Liviu Daniel PIcircRVULESCU

FUNDAMENTE DE INGINERIE MECANICĂ

TIMISOARA 2018

1 MECANICA SOLIDULUI RIGID

11 Aspecte fundamentale

Mecanica reprezintă prima ştiinţă a naturii riguros fundamentată de către Isaac

Newton (1642-1727) Mecanica studiază repausul şi mişcarea corpurilor

La baza mecanicii stau patru principii fundamentale

I Principiul inerţiei Un corp punctiform (punct material) icircşi păstrează starea de

repaus sau de mişcare rectilinie uniformă atacircta timp cacirct nu intervine o cauză exterioară

(forță) care să-i schimbe această stare

II Principiul acțiunii forței equiv Legea lui Newton Dacă asupra unui corp

punctiform (punct material) acţioneză o forţă aceasta va imprima corpului o acceleraţie

coliniară icircn acelaşi sens şi proporţională cu forţa aplicată ( = 119898 ∙ ) unde 119898 este

mărimea scalară numită masa punctului material și exprimă modul icircn care reacționează

punctul față de acțiunile corpurilor din exterior

III Principiul acţiunii şi reacţiunii Dacă asupra unui corp punctiform acţionează

un alt corp punctiform cu o forţă atunci şi acesta va acţiona asupra primului cu o forţă

coliniară egală şi de sens contrar cu forţa iniţială O altă formulare a cestui principiu

bdquoforțele de interacțiune dintre două puncte materiale sunt icircntotdeauna egale și opuserdquo

IV Icircn afara acestor 3 principii sunt valabile și următoarele afirmații

Efectul pe care icircl produce o forță asupra unui punct este independent de efectul

celorlalte forțe ce acționează simultan asupra aceluiași punct (acțiunea forței este

independentă și se poate folosi principiul suprapunerii efectelor)

Dacă asupra unui corp punctiform acţionează mai multe forţe avicircnd direcții

diferite efectul acestora este echivalent cu efectul rezultantei forţelor asupra corpului

Mecanica studiază următoarele modele de corpuri

a) Punctul material (corpul punctiform) Modelul presupune că icircntreaga masă a

corpului poate fi concentrată icircntr-un punct geometric fără dimensiuni (adimensional)

b) Modelul solidului rigid Acest model presupune faptul că oricacirct de mari ar fi

forţele exterioare aplicate corpului acesta nu se deformează MECANICA studiază

modelul solidului rigid de aceea mecanica se mai numeşte MECANICA SOLIDULUI

RIGID

c) Modelul solidului deformabil Conform acestui model icircn calcule este necesar să

se ţină cont de deformaţiile produse asupra corpului de către forţele exterioare aplicate

REZISTENŢA MATERIALELOR studiază modelul solidului deformabil de aceea se

mai numeşte MECANICA SOLIDULUI DEFORMABIL

Mecanica solidului rigid are trei capitole

Statica se ocupă cu studiul echilibrului solidului rigid şi analizează condiţiile pe

care acesta trebuie să le icircndeplinească pentru a fi icircn echilibru

Cinematica studiază mişcarea mecanică a corpurilor fără a ține seama de

masele acestora și de forțele care acționează asupra lor Studiul mișcării unui corp

presupune determinarea poziției corpului precum și a vitezei și accelerației oricărui punct

din corp Noțiunile fundamentale din cinematică sunt cele de spațiu și de timp iar unul

din principiile fundamentale este cel al determinismului mecanic (prin precizarea de

regulă a condițiilor inițiale icircn care icircncepe mișcarea)

Dinamica studiază mişcarea corpurilor rigide sub acţiunea forţelor exterioare

aplicate acestora Problema fundamentală a dinamicii este de a determina legile de

mișcare ale unui corp pe baza cunoașterii forțelor care acţionează asupra acestuia

12Elemente mecanice de calcul

Există situaţii icircn practică icircn care aceleaşi forţe produc efecte diferite asupra unui

solid rigid figura 11

Fig 11 Efectul forțelor asupra unui solid rigid

Asupra aceluiaşi corp acţionează două forţe egale de sensuri contrare dispuse

diferit figura 11 Rezultanta celor două forţe este nulă

Icircn cazul din figura 11a corpul rămacircne icircn echilibru (nu se deplasează) iar icircn cazul

din figura 12b corpul nu este icircn echilibru ci se roteşte sub acţiunea celor două forţe icircn

sensul indicat de săgeată

Aşadar pentru a caracteriza efectele produse de cele două forţe asupra corpurilor

sunt necesare şi alte elemente mecanice de calcul icircn afară de rezultanta forţelor

121 Momentul unei forţe icircn raport cu un punct

Considerăm un solid rigid asupra căruia acţionează o forţă aplicată icircn punctul A

şi fie O un punct din spaţiu figura 12

Fig 12 Momentul unei forțe icircn raport cu un punct

Se defineşte momentul forţei icircn raport cu punctul O produsul vectorial

119874 = 119874119860 times = 119903 times (11)

unde 119903 este vectorul de poziţie al punctului A icircn raport cu punctul O

Vectorul moment 119874 are următoarele elemente

a) Modulul 1198720 = 119865 ∙ 119903 ∙ sin 120572 = 119865 ∙ 119889 unde 119889 este distanţa de la punctul O la

dreapta suport ∆ a forţei şi se numeşte braţul forţei

b) Direcţia perpendiculară pe planul determinat de punctul O şi forţa

c) Sensul dat de regula burghiului drept

d)Punctul de aplicaţie O

Observaţie Momentul unei forţe icircn raport cu un punct este nul dacă suportul

forţei trece prin punctul respectiv (119889 = 0)

122 Momentul unei forţe icircn raport cu o axă

Considerăm un solid rigid asupra căruia acţionează o forţă aplicată icircn punctul A

şi fie D o axă din spaţiu figura 13

Fig 13 Momentul unei forțe icircn raport cu o axă

Se defineşte momentul forţei icircn raport cu axa 119863 ca fiind proiecţia pe axa 119863 a

momentului forţei icircn raport cu un punct arbitrar de pe axa respectivă (O)

119872119863 = 119872119874 ∙ cos 120575 (12)

Momentul forţei icircn raport cu punctul O (119874)se calculează relația (11)

Observaţii

- Momentul unei forţe icircn raport cu o axă este nul dacă forţa şi axa sunt icircn acelaşi

plan (dacă sunt paralele sau dacă suportul forţei intersectează axa)

- Momentul unei forţe icircn raport cu o axă (119863) nu depinde de punctul O ales

arbitrar pe axă

123 Momentul unui cuplu de forţe

Un cuplu de forţe este o pereche de forţe egale de sensuri contrare situate pe

suporturi paralele (1 = minus2 1198651 = 1198652 = 119865) Evident rezultanta unui cuplu de forţe este

nulă figura 14

Fig 14 Momentul unui cuplu de forțe

Se defineşte momentul cuplului de forţe ca fiind suma momentelor celor două forţe

icircn raport cu un punct arbitrar din spaţiu O

119888119906119901 = 1199031 times 1 + 1199032 times 2 = 1199031 times 1 + 1199032 times (minus1) = 119903 times 1 (13)

119888119906119901 = 11986021198601 times 1 = 11986011198602 times 2

Din ultima egalitate se observă că momentul cuplului este egal cu momentul unei

forţe din cuplu icircn raport cu punctul de aplicaţie al celeilalte forţe din cuplu iar momentul

cuplului nu depinde de punctul O deci este un vector liber

Vectorul moment 119888119906119901 are următoarele elemente

a) Modulul cuplului 119888119906119901 = 119865 ∙ 119903 ∙ sin 120572 = 119865 ∙ 119889 unde 119889 este distanţa dintre

suporturile celor două forţe şi se numeşte braţul cuplului

b) Direcţia cuplului este perpendiculară pe planul celor două forţe

c) Sensul cuplului este dat de regula burghiului drept

13Reducerea sistemelor de forţe Echilibrul solidului rigid

Dacă asupra unui solid rigid acţionează un sistem complex de forţe pentru

simplificarea calculelor se urmăreşte icircnlocuirea acestuia cu cel mai simplu sistem posibil

care să producă acelaşi efect mecanic asupra corpului studiat ca şi sistemul iniţial de forţe

Această operaţie se numeşte reducerea sistemului de forţe

131 Reducerea unei forţe icircntr-un punct Torsorul de reducere

A reduce o forţă icircntr-un punct icircnseamnă a icircnlocui acea forţă cu cele mai simple

elemente mecanice legate de punctul respectiv care să producă asupra corpului studiat

acelaşi efect ca şi forţa iniţială

Fie o forţă aplicată icircn punctul A al unui solid rigid şi O un punct din spaţiu

figura 15 vom determina elementele mecanice corespunzătoare reducerii forţei icircn

punctul O

Fig 15 Reducerea unei forțe icircntr-un punct

Icircn punctul O se introduce un sistem de două forţe coliniare egale cu de sensuri

contrare pe un suport paralel cu forţa iniţială Efectul acestora asupra corpului este nul

Apare astfel un cuplu de forţe forţa din A şi (minus) din O caracterizat prin momentul

cuplului 119888119906119901 = 0 = 119874119860 times = 119903 times

Aşadar efectul forţei din A a fost icircnlocuit icircn punctul O cu două elemente

mecanice o forţă identică cu aplicată icircn O şi momentul forţei iniţiale icircn raport cu

punctul O Ansamblul celor două elemente mecanice formează aşa numitul torsor de

reducere al forţei icircn punctul O

132 Reducerea unui sistem de forţe icircntr-un punct

Considerăm că asupra unui solid rigid acţionează un sistem de 119899 forţe 119894 aplicate

icircn punctele 119860119894 cu 119894 = 1 119899 şi fie 119874119909119910119911 un sistem de axe de coordonate avacircnd versorii

axelor 119894 119895 figura 16

Fig 16 Reducerea unui sistem forțe icircntr-un punct

Pentru a reduce sistemul de forţe icircn punctul O se procedează astfel

Se reduce pe racircnd fiecare forţă 119894 icircn punctul O la un torsor de reducere compus

dintr-o forţă 119894 şi un moment 119874119894 = 119903119894 times 119894 Făcacircnd această operaţie cu toate forţele icircn

punctul O se obţine

o forţă rezultantă

= sum119894

119899

119894=1

un moment rezultant

0 =sum119874119894

119899

119894=1

=sum119903119894 times 119894

119899

119894=1

Cele două elemente mecanice definesc torsorul de reducere al sistemului de forţe

icircn punctul O

Torsorul de reducere se poate calcula analitic dacă forţele sunt exprimate analitic

119894 = 119883119894 ∙ 119894 + 119884119894 ∙ 119895 + 119885119894 ∙ unde 119883119894 119884119894 119885119894 sunt proiecţiile forţei 119894 pe axele 119874119909 119874119910

respectiv 119874119911 Rezultanta forţelor icircn punctul O este

= (sum119883119894

119899

119894=1

) ∙ 119894 + (sum119884119894

119899

119894=1

) ∙ 119895 + (sum119885119894

119899

119894=1

) ∙ = 119883 ∙ 119894 + 119884 ∙ 119895 + 119885 ∙

(14)

unde sunt componentele rezultantei pe axele 119874119909 119874119910 și 119874119911 = + +

Icircn mod analog momentul rezultant icircn punctul O este

0 = (sum119872119909119894

119899

119894=1

) ∙ 119894 + (sum119872119910119894

119899

119894=1

) ∙ 119895 + (sum119872119911119894

119899

119894=1

) ∙ =

= 119872119909 ∙ 119894 + 119872119910 ∙ 119895 + 119872119911 ∙

(15)

unde 119909 119910 119911 sunt componentele vectorului moment 0 pe axele 119874119909 119874119910 respectiv 119874119911

0 = 119909 + 119910 + 119911

133 Echilibrul solidului rigid

Torsorul de reducere al sistemului de forţe determină mişcarea solidului rigid icircn

spaţiu sub acţiunea forţelor exterioare aplicate

Torsorul de reducere conţine o forţă rezultantă cu trei componente

perpendiculare icircntre ele şi un moment rezultant avacircnd trei componente ortogonale

perpendiculare 119909 119910 119911 orientate după axele sistemului 119874119909119910119911 Cele trei componente

ale rezultantei produc translaţii (deplasări liniare ) ale corpului pe direcţiile 119874119909 119874119910

respectiv 119874119911 Componentele momentului rezultant 0 produc rotiri (deplasări

unghiulare) ale corpului icircn jurul axelor de coordonate 119874119909 119874119910 respectiv 119874119911 Se spune ca

solidul liber are 6 grade de libertate (6 posibilităţi de deplasare) Pentru ca solidul să fie

icircn echilibru trebuie suprimate toate gradele de libertate Aşadar corpul este icircn echilibru

dacă elementele torsorului de reducere al forţelor exterioare este nul

Condiţiile de echilibru ale solidului rigid sunt

= 0 rArr 119883 = 119884 = 119885 = 0

0 = 0 rArr 119872119909 = 119872119910 = 119872119911 = 0

(16)

Observaţie Un solid rigid liber solicitat de forţe aplicate icircntr-un plan (119909119900119910) are

trei grade de libertate Condiţiile de echilibru sunt

= 0 rArr 119883 = 119884 = 0

0 = 0 rArr 119872119911 = 0

(17)

14 Aplicaţii

141 Să se stabilească mărimea şi ordinul rezultantei sistemului de forţe din figura

17 dacă se cunosc 1 = 100 [119873] 2 = 200 [119873] și 3 = 300 [119873]

Rezolvare

Pentru rezolvarea acestui sistem de forte de prezinta doua metode

a) Rezolvare analitică

Descopunem cele două forțe icircnclinate 2 și 3 după cele două axe de coordonate

Ox și Oy

2 = (minus1198652119909) ∙ 119894 + (1198652119910) ∙ 119895 = (minus1198652 ∙ cos 600) ∙ 119894 + (1198652 ∙ sin 60

0) ∙ 119895 =

= (minus200 ∙1

2) ∙ 119894 + (200 ∙

radic3

2) ∙ 119895 = minus100 ∙ 119894 + 100 ∙ radic3 ∙ 119895

3 = (minus1198653119909) ∙ 119894 + (minus1198653119910) ∙ 119895 = (minus1198653 ∙ cos 450) ∙ 119894 + (minus1198653 ∙ sin 45

0) ∙ 119895 =

= (minus300 ∙radic2

2) ∙ 119894 + (minus300 ∙

radic2

2) ∙ 119895 = minus150 ∙ radic2 ∙ 119894 minus 150 ∙ radic2 ∙ 119895

Pentru stabilirea mărimii şi ordinului rezultantei sistemului de forţe din figură se

procedează astfel

Forţele sunt exprimate analitic 119894 = 119883119894 ∙ 119894 + 119884119894 ∙ 119895 unde 119883119894 119884119894 sunt proiecţiile

forţei 119894 pe axele 119874119909 respectiv 119874119910

1 = 100 ∙ 119894 + 0 ∙ 119895

2 = minus100 ∙ 119894 + 1732 ∙ 119895

3 = minus2121 ∙ 119894 minus 2121 ∙ 119895

Fig 17 Aplicația 141

Se determină rezultanta forţelor cu următoarea relaţie

= sum119865119894 prime (sum119883119894

119899

119894=1

) ∙ 119894 + (sum119884119894

119899

119894=1

) ∙ 119895 = 119883 ∙ 119894 + 119884 ∙ 119895

unde 119883 119884 sunt componentele rezultantei pe axele 119874119909 respectiv 119874119910 = +

= (100 minus 100 minus 2121) ∙ 119894 + (0 + 1732 minus 2121) ∙ 119895 = (minus2121) ∙ 119894 + (minus389) ∙ 119895

rArr 119883 = minus2121 [119873]

119884 = minus389 [119873]

Cu acestea obținem rezultanta

119877 = radic1198832 + 1198842 = radic(minus2121)2 + (minus389)2 = 21564 [119873]

Se reprezintă grafic rezultanta icircn sistemul de coordonate 119909119874119910 după care se

calculează unghiul 120572 pe care aceasta rezultantă icircl face cu axa 119874119909 figura 18

tan 120572 =119884

119883=minus389

minus2121= 0183 rArr 120572 = arctan(0183) = 10 40

Fig 18 Reazultanta forțelor aplicate

b) Rezolvare tabelară

Forţa 119894 Componenta 119883119894 Componenta 119884119894

1 1198651 = 100 1198651 = 0

2 minus1198652 ∙ cos 600 = minus100 1198652 ∙ sin 60

0 = 1732

3 minus1198653 ∙ cos 450 = minus2121 minus1198653 ∙ sin 45

0 = minus2121

= sum119894 119883 =sum119883119894 = minus2121 119884 =sum119884119894 = minus389

După determinarea tabelară a celor două componente ale rezultandei calculele se

continua ca şi icircn cazul rezolvării analitice

142 Să se calculeze momentul forţei verticale = 100 [119873] icircn raport cu punctele

B D O şi icircn raport cu axele Ox Oy şi Oz figura 19 și să se determine componentele

torsorului de reducere ale forţei icircn punctul O dacă se cunosc 119886 = 3 [119898] şi 119887 = 4 [119898]

Fig 19 Aplicația 142

Fig 110 Icircnclinarea momentului 119872119874

119861 = 119861119860 times

119872119861 = 119886 ∙ 119865 = 3 ∙ 100 = 300 [119873 ∙ 119898]

119863 = 119863119860 times

119872119863 = 119887 ∙ 119865 = 4 ∙ 100 = 400 [119873 ∙ 119898]

119874 = 119874119860 times

119872119874 = 119888 ∙ 119865 = radic1198862 + 1198872 ∙ 119865 = radic32 + 42 ∙ 100 = 5 ∙ 100 = 500 [119873 ∙ 119898]

119874 se află icircn planul 119909119874119910 cu icircnclinarea 120572 (figura 110)

tan120572 =119886

119887=3

4= 075 rArr 120572 = arctan(075) = 36860

Deci

120572 = 900 minus 120573 = 900 minus 36860 = 53140

Concluzie Componentele torsorului de reducere al forței icircn punctul O sunt o forta

icircn O identică cu forța din punctul A și momentul forței icircn raport cu punctul O 119874

2 INTRODUCERE IcircN REZISTENŢA MATERIALELOR

21 Obiectul şi problemele Rezistenţei materialelor

Rezistenţa materialelor este o disciplină de cultură tehnică generală care continuă

logic şi dezvoltă Mecanica prin introducerea icircn calcule a proprietăţilor de deformabilitate

ale corpurilor solide reale Icircn Mecanică corpul solid este considerat rigid nedeformabil

iar vectorii forţă de icircncărcare sunt consideraţi alunecători Rezistenţa materialelor ia icircn

studiu corpurile reale care sub acţiunea forţelor exterioare (vectori legaţi) icircşi schimbă

forma geometrică respectiv dimensiunile iniţiale şi se distrug prin rupere la valori mari

ale acestora Prin calculele de rezistenţă se determină dimensiunile secţiunilor

transversale ale corpurilor (elemente de rezistenţă) icircn funcţie de mărimea poziţia şi modul

de acţionare a forţelor exterioare proprietăţile mecanice ale materialelor dimensiunile

constructive forma şi importanţa ansamblului icircn care se icircnglobează iar icircn anumite cazuri

şi de durata de funcţionare Elementele de rezistenţă trebuie să icircndeplinească următoarele

condiţii de bază

- condiţia de rezistenţă care are icircn vedere ca eforturile din elementul de rezistenţă

să nu producă distrugerea acestuia prin rupere sau spargere icircn bucăţi

- condiţia de rigiditate se referă la valorile deformaţiilor care nu trebuie să

depăşească anumite mărimile admisibile

- condiţia de stabilitate care consideră posibilitatea menţinerii formei de echilibru

stabil pentru o anumită stare de icircncărcare

Criteriile de rezolvare ale problemelor de Rezistenţa materialelor sunt

- criteriul economic prin care se impune ca orice element de rezistenţă (piesă) să

fie proiectat şi realizat cu soluţia cea mai economică icircn privinţa materialului utilizat şi al

manoperei

- criteriul de bună funcţionalitate a ansamblului din care face parte elementul de

rezistenţă proiectat respectacircnd condiţiile de rezistenţă rigiditate şi stabilitate

Icircn cadrul Rezistenţei materialelor se admit ipoteze simplificatoare care permit

obţinerea unor relaţii de calcul relativ simple şi care exprimă destul de fidel fenomenul

de solicitare real Experimentările practice icircn laborator permit verificarea legilor

rezistenţei materialelor şi determinarea caracteristicilor mecanice ale materialelor

Rezistenţa materialelor permite rezolvarea următoarelor categorii de probleme

- probleme de dimensionare prin care se stabilesc dimensiunile optime ale

elementelor de rezistenţă proiectate icircn funcţie de icircncărcările exterioare (forţe sau

momente) şi de caracteristicile mecanice ale materialului utilizat

- probleme de verificare la care se determină dacă un element de rezistenţă de

dimensiuni cunoscute satisface condiţiile de rezistenţă rigiditate şi stabilitate cunoscacircnd

icircncărcarea exterioară şi caracteristicile mecanice ale materialului utilizat

- probleme de calcul al capacităţii de icircncărcare al unui element de rezistenţă

cunoscacircndu-se caracteristicile mecanice ale materialului dimensiunile şi modul de

solicitare se determină icircncărcarea maximă pe care o poate suporta elementul de rezistență

fără a ceda sau a se deforma periculos

22 Clasificarea corpurilor icircn Rezistenţa materialelor

Corpurile (elementele de rezistenţă) au icircn general forme constructive relativ

complicate Icircn Rezistenţa materialelor pentru simplificarea calculelor corpurile se

schematizează prin forme geometrice mai simple obţinacircndu-se următoarele grupe

a) corpuri solide cu o dimensiune mult mai mare decacirct celelalte două (corpuri cu

fibră medie) Elementele geometrice caracteristice sunt axa longitudinală şi secţiunea

transversală Aceste corpuri solide pot fi

- fire dacă dimensiunile secţiunii transversale sunt foarte mici astfel icircncacirct axa

longitudinală este flexibilă (icircşi schimbă forma uşor) iar sarcinile transversale nu pot fi

preluate de acesta Un fir nu poate fi solicitat decacirct la icircntindere (exemplu cabluri de

macara lanţuri etc)

- bare care rezistă atacirct la solicitări axiale cacirct şi la solicitări transversale

După modul de solicitare barele poartă diferite denumiri convenţionale

tiranţi-solicitaţi la icircntindere figura 21a

stacirclpi-solicitaţi la compresiune figura 21b

grinzi-solicitate la icircncovoiere figura 21c

arbori-solicitaţi la torsiune (răsucire) figura 21d

Fig 21 Denumirea barelor după modul de solicitare

După modul cum variază secţiunea icircn lungul axei barele pot fi

de secţiune constantă figura 22a

de secţiune variabilă continuă figura 22b sau icircn trepte figura 22c

Fig 22 Denumirea barelor după secțiune

După forma axei longitudinale barele pot fi

drepte figura 21

curbe icircn plan figura 23a sau icircn spaţiu figura 23b (numite și curbe stracircmbe)

cotite (axa barei este o linie fracircntă) plane figura 23c sau spațiale figura 23d

Fig 23 Tipuri de bare curbe și cotite

Secţiunea transversală (plană şi normală pe axa barei) poate avea orice formă

geometrică constantă sau variabilă icircn lungul barei

Dacă una din dimensiunile secţiunii transversale (grosimea) este mai mică

comparativ cu celelalte bara se numește bară cu pereţi subţiri (exemplu barele

realizate din platbande sudate cu secţiuni sub formă de profil I profil U cornier etc)

b) corpuri care au două dimensiuni mult mai mari icircn raport cu a treia (grosimea)

se numesc plăci Elementele geometrice caracteristice ale unei plăci sunt forma şi

dimensiunile suprafeţei mediane respectiv grosimea Plăcile se reprezintă schematic

printr-o suprafață care imită forma și dimensiunile suprafeței mediane Suprafaţa mediană

reprezintă locul geometric al tuturor punctelor egal depărtate de cele două feţe ale plăcii

puncte aflate pe perpendicularele duse icircntre cele două feţe figura 24

După destinaţie și forma suprafeței mediane se deosebesc

plăci plane figura 24b

plăci curbe (icircnvelişuri) cu o singură curbură figura 24a sau avacircnd curbură

dublă figura 24c

Fig 24 Tipuri de plăci plane

Plăcile cu grosime mare sunt denumite frecvent dale O placă de grosime mică

ce nu poate prelua decacirct solicitări la icircntindere poartă numele de membrană

Exemple de plăci icircnvelişurile vasele de revoluţie discurile etc

c) corpuri masive care au toate cele trei dimensiuni aproximativ de acelaşi ordin

de mărime (blocuri de fundaţii bile şi role de rulmenţi tuburi cu pereţi groşi etc)

Calculele de rezistenţă sunt mai simple icircn cazul barelor drepte şi mai complicate

la barele curbe plăci respectiv blocuri

23 Clasificarea icircncărcărilor exterioare

Un corp icircşi păstrează forma şi dimensiunile datorită forţelor de atracţie dintre

particulele sale elementare atacircta timp cicirct asupra sa nu acţionează alte forţe aplicate din

exterior care să-l deformeze Icircn construcţia de maşini elementele de rezistenţă preiau şi

transmit acţiunea unor sarcini exterioare (forţe şisau cupluri) pe care le vom denumi

generic forțe sau icircncărcări exterioare Efectul pe care-l au sarcinile este acela de a

modifica forma şi dimensiunile corpului asupra căruia se aplică Icircn punctele de rezemare

(de sprijin sau de legătură cu alte elemente de rezistenţă icircnvecinate) ca urmare a

principiului acţiunii şi reacţiunii apar forţe de legătură sau reacţiuni Ansamblul format

din sarcini şi reacţiuni este cunoscut sub numele de forţe exterioare Sub acţiunea

forţelor exterioare elementele de rezistenţă trebuie să fie icircn echilibru

Forţele exterioare pot fi clasificate după următoarele criterii

a) după mărimea suprafeţei pe care se aplică

- forțe concentrate aplicate teoretic icircntr-un punct figura 25a

- forțe distribuite uniform sau cu intensitate variabilă icircn lungul barei sau pe o

suprafaţă figura 25bc şi d

- momente concentrate care acţionează icircntr-un punct M sau momente uniform

distribut pe o anumită lungime m

Fig 25 Tipuri de sarcini după mărimea suprafeţei de aplicare

b) după locul de aplicare se deosebesc

- forţe de suprafaţă sau de contur care sunt aplicate din exterior pe suprafaţa

corpurilor şi indică legătura cu piesele icircnvecinate

- forţe masice sau de volum distribuite icircn tot corpul (greutăţi forţe de inerţie

respectiv forţe electromagnetice)

c) după modul de acţiune icircn timp se disting

- forţe statice care se aplică lent şi progresiv pacircnă la valoarea nominală de lucru

şi apoi rămacircn constante figura 26a

- forţe dinamice care rezultă din

aplicarea cu icircntreaga intensitate de la icircnceputul perioadei de solicitare iar apoi forţa se

menţine constantă timp icircndelungat figura 26b (forţe de inerţie)

aplicarea bruscă a sarcinii asupra corpului durata de acţiune a sarcinii fiind mică figura

26c (forţe de şoc)

variaţia periodică icircn timp a intensităţii forţei aplicate figura 26d (forţe de oboseală)

Fig26 Tipuri de forţe exterioare (cicluri de solicitare)

Funcţie de modul de variaţie al forţelor exterioare solicitările pot fi statice

oscilante pulsante alternante etc Experimental s-a constatat că rezistenţa unui material

depinde foarte mult de modul de variaţie a forţelor icircn timp Bach a clasificat solicitările

icircn 3 categorii 1-solicitări statice 2-solicitări pulsante 3-solicitări alternant simetrice

Rezistenţa unui material este icircn raportul 321 pentru cele 3 cazuri de solicitare ale lui

Bach Aceasta icircnseamnă că o piesă solicitată static rezistă la o forţă de 3 ori mai mare

decacirct forţa maximă care produce ruperea aceleaşi piese solicitate alternant simetric

d) după poziţia icircn timp a forțelor se disting

- forţe fixe ale căror puncte de aplicaţie sunt mereu aceleaşi

- forţe mobile ale căror puncte de aplicaţie se deplasează icircn timp De exemplu

sarcinile produse de vehiculele care circulă pe un pod sarcinile unei grinzi de pod rulant

icircntr-o halăetc

24 Reazeme Forțe interioare Eforturi Diagrame de eforturi icircn barele

drepte

241 Reazeme Reacțiuni (forțe de legătură)

Pentru a prelua şi transmite acţiunea sarcinilor exterioare elementele de rezistenţă

din componenţa unei structuri sunt fixate icircntre ele prin intermediul unor legături

exterioare numite reazeme Aceste legături au ca scop icircmpiedicarea anumitor mişcări ale

corpului pe direcţiile pe care acestea nu trebuie să se producă O legătură are deci rolul

de a anula unul sau mai multe grade de libertate ale corpului icircn punctul de rezemare Dacă

este anulat un singur grad de libertate legătura este simplă iar dacă sunt impiedicate mai

multe grade de libertate legătura este una compusă Datorită existenţei sarcinilor

exterioare icircn punctele de rezemare pe direcţiile pe care mişcările sunt icircmpiedicate apar

forţe de legătură numite reacţiuni Numărul natura şi direcţiile reacţiunilor depind de

tipul reazemelor Icircn construcţiile reale există o varietate mare de realizare practică a

reazemelor dar icircn calcule se acceptă anumite schematizări care reţin doar aspectul esenţial

al unui reazem şi anume gradul sau gradele de libertate anulate

Pentru o structură de rezistenţă spaţială icircntr-un punct oarecare sunt posibile şase

deplasări trei deplasări liniare (după direcţiile axelor unui sistem ortogonal) şi trei rotiri

(deplasări unghiulare) icircn jurul aceloraşi axe Ca urmare ar fi posibil de realizat maximum

şase tipuri de reazem

Pentru un element de rezistenţă plan icircncărcat cu eforturi cuprinse icircn planul

elementului icircn orice punct sunt posibile trei gade de libertate două deplasări liniare şi o

rotiri Ca urmare pentru cazul unei bare plane se icircntacirclnesc următoarele tipuri de reazeme

1 Reazemul simplu sau reazemul mobil care icircmpiedică deplasarea pe o direcţie

normală pe suprafaţa de rezemare permiţacircnd deplasarea pe o direcţie paralelă cu

suprafaţa de rezemare şi rotirea barei icircn jurul unei axe perpendiculare pe plan icircn punctul

de rezemare Icircn urma icircmpiedicării deplasării şi datorită unor sarcini exterioare icircn

reazemul simplu apare o reacţiune de tip forţă a cărei suport trece prin punctul de

rezemare şi a cărei direcţie este perpendiculară pe suprafaţa de rezemare figura 27

Fig 27 Reazem simplu (mobil)

Icircn figura 27 este reprezentat un reazem mobil poziţionat pe capătul A al unei bare

plane orizontale fiind evidenţiate punctul şi suprafaţa de rezemare direcţia suportului

reacţiunii şi modul de schematizare al reazemului Cea mai des icircntacirclnită reprezentare a

reazemului mobil este a unui triunghi a cărui bază poate luneca pe suprafaţa de rezemare

2 Reazemul fix sau articulaţia icircmpiedică deplasările liniare după toate direcţiile

din planul barei permiţacircnd doar rotirea barei icircn jurul unei axe perpendiculare pe plan şi

care trece prin puncul de rezemare Reacţiunea este cuprinsă icircn planul barei care trece

prin punctul de rezemare dar a cărei mărime şi direcţie nu sunt cunoscute (forţa R)

figura 28

Fig 28 Reazem fix

Se preferă ca icircn locul unei forţe R avacircnd direcţia oarecare icircn plan necunoscută să

se introducă două forţe (HA şi VA) cărora li se cunoaşte direcţia şi pentru care se vor

determina modulele ca valori din condiţiile de echilibru static Icircntr-un reazem fix apar

icircntotdeauna reacţiuni atacirct pe direcţia perpendiculară pe suprafaţa de rezemare

(verticală) cacirct şi pe direcţia paralelă cu prima (orizontală) chiar dacă uneori una sau

chiar ambele reacţiuni au valoarea zero Reprezentarea schematică a articulaţiei este cea

a unui triunghi cu baza fixă şi cu vacircrful icircn punctul de rezemare sau cea a unui pendul

dublu figura 28

3 Icircncastrarea (sau icircnţepenirea) anulează toate gradele de libertate ale capătului

unei bare icircmpiedicacircnd deplasarea liniară după orice direcţie din plan precum şi rotirea

barei icircn jurul unei axe perpendiculare pe plan şi care trece prin punctul de icircncastrare

Urmare a existenţei sarcinilor exterioare şi a blocării deplasărilor icircn icircncastrare apare o

reacţiune căreia nu i se cunoaşte nici mărimea nici direcţia şi nici punctul de aplicaţie

figura 29

Fig 29 Icircncastrarea

Sub acţiunea forţelor exterioare un sistem este icircn echilibru Valoarea reacţinilor

se determină din condiţia de echilibru a sistemului solicitat

Este cunoscut faptul că un sistem plan este icircn echilibru dacă

nu se deplasează pe o direcţie (fie x această direcţie)

nu se deplasează pe o direcţie perpendiculară pe prima (fie y această direcţie)

nu se roteşte faţă de un punct al planului (fie K acest punct)

Cele trei condiţii enunţate mai sus sunt satisfăcute dacă suma proiecţiilor tuturor

forţelor pe direcţia x respectiv y este nulă şi suma tuturor momentelor (cuplurilor) faţă

de un punct al planului este nulă

242 Forțe interioare Metoda secțiunilor

Icircn vederea calculului de rezistenţă de rigiditate şi de stabilitate a barelor sau a

sistemelor de bare este necesară determinarea forţelor şi momentelor interioare

(eforturilor) care apar icircn secţiunile transversale ale acestora şi datorate icircncărcărilor

exterioare Forțele interioare indică legătura dintre particulele din interiorul corpului şi

se pun icircn evidenţă prin metoda secţiunilor care este un procedeu de raţionament

imaginar propus de Cauchy echivalent cu teoria echilibrului părţilor Conform acestui

raționament bdquodacă un corp solid deformabil este icircn echilibru sub acţiunea unui sistem

generalizat de forţe atunci după secționare fiecare parte a sa va fi icircn echilibru sub

acţiunea forţelor exterioare care-i revin şi a unui sistem de forţe pe care trebuie să-l

introducem icircn secţiunea ce delimitează fiecare parte echivalent cu acţiunea forţelor

aplicate pe partea icircndepărtatărdquo

Problemele care apar la aplicarea metodei secţiunilor sunt

- să pună icircn evidenţă existenţa forţelor interioare mai ales că din ceea ce se ştie o

forţă apare icircn prezenţa a două corpuri ca urmare a principiului acţiunii şi reacţiunii

- să explice modul de distribuţie al forţelor interioare pe secţiune

Considerăm un corp aflat icircn echilibru sub acţiunea unui sistem de forţe exterioare

1 2 3⋯119894 ⋯ 119899minus1 119899 şi presupunem că-l secţionăm cu un plan transversal Q (sau cu

o suprafaţă oarecare) figura 210a Icircn urma secţionării fictive (imaginare) conform

principiului echilibrului părţilor fiecare din cele două părţi obţinute trebuie să fie icircn

echilibru sub acţiunea forţelor exterioare care le revin şi a cacircte unui sistem de forţe

interioare pe care trebuie să-l introducem icircn secţiunile rezultate sistem echivalent cu

acţiunea forţelor exterioare ce acţionează asupra celeilalte părţi Astfel pe partea din

dreapta (notată cu II) delimitată de secţiunea de arie Ad sunt aplicate forţele exterioare

119894 ⋯ 119899minus1 119899 şi un sistem de forţe interioare căruia nu i se cunoaşte decacirct efectul acelaşi

cu cel al forţelor 1 2 3 de pe parea din stacircnga (notată cu I şi delimitată de secţiunea

de arie As) figura 210b Prin metoda secţiunilor am reuşit să punem icircn evidenţă existenţa

forţelor interioare şi să le trecem icircn categoria celor exterioare cărora le putem aplica

relaţiile de echivalenţă şi de echilibru cunoscute din statică Ideal ar fi să cunoaştem

distribuţia şi intensitatea punctuală a acestor forţe pentru că s-ar putea ca icircn anumite

puncte ale secţiunii valoarea forţelor să depăşească limita de rezistenţă (limita de curgere)

a materialului Cunoaşterea distribuţiei punctuale a forţelor interioare nu se poate realiza

decacirct icircn cazuri particulare relativ simple de solicitare

Să considerăm partea din dreapta a corpului asupra căreia acționează forțele

119894 ⋯ 119899minus1 119899 mărginit de aria Ad pe care acționează un sistem de forțe interioare

echivalent cu 1 2 3 Deși forțele interioare de pe Ad nu se cunosc totuși efectul lor

este același cu cel al forțelor 1 2 3 deci le putem reduce icircn centrul de greutate C al

secțiunii Ad rezultacircnd componentele torsorului de reducere al forțelor interioare

(119894119889 119894119889) și pentru partea din stacircnga (119894119904 119894119904) Evident conform principiului acțiunii și

reacțiunii

119894119889 = minus119894119904

119894119889 = minus119894119904 (21)

Pe de altă parte cum fiecare dintre părțile corpului după secționare trebuie să fie

icircn echilibru sub acțiunea forțelor exterioare care le revin și a forțelor interioare introduse

rezultă

119894119889 = minus119890119889

119894119889 = minus119890119889

119894119904 = minus119890119889

119894119904 = minus119890119904 (22)

Combinacircnd (21) cu (22) rezultă

119894119889 = 119890119889

119894119889 = 119890119889

119894119904 = 119890119904

119894119904 = 119890119904 (23)

Fig 210 Forțe interioare

Relațiile (22) și (23) permit determinarea componentelor torsorului de reducere

al forțelor interioare din (23) rezultă componentele torsorului forțelor interioare care

acționează icircn secțiunea Ad sunt egale cu componentele torsorului de reducere al forțelor

exterioare de pe partea din stacircnga din (22) rezultă componentele torsorului forțelor

interioare care acționează icircn secțiunea Ad sunt egale și de sens contrar cu componentele

torsorului de reducere al forțelor exterioare de pe partea din dreapta

Observații

1 Torsorul forțelor interioare diferă de la o secțiune la alta dar pentru aceeași

secțiune el este unic și trebuie să respecte condițiile de compatibilitate a deformațiilor

2 Reducacircnd forțele interioare icircn centrul de greutate al secțiunii s-a făcut o

aproximare icircn ceea ce privește efectul modului de dispunere al forțelor

3 Punctul de reducere trebuie să fie

pentru forțele interioare normale la secțiune centrul de greutate

pentru forțele interioare tangente la planul secțiunii centrul de răsucire sau de

tăiere

243 Eforturi

Prin metoda secțiunilor am pus icircn evidență existența forțelor interioare și modul

icircn care se determină componentele torsorului de reducere al forțelor interioare (119894119889 119894119889) de pe fața din dreapta secțiunii (Ad) Cele două componente ale torsorului de reducere al

forțelor interioare de pe Ad se pot descompune după axele unui sistem de referință

triortogonal xCyz astfel

119894119889 = +

119894119889 = 119909 +119872119894 (24)

unde și 119909 sunt proiecțiile lui 119894119889 și respectiv 119894119889 pe axa longitudinală Cx a

barei iar și 119894 sunt proiecțiile acelorași componente 119894119889 și respectiv 119894119889 pe planul yCz

al secțiunii transversale Ad figura 211

Fig 211 Torsorul de reducere al forţelor interioare

La racircndul lor și 119894 se pot descompune după axele sistemului yCz figura 212

= 119910 + 119911

119894 = 119894119910 + 119894119911 (25)

Fig 212 Descompunerea forţei tăietoare şi a momentului icircncovoietor

Cele șase componente ale torsorului de reducere al forțelor interioare ( 119910 119911

119909 119894119910 119894119911) orientate după axele sistemului de referință xCyz se numesc eforturi

Fiecare efort are o denumire stabilită icircn funcție de tipul de deformație pe care-l produce

De asemenea semnul plus (bdquo+rdquo) sau minus (bdquondashrdquo) al fiecărui efort nu depinde de sensul

pozitiv sau negativ al sistemului de axe ci doar de efectul icircn deformații al fiecărui efort

Denumirile celor șase eforturi sunt

119873 este forța axială

119879119910 119879119911 sunt forțe tăietoare orientate după axele Cy și respectiv Cz

119872119909 notat de cele mai multe ori cu 119872119905 este moment de torsiune sau de răsucire

119872119894119911 119872119894119910 sunt momente de icircncovoiere icircn jurul axei Cz și respectiv Cy

Forța axială 119873 poate fi forță axială de icircntindere cacircnd produce o lungire a

tronsonului pe a cărei față acționează (119873 gt 0) figura 213a sau forță axială de

compresiune cacircnd sub efectul ei bara se scurtează (119873 lt 0) figura 213b

Fig 213 Forța axială

Forțele tăietoare 119879119910 și 119879119911 au ca efect lunecarea secțiunii icircn centrul căreia

acționează icircn raport cu secțiunea icircnvecinată lunecare ce se produce pe direcția și icircn sensul

forței Sub acțiunea unei forțe tăietoare bara este solicitată la forfecare Forța tăietoare

este pozitivă 119879119910 gt 0 dacă icircn raport cu un punct oarecare K de pe axa Cx a barei tinde să

rotească secțiunea pe care acționează icircn sens orar

Fig 214 Forța tăietoare

Momentele de icircncovoiere 119872119894119911 și 119872119894119910 au ca efect o rotire a secțiunii icircn centrul

cărora acționează icircn jurul axei după care sunt orientate Icircn figura 215a se vede că

datorită momentului 119872119894119911 fibrele de deasupra axei Cz se alungesc icircn timp ce fibrele de sub

axa Cz se scurtează Fibrele care trec prin axa de icircncovoiere Cz nu se deformează sunt

fibre neutre la icircncovoiere adică axa neutră este Cz Icircn cazul momentului de icircncovoiere

119872119894119910 fibrele care nu se deformează sunt cele care trec prin axa neutră la icircncovoiere Cy

Momentele de icircncovoiere se consideră a fi pozitive (119872119894119911 gt 0119872119894119910 gt 0) dacă

observatorul care privește bara deformată vizualizează fibrele icircntinse

Fig 215 Momentul icircncovoietor

Momentul de torsiune sau de răsucire 119872119909 equiv 119872119905 are ca efect o rotire a secțiunii

icircn al cărei centru acționează icircn jurul axei longitudinale Cx Ca efect secțiunea icircși schimbă

forma (se deformează) adică unghiurile inițiale se modifică dreptunghiul inițial Ad

devine paralelogram Convențional se consideră 119872119905 gt 0 dacă vectorul moment are

aceeași orientare ca și sensul pozitiv ales pextru axa Cx Icircn figura 216 momentul este

negativ

Fig 216 Momentul de torsiune

25 Definiții și convenții de semne pentru eforturile

din secțiunile unei bare drepte plane icircncărcate cu sarcini coplanare

Vom considera o bară plană icircncărcată cu un sistem de forțe arbitrar figura 217

Ne propunem să determinăm eforturile care apar icircn secțiunea barei aflată la distanța 119909 de

reazemul din stacircnga (A)

Pentru aceasta vom aplica metoda secțiunilor vom secționa bara cu un plan

perpendicular pe axa longitudinală a barei și vom analiza doar partea din dreapta secțiunii

mărginită de fața Ad Pentru ca această porțiune de bară să fie icircn echilibru sub acțiunea

forțelor exterioare care acționează asupra sa 1198653 și 119881119861 va trebui să introducem icircn centrul

secțiunii Ad eforturile care pot să apară 119873 119879119910 119872119894119911 Acțiunea acestor eforturi trebuie să

fie echivalentă cu acțiunea forțelor exterioare aplicate pe partea icircnlăturată (parcursă) a

barei 119867119860 119881119860 1198651 1198652 1198720

Deoarece bara este plană și este icircncărcată doar cu sarcini ce aparțin

planului barei

icircn secțiunea Ad apar doar 3 componente ale torsorului de reducere al forțelor

interioare (eforturi)

- 119873 = forța axială

- 119879119910 = forța tăietoare pe care o vom nota cu 119879

- 119872119894119911 = momentul icircncovoietor notat cu Mi

Fig 217 Bară plană icircncărcată cu un sistem de forțe

Vom prezenta următoarele definiții corespunzătoare eforturilor din secțiunea Ad

119873 = forța axială dintr-o secțiune este egală cu suma algebrică a proiecțiilor pe

axa longitudinală a tuturor forțelor exterioare (sarcini și reacțiuni) aplicate pe partea

din stacircnga secțiunii adică pe porțiunea parcursă Forța axială 119873 este pozitivă dacă trage

de tronsonul pe a cărei față acționează (are orientarea normalei exterioare la secțiunea

Ad)

119873(119909) = minus119867119860 + 1198651119867 (26)

119879 = forța tăietoare icircntr-o secțiune este egală cu suma algebrică a proiecțiilor

pe o axă perpendiculară pe axa barei a tuturor forțelor exterioare (sarcini și reacțiuni)

aplicate pe porțiunea de bară aflată icircn stacircnga secțiunii considerate Forța tăietoare 119879

este pozitivă dacă tinde să rotească tronsonul pe a cărui față acționează icircn sens orar icircn

raport cu un punct de pe axa barei aflat la dreapta secțiunii

119879(119909) = 119881119860 minus 1198651119881 minus 1198652 (27)

119872119894 = momentul icircncovoietor icircntr-o secțiune este egal cu suma algebrică a

momentelor obținute prin reducerea tuturor forțelor exterioare ( cupluri sarcini

reacțiuni) aplicate pe porțiunea de bară aflată la stacircnga secțiunii icircn centrul secțiunii

considerate 119872119894 este considerat pozitiv dacă tinde să deformeze bara astfel icircncacirct fibrele

spre care privește un observator să fie icircntinse Cum poziția observatorului este de regulă

sub bară bara se deformează dacă 119872119894 gt 0 astfel icircncacirct partea jos a barei este icircntinsă Se

spune că bara deformată rdquoține apaldquo

119872119894(119909) = 119881119860 ∙ 119909 minus 1198651119881 ∙ (119909 minus 1198971) minus 1198652 ∙ [119909 minus (1198971 + 1198972)] + 1198720 (28)

Sensurile pozitive ale eforturilor care apar icircn centrul secțiunii Ad (deci atunci cacircnd

sensul de parcurs la aplicarea metodei secțiunilor este cel de la stacircnga la dreapta) sunt

indicate icircn figura 218a iar dacă sensul de parcurs este de la dreapta la stacircnga sensurile

pozitive ale eforturilor sunt indicate icircn figura 218b

Fig 218 Convenţia de semne

Definiții asemănătoare se pot da și pentru eforturile din centrul secțiunii As figura

218b adică pentru cazul icircn care sensul de parcurs este cel de la dreapta la stacircnga și deci

partea luată icircn considerare este cea din stacircnga iar partea parcursă din dreapta secțiunii

este icircnlăturată

119873(1199091) = 1198653119867

119879(1199091) = 1198653119881 minus 119881119861

119872119894(1199091) = 119881119861 ∙ 1199091 minus 1198653119881 ∙ (1199091 minus 1198975)

(29)

Avacircnd icircn vedere că fețele Ad și As aparțin aceleeași secțiuni este evident faptul că

eforturile 119873(119909) 119879(119909) și 119872119894(119909) sunt identice cu eforturile 119873(119961120783) 119879(119961120783) și respectiv

119872119894(119961120783) Icircn figura 218c se prezintă o sinteză a convențiilor de semne pozitive pentru cele

3 eforturi atacirct pentru sensul de parcurs de la stacircnga la dreapta (secțiunea Ad) cacirct și pentru

sensul invers (secțiunea As)

Semnele eforturilor sunt importante icircntrucacirct există materiale cu comportări diferite

la icircntindere față de compresiune iar o schimbare a semnului unui efort poate produce

erori grave icircn calcule Semnele eforturilor au fost stabilite icircn funcție de deformațiile

produse și nu depind de sensul axelor sistemului de coordonate

26 Relaţii diferenţiale icircntre eforturi şi sarcini

Pentru a vedea ce legătură există icircntre eforturi și sarcini vom considera o bară

dreaptă icircncărcată cu o sarcină distribuită după o lege oarecare figura 219a Din această

bară vom decupa prin dublă secționare un element de lungime infinit mică 119889119909 Deoarece

lungimea 119889119909 este foarte mică se poate considera sarcina 119901 uniform distribuită Icircn

secțiunile rezultate trebuie să introducem eforturile care pot apărea

- 119879 şi 119872119894 icircn centrul secțiunii din sticircnga eforturi pe care le considerăm pozitive

- 119879 + 119889119879 şi 119872119894 + 119889119872119894 icircn centrul secțiunii din dreapta elementului

Aceste eforturi au o variație mică (119889119879 şi 119889119872119894) față de secțiunea anterioară Spre

deosebire de cazul icircn care bara este secționată o singură dată icircn acest caz eforturile nu

pot fi determinate din cele 2 condiții de echilibru independente deoarece icircn ecuațiile de

echilibru apar 4 necunoscute 119879 119889119879119872119894 și 119889119872119894 deci că problema este dublu static

nedeterminată figura 219

Fig 219 Echivalența icircntre eforturi și sarcini

Ecuațiile de echilibru scrise pentru elementul din figura 219b conduc la stabilirea

unor relaţii foarte importante

(sum119865)119910= 0 hArr 119879 minus 119901 ∙ 119889119909 minus (119879 + 119889119879) = 0 rArr

119889119879

119889119909= minus119901 (210)

Relația (210) arată că derivata funcţiei forţei tăietoare icircn raport cu abscisa

secţiunii este egală cu sarcina distribuită normală la axa barei din acea secţiune luată

cu semn schimbat

Observații

dacă 119901 = 0 nu există sarcină distribuită atunci forța tăietoare T este constantă

icircnclinarea pantei diagramei forței 119879 este egală cu (ndash 119901) (sarcina distribuită cu

semn schimbat)

dacă 119901 = 119888119900119899119904119905 119879 variază liniar pe acel interval

Asemănător se deduce că derivata funcţiei forţei axiale icircn raport cu abscisa

secţiunii este egală cu sarcina distribuită axială din acea secţiune luată cu semn

schimbat adică

119889119873

119889119909= minus119901119867 (211)

Din condiția de echilibru suma de momente faţă de centrul de greutate al secţiunii

din dreapta

(sum119872)119862= 0 hArr 119872119894 minus (119872 + 119889119872119894) + 119879 ∙ 119889119909 minus 119901 ∙

(119889119909)2

2= 0 rArr

119889119872119894

119889119909= 119879 (212)

Relația (212) s-a obținut dupa reducerea termenilor și prin neglijarea infinitului

mic de ordinul 2

119901 ∙(119889119909)2

2

Relația (212) arată că derivata funcţiei moment icircncovoietor icircn raport cu abscisa

secţiunii este egală cu forţa tăietoare din acea secţiune

Observații

dacă 119879 = 0 momentul 119872119894 are un punct de extrem se obține o valoare maximă

pentru 119872119894119898119886119909 dacă forța tăietoare 119879 se anulează trecacircnd de la plus icircn stacircnga la minus icircn

dreapta secțiunii

dacă forța tăietoare este pozitivă pe un interval 119879 gt 0 atunci 119872119894 este crescătoare

pe acel interval

dacă forța tăietoare este negativă pe un interval 119879 lt 0 atunci 119872119894 este

descrescătoare pe acel interval

dacă pe un interval 119901 = 0 forța tăietoare este constantă 119879 = 119888119905 iar 119872119894 variază

liniar pe acel interval

dacă 119901 = 119888119900119899119904119905 119879 variază liniar pe acel interval iar 119872119894 variază parabolic pe

acel interval

Relaţiile diferenţiale sunt utile la reprezentarea corectă şi verificarea diagramelor

de eforturi astfel

pentru porţiunile de grindă pe care p = 0 eforturile N şi T sunt constante iar pe

porţiunile cu p = const eforturile N şi T variază liniar (relaţiile 211 şi 210)

dacă pe o porţiune T = const momentul icircncovoietor Miz variază liniar iar dacă

T variază liniar atunci momentul Miz variază parabolic (relaţia 212)

pe domeniile pe care T gt 0 funcţia Mi(x) este crescătoare iar icircn secţiunea icircn

care T = 0 (graficul funcţiei T intersectează axa x) momentul icircncovoietor are un punct

de extrem local (maxim sau minim relaţia 212)

Pentru rezolvarea problemelor referitoare la trasarea diagramelor de eforturi

pentru barele drepte solicitate de sisteme de forţe plane se parcurg următoarele etape

1) identificarea forţelor aplicate (date) şi pregătirea lor pentru calcule

(descompunerea forţelor concentrate pe direcţiile x şi y calculul rezultantelor forţelor

distribuite)

2) identificarea reazemelor şi introducerea reacţiunilor corespunzătoare (vezi

figurile 27divide29)

3) stabilirea ecuaţiilor de echilibru static calculul şi verificarea reacţiunilor Icircn

rezistența materialelor se folosește sistemul de ecuații (vezi figura 217)

(sum119865)

119909= 0

(sum119872)119860= 0

(sum119872)119861= 0

(213)

4) identificarea domeniilor de variaţie şi scrierea funcţiilor de eforturi pentru N T

şi Mi

5) reprezentarea grafică a diagramelor de eforturi

6) verificarea corectitudinii diagramelor pe baza relaţiilor diferenţiale icircntre eforturi

şi sarcini

Aplicație Pentru grinda dreaptă icircncărcată cu sistemul de forţe reprezentat icircn figura

220 se cere

a) să se calculeze şi să se verifice reacţiunile

b) să se stabilească funcţiile eforturilor Nx Ty şi Miz şi să se reprezinte diagramele

de variaţie

c) să se analizeze relaţiile diferenţiale icircntre eforturi şi sarcini

Dimensiunile grinzii au valorile a = 6 [m] b = 4 [m] și c = 4[m] sistemul de

forţe aplicat fiind format din p = 10 [kN mfrasl ] F = 20 [kN] (icircnclinată cu unghiul α =300 faţă de orizontală) şi M0 = 40 [kN ∙ m]

Rezolvare

a) Se fac următoarele precizări

grinda dreaptă se reprezintă prin axa geometrică

forţa icircnclinată F se descompune după direcţiile orizontală şi verticală icircn FV =F ∙ sin α = 10 [kN] şi FH = F ∙ cos α = 173 [kN]

forţa distribuită uniform p este echivalentă din punct de vedere static cu

rezultanta sa R = p ∙ a = 60 [kN] care acţionează la jumătatea porţiunii de lungime a

icircn reazemele 119860 şi 119861 se introduc componentele HA şi VA respectiv VB ale

reacţiunilor

Pentru calculul reacţiunilor se utilizează ecuaţiile de echilibru static al grinzii

sumXi = 0 HA minus FH = 0 sumYi = 0 VA + VB minus R minus FV = 0 (sumM)B = 0 VA ∙ (b + a) minus R ∙ (b + 05 ∙ a) minus M0 + FV ∙ c = 0

(A1)

Din prima ecuaţie se obţine HA iar din cea de-a treia ecuaţie rezultă VA

HA = FH = 173 [kN]

VA =[R ∙ (b + 05 ∙ a) + M0 minus FV ∙ c]

(b + a)=[60 ∙ (4 + 05 ∙ 6) + 40 minus 10 ∙ 4]

(4 + 6)

VA = 42 [kN]

(A2)

Fig 220 Aplicație

Se observă că cea de-a doua ecuaţie de echilibru conţine două necunoscute

reacţiunile VA şi VB Pentru a calcula componenta VB nu este indicată introducerea lui VA

icircn cea de-a doua ecuaţie a sistemului (A1) pentru că o valoare determinată greşit pentru

VA conduce la o valoare VB de asemenea greşită O ecuaţie independentă din care se poate

determina componenta VB este următoarea

(sumM)A= 0 FV ∙ (a + b + c) minus VB ∙ (a + b) minus M0 + R ∙ 05 ∙ a = 0 (A3)

de unde se obţine

VB =[FV ∙ (a + b + c) minusM0 + R ∙ 05 ∙ a]

(b + a)=[10 ∙ (6 + 4 + 4) minus 40 + 60 ∙ 05 ∙ 6]

(6 + 4)

VB = 28 [kN] (A4)

Ecuaţia de proiecţii ale forţelor pe direcţia verticală (a doua ecuaţie din sistemul

A1) se utilizează pentru verificarea reacţiunilor deja determinate

VA + VB minus R minus FV = 0 rArr 42 + 28 minus 60 minus 10 = 0 (A5)

Ultima egalitate demonstrează că reacţiunile verticale au fost calculate corect

Din cele de mai sus rezultă ordinea firească pentru determinarea reacţiunilor icircn

cazul grinzilor simplu rezemate

sumXi = 0

(sumM)A = 0

(sumM)B = 0

(A6)

iar pentru verificarea componentelor verticale VA şi VB se folosește ecuaţia sumY = 0

b) La stabilirea funcţiilor de eforturi se parcurg icircn general etapele următoare

se notează (numeric sau literal după preferinţă) secţiunile care delimitează

domeniile (intervalele sau tronsoanele) pe care eforturile nu-şi modifică funcţiile (au legi

unice de variaţie)

pe fiecare domeniu se marchează secţiunea imaginară icircn care se stabilesc

funcţiile eforturilor

secţiunea astfel aleasă separă icircn două părţi grinda şi anume porţiunea din stacircnga

şi porţiunea din dreapta secţiunii

se va considera parcursă (şi icircndepărtată) acea parte pe care acţionează mai puţine

sarcini exterioare pentru că acestea vor interveni icircn expresiile funcţiilor de eforturi

poziţiile secţiunilor imaginare se vor determina prin variabilele x1 ⋯ xn (unde

n reprezintă numărul domeniilor de variaţie) cu originea fixată icircn capătul intervalului şi

sensul de parcurgere spre partea considerată rămasă

Grinda prezentată icircn figura 220 are trei domenii de variaţie pentru funcţiile de

eforturi după cum urmează (A-1) (2-B) şi (B-1)

Domeniul (A-1) x1 isin [0 a = 6 m] Porţiunea parcursă şi considerată icircndepărtată este cea de coordonată x1 pe care

acţionează reacţiunile HA şi VA precum şi rezultanta parţială a sarcinii distribuite R1 =p ∙ x1

Funcţia forţă axială Nx are expresia

Nx(x1) = NAminus1 = minusHA = minus173 [kN] = const

(A7)

Funcţia forţă tăietoare Ty are exspresia

Ty(x1) = TAminus1 = VA minus R1 = VA minus p ∙ x1 (A8)

care reprezintă o variaţie liniară de variabilă x1 Se calculează valorile forţei tăietoare la

limitele intervalului de variaţie

- pentru x1 = 0 Ty(x1 = 0) = TA = VA = 42 [kN]

- pentru x1 = a = 6 [m] Ty(x1 = 6) = T1 = VA minus p ∙ a = minus18 [kN]

Observaţie Aşa cum a fost stabilită secţiunea fictivă poziţionată prin coordonata

x1 sar părea că rezultanta R ar trebui luată icircn calculul lui Ty(x1) Acest lucru ar fi greşit

pentru că R = p ∙ a reprezintă rezultanta sarcinii distribuite pe toată lungimea a iar

rezultanta pe porţiunea parcursă de lungime x1 este R1 = p ∙ x1 ne R = p ∙ a

Cu valorile obţinute se trasează diagramele forţelor axială Nx = f(x) şi tăietoare

Ty = f(x) figura 220 Din diagrama forţei tăietoare şi din valorile obţinute analitic se

observă că forţa tăietoare icircşi schimbă semnul pe intervalul analizat deci se anulează pe

acest interval Poziţia secţiunii unde Ty se anulează se determină din ecuaţia

Ty(x1) = 0 rArr VA minus p ∙ x1 = 0 (A9)

cu soluţia x1lowast = ξ = 42 [m] Important de reamintit că icircn această secţiune momentul

icircncovoietor va avea un extrem local adică Miz are un extrem la Ty = 0

Funcţia moment icircncovoietor Miz are expresia

Miz(x1) = VA ∙ x1 minus R1 ∙x12= VA ∙ x1 minus (p ∙ x1) ∙

x12

(A10)

Se observă că funcţia moment icircncovoietor de variabilă x1 are o variaţie parabolică

(gradul al II-lea) Pentru reprezentarea grafică a funcţiei parabolice se calculează valorile

momentului icircncovoietor icircn trei secţiuni

- pentru x1 = 0 Miz(x1 = 0) = MA = 0 [kN ∙ m] - pentru x1 = a = 6 [m] Miz(x1 = 6) = M1 = 72 [kN ∙ m] - pentru x1

lowast = ξ = 42 [m] Miz(x1lowast = ξ = 42 [m]) = Mimax = 882 [kN ∙ m]

Cu acestea se trasează diagrama Miz = f(x) pe intervalul (A-1) figura 220

Observaţie Icircn unele cazuri pe un anumit interval forţa tăietoare nu se anulează

şi momentul icircncovoietor nu are un extrem local Icircn acest caz pentru reprezentarea

variaţiei parabolice a momentului icircncovoietor se va studia semnul derivatei a doua a

funcţiei Miz = f(x1) acesta determinacircnd convexitatea curbei momentului icircncovoietor

Domeniul (2-B) x2 isin [0 c = 4 m] Porţiunile din grindă libere (nerezemate) la un capăt se numesc console iar

stabilirea funcţiilor de eforturi devine mai simplă dacă se consideră icircndepărtată partea din

dreapta secţiunii prin schimbarea sensului pozitiv al axei x Astfel se obţin funcţiile eforturilor

Funcţia forţă axială Nx are expresia

Nx(x2) = N2minusB = minusFH = minus173 [kN] = const

(A11)

Funcţia forţă tăietoare Ty are exspresia

Ty(x2) = T2minusB = FV = 10 [kN] = const (A12)

Funcţia moment icircncovoietor Miz are expresia

Miz(x2) = minusFV ∙ x2 rArr Miz(x2 = 0) = M2 = 0 [kN ∙ m]

Miz(x2 = 4) = MB = minus40 [kN ∙ m] (A13)

variaţie liniară (gradul I)

Domeniul (B-1) x3 isin [0 b = 4 m] Pe acest domeniu se acceptă parcurgerea grinzii de la dreapta adică se consideră

icircndepărtată partea din dreapta secţiunii fictive pentru că are doar două sarcini aplicate F

şi VB faţă de partea din stacircnga secţiunii pe care sunt aplicate trei sarcini p VA şi M0

Astfel se obţin funcţiile eforturilor

Funcţia forţă axială Nx are expresia

Nx(x3) = NBminus1 = minusFH = minus173 [kN] = const

(A14)

Funcţia forţă tăietoare Ty are exspresia

Ty(x3) = TBminus1 = FV minus VB = minus18 [kN] = const (A15)

Funcţia moment icircncovoietor Miz are expresia

Miz(x3) = minusFV ∙ (x3 + c) + VB ∙ x3 rArr

rArr Miz(x3 = 0) = MB = minus40 [kN ∙ m]

Miz(x3 = 4) = M1 = 32 [kN ∙ m]

(A16)

variaţie liniară (gradul I)

Diagramele eforturilor sunt prezentate icircn figura 220

c) Relaţiile diferenţiale dintre eforturi şi sarcini se analizează pe diagramele

eforturilor după cum urmează

sarcina distribuită nu are componentă orizontală adică ph = 0 şi icircn

conformitate cu formula (211) rezultă că Nx = const pe toată lungimea grinzii fapt care

a rezultat din funcţia şi reprezentarea diagramei forţei axiale

pe intervalul (A-1) sarcina distribuită are doar componenta verticală pozitivă

pV = p gt 0 prin urmare forţa tăietoare scade (are panta negativă dTy 119889119909frasl = minusp vezi

relaţia 210) iar momentul icircncovoietor avacircnd derivata a doua negativă d2M119894119911 1198891199092frasl =minuspare convexitatea curbei orientată spre sensul pozitiv al axei momentului Miz adică icircn

jos

pe domeniile (2-B) şi (B-1) deoarece pv = 0 forţa tăietoare Ty este constantă

iar momentul icircncovoietor Miz variază liniar

referitor la relaţia (212) pe porţiunile unde Ty gt 0 momentul Miz este

monoton crescător pe porţiunile unde Ty lt 0 momentul Miz este monoton descrescător

iar icircn secţiunea icircn care Ty = 0 momentul icircncovoietor are un extrem local Mξ =

882 [kN ∙ m] icircn diagrama forţei tăietoare discontinuităţile (salturile) se produc icircn secţiunile

unde acţionează VA VB şi FV iar icircn diagrama momentului icircncovoietor se produce un

singur salt icircn secţiunea icircn care este aplicat M0

se poate scrie

Mξ = suprafața diagramei Ty |ξ0=1

2∙ 42 ∙ 42 = 882 [kN ∙ m]

sau parcurgacircnd grinda de la dreapta la stacircnga rezultă

MB = minussuprafața diagramei Ty |c0= minus10 ∙ 4 = minus40 [kN ∙ m]

Toate aspectele analizate teoretic referitoare la relaţiile diferenţiale dintre eforturi

şi sarcini se regăsesc icircn diagramele de eforturi din figura 220 ceea ce icircnseamnă că

diagramele au fost reprezentate corect

3 TENSIUNI DEPLASĂRI ŞI DEFORMAŢII SPECIFICE

31 Tensiuni

Eforturile obținute icircn urma reducerii forțelor interioare icircn centrul de greutate al

secțiunii nu pot da informații asupra solicitării fiecărui punct al secțiunii respective Este

necesar să se cunoască modul cum se distribuie forțele interioare icircn fiecare punct al

secțiunii pentru a ști care este intensitatea maximă a solicitării Această intensitate

maximă se poate compara cu o valoare critică specifică materialului stabilindu-se astfel

dacă solicitarea este periculoasă sau nu

Mărimea care caracterizează solicitarea locală punctuală o vom denumi tensiune

și o vom defini icircn cele ce urmează Să considerăm partea din dreapta a unui corp solicitat

de forțele exterioare 1198651 1198652 și 1198653 obținută prin secționarea corpului și mărginită de fața

din dreapta Ad a secțiunii Pe secțiunea Ad vom considera un element de arie infinit mic

∆119860 caracterizat de normala la elementul de arie normală care are cosinușii directori

120573 și icircn raport cu un sistem de axe considerat fix Pe elementul infinit mic ∆119860 acționează

forțele interioare care au o rezultantă oarecare figura 31

Prin definiție tensiunea totală este

= lim∆119860rarr0

∆

∆119860 (31)

Tensiunea are aceeaşi direcţie cu forţa elementară ∆ iar mărimea ei este

determinată atacirct de mărimea forţei ∆ cacirct şi de orientarea suprafeţei ∆119860 faţă de direcţia

forţei

Tensiunea 119901 poate fi descompusă icircntr-o componentă orientată după direcţia

normalei la secţiune tensiunea normală notată cu 120590119909 şi o componentă icircn planul secţiunii

tensiunea tangenţială notată cu figura 32

= 119909 + 120591 (32)

Fig 31 Tensiunea totală Fig 32 Tensiunea normală și tangențială

La racircndul ei componenta tensiunii cuprinsă icircn planul secțiunii poate fi

descompusă după direcțiile axelor y și z

120591 = 120591119909119910 + 120591119909119911 (33)

Icircntre cele trei componente ale tensiunii totale care acționează pe elementul de arie

∆119860 este valabilă relația

1199012 = 1205901199092 + 120591119909119910

2 + 1205911199091199112 (34)

După sensul pe care icircl are tensiunea normală 120590 poate avea efect de tracţiune sau

de compresiune exercitat de către partea de corp icircnlăturată asupra părţii rămase Analog

tensiunea tangenţială 120591 poate avea efect de tăiere forfecare sau alunecare Pentru

componentele tensiunii tangențiale 120591119909119910 pe direcţia 119910 respectiv 120591119909119911 pe direcţia 119911 primul

indice indică axa pe care tensiunea este normală iar cel de-al doilea indice indică axa cu

care aceasta este paralel

Tensiunea este o mărime tensorială valoarea ei depinzacircnd atacirct de poziția

punctului icircn planul secțiunii cicirct și de orientarea planului de secționare deci de normala

Operaţiile vectoriale nu pot fi aplicate tensiunilor decacirct după ce acestea au fost icircnmulţite

cu ariile respective adică au fost transformate icircn forţe

Icircn literatura de specialitate mai ales icircn manualele mai vechi pentru noţiunea de

tensiune se mai foloseşte şi denumirea de efort specific

Dacă se consideră un alt element de arie ∆119860 cu centrul icircn același punct avacircnd ca

normală axa 119910 se vor obține alte tensiuni și anume

- 120590119910 este tensiunea normală (paralelă cu axa y)

- 120591119911119909 și 120591119910119911 sunt tensiuni tangențiale paralele cu axele 119909 și respectiv 119911 aflate icircn

planul care are ca normală axa 119910

Dacă icircn jurul unui punct dintr-un corp solicitat se consider un element de volum

infinit mic de forma unui cub icircn cazul cel mai general pe fețele sale vor acționa

tensiunile normale 120590119909 120590119910 și 120590119911 și respectiv tensiunile tangențiale 120591119909119910 120591119909119911 120591119910119909 120591119910119911 120591119911119909

și respectiv 120591119911119910 figura 33 Aceste tensiuni definesc starea de tensiune a punctului

observacircnd faptul că tensorul tensiune are 9 componente Dacă se consideră elementul

de volum finit ca fiind foarte mic se poate presupune că icircn interiorul său nu apar forțe

Ca urmare el va fi icircn echilibru sub acțiunea forțelor elementare produse de tensiunile de

pe fețele sale

Din condiția ca elementul să nu se rotească icircn jurul unor axe care trec prin centrul

său și sunt paralele cu axele sistemului 119909119874119910119911 rezultă

2 ∙ 120591119909119910 ∙ (119889119910 ∙ 119889119911) ∙119889119909

2= 2 ∙ 120591119910119909 ∙ (119889119909 ∙ 119889119911) ∙

119889119910

2 rArr 120591119909119910 = 120591119910119909 (35)

2 ∙ 120591119910119911 ∙ (119889119909 ∙ 119889119911) ∙119889119910

2= 2 ∙ 120591119911119910 ∙ (119889119909 ∙ 119889119910) ∙

119889119911

2 rArr 120591119910119911 = 120591119911119910 (36)

2 ∙ 120591119909119911 ∙ (119889119910 ∙ 119889119911) ∙119889119909

2= 2 ∙ 120591119911119909 ∙ (119889119909 ∙ 119889119910) ∙

119889119911

2 rArr 120591119909119911 = 120591119911119909 (37)

Relațiile (35divide37) 120591119909119910 = 120591119910119909 120591119910119911 = 120591119911119910 120591119909119911 = 120591119911119909 exprimă principiul dualității

tensiunilor tangențiale

Fig 33 Tensiunile normale și tangențiale pe fețele unui cub

Din condiția ca elementul considerat să nu se deplaseze icircn lungul axelor de

coordonate pe fețele opuse acționează aceleași tensiuni normale 120590119909 120590119910 și respectiv 120590119911

Definirea tensorului tensiune este posibilă dacă se cunosc cele 6 componente

independente ale acestuia aflate icircn trei plane perpendicular ce trec prin punctul respectiv

=

120590119909 120591119909119910 120591119909119911120591119910119909 120590119910 120591119910119911120591119911119909 120591119911119910 120590119911

Observaţii

Tensiunile se măsoară icircn [119873 1198982frasl ] (1119873 1198982frasl = 1 119875119886) sau icircn [119872119875119886]

(1 119872119875119886 = 106119875119886 = 106 119873

1198982 1 119872119875119886 = 1

119873

1198981198982)

Starea de tensiune dintr-un punct este considerată cunoscută dacă se cunosc

tensiunile 119901 care acționează pe infinitatea de elemente de suprafață ce trec prin punctual

considerat

Starea de tensiune a unui corp se consider cunoscută dacă se cunosc stările de

tensiune de pe infinitatea de puncte ale corpului considerat

32 Deplasări Deformaţii specifice

321 Deplasări

Aceste noțiuni sunt utile icircn analiza aspectului geometric al problemelor de rezistența

materialelor Deplasările care se analizează sunt cele datorate schimbării formei și

dimensiunilor corpurilor ca urmare a acțiunii forțelor exterioare și nu cele cinematice

posibile pentru solidul rigid care se poate deplasa cu anumită viteză și accelerație

Spre exemplu icircn figura 34a și figura 34b sub acțiunea forței 119865 tronsonul de

bară AB se deformează icircn timp ce tronsonul BC deși punctele sale au deplasări rămacircne

nedeformat (fiind nesolicitat) Toate punctele de pe axele barelor cu excepția celor din

icircncastrare (secțiunile A) au deplasări liniare De cele mai multe ori deformațiile barelor

datorate acțiunii forțelor exterioare se anulează la icircndepărtarea forțelor se spune că

deformațiile sunt elastice Secțiunile transversale ale barei din figura 34a se și rotesc icircn

raport cu pozițiile lor inițiale Spre exemplu secțiunea de căpăt cu centrul icircn C se rotește

cu unghiul

Fig 34 Deformațiile unei grinzi

Oricacirct de complexă ar fi delormația unui corp ea poate fi descrisă de lungiri sau

scurtări și de modificări ale unghiurilor inițiale

Deplasările măsoară schimbarea poziției unui punct al corpului și pot fi liniare

sau unghiulare

Prin deplasare liniară a unui punct se icircnțelege drumul parcurs de acest punct icircn

decursul procesului de deformație după o dreaptă suport dreapta 1198611198611 din figura 34a

Prin deplasare unghiulară se icircnțelege rotirea dintre segmentele de dreaptă

determinate de două puncte ale corpului icircnainte și după deformarea acestuia unghiul

pe care-l fac segmentele 119861119862 și 11986111198621 din figura 34a Această rotire se măsoară prin

unghiul pe care-l fac proiecțiile dreptelor ce conțin cele două segmente icircntr-un sistem

triortogonal

Icircn cazul cel mai general vectorul deplasare liniară se poate descompune icircntr-un

sistem triortogonal icircn trei componente 119906 119907 și 119908 figura 35

Fig 35 Deplasarea liniară

Se consideră acum un corp solid raportat la un sistem de axe ortogonal 119909119874119910119911

figura 35 după deformarea corpului un punct oarecare 119870 al acestuia se deplasează icircn

poziţia 1198701 vectorul 1198701198701 poartă numele de vectorul deplasării totale

Deplasarea totală este suma deplasărilor pe cele trei direcţii ortogonale iar

aceste deplasări se notează astfel

deplasarea pe direcţia 119909 cu ∥ 119874119909

deplasarea pe direcţia 119910 cu ∥ 119874119910

deplasarea pe direcţia 119911 cu ∥ 119874119911

Componentele deplasărilor și formeză matricea deplasărilor liniare 119906119907119908

322 Deformații

Prin deformație icircn general se icircnțelege orice schimbare de formă a unui corp fără

o evaluare cantitativă Icircn Rezistența Materialelor deformația măsoară variația

dimensiunilor geometrice ale corpului considerat din vecinătatea unui punct analog

deplasărilor deformațiile pot fi liniare și unghiulare (lunecări)

Fig 36 Deplasarea liniară

Deformația liniară ∆119897 reprezintă variația lungimii 119897 a unui element liniar al

corpului deformat figura 36 Deformația liniară specifică se definește ca fiind raportul

dintre deformația liniară și lungimea inițială

휀 =∆119897

119897 (38)

unde ∆119897 este lungirea sau scurtarea care este echivalentă cu deformția liniară totală iar

este alungirea

Deformația unghiulară sau lunecarea unui punct 119860 icircn planul 119861119860119862 se definește

prin relația figura 37

120574 = lim119861119860rarr0119862119860rarr0

(119861119860 minus 119861111986011198621 ) (39)

Fig 36 Deformația unghiulară

Schimbacircnd orientarea planului care trece prin 119860 se obțin alte deformații

unghiulare Dacă elementele liniare 119861119860 și 119862119860 sunt inițial perpendiculare deformația 120574 se

numește deformație unghiulară specifică sau lunecare specifică figura 37

Un exemplu de deplasare unghiulară și de deformație unghiulară este prezentat icircn

figura 38 Unghiul este deplasarea unghiulară și măsoară rotirea relativă dintre două

secțiuni aflate la distanța 119897 Unghiul este deformația specifică unghiulară (lunecarea

specifică) din punctul 119870 Aceste deplasări și deformații se obțin icircn urma solicitării barei

de către cele două momente 1198720 egale și de sens contrar

Fig 38 Deplasarea unghiulară

Pentru a analiza starea de deformație din vecinătatea unui punct al unui corp

solicitat complex se decupează din jurul punctului un element de volum mic figura 39a

avacircnd laturile 119889119909 119889119910 și 119889119911 Ca urmare a solicitării laturile acestuia se vor lungi sau

scurta Reprezentarea elementului deformat icircn spațiu este dificilă pentru simplificare

vom analiza doar deformațiile din planul 119909119874119910 Observăm că dimensiunile 119889119909 și 119889119910 s-au

modificat cu valoarea ∆119889119909 respectiv cu ∆119889119910 analog se acceptă și pentru 119889119911 o modificare

de forma ∆119889119911 Astfel se pot defini deformațiile specifice liniare

휀119909 =∆119889119909

119889119909 휀119910 =

∆119889119910

119889119910 휀119911 =

∆119889119911

119889119911 (310)

De cele mai multe ori aceste deformații specifice liniare se pot exprima procentual

și se mai numesc alungiri

Fig 39 Starea de deformație

Icircn figura 39c se vede că unghiul inițial drept dintre muchiile 119889119909 și 119889119910 ale

elementului de volum s-a modificat Se definește deformația specifică unghiulară (sau

lunecarea specifică) mărimea cu care se modifică unghiul inițial drept

120574119909119910 = 120574119909119910prime + 120574119910119909

prime = 120574119910119909120574119910119911 = 120574119910119911

prime + 120574119911119910prime = 120574119911119910

120574119911119909 = 120574119911119909prime + 120574119909119911

prime = 120574119909119911

(311)

Deformațiile 휀119909 휀119910 휀119911 120574119909119910 120574119910119911 120574119911119909 constituie cele șase componente

independente ale tensorului deformațiilor specifice care pot fi scrise de forma

119863 =

휀119909 120574119909119910 120574119909119911120574119910119909 휀119910 120574119910119911120574119911119909 120574119911119910 휀119911

(312)

323 Contracţia transversală

Practica arată că odată cu lungirea unei bare apare o micşorare a mărimii secţiunii

transversale mărime numită contracţie transversală figura 310

Fig 310 Contracția transversală

Contracţia transversală este proporţională cu lungirea specifică coeficientul de

proporţionalitate se notează cu 120599 şi se numeşte coeficient de contracţie transversală sau

coeficientul lui Poisson

La o lungire specifică a barei contracţia transversală este dată de relația

휀119905119903 = 휀119910 = 휀119911 = minus120599 ∙ 휀119909 (313)

Semnul minus bdquo-rdquo arată că cele două mărimi sunt contrare dacă una creşte cealaltă

scade şi invers

Considerăm o bară cilindrică de lungime 119897 şi aria secţiunii transversale 119860 solicitată

la icircntindere axială La un moment dat datorită solicitării lungimea barei devine

[119897 ∙ (1 + 휀)] diametrul devine [119889 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)] iar aria secţiunii transversale devine

[119860 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)2] Dacă volumul barei icircnainte de solicitare a fost (119860 ∙ 119897) după solicitare

acesta devine

119881 + ∆119881 = 119860 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)2 ∙ 119897 ∙ (1 + 휀) =

= 119860 ∙ 119897 ∙ (1 + 휀 minus 2 ∙ 120599 ∙ 휀 minus 2 ∙ 120599 ∙ 휀2 + 1205992 ∙ 휀2 + 1205992 ∙ 휀3) (314)

Deoarece lungirile sunt foarte mici ultimii trei termeni din paranteză fiind infinit mici se pot neglija obţinacircnd

119881 + ∆119881 = 119860 ∙ 119897 + 119860 ∙ 119897 ∙ 휀 ∙ (1 minus 2 ∙ 120599) ⟺ ∆119881 = 휀 ∙ (1 minus 2 ∙ 120599) ∙ 119860 ∙ 119897 (315)

Practica arătă că o astfel de bară solicitată la icircntindere icircşi măreşte volumul deci

∆119881 gt 0 de unde rezultă că

1 minus 2 ∙ 120599 gt 0 rArr 120599 lt 05 (316)

Pentru majoritatea materialelor 120599 = 033 iar pentru materialele care-şi păstrează

volumul constant 120599 = 05

33 Relaţii de echivalenţă icircntre eforturi şi tensiuni

Considerăm un element de suprafață infinit mic 119889119860 situat pe fața de arie (119860) a

secțiunii barei din figura 311 Icircn centrul de greutate 119862 al secțiunii acționează eforturile

119873 119879119910 119879119911 119872119909 119872119894119910 și 119872119894119911 determinate prin metoda secțiunilor

Icircn raport cu un sistem de axe de referință 119909119862119910119911 coordonatele elementului 119889119860 sunt

- 119910 este ordonata elementului de arie 119889119860

- 119911 este abscisa elementului de arie 119889119860

Pe elementul de arie 119889119860 acționează tensiunile

120590119909 tensiunea normală

120591119909119910 și 120591119909119911 tensiuni tangențiale

Dacă se icircnsumează forțele elementare de tipul 120590119909 ∙ 119889119860 120591119909119910 ∙ 119889119860 și 120591119909119911 ∙ 119889119860

va trebui să obținem eforturile 119873 119879119910 și 119879119911

Fig 311 Element de suprafață mic din secțiunea unei bare

Dacă eforturile sunt privite ca forțe exterioare și se scriu ecuațiile de

echilibru ale secțiunii (119860) se vor obține șase relații de echivalență icircntre eforturi și

tensiuni

(sum119883) = 0 rArr int 120590119909 ∙ 119889119860

119860

= 119873 (317)

(sum119884) = 0 rArr int 120591119909119910 ∙ 119889119860

119860

= 119879119910 (318)

(sum119885) = 0 rArr int 120591119909119911 ∙ 119889119860

119860

= 119879119911 (319)

(sum119872)119909= 0 rArr int(120591119909119911 ∙ 119889119860) ∙ 119910

119860

minus int(120591119909119910 ∙ 119889119860) ∙ 119911

119860

= 119872119909 rArr

rArr int(119910 ∙ 120591119909119911 minus 119911 ∙ 120591119909119910) ∙ 119889119860

119860

= 119872119909

(320)

(sum119872)119910= 0 rArr int(120590119909 ∙ 119889119860) ∙ 119911

119860

= 119872119894119910 (321)

(sum119872)119911= 0 rArr int(120590119909 ∙ 119889119860) ∙ 119910

119860

= 119872119894119911 (322)

Cele șase relații de echivalență icircntre eforturi și tensiuni constituie un pas icircnainte

icircn rezolvarea unei probleme de rezistența materialelor Aceste relații vor permite

determinarea tensiunilor maxime

Pentru a rezolva cele 6 relații de echivalență trebuie să se cunoască tensiunile și

ca funcții de punct adică funcții de forma

120590119909 = 120590119909(119909 119910 119911) 120591119909119910 = 120591119909119910(119909 119910 119911) 120591119909119911 = 120591119909119911(119909 119910 119911) (32

3)

Cunoașterea acestor funcții presupune icircnsă analizarea aspectului geometric al

problemei precum și utilizarea unor ipoteze simplificatoare care să permită simplificarea

problemelor

34 Ipoteze de bază icircn rezistenţa materialelor

Depășirea dificultăților legate de interpretarea unor fenomene specifice mecanicii

solidului deformabil a impus acceptarea unor ipoteze care să simplifice fenomenele și să

contribuie la elaborarea unor modele de calcul cicirct mai generale și cacirct mai simple Aceste

ipoteze se referă la structura materialelor şi la comportarea lor sub acţiunea forţelor

exterioare Ipotezele acceptate trebuie să fie icircn deplină concordanţă cu realitatea și să

conducă la rezultate verificate icircn practică

Funcție de aspectele la care se referă ipotezele pot fi

Ipoteze fizice (de material)

Ipoteze de calcul

341 Ipoteze fizice

Se acceptă deoarece teoriile structurale au condus la rezultate care contravin

icircncercărilor experimentale

Ipoteza mediului continuu consideră că orice domeniu elementar al corpului

este ocupat de materie adică nu se acceptă existența unor goluri sau a unor crăpături

microscopice (fisuri) Deși nu corespunde realităţii poate fi acceptată deoarece

dimensiunile corpului sunt mult mai mari decacirct dimensiunile particulelor elemantare Are

avantajul că permite utilizarea proprietăților matematice ale funcțiilor continue pentru

tensiunile și deformațiile din orice punct al corpului Ea este mai apropiată de realitate la

corpurile amorfe şi mai depărtată la cele cristaline dar conduce la rezultate satisfăcătoare

icircn calculele de rezistenţă

Ipoteza nu se poate aplica la corpurile care au goluri tăieturi (multiplu conexe)

pentru unele puncte singulare icircn care tensiunile și deformațiile tind la infinit sau icircn unele

probleme de plasticitate icircn care proprietățile de material au un rol esențial

Ipoteza izotropiei conform acestei ipoteze materialul din care este confecționat

un element de rezistență are aceleași proprietăți după orice direcție un astfel de material

este considerat izotrop Din punct de vedere macroscopic metalele pot fi considerate

izotrope deși la nivel microscopic proprietățile lor diferă de la o direcție cristalografică

la alta Orice conglomerat de cristale poate fi considerat izotrop

Există cazuri cacircnd această ipoteză a izotropiei nu se acceptă

la metalele puternic deformate după o direcție (prin laminare trefilare)

la piesele confecționate din lemn lemnul este anizotrop deoarece proprietățile sale

diferă după două direcții (icircn lungul fibrelor și perpendicular pe această direcție)

Ipoteza omogenității consideră că un corp are aceleași proprietăți icircn orice

punct al său Deși majoritatea materialelor utilizate icircn tehnică sunt eterogene la scară

micro fiind constituite din mai multe faze cu proprietăți diferite la scară macro ele pot

fi considerate omogene Omogenitatea și izotropia sunt proprietăți statistice medii care

nu se condiționează una pe cealaltă Chiar și materialele monofazice pot avea la scară

micro unele segregații care le fac eterogene

Ipoteza elasticităţii perfecte presupune că atacircta timp cacirct solicitările nu

depăşesc anumite limite materialul are o comportare elastică adică icircşi recapătă forma şi

dimensiunile iniţiale odată cu icircnlăturarea sarcinilor Icircn realitate materialele nu prezintă o

elasticitate perfectă ele avacircnd deformaţii remanente mici care icircnsă pot fi neglijate icircn

calculele de rezistenţă

Acceptarea acestei ipoteze a elasticității perfecte permite

- aplicarea relației biunivoce icircntre tensiuni și deformații relație exprimată de legea

lui Hooke ( = 119864 ∙ 휀) unde E este un factor de proporţionalitate numit modul de

elasticitate longitudinal al materialului pentru oţel 119864 = 21 ∙ 105 [119872119875119886] - acceptarea valabilității afirmației bdquolucrul mecanic efectuat de forțele exterioare

ca urmare a parcurgerii deplasărilor punctelor de aplicație se icircnmagazinează integral icircn

corp sub formă de energie de deformație energie cedată la icircndepărtarea sarcinilorrdquo

- este valabilă teoria conform căreia bdquoenergia icircnmagazinată și deformațiile depind

doar de starea inițială și finală de eforturi fără a ține cont de modul icircn care s-a ajuns la

starea finalărdquo

Icircn realitate oricacirct de mici ar fi sarcinile aplicate se produc și deformații plastice

dar acestea pot fi neglijate dacă solicitarea nu depășește anumite limite

342 Ipoteze de calcul

Ipoteza micilor deplasări bdquodeplasările datorate deformării sunt mult mai mici

decacirct dimensiunile corpurilor și ca urmare pot fi neglijate produsele dintre o deplasare și

ea icircnsăşirdquo Pentru cele mai multe corpuri deformaţiile elastice sunt de mărimi mici deci

corpurile solide sub acţiunea sarcinilor icircşi modifică foarte puţin forma iniţială Această

ipoteză este cunoscută şi sub denumirea de ipoteza menţinerii dimensiunilor iniţiale Ea

permite scrierea ecuaţiilor de echilibru ale staticii pe starea nedeformată a elementului

cacircnd nu se iau icircn considerare deplasările punctelor de aplicaţie ale forţelor care se produc

ca urmare a deformării acestuia Calculul efectuat pe schema nedeformată poartă numele

de calcul de ordinul I

Ipoteza micilor deplasări nu poate fi acceptată pentru studiul problemelor de

stabilitate sau la problemele la care nu pot fi icircndeplinite condiţiile de echilibru icircn starea

nedeformată

Calculul de ordinul II admite ipoteza micilor deplasări dar ecuaţiile de echilibru

se scriu icircnsă pentru starea deformată a elementului de rezistenţă

Calculul de ordinul III nu mai acceptă ipoteza micilor deplasări el referindu-se

la cazul deformaţiilor mari cacircnd ecuaţiile de echilibru trebuie scrise pentru starea

deformată

Chiar dacă materialul satisface legea lui Hooke icircn urma calculelor de ordinul II

se obţin de obicei relaţii neliniare icircntre sarcini şi deplasări iar pentru calculul de ordinul

III rezultă ecuaţii diferenţiale neliniare

Principiul efectului local al acțiunii sarcinilor enunțat de Barre de Saint-

Venant Acest principiu destul de folosit icircn Rezistenţa Materialelor precizează că dacă

se icircnlocuiesc forţele care acţionează asupra unui element de suprafață al unui corp

elastic printr-un alt sistem de forţe echivalent din punct de vedere static cu primul noua

distribuţie a forţelor produce la locul de aplicare diferenţe semnificative faţă de prima

dar rămacircne fără efect sau cu efect neglijabil la distanţe mari de locul de aplicare al

forţelor figura 312

Ca o cosecință o sarcină uniform distribuită figura 312a poate fi icircnlocuită cu

rezultanta ei figura 312b dacă se analizează efectul sarcinii la distanță mare de locul icircn

care se aplică sarcina

Fig 312 Principiul Saint-Venant

Icircn prima variantă figura 312a forţa 119865 se aplică pe o porțiune oarecare 119897 (sarcină

uniform distribuită) iar icircn a doua figura 312b icircntru-un punct (forţă concentrată) La

locul de aplicare a sarcinii efectul asupra barei este cu totul diferit de la o variantă la

cealaltă Icircnsă la o distanţă mare de punctul de aplicaţie spre exemplu icircn secţiunea situată

la distanţa 119886 de capătul barei sau chiar icircn icircncastrare ambele bare sunt solicitate la fel

Icircn cazul din figura 312a

119872119894(119909) =119901 ∙ 1199092

2 119909 le 119897 119872119894(119909) = 119901 ∙ 119897 ∙ (119909 minus

119897

2) 119909 gt 119897 (324)

Icircn cazul din figura 312b

119872119894(119909) = 0 119909 lt119897

2 119872119894(119909) = 119901 ∙ 119897 ∙ (119909 minus

119897

2) 119909 gt

119897

2 (325)

Se vede că pentru (119909 gt 119897) adică după depășirea locului icircn care se aplică sarcina

efectul este același

Ipoteza lui Bernoulli sau ipoteza secţiunilor plane precizează că o secţiune

plană şi normală pe axa barei icircnainte de deformare rămacircne plană şi normală pe axa

barei şi după deformare figura 313

Fig 313 Ipoteza lui Bernoulli

Ipoteza stării naturale a corpului sau ipoteza absenţei tensiunilor conform

căreia pentru un corp nesolicitat starea de tensiune şi deformaţie este nulă

Perfecţionarea mijloacelor de calcul şi de investigare pot conduce la renunţarea la

unele ipoteze sau la introducerea altora noi mai aproape de stările reale De aici rezultă

caracterul de continuă perfecţionare a metodelor Rezistenţei Materialelor

35 Coeficienţi de siguranţă Tensiuni admisibile

O piesă corespunde din punct de vedere tehnic dacă tensiunile care iau naştere icircn

interiorul piesei datorită sarcinilor aplicate nu depăşesc anumite valori limită stabilite

convenţional Aceste valori limită ale tensiunii sunt corelate cu caracteristicile mecanice

ale materialelor

Tensiunea limită utilizată icircn calculele de rezistenţă este cunoscută sub denumirea

de tensiune admisibilă sau rezistenţă admisibilă Rezistenţa admisibilă reprezintă

valoarea convenţională aleasă icircn calcul pe baza practicii pentru tensiunea maximă care

poate apare icircntr-o piesă icircn condiţii date de material şi solicitare

Rezistenţa admisibilă (120590119886 sau 120591119886) poate fi definită faţă de o stare limită

periculoasă stare care trebuie evitată deoarece poate conduce distrugere

120590119886 =120590119897119894119898119888

(326)

unde

120590119897119894119898 este tensiunea corespunzătoare stării limită periculoase

119888 estesupraunitar 119888 gt 1 și reprezintă coeficientul de siguranţă faţă de starea limită

periculoasă considerată

Alegerea unor valori inferioare pentru rezistenţa admisibilă faţă de tensiunea

corespunzătoare stării limită periculoase este necesară deoarece

cunoaşterea sarcinilor este de cele mai multe ori aproximativă şi o depăşire a

acestora este foarte posibilă

caracteristicile mecanice ale materialelor variază icircn limite destul de mari ele

fiind influenţate de mulţi factori

schema aleasă pentru calcul (aplicarea sarcinilor schematizarea structurii

ipotezele de calcul etc) depărtează modelul faţă de cel real

Pentru calculele de verificare tensiunea efectivă maximă din elementul de

rezistenţă trebuie să fie mai mică sau cel mult egală cu cea admisibilă

120590119890119891119898119886119909 le 120590119886 (327)

Valoarea rezistenţei admisibile este influenţată de foarte mulţi factori natura

materialului tratamentele termice aplicate piesei durata de funcţionare a piesei modul

de acţionare icircn timp a sarcinilor felul solicitării temperatura gradul de periculozitate

icircn cazul cedării piesei etc

De asemenea valoarea coeficientului de siguranţă se alege icircn principal ţinacircnd

seama de aceiaşi factori care influenţează şi rezistenţa admisibilă

Rezistenţele admisibile pentru cacircteva materiale sunt următoarele

pentru oțelul de uz general OL37 solicitat la icircntindere compresiune sau

icircncovoiere 120590119886 = 150 [119872119875119886] pentru lemnul de brad solicitat la

- compresiune icircn lungul fibrelor şi solicitat la icircncovoiere 120590119886 = 10 [119872119875119886] - tracţiune icircn lungul fibrelor 120590119886 = 7 [119872119875119886] - compresiune perpendiculară pe fibre 120590119886 = 15 [119872119875119886] - forfecare icircn lungul fibrelor 120591119886 = 2 [119872119875119886] - forfecare perpendiculară pe fibre 120590119886 = 45 [119872119875119886]

terenuri de fundaţie din pămacircnt uscat sau umed 120590119886 = 020 divide 025 [119872119875119886]

4 CARACTERISTICI GEOMETRICE ALE SECȚIUNILOR PLANE

41 Noţiuni introductive

Icircn relaţiile de calcul ale tensiunilor şi deformaţiilor elementelor de rezistenţă

pentru unele solicitări (icircncovoierea și torsiunea) secțiunile plane intervin atacirct prin

dimensiunile lor (aria 119860) cicirct și prin forma și poziția pe care o are secțiunea icircn raport cu

planul solicitării Mărimile care caracterizează o secțiune icircn raport cu forma și poziția față

de axele unui sistem de referință sunt denumite caracteristici geometrice de ordin

superior Aria secțiunii este caracteristica geometrică ce depinde doar de dimensiunile

geometrice ale acesteia

Să considerăm o grindă solicitată de o forță exterioară 119865 aşezată icircn două poziții icircn

raport cu planul forţei figura 41 Icircn urma aplicării forței deși avem aceeași grindă

(aceeași arie a secțiunii transversale) și aceeași forță se constată că pentru varianta din

figura 41a deformațiile sunt mult mai mari adică rezistența la icircncovoiere a grinzii din

figura 41a este mai mare decacirct icircn cazul grinzii din figura 41b Comportarea diferită se

explică prin aceea că modificarea poziţiei secţiunii transversale faţă de planul forţelor

modifică caracteristicile geometrice ale secţiunii transversale a grinzii

Fig 41 Grindă solicitată de forța 119865

Pentru realizarea calculelor de rezistenţă şi rigiditate este foarte importantă

cunoaşterea caracteristicilor geometrice ale suprafeţei secţiunii transversale a elementelor

de rezistenţă

Caracteristicile geometrice ale secţiunii transversale a unui element de rezistenţă

sunt

- aria secțiunii notată cu 119860

- momentul static icircn raport cu o axă notat 119878119911 și respectiv 119878119910

- momentul de inerție care poate fi

axial notat 119868119911 și respectiv 119868119910

centrifugal notat 119868119911119910

polar notat 119868119901

- raza de inerţie (giraţie)notată 119894119911 și respectiv 119894119910

- modulul de rezistență care poate fi

axial notat 119882119911 și respectiv 119882119910

polar notat 119882119901

42 Aria și momentul static al suprafețelor plane

Fie o suprafaţă plană de arie 119860 pe care se ia un element infinit mic de arie 119889119860 şi

un sistem de axe rectangulare 119911119874119910 figura 42 Notăm cu 119862 centrul de greutate al suprafeţei

119860 Poziţia suprafeţei elementare 119889119860 faţă de acelaşi sistem de coordonate 119911119874119910 este dată

de abscisa 119911 ordonata 119910 și raza polară

Fig 42 Suprafață plană de arie 119860

Aria suprafeţei 119860 figura 42 se defineşte ca fiind

119860 ≝ int 119889119860

119860

(41)

Aria suprafeţei este icircntotdeauna pozitivă și se măsoară icircn [1198981198982] Momentul static al suprafeţei de arie 119860 icircn raport cu axele 119874119911 și respectiv 119874119910

figura 42 sunt date de relaţiile

119878119911 ≝ int 119910 ∙ 119889119860

119860

119878119910 ≝ int 119911 ∙ 119889119860

119860

(42)

Momentul static poate fi pozitiv negativ sau nul şi se măsoară icircn [1198981198983] Coordonatele centrului de greutate ale suprafeței 119860 se detrmină cu relațiile

119910119862 ≝int 119910 ∙ 119889119860119860

119860 119911119862 ≝

int 119911 ∙ 119889119860119860

119860

(43)

Cunoscacircnd coordonatele 119910119862 și 119911119862 ale centrului de greutate 119862 al secțiunii 119860 atunci

momentele statice se pot determina cu relațiile

119878119911 ≝ int 119910 ∙ 119889119860

119860

= 119910119862 ∙ 119889119860 119878119910 ≝ int 119911 ∙ 119889119860

119860

= 119911119862 ∙ 119889119860 (44)

Aceste relații arată că momentul static al unei suprafețe icircn raport cu o axă este

egal cu produsul dintre aria suprafeței și distanța de la centrul ariei la axa respectivă

Dacă suprafaţa se poate descompune icircn 119899 suprafeţe simple la care se cunosc ariile

(1198601 1198602 ⋯ 119860119894⋯ 119860119899) și poziţiile centrelor de greutate 119862119894 faţă de sistemul de referinţă

expresiile momentelor statice capătă următoarea formă

119878119911 = sum 119910119862119894 ∙ 119860119894119899119894=1 = 119910119862 ∙ 119860 119878119910 = sum 119911119862119894 ∙ 119860119894

119899119894=1 = 119911119862 ∙ 119860 (45)

Din relaţiile (45) rezultă că poziţia centrului de greutate 119862 al unei suprafeţe

compuse poate fi determinată cu relaţiile

119910119862 = (sum119910119862119894 ∙ 119860119894

119899

119894=1

) 119860frasl 119911119862 = (sum119911119862119894 ∙ 119860119894

119899

119894=1

) 119860frasl (46)

Icircn relația (45) 119910119862119894 și respectiv 119911119862119894 reprezintă coordonatele centrelor de greutate 119862119894

ale fiecărei suprafețe simple 119860119894 icircn raport sistemul de axe 119911119874119910

Se constată (relaţia 42) că dacă axele sistemului de referinţă trec prin centrul de

greutate (119910119862 = 119911119862 = 0) momentele statice sunt nule Axele icircn raport cu care momentele

statice sunt nule şi care trec prin centrul de greutate al suprafeţei se numesc axe centrale

Observație dacă secțiunea compusă are o axă de simetrie centrul secțiunii se

găsește pe acea axă iar dacă secțiunea este dublu simetrică poziția centrului secțiunii este

la intersecția axelor de simetrie

43 Momente de inerţie

Momentele de inerţie axiale ale unei suprafețe se calculează icircn raport cu axele de

coordonate 119874119911 și respectiv 119874119910 figura 42 și se determină cu relațiile

119868119911 ≝ int 1199102 ∙ 119889119860

119860

119868119910 ≝ int 1199112 ∙ 119889119860

119860

(47)

Unde 119910 și 119911 sunt distanțele de la elementul de arie 119889119860 la cele două axe de

coordonate 119874119911 și respectiv 119874119910

Momentele de inerţie axiale se măsoară icircn [1198981198984] şi sunt icircntotdeauna pozitive (aria

119889119860 este icircntotdeauna pozitivă și este multiplicată cu patratul distanței 1199102 dacă 119868119911 sau 119868119910

sunt nule icircnseamnă ca secțiunea nu există)

Momentele de inerție axiale se calculează icircndeosebi pentru axele centrale (care

trec prin centrul secțiunii) deoarece icircn raport cu acele axe 119868119911 și 119868119910 au valori minime

Momentul de inerţie centrifugal calculat faţă ambele axe ale sistemului de

referinţă 119911119874119910 este definit de relația

119868119911119910 ≝ int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860

(48)

Momentul de inerţie centrifugal se măsoară icircn [1198981198984] şi poate fi pozitiv negativ

sau nul

Momentul de ineție centrifugal este nul 119868119911119910 = 0 dacă cel puțin una din axele 119874119911

sau 119874119910 este axă de simetrie pentru secțiune

Se consideră o suprafaţă dreptunghiulară pe care faţă de axa de simetrie 119874119910 se iau

două suprafeţe elementare de arie 119889119860 simetrice faţă de axa 119874119910 figura 43

Fig 43 Suprafață dreptunghiulară cu două arii elementare 119889119860

Făcacircnd suma momentelor de inerţie centrifugale pentru cele două suprafeţe

elementare 119889119860 (din stacircnga şi din dreapta faţă de axa 119874119910) se obţine

int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860119889119903

+ int (minus119911) ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860119904119905119892

= int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860119889119903

minus int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860119904119905119892

= 0 (49)

Acelaşi raţionament se poate face și pentru icircntreaga suprafaţă de unde obținem că

momentul de inerție centrifugal este nul 119868119911119910 = 0 Deci pentru o suprafaţă plană care

are cel puţin o axă de simetrie momentul de inerţie centrifugal faţă de sistemul care

conţine acea axă de simetrie este nul

Momentul de inerţie polar al unei suprafeţei icircn raport cu un punct (pol) 119874 figura

42 este definit prin relaţia

1198680 = 119868119901 ≝ int 1205882 ∙ 119889119860

119860

= int(1199102 + 1199112) ∙ 119889119860

119860

= 119868119911 + 119868119910 (410)

unde este distanţa de la polul 119874 la elementul de arie 119889119860 Momentul de inerţie polar se

măsoară icircn [1198981198984] şi este totdeauna pozitiv

Momentul de inerţie polar este egal cu suma momentelor de inerţie faţă de două axe

perpendiculare oarecare şi care trec prin polul considerat

Razele de giraţie sau razele de inerţie sunt mărimi calculate icircn raport cu axele

secțiunii și definite de relaţiile

119894119911 ≝ radic119868119911119860 119894119910 = radic

119868119910

119860 (411)

Se exprimă icircn [119898119898] şi sunt icircntotdeauna pozitive Semnificația unei raze de inerție

este distanța la care dacă ar fi concentrată icircntreaga arie s-ar obține același moment de

inerție ca și cel calculat pentru aria reală

44 Modulul de rezistenţă

Modulul de rezistență se calculează icircn raport cu axele de referință sau icircn raport cu

un pol figura 42 și pot fi axiale (119882119911119882119910) sau polar (119882119901) și se determină numai pe baza

momentelor de inerţie cu relațiile figura 43

119882119911119898119894119899 ≝119868119911119910119898119886119909

119882119911119898119886119909 ≝119868119911119910119898119894119899

(412)

119882119910119898119894119899 ≝119868119910

119911119898119886119909 119882119910119898119886119909 ≝

119868119910

119911119898119894119899 (413)

119882119901 ≝119868119901

120588119898119886119909 (414)

unde

119910119898119886119909 119910119898119894119899 reprezintă distanţa de la axa 119874119911 la punctele extreme cele mai

depărtate respectiv cele mai apropiate ale suprafeţei de această axă

119911119898119886119909 119911119898119894119899 reprezintă distanţa de la axa 119874119910 la punctele extreme cele mai

depărtate respectiv cele mai apropiate ale suprafeţei de această axă

120588119898119886119909 reprezintă distanța maximă de la polul 119874 la punctul secțiunii cel mai

icircndepărtat de acesta

Fig 43 Suprafață dreptunghiulară cu două arii elementare 119889119860

Modulele de rezistenţă se exprimă icircn [1198981198983] şi sunt icircntotdeauna pozitive

Explicația este aceea că momentele de inerție care intră icircn relațiile de definiție sunt

pozitive iar distanțele la punctele extreme sunt pozitive (119910119898119886119909 119910119898119894119899 119911119898119886119909 119911119898119894119899 120588119898119886119909 se

iau icircn valoare absolută)

Icircn cazul suprafeţelor compuse modulul de rezistenţă nu se obţine prin icircnsumarea

algebrică a modulelor de rezistenţă ale suprafeţelor simple componente ci numai prin

intermediul momentului de inerţie axial calculat pentru icircntreaga secțiune

Ca și momentele de inerție modulele de rezistență se calculează numai pentru

sistemele de axe centrale

45 Momente de inerţie şi module de rezistenţă pentru suprafeţe simple

451 Secțiune dreptunghiulară

Fie suprafaţa dreptunghiulară din figura 44 de icircnălțime ℎ și lățime 119887 pe care se

consideră suprafaţă elementară de arie 119889119860 = 119887119889119910 la distanța 119910 de axa 119862119911 sistemul de

axe 119911119862119910 trece prin centrul secțiunii iar axele sunt axe de simetrie pentru dreptunghi

Fig 44 Suprafață dreptunghiulară

Pe baza relațiilor de definiți a momentului de inerție 119868119911 se obține

119868119911 ≝ int 1199102 ∙ 119889119860

119860

= int 1199102 ∙ 119887 ∙ 119889119910 = 2int 1199102 ∙ 119887 ∙ 119889119910 = 2 ∙ 119887 ∙1199103

3|ℎ 2frasl

0rArr

ℎ 2frasl

0

ℎ 2frasl

minusℎ 2frasl

rArr 119868119911 =119887 ∙ ℎ3

12

(415)

Analog pentru un element de arie 119889119860 = ℎ ∙ 119889119911 paralel cu axa 119862119910 situat la distanța

119911 de axa 119862119910

119868119910 ≝ int 1199112 ∙ 119889119860

119860

= int 1199112 ∙ ℎ ∙ 119889119911 = 2int 1199112 ∙ ℎ ∙ 119889119910 = 2 ∙ ℎ ∙1199113

3|119887 2frasl

0rArr

119887 2frasl

0

119887 2frasl

minus119887 2frasl

rArr 119868119910 =1198873 ∙ ℎ

12

(416)

Deoarece axele 119862119911 și 119862119910 sunt axe de simetrie momentul de inerție centrifugal este

119868119911119910 = 0 (417)

Pentru un pătrat avacircnd laturile egale (ℎ = 119887 = 119886) momentele de inerţie faţă de

axele centrale au expresia

119868119911 = 119868119910 =1198864

12 (418)

Modulele de rezistență axiale se calculează cu relațiile de definiție ținacircnd cont că

distanțele pacircnă la fibrele extreme sunt

119910119898119886119909 = 119910119898119894119899 =ℎ

2 119911119898119886119909 = 119911119898119894119899 =

119887

2 (419)

Obținem

119882119911119898119894119899 = 119882119911119898119886119909 =119868119911

119910119898119886119909119898119894119899=119887 ∙ ℎ3

12frasl

ℎ2frasl

=119887 ∙ ℎ2

6

119882119910119898119894119899 = 119882119910119898119886119909 =119868119910

119911119898119886119909119898119894119899=1198873 ∙ ℎ

12frasl

1198872frasl

=1198872 ∙ ℎ

6

(420)

452 Suprafaţă circulară

Din motive de simetrie pentru suprafeţele circulare momentele de inerţie faţă de

orice diametru (care reprezintă şi axe centrale) sunt aceleaşi

Considerăm o secțiune circulară plină cu diametrul 119889 și centrul de greutate 119862 Prin

centrul de greutate 119862 trece sistemul de axe ortogonal 119911119862119910 figura 45

Fig 45 Suprafață circulară

La distanța de centrul de greutate 119862 vom lua un element de suprafață mic de arie

(119889119860) de forma unui inel de grosime 119889 Elementul de arie 119889119860 are expresia

119889119860 = (2 ∙ 120587 ∙ 120588) ∙ (119889120588)

Pornind de la relația de definiție a momentului de inerție polar obținem

119868119901 ≝ int 1205882 ∙ 119889119860

119860

= int 1205882 ∙ (2 ∙ 120587 ∙ 120588) ∙ 119889120588

119903=119889 2frasl

0

= 2 ∙ 120587 ∙1205884

4|119889 2frasl0 rArr

rArr 119868119901 =120587 ∙ 1198894

32

(421)

Secțiunea este perfect simetrică deci sunt valabile relațiile

119868119911 = 119868119910 rArr 119868119901 = 119868119911 + 119868119910 = 2 ∙ 119868119911 = 2 ∙ 119868119910 =119868119901

2=120587 ∙ 1198894

64 (422)

Și modulele de rezistenţă faţă de orice diametru sunt egale şi se calculează cu

relaţiile

119882119911 = 119882119910 =1198681199111198892frasl=120587 ∙ 1198893

32 (423)

Modulul de rezistenţă polar este

119882119901 =1198681199011198892frasl=120587 ∙ 1198893

16 (424)

453 Secţiune inelară

Calculul momentelor de inerţie axiale pentru o secţiune inelară avacircnd diametrul

interior 119889 şi diametrul exterior 119863 se determină analog pentru suprafaţa circulară plină cu

observaţia că integrala pentru calculul momentului de inerție polar 119868119901 se face icircntre

limitele 119903 = 119889 2frasl şi R= 1198632frasl (icircntre raza interioară 119903 şi raza exterioară 119877) figura 46

Se obţin relaţiile

119868119901 =120587 ∙ 1198634

32∙ [1 minus (

119889

119863)4

] =120587 ∙ 1198634

32∙ (1 minus 1198964) (425)

119868119910 = 119868119910 =120587 ∙ 1198634

64∙ [1 minus (

119889

119863)4

] =120587 ∙ 1198633

64∙ (1 minus 1198964) (426)

Fig 46 Secțiune inelară

119882119901 =120587 ∙ 1198633

16∙ [1 minus (

119889

119863)4

] =120587 ∙ 1198633

16∙ (1 minus 1198964) (427)

119882119911 = 119882119910 =120587 ∙ 1198633

32∙ [1 minus (

119889

119863)4

] =120587 ∙ 1198633

32∙ (1 minus 1198964) (428)

unde 119896 = 119889119863frasl

46 Variaţia momentelor de inerţie faţă de axe paralele

( Relațiile lui STEINER)

Se consideră o suprafaţă oarecare de arie 119860 cu elementul de arie 119889119860 și un sistemul

de axe central 119911119862119910 faţă de care se cunosc momentele de inerţie 119868119911 119868119910 119868119911119910 şi considerăm

un sistem de axe 11991111198741199101 paralele cu sistemul central figura 47 Se pune problema

determinării momentele de inerţie 1198681199111 1198681199101 11986811991111199101 faţă de sistemul de axe paralel cu sistemul

central 11991111198741199101 axe aflate la distanţele 119910119862 = 119888 respectiv 119911119862 = 119889 de acesta

461 Momente de inerţie axiale

Pe baza relaţiilor de definire şi a notaţiilor din figura 42 pentru momentele de

inerţie faţă de axele 1198741199111 1198741199101 se poate scrie

1198681199111 = int 11991012 ∙ 119889119860

119860

= int(119910 + 119888)2 ∙ 119889119860

119860

= int 1199102 ∙ 119889119860

119860

+ 2 ∙ 119888 ∙ int 119910 ∙ 119889119860

119860

+

+1198882int 119889119860

119860

rArr 1198681199111 = 119868119911 + 2 ∙ 119888 ∙ 119878119911 + 1198882 ∙ 119860 hArr 1198681199111 = 119868119911 + 119888

2 ∙ 119860

(429)

Fig 47 Variaţia momentelor de inerţie față de axe paralele

S-a ajuns la relația (429) deoarece momentul static 119878119911 este nul deoarece axa 119862119885

este axă centrală

Pentru momentul de inerție axial icircn raport cu axa 1198741199101 se obține

1198681199101 = int 11991112 ∙ 119889119860

119860

= int(119911 + 119889)2 ∙ 119889119860

119860

= int 1199112 ∙ 119889119860

119860

+ 2 ∙ 119889 ∙ int 119911 ∙ 119889119860

119860

+

+1198892 ∙ int 119889119860

119860

rArr 1198681199101 = 119868119910 + 2 ∙ 119889 ∙ 119878119910 + 1198892 ∙ 119860 hArr 1198681199101 = 119868119910 + 119889

2 ∙ 119860

(430)

Pentru momentul de inerție centrifugal obținem

11986811991111199101 = int 1199101 ∙ 1199111 ∙ 119889119860

119860

= int(119910 + 119888) ∙ (119911 + 119889) ∙ 119889119860

119860

= int 119910 ∙ 119911 ∙ 119889119860 +

119860

+119888 ∙ int 119911 ∙ 119889119860

119860

+ 119889 ∙ int 119910 ∙ 119889119860

119860

rArr 11986811991111199101 = 119868119911119910 + 119888 ∙ 119889 ∙ 119860

(431)

Deoarece

int 119911 ∙ 119889119860

119860

= 119878119910 = 0 int 119910 ∙ 119889119860

119860

= 119878119911 = 0 int 119910 ∙ 119911 ∙ 119889119860

119860

= 119868119911119910

Relaţiile (429) şi (430) arată că momentul de inerţie faţă de o axă oarecare

este egal cu momentul de inerţie faţă de o axă paralelă cu ea trecacircnd prin centrul de

greutate la care se adaugă produsul dintre aria suprafeţei şi pătratul distanţei dintre

cele două axe

Din relaţiile (429) și (430) rezultă de asemenea că momentul de inerţie faţă de o

axă centrală (care trece prin centrul de greutate) este cel mai mic dintre infinitatea de

momente de inerţie obținute faţă de alte axe paralele cu ea

Relaţia (431) arată de asemenea că momentul de inerţie centrifugal faţă de un

sistem de axe oarecare este egal cu momentul de inerţie centrifugal faţă de un sistem

paralele cu el trecacircnd prin centrul de greutate a suprafeţei la care se adaugă produsul

dintre aria suprafeţei şi distanţele dintre axele sistemelor respective

Icircn literatura de specialitate relaţiile (429) (430) şi (431) sunt cunoscute sub

numele de relaţiile lui Steiner

47 Variaţia momentrlor de inerţie faţă de axe rotite

Direcţii principale şi momente de inerţie principale

Fie suprafaţa plană din figura 48 de arie 119860 pe care considerăm o suprafaţă

elementară de arie 119889119860 Pentru sistemul de axe 119911119874119910 se cunosc momentele de inerţie

119868119911 119868119910 119868119911119910 şi vom determina relaţiile de calcul pentru momentele de inerţie afererent unui

sistem de axe 11991111198741199101 rotit cu un unghi faţă de sistemul central

Faţă de sistemul de axe 11991111198741199101 elementul de arie 119889119860 are coordonatele

1199101 = 119875119877 = 119875119876 minus 119877119876 = 119910 ∙ cos 120572 minus 119911 ∙ sin 120572

1199111 = 119873119872 = 119873119875 minus 119875119872 = 119911 ∙ cos 120572 + 119910 ∙ sin 120572 (432)

Fig 47 Variaţia momentelor de inerţie față de axe rotite

Pe baza relaţiilor de calcul ale momentelor de inerţie şi a notaţiilor din figura 42

şi ale relaţiilor (432) momentele de inerţie faţă de sistemul de axe rotit 11991111198741199101 sunt

1198681199111 =119868119911 + 119868119910

2+119868119911 minus 119868119910

2∙ cos 2120572 minus 119868119911119910 ∙ sin 2120572 (433)

1198681199101 =119868119911 + 119868119910

2minus119868119911 minus 119868119910

2∙ cos 2120572 + 119868119911119910 ∙ sin 2120572 (434)

11986811991111199101 =119868119911 minus 119868119910

2∙ sin 2120572 + 119868119911119910 ∙ cos 2120572 (435)

Din relaţiile 433divide435 se observă că icircntre momentele de inerţie axiale şi cele

polare există relaţia

1198681199111 + 1198681199101 = 119868119911 + 119868119910 = 119868119901 (436)

adică suma momentelor de inerţie axiale icircn raport cu orice pereche de axe ortogonale

care trec printr-un pol dat este o constantă şi egală cu momentul de inerţie polar

Prin rotirea sistemului de axe din relaţiile 433divide435 rezultă că momentele de inerţie

variază icircnsă suma lor rămacircne constantă deci există o poziţie a sistemului de axe pentru

care momentele de inerţie au valori extreme maxim respectiv minim

471 Direcţii principale de inerţie

Valoarea unghiului 120572 pentru care momentele de inerţie axiale au valori extreme

este

1205721 =1

2∙ 119886119903119888119905119886119899 (minus

2 ∙ 119868119911119910

119868119911 minus 119868119910) (437)

Poziţia celeilalte direcţii este perpendiculară pe cea dată de unghiul 1205721

Din relaţia (437) se constată că faţă de aceste direcţii rotite pentru care momentele

de inerţie axiale prezintă valori extreme momentul de inerţie centrifugal 11986811991111199101este nul

Atunci se poate afirma că momentele de inerţie axiale au valori extreme icircn raport cu

direcţiile faţă de care momentul de inerţie centrifugal este nul Aceste direcţii se numesc

direcţii principale iar momentele de inerţie faţă de aceste direcţii poartă numele de

momente de inerţie principale

Icircn calculele de rezistenţă interesează icircn mod special poziţia direcţiilor principale

care trec prin centrul de greutate al suprafeţei aşa numitele direcţii principale centrale şi

evident momentele de inerţie principale centrale

Direcţiile principale de inerţie se notează cu 1 respectiv 2 Axa principală 1

corespunde direcţiei faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea maximă iar

axa principală 2 pentru direcţia faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea

minimă

472 Momente de inerţie principale

Momentele de inerţie principale se notează cu litera 119868 la care se pune indicele 1

sau 2 după cum valoarea acestuia este maximă sau minimă deci avem un moment de

inerţie principal 1 (notat 1198681) respectiv moment de inerţie principal 2 (notat 1198682)

Expresiile pentru momentele de inerţie principale sunt

11986812 =119868119911 + 119868119910

2plusmn1

2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)

2+ 4 ∙ (119868119911119910)

2 (438)

Dacă momentul de inerţie centrifugal este negativ (119868119911119910 lt 0) direcţia principală

care trece prin primul cadran (definit de sistemul 119911119862119910) este direcţia principală 120783

Pentru suprafeţele cu cel puţin o axă de simetrie direcţiile centrale 119862119911 119862119910 sunt şi

direcții principale de inerţie și evident momentele de inerţie axiale 119868119911 119868119910 sunt momente

de inerţie principale

48 Caracteristici mecanice ale metalelor

Alegerea materialului pentru confecţionarea unei anumite piese se face şi pe baza

aşa numitelor caracteristici mecanice pe care le prezintă materialul Cunoaşterea acestor

caracteristici mecanice are loc numai pe baza unor icircncercări mecanice care să scoată icircn

evidenţă comportarea materialului icircn condiţii de solicitare

Cea mai utilizată icircncercare icircn urma căreia se pun icircn evidenţă caracteristicile

mecanice ale unui material este icircncercarea la tracţiune

481 Icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general

Icircncercarea la tracţiune a oţelului ca de altfel toate icircncercările de materiale este

standardizată

Icircn cele ce urmează se va prezenta numai partea care interesează strict din punct

de vedere al caracteristicilor mecanice ale oţelului

Epruveta de diametru iniţial 1198890 pentru icircncercarea la tracţiune are o porţiune de

lungime 1198710 numită baza de măsurare pe care se măsoară lungirea acesteia sub acţiunea

solicitării

Icircn funcţie de raportul dintre baza de măsurare 1198710 şi diametrul iniţial 1198890 epruvetele

utilizate pentru icircncercări sunt

epruvete normale (scurte) cacircnd 11987101198890 = 5

epruvete lungi cacircnd 11987101198890 = 10

Icircn timpul icircncercării la diferite valori ale forţei 119865 se măsoară lungirea bazei de

măsurare

∆119871 = 120575 = 119871 minus 1198710 (439)

unde

119871 este dimensiunea bazei de măsurare la un moment dat

Curba forţă-lungire (119865 minus ) icircnregistrată icircn urma icircncercării reprezintă curba

caracteristică la tracţiune

La icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general diagrama caracteristică care se

obţine are forma din figura 48

Curba caracteristică la tracţiune depinde de lungimea bazei de măsurare Pentru

icircnlăturarea acestui neajuns curba caracteristică se reprezintă icircn coordonate şi definite

astfel

120590 =119865

1198600 휀 =

120575

1198710 (440)

unde

1198600 este aria iniţială a secţiunii transversale a epruvetei (icircnainte de solicitare) icircn

zona bazei de măsurare

1198600 =120587 ∙ 1198890

2

4

Deoarece mărimile icircn care se reprezintă curba caracteristică la tracţiune sunt

raportate la aria iniţială a secţiunii transversale (mărimi specifice) curba poartă numele

de curbă caracteristică convenţională la tracţiune

Fig 48 Curba caracteristică convenţională la tracțiune

Pe curba caracteristică convenţională la tracţiune figura 48 se pot stabili o serie

de puncte cărora le corespund mai multe mărimi importante

Ordonata punctului A pacircnă unde curba caracteristică convenţională este linie

dreaptă se numeşte limita de proporţionalitate a materialului 120590119901(1205901) Porţiunea 119874119860 este

zona de proporţionalitate a curbei caracteristice pe acest domeniu este valabilă legea lui

Hooke care exprimă o proporţionalitate icircntre tensiune şi deformaţie specifică

120590 = 119864 ∙ 휀 (441)

unde

119864 = reprezintă panta porţiunii liniare a curbei convenționale caracteristice

la tracțiune Caracteristica de material 119864 se numeşte modul de elasticitate longitudinal

(modulul lui Young)

Ordonata punctului 119861 pacircnă unde materialul se comportă perfect elastic adică

după descărcare icircşi recapătă dimensiunea iniţială 1198710 se numeşte limita de elasticitate

120590119890(119877119890) Icircn realitate nici un material nu are comportare perfect elastică sub acţiunea

solicitărilor el capătă deformaţii permanente (remanente plastice)

După punctul 119861 urmează o porţiune 119861119862119863 icircn care cu toate că icircncărcarea

continuă forţa nu mai creşte avacircnd mici oscilaţii icircn jurul unei valori Se spune că icircn

această porţiune materialul curge iar intervalul 119861119862119863 este un palier de curgere Tensiunea

corespunzătoare palierului de curgere se numeşte limită de curgere aparentă 120590119888(119877119888) Limita de curgere aparentă se calculează cu relaţia

120590119888 =1198651198881198600 (442)

unde

119865119888 reprezintă valoarea forţei icircnregistrată icircn momentul curgerii materialului

După punctul 119863 curba caracteristică are un traseu ascendent pacircnă icircn punctul 119864

Porţiunea 119863119864 este numită zonă de icircntărire (ecruisare) Icircn zona de ecruisare unde se

produc deformaţii plastice semnificative legea lui Hooke nu mai este valabilă La

descărcare relaţia dintre tensiunea şi deformaţia specifică este liniară paralelă cu

porţiunea liniară a curbei caracteristice (dreapta 119872119873)

Deformaţia totală (휀119905) are două componente una elastică (휀119890) şi una plastică (휀119901)

Ordonata punctului 119864 reprezintă rezistenţa de rupere 120590119903(119877119898) a materialului

care se poate calcula cu relaţia

120590119903 = 119877119898 =1198651198981198861199091198600

(443)

unde

119865119898119886119909 reprezintă valoarea maximă a forţei icircnregistrată icircn timpul icircncercării

La atingerea valorii 119865119898119886119909 (punctul 119864) icircntr-un anumit loc al epruvetei secţiunea

icircncepe să se micşoreze (se produce gacirctuirea) continuacircnd pacircnă cacircnd se produce ruperea

totală (punctul 119865)

Dacă după ruperea epruvetei cele două părţi rezultate se aşează cap la cap şi se

măsoară dimensiunea bazei de măsurare 119871119906 (lungimea ultimă) se determină alungirea la

rupere sau lungirea specifică la rupere 휀119903

휀119903 =119871119906 minus 11987101198710

=∆119871

1198710=120575

1198710 (444)

De obicei alungirea se exprimă icircn procente şi se notează cu 119860119899 unde 119899 reprezintă

numărul dat de raportul 11987101198890 (epruvete normale 119899 = 5 epruvete lungi 119899 = 10)

119860119899 =119871119906 minus 11987101198710

∙ 100 [] (445)

Altă mărime care se determină la icircncercarea la tracţiune este gacirctuirea la rupere

(exprimată de obicei icircn procente) şi definită de relaţia

119885 =1198600 minus 1198601199061198600

∙ 100 [] (446)

