Aplicație
b) pentru determinarea momentelor de inerție axiale 119868119911 119868119910 și a momentului de
inerție centrifugal 119868119910119911 determinăm constantele 1198881 1198882 1198891 1198892 care intervin icircn relația lui
Stainer
1198881 = 1199101 minus 119910119866 = 3119905 minus 2119905 = 119905 1198882 = minus(119910119866 minus 1199102) = minus(2119905 minus 05119905) = minus15119905
1198891 = minus(119911119866 minus 1199111) = minus(15119905 minus 05119905) = minus119905 1198892 = 1199112 minus 119911119892 = 3119905 minus 15119905 = 15119905
Folosind relațiile lui Stainer (429) (430) și (431) calculăm momentele de
inerție axiale și centrifugale față de sistemul central 119911119866119866119910119866
119868119911 =sum(119868119911119894 + 1198881198942 ∙ 119860119894) = 1198681199111 + 1198881
2 ∙ 1198601 + 1198681199112 + 11988822 ∙ 1198602
119868119910 =sum(119868119910119894 + 1198891198942 ∙ 119860119894) = 1198681199101 + 1198891
2 ∙ 1198601 + 1198681199102 + 11988922 ∙ 1198602
119868119911119910 =sum(119868119911119894119910119894 + 119888119894 ∙ 119889119894 ∙ 119860119894) = 11986811991111199101 + 1198881 ∙ 1198891 ∙ 1198601 + 11986811991121199102 + 1198882 ∙ 1198892 ∙ 1198602
1198681199111 = (119887 ∙ ℎ3
12) =
119905 ∙ (6119905)3
12= 181199054 1198681199112 = (
119887 ∙ ℎ3
12) =
4119905 ∙ 1199053
12= 031199054
1198681199101 = (1198873 ∙ ℎ
12) =
1199053 ∙ 6119905
12= 051199054 1198681199102 = (
1198873 ∙ ℎ
12) =
(4119905)3 ∙ 119905
12= 531199054
11986811991111199101 = 11986811991121199102 = 0 deoarece cele două triunghiuri au cel puțin o axă de simetrie
Cu acestea momentele de inerție axiale și momentul de inerție centrifugal devin
119868119911 = 181199054 + 1199052 ∙ 61199052 + 031199054 + (minus15119905)2 ∙ 41199052 = 3331199054
119868119910 = 051199054 + (minus119905)2 ∙ 61199052 + 531199054 + (15119905)2 ∙ 41199052 = 2081199054
119868119911119910 = 0 + 119905 ∙ (minus119905) ∙ 61199052 + 0 + (minus15119905) ∙ (15119905) ∙ 41199052 = minus151199054
c) razele de inerție sau de girație față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910
se calculează cu relațiile (411)
119894119911 = radic119868119911119860= radic
3331199054
101199052= 182119905 119894119910 = radic
119868119910
119860= radic
2081199054
101199052= 144119905
d) modulele de rezistență față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910 se
calculează cu relațiile (412) și (413)
Avacircnd icircn vedere figura 419c obținem
119910119898119886119909 = 6119905 minus 119910119866 = 6119905 minus 2119905 = 4119905 119910119898119894119899 = minus119910119866 = minus2119905
119911119898119886119909 = 5119905 minus 119911119866 = 5119905 minus 15119905 = 35119905 119911119898119894119899 = minus119911119866 = minus15119905
Se obține astfel
119882119911119898119894119899 =119868119911
|119910119898119886119909|=3331199054
4119905= 8331199053
119882119911119898119886119909 =119868119911
|119910119898119894119899|=3331199054
2119905= 16651199053
119882119910119898119894119899 =119868119910
|119911119898119886119909|=2081199054
35119905= 5941199053
119882119910119898119886119909 =119868119910
|119911119898119894119899|=2081199054
15119905= 13871199053
e) momentele de inerție principale 1198681 și respectiv 1198682 se calculează cu relațiile
(438)
11986812 =119868119911 + 119868119910
2plusmn1
2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)
2+ 4 ∙ (119868119911119910)
2=
=3331199054 + 2081199054
2plusmn1
2∙ radic(3331199054 minus 2081199054)2 + 4 ∙ (minus151199054)2 = 27051199054 plusmn 16251199054
De unde obținem
1198681 = 27051199054 + 16251199054 = 4331199054
1198682 = 27051199054 minus 16251199054 = 1081199054
Prima direcție principală de inerție 1 face cu axa centrală 119866119911 unghiul 1205721 dat de
relația (437)
1205721 =1
2∙ arctan (minus
2 ∙ 119868119911119910
119868119911 minus 119868119910) =
1
2∙ arctan [minus
2 ∙ (minus151199054)
3331199054 minus 2081199054] =33 70
Deoarece 1205721 gt 0 rotirea axelor se face acircn sens antiorar acelor de ceasornic figura
49d
Poziția axe principale 2 față de care momentul de inerție are valoarea minimă
1198682 = 119868119898119894119899 este dată de unghiul
1205722 = 1205721 + 900 = 33 70 + 900 = 123 70
f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 se determină cu relația
(45)
1198781199111198602 = 1198602 ∙ 1198882 = 41199052 ∙ (minus15119905) = minus61199053
120590119890119891119898119886119909 le 120590119886 (327)
Valoarea rezistenţei admisibile este influenţată de foarte mulţi factori natura
materialului tratamentele termice aplicate piesei durata de funcţionare a piesei modul
de acţionare icircn timp a sarcinilor felul solicitării temperatura gradul de periculozitate
icircn cazul cedării piesei etc
De asemenea valoarea coeficientului de siguranţă se alege icircn principal ţinacircnd
seama de aceiaşi factori care influenţează şi rezistenţa admisibilă
Rezistenţele admisibile pentru cacircteva materiale sunt următoarele
pentru oțelul de uz general OL37 solicitat la icircntindere compresiune sau
icircncovoiere 120590119886 = 150 [119872119875119886] pentru lemnul de brad solicitat la
- compresiune icircn lungul fibrelor şi solicitat la icircncovoiere 120590119886 = 10 [119872119875119886] - tracţiune icircn lungul fibrelor 120590119886 = 7 [119872119875119886] - compresiune perpendiculară pe fibre 120590119886 = 15 [119872119875119886] - forfecare icircn lungul fibrelor 120591119886 = 2 [119872119875119886] - forfecare perpendiculară pe fibre 120590119886 = 45 [119872119875119886]
terenuri de fundaţie din pămacircnt uscat sau umed 120590119886 = 020 divide 025 [119872119875119886]
4 CARACTERISTICI GEOMETRICE ALE SECȚIUNILOR PLANE
41 Noţiuni introductive
Icircn relaţiile de calcul ale tensiunilor şi deformaţiilor elementelor de rezistenţă
pentru unele solicitări (icircncovoierea și torsiunea) secțiunile plane intervin atacirct prin
dimensiunile lor (aria 119860) cicirct și prin forma și poziția pe care o are secțiunea icircn raport cu
planul solicitării Mărimile care caracterizează o secțiune icircn raport cu forma și poziția față
de axele unui sistem de referință sunt denumite caracteristici geometrice de ordin
superior Aria secțiunii este caracteristica geometrică ce depinde doar de dimensiunile
geometrice ale acesteia
Să considerăm o grindă solicitată de o forță exterioară 119865 aşezată icircn două poziții icircn
raport cu planul forţei figura 41 Icircn urma aplicării forței deși avem aceeași grindă
(aceeași arie a secțiunii transversale) și aceeași forță se constată că pentru varianta din
figura 41a deformațiile sunt mult mai mari adică rezistența la icircncovoiere a grinzii din
figura 41a este mai mare decacirct icircn cazul grinzii din figura 41b Comportarea diferită se
explică prin aceea că modificarea poziţiei secţiunii transversale faţă de planul forţelor
modifică caracteristicile geometrice ale secţiunii transversale a grinzii
Fig 41 Grindă solicitată de forța 119865
Pentru realizarea calculelor de rezistenţă şi rigiditate este foarte importantă
cunoaşterea caracteristicilor geometrice ale suprafeţei secţiunii transversale a elementelor
de rezistenţă
Caracteristicile geometrice ale secţiunii transversale a unui element de rezistenţă
sunt
- aria secțiunii notată cu 119860
- momentul static icircn raport cu o axă notat 119878119911 și respectiv 119878119910
- momentul de inerție care poate fi
axial notat 119868119911 și respectiv 119868119910
centrifugal notat 119868119911119910
polar notat 119868119901
- raza de inerţie (giraţie)notată 119894119911 și respectiv 119894119910
- modulul de rezistență care poate fi
axial notat 119882119911 și respectiv 119882119910
polar notat 119882119901
42 Aria și momentul static al suprafețelor plane
Fie o suprafaţă plană de arie 119860 pe care se ia un element infinit mic de arie 119889119860 şi
un sistem de axe rectangulare 119911119874119910 figura 42 Notăm cu 119862 centrul de greutate al suprafeţei
119860 Poziţia suprafeţei elementare 119889119860 faţă de acelaşi sistem de coordonate 119911119874119910 este dată
de abscisa 119911 ordonata 119910 și raza polară
Fig 42 Suprafață plană de arie 119860
Aria suprafeţei 119860 figura 42 se defineşte ca fiind
119860 ≝ int 119889119860
119860
(41)
Aria suprafeţei este icircntotdeauna pozitivă și se măsoară icircn [1198981198982] Momentul static al suprafeţei de arie 119860 icircn raport cu axele 119874119911 și respectiv 119874119910
figura 42 sunt date de relaţiile
119878119911 ≝ int 119910 ∙ 119889119860
119860
119878119910 ≝ int 119911 ∙ 119889119860
119860
(42)
Momentul static poate fi pozitiv negativ sau nul şi se măsoară icircn [1198981198983] Coordonatele centrului de greutate ale suprafeței 119860 se detrmină cu relațiile
119910119862 ≝int 119910 ∙ 119889119860119860
119860 119911119862 ≝
int 119911 ∙ 119889119860119860
119860
(43)
Cunoscacircnd coordonatele 119910119862 și 119911119862 ale centrului de greutate 119862 al secțiunii 119860 atunci
momentele statice se pot determina cu relațiile
119878119911 ≝ int 119910 ∙ 119889119860
119860
= 119910119862 ∙ 119889119860 119878119910 ≝ int 119911 ∙ 119889119860
119860
= 119911119862 ∙ 119889119860 (44)
Aceste relații arată că momentul static al unei suprafețe icircn raport cu o axă este
egal cu produsul dintre aria suprafeței și distanța de la centrul ariei la axa respectivă
Dacă suprafaţa se poate descompune icircn 119899 suprafeţe simple la care se cunosc ariile
(1198601 1198602 ⋯ 119860119894⋯ 119860119899) și poziţiile centrelor de greutate 119862119894 faţă de sistemul de referinţă
expresiile momentelor statice capătă următoarea formă
119878119911 = sum 119910119862119894 ∙ 119860119894119899119894=1 = 119910119862 ∙ 119860 119878119910 = sum 119911119862119894 ∙ 119860119894
119899119894=1 = 119911119862 ∙ 119860 (45)
Din relaţiile (45) rezultă că poziţia centrului de greutate 119862 al unei suprafeţe
compuse poate fi determinată cu relaţiile
119910119862 = (sum119910119862119894 ∙ 119860119894
119899
119894=1
) 119860frasl 119911119862 = (sum119911119862119894 ∙ 119860119894
119899
119894=1
) 119860frasl (46)
Icircn relația (45) 119910119862119894 și respectiv 119911119862119894 reprezintă coordonatele centrelor de greutate 119862119894
ale fiecărei suprafețe simple 119860119894 icircn raport sistemul de axe 119911119874119910
Se constată (relaţia 42) că dacă axele sistemului de referinţă trec prin centrul de
greutate (119910119862 = 119911119862 = 0) momentele statice sunt nule Axele icircn raport cu care momentele
statice sunt nule şi care trec prin centrul de greutate al suprafeţei se numesc axe centrale
Observație dacă secțiunea compusă are o axă de simetrie centrul secțiunii se
găsește pe acea axă iar dacă secțiunea este dublu simetrică poziția centrului secțiunii este
la intersecția axelor de simetrie
43 Momente de inerţie
Momentele de inerţie axiale ale unei suprafețe se calculează icircn raport cu axele de
coordonate 119874119911 și respectiv 119874119910 figura 42 și se determină cu relațiile
119868119911 ≝ int 1199102 ∙ 119889119860
119860
119868119910 ≝ int 1199112 ∙ 119889119860
119860
(47)
Unde 119910 și 119911 sunt distanțele de la elementul de arie 119889119860 la cele două axe de
coordonate 119874119911 și respectiv 119874119910
Momentele de inerţie axiale se măsoară icircn [1198981198984] şi sunt icircntotdeauna pozitive (aria
119889119860 este icircntotdeauna pozitivă și este multiplicată cu patratul distanței 1199102 dacă 119868119911 sau 119868119910
sunt nule icircnseamnă ca secțiunea nu există)
Momentele de inerție axiale se calculează icircndeosebi pentru axele centrale (care
trec prin centrul secțiunii) deoarece icircn raport cu acele axe 119868119911 și 119868119910 au valori minime
Momentul de inerţie centrifugal calculat faţă ambele axe ale sistemului de
referinţă 119911119874119910 este definit de relația
119868119911119910 ≝ int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860
(48)
Momentul de inerţie centrifugal se măsoară icircn [1198981198984] şi poate fi pozitiv negativ
sau nul
Momentul de ineție centrifugal este nul 119868119911119910 = 0 dacă cel puțin una din axele 119874119911
sau 119874119910 este axă de simetrie pentru secțiune
Se consideră o suprafaţă dreptunghiulară pe care faţă de axa de simetrie 119874119910 se iau
două suprafeţe elementare de arie 119889119860 simetrice faţă de axa 119874119910 figura 43
Fig 43 Suprafață dreptunghiulară cu două arii elementare 119889119860
Făcacircnd suma momentelor de inerţie centrifugale pentru cele două suprafeţe
elementare 119889119860 (din stacircnga şi din dreapta faţă de axa 119874119910) se obţine
int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860119889119903
+ int (minus119911) ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860119904119905119892
= int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860119889119903
minus int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860119904119905119892
= 0 (49)
Acelaşi raţionament se poate face și pentru icircntreaga suprafaţă de unde obținem că
momentul de inerție centrifugal este nul 119868119911119910 = 0 Deci pentru o suprafaţă plană care
are cel puţin o axă de simetrie momentul de inerţie centrifugal faţă de sistemul care
conţine acea axă de simetrie este nul
Momentul de inerţie polar al unei suprafeţei icircn raport cu un punct (pol) 119874 figura
42 este definit prin relaţia
1198680 = 119868119901 ≝ int 1205882 ∙ 119889119860
119860
= int(1199102 + 1199112) ∙ 119889119860
119860
= 119868119911 + 119868119910 (410)
unde este distanţa de la polul 119874 la elementul de arie 119889119860 Momentul de inerţie polar se
măsoară icircn [1198981198984] şi este totdeauna pozitiv
Momentul de inerţie polar este egal cu suma momentelor de inerţie faţă de două axe
perpendiculare oarecare şi care trec prin polul considerat
Razele de giraţie sau razele de inerţie sunt mărimi calculate icircn raport cu axele
secțiunii și definite de relaţiile
119894119911 ≝ radic119868119911119860 119894119910 = radic
119868119910
119860 (411)
Se exprimă icircn [119898119898] şi sunt icircntotdeauna pozitive Semnificația unei raze de inerție
este distanța la care dacă ar fi concentrată icircntreaga arie s-ar obține același moment de
inerție ca și cel calculat pentru aria reală
44 Modulul de rezistenţă
Modulul de rezistență se calculează icircn raport cu axele de referință sau icircn raport cu
un pol figura 42 și pot fi axiale (119882119911119882119910) sau polar (119882119901) și se determină numai pe baza
momentelor de inerţie cu relațiile figura 43
119882119911119898119894119899 ≝119868119911119910119898119886119909
119882119911119898119886119909 ≝119868119911119910119898119894119899
(412)
119882119910119898119894119899 ≝119868119910
119911119898119886119909 119882119910119898119886119909 ≝
119868119910
119911119898119894119899 (413)
119882119901 ≝119868119901
120588119898119886119909 (414)
unde
119910119898119886119909 119910119898119894119899 reprezintă distanţa de la axa 119874119911 la punctele extreme cele mai
depărtate respectiv cele mai apropiate ale suprafeţei de această axă
119911119898119886119909 119911119898119894119899 reprezintă distanţa de la axa 119874119910 la punctele extreme cele mai
depărtate respectiv cele mai apropiate ale suprafeţei de această axă
120588119898119886119909 reprezintă distanța maximă de la polul 119874 la punctul secțiunii cel mai
icircndepărtat de acesta
Fig 43 Suprafață dreptunghiulară cu două arii elementare 119889119860
Modulele de rezistenţă se exprimă icircn [1198981198983] şi sunt icircntotdeauna pozitive
Explicația este aceea că momentele de inerție care intră icircn relațiile de definiție sunt
pozitive iar distanțele la punctele extreme sunt pozitive (119910119898119886119909 119910119898119894119899 119911119898119886119909 119911119898119894119899 120588119898119886119909 se
iau icircn valoare absolută)
Icircn cazul suprafeţelor compuse modulul de rezistenţă nu se obţine prin icircnsumarea
algebrică a modulelor de rezistenţă ale suprafeţelor simple componente ci numai prin
intermediul momentului de inerţie axial calculat pentru icircntreaga secțiune
Ca și momentele de inerție modulele de rezistență se calculează numai pentru
sistemele de axe centrale
45 Momente de inerţie şi module de rezistenţă pentru suprafeţe simple
451 Secțiune dreptunghiulară
Fie suprafaţa dreptunghiulară din figura 44 de icircnălțime ℎ și lățime 119887 pe care se
consideră suprafaţă elementară de arie 119889119860 = 119887119889119910 la distanța 119910 de axa 119862119911 sistemul de
axe 119911119862119910 trece prin centrul secțiunii iar axele sunt axe de simetrie pentru dreptunghi
Fig 44 Suprafață dreptunghiulară
Pe baza relațiilor de definiți a momentului de inerție 119868119911 se obține
119868119911 ≝ int 1199102 ∙ 119889119860
119860
= int 1199102 ∙ 119887 ∙ 119889119910 = 2int 1199102 ∙ 119887 ∙ 119889119910 = 2 ∙ 119887 ∙1199103
3|ℎ 2frasl
0rArr
ℎ 2frasl
0
ℎ 2frasl
minusℎ 2frasl
rArr 119868119911 =119887 ∙ ℎ3
12
(415)
Analog pentru un element de arie 119889119860 = ℎ ∙ 119889119911 paralel cu axa 119862119910 situat la distanța
119911 de axa 119862119910
119868119910 ≝ int 1199112 ∙ 119889119860
119860
= int 1199112 ∙ ℎ ∙ 119889119911 = 2int 1199112 ∙ ℎ ∙ 119889119910 = 2 ∙ ℎ ∙1199113
3|119887 2frasl
0rArr
119887 2frasl
0
119887 2frasl
minus119887 2frasl
rArr 119868119910 =1198873 ∙ ℎ
12
(416)
Deoarece axele 119862119911 și 119862119910 sunt axe de simetrie momentul de inerție centrifugal este
119868119911119910 = 0 (417)
Pentru un pătrat avacircnd laturile egale (ℎ = 119887 = 119886) momentele de inerţie faţă de
axele centrale au expresia
119868119911 = 119868119910 =1198864
12 (418)
Modulele de rezistență axiale se calculează cu relațiile de definiție ținacircnd cont că
distanțele pacircnă la fibrele extreme sunt
119910119898119886119909 = 119910119898119894119899 =ℎ
2 119911119898119886119909 = 119911119898119894119899 =
119887
2 (419)
Obținem
119882119911119898119894119899 = 119882119911119898119886119909 =119868119911
119910119898119886119909119898119894119899=119887 ∙ ℎ3
12frasl
ℎ2frasl
=119887 ∙ ℎ2
6
119882119910119898119894119899 = 119882119910119898119886119909 =119868119910
119911119898119886119909119898119894119899=1198873 ∙ ℎ
12frasl
1198872frasl
=1198872 ∙ ℎ
6
(420)
452 Suprafaţă circulară
Din motive de simetrie pentru suprafeţele circulare momentele de inerţie faţă de
orice diametru (care reprezintă şi axe centrale) sunt aceleaşi
Considerăm o secțiune circulară plină cu diametrul 119889 și centrul de greutate 119862 Prin
centrul de greutate 119862 trece sistemul de axe ortogonal 119911119862119910 figura 45
Fig 45 Suprafață circulară
La distanța de centrul de greutate 119862 vom lua un element de suprafață mic de arie
(119889119860) de forma unui inel de grosime 119889 Elementul de arie 119889119860 are expresia
119889119860 = (2 ∙ 120587 ∙ 120588) ∙ (119889120588)
Pornind de la relația de definiție a momentului de inerție polar obținem
119868119901 ≝ int 1205882 ∙ 119889119860
119860
= int 1205882 ∙ (2 ∙ 120587 ∙ 120588) ∙ 119889120588
119903=119889 2frasl
0
= 2 ∙ 120587 ∙1205884
4|119889 2frasl0 rArr
rArr 119868119901 =120587 ∙ 1198894
32
(421)
Secțiunea este perfect simetrică deci sunt valabile relațiile
119868119911 = 119868119910 rArr 119868119901 = 119868119911 + 119868119910 = 2 ∙ 119868119911 = 2 ∙ 119868119910 =119868119901
2=120587 ∙ 1198894
64 (422)
Și modulele de rezistenţă faţă de orice diametru sunt egale şi se calculează cu
relaţiile
119882119911 = 119882119910 =1198681199111198892frasl=120587 ∙ 1198893
32 (423)
Modulul de rezistenţă polar este
119882119901 =1198681199011198892frasl=120587 ∙ 1198893
16 (424)
453 Secţiune inelară
Calculul momentelor de inerţie axiale pentru o secţiune inelară avacircnd diametrul
interior 119889 şi diametrul exterior 119863 se determină analog pentru suprafaţa circulară plină cu
observaţia că integrala pentru calculul momentului de inerție polar 119868119901 se face icircntre
limitele 119903 = 119889 2frasl şi R= 1198632frasl (icircntre raza interioară 119903 şi raza exterioară 119877) figura 46
Se obţin relaţiile
119868119901 =120587 ∙ 1198634
32∙ [1 minus (
119889
119863)4
] =120587 ∙ 1198634
32∙ (1 minus 1198964) (425)
119868119910 = 119868119910 =120587 ∙ 1198634
64∙ [1 minus (
119889
119863)4
] =120587 ∙ 1198633
64∙ (1 minus 1198964) (426)
Fig 46 Secțiune inelară
119882119901 =120587 ∙ 1198633
16∙ [1 minus (
119889
119863)4
] =120587 ∙ 1198633
16∙ (1 minus 1198964) (427)
119882119911 = 119882119910 =120587 ∙ 1198633
32∙ [1 minus (
119889
119863)4
] =120587 ∙ 1198633
32∙ (1 minus 1198964) (428)
unde 119896 = 119889119863frasl
46 Variaţia momentelor de inerţie faţă de axe paralele
( Relațiile lui STEINER)
Se consideră o suprafaţă oarecare de arie 119860 cu elementul de arie 119889119860 și un sistemul
de axe central 119911119862119910 faţă de care se cunosc momentele de inerţie 119868119911 119868119910 119868119911119910 şi considerăm
un sistem de axe 11991111198741199101 paralele cu sistemul central figura 47 Se pune problema
determinării momentele de inerţie 1198681199111 1198681199101 11986811991111199101 faţă de sistemul de axe paralel cu sistemul
central 11991111198741199101 axe aflate la distanţele 119910119862 = 119888 respectiv 119911119862 = 119889 de acesta
461 Momente de inerţie axiale
Pe baza relaţiilor de definire şi a notaţiilor din figura 42 pentru momentele de
inerţie faţă de axele 1198741199111 1198741199101 se poate scrie
1198681199111 = int 11991012 ∙ 119889119860
119860
= int(119910 + 119888)2 ∙ 119889119860
119860
= int 1199102 ∙ 119889119860
119860
+ 2 ∙ 119888 ∙ int 119910 ∙ 119889119860
119860
+
+1198882int 119889119860
119860
rArr 1198681199111 = 119868119911 + 2 ∙ 119888 ∙ 119878119911 + 1198882 ∙ 119860 hArr 1198681199111 = 119868119911 + 119888
2 ∙ 119860
(429)
Fig 47 Variaţia momentelor de inerţie față de axe paralele
S-a ajuns la relația (429) deoarece momentul static 119878119911 este nul deoarece axa 119862119885
este axă centrală
Pentru momentul de inerție axial icircn raport cu axa 1198741199101 se obține
1198681199101 = int 11991112 ∙ 119889119860
119860
= int(119911 + 119889)2 ∙ 119889119860
119860
= int 1199112 ∙ 119889119860
119860
+ 2 ∙ 119889 ∙ int 119911 ∙ 119889119860
119860
+
+1198892 ∙ int 119889119860
119860
rArr 1198681199101 = 119868119910 + 2 ∙ 119889 ∙ 119878119910 + 1198892 ∙ 119860 hArr 1198681199101 = 119868119910 + 119889
2 ∙ 119860
(430)
Pentru momentul de inerție centrifugal obținem
11986811991111199101 = int 1199101 ∙ 1199111 ∙ 119889119860
119860
= int(119910 + 119888) ∙ (119911 + 119889) ∙ 119889119860
119860
= int 119910 ∙ 119911 ∙ 119889119860 +
119860
+119888 ∙ int 119911 ∙ 119889119860
119860
+ 119889 ∙ int 119910 ∙ 119889119860
119860
rArr 11986811991111199101 = 119868119911119910 + 119888 ∙ 119889 ∙ 119860
(431)
Deoarece
int 119911 ∙ 119889119860
119860
= 119878119910 = 0 int 119910 ∙ 119889119860
119860
= 119878119911 = 0 int 119910 ∙ 119911 ∙ 119889119860
119860
= 119868119911119910
Relaţiile (429) şi (430) arată că momentul de inerţie faţă de o axă oarecare
este egal cu momentul de inerţie faţă de o axă paralelă cu ea trecacircnd prin centrul de
greutate la care se adaugă produsul dintre aria suprafeţei şi pătratul distanţei dintre
cele două axe
Din relaţiile (429) și (430) rezultă de asemenea că momentul de inerţie faţă de o
axă centrală (care trece prin centrul de greutate) este cel mai mic dintre infinitatea de
momente de inerţie obținute faţă de alte axe paralele cu ea
Relaţia (431) arată de asemenea că momentul de inerţie centrifugal faţă de un
sistem de axe oarecare este egal cu momentul de inerţie centrifugal faţă de un sistem
paralele cu el trecacircnd prin centrul de greutate a suprafeţei la care se adaugă produsul
dintre aria suprafeţei şi distanţele dintre axele sistemelor respective
Icircn literatura de specialitate relaţiile (429) (430) şi (431) sunt cunoscute sub
numele de relaţiile lui Steiner
47 Variaţia momentrlor de inerţie faţă de axe rotite
Direcţii principale şi momente de inerţie principale
Fie suprafaţa plană din figura 48 de arie 119860 pe care considerăm o suprafaţă
elementară de arie 119889119860 Pentru sistemul de axe 119911119874119910 se cunosc momentele de inerţie
119868119911 119868119910 119868119911119910 şi vom determina relaţiile de calcul pentru momentele de inerţie afererent unui
sistem de axe 11991111198741199101 rotit cu un unghi faţă de sistemul central
Faţă de sistemul de axe 11991111198741199101 elementul de arie 119889119860 are coordonatele
1199101 = 119875119877 = 119875119876 minus 119877119876 = 119910 ∙ cos 120572 minus 119911 ∙ sin 120572
1199111 = 119873119872 = 119873119875 minus 119875119872 = 119911 ∙ cos 120572 + 119910 ∙ sin 120572 (432)
Fig 47 Variaţia momentelor de inerţie față de axe rotite
Pe baza relaţiilor de calcul ale momentelor de inerţie şi a notaţiilor din figura 42
şi ale relaţiilor (432) momentele de inerţie faţă de sistemul de axe rotit 11991111198741199101 sunt
1198681199111 =119868119911 + 119868119910
2+119868119911 minus 119868119910
2∙ cos 2120572 minus 119868119911119910 ∙ sin 2120572 (433)
1198681199101 =119868119911 + 119868119910
2minus119868119911 minus 119868119910
2∙ cos 2120572 + 119868119911119910 ∙ sin 2120572 (434)
11986811991111199101 =119868119911 minus 119868119910
2∙ sin 2120572 + 119868119911119910 ∙ cos 2120572 (435)
Din relaţiile 433divide435 se observă că icircntre momentele de inerţie axiale şi cele
polare există relaţia
1198681199111 + 1198681199101 = 119868119911 + 119868119910 = 119868119901 (436)
adică suma momentelor de inerţie axiale icircn raport cu orice pereche de axe ortogonale
care trec printr-un pol dat este o constantă şi egală cu momentul de inerţie polar
Prin rotirea sistemului de axe din relaţiile 433divide435 rezultă că momentele de inerţie
variază icircnsă suma lor rămacircne constantă deci există o poziţie a sistemului de axe pentru
care momentele de inerţie au valori extreme maxim respectiv minim
471 Direcţii principale de inerţie
Valoarea unghiului 120572 pentru care momentele de inerţie axiale au valori extreme
este
1205721 =1
2∙ 119886119903119888119905119886119899 (minus
2 ∙ 119868119911119910
119868119911 minus 119868119910) (437)
Poziţia celeilalte direcţii este perpendiculară pe cea dată de unghiul 1205721
Din relaţia (437) se constată că faţă de aceste direcţii rotite pentru care momentele
de inerţie axiale prezintă valori extreme momentul de inerţie centrifugal 11986811991111199101este nul
Atunci se poate afirma că momentele de inerţie axiale au valori extreme icircn raport cu
direcţiile faţă de care momentul de inerţie centrifugal este nul Aceste direcţii se numesc
direcţii principale iar momentele de inerţie faţă de aceste direcţii poartă numele de
momente de inerţie principale
Icircn calculele de rezistenţă interesează icircn mod special poziţia direcţiilor principale
care trec prin centrul de greutate al suprafeţei aşa numitele direcţii principale centrale şi
evident momentele de inerţie principale centrale
Direcţiile principale de inerţie se notează cu 1 respectiv 2 Axa principală 1
corespunde direcţiei faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea maximă iar
axa principală 2 pentru direcţia faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea
minimă
472 Momente de inerţie principale
Momentele de inerţie principale se notează cu litera 119868 la care se pune indicele 1
sau 2 după cum valoarea acestuia este maximă sau minimă deci avem un moment de
inerţie principal 1 (notat 1198681) respectiv moment de inerţie principal 2 (notat 1198682)
Expresiile pentru momentele de inerţie principale sunt
11986812 =119868119911 + 119868119910
2plusmn1
2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)
2+ 4 ∙ (119868119911119910)
2 (438)
Dacă momentul de inerţie centrifugal este negativ (119868119911119910 lt 0) direcţia principală
care trece prin primul cadran (definit de sistemul 119911119862119910) este direcţia principală 120783
Pentru suprafeţele cu cel puţin o axă de simetrie direcţiile centrale 119862119911 119862119910 sunt şi
direcții principale de inerţie și evident momentele de inerţie axiale 119868119911 119868119910 sunt momente
de inerţie principale
48 Caracteristici mecanice ale metalelor
Alegerea materialului pentru confecţionarea unei anumite piese se face şi pe baza
aşa numitelor caracteristici mecanice pe care le prezintă materialul Cunoaşterea acestor
caracteristici mecanice are loc numai pe baza unor icircncercări mecanice care să scoată icircn
evidenţă comportarea materialului icircn condiţii de solicitare
Cea mai utilizată icircncercare icircn urma căreia se pun icircn evidenţă caracteristicile
mecanice ale unui material este icircncercarea la tracţiune
481 Icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general
Icircncercarea la tracţiune a oţelului ca de altfel toate icircncercările de materiale este
standardizată
Icircn cele ce urmează se va prezenta numai partea care interesează strict din punct
de vedere al caracteristicilor mecanice ale oţelului
Epruveta de diametru iniţial 1198890 pentru icircncercarea la tracţiune are o porţiune de
lungime 1198710 numită baza de măsurare pe care se măsoară lungirea acesteia sub acţiunea
solicitării
Icircn funcţie de raportul dintre baza de măsurare 1198710 şi diametrul iniţial 1198890 epruvetele
utilizate pentru icircncercări sunt
epruvete normale (scurte) cacircnd 11987101198890 = 5
epruvete lungi cacircnd 11987101198890 = 10
Icircn timpul icircncercării la diferite valori ale forţei 119865 se măsoară lungirea bazei de
măsurare
∆119871 = 120575 = 119871 minus 1198710 (439)
unde
119871 este dimensiunea bazei de măsurare la un moment dat
Curba forţă-lungire (119865 minus ) icircnregistrată icircn urma icircncercării reprezintă curba
caracteristică la tracţiune
La icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general diagrama caracteristică care se
obţine are forma din figura 48
Curba caracteristică la tracţiune depinde de lungimea bazei de măsurare Pentru
icircnlăturarea acestui neajuns curba caracteristică se reprezintă icircn coordonate şi definite
astfel
120590 =119865
1198600 휀 =
120575
1198710 (440)
unde
1198600 este aria iniţială a secţiunii transversale a epruvetei (icircnainte de solicitare) icircn
zona bazei de măsurare
1198600 =120587 ∙ 1198890
2
4
Deoarece mărimile icircn care se reprezintă curba caracteristică la tracţiune sunt
raportate la aria iniţială a secţiunii transversale (mărimi specifice) curba poartă numele
de curbă caracteristică convenţională la tracţiune
Fig 48 Curba caracteristică convenţională la tracțiune
Pe curba caracteristică convenţională la tracţiune figura 48 se pot stabili o serie
de puncte cărora le corespund mai multe mărimi importante
Ordonata punctului A pacircnă unde curba caracteristică convenţională este linie
dreaptă se numeşte limita de proporţionalitate a materialului 120590119901(1205901) Porţiunea 119874119860 este
zona de proporţionalitate a curbei caracteristice pe acest domeniu este valabilă legea lui
Hooke care exprimă o proporţionalitate icircntre tensiune şi deformaţie specifică
120590 = 119864 ∙ 휀 (441)
unde
119864 = reprezintă panta porţiunii liniare a curbei convenționale caracteristice
la tracțiune Caracteristica de material 119864 se numeşte modul de elasticitate longitudinal
(modulul lui Young)
Ordonata punctului 119861 pacircnă unde materialul se comportă perfect elastic adică
după descărcare icircşi recapătă dimensiunea iniţială 1198710 se numeşte limita de elasticitate
120590119890(119877119890) Icircn realitate nici un material nu are comportare perfect elastică sub acţiunea
solicitărilor el capătă deformaţii permanente (remanente plastice)
După punctul 119861 urmează o porţiune 119861119862119863 icircn care cu toate că icircncărcarea
continuă forţa nu mai creşte avacircnd mici oscilaţii icircn jurul unei valori Se spune că icircn
această porţiune materialul curge iar intervalul 119861119862119863 este un palier de curgere Tensiunea
corespunzătoare palierului de curgere se numeşte limită de curgere aparentă 120590119888(119877119888) Limita de curgere aparentă se calculează cu relaţia
120590119888 =1198651198881198600 (442)
unde
119865119888 reprezintă valoarea forţei icircnregistrată icircn momentul curgerii materialului
După punctul 119863 curba caracteristică are un traseu ascendent pacircnă icircn punctul 119864
Porţiunea 119863119864 este numită zonă de icircntărire (ecruisare) Icircn zona de ecruisare unde se
produc deformaţii plastice semnificative legea lui Hooke nu mai este valabilă La
descărcare relaţia dintre tensiunea şi deformaţia specifică este liniară paralelă cu
porţiunea liniară a curbei caracteristice (dreapta 119872119873)
Deformaţia totală (휀119905) are două componente una elastică (휀119890) şi una plastică (휀119901)
Ordonata punctului 119864 reprezintă rezistenţa de rupere 120590119903(119877119898) a materialului
care se poate calcula cu relaţia
120590119903 = 119877119898 =1198651198981198861199091198600
(443)
unde
119865119898119886119909 reprezintă valoarea maximă a forţei icircnregistrată icircn timpul icircncercării
La atingerea valorii 119865119898119886119909 (punctul 119864) icircntr-un anumit loc al epruvetei secţiunea
icircncepe să se micşoreze (se produce gacirctuirea) continuacircnd pacircnă cacircnd se produce ruperea
totală (punctul 119865)
Dacă după ruperea epruvetei cele două părţi rezultate se aşează cap la cap şi se
măsoară dimensiunea bazei de măsurare 119871119906 (lungimea ultimă) se determină alungirea la
rupere sau lungirea specifică la rupere 휀119903
휀119903 =119871119906 minus 11987101198710
=∆119871
1198710=120575
1198710 (444)
De obicei alungirea se exprimă icircn procente şi se notează cu 119860119899 unde 119899 reprezintă
numărul dat de raportul 11987101198890 (epruvete normale 119899 = 5 epruvete lungi 119899 = 10)
119860119899 =119871119906 minus 11987101198710
∙ 100 [] (445)
Altă mărime care se determină la icircncercarea la tracţiune este gacirctuirea la rupere
(exprimată de obicei icircn procente) şi definită de relaţia
119885 =1198600 minus 1198601199061198600
∙ 100 [] (446)
Mărimile determinate limita de proporţionalitate modulul de elasticitate
longitudinal limita de elasticitate limita de curgere aparentă rezistenţa de rupere
alungirea la rupere şi gacirctuirea la rupere sunt cunoscute ca fiind caracteristici mecanice
ale materialului
Din curba caracteristică convenţională observăm faptul că ruperea (punctul 119865 din
figura 48 se produce la o tensiune mai mică decacirct cea corespunzătoare punctului 119864 Dacă
icircnsă forţa din timpul icircncercării s-ar raporta la aria secţiunii din momentul icircnregistrării
forţei (care este mai mică decacirct cea iniţială 1198600) s-ar obţine aşa numita curbă
caracteristică reală a materialului (traseul 1198741198601198611198621198631198651 din figura 48) La curba
caracteristică reală ruperea se produce icircn punctul 1198651 la o icircncărcare mai mare decacirct cea
corespunzătoare punctului 119864 Icircnseamnă că rezistenţa reală la rupere este mai mare decacirct
rezistenţa la rupere dată de punctul 119864 din diagrama caracteristică convenţională
Dificultatea obţinerii diagramei caracteristice reale faţă de cea a diagramei caracteristice
convenţionale şi considerarea unei rezistenţe la rupere mai mică decacirct a celei reale face
icircn practică utilizarea pe scară mare a diagramei caracteristice convenţionale
Caracteristicile mecanice determinate pe baza curbei caracteristice convenţionale
sunt şi ele caracteristici mecanice convenţionale
Caracteristicile mecanice convenţionale limita de proporţionalitate convenţională
120590119901 limita de elasticitate convenţională 120590119890 limita de curgere convenţională 120590119888 şi rezistenţa
de rupere 120590119903 constituie tensiuni limită pentru un material Pe baza acestor caracteristici
de material se alege valoarea tensiunii admisibile 120590119886 (vezi paragraful 35) pentru
calculele de rezistenţă Cea mai utilizată stare limită pentru stabilirea tensiunii admisibile
120590119886 este limita de curgere convenţională 120590119888
120590119886 =120590119897119894119898119888
=120590119888119888 119904119886119906 120590119886 =
120590119903119888 (447)
Caracteristicile mecanice ale materialului sunt influenţate de o serie de factori
temperatura viteza de solicitare factorii tehnologici iar valorile lor sunt date icircn tabele și
diagrame
Aplicaţie Pentru suprafaţa plană compusă din două dreptunghiuri avacircnd
dimensiunile din figura 49a să se calculeze
a) centrul de greutate al secțiunii compuse 119910119866 119911119866
b) momentele de inerție axiale 119868119911 119868119910 și momentul de inerție centrifugal 119868119911119910
c) razele de inerție 119894119911 119894119910
d) modulele de rezistență 119882119911119898119894119899 119882119911119898119886119909 119882119910119898119894119899 119882119910119898119886119909
e) momentele de inerție principale 1198681 1198682 și direcțiile principale de inerție 1205721
f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 119878119911
Fig 49 Aplicație
Rezolvare Pentru rezolvare vom parcurge următoarele etape
icircmpărțim suprafața compusă icircn două suprafețe simple (dreptunghiuri) notate cu
① și respectiv ② figura 49b
poziționăm centrele de greutate a celor două suprafețe simple ① și respectiv ②
notate cu 1198661 și respectiv 1198662 figura 49c
poziționăm sistemele de axe de coordonate 119911111986611199101 pentru dreptunghiul ① și
119911211986621199102 pentru dreptunghiul ② aflate la intersecția diagonalelor figura 49c
poziționăm sistemele de axe de coordonate 11991101198741199100 ales arbitrar față de care
determinăm poziția centrului de greutate 119866 figura 49c
a) calculăm poziția centrului de greutate folosind relațiile (46) icircn care
1198601 = 6119905 ∙ 119905 = 61199052 1198602 = 4119905 ∙ 119905 = 41199052 119860 = 1198601 + 1198602 = 61199052 + 41199052 = 101199052
iar centrele de greutate 1198661 și respectiv 1198662 au coordonatele (față de sistemul 11991101198741199100)
1198661 1199101 = 3119905 1199111 = 05119905
1198662 1199102 = 051199051199112 = 3119905
cu acestea obținem
119910119866 =1198601 ∙ 1199101 + 1198602 ∙ 1199102
119860=61199052 ∙ 3119905 + 41199052 ∙ 05119905
101199052=201199053
101199052= 2119905
119911119866 =1198601 ∙ 1199111 + 1198602 ∙ 1199112
119860=61199052 ∙ 05119905 + 41199052 ∙ 3119905
101199052=151199053
101199052= 15119905
Poziționăm centrul de greutate 119866 al suprafeței compuse figura 49c
Fig 49 Aplicație
b) pentru determinarea momentelor de inerție axiale 119868119911 119868119910 și a momentului de
inerție centrifugal 119868119910119911 determinăm constantele 1198881 1198882 1198891 1198892 care intervin icircn relația lui
Stainer
1198881 = 1199101 minus 119910119866 = 3119905 minus 2119905 = 119905 1198882 = minus(119910119866 minus 1199102) = minus(2119905 minus 05119905) = minus15119905
1198891 = minus(119911119866 minus 1199111) = minus(15119905 minus 05119905) = minus119905 1198892 = 1199112 minus 119911119892 = 3119905 minus 15119905 = 15119905
Folosind relațiile lui Stainer (429) (430) și (431) calculăm momentele de
inerție axiale și centrifugale față de sistemul central 119911119866119866119910119866
119868119911 =sum(119868119911119894 + 1198881198942 ∙ 119860119894) = 1198681199111 + 1198881
2 ∙ 1198601 + 1198681199112 + 11988822 ∙ 1198602
119868119910 =sum(119868119910119894 + 1198891198942 ∙ 119860119894) = 1198681199101 + 1198891
2 ∙ 1198601 + 1198681199102 + 11988922 ∙ 1198602
119868119911119910 =sum(119868119911119894119910119894 + 119888119894 ∙ 119889119894 ∙ 119860119894) = 11986811991111199101 + 1198881 ∙ 1198891 ∙ 1198601 + 11986811991121199102 + 1198882 ∙ 1198892 ∙ 1198602
1198681199111 = (119887 ∙ ℎ3
12) =
119905 ∙ (6119905)3
12= 181199054 1198681199112 = (
119887 ∙ ℎ3
12) =
4119905 ∙ 1199053
12= 031199054
1198681199101 = (1198873 ∙ ℎ
12) =
1199053 ∙ 6119905
12= 051199054 1198681199102 = (
1198873 ∙ ℎ
12) =
(4119905)3 ∙ 119905
12= 531199054
11986811991111199101 = 11986811991121199102 = 0 deoarece cele două triunghiuri au cel puțin o axă de simetrie
Cu acestea momentele de inerție axiale și momentul de inerție centrifugal devin
119868119911 = 181199054 + 1199052 ∙ 61199052 + 031199054 + (minus15119905)2 ∙ 41199052 = 3331199054
119868119910 = 051199054 + (minus119905)2 ∙ 61199052 + 531199054 + (15119905)2 ∙ 41199052 = 2081199054
119868119911119910 = 0 + 119905 ∙ (minus119905) ∙ 61199052 + 0 + (minus15119905) ∙ (15119905) ∙ 41199052 = minus151199054
c) razele de inerție sau de girație față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910
se calculează cu relațiile (411)
119894119911 = radic119868119911119860= radic
3331199054
101199052= 182119905 119894119910 = radic
119868119910
119860= radic
2081199054
101199052= 144119905
d) modulele de rezistență față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910 se
calculează cu relațiile (412) și (413)
Avacircnd icircn vedere figura 419c obținem
119910119898119886119909 = 6119905 minus 119910119866 = 6119905 minus 2119905 = 4119905 119910119898119894119899 = minus119910119866 = minus2119905
119911119898119886119909 = 5119905 minus 119911119866 = 5119905 minus 15119905 = 35119905 119911119898119894119899 = minus119911119866 = minus15119905
Se obține astfel
119882119911119898119894119899 =119868119911
|119910119898119886119909|=3331199054
4119905= 8331199053
119882119911119898119886119909 =119868119911
|119910119898119894119899|=3331199054
2119905= 16651199053
119882119910119898119894119899 =119868119910
|119911119898119886119909|=2081199054
35119905= 5941199053
119882119910119898119886119909 =119868119910
|119911119898119894119899|=2081199054
15119905= 13871199053
e) momentele de inerție principale 1198681 și respectiv 1198682 se calculează cu relațiile
(438)
11986812 =119868119911 + 119868119910
2plusmn1
2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)
2+ 4 ∙ (119868119911119910)
2=
=3331199054 + 2081199054
2plusmn1
2∙ radic(3331199054 minus 2081199054)2 + 4 ∙ (minus151199054)2 = 27051199054 plusmn 16251199054
De unde obținem
1198681 = 27051199054 + 16251199054 = 4331199054
1198682 = 27051199054 minus 16251199054 = 1081199054
Prima direcție principală de inerție 1 face cu axa centrală 119866119911 unghiul 1205721 dat de
relația (437)
1205721 =1
2∙ arctan (minus
2 ∙ 119868119911119910
119868119911 minus 119868119910) =
1
2∙ arctan [minus
2 ∙ (minus151199054)
3331199054 minus 2081199054] =33 70
Deoarece 1205721 gt 0 rotirea axelor se face acircn sens antiorar acelor de ceasornic figura
49d
Poziția axe principale 2 față de care momentul de inerție are valoarea minimă
1198682 = 119868119898119894119899 este dată de unghiul
1205722 = 1205721 + 900 = 33 70 + 900 = 123 70
f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 se determină cu relația
(45)
1198781199111198602 = 1198602 ∙ 1198882 = 41199052 ∙ (minus15119905) = minus61199053
4 CARACTERISTICI GEOMETRICE ALE SECȚIUNILOR PLANE
41 Noţiuni introductive
Icircn relaţiile de calcul ale tensiunilor şi deformaţiilor elementelor de rezistenţă
pentru unele solicitări (icircncovoierea și torsiunea) secțiunile plane intervin atacirct prin
dimensiunile lor (aria 119860) cicirct și prin forma și poziția pe care o are secțiunea icircn raport cu
planul solicitării Mărimile care caracterizează o secțiune icircn raport cu forma și poziția față
de axele unui sistem de referință sunt denumite caracteristici geometrice de ordin
superior Aria secțiunii este caracteristica geometrică ce depinde doar de dimensiunile
geometrice ale acesteia
Să considerăm o grindă solicitată de o forță exterioară 119865 aşezată icircn două poziții icircn
raport cu planul forţei figura 41 Icircn urma aplicării forței deși avem aceeași grindă
(aceeași arie a secțiunii transversale) și aceeași forță se constată că pentru varianta din
figura 41a deformațiile sunt mult mai mari adică rezistența la icircncovoiere a grinzii din
figura 41a este mai mare decacirct icircn cazul grinzii din figura 41b Comportarea diferită se
explică prin aceea că modificarea poziţiei secţiunii transversale faţă de planul forţelor
modifică caracteristicile geometrice ale secţiunii transversale a grinzii
Fig 41 Grindă solicitată de forța 119865
Pentru realizarea calculelor de rezistenţă şi rigiditate este foarte importantă
cunoaşterea caracteristicilor geometrice ale suprafeţei secţiunii transversale a elementelor
de rezistenţă
Caracteristicile geometrice ale secţiunii transversale a unui element de rezistenţă
sunt
- aria secțiunii notată cu 119860
- momentul static icircn raport cu o axă notat 119878119911 și respectiv 119878119910
- momentul de inerție care poate fi
axial notat 119868119911 și respectiv 119868119910
centrifugal notat 119868119911119910
polar notat 119868119901
- raza de inerţie (giraţie)notată 119894119911 și respectiv 119894119910
- modulul de rezistență care poate fi
axial notat 119882119911 și respectiv 119882119910
polar notat 119882119901
42 Aria și momentul static al suprafețelor plane
Fie o suprafaţă plană de arie 119860 pe care se ia un element infinit mic de arie 119889119860 şi
un sistem de axe rectangulare 119911119874119910 figura 42 Notăm cu 119862 centrul de greutate al suprafeţei
119860 Poziţia suprafeţei elementare 119889119860 faţă de acelaşi sistem de coordonate 119911119874119910 este dată
de abscisa 119911 ordonata 119910 și raza polară
Fig 42 Suprafață plană de arie 119860
Aria suprafeţei 119860 figura 42 se defineşte ca fiind
119860 ≝ int 119889119860
119860
(41)
Aria suprafeţei este icircntotdeauna pozitivă și se măsoară icircn [1198981198982] Momentul static al suprafeţei de arie 119860 icircn raport cu axele 119874119911 și respectiv 119874119910
figura 42 sunt date de relaţiile
119878119911 ≝ int 119910 ∙ 119889119860
119860
119878119910 ≝ int 119911 ∙ 119889119860
119860
(42)
Momentul static poate fi pozitiv negativ sau nul şi se măsoară icircn [1198981198983] Coordonatele centrului de greutate ale suprafeței 119860 se detrmină cu relațiile
119910119862 ≝int 119910 ∙ 119889119860119860
119860 119911119862 ≝
int 119911 ∙ 119889119860119860
119860
(43)
Cunoscacircnd coordonatele 119910119862 și 119911119862 ale centrului de greutate 119862 al secțiunii 119860 atunci
momentele statice se pot determina cu relațiile
119878119911 ≝ int 119910 ∙ 119889119860
119860
= 119910119862 ∙ 119889119860 119878119910 ≝ int 119911 ∙ 119889119860
119860
= 119911119862 ∙ 119889119860 (44)
Aceste relații arată că momentul static al unei suprafețe icircn raport cu o axă este
egal cu produsul dintre aria suprafeței și distanța de la centrul ariei la axa respectivă
Dacă suprafaţa se poate descompune icircn 119899 suprafeţe simple la care se cunosc ariile
(1198601 1198602 ⋯ 119860119894⋯ 119860119899) și poziţiile centrelor de greutate 119862119894 faţă de sistemul de referinţă
expresiile momentelor statice capătă următoarea formă
119878119911 = sum 119910119862119894 ∙ 119860119894119899119894=1 = 119910119862 ∙ 119860 119878119910 = sum 119911119862119894 ∙ 119860119894
119899119894=1 = 119911119862 ∙ 119860 (45)
Din relaţiile (45) rezultă că poziţia centrului de greutate 119862 al unei suprafeţe
compuse poate fi determinată cu relaţiile
119910119862 = (sum119910119862119894 ∙ 119860119894
119899
119894=1
) 119860frasl 119911119862 = (sum119911119862119894 ∙ 119860119894
119899
119894=1
) 119860frasl (46)
Icircn relația (45) 119910119862119894 și respectiv 119911119862119894 reprezintă coordonatele centrelor de greutate 119862119894
ale fiecărei suprafețe simple 119860119894 icircn raport sistemul de axe 119911119874119910
Se constată (relaţia 42) că dacă axele sistemului de referinţă trec prin centrul de
greutate (119910119862 = 119911119862 = 0) momentele statice sunt nule Axele icircn raport cu care momentele
statice sunt nule şi care trec prin centrul de greutate al suprafeţei se numesc axe centrale
Observație dacă secțiunea compusă are o axă de simetrie centrul secțiunii se
găsește pe acea axă iar dacă secțiunea este dublu simetrică poziția centrului secțiunii este
la intersecția axelor de simetrie
43 Momente de inerţie
Momentele de inerţie axiale ale unei suprafețe se calculează icircn raport cu axele de
coordonate 119874119911 și respectiv 119874119910 figura 42 și se determină cu relațiile
119868119911 ≝ int 1199102 ∙ 119889119860
119860
119868119910 ≝ int 1199112 ∙ 119889119860
119860
(47)
Unde 119910 și 119911 sunt distanțele de la elementul de arie 119889119860 la cele două axe de
coordonate 119874119911 și respectiv 119874119910
Momentele de inerţie axiale se măsoară icircn [1198981198984] şi sunt icircntotdeauna pozitive (aria
119889119860 este icircntotdeauna pozitivă și este multiplicată cu patratul distanței 1199102 dacă 119868119911 sau 119868119910
sunt nule icircnseamnă ca secțiunea nu există)
Momentele de inerție axiale se calculează icircndeosebi pentru axele centrale (care
trec prin centrul secțiunii) deoarece icircn raport cu acele axe 119868119911 și 119868119910 au valori minime
Momentul de inerţie centrifugal calculat faţă ambele axe ale sistemului de
referinţă 119911119874119910 este definit de relația
119868119911119910 ≝ int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860
(48)
Momentul de inerţie centrifugal se măsoară icircn [1198981198984] şi poate fi pozitiv negativ
sau nul
Momentul de ineție centrifugal este nul 119868119911119910 = 0 dacă cel puțin una din axele 119874119911
sau 119874119910 este axă de simetrie pentru secțiune
Se consideră o suprafaţă dreptunghiulară pe care faţă de axa de simetrie 119874119910 se iau
două suprafeţe elementare de arie 119889119860 simetrice faţă de axa 119874119910 figura 43
Fig 43 Suprafață dreptunghiulară cu două arii elementare 119889119860
Făcacircnd suma momentelor de inerţie centrifugale pentru cele două suprafeţe
elementare 119889119860 (din stacircnga şi din dreapta faţă de axa 119874119910) se obţine
int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860119889119903
+ int (minus119911) ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860119904119905119892
= int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860119889119903
minus int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860119904119905119892
= 0 (49)
Acelaşi raţionament se poate face și pentru icircntreaga suprafaţă de unde obținem că
momentul de inerție centrifugal este nul 119868119911119910 = 0 Deci pentru o suprafaţă plană care
are cel puţin o axă de simetrie momentul de inerţie centrifugal faţă de sistemul care
conţine acea axă de simetrie este nul
Momentul de inerţie polar al unei suprafeţei icircn raport cu un punct (pol) 119874 figura
42 este definit prin relaţia
1198680 = 119868119901 ≝ int 1205882 ∙ 119889119860
119860
= int(1199102 + 1199112) ∙ 119889119860
119860
= 119868119911 + 119868119910 (410)
unde este distanţa de la polul 119874 la elementul de arie 119889119860 Momentul de inerţie polar se
măsoară icircn [1198981198984] şi este totdeauna pozitiv
Momentul de inerţie polar este egal cu suma momentelor de inerţie faţă de două axe
perpendiculare oarecare şi care trec prin polul considerat
Razele de giraţie sau razele de inerţie sunt mărimi calculate icircn raport cu axele
secțiunii și definite de relaţiile
119894119911 ≝ radic119868119911119860 119894119910 = radic
119868119910
119860 (411)
Se exprimă icircn [119898119898] şi sunt icircntotdeauna pozitive Semnificația unei raze de inerție
este distanța la care dacă ar fi concentrată icircntreaga arie s-ar obține același moment de
inerție ca și cel calculat pentru aria reală
44 Modulul de rezistenţă
Modulul de rezistență se calculează icircn raport cu axele de referință sau icircn raport cu
un pol figura 42 și pot fi axiale (119882119911119882119910) sau polar (119882119901) și se determină numai pe baza
momentelor de inerţie cu relațiile figura 43
119882119911119898119894119899 ≝119868119911119910119898119886119909
119882119911119898119886119909 ≝119868119911119910119898119894119899
(412)
119882119910119898119894119899 ≝119868119910
119911119898119886119909 119882119910119898119886119909 ≝
119868119910
119911119898119894119899 (413)
119882119901 ≝119868119901
120588119898119886119909 (414)
unde
119910119898119886119909 119910119898119894119899 reprezintă distanţa de la axa 119874119911 la punctele extreme cele mai
depărtate respectiv cele mai apropiate ale suprafeţei de această axă
119911119898119886119909 119911119898119894119899 reprezintă distanţa de la axa 119874119910 la punctele extreme cele mai
depărtate respectiv cele mai apropiate ale suprafeţei de această axă
120588119898119886119909 reprezintă distanța maximă de la polul 119874 la punctul secțiunii cel mai
icircndepărtat de acesta
Fig 43 Suprafață dreptunghiulară cu două arii elementare 119889119860
Modulele de rezistenţă se exprimă icircn [1198981198983] şi sunt icircntotdeauna pozitive
Explicația este aceea că momentele de inerție care intră icircn relațiile de definiție sunt
pozitive iar distanțele la punctele extreme sunt pozitive (119910119898119886119909 119910119898119894119899 119911119898119886119909 119911119898119894119899 120588119898119886119909 se