Mărimile determinate limita de proporţionalitate modulul de elasticitate

longitudinal limita de elasticitate limita de curgere aparentă rezistenţa de rupere

alungirea la rupere şi gacirctuirea la rupere sunt cunoscute ca fiind caracteristici mecanice

ale materialului

Din curba caracteristică convenţională observăm faptul că ruperea (punctul 119865 din

figura 48 se produce la o tensiune mai mică decacirct cea corespunzătoare punctului 119864 Dacă

icircnsă forţa din timpul icircncercării s-ar raporta la aria secţiunii din momentul icircnregistrării

forţei (care este mai mică decacirct cea iniţială 1198600) s-ar obţine aşa numita curbă

caracteristică reală a materialului (traseul 1198741198601198611198621198631198651 din figura 48) La curba

caracteristică reală ruperea se produce icircn punctul 1198651 la o icircncărcare mai mare decacirct cea

corespunzătoare punctului 119864 Icircnseamnă că rezistenţa reală la rupere este mai mare decacirct

rezistenţa la rupere dată de punctul 119864 din diagrama caracteristică convenţională

Dificultatea obţinerii diagramei caracteristice reale faţă de cea a diagramei caracteristice

convenţionale şi considerarea unei rezistenţe la rupere mai mică decacirct a celei reale face

icircn practică utilizarea pe scară mare a diagramei caracteristice convenţionale

Caracteristicile mecanice determinate pe baza curbei caracteristice convenţionale

sunt şi ele caracteristici mecanice convenţionale

Caracteristicile mecanice convenţionale limita de proporţionalitate convenţională

120590119901 limita de elasticitate convenţională 120590119890 limita de curgere convenţională 120590119888 şi rezistenţa

de rupere 120590119903 constituie tensiuni limită pentru un material Pe baza acestor caracteristici

de material se alege valoarea tensiunii admisibile 120590119886 (vezi paragraful 35) pentru

calculele de rezistenţă Cea mai utilizată stare limită pentru stabilirea tensiunii admisibile

120590119886 este limita de curgere convenţională 120590119888

120590119886 =120590119897119894119898119888

=120590119888119888 119904119886119906 120590119886 =

120590119903119888 (447)

Caracteristicile mecanice ale materialului sunt influenţate de o serie de factori

temperatura viteza de solicitare factorii tehnologici iar valorile lor sunt date icircn tabele și

diagrame

Aplicaţie Pentru suprafaţa plană compusă din două dreptunghiuri avacircnd

dimensiunile din figura 49a să se calculeze

a) centrul de greutate al secțiunii compuse 119910119866 119911119866

b) momentele de inerție axiale 119868119911 119868119910 și momentul de inerție centrifugal 119868119911119910

c) razele de inerție 119894119911 119894119910

d) modulele de rezistență 119882119911119898119894119899 119882119911119898119886119909 119882119910119898119894119899 119882119910119898119886119909

e) momentele de inerție principale 1198681 1198682 și direcțiile principale de inerție 1205721

f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 119878119911

Fig 49 Aplicație

Rezolvare Pentru rezolvare vom parcurge următoarele etape

icircmpărțim suprafața compusă icircn două suprafețe simple (dreptunghiuri) notate cu

① și respectiv ② figura 49b

poziționăm centrele de greutate a celor două suprafețe simple ① și respectiv ②

notate cu 1198661 și respectiv 1198662 figura 49c

poziționăm sistemele de axe de coordonate 119911111986611199101 pentru dreptunghiul ① și

119911211986621199102 pentru dreptunghiul ② aflate la intersecția diagonalelor figura 49c

poziționăm sistemele de axe de coordonate 11991101198741199100 ales arbitrar față de care

determinăm poziția centrului de greutate 119866 figura 49c

a) calculăm poziția centrului de greutate folosind relațiile (46) icircn care

1198601 = 6119905 ∙ 119905 = 61199052 1198602 = 4119905 ∙ 119905 = 41199052 119860 = 1198601 + 1198602 = 61199052 + 41199052 = 101199052

iar centrele de greutate 1198661 și respectiv 1198662 au coordonatele (față de sistemul 11991101198741199100)

1198661 1199101 = 3119905 1199111 = 05119905

1198662 1199102 = 051199051199112 = 3119905

cu acestea obținem

119910119866 =1198601 ∙ 1199101 + 1198602 ∙ 1199102

119860=61199052 ∙ 3119905 + 41199052 ∙ 05119905

101199052=201199053

101199052= 2119905

119911119866 =1198601 ∙ 1199111 + 1198602 ∙ 1199112

119860=61199052 ∙ 05119905 + 41199052 ∙ 3119905

101199052=151199053

101199052= 15119905

Poziționăm centrul de greutate 119866 al suprafeței compuse figura 49c

Fig 49 Aplicație

b) pentru determinarea momentelor de inerție axiale 119868119911 119868119910 și a momentului de

inerție centrifugal 119868119910119911 determinăm constantele 1198881 1198882 1198891 1198892 care intervin icircn relația lui

Stainer

1198881 = 1199101 minus 119910119866 = 3119905 minus 2119905 = 119905 1198882 = minus(119910119866 minus 1199102) = minus(2119905 minus 05119905) = minus15119905

1198891 = minus(119911119866 minus 1199111) = minus(15119905 minus 05119905) = minus119905 1198892 = 1199112 minus 119911119892 = 3119905 minus 15119905 = 15119905

Folosind relațiile lui Stainer (429) (430) și (431) calculăm momentele de

inerție axiale și centrifugale față de sistemul central 119911119866119866119910119866

119868119911 =sum(119868119911119894 + 1198881198942 ∙ 119860119894) = 1198681199111 + 1198881

2 ∙ 1198601 + 1198681199112 + 11988822 ∙ 1198602

119868119910 =sum(119868119910119894 + 1198891198942 ∙ 119860119894) = 1198681199101 + 1198891

2 ∙ 1198601 + 1198681199102 + 11988922 ∙ 1198602

119868119911119910 =sum(119868119911119894119910119894 + 119888119894 ∙ 119889119894 ∙ 119860119894) = 11986811991111199101 + 1198881 ∙ 1198891 ∙ 1198601 + 11986811991121199102 + 1198882 ∙ 1198892 ∙ 1198602

1198681199111 = (119887 ∙ ℎ3

12) =

119905 ∙ (6119905)3

12= 181199054 1198681199112 = (

119887 ∙ ℎ3

12) =

4119905 ∙ 1199053

12= 031199054

1198681199101 = (1198873 ∙ ℎ

12) =

1199053 ∙ 6119905

12= 051199054 1198681199102 = (

1198873 ∙ ℎ

12) =

(4119905)3 ∙ 119905

12= 531199054

11986811991111199101 = 11986811991121199102 = 0 deoarece cele două triunghiuri au cel puțin o axă de simetrie

Cu acestea momentele de inerție axiale și momentul de inerție centrifugal devin

119868119911 = 181199054 + 1199052 ∙ 61199052 + 031199054 + (minus15119905)2 ∙ 41199052 = 3331199054

119868119910 = 051199054 + (minus119905)2 ∙ 61199052 + 531199054 + (15119905)2 ∙ 41199052 = 2081199054

119868119911119910 = 0 + 119905 ∙ (minus119905) ∙ 61199052 + 0 + (minus15119905) ∙ (15119905) ∙ 41199052 = minus151199054

c) razele de inerție sau de girație față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910

se calculează cu relațiile (411)

119894119911 = radic119868119911119860= radic

3331199054

101199052= 182119905 119894119910 = radic

119868119910

119860= radic

2081199054

101199052= 144119905

d) modulele de rezistență față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910 se

calculează cu relațiile (412) și (413)

Avacircnd icircn vedere figura 419c obținem

119910119898119886119909 = 6119905 minus 119910119866 = 6119905 minus 2119905 = 4119905 119910119898119894119899 = minus119910119866 = minus2119905

119911119898119886119909 = 5119905 minus 119911119866 = 5119905 minus 15119905 = 35119905 119911119898119894119899 = minus119911119866 = minus15119905

Se obține astfel

119882119911119898119894119899 =119868119911

|119910119898119886119909|=3331199054

4119905= 8331199053

119882119911119898119886119909 =119868119911

|119910119898119894119899|=3331199054

2119905= 16651199053

119882119910119898119894119899 =119868119910

|119911119898119886119909|=2081199054

35119905= 5941199053

119882119910119898119886119909 =119868119910

|119911119898119894119899|=2081199054

15119905= 13871199053

e) momentele de inerție principale 1198681 și respectiv 1198682 se calculează cu relațiile

(438)

11986812 =119868119911 + 119868119910

2plusmn1

2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)

2+ 4 ∙ (119868119911119910)

2=

=3331199054 + 2081199054

2plusmn1

2∙ radic(3331199054 minus 2081199054)2 + 4 ∙ (minus151199054)2 = 27051199054 plusmn 16251199054

De unde obținem

1198681 = 27051199054 + 16251199054 = 4331199054

1198682 = 27051199054 minus 16251199054 = 1081199054

Prima direcție principală de inerție 1 face cu axa centrală 119866119911 unghiul 1205721 dat de

relația (437)

1205721 =1

2∙ arctan (minus

2 ∙ 119868119911119910

119868119911 minus 119868119910) =

1

2∙ arctan [minus

2 ∙ (minus151199054)

3331199054 minus 2081199054] =33 70

Deoarece 1205721 gt 0 rotirea axelor se face acircn sens antiorar acelor de ceasornic figura

49d

Poziția axe principale 2 față de care momentul de inerție are valoarea minimă

1198682 = 119868119898119894119899 este dată de unghiul

1205722 = 1205721 + 900 = 33 70 + 900 = 123 70

f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 se determină cu relația

(45)

1198781199111198602 = 1198602 ∙ 1198882 = 41199052 ∙ (minus15119905) = minus61199053

1 MECANICA SOLIDULUI RIGID

11 Aspecte fundamentale

Mecanica reprezintă prima ştiinţă a naturii riguros fundamentată de către Isaac

Newton (1642-1727) Mecanica studiază repausul şi mişcarea corpurilor

La baza mecanicii stau patru principii fundamentale

I Principiul inerţiei Un corp punctiform (punct material) icircşi păstrează starea de

repaus sau de mişcare rectilinie uniformă atacircta timp cacirct nu intervine o cauză exterioară

(forță) care să-i schimbe această stare

II Principiul acțiunii forței equiv Legea lui Newton Dacă asupra unui corp

punctiform (punct material) acţioneză o forţă aceasta va imprima corpului o acceleraţie

coliniară icircn acelaşi sens şi proporţională cu forţa aplicată ( = 119898 ∙ ) unde 119898 este

mărimea scalară numită masa punctului material și exprimă modul icircn care reacționează

punctul față de acțiunile corpurilor din exterior

III Principiul acţiunii şi reacţiunii Dacă asupra unui corp punctiform acţionează

un alt corp punctiform cu o forţă atunci şi acesta va acţiona asupra primului cu o forţă

coliniară egală şi de sens contrar cu forţa iniţială O altă formulare a cestui principiu

bdquoforțele de interacțiune dintre două puncte materiale sunt icircntotdeauna egale și opuserdquo

IV Icircn afara acestor 3 principii sunt valabile și următoarele afirmații

Efectul pe care icircl produce o forță asupra unui punct este independent de efectul

celorlalte forțe ce acționează simultan asupra aceluiași punct (acțiunea forței este

independentă și se poate folosi principiul suprapunerii efectelor)

Dacă asupra unui corp punctiform acţionează mai multe forţe avicircnd direcții

diferite efectul acestora este echivalent cu efectul rezultantei forţelor asupra corpului

Mecanica studiază următoarele modele de corpuri

a) Punctul material (corpul punctiform) Modelul presupune că icircntreaga masă a

corpului poate fi concentrată icircntr-un punct geometric fără dimensiuni (adimensional)

b) Modelul solidului rigid Acest model presupune faptul că oricacirct de mari ar fi

forţele exterioare aplicate corpului acesta nu se deformează MECANICA studiază

modelul solidului rigid de aceea mecanica se mai numeşte MECANICA SOLIDULUI

RIGID

c) Modelul solidului deformabil Conform acestui model icircn calcule este necesar să

se ţină cont de deformaţiile produse asupra corpului de către forţele exterioare aplicate

REZISTENŢA MATERIALELOR studiază modelul solidului deformabil de aceea se

mai numeşte MECANICA SOLIDULUI DEFORMABIL

Mecanica solidului rigid are trei capitole

Statica se ocupă cu studiul echilibrului solidului rigid şi analizează condiţiile pe

care acesta trebuie să le icircndeplinească pentru a fi icircn echilibru

Cinematica studiază mişcarea mecanică a corpurilor fără a ține seama de

masele acestora și de forțele care acționează asupra lor Studiul mișcării unui corp

presupune determinarea poziției corpului precum și a vitezei și accelerației oricărui punct

din corp Noțiunile fundamentale din cinematică sunt cele de spațiu și de timp iar unul

din principiile fundamentale este cel al determinismului mecanic (prin precizarea de

regulă a condițiilor inițiale icircn care icircncepe mișcarea)

Dinamica studiază mişcarea corpurilor rigide sub acţiunea forţelor exterioare

aplicate acestora Problema fundamentală a dinamicii este de a determina legile de

mișcare ale unui corp pe baza cunoașterii forțelor care acţionează asupra acestuia

12Elemente mecanice de calcul

Există situaţii icircn practică icircn care aceleaşi forţe produc efecte diferite asupra unui

solid rigid figura 11

Fig 11 Efectul forțelor asupra unui solid rigid

Asupra aceluiaşi corp acţionează două forţe egale de sensuri contrare dispuse

diferit figura 11 Rezultanta celor două forţe este nulă

Icircn cazul din figura 11a corpul rămacircne icircn echilibru (nu se deplasează) iar icircn cazul

din figura 12b corpul nu este icircn echilibru ci se roteşte sub acţiunea celor două forţe icircn

sensul indicat de săgeată

Aşadar pentru a caracteriza efectele produse de cele două forţe asupra corpurilor

sunt necesare şi alte elemente mecanice de calcul icircn afară de rezultanta forţelor

121 Momentul unei forţe icircn raport cu un punct

Considerăm un solid rigid asupra căruia acţionează o forţă aplicată icircn punctul A

şi fie O un punct din spaţiu figura 12

Fig 12 Momentul unei forțe icircn raport cu un punct

Se defineşte momentul forţei icircn raport cu punctul O produsul vectorial

119874 = 119874119860 times = 119903 times (11)

unde 119903 este vectorul de poziţie al punctului A icircn raport cu punctul O

Vectorul moment 119874 are următoarele elemente

a) Modulul 1198720 = 119865 ∙ 119903 ∙ sin 120572 = 119865 ∙ 119889 unde 119889 este distanţa de la punctul O la

dreapta suport ∆ a forţei şi se numeşte braţul forţei

b) Direcţia perpendiculară pe planul determinat de punctul O şi forţa

c) Sensul dat de regula burghiului drept

d)Punctul de aplicaţie O

Observaţie Momentul unei forţe icircn raport cu un punct este nul dacă suportul

forţei trece prin punctul respectiv (119889 = 0)

122 Momentul unei forţe icircn raport cu o axă

Considerăm un solid rigid asupra căruia acţionează o forţă aplicată icircn punctul A

şi fie D o axă din spaţiu figura 13

Fig 13 Momentul unei forțe icircn raport cu o axă

Se defineşte momentul forţei icircn raport cu axa 119863 ca fiind proiecţia pe axa 119863 a

momentului forţei icircn raport cu un punct arbitrar de pe axa respectivă (O)

119872119863 = 119872119874 ∙ cos 120575 (12)

Momentul forţei icircn raport cu punctul O (119874)se calculează relația (11)

Observaţii

- Momentul unei forţe icircn raport cu o axă este nul dacă forţa şi axa sunt icircn acelaşi

plan (dacă sunt paralele sau dacă suportul forţei intersectează axa)

- Momentul unei forţe icircn raport cu o axă (119863) nu depinde de punctul O ales

arbitrar pe axă

123 Momentul unui cuplu de forţe

Un cuplu de forţe este o pereche de forţe egale de sensuri contrare situate pe

suporturi paralele (1 = minus2 1198651 = 1198652 = 119865) Evident rezultanta unui cuplu de forţe este

nulă figura 14

Fig 14 Momentul unui cuplu de forțe

Se defineşte momentul cuplului de forţe ca fiind suma momentelor celor două forţe

icircn raport cu un punct arbitrar din spaţiu O

119888119906119901 = 1199031 times 1 + 1199032 times 2 = 1199031 times 1 + 1199032 times (minus1) = 119903 times 1 (13)

119888119906119901 = 11986021198601 times 1 = 11986011198602 times 2

Din ultima egalitate se observă că momentul cuplului este egal cu momentul unei

forţe din cuplu icircn raport cu punctul de aplicaţie al celeilalte forţe din cuplu iar momentul

cuplului nu depinde de punctul O deci este un vector liber

Vectorul moment 119888119906119901 are următoarele elemente

a) Modulul cuplului 119888119906119901 = 119865 ∙ 119903 ∙ sin 120572 = 119865 ∙ 119889 unde 119889 este distanţa dintre

suporturile celor două forţe şi se numeşte braţul cuplului

b) Direcţia cuplului este perpendiculară pe planul celor două forţe

c) Sensul cuplului este dat de regula burghiului drept

13Reducerea sistemelor de forţe Echilibrul solidului rigid

Dacă asupra unui solid rigid acţionează un sistem complex de forţe pentru

simplificarea calculelor se urmăreşte icircnlocuirea acestuia cu cel mai simplu sistem posibil

care să producă acelaşi efect mecanic asupra corpului studiat ca şi sistemul iniţial de forţe

Această operaţie se numeşte reducerea sistemului de forţe

131 Reducerea unei forţe icircntr-un punct Torsorul de reducere

A reduce o forţă icircntr-un punct icircnseamnă a icircnlocui acea forţă cu cele mai simple

elemente mecanice legate de punctul respectiv care să producă asupra corpului studiat

acelaşi efect ca şi forţa iniţială

Fie o forţă aplicată icircn punctul A al unui solid rigid şi O un punct din spaţiu

figura 15 vom determina elementele mecanice corespunzătoare reducerii forţei icircn

punctul O

Fig 15 Reducerea unei forțe icircntr-un punct

Icircn punctul O se introduce un sistem de două forţe coliniare egale cu de sensuri

contrare pe un suport paralel cu forţa iniţială Efectul acestora asupra corpului este nul

Apare astfel un cuplu de forţe forţa din A şi (minus) din O caracterizat prin momentul

cuplului 119888119906119901 = 0 = 119874119860 times = 119903 times

Aşadar efectul forţei din A a fost icircnlocuit icircn punctul O cu două elemente

mecanice o forţă identică cu aplicată icircn O şi momentul forţei iniţiale icircn raport cu

punctul O Ansamblul celor două elemente mecanice formează aşa numitul torsor de

reducere al forţei icircn punctul O

132 Reducerea unui sistem de forţe icircntr-un punct

Considerăm că asupra unui solid rigid acţionează un sistem de 119899 forţe 119894 aplicate

icircn punctele 119860119894 cu 119894 = 1 119899 şi fie 119874119909119910119911 un sistem de axe de coordonate avacircnd versorii

axelor 119894 119895 figura 16

Fig 16 Reducerea unui sistem forțe icircntr-un punct

Pentru a reduce sistemul de forţe icircn punctul O se procedează astfel

Se reduce pe racircnd fiecare forţă 119894 icircn punctul O la un torsor de reducere compus

dintr-o forţă 119894 şi un moment 119874119894 = 119903119894 times 119894 Făcacircnd această operaţie cu toate forţele icircn

punctul O se obţine

o forţă rezultantă

= sum119894

119899

119894=1

un moment rezultant

0 =sum119874119894

119899

119894=1

=sum119903119894 times 119894

119899

119894=1

Cele două elemente mecanice definesc torsorul de reducere al sistemului de forţe

icircn punctul O

Torsorul de reducere se poate calcula analitic dacă forţele sunt exprimate analitic

119894 = 119883119894 ∙ 119894 + 119884119894 ∙ 119895 + 119885119894 ∙ unde 119883119894 119884119894 119885119894 sunt proiecţiile forţei 119894 pe axele 119874119909 119874119910

respectiv 119874119911 Rezultanta forţelor icircn punctul O este

= (sum119883119894

119899

119894=1

) ∙ 119894 + (sum119884119894

119899

119894=1

) ∙ 119895 + (sum119885119894

119899

119894=1

) ∙ = 119883 ∙ 119894 + 119884 ∙ 119895 + 119885 ∙

(14)

unde sunt componentele rezultantei pe axele 119874119909 119874119910 și 119874119911 = + +

Icircn mod analog momentul rezultant icircn punctul O este

0 = (sum119872119909119894

119899

119894=1

) ∙ 119894 + (sum119872119910119894

119899

119894=1

) ∙ 119895 + (sum119872119911119894

119899

119894=1

) ∙ =

= 119872119909 ∙ 119894 + 119872119910 ∙ 119895 + 119872119911 ∙

(15)

unde 119909 119910 119911 sunt componentele vectorului moment 0 pe axele 119874119909 119874119910 respectiv 119874119911

0 = 119909 + 119910 + 119911

133 Echilibrul solidului rigid

Torsorul de reducere al sistemului de forţe determină mişcarea solidului rigid icircn

spaţiu sub acţiunea forţelor exterioare aplicate

Torsorul de reducere conţine o forţă rezultantă cu trei componente

perpendiculare icircntre ele şi un moment rezultant avacircnd trei componente ortogonale

perpendiculare 119909 119910 119911 orientate după axele sistemului 119874119909119910119911 Cele trei componente

ale rezultantei produc translaţii (deplasări liniare ) ale corpului pe direcţiile 119874119909 119874119910

respectiv 119874119911 Componentele momentului rezultant 0 produc rotiri (deplasări

unghiulare) ale corpului icircn jurul axelor de coordonate 119874119909 119874119910 respectiv 119874119911 Se spune ca

solidul liber are 6 grade de libertate (6 posibilităţi de deplasare) Pentru ca solidul să fie

icircn echilibru trebuie suprimate toate gradele de libertate Aşadar corpul este icircn echilibru

dacă elementele torsorului de reducere al forţelor exterioare este nul

Condiţiile de echilibru ale solidului rigid sunt

= 0 rArr 119883 = 119884 = 119885 = 0

0 = 0 rArr 119872119909 = 119872119910 = 119872119911 = 0

(16)

Observaţie Un solid rigid liber solicitat de forţe aplicate icircntr-un plan (119909119900119910) are

trei grade de libertate Condiţiile de echilibru sunt

= 0 rArr 119883 = 119884 = 0

0 = 0 rArr 119872119911 = 0

(17)

14 Aplicaţii

141 Să se stabilească mărimea şi ordinul rezultantei sistemului de forţe din figura

17 dacă se cunosc 1 = 100 [119873] 2 = 200 [119873] și 3 = 300 [119873]

Rezolvare

Pentru rezolvarea acestui sistem de forte de prezinta doua metode

a) Rezolvare analitică

Descopunem cele două forțe icircnclinate 2 și 3 după cele două axe de coordonate

Ox și Oy

2 = (minus1198652119909) ∙ 119894 + (1198652119910) ∙ 119895 = (minus1198652 ∙ cos 600) ∙ 119894 + (1198652 ∙ sin 60

0) ∙ 119895 =

= (minus200 ∙1

2) ∙ 119894 + (200 ∙

radic3

2) ∙ 119895 = minus100 ∙ 119894 + 100 ∙ radic3 ∙ 119895

3 = (minus1198653119909) ∙ 119894 + (minus1198653119910) ∙ 119895 = (minus1198653 ∙ cos 450) ∙ 119894 + (minus1198653 ∙ sin 45

0) ∙ 119895 =

= (minus300 ∙radic2

2) ∙ 119894 + (minus300 ∙

radic2

2) ∙ 119895 = minus150 ∙ radic2 ∙ 119894 minus 150 ∙ radic2 ∙ 119895

Pentru stabilirea mărimii şi ordinului rezultantei sistemului de forţe din figură se

procedează astfel

Forţele sunt exprimate analitic 119894 = 119883119894 ∙ 119894 + 119884119894 ∙ 119895 unde 119883119894 119884119894 sunt proiecţiile

forţei 119894 pe axele 119874119909 respectiv 119874119910

1 = 100 ∙ 119894 + 0 ∙ 119895

2 = minus100 ∙ 119894 + 1732 ∙ 119895

3 = minus2121 ∙ 119894 minus 2121 ∙ 119895

Fig 17 Aplicația 141

Se determină rezultanta forţelor cu următoarea relaţie

= sum119865119894 prime (sum119883119894

119899

119894=1

) ∙ 119894 + (sum119884119894

119899

119894=1

) ∙ 119895 = 119883 ∙ 119894 + 119884 ∙ 119895

unde 119883 119884 sunt componentele rezultantei pe axele 119874119909 respectiv 119874119910 = +

= (100 minus 100 minus 2121) ∙ 119894 + (0 + 1732 minus 2121) ∙ 119895 = (minus2121) ∙ 119894 + (minus389) ∙ 119895

rArr 119883 = minus2121 [119873]

119884 = minus389 [119873]

Cu acestea obținem rezultanta

119877 = radic1198832 + 1198842 = radic(minus2121)2 + (minus389)2 = 21564 [119873]

Se reprezintă grafic rezultanta icircn sistemul de coordonate 119909119874119910 după care se

calculează unghiul 120572 pe care aceasta rezultantă icircl face cu axa 119874119909 figura 18

tan 120572 =119884

119883=minus389

minus2121= 0183 rArr 120572 = arctan(0183) = 10 40

Fig 18 Reazultanta forțelor aplicate

b) Rezolvare tabelară

Forţa 119894 Componenta 119883119894 Componenta 119884119894

1 1198651 = 100 1198651 = 0

2 minus1198652 ∙ cos 600 = minus100 1198652 ∙ sin 60

0 = 1732

3 minus1198653 ∙ cos 450 = minus2121 minus1198653 ∙ sin 45

0 = minus2121

= sum119894 119883 =sum119883119894 = minus2121 119884 =sum119884119894 = minus389

După determinarea tabelară a celor două componente ale rezultandei calculele se

continua ca şi icircn cazul rezolvării analitice

142 Să se calculeze momentul forţei verticale = 100 [119873] icircn raport cu punctele

B D O şi icircn raport cu axele Ox Oy şi Oz figura 19 și să se determine componentele

torsorului de reducere ale forţei icircn punctul O dacă se cunosc 119886 = 3 [119898] şi 119887 = 4 [119898]

Fig 19 Aplicația 142

Fig 110 Icircnclinarea momentului 119872119874

119861 = 119861119860 times

119872119861 = 119886 ∙ 119865 = 3 ∙ 100 = 300 [119873 ∙ 119898]

119863 = 119863119860 times

119872119863 = 119887 ∙ 119865 = 4 ∙ 100 = 400 [119873 ∙ 119898]

119874 = 119874119860 times

119872119874 = 119888 ∙ 119865 = radic1198862 + 1198872 ∙ 119865 = radic32 + 42 ∙ 100 = 5 ∙ 100 = 500 [119873 ∙ 119898]

119874 se află icircn planul 119909119874119910 cu icircnclinarea 120572 (figura 110)

tan120572 =119886

119887=3

4= 075 rArr 120572 = arctan(075) = 36860

Deci

120572 = 900 minus 120573 = 900 minus 36860 = 53140

Concluzie Componentele torsorului de reducere al forței icircn punctul O sunt o forta

icircn O identică cu forța din punctul A și momentul forței icircn raport cu punctul O 119874

2 INTRODUCERE IcircN REZISTENŢA MATERIALELOR

21 Obiectul şi problemele Rezistenţei materialelor

Rezistenţa materialelor este o disciplină de cultură tehnică generală care continuă

logic şi dezvoltă Mecanica prin introducerea icircn calcule a proprietăţilor de deformabilitate

ale corpurilor solide reale Icircn Mecanică corpul solid este considerat rigid nedeformabil

iar vectorii forţă de icircncărcare sunt consideraţi alunecători Rezistenţa materialelor ia icircn

studiu corpurile reale care sub acţiunea forţelor exterioare (vectori legaţi) icircşi schimbă

forma geometrică respectiv dimensiunile iniţiale şi se distrug prin rupere la valori mari

ale acestora Prin calculele de rezistenţă se determină dimensiunile secţiunilor

transversale ale corpurilor (elemente de rezistenţă) icircn funcţie de mărimea poziţia şi modul

de acţionare a forţelor exterioare proprietăţile mecanice ale materialelor dimensiunile

constructive forma şi importanţa ansamblului icircn care se icircnglobează iar icircn anumite cazuri

şi de durata de funcţionare Elementele de rezistenţă trebuie să icircndeplinească următoarele

condiţii de bază

- condiţia de rezistenţă care are icircn vedere ca eforturile din elementul de rezistenţă

să nu producă distrugerea acestuia prin rupere sau spargere icircn bucăţi

- condiţia de rigiditate se referă la valorile deformaţiilor care nu trebuie să

depăşească anumite mărimile admisibile

- condiţia de stabilitate care consideră posibilitatea menţinerii formei de echilibru

stabil pentru o anumită stare de icircncărcare

Criteriile de rezolvare ale problemelor de Rezistenţa materialelor sunt

- criteriul economic prin care se impune ca orice element de rezistenţă (piesă) să

fie proiectat şi realizat cu soluţia cea mai economică icircn privinţa materialului utilizat şi al

manoperei

- criteriul de bună funcţionalitate a ansamblului din care face parte elementul de

rezistenţă proiectat respectacircnd condiţiile de rezistenţă rigiditate şi stabilitate

Icircn cadrul Rezistenţei materialelor se admit ipoteze simplificatoare care permit

obţinerea unor relaţii de calcul relativ simple şi care exprimă destul de fidel fenomenul

de solicitare real Experimentările practice icircn laborator permit verificarea legilor

rezistenţei materialelor şi determinarea caracteristicilor mecanice ale materialelor

Rezistenţa materialelor permite rezolvarea următoarelor categorii de probleme

- probleme de dimensionare prin care se stabilesc dimensiunile optime ale

elementelor de rezistenţă proiectate icircn funcţie de icircncărcările exterioare (forţe sau

momente) şi de caracteristicile mecanice ale materialului utilizat

- probleme de verificare la care se determină dacă un element de rezistenţă de

dimensiuni cunoscute satisface condiţiile de rezistenţă rigiditate şi stabilitate cunoscacircnd

icircncărcarea exterioară şi caracteristicile mecanice ale materialului utilizat

- probleme de calcul al capacităţii de icircncărcare al unui element de rezistenţă

cunoscacircndu-se caracteristicile mecanice ale materialului dimensiunile şi modul de

solicitare se determină icircncărcarea maximă pe care o poate suporta elementul de rezistență

fără a ceda sau a se deforma periculos

22 Clasificarea corpurilor icircn Rezistenţa materialelor

Corpurile (elementele de rezistenţă) au icircn general forme constructive relativ

complicate Icircn Rezistenţa materialelor pentru simplificarea calculelor corpurile se

schematizează prin forme geometrice mai simple obţinacircndu-se următoarele grupe

a) corpuri solide cu o dimensiune mult mai mare decacirct celelalte două (corpuri cu

fibră medie) Elementele geometrice caracteristice sunt axa longitudinală şi secţiunea

transversală Aceste corpuri solide pot fi

- fire dacă dimensiunile secţiunii transversale sunt foarte mici astfel icircncacirct axa

longitudinală este flexibilă (icircşi schimbă forma uşor) iar sarcinile transversale nu pot fi

preluate de acesta Un fir nu poate fi solicitat decacirct la icircntindere (exemplu cabluri de

macara lanţuri etc)

- bare care rezistă atacirct la solicitări axiale cacirct şi la solicitări transversale

După modul de solicitare barele poartă diferite denumiri convenţionale

tiranţi-solicitaţi la icircntindere figura 21a

stacirclpi-solicitaţi la compresiune figura 21b

grinzi-solicitate la icircncovoiere figura 21c

arbori-solicitaţi la torsiune (răsucire) figura 21d

Fig 21 Denumirea barelor după modul de solicitare

După modul cum variază secţiunea icircn lungul axei barele pot fi

de secţiune constantă figura 22a

de secţiune variabilă continuă figura 22b sau icircn trepte figura 22c

Fig 22 Denumirea barelor după secțiune

După forma axei longitudinale barele pot fi

drepte figura 21

curbe icircn plan figura 23a sau icircn spaţiu figura 23b (numite și curbe stracircmbe)

cotite (axa barei este o linie fracircntă) plane figura 23c sau spațiale figura 23d

Fig 23 Tipuri de bare curbe și cotite

Secţiunea transversală (plană şi normală pe axa barei) poate avea orice formă

geometrică constantă sau variabilă icircn lungul barei

Dacă una din dimensiunile secţiunii transversale (grosimea) este mai mică

comparativ cu celelalte bara se numește bară cu pereţi subţiri (exemplu barele

realizate din platbande sudate cu secţiuni sub formă de profil I profil U cornier etc)

b) corpuri care au două dimensiuni mult mai mari icircn raport cu a treia (grosimea)

se numesc plăci Elementele geometrice caracteristice ale unei plăci sunt forma şi

dimensiunile suprafeţei mediane respectiv grosimea Plăcile se reprezintă schematic

printr-o suprafață care imită forma și dimensiunile suprafeței mediane Suprafaţa mediană

reprezintă locul geometric al tuturor punctelor egal depărtate de cele două feţe ale plăcii

puncte aflate pe perpendicularele duse icircntre cele două feţe figura 24

După destinaţie și forma suprafeței mediane se deosebesc

plăci plane figura 24b

plăci curbe (icircnvelişuri) cu o singură curbură figura 24a sau avacircnd curbură

dublă figura 24c

Fig 24 Tipuri de plăci plane

Plăcile cu grosime mare sunt denumite frecvent dale O placă de grosime mică

ce nu poate prelua decacirct solicitări la icircntindere poartă numele de membrană

Exemple de plăci icircnvelişurile vasele de revoluţie discurile etc

c) corpuri masive care au toate cele trei dimensiuni aproximativ de acelaşi ordin

de mărime (blocuri de fundaţii bile şi role de rulmenţi tuburi cu pereţi groşi etc)

Calculele de rezistenţă sunt mai simple icircn cazul barelor drepte şi mai complicate

la barele curbe plăci respectiv blocuri

23 Clasificarea icircncărcărilor exterioare

Un corp icircşi păstrează forma şi dimensiunile datorită forţelor de atracţie dintre

particulele sale elementare atacircta timp cicirct asupra sa nu acţionează alte forţe aplicate din

exterior care să-l deformeze Icircn construcţia de maşini elementele de rezistenţă preiau şi

transmit acţiunea unor sarcini exterioare (forţe şisau cupluri) pe care le vom denumi

generic forțe sau icircncărcări exterioare Efectul pe care-l au sarcinile este acela de a

modifica forma şi dimensiunile corpului asupra căruia se aplică Icircn punctele de rezemare

(de sprijin sau de legătură cu alte elemente de rezistenţă icircnvecinate) ca urmare a

principiului acţiunii şi reacţiunii apar forţe de legătură sau reacţiuni Ansamblul format

din sarcini şi reacţiuni este cunoscut sub numele de forţe exterioare Sub acţiunea

forţelor exterioare elementele de rezistenţă trebuie să fie icircn echilibru

Forţele exterioare pot fi clasificate după următoarele criterii

a) după mărimea suprafeţei pe care se aplică

- forțe concentrate aplicate teoretic icircntr-un punct figura 25a

- forțe distribuite uniform sau cu intensitate variabilă icircn lungul barei sau pe o

suprafaţă figura 25bc şi d

- momente concentrate care acţionează icircntr-un punct M sau momente uniform

distribut pe o anumită lungime m

Fig 25 Tipuri de sarcini după mărimea suprafeţei de aplicare

b) după locul de aplicare se deosebesc

- forţe de suprafaţă sau de contur care sunt aplicate din exterior pe suprafaţa

corpurilor şi indică legătura cu piesele icircnvecinate

- forţe masice sau de volum distribuite icircn tot corpul (greutăţi forţe de inerţie

respectiv forţe electromagnetice)

c) după modul de acţiune icircn timp se disting

- forţe statice care se aplică lent şi progresiv pacircnă la valoarea nominală de lucru

şi apoi rămacircn constante figura 26a

- forţe dinamice care rezultă din

aplicarea cu icircntreaga intensitate de la icircnceputul perioadei de solicitare iar apoi forţa se

menţine constantă timp icircndelungat figura 26b (forţe de inerţie)

aplicarea bruscă a sarcinii asupra corpului durata de acţiune a sarcinii fiind mică figura

26c (forţe de şoc)

variaţia periodică icircn timp a intensităţii forţei aplicate figura 26d (forţe de oboseală)

Fig26 Tipuri de forţe exterioare (cicluri de solicitare)

Funcţie de modul de variaţie al forţelor exterioare solicitările pot fi statice

oscilante pulsante alternante etc Experimental s-a constatat că rezistenţa unui material

depinde foarte mult de modul de variaţie a forţelor icircn timp Bach a clasificat solicitările

icircn 3 categorii 1-solicitări statice 2-solicitări pulsante 3-solicitări alternant simetrice

Rezistenţa unui material este icircn raportul 321 pentru cele 3 cazuri de solicitare ale lui

Bach Aceasta icircnseamnă că o piesă solicitată static rezistă la o forţă de 3 ori mai mare

decacirct forţa maximă care produce ruperea aceleaşi piese solicitate alternant simetric

d) după poziţia icircn timp a forțelor se disting

- forţe fixe ale căror puncte de aplicaţie sunt mereu aceleaşi

- forţe mobile ale căror puncte de aplicaţie se deplasează icircn timp De exemplu

sarcinile produse de vehiculele care circulă pe un pod sarcinile unei grinzi de pod rulant

icircntr-o halăetc

24 Reazeme Forțe interioare Eforturi Diagrame de eforturi icircn barele

drepte

241 Reazeme Reacțiuni (forțe de legătură)

Pentru a prelua şi transmite acţiunea sarcinilor exterioare elementele de rezistenţă

din componenţa unei structuri sunt fixate icircntre ele prin intermediul unor legături

exterioare numite reazeme Aceste legături au ca scop icircmpiedicarea anumitor mişcări ale

corpului pe direcţiile pe care acestea nu trebuie să se producă O legătură are deci rolul

de a anula unul sau mai multe grade de libertate ale corpului icircn punctul de rezemare Dacă

este anulat un singur grad de libertate legătura este simplă iar dacă sunt impiedicate mai

multe grade de libertate legătura este una compusă Datorită existenţei sarcinilor

exterioare icircn punctele de rezemare pe direcţiile pe care mişcările sunt icircmpiedicate apar

forţe de legătură numite reacţiuni Numărul natura şi direcţiile reacţiunilor depind de

tipul reazemelor Icircn construcţiile reale există o varietate mare de realizare practică a

reazemelor dar icircn calcule se acceptă anumite schematizări care reţin doar aspectul esenţial

al unui reazem şi anume gradul sau gradele de libertate anulate

Pentru o structură de rezistenţă spaţială icircntr-un punct oarecare sunt posibile şase

deplasări trei deplasări liniare (după direcţiile axelor unui sistem ortogonal) şi trei rotiri

(deplasări unghiulare) icircn jurul aceloraşi axe Ca urmare ar fi posibil de realizat maximum

şase tipuri de reazem

Pentru un element de rezistenţă plan icircncărcat cu eforturi cuprinse icircn planul

elementului icircn orice punct sunt posibile trei gade de libertate două deplasări liniare şi o

rotiri Ca urmare pentru cazul unei bare plane se icircntacirclnesc următoarele tipuri de reazeme

1 Reazemul simplu sau reazemul mobil care icircmpiedică deplasarea pe o direcţie

normală pe suprafaţa de rezemare permiţacircnd deplasarea pe o direcţie paralelă cu

suprafaţa de rezemare şi rotirea barei icircn jurul unei axe perpendiculare pe plan icircn punctul

de rezemare Icircn urma icircmpiedicării deplasării şi datorită unor sarcini exterioare icircn

reazemul simplu apare o reacţiune de tip forţă a cărei suport trece prin punctul de

rezemare şi a cărei direcţie este perpendiculară pe suprafaţa de rezemare figura 27

Fig 27 Reazem simplu (mobil)

Icircn figura 27 este reprezentat un reazem mobil poziţionat pe capătul A al unei bare

plane orizontale fiind evidenţiate punctul şi suprafaţa de rezemare direcţia suportului

reacţiunii şi modul de schematizare al reazemului Cea mai des icircntacirclnită reprezentare a

reazemului mobil este a unui triunghi a cărui bază poate luneca pe suprafaţa de rezemare

2 Reazemul fix sau articulaţia icircmpiedică deplasările liniare după toate direcţiile

din planul barei permiţacircnd doar rotirea barei icircn jurul unei axe perpendiculare pe plan şi

care trece prin puncul de rezemare Reacţiunea este cuprinsă icircn planul barei care trece

prin punctul de rezemare dar a cărei mărime şi direcţie nu sunt cunoscute (forţa R)

figura 28

Fig 28 Reazem fix

Se preferă ca icircn locul unei forţe R avacircnd direcţia oarecare icircn plan necunoscută să

se introducă două forţe (HA şi VA) cărora li se cunoaşte direcţia şi pentru care se vor

determina modulele ca valori din condiţiile de echilibru static Icircntr-un reazem fix apar

icircntotdeauna reacţiuni atacirct pe direcţia perpendiculară pe suprafaţa de rezemare

(verticală) cacirct şi pe direcţia paralelă cu prima (orizontală) chiar dacă uneori una sau

chiar ambele reacţiuni au valoarea zero Reprezentarea schematică a articulaţiei este cea

a unui triunghi cu baza fixă şi cu vacircrful icircn punctul de rezemare sau cea a unui pendul

dublu figura 28

3 Icircncastrarea (sau icircnţepenirea) anulează toate gradele de libertate ale capătului

unei bare icircmpiedicacircnd deplasarea liniară după orice direcţie din plan precum şi rotirea

barei icircn jurul unei axe perpendiculare pe plan şi care trece prin punctul de icircncastrare

Urmare a existenţei sarcinilor exterioare şi a blocării deplasărilor icircn icircncastrare apare o

reacţiune căreia nu i se cunoaşte nici mărimea nici direcţia şi nici punctul de aplicaţie

figura 29

Fig 29 Icircncastrarea

Sub acţiunea forţelor exterioare un sistem este icircn echilibru Valoarea reacţinilor

se determină din condiţia de echilibru a sistemului solicitat

Este cunoscut faptul că un sistem plan este icircn echilibru dacă

nu se deplasează pe o direcţie (fie x această direcţie)

nu se deplasează pe o direcţie perpendiculară pe prima (fie y această direcţie)

nu se roteşte faţă de un punct al planului (fie K acest punct)

Cele trei condiţii enunţate mai sus sunt satisfăcute dacă suma proiecţiilor tuturor

forţelor pe direcţia x respectiv y este nulă şi suma tuturor momentelor (cuplurilor) faţă

de un punct al planului este nulă

242 Forțe interioare Metoda secțiunilor

Icircn vederea calculului de rezistenţă de rigiditate şi de stabilitate a barelor sau a

sistemelor de bare este necesară determinarea forţelor şi momentelor interioare

(eforturilor) care apar icircn secţiunile transversale ale acestora şi datorate icircncărcărilor

exterioare Forțele interioare indică legătura dintre particulele din interiorul corpului şi

se pun icircn evidenţă prin metoda secţiunilor care este un procedeu de raţionament

imaginar propus de Cauchy echivalent cu teoria echilibrului părţilor Conform acestui

raționament bdquodacă un corp solid deformabil este icircn echilibru sub acţiunea unui sistem

generalizat de forţe atunci după secționare fiecare parte a sa va fi icircn echilibru sub

acţiunea forţelor exterioare care-i revin şi a unui sistem de forţe pe care trebuie să-l

introducem icircn secţiunea ce delimitează fiecare parte echivalent cu acţiunea forţelor

aplicate pe partea icircndepărtatărdquo

Problemele care apar la aplicarea metodei secţiunilor sunt

- să pună icircn evidenţă existenţa forţelor interioare mai ales că din ceea ce se ştie o

forţă apare icircn prezenţa a două corpuri ca urmare a principiului acţiunii şi reacţiunii

- să explice modul de distribuţie al forţelor interioare pe secţiune

Considerăm un corp aflat icircn echilibru sub acţiunea unui sistem de forţe exterioare

1 2 3⋯119894 ⋯ 119899minus1 119899 şi presupunem că-l secţionăm cu un plan transversal Q (sau cu

o suprafaţă oarecare) figura 210a Icircn urma secţionării fictive (imaginare) conform

principiului echilibrului părţilor fiecare din cele două părţi obţinute trebuie să fie icircn

echilibru sub acţiunea forţelor exterioare care le revin şi a cacircte unui sistem de forţe

interioare pe care trebuie să-l introducem icircn secţiunile rezultate sistem echivalent cu

acţiunea forţelor exterioare ce acţionează asupra celeilalte părţi Astfel pe partea din

dreapta (notată cu II) delimitată de secţiunea de arie Ad sunt aplicate forţele exterioare

119894 ⋯ 119899minus1 119899 şi un sistem de forţe interioare căruia nu i se cunoaşte decacirct efectul acelaşi

cu cel al forţelor 1 2 3 de pe parea din stacircnga (notată cu I şi delimitată de secţiunea

de arie As) figura 210b Prin metoda secţiunilor am reuşit să punem icircn evidenţă existenţa

forţelor interioare şi să le trecem icircn categoria celor exterioare cărora le putem aplica

relaţiile de echivalenţă şi de echilibru cunoscute din statică Ideal ar fi să cunoaştem

distribuţia şi intensitatea punctuală a acestor forţe pentru că s-ar putea ca icircn anumite

puncte ale secţiunii valoarea forţelor să depăşească limita de rezistenţă (limita de curgere)

a materialului Cunoaşterea distribuţiei punctuale a forţelor interioare nu se poate realiza

decacirct icircn cazuri particulare relativ simple de solicitare

Să considerăm partea din dreapta a corpului asupra căreia acționează forțele

119894 ⋯ 119899minus1 119899 mărginit de aria Ad pe care acționează un sistem de forțe interioare

echivalent cu 1 2 3 Deși forțele interioare de pe Ad nu se cunosc totuși efectul lor

este același cu cel al forțelor 1 2 3 deci le putem reduce icircn centrul de greutate C al

secțiunii Ad rezultacircnd componentele torsorului de reducere al forțelor interioare

(119894119889 119894119889) și pentru partea din stacircnga (119894119904 119894119904) Evident conform principiului acțiunii și

reacțiunii

119894119889 = minus119894119904

119894119889 = minus119894119904 (21)

Pe de altă parte cum fiecare dintre părțile corpului după secționare trebuie să fie

icircn echilibru sub acțiunea forțelor exterioare care le revin și a forțelor interioare introduse

rezultă

119894119889 = minus119890119889

119894119889 = minus119890119889

119894119904 = minus119890119889

119894119904 = minus119890119904 (22)

Combinacircnd (21) cu (22) rezultă

119894119889 = 119890119889

119894119889 = 119890119889

119894119904 = 119890119904

119894119904 = 119890119904 (23)

Fig 210 Forțe interioare

Relațiile (22) și (23) permit determinarea componentelor torsorului de reducere

al forțelor interioare din (23) rezultă componentele torsorului forțelor interioare care

acționează icircn secțiunea Ad sunt egale cu componentele torsorului de reducere al forțelor

exterioare de pe partea din stacircnga din (22) rezultă componentele torsorului forțelor

interioare care acționează icircn secțiunea Ad sunt egale și de sens contrar cu componentele

torsorului de reducere al forțelor exterioare de pe partea din dreapta

Observații

1 Torsorul forțelor interioare diferă de la o secțiune la alta dar pentru aceeași

secțiune el este unic și trebuie să respecte condițiile de compatibilitate a deformațiilor

2 Reducacircnd forțele interioare icircn centrul de greutate al secțiunii s-a făcut o

aproximare icircn ceea ce privește efectul modului de dispunere al forțelor

3 Punctul de reducere trebuie să fie

pentru forțele interioare normale la secțiune centrul de greutate

pentru forțele interioare tangente la planul secțiunii centrul de răsucire sau de

tăiere

243 Eforturi

Prin metoda secțiunilor am pus icircn evidență existența forțelor interioare și modul

icircn care se determină componentele torsorului de reducere al forțelor interioare (119894119889 119894119889) de pe fața din dreapta secțiunii (Ad) Cele două componente ale torsorului de reducere al

forțelor interioare de pe Ad se pot descompune după axele unui sistem de referință

triortogonal xCyz astfel

119894119889 = +

119894119889 = 119909 +119872119894 (24)

unde și 119909 sunt proiecțiile lui 119894119889 și respectiv 119894119889 pe axa longitudinală Cx a

barei iar și 119894 sunt proiecțiile acelorași componente 119894119889 și respectiv 119894119889 pe planul yCz

al secțiunii transversale Ad figura 211

Fig 211 Torsorul de reducere al forţelor interioare

La racircndul lor și 119894 se pot descompune după axele sistemului yCz figura 212

= 119910 + 119911

119894 = 119894119910 + 119894119911 (25)

Fig 212 Descompunerea forţei tăietoare şi a momentului icircncovoietor

Cele șase componente ale torsorului de reducere al forțelor interioare ( 119910 119911

119909 119894119910 119894119911) orientate după axele sistemului de referință xCyz se numesc eforturi

Fiecare efort are o denumire stabilită icircn funcție de tipul de deformație pe care-l produce

De asemenea semnul plus (bdquo+rdquo) sau minus (bdquondashrdquo) al fiecărui efort nu depinde de sensul

pozitiv sau negativ al sistemului de axe ci doar de efectul icircn deformații al fiecărui efort

Denumirile celor șase eforturi sunt

119873 este forța axială

119879119910 119879119911 sunt forțe tăietoare orientate după axele Cy și respectiv Cz

119872119909 notat de cele mai multe ori cu 119872119905 este moment de torsiune sau de răsucire

119872119894119911 119872119894119910 sunt momente de icircncovoiere icircn jurul axei Cz și respectiv Cy

Forța axială 119873 poate fi forță axială de icircntindere cacircnd produce o lungire a

tronsonului pe a cărei față acționează (119873 gt 0) figura 213a sau forță axială de

compresiune cacircnd sub efectul ei bara se scurtează (119873 lt 0) figura 213b

Fig 213 Forța axială

Forțele tăietoare 119879119910 și 119879119911 au ca efect lunecarea secțiunii icircn centrul căreia

acționează icircn raport cu secțiunea icircnvecinată lunecare ce se produce pe direcția și icircn sensul

forței Sub acțiunea unei forțe tăietoare bara este solicitată la forfecare Forța tăietoare

este pozitivă 119879119910 gt 0 dacă icircn raport cu un punct oarecare K de pe axa Cx a barei tinde să

rotească secțiunea pe care acționează icircn sens orar

Fig 214 Forța tăietoare

Momentele de icircncovoiere 119872119894119911 și 119872119894119910 au ca efect o rotire a secțiunii icircn centrul

cărora acționează icircn jurul axei după care sunt orientate Icircn figura 215a se vede că

datorită momentului 119872119894119911 fibrele de deasupra axei Cz se alungesc icircn timp ce fibrele de sub

axa Cz se scurtează Fibrele care trec prin axa de icircncovoiere Cz nu se deformează sunt

fibre neutre la icircncovoiere adică axa neutră este Cz Icircn cazul momentului de icircncovoiere

119872119894119910 fibrele care nu se deformează sunt cele care trec prin axa neutră la icircncovoiere Cy

Momentele de icircncovoiere se consideră a fi pozitive (119872119894119911 gt 0119872119894119910 gt 0) dacă

observatorul care privește bara deformată vizualizează fibrele icircntinse

Fig 215 Momentul icircncovoietor

Momentul de torsiune sau de răsucire 119872119909 equiv 119872119905 are ca efect o rotire a secțiunii

icircn al cărei centru acționează icircn jurul axei longitudinale Cx Ca efect secțiunea icircși schimbă

forma (se deformează) adică unghiurile inițiale se modifică dreptunghiul inițial Ad

devine paralelogram Convențional se consideră 119872119905 gt 0 dacă vectorul moment are

aceeași orientare ca și sensul pozitiv ales pextru axa Cx Icircn figura 216 momentul este

negativ

Fig 216 Momentul de torsiune

25 Definiții și convenții de semne pentru eforturile

din secțiunile unei bare drepte plane icircncărcate cu sarcini coplanare

Vom considera o bară plană icircncărcată cu un sistem de forțe arbitrar figura 217

Ne propunem să determinăm eforturile care apar icircn secțiunea barei aflată la distanța 119909 de

reazemul din stacircnga (A)

Pentru aceasta vom aplica metoda secțiunilor vom secționa bara cu un plan

perpendicular pe axa longitudinală a barei și vom analiza doar partea din dreapta secțiunii

mărginită de fața Ad Pentru ca această porțiune de bară să fie icircn echilibru sub acțiunea

forțelor exterioare care acționează asupra sa 1198653 și 119881119861 va trebui să introducem icircn centrul

secțiunii Ad eforturile care pot să apară 119873 119879119910 119872119894119911 Acțiunea acestor eforturi trebuie să

fie echivalentă cu acțiunea forțelor exterioare aplicate pe partea icircnlăturată (parcursă) a

barei 119867119860 119881119860 1198651 1198652 1198720

Deoarece bara este plană și este icircncărcată doar cu sarcini ce aparțin

planului barei

icircn secțiunea Ad apar doar 3 componente ale torsorului de reducere al forțelor

interioare (eforturi)

- 119873 = forța axială

- 119879119910 = forța tăietoare pe care o vom nota cu 119879

- 119872119894119911 = momentul icircncovoietor notat cu Mi

Fig 217 Bară plană icircncărcată cu un sistem de forțe

Vom prezenta următoarele definiții corespunzătoare eforturilor din secțiunea Ad

119873 = forța axială dintr-o secțiune este egală cu suma algebrică a proiecțiilor pe

axa longitudinală a tuturor forțelor exterioare (sarcini și reacțiuni) aplicate pe partea

din stacircnga secțiunii adică pe porțiunea parcursă Forța axială 119873 este pozitivă dacă trage

de tronsonul pe a cărei față acționează (are orientarea normalei exterioare la secțiunea

Ad)

119873(119909) = minus119867119860 + 1198651119867 (26)

119879 = forța tăietoare icircntr-o secțiune este egală cu suma algebrică a proiecțiilor

pe o axă perpendiculară pe axa barei a tuturor forțelor exterioare (sarcini și reacțiuni)

aplicate pe porțiunea de bară aflată icircn stacircnga secțiunii considerate Forța tăietoare 119879

este pozitivă dacă tinde să rotească tronsonul pe a cărui față acționează icircn sens orar icircn

raport cu un punct de pe axa barei aflat la dreapta secțiunii

119879(119909) = 119881119860 minus 1198651119881 minus 1198652 (27)

119872119894 = momentul icircncovoietor icircntr-o secțiune este egal cu suma algebrică a

momentelor obținute prin reducerea tuturor forțelor exterioare ( cupluri sarcini

reacțiuni) aplicate pe porțiunea de bară aflată la stacircnga secțiunii icircn centrul secțiunii

considerate 119872119894 este considerat pozitiv dacă tinde să deformeze bara astfel icircncacirct fibrele

spre care privește un observator să fie icircntinse Cum poziția observatorului este de regulă

sub bară bara se deformează dacă 119872119894 gt 0 astfel icircncacirct partea jos a barei este icircntinsă Se

spune că bara deformată rdquoține apaldquo

119872119894(119909) = 119881119860 ∙ 119909 minus 1198651119881 ∙ (119909 minus 1198971) minus 1198652 ∙ [119909 minus (1198971 + 1198972)] + 1198720 (28)

Sensurile pozitive ale eforturilor care apar icircn centrul secțiunii Ad (deci atunci cacircnd

sensul de parcurs la aplicarea metodei secțiunilor este cel de la stacircnga la dreapta) sunt

indicate icircn figura 218a iar dacă sensul de parcurs este de la dreapta la stacircnga sensurile

pozitive ale eforturilor sunt indicate icircn figura 218b

Fig 218 Convenţia de semne

Definiții asemănătoare se pot da și pentru eforturile din centrul secțiunii As figura

218b adică pentru cazul icircn care sensul de parcurs este cel de la dreapta la stacircnga și deci

partea luată icircn considerare este cea din stacircnga iar partea parcursă din dreapta secțiunii

este icircnlăturată

119873(1199091) = 1198653119867

119879(1199091) = 1198653119881 minus 119881119861

119872119894(1199091) = 119881119861 ∙ 1199091 minus 1198653119881 ∙ (1199091 minus 1198975)

(29)

Avacircnd icircn vedere că fețele Ad și As aparțin aceleeași secțiuni este evident faptul că

eforturile 119873(119909) 119879(119909) și 119872119894(119909) sunt identice cu eforturile 119873(119961120783) 119879(119961120783) și respectiv

119872119894(119961120783) Icircn figura 218c se prezintă o sinteză a convențiilor de semne pozitive pentru cele

3 eforturi atacirct pentru sensul de parcurs de la stacircnga la dreapta (secțiunea Ad) cacirct și pentru

sensul invers (secțiunea As)

Semnele eforturilor sunt importante icircntrucacirct există materiale cu comportări diferite

la icircntindere față de compresiune iar o schimbare a semnului unui efort poate produce

erori grave icircn calcule Semnele eforturilor au fost stabilite icircn funcție de deformațiile

produse și nu depind de sensul axelor sistemului de coordonate

26 Relaţii diferenţiale icircntre eforturi şi sarcini

Pentru a vedea ce legătură există icircntre eforturi și sarcini vom considera o bară

dreaptă icircncărcată cu o sarcină distribuită după o lege oarecare figura 219a Din această

bară vom decupa prin dublă secționare un element de lungime infinit mică 119889119909 Deoarece

lungimea 119889119909 este foarte mică se poate considera sarcina 119901 uniform distribuită Icircn

secțiunile rezultate trebuie să introducem eforturile care pot apărea

- 119879 şi 119872119894 icircn centrul secțiunii din sticircnga eforturi pe care le considerăm pozitive

- 119879 + 119889119879 şi 119872119894 + 119889119872119894 icircn centrul secțiunii din dreapta elementului

Aceste eforturi au o variație mică (119889119879 şi 119889119872119894) față de secțiunea anterioară Spre

deosebire de cazul icircn care bara este secționată o singură dată icircn acest caz eforturile nu

pot fi determinate din cele 2 condiții de echilibru independente deoarece icircn ecuațiile de

echilibru apar 4 necunoscute 119879 119889119879119872119894 și 119889119872119894 deci că problema este dublu static

nedeterminată figura 219

Fig 219 Echivalența icircntre eforturi și sarcini

Ecuațiile de echilibru scrise pentru elementul din figura 219b conduc la stabilirea

unor relaţii foarte importante

(sum119865)119910= 0 hArr 119879 minus 119901 ∙ 119889119909 minus (119879 + 119889119879) = 0 rArr

119889119879

119889119909= minus119901 (210)

Relația (210) arată că derivata funcţiei forţei tăietoare icircn raport cu abscisa

secţiunii este egală cu sarcina distribuită normală la axa barei din acea secţiune luată

cu semn schimbat

Observații

dacă 119901 = 0 nu există sarcină distribuită atunci forța tăietoare T este constantă

icircnclinarea pantei diagramei forței 119879 este egală cu (ndash 119901) (sarcina distribuită cu

semn schimbat)

dacă 119901 = 119888119900119899119904119905 119879 variază liniar pe acel interval

Asemănător se deduce că derivata funcţiei forţei axiale icircn raport cu abscisa

secţiunii este egală cu sarcina distribuită axială din acea secţiune luată cu semn

schimbat adică

119889119873

119889119909= minus119901119867 (211)

Din condiția de echilibru suma de momente faţă de centrul de greutate al secţiunii

din dreapta

(sum119872)119862= 0 hArr 119872119894 minus (119872 + 119889119872119894) + 119879 ∙ 119889119909 minus 119901 ∙

(119889119909)2

2= 0 rArr

119889119872119894

119889119909= 119879 (212)

Relația (212) s-a obținut dupa reducerea termenilor și prin neglijarea infinitului

mic de ordinul 2

119901 ∙(119889119909)2

2

Relația (212) arată că derivata funcţiei moment icircncovoietor icircn raport cu abscisa

secţiunii este egală cu forţa tăietoare din acea secţiune

Observații

dacă 119879 = 0 momentul 119872119894 are un punct de extrem se obține o valoare maximă

pentru 119872119894119898119886119909 dacă forța tăietoare 119879 se anulează trecacircnd de la plus icircn stacircnga la minus icircn

dreapta secțiunii

dacă forța tăietoare este pozitivă pe un interval 119879 gt 0 atunci 119872119894 este crescătoare

pe acel interval

dacă forța tăietoare este negativă pe un interval 119879 lt 0 atunci 119872119894 este

descrescătoare pe acel interval

dacă pe un interval 119901 = 0 forța tăietoare este constantă 119879 = 119888119905 iar 119872119894 variază

liniar pe acel interval

dacă 119901 = 119888119900119899119904119905 119879 variază liniar pe acel interval iar 119872119894 variază parabolic pe

acel interval

Relaţiile diferenţiale sunt utile la reprezentarea corectă şi verificarea diagramelor

de eforturi astfel

pentru porţiunile de grindă pe care p = 0 eforturile N şi T sunt constante iar pe

porţiunile cu p = const eforturile N şi T variază liniar (relaţiile 211 şi 210)

dacă pe o porţiune T = const momentul icircncovoietor Miz variază liniar iar dacă

T variază liniar atunci momentul Miz variază parabolic (relaţia 212)

pe domeniile pe care T gt 0 funcţia Mi(x) este crescătoare iar icircn secţiunea icircn

care T = 0 (graficul funcţiei T intersectează axa x) momentul icircncovoietor are un punct

de extrem local (maxim sau minim relaţia 212)

Pentru rezolvarea problemelor referitoare la trasarea diagramelor de eforturi

pentru barele drepte solicitate de sisteme de forţe plane se parcurg următoarele etape

1) identificarea forţelor aplicate (date) şi pregătirea lor pentru calcule

(descompunerea forţelor concentrate pe direcţiile x şi y calculul rezultantelor forţelor

distribuite)

2) identificarea reazemelor şi introducerea reacţiunilor corespunzătoare (vezi

figurile 27divide29)

3) stabilirea ecuaţiilor de echilibru static calculul şi verificarea reacţiunilor Icircn

rezistența materialelor se folosește sistemul de ecuații (vezi figura 217)

(sum119865)

119909= 0

(sum119872)119860= 0

(sum119872)119861= 0

(213)

4) identificarea domeniilor de variaţie şi scrierea funcţiilor de eforturi pentru N T

şi Mi

5) reprezentarea grafică a diagramelor de eforturi

6) verificarea corectitudinii diagramelor pe baza relaţiilor diferenţiale icircntre eforturi

şi sarcini

Aplicație Pentru grinda dreaptă icircncărcată cu sistemul de forţe reprezentat icircn figura

220 se cere

a) să se calculeze şi să se verifice reacţiunile

b) să se stabilească funcţiile eforturilor Nx Ty şi Miz şi să se reprezinte diagramele

de variaţie

c) să se analizeze relaţiile diferenţiale icircntre eforturi şi sarcini

Dimensiunile grinzii au valorile a = 6 [m] b = 4 [m] și c = 4[m] sistemul de

forţe aplicat fiind format din p = 10 [kN mfrasl ] F = 20 [kN] (icircnclinată cu unghiul α =300 faţă de orizontală) şi M0 = 40 [kN ∙ m]

Rezolvare

a) Se fac următoarele precizări

grinda dreaptă se reprezintă prin axa geometrică

forţa icircnclinată F se descompune după direcţiile orizontală şi verticală icircn FV =F ∙ sin α = 10 [kN] şi FH = F ∙ cos α = 173 [kN]

forţa distribuită uniform p este echivalentă din punct de vedere static cu

rezultanta sa R = p ∙ a = 60 [kN] care acţionează la jumătatea porţiunii de lungime a

icircn reazemele 119860 şi 119861 se introduc componentele HA şi VA respectiv VB ale

reacţiunilor

Pentru calculul reacţiunilor se utilizează ecuaţiile de echilibru static al grinzii

sumXi = 0 HA minus FH = 0 sumYi = 0 VA + VB minus R minus FV = 0 (sumM)B = 0 VA ∙ (b + a) minus R ∙ (b + 05 ∙ a) minus M0 + FV ∙ c = 0

(A1)

Din prima ecuaţie se obţine HA iar din cea de-a treia ecuaţie rezultă VA

HA = FH = 173 [kN]

VA =[R ∙ (b + 05 ∙ a) + M0 minus FV ∙ c]

(b + a)=[60 ∙ (4 + 05 ∙ 6) + 40 minus 10 ∙ 4]

(4 + 6)

VA = 42 [kN]

(A2)

Fig 220 Aplicație

Se observă că cea de-a doua ecuaţie de echilibru conţine două necunoscute

reacţiunile VA şi VB Pentru a calcula componenta VB nu este indicată introducerea lui VA

icircn cea de-a doua ecuaţie a sistemului (A1) pentru că o valoare determinată greşit pentru

VA conduce la o valoare VB de asemenea greşită O ecuaţie independentă din care se poate

determina componenta VB este următoarea

(sumM)A= 0 FV ∙ (a + b + c) minus VB ∙ (a + b) minus M0 + R ∙ 05 ∙ a = 0 (A3)

de unde se obţine

VB =[FV ∙ (a + b + c) minusM0 + R ∙ 05 ∙ a]

(b + a)=[10 ∙ (6 + 4 + 4) minus 40 + 60 ∙ 05 ∙ 6]

(6 + 4)

VB = 28 [kN] (A4)

Ecuaţia de proiecţii ale forţelor pe direcţia verticală (a doua ecuaţie din sistemul

A1) se utilizează pentru verificarea reacţiunilor deja determinate

VA + VB minus R minus FV = 0 rArr 42 + 28 minus 60 minus 10 = 0 (A5)

Ultima egalitate demonstrează că reacţiunile verticale au fost calculate corect

Din cele de mai sus rezultă ordinea firească pentru determinarea reacţiunilor icircn

cazul grinzilor simplu rezemate

sumXi = 0

(sumM)A = 0

(sumM)B = 0

(A6)

iar pentru verificarea componentelor verticale VA şi VB se folosește ecuaţia sumY = 0

b) La stabilirea funcţiilor de eforturi se parcurg icircn general etapele următoare

se notează (numeric sau literal după preferinţă) secţiunile care delimitează

domeniile (intervalele sau tronsoanele) pe care eforturile nu-şi modifică funcţiile (au legi

unice de variaţie)

pe fiecare domeniu se marchează secţiunea imaginară icircn care se stabilesc

funcţiile eforturilor

secţiunea astfel aleasă separă icircn două părţi grinda şi anume porţiunea din stacircnga

şi porţiunea din dreapta secţiunii

se va considera parcursă (şi icircndepărtată) acea parte pe care acţionează mai puţine

sarcini exterioare pentru că acestea vor interveni icircn expresiile funcţiilor de eforturi

poziţiile secţiunilor imaginare se vor determina prin variabilele x1 ⋯ xn (unde

n reprezintă numărul domeniilor de variaţie) cu originea fixată icircn capătul intervalului şi

sensul de parcurgere spre partea considerată rămasă

Grinda prezentată icircn figura 220 are trei domenii de variaţie pentru funcţiile de

eforturi după cum urmează (A-1) (2-B) şi (B-1)

Domeniul (A-1) x1 isin [0 a = 6 m] Porţiunea parcursă şi considerată icircndepărtată este cea de coordonată x1 pe care

acţionează reacţiunile HA şi VA precum şi rezultanta parţială a sarcinii distribuite R1 =p ∙ x1

Funcţia forţă axială Nx are expresia

Nx(x1) = NAminus1 = minusHA = minus173 [kN] = const

(A7)

Funcţia forţă tăietoare Ty are exspresia

Ty(x1) = TAminus1 = VA minus R1 = VA minus p ∙ x1 (A8)

care reprezintă o variaţie liniară de variabilă x1 Se calculează valorile forţei tăietoare la

limitele intervalului de variaţie

- pentru x1 = 0 Ty(x1 = 0) = TA = VA = 42 [kN]

- pentru x1 = a = 6 [m] Ty(x1 = 6) = T1 = VA minus p ∙ a = minus18 [kN]

Observaţie Aşa cum a fost stabilită secţiunea fictivă poziţionată prin coordonata

x1 sar părea că rezultanta R ar trebui luată icircn calculul lui Ty(x1) Acest lucru ar fi greşit

pentru că R = p ∙ a reprezintă rezultanta sarcinii distribuite pe toată lungimea a iar

rezultanta pe porţiunea parcursă de lungime x1 este R1 = p ∙ x1 ne R = p ∙ a

Cu valorile obţinute se trasează diagramele forţelor axială Nx = f(x) şi tăietoare

Ty = f(x) figura 220 Din diagrama forţei tăietoare şi din valorile obţinute analitic se

observă că forţa tăietoare icircşi schimbă semnul pe intervalul analizat deci se anulează pe

acest interval Poziţia secţiunii unde Ty se anulează se determină din ecuaţia

Ty(x1) = 0 rArr VA minus p ∙ x1 = 0 (A9)

cu soluţia x1lowast = ξ = 42 [m] Important de reamintit că icircn această secţiune momentul

icircncovoietor va avea un extrem local adică Miz are un extrem la Ty = 0

Funcţia moment icircncovoietor Miz are expresia

Miz(x1) = VA ∙ x1 minus R1 ∙x12= VA ∙ x1 minus (p ∙ x1) ∙

x12

(A10)

Se observă că funcţia moment icircncovoietor de variabilă x1 are o variaţie parabolică

(gradul al II-lea) Pentru reprezentarea grafică a funcţiei parabolice se calculează valorile

momentului icircncovoietor icircn trei secţiuni

- pentru x1 = 0 Miz(x1 = 0) = MA = 0 [kN ∙ m] - pentru x1 = a = 6 [m] Miz(x1 = 6) = M1 = 72 [kN ∙ m] - pentru x1

lowast = ξ = 42 [m] Miz(x1lowast = ξ = 42 [m]) = Mimax = 882 [kN ∙ m]

Cu acestea se trasează diagrama Miz = f(x) pe intervalul (A-1) figura 220

Observaţie Icircn unele cazuri pe un anumit interval forţa tăietoare nu se anulează

şi momentul icircncovoietor nu are un extrem local Icircn acest caz pentru reprezentarea

variaţiei parabolice a momentului icircncovoietor se va studia semnul derivatei a doua a

funcţiei Miz = f(x1) acesta determinacircnd convexitatea curbei momentului icircncovoietor

Domeniul (2-B) x2 isin [0 c = 4 m] Porţiunile din grindă libere (nerezemate) la un capăt se numesc console iar

stabilirea funcţiilor de eforturi devine mai simplă dacă se consideră icircndepărtată partea din

dreapta secţiunii prin schimbarea sensului pozitiv al axei x Astfel se obţin funcţiile eforturilor

Funcţia forţă axială Nx are expresia

Nx(x2) = N2minusB = minusFH = minus173 [kN] = const

(A11)

Funcţia forţă tăietoare Ty are exspresia

Ty(x2) = T2minusB = FV = 10 [kN] = const (A12)

Funcţia moment icircncovoietor Miz are expresia

Miz(x2) = minusFV ∙ x2 rArr Miz(x2 = 0) = M2 = 0 [kN ∙ m]

Miz(x2 = 4) = MB = minus40 [kN ∙ m] (A13)

variaţie liniară (gradul I)

Domeniul (B-1) x3 isin [0 b = 4 m] Pe acest domeniu se acceptă parcurgerea grinzii de la dreapta adică se consideră

icircndepărtată partea din dreapta secţiunii fictive pentru că are doar două sarcini aplicate F

şi VB faţă de partea din stacircnga secţiunii pe care sunt aplicate trei sarcini p VA şi M0

Astfel se obţin funcţiile eforturilor

Funcţia forţă axială Nx are expresia

Nx(x3) = NBminus1 = minusFH = minus173 [kN] = const

(A14)

Funcţia forţă tăietoare Ty are exspresia

Ty(x3) = TBminus1 = FV minus VB = minus18 [kN] = const (A15)

Funcţia moment icircncovoietor Miz are expresia

Miz(x3) = minusFV ∙ (x3 + c) + VB ∙ x3 rArr

rArr Miz(x3 = 0) = MB = minus40 [kN ∙ m]

Miz(x3 = 4) = M1 = 32 [kN ∙ m]

(A16)

variaţie liniară (gradul I)

Diagramele eforturilor sunt prezentate icircn figura 220

c) Relaţiile diferenţiale dintre eforturi şi sarcini se analizează pe diagramele

eforturilor după cum urmează

sarcina distribuită nu are componentă orizontală adică ph = 0 şi icircn

conformitate cu formula (211) rezultă că Nx = const pe toată lungimea grinzii fapt care

a rezultat din funcţia şi reprezentarea diagramei forţei axiale

pe intervalul (A-1) sarcina distribuită are doar componenta verticală pozitivă

pV = p gt 0 prin urmare forţa tăietoare scade (are panta negativă dTy 119889119909frasl = minusp vezi

relaţia 210) iar momentul icircncovoietor avacircnd derivata a doua negativă d2M119894119911 1198891199092frasl =minuspare convexitatea curbei orientată spre sensul pozitiv al axei momentului Miz adică icircn

jos

pe domeniile (2-B) şi (B-1) deoarece pv = 0 forţa tăietoare Ty este constantă

iar momentul icircncovoietor Miz variază liniar

referitor la relaţia (212) pe porţiunile unde Ty gt 0 momentul Miz este

monoton crescător pe porţiunile unde Ty lt 0 momentul Miz este monoton descrescător

iar icircn secţiunea icircn care Ty = 0 momentul icircncovoietor are un extrem local Mξ =

882 [kN ∙ m] icircn diagrama forţei tăietoare discontinuităţile (salturile) se produc icircn secţiunile

unde acţionează VA VB şi FV iar icircn diagrama momentului icircncovoietor se produce un

singur salt icircn secţiunea icircn care este aplicat M0

se poate scrie

Mξ = suprafața diagramei Ty |ξ0=1

2∙ 42 ∙ 42 = 882 [kN ∙ m]

sau parcurgacircnd grinda de la dreapta la stacircnga rezultă

MB = minussuprafața diagramei Ty |c0= minus10 ∙ 4 = minus40 [kN ∙ m]

Toate aspectele analizate teoretic referitoare la relaţiile diferenţiale dintre eforturi

şi sarcini se regăsesc icircn diagramele de eforturi din figura 220 ceea ce icircnseamnă că

diagramele au fost reprezentate corect

3 TENSIUNI DEPLASĂRI ŞI DEFORMAŢII SPECIFICE

31 Tensiuni

Eforturile obținute icircn urma reducerii forțelor interioare icircn centrul de greutate al

secțiunii nu pot da informații asupra solicitării fiecărui punct al secțiunii respective Este

necesar să se cunoască modul cum se distribuie forțele interioare icircn fiecare punct al

secțiunii pentru a ști care este intensitatea maximă a solicitării Această intensitate

maximă se poate compara cu o valoare critică specifică materialului stabilindu-se astfel

dacă solicitarea este periculoasă sau nu

Mărimea care caracterizează solicitarea locală punctuală o vom denumi tensiune

și o vom defini icircn cele ce urmează Să considerăm partea din dreapta a unui corp solicitat

de forțele exterioare 1198651 1198652 și 1198653 obținută prin secționarea corpului și mărginită de fața

din dreapta Ad a secțiunii Pe secțiunea Ad vom considera un element de arie infinit mic

∆119860 caracterizat de normala la elementul de arie normală care are cosinușii directori

120573 și icircn raport cu un sistem de axe considerat fix Pe elementul infinit mic ∆119860 acționează

forțele interioare care au o rezultantă oarecare figura 31

Prin definiție tensiunea totală este

= lim∆119860rarr0

∆

∆119860 (31)

Tensiunea are aceeaşi direcţie cu forţa elementară ∆ iar mărimea ei este

determinată atacirct de mărimea forţei ∆ cacirct şi de orientarea suprafeţei ∆119860 faţă de direcţia

forţei

Tensiunea 119901 poate fi descompusă icircntr-o componentă orientată după direcţia

normalei la secţiune tensiunea normală notată cu 120590119909 şi o componentă icircn planul secţiunii

tensiunea tangenţială notată cu figura 32

= 119909 + 120591 (32)

Fig 31 Tensiunea totală Fig 32 Tensiunea normală și tangențială

La racircndul ei componenta tensiunii cuprinsă icircn planul secțiunii poate fi

descompusă după direcțiile axelor y și z

120591 = 120591119909119910 + 120591119909119911 (33)

Icircntre cele trei componente ale tensiunii totale care acționează pe elementul de arie

∆119860 este valabilă relația

1199012 = 1205901199092 + 120591119909119910

2 + 1205911199091199112 (34)

După sensul pe care icircl are tensiunea normală 120590 poate avea efect de tracţiune sau

de compresiune exercitat de către partea de corp icircnlăturată asupra părţii rămase Analog

tensiunea tangenţială 120591 poate avea efect de tăiere forfecare sau alunecare Pentru

componentele tensiunii tangențiale 120591119909119910 pe direcţia 119910 respectiv 120591119909119911 pe direcţia 119911 primul

indice indică axa pe care tensiunea este normală iar cel de-al doilea indice indică axa cu

care aceasta este paralel

Tensiunea este o mărime tensorială valoarea ei depinzacircnd atacirct de poziția

punctului icircn planul secțiunii cicirct și de orientarea planului de secționare deci de normala

Operaţiile vectoriale nu pot fi aplicate tensiunilor decacirct după ce acestea au fost icircnmulţite

cu ariile respective adică au fost transformate icircn forţe

Icircn literatura de specialitate mai ales icircn manualele mai vechi pentru noţiunea de

tensiune se mai foloseşte şi denumirea de efort specific

Dacă se consideră un alt element de arie ∆119860 cu centrul icircn același punct avacircnd ca

normală axa 119910 se vor obține alte tensiuni și anume

- 120590119910 este tensiunea normală (paralelă cu axa y)

- 120591119911119909 și 120591119910119911 sunt tensiuni tangențiale paralele cu axele 119909 și respectiv 119911 aflate icircn

planul care are ca normală axa 119910

Dacă icircn jurul unui punct dintr-un corp solicitat se consider un element de volum

infinit mic de forma unui cub icircn cazul cel mai general pe fețele sale vor acționa

tensiunile normale 120590119909 120590119910 și 120590119911 și respectiv tensiunile tangențiale 120591119909119910 120591119909119911 120591119910119909 120591119910119911 120591119911119909

și respectiv 120591119911119910 figura 33 Aceste tensiuni definesc starea de tensiune a punctului

observacircnd faptul că tensorul tensiune are 9 componente Dacă se consideră elementul

de volum finit ca fiind foarte mic se poate presupune că icircn interiorul său nu apar forțe

Ca urmare el va fi icircn echilibru sub acțiunea forțelor elementare produse de tensiunile de

pe fețele sale

Din condiția ca elementul să nu se rotească icircn jurul unor axe care trec prin centrul

său și sunt paralele cu axele sistemului 119909119874119910119911 rezultă

2 ∙ 120591119909119910 ∙ (119889119910 ∙ 119889119911) ∙119889119909

2= 2 ∙ 120591119910119909 ∙ (119889119909 ∙ 119889119911) ∙

119889119910

2 rArr 120591119909119910 = 120591119910119909 (35)

2 ∙ 120591119910119911 ∙ (119889119909 ∙ 119889119911) ∙119889119910

2= 2 ∙ 120591119911119910 ∙ (119889119909 ∙ 119889119910) ∙

119889119911

2 rArr 120591119910119911 = 120591119911119910 (36)

2 ∙ 120591119909119911 ∙ (119889119910 ∙ 119889119911) ∙119889119909

2= 2 ∙ 120591119911119909 ∙ (119889119909 ∙ 119889119910) ∙

119889119911

2 rArr 120591119909119911 = 120591119911119909 (37)

Relațiile (35divide37) 120591119909119910 = 120591119910119909 120591119910119911 = 120591119911119910 120591119909119911 = 120591119911119909 exprimă principiul dualității

tensiunilor tangențiale

Fig 33 Tensiunile normale și tangențiale pe fețele unui cub

Din condiția ca elementul considerat să nu se deplaseze icircn lungul axelor de

coordonate pe fețele opuse acționează aceleași tensiuni normale 120590119909 120590119910 și respectiv 120590119911

Definirea tensorului tensiune este posibilă dacă se cunosc cele 6 componente

independente ale acestuia aflate icircn trei plane perpendicular ce trec prin punctul respectiv

=

120590119909 120591119909119910 120591119909119911120591119910119909 120590119910 120591119910119911120591119911119909 120591119911119910 120590119911

Observaţii

Tensiunile se măsoară icircn [119873 1198982frasl ] (1119873 1198982frasl = 1 119875119886) sau icircn [119872119875119886]

(1 119872119875119886 = 106119875119886 = 106 119873

1198982 1 119872119875119886 = 1

119873

1198981198982)

Starea de tensiune dintr-un punct este considerată cunoscută dacă se cunosc

tensiunile 119901 care acționează pe infinitatea de elemente de suprafață ce trec prin punctual

considerat

Starea de tensiune a unui corp se consider cunoscută dacă se cunosc stările de

tensiune de pe infinitatea de puncte ale corpului considerat

32 Deplasări Deformaţii specifice

321 Deplasări

Aceste noțiuni sunt utile icircn analiza aspectului geometric al problemelor de rezistența

materialelor Deplasările care se analizează sunt cele datorate schimbării formei și

dimensiunilor corpurilor ca urmare a acțiunii forțelor exterioare și nu cele cinematice

posibile pentru solidul rigid care se poate deplasa cu anumită viteză și accelerație

Spre exemplu icircn figura 34a și figura 34b sub acțiunea forței 119865 tronsonul de

bară AB se deformează icircn timp ce tronsonul BC deși punctele sale au deplasări rămacircne

nedeformat (fiind nesolicitat) Toate punctele de pe axele barelor cu excepția celor din

icircncastrare (secțiunile A) au deplasări liniare De cele mai multe ori deformațiile barelor

datorate acțiunii forțelor exterioare se anulează la icircndepărtarea forțelor se spune că

deformațiile sunt elastice Secțiunile transversale ale barei din figura 34a se și rotesc icircn

raport cu pozițiile lor inițiale Spre exemplu secțiunea de căpăt cu centrul icircn C se rotește

cu unghiul

Fig 34 Deformațiile unei grinzi

Oricacirct de complexă ar fi delormația unui corp ea poate fi descrisă de lungiri sau

scurtări și de modificări ale unghiurilor inițiale

Deplasările măsoară schimbarea poziției unui punct al corpului și pot fi liniare

sau unghiulare

Prin deplasare liniară a unui punct se icircnțelege drumul parcurs de acest punct icircn

decursul procesului de deformație după o dreaptă suport dreapta 1198611198611 din figura 34a

Prin deplasare unghiulară se icircnțelege rotirea dintre segmentele de dreaptă

determinate de două puncte ale corpului icircnainte și după deformarea acestuia unghiul

pe care-l fac segmentele 119861119862 și 11986111198621 din figura 34a Această rotire se măsoară prin

unghiul pe care-l fac proiecțiile dreptelor ce conțin cele două segmente icircntr-un sistem

triortogonal

Icircn cazul cel mai general vectorul deplasare liniară se poate descompune icircntr-un

sistem triortogonal icircn trei componente 119906 119907 și 119908 figura 35

Fig 35 Deplasarea liniară

Se consideră acum un corp solid raportat la un sistem de axe ortogonal 119909119874119910119911

figura 35 după deformarea corpului un punct oarecare 119870 al acestuia se deplasează icircn

poziţia 1198701 vectorul 1198701198701 poartă numele de vectorul deplasării totale

Deplasarea totală este suma deplasărilor pe cele trei direcţii ortogonale iar

aceste deplasări se notează astfel

deplasarea pe direcţia 119909 cu ∥ 119874119909

deplasarea pe direcţia 119910 cu ∥ 119874119910

deplasarea pe direcţia 119911 cu ∥ 119874119911

Componentele deplasărilor și formeză matricea deplasărilor liniare 119906119907119908

322 Deformații

Prin deformație icircn general se icircnțelege orice schimbare de formă a unui corp fără

o evaluare cantitativă Icircn Rezistența Materialelor deformația măsoară variația

dimensiunilor geometrice ale corpului considerat din vecinătatea unui punct analog

deplasărilor deformațiile pot fi liniare și unghiulare (lunecări)

Fig 36 Deplasarea liniară

Deformația liniară ∆119897 reprezintă variația lungimii 119897 a unui element liniar al

corpului deformat figura 36 Deformația liniară specifică se definește ca fiind raportul

dintre deformația liniară și lungimea inițială

휀 =∆119897

119897 (38)

unde ∆119897 este lungirea sau scurtarea care este echivalentă cu deformția liniară totală iar

este alungirea

Deformația unghiulară sau lunecarea unui punct 119860 icircn planul 119861119860119862 se definește

prin relația figura 37

120574 = lim119861119860rarr0119862119860rarr0

(119861119860 minus 119861111986011198621 ) (39)

Fig 36 Deformația unghiulară

Schimbacircnd orientarea planului care trece prin 119860 se obțin alte deformații

unghiulare Dacă elementele liniare 119861119860 și 119862119860 sunt inițial perpendiculare deformația 120574 se

numește deformație unghiulară specifică sau lunecare specifică figura 37

Un exemplu de deplasare unghiulară și de deformație unghiulară este prezentat icircn

figura 38 Unghiul este deplasarea unghiulară și măsoară rotirea relativă dintre două

secțiuni aflate la distanța 119897 Unghiul este deformația specifică unghiulară (lunecarea

specifică) din punctul 119870 Aceste deplasări și deformații se obțin icircn urma solicitării barei

de către cele două momente 1198720 egale și de sens contrar

Fig 38 Deplasarea unghiulară

Pentru a analiza starea de deformație din vecinătatea unui punct al unui corp

solicitat complex se decupează din jurul punctului un element de volum mic figura 39a

avacircnd laturile 119889119909 119889119910 și 119889119911 Ca urmare a solicitării laturile acestuia se vor lungi sau

scurta Reprezentarea elementului deformat icircn spațiu este dificilă pentru simplificare

vom analiza doar deformațiile din planul 119909119874119910 Observăm că dimensiunile 119889119909 și 119889119910 s-au

modificat cu valoarea ∆119889119909 respectiv cu ∆119889119910 analog se acceptă și pentru 119889119911 o modificare

de forma ∆119889119911 Astfel se pot defini deformațiile specifice liniare

휀119909 =∆119889119909

119889119909 휀119910 =

∆119889119910

119889119910 휀119911 =

∆119889119911

119889119911 (310)

De cele mai multe ori aceste deformații specifice liniare se pot exprima procentual

și se mai numesc alungiri

Fig 39 Starea de deformație

Icircn figura 39c se vede că unghiul inițial drept dintre muchiile 119889119909 și 119889119910 ale

elementului de volum s-a modificat Se definește deformația specifică unghiulară (sau

lunecarea specifică) mărimea cu care se modifică unghiul inițial drept

120574119909119910 = 120574119909119910prime + 120574119910119909

prime = 120574119910119909120574119910119911 = 120574119910119911

prime + 120574119911119910prime = 120574119911119910

120574119911119909 = 120574119911119909prime + 120574119909119911

prime = 120574119909119911

(311)

Deformațiile 휀119909 휀119910 휀119911 120574119909119910 120574119910119911 120574119911119909 constituie cele șase componente

independente ale tensorului deformațiilor specifice care pot fi scrise de forma

119863 =

휀119909 120574119909119910 120574119909119911120574119910119909 휀119910 120574119910119911120574119911119909 120574119911119910 휀119911

(312)

323 Contracţia transversală

Practica arată că odată cu lungirea unei bare apare o micşorare a mărimii secţiunii

transversale mărime numită contracţie transversală figura 310

Fig 310 Contracția transversală

Contracţia transversală este proporţională cu lungirea specifică coeficientul de

proporţionalitate se notează cu 120599 şi se numeşte coeficient de contracţie transversală sau

coeficientul lui Poisson

La o lungire specifică a barei contracţia transversală este dată de relația

휀119905119903 = 휀119910 = 휀119911 = minus120599 ∙ 휀119909 (313)

Semnul minus bdquo-rdquo arată că cele două mărimi sunt contrare dacă una creşte cealaltă

scade şi invers

Considerăm o bară cilindrică de lungime 119897 şi aria secţiunii transversale 119860 solicitată

la icircntindere axială La un moment dat datorită solicitării lungimea barei devine

[119897 ∙ (1 + 휀)] diametrul devine [119889 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)] iar aria secţiunii transversale devine

[119860 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)2] Dacă volumul barei icircnainte de solicitare a fost (119860 ∙ 119897) după solicitare

acesta devine

119881 + ∆119881 = 119860 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)2 ∙ 119897 ∙ (1 + 휀) =

= 119860 ∙ 119897 ∙ (1 + 휀 minus 2 ∙ 120599 ∙ 휀 minus 2 ∙ 120599 ∙ 휀2 + 1205992 ∙ 휀2 + 1205992 ∙ 휀3) (314)

Deoarece lungirile sunt foarte mici ultimii trei termeni din paranteză fiind infinit mici se pot neglija obţinacircnd

119881 + ∆119881 = 119860 ∙ 119897 + 119860 ∙ 119897 ∙ 휀 ∙ (1 minus 2 ∙ 120599) ⟺ ∆119881 = 휀 ∙ (1 minus 2 ∙ 120599) ∙ 119860 ∙ 119897 (315)

Practica arătă că o astfel de bară solicitată la icircntindere icircşi măreşte volumul deci

∆119881 gt 0 de unde rezultă că

1 minus 2 ∙ 120599 gt 0 rArr 120599 lt 05 (316)

Pentru majoritatea materialelor 120599 = 033 iar pentru materialele care-şi păstrează

volumul constant 120599 = 05

33 Relaţii de echivalenţă icircntre eforturi şi tensiuni

Considerăm un element de suprafață infinit mic 119889119860 situat pe fața de arie (119860) a

secțiunii barei din figura 311 Icircn centrul de greutate 119862 al secțiunii acționează eforturile

119873 119879119910 119879119911 119872119909 119872119894119910 și 119872119894119911 determinate prin metoda secțiunilor

Icircn raport cu un sistem de axe de referință 119909119862119910119911 coordonatele elementului 119889119860 sunt

- 119910 este ordonata elementului de arie 119889119860

- 119911 este abscisa elementului de arie 119889119860

Pe elementul de arie 119889119860 acționează tensiunile

120590119909 tensiunea normală

120591119909119910 și 120591119909119911 tensiuni tangențiale

Dacă se icircnsumează forțele elementare de tipul 120590119909 ∙ 119889119860 120591119909119910 ∙ 119889119860 și 120591119909119911 ∙ 119889119860

va trebui să obținem eforturile 119873 119879119910 și 119879119911

Fig 311 Element de suprafață mic din secțiunea unei bare

Dacă eforturile sunt privite ca forțe exterioare și se scriu ecuațiile de

echilibru ale secțiunii (119860) se vor obține șase relații de echivalență icircntre eforturi și

tensiuni

(sum119883) = 0 rArr int 120590119909 ∙ 119889119860

119860

= 119873 (317)

(sum119884) = 0 rArr int 120591119909119910 ∙ 119889119860

119860

= 119879119910 (318)

(sum119885) = 0 rArr int 120591119909119911 ∙ 119889119860

119860

= 119879119911 (319)

(sum119872)119909= 0 rArr int(120591119909119911 ∙ 119889119860) ∙ 119910

119860

minus int(120591119909119910 ∙ 119889119860) ∙ 119911

119860

= 119872119909 rArr

rArr int(119910 ∙ 120591119909119911 minus 119911 ∙ 120591119909119910) ∙ 119889119860

119860

= 119872119909

(320)

(sum119872)119910= 0 rArr int(120590119909 ∙ 119889119860) ∙ 119911

119860

= 119872119894119910 (321)

(sum119872)119911= 0 rArr int(120590119909 ∙ 119889119860) ∙ 119910

119860

= 119872119894119911 (322)

Cele șase relații de echivalență icircntre eforturi și tensiuni constituie un pas icircnainte

icircn rezolvarea unei probleme de rezistența materialelor Aceste relații vor permite

determinarea tensiunilor maxime

Pentru a rezolva cele 6 relații de echivalență trebuie să se cunoască tensiunile și

ca funcții de punct adică funcții de forma

120590119909 = 120590119909(119909 119910 119911) 120591119909119910 = 120591119909119910(119909 119910 119911) 120591119909119911 = 120591119909119911(119909 119910 119911) (32

3)

Cunoașterea acestor funcții presupune icircnsă analizarea aspectului geometric al

problemei precum și utilizarea unor ipoteze simplificatoare care să permită simplificarea

problemelor

34 Ipoteze de bază icircn rezistenţa materialelor

Depășirea dificultăților legate de interpretarea unor fenomene specifice mecanicii

solidului deformabil a impus acceptarea unor ipoteze care să simplifice fenomenele și să

contribuie la elaborarea unor modele de calcul cicirct mai generale și cacirct mai simple Aceste

ipoteze se referă la structura materialelor şi la comportarea lor sub acţiunea forţelor

exterioare Ipotezele acceptate trebuie să fie icircn deplină concordanţă cu realitatea și să

conducă la rezultate verificate icircn practică

Funcție de aspectele la care se referă ipotezele pot fi

Ipoteze fizice (de material)

Ipoteze de calcul

341 Ipoteze fizice

Se acceptă deoarece teoriile structurale au condus la rezultate care contravin

icircncercărilor experimentale

Ipoteza mediului continuu consideră că orice domeniu elementar al corpului

este ocupat de materie adică nu se acceptă existența unor goluri sau a unor crăpături

microscopice (fisuri) Deși nu corespunde realităţii poate fi acceptată deoarece

dimensiunile corpului sunt mult mai mari decacirct dimensiunile particulelor elemantare Are

avantajul că permite utilizarea proprietăților matematice ale funcțiilor continue pentru

tensiunile și deformațiile din orice punct al corpului Ea este mai apropiată de realitate la

corpurile amorfe şi mai depărtată la cele cristaline dar conduce la rezultate satisfăcătoare

icircn calculele de rezistenţă

Ipoteza nu se poate aplica la corpurile care au goluri tăieturi (multiplu conexe)

pentru unele puncte singulare icircn care tensiunile și deformațiile tind la infinit sau icircn unele

probleme de plasticitate icircn care proprietățile de material au un rol esențial

Ipoteza izotropiei conform acestei ipoteze materialul din care este confecționat

un element de rezistență are aceleași proprietăți după orice direcție un astfel de material

este considerat izotrop Din punct de vedere macroscopic metalele pot fi considerate

izotrope deși la nivel microscopic proprietățile lor diferă de la o direcție cristalografică

la alta Orice conglomerat de cristale poate fi considerat izotrop

Există cazuri cacircnd această ipoteză a izotropiei nu se acceptă

la metalele puternic deformate după o direcție (prin laminare trefilare)

la piesele confecționate din lemn lemnul este anizotrop deoarece proprietățile sale

diferă după două direcții (icircn lungul fibrelor și perpendicular pe această direcție)

Ipoteza omogenității consideră că un corp are aceleași proprietăți icircn orice

punct al său Deși majoritatea materialelor utilizate icircn tehnică sunt eterogene la scară

micro fiind constituite din mai multe faze cu proprietăți diferite la scară macro ele pot

fi considerate omogene Omogenitatea și izotropia sunt proprietăți statistice medii care

nu se condiționează una pe cealaltă Chiar și materialele monofazice pot avea la scară

micro unele segregații care le fac eterogene

Ipoteza elasticităţii perfecte presupune că atacircta timp cacirct solicitările nu

depăşesc anumite limite materialul are o comportare elastică adică icircşi recapătă forma şi

dimensiunile iniţiale odată cu icircnlăturarea sarcinilor Icircn realitate materialele nu prezintă o

elasticitate perfectă ele avacircnd deformaţii remanente mici care icircnsă pot fi neglijate icircn

calculele de rezistenţă

Acceptarea acestei ipoteze a elasticității perfecte permite

- aplicarea relației biunivoce icircntre tensiuni și deformații relație exprimată de legea

lui Hooke ( = 119864 ∙ 휀) unde E este un factor de proporţionalitate numit modul de

elasticitate longitudinal al materialului pentru oţel 119864 = 21 ∙ 105 [119872119875119886] - acceptarea valabilității afirmației bdquolucrul mecanic efectuat de forțele exterioare

ca urmare a parcurgerii deplasărilor punctelor de aplicație se icircnmagazinează integral icircn

corp sub formă de energie de deformație energie cedată la icircndepărtarea sarcinilorrdquo

- este valabilă teoria conform căreia bdquoenergia icircnmagazinată și deformațiile depind

doar de starea inițială și finală de eforturi fără a ține cont de modul icircn care s-a ajuns la

starea finalărdquo

Icircn realitate oricacirct de mici ar fi sarcinile aplicate se produc și deformații plastice

dar acestea pot fi neglijate dacă solicitarea nu depășește anumite limite

342 Ipoteze de calcul

Ipoteza micilor deplasări bdquodeplasările datorate deformării sunt mult mai mici

decacirct dimensiunile corpurilor și ca urmare pot fi neglijate produsele dintre o deplasare și

ea icircnsăşirdquo Pentru cele mai multe corpuri deformaţiile elastice sunt de mărimi mici deci

corpurile solide sub acţiunea sarcinilor icircşi modifică foarte puţin forma iniţială Această

ipoteză este cunoscută şi sub denumirea de ipoteza menţinerii dimensiunilor iniţiale Ea

permite scrierea ecuaţiilor de echilibru ale staticii pe starea nedeformată a elementului

cacircnd nu se iau icircn considerare deplasările punctelor de aplicaţie ale forţelor care se produc

ca urmare a deformării acestuia Calculul efectuat pe schema nedeformată poartă numele

de calcul de ordinul I

Ipoteza micilor deplasări nu poate fi acceptată pentru studiul problemelor de

stabilitate sau la problemele la care nu pot fi icircndeplinite condiţiile de echilibru icircn starea

nedeformată

Calculul de ordinul II admite ipoteza micilor deplasări dar ecuaţiile de echilibru

se scriu icircnsă pentru starea deformată a elementului de rezistenţă

Calculul de ordinul III nu mai acceptă ipoteza micilor deplasări el referindu-se

la cazul deformaţiilor mari cacircnd ecuaţiile de echilibru trebuie scrise pentru starea

deformată

Chiar dacă materialul satisface legea lui Hooke icircn urma calculelor de ordinul II

se obţin de obicei relaţii neliniare icircntre sarcini şi deplasări iar pentru calculul de ordinul

III rezultă ecuaţii diferenţiale neliniare

Principiul efectului local al acțiunii sarcinilor enunțat de Barre de Saint-

Venant Acest principiu destul de folosit icircn Rezistenţa Materialelor precizează că dacă

se icircnlocuiesc forţele care acţionează asupra unui element de suprafață al unui corp

elastic printr-un alt sistem de forţe echivalent din punct de vedere static cu primul noua

distribuţie a forţelor produce la locul de aplicare diferenţe semnificative faţă de prima

dar rămacircne fără efect sau cu efect neglijabil la distanţe mari de locul de aplicare al

forţelor figura 312

Ca o cosecință o sarcină uniform distribuită figura 312a poate fi icircnlocuită cu

rezultanta ei figura 312b dacă se analizează efectul sarcinii la distanță mare de locul icircn

care se aplică sarcina

Fig 312 Principiul Saint-Venant

Icircn prima variantă figura 312a forţa 119865 se aplică pe o porțiune oarecare 119897 (sarcină

uniform distribuită) iar icircn a doua figura 312b icircntru-un punct (forţă concentrată) La

locul de aplicare a sarcinii efectul asupra barei este cu totul diferit de la o variantă la

cealaltă Icircnsă la o distanţă mare de punctul de aplicaţie spre exemplu icircn secţiunea situată

la distanţa 119886 de capătul barei sau chiar icircn icircncastrare ambele bare sunt solicitate la fel

Icircn cazul din figura 312a

119872119894(119909) =119901 ∙ 1199092

2 119909 le 119897 119872119894(119909) = 119901 ∙ 119897 ∙ (119909 minus

119897

2) 119909 gt 119897 (324)

Icircn cazul din figura 312b

119872119894(119909) = 0 119909 lt119897

2 119872119894(119909) = 119901 ∙ 119897 ∙ (119909 minus

119897

2) 119909 gt

119897

2 (325)

Se vede că pentru (119909 gt 119897) adică după depășirea locului icircn care se aplică sarcina

efectul este același

Ipoteza lui Bernoulli sau ipoteza secţiunilor plane precizează că o secţiune

plană şi normală pe axa barei icircnainte de deformare rămacircne plană şi normală pe axa

barei şi după deformare figura 313

Fig 313 Ipoteza lui Bernoulli

Ipoteza stării naturale a corpului sau ipoteza absenţei tensiunilor conform

căreia pentru un corp nesolicitat starea de tensiune şi deformaţie este nulă

Perfecţionarea mijloacelor de calcul şi de investigare pot conduce la renunţarea la

unele ipoteze sau la introducerea altora noi mai aproape de stările reale De aici rezultă

caracterul de continuă perfecţionare a metodelor Rezistenţei Materialelor

35 Coeficienţi de siguranţă Tensiuni admisibile

O piesă corespunde din punct de vedere tehnic dacă tensiunile care iau naştere icircn

interiorul piesei datorită sarcinilor aplicate nu depăşesc anumite valori limită stabilite

convenţional Aceste valori limită ale tensiunii sunt corelate cu caracteristicile mecanice

ale materialelor

Tensiunea limită utilizată icircn calculele de rezistenţă este cunoscută sub denumirea

de tensiune admisibilă sau rezistenţă admisibilă Rezistenţa admisibilă reprezintă

valoarea convenţională aleasă icircn calcul pe baza practicii pentru tensiunea maximă care

poate apare icircntr-o piesă icircn condiţii date de material şi solicitare

Rezistenţa admisibilă (120590119886 sau 120591119886) poate fi definită faţă de o stare limită

periculoasă stare care trebuie evitată deoarece poate conduce distrugere

120590119886 =120590119897119894119898119888

(326)

unde

120590119897119894119898 este tensiunea corespunzătoare stării limită periculoase

119888 estesupraunitar 119888 gt 1 și reprezintă coeficientul de siguranţă faţă de starea limită

periculoasă considerată

Alegerea unor valori inferioare pentru rezistenţa admisibilă faţă de tensiunea

corespunzătoare stării limită periculoase este necesară deoarece

cunoaşterea sarcinilor este de cele mai multe ori aproximativă şi o depăşire a

acestora este foarte posibilă

caracteristicile mecanice ale materialelor variază icircn limite destul de mari ele

fiind influenţate de mulţi factori

schema aleasă pentru calcul (aplicarea sarcinilor schematizarea structurii

ipotezele de calcul etc) depărtează modelul faţă de cel real

Pentru calculele de verificare tensiunea efectivă maximă din elementul de

rezistenţă trebuie să fie mai mică sau cel mult egală cu cea admisibilă

120590119890119891119898119886119909 le 120590119886 (327)

Valoarea rezistenţei admisibile este influenţată de foarte mulţi factori natura

materialului tratamentele termice aplicate piesei durata de funcţionare a piesei modul

de acţionare icircn timp a sarcinilor felul solicitării temperatura gradul de periculozitate

icircn cazul cedării piesei etc

De asemenea valoarea coeficientului de siguranţă se alege icircn principal ţinacircnd

seama de aceiaşi factori care influenţează şi rezistenţa admisibilă

Rezistenţele admisibile pentru cacircteva materiale sunt următoarele

pentru oțelul de uz general OL37 solicitat la icircntindere compresiune sau

icircncovoiere 120590119886 = 150 [119872119875119886] pentru lemnul de brad solicitat la

- compresiune icircn lungul fibrelor şi solicitat la icircncovoiere 120590119886 = 10 [119872119875119886] - tracţiune icircn lungul fibrelor 120590119886 = 7 [119872119875119886] - compresiune perpendiculară pe fibre 120590119886 = 15 [119872119875119886] - forfecare icircn lungul fibrelor 120591119886 = 2 [119872119875119886] - forfecare perpendiculară pe fibre 120590119886 = 45 [119872119875119886]

terenuri de fundaţie din pămacircnt uscat sau umed 120590119886 = 020 divide 025 [119872119875119886]

4 CARACTERISTICI GEOMETRICE ALE SECȚIUNILOR PLANE

41 Noţiuni introductive

Icircn relaţiile de calcul ale tensiunilor şi deformaţiilor elementelor de rezistenţă

pentru unele solicitări (icircncovoierea și torsiunea) secțiunile plane intervin atacirct prin

dimensiunile lor (aria 119860) cicirct și prin forma și poziția pe care o are secțiunea icircn raport cu

planul solicitării Mărimile care caracterizează o secțiune icircn raport cu forma și poziția față

de axele unui sistem de referință sunt denumite caracteristici geometrice de ordin

superior Aria secțiunii este caracteristica geometrică ce depinde doar de dimensiunile

geometrice ale acesteia

Să considerăm o grindă solicitată de o forță exterioară 119865 aşezată icircn două poziții icircn

raport cu planul forţei figura 41 Icircn urma aplicării forței deși avem aceeași grindă

(aceeași arie a secțiunii transversale) și aceeași forță se constată că pentru varianta din

figura 41a deformațiile sunt mult mai mari adică rezistența la icircncovoiere a grinzii din

figura 41a este mai mare decacirct icircn cazul grinzii din figura 41b Comportarea diferită se

explică prin aceea că modificarea poziţiei secţiunii transversale faţă de planul forţelor

modifică caracteristicile geometrice ale secţiunii transversale a grinzii

Fig 41 Grindă solicitată de forța 119865

Pentru realizarea calculelor de rezistenţă şi rigiditate este foarte importantă

cunoaşterea caracteristicilor geometrice ale suprafeţei secţiunii transversale a elementelor

de rezistenţă

Caracteristicile geometrice ale secţiunii transversale a unui element de rezistenţă

sunt

- aria secțiunii notată cu 119860

- momentul static icircn raport cu o axă notat 119878119911 și respectiv 119878119910

- momentul de inerție care poate fi

axial notat 119868119911 și respectiv 119868119910

centrifugal notat 119868119911119910

polar notat 119868119901

- raza de inerţie (giraţie)notată 119894119911 și respectiv 119894119910

- modulul de rezistență care poate fi

axial notat 119882119911 și respectiv 119882119910

polar notat 119882119901

42 Aria și momentul static al suprafețelor plane

Fie o suprafaţă plană de arie 119860 pe care se ia un element infinit mic de arie 119889119860 şi

un sistem de axe rectangulare 119911119874119910 figura 42 Notăm cu 119862 centrul de greutate al suprafeţei

119860 Poziţia suprafeţei elementare 119889119860 faţă de acelaşi sistem de coordonate 119911119874119910 este dată

de abscisa 119911 ordonata 119910 și raza polară

Fig 42 Suprafață plană de arie 119860

Aria suprafeţei 119860 figura 42 se defineşte ca fiind

119860 ≝ int 119889119860

119860

(41)

Aria suprafeţei este icircntotdeauna pozitivă și se măsoară icircn [1198981198982] Momentul static al suprafeţei de arie 119860 icircn raport cu axele 119874119911 și respectiv 119874119910

figura 42 sunt date de relaţiile

119878119911 ≝ int 119910 ∙ 119889119860

119860

119878119910 ≝ int 119911 ∙ 119889119860

119860

(42)

Momentul static poate fi pozitiv negativ sau nul şi se măsoară icircn [1198981198983] Coordonatele centrului de greutate ale suprafeței 119860 se detrmină cu relațiile

119910119862 ≝int 119910 ∙ 119889119860119860

119860 119911119862 ≝

int 119911 ∙ 119889119860119860

119860

(43)

Cunoscacircnd coordonatele 119910119862 și 119911119862 ale centrului de greutate 119862 al secțiunii 119860 atunci

momentele statice se pot determina cu relațiile

119878119911 ≝ int 119910 ∙ 119889119860

119860

= 119910119862 ∙ 119889119860 119878119910 ≝ int 119911 ∙ 119889119860

119860

= 119911119862 ∙ 119889119860 (44)

Aceste relații arată că momentul static al unei suprafețe icircn raport cu o axă este

egal cu produsul dintre aria suprafeței și distanța de la centrul ariei la axa respectivă

Dacă suprafaţa se poate descompune icircn 119899 suprafeţe simple la care se cunosc ariile

(1198601 1198602 ⋯ 119860119894⋯ 119860119899) și poziţiile centrelor de greutate 119862119894 faţă de sistemul de referinţă

expresiile momentelor statice capătă următoarea formă

119878119911 = sum 119910119862119894 ∙ 119860119894119899119894=1 = 119910119862 ∙ 119860 119878119910 = sum 119911119862119894 ∙ 119860119894

119899119894=1 = 119911119862 ∙ 119860 (45)

Din relaţiile (45) rezultă că poziţia centrului de greutate 119862 al unei suprafeţe

compuse poate fi determinată cu relaţiile

119910119862 = (sum119910119862119894 ∙ 119860119894

119899

119894=1

) 119860frasl 119911119862 = (sum119911119862119894 ∙ 119860119894

119899

119894=1

) 119860frasl (46)

Icircn relația (45) 119910119862119894 și respectiv 119911119862119894 reprezintă coordonatele centrelor de greutate 119862119894

ale fiecărei suprafețe simple 119860119894 icircn raport sistemul de axe 119911119874119910

Se constată (relaţia 42) că dacă axele sistemului de referinţă trec prin centrul de

greutate (119910119862 = 119911119862 = 0) momentele statice sunt nule Axele icircn raport cu care momentele

statice sunt nule şi care trec prin centrul de greutate al suprafeţei se numesc axe centrale

Observație dacă secțiunea compusă are o axă de simetrie centrul secțiunii se

găsește pe acea axă iar dacă secțiunea este dublu simetrică poziția centrului secțiunii este

la intersecția axelor de simetrie

43 Momente de inerţie

Momentele de inerţie axiale ale unei suprafețe se calculează icircn raport cu axele de

coordonate 119874119911 și respectiv 119874119910 figura 42 și se determină cu relațiile

119868119911 ≝ int 1199102 ∙ 119889119860

119860

119868119910 ≝ int 1199112 ∙ 119889119860

119860

(47)

Unde 119910 și 119911 sunt distanțele de la elementul de arie 119889119860 la cele două axe de

coordonate 119874119911 și respectiv 119874119910

Momentele de inerţie axiale se măsoară icircn [1198981198984] şi sunt icircntotdeauna pozitive (aria

119889119860 este icircntotdeauna pozitivă și este multiplicată cu patratul distanței 1199102 dacă 119868119911 sau 119868119910

sunt nule icircnseamnă ca secțiunea nu există)

Momentele de inerție axiale se calculează icircndeosebi pentru axele centrale (care

trec prin centrul secțiunii) deoarece icircn raport cu acele axe 119868119911 și 119868119910 au valori minime

Momentul de inerţie centrifugal calculat faţă ambele axe ale sistemului de

referinţă 119911119874119910 este definit de relația

119868119911119910 ≝ int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860

(48)

Momentul de inerţie centrifugal se măsoară icircn [1198981198984] şi poate fi pozitiv negativ

sau nul

Momentul de ineție centrifugal este nul 119868119911119910 = 0 dacă cel puțin una din axele 119874119911

sau 119874119910 este axă de simetrie pentru secțiune

Se consideră o suprafaţă dreptunghiulară pe care faţă de axa de simetrie 119874119910 se iau

două suprafeţe elementare de arie 119889119860 simetrice faţă de axa 119874119910 figura 43

Fig 43 Suprafață dreptunghiulară cu două arii elementare 119889119860

Făcacircnd suma momentelor de inerţie centrifugale pentru cele două suprafeţe

elementare 119889119860 (din stacircnga şi din dreapta faţă de axa 119874119910) se obţine

int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860119889119903

+ int (minus119911) ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860119904119905119892

= int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860119889119903

minus int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860119904119905119892

= 0 (49)

Acelaşi raţionament se poate face și pentru icircntreaga suprafaţă de unde obținem că

momentul de inerție centrifugal este nul 119868119911119910 = 0 Deci pentru o suprafaţă plană care

are cel puţin o axă de simetrie momentul de inerţie centrifugal faţă de sistemul care

conţine acea axă de simetrie este nul

Momentul de inerţie polar al unei suprafeţei icircn raport cu un punct (pol) 119874 figura

42 este definit prin relaţia

1198680 = 119868119901 ≝ int 1205882 ∙ 119889119860

119860

= int(1199102 + 1199112) ∙ 119889119860

119860

= 119868119911 + 119868119910 (410)

unde este distanţa de la polul 119874 la elementul de arie 119889119860 Momentul de inerţie polar se

măsoară icircn [1198981198984] şi este totdeauna pozitiv

Momentul de inerţie polar este egal cu suma momentelor de inerţie faţă de două axe

perpendiculare oarecare şi care trec prin polul considerat

Razele de giraţie sau razele de inerţie sunt mărimi calculate icircn raport cu axele

secțiunii și definite de relaţiile

119894119911 ≝ radic119868119911119860 119894119910 = radic

119868119910

119860 (411)

Se exprimă icircn [119898119898] şi sunt icircntotdeauna pozitive Semnificația unei raze de inerție

este distanța la care dacă ar fi concentrată icircntreaga arie s-ar obține același moment de

inerție ca și cel calculat pentru aria reală

44 Modulul de rezistenţă

Modulul de rezistență se calculează icircn raport cu axele de referință sau icircn raport cu

un pol figura 42 și pot fi axiale (119882119911119882119910) sau polar (119882119901) și se determină numai pe baza

momentelor de inerţie cu relațiile figura 43

119882119911119898119894119899 ≝119868119911119910119898119886119909

119882119911119898119886119909 ≝119868119911119910119898119894119899

(412)

119882119910119898119894119899 ≝119868119910

119911119898119886119909 119882119910119898119886119909 ≝

119868119910

119911119898119894119899 (413)

119882119901 ≝119868119901

120588119898119886119909 (414)

unde

119910119898119886119909 119910119898119894119899 reprezintă distanţa de la axa 119874119911 la punctele extreme cele mai

depărtate respectiv cele mai apropiate ale suprafeţei de această axă

119911119898119886119909 119911119898119894119899 reprezintă distanţa de la axa 119874119910 la punctele extreme cele mai

depărtate respectiv cele mai apropiate ale suprafeţei de această axă

120588119898119886119909 reprezintă distanța maximă de la polul 119874 la punctul secțiunii cel mai

icircndepărtat de acesta

Fig 43 Suprafață dreptunghiulară cu două arii elementare 119889119860

Modulele de rezistenţă se exprimă icircn [1198981198983] şi sunt icircntotdeauna pozitive

Explicația este aceea că momentele de inerție care intră icircn relațiile de definiție sunt

pozitive iar distanțele la punctele extreme sunt pozitive (119910119898119886119909 119910119898119894119899 119911119898119886119909 119911119898119894119899 120588119898119886119909 se

iau icircn valoare absolută)

Icircn cazul suprafeţelor compuse modulul de rezistenţă nu se obţine prin icircnsumarea

algebrică a modulelor de rezistenţă ale suprafeţelor simple componente ci numai prin

intermediul momentului de inerţie axial calculat pentru icircntreaga secțiune

Ca și momentele de inerție modulele de rezistență se calculează numai pentru

sistemele de axe centrale

45 Momente de inerţie şi module de rezistenţă pentru suprafeţe simple

451 Secțiune dreptunghiulară

Fie suprafaţa dreptunghiulară din figura 44 de icircnălțime ℎ și lățime 119887 pe care se

consideră suprafaţă elementară de arie 119889119860 = 119887119889119910 la distanța 119910 de axa 119862119911 sistemul de

axe 119911119862119910 trece prin centrul secțiunii iar axele sunt axe de simetrie pentru dreptunghi

Fig 44 Suprafață dreptunghiulară

Pe baza relațiilor de definiți a momentului de inerție 119868119911 se obține

119868119911 ≝ int 1199102 ∙ 119889119860

119860

= int 1199102 ∙ 119887 ∙ 119889119910 = 2int 1199102 ∙ 119887 ∙ 119889119910 = 2 ∙ 119887 ∙1199103

3|ℎ 2frasl

0rArr

ℎ 2frasl

0

ℎ 2frasl

minusℎ 2frasl

rArr 119868119911 =119887 ∙ ℎ3

12

(415)

Analog pentru un element de arie 119889119860 = ℎ ∙ 119889119911 paralel cu axa 119862119910 situat la distanța

119911 de axa 119862119910

119868119910 ≝ int 1199112 ∙ 119889119860

119860

= int 1199112 ∙ ℎ ∙ 119889119911 = 2int 1199112 ∙ ℎ ∙ 119889119910 = 2 ∙ ℎ ∙1199113

3|119887 2frasl

0rArr

119887 2frasl

0

119887 2frasl

minus119887 2frasl

rArr 119868119910 =1198873 ∙ ℎ

12

(416)

Deoarece axele 119862119911 și 119862119910 sunt axe de simetrie momentul de inerție centrifugal este

119868119911119910 = 0 (417)

Pentru un pătrat avacircnd laturile egale (ℎ = 119887 = 119886) momentele de inerţie faţă de

axele centrale au expresia

119868119911 = 119868119910 =1198864

12 (418)

Modulele de rezistență axiale se calculează cu relațiile de definiție ținacircnd cont că

distanțele pacircnă la fibrele extreme sunt

119910119898119886119909 = 119910119898119894119899 =ℎ

2 119911119898119886119909 = 119911119898119894119899 =

119887

2 (419)

Obținem

119882119911119898119894119899 = 119882119911119898119886119909 =119868119911

119910119898119886119909119898119894119899=119887 ∙ ℎ3

12frasl

ℎ2frasl

=119887 ∙ ℎ2

6

119882119910119898119894119899 = 119882119910119898119886119909 =119868119910

119911119898119886119909119898119894119899=1198873 ∙ ℎ

12frasl

1198872frasl

=1198872 ∙ ℎ

6

(420)

452 Suprafaţă circulară

Din motive de simetrie pentru suprafeţele circulare momentele de inerţie faţă de

orice diametru (care reprezintă şi axe centrale) sunt aceleaşi

Considerăm o secțiune circulară plină cu diametrul 119889 și centrul de greutate 119862 Prin

centrul de greutate 119862 trece sistemul de axe ortogonal 119911119862119910 figura 45

Fig 45 Suprafață circulară

La distanța de centrul de greutate 119862 vom lua un element de suprafață mic de arie

(119889119860) de forma unui inel de grosime 119889 Elementul de arie 119889119860 are expresia

119889119860 = (2 ∙ 120587 ∙ 120588) ∙ (119889120588)

Pornind de la relația de definiție a momentului de inerție polar obținem

119868119901 ≝ int 1205882 ∙ 119889119860

119860

= int 1205882 ∙ (2 ∙ 120587 ∙ 120588) ∙ 119889120588

119903=119889 2frasl

0

= 2 ∙ 120587 ∙1205884

4|119889 2frasl0 rArr

rArr 119868119901 =120587 ∙ 1198894

32

(421)

Secțiunea este perfect simetrică deci sunt valabile relațiile

119868119911 = 119868119910 rArr 119868119901 = 119868119911 + 119868119910 = 2 ∙ 119868119911 = 2 ∙ 119868119910 =119868119901

2=120587 ∙ 1198894

64 (422)

Și modulele de rezistenţă faţă de orice diametru sunt egale şi se calculează cu

relaţiile

119882119911 = 119882119910 =1198681199111198892frasl=120587 ∙ 1198893

32 (423)

Modulul de rezistenţă polar este

119882119901 =1198681199011198892frasl=120587 ∙ 1198893

16 (424)

453 Secţiune inelară

Calculul momentelor de inerţie axiale pentru o secţiune inelară avacircnd diametrul

interior 119889 şi diametrul exterior 119863 se determină analog pentru suprafaţa circulară plină cu

observaţia că integrala pentru calculul momentului de inerție polar 119868119901 se face icircntre

limitele 119903 = 119889 2frasl şi R= 1198632frasl (icircntre raza interioară 119903 şi raza exterioară 119877) figura 46

Se obţin relaţiile

119868119901 =120587 ∙ 1198634

32∙ [1 minus (

119889

119863)4

] =120587 ∙ 1198634

32∙ (1 minus 1198964) (425)

119868119910 = 119868119910 =120587 ∙ 1198634

64∙ [1 minus (

119889

119863)4

] =120587 ∙ 1198633

64∙ (1 minus 1198964) (426)

Fig 46 Secțiune inelară

119882119901 =120587 ∙ 1198633

16∙ [1 minus (

119889

119863)4

] =120587 ∙ 1198633

16∙ (1 minus 1198964) (427)

119882119911 = 119882119910 =120587 ∙ 1198633

32∙ [1 minus (

119889

119863)4

] =120587 ∙ 1198633

32∙ (1 minus 1198964) (428)

unde 119896 = 119889119863frasl

46 Variaţia momentelor de inerţie faţă de axe paralele

( Relațiile lui STEINER)

Se consideră o suprafaţă oarecare de arie 119860 cu elementul de arie 119889119860 și un sistemul

de axe central 119911119862119910 faţă de care se cunosc momentele de inerţie 119868119911 119868119910 119868119911119910 şi considerăm

un sistem de axe 11991111198741199101 paralele cu sistemul central figura 47 Se pune problema

determinării momentele de inerţie 1198681199111 1198681199101 11986811991111199101 faţă de sistemul de axe paralel cu sistemul

central 11991111198741199101 axe aflate la distanţele 119910119862 = 119888 respectiv 119911119862 = 119889 de acesta

461 Momente de inerţie axiale

Pe baza relaţiilor de definire şi a notaţiilor din figura 42 pentru momentele de

inerţie faţă de axele 1198741199111 1198741199101 se poate scrie

1198681199111 = int 11991012 ∙ 119889119860

119860

= int(119910 + 119888)2 ∙ 119889119860

119860

= int 1199102 ∙ 119889119860

119860

+ 2 ∙ 119888 ∙ int 119910 ∙ 119889119860

119860

+

+1198882int 119889119860

119860

rArr 1198681199111 = 119868119911 + 2 ∙ 119888 ∙ 119878119911 + 1198882 ∙ 119860 hArr 1198681199111 = 119868119911 + 119888

2 ∙ 119860

(429)

Fig 47 Variaţia momentelor de inerţie față de axe paralele

S-a ajuns la relația (429) deoarece momentul static 119878119911 este nul deoarece axa 119862119885

este axă centrală

Pentru momentul de inerție axial icircn raport cu axa 1198741199101 se obține

1198681199101 = int 11991112 ∙ 119889119860

119860

= int(119911 + 119889)2 ∙ 119889119860

119860

= int 1199112 ∙ 119889119860

119860

+ 2 ∙ 119889 ∙ int 119911 ∙ 119889119860

119860

+

+1198892 ∙ int 119889119860

119860

rArr 1198681199101 = 119868119910 + 2 ∙ 119889 ∙ 119878119910 + 1198892 ∙ 119860 hArr 1198681199101 = 119868119910 + 119889

2 ∙ 119860

(430)

Pentru momentul de inerție centrifugal obținem

11986811991111199101 = int 1199101 ∙ 1199111 ∙ 119889119860

119860

= int(119910 + 119888) ∙ (119911 + 119889) ∙ 119889119860

119860

= int 119910 ∙ 119911 ∙ 119889119860 +

119860

+119888 ∙ int 119911 ∙ 119889119860

119860

+ 119889 ∙ int 119910 ∙ 119889119860

119860

rArr 11986811991111199101 = 119868119911119910 + 119888 ∙ 119889 ∙ 119860

(431)

Deoarece

int 119911 ∙ 119889119860

119860

= 119878119910 = 0 int 119910 ∙ 119889119860

119860

= 119878119911 = 0 int 119910 ∙ 119911 ∙ 119889119860

119860

= 119868119911119910

Relaţiile (429) şi (430) arată că momentul de inerţie faţă de o axă oarecare

este egal cu momentul de inerţie faţă de o axă paralelă cu ea trecacircnd prin centrul de

greutate la care se adaugă produsul dintre aria suprafeţei şi pătratul distanţei dintre

cele două axe

Din relaţiile (429) și (430) rezultă de asemenea că momentul de inerţie faţă de o

axă centrală (care trece prin centrul de greutate) este cel mai mic dintre infinitatea de

momente de inerţie obținute faţă de alte axe paralele cu ea

Relaţia (431) arată de asemenea că momentul de inerţie centrifugal faţă de un

sistem de axe oarecare este egal cu momentul de inerţie centrifugal faţă de un sistem

paralele cu el trecacircnd prin centrul de greutate a suprafeţei la care se adaugă produsul

dintre aria suprafeţei şi distanţele dintre axele sistemelor respective

Icircn literatura de specialitate relaţiile (429) (430) şi (431) sunt cunoscute sub

numele de relaţiile lui Steiner

47 Variaţia momentrlor de inerţie faţă de axe rotite

Direcţii principale şi momente de inerţie principale

Fie suprafaţa plană din figura 48 de arie 119860 pe care considerăm o suprafaţă

elementară de arie 119889119860 Pentru sistemul de axe 119911119874119910 se cunosc momentele de inerţie

119868119911 119868119910 119868119911119910 şi vom determina relaţiile de calcul pentru momentele de inerţie afererent unui

sistem de axe 11991111198741199101 rotit cu un unghi faţă de sistemul central

Faţă de sistemul de axe 11991111198741199101 elementul de arie 119889119860 are coordonatele

1199101 = 119875119877 = 119875119876 minus 119877119876 = 119910 ∙ cos 120572 minus 119911 ∙ sin 120572

1199111 = 119873119872 = 119873119875 minus 119875119872 = 119911 ∙ cos 120572 + 119910 ∙ sin 120572 (432)

Fig 47 Variaţia momentelor de inerţie față de axe rotite

Pe baza relaţiilor de calcul ale momentelor de inerţie şi a notaţiilor din figura 42

şi ale relaţiilor (432) momentele de inerţie faţă de sistemul de axe rotit 11991111198741199101 sunt

1198681199111 =119868119911 + 119868119910

2+119868119911 minus 119868119910

2∙ cos 2120572 minus 119868119911119910 ∙ sin 2120572 (433)

1198681199101 =119868119911 + 119868119910

2minus119868119911 minus 119868119910

2∙ cos 2120572 + 119868119911119910 ∙ sin 2120572 (434)

11986811991111199101 =119868119911 minus 119868119910

2∙ sin 2120572 + 119868119911119910 ∙ cos 2120572 (435)

Din relaţiile 433divide435 se observă că icircntre momentele de inerţie axiale şi cele

polare există relaţia

1198681199111 + 1198681199101 = 119868119911 + 119868119910 = 119868119901 (436)

adică suma momentelor de inerţie axiale icircn raport cu orice pereche de axe ortogonale

care trec printr-un pol dat este o constantă şi egală cu momentul de inerţie polar

Prin rotirea sistemului de axe din relaţiile 433divide435 rezultă că momentele de inerţie

variază icircnsă suma lor rămacircne constantă deci există o poziţie a sistemului de axe pentru

care momentele de inerţie au valori extreme maxim respectiv minim

471 Direcţii principale de inerţie

Valoarea unghiului 120572 pentru care momentele de inerţie axiale au valori extreme

este

1205721 =1

2∙ 119886119903119888119905119886119899 (minus

2 ∙ 119868119911119910

119868119911 minus 119868119910) (437)

Poziţia celeilalte direcţii este perpendiculară pe cea dată de unghiul 1205721

Din relaţia (437) se constată că faţă de aceste direcţii rotite pentru care momentele

de inerţie axiale prezintă valori extreme momentul de inerţie centrifugal 11986811991111199101este nul

Atunci se poate afirma că momentele de inerţie axiale au valori extreme icircn raport cu

direcţiile faţă de care momentul de inerţie centrifugal este nul Aceste direcţii se numesc

direcţii principale iar momentele de inerţie faţă de aceste direcţii poartă numele de

momente de inerţie principale

Icircn calculele de rezistenţă interesează icircn mod special poziţia direcţiilor principale

care trec prin centrul de greutate al suprafeţei aşa numitele direcţii principale centrale şi

evident momentele de inerţie principale centrale

Direcţiile principale de inerţie se notează cu 1 respectiv 2 Axa principală 1

corespunde direcţiei faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea maximă iar

axa principală 2 pentru direcţia faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea

minimă

472 Momente de inerţie principale

Momentele de inerţie principale se notează cu litera 119868 la care se pune indicele 1

sau 2 după cum valoarea acestuia este maximă sau minimă deci avem un moment de

inerţie principal 1 (notat 1198681) respectiv moment de inerţie principal 2 (notat 1198682)

Expresiile pentru momentele de inerţie principale sunt

11986812 =119868119911 + 119868119910

2plusmn1

2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)

2+ 4 ∙ (119868119911119910)

2 (438)

Dacă momentul de inerţie centrifugal este negativ (119868119911119910 lt 0) direcţia principală

care trece prin primul cadran (definit de sistemul 119911119862119910) este direcţia principală 120783

Pentru suprafeţele cu cel puţin o axă de simetrie direcţiile centrale 119862119911 119862119910 sunt şi

direcții principale de inerţie și evident momentele de inerţie axiale 119868119911 119868119910 sunt momente

de inerţie principale

48 Caracteristici mecanice ale metalelor

Alegerea materialului pentru confecţionarea unei anumite piese se face şi pe baza

aşa numitelor caracteristici mecanice pe care le prezintă materialul Cunoaşterea acestor

caracteristici mecanice are loc numai pe baza unor icircncercări mecanice care să scoată icircn

evidenţă comportarea materialului icircn condiţii de solicitare

Cea mai utilizată icircncercare icircn urma căreia se pun icircn evidenţă caracteristicile

mecanice ale unui material este icircncercarea la tracţiune

481 Icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general

Icircncercarea la tracţiune a oţelului ca de altfel toate icircncercările de materiale este

standardizată

Icircn cele ce urmează se va prezenta numai partea care interesează strict din punct

de vedere al caracteristicilor mecanice ale oţelului

Epruveta de diametru iniţial 1198890 pentru icircncercarea la tracţiune are o porţiune de

lungime 1198710 numită baza de măsurare pe care se măsoară lungirea acesteia sub acţiunea

solicitării

Icircn funcţie de raportul dintre baza de măsurare 1198710 şi diametrul iniţial 1198890 epruvetele

utilizate pentru icircncercări sunt

epruvete normale (scurte) cacircnd 11987101198890 = 5

epruvete lungi cacircnd 11987101198890 = 10

Icircn timpul icircncercării la diferite valori ale forţei 119865 se măsoară lungirea bazei de

măsurare

∆119871 = 120575 = 119871 minus 1198710 (439)

unde

119871 este dimensiunea bazei de măsurare la un moment dat

Curba forţă-lungire (119865 minus ) icircnregistrată icircn urma icircncercării reprezintă curba

caracteristică la tracţiune

La icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general diagrama caracteristică care se

obţine are forma din figura 48

Curba caracteristică la tracţiune depinde de lungimea bazei de măsurare Pentru

icircnlăturarea acestui neajuns curba caracteristică se reprezintă icircn coordonate şi definite

astfel

120590 =119865

1198600 휀 =

120575

1198710 (440)

unde

1198600 este aria iniţială a secţiunii transversale a epruvetei (icircnainte de solicitare) icircn

zona bazei de măsurare

1198600 =120587 ∙ 1198890

2

4

Deoarece mărimile icircn care se reprezintă curba caracteristică la tracţiune sunt

raportate la aria iniţială a secţiunii transversale (mărimi specifice) curba poartă numele

de curbă caracteristică convenţională la tracţiune

Fig 48 Curba caracteristică convenţională la tracțiune

Pe curba caracteristică convenţională la tracţiune figura 48 se pot stabili o serie

de puncte cărora le corespund mai multe mărimi importante

Ordonata punctului A pacircnă unde curba caracteristică convenţională este linie

dreaptă se numeşte limita de proporţionalitate a materialului 120590119901(1205901) Porţiunea 119874119860 este

zona de proporţionalitate a curbei caracteristice pe acest domeniu este valabilă legea lui

Hooke care exprimă o proporţionalitate icircntre tensiune şi deformaţie specifică

120590 = 119864 ∙ 휀 (441)

unde

119864 = reprezintă panta porţiunii liniare a curbei convenționale caracteristice

la tracțiune Caracteristica de material 119864 se numeşte modul de elasticitate longitudinal

(modulul lui Young)

Ordonata punctului 119861 pacircnă unde materialul se comportă perfect elastic adică

după descărcare icircşi recapătă dimensiunea iniţială 1198710 se numeşte limita de elasticitate

120590119890(119877119890) Icircn realitate nici un material nu are comportare perfect elastică sub acţiunea

solicitărilor el capătă deformaţii permanente (remanente plastice)

După punctul 119861 urmează o porţiune 119861119862119863 icircn care cu toate că icircncărcarea

continuă forţa nu mai creşte avacircnd mici oscilaţii icircn jurul unei valori Se spune că icircn

această porţiune materialul curge iar intervalul 119861119862119863 este un palier de curgere Tensiunea

corespunzătoare palierului de curgere se numeşte limită de curgere aparentă 120590119888(119877119888) Limita de curgere aparentă se calculează cu relaţia

120590119888 =1198651198881198600 (442)

unde

119865119888 reprezintă valoarea forţei icircnregistrată icircn momentul curgerii materialului

După punctul 119863 curba caracteristică are un traseu ascendent pacircnă icircn punctul 119864

Porţiunea 119863119864 este numită zonă de icircntărire (ecruisare) Icircn zona de ecruisare unde se

produc deformaţii plastice semnificative legea lui Hooke nu mai este valabilă La

descărcare relaţia dintre tensiunea şi deformaţia specifică este liniară paralelă cu

porţiunea liniară a curbei caracteristice (dreapta 119872119873)

Deformaţia totală (휀119905) are două componente una elastică (휀119890) şi una plastică (휀119901)

Ordonata punctului 119864 reprezintă rezistenţa de rupere 120590119903(119877119898) a materialului

care se poate calcula cu relaţia

120590119903 = 119877119898 =1198651198981198861199091198600

(443)

unde

119865119898119886119909 reprezintă valoarea maximă a forţei icircnregistrată icircn timpul icircncercării

La atingerea valorii 119865119898119886119909 (punctul 119864) icircntr-un anumit loc al epruvetei secţiunea

icircncepe să se micşoreze (se produce gacirctuirea) continuacircnd pacircnă cacircnd se produce ruperea

totală (punctul 119865)

Dacă după ruperea epruvetei cele două părţi rezultate se aşează cap la cap şi se

măsoară dimensiunea bazei de măsurare 119871119906 (lungimea ultimă) se determină alungirea la

rupere sau lungirea specifică la rupere 휀119903

휀119903 =119871119906 minus 11987101198710

=∆119871

1198710=120575

1198710 (444)

De obicei alungirea se exprimă icircn procente şi se notează cu 119860119899 unde 119899 reprezintă

numărul dat de raportul 11987101198890 (epruvete normale 119899 = 5 epruvete lungi 119899 = 10)

119860119899 =119871119906 minus 11987101198710

∙ 100 [] (445)

Altă mărime care se determină la icircncercarea la tracţiune este gacirctuirea la rupere

(exprimată de obicei icircn procente) şi definită de relaţia

119885 =1198600 minus 1198601199061198600

∙ 100 [] (446)

Mărimile determinate limita de proporţionalitate modulul de elasticitate

longitudinal limita de elasticitate limita de curgere aparentă rezistenţa de rupere

alungirea la rupere şi gacirctuirea la rupere sunt cunoscute ca fiind caracteristici mecanice

ale materialului

Din curba caracteristică convenţională observăm faptul că ruperea (punctul 119865 din

figura 48 se produce la o tensiune mai mică decacirct cea corespunzătoare punctului 119864 Dacă

icircnsă forţa din timpul icircncercării s-ar raporta la aria secţiunii din momentul icircnregistrării

forţei (care este mai mică decacirct cea iniţială 1198600) s-ar obţine aşa numita curbă

caracteristică reală a materialului (traseul 1198741198601198611198621198631198651 din figura 48) La curba

caracteristică reală ruperea se produce icircn punctul 1198651 la o icircncărcare mai mare decacirct cea

corespunzătoare punctului 119864 Icircnseamnă că rezistenţa reală la rupere este mai mare decacirct

rezistenţa la rupere dată de punctul 119864 din diagrama caracteristică convenţională

Dificultatea obţinerii diagramei caracteristice reale faţă de cea a diagramei caracteristice

convenţionale şi considerarea unei rezistenţe la rupere mai mică decacirct a celei reale face

icircn practică utilizarea pe scară mare a diagramei caracteristice convenţionale

Caracteristicile mecanice determinate pe baza curbei caracteristice convenţionale

sunt şi ele caracteristici mecanice convenţionale

Caracteristicile mecanice convenţionale limita de proporţionalitate convenţională

120590119901 limita de elasticitate convenţională 120590119890 limita de curgere convenţională 120590119888 şi rezistenţa

de rupere 120590119903 constituie tensiuni limită pentru un material Pe baza acestor caracteristici

de material se alege valoarea tensiunii admisibile 120590119886 (vezi paragraful 35) pentru

calculele de rezistenţă Cea mai utilizată stare limită pentru stabilirea tensiunii admisibile

120590119886 este limita de curgere convenţională 120590119888

120590119886 =120590119897119894119898119888

=120590119888119888 119904119886119906 120590119886 =

120590119903119888 (447)

Caracteristicile mecanice ale materialului sunt influenţate de o serie de factori

temperatura viteza de solicitare factorii tehnologici iar valorile lor sunt date icircn tabele și

diagrame

Aplicaţie Pentru suprafaţa plană compusă din două dreptunghiuri avacircnd

dimensiunile din figura 49a să se calculeze

a) centrul de greutate al secțiunii compuse 119910119866 119911119866

b) momentele de inerție axiale 119868119911 119868119910 și momentul de inerție centrifugal 119868119911119910

c) razele de inerție 119894119911 119894119910

d) modulele de rezistență 119882119911119898119894119899 119882119911119898119886119909 119882119910119898119894119899 119882119910119898119886119909

e) momentele de inerție principale 1198681 1198682 și direcțiile principale de inerție 1205721

f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 119878119911

Fig 49 Aplicație

Rezolvare Pentru rezolvare vom parcurge următoarele etape

icircmpărțim suprafața compusă icircn două suprafețe simple (dreptunghiuri) notate cu

① și respectiv ② figura 49b

poziționăm centrele de greutate a celor două suprafețe simple ① și respectiv ②

notate cu 1198661 și respectiv 1198662 figura 49c

poziționăm sistemele de axe de coordonate 119911111986611199101 pentru dreptunghiul ① și

119911211986621199102 pentru dreptunghiul ② aflate la intersecția diagonalelor figura 49c

poziționăm sistemele de axe de coordonate 11991101198741199100 ales arbitrar față de care

determinăm poziția centrului de greutate 119866 figura 49c

a) calculăm poziția centrului de greutate folosind relațiile (46) icircn care

1198601 = 6119905 ∙ 119905 = 61199052 1198602 = 4119905 ∙ 119905 = 41199052 119860 = 1198601 + 1198602 = 61199052 + 41199052 = 101199052

iar centrele de greutate 1198661 și respectiv 1198662 au coordonatele (față de sistemul 11991101198741199100)

1198661 1199101 = 3119905 1199111 = 05119905

1198662 1199102 = 051199051199112 = 3119905

cu acestea obținem

119910119866 =1198601 ∙ 1199101 + 1198602 ∙ 1199102

119860=61199052 ∙ 3119905 + 41199052 ∙ 05119905

101199052=201199053

101199052= 2119905

119911119866 =1198601 ∙ 1199111 + 1198602 ∙ 1199112

119860=61199052 ∙ 05119905 + 41199052 ∙ 3119905

101199052=151199053

101199052= 15119905

Poziționăm centrul de greutate 119866 al suprafeței compuse figura 49c

Fig 49 Aplicație

b) pentru determinarea momentelor de inerție axiale 119868119911 119868119910 și a momentului de

inerție centrifugal 119868119910119911 determinăm constantele 1198881 1198882 1198891 1198892 care intervin icircn relația lui

Stainer

1198881 = 1199101 minus 119910119866 = 3119905 minus 2119905 = 119905 1198882 = minus(119910119866 minus 1199102) = minus(2119905 minus 05119905) = minus15119905

1198891 = minus(119911119866 minus 1199111) = minus(15119905 minus 05119905) = minus119905 1198892 = 1199112 minus 119911119892 = 3119905 minus 15119905 = 15119905

Folosind relațiile lui Stainer (429) (430) și (431) calculăm momentele de

inerție axiale și centrifugale față de sistemul central 119911119866119866119910119866

119868119911 =sum(119868119911119894 + 1198881198942 ∙ 119860119894) = 1198681199111 + 1198881

2 ∙ 1198601 + 1198681199112 + 11988822 ∙ 1198602

119868119910 =sum(119868119910119894 + 1198891198942 ∙ 119860119894) = 1198681199101 + 1198891

2 ∙ 1198601 + 1198681199102 + 11988922 ∙ 1198602

119868119911119910 =sum(119868119911119894119910119894 + 119888119894 ∙ 119889119894 ∙ 119860119894) = 11986811991111199101 + 1198881 ∙ 1198891 ∙ 1198601 + 11986811991121199102 + 1198882 ∙ 1198892 ∙ 1198602

1198681199111 = (119887 ∙ ℎ3

12) =

119905 ∙ (6119905)3

12= 181199054 1198681199112 = (

119887 ∙ ℎ3

12) =

4119905 ∙ 1199053

12= 031199054

1198681199101 = (1198873 ∙ ℎ

12) =

1199053 ∙ 6119905

12= 051199054 1198681199102 = (

1198873 ∙ ℎ

12) =

(4119905)3 ∙ 119905

12= 531199054

11986811991111199101 = 11986811991121199102 = 0 deoarece cele două triunghiuri au cel puțin o axă de simetrie

Cu acestea momentele de inerție axiale și momentul de inerție centrifugal devin

119868119911 = 181199054 + 1199052 ∙ 61199052 + 031199054 + (minus15119905)2 ∙ 41199052 = 3331199054

119868119910 = 051199054 + (minus119905)2 ∙ 61199052 + 531199054 + (15119905)2 ∙ 41199052 = 2081199054

119868119911119910 = 0 + 119905 ∙ (minus119905) ∙ 61199052 + 0 + (minus15119905) ∙ (15119905) ∙ 41199052 = minus151199054

c) razele de inerție sau de girație față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910

se calculează cu relațiile (411)

119894119911 = radic119868119911119860= radic

3331199054

101199052= 182119905 119894119910 = radic

119868119910

119860= radic

2081199054

101199052= 144119905

d) modulele de rezistență față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910 se

calculează cu relațiile (412) și (413)

Avacircnd icircn vedere figura 419c obținem

119910119898119886119909 = 6119905 minus 119910119866 = 6119905 minus 2119905 = 4119905 119910119898119894119899 = minus119910119866 = minus2119905

119911119898119886119909 = 5119905 minus 119911119866 = 5119905 minus 15119905 = 35119905 119911119898119894119899 = minus119911119866 = minus15119905

Se obține astfel

119882119911119898119894119899 =119868119911

|119910119898119886119909|=3331199054

4119905= 8331199053

119882119911119898119886119909 =119868119911

|119910119898119894119899|=3331199054

2119905= 16651199053

119882119910119898119894119899 =119868119910

|119911119898119886119909|=2081199054

35119905= 5941199053

119882119910119898119886119909 =119868119910

|119911119898119894119899|=2081199054

15119905= 13871199053

e) momentele de inerție principale 1198681 și respectiv 1198682 se calculează cu relațiile

(438)

11986812 =119868119911 + 119868119910

2plusmn1

2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)

2+ 4 ∙ (119868119911119910)

2=

=3331199054 + 2081199054

2plusmn1

2∙ radic(3331199054 minus 2081199054)2 + 4 ∙ (minus151199054)2 = 27051199054 plusmn 16251199054

De unde obținem

1198681 = 27051199054 + 16251199054 = 4331199054

1198682 = 27051199054 minus 16251199054 = 1081199054

Prima direcție principală de inerție 1 face cu axa centrală 119866119911 unghiul 1205721 dat de

relația (437)

1205721 =1

2∙ arctan (minus

2 ∙ 119868119911119910

119868119911 minus 119868119910) =

1

2∙ arctan [minus

2 ∙ (minus151199054)

3331199054 minus 2081199054] =33 70

Deoarece 1205721 gt 0 rotirea axelor se face acircn sens antiorar acelor de ceasornic figura

49d

Poziția axe principale 2 față de care momentul de inerție are valoarea minimă

1198682 = 119868119898119894119899 este dată de unghiul

1205722 = 1205721 + 900 = 33 70 + 900 = 123 70

f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 se determină cu relația

(45)

1198781199111198602 = 1198602 ∙ 1198882 = 41199052 ∙ (minus15119905) = minus61199053

12Elemente mecanice de calcul

Există situaţii icircn practică icircn care aceleaşi forţe produc efecte diferite asupra unui

solid rigid figura 11

Fig 11 Efectul forțelor asupra unui solid rigid

Asupra aceluiaşi corp acţionează două forţe egale de sensuri contrare dispuse

diferit figura 11 Rezultanta celor două forţe este nulă

Icircn cazul din figura 11a corpul rămacircne icircn echilibru (nu se deplasează) iar icircn cazul

din figura 12b corpul nu este icircn echilibru ci se roteşte sub acţiunea celor două forţe icircn

sensul indicat de săgeată

Aşadar pentru a caracteriza efectele produse de cele două forţe asupra corpurilor

sunt necesare şi alte elemente mecanice de calcul icircn afară de rezultanta forţelor

121 Momentul unei forţe icircn raport cu un punct

Considerăm un solid rigid asupra căruia acţionează o forţă aplicată icircn punctul A

şi fie O un punct din spaţiu figura 12

Fig 12 Momentul unei forțe icircn raport cu un punct

Se defineşte momentul forţei icircn raport cu punctul O produsul vectorial

119874 = 119874119860 times = 119903 times (11)

unde 119903 este vectorul de poziţie al punctului A icircn raport cu punctul O

Vectorul moment 119874 are următoarele elemente

a) Modulul 1198720 = 119865 ∙ 119903 ∙ sin 120572 = 119865 ∙ 119889 unde 119889 este distanţa de la punctul O la

dreapta suport ∆ a forţei şi se numeşte braţul forţei

b) Direcţia perpendiculară pe planul determinat de punctul O şi forţa

c) Sensul dat de regula burghiului drept

d)Punctul de aplicaţie O

Observaţie Momentul unei forţe icircn raport cu un punct este nul dacă suportul

forţei trece prin punctul respectiv (119889 = 0)

122 Momentul unei forţe icircn raport cu o axă

Considerăm un solid rigid asupra căruia acţionează o forţă aplicată icircn punctul A

şi fie D o axă din spaţiu figura 13

Fig 13 Momentul unei forțe icircn raport cu o axă

Se defineşte momentul forţei icircn raport cu axa 119863 ca fiind proiecţia pe axa 119863 a

momentului forţei icircn raport cu un punct arbitrar de pe axa respectivă (O)

119872119863 = 119872119874 ∙ cos 120575 (12)

Momentul forţei icircn raport cu punctul O (119874)se calculează relația (11)

Observaţii

- Momentul unei forţe icircn raport cu o axă este nul dacă forţa şi axa sunt icircn acelaşi

plan (dacă sunt paralele sau dacă suportul forţei intersectează axa)

- Momentul unei forţe icircn raport cu o axă (119863) nu depinde de punctul O ales

arbitrar pe axă

123 Momentul unui cuplu de forţe

Un cuplu de forţe este o pereche de forţe egale de sensuri contrare situate pe

suporturi paralele (1 = minus2 1198651 = 1198652 = 119865) Evident rezultanta unui cuplu de forţe este

nulă figura 14

Fig 14 Momentul unui cuplu de forțe

Se defineşte momentul cuplului de forţe ca fiind suma momentelor celor două forţe

icircn raport cu un punct arbitrar din spaţiu O

119888119906119901 = 1199031 times 1 + 1199032 times 2 = 1199031 times 1 + 1199032 times (minus1) = 119903 times 1 (13)

119888119906119901 = 11986021198601 times 1 = 11986011198602 times 2

Din ultima egalitate se observă că momentul cuplului este egal cu momentul unei

forţe din cuplu icircn raport cu punctul de aplicaţie al celeilalte forţe din cuplu iar momentul

cuplului nu depinde de punctul O deci este un vector liber

Vectorul moment 119888119906119901 are următoarele elemente

a) Modulul cuplului 119888119906119901 = 119865 ∙ 119903 ∙ sin 120572 = 119865 ∙ 119889 unde 119889 este distanţa dintre

suporturile celor două forţe şi se numeşte braţul cuplului

b) Direcţia cuplului este perpendiculară pe planul celor două forţe

c) Sensul cuplului este dat de regula burghiului drept

13Reducerea sistemelor de forţe Echilibrul solidului rigid

Dacă asupra unui solid rigid acţionează un sistem complex de forţe pentru

simplificarea calculelor se urmăreşte icircnlocuirea acestuia cu cel mai simplu sistem posibil

care să producă acelaşi efect mecanic asupra corpului studiat ca şi sistemul iniţial de forţe

Această operaţie se numeşte reducerea sistemului de forţe

131 Reducerea unei forţe icircntr-un punct Torsorul de reducere

A reduce o forţă icircntr-un punct icircnseamnă a icircnlocui acea forţă cu cele mai simple

elemente mecanice legate de punctul respectiv care să producă asupra corpului studiat

acelaşi efect ca şi forţa iniţială

Fie o forţă aplicată icircn punctul A al unui solid rigid şi O un punct din spaţiu

figura 15 vom determina elementele mecanice corespunzătoare reducerii forţei icircn

punctul O

Fig 15 Reducerea unei forțe icircntr-un punct

Icircn punctul O se introduce un sistem de două forţe coliniare egale cu de sensuri

contrare pe un suport paralel cu forţa iniţială Efectul acestora asupra corpului este nul

Apare astfel un cuplu de forţe forţa din A şi (minus) din O caracterizat prin momentul

cuplului 119888119906119901 = 0 = 119874119860 times = 119903 times

Aşadar efectul forţei din A a fost icircnlocuit icircn punctul O cu două elemente

mecanice o forţă identică cu aplicată icircn O şi momentul forţei iniţiale icircn raport cu

punctul O Ansamblul celor două elemente mecanice formează aşa numitul torsor de

reducere al forţei icircn punctul O

132 Reducerea unui sistem de forţe icircntr-un punct

Considerăm că asupra unui solid rigid acţionează un sistem de 119899 forţe 119894 aplicate

icircn punctele 119860119894 cu 119894 = 1 119899 şi fie 119874119909119910119911 un sistem de axe de coordonate avacircnd versorii

axelor 119894 119895 figura 16

Fig 16 Reducerea unui sistem forțe icircntr-un punct

Pentru a reduce sistemul de forţe icircn punctul O se procedează astfel

Se reduce pe racircnd fiecare forţă 119894 icircn punctul O la un torsor de reducere compus

dintr-o forţă 119894 şi un moment 119874119894 = 119903119894 times 119894 Făcacircnd această operaţie cu toate forţele icircn

punctul O se obţine

o forţă rezultantă

= sum119894

119899

119894=1

un moment rezultant

0 =sum119874119894

119899

119894=1

=sum119903119894 times 119894

119899

119894=1

Cele două elemente mecanice definesc torsorul de reducere al sistemului de forţe

icircn punctul O

Torsorul de reducere se poate calcula analitic dacă forţele sunt exprimate analitic

119894 = 119883119894 ∙ 119894 + 119884119894 ∙ 119895 + 119885119894 ∙ unde 119883119894 119884119894 119885119894 sunt proiecţiile forţei 119894 pe axele 119874119909 119874119910

respectiv 119874119911 Rezultanta forţelor icircn punctul O este

= (sum119883119894

119899

119894=1

) ∙ 119894 + (sum119884119894

119899

119894=1

) ∙ 119895 + (sum119885119894

119899

119894=1

) ∙ = 119883 ∙ 119894 + 119884 ∙ 119895 + 119885 ∙

(14)

unde sunt componentele rezultantei pe axele 119874119909 119874119910 și 119874119911 = + +

Icircn mod analog momentul rezultant icircn punctul O este

0 = (sum119872119909119894

119899

119894=1

) ∙ 119894 + (sum119872119910119894

119899

119894=1

) ∙ 119895 + (sum119872119911119894

119899

119894=1

) ∙ =

= 119872119909 ∙ 119894 + 119872119910 ∙ 119895 + 119872119911 ∙

(15)

unde 119909 119910 119911 sunt componentele vectorului moment 0 pe axele 119874119909 119874119910 respectiv 119874119911

0 = 119909 + 119910 + 119911

133 Echilibrul solidului rigid

Torsorul de reducere al sistemului de forţe determină mişcarea solidului rigid icircn

spaţiu sub acţiunea forţelor exterioare aplicate

Torsorul de reducere conţine o forţă rezultantă cu trei componente

perpendiculare icircntre ele şi un moment rezultant avacircnd trei componente ortogonale

perpendiculare 119909 119910 119911 orientate după axele sistemului 119874119909119910119911 Cele trei componente

ale rezultantei produc translaţii (deplasări liniare ) ale corpului pe direcţiile 119874119909 119874119910

respectiv 119874119911 Componentele momentului rezultant 0 produc rotiri (deplasări

unghiulare) ale corpului icircn jurul axelor de coordonate 119874119909 119874119910 respectiv 119874119911 Se spune ca

solidul liber are 6 grade de libertate (6 posibilităţi de deplasare) Pentru ca solidul să fie

icircn echilibru trebuie suprimate toate gradele de libertate Aşadar corpul este icircn echilibru

dacă elementele torsorului de reducere al forţelor exterioare este nul

Condiţiile de echilibru ale solidului rigid sunt

= 0 rArr 119883 = 119884 = 119885 = 0

0 = 0 rArr 119872119909 = 119872119910 = 119872119911 = 0

(16)

Observaţie Un solid rigid liber solicitat de forţe aplicate icircntr-un plan (119909119900119910) are

trei grade de libertate Condiţiile de echilibru sunt

= 0 rArr 119883 = 119884 = 0

0 = 0 rArr 119872119911 = 0

(17)

14 Aplicaţii

141 Să se stabilească mărimea şi ordinul rezultantei sistemului de forţe din figura

17 dacă se cunosc 1 = 100 [119873] 2 = 200 [119873] și 3 = 300 [119873]

Rezolvare

Pentru rezolvarea acestui sistem de forte de prezinta doua metode

a) Rezolvare analitică

Descopunem cele două forțe icircnclinate 2 și 3 după cele două axe de coordonate

Ox și Oy

2 = (minus1198652119909) ∙ 119894 + (1198652119910) ∙ 119895 = (minus1198652 ∙ cos 600) ∙ 119894 + (1198652 ∙ sin 60

0) ∙ 119895 =

= (minus200 ∙1

2) ∙ 119894 + (200 ∙

radic3

2) ∙ 119895 = minus100 ∙ 119894 + 100 ∙ radic3 ∙ 119895

3 = (minus1198653119909) ∙ 119894 + (minus1198653119910) ∙ 119895 = (minus1198653 ∙ cos 450) ∙ 119894 + (minus1198653 ∙ sin 45

0) ∙ 119895 =

= (minus300 ∙radic2

2) ∙ 119894 + (minus300 ∙

radic2

2) ∙ 119895 = minus150 ∙ radic2 ∙ 119894 minus 150 ∙ radic2 ∙ 119895

Pentru stabilirea mărimii şi ordinului rezultantei sistemului de forţe din figură se

procedează astfel

Forţele sunt exprimate analitic 119894 = 119883119894 ∙ 119894 + 119884119894 ∙ 119895 unde 119883119894 119884119894 sunt proiecţiile

forţei 119894 pe axele 119874119909 respectiv 119874119910

1 = 100 ∙ 119894 + 0 ∙ 119895

2 = minus100 ∙ 119894 + 1732 ∙ 119895

3 = minus2121 ∙ 119894 minus 2121 ∙ 119895

Fig 17 Aplicația 141

Se determină rezultanta forţelor cu următoarea relaţie

= sum119865119894 prime (sum119883119894

119899

119894=1

) ∙ 119894 + (sum119884119894

119899

119894=1

) ∙ 119895 = 119883 ∙ 119894 + 119884 ∙ 119895

unde 119883 119884 sunt componentele rezultantei pe axele 119874119909 respectiv 119874119910 = +

= (100 minus 100 minus 2121) ∙ 119894 + (0 + 1732 minus 2121) ∙ 119895 = (minus2121) ∙ 119894 + (minus389) ∙ 119895

rArr 119883 = minus2121 [119873]

119884 = minus389 [119873]

Cu acestea obținem rezultanta

119877 = radic1198832 + 1198842 = radic(minus2121)2 + (minus389)2 = 21564 [119873]

Se reprezintă grafic rezultanta icircn sistemul de coordonate 119909119874119910 după care se

calculează unghiul 120572 pe care aceasta rezultantă icircl face cu axa 119874119909 figura 18

tan 120572 =119884

119883=minus389

minus2121= 0183 rArr 120572 = arctan(0183) = 10 40

Fig 18 Reazultanta forțelor aplicate

b) Rezolvare tabelară

Forţa 119894 Componenta 119883119894 Componenta 119884119894

1 1198651 = 100 1198651 = 0

2 minus1198652 ∙ cos 600 = minus100 1198652 ∙ sin 60

0 = 1732

3 minus1198653 ∙ cos 450 = minus2121 minus1198653 ∙ sin 45

0 = minus2121

= sum119894 119883 =sum119883119894 = minus2121 119884 =sum119884119894 = minus389

După determinarea tabelară a celor două componente ale rezultandei calculele se

continua ca şi icircn cazul rezolvării analitice

142 Să se calculeze momentul forţei verticale = 100 [119873] icircn raport cu punctele

B D O şi icircn raport cu axele Ox Oy şi Oz figura 19 și să se determine componentele

torsorului de reducere ale forţei icircn punctul O dacă se cunosc 119886 = 3 [119898] şi 119887 = 4 [119898]

Fig 19 Aplicația 142

Fig 110 Icircnclinarea momentului 119872119874

119861 = 119861119860 times

119872119861 = 119886 ∙ 119865 = 3 ∙ 100 = 300 [119873 ∙ 119898]

119863 = 119863119860 times

119872119863 = 119887 ∙ 119865 = 4 ∙ 100 = 400 [119873 ∙ 119898]

119874 = 119874119860 times

119872119874 = 119888 ∙ 119865 = radic1198862 + 1198872 ∙ 119865 = radic32 + 42 ∙ 100 = 5 ∙ 100 = 500 [119873 ∙ 119898]

119874 se află icircn planul 119909119874119910 cu icircnclinarea 120572 (figura 110)

tan120572 =119886

119887=3

4= 075 rArr 120572 = arctan(075) = 36860

Deci

120572 = 900 minus 120573 = 900 minus 36860 = 53140

Concluzie Componentele torsorului de reducere al forței icircn punctul O sunt o forta

icircn O identică cu forța din punctul A și momentul forței icircn raport cu punctul O 119874

2 INTRODUCERE IcircN REZISTENŢA MATERIALELOR

21 Obiectul şi problemele Rezistenţei materialelor

Rezistenţa materialelor este o disciplină de cultură tehnică generală care continuă

logic şi dezvoltă Mecanica prin introducerea icircn calcule a proprietăţilor de deformabilitate

ale corpurilor solide reale Icircn Mecanică corpul solid este considerat rigid nedeformabil

iar vectorii forţă de icircncărcare sunt consideraţi alunecători Rezistenţa materialelor ia icircn

studiu corpurile reale care sub acţiunea forţelor exterioare (vectori legaţi) icircşi schimbă

forma geometrică respectiv dimensiunile iniţiale şi se distrug prin rupere la valori mari

ale acestora Prin calculele de rezistenţă se determină dimensiunile secţiunilor

transversale ale corpurilor (elemente de rezistenţă) icircn funcţie de mărimea poziţia şi modul

de acţionare a forţelor exterioare proprietăţile mecanice ale materialelor dimensiunile

constructive forma şi importanţa ansamblului icircn care se icircnglobează iar icircn anumite cazuri

şi de durata de funcţionare Elementele de rezistenţă trebuie să icircndeplinească următoarele

condiţii de bază

- condiţia de rezistenţă care are icircn vedere ca eforturile din elementul de rezistenţă

să nu producă distrugerea acestuia prin rupere sau spargere icircn bucăţi

- condiţia de rigiditate se referă la valorile deformaţiilor care nu trebuie să

depăşească anumite mărimile admisibile

- condiţia de stabilitate care consideră posibilitatea menţinerii formei de echilibru

stabil pentru o anumită stare de icircncărcare

Criteriile de rezolvare ale problemelor de Rezistenţa materialelor sunt

- criteriul economic prin care se impune ca orice element de rezistenţă (piesă) să

fie proiectat şi realizat cu soluţia cea mai economică icircn privinţa materialului utilizat şi al

manoperei

- criteriul de bună funcţionalitate a ansamblului din care face parte elementul de

rezistenţă proiectat respectacircnd condiţiile de rezistenţă rigiditate şi stabilitate

Icircn cadrul Rezistenţei materialelor se admit ipoteze simplificatoare care permit

obţinerea unor relaţii de calcul relativ simple şi care exprimă destul de fidel fenomenul

de solicitare real Experimentările practice icircn laborator permit verificarea legilor

rezistenţei materialelor şi determinarea caracteristicilor mecanice ale materialelor

Rezistenţa materialelor permite rezolvarea următoarelor categorii de probleme

- probleme de dimensionare prin care se stabilesc dimensiunile optime ale

elementelor de rezistenţă proiectate icircn funcţie de icircncărcările exterioare (forţe sau

momente) şi de caracteristicile mecanice ale materialului utilizat

- probleme de verificare la care se determină dacă un element de rezistenţă de

dimensiuni cunoscute satisface condiţiile de rezistenţă rigiditate şi stabilitate cunoscacircnd

icircncărcarea exterioară şi caracteristicile mecanice ale materialului utilizat

- probleme de calcul al capacităţii de icircncărcare al unui element de rezistenţă

cunoscacircndu-se caracteristicile mecanice ale materialului dimensiunile şi modul de

solicitare se determină icircncărcarea maximă pe care o poate suporta elementul de rezistență

fără a ceda sau a se deforma periculos

22 Clasificarea corpurilor icircn Rezistenţa materialelor

Corpurile (elementele de rezistenţă) au icircn general forme constructive relativ

complicate Icircn Rezistenţa materialelor pentru simplificarea calculelor corpurile se

schematizează prin forme geometrice mai simple obţinacircndu-se următoarele grupe

a) corpuri solide cu o dimensiune mult mai mare decacirct celelalte două (corpuri cu

fibră medie) Elementele geometrice caracteristice sunt axa longitudinală şi secţiunea

transversală Aceste corpuri solide pot fi

- fire dacă dimensiunile secţiunii transversale sunt foarte mici astfel icircncacirct axa

longitudinală este flexibilă (icircşi schimbă forma uşor) iar sarcinile transversale nu pot fi

preluate de acesta Un fir nu poate fi solicitat decacirct la icircntindere (exemplu cabluri de

macara lanţuri etc)

- bare care rezistă atacirct la solicitări axiale cacirct şi la solicitări transversale

După modul de solicitare barele poartă diferite denumiri convenţionale

tiranţi-solicitaţi la icircntindere figura 21a

stacirclpi-solicitaţi la compresiune figura 21b

grinzi-solicitate la icircncovoiere figura 21c

arbori-solicitaţi la torsiune (răsucire) figura 21d

Fig 21 Denumirea barelor după modul de solicitare

După modul cum variază secţiunea icircn lungul axei barele pot fi

de secţiune constantă figura 22a

de secţiune variabilă continuă figura 22b sau icircn trepte figura 22c

Fig 22 Denumirea barelor după secțiune

După forma axei longitudinale barele pot fi

drepte figura 21

curbe icircn plan figura 23a sau icircn spaţiu figura 23b (numite și curbe stracircmbe)

cotite (axa barei este o linie fracircntă) plane figura 23c sau spațiale figura 23d

Fig 23 Tipuri de bare curbe și cotite

Secţiunea transversală (plană şi normală pe axa barei) poate avea orice formă

geometrică constantă sau variabilă icircn lungul barei

Dacă una din dimensiunile secţiunii transversale (grosimea) este mai mică

comparativ cu celelalte bara se numește bară cu pereţi subţiri (exemplu barele

realizate din platbande sudate cu secţiuni sub formă de profil I profil U cornier etc)

b) corpuri care au două dimensiuni mult mai mari icircn raport cu a treia (grosimea)

se numesc plăci Elementele geometrice caracteristice ale unei plăci sunt forma şi

dimensiunile suprafeţei mediane respectiv grosimea Plăcile se reprezintă schematic

printr-o suprafață care imită forma și dimensiunile suprafeței mediane Suprafaţa mediană

reprezintă locul geometric al tuturor punctelor egal depărtate de cele două feţe ale plăcii

puncte aflate pe perpendicularele duse icircntre cele două feţe figura 24

După destinaţie și forma suprafeței mediane se deosebesc

plăci plane figura 24b

plăci curbe (icircnvelişuri) cu o singură curbură figura 24a sau avacircnd curbură

dublă figura 24c

Fig 24 Tipuri de plăci plane

Plăcile cu grosime mare sunt denumite frecvent dale O placă de grosime mică

ce nu poate prelua decacirct solicitări la icircntindere poartă numele de membrană

Exemple de plăci icircnvelişurile vasele de revoluţie discurile etc

c) corpuri masive care au toate cele trei dimensiuni aproximativ de acelaşi ordin

de mărime (blocuri de fundaţii bile şi role de rulmenţi tuburi cu pereţi groşi etc)

Calculele de rezistenţă sunt mai simple icircn cazul barelor drepte şi mai complicate

la barele curbe plăci respectiv blocuri

23 Clasificarea icircncărcărilor exterioare

Un corp icircşi păstrează forma şi dimensiunile datorită forţelor de atracţie dintre

particulele sale elementare atacircta timp cicirct asupra sa nu acţionează alte forţe aplicate din

exterior care să-l deformeze Icircn construcţia de maşini elementele de rezistenţă preiau şi

transmit acţiunea unor sarcini exterioare (forţe şisau cupluri) pe care le vom denumi

generic forțe sau icircncărcări exterioare Efectul pe care-l au sarcinile este acela de a

modifica forma şi dimensiunile corpului asupra căruia se aplică Icircn punctele de rezemare

(de sprijin sau de legătură cu alte elemente de rezistenţă icircnvecinate) ca urmare a

principiului acţiunii şi reacţiunii apar forţe de legătură sau reacţiuni Ansamblul format

din sarcini şi reacţiuni este cunoscut sub numele de forţe exterioare Sub acţiunea

forţelor exterioare elementele de rezistenţă trebuie să fie icircn echilibru

Forţele exterioare pot fi clasificate după următoarele criterii

a) după mărimea suprafeţei pe care se aplică

- forțe concentrate aplicate teoretic icircntr-un punct figura 25a

- forțe distribuite uniform sau cu intensitate variabilă icircn lungul barei sau pe o

suprafaţă figura 25bc şi d

- momente concentrate care acţionează icircntr-un punct M sau momente uniform

distribut pe o anumită lungime m

Fig 25 Tipuri de sarcini după mărimea suprafeţei de aplicare

b) după locul de aplicare se deosebesc

- forţe de suprafaţă sau de contur care sunt aplicate din exterior pe suprafaţa

corpurilor şi indică legătura cu piesele icircnvecinate

- forţe masice sau de volum distribuite icircn tot corpul (greutăţi forţe de inerţie

respectiv forţe electromagnetice)

c) după modul de acţiune icircn timp se disting

- forţe statice care se aplică lent şi progresiv pacircnă la valoarea nominală de lucru

şi apoi rămacircn constante figura 26a

- forţe dinamice care rezultă din

aplicarea cu icircntreaga intensitate de la icircnceputul perioadei de solicitare iar apoi forţa se

menţine constantă timp icircndelungat figura 26b (forţe de inerţie)

aplicarea bruscă a sarcinii asupra corpului durata de acţiune a sarcinii fiind mică figura

26c (forţe de şoc)

variaţia periodică icircn timp a intensităţii forţei aplicate figura 26d (forţe de oboseală)

Fig26 Tipuri de forţe exterioare (cicluri de solicitare)

Funcţie de modul de variaţie al forţelor exterioare solicitările pot fi statice

oscilante pulsante alternante etc Experimental s-a constatat că rezistenţa unui material

depinde foarte mult de modul de variaţie a forţelor icircn timp Bach a clasificat solicitările

icircn 3 categorii 1-solicitări statice 2-solicitări pulsante 3-solicitări alternant simetrice

Rezistenţa unui material este icircn raportul 321 pentru cele 3 cazuri de solicitare ale lui

Bach Aceasta icircnseamnă că o piesă solicitată static rezistă la o forţă de 3 ori mai mare

decacirct forţa maximă care produce ruperea aceleaşi piese solicitate alternant simetric

d) după poziţia icircn timp a forțelor se disting

- forţe fixe ale căror puncte de aplicaţie sunt mereu aceleaşi

- forţe mobile ale căror puncte de aplicaţie se deplasează icircn timp De exemplu

sarcinile produse de vehiculele care circulă pe un pod sarcinile unei grinzi de pod rulant

icircntr-o halăetc

24 Reazeme Forțe interioare Eforturi Diagrame de eforturi icircn barele

drepte

241 Reazeme Reacțiuni (forțe de legătură)

Pentru a prelua şi transmite acţiunea sarcinilor exterioare elementele de rezistenţă

din componenţa unei structuri sunt fixate icircntre ele prin intermediul unor legături

exterioare numite reazeme Aceste legături au ca scop icircmpiedicarea anumitor mişcări ale

corpului pe direcţiile pe care acestea nu trebuie să se producă O legătură are deci rolul

de a anula unul sau mai multe grade de libertate ale corpului icircn punctul de rezemare Dacă

este anulat un singur grad de libertate legătura este simplă iar dacă sunt impiedicate mai

multe grade de libertate legătura este una compusă Datorită existenţei sarcinilor

exterioare icircn punctele de rezemare pe direcţiile pe care mişcările sunt icircmpiedicate apar

forţe de legătură numite reacţiuni Numărul natura şi direcţiile reacţiunilor depind de

tipul reazemelor Icircn construcţiile reale există o varietate mare de realizare practică a

reazemelor dar icircn calcule se acceptă anumite schematizări care reţin doar aspectul esenţial

al unui reazem şi anume gradul sau gradele de libertate anulate

Pentru o structură de rezistenţă spaţială icircntr-un punct oarecare sunt posibile şase

deplasări trei deplasări liniare (după direcţiile axelor unui sistem ortogonal) şi trei rotiri

(deplasări unghiulare) icircn jurul aceloraşi axe Ca urmare ar fi posibil de realizat maximum

şase tipuri de reazem

Pentru un element de rezistenţă plan icircncărcat cu eforturi cuprinse icircn planul

elementului icircn orice punct sunt posibile trei gade de libertate două deplasări liniare şi o

rotiri Ca urmare pentru cazul unei bare plane se icircntacirclnesc următoarele tipuri de reazeme

1 Reazemul simplu sau reazemul mobil care icircmpiedică deplasarea pe o direcţie

normală pe suprafaţa de rezemare permiţacircnd deplasarea pe o direcţie paralelă cu

suprafaţa de rezemare şi rotirea barei icircn jurul unei axe perpendiculare pe plan icircn punctul

de rezemare Icircn urma icircmpiedicării deplasării şi datorită unor sarcini exterioare icircn

reazemul simplu apare o reacţiune de tip forţă a cărei suport trece prin punctul de

rezemare şi a cărei direcţie este perpendiculară pe suprafaţa de rezemare figura 27

Fig 27 Reazem simplu (mobil)

Icircn figura 27 este reprezentat un reazem mobil poziţionat pe capătul A al unei bare

plane orizontale fiind evidenţiate punctul şi suprafaţa de rezemare direcţia suportului

reacţiunii şi modul de schematizare al reazemului Cea mai des icircntacirclnită reprezentare a

reazemului mobil este a unui triunghi a cărui bază poate luneca pe suprafaţa de rezemare

2 Reazemul fix sau articulaţia icircmpiedică deplasările liniare după toate direcţiile

din planul barei permiţacircnd doar rotirea barei icircn jurul unei axe perpendiculare pe plan şi

care trece prin puncul de rezemare Reacţiunea este cuprinsă icircn planul barei care trece

prin punctul de rezemare dar a cărei mărime şi direcţie nu sunt cunoscute (forţa R)

figura 28

Fig 28 Reazem fix

Se preferă ca icircn locul unei forţe R avacircnd direcţia oarecare icircn plan necunoscută să

se introducă două forţe (HA şi VA) cărora li se cunoaşte direcţia şi pentru care se vor

determina modulele ca valori din condiţiile de echilibru static Icircntr-un reazem fix apar

icircntotdeauna reacţiuni atacirct pe direcţia perpendiculară pe suprafaţa de rezemare

(verticală) cacirct şi pe direcţia paralelă cu prima (orizontală) chiar dacă uneori una sau

chiar ambele reacţiuni au valoarea zero Reprezentarea schematică a articulaţiei este cea

a unui triunghi cu baza fixă şi cu vacircrful icircn punctul de rezemare sau cea a unui pendul

dublu figura 28

3 Icircncastrarea (sau icircnţepenirea) anulează toate gradele de libertate ale capătului

unei bare icircmpiedicacircnd deplasarea liniară după orice direcţie din plan precum şi rotirea

barei icircn jurul unei axe perpendiculare pe plan şi care trece prin punctul de icircncastrare

Urmare a existenţei sarcinilor exterioare şi a blocării deplasărilor icircn icircncastrare apare o

reacţiune căreia nu i se cunoaşte nici mărimea nici direcţia şi nici punctul de aplicaţie

figura 29

Fig 29 Icircncastrarea

Sub acţiunea forţelor exterioare un sistem este icircn echilibru Valoarea reacţinilor

se determină din condiţia de echilibru a sistemului solicitat

Este cunoscut faptul că un sistem plan este icircn echilibru dacă

nu se deplasează pe o direcţie (fie x această direcţie)

nu se deplasează pe o direcţie perpendiculară pe prima (fie y această direcţie)

nu se roteşte faţă de un punct al planului (fie K acest punct)

Cele trei condiţii enunţate mai sus sunt satisfăcute dacă suma proiecţiilor tuturor

forţelor pe direcţia x respectiv y este nulă şi suma tuturor momentelor (cuplurilor) faţă

de un punct al planului este nulă

242 Forțe interioare Metoda secțiunilor

Icircn vederea calculului de rezistenţă de rigiditate şi de stabilitate a barelor sau a

sistemelor de bare este necesară determinarea forţelor şi momentelor interioare

(eforturilor) care apar icircn secţiunile transversale ale acestora şi datorate icircncărcărilor

exterioare Forțele interioare indică legătura dintre particulele din interiorul corpului şi

se pun icircn evidenţă prin metoda secţiunilor care este un procedeu de raţionament

imaginar propus de Cauchy echivalent cu teoria echilibrului părţilor Conform acestui

raționament bdquodacă un corp solid deformabil este icircn echilibru sub acţiunea unui sistem

generalizat de forţe atunci după secționare fiecare parte a sa va fi icircn echilibru sub

acţiunea forţelor exterioare care-i revin şi a unui sistem de forţe pe care trebuie să-l

introducem icircn secţiunea ce delimitează fiecare parte echivalent cu acţiunea forţelor

aplicate pe partea icircndepărtatărdquo

Problemele care apar la aplicarea metodei secţiunilor sunt

- să pună icircn evidenţă existenţa forţelor interioare mai ales că din ceea ce se ştie o

forţă apare icircn prezenţa a două corpuri ca urmare a principiului acţiunii şi reacţiunii

- să explice modul de distribuţie al forţelor interioare pe secţiune

Considerăm un corp aflat icircn echilibru sub acţiunea unui sistem de forţe exterioare

1 2 3⋯119894 ⋯ 119899minus1 119899 şi presupunem că-l secţionăm cu un plan transversal Q (sau cu

o suprafaţă oarecare) figura 210a Icircn urma secţionării fictive (imaginare) conform

principiului echilibrului părţilor fiecare din cele două părţi obţinute trebuie să fie icircn

echilibru sub acţiunea forţelor exterioare care le revin şi a cacircte unui sistem de forţe

interioare pe care trebuie să-l introducem icircn secţiunile rezultate sistem echivalent cu

acţiunea forţelor exterioare ce acţionează asupra celeilalte părţi Astfel pe partea din

dreapta (notată cu II) delimitată de secţiunea de arie Ad sunt aplicate forţele exterioare

119894 ⋯ 119899minus1 119899 şi un sistem de forţe interioare căruia nu i se cunoaşte decacirct efectul acelaşi

cu cel al forţelor 1 2 3 de pe parea din stacircnga (notată cu I şi delimitată de secţiunea

de arie As) figura 210b Prin metoda secţiunilor am reuşit să punem icircn evidenţă existenţa

forţelor interioare şi să le trecem icircn categoria celor exterioare cărora le putem aplica

relaţiile de echivalenţă şi de echilibru cunoscute din statică Ideal ar fi să cunoaştem

distribuţia şi intensitatea punctuală a acestor forţe pentru că s-ar putea ca icircn anumite

puncte ale secţiunii valoarea forţelor să depăşească limita de rezistenţă (limita de curgere)

a materialului Cunoaşterea distribuţiei punctuale a forţelor interioare nu se poate realiza

decacirct icircn cazuri particulare relativ simple de solicitare

Să considerăm partea din dreapta a corpului asupra căreia acționează forțele

119894 ⋯ 119899minus1 119899 mărginit de aria Ad pe care acționează un sistem de forțe interioare

echivalent cu 1 2 3 Deși forțele interioare de pe Ad nu se cunosc totuși efectul lor

este același cu cel al forțelor 1 2 3 deci le putem reduce icircn centrul de greutate C al

secțiunii Ad rezultacircnd componentele torsorului de reducere al forțelor interioare

(119894119889 119894119889) și pentru partea din stacircnga (119894119904 119894119904) Evident conform principiului acțiunii și

reacțiunii

119894119889 = minus119894119904

119894119889 = minus119894119904 (21)

Pe de altă parte cum fiecare dintre părțile corpului după secționare trebuie să fie

icircn echilibru sub acțiunea forțelor exterioare care le revin și a forțelor interioare introduse

rezultă

119894119889 = minus119890119889

119894119889 = minus119890119889

119894119904 = minus119890119889

119894119904 = minus119890119904 (22)

Combinacircnd (21) cu (22) rezultă

119894119889 = 119890119889

119894119889 = 119890119889

119894119904 = 119890119904

119894119904 = 119890119904 (23)

Fig 210 Forțe interioare

Relațiile (22) și (23) permit determinarea componentelor torsorului de reducere

al forțelor interioare din (23) rezultă componentele torsorului forțelor interioare care

acționează icircn secțiunea Ad sunt egale cu componentele torsorului de reducere al forțelor

exterioare de pe partea din stacircnga din (22) rezultă componentele torsorului forțelor

interioare care acționează icircn secțiunea Ad sunt egale și de sens contrar cu componentele

torsorului de reducere al forțelor exterioare de pe partea din dreapta

Observații

1 Torsorul forțelor interioare diferă de la o secțiune la alta dar pentru aceeași

secțiune el este unic și trebuie să respecte condițiile de compatibilitate a deformațiilor

2 Reducacircnd forțele interioare icircn centrul de greutate al secțiunii s-a făcut o

aproximare icircn ceea ce privește efectul modului de dispunere al forțelor

3 Punctul de reducere trebuie să fie

pentru forțele interioare normale la secțiune centrul de greutate

pentru forțele interioare tangente la planul secțiunii centrul de răsucire sau de

tăiere

243 Eforturi

Prin metoda secțiunilor am pus icircn evidență existența forțelor interioare și modul

icircn care se determină componentele torsorului de reducere al forțelor interioare (119894119889 119894119889) de pe fața din dreapta secțiunii (Ad) Cele două componente ale torsorului de reducere al

forțelor interioare de pe Ad se pot descompune după axele unui sistem de referință

triortogonal xCyz astfel

119894119889 = +

119894119889 = 119909 +119872119894 (24)

unde și 119909 sunt proiecțiile lui 119894119889 și respectiv 119894119889 pe axa longitudinală Cx a

barei iar și 119894 sunt proiecțiile acelorași componente 119894119889 și respectiv 119894119889 pe planul yCz

al secțiunii transversale Ad figura 211

Fig 211 Torsorul de reducere al forţelor interioare

La racircndul lor și 119894 se pot descompune după axele sistemului yCz figura 212

= 119910 + 119911

119894 = 119894119910 + 119894119911 (25)

Fig 212 Descompunerea forţei tăietoare şi a momentului icircncovoietor

Cele șase componente ale torsorului de reducere al forțelor interioare ( 119910 119911

119909 119894119910 119894119911) orientate după axele sistemului de referință xCyz se numesc eforturi

Fiecare efort are o denumire stabilită icircn funcție de tipul de deformație pe care-l produce

De asemenea semnul plus (bdquo+rdquo) sau minus (bdquondashrdquo) al fiecărui efort nu depinde de sensul

pozitiv sau negativ al sistemului de axe ci doar de efectul icircn deformații al fiecărui efort

Denumirile celor șase eforturi sunt

119873 este forța axială

119879119910 119879119911 sunt forțe tăietoare orientate după axele Cy și respectiv Cz

119872119909 notat de cele mai multe ori cu 119872119905 este moment de torsiune sau de răsucire

119872119894119911 119872119894119910 sunt momente de icircncovoiere icircn jurul axei Cz și respectiv Cy

Forța axială 119873 poate fi forță axială de icircntindere cacircnd produce o lungire a

tronsonului pe a cărei față acționează (119873 gt 0) figura 213a sau forță axială de

compresiune cacircnd sub efectul ei bara se scurtează (119873 lt 0) figura 213b

Fig 213 Forța axială

Forțele tăietoare 119879119910 și 119879119911 au ca efect lunecarea secțiunii icircn centrul căreia

acționează icircn raport cu secțiunea icircnvecinată lunecare ce se produce pe direcția și icircn sensul

forței Sub acțiunea unei forțe tăietoare bara este solicitată la forfecare Forța tăietoare

este pozitivă 119879119910 gt 0 dacă icircn raport cu un punct oarecare K de pe axa Cx a barei tinde să

rotească secțiunea pe care acționează icircn sens orar

Fig 214 Forța tăietoare

Momentele de icircncovoiere 119872119894119911 și 119872119894119910 au ca efect o rotire a secțiunii icircn centrul

cărora acționează icircn jurul axei după care sunt orientate Icircn figura 215a se vede că

datorită momentului 119872119894119911 fibrele de deasupra axei Cz se alungesc icircn timp ce fibrele de sub

axa Cz se scurtează Fibrele care trec prin axa de icircncovoiere Cz nu se deformează sunt

fibre neutre la icircncovoiere adică axa neutră este Cz Icircn cazul momentului de icircncovoiere

119872119894119910 fibrele care nu se deformează sunt cele care trec prin axa neutră la icircncovoiere Cy

Momentele de icircncovoiere se consideră a fi pozitive (119872119894119911 gt 0119872119894119910 gt 0) dacă

observatorul care privește bara deformată vizualizează fibrele icircntinse

Fig 215 Momentul icircncovoietor

Momentul de torsiune sau de răsucire 119872119909 equiv 119872119905 are ca efect o rotire a secțiunii

icircn al cărei centru acționează icircn jurul axei longitudinale Cx Ca efect secțiunea icircși schimbă

forma (se deformează) adică unghiurile inițiale se modifică dreptunghiul inițial Ad

devine paralelogram Convențional se consideră 119872119905 gt 0 dacă vectorul moment are

aceeași orientare ca și sensul pozitiv ales pextru axa Cx Icircn figura 216 momentul este

negativ

Fig 216 Momentul de torsiune

25 Definiții și convenții de semne pentru eforturile

din secțiunile unei bare drepte plane icircncărcate cu sarcini coplanare

Vom considera o bară plană icircncărcată cu un sistem de forțe arbitrar figura 217

Ne propunem să determinăm eforturile care apar icircn secțiunea barei aflată la distanța 119909 de

reazemul din stacircnga (A)

Pentru aceasta vom aplica metoda secțiunilor vom secționa bara cu un plan

perpendicular pe axa longitudinală a barei și vom analiza doar partea din dreapta secțiunii

mărginită de fața Ad Pentru ca această porțiune de bară să fie icircn echilibru sub acțiunea

forțelor exterioare care acționează asupra sa 1198653 și 119881119861 va trebui să introducem icircn centrul

secțiunii Ad eforturile care pot să apară 119873 119879119910 119872119894119911 Acțiunea acestor eforturi trebuie să

fie echivalentă cu acțiunea forțelor exterioare aplicate pe partea icircnlăturată (parcursă) a

barei 119867119860 119881119860 1198651 1198652 1198720

Deoarece bara este plană și este icircncărcată doar cu sarcini ce aparțin

planului barei

icircn secțiunea Ad apar doar 3 componente ale torsorului de reducere al forțelor

interioare (eforturi)

- 119873 = forța axială

- 119879119910 = forța tăietoare pe care o vom nota cu 119879

- 119872119894119911 = momentul icircncovoietor notat cu Mi

Fig 217 Bară plană icircncărcată cu un sistem de forțe

Vom prezenta următoarele definiții corespunzătoare eforturilor din secțiunea Ad

119873 = forța axială dintr-o secțiune este egală cu suma algebrică a proiecțiilor pe

axa longitudinală a tuturor forțelor exterioare (sarcini și reacțiuni) aplicate pe partea

din stacircnga secțiunii adică pe porțiunea parcursă Forța axială 119873 este pozitivă dacă trage

de tronsonul pe a cărei față acționează (are orientarea normalei exterioare la secțiunea

Ad)

119873(119909) = minus119867119860 + 1198651119867 (26)

119879 = forța tăietoare icircntr-o secțiune este egală cu suma algebrică a proiecțiilor

pe o axă perpendiculară pe axa barei a tuturor forțelor exterioare (sarcini și reacțiuni)

aplicate pe porțiunea de bară aflată icircn stacircnga secțiunii considerate Forța tăietoare 119879

este pozitivă dacă tinde să rotească tronsonul pe a cărui față acționează icircn sens orar icircn

raport cu un punct de pe axa barei aflat la dreapta secțiunii

119879(119909) = 119881119860 minus 1198651119881 minus 1198652 (27)

119872119894 = momentul icircncovoietor icircntr-o secțiune este egal cu suma algebrică a

momentelor obținute prin reducerea tuturor forțelor exterioare ( cupluri sarcini

reacțiuni) aplicate pe porțiunea de bară aflată la stacircnga secțiunii icircn centrul secțiunii

considerate 119872119894 este considerat pozitiv dacă tinde să deformeze bara astfel icircncacirct fibrele

spre care privește un observator să fie icircntinse Cum poziția observatorului este de regulă

sub bară bara se deformează dacă 119872119894 gt 0 astfel icircncacirct partea jos a barei este icircntinsă Se

spune că bara deformată rdquoține apaldquo

119872119894(119909) = 119881119860 ∙ 119909 minus 1198651119881 ∙ (119909 minus 1198971) minus 1198652 ∙ [119909 minus (1198971 + 1198972)] + 1198720 (28)

Sensurile pozitive ale eforturilor care apar icircn centrul secțiunii Ad (deci atunci cacircnd

sensul de parcurs la aplicarea metodei secțiunilor este cel de la stacircnga la dreapta) sunt

indicate icircn figura 218a iar dacă sensul de parcurs este de la dreapta la stacircnga sensurile

pozitive ale eforturilor sunt indicate icircn figura 218b

Fig 218 Convenţia de semne

Definiții asemănătoare se pot da și pentru eforturile din centrul secțiunii As figura

218b adică pentru cazul icircn care sensul de parcurs este cel de la dreapta la stacircnga și deci

partea luată icircn considerare este cea din stacircnga iar partea parcursă din dreapta secțiunii

este icircnlăturată

119873(1199091) = 1198653119867

119879(1199091) = 1198653119881 minus 119881119861

119872119894(1199091) = 119881119861 ∙ 1199091 minus 1198653119881 ∙ (1199091 minus 1198975)

(29)

Avacircnd icircn vedere că fețele Ad și As aparțin aceleeași secțiuni este evident faptul că

eforturile 119873(119909) 119879(119909) și 119872119894(119909) sunt identice cu eforturile 119873(119961120783) 119879(119961120783) și respectiv

119872119894(119961120783) Icircn figura 218c se prezintă o sinteză a convențiilor de semne pozitive pentru cele

3 eforturi atacirct pentru sensul de parcurs de la stacircnga la dreapta (secțiunea Ad) cacirct și pentru

sensul invers (secțiunea As)

Semnele eforturilor sunt importante icircntrucacirct există materiale cu comportări diferite

la icircntindere față de compresiune iar o schimbare a semnului unui efort poate produce

erori grave icircn calcule Semnele eforturilor au fost stabilite icircn funcție de deformațiile

produse și nu depind de sensul axelor sistemului de coordonate

26 Relaţii diferenţiale icircntre eforturi şi sarcini

Pentru a vedea ce legătură există icircntre eforturi și sarcini vom considera o bară

dreaptă icircncărcată cu o sarcină distribuită după o lege oarecare figura 219a Din această

bară vom decupa prin dublă secționare un element de lungime infinit mică 119889119909 Deoarece

lungimea 119889119909 este foarte mică se poate considera sarcina 119901 uniform distribuită Icircn

secțiunile rezultate trebuie să introducem eforturile care pot apărea

- 119879 şi 119872119894 icircn centrul secțiunii din sticircnga eforturi pe care le considerăm pozitive

- 119879 + 119889119879 şi 119872119894 + 119889119872119894 icircn centrul secțiunii din dreapta elementului

Aceste eforturi au o variație mică (119889119879 şi 119889119872119894) față de secțiunea anterioară Spre

deosebire de cazul icircn care bara este secționată o singură dată icircn acest caz eforturile nu

pot fi determinate din cele 2 condiții de echilibru independente deoarece icircn ecuațiile de

echilibru apar 4 necunoscute 119879 119889119879119872119894 și 119889119872119894 deci că problema este dublu static

nedeterminată figura 219

Fig 219 Echivalența icircntre eforturi și sarcini

Ecuațiile de echilibru scrise pentru elementul din figura 219b conduc la stabilirea

unor relaţii foarte importante

(sum119865)119910= 0 hArr 119879 minus 119901 ∙ 119889119909 minus (119879 + 119889119879) = 0 rArr

119889119879

119889119909= minus119901 (210)

Relația (210) arată că derivata funcţiei forţei tăietoare icircn raport cu abscisa

secţiunii este egală cu sarcina distribuită normală la axa barei din acea secţiune luată

cu semn schimbat

Observații

dacă 119901 = 0 nu există sarcină distribuită atunci forța tăietoare T este constantă

icircnclinarea pantei diagramei forței 119879 este egală cu (ndash 119901) (sarcina distribuită cu

semn schimbat)

dacă 119901 = 119888119900119899119904119905 119879 variază liniar pe acel interval

Asemănător se deduce că derivata funcţiei forţei axiale icircn raport cu abscisa

secţiunii este egală cu sarcina distribuită axială din acea secţiune luată cu semn

schimbat adică

119889119873

119889119909= minus119901119867 (211)

Din condiția de echilibru suma de momente faţă de centrul de greutate al secţiunii

din dreapta

(sum119872)119862= 0 hArr 119872119894 minus (119872 + 119889119872119894) + 119879 ∙ 119889119909 minus 119901 ∙

(119889119909)2

2= 0 rArr

119889119872119894

119889119909= 119879 (212)

Relația (212) s-a obținut dupa reducerea termenilor și prin neglijarea infinitului

mic de ordinul 2

119901 ∙(119889119909)2

2

Relația (212) arată că derivata funcţiei moment icircncovoietor icircn raport cu abscisa

secţiunii este egală cu forţa tăietoare din acea secţiune

Observații

dacă 119879 = 0 momentul 119872119894 are un punct de extrem se obține o valoare maximă

pentru 119872119894119898119886119909 dacă forța tăietoare 119879 se anulează trecacircnd de la plus icircn stacircnga la minus icircn

dreapta secțiunii

dacă forța tăietoare este pozitivă pe un interval 119879 gt 0 atunci 119872119894 este crescătoare

pe acel interval

dacă forța tăietoare este negativă pe un interval 119879 lt 0 atunci 119872119894 este

descrescătoare pe acel interval

dacă pe un interval 119901 = 0 forța tăietoare este constantă 119879 = 119888119905 iar 119872119894 variază

liniar pe acel interval

dacă 119901 = 119888119900119899119904119905 119879 variază liniar pe acel interval iar 119872119894 variază parabolic pe

acel interval

Relaţiile diferenţiale sunt utile la reprezentarea corectă şi verificarea diagramelor

de eforturi astfel

pentru porţiunile de grindă pe care p = 0 eforturile N şi T sunt constante iar pe

porţiunile cu p = const eforturile N şi T variază liniar (relaţiile 211 şi 210)

dacă pe o porţiune T = const momentul icircncovoietor Miz variază liniar iar dacă

T variază liniar atunci momentul Miz variază parabolic (relaţia 212)

pe domeniile pe care T gt 0 funcţia Mi(x) este crescătoare iar icircn secţiunea icircn

care T = 0 (graficul funcţiei T intersectează axa x) momentul icircncovoietor are un punct

de extrem local (maxim sau minim relaţia 212)

Pentru rezolvarea problemelor referitoare la trasarea diagramelor de eforturi

pentru barele drepte solicitate de sisteme de forţe plane se parcurg următoarele etape

1) identificarea forţelor aplicate (date) şi pregătirea lor pentru calcule

(descompunerea forţelor concentrate pe direcţiile x şi y calculul rezultantelor forţelor

distribuite)

2) identificarea reazemelor şi introducerea reacţiunilor corespunzătoare (vezi

figurile 27divide29)

3) stabilirea ecuaţiilor de echilibru static calculul şi verificarea reacţiunilor Icircn

rezistența materialelor se folosește sistemul de ecuații (vezi figura 217)

(sum119865)

119909= 0

(sum119872)119860= 0

(sum119872)119861= 0

(213)

4) identificarea domeniilor de variaţie şi scrierea funcţiilor de eforturi pentru N T

şi Mi

5) reprezentarea grafică a diagramelor de eforturi

6) verificarea corectitudinii diagramelor pe baza relaţiilor diferenţiale icircntre eforturi

şi sarcini

Aplicație Pentru grinda dreaptă icircncărcată cu sistemul de forţe reprezentat icircn figura

220 se cere

a) să se calculeze şi să se verifice reacţiunile

b) să se stabilească funcţiile eforturilor Nx Ty şi Miz şi să se reprezinte diagramele

de variaţie

c) să se analizeze relaţiile diferenţiale icircntre eforturi şi sarcini

Dimensiunile grinzii au valorile a = 6 [m] b = 4 [m] și c = 4[m] sistemul de

forţe aplicat fiind format din p = 10 [kN mfrasl ] F = 20 [kN] (icircnclinată cu unghiul α =300 faţă de orizontală) şi M0 = 40 [kN ∙ m]

Rezolvare

a) Se fac următoarele precizări

grinda dreaptă se reprezintă prin axa geometrică

forţa icircnclinată F se descompune după direcţiile orizontală şi verticală icircn FV =F ∙ sin α = 10 [kN] şi FH = F ∙ cos α = 173 [kN]

forţa distribuită uniform p este echivalentă din punct de vedere static cu

rezultanta sa R = p ∙ a = 60 [kN] care acţionează la jumătatea porţiunii de lungime a

icircn reazemele 119860 şi 119861 se introduc componentele HA şi VA respectiv VB ale

reacţiunilor

Pentru calculul reacţiunilor se utilizează ecuaţiile de echilibru static al grinzii

sumXi = 0 HA minus FH = 0 sumYi = 0 VA + VB minus R minus FV = 0 (sumM)B = 0 VA ∙ (b + a) minus R ∙ (b + 05 ∙ a) minus M0 + FV ∙ c = 0

(A1)

Din prima ecuaţie se obţine HA iar din cea de-a treia ecuaţie rezultă VA

HA = FH = 173 [kN]

VA =[R ∙ (b + 05 ∙ a) + M0 minus FV ∙ c]

(b + a)=[60 ∙ (4 + 05 ∙ 6) + 40 minus 10 ∙ 4]

(4 + 6)

VA = 42 [kN]

(A2)

Fig 220 Aplicație

Se observă că cea de-a doua ecuaţie de echilibru conţine două necunoscute

reacţiunile VA şi VB Pentru a calcula componenta VB nu este indicată introducerea lui VA

icircn cea de-a doua ecuaţie a sistemului (A1) pentru că o valoare determinată greşit pentru

VA conduce la o valoare VB de asemenea greşită O ecuaţie independentă din care se poate

determina componenta VB este următoarea

(sumM)A= 0 FV ∙ (a + b + c) minus VB ∙ (a + b) minus M0 + R ∙ 05 ∙ a = 0 (A3)

de unde se obţine

VB =[FV ∙ (a + b + c) minusM0 + R ∙ 05 ∙ a]

(b + a)=[10 ∙ (6 + 4 + 4) minus 40 + 60 ∙ 05 ∙ 6]

(6 + 4)

VB = 28 [kN] (A4)

Ecuaţia de proiecţii ale forţelor pe direcţia verticală (a doua ecuaţie din sistemul

A1) se utilizează pentru verificarea reacţiunilor deja determinate

VA + VB minus R minus FV = 0 rArr 42 + 28 minus 60 minus 10 = 0 (A5)

Ultima egalitate demonstrează că reacţiunile verticale au fost calculate corect

Din cele de mai sus rezultă ordinea firească pentru determinarea reacţiunilor icircn

cazul grinzilor simplu rezemate

sumXi = 0

(sumM)A = 0

(sumM)B = 0

(A6)

iar pentru verificarea componentelor verticale VA şi VB se folosește ecuaţia sumY = 0

b) La stabilirea funcţiilor de eforturi se parcurg icircn general etapele următoare

se notează (numeric sau literal după preferinţă) secţiunile care delimitează

domeniile (intervalele sau tronsoanele) pe care eforturile nu-şi modifică funcţiile (au legi

unice de variaţie)

pe fiecare domeniu se marchează secţiunea imaginară icircn care se stabilesc

funcţiile eforturilor

secţiunea astfel aleasă separă icircn două părţi grinda şi anume porţiunea din stacircnga

şi porţiunea din dreapta secţiunii

se va considera parcursă (şi icircndepărtată) acea parte pe care acţionează mai puţine

sarcini exterioare pentru că acestea vor interveni icircn expresiile funcţiilor de eforturi

poziţiile secţiunilor imaginare se vor determina prin variabilele x1 ⋯ xn (unde

n reprezintă numărul domeniilor de variaţie) cu originea fixată icircn capătul intervalului şi

sensul de parcurgere spre partea considerată rămasă

Grinda prezentată icircn figura 220 are trei domenii de variaţie pentru funcţiile de

eforturi după cum urmează (A-1) (2-B) şi (B-1)

Domeniul (A-1) x1 isin [0 a = 6 m] Porţiunea parcursă şi considerată icircndepărtată este cea de coordonată x1 pe care

acţionează reacţiunile HA şi VA precum şi rezultanta parţială a sarcinii distribuite R1 =p ∙ x1

Funcţia forţă axială Nx are expresia

Nx(x1) = NAminus1 = minusHA = minus173 [kN] = const

(A7)

Funcţia forţă tăietoare Ty are exspresia

Ty(x1) = TAminus1 = VA minus R1 = VA minus p ∙ x1 (A8)

care reprezintă o variaţie liniară de variabilă x1 Se calculează valorile forţei tăietoare la

limitele intervalului de variaţie

- pentru x1 = 0 Ty(x1 = 0) = TA = VA = 42 [kN]

- pentru x1 = a = 6 [m] Ty(x1 = 6) = T1 = VA minus p ∙ a = minus18 [kN]

Observaţie Aşa cum a fost stabilită secţiunea fictivă poziţionată prin coordonata

x1 sar părea că rezultanta R ar trebui luată icircn calculul lui Ty(x1) Acest lucru ar fi greşit

pentru că R = p ∙ a reprezintă rezultanta sarcinii distribuite pe toată lungimea a iar

rezultanta pe porţiunea parcursă de lungime x1 este R1 = p ∙ x1 ne R = p ∙ a

Cu valorile obţinute se trasează diagramele forţelor axială Nx = f(x) şi tăietoare

Ty = f(x) figura 220 Din diagrama forţei tăietoare şi din valorile obţinute analitic se

observă că forţa tăietoare icircşi schimbă semnul pe intervalul analizat deci se anulează pe

acest interval Poziţia secţiunii unde Ty se anulează se determină din ecuaţia

Ty(x1) = 0 rArr VA minus p ∙ x1 = 0 (A9)

cu soluţia x1lowast = ξ = 42 [m] Important de reamintit că icircn această secţiune momentul

icircncovoietor va avea un extrem local adică Miz are un extrem la Ty = 0

Funcţia moment icircncovoietor Miz are expresia

Miz(x1) = VA ∙ x1 minus R1 ∙x12= VA ∙ x1 minus (p ∙ x1) ∙

x12

(A10)

Se observă că funcţia moment icircncovoietor de variabilă x1 are o variaţie parabolică

(gradul al II-lea) Pentru reprezentarea grafică a funcţiei parabolice se calculează valorile

momentului icircncovoietor icircn trei secţiuni

- pentru x1 = 0 Miz(x1 = 0) = MA = 0 [kN ∙ m] - pentru x1 = a = 6 [m] Miz(x1 = 6) = M1 = 72 [kN ∙ m] - pentru x1

lowast = ξ = 42 [m] Miz(x1lowast = ξ = 42 [m]) = Mimax = 882 [kN ∙ m]

Cu acestea se trasează diagrama Miz = f(x) pe intervalul (A-1) figura 220

Observaţie Icircn unele cazuri pe un anumit interval forţa tăietoare nu se anulează

şi momentul icircncovoietor nu are un extrem local Icircn acest caz pentru reprezentarea

variaţiei parabolice a momentului icircncovoietor se va studia semnul derivatei a doua a

funcţiei Miz = f(x1) acesta determinacircnd convexitatea curbei momentului icircncovoietor

Domeniul (2-B) x2 isin [0 c = 4 m] Porţiunile din grindă libere (nerezemate) la un capăt se numesc console iar

stabilirea funcţiilor de eforturi devine mai simplă dacă se consideră icircndepărtată partea din

dreapta secţiunii prin schimbarea sensului pozitiv al axei x Astfel se obţin funcţiile eforturilor

Funcţia forţă axială Nx are expresia

Nx(x2) = N2minusB = minusFH = minus173 [kN] = const

(A11)

Funcţia forţă tăietoare Ty are exspresia

Ty(x2) = T2minusB = FV = 10 [kN] = const (A12)

Funcţia moment icircncovoietor Miz are expresia

Miz(x2) = minusFV ∙ x2 rArr Miz(x2 = 0) = M2 = 0 [kN ∙ m]

Miz(x2 = 4) = MB = minus40 [kN ∙ m] (A13)

variaţie liniară (gradul I)

Domeniul (B-1) x3 isin [0 b = 4 m] Pe acest domeniu se acceptă parcurgerea grinzii de la dreapta adică se consideră

icircndepărtată partea din dreapta secţiunii fictive pentru că are doar două sarcini aplicate F

şi VB faţă de partea din stacircnga secţiunii pe care sunt aplicate trei sarcini p VA şi M0

Astfel se obţin funcţiile eforturilor

Funcţia forţă axială Nx are expresia

Nx(x3) = NBminus1 = minusFH = minus173 [kN] = const

(A14)

Funcţia forţă tăietoare Ty are exspresia

Ty(x3) = TBminus1 = FV minus VB = minus18 [kN] = const (A15)

Funcţia moment icircncovoietor Miz are expresia

Miz(x3) = minusFV ∙ (x3 + c) + VB ∙ x3 rArr

rArr Miz(x3 = 0) = MB = minus40 [kN ∙ m]

Miz(x3 = 4) = M1 = 32 [kN ∙ m]

(A16)

variaţie liniară (gradul I)

Diagramele eforturilor sunt prezentate icircn figura 220

c) Relaţiile diferenţiale dintre eforturi şi sarcini se analizează pe diagramele

eforturilor după cum urmează

sarcina distribuită nu are componentă orizontală adică ph = 0 şi icircn

conformitate cu formula (211) rezultă că Nx = const pe toată lungimea grinzii fapt care

a rezultat din funcţia şi reprezentarea diagramei forţei axiale

pe intervalul (A-1) sarcina distribuită are doar componenta verticală pozitivă

pV = p gt 0 prin urmare forţa tăietoare scade (are panta negativă dTy 119889119909frasl = minusp vezi

relaţia 210) iar momentul icircncovoietor avacircnd derivata a doua negativă d2M119894119911 1198891199092frasl =minuspare convexitatea curbei orientată spre sensul pozitiv al axei momentului Miz adică icircn

jos

pe domeniile (2-B) şi (B-1) deoarece pv = 0 forţa tăietoare Ty este constantă

iar momentul icircncovoietor Miz variază liniar

referitor la relaţia (212) pe porţiunile unde Ty gt 0 momentul Miz este

monoton crescător pe porţiunile unde Ty lt 0 momentul Miz este monoton descrescător

iar icircn secţiunea icircn care Ty = 0 momentul icircncovoietor are un extrem local Mξ =

882 [kN ∙ m] icircn diagrama forţei tăietoare discontinuităţile (salturile) se produc icircn secţiunile

unde acţionează VA VB şi FV iar icircn diagrama momentului icircncovoietor se produce un

singur salt icircn secţiunea icircn care este aplicat M0

se poate scrie

Mξ = suprafața diagramei Ty |ξ0=1

2∙ 42 ∙ 42 = 882 [kN ∙ m]

sau parcurgacircnd grinda de la dreapta la stacircnga rezultă

MB = minussuprafața diagramei Ty |c0= minus10 ∙ 4 = minus40 [kN ∙ m]

Toate aspectele analizate teoretic referitoare la relaţiile diferenţiale dintre eforturi

şi sarcini se regăsesc icircn diagramele de eforturi din figura 220 ceea ce icircnseamnă că

diagramele au fost reprezentate corect

3 TENSIUNI DEPLASĂRI ŞI DEFORMAŢII SPECIFICE

31 Tensiuni

Eforturile obținute icircn urma reducerii forțelor interioare icircn centrul de greutate al

secțiunii nu pot da informații asupra solicitării fiecărui punct al secțiunii respective Este

necesar să se cunoască modul cum se distribuie forțele interioare icircn fiecare punct al

secțiunii pentru a ști care este intensitatea maximă a solicitării Această intensitate

maximă se poate compara cu o valoare critică specifică materialului stabilindu-se astfel

dacă solicitarea este periculoasă sau nu

Mărimea care caracterizează solicitarea locală punctuală o vom denumi tensiune

și o vom defini icircn cele ce urmează Să considerăm partea din dreapta a unui corp solicitat

de forțele exterioare 1198651 1198652 și 1198653 obținută prin secționarea corpului și mărginită de fața

din dreapta Ad a secțiunii Pe secțiunea Ad vom considera un element de arie infinit mic

∆119860 caracterizat de normala la elementul de arie normală care are cosinușii directori

120573 și icircn raport cu un sistem de axe considerat fix Pe elementul infinit mic ∆119860 acționează

forțele interioare care au o rezultantă oarecare figura 31

Prin definiție tensiunea totală este

= lim∆119860rarr0

∆

∆119860 (31)

Tensiunea are aceeaşi direcţie cu forţa elementară ∆ iar mărimea ei este

determinată atacirct de mărimea forţei ∆ cacirct şi de orientarea suprafeţei ∆119860 faţă de direcţia

forţei

Tensiunea 119901 poate fi descompusă icircntr-o componentă orientată după direcţia

normalei la secţiune tensiunea normală notată cu 120590119909 şi o componentă icircn planul secţiunii

tensiunea tangenţială notată cu figura 32

= 119909 + 120591 (32)

Fig 31 Tensiunea totală Fig 32 Tensiunea normală și tangențială

La racircndul ei componenta tensiunii cuprinsă icircn planul secțiunii poate fi

descompusă după direcțiile axelor y și z

120591 = 120591119909119910 + 120591119909119911 (33)

Icircntre cele trei componente ale tensiunii totale care acționează pe elementul de arie

∆119860 este valabilă relația

1199012 = 1205901199092 + 120591119909119910

2 + 1205911199091199112 (34)

După sensul pe care icircl are tensiunea normală 120590 poate avea efect de tracţiune sau

de compresiune exercitat de către partea de corp icircnlăturată asupra părţii rămase Analog

tensiunea tangenţială 120591 poate avea efect de tăiere forfecare sau alunecare Pentru

componentele tensiunii tangențiale 120591119909119910 pe direcţia 119910 respectiv 120591119909119911 pe direcţia 119911 primul

indice indică axa pe care tensiunea este normală iar cel de-al doilea indice indică axa cu

care aceasta este paralel

Tensiunea este o mărime tensorială valoarea ei depinzacircnd atacirct de poziția

punctului icircn planul secțiunii cicirct și de orientarea planului de secționare deci de normala

Operaţiile vectoriale nu pot fi aplicate tensiunilor decacirct după ce acestea au fost icircnmulţite

cu ariile respective adică au fost transformate icircn forţe

Icircn literatura de specialitate mai ales icircn manualele mai vechi pentru noţiunea de

tensiune se mai foloseşte şi denumirea de efort specific

Dacă se consideră un alt element de arie ∆119860 cu centrul icircn același punct avacircnd ca

normală axa 119910 se vor obține alte tensiuni și anume

- 120590119910 este tensiunea normală (paralelă cu axa y)

- 120591119911119909 și 120591119910119911 sunt tensiuni tangențiale paralele cu axele 119909 și respectiv 119911 aflate icircn

planul care are ca normală axa 119910

Dacă icircn jurul unui punct dintr-un corp solicitat se consider un element de volum

infinit mic de forma unui cub icircn cazul cel mai general pe fețele sale vor acționa

tensiunile normale 120590119909 120590119910 și 120590119911 și respectiv tensiunile tangențiale 120591119909119910 120591119909119911 120591119910119909 120591119910119911 120591119911119909

și respectiv 120591119911119910 figura 33 Aceste tensiuni definesc starea de tensiune a punctului

observacircnd faptul că tensorul tensiune are 9 componente Dacă se consideră elementul

de volum finit ca fiind foarte mic se poate presupune că icircn interiorul său nu apar forțe

Ca urmare el va fi icircn echilibru sub acțiunea forțelor elementare produse de tensiunile de

pe fețele sale

Din condiția ca elementul să nu se rotească icircn jurul unor axe care trec prin centrul

său și sunt paralele cu axele sistemului 119909119874119910119911 rezultă

2 ∙ 120591119909119910 ∙ (119889119910 ∙ 119889119911) ∙119889119909

2= 2 ∙ 120591119910119909 ∙ (119889119909 ∙ 119889119911) ∙

119889119910

2 rArr 120591119909119910 = 120591119910119909 (35)

2 ∙ 120591119910119911 ∙ (119889119909 ∙ 119889119911) ∙119889119910

2= 2 ∙ 120591119911119910 ∙ (119889119909 ∙ 119889119910) ∙

119889119911

2 rArr 120591119910119911 = 120591119911119910 (36)

2 ∙ 120591119909119911 ∙ (119889119910 ∙ 119889119911) ∙119889119909

2= 2 ∙ 120591119911119909 ∙ (119889119909 ∙ 119889119910) ∙

119889119911

2 rArr 120591119909119911 = 120591119911119909 (37)

Relațiile (35divide37) 120591119909119910 = 120591119910119909 120591119910119911 = 120591119911119910 120591119909119911 = 120591119911119909 exprimă principiul dualității

tensiunilor tangențiale

Fig 33 Tensiunile normale și tangențiale pe fețele unui cub

Din condiția ca elementul considerat să nu se deplaseze icircn lungul axelor de

coordonate pe fețele opuse acționează aceleași tensiuni normale 120590119909 120590119910 și respectiv 120590119911

Definirea tensorului tensiune este posibilă dacă se cunosc cele 6 componente

independente ale acestuia aflate icircn trei plane perpendicular ce trec prin punctul respectiv

=

120590119909 120591119909119910 120591119909119911120591119910119909 120590119910 120591119910119911120591119911119909 120591119911119910 120590119911

Observaţii

Tensiunile se măsoară icircn [119873 1198982frasl ] (1119873 1198982frasl = 1 119875119886) sau icircn [119872119875119886]

(1 119872119875119886 = 106119875119886 = 106 119873

1198982 1 119872119875119886 = 1

119873

1198981198982)

Starea de tensiune dintr-un punct este considerată cunoscută dacă se cunosc

tensiunile 119901 care acționează pe infinitatea de elemente de suprafață ce trec prin punctual

considerat

Starea de tensiune a unui corp se consider cunoscută dacă se cunosc stările de

tensiune de pe infinitatea de puncte ale corpului considerat

32 Deplasări Deformaţii specifice

321 Deplasări

Aceste noțiuni sunt utile icircn analiza aspectului geometric al problemelor de rezistența

materialelor Deplasările care se analizează sunt cele datorate schimbării formei și

dimensiunilor corpurilor ca urmare a acțiunii forțelor exterioare și nu cele cinematice

posibile pentru solidul rigid care se poate deplasa cu anumită viteză și accelerație

Spre exemplu icircn figura 34a și figura 34b sub acțiunea forței 119865 tronsonul de

bară AB se deformează icircn timp ce tronsonul BC deși punctele sale au deplasări rămacircne

nedeformat (fiind nesolicitat) Toate punctele de pe axele barelor cu excepția celor din

icircncastrare (secțiunile A) au deplasări liniare De cele mai multe ori deformațiile barelor

datorate acțiunii forțelor exterioare se anulează la icircndepărtarea forțelor se spune că

deformațiile sunt elastice Secțiunile transversale ale barei din figura 34a se și rotesc icircn

raport cu pozițiile lor inițiale Spre exemplu secțiunea de căpăt cu centrul icircn C se rotește

cu unghiul

Fig 34 Deformațiile unei grinzi

Oricacirct de complexă ar fi delormația unui corp ea poate fi descrisă de lungiri sau

scurtări și de modificări ale unghiurilor inițiale

Deplasările măsoară schimbarea poziției unui punct al corpului și pot fi liniare

sau unghiulare

Prin deplasare liniară a unui punct se icircnțelege drumul parcurs de acest punct icircn

decursul procesului de deformație după o dreaptă suport dreapta 1198611198611 din figura 34a

Prin deplasare unghiulară se icircnțelege rotirea dintre segmentele de dreaptă

determinate de două puncte ale corpului icircnainte și după deformarea acestuia unghiul

pe care-l fac segmentele 119861119862 și 11986111198621 din figura 34a Această rotire se măsoară prin

unghiul pe care-l fac proiecțiile dreptelor ce conțin cele două segmente icircntr-un sistem

triortogonal

Icircn cazul cel mai general vectorul deplasare liniară se poate descompune icircntr-un

sistem triortogonal icircn trei componente 119906 119907 și 119908 figura 35

Fig 35 Deplasarea liniară

Se consideră acum un corp solid raportat la un sistem de axe ortogonal 119909119874119910119911

figura 35 după deformarea corpului un punct oarecare 119870 al acestuia se deplasează icircn

poziţia 1198701 vectorul 1198701198701 poartă numele de vectorul deplasării totale

Deplasarea totală este suma deplasărilor pe cele trei direcţii ortogonale iar

aceste deplasări se notează astfel

deplasarea pe direcţia 119909 cu ∥ 119874119909

deplasarea pe direcţia 119910 cu ∥ 119874119910

deplasarea pe direcţia 119911 cu ∥ 119874119911

Componentele deplasărilor și formeză matricea deplasărilor liniare 119906119907119908

322 Deformații

Prin deformație icircn general se icircnțelege orice schimbare de formă a unui corp fără

o evaluare cantitativă Icircn Rezistența Materialelor deformația măsoară variația

dimensiunilor geometrice ale corpului considerat din vecinătatea unui punct analog

deplasărilor deformațiile pot fi liniare și unghiulare (lunecări)

Fig 36 Deplasarea liniară

Deformația liniară ∆119897 reprezintă variația lungimii 119897 a unui element liniar al

corpului deformat figura 36 Deformația liniară specifică se definește ca fiind raportul

dintre deformația liniară și lungimea inițială

휀 =∆119897

119897 (38)

unde ∆119897 este lungirea sau scurtarea care este echivalentă cu deformția liniară totală iar

este alungirea

Deformația unghiulară sau lunecarea unui punct 119860 icircn planul 119861119860119862 se definește

prin relația figura 37

120574 = lim119861119860rarr0119862119860rarr0

(119861119860 minus 119861111986011198621 ) (39)

Fig 36 Deformația unghiulară

Schimbacircnd orientarea planului care trece prin 119860 se obțin alte deformații

unghiulare Dacă elementele liniare 119861119860 și 119862119860 sunt inițial perpendiculare deformația 120574 se

numește deformație unghiulară specifică sau lunecare specifică figura 37

Un exemplu de deplasare unghiulară și de deformație unghiulară este prezentat icircn

figura 38 Unghiul este deplasarea unghiulară și măsoară rotirea relativă dintre două

secțiuni aflate la distanța 119897 Unghiul este deformația specifică unghiulară (lunecarea

specifică) din punctul 119870 Aceste deplasări și deformații se obțin icircn urma solicitării barei

de către cele două momente 1198720 egale și de sens contrar

Fig 38 Deplasarea unghiulară

Pentru a analiza starea de deformație din vecinătatea unui punct al unui corp

solicitat complex se decupează din jurul punctului un element de volum mic figura 39a

avacircnd laturile 119889119909 119889119910 și 119889119911 Ca urmare a solicitării laturile acestuia se vor lungi sau

scurta Reprezentarea elementului deformat icircn spațiu este dificilă pentru simplificare

vom analiza doar deformațiile din planul 119909119874119910 Observăm că dimensiunile 119889119909 și 119889119910 s-au

modificat cu valoarea ∆119889119909 respectiv cu ∆119889119910 analog se acceptă și pentru 119889119911 o modificare

de forma ∆119889119911 Astfel se pot defini deformațiile specifice liniare

휀119909 =∆119889119909

119889119909 휀119910 =

∆119889119910

119889119910 휀119911 =

∆119889119911

119889119911 (310)

De cele mai multe ori aceste deformații specifice liniare se pot exprima procentual

și se mai numesc alungiri

Fig 39 Starea de deformație

Icircn figura 39c se vede că unghiul inițial drept dintre muchiile 119889119909 și 119889119910 ale

elementului de volum s-a modificat Se definește deformația specifică unghiulară (sau

lunecarea specifică) mărimea cu care se modifică unghiul inițial drept

120574119909119910 = 120574119909119910prime + 120574119910119909

prime = 120574119910119909120574119910119911 = 120574119910119911

prime + 120574119911119910prime = 120574119911119910

120574119911119909 = 120574119911119909prime + 120574119909119911

prime = 120574119909119911

(311)

Deformațiile 휀119909 휀119910 휀119911 120574119909119910 120574119910119911 120574119911119909 constituie cele șase componente

independente ale tensorului deformațiilor specifice care pot fi scrise de forma

119863 =

휀119909 120574119909119910 120574119909119911120574119910119909 휀119910 120574119910119911120574119911119909 120574119911119910 휀119911

(312)

323 Contracţia transversală

Practica arată că odată cu lungirea unei bare apare o micşorare a mărimii secţiunii

transversale mărime numită contracţie transversală figura 310

Fig 310 Contracția transversală

Contracţia transversală este proporţională cu lungirea specifică coeficientul de

proporţionalitate se notează cu 120599 şi se numeşte coeficient de contracţie transversală sau

coeficientul lui Poisson

La o lungire specifică a barei contracţia transversală este dată de relația

휀119905119903 = 휀119910 = 휀119911 = minus120599 ∙ 휀119909 (313)

Semnul minus bdquo-rdquo arată că cele două mărimi sunt contrare dacă una creşte cealaltă

scade şi invers

Considerăm o bară cilindrică de lungime 119897 şi aria secţiunii transversale 119860 solicitată

la icircntindere axială La un moment dat datorită solicitării lungimea barei devine

[119897 ∙ (1 + 휀)] diametrul devine [119889 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)] iar aria secţiunii transversale devine

[119860 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)2] Dacă volumul barei icircnainte de solicitare a fost (119860 ∙ 119897) după solicitare

acesta devine

119881 + ∆119881 = 119860 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)2 ∙ 119897 ∙ (1 + 휀) =

= 119860 ∙ 119897 ∙ (1 + 휀 minus 2 ∙ 120599 ∙ 휀 minus 2 ∙ 120599 ∙ 휀2 + 1205992 ∙ 휀2 + 1205992 ∙ 휀3) (314)

Deoarece lungirile sunt foarte mici ultimii trei termeni din paranteză fiind infinit mici se pot neglija obţinacircnd

119881 + ∆119881 = 119860 ∙ 119897 + 119860 ∙ 119897 ∙ 휀 ∙ (1 minus 2 ∙ 120599) ⟺ ∆119881 = 휀 ∙ (1 minus 2 ∙ 120599) ∙ 119860 ∙ 119897 (315)

Practica arătă că o astfel de bară solicitată la icircntindere icircşi măreşte volumul deci

∆119881 gt 0 de unde rezultă că

1 minus 2 ∙ 120599 gt 0 rArr 120599 lt 05 (316)

Pentru majoritatea materialelor 120599 = 033 iar pentru materialele care-şi păstrează

volumul constant 120599 = 05

33 Relaţii de echivalenţă icircntre eforturi şi tensiuni

Considerăm un element de suprafață infinit mic 119889119860 situat pe fața de arie (119860) a

secțiunii barei din figura 311 Icircn centrul de greutate 119862 al secțiunii acționează eforturile

119873 119879119910 119879119911 119872119909 119872119894119910 și 119872119894119911 determinate prin metoda secțiunilor

Icircn raport cu un sistem de axe de referință 119909119862119910119911 coordonatele elementului 119889119860 sunt

- 119910 este ordonata elementului de arie 119889119860

- 119911 este abscisa elementului de arie 119889119860

Pe elementul de arie 119889119860 acționează tensiunile

120590119909 tensiunea normală

120591119909119910 și 120591119909119911 tensiuni tangențiale

Dacă se icircnsumează forțele elementare de tipul 120590119909 ∙ 119889119860 120591119909119910 ∙ 119889119860 și 120591119909119911 ∙ 119889119860

va trebui să obținem eforturile 119873 119879119910 și 119879119911

Fig 311 Element de suprafață mic din secțiunea unei bare

Dacă eforturile sunt privite ca forțe exterioare și se scriu ecuațiile de

echilibru ale secțiunii (119860) se vor obține șase relații de echivalență icircntre eforturi și

tensiuni

(sum119883) = 0 rArr int 120590119909 ∙ 119889119860

119860

= 119873 (317)

(sum119884) = 0 rArr int 120591119909119910 ∙ 119889119860

119860

= 119879119910 (318)

(sum119885) = 0 rArr int 120591119909119911 ∙ 119889119860

119860

= 119879119911 (319)

(sum119872)119909= 0 rArr int(120591119909119911 ∙ 119889119860) ∙ 119910

119860

minus int(120591119909119910 ∙ 119889119860) ∙ 119911

119860

= 119872119909 rArr

rArr int(119910 ∙ 120591119909119911 minus 119911 ∙ 120591119909119910) ∙ 119889119860

119860

= 119872119909

(320)

(sum119872)119910= 0 rArr int(120590119909 ∙ 119889119860) ∙ 119911

119860

= 119872119894119910 (321)

(sum119872)119911= 0 rArr int(120590119909 ∙ 119889119860) ∙ 119910

119860

= 119872119894119911 (322)

Cele șase relații de echivalență icircntre eforturi și tensiuni constituie un pas icircnainte

icircn rezolvarea unei probleme de rezistența materialelor Aceste relații vor permite

determinarea tensiunilor maxime

Pentru a rezolva cele 6 relații de echivalență trebuie să se cunoască tensiunile și

ca funcții de punct adică funcții de forma

120590119909 = 120590119909(119909 119910 119911) 120591119909119910 = 120591119909119910(119909 119910 119911) 120591119909119911 = 120591119909119911(119909 119910 119911) (32

3)

Cunoașterea acestor funcții presupune icircnsă analizarea aspectului geometric al

problemei precum și utilizarea unor ipoteze simplificatoare care să permită simplificarea

problemelor

34 Ipoteze de bază icircn rezistenţa materialelor

Depășirea dificultăților legate de interpretarea unor fenomene specifice mecanicii

solidului deformabil a impus acceptarea unor ipoteze care să simplifice fenomenele și să

contribuie la elaborarea unor modele de calcul cicirct mai generale și cacirct mai simple Aceste

ipoteze se referă la structura materialelor şi la comportarea lor sub acţiunea forţelor

exterioare Ipotezele acceptate trebuie să fie icircn deplină concordanţă cu realitatea și să

conducă la rezultate verificate icircn practică

Funcție de aspectele la care se referă ipotezele pot fi

Ipoteze fizice (de material)

Ipoteze de calcul

341 Ipoteze fizice

Se acceptă deoarece teoriile structurale au condus la rezultate care contravin

icircncercărilor experimentale

Ipoteza mediului continuu consideră că orice domeniu elementar al corpului

este ocupat de materie adică nu se acceptă existența unor goluri sau a unor crăpături

microscopice (fisuri) Deși nu corespunde realităţii poate fi acceptată deoarece

dimensiunile corpului sunt mult mai mari decacirct dimensiunile particulelor elemantare Are

avantajul că permite utilizarea proprietăților matematice ale funcțiilor continue pentru

tensiunile și deformațiile din orice punct al corpului Ea este mai apropiată de realitate la

corpurile amorfe şi mai depărtată la cele cristaline dar conduce la rezultate satisfăcătoare

icircn calculele de rezistenţă

Ipoteza nu se poate aplica la corpurile care au goluri tăieturi (multiplu conexe)

pentru unele puncte singulare icircn care tensiunile și deformațiile tind la infinit sau icircn unele

probleme de plasticitate icircn care proprietățile de material au un rol esențial

Ipoteza izotropiei conform acestei ipoteze materialul din care este confecționat

un element de rezistență are aceleași proprietăți după orice direcție un astfel de material

este considerat izotrop Din punct de vedere macroscopic metalele pot fi considerate

izotrope deși la nivel microscopic proprietățile lor diferă de la o direcție cristalografică

la alta Orice conglomerat de cristale poate fi considerat izotrop

Există cazuri cacircnd această ipoteză a izotropiei nu se acceptă

la metalele puternic deformate după o direcție (prin laminare trefilare)

la piesele confecționate din lemn lemnul este anizotrop deoarece proprietățile sale

diferă după două direcții (icircn lungul fibrelor și perpendicular pe această direcție)

Ipoteza omogenității consideră că un corp are aceleași proprietăți icircn orice

punct al său Deși majoritatea materialelor utilizate icircn tehnică sunt eterogene la scară

micro fiind constituite din mai multe faze cu proprietăți diferite la scară macro ele pot

fi considerate omogene Omogenitatea și izotropia sunt proprietăți statistice medii care

nu se condiționează una pe cealaltă Chiar și materialele monofazice pot avea la scară

micro unele segregații care le fac eterogene

Ipoteza elasticităţii perfecte presupune că atacircta timp cacirct solicitările nu

depăşesc anumite limite materialul are o comportare elastică adică icircşi recapătă forma şi

dimensiunile iniţiale odată cu icircnlăturarea sarcinilor Icircn realitate materialele nu prezintă o

elasticitate perfectă ele avacircnd deformaţii remanente mici care icircnsă pot fi neglijate icircn

calculele de rezistenţă

Acceptarea acestei ipoteze a elasticității perfecte permite

- aplicarea relației biunivoce icircntre tensiuni și deformații relație exprimată de legea

lui Hooke ( = 119864 ∙ 휀) unde E este un factor de proporţionalitate numit modul de

elasticitate longitudinal al materialului pentru oţel 119864 = 21 ∙ 105 [119872119875119886] - acceptarea valabilității afirmației bdquolucrul mecanic efectuat de forțele exterioare

ca urmare a parcurgerii deplasărilor punctelor de aplicație se icircnmagazinează integral icircn

corp sub formă de energie de deformație energie cedată la icircndepărtarea sarcinilorrdquo

- este valabilă teoria conform căreia bdquoenergia icircnmagazinată și deformațiile depind

doar de starea inițială și finală de eforturi fără a ține cont de modul icircn care s-a ajuns la

starea finalărdquo

Icircn realitate oricacirct de mici ar fi sarcinile aplicate se produc și deformații plastice

dar acestea pot fi neglijate dacă solicitarea nu depășește anumite limite

342 Ipoteze de calcul

Ipoteza micilor deplasări bdquodeplasările datorate deformării sunt mult mai mici

decacirct dimensiunile corpurilor și ca urmare pot fi neglijate produsele dintre o deplasare și

ea icircnsăşirdquo Pentru cele mai multe corpuri deformaţiile elastice sunt de mărimi mici deci

corpurile solide sub acţiunea sarcinilor icircşi modifică foarte puţin forma iniţială Această

ipoteză este cunoscută şi sub denumirea de ipoteza menţinerii dimensiunilor iniţiale Ea

permite scrierea ecuaţiilor de echilibru ale staticii pe starea nedeformată a elementului

cacircnd nu se iau icircn considerare deplasările punctelor de aplicaţie ale forţelor care se produc

ca urmare a deformării acestuia Calculul efectuat pe schema nedeformată poartă numele

de calcul de ordinul I

Ipoteza micilor deplasări nu poate fi acceptată pentru studiul problemelor de

stabilitate sau la problemele la care nu pot fi icircndeplinite condiţiile de echilibru icircn starea

nedeformată

Calculul de ordinul II admite ipoteza micilor deplasări dar ecuaţiile de echilibru

se scriu icircnsă pentru starea deformată a elementului de rezistenţă

Calculul de ordinul III nu mai acceptă ipoteza micilor deplasări el referindu-se

la cazul deformaţiilor mari cacircnd ecuaţiile de echilibru trebuie scrise pentru starea

deformată

Chiar dacă materialul satisface legea lui Hooke icircn urma calculelor de ordinul II

se obţin de obicei relaţii neliniare icircntre sarcini şi deplasări iar pentru calculul de ordinul

III rezultă ecuaţii diferenţiale neliniare

Principiul efectului local al acțiunii sarcinilor enunțat de Barre de Saint-

Venant Acest principiu destul de folosit icircn Rezistenţa Materialelor precizează că dacă

se icircnlocuiesc forţele care acţionează asupra unui element de suprafață al unui corp

elastic printr-un alt sistem de forţe echivalent din punct de vedere static cu primul noua

distribuţie a forţelor produce la locul de aplicare diferenţe semnificative faţă de prima

dar rămacircne fără efect sau cu efect neglijabil la distanţe mari de locul de aplicare al

forţelor figura 312

Ca o cosecință o sarcină uniform distribuită figura 312a poate fi icircnlocuită cu

rezultanta ei figura 312b dacă se analizează efectul sarcinii la distanță mare de locul icircn

care se aplică sarcina

Fig 312 Principiul Saint-Venant

Icircn prima variantă figura 312a forţa 119865 se aplică pe o porțiune oarecare 119897 (sarcină

uniform distribuită) iar icircn a doua figura 312b icircntru-un punct (forţă concentrată) La

locul de aplicare a sarcinii efectul asupra barei este cu totul diferit de la o variantă la

cealaltă Icircnsă la o distanţă mare de punctul de aplicaţie spre exemplu icircn secţiunea situată

la distanţa 119886 de capătul barei sau chiar icircn icircncastrare ambele bare sunt solicitate la fel

Icircn cazul din figura 312a

119872119894(119909) =119901 ∙ 1199092

2 119909 le 119897 119872119894(119909) = 119901 ∙ 119897 ∙ (119909 minus

119897

2) 119909 gt 119897 (324)

Icircn cazul din figura 312b

119872119894(119909) = 0 119909 lt119897

2 119872119894(119909) = 119901 ∙ 119897 ∙ (119909 minus

119897

2) 119909 gt

119897

2 (325)

Se vede că pentru (119909 gt 119897) adică după depășirea locului icircn care se aplică sarcina

efectul este același

Ipoteza lui Bernoulli sau ipoteza secţiunilor plane precizează că o secţiune

plană şi normală pe axa barei icircnainte de deformare rămacircne plană şi normală pe axa

barei şi după deformare figura 313

Fig 313 Ipoteza lui Bernoulli

Ipoteza stării naturale a corpului sau ipoteza absenţei tensiunilor conform

căreia pentru un corp nesolicitat starea de tensiune şi deformaţie este nulă

Perfecţionarea mijloacelor de calcul şi de investigare pot conduce la renunţarea la

unele ipoteze sau la introducerea altora noi mai aproape de stările reale De aici rezultă

caracterul de continuă perfecţionare a metodelor Rezistenţei Materialelor

35 Coeficienţi de siguranţă Tensiuni admisibile

O piesă corespunde din punct de vedere tehnic dacă tensiunile care iau naştere icircn

interiorul piesei datorită sarcinilor aplicate nu depăşesc anumite valori limită stabilite

convenţional Aceste valori limită ale tensiunii sunt corelate cu caracteristicile mecanice

ale materialelor

Tensiunea limită utilizată icircn calculele de rezistenţă este cunoscută sub denumirea

de tensiune admisibilă sau rezistenţă admisibilă Rezistenţa admisibilă reprezintă

valoarea convenţională aleasă icircn calcul pe baza practicii pentru tensiunea maximă care

poate apare icircntr-o piesă icircn condiţii date de material şi solicitare

Rezistenţa admisibilă (120590119886 sau 120591119886) poate fi definită faţă de o stare limită

periculoasă stare care trebuie evitată deoarece poate conduce distrugere

120590119886 =120590119897119894119898119888

(326)

unde

120590119897119894119898 este tensiunea corespunzătoare stării limită periculoase

119888 estesupraunitar 119888 gt 1 și reprezintă coeficientul de siguranţă faţă de starea limită

periculoasă considerată

Alegerea unor valori inferioare pentru rezistenţa admisibilă faţă de tensiunea

corespunzătoare stării limită periculoase este necesară deoarece

cunoaşterea sarcinilor este de cele mai multe ori aproximativă şi o depăşire a

acestora este foarte posibilă

caracteristicile mecanice ale materialelor variază icircn limite destul de mari ele

fiind influenţate de mulţi factori

schema aleasă pentru calcul (aplicarea sarcinilor schematizarea structurii

ipotezele de calcul etc) depărtează modelul faţă de cel real

Pentru calculele de verificare tensiunea efectivă maximă din elementul de

rezistenţă trebuie să fie mai mică sau cel mult egală cu cea admisibilă

120590119890119891119898119886119909 le 120590119886 (327)

Valoarea rezistenţei admisibile este influenţată de foarte mulţi factori natura

materialului tratamentele termice aplicate piesei durata de funcţionare a piesei modul

de acţionare icircn timp a sarcinilor felul solicitării temperatura gradul de periculozitate

icircn cazul cedării piesei etc

De asemenea valoarea coeficientului de siguranţă se alege icircn principal ţinacircnd

seama de aceiaşi factori care influenţează şi rezistenţa admisibilă

Rezistenţele admisibile pentru cacircteva materiale sunt următoarele

pentru oțelul de uz general OL37 solicitat la icircntindere compresiune sau

icircncovoiere 120590119886 = 150 [119872119875119886] pentru lemnul de brad solicitat la

- compresiune icircn lungul fibrelor şi solicitat la icircncovoiere 120590119886 = 10 [119872119875119886] - tracţiune icircn lungul fibrelor 120590119886 = 7 [119872119875119886] - compresiune perpendiculară pe fibre 120590119886 = 15 [119872119875119886] - forfecare icircn lungul fibrelor 120591119886 = 2 [119872119875119886] - forfecare perpendiculară pe fibre 120590119886 = 45 [119872119875119886]

terenuri de fundaţie din pămacircnt uscat sau umed 120590119886 = 020 divide 025 [119872119875119886]

4 CARACTERISTICI GEOMETRICE ALE SECȚIUNILOR PLANE

41 Noţiuni introductive

Icircn relaţiile de calcul ale tensiunilor şi deformaţiilor elementelor de rezistenţă

pentru unele solicitări (icircncovoierea și torsiunea) secțiunile plane intervin atacirct prin

dimensiunile lor (aria 119860) cicirct și prin forma și poziția pe care o are secțiunea icircn raport cu

planul solicitării Mărimile care caracterizează o secțiune icircn raport cu forma și poziția față

de axele unui sistem de referință sunt denumite caracteristici geometrice de ordin

superior Aria secțiunii este caracteristica geometrică ce depinde doar de dimensiunile

geometrice ale acesteia

Să considerăm o grindă solicitată de o forță exterioară 119865 aşezată icircn două poziții icircn

raport cu planul forţei figura 41 Icircn urma aplicării forței deși avem aceeași grindă

(aceeași arie a secțiunii transversale) și aceeași forță se constată că pentru varianta din

figura 41a deformațiile sunt mult mai mari adică rezistența la icircncovoiere a grinzii din

figura 41a este mai mare decacirct icircn cazul grinzii din figura 41b Comportarea diferită se

explică prin aceea că modificarea poziţiei secţiunii transversale faţă de planul forţelor

modifică caracteristicile geometrice ale secţiunii transversale a grinzii

Fig 41 Grindă solicitată de forța 119865

Pentru realizarea calculelor de rezistenţă şi rigiditate este foarte importantă

cunoaşterea caracteristicilor geometrice ale suprafeţei secţiunii transversale a elementelor

de rezistenţă

Caracteristicile geometrice ale secţiunii transversale a unui element de rezistenţă

sunt

- aria secțiunii notată cu 119860

- momentul static icircn raport cu o axă notat 119878119911 și respectiv 119878119910

- momentul de inerție care poate fi

axial notat 119868119911 și respectiv 119868119910

centrifugal notat 119868119911119910

polar notat 119868119901

- raza de inerţie (giraţie)notată 119894119911 și respectiv 119894119910

- modulul de rezistență care poate fi

axial notat 119882119911 și respectiv 119882119910

polar notat 119882119901

42 Aria și momentul static al suprafețelor plane

Fie o suprafaţă plană de arie 119860 pe care se ia un element infinit mic de arie 119889119860 şi

un sistem de axe rectangulare 119911119874119910 figura 42 Notăm cu 119862 centrul de greutate al suprafeţei

119860 Poziţia suprafeţei elementare 119889119860 faţă de acelaşi sistem de coordonate 119911119874119910 este dată

de abscisa 119911 ordonata 119910 și raza polară

Fig 42 Suprafață plană de arie 119860

Aria suprafeţei 119860 figura 42 se defineşte ca fiind

119860 ≝ int 119889119860

119860

(41)

Aria suprafeţei este icircntotdeauna pozitivă și se măsoară icircn [1198981198982] Momentul static al suprafeţei de arie 119860 icircn raport cu axele 119874119911 și respectiv 119874119910

figura 42 sunt date de relaţiile

119878119911 ≝ int 119910 ∙ 119889119860

119860

119878119910 ≝ int 119911 ∙ 119889119860

119860

(42)

Momentul static poate fi pozitiv negativ sau nul şi se măsoară icircn [1198981198983] Coordonatele centrului de greutate ale suprafeței 119860 se detrmină cu relațiile

119910119862 ≝int 119910 ∙ 119889119860119860

119860 119911119862 ≝

int 119911 ∙ 119889119860119860

119860

(43)

Cunoscacircnd coordonatele 119910119862 și 119911119862 ale centrului de greutate 119862 al secțiunii 119860 atunci

momentele statice se pot determina cu relațiile

119878119911 ≝ int 119910 ∙ 119889119860

119860

= 119910119862 ∙ 119889119860 119878119910 ≝ int 119911 ∙ 119889119860

119860

= 119911119862 ∙ 119889119860 (44)

Aceste relații arată că momentul static al unei suprafețe icircn raport cu o axă este

egal cu produsul dintre aria suprafeței și distanța de la centrul ariei la axa respectivă

Dacă suprafaţa se poate descompune icircn 119899 suprafeţe simple la care se cunosc ariile

(1198601 1198602 ⋯ 119860119894⋯ 119860119899) și poziţiile centrelor de greutate 119862119894 faţă de sistemul de referinţă

expresiile momentelor statice capătă următoarea formă

119878119911 = sum 119910119862119894 ∙ 119860119894119899119894=1 = 119910119862 ∙ 119860 119878119910 = sum 119911119862119894 ∙ 119860119894

119899119894=1 = 119911119862 ∙ 119860 (45)

Din relaţiile (45) rezultă că poziţia centrului de greutate 119862 al unei suprafeţe

compuse poate fi determinată cu relaţiile

119910119862 = (sum119910119862119894 ∙ 119860119894

119899

119894=1

) 119860frasl 119911119862 = (sum119911119862119894 ∙ 119860119894

119899

119894=1

) 119860frasl (46)

Icircn relația (45) 119910119862119894 și respectiv 119911119862119894 reprezintă coordonatele centrelor de greutate 119862119894

ale fiecărei suprafețe simple 119860119894 icircn raport sistemul de axe 119911119874119910

Se constată (relaţia 42) că dacă axele sistemului de referinţă trec prin centrul de

greutate (119910119862 = 119911119862 = 0) momentele statice sunt nule Axele icircn raport cu care momentele

statice sunt nule şi care trec prin centrul de greutate al suprafeţei se numesc axe centrale

Observație dacă secțiunea compusă are o axă de simetrie centrul secțiunii se

găsește pe acea axă iar dacă secțiunea este dublu simetrică poziția centrului secțiunii este

la intersecția axelor de simetrie

43 Momente de inerţie

Momentele de inerţie axiale ale unei suprafețe se calculează icircn raport cu axele de

coordonate 119874119911 și respectiv 119874119910 figura 42 și se determină cu relațiile

119868119911 ≝ int 1199102 ∙ 119889119860

119860

119868119910 ≝ int 1199112 ∙ 119889119860

119860

(47)

Unde 119910 și 119911 sunt distanțele de la elementul de arie 119889119860 la cele două axe de

coordonate 119874119911 și respectiv 119874119910

Momentele de inerţie axiale se măsoară icircn [1198981198984] şi sunt icircntotdeauna pozitive (aria

119889119860 este icircntotdeauna pozitivă și este multiplicată cu patratul distanței 1199102 dacă 119868119911 sau 119868119910

sunt nule icircnseamnă ca secțiunea nu există)

Momentele de inerție axiale se calculează icircndeosebi pentru axele centrale (care

trec prin centrul secțiunii) deoarece icircn raport cu acele axe 119868119911 și 119868119910 au valori minime

Momentul de inerţie centrifugal calculat faţă ambele axe ale sistemului de

referinţă 119911119874119910 este definit de relația

119868119911119910 ≝ int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860

(48)

Momentul de inerţie centrifugal se măsoară icircn [1198981198984] şi poate fi pozitiv negativ

sau nul

Momentul de ineție centrifugal este nul 119868119911119910 = 0 dacă cel puțin una din axele 119874119911

sau 119874119910 este axă de simetrie pentru secțiune

Se consideră o suprafaţă dreptunghiulară pe care faţă de axa de simetrie 119874119910 se iau

două suprafeţe elementare de arie 119889119860 simetrice faţă de axa 119874119910 figura 43

Fig 43 Suprafață dreptunghiulară cu două arii elementare 119889119860

Făcacircnd suma momentelor de inerţie centrifugale pentru cele două suprafeţe

elementare 119889119860 (din stacircnga şi din dreapta faţă de axa 119874119910) se obţine

int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860119889119903

+ int (minus119911) ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860119904119905119892

= int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860119889119903

minus int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860119904119905119892

= 0 (49)

Acelaşi raţionament se poate face și pentru icircntreaga suprafaţă de unde obținem că

momentul de inerție centrifugal este nul 119868119911119910 = 0 Deci pentru o suprafaţă plană care

are cel puţin o axă de simetrie momentul de inerţie centrifugal faţă de sistemul care

conţine acea axă de simetrie este nul

Momentul de inerţie polar al unei suprafeţei icircn raport cu un punct (pol) 119874 figura

42 este definit prin relaţia

1198680 = 119868119901 ≝ int 1205882 ∙ 119889119860

119860

= int(1199102 + 1199112) ∙ 119889119860

119860

= 119868119911 + 119868119910 (410)

unde este distanţa de la polul 119874 la elementul de arie 119889119860 Momentul de inerţie polar se

măsoară icircn [1198981198984] şi este totdeauna pozitiv

Momentul de inerţie polar este egal cu suma momentelor de inerţie faţă de două axe

perpendiculare oarecare şi care trec prin polul considerat

Razele de giraţie sau razele de inerţie sunt mărimi calculate icircn raport cu axele

secțiunii și definite de relaţiile

119894119911 ≝ radic119868119911119860 119894119910 = radic

119868119910

119860 (411)

Se exprimă icircn [119898119898] şi sunt icircntotdeauna pozitive Semnificația unei raze de inerție

este distanța la care dacă ar fi concentrată icircntreaga arie s-ar obține același moment de

inerție ca și cel calculat pentru aria reală

44 Modulul de rezistenţă

Modulul de rezistență se calculează icircn raport cu axele de referință sau icircn raport cu

un pol figura 42 și pot fi axiale (119882119911119882119910) sau polar (119882119901) și se determină numai pe baza

momentelor de inerţie cu relațiile figura 43

119882119911119898119894119899 ≝119868119911119910119898119886119909

119882119911119898119886119909 ≝119868119911119910119898119894119899

(412)

119882119910119898119894119899 ≝119868119910

119911119898119886119909 119882119910119898119886119909 ≝

119868119910

119911119898119894119899 (413)

119882119901 ≝119868119901

120588119898119886119909 (414)

unde

119910119898119886119909 119910119898119894119899 reprezintă distanţa de la axa 119874119911 la punctele extreme cele mai

depărtate respectiv cele mai apropiate ale suprafeţei de această axă

119911119898119886119909 119911119898119894119899 reprezintă distanţa de la axa 119874119910 la punctele extreme cele mai

depărtate respectiv cele mai apropiate ale suprafeţei de această axă

120588119898119886119909 reprezintă distanța maximă de la polul 119874 la punctul secțiunii cel mai

icircndepărtat de acesta

Fig 43 Suprafață dreptunghiulară cu două arii elementare 119889119860

Modulele de rezistenţă se exprimă icircn [1198981198983] şi sunt icircntotdeauna pozitive

Explicația este aceea că momentele de inerție care intră icircn relațiile de definiție sunt

pozitive iar distanțele la punctele extreme sunt pozitive (119910119898119886119909 119910119898119894119899 119911119898119886119909 119911119898119894119899 120588119898119886119909 se

iau icircn valoare absolută)

Icircn cazul suprafeţelor compuse modulul de rezistenţă nu se obţine prin icircnsumarea

algebrică a modulelor de rezistenţă ale suprafeţelor simple componente ci numai prin

intermediul momentului de inerţie axial calculat pentru icircntreaga secțiune

Ca și momentele de inerție modulele de rezistență se calculează numai pentru

sistemele de axe centrale

45 Momente de inerţie şi module de rezistenţă pentru suprafeţe simple

451 Secțiune dreptunghiulară

Fie suprafaţa dreptunghiulară din figura 44 de icircnălțime ℎ și lățime 119887 pe care se

consideră suprafaţă elementară de arie 119889119860 = 119887119889119910 la distanța 119910 de axa 119862119911 sistemul de

axe 119911119862119910 trece prin centrul secțiunii iar axele sunt axe de simetrie pentru dreptunghi

Fig 44 Suprafață dreptunghiulară

Pe baza relațiilor de definiți a momentului de inerție 119868119911 se obține

119868119911 ≝ int 1199102 ∙ 119889119860

119860

= int 1199102 ∙ 119887 ∙ 119889119910 = 2int 1199102 ∙ 119887 ∙ 119889119910 = 2 ∙ 119887 ∙1199103

3|ℎ 2frasl

0rArr

ℎ 2frasl

0

ℎ 2frasl

minusℎ 2frasl

rArr 119868119911 =119887 ∙ ℎ3

12

(415)

Analog pentru un element de arie 119889119860 = ℎ ∙ 119889119911 paralel cu axa 119862119910 situat la distanța

119911 de axa 119862119910

119868119910 ≝ int 1199112 ∙ 119889119860

119860

= int 1199112 ∙ ℎ ∙ 119889119911 = 2int 1199112 ∙ ℎ ∙ 119889119910 = 2 ∙ ℎ ∙1199113

3|119887 2frasl

0rArr

119887 2frasl

0

119887 2frasl

minus119887 2frasl

rArr 119868119910 =1198873 ∙ ℎ

12

(416)

Deoarece axele 119862119911 și 119862119910 sunt axe de simetrie momentul de inerție centrifugal este

119868119911119910 = 0 (417)

Pentru un pătrat avacircnd laturile egale (ℎ = 119887 = 119886) momentele de inerţie faţă de

axele centrale au expresia

119868119911 = 119868119910 =1198864

12 (418)

Modulele de rezistență axiale se calculează cu relațiile de definiție ținacircnd cont că

distanțele pacircnă la fibrele extreme sunt

119910119898119886119909 = 119910119898119894119899 =ℎ

2 119911119898119886119909 = 119911119898119894119899 =

119887

2 (419)

Obținem

119882119911119898119894119899 = 119882119911119898119886119909 =119868119911

119910119898119886119909119898119894119899=119887 ∙ ℎ3

12frasl

ℎ2frasl

=119887 ∙ ℎ2

6

119882119910119898119894119899 = 119882119910119898119886119909 =119868119910

119911119898119886119909119898119894119899=1198873 ∙ ℎ

12frasl

1198872frasl

=1198872 ∙ ℎ

6

(420)

452 Suprafaţă circulară

Din motive de simetrie pentru suprafeţele circulare momentele de inerţie faţă de

orice diametru (care reprezintă şi axe centrale) sunt aceleaşi

Considerăm o secțiune circulară plină cu diametrul 119889 și centrul de greutate 119862 Prin

centrul de greutate 119862 trece sistemul de axe ortogonal 119911119862119910 figura 45

Fig 45 Suprafață circulară

La distanța de centrul de greutate 119862 vom lua un element de suprafață mic de arie

(119889119860) de forma unui inel de grosime 119889 Elementul de arie 119889119860 are expresia

119889119860 = (2 ∙ 120587 ∙ 120588) ∙ (119889120588)

Pornind de la relația de definiție a momentului de inerție polar obținem

119868119901 ≝ int 1205882 ∙ 119889119860

119860

= int 1205882 ∙ (2 ∙ 120587 ∙ 120588) ∙ 119889120588

119903=119889 2frasl

0

= 2 ∙ 120587 ∙1205884

4|119889 2frasl0 rArr

rArr 119868119901 =120587 ∙ 1198894

32

(421)

Secțiunea este perfect simetrică deci sunt valabile relațiile

119868119911 = 119868119910 rArr 119868119901 = 119868119911 + 119868119910 = 2 ∙ 119868119911 = 2 ∙ 119868119910 =119868119901

2=120587 ∙ 1198894

64 (422)

Și modulele de rezistenţă faţă de orice diametru sunt egale şi se calculează cu

relaţiile

119882119911 = 119882119910 =1198681199111198892frasl=120587 ∙ 1198893

32 (423)

Modulul de rezistenţă polar este

119882119901 =1198681199011198892frasl=120587 ∙ 1198893

16 (424)

453 Secţiune inelară

Calculul momentelor de inerţie axiale pentru o secţiune inelară avacircnd diametrul

interior 119889 şi diametrul exterior 119863 se determină analog pentru suprafaţa circulară plină cu

observaţia că integrala pentru calculul momentului de inerție polar 119868119901 se face icircntre

limitele 119903 = 119889 2frasl şi R= 1198632frasl (icircntre raza interioară 119903 şi raza exterioară 119877) figura 46

Se obţin relaţiile

119868119901 =120587 ∙ 1198634

32∙ [1 minus (

119889

119863)4

] =120587 ∙ 1198634

32∙ (1 minus 1198964) (425)

119868119910 = 119868119910 =120587 ∙ 1198634

64∙ [1 minus (

119889

119863)4

] =120587 ∙ 1198633

64∙ (1 minus 1198964) (426)

Fig 46 Secțiune inelară

119882119901 =120587 ∙ 1198633

16∙ [1 minus (

119889

119863)4

] =120587 ∙ 1198633

16∙ (1 minus 1198964) (427)