iau icircn valoare absolută)
Icircn cazul suprafeţelor compuse modulul de rezistenţă nu se obţine prin icircnsumarea
algebrică a modulelor de rezistenţă ale suprafeţelor simple componente ci numai prin
intermediul momentului de inerţie axial calculat pentru icircntreaga secțiune
Ca și momentele de inerție modulele de rezistență se calculează numai pentru
sistemele de axe centrale
45 Momente de inerţie şi module de rezistenţă pentru suprafeţe simple
451 Secțiune dreptunghiulară
Fie suprafaţa dreptunghiulară din figura 44 de icircnălțime ℎ și lățime 119887 pe care se
consideră suprafaţă elementară de arie 119889119860 = 119887119889119910 la distanța 119910 de axa 119862119911 sistemul de
axe 119911119862119910 trece prin centrul secțiunii iar axele sunt axe de simetrie pentru dreptunghi
Fig 44 Suprafață dreptunghiulară
Pe baza relațiilor de definiți a momentului de inerție 119868119911 se obține
119868119911 ≝ int 1199102 ∙ 119889119860
119860
= int 1199102 ∙ 119887 ∙ 119889119910 = 2int 1199102 ∙ 119887 ∙ 119889119910 = 2 ∙ 119887 ∙1199103
3|ℎ 2frasl
0rArr
ℎ 2frasl
0
ℎ 2frasl
minusℎ 2frasl
rArr 119868119911 =119887 ∙ ℎ3
12
(415)
Analog pentru un element de arie 119889119860 = ℎ ∙ 119889119911 paralel cu axa 119862119910 situat la distanța
119911 de axa 119862119910
119868119910 ≝ int 1199112 ∙ 119889119860
119860
= int 1199112 ∙ ℎ ∙ 119889119911 = 2int 1199112 ∙ ℎ ∙ 119889119910 = 2 ∙ ℎ ∙1199113
3|119887 2frasl
0rArr
119887 2frasl
0
119887 2frasl
minus119887 2frasl
rArr 119868119910 =1198873 ∙ ℎ
12
(416)
Deoarece axele 119862119911 și 119862119910 sunt axe de simetrie momentul de inerție centrifugal este
119868119911119910 = 0 (417)
Pentru un pătrat avacircnd laturile egale (ℎ = 119887 = 119886) momentele de inerţie faţă de
axele centrale au expresia
119868119911 = 119868119910 =1198864
12 (418)
Modulele de rezistență axiale se calculează cu relațiile de definiție ținacircnd cont că
distanțele pacircnă la fibrele extreme sunt
119910119898119886119909 = 119910119898119894119899 =ℎ
2 119911119898119886119909 = 119911119898119894119899 =
119887
2 (419)
Obținem
119882119911119898119894119899 = 119882119911119898119886119909 =119868119911
119910119898119886119909119898119894119899=119887 ∙ ℎ3
12frasl
ℎ2frasl
=119887 ∙ ℎ2
6
119882119910119898119894119899 = 119882119910119898119886119909 =119868119910
119911119898119886119909119898119894119899=1198873 ∙ ℎ
12frasl
1198872frasl
=1198872 ∙ ℎ
6
(420)
452 Suprafaţă circulară
Din motive de simetrie pentru suprafeţele circulare momentele de inerţie faţă de
orice diametru (care reprezintă şi axe centrale) sunt aceleaşi
Considerăm o secțiune circulară plină cu diametrul 119889 și centrul de greutate 119862 Prin
centrul de greutate 119862 trece sistemul de axe ortogonal 119911119862119910 figura 45
Fig 45 Suprafață circulară
La distanța de centrul de greutate 119862 vom lua un element de suprafață mic de arie
(119889119860) de forma unui inel de grosime 119889 Elementul de arie 119889119860 are expresia
119889119860 = (2 ∙ 120587 ∙ 120588) ∙ (119889120588)
Pornind de la relația de definiție a momentului de inerție polar obținem
119868119901 ≝ int 1205882 ∙ 119889119860
119860
= int 1205882 ∙ (2 ∙ 120587 ∙ 120588) ∙ 119889120588
119903=119889 2frasl
0
= 2 ∙ 120587 ∙1205884
4|119889 2frasl0 rArr
rArr 119868119901 =120587 ∙ 1198894
32
(421)
Secțiunea este perfect simetrică deci sunt valabile relațiile
119868119911 = 119868119910 rArr 119868119901 = 119868119911 + 119868119910 = 2 ∙ 119868119911 = 2 ∙ 119868119910 =119868119901
2=120587 ∙ 1198894
64 (422)
Și modulele de rezistenţă faţă de orice diametru sunt egale şi se calculează cu
relaţiile
119882119911 = 119882119910 =1198681199111198892frasl=120587 ∙ 1198893
32 (423)
Modulul de rezistenţă polar este
119882119901 =1198681199011198892frasl=120587 ∙ 1198893
16 (424)
453 Secţiune inelară
Calculul momentelor de inerţie axiale pentru o secţiune inelară avacircnd diametrul
interior 119889 şi diametrul exterior 119863 se determină analog pentru suprafaţa circulară plină cu
observaţia că integrala pentru calculul momentului de inerție polar 119868119901 se face icircntre
limitele 119903 = 119889 2frasl şi R= 1198632frasl (icircntre raza interioară 119903 şi raza exterioară 119877) figura 46
Se obţin relaţiile
119868119901 =120587 ∙ 1198634
32∙ [1 minus (
119889
119863)4
] =120587 ∙ 1198634
32∙ (1 minus 1198964) (425)
119868119910 = 119868119910 =120587 ∙ 1198634
64∙ [1 minus (
119889
119863)4
] =120587 ∙ 1198633
64∙ (1 minus 1198964) (426)
Fig 46 Secțiune inelară
119882119901 =120587 ∙ 1198633
16∙ [1 minus (
119889
119863)4
] =120587 ∙ 1198633
16∙ (1 minus 1198964) (427)
119882119911 = 119882119910 =120587 ∙ 1198633
32∙ [1 minus (
119889
119863)4
] =120587 ∙ 1198633
32∙ (1 minus 1198964) (428)
unde 119896 = 119889119863frasl
46 Variaţia momentelor de inerţie faţă de axe paralele
( Relațiile lui STEINER)
Se consideră o suprafaţă oarecare de arie 119860 cu elementul de arie 119889119860 și un sistemul
de axe central 119911119862119910 faţă de care se cunosc momentele de inerţie 119868119911 119868119910 119868119911119910 şi considerăm
un sistem de axe 11991111198741199101 paralele cu sistemul central figura 47 Se pune problema
determinării momentele de inerţie 1198681199111 1198681199101 11986811991111199101 faţă de sistemul de axe paralel cu sistemul
central 11991111198741199101 axe aflate la distanţele 119910119862 = 119888 respectiv 119911119862 = 119889 de acesta
461 Momente de inerţie axiale
Pe baza relaţiilor de definire şi a notaţiilor din figura 42 pentru momentele de
inerţie faţă de axele 1198741199111 1198741199101 se poate scrie
1198681199111 = int 11991012 ∙ 119889119860
119860
= int(119910 + 119888)2 ∙ 119889119860
119860
= int 1199102 ∙ 119889119860
119860
+ 2 ∙ 119888 ∙ int 119910 ∙ 119889119860
119860
+
+1198882int 119889119860
119860
rArr 1198681199111 = 119868119911 + 2 ∙ 119888 ∙ 119878119911 + 1198882 ∙ 119860 hArr 1198681199111 = 119868119911 + 119888
2 ∙ 119860
(429)
Fig 47 Variaţia momentelor de inerţie față de axe paralele
S-a ajuns la relația (429) deoarece momentul static 119878119911 este nul deoarece axa 119862119885
este axă centrală
Pentru momentul de inerție axial icircn raport cu axa 1198741199101 se obține
1198681199101 = int 11991112 ∙ 119889119860
119860
= int(119911 + 119889)2 ∙ 119889119860
119860
= int 1199112 ∙ 119889119860
119860
+ 2 ∙ 119889 ∙ int 119911 ∙ 119889119860
119860
+
+1198892 ∙ int 119889119860
119860
rArr 1198681199101 = 119868119910 + 2 ∙ 119889 ∙ 119878119910 + 1198892 ∙ 119860 hArr 1198681199101 = 119868119910 + 119889
2 ∙ 119860
(430)
Pentru momentul de inerție centrifugal obținem
11986811991111199101 = int 1199101 ∙ 1199111 ∙ 119889119860
119860
= int(119910 + 119888) ∙ (119911 + 119889) ∙ 119889119860
119860
= int 119910 ∙ 119911 ∙ 119889119860 +
119860
+119888 ∙ int 119911 ∙ 119889119860
119860
+ 119889 ∙ int 119910 ∙ 119889119860
119860
rArr 11986811991111199101 = 119868119911119910 + 119888 ∙ 119889 ∙ 119860
(431)
Deoarece
int 119911 ∙ 119889119860
119860
= 119878119910 = 0 int 119910 ∙ 119889119860
119860
= 119878119911 = 0 int 119910 ∙ 119911 ∙ 119889119860
119860
= 119868119911119910
Relaţiile (429) şi (430) arată că momentul de inerţie faţă de o axă oarecare
este egal cu momentul de inerţie faţă de o axă paralelă cu ea trecacircnd prin centrul de
greutate la care se adaugă produsul dintre aria suprafeţei şi pătratul distanţei dintre
cele două axe
Din relaţiile (429) și (430) rezultă de asemenea că momentul de inerţie faţă de o
axă centrală (care trece prin centrul de greutate) este cel mai mic dintre infinitatea de
momente de inerţie obținute faţă de alte axe paralele cu ea
Relaţia (431) arată de asemenea că momentul de inerţie centrifugal faţă de un
sistem de axe oarecare este egal cu momentul de inerţie centrifugal faţă de un sistem
paralele cu el trecacircnd prin centrul de greutate a suprafeţei la care se adaugă produsul
dintre aria suprafeţei şi distanţele dintre axele sistemelor respective
Icircn literatura de specialitate relaţiile (429) (430) şi (431) sunt cunoscute sub
numele de relaţiile lui Steiner
47 Variaţia momentrlor de inerţie faţă de axe rotite
Direcţii principale şi momente de inerţie principale
Fie suprafaţa plană din figura 48 de arie 119860 pe care considerăm o suprafaţă
elementară de arie 119889119860 Pentru sistemul de axe 119911119874119910 se cunosc momentele de inerţie
119868119911 119868119910 119868119911119910 şi vom determina relaţiile de calcul pentru momentele de inerţie afererent unui
sistem de axe 11991111198741199101 rotit cu un unghi faţă de sistemul central
Faţă de sistemul de axe 11991111198741199101 elementul de arie 119889119860 are coordonatele
1199101 = 119875119877 = 119875119876 minus 119877119876 = 119910 ∙ cos 120572 minus 119911 ∙ sin 120572
1199111 = 119873119872 = 119873119875 minus 119875119872 = 119911 ∙ cos 120572 + 119910 ∙ sin 120572 (432)
Fig 47 Variaţia momentelor de inerţie față de axe rotite
Pe baza relaţiilor de calcul ale momentelor de inerţie şi a notaţiilor din figura 42
şi ale relaţiilor (432) momentele de inerţie faţă de sistemul de axe rotit 11991111198741199101 sunt
1198681199111 =119868119911 + 119868119910
2+119868119911 minus 119868119910
2∙ cos 2120572 minus 119868119911119910 ∙ sin 2120572 (433)
1198681199101 =119868119911 + 119868119910
2minus119868119911 minus 119868119910
2∙ cos 2120572 + 119868119911119910 ∙ sin 2120572 (434)
11986811991111199101 =119868119911 minus 119868119910
2∙ sin 2120572 + 119868119911119910 ∙ cos 2120572 (435)
Din relaţiile 433divide435 se observă că icircntre momentele de inerţie axiale şi cele
polare există relaţia
1198681199111 + 1198681199101 = 119868119911 + 119868119910 = 119868119901 (436)
adică suma momentelor de inerţie axiale icircn raport cu orice pereche de axe ortogonale
care trec printr-un pol dat este o constantă şi egală cu momentul de inerţie polar
Prin rotirea sistemului de axe din relaţiile 433divide435 rezultă că momentele de inerţie
variază icircnsă suma lor rămacircne constantă deci există o poziţie a sistemului de axe pentru
care momentele de inerţie au valori extreme maxim respectiv minim
471 Direcţii principale de inerţie
Valoarea unghiului 120572 pentru care momentele de inerţie axiale au valori extreme
este
1205721 =1
2∙ 119886119903119888119905119886119899 (minus
2 ∙ 119868119911119910
119868119911 minus 119868119910) (437)
Poziţia celeilalte direcţii este perpendiculară pe cea dată de unghiul 1205721
Din relaţia (437) se constată că faţă de aceste direcţii rotite pentru care momentele
de inerţie axiale prezintă valori extreme momentul de inerţie centrifugal 11986811991111199101este nul
Atunci se poate afirma că momentele de inerţie axiale au valori extreme icircn raport cu
direcţiile faţă de care momentul de inerţie centrifugal este nul Aceste direcţii se numesc
direcţii principale iar momentele de inerţie faţă de aceste direcţii poartă numele de
momente de inerţie principale
Icircn calculele de rezistenţă interesează icircn mod special poziţia direcţiilor principale
care trec prin centrul de greutate al suprafeţei aşa numitele direcţii principale centrale şi
evident momentele de inerţie principale centrale
Direcţiile principale de inerţie se notează cu 1 respectiv 2 Axa principală 1
corespunde direcţiei faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea maximă iar
axa principală 2 pentru direcţia faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea
minimă
472 Momente de inerţie principale
Momentele de inerţie principale se notează cu litera 119868 la care se pune indicele 1
sau 2 după cum valoarea acestuia este maximă sau minimă deci avem un moment de
inerţie principal 1 (notat 1198681) respectiv moment de inerţie principal 2 (notat 1198682)
Expresiile pentru momentele de inerţie principale sunt
11986812 =119868119911 + 119868119910
2plusmn1
2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)
2+ 4 ∙ (119868119911119910)
2 (438)
Dacă momentul de inerţie centrifugal este negativ (119868119911119910 lt 0) direcţia principală
care trece prin primul cadran (definit de sistemul 119911119862119910) este direcţia principală 120783
Pentru suprafeţele cu cel puţin o axă de simetrie direcţiile centrale 119862119911 119862119910 sunt şi
direcții principale de inerţie și evident momentele de inerţie axiale 119868119911 119868119910 sunt momente
de inerţie principale
48 Caracteristici mecanice ale metalelor
Alegerea materialului pentru confecţionarea unei anumite piese se face şi pe baza
aşa numitelor caracteristici mecanice pe care le prezintă materialul Cunoaşterea acestor
caracteristici mecanice are loc numai pe baza unor icircncercări mecanice care să scoată icircn
evidenţă comportarea materialului icircn condiţii de solicitare
Cea mai utilizată icircncercare icircn urma căreia se pun icircn evidenţă caracteristicile
mecanice ale unui material este icircncercarea la tracţiune
481 Icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general
Icircncercarea la tracţiune a oţelului ca de altfel toate icircncercările de materiale este
standardizată
Icircn cele ce urmează se va prezenta numai partea care interesează strict din punct
de vedere al caracteristicilor mecanice ale oţelului
Epruveta de diametru iniţial 1198890 pentru icircncercarea la tracţiune are o porţiune de
lungime 1198710 numită baza de măsurare pe care se măsoară lungirea acesteia sub acţiunea
solicitării
Icircn funcţie de raportul dintre baza de măsurare 1198710 şi diametrul iniţial 1198890 epruvetele
utilizate pentru icircncercări sunt
epruvete normale (scurte) cacircnd 11987101198890 = 5
epruvete lungi cacircnd 11987101198890 = 10
Icircn timpul icircncercării la diferite valori ale forţei 119865 se măsoară lungirea bazei de
măsurare
∆119871 = 120575 = 119871 minus 1198710 (439)
unde
119871 este dimensiunea bazei de măsurare la un moment dat
Curba forţă-lungire (119865 minus ) icircnregistrată icircn urma icircncercării reprezintă curba
caracteristică la tracţiune
La icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general diagrama caracteristică care se
obţine are forma din figura 48
Curba caracteristică la tracţiune depinde de lungimea bazei de măsurare Pentru
icircnlăturarea acestui neajuns curba caracteristică se reprezintă icircn coordonate şi definite
astfel
120590 =119865
1198600 휀 =
120575
1198710 (440)
unde
1198600 este aria iniţială a secţiunii transversale a epruvetei (icircnainte de solicitare) icircn
zona bazei de măsurare
1198600 =120587 ∙ 1198890
2
4
Deoarece mărimile icircn care se reprezintă curba caracteristică la tracţiune sunt
raportate la aria iniţială a secţiunii transversale (mărimi specifice) curba poartă numele
de curbă caracteristică convenţională la tracţiune
Fig 48 Curba caracteristică convenţională la tracțiune
Pe curba caracteristică convenţională la tracţiune figura 48 se pot stabili o serie
de puncte cărora le corespund mai multe mărimi importante
Ordonata punctului A pacircnă unde curba caracteristică convenţională este linie
dreaptă se numeşte limita de proporţionalitate a materialului 120590119901(1205901) Porţiunea 119874119860 este
zona de proporţionalitate a curbei caracteristice pe acest domeniu este valabilă legea lui
Hooke care exprimă o proporţionalitate icircntre tensiune şi deformaţie specifică
120590 = 119864 ∙ 휀 (441)
unde
119864 = reprezintă panta porţiunii liniare a curbei convenționale caracteristice
la tracțiune Caracteristica de material 119864 se numeşte modul de elasticitate longitudinal
(modulul lui Young)
Ordonata punctului 119861 pacircnă unde materialul se comportă perfect elastic adică
după descărcare icircşi recapătă dimensiunea iniţială 1198710 se numeşte limita de elasticitate
120590119890(119877119890) Icircn realitate nici un material nu are comportare perfect elastică sub acţiunea
solicitărilor el capătă deformaţii permanente (remanente plastice)
După punctul 119861 urmează o porţiune 119861119862119863 icircn care cu toate că icircncărcarea
continuă forţa nu mai creşte avacircnd mici oscilaţii icircn jurul unei valori Se spune că icircn
această porţiune materialul curge iar intervalul 119861119862119863 este un palier de curgere Tensiunea
corespunzătoare palierului de curgere se numeşte limită de curgere aparentă 120590119888(119877119888) Limita de curgere aparentă se calculează cu relaţia
120590119888 =1198651198881198600 (442)
unde
119865119888 reprezintă valoarea forţei icircnregistrată icircn momentul curgerii materialului
După punctul 119863 curba caracteristică are un traseu ascendent pacircnă icircn punctul 119864
Porţiunea 119863119864 este numită zonă de icircntărire (ecruisare) Icircn zona de ecruisare unde se
produc deformaţii plastice semnificative legea lui Hooke nu mai este valabilă La
descărcare relaţia dintre tensiunea şi deformaţia specifică este liniară paralelă cu
porţiunea liniară a curbei caracteristice (dreapta 119872119873)
Deformaţia totală (휀119905) are două componente una elastică (휀119890) şi una plastică (휀119901)
Ordonata punctului 119864 reprezintă rezistenţa de rupere 120590119903(119877119898) a materialului
care se poate calcula cu relaţia
120590119903 = 119877119898 =1198651198981198861199091198600
(443)
unde
119865119898119886119909 reprezintă valoarea maximă a forţei icircnregistrată icircn timpul icircncercării
La atingerea valorii 119865119898119886119909 (punctul 119864) icircntr-un anumit loc al epruvetei secţiunea
icircncepe să se micşoreze (se produce gacirctuirea) continuacircnd pacircnă cacircnd se produce ruperea
totală (punctul 119865)
Dacă după ruperea epruvetei cele două părţi rezultate se aşează cap la cap şi se
măsoară dimensiunea bazei de măsurare 119871119906 (lungimea ultimă) se determină alungirea la
rupere sau lungirea specifică la rupere 휀119903
휀119903 =119871119906 minus 11987101198710
=∆119871
1198710=120575
1198710 (444)
De obicei alungirea se exprimă icircn procente şi se notează cu 119860119899 unde 119899 reprezintă
numărul dat de raportul 11987101198890 (epruvete normale 119899 = 5 epruvete lungi 119899 = 10)
119860119899 =119871119906 minus 11987101198710
∙ 100 [] (445)
Altă mărime care se determină la icircncercarea la tracţiune este gacirctuirea la rupere
(exprimată de obicei icircn procente) şi definită de relaţia
119885 =1198600 minus 1198601199061198600
∙ 100 [] (446)
Mărimile determinate limita de proporţionalitate modulul de elasticitate
longitudinal limita de elasticitate limita de curgere aparentă rezistenţa de rupere
alungirea la rupere şi gacirctuirea la rupere sunt cunoscute ca fiind caracteristici mecanice
ale materialului
Din curba caracteristică convenţională observăm faptul că ruperea (punctul 119865 din
figura 48 se produce la o tensiune mai mică decacirct cea corespunzătoare punctului 119864 Dacă
icircnsă forţa din timpul icircncercării s-ar raporta la aria secţiunii din momentul icircnregistrării
forţei (care este mai mică decacirct cea iniţială 1198600) s-ar obţine aşa numita curbă
caracteristică reală a materialului (traseul 1198741198601198611198621198631198651 din figura 48) La curba
caracteristică reală ruperea se produce icircn punctul 1198651 la o icircncărcare mai mare decacirct cea
corespunzătoare punctului 119864 Icircnseamnă că rezistenţa reală la rupere este mai mare decacirct
rezistenţa la rupere dată de punctul 119864 din diagrama caracteristică convenţională
Dificultatea obţinerii diagramei caracteristice reale faţă de cea a diagramei caracteristice
convenţionale şi considerarea unei rezistenţe la rupere mai mică decacirct a celei reale face
icircn practică utilizarea pe scară mare a diagramei caracteristice convenţionale
Caracteristicile mecanice determinate pe baza curbei caracteristice convenţionale
sunt şi ele caracteristici mecanice convenţionale
Caracteristicile mecanice convenţionale limita de proporţionalitate convenţională
120590119901 limita de elasticitate convenţională 120590119890 limita de curgere convenţională 120590119888 şi rezistenţa
de rupere 120590119903 constituie tensiuni limită pentru un material Pe baza acestor caracteristici
de material se alege valoarea tensiunii admisibile 120590119886 (vezi paragraful 35) pentru
calculele de rezistenţă Cea mai utilizată stare limită pentru stabilirea tensiunii admisibile
120590119886 este limita de curgere convenţională 120590119888
120590119886 =120590119897119894119898119888
=120590119888119888 119904119886119906 120590119886 =
120590119903119888 (447)
Caracteristicile mecanice ale materialului sunt influenţate de o serie de factori
temperatura viteza de solicitare factorii tehnologici iar valorile lor sunt date icircn tabele și
diagrame
Aplicaţie Pentru suprafaţa plană compusă din două dreptunghiuri avacircnd
dimensiunile din figura 49a să se calculeze
a) centrul de greutate al secțiunii compuse 119910119866 119911119866
b) momentele de inerție axiale 119868119911 119868119910 și momentul de inerție centrifugal 119868119911119910
c) razele de inerție 119894119911 119894119910
d) modulele de rezistență 119882119911119898119894119899 119882119911119898119886119909 119882119910119898119894119899 119882119910119898119886119909
e) momentele de inerție principale 1198681 1198682 și direcțiile principale de inerție 1205721
f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 119878119911
Fig 49 Aplicație
Rezolvare Pentru rezolvare vom parcurge următoarele etape
icircmpărțim suprafața compusă icircn două suprafețe simple (dreptunghiuri) notate cu
① și respectiv ② figura 49b
poziționăm centrele de greutate a celor două suprafețe simple ① și respectiv ②
notate cu 1198661 și respectiv 1198662 figura 49c
poziționăm sistemele de axe de coordonate 119911111986611199101 pentru dreptunghiul ① și
119911211986621199102 pentru dreptunghiul ② aflate la intersecția diagonalelor figura 49c
poziționăm sistemele de axe de coordonate 11991101198741199100 ales arbitrar față de care
determinăm poziția centrului de greutate 119866 figura 49c
a) calculăm poziția centrului de greutate folosind relațiile (46) icircn care
1198601 = 6119905 ∙ 119905 = 61199052 1198602 = 4119905 ∙ 119905 = 41199052 119860 = 1198601 + 1198602 = 61199052 + 41199052 = 101199052
iar centrele de greutate 1198661 și respectiv 1198662 au coordonatele (față de sistemul 11991101198741199100)
1198661 1199101 = 3119905 1199111 = 05119905
1198662 1199102 = 051199051199112 = 3119905
cu acestea obținem
119910119866 =1198601 ∙ 1199101 + 1198602 ∙ 1199102
119860=61199052 ∙ 3119905 + 41199052 ∙ 05119905
101199052=201199053
101199052= 2119905
119911119866 =1198601 ∙ 1199111 + 1198602 ∙ 1199112
119860=61199052 ∙ 05119905 + 41199052 ∙ 3119905
101199052=151199053
101199052= 15119905
Poziționăm centrul de greutate 119866 al suprafeței compuse figura 49c
Fig 49 Aplicație
b) pentru determinarea momentelor de inerție axiale 119868119911 119868119910 și a momentului de
inerție centrifugal 119868119910119911 determinăm constantele 1198881 1198882 1198891 1198892 care intervin icircn relația lui
Stainer
1198881 = 1199101 minus 119910119866 = 3119905 minus 2119905 = 119905 1198882 = minus(119910119866 minus 1199102) = minus(2119905 minus 05119905) = minus15119905
1198891 = minus(119911119866 minus 1199111) = minus(15119905 minus 05119905) = minus119905 1198892 = 1199112 minus 119911119892 = 3119905 minus 15119905 = 15119905
Folosind relațiile lui Stainer (429) (430) și (431) calculăm momentele de
inerție axiale și centrifugale față de sistemul central 119911119866119866119910119866
119868119911 =sum(119868119911119894 + 1198881198942 ∙ 119860119894) = 1198681199111 + 1198881
2 ∙ 1198601 + 1198681199112 + 11988822 ∙ 1198602
119868119910 =sum(119868119910119894 + 1198891198942 ∙ 119860119894) = 1198681199101 + 1198891
2 ∙ 1198601 + 1198681199102 + 11988922 ∙ 1198602
119868119911119910 =sum(119868119911119894119910119894 + 119888119894 ∙ 119889119894 ∙ 119860119894) = 11986811991111199101 + 1198881 ∙ 1198891 ∙ 1198601 + 11986811991121199102 + 1198882 ∙ 1198892 ∙ 1198602
1198681199111 = (119887 ∙ ℎ3
12) =
119905 ∙ (6119905)3
12= 181199054 1198681199112 = (
119887 ∙ ℎ3
12) =
4119905 ∙ 1199053
12= 031199054
1198681199101 = (1198873 ∙ ℎ
12) =
1199053 ∙ 6119905
12= 051199054 1198681199102 = (
1198873 ∙ ℎ
12) =
(4119905)3 ∙ 119905
12= 531199054
11986811991111199101 = 11986811991121199102 = 0 deoarece cele două triunghiuri au cel puțin o axă de simetrie
Cu acestea momentele de inerție axiale și momentul de inerție centrifugal devin
119868119911 = 181199054 + 1199052 ∙ 61199052 + 031199054 + (minus15119905)2 ∙ 41199052 = 3331199054
119868119910 = 051199054 + (minus119905)2 ∙ 61199052 + 531199054 + (15119905)2 ∙ 41199052 = 2081199054
119868119911119910 = 0 + 119905 ∙ (minus119905) ∙ 61199052 + 0 + (minus15119905) ∙ (15119905) ∙ 41199052 = minus151199054
c) razele de inerție sau de girație față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910
se calculează cu relațiile (411)
119894119911 = radic119868119911119860= radic
3331199054
101199052= 182119905 119894119910 = radic
119868119910
119860= radic
2081199054
101199052= 144119905
d) modulele de rezistență față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910 se
calculează cu relațiile (412) și (413)
Avacircnd icircn vedere figura 419c obținem
119910119898119886119909 = 6119905 minus 119910119866 = 6119905 minus 2119905 = 4119905 119910119898119894119899 = minus119910119866 = minus2119905
119911119898119886119909 = 5119905 minus 119911119866 = 5119905 minus 15119905 = 35119905 119911119898119894119899 = minus119911119866 = minus15119905
Se obține astfel
119882119911119898119894119899 =119868119911
|119910119898119886119909|=3331199054
4119905= 8331199053
119882119911119898119886119909 =119868119911
|119910119898119894119899|=3331199054
2119905= 16651199053
119882119910119898119894119899 =119868119910
|119911119898119886119909|=2081199054
35119905= 5941199053
119882119910119898119886119909 =119868119910
|119911119898119894119899|=2081199054
15119905= 13871199053
e) momentele de inerție principale 1198681 și respectiv 1198682 se calculează cu relațiile
(438)
11986812 =119868119911 + 119868119910
2plusmn1
2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)
2+ 4 ∙ (119868119911119910)
2=
=3331199054 + 2081199054
2plusmn1
2∙ radic(3331199054 minus 2081199054)2 + 4 ∙ (minus151199054)2 = 27051199054 plusmn 16251199054
De unde obținem
1198681 = 27051199054 + 16251199054 = 4331199054
1198682 = 27051199054 minus 16251199054 = 1081199054
Prima direcție principală de inerție 1 face cu axa centrală 119866119911 unghiul 1205721 dat de
relația (437)
1205721 =1
2∙ arctan (minus
2 ∙ 119868119911119910
119868119911 minus 119868119910) =
1
2∙ arctan [minus
2 ∙ (minus151199054)
3331199054 minus 2081199054] =33 70
Deoarece 1205721 gt 0 rotirea axelor se face acircn sens antiorar acelor de ceasornic figura
49d
Poziția axe principale 2 față de care momentul de inerție are valoarea minimă
1198682 = 119868119898119894119899 este dată de unghiul
1205722 = 1205721 + 900 = 33 70 + 900 = 123 70
f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 se determină cu relația
(45)
1198781199111198602 = 1198602 ∙ 1198882 = 41199052 ∙ (minus15119905) = minus61199053
42 Aria și momentul static al suprafețelor plane
Fie o suprafaţă plană de arie 119860 pe care se ia un element infinit mic de arie 119889119860 şi
un sistem de axe rectangulare 119911119874119910 figura 42 Notăm cu 119862 centrul de greutate al suprafeţei
119860 Poziţia suprafeţei elementare 119889119860 faţă de acelaşi sistem de coordonate 119911119874119910 este dată
de abscisa 119911 ordonata 119910 și raza polară
Fig 42 Suprafață plană de arie 119860
Aria suprafeţei 119860 figura 42 se defineşte ca fiind
119860 ≝ int 119889119860
119860
(41)
Aria suprafeţei este icircntotdeauna pozitivă și se măsoară icircn [1198981198982] Momentul static al suprafeţei de arie 119860 icircn raport cu axele 119874119911 și respectiv 119874119910
figura 42 sunt date de relaţiile
119878119911 ≝ int 119910 ∙ 119889119860
119860
119878119910 ≝ int 119911 ∙ 119889119860
119860
(42)
Momentul static poate fi pozitiv negativ sau nul şi se măsoară icircn [1198981198983] Coordonatele centrului de greutate ale suprafeței 119860 se detrmină cu relațiile
119910119862 ≝int 119910 ∙ 119889119860119860
119860 119911119862 ≝
int 119911 ∙ 119889119860119860
119860
(43)
Cunoscacircnd coordonatele 119910119862 și 119911119862 ale centrului de greutate 119862 al secțiunii 119860 atunci
momentele statice se pot determina cu relațiile
119878119911 ≝ int 119910 ∙ 119889119860
119860
= 119910119862 ∙ 119889119860 119878119910 ≝ int 119911 ∙ 119889119860
119860
= 119911119862 ∙ 119889119860 (44)
Aceste relații arată că momentul static al unei suprafețe icircn raport cu o axă este
egal cu produsul dintre aria suprafeței și distanța de la centrul ariei la axa respectivă
Dacă suprafaţa se poate descompune icircn 119899 suprafeţe simple la care se cunosc ariile
(1198601 1198602 ⋯ 119860119894⋯ 119860119899) și poziţiile centrelor de greutate 119862119894 faţă de sistemul de referinţă
expresiile momentelor statice capătă următoarea formă
119878119911 = sum 119910119862119894 ∙ 119860119894119899119894=1 = 119910119862 ∙ 119860 119878119910 = sum 119911119862119894 ∙ 119860119894
119899119894=1 = 119911119862 ∙ 119860 (45)
Din relaţiile (45) rezultă că poziţia centrului de greutate 119862 al unei suprafeţe
compuse poate fi determinată cu relaţiile
119910119862 = (sum119910119862119894 ∙ 119860119894
119899
119894=1
) 119860frasl 119911119862 = (sum119911119862119894 ∙ 119860119894
119899
119894=1
) 119860frasl (46)
Icircn relația (45) 119910119862119894 și respectiv 119911119862119894 reprezintă coordonatele centrelor de greutate 119862119894
ale fiecărei suprafețe simple 119860119894 icircn raport sistemul de axe 119911119874119910
Se constată (relaţia 42) că dacă axele sistemului de referinţă trec prin centrul de
greutate (119910119862 = 119911119862 = 0) momentele statice sunt nule Axele icircn raport cu care momentele
statice sunt nule şi care trec prin centrul de greutate al suprafeţei se numesc axe centrale
Observație dacă secțiunea compusă are o axă de simetrie centrul secțiunii se
găsește pe acea axă iar dacă secțiunea este dublu simetrică poziția centrului secțiunii este
la intersecția axelor de simetrie
43 Momente de inerţie
Momentele de inerţie axiale ale unei suprafețe se calculează icircn raport cu axele de
coordonate 119874119911 și respectiv 119874119910 figura 42 și se determină cu relațiile
119868119911 ≝ int 1199102 ∙ 119889119860
119860
119868119910 ≝ int 1199112 ∙ 119889119860
119860
(47)
Unde 119910 și 119911 sunt distanțele de la elementul de arie 119889119860 la cele două axe de
coordonate 119874119911 și respectiv 119874119910
Momentele de inerţie axiale se măsoară icircn [1198981198984] şi sunt icircntotdeauna pozitive (aria
119889119860 este icircntotdeauna pozitivă și este multiplicată cu patratul distanței 1199102 dacă 119868119911 sau 119868119910
sunt nule icircnseamnă ca secțiunea nu există)
Momentele de inerție axiale se calculează icircndeosebi pentru axele centrale (care
trec prin centrul secțiunii) deoarece icircn raport cu acele axe 119868119911 și 119868119910 au valori minime
Momentul de inerţie centrifugal calculat faţă ambele axe ale sistemului de
referinţă 119911119874119910 este definit de relația
119868119911119910 ≝ int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860
(48)
Momentul de inerţie centrifugal se măsoară icircn [1198981198984] şi poate fi pozitiv negativ
sau nul
Momentul de ineție centrifugal este nul 119868119911119910 = 0 dacă cel puțin una din axele 119874119911
sau 119874119910 este axă de simetrie pentru secțiune
Se consideră o suprafaţă dreptunghiulară pe care faţă de axa de simetrie 119874119910 se iau
două suprafeţe elementare de arie 119889119860 simetrice faţă de axa 119874119910 figura 43
Fig 43 Suprafață dreptunghiulară cu două arii elementare 119889119860
Făcacircnd suma momentelor de inerţie centrifugale pentru cele două suprafeţe
elementare 119889119860 (din stacircnga şi din dreapta faţă de axa 119874119910) se obţine
int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860119889119903
+ int (minus119911) ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860119904119905119892
= int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860119889119903
minus int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860119904119905119892
= 0 (49)
Acelaşi raţionament se poate face și pentru icircntreaga suprafaţă de unde obținem că
momentul de inerție centrifugal este nul 119868119911119910 = 0 Deci pentru o suprafaţă plană care
are cel puţin o axă de simetrie momentul de inerţie centrifugal faţă de sistemul care
conţine acea axă de simetrie este nul
Momentul de inerţie polar al unei suprafeţei icircn raport cu un punct (pol) 119874 figura
42 este definit prin relaţia
1198680 = 119868119901 ≝ int 1205882 ∙ 119889119860
119860
= int(1199102 + 1199112) ∙ 119889119860
119860
= 119868119911 + 119868119910 (410)
unde este distanţa de la polul 119874 la elementul de arie 119889119860 Momentul de inerţie polar se
măsoară icircn [1198981198984] şi este totdeauna pozitiv
Momentul de inerţie polar este egal cu suma momentelor de inerţie faţă de două axe
perpendiculare oarecare şi care trec prin polul considerat
Razele de giraţie sau razele de inerţie sunt mărimi calculate icircn raport cu axele
secțiunii și definite de relaţiile
119894119911 ≝ radic119868119911119860 119894119910 = radic
119868119910
119860 (411)
Se exprimă icircn [119898119898] şi sunt icircntotdeauna pozitive Semnificația unei raze de inerție
este distanța la care dacă ar fi concentrată icircntreaga arie s-ar obține același moment de
inerție ca și cel calculat pentru aria reală
44 Modulul de rezistenţă
Modulul de rezistență se calculează icircn raport cu axele de referință sau icircn raport cu
un pol figura 42 și pot fi axiale (119882119911119882119910) sau polar (119882119901) și se determină numai pe baza
momentelor de inerţie cu relațiile figura 43
119882119911119898119894119899 ≝119868119911119910119898119886119909
119882119911119898119886119909 ≝119868119911119910119898119894119899
(412)
119882119910119898119894119899 ≝119868119910
119911119898119886119909 119882119910119898119886119909 ≝
119868119910
119911119898119894119899 (413)
119882119901 ≝119868119901
120588119898119886119909 (414)
unde
119910119898119886119909 119910119898119894119899 reprezintă distanţa de la axa 119874119911 la punctele extreme cele mai
depărtate respectiv cele mai apropiate ale suprafeţei de această axă
119911119898119886119909 119911119898119894119899 reprezintă distanţa de la axa 119874119910 la punctele extreme cele mai
depărtate respectiv cele mai apropiate ale suprafeţei de această axă
120588119898119886119909 reprezintă distanța maximă de la polul 119874 la punctul secțiunii cel mai
icircndepărtat de acesta
Fig 43 Suprafață dreptunghiulară cu două arii elementare 119889119860
Modulele de rezistenţă se exprimă icircn [1198981198983] şi sunt icircntotdeauna pozitive
Explicația este aceea că momentele de inerție care intră icircn relațiile de definiție sunt
pozitive iar distanțele la punctele extreme sunt pozitive (119910119898119886119909 119910119898119894119899 119911119898119886119909 119911119898119894119899 120588119898119886119909 se
iau icircn valoare absolută)
Icircn cazul suprafeţelor compuse modulul de rezistenţă nu se obţine prin icircnsumarea
algebrică a modulelor de rezistenţă ale suprafeţelor simple componente ci numai prin
intermediul momentului de inerţie axial calculat pentru icircntreaga secțiune
Ca și momentele de inerție modulele de rezistență se calculează numai pentru
sistemele de axe centrale
45 Momente de inerţie şi module de rezistenţă pentru suprafeţe simple
451 Secțiune dreptunghiulară
Fie suprafaţa dreptunghiulară din figura 44 de icircnălțime ℎ și lățime 119887 pe care se
consideră suprafaţă elementară de arie 119889119860 = 119887119889119910 la distanța 119910 de axa 119862119911 sistemul de
axe 119911119862119910 trece prin centrul secțiunii iar axele sunt axe de simetrie pentru dreptunghi
Fig 44 Suprafață dreptunghiulară
Pe baza relațiilor de definiți a momentului de inerție 119868119911 se obține
119868119911 ≝ int 1199102 ∙ 119889119860
119860
= int 1199102 ∙ 119887 ∙ 119889119910 = 2int 1199102 ∙ 119887 ∙ 119889119910 = 2 ∙ 119887 ∙1199103
3|ℎ 2frasl
0rArr
ℎ 2frasl
0
ℎ 2frasl
minusℎ 2frasl
rArr 119868119911 =119887 ∙ ℎ3
12
(415)
Analog pentru un element de arie 119889119860 = ℎ ∙ 119889119911 paralel cu axa 119862119910 situat la distanța
119911 de axa 119862119910
119868119910 ≝ int 1199112 ∙ 119889119860
119860
= int 1199112 ∙ ℎ ∙ 119889119911 = 2int 1199112 ∙ ℎ ∙ 119889119910 = 2 ∙ ℎ ∙1199113
3|119887 2frasl
0rArr
119887 2frasl
0
119887 2frasl
minus119887 2frasl
rArr 119868119910 =1198873 ∙ ℎ
12
(416)
Deoarece axele 119862119911 și 119862119910 sunt axe de simetrie momentul de inerție centrifugal este
119868119911119910 = 0 (417)
Pentru un pătrat avacircnd laturile egale (ℎ = 119887 = 119886) momentele de inerţie faţă de
axele centrale au expresia
119868119911 = 119868119910 =1198864
12 (418)
Modulele de rezistență axiale se calculează cu relațiile de definiție ținacircnd cont că
distanțele pacircnă la fibrele extreme sunt
119910119898119886119909 = 119910119898119894119899 =ℎ
2 119911119898119886119909 = 119911119898119894119899 =
119887
2 (419)
Obținem
119882119911119898119894119899 = 119882119911119898119886119909 =119868119911
119910119898119886119909119898119894119899=119887 ∙ ℎ3
12frasl
ℎ2frasl
=119887 ∙ ℎ2
6
119882119910119898119894119899 = 119882119910119898119886119909 =119868119910
119911119898119886119909119898119894119899=1198873 ∙ ℎ
12frasl
1198872frasl
=1198872 ∙ ℎ
6
(420)
452 Suprafaţă circulară
Din motive de simetrie pentru suprafeţele circulare momentele de inerţie faţă de
orice diametru (care reprezintă şi axe centrale) sunt aceleaşi
Considerăm o secțiune circulară plină cu diametrul 119889 și centrul de greutate 119862 Prin
centrul de greutate 119862 trece sistemul de axe ortogonal 119911119862119910 figura 45
Fig 45 Suprafață circulară
La distanța de centrul de greutate 119862 vom lua un element de suprafață mic de arie
(119889119860) de forma unui inel de grosime 119889 Elementul de arie 119889119860 are expresia
119889119860 = (2 ∙ 120587 ∙ 120588) ∙ (119889120588)
Pornind de la relația de definiție a momentului de inerție polar obținem
119868119901 ≝ int 1205882 ∙ 119889119860
119860
= int 1205882 ∙ (2 ∙ 120587 ∙ 120588) ∙ 119889120588
119903=119889 2frasl
0
= 2 ∙ 120587 ∙1205884
4|119889 2frasl0 rArr
rArr 119868119901 =120587 ∙ 1198894
32
(421)
Secțiunea este perfect simetrică deci sunt valabile relațiile
119868119911 = 119868119910 rArr 119868119901 = 119868119911 + 119868119910 = 2 ∙ 119868119911 = 2 ∙ 119868119910 =119868119901
2=120587 ∙ 1198894
64 (422)
Și modulele de rezistenţă faţă de orice diametru sunt egale şi se calculează cu
relaţiile
119882119911 = 119882119910 =1198681199111198892frasl=120587 ∙ 1198893
32 (423)
Modulul de rezistenţă polar este
119882119901 =1198681199011198892frasl=120587 ∙ 1198893
16 (424)
453 Secţiune inelară
Calculul momentelor de inerţie axiale pentru o secţiune inelară avacircnd diametrul
interior 119889 şi diametrul exterior 119863 se determină analog pentru suprafaţa circulară plină cu
observaţia că integrala pentru calculul momentului de inerție polar 119868119901 se face icircntre
limitele 119903 = 119889 2frasl şi R= 1198632frasl (icircntre raza interioară 119903 şi raza exterioară 119877) figura 46
Se obţin relaţiile
119868119901 =120587 ∙ 1198634
32∙ [1 minus (
119889
119863)4
] =120587 ∙ 1198634
32∙ (1 minus 1198964) (425)
119868119910 = 119868119910 =120587 ∙ 1198634
64∙ [1 minus (
119889
119863)4
] =120587 ∙ 1198633
64∙ (1 minus 1198964) (426)
Fig 46 Secțiune inelară
119882119901 =120587 ∙ 1198633
16∙ [1 minus (
119889
119863)4
] =120587 ∙ 1198633
16∙ (1 minus 1198964) (427)
119882119911 = 119882119910 =120587 ∙ 1198633
32∙ [1 minus (
119889
119863)4
] =120587 ∙ 1198633
32∙ (1 minus 1198964) (428)
unde 119896 = 119889119863frasl
46 Variaţia momentelor de inerţie faţă de axe paralele
( Relațiile lui STEINER)
Se consideră o suprafaţă oarecare de arie 119860 cu elementul de arie 119889119860 și un sistemul
de axe central 119911119862119910 faţă de care se cunosc momentele de inerţie 119868119911 119868119910 119868119911119910 şi considerăm
un sistem de axe 11991111198741199101 paralele cu sistemul central figura 47 Se pune problema
determinării momentele de inerţie 1198681199111 1198681199101 11986811991111199101 faţă de sistemul de axe paralel cu sistemul
central 11991111198741199101 axe aflate la distanţele 119910119862 = 119888 respectiv 119911119862 = 119889 de acesta
461 Momente de inerţie axiale
Pe baza relaţiilor de definire şi a notaţiilor din figura 42 pentru momentele de
inerţie faţă de axele 1198741199111 1198741199101 se poate scrie
1198681199111 = int 11991012 ∙ 119889119860
119860
= int(119910 + 119888)2 ∙ 119889119860
119860
= int 1199102 ∙ 119889119860
119860
+ 2 ∙ 119888 ∙ int 119910 ∙ 119889119860
119860
+
+1198882int 119889119860
119860
rArr 1198681199111 = 119868119911 + 2 ∙ 119888 ∙ 119878119911 + 1198882 ∙ 119860 hArr 1198681199111 = 119868119911 + 119888
2 ∙ 119860
(429)
Fig 47 Variaţia momentelor de inerţie față de axe paralele
S-a ajuns la relația (429) deoarece momentul static 119878119911 este nul deoarece axa 119862119885
este axă centrală
Pentru momentul de inerție axial icircn raport cu axa 1198741199101 se obține
1198681199101 = int 11991112 ∙ 119889119860
119860
= int(119911 + 119889)2 ∙ 119889119860
119860
= int 1199112 ∙ 119889119860
119860
+ 2 ∙ 119889 ∙ int 119911 ∙ 119889119860
119860
+
+1198892 ∙ int 119889119860
119860
rArr 1198681199101 = 119868119910 + 2 ∙ 119889 ∙ 119878119910 + 1198892 ∙ 119860 hArr 1198681199101 = 119868119910 + 119889
2 ∙ 119860
(430)
Pentru momentul de inerție centrifugal obținem
11986811991111199101 = int 1199101 ∙ 1199111 ∙ 119889119860
119860
= int(119910 + 119888) ∙ (119911 + 119889) ∙ 119889119860
119860
= int 119910 ∙ 119911 ∙ 119889119860 +
119860
+119888 ∙ int 119911 ∙ 119889119860
119860
+ 119889 ∙ int 119910 ∙ 119889119860
119860
rArr 11986811991111199101 = 119868119911119910 + 119888 ∙ 119889 ∙ 119860
(431)
Deoarece
int 119911 ∙ 119889119860
119860
= 119878119910 = 0 int 119910 ∙ 119889119860
119860
= 119878119911 = 0 int 119910 ∙ 119911 ∙ 119889119860
119860
= 119868119911119910
Relaţiile (429) şi (430) arată că momentul de inerţie faţă de o axă oarecare
este egal cu momentul de inerţie faţă de o axă paralelă cu ea trecacircnd prin centrul de
greutate la care se adaugă produsul dintre aria suprafeţei şi pătratul distanţei dintre
cele două axe
Din relaţiile (429) și (430) rezultă de asemenea că momentul de inerţie faţă de o
axă centrală (care trece prin centrul de greutate) este cel mai mic dintre infinitatea de
momente de inerţie obținute faţă de alte axe paralele cu ea
Relaţia (431) arată de asemenea că momentul de inerţie centrifugal faţă de un
sistem de axe oarecare este egal cu momentul de inerţie centrifugal faţă de un sistem
paralele cu el trecacircnd prin centrul de greutate a suprafeţei la care se adaugă produsul
dintre aria suprafeţei şi distanţele dintre axele sistemelor respective
Icircn literatura de specialitate relaţiile (429) (430) şi (431) sunt cunoscute sub
numele de relaţiile lui Steiner
47 Variaţia momentrlor de inerţie faţă de axe rotite
Direcţii principale şi momente de inerţie principale
Fie suprafaţa plană din figura 48 de arie 119860 pe care considerăm o suprafaţă
elementară de arie 119889119860 Pentru sistemul de axe 119911119874119910 se cunosc momentele de inerţie
119868119911 119868119910 119868119911119910 şi vom determina relaţiile de calcul pentru momentele de inerţie afererent unui
sistem de axe 11991111198741199101 rotit cu un unghi faţă de sistemul central
Faţă de sistemul de axe 11991111198741199101 elementul de arie 119889119860 are coordonatele
1199101 = 119875119877 = 119875119876 minus 119877119876 = 119910 ∙ cos 120572 minus 119911 ∙ sin 120572
1199111 = 119873119872 = 119873119875 minus 119875119872 = 119911 ∙ cos 120572 + 119910 ∙ sin 120572 (432)
Fig 47 Variaţia momentelor de inerţie față de axe rotite
Pe baza relaţiilor de calcul ale momentelor de inerţie şi a notaţiilor din figura 42
şi ale relaţiilor (432) momentele de inerţie faţă de sistemul de axe rotit 11991111198741199101 sunt
1198681199111 =119868119911 + 119868119910
2+119868119911 minus 119868119910
2∙ cos 2120572 minus 119868119911119910 ∙ sin 2120572 (433)
1198681199101 =119868119911 + 119868119910
2minus119868119911 minus 119868119910
2∙ cos 2120572 + 119868119911119910 ∙ sin 2120572 (434)
11986811991111199101 =119868119911 minus 119868119910
2∙ sin 2120572 + 119868119911119910 ∙ cos 2120572 (435)
Din relaţiile 433divide435 se observă că icircntre momentele de inerţie axiale şi cele
polare există relaţia
1198681199111 + 1198681199101 = 119868119911 + 119868119910 = 119868119901 (436)
adică suma momentelor de inerţie axiale icircn raport cu orice pereche de axe ortogonale
care trec printr-un pol dat este o constantă şi egală cu momentul de inerţie polar
Prin rotirea sistemului de axe din relaţiile 433divide435 rezultă că momentele de inerţie
variază icircnsă suma lor rămacircne constantă deci există o poziţie a sistemului de axe pentru
care momentele de inerţie au valori extreme maxim respectiv minim
471 Direcţii principale de inerţie
Valoarea unghiului 120572 pentru care momentele de inerţie axiale au valori extreme
este
1205721 =1
2∙ 119886119903119888119905119886119899 (minus
2 ∙ 119868119911119910
119868119911 minus 119868119910) (437)
Poziţia celeilalte direcţii este perpendiculară pe cea dată de unghiul 1205721
Din relaţia (437) se constată că faţă de aceste direcţii rotite pentru care momentele
de inerţie axiale prezintă valori extreme momentul de inerţie centrifugal 11986811991111199101este nul
Atunci se poate afirma că momentele de inerţie axiale au valori extreme icircn raport cu
direcţiile faţă de care momentul de inerţie centrifugal este nul Aceste direcţii se numesc
direcţii principale iar momentele de inerţie faţă de aceste direcţii poartă numele de
momente de inerţie principale
Icircn calculele de rezistenţă interesează icircn mod special poziţia direcţiilor principale
care trec prin centrul de greutate al suprafeţei aşa numitele direcţii principale centrale şi
evident momentele de inerţie principale centrale
Direcţiile principale de inerţie se notează cu 1 respectiv 2 Axa principală 1
corespunde direcţiei faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea maximă iar
axa principală 2 pentru direcţia faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea
minimă
472 Momente de inerţie principale
Momentele de inerţie principale se notează cu litera 119868 la care se pune indicele 1
sau 2 după cum valoarea acestuia este maximă sau minimă deci avem un moment de
inerţie principal 1 (notat 1198681) respectiv moment de inerţie principal 2 (notat 1198682)
Expresiile pentru momentele de inerţie principale sunt
11986812 =119868119911 + 119868119910
2plusmn1
2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)
2+ 4 ∙ (119868119911119910)
2 (438)
Dacă momentul de inerţie centrifugal este negativ (119868119911119910 lt 0) direcţia principală
care trece prin primul cadran (definit de sistemul 119911119862119910) este direcţia principală 120783
Pentru suprafeţele cu cel puţin o axă de simetrie direcţiile centrale 119862119911 119862119910 sunt şi
direcții principale de inerţie și evident momentele de inerţie axiale 119868119911 119868119910 sunt momente
de inerţie principale
48 Caracteristici mecanice ale metalelor
Alegerea materialului pentru confecţionarea unei anumite piese se face şi pe baza
aşa numitelor caracteristici mecanice pe care le prezintă materialul Cunoaşterea acestor
caracteristici mecanice are loc numai pe baza unor icircncercări mecanice care să scoată icircn
evidenţă comportarea materialului icircn condiţii de solicitare
Cea mai utilizată icircncercare icircn urma căreia se pun icircn evidenţă caracteristicile
mecanice ale unui material este icircncercarea la tracţiune
481 Icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general
Icircncercarea la tracţiune a oţelului ca de altfel toate icircncercările de materiale este
standardizată
Icircn cele ce urmează se va prezenta numai partea care interesează strict din punct
de vedere al caracteristicilor mecanice ale oţelului
Epruveta de diametru iniţial 1198890 pentru icircncercarea la tracţiune are o porţiune de
lungime 1198710 numită baza de măsurare pe care se măsoară lungirea acesteia sub acţiunea
solicitării
Icircn funcţie de raportul dintre baza de măsurare 1198710 şi diametrul iniţial 1198890 epruvetele
utilizate pentru icircncercări sunt
epruvete normale (scurte) cacircnd 11987101198890 = 5
epruvete lungi cacircnd 11987101198890 = 10
Icircn timpul icircncercării la diferite valori ale forţei 119865 se măsoară lungirea bazei de
măsurare
∆119871 = 120575 = 119871 minus 1198710 (439)
unde
119871 este dimensiunea bazei de măsurare la un moment dat
Curba forţă-lungire (119865 minus ) icircnregistrată icircn urma icircncercării reprezintă curba
caracteristică la tracţiune
La icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general diagrama caracteristică care se
obţine are forma din figura 48
Curba caracteristică la tracţiune depinde de lungimea bazei de măsurare Pentru
icircnlăturarea acestui neajuns curba caracteristică se reprezintă icircn coordonate şi definite
astfel
120590 =119865
1198600 휀 =
120575
1198710 (440)
unde
1198600 este aria iniţială a secţiunii transversale a epruvetei (icircnainte de solicitare) icircn
zona bazei de măsurare
1198600 =120587 ∙ 1198890
2
4
Deoarece mărimile icircn care se reprezintă curba caracteristică la tracţiune sunt
raportate la aria iniţială a secţiunii transversale (mărimi specifice) curba poartă numele
de curbă caracteristică convenţională la tracţiune
Fig 48 Curba caracteristică convenţională la tracțiune
Pe curba caracteristică convenţională la tracţiune figura 48 se pot stabili o serie
de puncte cărora le corespund mai multe mărimi importante
Ordonata punctului A pacircnă unde curba caracteristică convenţională este linie
dreaptă se numeşte limita de proporţionalitate a materialului 120590119901(1205901) Porţiunea 119874119860 este
zona de proporţionalitate a curbei caracteristice pe acest domeniu este valabilă legea lui
Hooke care exprimă o proporţionalitate icircntre tensiune şi deformaţie specifică
120590 = 119864 ∙ 휀 (441)
unde
119864 = reprezintă panta porţiunii liniare a curbei convenționale caracteristice
la tracțiune Caracteristica de material 119864 se numeşte modul de elasticitate longitudinal
(modulul lui Young)
Ordonata punctului 119861 pacircnă unde materialul se comportă perfect elastic adică
după descărcare icircşi recapătă dimensiunea iniţială 1198710 se numeşte limita de elasticitate
120590119890(119877119890) Icircn realitate nici un material nu are comportare perfect elastică sub acţiunea
solicitărilor el capătă deformaţii permanente (remanente plastice)
După punctul 119861 urmează o porţiune 119861119862119863 icircn care cu toate că icircncărcarea
continuă forţa nu mai creşte avacircnd mici oscilaţii icircn jurul unei valori Se spune că icircn
această porţiune materialul curge iar intervalul 119861119862119863 este un palier de curgere Tensiunea
corespunzătoare palierului de curgere se numeşte limită de curgere aparentă 120590119888(119877119888) Limita de curgere aparentă se calculează cu relaţia
120590119888 =1198651198881198600 (442)
unde
119865119888 reprezintă valoarea forţei icircnregistrată icircn momentul curgerii materialului
După punctul 119863 curba caracteristică are un traseu ascendent pacircnă icircn punctul 119864
Porţiunea 119863119864 este numită zonă de icircntărire (ecruisare) Icircn zona de ecruisare unde se
produc deformaţii plastice semnificative legea lui Hooke nu mai este valabilă La
descărcare relaţia dintre tensiunea şi deformaţia specifică este liniară paralelă cu
porţiunea liniară a curbei caracteristice (dreapta 119872119873)
Deformaţia totală (휀119905) are două componente una elastică (휀119890) şi una plastică (휀119901)
Ordonata punctului 119864 reprezintă rezistenţa de rupere 120590119903(119877119898) a materialului
care se poate calcula cu relaţia
120590119903 = 119877119898 =1198651198981198861199091198600
(443)
unde
119865119898119886119909 reprezintă valoarea maximă a forţei icircnregistrată icircn timpul icircncercării
La atingerea valorii 119865119898119886119909 (punctul 119864) icircntr-un anumit loc al epruvetei secţiunea
icircncepe să se micşoreze (se produce gacirctuirea) continuacircnd pacircnă cacircnd se produce ruperea
totală (punctul 119865)
Dacă după ruperea epruvetei cele două părţi rezultate se aşează cap la cap şi se
măsoară dimensiunea bazei de măsurare 119871119906 (lungimea ultimă) se determină alungirea la
rupere sau lungirea specifică la rupere 휀119903
휀119903 =119871119906 minus 11987101198710
=∆119871
1198710=120575
1198710 (444)
De obicei alungirea se exprimă icircn procente şi se notează cu 119860119899 unde 119899 reprezintă
numărul dat de raportul 11987101198890 (epruvete normale 119899 = 5 epruvete lungi 119899 = 10)
119860119899 =119871119906 minus 11987101198710
∙ 100 [] (445)
Altă mărime care se determină la icircncercarea la tracţiune este gacirctuirea la rupere
(exprimată de obicei icircn procente) şi definită de relaţia
119885 =1198600 minus 1198601199061198600
∙ 100 [] (446)
Mărimile determinate limita de proporţionalitate modulul de elasticitate
longitudinal limita de elasticitate limita de curgere aparentă rezistenţa de rupere
alungirea la rupere şi gacirctuirea la rupere sunt cunoscute ca fiind caracteristici mecanice
ale materialului
Din curba caracteristică convenţională observăm faptul că ruperea (punctul 119865 din
figura 48 se produce la o tensiune mai mică decacirct cea corespunzătoare punctului 119864 Dacă
icircnsă forţa din timpul icircncercării s-ar raporta la aria secţiunii din momentul icircnregistrării
forţei (care este mai mică decacirct cea iniţială 1198600) s-ar obţine aşa numita curbă
caracteristică reală a materialului (traseul 1198741198601198611198621198631198651 din figura 48) La curba
caracteristică reală ruperea se produce icircn punctul 1198651 la o icircncărcare mai mare decacirct cea
corespunzătoare punctului 119864 Icircnseamnă că rezistenţa reală la rupere este mai mare decacirct
rezistenţa la rupere dată de punctul 119864 din diagrama caracteristică convenţională
Dificultatea obţinerii diagramei caracteristice reale faţă de cea a diagramei caracteristice
convenţionale şi considerarea unei rezistenţe la rupere mai mică decacirct a celei reale face
icircn practică utilizarea pe scară mare a diagramei caracteristice convenţionale
Caracteristicile mecanice determinate pe baza curbei caracteristice convenţionale
sunt şi ele caracteristici mecanice convenţionale
Caracteristicile mecanice convenţionale limita de proporţionalitate convenţională
120590119901 limita de elasticitate convenţională 120590119890 limita de curgere convenţională 120590119888 şi rezistenţa
de rupere 120590119903 constituie tensiuni limită pentru un material Pe baza acestor caracteristici
de material se alege valoarea tensiunii admisibile 120590119886 (vezi paragraful 35) pentru
calculele de rezistenţă Cea mai utilizată stare limită pentru stabilirea tensiunii admisibile
120590119886 este limita de curgere convenţională 120590119888
120590119886 =120590119897119894119898119888
=120590119888119888 119904119886119906 120590119886 =
120590119903119888 (447)
Caracteristicile mecanice ale materialului sunt influenţate de o serie de factori
temperatura viteza de solicitare factorii tehnologici iar valorile lor sunt date icircn tabele și
diagrame
Aplicaţie Pentru suprafaţa plană compusă din două dreptunghiuri avacircnd
dimensiunile din figura 49a să se calculeze
a) centrul de greutate al secțiunii compuse 119910119866 119911119866
b) momentele de inerție axiale 119868119911 119868119910 și momentul de inerție centrifugal 119868119911119910
c) razele de inerție 119894119911 119894119910
d) modulele de rezistență 119882119911119898119894119899 119882119911119898119886119909 119882119910119898119894119899 119882119910119898119886119909
e) momentele de inerție principale 1198681 1198682 și direcțiile principale de inerție 1205721
f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 119878119911
Fig 49 Aplicație
Rezolvare Pentru rezolvare vom parcurge următoarele etape
icircmpărțim suprafața compusă icircn două suprafețe simple (dreptunghiuri) notate cu
① și respectiv ② figura 49b
poziționăm centrele de greutate a celor două suprafețe simple ① și respectiv ②
notate cu 1198661 și respectiv 1198662 figura 49c
poziționăm sistemele de axe de coordonate 119911111986611199101 pentru dreptunghiul ① și
119911211986621199102 pentru dreptunghiul ② aflate la intersecția diagonalelor figura 49c
poziționăm sistemele de axe de coordonate 11991101198741199100 ales arbitrar față de care
determinăm poziția centrului de greutate 119866 figura 49c
a) calculăm poziția centrului de greutate folosind relațiile (46) icircn care
1198601 = 6119905 ∙ 119905 = 61199052 1198602 = 4119905 ∙ 119905 = 41199052 119860 = 1198601 + 1198602 = 61199052 + 41199052 = 101199052
iar centrele de greutate 1198661 și respectiv 1198662 au coordonatele (față de sistemul 11991101198741199100)
1198661 1199101 = 3119905 1199111 = 05119905
1198662 1199102 = 051199051199112 = 3119905
cu acestea obținem
119910119866 =1198601 ∙ 1199101 + 1198602 ∙ 1199102
119860=61199052 ∙ 3119905 + 41199052 ∙ 05119905
101199052=201199053
101199052= 2119905
119911119866 =1198601 ∙ 1199111 + 1198602 ∙ 1199112
119860=61199052 ∙ 05119905 + 41199052 ∙ 3119905
101199052=151199053
101199052= 15119905
Poziționăm centrul de greutate 119866 al suprafeței compuse figura 49c
Fig 49 Aplicație
b) pentru determinarea momentelor de inerție axiale 119868119911 119868119910 și a momentului de
inerție centrifugal 119868119910119911 determinăm constantele 1198881 1198882 1198891 1198892 care intervin icircn relația lui
Stainer
1198881 = 1199101 minus 119910119866 = 3119905 minus 2119905 = 119905 1198882 = minus(119910119866 minus 1199102) = minus(2119905 minus 05119905) = minus15119905
1198891 = minus(119911119866 minus 1199111) = minus(15119905 minus 05119905) = minus119905 1198892 = 1199112 minus 119911119892 = 3119905 minus 15119905 = 15119905
Folosind relațiile lui Stainer (429) (430) și (431) calculăm momentele de
inerție axiale și centrifugale față de sistemul central 119911119866119866119910119866
119868119911 =sum(119868119911119894 + 1198881198942 ∙ 119860119894) = 1198681199111 + 1198881
2 ∙ 1198601 + 1198681199112 + 11988822 ∙ 1198602
119868119910 =sum(119868119910119894 + 1198891198942 ∙ 119860119894) = 1198681199101 + 1198891
2 ∙ 1198601 + 1198681199102 + 11988922 ∙ 1198602
119868119911119910 =sum(119868119911119894119910119894 + 119888119894 ∙ 119889119894 ∙ 119860119894) = 11986811991111199101 + 1198881 ∙ 1198891 ∙ 1198601 + 11986811991121199102 + 1198882 ∙ 1198892 ∙ 1198602
1198681199111 = (119887 ∙ ℎ3
12) =
119905 ∙ (6119905)3
12= 181199054 1198681199112 = (
119887 ∙ ℎ3
12) =
4119905 ∙ 1199053
12= 031199054
1198681199101 = (1198873 ∙ ℎ
12) =
1199053 ∙ 6119905
12= 051199054 1198681199102 = (
1198873 ∙ ℎ
12) =
(4119905)3 ∙ 119905
12= 531199054
11986811991111199101 = 11986811991121199102 = 0 deoarece cele două triunghiuri au cel puțin o axă de simetrie
Cu acestea momentele de inerție axiale și momentul de inerție centrifugal devin
119868119911 = 181199054 + 1199052 ∙ 61199052 + 031199054 + (minus15119905)2 ∙ 41199052 = 3331199054
119868119910 = 051199054 + (minus119905)2 ∙ 61199052 + 531199054 + (15119905)2 ∙ 41199052 = 2081199054
119868119911119910 = 0 + 119905 ∙ (minus119905) ∙ 61199052 + 0 + (minus15119905) ∙ (15119905) ∙ 41199052 = minus151199054
c) razele de inerție sau de girație față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910
se calculează cu relațiile (411)
119894119911 = radic119868119911119860= radic
3331199054
101199052= 182119905 119894119910 = radic
119868119910
119860= radic
2081199054
101199052= 144119905
d) modulele de rezistență față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910 se
calculează cu relațiile (412) și (413)
Avacircnd icircn vedere figura 419c obținem
119910119898119886119909 = 6119905 minus 119910119866 = 6119905 minus 2119905 = 4119905 119910119898119894119899 = minus119910119866 = minus2119905
119911119898119886119909 = 5119905 minus 119911119866 = 5119905 minus 15119905 = 35119905 119911119898119894119899 = minus119911119866 = minus15119905
Se obține astfel
119882119911119898119894119899 =119868119911
|119910119898119886119909|=3331199054
4119905= 8331199053
119882119911119898119886119909 =119868119911
|119910119898119894119899|=3331199054
2119905= 16651199053
119882119910119898119894119899 =119868119910
|119911119898119886119909|=2081199054
35119905= 5941199053
119882119910119898119886119909 =119868119910
|119911119898119894119899|=2081199054
15119905= 13871199053
e) momentele de inerție principale 1198681 și respectiv 1198682 se calculează cu relațiile
(438)
11986812 =119868119911 + 119868119910
2plusmn1
2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)
2+ 4 ∙ (119868119911119910)
2=
=3331199054 + 2081199054
2plusmn1
2∙ radic(3331199054 minus 2081199054)2 + 4 ∙ (minus151199054)2 = 27051199054 plusmn 16251199054
De unde obținem
1198681 = 27051199054 + 16251199054 = 4331199054
1198682 = 27051199054 minus 16251199054 = 1081199054
Prima direcție principală de inerție 1 face cu axa centrală 119866119911 unghiul 1205721 dat de
relația (437)
1205721 =1
2∙ arctan (minus
2 ∙ 119868119911119910
119868119911 minus 119868119910) =
1
2∙ arctan [minus
2 ∙ (minus151199054)
3331199054 minus 2081199054] =33 70
Deoarece 1205721 gt 0 rotirea axelor se face acircn sens antiorar acelor de ceasornic figura
49d
Poziția axe principale 2 față de care momentul de inerție are valoarea minimă
1198682 = 119868119898119894119899 este dată de unghiul
1205722 = 1205721 + 900 = 33 70 + 900 = 123 70
f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 se determină cu relația
(45)
1198781199111198602 = 1198602 ∙ 1198882 = 41199052 ∙ (minus15119905) = minus61199053
Dacă suprafaţa se poate descompune icircn 119899 suprafeţe simple la care se cunosc ariile
(1198601 1198602 ⋯ 119860119894⋯ 119860119899) și poziţiile centrelor de greutate 119862119894 faţă de sistemul de referinţă
expresiile momentelor statice capătă următoarea formă
119878119911 = sum 119910119862119894 ∙ 119860119894119899119894=1 = 119910119862 ∙ 119860 119878119910 = sum 119911119862119894 ∙ 119860119894
119899119894=1 = 119911119862 ∙ 119860 (45)
Din relaţiile (45) rezultă că poziţia centrului de greutate 119862 al unei suprafeţe
compuse poate fi determinată cu relaţiile
119910119862 = (sum119910119862119894 ∙ 119860119894
119899
119894=1
) 119860frasl 119911119862 = (sum119911119862119894 ∙ 119860119894
119899
119894=1
) 119860frasl (46)
Icircn relația (45) 119910119862119894 și respectiv 119911119862119894 reprezintă coordonatele centrelor de greutate 119862119894
ale fiecărei suprafețe simple 119860119894 icircn raport sistemul de axe 119911119874119910
Se constată (relaţia 42) că dacă axele sistemului de referinţă trec prin centrul de
greutate (119910119862 = 119911119862 = 0) momentele statice sunt nule Axele icircn raport cu care momentele
statice sunt nule şi care trec prin centrul de greutate al suprafeţei se numesc axe centrale
Observație dacă secțiunea compusă are o axă de simetrie centrul secțiunii se
găsește pe acea axă iar dacă secțiunea este dublu simetrică poziția centrului secțiunii este
la intersecția axelor de simetrie
43 Momente de inerţie
Momentele de inerţie axiale ale unei suprafețe se calculează icircn raport cu axele de
coordonate 119874119911 și respectiv 119874119910 figura 42 și se determină cu relațiile
119868119911 ≝ int 1199102 ∙ 119889119860
119860
119868119910 ≝ int 1199112 ∙ 119889119860
119860
(47)
Unde 119910 și 119911 sunt distanțele de la elementul de arie 119889119860 la cele două axe de
coordonate 119874119911 și respectiv 119874119910
Momentele de inerţie axiale se măsoară icircn [1198981198984] şi sunt icircntotdeauna pozitive (aria
119889119860 este icircntotdeauna pozitivă și este multiplicată cu patratul distanței 1199102 dacă 119868119911 sau 119868119910
sunt nule icircnseamnă ca secțiunea nu există)
Momentele de inerție axiale se calculează icircndeosebi pentru axele centrale (care
trec prin centrul secțiunii) deoarece icircn raport cu acele axe 119868119911 și 119868119910 au valori minime
Momentul de inerţie centrifugal calculat faţă ambele axe ale sistemului de
referinţă 119911119874119910 este definit de relația
119868119911119910 ≝ int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860
(48)
Momentul de inerţie centrifugal se măsoară icircn [1198981198984] şi poate fi pozitiv negativ
sau nul
Momentul de ineție centrifugal este nul 119868119911119910 = 0 dacă cel puțin una din axele 119874119911
sau 119874119910 este axă de simetrie pentru secțiune
Se consideră o suprafaţă dreptunghiulară pe care faţă de axa de simetrie 119874119910 se iau
două suprafeţe elementare de arie 119889119860 simetrice faţă de axa 119874119910 figura 43
Fig 43 Suprafață dreptunghiulară cu două arii elementare 119889119860
Făcacircnd suma momentelor de inerţie centrifugale pentru cele două suprafeţe
elementare 119889119860 (din stacircnga şi din dreapta faţă de axa 119874119910) se obţine
int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860119889119903
+ int (minus119911) ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860119904119905119892
= int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860119889119903
minus int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860119904119905119892
= 0 (49)
Acelaşi raţionament se poate face și pentru icircntreaga suprafaţă de unde obținem că
momentul de inerție centrifugal este nul 119868119911119910 = 0 Deci pentru o suprafaţă plană care
are cel puţin o axă de simetrie momentul de inerţie centrifugal faţă de sistemul care
conţine acea axă de simetrie este nul
Momentul de inerţie polar al unei suprafeţei icircn raport cu un punct (pol) 119874 figura
42 este definit prin relaţia
1198680 = 119868119901 ≝ int 1205882 ∙ 119889119860
119860
= int(1199102 + 1199112) ∙ 119889119860
119860
= 119868119911 + 119868119910 (410)
unde este distanţa de la polul 119874 la elementul de arie 119889119860 Momentul de inerţie polar se
măsoară icircn [1198981198984] şi este totdeauna pozitiv
Momentul de inerţie polar este egal cu suma momentelor de inerţie faţă de două axe
perpendiculare oarecare şi care trec prin polul considerat
Razele de giraţie sau razele de inerţie sunt mărimi calculate icircn raport cu axele
secțiunii și definite de relaţiile
119894119911 ≝ radic119868119911119860 119894119910 = radic
119868119910
119860 (411)
Se exprimă icircn [119898119898] şi sunt icircntotdeauna pozitive Semnificația unei raze de inerție
este distanța la care dacă ar fi concentrată icircntreaga arie s-ar obține același moment de
inerție ca și cel calculat pentru aria reală
44 Modulul de rezistenţă
Modulul de rezistență se calculează icircn raport cu axele de referință sau icircn raport cu
un pol figura 42 și pot fi axiale (119882119911119882119910) sau polar (119882119901) și se determină numai pe baza
momentelor de inerţie cu relațiile figura 43
119882119911119898119894119899 ≝119868119911119910119898119886119909
119882119911119898119886119909 ≝119868119911119910119898119894119899
(412)
119882119910119898119894119899 ≝119868119910
119911119898119886119909 119882119910119898119886119909 ≝
119868119910
119911119898119894119899 (413)
119882119901 ≝119868119901
120588119898119886119909 (414)
unde
119910119898119886119909 119910119898119894119899 reprezintă distanţa de la axa 119874119911 la punctele extreme cele mai
depărtate respectiv cele mai apropiate ale suprafeţei de această axă
119911119898119886119909 119911119898119894119899 reprezintă distanţa de la axa 119874119910 la punctele extreme cele mai
depărtate respectiv cele mai apropiate ale suprafeţei de această axă
120588119898119886119909 reprezintă distanța maximă de la polul 119874 la punctul secțiunii cel mai
icircndepărtat de acesta
Fig 43 Suprafață dreptunghiulară cu două arii elementare 119889119860
Modulele de rezistenţă se exprimă icircn [1198981198983] şi sunt icircntotdeauna pozitive
Explicația este aceea că momentele de inerție care intră icircn relațiile de definiție sunt
pozitive iar distanțele la punctele extreme sunt pozitive (119910119898119886119909 119910119898119894119899 119911119898119886119909 119911119898119894119899 120588119898119886119909 se
iau icircn valoare absolută)
Icircn cazul suprafeţelor compuse modulul de rezistenţă nu se obţine prin icircnsumarea
algebrică a modulelor de rezistenţă ale suprafeţelor simple componente ci numai prin
intermediul momentului de inerţie axial calculat pentru icircntreaga secțiune
Ca și momentele de inerție modulele de rezistență se calculează numai pentru
sistemele de axe centrale
45 Momente de inerţie şi module de rezistenţă pentru suprafeţe simple
451 Secțiune dreptunghiulară
Fie suprafaţa dreptunghiulară din figura 44 de icircnălțime ℎ și lățime 119887 pe care se
consideră suprafaţă elementară de arie 119889119860 = 119887119889119910 la distanța 119910 de axa 119862119911 sistemul de
axe 119911119862119910 trece prin centrul secțiunii iar axele sunt axe de simetrie pentru dreptunghi
Fig 44 Suprafață dreptunghiulară
Pe baza relațiilor de definiți a momentului de inerție 119868119911 se obține
119868119911 ≝ int 1199102 ∙ 119889119860
119860
= int 1199102 ∙ 119887 ∙ 119889119910 = 2int 1199102 ∙ 119887 ∙ 119889119910 = 2 ∙ 119887 ∙1199103
3|ℎ 2frasl
0rArr
ℎ 2frasl
0
ℎ 2frasl
minusℎ 2frasl
rArr 119868119911 =119887 ∙ ℎ3
12
(415)
Analog pentru un element de arie 119889119860 = ℎ ∙ 119889119911 paralel cu axa 119862119910 situat la distanța
119911 de axa 119862119910
119868119910 ≝ int 1199112 ∙ 119889119860
119860
= int 1199112 ∙ ℎ ∙ 119889119911 = 2int 1199112 ∙ ℎ ∙ 119889119910 = 2 ∙ ℎ ∙1199113
3|119887 2frasl
0rArr
119887 2frasl
0
119887 2frasl
minus119887 2frasl
rArr 119868119910 =1198873 ∙ ℎ
12
(416)
Deoarece axele 119862119911 și 119862119910 sunt axe de simetrie momentul de inerție centrifugal este
119868119911119910 = 0 (417)
Pentru un pătrat avacircnd laturile egale (ℎ = 119887 = 119886) momentele de inerţie faţă de
axele centrale au expresia
119868119911 = 119868119910 =1198864
12 (418)
Modulele de rezistență axiale se calculează cu relațiile de definiție ținacircnd cont că
distanțele pacircnă la fibrele extreme sunt
119910119898119886119909 = 119910119898119894119899 =ℎ
2 119911119898119886119909 = 119911119898119894119899 =
119887
2 (419)
Obținem
119882119911119898119894119899 = 119882119911119898119886119909 =119868119911
119910119898119886119909119898119894119899=119887 ∙ ℎ3
12frasl
ℎ2frasl
=119887 ∙ ℎ2
6
119882119910119898119894119899 = 119882119910119898119886119909 =119868119910
119911119898119886119909119898119894119899=1198873 ∙ ℎ
12frasl
1198872frasl
=1198872 ∙ ℎ
6
(420)
452 Suprafaţă circulară
Din motive de simetrie pentru suprafeţele circulare momentele de inerţie faţă de
orice diametru (care reprezintă şi axe centrale) sunt aceleaşi
Considerăm o secțiune circulară plină cu diametrul 119889 și centrul de greutate 119862 Prin
centrul de greutate 119862 trece sistemul de axe ortogonal 119911119862119910 figura 45
Fig 45 Suprafață circulară
La distanța de centrul de greutate 119862 vom lua un element de suprafață mic de arie
(119889119860) de forma unui inel de grosime 119889 Elementul de arie 119889119860 are expresia
119889119860 = (2 ∙ 120587 ∙ 120588) ∙ (119889120588)
Pornind de la relația de definiție a momentului de inerție polar obținem
119868119901 ≝ int 1205882 ∙ 119889119860
119860
= int 1205882 ∙ (2 ∙ 120587 ∙ 120588) ∙ 119889120588
119903=119889 2frasl
0
= 2 ∙ 120587 ∙1205884
4|119889 2frasl0 rArr
rArr 119868119901 =120587 ∙ 1198894
32
(421)
Secțiunea este perfect simetrică deci sunt valabile relațiile
119868119911 = 119868119910 rArr 119868119901 = 119868119911 + 119868119910 = 2 ∙ 119868119911 = 2 ∙ 119868119910 =119868119901
2=120587 ∙ 1198894
64 (422)
Și modulele de rezistenţă faţă de orice diametru sunt egale şi se calculează cu
relaţiile
119882119911 = 119882119910 =1198681199111198892frasl=120587 ∙ 1198893
32 (423)
Modulul de rezistenţă polar este
119882119901 =1198681199011198892frasl=120587 ∙ 1198893
16 (424)
453 Secţiune inelară
Calculul momentelor de inerţie axiale pentru o secţiune inelară avacircnd diametrul
interior 119889 şi diametrul exterior 119863 se determină analog pentru suprafaţa circulară plină cu
observaţia că integrala pentru calculul momentului de inerție polar 119868119901 se face icircntre
limitele 119903 = 119889 2frasl şi R= 1198632frasl (icircntre raza interioară 119903 şi raza exterioară 119877) figura 46
Se obţin relaţiile
119868119901 =120587 ∙ 1198634
32∙ [1 minus (
119889
119863)4
] =120587 ∙ 1198634
32∙ (1 minus 1198964) (425)
119868119910 = 119868119910 =120587 ∙ 1198634
64∙ [1 minus (
119889
119863)4
] =120587 ∙ 1198633
64∙ (1 minus 1198964) (426)
Fig 46 Secțiune inelară
119882119901 =120587 ∙ 1198633
16∙ [1 minus (
119889
119863)4
] =120587 ∙ 1198633
16∙ (1 minus 1198964) (427)
119882119911 = 119882119910 =120587 ∙ 1198633
32∙ [1 minus (
119889
119863)4
] =120587 ∙ 1198633
32∙ (1 minus 1198964) (428)
unde 119896 = 119889119863frasl
46 Variaţia momentelor de inerţie faţă de axe paralele
( Relațiile lui STEINER)
Se consideră o suprafaţă oarecare de arie 119860 cu elementul de arie 119889119860 și un sistemul
de axe central 119911119862119910 faţă de care se cunosc momentele de inerţie 119868119911 119868119910 119868119911119910 şi considerăm
un sistem de axe 11991111198741199101 paralele cu sistemul central figura 47 Se pune problema
determinării momentele de inerţie 1198681199111 1198681199101 11986811991111199101 faţă de sistemul de axe paralel cu sistemul
central 11991111198741199101 axe aflate la distanţele 119910119862 = 119888 respectiv 119911119862 = 119889 de acesta
461 Momente de inerţie axiale
Pe baza relaţiilor de definire şi a notaţiilor din figura 42 pentru momentele de
inerţie faţă de axele 1198741199111 1198741199101 se poate scrie
1198681199111 = int 11991012 ∙ 119889119860
119860
= int(119910 + 119888)2 ∙ 119889119860
119860
= int 1199102 ∙ 119889119860
119860
+ 2 ∙ 119888 ∙ int 119910 ∙ 119889119860
119860
+
+1198882int 119889119860
119860
rArr 1198681199111 = 119868119911 + 2 ∙ 119888 ∙ 119878119911 + 1198882 ∙ 119860 hArr 1198681199111 = 119868119911 + 119888
2 ∙ 119860
(429)
Fig 47 Variaţia momentelor de inerţie față de axe paralele
S-a ajuns la relația (429) deoarece momentul static 119878119911 este nul deoarece axa 119862119885
este axă centrală
Pentru momentul de inerție axial icircn raport cu axa 1198741199101 se obține
1198681199101 = int 11991112 ∙ 119889119860
119860
= int(119911 + 119889)2 ∙ 119889119860
119860
= int 1199112 ∙ 119889119860
119860
+ 2 ∙ 119889 ∙ int 119911 ∙ 119889119860
119860
+
+1198892 ∙ int 119889119860
119860
rArr 1198681199101 = 119868119910 + 2 ∙ 119889 ∙ 119878119910 + 1198892 ∙ 119860 hArr 1198681199101 = 119868119910 + 119889
2 ∙ 119860
(430)
Pentru momentul de inerție centrifugal obținem
11986811991111199101 = int 1199101 ∙ 1199111 ∙ 119889119860
119860
= int(119910 + 119888) ∙ (119911 + 119889) ∙ 119889119860
119860
= int 119910 ∙ 119911 ∙ 119889119860 +
119860
+119888 ∙ int 119911 ∙ 119889119860
119860
+ 119889 ∙ int 119910 ∙ 119889119860
119860
rArr 11986811991111199101 = 119868119911119910 + 119888 ∙ 119889 ∙ 119860
(431)
Deoarece
int 119911 ∙ 119889119860
119860
= 119878119910 = 0 int 119910 ∙ 119889119860
119860
= 119878119911 = 0 int 119910 ∙ 119911 ∙ 119889119860
119860
= 119868119911119910
Relaţiile (429) şi (430) arată că momentul de inerţie faţă de o axă oarecare
este egal cu momentul de inerţie faţă de o axă paralelă cu ea trecacircnd prin centrul de
greutate la care se adaugă produsul dintre aria suprafeţei şi pătratul distanţei dintre
cele două axe
Din relaţiile (429) și (430) rezultă de asemenea că momentul de inerţie faţă de o
axă centrală (care trece prin centrul de greutate) este cel mai mic dintre infinitatea de
momente de inerţie obținute faţă de alte axe paralele cu ea
Relaţia (431) arată de asemenea că momentul de inerţie centrifugal faţă de un
sistem de axe oarecare este egal cu momentul de inerţie centrifugal faţă de un sistem
paralele cu el trecacircnd prin centrul de greutate a suprafeţei la care se adaugă produsul
dintre aria suprafeţei şi distanţele dintre axele sistemelor respective
Icircn literatura de specialitate relaţiile (429) (430) şi (431) sunt cunoscute sub
numele de relaţiile lui Steiner
47 Variaţia momentrlor de inerţie faţă de axe rotite
Direcţii principale şi momente de inerţie principale
Fie suprafaţa plană din figura 48 de arie 119860 pe care considerăm o suprafaţă
elementară de arie 119889119860 Pentru sistemul de axe 119911119874119910 se cunosc momentele de inerţie
119868119911 119868119910 119868119911119910 şi vom determina relaţiile de calcul pentru momentele de inerţie afererent unui
sistem de axe 11991111198741199101 rotit cu un unghi faţă de sistemul central
Faţă de sistemul de axe 11991111198741199101 elementul de arie 119889119860 are coordonatele
1199101 = 119875119877 = 119875119876 minus 119877119876 = 119910 ∙ cos 120572 minus 119911 ∙ sin 120572
1199111 = 119873119872 = 119873119875 minus 119875119872 = 119911 ∙ cos 120572 + 119910 ∙ sin 120572 (432)
Fig 47 Variaţia momentelor de inerţie față de axe rotite
Pe baza relaţiilor de calcul ale momentelor de inerţie şi a notaţiilor din figura 42
şi ale relaţiilor (432) momentele de inerţie faţă de sistemul de axe rotit 11991111198741199101 sunt
1198681199111 =119868119911 + 119868119910
2+119868119911 minus 119868119910
2∙ cos 2120572 minus 119868119911119910 ∙ sin 2120572 (433)
1198681199101 =119868119911 + 119868119910
2minus119868119911 minus 119868119910
2∙ cos 2120572 + 119868119911119910 ∙ sin 2120572 (434)
11986811991111199101 =119868119911 minus 119868119910
2∙ sin 2120572 + 119868119911119910 ∙ cos 2120572 (435)
Din relaţiile 433divide435 se observă că icircntre momentele de inerţie axiale şi cele
polare există relaţia
1198681199111 + 1198681199101 = 119868119911 + 119868119910 = 119868119901 (436)
adică suma momentelor de inerţie axiale icircn raport cu orice pereche de axe ortogonale
care trec printr-un pol dat este o constantă şi egală cu momentul de inerţie polar
Prin rotirea sistemului de axe din relaţiile 433divide435 rezultă că momentele de inerţie
variază icircnsă suma lor rămacircne constantă deci există o poziţie a sistemului de axe pentru
care momentele de inerţie au valori extreme maxim respectiv minim
471 Direcţii principale de inerţie
Valoarea unghiului 120572 pentru care momentele de inerţie axiale au valori extreme
este
1205721 =1
2∙ 119886119903119888119905119886119899 (minus
2 ∙ 119868119911119910
119868119911 minus 119868119910) (437)
Poziţia celeilalte direcţii este perpendiculară pe cea dată de unghiul 1205721
Din relaţia (437) se constată că faţă de aceste direcţii rotite pentru care momentele
de inerţie axiale prezintă valori extreme momentul de inerţie centrifugal 11986811991111199101este nul
Atunci se poate afirma că momentele de inerţie axiale au valori extreme icircn raport cu
direcţiile faţă de care momentul de inerţie centrifugal este nul Aceste direcţii se numesc
direcţii principale iar momentele de inerţie faţă de aceste direcţii poartă numele de
momente de inerţie principale
Icircn calculele de rezistenţă interesează icircn mod special poziţia direcţiilor principale
care trec prin centrul de greutate al suprafeţei aşa numitele direcţii principale centrale şi
evident momentele de inerţie principale centrale
Direcţiile principale de inerţie se notează cu 1 respectiv 2 Axa principală 1
corespunde direcţiei faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea maximă iar
axa principală 2 pentru direcţia faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea
minimă
472 Momente de inerţie principale
Momentele de inerţie principale se notează cu litera 119868 la care se pune indicele 1
sau 2 după cum valoarea acestuia este maximă sau minimă deci avem un moment de
inerţie principal 1 (notat 1198681) respectiv moment de inerţie principal 2 (notat 1198682)
Expresiile pentru momentele de inerţie principale sunt
11986812 =119868119911 + 119868119910
2plusmn1
2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)
2+ 4 ∙ (119868119911119910)
2 (438)
Dacă momentul de inerţie centrifugal este negativ (119868119911119910 lt 0) direcţia principală
care trece prin primul cadran (definit de sistemul 119911119862119910) este direcţia principală 120783
Pentru suprafeţele cu cel puţin o axă de simetrie direcţiile centrale 119862119911 119862119910 sunt şi
direcții principale de inerţie și evident momentele de inerţie axiale 119868119911 119868119910 sunt momente
de inerţie principale
48 Caracteristici mecanice ale metalelor
Alegerea materialului pentru confecţionarea unei anumite piese se face şi pe baza
aşa numitelor caracteristici mecanice pe care le prezintă materialul Cunoaşterea acestor
caracteristici mecanice are loc numai pe baza unor icircncercări mecanice care să scoată icircn
evidenţă comportarea materialului icircn condiţii de solicitare
Cea mai utilizată icircncercare icircn urma căreia se pun icircn evidenţă caracteristicile
mecanice ale unui material este icircncercarea la tracţiune
481 Icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general
Icircncercarea la tracţiune a oţelului ca de altfel toate icircncercările de materiale este
standardizată
Icircn cele ce urmează se va prezenta numai partea care interesează strict din punct
de vedere al caracteristicilor mecanice ale oţelului
Epruveta de diametru iniţial 1198890 pentru icircncercarea la tracţiune are o porţiune de
lungime 1198710 numită baza de măsurare pe care se măsoară lungirea acesteia sub acţiunea
solicitării
Icircn funcţie de raportul dintre baza de măsurare 1198710 şi diametrul iniţial 1198890 epruvetele
utilizate pentru icircncercări sunt
epruvete normale (scurte) cacircnd 11987101198890 = 5
epruvete lungi cacircnd 11987101198890 = 10
Icircn timpul icircncercării la diferite valori ale forţei 119865 se măsoară lungirea bazei de
măsurare
∆119871 = 120575 = 119871 minus 1198710 (439)
unde
119871 este dimensiunea bazei de măsurare la un moment dat
Curba forţă-lungire (119865 minus ) icircnregistrată icircn urma icircncercării reprezintă curba
caracteristică la tracţiune
La icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general diagrama caracteristică care se
obţine are forma din figura 48
Curba caracteristică la tracţiune depinde de lungimea bazei de măsurare Pentru
icircnlăturarea acestui neajuns curba caracteristică se reprezintă icircn coordonate şi definite
astfel
120590 =119865
1198600 휀 =
120575
1198710 (440)
unde
1198600 este aria iniţială a secţiunii transversale a epruvetei (icircnainte de solicitare) icircn
zona bazei de măsurare
1198600 =120587 ∙ 1198890
2
4
Deoarece mărimile icircn care se reprezintă curba caracteristică la tracţiune sunt
raportate la aria iniţială a secţiunii transversale (mărimi specifice) curba poartă numele
de curbă caracteristică convenţională la tracţiune
Fig 48 Curba caracteristică convenţională la tracțiune
Pe curba caracteristică convenţională la tracţiune figura 48 se pot stabili o serie
de puncte cărora le corespund mai multe mărimi importante
Ordonata punctului A pacircnă unde curba caracteristică convenţională este linie
dreaptă se numeşte limita de proporţionalitate a materialului 120590119901(1205901) Porţiunea 119874119860 este
zona de proporţionalitate a curbei caracteristice pe acest domeniu este valabilă legea lui
Hooke care exprimă o proporţionalitate icircntre tensiune şi deformaţie specifică
120590 = 119864 ∙ 휀 (441)
unde
119864 = reprezintă panta porţiunii liniare a curbei convenționale caracteristice
la tracțiune Caracteristica de material 119864 se numeşte modul de elasticitate longitudinal
(modulul lui Young)
Ordonata punctului 119861 pacircnă unde materialul se comportă perfect elastic adică
după descărcare icircşi recapătă dimensiunea iniţială 1198710 se numeşte limita de elasticitate
120590119890(119877119890) Icircn realitate nici un material nu are comportare perfect elastică sub acţiunea
solicitărilor el capătă deformaţii permanente (remanente plastice)
După punctul 119861 urmează o porţiune 119861119862119863 icircn care cu toate că icircncărcarea
continuă forţa nu mai creşte avacircnd mici oscilaţii icircn jurul unei valori Se spune că icircn
această porţiune materialul curge iar intervalul 119861119862119863 este un palier de curgere Tensiunea
corespunzătoare palierului de curgere se numeşte limită de curgere aparentă 120590119888(119877119888) Limita de curgere aparentă se calculează cu relaţia
120590119888 =1198651198881198600 (442)
unde
119865119888 reprezintă valoarea forţei icircnregistrată icircn momentul curgerii materialului
După punctul 119863 curba caracteristică are un traseu ascendent pacircnă icircn punctul 119864
Porţiunea 119863119864 este numită zonă de icircntărire (ecruisare) Icircn zona de ecruisare unde se
produc deformaţii plastice semnificative legea lui Hooke nu mai este valabilă La
descărcare relaţia dintre tensiunea şi deformaţia specifică este liniară paralelă cu
porţiunea liniară a curbei caracteristice (dreapta 119872119873)
Deformaţia totală (휀119905) are două componente una elastică (휀119890) şi una plastică (휀119901)
Ordonata punctului 119864 reprezintă rezistenţa de rupere 120590119903(119877119898) a materialului
care se poate calcula cu relaţia
120590119903 = 119877119898 =1198651198981198861199091198600
(443)
unde
119865119898119886119909 reprezintă valoarea maximă a forţei icircnregistrată icircn timpul icircncercării
La atingerea valorii 119865119898119886119909 (punctul 119864) icircntr-un anumit loc al epruvetei secţiunea
icircncepe să se micşoreze (se produce gacirctuirea) continuacircnd pacircnă cacircnd se produce ruperea
totală (punctul 119865)
Dacă după ruperea epruvetei cele două părţi rezultate se aşează cap la cap şi se
măsoară dimensiunea bazei de măsurare 119871119906 (lungimea ultimă) se determină alungirea la
rupere sau lungirea specifică la rupere 휀119903
휀119903 =119871119906 minus 11987101198710
=∆119871
1198710=120575
1198710 (444)
De obicei alungirea se exprimă icircn procente şi se notează cu 119860119899 unde 119899 reprezintă
numărul dat de raportul 11987101198890 (epruvete normale 119899 = 5 epruvete lungi 119899 = 10)
119860119899 =119871119906 minus 11987101198710
∙ 100 [] (445)
Altă mărime care se determină la icircncercarea la tracţiune este gacirctuirea la rupere
(exprimată de obicei icircn procente) şi definită de relaţia
119885 =1198600 minus 1198601199061198600
∙ 100 [] (446)
Mărimile determinate limita de proporţionalitate modulul de elasticitate
longitudinal limita de elasticitate limita de curgere aparentă rezistenţa de rupere
alungirea la rupere şi gacirctuirea la rupere sunt cunoscute ca fiind caracteristici mecanice
ale materialului
Din curba caracteristică convenţională observăm faptul că ruperea (punctul 119865 din
figura 48 se produce la o tensiune mai mică decacirct cea corespunzătoare punctului 119864 Dacă
icircnsă forţa din timpul icircncercării s-ar raporta la aria secţiunii din momentul icircnregistrării
forţei (care este mai mică decacirct cea iniţială 1198600) s-ar obţine aşa numita curbă
caracteristică reală a materialului (traseul 1198741198601198611198621198631198651 din figura 48) La curba
caracteristică reală ruperea se produce icircn punctul 1198651 la o icircncărcare mai mare decacirct cea
corespunzătoare punctului 119864 Icircnseamnă că rezistenţa reală la rupere este mai mare decacirct
rezistenţa la rupere dată de punctul 119864 din diagrama caracteristică convenţională
Dificultatea obţinerii diagramei caracteristice reale faţă de cea a diagramei caracteristice
convenţionale şi considerarea unei rezistenţe la rupere mai mică decacirct a celei reale face
icircn practică utilizarea pe scară mare a diagramei caracteristice convenţionale
Caracteristicile mecanice determinate pe baza curbei caracteristice convenţionale
sunt şi ele caracteristici mecanice convenţionale
Caracteristicile mecanice convenţionale limita de proporţionalitate convenţională
120590119901 limita de elasticitate convenţională 120590119890 limita de curgere convenţională 120590119888 şi rezistenţa
de rupere 120590119903 constituie tensiuni limită pentru un material Pe baza acestor caracteristici
de material se alege valoarea tensiunii admisibile 120590119886 (vezi paragraful 35) pentru
calculele de rezistenţă Cea mai utilizată stare limită pentru stabilirea tensiunii admisibile
120590119886 este limita de curgere convenţională 120590119888
120590119886 =120590119897119894119898119888
=120590119888119888 119904119886119906 120590119886 =
120590119903119888 (447)
Caracteristicile mecanice ale materialului sunt influenţate de o serie de factori
temperatura viteza de solicitare factorii tehnologici iar valorile lor sunt date icircn tabele și
diagrame
Aplicaţie Pentru suprafaţa plană compusă din două dreptunghiuri avacircnd
dimensiunile din figura 49a să se calculeze
a) centrul de greutate al secțiunii compuse 119910119866 119911119866
b) momentele de inerție axiale 119868119911 119868119910 și momentul de inerție centrifugal 119868119911119910
c) razele de inerție 119894119911 119894119910
d) modulele de rezistență 119882119911119898119894119899 119882119911119898119886119909 119882119910119898119894119899 119882119910119898119886119909
e) momentele de inerție principale 1198681 1198682 și direcțiile principale de inerție 1205721
f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 119878119911
Fig 49 Aplicație
Rezolvare Pentru rezolvare vom parcurge următoarele etape
icircmpărțim suprafața compusă icircn două suprafețe simple (dreptunghiuri) notate cu
① și respectiv ② figura 49b
poziționăm centrele de greutate a celor două suprafețe simple ① și respectiv ②
notate cu 1198661 și respectiv 1198662 figura 49c
poziționăm sistemele de axe de coordonate 119911111986611199101 pentru dreptunghiul ① și
119911211986621199102 pentru dreptunghiul ② aflate la intersecția diagonalelor figura 49c
poziționăm sistemele de axe de coordonate 11991101198741199100 ales arbitrar față de care
determinăm poziția centrului de greutate 119866 figura 49c
a) calculăm poziția centrului de greutate folosind relațiile (46) icircn care
1198601 = 6119905 ∙ 119905 = 61199052 1198602 = 4119905 ∙ 119905 = 41199052 119860 = 1198601 + 1198602 = 61199052 + 41199052 = 101199052
iar centrele de greutate 1198661 și respectiv 1198662 au coordonatele (față de sistemul 11991101198741199100)
1198661 1199101 = 3119905 1199111 = 05119905
1198662 1199102 = 051199051199112 = 3119905
cu acestea obținem
119910119866 =1198601 ∙ 1199101 + 1198602 ∙ 1199102
119860=61199052 ∙ 3119905 + 41199052 ∙ 05119905
101199052=201199053
101199052= 2119905
119911119866 =1198601 ∙ 1199111 + 1198602 ∙ 1199112
119860=61199052 ∙ 05119905 + 41199052 ∙ 3119905
101199052=151199053
101199052= 15119905
Poziționăm centrul de greutate 119866 al suprafeței compuse figura 49c
Fig 49 Aplicație
b) pentru determinarea momentelor de inerție axiale 119868119911 119868119910 și a momentului de
inerție centrifugal 119868119910119911 determinăm constantele 1198881 1198882 1198891 1198892 care intervin icircn relația lui
Stainer
1198881 = 1199101 minus 119910119866 = 3119905 minus 2119905 = 119905 1198882 = minus(119910119866 minus 1199102) = minus(2119905 minus 05119905) = minus15119905
1198891 = minus(119911119866 minus 1199111) = minus(15119905 minus 05119905) = minus119905 1198892 = 1199112 minus 119911119892 = 3119905 minus 15119905 = 15119905
Folosind relațiile lui Stainer (429) (430) și (431) calculăm momentele de
inerție axiale și centrifugale față de sistemul central 119911119866119866119910119866
119868119911 =sum(119868119911119894 + 1198881198942 ∙ 119860119894) = 1198681199111 + 1198881
2 ∙ 1198601 + 1198681199112 + 11988822 ∙ 1198602
119868119910 =sum(119868119910119894 + 1198891198942 ∙ 119860119894) = 1198681199101 + 1198891
2 ∙ 1198601 + 1198681199102 + 11988922 ∙ 1198602
119868119911119910 =sum(119868119911119894119910119894 + 119888119894 ∙ 119889119894 ∙ 119860119894) = 11986811991111199101 + 1198881 ∙ 1198891 ∙ 1198601 + 11986811991121199102 + 1198882 ∙ 1198892 ∙ 1198602
1198681199111 = (119887 ∙ ℎ3
12) =
119905 ∙ (6119905)3
12= 181199054 1198681199112 = (
119887 ∙ ℎ3
12) =
4119905 ∙ 1199053
12= 031199054
1198681199101 = (1198873 ∙ ℎ
12) =
1199053 ∙ 6119905
12= 051199054 1198681199102 = (
1198873 ∙ ℎ
12) =
(4119905)3 ∙ 119905
12= 531199054
11986811991111199101 = 11986811991121199102 = 0 deoarece cele două triunghiuri au cel puțin o axă de simetrie
Cu acestea momentele de inerție axiale și momentul de inerție centrifugal devin
119868119911 = 181199054 + 1199052 ∙ 61199052 + 031199054 + (minus15119905)2 ∙ 41199052 = 3331199054
119868119910 = 051199054 + (minus119905)2 ∙ 61199052 + 531199054 + (15119905)2 ∙ 41199052 = 2081199054
119868119911119910 = 0 + 119905 ∙ (minus119905) ∙ 61199052 + 0 + (minus15119905) ∙ (15119905) ∙ 41199052 = minus151199054
c) razele de inerție sau de girație față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910
se calculează cu relațiile (411)
119894119911 = radic119868119911119860= radic
3331199054
101199052= 182119905 119894119910 = radic
119868119910
119860= radic
2081199054
101199052= 144119905
d) modulele de rezistență față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910 se
calculează cu relațiile (412) și (413)
Avacircnd icircn vedere figura 419c obținem
119910119898119886119909 = 6119905 minus 119910119866 = 6119905 minus 2119905 = 4119905 119910119898119894119899 = minus119910119866 = minus2119905
119911119898119886119909 = 5119905 minus 119911119866 = 5119905 minus 15119905 = 35119905 119911119898119894119899 = minus119911119866 = minus15119905
Se obține astfel
119882119911119898119894119899 =119868119911
|119910119898119886119909|=3331199054
4119905= 8331199053
119882119911119898119886119909 =119868119911
|119910119898119894119899|=3331199054
2119905= 16651199053
119882119910119898119894119899 =119868119910
|119911119898119886119909|=2081199054
35119905= 5941199053
119882119910119898119886119909 =119868119910
|119911119898119894119899|=2081199054
15119905= 13871199053
e) momentele de inerție principale 1198681 și respectiv 1198682 se calculează cu relațiile
(438)
11986812 =119868119911 + 119868119910
2plusmn1
2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)
2+ 4 ∙ (119868119911119910)
2=
=3331199054 + 2081199054
2plusmn1
2∙ radic(3331199054 minus 2081199054)2 + 4 ∙ (minus151199054)2 = 27051199054 plusmn 16251199054
De unde obținem
1198681 = 27051199054 + 16251199054 = 4331199054
1198682 = 27051199054 minus 16251199054 = 1081199054
Prima direcție principală de inerție 1 face cu axa centrală 119866119911 unghiul 1205721 dat de
relația (437)
1205721 =1
2∙ arctan (minus
2 ∙ 119868119911119910
119868119911 minus 119868119910) =
1
2∙ arctan [minus
2 ∙ (minus151199054)
3331199054 minus 2081199054] =33 70
Deoarece 1205721 gt 0 rotirea axelor se face acircn sens antiorar acelor de ceasornic figura
49d
Poziția axe principale 2 față de care momentul de inerție are valoarea minimă
1198682 = 119868119898119894119899 este dată de unghiul
1205722 = 1205721 + 900 = 33 70 + 900 = 123 70
f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 se determină cu relația
(45)
1198781199111198602 = 1198602 ∙ 1198882 = 41199052 ∙ (minus15119905) = minus61199053
Momentul de ineție centrifugal este nul 119868119911119910 = 0 dacă cel puțin una din axele 119874119911
sau 119874119910 este axă de simetrie pentru secțiune
Se consideră o suprafaţă dreptunghiulară pe care faţă de axa de simetrie 119874119910 se iau
două suprafeţe elementare de arie 119889119860 simetrice faţă de axa 119874119910 figura 43
Fig 43 Suprafață dreptunghiulară cu două arii elementare 119889119860
Făcacircnd suma momentelor de inerţie centrifugale pentru cele două suprafeţe
elementare 119889119860 (din stacircnga şi din dreapta faţă de axa 119874119910) se obţine
int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860119889119903
+ int (minus119911) ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860119904119905119892
= int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860119889119903
minus int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860
119860119904119905119892
= 0 (49)
Acelaşi raţionament se poate face și pentru icircntreaga suprafaţă de unde obținem că
momentul de inerție centrifugal este nul 119868119911119910 = 0 Deci pentru o suprafaţă plană care
are cel puţin o axă de simetrie momentul de inerţie centrifugal faţă de sistemul care
conţine acea axă de simetrie este nul
Momentul de inerţie polar al unei suprafeţei icircn raport cu un punct (pol) 119874 figura
42 este definit prin relaţia
1198680 = 119868119901 ≝ int 1205882 ∙ 119889119860
119860
= int(1199102 + 1199112) ∙ 119889119860
119860
= 119868119911 + 119868119910 (410)
unde este distanţa de la polul 119874 la elementul de arie 119889119860 Momentul de inerţie polar se
măsoară icircn [1198981198984] şi este totdeauna pozitiv
Momentul de inerţie polar este egal cu suma momentelor de inerţie faţă de două axe
perpendiculare oarecare şi care trec prin polul considerat
Razele de giraţie sau razele de inerţie sunt mărimi calculate icircn raport cu axele
secțiunii și definite de relaţiile
119894119911 ≝ radic119868119911119860 119894119910 = radic
119868119910
119860 (411)
Se exprimă icircn [119898119898] şi sunt icircntotdeauna pozitive Semnificația unei raze de inerție
este distanța la care dacă ar fi concentrată icircntreaga arie s-ar obține același moment de
inerție ca și cel calculat pentru aria reală
44 Modulul de rezistenţă
Modulul de rezistență se calculează icircn raport cu axele de referință sau icircn raport cu
un pol figura 42 și pot fi axiale (119882119911119882119910) sau polar (119882119901) și se determină numai pe baza
momentelor de inerţie cu relațiile figura 43
119882119911119898119894119899 ≝119868119911119910119898119886119909
119882119911119898119886119909 ≝119868119911119910119898119894119899
(412)
119882119910119898119894119899 ≝119868119910
119911119898119886119909 119882119910119898119886119909 ≝
119868119910
119911119898119894119899 (413)
119882119901 ≝119868119901
120588119898119886119909 (414)
unde
119910119898119886119909 119910119898119894119899 reprezintă distanţa de la axa 119874119911 la punctele extreme cele mai
depărtate respectiv cele mai apropiate ale suprafeţei de această axă
119911119898119886119909 119911119898119894119899 reprezintă distanţa de la axa 119874119910 la punctele extreme cele mai
depărtate respectiv cele mai apropiate ale suprafeţei de această axă
120588119898119886119909 reprezintă distanța maximă de la polul 119874 la punctul secțiunii cel mai
icircndepărtat de acesta
Fig 43 Suprafață dreptunghiulară cu două arii elementare 119889119860
Modulele de rezistenţă se exprimă icircn [1198981198983] şi sunt icircntotdeauna pozitive
Explicația este aceea că momentele de inerție care intră icircn relațiile de definiție sunt
pozitive iar distanțele la punctele extreme sunt pozitive (119910119898119886119909 119910119898119894119899 119911119898119886119909 119911119898119894119899 120588119898119886119909 se
iau icircn valoare absolută)
Icircn cazul suprafeţelor compuse modulul de rezistenţă nu se obţine prin icircnsumarea
algebrică a modulelor de rezistenţă ale suprafeţelor simple componente ci numai prin
intermediul momentului de inerţie axial calculat pentru icircntreaga secțiune
Ca și momentele de inerție modulele de rezistență se calculează numai pentru
sistemele de axe centrale
45 Momente de inerţie şi module de rezistenţă pentru suprafeţe simple
451 Secțiune dreptunghiulară
Fie suprafaţa dreptunghiulară din figura 44 de icircnălțime ℎ și lățime 119887 pe care se
consideră suprafaţă elementară de arie 119889119860 = 119887119889119910 la distanța 119910 de axa 119862119911 sistemul de
axe 119911119862119910 trece prin centrul secțiunii iar axele sunt axe de simetrie pentru dreptunghi
Fig 44 Suprafață dreptunghiulară
Pe baza relațiilor de definiți a momentului de inerție 119868119911 se obține
119868119911 ≝ int 1199102 ∙ 119889119860
119860
= int 1199102 ∙ 119887 ∙ 119889119910 = 2int 1199102 ∙ 119887 ∙ 119889119910 = 2 ∙ 119887 ∙1199103
3|ℎ 2frasl
0rArr
ℎ 2frasl
0
ℎ 2frasl
minusℎ 2frasl
rArr 119868119911 =119887 ∙ ℎ3
12
(415)
Analog pentru un element de arie 119889119860 = ℎ ∙ 119889119911 paralel cu axa 119862119910 situat la distanța
119911 de axa 119862119910
119868119910 ≝ int 1199112 ∙ 119889119860
119860
= int 1199112 ∙ ℎ ∙ 119889119911 = 2int 1199112 ∙ ℎ ∙ 119889119910 = 2 ∙ ℎ ∙1199113
3|119887 2frasl
0rArr
119887 2frasl
0
119887 2frasl
minus119887 2frasl
rArr 119868119910 =1198873 ∙ ℎ
12
(416)
Deoarece axele 119862119911 și 119862119910 sunt axe de simetrie momentul de inerție centrifugal este
119868119911119910 = 0 (417)
Pentru un pătrat avacircnd laturile egale (ℎ = 119887 = 119886) momentele de inerţie faţă de
axele centrale au expresia
119868119911 = 119868119910 =1198864
12 (418)
Modulele de rezistență axiale se calculează cu relațiile de definiție ținacircnd cont că
distanțele pacircnă la fibrele extreme sunt
119910119898119886119909 = 119910119898119894119899 =ℎ
2 119911119898119886119909 = 119911119898119894119899 =
119887
2 (419)
Obținem
119882119911119898119894119899 = 119882119911119898119886119909 =119868119911
119910119898119886119909119898119894119899=119887 ∙ ℎ3
12frasl
ℎ2frasl
=119887 ∙ ℎ2
6
119882119910119898119894119899 = 119882119910119898119886119909 =119868119910
119911119898119886119909119898119894119899=1198873 ∙ ℎ
12frasl
1198872frasl
=1198872 ∙ ℎ
6
(420)
452 Suprafaţă circulară
Din motive de simetrie pentru suprafeţele circulare momentele de inerţie faţă de
orice diametru (care reprezintă şi axe centrale) sunt aceleaşi
Considerăm o secțiune circulară plină cu diametrul 119889 și centrul de greutate 119862 Prin
centrul de greutate 119862 trece sistemul de axe ortogonal 119911119862119910 figura 45
Fig 45 Suprafață circulară
La distanța de centrul de greutate 119862 vom lua un element de suprafață mic de arie
(119889119860) de forma unui inel de grosime 119889 Elementul de arie 119889119860 are expresia
119889119860 = (2 ∙ 120587 ∙ 120588) ∙ (119889120588)
Pornind de la relația de definiție a momentului de inerție polar obținem
119868119901 ≝ int 1205882 ∙ 119889119860
119860
= int 1205882 ∙ (2 ∙ 120587 ∙ 120588) ∙ 119889120588
119903=119889 2frasl
0
= 2 ∙ 120587 ∙1205884
4|119889 2frasl0 rArr
rArr 119868119901 =120587 ∙ 1198894
32
(421)
Secțiunea este perfect simetrică deci sunt valabile relațiile
119868119911 = 119868119910 rArr 119868119901 = 119868119911 + 119868119910 = 2 ∙ 119868119911 = 2 ∙ 119868119910 =119868119901
2=120587 ∙ 1198894
64 (422)
Și modulele de rezistenţă faţă de orice diametru sunt egale şi se calculează cu
relaţiile
119882119911 = 119882119910 =1198681199111198892frasl=120587 ∙ 1198893
32 (423)
Modulul de rezistenţă polar este
119882119901 =1198681199011198892frasl=120587 ∙ 1198893
16 (424)
453 Secţiune inelară
Calculul momentelor de inerţie axiale pentru o secţiune inelară avacircnd diametrul
interior 119889 şi diametrul exterior 119863 se determină analog pentru suprafaţa circulară plină cu
observaţia că integrala pentru calculul momentului de inerție polar 119868119901 se face icircntre
limitele 119903 = 119889 2frasl şi R= 1198632frasl (icircntre raza interioară 119903 şi raza exterioară 119877) figura 46
Se obţin relaţiile
119868119901 =120587 ∙ 1198634
32∙ [1 minus (
119889
119863)4
] =120587 ∙ 1198634
32∙ (1 minus 1198964) (425)
119868119910 = 119868119910 =120587 ∙ 1198634
64∙ [1 minus (
119889
119863)4
] =120587 ∙ 1198633
64∙ (1 minus 1198964) (426)
Fig 46 Secțiune inelară
119882119901 =120587 ∙ 1198633
16∙ [1 minus (
119889
119863)4
] =120587 ∙ 1198633
16∙ (1 minus 1198964) (427)
119882119911 = 119882119910 =120587 ∙ 1198633
32∙ [1 minus (
119889
119863)4
] =120587 ∙ 1198633
32∙ (1 minus 1198964) (428)
unde 119896 = 119889119863frasl
46 Variaţia momentelor de inerţie faţă de axe paralele
( Relațiile lui STEINER)
Se consideră o suprafaţă oarecare de arie 119860 cu elementul de arie 119889119860 și un sistemul
de axe central 119911119862119910 faţă de care se cunosc momentele de inerţie 119868119911 119868119910 119868119911119910 şi considerăm
un sistem de axe 11991111198741199101 paralele cu sistemul central figura 47 Se pune problema
determinării momentele de inerţie 1198681199111 1198681199101 11986811991111199101 faţă de sistemul de axe paralel cu sistemul
central 11991111198741199101 axe aflate la distanţele 119910119862 = 119888 respectiv 119911119862 = 119889 de acesta
461 Momente de inerţie axiale
Pe baza relaţiilor de definire şi a notaţiilor din figura 42 pentru momentele de
inerţie faţă de axele 1198741199111 1198741199101 se poate scrie
1198681199111 = int 11991012 ∙ 119889119860
119860
= int(119910 + 119888)2 ∙ 119889119860
119860
= int 1199102 ∙ 119889119860
119860
+ 2 ∙ 119888 ∙ int 119910 ∙ 119889119860
119860
+
+1198882int 119889119860
119860
rArr 1198681199111 = 119868119911 + 2 ∙ 119888 ∙ 119878119911 + 1198882 ∙ 119860 hArr 1198681199111 = 119868119911 + 119888
2 ∙ 119860
(429)
Fig 47 Variaţia momentelor de inerţie față de axe paralele
S-a ajuns la relația (429) deoarece momentul static 119878119911 este nul deoarece axa 119862119885
este axă centrală
Pentru momentul de inerție axial icircn raport cu axa 1198741199101 se obține
1198681199101 = int 11991112 ∙ 119889119860
119860
= int(119911 + 119889)2 ∙ 119889119860
119860
= int 1199112 ∙ 119889119860
119860
+ 2 ∙ 119889 ∙ int 119911 ∙ 119889119860
119860
+
+1198892 ∙ int 119889119860
119860
rArr 1198681199101 = 119868119910 + 2 ∙ 119889 ∙ 119878119910 + 1198892 ∙ 119860 hArr 1198681199101 = 119868119910 + 119889