119882119911 = 119882119910 =120587 ∙ 1198633

32∙ [1 minus (

119889

119863)4

] =120587 ∙ 1198633

32∙ (1 minus 1198964) (428)

unde 119896 = 119889119863frasl

46 Variaţia momentelor de inerţie faţă de axe paralele

( Relațiile lui STEINER)

Se consideră o suprafaţă oarecare de arie 119860 cu elementul de arie 119889119860 și un sistemul

de axe central 119911119862119910 faţă de care se cunosc momentele de inerţie 119868119911 119868119910 119868119911119910 şi considerăm

un sistem de axe 11991111198741199101 paralele cu sistemul central figura 47 Se pune problema

determinării momentele de inerţie 1198681199111 1198681199101 11986811991111199101 faţă de sistemul de axe paralel cu sistemul

central 11991111198741199101 axe aflate la distanţele 119910119862 = 119888 respectiv 119911119862 = 119889 de acesta

461 Momente de inerţie axiale

Pe baza relaţiilor de definire şi a notaţiilor din figura 42 pentru momentele de

inerţie faţă de axele 1198741199111 1198741199101 se poate scrie

1198681199111 = int 11991012 ∙ 119889119860

119860

= int(119910 + 119888)2 ∙ 119889119860

119860

= int 1199102 ∙ 119889119860

119860

+ 2 ∙ 119888 ∙ int 119910 ∙ 119889119860

119860

+

+1198882int 119889119860

119860

rArr 1198681199111 = 119868119911 + 2 ∙ 119888 ∙ 119878119911 + 1198882 ∙ 119860 hArr 1198681199111 = 119868119911 + 119888

2 ∙ 119860

(429)

Fig 47 Variaţia momentelor de inerţie față de axe paralele

S-a ajuns la relația (429) deoarece momentul static 119878119911 este nul deoarece axa 119862119885

este axă centrală

Pentru momentul de inerție axial icircn raport cu axa 1198741199101 se obține

1198681199101 = int 11991112 ∙ 119889119860

119860

= int(119911 + 119889)2 ∙ 119889119860

119860

= int 1199112 ∙ 119889119860

119860

+ 2 ∙ 119889 ∙ int 119911 ∙ 119889119860

119860

+

+1198892 ∙ int 119889119860

119860

rArr 1198681199101 = 119868119910 + 2 ∙ 119889 ∙ 119878119910 + 1198892 ∙ 119860 hArr 1198681199101 = 119868119910 + 119889

2 ∙ 119860

(430)

Pentru momentul de inerție centrifugal obținem

11986811991111199101 = int 1199101 ∙ 1199111 ∙ 119889119860

119860

= int(119910 + 119888) ∙ (119911 + 119889) ∙ 119889119860

119860

= int 119910 ∙ 119911 ∙ 119889119860 +

119860

+119888 ∙ int 119911 ∙ 119889119860

119860

+ 119889 ∙ int 119910 ∙ 119889119860

119860

rArr 11986811991111199101 = 119868119911119910 + 119888 ∙ 119889 ∙ 119860

(431)

Deoarece

int 119911 ∙ 119889119860

119860

= 119878119910 = 0 int 119910 ∙ 119889119860

119860

= 119878119911 = 0 int 119910 ∙ 119911 ∙ 119889119860

119860

= 119868119911119910

Relaţiile (429) şi (430) arată că momentul de inerţie faţă de o axă oarecare

este egal cu momentul de inerţie faţă de o axă paralelă cu ea trecacircnd prin centrul de

greutate la care se adaugă produsul dintre aria suprafeţei şi pătratul distanţei dintre

cele două axe

Din relaţiile (429) și (430) rezultă de asemenea că momentul de inerţie faţă de o

axă centrală (care trece prin centrul de greutate) este cel mai mic dintre infinitatea de

momente de inerţie obținute faţă de alte axe paralele cu ea

Relaţia (431) arată de asemenea că momentul de inerţie centrifugal faţă de un

sistem de axe oarecare este egal cu momentul de inerţie centrifugal faţă de un sistem

paralele cu el trecacircnd prin centrul de greutate a suprafeţei la care se adaugă produsul

dintre aria suprafeţei şi distanţele dintre axele sistemelor respective

Icircn literatura de specialitate relaţiile (429) (430) şi (431) sunt cunoscute sub

numele de relaţiile lui Steiner

47 Variaţia momentrlor de inerţie faţă de axe rotite

Direcţii principale şi momente de inerţie principale

Fie suprafaţa plană din figura 48 de arie 119860 pe care considerăm o suprafaţă

elementară de arie 119889119860 Pentru sistemul de axe 119911119874119910 se cunosc momentele de inerţie

119868119911 119868119910 119868119911119910 şi vom determina relaţiile de calcul pentru momentele de inerţie afererent unui

sistem de axe 11991111198741199101 rotit cu un unghi faţă de sistemul central

Faţă de sistemul de axe 11991111198741199101 elementul de arie 119889119860 are coordonatele

1199101 = 119875119877 = 119875119876 minus 119877119876 = 119910 ∙ cos 120572 minus 119911 ∙ sin 120572

1199111 = 119873119872 = 119873119875 minus 119875119872 = 119911 ∙ cos 120572 + 119910 ∙ sin 120572 (432)

Fig 47 Variaţia momentelor de inerţie față de axe rotite

Pe baza relaţiilor de calcul ale momentelor de inerţie şi a notaţiilor din figura 42

şi ale relaţiilor (432) momentele de inerţie faţă de sistemul de axe rotit 11991111198741199101 sunt

1198681199111 =119868119911 + 119868119910

2+119868119911 minus 119868119910

2∙ cos 2120572 minus 119868119911119910 ∙ sin 2120572 (433)

1198681199101 =119868119911 + 119868119910

2minus119868119911 minus 119868119910

2∙ cos 2120572 + 119868119911119910 ∙ sin 2120572 (434)

11986811991111199101 =119868119911 minus 119868119910

2∙ sin 2120572 + 119868119911119910 ∙ cos 2120572 (435)

Din relaţiile 433divide435 se observă că icircntre momentele de inerţie axiale şi cele

polare există relaţia

1198681199111 + 1198681199101 = 119868119911 + 119868119910 = 119868119901 (436)

adică suma momentelor de inerţie axiale icircn raport cu orice pereche de axe ortogonale

care trec printr-un pol dat este o constantă şi egală cu momentul de inerţie polar

Prin rotirea sistemului de axe din relaţiile 433divide435 rezultă că momentele de inerţie

variază icircnsă suma lor rămacircne constantă deci există o poziţie a sistemului de axe pentru

care momentele de inerţie au valori extreme maxim respectiv minim

471 Direcţii principale de inerţie

Valoarea unghiului 120572 pentru care momentele de inerţie axiale au valori extreme

este

1205721 =1

2∙ 119886119903119888119905119886119899 (minus

2 ∙ 119868119911119910

119868119911 minus 119868119910) (437)

Poziţia celeilalte direcţii este perpendiculară pe cea dată de unghiul 1205721

Din relaţia (437) se constată că faţă de aceste direcţii rotite pentru care momentele

de inerţie axiale prezintă valori extreme momentul de inerţie centrifugal 11986811991111199101este nul

Atunci se poate afirma că momentele de inerţie axiale au valori extreme icircn raport cu

direcţiile faţă de care momentul de inerţie centrifugal este nul Aceste direcţii se numesc

direcţii principale iar momentele de inerţie faţă de aceste direcţii poartă numele de

momente de inerţie principale

Icircn calculele de rezistenţă interesează icircn mod special poziţia direcţiilor principale

care trec prin centrul de greutate al suprafeţei aşa numitele direcţii principale centrale şi

evident momentele de inerţie principale centrale

Direcţiile principale de inerţie se notează cu 1 respectiv 2 Axa principală 1

corespunde direcţiei faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea maximă iar

axa principală 2 pentru direcţia faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea

minimă

472 Momente de inerţie principale

Momentele de inerţie principale se notează cu litera 119868 la care se pune indicele 1

sau 2 după cum valoarea acestuia este maximă sau minimă deci avem un moment de

inerţie principal 1 (notat 1198681) respectiv moment de inerţie principal 2 (notat 1198682)

Expresiile pentru momentele de inerţie principale sunt

11986812 =119868119911 + 119868119910

2plusmn1

2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)

2+ 4 ∙ (119868119911119910)

2 (438)

Dacă momentul de inerţie centrifugal este negativ (119868119911119910 lt 0) direcţia principală

care trece prin primul cadran (definit de sistemul 119911119862119910) este direcţia principală 120783

Pentru suprafeţele cu cel puţin o axă de simetrie direcţiile centrale 119862119911 119862119910 sunt şi

direcții principale de inerţie și evident momentele de inerţie axiale 119868119911 119868119910 sunt momente

de inerţie principale

48 Caracteristici mecanice ale metalelor

Alegerea materialului pentru confecţionarea unei anumite piese se face şi pe baza

aşa numitelor caracteristici mecanice pe care le prezintă materialul Cunoaşterea acestor

caracteristici mecanice are loc numai pe baza unor icircncercări mecanice care să scoată icircn

evidenţă comportarea materialului icircn condiţii de solicitare

Cea mai utilizată icircncercare icircn urma căreia se pun icircn evidenţă caracteristicile

mecanice ale unui material este icircncercarea la tracţiune

481 Icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general

Icircncercarea la tracţiune a oţelului ca de altfel toate icircncercările de materiale este

standardizată

Icircn cele ce urmează se va prezenta numai partea care interesează strict din punct

de vedere al caracteristicilor mecanice ale oţelului

Epruveta de diametru iniţial 1198890 pentru icircncercarea la tracţiune are o porţiune de

lungime 1198710 numită baza de măsurare pe care se măsoară lungirea acesteia sub acţiunea

solicitării

Icircn funcţie de raportul dintre baza de măsurare 1198710 şi diametrul iniţial 1198890 epruvetele

utilizate pentru icircncercări sunt

epruvete normale (scurte) cacircnd 11987101198890 = 5

epruvete lungi cacircnd 11987101198890 = 10

Icircn timpul icircncercării la diferite valori ale forţei 119865 se măsoară lungirea bazei de

măsurare

∆119871 = 120575 = 119871 minus 1198710 (439)

unde

119871 este dimensiunea bazei de măsurare la un moment dat

Curba forţă-lungire (119865 minus ) icircnregistrată icircn urma icircncercării reprezintă curba

caracteristică la tracţiune

La icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general diagrama caracteristică care se

obţine are forma din figura 48

Curba caracteristică la tracţiune depinde de lungimea bazei de măsurare Pentru

icircnlăturarea acestui neajuns curba caracteristică se reprezintă icircn coordonate şi definite

astfel

120590 =119865

1198600 휀 =

120575

1198710 (440)

unde

1198600 este aria iniţială a secţiunii transversale a epruvetei (icircnainte de solicitare) icircn

zona bazei de măsurare

1198600 =120587 ∙ 1198890

2

4

Deoarece mărimile icircn care se reprezintă curba caracteristică la tracţiune sunt

raportate la aria iniţială a secţiunii transversale (mărimi specifice) curba poartă numele

de curbă caracteristică convenţională la tracţiune

Fig 48 Curba caracteristică convenţională la tracțiune

Pe curba caracteristică convenţională la tracţiune figura 48 se pot stabili o serie

de puncte cărora le corespund mai multe mărimi importante

Ordonata punctului A pacircnă unde curba caracteristică convenţională este linie

dreaptă se numeşte limita de proporţionalitate a materialului 120590119901(1205901) Porţiunea 119874119860 este

zona de proporţionalitate a curbei caracteristice pe acest domeniu este valabilă legea lui

Hooke care exprimă o proporţionalitate icircntre tensiune şi deformaţie specifică

120590 = 119864 ∙ 휀 (441)

unde

119864 = reprezintă panta porţiunii liniare a curbei convenționale caracteristice

la tracțiune Caracteristica de material 119864 se numeşte modul de elasticitate longitudinal

(modulul lui Young)

Ordonata punctului 119861 pacircnă unde materialul se comportă perfect elastic adică

după descărcare icircşi recapătă dimensiunea iniţială 1198710 se numeşte limita de elasticitate

120590119890(119877119890) Icircn realitate nici un material nu are comportare perfect elastică sub acţiunea

solicitărilor el capătă deformaţii permanente (remanente plastice)

După punctul 119861 urmează o porţiune 119861119862119863 icircn care cu toate că icircncărcarea

continuă forţa nu mai creşte avacircnd mici oscilaţii icircn jurul unei valori Se spune că icircn

această porţiune materialul curge iar intervalul 119861119862119863 este un palier de curgere Tensiunea

corespunzătoare palierului de curgere se numeşte limită de curgere aparentă 120590119888(119877119888) Limita de curgere aparentă se calculează cu relaţia

120590119888 =1198651198881198600 (442)

unde

119865119888 reprezintă valoarea forţei icircnregistrată icircn momentul curgerii materialului

După punctul 119863 curba caracteristică are un traseu ascendent pacircnă icircn punctul 119864

Porţiunea 119863119864 este numită zonă de icircntărire (ecruisare) Icircn zona de ecruisare unde se

produc deformaţii plastice semnificative legea lui Hooke nu mai este valabilă La

descărcare relaţia dintre tensiunea şi deformaţia specifică este liniară paralelă cu

porţiunea liniară a curbei caracteristice (dreapta 119872119873)

Deformaţia totală (휀119905) are două componente una elastică (휀119890) şi una plastică (휀119901)

Ordonata punctului 119864 reprezintă rezistenţa de rupere 120590119903(119877119898) a materialului

care se poate calcula cu relaţia

120590119903 = 119877119898 =1198651198981198861199091198600

(443)

unde

119865119898119886119909 reprezintă valoarea maximă a forţei icircnregistrată icircn timpul icircncercării

La atingerea valorii 119865119898119886119909 (punctul 119864) icircntr-un anumit loc al epruvetei secţiunea

icircncepe să se micşoreze (se produce gacirctuirea) continuacircnd pacircnă cacircnd se produce ruperea

totală (punctul 119865)

Dacă după ruperea epruvetei cele două părţi rezultate se aşează cap la cap şi se

măsoară dimensiunea bazei de măsurare 119871119906 (lungimea ultimă) se determină alungirea la

rupere sau lungirea specifică la rupere 휀119903

휀119903 =119871119906 minus 11987101198710

=∆119871

1198710=120575

1198710 (444)

De obicei alungirea se exprimă icircn procente şi se notează cu 119860119899 unde 119899 reprezintă

numărul dat de raportul 11987101198890 (epruvete normale 119899 = 5 epruvete lungi 119899 = 10)

119860119899 =119871119906 minus 11987101198710

∙ 100 [] (445)

Altă mărime care se determină la icircncercarea la tracţiune este gacirctuirea la rupere

(exprimată de obicei icircn procente) şi definită de relaţia

119885 =1198600 minus 1198601199061198600

∙ 100 [] (446)

Mărimile determinate limita de proporţionalitate modulul de elasticitate

longitudinal limita de elasticitate limita de curgere aparentă rezistenţa de rupere

alungirea la rupere şi gacirctuirea la rupere sunt cunoscute ca fiind caracteristici mecanice

ale materialului

Din curba caracteristică convenţională observăm faptul că ruperea (punctul 119865 din

figura 48 se produce la o tensiune mai mică decacirct cea corespunzătoare punctului 119864 Dacă

icircnsă forţa din timpul icircncercării s-ar raporta la aria secţiunii din momentul icircnregistrării

forţei (care este mai mică decacirct cea iniţială 1198600) s-ar obţine aşa numita curbă

caracteristică reală a materialului (traseul 1198741198601198611198621198631198651 din figura 48) La curba

caracteristică reală ruperea se produce icircn punctul 1198651 la o icircncărcare mai mare decacirct cea

corespunzătoare punctului 119864 Icircnseamnă că rezistenţa reală la rupere este mai mare decacirct

rezistenţa la rupere dată de punctul 119864 din diagrama caracteristică convenţională

Dificultatea obţinerii diagramei caracteristice reale faţă de cea a diagramei caracteristice

convenţionale şi considerarea unei rezistenţe la rupere mai mică decacirct a celei reale face

icircn practică utilizarea pe scară mare a diagramei caracteristice convenţionale

Caracteristicile mecanice determinate pe baza curbei caracteristice convenţionale

sunt şi ele caracteristici mecanice convenţionale

Caracteristicile mecanice convenţionale limita de proporţionalitate convenţională

120590119901 limita de elasticitate convenţională 120590119890 limita de curgere convenţională 120590119888 şi rezistenţa

de rupere 120590119903 constituie tensiuni limită pentru un material Pe baza acestor caracteristici

de material se alege valoarea tensiunii admisibile 120590119886 (vezi paragraful 35) pentru

calculele de rezistenţă Cea mai utilizată stare limită pentru stabilirea tensiunii admisibile

120590119886 este limita de curgere convenţională 120590119888

120590119886 =120590119897119894119898119888

=120590119888119888 119904119886119906 120590119886 =

120590119903119888 (447)

Caracteristicile mecanice ale materialului sunt influenţate de o serie de factori

temperatura viteza de solicitare factorii tehnologici iar valorile lor sunt date icircn tabele și

diagrame

Aplicaţie Pentru suprafaţa plană compusă din două dreptunghiuri avacircnd

dimensiunile din figura 49a să se calculeze

a) centrul de greutate al secțiunii compuse 119910119866 119911119866

b) momentele de inerție axiale 119868119911 119868119910 și momentul de inerție centrifugal 119868119911119910

c) razele de inerție 119894119911 119894119910

d) modulele de rezistență 119882119911119898119894119899 119882119911119898119886119909 119882119910119898119894119899 119882119910119898119886119909

e) momentele de inerție principale 1198681 1198682 și direcțiile principale de inerție 1205721

f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 119878119911

Fig 49 Aplicație

Rezolvare Pentru rezolvare vom parcurge următoarele etape

icircmpărțim suprafața compusă icircn două suprafețe simple (dreptunghiuri) notate cu

① și respectiv ② figura 49b

poziționăm centrele de greutate a celor două suprafețe simple ① și respectiv ②

notate cu 1198661 și respectiv 1198662 figura 49c

poziționăm sistemele de axe de coordonate 119911111986611199101 pentru dreptunghiul ① și

119911211986621199102 pentru dreptunghiul ② aflate la intersecția diagonalelor figura 49c

poziționăm sistemele de axe de coordonate 11991101198741199100 ales arbitrar față de care

determinăm poziția centrului de greutate 119866 figura 49c

a) calculăm poziția centrului de greutate folosind relațiile (46) icircn care

1198601 = 6119905 ∙ 119905 = 61199052 1198602 = 4119905 ∙ 119905 = 41199052 119860 = 1198601 + 1198602 = 61199052 + 41199052 = 101199052

iar centrele de greutate 1198661 și respectiv 1198662 au coordonatele (față de sistemul 11991101198741199100)

1198661 1199101 = 3119905 1199111 = 05119905

1198662 1199102 = 051199051199112 = 3119905

cu acestea obținem

119910119866 =1198601 ∙ 1199101 + 1198602 ∙ 1199102

119860=61199052 ∙ 3119905 + 41199052 ∙ 05119905

101199052=201199053

101199052= 2119905

119911119866 =1198601 ∙ 1199111 + 1198602 ∙ 1199112

119860=61199052 ∙ 05119905 + 41199052 ∙ 3119905

101199052=151199053

101199052= 15119905

Poziționăm centrul de greutate 119866 al suprafeței compuse figura 49c

Fig 49 Aplicație

b) pentru determinarea momentelor de inerție axiale 119868119911 119868119910 și a momentului de

inerție centrifugal 119868119910119911 determinăm constantele 1198881 1198882 1198891 1198892 care intervin icircn relația lui

Stainer

1198881 = 1199101 minus 119910119866 = 3119905 minus 2119905 = 119905 1198882 = minus(119910119866 minus 1199102) = minus(2119905 minus 05119905) = minus15119905

1198891 = minus(119911119866 minus 1199111) = minus(15119905 minus 05119905) = minus119905 1198892 = 1199112 minus 119911119892 = 3119905 minus 15119905 = 15119905

Folosind relațiile lui Stainer (429) (430) și (431) calculăm momentele de

inerție axiale și centrifugale față de sistemul central 119911119866119866119910119866

119868119911 =sum(119868119911119894 + 1198881198942 ∙ 119860119894) = 1198681199111 + 1198881

2 ∙ 1198601 + 1198681199112 + 11988822 ∙ 1198602

119868119910 =sum(119868119910119894 + 1198891198942 ∙ 119860119894) = 1198681199101 + 1198891

2 ∙ 1198601 + 1198681199102 + 11988922 ∙ 1198602

119868119911119910 =sum(119868119911119894119910119894 + 119888119894 ∙ 119889119894 ∙ 119860119894) = 11986811991111199101 + 1198881 ∙ 1198891 ∙ 1198601 + 11986811991121199102 + 1198882 ∙ 1198892 ∙ 1198602

1198681199111 = (119887 ∙ ℎ3

12) =

119905 ∙ (6119905)3

12= 181199054 1198681199112 = (

119887 ∙ ℎ3

12) =

4119905 ∙ 1199053

12= 031199054

1198681199101 = (1198873 ∙ ℎ

12) =

1199053 ∙ 6119905

12= 051199054 1198681199102 = (

1198873 ∙ ℎ

12) =

(4119905)3 ∙ 119905

12= 531199054

11986811991111199101 = 11986811991121199102 = 0 deoarece cele două triunghiuri au cel puțin o axă de simetrie

Cu acestea momentele de inerție axiale și momentul de inerție centrifugal devin

119868119911 = 181199054 + 1199052 ∙ 61199052 + 031199054 + (minus15119905)2 ∙ 41199052 = 3331199054

119868119910 = 051199054 + (minus119905)2 ∙ 61199052 + 531199054 + (15119905)2 ∙ 41199052 = 2081199054

119868119911119910 = 0 + 119905 ∙ (minus119905) ∙ 61199052 + 0 + (minus15119905) ∙ (15119905) ∙ 41199052 = minus151199054

c) razele de inerție sau de girație față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910

se calculează cu relațiile (411)

119894119911 = radic119868119911119860= radic

3331199054

101199052= 182119905 119894119910 = radic

119868119910

119860= radic

2081199054

101199052= 144119905

d) modulele de rezistență față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910 se

calculează cu relațiile (412) și (413)

Avacircnd icircn vedere figura 419c obținem

119910119898119886119909 = 6119905 minus 119910119866 = 6119905 minus 2119905 = 4119905 119910119898119894119899 = minus119910119866 = minus2119905

119911119898119886119909 = 5119905 minus 119911119866 = 5119905 minus 15119905 = 35119905 119911119898119894119899 = minus119911119866 = minus15119905

Se obține astfel

119882119911119898119894119899 =119868119911

|119910119898119886119909|=3331199054

4119905= 8331199053

119882119911119898119886119909 =119868119911

|119910119898119894119899|=3331199054

2119905= 16651199053

119882119910119898119894119899 =119868119910

|119911119898119886119909|=2081199054

35119905= 5941199053

119882119910119898119886119909 =119868119910

|119911119898119894119899|=2081199054

15119905= 13871199053

e) momentele de inerție principale 1198681 și respectiv 1198682 se calculează cu relațiile

(438)

11986812 =119868119911 + 119868119910

2plusmn1

2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)

2+ 4 ∙ (119868119911119910)

2=

=3331199054 + 2081199054

2plusmn1

2∙ radic(3331199054 minus 2081199054)2 + 4 ∙ (minus151199054)2 = 27051199054 plusmn 16251199054

De unde obținem

1198681 = 27051199054 + 16251199054 = 4331199054

1198682 = 27051199054 minus 16251199054 = 1081199054

Prima direcție principală de inerție 1 face cu axa centrală 119866119911 unghiul 1205721 dat de

relația (437)

1205721 =1

2∙ arctan (minus

2 ∙ 119868119911119910

119868119911 minus 119868119910) =

1

2∙ arctan [minus

2 ∙ (minus151199054)

3331199054 minus 2081199054] =33 70

Deoarece 1205721 gt 0 rotirea axelor se face acircn sens antiorar acelor de ceasornic figura

49d

Poziția axe principale 2 față de care momentul de inerție are valoarea minimă

1198682 = 119868119898119894119899 este dată de unghiul

1205722 = 1205721 + 900 = 33 70 + 900 = 123 70

f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 se determină cu relația

(45)

1198781199111198602 = 1198602 ∙ 1198882 = 41199052 ∙ (minus15119905) = minus61199053

d)Punctul de aplicaţie O

Observaţie Momentul unei forţe icircn raport cu un punct este nul dacă suportul

forţei trece prin punctul respectiv (119889 = 0)

122 Momentul unei forţe icircn raport cu o axă

Considerăm un solid rigid asupra căruia acţionează o forţă aplicată icircn punctul A

şi fie D o axă din spaţiu figura 13

Fig 13 Momentul unei forțe icircn raport cu o axă

Se defineşte momentul forţei icircn raport cu axa 119863 ca fiind proiecţia pe axa 119863 a

momentului forţei icircn raport cu un punct arbitrar de pe axa respectivă (O)

119872119863 = 119872119874 ∙ cos 120575 (12)

Momentul forţei icircn raport cu punctul O (119874)se calculează relația (11)

Observaţii

- Momentul unei forţe icircn raport cu o axă este nul dacă forţa şi axa sunt icircn acelaşi

plan (dacă sunt paralele sau dacă suportul forţei intersectează axa)

- Momentul unei forţe icircn raport cu o axă (119863) nu depinde de punctul O ales

arbitrar pe axă

123 Momentul unui cuplu de forţe

Un cuplu de forţe este o pereche de forţe egale de sensuri contrare situate pe

suporturi paralele (1 = minus2 1198651 = 1198652 = 119865) Evident rezultanta unui cuplu de forţe este

nulă figura 14

Fig 14 Momentul unui cuplu de forțe

Se defineşte momentul cuplului de forţe ca fiind suma momentelor celor două forţe

icircn raport cu un punct arbitrar din spaţiu O

119888119906119901 = 1199031 times 1 + 1199032 times 2 = 1199031 times 1 + 1199032 times (minus1) = 119903 times 1 (13)

119888119906119901 = 11986021198601 times 1 = 11986011198602 times 2

Din ultima egalitate se observă că momentul cuplului este egal cu momentul unei

forţe din cuplu icircn raport cu punctul de aplicaţie al celeilalte forţe din cuplu iar momentul

cuplului nu depinde de punctul O deci este un vector liber

Vectorul moment 119888119906119901 are următoarele elemente

a) Modulul cuplului 119888119906119901 = 119865 ∙ 119903 ∙ sin 120572 = 119865 ∙ 119889 unde 119889 este distanţa dintre

suporturile celor două forţe şi se numeşte braţul cuplului

b) Direcţia cuplului este perpendiculară pe planul celor două forţe

c) Sensul cuplului este dat de regula burghiului drept

13Reducerea sistemelor de forţe Echilibrul solidului rigid

Dacă asupra unui solid rigid acţionează un sistem complex de forţe pentru

simplificarea calculelor se urmăreşte icircnlocuirea acestuia cu cel mai simplu sistem posibil

care să producă acelaşi efect mecanic asupra corpului studiat ca şi sistemul iniţial de forţe

Această operaţie se numeşte reducerea sistemului de forţe

131 Reducerea unei forţe icircntr-un punct Torsorul de reducere

A reduce o forţă icircntr-un punct icircnseamnă a icircnlocui acea forţă cu cele mai simple

elemente mecanice legate de punctul respectiv care să producă asupra corpului studiat

acelaşi efect ca şi forţa iniţială

Fie o forţă aplicată icircn punctul A al unui solid rigid şi O un punct din spaţiu

figura 15 vom determina elementele mecanice corespunzătoare reducerii forţei icircn

punctul O

Fig 15 Reducerea unei forțe icircntr-un punct

Icircn punctul O se introduce un sistem de două forţe coliniare egale cu de sensuri

contrare pe un suport paralel cu forţa iniţială Efectul acestora asupra corpului este nul

Apare astfel un cuplu de forţe forţa din A şi (minus) din O caracterizat prin momentul

cuplului 119888119906119901 = 0 = 119874119860 times = 119903 times

Aşadar efectul forţei din A a fost icircnlocuit icircn punctul O cu două elemente

mecanice o forţă identică cu aplicată icircn O şi momentul forţei iniţiale icircn raport cu

punctul O Ansamblul celor două elemente mecanice formează aşa numitul torsor de

reducere al forţei icircn punctul O

132 Reducerea unui sistem de forţe icircntr-un punct

Considerăm că asupra unui solid rigid acţionează un sistem de 119899 forţe 119894 aplicate

icircn punctele 119860119894 cu 119894 = 1 119899 şi fie 119874119909119910119911 un sistem de axe de coordonate avacircnd versorii

axelor 119894 119895 figura 16

Fig 16 Reducerea unui sistem forțe icircntr-un punct

Pentru a reduce sistemul de forţe icircn punctul O se procedează astfel

Se reduce pe racircnd fiecare forţă 119894 icircn punctul O la un torsor de reducere compus

dintr-o forţă 119894 şi un moment 119874119894 = 119903119894 times 119894 Făcacircnd această operaţie cu toate forţele icircn

punctul O se obţine

o forţă rezultantă

= sum119894

119899

119894=1

un moment rezultant

0 =sum119874119894

119899

119894=1

=sum119903119894 times 119894

119899

119894=1

Cele două elemente mecanice definesc torsorul de reducere al sistemului de forţe

icircn punctul O

Torsorul de reducere se poate calcula analitic dacă forţele sunt exprimate analitic

119894 = 119883119894 ∙ 119894 + 119884119894 ∙ 119895 + 119885119894 ∙ unde 119883119894 119884119894 119885119894 sunt proiecţiile forţei 119894 pe axele 119874119909 119874119910

respectiv 119874119911 Rezultanta forţelor icircn punctul O este

= (sum119883119894

119899

119894=1

) ∙ 119894 + (sum119884119894

119899

119894=1

) ∙ 119895 + (sum119885119894

119899

119894=1

) ∙ = 119883 ∙ 119894 + 119884 ∙ 119895 + 119885 ∙

(14)

unde sunt componentele rezultantei pe axele 119874119909 119874119910 și 119874119911 = + +

Icircn mod analog momentul rezultant icircn punctul O este

0 = (sum119872119909119894

119899

119894=1

) ∙ 119894 + (sum119872119910119894

119899

119894=1

) ∙ 119895 + (sum119872119911119894

119899

119894=1

) ∙ =

= 119872119909 ∙ 119894 + 119872119910 ∙ 119895 + 119872119911 ∙

(15)

unde 119909 119910 119911 sunt componentele vectorului moment 0 pe axele 119874119909 119874119910 respectiv 119874119911

0 = 119909 + 119910 + 119911

133 Echilibrul solidului rigid

Torsorul de reducere al sistemului de forţe determină mişcarea solidului rigid icircn

spaţiu sub acţiunea forţelor exterioare aplicate

Torsorul de reducere conţine o forţă rezultantă cu trei componente

perpendiculare icircntre ele şi un moment rezultant avacircnd trei componente ortogonale

perpendiculare 119909 119910 119911 orientate după axele sistemului 119874119909119910119911 Cele trei componente

ale rezultantei produc translaţii (deplasări liniare ) ale corpului pe direcţiile 119874119909 119874119910

respectiv 119874119911 Componentele momentului rezultant 0 produc rotiri (deplasări

unghiulare) ale corpului icircn jurul axelor de coordonate 119874119909 119874119910 respectiv 119874119911 Se spune ca

solidul liber are 6 grade de libertate (6 posibilităţi de deplasare) Pentru ca solidul să fie

icircn echilibru trebuie suprimate toate gradele de libertate Aşadar corpul este icircn echilibru

dacă elementele torsorului de reducere al forţelor exterioare este nul

Condiţiile de echilibru ale solidului rigid sunt

= 0 rArr 119883 = 119884 = 119885 = 0

0 = 0 rArr 119872119909 = 119872119910 = 119872119911 = 0

(16)

Observaţie Un solid rigid liber solicitat de forţe aplicate icircntr-un plan (119909119900119910) are

trei grade de libertate Condiţiile de echilibru sunt

= 0 rArr 119883 = 119884 = 0

0 = 0 rArr 119872119911 = 0

(17)

14 Aplicaţii

141 Să se stabilească mărimea şi ordinul rezultantei sistemului de forţe din figura

17 dacă se cunosc 1 = 100 [119873] 2 = 200 [119873] și 3 = 300 [119873]

Rezolvare

Pentru rezolvarea acestui sistem de forte de prezinta doua metode

a) Rezolvare analitică

Descopunem cele două forțe icircnclinate 2 și 3 după cele două axe de coordonate

Ox și Oy

2 = (minus1198652119909) ∙ 119894 + (1198652119910) ∙ 119895 = (minus1198652 ∙ cos 600) ∙ 119894 + (1198652 ∙ sin 60

0) ∙ 119895 =

= (minus200 ∙1

2) ∙ 119894 + (200 ∙

radic3

2) ∙ 119895 = minus100 ∙ 119894 + 100 ∙ radic3 ∙ 119895

3 = (minus1198653119909) ∙ 119894 + (minus1198653119910) ∙ 119895 = (minus1198653 ∙ cos 450) ∙ 119894 + (minus1198653 ∙ sin 45

0) ∙ 119895 =

= (minus300 ∙radic2

2) ∙ 119894 + (minus300 ∙

radic2

2) ∙ 119895 = minus150 ∙ radic2 ∙ 119894 minus 150 ∙ radic2 ∙ 119895

Pentru stabilirea mărimii şi ordinului rezultantei sistemului de forţe din figură se

procedează astfel

Forţele sunt exprimate analitic 119894 = 119883119894 ∙ 119894 + 119884119894 ∙ 119895 unde 119883119894 119884119894 sunt proiecţiile

forţei 119894 pe axele 119874119909 respectiv 119874119910

1 = 100 ∙ 119894 + 0 ∙ 119895

2 = minus100 ∙ 119894 + 1732 ∙ 119895

3 = minus2121 ∙ 119894 minus 2121 ∙ 119895

Fig 17 Aplicația 141

Se determină rezultanta forţelor cu următoarea relaţie

= sum119865119894 prime (sum119883119894

119899

119894=1

) ∙ 119894 + (sum119884119894

119899

119894=1

) ∙ 119895 = 119883 ∙ 119894 + 119884 ∙ 119895

unde 119883 119884 sunt componentele rezultantei pe axele 119874119909 respectiv 119874119910 = +

= (100 minus 100 minus 2121) ∙ 119894 + (0 + 1732 minus 2121) ∙ 119895 = (minus2121) ∙ 119894 + (minus389) ∙ 119895

rArr 119883 = minus2121 [119873]

119884 = minus389 [119873]

Cu acestea obținem rezultanta

119877 = radic1198832 + 1198842 = radic(minus2121)2 + (minus389)2 = 21564 [119873]

Se reprezintă grafic rezultanta icircn sistemul de coordonate 119909119874119910 după care se

calculează unghiul 120572 pe care aceasta rezultantă icircl face cu axa 119874119909 figura 18

tan 120572 =119884

119883=minus389

minus2121= 0183 rArr 120572 = arctan(0183) = 10 40

Fig 18 Reazultanta forțelor aplicate

b) Rezolvare tabelară

Forţa 119894 Componenta 119883119894 Componenta 119884119894

1 1198651 = 100 1198651 = 0

2 minus1198652 ∙ cos 600 = minus100 1198652 ∙ sin 60

0 = 1732

3 minus1198653 ∙ cos 450 = minus2121 minus1198653 ∙ sin 45

0 = minus2121

= sum119894 119883 =sum119883119894 = minus2121 119884 =sum119884119894 = minus389

După determinarea tabelară a celor două componente ale rezultandei calculele se

continua ca şi icircn cazul rezolvării analitice

142 Să se calculeze momentul forţei verticale = 100 [119873] icircn raport cu punctele

B D O şi icircn raport cu axele Ox Oy şi Oz figura 19 și să se determine componentele

torsorului de reducere ale forţei icircn punctul O dacă se cunosc 119886 = 3 [119898] şi 119887 = 4 [119898]

Fig 19 Aplicația 142

Fig 110 Icircnclinarea momentului 119872119874

119861 = 119861119860 times

119872119861 = 119886 ∙ 119865 = 3 ∙ 100 = 300 [119873 ∙ 119898]

119863 = 119863119860 times

119872119863 = 119887 ∙ 119865 = 4 ∙ 100 = 400 [119873 ∙ 119898]

119874 = 119874119860 times

119872119874 = 119888 ∙ 119865 = radic1198862 + 1198872 ∙ 119865 = radic32 + 42 ∙ 100 = 5 ∙ 100 = 500 [119873 ∙ 119898]

119874 se află icircn planul 119909119874119910 cu icircnclinarea 120572 (figura 110)

tan120572 =119886

119887=3

4= 075 rArr 120572 = arctan(075) = 36860

Deci

120572 = 900 minus 120573 = 900 minus 36860 = 53140

Concluzie Componentele torsorului de reducere al forței icircn punctul O sunt o forta

icircn O identică cu forța din punctul A și momentul forței icircn raport cu punctul O 119874

2 INTRODUCERE IcircN REZISTENŢA MATERIALELOR

21 Obiectul şi problemele Rezistenţei materialelor

Rezistenţa materialelor este o disciplină de cultură tehnică generală care continuă

logic şi dezvoltă Mecanica prin introducerea icircn calcule a proprietăţilor de deformabilitate

ale corpurilor solide reale Icircn Mecanică corpul solid este considerat rigid nedeformabil

iar vectorii forţă de icircncărcare sunt consideraţi alunecători Rezistenţa materialelor ia icircn

studiu corpurile reale care sub acţiunea forţelor exterioare (vectori legaţi) icircşi schimbă

forma geometrică respectiv dimensiunile iniţiale şi se distrug prin rupere la valori mari

ale acestora Prin calculele de rezistenţă se determină dimensiunile secţiunilor

transversale ale corpurilor (elemente de rezistenţă) icircn funcţie de mărimea poziţia şi modul

de acţionare a forţelor exterioare proprietăţile mecanice ale materialelor dimensiunile

constructive forma şi importanţa ansamblului icircn care se icircnglobează iar icircn anumite cazuri

şi de durata de funcţionare Elementele de rezistenţă trebuie să icircndeplinească următoarele

condiţii de bază

- condiţia de rezistenţă care are icircn vedere ca eforturile din elementul de rezistenţă

să nu producă distrugerea acestuia prin rupere sau spargere icircn bucăţi

- condiţia de rigiditate se referă la valorile deformaţiilor care nu trebuie să

depăşească anumite mărimile admisibile

- condiţia de stabilitate care consideră posibilitatea menţinerii formei de echilibru

stabil pentru o anumită stare de icircncărcare

Criteriile de rezolvare ale problemelor de Rezistenţa materialelor sunt

- criteriul economic prin care se impune ca orice element de rezistenţă (piesă) să

fie proiectat şi realizat cu soluţia cea mai economică icircn privinţa materialului utilizat şi al

manoperei

- criteriul de bună funcţionalitate a ansamblului din care face parte elementul de

rezistenţă proiectat respectacircnd condiţiile de rezistenţă rigiditate şi stabilitate

Icircn cadrul Rezistenţei materialelor se admit ipoteze simplificatoare care permit

obţinerea unor relaţii de calcul relativ simple şi care exprimă destul de fidel fenomenul

de solicitare real Experimentările practice icircn laborator permit verificarea legilor

rezistenţei materialelor şi determinarea caracteristicilor mecanice ale materialelor

Rezistenţa materialelor permite rezolvarea următoarelor categorii de probleme

- probleme de dimensionare prin care se stabilesc dimensiunile optime ale

elementelor de rezistenţă proiectate icircn funcţie de icircncărcările exterioare (forţe sau

momente) şi de caracteristicile mecanice ale materialului utilizat

- probleme de verificare la care se determină dacă un element de rezistenţă de

dimensiuni cunoscute satisface condiţiile de rezistenţă rigiditate şi stabilitate cunoscacircnd

icircncărcarea exterioară şi caracteristicile mecanice ale materialului utilizat

- probleme de calcul al capacităţii de icircncărcare al unui element de rezistenţă

cunoscacircndu-se caracteristicile mecanice ale materialului dimensiunile şi modul de

solicitare se determină icircncărcarea maximă pe care o poate suporta elementul de rezistență

fără a ceda sau a se deforma periculos

22 Clasificarea corpurilor icircn Rezistenţa materialelor

Corpurile (elementele de rezistenţă) au icircn general forme constructive relativ

complicate Icircn Rezistenţa materialelor pentru simplificarea calculelor corpurile se

schematizează prin forme geometrice mai simple obţinacircndu-se următoarele grupe

a) corpuri solide cu o dimensiune mult mai mare decacirct celelalte două (corpuri cu

fibră medie) Elementele geometrice caracteristice sunt axa longitudinală şi secţiunea

transversală Aceste corpuri solide pot fi

- fire dacă dimensiunile secţiunii transversale sunt foarte mici astfel icircncacirct axa

longitudinală este flexibilă (icircşi schimbă forma uşor) iar sarcinile transversale nu pot fi

preluate de acesta Un fir nu poate fi solicitat decacirct la icircntindere (exemplu cabluri de

macara lanţuri etc)

- bare care rezistă atacirct la solicitări axiale cacirct şi la solicitări transversale

După modul de solicitare barele poartă diferite denumiri convenţionale

tiranţi-solicitaţi la icircntindere figura 21a

stacirclpi-solicitaţi la compresiune figura 21b

grinzi-solicitate la icircncovoiere figura 21c

arbori-solicitaţi la torsiune (răsucire) figura 21d

Fig 21 Denumirea barelor după modul de solicitare

După modul cum variază secţiunea icircn lungul axei barele pot fi

de secţiune constantă figura 22a

de secţiune variabilă continuă figura 22b sau icircn trepte figura 22c

Fig 22 Denumirea barelor după secțiune

După forma axei longitudinale barele pot fi

drepte figura 21

curbe icircn plan figura 23a sau icircn spaţiu figura 23b (numite și curbe stracircmbe)

cotite (axa barei este o linie fracircntă) plane figura 23c sau spațiale figura 23d

Fig 23 Tipuri de bare curbe și cotite

Secţiunea transversală (plană şi normală pe axa barei) poate avea orice formă

geometrică constantă sau variabilă icircn lungul barei

Dacă una din dimensiunile secţiunii transversale (grosimea) este mai mică

comparativ cu celelalte bara se numește bară cu pereţi subţiri (exemplu barele

realizate din platbande sudate cu secţiuni sub formă de profil I profil U cornier etc)

b) corpuri care au două dimensiuni mult mai mari icircn raport cu a treia (grosimea)

se numesc plăci Elementele geometrice caracteristice ale unei plăci sunt forma şi

dimensiunile suprafeţei mediane respectiv grosimea Plăcile se reprezintă schematic

printr-o suprafață care imită forma și dimensiunile suprafeței mediane Suprafaţa mediană

reprezintă locul geometric al tuturor punctelor egal depărtate de cele două feţe ale plăcii

puncte aflate pe perpendicularele duse icircntre cele două feţe figura 24

După destinaţie și forma suprafeței mediane se deosebesc

plăci plane figura 24b

plăci curbe (icircnvelişuri) cu o singură curbură figura 24a sau avacircnd curbură

dublă figura 24c

Fig 24 Tipuri de plăci plane

Plăcile cu grosime mare sunt denumite frecvent dale O placă de grosime mică

ce nu poate prelua decacirct solicitări la icircntindere poartă numele de membrană

Exemple de plăci icircnvelişurile vasele de revoluţie discurile etc

c) corpuri masive care au toate cele trei dimensiuni aproximativ de acelaşi ordin

de mărime (blocuri de fundaţii bile şi role de rulmenţi tuburi cu pereţi groşi etc)

Calculele de rezistenţă sunt mai simple icircn cazul barelor drepte şi mai complicate

la barele curbe plăci respectiv blocuri

23 Clasificarea icircncărcărilor exterioare

Un corp icircşi păstrează forma şi dimensiunile datorită forţelor de atracţie dintre

particulele sale elementare atacircta timp cicirct asupra sa nu acţionează alte forţe aplicate din

exterior care să-l deformeze Icircn construcţia de maşini elementele de rezistenţă preiau şi

transmit acţiunea unor sarcini exterioare (forţe şisau cupluri) pe care le vom denumi

generic forțe sau icircncărcări exterioare Efectul pe care-l au sarcinile este acela de a

modifica forma şi dimensiunile corpului asupra căruia se aplică Icircn punctele de rezemare

(de sprijin sau de legătură cu alte elemente de rezistenţă icircnvecinate) ca urmare a

principiului acţiunii şi reacţiunii apar forţe de legătură sau reacţiuni Ansamblul format

din sarcini şi reacţiuni este cunoscut sub numele de forţe exterioare Sub acţiunea

forţelor exterioare elementele de rezistenţă trebuie să fie icircn echilibru

Forţele exterioare pot fi clasificate după următoarele criterii

a) după mărimea suprafeţei pe care se aplică

- forțe concentrate aplicate teoretic icircntr-un punct figura 25a

- forțe distribuite uniform sau cu intensitate variabilă icircn lungul barei sau pe o

suprafaţă figura 25bc şi d

- momente concentrate care acţionează icircntr-un punct M sau momente uniform

distribut pe o anumită lungime m

Fig 25 Tipuri de sarcini după mărimea suprafeţei de aplicare

b) după locul de aplicare se deosebesc

- forţe de suprafaţă sau de contur care sunt aplicate din exterior pe suprafaţa

corpurilor şi indică legătura cu piesele icircnvecinate

- forţe masice sau de volum distribuite icircn tot corpul (greutăţi forţe de inerţie

respectiv forţe electromagnetice)

c) după modul de acţiune icircn timp se disting

- forţe statice care se aplică lent şi progresiv pacircnă la valoarea nominală de lucru

şi apoi rămacircn constante figura 26a

- forţe dinamice care rezultă din

aplicarea cu icircntreaga intensitate de la icircnceputul perioadei de solicitare iar apoi forţa se

menţine constantă timp icircndelungat figura 26b (forţe de inerţie)

aplicarea bruscă a sarcinii asupra corpului durata de acţiune a sarcinii fiind mică figura

26c (forţe de şoc)

variaţia periodică icircn timp a intensităţii forţei aplicate figura 26d (forţe de oboseală)

Fig26 Tipuri de forţe exterioare (cicluri de solicitare)

Funcţie de modul de variaţie al forţelor exterioare solicitările pot fi statice

oscilante pulsante alternante etc Experimental s-a constatat că rezistenţa unui material

depinde foarte mult de modul de variaţie a forţelor icircn timp Bach a clasificat solicitările

icircn 3 categorii 1-solicitări statice 2-solicitări pulsante 3-solicitări alternant simetrice

Rezistenţa unui material este icircn raportul 321 pentru cele 3 cazuri de solicitare ale lui

Bach Aceasta icircnseamnă că o piesă solicitată static rezistă la o forţă de 3 ori mai mare

decacirct forţa maximă care produce ruperea aceleaşi piese solicitate alternant simetric

d) după poziţia icircn timp a forțelor se disting

- forţe fixe ale căror puncte de aplicaţie sunt mereu aceleaşi

- forţe mobile ale căror puncte de aplicaţie se deplasează icircn timp De exemplu

sarcinile produse de vehiculele care circulă pe un pod sarcinile unei grinzi de pod rulant

icircntr-o halăetc

24 Reazeme Forțe interioare Eforturi Diagrame de eforturi icircn barele

drepte

241 Reazeme Reacțiuni (forțe de legătură)

Pentru a prelua şi transmite acţiunea sarcinilor exterioare elementele de rezistenţă

din componenţa unei structuri sunt fixate icircntre ele prin intermediul unor legături

exterioare numite reazeme Aceste legături au ca scop icircmpiedicarea anumitor mişcări ale

corpului pe direcţiile pe care acestea nu trebuie să se producă O legătură are deci rolul

de a anula unul sau mai multe grade de libertate ale corpului icircn punctul de rezemare Dacă

este anulat un singur grad de libertate legătura este simplă iar dacă sunt impiedicate mai

multe grade de libertate legătura este una compusă Datorită existenţei sarcinilor

exterioare icircn punctele de rezemare pe direcţiile pe care mişcările sunt icircmpiedicate apar

forţe de legătură numite reacţiuni Numărul natura şi direcţiile reacţiunilor depind de

tipul reazemelor Icircn construcţiile reale există o varietate mare de realizare practică a

reazemelor dar icircn calcule se acceptă anumite schematizări care reţin doar aspectul esenţial

al unui reazem şi anume gradul sau gradele de libertate anulate

Pentru o structură de rezistenţă spaţială icircntr-un punct oarecare sunt posibile şase

deplasări trei deplasări liniare (după direcţiile axelor unui sistem ortogonal) şi trei rotiri

(deplasări unghiulare) icircn jurul aceloraşi axe Ca urmare ar fi posibil de realizat maximum

şase tipuri de reazem

Pentru un element de rezistenţă plan icircncărcat cu eforturi cuprinse icircn planul

elementului icircn orice punct sunt posibile trei gade de libertate două deplasări liniare şi o

rotiri Ca urmare pentru cazul unei bare plane se icircntacirclnesc următoarele tipuri de reazeme

1 Reazemul simplu sau reazemul mobil care icircmpiedică deplasarea pe o direcţie

normală pe suprafaţa de rezemare permiţacircnd deplasarea pe o direcţie paralelă cu

suprafaţa de rezemare şi rotirea barei icircn jurul unei axe perpendiculare pe plan icircn punctul

de rezemare Icircn urma icircmpiedicării deplasării şi datorită unor sarcini exterioare icircn

reazemul simplu apare o reacţiune de tip forţă a cărei suport trece prin punctul de

rezemare şi a cărei direcţie este perpendiculară pe suprafaţa de rezemare figura 27

Fig 27 Reazem simplu (mobil)

Icircn figura 27 este reprezentat un reazem mobil poziţionat pe capătul A al unei bare

plane orizontale fiind evidenţiate punctul şi suprafaţa de rezemare direcţia suportului

reacţiunii şi modul de schematizare al reazemului Cea mai des icircntacirclnită reprezentare a

reazemului mobil este a unui triunghi a cărui bază poate luneca pe suprafaţa de rezemare

2 Reazemul fix sau articulaţia icircmpiedică deplasările liniare după toate direcţiile

din planul barei permiţacircnd doar rotirea barei icircn jurul unei axe perpendiculare pe plan şi

care trece prin puncul de rezemare Reacţiunea este cuprinsă icircn planul barei care trece

prin punctul de rezemare dar a cărei mărime şi direcţie nu sunt cunoscute (forţa R)

figura 28

Fig 28 Reazem fix

Se preferă ca icircn locul unei forţe R avacircnd direcţia oarecare icircn plan necunoscută să

se introducă două forţe (HA şi VA) cărora li se cunoaşte direcţia şi pentru care se vor

determina modulele ca valori din condiţiile de echilibru static Icircntr-un reazem fix apar

icircntotdeauna reacţiuni atacirct pe direcţia perpendiculară pe suprafaţa de rezemare

(verticală) cacirct şi pe direcţia paralelă cu prima (orizontală) chiar dacă uneori una sau

chiar ambele reacţiuni au valoarea zero Reprezentarea schematică a articulaţiei este cea

a unui triunghi cu baza fixă şi cu vacircrful icircn punctul de rezemare sau cea a unui pendul

dublu figura 28

3 Icircncastrarea (sau icircnţepenirea) anulează toate gradele de libertate ale capătului

unei bare icircmpiedicacircnd deplasarea liniară după orice direcţie din plan precum şi rotirea

barei icircn jurul unei axe perpendiculare pe plan şi care trece prin punctul de icircncastrare

Urmare a existenţei sarcinilor exterioare şi a blocării deplasărilor icircn icircncastrare apare o

reacţiune căreia nu i se cunoaşte nici mărimea nici direcţia şi nici punctul de aplicaţie

figura 29

Fig 29 Icircncastrarea

Sub acţiunea forţelor exterioare un sistem este icircn echilibru Valoarea reacţinilor

se determină din condiţia de echilibru a sistemului solicitat

Este cunoscut faptul că un sistem plan este icircn echilibru dacă

nu se deplasează pe o direcţie (fie x această direcţie)

nu se deplasează pe o direcţie perpendiculară pe prima (fie y această direcţie)

nu se roteşte faţă de un punct al planului (fie K acest punct)

Cele trei condiţii enunţate mai sus sunt satisfăcute dacă suma proiecţiilor tuturor

forţelor pe direcţia x respectiv y este nulă şi suma tuturor momentelor (cuplurilor) faţă

de un punct al planului este nulă

242 Forțe interioare Metoda secțiunilor

Icircn vederea calculului de rezistenţă de rigiditate şi de stabilitate a barelor sau a

sistemelor de bare este necesară determinarea forţelor şi momentelor interioare

(eforturilor) care apar icircn secţiunile transversale ale acestora şi datorate icircncărcărilor

exterioare Forțele interioare indică legătura dintre particulele din interiorul corpului şi

se pun icircn evidenţă prin metoda secţiunilor care este un procedeu de raţionament

imaginar propus de Cauchy echivalent cu teoria echilibrului părţilor Conform acestui

raționament bdquodacă un corp solid deformabil este icircn echilibru sub acţiunea unui sistem

generalizat de forţe atunci după secționare fiecare parte a sa va fi icircn echilibru sub

acţiunea forţelor exterioare care-i revin şi a unui sistem de forţe pe care trebuie să-l

introducem icircn secţiunea ce delimitează fiecare parte echivalent cu acţiunea forţelor

aplicate pe partea icircndepărtatărdquo

Problemele care apar la aplicarea metodei secţiunilor sunt

- să pună icircn evidenţă existenţa forţelor interioare mai ales că din ceea ce se ştie o

forţă apare icircn prezenţa a două corpuri ca urmare a principiului acţiunii şi reacţiunii

- să explice modul de distribuţie al forţelor interioare pe secţiune

Considerăm un corp aflat icircn echilibru sub acţiunea unui sistem de forţe exterioare

1 2 3⋯119894 ⋯ 119899minus1 119899 şi presupunem că-l secţionăm cu un plan transversal Q (sau cu

o suprafaţă oarecare) figura 210a Icircn urma secţionării fictive (imaginare) conform

principiului echilibrului părţilor fiecare din cele două părţi obţinute trebuie să fie icircn

echilibru sub acţiunea forţelor exterioare care le revin şi a cacircte unui sistem de forţe

interioare pe care trebuie să-l introducem icircn secţiunile rezultate sistem echivalent cu

acţiunea forţelor exterioare ce acţionează asupra celeilalte părţi Astfel pe partea din

dreapta (notată cu II) delimitată de secţiunea de arie Ad sunt aplicate forţele exterioare

119894 ⋯ 119899minus1 119899 şi un sistem de forţe interioare căruia nu i se cunoaşte decacirct efectul acelaşi

cu cel al forţelor 1 2 3 de pe parea din stacircnga (notată cu I şi delimitată de secţiunea

de arie As) figura 210b Prin metoda secţiunilor am reuşit să punem icircn evidenţă existenţa

forţelor interioare şi să le trecem icircn categoria celor exterioare cărora le putem aplica

relaţiile de echivalenţă şi de echilibru cunoscute din statică Ideal ar fi să cunoaştem

distribuţia şi intensitatea punctuală a acestor forţe pentru că s-ar putea ca icircn anumite

puncte ale secţiunii valoarea forţelor să depăşească limita de rezistenţă (limita de curgere)

a materialului Cunoaşterea distribuţiei punctuale a forţelor interioare nu se poate realiza

decacirct icircn cazuri particulare relativ simple de solicitare

Să considerăm partea din dreapta a corpului asupra căreia acționează forțele

119894 ⋯ 119899minus1 119899 mărginit de aria Ad pe care acționează un sistem de forțe interioare

echivalent cu 1 2 3 Deși forțele interioare de pe Ad nu se cunosc totuși efectul lor

este același cu cel al forțelor 1 2 3 deci le putem reduce icircn centrul de greutate C al

secțiunii Ad rezultacircnd componentele torsorului de reducere al forțelor interioare

(119894119889 119894119889) și pentru partea din stacircnga (119894119904 119894119904) Evident conform principiului acțiunii și

reacțiunii

119894119889 = minus119894119904

119894119889 = minus119894119904 (21)

Pe de altă parte cum fiecare dintre părțile corpului după secționare trebuie să fie

icircn echilibru sub acțiunea forțelor exterioare care le revin și a forțelor interioare introduse

rezultă

119894119889 = minus119890119889

119894119889 = minus119890119889

119894119904 = minus119890119889

119894119904 = minus119890119904 (22)

Combinacircnd (21) cu (22) rezultă

119894119889 = 119890119889

119894119889 = 119890119889

119894119904 = 119890119904

119894119904 = 119890119904 (23)

Fig 210 Forțe interioare

Relațiile (22) și (23) permit determinarea componentelor torsorului de reducere

al forțelor interioare din (23) rezultă componentele torsorului forțelor interioare care

acționează icircn secțiunea Ad sunt egale cu componentele torsorului de reducere al forțelor

exterioare de pe partea din stacircnga din (22) rezultă componentele torsorului forțelor

interioare care acționează icircn secțiunea Ad sunt egale și de sens contrar cu componentele

torsorului de reducere al forțelor exterioare de pe partea din dreapta

Observații

1 Torsorul forțelor interioare diferă de la o secțiune la alta dar pentru aceeași

secțiune el este unic și trebuie să respecte condițiile de compatibilitate a deformațiilor

2 Reducacircnd forțele interioare icircn centrul de greutate al secțiunii s-a făcut o

aproximare icircn ceea ce privește efectul modului de dispunere al forțelor

3 Punctul de reducere trebuie să fie

pentru forțele interioare normale la secțiune centrul de greutate

pentru forțele interioare tangente la planul secțiunii centrul de răsucire sau de

tăiere

243 Eforturi

Prin metoda secțiunilor am pus icircn evidență existența forțelor interioare și modul

icircn care se determină componentele torsorului de reducere al forțelor interioare (119894119889 119894119889) de pe fața din dreapta secțiunii (Ad) Cele două componente ale torsorului de reducere al

forțelor interioare de pe Ad se pot descompune după axele unui sistem de referință

triortogonal xCyz astfel

119894119889 = +

119894119889 = 119909 +119872119894 (24)

unde și 119909 sunt proiecțiile lui 119894119889 și respectiv 119894119889 pe axa longitudinală Cx a

barei iar și 119894 sunt proiecțiile acelorași componente 119894119889 și respectiv 119894119889 pe planul yCz

al secțiunii transversale Ad figura 211

Fig 211 Torsorul de reducere al forţelor interioare

La racircndul lor și 119894 se pot descompune după axele sistemului yCz figura 212

= 119910 + 119911

119894 = 119894119910 + 119894119911 (25)

Fig 212 Descompunerea forţei tăietoare şi a momentului icircncovoietor

Cele șase componente ale torsorului de reducere al forțelor interioare ( 119910 119911

119909 119894119910 119894119911) orientate după axele sistemului de referință xCyz se numesc eforturi

Fiecare efort are o denumire stabilită icircn funcție de tipul de deformație pe care-l produce

De asemenea semnul plus (bdquo+rdquo) sau minus (bdquondashrdquo) al fiecărui efort nu depinde de sensul

pozitiv sau negativ al sistemului de axe ci doar de efectul icircn deformații al fiecărui efort

Denumirile celor șase eforturi sunt

119873 este forța axială

119879119910 119879119911 sunt forțe tăietoare orientate după axele Cy și respectiv Cz

119872119909 notat de cele mai multe ori cu 119872119905 este moment de torsiune sau de răsucire

119872119894119911 119872119894119910 sunt momente de icircncovoiere icircn jurul axei Cz și respectiv Cy

Forța axială 119873 poate fi forță axială de icircntindere cacircnd produce o lungire a

tronsonului pe a cărei față acționează (119873 gt 0) figura 213a sau forță axială de

compresiune cacircnd sub efectul ei bara se scurtează (119873 lt 0) figura 213b

Fig 213 Forța axială

Forțele tăietoare 119879119910 și 119879119911 au ca efect lunecarea secțiunii icircn centrul căreia

acționează icircn raport cu secțiunea icircnvecinată lunecare ce se produce pe direcția și icircn sensul

forței Sub acțiunea unei forțe tăietoare bara este solicitată la forfecare Forța tăietoare

este pozitivă 119879119910 gt 0 dacă icircn raport cu un punct oarecare K de pe axa Cx a barei tinde să

rotească secțiunea pe care acționează icircn sens orar

Fig 214 Forța tăietoare

Momentele de icircncovoiere 119872119894119911 și 119872119894119910 au ca efect o rotire a secțiunii icircn centrul

cărora acționează icircn jurul axei după care sunt orientate Icircn figura 215a se vede că

datorită momentului 119872119894119911 fibrele de deasupra axei Cz se alungesc icircn timp ce fibrele de sub

axa Cz se scurtează Fibrele care trec prin axa de icircncovoiere Cz nu se deformează sunt

fibre neutre la icircncovoiere adică axa neutră este Cz Icircn cazul momentului de icircncovoiere

119872119894119910 fibrele care nu se deformează sunt cele care trec prin axa neutră la icircncovoiere Cy

Momentele de icircncovoiere se consideră a fi pozitive (119872119894119911 gt 0119872119894119910 gt 0) dacă

observatorul care privește bara deformată vizualizează fibrele icircntinse

Fig 215 Momentul icircncovoietor

Momentul de torsiune sau de răsucire 119872119909 equiv 119872119905 are ca efect o rotire a secțiunii

icircn al cărei centru acționează icircn jurul axei longitudinale Cx Ca efect secțiunea icircși schimbă

forma (se deformează) adică unghiurile inițiale se modifică dreptunghiul inițial Ad

devine paralelogram Convențional se consideră 119872119905 gt 0 dacă vectorul moment are

aceeași orientare ca și sensul pozitiv ales pextru axa Cx Icircn figura 216 momentul este

negativ

Fig 216 Momentul de torsiune

25 Definiții și convenții de semne pentru eforturile

din secțiunile unei bare drepte plane icircncărcate cu sarcini coplanare

Vom considera o bară plană icircncărcată cu un sistem de forțe arbitrar figura 217

Ne propunem să determinăm eforturile care apar icircn secțiunea barei aflată la distanța 119909 de

reazemul din stacircnga (A)

Pentru aceasta vom aplica metoda secțiunilor vom secționa bara cu un plan

perpendicular pe axa longitudinală a barei și vom analiza doar partea din dreapta secțiunii

mărginită de fața Ad Pentru ca această porțiune de bară să fie icircn echilibru sub acțiunea

forțelor exterioare care acționează asupra sa 1198653 și 119881119861 va trebui să introducem icircn centrul

secțiunii Ad eforturile care pot să apară 119873 119879119910 119872119894119911 Acțiunea acestor eforturi trebuie să

fie echivalentă cu acțiunea forțelor exterioare aplicate pe partea icircnlăturată (parcursă) a

barei 119867119860 119881119860 1198651 1198652 1198720

Deoarece bara este plană și este icircncărcată doar cu sarcini ce aparțin

planului barei

icircn secțiunea Ad apar doar 3 componente ale torsorului de reducere al forțelor

interioare (eforturi)

- 119873 = forța axială

- 119879119910 = forța tăietoare pe care o vom nota cu 119879

- 119872119894119911 = momentul icircncovoietor notat cu Mi

Fig 217 Bară plană icircncărcată cu un sistem de forțe

Vom prezenta următoarele definiții corespunzătoare eforturilor din secțiunea Ad

119873 = forța axială dintr-o secțiune este egală cu suma algebrică a proiecțiilor pe

axa longitudinală a tuturor forțelor exterioare (sarcini și reacțiuni) aplicate pe partea

din stacircnga secțiunii adică pe porțiunea parcursă Forța axială 119873 este pozitivă dacă trage

de tronsonul pe a cărei față acționează (are orientarea normalei exterioare la secțiunea

Ad)

119873(119909) = minus119867119860 + 1198651119867 (26)

119879 = forța tăietoare icircntr-o secțiune este egală cu suma algebrică a proiecțiilor

pe o axă perpendiculară pe axa barei a tuturor forțelor exterioare (sarcini și reacțiuni)

aplicate pe porțiunea de bară aflată icircn stacircnga secțiunii considerate Forța tăietoare 119879

este pozitivă dacă tinde să rotească tronsonul pe a cărui față acționează icircn sens orar icircn

raport cu un punct de pe axa barei aflat la dreapta secțiunii

119879(119909) = 119881119860 minus 1198651119881 minus 1198652 (27)

119872119894 = momentul icircncovoietor icircntr-o secțiune este egal cu suma algebrică a

momentelor obținute prin reducerea tuturor forțelor exterioare ( cupluri sarcini

reacțiuni) aplicate pe porțiunea de bară aflată la stacircnga secțiunii icircn centrul secțiunii

considerate 119872119894 este considerat pozitiv dacă tinde să deformeze bara astfel icircncacirct fibrele

spre care privește un observator să fie icircntinse Cum poziția observatorului este de regulă

sub bară bara se deformează dacă 119872119894 gt 0 astfel icircncacirct partea jos a barei este icircntinsă Se

spune că bara deformată rdquoține apaldquo

119872119894(119909) = 119881119860 ∙ 119909 minus 1198651119881 ∙ (119909 minus 1198971) minus 1198652 ∙ [119909 minus (1198971 + 1198972)] + 1198720 (28)

Sensurile pozitive ale eforturilor care apar icircn centrul secțiunii Ad (deci atunci cacircnd

sensul de parcurs la aplicarea metodei secțiunilor este cel de la stacircnga la dreapta) sunt

indicate icircn figura 218a iar dacă sensul de parcurs este de la dreapta la stacircnga sensurile

pozitive ale eforturilor sunt indicate icircn figura 218b

Fig 218 Convenţia de semne

Definiții asemănătoare se pot da și pentru eforturile din centrul secțiunii As figura

218b adică pentru cazul icircn care sensul de parcurs este cel de la dreapta la stacircnga și deci

partea luată icircn considerare este cea din stacircnga iar partea parcursă din dreapta secțiunii

este icircnlăturată

119873(1199091) = 1198653119867

119879(1199091) = 1198653119881 minus 119881119861

119872119894(1199091) = 119881119861 ∙ 1199091 minus 1198653119881 ∙ (1199091 minus 1198975)

(29)

Avacircnd icircn vedere că fețele Ad și As aparțin aceleeași secțiuni este evident faptul că

eforturile 119873(119909) 119879(119909) și 119872119894(119909) sunt identice cu eforturile 119873(119961120783) 119879(119961120783) și respectiv

119872119894(119961120783) Icircn figura 218c se prezintă o sinteză a convențiilor de semne pozitive pentru cele

3 eforturi atacirct pentru sensul de parcurs de la stacircnga la dreapta (secțiunea Ad) cacirct și pentru

sensul invers (secțiunea As)

Semnele eforturilor sunt importante icircntrucacirct există materiale cu comportări diferite

la icircntindere față de compresiune iar o schimbare a semnului unui efort poate produce

erori grave icircn calcule Semnele eforturilor au fost stabilite icircn funcție de deformațiile

produse și nu depind de sensul axelor sistemului de coordonate

26 Relaţii diferenţiale icircntre eforturi şi sarcini

Pentru a vedea ce legătură există icircntre eforturi și sarcini vom considera o bară

dreaptă icircncărcată cu o sarcină distribuită după o lege oarecare figura 219a Din această

bară vom decupa prin dublă secționare un element de lungime infinit mică 119889119909 Deoarece

lungimea 119889119909 este foarte mică se poate considera sarcina 119901 uniform distribuită Icircn

secțiunile rezultate trebuie să introducem eforturile care pot apărea

- 119879 şi 119872119894 icircn centrul secțiunii din sticircnga eforturi pe care le considerăm pozitive

- 119879 + 119889119879 şi 119872119894 + 119889119872119894 icircn centrul secțiunii din dreapta elementului

Aceste eforturi au o variație mică (119889119879 şi 119889119872119894) față de secțiunea anterioară Spre

deosebire de cazul icircn care bara este secționată o singură dată icircn acest caz eforturile nu

pot fi determinate din cele 2 condiții de echilibru independente deoarece icircn ecuațiile de

echilibru apar 4 necunoscute 119879 119889119879119872119894 și 119889119872119894 deci că problema este dublu static

nedeterminată figura 219

Fig 219 Echivalența icircntre eforturi și sarcini

Ecuațiile de echilibru scrise pentru elementul din figura 219b conduc la stabilirea

unor relaţii foarte importante

(sum119865)119910= 0 hArr 119879 minus 119901 ∙ 119889119909 minus (119879 + 119889119879) = 0 rArr

119889119879

119889119909= minus119901 (210)

Relația (210) arată că derivata funcţiei forţei tăietoare icircn raport cu abscisa

secţiunii este egală cu sarcina distribuită normală la axa barei din acea secţiune luată

cu semn schimbat

Observații

dacă 119901 = 0 nu există sarcină distribuită atunci forța tăietoare T este constantă

icircnclinarea pantei diagramei forței 119879 este egală cu (ndash 119901) (sarcina distribuită cu

semn schimbat)

dacă 119901 = 119888119900119899119904119905 119879 variază liniar pe acel interval

Asemănător se deduce că derivata funcţiei forţei axiale icircn raport cu abscisa

secţiunii este egală cu sarcina distribuită axială din acea secţiune luată cu semn

schimbat adică

119889119873

119889119909= minus119901119867 (211)

Din condiția de echilibru suma de momente faţă de centrul de greutate al secţiunii

din dreapta

(sum119872)119862= 0 hArr 119872119894 minus (119872 + 119889119872119894) + 119879 ∙ 119889119909 minus 119901 ∙

(119889119909)2

2= 0 rArr

119889119872119894

119889119909= 119879 (212)

Relația (212) s-a obținut dupa reducerea termenilor și prin neglijarea infinitului

mic de ordinul 2

119901 ∙(119889119909)2

2

Relația (212) arată că derivata funcţiei moment icircncovoietor icircn raport cu abscisa

secţiunii este egală cu forţa tăietoare din acea secţiune

Observații

dacă 119879 = 0 momentul 119872119894 are un punct de extrem se obține o valoare maximă

pentru 119872119894119898119886119909 dacă forța tăietoare 119879 se anulează trecacircnd de la plus icircn stacircnga la minus icircn

dreapta secțiunii

dacă forța tăietoare este pozitivă pe un interval 119879 gt 0 atunci 119872119894 este crescătoare

pe acel interval

dacă forța tăietoare este negativă pe un interval 119879 lt 0 atunci 119872119894 este

descrescătoare pe acel interval

dacă pe un interval 119901 = 0 forța tăietoare este constantă 119879 = 119888119905 iar 119872119894 variază

liniar pe acel interval

dacă 119901 = 119888119900119899119904119905 119879 variază liniar pe acel interval iar 119872119894 variază parabolic pe

acel interval

Relaţiile diferenţiale sunt utile la reprezentarea corectă şi verificarea diagramelor

de eforturi astfel

pentru porţiunile de grindă pe care p = 0 eforturile N şi T sunt constante iar pe

porţiunile cu p = const eforturile N şi T variază liniar (relaţiile 211 şi 210)

dacă pe o porţiune T = const momentul icircncovoietor Miz variază liniar iar dacă

T variază liniar atunci momentul Miz variază parabolic (relaţia 212)

pe domeniile pe care T gt 0 funcţia Mi(x) este crescătoare iar icircn secţiunea icircn

care T = 0 (graficul funcţiei T intersectează axa x) momentul icircncovoietor are un punct

de extrem local (maxim sau minim relaţia 212)

Pentru rezolvarea problemelor referitoare la trasarea diagramelor de eforturi

pentru barele drepte solicitate de sisteme de forţe plane se parcurg următoarele etape

1) identificarea forţelor aplicate (date) şi pregătirea lor pentru calcule

(descompunerea forţelor concentrate pe direcţiile x şi y calculul rezultantelor forţelor

distribuite)

2) identificarea reazemelor şi introducerea reacţiunilor corespunzătoare (vezi

figurile 27divide29)

3) stabilirea ecuaţiilor de echilibru static calculul şi verificarea reacţiunilor Icircn

rezistența materialelor se folosește sistemul de ecuații (vezi figura 217)

(sum119865)

119909= 0

(sum119872)119860= 0

(sum119872)119861= 0

(213)

4) identificarea domeniilor de variaţie şi scrierea funcţiilor de eforturi pentru N T

şi Mi

5) reprezentarea grafică a diagramelor de eforturi

6) verificarea corectitudinii diagramelor pe baza relaţiilor diferenţiale icircntre eforturi

şi sarcini

Aplicație Pentru grinda dreaptă icircncărcată cu sistemul de forţe reprezentat icircn figura

220 se cere

a) să se calculeze şi să se verifice reacţiunile

b) să se stabilească funcţiile eforturilor Nx Ty şi Miz şi să se reprezinte diagramele

de variaţie

c) să se analizeze relaţiile diferenţiale icircntre eforturi şi sarcini

Dimensiunile grinzii au valorile a = 6 [m] b = 4 [m] și c = 4[m] sistemul de

forţe aplicat fiind format din p = 10 [kN mfrasl ] F = 20 [kN] (icircnclinată cu unghiul α =300 faţă de orizontală) şi M0 = 40 [kN ∙ m]

Rezolvare

a) Se fac următoarele precizări

grinda dreaptă se reprezintă prin axa geometrică

forţa icircnclinată F se descompune după direcţiile orizontală şi verticală icircn FV =F ∙ sin α = 10 [kN] şi FH = F ∙ cos α = 173 [kN]

forţa distribuită uniform p este echivalentă din punct de vedere static cu

rezultanta sa R = p ∙ a = 60 [kN] care acţionează la jumătatea porţiunii de lungime a

icircn reazemele 119860 şi 119861 se introduc componentele HA şi VA respectiv VB ale

reacţiunilor

Pentru calculul reacţiunilor se utilizează ecuaţiile de echilibru static al grinzii

sumXi = 0 HA minus FH = 0 sumYi = 0 VA + VB minus R minus FV = 0 (sumM)B = 0 VA ∙ (b + a) minus R ∙ (b + 05 ∙ a) minus M0 + FV ∙ c = 0

(A1)

Din prima ecuaţie se obţine HA iar din cea de-a treia ecuaţie rezultă VA

HA = FH = 173 [kN]

VA =[R ∙ (b + 05 ∙ a) + M0 minus FV ∙ c]

(b + a)=[60 ∙ (4 + 05 ∙ 6) + 40 minus 10 ∙ 4]

(4 + 6)

VA = 42 [kN]

(A2)

Fig 220 Aplicație

Se observă că cea de-a doua ecuaţie de echilibru conţine două necunoscute

reacţiunile VA şi VB Pentru a calcula componenta VB nu este indicată introducerea lui VA

icircn cea de-a doua ecuaţie a sistemului (A1) pentru că o valoare determinată greşit pentru

VA conduce la o valoare VB de asemenea greşită O ecuaţie independentă din care se poate

determina componenta VB este următoarea

(sumM)A= 0 FV ∙ (a + b + c) minus VB ∙ (a + b) minus M0 + R ∙ 05 ∙ a = 0 (A3)

de unde se obţine

VB =[FV ∙ (a + b + c) minusM0 + R ∙ 05 ∙ a]

(b + a)=[10 ∙ (6 + 4 + 4) minus 40 + 60 ∙ 05 ∙ 6]

(6 + 4)

VB = 28 [kN] (A4)

Ecuaţia de proiecţii ale forţelor pe direcţia verticală (a doua ecuaţie din sistemul

A1) se utilizează pentru verificarea reacţiunilor deja determinate

VA + VB minus R minus FV = 0 rArr 42 + 28 minus 60 minus 10 = 0 (A5)

Ultima egalitate demonstrează că reacţiunile verticale au fost calculate corect

Din cele de mai sus rezultă ordinea firească pentru determinarea reacţiunilor icircn

cazul grinzilor simplu rezemate

sumXi = 0

(sumM)A = 0

(sumM)B = 0

(A6)

iar pentru verificarea componentelor verticale VA şi VB se folosește ecuaţia sumY = 0

b) La stabilirea funcţiilor de eforturi se parcurg icircn general etapele următoare

se notează (numeric sau literal după preferinţă) secţiunile care delimitează

domeniile (intervalele sau tronsoanele) pe care eforturile nu-şi modifică funcţiile (au legi

unice de variaţie)

pe fiecare domeniu se marchează secţiunea imaginară icircn care se stabilesc

funcţiile eforturilor

secţiunea astfel aleasă separă icircn două părţi grinda şi anume porţiunea din stacircnga

şi porţiunea din dreapta secţiunii

se va considera parcursă (şi icircndepărtată) acea parte pe care acţionează mai puţine

sarcini exterioare pentru că acestea vor interveni icircn expresiile funcţiilor de eforturi

poziţiile secţiunilor imaginare se vor determina prin variabilele x1 ⋯ xn (unde

n reprezintă numărul domeniilor de variaţie) cu originea fixată icircn capătul intervalului şi

sensul de parcurgere spre partea considerată rămasă

Grinda prezentată icircn figura 220 are trei domenii de variaţie pentru funcţiile de

eforturi după cum urmează (A-1) (2-B) şi (B-1)

Domeniul (A-1) x1 isin [0 a = 6 m] Porţiunea parcursă şi considerată icircndepărtată este cea de coordonată x1 pe care

acţionează reacţiunile HA şi VA precum şi rezultanta parţială a sarcinii distribuite R1 =p ∙ x1

Funcţia forţă axială Nx are expresia

Nx(x1) = NAminus1 = minusHA = minus173 [kN] = const

(A7)

Funcţia forţă tăietoare Ty are exspresia

Ty(x1) = TAminus1 = VA minus R1 = VA minus p ∙ x1 (A8)

care reprezintă o variaţie liniară de variabilă x1 Se calculează valorile forţei tăietoare la

limitele intervalului de variaţie

- pentru x1 = 0 Ty(x1 = 0) = TA = VA = 42 [kN]

- pentru x1 = a = 6 [m] Ty(x1 = 6) = T1 = VA minus p ∙ a = minus18 [kN]

Observaţie Aşa cum a fost stabilită secţiunea fictivă poziţionată prin coordonata

x1 sar părea că rezultanta R ar trebui luată icircn calculul lui Ty(x1) Acest lucru ar fi greşit

pentru că R = p ∙ a reprezintă rezultanta sarcinii distribuite pe toată lungimea a iar

rezultanta pe porţiunea parcursă de lungime x1 este R1 = p ∙ x1 ne R = p ∙ a

Cu valorile obţinute se trasează diagramele forţelor axială Nx = f(x) şi tăietoare

Ty = f(x) figura 220 Din diagrama forţei tăietoare şi din valorile obţinute analitic se

observă că forţa tăietoare icircşi schimbă semnul pe intervalul analizat deci se anulează pe

acest interval Poziţia secţiunii unde Ty se anulează se determină din ecuaţia

Ty(x1) = 0 rArr VA minus p ∙ x1 = 0 (A9)

cu soluţia x1lowast = ξ = 42 [m] Important de reamintit că icircn această secţiune momentul

icircncovoietor va avea un extrem local adică Miz are un extrem la Ty = 0

Funcţia moment icircncovoietor Miz are expresia

Miz(x1) = VA ∙ x1 minus R1 ∙x12= VA ∙ x1 minus (p ∙ x1) ∙

x12

(A10)

Se observă că funcţia moment icircncovoietor de variabilă x1 are o variaţie parabolică

(gradul al II-lea) Pentru reprezentarea grafică a funcţiei parabolice se calculează valorile

momentului icircncovoietor icircn trei secţiuni

- pentru x1 = 0 Miz(x1 = 0) = MA = 0 [kN ∙ m] - pentru x1 = a = 6 [m] Miz(x1 = 6) = M1 = 72 [kN ∙ m] - pentru x1

lowast = ξ = 42 [m] Miz(x1lowast = ξ = 42 [m]) = Mimax = 882 [kN ∙ m]

Cu acestea se trasează diagrama Miz = f(x) pe intervalul (A-1) figura 220

Observaţie Icircn unele cazuri pe un anumit interval forţa tăietoare nu se anulează

şi momentul icircncovoietor nu are un extrem local Icircn acest caz pentru reprezentarea

variaţiei parabolice a momentului icircncovoietor se va studia semnul derivatei a doua a

funcţiei Miz = f(x1) acesta determinacircnd convexitatea curbei momentului icircncovoietor

Domeniul (2-B) x2 isin [0 c = 4 m] Porţiunile din grindă libere (nerezemate) la un capăt se numesc console iar

stabilirea funcţiilor de eforturi devine mai simplă dacă se consideră icircndepărtată partea din

dreapta secţiunii prin schimbarea sensului pozitiv al axei x Astfel se obţin funcţiile eforturilor

Funcţia forţă axială Nx are expresia

Nx(x2) = N2minusB = minusFH = minus173 [kN] = const

(A11)

Funcţia forţă tăietoare Ty are exspresia

Ty(x2) = T2minusB = FV = 10 [kN] = const (A12)

Funcţia moment icircncovoietor Miz are expresia

Miz(x2) = minusFV ∙ x2 rArr Miz(x2 = 0) = M2 = 0 [kN ∙ m]

Miz(x2 = 4) = MB = minus40 [kN ∙ m] (A13)

variaţie liniară (gradul I)

Domeniul (B-1) x3 isin [0 b = 4 m] Pe acest domeniu se acceptă parcurgerea grinzii de la dreapta adică se consideră

icircndepărtată partea din dreapta secţiunii fictive pentru că are doar două sarcini aplicate F

şi VB faţă de partea din stacircnga secţiunii pe care sunt aplicate trei sarcini p VA şi M0

Astfel se obţin funcţiile eforturilor

Funcţia forţă axială Nx are expresia

Nx(x3) = NBminus1 = minusFH = minus173 [kN] = const

(A14)

Funcţia forţă tăietoare Ty are exspresia

Ty(x3) = TBminus1 = FV minus VB = minus18 [kN] = const (A15)

Funcţia moment icircncovoietor Miz are expresia

Miz(x3) = minusFV ∙ (x3 + c) + VB ∙ x3 rArr

rArr Miz(x3 = 0) = MB = minus40 [kN ∙ m]

Miz(x3 = 4) = M1 = 32 [kN ∙ m]

(A16)

variaţie liniară (gradul I)

Diagramele eforturilor sunt prezentate icircn figura 220

c) Relaţiile diferenţiale dintre eforturi şi sarcini se analizează pe diagramele

eforturilor după cum urmează

sarcina distribuită nu are componentă orizontală adică ph = 0 şi icircn

conformitate cu formula (211) rezultă că Nx = const pe toată lungimea grinzii fapt care

a rezultat din funcţia şi reprezentarea diagramei forţei axiale

pe intervalul (A-1) sarcina distribuită are doar componenta verticală pozitivă

pV = p gt 0 prin urmare forţa tăietoare scade (are panta negativă dTy 119889119909frasl = minusp vezi

relaţia 210) iar momentul icircncovoietor avacircnd derivata a doua negativă d2M119894119911 1198891199092frasl =minuspare convexitatea curbei orientată spre sensul pozitiv al axei momentului Miz adică icircn

jos

pe domeniile (2-B) şi (B-1) deoarece pv = 0 forţa tăietoare Ty este constantă

iar momentul icircncovoietor Miz variază liniar

referitor la relaţia (212) pe porţiunile unde Ty gt 0 momentul Miz este

monoton crescător pe porţiunile unde Ty lt 0 momentul Miz este monoton descrescător

iar icircn secţiunea icircn care Ty = 0 momentul icircncovoietor are un extrem local Mξ =

882 [kN ∙ m] icircn diagrama forţei tăietoare discontinuităţile (salturile) se produc icircn secţiunile

unde acţionează VA VB şi FV iar icircn diagrama momentului icircncovoietor se produce un

singur salt icircn secţiunea icircn care este aplicat M0

se poate scrie

Mξ = suprafața diagramei Ty |ξ0=1

2∙ 42 ∙ 42 = 882 [kN ∙ m]

sau parcurgacircnd grinda de la dreapta la stacircnga rezultă

MB = minussuprafața diagramei Ty |c0= minus10 ∙ 4 = minus40 [kN ∙ m]

Toate aspectele analizate teoretic referitoare la relaţiile diferenţiale dintre eforturi

şi sarcini se regăsesc icircn diagramele de eforturi din figura 220 ceea ce icircnseamnă că

diagramele au fost reprezentate corect

3 TENSIUNI DEPLASĂRI ŞI DEFORMAŢII SPECIFICE

31 Tensiuni

Eforturile obținute icircn urma reducerii forțelor interioare icircn centrul de greutate al

secțiunii nu pot da informații asupra solicitării fiecărui punct al secțiunii respective Este

necesar să se cunoască modul cum se distribuie forțele interioare icircn fiecare punct al

secțiunii pentru a ști care este intensitatea maximă a solicitării Această intensitate

maximă se poate compara cu o valoare critică specifică materialului stabilindu-se astfel

dacă solicitarea este periculoasă sau nu

Mărimea care caracterizează solicitarea locală punctuală o vom denumi tensiune

și o vom defini icircn cele ce urmează Să considerăm partea din dreapta a unui corp solicitat

de forțele exterioare 1198651 1198652 și 1198653 obținută prin secționarea corpului și mărginită de fața

din dreapta Ad a secțiunii Pe secțiunea Ad vom considera un element de arie infinit mic

∆119860 caracterizat de normala la elementul de arie normală care are cosinușii directori

120573 și icircn raport cu un sistem de axe considerat fix Pe elementul infinit mic ∆119860 acționează

forțele interioare care au o rezultantă oarecare figura 31

Prin definiție tensiunea totală este

= lim∆119860rarr0

∆

∆119860 (31)

Tensiunea are aceeaşi direcţie cu forţa elementară ∆ iar mărimea ei este

determinată atacirct de mărimea forţei ∆ cacirct şi de orientarea suprafeţei ∆119860 faţă de direcţia

forţei

Tensiunea 119901 poate fi descompusă icircntr-o componentă orientată după direcţia

normalei la secţiune tensiunea normală notată cu 120590119909 şi o componentă icircn planul secţiunii

tensiunea tangenţială notată cu figura 32

= 119909 + 120591 (32)

Fig 31 Tensiunea totală Fig 32 Tensiunea normală și tangențială

La racircndul ei componenta tensiunii cuprinsă icircn planul secțiunii poate fi

descompusă după direcțiile axelor y și z

120591 = 120591119909119910 + 120591119909119911 (33)

Icircntre cele trei componente ale tensiunii totale care acționează pe elementul de arie

∆119860 este valabilă relația

1199012 = 1205901199092 + 120591119909119910

2 + 1205911199091199112 (34)

După sensul pe care icircl are tensiunea normală 120590 poate avea efect de tracţiune sau

de compresiune exercitat de către partea de corp icircnlăturată asupra părţii rămase Analog

tensiunea tangenţială 120591 poate avea efect de tăiere forfecare sau alunecare Pentru

componentele tensiunii tangențiale 120591119909119910 pe direcţia 119910 respectiv 120591119909119911 pe direcţia 119911 primul

indice indică axa pe care tensiunea este normală iar cel de-al doilea indice indică axa cu

care aceasta este paralel

Tensiunea este o mărime tensorială valoarea ei depinzacircnd atacirct de poziția

punctului icircn planul secțiunii cicirct și de orientarea planului de secționare deci de normala

Operaţiile vectoriale nu pot fi aplicate tensiunilor decacirct după ce acestea au fost icircnmulţite

cu ariile respective adică au fost transformate icircn forţe

Icircn literatura de specialitate mai ales icircn manualele mai vechi pentru noţiunea de

tensiune se mai foloseşte şi denumirea de efort specific

Dacă se consideră un alt element de arie ∆119860 cu centrul icircn același punct avacircnd ca

normală axa 119910 se vor obține alte tensiuni și anume

- 120590119910 este tensiunea normală (paralelă cu axa y)

- 120591119911119909 și 120591119910119911 sunt tensiuni tangențiale paralele cu axele 119909 și respectiv 119911 aflate icircn

planul care are ca normală axa 119910

Dacă icircn jurul unui punct dintr-un corp solicitat se consider un element de volum

infinit mic de forma unui cub icircn cazul cel mai general pe fețele sale vor acționa

tensiunile normale 120590119909 120590119910 și 120590119911 și respectiv tensiunile tangențiale 120591119909119910 120591119909119911 120591119910119909 120591119910119911 120591119911119909

și respectiv 120591119911119910 figura 33 Aceste tensiuni definesc starea de tensiune a punctului

observacircnd faptul că tensorul tensiune are 9 componente Dacă se consideră elementul

de volum finit ca fiind foarte mic se poate presupune că icircn interiorul său nu apar forțe

Ca urmare el va fi icircn echilibru sub acțiunea forțelor elementare produse de tensiunile de

pe fețele sale

Din condiția ca elementul să nu se rotească icircn jurul unor axe care trec prin centrul

său și sunt paralele cu axele sistemului 119909119874119910119911 rezultă

2 ∙ 120591119909119910 ∙ (119889119910 ∙ 119889119911) ∙119889119909

2= 2 ∙ 120591119910119909 ∙ (119889119909 ∙ 119889119911) ∙

119889119910

2 rArr 120591119909119910 = 120591119910119909 (35)

2 ∙ 120591119910119911 ∙ (119889119909 ∙ 119889119911) ∙119889119910

2= 2 ∙ 120591119911119910 ∙ (119889119909 ∙ 119889119910) ∙

119889119911

2 rArr 120591119910119911 = 120591119911119910 (36)

2 ∙ 120591119909119911 ∙ (119889119910 ∙ 119889119911) ∙119889119909

2= 2 ∙ 120591119911119909 ∙ (119889119909 ∙ 119889119910) ∙

119889119911

2 rArr 120591119909119911 = 120591119911119909 (37)

Relațiile (35divide37) 120591119909119910 = 120591119910119909 120591119910119911 = 120591119911119910 120591119909119911 = 120591119911119909 exprimă principiul dualității

tensiunilor tangențiale

Fig 33 Tensiunile normale și tangențiale pe fețele unui cub

Din condiția ca elementul considerat să nu se deplaseze icircn lungul axelor de

coordonate pe fețele opuse acționează aceleași tensiuni normale 120590119909 120590119910 și respectiv 120590119911

Definirea tensorului tensiune este posibilă dacă se cunosc cele 6 componente

independente ale acestuia aflate icircn trei plane perpendicular ce trec prin punctul respectiv

=

120590119909 120591119909119910 120591119909119911120591119910119909 120590119910 120591119910119911120591119911119909 120591119911119910 120590119911

Observaţii

Tensiunile se măsoară icircn [119873 1198982frasl ] (1119873 1198982frasl = 1 119875119886) sau icircn [119872119875119886]

(1 119872119875119886 = 106119875119886 = 106 119873

1198982 1 119872119875119886 = 1

119873

1198981198982)

Starea de tensiune dintr-un punct este considerată cunoscută dacă se cunosc

tensiunile 119901 care acționează pe infinitatea de elemente de suprafață ce trec prin punctual

considerat

Starea de tensiune a unui corp se consider cunoscută dacă se cunosc stările de

tensiune de pe infinitatea de puncte ale corpului considerat

32 Deplasări Deformaţii specifice

321 Deplasări

Aceste noțiuni sunt utile icircn analiza aspectului geometric al problemelor de rezistența

materialelor Deplasările care se analizează sunt cele datorate schimbării formei și

dimensiunilor corpurilor ca urmare a acțiunii forțelor exterioare și nu cele cinematice

posibile pentru solidul rigid care se poate deplasa cu anumită viteză și accelerație

Spre exemplu icircn figura 34a și figura 34b sub acțiunea forței 119865 tronsonul de

bară AB se deformează icircn timp ce tronsonul BC deși punctele sale au deplasări rămacircne

nedeformat (fiind nesolicitat) Toate punctele de pe axele barelor cu excepția celor din

icircncastrare (secțiunile A) au deplasări liniare De cele mai multe ori deformațiile barelor

datorate acțiunii forțelor exterioare se anulează la icircndepărtarea forțelor se spune că

deformațiile sunt elastice Secțiunile transversale ale barei din figura 34a se și rotesc icircn

raport cu pozițiile lor inițiale Spre exemplu secțiunea de căpăt cu centrul icircn C se rotește

cu unghiul

Fig 34 Deformațiile unei grinzi

Oricacirct de complexă ar fi delormația unui corp ea poate fi descrisă de lungiri sau

scurtări și de modificări ale unghiurilor inițiale

Deplasările măsoară schimbarea poziției unui punct al corpului și pot fi liniare

sau unghiulare

Prin deplasare liniară a unui punct se icircnțelege drumul parcurs de acest punct icircn

decursul procesului de deformație după o dreaptă suport dreapta 1198611198611 din figura 34a

Prin deplasare unghiulară se icircnțelege rotirea dintre segmentele de dreaptă

determinate de două puncte ale corpului icircnainte și după deformarea acestuia unghiul

pe care-l fac segmentele 119861119862 și 11986111198621 din figura 34a Această rotire se măsoară prin

unghiul pe care-l fac proiecțiile dreptelor ce conțin cele două segmente icircntr-un sistem

triortogonal

Icircn cazul cel mai general vectorul deplasare liniară se poate descompune icircntr-un

sistem triortogonal icircn trei componente 119906 119907 și 119908 figura 35

Fig 35 Deplasarea liniară

Se consideră acum un corp solid raportat la un sistem de axe ortogonal 119909119874119910119911

figura 35 după deformarea corpului un punct oarecare 119870 al acestuia se deplasează icircn

poziţia 1198701 vectorul 1198701198701 poartă numele de vectorul deplasării totale

Deplasarea totală este suma deplasărilor pe cele trei direcţii ortogonale iar

aceste deplasări se notează astfel

deplasarea pe direcţia 119909 cu ∥ 119874119909

deplasarea pe direcţia 119910 cu ∥ 119874119910

deplasarea pe direcţia 119911 cu ∥ 119874119911

Componentele deplasărilor și formeză matricea deplasărilor liniare 119906119907119908

322 Deformații

Prin deformație icircn general se icircnțelege orice schimbare de formă a unui corp fără

o evaluare cantitativă Icircn Rezistența Materialelor deformația măsoară variația

dimensiunilor geometrice ale corpului considerat din vecinătatea unui punct analog

deplasărilor deformațiile pot fi liniare și unghiulare (lunecări)

Fig 36 Deplasarea liniară

Deformația liniară ∆119897 reprezintă variația lungimii 119897 a unui element liniar al

corpului deformat figura 36 Deformația liniară specifică se definește ca fiind raportul

dintre deformația liniară și lungimea inițială

휀 =∆119897

119897 (38)

unde ∆119897 este lungirea sau scurtarea care este echivalentă cu deformția liniară totală iar

este alungirea

Deformația unghiulară sau lunecarea unui punct 119860 icircn planul 119861119860119862 se definește

prin relația figura 37

120574 = lim119861119860rarr0119862119860rarr0

(119861119860 minus 119861111986011198621 ) (39)

Fig 36 Deformația unghiulară

Schimbacircnd orientarea planului care trece prin 119860 se obțin alte deformații

unghiulare Dacă elementele liniare 119861119860 și 119862119860 sunt inițial perpendiculare deformația 120574 se

numește deformație unghiulară specifică sau lunecare specifică figura 37

Un exemplu de deplasare unghiulară și de deformație unghiulară este prezentat icircn

figura 38 Unghiul este deplasarea unghiulară și măsoară rotirea relativă dintre două

secțiuni aflate la distanța 119897 Unghiul este deformația specifică unghiulară (lunecarea

specifică) din punctul 119870 Aceste deplasări și deformații se obțin icircn urma solicitării barei

de către cele două momente 1198720 egale și de sens contrar

Fig 38 Deplasarea unghiulară

Pentru a analiza starea de deformație din vecinătatea unui punct al unui corp

solicitat complex se decupează din jurul punctului un element de volum mic figura 39a

avacircnd laturile 119889119909 119889119910 și 119889119911 Ca urmare a solicitării laturile acestuia se vor lungi sau

scurta Reprezentarea elementului deformat icircn spațiu este dificilă pentru simplificare

vom analiza doar deformațiile din planul 119909119874119910 Observăm că dimensiunile 119889119909 și 119889119910 s-au

modificat cu valoarea ∆119889119909 respectiv cu ∆119889119910 analog se acceptă și pentru 119889119911 o modificare

de forma ∆119889119911 Astfel se pot defini deformațiile specifice liniare

휀119909 =∆119889119909

119889119909 휀119910 =

∆119889119910

119889119910 휀119911 =

∆119889119911

119889119911 (310)

De cele mai multe ori aceste deformații specifice liniare se pot exprima procentual

și se mai numesc alungiri

Fig 39 Starea de deformație

Icircn figura 39c se vede că unghiul inițial drept dintre muchiile 119889119909 și 119889119910 ale

elementului de volum s-a modificat Se definește deformația specifică unghiulară (sau

lunecarea specifică) mărimea cu care se modifică unghiul inițial drept

120574119909119910 = 120574119909119910prime + 120574119910119909

prime = 120574119910119909120574119910119911 = 120574119910119911

prime + 120574119911119910prime = 120574119911119910

120574119911119909 = 120574119911119909prime + 120574119909119911

prime = 120574119909119911

(311)

Deformațiile 휀119909 휀119910 휀119911 120574119909119910 120574119910119911 120574119911119909 constituie cele șase componente

independente ale tensorului deformațiilor specifice care pot fi scrise de forma

119863 =

휀119909 120574119909119910 120574119909119911120574119910119909 휀119910 120574119910119911120574119911119909 120574119911119910 휀119911

(312)

323 Contracţia transversală

Practica arată că odată cu lungirea unei bare apare o micşorare a mărimii secţiunii

transversale mărime numită contracţie transversală figura 310

Fig 310 Contracția transversală

Contracţia transversală este proporţională cu lungirea specifică coeficientul de

proporţionalitate se notează cu 120599 şi se numeşte coeficient de contracţie transversală sau

coeficientul lui Poisson

La o lungire specifică a barei contracţia transversală este dată de relația

휀119905119903 = 휀119910 = 휀119911 = minus120599 ∙ 휀119909 (313)

Semnul minus bdquo-rdquo arată că cele două mărimi sunt contrare dacă una creşte cealaltă

scade şi invers

Considerăm o bară cilindrică de lungime 119897 şi aria secţiunii transversale 119860 solicitată

la icircntindere axială La un moment dat datorită solicitării lungimea barei devine

[119897 ∙ (1 + 휀)] diametrul devine [119889 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)] iar aria secţiunii transversale devine

[119860 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)2] Dacă volumul barei icircnainte de solicitare a fost (119860 ∙ 119897) după solicitare

acesta devine

119881 + ∆119881 = 119860 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)2 ∙ 119897 ∙ (1 + 휀) =

= 119860 ∙ 119897 ∙ (1 + 휀 minus 2 ∙ 120599 ∙ 휀 minus 2 ∙ 120599 ∙ 휀2 + 1205992 ∙ 휀2 + 1205992 ∙ 휀3) (314)

Deoarece lungirile sunt foarte mici ultimii trei termeni din paranteză fiind infinit mici se pot neglija obţinacircnd

119881 + ∆119881 = 119860 ∙ 119897 + 119860 ∙ 119897 ∙ 휀 ∙ (1 minus 2 ∙ 120599) ⟺ ∆119881 = 휀 ∙ (1 minus 2 ∙ 120599) ∙ 119860 ∙ 119897 (315)

Practica arătă că o astfel de bară solicitată la icircntindere icircşi măreşte volumul deci

∆119881 gt 0 de unde rezultă că

1 minus 2 ∙ 120599 gt 0 rArr 120599 lt 05 (316)

Pentru majoritatea materialelor 120599 = 033 iar pentru materialele care-şi păstrează

volumul constant 120599 = 05

33 Relaţii de echivalenţă icircntre eforturi şi tensiuni

Considerăm un element de suprafață infinit mic 119889119860 situat pe fața de arie (119860) a

secțiunii barei din figura 311 Icircn centrul de greutate 119862 al secțiunii acționează eforturile

119873 119879119910 119879119911 119872119909 119872119894119910 și 119872119894119911 determinate prin metoda secțiunilor

Icircn raport cu un sistem de axe de referință 119909119862119910119911 coordonatele elementului 119889119860 sunt

- 119910 este ordonata elementului de arie 119889119860

- 119911 este abscisa elementului de arie 119889119860

Pe elementul de arie 119889119860 acționează tensiunile

120590119909 tensiunea normală

120591119909119910 și 120591119909119911 tensiuni tangențiale

Dacă se icircnsumează forțele elementare de tipul 120590119909 ∙ 119889119860 120591119909119910 ∙ 119889119860 și 120591119909119911 ∙ 119889119860

va trebui să obținem eforturile 119873 119879119910 și 119879119911

Fig 311 Element de suprafață mic din secțiunea unei bare

Dacă eforturile sunt privite ca forțe exterioare și se scriu ecuațiile de

echilibru ale secțiunii (119860) se vor obține șase relații de echivalență icircntre eforturi și

tensiuni

(sum119883) = 0 rArr int 120590119909 ∙ 119889119860

119860

= 119873 (317)

(sum119884) = 0 rArr int 120591119909119910 ∙ 119889119860

119860

= 119879119910 (318)

(sum119885) = 0 rArr int 120591119909119911 ∙ 119889119860

119860

= 119879119911 (319)

(sum119872)119909= 0 rArr int(120591119909119911 ∙ 119889119860) ∙ 119910

119860

minus int(120591119909119910 ∙ 119889119860) ∙ 119911

119860

= 119872119909 rArr

rArr int(119910 ∙ 120591119909119911 minus 119911 ∙ 120591119909119910) ∙ 119889119860

119860

= 119872119909

(320)

(sum119872)119910= 0 rArr int(120590119909 ∙ 119889119860) ∙ 119911

119860

= 119872119894119910 (321)

(sum119872)119911= 0 rArr int(120590119909 ∙ 119889119860) ∙ 119910

119860

= 119872119894119911 (322)

Cele șase relații de echivalență icircntre eforturi și tensiuni constituie un pas icircnainte

icircn rezolvarea unei probleme de rezistența materialelor Aceste relații vor permite

determinarea tensiunilor maxime

Pentru a rezolva cele 6 relații de echivalență trebuie să se cunoască tensiunile și

ca funcții de punct adică funcții de forma

120590119909 = 120590119909(119909 119910 119911) 120591119909119910 = 120591119909119910(119909 119910 119911) 120591119909119911 = 120591119909119911(119909 119910 119911) (32

3)

Cunoașterea acestor funcții presupune icircnsă analizarea aspectului geometric al

problemei precum și utilizarea unor ipoteze simplificatoare care să permită simplificarea

problemelor

34 Ipoteze de bază icircn rezistenţa materialelor

Depășirea dificultăților legate de interpretarea unor fenomene specifice mecanicii

solidului deformabil a impus acceptarea unor ipoteze care să simplifice fenomenele și să

contribuie la elaborarea unor modele de calcul cicirct mai generale și cacirct mai simple Aceste

ipoteze se referă la structura materialelor şi la comportarea lor sub acţiunea forţelor

exterioare Ipotezele acceptate trebuie să fie icircn deplină concordanţă cu realitatea și să

conducă la rezultate verificate icircn practică

Funcție de aspectele la care se referă ipotezele pot fi

Ipoteze fizice (de material)

Ipoteze de calcul

341 Ipoteze fizice

Se acceptă deoarece teoriile structurale au condus la rezultate care contravin

icircncercărilor experimentale

Ipoteza mediului continuu consideră că orice domeniu elementar al corpului

este ocupat de materie adică nu se acceptă existența unor goluri sau a unor crăpături

microscopice (fisuri) Deși nu corespunde realităţii poate fi acceptată deoarece

dimensiunile corpului sunt mult mai mari decacirct dimensiunile particulelor elemantare Are

avantajul că permite utilizarea proprietăților matematice ale funcțiilor continue pentru

tensiunile și deformațiile din orice punct al corpului Ea este mai apropiată de realitate la

corpurile amorfe şi mai depărtată la cele cristaline dar conduce la rezultate satisfăcătoare

icircn calculele de rezistenţă

Ipoteza nu se poate aplica la corpurile care au goluri tăieturi (multiplu conexe)

pentru unele puncte singulare icircn care tensiunile și deformațiile tind la infinit sau icircn unele

probleme de plasticitate icircn care proprietățile de material au un rol esențial

Ipoteza izotropiei conform acestei ipoteze materialul din care este confecționat

un element de rezistență are aceleași proprietăți după orice direcție un astfel de material

este considerat izotrop Din punct de vedere macroscopic metalele pot fi considerate

izotrope deși la nivel microscopic proprietățile lor diferă de la o direcție cristalografică

la alta Orice conglomerat de cristale poate fi considerat izotrop

Există cazuri cacircnd această ipoteză a izotropiei nu se acceptă

la metalele puternic deformate după o direcție (prin laminare trefilare)

la piesele confecționate din lemn lemnul este anizotrop deoarece proprietățile sale

diferă după două direcții (icircn lungul fibrelor și perpendicular pe această direcție)

Ipoteza omogenității consideră că un corp are aceleași proprietăți icircn orice

punct al său Deși majoritatea materialelor utilizate icircn tehnică sunt eterogene la scară

micro fiind constituite din mai multe faze cu proprietăți diferite la scară macro ele pot

fi considerate omogene Omogenitatea și izotropia sunt proprietăți statistice medii care

nu se condiționează una pe cealaltă Chiar și materialele monofazice pot avea la scară

micro unele segregații care le fac eterogene

Ipoteza elasticităţii perfecte presupune că atacircta timp cacirct solicitările nu

depăşesc anumite limite materialul are o comportare elastică adică icircşi recapătă forma şi

dimensiunile iniţiale odată cu icircnlăturarea sarcinilor Icircn realitate materialele nu prezintă o

elasticitate perfectă ele avacircnd deformaţii remanente mici care icircnsă pot fi neglijate icircn

calculele de rezistenţă

Acceptarea acestei ipoteze a elasticității perfecte permite

- aplicarea relației biunivoce icircntre tensiuni și deformații relație exprimată de legea

lui Hooke ( = 119864 ∙ 휀) unde E este un factor de proporţionalitate numit modul de

elasticitate longitudinal al materialului pentru oţel 119864 = 21 ∙ 105 [119872119875119886] - acceptarea valabilității afirmației bdquolucrul mecanic efectuat de forțele exterioare

ca urmare a parcurgerii deplasărilor punctelor de aplicație se icircnmagazinează integral icircn

corp sub formă de energie de deformație energie cedată la icircndepărtarea sarcinilorrdquo

- este valabilă teoria conform căreia bdquoenergia icircnmagazinată și deformațiile depind

doar de starea inițială și finală de eforturi fără a ține cont de modul icircn care s-a ajuns la

starea finalărdquo

Icircn realitate oricacirct de mici ar fi sarcinile aplicate se produc și deformații plastice

dar acestea pot fi neglijate dacă solicitarea nu depășește anumite limite

342 Ipoteze de calcul

Ipoteza micilor deplasări bdquodeplasările datorate deformării sunt mult mai mici

decacirct dimensiunile corpurilor și ca urmare pot fi neglijate produsele dintre o deplasare și

ea icircnsăşirdquo Pentru cele mai multe corpuri deformaţiile elastice sunt de mărimi mici deci

corpurile solide sub acţiunea sarcinilor icircşi modifică foarte puţin forma iniţială Această

ipoteză este cunoscută şi sub denumirea de ipoteza menţinerii dimensiunilor iniţiale Ea

permite scrierea ecuaţiilor de echilibru ale staticii pe starea nedeformată a elementului

cacircnd nu se iau icircn considerare deplasările punctelor de aplicaţie ale forţelor care se produc

ca urmare a deformării acestuia Calculul efectuat pe schema nedeformată poartă numele

de calcul de ordinul I

Ipoteza micilor deplasări nu poate fi acceptată pentru studiul problemelor de

stabilitate sau la problemele la care nu pot fi icircndeplinite condiţiile de echilibru icircn starea

nedeformată

Calculul de ordinul II admite ipoteza micilor deplasări dar ecuaţiile de echilibru

se scriu icircnsă pentru starea deformată a elementului de rezistenţă

Calculul de ordinul III nu mai acceptă ipoteza micilor deplasări el referindu-se

la cazul deformaţiilor mari cacircnd ecuaţiile de echilibru trebuie scrise pentru starea

deformată

Chiar dacă materialul satisface legea lui Hooke icircn urma calculelor de ordinul II

se obţin de obicei relaţii neliniare icircntre sarcini şi deplasări iar pentru calculul de ordinul

III rezultă ecuaţii diferenţiale neliniare

Principiul efectului local al acțiunii sarcinilor enunțat de Barre de Saint-

Venant Acest principiu destul de folosit icircn Rezistenţa Materialelor precizează că dacă

se icircnlocuiesc forţele care acţionează asupra unui element de suprafață al unui corp

elastic printr-un alt sistem de forţe echivalent din punct de vedere static cu primul noua

distribuţie a forţelor produce la locul de aplicare diferenţe semnificative faţă de prima

dar rămacircne fără efect sau cu efect neglijabil la distanţe mari de locul de aplicare al

forţelor figura 312

Ca o cosecință o sarcină uniform distribuită figura 312a poate fi icircnlocuită cu

rezultanta ei figura 312b dacă se analizează efectul sarcinii la distanță mare de locul icircn

care se aplică sarcina

Fig 312 Principiul Saint-Venant

Icircn prima variantă figura 312a forţa 119865 se aplică pe o porțiune oarecare 119897 (sarcină

uniform distribuită) iar icircn a doua figura 312b icircntru-un punct (forţă concentrată) La

locul de aplicare a sarcinii efectul asupra barei este cu totul diferit de la o variantă la

cealaltă Icircnsă la o distanţă mare de punctul de aplicaţie spre exemplu icircn secţiunea situată

la distanţa 119886 de capătul barei sau chiar icircn icircncastrare ambele bare sunt solicitate la fel

Icircn cazul din figura 312a

119872119894(119909) =119901 ∙ 1199092

2 119909 le 119897 119872119894(119909) = 119901 ∙ 119897 ∙ (119909 minus

119897

2) 119909 gt 119897 (324)

Icircn cazul din figura 312b

119872119894(119909) = 0 119909 lt119897

2 119872119894(119909) = 119901 ∙ 119897 ∙ (119909 minus

119897

2) 119909 gt

119897

2 (325)

Se vede că pentru (119909 gt 119897) adică după depășirea locului icircn care se aplică sarcina

efectul este același

Ipoteza lui Bernoulli sau ipoteza secţiunilor plane precizează că o secţiune

plană şi normală pe axa barei icircnainte de deformare rămacircne plană şi normală pe axa

barei şi după deformare figura 313

Fig 313 Ipoteza lui Bernoulli

Ipoteza stării naturale a corpului sau ipoteza absenţei tensiunilor conform

căreia pentru un corp nesolicitat starea de tensiune şi deformaţie este nulă

Perfecţionarea mijloacelor de calcul şi de investigare pot conduce la renunţarea la

unele ipoteze sau la introducerea altora noi mai aproape de stările reale De aici rezultă

caracterul de continuă perfecţionare a metodelor Rezistenţei Materialelor

35 Coeficienţi de siguranţă Tensiuni admisibile

O piesă corespunde din punct de vedere tehnic dacă tensiunile care iau naştere icircn

interiorul piesei datorită sarcinilor aplicate nu depăşesc anumite valori limită stabilite

convenţional Aceste valori limită ale tensiunii sunt corelate cu caracteristicile mecanice

ale materialelor

Tensiunea limită utilizată icircn calculele de rezistenţă este cunoscută sub denumirea

de tensiune admisibilă sau rezistenţă admisibilă Rezistenţa admisibilă reprezintă

valoarea convenţională aleasă icircn calcul pe baza practicii pentru tensiunea maximă care

poate apare icircntr-o piesă icircn condiţii date de material şi solicitare

Rezistenţa admisibilă (120590119886 sau 120591119886) poate fi definită faţă de o stare limită

periculoasă stare care trebuie evitată deoarece poate conduce distrugere

120590119886 =120590119897119894119898119888

(326)

unde

120590119897119894119898 este tensiunea corespunzătoare stării limită periculoase

119888 estesupraunitar 119888 gt 1 și reprezintă coeficientul de siguranţă faţă de starea limită

periculoasă considerată

Alegerea unor valori inferioare pentru rezistenţa admisibilă faţă de tensiunea

corespunzătoare stării limită periculoase este necesară deoarece

cunoaşterea sarcinilor este de cele mai multe ori aproximativă şi o depăşire a

acestora este foarte posibilă

caracteristicile mecanice ale materialelor variază icircn limite destul de mari ele

fiind influenţate de mulţi factori

schema aleasă pentru calcul (aplicarea sarcinilor schematizarea structurii

ipotezele de calcul etc) depărtează modelul faţă de cel real

Pentru calculele de verificare tensiunea efectivă maximă din elementul de

rezistenţă trebuie să fie mai mică sau cel mult egală cu cea admisibilă

120590119890119891119898119886119909 le 120590119886 (327)

Valoarea rezistenţei admisibile este influenţată de foarte mulţi factori natura

materialului tratamentele termice aplicate piesei durata de funcţionare a piesei modul

de acţionare icircn timp a sarcinilor felul solicitării temperatura gradul de periculozitate

icircn cazul cedării piesei etc

De asemenea valoarea coeficientului de siguranţă se alege icircn principal ţinacircnd

seama de aceiaşi factori care influenţează şi rezistenţa admisibilă

Rezistenţele admisibile pentru cacircteva materiale sunt următoarele

pentru oțelul de uz general OL37 solicitat la icircntindere compresiune sau

icircncovoiere 120590119886 = 150 [119872119875119886] pentru lemnul de brad solicitat la

- compresiune icircn lungul fibrelor şi solicitat la icircncovoiere 120590119886 = 10 [119872119875119886] - tracţiune icircn lungul fibrelor 120590119886 = 7 [119872119875119886] - compresiune perpendiculară pe fibre 120590119886 = 15 [119872119875119886] - forfecare icircn lungul fibrelor 120591119886 = 2 [119872119875119886] - forfecare perpendiculară pe fibre 120590119886 = 45 [119872119875119886]

terenuri de fundaţie din pămacircnt uscat sau umed 120590119886 = 020 divide 025 [119872119875119886]

4 CARACTERISTICI GEOMETRICE ALE SECȚIUNILOR PLANE

41 Noţiuni introductive

Icircn relaţiile de calcul ale tensiunilor şi deformaţiilor elementelor de rezistenţă

pentru unele solicitări (icircncovoierea și torsiunea) secțiunile plane intervin atacirct prin

dimensiunile lor (aria 119860) cicirct și prin forma și poziția pe care o are secțiunea icircn raport cu

planul solicitării Mărimile care caracterizează o secțiune icircn raport cu forma și poziția față

de axele unui sistem de referință sunt denumite caracteristici geometrice de ordin

superior Aria secțiunii este caracteristica geometrică ce depinde doar de dimensiunile

geometrice ale acesteia

Să considerăm o grindă solicitată de o forță exterioară 119865 aşezată icircn două poziții icircn

raport cu planul forţei figura 41 Icircn urma aplicării forței deși avem aceeași grindă

(aceeași arie a secțiunii transversale) și aceeași forță se constată că pentru varianta din

figura 41a deformațiile sunt mult mai mari adică rezistența la icircncovoiere a grinzii din

figura 41a este mai mare decacirct icircn cazul grinzii din figura 41b Comportarea diferită se

explică prin aceea că modificarea poziţiei secţiunii transversale faţă de planul forţelor

modifică caracteristicile geometrice ale secţiunii transversale a grinzii

Fig 41 Grindă solicitată de forța 119865

Pentru realizarea calculelor de rezistenţă şi rigiditate este foarte importantă

cunoaşterea caracteristicilor geometrice ale suprafeţei secţiunii transversale a elementelor

de rezistenţă

Caracteristicile geometrice ale secţiunii transversale a unui element de rezistenţă

sunt

- aria secțiunii notată cu 119860

- momentul static icircn raport cu o axă notat 119878119911 și respectiv 119878119910

- momentul de inerție care poate fi

axial notat 119868119911 și respectiv 119868119910

centrifugal notat 119868119911119910

polar notat 119868119901

- raza de inerţie (giraţie)notată 119894119911 și respectiv 119894119910

- modulul de rezistență care poate fi

axial notat 119882119911 și respectiv 119882119910

polar notat 119882119901

42 Aria și momentul static al suprafețelor plane

Fie o suprafaţă plană de arie 119860 pe care se ia un element infinit mic de arie 119889119860 şi

un sistem de axe rectangulare 119911119874119910 figura 42 Notăm cu 119862 centrul de greutate al suprafeţei

119860 Poziţia suprafeţei elementare 119889119860 faţă de acelaşi sistem de coordonate 119911119874119910 este dată

de abscisa 119911 ordonata 119910 și raza polară

Fig 42 Suprafață plană de arie 119860

Aria suprafeţei 119860 figura 42 se defineşte ca fiind

119860 ≝ int 119889119860

119860

(41)

Aria suprafeţei este icircntotdeauna pozitivă și se măsoară icircn [1198981198982] Momentul static al suprafeţei de arie 119860 icircn raport cu axele 119874119911 și respectiv 119874119910

figura 42 sunt date de relaţiile

119878119911 ≝ int 119910 ∙ 119889119860

119860

119878119910 ≝ int 119911 ∙ 119889119860

119860

(42)

Momentul static poate fi pozitiv negativ sau nul şi se măsoară icircn [1198981198983] Coordonatele centrului de greutate ale suprafeței 119860 se detrmină cu relațiile

119910119862 ≝int 119910 ∙ 119889119860119860

119860 119911119862 ≝

int 119911 ∙ 119889119860119860

119860

(43)

Cunoscacircnd coordonatele 119910119862 și 119911119862 ale centrului de greutate 119862 al secțiunii 119860 atunci

momentele statice se pot determina cu relațiile

119878119911 ≝ int 119910 ∙ 119889119860

119860

= 119910119862 ∙ 119889119860 119878119910 ≝ int 119911 ∙ 119889119860

119860

= 119911119862 ∙ 119889119860 (44)

Aceste relații arată că momentul static al unei suprafețe icircn raport cu o axă este

egal cu produsul dintre aria suprafeței și distanța de la centrul ariei la axa respectivă

Dacă suprafaţa se poate descompune icircn 119899 suprafeţe simple la care se cunosc ariile

(1198601 1198602 ⋯ 119860119894⋯ 119860119899) și poziţiile centrelor de greutate 119862119894 faţă de sistemul de referinţă

expresiile momentelor statice capătă următoarea formă

119878119911 = sum 119910119862119894 ∙ 119860119894119899119894=1 = 119910119862 ∙ 119860 119878119910 = sum 119911119862119894 ∙ 119860119894

119899119894=1 = 119911119862 ∙ 119860 (45)

Din relaţiile (45) rezultă că poziţia centrului de greutate 119862 al unei suprafeţe

compuse poate fi determinată cu relaţiile

119910119862 = (sum119910119862119894 ∙ 119860119894

119899

119894=1

) 119860frasl 119911119862 = (sum119911119862119894 ∙ 119860119894

119899

119894=1

) 119860frasl (46)

Icircn relația (45) 119910119862119894 și respectiv 119911119862119894 reprezintă coordonatele centrelor de greutate 119862119894

ale fiecărei suprafețe simple 119860119894 icircn raport sistemul de axe 119911119874119910

Se constată (relaţia 42) că dacă axele sistemului de referinţă trec prin centrul de

greutate (119910119862 = 119911119862 = 0) momentele statice sunt nule Axele icircn raport cu care momentele

statice sunt nule şi care trec prin centrul de greutate al suprafeţei se numesc axe centrale

Observație dacă secțiunea compusă are o axă de simetrie centrul secțiunii se

găsește pe acea axă iar dacă secțiunea este dublu simetrică poziția centrului secțiunii este

la intersecția axelor de simetrie

43 Momente de inerţie

Momentele de inerţie axiale ale unei suprafețe se calculează icircn raport cu axele de

coordonate 119874119911 și respectiv 119874119910 figura 42 și se determină cu relațiile

119868119911 ≝ int 1199102 ∙ 119889119860

119860

119868119910 ≝ int 1199112 ∙ 119889119860

119860

(47)

Unde 119910 și 119911 sunt distanțele de la elementul de arie 119889119860 la cele două axe de

coordonate 119874119911 și respectiv 119874119910

Momentele de inerţie axiale se măsoară icircn [1198981198984] şi sunt icircntotdeauna pozitive (aria

119889119860 este icircntotdeauna pozitivă și este multiplicată cu patratul distanței 1199102 dacă 119868119911 sau 119868119910

sunt nule icircnseamnă ca secțiunea nu există)

Momentele de inerție axiale se calculează icircndeosebi pentru axele centrale (care

trec prin centrul secțiunii) deoarece icircn raport cu acele axe 119868119911 și 119868119910 au valori minime

Momentul de inerţie centrifugal calculat faţă ambele axe ale sistemului de

referinţă 119911119874119910 este definit de relația

119868119911119910 ≝ int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860

(48)

Momentul de inerţie centrifugal se măsoară icircn [1198981198984] şi poate fi pozitiv negativ

sau nul

Momentul de ineție centrifugal este nul 119868119911119910 = 0 dacă cel puțin una din axele 119874119911

sau 119874119910 este axă de simetrie pentru secțiune

Se consideră o suprafaţă dreptunghiulară pe care faţă de axa de simetrie 119874119910 se iau

două suprafeţe elementare de arie 119889119860 simetrice faţă de axa 119874119910 figura 43

Fig 43 Suprafață dreptunghiulară cu două arii elementare 119889119860

Făcacircnd suma momentelor de inerţie centrifugale pentru cele două suprafeţe

elementare 119889119860 (din stacircnga şi din dreapta faţă de axa 119874119910) se obţine

int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860119889119903

+ int (minus119911) ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860119904119905119892

= int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860119889119903

minus int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860119904119905119892

= 0 (49)

Acelaşi raţionament se poate face și pentru icircntreaga suprafaţă de unde obținem că

momentul de inerție centrifugal este nul 119868119911119910 = 0 Deci pentru o suprafaţă plană care

are cel puţin o axă de simetrie momentul de inerţie centrifugal faţă de sistemul care

conţine acea axă de simetrie este nul

Momentul de inerţie polar al unei suprafeţei icircn raport cu un punct (pol) 119874 figura

42 este definit prin relaţia

1198680 = 119868119901 ≝ int 1205882 ∙ 119889119860

119860

= int(1199102 + 1199112) ∙ 119889119860

119860

= 119868119911 + 119868119910 (410)

unde este distanţa de la polul 119874 la elementul de arie 119889119860 Momentul de inerţie polar se

măsoară icircn [1198981198984] şi este totdeauna pozitiv

Momentul de inerţie polar este egal cu suma momentelor de inerţie faţă de două axe

perpendiculare oarecare şi care trec prin polul considerat

Razele de giraţie sau razele de inerţie sunt mărimi calculate icircn raport cu axele

secțiunii și definite de relaţiile

119894119911 ≝ radic119868119911119860 119894119910 = radic

119868119910

119860 (411)

Se exprimă icircn [119898119898] şi sunt icircntotdeauna pozitive Semnificația unei raze de inerție

este distanța la care dacă ar fi concentrată icircntreaga arie s-ar obține același moment de

inerție ca și cel calculat pentru aria reală

44 Modulul de rezistenţă

Modulul de rezistență se calculează icircn raport cu axele de referință sau icircn raport cu

un pol figura 42 și pot fi axiale (119882119911119882119910) sau polar (119882119901) și se determină numai pe baza

momentelor de inerţie cu relațiile figura 43

119882119911119898119894119899 ≝119868119911119910119898119886119909

119882119911119898119886119909 ≝119868119911119910119898119894119899

(412)

119882119910119898119894119899 ≝119868119910

119911119898119886119909 119882119910119898119886119909 ≝

119868119910

119911119898119894119899 (413)

119882119901 ≝119868119901

120588119898119886119909 (414)

unde

119910119898119886119909 119910119898119894119899 reprezintă distanţa de la axa 119874119911 la punctele extreme cele mai

depărtate respectiv cele mai apropiate ale suprafeţei de această axă

119911119898119886119909 119911119898119894119899 reprezintă distanţa de la axa 119874119910 la punctele extreme cele mai

depărtate respectiv cele mai apropiate ale suprafeţei de această axă

120588119898119886119909 reprezintă distanța maximă de la polul 119874 la punctul secțiunii cel mai

icircndepărtat de acesta

Fig 43 Suprafață dreptunghiulară cu două arii elementare 119889119860

Modulele de rezistenţă se exprimă icircn [1198981198983] şi sunt icircntotdeauna pozitive

Explicația este aceea că momentele de inerție care intră icircn relațiile de definiție sunt

pozitive iar distanțele la punctele extreme sunt pozitive (119910119898119886119909 119910119898119894119899 119911119898119886119909 119911119898119894119899 120588119898119886119909 se

iau icircn valoare absolută)

Icircn cazul suprafeţelor compuse modulul de rezistenţă nu se obţine prin icircnsumarea

algebrică a modulelor de rezistenţă ale suprafeţelor simple componente ci numai prin

intermediul momentului de inerţie axial calculat pentru icircntreaga secțiune

Ca și momentele de inerție modulele de rezistență se calculează numai pentru

sistemele de axe centrale

45 Momente de inerţie şi module de rezistenţă pentru suprafeţe simple

451 Secțiune dreptunghiulară

Fie suprafaţa dreptunghiulară din figura 44 de icircnălțime ℎ și lățime 119887 pe care se

consideră suprafaţă elementară de arie 119889119860 = 119887119889119910 la distanța 119910 de axa 119862119911 sistemul de

axe 119911119862119910 trece prin centrul secțiunii iar axele sunt axe de simetrie pentru dreptunghi

Fig 44 Suprafață dreptunghiulară

Pe baza relațiilor de definiți a momentului de inerție 119868119911 se obține

119868119911 ≝ int 1199102 ∙ 119889119860

119860

= int 1199102 ∙ 119887 ∙ 119889119910 = 2int 1199102 ∙ 119887 ∙ 119889119910 = 2 ∙ 119887 ∙1199103

3|ℎ 2frasl

0rArr

ℎ 2frasl

0

ℎ 2frasl

minusℎ 2frasl

rArr 119868119911 =119887 ∙ ℎ3

12

(415)

Analog pentru un element de arie 119889119860 = ℎ ∙ 119889119911 paralel cu axa 119862119910 situat la distanța

119911 de axa 119862119910

119868119910 ≝ int 1199112 ∙ 119889119860

119860

= int 1199112 ∙ ℎ ∙ 119889119911 = 2int 1199112 ∙ ℎ ∙ 119889119910 = 2 ∙ ℎ ∙1199113

3|119887 2frasl

0rArr

119887 2frasl

0

119887 2frasl

minus119887 2frasl

rArr 119868119910 =1198873 ∙ ℎ

12

(416)

Deoarece axele 119862119911 și 119862119910 sunt axe de simetrie momentul de inerție centrifugal este

119868119911119910 = 0 (417)

Pentru un pătrat avacircnd laturile egale (ℎ = 119887 = 119886) momentele de inerţie faţă de

axele centrale au expresia

119868119911 = 119868119910 =1198864

12 (418)

Modulele de rezistență axiale se calculează cu relațiile de definiție ținacircnd cont că

distanțele pacircnă la fibrele extreme sunt

119910119898119886119909 = 119910119898119894119899 =ℎ

2 119911119898119886119909 = 119911119898119894119899 =

119887

2 (419)

Obținem

119882119911119898119894119899 = 119882119911119898119886119909 =119868119911

119910119898119886119909119898119894119899=119887 ∙ ℎ3

12frasl

ℎ2frasl

=119887 ∙ ℎ2

6

119882119910119898119894119899 = 119882119910119898119886119909 =119868119910

119911119898119886119909119898119894119899=1198873 ∙ ℎ

12frasl

1198872frasl

=1198872 ∙ ℎ

6

(420)

452 Suprafaţă circulară

Din motive de simetrie pentru suprafeţele circulare momentele de inerţie faţă de

orice diametru (care reprezintă şi axe centrale) sunt aceleaşi

Considerăm o secțiune circulară plină cu diametrul 119889 și centrul de greutate 119862 Prin

centrul de greutate 119862 trece sistemul de axe ortogonal 119911119862119910 figura 45

Fig 45 Suprafață circulară

La distanța de centrul de greutate 119862 vom lua un element de suprafață mic de arie

(119889119860) de forma unui inel de grosime 119889 Elementul de arie 119889119860 are expresia

119889119860 = (2 ∙ 120587 ∙ 120588) ∙ (119889120588)

Pornind de la relația de definiție a momentului de inerție polar obținem

119868119901 ≝ int 1205882 ∙ 119889119860

119860

= int 1205882 ∙ (2 ∙ 120587 ∙ 120588) ∙ 119889120588

119903=119889 2frasl

0

= 2 ∙ 120587 ∙1205884

4|119889 2frasl0 rArr

rArr 119868119901 =120587 ∙ 1198894

32

(421)

Secțiunea este perfect simetrică deci sunt valabile relațiile

119868119911 = 119868119910 rArr 119868119901 = 119868119911 + 119868119910 = 2 ∙ 119868119911 = 2 ∙ 119868119910 =119868119901

2=120587 ∙ 1198894

64 (422)

Și modulele de rezistenţă faţă de orice diametru sunt egale şi se calculează cu

relaţiile

119882119911 = 119882119910 =1198681199111198892frasl=120587 ∙ 1198893

32 (423)

Modulul de rezistenţă polar este

119882119901 =1198681199011198892frasl=120587 ∙ 1198893

16 (424)

453 Secţiune inelară

Calculul momentelor de inerţie axiale pentru o secţiune inelară avacircnd diametrul

interior 119889 şi diametrul exterior 119863 se determină analog pentru suprafaţa circulară plină cu

observaţia că integrala pentru calculul momentului de inerție polar 119868119901 se face icircntre

limitele 119903 = 119889 2frasl şi R= 1198632frasl (icircntre raza interioară 119903 şi raza exterioară 119877) figura 46

Se obţin relaţiile

119868119901 =120587 ∙ 1198634

32∙ [1 minus (

119889

119863)4

] =120587 ∙ 1198634

32∙ (1 minus 1198964) (425)

119868119910 = 119868119910 =120587 ∙ 1198634

64∙ [1 minus (

119889

119863)4

] =120587 ∙ 1198633

64∙ (1 minus 1198964) (426)

Fig 46 Secțiune inelară

119882119901 =120587 ∙ 1198633

16∙ [1 minus (

119889

119863)4

] =120587 ∙ 1198633

16∙ (1 minus 1198964) (427)

119882119911 = 119882119910 =120587 ∙ 1198633

32∙ [1 minus (

119889

119863)4

] =120587 ∙ 1198633

32∙ (1 minus 1198964) (428)

unde 119896 = 119889119863frasl

46 Variaţia momentelor de inerţie faţă de axe paralele

( Relațiile lui STEINER)

Se consideră o suprafaţă oarecare de arie 119860 cu elementul de arie 119889119860 și un sistemul

de axe central 119911119862119910 faţă de care se cunosc momentele de inerţie 119868119911 119868119910 119868119911119910 şi considerăm

un sistem de axe 11991111198741199101 paralele cu sistemul central figura 47 Se pune problema

determinării momentele de inerţie 1198681199111 1198681199101 11986811991111199101 faţă de sistemul de axe paralel cu sistemul

central 11991111198741199101 axe aflate la distanţele 119910119862 = 119888 respectiv 119911119862 = 119889 de acesta

461 Momente de inerţie axiale

Pe baza relaţiilor de definire şi a notaţiilor din figura 42 pentru momentele de

inerţie faţă de axele 1198741199111 1198741199101 se poate scrie

1198681199111 = int 11991012 ∙ 119889119860

119860

= int(119910 + 119888)2 ∙ 119889119860

119860

= int 1199102 ∙ 119889119860

119860

+ 2 ∙ 119888 ∙ int 119910 ∙ 119889119860

119860

+

+1198882int 119889119860

119860

rArr 1198681199111 = 119868119911 + 2 ∙ 119888 ∙ 119878119911 + 1198882 ∙ 119860 hArr 1198681199111 = 119868119911 + 119888

2 ∙ 119860

(429)

Fig 47 Variaţia momentelor de inerţie față de axe paralele

S-a ajuns la relația (429) deoarece momentul static 119878119911 este nul deoarece axa 119862119885

este axă centrală

Pentru momentul de inerție axial icircn raport cu axa 1198741199101 se obține

1198681199101 = int 11991112 ∙ 119889119860

119860

= int(119911 + 119889)2 ∙ 119889119860

119860

= int 1199112 ∙ 119889119860

119860

+ 2 ∙ 119889 ∙ int 119911 ∙ 119889119860

119860

+

+1198892 ∙ int 119889119860

119860

rArr 1198681199101 = 119868119910 + 2 ∙ 119889 ∙ 119878119910 + 1198892 ∙ 119860 hArr 1198681199101 = 119868119910 + 119889

2 ∙ 119860

(430)

Pentru momentul de inerție centrifugal obținem

11986811991111199101 = int 1199101 ∙ 1199111 ∙ 119889119860

119860

= int(119910 + 119888) ∙ (119911 + 119889) ∙ 119889119860

119860

= int 119910 ∙ 119911 ∙ 119889119860 +

119860

+119888 ∙ int 119911 ∙ 119889119860

119860

+ 119889 ∙ int 119910 ∙ 119889119860

119860

rArr 11986811991111199101 = 119868119911119910 + 119888 ∙ 119889 ∙ 119860

(431)

Deoarece

int 119911 ∙ 119889119860

119860

= 119878119910 = 0 int 119910 ∙ 119889119860

119860

= 119878119911 = 0 int 119910 ∙ 119911 ∙ 119889119860

119860

= 119868119911119910

Relaţiile (429) şi (430) arată că momentul de inerţie faţă de o axă oarecare

este egal cu momentul de inerţie faţă de o axă paralelă cu ea trecacircnd prin centrul de

greutate la care se adaugă produsul dintre aria suprafeţei şi pătratul distanţei dintre

cele două axe

Din relaţiile (429) și (430) rezultă de asemenea că momentul de inerţie faţă de o

axă centrală (care trece prin centrul de greutate) este cel mai mic dintre infinitatea de

momente de inerţie obținute faţă de alte axe paralele cu ea

Relaţia (431) arată de asemenea că momentul de inerţie centrifugal faţă de un

sistem de axe oarecare este egal cu momentul de inerţie centrifugal faţă de un sistem

paralele cu el trecacircnd prin centrul de greutate a suprafeţei la care se adaugă produsul

dintre aria suprafeţei şi distanţele dintre axele sistemelor respective

Icircn literatura de specialitate relaţiile (429) (430) şi (431) sunt cunoscute sub

numele de relaţiile lui Steiner

47 Variaţia momentrlor de inerţie faţă de axe rotite

Direcţii principale şi momente de inerţie principale

Fie suprafaţa plană din figura 48 de arie 119860 pe care considerăm o suprafaţă

elementară de arie 119889119860 Pentru sistemul de axe 119911119874119910 se cunosc momentele de inerţie

119868119911 119868119910 119868119911119910 şi vom determina relaţiile de calcul pentru momentele de inerţie afererent unui

sistem de axe 11991111198741199101 rotit cu un unghi faţă de sistemul central

Faţă de sistemul de axe 11991111198741199101 elementul de arie 119889119860 are coordonatele

1199101 = 119875119877 = 119875119876 minus 119877119876 = 119910 ∙ cos 120572 minus 119911 ∙ sin 120572

1199111 = 119873119872 = 119873119875 minus 119875119872 = 119911 ∙ cos 120572 + 119910 ∙ sin 120572 (432)

Fig 47 Variaţia momentelor de inerţie față de axe rotite

Pe baza relaţiilor de calcul ale momentelor de inerţie şi a notaţiilor din figura 42

şi ale relaţiilor (432) momentele de inerţie faţă de sistemul de axe rotit 11991111198741199101 sunt

1198681199111 =119868119911 + 119868119910

2+119868119911 minus 119868119910

2∙ cos 2120572 minus 119868119911119910 ∙ sin 2120572 (433)

1198681199101 =119868119911 + 119868119910

2minus119868119911 minus 119868119910

2∙ cos 2120572 + 119868119911119910 ∙ sin 2120572 (434)

11986811991111199101 =119868119911 minus 119868119910

2∙ sin 2120572 + 119868119911119910 ∙ cos 2120572 (435)

Din relaţiile 433divide435 se observă că icircntre momentele de inerţie axiale şi cele

polare există relaţia

1198681199111 + 1198681199101 = 119868119911 + 119868119910 = 119868119901 (436)

adică suma momentelor de inerţie axiale icircn raport cu orice pereche de axe ortogonale

care trec printr-un pol dat este o constantă şi egală cu momentul de inerţie polar

Prin rotirea sistemului de axe din relaţiile 433divide435 rezultă că momentele de inerţie

variază icircnsă suma lor rămacircne constantă deci există o poziţie a sistemului de axe pentru

care momentele de inerţie au valori extreme maxim respectiv minim

471 Direcţii principale de inerţie

Valoarea unghiului 120572 pentru care momentele de inerţie axiale au valori extreme

este

1205721 =1

2∙ 119886119903119888119905119886119899 (minus

2 ∙ 119868119911119910

119868119911 minus 119868119910) (437)

Poziţia celeilalte direcţii este perpendiculară pe cea dată de unghiul 1205721

Din relaţia (437) se constată că faţă de aceste direcţii rotite pentru care momentele

de inerţie axiale prezintă valori extreme momentul de inerţie centrifugal 11986811991111199101este nul

Atunci se poate afirma că momentele de inerţie axiale au valori extreme icircn raport cu

direcţiile faţă de care momentul de inerţie centrifugal este nul Aceste direcţii se numesc

direcţii principale iar momentele de inerţie faţă de aceste direcţii poartă numele de

momente de inerţie principale

Icircn calculele de rezistenţă interesează icircn mod special poziţia direcţiilor principale

care trec prin centrul de greutate al suprafeţei aşa numitele direcţii principale centrale şi

evident momentele de inerţie principale centrale

Direcţiile principale de inerţie se notează cu 1 respectiv 2 Axa principală 1

corespunde direcţiei faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea maximă iar

axa principală 2 pentru direcţia faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea

minimă

472 Momente de inerţie principale

Momentele de inerţie principale se notează cu litera 119868 la care se pune indicele 1

sau 2 după cum valoarea acestuia este maximă sau minimă deci avem un moment de

inerţie principal 1 (notat 1198681) respectiv moment de inerţie principal 2 (notat 1198682)

Expresiile pentru momentele de inerţie principale sunt

11986812 =119868119911 + 119868119910

2plusmn1

2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)

2+ 4 ∙ (119868119911119910)

2 (438)

Dacă momentul de inerţie centrifugal este negativ (119868119911119910 lt 0) direcţia principală

care trece prin primul cadran (definit de sistemul 119911119862119910) este direcţia principală 120783

Pentru suprafeţele cu cel puţin o axă de simetrie direcţiile centrale 119862119911 119862119910 sunt şi

direcții principale de inerţie și evident momentele de inerţie axiale 119868119911 119868119910 sunt momente

de inerţie principale

48 Caracteristici mecanice ale metalelor

Alegerea materialului pentru confecţionarea unei anumite piese se face şi pe baza

aşa numitelor caracteristici mecanice pe care le prezintă materialul Cunoaşterea acestor

caracteristici mecanice are loc numai pe baza unor icircncercări mecanice care să scoată icircn

evidenţă comportarea materialului icircn condiţii de solicitare

Cea mai utilizată icircncercare icircn urma căreia se pun icircn evidenţă caracteristicile

mecanice ale unui material este icircncercarea la tracţiune

481 Icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general

Icircncercarea la tracţiune a oţelului ca de altfel toate icircncercările de materiale este

standardizată

Icircn cele ce urmează se va prezenta numai partea care interesează strict din punct

de vedere al caracteristicilor mecanice ale oţelului

Epruveta de diametru iniţial 1198890 pentru icircncercarea la tracţiune are o porţiune de

lungime 1198710 numită baza de măsurare pe care se măsoară lungirea acesteia sub acţiunea

solicitării

Icircn funcţie de raportul dintre baza de măsurare 1198710 şi diametrul iniţial 1198890 epruvetele

utilizate pentru icircncercări sunt

epruvete normale (scurte) cacircnd 11987101198890 = 5

epruvete lungi cacircnd 11987101198890 = 10

Icircn timpul icircncercării la diferite valori ale forţei 119865 se măsoară lungirea bazei de

măsurare

∆119871 = 120575 = 119871 minus 1198710 (439)

unde

119871 este dimensiunea bazei de măsurare la un moment dat

Curba forţă-lungire (119865 minus ) icircnregistrată icircn urma icircncercării reprezintă curba

caracteristică la tracţiune

La icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general diagrama caracteristică care se

obţine are forma din figura 48

Curba caracteristică la tracţiune depinde de lungimea bazei de măsurare Pentru

icircnlăturarea acestui neajuns curba caracteristică se reprezintă icircn coordonate şi definite

astfel

120590 =119865

1198600 휀 =

120575

1198710 (440)

unde

1198600 este aria iniţială a secţiunii transversale a epruvetei (icircnainte de solicitare) icircn

zona bazei de măsurare

1198600 =120587 ∙ 1198890

2

4

Deoarece mărimile icircn care se reprezintă curba caracteristică la tracţiune sunt

raportate la aria iniţială a secţiunii transversale (mărimi specifice) curba poartă numele

de curbă caracteristică convenţională la tracţiune

Fig 48 Curba caracteristică convenţională la tracțiune

Pe curba caracteristică convenţională la tracţiune figura 48 se pot stabili o serie

de puncte cărora le corespund mai multe mărimi importante

Ordonata punctului A pacircnă unde curba caracteristică convenţională este linie

dreaptă se numeşte limita de proporţionalitate a materialului 120590119901(1205901) Porţiunea 119874119860 este

zona de proporţionalitate a curbei caracteristice pe acest domeniu este valabilă legea lui

Hooke care exprimă o proporţionalitate icircntre tensiune şi deformaţie specifică

120590 = 119864 ∙ 휀 (441)

unde

119864 = reprezintă panta porţiunii liniare a curbei convenționale caracteristice

la tracțiune Caracteristica de material 119864 se numeşte modul de elasticitate longitudinal

(modulul lui Young)

Ordonata punctului 119861 pacircnă unde materialul se comportă perfect elastic adică

după descărcare icircşi recapătă dimensiunea iniţială 1198710 se numeşte limita de elasticitate

120590119890(119877119890) Icircn realitate nici un material nu are comportare perfect elastică sub acţiunea

solicitărilor el capătă deformaţii permanente (remanente plastice)

După punctul 119861 urmează o porţiune 119861119862119863 icircn care cu toate că icircncărcarea

continuă forţa nu mai creşte avacircnd mici oscilaţii icircn jurul unei valori Se spune că icircn

această porţiune materialul curge iar intervalul 119861119862119863 este un palier de curgere Tensiunea

corespunzătoare palierului de curgere se numeşte limită de curgere aparentă 120590119888(119877119888) Limita de curgere aparentă se calculează cu relaţia

120590119888 =1198651198881198600 (442)

unde

119865119888 reprezintă valoarea forţei icircnregistrată icircn momentul curgerii materialului

După punctul 119863 curba caracteristică are un traseu ascendent pacircnă icircn punctul 119864

Porţiunea 119863119864 este numită zonă de icircntărire (ecruisare) Icircn zona de ecruisare unde se

produc deformaţii plastice semnificative legea lui Hooke nu mai este valabilă La

descărcare relaţia dintre tensiunea şi deformaţia specifică este liniară paralelă cu

porţiunea liniară a curbei caracteristice (dreapta 119872119873)

Deformaţia totală (휀119905) are două componente una elastică (휀119890) şi una plastică (휀119901)

Ordonata punctului 119864 reprezintă rezistenţa de rupere 120590119903(119877119898) a materialului

care se poate calcula cu relaţia

120590119903 = 119877119898 =1198651198981198861199091198600

(443)

unde

119865119898119886119909 reprezintă valoarea maximă a forţei icircnregistrată icircn timpul icircncercării

La atingerea valorii 119865119898119886119909 (punctul 119864) icircntr-un anumit loc al epruvetei secţiunea

icircncepe să se micşoreze (se produce gacirctuirea) continuacircnd pacircnă cacircnd se produce ruperea

totală (punctul 119865)

Dacă după ruperea epruvetei cele două părţi rezultate se aşează cap la cap şi se

măsoară dimensiunea bazei de măsurare 119871119906 (lungimea ultimă) se determină alungirea la

rupere sau lungirea specifică la rupere 휀119903

휀119903 =119871119906 minus 11987101198710

=∆119871

1198710=120575

1198710 (444)

De obicei alungirea se exprimă icircn procente şi se notează cu 119860119899 unde 119899 reprezintă

numărul dat de raportul 11987101198890 (epruvete normale 119899 = 5 epruvete lungi 119899 = 10)

119860119899 =119871119906 minus 11987101198710

∙ 100 [] (445)

Altă mărime care se determină la icircncercarea la tracţiune este gacirctuirea la rupere

(exprimată de obicei icircn procente) şi definită de relaţia

119885 =1198600 minus 1198601199061198600

∙ 100 [] (446)

Mărimile determinate limita de proporţionalitate modulul de elasticitate

longitudinal limita de elasticitate limita de curgere aparentă rezistenţa de rupere

alungirea la rupere şi gacirctuirea la rupere sunt cunoscute ca fiind caracteristici mecanice

ale materialului

Din curba caracteristică convenţională observăm faptul că ruperea (punctul 119865 din

figura 48 se produce la o tensiune mai mică decacirct cea corespunzătoare punctului 119864 Dacă

icircnsă forţa din timpul icircncercării s-ar raporta la aria secţiunii din momentul icircnregistrării

forţei (care este mai mică decacirct cea iniţială 1198600) s-ar obţine aşa numita curbă

caracteristică reală a materialului (traseul 1198741198601198611198621198631198651 din figura 48) La curba

caracteristică reală ruperea se produce icircn punctul 1198651 la o icircncărcare mai mare decacirct cea

corespunzătoare punctului 119864 Icircnseamnă că rezistenţa reală la rupere este mai mare decacirct

rezistenţa la rupere dată de punctul 119864 din diagrama caracteristică convenţională

Dificultatea obţinerii diagramei caracteristice reale faţă de cea a diagramei caracteristice

convenţionale şi considerarea unei rezistenţe la rupere mai mică decacirct a celei reale face

icircn practică utilizarea pe scară mare a diagramei caracteristice convenţionale

Caracteristicile mecanice determinate pe baza curbei caracteristice convenţionale

sunt şi ele caracteristici mecanice convenţionale

Caracteristicile mecanice convenţionale limita de proporţionalitate convenţională

120590119901 limita de elasticitate convenţională 120590119890 limita de curgere convenţională 120590119888 şi rezistenţa

de rupere 120590119903 constituie tensiuni limită pentru un material Pe baza acestor caracteristici

de material se alege valoarea tensiunii admisibile 120590119886 (vezi paragraful 35) pentru

calculele de rezistenţă Cea mai utilizată stare limită pentru stabilirea tensiunii admisibile

120590119886 este limita de curgere convenţională 120590119888

120590119886 =120590119897119894119898119888

=120590119888119888 119904119886119906 120590119886 =

120590119903119888 (447)

Caracteristicile mecanice ale materialului sunt influenţate de o serie de factori

temperatura viteza de solicitare factorii tehnologici iar valorile lor sunt date icircn tabele și

diagrame

Aplicaţie Pentru suprafaţa plană compusă din două dreptunghiuri avacircnd

dimensiunile din figura 49a să se calculeze

a) centrul de greutate al secțiunii compuse 119910119866 119911119866

b) momentele de inerție axiale 119868119911 119868119910 și momentul de inerție centrifugal 119868119911119910

c) razele de inerție 119894119911 119894119910

d) modulele de rezistență 119882119911119898119894119899 119882119911119898119886119909 119882119910119898119894119899 119882119910119898119886119909

e) momentele de inerție principale 1198681 1198682 și direcțiile principale de inerție 1205721

f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 119878119911

Fig 49 Aplicație

Rezolvare Pentru rezolvare vom parcurge următoarele etape

icircmpărțim suprafața compusă icircn două suprafețe simple (dreptunghiuri) notate cu

① și respectiv ② figura 49b

poziționăm centrele de greutate a celor două suprafețe simple ① și respectiv ②

notate cu 1198661 și respectiv 1198662 figura 49c

poziționăm sistemele de axe de coordonate 119911111986611199101 pentru dreptunghiul ① și

119911211986621199102 pentru dreptunghiul ② aflate la intersecția diagonalelor figura 49c

poziționăm sistemele de axe de coordonate 11991101198741199100 ales arbitrar față de care

determinăm poziția centrului de greutate 119866 figura 49c

a) calculăm poziția centrului de greutate folosind relațiile (46) icircn care

1198601 = 6119905 ∙ 119905 = 61199052 1198602 = 4119905 ∙ 119905 = 41199052 119860 = 1198601 + 1198602 = 61199052 + 41199052 = 101199052

iar centrele de greutate 1198661 și respectiv 1198662 au coordonatele (față de sistemul 11991101198741199100)

1198661 1199101 = 3119905 1199111 = 05119905

1198662 1199102 = 051199051199112 = 3119905

cu acestea obținem

119910119866 =1198601 ∙ 1199101 + 1198602 ∙ 1199102

119860=61199052 ∙ 3119905 + 41199052 ∙ 05119905

101199052=201199053

101199052= 2119905

119911119866 =1198601 ∙ 1199111 + 1198602 ∙ 1199112

119860=61199052 ∙ 05119905 + 41199052 ∙ 3119905

101199052=151199053

101199052= 15119905

Poziționăm centrul de greutate 119866 al suprafeței compuse figura 49c

Fig 49 Aplicație

b) pentru determinarea momentelor de inerție axiale 119868119911 119868119910 și a momentului de

inerție centrifugal 119868119910119911 determinăm constantele 1198881 1198882 1198891 1198892 care intervin icircn relația lui

Stainer

1198881 = 1199101 minus 119910119866 = 3119905 minus 2119905 = 119905 1198882 = minus(119910119866 minus 1199102) = minus(2119905 minus 05119905) = minus15119905

1198891 = minus(119911119866 minus 1199111) = minus(15119905 minus 05119905) = minus119905 1198892 = 1199112 minus 119911119892 = 3119905 minus 15119905 = 15119905

Folosind relațiile lui Stainer (429) (430) și (431) calculăm momentele de

inerție axiale și centrifugale față de sistemul central 119911119866119866119910119866

119868119911 =sum(119868119911119894 + 1198881198942 ∙ 119860119894) = 1198681199111 + 1198881

2 ∙ 1198601 + 1198681199112 + 11988822 ∙ 1198602

119868119910 =sum(119868119910119894 + 1198891198942 ∙ 119860119894) = 1198681199101 + 1198891

2 ∙ 1198601 + 1198681199102 + 11988922 ∙ 1198602

119868119911119910 =sum(119868119911119894119910119894 + 119888119894 ∙ 119889119894 ∙ 119860119894) = 11986811991111199101 + 1198881 ∙ 1198891 ∙ 1198601 + 11986811991121199102 + 1198882 ∙ 1198892 ∙ 1198602

1198681199111 = (119887 ∙ ℎ3

12) =

119905 ∙ (6119905)3

12= 181199054 1198681199112 = (

119887 ∙ ℎ3

12) =

4119905 ∙ 1199053

12= 031199054

1198681199101 = (1198873 ∙ ℎ

12) =

1199053 ∙ 6119905

12= 051199054 1198681199102 = (

1198873 ∙ ℎ

12) =

(4119905)3 ∙ 119905

12= 531199054

11986811991111199101 = 11986811991121199102 = 0 deoarece cele două triunghiuri au cel puțin o axă de simetrie

Cu acestea momentele de inerție axiale și momentul de inerție centrifugal devin

119868119911 = 181199054 + 1199052 ∙ 61199052 + 031199054 + (minus15119905)2 ∙ 41199052 = 3331199054

119868119910 = 051199054 + (minus119905)2 ∙ 61199052 + 531199054 + (15119905)2 ∙ 41199052 = 2081199054

119868119911119910 = 0 + 119905 ∙ (minus119905) ∙ 61199052 + 0 + (minus15119905) ∙ (15119905) ∙ 41199052 = minus151199054

c) razele de inerție sau de girație față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910

se calculează cu relațiile (411)

119894119911 = radic119868119911119860= radic

3331199054

101199052= 182119905 119894119910 = radic

119868119910

119860= radic

2081199054

101199052= 144119905

d) modulele de rezistență față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910 se

calculează cu relațiile (412) și (413)

Avacircnd icircn vedere figura 419c obținem

119910119898119886119909 = 6119905 minus 119910119866 = 6119905 minus 2119905 = 4119905 119910119898119894119899 = minus119910119866 = minus2119905

119911119898119886119909 = 5119905 minus 119911119866 = 5119905 minus 15119905 = 35119905 119911119898119894119899 = minus119911119866 = minus15119905

Se obține astfel

119882119911119898119894119899 =119868119911

|119910119898119886119909|=3331199054

4119905= 8331199053

119882119911119898119886119909 =119868119911

|119910119898119894119899|=3331199054

2119905= 16651199053

119882119910119898119894119899 =119868119910

|119911119898119886119909|=2081199054

35119905= 5941199053

119882119910119898119886119909 =119868119910

|119911119898119894119899|=2081199054

15119905= 13871199053

e) momentele de inerție principale 1198681 și respectiv 1198682 se calculează cu relațiile

(438)

11986812 =119868119911 + 119868119910

2plusmn1

2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)

2+ 4 ∙ (119868119911119910)

2=

=3331199054 + 2081199054

2plusmn1

2∙ radic(3331199054 minus 2081199054)2 + 4 ∙ (minus151199054)2 = 27051199054 plusmn 16251199054

De unde obținem

1198681 = 27051199054 + 16251199054 = 4331199054

1198682 = 27051199054 minus 16251199054 = 1081199054

Prima direcție principală de inerție 1 face cu axa centrală 119866119911 unghiul 1205721 dat de

relația (437)

1205721 =1

2∙ arctan (minus

2 ∙ 119868119911119910

119868119911 minus 119868119910) =

1

2∙ arctan [minus

2 ∙ (minus151199054)

3331199054 minus 2081199054] =33 70

Deoarece 1205721 gt 0 rotirea axelor se face acircn sens antiorar acelor de ceasornic figura

49d

Poziția axe principale 2 față de care momentul de inerție are valoarea minimă

1198682 = 119868119898119894119899 este dată de unghiul

1205722 = 1205721 + 900 = 33 70 + 900 = 123 70

f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 se determină cu relația

(45)

1198781199111198602 = 1198602 ∙ 1198882 = 41199052 ∙ (minus15119905) = minus61199053

Se defineşte momentul cuplului de forţe ca fiind suma momentelor celor două forţe

icircn raport cu un punct arbitrar din spaţiu O

119888119906119901 = 1199031 times 1 + 1199032 times 2 = 1199031 times 1 + 1199032 times (minus1) = 119903 times 1 (13)

119888119906119901 = 11986021198601 times 1 = 11986011198602 times 2

Din ultima egalitate se observă că momentul cuplului este egal cu momentul unei

forţe din cuplu icircn raport cu punctul de aplicaţie al celeilalte forţe din cuplu iar momentul

cuplului nu depinde de punctul O deci este un vector liber

Vectorul moment 119888119906119901 are următoarele elemente

a) Modulul cuplului 119888119906119901 = 119865 ∙ 119903 ∙ sin 120572 = 119865 ∙ 119889 unde 119889 este distanţa dintre

suporturile celor două forţe şi se numeşte braţul cuplului

b) Direcţia cuplului este perpendiculară pe planul celor două forţe

c) Sensul cuplului este dat de regula burghiului drept

13Reducerea sistemelor de forţe Echilibrul solidului rigid

Dacă asupra unui solid rigid acţionează un sistem complex de forţe pentru

simplificarea calculelor se urmăreşte icircnlocuirea acestuia cu cel mai simplu sistem posibil

care să producă acelaşi efect mecanic asupra corpului studiat ca şi sistemul iniţial de forţe

Această operaţie se numeşte reducerea sistemului de forţe

131 Reducerea unei forţe icircntr-un punct Torsorul de reducere

A reduce o forţă icircntr-un punct icircnseamnă a icircnlocui acea forţă cu cele mai simple

elemente mecanice legate de punctul respectiv care să producă asupra corpului studiat

acelaşi efect ca şi forţa iniţială

Fie o forţă aplicată icircn punctul A al unui solid rigid şi O un punct din spaţiu

figura 15 vom determina elementele mecanice corespunzătoare reducerii forţei icircn

punctul O

Fig 15 Reducerea unei forțe icircntr-un punct

Icircn punctul O se introduce un sistem de două forţe coliniare egale cu de sensuri

contrare pe un suport paralel cu forţa iniţială Efectul acestora asupra corpului este nul

Apare astfel un cuplu de forţe forţa din A şi (minus) din O caracterizat prin momentul

cuplului 119888119906119901 = 0 = 119874119860 times = 119903 times

Aşadar efectul forţei din A a fost icircnlocuit icircn punctul O cu două elemente

mecanice o forţă identică cu aplicată icircn O şi momentul forţei iniţiale icircn raport cu

punctul O Ansamblul celor două elemente mecanice formează aşa numitul torsor de

reducere al forţei icircn punctul O

132 Reducerea unui sistem de forţe icircntr-un punct

Considerăm că asupra unui solid rigid acţionează un sistem de 119899 forţe 119894 aplicate

icircn punctele 119860119894 cu 119894 = 1 119899 şi fie 119874119909119910119911 un sistem de axe de coordonate avacircnd versorii

axelor 119894 119895 figura 16

Fig 16 Reducerea unui sistem forțe icircntr-un punct

Pentru a reduce sistemul de forţe icircn punctul O se procedează astfel

Se reduce pe racircnd fiecare forţă 119894 icircn punctul O la un torsor de reducere compus

dintr-o forţă 119894 şi un moment 119874119894 = 119903119894 times 119894 Făcacircnd această operaţie cu toate forţele icircn

punctul O se obţine

o forţă rezultantă

= sum119894

119899

119894=1

un moment rezultant

0 =sum119874119894

119899

119894=1

=sum119903119894 times 119894

119899

119894=1

Cele două elemente mecanice definesc torsorul de reducere al sistemului de forţe

icircn punctul O

Torsorul de reducere se poate calcula analitic dacă forţele sunt exprimate analitic

119894 = 119883119894 ∙ 119894 + 119884119894 ∙ 119895 + 119885119894 ∙ unde 119883119894 119884119894 119885119894 sunt proiecţiile forţei 119894 pe axele 119874119909 119874119910

respectiv 119874119911 Rezultanta forţelor icircn punctul O este

= (sum119883119894

119899

119894=1

) ∙ 119894 + (sum119884119894

119899

119894=1

) ∙ 119895 + (sum119885119894

119899

119894=1

) ∙ = 119883 ∙ 119894 + 119884 ∙ 119895 + 119885 ∙

(14)

unde sunt componentele rezultantei pe axele 119874119909 119874119910 și 119874119911 = + +

Icircn mod analog momentul rezultant icircn punctul O este

0 = (sum119872119909119894

119899

119894=1

) ∙ 119894 + (sum119872119910119894

119899

119894=1

) ∙ 119895 + (sum119872119911119894

119899

119894=1

) ∙ =

= 119872119909 ∙ 119894 + 119872119910 ∙ 119895 + 119872119911 ∙

(15)

unde 119909 119910 119911 sunt componentele vectorului moment 0 pe axele 119874119909 119874119910 respectiv 119874119911

0 = 119909 + 119910 + 119911

133 Echilibrul solidului rigid

Torsorul de reducere al sistemului de forţe determină mişcarea solidului rigid icircn

spaţiu sub acţiunea forţelor exterioare aplicate

Torsorul de reducere conţine o forţă rezultantă cu trei componente

perpendiculare icircntre ele şi un moment rezultant avacircnd trei componente ortogonale

perpendiculare 119909 119910 119911 orientate după axele sistemului 119874119909119910119911 Cele trei componente

ale rezultantei produc translaţii (deplasări liniare ) ale corpului pe direcţiile 119874119909 119874119910

respectiv 119874119911 Componentele momentului rezultant 0 produc rotiri (deplasări

unghiulare) ale corpului icircn jurul axelor de coordonate 119874119909 119874119910 respectiv 119874119911 Se spune ca

solidul liber are 6 grade de libertate (6 posibilităţi de deplasare) Pentru ca solidul să fie

icircn echilibru trebuie suprimate toate gradele de libertate Aşadar corpul este icircn echilibru

dacă elementele torsorului de reducere al forţelor exterioare este nul

Condiţiile de echilibru ale solidului rigid sunt

= 0 rArr 119883 = 119884 = 119885 = 0

0 = 0 rArr 119872119909 = 119872119910 = 119872119911 = 0

(16)

Observaţie Un solid rigid liber solicitat de forţe aplicate icircntr-un plan (119909119900119910) are

trei grade de libertate Condiţiile de echilibru sunt

= 0 rArr 119883 = 119884 = 0

0 = 0 rArr 119872119911 = 0

(17)

14 Aplicaţii

141 Să se stabilească mărimea şi ordinul rezultantei sistemului de forţe din figura

17 dacă se cunosc 1 = 100 [119873] 2 = 200 [119873] și 3 = 300 [119873]

Rezolvare

Pentru rezolvarea acestui sistem de forte de prezinta doua metode

a) Rezolvare analitică

Descopunem cele două forțe icircnclinate 2 și 3 după cele două axe de coordonate

Ox și Oy

2 = (minus1198652119909) ∙ 119894 + (1198652119910) ∙ 119895 = (minus1198652 ∙ cos 600) ∙ 119894 + (1198652 ∙ sin 60

0) ∙ 119895 =

= (minus200 ∙1

2) ∙ 119894 + (200 ∙

radic3

2) ∙ 119895 = minus100 ∙ 119894 + 100 ∙ radic3 ∙ 119895

3 = (minus1198653119909) ∙ 119894 + (minus1198653119910) ∙ 119895 = (minus1198653 ∙ cos 450) ∙ 119894 + (minus1198653 ∙ sin 45

0) ∙ 119895 =

= (minus300 ∙radic2

2) ∙ 119894 + (minus300 ∙

radic2

2) ∙ 119895 = minus150 ∙ radic2 ∙ 119894 minus 150 ∙ radic2 ∙ 119895

Pentru stabilirea mărimii şi ordinului rezultantei sistemului de forţe din figură se

procedează astfel

Forţele sunt exprimate analitic 119894 = 119883119894 ∙ 119894 + 119884119894 ∙ 119895 unde 119883119894 119884119894 sunt proiecţiile

forţei 119894 pe axele 119874119909 respectiv 119874119910

1 = 100 ∙ 119894 + 0 ∙ 119895

2 = minus100 ∙ 119894 + 1732 ∙ 119895

3 = minus2121 ∙ 119894 minus 2121 ∙ 119895

Fig 17 Aplicația 141

Se determină rezultanta forţelor cu următoarea relaţie

= sum119865119894 prime (sum119883119894

119899

119894=1

) ∙ 119894 + (sum119884119894

119899

119894=1

) ∙ 119895 = 119883 ∙ 119894 + 119884 ∙ 119895

unde 119883 119884 sunt componentele rezultantei pe axele 119874119909 respectiv 119874119910 = +

= (100 minus 100 minus 2121) ∙ 119894 + (0 + 1732 minus 2121) ∙ 119895 = (minus2121) ∙ 119894 + (minus389) ∙ 119895

rArr 119883 = minus2121 [119873]

119884 = minus389 [119873]

Cu acestea obținem rezultanta

119877 = radic1198832 + 1198842 = radic(minus2121)2 + (minus389)2 = 21564 [119873]

Se reprezintă grafic rezultanta icircn sistemul de coordonate 119909119874119910 după care se

calculează unghiul 120572 pe care aceasta rezultantă icircl face cu axa 119874119909 figura 18

tan 120572 =119884

119883=minus389

minus2121= 0183 rArr 120572 = arctan(0183) = 10 40

Fig 18 Reazultanta forțelor aplicate

b) Rezolvare tabelară

Forţa 119894 Componenta 119883119894 Componenta 119884119894

1 1198651 = 100 1198651 = 0

2 minus1198652 ∙ cos 600 = minus100 1198652 ∙ sin 60

0 = 1732

3 minus1198653 ∙ cos 450 = minus2121 minus1198653 ∙ sin 45

0 = minus2121

= sum119894 119883 =sum119883119894 = minus2121 119884 =sum119884119894 = minus389

După determinarea tabelară a celor două componente ale rezultandei calculele se

continua ca şi icircn cazul rezolvării analitice

142 Să se calculeze momentul forţei verticale = 100 [119873] icircn raport cu punctele

B D O şi icircn raport cu axele Ox Oy şi Oz figura 19 și să se determine componentele

torsorului de reducere ale forţei icircn punctul O dacă se cunosc 119886 = 3 [119898] şi 119887 = 4 [119898]

Fig 19 Aplicația 142

Fig 110 Icircnclinarea momentului 119872119874

119861 = 119861119860 times

119872119861 = 119886 ∙ 119865 = 3 ∙ 100 = 300 [119873 ∙ 119898]

119863 = 119863119860 times

119872119863 = 119887 ∙ 119865 = 4 ∙ 100 = 400 [119873 ∙ 119898]

119874 = 119874119860 times

119872119874 = 119888 ∙ 119865 = radic1198862 + 1198872 ∙ 119865 = radic32 + 42 ∙ 100 = 5 ∙ 100 = 500 [119873 ∙ 119898]

119874 se află icircn planul 119909119874119910 cu icircnclinarea 120572 (figura 110)

tan120572 =119886

119887=3

4= 075 rArr 120572 = arctan(075) = 36860

Deci

120572 = 900 minus 120573 = 900 minus 36860 = 53140

Concluzie Componentele torsorului de reducere al forței icircn punctul O sunt o forta

icircn O identică cu forța din punctul A și momentul forței icircn raport cu punctul O 119874

2 INTRODUCERE IcircN REZISTENŢA MATERIALELOR

21 Obiectul şi problemele Rezistenţei materialelor

Rezistenţa materialelor este o disciplină de cultură tehnică generală care continuă

logic şi dezvoltă Mecanica prin introducerea icircn calcule a proprietăţilor de deformabilitate

ale corpurilor solide reale Icircn Mecanică corpul solid este considerat rigid nedeformabil

iar vectorii forţă de icircncărcare sunt consideraţi alunecători Rezistenţa materialelor ia icircn

studiu corpurile reale care sub acţiunea forţelor exterioare (vectori legaţi) icircşi schimbă

forma geometrică respectiv dimensiunile iniţiale şi se distrug prin rupere la valori mari

ale acestora Prin calculele de rezistenţă se determină dimensiunile secţiunilor

transversale ale corpurilor (elemente de rezistenţă) icircn funcţie de mărimea poziţia şi modul

de acţionare a forţelor exterioare proprietăţile mecanice ale materialelor dimensiunile

constructive forma şi importanţa ansamblului icircn care se icircnglobează iar icircn anumite cazuri

şi de durata de funcţionare Elementele de rezistenţă trebuie să icircndeplinească următoarele

condiţii de bază

- condiţia de rezistenţă care are icircn vedere ca eforturile din elementul de rezistenţă

să nu producă distrugerea acestuia prin rupere sau spargere icircn bucăţi

- condiţia de rigiditate se referă la valorile deformaţiilor care nu trebuie să

depăşească anumite mărimile admisibile

- condiţia de stabilitate care consideră posibilitatea menţinerii formei de echilibru

stabil pentru o anumită stare de icircncărcare

Criteriile de rezolvare ale problemelor de Rezistenţa materialelor sunt

- criteriul economic prin care se impune ca orice element de rezistenţă (piesă) să

fie proiectat şi realizat cu soluţia cea mai economică icircn privinţa materialului utilizat şi al

manoperei

- criteriul de bună funcţionalitate a ansamblului din care face parte elementul de

rezistenţă proiectat respectacircnd condiţiile de rezistenţă rigiditate şi stabilitate

Icircn cadrul Rezistenţei materialelor se admit ipoteze simplificatoare care permit

obţinerea unor relaţii de calcul relativ simple şi care exprimă destul de fidel fenomenul

de solicitare real Experimentările practice icircn laborator permit verificarea legilor

rezistenţei materialelor şi determinarea caracteristicilor mecanice ale materialelor

Rezistenţa materialelor permite rezolvarea următoarelor categorii de probleme

- probleme de dimensionare prin care se stabilesc dimensiunile optime ale

elementelor de rezistenţă proiectate icircn funcţie de icircncărcările exterioare (forţe sau

momente) şi de caracteristicile mecanice ale materialului utilizat

- probleme de verificare la care se determină dacă un element de rezistenţă de

dimensiuni cunoscute satisface condiţiile de rezistenţă rigiditate şi stabilitate cunoscacircnd

icircncărcarea exterioară şi caracteristicile mecanice ale materialului utilizat

- probleme de calcul al capacităţii de icircncărcare al unui element de rezistenţă

cunoscacircndu-se caracteristicile mecanice ale materialului dimensiunile şi modul de

solicitare se determină icircncărcarea maximă pe care o poate suporta elementul de rezistență

fără a ceda sau a se deforma periculos

22 Clasificarea corpurilor icircn Rezistenţa materialelor

Corpurile (elementele de rezistenţă) au icircn general forme constructive relativ

complicate Icircn Rezistenţa materialelor pentru simplificarea calculelor corpurile se

schematizează prin forme geometrice mai simple obţinacircndu-se următoarele grupe

a) corpuri solide cu o dimensiune mult mai mare decacirct celelalte două (corpuri cu

fibră medie) Elementele geometrice caracteristice sunt axa longitudinală şi secţiunea

transversală Aceste corpuri solide pot fi

- fire dacă dimensiunile secţiunii transversale sunt foarte mici astfel icircncacirct axa

longitudinală este flexibilă (icircşi schimbă forma uşor) iar sarcinile transversale nu pot fi

preluate de acesta Un fir nu poate fi solicitat decacirct la icircntindere (exemplu cabluri de

macara lanţuri etc)

- bare care rezistă atacirct la solicitări axiale cacirct şi la solicitări transversale

După modul de solicitare barele poartă diferite denumiri convenţionale

tiranţi-solicitaţi la icircntindere figura 21a

stacirclpi-solicitaţi la compresiune figura 21b

grinzi-solicitate la icircncovoiere figura 21c

arbori-solicitaţi la torsiune (răsucire) figura 21d

Fig 21 Denumirea barelor după modul de solicitare

După modul cum variază secţiunea icircn lungul axei barele pot fi

de secţiune constantă figura 22a

de secţiune variabilă continuă figura 22b sau icircn trepte figura 22c

Fig 22 Denumirea barelor după secțiune

După forma axei longitudinale barele pot fi

drepte figura 21

curbe icircn plan figura 23a sau icircn spaţiu figura 23b (numite și curbe stracircmbe)

cotite (axa barei este o linie fracircntă) plane figura 23c sau spațiale figura 23d

Fig 23 Tipuri de bare curbe și cotite

Secţiunea transversală (plană şi normală pe axa barei) poate avea orice formă

geometrică constantă sau variabilă icircn lungul barei

Dacă una din dimensiunile secţiunii transversale (grosimea) este mai mică

comparativ cu celelalte bara se numește bară cu pereţi subţiri (exemplu barele

realizate din platbande sudate cu secţiuni sub formă de profil I profil U cornier etc)

b) corpuri care au două dimensiuni mult mai mari icircn raport cu a treia (grosimea)

se numesc plăci Elementele geometrice caracteristice ale unei plăci sunt forma şi

dimensiunile suprafeţei mediane respectiv grosimea Plăcile se reprezintă schematic

printr-o suprafață care imită forma și dimensiunile suprafeței mediane Suprafaţa mediană

reprezintă locul geometric al tuturor punctelor egal depărtate de cele două feţe ale plăcii

puncte aflate pe perpendicularele duse icircntre cele două feţe figura 24

După destinaţie și forma suprafeței mediane se deosebesc

plăci plane figura 24b

plăci curbe (icircnvelişuri) cu o singură curbură figura 24a sau avacircnd curbură

dublă figura 24c

Fig 24 Tipuri de plăci plane

Plăcile cu grosime mare sunt denumite frecvent dale O placă de grosime mică

ce nu poate prelua decacirct solicitări la icircntindere poartă numele de membrană

Exemple de plăci icircnvelişurile vasele de revoluţie discurile etc

c) corpuri masive care au toate cele trei dimensiuni aproximativ de acelaşi ordin

de mărime (blocuri de fundaţii bile şi role de rulmenţi tuburi cu pereţi groşi etc)

Calculele de rezistenţă sunt mai simple icircn cazul barelor drepte şi mai complicate

la barele curbe plăci respectiv blocuri

23 Clasificarea icircncărcărilor exterioare

Un corp icircşi păstrează forma şi dimensiunile datorită forţelor de atracţie dintre

particulele sale elementare atacircta timp cicirct asupra sa nu acţionează alte forţe aplicate din

exterior care să-l deformeze Icircn construcţia de maşini elementele de rezistenţă preiau şi

transmit acţiunea unor sarcini exterioare (forţe şisau cupluri) pe care le vom denumi

generic forțe sau icircncărcări exterioare Efectul pe care-l au sarcinile este acela de a

modifica forma şi dimensiunile corpului asupra căruia se aplică Icircn punctele de rezemare

(de sprijin sau de legătură cu alte elemente de rezistenţă icircnvecinate) ca urmare a

principiului acţiunii şi reacţiunii apar forţe de legătură sau reacţiuni Ansamblul format

din sarcini şi reacţiuni este cunoscut sub numele de forţe exterioare Sub acţiunea

forţelor exterioare elementele de rezistenţă trebuie să fie icircn echilibru

Forţele exterioare pot fi clasificate după următoarele criterii

a) după mărimea suprafeţei pe care se aplică

- forțe concentrate aplicate teoretic icircntr-un punct figura 25a

- forțe distribuite uniform sau cu intensitate variabilă icircn lungul barei sau pe o

suprafaţă figura 25bc şi d

- momente concentrate care acţionează icircntr-un punct M sau momente uniform

distribut pe o anumită lungime m

Fig 25 Tipuri de sarcini după mărimea suprafeţei de aplicare

b) după locul de aplicare se deosebesc

- forţe de suprafaţă sau de contur care sunt aplicate din exterior pe suprafaţa

corpurilor şi indică legătura cu piesele icircnvecinate

- forţe masice sau de volum distribuite icircn tot corpul (greutăţi forţe de inerţie

respectiv forţe electromagnetice)

c) după modul de acţiune icircn timp se disting

- forţe statice care se aplică lent şi progresiv pacircnă la valoarea nominală de lucru

şi apoi rămacircn constante figura 26a

- forţe dinamice care rezultă din

aplicarea cu icircntreaga intensitate de la icircnceputul perioadei de solicitare iar apoi forţa se

menţine constantă timp icircndelungat figura 26b (forţe de inerţie)

aplicarea bruscă a sarcinii asupra corpului durata de acţiune a sarcinii fiind mică figura

26c (forţe de şoc)

variaţia periodică icircn timp a intensităţii forţei aplicate figura 26d (forţe de oboseală)

Fig26 Tipuri de forţe exterioare (cicluri de solicitare)

Funcţie de modul de variaţie al forţelor exterioare solicitările pot fi statice

oscilante pulsante alternante etc Experimental s-a constatat că rezistenţa unui material

depinde foarte mult de modul de variaţie a forţelor icircn timp Bach a clasificat solicitările

icircn 3 categorii 1-solicitări statice 2-solicitări pulsante 3-solicitări alternant simetrice

Rezistenţa unui material este icircn raportul 321 pentru cele 3 cazuri de solicitare ale lui

Bach Aceasta icircnseamnă că o piesă solicitată static rezistă la o forţă de 3 ori mai mare

decacirct forţa maximă care produce ruperea aceleaşi piese solicitate alternant simetric

d) după poziţia icircn timp a forțelor se disting

- forţe fixe ale căror puncte de aplicaţie sunt mereu aceleaşi

- forţe mobile ale căror puncte de aplicaţie se deplasează icircn timp De exemplu

sarcinile produse de vehiculele care circulă pe un pod sarcinile unei grinzi de pod rulant

icircntr-o halăetc

24 Reazeme Forțe interioare Eforturi Diagrame de eforturi icircn barele

drepte

241 Reazeme Reacțiuni (forțe de legătură)

Pentru a prelua şi transmite acţiunea sarcinilor exterioare elementele de rezistenţă

din componenţa unei structuri sunt fixate icircntre ele prin intermediul unor legături

exterioare numite reazeme Aceste legături au ca scop icircmpiedicarea anumitor mişcări ale

corpului pe direcţiile pe care acestea nu trebuie să se producă O legătură are deci rolul

de a anula unul sau mai multe grade de libertate ale corpului icircn punctul de rezemare Dacă

este anulat un singur grad de libertate legătura este simplă iar dacă sunt impiedicate mai

multe grade de libertate legătura este una compusă Datorită existenţei sarcinilor

exterioare icircn punctele de rezemare pe direcţiile pe care mişcările sunt icircmpiedicate apar

forţe de legătură numite reacţiuni Numărul natura şi direcţiile reacţiunilor depind de

tipul reazemelor Icircn construcţiile reale există o varietate mare de realizare practică a

reazemelor dar icircn calcule se acceptă anumite schematizări care reţin doar aspectul esenţial

al unui reazem şi anume gradul sau gradele de libertate anulate

Pentru o structură de rezistenţă spaţială icircntr-un punct oarecare sunt posibile şase

deplasări trei deplasări liniare (după direcţiile axelor unui sistem ortogonal) şi trei rotiri

(deplasări unghiulare) icircn jurul aceloraşi axe Ca urmare ar fi posibil de realizat maximum

şase tipuri de reazem

Pentru un element de rezistenţă plan icircncărcat cu eforturi cuprinse icircn planul

elementului icircn orice punct sunt posibile trei gade de libertate două deplasări liniare şi o

rotiri Ca urmare pentru cazul unei bare plane se icircntacirclnesc următoarele tipuri de reazeme

1 Reazemul simplu sau reazemul mobil care icircmpiedică deplasarea pe o direcţie

normală pe suprafaţa de rezemare permiţacircnd deplasarea pe o direcţie paralelă cu

suprafaţa de rezemare şi rotirea barei icircn jurul unei axe perpendiculare pe plan icircn punctul

de rezemare Icircn urma icircmpiedicării deplasării şi datorită unor sarcini exterioare icircn

reazemul simplu apare o reacţiune de tip forţă a cărei suport trece prin punctul de

rezemare şi a cărei direcţie este perpendiculară pe suprafaţa de rezemare figura 27

Fig 27 Reazem simplu (mobil)

Icircn figura 27 este reprezentat un reazem mobil poziţionat pe capătul A al unei bare

plane orizontale fiind evidenţiate punctul şi suprafaţa de rezemare direcţia suportului

reacţiunii şi modul de schematizare al reazemului Cea mai des icircntacirclnită reprezentare a

reazemului mobil este a unui triunghi a cărui bază poate luneca pe suprafaţa de rezemare

2 Reazemul fix sau articulaţia icircmpiedică deplasările liniare după toate direcţiile

din planul barei permiţacircnd doar rotirea barei icircn jurul unei axe perpendiculare pe plan şi

care trece prin puncul de rezemare Reacţiunea este cuprinsă icircn planul barei care trece

prin punctul de rezemare dar a cărei mărime şi direcţie nu sunt cunoscute (forţa R)

figura 28

Fig 28 Reazem fix

Se preferă ca icircn locul unei forţe R avacircnd direcţia oarecare icircn plan necunoscută să

se introducă două forţe (HA şi VA) cărora li se cunoaşte direcţia şi pentru care se vor

determina modulele ca valori din condiţiile de echilibru static Icircntr-un reazem fix apar

icircntotdeauna reacţiuni atacirct pe direcţia perpendiculară pe suprafaţa de rezemare

(verticală) cacirct şi pe direcţia paralelă cu prima (orizontală) chiar dacă uneori una sau

chiar ambele reacţiuni au valoarea zero Reprezentarea schematică a articulaţiei este cea

a unui triunghi cu baza fixă şi cu vacircrful icircn punctul de rezemare sau cea a unui pendul

dublu figura 28

3 Icircncastrarea (sau icircnţepenirea) anulează toate gradele de libertate ale capătului

unei bare icircmpiedicacircnd deplasarea liniară după orice direcţie din plan precum şi rotirea

barei icircn jurul unei axe perpendiculare pe plan şi care trece prin punctul de icircncastrare

Urmare a existenţei sarcinilor exterioare şi a blocării deplasărilor icircn icircncastrare apare o

reacţiune căreia nu i se cunoaşte nici mărimea nici direcţia şi nici punctul de aplicaţie

figura 29

Fig 29 Icircncastrarea

Sub acţiunea forţelor exterioare un sistem este icircn echilibru Valoarea reacţinilor

se determină din condiţia de echilibru a sistemului solicitat

Este cunoscut faptul că un sistem plan este icircn echilibru dacă

nu se deplasează pe o direcţie (fie x această direcţie)

nu se deplasează pe o direcţie perpendiculară pe prima (fie y această direcţie)

nu se roteşte faţă de un punct al planului (fie K acest punct)

Cele trei condiţii enunţate mai sus sunt satisfăcute dacă suma proiecţiilor tuturor

forţelor pe direcţia x respectiv y este nulă şi suma tuturor momentelor (cuplurilor) faţă

de un punct al planului este nulă

242 Forțe interioare Metoda secțiunilor

Icircn vederea calculului de rezistenţă de rigiditate şi de stabilitate a barelor sau a

sistemelor de bare este necesară determinarea forţelor şi momentelor interioare

(eforturilor) care apar icircn secţiunile transversale ale acestora şi datorate icircncărcărilor

exterioare Forțele interioare indică legătura dintre particulele din interiorul corpului şi

se pun icircn evidenţă prin metoda secţiunilor care este un procedeu de raţionament

imaginar propus de Cauchy echivalent cu teoria echilibrului părţilor Conform acestui

raționament bdquodacă un corp solid deformabil este icircn echilibru sub acţiunea unui sistem

generalizat de forţe atunci după secționare fiecare parte a sa va fi icircn echilibru sub

acţiunea forţelor exterioare care-i revin şi a unui sistem de forţe pe care trebuie să-l

introducem icircn secţiunea ce delimitează fiecare parte echivalent cu acţiunea forţelor

aplicate pe partea icircndepărtatărdquo

Problemele care apar la aplicarea metodei secţiunilor sunt

- să pună icircn evidenţă existenţa forţelor interioare mai ales că din ceea ce se ştie o

forţă apare icircn prezenţa a două corpuri ca urmare a principiului acţiunii şi reacţiunii

- să explice modul de distribuţie al forţelor interioare pe secţiune

Considerăm un corp aflat icircn echilibru sub acţiunea unui sistem de forţe exterioare

1 2 3⋯119894 ⋯ 119899minus1 119899 şi presupunem că-l secţionăm cu un plan transversal Q (sau cu

o suprafaţă oarecare) figura 210a Icircn urma secţionării fictive (imaginare) conform

principiului echilibrului părţilor fiecare din cele două părţi obţinute trebuie să fie icircn

echilibru sub acţiunea forţelor exterioare care le revin şi a cacircte unui sistem de forţe

interioare pe care trebuie să-l introducem icircn secţiunile rezultate sistem echivalent cu

acţiunea forţelor exterioare ce acţionează asupra celeilalte părţi Astfel pe partea din

dreapta (notată cu II) delimitată de secţiunea de arie Ad sunt aplicate forţele exterioare

119894 ⋯ 119899minus1 119899 şi un sistem de forţe interioare căruia nu i se cunoaşte decacirct efectul acelaşi

cu cel al forţelor 1 2 3 de pe parea din stacircnga (notată cu I şi delimitată de secţiunea

de arie As) figura 210b Prin metoda secţiunilor am reuşit să punem icircn evidenţă existenţa

forţelor interioare şi să le trecem icircn categoria celor exterioare cărora le putem aplica

relaţiile de echivalenţă şi de echilibru cunoscute din statică Ideal ar fi să cunoaştem

distribuţia şi intensitatea punctuală a acestor forţe pentru că s-ar putea ca icircn anumite

puncte ale secţiunii valoarea forţelor să depăşească limita de rezistenţă (limita de curgere)

a materialului Cunoaşterea distribuţiei punctuale a forţelor interioare nu se poate realiza

decacirct icircn cazuri particulare relativ simple de solicitare

Să considerăm partea din dreapta a corpului asupra căreia acționează forțele

119894 ⋯ 119899minus1 119899 mărginit de aria Ad pe care acționează un sistem de forțe interioare

echivalent cu 1 2 3 Deși forțele interioare de pe Ad nu se cunosc totuși efectul lor

este același cu cel al forțelor 1 2 3 deci le putem reduce icircn centrul de greutate C al

secțiunii Ad rezultacircnd componentele torsorului de reducere al forțelor interioare

(119894119889 119894119889) și pentru partea din stacircnga (119894119904 119894119904) Evident conform principiului acțiunii și

reacțiunii

119894119889 = minus119894119904

119894119889 = minus119894119904 (21)

Pe de altă parte cum fiecare dintre părțile corpului după secționare trebuie să fie

icircn echilibru sub acțiunea forțelor exterioare care le revin și a forțelor interioare introduse

rezultă

119894119889 = minus119890119889

119894119889 = minus119890119889

119894119904 = minus119890119889

119894119904 = minus119890119904 (22)

Combinacircnd (21) cu (22) rezultă

119894119889 = 119890119889

119894119889 = 119890119889

119894119904 = 119890119904

119894119904 = 119890119904 (23)

Fig 210 Forțe interioare

Relațiile (22) și (23) permit determinarea componentelor torsorului de reducere

al forțelor interioare din (23) rezultă componentele torsorului forțelor interioare care

acționează icircn secțiunea Ad sunt egale cu componentele torsorului de reducere al forțelor

exterioare de pe partea din stacircnga din (22) rezultă componentele torsorului forțelor

interioare care acționează icircn secțiunea Ad sunt egale și de sens contrar cu componentele

torsorului de reducere al forțelor exterioare de pe partea din dreapta

Observații

1 Torsorul forțelor interioare diferă de la o secțiune la alta dar pentru aceeași

secțiune el este unic și trebuie să respecte condițiile de compatibilitate a deformațiilor

2 Reducacircnd forțele interioare icircn centrul de greutate al secțiunii s-a făcut o

aproximare icircn ceea ce privește efectul modului de dispunere al forțelor

3 Punctul de reducere trebuie să fie

pentru forțele interioare normale la secțiune centrul de greutate

pentru forțele interioare tangente la planul secțiunii centrul de răsucire sau de

tăiere

243 Eforturi

Prin metoda secțiunilor am pus icircn evidență existența forțelor interioare și modul

icircn care se determină componentele torsorului de reducere al forțelor interioare (119894119889 119894119889) de pe fața din dreapta secțiunii (Ad) Cele două componente ale torsorului de reducere al

forțelor interioare de pe Ad se pot descompune după axele unui sistem de referință

triortogonal xCyz astfel

119894119889 = +

119894119889 = 119909 +119872119894 (24)

unde și 119909 sunt proiecțiile lui 119894119889 și respectiv 119894119889 pe axa longitudinală Cx a

barei iar și 119894 sunt proiecțiile acelorași componente 119894119889 și respectiv 119894119889 pe planul yCz

al secțiunii transversale Ad figura 211

Fig 211 Torsorul de reducere al forţelor interioare

La racircndul lor și 119894 se pot descompune după axele sistemului yCz figura 212

= 119910 + 119911

119894 = 119894119910 + 119894119911 (25)

Fig 212 Descompunerea forţei tăietoare şi a momentului icircncovoietor

Cele șase componente ale torsorului de reducere al forțelor interioare ( 119910 119911

119909 119894119910 119894119911) orientate după axele sistemului de referință xCyz se numesc eforturi

Fiecare efort are o denumire stabilită icircn funcție de tipul de deformație pe care-l produce

De asemenea semnul plus (bdquo+rdquo) sau minus (bdquondashrdquo) al fiecărui efort nu depinde de sensul

pozitiv sau negativ al sistemului de axe ci doar de efectul icircn deformații al fiecărui efort

Denumirile celor șase eforturi sunt

119873 este forța axială

119879119910 119879119911 sunt forțe tăietoare orientate după axele Cy și respectiv Cz

119872119909 notat de cele mai multe ori cu 119872119905 este moment de torsiune sau de răsucire

119872119894119911 119872119894119910 sunt momente de icircncovoiere icircn jurul axei Cz și respectiv Cy

Forța axială 119873 poate fi forță axială de icircntindere cacircnd produce o lungire a

tronsonului pe a cărei față acționează (119873 gt 0) figura 213a sau forță axială de

compresiune cacircnd sub efectul ei bara se scurtează (119873 lt 0) figura 213b

Fig 213 Forța axială

Forțele tăietoare 119879119910 și 119879119911 au ca efect lunecarea secțiunii icircn centrul căreia

acționează icircn raport cu secțiunea icircnvecinată lunecare ce se produce pe direcția și icircn sensul

forței Sub acțiunea unei forțe tăietoare bara este solicitată la forfecare Forța tăietoare

este pozitivă 119879119910 gt 0 dacă icircn raport cu un punct oarecare K de pe axa Cx a barei tinde să

rotească secțiunea pe care acționează icircn sens orar

Fig 214 Forța tăietoare

Momentele de icircncovoiere 119872119894119911 și 119872119894119910 au ca efect o rotire a secțiunii icircn centrul

cărora acționează icircn jurul axei după care sunt orientate Icircn figura 215a se vede că

datorită momentului 119872119894119911 fibrele de deasupra axei Cz se alungesc icircn timp ce fibrele de sub

axa Cz se scurtează Fibrele care trec prin axa de icircncovoiere Cz nu se deformează sunt

fibre neutre la icircncovoiere adică axa neutră este Cz Icircn cazul momentului de icircncovoiere

119872119894119910 fibrele care nu se deformează sunt cele care trec prin axa neutră la icircncovoiere Cy

Momentele de icircncovoiere se consideră a fi pozitive (119872119894119911 gt 0119872119894119910 gt 0) dacă

observatorul care privește bara deformată vizualizează fibrele icircntinse

Fig 215 Momentul icircncovoietor

Momentul de torsiune sau de răsucire 119872119909 equiv 119872119905 are ca efect o rotire a secțiunii

icircn al cărei centru acționează icircn jurul axei longitudinale Cx Ca efect secțiunea icircși schimbă

forma (se deformează) adică unghiurile inițiale se modifică dreptunghiul inițial Ad

devine paralelogram Convențional se consideră 119872119905 gt 0 dacă vectorul moment are

aceeași orientare ca și sensul pozitiv ales pextru axa Cx Icircn figura 216 momentul este

negativ

Fig 216 Momentul de torsiune

25 Definiții și convenții de semne pentru eforturile

din secțiunile unei bare drepte plane icircncărcate cu sarcini coplanare

Vom considera o bară plană icircncărcată cu un sistem de forțe arbitrar figura 217

Ne propunem să determinăm eforturile care apar icircn secțiunea barei aflată la distanța 119909 de

reazemul din stacircnga (A)

Pentru aceasta vom aplica metoda secțiunilor vom secționa bara cu un plan

perpendicular pe axa longitudinală a barei și vom analiza doar partea din dreapta secțiunii

mărginită de fața Ad Pentru ca această porțiune de bară să fie icircn echilibru sub acțiunea

forțelor exterioare care acționează asupra sa 1198653 și 119881119861 va trebui să introducem icircn centrul

secțiunii Ad eforturile care pot să apară 119873 119879119910 119872119894119911 Acțiunea acestor eforturi trebuie să

fie echivalentă cu acțiunea forțelor exterioare aplicate pe partea icircnlăturată (parcursă) a

barei 119867119860 119881119860 1198651 1198652 1198720

Deoarece bara este plană și este icircncărcată doar cu sarcini ce aparțin

planului barei

icircn secțiunea Ad apar doar 3 componente ale torsorului de reducere al forțelor

interioare (eforturi)

- 119873 = forța axială

- 119879119910 = forța tăietoare pe care o vom nota cu 119879

- 119872119894119911 = momentul icircncovoietor notat cu Mi

Fig 217 Bară plană icircncărcată cu un sistem de forțe

Vom prezenta următoarele definiții corespunzătoare eforturilor din secțiunea Ad

119873 = forța axială dintr-o secțiune este egală cu suma algebrică a proiecțiilor pe

axa longitudinală a tuturor forțelor exterioare (sarcini și reacțiuni) aplicate pe partea

din stacircnga secțiunii adică pe porțiunea parcursă Forța axială 119873 este pozitivă dacă trage

de tronsonul pe a cărei față acționează (are orientarea normalei exterioare la secțiunea

Ad)

119873(119909) = minus119867119860 + 1198651119867 (26)

119879 = forța tăietoare icircntr-o secțiune este egală cu suma algebrică a proiecțiilor

pe o axă perpendiculară pe axa barei a tuturor forțelor exterioare (sarcini și reacțiuni)

aplicate pe porțiunea de bară aflată icircn stacircnga secțiunii considerate Forța tăietoare 119879

este pozitivă dacă tinde să rotească tronsonul pe a cărui față acționează icircn sens orar icircn

raport cu un punct de pe axa barei aflat la dreapta secțiunii

119879(119909) = 119881119860 minus 1198651119881 minus 1198652 (27)

119872119894 = momentul icircncovoietor icircntr-o secțiune este egal cu suma algebrică a

momentelor obținute prin reducerea tuturor forțelor exterioare ( cupluri sarcini

reacțiuni) aplicate pe porțiunea de bară aflată la stacircnga secțiunii icircn centrul secțiunii

considerate 119872119894 este considerat pozitiv dacă tinde să deformeze bara astfel icircncacirct fibrele

spre care privește un observator să fie icircntinse Cum poziția observatorului este de regulă

sub bară bara se deformează dacă 119872119894 gt 0 astfel icircncacirct partea jos a barei este icircntinsă Se

spune că bara deformată rdquoține apaldquo

119872119894(119909) = 119881119860 ∙ 119909 minus 1198651119881 ∙ (119909 minus 1198971) minus 1198652 ∙ [119909 minus (1198971 + 1198972)] + 1198720 (28)

Sensurile pozitive ale eforturilor care apar icircn centrul secțiunii Ad (deci atunci cacircnd

sensul de parcurs la aplicarea metodei secțiunilor este cel de la stacircnga la dreapta) sunt

indicate icircn figura 218a iar dacă sensul de parcurs este de la dreapta la stacircnga sensurile

pozitive ale eforturilor sunt indicate icircn figura 218b

Fig 218 Convenţia de semne

Definiții asemănătoare se pot da și pentru eforturile din centrul secțiunii As figura

218b adică pentru cazul icircn care sensul de parcurs este cel de la dreapta la stacircnga și deci

partea luată icircn considerare este cea din stacircnga iar partea parcursă din dreapta secțiunii

este icircnlăturată

119873(1199091) = 1198653119867

119879(1199091) = 1198653119881 minus 119881119861

119872119894(1199091) = 119881119861 ∙ 1199091 minus 1198653119881 ∙ (1199091 minus 1198975)

(29)

Avacircnd icircn vedere că fețele Ad și As aparțin aceleeași secțiuni este evident faptul că

eforturile 119873(119909) 119879(119909) și 119872119894(119909) sunt identice cu eforturile 119873(119961120783) 119879(119961120783) și respectiv

119872119894(119961120783) Icircn figura 218c se prezintă o sinteză a convențiilor de semne pozitive pentru cele

3 eforturi atacirct pentru sensul de parcurs de la stacircnga la dreapta (secțiunea Ad) cacirct și pentru

sensul invers (secțiunea As)

Semnele eforturilor sunt importante icircntrucacirct există materiale cu comportări diferite

la icircntindere față de compresiune iar o schimbare a semnului unui efort poate produce

erori grave icircn calcule Semnele eforturilor au fost stabilite icircn funcție de deformațiile

produse și nu depind de sensul axelor sistemului de coordonate

26 Relaţii diferenţiale icircntre eforturi şi sarcini

Pentru a vedea ce legătură există icircntre eforturi și sarcini vom considera o bară

dreaptă icircncărcată cu o sarcină distribuită după o lege oarecare figura 219a Din această

bară vom decupa prin dublă secționare un element de lungime infinit mică 119889119909 Deoarece

lungimea 119889119909 este foarte mică se poate considera sarcina 119901 uniform distribuită Icircn

secțiunile rezultate trebuie să introducem eforturile care pot apărea

- 119879 şi 119872119894 icircn centrul secțiunii din sticircnga eforturi pe care le considerăm pozitive

- 119879 + 119889119879 şi 119872119894 + 119889119872119894 icircn centrul secțiunii din dreapta elementului

Aceste eforturi au o variație mică (119889119879 şi 119889119872119894) față de secțiunea anterioară Spre

deosebire de cazul icircn care bara este secționată o singură dată icircn acest caz eforturile nu

pot fi determinate din cele 2 condiții de echilibru independente deoarece icircn ecuațiile de

echilibru apar 4 necunoscute 119879 119889119879119872119894 și 119889119872119894 deci că problema este dublu static

nedeterminată figura 219

Fig 219 Echivalența icircntre eforturi și sarcini

Ecuațiile de echilibru scrise pentru elementul din figura 219b conduc la stabilirea

unor relaţii foarte importante

(sum119865)119910= 0 hArr 119879 minus 119901 ∙ 119889119909 minus (119879 + 119889119879) = 0 rArr

119889119879

119889119909= minus119901 (210)

Relația (210) arată că derivata funcţiei forţei tăietoare icircn raport cu abscisa

secţiunii este egală cu sarcina distribuită normală la axa barei din acea secţiune luată

cu semn schimbat

Observații

dacă 119901 = 0 nu există sarcină distribuită atunci forța tăietoare T este constantă

icircnclinarea pantei diagramei forței 119879 este egală cu (ndash 119901) (sarcina distribuită cu

semn schimbat)

dacă 119901 = 119888119900119899119904119905 119879 variază liniar pe acel interval

Asemănător se deduce că derivata funcţiei forţei axiale icircn raport cu abscisa

secţiunii este egală cu sarcina distribuită axială din acea secţiune luată cu semn

schimbat adică

119889119873

119889119909= minus119901119867 (211)

Din condiția de echilibru suma de momente faţă de centrul de greutate al secţiunii

din dreapta

(sum119872)119862= 0 hArr 119872119894 minus (119872 + 119889119872119894) + 119879 ∙ 119889119909 minus 119901 ∙

(119889119909)2

2= 0 rArr

119889119872119894

119889119909= 119879 (212)

Relația (212) s-a obținut dupa reducerea termenilor și prin neglijarea infinitului

mic de ordinul 2

119901 ∙(119889119909)2

2

Relația (212) arată că derivata funcţiei moment icircncovoietor icircn raport cu abscisa

secţiunii este egală cu forţa tăietoare din acea secţiune

Observații

dacă 119879 = 0 momentul 119872119894 are un punct de extrem se obține o valoare maximă

pentru 119872119894119898119886119909 dacă forța tăietoare 119879 se anulează trecacircnd de la plus icircn stacircnga la minus icircn

dreapta secțiunii

dacă forța tăietoare este pozitivă pe un interval 119879 gt 0 atunci 119872119894 este crescătoare

pe acel interval

dacă forța tăietoare este negativă pe un interval 119879 lt 0 atunci 119872119894 este

descrescătoare pe acel interval

dacă pe un interval 119901 = 0 forța tăietoare este constantă 119879 = 119888119905 iar 119872119894 variază

liniar pe acel interval

dacă 119901 = 119888119900119899119904119905 119879 variază liniar pe acel interval iar 119872119894 variază parabolic pe

acel interval

Relaţiile diferenţiale sunt utile la reprezentarea corectă şi verificarea diagramelor

de eforturi astfel

pentru porţiunile de grindă pe care p = 0 eforturile N şi T sunt constante iar pe

porţiunile cu p = const eforturile N şi T variază liniar (relaţiile 211 şi 210)

dacă pe o porţiune T = const momentul icircncovoietor Miz variază liniar iar dacă

T variază liniar atunci momentul Miz variază parabolic (relaţia 212)

pe domeniile pe care T gt 0 funcţia Mi(x) este crescătoare iar icircn secţiunea icircn

care T = 0 (graficul funcţiei T intersectează axa x) momentul icircncovoietor are un punct

de extrem local (maxim sau minim relaţia 212)

Pentru rezolvarea problemelor referitoare la trasarea diagramelor de eforturi

pentru barele drepte solicitate de sisteme de forţe plane se parcurg următoarele etape

1) identificarea forţelor aplicate (date) şi pregătirea lor pentru calcule

(descompunerea forţelor concentrate pe direcţiile x şi y calculul rezultantelor forţelor

distribuite)

2) identificarea reazemelor şi introducerea reacţiunilor corespunzătoare (vezi

figurile 27divide29)

3) stabilirea ecuaţiilor de echilibru static calculul şi verificarea reacţiunilor Icircn

rezistența materialelor se folosește sistemul de ecuații (vezi figura 217)

(sum119865)

119909= 0

(sum119872)119860= 0

(sum119872)119861= 0

(213)

4) identificarea domeniilor de variaţie şi scrierea funcţiilor de eforturi pentru N T

şi Mi

5) reprezentarea grafică a diagramelor de eforturi

6) verificarea corectitudinii diagramelor pe baza relaţiilor diferenţiale icircntre eforturi

şi sarcini

Aplicație Pentru grinda dreaptă icircncărcată cu sistemul de forţe reprezentat icircn figura

220 se cere

a) să se calculeze şi să se verifice reacţiunile

b) să se stabilească funcţiile eforturilor Nx Ty şi Miz şi să se reprezinte diagramele

de variaţie

c) să se analizeze relaţiile diferenţiale icircntre eforturi şi sarcini

Dimensiunile grinzii au valorile a = 6 [m] b = 4 [m] și c = 4[m] sistemul de

forţe aplicat fiind format din p = 10 [kN mfrasl ] F = 20 [kN] (icircnclinată cu unghiul α =300 faţă de orizontală) şi M0 = 40 [kN ∙ m]

Rezolvare

a) Se fac următoarele precizări

grinda dreaptă se reprezintă prin axa geometrică

forţa icircnclinată F se descompune după direcţiile orizontală şi verticală icircn FV =F ∙ sin α = 10 [kN] şi FH = F ∙ cos α = 173 [kN]

forţa distribuită uniform p este echivalentă din punct de vedere static cu

rezultanta sa R = p ∙ a = 60 [kN] care acţionează la jumătatea porţiunii de lungime a

icircn reazemele 119860 şi 119861 se introduc componentele HA şi VA respectiv VB ale

reacţiunilor

Pentru calculul reacţiunilor se utilizează ecuaţiile de echilibru static al grinzii

sumXi = 0 HA minus FH = 0 sumYi = 0 VA + VB minus R minus FV = 0 (sumM)B = 0 VA ∙ (b + a) minus R ∙ (b + 05 ∙ a) minus M0 + FV ∙ c = 0

(A1)

Din prima ecuaţie se obţine HA iar din cea de-a treia ecuaţie rezultă VA

HA = FH = 173 [kN]

VA =[R ∙ (b + 05 ∙ a) + M0 minus FV ∙ c]

(b + a)=[60 ∙ (4 + 05 ∙ 6) + 40 minus 10 ∙ 4]

(4 + 6)

VA = 42 [kN]

(A2)

Fig 220 Aplicație

Se observă că cea de-a doua ecuaţie de echilibru conţine două necunoscute

reacţiunile VA şi VB Pentru a calcula componenta VB nu este indicată introducerea lui VA

icircn cea de-a doua ecuaţie a sistemului (A1) pentru că o valoare determinată greşit pentru

VA conduce la o valoare VB de asemenea greşită O ecuaţie independentă din care se poate

determina componenta VB este următoarea

(sumM)A= 0 FV ∙ (a + b + c) minus VB ∙ (a + b) minus M0 + R ∙ 05 ∙ a = 0 (A3)

de unde se obţine

VB =[FV ∙ (a + b + c) minusM0 + R ∙ 05 ∙ a]

(b + a)=[10 ∙ (6 + 4 + 4) minus 40 + 60 ∙ 05 ∙ 6]

(6 + 4)

VB = 28 [kN] (A4)

Ecuaţia de proiecţii ale forţelor pe direcţia verticală (a doua ecuaţie din sistemul

A1) se utilizează pentru verificarea reacţiunilor deja determinate

VA + VB minus R minus FV = 0 rArr 42 + 28 minus 60 minus 10 = 0 (A5)

Ultima egalitate demonstrează că reacţiunile verticale au fost calculate corect

Din cele de mai sus rezultă ordinea firească pentru determinarea reacţiunilor icircn

cazul grinzilor simplu rezemate

sumXi = 0

(sumM)A = 0

(sumM)B = 0

(A6)

iar pentru verificarea componentelor verticale VA şi VB se folosește ecuaţia sumY = 0

b) La stabilirea funcţiilor de eforturi se parcurg icircn general etapele următoare

se notează (numeric sau literal după preferinţă) secţiunile care delimitează

domeniile (intervalele sau tronsoanele) pe care eforturile nu-şi modifică funcţiile (au legi

unice de variaţie)

pe fiecare domeniu se marchează secţiunea imaginară icircn care se stabilesc

funcţiile eforturilor

secţiunea astfel aleasă separă icircn două părţi grinda şi anume porţiunea din stacircnga

şi porţiunea din dreapta secţiunii

se va considera parcursă (şi icircndepărtată) acea parte pe care acţionează mai puţine

sarcini exterioare pentru că acestea vor interveni icircn expresiile funcţiilor de eforturi

poziţiile secţiunilor imaginare se vor determina prin variabilele x1 ⋯ xn (unde

n reprezintă numărul domeniilor de variaţie) cu originea fixată icircn capătul intervalului şi

sensul de parcurgere spre partea considerată rămasă

Grinda prezentată icircn figura 220 are trei domenii de variaţie pentru funcţiile de

eforturi după cum urmează (A-1) (2-B) şi (B-1)

Domeniul (A-1) x1 isin [0 a = 6 m] Porţiunea parcursă şi considerată icircndepărtată este cea de coordonată x1 pe care

acţionează reacţiunile HA şi VA precum şi rezultanta parţială a sarcinii distribuite R1 =p ∙ x1

Funcţia forţă axială Nx are expresia

Nx(x1) = NAminus1 = minusHA = minus173 [kN] = const

(A7)

Funcţia forţă tăietoare Ty are exspresia

Ty(x1) = TAminus1 = VA minus R1 = VA minus p ∙ x1 (A8)

care reprezintă o variaţie liniară de variabilă x1 Se calculează valorile forţei tăietoare la

limitele intervalului de variaţie

- pentru x1 = 0 Ty(x1 = 0) = TA = VA = 42 [kN]

- pentru x1 = a = 6 [m] Ty(x1 = 6) = T1 = VA minus p ∙ a = minus18 [kN]

Observaţie Aşa cum a fost stabilită secţiunea fictivă poziţionată prin coordonata

x1 sar părea că rezultanta R ar trebui luată icircn calculul lui Ty(x1) Acest lucru ar fi greşit

pentru că R = p ∙ a reprezintă rezultanta sarcinii distribuite pe toată lungimea a iar

rezultanta pe porţiunea parcursă de lungime x1 este R1 = p ∙ x1 ne R = p ∙ a

Cu valorile obţinute se trasează diagramele forţelor axială Nx = f(x) şi tăietoare

Ty = f(x) figura 220 Din diagrama forţei tăietoare şi din valorile obţinute analitic se

observă că forţa tăietoare icircşi schimbă semnul pe intervalul analizat deci se anulează pe

acest interval Poziţia secţiunii unde Ty se anulează se determină din ecuaţia

Ty(x1) = 0 rArr VA minus p ∙ x1 = 0 (A9)

cu soluţia x1lowast = ξ = 42 [m] Important de reamintit că icircn această secţiune momentul

icircncovoietor va avea un extrem local adică Miz are un extrem la Ty = 0

Funcţia moment icircncovoietor Miz are expresia

Miz(x1) = VA ∙ x1 minus R1 ∙x12= VA ∙ x1 minus (p ∙ x1) ∙

x12

(A10)

Se observă că funcţia moment icircncovoietor de variabilă x1 are o variaţie parabolică

(gradul al II-lea) Pentru reprezentarea grafică a funcţiei parabolice se calculează valorile

momentului icircncovoietor icircn trei secţiuni

- pentru x1 = 0 Miz(x1 = 0) = MA = 0 [kN ∙ m] - pentru x1 = a = 6 [m] Miz(x1 = 6) = M1 = 72 [kN ∙ m] - pentru x1

lowast = ξ = 42 [m] Miz(x1lowast = ξ = 42 [m]) = Mimax = 882 [kN ∙ m]

Cu acestea se trasează diagrama Miz = f(x) pe intervalul (A-1) figura 220

Observaţie Icircn unele cazuri pe un anumit interval forţa tăietoare nu se anulează

şi momentul icircncovoietor nu are un extrem local Icircn acest caz pentru reprezentarea

variaţiei parabolice a momentului icircncovoietor se va studia semnul derivatei a doua a

funcţiei Miz = f(x1) acesta determinacircnd convexitatea curbei momentului icircncovoietor

Domeniul (2-B) x2 isin [0 c = 4 m] Porţiunile din grindă libere (nerezemate) la un capăt se numesc console iar

stabilirea funcţiilor de eforturi devine mai simplă dacă se consideră icircndepărtată partea din

dreapta secţiunii prin schimbarea sensului pozitiv al axei x Astfel se obţin funcţiile eforturilor

Funcţia forţă axială Nx are expresia

Nx(x2) = N2minusB = minusFH = minus173 [kN] = const

(A11)

Funcţia forţă tăietoare Ty are exspresia

Ty(x2) = T2minusB = FV = 10 [kN] = const (A12)

Funcţia moment icircncovoietor Miz are expresia

Miz(x2) = minusFV ∙ x2 rArr Miz(x2 = 0) = M2 = 0 [kN ∙ m]

Miz(x2 = 4) = MB = minus40 [kN ∙ m] (A13)

variaţie liniară (gradul I)

Domeniul (B-1) x3 isin [0 b = 4 m] Pe acest domeniu se acceptă parcurgerea grinzii de la dreapta adică se consideră

icircndepărtată partea din dreapta secţiunii fictive pentru că are doar două sarcini aplicate F

şi VB faţă de partea din stacircnga secţiunii pe care sunt aplicate trei sarcini p VA şi M0

Astfel se obţin funcţiile eforturilor

Funcţia forţă axială Nx are expresia

Nx(x3) = NBminus1 = minusFH = minus173 [kN] = const

(A14)

Funcţia forţă tăietoare Ty are exspresia

Ty(x3) = TBminus1 = FV minus VB = minus18 [kN] = const (A15)

Funcţia moment icircncovoietor Miz are expresia

Miz(x3) = minusFV ∙ (x3 + c) + VB ∙ x3 rArr

rArr Miz(x3 = 0) = MB = minus40 [kN ∙ m]

Miz(x3 = 4) = M1 = 32 [kN ∙ m]

(A16)

variaţie liniară (gradul I)

Diagramele eforturilor sunt prezentate icircn figura 220

c) Relaţiile diferenţiale dintre eforturi şi sarcini se analizează pe diagramele

eforturilor după cum urmează

sarcina distribuită nu are componentă orizontală adică ph = 0 şi icircn

conformitate cu formula (211) rezultă că Nx = const pe toată lungimea grinzii fapt care

a rezultat din funcţia şi reprezentarea diagramei forţei axiale

pe intervalul (A-1) sarcina distribuită are doar componenta verticală pozitivă

pV = p gt 0 prin urmare forţa tăietoare scade (are panta negativă dTy 119889119909frasl = minusp vezi

relaţia 210) iar momentul icircncovoietor avacircnd derivata a doua negativă d2M119894119911 1198891199092frasl =minuspare convexitatea curbei orientată spre sensul pozitiv al axei momentului Miz adică icircn

jos

pe domeniile (2-B) şi (B-1) deoarece pv = 0 forţa tăietoare Ty este constantă

iar momentul icircncovoietor Miz variază liniar

referitor la relaţia (212) pe porţiunile unde Ty gt 0 momentul Miz este

monoton crescător pe porţiunile unde Ty lt 0 momentul Miz este monoton descrescător

iar icircn secţiunea icircn care Ty = 0 momentul icircncovoietor are un extrem local Mξ =

882 [kN ∙ m] icircn diagrama forţei tăietoare discontinuităţile (salturile) se produc icircn secţiunile

unde acţionează VA VB şi FV iar icircn diagrama momentului icircncovoietor se produce un

singur salt icircn secţiunea icircn care este aplicat M0

se poate scrie

Mξ = suprafața diagramei Ty |ξ0=1

2∙ 42 ∙ 42 = 882 [kN ∙ m]

sau parcurgacircnd grinda de la dreapta la stacircnga rezultă

MB = minussuprafața diagramei Ty |c0= minus10 ∙ 4 = minus40 [kN ∙ m]

Toate aspectele analizate teoretic referitoare la relaţiile diferenţiale dintre eforturi

şi sarcini se regăsesc icircn diagramele de eforturi din figura 220 ceea ce icircnseamnă că

diagramele au fost reprezentate corect

3 TENSIUNI DEPLASĂRI ŞI DEFORMAŢII SPECIFICE

31 Tensiuni

Eforturile obținute icircn urma reducerii forțelor interioare icircn centrul de greutate al

secțiunii nu pot da informații asupra solicitării fiecărui punct al secțiunii respective Este

necesar să se cunoască modul cum se distribuie forțele interioare icircn fiecare punct al

secțiunii pentru a ști care este intensitatea maximă a solicitării Această intensitate

maximă se poate compara cu o valoare critică specifică materialului stabilindu-se astfel

dacă solicitarea este periculoasă sau nu

Mărimea care caracterizează solicitarea locală punctuală o vom denumi tensiune

și o vom defini icircn cele ce urmează Să considerăm partea din dreapta a unui corp solicitat

de forțele exterioare 1198651 1198652 și 1198653 obținută prin secționarea corpului și mărginită de fața

din dreapta Ad a secțiunii Pe secțiunea Ad vom considera un element de arie infinit mic

∆119860 caracterizat de normala la elementul de arie normală care are cosinușii directori

120573 și icircn raport cu un sistem de axe considerat fix Pe elementul infinit mic ∆119860 acționează

forțele interioare care au o rezultantă oarecare figura 31

Prin definiție tensiunea totală este

= lim∆119860rarr0

∆

∆119860 (31)

Tensiunea are aceeaşi direcţie cu forţa elementară ∆ iar mărimea ei este

determinată atacirct de mărimea forţei ∆ cacirct şi de orientarea suprafeţei ∆119860 faţă de direcţia

forţei

Tensiunea 119901 poate fi descompusă icircntr-o componentă orientată după direcţia

normalei la secţiune tensiunea normală notată cu 120590119909 şi o componentă icircn planul secţiunii

tensiunea tangenţială notată cu figura 32

= 119909 + 120591 (32)

Fig 31 Tensiunea totală Fig 32 Tensiunea normală și tangențială

La racircndul ei componenta tensiunii cuprinsă icircn planul secțiunii poate fi

descompusă după direcțiile axelor y și z

120591 = 120591119909119910 + 120591119909119911 (33)

Icircntre cele trei componente ale tensiunii totale care acționează pe elementul de arie

∆119860 este valabilă relația

1199012 = 1205901199092 + 120591119909119910

2 + 1205911199091199112 (34)

După sensul pe care icircl are tensiunea normală 120590 poate avea efect de tracţiune sau

de compresiune exercitat de către partea de corp icircnlăturată asupra părţii rămase Analog

tensiunea tangenţială 120591 poate avea efect de tăiere forfecare sau alunecare Pentru

componentele tensiunii tangențiale 120591119909119910 pe direcţia 119910 respectiv 120591119909119911 pe direcţia 119911 primul

indice indică axa pe care tensiunea este normală iar cel de-al doilea indice indică axa cu

care aceasta este paralel

Tensiunea este o mărime tensorială valoarea ei depinzacircnd atacirct de poziția

punctului icircn planul secțiunii cicirct și de orientarea planului de secționare deci de normala

Operaţiile vectoriale nu pot fi aplicate tensiunilor decacirct după ce acestea au fost icircnmulţite

cu ariile respective adică au fost transformate icircn forţe

Icircn literatura de specialitate mai ales icircn manualele mai vechi pentru noţiunea de

tensiune se mai foloseşte şi denumirea de efort specific

Dacă se consideră un alt element de arie ∆119860 cu centrul icircn același punct avacircnd ca

normală axa 119910 se vor obține alte tensiuni și anume

- 120590119910 este tensiunea normală (paralelă cu axa y)

- 120591119911119909 și 120591119910119911 sunt tensiuni tangențiale paralele cu axele 119909 și respectiv 119911 aflate icircn

planul care are ca normală axa 119910

Dacă icircn jurul unui punct dintr-un corp solicitat se consider un element de volum

infinit mic de forma unui cub icircn cazul cel mai general pe fețele sale vor acționa

tensiunile normale 120590119909 120590119910 și 120590119911 și respectiv tensiunile tangențiale 120591119909119910 120591119909119911 120591119910119909 120591119910119911 120591119911119909

și respectiv 120591119911119910 figura 33 Aceste tensiuni definesc starea de tensiune a punctului

observacircnd faptul că tensorul tensiune are 9 componente Dacă se consideră elementul

de volum finit ca fiind foarte mic se poate presupune că icircn interiorul său nu apar forțe

Ca urmare el va fi icircn echilibru sub acțiunea forțelor elementare produse de tensiunile de

pe fețele sale

Din condiția ca elementul să nu se rotească icircn jurul unor axe care trec prin centrul

său și sunt paralele cu axele sistemului 119909119874119910119911 rezultă

2 ∙ 120591119909119910 ∙ (119889119910 ∙ 119889119911) ∙119889119909

2= 2 ∙ 120591119910119909 ∙ (119889119909 ∙ 119889119911) ∙

119889119910

2 rArr 120591119909119910 = 120591119910119909 (35)

2 ∙ 120591119910119911 ∙ (119889119909 ∙ 119889119911) ∙119889119910

2= 2 ∙ 120591119911119910 ∙ (119889119909 ∙ 119889119910) ∙

119889119911

2 rArr 120591119910119911 = 120591119911119910 (36)

2 ∙ 120591119909119911 ∙ (119889119910 ∙ 119889119911) ∙119889119909

2= 2 ∙ 120591119911119909 ∙ (119889119909 ∙ 119889119910) ∙

119889119911

2 rArr 120591119909119911 = 120591119911119909 (37)

Relațiile (35divide37) 120591119909119910 = 120591119910119909 120591119910119911 = 120591119911119910 120591119909119911 = 120591119911119909 exprimă principiul dualității

tensiunilor tangențiale

Fig 33 Tensiunile normale și tangențiale pe fețele unui cub

Din condiția ca elementul considerat să nu se deplaseze icircn lungul axelor de

coordonate pe fețele opuse acționează aceleași tensiuni normale 120590119909 120590119910 și respectiv 120590119911

Definirea tensorului tensiune este posibilă dacă se cunosc cele 6 componente

independente ale acestuia aflate icircn trei plane perpendicular ce trec prin punctul respectiv

=

120590119909 120591119909119910 120591119909119911120591119910119909 120590119910 120591119910119911120591119911119909 120591119911119910 120590119911

Observaţii

Tensiunile se măsoară icircn [119873 1198982frasl ] (1119873 1198982frasl = 1 119875119886) sau icircn [119872119875119886]

(1 119872119875119886 = 106119875119886 = 106 119873

1198982 1 119872119875119886 = 1

119873

1198981198982)

Starea de tensiune dintr-un punct este considerată cunoscută dacă se cunosc

tensiunile 119901 care acționează pe infinitatea de elemente de suprafață ce trec prin punctual

considerat

Starea de tensiune a unui corp se consider cunoscută dacă se cunosc stările de

tensiune de pe infinitatea de puncte ale corpului considerat

32 Deplasări Deformaţii specifice

321 Deplasări

Aceste noțiuni sunt utile icircn analiza aspectului geometric al problemelor de rezistența

materialelor Deplasările care se analizează sunt cele datorate schimbării formei și

dimensiunilor corpurilor ca urmare a acțiunii forțelor exterioare și nu cele cinematice

posibile pentru solidul rigid care se poate deplasa cu anumită viteză și accelerație

Spre exemplu icircn figura 34a și figura 34b sub acțiunea forței 119865 tronsonul de

bară AB se deformează icircn timp ce tronsonul BC deși punctele sale au deplasări rămacircne

nedeformat (fiind nesolicitat) Toate punctele de pe axele barelor cu excepția celor din

icircncastrare (secțiunile A) au deplasări liniare De cele mai multe ori deformațiile barelor

datorate acțiunii forțelor exterioare se anulează la icircndepărtarea forțelor se spune că

deformațiile sunt elastice Secțiunile transversale ale barei din figura 34a se și rotesc icircn

raport cu pozițiile lor inițiale Spre exemplu secțiunea de căpăt cu centrul icircn C se rotește

cu unghiul

Fig 34 Deformațiile unei grinzi

Oricacirct de complexă ar fi delormația unui corp ea poate fi descrisă de lungiri sau

scurtări și de modificări ale unghiurilor inițiale

Deplasările măsoară schimbarea poziției unui punct al corpului și pot fi liniare

sau unghiulare

Prin deplasare liniară a unui punct se icircnțelege drumul parcurs de acest punct icircn

decursul procesului de deformație după o dreaptă suport dreapta 1198611198611 din figura 34a

Prin deplasare unghiulară se icircnțelege rotirea dintre segmentele de dreaptă

determinate de două puncte ale corpului icircnainte și după deformarea acestuia unghiul

pe care-l fac segmentele 119861119862 și 11986111198621 din figura 34a Această rotire se măsoară prin

unghiul pe care-l fac proiecțiile dreptelor ce conțin cele două segmente icircntr-un sistem

triortogonal

Icircn cazul cel mai general vectorul deplasare liniară se poate descompune icircntr-un

sistem triortogonal icircn trei componente 119906 119907 și 119908 figura 35

Fig 35 Deplasarea liniară

Se consideră acum un corp solid raportat la un sistem de axe ortogonal 119909119874119910119911

figura 35 după deformarea corpului un punct oarecare 119870 al acestuia se deplasează icircn

poziţia 1198701 vectorul 1198701198701 poartă numele de vectorul deplasării totale

Deplasarea totală este suma deplasărilor pe cele trei direcţii ortogonale iar

aceste deplasări se notează astfel

deplasarea pe direcţia 119909 cu ∥ 119874119909

deplasarea pe direcţia 119910 cu ∥ 119874119910

deplasarea pe direcţia 119911 cu ∥ 119874119911

Componentele deplasărilor și formeză matricea deplasărilor liniare 119906119907119908

322 Deformații

Prin deformație icircn general se icircnțelege orice schimbare de formă a unui corp fără

o evaluare cantitativă Icircn Rezistența Materialelor deformația măsoară variația

dimensiunilor geometrice ale corpului considerat din vecinătatea unui punct analog

deplasărilor deformațiile pot fi liniare și unghiulare (lunecări)

Fig 36 Deplasarea liniară

Deformația liniară ∆119897 reprezintă variația lungimii 119897 a unui element liniar al

corpului deformat figura 36 Deformația liniară specifică se definește ca fiind raportul

dintre deformația liniară și lungimea inițială

휀 =∆119897

119897 (38)

unde ∆119897 este lungirea sau scurtarea care este echivalentă cu deformția liniară totală iar

este alungirea

Deformația unghiulară sau lunecarea unui punct 119860 icircn planul 119861119860119862 se definește

prin relația figura 37

120574 = lim119861119860rarr0119862119860rarr0

(119861119860 minus 119861111986011198621 ) (39)

Fig 36 Deformația unghiulară

Schimbacircnd orientarea planului care trece prin 119860 se obțin alte deformații

unghiulare Dacă elementele liniare 119861119860 și 119862119860 sunt inițial perpendiculare deformația 120574 se

numește deformație unghiulară specifică sau lunecare specifică figura 37

Un exemplu de deplasare unghiulară și de deformație unghiulară este prezentat icircn

figura 38 Unghiul este deplasarea unghiulară și măsoară rotirea relativă dintre două

secțiuni aflate la distanța 119897 Unghiul este deformația specifică unghiulară (lunecarea

specifică) din punctul 119870 Aceste deplasări și deformații se obțin icircn urma solicitării barei

de către cele două momente 1198720 egale și de sens contrar

Fig 38 Deplasarea unghiulară

Pentru a analiza starea de deformație din vecinătatea unui punct al unui corp

solicitat complex se decupează din jurul punctului un element de volum mic figura 39a

avacircnd laturile 119889119909 119889119910 și 119889119911 Ca urmare a solicitării laturile acestuia se vor lungi sau

scurta Reprezentarea elementului deformat icircn spațiu este dificilă pentru simplificare

vom analiza doar deformațiile din planul 119909119874119910 Observăm că dimensiunile 119889119909 și 119889119910 s-au

modificat cu valoarea ∆119889119909 respectiv cu ∆119889119910 analog se acceptă și pentru 119889119911 o modificare

de forma ∆119889119911 Astfel se pot defini deformațiile specifice liniare

휀119909 =∆119889119909

119889119909 휀119910 =

∆119889119910

119889119910 휀119911 =

∆119889119911

119889119911 (310)

De cele mai multe ori aceste deformații specifice liniare se pot exprima procentual

și se mai numesc alungiri

Fig 39 Starea de deformație

Icircn figura 39c se vede că unghiul inițial drept dintre muchiile 119889119909 și 119889119910 ale

elementului de volum s-a modificat Se definește deformația specifică unghiulară (sau

lunecarea specifică) mărimea cu care se modifică unghiul inițial drept

120574119909119910 = 120574119909119910prime + 120574119910119909

prime = 120574119910119909120574119910119911 = 120574119910119911

prime + 120574119911119910prime = 120574119911119910

120574119911119909 = 120574119911119909prime + 120574119909119911

prime = 120574119909119911

(311)

Deformațiile 휀119909 휀119910 휀119911 120574119909119910 120574119910119911 120574119911119909 constituie cele șase componente

independente ale tensorului deformațiilor specifice care pot fi scrise de forma

119863 =

휀119909 120574119909119910 120574119909119911120574119910119909 휀119910 120574119910119911120574119911119909 120574119911119910 휀119911

(312)

323 Contracţia transversală

Practica arată că odată cu lungirea unei bare apare o micşorare a mărimii secţiunii

transversale mărime numită contracţie transversală figura 310

Fig 310 Contracția transversală

Contracţia transversală este proporţională cu lungirea specifică coeficientul de

proporţionalitate se notează cu 120599 şi se numeşte coeficient de contracţie transversală sau

coeficientul lui Poisson

La o lungire specifică a barei contracţia transversală este dată de relația

휀119905119903 = 휀119910 = 휀119911 = minus120599 ∙ 휀119909 (313)

Semnul minus bdquo-rdquo arată că cele două mărimi sunt contrare dacă una creşte cealaltă

scade şi invers

Considerăm o bară cilindrică de lungime 119897 şi aria secţiunii transversale 119860 solicitată

la icircntindere axială La un moment dat datorită solicitării lungimea barei devine

[119897 ∙ (1 + 휀)] diametrul devine [119889 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)] iar aria secţiunii transversale devine

[119860 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)2] Dacă volumul barei icircnainte de solicitare a fost (119860 ∙ 119897) după solicitare

acesta devine

119881 + ∆119881 = 119860 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)2 ∙ 119897 ∙ (1 + 휀) =

= 119860 ∙ 119897 ∙ (1 + 휀 minus 2 ∙ 120599 ∙ 휀 minus 2 ∙ 120599 ∙ 휀2 + 1205992 ∙ 휀2 + 1205992 ∙ 휀3) (314)

Deoarece lungirile sunt foarte mici ultimii trei termeni din paranteză fiind infinit mici se pot neglija obţinacircnd

119881 + ∆119881 = 119860 ∙ 119897 + 119860 ∙ 119897 ∙ 휀 ∙ (1 minus 2 ∙ 120599) ⟺ ∆119881 = 휀 ∙ (1 minus 2 ∙ 120599) ∙ 119860 ∙ 119897 (315)

Practica arătă că o astfel de bară solicitată la icircntindere icircşi măreşte volumul deci

∆119881 gt 0 de unde rezultă că

1 minus 2 ∙ 120599 gt 0 rArr 120599 lt 05 (316)

Pentru majoritatea materialelor 120599 = 033 iar pentru materialele care-şi păstrează

volumul constant 120599 = 05

33 Relaţii de echivalenţă icircntre eforturi şi tensiuni

Considerăm un element de suprafață infinit mic 119889119860 situat pe fața de arie (119860) a

secțiunii barei din figura 311 Icircn centrul de greutate 119862 al secțiunii acționează eforturile

119873 119879119910 119879119911 119872119909 119872119894119910 și 119872119894119911 determinate prin metoda secțiunilor

Icircn raport cu un sistem de axe de referință 119909119862119910119911 coordonatele elementului 119889119860 sunt

- 119910 este ordonata elementului de arie 119889119860

- 119911 este abscisa elementului de arie 119889119860

Pe elementul de arie 119889119860 acționează tensiunile

120590119909 tensiunea normală

120591119909119910 și 120591119909119911 tensiuni tangențiale

Dacă se icircnsumează forțele elementare de tipul 120590119909 ∙ 119889119860 120591119909119910 ∙ 119889119860 și 120591119909119911 ∙ 119889119860

va trebui să obținem eforturile 119873 119879119910 și 119879119911

Fig 311 Element de suprafață mic din secțiunea unei bare

Dacă eforturile sunt privite ca forțe exterioare și se scriu ecuațiile de

echilibru ale secțiunii (119860) se vor obține șase relații de echivalență icircntre eforturi și

tensiuni

(sum119883) = 0 rArr int 120590119909 ∙ 119889119860

119860

= 119873 (317)

(sum119884) = 0 rArr int 120591119909119910 ∙ 119889119860

119860

= 119879119910 (318)

(sum119885) = 0 rArr int 120591119909119911 ∙ 119889119860

119860

= 119879119911 (319)

(sum119872)119909= 0 rArr int(120591119909119911 ∙ 119889119860) ∙ 119910

119860

minus int(120591119909119910 ∙ 119889119860) ∙ 119911

119860

= 119872119909 rArr

rArr int(119910 ∙ 120591119909119911 minus 119911 ∙ 120591119909119910) ∙ 119889119860

119860

= 119872119909

(320)

(sum119872)119910= 0 rArr int(120590119909 ∙ 119889119860) ∙ 119911

119860

= 119872119894119910 (321)

(sum119872)119911= 0 rArr int(120590119909 ∙ 119889119860) ∙ 119910

119860

= 119872119894119911 (322)

Cele șase relații de echivalență icircntre eforturi și tensiuni constituie un pas icircnainte

icircn rezolvarea unei probleme de rezistența materialelor Aceste relații vor permite

determinarea tensiunilor maxime

Pentru a rezolva cele 6 relații de echivalență trebuie să se cunoască tensiunile și

ca funcții de punct adică funcții de forma

120590119909 = 120590119909(119909 119910 119911) 120591119909119910 = 120591119909119910(119909 119910 119911) 120591119909119911 = 120591119909119911(119909 119910 119911) (32

3)

Cunoașterea acestor funcții presupune icircnsă analizarea aspectului geometric al

problemei precum și utilizarea unor ipoteze simplificatoare care să permită simplificarea

problemelor

34 Ipoteze de bază icircn rezistenţa materialelor

Depășirea dificultăților legate de interpretarea unor fenomene specifice mecanicii

solidului deformabil a impus acceptarea unor ipoteze care să simplifice fenomenele și să

contribuie la elaborarea unor modele de calcul cicirct mai generale și cacirct mai simple Aceste

ipoteze se referă la structura materialelor şi la comportarea lor sub acţiunea forţelor

exterioare Ipotezele acceptate trebuie să fie icircn deplină concordanţă cu realitatea și să

conducă la rezultate verificate icircn practică

Funcție de aspectele la care se referă ipotezele pot fi

Ipoteze fizice (de material)

Ipoteze de calcul

341 Ipoteze fizice

Se acceptă deoarece teoriile structurale au condus la rezultate care contravin

icircncercărilor experimentale

Ipoteza mediului continuu consideră că orice domeniu elementar al corpului

este ocupat de materie adică nu se acceptă existența unor goluri sau a unor crăpături

microscopice (fisuri) Deși nu corespunde realităţii poate fi acceptată deoarece

dimensiunile corpului sunt mult mai mari decacirct dimensiunile particulelor elemantare Are

avantajul că permite utilizarea proprietăților matematice ale funcțiilor continue pentru

tensiunile și deformațiile din orice punct al corpului Ea este mai apropiată de realitate la

corpurile amorfe şi mai depărtată la cele cristaline dar conduce la rezultate satisfăcătoare

icircn calculele de rezistenţă

Ipoteza nu se poate aplica la corpurile care au goluri tăieturi (multiplu conexe)

pentru unele puncte singulare icircn care tensiunile și deformațiile tind la infinit sau icircn unele

probleme de plasticitate icircn care proprietățile de material au un rol esențial

Ipoteza izotropiei conform acestei ipoteze materialul din care este confecționat

un element de rezistență are aceleași proprietăți după orice direcție un astfel de material

este considerat izotrop Din punct de vedere macroscopic metalele pot fi considerate

izotrope deși la nivel microscopic proprietățile lor diferă de la o direcție cristalografică

la alta Orice conglomerat de cristale poate fi considerat izotrop

Există cazuri cacircnd această ipoteză a izotropiei nu se acceptă

la metalele puternic deformate după o direcție (prin laminare trefilare)

la piesele confecționate din lemn lemnul este anizotrop deoarece proprietățile sale

diferă după două direcții (icircn lungul fibrelor și perpendicular pe această direcție)

Ipoteza omogenității consideră că un corp are aceleași proprietăți icircn orice

punct al său Deși majoritatea materialelor utilizate icircn tehnică sunt eterogene la scară

micro fiind constituite din mai multe faze cu proprietăți diferite la scară macro ele pot

fi considerate omogene Omogenitatea și izotropia sunt proprietăți statistice medii care

nu se condiționează una pe cealaltă Chiar și materialele monofazice pot avea la scară

micro unele segregații care le fac eterogene

Ipoteza elasticităţii perfecte presupune că atacircta timp cacirct solicitările nu

depăşesc anumite limite materialul are o comportare elastică adică icircşi recapătă forma şi

dimensiunile iniţiale odată cu icircnlăturarea sarcinilor Icircn realitate materialele nu prezintă o

elasticitate perfectă ele avacircnd deformaţii remanente mici care icircnsă pot fi neglijate icircn

calculele de rezistenţă

Acceptarea acestei ipoteze a elasticității perfecte permite

- aplicarea relației biunivoce icircntre tensiuni și deformații relație exprimată de legea

lui Hooke ( = 119864 ∙ 휀) unde E este un factor de proporţionalitate numit modul de

elasticitate longitudinal al materialului pentru oţel 119864 = 21 ∙ 105 [119872119875119886] - acceptarea valabilității afirmației bdquolucrul mecanic efectuat de forțele exterioare

ca urmare a parcurgerii deplasărilor punctelor de aplicație se icircnmagazinează integral icircn

corp sub formă de energie de deformație energie cedată la icircndepărtarea sarcinilorrdquo

- este valabilă teoria conform căreia bdquoenergia icircnmagazinată și deformațiile depind

doar de starea inițială și finală de eforturi fără a ține cont de modul icircn care s-a ajuns la

starea finalărdquo

Icircn realitate oricacirct de mici ar fi sarcinile aplicate se produc și deformații plastice

dar acestea pot fi neglijate dacă solicitarea nu depășește anumite limite

342 Ipoteze de calcul

Ipoteza micilor deplasări bdquodeplasările datorate deformării sunt mult mai mici

decacirct dimensiunile corpurilor și ca urmare pot fi neglijate produsele dintre o deplasare și

ea icircnsăşirdquo Pentru cele mai multe corpuri deformaţiile elastice sunt de mărimi mici deci

corpurile solide sub acţiunea sarcinilor icircşi modifică foarte puţin forma iniţială Această

ipoteză este cunoscută şi sub denumirea de ipoteza menţinerii dimensiunilor iniţiale Ea

permite scrierea ecuaţiilor de echilibru ale staticii pe starea nedeformată a elementului

cacircnd nu se iau icircn considerare deplasările punctelor de aplicaţie ale forţelor care se produc

ca urmare a deformării acestuia Calculul efectuat pe schema nedeformată poartă numele

de calcul de ordinul I

Ipoteza micilor deplasări nu poate fi acceptată pentru studiul problemelor de

stabilitate sau la problemele la care nu pot fi icircndeplinite condiţiile de echilibru icircn starea

nedeformată

Calculul de ordinul II admite ipoteza micilor deplasări dar ecuaţiile de echilibru

se scriu icircnsă pentru starea deformată a elementului de rezistenţă

Calculul de ordinul III nu mai acceptă ipoteza micilor deplasări el referindu-se

la cazul deformaţiilor mari cacircnd ecuaţiile de echilibru trebuie scrise pentru starea

deformată

Chiar dacă materialul satisface legea lui Hooke icircn urma calculelor de ordinul II

se obţin de obicei relaţii neliniare icircntre sarcini şi deplasări iar pentru calculul de ordinul

III rezultă ecuaţii diferenţiale neliniare

Principiul efectului local al acțiunii sarcinilor enunțat de Barre de Saint-

Venant Acest principiu destul de folosit icircn Rezistenţa Materialelor precizează că dacă

se icircnlocuiesc forţele care acţionează asupra unui element de suprafață al unui corp

elastic printr-un alt sistem de forţe echivalent din punct de vedere static cu primul noua

distribuţie a forţelor produce la locul de aplicare diferenţe semnificative faţă de prima

dar rămacircne fără efect sau cu efect neglijabil la distanţe mari de locul de aplicare al

forţelor figura 312

Ca o cosecință o sarcină uniform distribuită figura 312a poate fi icircnlocuită cu

rezultanta ei figura 312b dacă se analizează efectul sarcinii la distanță mare de locul icircn

care se aplică sarcina

Fig 312 Principiul Saint-Venant

Icircn prima variantă figura 312a forţa 119865 se aplică pe o porțiune oarecare 119897 (sarcină

uniform distribuită) iar icircn a doua figura 312b icircntru-un punct (forţă concentrată) La

locul de aplicare a sarcinii efectul asupra barei este cu totul diferit de la o variantă la

cealaltă Icircnsă la o distanţă mare de punctul de aplicaţie spre exemplu icircn secţiunea situată

la distanţa 119886 de capătul barei sau chiar icircn icircncastrare ambele bare sunt solicitate la fel

Icircn cazul din figura 312a

119872119894(119909) =119901 ∙ 1199092

2 119909 le 119897 119872119894(119909) = 119901 ∙ 119897 ∙ (119909 minus

119897

2) 119909 gt 119897 (324)

Icircn cazul din figura 312b

119872119894(119909) = 0 119909 lt119897

2 119872119894(119909) = 119901 ∙ 119897 ∙ (119909 minus

119897

2) 119909 gt

119897

2 (325)

Se vede că pentru (119909 gt 119897) adică după depășirea locului icircn care se aplică sarcina

efectul este același

Ipoteza lui Bernoulli sau ipoteza secţiunilor plane precizează că o secţiune

plană şi normală pe axa barei icircnainte de deformare rămacircne plană şi normală pe axa

barei şi după deformare figura 313

Fig 313 Ipoteza lui Bernoulli

Ipoteza stării naturale a corpului sau ipoteza absenţei tensiunilor conform

căreia pentru un corp nesolicitat starea de tensiune şi deformaţie este nulă

Perfecţionarea mijloacelor de calcul şi de investigare pot conduce la renunţarea la

unele ipoteze sau la introducerea altora noi mai aproape de stările reale De aici rezultă

caracterul de continuă perfecţionare a metodelor Rezistenţei Materialelor

35 Coeficienţi de siguranţă Tensiuni admisibile

O piesă corespunde din punct de vedere tehnic dacă tensiunile care iau naştere icircn

interiorul piesei datorită sarcinilor aplicate nu depăşesc anumite valori limită stabilite

convenţional Aceste valori limită ale tensiunii sunt corelate cu caracteristicile mecanice

ale materialelor

Tensiunea limită utilizată icircn calculele de rezistenţă este cunoscută sub denumirea

de tensiune admisibilă sau rezistenţă admisibilă Rezistenţa admisibilă reprezintă

valoarea convenţională aleasă icircn calcul pe baza practicii pentru tensiunea maximă care

poate apare icircntr-o piesă icircn condiţii date de material şi solicitare

Rezistenţa admisibilă (120590119886 sau 120591119886) poate fi definită faţă de o stare limită

periculoasă stare care trebuie evitată deoarece poate conduce distrugere

120590119886 =120590119897119894119898119888

(326)

unde

120590119897119894119898 este tensiunea corespunzătoare stării limită periculoase

119888 estesupraunitar 119888 gt 1 și reprezintă coeficientul de siguranţă faţă de starea limită

periculoasă considerată

Alegerea unor valori inferioare pentru rezistenţa admisibilă faţă de tensiunea

corespunzătoare stării limită periculoase este necesară deoarece

cunoaşterea sarcinilor este de cele mai multe ori aproximativă şi o depăşire a

acestora este foarte posibilă

caracteristicile mecanice ale materialelor variază icircn limite destul de mari ele

fiind influenţate de mulţi factori

schema aleasă pentru calcul (aplicarea sarcinilor schematizarea structurii

ipotezele de calcul etc) depărtează modelul faţă de cel real

Pentru calculele de verificare tensiunea efectivă maximă din elementul de

rezistenţă trebuie să fie mai mică sau cel mult egală cu cea admisibilă

120590119890119891119898119886119909 le 120590119886 (327)

Valoarea rezistenţei admisibile este influenţată de foarte mulţi factori natura

materialului tratamentele termice aplicate piesei durata de funcţionare a piesei modul

de acţionare icircn timp a sarcinilor felul solicitării temperatura gradul de periculozitate

icircn cazul cedării piesei etc

De asemenea valoarea coeficientului de siguranţă se alege icircn principal ţinacircnd

seama de aceiaşi factori care influenţează şi rezistenţa admisibilă

Rezistenţele admisibile pentru cacircteva materiale sunt următoarele

pentru oțelul de uz general OL37 solicitat la icircntindere compresiune sau

icircncovoiere 120590119886 = 150 [119872119875119886] pentru lemnul de brad solicitat la

- compresiune icircn lungul fibrelor şi solicitat la icircncovoiere 120590119886 = 10 [119872119875119886] - tracţiune icircn lungul fibrelor 120590119886 = 7 [119872119875119886] - compresiune perpendiculară pe fibre 120590119886 = 15 [119872119875119886] - forfecare icircn lungul fibrelor 120591119886 = 2 [119872119875119886] - forfecare perpendiculară pe fibre 120590119886 = 45 [119872119875119886]

terenuri de fundaţie din pămacircnt uscat sau umed 120590119886 = 020 divide 025 [119872119875119886]

4 CARACTERISTICI GEOMETRICE ALE SECȚIUNILOR PLANE

41 Noţiuni introductive

Icircn relaţiile de calcul ale tensiunilor şi deformaţiilor elementelor de rezistenţă

pentru unele solicitări (icircncovoierea și torsiunea) secțiunile plane intervin atacirct prin

dimensiunile lor (aria 119860) cicirct și prin forma și poziția pe care o are secțiunea icircn raport cu

planul solicitării Mărimile care caracterizează o secțiune icircn raport cu forma și poziția față

de axele unui sistem de referință sunt denumite caracteristici geometrice de ordin

superior Aria secțiunii este caracteristica geometrică ce depinde doar de dimensiunile

geometrice ale acesteia

Să considerăm o grindă solicitată de o forță exterioară 119865 aşezată icircn două poziții icircn

raport cu planul forţei figura 41 Icircn urma aplicării forței deși avem aceeași grindă

(aceeași arie a secțiunii transversale) și aceeași forță se constată că pentru varianta din

figura 41a deformațiile sunt mult mai mari adică rezistența la icircncovoiere a grinzii din

figura 41a este mai mare decacirct icircn cazul grinzii din figura 41b Comportarea diferită se

explică prin aceea că modificarea poziţiei secţiunii transversale faţă de planul forţelor

modifică caracteristicile geometrice ale secţiunii transversale a grinzii

Fig 41 Grindă solicitată de forța 119865

Pentru realizarea calculelor de rezistenţă şi rigiditate este foarte importantă

cunoaşterea caracteristicilor geometrice ale suprafeţei secţiunii transversale a elementelor

de rezistenţă

Caracteristicile geometrice ale secţiunii transversale a unui element de rezistenţă

sunt

- aria secțiunii notată cu 119860

- momentul static icircn raport cu o axă notat 119878119911 și respectiv 119878119910

- momentul de inerție care poate fi

axial notat 119868119911 și respectiv 119868119910

centrifugal notat 119868119911119910

polar notat 119868119901

- raza de inerţie (giraţie)notată 119894119911 și respectiv 119894119910

- modulul de rezistență care poate fi

axial notat 119882119911 și respectiv 119882119910

polar notat 119882119901

42 Aria și momentul static al suprafețelor plane

Fie o suprafaţă plană de arie 119860 pe care se ia un element infinit mic de arie 119889119860 şi

un sistem de axe rectangulare 119911119874119910 figura 42 Notăm cu 119862 centrul de greutate al suprafeţei

119860 Poziţia suprafeţei elementare 119889119860 faţă de acelaşi sistem de coordonate 119911119874119910 este dată

de abscisa 119911 ordonata 119910 și raza polară

Fig 42 Suprafață plană de arie 119860

Aria suprafeţei 119860 figura 42 se defineşte ca fiind

119860 ≝ int 119889119860

119860

(41)

Aria suprafeţei este icircntotdeauna pozitivă și se măsoară icircn [1198981198982] Momentul static al suprafeţei de arie 119860 icircn raport cu axele 119874119911 și respectiv 119874119910

figura 42 sunt date de relaţiile

119878119911 ≝ int 119910 ∙ 119889119860

119860

119878119910 ≝ int 119911 ∙ 119889119860

119860

(42)

Momentul static poate fi pozitiv negativ sau nul şi se măsoară icircn [1198981198983] Coordonatele centrului de greutate ale suprafeței 119860 se detrmină cu relațiile

119910119862 ≝int 119910 ∙ 119889119860119860

119860 119911119862 ≝

int 119911 ∙ 119889119860119860

119860

(43)

Cunoscacircnd coordonatele 119910119862 și 119911119862 ale centrului de greutate 119862 al secțiunii 119860 atunci

momentele statice se pot determina cu relațiile

119878119911 ≝ int 119910 ∙ 119889119860

119860

= 119910119862 ∙ 119889119860 119878119910 ≝ int 119911 ∙ 119889119860

119860

= 119911119862 ∙ 119889119860 (44)

Aceste relații arată că momentul static al unei suprafețe icircn raport cu o axă este

egal cu produsul dintre aria suprafeței și distanța de la centrul ariei la axa respectivă

Dacă suprafaţa se poate descompune icircn 119899 suprafeţe simple la care se cunosc ariile

(1198601 1198602 ⋯ 119860119894⋯ 119860119899) și poziţiile centrelor de greutate 119862119894 faţă de sistemul de referinţă

expresiile momentelor statice capătă următoarea formă

119878119911 = sum 119910119862119894 ∙ 119860119894119899119894=1 = 119910119862 ∙ 119860 119878119910 = sum 119911119862119894 ∙ 119860119894

119899119894=1 = 119911119862 ∙ 119860 (45)

Din relaţiile (45) rezultă că poziţia centrului de greutate 119862 al unei suprafeţe

compuse poate fi determinată cu relaţiile

119910119862 = (sum119910119862119894 ∙ 119860119894

119899

119894=1

) 119860frasl 119911119862 = (sum119911119862119894 ∙ 119860119894

119899

119894=1

) 119860frasl (46)

Icircn relația (45) 119910119862119894 și respectiv 119911119862119894 reprezintă coordonatele centrelor de greutate 119862119894

ale fiecărei suprafețe simple 119860119894 icircn raport sistemul de axe 119911119874119910

Se constată (relaţia 42) că dacă axele sistemului de referinţă trec prin centrul de

greutate (119910119862 = 119911119862 = 0) momentele statice sunt nule Axele icircn raport cu care momentele

statice sunt nule şi care trec prin centrul de greutate al suprafeţei se numesc axe centrale

Observație dacă secțiunea compusă are o axă de simetrie centrul secțiunii se

găsește pe acea axă iar dacă secțiunea este dublu simetrică poziția centrului secțiunii este

la intersecția axelor de simetrie

43 Momente de inerţie

Momentele de inerţie axiale ale unei suprafețe se calculează icircn raport cu axele de

coordonate 119874119911 și respectiv 119874119910 figura 42 și se determină cu relațiile

119868119911 ≝ int 1199102 ∙ 119889119860

119860

119868119910 ≝ int 1199112 ∙ 119889119860

119860

(47)

Unde 119910 și 119911 sunt distanțele de la elementul de arie 119889119860 la cele două axe de

coordonate 119874119911 și respectiv 119874119910

Momentele de inerţie axiale se măsoară icircn [1198981198984] şi sunt icircntotdeauna pozitive (aria

119889119860 este icircntotdeauna pozitivă și este multiplicată cu patratul distanței 1199102 dacă 119868119911 sau 119868119910

sunt nule icircnseamnă ca secțiunea nu există)

Momentele de inerție axiale se calculează icircndeosebi pentru axele centrale (care

trec prin centrul secțiunii) deoarece icircn raport cu acele axe 119868119911 și 119868119910 au valori minime

Momentul de inerţie centrifugal calculat faţă ambele axe ale sistemului de

referinţă 119911119874119910 este definit de relația

119868119911119910 ≝ int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860

(48)

Momentul de inerţie centrifugal se măsoară icircn [1198981198984] şi poate fi pozitiv negativ

sau nul

Momentul de ineție centrifugal este nul 119868119911119910 = 0 dacă cel puțin una din axele 119874119911

sau 119874119910 este axă de simetrie pentru secțiune

Se consideră o suprafaţă dreptunghiulară pe care faţă de axa de simetrie 119874119910 se iau

două suprafeţe elementare de arie 119889119860 simetrice faţă de axa 119874119910 figura 43

Fig 43 Suprafață dreptunghiulară cu două arii elementare 119889119860

Făcacircnd suma momentelor de inerţie centrifugale pentru cele două suprafeţe

elementare 119889119860 (din stacircnga şi din dreapta faţă de axa 119874119910) se obţine

int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860119889119903

+ int (minus119911) ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860119904119905119892

= int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860119889119903

minus int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860119904119905119892

= 0 (49)

Acelaşi raţionament se poate face și pentru icircntreaga suprafaţă de unde obținem că

momentul de inerție centrifugal este nul 119868119911119910 = 0 Deci pentru o suprafaţă plană care

are cel puţin o axă de simetrie momentul de inerţie centrifugal faţă de sistemul care

conţine acea axă de simetrie este nul

Momentul de inerţie polar al unei suprafeţei icircn raport cu un punct (pol) 119874 figura

42 este definit prin relaţia

1198680 = 119868119901 ≝ int 1205882 ∙ 119889119860

119860

= int(1199102 + 1199112) ∙ 119889119860

119860

= 119868119911 + 119868119910 (410)

unde este distanţa de la polul 119874 la elementul de arie 119889119860 Momentul de inerţie polar se

măsoară icircn [1198981198984] şi este totdeauna pozitiv

Momentul de inerţie polar este egal cu suma momentelor de inerţie faţă de două axe

perpendiculare oarecare şi care trec prin polul considerat

Razele de giraţie sau razele de inerţie sunt mărimi calculate icircn raport cu axele

secțiunii și definite de relaţiile

119894119911 ≝ radic119868119911119860 119894119910 = radic

119868119910

119860 (411)

Se exprimă icircn [119898119898] şi sunt icircntotdeauna pozitive Semnificația unei raze de inerție

este distanța la care dacă ar fi concentrată icircntreaga arie s-ar obține același moment de

inerție ca și cel calculat pentru aria reală

44 Modulul de rezistenţă

Modulul de rezistență se calculează icircn raport cu axele de referință sau icircn raport cu

un pol figura 42 și pot fi axiale (119882119911119882119910) sau polar (119882119901) și se determină numai pe baza

momentelor de inerţie cu relațiile figura 43

119882119911119898119894119899 ≝119868119911119910119898119886119909

119882119911119898119886119909 ≝119868119911119910119898119894119899

(412)