2 ∙ 119860
(430)
Pentru momentul de inerție centrifugal obținem
11986811991111199101 = int 1199101 ∙ 1199111 ∙ 119889119860
119860
= int(119910 + 119888) ∙ (119911 + 119889) ∙ 119889119860
119860
= int 119910 ∙ 119911 ∙ 119889119860 +
119860
+119888 ∙ int 119911 ∙ 119889119860
119860
+ 119889 ∙ int 119910 ∙ 119889119860
119860
rArr 11986811991111199101 = 119868119911119910 + 119888 ∙ 119889 ∙ 119860
(431)
Deoarece
int 119911 ∙ 119889119860
119860
= 119878119910 = 0 int 119910 ∙ 119889119860
119860
= 119878119911 = 0 int 119910 ∙ 119911 ∙ 119889119860
119860
= 119868119911119910
Relaţiile (429) şi (430) arată că momentul de inerţie faţă de o axă oarecare
este egal cu momentul de inerţie faţă de o axă paralelă cu ea trecacircnd prin centrul de
greutate la care se adaugă produsul dintre aria suprafeţei şi pătratul distanţei dintre
cele două axe
Din relaţiile (429) și (430) rezultă de asemenea că momentul de inerţie faţă de o
axă centrală (care trece prin centrul de greutate) este cel mai mic dintre infinitatea de
momente de inerţie obținute faţă de alte axe paralele cu ea
Relaţia (431) arată de asemenea că momentul de inerţie centrifugal faţă de un
sistem de axe oarecare este egal cu momentul de inerţie centrifugal faţă de un sistem
paralele cu el trecacircnd prin centrul de greutate a suprafeţei la care se adaugă produsul
dintre aria suprafeţei şi distanţele dintre axele sistemelor respective
Icircn literatura de specialitate relaţiile (429) (430) şi (431) sunt cunoscute sub
numele de relaţiile lui Steiner
47 Variaţia momentrlor de inerţie faţă de axe rotite
Direcţii principale şi momente de inerţie principale
Fie suprafaţa plană din figura 48 de arie 119860 pe care considerăm o suprafaţă
elementară de arie 119889119860 Pentru sistemul de axe 119911119874119910 se cunosc momentele de inerţie
119868119911 119868119910 119868119911119910 şi vom determina relaţiile de calcul pentru momentele de inerţie afererent unui
sistem de axe 11991111198741199101 rotit cu un unghi faţă de sistemul central
Faţă de sistemul de axe 11991111198741199101 elementul de arie 119889119860 are coordonatele
1199101 = 119875119877 = 119875119876 minus 119877119876 = 119910 ∙ cos 120572 minus 119911 ∙ sin 120572
1199111 = 119873119872 = 119873119875 minus 119875119872 = 119911 ∙ cos 120572 + 119910 ∙ sin 120572 (432)
Fig 47 Variaţia momentelor de inerţie față de axe rotite
Pe baza relaţiilor de calcul ale momentelor de inerţie şi a notaţiilor din figura 42
şi ale relaţiilor (432) momentele de inerţie faţă de sistemul de axe rotit 11991111198741199101 sunt
1198681199111 =119868119911 + 119868119910
2+119868119911 minus 119868119910
2∙ cos 2120572 minus 119868119911119910 ∙ sin 2120572 (433)
1198681199101 =119868119911 + 119868119910
2minus119868119911 minus 119868119910
2∙ cos 2120572 + 119868119911119910 ∙ sin 2120572 (434)
11986811991111199101 =119868119911 minus 119868119910
2∙ sin 2120572 + 119868119911119910 ∙ cos 2120572 (435)
Din relaţiile 433divide435 se observă că icircntre momentele de inerţie axiale şi cele
polare există relaţia
1198681199111 + 1198681199101 = 119868119911 + 119868119910 = 119868119901 (436)
adică suma momentelor de inerţie axiale icircn raport cu orice pereche de axe ortogonale
care trec printr-un pol dat este o constantă şi egală cu momentul de inerţie polar
Prin rotirea sistemului de axe din relaţiile 433divide435 rezultă că momentele de inerţie
variază icircnsă suma lor rămacircne constantă deci există o poziţie a sistemului de axe pentru
care momentele de inerţie au valori extreme maxim respectiv minim
471 Direcţii principale de inerţie
Valoarea unghiului 120572 pentru care momentele de inerţie axiale au valori extreme
este
1205721 =1
2∙ 119886119903119888119905119886119899 (minus
2 ∙ 119868119911119910
119868119911 minus 119868119910) (437)
Poziţia celeilalte direcţii este perpendiculară pe cea dată de unghiul 1205721
Din relaţia (437) se constată că faţă de aceste direcţii rotite pentru care momentele
de inerţie axiale prezintă valori extreme momentul de inerţie centrifugal 11986811991111199101este nul
Atunci se poate afirma că momentele de inerţie axiale au valori extreme icircn raport cu
direcţiile faţă de care momentul de inerţie centrifugal este nul Aceste direcţii se numesc
direcţii principale iar momentele de inerţie faţă de aceste direcţii poartă numele de
momente de inerţie principale
Icircn calculele de rezistenţă interesează icircn mod special poziţia direcţiilor principale
care trec prin centrul de greutate al suprafeţei aşa numitele direcţii principale centrale şi
evident momentele de inerţie principale centrale
Direcţiile principale de inerţie se notează cu 1 respectiv 2 Axa principală 1
corespunde direcţiei faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea maximă iar
axa principală 2 pentru direcţia faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea
minimă
472 Momente de inerţie principale
Momentele de inerţie principale se notează cu litera 119868 la care se pune indicele 1
sau 2 după cum valoarea acestuia este maximă sau minimă deci avem un moment de
inerţie principal 1 (notat 1198681) respectiv moment de inerţie principal 2 (notat 1198682)
Expresiile pentru momentele de inerţie principale sunt
11986812 =119868119911 + 119868119910
2plusmn1
2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)
2+ 4 ∙ (119868119911119910)
2 (438)
Dacă momentul de inerţie centrifugal este negativ (119868119911119910 lt 0) direcţia principală
care trece prin primul cadran (definit de sistemul 119911119862119910) este direcţia principală 120783
Pentru suprafeţele cu cel puţin o axă de simetrie direcţiile centrale 119862119911 119862119910 sunt şi
direcții principale de inerţie și evident momentele de inerţie axiale 119868119911 119868119910 sunt momente
de inerţie principale
48 Caracteristici mecanice ale metalelor
Alegerea materialului pentru confecţionarea unei anumite piese se face şi pe baza
aşa numitelor caracteristici mecanice pe care le prezintă materialul Cunoaşterea acestor
caracteristici mecanice are loc numai pe baza unor icircncercări mecanice care să scoată icircn
evidenţă comportarea materialului icircn condiţii de solicitare
Cea mai utilizată icircncercare icircn urma căreia se pun icircn evidenţă caracteristicile
mecanice ale unui material este icircncercarea la tracţiune
481 Icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general
Icircncercarea la tracţiune a oţelului ca de altfel toate icircncercările de materiale este
standardizată
Icircn cele ce urmează se va prezenta numai partea care interesează strict din punct
de vedere al caracteristicilor mecanice ale oţelului
Epruveta de diametru iniţial 1198890 pentru icircncercarea la tracţiune are o porţiune de
lungime 1198710 numită baza de măsurare pe care se măsoară lungirea acesteia sub acţiunea
solicitării
Icircn funcţie de raportul dintre baza de măsurare 1198710 şi diametrul iniţial 1198890 epruvetele
utilizate pentru icircncercări sunt
epruvete normale (scurte) cacircnd 11987101198890 = 5
epruvete lungi cacircnd 11987101198890 = 10
Icircn timpul icircncercării la diferite valori ale forţei 119865 se măsoară lungirea bazei de
măsurare
∆119871 = 120575 = 119871 minus 1198710 (439)
unde
119871 este dimensiunea bazei de măsurare la un moment dat
Curba forţă-lungire (119865 minus ) icircnregistrată icircn urma icircncercării reprezintă curba
caracteristică la tracţiune
La icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general diagrama caracteristică care se
obţine are forma din figura 48
Curba caracteristică la tracţiune depinde de lungimea bazei de măsurare Pentru
icircnlăturarea acestui neajuns curba caracteristică se reprezintă icircn coordonate şi definite
astfel
120590 =119865
1198600 휀 =
120575
1198710 (440)
unde
1198600 este aria iniţială a secţiunii transversale a epruvetei (icircnainte de solicitare) icircn
zona bazei de măsurare
1198600 =120587 ∙ 1198890
2
4
Deoarece mărimile icircn care se reprezintă curba caracteristică la tracţiune sunt
raportate la aria iniţială a secţiunii transversale (mărimi specifice) curba poartă numele
de curbă caracteristică convenţională la tracţiune
Fig 48 Curba caracteristică convenţională la tracțiune
Pe curba caracteristică convenţională la tracţiune figura 48 se pot stabili o serie
de puncte cărora le corespund mai multe mărimi importante
Ordonata punctului A pacircnă unde curba caracteristică convenţională este linie
dreaptă se numeşte limita de proporţionalitate a materialului 120590119901(1205901) Porţiunea 119874119860 este
zona de proporţionalitate a curbei caracteristice pe acest domeniu este valabilă legea lui
Hooke care exprimă o proporţionalitate icircntre tensiune şi deformaţie specifică
120590 = 119864 ∙ 휀 (441)
unde
119864 = reprezintă panta porţiunii liniare a curbei convenționale caracteristice
la tracțiune Caracteristica de material 119864 se numeşte modul de elasticitate longitudinal
(modulul lui Young)
Ordonata punctului 119861 pacircnă unde materialul se comportă perfect elastic adică
după descărcare icircşi recapătă dimensiunea iniţială 1198710 se numeşte limita de elasticitate
120590119890(119877119890) Icircn realitate nici un material nu are comportare perfect elastică sub acţiunea
solicitărilor el capătă deformaţii permanente (remanente plastice)
După punctul 119861 urmează o porţiune 119861119862119863 icircn care cu toate că icircncărcarea
continuă forţa nu mai creşte avacircnd mici oscilaţii icircn jurul unei valori Se spune că icircn
această porţiune materialul curge iar intervalul 119861119862119863 este un palier de curgere Tensiunea
corespunzătoare palierului de curgere se numeşte limită de curgere aparentă 120590119888(119877119888) Limita de curgere aparentă se calculează cu relaţia
120590119888 =1198651198881198600 (442)
unde
119865119888 reprezintă valoarea forţei icircnregistrată icircn momentul curgerii materialului
După punctul 119863 curba caracteristică are un traseu ascendent pacircnă icircn punctul 119864
Porţiunea 119863119864 este numită zonă de icircntărire (ecruisare) Icircn zona de ecruisare unde se
produc deformaţii plastice semnificative legea lui Hooke nu mai este valabilă La
descărcare relaţia dintre tensiunea şi deformaţia specifică este liniară paralelă cu
porţiunea liniară a curbei caracteristice (dreapta 119872119873)
Deformaţia totală (휀119905) are două componente una elastică (휀119890) şi una plastică (휀119901)
Ordonata punctului 119864 reprezintă rezistenţa de rupere 120590119903(119877119898) a materialului
care se poate calcula cu relaţia
120590119903 = 119877119898 =1198651198981198861199091198600
(443)
unde
119865119898119886119909 reprezintă valoarea maximă a forţei icircnregistrată icircn timpul icircncercării
La atingerea valorii 119865119898119886119909 (punctul 119864) icircntr-un anumit loc al epruvetei secţiunea
icircncepe să se micşoreze (se produce gacirctuirea) continuacircnd pacircnă cacircnd se produce ruperea
totală (punctul 119865)
Dacă după ruperea epruvetei cele două părţi rezultate se aşează cap la cap şi se
măsoară dimensiunea bazei de măsurare 119871119906 (lungimea ultimă) se determină alungirea la
rupere sau lungirea specifică la rupere 휀119903
휀119903 =119871119906 minus 11987101198710
=∆119871
1198710=120575
1198710 (444)
De obicei alungirea se exprimă icircn procente şi se notează cu 119860119899 unde 119899 reprezintă
numărul dat de raportul 11987101198890 (epruvete normale 119899 = 5 epruvete lungi 119899 = 10)
119860119899 =119871119906 minus 11987101198710
∙ 100 [] (445)
Altă mărime care se determină la icircncercarea la tracţiune este gacirctuirea la rupere
(exprimată de obicei icircn procente) şi definită de relaţia
119885 =1198600 minus 1198601199061198600
∙ 100 [] (446)
Mărimile determinate limita de proporţionalitate modulul de elasticitate
longitudinal limita de elasticitate limita de curgere aparentă rezistenţa de rupere
alungirea la rupere şi gacirctuirea la rupere sunt cunoscute ca fiind caracteristici mecanice
ale materialului
Din curba caracteristică convenţională observăm faptul că ruperea (punctul 119865 din
figura 48 se produce la o tensiune mai mică decacirct cea corespunzătoare punctului 119864 Dacă
icircnsă forţa din timpul icircncercării s-ar raporta la aria secţiunii din momentul icircnregistrării
forţei (care este mai mică decacirct cea iniţială 1198600) s-ar obţine aşa numita curbă
caracteristică reală a materialului (traseul 1198741198601198611198621198631198651 din figura 48) La curba
caracteristică reală ruperea se produce icircn punctul 1198651 la o icircncărcare mai mare decacirct cea
corespunzătoare punctului 119864 Icircnseamnă că rezistenţa reală la rupere este mai mare decacirct
rezistenţa la rupere dată de punctul 119864 din diagrama caracteristică convenţională
Dificultatea obţinerii diagramei caracteristice reale faţă de cea a diagramei caracteristice
convenţionale şi considerarea unei rezistenţe la rupere mai mică decacirct a celei reale face
icircn practică utilizarea pe scară mare a diagramei caracteristice convenţionale
Caracteristicile mecanice determinate pe baza curbei caracteristice convenţionale
sunt şi ele caracteristici mecanice convenţionale
Caracteristicile mecanice convenţionale limita de proporţionalitate convenţională
120590119901 limita de elasticitate convenţională 120590119890 limita de curgere convenţională 120590119888 şi rezistenţa
de rupere 120590119903 constituie tensiuni limită pentru un material Pe baza acestor caracteristici
de material se alege valoarea tensiunii admisibile 120590119886 (vezi paragraful 35) pentru
calculele de rezistenţă Cea mai utilizată stare limită pentru stabilirea tensiunii admisibile
120590119886 este limita de curgere convenţională 120590119888
120590119886 =120590119897119894119898119888
=120590119888119888 119904119886119906 120590119886 =
120590119903119888 (447)
Caracteristicile mecanice ale materialului sunt influenţate de o serie de factori
temperatura viteza de solicitare factorii tehnologici iar valorile lor sunt date icircn tabele și
diagrame
Aplicaţie Pentru suprafaţa plană compusă din două dreptunghiuri avacircnd
dimensiunile din figura 49a să se calculeze
a) centrul de greutate al secțiunii compuse 119910119866 119911119866
b) momentele de inerție axiale 119868119911 119868119910 și momentul de inerție centrifugal 119868119911119910
c) razele de inerție 119894119911 119894119910
d) modulele de rezistență 119882119911119898119894119899 119882119911119898119886119909 119882119910119898119894119899 119882119910119898119886119909
e) momentele de inerție principale 1198681 1198682 și direcțiile principale de inerție 1205721
f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 119878119911
Fig 49 Aplicație
Rezolvare Pentru rezolvare vom parcurge următoarele etape
icircmpărțim suprafața compusă icircn două suprafețe simple (dreptunghiuri) notate cu
① și respectiv ② figura 49b
poziționăm centrele de greutate a celor două suprafețe simple ① și respectiv ②
notate cu 1198661 și respectiv 1198662 figura 49c
poziționăm sistemele de axe de coordonate 119911111986611199101 pentru dreptunghiul ① și
119911211986621199102 pentru dreptunghiul ② aflate la intersecția diagonalelor figura 49c
poziționăm sistemele de axe de coordonate 11991101198741199100 ales arbitrar față de care
determinăm poziția centrului de greutate 119866 figura 49c
a) calculăm poziția centrului de greutate folosind relațiile (46) icircn care
1198601 = 6119905 ∙ 119905 = 61199052 1198602 = 4119905 ∙ 119905 = 41199052 119860 = 1198601 + 1198602 = 61199052 + 41199052 = 101199052
iar centrele de greutate 1198661 și respectiv 1198662 au coordonatele (față de sistemul 11991101198741199100)
1198661 1199101 = 3119905 1199111 = 05119905
1198662 1199102 = 051199051199112 = 3119905
cu acestea obținem
119910119866 =1198601 ∙ 1199101 + 1198602 ∙ 1199102
119860=61199052 ∙ 3119905 + 41199052 ∙ 05119905
101199052=201199053
101199052= 2119905
119911119866 =1198601 ∙ 1199111 + 1198602 ∙ 1199112
119860=61199052 ∙ 05119905 + 41199052 ∙ 3119905
101199052=151199053
101199052= 15119905
Poziționăm centrul de greutate 119866 al suprafeței compuse figura 49c
Fig 49 Aplicație
b) pentru determinarea momentelor de inerție axiale 119868119911 119868119910 și a momentului de
inerție centrifugal 119868119910119911 determinăm constantele 1198881 1198882 1198891 1198892 care intervin icircn relația lui
Stainer
1198881 = 1199101 minus 119910119866 = 3119905 minus 2119905 = 119905 1198882 = minus(119910119866 minus 1199102) = minus(2119905 minus 05119905) = minus15119905
1198891 = minus(119911119866 minus 1199111) = minus(15119905 minus 05119905) = minus119905 1198892 = 1199112 minus 119911119892 = 3119905 minus 15119905 = 15119905
Folosind relațiile lui Stainer (429) (430) și (431) calculăm momentele de
inerție axiale și centrifugale față de sistemul central 119911119866119866119910119866
119868119911 =sum(119868119911119894 + 1198881198942 ∙ 119860119894) = 1198681199111 + 1198881
2 ∙ 1198601 + 1198681199112 + 11988822 ∙ 1198602
119868119910 =sum(119868119910119894 + 1198891198942 ∙ 119860119894) = 1198681199101 + 1198891
2 ∙ 1198601 + 1198681199102 + 11988922 ∙ 1198602
119868119911119910 =sum(119868119911119894119910119894 + 119888119894 ∙ 119889119894 ∙ 119860119894) = 11986811991111199101 + 1198881 ∙ 1198891 ∙ 1198601 + 11986811991121199102 + 1198882 ∙ 1198892 ∙ 1198602
1198681199111 = (119887 ∙ ℎ3
12) =
119905 ∙ (6119905)3
12= 181199054 1198681199112 = (
119887 ∙ ℎ3
12) =
4119905 ∙ 1199053
12= 031199054
1198681199101 = (1198873 ∙ ℎ
12) =
1199053 ∙ 6119905
12= 051199054 1198681199102 = (
1198873 ∙ ℎ
12) =
(4119905)3 ∙ 119905
12= 531199054
11986811991111199101 = 11986811991121199102 = 0 deoarece cele două triunghiuri au cel puțin o axă de simetrie
Cu acestea momentele de inerție axiale și momentul de inerție centrifugal devin
119868119911 = 181199054 + 1199052 ∙ 61199052 + 031199054 + (minus15119905)2 ∙ 41199052 = 3331199054
119868119910 = 051199054 + (minus119905)2 ∙ 61199052 + 531199054 + (15119905)2 ∙ 41199052 = 2081199054
119868119911119910 = 0 + 119905 ∙ (minus119905) ∙ 61199052 + 0 + (minus15119905) ∙ (15119905) ∙ 41199052 = minus151199054
c) razele de inerție sau de girație față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910
se calculează cu relațiile (411)
119894119911 = radic119868119911119860= radic
3331199054
101199052= 182119905 119894119910 = radic
119868119910
119860= radic
2081199054
101199052= 144119905
d) modulele de rezistență față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910 se
calculează cu relațiile (412) și (413)
Avacircnd icircn vedere figura 419c obținem
119910119898119886119909 = 6119905 minus 119910119866 = 6119905 minus 2119905 = 4119905 119910119898119894119899 = minus119910119866 = minus2119905
119911119898119886119909 = 5119905 minus 119911119866 = 5119905 minus 15119905 = 35119905 119911119898119894119899 = minus119911119866 = minus15119905
Se obține astfel
119882119911119898119894119899 =119868119911
|119910119898119886119909|=3331199054
4119905= 8331199053
119882119911119898119886119909 =119868119911
|119910119898119894119899|=3331199054
2119905= 16651199053
119882119910119898119894119899 =119868119910
|119911119898119886119909|=2081199054
35119905= 5941199053
119882119910119898119886119909 =119868119910
|119911119898119894119899|=2081199054
15119905= 13871199053
e) momentele de inerție principale 1198681 și respectiv 1198682 se calculează cu relațiile
(438)
11986812 =119868119911 + 119868119910
2plusmn1
2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)
2+ 4 ∙ (119868119911119910)
2=
=3331199054 + 2081199054
2plusmn1
2∙ radic(3331199054 minus 2081199054)2 + 4 ∙ (minus151199054)2 = 27051199054 plusmn 16251199054
De unde obținem
1198681 = 27051199054 + 16251199054 = 4331199054
1198682 = 27051199054 minus 16251199054 = 1081199054
Prima direcție principală de inerție 1 face cu axa centrală 119866119911 unghiul 1205721 dat de
relația (437)
1205721 =1
2∙ arctan (minus
2 ∙ 119868119911119910
119868119911 minus 119868119910) =
1
2∙ arctan [minus
2 ∙ (minus151199054)
3331199054 minus 2081199054] =33 70
Deoarece 1205721 gt 0 rotirea axelor se face acircn sens antiorar acelor de ceasornic figura
49d
Poziția axe principale 2 față de care momentul de inerție are valoarea minimă
1198682 = 119868119898119894119899 este dată de unghiul
1205722 = 1205721 + 900 = 33 70 + 900 = 123 70
f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 se determină cu relația
(45)
1198781199111198602 = 1198602 ∙ 1198882 = 41199052 ∙ (minus15119905) = minus61199053
Se exprimă icircn [119898119898] şi sunt icircntotdeauna pozitive Semnificația unei raze de inerție
este distanța la care dacă ar fi concentrată icircntreaga arie s-ar obține același moment de
inerție ca și cel calculat pentru aria reală
44 Modulul de rezistenţă
Modulul de rezistență se calculează icircn raport cu axele de referință sau icircn raport cu
un pol figura 42 și pot fi axiale (119882119911119882119910) sau polar (119882119901) și se determină numai pe baza
momentelor de inerţie cu relațiile figura 43
119882119911119898119894119899 ≝119868119911119910119898119886119909
119882119911119898119886119909 ≝119868119911119910119898119894119899
(412)
119882119910119898119894119899 ≝119868119910
119911119898119886119909 119882119910119898119886119909 ≝
119868119910
119911119898119894119899 (413)
119882119901 ≝119868119901
120588119898119886119909 (414)
unde
119910119898119886119909 119910119898119894119899 reprezintă distanţa de la axa 119874119911 la punctele extreme cele mai
depărtate respectiv cele mai apropiate ale suprafeţei de această axă
119911119898119886119909 119911119898119894119899 reprezintă distanţa de la axa 119874119910 la punctele extreme cele mai
depărtate respectiv cele mai apropiate ale suprafeţei de această axă
120588119898119886119909 reprezintă distanța maximă de la polul 119874 la punctul secțiunii cel mai
icircndepărtat de acesta
Fig 43 Suprafață dreptunghiulară cu două arii elementare 119889119860
Modulele de rezistenţă se exprimă icircn [1198981198983] şi sunt icircntotdeauna pozitive
Explicația este aceea că momentele de inerție care intră icircn relațiile de definiție sunt
pozitive iar distanțele la punctele extreme sunt pozitive (119910119898119886119909 119910119898119894119899 119911119898119886119909 119911119898119894119899 120588119898119886119909 se
iau icircn valoare absolută)
Icircn cazul suprafeţelor compuse modulul de rezistenţă nu se obţine prin icircnsumarea
algebrică a modulelor de rezistenţă ale suprafeţelor simple componente ci numai prin
intermediul momentului de inerţie axial calculat pentru icircntreaga secțiune
Ca și momentele de inerție modulele de rezistență se calculează numai pentru
sistemele de axe centrale
45 Momente de inerţie şi module de rezistenţă pentru suprafeţe simple
451 Secțiune dreptunghiulară
Fie suprafaţa dreptunghiulară din figura 44 de icircnălțime ℎ și lățime 119887 pe care se
consideră suprafaţă elementară de arie 119889119860 = 119887119889119910 la distanța 119910 de axa 119862119911 sistemul de
axe 119911119862119910 trece prin centrul secțiunii iar axele sunt axe de simetrie pentru dreptunghi
Fig 44 Suprafață dreptunghiulară
Pe baza relațiilor de definiți a momentului de inerție 119868119911 se obține
119868119911 ≝ int 1199102 ∙ 119889119860
119860
= int 1199102 ∙ 119887 ∙ 119889119910 = 2int 1199102 ∙ 119887 ∙ 119889119910 = 2 ∙ 119887 ∙1199103
3|ℎ 2frasl
0rArr
ℎ 2frasl
0
ℎ 2frasl
minusℎ 2frasl
rArr 119868119911 =119887 ∙ ℎ3
12
(415)
Analog pentru un element de arie 119889119860 = ℎ ∙ 119889119911 paralel cu axa 119862119910 situat la distanța
119911 de axa 119862119910
119868119910 ≝ int 1199112 ∙ 119889119860
119860
= int 1199112 ∙ ℎ ∙ 119889119911 = 2int 1199112 ∙ ℎ ∙ 119889119910 = 2 ∙ ℎ ∙1199113
3|119887 2frasl
0rArr
119887 2frasl
0
119887 2frasl
minus119887 2frasl
rArr 119868119910 =1198873 ∙ ℎ
12
(416)
Deoarece axele 119862119911 și 119862119910 sunt axe de simetrie momentul de inerție centrifugal este
119868119911119910 = 0 (417)
Pentru un pătrat avacircnd laturile egale (ℎ = 119887 = 119886) momentele de inerţie faţă de
axele centrale au expresia
119868119911 = 119868119910 =1198864
12 (418)
Modulele de rezistență axiale se calculează cu relațiile de definiție ținacircnd cont că
distanțele pacircnă la fibrele extreme sunt
119910119898119886119909 = 119910119898119894119899 =ℎ
2 119911119898119886119909 = 119911119898119894119899 =
119887
2 (419)
Obținem
119882119911119898119894119899 = 119882119911119898119886119909 =119868119911
119910119898119886119909119898119894119899=119887 ∙ ℎ3
12frasl
ℎ2frasl
=119887 ∙ ℎ2
6
119882119910119898119894119899 = 119882119910119898119886119909 =119868119910
119911119898119886119909119898119894119899=1198873 ∙ ℎ
12frasl
1198872frasl
=1198872 ∙ ℎ
6
(420)
452 Suprafaţă circulară
Din motive de simetrie pentru suprafeţele circulare momentele de inerţie faţă de
orice diametru (care reprezintă şi axe centrale) sunt aceleaşi
Considerăm o secțiune circulară plină cu diametrul 119889 și centrul de greutate 119862 Prin
centrul de greutate 119862 trece sistemul de axe ortogonal 119911119862119910 figura 45
Fig 45 Suprafață circulară
La distanța de centrul de greutate 119862 vom lua un element de suprafață mic de arie
(119889119860) de forma unui inel de grosime 119889 Elementul de arie 119889119860 are expresia
119889119860 = (2 ∙ 120587 ∙ 120588) ∙ (119889120588)
Pornind de la relația de definiție a momentului de inerție polar obținem
119868119901 ≝ int 1205882 ∙ 119889119860
119860
= int 1205882 ∙ (2 ∙ 120587 ∙ 120588) ∙ 119889120588
119903=119889 2frasl
0
= 2 ∙ 120587 ∙1205884
4|119889 2frasl0 rArr
rArr 119868119901 =120587 ∙ 1198894
32
(421)
Secțiunea este perfect simetrică deci sunt valabile relațiile
119868119911 = 119868119910 rArr 119868119901 = 119868119911 + 119868119910 = 2 ∙ 119868119911 = 2 ∙ 119868119910 =119868119901
2=120587 ∙ 1198894
64 (422)
Și modulele de rezistenţă faţă de orice diametru sunt egale şi se calculează cu
relaţiile
119882119911 = 119882119910 =1198681199111198892frasl=120587 ∙ 1198893
32 (423)
Modulul de rezistenţă polar este
119882119901 =1198681199011198892frasl=120587 ∙ 1198893
16 (424)
453 Secţiune inelară
Calculul momentelor de inerţie axiale pentru o secţiune inelară avacircnd diametrul
interior 119889 şi diametrul exterior 119863 se determină analog pentru suprafaţa circulară plină cu
observaţia că integrala pentru calculul momentului de inerție polar 119868119901 se face icircntre
limitele 119903 = 119889 2frasl şi R= 1198632frasl (icircntre raza interioară 119903 şi raza exterioară 119877) figura 46
Se obţin relaţiile
119868119901 =120587 ∙ 1198634
32∙ [1 minus (
119889
119863)4
] =120587 ∙ 1198634
32∙ (1 minus 1198964) (425)
119868119910 = 119868119910 =120587 ∙ 1198634
64∙ [1 minus (
119889
119863)4
] =120587 ∙ 1198633
64∙ (1 minus 1198964) (426)
Fig 46 Secțiune inelară
119882119901 =120587 ∙ 1198633
16∙ [1 minus (
119889
119863)4
] =120587 ∙ 1198633
16∙ (1 minus 1198964) (427)
119882119911 = 119882119910 =120587 ∙ 1198633
32∙ [1 minus (
119889
119863)4
] =120587 ∙ 1198633
32∙ (1 minus 1198964) (428)
unde 119896 = 119889119863frasl
46 Variaţia momentelor de inerţie faţă de axe paralele
( Relațiile lui STEINER)
Se consideră o suprafaţă oarecare de arie 119860 cu elementul de arie 119889119860 și un sistemul
de axe central 119911119862119910 faţă de care se cunosc momentele de inerţie 119868119911 119868119910 119868119911119910 şi considerăm
un sistem de axe 11991111198741199101 paralele cu sistemul central figura 47 Se pune problema
determinării momentele de inerţie 1198681199111 1198681199101 11986811991111199101 faţă de sistemul de axe paralel cu sistemul
central 11991111198741199101 axe aflate la distanţele 119910119862 = 119888 respectiv 119911119862 = 119889 de acesta
461 Momente de inerţie axiale
Pe baza relaţiilor de definire şi a notaţiilor din figura 42 pentru momentele de
inerţie faţă de axele 1198741199111 1198741199101 se poate scrie
1198681199111 = int 11991012 ∙ 119889119860
119860
= int(119910 + 119888)2 ∙ 119889119860
119860
= int 1199102 ∙ 119889119860
119860
+ 2 ∙ 119888 ∙ int 119910 ∙ 119889119860
119860
+
+1198882int 119889119860
119860
rArr 1198681199111 = 119868119911 + 2 ∙ 119888 ∙ 119878119911 + 1198882 ∙ 119860 hArr 1198681199111 = 119868119911 + 119888
2 ∙ 119860
(429)
Fig 47 Variaţia momentelor de inerţie față de axe paralele
S-a ajuns la relația (429) deoarece momentul static 119878119911 este nul deoarece axa 119862119885
este axă centrală
Pentru momentul de inerție axial icircn raport cu axa 1198741199101 se obține
1198681199101 = int 11991112 ∙ 119889119860
119860
= int(119911 + 119889)2 ∙ 119889119860
119860
= int 1199112 ∙ 119889119860
119860
+ 2 ∙ 119889 ∙ int 119911 ∙ 119889119860
119860
+
+1198892 ∙ int 119889119860
119860
rArr 1198681199101 = 119868119910 + 2 ∙ 119889 ∙ 119878119910 + 1198892 ∙ 119860 hArr 1198681199101 = 119868119910 + 119889
2 ∙ 119860
(430)
Pentru momentul de inerție centrifugal obținem
11986811991111199101 = int 1199101 ∙ 1199111 ∙ 119889119860
119860
= int(119910 + 119888) ∙ (119911 + 119889) ∙ 119889119860
119860
= int 119910 ∙ 119911 ∙ 119889119860 +
119860
+119888 ∙ int 119911 ∙ 119889119860
119860
+ 119889 ∙ int 119910 ∙ 119889119860
119860
rArr 11986811991111199101 = 119868119911119910 + 119888 ∙ 119889 ∙ 119860
(431)
Deoarece
int 119911 ∙ 119889119860
119860
= 119878119910 = 0 int 119910 ∙ 119889119860
119860
= 119878119911 = 0 int 119910 ∙ 119911 ∙ 119889119860
119860
= 119868119911119910
Relaţiile (429) şi (430) arată că momentul de inerţie faţă de o axă oarecare
este egal cu momentul de inerţie faţă de o axă paralelă cu ea trecacircnd prin centrul de
greutate la care se adaugă produsul dintre aria suprafeţei şi pătratul distanţei dintre
cele două axe
Din relaţiile (429) și (430) rezultă de asemenea că momentul de inerţie faţă de o
axă centrală (care trece prin centrul de greutate) este cel mai mic dintre infinitatea de
momente de inerţie obținute faţă de alte axe paralele cu ea
Relaţia (431) arată de asemenea că momentul de inerţie centrifugal faţă de un
sistem de axe oarecare este egal cu momentul de inerţie centrifugal faţă de un sistem
paralele cu el trecacircnd prin centrul de greutate a suprafeţei la care se adaugă produsul
dintre aria suprafeţei şi distanţele dintre axele sistemelor respective
Icircn literatura de specialitate relaţiile (429) (430) şi (431) sunt cunoscute sub
numele de relaţiile lui Steiner
47 Variaţia momentrlor de inerţie faţă de axe rotite
Direcţii principale şi momente de inerţie principale
Fie suprafaţa plană din figura 48 de arie 119860 pe care considerăm o suprafaţă
elementară de arie 119889119860 Pentru sistemul de axe 119911119874119910 se cunosc momentele de inerţie
119868119911 119868119910 119868119911119910 şi vom determina relaţiile de calcul pentru momentele de inerţie afererent unui
sistem de axe 11991111198741199101 rotit cu un unghi faţă de sistemul central
Faţă de sistemul de axe 11991111198741199101 elementul de arie 119889119860 are coordonatele
1199101 = 119875119877 = 119875119876 minus 119877119876 = 119910 ∙ cos 120572 minus 119911 ∙ sin 120572
1199111 = 119873119872 = 119873119875 minus 119875119872 = 119911 ∙ cos 120572 + 119910 ∙ sin 120572 (432)
Fig 47 Variaţia momentelor de inerţie față de axe rotite
Pe baza relaţiilor de calcul ale momentelor de inerţie şi a notaţiilor din figura 42
şi ale relaţiilor (432) momentele de inerţie faţă de sistemul de axe rotit 11991111198741199101 sunt
1198681199111 =119868119911 + 119868119910
2+119868119911 minus 119868119910
2∙ cos 2120572 minus 119868119911119910 ∙ sin 2120572 (433)
1198681199101 =119868119911 + 119868119910
2minus119868119911 minus 119868119910
2∙ cos 2120572 + 119868119911119910 ∙ sin 2120572 (434)
11986811991111199101 =119868119911 minus 119868119910
2∙ sin 2120572 + 119868119911119910 ∙ cos 2120572 (435)
Din relaţiile 433divide435 se observă că icircntre momentele de inerţie axiale şi cele
polare există relaţia
1198681199111 + 1198681199101 = 119868119911 + 119868119910 = 119868119901 (436)
adică suma momentelor de inerţie axiale icircn raport cu orice pereche de axe ortogonale
care trec printr-un pol dat este o constantă şi egală cu momentul de inerţie polar
Prin rotirea sistemului de axe din relaţiile 433divide435 rezultă că momentele de inerţie
variază icircnsă suma lor rămacircne constantă deci există o poziţie a sistemului de axe pentru
care momentele de inerţie au valori extreme maxim respectiv minim
471 Direcţii principale de inerţie
Valoarea unghiului 120572 pentru care momentele de inerţie axiale au valori extreme
este
1205721 =1
2∙ 119886119903119888119905119886119899 (minus
2 ∙ 119868119911119910
119868119911 minus 119868119910) (437)
Poziţia celeilalte direcţii este perpendiculară pe cea dată de unghiul 1205721
Din relaţia (437) se constată că faţă de aceste direcţii rotite pentru care momentele
de inerţie axiale prezintă valori extreme momentul de inerţie centrifugal 11986811991111199101este nul
Atunci se poate afirma că momentele de inerţie axiale au valori extreme icircn raport cu
direcţiile faţă de care momentul de inerţie centrifugal este nul Aceste direcţii se numesc
direcţii principale iar momentele de inerţie faţă de aceste direcţii poartă numele de
momente de inerţie principale
Icircn calculele de rezistenţă interesează icircn mod special poziţia direcţiilor principale
care trec prin centrul de greutate al suprafeţei aşa numitele direcţii principale centrale şi
evident momentele de inerţie principale centrale
Direcţiile principale de inerţie se notează cu 1 respectiv 2 Axa principală 1
corespunde direcţiei faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea maximă iar
axa principală 2 pentru direcţia faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea
minimă
472 Momente de inerţie principale
Momentele de inerţie principale se notează cu litera 119868 la care se pune indicele 1
sau 2 după cum valoarea acestuia este maximă sau minimă deci avem un moment de
inerţie principal 1 (notat 1198681) respectiv moment de inerţie principal 2 (notat 1198682)
Expresiile pentru momentele de inerţie principale sunt
11986812 =119868119911 + 119868119910
2plusmn1
2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)
2+ 4 ∙ (119868119911119910)
2 (438)
Dacă momentul de inerţie centrifugal este negativ (119868119911119910 lt 0) direcţia principală
care trece prin primul cadran (definit de sistemul 119911119862119910) este direcţia principală 120783
Pentru suprafeţele cu cel puţin o axă de simetrie direcţiile centrale 119862119911 119862119910 sunt şi
direcții principale de inerţie și evident momentele de inerţie axiale 119868119911 119868119910 sunt momente
de inerţie principale
48 Caracteristici mecanice ale metalelor
Alegerea materialului pentru confecţionarea unei anumite piese se face şi pe baza
aşa numitelor caracteristici mecanice pe care le prezintă materialul Cunoaşterea acestor
caracteristici mecanice are loc numai pe baza unor icircncercări mecanice care să scoată icircn
evidenţă comportarea materialului icircn condiţii de solicitare
Cea mai utilizată icircncercare icircn urma căreia se pun icircn evidenţă caracteristicile
mecanice ale unui material este icircncercarea la tracţiune
481 Icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general
Icircncercarea la tracţiune a oţelului ca de altfel toate icircncercările de materiale este
standardizată
Icircn cele ce urmează se va prezenta numai partea care interesează strict din punct
de vedere al caracteristicilor mecanice ale oţelului
Epruveta de diametru iniţial 1198890 pentru icircncercarea la tracţiune are o porţiune de
lungime 1198710 numită baza de măsurare pe care se măsoară lungirea acesteia sub acţiunea
solicitării
Icircn funcţie de raportul dintre baza de măsurare 1198710 şi diametrul iniţial 1198890 epruvetele
utilizate pentru icircncercări sunt
epruvete normale (scurte) cacircnd 11987101198890 = 5
epruvete lungi cacircnd 11987101198890 = 10
Icircn timpul icircncercării la diferite valori ale forţei 119865 se măsoară lungirea bazei de
măsurare
∆119871 = 120575 = 119871 minus 1198710 (439)
unde
119871 este dimensiunea bazei de măsurare la un moment dat
Curba forţă-lungire (119865 minus ) icircnregistrată icircn urma icircncercării reprezintă curba
caracteristică la tracţiune
La icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general diagrama caracteristică care se
obţine are forma din figura 48
Curba caracteristică la tracţiune depinde de lungimea bazei de măsurare Pentru
icircnlăturarea acestui neajuns curba caracteristică se reprezintă icircn coordonate şi definite
astfel
120590 =119865
1198600 휀 =
120575
1198710 (440)
unde
1198600 este aria iniţială a secţiunii transversale a epruvetei (icircnainte de solicitare) icircn
zona bazei de măsurare
1198600 =120587 ∙ 1198890
2
4
Deoarece mărimile icircn care se reprezintă curba caracteristică la tracţiune sunt
raportate la aria iniţială a secţiunii transversale (mărimi specifice) curba poartă numele
de curbă caracteristică convenţională la tracţiune
Fig 48 Curba caracteristică convenţională la tracțiune
Pe curba caracteristică convenţională la tracţiune figura 48 se pot stabili o serie
de puncte cărora le corespund mai multe mărimi importante
Ordonata punctului A pacircnă unde curba caracteristică convenţională este linie
dreaptă se numeşte limita de proporţionalitate a materialului 120590119901(1205901) Porţiunea 119874119860 este
zona de proporţionalitate a curbei caracteristice pe acest domeniu este valabilă legea lui
Hooke care exprimă o proporţionalitate icircntre tensiune şi deformaţie specifică
120590 = 119864 ∙ 휀 (441)
unde
119864 = reprezintă panta porţiunii liniare a curbei convenționale caracteristice
la tracțiune Caracteristica de material 119864 se numeşte modul de elasticitate longitudinal
(modulul lui Young)
Ordonata punctului 119861 pacircnă unde materialul se comportă perfect elastic adică
după descărcare icircşi recapătă dimensiunea iniţială 1198710 se numeşte limita de elasticitate
120590119890(119877119890) Icircn realitate nici un material nu are comportare perfect elastică sub acţiunea
solicitărilor el capătă deformaţii permanente (remanente plastice)
După punctul 119861 urmează o porţiune 119861119862119863 icircn care cu toate că icircncărcarea
continuă forţa nu mai creşte avacircnd mici oscilaţii icircn jurul unei valori Se spune că icircn
această porţiune materialul curge iar intervalul 119861119862119863 este un palier de curgere Tensiunea
corespunzătoare palierului de curgere se numeşte limită de curgere aparentă 120590119888(119877119888) Limita de curgere aparentă se calculează cu relaţia
120590119888 =1198651198881198600 (442)
unde
119865119888 reprezintă valoarea forţei icircnregistrată icircn momentul curgerii materialului
După punctul 119863 curba caracteristică are un traseu ascendent pacircnă icircn punctul 119864
Porţiunea 119863119864 este numită zonă de icircntărire (ecruisare) Icircn zona de ecruisare unde se
produc deformaţii plastice semnificative legea lui Hooke nu mai este valabilă La
descărcare relaţia dintre tensiunea şi deformaţia specifică este liniară paralelă cu
porţiunea liniară a curbei caracteristice (dreapta 119872119873)
Deformaţia totală (휀119905) are două componente una elastică (휀119890) şi una plastică (휀119901)
Ordonata punctului 119864 reprezintă rezistenţa de rupere 120590119903(119877119898) a materialului
care se poate calcula cu relaţia
120590119903 = 119877119898 =1198651198981198861199091198600
(443)
unde
119865119898119886119909 reprezintă valoarea maximă a forţei icircnregistrată icircn timpul icircncercării
La atingerea valorii 119865119898119886119909 (punctul 119864) icircntr-un anumit loc al epruvetei secţiunea
icircncepe să se micşoreze (se produce gacirctuirea) continuacircnd pacircnă cacircnd se produce ruperea
totală (punctul 119865)
Dacă după ruperea epruvetei cele două părţi rezultate se aşează cap la cap şi se
măsoară dimensiunea bazei de măsurare 119871119906 (lungimea ultimă) se determină alungirea la
rupere sau lungirea specifică la rupere 휀119903
휀119903 =119871119906 minus 11987101198710
=∆119871
1198710=120575
1198710 (444)
De obicei alungirea se exprimă icircn procente şi se notează cu 119860119899 unde 119899 reprezintă
numărul dat de raportul 11987101198890 (epruvete normale 119899 = 5 epruvete lungi 119899 = 10)
119860119899 =119871119906 minus 11987101198710
∙ 100 [] (445)
Altă mărime care se determină la icircncercarea la tracţiune este gacirctuirea la rupere
(exprimată de obicei icircn procente) şi definită de relaţia
119885 =1198600 minus 1198601199061198600
∙ 100 [] (446)
Mărimile determinate limita de proporţionalitate modulul de elasticitate
longitudinal limita de elasticitate limita de curgere aparentă rezistenţa de rupere
alungirea la rupere şi gacirctuirea la rupere sunt cunoscute ca fiind caracteristici mecanice
ale materialului
Din curba caracteristică convenţională observăm faptul că ruperea (punctul 119865 din
figura 48 se produce la o tensiune mai mică decacirct cea corespunzătoare punctului 119864 Dacă
icircnsă forţa din timpul icircncercării s-ar raporta la aria secţiunii din momentul icircnregistrării
forţei (care este mai mică decacirct cea iniţială 1198600) s-ar obţine aşa numita curbă
caracteristică reală a materialului (traseul 1198741198601198611198621198631198651 din figura 48) La curba
caracteristică reală ruperea se produce icircn punctul 1198651 la o icircncărcare mai mare decacirct cea
corespunzătoare punctului 119864 Icircnseamnă că rezistenţa reală la rupere este mai mare decacirct
rezistenţa la rupere dată de punctul 119864 din diagrama caracteristică convenţională
Dificultatea obţinerii diagramei caracteristice reale faţă de cea a diagramei caracteristice
convenţionale şi considerarea unei rezistenţe la rupere mai mică decacirct a celei reale face
icircn practică utilizarea pe scară mare a diagramei caracteristice convenţionale
Caracteristicile mecanice determinate pe baza curbei caracteristice convenţionale
sunt şi ele caracteristici mecanice convenţionale
Caracteristicile mecanice convenţionale limita de proporţionalitate convenţională
120590119901 limita de elasticitate convenţională 120590119890 limita de curgere convenţională 120590119888 şi rezistenţa
de rupere 120590119903 constituie tensiuni limită pentru un material Pe baza acestor caracteristici
de material se alege valoarea tensiunii admisibile 120590119886 (vezi paragraful 35) pentru
calculele de rezistenţă Cea mai utilizată stare limită pentru stabilirea tensiunii admisibile
120590119886 este limita de curgere convenţională 120590119888
120590119886 =120590119897119894119898119888
=120590119888119888 119904119886119906 120590119886 =
120590119903119888 (447)
Caracteristicile mecanice ale materialului sunt influenţate de o serie de factori
temperatura viteza de solicitare factorii tehnologici iar valorile lor sunt date icircn tabele și
diagrame
Aplicaţie Pentru suprafaţa plană compusă din două dreptunghiuri avacircnd
dimensiunile din figura 49a să se calculeze
a) centrul de greutate al secțiunii compuse 119910119866 119911119866
b) momentele de inerție axiale 119868119911 119868119910 și momentul de inerție centrifugal 119868119911119910
c) razele de inerție 119894119911 119894119910
d) modulele de rezistență 119882119911119898119894119899 119882119911119898119886119909 119882119910119898119894119899 119882119910119898119886119909
e) momentele de inerție principale 1198681 1198682 și direcțiile principale de inerție 1205721
f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 119878119911
Fig 49 Aplicație
Rezolvare Pentru rezolvare vom parcurge următoarele etape
icircmpărțim suprafața compusă icircn două suprafețe simple (dreptunghiuri) notate cu
① și respectiv ② figura 49b
poziționăm centrele de greutate a celor două suprafețe simple ① și respectiv ②
notate cu 1198661 și respectiv 1198662 figura 49c
poziționăm sistemele de axe de coordonate 119911111986611199101 pentru dreptunghiul ① și
119911211986621199102 pentru dreptunghiul ② aflate la intersecția diagonalelor figura 49c
poziționăm sistemele de axe de coordonate 11991101198741199100 ales arbitrar față de care
determinăm poziția centrului de greutate 119866 figura 49c
a) calculăm poziția centrului de greutate folosind relațiile (46) icircn care
1198601 = 6119905 ∙ 119905 = 61199052 1198602 = 4119905 ∙ 119905 = 41199052 119860 = 1198601 + 1198602 = 61199052 + 41199052 = 101199052
iar centrele de greutate 1198661 și respectiv 1198662 au coordonatele (față de sistemul 11991101198741199100)
1198661 1199101 = 3119905 1199111 = 05119905
1198662 1199102 = 051199051199112 = 3119905
cu acestea obținem
119910119866 =1198601 ∙ 1199101 + 1198602 ∙ 1199102
119860=61199052 ∙ 3119905 + 41199052 ∙ 05119905
101199052=201199053
101199052= 2119905
119911119866 =1198601 ∙ 1199111 + 1198602 ∙ 1199112
119860=61199052 ∙ 05119905 + 41199052 ∙ 3119905
101199052=151199053
101199052= 15119905
Poziționăm centrul de greutate 119866 al suprafeței compuse figura 49c
Fig 49 Aplicație
b) pentru determinarea momentelor de inerție axiale 119868119911 119868119910 și a momentului de
inerție centrifugal 119868119910119911 determinăm constantele 1198881 1198882 1198891 1198892 care intervin icircn relația lui
Stainer
1198881 = 1199101 minus 119910119866 = 3119905 minus 2119905 = 119905 1198882 = minus(119910119866 minus 1199102) = minus(2119905 minus 05119905) = minus15119905
1198891 = minus(119911119866 minus 1199111) = minus(15119905 minus 05119905) = minus119905 1198892 = 1199112 minus 119911119892 = 3119905 minus 15119905 = 15119905
Folosind relațiile lui Stainer (429) (430) și (431) calculăm momentele de
inerție axiale și centrifugale față de sistemul central 119911119866119866119910119866
119868119911 =sum(119868119911119894 + 1198881198942 ∙ 119860119894) = 1198681199111 + 1198881
2 ∙ 1198601 + 1198681199112 + 11988822 ∙ 1198602
119868119910 =sum(119868119910119894 + 1198891198942 ∙ 119860119894) = 1198681199101 + 1198891
2 ∙ 1198601 + 1198681199102 + 11988922 ∙ 1198602
119868119911119910 =sum(119868119911119894119910119894 + 119888119894 ∙ 119889119894 ∙ 119860119894) = 11986811991111199101 + 1198881 ∙ 1198891 ∙ 1198601 + 11986811991121199102 + 1198882 ∙ 1198892 ∙ 1198602
1198681199111 = (119887 ∙ ℎ3
12) =
119905 ∙ (6119905)3
12= 181199054 1198681199112 = (
119887 ∙ ℎ3
12) =
4119905 ∙ 1199053
12= 031199054
1198681199101 = (1198873 ∙ ℎ
12) =
1199053 ∙ 6119905
12= 051199054 1198681199102 = (
1198873 ∙ ℎ
12) =
(4119905)3 ∙ 119905
12= 531199054
11986811991111199101 = 11986811991121199102 = 0 deoarece cele două triunghiuri au cel puțin o axă de simetrie
Cu acestea momentele de inerție axiale și momentul de inerție centrifugal devin
119868119911 = 181199054 + 1199052 ∙ 61199052 + 031199054 + (minus15119905)2 ∙ 41199052 = 3331199054
119868119910 = 051199054 + (minus119905)2 ∙ 61199052 + 531199054 + (15119905)2 ∙ 41199052 = 2081199054
119868119911119910 = 0 + 119905 ∙ (minus119905) ∙ 61199052 + 0 + (minus15119905) ∙ (15119905) ∙ 41199052 = minus151199054
c) razele de inerție sau de girație față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910
se calculează cu relațiile (411)
119894119911 = radic119868119911119860= radic
3331199054
101199052= 182119905 119894119910 = radic
119868119910
119860= radic
2081199054
101199052= 144119905
d) modulele de rezistență față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910 se
calculează cu relațiile (412) și (413)
Avacircnd icircn vedere figura 419c obținem
119910119898119886119909 = 6119905 minus 119910119866 = 6119905 minus 2119905 = 4119905 119910119898119894119899 = minus119910119866 = minus2119905
119911119898119886119909 = 5119905 minus 119911119866 = 5119905 minus 15119905 = 35119905 119911119898119894119899 = minus119911119866 = minus15119905
Se obține astfel
119882119911119898119894119899 =119868119911
|119910119898119886119909|=3331199054
4119905= 8331199053
119882119911119898119886119909 =119868119911
|119910119898119894119899|=3331199054
2119905= 16651199053
119882119910119898119894119899 =119868119910
|119911119898119886119909|=2081199054
35119905= 5941199053
119882119910119898119886119909 =119868119910
|119911119898119894119899|=2081199054
15119905= 13871199053
e) momentele de inerție principale 1198681 și respectiv 1198682 se calculează cu relațiile
(438)
11986812 =119868119911 + 119868119910
2plusmn1
2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)
2+ 4 ∙ (119868119911119910)
2=
=3331199054 + 2081199054
2plusmn1
2∙ radic(3331199054 minus 2081199054)2 + 4 ∙ (minus151199054)2 = 27051199054 plusmn 16251199054
De unde obținem
1198681 = 27051199054 + 16251199054 = 4331199054
1198682 = 27051199054 minus 16251199054 = 1081199054
Prima direcție principală de inerție 1 face cu axa centrală 119866119911 unghiul 1205721 dat de
relația (437)
1205721 =1
2∙ arctan (minus
2 ∙ 119868119911119910
119868119911 minus 119868119910) =
1
2∙ arctan [minus
2 ∙ (minus151199054)
3331199054 minus 2081199054] =33 70
Deoarece 1205721 gt 0 rotirea axelor se face acircn sens antiorar acelor de ceasornic figura
49d
Poziția axe principale 2 față de care momentul de inerție are valoarea minimă
1198682 = 119868119898119894119899 este dată de unghiul
1205722 = 1205721 + 900 = 33 70 + 900 = 123 70
f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 se determină cu relația
(45)
1198781199111198602 = 1198602 ∙ 1198882 = 41199052 ∙ (minus15119905) = minus61199053
pozitive iar distanțele la punctele extreme sunt pozitive (119910119898119886119909 119910119898119894119899 119911119898119886119909 119911119898119894119899 120588119898119886119909 se
iau icircn valoare absolută)
Icircn cazul suprafeţelor compuse modulul de rezistenţă nu se obţine prin icircnsumarea
algebrică a modulelor de rezistenţă ale suprafeţelor simple componente ci numai prin
intermediul momentului de inerţie axial calculat pentru icircntreaga secțiune
Ca și momentele de inerție modulele de rezistență se calculează numai pentru
sistemele de axe centrale
45 Momente de inerţie şi module de rezistenţă pentru suprafeţe simple
451 Secțiune dreptunghiulară
Fie suprafaţa dreptunghiulară din figura 44 de icircnălțime ℎ și lățime 119887 pe care se
consideră suprafaţă elementară de arie 119889119860 = 119887119889119910 la distanța 119910 de axa 119862119911 sistemul de
axe 119911119862119910 trece prin centrul secțiunii iar axele sunt axe de simetrie pentru dreptunghi
Fig 44 Suprafață dreptunghiulară
Pe baza relațiilor de definiți a momentului de inerție 119868119911 se obține
119868119911 ≝ int 1199102 ∙ 119889119860
119860
= int 1199102 ∙ 119887 ∙ 119889119910 = 2int 1199102 ∙ 119887 ∙ 119889119910 = 2 ∙ 119887 ∙1199103
3|ℎ 2frasl
0rArr
ℎ 2frasl
0
ℎ 2frasl
minusℎ 2frasl
rArr 119868119911 =119887 ∙ ℎ3
12
(415)
Analog pentru un element de arie 119889119860 = ℎ ∙ 119889119911 paralel cu axa 119862119910 situat la distanța
119911 de axa 119862119910
119868119910 ≝ int 1199112 ∙ 119889119860
119860
= int 1199112 ∙ ℎ ∙ 119889119911 = 2int 1199112 ∙ ℎ ∙ 119889119910 = 2 ∙ ℎ ∙1199113
3|119887 2frasl
0rArr
119887 2frasl
0
119887 2frasl
minus119887 2frasl
rArr 119868119910 =1198873 ∙ ℎ
12
(416)
Deoarece axele 119862119911 și 119862119910 sunt axe de simetrie momentul de inerție centrifugal este
119868119911119910 = 0 (417)
Pentru un pătrat avacircnd laturile egale (ℎ = 119887 = 119886) momentele de inerţie faţă de
axele centrale au expresia
119868119911 = 119868119910 =1198864
12 (418)
Modulele de rezistență axiale se calculează cu relațiile de definiție ținacircnd cont că
distanțele pacircnă la fibrele extreme sunt
119910119898119886119909 = 119910119898119894119899 =ℎ
2 119911119898119886119909 = 119911119898119894119899 =
119887
2 (419)
Obținem
119882119911119898119894119899 = 119882119911119898119886119909 =119868119911
119910119898119886119909119898119894119899=119887 ∙ ℎ3
12frasl
ℎ2frasl
=119887 ∙ ℎ2
6
119882119910119898119894119899 = 119882119910119898119886119909 =119868119910
119911119898119886119909119898119894119899=1198873 ∙ ℎ
12frasl
1198872frasl
=1198872 ∙ ℎ
6
(420)
452 Suprafaţă circulară
Din motive de simetrie pentru suprafeţele circulare momentele de inerţie faţă de
orice diametru (care reprezintă şi axe centrale) sunt aceleaşi
Considerăm o secțiune circulară plină cu diametrul 119889 și centrul de greutate 119862 Prin
centrul de greutate 119862 trece sistemul de axe ortogonal 119911119862119910 figura 45
Fig 45 Suprafață circulară
La distanța de centrul de greutate 119862 vom lua un element de suprafață mic de arie
(119889119860) de forma unui inel de grosime 119889 Elementul de arie 119889119860 are expresia
119889119860 = (2 ∙ 120587 ∙ 120588) ∙ (119889120588)
Pornind de la relația de definiție a momentului de inerție polar obținem
119868119901 ≝ int 1205882 ∙ 119889119860
119860
= int 1205882 ∙ (2 ∙ 120587 ∙ 120588) ∙ 119889120588
119903=119889 2frasl
0
= 2 ∙ 120587 ∙1205884
4|119889 2frasl0 rArr
rArr 119868119901 =120587 ∙ 1198894
32
(421)
Secțiunea este perfect simetrică deci sunt valabile relațiile
119868119911 = 119868119910 rArr 119868119901 = 119868119911 + 119868119910 = 2 ∙ 119868119911 = 2 ∙ 119868119910 =119868119901