119882119910119898119894119899 ≝119868119910

119911119898119886119909 119882119910119898119886119909 ≝

119868119910

119911119898119894119899 (413)

119882119901 ≝119868119901

120588119898119886119909 (414)

unde

119910119898119886119909 119910119898119894119899 reprezintă distanţa de la axa 119874119911 la punctele extreme cele mai

depărtate respectiv cele mai apropiate ale suprafeţei de această axă

119911119898119886119909 119911119898119894119899 reprezintă distanţa de la axa 119874119910 la punctele extreme cele mai

depărtate respectiv cele mai apropiate ale suprafeţei de această axă

120588119898119886119909 reprezintă distanța maximă de la polul 119874 la punctul secțiunii cel mai

icircndepărtat de acesta

Fig 43 Suprafață dreptunghiulară cu două arii elementare 119889119860

Modulele de rezistenţă se exprimă icircn [1198981198983] şi sunt icircntotdeauna pozitive

Explicația este aceea că momentele de inerție care intră icircn relațiile de definiție sunt

pozitive iar distanțele la punctele extreme sunt pozitive (119910119898119886119909 119910119898119894119899 119911119898119886119909 119911119898119894119899 120588119898119886119909 se

iau icircn valoare absolută)

Icircn cazul suprafeţelor compuse modulul de rezistenţă nu se obţine prin icircnsumarea

algebrică a modulelor de rezistenţă ale suprafeţelor simple componente ci numai prin

intermediul momentului de inerţie axial calculat pentru icircntreaga secțiune

Ca și momentele de inerție modulele de rezistență se calculează numai pentru

sistemele de axe centrale

45 Momente de inerţie şi module de rezistenţă pentru suprafeţe simple

451 Secțiune dreptunghiulară

Fie suprafaţa dreptunghiulară din figura 44 de icircnălțime ℎ și lățime 119887 pe care se

consideră suprafaţă elementară de arie 119889119860 = 119887119889119910 la distanța 119910 de axa 119862119911 sistemul de

axe 119911119862119910 trece prin centrul secțiunii iar axele sunt axe de simetrie pentru dreptunghi

Fig 44 Suprafață dreptunghiulară

Pe baza relațiilor de definiți a momentului de inerție 119868119911 se obține

119868119911 ≝ int 1199102 ∙ 119889119860

119860

= int 1199102 ∙ 119887 ∙ 119889119910 = 2int 1199102 ∙ 119887 ∙ 119889119910 = 2 ∙ 119887 ∙1199103

3|ℎ 2frasl

0rArr

ℎ 2frasl

0

ℎ 2frasl

minusℎ 2frasl

rArr 119868119911 =119887 ∙ ℎ3

12

(415)

Analog pentru un element de arie 119889119860 = ℎ ∙ 119889119911 paralel cu axa 119862119910 situat la distanța

119911 de axa 119862119910

119868119910 ≝ int 1199112 ∙ 119889119860

119860

= int 1199112 ∙ ℎ ∙ 119889119911 = 2int 1199112 ∙ ℎ ∙ 119889119910 = 2 ∙ ℎ ∙1199113

3|119887 2frasl

0rArr

119887 2frasl

0

119887 2frasl

minus119887 2frasl

rArr 119868119910 =1198873 ∙ ℎ

12

(416)

Deoarece axele 119862119911 și 119862119910 sunt axe de simetrie momentul de inerție centrifugal este

119868119911119910 = 0 (417)

Pentru un pătrat avacircnd laturile egale (ℎ = 119887 = 119886) momentele de inerţie faţă de

axele centrale au expresia

119868119911 = 119868119910 =1198864

12 (418)

Modulele de rezistență axiale se calculează cu relațiile de definiție ținacircnd cont că

distanțele pacircnă la fibrele extreme sunt

119910119898119886119909 = 119910119898119894119899 =ℎ

2 119911119898119886119909 = 119911119898119894119899 =

119887

2 (419)

Obținem

119882119911119898119894119899 = 119882119911119898119886119909 =119868119911

119910119898119886119909119898119894119899=119887 ∙ ℎ3

12frasl

ℎ2frasl

=119887 ∙ ℎ2

6

119882119910119898119894119899 = 119882119910119898119886119909 =119868119910

119911119898119886119909119898119894119899=1198873 ∙ ℎ

12frasl

1198872frasl

=1198872 ∙ ℎ

6

(420)

452 Suprafaţă circulară

Din motive de simetrie pentru suprafeţele circulare momentele de inerţie faţă de

orice diametru (care reprezintă şi axe centrale) sunt aceleaşi

Considerăm o secțiune circulară plină cu diametrul 119889 și centrul de greutate 119862 Prin

centrul de greutate 119862 trece sistemul de axe ortogonal 119911119862119910 figura 45

Fig 45 Suprafață circulară

La distanța de centrul de greutate 119862 vom lua un element de suprafață mic de arie

(119889119860) de forma unui inel de grosime 119889 Elementul de arie 119889119860 are expresia

119889119860 = (2 ∙ 120587 ∙ 120588) ∙ (119889120588)

Pornind de la relația de definiție a momentului de inerție polar obținem

119868119901 ≝ int 1205882 ∙ 119889119860

119860

= int 1205882 ∙ (2 ∙ 120587 ∙ 120588) ∙ 119889120588

119903=119889 2frasl

0

= 2 ∙ 120587 ∙1205884

4|119889 2frasl0 rArr

rArr 119868119901 =120587 ∙ 1198894

32

(421)

Secțiunea este perfect simetrică deci sunt valabile relațiile

119868119911 = 119868119910 rArr 119868119901 = 119868119911 + 119868119910 = 2 ∙ 119868119911 = 2 ∙ 119868119910 =119868119901

2=120587 ∙ 1198894

64 (422)

Și modulele de rezistenţă faţă de orice diametru sunt egale şi se calculează cu

relaţiile

119882119911 = 119882119910 =1198681199111198892frasl=120587 ∙ 1198893

32 (423)

Modulul de rezistenţă polar este

119882119901 =1198681199011198892frasl=120587 ∙ 1198893

16 (424)

453 Secţiune inelară

Calculul momentelor de inerţie axiale pentru o secţiune inelară avacircnd diametrul

interior 119889 şi diametrul exterior 119863 se determină analog pentru suprafaţa circulară plină cu

observaţia că integrala pentru calculul momentului de inerție polar 119868119901 se face icircntre

limitele 119903 = 119889 2frasl şi R= 1198632frasl (icircntre raza interioară 119903 şi raza exterioară 119877) figura 46

Se obţin relaţiile

119868119901 =120587 ∙ 1198634

32∙ [1 minus (

119889

119863)4

] =120587 ∙ 1198634

32∙ (1 minus 1198964) (425)

119868119910 = 119868119910 =120587 ∙ 1198634

64∙ [1 minus (

119889

119863)4

] =120587 ∙ 1198633

64∙ (1 minus 1198964) (426)

Fig 46 Secțiune inelară

119882119901 =120587 ∙ 1198633

16∙ [1 minus (

119889

119863)4

] =120587 ∙ 1198633

16∙ (1 minus 1198964) (427)

119882119911 = 119882119910 =120587 ∙ 1198633

32∙ [1 minus (

119889

119863)4

] =120587 ∙ 1198633

32∙ (1 minus 1198964) (428)

unde 119896 = 119889119863frasl

46 Variaţia momentelor de inerţie faţă de axe paralele

( Relațiile lui STEINER)

Se consideră o suprafaţă oarecare de arie 119860 cu elementul de arie 119889119860 și un sistemul

de axe central 119911119862119910 faţă de care se cunosc momentele de inerţie 119868119911 119868119910 119868119911119910 şi considerăm

un sistem de axe 11991111198741199101 paralele cu sistemul central figura 47 Se pune problema

determinării momentele de inerţie 1198681199111 1198681199101 11986811991111199101 faţă de sistemul de axe paralel cu sistemul

central 11991111198741199101 axe aflate la distanţele 119910119862 = 119888 respectiv 119911119862 = 119889 de acesta

461 Momente de inerţie axiale

Pe baza relaţiilor de definire şi a notaţiilor din figura 42 pentru momentele de

inerţie faţă de axele 1198741199111 1198741199101 se poate scrie

1198681199111 = int 11991012 ∙ 119889119860

119860

= int(119910 + 119888)2 ∙ 119889119860

119860

= int 1199102 ∙ 119889119860

119860

+ 2 ∙ 119888 ∙ int 119910 ∙ 119889119860

119860

+

+1198882int 119889119860

119860

rArr 1198681199111 = 119868119911 + 2 ∙ 119888 ∙ 119878119911 + 1198882 ∙ 119860 hArr 1198681199111 = 119868119911 + 119888

2 ∙ 119860

(429)

Fig 47 Variaţia momentelor de inerţie față de axe paralele

S-a ajuns la relația (429) deoarece momentul static 119878119911 este nul deoarece axa 119862119885

este axă centrală

Pentru momentul de inerție axial icircn raport cu axa 1198741199101 se obține

1198681199101 = int 11991112 ∙ 119889119860

119860

= int(119911 + 119889)2 ∙ 119889119860

119860

= int 1199112 ∙ 119889119860

119860

+ 2 ∙ 119889 ∙ int 119911 ∙ 119889119860

119860

+

+1198892 ∙ int 119889119860

119860

rArr 1198681199101 = 119868119910 + 2 ∙ 119889 ∙ 119878119910 + 1198892 ∙ 119860 hArr 1198681199101 = 119868119910 + 119889

2 ∙ 119860

(430)

Pentru momentul de inerție centrifugal obținem

11986811991111199101 = int 1199101 ∙ 1199111 ∙ 119889119860

119860

= int(119910 + 119888) ∙ (119911 + 119889) ∙ 119889119860

119860

= int 119910 ∙ 119911 ∙ 119889119860 +

119860

+119888 ∙ int 119911 ∙ 119889119860

119860

+ 119889 ∙ int 119910 ∙ 119889119860

119860

rArr 11986811991111199101 = 119868119911119910 + 119888 ∙ 119889 ∙ 119860

(431)

Deoarece

int 119911 ∙ 119889119860

119860

= 119878119910 = 0 int 119910 ∙ 119889119860

119860

= 119878119911 = 0 int 119910 ∙ 119911 ∙ 119889119860

119860

= 119868119911119910

Relaţiile (429) şi (430) arată că momentul de inerţie faţă de o axă oarecare

este egal cu momentul de inerţie faţă de o axă paralelă cu ea trecacircnd prin centrul de

greutate la care se adaugă produsul dintre aria suprafeţei şi pătratul distanţei dintre

cele două axe

Din relaţiile (429) și (430) rezultă de asemenea că momentul de inerţie faţă de o

axă centrală (care trece prin centrul de greutate) este cel mai mic dintre infinitatea de

momente de inerţie obținute faţă de alte axe paralele cu ea

Relaţia (431) arată de asemenea că momentul de inerţie centrifugal faţă de un

sistem de axe oarecare este egal cu momentul de inerţie centrifugal faţă de un sistem

paralele cu el trecacircnd prin centrul de greutate a suprafeţei la care se adaugă produsul

dintre aria suprafeţei şi distanţele dintre axele sistemelor respective

Icircn literatura de specialitate relaţiile (429) (430) şi (431) sunt cunoscute sub

numele de relaţiile lui Steiner

47 Variaţia momentrlor de inerţie faţă de axe rotite

Direcţii principale şi momente de inerţie principale

Fie suprafaţa plană din figura 48 de arie 119860 pe care considerăm o suprafaţă

elementară de arie 119889119860 Pentru sistemul de axe 119911119874119910 se cunosc momentele de inerţie

119868119911 119868119910 119868119911119910 şi vom determina relaţiile de calcul pentru momentele de inerţie afererent unui

sistem de axe 11991111198741199101 rotit cu un unghi faţă de sistemul central

Faţă de sistemul de axe 11991111198741199101 elementul de arie 119889119860 are coordonatele

1199101 = 119875119877 = 119875119876 minus 119877119876 = 119910 ∙ cos 120572 minus 119911 ∙ sin 120572

1199111 = 119873119872 = 119873119875 minus 119875119872 = 119911 ∙ cos 120572 + 119910 ∙ sin 120572 (432)

Fig 47 Variaţia momentelor de inerţie față de axe rotite

Pe baza relaţiilor de calcul ale momentelor de inerţie şi a notaţiilor din figura 42

şi ale relaţiilor (432) momentele de inerţie faţă de sistemul de axe rotit 11991111198741199101 sunt

1198681199111 =119868119911 + 119868119910

2+119868119911 minus 119868119910

2∙ cos 2120572 minus 119868119911119910 ∙ sin 2120572 (433)

1198681199101 =119868119911 + 119868119910

2minus119868119911 minus 119868119910

2∙ cos 2120572 + 119868119911119910 ∙ sin 2120572 (434)

11986811991111199101 =119868119911 minus 119868119910

2∙ sin 2120572 + 119868119911119910 ∙ cos 2120572 (435)

Din relaţiile 433divide435 se observă că icircntre momentele de inerţie axiale şi cele

polare există relaţia

1198681199111 + 1198681199101 = 119868119911 + 119868119910 = 119868119901 (436)

adică suma momentelor de inerţie axiale icircn raport cu orice pereche de axe ortogonale

care trec printr-un pol dat este o constantă şi egală cu momentul de inerţie polar

Prin rotirea sistemului de axe din relaţiile 433divide435 rezultă că momentele de inerţie

variază icircnsă suma lor rămacircne constantă deci există o poziţie a sistemului de axe pentru

care momentele de inerţie au valori extreme maxim respectiv minim

471 Direcţii principale de inerţie

Valoarea unghiului 120572 pentru care momentele de inerţie axiale au valori extreme

este

1205721 =1

2∙ 119886119903119888119905119886119899 (minus

2 ∙ 119868119911119910

119868119911 minus 119868119910) (437)

Poziţia celeilalte direcţii este perpendiculară pe cea dată de unghiul 1205721

Din relaţia (437) se constată că faţă de aceste direcţii rotite pentru care momentele

de inerţie axiale prezintă valori extreme momentul de inerţie centrifugal 11986811991111199101este nul

Atunci se poate afirma că momentele de inerţie axiale au valori extreme icircn raport cu

direcţiile faţă de care momentul de inerţie centrifugal este nul Aceste direcţii se numesc

direcţii principale iar momentele de inerţie faţă de aceste direcţii poartă numele de

momente de inerţie principale

Icircn calculele de rezistenţă interesează icircn mod special poziţia direcţiilor principale

care trec prin centrul de greutate al suprafeţei aşa numitele direcţii principale centrale şi

evident momentele de inerţie principale centrale

Direcţiile principale de inerţie se notează cu 1 respectiv 2 Axa principală 1

corespunde direcţiei faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea maximă iar

axa principală 2 pentru direcţia faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea

minimă

472 Momente de inerţie principale

Momentele de inerţie principale se notează cu litera 119868 la care se pune indicele 1

sau 2 după cum valoarea acestuia este maximă sau minimă deci avem un moment de

inerţie principal 1 (notat 1198681) respectiv moment de inerţie principal 2 (notat 1198682)

Expresiile pentru momentele de inerţie principale sunt

11986812 =119868119911 + 119868119910

2plusmn1

2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)

2+ 4 ∙ (119868119911119910)

2 (438)

Dacă momentul de inerţie centrifugal este negativ (119868119911119910 lt 0) direcţia principală

care trece prin primul cadran (definit de sistemul 119911119862119910) este direcţia principală 120783

Pentru suprafeţele cu cel puţin o axă de simetrie direcţiile centrale 119862119911 119862119910 sunt şi

direcții principale de inerţie și evident momentele de inerţie axiale 119868119911 119868119910 sunt momente

de inerţie principale

48 Caracteristici mecanice ale metalelor

Alegerea materialului pentru confecţionarea unei anumite piese se face şi pe baza

aşa numitelor caracteristici mecanice pe care le prezintă materialul Cunoaşterea acestor

caracteristici mecanice are loc numai pe baza unor icircncercări mecanice care să scoată icircn

evidenţă comportarea materialului icircn condiţii de solicitare

Cea mai utilizată icircncercare icircn urma căreia se pun icircn evidenţă caracteristicile

mecanice ale unui material este icircncercarea la tracţiune

481 Icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general

Icircncercarea la tracţiune a oţelului ca de altfel toate icircncercările de materiale este

standardizată

Icircn cele ce urmează se va prezenta numai partea care interesează strict din punct

de vedere al caracteristicilor mecanice ale oţelului

Epruveta de diametru iniţial 1198890 pentru icircncercarea la tracţiune are o porţiune de

lungime 1198710 numită baza de măsurare pe care se măsoară lungirea acesteia sub acţiunea

solicitării

Icircn funcţie de raportul dintre baza de măsurare 1198710 şi diametrul iniţial 1198890 epruvetele

utilizate pentru icircncercări sunt

epruvete normale (scurte) cacircnd 11987101198890 = 5

epruvete lungi cacircnd 11987101198890 = 10

Icircn timpul icircncercării la diferite valori ale forţei 119865 se măsoară lungirea bazei de

măsurare

∆119871 = 120575 = 119871 minus 1198710 (439)

unde

119871 este dimensiunea bazei de măsurare la un moment dat

Curba forţă-lungire (119865 minus ) icircnregistrată icircn urma icircncercării reprezintă curba

caracteristică la tracţiune

La icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general diagrama caracteristică care se

obţine are forma din figura 48

Curba caracteristică la tracţiune depinde de lungimea bazei de măsurare Pentru

icircnlăturarea acestui neajuns curba caracteristică se reprezintă icircn coordonate şi definite

astfel

120590 =119865

1198600 휀 =

120575

1198710 (440)

unde

1198600 este aria iniţială a secţiunii transversale a epruvetei (icircnainte de solicitare) icircn

zona bazei de măsurare

1198600 =120587 ∙ 1198890

2

4

Deoarece mărimile icircn care se reprezintă curba caracteristică la tracţiune sunt

raportate la aria iniţială a secţiunii transversale (mărimi specifice) curba poartă numele

de curbă caracteristică convenţională la tracţiune

Fig 48 Curba caracteristică convenţională la tracțiune

Pe curba caracteristică convenţională la tracţiune figura 48 se pot stabili o serie

de puncte cărora le corespund mai multe mărimi importante

Ordonata punctului A pacircnă unde curba caracteristică convenţională este linie

dreaptă se numeşte limita de proporţionalitate a materialului 120590119901(1205901) Porţiunea 119874119860 este

zona de proporţionalitate a curbei caracteristice pe acest domeniu este valabilă legea lui

Hooke care exprimă o proporţionalitate icircntre tensiune şi deformaţie specifică

120590 = 119864 ∙ 휀 (441)

unde

119864 = reprezintă panta porţiunii liniare a curbei convenționale caracteristice

la tracțiune Caracteristica de material 119864 se numeşte modul de elasticitate longitudinal

(modulul lui Young)

Ordonata punctului 119861 pacircnă unde materialul se comportă perfect elastic adică

după descărcare icircşi recapătă dimensiunea iniţială 1198710 se numeşte limita de elasticitate

120590119890(119877119890) Icircn realitate nici un material nu are comportare perfect elastică sub acţiunea

solicitărilor el capătă deformaţii permanente (remanente plastice)

După punctul 119861 urmează o porţiune 119861119862119863 icircn care cu toate că icircncărcarea

continuă forţa nu mai creşte avacircnd mici oscilaţii icircn jurul unei valori Se spune că icircn

această porţiune materialul curge iar intervalul 119861119862119863 este un palier de curgere Tensiunea

corespunzătoare palierului de curgere se numeşte limită de curgere aparentă 120590119888(119877119888) Limita de curgere aparentă se calculează cu relaţia

120590119888 =1198651198881198600 (442)

unde

119865119888 reprezintă valoarea forţei icircnregistrată icircn momentul curgerii materialului

După punctul 119863 curba caracteristică are un traseu ascendent pacircnă icircn punctul 119864

Porţiunea 119863119864 este numită zonă de icircntărire (ecruisare) Icircn zona de ecruisare unde se

produc deformaţii plastice semnificative legea lui Hooke nu mai este valabilă La

descărcare relaţia dintre tensiunea şi deformaţia specifică este liniară paralelă cu

porţiunea liniară a curbei caracteristice (dreapta 119872119873)

Deformaţia totală (휀119905) are două componente una elastică (휀119890) şi una plastică (휀119901)

Ordonata punctului 119864 reprezintă rezistenţa de rupere 120590119903(119877119898) a materialului

care se poate calcula cu relaţia

120590119903 = 119877119898 =1198651198981198861199091198600

(443)

unde

119865119898119886119909 reprezintă valoarea maximă a forţei icircnregistrată icircn timpul icircncercării

La atingerea valorii 119865119898119886119909 (punctul 119864) icircntr-un anumit loc al epruvetei secţiunea

icircncepe să se micşoreze (se produce gacirctuirea) continuacircnd pacircnă cacircnd se produce ruperea

totală (punctul 119865)

Dacă după ruperea epruvetei cele două părţi rezultate se aşează cap la cap şi se

măsoară dimensiunea bazei de măsurare 119871119906 (lungimea ultimă) se determină alungirea la

rupere sau lungirea specifică la rupere 휀119903

휀119903 =119871119906 minus 11987101198710

=∆119871

1198710=120575

1198710 (444)

De obicei alungirea se exprimă icircn procente şi se notează cu 119860119899 unde 119899 reprezintă

numărul dat de raportul 11987101198890 (epruvete normale 119899 = 5 epruvete lungi 119899 = 10)

119860119899 =119871119906 minus 11987101198710

∙ 100 [] (445)

Altă mărime care se determină la icircncercarea la tracţiune este gacirctuirea la rupere

(exprimată de obicei icircn procente) şi definită de relaţia

119885 =1198600 minus 1198601199061198600

∙ 100 [] (446)

Mărimile determinate limita de proporţionalitate modulul de elasticitate

longitudinal limita de elasticitate limita de curgere aparentă rezistenţa de rupere

alungirea la rupere şi gacirctuirea la rupere sunt cunoscute ca fiind caracteristici mecanice

ale materialului

Din curba caracteristică convenţională observăm faptul că ruperea (punctul 119865 din

figura 48 se produce la o tensiune mai mică decacirct cea corespunzătoare punctului 119864 Dacă

icircnsă forţa din timpul icircncercării s-ar raporta la aria secţiunii din momentul icircnregistrării

forţei (care este mai mică decacirct cea iniţială 1198600) s-ar obţine aşa numita curbă

caracteristică reală a materialului (traseul 1198741198601198611198621198631198651 din figura 48) La curba

caracteristică reală ruperea se produce icircn punctul 1198651 la o icircncărcare mai mare decacirct cea

corespunzătoare punctului 119864 Icircnseamnă că rezistenţa reală la rupere este mai mare decacirct

rezistenţa la rupere dată de punctul 119864 din diagrama caracteristică convenţională

Dificultatea obţinerii diagramei caracteristice reale faţă de cea a diagramei caracteristice

convenţionale şi considerarea unei rezistenţe la rupere mai mică decacirct a celei reale face

icircn practică utilizarea pe scară mare a diagramei caracteristice convenţionale

Caracteristicile mecanice determinate pe baza curbei caracteristice convenţionale

sunt şi ele caracteristici mecanice convenţionale

Caracteristicile mecanice convenţionale limita de proporţionalitate convenţională

120590119901 limita de elasticitate convenţională 120590119890 limita de curgere convenţională 120590119888 şi rezistenţa

de rupere 120590119903 constituie tensiuni limită pentru un material Pe baza acestor caracteristici

de material se alege valoarea tensiunii admisibile 120590119886 (vezi paragraful 35) pentru

calculele de rezistenţă Cea mai utilizată stare limită pentru stabilirea tensiunii admisibile

120590119886 este limita de curgere convenţională 120590119888

120590119886 =120590119897119894119898119888

=120590119888119888 119904119886119906 120590119886 =

120590119903119888 (447)

Caracteristicile mecanice ale materialului sunt influenţate de o serie de factori

temperatura viteza de solicitare factorii tehnologici iar valorile lor sunt date icircn tabele și

diagrame

Aplicaţie Pentru suprafaţa plană compusă din două dreptunghiuri avacircnd

dimensiunile din figura 49a să se calculeze

a) centrul de greutate al secțiunii compuse 119910119866 119911119866

b) momentele de inerție axiale 119868119911 119868119910 și momentul de inerție centrifugal 119868119911119910

c) razele de inerție 119894119911 119894119910

d) modulele de rezistență 119882119911119898119894119899 119882119911119898119886119909 119882119910119898119894119899 119882119910119898119886119909

e) momentele de inerție principale 1198681 1198682 și direcțiile principale de inerție 1205721

f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 119878119911

Fig 49 Aplicație

Rezolvare Pentru rezolvare vom parcurge următoarele etape

icircmpărțim suprafața compusă icircn două suprafețe simple (dreptunghiuri) notate cu

① și respectiv ② figura 49b

poziționăm centrele de greutate a celor două suprafețe simple ① și respectiv ②

notate cu 1198661 și respectiv 1198662 figura 49c

poziționăm sistemele de axe de coordonate 119911111986611199101 pentru dreptunghiul ① și

119911211986621199102 pentru dreptunghiul ② aflate la intersecția diagonalelor figura 49c

poziționăm sistemele de axe de coordonate 11991101198741199100 ales arbitrar față de care

determinăm poziția centrului de greutate 119866 figura 49c

a) calculăm poziția centrului de greutate folosind relațiile (46) icircn care

1198601 = 6119905 ∙ 119905 = 61199052 1198602 = 4119905 ∙ 119905 = 41199052 119860 = 1198601 + 1198602 = 61199052 + 41199052 = 101199052

iar centrele de greutate 1198661 și respectiv 1198662 au coordonatele (față de sistemul 11991101198741199100)

1198661 1199101 = 3119905 1199111 = 05119905

1198662 1199102 = 051199051199112 = 3119905

cu acestea obținem

119910119866 =1198601 ∙ 1199101 + 1198602 ∙ 1199102

119860=61199052 ∙ 3119905 + 41199052 ∙ 05119905

101199052=201199053

101199052= 2119905

119911119866 =1198601 ∙ 1199111 + 1198602 ∙ 1199112

119860=61199052 ∙ 05119905 + 41199052 ∙ 3119905

101199052=151199053

101199052= 15119905

Poziționăm centrul de greutate 119866 al suprafeței compuse figura 49c

Fig 49 Aplicație

b) pentru determinarea momentelor de inerție axiale 119868119911 119868119910 și a momentului de

inerție centrifugal 119868119910119911 determinăm constantele 1198881 1198882 1198891 1198892 care intervin icircn relația lui

Stainer

1198881 = 1199101 minus 119910119866 = 3119905 minus 2119905 = 119905 1198882 = minus(119910119866 minus 1199102) = minus(2119905 minus 05119905) = minus15119905

1198891 = minus(119911119866 minus 1199111) = minus(15119905 minus 05119905) = minus119905 1198892 = 1199112 minus 119911119892 = 3119905 minus 15119905 = 15119905

Folosind relațiile lui Stainer (429) (430) și (431) calculăm momentele de

inerție axiale și centrifugale față de sistemul central 119911119866119866119910119866

119868119911 =sum(119868119911119894 + 1198881198942 ∙ 119860119894) = 1198681199111 + 1198881

2 ∙ 1198601 + 1198681199112 + 11988822 ∙ 1198602

119868119910 =sum(119868119910119894 + 1198891198942 ∙ 119860119894) = 1198681199101 + 1198891

2 ∙ 1198601 + 1198681199102 + 11988922 ∙ 1198602

119868119911119910 =sum(119868119911119894119910119894 + 119888119894 ∙ 119889119894 ∙ 119860119894) = 11986811991111199101 + 1198881 ∙ 1198891 ∙ 1198601 + 11986811991121199102 + 1198882 ∙ 1198892 ∙ 1198602

1198681199111 = (119887 ∙ ℎ3

12) =

119905 ∙ (6119905)3

12= 181199054 1198681199112 = (

119887 ∙ ℎ3

12) =

4119905 ∙ 1199053

12= 031199054

1198681199101 = (1198873 ∙ ℎ

12) =

1199053 ∙ 6119905

12= 051199054 1198681199102 = (

1198873 ∙ ℎ

12) =

(4119905)3 ∙ 119905

12= 531199054

11986811991111199101 = 11986811991121199102 = 0 deoarece cele două triunghiuri au cel puțin o axă de simetrie

Cu acestea momentele de inerție axiale și momentul de inerție centrifugal devin

119868119911 = 181199054 + 1199052 ∙ 61199052 + 031199054 + (minus15119905)2 ∙ 41199052 = 3331199054

119868119910 = 051199054 + (minus119905)2 ∙ 61199052 + 531199054 + (15119905)2 ∙ 41199052 = 2081199054

119868119911119910 = 0 + 119905 ∙ (minus119905) ∙ 61199052 + 0 + (minus15119905) ∙ (15119905) ∙ 41199052 = minus151199054

c) razele de inerție sau de girație față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910

se calculează cu relațiile (411)

119894119911 = radic119868119911119860= radic

3331199054

101199052= 182119905 119894119910 = radic

119868119910

119860= radic

2081199054

101199052= 144119905

d) modulele de rezistență față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910 se

calculează cu relațiile (412) și (413)

Avacircnd icircn vedere figura 419c obținem

119910119898119886119909 = 6119905 minus 119910119866 = 6119905 minus 2119905 = 4119905 119910119898119894119899 = minus119910119866 = minus2119905

119911119898119886119909 = 5119905 minus 119911119866 = 5119905 minus 15119905 = 35119905 119911119898119894119899 = minus119911119866 = minus15119905

Se obține astfel

119882119911119898119894119899 =119868119911

|119910119898119886119909|=3331199054

4119905= 8331199053

119882119911119898119886119909 =119868119911

|119910119898119894119899|=3331199054

2119905= 16651199053

119882119910119898119894119899 =119868119910

|119911119898119886119909|=2081199054

35119905= 5941199053

119882119910119898119886119909 =119868119910

|119911119898119894119899|=2081199054

15119905= 13871199053

e) momentele de inerție principale 1198681 și respectiv 1198682 se calculează cu relațiile

(438)

11986812 =119868119911 + 119868119910

2plusmn1

2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)

2+ 4 ∙ (119868119911119910)

2=

=3331199054 + 2081199054

2plusmn1

2∙ radic(3331199054 minus 2081199054)2 + 4 ∙ (minus151199054)2 = 27051199054 plusmn 16251199054

De unde obținem

1198681 = 27051199054 + 16251199054 = 4331199054

1198682 = 27051199054 minus 16251199054 = 1081199054

Prima direcție principală de inerție 1 face cu axa centrală 119866119911 unghiul 1205721 dat de

relația (437)

1205721 =1

2∙ arctan (minus

2 ∙ 119868119911119910

119868119911 minus 119868119910) =

1

2∙ arctan [minus

2 ∙ (minus151199054)

3331199054 minus 2081199054] =33 70

Deoarece 1205721 gt 0 rotirea axelor se face acircn sens antiorar acelor de ceasornic figura

49d

Poziția axe principale 2 față de care momentul de inerție are valoarea minimă

1198682 = 119868119898119894119899 este dată de unghiul

1205722 = 1205721 + 900 = 33 70 + 900 = 123 70

f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 se determină cu relația

(45)

1198781199111198602 = 1198602 ∙ 1198882 = 41199052 ∙ (minus15119905) = minus61199053

Aşadar efectul forţei din A a fost icircnlocuit icircn punctul O cu două elemente

mecanice o forţă identică cu aplicată icircn O şi momentul forţei iniţiale icircn raport cu

punctul O Ansamblul celor două elemente mecanice formează aşa numitul torsor de

reducere al forţei icircn punctul O

132 Reducerea unui sistem de forţe icircntr-un punct

Considerăm că asupra unui solid rigid acţionează un sistem de 119899 forţe 119894 aplicate

icircn punctele 119860119894 cu 119894 = 1 119899 şi fie 119874119909119910119911 un sistem de axe de coordonate avacircnd versorii

axelor 119894 119895 figura 16

Fig 16 Reducerea unui sistem forțe icircntr-un punct

Pentru a reduce sistemul de forţe icircn punctul O se procedează astfel

Se reduce pe racircnd fiecare forţă 119894 icircn punctul O la un torsor de reducere compus

dintr-o forţă 119894 şi un moment 119874119894 = 119903119894 times 119894 Făcacircnd această operaţie cu toate forţele icircn

punctul O se obţine

o forţă rezultantă

= sum119894

119899

119894=1

un moment rezultant

0 =sum119874119894

119899

119894=1

=sum119903119894 times 119894

119899

119894=1

Cele două elemente mecanice definesc torsorul de reducere al sistemului de forţe

icircn punctul O

Torsorul de reducere se poate calcula analitic dacă forţele sunt exprimate analitic

119894 = 119883119894 ∙ 119894 + 119884119894 ∙ 119895 + 119885119894 ∙ unde 119883119894 119884119894 119885119894 sunt proiecţiile forţei 119894 pe axele 119874119909 119874119910

respectiv 119874119911 Rezultanta forţelor icircn punctul O este

= (sum119883119894

119899

119894=1

) ∙ 119894 + (sum119884119894

119899

119894=1

) ∙ 119895 + (sum119885119894

119899

119894=1

) ∙ = 119883 ∙ 119894 + 119884 ∙ 119895 + 119885 ∙

(14)

unde sunt componentele rezultantei pe axele 119874119909 119874119910 și 119874119911 = + +

Icircn mod analog momentul rezultant icircn punctul O este

0 = (sum119872119909119894

119899

119894=1

) ∙ 119894 + (sum119872119910119894

119899

119894=1

) ∙ 119895 + (sum119872119911119894

119899

119894=1

) ∙ =

= 119872119909 ∙ 119894 + 119872119910 ∙ 119895 + 119872119911 ∙

(15)

unde 119909 119910 119911 sunt componentele vectorului moment 0 pe axele 119874119909 119874119910 respectiv 119874119911

0 = 119909 + 119910 + 119911

133 Echilibrul solidului rigid

Torsorul de reducere al sistemului de forţe determină mişcarea solidului rigid icircn

spaţiu sub acţiunea forţelor exterioare aplicate

Torsorul de reducere conţine o forţă rezultantă cu trei componente

perpendiculare icircntre ele şi un moment rezultant avacircnd trei componente ortogonale

perpendiculare 119909 119910 119911 orientate după axele sistemului 119874119909119910119911 Cele trei componente

ale rezultantei produc translaţii (deplasări liniare ) ale corpului pe direcţiile 119874119909 119874119910

respectiv 119874119911 Componentele momentului rezultant 0 produc rotiri (deplasări

unghiulare) ale corpului icircn jurul axelor de coordonate 119874119909 119874119910 respectiv 119874119911 Se spune ca

solidul liber are 6 grade de libertate (6 posibilităţi de deplasare) Pentru ca solidul să fie

icircn echilibru trebuie suprimate toate gradele de libertate Aşadar corpul este icircn echilibru

dacă elementele torsorului de reducere al forţelor exterioare este nul

Condiţiile de echilibru ale solidului rigid sunt

= 0 rArr 119883 = 119884 = 119885 = 0

0 = 0 rArr 119872119909 = 119872119910 = 119872119911 = 0

(16)

Observaţie Un solid rigid liber solicitat de forţe aplicate icircntr-un plan (119909119900119910) are

trei grade de libertate Condiţiile de echilibru sunt

= 0 rArr 119883 = 119884 = 0

0 = 0 rArr 119872119911 = 0

(17)

14 Aplicaţii

141 Să se stabilească mărimea şi ordinul rezultantei sistemului de forţe din figura

17 dacă se cunosc 1 = 100 [119873] 2 = 200 [119873] și 3 = 300 [119873]

Rezolvare

Pentru rezolvarea acestui sistem de forte de prezinta doua metode

a) Rezolvare analitică

Descopunem cele două forțe icircnclinate 2 și 3 după cele două axe de coordonate

Ox și Oy

2 = (minus1198652119909) ∙ 119894 + (1198652119910) ∙ 119895 = (minus1198652 ∙ cos 600) ∙ 119894 + (1198652 ∙ sin 60

0) ∙ 119895 =

= (minus200 ∙1

2) ∙ 119894 + (200 ∙

radic3

2) ∙ 119895 = minus100 ∙ 119894 + 100 ∙ radic3 ∙ 119895

3 = (minus1198653119909) ∙ 119894 + (minus1198653119910) ∙ 119895 = (minus1198653 ∙ cos 450) ∙ 119894 + (minus1198653 ∙ sin 45

0) ∙ 119895 =

= (minus300 ∙radic2

2) ∙ 119894 + (minus300 ∙

radic2

2) ∙ 119895 = minus150 ∙ radic2 ∙ 119894 minus 150 ∙ radic2 ∙ 119895

Pentru stabilirea mărimii şi ordinului rezultantei sistemului de forţe din figură se

procedează astfel

Forţele sunt exprimate analitic 119894 = 119883119894 ∙ 119894 + 119884119894 ∙ 119895 unde 119883119894 119884119894 sunt proiecţiile

forţei 119894 pe axele 119874119909 respectiv 119874119910

1 = 100 ∙ 119894 + 0 ∙ 119895

2 = minus100 ∙ 119894 + 1732 ∙ 119895

3 = minus2121 ∙ 119894 minus 2121 ∙ 119895

Fig 17 Aplicația 141

Se determină rezultanta forţelor cu următoarea relaţie

= sum119865119894 prime (sum119883119894

119899

119894=1

) ∙ 119894 + (sum119884119894

119899

119894=1

) ∙ 119895 = 119883 ∙ 119894 + 119884 ∙ 119895

unde 119883 119884 sunt componentele rezultantei pe axele 119874119909 respectiv 119874119910 = +

= (100 minus 100 minus 2121) ∙ 119894 + (0 + 1732 minus 2121) ∙ 119895 = (minus2121) ∙ 119894 + (minus389) ∙ 119895

rArr 119883 = minus2121 [119873]

119884 = minus389 [119873]

Cu acestea obținem rezultanta

119877 = radic1198832 + 1198842 = radic(minus2121)2 + (minus389)2 = 21564 [119873]

Se reprezintă grafic rezultanta icircn sistemul de coordonate 119909119874119910 după care se

calculează unghiul 120572 pe care aceasta rezultantă icircl face cu axa 119874119909 figura 18

tan 120572 =119884

119883=minus389

minus2121= 0183 rArr 120572 = arctan(0183) = 10 40

Fig 18 Reazultanta forțelor aplicate

b) Rezolvare tabelară

Forţa 119894 Componenta 119883119894 Componenta 119884119894

1 1198651 = 100 1198651 = 0

2 minus1198652 ∙ cos 600 = minus100 1198652 ∙ sin 60

0 = 1732

3 minus1198653 ∙ cos 450 = minus2121 minus1198653 ∙ sin 45

0 = minus2121

= sum119894 119883 =sum119883119894 = minus2121 119884 =sum119884119894 = minus389

După determinarea tabelară a celor două componente ale rezultandei calculele se

continua ca şi icircn cazul rezolvării analitice

142 Să se calculeze momentul forţei verticale = 100 [119873] icircn raport cu punctele

B D O şi icircn raport cu axele Ox Oy şi Oz figura 19 și să se determine componentele

torsorului de reducere ale forţei icircn punctul O dacă se cunosc 119886 = 3 [119898] şi 119887 = 4 [119898]

Fig 19 Aplicația 142

Fig 110 Icircnclinarea momentului 119872119874

119861 = 119861119860 times

119872119861 = 119886 ∙ 119865 = 3 ∙ 100 = 300 [119873 ∙ 119898]

119863 = 119863119860 times

119872119863 = 119887 ∙ 119865 = 4 ∙ 100 = 400 [119873 ∙ 119898]

119874 = 119874119860 times

119872119874 = 119888 ∙ 119865 = radic1198862 + 1198872 ∙ 119865 = radic32 + 42 ∙ 100 = 5 ∙ 100 = 500 [119873 ∙ 119898]

119874 se află icircn planul 119909119874119910 cu icircnclinarea 120572 (figura 110)

tan120572 =119886

119887=3

4= 075 rArr 120572 = arctan(075) = 36860

Deci

120572 = 900 minus 120573 = 900 minus 36860 = 53140

Concluzie Componentele torsorului de reducere al forței icircn punctul O sunt o forta

icircn O identică cu forța din punctul A și momentul forței icircn raport cu punctul O 119874

2 INTRODUCERE IcircN REZISTENŢA MATERIALELOR

21 Obiectul şi problemele Rezistenţei materialelor

Rezistenţa materialelor este o disciplină de cultură tehnică generală care continuă

logic şi dezvoltă Mecanica prin introducerea icircn calcule a proprietăţilor de deformabilitate

ale corpurilor solide reale Icircn Mecanică corpul solid este considerat rigid nedeformabil

iar vectorii forţă de icircncărcare sunt consideraţi alunecători Rezistenţa materialelor ia icircn

studiu corpurile reale care sub acţiunea forţelor exterioare (vectori legaţi) icircşi schimbă

forma geometrică respectiv dimensiunile iniţiale şi se distrug prin rupere la valori mari

ale acestora Prin calculele de rezistenţă se determină dimensiunile secţiunilor

transversale ale corpurilor (elemente de rezistenţă) icircn funcţie de mărimea poziţia şi modul

de acţionare a forţelor exterioare proprietăţile mecanice ale materialelor dimensiunile

constructive forma şi importanţa ansamblului icircn care se icircnglobează iar icircn anumite cazuri

şi de durata de funcţionare Elementele de rezistenţă trebuie să icircndeplinească următoarele

condiţii de bază

- condiţia de rezistenţă care are icircn vedere ca eforturile din elementul de rezistenţă

să nu producă distrugerea acestuia prin rupere sau spargere icircn bucăţi

- condiţia de rigiditate se referă la valorile deformaţiilor care nu trebuie să

depăşească anumite mărimile admisibile

- condiţia de stabilitate care consideră posibilitatea menţinerii formei de echilibru

stabil pentru o anumită stare de icircncărcare

Criteriile de rezolvare ale problemelor de Rezistenţa materialelor sunt

- criteriul economic prin care se impune ca orice element de rezistenţă (piesă) să

fie proiectat şi realizat cu soluţia cea mai economică icircn privinţa materialului utilizat şi al

manoperei

- criteriul de bună funcţionalitate a ansamblului din care face parte elementul de

rezistenţă proiectat respectacircnd condiţiile de rezistenţă rigiditate şi stabilitate

Icircn cadrul Rezistenţei materialelor se admit ipoteze simplificatoare care permit

obţinerea unor relaţii de calcul relativ simple şi care exprimă destul de fidel fenomenul

de solicitare real Experimentările practice icircn laborator permit verificarea legilor

rezistenţei materialelor şi determinarea caracteristicilor mecanice ale materialelor

Rezistenţa materialelor permite rezolvarea următoarelor categorii de probleme

- probleme de dimensionare prin care se stabilesc dimensiunile optime ale

elementelor de rezistenţă proiectate icircn funcţie de icircncărcările exterioare (forţe sau

momente) şi de caracteristicile mecanice ale materialului utilizat

- probleme de verificare la care se determină dacă un element de rezistenţă de

dimensiuni cunoscute satisface condiţiile de rezistenţă rigiditate şi stabilitate cunoscacircnd

icircncărcarea exterioară şi caracteristicile mecanice ale materialului utilizat

- probleme de calcul al capacităţii de icircncărcare al unui element de rezistenţă

cunoscacircndu-se caracteristicile mecanice ale materialului dimensiunile şi modul de

solicitare se determină icircncărcarea maximă pe care o poate suporta elementul de rezistență

fără a ceda sau a se deforma periculos

22 Clasificarea corpurilor icircn Rezistenţa materialelor

Corpurile (elementele de rezistenţă) au icircn general forme constructive relativ

complicate Icircn Rezistenţa materialelor pentru simplificarea calculelor corpurile se

schematizează prin forme geometrice mai simple obţinacircndu-se următoarele grupe

a) corpuri solide cu o dimensiune mult mai mare decacirct celelalte două (corpuri cu

fibră medie) Elementele geometrice caracteristice sunt axa longitudinală şi secţiunea

transversală Aceste corpuri solide pot fi

- fire dacă dimensiunile secţiunii transversale sunt foarte mici astfel icircncacirct axa

longitudinală este flexibilă (icircşi schimbă forma uşor) iar sarcinile transversale nu pot fi

preluate de acesta Un fir nu poate fi solicitat decacirct la icircntindere (exemplu cabluri de

macara lanţuri etc)

- bare care rezistă atacirct la solicitări axiale cacirct şi la solicitări transversale

După modul de solicitare barele poartă diferite denumiri convenţionale

tiranţi-solicitaţi la icircntindere figura 21a

stacirclpi-solicitaţi la compresiune figura 21b

grinzi-solicitate la icircncovoiere figura 21c

arbori-solicitaţi la torsiune (răsucire) figura 21d

Fig 21 Denumirea barelor după modul de solicitare

După modul cum variază secţiunea icircn lungul axei barele pot fi

de secţiune constantă figura 22a

de secţiune variabilă continuă figura 22b sau icircn trepte figura 22c

Fig 22 Denumirea barelor după secțiune

După forma axei longitudinale barele pot fi

drepte figura 21

curbe icircn plan figura 23a sau icircn spaţiu figura 23b (numite și curbe stracircmbe)

cotite (axa barei este o linie fracircntă) plane figura 23c sau spațiale figura 23d

Fig 23 Tipuri de bare curbe și cotite

Secţiunea transversală (plană şi normală pe axa barei) poate avea orice formă

geometrică constantă sau variabilă icircn lungul barei

Dacă una din dimensiunile secţiunii transversale (grosimea) este mai mică

comparativ cu celelalte bara se numește bară cu pereţi subţiri (exemplu barele

realizate din platbande sudate cu secţiuni sub formă de profil I profil U cornier etc)

b) corpuri care au două dimensiuni mult mai mari icircn raport cu a treia (grosimea)

se numesc plăci Elementele geometrice caracteristice ale unei plăci sunt forma şi

dimensiunile suprafeţei mediane respectiv grosimea Plăcile se reprezintă schematic

printr-o suprafață care imită forma și dimensiunile suprafeței mediane Suprafaţa mediană

reprezintă locul geometric al tuturor punctelor egal depărtate de cele două feţe ale plăcii

puncte aflate pe perpendicularele duse icircntre cele două feţe figura 24

După destinaţie și forma suprafeței mediane se deosebesc

plăci plane figura 24b

plăci curbe (icircnvelişuri) cu o singură curbură figura 24a sau avacircnd curbură

dublă figura 24c

Fig 24 Tipuri de plăci plane

Plăcile cu grosime mare sunt denumite frecvent dale O placă de grosime mică

ce nu poate prelua decacirct solicitări la icircntindere poartă numele de membrană

Exemple de plăci icircnvelişurile vasele de revoluţie discurile etc

c) corpuri masive care au toate cele trei dimensiuni aproximativ de acelaşi ordin

de mărime (blocuri de fundaţii bile şi role de rulmenţi tuburi cu pereţi groşi etc)

Calculele de rezistenţă sunt mai simple icircn cazul barelor drepte şi mai complicate

la barele curbe plăci respectiv blocuri

23 Clasificarea icircncărcărilor exterioare

Un corp icircşi păstrează forma şi dimensiunile datorită forţelor de atracţie dintre

particulele sale elementare atacircta timp cicirct asupra sa nu acţionează alte forţe aplicate din

exterior care să-l deformeze Icircn construcţia de maşini elementele de rezistenţă preiau şi

transmit acţiunea unor sarcini exterioare (forţe şisau cupluri) pe care le vom denumi

generic forțe sau icircncărcări exterioare Efectul pe care-l au sarcinile este acela de a

modifica forma şi dimensiunile corpului asupra căruia se aplică Icircn punctele de rezemare

(de sprijin sau de legătură cu alte elemente de rezistenţă icircnvecinate) ca urmare a

principiului acţiunii şi reacţiunii apar forţe de legătură sau reacţiuni Ansamblul format

din sarcini şi reacţiuni este cunoscut sub numele de forţe exterioare Sub acţiunea

forţelor exterioare elementele de rezistenţă trebuie să fie icircn echilibru

Forţele exterioare pot fi clasificate după următoarele criterii

a) după mărimea suprafeţei pe care se aplică

- forțe concentrate aplicate teoretic icircntr-un punct figura 25a

- forțe distribuite uniform sau cu intensitate variabilă icircn lungul barei sau pe o

suprafaţă figura 25bc şi d

- momente concentrate care acţionează icircntr-un punct M sau momente uniform

distribut pe o anumită lungime m

Fig 25 Tipuri de sarcini după mărimea suprafeţei de aplicare

b) după locul de aplicare se deosebesc

- forţe de suprafaţă sau de contur care sunt aplicate din exterior pe suprafaţa

corpurilor şi indică legătura cu piesele icircnvecinate

- forţe masice sau de volum distribuite icircn tot corpul (greutăţi forţe de inerţie

respectiv forţe electromagnetice)

c) după modul de acţiune icircn timp se disting

- forţe statice care se aplică lent şi progresiv pacircnă la valoarea nominală de lucru

şi apoi rămacircn constante figura 26a

- forţe dinamice care rezultă din

aplicarea cu icircntreaga intensitate de la icircnceputul perioadei de solicitare iar apoi forţa se

menţine constantă timp icircndelungat figura 26b (forţe de inerţie)

aplicarea bruscă a sarcinii asupra corpului durata de acţiune a sarcinii fiind mică figura

26c (forţe de şoc)

variaţia periodică icircn timp a intensităţii forţei aplicate figura 26d (forţe de oboseală)

Fig26 Tipuri de forţe exterioare (cicluri de solicitare)

Funcţie de modul de variaţie al forţelor exterioare solicitările pot fi statice

oscilante pulsante alternante etc Experimental s-a constatat că rezistenţa unui material

depinde foarte mult de modul de variaţie a forţelor icircn timp Bach a clasificat solicitările

icircn 3 categorii 1-solicitări statice 2-solicitări pulsante 3-solicitări alternant simetrice

Rezistenţa unui material este icircn raportul 321 pentru cele 3 cazuri de solicitare ale lui

Bach Aceasta icircnseamnă că o piesă solicitată static rezistă la o forţă de 3 ori mai mare

decacirct forţa maximă care produce ruperea aceleaşi piese solicitate alternant simetric

d) după poziţia icircn timp a forțelor se disting

- forţe fixe ale căror puncte de aplicaţie sunt mereu aceleaşi

- forţe mobile ale căror puncte de aplicaţie se deplasează icircn timp De exemplu

sarcinile produse de vehiculele care circulă pe un pod sarcinile unei grinzi de pod rulant

icircntr-o halăetc

24 Reazeme Forțe interioare Eforturi Diagrame de eforturi icircn barele

drepte

241 Reazeme Reacțiuni (forțe de legătură)

Pentru a prelua şi transmite acţiunea sarcinilor exterioare elementele de rezistenţă

din componenţa unei structuri sunt fixate icircntre ele prin intermediul unor legături

exterioare numite reazeme Aceste legături au ca scop icircmpiedicarea anumitor mişcări ale

corpului pe direcţiile pe care acestea nu trebuie să se producă O legătură are deci rolul

de a anula unul sau mai multe grade de libertate ale corpului icircn punctul de rezemare Dacă

este anulat un singur grad de libertate legătura este simplă iar dacă sunt impiedicate mai

multe grade de libertate legătura este una compusă Datorită existenţei sarcinilor

exterioare icircn punctele de rezemare pe direcţiile pe care mişcările sunt icircmpiedicate apar

forţe de legătură numite reacţiuni Numărul natura şi direcţiile reacţiunilor depind de

tipul reazemelor Icircn construcţiile reale există o varietate mare de realizare practică a

reazemelor dar icircn calcule se acceptă anumite schematizări care reţin doar aspectul esenţial

al unui reazem şi anume gradul sau gradele de libertate anulate

Pentru o structură de rezistenţă spaţială icircntr-un punct oarecare sunt posibile şase

deplasări trei deplasări liniare (după direcţiile axelor unui sistem ortogonal) şi trei rotiri

(deplasări unghiulare) icircn jurul aceloraşi axe Ca urmare ar fi posibil de realizat maximum

şase tipuri de reazem

Pentru un element de rezistenţă plan icircncărcat cu eforturi cuprinse icircn planul

elementului icircn orice punct sunt posibile trei gade de libertate două deplasări liniare şi o

rotiri Ca urmare pentru cazul unei bare plane se icircntacirclnesc următoarele tipuri de reazeme

1 Reazemul simplu sau reazemul mobil care icircmpiedică deplasarea pe o direcţie

normală pe suprafaţa de rezemare permiţacircnd deplasarea pe o direcţie paralelă cu

suprafaţa de rezemare şi rotirea barei icircn jurul unei axe perpendiculare pe plan icircn punctul

de rezemare Icircn urma icircmpiedicării deplasării şi datorită unor sarcini exterioare icircn

reazemul simplu apare o reacţiune de tip forţă a cărei suport trece prin punctul de

rezemare şi a cărei direcţie este perpendiculară pe suprafaţa de rezemare figura 27

Fig 27 Reazem simplu (mobil)

Icircn figura 27 este reprezentat un reazem mobil poziţionat pe capătul A al unei bare

plane orizontale fiind evidenţiate punctul şi suprafaţa de rezemare direcţia suportului

reacţiunii şi modul de schematizare al reazemului Cea mai des icircntacirclnită reprezentare a

reazemului mobil este a unui triunghi a cărui bază poate luneca pe suprafaţa de rezemare

2 Reazemul fix sau articulaţia icircmpiedică deplasările liniare după toate direcţiile

din planul barei permiţacircnd doar rotirea barei icircn jurul unei axe perpendiculare pe plan şi

care trece prin puncul de rezemare Reacţiunea este cuprinsă icircn planul barei care trece

prin punctul de rezemare dar a cărei mărime şi direcţie nu sunt cunoscute (forţa R)

figura 28

Fig 28 Reazem fix

Se preferă ca icircn locul unei forţe R avacircnd direcţia oarecare icircn plan necunoscută să

se introducă două forţe (HA şi VA) cărora li se cunoaşte direcţia şi pentru care se vor

determina modulele ca valori din condiţiile de echilibru static Icircntr-un reazem fix apar

icircntotdeauna reacţiuni atacirct pe direcţia perpendiculară pe suprafaţa de rezemare

(verticală) cacirct şi pe direcţia paralelă cu prima (orizontală) chiar dacă uneori una sau

chiar ambele reacţiuni au valoarea zero Reprezentarea schematică a articulaţiei este cea

a unui triunghi cu baza fixă şi cu vacircrful icircn punctul de rezemare sau cea a unui pendul

dublu figura 28

3 Icircncastrarea (sau icircnţepenirea) anulează toate gradele de libertate ale capătului

unei bare icircmpiedicacircnd deplasarea liniară după orice direcţie din plan precum şi rotirea

barei icircn jurul unei axe perpendiculare pe plan şi care trece prin punctul de icircncastrare

Urmare a existenţei sarcinilor exterioare şi a blocării deplasărilor icircn icircncastrare apare o

reacţiune căreia nu i se cunoaşte nici mărimea nici direcţia şi nici punctul de aplicaţie

figura 29

Fig 29 Icircncastrarea

Sub acţiunea forţelor exterioare un sistem este icircn echilibru Valoarea reacţinilor

se determină din condiţia de echilibru a sistemului solicitat

Este cunoscut faptul că un sistem plan este icircn echilibru dacă

nu se deplasează pe o direcţie (fie x această direcţie)

nu se deplasează pe o direcţie perpendiculară pe prima (fie y această direcţie)

nu se roteşte faţă de un punct al planului (fie K acest punct)

Cele trei condiţii enunţate mai sus sunt satisfăcute dacă suma proiecţiilor tuturor

forţelor pe direcţia x respectiv y este nulă şi suma tuturor momentelor (cuplurilor) faţă

de un punct al planului este nulă

242 Forțe interioare Metoda secțiunilor

Icircn vederea calculului de rezistenţă de rigiditate şi de stabilitate a barelor sau a

sistemelor de bare este necesară determinarea forţelor şi momentelor interioare

(eforturilor) care apar icircn secţiunile transversale ale acestora şi datorate icircncărcărilor

exterioare Forțele interioare indică legătura dintre particulele din interiorul corpului şi

se pun icircn evidenţă prin metoda secţiunilor care este un procedeu de raţionament

imaginar propus de Cauchy echivalent cu teoria echilibrului părţilor Conform acestui

raționament bdquodacă un corp solid deformabil este icircn echilibru sub acţiunea unui sistem

generalizat de forţe atunci după secționare fiecare parte a sa va fi icircn echilibru sub

acţiunea forţelor exterioare care-i revin şi a unui sistem de forţe pe care trebuie să-l

introducem icircn secţiunea ce delimitează fiecare parte echivalent cu acţiunea forţelor

aplicate pe partea icircndepărtatărdquo

Problemele care apar la aplicarea metodei secţiunilor sunt

- să pună icircn evidenţă existenţa forţelor interioare mai ales că din ceea ce se ştie o

forţă apare icircn prezenţa a două corpuri ca urmare a principiului acţiunii şi reacţiunii

- să explice modul de distribuţie al forţelor interioare pe secţiune

Considerăm un corp aflat icircn echilibru sub acţiunea unui sistem de forţe exterioare

1 2 3⋯119894 ⋯ 119899minus1 119899 şi presupunem că-l secţionăm cu un plan transversal Q (sau cu

o suprafaţă oarecare) figura 210a Icircn urma secţionării fictive (imaginare) conform

principiului echilibrului părţilor fiecare din cele două părţi obţinute trebuie să fie icircn

echilibru sub acţiunea forţelor exterioare care le revin şi a cacircte unui sistem de forţe

interioare pe care trebuie să-l introducem icircn secţiunile rezultate sistem echivalent cu

acţiunea forţelor exterioare ce acţionează asupra celeilalte părţi Astfel pe partea din

dreapta (notată cu II) delimitată de secţiunea de arie Ad sunt aplicate forţele exterioare

119894 ⋯ 119899minus1 119899 şi un sistem de forţe interioare căruia nu i se cunoaşte decacirct efectul acelaşi

cu cel al forţelor 1 2 3 de pe parea din stacircnga (notată cu I şi delimitată de secţiunea

de arie As) figura 210b Prin metoda secţiunilor am reuşit să punem icircn evidenţă existenţa

forţelor interioare şi să le trecem icircn categoria celor exterioare cărora le putem aplica

relaţiile de echivalenţă şi de echilibru cunoscute din statică Ideal ar fi să cunoaştem

distribuţia şi intensitatea punctuală a acestor forţe pentru că s-ar putea ca icircn anumite

puncte ale secţiunii valoarea forţelor să depăşească limita de rezistenţă (limita de curgere)

a materialului Cunoaşterea distribuţiei punctuale a forţelor interioare nu se poate realiza

decacirct icircn cazuri particulare relativ simple de solicitare

Să considerăm partea din dreapta a corpului asupra căreia acționează forțele

119894 ⋯ 119899minus1 119899 mărginit de aria Ad pe care acționează un sistem de forțe interioare

echivalent cu 1 2 3 Deși forțele interioare de pe Ad nu se cunosc totuși efectul lor

este același cu cel al forțelor 1 2 3 deci le putem reduce icircn centrul de greutate C al

secțiunii Ad rezultacircnd componentele torsorului de reducere al forțelor interioare

(119894119889 119894119889) și pentru partea din stacircnga (119894119904 119894119904) Evident conform principiului acțiunii și

reacțiunii

119894119889 = minus119894119904

119894119889 = minus119894119904 (21)

Pe de altă parte cum fiecare dintre părțile corpului după secționare trebuie să fie

icircn echilibru sub acțiunea forțelor exterioare care le revin și a forțelor interioare introduse

rezultă

119894119889 = minus119890119889

119894119889 = minus119890119889

119894119904 = minus119890119889

119894119904 = minus119890119904 (22)

Combinacircnd (21) cu (22) rezultă

119894119889 = 119890119889

119894119889 = 119890119889

119894119904 = 119890119904

119894119904 = 119890119904 (23)

Fig 210 Forțe interioare

Relațiile (22) și (23) permit determinarea componentelor torsorului de reducere

al forțelor interioare din (23) rezultă componentele torsorului forțelor interioare care

acționează icircn secțiunea Ad sunt egale cu componentele torsorului de reducere al forțelor

exterioare de pe partea din stacircnga din (22) rezultă componentele torsorului forțelor

interioare care acționează icircn secțiunea Ad sunt egale și de sens contrar cu componentele

torsorului de reducere al forțelor exterioare de pe partea din dreapta

Observații

1 Torsorul forțelor interioare diferă de la o secțiune la alta dar pentru aceeași

secțiune el este unic și trebuie să respecte condițiile de compatibilitate a deformațiilor

2 Reducacircnd forțele interioare icircn centrul de greutate al secțiunii s-a făcut o

aproximare icircn ceea ce privește efectul modului de dispunere al forțelor

3 Punctul de reducere trebuie să fie

pentru forțele interioare normale la secțiune centrul de greutate

pentru forțele interioare tangente la planul secțiunii centrul de răsucire sau de

tăiere

243 Eforturi

Prin metoda secțiunilor am pus icircn evidență existența forțelor interioare și modul

icircn care se determină componentele torsorului de reducere al forțelor interioare (119894119889 119894119889) de pe fața din dreapta secțiunii (Ad) Cele două componente ale torsorului de reducere al

forțelor interioare de pe Ad se pot descompune după axele unui sistem de referință

triortogonal xCyz astfel

119894119889 = +

119894119889 = 119909 +119872119894 (24)

unde și 119909 sunt proiecțiile lui 119894119889 și respectiv 119894119889 pe axa longitudinală Cx a

barei iar și 119894 sunt proiecțiile acelorași componente 119894119889 și respectiv 119894119889 pe planul yCz

al secțiunii transversale Ad figura 211

Fig 211 Torsorul de reducere al forţelor interioare

La racircndul lor și 119894 se pot descompune după axele sistemului yCz figura 212

= 119910 + 119911

119894 = 119894119910 + 119894119911 (25)

Fig 212 Descompunerea forţei tăietoare şi a momentului icircncovoietor

Cele șase componente ale torsorului de reducere al forțelor interioare ( 119910 119911

119909 119894119910 119894119911) orientate după axele sistemului de referință xCyz se numesc eforturi

Fiecare efort are o denumire stabilită icircn funcție de tipul de deformație pe care-l produce

De asemenea semnul plus (bdquo+rdquo) sau minus (bdquondashrdquo) al fiecărui efort nu depinde de sensul

pozitiv sau negativ al sistemului de axe ci doar de efectul icircn deformații al fiecărui efort

Denumirile celor șase eforturi sunt

119873 este forța axială

119879119910 119879119911 sunt forțe tăietoare orientate după axele Cy și respectiv Cz

119872119909 notat de cele mai multe ori cu 119872119905 este moment de torsiune sau de răsucire

119872119894119911 119872119894119910 sunt momente de icircncovoiere icircn jurul axei Cz și respectiv Cy

Forța axială 119873 poate fi forță axială de icircntindere cacircnd produce o lungire a

tronsonului pe a cărei față acționează (119873 gt 0) figura 213a sau forță axială de

compresiune cacircnd sub efectul ei bara se scurtează (119873 lt 0) figura 213b

Fig 213 Forța axială

Forțele tăietoare 119879119910 și 119879119911 au ca efect lunecarea secțiunii icircn centrul căreia

acționează icircn raport cu secțiunea icircnvecinată lunecare ce se produce pe direcția și icircn sensul

forței Sub acțiunea unei forțe tăietoare bara este solicitată la forfecare Forța tăietoare

este pozitivă 119879119910 gt 0 dacă icircn raport cu un punct oarecare K de pe axa Cx a barei tinde să

rotească secțiunea pe care acționează icircn sens orar

Fig 214 Forța tăietoare

Momentele de icircncovoiere 119872119894119911 și 119872119894119910 au ca efect o rotire a secțiunii icircn centrul

cărora acționează icircn jurul axei după care sunt orientate Icircn figura 215a se vede că

datorită momentului 119872119894119911 fibrele de deasupra axei Cz se alungesc icircn timp ce fibrele de sub

axa Cz se scurtează Fibrele care trec prin axa de icircncovoiere Cz nu se deformează sunt

fibre neutre la icircncovoiere adică axa neutră este Cz Icircn cazul momentului de icircncovoiere

119872119894119910 fibrele care nu se deformează sunt cele care trec prin axa neutră la icircncovoiere Cy

Momentele de icircncovoiere se consideră a fi pozitive (119872119894119911 gt 0119872119894119910 gt 0) dacă

observatorul care privește bara deformată vizualizează fibrele icircntinse

Fig 215 Momentul icircncovoietor

Momentul de torsiune sau de răsucire 119872119909 equiv 119872119905 are ca efect o rotire a secțiunii

icircn al cărei centru acționează icircn jurul axei longitudinale Cx Ca efect secțiunea icircși schimbă

forma (se deformează) adică unghiurile inițiale se modifică dreptunghiul inițial Ad

devine paralelogram Convențional se consideră 119872119905 gt 0 dacă vectorul moment are

aceeași orientare ca și sensul pozitiv ales pextru axa Cx Icircn figura 216 momentul este

negativ

Fig 216 Momentul de torsiune

25 Definiții și convenții de semne pentru eforturile

din secțiunile unei bare drepte plane icircncărcate cu sarcini coplanare

Vom considera o bară plană icircncărcată cu un sistem de forțe arbitrar figura 217

Ne propunem să determinăm eforturile care apar icircn secțiunea barei aflată la distanța 119909 de

reazemul din stacircnga (A)

Pentru aceasta vom aplica metoda secțiunilor vom secționa bara cu un plan

perpendicular pe axa longitudinală a barei și vom analiza doar partea din dreapta secțiunii

mărginită de fața Ad Pentru ca această porțiune de bară să fie icircn echilibru sub acțiunea

forțelor exterioare care acționează asupra sa 1198653 și 119881119861 va trebui să introducem icircn centrul

secțiunii Ad eforturile care pot să apară 119873 119879119910 119872119894119911 Acțiunea acestor eforturi trebuie să

fie echivalentă cu acțiunea forțelor exterioare aplicate pe partea icircnlăturată (parcursă) a

barei 119867119860 119881119860 1198651 1198652 1198720

Deoarece bara este plană și este icircncărcată doar cu sarcini ce aparțin

planului barei

icircn secțiunea Ad apar doar 3 componente ale torsorului de reducere al forțelor

interioare (eforturi)

- 119873 = forța axială

- 119879119910 = forța tăietoare pe care o vom nota cu 119879

- 119872119894119911 = momentul icircncovoietor notat cu Mi

Fig 217 Bară plană icircncărcată cu un sistem de forțe

Vom prezenta următoarele definiții corespunzătoare eforturilor din secțiunea Ad

119873 = forța axială dintr-o secțiune este egală cu suma algebrică a proiecțiilor pe

axa longitudinală a tuturor forțelor exterioare (sarcini și reacțiuni) aplicate pe partea

din stacircnga secțiunii adică pe porțiunea parcursă Forța axială 119873 este pozitivă dacă trage

de tronsonul pe a cărei față acționează (are orientarea normalei exterioare la secțiunea

Ad)

119873(119909) = minus119867119860 + 1198651119867 (26)

119879 = forța tăietoare icircntr-o secțiune este egală cu suma algebrică a proiecțiilor

pe o axă perpendiculară pe axa barei a tuturor forțelor exterioare (sarcini și reacțiuni)

aplicate pe porțiunea de bară aflată icircn stacircnga secțiunii considerate Forța tăietoare 119879

este pozitivă dacă tinde să rotească tronsonul pe a cărui față acționează icircn sens orar icircn

raport cu un punct de pe axa barei aflat la dreapta secțiunii

119879(119909) = 119881119860 minus 1198651119881 minus 1198652 (27)

119872119894 = momentul icircncovoietor icircntr-o secțiune este egal cu suma algebrică a

momentelor obținute prin reducerea tuturor forțelor exterioare ( cupluri sarcini

reacțiuni) aplicate pe porțiunea de bară aflată la stacircnga secțiunii icircn centrul secțiunii

considerate 119872119894 este considerat pozitiv dacă tinde să deformeze bara astfel icircncacirct fibrele

spre care privește un observator să fie icircntinse Cum poziția observatorului este de regulă

sub bară bara se deformează dacă 119872119894 gt 0 astfel icircncacirct partea jos a barei este icircntinsă Se

spune că bara deformată rdquoține apaldquo

119872119894(119909) = 119881119860 ∙ 119909 minus 1198651119881 ∙ (119909 minus 1198971) minus 1198652 ∙ [119909 minus (1198971 + 1198972)] + 1198720 (28)

Sensurile pozitive ale eforturilor care apar icircn centrul secțiunii Ad (deci atunci cacircnd

sensul de parcurs la aplicarea metodei secțiunilor este cel de la stacircnga la dreapta) sunt

indicate icircn figura 218a iar dacă sensul de parcurs este de la dreapta la stacircnga sensurile

pozitive ale eforturilor sunt indicate icircn figura 218b

Fig 218 Convenţia de semne

Definiții asemănătoare se pot da și pentru eforturile din centrul secțiunii As figura

218b adică pentru cazul icircn care sensul de parcurs este cel de la dreapta la stacircnga și deci

partea luată icircn considerare este cea din stacircnga iar partea parcursă din dreapta secțiunii

este icircnlăturată

119873(1199091) = 1198653119867

119879(1199091) = 1198653119881 minus 119881119861

119872119894(1199091) = 119881119861 ∙ 1199091 minus 1198653119881 ∙ (1199091 minus 1198975)

(29)

Avacircnd icircn vedere că fețele Ad și As aparțin aceleeași secțiuni este evident faptul că

eforturile 119873(119909) 119879(119909) și 119872119894(119909) sunt identice cu eforturile 119873(119961120783) 119879(119961120783) și respectiv

119872119894(119961120783) Icircn figura 218c se prezintă o sinteză a convențiilor de semne pozitive pentru cele

3 eforturi atacirct pentru sensul de parcurs de la stacircnga la dreapta (secțiunea Ad) cacirct și pentru

sensul invers (secțiunea As)

Semnele eforturilor sunt importante icircntrucacirct există materiale cu comportări diferite

la icircntindere față de compresiune iar o schimbare a semnului unui efort poate produce

erori grave icircn calcule Semnele eforturilor au fost stabilite icircn funcție de deformațiile

produse și nu depind de sensul axelor sistemului de coordonate

26 Relaţii diferenţiale icircntre eforturi şi sarcini

Pentru a vedea ce legătură există icircntre eforturi și sarcini vom considera o bară

dreaptă icircncărcată cu o sarcină distribuită după o lege oarecare figura 219a Din această

bară vom decupa prin dublă secționare un element de lungime infinit mică 119889119909 Deoarece

lungimea 119889119909 este foarte mică se poate considera sarcina 119901 uniform distribuită Icircn

secțiunile rezultate trebuie să introducem eforturile care pot apărea

- 119879 şi 119872119894 icircn centrul secțiunii din sticircnga eforturi pe care le considerăm pozitive

- 119879 + 119889119879 şi 119872119894 + 119889119872119894 icircn centrul secțiunii din dreapta elementului

Aceste eforturi au o variație mică (119889119879 şi 119889119872119894) față de secțiunea anterioară Spre

deosebire de cazul icircn care bara este secționată o singură dată icircn acest caz eforturile nu

pot fi determinate din cele 2 condiții de echilibru independente deoarece icircn ecuațiile de

echilibru apar 4 necunoscute 119879 119889119879119872119894 și 119889119872119894 deci că problema este dublu static

nedeterminată figura 219

Fig 219 Echivalența icircntre eforturi și sarcini

Ecuațiile de echilibru scrise pentru elementul din figura 219b conduc la stabilirea

unor relaţii foarte importante

(sum119865)119910= 0 hArr 119879 minus 119901 ∙ 119889119909 minus (119879 + 119889119879) = 0 rArr

119889119879

119889119909= minus119901 (210)

Relația (210) arată că derivata funcţiei forţei tăietoare icircn raport cu abscisa

secţiunii este egală cu sarcina distribuită normală la axa barei din acea secţiune luată

cu semn schimbat

Observații

dacă 119901 = 0 nu există sarcină distribuită atunci forța tăietoare T este constantă

icircnclinarea pantei diagramei forței 119879 este egală cu (ndash 119901) (sarcina distribuită cu

semn schimbat)

dacă 119901 = 119888119900119899119904119905 119879 variază liniar pe acel interval

Asemănător se deduce că derivata funcţiei forţei axiale icircn raport cu abscisa

secţiunii este egală cu sarcina distribuită axială din acea secţiune luată cu semn

schimbat adică

119889119873

119889119909= minus119901119867 (211)

Din condiția de echilibru suma de momente faţă de centrul de greutate al secţiunii

din dreapta

(sum119872)119862= 0 hArr 119872119894 minus (119872 + 119889119872119894) + 119879 ∙ 119889119909 minus 119901 ∙

(119889119909)2

2= 0 rArr

119889119872119894

119889119909= 119879 (212)

Relația (212) s-a obținut dupa reducerea termenilor și prin neglijarea infinitului

mic de ordinul 2

119901 ∙(119889119909)2

2

Relația (212) arată că derivata funcţiei moment icircncovoietor icircn raport cu abscisa

secţiunii este egală cu forţa tăietoare din acea secţiune

Observații

dacă 119879 = 0 momentul 119872119894 are un punct de extrem se obține o valoare maximă

pentru 119872119894119898119886119909 dacă forța tăietoare 119879 se anulează trecacircnd de la plus icircn stacircnga la minus icircn

dreapta secțiunii

dacă forța tăietoare este pozitivă pe un interval 119879 gt 0 atunci 119872119894 este crescătoare

pe acel interval

dacă forța tăietoare este negativă pe un interval 119879 lt 0 atunci 119872119894 este

descrescătoare pe acel interval

dacă pe un interval 119901 = 0 forța tăietoare este constantă 119879 = 119888119905 iar 119872119894 variază

liniar pe acel interval

dacă 119901 = 119888119900119899119904119905 119879 variază liniar pe acel interval iar 119872119894 variază parabolic pe

acel interval

Relaţiile diferenţiale sunt utile la reprezentarea corectă şi verificarea diagramelor

de eforturi astfel

pentru porţiunile de grindă pe care p = 0 eforturile N şi T sunt constante iar pe

porţiunile cu p = const eforturile N şi T variază liniar (relaţiile 211 şi 210)

dacă pe o porţiune T = const momentul icircncovoietor Miz variază liniar iar dacă

T variază liniar atunci momentul Miz variază parabolic (relaţia 212)

pe domeniile pe care T gt 0 funcţia Mi(x) este crescătoare iar icircn secţiunea icircn

care T = 0 (graficul funcţiei T intersectează axa x) momentul icircncovoietor are un punct

de extrem local (maxim sau minim relaţia 212)

Pentru rezolvarea problemelor referitoare la trasarea diagramelor de eforturi

pentru barele drepte solicitate de sisteme de forţe plane se parcurg următoarele etape

1) identificarea forţelor aplicate (date) şi pregătirea lor pentru calcule

(descompunerea forţelor concentrate pe direcţiile x şi y calculul rezultantelor forţelor

distribuite)

2) identificarea reazemelor şi introducerea reacţiunilor corespunzătoare (vezi

figurile 27divide29)

3) stabilirea ecuaţiilor de echilibru static calculul şi verificarea reacţiunilor Icircn

rezistența materialelor se folosește sistemul de ecuații (vezi figura 217)

(sum119865)

119909= 0

(sum119872)119860= 0

(sum119872)119861= 0

(213)

4) identificarea domeniilor de variaţie şi scrierea funcţiilor de eforturi pentru N T

şi Mi

5) reprezentarea grafică a diagramelor de eforturi

6) verificarea corectitudinii diagramelor pe baza relaţiilor diferenţiale icircntre eforturi

şi sarcini

Aplicație Pentru grinda dreaptă icircncărcată cu sistemul de forţe reprezentat icircn figura

220 se cere

a) să se calculeze şi să se verifice reacţiunile

b) să se stabilească funcţiile eforturilor Nx Ty şi Miz şi să se reprezinte diagramele

de variaţie

c) să se analizeze relaţiile diferenţiale icircntre eforturi şi sarcini

Dimensiunile grinzii au valorile a = 6 [m] b = 4 [m] și c = 4[m] sistemul de

forţe aplicat fiind format din p = 10 [kN mfrasl ] F = 20 [kN] (icircnclinată cu unghiul α =300 faţă de orizontală) şi M0 = 40 [kN ∙ m]

Rezolvare

a) Se fac următoarele precizări

grinda dreaptă se reprezintă prin axa geometrică

forţa icircnclinată F se descompune după direcţiile orizontală şi verticală icircn FV =F ∙ sin α = 10 [kN] şi FH = F ∙ cos α = 173 [kN]

forţa distribuită uniform p este echivalentă din punct de vedere static cu

rezultanta sa R = p ∙ a = 60 [kN] care acţionează la jumătatea porţiunii de lungime a

icircn reazemele 119860 şi 119861 se introduc componentele HA şi VA respectiv VB ale

reacţiunilor

Pentru calculul reacţiunilor se utilizează ecuaţiile de echilibru static al grinzii

sumXi = 0 HA minus FH = 0 sumYi = 0 VA + VB minus R minus FV = 0 (sumM)B = 0 VA ∙ (b + a) minus R ∙ (b + 05 ∙ a) minus M0 + FV ∙ c = 0

(A1)

Din prima ecuaţie se obţine HA iar din cea de-a treia ecuaţie rezultă VA

HA = FH = 173 [kN]

VA =[R ∙ (b + 05 ∙ a) + M0 minus FV ∙ c]

(b + a)=[60 ∙ (4 + 05 ∙ 6) + 40 minus 10 ∙ 4]

(4 + 6)

VA = 42 [kN]

(A2)

Fig 220 Aplicație

Se observă că cea de-a doua ecuaţie de echilibru conţine două necunoscute

reacţiunile VA şi VB Pentru a calcula componenta VB nu este indicată introducerea lui VA

icircn cea de-a doua ecuaţie a sistemului (A1) pentru că o valoare determinată greşit pentru

VA conduce la o valoare VB de asemenea greşită O ecuaţie independentă din care se poate

determina componenta VB este următoarea

(sumM)A= 0 FV ∙ (a + b + c) minus VB ∙ (a + b) minus M0 + R ∙ 05 ∙ a = 0 (A3)

de unde se obţine

VB =[FV ∙ (a + b + c) minusM0 + R ∙ 05 ∙ a]

(b + a)=[10 ∙ (6 + 4 + 4) minus 40 + 60 ∙ 05 ∙ 6]

(6 + 4)

VB = 28 [kN] (A4)

Ecuaţia de proiecţii ale forţelor pe direcţia verticală (a doua ecuaţie din sistemul

A1) se utilizează pentru verificarea reacţiunilor deja determinate

VA + VB minus R minus FV = 0 rArr 42 + 28 minus 60 minus 10 = 0 (A5)

Ultima egalitate demonstrează că reacţiunile verticale au fost calculate corect

Din cele de mai sus rezultă ordinea firească pentru determinarea reacţiunilor icircn

cazul grinzilor simplu rezemate

sumXi = 0

(sumM)A = 0

(sumM)B = 0

(A6)

iar pentru verificarea componentelor verticale VA şi VB se folosește ecuaţia sumY = 0

b) La stabilirea funcţiilor de eforturi se parcurg icircn general etapele următoare

se notează (numeric sau literal după preferinţă) secţiunile care delimitează

domeniile (intervalele sau tronsoanele) pe care eforturile nu-şi modifică funcţiile (au legi

unice de variaţie)

pe fiecare domeniu se marchează secţiunea imaginară icircn care se stabilesc

funcţiile eforturilor

secţiunea astfel aleasă separă icircn două părţi grinda şi anume porţiunea din stacircnga

şi porţiunea din dreapta secţiunii

se va considera parcursă (şi icircndepărtată) acea parte pe care acţionează mai puţine

sarcini exterioare pentru că acestea vor interveni icircn expresiile funcţiilor de eforturi

poziţiile secţiunilor imaginare se vor determina prin variabilele x1 ⋯ xn (unde

n reprezintă numărul domeniilor de variaţie) cu originea fixată icircn capătul intervalului şi

sensul de parcurgere spre partea considerată rămasă

Grinda prezentată icircn figura 220 are trei domenii de variaţie pentru funcţiile de

eforturi după cum urmează (A-1) (2-B) şi (B-1)

Domeniul (A-1) x1 isin [0 a = 6 m] Porţiunea parcursă şi considerată icircndepărtată este cea de coordonată x1 pe care

acţionează reacţiunile HA şi VA precum şi rezultanta parţială a sarcinii distribuite R1 =p ∙ x1

Funcţia forţă axială Nx are expresia

Nx(x1) = NAminus1 = minusHA = minus173 [kN] = const

(A7)

Funcţia forţă tăietoare Ty are exspresia

Ty(x1) = TAminus1 = VA minus R1 = VA minus p ∙ x1 (A8)

care reprezintă o variaţie liniară de variabilă x1 Se calculează valorile forţei tăietoare la

limitele intervalului de variaţie

- pentru x1 = 0 Ty(x1 = 0) = TA = VA = 42 [kN]

- pentru x1 = a = 6 [m] Ty(x1 = 6) = T1 = VA minus p ∙ a = minus18 [kN]

Observaţie Aşa cum a fost stabilită secţiunea fictivă poziţionată prin coordonata

x1 sar părea că rezultanta R ar trebui luată icircn calculul lui Ty(x1) Acest lucru ar fi greşit

pentru că R = p ∙ a reprezintă rezultanta sarcinii distribuite pe toată lungimea a iar

rezultanta pe porţiunea parcursă de lungime x1 este R1 = p ∙ x1 ne R = p ∙ a

Cu valorile obţinute se trasează diagramele forţelor axială Nx = f(x) şi tăietoare

Ty = f(x) figura 220 Din diagrama forţei tăietoare şi din valorile obţinute analitic se

observă că forţa tăietoare icircşi schimbă semnul pe intervalul analizat deci se anulează pe

acest interval Poziţia secţiunii unde Ty se anulează se determină din ecuaţia

Ty(x1) = 0 rArr VA minus p ∙ x1 = 0 (A9)

cu soluţia x1lowast = ξ = 42 [m] Important de reamintit că icircn această secţiune momentul

icircncovoietor va avea un extrem local adică Miz are un extrem la Ty = 0

Funcţia moment icircncovoietor Miz are expresia

Miz(x1) = VA ∙ x1 minus R1 ∙x12= VA ∙ x1 minus (p ∙ x1) ∙

x12

(A10)

Se observă că funcţia moment icircncovoietor de variabilă x1 are o variaţie parabolică

(gradul al II-lea) Pentru reprezentarea grafică a funcţiei parabolice se calculează valorile

momentului icircncovoietor icircn trei secţiuni

- pentru x1 = 0 Miz(x1 = 0) = MA = 0 [kN ∙ m] - pentru x1 = a = 6 [m] Miz(x1 = 6) = M1 = 72 [kN ∙ m] - pentru x1

lowast = ξ = 42 [m] Miz(x1lowast = ξ = 42 [m]) = Mimax = 882 [kN ∙ m]

Cu acestea se trasează diagrama Miz = f(x) pe intervalul (A-1) figura 220

Observaţie Icircn unele cazuri pe un anumit interval forţa tăietoare nu se anulează

şi momentul icircncovoietor nu are un extrem local Icircn acest caz pentru reprezentarea

variaţiei parabolice a momentului icircncovoietor se va studia semnul derivatei a doua a

funcţiei Miz = f(x1) acesta determinacircnd convexitatea curbei momentului icircncovoietor

Domeniul (2-B) x2 isin [0 c = 4 m] Porţiunile din grindă libere (nerezemate) la un capăt se numesc console iar

stabilirea funcţiilor de eforturi devine mai simplă dacă se consideră icircndepărtată partea din

dreapta secţiunii prin schimbarea sensului pozitiv al axei x Astfel se obţin funcţiile eforturilor

Funcţia forţă axială Nx are expresia

Nx(x2) = N2minusB = minusFH = minus173 [kN] = const

(A11)

Funcţia forţă tăietoare Ty are exspresia

Ty(x2) = T2minusB = FV = 10 [kN] = const (A12)

Funcţia moment icircncovoietor Miz are expresia

Miz(x2) = minusFV ∙ x2 rArr Miz(x2 = 0) = M2 = 0 [kN ∙ m]

Miz(x2 = 4) = MB = minus40 [kN ∙ m] (A13)

variaţie liniară (gradul I)

Domeniul (B-1) x3 isin [0 b = 4 m] Pe acest domeniu se acceptă parcurgerea grinzii de la dreapta adică se consideră

icircndepărtată partea din dreapta secţiunii fictive pentru că are doar două sarcini aplicate F

şi VB faţă de partea din stacircnga secţiunii pe care sunt aplicate trei sarcini p VA şi M0

Astfel se obţin funcţiile eforturilor

Funcţia forţă axială Nx are expresia

Nx(x3) = NBminus1 = minusFH = minus173 [kN] = const

(A14)

Funcţia forţă tăietoare Ty are exspresia

Ty(x3) = TBminus1 = FV minus VB = minus18 [kN] = const (A15)

Funcţia moment icircncovoietor Miz are expresia

Miz(x3) = minusFV ∙ (x3 + c) + VB ∙ x3 rArr

rArr Miz(x3 = 0) = MB = minus40 [kN ∙ m]

Miz(x3 = 4) = M1 = 32 [kN ∙ m]

(A16)

variaţie liniară (gradul I)

Diagramele eforturilor sunt prezentate icircn figura 220

c) Relaţiile diferenţiale dintre eforturi şi sarcini se analizează pe diagramele

eforturilor după cum urmează

sarcina distribuită nu are componentă orizontală adică ph = 0 şi icircn

conformitate cu formula (211) rezultă că Nx = const pe toată lungimea grinzii fapt care

a rezultat din funcţia şi reprezentarea diagramei forţei axiale

pe intervalul (A-1) sarcina distribuită are doar componenta verticală pozitivă

pV = p gt 0 prin urmare forţa tăietoare scade (are panta negativă dTy 119889119909frasl = minusp vezi

relaţia 210) iar momentul icircncovoietor avacircnd derivata a doua negativă d2M119894119911 1198891199092frasl =minuspare convexitatea curbei orientată spre sensul pozitiv al axei momentului Miz adică icircn

jos

pe domeniile (2-B) şi (B-1) deoarece pv = 0 forţa tăietoare Ty este constantă

iar momentul icircncovoietor Miz variază liniar

referitor la relaţia (212) pe porţiunile unde Ty gt 0 momentul Miz este

monoton crescător pe porţiunile unde Ty lt 0 momentul Miz este monoton descrescător

iar icircn secţiunea icircn care Ty = 0 momentul icircncovoietor are un extrem local Mξ =

882 [kN ∙ m] icircn diagrama forţei tăietoare discontinuităţile (salturile) se produc icircn secţiunile

unde acţionează VA VB şi FV iar icircn diagrama momentului icircncovoietor se produce un

singur salt icircn secţiunea icircn care este aplicat M0

se poate scrie

Mξ = suprafața diagramei Ty |ξ0=1

2∙ 42 ∙ 42 = 882 [kN ∙ m]

sau parcurgacircnd grinda de la dreapta la stacircnga rezultă

MB = minussuprafața diagramei Ty |c0= minus10 ∙ 4 = minus40 [kN ∙ m]

Toate aspectele analizate teoretic referitoare la relaţiile diferenţiale dintre eforturi

şi sarcini se regăsesc icircn diagramele de eforturi din figura 220 ceea ce icircnseamnă că

diagramele au fost reprezentate corect

3 TENSIUNI DEPLASĂRI ŞI DEFORMAŢII SPECIFICE

31 Tensiuni

Eforturile obținute icircn urma reducerii forțelor interioare icircn centrul de greutate al

secțiunii nu pot da informații asupra solicitării fiecărui punct al secțiunii respective Este

necesar să se cunoască modul cum se distribuie forțele interioare icircn fiecare punct al

secțiunii pentru a ști care este intensitatea maximă a solicitării Această intensitate

maximă se poate compara cu o valoare critică specifică materialului stabilindu-se astfel

dacă solicitarea este periculoasă sau nu

Mărimea care caracterizează solicitarea locală punctuală o vom denumi tensiune

și o vom defini icircn cele ce urmează Să considerăm partea din dreapta a unui corp solicitat

de forțele exterioare 1198651 1198652 și 1198653 obținută prin secționarea corpului și mărginită de fața

din dreapta Ad a secțiunii Pe secțiunea Ad vom considera un element de arie infinit mic

∆119860 caracterizat de normala la elementul de arie normală care are cosinușii directori

120573 și icircn raport cu un sistem de axe considerat fix Pe elementul infinit mic ∆119860 acționează

forțele interioare care au o rezultantă oarecare figura 31

Prin definiție tensiunea totală este

= lim∆119860rarr0

∆

∆119860 (31)

Tensiunea are aceeaşi direcţie cu forţa elementară ∆ iar mărimea ei este

determinată atacirct de mărimea forţei ∆ cacirct şi de orientarea suprafeţei ∆119860 faţă de direcţia

forţei

Tensiunea 119901 poate fi descompusă icircntr-o componentă orientată după direcţia

normalei la secţiune tensiunea normală notată cu 120590119909 şi o componentă icircn planul secţiunii

tensiunea tangenţială notată cu figura 32

= 119909 + 120591 (32)

Fig 31 Tensiunea totală Fig 32 Tensiunea normală și tangențială

La racircndul ei componenta tensiunii cuprinsă icircn planul secțiunii poate fi

descompusă după direcțiile axelor y și z

120591 = 120591119909119910 + 120591119909119911 (33)

Icircntre cele trei componente ale tensiunii totale care acționează pe elementul de arie

∆119860 este valabilă relația

1199012 = 1205901199092 + 120591119909119910

2 + 1205911199091199112 (34)

După sensul pe care icircl are tensiunea normală 120590 poate avea efect de tracţiune sau

de compresiune exercitat de către partea de corp icircnlăturată asupra părţii rămase Analog

tensiunea tangenţială 120591 poate avea efect de tăiere forfecare sau alunecare Pentru

componentele tensiunii tangențiale 120591119909119910 pe direcţia 119910 respectiv 120591119909119911 pe direcţia 119911 primul

indice indică axa pe care tensiunea este normală iar cel de-al doilea indice indică axa cu

care aceasta este paralel

Tensiunea este o mărime tensorială valoarea ei depinzacircnd atacirct de poziția

punctului icircn planul secțiunii cicirct și de orientarea planului de secționare deci de normala

Operaţiile vectoriale nu pot fi aplicate tensiunilor decacirct după ce acestea au fost icircnmulţite

cu ariile respective adică au fost transformate icircn forţe

Icircn literatura de specialitate mai ales icircn manualele mai vechi pentru noţiunea de

tensiune se mai foloseşte şi denumirea de efort specific

Dacă se consideră un alt element de arie ∆119860 cu centrul icircn același punct avacircnd ca

normală axa 119910 se vor obține alte tensiuni și anume

- 120590119910 este tensiunea normală (paralelă cu axa y)

- 120591119911119909 și 120591119910119911 sunt tensiuni tangențiale paralele cu axele 119909 și respectiv 119911 aflate icircn

planul care are ca normală axa 119910

Dacă icircn jurul unui punct dintr-un corp solicitat se consider un element de volum

infinit mic de forma unui cub icircn cazul cel mai general pe fețele sale vor acționa

tensiunile normale 120590119909 120590119910 și 120590119911 și respectiv tensiunile tangențiale 120591119909119910 120591119909119911 120591119910119909 120591119910119911 120591119911119909

și respectiv 120591119911119910 figura 33 Aceste tensiuni definesc starea de tensiune a punctului

observacircnd faptul că tensorul tensiune are 9 componente Dacă se consideră elementul

de volum finit ca fiind foarte mic se poate presupune că icircn interiorul său nu apar forțe

Ca urmare el va fi icircn echilibru sub acțiunea forțelor elementare produse de tensiunile de

pe fețele sale

Din condiția ca elementul să nu se rotească icircn jurul unor axe care trec prin centrul

său și sunt paralele cu axele sistemului 119909119874119910119911 rezultă

2 ∙ 120591119909119910 ∙ (119889119910 ∙ 119889119911) ∙119889119909

2= 2 ∙ 120591119910119909 ∙ (119889119909 ∙ 119889119911) ∙

119889119910

2 rArr 120591119909119910 = 120591119910119909 (35)

2 ∙ 120591119910119911 ∙ (119889119909 ∙ 119889119911) ∙119889119910

2= 2 ∙ 120591119911119910 ∙ (119889119909 ∙ 119889119910) ∙

119889119911

2 rArr 120591119910119911 = 120591119911119910 (36)

2 ∙ 120591119909119911 ∙ (119889119910 ∙ 119889119911) ∙119889119909

2= 2 ∙ 120591119911119909 ∙ (119889119909 ∙ 119889119910) ∙

119889119911

2 rArr 120591119909119911 = 120591119911119909 (37)

Relațiile (35divide37) 120591119909119910 = 120591119910119909 120591119910119911 = 120591119911119910 120591119909119911 = 120591119911119909 exprimă principiul dualității

tensiunilor tangențiale

Fig 33 Tensiunile normale și tangențiale pe fețele unui cub

Din condiția ca elementul considerat să nu se deplaseze icircn lungul axelor de

coordonate pe fețele opuse acționează aceleași tensiuni normale 120590119909 120590119910 și respectiv 120590119911

Definirea tensorului tensiune este posibilă dacă se cunosc cele 6 componente

independente ale acestuia aflate icircn trei plane perpendicular ce trec prin punctul respectiv

=

120590119909 120591119909119910 120591119909119911120591119910119909 120590119910 120591119910119911120591119911119909 120591119911119910 120590119911

Observaţii

Tensiunile se măsoară icircn [119873 1198982frasl ] (1119873 1198982frasl = 1 119875119886) sau icircn [119872119875119886]

(1 119872119875119886 = 106119875119886 = 106 119873

1198982 1 119872119875119886 = 1

119873

1198981198982)

Starea de tensiune dintr-un punct este considerată cunoscută dacă se cunosc

tensiunile 119901 care acționează pe infinitatea de elemente de suprafață ce trec prin punctual

considerat

Starea de tensiune a unui corp se consider cunoscută dacă se cunosc stările de

tensiune de pe infinitatea de puncte ale corpului considerat

32 Deplasări Deformaţii specifice

321 Deplasări

Aceste noțiuni sunt utile icircn analiza aspectului geometric al problemelor de rezistența

materialelor Deplasările care se analizează sunt cele datorate schimbării formei și

dimensiunilor corpurilor ca urmare a acțiunii forțelor exterioare și nu cele cinematice

posibile pentru solidul rigid care se poate deplasa cu anumită viteză și accelerație

Spre exemplu icircn figura 34a și figura 34b sub acțiunea forței 119865 tronsonul de

bară AB se deformează icircn timp ce tronsonul BC deși punctele sale au deplasări rămacircne

nedeformat (fiind nesolicitat) Toate punctele de pe axele barelor cu excepția celor din

icircncastrare (secțiunile A) au deplasări liniare De cele mai multe ori deformațiile barelor

datorate acțiunii forțelor exterioare se anulează la icircndepărtarea forțelor se spune că

deformațiile sunt elastice Secțiunile transversale ale barei din figura 34a se și rotesc icircn

raport cu pozițiile lor inițiale Spre exemplu secțiunea de căpăt cu centrul icircn C se rotește

cu unghiul

Fig 34 Deformațiile unei grinzi

Oricacirct de complexă ar fi delormația unui corp ea poate fi descrisă de lungiri sau

scurtări și de modificări ale unghiurilor inițiale

Deplasările măsoară schimbarea poziției unui punct al corpului și pot fi liniare

sau unghiulare

Prin deplasare liniară a unui punct se icircnțelege drumul parcurs de acest punct icircn

decursul procesului de deformație după o dreaptă suport dreapta 1198611198611 din figura 34a

Prin deplasare unghiulară se icircnțelege rotirea dintre segmentele de dreaptă

determinate de două puncte ale corpului icircnainte și după deformarea acestuia unghiul

pe care-l fac segmentele 119861119862 și 11986111198621 din figura 34a Această rotire se măsoară prin

unghiul pe care-l fac proiecțiile dreptelor ce conțin cele două segmente icircntr-un sistem

triortogonal

Icircn cazul cel mai general vectorul deplasare liniară se poate descompune icircntr-un

sistem triortogonal icircn trei componente 119906 119907 și 119908 figura 35

Fig 35 Deplasarea liniară

Se consideră acum un corp solid raportat la un sistem de axe ortogonal 119909119874119910119911

figura 35 după deformarea corpului un punct oarecare 119870 al acestuia se deplasează icircn

poziţia 1198701 vectorul 1198701198701 poartă numele de vectorul deplasării totale

Deplasarea totală este suma deplasărilor pe cele trei direcţii ortogonale iar

aceste deplasări se notează astfel

deplasarea pe direcţia 119909 cu ∥ 119874119909

deplasarea pe direcţia 119910 cu ∥ 119874119910

deplasarea pe direcţia 119911 cu ∥ 119874119911

Componentele deplasărilor și formeză matricea deplasărilor liniare 119906119907119908

322 Deformații

Prin deformație icircn general se icircnțelege orice schimbare de formă a unui corp fără

o evaluare cantitativă Icircn Rezistența Materialelor deformația măsoară variația

dimensiunilor geometrice ale corpului considerat din vecinătatea unui punct analog

deplasărilor deformațiile pot fi liniare și unghiulare (lunecări)

Fig 36 Deplasarea liniară

Deformația liniară ∆119897 reprezintă variația lungimii 119897 a unui element liniar al

corpului deformat figura 36 Deformația liniară specifică se definește ca fiind raportul

dintre deformația liniară și lungimea inițială

휀 =∆119897

119897 (38)

unde ∆119897 este lungirea sau scurtarea care este echivalentă cu deformția liniară totală iar

este alungirea

Deformația unghiulară sau lunecarea unui punct 119860 icircn planul 119861119860119862 se definește

prin relația figura 37

120574 = lim119861119860rarr0119862119860rarr0

(119861119860 minus 119861111986011198621 ) (39)

Fig 36 Deformația unghiulară

Schimbacircnd orientarea planului care trece prin 119860 se obțin alte deformații

unghiulare Dacă elementele liniare 119861119860 și 119862119860 sunt inițial perpendiculare deformația 120574 se

numește deformație unghiulară specifică sau lunecare specifică figura 37

Un exemplu de deplasare unghiulară și de deformație unghiulară este prezentat icircn

figura 38 Unghiul este deplasarea unghiulară și măsoară rotirea relativă dintre două

secțiuni aflate la distanța 119897 Unghiul este deformația specifică unghiulară (lunecarea

specifică) din punctul 119870 Aceste deplasări și deformații se obțin icircn urma solicitării barei

de către cele două momente 1198720 egale și de sens contrar

Fig 38 Deplasarea unghiulară

Pentru a analiza starea de deformație din vecinătatea unui punct al unui corp

solicitat complex se decupează din jurul punctului un element de volum mic figura 39a

avacircnd laturile 119889119909 119889119910 și 119889119911 Ca urmare a solicitării laturile acestuia se vor lungi sau

scurta Reprezentarea elementului deformat icircn spațiu este dificilă pentru simplificare

vom analiza doar deformațiile din planul 119909119874119910 Observăm că dimensiunile 119889119909 și 119889119910 s-au

modificat cu valoarea ∆119889119909 respectiv cu ∆119889119910 analog se acceptă și pentru 119889119911 o modificare

de forma ∆119889119911 Astfel se pot defini deformațiile specifice liniare

휀119909 =∆119889119909

119889119909 휀119910 =

∆119889119910

119889119910 휀119911 =

∆119889119911

119889119911 (310)

De cele mai multe ori aceste deformații specifice liniare se pot exprima procentual

și se mai numesc alungiri

Fig 39 Starea de deformație

Icircn figura 39c se vede că unghiul inițial drept dintre muchiile 119889119909 și 119889119910 ale

elementului de volum s-a modificat Se definește deformația specifică unghiulară (sau

lunecarea specifică) mărimea cu care se modifică unghiul inițial drept

120574119909119910 = 120574119909119910prime + 120574119910119909

prime = 120574119910119909120574119910119911 = 120574119910119911

prime + 120574119911119910prime = 120574119911119910

120574119911119909 = 120574119911119909prime + 120574119909119911

prime = 120574119909119911

(311)

Deformațiile 휀119909 휀119910 휀119911 120574119909119910 120574119910119911 120574119911119909 constituie cele șase componente

independente ale tensorului deformațiilor specifice care pot fi scrise de forma

119863 =

휀119909 120574119909119910 120574119909119911120574119910119909 휀119910 120574119910119911120574119911119909 120574119911119910 휀119911

(312)

323 Contracţia transversală

Practica arată că odată cu lungirea unei bare apare o micşorare a mărimii secţiunii

transversale mărime numită contracţie transversală figura 310

Fig 310 Contracția transversală

Contracţia transversală este proporţională cu lungirea specifică coeficientul de

proporţionalitate se notează cu 120599 şi se numeşte coeficient de contracţie transversală sau

coeficientul lui Poisson

La o lungire specifică a barei contracţia transversală este dată de relația

휀119905119903 = 휀119910 = 휀119911 = minus120599 ∙ 휀119909 (313)

Semnul minus bdquo-rdquo arată că cele două mărimi sunt contrare dacă una creşte cealaltă

scade şi invers

Considerăm o bară cilindrică de lungime 119897 şi aria secţiunii transversale 119860 solicitată

la icircntindere axială La un moment dat datorită solicitării lungimea barei devine

[119897 ∙ (1 + 휀)] diametrul devine [119889 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)] iar aria secţiunii transversale devine

[119860 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)2] Dacă volumul barei icircnainte de solicitare a fost (119860 ∙ 119897) după solicitare

acesta devine

119881 + ∆119881 = 119860 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)2 ∙ 119897 ∙ (1 + 휀) =

= 119860 ∙ 119897 ∙ (1 + 휀 minus 2 ∙ 120599 ∙ 휀 minus 2 ∙ 120599 ∙ 휀2 + 1205992 ∙ 휀2 + 1205992 ∙ 휀3) (314)

Deoarece lungirile sunt foarte mici ultimii trei termeni din paranteză fiind infinit mici se pot neglija obţinacircnd

119881 + ∆119881 = 119860 ∙ 119897 + 119860 ∙ 119897 ∙ 휀 ∙ (1 minus 2 ∙ 120599) ⟺ ∆119881 = 휀 ∙ (1 minus 2 ∙ 120599) ∙ 119860 ∙ 119897 (315)

Practica arătă că o astfel de bară solicitată la icircntindere icircşi măreşte volumul deci

∆119881 gt 0 de unde rezultă că

1 minus 2 ∙ 120599 gt 0 rArr 120599 lt 05 (316)

Pentru majoritatea materialelor 120599 = 033 iar pentru materialele care-şi păstrează

volumul constant 120599 = 05

33 Relaţii de echivalenţă icircntre eforturi şi tensiuni

Considerăm un element de suprafață infinit mic 119889119860 situat pe fața de arie (119860) a

secțiunii barei din figura 311 Icircn centrul de greutate 119862 al secțiunii acționează eforturile

119873 119879119910 119879119911 119872119909 119872119894119910 și 119872119894119911 determinate prin metoda secțiunilor

Icircn raport cu un sistem de axe de referință 119909119862119910119911 coordonatele elementului 119889119860 sunt

- 119910 este ordonata elementului de arie 119889119860

- 119911 este abscisa elementului de arie 119889119860

Pe elementul de arie 119889119860 acționează tensiunile

120590119909 tensiunea normală

120591119909119910 și 120591119909119911 tensiuni tangențiale

Dacă se icircnsumează forțele elementare de tipul 120590119909 ∙ 119889119860 120591119909119910 ∙ 119889119860 și 120591119909119911 ∙ 119889119860

va trebui să obținem eforturile 119873 119879119910 și 119879119911

Fig 311 Element de suprafață mic din secțiunea unei bare

Dacă eforturile sunt privite ca forțe exterioare și se scriu ecuațiile de

echilibru ale secțiunii (119860) se vor obține șase relații de echivalență icircntre eforturi și

tensiuni

(sum119883) = 0 rArr int 120590119909 ∙ 119889119860

119860

= 119873 (317)

(sum119884) = 0 rArr int 120591119909119910 ∙ 119889119860

119860

= 119879119910 (318)

(sum119885) = 0 rArr int 120591119909119911 ∙ 119889119860

119860

= 119879119911 (319)

(sum119872)119909= 0 rArr int(120591119909119911 ∙ 119889119860) ∙ 119910

119860

minus int(120591119909119910 ∙ 119889119860) ∙ 119911

119860

= 119872119909 rArr

rArr int(119910 ∙ 120591119909119911 minus 119911 ∙ 120591119909119910) ∙ 119889119860

119860

= 119872119909

(320)

(sum119872)119910= 0 rArr int(120590119909 ∙ 119889119860) ∙ 119911

119860

= 119872119894119910 (321)

(sum119872)119911= 0 rArr int(120590119909 ∙ 119889119860) ∙ 119910

119860

= 119872119894119911 (322)

Cele șase relații de echivalență icircntre eforturi și tensiuni constituie un pas icircnainte

icircn rezolvarea unei probleme de rezistența materialelor Aceste relații vor permite

determinarea tensiunilor maxime

Pentru a rezolva cele 6 relații de echivalență trebuie să se cunoască tensiunile și

ca funcții de punct adică funcții de forma

120590119909 = 120590119909(119909 119910 119911) 120591119909119910 = 120591119909119910(119909 119910 119911) 120591119909119911 = 120591119909119911(119909 119910 119911) (32

3)

Cunoașterea acestor funcții presupune icircnsă analizarea aspectului geometric al

problemei precum și utilizarea unor ipoteze simplificatoare care să permită simplificarea

problemelor

34 Ipoteze de bază icircn rezistenţa materialelor

Depășirea dificultăților legate de interpretarea unor fenomene specifice mecanicii

solidului deformabil a impus acceptarea unor ipoteze care să simplifice fenomenele și să

contribuie la elaborarea unor modele de calcul cicirct mai generale și cacirct mai simple Aceste

ipoteze se referă la structura materialelor şi la comportarea lor sub acţiunea forţelor

exterioare Ipotezele acceptate trebuie să fie icircn deplină concordanţă cu realitatea și să

conducă la rezultate verificate icircn practică

Funcție de aspectele la care se referă ipotezele pot fi

Ipoteze fizice (de material)

Ipoteze de calcul

341 Ipoteze fizice

Se acceptă deoarece teoriile structurale au condus la rezultate care contravin

icircncercărilor experimentale

Ipoteza mediului continuu consideră că orice domeniu elementar al corpului

este ocupat de materie adică nu se acceptă existența unor goluri sau a unor crăpături

microscopice (fisuri) Deși nu corespunde realităţii poate fi acceptată deoarece

dimensiunile corpului sunt mult mai mari decacirct dimensiunile particulelor elemantare Are

avantajul că permite utilizarea proprietăților matematice ale funcțiilor continue pentru

tensiunile și deformațiile din orice punct al corpului Ea este mai apropiată de realitate la

corpurile amorfe şi mai depărtată la cele cristaline dar conduce la rezultate satisfăcătoare

icircn calculele de rezistenţă

Ipoteza nu se poate aplica la corpurile care au goluri tăieturi (multiplu conexe)

pentru unele puncte singulare icircn care tensiunile și deformațiile tind la infinit sau icircn unele

probleme de plasticitate icircn care proprietățile de material au un rol esențial

Ipoteza izotropiei conform acestei ipoteze materialul din care este confecționat

un element de rezistență are aceleași proprietăți după orice direcție un astfel de material

este considerat izotrop Din punct de vedere macroscopic metalele pot fi considerate

izotrope deși la nivel microscopic proprietățile lor diferă de la o direcție cristalografică

la alta Orice conglomerat de cristale poate fi considerat izotrop

Există cazuri cacircnd această ipoteză a izotropiei nu se acceptă

la metalele puternic deformate după o direcție (prin laminare trefilare)

la piesele confecționate din lemn lemnul este anizotrop deoarece proprietățile sale

diferă după două direcții (icircn lungul fibrelor și perpendicular pe această direcție)

Ipoteza omogenității consideră că un corp are aceleași proprietăți icircn orice

punct al său Deși majoritatea materialelor utilizate icircn tehnică sunt eterogene la scară

micro fiind constituite din mai multe faze cu proprietăți diferite la scară macro ele pot

fi considerate omogene Omogenitatea și izotropia sunt proprietăți statistice medii care

nu se condiționează una pe cealaltă Chiar și materialele monofazice pot avea la scară

micro unele segregații care le fac eterogene

Ipoteza elasticităţii perfecte presupune că atacircta timp cacirct solicitările nu

depăşesc anumite limite materialul are o comportare elastică adică icircşi recapătă forma şi

dimensiunile iniţiale odată cu icircnlăturarea sarcinilor Icircn realitate materialele nu prezintă o

elasticitate perfectă ele avacircnd deformaţii remanente mici care icircnsă pot fi neglijate icircn

calculele de rezistenţă

Acceptarea acestei ipoteze a elasticității perfecte permite

- aplicarea relației biunivoce icircntre tensiuni și deformații relație exprimată de legea

lui Hooke ( = 119864 ∙ 휀) unde E este un factor de proporţionalitate numit modul de

elasticitate longitudinal al materialului pentru oţel 119864 = 21 ∙ 105 [119872119875119886] - acceptarea valabilității afirmației bdquolucrul mecanic efectuat de forțele exterioare

ca urmare a parcurgerii deplasărilor punctelor de aplicație se icircnmagazinează integral icircn

corp sub formă de energie de deformație energie cedată la icircndepărtarea sarcinilorrdquo

- este valabilă teoria conform căreia bdquoenergia icircnmagazinată și deformațiile depind

doar de starea inițială și finală de eforturi fără a ține cont de modul icircn care s-a ajuns la

starea finalărdquo

Icircn realitate oricacirct de mici ar fi sarcinile aplicate se produc și deformații plastice

dar acestea pot fi neglijate dacă solicitarea nu depășește anumite limite

342 Ipoteze de calcul

Ipoteza micilor deplasări bdquodeplasările datorate deformării sunt mult mai mici

decacirct dimensiunile corpurilor și ca urmare pot fi neglijate produsele dintre o deplasare și

ea icircnsăşirdquo Pentru cele mai multe corpuri deformaţiile elastice sunt de mărimi mici deci

corpurile solide sub acţiunea sarcinilor icircşi modifică foarte puţin forma iniţială Această

ipoteză este cunoscută şi sub denumirea de ipoteza menţinerii dimensiunilor iniţiale Ea

permite scrierea ecuaţiilor de echilibru ale staticii pe starea nedeformată a elementului

cacircnd nu se iau icircn considerare deplasările punctelor de aplicaţie ale forţelor care se produc

ca urmare a deformării acestuia Calculul efectuat pe schema nedeformată poartă numele

de calcul de ordinul I

Ipoteza micilor deplasări nu poate fi acceptată pentru studiul problemelor de

stabilitate sau la problemele la care nu pot fi icircndeplinite condiţiile de echilibru icircn starea

nedeformată

Calculul de ordinul II admite ipoteza micilor deplasări dar ecuaţiile de echilibru

se scriu icircnsă pentru starea deformată a elementului de rezistenţă

Calculul de ordinul III nu mai acceptă ipoteza micilor deplasări el referindu-se

la cazul deformaţiilor mari cacircnd ecuaţiile de echilibru trebuie scrise pentru starea

deformată

Chiar dacă materialul satisface legea lui Hooke icircn urma calculelor de ordinul II

se obţin de obicei relaţii neliniare icircntre sarcini şi deplasări iar pentru calculul de ordinul

III rezultă ecuaţii diferenţiale neliniare

Principiul efectului local al acțiunii sarcinilor enunțat de Barre de Saint-

Venant Acest principiu destul de folosit icircn Rezistenţa Materialelor precizează că dacă

se icircnlocuiesc forţele care acţionează asupra unui element de suprafață al unui corp

elastic printr-un alt sistem de forţe echivalent din punct de vedere static cu primul noua

distribuţie a forţelor produce la locul de aplicare diferenţe semnificative faţă de prima

dar rămacircne fără efect sau cu efect neglijabil la distanţe mari de locul de aplicare al

forţelor figura 312

Ca o cosecință o sarcină uniform distribuită figura 312a poate fi icircnlocuită cu

rezultanta ei figura 312b dacă se analizează efectul sarcinii la distanță mare de locul icircn

care se aplică sarcina

Fig 312 Principiul Saint-Venant

Icircn prima variantă figura 312a forţa 119865 se aplică pe o porțiune oarecare 119897 (sarcină

uniform distribuită) iar icircn a doua figura 312b icircntru-un punct (forţă concentrată) La

locul de aplicare a sarcinii efectul asupra barei este cu totul diferit de la o variantă la

cealaltă Icircnsă la o distanţă mare de punctul de aplicaţie spre exemplu icircn secţiunea situată

la distanţa 119886 de capătul barei sau chiar icircn icircncastrare ambele bare sunt solicitate la fel

Icircn cazul din figura 312a

119872119894(119909) =119901 ∙ 1199092

2 119909 le 119897 119872119894(119909) = 119901 ∙ 119897 ∙ (119909 minus

119897

2) 119909 gt 119897 (324)

Icircn cazul din figura 312b

119872119894(119909) = 0 119909 lt119897

2 119872119894(119909) = 119901 ∙ 119897 ∙ (119909 minus

119897

2) 119909 gt

119897

2 (325)

Se vede că pentru (119909 gt 119897) adică după depășirea locului icircn care se aplică sarcina

efectul este același

Ipoteza lui Bernoulli sau ipoteza secţiunilor plane precizează că o secţiune

plană şi normală pe axa barei icircnainte de deformare rămacircne plană şi normală pe axa

barei şi după deformare figura 313

Fig 313 Ipoteza lui Bernoulli

Ipoteza stării naturale a corpului sau ipoteza absenţei tensiunilor conform

căreia pentru un corp nesolicitat starea de tensiune şi deformaţie este nulă

Perfecţionarea mijloacelor de calcul şi de investigare pot conduce la renunţarea la

unele ipoteze sau la introducerea altora noi mai aproape de stările reale De aici rezultă

caracterul de continuă perfecţionare a metodelor Rezistenţei Materialelor

35 Coeficienţi de siguranţă Tensiuni admisibile

O piesă corespunde din punct de vedere tehnic dacă tensiunile care iau naştere icircn

interiorul piesei datorită sarcinilor aplicate nu depăşesc anumite valori limită stabilite

convenţional Aceste valori limită ale tensiunii sunt corelate cu caracteristicile mecanice

ale materialelor

Tensiunea limită utilizată icircn calculele de rezistenţă este cunoscută sub denumirea

de tensiune admisibilă sau rezistenţă admisibilă Rezistenţa admisibilă reprezintă

valoarea convenţională aleasă icircn calcul pe baza practicii pentru tensiunea maximă care

poate apare icircntr-o piesă icircn condiţii date de material şi solicitare

Rezistenţa admisibilă (120590119886 sau 120591119886) poate fi definită faţă de o stare limită

periculoasă stare care trebuie evitată deoarece poate conduce distrugere

120590119886 =120590119897119894119898119888

(326)

unde

120590119897119894119898 este tensiunea corespunzătoare stării limită periculoase

119888 estesupraunitar 119888 gt 1 și reprezintă coeficientul de siguranţă faţă de starea limită

periculoasă considerată

Alegerea unor valori inferioare pentru rezistenţa admisibilă faţă de tensiunea

corespunzătoare stării limită periculoase este necesară deoarece

cunoaşterea sarcinilor este de cele mai multe ori aproximativă şi o depăşire a

acestora este foarte posibilă

caracteristicile mecanice ale materialelor variază icircn limite destul de mari ele

fiind influenţate de mulţi factori

schema aleasă pentru calcul (aplicarea sarcinilor schematizarea structurii

ipotezele de calcul etc) depărtează modelul faţă de cel real

Pentru calculele de verificare tensiunea efectivă maximă din elementul de

rezistenţă trebuie să fie mai mică sau cel mult egală cu cea admisibilă

120590119890119891119898119886119909 le 120590119886 (327)

Valoarea rezistenţei admisibile este influenţată de foarte mulţi factori natura

materialului tratamentele termice aplicate piesei durata de funcţionare a piesei modul

de acţionare icircn timp a sarcinilor felul solicitării temperatura gradul de periculozitate

icircn cazul cedării piesei etc

De asemenea valoarea coeficientului de siguranţă se alege icircn principal ţinacircnd

seama de aceiaşi factori care influenţează şi rezistenţa admisibilă

Rezistenţele admisibile pentru cacircteva materiale sunt următoarele

pentru oțelul de uz general OL37 solicitat la icircntindere compresiune sau

icircncovoiere 120590119886 = 150 [119872119875119886] pentru lemnul de brad solicitat la

- compresiune icircn lungul fibrelor şi solicitat la icircncovoiere 120590119886 = 10 [119872119875119886] - tracţiune icircn lungul fibrelor 120590119886 = 7 [119872119875119886] - compresiune perpendiculară pe fibre 120590119886 = 15 [119872119875119886] - forfecare icircn lungul fibrelor 120591119886 = 2 [119872119875119886] - forfecare perpendiculară pe fibre 120590119886 = 45 [119872119875119886]

terenuri de fundaţie din pămacircnt uscat sau umed 120590119886 = 020 divide 025 [119872119875119886]

4 CARACTERISTICI GEOMETRICE ALE SECȚIUNILOR PLANE

41 Noţiuni introductive

Icircn relaţiile de calcul ale tensiunilor şi deformaţiilor elementelor de rezistenţă

pentru unele solicitări (icircncovoierea și torsiunea) secțiunile plane intervin atacirct prin

dimensiunile lor (aria 119860) cicirct și prin forma și poziția pe care o are secțiunea icircn raport cu

planul solicitării Mărimile care caracterizează o secțiune icircn raport cu forma și poziția față

de axele unui sistem de referință sunt denumite caracteristici geometrice de ordin

superior Aria secțiunii este caracteristica geometrică ce depinde doar de dimensiunile

geometrice ale acesteia

Să considerăm o grindă solicitată de o forță exterioară 119865 aşezată icircn două poziții icircn

raport cu planul forţei figura 41 Icircn urma aplicării forței deși avem aceeași grindă

(aceeași arie a secțiunii transversale) și aceeași forță se constată că pentru varianta din

figura 41a deformațiile sunt mult mai mari adică rezistența la icircncovoiere a grinzii din

figura 41a este mai mare decacirct icircn cazul grinzii din figura 41b Comportarea diferită se

explică prin aceea că modificarea poziţiei secţiunii transversale faţă de planul forţelor

modifică caracteristicile geometrice ale secţiunii transversale a grinzii

Fig 41 Grindă solicitată de forța 119865

Pentru realizarea calculelor de rezistenţă şi rigiditate este foarte importantă

cunoaşterea caracteristicilor geometrice ale suprafeţei secţiunii transversale a elementelor

de rezistenţă

Caracteristicile geometrice ale secţiunii transversale a unui element de rezistenţă

sunt

- aria secțiunii notată cu 119860

- momentul static icircn raport cu o axă notat 119878119911 și respectiv 119878119910

- momentul de inerție care poate fi

axial notat 119868119911 și respectiv 119868119910

centrifugal notat 119868119911119910

polar notat 119868119901

- raza de inerţie (giraţie)notată 119894119911 și respectiv 119894119910

- modulul de rezistență care poate fi

axial notat 119882119911 și respectiv 119882119910

polar notat 119882119901

42 Aria și momentul static al suprafețelor plane

Fie o suprafaţă plană de arie 119860 pe care se ia un element infinit mic de arie 119889119860 şi

un sistem de axe rectangulare 119911119874119910 figura 42 Notăm cu 119862 centrul de greutate al suprafeţei

119860 Poziţia suprafeţei elementare 119889119860 faţă de acelaşi sistem de coordonate 119911119874119910 este dată

de abscisa 119911 ordonata 119910 și raza polară

Fig 42 Suprafață plană de arie 119860

Aria suprafeţei 119860 figura 42 se defineşte ca fiind

119860 ≝ int 119889119860

119860

(41)

Aria suprafeţei este icircntotdeauna pozitivă și se măsoară icircn [1198981198982] Momentul static al suprafeţei de arie 119860 icircn raport cu axele 119874119911 și respectiv 119874119910

figura 42 sunt date de relaţiile

119878119911 ≝ int 119910 ∙ 119889119860

119860

119878119910 ≝ int 119911 ∙ 119889119860

119860

(42)

Momentul static poate fi pozitiv negativ sau nul şi se măsoară icircn [1198981198983] Coordonatele centrului de greutate ale suprafeței 119860 se detrmină cu relațiile

119910119862 ≝int 119910 ∙ 119889119860119860

119860 119911119862 ≝

int 119911 ∙ 119889119860119860

119860

(43)

Cunoscacircnd coordonatele 119910119862 și 119911119862 ale centrului de greutate 119862 al secțiunii 119860 atunci

momentele statice se pot determina cu relațiile

119878119911 ≝ int 119910 ∙ 119889119860

119860

= 119910119862 ∙ 119889119860 119878119910 ≝ int 119911 ∙ 119889119860

119860

= 119911119862 ∙ 119889119860 (44)

Aceste relații arată că momentul static al unei suprafețe icircn raport cu o axă este

egal cu produsul dintre aria suprafeței și distanța de la centrul ariei la axa respectivă

Dacă suprafaţa se poate descompune icircn 119899 suprafeţe simple la care se cunosc ariile

(1198601 1198602 ⋯ 119860119894⋯ 119860119899) și poziţiile centrelor de greutate 119862119894 faţă de sistemul de referinţă

expresiile momentelor statice capătă următoarea formă

119878119911 = sum 119910119862119894 ∙ 119860119894119899119894=1 = 119910119862 ∙ 119860 119878119910 = sum 119911119862119894 ∙ 119860119894

119899119894=1 = 119911119862 ∙ 119860 (45)

Din relaţiile (45) rezultă că poziţia centrului de greutate 119862 al unei suprafeţe

compuse poate fi determinată cu relaţiile

119910119862 = (sum119910119862119894 ∙ 119860119894

119899

119894=1

) 119860frasl 119911119862 = (sum119911119862119894 ∙ 119860119894

119899

119894=1

) 119860frasl (46)

Icircn relația (45) 119910119862119894 și respectiv 119911119862119894 reprezintă coordonatele centrelor de greutate 119862119894

ale fiecărei suprafețe simple 119860119894 icircn raport sistemul de axe 119911119874119910

Se constată (relaţia 42) că dacă axele sistemului de referinţă trec prin centrul de

greutate (119910119862 = 119911119862 = 0) momentele statice sunt nule Axele icircn raport cu care momentele

statice sunt nule şi care trec prin centrul de greutate al suprafeţei se numesc axe centrale

Observație dacă secțiunea compusă are o axă de simetrie centrul secțiunii se

găsește pe acea axă iar dacă secțiunea este dublu simetrică poziția centrului secțiunii este

la intersecția axelor de simetrie

43 Momente de inerţie

Momentele de inerţie axiale ale unei suprafețe se calculează icircn raport cu axele de

coordonate 119874119911 și respectiv 119874119910 figura 42 și se determină cu relațiile

119868119911 ≝ int 1199102 ∙ 119889119860

119860

119868119910 ≝ int 1199112 ∙ 119889119860

119860

(47)

Unde 119910 și 119911 sunt distanțele de la elementul de arie 119889119860 la cele două axe de

coordonate 119874119911 și respectiv 119874119910

Momentele de inerţie axiale se măsoară icircn [1198981198984] şi sunt icircntotdeauna pozitive (aria

119889119860 este icircntotdeauna pozitivă și este multiplicată cu patratul distanței 1199102 dacă 119868119911 sau 119868119910

sunt nule icircnseamnă ca secțiunea nu există)

Momentele de inerție axiale se calculează icircndeosebi pentru axele centrale (care

trec prin centrul secțiunii) deoarece icircn raport cu acele axe 119868119911 și 119868119910 au valori minime

Momentul de inerţie centrifugal calculat faţă ambele axe ale sistemului de

referinţă 119911119874119910 este definit de relația

119868119911119910 ≝ int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860

(48)

Momentul de inerţie centrifugal se măsoară icircn [1198981198984] şi poate fi pozitiv negativ

sau nul

Momentul de ineție centrifugal este nul 119868119911119910 = 0 dacă cel puțin una din axele 119874119911

sau 119874119910 este axă de simetrie pentru secțiune

Se consideră o suprafaţă dreptunghiulară pe care faţă de axa de simetrie 119874119910 se iau

două suprafeţe elementare de arie 119889119860 simetrice faţă de axa 119874119910 figura 43

Fig 43 Suprafață dreptunghiulară cu două arii elementare 119889119860

Făcacircnd suma momentelor de inerţie centrifugale pentru cele două suprafeţe

elementare 119889119860 (din stacircnga şi din dreapta faţă de axa 119874119910) se obţine

int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860119889119903

+ int (minus119911) ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860119904119905119892

= int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860119889119903

minus int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860119904119905119892

= 0 (49)

Acelaşi raţionament se poate face și pentru icircntreaga suprafaţă de unde obținem că

momentul de inerție centrifugal este nul 119868119911119910 = 0 Deci pentru o suprafaţă plană care

are cel puţin o axă de simetrie momentul de inerţie centrifugal faţă de sistemul care

conţine acea axă de simetrie este nul

Momentul de inerţie polar al unei suprafeţei icircn raport cu un punct (pol) 119874 figura

42 este definit prin relaţia

1198680 = 119868119901 ≝ int 1205882 ∙ 119889119860

119860

= int(1199102 + 1199112) ∙ 119889119860

119860

= 119868119911 + 119868119910 (410)

unde este distanţa de la polul 119874 la elementul de arie 119889119860 Momentul de inerţie polar se

măsoară icircn [1198981198984] şi este totdeauna pozitiv

Momentul de inerţie polar este egal cu suma momentelor de inerţie faţă de două axe

perpendiculare oarecare şi care trec prin polul considerat

Razele de giraţie sau razele de inerţie sunt mărimi calculate icircn raport cu axele

secțiunii și definite de relaţiile

119894119911 ≝ radic119868119911119860 119894119910 = radic

119868119910

119860 (411)