2=120587 ∙ 1198894
64 (422)
Și modulele de rezistenţă faţă de orice diametru sunt egale şi se calculează cu
relaţiile
119882119911 = 119882119910 =1198681199111198892frasl=120587 ∙ 1198893
32 (423)
Modulul de rezistenţă polar este
119882119901 =1198681199011198892frasl=120587 ∙ 1198893
16 (424)
453 Secţiune inelară
Calculul momentelor de inerţie axiale pentru o secţiune inelară avacircnd diametrul
interior 119889 şi diametrul exterior 119863 se determină analog pentru suprafaţa circulară plină cu
observaţia că integrala pentru calculul momentului de inerție polar 119868119901 se face icircntre
limitele 119903 = 119889 2frasl şi R= 1198632frasl (icircntre raza interioară 119903 şi raza exterioară 119877) figura 46
Se obţin relaţiile
119868119901 =120587 ∙ 1198634
32∙ [1 minus (
119889
119863)4
] =120587 ∙ 1198634
32∙ (1 minus 1198964) (425)
119868119910 = 119868119910 =120587 ∙ 1198634
64∙ [1 minus (
119889
119863)4
] =120587 ∙ 1198633
64∙ (1 minus 1198964) (426)
Fig 46 Secțiune inelară
119882119901 =120587 ∙ 1198633
16∙ [1 minus (
119889
119863)4
] =120587 ∙ 1198633
16∙ (1 minus 1198964) (427)
119882119911 = 119882119910 =120587 ∙ 1198633
32∙ [1 minus (
119889
119863)4
] =120587 ∙ 1198633
32∙ (1 minus 1198964) (428)
unde 119896 = 119889119863frasl
46 Variaţia momentelor de inerţie faţă de axe paralele
( Relațiile lui STEINER)
Se consideră o suprafaţă oarecare de arie 119860 cu elementul de arie 119889119860 și un sistemul
de axe central 119911119862119910 faţă de care se cunosc momentele de inerţie 119868119911 119868119910 119868119911119910 şi considerăm
un sistem de axe 11991111198741199101 paralele cu sistemul central figura 47 Se pune problema
determinării momentele de inerţie 1198681199111 1198681199101 11986811991111199101 faţă de sistemul de axe paralel cu sistemul
central 11991111198741199101 axe aflate la distanţele 119910119862 = 119888 respectiv 119911119862 = 119889 de acesta
461 Momente de inerţie axiale
Pe baza relaţiilor de definire şi a notaţiilor din figura 42 pentru momentele de
inerţie faţă de axele 1198741199111 1198741199101 se poate scrie
1198681199111 = int 11991012 ∙ 119889119860
119860
= int(119910 + 119888)2 ∙ 119889119860
119860
= int 1199102 ∙ 119889119860
119860
+ 2 ∙ 119888 ∙ int 119910 ∙ 119889119860
119860
+
+1198882int 119889119860
119860
rArr 1198681199111 = 119868119911 + 2 ∙ 119888 ∙ 119878119911 + 1198882 ∙ 119860 hArr 1198681199111 = 119868119911 + 119888
2 ∙ 119860
(429)
Fig 47 Variaţia momentelor de inerţie față de axe paralele
S-a ajuns la relația (429) deoarece momentul static 119878119911 este nul deoarece axa 119862119885
este axă centrală
Pentru momentul de inerție axial icircn raport cu axa 1198741199101 se obține
1198681199101 = int 11991112 ∙ 119889119860
119860
= int(119911 + 119889)2 ∙ 119889119860
119860
= int 1199112 ∙ 119889119860
119860
+ 2 ∙ 119889 ∙ int 119911 ∙ 119889119860
119860
+
+1198892 ∙ int 119889119860
119860
rArr 1198681199101 = 119868119910 + 2 ∙ 119889 ∙ 119878119910 + 1198892 ∙ 119860 hArr 1198681199101 = 119868119910 + 119889
2 ∙ 119860
(430)
Pentru momentul de inerție centrifugal obținem
11986811991111199101 = int 1199101 ∙ 1199111 ∙ 119889119860
119860
= int(119910 + 119888) ∙ (119911 + 119889) ∙ 119889119860
119860
= int 119910 ∙ 119911 ∙ 119889119860 +
119860
+119888 ∙ int 119911 ∙ 119889119860
119860
+ 119889 ∙ int 119910 ∙ 119889119860
119860
rArr 11986811991111199101 = 119868119911119910 + 119888 ∙ 119889 ∙ 119860
(431)
Deoarece
int 119911 ∙ 119889119860
119860
= 119878119910 = 0 int 119910 ∙ 119889119860
119860
= 119878119911 = 0 int 119910 ∙ 119911 ∙ 119889119860
119860
= 119868119911119910
Relaţiile (429) şi (430) arată că momentul de inerţie faţă de o axă oarecare
este egal cu momentul de inerţie faţă de o axă paralelă cu ea trecacircnd prin centrul de
greutate la care se adaugă produsul dintre aria suprafeţei şi pătratul distanţei dintre
cele două axe
Din relaţiile (429) și (430) rezultă de asemenea că momentul de inerţie faţă de o
axă centrală (care trece prin centrul de greutate) este cel mai mic dintre infinitatea de
momente de inerţie obținute faţă de alte axe paralele cu ea
Relaţia (431) arată de asemenea că momentul de inerţie centrifugal faţă de un
sistem de axe oarecare este egal cu momentul de inerţie centrifugal faţă de un sistem
paralele cu el trecacircnd prin centrul de greutate a suprafeţei la care se adaugă produsul
dintre aria suprafeţei şi distanţele dintre axele sistemelor respective
Icircn literatura de specialitate relaţiile (429) (430) şi (431) sunt cunoscute sub
numele de relaţiile lui Steiner
47 Variaţia momentrlor de inerţie faţă de axe rotite
Direcţii principale şi momente de inerţie principale
Fie suprafaţa plană din figura 48 de arie 119860 pe care considerăm o suprafaţă
elementară de arie 119889119860 Pentru sistemul de axe 119911119874119910 se cunosc momentele de inerţie
119868119911 119868119910 119868119911119910 şi vom determina relaţiile de calcul pentru momentele de inerţie afererent unui
sistem de axe 11991111198741199101 rotit cu un unghi faţă de sistemul central
Faţă de sistemul de axe 11991111198741199101 elementul de arie 119889119860 are coordonatele
1199101 = 119875119877 = 119875119876 minus 119877119876 = 119910 ∙ cos 120572 minus 119911 ∙ sin 120572
1199111 = 119873119872 = 119873119875 minus 119875119872 = 119911 ∙ cos 120572 + 119910 ∙ sin 120572 (432)
Fig 47 Variaţia momentelor de inerţie față de axe rotite
Pe baza relaţiilor de calcul ale momentelor de inerţie şi a notaţiilor din figura 42
şi ale relaţiilor (432) momentele de inerţie faţă de sistemul de axe rotit 11991111198741199101 sunt
1198681199111 =119868119911 + 119868119910
2+119868119911 minus 119868119910
2∙ cos 2120572 minus 119868119911119910 ∙ sin 2120572 (433)
1198681199101 =119868119911 + 119868119910
2minus119868119911 minus 119868119910
2∙ cos 2120572 + 119868119911119910 ∙ sin 2120572 (434)
11986811991111199101 =119868119911 minus 119868119910
2∙ sin 2120572 + 119868119911119910 ∙ cos 2120572 (435)
Din relaţiile 433divide435 se observă că icircntre momentele de inerţie axiale şi cele
polare există relaţia
1198681199111 + 1198681199101 = 119868119911 + 119868119910 = 119868119901 (436)
adică suma momentelor de inerţie axiale icircn raport cu orice pereche de axe ortogonale
care trec printr-un pol dat este o constantă şi egală cu momentul de inerţie polar
Prin rotirea sistemului de axe din relaţiile 433divide435 rezultă că momentele de inerţie
variază icircnsă suma lor rămacircne constantă deci există o poziţie a sistemului de axe pentru
care momentele de inerţie au valori extreme maxim respectiv minim
471 Direcţii principale de inerţie
Valoarea unghiului 120572 pentru care momentele de inerţie axiale au valori extreme
este
1205721 =1
2∙ 119886119903119888119905119886119899 (minus
2 ∙ 119868119911119910
119868119911 minus 119868119910) (437)
Poziţia celeilalte direcţii este perpendiculară pe cea dată de unghiul 1205721
Din relaţia (437) se constată că faţă de aceste direcţii rotite pentru care momentele
de inerţie axiale prezintă valori extreme momentul de inerţie centrifugal 11986811991111199101este nul
Atunci se poate afirma că momentele de inerţie axiale au valori extreme icircn raport cu
direcţiile faţă de care momentul de inerţie centrifugal este nul Aceste direcţii se numesc
direcţii principale iar momentele de inerţie faţă de aceste direcţii poartă numele de
momente de inerţie principale
Icircn calculele de rezistenţă interesează icircn mod special poziţia direcţiilor principale
care trec prin centrul de greutate al suprafeţei aşa numitele direcţii principale centrale şi
evident momentele de inerţie principale centrale
Direcţiile principale de inerţie se notează cu 1 respectiv 2 Axa principală 1
corespunde direcţiei faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea maximă iar
axa principală 2 pentru direcţia faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea
minimă
472 Momente de inerţie principale
Momentele de inerţie principale se notează cu litera 119868 la care se pune indicele 1
sau 2 după cum valoarea acestuia este maximă sau minimă deci avem un moment de
inerţie principal 1 (notat 1198681) respectiv moment de inerţie principal 2 (notat 1198682)
Expresiile pentru momentele de inerţie principale sunt
11986812 =119868119911 + 119868119910
2plusmn1
2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)
2+ 4 ∙ (119868119911119910)
2 (438)
Dacă momentul de inerţie centrifugal este negativ (119868119911119910 lt 0) direcţia principală
care trece prin primul cadran (definit de sistemul 119911119862119910) este direcţia principală 120783
Pentru suprafeţele cu cel puţin o axă de simetrie direcţiile centrale 119862119911 119862119910 sunt şi
direcții principale de inerţie și evident momentele de inerţie axiale 119868119911 119868119910 sunt momente
de inerţie principale
48 Caracteristici mecanice ale metalelor
Alegerea materialului pentru confecţionarea unei anumite piese se face şi pe baza
aşa numitelor caracteristici mecanice pe care le prezintă materialul Cunoaşterea acestor
caracteristici mecanice are loc numai pe baza unor icircncercări mecanice care să scoată icircn
evidenţă comportarea materialului icircn condiţii de solicitare
Cea mai utilizată icircncercare icircn urma căreia se pun icircn evidenţă caracteristicile
mecanice ale unui material este icircncercarea la tracţiune
481 Icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general
Icircncercarea la tracţiune a oţelului ca de altfel toate icircncercările de materiale este
standardizată
Icircn cele ce urmează se va prezenta numai partea care interesează strict din punct
de vedere al caracteristicilor mecanice ale oţelului
Epruveta de diametru iniţial 1198890 pentru icircncercarea la tracţiune are o porţiune de
lungime 1198710 numită baza de măsurare pe care se măsoară lungirea acesteia sub acţiunea
solicitării
Icircn funcţie de raportul dintre baza de măsurare 1198710 şi diametrul iniţial 1198890 epruvetele
utilizate pentru icircncercări sunt
epruvete normale (scurte) cacircnd 11987101198890 = 5
epruvete lungi cacircnd 11987101198890 = 10
Icircn timpul icircncercării la diferite valori ale forţei 119865 se măsoară lungirea bazei de
măsurare
∆119871 = 120575 = 119871 minus 1198710 (439)
unde
119871 este dimensiunea bazei de măsurare la un moment dat
Curba forţă-lungire (119865 minus ) icircnregistrată icircn urma icircncercării reprezintă curba
caracteristică la tracţiune
La icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general diagrama caracteristică care se
obţine are forma din figura 48
Curba caracteristică la tracţiune depinde de lungimea bazei de măsurare Pentru
icircnlăturarea acestui neajuns curba caracteristică se reprezintă icircn coordonate şi definite
astfel
120590 =119865
1198600 휀 =
120575
1198710 (440)
unde
1198600 este aria iniţială a secţiunii transversale a epruvetei (icircnainte de solicitare) icircn
zona bazei de măsurare
1198600 =120587 ∙ 1198890
2
4
Deoarece mărimile icircn care se reprezintă curba caracteristică la tracţiune sunt
raportate la aria iniţială a secţiunii transversale (mărimi specifice) curba poartă numele
de curbă caracteristică convenţională la tracţiune
Fig 48 Curba caracteristică convenţională la tracțiune
Pe curba caracteristică convenţională la tracţiune figura 48 se pot stabili o serie
de puncte cărora le corespund mai multe mărimi importante
Ordonata punctului A pacircnă unde curba caracteristică convenţională este linie
dreaptă se numeşte limita de proporţionalitate a materialului 120590119901(1205901) Porţiunea 119874119860 este
zona de proporţionalitate a curbei caracteristice pe acest domeniu este valabilă legea lui
Hooke care exprimă o proporţionalitate icircntre tensiune şi deformaţie specifică
120590 = 119864 ∙ 휀 (441)
unde
119864 = reprezintă panta porţiunii liniare a curbei convenționale caracteristice
la tracțiune Caracteristica de material 119864 se numeşte modul de elasticitate longitudinal
(modulul lui Young)
Ordonata punctului 119861 pacircnă unde materialul se comportă perfect elastic adică
după descărcare icircşi recapătă dimensiunea iniţială 1198710 se numeşte limita de elasticitate
120590119890(119877119890) Icircn realitate nici un material nu are comportare perfect elastică sub acţiunea
solicitărilor el capătă deformaţii permanente (remanente plastice)
După punctul 119861 urmează o porţiune 119861119862119863 icircn care cu toate că icircncărcarea
continuă forţa nu mai creşte avacircnd mici oscilaţii icircn jurul unei valori Se spune că icircn
această porţiune materialul curge iar intervalul 119861119862119863 este un palier de curgere Tensiunea
corespunzătoare palierului de curgere se numeşte limită de curgere aparentă 120590119888(119877119888) Limita de curgere aparentă se calculează cu relaţia
120590119888 =1198651198881198600 (442)
unde
119865119888 reprezintă valoarea forţei icircnregistrată icircn momentul curgerii materialului
După punctul 119863 curba caracteristică are un traseu ascendent pacircnă icircn punctul 119864
Porţiunea 119863119864 este numită zonă de icircntărire (ecruisare) Icircn zona de ecruisare unde se
produc deformaţii plastice semnificative legea lui Hooke nu mai este valabilă La
descărcare relaţia dintre tensiunea şi deformaţia specifică este liniară paralelă cu
porţiunea liniară a curbei caracteristice (dreapta 119872119873)
Deformaţia totală (휀119905) are două componente una elastică (휀119890) şi una plastică (휀119901)
Ordonata punctului 119864 reprezintă rezistenţa de rupere 120590119903(119877119898) a materialului
care se poate calcula cu relaţia
120590119903 = 119877119898 =1198651198981198861199091198600
(443)
unde
119865119898119886119909 reprezintă valoarea maximă a forţei icircnregistrată icircn timpul icircncercării
La atingerea valorii 119865119898119886119909 (punctul 119864) icircntr-un anumit loc al epruvetei secţiunea
icircncepe să se micşoreze (se produce gacirctuirea) continuacircnd pacircnă cacircnd se produce ruperea
totală (punctul 119865)
Dacă după ruperea epruvetei cele două părţi rezultate se aşează cap la cap şi se
măsoară dimensiunea bazei de măsurare 119871119906 (lungimea ultimă) se determină alungirea la
rupere sau lungirea specifică la rupere 휀119903
휀119903 =119871119906 minus 11987101198710
=∆119871
1198710=120575
1198710 (444)
De obicei alungirea se exprimă icircn procente şi se notează cu 119860119899 unde 119899 reprezintă
numărul dat de raportul 11987101198890 (epruvete normale 119899 = 5 epruvete lungi 119899 = 10)
119860119899 =119871119906 minus 11987101198710
∙ 100 [] (445)
Altă mărime care se determină la icircncercarea la tracţiune este gacirctuirea la rupere
(exprimată de obicei icircn procente) şi definită de relaţia
119885 =1198600 minus 1198601199061198600
∙ 100 [] (446)
Mărimile determinate limita de proporţionalitate modulul de elasticitate
longitudinal limita de elasticitate limita de curgere aparentă rezistenţa de rupere
alungirea la rupere şi gacirctuirea la rupere sunt cunoscute ca fiind caracteristici mecanice
ale materialului
Din curba caracteristică convenţională observăm faptul că ruperea (punctul 119865 din
figura 48 se produce la o tensiune mai mică decacirct cea corespunzătoare punctului 119864 Dacă
icircnsă forţa din timpul icircncercării s-ar raporta la aria secţiunii din momentul icircnregistrării
forţei (care este mai mică decacirct cea iniţială 1198600) s-ar obţine aşa numita curbă
caracteristică reală a materialului (traseul 1198741198601198611198621198631198651 din figura 48) La curba
caracteristică reală ruperea se produce icircn punctul 1198651 la o icircncărcare mai mare decacirct cea
corespunzătoare punctului 119864 Icircnseamnă că rezistenţa reală la rupere este mai mare decacirct
rezistenţa la rupere dată de punctul 119864 din diagrama caracteristică convenţională
Dificultatea obţinerii diagramei caracteristice reale faţă de cea a diagramei caracteristice
convenţionale şi considerarea unei rezistenţe la rupere mai mică decacirct a celei reale face
icircn practică utilizarea pe scară mare a diagramei caracteristice convenţionale
Caracteristicile mecanice determinate pe baza curbei caracteristice convenţionale
sunt şi ele caracteristici mecanice convenţionale
Caracteristicile mecanice convenţionale limita de proporţionalitate convenţională
120590119901 limita de elasticitate convenţională 120590119890 limita de curgere convenţională 120590119888 şi rezistenţa
de rupere 120590119903 constituie tensiuni limită pentru un material Pe baza acestor caracteristici
de material se alege valoarea tensiunii admisibile 120590119886 (vezi paragraful 35) pentru
calculele de rezistenţă Cea mai utilizată stare limită pentru stabilirea tensiunii admisibile
120590119886 este limita de curgere convenţională 120590119888
120590119886 =120590119897119894119898119888
=120590119888119888 119904119886119906 120590119886 =
120590119903119888 (447)
Caracteristicile mecanice ale materialului sunt influenţate de o serie de factori
temperatura viteza de solicitare factorii tehnologici iar valorile lor sunt date icircn tabele și
diagrame
Aplicaţie Pentru suprafaţa plană compusă din două dreptunghiuri avacircnd
dimensiunile din figura 49a să se calculeze
a) centrul de greutate al secțiunii compuse 119910119866 119911119866
b) momentele de inerție axiale 119868119911 119868119910 și momentul de inerție centrifugal 119868119911119910
c) razele de inerție 119894119911 119894119910
d) modulele de rezistență 119882119911119898119894119899 119882119911119898119886119909 119882119910119898119894119899 119882119910119898119886119909
e) momentele de inerție principale 1198681 1198682 și direcțiile principale de inerție 1205721
f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 119878119911
Fig 49 Aplicație
Rezolvare Pentru rezolvare vom parcurge următoarele etape
icircmpărțim suprafața compusă icircn două suprafețe simple (dreptunghiuri) notate cu
① și respectiv ② figura 49b
poziționăm centrele de greutate a celor două suprafețe simple ① și respectiv ②
notate cu 1198661 și respectiv 1198662 figura 49c
poziționăm sistemele de axe de coordonate 119911111986611199101 pentru dreptunghiul ① și
119911211986621199102 pentru dreptunghiul ② aflate la intersecția diagonalelor figura 49c
poziționăm sistemele de axe de coordonate 11991101198741199100 ales arbitrar față de care
determinăm poziția centrului de greutate 119866 figura 49c
a) calculăm poziția centrului de greutate folosind relațiile (46) icircn care
1198601 = 6119905 ∙ 119905 = 61199052 1198602 = 4119905 ∙ 119905 = 41199052 119860 = 1198601 + 1198602 = 61199052 + 41199052 = 101199052
iar centrele de greutate 1198661 și respectiv 1198662 au coordonatele (față de sistemul 11991101198741199100)
1198661 1199101 = 3119905 1199111 = 05119905
1198662 1199102 = 051199051199112 = 3119905
cu acestea obținem
119910119866 =1198601 ∙ 1199101 + 1198602 ∙ 1199102
119860=61199052 ∙ 3119905 + 41199052 ∙ 05119905
101199052=201199053
101199052= 2119905
119911119866 =1198601 ∙ 1199111 + 1198602 ∙ 1199112
119860=61199052 ∙ 05119905 + 41199052 ∙ 3119905
101199052=151199053
101199052= 15119905
Poziționăm centrul de greutate 119866 al suprafeței compuse figura 49c
Fig 49 Aplicație
b) pentru determinarea momentelor de inerție axiale 119868119911 119868119910 și a momentului de
inerție centrifugal 119868119910119911 determinăm constantele 1198881 1198882 1198891 1198892 care intervin icircn relația lui
Stainer
1198881 = 1199101 minus 119910119866 = 3119905 minus 2119905 = 119905 1198882 = minus(119910119866 minus 1199102) = minus(2119905 minus 05119905) = minus15119905
1198891 = minus(119911119866 minus 1199111) = minus(15119905 minus 05119905) = minus119905 1198892 = 1199112 minus 119911119892 = 3119905 minus 15119905 = 15119905
Folosind relațiile lui Stainer (429) (430) și (431) calculăm momentele de
inerție axiale și centrifugale față de sistemul central 119911119866119866119910119866
119868119911 =sum(119868119911119894 + 1198881198942 ∙ 119860119894) = 1198681199111 + 1198881
2 ∙ 1198601 + 1198681199112 + 11988822 ∙ 1198602
119868119910 =sum(119868119910119894 + 1198891198942 ∙ 119860119894) = 1198681199101 + 1198891
2 ∙ 1198601 + 1198681199102 + 11988922 ∙ 1198602
119868119911119910 =sum(119868119911119894119910119894 + 119888119894 ∙ 119889119894 ∙ 119860119894) = 11986811991111199101 + 1198881 ∙ 1198891 ∙ 1198601 + 11986811991121199102 + 1198882 ∙ 1198892 ∙ 1198602
1198681199111 = (119887 ∙ ℎ3
12) =
119905 ∙ (6119905)3
12= 181199054 1198681199112 = (
119887 ∙ ℎ3
12) =
4119905 ∙ 1199053
12= 031199054
1198681199101 = (1198873 ∙ ℎ
12) =
1199053 ∙ 6119905
12= 051199054 1198681199102 = (
1198873 ∙ ℎ
12) =
(4119905)3 ∙ 119905
12= 531199054
11986811991111199101 = 11986811991121199102 = 0 deoarece cele două triunghiuri au cel puțin o axă de simetrie
Cu acestea momentele de inerție axiale și momentul de inerție centrifugal devin
119868119911 = 181199054 + 1199052 ∙ 61199052 + 031199054 + (minus15119905)2 ∙ 41199052 = 3331199054
119868119910 = 051199054 + (minus119905)2 ∙ 61199052 + 531199054 + (15119905)2 ∙ 41199052 = 2081199054
119868119911119910 = 0 + 119905 ∙ (minus119905) ∙ 61199052 + 0 + (minus15119905) ∙ (15119905) ∙ 41199052 = minus151199054
c) razele de inerție sau de girație față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910
se calculează cu relațiile (411)
119894119911 = radic119868119911119860= radic
3331199054
101199052= 182119905 119894119910 = radic
119868119910
119860= radic
2081199054
101199052= 144119905
d) modulele de rezistență față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910 se
calculează cu relațiile (412) și (413)
Avacircnd icircn vedere figura 419c obținem
119910119898119886119909 = 6119905 minus 119910119866 = 6119905 minus 2119905 = 4119905 119910119898119894119899 = minus119910119866 = minus2119905
119911119898119886119909 = 5119905 minus 119911119866 = 5119905 minus 15119905 = 35119905 119911119898119894119899 = minus119911119866 = minus15119905
Se obține astfel
119882119911119898119894119899 =119868119911
|119910119898119886119909|=3331199054
4119905= 8331199053
119882119911119898119886119909 =119868119911
|119910119898119894119899|=3331199054
2119905= 16651199053
119882119910119898119894119899 =119868119910
|119911119898119886119909|=2081199054
35119905= 5941199053
119882119910119898119886119909 =119868119910
|119911119898119894119899|=2081199054
15119905= 13871199053
e) momentele de inerție principale 1198681 și respectiv 1198682 se calculează cu relațiile
(438)
11986812 =119868119911 + 119868119910
2plusmn1
2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)
2+ 4 ∙ (119868119911119910)
2=
=3331199054 + 2081199054
2plusmn1
2∙ radic(3331199054 minus 2081199054)2 + 4 ∙ (minus151199054)2 = 27051199054 plusmn 16251199054
De unde obținem
1198681 = 27051199054 + 16251199054 = 4331199054
1198682 = 27051199054 minus 16251199054 = 1081199054
Prima direcție principală de inerție 1 face cu axa centrală 119866119911 unghiul 1205721 dat de
relația (437)
1205721 =1
2∙ arctan (minus
2 ∙ 119868119911119910
119868119911 minus 119868119910) =
1
2∙ arctan [minus
2 ∙ (minus151199054)
3331199054 minus 2081199054] =33 70
Deoarece 1205721 gt 0 rotirea axelor se face acircn sens antiorar acelor de ceasornic figura
49d
Poziția axe principale 2 față de care momentul de inerție are valoarea minimă
1198682 = 119868119898119894119899 este dată de unghiul
1205722 = 1205721 + 900 = 33 70 + 900 = 123 70
f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 se determină cu relația
(45)
1198781199111198602 = 1198602 ∙ 1198882 = 41199052 ∙ (minus15119905) = minus61199053
119868119911119910 = 0 (417)
Pentru un pătrat avacircnd laturile egale (ℎ = 119887 = 119886) momentele de inerţie faţă de
axele centrale au expresia
119868119911 = 119868119910 =1198864
12 (418)
Modulele de rezistență axiale se calculează cu relațiile de definiție ținacircnd cont că
distanțele pacircnă la fibrele extreme sunt
119910119898119886119909 = 119910119898119894119899 =ℎ
2 119911119898119886119909 = 119911119898119894119899 =
119887
2 (419)
Obținem
119882119911119898119894119899 = 119882119911119898119886119909 =119868119911
119910119898119886119909119898119894119899=119887 ∙ ℎ3
12frasl
ℎ2frasl
=119887 ∙ ℎ2
6
119882119910119898119894119899 = 119882119910119898119886119909 =119868119910
119911119898119886119909119898119894119899=1198873 ∙ ℎ
12frasl
1198872frasl
=1198872 ∙ ℎ
6
(420)
452 Suprafaţă circulară
Din motive de simetrie pentru suprafeţele circulare momentele de inerţie faţă de
orice diametru (care reprezintă şi axe centrale) sunt aceleaşi
Considerăm o secțiune circulară plină cu diametrul 119889 și centrul de greutate 119862 Prin
centrul de greutate 119862 trece sistemul de axe ortogonal 119911119862119910 figura 45
Fig 45 Suprafață circulară
La distanța de centrul de greutate 119862 vom lua un element de suprafață mic de arie
(119889119860) de forma unui inel de grosime 119889 Elementul de arie 119889119860 are expresia
119889119860 = (2 ∙ 120587 ∙ 120588) ∙ (119889120588)
Pornind de la relația de definiție a momentului de inerție polar obținem
119868119901 ≝ int 1205882 ∙ 119889119860
119860
= int 1205882 ∙ (2 ∙ 120587 ∙ 120588) ∙ 119889120588
119903=119889 2frasl
0
= 2 ∙ 120587 ∙1205884
4|119889 2frasl0 rArr
rArr 119868119901 =120587 ∙ 1198894
32
(421)
Secțiunea este perfect simetrică deci sunt valabile relațiile
119868119911 = 119868119910 rArr 119868119901 = 119868119911 + 119868119910 = 2 ∙ 119868119911 = 2 ∙ 119868119910 =119868119901
2=120587 ∙ 1198894
64 (422)
Și modulele de rezistenţă faţă de orice diametru sunt egale şi se calculează cu
relaţiile
119882119911 = 119882119910 =1198681199111198892frasl=120587 ∙ 1198893
32 (423)
Modulul de rezistenţă polar este
119882119901 =1198681199011198892frasl=120587 ∙ 1198893
16 (424)
453 Secţiune inelară
Calculul momentelor de inerţie axiale pentru o secţiune inelară avacircnd diametrul
interior 119889 şi diametrul exterior 119863 se determină analog pentru suprafaţa circulară plină cu
observaţia că integrala pentru calculul momentului de inerție polar 119868119901 se face icircntre
limitele 119903 = 119889 2frasl şi R= 1198632frasl (icircntre raza interioară 119903 şi raza exterioară 119877) figura 46
Se obţin relaţiile
119868119901 =120587 ∙ 1198634
32∙ [1 minus (
119889
119863)4
] =120587 ∙ 1198634
32∙ (1 minus 1198964) (425)
119868119910 = 119868119910 =120587 ∙ 1198634
64∙ [1 minus (
119889
119863)4
] =120587 ∙ 1198633
64∙ (1 minus 1198964) (426)
Fig 46 Secțiune inelară
119882119901 =120587 ∙ 1198633
16∙ [1 minus (
119889
119863)4
] =120587 ∙ 1198633
16∙ (1 minus 1198964) (427)
119882119911 = 119882119910 =120587 ∙ 1198633
32∙ [1 minus (
119889
119863)4
] =120587 ∙ 1198633
32∙ (1 minus 1198964) (428)
unde 119896 = 119889119863frasl
46 Variaţia momentelor de inerţie faţă de axe paralele
( Relațiile lui STEINER)
Se consideră o suprafaţă oarecare de arie 119860 cu elementul de arie 119889119860 și un sistemul
de axe central 119911119862119910 faţă de care se cunosc momentele de inerţie 119868119911 119868119910 119868119911119910 şi considerăm
un sistem de axe 11991111198741199101 paralele cu sistemul central figura 47 Se pune problema
determinării momentele de inerţie 1198681199111 1198681199101 11986811991111199101 faţă de sistemul de axe paralel cu sistemul
central 11991111198741199101 axe aflate la distanţele 119910119862 = 119888 respectiv 119911119862 = 119889 de acesta
461 Momente de inerţie axiale
Pe baza relaţiilor de definire şi a notaţiilor din figura 42 pentru momentele de
inerţie faţă de axele 1198741199111 1198741199101 se poate scrie
1198681199111 = int 11991012 ∙ 119889119860
119860
= int(119910 + 119888)2 ∙ 119889119860
119860
= int 1199102 ∙ 119889119860
119860
+ 2 ∙ 119888 ∙ int 119910 ∙ 119889119860
119860
+
+1198882int 119889119860
119860
rArr 1198681199111 = 119868119911 + 2 ∙ 119888 ∙ 119878119911 + 1198882 ∙ 119860 hArr 1198681199111 = 119868119911 + 119888
2 ∙ 119860
(429)
Fig 47 Variaţia momentelor de inerţie față de axe paralele
S-a ajuns la relația (429) deoarece momentul static 119878119911 este nul deoarece axa 119862119885
este axă centrală
Pentru momentul de inerție axial icircn raport cu axa 1198741199101 se obține
1198681199101 = int 11991112 ∙ 119889119860
119860
= int(119911 + 119889)2 ∙ 119889119860
119860
= int 1199112 ∙ 119889119860
119860
+ 2 ∙ 119889 ∙ int 119911 ∙ 119889119860
119860
+
+1198892 ∙ int 119889119860
119860
rArr 1198681199101 = 119868119910 + 2 ∙ 119889 ∙ 119878119910 + 1198892 ∙ 119860 hArr 1198681199101 = 119868119910 + 119889
2 ∙ 119860
(430)
Pentru momentul de inerție centrifugal obținem
11986811991111199101 = int 1199101 ∙ 1199111 ∙ 119889119860
119860
= int(119910 + 119888) ∙ (119911 + 119889) ∙ 119889119860
119860
= int 119910 ∙ 119911 ∙ 119889119860 +
119860
+119888 ∙ int 119911 ∙ 119889119860
119860
+ 119889 ∙ int 119910 ∙ 119889119860
119860
rArr 11986811991111199101 = 119868119911119910 + 119888 ∙ 119889 ∙ 119860
(431)
Deoarece
int 119911 ∙ 119889119860
119860
= 119878119910 = 0 int 119910 ∙ 119889119860
119860
= 119878119911 = 0 int 119910 ∙ 119911 ∙ 119889119860
119860
= 119868119911119910
Relaţiile (429) şi (430) arată că momentul de inerţie faţă de o axă oarecare
este egal cu momentul de inerţie faţă de o axă paralelă cu ea trecacircnd prin centrul de
greutate la care se adaugă produsul dintre aria suprafeţei şi pătratul distanţei dintre
cele două axe
Din relaţiile (429) și (430) rezultă de asemenea că momentul de inerţie faţă de o
axă centrală (care trece prin centrul de greutate) este cel mai mic dintre infinitatea de
momente de inerţie obținute faţă de alte axe paralele cu ea
Relaţia (431) arată de asemenea că momentul de inerţie centrifugal faţă de un
sistem de axe oarecare este egal cu momentul de inerţie centrifugal faţă de un sistem
paralele cu el trecacircnd prin centrul de greutate a suprafeţei la care se adaugă produsul
dintre aria suprafeţei şi distanţele dintre axele sistemelor respective
Icircn literatura de specialitate relaţiile (429) (430) şi (431) sunt cunoscute sub
numele de relaţiile lui Steiner
47 Variaţia momentrlor de inerţie faţă de axe rotite
Direcţii principale şi momente de inerţie principale
Fie suprafaţa plană din figura 48 de arie 119860 pe care considerăm o suprafaţă
elementară de arie 119889119860 Pentru sistemul de axe 119911119874119910 se cunosc momentele de inerţie
119868119911 119868119910 119868119911119910 şi vom determina relaţiile de calcul pentru momentele de inerţie afererent unui
sistem de axe 11991111198741199101 rotit cu un unghi faţă de sistemul central
Faţă de sistemul de axe 11991111198741199101 elementul de arie 119889119860 are coordonatele
1199101 = 119875119877 = 119875119876 minus 119877119876 = 119910 ∙ cos 120572 minus 119911 ∙ sin 120572
1199111 = 119873119872 = 119873119875 minus 119875119872 = 119911 ∙ cos 120572 + 119910 ∙ sin 120572 (432)
Fig 47 Variaţia momentelor de inerţie față de axe rotite
Pe baza relaţiilor de calcul ale momentelor de inerţie şi a notaţiilor din figura 42
şi ale relaţiilor (432) momentele de inerţie faţă de sistemul de axe rotit 11991111198741199101 sunt
1198681199111 =119868119911 + 119868119910
2+119868119911 minus 119868119910
2∙ cos 2120572 minus 119868119911119910 ∙ sin 2120572 (433)
1198681199101 =119868119911 + 119868119910
2minus119868119911 minus 119868119910
2∙ cos 2120572 + 119868119911119910 ∙ sin 2120572 (434)
11986811991111199101 =119868119911 minus 119868119910
2∙ sin 2120572 + 119868119911119910 ∙ cos 2120572 (435)
Din relaţiile 433divide435 se observă că icircntre momentele de inerţie axiale şi cele
polare există relaţia
1198681199111 + 1198681199101 = 119868119911 + 119868119910 = 119868119901 (436)
adică suma momentelor de inerţie axiale icircn raport cu orice pereche de axe ortogonale
care trec printr-un pol dat este o constantă şi egală cu momentul de inerţie polar
Prin rotirea sistemului de axe din relaţiile 433divide435 rezultă că momentele de inerţie
variază icircnsă suma lor rămacircne constantă deci există o poziţie a sistemului de axe pentru
care momentele de inerţie au valori extreme maxim respectiv minim
471 Direcţii principale de inerţie
Valoarea unghiului 120572 pentru care momentele de inerţie axiale au valori extreme
este
1205721 =1
2∙ 119886119903119888119905119886119899 (minus
2 ∙ 119868119911119910
119868119911 minus 119868119910) (437)
Poziţia celeilalte direcţii este perpendiculară pe cea dată de unghiul 1205721
Din relaţia (437) se constată că faţă de aceste direcţii rotite pentru care momentele
de inerţie axiale prezintă valori extreme momentul de inerţie centrifugal 11986811991111199101este nul
Atunci se poate afirma că momentele de inerţie axiale au valori extreme icircn raport cu
direcţiile faţă de care momentul de inerţie centrifugal este nul Aceste direcţii se numesc
direcţii principale iar momentele de inerţie faţă de aceste direcţii poartă numele de
momente de inerţie principale
Icircn calculele de rezistenţă interesează icircn mod special poziţia direcţiilor principale
care trec prin centrul de greutate al suprafeţei aşa numitele direcţii principale centrale şi
evident momentele de inerţie principale centrale
Direcţiile principale de inerţie se notează cu 1 respectiv 2 Axa principală 1
corespunde direcţiei faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea maximă iar
axa principală 2 pentru direcţia faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea
minimă
472 Momente de inerţie principale
Momentele de inerţie principale se notează cu litera 119868 la care se pune indicele 1
sau 2 după cum valoarea acestuia este maximă sau minimă deci avem un moment de
inerţie principal 1 (notat 1198681) respectiv moment de inerţie principal 2 (notat 1198682)
Expresiile pentru momentele de inerţie principale sunt
11986812 =119868119911 + 119868119910
2plusmn1
2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)
2+ 4 ∙ (119868119911119910)
2 (438)
Dacă momentul de inerţie centrifugal este negativ (119868119911119910 lt 0) direcţia principală
care trece prin primul cadran (definit de sistemul 119911119862119910) este direcţia principală 120783
Pentru suprafeţele cu cel puţin o axă de simetrie direcţiile centrale 119862119911 119862119910 sunt şi
direcții principale de inerţie și evident momentele de inerţie axiale 119868119911 119868119910 sunt momente
de inerţie principale
48 Caracteristici mecanice ale metalelor
Alegerea materialului pentru confecţionarea unei anumite piese se face şi pe baza
aşa numitelor caracteristici mecanice pe care le prezintă materialul Cunoaşterea acestor
caracteristici mecanice are loc numai pe baza unor icircncercări mecanice care să scoată icircn
evidenţă comportarea materialului icircn condiţii de solicitare
Cea mai utilizată icircncercare icircn urma căreia se pun icircn evidenţă caracteristicile
mecanice ale unui material este icircncercarea la tracţiune
481 Icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general
Icircncercarea la tracţiune a oţelului ca de altfel toate icircncercările de materiale este
standardizată
Icircn cele ce urmează se va prezenta numai partea care interesează strict din punct
de vedere al caracteristicilor mecanice ale oţelului
Epruveta de diametru iniţial 1198890 pentru icircncercarea la tracţiune are o porţiune de
lungime 1198710 numită baza de măsurare pe care se măsoară lungirea acesteia sub acţiunea
solicitării
Icircn funcţie de raportul dintre baza de măsurare 1198710 şi diametrul iniţial 1198890 epruvetele
utilizate pentru icircncercări sunt
epruvete normale (scurte) cacircnd 11987101198890 = 5
epruvete lungi cacircnd 11987101198890 = 10
Icircn timpul icircncercării la diferite valori ale forţei 119865 se măsoară lungirea bazei de
măsurare
∆119871 = 120575 = 119871 minus 1198710 (439)
unde
119871 este dimensiunea bazei de măsurare la un moment dat
Curba forţă-lungire (119865 minus ) icircnregistrată icircn urma icircncercării reprezintă curba
caracteristică la tracţiune
La icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general diagrama caracteristică care se
obţine are forma din figura 48
Curba caracteristică la tracţiune depinde de lungimea bazei de măsurare Pentru
icircnlăturarea acestui neajuns curba caracteristică se reprezintă icircn coordonate şi definite
astfel
120590 =119865
1198600 휀 =
120575
1198710 (440)
unde
1198600 este aria iniţială a secţiunii transversale a epruvetei (icircnainte de solicitare) icircn
zona bazei de măsurare
1198600 =120587 ∙ 1198890
2
4
Deoarece mărimile icircn care se reprezintă curba caracteristică la tracţiune sunt
raportate la aria iniţială a secţiunii transversale (mărimi specifice) curba poartă numele
de curbă caracteristică convenţională la tracţiune
Fig 48 Curba caracteristică convenţională la tracțiune
Pe curba caracteristică convenţională la tracţiune figura 48 se pot stabili o serie
de puncte cărora le corespund mai multe mărimi importante
Ordonata punctului A pacircnă unde curba caracteristică convenţională este linie
dreaptă se numeşte limita de proporţionalitate a materialului 120590119901(1205901) Porţiunea 119874119860 este
zona de proporţionalitate a curbei caracteristice pe acest domeniu este valabilă legea lui
Hooke care exprimă o proporţionalitate icircntre tensiune şi deformaţie specifică
120590 = 119864 ∙ 휀 (441)
unde
119864 = reprezintă panta porţiunii liniare a curbei convenționale caracteristice
la tracțiune Caracteristica de material 119864 se numeşte modul de elasticitate longitudinal
(modulul lui Young)
Ordonata punctului 119861 pacircnă unde materialul se comportă perfect elastic adică
după descărcare icircşi recapătă dimensiunea iniţială 1198710 se numeşte limita de elasticitate
120590119890(119877119890) Icircn realitate nici un material nu are comportare perfect elastică sub acţiunea
solicitărilor el capătă deformaţii permanente (remanente plastice)
După punctul 119861 urmează o porţiune 119861119862119863 icircn care cu toate că icircncărcarea
continuă forţa nu mai creşte avacircnd mici oscilaţii icircn jurul unei valori Se spune că icircn
această porţiune materialul curge iar intervalul 119861119862119863 este un palier de curgere Tensiunea
corespunzătoare palierului de curgere se numeşte limită de curgere aparentă 120590119888(119877119888) Limita de curgere aparentă se calculează cu relaţia
120590119888 =1198651198881198600 (442)
unde
119865119888 reprezintă valoarea forţei icircnregistrată icircn momentul curgerii materialului
După punctul 119863 curba caracteristică are un traseu ascendent pacircnă icircn punctul 119864
Porţiunea 119863119864 este numită zonă de icircntărire (ecruisare) Icircn zona de ecruisare unde se
produc deformaţii plastice semnificative legea lui Hooke nu mai este valabilă La
descărcare relaţia dintre tensiunea şi deformaţia specifică este liniară paralelă cu
porţiunea liniară a curbei caracteristice (dreapta 119872119873)
Deformaţia totală (휀119905) are două componente una elastică (휀119890) şi una plastică (휀119901)
Ordonata punctului 119864 reprezintă rezistenţa de rupere 120590119903(119877119898) a materialului
care se poate calcula cu relaţia
120590119903 = 119877119898 =1198651198981198861199091198600
(443)
unde
119865119898119886119909 reprezintă valoarea maximă a forţei icircnregistrată icircn timpul icircncercării
La atingerea valorii 119865119898119886119909 (punctul 119864) icircntr-un anumit loc al epruvetei secţiunea
icircncepe să se micşoreze (se produce gacirctuirea) continuacircnd pacircnă cacircnd se produce ruperea
totală (punctul 119865)
Dacă după ruperea epruvetei cele două părţi rezultate se aşează cap la cap şi se
măsoară dimensiunea bazei de măsurare 119871119906 (lungimea ultimă) se determină alungirea la
rupere sau lungirea specifică la rupere 휀119903
휀119903 =119871119906 minus 11987101198710
=∆119871
1198710=120575
1198710 (444)
De obicei alungirea se exprimă icircn procente şi se notează cu 119860119899 unde 119899 reprezintă
numărul dat de raportul 11987101198890 (epruvete normale 119899 = 5 epruvete lungi 119899 = 10)
119860119899 =119871119906 minus 11987101198710
∙ 100 [] (445)
Altă mărime care se determină la icircncercarea la tracţiune este gacirctuirea la rupere
(exprimată de obicei icircn procente) şi definită de relaţia
119885 =1198600 minus 1198601199061198600
∙ 100 [] (446)
Mărimile determinate limita de proporţionalitate modulul de elasticitate
longitudinal limita de elasticitate limita de curgere aparentă rezistenţa de rupere
alungirea la rupere şi gacirctuirea la rupere sunt cunoscute ca fiind caracteristici mecanice
ale materialului
Din curba caracteristică convenţională observăm faptul că ruperea (punctul 119865 din
figura 48 se produce la o tensiune mai mică decacirct cea corespunzătoare punctului 119864 Dacă
icircnsă forţa din timpul icircncercării s-ar raporta la aria secţiunii din momentul icircnregistrării
forţei (care este mai mică decacirct cea iniţială 1198600) s-ar obţine aşa numita curbă
caracteristică reală a materialului (traseul 1198741198601198611198621198631198651 din figura 48) La curba
caracteristică reală ruperea se produce icircn punctul 1198651 la o icircncărcare mai mare decacirct cea
corespunzătoare punctului 119864 Icircnseamnă că rezistenţa reală la rupere este mai mare decacirct
rezistenţa la rupere dată de punctul 119864 din diagrama caracteristică convenţională
Dificultatea obţinerii diagramei caracteristice reale faţă de cea a diagramei caracteristice
convenţionale şi considerarea unei rezistenţe la rupere mai mică decacirct a celei reale face
icircn practică utilizarea pe scară mare a diagramei caracteristice convenţionale
Caracteristicile mecanice determinate pe baza curbei caracteristice convenţionale
sunt şi ele caracteristici mecanice convenţionale
Caracteristicile mecanice convenţionale limita de proporţionalitate convenţională
120590119901 limita de elasticitate convenţională 120590119890 limita de curgere convenţională 120590119888 şi rezistenţa
de rupere 120590119903 constituie tensiuni limită pentru un material Pe baza acestor caracteristici
de material se alege valoarea tensiunii admisibile 120590119886 (vezi paragraful 35) pentru
calculele de rezistenţă Cea mai utilizată stare limită pentru stabilirea tensiunii admisibile
120590119886 este limita de curgere convenţională 120590119888
120590119886 =120590119897119894119898119888
=120590119888119888 119904119886119906 120590119886 =
120590119903119888 (447)
Caracteristicile mecanice ale materialului sunt influenţate de o serie de factori
temperatura viteza de solicitare factorii tehnologici iar valorile lor sunt date icircn tabele și
diagrame
Aplicaţie Pentru suprafaţa plană compusă din două dreptunghiuri avacircnd
dimensiunile din figura 49a să se calculeze
a) centrul de greutate al secțiunii compuse 119910119866 119911119866
b) momentele de inerție axiale 119868119911 119868119910 și momentul de inerție centrifugal 119868119911119910
c) razele de inerție 119894119911 119894119910
d) modulele de rezistență 119882119911119898119894119899 119882119911119898119886119909 119882119910119898119894119899 119882119910119898119886119909
e) momentele de inerție principale 1198681 1198682 și direcțiile principale de inerție 1205721
f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 119878119911
Fig 49 Aplicație
Rezolvare Pentru rezolvare vom parcurge următoarele etape
icircmpărțim suprafața compusă icircn două suprafețe simple (dreptunghiuri) notate cu
① și respectiv ② figura 49b
poziționăm centrele de greutate a celor două suprafețe simple ① și respectiv ②
notate cu 1198661 și respectiv 1198662 figura 49c
poziționăm sistemele de axe de coordonate 119911111986611199101 pentru dreptunghiul ① și
119911211986621199102 pentru dreptunghiul ② aflate la intersecția diagonalelor figura 49c
poziționăm sistemele de axe de coordonate 11991101198741199100 ales arbitrar față de care
determinăm poziția centrului de greutate 119866 figura 49c
a) calculăm poziția centrului de greutate folosind relațiile (46) icircn care
1198601 = 6119905 ∙ 119905 = 61199052 1198602 = 4119905 ∙ 119905 = 41199052 119860 = 1198601 + 1198602 = 61199052 + 41199052 = 101199052
iar centrele de greutate 1198661 și respectiv 1198662 au coordonatele (față de sistemul 11991101198741199100)
1198661 1199101 = 3119905 1199111 = 05119905
1198662 1199102 = 051199051199112 = 3119905
cu acestea obținem
119910119866 =1198601 ∙ 1199101 + 1198602 ∙ 1199102
119860=61199052 ∙ 3119905 + 41199052 ∙ 05119905
101199052=201199053
101199052= 2119905
119911119866 =1198601 ∙ 1199111 + 1198602 ∙ 1199112
119860=61199052 ∙ 05119905 + 41199052 ∙ 3119905
101199052=151199053
101199052= 15119905
Poziționăm centrul de greutate 119866 al suprafeței compuse figura 49c
Fig 49 Aplicație
b) pentru determinarea momentelor de inerție axiale 119868119911 119868119910 și a momentului de
inerție centrifugal 119868119910119911 determinăm constantele 1198881 1198882 1198891 1198892 care intervin icircn relația lui
Stainer
1198881 = 1199101 minus 119910119866 = 3119905 minus 2119905 = 119905 1198882 = minus(119910119866 minus 1199102) = minus(2119905 minus 05119905) = minus15119905
1198891 = minus(119911119866 minus 1199111) = minus(15119905 minus 05119905) = minus119905 1198892 = 1199112 minus 119911119892 = 3119905 minus 15119905 = 15119905
Folosind relațiile lui Stainer (429) (430) și (431) calculăm momentele de
inerție axiale și centrifugale față de sistemul central 119911119866119866119910119866
119868119911 =sum(119868119911119894 + 1198881198942 ∙ 119860119894) = 1198681199111 + 1198881
2 ∙ 1198601 + 1198681199112 + 11988822 ∙ 1198602
119868119910 =sum(119868119910119894 + 1198891198942 ∙ 119860119894) = 1198681199101 + 1198891
2 ∙ 1198601 + 1198681199102 + 11988922 ∙ 1198602
119868119911119910 =sum(119868119911119894119910119894 + 119888119894 ∙ 119889119894 ∙ 119860119894) = 11986811991111199101 + 1198881 ∙ 1198891 ∙ 1198601 + 11986811991121199102 + 1198882 ∙ 1198892 ∙ 1198602
1198681199111 = (119887 ∙ ℎ3
12) =
119905 ∙ (6119905)3
12= 181199054 1198681199112 = (
119887 ∙ ℎ3
12) =
4119905 ∙ 1199053
12= 031199054
1198681199101 = (1198873 ∙ ℎ
12) =
1199053 ∙ 6119905
12= 051199054 1198681199102 = (
1198873 ∙ ℎ
12) =
(4119905)3 ∙ 119905
12= 531199054
11986811991111199101 = 11986811991121199102 = 0 deoarece cele două triunghiuri au cel puțin o axă de simetrie
Cu acestea momentele de inerție axiale și momentul de inerție centrifugal devin
119868119911 = 181199054 + 1199052 ∙ 61199052 + 031199054 + (minus15119905)2 ∙ 41199052 = 3331199054
119868119910 = 051199054 + (minus119905)2 ∙ 61199052 + 531199054 + (15119905)2 ∙ 41199052 = 2081199054
119868119911119910 = 0 + 119905 ∙ (minus119905) ∙ 61199052 + 0 + (minus15119905) ∙ (15119905) ∙ 41199052 = minus151199054
c) razele de inerție sau de girație față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910
se calculează cu relațiile (411)
119894119911 = radic119868119911119860= radic
3331199054
101199052= 182119905 119894119910 = radic
119868119910
119860= radic
2081199054
101199052= 144119905
d) modulele de rezistență față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910 se
calculează cu relațiile (412) și (413)
Avacircnd icircn vedere figura 419c obținem
119910119898119886119909 = 6119905 minus 119910119866 = 6119905 minus 2119905 = 4119905 119910119898119894119899 = minus119910119866 = minus2119905
119911119898119886119909 = 5119905 minus 119911119866 = 5119905 minus 15119905 = 35119905 119911119898119894119899 = minus119911119866 = minus15119905
Se obține astfel
119882119911119898119894119899 =119868119911
|119910119898119886119909|=3331199054
4119905= 8331199053
119882119911119898119886119909 =119868119911
|119910119898119894119899|=3331199054
2119905= 16651199053
119882119910119898119894119899 =119868119910
|119911119898119886119909|=2081199054
35119905= 5941199053
119882119910119898119886119909 =119868119910
|119911119898119894119899|=2081199054
15119905= 13871199053
e) momentele de inerție principale 1198681 și respectiv 1198682 se calculează cu relațiile
(438)
11986812 =119868119911 + 119868119910
2plusmn1
2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)
2+ 4 ∙ (119868119911119910)
2=
=3331199054 + 2081199054
2plusmn1
2∙ radic(3331199054 minus 2081199054)2 + 4 ∙ (minus151199054)2 = 27051199054 plusmn 16251199054
De unde obținem
1198681 = 27051199054 + 16251199054 = 4331199054
1198682 = 27051199054 minus 16251199054 = 1081199054
Prima direcție principală de inerție 1 face cu axa centrală 119866119911 unghiul 1205721 dat de
relația (437)
1205721 =1
2∙ arctan (minus
2 ∙ 119868119911119910
119868119911 minus 119868119910) =
1
2∙ arctan [minus
2 ∙ (minus151199054)
3331199054 minus 2081199054] =33 70
Deoarece 1205721 gt 0 rotirea axelor se face acircn sens antiorar acelor de ceasornic figura
49d
Poziția axe principale 2 față de care momentul de inerție are valoarea minimă
1198682 = 119868119898119894119899 este dată de unghiul
1205722 = 1205721 + 900 = 33 70 + 900 = 123 70
f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 se determină cu relația
(45)
1198781199111198602 = 1198602 ∙ 1198882 = 41199052 ∙ (minus15119905) = minus61199053
119889119860 = (2 ∙ 120587 ∙ 120588) ∙ (119889120588)
Pornind de la relația de definiție a momentului de inerție polar obținem
119868119901 ≝ int 1205882 ∙ 119889119860
119860
= int 1205882 ∙ (2 ∙ 120587 ∙ 120588) ∙ 119889120588
119903=119889 2frasl
0
= 2 ∙ 120587 ∙1205884
4|119889 2frasl0 rArr
rArr 119868119901 =120587 ∙ 1198894
32
(421)
Secțiunea este perfect simetrică deci sunt valabile relațiile
119868119911 = 119868119910 rArr 119868119901 = 119868119911 + 119868119910 = 2 ∙ 119868119911 = 2 ∙ 119868119910 =119868119901
2=120587 ∙ 1198894
64 (422)
Și modulele de rezistenţă faţă de orice diametru sunt egale şi se calculează cu
relaţiile
119882119911 = 119882119910 =1198681199111198892frasl=120587 ∙ 1198893
32 (423)
Modulul de rezistenţă polar este
119882119901 =1198681199011198892frasl=120587 ∙ 1198893
16 (424)
453 Secţiune inelară
Calculul momentelor de inerţie axiale pentru o secţiune inelară avacircnd diametrul
interior 119889 şi diametrul exterior 119863 se determină analog pentru suprafaţa circulară plină cu
observaţia că integrala pentru calculul momentului de inerție polar 119868119901 se face icircntre
limitele 119903 = 119889 2frasl şi R= 1198632frasl (icircntre raza interioară 119903 şi raza exterioară 119877) figura 46
Se obţin relaţiile
119868119901 =120587 ∙ 1198634
32∙ [1 minus (
119889
119863)4
] =120587 ∙ 1198634
32∙ (1 minus 1198964) (425)
119868119910 = 119868119910 =120587 ∙ 1198634
64∙ [1 minus (
119889
119863)4
] =120587 ∙ 1198633
64∙ (1 minus 1198964) (426)
Fig 46 Secțiune inelară
119882119901 =120587 ∙ 1198633
16∙ [1 minus (
119889
119863)4
] =120587 ∙ 1198633
16∙ (1 minus 1198964) (427)
119882119911 = 119882119910 =120587 ∙ 1198633
32∙ [1 minus (
119889
119863)4
] =120587 ∙ 1198633
32∙ (1 minus 1198964) (428)
unde 119896 = 119889119863frasl
46 Variaţia momentelor de inerţie faţă de axe paralele
( Relațiile lui STEINER)
Se consideră o suprafaţă oarecare de arie 119860 cu elementul de arie 119889119860 și un sistemul
de axe central 119911119862119910 faţă de care se cunosc momentele de inerţie 119868119911 119868119910 119868119911119910 şi considerăm
un sistem de axe 11991111198741199101 paralele cu sistemul central figura 47 Se pune problema
determinării momentele de inerţie 1198681199111 1198681199101 11986811991111199101 faţă de sistemul de axe paralel cu sistemul
central 11991111198741199101 axe aflate la distanţele 119910119862 = 119888 respectiv 119911119862 = 119889 de acesta
461 Momente de inerţie axiale
Pe baza relaţiilor de definire şi a notaţiilor din figura 42 pentru momentele de
inerţie faţă de axele 1198741199111 1198741199101 se poate scrie
1198681199111 = int 11991012 ∙ 119889119860
119860
= int(119910 + 119888)2 ∙ 119889119860
119860
= int 1199102 ∙ 119889119860
119860
+ 2 ∙ 119888 ∙ int 119910 ∙ 119889119860
119860
+
+1198882int 119889119860
119860
rArr 1198681199111 = 119868119911 + 2 ∙ 119888 ∙ 119878119911 + 1198882 ∙ 119860 hArr 1198681199111 = 119868119911 + 119888
2 ∙ 119860
(429)
Fig 47 Variaţia momentelor de inerţie față de axe paralele
S-a ajuns la relația (429) deoarece momentul static 119878119911 este nul deoarece axa 119862119885
este axă centrală
Pentru momentul de inerție axial icircn raport cu axa 1198741199101 se obține
1198681199101 = int 11991112 ∙ 119889119860
119860
= int(119911 + 119889)2 ∙ 119889119860
119860
= int 1199112 ∙ 119889119860
119860
+ 2 ∙ 119889 ∙ int 119911 ∙ 119889119860
119860
+
+1198892 ∙ int 119889119860
119860
rArr 1198681199101 = 119868119910 + 2 ∙ 119889 ∙ 119878119910 + 1198892 ∙ 119860 hArr 1198681199101 = 119868119910 + 119889
2 ∙ 119860
(430)
Pentru momentul de inerție centrifugal obținem
11986811991111199101 = int 1199101 ∙ 1199111 ∙ 119889119860
119860
= int(119910 + 119888) ∙ (119911 + 119889) ∙ 119889119860
119860
= int 119910 ∙ 119911 ∙ 119889119860 +
119860
+119888 ∙ int 119911 ∙ 119889119860
119860
+ 119889 ∙ int 119910 ∙ 119889119860
119860
rArr 11986811991111199101 = 119868119911119910 + 119888 ∙ 119889 ∙ 119860
(431)
Deoarece
int 119911 ∙ 119889119860
119860
= 119878119910 = 0 int 119910 ∙ 119889119860
119860
= 119878119911 = 0 int 119910 ∙ 119911 ∙ 119889119860
119860
= 119868119911119910
Relaţiile (429) şi (430) arată că momentul de inerţie faţă de o axă oarecare
este egal cu momentul de inerţie faţă de o axă paralelă cu ea trecacircnd prin centrul de
greutate la care se adaugă produsul dintre aria suprafeţei şi pătratul distanţei dintre
cele două axe
Din relaţiile (429) și (430) rezultă de asemenea că momentul de inerţie faţă de o
axă centrală (care trece prin centrul de greutate) este cel mai mic dintre infinitatea de
momente de inerţie obținute faţă de alte axe paralele cu ea
Relaţia (431) arată de asemenea că momentul de inerţie centrifugal faţă de un
sistem de axe oarecare este egal cu momentul de inerţie centrifugal faţă de un sistem
paralele cu el trecacircnd prin centrul de greutate a suprafeţei la care se adaugă produsul
dintre aria suprafeţei şi distanţele dintre axele sistemelor respective
Icircn literatura de specialitate relaţiile (429) (430) şi (431) sunt cunoscute sub
numele de relaţiile lui Steiner
47 Variaţia momentrlor de inerţie faţă de axe rotite
Direcţii principale şi momente de inerţie principale
Fie suprafaţa plană din figura 48 de arie 119860 pe care considerăm o suprafaţă
elementară de arie 119889119860 Pentru sistemul de axe 119911119874119910 se cunosc momentele de inerţie
119868119911 119868119910 119868119911119910 şi vom determina relaţiile de calcul pentru momentele de inerţie afererent unui
sistem de axe 11991111198741199101 rotit cu un unghi faţă de sistemul central
Faţă de sistemul de axe 11991111198741199101 elementul de arie 119889119860 are coordonatele
1199101 = 119875119877 = 119875119876 minus 119877119876 = 119910 ∙ cos 120572 minus 119911 ∙ sin 120572
1199111 = 119873119872 = 119873119875 minus 119875119872 = 119911 ∙ cos 120572 + 119910 ∙ sin 120572 (432)
Fig 47 Variaţia momentelor de inerţie față de axe rotite
Pe baza relaţiilor de calcul ale momentelor de inerţie şi a notaţiilor din figura 42
şi ale relaţiilor (432) momentele de inerţie faţă de sistemul de axe rotit 11991111198741199101 sunt
1198681199111 =119868119911 + 119868119910
2+119868119911 minus 119868119910
2∙ cos 2120572 minus 119868119911119910 ∙ sin 2120572 (433)
1198681199101 =119868119911 + 119868119910
2minus119868119911 minus 119868119910
2∙ cos 2120572 + 119868119911119910 ∙ sin 2120572 (434)
11986811991111199101 =119868119911 minus 119868119910
2∙ sin 2120572 + 119868119911119910 ∙ cos 2120572 (435)
Din relaţiile 433divide435 se observă că icircntre momentele de inerţie axiale şi cele
polare există relaţia
1198681199111 + 1198681199101 = 119868119911 + 119868119910 = 119868119901 (436)
adică suma momentelor de inerţie axiale icircn raport cu orice pereche de axe ortogonale
care trec printr-un pol dat este o constantă şi egală cu momentul de inerţie polar
Prin rotirea sistemului de axe din relaţiile 433divide435 rezultă că momentele de inerţie
variază icircnsă suma lor rămacircne constantă deci există o poziţie a sistemului de axe pentru
care momentele de inerţie au valori extreme maxim respectiv minim
471 Direcţii principale de inerţie
Valoarea unghiului 120572 pentru care momentele de inerţie axiale au valori extreme
este
1205721 =1
2∙ 119886119903119888119905119886119899 (minus
2 ∙ 119868119911119910
119868119911 minus 119868119910) (437)
Poziţia celeilalte direcţii este perpendiculară pe cea dată de unghiul 1205721
Din relaţia (437) se constată că faţă de aceste direcţii rotite pentru care momentele
de inerţie axiale prezintă valori extreme momentul de inerţie centrifugal 11986811991111199101este nul
Atunci se poate afirma că momentele de inerţie axiale au valori extreme icircn raport cu
direcţiile faţă de care momentul de inerţie centrifugal este nul Aceste direcţii se numesc
direcţii principale iar momentele de inerţie faţă de aceste direcţii poartă numele de
momente de inerţie principale
Icircn calculele de rezistenţă interesează icircn mod special poziţia direcţiilor principale
care trec prin centrul de greutate al suprafeţei aşa numitele direcţii principale centrale şi
evident momentele de inerţie principale centrale
Direcţiile principale de inerţie se notează cu 1 respectiv 2 Axa principală 1
corespunde direcţiei faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea maximă iar
axa principală 2 pentru direcţia faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea
minimă
472 Momente de inerţie principale
Momentele de inerţie principale se notează cu litera 119868 la care se pune indicele 1
sau 2 după cum valoarea acestuia este maximă sau minimă deci avem un moment de
inerţie principal 1 (notat 1198681) respectiv moment de inerţie principal 2 (notat 1198682)
Expresiile pentru momentele de inerţie principale sunt
11986812 =119868119911 + 119868119910
2plusmn1
2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)
2+ 4 ∙ (119868119911119910)
2 (438)
Dacă momentul de inerţie centrifugal este negativ (119868119911119910 lt 0) direcţia principală
care trece prin primul cadran (definit de sistemul 119911119862119910) este direcţia principală 120783
Pentru suprafeţele cu cel puţin o axă de simetrie direcţiile centrale 119862119911 119862119910 sunt şi
direcții principale de inerţie și evident momentele de inerţie axiale 119868119911 119868119910 sunt momente
de inerţie principale
48 Caracteristici mecanice ale metalelor
Alegerea materialului pentru confecţionarea unei anumite piese se face şi pe baza
aşa numitelor caracteristici mecanice pe care le prezintă materialul Cunoaşterea acestor
caracteristici mecanice are loc numai pe baza unor icircncercări mecanice care să scoată icircn
evidenţă comportarea materialului icircn condiţii de solicitare
Cea mai utilizată icircncercare icircn urma căreia se pun icircn evidenţă caracteristicile
mecanice ale unui material este icircncercarea la tracţiune
481 Icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general
Icircncercarea la tracţiune a oţelului ca de altfel toate icircncercările de materiale este
standardizată
Icircn cele ce urmează se va prezenta numai partea care interesează strict din punct
de vedere al caracteristicilor mecanice ale oţelului
Epruveta de diametru iniţial 1198890 pentru icircncercarea la tracţiune are o porţiune de
lungime 1198710 numită baza de măsurare pe care se măsoară lungirea acesteia sub acţiunea
solicitării
Icircn funcţie de raportul dintre baza de măsurare 1198710 şi diametrul iniţial 1198890 epruvetele
utilizate pentru icircncercări sunt
epruvete normale (scurte) cacircnd 11987101198890 = 5
epruvete lungi cacircnd 11987101198890 = 10
Icircn timpul icircncercării la diferite valori ale forţei 119865 se măsoară lungirea bazei de
măsurare
∆119871 = 120575 = 119871 minus 1198710 (439)
unde
119871 este dimensiunea bazei de măsurare la un moment dat
Curba forţă-lungire (119865 minus ) icircnregistrată icircn urma icircncercării reprezintă curba
caracteristică la tracţiune
La icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general diagrama caracteristică care se
obţine are forma din figura 48
Curba caracteristică la tracţiune depinde de lungimea bazei de măsurare Pentru
icircnlăturarea acestui neajuns curba caracteristică se reprezintă icircn coordonate şi definite
astfel
120590 =119865
1198600 휀 =
120575
1198710 (440)
unde
1198600 este aria iniţială a secţiunii transversale a epruvetei (icircnainte de solicitare) icircn
zona bazei de măsurare
1198600 =120587 ∙ 1198890
2
4
Deoarece mărimile icircn care se reprezintă curba caracteristică la tracţiune sunt
raportate la aria iniţială a secţiunii transversale (mărimi specifice) curba poartă numele
de curbă caracteristică convenţională la tracţiune
Fig 48 Curba caracteristică convenţională la tracțiune
Pe curba caracteristică convenţională la tracţiune figura 48 se pot stabili o serie
de puncte cărora le corespund mai multe mărimi importante
Ordonata punctului A pacircnă unde curba caracteristică convenţională este linie
dreaptă se numeşte limita de proporţionalitate a materialului 120590119901(1205901) Porţiunea 119874119860 este
zona de proporţionalitate a curbei caracteristice pe acest domeniu este valabilă legea lui
Hooke care exprimă o proporţionalitate icircntre tensiune şi deformaţie specifică
120590 = 119864 ∙ 휀 (441)
unde
119864 = reprezintă panta porţiunii liniare a curbei convenționale caracteristice
la tracțiune Caracteristica de material 119864 se numeşte modul de elasticitate longitudinal
(modulul lui Young)
Ordonata punctului 119861 pacircnă unde materialul se comportă perfect elastic adică
după descărcare icircşi recapătă dimensiunea iniţială 1198710 se numeşte limita de elasticitate
120590119890(119877119890) Icircn realitate nici un material nu are comportare perfect elastică sub acţiunea
solicitărilor el capătă deformaţii permanente (remanente plastice)
După punctul 119861 urmează o porţiune 119861119862119863 icircn care cu toate că icircncărcarea
continuă forţa nu mai creşte avacircnd mici oscilaţii icircn jurul unei valori Se spune că icircn
această porţiune materialul curge iar intervalul 119861119862119863 este un palier de curgere Tensiunea
corespunzătoare palierului de curgere se numeşte limită de curgere aparentă 120590119888(119877119888) Limita de curgere aparentă se calculează cu relaţia
120590119888 =1198651198881198600 (442)
unde
119865119888 reprezintă valoarea forţei icircnregistrată icircn momentul curgerii materialului
După punctul 119863 curba caracteristică are un traseu ascendent pacircnă icircn punctul 119864
Porţiunea 119863119864 este numită zonă de icircntărire (ecruisare) Icircn zona de ecruisare unde se
produc deformaţii plastice semnificative legea lui Hooke nu mai este valabilă La
descărcare relaţia dintre tensiunea şi deformaţia specifică este liniară paralelă cu
porţiunea liniară a curbei caracteristice (dreapta 119872119873)
Deformaţia totală (휀119905) are două componente una elastică (휀119890) şi una plastică (휀119901)
Ordonata punctului 119864 reprezintă rezistenţa de rupere 120590119903(119877119898) a materialului
care se poate calcula cu relaţia
120590119903 = 119877119898 =1198651198981198861199091198600
(443)
unde
119865119898119886119909 reprezintă valoarea maximă a forţei icircnregistrată icircn timpul icircncercării
La atingerea valorii 119865119898119886119909 (punctul 119864) icircntr-un anumit loc al epruvetei secţiunea
icircncepe să se micşoreze (se produce gacirctuirea) continuacircnd pacircnă cacircnd se produce ruperea
totală (punctul 119865)
Dacă după ruperea epruvetei cele două părţi rezultate se aşează cap la cap şi se
măsoară dimensiunea bazei de măsurare 119871119906 (lungimea ultimă) se determină alungirea la
rupere sau lungirea specifică la rupere 휀119903
휀119903 =119871119906 minus 11987101198710
=∆119871
1198710=120575
1198710 (444)
De obicei alungirea se exprimă icircn procente şi se notează cu 119860119899 unde 119899 reprezintă
numărul dat de raportul 11987101198890 (epruvete normale 119899 = 5 epruvete lungi 119899 = 10)
119860119899 =119871119906 minus 11987101198710
∙ 100 [] (445)
Altă mărime care se determină la icircncercarea la tracţiune este gacirctuirea la rupere
(exprimată de obicei icircn procente) şi definită de relaţia
119885 =1198600 minus 1198601199061198600
∙ 100 [] (446)
Mărimile determinate limita de proporţionalitate modulul de elasticitate
longitudinal limita de elasticitate limita de curgere aparentă rezistenţa de rupere
alungirea la rupere şi gacirctuirea la rupere sunt cunoscute ca fiind caracteristici mecanice
ale materialului
Din curba caracteristică convenţională observăm faptul că ruperea (punctul 119865 din
figura 48 se produce la o tensiune mai mică decacirct cea corespunzătoare punctului 119864 Dacă
icircnsă forţa din timpul icircncercării s-ar raporta la aria secţiunii din momentul icircnregistrării
forţei (care este mai mică decacirct cea iniţială 1198600) s-ar obţine aşa numita curbă
caracteristică reală a materialului (traseul 1198741198601198611198621198631198651 din figura 48) La curba
caracteristică reală ruperea se produce icircn punctul 1198651 la o icircncărcare mai mare decacirct cea
corespunzătoare punctului 119864 Icircnseamnă că rezistenţa reală la rupere este mai mare decacirct
rezistenţa la rupere dată de punctul 119864 din diagrama caracteristică convenţională
Dificultatea obţinerii diagramei caracteristice reale faţă de cea a diagramei caracteristice
convenţionale şi considerarea unei rezistenţe la rupere mai mică decacirct a celei reale face
icircn practică utilizarea pe scară mare a diagramei caracteristice convenţionale
Caracteristicile mecanice determinate pe baza curbei caracteristice convenţionale
sunt şi ele caracteristici mecanice convenţionale
Caracteristicile mecanice convenţionale limita de proporţionalitate convenţională
120590119901 limita de elasticitate convenţională 120590119890 limita de curgere convenţională 120590119888 şi rezistenţa
de rupere 120590119903 constituie tensiuni limită pentru un material Pe baza acestor caracteristici
de material se alege valoarea tensiunii admisibile 120590119886 (vezi paragraful 35) pentru
calculele de rezistenţă Cea mai utilizată stare limită pentru stabilirea tensiunii admisibile
120590119886 este limita de curgere convenţională 120590119888
120590119886 =120590119897119894119898119888
=120590119888119888 119904119886119906 120590119886 =
120590119903119888 (447)
Caracteristicile mecanice ale materialului sunt influenţate de o serie de factori
temperatura viteza de solicitare factorii tehnologici iar valorile lor sunt date icircn tabele și
diagrame
Aplicaţie Pentru suprafaţa plană compusă din două dreptunghiuri avacircnd
dimensiunile din figura 49a să se calculeze
a) centrul de greutate al secțiunii compuse 119910119866 119911119866
b) momentele de inerție axiale 119868119911 119868119910 și momentul de inerție centrifugal 119868119911119910
c) razele de inerție 119894119911 119894119910
d) modulele de rezistență 119882119911119898119894119899 119882119911119898119886119909 119882119910119898119894119899 119882119910119898119886119909
e) momentele de inerție principale 1198681 1198682 și direcțiile principale de inerție 1205721
f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 119878119911
Fig 49 Aplicație
Rezolvare Pentru rezolvare vom parcurge următoarele etape
icircmpărțim suprafața compusă icircn două suprafețe simple (dreptunghiuri) notate cu
① și respectiv ② figura 49b
poziționăm centrele de greutate a celor două suprafețe simple ① și respectiv ②
notate cu 1198661 și respectiv 1198662 figura 49c
poziționăm sistemele de axe de coordonate 119911111986611199101 pentru dreptunghiul ① și
119911211986621199102 pentru dreptunghiul ② aflate la intersecția diagonalelor figura 49c
poziționăm sistemele de axe de coordonate 11991101198741199100 ales arbitrar față de care
determinăm poziția centrului de greutate 119866 figura 49c
a) calculăm poziția centrului de greutate folosind relațiile (46) icircn care
1198601 = 6119905 ∙ 119905 = 61199052 1198602 = 4119905 ∙ 119905 = 41199052 119860 = 1198601 + 1198602 = 61199052 + 41199052 = 101199052
iar centrele de greutate 1198661 și respectiv 1198662 au coordonatele (față de sistemul 11991101198741199100)
1198661 1199101 = 3119905 1199111 = 05119905
1198662 1199102 = 051199051199112 = 3119905
cu acestea obținem
119910119866 =1198601 ∙ 1199101 + 1198602 ∙ 1199102
119860=61199052 ∙ 3119905 + 41199052 ∙ 05119905
101199052=201199053
101199052= 2119905
119911119866 =1198601 ∙ 1199111 + 1198602 ∙ 1199112
119860=61199052 ∙ 05119905 + 41199052 ∙ 3119905
101199052=151199053
101199052= 15119905
Poziționăm centrul de greutate 119866 al suprafeței compuse figura 49c
Fig 49 Aplicație
b) pentru determinarea momentelor de inerție axiale 119868119911 119868119910 și a momentului de
inerție centrifugal 119868119910119911 determinăm constantele 1198881 1198882 1198891 1198892 care intervin icircn relația lui
Stainer
1198881 = 1199101 minus 119910119866 = 3119905 minus 2119905 = 119905 1198882 = minus(119910119866 minus 1199102) = minus(2119905 minus 05119905) = minus15119905
1198891 = minus(119911119866 minus 1199111) = minus(15119905 minus 05119905) = minus119905 1198892 = 1199112 minus 119911119892 = 3119905 minus 15119905 = 15119905
Folosind relațiile lui Stainer (429) (430) și (431) calculăm momentele de
inerție axiale și centrifugale față de sistemul central 119911119866119866119910119866
119868119911 =sum(119868119911119894 + 1198881198942 ∙ 119860119894) = 1198681199111 + 1198881
2 ∙ 1198601 + 1198681199112 + 11988822 ∙ 1198602
119868119910 =sum(119868119910119894 + 1198891198942 ∙ 119860119894) = 1198681199101 + 1198891
2 ∙ 1198601 + 1198681199102 + 11988922 ∙ 1198602
119868119911119910 =sum(119868119911119894119910119894 + 119888119894 ∙ 119889119894 ∙ 119860119894) = 11986811991111199101 + 1198881 ∙ 1198891 ∙ 1198601 + 11986811991121199102 + 1198882 ∙ 1198892 ∙ 1198602
1198681199111 = (119887 ∙ ℎ3
12) =
119905 ∙ (6119905)3
12= 181199054 1198681199112 = (
119887 ∙ ℎ3
12) =
4119905 ∙ 1199053
12= 031199054
1198681199101 = (1198873 ∙ ℎ
12) =
1199053 ∙ 6119905
12= 051199054 1198681199102 = (
1198873 ∙ ℎ
12) =
(4119905)3 ∙ 119905
12= 531199054
11986811991111199101 = 11986811991121199102 = 0 deoarece cele două triunghiuri au cel puțin o axă de simetrie
Cu acestea momentele de inerție axiale și momentul de inerție centrifugal devin
119868119911 = 181199054 + 1199052 ∙ 61199052 + 031199054 + (minus15119905)2 ∙ 41199052 = 3331199054
119868119910 = 051199054 + (minus119905)2 ∙ 61199052 + 531199054 + (15119905)2 ∙ 41199052 = 2081199054
119868119911119910 = 0 + 119905 ∙ (minus119905) ∙ 61199052 + 0 + (minus15119905) ∙ (15119905) ∙ 41199052 = minus151199054
c) razele de inerție sau de girație față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910
se calculează cu relațiile (411)
119894119911 = radic119868119911119860= radic
3331199054
101199052= 182119905 119894119910 = radic
119868119910
119860= radic
2081199054
101199052= 144119905
d) modulele de rezistență față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910 se
calculează cu relațiile (412) și (413)
Avacircnd icircn vedere figura 419c obținem
119910119898119886119909 = 6119905 minus 119910119866 = 6119905 minus 2119905 = 4119905 119910119898119894119899 = minus119910119866 = minus2119905
119911119898119886119909 = 5119905 minus 119911119866 = 5119905 minus 15119905 = 35119905 119911119898119894119899 = minus119911119866 = minus15119905
Se obține astfel
119882119911119898119894119899 =119868119911
|119910119898119886119909|=3331199054
4119905= 8331199053
119882119911119898119886119909 =119868119911
|119910119898119894119899|=3331199054
2119905= 16651199053
119882119910119898119894119899 =119868119910
|119911119898119886119909|=2081199054
35119905= 5941199053
119882119910119898119886119909 =119868119910
|119911119898119894119899|=2081199054
15119905= 13871199053
e) momentele de inerție principale 1198681 și respectiv 1198682 se calculează cu relațiile
(438)
11986812 =119868119911 + 119868119910
2plusmn1
2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)
2+ 4 ∙ (119868119911119910)
2=
=3331199054 + 2081199054
2plusmn1
2∙ radic(3331199054 minus 2081199054)2 + 4 ∙ (minus151199054)2 = 27051199054 plusmn 16251199054
De unde obținem
1198681 = 27051199054 + 16251199054 = 4331199054
1198682 = 27051199054 minus 16251199054 = 1081199054
Prima direcție principală de inerție 1 face cu axa centrală 119866119911 unghiul 1205721 dat de
relația (437)
1205721 =1
2∙ arctan (minus
2 ∙ 119868119911119910
119868119911 minus 119868119910) =
1
2∙ arctan [minus
2 ∙ (minus151199054)
3331199054 minus 2081199054] =33 70
Deoarece 1205721 gt 0 rotirea axelor se face acircn sens antiorar acelor de ceasornic figura
49d
Poziția axe principale 2 față de care momentul de inerție are valoarea minimă
1198682 = 119868119898119894119899 este dată de unghiul
1205722 = 1205721 + 900 = 33 70 + 900 = 123 70
f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 se determină cu relația
(45)
1198781199111198602 = 1198602 ∙ 1198882 = 41199052 ∙ (minus15119905) = minus61199053
Fig 46 Secțiune inelară
119882119901 =120587 ∙ 1198633
16∙ [1 minus (
119889
119863)4
] =120587 ∙ 1198633
16∙ (1 minus 1198964) (427)
119882119911 = 119882119910 =120587 ∙ 1198633
32∙ [1 minus (
119889
119863)4
] =120587 ∙ 1198633
32∙ (1 minus 1198964) (428)
unde 119896 = 119889119863frasl
46 Variaţia momentelor de inerţie faţă de axe paralele
( Relațiile lui STEINER)
Se consideră o suprafaţă oarecare de arie 119860 cu elementul de arie 119889119860 și un sistemul
de axe central 119911119862119910 faţă de care se cunosc momentele de inerţie 119868119911 119868119910 119868119911119910 şi considerăm
un sistem de axe 11991111198741199101 paralele cu sistemul central figura 47 Se pune problema
determinării momentele de inerţie 1198681199111 1198681199101 11986811991111199101 faţă de sistemul de axe paralel cu sistemul
central 11991111198741199101 axe aflate la distanţele 119910119862 = 119888 respectiv 119911119862 = 119889 de acesta
461 Momente de inerţie axiale
Pe baza relaţiilor de definire şi a notaţiilor din figura 42 pentru momentele de
inerţie faţă de axele 1198741199111 1198741199101 se poate scrie
1198681199111 = int 11991012 ∙ 119889119860
119860
= int(119910 + 119888)2 ∙ 119889119860
119860
= int 1199102 ∙ 119889119860
119860
+ 2 ∙ 119888 ∙ int 119910 ∙ 119889119860
119860
+
+1198882int 119889119860
119860
rArr 1198681199111 = 119868119911 + 2 ∙ 119888 ∙ 119878119911 + 1198882 ∙ 119860 hArr 1198681199111 = 119868119911 + 119888
2 ∙ 119860
(429)
Fig 47 Variaţia momentelor de inerţie față de axe paralele
S-a ajuns la relația (429) deoarece momentul static 119878119911 este nul deoarece axa 119862119885
este axă centrală
Pentru momentul de inerție axial icircn raport cu axa 1198741199101 se obține
1198681199101 = int 11991112 ∙ 119889119860
119860
= int(119911 + 119889)2 ∙ 119889119860
119860
= int 1199112 ∙ 119889119860
119860
+ 2 ∙ 119889 ∙ int 119911 ∙ 119889119860
119860
+
+1198892 ∙ int 119889119860
119860
rArr 1198681199101 = 119868119910 + 2 ∙ 119889 ∙ 119878119910 + 1198892 ∙ 119860 hArr 1198681199101 = 119868119910 + 119889
2 ∙ 119860
(430)
Pentru momentul de inerție centrifugal obținem
11986811991111199101 = int 1199101 ∙ 1199111 ∙ 119889119860
119860
= int(119910 + 119888) ∙ (119911 + 119889) ∙ 119889119860
119860
= int 119910 ∙ 119911 ∙ 119889119860 +
119860
+119888 ∙ int 119911 ∙ 119889119860
119860
+ 119889 ∙ int 119910 ∙ 119889119860
119860
rArr 11986811991111199101 = 119868119911119910 + 119888 ∙ 119889 ∙ 119860
(431)
Deoarece
int 119911 ∙ 119889119860
119860
= 119878119910 = 0 int 119910 ∙ 119889119860
119860
= 119878119911 = 0 int 119910 ∙ 119911 ∙ 119889119860
119860
= 119868119911119910
Relaţiile (429) şi (430) arată că momentul de inerţie faţă de o axă oarecare
este egal cu momentul de inerţie faţă de o axă paralelă cu ea trecacircnd prin centrul de
greutate la care se adaugă produsul dintre aria suprafeţei şi pătratul distanţei dintre
cele două axe
Din relaţiile (429) și (430) rezultă de asemenea că momentul de inerţie faţă de o
axă centrală (care trece prin centrul de greutate) este cel mai mic dintre infinitatea de
momente de inerţie obținute faţă de alte axe paralele cu ea
Relaţia (431) arată de asemenea că momentul de inerţie centrifugal faţă de un
sistem de axe oarecare este egal cu momentul de inerţie centrifugal faţă de un sistem
paralele cu el trecacircnd prin centrul de greutate a suprafeţei la care se adaugă produsul
dintre aria suprafeţei şi distanţele dintre axele sistemelor respective
Icircn literatura de specialitate relaţiile (429) (430) şi (431) sunt cunoscute sub
numele de relaţiile lui Steiner
47 Variaţia momentrlor de inerţie faţă de axe rotite
Direcţii principale şi momente de inerţie principale
Fie suprafaţa plană din figura 48 de arie 119860 pe care considerăm o suprafaţă
elementară de arie 119889119860 Pentru sistemul de axe 119911119874119910 se cunosc momentele de inerţie
119868119911 119868119910 119868119911119910 şi vom determina relaţiile de calcul pentru momentele de inerţie afererent unui
sistem de axe 11991111198741199101 rotit cu un unghi faţă de sistemul central
Faţă de sistemul de axe 11991111198741199101 elementul de arie 119889119860 are coordonatele
1199101 = 119875119877 = 119875119876 minus 119877119876 = 119910 ∙ cos 120572 minus 119911 ∙ sin 120572
1199111 = 119873119872 = 119873119875 minus 119875119872 = 119911 ∙ cos 120572 + 119910 ∙ sin 120572 (432)
Fig 47 Variaţia momentelor de inerţie față de axe rotite
Pe baza relaţiilor de calcul ale momentelor de inerţie şi a notaţiilor din figura 42
şi ale relaţiilor (432) momentele de inerţie faţă de sistemul de axe rotit 11991111198741199101 sunt
1198681199111 =119868119911 + 119868119910
2+119868119911 minus 119868119910
2∙ cos 2120572 minus 119868119911119910 ∙ sin 2120572 (433)
1198681199101 =119868119911 + 119868119910
2minus119868119911 minus 119868119910
2∙ cos 2120572 + 119868119911119910 ∙ sin 2120572 (434)
11986811991111199101 =119868119911 minus 119868119910
2∙ sin 2120572 + 119868119911119910 ∙ cos 2120572 (435)
Din relaţiile 433divide435 se observă că icircntre momentele de inerţie axiale şi cele
polare există relaţia
1198681199111 + 1198681199101 = 119868119911 + 119868119910 = 119868119901 (436)
adică suma momentelor de inerţie axiale icircn raport cu orice pereche de axe ortogonale
care trec printr-un pol dat este o constantă şi egală cu momentul de inerţie polar
Prin rotirea sistemului de axe din relaţiile 433divide435 rezultă că momentele de inerţie
variază icircnsă suma lor rămacircne constantă deci există o poziţie a sistemului de axe pentru
care momentele de inerţie au valori extreme maxim respectiv minim
471 Direcţii principale de inerţie
Valoarea unghiului 120572 pentru care momentele de inerţie axiale au valori extreme
este
1205721 =1
2∙ 119886119903119888119905119886119899 (minus
2 ∙ 119868119911119910
119868119911 minus 119868119910) (437)
Poziţia celeilalte direcţii este perpendiculară pe cea dată de unghiul 1205721
Din relaţia (437) se constată că faţă de aceste direcţii rotite pentru care momentele
de inerţie axiale prezintă valori extreme momentul de inerţie centrifugal 11986811991111199101este nul
Atunci se poate afirma că momentele de inerţie axiale au valori extreme icircn raport cu
direcţiile faţă de care momentul de inerţie centrifugal este nul Aceste direcţii se numesc
direcţii principale iar momentele de inerţie faţă de aceste direcţii poartă numele de
momente de inerţie principale
Icircn calculele de rezistenţă interesează icircn mod special poziţia direcţiilor principale
care trec prin centrul de greutate al suprafeţei aşa numitele direcţii principale centrale şi
evident momentele de inerţie principale centrale
Direcţiile principale de inerţie se notează cu 1 respectiv 2 Axa principală 1
corespunde direcţiei faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea maximă iar
axa principală 2 pentru direcţia faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea
minimă
472 Momente de inerţie principale
Momentele de inerţie principale se notează cu litera 119868 la care se pune indicele 1
sau 2 după cum valoarea acestuia este maximă sau minimă deci avem un moment de
inerţie principal 1 (notat 1198681) respectiv moment de inerţie principal 2 (notat 1198682)
Expresiile pentru momentele de inerţie principale sunt
11986812 =119868119911 + 119868119910
2plusmn1
2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)
2+ 4 ∙ (119868119911119910)
2 (438)
Dacă momentul de inerţie centrifugal este negativ (119868119911119910 lt 0) direcţia principală
care trece prin primul cadran (definit de sistemul 119911119862119910) este direcţia principală 120783
Pentru suprafeţele cu cel puţin o axă de simetrie direcţiile centrale 119862119911 119862119910 sunt şi
direcții principale de inerţie și evident momentele de inerţie axiale 119868119911 119868119910 sunt momente
de inerţie principale
48 Caracteristici mecanice ale metalelor
Alegerea materialului pentru confecţionarea unei anumite piese se face şi pe baza
aşa numitelor caracteristici mecanice pe care le prezintă materialul Cunoaşterea acestor
caracteristici mecanice are loc numai pe baza unor icircncercări mecanice care să scoată icircn
evidenţă comportarea materialului icircn condiţii de solicitare
Cea mai utilizată icircncercare icircn urma căreia se pun icircn evidenţă caracteristicile
mecanice ale unui material este icircncercarea la tracţiune
481 Icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general
Icircncercarea la tracţiune a oţelului ca de altfel toate icircncercările de materiale este
standardizată
Icircn cele ce urmează se va prezenta numai partea care interesează strict din punct
de vedere al caracteristicilor mecanice ale oţelului
Epruveta de diametru iniţial 1198890 pentru icircncercarea la tracţiune are o porţiune de
lungime 1198710 numită baza de măsurare pe care se măsoară lungirea acesteia sub acţiunea
solicitării
Icircn funcţie de raportul dintre baza de măsurare 1198710 şi diametrul iniţial 1198890 epruvetele
utilizate pentru icircncercări sunt
epruvete normale (scurte) cacircnd 11987101198890 = 5
epruvete lungi cacircnd 11987101198890 = 10
Icircn timpul icircncercării la diferite valori ale forţei 119865 se măsoară lungirea bazei de
măsurare
∆119871 = 120575 = 119871 minus 1198710 (439)
unde
119871 este dimensiunea bazei de măsurare la un moment dat
Curba forţă-lungire (119865 minus ) icircnregistrată icircn urma icircncercării reprezintă curba
caracteristică la tracţiune
La icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general diagrama caracteristică care se
obţine are forma din figura 48
Curba caracteristică la tracţiune depinde de lungimea bazei de măsurare Pentru
icircnlăturarea acestui neajuns curba caracteristică se reprezintă icircn coordonate şi definite
astfel
120590 =119865
1198600 휀 =
120575
1198710 (440)
unde
1198600 este aria iniţială a secţiunii transversale a epruvetei (icircnainte de solicitare) icircn
zona bazei de măsurare
1198600 =120587 ∙ 1198890
2
4
Deoarece mărimile icircn care se reprezintă curba caracteristică la tracţiune sunt
raportate la aria iniţială a secţiunii transversale (mărimi specifice) curba poartă numele
de curbă caracteristică convenţională la tracţiune
Fig 48 Curba caracteristică convenţională la tracțiune
Pe curba caracteristică convenţională la tracţiune figura 48 se pot stabili o serie
de puncte cărora le corespund mai multe mărimi importante
Ordonata punctului A pacircnă unde curba caracteristică convenţională este linie
dreaptă se numeşte limita de proporţionalitate a materialului 120590119901(1205901) Porţiunea 119874119860 este
zona de proporţionalitate a curbei caracteristice pe acest domeniu este valabilă legea lui
Hooke care exprimă o proporţionalitate icircntre tensiune şi deformaţie specifică
120590 = 119864 ∙ 휀 (441)
unde
119864 = reprezintă panta porţiunii liniare a curbei convenționale caracteristice
la tracțiune Caracteristica de material 119864 se numeşte modul de elasticitate longitudinal
(modulul lui Young)
Ordonata punctului 119861 pacircnă unde materialul se comportă perfect elastic adică
după descărcare icircşi recapătă dimensiunea iniţială 1198710 se numeşte limita de elasticitate
120590119890(119877119890) Icircn realitate nici un material nu are comportare perfect elastică sub acţiunea
solicitărilor el capătă deformaţii permanente (remanente plastice)
După punctul 119861 urmează o porţiune 119861119862119863 icircn care cu toate că icircncărcarea
continuă forţa nu mai creşte avacircnd mici oscilaţii icircn jurul unei valori Se spune că icircn
această porţiune materialul curge iar intervalul 119861119862119863 este un palier de curgere Tensiunea
corespunzătoare palierului de curgere se numeşte limită de curgere aparentă 120590119888(119877119888) Limita de curgere aparentă se calculează cu relaţia
120590119888 =1198651198881198600 (442)
unde
119865119888 reprezintă valoarea forţei icircnregistrată icircn momentul curgerii materialului
După punctul 119863 curba caracteristică are un traseu ascendent pacircnă icircn punctul 119864
Porţiunea 119863119864 este numită zonă de icircntărire (ecruisare) Icircn zona de ecruisare unde se
produc deformaţii plastice semnificative legea lui Hooke nu mai este valabilă La
descărcare relaţia dintre tensiunea şi deformaţia specifică este liniară paralelă cu
porţiunea liniară a curbei caracteristice (dreapta 119872119873)
Deformaţia totală (휀119905) are două componente una elastică (휀119890) şi una plastică (휀119901)
Ordonata punctului 119864 reprezintă rezistenţa de rupere 120590119903(119877119898) a materialului
care se poate calcula cu relaţia
120590119903 = 119877119898 =1198651198981198861199091198600
(443)
unde
119865119898119886119909 reprezintă valoarea maximă a forţei icircnregistrată icircn timpul icircncercării
La atingerea valorii 119865119898119886119909 (punctul 119864) icircntr-un anumit loc al epruvetei secţiunea
icircncepe să se micşoreze (se produce gacirctuirea) continuacircnd pacircnă cacircnd se produce ruperea
totală (punctul 119865)
Dacă după ruperea epruvetei cele două părţi rezultate se aşează cap la cap şi se
măsoară dimensiunea bazei de măsurare 119871119906 (lungimea ultimă) se determină alungirea la
rupere sau lungirea specifică la rupere 휀119903
휀119903 =119871119906 minus 11987101198710
=∆119871
1198710=120575
1198710 (444)
De obicei alungirea se exprimă icircn procente şi se notează cu 119860119899 unde 119899 reprezintă
numărul dat de raportul 11987101198890 (epruvete normale 119899 = 5 epruvete lungi 119899 = 10)
119860119899 =119871119906 minus 11987101198710
∙ 100 [] (445)
Altă mărime care se determină la icircncercarea la tracţiune este gacirctuirea la rupere
(exprimată de obicei icircn procente) şi definită de relaţia
119885 =1198600 minus 1198601199061198600
∙ 100 [] (446)
Mărimile determinate limita de proporţionalitate modulul de elasticitate
longitudinal limita de elasticitate limita de curgere aparentă rezistenţa de rupere
alungirea la rupere şi gacirctuirea la rupere sunt cunoscute ca fiind caracteristici mecanice
ale materialului
Din curba caracteristică convenţională observăm faptul că ruperea (punctul 119865 din
figura 48 se produce la o tensiune mai mică decacirct cea corespunzătoare punctului 119864 Dacă
icircnsă forţa din timpul icircncercării s-ar raporta la aria secţiunii din momentul icircnregistrării
forţei (care este mai mică decacirct cea iniţială 1198600) s-ar obţine aşa numita curbă
caracteristică reală a materialului (traseul 1198741198601198611198621198631198651 din figura 48) La curba
caracteristică reală ruperea se produce icircn punctul 1198651 la o icircncărcare mai mare decacirct cea
corespunzătoare punctului 119864 Icircnseamnă că rezistenţa reală la rupere este mai mare decacirct
rezistenţa la rupere dată de punctul 119864 din diagrama caracteristică convenţională
Dificultatea obţinerii diagramei caracteristice reale faţă de cea a diagramei caracteristice
convenţionale şi considerarea unei rezistenţe la rupere mai mică decacirct a celei reale face
icircn practică utilizarea pe scară mare a diagramei caracteristice convenţionale
Caracteristicile mecanice determinate pe baza curbei caracteristice convenţionale
sunt şi ele caracteristici mecanice convenţionale
Caracteristicile mecanice convenţionale limita de proporţionalitate convenţională
120590119901 limita de elasticitate convenţională 120590119890 limita de curgere convenţională 120590119888 şi rezistenţa
de rupere 120590119903 constituie tensiuni limită pentru un material Pe baza acestor caracteristici
de material se alege valoarea tensiunii admisibile 120590119886 (vezi paragraful 35) pentru
calculele de rezistenţă Cea mai utilizată stare limită pentru stabilirea tensiunii admisibile
120590119886 este limita de curgere convenţională 120590119888
120590119886 =120590119897119894119898119888
=120590119888119888 119904119886119906 120590119886 =
120590119903119888 (447)
Caracteristicile mecanice ale materialului sunt influenţate de o serie de factori
temperatura viteza de solicitare factorii tehnologici iar valorile lor sunt date icircn tabele și
diagrame
Aplicaţie Pentru suprafaţa plană compusă din două dreptunghiuri avacircnd
dimensiunile din figura 49a să se calculeze
a) centrul de greutate al secțiunii compuse 119910119866 119911119866
b) momentele de inerție axiale 119868119911 119868119910 și momentul de inerție centrifugal 119868119911119910
c) razele de inerție 119894119911 119894119910
d) modulele de rezistență 119882119911119898119894119899 119882119911119898119886119909 119882119910119898119894119899 119882119910119898119886119909
e) momentele de inerție principale 1198681 1198682 și direcțiile principale de inerție 1205721
f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 119878119911
Fig 49 Aplicație
Rezolvare Pentru rezolvare vom parcurge următoarele etape
icircmpărțim suprafața compusă icircn două suprafețe simple (dreptunghiuri) notate cu
① și respectiv ② figura 49b
poziționăm centrele de greutate a celor două suprafețe simple ① și respectiv ②
notate cu 1198661 și respectiv 1198662 figura 49c
poziționăm sistemele de axe de coordonate 119911111986611199101 pentru dreptunghiul ① și
119911211986621199102 pentru dreptunghiul ② aflate la intersecția diagonalelor figura 49c
poziționăm sistemele de axe de coordonate 11991101198741199100 ales arbitrar față de care
determinăm poziția centrului de greutate 119866 figura 49c
a) calculăm poziția centrului de greutate folosind relațiile (46) icircn care
1198601 = 6119905 ∙ 119905 = 61199052 1198602 = 4119905 ∙ 119905 = 41199052 119860 = 1198601 + 1198602 = 61199052 + 41199052 = 101199052
iar centrele de greutate 1198661 și respectiv 1198662 au coordonatele (față de sistemul 11991101198741199100)
1198661 1199101 = 3119905 1199111 = 05119905
1198662 1199102 = 051199051199112 = 3119905
cu acestea obținem
119910119866 =1198601 ∙ 1199101 + 1198602 ∙ 1199102
119860=61199052 ∙ 3119905 + 41199052 ∙ 05119905
101199052=201199053
101199052= 2119905
119911119866 =1198601 ∙ 1199111 + 1198602 ∙ 1199112
119860=61199052 ∙ 05119905 + 41199052 ∙ 3119905
101199052=151199053
101199052= 15119905
Poziționăm centrul de greutate 119866 al suprafeței compuse figura 49c
Fig 49 Aplicație
b) pentru determinarea momentelor de inerție axiale 119868119911 119868119910 și a momentului de
inerție centrifugal 119868119910119911 determinăm constantele 1198881 1198882 1198891 1198892 care intervin icircn relația lui
Stainer
1198881 = 1199101 minus 119910119866 = 3119905 minus 2119905 = 119905 1198882 = minus(119910119866 minus 1199102) = minus(2119905 minus 05119905) = minus15119905
1198891 = minus(119911119866 minus 1199111) = minus(15119905 minus 05119905) = minus119905 1198892 = 1199112 minus 119911119892 = 3119905 minus 15119905 = 15119905
Folosind relațiile lui Stainer (429) (430) și (431) calculăm momentele de
inerție axiale și centrifugale față de sistemul central 119911119866119866119910119866
119868119911 =sum(119868119911119894 + 1198881198942 ∙ 119860119894) = 1198681199111 + 1198881
2 ∙ 1198601 + 1198681199112 + 11988822 ∙ 1198602
119868119910 =sum(119868119910119894 + 1198891198942 ∙ 119860119894) = 1198681199101 + 1198891
2 ∙ 1198601 + 1198681199102 + 11988922 ∙ 1198602
119868119911119910 =sum(119868119911119894119910119894 + 119888119894 ∙ 119889119894 ∙ 119860119894) = 11986811991111199101 + 1198881 ∙ 1198891 ∙ 1198601 + 11986811991121199102 + 1198882 ∙ 1198892 ∙ 1198602
1198681199111 = (119887 ∙ ℎ3
12) =
119905 ∙ (6119905)3
12= 181199054 1198681199112 = (
119887 ∙ ℎ3
12) =
4119905 ∙ 1199053
12= 031199054
1198681199101 = (1198873 ∙ ℎ
12) =
1199053 ∙ 6119905
12= 051199054 1198681199102 = (
1198873 ∙ ℎ
12) =
(4119905)3 ∙ 119905
12= 531199054
11986811991111199101 = 11986811991121199102 = 0 deoarece cele două triunghiuri au cel puțin o axă de simetrie
Cu acestea momentele de inerție axiale și momentul de inerție centrifugal devin
119868119911 = 181199054 + 1199052 ∙ 61199052 + 031199054 + (minus15119905)2 ∙ 41199052 = 3331199054
119868119910 = 051199054 + (minus119905)2 ∙ 61199052 + 531199054 + (15119905)2 ∙ 41199052 = 2081199054
119868119911119910 = 0 + 119905 ∙ (minus119905) ∙ 61199052 + 0 + (minus15119905) ∙ (15119905) ∙ 41199052 = minus151199054
c) razele de inerție sau de girație față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910
se calculează cu relațiile (411)
119894119911 = radic119868119911119860= radic
3331199054
101199052= 182119905 119894119910 = radic
119868119910
119860= radic
2081199054
101199052= 144119905
d) modulele de rezistență față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910 se
calculează cu relațiile (412) și (413)
Avacircnd icircn vedere figura 419c obținem
119910119898119886119909 = 6119905 minus 119910119866 = 6119905 minus 2119905 = 4119905 119910119898119894119899 = minus119910119866 = minus2119905
119911119898119886119909 = 5119905 minus 119911119866 = 5119905 minus 15119905 = 35119905 119911119898119894119899 = minus119911119866 = minus15119905
Se obține astfel
119882119911119898119894119899 =119868119911
|119910119898119886119909|=3331199054
4119905= 8331199053
119882119911119898119886119909 =119868119911
|119910119898119894119899|=3331199054
2119905= 16651199053
119882119910119898119894119899 =119868119910
|119911119898119886119909|=2081199054
35119905= 5941199053
119882119910119898119886119909 =119868119910
|119911119898119894119899|=2081199054
15119905= 13871199053
e) momentele de inerție principale 1198681 și respectiv 1198682 se calculează cu relațiile
(438)
11986812 =119868119911 + 119868119910
2plusmn1
2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)
2+ 4 ∙ (119868119911119910)
2=
=3331199054 + 2081199054
2plusmn1
2∙ radic(3331199054 minus 2081199054)2 + 4 ∙ (minus151199054)2 = 27051199054 plusmn 16251199054
De unde obținem
1198681 = 27051199054 + 16251199054 = 4331199054
1198682 = 27051199054 minus 16251199054 = 1081199054
Prima direcție principală de inerție 1 face cu axa centrală 119866119911 unghiul 1205721 dat de
relația (437)
1205721 =1
2∙ arctan (minus
2 ∙ 119868119911119910
119868119911 minus 119868119910) =
1
2∙ arctan [minus
2 ∙ (minus151199054)
3331199054 minus 2081199054] =33 70
Deoarece 1205721 gt 0 rotirea axelor se face acircn sens antiorar acelor de ceasornic figura
49d
Poziția axe principale 2 față de care momentul de inerție are valoarea minimă
1198682 = 119868119898119894119899 este dată de unghiul
1205722 = 1205721 + 900 = 33 70 + 900 = 123 70
f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 se determină cu relația
(45)
1198781199111198602 = 1198602 ∙ 1198882 = 41199052 ∙ (minus15119905) = minus61199053
Fig 47 Variaţia momentelor de inerţie față de axe paralele
S-a ajuns la relația (429) deoarece momentul static 119878119911 este nul deoarece axa 119862119885
este axă centrală
Pentru momentul de inerție axial icircn raport cu axa 1198741199101 se obține
1198681199101 = int 11991112 ∙ 119889119860
119860
= int(119911 + 119889)2 ∙ 119889119860
119860
= int 1199112 ∙ 119889119860
119860
+ 2 ∙ 119889 ∙ int 119911 ∙ 119889119860
119860
+
+1198892 ∙ int 119889119860
119860
rArr 1198681199101 = 119868119910 + 2 ∙ 119889 ∙ 119878119910 + 1198892 ∙ 119860 hArr 1198681199101 = 119868119910 + 119889
2 ∙ 119860
(430)
Pentru momentul de inerție centrifugal obținem
11986811991111199101 = int 1199101 ∙ 1199111 ∙ 119889119860
119860
= int(119910 + 119888) ∙ (119911 + 119889) ∙ 119889119860
119860
= int 119910 ∙ 119911 ∙ 119889119860 +
119860
+119888 ∙ int 119911 ∙ 119889119860
119860
+ 119889 ∙ int 119910 ∙ 119889119860
119860
rArr 11986811991111199101 = 119868119911119910 + 119888 ∙ 119889 ∙ 119860
(431)
Deoarece
int 119911 ∙ 119889119860
119860
= 119878119910 = 0 int 119910 ∙ 119889119860
119860
= 119878119911 = 0 int 119910 ∙ 119911 ∙ 119889119860
119860
= 119868119911119910
Relaţiile (429) şi (430) arată că momentul de inerţie faţă de o axă oarecare
este egal cu momentul de inerţie faţă de o axă paralelă cu ea trecacircnd prin centrul de
greutate la care se adaugă produsul dintre aria suprafeţei şi pătratul distanţei dintre
cele două axe
Din relaţiile (429) și (430) rezultă de asemenea că momentul de inerţie faţă de o
axă centrală (care trece prin centrul de greutate) este cel mai mic dintre infinitatea de
momente de inerţie obținute faţă de alte axe paralele cu ea
Relaţia (431) arată de asemenea că momentul de inerţie centrifugal faţă de un
sistem de axe oarecare este egal cu momentul de inerţie centrifugal faţă de un sistem
paralele cu el trecacircnd prin centrul de greutate a suprafeţei la care se adaugă produsul
dintre aria suprafeţei şi distanţele dintre axele sistemelor respective
Icircn literatura de specialitate relaţiile (429) (430) şi (431) sunt cunoscute sub
numele de relaţiile lui Steiner
47 Variaţia momentrlor de inerţie faţă de axe rotite
Direcţii principale şi momente de inerţie principale
Fie suprafaţa plană din figura 48 de arie 119860 pe care considerăm o suprafaţă
elementară de arie 119889119860 Pentru sistemul de axe 119911119874119910 se cunosc momentele de inerţie
119868119911 119868119910 119868119911119910 şi vom determina relaţiile de calcul pentru momentele de inerţie afererent unui
sistem de axe 11991111198741199101 rotit cu un unghi faţă de sistemul central
Faţă de sistemul de axe 11991111198741199101 elementul de arie 119889119860 are coordonatele
1199101 = 119875119877 = 119875119876 minus 119877119876 = 119910 ∙ cos 120572 minus 119911 ∙ sin 120572
1199111 = 119873119872 = 119873119875 minus 119875119872 = 119911 ∙ cos 120572 + 119910 ∙ sin 120572 (432)
Fig 47 Variaţia momentelor de inerţie față de axe rotite
Pe baza relaţiilor de calcul ale momentelor de inerţie şi a notaţiilor din figura 42
şi ale relaţiilor (432) momentele de inerţie faţă de sistemul de axe rotit 11991111198741199101 sunt
1198681199111 =119868119911 + 119868119910
2+119868119911 minus 119868119910
2∙ cos 2120572 minus 119868119911119910 ∙ sin 2120572 (433)
1198681199101 =119868119911 + 119868119910
2minus119868119911 minus 119868119910
2∙ cos 2120572 + 119868119911119910 ∙ sin 2120572 (434)
11986811991111199101 =119868119911 minus 119868119910
2∙ sin 2120572 + 119868119911119910 ∙ cos 2120572 (435)
Din relaţiile 433divide435 se observă că icircntre momentele de inerţie axiale şi cele
polare există relaţia
1198681199111 + 1198681199101 = 119868119911 + 119868119910 = 119868119901 (436)
adică suma momentelor de inerţie axiale icircn raport cu orice pereche de axe ortogonale
care trec printr-un pol dat este o constantă şi egală cu momentul de inerţie polar
Prin rotirea sistemului de axe din relaţiile 433divide435 rezultă că momentele de inerţie
variază icircnsă suma lor rămacircne constantă deci există o poziţie a sistemului de axe pentru
care momentele de inerţie au valori extreme maxim respectiv minim
471 Direcţii principale de inerţie
Valoarea unghiului 120572 pentru care momentele de inerţie axiale au valori extreme
este
1205721 =1
2∙ 119886119903119888119905119886119899 (minus
2 ∙ 119868119911119910
119868119911 minus 119868119910) (437)
Poziţia celeilalte direcţii este perpendiculară pe cea dată de unghiul 1205721
Din relaţia (437) se constată că faţă de aceste direcţii rotite pentru care momentele
de inerţie axiale prezintă valori extreme momentul de inerţie centrifugal 11986811991111199101este nul
Atunci se poate afirma că momentele de inerţie axiale au valori extreme icircn raport cu
direcţiile faţă de care momentul de inerţie centrifugal este nul Aceste direcţii se numesc
direcţii principale iar momentele de inerţie faţă de aceste direcţii poartă numele de
momente de inerţie principale
Icircn calculele de rezistenţă interesează icircn mod special poziţia direcţiilor principale
care trec prin centrul de greutate al suprafeţei aşa numitele direcţii principale centrale şi
evident momentele de inerţie principale centrale
Direcţiile principale de inerţie se notează cu 1 respectiv 2 Axa principală 1
corespunde direcţiei faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea maximă iar
axa principală 2 pentru direcţia faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea
minimă
472 Momente de inerţie principale
Momentele de inerţie principale se notează cu litera 119868 la care se pune indicele 1
sau 2 după cum valoarea acestuia este maximă sau minimă deci avem un moment de
inerţie principal 1 (notat 1198681) respectiv moment de inerţie principal 2 (notat 1198682)
Expresiile pentru momentele de inerţie principale sunt
11986812 =119868119911 + 119868119910
2plusmn1
2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)
2+ 4 ∙ (119868119911119910)
2 (438)
Dacă momentul de inerţie centrifugal este negativ (119868119911119910 lt 0) direcţia principală
care trece prin primul cadran (definit de sistemul 119911119862119910) este direcţia principală 120783
Pentru suprafeţele cu cel puţin o axă de simetrie direcţiile centrale 119862119911 119862119910 sunt şi
direcții principale de inerţie și evident momentele de inerţie axiale 119868119911 119868119910 sunt momente
de inerţie principale
48 Caracteristici mecanice ale metalelor
Alegerea materialului pentru confecţionarea unei anumite piese se face şi pe baza
aşa numitelor caracteristici mecanice pe care le prezintă materialul Cunoaşterea acestor
caracteristici mecanice are loc numai pe baza unor icircncercări mecanice care să scoată icircn
evidenţă comportarea materialului icircn condiţii de solicitare
Cea mai utilizată icircncercare icircn urma căreia se pun icircn evidenţă caracteristicile
mecanice ale unui material este icircncercarea la tracţiune
481 Icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general
Icircncercarea la tracţiune a oţelului ca de altfel toate icircncercările de materiale este
standardizată
Icircn cele ce urmează se va prezenta numai partea care interesează strict din punct
de vedere al caracteristicilor mecanice ale oţelului
Epruveta de diametru iniţial 1198890 pentru icircncercarea la tracţiune are o porţiune de
lungime 1198710 numită baza de măsurare pe care se măsoară lungirea acesteia sub acţiunea
solicitării
Icircn funcţie de raportul dintre baza de măsurare 1198710 şi diametrul iniţial 1198890 epruvetele
utilizate pentru icircncercări sunt
epruvete normale (scurte) cacircnd 11987101198890 = 5
epruvete lungi cacircnd 11987101198890 = 10
Icircn timpul icircncercării la diferite valori ale forţei 119865 se măsoară lungirea bazei de
măsurare
∆119871 = 120575 = 119871 minus 1198710 (439)
unde
119871 este dimensiunea bazei de măsurare la un moment dat
Curba forţă-lungire (119865 minus ) icircnregistrată icircn urma icircncercării reprezintă curba
caracteristică la tracţiune
La icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general diagrama caracteristică care se
obţine are forma din figura 48
Curba caracteristică la tracţiune depinde de lungimea bazei de măsurare Pentru
icircnlăturarea acestui neajuns curba caracteristică se reprezintă icircn coordonate şi definite
astfel
120590 =119865
1198600 휀 =
120575
1198710 (440)
unde
1198600 este aria iniţială a secţiunii transversale a epruvetei (icircnainte de solicitare) icircn
zona bazei de măsurare
1198600 =120587 ∙ 1198890
2
4
Deoarece mărimile icircn care se reprezintă curba caracteristică la tracţiune sunt
raportate la aria iniţială a secţiunii transversale (mărimi specifice) curba poartă numele
de curbă caracteristică convenţională la tracţiune
Fig 48 Curba caracteristică convenţională la tracțiune
Pe curba caracteristică convenţională la tracţiune figura 48 se pot stabili o serie
de puncte cărora le corespund mai multe mărimi importante
Ordonata punctului A pacircnă unde curba caracteristică convenţională este linie
dreaptă se numeşte limita de proporţionalitate a materialului 120590119901(1205901) Porţiunea 119874119860 este
zona de proporţionalitate a curbei caracteristice pe acest domeniu este valabilă legea lui
Hooke care exprimă o proporţionalitate icircntre tensiune şi deformaţie specifică
120590 = 119864 ∙ 휀 (441)
unde
119864 = reprezintă panta porţiunii liniare a curbei convenționale caracteristice
la tracțiune Caracteristica de material 119864 se numeşte modul de elasticitate longitudinal
(modulul lui Young)
Ordonata punctului 119861 pacircnă unde materialul se comportă perfect elastic adică
după descărcare icircşi recapătă dimensiunea iniţială 1198710 se numeşte limita de elasticitate
120590119890(119877119890) Icircn realitate nici un material nu are comportare perfect elastică sub acţiunea
solicitărilor el capătă deformaţii permanente (remanente plastice)
După punctul 119861 urmează o porţiune 119861119862119863 icircn care cu toate că icircncărcarea
continuă forţa nu mai creşte avacircnd mici oscilaţii icircn jurul unei valori Se spune că icircn
această porţiune materialul curge iar intervalul 119861119862119863 este un palier de curgere Tensiunea
corespunzătoare palierului de curgere se numeşte limită de curgere aparentă 120590119888(119877119888) Limita de curgere aparentă se calculează cu relaţia
120590119888 =1198651198881198600 (442)
unde
119865119888 reprezintă valoarea forţei icircnregistrată icircn momentul curgerii materialului
După punctul 119863 curba caracteristică are un traseu ascendent pacircnă icircn punctul 119864