Se exprimă icircn [119898119898] şi sunt icircntotdeauna pozitive Semnificația unei raze de inerție

este distanța la care dacă ar fi concentrată icircntreaga arie s-ar obține același moment de

inerție ca și cel calculat pentru aria reală

44 Modulul de rezistenţă

Modulul de rezistență se calculează icircn raport cu axele de referință sau icircn raport cu

un pol figura 42 și pot fi axiale (119882119911119882119910) sau polar (119882119901) și se determină numai pe baza

momentelor de inerţie cu relațiile figura 43

119882119911119898119894119899 ≝119868119911119910119898119886119909

119882119911119898119886119909 ≝119868119911119910119898119894119899

(412)

119882119910119898119894119899 ≝119868119910

119911119898119886119909 119882119910119898119886119909 ≝

119868119910

119911119898119894119899 (413)

119882119901 ≝119868119901

120588119898119886119909 (414)

unde

119910119898119886119909 119910119898119894119899 reprezintă distanţa de la axa 119874119911 la punctele extreme cele mai

depărtate respectiv cele mai apropiate ale suprafeţei de această axă

119911119898119886119909 119911119898119894119899 reprezintă distanţa de la axa 119874119910 la punctele extreme cele mai

depărtate respectiv cele mai apropiate ale suprafeţei de această axă

120588119898119886119909 reprezintă distanța maximă de la polul 119874 la punctul secțiunii cel mai

icircndepărtat de acesta

Fig 43 Suprafață dreptunghiulară cu două arii elementare 119889119860

Modulele de rezistenţă se exprimă icircn [1198981198983] şi sunt icircntotdeauna pozitive

Explicația este aceea că momentele de inerție care intră icircn relațiile de definiție sunt

pozitive iar distanțele la punctele extreme sunt pozitive (119910119898119886119909 119910119898119894119899 119911119898119886119909 119911119898119894119899 120588119898119886119909 se

iau icircn valoare absolută)

Icircn cazul suprafeţelor compuse modulul de rezistenţă nu se obţine prin icircnsumarea

algebrică a modulelor de rezistenţă ale suprafeţelor simple componente ci numai prin

intermediul momentului de inerţie axial calculat pentru icircntreaga secțiune

Ca și momentele de inerție modulele de rezistență se calculează numai pentru

sistemele de axe centrale

45 Momente de inerţie şi module de rezistenţă pentru suprafeţe simple

451 Secțiune dreptunghiulară

Fie suprafaţa dreptunghiulară din figura 44 de icircnălțime ℎ și lățime 119887 pe care se

consideră suprafaţă elementară de arie 119889119860 = 119887119889119910 la distanța 119910 de axa 119862119911 sistemul de

axe 119911119862119910 trece prin centrul secțiunii iar axele sunt axe de simetrie pentru dreptunghi

Fig 44 Suprafață dreptunghiulară

Pe baza relațiilor de definiți a momentului de inerție 119868119911 se obține

119868119911 ≝ int 1199102 ∙ 119889119860

119860

= int 1199102 ∙ 119887 ∙ 119889119910 = 2int 1199102 ∙ 119887 ∙ 119889119910 = 2 ∙ 119887 ∙1199103

3|ℎ 2frasl

0rArr

ℎ 2frasl

0

ℎ 2frasl

minusℎ 2frasl

rArr 119868119911 =119887 ∙ ℎ3

12

(415)

Analog pentru un element de arie 119889119860 = ℎ ∙ 119889119911 paralel cu axa 119862119910 situat la distanța

119911 de axa 119862119910

119868119910 ≝ int 1199112 ∙ 119889119860

119860

= int 1199112 ∙ ℎ ∙ 119889119911 = 2int 1199112 ∙ ℎ ∙ 119889119910 = 2 ∙ ℎ ∙1199113

3|119887 2frasl

0rArr

119887 2frasl

0

119887 2frasl

minus119887 2frasl

rArr 119868119910 =1198873 ∙ ℎ

12

(416)

Deoarece axele 119862119911 și 119862119910 sunt axe de simetrie momentul de inerție centrifugal este

119868119911119910 = 0 (417)

Pentru un pătrat avacircnd laturile egale (ℎ = 119887 = 119886) momentele de inerţie faţă de

axele centrale au expresia

119868119911 = 119868119910 =1198864

12 (418)

Modulele de rezistență axiale se calculează cu relațiile de definiție ținacircnd cont că

distanțele pacircnă la fibrele extreme sunt

119910119898119886119909 = 119910119898119894119899 =ℎ

2 119911119898119886119909 = 119911119898119894119899 =

119887

2 (419)

Obținem

119882119911119898119894119899 = 119882119911119898119886119909 =119868119911

119910119898119886119909119898119894119899=119887 ∙ ℎ3

12frasl

ℎ2frasl

=119887 ∙ ℎ2

6

119882119910119898119894119899 = 119882119910119898119886119909 =119868119910

119911119898119886119909119898119894119899=1198873 ∙ ℎ

12frasl

1198872frasl

=1198872 ∙ ℎ

6

(420)

452 Suprafaţă circulară

Din motive de simetrie pentru suprafeţele circulare momentele de inerţie faţă de

orice diametru (care reprezintă şi axe centrale) sunt aceleaşi

Considerăm o secțiune circulară plină cu diametrul 119889 și centrul de greutate 119862 Prin

centrul de greutate 119862 trece sistemul de axe ortogonal 119911119862119910 figura 45

Fig 45 Suprafață circulară

La distanța de centrul de greutate 119862 vom lua un element de suprafață mic de arie

(119889119860) de forma unui inel de grosime 119889 Elementul de arie 119889119860 are expresia

119889119860 = (2 ∙ 120587 ∙ 120588) ∙ (119889120588)

Pornind de la relația de definiție a momentului de inerție polar obținem

119868119901 ≝ int 1205882 ∙ 119889119860

119860

= int 1205882 ∙ (2 ∙ 120587 ∙ 120588) ∙ 119889120588

119903=119889 2frasl

0

= 2 ∙ 120587 ∙1205884

4|119889 2frasl0 rArr

rArr 119868119901 =120587 ∙ 1198894

32

(421)

Secțiunea este perfect simetrică deci sunt valabile relațiile

119868119911 = 119868119910 rArr 119868119901 = 119868119911 + 119868119910 = 2 ∙ 119868119911 = 2 ∙ 119868119910 =119868119901

2=120587 ∙ 1198894

64 (422)

Și modulele de rezistenţă faţă de orice diametru sunt egale şi se calculează cu

relaţiile

119882119911 = 119882119910 =1198681199111198892frasl=120587 ∙ 1198893

32 (423)

Modulul de rezistenţă polar este

119882119901 =1198681199011198892frasl=120587 ∙ 1198893

16 (424)

453 Secţiune inelară

Calculul momentelor de inerţie axiale pentru o secţiune inelară avacircnd diametrul

interior 119889 şi diametrul exterior 119863 se determină analog pentru suprafaţa circulară plină cu

observaţia că integrala pentru calculul momentului de inerție polar 119868119901 se face icircntre

limitele 119903 = 119889 2frasl şi R= 1198632frasl (icircntre raza interioară 119903 şi raza exterioară 119877) figura 46

Se obţin relaţiile

119868119901 =120587 ∙ 1198634

32∙ [1 minus (

119889

119863)4

] =120587 ∙ 1198634

32∙ (1 minus 1198964) (425)

119868119910 = 119868119910 =120587 ∙ 1198634

64∙ [1 minus (

119889

119863)4

] =120587 ∙ 1198633

64∙ (1 minus 1198964) (426)

Fig 46 Secțiune inelară

119882119901 =120587 ∙ 1198633

16∙ [1 minus (

119889

119863)4

] =120587 ∙ 1198633

16∙ (1 minus 1198964) (427)

119882119911 = 119882119910 =120587 ∙ 1198633

32∙ [1 minus (

119889

119863)4

] =120587 ∙ 1198633

32∙ (1 minus 1198964) (428)

unde 119896 = 119889119863frasl

46 Variaţia momentelor de inerţie faţă de axe paralele

( Relațiile lui STEINER)

Se consideră o suprafaţă oarecare de arie 119860 cu elementul de arie 119889119860 și un sistemul

de axe central 119911119862119910 faţă de care se cunosc momentele de inerţie 119868119911 119868119910 119868119911119910 şi considerăm

un sistem de axe 11991111198741199101 paralele cu sistemul central figura 47 Se pune problema

determinării momentele de inerţie 1198681199111 1198681199101 11986811991111199101 faţă de sistemul de axe paralel cu sistemul

central 11991111198741199101 axe aflate la distanţele 119910119862 = 119888 respectiv 119911119862 = 119889 de acesta

461 Momente de inerţie axiale

Pe baza relaţiilor de definire şi a notaţiilor din figura 42 pentru momentele de

inerţie faţă de axele 1198741199111 1198741199101 se poate scrie

1198681199111 = int 11991012 ∙ 119889119860

119860

= int(119910 + 119888)2 ∙ 119889119860

119860

= int 1199102 ∙ 119889119860

119860

+ 2 ∙ 119888 ∙ int 119910 ∙ 119889119860

119860

+

+1198882int 119889119860

119860

rArr 1198681199111 = 119868119911 + 2 ∙ 119888 ∙ 119878119911 + 1198882 ∙ 119860 hArr 1198681199111 = 119868119911 + 119888

2 ∙ 119860

(429)

Fig 47 Variaţia momentelor de inerţie față de axe paralele

S-a ajuns la relația (429) deoarece momentul static 119878119911 este nul deoarece axa 119862119885

este axă centrală

Pentru momentul de inerție axial icircn raport cu axa 1198741199101 se obține

1198681199101 = int 11991112 ∙ 119889119860

119860

= int(119911 + 119889)2 ∙ 119889119860

119860

= int 1199112 ∙ 119889119860

119860

+ 2 ∙ 119889 ∙ int 119911 ∙ 119889119860

119860

+

+1198892 ∙ int 119889119860

119860

rArr 1198681199101 = 119868119910 + 2 ∙ 119889 ∙ 119878119910 + 1198892 ∙ 119860 hArr 1198681199101 = 119868119910 + 119889

2 ∙ 119860

(430)

Pentru momentul de inerție centrifugal obținem

11986811991111199101 = int 1199101 ∙ 1199111 ∙ 119889119860

119860

= int(119910 + 119888) ∙ (119911 + 119889) ∙ 119889119860

119860

= int 119910 ∙ 119911 ∙ 119889119860 +

119860

+119888 ∙ int 119911 ∙ 119889119860

119860

+ 119889 ∙ int 119910 ∙ 119889119860

119860

rArr 11986811991111199101 = 119868119911119910 + 119888 ∙ 119889 ∙ 119860

(431)

Deoarece

int 119911 ∙ 119889119860

119860

= 119878119910 = 0 int 119910 ∙ 119889119860

119860

= 119878119911 = 0 int 119910 ∙ 119911 ∙ 119889119860

119860

= 119868119911119910

Relaţiile (429) şi (430) arată că momentul de inerţie faţă de o axă oarecare

este egal cu momentul de inerţie faţă de o axă paralelă cu ea trecacircnd prin centrul de

greutate la care se adaugă produsul dintre aria suprafeţei şi pătratul distanţei dintre

cele două axe

Din relaţiile (429) și (430) rezultă de asemenea că momentul de inerţie faţă de o

axă centrală (care trece prin centrul de greutate) este cel mai mic dintre infinitatea de

momente de inerţie obținute faţă de alte axe paralele cu ea

Relaţia (431) arată de asemenea că momentul de inerţie centrifugal faţă de un

sistem de axe oarecare este egal cu momentul de inerţie centrifugal faţă de un sistem

paralele cu el trecacircnd prin centrul de greutate a suprafeţei la care se adaugă produsul

dintre aria suprafeţei şi distanţele dintre axele sistemelor respective

Icircn literatura de specialitate relaţiile (429) (430) şi (431) sunt cunoscute sub

numele de relaţiile lui Steiner

47 Variaţia momentrlor de inerţie faţă de axe rotite

Direcţii principale şi momente de inerţie principale

Fie suprafaţa plană din figura 48 de arie 119860 pe care considerăm o suprafaţă

elementară de arie 119889119860 Pentru sistemul de axe 119911119874119910 se cunosc momentele de inerţie

119868119911 119868119910 119868119911119910 şi vom determina relaţiile de calcul pentru momentele de inerţie afererent unui

sistem de axe 11991111198741199101 rotit cu un unghi faţă de sistemul central

Faţă de sistemul de axe 11991111198741199101 elementul de arie 119889119860 are coordonatele

1199101 = 119875119877 = 119875119876 minus 119877119876 = 119910 ∙ cos 120572 minus 119911 ∙ sin 120572

1199111 = 119873119872 = 119873119875 minus 119875119872 = 119911 ∙ cos 120572 + 119910 ∙ sin 120572 (432)

Fig 47 Variaţia momentelor de inerţie față de axe rotite

Pe baza relaţiilor de calcul ale momentelor de inerţie şi a notaţiilor din figura 42

şi ale relaţiilor (432) momentele de inerţie faţă de sistemul de axe rotit 11991111198741199101 sunt

1198681199111 =119868119911 + 119868119910

2+119868119911 minus 119868119910

2∙ cos 2120572 minus 119868119911119910 ∙ sin 2120572 (433)

1198681199101 =119868119911 + 119868119910

2minus119868119911 minus 119868119910

2∙ cos 2120572 + 119868119911119910 ∙ sin 2120572 (434)

11986811991111199101 =119868119911 minus 119868119910

2∙ sin 2120572 + 119868119911119910 ∙ cos 2120572 (435)

Din relaţiile 433divide435 se observă că icircntre momentele de inerţie axiale şi cele

polare există relaţia

1198681199111 + 1198681199101 = 119868119911 + 119868119910 = 119868119901 (436)

adică suma momentelor de inerţie axiale icircn raport cu orice pereche de axe ortogonale

care trec printr-un pol dat este o constantă şi egală cu momentul de inerţie polar

Prin rotirea sistemului de axe din relaţiile 433divide435 rezultă că momentele de inerţie

variază icircnsă suma lor rămacircne constantă deci există o poziţie a sistemului de axe pentru

care momentele de inerţie au valori extreme maxim respectiv minim

471 Direcţii principale de inerţie

Valoarea unghiului 120572 pentru care momentele de inerţie axiale au valori extreme

este

1205721 =1

2∙ 119886119903119888119905119886119899 (minus

2 ∙ 119868119911119910

119868119911 minus 119868119910) (437)

Poziţia celeilalte direcţii este perpendiculară pe cea dată de unghiul 1205721

Din relaţia (437) se constată că faţă de aceste direcţii rotite pentru care momentele

de inerţie axiale prezintă valori extreme momentul de inerţie centrifugal 11986811991111199101este nul

Atunci se poate afirma că momentele de inerţie axiale au valori extreme icircn raport cu

direcţiile faţă de care momentul de inerţie centrifugal este nul Aceste direcţii se numesc

direcţii principale iar momentele de inerţie faţă de aceste direcţii poartă numele de

momente de inerţie principale

Icircn calculele de rezistenţă interesează icircn mod special poziţia direcţiilor principale

care trec prin centrul de greutate al suprafeţei aşa numitele direcţii principale centrale şi

evident momentele de inerţie principale centrale

Direcţiile principale de inerţie se notează cu 1 respectiv 2 Axa principală 1

corespunde direcţiei faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea maximă iar

axa principală 2 pentru direcţia faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea

minimă

472 Momente de inerţie principale

Momentele de inerţie principale se notează cu litera 119868 la care se pune indicele 1

sau 2 după cum valoarea acestuia este maximă sau minimă deci avem un moment de

inerţie principal 1 (notat 1198681) respectiv moment de inerţie principal 2 (notat 1198682)

Expresiile pentru momentele de inerţie principale sunt

11986812 =119868119911 + 119868119910

2plusmn1

2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)

2+ 4 ∙ (119868119911119910)

2 (438)

Dacă momentul de inerţie centrifugal este negativ (119868119911119910 lt 0) direcţia principală

care trece prin primul cadran (definit de sistemul 119911119862119910) este direcţia principală 120783

Pentru suprafeţele cu cel puţin o axă de simetrie direcţiile centrale 119862119911 119862119910 sunt şi

direcții principale de inerţie și evident momentele de inerţie axiale 119868119911 119868119910 sunt momente

de inerţie principale

48 Caracteristici mecanice ale metalelor

Alegerea materialului pentru confecţionarea unei anumite piese se face şi pe baza

aşa numitelor caracteristici mecanice pe care le prezintă materialul Cunoaşterea acestor

caracteristici mecanice are loc numai pe baza unor icircncercări mecanice care să scoată icircn

evidenţă comportarea materialului icircn condiţii de solicitare

Cea mai utilizată icircncercare icircn urma căreia se pun icircn evidenţă caracteristicile

mecanice ale unui material este icircncercarea la tracţiune

481 Icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general

Icircncercarea la tracţiune a oţelului ca de altfel toate icircncercările de materiale este

standardizată

Icircn cele ce urmează se va prezenta numai partea care interesează strict din punct

de vedere al caracteristicilor mecanice ale oţelului

Epruveta de diametru iniţial 1198890 pentru icircncercarea la tracţiune are o porţiune de

lungime 1198710 numită baza de măsurare pe care se măsoară lungirea acesteia sub acţiunea

solicitării

Icircn funcţie de raportul dintre baza de măsurare 1198710 şi diametrul iniţial 1198890 epruvetele

utilizate pentru icircncercări sunt

epruvete normale (scurte) cacircnd 11987101198890 = 5

epruvete lungi cacircnd 11987101198890 = 10

Icircn timpul icircncercării la diferite valori ale forţei 119865 se măsoară lungirea bazei de

măsurare

∆119871 = 120575 = 119871 minus 1198710 (439)

unde

119871 este dimensiunea bazei de măsurare la un moment dat

Curba forţă-lungire (119865 minus ) icircnregistrată icircn urma icircncercării reprezintă curba

caracteristică la tracţiune

La icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general diagrama caracteristică care se

obţine are forma din figura 48

Curba caracteristică la tracţiune depinde de lungimea bazei de măsurare Pentru

icircnlăturarea acestui neajuns curba caracteristică se reprezintă icircn coordonate şi definite

astfel

120590 =119865

1198600 휀 =

120575

1198710 (440)

unde

1198600 este aria iniţială a secţiunii transversale a epruvetei (icircnainte de solicitare) icircn

zona bazei de măsurare

1198600 =120587 ∙ 1198890

2

4

Deoarece mărimile icircn care se reprezintă curba caracteristică la tracţiune sunt

raportate la aria iniţială a secţiunii transversale (mărimi specifice) curba poartă numele

de curbă caracteristică convenţională la tracţiune

Fig 48 Curba caracteristică convenţională la tracțiune

Pe curba caracteristică convenţională la tracţiune figura 48 se pot stabili o serie

de puncte cărora le corespund mai multe mărimi importante

Ordonata punctului A pacircnă unde curba caracteristică convenţională este linie

dreaptă se numeşte limita de proporţionalitate a materialului 120590119901(1205901) Porţiunea 119874119860 este

zona de proporţionalitate a curbei caracteristice pe acest domeniu este valabilă legea lui

Hooke care exprimă o proporţionalitate icircntre tensiune şi deformaţie specifică

120590 = 119864 ∙ 휀 (441)

unde

119864 = reprezintă panta porţiunii liniare a curbei convenționale caracteristice

la tracțiune Caracteristica de material 119864 se numeşte modul de elasticitate longitudinal

(modulul lui Young)

Ordonata punctului 119861 pacircnă unde materialul se comportă perfect elastic adică

după descărcare icircşi recapătă dimensiunea iniţială 1198710 se numeşte limita de elasticitate

120590119890(119877119890) Icircn realitate nici un material nu are comportare perfect elastică sub acţiunea

solicitărilor el capătă deformaţii permanente (remanente plastice)

După punctul 119861 urmează o porţiune 119861119862119863 icircn care cu toate că icircncărcarea

continuă forţa nu mai creşte avacircnd mici oscilaţii icircn jurul unei valori Se spune că icircn

această porţiune materialul curge iar intervalul 119861119862119863 este un palier de curgere Tensiunea

corespunzătoare palierului de curgere se numeşte limită de curgere aparentă 120590119888(119877119888) Limita de curgere aparentă se calculează cu relaţia

120590119888 =1198651198881198600 (442)

unde

119865119888 reprezintă valoarea forţei icircnregistrată icircn momentul curgerii materialului

După punctul 119863 curba caracteristică are un traseu ascendent pacircnă icircn punctul 119864

Porţiunea 119863119864 este numită zonă de icircntărire (ecruisare) Icircn zona de ecruisare unde se

produc deformaţii plastice semnificative legea lui Hooke nu mai este valabilă La

descărcare relaţia dintre tensiunea şi deformaţia specifică este liniară paralelă cu

porţiunea liniară a curbei caracteristice (dreapta 119872119873)

Deformaţia totală (휀119905) are două componente una elastică (휀119890) şi una plastică (휀119901)

Ordonata punctului 119864 reprezintă rezistenţa de rupere 120590119903(119877119898) a materialului

care se poate calcula cu relaţia

120590119903 = 119877119898 =1198651198981198861199091198600

(443)

unde

119865119898119886119909 reprezintă valoarea maximă a forţei icircnregistrată icircn timpul icircncercării

La atingerea valorii 119865119898119886119909 (punctul 119864) icircntr-un anumit loc al epruvetei secţiunea

icircncepe să se micşoreze (se produce gacirctuirea) continuacircnd pacircnă cacircnd se produce ruperea

totală (punctul 119865)

Dacă după ruperea epruvetei cele două părţi rezultate se aşează cap la cap şi se

măsoară dimensiunea bazei de măsurare 119871119906 (lungimea ultimă) se determină alungirea la

rupere sau lungirea specifică la rupere 휀119903

휀119903 =119871119906 minus 11987101198710

=∆119871

1198710=120575

1198710 (444)

De obicei alungirea se exprimă icircn procente şi se notează cu 119860119899 unde 119899 reprezintă

numărul dat de raportul 11987101198890 (epruvete normale 119899 = 5 epruvete lungi 119899 = 10)

119860119899 =119871119906 minus 11987101198710

∙ 100 [] (445)

Altă mărime care se determină la icircncercarea la tracţiune este gacirctuirea la rupere

(exprimată de obicei icircn procente) şi definită de relaţia

119885 =1198600 minus 1198601199061198600

∙ 100 [] (446)

Mărimile determinate limita de proporţionalitate modulul de elasticitate

longitudinal limita de elasticitate limita de curgere aparentă rezistenţa de rupere

alungirea la rupere şi gacirctuirea la rupere sunt cunoscute ca fiind caracteristici mecanice

ale materialului

Din curba caracteristică convenţională observăm faptul că ruperea (punctul 119865 din

figura 48 se produce la o tensiune mai mică decacirct cea corespunzătoare punctului 119864 Dacă

icircnsă forţa din timpul icircncercării s-ar raporta la aria secţiunii din momentul icircnregistrării

forţei (care este mai mică decacirct cea iniţială 1198600) s-ar obţine aşa numita curbă

caracteristică reală a materialului (traseul 1198741198601198611198621198631198651 din figura 48) La curba

caracteristică reală ruperea se produce icircn punctul 1198651 la o icircncărcare mai mare decacirct cea

corespunzătoare punctului 119864 Icircnseamnă că rezistenţa reală la rupere este mai mare decacirct

rezistenţa la rupere dată de punctul 119864 din diagrama caracteristică convenţională

Dificultatea obţinerii diagramei caracteristice reale faţă de cea a diagramei caracteristice

convenţionale şi considerarea unei rezistenţe la rupere mai mică decacirct a celei reale face

icircn practică utilizarea pe scară mare a diagramei caracteristice convenţionale

Caracteristicile mecanice determinate pe baza curbei caracteristice convenţionale

sunt şi ele caracteristici mecanice convenţionale

Caracteristicile mecanice convenţionale limita de proporţionalitate convenţională

120590119901 limita de elasticitate convenţională 120590119890 limita de curgere convenţională 120590119888 şi rezistenţa

de rupere 120590119903 constituie tensiuni limită pentru un material Pe baza acestor caracteristici

de material se alege valoarea tensiunii admisibile 120590119886 (vezi paragraful 35) pentru

calculele de rezistenţă Cea mai utilizată stare limită pentru stabilirea tensiunii admisibile

120590119886 este limita de curgere convenţională 120590119888

120590119886 =120590119897119894119898119888

=120590119888119888 119904119886119906 120590119886 =

120590119903119888 (447)

Caracteristicile mecanice ale materialului sunt influenţate de o serie de factori

temperatura viteza de solicitare factorii tehnologici iar valorile lor sunt date icircn tabele și

diagrame

Aplicaţie Pentru suprafaţa plană compusă din două dreptunghiuri avacircnd

dimensiunile din figura 49a să se calculeze

a) centrul de greutate al secțiunii compuse 119910119866 119911119866

b) momentele de inerție axiale 119868119911 119868119910 și momentul de inerție centrifugal 119868119911119910

c) razele de inerție 119894119911 119894119910

d) modulele de rezistență 119882119911119898119894119899 119882119911119898119886119909 119882119910119898119894119899 119882119910119898119886119909

e) momentele de inerție principale 1198681 1198682 și direcțiile principale de inerție 1205721

f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 119878119911

Fig 49 Aplicație

Rezolvare Pentru rezolvare vom parcurge următoarele etape

icircmpărțim suprafața compusă icircn două suprafețe simple (dreptunghiuri) notate cu

① și respectiv ② figura 49b

poziționăm centrele de greutate a celor două suprafețe simple ① și respectiv ②

notate cu 1198661 și respectiv 1198662 figura 49c

poziționăm sistemele de axe de coordonate 119911111986611199101 pentru dreptunghiul ① și

119911211986621199102 pentru dreptunghiul ② aflate la intersecția diagonalelor figura 49c

poziționăm sistemele de axe de coordonate 11991101198741199100 ales arbitrar față de care

determinăm poziția centrului de greutate 119866 figura 49c

a) calculăm poziția centrului de greutate folosind relațiile (46) icircn care

1198601 = 6119905 ∙ 119905 = 61199052 1198602 = 4119905 ∙ 119905 = 41199052 119860 = 1198601 + 1198602 = 61199052 + 41199052 = 101199052

iar centrele de greutate 1198661 și respectiv 1198662 au coordonatele (față de sistemul 11991101198741199100)

1198661 1199101 = 3119905 1199111 = 05119905

1198662 1199102 = 051199051199112 = 3119905

cu acestea obținem

119910119866 =1198601 ∙ 1199101 + 1198602 ∙ 1199102

119860=61199052 ∙ 3119905 + 41199052 ∙ 05119905

101199052=201199053

101199052= 2119905

119911119866 =1198601 ∙ 1199111 + 1198602 ∙ 1199112

119860=61199052 ∙ 05119905 + 41199052 ∙ 3119905

101199052=151199053

101199052= 15119905

Poziționăm centrul de greutate 119866 al suprafeței compuse figura 49c

Fig 49 Aplicație

b) pentru determinarea momentelor de inerție axiale 119868119911 119868119910 și a momentului de

inerție centrifugal 119868119910119911 determinăm constantele 1198881 1198882 1198891 1198892 care intervin icircn relația lui

Stainer

1198881 = 1199101 minus 119910119866 = 3119905 minus 2119905 = 119905 1198882 = minus(119910119866 minus 1199102) = minus(2119905 minus 05119905) = minus15119905

1198891 = minus(119911119866 minus 1199111) = minus(15119905 minus 05119905) = minus119905 1198892 = 1199112 minus 119911119892 = 3119905 minus 15119905 = 15119905

Folosind relațiile lui Stainer (429) (430) și (431) calculăm momentele de

inerție axiale și centrifugale față de sistemul central 119911119866119866119910119866

119868119911 =sum(119868119911119894 + 1198881198942 ∙ 119860119894) = 1198681199111 + 1198881

2 ∙ 1198601 + 1198681199112 + 11988822 ∙ 1198602

119868119910 =sum(119868119910119894 + 1198891198942 ∙ 119860119894) = 1198681199101 + 1198891

2 ∙ 1198601 + 1198681199102 + 11988922 ∙ 1198602

119868119911119910 =sum(119868119911119894119910119894 + 119888119894 ∙ 119889119894 ∙ 119860119894) = 11986811991111199101 + 1198881 ∙ 1198891 ∙ 1198601 + 11986811991121199102 + 1198882 ∙ 1198892 ∙ 1198602

1198681199111 = (119887 ∙ ℎ3

12) =

119905 ∙ (6119905)3

12= 181199054 1198681199112 = (

119887 ∙ ℎ3

12) =

4119905 ∙ 1199053

12= 031199054

1198681199101 = (1198873 ∙ ℎ

12) =

1199053 ∙ 6119905

12= 051199054 1198681199102 = (

1198873 ∙ ℎ

12) =

(4119905)3 ∙ 119905

12= 531199054

11986811991111199101 = 11986811991121199102 = 0 deoarece cele două triunghiuri au cel puțin o axă de simetrie

Cu acestea momentele de inerție axiale și momentul de inerție centrifugal devin

119868119911 = 181199054 + 1199052 ∙ 61199052 + 031199054 + (minus15119905)2 ∙ 41199052 = 3331199054

119868119910 = 051199054 + (minus119905)2 ∙ 61199052 + 531199054 + (15119905)2 ∙ 41199052 = 2081199054

119868119911119910 = 0 + 119905 ∙ (minus119905) ∙ 61199052 + 0 + (minus15119905) ∙ (15119905) ∙ 41199052 = minus151199054

c) razele de inerție sau de girație față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910

se calculează cu relațiile (411)

119894119911 = radic119868119911119860= radic

3331199054

101199052= 182119905 119894119910 = radic

119868119910

119860= radic

2081199054

101199052= 144119905

d) modulele de rezistență față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910 se

calculează cu relațiile (412) și (413)

Avacircnd icircn vedere figura 419c obținem

119910119898119886119909 = 6119905 minus 119910119866 = 6119905 minus 2119905 = 4119905 119910119898119894119899 = minus119910119866 = minus2119905

119911119898119886119909 = 5119905 minus 119911119866 = 5119905 minus 15119905 = 35119905 119911119898119894119899 = minus119911119866 = minus15119905

Se obține astfel

119882119911119898119894119899 =119868119911

|119910119898119886119909|=3331199054

4119905= 8331199053

119882119911119898119886119909 =119868119911

|119910119898119894119899|=3331199054

2119905= 16651199053

119882119910119898119894119899 =119868119910

|119911119898119886119909|=2081199054

35119905= 5941199053

119882119910119898119886119909 =119868119910

|119911119898119894119899|=2081199054

15119905= 13871199053

e) momentele de inerție principale 1198681 și respectiv 1198682 se calculează cu relațiile

(438)

11986812 =119868119911 + 119868119910

2plusmn1

2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)

2+ 4 ∙ (119868119911119910)

2=

=3331199054 + 2081199054

2plusmn1

2∙ radic(3331199054 minus 2081199054)2 + 4 ∙ (minus151199054)2 = 27051199054 plusmn 16251199054

De unde obținem

1198681 = 27051199054 + 16251199054 = 4331199054

1198682 = 27051199054 minus 16251199054 = 1081199054

Prima direcție principală de inerție 1 face cu axa centrală 119866119911 unghiul 1205721 dat de

relația (437)

1205721 =1

2∙ arctan (minus

2 ∙ 119868119911119910

119868119911 minus 119868119910) =

1

2∙ arctan [minus

2 ∙ (minus151199054)

3331199054 minus 2081199054] =33 70

Deoarece 1205721 gt 0 rotirea axelor se face acircn sens antiorar acelor de ceasornic figura

49d

Poziția axe principale 2 față de care momentul de inerție are valoarea minimă

1198682 = 119868119898119894119899 este dată de unghiul

1205722 = 1205721 + 900 = 33 70 + 900 = 123 70

f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 se determină cu relația

(45)

1198781199111198602 = 1198602 ∙ 1198882 = 41199052 ∙ (minus15119905) = minus61199053

= (sum119883119894

119899

119894=1

) ∙ 119894 + (sum119884119894

119899

119894=1

) ∙ 119895 + (sum119885119894

119899

119894=1

) ∙ = 119883 ∙ 119894 + 119884 ∙ 119895 + 119885 ∙

(14)

unde sunt componentele rezultantei pe axele 119874119909 119874119910 și 119874119911 = + +

Icircn mod analog momentul rezultant icircn punctul O este

0 = (sum119872119909119894

119899

119894=1

) ∙ 119894 + (sum119872119910119894

119899

119894=1

) ∙ 119895 + (sum119872119911119894

119899

119894=1

) ∙ =

= 119872119909 ∙ 119894 + 119872119910 ∙ 119895 + 119872119911 ∙

(15)

unde 119909 119910 119911 sunt componentele vectorului moment 0 pe axele 119874119909 119874119910 respectiv 119874119911

0 = 119909 + 119910 + 119911

133 Echilibrul solidului rigid

Torsorul de reducere al sistemului de forţe determină mişcarea solidului rigid icircn

spaţiu sub acţiunea forţelor exterioare aplicate

Torsorul de reducere conţine o forţă rezultantă cu trei componente

perpendiculare icircntre ele şi un moment rezultant avacircnd trei componente ortogonale

perpendiculare 119909 119910 119911 orientate după axele sistemului 119874119909119910119911 Cele trei componente

ale rezultantei produc translaţii (deplasări liniare ) ale corpului pe direcţiile 119874119909 119874119910

respectiv 119874119911 Componentele momentului rezultant 0 produc rotiri (deplasări

unghiulare) ale corpului icircn jurul axelor de coordonate 119874119909 119874119910 respectiv 119874119911 Se spune ca

solidul liber are 6 grade de libertate (6 posibilităţi de deplasare) Pentru ca solidul să fie

icircn echilibru trebuie suprimate toate gradele de libertate Aşadar corpul este icircn echilibru

dacă elementele torsorului de reducere al forţelor exterioare este nul

Condiţiile de echilibru ale solidului rigid sunt

= 0 rArr 119883 = 119884 = 119885 = 0

0 = 0 rArr 119872119909 = 119872119910 = 119872119911 = 0

(16)

Observaţie Un solid rigid liber solicitat de forţe aplicate icircntr-un plan (119909119900119910) are

trei grade de libertate Condiţiile de echilibru sunt

= 0 rArr 119883 = 119884 = 0

0 = 0 rArr 119872119911 = 0

(17)

14 Aplicaţii

141 Să se stabilească mărimea şi ordinul rezultantei sistemului de forţe din figura

17 dacă se cunosc 1 = 100 [119873] 2 = 200 [119873] și 3 = 300 [119873]

Rezolvare

Pentru rezolvarea acestui sistem de forte de prezinta doua metode

a) Rezolvare analitică

Descopunem cele două forțe icircnclinate 2 și 3 după cele două axe de coordonate

Ox și Oy

2 = (minus1198652119909) ∙ 119894 + (1198652119910) ∙ 119895 = (minus1198652 ∙ cos 600) ∙ 119894 + (1198652 ∙ sin 60

0) ∙ 119895 =

= (minus200 ∙1

2) ∙ 119894 + (200 ∙

radic3

2) ∙ 119895 = minus100 ∙ 119894 + 100 ∙ radic3 ∙ 119895

3 = (minus1198653119909) ∙ 119894 + (minus1198653119910) ∙ 119895 = (minus1198653 ∙ cos 450) ∙ 119894 + (minus1198653 ∙ sin 45

0) ∙ 119895 =

= (minus300 ∙radic2

2) ∙ 119894 + (minus300 ∙

radic2

2) ∙ 119895 = minus150 ∙ radic2 ∙ 119894 minus 150 ∙ radic2 ∙ 119895

Pentru stabilirea mărimii şi ordinului rezultantei sistemului de forţe din figură se

procedează astfel

Forţele sunt exprimate analitic 119894 = 119883119894 ∙ 119894 + 119884119894 ∙ 119895 unde 119883119894 119884119894 sunt proiecţiile

forţei 119894 pe axele 119874119909 respectiv 119874119910

1 = 100 ∙ 119894 + 0 ∙ 119895

2 = minus100 ∙ 119894 + 1732 ∙ 119895

3 = minus2121 ∙ 119894 minus 2121 ∙ 119895

Fig 17 Aplicația 141

Se determină rezultanta forţelor cu următoarea relaţie

= sum119865119894 prime (sum119883119894

119899

119894=1

) ∙ 119894 + (sum119884119894

119899

119894=1

) ∙ 119895 = 119883 ∙ 119894 + 119884 ∙ 119895

unde 119883 119884 sunt componentele rezultantei pe axele 119874119909 respectiv 119874119910 = +

= (100 minus 100 minus 2121) ∙ 119894 + (0 + 1732 minus 2121) ∙ 119895 = (minus2121) ∙ 119894 + (minus389) ∙ 119895

rArr 119883 = minus2121 [119873]

119884 = minus389 [119873]

Cu acestea obținem rezultanta

119877 = radic1198832 + 1198842 = radic(minus2121)2 + (minus389)2 = 21564 [119873]

Se reprezintă grafic rezultanta icircn sistemul de coordonate 119909119874119910 după care se

calculează unghiul 120572 pe care aceasta rezultantă icircl face cu axa 119874119909 figura 18

tan 120572 =119884

119883=minus389

minus2121= 0183 rArr 120572 = arctan(0183) = 10 40

Fig 18 Reazultanta forțelor aplicate

b) Rezolvare tabelară

Forţa 119894 Componenta 119883119894 Componenta 119884119894

1 1198651 = 100 1198651 = 0

2 minus1198652 ∙ cos 600 = minus100 1198652 ∙ sin 60

0 = 1732

3 minus1198653 ∙ cos 450 = minus2121 minus1198653 ∙ sin 45

0 = minus2121

= sum119894 119883 =sum119883119894 = minus2121 119884 =sum119884119894 = minus389

După determinarea tabelară a celor două componente ale rezultandei calculele se

continua ca şi icircn cazul rezolvării analitice

142 Să se calculeze momentul forţei verticale = 100 [119873] icircn raport cu punctele

B D O şi icircn raport cu axele Ox Oy şi Oz figura 19 și să se determine componentele

torsorului de reducere ale forţei icircn punctul O dacă se cunosc 119886 = 3 [119898] şi 119887 = 4 [119898]

Fig 19 Aplicația 142

Fig 110 Icircnclinarea momentului 119872119874

119861 = 119861119860 times

119872119861 = 119886 ∙ 119865 = 3 ∙ 100 = 300 [119873 ∙ 119898]

119863 = 119863119860 times

119872119863 = 119887 ∙ 119865 = 4 ∙ 100 = 400 [119873 ∙ 119898]

119874 = 119874119860 times

119872119874 = 119888 ∙ 119865 = radic1198862 + 1198872 ∙ 119865 = radic32 + 42 ∙ 100 = 5 ∙ 100 = 500 [119873 ∙ 119898]

119874 se află icircn planul 119909119874119910 cu icircnclinarea 120572 (figura 110)

tan120572 =119886

119887=3

4= 075 rArr 120572 = arctan(075) = 36860

Deci

120572 = 900 minus 120573 = 900 minus 36860 = 53140

Concluzie Componentele torsorului de reducere al forței icircn punctul O sunt o forta

icircn O identică cu forța din punctul A și momentul forței icircn raport cu punctul O 119874

2 INTRODUCERE IcircN REZISTENŢA MATERIALELOR

21 Obiectul şi problemele Rezistenţei materialelor

Rezistenţa materialelor este o disciplină de cultură tehnică generală care continuă

logic şi dezvoltă Mecanica prin introducerea icircn calcule a proprietăţilor de deformabilitate

ale corpurilor solide reale Icircn Mecanică corpul solid este considerat rigid nedeformabil

iar vectorii forţă de icircncărcare sunt consideraţi alunecători Rezistenţa materialelor ia icircn

studiu corpurile reale care sub acţiunea forţelor exterioare (vectori legaţi) icircşi schimbă

forma geometrică respectiv dimensiunile iniţiale şi se distrug prin rupere la valori mari

ale acestora Prin calculele de rezistenţă se determină dimensiunile secţiunilor

transversale ale corpurilor (elemente de rezistenţă) icircn funcţie de mărimea poziţia şi modul

de acţionare a forţelor exterioare proprietăţile mecanice ale materialelor dimensiunile

constructive forma şi importanţa ansamblului icircn care se icircnglobează iar icircn anumite cazuri

şi de durata de funcţionare Elementele de rezistenţă trebuie să icircndeplinească următoarele

condiţii de bază

- condiţia de rezistenţă care are icircn vedere ca eforturile din elementul de rezistenţă

să nu producă distrugerea acestuia prin rupere sau spargere icircn bucăţi

- condiţia de rigiditate se referă la valorile deformaţiilor care nu trebuie să

depăşească anumite mărimile admisibile

- condiţia de stabilitate care consideră posibilitatea menţinerii formei de echilibru

stabil pentru o anumită stare de icircncărcare

Criteriile de rezolvare ale problemelor de Rezistenţa materialelor sunt

- criteriul economic prin care se impune ca orice element de rezistenţă (piesă) să

fie proiectat şi realizat cu soluţia cea mai economică icircn privinţa materialului utilizat şi al

manoperei

- criteriul de bună funcţionalitate a ansamblului din care face parte elementul de

rezistenţă proiectat respectacircnd condiţiile de rezistenţă rigiditate şi stabilitate

Icircn cadrul Rezistenţei materialelor se admit ipoteze simplificatoare care permit

obţinerea unor relaţii de calcul relativ simple şi care exprimă destul de fidel fenomenul

de solicitare real Experimentările practice icircn laborator permit verificarea legilor

rezistenţei materialelor şi determinarea caracteristicilor mecanice ale materialelor

Rezistenţa materialelor permite rezolvarea următoarelor categorii de probleme

- probleme de dimensionare prin care se stabilesc dimensiunile optime ale

elementelor de rezistenţă proiectate icircn funcţie de icircncărcările exterioare (forţe sau

momente) şi de caracteristicile mecanice ale materialului utilizat

- probleme de verificare la care se determină dacă un element de rezistenţă de

dimensiuni cunoscute satisface condiţiile de rezistenţă rigiditate şi stabilitate cunoscacircnd

icircncărcarea exterioară şi caracteristicile mecanice ale materialului utilizat

- probleme de calcul al capacităţii de icircncărcare al unui element de rezistenţă

cunoscacircndu-se caracteristicile mecanice ale materialului dimensiunile şi modul de

solicitare se determină icircncărcarea maximă pe care o poate suporta elementul de rezistență

fără a ceda sau a se deforma periculos

22 Clasificarea corpurilor icircn Rezistenţa materialelor

Corpurile (elementele de rezistenţă) au icircn general forme constructive relativ

complicate Icircn Rezistenţa materialelor pentru simplificarea calculelor corpurile se

schematizează prin forme geometrice mai simple obţinacircndu-se următoarele grupe

a) corpuri solide cu o dimensiune mult mai mare decacirct celelalte două (corpuri cu

fibră medie) Elementele geometrice caracteristice sunt axa longitudinală şi secţiunea

transversală Aceste corpuri solide pot fi

- fire dacă dimensiunile secţiunii transversale sunt foarte mici astfel icircncacirct axa

longitudinală este flexibilă (icircşi schimbă forma uşor) iar sarcinile transversale nu pot fi

preluate de acesta Un fir nu poate fi solicitat decacirct la icircntindere (exemplu cabluri de

macara lanţuri etc)

- bare care rezistă atacirct la solicitări axiale cacirct şi la solicitări transversale

După modul de solicitare barele poartă diferite denumiri convenţionale

tiranţi-solicitaţi la icircntindere figura 21a

stacirclpi-solicitaţi la compresiune figura 21b

grinzi-solicitate la icircncovoiere figura 21c

arbori-solicitaţi la torsiune (răsucire) figura 21d

Fig 21 Denumirea barelor după modul de solicitare

După modul cum variază secţiunea icircn lungul axei barele pot fi

de secţiune constantă figura 22a

de secţiune variabilă continuă figura 22b sau icircn trepte figura 22c

Fig 22 Denumirea barelor după secțiune

După forma axei longitudinale barele pot fi

drepte figura 21

curbe icircn plan figura 23a sau icircn spaţiu figura 23b (numite și curbe stracircmbe)

cotite (axa barei este o linie fracircntă) plane figura 23c sau spațiale figura 23d

Fig 23 Tipuri de bare curbe și cotite

Secţiunea transversală (plană şi normală pe axa barei) poate avea orice formă

geometrică constantă sau variabilă icircn lungul barei

Dacă una din dimensiunile secţiunii transversale (grosimea) este mai mică

comparativ cu celelalte bara se numește bară cu pereţi subţiri (exemplu barele

realizate din platbande sudate cu secţiuni sub formă de profil I profil U cornier etc)

b) corpuri care au două dimensiuni mult mai mari icircn raport cu a treia (grosimea)

se numesc plăci Elementele geometrice caracteristice ale unei plăci sunt forma şi

dimensiunile suprafeţei mediane respectiv grosimea Plăcile se reprezintă schematic

printr-o suprafață care imită forma și dimensiunile suprafeței mediane Suprafaţa mediană

reprezintă locul geometric al tuturor punctelor egal depărtate de cele două feţe ale plăcii

puncte aflate pe perpendicularele duse icircntre cele două feţe figura 24

După destinaţie și forma suprafeței mediane se deosebesc

plăci plane figura 24b

plăci curbe (icircnvelişuri) cu o singură curbură figura 24a sau avacircnd curbură

dublă figura 24c

Fig 24 Tipuri de plăci plane

Plăcile cu grosime mare sunt denumite frecvent dale O placă de grosime mică

ce nu poate prelua decacirct solicitări la icircntindere poartă numele de membrană

Exemple de plăci icircnvelişurile vasele de revoluţie discurile etc

c) corpuri masive care au toate cele trei dimensiuni aproximativ de acelaşi ordin

de mărime (blocuri de fundaţii bile şi role de rulmenţi tuburi cu pereţi groşi etc)

Calculele de rezistenţă sunt mai simple icircn cazul barelor drepte şi mai complicate

la barele curbe plăci respectiv blocuri

23 Clasificarea icircncărcărilor exterioare

Un corp icircşi păstrează forma şi dimensiunile datorită forţelor de atracţie dintre

particulele sale elementare atacircta timp cicirct asupra sa nu acţionează alte forţe aplicate din

exterior care să-l deformeze Icircn construcţia de maşini elementele de rezistenţă preiau şi

transmit acţiunea unor sarcini exterioare (forţe şisau cupluri) pe care le vom denumi

generic forțe sau icircncărcări exterioare Efectul pe care-l au sarcinile este acela de a

modifica forma şi dimensiunile corpului asupra căruia se aplică Icircn punctele de rezemare

(de sprijin sau de legătură cu alte elemente de rezistenţă icircnvecinate) ca urmare a

principiului acţiunii şi reacţiunii apar forţe de legătură sau reacţiuni Ansamblul format

din sarcini şi reacţiuni este cunoscut sub numele de forţe exterioare Sub acţiunea

forţelor exterioare elementele de rezistenţă trebuie să fie icircn echilibru

Forţele exterioare pot fi clasificate după următoarele criterii

a) după mărimea suprafeţei pe care se aplică

- forțe concentrate aplicate teoretic icircntr-un punct figura 25a

- forțe distribuite uniform sau cu intensitate variabilă icircn lungul barei sau pe o

suprafaţă figura 25bc şi d

- momente concentrate care acţionează icircntr-un punct M sau momente uniform

distribut pe o anumită lungime m

Fig 25 Tipuri de sarcini după mărimea suprafeţei de aplicare

b) după locul de aplicare se deosebesc

- forţe de suprafaţă sau de contur care sunt aplicate din exterior pe suprafaţa

corpurilor şi indică legătura cu piesele icircnvecinate

- forţe masice sau de volum distribuite icircn tot corpul (greutăţi forţe de inerţie

respectiv forţe electromagnetice)

c) după modul de acţiune icircn timp se disting

- forţe statice care se aplică lent şi progresiv pacircnă la valoarea nominală de lucru

şi apoi rămacircn constante figura 26a

- forţe dinamice care rezultă din

aplicarea cu icircntreaga intensitate de la icircnceputul perioadei de solicitare iar apoi forţa se

menţine constantă timp icircndelungat figura 26b (forţe de inerţie)

aplicarea bruscă a sarcinii asupra corpului durata de acţiune a sarcinii fiind mică figura

26c (forţe de şoc)

variaţia periodică icircn timp a intensităţii forţei aplicate figura 26d (forţe de oboseală)

Fig26 Tipuri de forţe exterioare (cicluri de solicitare)

Funcţie de modul de variaţie al forţelor exterioare solicitările pot fi statice

oscilante pulsante alternante etc Experimental s-a constatat că rezistenţa unui material

depinde foarte mult de modul de variaţie a forţelor icircn timp Bach a clasificat solicitările

icircn 3 categorii 1-solicitări statice 2-solicitări pulsante 3-solicitări alternant simetrice

Rezistenţa unui material este icircn raportul 321 pentru cele 3 cazuri de solicitare ale lui

Bach Aceasta icircnseamnă că o piesă solicitată static rezistă la o forţă de 3 ori mai mare

decacirct forţa maximă care produce ruperea aceleaşi piese solicitate alternant simetric

d) după poziţia icircn timp a forțelor se disting

- forţe fixe ale căror puncte de aplicaţie sunt mereu aceleaşi

- forţe mobile ale căror puncte de aplicaţie se deplasează icircn timp De exemplu

sarcinile produse de vehiculele care circulă pe un pod sarcinile unei grinzi de pod rulant

icircntr-o halăetc

24 Reazeme Forțe interioare Eforturi Diagrame de eforturi icircn barele

drepte

241 Reazeme Reacțiuni (forțe de legătură)

Pentru a prelua şi transmite acţiunea sarcinilor exterioare elementele de rezistenţă

din componenţa unei structuri sunt fixate icircntre ele prin intermediul unor legături

exterioare numite reazeme Aceste legături au ca scop icircmpiedicarea anumitor mişcări ale

corpului pe direcţiile pe care acestea nu trebuie să se producă O legătură are deci rolul

de a anula unul sau mai multe grade de libertate ale corpului icircn punctul de rezemare Dacă

este anulat un singur grad de libertate legătura este simplă iar dacă sunt impiedicate mai

multe grade de libertate legătura este una compusă Datorită existenţei sarcinilor

exterioare icircn punctele de rezemare pe direcţiile pe care mişcările sunt icircmpiedicate apar

forţe de legătură numite reacţiuni Numărul natura şi direcţiile reacţiunilor depind de

tipul reazemelor Icircn construcţiile reale există o varietate mare de realizare practică a

reazemelor dar icircn calcule se acceptă anumite schematizări care reţin doar aspectul esenţial

al unui reazem şi anume gradul sau gradele de libertate anulate

Pentru o structură de rezistenţă spaţială icircntr-un punct oarecare sunt posibile şase

deplasări trei deplasări liniare (după direcţiile axelor unui sistem ortogonal) şi trei rotiri

(deplasări unghiulare) icircn jurul aceloraşi axe Ca urmare ar fi posibil de realizat maximum

şase tipuri de reazem

Pentru un element de rezistenţă plan icircncărcat cu eforturi cuprinse icircn planul

elementului icircn orice punct sunt posibile trei gade de libertate două deplasări liniare şi o

rotiri Ca urmare pentru cazul unei bare plane se icircntacirclnesc următoarele tipuri de reazeme

1 Reazemul simplu sau reazemul mobil care icircmpiedică deplasarea pe o direcţie

normală pe suprafaţa de rezemare permiţacircnd deplasarea pe o direcţie paralelă cu

suprafaţa de rezemare şi rotirea barei icircn jurul unei axe perpendiculare pe plan icircn punctul

de rezemare Icircn urma icircmpiedicării deplasării şi datorită unor sarcini exterioare icircn

reazemul simplu apare o reacţiune de tip forţă a cărei suport trece prin punctul de

rezemare şi a cărei direcţie este perpendiculară pe suprafaţa de rezemare figura 27

Fig 27 Reazem simplu (mobil)

Icircn figura 27 este reprezentat un reazem mobil poziţionat pe capătul A al unei bare

plane orizontale fiind evidenţiate punctul şi suprafaţa de rezemare direcţia suportului

reacţiunii şi modul de schematizare al reazemului Cea mai des icircntacirclnită reprezentare a

reazemului mobil este a unui triunghi a cărui bază poate luneca pe suprafaţa de rezemare

2 Reazemul fix sau articulaţia icircmpiedică deplasările liniare după toate direcţiile

din planul barei permiţacircnd doar rotirea barei icircn jurul unei axe perpendiculare pe plan şi

care trece prin puncul de rezemare Reacţiunea este cuprinsă icircn planul barei care trece

prin punctul de rezemare dar a cărei mărime şi direcţie nu sunt cunoscute (forţa R)

figura 28

Fig 28 Reazem fix

Se preferă ca icircn locul unei forţe R avacircnd direcţia oarecare icircn plan necunoscută să

se introducă două forţe (HA şi VA) cărora li se cunoaşte direcţia şi pentru care se vor

determina modulele ca valori din condiţiile de echilibru static Icircntr-un reazem fix apar

icircntotdeauna reacţiuni atacirct pe direcţia perpendiculară pe suprafaţa de rezemare

(verticală) cacirct şi pe direcţia paralelă cu prima (orizontală) chiar dacă uneori una sau

chiar ambele reacţiuni au valoarea zero Reprezentarea schematică a articulaţiei este cea

a unui triunghi cu baza fixă şi cu vacircrful icircn punctul de rezemare sau cea a unui pendul

dublu figura 28

3 Icircncastrarea (sau icircnţepenirea) anulează toate gradele de libertate ale capătului

unei bare icircmpiedicacircnd deplasarea liniară după orice direcţie din plan precum şi rotirea

barei icircn jurul unei axe perpendiculare pe plan şi care trece prin punctul de icircncastrare

Urmare a existenţei sarcinilor exterioare şi a blocării deplasărilor icircn icircncastrare apare o

reacţiune căreia nu i se cunoaşte nici mărimea nici direcţia şi nici punctul de aplicaţie

figura 29

Fig 29 Icircncastrarea

Sub acţiunea forţelor exterioare un sistem este icircn echilibru Valoarea reacţinilor

se determină din condiţia de echilibru a sistemului solicitat

Este cunoscut faptul că un sistem plan este icircn echilibru dacă

nu se deplasează pe o direcţie (fie x această direcţie)

nu se deplasează pe o direcţie perpendiculară pe prima (fie y această direcţie)

nu se roteşte faţă de un punct al planului (fie K acest punct)

Cele trei condiţii enunţate mai sus sunt satisfăcute dacă suma proiecţiilor tuturor

forţelor pe direcţia x respectiv y este nulă şi suma tuturor momentelor (cuplurilor) faţă

de un punct al planului este nulă

242 Forțe interioare Metoda secțiunilor

Icircn vederea calculului de rezistenţă de rigiditate şi de stabilitate a barelor sau a

sistemelor de bare este necesară determinarea forţelor şi momentelor interioare

(eforturilor) care apar icircn secţiunile transversale ale acestora şi datorate icircncărcărilor

exterioare Forțele interioare indică legătura dintre particulele din interiorul corpului şi

se pun icircn evidenţă prin metoda secţiunilor care este un procedeu de raţionament

imaginar propus de Cauchy echivalent cu teoria echilibrului părţilor Conform acestui

raționament bdquodacă un corp solid deformabil este icircn echilibru sub acţiunea unui sistem

generalizat de forţe atunci după secționare fiecare parte a sa va fi icircn echilibru sub

acţiunea forţelor exterioare care-i revin şi a unui sistem de forţe pe care trebuie să-l

introducem icircn secţiunea ce delimitează fiecare parte echivalent cu acţiunea forţelor

aplicate pe partea icircndepărtatărdquo

Problemele care apar la aplicarea metodei secţiunilor sunt

- să pună icircn evidenţă existenţa forţelor interioare mai ales că din ceea ce se ştie o

forţă apare icircn prezenţa a două corpuri ca urmare a principiului acţiunii şi reacţiunii

- să explice modul de distribuţie al forţelor interioare pe secţiune

Considerăm un corp aflat icircn echilibru sub acţiunea unui sistem de forţe exterioare

1 2 3⋯119894 ⋯ 119899minus1 119899 şi presupunem că-l secţionăm cu un plan transversal Q (sau cu

o suprafaţă oarecare) figura 210a Icircn urma secţionării fictive (imaginare) conform

principiului echilibrului părţilor fiecare din cele două părţi obţinute trebuie să fie icircn

echilibru sub acţiunea forţelor exterioare care le revin şi a cacircte unui sistem de forţe

interioare pe care trebuie să-l introducem icircn secţiunile rezultate sistem echivalent cu

acţiunea forţelor exterioare ce acţionează asupra celeilalte părţi Astfel pe partea din

dreapta (notată cu II) delimitată de secţiunea de arie Ad sunt aplicate forţele exterioare

119894 ⋯ 119899minus1 119899 şi un sistem de forţe interioare căruia nu i se cunoaşte decacirct efectul acelaşi

cu cel al forţelor 1 2 3 de pe parea din stacircnga (notată cu I şi delimitată de secţiunea

de arie As) figura 210b Prin metoda secţiunilor am reuşit să punem icircn evidenţă existenţa

forţelor interioare şi să le trecem icircn categoria celor exterioare cărora le putem aplica

relaţiile de echivalenţă şi de echilibru cunoscute din statică Ideal ar fi să cunoaştem

distribuţia şi intensitatea punctuală a acestor forţe pentru că s-ar putea ca icircn anumite

puncte ale secţiunii valoarea forţelor să depăşească limita de rezistenţă (limita de curgere)

a materialului Cunoaşterea distribuţiei punctuale a forţelor interioare nu se poate realiza

decacirct icircn cazuri particulare relativ simple de solicitare

Să considerăm partea din dreapta a corpului asupra căreia acționează forțele

119894 ⋯ 119899minus1 119899 mărginit de aria Ad pe care acționează un sistem de forțe interioare

echivalent cu 1 2 3 Deși forțele interioare de pe Ad nu se cunosc totuși efectul lor

este același cu cel al forțelor 1 2 3 deci le putem reduce icircn centrul de greutate C al

secțiunii Ad rezultacircnd componentele torsorului de reducere al forțelor interioare

(119894119889 119894119889) și pentru partea din stacircnga (119894119904 119894119904) Evident conform principiului acțiunii și

reacțiunii

119894119889 = minus119894119904

119894119889 = minus119894119904 (21)

Pe de altă parte cum fiecare dintre părțile corpului după secționare trebuie să fie

icircn echilibru sub acțiunea forțelor exterioare care le revin și a forțelor interioare introduse

rezultă

119894119889 = minus119890119889

119894119889 = minus119890119889

119894119904 = minus119890119889

119894119904 = minus119890119904 (22)

Combinacircnd (21) cu (22) rezultă

119894119889 = 119890119889

119894119889 = 119890119889

119894119904 = 119890119904

119894119904 = 119890119904 (23)

Fig 210 Forțe interioare

Relațiile (22) și (23) permit determinarea componentelor torsorului de reducere

al forțelor interioare din (23) rezultă componentele torsorului forțelor interioare care

acționează icircn secțiunea Ad sunt egale cu componentele torsorului de reducere al forțelor

exterioare de pe partea din stacircnga din (22) rezultă componentele torsorului forțelor

interioare care acționează icircn secțiunea Ad sunt egale și de sens contrar cu componentele

torsorului de reducere al forțelor exterioare de pe partea din dreapta

Observații

1 Torsorul forțelor interioare diferă de la o secțiune la alta dar pentru aceeași

secțiune el este unic și trebuie să respecte condițiile de compatibilitate a deformațiilor

2 Reducacircnd forțele interioare icircn centrul de greutate al secțiunii s-a făcut o

aproximare icircn ceea ce privește efectul modului de dispunere al forțelor

3 Punctul de reducere trebuie să fie

pentru forțele interioare normale la secțiune centrul de greutate

pentru forțele interioare tangente la planul secțiunii centrul de răsucire sau de

tăiere

243 Eforturi

Prin metoda secțiunilor am pus icircn evidență existența forțelor interioare și modul

icircn care se determină componentele torsorului de reducere al forțelor interioare (119894119889 119894119889) de pe fața din dreapta secțiunii (Ad) Cele două componente ale torsorului de reducere al

forțelor interioare de pe Ad se pot descompune după axele unui sistem de referință

triortogonal xCyz astfel

119894119889 = +

119894119889 = 119909 +119872119894 (24)

unde și 119909 sunt proiecțiile lui 119894119889 și respectiv 119894119889 pe axa longitudinală Cx a

barei iar și 119894 sunt proiecțiile acelorași componente 119894119889 și respectiv 119894119889 pe planul yCz

al secțiunii transversale Ad figura 211

Fig 211 Torsorul de reducere al forţelor interioare

La racircndul lor și 119894 se pot descompune după axele sistemului yCz figura 212

= 119910 + 119911

119894 = 119894119910 + 119894119911 (25)

Fig 212 Descompunerea forţei tăietoare şi a momentului icircncovoietor

Cele șase componente ale torsorului de reducere al forțelor interioare ( 119910 119911

119909 119894119910 119894119911) orientate după axele sistemului de referință xCyz se numesc eforturi

Fiecare efort are o denumire stabilită icircn funcție de tipul de deformație pe care-l produce

De asemenea semnul plus (bdquo+rdquo) sau minus (bdquondashrdquo) al fiecărui efort nu depinde de sensul

pozitiv sau negativ al sistemului de axe ci doar de efectul icircn deformații al fiecărui efort

Denumirile celor șase eforturi sunt

119873 este forța axială

119879119910 119879119911 sunt forțe tăietoare orientate după axele Cy și respectiv Cz

119872119909 notat de cele mai multe ori cu 119872119905 este moment de torsiune sau de răsucire

119872119894119911 119872119894119910 sunt momente de icircncovoiere icircn jurul axei Cz și respectiv Cy

Forța axială 119873 poate fi forță axială de icircntindere cacircnd produce o lungire a

tronsonului pe a cărei față acționează (119873 gt 0) figura 213a sau forță axială de

compresiune cacircnd sub efectul ei bara se scurtează (119873 lt 0) figura 213b

Fig 213 Forța axială

Forțele tăietoare 119879119910 și 119879119911 au ca efect lunecarea secțiunii icircn centrul căreia

acționează icircn raport cu secțiunea icircnvecinată lunecare ce se produce pe direcția și icircn sensul

forței Sub acțiunea unei forțe tăietoare bara este solicitată la forfecare Forța tăietoare

este pozitivă 119879119910 gt 0 dacă icircn raport cu un punct oarecare K de pe axa Cx a barei tinde să

rotească secțiunea pe care acționează icircn sens orar

Fig 214 Forța tăietoare

Momentele de icircncovoiere 119872119894119911 și 119872119894119910 au ca efect o rotire a secțiunii icircn centrul

cărora acționează icircn jurul axei după care sunt orientate Icircn figura 215a se vede că

datorită momentului 119872119894119911 fibrele de deasupra axei Cz se alungesc icircn timp ce fibrele de sub

axa Cz se scurtează Fibrele care trec prin axa de icircncovoiere Cz nu se deformează sunt

fibre neutre la icircncovoiere adică axa neutră este Cz Icircn cazul momentului de icircncovoiere

119872119894119910 fibrele care nu se deformează sunt cele care trec prin axa neutră la icircncovoiere Cy

Momentele de icircncovoiere se consideră a fi pozitive (119872119894119911 gt 0119872119894119910 gt 0) dacă

observatorul care privește bara deformată vizualizează fibrele icircntinse

Fig 215 Momentul icircncovoietor

Momentul de torsiune sau de răsucire 119872119909 equiv 119872119905 are ca efect o rotire a secțiunii

icircn al cărei centru acționează icircn jurul axei longitudinale Cx Ca efect secțiunea icircși schimbă

forma (se deformează) adică unghiurile inițiale se modifică dreptunghiul inițial Ad

devine paralelogram Convențional se consideră 119872119905 gt 0 dacă vectorul moment are

aceeași orientare ca și sensul pozitiv ales pextru axa Cx Icircn figura 216 momentul este

negativ

Fig 216 Momentul de torsiune

25 Definiții și convenții de semne pentru eforturile

din secțiunile unei bare drepte plane icircncărcate cu sarcini coplanare

Vom considera o bară plană icircncărcată cu un sistem de forțe arbitrar figura 217

Ne propunem să determinăm eforturile care apar icircn secțiunea barei aflată la distanța 119909 de

reazemul din stacircnga (A)

Pentru aceasta vom aplica metoda secțiunilor vom secționa bara cu un plan

perpendicular pe axa longitudinală a barei și vom analiza doar partea din dreapta secțiunii

mărginită de fața Ad Pentru ca această porțiune de bară să fie icircn echilibru sub acțiunea

forțelor exterioare care acționează asupra sa 1198653 și 119881119861 va trebui să introducem icircn centrul

secțiunii Ad eforturile care pot să apară 119873 119879119910 119872119894119911 Acțiunea acestor eforturi trebuie să

fie echivalentă cu acțiunea forțelor exterioare aplicate pe partea icircnlăturată (parcursă) a

barei 119867119860 119881119860 1198651 1198652 1198720

Deoarece bara este plană și este icircncărcată doar cu sarcini ce aparțin

planului barei

icircn secțiunea Ad apar doar 3 componente ale torsorului de reducere al forțelor

interioare (eforturi)

- 119873 = forța axială

- 119879119910 = forța tăietoare pe care o vom nota cu 119879

- 119872119894119911 = momentul icircncovoietor notat cu Mi

Fig 217 Bară plană icircncărcată cu un sistem de forțe

Vom prezenta următoarele definiții corespunzătoare eforturilor din secțiunea Ad

119873 = forța axială dintr-o secțiune este egală cu suma algebrică a proiecțiilor pe

axa longitudinală a tuturor forțelor exterioare (sarcini și reacțiuni) aplicate pe partea

din stacircnga secțiunii adică pe porțiunea parcursă Forța axială 119873 este pozitivă dacă trage

de tronsonul pe a cărei față acționează (are orientarea normalei exterioare la secțiunea

Ad)

119873(119909) = minus119867119860 + 1198651119867 (26)

119879 = forța tăietoare icircntr-o secțiune este egală cu suma algebrică a proiecțiilor

pe o axă perpendiculară pe axa barei a tuturor forțelor exterioare (sarcini și reacțiuni)

aplicate pe porțiunea de bară aflată icircn stacircnga secțiunii considerate Forța tăietoare 119879

este pozitivă dacă tinde să rotească tronsonul pe a cărui față acționează icircn sens orar icircn

raport cu un punct de pe axa barei aflat la dreapta secțiunii

119879(119909) = 119881119860 minus 1198651119881 minus 1198652 (27)

119872119894 = momentul icircncovoietor icircntr-o secțiune este egal cu suma algebrică a

momentelor obținute prin reducerea tuturor forțelor exterioare ( cupluri sarcini

reacțiuni) aplicate pe porțiunea de bară aflată la stacircnga secțiunii icircn centrul secțiunii

considerate 119872119894 este considerat pozitiv dacă tinde să deformeze bara astfel icircncacirct fibrele

spre care privește un observator să fie icircntinse Cum poziția observatorului este de regulă

sub bară bara se deformează dacă 119872119894 gt 0 astfel icircncacirct partea jos a barei este icircntinsă Se

spune că bara deformată rdquoține apaldquo

119872119894(119909) = 119881119860 ∙ 119909 minus 1198651119881 ∙ (119909 minus 1198971) minus 1198652 ∙ [119909 minus (1198971 + 1198972)] + 1198720 (28)

Sensurile pozitive ale eforturilor care apar icircn centrul secțiunii Ad (deci atunci cacircnd

sensul de parcurs la aplicarea metodei secțiunilor este cel de la stacircnga la dreapta) sunt

indicate icircn figura 218a iar dacă sensul de parcurs este de la dreapta la stacircnga sensurile

pozitive ale eforturilor sunt indicate icircn figura 218b

Fig 218 Convenţia de semne

Definiții asemănătoare se pot da și pentru eforturile din centrul secțiunii As figura

218b adică pentru cazul icircn care sensul de parcurs este cel de la dreapta la stacircnga și deci

partea luată icircn considerare este cea din stacircnga iar partea parcursă din dreapta secțiunii

este icircnlăturată

119873(1199091) = 1198653119867

119879(1199091) = 1198653119881 minus 119881119861

119872119894(1199091) = 119881119861 ∙ 1199091 minus 1198653119881 ∙ (1199091 minus 1198975)

(29)

Avacircnd icircn vedere că fețele Ad și As aparțin aceleeași secțiuni este evident faptul că

eforturile 119873(119909) 119879(119909) și 119872119894(119909) sunt identice cu eforturile 119873(119961120783) 119879(119961120783) și respectiv

119872119894(119961120783) Icircn figura 218c se prezintă o sinteză a convențiilor de semne pozitive pentru cele

3 eforturi atacirct pentru sensul de parcurs de la stacircnga la dreapta (secțiunea Ad) cacirct și pentru

sensul invers (secțiunea As)

Semnele eforturilor sunt importante icircntrucacirct există materiale cu comportări diferite

la icircntindere față de compresiune iar o schimbare a semnului unui efort poate produce

erori grave icircn calcule Semnele eforturilor au fost stabilite icircn funcție de deformațiile

produse și nu depind de sensul axelor sistemului de coordonate

26 Relaţii diferenţiale icircntre eforturi şi sarcini

Pentru a vedea ce legătură există icircntre eforturi și sarcini vom considera o bară

dreaptă icircncărcată cu o sarcină distribuită după o lege oarecare figura 219a Din această

bară vom decupa prin dublă secționare un element de lungime infinit mică 119889119909 Deoarece

lungimea 119889119909 este foarte mică se poate considera sarcina 119901 uniform distribuită Icircn

secțiunile rezultate trebuie să introducem eforturile care pot apărea

- 119879 şi 119872119894 icircn centrul secțiunii din sticircnga eforturi pe care le considerăm pozitive

- 119879 + 119889119879 şi 119872119894 + 119889119872119894 icircn centrul secțiunii din dreapta elementului

Aceste eforturi au o variație mică (119889119879 şi 119889119872119894) față de secțiunea anterioară Spre

deosebire de cazul icircn care bara este secționată o singură dată icircn acest caz eforturile nu

pot fi determinate din cele 2 condiții de echilibru independente deoarece icircn ecuațiile de

echilibru apar 4 necunoscute 119879 119889119879119872119894 și 119889119872119894 deci că problema este dublu static

nedeterminată figura 219

Fig 219 Echivalența icircntre eforturi și sarcini

Ecuațiile de echilibru scrise pentru elementul din figura 219b conduc la stabilirea

unor relaţii foarte importante

(sum119865)119910= 0 hArr 119879 minus 119901 ∙ 119889119909 minus (119879 + 119889119879) = 0 rArr

119889119879

119889119909= minus119901 (210)

Relația (210) arată că derivata funcţiei forţei tăietoare icircn raport cu abscisa

secţiunii este egală cu sarcina distribuită normală la axa barei din acea secţiune luată

cu semn schimbat

Observații

dacă 119901 = 0 nu există sarcină distribuită atunci forța tăietoare T este constantă

icircnclinarea pantei diagramei forței 119879 este egală cu (ndash 119901) (sarcina distribuită cu

semn schimbat)

dacă 119901 = 119888119900119899119904119905 119879 variază liniar pe acel interval

Asemănător se deduce că derivata funcţiei forţei axiale icircn raport cu abscisa

secţiunii este egală cu sarcina distribuită axială din acea secţiune luată cu semn

schimbat adică

119889119873

119889119909= minus119901119867 (211)

Din condiția de echilibru suma de momente faţă de centrul de greutate al secţiunii

din dreapta

(sum119872)119862= 0 hArr 119872119894 minus (119872 + 119889119872119894) + 119879 ∙ 119889119909 minus 119901 ∙

(119889119909)2

2= 0 rArr

119889119872119894

119889119909= 119879 (212)

Relația (212) s-a obținut dupa reducerea termenilor și prin neglijarea infinitului

mic de ordinul 2

119901 ∙(119889119909)2

2

Relația (212) arată că derivata funcţiei moment icircncovoietor icircn raport cu abscisa

secţiunii este egală cu forţa tăietoare din acea secţiune

Observații

dacă 119879 = 0 momentul 119872119894 are un punct de extrem se obține o valoare maximă

pentru 119872119894119898119886119909 dacă forța tăietoare 119879 se anulează trecacircnd de la plus icircn stacircnga la minus icircn

dreapta secțiunii

dacă forța tăietoare este pozitivă pe un interval 119879 gt 0 atunci 119872119894 este crescătoare

pe acel interval

dacă forța tăietoare este negativă pe un interval 119879 lt 0 atunci 119872119894 este

descrescătoare pe acel interval

dacă pe un interval 119901 = 0 forța tăietoare este constantă 119879 = 119888119905 iar 119872119894 variază

liniar pe acel interval

dacă 119901 = 119888119900119899119904119905 119879 variază liniar pe acel interval iar 119872119894 variază parabolic pe

acel interval

Relaţiile diferenţiale sunt utile la reprezentarea corectă şi verificarea diagramelor

de eforturi astfel

pentru porţiunile de grindă pe care p = 0 eforturile N şi T sunt constante iar pe

porţiunile cu p = const eforturile N şi T variază liniar (relaţiile 211 şi 210)

dacă pe o porţiune T = const momentul icircncovoietor Miz variază liniar iar dacă

T variază liniar atunci momentul Miz variază parabolic (relaţia 212)

pe domeniile pe care T gt 0 funcţia Mi(x) este crescătoare iar icircn secţiunea icircn

care T = 0 (graficul funcţiei T intersectează axa x) momentul icircncovoietor are un punct

de extrem local (maxim sau minim relaţia 212)

Pentru rezolvarea problemelor referitoare la trasarea diagramelor de eforturi

pentru barele drepte solicitate de sisteme de forţe plane se parcurg următoarele etape

1) identificarea forţelor aplicate (date) şi pregătirea lor pentru calcule

(descompunerea forţelor concentrate pe direcţiile x şi y calculul rezultantelor forţelor

distribuite)

2) identificarea reazemelor şi introducerea reacţiunilor corespunzătoare (vezi

figurile 27divide29)

3) stabilirea ecuaţiilor de echilibru static calculul şi verificarea reacţiunilor Icircn

rezistența materialelor se folosește sistemul de ecuații (vezi figura 217)

(sum119865)

119909= 0

(sum119872)119860= 0

(sum119872)119861= 0

(213)

4) identificarea domeniilor de variaţie şi scrierea funcţiilor de eforturi pentru N T

şi Mi

5) reprezentarea grafică a diagramelor de eforturi

6) verificarea corectitudinii diagramelor pe baza relaţiilor diferenţiale icircntre eforturi

şi sarcini

Aplicație Pentru grinda dreaptă icircncărcată cu sistemul de forţe reprezentat icircn figura

220 se cere

a) să se calculeze şi să se verifice reacţiunile

b) să se stabilească funcţiile eforturilor Nx Ty şi Miz şi să se reprezinte diagramele

de variaţie

c) să se analizeze relaţiile diferenţiale icircntre eforturi şi sarcini

Dimensiunile grinzii au valorile a = 6 [m] b = 4 [m] și c = 4[m] sistemul de

forţe aplicat fiind format din p = 10 [kN mfrasl ] F = 20 [kN] (icircnclinată cu unghiul α =300 faţă de orizontală) şi M0 = 40 [kN ∙ m]

Rezolvare

a) Se fac următoarele precizări

grinda dreaptă se reprezintă prin axa geometrică

forţa icircnclinată F se descompune după direcţiile orizontală şi verticală icircn FV =F ∙ sin α = 10 [kN] şi FH = F ∙ cos α = 173 [kN]

forţa distribuită uniform p este echivalentă din punct de vedere static cu

rezultanta sa R = p ∙ a = 60 [kN] care acţionează la jumătatea porţiunii de lungime a

icircn reazemele 119860 şi 119861 se introduc componentele HA şi VA respectiv VB ale

reacţiunilor

Pentru calculul reacţiunilor se utilizează ecuaţiile de echilibru static al grinzii

sumXi = 0 HA minus FH = 0 sumYi = 0 VA + VB minus R minus FV = 0 (sumM)B = 0 VA ∙ (b + a) minus R ∙ (b + 05 ∙ a) minus M0 + FV ∙ c = 0

(A1)

Din prima ecuaţie se obţine HA iar din cea de-a treia ecuaţie rezultă VA

HA = FH = 173 [kN]

VA =[R ∙ (b + 05 ∙ a) + M0 minus FV ∙ c]

(b + a)=[60 ∙ (4 + 05 ∙ 6) + 40 minus 10 ∙ 4]

(4 + 6)

VA = 42 [kN]

(A2)

Fig 220 Aplicație

Se observă că cea de-a doua ecuaţie de echilibru conţine două necunoscute

reacţiunile VA şi VB Pentru a calcula componenta VB nu este indicată introducerea lui VA

icircn cea de-a doua ecuaţie a sistemului (A1) pentru că o valoare determinată greşit pentru

VA conduce la o valoare VB de asemenea greşită O ecuaţie independentă din care se poate

determina componenta VB este următoarea

(sumM)A= 0 FV ∙ (a + b + c) minus VB ∙ (a + b) minus M0 + R ∙ 05 ∙ a = 0 (A3)

de unde se obţine

VB =[FV ∙ (a + b + c) minusM0 + R ∙ 05 ∙ a]

(b + a)=[10 ∙ (6 + 4 + 4) minus 40 + 60 ∙ 05 ∙ 6]

(6 + 4)

VB = 28 [kN] (A4)

Ecuaţia de proiecţii ale forţelor pe direcţia verticală (a doua ecuaţie din sistemul

A1) se utilizează pentru verificarea reacţiunilor deja determinate

VA + VB minus R minus FV = 0 rArr 42 + 28 minus 60 minus 10 = 0 (A5)

Ultima egalitate demonstrează că reacţiunile verticale au fost calculate corect

Din cele de mai sus rezultă ordinea firească pentru determinarea reacţiunilor icircn

cazul grinzilor simplu rezemate

sumXi = 0

(sumM)A = 0

(sumM)B = 0

(A6)

iar pentru verificarea componentelor verticale VA şi VB se folosește ecuaţia sumY = 0

b) La stabilirea funcţiilor de eforturi se parcurg icircn general etapele următoare

se notează (numeric sau literal după preferinţă) secţiunile care delimitează

domeniile (intervalele sau tronsoanele) pe care eforturile nu-şi modifică funcţiile (au legi

unice de variaţie)

pe fiecare domeniu se marchează secţiunea imaginară icircn care se stabilesc

funcţiile eforturilor

secţiunea astfel aleasă separă icircn două părţi grinda şi anume porţiunea din stacircnga

şi porţiunea din dreapta secţiunii

se va considera parcursă (şi icircndepărtată) acea parte pe care acţionează mai puţine

sarcini exterioare pentru că acestea vor interveni icircn expresiile funcţiilor de eforturi

poziţiile secţiunilor imaginare se vor determina prin variabilele x1 ⋯ xn (unde

n reprezintă numărul domeniilor de variaţie) cu originea fixată icircn capătul intervalului şi

sensul de parcurgere spre partea considerată rămasă

Grinda prezentată icircn figura 220 are trei domenii de variaţie pentru funcţiile de

eforturi după cum urmează (A-1) (2-B) şi (B-1)

Domeniul (A-1) x1 isin [0 a = 6 m] Porţiunea parcursă şi considerată icircndepărtată este cea de coordonată x1 pe care

acţionează reacţiunile HA şi VA precum şi rezultanta parţială a sarcinii distribuite R1 =p ∙ x1

Funcţia forţă axială Nx are expresia

Nx(x1) = NAminus1 = minusHA = minus173 [kN] = const

(A7)

Funcţia forţă tăietoare Ty are exspresia

Ty(x1) = TAminus1 = VA minus R1 = VA minus p ∙ x1 (A8)

care reprezintă o variaţie liniară de variabilă x1 Se calculează valorile forţei tăietoare la

limitele intervalului de variaţie

- pentru x1 = 0 Ty(x1 = 0) = TA = VA = 42 [kN]

- pentru x1 = a = 6 [m] Ty(x1 = 6) = T1 = VA minus p ∙ a = minus18 [kN]

Observaţie Aşa cum a fost stabilită secţiunea fictivă poziţionată prin coordonata

x1 sar părea că rezultanta R ar trebui luată icircn calculul lui Ty(x1) Acest lucru ar fi greşit

pentru că R = p ∙ a reprezintă rezultanta sarcinii distribuite pe toată lungimea a iar

rezultanta pe porţiunea parcursă de lungime x1 este R1 = p ∙ x1 ne R = p ∙ a

Cu valorile obţinute se trasează diagramele forţelor axială Nx = f(x) şi tăietoare

Ty = f(x) figura 220 Din diagrama forţei tăietoare şi din valorile obţinute analitic se

observă că forţa tăietoare icircşi schimbă semnul pe intervalul analizat deci se anulează pe

acest interval Poziţia secţiunii unde Ty se anulează se determină din ecuaţia

Ty(x1) = 0 rArr VA minus p ∙ x1 = 0 (A9)

cu soluţia x1lowast = ξ = 42 [m] Important de reamintit că icircn această secţiune momentul

icircncovoietor va avea un extrem local adică Miz are un extrem la Ty = 0

Funcţia moment icircncovoietor Miz are expresia

Miz(x1) = VA ∙ x1 minus R1 ∙x12= VA ∙ x1 minus (p ∙ x1) ∙

x12

(A10)

Se observă că funcţia moment icircncovoietor de variabilă x1 are o variaţie parabolică

(gradul al II-lea) Pentru reprezentarea grafică a funcţiei parabolice se calculează valorile

momentului icircncovoietor icircn trei secţiuni

- pentru x1 = 0 Miz(x1 = 0) = MA = 0 [kN ∙ m] - pentru x1 = a = 6 [m] Miz(x1 = 6) = M1 = 72 [kN ∙ m] - pentru x1

lowast = ξ = 42 [m] Miz(x1lowast = ξ = 42 [m]) = Mimax = 882 [kN ∙ m]

Cu acestea se trasează diagrama Miz = f(x) pe intervalul (A-1) figura 220

Observaţie Icircn unele cazuri pe un anumit interval forţa tăietoare nu se anulează

şi momentul icircncovoietor nu are un extrem local Icircn acest caz pentru reprezentarea

variaţiei parabolice a momentului icircncovoietor se va studia semnul derivatei a doua a

funcţiei Miz = f(x1) acesta determinacircnd convexitatea curbei momentului icircncovoietor

Domeniul (2-B) x2 isin [0 c = 4 m] Porţiunile din grindă libere (nerezemate) la un capăt se numesc console iar

stabilirea funcţiilor de eforturi devine mai simplă dacă se consideră icircndepărtată partea din

dreapta secţiunii prin schimbarea sensului pozitiv al axei x Astfel se obţin funcţiile eforturilor

Funcţia forţă axială Nx are expresia

Nx(x2) = N2minusB = minusFH = minus173 [kN] = const

(A11)

Funcţia forţă tăietoare Ty are exspresia

Ty(x2) = T2minusB = FV = 10 [kN] = const (A12)

Funcţia moment icircncovoietor Miz are expresia

Miz(x2) = minusFV ∙ x2 rArr Miz(x2 = 0) = M2 = 0 [kN ∙ m]

Miz(x2 = 4) = MB = minus40 [kN ∙ m] (A13)

variaţie liniară (gradul I)

Domeniul (B-1) x3 isin [0 b = 4 m] Pe acest domeniu se acceptă parcurgerea grinzii de la dreapta adică se consideră

icircndepărtată partea din dreapta secţiunii fictive pentru că are doar două sarcini aplicate F

şi VB faţă de partea din stacircnga secţiunii pe care sunt aplicate trei sarcini p VA şi M0

Astfel se obţin funcţiile eforturilor

Funcţia forţă axială Nx are expresia

Nx(x3) = NBminus1 = minusFH = minus173 [kN] = const

(A14)

Funcţia forţă tăietoare Ty are exspresia

Ty(x3) = TBminus1 = FV minus VB = minus18 [kN] = const (A15)

Funcţia moment icircncovoietor Miz are expresia

Miz(x3) = minusFV ∙ (x3 + c) + VB ∙ x3 rArr

rArr Miz(x3 = 0) = MB = minus40 [kN ∙ m]

Miz(x3 = 4) = M1 = 32 [kN ∙ m]

(A16)

variaţie liniară (gradul I)

Diagramele eforturilor sunt prezentate icircn figura 220

c) Relaţiile diferenţiale dintre eforturi şi sarcini se analizează pe diagramele

eforturilor după cum urmează

sarcina distribuită nu are componentă orizontală adică ph = 0 şi icircn

conformitate cu formula (211) rezultă că Nx = const pe toată lungimea grinzii fapt care

a rezultat din funcţia şi reprezentarea diagramei forţei axiale

pe intervalul (A-1) sarcina distribuită are doar componenta verticală pozitivă

pV = p gt 0 prin urmare forţa tăietoare scade (are panta negativă dTy 119889119909frasl = minusp vezi

relaţia 210) iar momentul icircncovoietor avacircnd derivata a doua negativă d2M119894119911 1198891199092frasl =minuspare convexitatea curbei orientată spre sensul pozitiv al axei momentului Miz adică icircn

jos

pe domeniile (2-B) şi (B-1) deoarece pv = 0 forţa tăietoare Ty este constantă

iar momentul icircncovoietor Miz variază liniar

referitor la relaţia (212) pe porţiunile unde Ty gt 0 momentul Miz este

monoton crescător pe porţiunile unde Ty lt 0 momentul Miz este monoton descrescător

iar icircn secţiunea icircn care Ty = 0 momentul icircncovoietor are un extrem local Mξ =

882 [kN ∙ m] icircn diagrama forţei tăietoare discontinuităţile (salturile) se produc icircn secţiunile

unde acţionează VA VB şi FV iar icircn diagrama momentului icircncovoietor se produce un

singur salt icircn secţiunea icircn care este aplicat M0

se poate scrie

Mξ = suprafața diagramei Ty |ξ0=1

2∙ 42 ∙ 42 = 882 [kN ∙ m]

sau parcurgacircnd grinda de la dreapta la stacircnga rezultă

MB = minussuprafața diagramei Ty |c0= minus10 ∙ 4 = minus40 [kN ∙ m]

Toate aspectele analizate teoretic referitoare la relaţiile diferenţiale dintre eforturi

şi sarcini se regăsesc icircn diagramele de eforturi din figura 220 ceea ce icircnseamnă că

diagramele au fost reprezentate corect

3 TENSIUNI DEPLASĂRI ŞI DEFORMAŢII SPECIFICE

31 Tensiuni

Eforturile obținute icircn urma reducerii forțelor interioare icircn centrul de greutate al

secțiunii nu pot da informații asupra solicitării fiecărui punct al secțiunii respective Este

necesar să se cunoască modul cum se distribuie forțele interioare icircn fiecare punct al

secțiunii pentru a ști care este intensitatea maximă a solicitării Această intensitate

maximă se poate compara cu o valoare critică specifică materialului stabilindu-se astfel

dacă solicitarea este periculoasă sau nu

Mărimea care caracterizează solicitarea locală punctuală o vom denumi tensiune

și o vom defini icircn cele ce urmează Să considerăm partea din dreapta a unui corp solicitat

de forțele exterioare 1198651 1198652 și 1198653 obținută prin secționarea corpului și mărginită de fața

din dreapta Ad a secțiunii Pe secțiunea Ad vom considera un element de arie infinit mic

∆119860 caracterizat de normala la elementul de arie normală care are cosinușii directori

120573 și icircn raport cu un sistem de axe considerat fix Pe elementul infinit mic ∆119860 acționează

forțele interioare care au o rezultantă oarecare figura 31

Prin definiție tensiunea totală este

= lim∆119860rarr0

∆

∆119860 (31)

Tensiunea are aceeaşi direcţie cu forţa elementară ∆ iar mărimea ei este

determinată atacirct de mărimea forţei ∆ cacirct şi de orientarea suprafeţei ∆119860 faţă de direcţia

forţei

Tensiunea 119901 poate fi descompusă icircntr-o componentă orientată după direcţia

normalei la secţiune tensiunea normală notată cu 120590119909 şi o componentă icircn planul secţiunii

tensiunea tangenţială notată cu figura 32

= 119909 + 120591 (32)

Fig 31 Tensiunea totală Fig 32 Tensiunea normală și tangențială

La racircndul ei componenta tensiunii cuprinsă icircn planul secțiunii poate fi

descompusă după direcțiile axelor y și z

120591 = 120591119909119910 + 120591119909119911 (33)

Icircntre cele trei componente ale tensiunii totale care acționează pe elementul de arie

∆119860 este valabilă relația

1199012 = 1205901199092 + 120591119909119910

2 + 1205911199091199112 (34)

După sensul pe care icircl are tensiunea normală 120590 poate avea efect de tracţiune sau

de compresiune exercitat de către partea de corp icircnlăturată asupra părţii rămase Analog

tensiunea tangenţială 120591 poate avea efect de tăiere forfecare sau alunecare Pentru

componentele tensiunii tangențiale 120591119909119910 pe direcţia 119910 respectiv 120591119909119911 pe direcţia 119911 primul

indice indică axa pe care tensiunea este normală iar cel de-al doilea indice indică axa cu

care aceasta este paralel

Tensiunea este o mărime tensorială valoarea ei depinzacircnd atacirct de poziția

punctului icircn planul secțiunii cicirct și de orientarea planului de secționare deci de normala

Operaţiile vectoriale nu pot fi aplicate tensiunilor decacirct după ce acestea au fost icircnmulţite

cu ariile respective adică au fost transformate icircn forţe

Icircn literatura de specialitate mai ales icircn manualele mai vechi pentru noţiunea de

tensiune se mai foloseşte şi denumirea de efort specific

Dacă se consideră un alt element de arie ∆119860 cu centrul icircn același punct avacircnd ca

normală axa 119910 se vor obține alte tensiuni și anume

- 120590119910 este tensiunea normală (paralelă cu axa y)

- 120591119911119909 și 120591119910119911 sunt tensiuni tangențiale paralele cu axele 119909 și respectiv 119911 aflate icircn

planul care are ca normală axa 119910

Dacă icircn jurul unui punct dintr-un corp solicitat se consider un element de volum

infinit mic de forma unui cub icircn cazul cel mai general pe fețele sale vor acționa

tensiunile normale 120590119909 120590119910 și 120590119911 și respectiv tensiunile tangențiale 120591119909119910 120591119909119911 120591119910119909 120591119910119911 120591119911119909

și respectiv 120591119911119910 figura 33 Aceste tensiuni definesc starea de tensiune a punctului

observacircnd faptul că tensorul tensiune are 9 componente Dacă se consideră elementul

de volum finit ca fiind foarte mic se poate presupune că icircn interiorul său nu apar forțe

Ca urmare el va fi icircn echilibru sub acțiunea forțelor elementare produse de tensiunile de

pe fețele sale

Din condiția ca elementul să nu se rotească icircn jurul unor axe care trec prin centrul

său și sunt paralele cu axele sistemului 119909119874119910119911 rezultă

2 ∙ 120591119909119910 ∙ (119889119910 ∙ 119889119911) ∙119889119909

2= 2 ∙ 120591119910119909 ∙ (119889119909 ∙ 119889119911) ∙

119889119910

2 rArr 120591119909119910 = 120591119910119909 (35)

2 ∙ 120591119910119911 ∙ (119889119909 ∙ 119889119911) ∙119889119910

2= 2 ∙ 120591119911119910 ∙ (119889119909 ∙ 119889119910) ∙

119889119911

2 rArr 120591119910119911 = 120591119911119910 (36)

2 ∙ 120591119909119911 ∙ (119889119910 ∙ 119889119911) ∙119889119909

2= 2 ∙ 120591119911119909 ∙ (119889119909 ∙ 119889119910) ∙

119889119911

2 rArr 120591119909119911 = 120591119911119909 (37)

Relațiile (35divide37) 120591119909119910 = 120591119910119909 120591119910119911 = 120591119911119910 120591119909119911 = 120591119911119909 exprimă principiul dualității

tensiunilor tangențiale

Fig 33 Tensiunile normale și tangențiale pe fețele unui cub

Din condiția ca elementul considerat să nu se deplaseze icircn lungul axelor de

coordonate pe fețele opuse acționează aceleași tensiuni normale 120590119909 120590119910 și respectiv 120590119911

Definirea tensorului tensiune este posibilă dacă se cunosc cele 6 componente

independente ale acestuia aflate icircn trei plane perpendicular ce trec prin punctul respectiv

=

120590119909 120591119909119910 120591119909119911120591119910119909 120590119910 120591119910119911120591119911119909 120591119911119910 120590119911

Observaţii

Tensiunile se măsoară icircn [119873 1198982frasl ] (1119873 1198982frasl = 1 119875119886) sau icircn [119872119875119886]

(1 119872119875119886 = 106119875119886 = 106 119873

1198982 1 119872119875119886 = 1

119873

1198981198982)

Starea de tensiune dintr-un punct este considerată cunoscută dacă se cunosc

tensiunile 119901 care acționează pe infinitatea de elemente de suprafață ce trec prin punctual

considerat

Starea de tensiune a unui corp se consider cunoscută dacă se cunosc stările de

tensiune de pe infinitatea de puncte ale corpului considerat

32 Deplasări Deformaţii specifice

321 Deplasări

Aceste noțiuni sunt utile icircn analiza aspectului geometric al problemelor de rezistența

materialelor Deplasările care se analizează sunt cele datorate schimbării formei și

dimensiunilor corpurilor ca urmare a acțiunii forțelor exterioare și nu cele cinematice

posibile pentru solidul rigid care se poate deplasa cu anumită viteză și accelerație

Spre exemplu icircn figura 34a și figura 34b sub acțiunea forței 119865 tronsonul de

bară AB se deformează icircn timp ce tronsonul BC deși punctele sale au deplasări rămacircne

nedeformat (fiind nesolicitat) Toate punctele de pe axele barelor cu excepția celor din

icircncastrare (secțiunile A) au deplasări liniare De cele mai multe ori deformațiile barelor

datorate acțiunii forțelor exterioare se anulează la icircndepărtarea forțelor se spune că

deformațiile sunt elastice Secțiunile transversale ale barei din figura 34a se și rotesc icircn

raport cu pozițiile lor inițiale Spre exemplu secțiunea de căpăt cu centrul icircn C se rotește

cu unghiul

Fig 34 Deformațiile unei grinzi

Oricacirct de complexă ar fi delormația unui corp ea poate fi descrisă de lungiri sau

scurtări și de modificări ale unghiurilor inițiale

Deplasările măsoară schimbarea poziției unui punct al corpului și pot fi liniare

sau unghiulare

Prin deplasare liniară a unui punct se icircnțelege drumul parcurs de acest punct icircn

decursul procesului de deformație după o dreaptă suport dreapta 1198611198611 din figura 34a

Prin deplasare unghiulară se icircnțelege rotirea dintre segmentele de dreaptă

determinate de două puncte ale corpului icircnainte și după deformarea acestuia unghiul

pe care-l fac segmentele 119861119862 și 11986111198621 din figura 34a Această rotire se măsoară prin

unghiul pe care-l fac proiecțiile dreptelor ce conțin cele două segmente icircntr-un sistem

triortogonal

Icircn cazul cel mai general vectorul deplasare liniară se poate descompune icircntr-un

sistem triortogonal icircn trei componente 119906 119907 și 119908 figura 35

Fig 35 Deplasarea liniară

Se consideră acum un corp solid raportat la un sistem de axe ortogonal 119909119874119910119911

figura 35 după deformarea corpului un punct oarecare 119870 al acestuia se deplasează icircn

poziţia 1198701 vectorul 1198701198701 poartă numele de vectorul deplasării totale

Deplasarea totală este suma deplasărilor pe cele trei direcţii ortogonale iar

aceste deplasări se notează astfel

deplasarea pe direcţia 119909 cu ∥ 119874119909

deplasarea pe direcţia 119910 cu ∥ 119874119910

deplasarea pe direcţia 119911 cu ∥ 119874119911

Componentele deplasărilor și formeză matricea deplasărilor liniare 119906119907119908

322 Deformații

Prin deformație icircn general se icircnțelege orice schimbare de formă a unui corp fără

o evaluare cantitativă Icircn Rezistența Materialelor deformația măsoară variația

dimensiunilor geometrice ale corpului considerat din vecinătatea unui punct analog

deplasărilor deformațiile pot fi liniare și unghiulare (lunecări)

Fig 36 Deplasarea liniară

Deformația liniară ∆119897 reprezintă variația lungimii 119897 a unui element liniar al

corpului deformat figura 36 Deformația liniară specifică se definește ca fiind raportul

dintre deformația liniară și lungimea inițială

휀 =∆119897

119897 (38)

unde ∆119897 este lungirea sau scurtarea care este echivalentă cu deformția liniară totală iar

este alungirea

Deformația unghiulară sau lunecarea unui punct 119860 icircn planul 119861119860119862 se definește

prin relația figura 37

120574 = lim119861119860rarr0119862119860rarr0

(119861119860 minus 119861111986011198621 ) (39)

Fig 36 Deformația unghiulară

Schimbacircnd orientarea planului care trece prin 119860 se obțin alte deformații

unghiulare Dacă elementele liniare 119861119860 și 119862119860 sunt inițial perpendiculare deformația 120574 se

numește deformație unghiulară specifică sau lunecare specifică figura 37

Un exemplu de deplasare unghiulară și de deformație unghiulară este prezentat icircn

figura 38 Unghiul este deplasarea unghiulară și măsoară rotirea relativă dintre două

secțiuni aflate la distanța 119897 Unghiul este deformația specifică unghiulară (lunecarea

specifică) din punctul 119870 Aceste deplasări și deformații se obțin icircn urma solicitării barei

de către cele două momente 1198720 egale și de sens contrar

Fig 38 Deplasarea unghiulară

Pentru a analiza starea de deformație din vecinătatea unui punct al unui corp

solicitat complex se decupează din jurul punctului un element de volum mic figura 39a

avacircnd laturile 119889119909 119889119910 și 119889119911 Ca urmare a solicitării laturile acestuia se vor lungi sau

scurta Reprezentarea elementului deformat icircn spațiu este dificilă pentru simplificare

vom analiza doar deformațiile din planul 119909119874119910 Observăm că dimensiunile 119889119909 și 119889119910 s-au

modificat cu valoarea ∆119889119909 respectiv cu ∆119889119910 analog se acceptă și pentru 119889119911 o modificare

de forma ∆119889119911 Astfel se pot defini deformațiile specifice liniare

휀119909 =∆119889119909

119889119909 휀119910 =

∆119889119910

119889119910 휀119911 =

∆119889119911

119889119911 (310)

De cele mai multe ori aceste deformații specifice liniare se pot exprima procentual

și se mai numesc alungiri

Fig 39 Starea de deformație

Icircn figura 39c se vede că unghiul inițial drept dintre muchiile 119889119909 și 119889119910 ale

elementului de volum s-a modificat Se definește deformația specifică unghiulară (sau

lunecarea specifică) mărimea cu care se modifică unghiul inițial drept

120574119909119910 = 120574119909119910prime + 120574119910119909

prime = 120574119910119909120574119910119911 = 120574119910119911

prime + 120574119911119910prime = 120574119911119910

120574119911119909 = 120574119911119909prime + 120574119909119911

prime = 120574119909119911

(311)

Deformațiile 휀119909 휀119910 휀119911 120574119909119910 120574119910119911 120574119911119909 constituie cele șase componente

independente ale tensorului deformațiilor specifice care pot fi scrise de forma

119863 =

휀119909 120574119909119910 120574119909119911120574119910119909 휀119910 120574119910119911120574119911119909 120574119911119910 휀119911

(312)

323 Contracţia transversală

Practica arată că odată cu lungirea unei bare apare o micşorare a mărimii secţiunii

transversale mărime numită contracţie transversală figura 310

Fig 310 Contracția transversală

Contracţia transversală este proporţională cu lungirea specifică coeficientul de

proporţionalitate se notează cu 120599 şi se numeşte coeficient de contracţie transversală sau

coeficientul lui Poisson

La o lungire specifică a barei contracţia transversală este dată de relația

휀119905119903 = 휀119910 = 휀119911 = minus120599 ∙ 휀119909 (313)

Semnul minus bdquo-rdquo arată că cele două mărimi sunt contrare dacă una creşte cealaltă

scade şi invers

Considerăm o bară cilindrică de lungime 119897 şi aria secţiunii transversale 119860 solicitată

la icircntindere axială La un moment dat datorită solicitării lungimea barei devine

[119897 ∙ (1 + 휀)] diametrul devine [119889 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)] iar aria secţiunii transversale devine

[119860 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)2] Dacă volumul barei icircnainte de solicitare a fost (119860 ∙ 119897) după solicitare

acesta devine

119881 + ∆119881 = 119860 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)2 ∙ 119897 ∙ (1 + 휀) =

= 119860 ∙ 119897 ∙ (1 + 휀 minus 2 ∙ 120599 ∙ 휀 minus 2 ∙ 120599 ∙ 휀2 + 1205992 ∙ 휀2 + 1205992 ∙ 휀3) (314)

Deoarece lungirile sunt foarte mici ultimii trei termeni din paranteză fiind infinit mici se pot neglija obţinacircnd

119881 + ∆119881 = 119860 ∙ 119897 + 119860 ∙ 119897 ∙ 휀 ∙ (1 minus 2 ∙ 120599) ⟺ ∆119881 = 휀 ∙ (1 minus 2 ∙ 120599) ∙ 119860 ∙ 119897 (315)

Practica arătă că o astfel de bară solicitată la icircntindere icircşi măreşte volumul deci

∆119881 gt 0 de unde rezultă că

1 minus 2 ∙ 120599 gt 0 rArr 120599 lt 05 (316)

Pentru majoritatea materialelor 120599 = 033 iar pentru materialele care-şi păstrează

volumul constant 120599 = 05

33 Relaţii de echivalenţă icircntre eforturi şi tensiuni

Considerăm un element de suprafață infinit mic 119889119860 situat pe fața de arie (119860) a

secțiunii barei din figura 311 Icircn centrul de greutate 119862 al secțiunii acționează eforturile

119873 119879119910 119879119911 119872119909 119872119894119910 și 119872119894119911 determinate prin metoda secțiunilor

Icircn raport cu un sistem de axe de referință 119909119862119910119911 coordonatele elementului 119889119860 sunt

- 119910 este ordonata elementului de arie 119889119860

- 119911 este abscisa elementului de arie 119889119860

Pe elementul de arie 119889119860 acționează tensiunile

120590119909 tensiunea normală

120591119909119910 și 120591119909119911 tensiuni tangențiale

Dacă se icircnsumează forțele elementare de tipul 120590119909 ∙ 119889119860 120591119909119910 ∙ 119889119860 și 120591119909119911 ∙ 119889119860

va trebui să obținem eforturile 119873 119879119910 și 119879119911

Fig 311 Element de suprafață mic din secțiunea unei bare

Dacă eforturile sunt privite ca forțe exterioare și se scriu ecuațiile de

echilibru ale secțiunii (119860) se vor obține șase relații de echivalență icircntre eforturi și

tensiuni

(sum119883) = 0 rArr int 120590119909 ∙ 119889119860

119860

= 119873 (317)

(sum119884) = 0 rArr int 120591119909119910 ∙ 119889119860

119860

= 119879119910 (318)

(sum119885) = 0 rArr int 120591119909119911 ∙ 119889119860

119860

= 119879119911 (319)

(sum119872)119909= 0 rArr int(120591119909119911 ∙ 119889119860) ∙ 119910

119860

minus int(120591119909119910 ∙ 119889119860) ∙ 119911

119860

= 119872119909 rArr

rArr int(119910 ∙ 120591119909119911 minus 119911 ∙ 120591119909119910) ∙ 119889119860

119860

= 119872119909

(320)

(sum119872)119910= 0 rArr int(120590119909 ∙ 119889119860) ∙ 119911

119860

= 119872119894119910 (321)

(sum119872)119911= 0 rArr int(120590119909 ∙ 119889119860) ∙ 119910

119860

= 119872119894119911 (322)

Cele șase relații de echivalență icircntre eforturi și tensiuni constituie un pas icircnainte

icircn rezolvarea unei probleme de rezistența materialelor Aceste relații vor permite

determinarea tensiunilor maxime

Pentru a rezolva cele 6 relații de echivalență trebuie să se cunoască tensiunile și

ca funcții de punct adică funcții de forma

120590119909 = 120590119909(119909 119910 119911) 120591119909119910 = 120591119909119910(119909 119910 119911) 120591119909119911 = 120591119909119911(119909 119910 119911) (32

3)

Cunoașterea acestor funcții presupune icircnsă analizarea aspectului geometric al

problemei precum și utilizarea unor ipoteze simplificatoare care să permită simplificarea

problemelor

34 Ipoteze de bază icircn rezistenţa materialelor

Depășirea dificultăților legate de interpretarea unor fenomene specifice mecanicii

solidului deformabil a impus acceptarea unor ipoteze care să simplifice fenomenele și să

contribuie la elaborarea unor modele de calcul cicirct mai generale și cacirct mai simple Aceste

ipoteze se referă la structura materialelor şi la comportarea lor sub acţiunea forţelor

exterioare Ipotezele acceptate trebuie să fie icircn deplină concordanţă cu realitatea și să

conducă la rezultate verificate icircn practică

Funcție de aspectele la care se referă ipotezele pot fi

Ipoteze fizice (de material)

Ipoteze de calcul

341 Ipoteze fizice

Se acceptă deoarece teoriile structurale au condus la rezultate care contravin

icircncercărilor experimentale

Ipoteza mediului continuu consideră că orice domeniu elementar al corpului

este ocupat de materie adică nu se acceptă existența unor goluri sau a unor crăpături

microscopice (fisuri) Deși nu corespunde realităţii poate fi acceptată deoarece

dimensiunile corpului sunt mult mai mari decacirct dimensiunile particulelor elemantare Are

avantajul că permite utilizarea proprietăților matematice ale funcțiilor continue pentru

tensiunile și deformațiile din orice punct al corpului Ea este mai apropiată de realitate la

corpurile amorfe şi mai depărtată la cele cristaline dar conduce la rezultate satisfăcătoare

icircn calculele de rezistenţă

Ipoteza nu se poate aplica la corpurile care au goluri tăieturi (multiplu conexe)

pentru unele puncte singulare icircn care tensiunile și deformațiile tind la infinit sau icircn unele

probleme de plasticitate icircn care proprietățile de material au un rol esențial

Ipoteza izotropiei conform acestei ipoteze materialul din care este confecționat

un element de rezistență are aceleași proprietăți după orice direcție un astfel de material

este considerat izotrop Din punct de vedere macroscopic metalele pot fi considerate

izotrope deși la nivel microscopic proprietățile lor diferă de la o direcție cristalografică

la alta Orice conglomerat de cristale poate fi considerat izotrop

Există cazuri cacircnd această ipoteză a izotropiei nu se acceptă

la metalele puternic deformate după o direcție (prin laminare trefilare)

la piesele confecționate din lemn lemnul este anizotrop deoarece proprietățile sale

diferă după două direcții (icircn lungul fibrelor și perpendicular pe această direcție)

Ipoteza omogenității consideră că un corp are aceleași proprietăți icircn orice

punct al său Deși majoritatea materialelor utilizate icircn tehnică sunt eterogene la scară

micro fiind constituite din mai multe faze cu proprietăți diferite la scară macro ele pot

fi considerate omogene Omogenitatea și izotropia sunt proprietăți statistice medii care

nu se condiționează una pe cealaltă Chiar și materialele monofazice pot avea la scară

micro unele segregații care le fac eterogene

Ipoteza elasticităţii perfecte presupune că atacircta timp cacirct solicitările nu

depăşesc anumite limite materialul are o comportare elastică adică icircşi recapătă forma şi

dimensiunile iniţiale odată cu icircnlăturarea sarcinilor Icircn realitate materialele nu prezintă o

elasticitate perfectă ele avacircnd deformaţii remanente mici care icircnsă pot fi neglijate icircn

calculele de rezistenţă

Acceptarea acestei ipoteze a elasticității perfecte permite

- aplicarea relației biunivoce icircntre tensiuni și deformații relație exprimată de legea

lui Hooke ( = 119864 ∙ 휀) unde E este un factor de proporţionalitate numit modul de

elasticitate longitudinal al materialului pentru oţel 119864 = 21 ∙ 105 [119872119875119886] - acceptarea valabilității afirmației bdquolucrul mecanic efectuat de forțele exterioare

ca urmare a parcurgerii deplasărilor punctelor de aplicație se icircnmagazinează integral icircn

corp sub formă de energie de deformație energie cedată la icircndepărtarea sarcinilorrdquo

- este valabilă teoria conform căreia bdquoenergia icircnmagazinată și deformațiile depind

doar de starea inițială și finală de eforturi fără a ține cont de modul icircn care s-a ajuns la

starea finalărdquo

Icircn realitate oricacirct de mici ar fi sarcinile aplicate se produc și deformații plastice

dar acestea pot fi neglijate dacă solicitarea nu depășește anumite limite

342 Ipoteze de calcul

Ipoteza micilor deplasări bdquodeplasările datorate deformării sunt mult mai mici

decacirct dimensiunile corpurilor și ca urmare pot fi neglijate produsele dintre o deplasare și

ea icircnsăşirdquo Pentru cele mai multe corpuri deformaţiile elastice sunt de mărimi mici deci

corpurile solide sub acţiunea sarcinilor icircşi modifică foarte puţin forma iniţială Această

ipoteză este cunoscută şi sub denumirea de ipoteza menţinerii dimensiunilor iniţiale Ea

permite scrierea ecuaţiilor de echilibru ale staticii pe starea nedeformată a elementului

cacircnd nu se iau icircn considerare deplasările punctelor de aplicaţie ale forţelor care se produc

ca urmare a deformării acestuia Calculul efectuat pe schema nedeformată poartă numele

de calcul de ordinul I

Ipoteza micilor deplasări nu poate fi acceptată pentru studiul problemelor de

stabilitate sau la problemele la care nu pot fi icircndeplinite condiţiile de echilibru icircn starea

nedeformată

Calculul de ordinul II admite ipoteza micilor deplasări dar ecuaţiile de echilibru

se scriu icircnsă pentru starea deformată a elementului de rezistenţă

Calculul de ordinul III nu mai acceptă ipoteza micilor deplasări el referindu-se

la cazul deformaţiilor mari cacircnd ecuaţiile de echilibru trebuie scrise pentru starea

deformată

Chiar dacă materialul satisface legea lui Hooke icircn urma calculelor de ordinul II

se obţin de obicei relaţii neliniare icircntre sarcini şi deplasări iar pentru calculul de ordinul

III rezultă ecuaţii diferenţiale neliniare

Principiul efectului local al acțiunii sarcinilor enunțat de Barre de Saint-

Venant Acest principiu destul de folosit icircn Rezistenţa Materialelor precizează că dacă

se icircnlocuiesc forţele care acţionează asupra unui element de suprafață al unui corp

elastic printr-un alt sistem de forţe echivalent din punct de vedere static cu primul noua

distribuţie a forţelor produce la locul de aplicare diferenţe semnificative faţă de prima

dar rămacircne fără efect sau cu efect neglijabil la distanţe mari de locul de aplicare al

forţelor figura 312

Ca o cosecință o sarcină uniform distribuită figura 312a poate fi icircnlocuită cu

rezultanta ei figura 312b dacă se analizează efectul sarcinii la distanță mare de locul icircn

care se aplică sarcina

Fig 312 Principiul Saint-Venant

Icircn prima variantă figura 312a forţa 119865 se aplică pe o porțiune oarecare 119897 (sarcină

uniform distribuită) iar icircn a doua figura 312b icircntru-un punct (forţă concentrată) La

locul de aplicare a sarcinii efectul asupra barei este cu totul diferit de la o variantă la

cealaltă Icircnsă la o distanţă mare de punctul de aplicaţie spre exemplu icircn secţiunea situată

la distanţa 119886 de capătul barei sau chiar icircn icircncastrare ambele bare sunt solicitate la fel

Icircn cazul din figura 312a

119872119894(119909) =119901 ∙ 1199092

2 119909 le 119897 119872119894(119909) = 119901 ∙ 119897 ∙ (119909 minus

119897

2) 119909 gt 119897 (324)

Icircn cazul din figura 312b

119872119894(119909) = 0 119909 lt119897

2 119872119894(119909) = 119901 ∙ 119897 ∙ (119909 minus

119897

2) 119909 gt

119897

2 (325)

Se vede că pentru (119909 gt 119897) adică după depășirea locului icircn care se aplică sarcina

efectul este același

Ipoteza lui Bernoulli sau ipoteza secţiunilor plane precizează că o secţiune

plană şi normală pe axa barei icircnainte de deformare rămacircne plană şi normală pe axa

barei şi după deformare figura 313

Fig 313 Ipoteza lui Bernoulli

Ipoteza stării naturale a corpului sau ipoteza absenţei tensiunilor conform

căreia pentru un corp nesolicitat starea de tensiune şi deformaţie este nulă

Perfecţionarea mijloacelor de calcul şi de investigare pot conduce la renunţarea la

unele ipoteze sau la introducerea altora noi mai aproape de stările reale De aici rezultă

caracterul de continuă perfecţionare a metodelor Rezistenţei Materialelor

35 Coeficienţi de siguranţă Tensiuni admisibile

O piesă corespunde din punct de vedere tehnic dacă tensiunile care iau naştere icircn

interiorul piesei datorită sarcinilor aplicate nu depăşesc anumite valori limită stabilite

convenţional Aceste valori limită ale tensiunii sunt corelate cu caracteristicile mecanice

ale materialelor

Tensiunea limită utilizată icircn calculele de rezistenţă este cunoscută sub denumirea

de tensiune admisibilă sau rezistenţă admisibilă Rezistenţa admisibilă reprezintă

valoarea convenţională aleasă icircn calcul pe baza practicii pentru tensiunea maximă care

poate apare icircntr-o piesă icircn condiţii date de material şi solicitare

Rezistenţa admisibilă (120590119886 sau 120591119886) poate fi definită faţă de o stare limită

periculoasă stare care trebuie evitată deoarece poate conduce distrugere

120590119886 =120590119897119894119898119888

(326)

unde

120590119897119894119898 este tensiunea corespunzătoare stării limită periculoase

119888 estesupraunitar 119888 gt 1 și reprezintă coeficientul de siguranţă faţă de starea limită

periculoasă considerată

Alegerea unor valori inferioare pentru rezistenţa admisibilă faţă de tensiunea

corespunzătoare stării limită periculoase este necesară deoarece

cunoaşterea sarcinilor este de cele mai multe ori aproximativă şi o depăşire a

acestora este foarte posibilă

caracteristicile mecanice ale materialelor variază icircn limite destul de mari ele

fiind influenţate de mulţi factori

schema aleasă pentru calcul (aplicarea sarcinilor schematizarea structurii

ipotezele de calcul etc) depărtează modelul faţă de cel real

Pentru calculele de verificare tensiunea efectivă maximă din elementul de

rezistenţă trebuie să fie mai mică sau cel mult egală cu cea admisibilă

120590119890119891119898119886119909 le 120590119886 (327)

Valoarea rezistenţei admisibile este influenţată de foarte mulţi factori natura

materialului tratamentele termice aplicate piesei durata de funcţionare a piesei modul

de acţionare icircn timp a sarcinilor felul solicitării temperatura gradul de periculozitate

icircn cazul cedării piesei etc

De asemenea valoarea coeficientului de siguranţă se alege icircn principal ţinacircnd

seama de aceiaşi factori care influenţează şi rezistenţa admisibilă

Rezistenţele admisibile pentru cacircteva materiale sunt următoarele

pentru oțelul de uz general OL37 solicitat la icircntindere compresiune sau

icircncovoiere 120590119886 = 150 [119872119875119886] pentru lemnul de brad solicitat la

- compresiune icircn lungul fibrelor şi solicitat la icircncovoiere 120590119886 = 10 [119872119875119886] - tracţiune icircn lungul fibrelor 120590119886 = 7 [119872119875119886] - compresiune perpendiculară pe fibre 120590119886 = 15 [119872119875119886] - forfecare icircn lungul fibrelor 120591119886 = 2 [119872119875119886] - forfecare perpendiculară pe fibre 120590119886 = 45 [119872119875119886]

terenuri de fundaţie din pămacircnt uscat sau umed 120590119886 = 020 divide 025 [119872119875119886]

4 CARACTERISTICI GEOMETRICE ALE SECȚIUNILOR PLANE

41 Noţiuni introductive

Icircn relaţiile de calcul ale tensiunilor şi deformaţiilor elementelor de rezistenţă

pentru unele solicitări (icircncovoierea și torsiunea) secțiunile plane intervin atacirct prin

dimensiunile lor (aria 119860) cicirct și prin forma și poziția pe care o are secțiunea icircn raport cu

planul solicitării Mărimile care caracterizează o secțiune icircn raport cu forma și poziția față

de axele unui sistem de referință sunt denumite caracteristici geometrice de ordin

superior Aria secțiunii este caracteristica geometrică ce depinde doar de dimensiunile

geometrice ale acesteia

Să considerăm o grindă solicitată de o forță exterioară 119865 aşezată icircn două poziții icircn

raport cu planul forţei figura 41 Icircn urma aplicării forței deși avem aceeași grindă

(aceeași arie a secțiunii transversale) și aceeași forță se constată că pentru varianta din

figura 41a deformațiile sunt mult mai mari adică rezistența la icircncovoiere a grinzii din

figura 41a este mai mare decacirct icircn cazul grinzii din figura 41b Comportarea diferită se

explică prin aceea că modificarea poziţiei secţiunii transversale faţă de planul forţelor

modifică caracteristicile geometrice ale secţiunii transversale a grinzii

Fig 41 Grindă solicitată de forța 119865

Pentru realizarea calculelor de rezistenţă şi rigiditate este foarte importantă

cunoaşterea caracteristicilor geometrice ale suprafeţei secţiunii transversale a elementelor

de rezistenţă

Caracteristicile geometrice ale secţiunii transversale a unui element de rezistenţă

sunt

- aria secțiunii notată cu 119860

- momentul static icircn raport cu o axă notat 119878119911 și respectiv 119878119910

- momentul de inerție care poate fi

axial notat 119868119911 și respectiv 119868119910

centrifugal notat 119868119911119910

polar notat 119868119901

- raza de inerţie (giraţie)notată 119894119911 și respectiv 119894119910

- modulul de rezistență care poate fi

axial notat 119882119911 și respectiv 119882119910

polar notat 119882119901

42 Aria și momentul static al suprafețelor plane

Fie o suprafaţă plană de arie 119860 pe care se ia un element infinit mic de arie 119889119860 şi

un sistem de axe rectangulare 119911119874119910 figura 42 Notăm cu 119862 centrul de greutate al suprafeţei

119860 Poziţia suprafeţei elementare 119889119860 faţă de acelaşi sistem de coordonate 119911119874119910 este dată

de abscisa 119911 ordonata 119910 și raza polară

Fig 42 Suprafață plană de arie 119860

Aria suprafeţei 119860 figura 42 se defineşte ca fiind

119860 ≝ int 119889119860

119860

(41)

Aria suprafeţei este icircntotdeauna pozitivă și se măsoară icircn [1198981198982] Momentul static al suprafeţei de arie 119860 icircn raport cu axele 119874119911 și respectiv 119874119910

figura 42 sunt date de relaţiile

119878119911 ≝ int 119910 ∙ 119889119860

119860

119878119910 ≝ int 119911 ∙ 119889119860

119860

(42)

Momentul static poate fi pozitiv negativ sau nul şi se măsoară icircn [1198981198983] Coordonatele centrului de greutate ale suprafeței 119860 se detrmină cu relațiile

119910119862 ≝int 119910 ∙ 119889119860119860

119860 119911119862 ≝

int 119911 ∙ 119889119860119860

119860

(43)

Cunoscacircnd coordonatele 119910119862 și 119911119862 ale centrului de greutate 119862 al secțiunii 119860 atunci

momentele statice se pot determina cu relațiile

119878119911 ≝ int 119910 ∙ 119889119860

119860

= 119910119862 ∙ 119889119860 119878119910 ≝ int 119911 ∙ 119889119860

119860

= 119911119862 ∙ 119889119860 (44)

Aceste relații arată că momentul static al unei suprafețe icircn raport cu o axă este

egal cu produsul dintre aria suprafeței și distanța de la centrul ariei la axa respectivă

Dacă suprafaţa se poate descompune icircn 119899 suprafeţe simple la care se cunosc ariile

(1198601 1198602 ⋯ 119860119894⋯ 119860119899) și poziţiile centrelor de greutate 119862119894 faţă de sistemul de referinţă

expresiile momentelor statice capătă următoarea formă

119878119911 = sum 119910119862119894 ∙ 119860119894119899119894=1 = 119910119862 ∙ 119860 119878119910 = sum 119911119862119894 ∙ 119860119894

119899119894=1 = 119911119862 ∙ 119860 (45)

Din relaţiile (45) rezultă că poziţia centrului de greutate 119862 al unei suprafeţe

compuse poate fi determinată cu relaţiile

119910119862 = (sum119910119862119894 ∙ 119860119894

119899

119894=1

) 119860frasl 119911119862 = (sum119911119862119894 ∙ 119860119894

119899

119894=1

) 119860frasl (46)

Icircn relația (45) 119910119862119894 și respectiv 119911119862119894 reprezintă coordonatele centrelor de greutate 119862119894

ale fiecărei suprafețe simple 119860119894 icircn raport sistemul de axe 119911119874119910

Se constată (relaţia 42) că dacă axele sistemului de referinţă trec prin centrul de

greutate (119910119862 = 119911119862 = 0) momentele statice sunt nule Axele icircn raport cu care momentele

statice sunt nule şi care trec prin centrul de greutate al suprafeţei se numesc axe centrale

Observație dacă secțiunea compusă are o axă de simetrie centrul secțiunii se

găsește pe acea axă iar dacă secțiunea este dublu simetrică poziția centrului secțiunii este

la intersecția axelor de simetrie

43 Momente de inerţie

Momentele de inerţie axiale ale unei suprafețe se calculează icircn raport cu axele de

coordonate 119874119911 și respectiv 119874119910 figura 42 și se determină cu relațiile

119868119911 ≝ int 1199102 ∙ 119889119860

119860

119868119910 ≝ int 1199112 ∙ 119889119860

119860

(47)

Unde 119910 și 119911 sunt distanțele de la elementul de arie 119889119860 la cele două axe de

coordonate 119874119911 și respectiv 119874119910

Momentele de inerţie axiale se măsoară icircn [1198981198984] şi sunt icircntotdeauna pozitive (aria

119889119860 este icircntotdeauna pozitivă și este multiplicată cu patratul distanței 1199102 dacă 119868119911 sau 119868119910

sunt nule icircnseamnă ca secțiunea nu există)

Momentele de inerție axiale se calculează icircndeosebi pentru axele centrale (care

trec prin centrul secțiunii) deoarece icircn raport cu acele axe 119868119911 și 119868119910 au valori minime

Momentul de inerţie centrifugal calculat faţă ambele axe ale sistemului de

referinţă 119911119874119910 este definit de relația

119868119911119910 ≝ int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860

(48)

Momentul de inerţie centrifugal se măsoară icircn [1198981198984] şi poate fi pozitiv negativ

sau nul

Momentul de ineție centrifugal este nul 119868119911119910 = 0 dacă cel puțin una din axele 119874119911

sau 119874119910 este axă de simetrie pentru secțiune

Se consideră o suprafaţă dreptunghiulară pe care faţă de axa de simetrie 119874119910 se iau

două suprafeţe elementare de arie 119889119860 simetrice faţă de axa 119874119910 figura 43

Fig 43 Suprafață dreptunghiulară cu două arii elementare 119889119860

Făcacircnd suma momentelor de inerţie centrifugale pentru cele două suprafeţe

elementare 119889119860 (din stacircnga şi din dreapta faţă de axa 119874119910) se obţine

int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860119889119903

+ int (minus119911) ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860119904119905119892

= int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860119889119903

minus int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860119904119905119892

= 0 (49)

Acelaşi raţionament se poate face și pentru icircntreaga suprafaţă de unde obținem că

momentul de inerție centrifugal este nul 119868119911119910 = 0 Deci pentru o suprafaţă plană care

are cel puţin o axă de simetrie momentul de inerţie centrifugal faţă de sistemul care

conţine acea axă de simetrie este nul

Momentul de inerţie polar al unei suprafeţei icircn raport cu un punct (pol) 119874 figura

42 este definit prin relaţia

1198680 = 119868119901 ≝ int 1205882 ∙ 119889119860

119860

= int(1199102 + 1199112) ∙ 119889119860

119860

= 119868119911 + 119868119910 (410)

unde este distanţa de la polul 119874 la elementul de arie 119889119860 Momentul de inerţie polar se

măsoară icircn [1198981198984] şi este totdeauna pozitiv

Momentul de inerţie polar este egal cu suma momentelor de inerţie faţă de două axe

perpendiculare oarecare şi care trec prin polul considerat

Razele de giraţie sau razele de inerţie sunt mărimi calculate icircn raport cu axele

secțiunii și definite de relaţiile

119894119911 ≝ radic119868119911119860 119894119910 = radic

119868119910

119860 (411)

Se exprimă icircn [119898119898] şi sunt icircntotdeauna pozitive Semnificația unei raze de inerție

este distanța la care dacă ar fi concentrată icircntreaga arie s-ar obține același moment de

inerție ca și cel calculat pentru aria reală

44 Modulul de rezistenţă

Modulul de rezistență se calculează icircn raport cu axele de referință sau icircn raport cu

un pol figura 42 și pot fi axiale (119882119911119882119910) sau polar (119882119901) și se determină numai pe baza

momentelor de inerţie cu relațiile figura 43

119882119911119898119894119899 ≝119868119911119910119898119886119909

119882119911119898119886119909 ≝119868119911119910119898119894119899

(412)

119882119910119898119894119899 ≝119868119910

119911119898119886119909 119882119910119898119886119909 ≝

119868119910

119911119898119894119899 (413)

119882119901 ≝119868119901

120588119898119886119909 (414)

unde

119910119898119886119909 119910119898119894119899 reprezintă distanţa de la axa 119874119911 la punctele extreme cele mai

depărtate respectiv cele mai apropiate ale suprafeţei de această axă

119911119898119886119909 119911119898119894119899 reprezintă distanţa de la axa 119874119910 la punctele extreme cele mai

depărtate respectiv cele mai apropiate ale suprafeţei de această axă

120588119898119886119909 reprezintă distanța maximă de la polul 119874 la punctul secțiunii cel mai

icircndepărtat de acesta

Fig 43 Suprafață dreptunghiulară cu două arii elementare 119889119860

Modulele de rezistenţă se exprimă icircn [1198981198983] şi sunt icircntotdeauna pozitive