Porţiunea 119863119864 este numită zonă de icircntărire (ecruisare) Icircn zona de ecruisare unde se
produc deformaţii plastice semnificative legea lui Hooke nu mai este valabilă La
descărcare relaţia dintre tensiunea şi deformaţia specifică este liniară paralelă cu
porţiunea liniară a curbei caracteristice (dreapta 119872119873)
Deformaţia totală (휀119905) are două componente una elastică (휀119890) şi una plastică (휀119901)
Ordonata punctului 119864 reprezintă rezistenţa de rupere 120590119903(119877119898) a materialului
care se poate calcula cu relaţia
120590119903 = 119877119898 =1198651198981198861199091198600
(443)
unde
119865119898119886119909 reprezintă valoarea maximă a forţei icircnregistrată icircn timpul icircncercării
La atingerea valorii 119865119898119886119909 (punctul 119864) icircntr-un anumit loc al epruvetei secţiunea
icircncepe să se micşoreze (se produce gacirctuirea) continuacircnd pacircnă cacircnd se produce ruperea
totală (punctul 119865)
Dacă după ruperea epruvetei cele două părţi rezultate se aşează cap la cap şi se
măsoară dimensiunea bazei de măsurare 119871119906 (lungimea ultimă) se determină alungirea la
rupere sau lungirea specifică la rupere 휀119903
휀119903 =119871119906 minus 11987101198710
=∆119871
1198710=120575
1198710 (444)
De obicei alungirea se exprimă icircn procente şi se notează cu 119860119899 unde 119899 reprezintă
numărul dat de raportul 11987101198890 (epruvete normale 119899 = 5 epruvete lungi 119899 = 10)
119860119899 =119871119906 minus 11987101198710
∙ 100 [] (445)
Altă mărime care se determină la icircncercarea la tracţiune este gacirctuirea la rupere
(exprimată de obicei icircn procente) şi definită de relaţia
119885 =1198600 minus 1198601199061198600
∙ 100 [] (446)
Mărimile determinate limita de proporţionalitate modulul de elasticitate
longitudinal limita de elasticitate limita de curgere aparentă rezistenţa de rupere
alungirea la rupere şi gacirctuirea la rupere sunt cunoscute ca fiind caracteristici mecanice
ale materialului
Din curba caracteristică convenţională observăm faptul că ruperea (punctul 119865 din
figura 48 se produce la o tensiune mai mică decacirct cea corespunzătoare punctului 119864 Dacă
icircnsă forţa din timpul icircncercării s-ar raporta la aria secţiunii din momentul icircnregistrării
forţei (care este mai mică decacirct cea iniţială 1198600) s-ar obţine aşa numita curbă
caracteristică reală a materialului (traseul 1198741198601198611198621198631198651 din figura 48) La curba
caracteristică reală ruperea se produce icircn punctul 1198651 la o icircncărcare mai mare decacirct cea
corespunzătoare punctului 119864 Icircnseamnă că rezistenţa reală la rupere este mai mare decacirct
rezistenţa la rupere dată de punctul 119864 din diagrama caracteristică convenţională
Dificultatea obţinerii diagramei caracteristice reale faţă de cea a diagramei caracteristice
convenţionale şi considerarea unei rezistenţe la rupere mai mică decacirct a celei reale face
icircn practică utilizarea pe scară mare a diagramei caracteristice convenţionale
Caracteristicile mecanice determinate pe baza curbei caracteristice convenţionale
sunt şi ele caracteristici mecanice convenţionale
Caracteristicile mecanice convenţionale limita de proporţionalitate convenţională
120590119901 limita de elasticitate convenţională 120590119890 limita de curgere convenţională 120590119888 şi rezistenţa
de rupere 120590119903 constituie tensiuni limită pentru un material Pe baza acestor caracteristici
de material se alege valoarea tensiunii admisibile 120590119886 (vezi paragraful 35) pentru
calculele de rezistenţă Cea mai utilizată stare limită pentru stabilirea tensiunii admisibile
120590119886 este limita de curgere convenţională 120590119888
120590119886 =120590119897119894119898119888
=120590119888119888 119904119886119906 120590119886 =
120590119903119888 (447)
Caracteristicile mecanice ale materialului sunt influenţate de o serie de factori
temperatura viteza de solicitare factorii tehnologici iar valorile lor sunt date icircn tabele și
diagrame
Aplicaţie Pentru suprafaţa plană compusă din două dreptunghiuri avacircnd
dimensiunile din figura 49a să se calculeze
a) centrul de greutate al secțiunii compuse 119910119866 119911119866
b) momentele de inerție axiale 119868119911 119868119910 și momentul de inerție centrifugal 119868119911119910
c) razele de inerție 119894119911 119894119910
d) modulele de rezistență 119882119911119898119894119899 119882119911119898119886119909 119882119910119898119894119899 119882119910119898119886119909
e) momentele de inerție principale 1198681 1198682 și direcțiile principale de inerție 1205721
f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 119878119911
Fig 49 Aplicație
Rezolvare Pentru rezolvare vom parcurge următoarele etape
icircmpărțim suprafața compusă icircn două suprafețe simple (dreptunghiuri) notate cu
① și respectiv ② figura 49b
poziționăm centrele de greutate a celor două suprafețe simple ① și respectiv ②
notate cu 1198661 și respectiv 1198662 figura 49c
poziționăm sistemele de axe de coordonate 119911111986611199101 pentru dreptunghiul ① și
119911211986621199102 pentru dreptunghiul ② aflate la intersecția diagonalelor figura 49c
poziționăm sistemele de axe de coordonate 11991101198741199100 ales arbitrar față de care
determinăm poziția centrului de greutate 119866 figura 49c
a) calculăm poziția centrului de greutate folosind relațiile (46) icircn care
1198601 = 6119905 ∙ 119905 = 61199052 1198602 = 4119905 ∙ 119905 = 41199052 119860 = 1198601 + 1198602 = 61199052 + 41199052 = 101199052
iar centrele de greutate 1198661 și respectiv 1198662 au coordonatele (față de sistemul 11991101198741199100)
1198661 1199101 = 3119905 1199111 = 05119905
1198662 1199102 = 051199051199112 = 3119905
cu acestea obținem
119910119866 =1198601 ∙ 1199101 + 1198602 ∙ 1199102
119860=61199052 ∙ 3119905 + 41199052 ∙ 05119905
101199052=201199053
101199052= 2119905
119911119866 =1198601 ∙ 1199111 + 1198602 ∙ 1199112
119860=61199052 ∙ 05119905 + 41199052 ∙ 3119905
101199052=151199053
101199052= 15119905
Poziționăm centrul de greutate 119866 al suprafeței compuse figura 49c
Fig 49 Aplicație
b) pentru determinarea momentelor de inerție axiale 119868119911 119868119910 și a momentului de
inerție centrifugal 119868119910119911 determinăm constantele 1198881 1198882 1198891 1198892 care intervin icircn relația lui
Stainer
1198881 = 1199101 minus 119910119866 = 3119905 minus 2119905 = 119905 1198882 = minus(119910119866 minus 1199102) = minus(2119905 minus 05119905) = minus15119905
1198891 = minus(119911119866 minus 1199111) = minus(15119905 minus 05119905) = minus119905 1198892 = 1199112 minus 119911119892 = 3119905 minus 15119905 = 15119905
Folosind relațiile lui Stainer (429) (430) și (431) calculăm momentele de
inerție axiale și centrifugale față de sistemul central 119911119866119866119910119866
119868119911 =sum(119868119911119894 + 1198881198942 ∙ 119860119894) = 1198681199111 + 1198881
2 ∙ 1198601 + 1198681199112 + 11988822 ∙ 1198602
119868119910 =sum(119868119910119894 + 1198891198942 ∙ 119860119894) = 1198681199101 + 1198891
2 ∙ 1198601 + 1198681199102 + 11988922 ∙ 1198602
119868119911119910 =sum(119868119911119894119910119894 + 119888119894 ∙ 119889119894 ∙ 119860119894) = 11986811991111199101 + 1198881 ∙ 1198891 ∙ 1198601 + 11986811991121199102 + 1198882 ∙ 1198892 ∙ 1198602
1198681199111 = (119887 ∙ ℎ3
12) =
119905 ∙ (6119905)3
12= 181199054 1198681199112 = (
119887 ∙ ℎ3
12) =
4119905 ∙ 1199053
12= 031199054
1198681199101 = (1198873 ∙ ℎ
12) =
1199053 ∙ 6119905
12= 051199054 1198681199102 = (
1198873 ∙ ℎ
12) =
(4119905)3 ∙ 119905
12= 531199054
11986811991111199101 = 11986811991121199102 = 0 deoarece cele două triunghiuri au cel puțin o axă de simetrie
Cu acestea momentele de inerție axiale și momentul de inerție centrifugal devin
119868119911 = 181199054 + 1199052 ∙ 61199052 + 031199054 + (minus15119905)2 ∙ 41199052 = 3331199054
119868119910 = 051199054 + (minus119905)2 ∙ 61199052 + 531199054 + (15119905)2 ∙ 41199052 = 2081199054
119868119911119910 = 0 + 119905 ∙ (minus119905) ∙ 61199052 + 0 + (minus15119905) ∙ (15119905) ∙ 41199052 = minus151199054
c) razele de inerție sau de girație față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910
se calculează cu relațiile (411)
119894119911 = radic119868119911119860= radic
3331199054
101199052= 182119905 119894119910 = radic
119868119910
119860= radic
2081199054
101199052= 144119905
d) modulele de rezistență față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910 se
calculează cu relațiile (412) și (413)
Avacircnd icircn vedere figura 419c obținem
119910119898119886119909 = 6119905 minus 119910119866 = 6119905 minus 2119905 = 4119905 119910119898119894119899 = minus119910119866 = minus2119905
119911119898119886119909 = 5119905 minus 119911119866 = 5119905 minus 15119905 = 35119905 119911119898119894119899 = minus119911119866 = minus15119905
Se obține astfel
119882119911119898119894119899 =119868119911
|119910119898119886119909|=3331199054
4119905= 8331199053
119882119911119898119886119909 =119868119911
|119910119898119894119899|=3331199054
2119905= 16651199053
119882119910119898119894119899 =119868119910
|119911119898119886119909|=2081199054
35119905= 5941199053
119882119910119898119886119909 =119868119910
|119911119898119894119899|=2081199054
15119905= 13871199053
e) momentele de inerție principale 1198681 și respectiv 1198682 se calculează cu relațiile
(438)
11986812 =119868119911 + 119868119910
2plusmn1
2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)
2+ 4 ∙ (119868119911119910)
2=
=3331199054 + 2081199054
2plusmn1
2∙ radic(3331199054 minus 2081199054)2 + 4 ∙ (minus151199054)2 = 27051199054 plusmn 16251199054
De unde obținem
1198681 = 27051199054 + 16251199054 = 4331199054
1198682 = 27051199054 minus 16251199054 = 1081199054
Prima direcție principală de inerție 1 face cu axa centrală 119866119911 unghiul 1205721 dat de
relația (437)
1205721 =1
2∙ arctan (minus
2 ∙ 119868119911119910
119868119911 minus 119868119910) =
1
2∙ arctan [minus
2 ∙ (minus151199054)
3331199054 minus 2081199054] =33 70
Deoarece 1205721 gt 0 rotirea axelor se face acircn sens antiorar acelor de ceasornic figura
49d
Poziția axe principale 2 față de care momentul de inerție are valoarea minimă
1198682 = 119868119898119894119899 este dată de unghiul
1205722 = 1205721 + 900 = 33 70 + 900 = 123 70
f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 se determină cu relația
(45)
1198781199111198602 = 1198602 ∙ 1198882 = 41199052 ∙ (minus15119905) = minus61199053
Din relaţiile (429) și (430) rezultă de asemenea că momentul de inerţie faţă de o
axă centrală (care trece prin centrul de greutate) este cel mai mic dintre infinitatea de
momente de inerţie obținute faţă de alte axe paralele cu ea
Relaţia (431) arată de asemenea că momentul de inerţie centrifugal faţă de un
sistem de axe oarecare este egal cu momentul de inerţie centrifugal faţă de un sistem
paralele cu el trecacircnd prin centrul de greutate a suprafeţei la care se adaugă produsul
dintre aria suprafeţei şi distanţele dintre axele sistemelor respective
Icircn literatura de specialitate relaţiile (429) (430) şi (431) sunt cunoscute sub
numele de relaţiile lui Steiner
47 Variaţia momentrlor de inerţie faţă de axe rotite
Direcţii principale şi momente de inerţie principale
Fie suprafaţa plană din figura 48 de arie 119860 pe care considerăm o suprafaţă
elementară de arie 119889119860 Pentru sistemul de axe 119911119874119910 se cunosc momentele de inerţie
119868119911 119868119910 119868119911119910 şi vom determina relaţiile de calcul pentru momentele de inerţie afererent unui
sistem de axe 11991111198741199101 rotit cu un unghi faţă de sistemul central
Faţă de sistemul de axe 11991111198741199101 elementul de arie 119889119860 are coordonatele
1199101 = 119875119877 = 119875119876 minus 119877119876 = 119910 ∙ cos 120572 minus 119911 ∙ sin 120572
1199111 = 119873119872 = 119873119875 minus 119875119872 = 119911 ∙ cos 120572 + 119910 ∙ sin 120572 (432)
Fig 47 Variaţia momentelor de inerţie față de axe rotite
Pe baza relaţiilor de calcul ale momentelor de inerţie şi a notaţiilor din figura 42
şi ale relaţiilor (432) momentele de inerţie faţă de sistemul de axe rotit 11991111198741199101 sunt
1198681199111 =119868119911 + 119868119910
2+119868119911 minus 119868119910
2∙ cos 2120572 minus 119868119911119910 ∙ sin 2120572 (433)
1198681199101 =119868119911 + 119868119910
2minus119868119911 minus 119868119910
2∙ cos 2120572 + 119868119911119910 ∙ sin 2120572 (434)
11986811991111199101 =119868119911 minus 119868119910
2∙ sin 2120572 + 119868119911119910 ∙ cos 2120572 (435)
Din relaţiile 433divide435 se observă că icircntre momentele de inerţie axiale şi cele
polare există relaţia
1198681199111 + 1198681199101 = 119868119911 + 119868119910 = 119868119901 (436)
adică suma momentelor de inerţie axiale icircn raport cu orice pereche de axe ortogonale
care trec printr-un pol dat este o constantă şi egală cu momentul de inerţie polar
Prin rotirea sistemului de axe din relaţiile 433divide435 rezultă că momentele de inerţie
variază icircnsă suma lor rămacircne constantă deci există o poziţie a sistemului de axe pentru
care momentele de inerţie au valori extreme maxim respectiv minim
471 Direcţii principale de inerţie
Valoarea unghiului 120572 pentru care momentele de inerţie axiale au valori extreme
este
1205721 =1
2∙ 119886119903119888119905119886119899 (minus
2 ∙ 119868119911119910
119868119911 minus 119868119910) (437)
Poziţia celeilalte direcţii este perpendiculară pe cea dată de unghiul 1205721
Din relaţia (437) se constată că faţă de aceste direcţii rotite pentru care momentele
de inerţie axiale prezintă valori extreme momentul de inerţie centrifugal 11986811991111199101este nul
Atunci se poate afirma că momentele de inerţie axiale au valori extreme icircn raport cu
direcţiile faţă de care momentul de inerţie centrifugal este nul Aceste direcţii se numesc
direcţii principale iar momentele de inerţie faţă de aceste direcţii poartă numele de
momente de inerţie principale
Icircn calculele de rezistenţă interesează icircn mod special poziţia direcţiilor principale
care trec prin centrul de greutate al suprafeţei aşa numitele direcţii principale centrale şi
evident momentele de inerţie principale centrale
Direcţiile principale de inerţie se notează cu 1 respectiv 2 Axa principală 1
corespunde direcţiei faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea maximă iar
axa principală 2 pentru direcţia faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea
minimă
472 Momente de inerţie principale
Momentele de inerţie principale se notează cu litera 119868 la care se pune indicele 1
sau 2 după cum valoarea acestuia este maximă sau minimă deci avem un moment de
inerţie principal 1 (notat 1198681) respectiv moment de inerţie principal 2 (notat 1198682)
Expresiile pentru momentele de inerţie principale sunt
11986812 =119868119911 + 119868119910
2plusmn1
2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)
2+ 4 ∙ (119868119911119910)
2 (438)
Dacă momentul de inerţie centrifugal este negativ (119868119911119910 lt 0) direcţia principală
care trece prin primul cadran (definit de sistemul 119911119862119910) este direcţia principală 120783
Pentru suprafeţele cu cel puţin o axă de simetrie direcţiile centrale 119862119911 119862119910 sunt şi
direcții principale de inerţie și evident momentele de inerţie axiale 119868119911 119868119910 sunt momente
de inerţie principale
48 Caracteristici mecanice ale metalelor
Alegerea materialului pentru confecţionarea unei anumite piese se face şi pe baza
aşa numitelor caracteristici mecanice pe care le prezintă materialul Cunoaşterea acestor
caracteristici mecanice are loc numai pe baza unor icircncercări mecanice care să scoată icircn
evidenţă comportarea materialului icircn condiţii de solicitare
Cea mai utilizată icircncercare icircn urma căreia se pun icircn evidenţă caracteristicile
mecanice ale unui material este icircncercarea la tracţiune
481 Icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general
Icircncercarea la tracţiune a oţelului ca de altfel toate icircncercările de materiale este
standardizată
Icircn cele ce urmează se va prezenta numai partea care interesează strict din punct
de vedere al caracteristicilor mecanice ale oţelului
Epruveta de diametru iniţial 1198890 pentru icircncercarea la tracţiune are o porţiune de
lungime 1198710 numită baza de măsurare pe care se măsoară lungirea acesteia sub acţiunea
solicitării
Icircn funcţie de raportul dintre baza de măsurare 1198710 şi diametrul iniţial 1198890 epruvetele
utilizate pentru icircncercări sunt
epruvete normale (scurte) cacircnd 11987101198890 = 5
epruvete lungi cacircnd 11987101198890 = 10
Icircn timpul icircncercării la diferite valori ale forţei 119865 se măsoară lungirea bazei de
măsurare
∆119871 = 120575 = 119871 minus 1198710 (439)
unde
119871 este dimensiunea bazei de măsurare la un moment dat
Curba forţă-lungire (119865 minus ) icircnregistrată icircn urma icircncercării reprezintă curba
caracteristică la tracţiune
La icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general diagrama caracteristică care se
obţine are forma din figura 48
Curba caracteristică la tracţiune depinde de lungimea bazei de măsurare Pentru
icircnlăturarea acestui neajuns curba caracteristică se reprezintă icircn coordonate şi definite
astfel
120590 =119865
1198600 휀 =
120575
1198710 (440)
unde
1198600 este aria iniţială a secţiunii transversale a epruvetei (icircnainte de solicitare) icircn
zona bazei de măsurare
1198600 =120587 ∙ 1198890
2
4
Deoarece mărimile icircn care se reprezintă curba caracteristică la tracţiune sunt
raportate la aria iniţială a secţiunii transversale (mărimi specifice) curba poartă numele
de curbă caracteristică convenţională la tracţiune
Fig 48 Curba caracteristică convenţională la tracțiune
Pe curba caracteristică convenţională la tracţiune figura 48 se pot stabili o serie
de puncte cărora le corespund mai multe mărimi importante
Ordonata punctului A pacircnă unde curba caracteristică convenţională este linie
dreaptă se numeşte limita de proporţionalitate a materialului 120590119901(1205901) Porţiunea 119874119860 este
zona de proporţionalitate a curbei caracteristice pe acest domeniu este valabilă legea lui
Hooke care exprimă o proporţionalitate icircntre tensiune şi deformaţie specifică
120590 = 119864 ∙ 휀 (441)
unde
119864 = reprezintă panta porţiunii liniare a curbei convenționale caracteristice
la tracțiune Caracteristica de material 119864 se numeşte modul de elasticitate longitudinal
(modulul lui Young)
Ordonata punctului 119861 pacircnă unde materialul se comportă perfect elastic adică
după descărcare icircşi recapătă dimensiunea iniţială 1198710 se numeşte limita de elasticitate
120590119890(119877119890) Icircn realitate nici un material nu are comportare perfect elastică sub acţiunea
solicitărilor el capătă deformaţii permanente (remanente plastice)
După punctul 119861 urmează o porţiune 119861119862119863 icircn care cu toate că icircncărcarea
continuă forţa nu mai creşte avacircnd mici oscilaţii icircn jurul unei valori Se spune că icircn
această porţiune materialul curge iar intervalul 119861119862119863 este un palier de curgere Tensiunea
corespunzătoare palierului de curgere se numeşte limită de curgere aparentă 120590119888(119877119888) Limita de curgere aparentă se calculează cu relaţia
120590119888 =1198651198881198600 (442)
unde
119865119888 reprezintă valoarea forţei icircnregistrată icircn momentul curgerii materialului
După punctul 119863 curba caracteristică are un traseu ascendent pacircnă icircn punctul 119864
Porţiunea 119863119864 este numită zonă de icircntărire (ecruisare) Icircn zona de ecruisare unde se
produc deformaţii plastice semnificative legea lui Hooke nu mai este valabilă La
descărcare relaţia dintre tensiunea şi deformaţia specifică este liniară paralelă cu
porţiunea liniară a curbei caracteristice (dreapta 119872119873)
Deformaţia totală (휀119905) are două componente una elastică (휀119890) şi una plastică (휀119901)
Ordonata punctului 119864 reprezintă rezistenţa de rupere 120590119903(119877119898) a materialului
care se poate calcula cu relaţia
120590119903 = 119877119898 =1198651198981198861199091198600
(443)
unde
119865119898119886119909 reprezintă valoarea maximă a forţei icircnregistrată icircn timpul icircncercării
La atingerea valorii 119865119898119886119909 (punctul 119864) icircntr-un anumit loc al epruvetei secţiunea
icircncepe să se micşoreze (se produce gacirctuirea) continuacircnd pacircnă cacircnd se produce ruperea
totală (punctul 119865)
Dacă după ruperea epruvetei cele două părţi rezultate se aşează cap la cap şi se
măsoară dimensiunea bazei de măsurare 119871119906 (lungimea ultimă) se determină alungirea la
rupere sau lungirea specifică la rupere 휀119903
휀119903 =119871119906 minus 11987101198710
=∆119871
1198710=120575
1198710 (444)
De obicei alungirea se exprimă icircn procente şi se notează cu 119860119899 unde 119899 reprezintă
numărul dat de raportul 11987101198890 (epruvete normale 119899 = 5 epruvete lungi 119899 = 10)
119860119899 =119871119906 minus 11987101198710
∙ 100 [] (445)
Altă mărime care se determină la icircncercarea la tracţiune este gacirctuirea la rupere
(exprimată de obicei icircn procente) şi definită de relaţia
119885 =1198600 minus 1198601199061198600
∙ 100 [] (446)
Mărimile determinate limita de proporţionalitate modulul de elasticitate
longitudinal limita de elasticitate limita de curgere aparentă rezistenţa de rupere
alungirea la rupere şi gacirctuirea la rupere sunt cunoscute ca fiind caracteristici mecanice
ale materialului
Din curba caracteristică convenţională observăm faptul că ruperea (punctul 119865 din
figura 48 se produce la o tensiune mai mică decacirct cea corespunzătoare punctului 119864 Dacă
icircnsă forţa din timpul icircncercării s-ar raporta la aria secţiunii din momentul icircnregistrării
forţei (care este mai mică decacirct cea iniţială 1198600) s-ar obţine aşa numita curbă
caracteristică reală a materialului (traseul 1198741198601198611198621198631198651 din figura 48) La curba
caracteristică reală ruperea se produce icircn punctul 1198651 la o icircncărcare mai mare decacirct cea
corespunzătoare punctului 119864 Icircnseamnă că rezistenţa reală la rupere este mai mare decacirct
rezistenţa la rupere dată de punctul 119864 din diagrama caracteristică convenţională
Dificultatea obţinerii diagramei caracteristice reale faţă de cea a diagramei caracteristice
convenţionale şi considerarea unei rezistenţe la rupere mai mică decacirct a celei reale face
icircn practică utilizarea pe scară mare a diagramei caracteristice convenţionale
Caracteristicile mecanice determinate pe baza curbei caracteristice convenţionale
sunt şi ele caracteristici mecanice convenţionale
Caracteristicile mecanice convenţionale limita de proporţionalitate convenţională
120590119901 limita de elasticitate convenţională 120590119890 limita de curgere convenţională 120590119888 şi rezistenţa
de rupere 120590119903 constituie tensiuni limită pentru un material Pe baza acestor caracteristici
de material se alege valoarea tensiunii admisibile 120590119886 (vezi paragraful 35) pentru
calculele de rezistenţă Cea mai utilizată stare limită pentru stabilirea tensiunii admisibile
120590119886 este limita de curgere convenţională 120590119888
120590119886 =120590119897119894119898119888
=120590119888119888 119904119886119906 120590119886 =
120590119903119888 (447)
Caracteristicile mecanice ale materialului sunt influenţate de o serie de factori
temperatura viteza de solicitare factorii tehnologici iar valorile lor sunt date icircn tabele și
diagrame
Aplicaţie Pentru suprafaţa plană compusă din două dreptunghiuri avacircnd
dimensiunile din figura 49a să se calculeze
a) centrul de greutate al secțiunii compuse 119910119866 119911119866
b) momentele de inerție axiale 119868119911 119868119910 și momentul de inerție centrifugal 119868119911119910
c) razele de inerție 119894119911 119894119910
d) modulele de rezistență 119882119911119898119894119899 119882119911119898119886119909 119882119910119898119894119899 119882119910119898119886119909
e) momentele de inerție principale 1198681 1198682 și direcțiile principale de inerție 1205721
f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 119878119911
Fig 49 Aplicație
Rezolvare Pentru rezolvare vom parcurge următoarele etape
icircmpărțim suprafața compusă icircn două suprafețe simple (dreptunghiuri) notate cu
① și respectiv ② figura 49b
poziționăm centrele de greutate a celor două suprafețe simple ① și respectiv ②
notate cu 1198661 și respectiv 1198662 figura 49c
poziționăm sistemele de axe de coordonate 119911111986611199101 pentru dreptunghiul ① și
119911211986621199102 pentru dreptunghiul ② aflate la intersecția diagonalelor figura 49c
poziționăm sistemele de axe de coordonate 11991101198741199100 ales arbitrar față de care
determinăm poziția centrului de greutate 119866 figura 49c
a) calculăm poziția centrului de greutate folosind relațiile (46) icircn care
1198601 = 6119905 ∙ 119905 = 61199052 1198602 = 4119905 ∙ 119905 = 41199052 119860 = 1198601 + 1198602 = 61199052 + 41199052 = 101199052
iar centrele de greutate 1198661 și respectiv 1198662 au coordonatele (față de sistemul 11991101198741199100)
1198661 1199101 = 3119905 1199111 = 05119905
1198662 1199102 = 051199051199112 = 3119905
cu acestea obținem
119910119866 =1198601 ∙ 1199101 + 1198602 ∙ 1199102
119860=61199052 ∙ 3119905 + 41199052 ∙ 05119905
101199052=201199053
101199052= 2119905
119911119866 =1198601 ∙ 1199111 + 1198602 ∙ 1199112
119860=61199052 ∙ 05119905 + 41199052 ∙ 3119905
101199052=151199053
101199052= 15119905
Poziționăm centrul de greutate 119866 al suprafeței compuse figura 49c
Fig 49 Aplicație
b) pentru determinarea momentelor de inerție axiale 119868119911 119868119910 și a momentului de
inerție centrifugal 119868119910119911 determinăm constantele 1198881 1198882 1198891 1198892 care intervin icircn relația lui
Stainer
1198881 = 1199101 minus 119910119866 = 3119905 minus 2119905 = 119905 1198882 = minus(119910119866 minus 1199102) = minus(2119905 minus 05119905) = minus15119905
1198891 = minus(119911119866 minus 1199111) = minus(15119905 minus 05119905) = minus119905 1198892 = 1199112 minus 119911119892 = 3119905 minus 15119905 = 15119905
Folosind relațiile lui Stainer (429) (430) și (431) calculăm momentele de
inerție axiale și centrifugale față de sistemul central 119911119866119866119910119866
119868119911 =sum(119868119911119894 + 1198881198942 ∙ 119860119894) = 1198681199111 + 1198881
2 ∙ 1198601 + 1198681199112 + 11988822 ∙ 1198602
119868119910 =sum(119868119910119894 + 1198891198942 ∙ 119860119894) = 1198681199101 + 1198891
2 ∙ 1198601 + 1198681199102 + 11988922 ∙ 1198602
119868119911119910 =sum(119868119911119894119910119894 + 119888119894 ∙ 119889119894 ∙ 119860119894) = 11986811991111199101 + 1198881 ∙ 1198891 ∙ 1198601 + 11986811991121199102 + 1198882 ∙ 1198892 ∙ 1198602
1198681199111 = (119887 ∙ ℎ3
12) =
119905 ∙ (6119905)3
12= 181199054 1198681199112 = (
119887 ∙ ℎ3
12) =
4119905 ∙ 1199053
12= 031199054
1198681199101 = (1198873 ∙ ℎ
12) =
1199053 ∙ 6119905
12= 051199054 1198681199102 = (
1198873 ∙ ℎ
12) =
(4119905)3 ∙ 119905
12= 531199054
11986811991111199101 = 11986811991121199102 = 0 deoarece cele două triunghiuri au cel puțin o axă de simetrie
Cu acestea momentele de inerție axiale și momentul de inerție centrifugal devin
119868119911 = 181199054 + 1199052 ∙ 61199052 + 031199054 + (minus15119905)2 ∙ 41199052 = 3331199054
119868119910 = 051199054 + (minus119905)2 ∙ 61199052 + 531199054 + (15119905)2 ∙ 41199052 = 2081199054
119868119911119910 = 0 + 119905 ∙ (minus119905) ∙ 61199052 + 0 + (minus15119905) ∙ (15119905) ∙ 41199052 = minus151199054
c) razele de inerție sau de girație față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910
se calculează cu relațiile (411)
119894119911 = radic119868119911119860= radic
3331199054
101199052= 182119905 119894119910 = radic
119868119910
119860= radic
2081199054
101199052= 144119905
d) modulele de rezistență față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910 se
calculează cu relațiile (412) și (413)
Avacircnd icircn vedere figura 419c obținem
119910119898119886119909 = 6119905 minus 119910119866 = 6119905 minus 2119905 = 4119905 119910119898119894119899 = minus119910119866 = minus2119905
119911119898119886119909 = 5119905 minus 119911119866 = 5119905 minus 15119905 = 35119905 119911119898119894119899 = minus119911119866 = minus15119905
Se obține astfel
119882119911119898119894119899 =119868119911
|119910119898119886119909|=3331199054
4119905= 8331199053
119882119911119898119886119909 =119868119911
|119910119898119894119899|=3331199054
2119905= 16651199053
119882119910119898119894119899 =119868119910
|119911119898119886119909|=2081199054
35119905= 5941199053
119882119910119898119886119909 =119868119910
|119911119898119894119899|=2081199054
15119905= 13871199053
e) momentele de inerție principale 1198681 și respectiv 1198682 se calculează cu relațiile
(438)
11986812 =119868119911 + 119868119910
2plusmn1
2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)
2+ 4 ∙ (119868119911119910)
2=
=3331199054 + 2081199054
2plusmn1
2∙ radic(3331199054 minus 2081199054)2 + 4 ∙ (minus151199054)2 = 27051199054 plusmn 16251199054
De unde obținem
1198681 = 27051199054 + 16251199054 = 4331199054
1198682 = 27051199054 minus 16251199054 = 1081199054
Prima direcție principală de inerție 1 face cu axa centrală 119866119911 unghiul 1205721 dat de
relația (437)
1205721 =1
2∙ arctan (minus
2 ∙ 119868119911119910
119868119911 minus 119868119910) =
1
2∙ arctan [minus
2 ∙ (minus151199054)
3331199054 minus 2081199054] =33 70
Deoarece 1205721 gt 0 rotirea axelor se face acircn sens antiorar acelor de ceasornic figura
49d
Poziția axe principale 2 față de care momentul de inerție are valoarea minimă
1198682 = 119868119898119894119899 este dată de unghiul
1205722 = 1205721 + 900 = 33 70 + 900 = 123 70
f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 se determină cu relația
(45)
1198781199111198602 = 1198602 ∙ 1198882 = 41199052 ∙ (minus15119905) = minus61199053
11986811991111199101 =119868119911 minus 119868119910
2∙ sin 2120572 + 119868119911119910 ∙ cos 2120572 (435)
Din relaţiile 433divide435 se observă că icircntre momentele de inerţie axiale şi cele
polare există relaţia
1198681199111 + 1198681199101 = 119868119911 + 119868119910 = 119868119901 (436)
adică suma momentelor de inerţie axiale icircn raport cu orice pereche de axe ortogonale
care trec printr-un pol dat este o constantă şi egală cu momentul de inerţie polar
Prin rotirea sistemului de axe din relaţiile 433divide435 rezultă că momentele de inerţie
variază icircnsă suma lor rămacircne constantă deci există o poziţie a sistemului de axe pentru
care momentele de inerţie au valori extreme maxim respectiv minim
471 Direcţii principale de inerţie
Valoarea unghiului 120572 pentru care momentele de inerţie axiale au valori extreme
este
1205721 =1
2∙ 119886119903119888119905119886119899 (minus
2 ∙ 119868119911119910
119868119911 minus 119868119910) (437)
Poziţia celeilalte direcţii este perpendiculară pe cea dată de unghiul 1205721
Din relaţia (437) se constată că faţă de aceste direcţii rotite pentru care momentele
de inerţie axiale prezintă valori extreme momentul de inerţie centrifugal 11986811991111199101este nul
Atunci se poate afirma că momentele de inerţie axiale au valori extreme icircn raport cu
direcţiile faţă de care momentul de inerţie centrifugal este nul Aceste direcţii se numesc
direcţii principale iar momentele de inerţie faţă de aceste direcţii poartă numele de
momente de inerţie principale
Icircn calculele de rezistenţă interesează icircn mod special poziţia direcţiilor principale
care trec prin centrul de greutate al suprafeţei aşa numitele direcţii principale centrale şi
evident momentele de inerţie principale centrale
Direcţiile principale de inerţie se notează cu 1 respectiv 2 Axa principală 1
corespunde direcţiei faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea maximă iar
axa principală 2 pentru direcţia faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea
minimă
472 Momente de inerţie principale
Momentele de inerţie principale se notează cu litera 119868 la care se pune indicele 1
sau 2 după cum valoarea acestuia este maximă sau minimă deci avem un moment de
inerţie principal 1 (notat 1198681) respectiv moment de inerţie principal 2 (notat 1198682)
Expresiile pentru momentele de inerţie principale sunt
11986812 =119868119911 + 119868119910
2plusmn1
2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)
2+ 4 ∙ (119868119911119910)
2 (438)
Dacă momentul de inerţie centrifugal este negativ (119868119911119910 lt 0) direcţia principală
care trece prin primul cadran (definit de sistemul 119911119862119910) este direcţia principală 120783
Pentru suprafeţele cu cel puţin o axă de simetrie direcţiile centrale 119862119911 119862119910 sunt şi
direcții principale de inerţie și evident momentele de inerţie axiale 119868119911 119868119910 sunt momente
de inerţie principale
48 Caracteristici mecanice ale metalelor
Alegerea materialului pentru confecţionarea unei anumite piese se face şi pe baza
aşa numitelor caracteristici mecanice pe care le prezintă materialul Cunoaşterea acestor
caracteristici mecanice are loc numai pe baza unor icircncercări mecanice care să scoată icircn
evidenţă comportarea materialului icircn condiţii de solicitare
Cea mai utilizată icircncercare icircn urma căreia se pun icircn evidenţă caracteristicile
mecanice ale unui material este icircncercarea la tracţiune
481 Icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general
Icircncercarea la tracţiune a oţelului ca de altfel toate icircncercările de materiale este
standardizată
Icircn cele ce urmează se va prezenta numai partea care interesează strict din punct
de vedere al caracteristicilor mecanice ale oţelului
Epruveta de diametru iniţial 1198890 pentru icircncercarea la tracţiune are o porţiune de
lungime 1198710 numită baza de măsurare pe care se măsoară lungirea acesteia sub acţiunea
solicitării
Icircn funcţie de raportul dintre baza de măsurare 1198710 şi diametrul iniţial 1198890 epruvetele
utilizate pentru icircncercări sunt
epruvete normale (scurte) cacircnd 11987101198890 = 5
epruvete lungi cacircnd 11987101198890 = 10
Icircn timpul icircncercării la diferite valori ale forţei 119865 se măsoară lungirea bazei de
măsurare
∆119871 = 120575 = 119871 minus 1198710 (439)
unde
119871 este dimensiunea bazei de măsurare la un moment dat
Curba forţă-lungire (119865 minus ) icircnregistrată icircn urma icircncercării reprezintă curba
caracteristică la tracţiune
La icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general diagrama caracteristică care se
obţine are forma din figura 48
Curba caracteristică la tracţiune depinde de lungimea bazei de măsurare Pentru
icircnlăturarea acestui neajuns curba caracteristică se reprezintă icircn coordonate şi definite
astfel
120590 =119865
1198600 휀 =
120575
1198710 (440)
unde
1198600 este aria iniţială a secţiunii transversale a epruvetei (icircnainte de solicitare) icircn
zona bazei de măsurare
1198600 =120587 ∙ 1198890
2
4
Deoarece mărimile icircn care se reprezintă curba caracteristică la tracţiune sunt
raportate la aria iniţială a secţiunii transversale (mărimi specifice) curba poartă numele
de curbă caracteristică convenţională la tracţiune
Fig 48 Curba caracteristică convenţională la tracțiune
Pe curba caracteristică convenţională la tracţiune figura 48 se pot stabili o serie
de puncte cărora le corespund mai multe mărimi importante
Ordonata punctului A pacircnă unde curba caracteristică convenţională este linie
dreaptă se numeşte limita de proporţionalitate a materialului 120590119901(1205901) Porţiunea 119874119860 este
zona de proporţionalitate a curbei caracteristice pe acest domeniu este valabilă legea lui
Hooke care exprimă o proporţionalitate icircntre tensiune şi deformaţie specifică
120590 = 119864 ∙ 휀 (441)
unde
119864 = reprezintă panta porţiunii liniare a curbei convenționale caracteristice
la tracțiune Caracteristica de material 119864 se numeşte modul de elasticitate longitudinal
(modulul lui Young)
Ordonata punctului 119861 pacircnă unde materialul se comportă perfect elastic adică
după descărcare icircşi recapătă dimensiunea iniţială 1198710 se numeşte limita de elasticitate
120590119890(119877119890) Icircn realitate nici un material nu are comportare perfect elastică sub acţiunea
solicitărilor el capătă deformaţii permanente (remanente plastice)
După punctul 119861 urmează o porţiune 119861119862119863 icircn care cu toate că icircncărcarea
continuă forţa nu mai creşte avacircnd mici oscilaţii icircn jurul unei valori Se spune că icircn
această porţiune materialul curge iar intervalul 119861119862119863 este un palier de curgere Tensiunea
corespunzătoare palierului de curgere se numeşte limită de curgere aparentă 120590119888(119877119888) Limita de curgere aparentă se calculează cu relaţia
120590119888 =1198651198881198600 (442)
unde
119865119888 reprezintă valoarea forţei icircnregistrată icircn momentul curgerii materialului
După punctul 119863 curba caracteristică are un traseu ascendent pacircnă icircn punctul 119864
Porţiunea 119863119864 este numită zonă de icircntărire (ecruisare) Icircn zona de ecruisare unde se
produc deformaţii plastice semnificative legea lui Hooke nu mai este valabilă La
descărcare relaţia dintre tensiunea şi deformaţia specifică este liniară paralelă cu
porţiunea liniară a curbei caracteristice (dreapta 119872119873)
Deformaţia totală (휀119905) are două componente una elastică (휀119890) şi una plastică (휀119901)
Ordonata punctului 119864 reprezintă rezistenţa de rupere 120590119903(119877119898) a materialului
care se poate calcula cu relaţia
120590119903 = 119877119898 =1198651198981198861199091198600
(443)
unde
119865119898119886119909 reprezintă valoarea maximă a forţei icircnregistrată icircn timpul icircncercării
La atingerea valorii 119865119898119886119909 (punctul 119864) icircntr-un anumit loc al epruvetei secţiunea
icircncepe să se micşoreze (se produce gacirctuirea) continuacircnd pacircnă cacircnd se produce ruperea
totală (punctul 119865)
Dacă după ruperea epruvetei cele două părţi rezultate se aşează cap la cap şi se
măsoară dimensiunea bazei de măsurare 119871119906 (lungimea ultimă) se determină alungirea la
rupere sau lungirea specifică la rupere 휀119903
휀119903 =119871119906 minus 11987101198710
=∆119871
1198710=120575
1198710 (444)
De obicei alungirea se exprimă icircn procente şi se notează cu 119860119899 unde 119899 reprezintă
numărul dat de raportul 11987101198890 (epruvete normale 119899 = 5 epruvete lungi 119899 = 10)
119860119899 =119871119906 minus 11987101198710
∙ 100 [] (445)
Altă mărime care se determină la icircncercarea la tracţiune este gacirctuirea la rupere
(exprimată de obicei icircn procente) şi definită de relaţia
119885 =1198600 minus 1198601199061198600
∙ 100 [] (446)
Mărimile determinate limita de proporţionalitate modulul de elasticitate
longitudinal limita de elasticitate limita de curgere aparentă rezistenţa de rupere
alungirea la rupere şi gacirctuirea la rupere sunt cunoscute ca fiind caracteristici mecanice
ale materialului
Din curba caracteristică convenţională observăm faptul că ruperea (punctul 119865 din
figura 48 se produce la o tensiune mai mică decacirct cea corespunzătoare punctului 119864 Dacă
icircnsă forţa din timpul icircncercării s-ar raporta la aria secţiunii din momentul icircnregistrării
forţei (care este mai mică decacirct cea iniţială 1198600) s-ar obţine aşa numita curbă
caracteristică reală a materialului (traseul 1198741198601198611198621198631198651 din figura 48) La curba
caracteristică reală ruperea se produce icircn punctul 1198651 la o icircncărcare mai mare decacirct cea
corespunzătoare punctului 119864 Icircnseamnă că rezistenţa reală la rupere este mai mare decacirct
rezistenţa la rupere dată de punctul 119864 din diagrama caracteristică convenţională
Dificultatea obţinerii diagramei caracteristice reale faţă de cea a diagramei caracteristice
convenţionale şi considerarea unei rezistenţe la rupere mai mică decacirct a celei reale face
icircn practică utilizarea pe scară mare a diagramei caracteristice convenţionale
Caracteristicile mecanice determinate pe baza curbei caracteristice convenţionale
sunt şi ele caracteristici mecanice convenţionale
Caracteristicile mecanice convenţionale limita de proporţionalitate convenţională
120590119901 limita de elasticitate convenţională 120590119890 limita de curgere convenţională 120590119888 şi rezistenţa
de rupere 120590119903 constituie tensiuni limită pentru un material Pe baza acestor caracteristici
de material se alege valoarea tensiunii admisibile 120590119886 (vezi paragraful 35) pentru
calculele de rezistenţă Cea mai utilizată stare limită pentru stabilirea tensiunii admisibile
120590119886 este limita de curgere convenţională 120590119888
120590119886 =120590119897119894119898119888
=120590119888119888 119904119886119906 120590119886 =
120590119903119888 (447)
Caracteristicile mecanice ale materialului sunt influenţate de o serie de factori
temperatura viteza de solicitare factorii tehnologici iar valorile lor sunt date icircn tabele și
diagrame
Aplicaţie Pentru suprafaţa plană compusă din două dreptunghiuri avacircnd
dimensiunile din figura 49a să se calculeze
a) centrul de greutate al secțiunii compuse 119910119866 119911119866
b) momentele de inerție axiale 119868119911 119868119910 și momentul de inerție centrifugal 119868119911119910
c) razele de inerție 119894119911 119894119910
d) modulele de rezistență 119882119911119898119894119899 119882119911119898119886119909 119882119910119898119894119899 119882119910119898119886119909
e) momentele de inerție principale 1198681 1198682 și direcțiile principale de inerție 1205721
f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 119878119911
Fig 49 Aplicație
Rezolvare Pentru rezolvare vom parcurge următoarele etape
icircmpărțim suprafața compusă icircn două suprafețe simple (dreptunghiuri) notate cu
① și respectiv ② figura 49b
poziționăm centrele de greutate a celor două suprafețe simple ① și respectiv ②
notate cu 1198661 și respectiv 1198662 figura 49c
poziționăm sistemele de axe de coordonate 119911111986611199101 pentru dreptunghiul ① și
119911211986621199102 pentru dreptunghiul ② aflate la intersecția diagonalelor figura 49c
poziționăm sistemele de axe de coordonate 11991101198741199100 ales arbitrar față de care
determinăm poziția centrului de greutate 119866 figura 49c
a) calculăm poziția centrului de greutate folosind relațiile (46) icircn care
1198601 = 6119905 ∙ 119905 = 61199052 1198602 = 4119905 ∙ 119905 = 41199052 119860 = 1198601 + 1198602 = 61199052 + 41199052 = 101199052
iar centrele de greutate 1198661 și respectiv 1198662 au coordonatele (față de sistemul 11991101198741199100)
1198661 1199101 = 3119905 1199111 = 05119905
1198662 1199102 = 051199051199112 = 3119905
cu acestea obținem
119910119866 =1198601 ∙ 1199101 + 1198602 ∙ 1199102
119860=61199052 ∙ 3119905 + 41199052 ∙ 05119905
101199052=201199053
101199052= 2119905
119911119866 =1198601 ∙ 1199111 + 1198602 ∙ 1199112
119860=61199052 ∙ 05119905 + 41199052 ∙ 3119905
101199052=151199053
101199052= 15119905
Poziționăm centrul de greutate 119866 al suprafeței compuse figura 49c
Fig 49 Aplicație
b) pentru determinarea momentelor de inerție axiale 119868119911 119868119910 și a momentului de
inerție centrifugal 119868119910119911 determinăm constantele 1198881 1198882 1198891 1198892 care intervin icircn relația lui
Stainer
1198881 = 1199101 minus 119910119866 = 3119905 minus 2119905 = 119905 1198882 = minus(119910119866 minus 1199102) = minus(2119905 minus 05119905) = minus15119905
1198891 = minus(119911119866 minus 1199111) = minus(15119905 minus 05119905) = minus119905 1198892 = 1199112 minus 119911119892 = 3119905 minus 15119905 = 15119905
Folosind relațiile lui Stainer (429) (430) și (431) calculăm momentele de
inerție axiale și centrifugale față de sistemul central 119911119866119866119910119866
119868119911 =sum(119868119911119894 + 1198881198942 ∙ 119860119894) = 1198681199111 + 1198881
2 ∙ 1198601 + 1198681199112 + 11988822 ∙ 1198602
119868119910 =sum(119868119910119894 + 1198891198942 ∙ 119860119894) = 1198681199101 + 1198891
2 ∙ 1198601 + 1198681199102 + 11988922 ∙ 1198602
119868119911119910 =sum(119868119911119894119910119894 + 119888119894 ∙ 119889119894 ∙ 119860119894) = 11986811991111199101 + 1198881 ∙ 1198891 ∙ 1198601 + 11986811991121199102 + 1198882 ∙ 1198892 ∙ 1198602
1198681199111 = (119887 ∙ ℎ3
12) =
119905 ∙ (6119905)3
12= 181199054 1198681199112 = (
119887 ∙ ℎ3
12) =
4119905 ∙ 1199053
12= 031199054
1198681199101 = (1198873 ∙ ℎ
12) =
1199053 ∙ 6119905
12= 051199054 1198681199102 = (
1198873 ∙ ℎ
12) =
(4119905)3 ∙ 119905
12= 531199054
11986811991111199101 = 11986811991121199102 = 0 deoarece cele două triunghiuri au cel puțin o axă de simetrie
Cu acestea momentele de inerție axiale și momentul de inerție centrifugal devin
119868119911 = 181199054 + 1199052 ∙ 61199052 + 031199054 + (minus15119905)2 ∙ 41199052 = 3331199054
119868119910 = 051199054 + (minus119905)2 ∙ 61199052 + 531199054 + (15119905)2 ∙ 41199052 = 2081199054
119868119911119910 = 0 + 119905 ∙ (minus119905) ∙ 61199052 + 0 + (minus15119905) ∙ (15119905) ∙ 41199052 = minus151199054
c) razele de inerție sau de girație față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910
se calculează cu relațiile (411)
119894119911 = radic119868119911119860= radic
3331199054
101199052= 182119905 119894119910 = radic
119868119910
119860= radic
2081199054
101199052= 144119905
d) modulele de rezistență față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910 se
calculează cu relațiile (412) și (413)
Avacircnd icircn vedere figura 419c obținem
119910119898119886119909 = 6119905 minus 119910119866 = 6119905 minus 2119905 = 4119905 119910119898119894119899 = minus119910119866 = minus2119905
119911119898119886119909 = 5119905 minus 119911119866 = 5119905 minus 15119905 = 35119905 119911119898119894119899 = minus119911119866 = minus15119905
Se obține astfel
119882119911119898119894119899 =119868119911
|119910119898119886119909|=3331199054
4119905= 8331199053
119882119911119898119886119909 =119868119911
|119910119898119894119899|=3331199054
2119905= 16651199053
119882119910119898119894119899 =119868119910
|119911119898119886119909|=2081199054
35119905= 5941199053
119882119910119898119886119909 =119868119910
|119911119898119894119899|=2081199054
15119905= 13871199053
e) momentele de inerție principale 1198681 și respectiv 1198682 se calculează cu relațiile
(438)
11986812 =119868119911 + 119868119910
2plusmn1
2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)
2+ 4 ∙ (119868119911119910)
2=
=3331199054 + 2081199054
2plusmn1
2∙ radic(3331199054 minus 2081199054)2 + 4 ∙ (minus151199054)2 = 27051199054 plusmn 16251199054
De unde obținem
1198681 = 27051199054 + 16251199054 = 4331199054
1198682 = 27051199054 minus 16251199054 = 1081199054
Prima direcție principală de inerție 1 face cu axa centrală 119866119911 unghiul 1205721 dat de
relația (437)
1205721 =1
2∙ arctan (minus
2 ∙ 119868119911119910
119868119911 minus 119868119910) =
1
2∙ arctan [minus
2 ∙ (minus151199054)
3331199054 minus 2081199054] =33 70
Deoarece 1205721 gt 0 rotirea axelor se face acircn sens antiorar acelor de ceasornic figura
49d
Poziția axe principale 2 față de care momentul de inerție are valoarea minimă
1198682 = 119868119898119894119899 este dată de unghiul
1205722 = 1205721 + 900 = 33 70 + 900 = 123 70
f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 se determină cu relația
(45)
1198781199111198602 = 1198602 ∙ 1198882 = 41199052 ∙ (minus15119905) = minus61199053
Pentru suprafeţele cu cel puţin o axă de simetrie direcţiile centrale 119862119911 119862119910 sunt şi
direcții principale de inerţie și evident momentele de inerţie axiale 119868119911 119868119910 sunt momente
de inerţie principale
48 Caracteristici mecanice ale metalelor
Alegerea materialului pentru confecţionarea unei anumite piese se face şi pe baza
aşa numitelor caracteristici mecanice pe care le prezintă materialul Cunoaşterea acestor
caracteristici mecanice are loc numai pe baza unor icircncercări mecanice care să scoată icircn
evidenţă comportarea materialului icircn condiţii de solicitare
Cea mai utilizată icircncercare icircn urma căreia se pun icircn evidenţă caracteristicile
mecanice ale unui material este icircncercarea la tracţiune
481 Icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general
Icircncercarea la tracţiune a oţelului ca de altfel toate icircncercările de materiale este
standardizată
Icircn cele ce urmează se va prezenta numai partea care interesează strict din punct
de vedere al caracteristicilor mecanice ale oţelului
Epruveta de diametru iniţial 1198890 pentru icircncercarea la tracţiune are o porţiune de
lungime 1198710 numită baza de măsurare pe care se măsoară lungirea acesteia sub acţiunea
solicitării
Icircn funcţie de raportul dintre baza de măsurare 1198710 şi diametrul iniţial 1198890 epruvetele
utilizate pentru icircncercări sunt
epruvete normale (scurte) cacircnd 11987101198890 = 5
epruvete lungi cacircnd 11987101198890 = 10
Icircn timpul icircncercării la diferite valori ale forţei 119865 se măsoară lungirea bazei de
măsurare
∆119871 = 120575 = 119871 minus 1198710 (439)
unde
119871 este dimensiunea bazei de măsurare la un moment dat
Curba forţă-lungire (119865 minus ) icircnregistrată icircn urma icircncercării reprezintă curba
caracteristică la tracţiune
La icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general diagrama caracteristică care se
obţine are forma din figura 48
Curba caracteristică la tracţiune depinde de lungimea bazei de măsurare Pentru
icircnlăturarea acestui neajuns curba caracteristică se reprezintă icircn coordonate şi definite
astfel
120590 =119865
1198600 휀 =
120575
1198710 (440)
unde
1198600 este aria iniţială a secţiunii transversale a epruvetei (icircnainte de solicitare) icircn
zona bazei de măsurare
1198600 =120587 ∙ 1198890
2
4
Deoarece mărimile icircn care se reprezintă curba caracteristică la tracţiune sunt
raportate la aria iniţială a secţiunii transversale (mărimi specifice) curba poartă numele
de curbă caracteristică convenţională la tracţiune
Fig 48 Curba caracteristică convenţională la tracțiune
Pe curba caracteristică convenţională la tracţiune figura 48 se pot stabili o serie
de puncte cărora le corespund mai multe mărimi importante
Ordonata punctului A pacircnă unde curba caracteristică convenţională este linie
dreaptă se numeşte limita de proporţionalitate a materialului 120590119901(1205901) Porţiunea 119874119860 este
zona de proporţionalitate a curbei caracteristice pe acest domeniu este valabilă legea lui
Hooke care exprimă o proporţionalitate icircntre tensiune şi deformaţie specifică
120590 = 119864 ∙ 휀 (441)
unde
119864 = reprezintă panta porţiunii liniare a curbei convenționale caracteristice
la tracțiune Caracteristica de material 119864 se numeşte modul de elasticitate longitudinal
(modulul lui Young)
Ordonata punctului 119861 pacircnă unde materialul se comportă perfect elastic adică
după descărcare icircşi recapătă dimensiunea iniţială 1198710 se numeşte limita de elasticitate
120590119890(119877119890) Icircn realitate nici un material nu are comportare perfect elastică sub acţiunea
solicitărilor el capătă deformaţii permanente (remanente plastice)
După punctul 119861 urmează o porţiune 119861119862119863 icircn care cu toate că icircncărcarea
continuă forţa nu mai creşte avacircnd mici oscilaţii icircn jurul unei valori Se spune că icircn
această porţiune materialul curge iar intervalul 119861119862119863 este un palier de curgere Tensiunea
corespunzătoare palierului de curgere se numeşte limită de curgere aparentă 120590119888(119877119888) Limita de curgere aparentă se calculează cu relaţia
120590119888 =1198651198881198600 (442)
unde
119865119888 reprezintă valoarea forţei icircnregistrată icircn momentul curgerii materialului
După punctul 119863 curba caracteristică are un traseu ascendent pacircnă icircn punctul 119864
Porţiunea 119863119864 este numită zonă de icircntărire (ecruisare) Icircn zona de ecruisare unde se
produc deformaţii plastice semnificative legea lui Hooke nu mai este valabilă La
descărcare relaţia dintre tensiunea şi deformaţia specifică este liniară paralelă cu
porţiunea liniară a curbei caracteristice (dreapta 119872119873)
Deformaţia totală (휀119905) are două componente una elastică (휀119890) şi una plastică (휀119901)
Ordonata punctului 119864 reprezintă rezistenţa de rupere 120590119903(119877119898) a materialului
care se poate calcula cu relaţia
120590119903 = 119877119898 =1198651198981198861199091198600
(443)
unde
119865119898119886119909 reprezintă valoarea maximă a forţei icircnregistrată icircn timpul icircncercării
La atingerea valorii 119865119898119886119909 (punctul 119864) icircntr-un anumit loc al epruvetei secţiunea
icircncepe să se micşoreze (se produce gacirctuirea) continuacircnd pacircnă cacircnd se produce ruperea
totală (punctul 119865)
Dacă după ruperea epruvetei cele două părţi rezultate se aşează cap la cap şi se
măsoară dimensiunea bazei de măsurare 119871119906 (lungimea ultimă) se determină alungirea la
rupere sau lungirea specifică la rupere 휀119903
휀119903 =119871119906 minus 11987101198710
=∆119871
1198710=120575
1198710 (444)
De obicei alungirea se exprimă icircn procente şi se notează cu 119860119899 unde 119899 reprezintă
numărul dat de raportul 11987101198890 (epruvete normale 119899 = 5 epruvete lungi 119899 = 10)
119860119899 =119871119906 minus 11987101198710
∙ 100 [] (445)
Altă mărime care se determină la icircncercarea la tracţiune este gacirctuirea la rupere
(exprimată de obicei icircn procente) şi definită de relaţia
119885 =1198600 minus 1198601199061198600
∙ 100 [] (446)
Mărimile determinate limita de proporţionalitate modulul de elasticitate
longitudinal limita de elasticitate limita de curgere aparentă rezistenţa de rupere
alungirea la rupere şi gacirctuirea la rupere sunt cunoscute ca fiind caracteristici mecanice
ale materialului
Din curba caracteristică convenţională observăm faptul că ruperea (punctul 119865 din
figura 48 se produce la o tensiune mai mică decacirct cea corespunzătoare punctului 119864 Dacă
icircnsă forţa din timpul icircncercării s-ar raporta la aria secţiunii din momentul icircnregistrării
forţei (care este mai mică decacirct cea iniţială 1198600) s-ar obţine aşa numita curbă
caracteristică reală a materialului (traseul 1198741198601198611198621198631198651 din figura 48) La curba
caracteristică reală ruperea se produce icircn punctul 1198651 la o icircncărcare mai mare decacirct cea
corespunzătoare punctului 119864 Icircnseamnă că rezistenţa reală la rupere este mai mare decacirct
rezistenţa la rupere dată de punctul 119864 din diagrama caracteristică convenţională
Dificultatea obţinerii diagramei caracteristice reale faţă de cea a diagramei caracteristice
convenţionale şi considerarea unei rezistenţe la rupere mai mică decacirct a celei reale face
icircn practică utilizarea pe scară mare a diagramei caracteristice convenţionale
Caracteristicile mecanice determinate pe baza curbei caracteristice convenţionale
sunt şi ele caracteristici mecanice convenţionale
Caracteristicile mecanice convenţionale limita de proporţionalitate convenţională
120590119901 limita de elasticitate convenţională 120590119890 limita de curgere convenţională 120590119888 şi rezistenţa
de rupere 120590119903 constituie tensiuni limită pentru un material Pe baza acestor caracteristici
de material se alege valoarea tensiunii admisibile 120590119886 (vezi paragraful 35) pentru
calculele de rezistenţă Cea mai utilizată stare limită pentru stabilirea tensiunii admisibile
120590119886 este limita de curgere convenţională 120590119888
120590119886 =120590119897119894119898119888
=120590119888119888 119904119886119906 120590119886 =
120590119903119888 (447)
Caracteristicile mecanice ale materialului sunt influenţate de o serie de factori
temperatura viteza de solicitare factorii tehnologici iar valorile lor sunt date icircn tabele și
diagrame
Aplicaţie Pentru suprafaţa plană compusă din două dreptunghiuri avacircnd
dimensiunile din figura 49a să se calculeze
a) centrul de greutate al secțiunii compuse 119910119866 119911119866
b) momentele de inerție axiale 119868119911 119868119910 și momentul de inerție centrifugal 119868119911119910
c) razele de inerție 119894119911 119894119910
d) modulele de rezistență 119882119911119898119894119899 119882119911119898119886119909 119882119910119898119894119899 119882119910119898119886119909
e) momentele de inerție principale 1198681 1198682 și direcțiile principale de inerție 1205721
f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 119878119911
Fig 49 Aplicație
Rezolvare Pentru rezolvare vom parcurge următoarele etape
icircmpărțim suprafața compusă icircn două suprafețe simple (dreptunghiuri) notate cu
① și respectiv ② figura 49b
poziționăm centrele de greutate a celor două suprafețe simple ① și respectiv ②
notate cu 1198661 și respectiv 1198662 figura 49c
poziționăm sistemele de axe de coordonate 119911111986611199101 pentru dreptunghiul ① și
119911211986621199102 pentru dreptunghiul ② aflate la intersecția diagonalelor figura 49c
poziționăm sistemele de axe de coordonate 11991101198741199100 ales arbitrar față de care
determinăm poziția centrului de greutate 119866 figura 49c
a) calculăm poziția centrului de greutate folosind relațiile (46) icircn care
1198601 = 6119905 ∙ 119905 = 61199052 1198602 = 4119905 ∙ 119905 = 41199052 119860 = 1198601 + 1198602 = 61199052 + 41199052 = 101199052
iar centrele de greutate 1198661 și respectiv 1198662 au coordonatele (față de sistemul 11991101198741199100)
1198661 1199101 = 3119905 1199111 = 05119905
1198662 1199102 = 051199051199112 = 3119905
cu acestea obținem
119910119866 =1198601 ∙ 1199101 + 1198602 ∙ 1199102
119860=61199052 ∙ 3119905 + 41199052 ∙ 05119905
101199052=201199053
101199052= 2119905
119911119866 =1198601 ∙ 1199111 + 1198602 ∙ 1199112
119860=61199052 ∙ 05119905 + 41199052 ∙ 3119905
101199052=151199053
101199052= 15119905
Poziționăm centrul de greutate 119866 al suprafeței compuse figura 49c
Fig 49 Aplicație
b) pentru determinarea momentelor de inerție axiale 119868119911 119868119910 și a momentului de
inerție centrifugal 119868119910119911 determinăm constantele 1198881 1198882 1198891 1198892 care intervin icircn relația lui
Stainer
1198881 = 1199101 minus 119910119866 = 3119905 minus 2119905 = 119905 1198882 = minus(119910119866 minus 1199102) = minus(2119905 minus 05119905) = minus15119905
1198891 = minus(119911119866 minus 1199111) = minus(15119905 minus 05119905) = minus119905 1198892 = 1199112 minus 119911119892 = 3119905 minus 15119905 = 15119905
Folosind relațiile lui Stainer (429) (430) și (431) calculăm momentele de
inerție axiale și centrifugale față de sistemul central 119911119866119866119910119866
119868119911 =sum(119868119911119894 + 1198881198942 ∙ 119860119894) = 1198681199111 + 1198881
2 ∙ 1198601 + 1198681199112 + 11988822 ∙ 1198602
119868119910 =sum(119868119910119894 + 1198891198942 ∙ 119860119894) = 1198681199101 + 1198891
2 ∙ 1198601 + 1198681199102 + 11988922 ∙ 1198602
119868119911119910 =sum(119868119911119894119910119894 + 119888119894 ∙ 119889119894 ∙ 119860119894) = 11986811991111199101 + 1198881 ∙ 1198891 ∙ 1198601 + 11986811991121199102 + 1198882 ∙ 1198892 ∙ 1198602
1198681199111 = (119887 ∙ ℎ3
12) =
119905 ∙ (6119905)3
12= 181199054 1198681199112 = (
119887 ∙ ℎ3
12) =
4119905 ∙ 1199053
12= 031199054
1198681199101 = (1198873 ∙ ℎ
12) =
1199053 ∙ 6119905
12= 051199054 1198681199102 = (
1198873 ∙ ℎ
12) =
(4119905)3 ∙ 119905
12= 531199054
11986811991111199101 = 11986811991121199102 = 0 deoarece cele două triunghiuri au cel puțin o axă de simetrie
Cu acestea momentele de inerție axiale și momentul de inerție centrifugal devin
119868119911 = 181199054 + 1199052 ∙ 61199052 + 031199054 + (minus15119905)2 ∙ 41199052 = 3331199054
119868119910 = 051199054 + (minus119905)2 ∙ 61199052 + 531199054 + (15119905)2 ∙ 41199052 = 2081199054
119868119911119910 = 0 + 119905 ∙ (minus119905) ∙ 61199052 + 0 + (minus15119905) ∙ (15119905) ∙ 41199052 = minus151199054
c) razele de inerție sau de girație față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910
se calculează cu relațiile (411)
119894119911 = radic119868119911119860= radic
3331199054
101199052= 182119905 119894119910 = radic
119868119910
119860= radic
2081199054
101199052= 144119905
d) modulele de rezistență față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910 se
calculează cu relațiile (412) și (413)
Avacircnd icircn vedere figura 419c obținem
119910119898119886119909 = 6119905 minus 119910119866 = 6119905 minus 2119905 = 4119905 119910119898119894119899 = minus119910119866 = minus2119905
119911119898119886119909 = 5119905 minus 119911119866 = 5119905 minus 15119905 = 35119905 119911119898119894119899 = minus119911119866 = minus15119905
Se obține astfel
119882119911119898119894119899 =119868119911
|119910119898119886119909|=3331199054
4119905= 8331199053
119882119911119898119886119909 =119868119911
|119910119898119894119899|=3331199054
2119905= 16651199053
119882119910119898119894119899 =119868119910
|119911119898119886119909|=2081199054
35119905= 5941199053
119882119910119898119886119909 =119868119910
|119911119898119894119899|=2081199054
15119905= 13871199053
e) momentele de inerție principale 1198681 și respectiv 1198682 se calculează cu relațiile
(438)
11986812 =119868119911 + 119868119910
2plusmn1
2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)
2+ 4 ∙ (119868119911119910)
2=
=3331199054 + 2081199054
2plusmn1
2∙ radic(3331199054 minus 2081199054)2 + 4 ∙ (minus151199054)2 = 27051199054 plusmn 16251199054
De unde obținem
1198681 = 27051199054 + 16251199054 = 4331199054
1198682 = 27051199054 minus 16251199054 = 1081199054
Prima direcție principală de inerție 1 face cu axa centrală 119866119911 unghiul 1205721 dat de
relația (437)
1205721 =1
2∙ arctan (minus
2 ∙ 119868119911119910
119868119911 minus 119868119910) =
1
2∙ arctan [minus
2 ∙ (minus151199054)
3331199054 minus 2081199054] =33 70
Deoarece 1205721 gt 0 rotirea axelor se face acircn sens antiorar acelor de ceasornic figura
49d
Poziția axe principale 2 față de care momentul de inerție are valoarea minimă
1198682 = 119868119898119894119899 este dată de unghiul
1205722 = 1205721 + 900 = 33 70 + 900 = 123 70
f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 se determină cu relația
(45)
1198781199111198602 = 1198602 ∙ 1198882 = 41199052 ∙ (minus15119905) = minus61199053
Deoarece mărimile icircn care se reprezintă curba caracteristică la tracţiune sunt
raportate la aria iniţială a secţiunii transversale (mărimi specifice) curba poartă numele
de curbă caracteristică convenţională la tracţiune
Fig 48 Curba caracteristică convenţională la tracțiune
Pe curba caracteristică convenţională la tracţiune figura 48 se pot stabili o serie
de puncte cărora le corespund mai multe mărimi importante
Ordonata punctului A pacircnă unde curba caracteristică convenţională este linie
dreaptă se numeşte limita de proporţionalitate a materialului 120590119901(1205901) Porţiunea 119874119860 este
zona de proporţionalitate a curbei caracteristice pe acest domeniu este valabilă legea lui
Hooke care exprimă o proporţionalitate icircntre tensiune şi deformaţie specifică
120590 = 119864 ∙ 휀 (441)
unde
119864 = reprezintă panta porţiunii liniare a curbei convenționale caracteristice
la tracțiune Caracteristica de material 119864 se numeşte modul de elasticitate longitudinal
(modulul lui Young)
Ordonata punctului 119861 pacircnă unde materialul se comportă perfect elastic adică
după descărcare icircşi recapătă dimensiunea iniţială 1198710 se numeşte limita de elasticitate
120590119890(119877119890) Icircn realitate nici un material nu are comportare perfect elastică sub acţiunea
solicitărilor el capătă deformaţii permanente (remanente plastice)
După punctul 119861 urmează o porţiune 119861119862119863 icircn care cu toate că icircncărcarea
continuă forţa nu mai creşte avacircnd mici oscilaţii icircn jurul unei valori Se spune că icircn
această porţiune materialul curge iar intervalul 119861119862119863 este un palier de curgere Tensiunea
corespunzătoare palierului de curgere se numeşte limită de curgere aparentă 120590119888(119877119888) Limita de curgere aparentă se calculează cu relaţia
120590119888 =1198651198881198600 (442)
unde
119865119888 reprezintă valoarea forţei icircnregistrată icircn momentul curgerii materialului
După punctul 119863 curba caracteristică are un traseu ascendent pacircnă icircn punctul 119864
Porţiunea 119863119864 este numită zonă de icircntărire (ecruisare) Icircn zona de ecruisare unde se
produc deformaţii plastice semnificative legea lui Hooke nu mai este valabilă La
descărcare relaţia dintre tensiunea şi deformaţia specifică este liniară paralelă cu
porţiunea liniară a curbei caracteristice (dreapta 119872119873)
Deformaţia totală (휀119905) are două componente una elastică (휀119890) şi una plastică (휀119901)
Ordonata punctului 119864 reprezintă rezistenţa de rupere 120590119903(119877119898) a materialului
care se poate calcula cu relaţia
120590119903 = 119877119898 =1198651198981198861199091198600
(443)
unde
119865119898119886119909 reprezintă valoarea maximă a forţei icircnregistrată icircn timpul icircncercării
La atingerea valorii 119865119898119886119909 (punctul 119864) icircntr-un anumit loc al epruvetei secţiunea
icircncepe să se micşoreze (se produce gacirctuirea) continuacircnd pacircnă cacircnd se produce ruperea
totală (punctul 119865)
Dacă după ruperea epruvetei cele două părţi rezultate se aşează cap la cap şi se
măsoară dimensiunea bazei de măsurare 119871119906 (lungimea ultimă) se determină alungirea la
rupere sau lungirea specifică la rupere 휀119903
휀119903 =119871119906 minus 11987101198710
=∆119871
1198710=120575
1198710 (444)
De obicei alungirea se exprimă icircn procente şi se notează cu 119860119899 unde 119899 reprezintă
numărul dat de raportul 11987101198890 (epruvete normale 119899 = 5 epruvete lungi 119899 = 10)
119860119899 =119871119906 minus 11987101198710
∙ 100 [] (445)
Altă mărime care se determină la icircncercarea la tracţiune este gacirctuirea la rupere
(exprimată de obicei icircn procente) şi definită de relaţia
119885 =1198600 minus 1198601199061198600
∙ 100 [] (446)
Mărimile determinate limita de proporţionalitate modulul de elasticitate
longitudinal limita de elasticitate limita de curgere aparentă rezistenţa de rupere
alungirea la rupere şi gacirctuirea la rupere sunt cunoscute ca fiind caracteristici mecanice
ale materialului
Din curba caracteristică convenţională observăm faptul că ruperea (punctul 119865 din
figura 48 se produce la o tensiune mai mică decacirct cea corespunzătoare punctului 119864 Dacă
icircnsă forţa din timpul icircncercării s-ar raporta la aria secţiunii din momentul icircnregistrării
forţei (care este mai mică decacirct cea iniţială 1198600) s-ar obţine aşa numita curbă
caracteristică reală a materialului (traseul 1198741198601198611198621198631198651 din figura 48) La curba
caracteristică reală ruperea se produce icircn punctul 1198651 la o icircncărcare mai mare decacirct cea
corespunzătoare punctului 119864 Icircnseamnă că rezistenţa reală la rupere este mai mare decacirct
rezistenţa la rupere dată de punctul 119864 din diagrama caracteristică convenţională
Dificultatea obţinerii diagramei caracteristice reale faţă de cea a diagramei caracteristice
convenţionale şi considerarea unei rezistenţe la rupere mai mică decacirct a celei reale face
icircn practică utilizarea pe scară mare a diagramei caracteristice convenţionale
Caracteristicile mecanice determinate pe baza curbei caracteristice convenţionale
sunt şi ele caracteristici mecanice convenţionale
Caracteristicile mecanice convenţionale limita de proporţionalitate convenţională
120590119901 limita de elasticitate convenţională 120590119890 limita de curgere convenţională 120590119888 şi rezistenţa
de rupere 120590119903 constituie tensiuni limită pentru un material Pe baza acestor caracteristici
de material se alege valoarea tensiunii admisibile 120590119886 (vezi paragraful 35) pentru
calculele de rezistenţă Cea mai utilizată stare limită pentru stabilirea tensiunii admisibile
120590119886 este limita de curgere convenţională 120590119888
120590119886 =120590119897119894119898119888
=120590119888119888 119904119886119906 120590119886 =
120590119903119888 (447)
Caracteristicile mecanice ale materialului sunt influenţate de o serie de factori
temperatura viteza de solicitare factorii tehnologici iar valorile lor sunt date icircn tabele și
diagrame
Aplicaţie Pentru suprafaţa plană compusă din două dreptunghiuri avacircnd
dimensiunile din figura 49a să se calculeze
a) centrul de greutate al secțiunii compuse 119910119866 119911119866
b) momentele de inerție axiale 119868119911 119868119910 și momentul de inerție centrifugal 119868119911119910
c) razele de inerție 119894119911 119894119910
d) modulele de rezistență 119882119911119898119894119899 119882119911119898119886119909 119882119910119898119894119899 119882119910119898119886119909
e) momentele de inerție principale 1198681 1198682 și direcțiile principale de inerție 1205721
f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 119878119911
Fig 49 Aplicație
Rezolvare Pentru rezolvare vom parcurge următoarele etape
icircmpărțim suprafața compusă icircn două suprafețe simple (dreptunghiuri) notate cu
① și respectiv ② figura 49b
poziționăm centrele de greutate a celor două suprafețe simple ① și respectiv ②
notate cu 1198661 și respectiv 1198662 figura 49c
poziționăm sistemele de axe de coordonate 119911111986611199101 pentru dreptunghiul ① și
119911211986621199102 pentru dreptunghiul ② aflate la intersecția diagonalelor figura 49c
poziționăm sistemele de axe de coordonate 11991101198741199100 ales arbitrar față de care
determinăm poziția centrului de greutate 119866 figura 49c
a) calculăm poziția centrului de greutate folosind relațiile (46) icircn care
1198601 = 6119905 ∙ 119905 = 61199052 1198602 = 4119905 ∙ 119905 = 41199052 119860 = 1198601 + 1198602 = 61199052 + 41199052 = 101199052
iar centrele de greutate 1198661 și respectiv 1198662 au coordonatele (față de sistemul 11991101198741199100)
1198661 1199101 = 3119905 1199111 = 05119905
1198662 1199102 = 051199051199112 = 3119905
cu acestea obținem
119910119866 =1198601 ∙ 1199101 + 1198602 ∙ 1199102
119860=61199052 ∙ 3119905 + 41199052 ∙ 05119905
101199052=201199053
101199052= 2119905
119911119866 =1198601 ∙ 1199111 + 1198602 ∙ 1199112
119860=61199052 ∙ 05119905 + 41199052 ∙ 3119905
101199052=151199053
101199052= 15119905
Poziționăm centrul de greutate 119866 al suprafeței compuse figura 49c
Fig 49 Aplicație
b) pentru determinarea momentelor de inerție axiale 119868119911 119868119910 și a momentului de
inerție centrifugal 119868119910119911 determinăm constantele 1198881 1198882 1198891 1198892 care intervin icircn relația lui
Stainer
1198881 = 1199101 minus 119910119866 = 3119905 minus 2119905 = 119905 1198882 = minus(119910119866 minus 1199102) = minus(2119905 minus 05119905) = minus15119905
1198891 = minus(119911119866 minus 1199111) = minus(15119905 minus 05119905) = minus119905 1198892 = 1199112 minus 119911119892 = 3119905 minus 15119905 = 15119905
Folosind relațiile lui Stainer (429) (430) și (431) calculăm momentele de
inerție axiale și centrifugale față de sistemul central 119911119866119866119910119866
119868119911 =sum(119868119911119894 + 1198881198942 ∙ 119860119894) = 1198681199111 + 1198881
2 ∙ 1198601 + 1198681199112 + 11988822 ∙ 1198602
119868119910 =sum(119868119910119894 + 1198891198942 ∙ 119860119894) = 1198681199101 + 1198891
2 ∙ 1198601 + 1198681199102 + 11988922 ∙ 1198602
119868119911119910 =sum(119868119911119894119910119894 + 119888119894 ∙ 119889119894 ∙ 119860119894) = 11986811991111199101 + 1198881 ∙ 1198891 ∙ 1198601 + 11986811991121199102 + 1198882 ∙ 1198892 ∙ 1198602
1198681199111 = (119887 ∙ ℎ3
12) =
119905 ∙ (6119905)3
12= 181199054 1198681199112 = (
119887 ∙ ℎ3
12) =
4119905 ∙ 1199053
12= 031199054
1198681199101 = (1198873 ∙ ℎ
12) =
1199053 ∙ 6119905
12= 051199054 1198681199102 = (
1198873 ∙ ℎ
12) =
(4119905)3 ∙ 119905
12= 531199054
11986811991111199101 = 11986811991121199102 = 0 deoarece cele două triunghiuri au cel puțin o axă de simetrie
Cu acestea momentele de inerție axiale și momentul de inerție centrifugal devin
119868119911 = 181199054 + 1199052 ∙ 61199052 + 031199054 + (minus15119905)2 ∙ 41199052 = 3331199054
119868119910 = 051199054 + (minus119905)2 ∙ 61199052 + 531199054 + (15119905)2 ∙ 41199052 = 2081199054
119868119911119910 = 0 + 119905 ∙ (minus119905) ∙ 61199052 + 0 + (minus15119905) ∙ (15119905) ∙ 41199052 = minus151199054
c) razele de inerție sau de girație față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910
se calculează cu relațiile (411)
119894119911 = radic119868119911119860= radic
3331199054
101199052= 182119905 119894119910 = radic
119868119910
119860= radic
2081199054
101199052= 144119905
d) modulele de rezistență față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910 se
calculează cu relațiile (412) și (413)
Avacircnd icircn vedere figura 419c obținem
119910119898119886119909 = 6119905 minus 119910119866 = 6119905 minus 2119905 = 4119905 119910119898119894119899 = minus119910119866 = minus2119905
119911119898119886119909 = 5119905 minus 119911119866 = 5119905 minus 15119905 = 35119905 119911119898119894119899 = minus119911119866 = minus15119905
Se obține astfel
119882119911119898119894119899 =119868119911
|119910119898119886119909|=3331199054
4119905= 8331199053
119882119911119898119886119909 =119868119911
|119910119898119894119899|=3331199054
2119905= 16651199053
119882119910119898119894119899 =119868119910
|119911119898119886119909|=2081199054
35119905= 5941199053
119882119910119898119886119909 =119868119910
|119911119898119894119899|=2081199054
15119905= 13871199053
e) momentele de inerție principale 1198681 și respectiv 1198682 se calculează cu relațiile
(438)
11986812 =119868119911 + 119868119910
2plusmn1
2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)
2+ 4 ∙ (119868119911119910)
2=
=3331199054 + 2081199054
2plusmn1
2∙ radic(3331199054 minus 2081199054)2 + 4 ∙ (minus151199054)2 = 27051199054 plusmn 16251199054
De unde obținem
1198681 = 27051199054 + 16251199054 = 4331199054
1198682 = 27051199054 minus 16251199054 = 1081199054
Prima direcție principală de inerție 1 face cu axa centrală 119866119911 unghiul 1205721 dat de
relația (437)
1205721 =1
2∙ arctan (minus
2 ∙ 119868119911119910
119868119911 minus 119868119910) =
1
2∙ arctan [minus
2 ∙ (minus151199054)
3331199054 minus 2081199054] =33 70
Deoarece 1205721 gt 0 rotirea axelor se face acircn sens antiorar acelor de ceasornic figura
49d
Poziția axe principale 2 față de care momentul de inerție are valoarea minimă
1198682 = 119868119898119894119899 este dată de unghiul
1205722 = 1205721 + 900 = 33 70 + 900 = 123 70
f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 se determină cu relația
(45)
1198781199111198602 = 1198602 ∙ 1198882 = 41199052 ∙ (minus15119905) = minus61199053
unde
119865119888 reprezintă valoarea forţei icircnregistrată icircn momentul curgerii materialului
După punctul 119863 curba caracteristică are un traseu ascendent pacircnă icircn punctul 119864
Porţiunea 119863119864 este numită zonă de icircntărire (ecruisare) Icircn zona de ecruisare unde se
produc deformaţii plastice semnificative legea lui Hooke nu mai este valabilă La
descărcare relaţia dintre tensiunea şi deformaţia specifică este liniară paralelă cu
porţiunea liniară a curbei caracteristice (dreapta 119872119873)
Deformaţia totală (휀119905) are două componente una elastică (휀119890) şi una plastică (휀119901)
Ordonata punctului 119864 reprezintă rezistenţa de rupere 120590119903(119877119898) a materialului
care se poate calcula cu relaţia
120590119903 = 119877119898 =1198651198981198861199091198600
(443)
unde
119865119898119886119909 reprezintă valoarea maximă a forţei icircnregistrată icircn timpul icircncercării
La atingerea valorii 119865119898119886119909 (punctul 119864) icircntr-un anumit loc al epruvetei secţiunea
icircncepe să se micşoreze (se produce gacirctuirea) continuacircnd pacircnă cacircnd se produce ruperea
totală (punctul 119865)
Dacă după ruperea epruvetei cele două părţi rezultate se aşează cap la cap şi se
măsoară dimensiunea bazei de măsurare 119871119906 (lungimea ultimă) se determină alungirea la
rupere sau lungirea specifică la rupere 휀119903
휀119903 =119871119906 minus 11987101198710
=∆119871
1198710=120575
1198710 (444)
De obicei alungirea se exprimă icircn procente şi se notează cu 119860119899 unde 119899 reprezintă
numărul dat de raportul 11987101198890 (epruvete normale 119899 = 5 epruvete lungi 119899 = 10)
119860119899 =119871119906 minus 11987101198710
∙ 100 [] (445)
Altă mărime care se determină la icircncercarea la tracţiune este gacirctuirea la rupere
(exprimată de obicei icircn procente) şi definită de relaţia
119885 =1198600 minus 1198601199061198600
∙ 100 [] (446)
Mărimile determinate limita de proporţionalitate modulul de elasticitate
longitudinal limita de elasticitate limita de curgere aparentă rezistenţa de rupere
alungirea la rupere şi gacirctuirea la rupere sunt cunoscute ca fiind caracteristici mecanice
ale materialului
Din curba caracteristică convenţională observăm faptul că ruperea (punctul 119865 din
figura 48 se produce la o tensiune mai mică decacirct cea corespunzătoare punctului 119864 Dacă
icircnsă forţa din timpul icircncercării s-ar raporta la aria secţiunii din momentul icircnregistrării
forţei (care este mai mică decacirct cea iniţială 1198600) s-ar obţine aşa numita curbă
caracteristică reală a materialului (traseul 1198741198601198611198621198631198651 din figura 48) La curba
caracteristică reală ruperea se produce icircn punctul 1198651 la o icircncărcare mai mare decacirct cea
corespunzătoare punctului 119864 Icircnseamnă că rezistenţa reală la rupere este mai mare decacirct
rezistenţa la rupere dată de punctul 119864 din diagrama caracteristică convenţională
Dificultatea obţinerii diagramei caracteristice reale faţă de cea a diagramei caracteristice
convenţionale şi considerarea unei rezistenţe la rupere mai mică decacirct a celei reale face
icircn practică utilizarea pe scară mare a diagramei caracteristice convenţionale
Caracteristicile mecanice determinate pe baza curbei caracteristice convenţionale
sunt şi ele caracteristici mecanice convenţionale
Caracteristicile mecanice convenţionale limita de proporţionalitate convenţională
120590119901 limita de elasticitate convenţională 120590119890 limita de curgere convenţională 120590119888 şi rezistenţa
de rupere 120590119903 constituie tensiuni limită pentru un material Pe baza acestor caracteristici
de material se alege valoarea tensiunii admisibile 120590119886 (vezi paragraful 35) pentru
calculele de rezistenţă Cea mai utilizată stare limită pentru stabilirea tensiunii admisibile
120590119886 este limita de curgere convenţională 120590119888
120590119886 =120590119897119894119898119888
=120590119888119888 119904119886119906 120590119886 =
120590119903119888 (447)
Caracteristicile mecanice ale materialului sunt influenţate de o serie de factori
temperatura viteza de solicitare factorii tehnologici iar valorile lor sunt date icircn tabele și
diagrame
Aplicaţie Pentru suprafaţa plană compusă din două dreptunghiuri avacircnd
dimensiunile din figura 49a să se calculeze
a) centrul de greutate al secțiunii compuse 119910119866 119911119866
b) momentele de inerție axiale 119868119911 119868119910 și momentul de inerție centrifugal 119868119911119910
c) razele de inerție 119894119911 119894119910
d) modulele de rezistență 119882119911119898119894119899 119882119911119898119886119909 119882119910119898119894119899 119882119910119898119886119909
e) momentele de inerție principale 1198681 1198682 și direcțiile principale de inerție 1205721
f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 119878119911
Fig 49 Aplicație
Rezolvare Pentru rezolvare vom parcurge următoarele etape
icircmpărțim suprafața compusă icircn două suprafețe simple (dreptunghiuri) notate cu
① și respectiv ② figura 49b
poziționăm centrele de greutate a celor două suprafețe simple ① și respectiv ②
notate cu 1198661 și respectiv 1198662 figura 49c
poziționăm sistemele de axe de coordonate 119911111986611199101 pentru dreptunghiul ① și
119911211986621199102 pentru dreptunghiul ② aflate la intersecția diagonalelor figura 49c
poziționăm sistemele de axe de coordonate 11991101198741199100 ales arbitrar față de care
determinăm poziția centrului de greutate 119866 figura 49c
a) calculăm poziția centrului de greutate folosind relațiile (46) icircn care
1198601 = 6119905 ∙ 119905 = 61199052 1198602 = 4119905 ∙ 119905 = 41199052 119860 = 1198601 + 1198602 = 61199052 + 41199052 = 101199052
iar centrele de greutate 1198661 și respectiv 1198662 au coordonatele (față de sistemul 11991101198741199100)
1198661 1199101 = 3119905 1199111 = 05119905
1198662 1199102 = 051199051199112 = 3119905
cu acestea obținem
119910119866 =1198601 ∙ 1199101 + 1198602 ∙ 1199102
119860=61199052 ∙ 3119905 + 41199052 ∙ 05119905
101199052=201199053
101199052= 2119905
119911119866 =1198601 ∙ 1199111 + 1198602 ∙ 1199112
119860=61199052 ∙ 05119905 + 41199052 ∙ 3119905
101199052=151199053
101199052= 15119905
Poziționăm centrul de greutate 119866 al suprafeței compuse figura 49c
Fig 49 Aplicație
b) pentru determinarea momentelor de inerție axiale 119868119911 119868119910 și a momentului de
inerție centrifugal 119868119910119911 determinăm constantele 1198881 1198882 1198891 1198892 care intervin icircn relația lui
Stainer
1198881 = 1199101 minus 119910119866 = 3119905 minus 2119905 = 119905 1198882 = minus(119910119866 minus 1199102) = minus(2119905 minus 05119905) = minus15119905
1198891 = minus(119911119866 minus 1199111) = minus(15119905 minus 05119905) = minus119905 1198892 = 1199112 minus 119911119892 = 3119905 minus 15119905 = 15119905
Folosind relațiile lui Stainer (429) (430) și (431) calculăm momentele de
inerție axiale și centrifugale față de sistemul central 119911119866119866119910119866
119868119911 =sum(119868119911119894 + 1198881198942 ∙ 119860119894) = 1198681199111 + 1198881
2 ∙ 1198601 + 1198681199112 + 11988822 ∙ 1198602
119868119910 =sum(119868119910119894 + 1198891198942 ∙ 119860119894) = 1198681199101 + 1198891
2 ∙ 1198601 + 1198681199102 + 11988922 ∙ 1198602
119868119911119910 =sum(119868119911119894119910119894 + 119888119894 ∙ 119889119894 ∙ 119860119894) = 11986811991111199101 + 1198881 ∙ 1198891 ∙ 1198601 + 11986811991121199102 + 1198882 ∙ 1198892 ∙ 1198602
1198681199111 = (119887 ∙ ℎ3
12) =
119905 ∙ (6119905)3
12= 181199054 1198681199112 = (
119887 ∙ ℎ3
12) =
4119905 ∙ 1199053
12= 031199054
1198681199101 = (1198873 ∙ ℎ
12) =
1199053 ∙ 6119905
12= 051199054 1198681199102 = (
1198873 ∙ ℎ
12) =
(4119905)3 ∙ 119905
12= 531199054
11986811991111199101 = 11986811991121199102 = 0 deoarece cele două triunghiuri au cel puțin o axă de simetrie
Cu acestea momentele de inerție axiale și momentul de inerție centrifugal devin
119868119911 = 181199054 + 1199052 ∙ 61199052 + 031199054 + (minus15119905)2 ∙ 41199052 = 3331199054
119868119910 = 051199054 + (minus119905)2 ∙ 61199052 + 531199054 + (15119905)2 ∙ 41199052 = 2081199054
119868119911119910 = 0 + 119905 ∙ (minus119905) ∙ 61199052 + 0 + (minus15119905) ∙ (15119905) ∙ 41199052 = minus151199054
c) razele de inerție sau de girație față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910
se calculează cu relațiile (411)
119894119911 = radic119868119911119860= radic
3331199054
101199052= 182119905 119894119910 = radic
119868119910
119860= radic
2081199054
101199052= 144119905
d) modulele de rezistență față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910 se
calculează cu relațiile (412) și (413)
Avacircnd icircn vedere figura 419c obținem
119910119898119886119909 = 6119905 minus 119910119866 = 6119905 minus 2119905 = 4119905 119910119898119894119899 = minus119910119866 = minus2119905
119911119898119886119909 = 5119905 minus 119911119866 = 5119905 minus 15119905 = 35119905 119911119898119894119899 = minus119911119866 = minus15119905
Se obține astfel
119882119911119898119894119899 =119868119911
|119910119898119886119909|=3331199054
4119905= 8331199053
119882119911119898119886119909 =119868119911
|119910119898119894119899|=3331199054
2119905= 16651199053
119882119910119898119894119899 =119868119910
|119911119898119886119909|=2081199054
35119905= 5941199053
119882119910119898119886119909 =119868119910
|119911119898119894119899|=2081199054
15119905= 13871199053
e) momentele de inerție principale 1198681 și respectiv 1198682 se calculează cu relațiile
(438)
11986812 =119868119911 + 119868119910
2plusmn1
2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)
2+ 4 ∙ (119868119911119910)
2=
=3331199054 + 2081199054
2plusmn1
2∙ radic(3331199054 minus 2081199054)2 + 4 ∙ (minus151199054)2 = 27051199054 plusmn 16251199054
De unde obținem
1198681 = 27051199054 + 16251199054 = 4331199054
1198682 = 27051199054 minus 16251199054 = 1081199054
Prima direcție principală de inerție 1 face cu axa centrală 119866119911 unghiul 1205721 dat de
relația (437)
1205721 =1
2∙ arctan (minus
2 ∙ 119868119911119910
119868119911 minus 119868119910) =
1
2∙ arctan [minus
2 ∙ (minus151199054)
3331199054 minus 2081199054] =33 70
Deoarece 1205721 gt 0 rotirea axelor se face acircn sens antiorar acelor de ceasornic figura
49d
Poziția axe principale 2 față de care momentul de inerție are valoarea minimă
1198682 = 119868119898119894119899 este dată de unghiul
1205722 = 1205721 + 900 = 33 70 + 900 = 123 70
f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 se determină cu relația
(45)
1198781199111198602 = 1198602 ∙ 1198882 = 41199052 ∙ (minus15119905) = minus61199053
corespunzătoare punctului 119864 Icircnseamnă că rezistenţa reală la rupere este mai mare decacirct
rezistenţa la rupere dată de punctul 119864 din diagrama caracteristică convenţională
Dificultatea obţinerii diagramei caracteristice reale faţă de cea a diagramei caracteristice
convenţionale şi considerarea unei rezistenţe la rupere mai mică decacirct a celei reale face
icircn practică utilizarea pe scară mare a diagramei caracteristice convenţionale
Caracteristicile mecanice determinate pe baza curbei caracteristice convenţionale
sunt şi ele caracteristici mecanice convenţionale
Caracteristicile mecanice convenţionale limita de proporţionalitate convenţională
120590119901 limita de elasticitate convenţională 120590119890 limita de curgere convenţională 120590119888 şi rezistenţa
de rupere 120590119903 constituie tensiuni limită pentru un material Pe baza acestor caracteristici
de material se alege valoarea tensiunii admisibile 120590119886 (vezi paragraful 35) pentru
calculele de rezistenţă Cea mai utilizată stare limită pentru stabilirea tensiunii admisibile
120590119886 este limita de curgere convenţională 120590119888
120590119886 =120590119897119894119898119888
=120590119888119888 119904119886119906 120590119886 =
120590119903119888 (447)
Caracteristicile mecanice ale materialului sunt influenţate de o serie de factori
temperatura viteza de solicitare factorii tehnologici iar valorile lor sunt date icircn tabele și
diagrame
Aplicaţie Pentru suprafaţa plană compusă din două dreptunghiuri avacircnd
dimensiunile din figura 49a să se calculeze
a) centrul de greutate al secțiunii compuse 119910119866 119911119866
b) momentele de inerție axiale 119868119911 119868119910 și momentul de inerție centrifugal 119868119911119910
c) razele de inerție 119894119911 119894119910
d) modulele de rezistență 119882119911119898119894119899 119882119911119898119886119909 119882119910119898119894119899 119882119910119898119886119909
e) momentele de inerție principale 1198681 1198682 și direcțiile principale de inerție 1205721
f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 119878119911
Fig 49 Aplicație
Rezolvare Pentru rezolvare vom parcurge următoarele etape
icircmpărțim suprafața compusă icircn două suprafețe simple (dreptunghiuri) notate cu
① și respectiv ② figura 49b
poziționăm centrele de greutate a celor două suprafețe simple ① și respectiv ②
notate cu 1198661 și respectiv 1198662 figura 49c
poziționăm sistemele de axe de coordonate 119911111986611199101 pentru dreptunghiul ① și
119911211986621199102 pentru dreptunghiul ② aflate la intersecția diagonalelor figura 49c
poziționăm sistemele de axe de coordonate 11991101198741199100 ales arbitrar față de care
determinăm poziția centrului de greutate 119866 figura 49c
a) calculăm poziția centrului de greutate folosind relațiile (46) icircn care
1198601 = 6119905 ∙ 119905 = 61199052 1198602 = 4119905 ∙ 119905 = 41199052 119860 = 1198601 + 1198602 = 61199052 + 41199052 = 101199052
iar centrele de greutate 1198661 și respectiv 1198662 au coordonatele (față de sistemul 11991101198741199100)
1198661 1199101 = 3119905 1199111 = 05119905
1198662 1199102 = 051199051199112 = 3119905
cu acestea obținem
119910119866 =1198601 ∙ 1199101 + 1198602 ∙ 1199102
119860=61199052 ∙ 3119905 + 41199052 ∙ 05119905
101199052=201199053
101199052= 2119905
119911119866 =1198601 ∙ 1199111 + 1198602 ∙ 1199112
119860=61199052 ∙ 05119905 + 41199052 ∙ 3119905
101199052=151199053
101199052= 15119905
Poziționăm centrul de greutate 119866 al suprafeței compuse figura 49c
Fig 49 Aplicație
b) pentru determinarea momentelor de inerție axiale 119868119911 119868119910 și a momentului de
inerție centrifugal 119868119910119911 determinăm constantele 1198881 1198882 1198891 1198892 care intervin icircn relația lui
Stainer
1198881 = 1199101 minus 119910119866 = 3119905 minus 2119905 = 119905 1198882 = minus(119910119866 minus 1199102) = minus(2119905 minus 05119905) = minus15119905
1198891 = minus(119911119866 minus 1199111) = minus(15119905 minus 05119905) = minus119905 1198892 = 1199112 minus 119911119892 = 3119905 minus 15119905 = 15119905
Folosind relațiile lui Stainer (429) (430) și (431) calculăm momentele de
inerție axiale și centrifugale față de sistemul central 119911119866119866119910119866
119868119911 =sum(119868119911119894 + 1198881198942 ∙ 119860119894) = 1198681199111 + 1198881
2 ∙ 1198601 + 1198681199112 + 11988822 ∙ 1198602
119868119910 =sum(119868119910119894 + 1198891198942 ∙ 119860119894) = 1198681199101 + 1198891
2 ∙ 1198601 + 1198681199102 + 11988922 ∙ 1198602
119868119911119910 =sum(119868119911119894119910119894 + 119888119894 ∙ 119889119894 ∙ 119860119894) = 11986811991111199101 + 1198881 ∙ 1198891 ∙ 1198601 + 11986811991121199102 + 1198882 ∙ 1198892 ∙ 1198602
1198681199111 = (119887 ∙ ℎ3
12) =
119905 ∙ (6119905)3
12= 181199054 1198681199112 = (
119887 ∙ ℎ3
12) =
4119905 ∙ 1199053
12= 031199054
1198681199101 = (1198873 ∙ ℎ
12) =
1199053 ∙ 6119905
12= 051199054 1198681199102 = (
1198873 ∙ ℎ
12) =
(4119905)3 ∙ 119905
12= 531199054
11986811991111199101 = 11986811991121199102 = 0 deoarece cele două triunghiuri au cel puțin o axă de simetrie
Cu acestea momentele de inerție axiale și momentul de inerție centrifugal devin
119868119911 = 181199054 + 1199052 ∙ 61199052 + 031199054 + (minus15119905)2 ∙ 41199052 = 3331199054
119868119910 = 051199054 + (minus119905)2 ∙ 61199052 + 531199054 + (15119905)2 ∙ 41199052 = 2081199054
119868119911119910 = 0 + 119905 ∙ (minus119905) ∙ 61199052 + 0 + (minus15119905) ∙ (15119905) ∙ 41199052 = minus151199054
c) razele de inerție sau de girație față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910
se calculează cu relațiile (411)
119894119911 = radic119868119911119860= radic
3331199054
101199052= 182119905 119894119910 = radic
119868119910
119860= radic
2081199054
101199052= 144119905
d) modulele de rezistență față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910 se
calculează cu relațiile (412) și (413)
Avacircnd icircn vedere figura 419c obținem
119910119898119886119909 = 6119905 minus 119910119866 = 6119905 minus 2119905 = 4119905 119910119898119894119899 = minus119910119866 = minus2119905
119911119898119886119909 = 5119905 minus 119911119866 = 5119905 minus 15119905 = 35119905 119911119898119894119899 = minus119911119866 = minus15119905
Se obține astfel
119882119911119898119894119899 =119868119911
|119910119898119886119909|=3331199054
4119905= 8331199053
119882119911119898119886119909 =119868119911
|119910119898119894119899|=3331199054
2119905= 16651199053
119882119910119898119894119899 =119868119910
|119911119898119886119909|=2081199054
35119905= 5941199053
119882119910119898119886119909 =119868119910
|119911119898119894119899|=2081199054
15119905= 13871199053
e) momentele de inerție principale 1198681 și respectiv 1198682 se calculează cu relațiile
(438)
11986812 =119868119911 + 119868119910
2plusmn1
2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)
2+ 4 ∙ (119868119911119910)
2=
=3331199054 + 2081199054
2plusmn1
2∙ radic(3331199054 minus 2081199054)2 + 4 ∙ (minus151199054)2 = 27051199054 plusmn 16251199054
De unde obținem
1198681 = 27051199054 + 16251199054 = 4331199054
1198682 = 27051199054 minus 16251199054 = 1081199054
Prima direcție principală de inerție 1 face cu axa centrală 119866119911 unghiul 1205721 dat de
relația (437)
1205721 =1
2∙ arctan (minus
2 ∙ 119868119911119910
119868119911 minus 119868119910) =
1
2∙ arctan [minus
2 ∙ (minus151199054)
3331199054 minus 2081199054] =33 70
Deoarece 1205721 gt 0 rotirea axelor se face acircn sens antiorar acelor de ceasornic figura
49d
Poziția axe principale 2 față de care momentul de inerție are valoarea minimă
1198682 = 119868119898119894119899 este dată de unghiul
1205722 = 1205721 + 900 = 33 70 + 900 = 123 70
f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 se determină cu relația
(45)
1198781199111198602 = 1198602 ∙ 1198882 = 41199052 ∙ (minus15119905) = minus61199053
Rezolvare Pentru rezolvare vom parcurge următoarele etape
icircmpărțim suprafața compusă icircn două suprafețe simple (dreptunghiuri) notate cu
① și respectiv ② figura 49b
poziționăm centrele de greutate a celor două suprafețe simple ① și respectiv ②
notate cu 1198661 și respectiv 1198662 figura 49c
poziționăm sistemele de axe de coordonate 119911111986611199101 pentru dreptunghiul ① și
119911211986621199102 pentru dreptunghiul ② aflate la intersecția diagonalelor figura 49c
poziționăm sistemele de axe de coordonate 11991101198741199100 ales arbitrar față de care
determinăm poziția centrului de greutate 119866 figura 49c
a) calculăm poziția centrului de greutate folosind relațiile (46) icircn care
1198601 = 6119905 ∙ 119905 = 61199052 1198602 = 4119905 ∙ 119905 = 41199052 119860 = 1198601 + 1198602 = 61199052 + 41199052 = 101199052
iar centrele de greutate 1198661 și respectiv 1198662 au coordonatele (față de sistemul 11991101198741199100)
1198661 1199101 = 3119905 1199111 = 05119905
1198662 1199102 = 051199051199112 = 3119905
cu acestea obținem
119910119866 =1198601 ∙ 1199101 + 1198602 ∙ 1199102
119860=61199052 ∙ 3119905 + 41199052 ∙ 05119905
101199052=201199053
101199052= 2119905
119911119866 =1198601 ∙ 1199111 + 1198602 ∙ 1199112
119860=61199052 ∙ 05119905 + 41199052 ∙ 3119905
101199052=151199053
101199052= 15119905
Poziționăm centrul de greutate 119866 al suprafeței compuse figura 49c
Fig 49 Aplicație
b) pentru determinarea momentelor de inerție axiale 119868119911 119868119910 și a momentului de
inerție centrifugal 119868119910119911 determinăm constantele 1198881 1198882 1198891 1198892 care intervin icircn relația lui
Stainer
1198881 = 1199101 minus 119910119866 = 3119905 minus 2119905 = 119905 1198882 = minus(119910119866 minus 1199102) = minus(2119905 minus 05119905) = minus15119905
1198891 = minus(119911119866 minus 1199111) = minus(15119905 minus 05119905) = minus119905 1198892 = 1199112 minus 119911119892 = 3119905 minus 15119905 = 15119905
Folosind relațiile lui Stainer (429) (430) și (431) calculăm momentele de
inerție axiale și centrifugale față de sistemul central 119911119866119866119910119866
119868119911 =sum(119868119911119894 + 1198881198942 ∙ 119860119894) = 1198681199111 + 1198881
2 ∙ 1198601 + 1198681199112 + 11988822 ∙ 1198602
119868119910 =sum(119868119910119894 + 1198891198942 ∙ 119860119894) = 1198681199101 + 1198891
2 ∙ 1198601 + 1198681199102 + 11988922 ∙ 1198602
119868119911119910 =sum(119868119911119894119910119894 + 119888119894 ∙ 119889119894 ∙ 119860119894) = 11986811991111199101 + 1198881 ∙ 1198891 ∙ 1198601 + 11986811991121199102 + 1198882 ∙ 1198892 ∙ 1198602
1198681199111 = (119887 ∙ ℎ3
12) =
119905 ∙ (6119905)3
12= 181199054 1198681199112 = (
119887 ∙ ℎ3
12) =
4119905 ∙ 1199053
12= 031199054
1198681199101 = (1198873 ∙ ℎ
12) =
1199053 ∙ 6119905
12= 051199054 1198681199102 = (
1198873 ∙ ℎ
12) =
(4119905)3 ∙ 119905
12= 531199054
11986811991111199101 = 11986811991121199102 = 0 deoarece cele două triunghiuri au cel puțin o axă de simetrie
Cu acestea momentele de inerție axiale și momentul de inerție centrifugal devin
119868119911 = 181199054 + 1199052 ∙ 61199052 + 031199054 + (minus15119905)2 ∙ 41199052 = 3331199054
119868119910 = 051199054 + (minus119905)2 ∙ 61199052 + 531199054 + (15119905)2 ∙ 41199052 = 2081199054
119868119911119910 = 0 + 119905 ∙ (minus119905) ∙ 61199052 + 0 + (minus15119905) ∙ (15119905) ∙ 41199052 = minus151199054
c) razele de inerție sau de girație față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910
se calculează cu relațiile (411)
119894119911 = radic119868119911119860= radic
3331199054
101199052= 182119905 119894119910 = radic
119868119910
119860= radic
2081199054
101199052= 144119905
d) modulele de rezistență față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910 se
calculează cu relațiile (412) și (413)
Avacircnd icircn vedere figura 419c obținem
119910119898119886119909 = 6119905 minus 119910119866 = 6119905 minus 2119905 = 4119905 119910119898119894119899 = minus119910119866 = minus2119905
119911119898119886119909 = 5119905 minus 119911119866 = 5119905 minus 15119905 = 35119905 119911119898119894119899 = minus119911119866 = minus15119905
Se obține astfel
119882119911119898119894119899 =119868119911
|119910119898119886119909|=3331199054
4119905= 8331199053
119882119911119898119886119909 =119868119911
|119910119898119894119899|=3331199054
2119905= 16651199053
119882119910119898119894119899 =119868119910
|119911119898119886119909|=2081199054
35119905= 5941199053
119882119910119898119886119909 =119868119910
|119911119898119894119899|=2081199054
15119905= 13871199053
e) momentele de inerție principale 1198681 și respectiv 1198682 se calculează cu relațiile
(438)
11986812 =119868119911 + 119868119910
2plusmn1
2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)
2+ 4 ∙ (119868119911119910)
2=
=3331199054 + 2081199054
2plusmn1
2∙ radic(3331199054 minus 2081199054)2 + 4 ∙ (minus151199054)2 = 27051199054 plusmn 16251199054
De unde obținem
1198681 = 27051199054 + 16251199054 = 4331199054
1198682 = 27051199054 minus 16251199054 = 1081199054
Prima direcție principală de inerție 1 face cu axa centrală 119866119911 unghiul 1205721 dat de
relația (437)
1205721 =1
2∙ arctan (minus
2 ∙ 119868119911119910
119868119911 minus 119868119910) =
1
2∙ arctan [minus
2 ∙ (minus151199054)
3331199054 minus 2081199054] =33 70
Deoarece 1205721 gt 0 rotirea axelor se face acircn sens antiorar acelor de ceasornic figura
49d
Poziția axe principale 2 față de care momentul de inerție are valoarea minimă
1198682 = 119868119898119894119899 este dată de unghiul
1205722 = 1205721 + 900 = 33 70 + 900 = 123 70
f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 se determină cu relația
(45)
1198781199111198602 = 1198602 ∙ 1198882 = 41199052 ∙ (minus15119905) = minus61199053
b) pentru determinarea momentelor de inerție axiale 119868119911 119868119910 și a momentului de
inerție centrifugal 119868119910119911 determinăm constantele 1198881 1198882 1198891 1198892 care intervin icircn relația lui
Stainer
1198881 = 1199101 minus 119910119866 = 3119905 minus 2119905 = 119905 1198882 = minus(119910119866 minus 1199102) = minus(2119905 minus 05119905) = minus15119905
1198891 = minus(119911119866 minus 1199111) = minus(15119905 minus 05119905) = minus119905 1198892 = 1199112 minus 119911119892 = 3119905 minus 15119905 = 15119905
Folosind relațiile lui Stainer (429) (430) și (431) calculăm momentele de
inerție axiale și centrifugale față de sistemul central 119911119866119866119910119866
119868119911 =sum(119868119911119894 + 1198881198942 ∙ 119860119894) = 1198681199111 + 1198881
2 ∙ 1198601 + 1198681199112 + 11988822 ∙ 1198602
119868119910 =sum(119868119910119894 + 1198891198942 ∙ 119860119894) = 1198681199101 + 1198891
2 ∙ 1198601 + 1198681199102 + 11988922 ∙ 1198602
119868119911119910 =sum(119868119911119894119910119894 + 119888119894 ∙ 119889119894 ∙ 119860119894) = 11986811991111199101 + 1198881 ∙ 1198891 ∙ 1198601 + 11986811991121199102 + 1198882 ∙ 1198892 ∙ 1198602
1198681199111 = (119887 ∙ ℎ3
12) =
119905 ∙ (6119905)3
12= 181199054 1198681199112 = (
119887 ∙ ℎ3
12) =
4119905 ∙ 1199053
12= 031199054
1198681199101 = (1198873 ∙ ℎ
12) =
1199053 ∙ 6119905
12= 051199054 1198681199102 = (
1198873 ∙ ℎ
12) =
(4119905)3 ∙ 119905
12= 531199054
11986811991111199101 = 11986811991121199102 = 0 deoarece cele două triunghiuri au cel puțin o axă de simetrie
Cu acestea momentele de inerție axiale și momentul de inerție centrifugal devin
119868119911 = 181199054 + 1199052 ∙ 61199052 + 031199054 + (minus15119905)2 ∙ 41199052 = 3331199054
119868119910 = 051199054 + (minus119905)2 ∙ 61199052 + 531199054 + (15119905)2 ∙ 41199052 = 2081199054
119868119911119910 = 0 + 119905 ∙ (minus119905) ∙ 61199052 + 0 + (minus15119905) ∙ (15119905) ∙ 41199052 = minus151199054
c) razele de inerție sau de girație față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910
se calculează cu relațiile (411)
119894119911 = radic119868119911119860= radic
3331199054
101199052= 182119905 119894119910 = radic
119868119910
119860= radic
2081199054
101199052= 144119905
d) modulele de rezistență față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910 se
calculează cu relațiile (412) și (413)
Avacircnd icircn vedere figura 419c obținem
119910119898119886119909 = 6119905 minus 119910119866 = 6119905 minus 2119905 = 4119905 119910119898119894119899 = minus119910119866 = minus2119905
119911119898119886119909 = 5119905 minus 119911119866 = 5119905 minus 15119905 = 35119905 119911119898119894119899 = minus119911119866 = minus15119905
Se obține astfel
119882119911119898119894119899 =119868119911
|119910119898119886119909|=3331199054
4119905= 8331199053
119882119911119898119886119909 =119868119911
|119910119898119894119899|=3331199054
2119905= 16651199053
119882119910119898119894119899 =119868119910
|119911119898119886119909|=2081199054
35119905= 5941199053
119882119910119898119886119909 =119868119910
|119911119898119894119899|=2081199054
15119905= 13871199053
e) momentele de inerție principale 1198681 și respectiv 1198682 se calculează cu relațiile
(438)
11986812 =119868119911 + 119868119910
2plusmn1
2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)
2+ 4 ∙ (119868119911119910)
2=
=3331199054 + 2081199054
2plusmn1
2∙ radic(3331199054 minus 2081199054)2 + 4 ∙ (minus151199054)2 = 27051199054 plusmn 16251199054
De unde obținem
1198681 = 27051199054 + 16251199054 = 4331199054
1198682 = 27051199054 minus 16251199054 = 1081199054
Prima direcție principală de inerție 1 face cu axa centrală 119866119911 unghiul 1205721 dat de
relația (437)
1205721 =1
2∙ arctan (minus
2 ∙ 119868119911119910
119868119911 minus 119868119910) =
1
2∙ arctan [minus
2 ∙ (minus151199054)
3331199054 minus 2081199054] =33 70
Deoarece 1205721 gt 0 rotirea axelor se face acircn sens antiorar acelor de ceasornic figura
49d
Poziția axe principale 2 față de care momentul de inerție are valoarea minimă
1198682 = 119868119898119894119899 este dată de unghiul
1205722 = 1205721 + 900 = 33 70 + 900 = 123 70
f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 se determină cu relația
(45)
1198781199111198602 = 1198602 ∙ 1198882 = 41199052 ∙ (minus15119905) = minus61199053
119910119898119886119909 = 6119905 minus 119910119866 = 6119905 minus 2119905 = 4119905 119910119898119894119899 = minus119910119866 = minus2119905
119911119898119886119909 = 5119905 minus 119911119866 = 5119905 minus 15119905 = 35119905 119911119898119894119899 = minus119911119866 = minus15119905
Se obține astfel
119882119911119898119894119899 =119868119911
|119910119898119886119909|=3331199054
4119905= 8331199053
119882119911119898119886119909 =119868119911
|119910119898119894119899|=3331199054
2119905= 16651199053
119882119910119898119894119899 =119868119910
|119911119898119886119909|=2081199054
35119905= 5941199053
119882119910119898119886119909 =119868119910
|119911119898119894119899|=2081199054
15119905= 13871199053
e) momentele de inerție principale 1198681 și respectiv 1198682 se calculează cu relațiile
(438)
11986812 =119868119911 + 119868119910
2plusmn1
2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)
2+ 4 ∙ (119868119911119910)
2=
=3331199054 + 2081199054
2plusmn1
2∙ radic(3331199054 minus 2081199054)2 + 4 ∙ (minus151199054)2 = 27051199054 plusmn 16251199054
De unde obținem
1198681 = 27051199054 + 16251199054 = 4331199054
1198682 = 27051199054 minus 16251199054 = 1081199054
Prima direcție principală de inerție 1 face cu axa centrală 119866119911 unghiul 1205721 dat de
relația (437)
1205721 =1
2∙ arctan (minus
2 ∙ 119868119911119910
119868119911 minus 119868119910) =
1
2∙ arctan [minus
2 ∙ (minus151199054)
3331199054 minus 2081199054] =33 70
Deoarece 1205721 gt 0 rotirea axelor se face acircn sens antiorar acelor de ceasornic figura
49d
Poziția axe principale 2 față de care momentul de inerție are valoarea minimă
1198682 = 119868119898119894119899 este dată de unghiul
1205722 = 1205721 + 900 = 33 70 + 900 = 123 70
f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 se determină cu relația
(45)
1198781199111198602 = 1198602 ∙ 1198882 = 41199052 ∙ (minus15119905) = minus61199053