Explicația este aceea că momentele de inerție care intră icircn relațiile de definiție sunt

pozitive iar distanțele la punctele extreme sunt pozitive (119910119898119886119909 119910119898119894119899 119911119898119886119909 119911119898119894119899 120588119898119886119909 se

iau icircn valoare absolută)

Icircn cazul suprafeţelor compuse modulul de rezistenţă nu se obţine prin icircnsumarea

algebrică a modulelor de rezistenţă ale suprafeţelor simple componente ci numai prin

intermediul momentului de inerţie axial calculat pentru icircntreaga secțiune

Ca și momentele de inerție modulele de rezistență se calculează numai pentru

sistemele de axe centrale

45 Momente de inerţie şi module de rezistenţă pentru suprafeţe simple

451 Secțiune dreptunghiulară

Fie suprafaţa dreptunghiulară din figura 44 de icircnălțime ℎ și lățime 119887 pe care se

consideră suprafaţă elementară de arie 119889119860 = 119887119889119910 la distanța 119910 de axa 119862119911 sistemul de

axe 119911119862119910 trece prin centrul secțiunii iar axele sunt axe de simetrie pentru dreptunghi

Fig 44 Suprafață dreptunghiulară

Pe baza relațiilor de definiți a momentului de inerție 119868119911 se obține

119868119911 ≝ int 1199102 ∙ 119889119860

119860

= int 1199102 ∙ 119887 ∙ 119889119910 = 2int 1199102 ∙ 119887 ∙ 119889119910 = 2 ∙ 119887 ∙1199103

3|ℎ 2frasl

0rArr

ℎ 2frasl

0

ℎ 2frasl

minusℎ 2frasl

rArr 119868119911 =119887 ∙ ℎ3

12

(415)

Analog pentru un element de arie 119889119860 = ℎ ∙ 119889119911 paralel cu axa 119862119910 situat la distanța

119911 de axa 119862119910

119868119910 ≝ int 1199112 ∙ 119889119860

119860

= int 1199112 ∙ ℎ ∙ 119889119911 = 2int 1199112 ∙ ℎ ∙ 119889119910 = 2 ∙ ℎ ∙1199113

3|119887 2frasl

0rArr

119887 2frasl

0

119887 2frasl

minus119887 2frasl

rArr 119868119910 =1198873 ∙ ℎ

12

(416)

Deoarece axele 119862119911 și 119862119910 sunt axe de simetrie momentul de inerție centrifugal este

119868119911119910 = 0 (417)

Pentru un pătrat avacircnd laturile egale (ℎ = 119887 = 119886) momentele de inerţie faţă de

axele centrale au expresia

119868119911 = 119868119910 =1198864

12 (418)

Modulele de rezistență axiale se calculează cu relațiile de definiție ținacircnd cont că

distanțele pacircnă la fibrele extreme sunt

119910119898119886119909 = 119910119898119894119899 =ℎ

2 119911119898119886119909 = 119911119898119894119899 =

119887

2 (419)

Obținem

119882119911119898119894119899 = 119882119911119898119886119909 =119868119911

119910119898119886119909119898119894119899=119887 ∙ ℎ3

12frasl

ℎ2frasl

=119887 ∙ ℎ2

6

119882119910119898119894119899 = 119882119910119898119886119909 =119868119910

119911119898119886119909119898119894119899=1198873 ∙ ℎ

12frasl

1198872frasl

=1198872 ∙ ℎ

6

(420)

452 Suprafaţă circulară

Din motive de simetrie pentru suprafeţele circulare momentele de inerţie faţă de

orice diametru (care reprezintă şi axe centrale) sunt aceleaşi

Considerăm o secțiune circulară plină cu diametrul 119889 și centrul de greutate 119862 Prin

centrul de greutate 119862 trece sistemul de axe ortogonal 119911119862119910 figura 45

Fig 45 Suprafață circulară

La distanța de centrul de greutate 119862 vom lua un element de suprafață mic de arie

(119889119860) de forma unui inel de grosime 119889 Elementul de arie 119889119860 are expresia

119889119860 = (2 ∙ 120587 ∙ 120588) ∙ (119889120588)

Pornind de la relația de definiție a momentului de inerție polar obținem

119868119901 ≝ int 1205882 ∙ 119889119860

119860

= int 1205882 ∙ (2 ∙ 120587 ∙ 120588) ∙ 119889120588

119903=119889 2frasl

0

= 2 ∙ 120587 ∙1205884

4|119889 2frasl0 rArr

rArr 119868119901 =120587 ∙ 1198894

32

(421)

Secțiunea este perfect simetrică deci sunt valabile relațiile

119868119911 = 119868119910 rArr 119868119901 = 119868119911 + 119868119910 = 2 ∙ 119868119911 = 2 ∙ 119868119910 =119868119901

2=120587 ∙ 1198894

64 (422)

Și modulele de rezistenţă faţă de orice diametru sunt egale şi se calculează cu

relaţiile

119882119911 = 119882119910 =1198681199111198892frasl=120587 ∙ 1198893

32 (423)

Modulul de rezistenţă polar este

119882119901 =1198681199011198892frasl=120587 ∙ 1198893

16 (424)

453 Secţiune inelară

Calculul momentelor de inerţie axiale pentru o secţiune inelară avacircnd diametrul

interior 119889 şi diametrul exterior 119863 se determină analog pentru suprafaţa circulară plină cu

observaţia că integrala pentru calculul momentului de inerție polar 119868119901 se face icircntre

limitele 119903 = 119889 2frasl şi R= 1198632frasl (icircntre raza interioară 119903 şi raza exterioară 119877) figura 46

Se obţin relaţiile

119868119901 =120587 ∙ 1198634

32∙ [1 minus (

119889

119863)4

] =120587 ∙ 1198634

32∙ (1 minus 1198964) (425)

119868119910 = 119868119910 =120587 ∙ 1198634

64∙ [1 minus (

119889

119863)4

] =120587 ∙ 1198633

64∙ (1 minus 1198964) (426)

Fig 46 Secțiune inelară

119882119901 =120587 ∙ 1198633

16∙ [1 minus (

119889

119863)4

] =120587 ∙ 1198633

16∙ (1 minus 1198964) (427)

119882119911 = 119882119910 =120587 ∙ 1198633

32∙ [1 minus (

119889

119863)4

] =120587 ∙ 1198633

32∙ (1 minus 1198964) (428)

unde 119896 = 119889119863frasl

46 Variaţia momentelor de inerţie faţă de axe paralele

( Relațiile lui STEINER)

Se consideră o suprafaţă oarecare de arie 119860 cu elementul de arie 119889119860 și un sistemul

de axe central 119911119862119910 faţă de care se cunosc momentele de inerţie 119868119911 119868119910 119868119911119910 şi considerăm

un sistem de axe 11991111198741199101 paralele cu sistemul central figura 47 Se pune problema

determinării momentele de inerţie 1198681199111 1198681199101 11986811991111199101 faţă de sistemul de axe paralel cu sistemul

central 11991111198741199101 axe aflate la distanţele 119910119862 = 119888 respectiv 119911119862 = 119889 de acesta

461 Momente de inerţie axiale

Pe baza relaţiilor de definire şi a notaţiilor din figura 42 pentru momentele de

inerţie faţă de axele 1198741199111 1198741199101 se poate scrie

1198681199111 = int 11991012 ∙ 119889119860

119860

= int(119910 + 119888)2 ∙ 119889119860

119860

= int 1199102 ∙ 119889119860

119860

+ 2 ∙ 119888 ∙ int 119910 ∙ 119889119860

119860

+

+1198882int 119889119860

119860

rArr 1198681199111 = 119868119911 + 2 ∙ 119888 ∙ 119878119911 + 1198882 ∙ 119860 hArr 1198681199111 = 119868119911 + 119888

2 ∙ 119860

(429)

Fig 47 Variaţia momentelor de inerţie față de axe paralele

S-a ajuns la relația (429) deoarece momentul static 119878119911 este nul deoarece axa 119862119885

este axă centrală

Pentru momentul de inerție axial icircn raport cu axa 1198741199101 se obține

1198681199101 = int 11991112 ∙ 119889119860

119860

= int(119911 + 119889)2 ∙ 119889119860

119860

= int 1199112 ∙ 119889119860

119860

+ 2 ∙ 119889 ∙ int 119911 ∙ 119889119860

119860

+

+1198892 ∙ int 119889119860

119860

rArr 1198681199101 = 119868119910 + 2 ∙ 119889 ∙ 119878119910 + 1198892 ∙ 119860 hArr 1198681199101 = 119868119910 + 119889

2 ∙ 119860

(430)

Pentru momentul de inerție centrifugal obținem

11986811991111199101 = int 1199101 ∙ 1199111 ∙ 119889119860

119860

= int(119910 + 119888) ∙ (119911 + 119889) ∙ 119889119860

119860

= int 119910 ∙ 119911 ∙ 119889119860 +

119860

+119888 ∙ int 119911 ∙ 119889119860

119860

+ 119889 ∙ int 119910 ∙ 119889119860

119860

rArr 11986811991111199101 = 119868119911119910 + 119888 ∙ 119889 ∙ 119860

(431)

Deoarece

int 119911 ∙ 119889119860

119860

= 119878119910 = 0 int 119910 ∙ 119889119860

119860

= 119878119911 = 0 int 119910 ∙ 119911 ∙ 119889119860

119860

= 119868119911119910

Relaţiile (429) şi (430) arată că momentul de inerţie faţă de o axă oarecare

este egal cu momentul de inerţie faţă de o axă paralelă cu ea trecacircnd prin centrul de

greutate la care se adaugă produsul dintre aria suprafeţei şi pătratul distanţei dintre

cele două axe

Din relaţiile (429) și (430) rezultă de asemenea că momentul de inerţie faţă de o

axă centrală (care trece prin centrul de greutate) este cel mai mic dintre infinitatea de

momente de inerţie obținute faţă de alte axe paralele cu ea

Relaţia (431) arată de asemenea că momentul de inerţie centrifugal faţă de un

sistem de axe oarecare este egal cu momentul de inerţie centrifugal faţă de un sistem

paralele cu el trecacircnd prin centrul de greutate a suprafeţei la care se adaugă produsul

dintre aria suprafeţei şi distanţele dintre axele sistemelor respective

Icircn literatura de specialitate relaţiile (429) (430) şi (431) sunt cunoscute sub

numele de relaţiile lui Steiner

47 Variaţia momentrlor de inerţie faţă de axe rotite

Direcţii principale şi momente de inerţie principale

Fie suprafaţa plană din figura 48 de arie 119860 pe care considerăm o suprafaţă

elementară de arie 119889119860 Pentru sistemul de axe 119911119874119910 se cunosc momentele de inerţie

119868119911 119868119910 119868119911119910 şi vom determina relaţiile de calcul pentru momentele de inerţie afererent unui

sistem de axe 11991111198741199101 rotit cu un unghi faţă de sistemul central

Faţă de sistemul de axe 11991111198741199101 elementul de arie 119889119860 are coordonatele

1199101 = 119875119877 = 119875119876 minus 119877119876 = 119910 ∙ cos 120572 minus 119911 ∙ sin 120572

1199111 = 119873119872 = 119873119875 minus 119875119872 = 119911 ∙ cos 120572 + 119910 ∙ sin 120572 (432)

Fig 47 Variaţia momentelor de inerţie față de axe rotite

Pe baza relaţiilor de calcul ale momentelor de inerţie şi a notaţiilor din figura 42

şi ale relaţiilor (432) momentele de inerţie faţă de sistemul de axe rotit 11991111198741199101 sunt

1198681199111 =119868119911 + 119868119910

2+119868119911 minus 119868119910

2∙ cos 2120572 minus 119868119911119910 ∙ sin 2120572 (433)

1198681199101 =119868119911 + 119868119910

2minus119868119911 minus 119868119910

2∙ cos 2120572 + 119868119911119910 ∙ sin 2120572 (434)

11986811991111199101 =119868119911 minus 119868119910

2∙ sin 2120572 + 119868119911119910 ∙ cos 2120572 (435)

Din relaţiile 433divide435 se observă că icircntre momentele de inerţie axiale şi cele

polare există relaţia

1198681199111 + 1198681199101 = 119868119911 + 119868119910 = 119868119901 (436)

adică suma momentelor de inerţie axiale icircn raport cu orice pereche de axe ortogonale

care trec printr-un pol dat este o constantă şi egală cu momentul de inerţie polar

Prin rotirea sistemului de axe din relaţiile 433divide435 rezultă că momentele de inerţie

variază icircnsă suma lor rămacircne constantă deci există o poziţie a sistemului de axe pentru

care momentele de inerţie au valori extreme maxim respectiv minim

471 Direcţii principale de inerţie

Valoarea unghiului 120572 pentru care momentele de inerţie axiale au valori extreme

este

1205721 =1

2∙ 119886119903119888119905119886119899 (minus

2 ∙ 119868119911119910

119868119911 minus 119868119910) (437)

Poziţia celeilalte direcţii este perpendiculară pe cea dată de unghiul 1205721

Din relaţia (437) se constată că faţă de aceste direcţii rotite pentru care momentele

de inerţie axiale prezintă valori extreme momentul de inerţie centrifugal 11986811991111199101este nul

Atunci se poate afirma că momentele de inerţie axiale au valori extreme icircn raport cu

direcţiile faţă de care momentul de inerţie centrifugal este nul Aceste direcţii se numesc

direcţii principale iar momentele de inerţie faţă de aceste direcţii poartă numele de

momente de inerţie principale

Icircn calculele de rezistenţă interesează icircn mod special poziţia direcţiilor principale

care trec prin centrul de greutate al suprafeţei aşa numitele direcţii principale centrale şi

evident momentele de inerţie principale centrale

Direcţiile principale de inerţie se notează cu 1 respectiv 2 Axa principală 1

corespunde direcţiei faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea maximă iar

axa principală 2 pentru direcţia faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea

minimă

472 Momente de inerţie principale

Momentele de inerţie principale se notează cu litera 119868 la care se pune indicele 1

sau 2 după cum valoarea acestuia este maximă sau minimă deci avem un moment de

inerţie principal 1 (notat 1198681) respectiv moment de inerţie principal 2 (notat 1198682)

Expresiile pentru momentele de inerţie principale sunt

11986812 =119868119911 + 119868119910

2plusmn1

2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)

2+ 4 ∙ (119868119911119910)

2 (438)

Dacă momentul de inerţie centrifugal este negativ (119868119911119910 lt 0) direcţia principală

care trece prin primul cadran (definit de sistemul 119911119862119910) este direcţia principală 120783

Pentru suprafeţele cu cel puţin o axă de simetrie direcţiile centrale 119862119911 119862119910 sunt şi

direcții principale de inerţie și evident momentele de inerţie axiale 119868119911 119868119910 sunt momente

de inerţie principale

48 Caracteristici mecanice ale metalelor

Alegerea materialului pentru confecţionarea unei anumite piese se face şi pe baza

aşa numitelor caracteristici mecanice pe care le prezintă materialul Cunoaşterea acestor

caracteristici mecanice are loc numai pe baza unor icircncercări mecanice care să scoată icircn

evidenţă comportarea materialului icircn condiţii de solicitare

Cea mai utilizată icircncercare icircn urma căreia se pun icircn evidenţă caracteristicile

mecanice ale unui material este icircncercarea la tracţiune

481 Icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general

Icircncercarea la tracţiune a oţelului ca de altfel toate icircncercările de materiale este

standardizată

Icircn cele ce urmează se va prezenta numai partea care interesează strict din punct

de vedere al caracteristicilor mecanice ale oţelului

Epruveta de diametru iniţial 1198890 pentru icircncercarea la tracţiune are o porţiune de

lungime 1198710 numită baza de măsurare pe care se măsoară lungirea acesteia sub acţiunea

solicitării

Icircn funcţie de raportul dintre baza de măsurare 1198710 şi diametrul iniţial 1198890 epruvetele

utilizate pentru icircncercări sunt

epruvete normale (scurte) cacircnd 11987101198890 = 5

epruvete lungi cacircnd 11987101198890 = 10

Icircn timpul icircncercării la diferite valori ale forţei 119865 se măsoară lungirea bazei de

măsurare

∆119871 = 120575 = 119871 minus 1198710 (439)

unde

119871 este dimensiunea bazei de măsurare la un moment dat

Curba forţă-lungire (119865 minus ) icircnregistrată icircn urma icircncercării reprezintă curba

caracteristică la tracţiune

La icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general diagrama caracteristică care se

obţine are forma din figura 48

Curba caracteristică la tracţiune depinde de lungimea bazei de măsurare Pentru

icircnlăturarea acestui neajuns curba caracteristică se reprezintă icircn coordonate şi definite

astfel

120590 =119865

1198600 휀 =

120575

1198710 (440)

unde

1198600 este aria iniţială a secţiunii transversale a epruvetei (icircnainte de solicitare) icircn

zona bazei de măsurare

1198600 =120587 ∙ 1198890

2

4

Deoarece mărimile icircn care se reprezintă curba caracteristică la tracţiune sunt

raportate la aria iniţială a secţiunii transversale (mărimi specifice) curba poartă numele

de curbă caracteristică convenţională la tracţiune

Fig 48 Curba caracteristică convenţională la tracțiune

Pe curba caracteristică convenţională la tracţiune figura 48 se pot stabili o serie

de puncte cărora le corespund mai multe mărimi importante

Ordonata punctului A pacircnă unde curba caracteristică convenţională este linie

dreaptă se numeşte limita de proporţionalitate a materialului 120590119901(1205901) Porţiunea 119874119860 este

zona de proporţionalitate a curbei caracteristice pe acest domeniu este valabilă legea lui

Hooke care exprimă o proporţionalitate icircntre tensiune şi deformaţie specifică

120590 = 119864 ∙ 휀 (441)

unde

119864 = reprezintă panta porţiunii liniare a curbei convenționale caracteristice

la tracțiune Caracteristica de material 119864 se numeşte modul de elasticitate longitudinal

(modulul lui Young)

Ordonata punctului 119861 pacircnă unde materialul se comportă perfect elastic adică

după descărcare icircşi recapătă dimensiunea iniţială 1198710 se numeşte limita de elasticitate

120590119890(119877119890) Icircn realitate nici un material nu are comportare perfect elastică sub acţiunea

solicitărilor el capătă deformaţii permanente (remanente plastice)

După punctul 119861 urmează o porţiune 119861119862119863 icircn care cu toate că icircncărcarea

continuă forţa nu mai creşte avacircnd mici oscilaţii icircn jurul unei valori Se spune că icircn

această porţiune materialul curge iar intervalul 119861119862119863 este un palier de curgere Tensiunea

corespunzătoare palierului de curgere se numeşte limită de curgere aparentă 120590119888(119877119888) Limita de curgere aparentă se calculează cu relaţia

120590119888 =1198651198881198600 (442)

unde

119865119888 reprezintă valoarea forţei icircnregistrată icircn momentul curgerii materialului

După punctul 119863 curba caracteristică are un traseu ascendent pacircnă icircn punctul 119864

Porţiunea 119863119864 este numită zonă de icircntărire (ecruisare) Icircn zona de ecruisare unde se

produc deformaţii plastice semnificative legea lui Hooke nu mai este valabilă La

descărcare relaţia dintre tensiunea şi deformaţia specifică este liniară paralelă cu

porţiunea liniară a curbei caracteristice (dreapta 119872119873)

Deformaţia totală (휀119905) are două componente una elastică (휀119890) şi una plastică (휀119901)

Ordonata punctului 119864 reprezintă rezistenţa de rupere 120590119903(119877119898) a materialului

care se poate calcula cu relaţia

120590119903 = 119877119898 =1198651198981198861199091198600

(443)

unde

119865119898119886119909 reprezintă valoarea maximă a forţei icircnregistrată icircn timpul icircncercării

La atingerea valorii 119865119898119886119909 (punctul 119864) icircntr-un anumit loc al epruvetei secţiunea

icircncepe să se micşoreze (se produce gacirctuirea) continuacircnd pacircnă cacircnd se produce ruperea

totală (punctul 119865)

Dacă după ruperea epruvetei cele două părţi rezultate se aşează cap la cap şi se

măsoară dimensiunea bazei de măsurare 119871119906 (lungimea ultimă) se determină alungirea la

rupere sau lungirea specifică la rupere 휀119903

휀119903 =119871119906 minus 11987101198710

=∆119871

1198710=120575

1198710 (444)

De obicei alungirea se exprimă icircn procente şi se notează cu 119860119899 unde 119899 reprezintă

numărul dat de raportul 11987101198890 (epruvete normale 119899 = 5 epruvete lungi 119899 = 10)

119860119899 =119871119906 minus 11987101198710

∙ 100 [] (445)

Altă mărime care se determină la icircncercarea la tracţiune este gacirctuirea la rupere

(exprimată de obicei icircn procente) şi definită de relaţia

119885 =1198600 minus 1198601199061198600

∙ 100 [] (446)

Mărimile determinate limita de proporţionalitate modulul de elasticitate

longitudinal limita de elasticitate limita de curgere aparentă rezistenţa de rupere

alungirea la rupere şi gacirctuirea la rupere sunt cunoscute ca fiind caracteristici mecanice

ale materialului

Din curba caracteristică convenţională observăm faptul că ruperea (punctul 119865 din

figura 48 se produce la o tensiune mai mică decacirct cea corespunzătoare punctului 119864 Dacă

icircnsă forţa din timpul icircncercării s-ar raporta la aria secţiunii din momentul icircnregistrării

forţei (care este mai mică decacirct cea iniţială 1198600) s-ar obţine aşa numita curbă

caracteristică reală a materialului (traseul 1198741198601198611198621198631198651 din figura 48) La curba

caracteristică reală ruperea se produce icircn punctul 1198651 la o icircncărcare mai mare decacirct cea

corespunzătoare punctului 119864 Icircnseamnă că rezistenţa reală la rupere este mai mare decacirct

rezistenţa la rupere dată de punctul 119864 din diagrama caracteristică convenţională

Dificultatea obţinerii diagramei caracteristice reale faţă de cea a diagramei caracteristice

convenţionale şi considerarea unei rezistenţe la rupere mai mică decacirct a celei reale face

icircn practică utilizarea pe scară mare a diagramei caracteristice convenţionale

Caracteristicile mecanice determinate pe baza curbei caracteristice convenţionale

sunt şi ele caracteristici mecanice convenţionale

Caracteristicile mecanice convenţionale limita de proporţionalitate convenţională

120590119901 limita de elasticitate convenţională 120590119890 limita de curgere convenţională 120590119888 şi rezistenţa

de rupere 120590119903 constituie tensiuni limită pentru un material Pe baza acestor caracteristici

de material se alege valoarea tensiunii admisibile 120590119886 (vezi paragraful 35) pentru

calculele de rezistenţă Cea mai utilizată stare limită pentru stabilirea tensiunii admisibile

120590119886 este limita de curgere convenţională 120590119888

120590119886 =120590119897119894119898119888

=120590119888119888 119904119886119906 120590119886 =

120590119903119888 (447)

Caracteristicile mecanice ale materialului sunt influenţate de o serie de factori

temperatura viteza de solicitare factorii tehnologici iar valorile lor sunt date icircn tabele și

diagrame

Aplicaţie Pentru suprafaţa plană compusă din două dreptunghiuri avacircnd

dimensiunile din figura 49a să se calculeze

a) centrul de greutate al secțiunii compuse 119910119866 119911119866

b) momentele de inerție axiale 119868119911 119868119910 și momentul de inerție centrifugal 119868119911119910

c) razele de inerție 119894119911 119894119910

d) modulele de rezistență 119882119911119898119894119899 119882119911119898119886119909 119882119910119898119894119899 119882119910119898119886119909

e) momentele de inerție principale 1198681 1198682 și direcțiile principale de inerție 1205721

f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 119878119911

Fig 49 Aplicație

Rezolvare Pentru rezolvare vom parcurge următoarele etape

icircmpărțim suprafața compusă icircn două suprafețe simple (dreptunghiuri) notate cu

① și respectiv ② figura 49b

poziționăm centrele de greutate a celor două suprafețe simple ① și respectiv ②

notate cu 1198661 și respectiv 1198662 figura 49c

poziționăm sistemele de axe de coordonate 119911111986611199101 pentru dreptunghiul ① și

119911211986621199102 pentru dreptunghiul ② aflate la intersecția diagonalelor figura 49c

poziționăm sistemele de axe de coordonate 11991101198741199100 ales arbitrar față de care

determinăm poziția centrului de greutate 119866 figura 49c

a) calculăm poziția centrului de greutate folosind relațiile (46) icircn care

1198601 = 6119905 ∙ 119905 = 61199052 1198602 = 4119905 ∙ 119905 = 41199052 119860 = 1198601 + 1198602 = 61199052 + 41199052 = 101199052

iar centrele de greutate 1198661 și respectiv 1198662 au coordonatele (față de sistemul 11991101198741199100)

1198661 1199101 = 3119905 1199111 = 05119905

1198662 1199102 = 051199051199112 = 3119905

cu acestea obținem

119910119866 =1198601 ∙ 1199101 + 1198602 ∙ 1199102

119860=61199052 ∙ 3119905 + 41199052 ∙ 05119905

101199052=201199053

101199052= 2119905

119911119866 =1198601 ∙ 1199111 + 1198602 ∙ 1199112

119860=61199052 ∙ 05119905 + 41199052 ∙ 3119905

101199052=151199053

101199052= 15119905

Poziționăm centrul de greutate 119866 al suprafeței compuse figura 49c

Fig 49 Aplicație

b) pentru determinarea momentelor de inerție axiale 119868119911 119868119910 și a momentului de

inerție centrifugal 119868119910119911 determinăm constantele 1198881 1198882 1198891 1198892 care intervin icircn relația lui

Stainer

1198881 = 1199101 minus 119910119866 = 3119905 minus 2119905 = 119905 1198882 = minus(119910119866 minus 1199102) = minus(2119905 minus 05119905) = minus15119905

1198891 = minus(119911119866 minus 1199111) = minus(15119905 minus 05119905) = minus119905 1198892 = 1199112 minus 119911119892 = 3119905 minus 15119905 = 15119905

Folosind relațiile lui Stainer (429) (430) și (431) calculăm momentele de

inerție axiale și centrifugale față de sistemul central 119911119866119866119910119866

119868119911 =sum(119868119911119894 + 1198881198942 ∙ 119860119894) = 1198681199111 + 1198881

2 ∙ 1198601 + 1198681199112 + 11988822 ∙ 1198602

119868119910 =sum(119868119910119894 + 1198891198942 ∙ 119860119894) = 1198681199101 + 1198891

2 ∙ 1198601 + 1198681199102 + 11988922 ∙ 1198602

119868119911119910 =sum(119868119911119894119910119894 + 119888119894 ∙ 119889119894 ∙ 119860119894) = 11986811991111199101 + 1198881 ∙ 1198891 ∙ 1198601 + 11986811991121199102 + 1198882 ∙ 1198892 ∙ 1198602

1198681199111 = (119887 ∙ ℎ3

12) =

119905 ∙ (6119905)3

12= 181199054 1198681199112 = (

119887 ∙ ℎ3

12) =

4119905 ∙ 1199053

12= 031199054

1198681199101 = (1198873 ∙ ℎ

12) =

1199053 ∙ 6119905

12= 051199054 1198681199102 = (

1198873 ∙ ℎ

12) =

(4119905)3 ∙ 119905

12= 531199054

11986811991111199101 = 11986811991121199102 = 0 deoarece cele două triunghiuri au cel puțin o axă de simetrie

Cu acestea momentele de inerție axiale și momentul de inerție centrifugal devin

119868119911 = 181199054 + 1199052 ∙ 61199052 + 031199054 + (minus15119905)2 ∙ 41199052 = 3331199054

119868119910 = 051199054 + (minus119905)2 ∙ 61199052 + 531199054 + (15119905)2 ∙ 41199052 = 2081199054

119868119911119910 = 0 + 119905 ∙ (minus119905) ∙ 61199052 + 0 + (minus15119905) ∙ (15119905) ∙ 41199052 = minus151199054

c) razele de inerție sau de girație față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910

se calculează cu relațiile (411)

119894119911 = radic119868119911119860= radic

3331199054

101199052= 182119905 119894119910 = radic

119868119910

119860= radic

2081199054

101199052= 144119905

d) modulele de rezistență față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910 se

calculează cu relațiile (412) și (413)

Avacircnd icircn vedere figura 419c obținem

119910119898119886119909 = 6119905 minus 119910119866 = 6119905 minus 2119905 = 4119905 119910119898119894119899 = minus119910119866 = minus2119905

119911119898119886119909 = 5119905 minus 119911119866 = 5119905 minus 15119905 = 35119905 119911119898119894119899 = minus119911119866 = minus15119905

Se obține astfel

119882119911119898119894119899 =119868119911

|119910119898119886119909|=3331199054

4119905= 8331199053

119882119911119898119886119909 =119868119911

|119910119898119894119899|=3331199054

2119905= 16651199053

119882119910119898119894119899 =119868119910

|119911119898119886119909|=2081199054

35119905= 5941199053

119882119910119898119886119909 =119868119910

|119911119898119894119899|=2081199054

15119905= 13871199053

e) momentele de inerție principale 1198681 și respectiv 1198682 se calculează cu relațiile

(438)

11986812 =119868119911 + 119868119910

2plusmn1

2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)

2+ 4 ∙ (119868119911119910)

2=

=3331199054 + 2081199054

2plusmn1

2∙ radic(3331199054 minus 2081199054)2 + 4 ∙ (minus151199054)2 = 27051199054 plusmn 16251199054

De unde obținem

1198681 = 27051199054 + 16251199054 = 4331199054

1198682 = 27051199054 minus 16251199054 = 1081199054

Prima direcție principală de inerție 1 face cu axa centrală 119866119911 unghiul 1205721 dat de

relația (437)

1205721 =1

2∙ arctan (minus

2 ∙ 119868119911119910

119868119911 minus 119868119910) =

1

2∙ arctan [minus

2 ∙ (minus151199054)

3331199054 minus 2081199054] =33 70

Deoarece 1205721 gt 0 rotirea axelor se face acircn sens antiorar acelor de ceasornic figura

49d

Poziția axe principale 2 față de care momentul de inerție are valoarea minimă

1198682 = 119868119898119894119899 este dată de unghiul

1205722 = 1205721 + 900 = 33 70 + 900 = 123 70

f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 se determină cu relația

(45)

1198781199111198602 = 1198602 ∙ 1198882 = 41199052 ∙ (minus15119905) = minus61199053

Rezolvare

Pentru rezolvarea acestui sistem de forte de prezinta doua metode

a) Rezolvare analitică

Descopunem cele două forțe icircnclinate 2 și 3 după cele două axe de coordonate

Ox și Oy

2 = (minus1198652119909) ∙ 119894 + (1198652119910) ∙ 119895 = (minus1198652 ∙ cos 600) ∙ 119894 + (1198652 ∙ sin 60

0) ∙ 119895 =

= (minus200 ∙1

2) ∙ 119894 + (200 ∙

radic3

2) ∙ 119895 = minus100 ∙ 119894 + 100 ∙ radic3 ∙ 119895

3 = (minus1198653119909) ∙ 119894 + (minus1198653119910) ∙ 119895 = (minus1198653 ∙ cos 450) ∙ 119894 + (minus1198653 ∙ sin 45

0) ∙ 119895 =

= (minus300 ∙radic2

2) ∙ 119894 + (minus300 ∙

radic2

2) ∙ 119895 = minus150 ∙ radic2 ∙ 119894 minus 150 ∙ radic2 ∙ 119895

Pentru stabilirea mărimii şi ordinului rezultantei sistemului de forţe din figură se

procedează astfel

Forţele sunt exprimate analitic 119894 = 119883119894 ∙ 119894 + 119884119894 ∙ 119895 unde 119883119894 119884119894 sunt proiecţiile

forţei 119894 pe axele 119874119909 respectiv 119874119910

1 = 100 ∙ 119894 + 0 ∙ 119895

2 = minus100 ∙ 119894 + 1732 ∙ 119895

3 = minus2121 ∙ 119894 minus 2121 ∙ 119895

Fig 17 Aplicația 141

Se determină rezultanta forţelor cu următoarea relaţie

= sum119865119894 prime (sum119883119894

119899

119894=1

) ∙ 119894 + (sum119884119894

119899

119894=1

) ∙ 119895 = 119883 ∙ 119894 + 119884 ∙ 119895

unde 119883 119884 sunt componentele rezultantei pe axele 119874119909 respectiv 119874119910 = +

= (100 minus 100 minus 2121) ∙ 119894 + (0 + 1732 minus 2121) ∙ 119895 = (minus2121) ∙ 119894 + (minus389) ∙ 119895

rArr 119883 = minus2121 [119873]

119884 = minus389 [119873]

Cu acestea obținem rezultanta

119877 = radic1198832 + 1198842 = radic(minus2121)2 + (minus389)2 = 21564 [119873]

Se reprezintă grafic rezultanta icircn sistemul de coordonate 119909119874119910 după care se

calculează unghiul 120572 pe care aceasta rezultantă icircl face cu axa 119874119909 figura 18

tan 120572 =119884

119883=minus389

minus2121= 0183 rArr 120572 = arctan(0183) = 10 40

Fig 18 Reazultanta forțelor aplicate

b) Rezolvare tabelară

Forţa 119894 Componenta 119883119894 Componenta 119884119894

1 1198651 = 100 1198651 = 0

2 minus1198652 ∙ cos 600 = minus100 1198652 ∙ sin 60

0 = 1732

3 minus1198653 ∙ cos 450 = minus2121 minus1198653 ∙ sin 45

0 = minus2121

= sum119894 119883 =sum119883119894 = minus2121 119884 =sum119884119894 = minus389

După determinarea tabelară a celor două componente ale rezultandei calculele se

continua ca şi icircn cazul rezolvării analitice

142 Să se calculeze momentul forţei verticale = 100 [119873] icircn raport cu punctele

B D O şi icircn raport cu axele Ox Oy şi Oz figura 19 și să se determine componentele

torsorului de reducere ale forţei icircn punctul O dacă se cunosc 119886 = 3 [119898] şi 119887 = 4 [119898]

Fig 19 Aplicația 142

Fig 110 Icircnclinarea momentului 119872119874

119861 = 119861119860 times

119872119861 = 119886 ∙ 119865 = 3 ∙ 100 = 300 [119873 ∙ 119898]

119863 = 119863119860 times

119872119863 = 119887 ∙ 119865 = 4 ∙ 100 = 400 [119873 ∙ 119898]

119874 = 119874119860 times

119872119874 = 119888 ∙ 119865 = radic1198862 + 1198872 ∙ 119865 = radic32 + 42 ∙ 100 = 5 ∙ 100 = 500 [119873 ∙ 119898]

119874 se află icircn planul 119909119874119910 cu icircnclinarea 120572 (figura 110)

tan120572 =119886

119887=3

4= 075 rArr 120572 = arctan(075) = 36860

Deci

120572 = 900 minus 120573 = 900 minus 36860 = 53140

Concluzie Componentele torsorului de reducere al forței icircn punctul O sunt o forta

icircn O identică cu forța din punctul A și momentul forței icircn raport cu punctul O 119874

2 INTRODUCERE IcircN REZISTENŢA MATERIALELOR

21 Obiectul şi problemele Rezistenţei materialelor

Rezistenţa materialelor este o disciplină de cultură tehnică generală care continuă

logic şi dezvoltă Mecanica prin introducerea icircn calcule a proprietăţilor de deformabilitate

ale corpurilor solide reale Icircn Mecanică corpul solid este considerat rigid nedeformabil

iar vectorii forţă de icircncărcare sunt consideraţi alunecători Rezistenţa materialelor ia icircn

studiu corpurile reale care sub acţiunea forţelor exterioare (vectori legaţi) icircşi schimbă

forma geometrică respectiv dimensiunile iniţiale şi se distrug prin rupere la valori mari

ale acestora Prin calculele de rezistenţă se determină dimensiunile secţiunilor

transversale ale corpurilor (elemente de rezistenţă) icircn funcţie de mărimea poziţia şi modul

de acţionare a forţelor exterioare proprietăţile mecanice ale materialelor dimensiunile

constructive forma şi importanţa ansamblului icircn care se icircnglobează iar icircn anumite cazuri

şi de durata de funcţionare Elementele de rezistenţă trebuie să icircndeplinească următoarele

condiţii de bază

- condiţia de rezistenţă care are icircn vedere ca eforturile din elementul de rezistenţă

să nu producă distrugerea acestuia prin rupere sau spargere icircn bucăţi

- condiţia de rigiditate se referă la valorile deformaţiilor care nu trebuie să

depăşească anumite mărimile admisibile

- condiţia de stabilitate care consideră posibilitatea menţinerii formei de echilibru

stabil pentru o anumită stare de icircncărcare

Criteriile de rezolvare ale problemelor de Rezistenţa materialelor sunt

- criteriul economic prin care se impune ca orice element de rezistenţă (piesă) să

fie proiectat şi realizat cu soluţia cea mai economică icircn privinţa materialului utilizat şi al

manoperei

- criteriul de bună funcţionalitate a ansamblului din care face parte elementul de

rezistenţă proiectat respectacircnd condiţiile de rezistenţă rigiditate şi stabilitate

Icircn cadrul Rezistenţei materialelor se admit ipoteze simplificatoare care permit

obţinerea unor relaţii de calcul relativ simple şi care exprimă destul de fidel fenomenul

de solicitare real Experimentările practice icircn laborator permit verificarea legilor

rezistenţei materialelor şi determinarea caracteristicilor mecanice ale materialelor

Rezistenţa materialelor permite rezolvarea următoarelor categorii de probleme

- probleme de dimensionare prin care se stabilesc dimensiunile optime ale

elementelor de rezistenţă proiectate icircn funcţie de icircncărcările exterioare (forţe sau

momente) şi de caracteristicile mecanice ale materialului utilizat

- probleme de verificare la care se determină dacă un element de rezistenţă de

dimensiuni cunoscute satisface condiţiile de rezistenţă rigiditate şi stabilitate cunoscacircnd

icircncărcarea exterioară şi caracteristicile mecanice ale materialului utilizat

- probleme de calcul al capacităţii de icircncărcare al unui element de rezistenţă

cunoscacircndu-se caracteristicile mecanice ale materialului dimensiunile şi modul de

solicitare se determină icircncărcarea maximă pe care o poate suporta elementul de rezistență

fără a ceda sau a se deforma periculos

22 Clasificarea corpurilor icircn Rezistenţa materialelor

Corpurile (elementele de rezistenţă) au icircn general forme constructive relativ

complicate Icircn Rezistenţa materialelor pentru simplificarea calculelor corpurile se

schematizează prin forme geometrice mai simple obţinacircndu-se următoarele grupe

a) corpuri solide cu o dimensiune mult mai mare decacirct celelalte două (corpuri cu

fibră medie) Elementele geometrice caracteristice sunt axa longitudinală şi secţiunea

transversală Aceste corpuri solide pot fi

- fire dacă dimensiunile secţiunii transversale sunt foarte mici astfel icircncacirct axa

longitudinală este flexibilă (icircşi schimbă forma uşor) iar sarcinile transversale nu pot fi

preluate de acesta Un fir nu poate fi solicitat decacirct la icircntindere (exemplu cabluri de

macara lanţuri etc)

- bare care rezistă atacirct la solicitări axiale cacirct şi la solicitări transversale

După modul de solicitare barele poartă diferite denumiri convenţionale

tiranţi-solicitaţi la icircntindere figura 21a

stacirclpi-solicitaţi la compresiune figura 21b

grinzi-solicitate la icircncovoiere figura 21c

arbori-solicitaţi la torsiune (răsucire) figura 21d

Fig 21 Denumirea barelor după modul de solicitare

După modul cum variază secţiunea icircn lungul axei barele pot fi

de secţiune constantă figura 22a

de secţiune variabilă continuă figura 22b sau icircn trepte figura 22c

Fig 22 Denumirea barelor după secțiune

După forma axei longitudinale barele pot fi

drepte figura 21

curbe icircn plan figura 23a sau icircn spaţiu figura 23b (numite și curbe stracircmbe)

cotite (axa barei este o linie fracircntă) plane figura 23c sau spațiale figura 23d

Fig 23 Tipuri de bare curbe și cotite

Secţiunea transversală (plană şi normală pe axa barei) poate avea orice formă

geometrică constantă sau variabilă icircn lungul barei

Dacă una din dimensiunile secţiunii transversale (grosimea) este mai mică

comparativ cu celelalte bara se numește bară cu pereţi subţiri (exemplu barele

realizate din platbande sudate cu secţiuni sub formă de profil I profil U cornier etc)

b) corpuri care au două dimensiuni mult mai mari icircn raport cu a treia (grosimea)

se numesc plăci Elementele geometrice caracteristice ale unei plăci sunt forma şi

dimensiunile suprafeţei mediane respectiv grosimea Plăcile se reprezintă schematic

printr-o suprafață care imită forma și dimensiunile suprafeței mediane Suprafaţa mediană

reprezintă locul geometric al tuturor punctelor egal depărtate de cele două feţe ale plăcii

puncte aflate pe perpendicularele duse icircntre cele două feţe figura 24

După destinaţie și forma suprafeței mediane se deosebesc

plăci plane figura 24b

plăci curbe (icircnvelişuri) cu o singură curbură figura 24a sau avacircnd curbură

dublă figura 24c

Fig 24 Tipuri de plăci plane

Plăcile cu grosime mare sunt denumite frecvent dale O placă de grosime mică

ce nu poate prelua decacirct solicitări la icircntindere poartă numele de membrană

Exemple de plăci icircnvelişurile vasele de revoluţie discurile etc

c) corpuri masive care au toate cele trei dimensiuni aproximativ de acelaşi ordin

de mărime (blocuri de fundaţii bile şi role de rulmenţi tuburi cu pereţi groşi etc)

Calculele de rezistenţă sunt mai simple icircn cazul barelor drepte şi mai complicate

la barele curbe plăci respectiv blocuri

23 Clasificarea icircncărcărilor exterioare

Un corp icircşi păstrează forma şi dimensiunile datorită forţelor de atracţie dintre

particulele sale elementare atacircta timp cicirct asupra sa nu acţionează alte forţe aplicate din

exterior care să-l deformeze Icircn construcţia de maşini elementele de rezistenţă preiau şi

transmit acţiunea unor sarcini exterioare (forţe şisau cupluri) pe care le vom denumi

generic forțe sau icircncărcări exterioare Efectul pe care-l au sarcinile este acela de a

modifica forma şi dimensiunile corpului asupra căruia se aplică Icircn punctele de rezemare

(de sprijin sau de legătură cu alte elemente de rezistenţă icircnvecinate) ca urmare a

principiului acţiunii şi reacţiunii apar forţe de legătură sau reacţiuni Ansamblul format

din sarcini şi reacţiuni este cunoscut sub numele de forţe exterioare Sub acţiunea

forţelor exterioare elementele de rezistenţă trebuie să fie icircn echilibru

Forţele exterioare pot fi clasificate după următoarele criterii

a) după mărimea suprafeţei pe care se aplică

- forțe concentrate aplicate teoretic icircntr-un punct figura 25a

- forțe distribuite uniform sau cu intensitate variabilă icircn lungul barei sau pe o

suprafaţă figura 25bc şi d

- momente concentrate care acţionează icircntr-un punct M sau momente uniform

distribut pe o anumită lungime m

Fig 25 Tipuri de sarcini după mărimea suprafeţei de aplicare

b) după locul de aplicare se deosebesc

- forţe de suprafaţă sau de contur care sunt aplicate din exterior pe suprafaţa

corpurilor şi indică legătura cu piesele icircnvecinate

- forţe masice sau de volum distribuite icircn tot corpul (greutăţi forţe de inerţie

respectiv forţe electromagnetice)

c) după modul de acţiune icircn timp se disting

- forţe statice care se aplică lent şi progresiv pacircnă la valoarea nominală de lucru

şi apoi rămacircn constante figura 26a

- forţe dinamice care rezultă din

aplicarea cu icircntreaga intensitate de la icircnceputul perioadei de solicitare iar apoi forţa se

menţine constantă timp icircndelungat figura 26b (forţe de inerţie)

aplicarea bruscă a sarcinii asupra corpului durata de acţiune a sarcinii fiind mică figura

26c (forţe de şoc)

variaţia periodică icircn timp a intensităţii forţei aplicate figura 26d (forţe de oboseală)

Fig26 Tipuri de forţe exterioare (cicluri de solicitare)

Funcţie de modul de variaţie al forţelor exterioare solicitările pot fi statice

oscilante pulsante alternante etc Experimental s-a constatat că rezistenţa unui material

depinde foarte mult de modul de variaţie a forţelor icircn timp Bach a clasificat solicitările

icircn 3 categorii 1-solicitări statice 2-solicitări pulsante 3-solicitări alternant simetrice

Rezistenţa unui material este icircn raportul 321 pentru cele 3 cazuri de solicitare ale lui

Bach Aceasta icircnseamnă că o piesă solicitată static rezistă la o forţă de 3 ori mai mare

decacirct forţa maximă care produce ruperea aceleaşi piese solicitate alternant simetric

d) după poziţia icircn timp a forțelor se disting

- forţe fixe ale căror puncte de aplicaţie sunt mereu aceleaşi

- forţe mobile ale căror puncte de aplicaţie se deplasează icircn timp De exemplu

sarcinile produse de vehiculele care circulă pe un pod sarcinile unei grinzi de pod rulant

icircntr-o halăetc

24 Reazeme Forțe interioare Eforturi Diagrame de eforturi icircn barele

drepte

241 Reazeme Reacțiuni (forțe de legătură)

Pentru a prelua şi transmite acţiunea sarcinilor exterioare elementele de rezistenţă

din componenţa unei structuri sunt fixate icircntre ele prin intermediul unor legături

exterioare numite reazeme Aceste legături au ca scop icircmpiedicarea anumitor mişcări ale

corpului pe direcţiile pe care acestea nu trebuie să se producă O legătură are deci rolul

de a anula unul sau mai multe grade de libertate ale corpului icircn punctul de rezemare Dacă

este anulat un singur grad de libertate legătura este simplă iar dacă sunt impiedicate mai

multe grade de libertate legătura este una compusă Datorită existenţei sarcinilor

exterioare icircn punctele de rezemare pe direcţiile pe care mişcările sunt icircmpiedicate apar

forţe de legătură numite reacţiuni Numărul natura şi direcţiile reacţiunilor depind de

tipul reazemelor Icircn construcţiile reale există o varietate mare de realizare practică a

reazemelor dar icircn calcule se acceptă anumite schematizări care reţin doar aspectul esenţial

al unui reazem şi anume gradul sau gradele de libertate anulate

Pentru o structură de rezistenţă spaţială icircntr-un punct oarecare sunt posibile şase

deplasări trei deplasări liniare (după direcţiile axelor unui sistem ortogonal) şi trei rotiri

(deplasări unghiulare) icircn jurul aceloraşi axe Ca urmare ar fi posibil de realizat maximum

şase tipuri de reazem

Pentru un element de rezistenţă plan icircncărcat cu eforturi cuprinse icircn planul

elementului icircn orice punct sunt posibile trei gade de libertate două deplasări liniare şi o

rotiri Ca urmare pentru cazul unei bare plane se icircntacirclnesc următoarele tipuri de reazeme

1 Reazemul simplu sau reazemul mobil care icircmpiedică deplasarea pe o direcţie

normală pe suprafaţa de rezemare permiţacircnd deplasarea pe o direcţie paralelă cu

suprafaţa de rezemare şi rotirea barei icircn jurul unei axe perpendiculare pe plan icircn punctul

de rezemare Icircn urma icircmpiedicării deplasării şi datorită unor sarcini exterioare icircn

reazemul simplu apare o reacţiune de tip forţă a cărei suport trece prin punctul de

rezemare şi a cărei direcţie este perpendiculară pe suprafaţa de rezemare figura 27

Fig 27 Reazem simplu (mobil)

Icircn figura 27 este reprezentat un reazem mobil poziţionat pe capătul A al unei bare

plane orizontale fiind evidenţiate punctul şi suprafaţa de rezemare direcţia suportului

reacţiunii şi modul de schematizare al reazemului Cea mai des icircntacirclnită reprezentare a

reazemului mobil este a unui triunghi a cărui bază poate luneca pe suprafaţa de rezemare

2 Reazemul fix sau articulaţia icircmpiedică deplasările liniare după toate direcţiile

din planul barei permiţacircnd doar rotirea barei icircn jurul unei axe perpendiculare pe plan şi

care trece prin puncul de rezemare Reacţiunea este cuprinsă icircn planul barei care trece

prin punctul de rezemare dar a cărei mărime şi direcţie nu sunt cunoscute (forţa R)

figura 28

Fig 28 Reazem fix

Se preferă ca icircn locul unei forţe R avacircnd direcţia oarecare icircn plan necunoscută să

se introducă două forţe (HA şi VA) cărora li se cunoaşte direcţia şi pentru care se vor

determina modulele ca valori din condiţiile de echilibru static Icircntr-un reazem fix apar

icircntotdeauna reacţiuni atacirct pe direcţia perpendiculară pe suprafaţa de rezemare

(verticală) cacirct şi pe direcţia paralelă cu prima (orizontală) chiar dacă uneori una sau

chiar ambele reacţiuni au valoarea zero Reprezentarea schematică a articulaţiei este cea

a unui triunghi cu baza fixă şi cu vacircrful icircn punctul de rezemare sau cea a unui pendul

dublu figura 28

3 Icircncastrarea (sau icircnţepenirea) anulează toate gradele de libertate ale capătului

unei bare icircmpiedicacircnd deplasarea liniară după orice direcţie din plan precum şi rotirea

barei icircn jurul unei axe perpendiculare pe plan şi care trece prin punctul de icircncastrare

Urmare a existenţei sarcinilor exterioare şi a blocării deplasărilor icircn icircncastrare apare o

reacţiune căreia nu i se cunoaşte nici mărimea nici direcţia şi nici punctul de aplicaţie

figura 29

Fig 29 Icircncastrarea

Sub acţiunea forţelor exterioare un sistem este icircn echilibru Valoarea reacţinilor

se determină din condiţia de echilibru a sistemului solicitat

Este cunoscut faptul că un sistem plan este icircn echilibru dacă

nu se deplasează pe o direcţie (fie x această direcţie)

nu se deplasează pe o direcţie perpendiculară pe prima (fie y această direcţie)

nu se roteşte faţă de un punct al planului (fie K acest punct)

Cele trei condiţii enunţate mai sus sunt satisfăcute dacă suma proiecţiilor tuturor

forţelor pe direcţia x respectiv y este nulă şi suma tuturor momentelor (cuplurilor) faţă

de un punct al planului este nulă

242 Forțe interioare Metoda secțiunilor

Icircn vederea calculului de rezistenţă de rigiditate şi de stabilitate a barelor sau a

sistemelor de bare este necesară determinarea forţelor şi momentelor interioare

(eforturilor) care apar icircn secţiunile transversale ale acestora şi datorate icircncărcărilor

exterioare Forțele interioare indică legătura dintre particulele din interiorul corpului şi

se pun icircn evidenţă prin metoda secţiunilor care este un procedeu de raţionament

imaginar propus de Cauchy echivalent cu teoria echilibrului părţilor Conform acestui

raționament bdquodacă un corp solid deformabil este icircn echilibru sub acţiunea unui sistem

generalizat de forţe atunci după secționare fiecare parte a sa va fi icircn echilibru sub

acţiunea forţelor exterioare care-i revin şi a unui sistem de forţe pe care trebuie să-l

introducem icircn secţiunea ce delimitează fiecare parte echivalent cu acţiunea forţelor

aplicate pe partea icircndepărtatărdquo

Problemele care apar la aplicarea metodei secţiunilor sunt

- să pună icircn evidenţă existenţa forţelor interioare mai ales că din ceea ce se ştie o

forţă apare icircn prezenţa a două corpuri ca urmare a principiului acţiunii şi reacţiunii

- să explice modul de distribuţie al forţelor interioare pe secţiune

Considerăm un corp aflat icircn echilibru sub acţiunea unui sistem de forţe exterioare

1 2 3⋯119894 ⋯ 119899minus1 119899 şi presupunem că-l secţionăm cu un plan transversal Q (sau cu

o suprafaţă oarecare) figura 210a Icircn urma secţionării fictive (imaginare) conform

principiului echilibrului părţilor fiecare din cele două părţi obţinute trebuie să fie icircn

echilibru sub acţiunea forţelor exterioare care le revin şi a cacircte unui sistem de forţe

interioare pe care trebuie să-l introducem icircn secţiunile rezultate sistem echivalent cu

acţiunea forţelor exterioare ce acţionează asupra celeilalte părţi Astfel pe partea din

dreapta (notată cu II) delimitată de secţiunea de arie Ad sunt aplicate forţele exterioare

119894 ⋯ 119899minus1 119899 şi un sistem de forţe interioare căruia nu i se cunoaşte decacirct efectul acelaşi

cu cel al forţelor 1 2 3 de pe parea din stacircnga (notată cu I şi delimitată de secţiunea

de arie As) figura 210b Prin metoda secţiunilor am reuşit să punem icircn evidenţă existenţa

forţelor interioare şi să le trecem icircn categoria celor exterioare cărora le putem aplica

relaţiile de echivalenţă şi de echilibru cunoscute din statică Ideal ar fi să cunoaştem

distribuţia şi intensitatea punctuală a acestor forţe pentru că s-ar putea ca icircn anumite

puncte ale secţiunii valoarea forţelor să depăşească limita de rezistenţă (limita de curgere)

a materialului Cunoaşterea distribuţiei punctuale a forţelor interioare nu se poate realiza

decacirct icircn cazuri particulare relativ simple de solicitare

Să considerăm partea din dreapta a corpului asupra căreia acționează forțele

119894 ⋯ 119899minus1 119899 mărginit de aria Ad pe care acționează un sistem de forțe interioare

echivalent cu 1 2 3 Deși forțele interioare de pe Ad nu se cunosc totuși efectul lor

este același cu cel al forțelor 1 2 3 deci le putem reduce icircn centrul de greutate C al

secțiunii Ad rezultacircnd componentele torsorului de reducere al forțelor interioare

(119894119889 119894119889) și pentru partea din stacircnga (119894119904 119894119904) Evident conform principiului acțiunii și

reacțiunii

119894119889 = minus119894119904

119894119889 = minus119894119904 (21)

Pe de altă parte cum fiecare dintre părțile corpului după secționare trebuie să fie

icircn echilibru sub acțiunea forțelor exterioare care le revin și a forțelor interioare introduse

rezultă

119894119889 = minus119890119889

119894119889 = minus119890119889

119894119904 = minus119890119889

119894119904 = minus119890119904 (22)

Combinacircnd (21) cu (22) rezultă

119894119889 = 119890119889

119894119889 = 119890119889

119894119904 = 119890119904

119894119904 = 119890119904 (23)

Fig 210 Forțe interioare

Relațiile (22) și (23) permit determinarea componentelor torsorului de reducere

al forțelor interioare din (23) rezultă componentele torsorului forțelor interioare care

acționează icircn secțiunea Ad sunt egale cu componentele torsorului de reducere al forțelor

exterioare de pe partea din stacircnga din (22) rezultă componentele torsorului forțelor

interioare care acționează icircn secțiunea Ad sunt egale și de sens contrar cu componentele

torsorului de reducere al forțelor exterioare de pe partea din dreapta

Observații

1 Torsorul forțelor interioare diferă de la o secțiune la alta dar pentru aceeași

secțiune el este unic și trebuie să respecte condițiile de compatibilitate a deformațiilor

2 Reducacircnd forțele interioare icircn centrul de greutate al secțiunii s-a făcut o

aproximare icircn ceea ce privește efectul modului de dispunere al forțelor

3 Punctul de reducere trebuie să fie

pentru forțele interioare normale la secțiune centrul de greutate

pentru forțele interioare tangente la planul secțiunii centrul de răsucire sau de

tăiere

243 Eforturi

Prin metoda secțiunilor am pus icircn evidență existența forțelor interioare și modul

icircn care se determină componentele torsorului de reducere al forțelor interioare (119894119889 119894119889) de pe fața din dreapta secțiunii (Ad) Cele două componente ale torsorului de reducere al

forțelor interioare de pe Ad se pot descompune după axele unui sistem de referință

triortogonal xCyz astfel

119894119889 = +

119894119889 = 119909 +119872119894 (24)

unde și 119909 sunt proiecțiile lui 119894119889 și respectiv 119894119889 pe axa longitudinală Cx a

barei iar și 119894 sunt proiecțiile acelorași componente 119894119889 și respectiv 119894119889 pe planul yCz

al secțiunii transversale Ad figura 211

Fig 211 Torsorul de reducere al forţelor interioare

La racircndul lor și 119894 se pot descompune după axele sistemului yCz figura 212

= 119910 + 119911

119894 = 119894119910 + 119894119911 (25)

Fig 212 Descompunerea forţei tăietoare şi a momentului icircncovoietor

Cele șase componente ale torsorului de reducere al forțelor interioare ( 119910 119911

119909 119894119910 119894119911) orientate după axele sistemului de referință xCyz se numesc eforturi

Fiecare efort are o denumire stabilită icircn funcție de tipul de deformație pe care-l produce

De asemenea semnul plus (bdquo+rdquo) sau minus (bdquondashrdquo) al fiecărui efort nu depinde de sensul

pozitiv sau negativ al sistemului de axe ci doar de efectul icircn deformații al fiecărui efort

Denumirile celor șase eforturi sunt

119873 este forța axială

119879119910 119879119911 sunt forțe tăietoare orientate după axele Cy și respectiv Cz

119872119909 notat de cele mai multe ori cu 119872119905 este moment de torsiune sau de răsucire

119872119894119911 119872119894119910 sunt momente de icircncovoiere icircn jurul axei Cz și respectiv Cy

Forța axială 119873 poate fi forță axială de icircntindere cacircnd produce o lungire a

tronsonului pe a cărei față acționează (119873 gt 0) figura 213a sau forță axială de

compresiune cacircnd sub efectul ei bara se scurtează (119873 lt 0) figura 213b

Fig 213 Forța axială

Forțele tăietoare 119879119910 și 119879119911 au ca efect lunecarea secțiunii icircn centrul căreia

acționează icircn raport cu secțiunea icircnvecinată lunecare ce se produce pe direcția și icircn sensul

forței Sub acțiunea unei forțe tăietoare bara este solicitată la forfecare Forța tăietoare

este pozitivă 119879119910 gt 0 dacă icircn raport cu un punct oarecare K de pe axa Cx a barei tinde să

rotească secțiunea pe care acționează icircn sens orar

Fig 214 Forța tăietoare

Momentele de icircncovoiere 119872119894119911 și 119872119894119910 au ca efect o rotire a secțiunii icircn centrul

cărora acționează icircn jurul axei după care sunt orientate Icircn figura 215a se vede că

datorită momentului 119872119894119911 fibrele de deasupra axei Cz se alungesc icircn timp ce fibrele de sub

axa Cz se scurtează Fibrele care trec prin axa de icircncovoiere Cz nu se deformează sunt

fibre neutre la icircncovoiere adică axa neutră este Cz Icircn cazul momentului de icircncovoiere

119872119894119910 fibrele care nu se deformează sunt cele care trec prin axa neutră la icircncovoiere Cy

Momentele de icircncovoiere se consideră a fi pozitive (119872119894119911 gt 0119872119894119910 gt 0) dacă

observatorul care privește bara deformată vizualizează fibrele icircntinse

Fig 215 Momentul icircncovoietor

Momentul de torsiune sau de răsucire 119872119909 equiv 119872119905 are ca efect o rotire a secțiunii

icircn al cărei centru acționează icircn jurul axei longitudinale Cx Ca efect secțiunea icircși schimbă

forma (se deformează) adică unghiurile inițiale se modifică dreptunghiul inițial Ad

devine paralelogram Convențional se consideră 119872119905 gt 0 dacă vectorul moment are

aceeași orientare ca și sensul pozitiv ales pextru axa Cx Icircn figura 216 momentul este

negativ

Fig 216 Momentul de torsiune

25 Definiții și convenții de semne pentru eforturile

din secțiunile unei bare drepte plane icircncărcate cu sarcini coplanare

Vom considera o bară plană icircncărcată cu un sistem de forțe arbitrar figura 217

Ne propunem să determinăm eforturile care apar icircn secțiunea barei aflată la distanța 119909 de

reazemul din stacircnga (A)

Pentru aceasta vom aplica metoda secțiunilor vom secționa bara cu un plan

perpendicular pe axa longitudinală a barei și vom analiza doar partea din dreapta secțiunii

mărginită de fața Ad Pentru ca această porțiune de bară să fie icircn echilibru sub acțiunea

forțelor exterioare care acționează asupra sa 1198653 și 119881119861 va trebui să introducem icircn centrul

secțiunii Ad eforturile care pot să apară 119873 119879119910 119872119894119911 Acțiunea acestor eforturi trebuie să

fie echivalentă cu acțiunea forțelor exterioare aplicate pe partea icircnlăturată (parcursă) a

barei 119867119860 119881119860 1198651 1198652 1198720

Deoarece bara este plană și este icircncărcată doar cu sarcini ce aparțin

planului barei

icircn secțiunea Ad apar doar 3 componente ale torsorului de reducere al forțelor

interioare (eforturi)

- 119873 = forța axială

- 119879119910 = forța tăietoare pe care o vom nota cu 119879

- 119872119894119911 = momentul icircncovoietor notat cu Mi

Fig 217 Bară plană icircncărcată cu un sistem de forțe

Vom prezenta următoarele definiții corespunzătoare eforturilor din secțiunea Ad

119873 = forța axială dintr-o secțiune este egală cu suma algebrică a proiecțiilor pe

axa longitudinală a tuturor forțelor exterioare (sarcini și reacțiuni) aplicate pe partea

din stacircnga secțiunii adică pe porțiunea parcursă Forța axială 119873 este pozitivă dacă trage

de tronsonul pe a cărei față acționează (are orientarea normalei exterioare la secțiunea

Ad)

119873(119909) = minus119867119860 + 1198651119867 (26)

119879 = forța tăietoare icircntr-o secțiune este egală cu suma algebrică a proiecțiilor

pe o axă perpendiculară pe axa barei a tuturor forțelor exterioare (sarcini și reacțiuni)

aplicate pe porțiunea de bară aflată icircn stacircnga secțiunii considerate Forța tăietoare 119879

este pozitivă dacă tinde să rotească tronsonul pe a cărui față acționează icircn sens orar icircn

raport cu un punct de pe axa barei aflat la dreapta secțiunii

119879(119909) = 119881119860 minus 1198651119881 minus 1198652 (27)

119872119894 = momentul icircncovoietor icircntr-o secțiune este egal cu suma algebrică a

momentelor obținute prin reducerea tuturor forțelor exterioare ( cupluri sarcini

reacțiuni) aplicate pe porțiunea de bară aflată la stacircnga secțiunii icircn centrul secțiunii

considerate 119872119894 este considerat pozitiv dacă tinde să deformeze bara astfel icircncacirct fibrele

spre care privește un observator să fie icircntinse Cum poziția observatorului este de regulă

sub bară bara se deformează dacă 119872119894 gt 0 astfel icircncacirct partea jos a barei este icircntinsă Se

spune că bara deformată rdquoține apaldquo

119872119894(119909) = 119881119860 ∙ 119909 minus 1198651119881 ∙ (119909 minus 1198971) minus 1198652 ∙ [119909 minus (1198971 + 1198972)] + 1198720 (28)

Sensurile pozitive ale eforturilor care apar icircn centrul secțiunii Ad (deci atunci cacircnd

sensul de parcurs la aplicarea metodei secțiunilor este cel de la stacircnga la dreapta) sunt

indicate icircn figura 218a iar dacă sensul de parcurs este de la dreapta la stacircnga sensurile

pozitive ale eforturilor sunt indicate icircn figura 218b

Fig 218 Convenţia de semne

Definiții asemănătoare se pot da și pentru eforturile din centrul secțiunii As figura

218b adică pentru cazul icircn care sensul de parcurs este cel de la dreapta la stacircnga și deci

partea luată icircn considerare este cea din stacircnga iar partea parcursă din dreapta secțiunii

este icircnlăturată

119873(1199091) = 1198653119867

119879(1199091) = 1198653119881 minus 119881119861

119872119894(1199091) = 119881119861 ∙ 1199091 minus 1198653119881 ∙ (1199091 minus 1198975)

(29)

Avacircnd icircn vedere că fețele Ad și As aparțin aceleeași secțiuni este evident faptul că

eforturile 119873(119909) 119879(119909) și 119872119894(119909) sunt identice cu eforturile 119873(119961120783) 119879(119961120783) și respectiv

119872119894(119961120783) Icircn figura 218c se prezintă o sinteză a convențiilor de semne pozitive pentru cele

3 eforturi atacirct pentru sensul de parcurs de la stacircnga la dreapta (secțiunea Ad) cacirct și pentru

sensul invers (secțiunea As)

Semnele eforturilor sunt importante icircntrucacirct există materiale cu comportări diferite

la icircntindere față de compresiune iar o schimbare a semnului unui efort poate produce

erori grave icircn calcule Semnele eforturilor au fost stabilite icircn funcție de deformațiile

produse și nu depind de sensul axelor sistemului de coordonate

26 Relaţii diferenţiale icircntre eforturi şi sarcini

Pentru a vedea ce legătură există icircntre eforturi și sarcini vom considera o bară

dreaptă icircncărcată cu o sarcină distribuită după o lege oarecare figura 219a Din această

bară vom decupa prin dublă secționare un element de lungime infinit mică 119889119909 Deoarece

lungimea 119889119909 este foarte mică se poate considera sarcina 119901 uniform distribuită Icircn

secțiunile rezultate trebuie să introducem eforturile care pot apărea

- 119879 şi 119872119894 icircn centrul secțiunii din sticircnga eforturi pe care le considerăm pozitive

- 119879 + 119889119879 şi 119872119894 + 119889119872119894 icircn centrul secțiunii din dreapta elementului

Aceste eforturi au o variație mică (119889119879 şi 119889119872119894) față de secțiunea anterioară Spre

deosebire de cazul icircn care bara este secționată o singură dată icircn acest caz eforturile nu

pot fi determinate din cele 2 condiții de echilibru independente deoarece icircn ecuațiile de

echilibru apar 4 necunoscute 119879 119889119879119872119894 și 119889119872119894 deci că problema este dublu static

nedeterminată figura 219

Fig 219 Echivalența icircntre eforturi și sarcini

Ecuațiile de echilibru scrise pentru elementul din figura 219b conduc la stabilirea

unor relaţii foarte importante

(sum119865)119910= 0 hArr 119879 minus 119901 ∙ 119889119909 minus (119879 + 119889119879) = 0 rArr

119889119879

119889119909= minus119901 (210)

Relația (210) arată că derivata funcţiei forţei tăietoare icircn raport cu abscisa

secţiunii este egală cu sarcina distribuită normală la axa barei din acea secţiune luată

cu semn schimbat

Observații

dacă 119901 = 0 nu există sarcină distribuită atunci forța tăietoare T este constantă

icircnclinarea pantei diagramei forței 119879 este egală cu (ndash 119901) (sarcina distribuită cu

semn schimbat)

dacă 119901 = 119888119900119899119904119905 119879 variază liniar pe acel interval

Asemănător se deduce că derivata funcţiei forţei axiale icircn raport cu abscisa

secţiunii este egală cu sarcina distribuită axială din acea secţiune luată cu semn

schimbat adică

119889119873

119889119909= minus119901119867 (211)

Din condiția de echilibru suma de momente faţă de centrul de greutate al secţiunii

din dreapta

(sum119872)119862= 0 hArr 119872119894 minus (119872 + 119889119872119894) + 119879 ∙ 119889119909 minus 119901 ∙

(119889119909)2

2= 0 rArr

119889119872119894

119889119909= 119879 (212)

Relația (212) s-a obținut dupa reducerea termenilor și prin neglijarea infinitului

mic de ordinul 2

119901 ∙(119889119909)2

2

Relația (212) arată că derivata funcţiei moment icircncovoietor icircn raport cu abscisa

secţiunii este egală cu forţa tăietoare din acea secţiune

Observații

dacă 119879 = 0 momentul 119872119894 are un punct de extrem se obține o valoare maximă

pentru 119872119894119898119886119909 dacă forța tăietoare 119879 se anulează trecacircnd de la plus icircn stacircnga la minus icircn

dreapta secțiunii

dacă forța tăietoare este pozitivă pe un interval 119879 gt 0 atunci 119872119894 este crescătoare

pe acel interval

dacă forța tăietoare este negativă pe un interval 119879 lt 0 atunci 119872119894 este

descrescătoare pe acel interval

dacă pe un interval 119901 = 0 forța tăietoare este constantă 119879 = 119888119905 iar 119872119894 variază

liniar pe acel interval

dacă 119901 = 119888119900119899119904119905 119879 variază liniar pe acel interval iar 119872119894 variază parabolic pe

acel interval

Relaţiile diferenţiale sunt utile la reprezentarea corectă şi verificarea diagramelor

de eforturi astfel

pentru porţiunile de grindă pe care p = 0 eforturile N şi T sunt constante iar pe

porţiunile cu p = const eforturile N şi T variază liniar (relaţiile 211 şi 210)

dacă pe o porţiune T = const momentul icircncovoietor Miz variază liniar iar dacă

T variază liniar atunci momentul Miz variază parabolic (relaţia 212)

pe domeniile pe care T gt 0 funcţia Mi(x) este crescătoare iar icircn secţiunea icircn

care T = 0 (graficul funcţiei T intersectează axa x) momentul icircncovoietor are un punct

de extrem local (maxim sau minim relaţia 212)

Pentru rezolvarea problemelor referitoare la trasarea diagramelor de eforturi

pentru barele drepte solicitate de sisteme de forţe plane se parcurg următoarele etape

1) identificarea forţelor aplicate (date) şi pregătirea lor pentru calcule

(descompunerea forţelor concentrate pe direcţiile x şi y calculul rezultantelor forţelor

distribuite)

2) identificarea reazemelor şi introducerea reacţiunilor corespunzătoare (vezi

figurile 27divide29)

3) stabilirea ecuaţiilor de echilibru static calculul şi verificarea reacţiunilor Icircn

rezistența materialelor se folosește sistemul de ecuații (vezi figura 217)

(sum119865)

119909= 0

(sum119872)119860= 0

(sum119872)119861= 0

(213)

4) identificarea domeniilor de variaţie şi scrierea funcţiilor de eforturi pentru N T

şi Mi

5) reprezentarea grafică a diagramelor de eforturi

6) verificarea corectitudinii diagramelor pe baza relaţiilor diferenţiale icircntre eforturi

şi sarcini

Aplicație Pentru grinda dreaptă icircncărcată cu sistemul de forţe reprezentat icircn figura

220 se cere

a) să se calculeze şi să se verifice reacţiunile

b) să se stabilească funcţiile eforturilor Nx Ty şi Miz şi să se reprezinte diagramele

de variaţie

c) să se analizeze relaţiile diferenţiale icircntre eforturi şi sarcini

Dimensiunile grinzii au valorile a = 6 [m] b = 4 [m] și c = 4[m] sistemul de

forţe aplicat fiind format din p = 10 [kN mfrasl ] F = 20 [kN] (icircnclinată cu unghiul α =300 faţă de orizontală) şi M0 = 40 [kN ∙ m]

Rezolvare

a) Se fac următoarele precizări

grinda dreaptă se reprezintă prin axa geometrică

forţa icircnclinată F se descompune după direcţiile orizontală şi verticală icircn FV =F ∙ sin α = 10 [kN] şi FH = F ∙ cos α = 173 [kN]

forţa distribuită uniform p este echivalentă din punct de vedere static cu

rezultanta sa R = p ∙ a = 60 [kN] care acţionează la jumătatea porţiunii de lungime a

icircn reazemele 119860 şi 119861 se introduc componentele HA şi VA respectiv VB ale

reacţiunilor

Pentru calculul reacţiunilor se utilizează ecuaţiile de echilibru static al grinzii

sumXi = 0 HA minus FH = 0 sumYi = 0 VA + VB minus R minus FV = 0 (sumM)B = 0 VA ∙ (b + a) minus R ∙ (b + 05 ∙ a) minus M0 + FV ∙ c = 0

(A1)

Din prima ecuaţie se obţine HA iar din cea de-a treia ecuaţie rezultă VA

HA = FH = 173 [kN]

VA =[R ∙ (b + 05 ∙ a) + M0 minus FV ∙ c]

(b + a)=[60 ∙ (4 + 05 ∙ 6) + 40 minus 10 ∙ 4]

(4 + 6)

VA = 42 [kN]

(A2)

Fig 220 Aplicație

Se observă că cea de-a doua ecuaţie de echilibru conţine două necunoscute

reacţiunile VA şi VB Pentru a calcula componenta VB nu este indicată introducerea lui VA

icircn cea de-a doua ecuaţie a sistemului (A1) pentru că o valoare determinată greşit pentru

VA conduce la o valoare VB de asemenea greşită O ecuaţie independentă din care se poate

determina componenta VB este următoarea

(sumM)A= 0 FV ∙ (a + b + c) minus VB ∙ (a + b) minus M0 + R ∙ 05 ∙ a = 0 (A3)

de unde se obţine

VB =[FV ∙ (a + b + c) minusM0 + R ∙ 05 ∙ a]

(b + a)=[10 ∙ (6 + 4 + 4) minus 40 + 60 ∙ 05 ∙ 6]

(6 + 4)

VB = 28 [kN] (A4)

Ecuaţia de proiecţii ale forţelor pe direcţia verticală (a doua ecuaţie din sistemul

A1) se utilizează pentru verificarea reacţiunilor deja determinate

VA + VB minus R minus FV = 0 rArr 42 + 28 minus 60 minus 10 = 0 (A5)

Ultima egalitate demonstrează că reacţiunile verticale au fost calculate corect

Din cele de mai sus rezultă ordinea firească pentru determinarea reacţiunilor icircn

cazul grinzilor simplu rezemate

sumXi = 0

(sumM)A = 0

(sumM)B = 0

(A6)

iar pentru verificarea componentelor verticale VA şi VB se folosește ecuaţia sumY = 0

b) La stabilirea funcţiilor de eforturi se parcurg icircn general etapele următoare

se notează (numeric sau literal după preferinţă) secţiunile care delimitează

domeniile (intervalele sau tronsoanele) pe care eforturile nu-şi modifică funcţiile (au legi

unice de variaţie)

pe fiecare domeniu se marchează secţiunea imaginară icircn care se stabilesc

funcţiile eforturilor

secţiunea astfel aleasă separă icircn două părţi grinda şi anume porţiunea din stacircnga

şi porţiunea din dreapta secţiunii

se va considera parcursă (şi icircndepărtată) acea parte pe care acţionează mai puţine

sarcini exterioare pentru că acestea vor interveni icircn expresiile funcţiilor de eforturi

poziţiile secţiunilor imaginare se vor determina prin variabilele x1 ⋯ xn (unde

n reprezintă numărul domeniilor de variaţie) cu originea fixată icircn capătul intervalului şi

sensul de parcurgere spre partea considerată rămasă

Grinda prezentată icircn figura 220 are trei domenii de variaţie pentru funcţiile de

eforturi după cum urmează (A-1) (2-B) şi (B-1)

Domeniul (A-1) x1 isin [0 a = 6 m] Porţiunea parcursă şi considerată icircndepărtată este cea de coordonată x1 pe care

acţionează reacţiunile HA şi VA precum şi rezultanta parţială a sarcinii distribuite R1 =p ∙ x1

Funcţia forţă axială Nx are expresia

Nx(x1) = NAminus1 = minusHA = minus173 [kN] = const

(A7)

Funcţia forţă tăietoare Ty are exspresia

Ty(x1) = TAminus1 = VA minus R1 = VA minus p ∙ x1 (A8)

care reprezintă o variaţie liniară de variabilă x1 Se calculează valorile forţei tăietoare la

limitele intervalului de variaţie

- pentru x1 = 0 Ty(x1 = 0) = TA = VA = 42 [kN]

- pentru x1 = a = 6 [m] Ty(x1 = 6) = T1 = VA minus p ∙ a = minus18 [kN]

Observaţie Aşa cum a fost stabilită secţiunea fictivă poziţionată prin coordonata

x1 sar părea că rezultanta R ar trebui luată icircn calculul lui Ty(x1) Acest lucru ar fi greşit

pentru că R = p ∙ a reprezintă rezultanta sarcinii distribuite pe toată lungimea a iar

rezultanta pe porţiunea parcursă de lungime x1 este R1 = p ∙ x1 ne R = p ∙ a

Cu valorile obţinute se trasează diagramele forţelor axială Nx = f(x) şi tăietoare

Ty = f(x) figura 220 Din diagrama forţei tăietoare şi din valorile obţinute analitic se

observă că forţa tăietoare icircşi schimbă semnul pe intervalul analizat deci se anulează pe

acest interval Poziţia secţiunii unde Ty se anulează se determină din ecuaţia

Ty(x1) = 0 rArr VA minus p ∙ x1 = 0 (A9)

cu soluţia x1lowast = ξ = 42 [m] Important de reamintit că icircn această secţiune momentul

icircncovoietor va avea un extrem local adică Miz are un extrem la Ty = 0

Funcţia moment icircncovoietor Miz are expresia

Miz(x1) = VA ∙ x1 minus R1 ∙x12= VA ∙ x1 minus (p ∙ x1) ∙

x12

(A10)

Se observă că funcţia moment icircncovoietor de variabilă x1 are o variaţie parabolică

(gradul al II-lea) Pentru reprezentarea grafică a funcţiei parabolice se calculează valorile

momentului icircncovoietor icircn trei secţiuni

- pentru x1 = 0 Miz(x1 = 0) = MA = 0 [kN ∙ m] - pentru x1 = a = 6 [m] Miz(x1 = 6) = M1 = 72 [kN ∙ m] - pentru x1

lowast = ξ = 42 [m] Miz(x1lowast = ξ = 42 [m]) = Mimax = 882 [kN ∙ m]

Cu acestea se trasează diagrama Miz = f(x) pe intervalul (A-1) figura 220

Observaţie Icircn unele cazuri pe un anumit interval forţa tăietoare nu se anulează

şi momentul icircncovoietor nu are un extrem local Icircn acest caz pentru reprezentarea

variaţiei parabolice a momentului icircncovoietor se va studia semnul derivatei a doua a

funcţiei Miz = f(x1) acesta determinacircnd convexitatea curbei momentului icircncovoietor

Domeniul (2-B) x2 isin [0 c = 4 m] Porţiunile din grindă libere (nerezemate) la un capăt se numesc console iar

stabilirea funcţiilor de eforturi devine mai simplă dacă se consideră icircndepărtată partea din

dreapta secţiunii prin schimbarea sensului pozitiv al axei x Astfel se obţin funcţiile eforturilor

Funcţia forţă axială Nx are expresia

Nx(x2) = N2minusB = minusFH = minus173 [kN] = const

(A11)

Funcţia forţă tăietoare Ty are exspresia

Ty(x2) = T2minusB = FV = 10 [kN] = const (A12)

Funcţia moment icircncovoietor Miz are expresia

Miz(x2) = minusFV ∙ x2 rArr Miz(x2 = 0) = M2 = 0 [kN ∙ m]

Miz(x2 = 4) = MB = minus40 [kN ∙ m] (A13)

variaţie liniară (gradul I)

Domeniul (B-1) x3 isin [0 b = 4 m] Pe acest domeniu se acceptă parcurgerea grinzii de la dreapta adică se consideră

icircndepărtată partea din dreapta secţiunii fictive pentru că are doar două sarcini aplicate F

şi VB faţă de partea din stacircnga secţiunii pe care sunt aplicate trei sarcini p VA şi M0

Astfel se obţin funcţiile eforturilor

Funcţia forţă axială Nx are expresia

Nx(x3) = NBminus1 = minusFH = minus173 [kN] = const

(A14)

Funcţia forţă tăietoare Ty are exspresia

Ty(x3) = TBminus1 = FV minus VB = minus18 [kN] = const (A15)

Funcţia moment icircncovoietor Miz are expresia

Miz(x3) = minusFV ∙ (x3 + c) + VB ∙ x3 rArr

rArr Miz(x3 = 0) = MB = minus40 [kN ∙ m]

Miz(x3 = 4) = M1 = 32 [kN ∙ m]

(A16)

variaţie liniară (gradul I)

Diagramele eforturilor sunt prezentate icircn figura 220

c) Relaţiile diferenţiale dintre eforturi şi sarcini se analizează pe diagramele

eforturilor după cum urmează

sarcina distribuită nu are componentă orizontală adică ph = 0 şi icircn

conformitate cu formula (211) rezultă că Nx = const pe toată lungimea grinzii fapt care

a rezultat din funcţia şi reprezentarea diagramei forţei axiale

pe intervalul (A-1) sarcina distribuită are doar componenta verticală pozitivă

pV = p gt 0 prin urmare forţa tăietoare scade (are panta negativă dTy 119889119909frasl = minusp vezi

relaţia 210) iar momentul icircncovoietor avacircnd derivata a doua negativă d2M119894119911 1198891199092frasl =minuspare convexitatea curbei orientată spre sensul pozitiv al axei momentului Miz adică icircn

jos

pe domeniile (2-B) şi (B-1) deoarece pv = 0 forţa tăietoare Ty este constantă

iar momentul icircncovoietor Miz variază liniar

referitor la relaţia (212) pe porţiunile unde Ty gt 0 momentul Miz este

monoton crescător pe porţiunile unde Ty lt 0 momentul Miz este monoton descrescător

iar icircn secţiunea icircn care Ty = 0 momentul icircncovoietor are un extrem local Mξ =

882 [kN ∙ m] icircn diagrama forţei tăietoare discontinuităţile (salturile) se produc icircn secţiunile

unde acţionează VA VB şi FV iar icircn diagrama momentului icircncovoietor se produce un

singur salt icircn secţiunea icircn care este aplicat M0

se poate scrie

Mξ = suprafața diagramei Ty |ξ0=1

2∙ 42 ∙ 42 = 882 [kN ∙ m]

sau parcurgacircnd grinda de la dreapta la stacircnga rezultă

MB = minussuprafața diagramei Ty |c0= minus10 ∙ 4 = minus40 [kN ∙ m]

Toate aspectele analizate teoretic referitoare la relaţiile diferenţiale dintre eforturi

şi sarcini se regăsesc icircn diagramele de eforturi din figura 220 ceea ce icircnseamnă că

diagramele au fost reprezentate corect

3 TENSIUNI DEPLASĂRI ŞI DEFORMAŢII SPECIFICE

31 Tensiuni

Eforturile obținute icircn urma reducerii forțelor interioare icircn centrul de greutate al

secțiunii nu pot da informații asupra solicitării fiecărui punct al secțiunii respective Este

necesar să se cunoască modul cum se distribuie forțele interioare icircn fiecare punct al

secțiunii pentru a ști care este intensitatea maximă a solicitării Această intensitate

maximă se poate compara cu o valoare critică specifică materialului stabilindu-se astfel

dacă solicitarea este periculoasă sau nu

Mărimea care caracterizează solicitarea locală punctuală o vom denumi tensiune

și o vom defini icircn cele ce urmează Să considerăm partea din dreapta a unui corp solicitat

de forțele exterioare 1198651 1198652 și 1198653 obținută prin secționarea corpului și mărginită de fața

din dreapta Ad a secțiunii Pe secțiunea Ad vom considera un element de arie infinit mic

∆119860 caracterizat de normala la elementul de arie normală care are cosinușii directori

120573 și icircn raport cu un sistem de axe considerat fix Pe elementul infinit mic ∆119860 acționează

forțele interioare care au o rezultantă oarecare figura 31

Prin definiție tensiunea totală este

= lim∆119860rarr0

∆

∆119860 (31)

Tensiunea are aceeaşi direcţie cu forţa elementară ∆ iar mărimea ei este

determinată atacirct de mărimea forţei ∆ cacirct şi de orientarea suprafeţei ∆119860 faţă de direcţia

forţei

Tensiunea 119901 poate fi descompusă icircntr-o componentă orientată după direcţia

normalei la secţiune tensiunea normală notată cu 120590119909 şi o componentă icircn planul secţiunii

tensiunea tangenţială notată cu figura 32

= 119909 + 120591 (32)

Fig 31 Tensiunea totală Fig 32 Tensiunea normală și tangențială

La racircndul ei componenta tensiunii cuprinsă icircn planul secțiunii poate fi

descompusă după direcțiile axelor y și z

120591 = 120591119909119910 + 120591119909119911 (33)

Icircntre cele trei componente ale tensiunii totale care acționează pe elementul de arie

∆119860 este valabilă relația

1199012 = 1205901199092 + 120591119909119910

2 + 1205911199091199112 (34)

După sensul pe care icircl are tensiunea normală 120590 poate avea efect de tracţiune sau

de compresiune exercitat de către partea de corp icircnlăturată asupra părţii rămase Analog

tensiunea tangenţială 120591 poate avea efect de tăiere forfecare sau alunecare Pentru

componentele tensiunii tangențiale 120591119909119910 pe direcţia 119910 respectiv 120591119909119911 pe direcţia 119911 primul

indice indică axa pe care tensiunea este normală iar cel de-al doilea indice indică axa cu

care aceasta este paralel

Tensiunea este o mărime tensorială valoarea ei depinzacircnd atacirct de poziția

punctului icircn planul secțiunii cicirct și de orientarea planului de secționare deci de normala

Operaţiile vectoriale nu pot fi aplicate tensiunilor decacirct după ce acestea au fost icircnmulţite

cu ariile respective adică au fost transformate icircn forţe

Icircn literatura de specialitate mai ales icircn manualele mai vechi pentru noţiunea de

tensiune se mai foloseşte şi denumirea de efort specific

Dacă se consideră un alt element de arie ∆119860 cu centrul icircn același punct avacircnd ca

normală axa 119910 se vor obține alte tensiuni și anume

- 120590119910 este tensiunea normală (paralelă cu axa y)

- 120591119911119909 și 120591119910119911 sunt tensiuni tangențiale paralele cu axele 119909 și respectiv 119911 aflate icircn

planul care are ca normală axa 119910

Dacă icircn jurul unui punct dintr-un corp solicitat se consider un element de volum

infinit mic de forma unui cub icircn cazul cel mai general pe fețele sale vor acționa

tensiunile normale 120590119909 120590119910 și 120590119911 și respectiv tensiunile tangențiale 120591119909119910 120591119909119911 120591119910119909 120591119910119911 120591119911119909

și respectiv 120591119911119910 figura 33 Aceste tensiuni definesc starea de tensiune a punctului

observacircnd faptul că tensorul tensiune are 9 componente Dacă se consideră elementul

de volum finit ca fiind foarte mic se poate presupune că icircn interiorul său nu apar forțe

Ca urmare el va fi icircn echilibru sub acțiunea forțelor elementare produse de tensiunile de

pe fețele sale

Din condiția ca elementul să nu se rotească icircn jurul unor axe care trec prin centrul

său și sunt paralele cu axele sistemului 119909119874119910119911 rezultă

2 ∙ 120591119909119910 ∙ (119889119910 ∙ 119889119911) ∙119889119909

2= 2 ∙ 120591119910119909 ∙ (119889119909 ∙ 119889119911) ∙

119889119910

2 rArr 120591119909119910 = 120591119910119909 (35)

2 ∙ 120591119910119911 ∙ (119889119909 ∙ 119889119911) ∙119889119910

2= 2 ∙ 120591119911119910 ∙ (119889119909 ∙ 119889119910) ∙

119889119911

2 rArr 120591119910119911 = 120591119911119910 (36)

2 ∙ 120591119909119911 ∙ (119889119910 ∙ 119889119911) ∙119889119909

2= 2 ∙ 120591119911119909 ∙ (119889119909 ∙ 119889119910) ∙

119889119911

2 rArr 120591119909119911 = 120591119911119909 (37)

Relațiile (35divide37) 120591119909119910 = 120591119910119909 120591119910119911 = 120591119911119910 120591119909119911 = 120591119911119909 exprimă principiul dualității

tensiunilor tangențiale

Fig 33 Tensiunile normale și tangențiale pe fețele unui cub

Din condiția ca elementul considerat să nu se deplaseze icircn lungul axelor de

coordonate pe fețele opuse acționează aceleași tensiuni normale 120590119909 120590119910 și respectiv 120590119911

Definirea tensorului tensiune este posibilă dacă se cunosc cele 6 componente

independente ale acestuia aflate icircn trei plane perpendicular ce trec prin punctul respectiv

=

120590119909 120591119909119910 120591119909119911120591119910119909 120590119910 120591119910119911120591119911119909 120591119911119910 120590119911

Observaţii

Tensiunile se măsoară icircn [119873 1198982frasl ] (1119873 1198982frasl = 1 119875119886) sau icircn [119872119875119886]

(1 119872119875119886 = 106119875119886 = 106 119873

1198982 1 119872119875119886 = 1

119873

1198981198982)

Starea de tensiune dintr-un punct este considerată cunoscută dacă se cunosc

tensiunile 119901 care acționează pe infinitatea de elemente de suprafață ce trec prin punctual

considerat

Starea de tensiune a unui corp se consider cunoscută dacă se cunosc stările de

tensiune de pe infinitatea de puncte ale corpului considerat

32 Deplasări Deformaţii specifice

321 Deplasări

Aceste noțiuni sunt utile icircn analiza aspectului geometric al problemelor de rezistența

materialelor Deplasările care se analizează sunt cele datorate schimbării formei și

dimensiunilor corpurilor ca urmare a acțiunii forțelor exterioare și nu cele cinematice

posibile pentru solidul rigid care se poate deplasa cu anumită viteză și accelerație

Spre exemplu icircn figura 34a și figura 34b sub acțiunea forței 119865 tronsonul de

bară AB se deformează icircn timp ce tronsonul BC deși punctele sale au deplasări rămacircne

nedeformat (fiind nesolicitat) Toate punctele de pe axele barelor cu excepția celor din

icircncastrare (secțiunile A) au deplasări liniare De cele mai multe ori deformațiile barelor

datorate acțiunii forțelor exterioare se anulează la icircndepărtarea forțelor se spune că

deformațiile sunt elastice Secțiunile transversale ale barei din figura 34a se și rotesc icircn

raport cu pozițiile lor inițiale Spre exemplu secțiunea de căpăt cu centrul icircn C se rotește

cu unghiul

Fig 34 Deformațiile unei grinzi

Oricacirct de complexă ar fi delormația unui corp ea poate fi descrisă de lungiri sau

scurtări și de modificări ale unghiurilor inițiale

Deplasările măsoară schimbarea poziției unui punct al corpului și pot fi liniare

sau unghiulare

Prin deplasare liniară a unui punct se icircnțelege drumul parcurs de acest punct icircn

decursul procesului de deformație după o dreaptă suport dreapta 1198611198611 din figura 34a

Prin deplasare unghiulară se icircnțelege rotirea dintre segmentele de dreaptă

determinate de două puncte ale corpului icircnainte și după deformarea acestuia unghiul

pe care-l fac segmentele 119861119862 și 11986111198621 din figura 34a Această rotire se măsoară prin

unghiul pe care-l fac proiecțiile dreptelor ce conțin cele două segmente icircntr-un sistem

triortogonal

Icircn cazul cel mai general vectorul deplasare liniară se poate descompune icircntr-un

sistem triortogonal icircn trei componente 119906 119907 și 119908 figura 35

Fig 35 Deplasarea liniară

Se consideră acum un corp solid raportat la un sistem de axe ortogonal 119909119874119910119911

figura 35 după deformarea corpului un punct oarecare 119870 al acestuia se deplasează icircn

poziţia 1198701 vectorul 1198701198701 poartă numele de vectorul deplasării totale

Deplasarea totală este suma deplasărilor pe cele trei direcţii ortogonale iar

aceste deplasări se notează astfel

deplasarea pe direcţia 119909 cu ∥ 119874119909

deplasarea pe direcţia 119910 cu ∥ 119874119910

deplasarea pe direcţia 119911 cu ∥ 119874119911

Componentele deplasărilor și formeză matricea deplasărilor liniare 119906119907119908

322 Deformații

Prin deformație icircn general se icircnțelege orice schimbare de formă a unui corp fără

o evaluare cantitativă Icircn Rezistența Materialelor deformația măsoară variația

dimensiunilor geometrice ale corpului considerat din vecinătatea unui punct analog

deplasărilor deformațiile pot fi liniare și unghiulare (lunecări)

Fig 36 Deplasarea liniară

Deformația liniară ∆119897 reprezintă variația lungimii 119897 a unui element liniar al

corpului deformat figura 36 Deformația liniară specifică se definește ca fiind raportul

dintre deformația liniară și lungimea inițială

휀 =∆119897

119897 (38)

unde ∆119897 este lungirea sau scurtarea care este echivalentă cu deformția liniară totală iar

este alungirea

Deformația unghiulară sau lunecarea unui punct 119860 icircn planul 119861119860119862 se definește

prin relația figura 37

120574 = lim119861119860rarr0119862119860rarr0

(119861119860 minus 119861111986011198621 ) (39)

Fig 36 Deformația unghiulară

Schimbacircnd orientarea planului care trece prin 119860 se obțin alte deformații

unghiulare Dacă elementele liniare 119861119860 și 119862119860 sunt inițial perpendiculare deformația 120574 se

numește deformație unghiulară specifică sau lunecare specifică figura 37

Un exemplu de deplasare unghiulară și de deformație unghiulară este prezentat icircn

figura 38 Unghiul este deplasarea unghiulară și măsoară rotirea relativă dintre două

secțiuni aflate la distanța 119897 Unghiul este deformația specifică unghiulară (lunecarea

specifică) din punctul 119870 Aceste deplasări și deformații se obțin icircn urma solicitării barei

de către cele două momente 1198720 egale și de sens contrar

Fig 38 Deplasarea unghiulară

Pentru a analiza starea de deformație din vecinătatea unui punct al unui corp

solicitat complex se decupează din jurul punctului un element de volum mic figura 39a

avacircnd laturile 119889119909 119889119910 și 119889119911 Ca urmare a solicitării laturile acestuia se vor lungi sau

scurta Reprezentarea elementului deformat icircn spațiu este dificilă pentru simplificare

vom analiza doar deformațiile din planul 119909119874119910 Observăm că dimensiunile 119889119909 și 119889119910 s-au

modificat cu valoarea ∆119889119909 respectiv cu ∆119889119910 analog se acceptă și pentru 119889119911 o modificare

de forma ∆119889119911 Astfel se pot defini deformațiile specifice liniare

휀119909 =∆119889119909

119889119909 휀119910 =

∆119889119910

119889119910 휀119911 =

∆119889119911

119889119911 (310)

De cele mai multe ori aceste deformații specifice liniare se pot exprima procentual

și se mai numesc alungiri

Fig 39 Starea de deformație

Icircn figura 39c se vede că unghiul inițial drept dintre muchiile 119889119909 și 119889119910 ale

elementului de volum s-a modificat Se definește deformația specifică unghiulară (sau

lunecarea specifică) mărimea cu care se modifică unghiul inițial drept

120574119909119910 = 120574119909119910prime + 120574119910119909

prime = 120574119910119909120574119910119911 = 120574119910119911

prime + 120574119911119910prime = 120574119911119910

120574119911119909 = 120574119911119909prime + 120574119909119911

prime = 120574119909119911

(311)

Deformațiile 휀119909 휀119910 휀119911 120574119909119910 120574119910119911 120574119911119909 constituie cele șase componente

independente ale tensorului deformațiilor specifice care pot fi scrise de forma

119863 =

휀119909 120574119909119910 120574119909119911120574119910119909 휀119910 120574119910119911120574119911119909 120574119911119910 휀119911

(312)

323 Contracţia transversală

Practica arată că odată cu lungirea unei bare apare o micşorare a mărimii secţiunii

transversale mărime numită contracţie transversală figura 310

Fig 310 Contracția transversală

Contracţia transversală este proporţională cu lungirea specifică coeficientul de

proporţionalitate se notează cu 120599 şi se numeşte coeficient de contracţie transversală sau

coeficientul lui Poisson

La o lungire specifică a barei contracţia transversală este dată de relația

휀119905119903 = 휀119910 = 휀119911 = minus120599 ∙ 휀119909 (313)

Semnul minus bdquo-rdquo arată că cele două mărimi sunt contrare dacă una creşte cealaltă

scade şi invers

Considerăm o bară cilindrică de lungime 119897 şi aria secţiunii transversale 119860 solicitată

la icircntindere axială La un moment dat datorită solicitării lungimea barei devine

[119897 ∙ (1 + 휀)] diametrul devine [119889 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)] iar aria secţiunii transversale devine

[119860 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)2] Dacă volumul barei icircnainte de solicitare a fost (119860 ∙ 119897) după solicitare

acesta devine

119881 + ∆119881 = 119860 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)2 ∙ 119897 ∙ (1 + 휀) =

= 119860 ∙ 119897 ∙ (1 + 휀 minus 2 ∙ 120599 ∙ 휀 minus 2 ∙ 120599 ∙ 휀2 + 1205992 ∙ 휀2 + 1205992 ∙ 휀3) (314)

Deoarece lungirile sunt foarte mici ultimii trei termeni din paranteză fiind infinit mici se pot neglija obţinacircnd

119881 + ∆119881 = 119860 ∙ 119897 + 119860 ∙ 119897 ∙ 휀 ∙ (1 minus 2 ∙ 120599) ⟺ ∆119881 = 휀 ∙ (1 minus 2 ∙ 120599) ∙ 119860 ∙ 119897 (315)

Practica arătă că o astfel de bară solicitată la icircntindere icircşi măreşte volumul deci

∆119881 gt 0 de unde rezultă că

1 minus 2 ∙ 120599 gt 0 rArr 120599 lt 05 (316)

Pentru majoritatea materialelor 120599 = 033 iar pentru materialele care-şi păstrează

volumul constant 120599 = 05

33 Relaţii de echivalenţă icircntre eforturi şi tensiuni

Considerăm un element de suprafață infinit mic 119889119860 situat pe fața de arie (119860) a

secțiunii barei din figura 311 Icircn centrul de greutate 119862 al secțiunii acționează eforturile

119873 119879119910 119879119911 119872119909 119872119894119910 și 119872119894119911 determinate prin metoda secțiunilor

Icircn raport cu un sistem de axe de referință 119909119862119910119911 coordonatele elementului 119889119860 sunt

- 119910 este ordonata elementului de arie 119889119860

- 119911 este abscisa elementului de arie 119889119860

Pe elementul de arie 119889119860 acționează tensiunile

120590119909 tensiunea normală

120591119909119910 și 120591119909119911 tensiuni tangențiale

Dacă se icircnsumează forțele elementare de tipul 120590119909 ∙ 119889119860 120591119909119910 ∙ 119889119860 și 120591119909119911 ∙ 119889119860

va trebui să obținem eforturile 119873 119879119910 și 119879119911

Fig 311 Element de suprafață mic din secțiunea unei bare

Dacă eforturile sunt privite ca forțe exterioare și se scriu ecuațiile de

echilibru ale secțiunii (119860) se vor obține șase relații de echivalență icircntre eforturi și

tensiuni

(sum119883) = 0 rArr int 120590119909 ∙ 119889119860

119860

= 119873 (317)

(sum119884) = 0 rArr int 120591119909119910 ∙ 119889119860

119860

= 119879119910 (318)

(sum119885) = 0 rArr int 120591119909119911 ∙ 119889119860

119860

= 119879119911 (319)

(sum119872)119909= 0 rArr int(120591119909119911 ∙ 119889119860) ∙ 119910

119860

minus int(120591119909119910 ∙ 119889119860) ∙ 119911

119860

= 119872119909 rArr

rArr int(119910 ∙ 120591119909119911 minus 119911 ∙ 120591119909119910) ∙ 119889119860

119860

= 119872119909

(320)

(sum119872)119910= 0 rArr int(120590119909 ∙ 119889119860) ∙ 119911

119860

= 119872119894119910 (321)

(sum119872)119911= 0 rArr int(120590119909 ∙ 119889119860) ∙ 119910

119860

= 119872119894119911 (322)

Cele șase relații de echivalență icircntre eforturi și tensiuni constituie un pas icircnainte

icircn rezolvarea unei probleme de rezistența materialelor Aceste relații vor permite

determinarea tensiunilor maxime

Pentru a rezolva cele 6 relații de echivalență trebuie să se cunoască tensiunile și

ca funcții de punct adică funcții de forma

120590119909 = 120590119909(119909 119910 119911) 120591119909119910 = 120591119909119910(119909 119910 119911) 120591119909119911 = 120591119909119911(119909 119910 119911) (32

3)

Cunoașterea acestor funcții presupune icircnsă analizarea aspectului geometric al

problemei precum și utilizarea unor ipoteze simplificatoare care să permită simplificarea

problemelor

34 Ipoteze de bază icircn rezistenţa materialelor

Depășirea dificultăților legate de interpretarea unor fenomene specifice mecanicii

solidului deformabil a impus acceptarea unor ipoteze care să simplifice fenomenele și să

contribuie la elaborarea unor modele de calcul cicirct mai generale și cacirct mai simple Aceste

ipoteze se referă la structura materialelor şi la comportarea lor sub acţiunea forţelor

exterioare Ipotezele acceptate trebuie să fie icircn deplină concordanţă cu realitatea și să

conducă la rezultate verificate icircn practică

Funcție de aspectele la care se referă ipotezele pot fi

Ipoteze fizice (de material)

Ipoteze de calcul

341 Ipoteze fizice

Se acceptă deoarece teoriile structurale au condus la rezultate care contravin

icircncercărilor experimentale

Ipoteza mediului continuu consideră că orice domeniu elementar al corpului

este ocupat de materie adică nu se acceptă existența unor goluri sau a unor crăpături

microscopice (fisuri) Deși nu corespunde realităţii poate fi acceptată deoarece

dimensiunile corpului sunt mult mai mari decacirct dimensiunile particulelor elemantare Are

avantajul că permite utilizarea proprietăților matematice ale funcțiilor continue pentru

tensiunile și deformațiile din orice punct al corpului Ea este mai apropiată de realitate la

corpurile amorfe şi mai depărtată la cele cristaline dar conduce la rezultate satisfăcătoare

icircn calculele de rezistenţă

Ipoteza nu se poate aplica la corpurile care au goluri tăieturi (multiplu conexe)

pentru unele puncte singulare icircn care tensiunile și deformațiile tind la infinit sau icircn unele

probleme de plasticitate icircn care proprietățile de material au un rol esențial

Ipoteza izotropiei conform acestei ipoteze materialul din care este confecționat

un element de rezistență are aceleași proprietăți după orice direcție un astfel de material

este considerat izotrop Din punct de vedere macroscopic metalele pot fi considerate

izotrope deși la nivel microscopic proprietățile lor diferă de la o direcție cristalografică

la alta Orice conglomerat de cristale poate fi considerat izotrop

Există cazuri cacircnd această ipoteză a izotropiei nu se acceptă

la metalele puternic deformate după o direcție (prin laminare trefilare)

la piesele confecționate din lemn lemnul este anizotrop deoarece proprietățile sale

diferă după două direcții (icircn lungul fibrelor și perpendicular pe această direcție)

Ipoteza omogenității consideră că un corp are aceleași proprietăți icircn orice

punct al său Deși majoritatea materialelor utilizate icircn tehnică sunt eterogene la scară

micro fiind constituite din mai multe faze cu proprietăți diferite la scară macro ele pot

fi considerate omogene Omogenitatea și izotropia sunt proprietăți statistice medii care

nu se condiționează una pe cealaltă Chiar și materialele monofazice pot avea la scară

micro unele segregații care le fac eterogene

Ipoteza elasticităţii perfecte presupune că atacircta timp cacirct solicitările nu

depăşesc anumite limite materialul are o comportare elastică adică icircşi recapătă forma şi

dimensiunile iniţiale odată cu icircnlăturarea sarcinilor Icircn realitate materialele nu prezintă o

elasticitate perfectă ele avacircnd deformaţii remanente mici care icircnsă pot fi neglijate icircn

calculele de rezistenţă

Acceptarea acestei ipoteze a elasticității perfecte permite

- aplicarea relației biunivoce icircntre tensiuni și deformații relație exprimată de legea

lui Hooke ( = 119864 ∙ 휀) unde E este un factor de proporţionalitate numit modul de

elasticitate longitudinal al materialului pentru oţel 119864 = 21 ∙ 105 [119872119875119886] - acceptarea valabilității afirmației bdquolucrul mecanic efectuat de forțele exterioare

ca urmare a parcurgerii deplasărilor punctelor de aplicație se icircnmagazinează integral icircn

corp sub formă de energie de deformație energie cedată la icircndepărtarea sarcinilorrdquo

- este valabilă teoria conform căreia bdquoenergia icircnmagazinată și deformațiile depind

doar de starea inițială și finală de eforturi fără a ține cont de modul icircn care s-a ajuns la

starea finalărdquo

Icircn realitate oricacirct de mici ar fi sarcinile aplicate se produc și deformații plastice

dar acestea pot fi neglijate dacă solicitarea nu depășește anumite limite

342 Ipoteze de calcul

Ipoteza micilor deplasări bdquodeplasările datorate deformării sunt mult mai mici

decacirct dimensiunile corpurilor și ca urmare pot fi neglijate produsele dintre o deplasare și

ea icircnsăşirdquo Pentru cele mai multe corpuri deformaţiile elastice sunt de mărimi mici deci

corpurile solide sub acţiunea sarcinilor icircşi modifică foarte puţin forma iniţială Această

ipoteză este cunoscută şi sub denumirea de ipoteza menţinerii dimensiunilor iniţiale Ea

permite scrierea ecuaţiilor de echilibru ale staticii pe starea nedeformată a elementului

cacircnd nu se iau icircn considerare deplasările punctelor de aplicaţie ale forţelor care se produc

ca urmare a deformării acestuia Calculul efectuat pe schema nedeformată poartă numele

de calcul de ordinul I

Ipoteza micilor deplasări nu poate fi acceptată pentru studiul problemelor de

stabilitate sau la problemele la care nu pot fi icircndeplinite condiţiile de echilibru icircn starea

nedeformată

Calculul de ordinul II admite ipoteza micilor deplasări dar ecuaţiile de echilibru

se scriu icircnsă pentru starea deformată a elementului de rezistenţă

Calculul de ordinul III nu mai acceptă ipoteza micilor deplasări el referindu-se

la cazul deformaţiilor mari cacircnd ecuaţiile de echilibru trebuie scrise pentru starea

deformată

Chiar dacă materialul satisface legea lui Hooke icircn urma calculelor de ordinul II

se obţin de obicei relaţii neliniare icircntre sarcini şi deplasări iar pentru calculul de ordinul

III rezultă ecuaţii diferenţiale neliniare

Principiul efectului local al acțiunii sarcinilor enunțat de Barre de Saint-

Venant Acest principiu destul de folosit icircn Rezistenţa Materialelor precizează că dacă

se icircnlocuiesc forţele care acţionează asupra unui element de suprafață al unui corp

elastic printr-un alt sistem de forţe echivalent din punct de vedere static cu primul noua

distribuţie a forţelor produce la locul de aplicare diferenţe semnificative faţă de prima

dar rămacircne fără efect sau cu efect neglijabil la distanţe mari de locul de aplicare al

forţelor figura 312

Ca o cosecință o sarcină uniform distribuită figura 312a poate fi icircnlocuită cu

rezultanta ei figura 312b dacă se analizează efectul sarcinii la distanță mare de locul icircn

care se aplică sarcina

Fig 312 Principiul Saint-Venant

Icircn prima variantă figura 312a forţa 119865 se aplică pe o porțiune oarecare 119897 (sarcină

uniform distribuită) iar icircn a doua figura 312b icircntru-un punct (forţă concentrată) La

locul de aplicare a sarcinii efectul asupra barei este cu totul diferit de la o variantă la

cealaltă Icircnsă la o distanţă mare de punctul de aplicaţie spre exemplu icircn secţiunea situată

la distanţa 119886 de capătul barei sau chiar icircn icircncastrare ambele bare sunt solicitate la fel

Icircn cazul din figura 312a

119872119894(119909) =119901 ∙ 1199092

2 119909 le 119897 119872119894(119909) = 119901 ∙ 119897 ∙ (119909 minus

119897

2) 119909 gt 119897 (324)

Icircn cazul din figura 312b

119872119894(119909) = 0 119909 lt119897

2 119872119894(119909) = 119901 ∙ 119897 ∙ (119909 minus

119897

2) 119909 gt

119897

2 (325)

Se vede că pentru (119909 gt 119897) adică după depășirea locului icircn care se aplică sarcina

efectul este același

Ipoteza lui Bernoulli sau ipoteza secţiunilor plane precizează că o secţiune

plană şi normală pe axa barei icircnainte de deformare rămacircne plană şi normală pe axa

barei şi după deformare figura 313

Fig 313 Ipoteza lui Bernoulli

Ipoteza stării naturale a corpului sau ipoteza absenţei tensiunilor conform

căreia pentru un corp nesolicitat starea de tensiune şi deformaţie este nulă

Perfecţionarea mijloacelor de calcul şi de investigare pot conduce la renunţarea la

unele ipoteze sau la introducerea altora noi mai aproape de stările reale De aici rezultă

caracterul de continuă perfecţionare a metodelor Rezistenţei Materialelor

35 Coeficienţi de siguranţă Tensiuni admisibile

O piesă corespunde din punct de vedere tehnic dacă tensiunile care iau naştere icircn

interiorul piesei datorită sarcinilor aplicate nu depăşesc anumite valori limită stabilite

convenţional Aceste valori limită ale tensiunii sunt corelate cu caracteristicile mecanice

ale materialelor

Tensiunea limită utilizată icircn calculele de rezistenţă este cunoscută sub denumirea

de tensiune admisibilă sau rezistenţă admisibilă Rezistenţa admisibilă reprezintă

valoarea convenţională aleasă icircn calcul pe baza practicii pentru tensiunea maximă care

poate apare icircntr-o piesă icircn condiţii date de material şi solicitare

Rezistenţa admisibilă (120590119886 sau 120591119886) poate fi definită faţă de o stare limită

periculoasă stare care trebuie evitată deoarece poate conduce distrugere

120590119886 =120590119897119894119898119888

(326)

unde

120590119897119894119898 este tensiunea corespunzătoare stării limită periculoase

119888 estesupraunitar 119888 gt 1 și reprezintă coeficientul de siguranţă faţă de starea limită

periculoasă considerată

Alegerea unor valori inferioare pentru rezistenţa admisibilă faţă de tensiunea

corespunzătoare stării limită periculoase este necesară deoarece

cunoaşterea sarcinilor este de cele mai multe ori aproximativă şi o depăşire a

acestora este foarte posibilă

caracteristicile mecanice ale materialelor variază icircn limite destul de mari ele

fiind influenţate de mulţi factori

schema aleasă pentru calcul (aplicarea sarcinilor schematizarea structurii

ipotezele de calcul etc) depărtează modelul faţă de cel real

Pentru calculele de verificare tensiunea efectivă maximă din elementul de

rezistenţă trebuie să fie mai mică sau cel mult egală cu cea admisibilă

120590119890119891119898119886119909 le 120590119886 (327)

Valoarea rezistenţei admisibile este influenţată de foarte mulţi factori natura

materialului tratamentele termice aplicate piesei durata de funcţionare a piesei modul

de acţionare icircn timp a sarcinilor felul solicitării temperatura gradul de periculozitate

icircn cazul cedării piesei etc

De asemenea valoarea coeficientului de siguranţă se alege icircn principal ţinacircnd

seama de aceiaşi factori care influenţează şi rezistenţa admisibilă

Rezistenţele admisibile pentru cacircteva materiale sunt următoarele

pentru oțelul de uz general OL37 solicitat la icircntindere compresiune sau

icircncovoiere 120590119886 = 150 [119872119875119886] pentru lemnul de brad solicitat la

- compresiune icircn lungul fibrelor şi solicitat la icircncovoiere 120590119886 = 10 [119872119875119886] - tracţiune icircn lungul fibrelor 120590119886 = 7 [119872119875119886] - compresiune perpendiculară pe fibre 120590119886 = 15 [119872119875119886] - forfecare icircn lungul fibrelor 120591119886 = 2 [119872119875119886] - forfecare perpendiculară pe fibre 120590119886 = 45 [119872119875119886]

terenuri de fundaţie din pămacircnt uscat sau umed 120590119886 = 020 divide 025 [119872119875119886]

4 CARACTERISTICI GEOMETRICE ALE SECȚIUNILOR PLANE

41 Noţiuni introductive

Icircn relaţiile de calcul ale tensiunilor şi deformaţiilor elementelor de rezistenţă

pentru unele solicitări (icircncovoierea și torsiunea) secțiunile plane intervin atacirct prin

dimensiunile lor (aria 119860) cicirct și prin forma și poziția pe care o are secțiunea icircn raport cu

planul solicitării Mărimile care caracterizează o secțiune icircn raport cu forma și poziția față

de axele unui sistem de referință sunt denumite caracteristici geometrice de ordin

superior Aria secțiunii este caracteristica geometrică ce depinde doar de dimensiunile

geometrice ale acesteia

Să considerăm o grindă solicitată de o forță exterioară 119865 aşezată icircn două poziții icircn

raport cu planul forţei figura 41 Icircn urma aplicării forței deși avem aceeași grindă

(aceeași arie a secțiunii transversale) și aceeași forță se constată că pentru varianta din

figura 41a deformațiile sunt mult mai mari adică rezistența la icircncovoiere a grinzii din

figura 41a este mai mare decacirct icircn cazul grinzii din figura 41b Comportarea diferită se

explică prin aceea că modificarea poziţiei secţiunii transversale faţă de planul forţelor

modifică caracteristicile geometrice ale secţiunii transversale a grinzii

Fig 41 Grindă solicitată de forța 119865

Pentru realizarea calculelor de rezistenţă şi rigiditate este foarte importantă

cunoaşterea caracteristicilor geometrice ale suprafeţei secţiunii transversale a elementelor

de rezistenţă

Caracteristicile geometrice ale secţiunii transversale a unui element de rezistenţă

sunt

- aria secțiunii notată cu 119860

- momentul static icircn raport cu o axă notat 119878119911 și respectiv 119878119910

- momentul de inerție care poate fi

axial notat 119868119911 și respectiv 119868119910

centrifugal notat 119868119911119910

polar notat 119868119901

- raza de inerţie (giraţie)notată 119894119911 și respectiv 119894119910

- modulul de rezistență care poate fi

axial notat 119882119911 și respectiv 119882119910

polar notat 119882119901

42 Aria și momentul static al suprafețelor plane

Fie o suprafaţă plană de arie 119860 pe care se ia un element infinit mic de arie 119889119860 şi

un sistem de axe rectangulare 119911119874119910 figura 42 Notăm cu 119862 centrul de greutate al suprafeţei

119860 Poziţia suprafeţei elementare 119889119860 faţă de acelaşi sistem de coordonate 119911119874119910 este dată

de abscisa 119911 ordonata 119910 și raza polară

Fig 42 Suprafață plană de arie 119860

Aria suprafeţei 119860 figura 42 se defineşte ca fiind

119860 ≝ int 119889119860

119860

(41)

Aria suprafeţei este icircntotdeauna pozitivă și se măsoară icircn [1198981198982] Momentul static al suprafeţei de arie 119860 icircn raport cu axele 119874119911 și respectiv 119874119910

figura 42 sunt date de relaţiile

119878119911 ≝ int 119910 ∙ 119889119860

119860

119878119910 ≝ int 119911 ∙ 119889119860

119860

(42)

Momentul static poate fi pozitiv negativ sau nul şi se măsoară icircn [1198981198983] Coordonatele centrului de greutate ale suprafeței 119860 se detrmină cu relațiile

119910119862 ≝int 119910 ∙ 119889119860119860

119860 119911119862 ≝

int 119911 ∙ 119889119860119860

119860

(43)

Cunoscacircnd coordonatele 119910119862 și 119911119862 ale centrului de greutate 119862 al secțiunii 119860 atunci

momentele statice se pot determina cu relațiile

119878119911 ≝ int 119910 ∙ 119889119860

119860

= 119910119862 ∙ 119889119860 119878119910 ≝ int 119911 ∙ 119889119860

119860

= 119911119862 ∙ 119889119860 (44)

Aceste relații arată că momentul static al unei suprafețe icircn raport cu o axă este

egal cu produsul dintre aria suprafeței și distanța de la centrul ariei la axa respectivă

Dacă suprafaţa se poate descompune icircn 119899 suprafeţe simple la care se cunosc ariile

(1198601 1198602 ⋯ 119860119894⋯ 119860119899) și poziţiile centrelor de greutate 119862119894 faţă de sistemul de referinţă

expresiile momentelor statice capătă următoarea formă

119878119911 = sum 119910119862119894 ∙ 119860119894119899119894=1 = 119910119862 ∙ 119860 119878119910 = sum 119911119862119894 ∙ 119860119894

119899119894=1 = 119911119862 ∙ 119860 (45)

Din relaţiile (45) rezultă că poziţia centrului de greutate 119862 al unei suprafeţe

compuse poate fi determinată cu relaţiile

119910119862 = (sum119910119862119894 ∙ 119860119894

119899

119894=1

) 119860frasl 119911119862 = (sum119911119862119894 ∙ 119860119894

119899

119894=1

) 119860frasl (46)

Icircn relația (45) 119910119862119894 și respectiv 119911119862119894 reprezintă coordonatele centrelor de greutate 119862119894

ale fiecărei suprafețe simple 119860119894 icircn raport sistemul de axe 119911119874119910

Se constată (relaţia 42) că dacă axele sistemului de referinţă trec prin centrul de

greutate (119910119862 = 119911119862 = 0) momentele statice sunt nule Axele icircn raport cu care momentele

statice sunt nule şi care trec prin centrul de greutate al suprafeţei se numesc axe centrale

Observație dacă secțiunea compusă are o axă de simetrie centrul secțiunii se

găsește pe acea axă iar dacă secțiunea este dublu simetrică poziția centrului secțiunii este

la intersecția axelor de simetrie

43 Momente de inerţie

Momentele de inerţie axiale ale unei suprafețe se calculează icircn raport cu axele de

coordonate 119874119911 și respectiv 119874119910 figura 42 și se determină cu relațiile

119868119911 ≝ int 1199102 ∙ 119889119860

119860

119868119910 ≝ int 1199112 ∙ 119889119860

119860

(47)

Unde 119910 și 119911 sunt distanțele de la elementul de arie 119889119860 la cele două axe de

coordonate 119874119911 și respectiv 119874119910

Momentele de inerţie axiale se măsoară icircn [1198981198984] şi sunt icircntotdeauna pozitive (aria

119889119860 este icircntotdeauna pozitivă și este multiplicată cu patratul distanței 1199102 dacă 119868119911 sau 119868119910

sunt nule icircnseamnă ca secțiunea nu există)

Momentele de inerție axiale se calculează icircndeosebi pentru axele centrale (care

trec prin centrul secțiunii) deoarece icircn raport cu acele axe 119868119911 și 119868119910 au valori minime

Momentul de inerţie centrifugal calculat faţă ambele axe ale sistemului de

referinţă 119911119874119910 este definit de relația

119868119911119910 ≝ int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860

(48)

Momentul de inerţie centrifugal se măsoară icircn [1198981198984] şi poate fi pozitiv negativ

sau nul

Momentul de ineție centrifugal este nul 119868119911119910 = 0 dacă cel puțin una din axele 119874119911

sau 119874119910 este axă de simetrie pentru secțiune

Se consideră o suprafaţă dreptunghiulară pe care faţă de axa de simetrie 119874119910 se iau

două suprafeţe elementare de arie 119889119860 simetrice faţă de axa 119874119910 figura 43

Fig 43 Suprafață dreptunghiulară cu două arii elementare 119889119860

Făcacircnd suma momentelor de inerţie centrifugale pentru cele două suprafeţe

elementare 119889119860 (din stacircnga şi din dreapta faţă de axa 119874119910) se obţine

int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860119889119903

+ int (minus119911) ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860119904119905119892

= int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860119889119903

minus int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860119904119905119892

= 0 (49)

Acelaşi raţionament se poate face și pentru icircntreaga suprafaţă de unde obținem că

momentul de inerție centrifugal este nul 119868119911119910 = 0 Deci pentru o suprafaţă plană care

are cel puţin o axă de simetrie momentul de inerţie centrifugal faţă de sistemul care

conţine acea axă de simetrie este nul

Momentul de inerţie polar al unei suprafeţei icircn raport cu un punct (pol) 119874 figura

42 este definit prin relaţia

1198680 = 119868119901 ≝ int 1205882 ∙ 119889119860

119860

= int(1199102 + 1199112) ∙ 119889119860

119860

= 119868119911 + 119868119910 (410)

unde este distanţa de la polul 119874 la elementul de arie 119889119860 Momentul de inerţie polar se

măsoară icircn [1198981198984] şi este totdeauna pozitiv

Momentul de inerţie polar este egal cu suma momentelor de inerţie faţă de două axe

perpendiculare oarecare şi care trec prin polul considerat

Razele de giraţie sau razele de inerţie sunt mărimi calculate icircn raport cu axele

secțiunii și definite de relaţiile

119894119911 ≝ radic119868119911119860 119894119910 = radic

119868119910

119860 (411)

Se exprimă icircn [119898119898] şi sunt icircntotdeauna pozitive Semnificația unei raze de inerție

este distanța la care dacă ar fi concentrată icircntreaga arie s-ar obține același moment de

inerție ca și cel calculat pentru aria reală

44 Modulul de rezistenţă

Modulul de rezistență se calculează icircn raport cu axele de referință sau icircn raport cu

un pol figura 42 și pot fi axiale (119882119911119882119910) sau polar (119882119901) și se determină numai pe baza

momentelor de inerţie cu relațiile figura 43

119882119911119898119894119899 ≝119868119911119910119898119886119909

119882119911119898119886119909 ≝119868119911119910119898119894119899

(412)

119882119910119898119894119899 ≝119868119910

119911119898119886119909 119882119910119898119886119909 ≝

119868119910

119911119898119894119899 (413)

119882119901 ≝119868119901

120588119898119886119909 (414)

unde

119910119898119886119909 119910119898119894119899 reprezintă distanţa de la axa 119874119911 la punctele extreme cele mai

depărtate respectiv cele mai apropiate ale suprafeţei de această axă

119911119898119886119909 119911119898119894119899 reprezintă distanţa de la axa 119874119910 la punctele extreme cele mai

depărtate respectiv cele mai apropiate ale suprafeţei de această axă

120588119898119886119909 reprezintă distanța maximă de la polul 119874 la punctul secțiunii cel mai

icircndepărtat de acesta

Fig 43 Suprafață dreptunghiulară cu două arii elementare 119889119860

Modulele de rezistenţă se exprimă icircn [1198981198983] şi sunt icircntotdeauna pozitive

Explicația este aceea că momentele de inerție care intră icircn relațiile de definiție sunt

pozitive iar distanțele la punctele extreme sunt pozitive (119910119898119886119909 119910119898119894119899 119911119898119886119909 119911119898119894119899 120588119898119886119909 se

iau icircn valoare absolută)

Icircn cazul suprafeţelor compuse modulul de rezistenţă nu se obţine prin icircnsumarea

algebrică a modulelor de rezistenţă ale suprafeţelor simple componente ci numai prin

intermediul momentului de inerţie axial calculat pentru icircntreaga secțiune

Ca și momentele de inerție modulele de rezistență se calculează numai pentru

sistemele de axe centrale

45 Momente de inerţie şi module de rezistenţă pentru suprafeţe simple

451 Secțiune dreptunghiulară

Fie suprafaţa dreptunghiulară din figura 44 de icircnălțime ℎ și lățime 119887 pe care se

consideră suprafaţă elementară de arie 119889119860 = 119887119889119910 la distanța 119910 de axa 119862119911 sistemul de

axe 119911119862119910 trece prin centrul secțiunii iar axele sunt axe de simetrie pentru dreptunghi

Fig 44 Suprafață dreptunghiulară

Pe baza relațiilor de definiți a momentului de inerție 119868119911 se obține

119868119911 ≝ int 1199102 ∙ 119889119860

119860

= int 1199102 ∙ 119887 ∙ 119889119910 = 2int 1199102 ∙ 119887 ∙ 119889119910 = 2 ∙ 119887 ∙1199103

3|ℎ 2frasl

0rArr

ℎ 2frasl

0

ℎ 2frasl

minusℎ 2frasl

rArr 119868119911 =119887 ∙ ℎ3

12

(415)

Analog pentru un element de arie 119889119860 = ℎ ∙ 119889119911 paralel cu axa 119862119910 situat la distanța

119911 de axa 119862119910

119868119910 ≝ int 1199112 ∙ 119889119860

119860

= int 1199112 ∙ ℎ ∙ 119889119911 = 2int 1199112 ∙ ℎ ∙ 119889119910 = 2 ∙ ℎ ∙1199113

3|119887 2frasl

0rArr

119887 2frasl

0

119887 2frasl

minus119887 2frasl

rArr 119868119910 =1198873 ∙ ℎ

12

(416)

Deoarece axele 119862119911 și 119862119910 sunt axe de simetrie momentul de inerție centrifugal este

119868119911119910 = 0 (417)

Pentru un pătrat avacircnd laturile egale (ℎ = 119887 = 119886) momentele de inerţie faţă de

axele centrale au expresia

119868119911 = 119868119910 =1198864

12 (418)

Modulele de rezistență axiale se calculează cu relațiile de definiție ținacircnd cont că

distanțele pacircnă la fibrele extreme sunt

119910119898119886119909 = 119910119898119894119899 =ℎ

2 119911119898119886119909 = 119911119898119894119899 =

119887

2 (419)

Obținem

119882119911119898119894119899 = 119882119911119898119886119909 =119868119911

119910119898119886119909119898119894119899=119887 ∙ ℎ3

12frasl

ℎ2frasl

=119887 ∙ ℎ2

6

119882119910119898119894119899 = 119882119910119898119886119909 =119868119910

119911119898119886119909119898119894119899=1198873 ∙ ℎ

12frasl

1198872frasl

=1198872 ∙ ℎ

6

(420)

452 Suprafaţă circulară

Din motive de simetrie pentru suprafeţele circulare momentele de inerţie faţă de

orice diametru (care reprezintă şi axe centrale) sunt aceleaşi

Considerăm o secțiune circulară plină cu diametrul 119889 și centrul de greutate 119862 Prin

centrul de greutate 119862 trece sistemul de axe ortogonal 119911119862119910 figura 45

Fig 45 Suprafață circulară

La distanța de centrul de greutate 119862 vom lua un element de suprafață mic de arie

(119889119860) de forma unui inel de grosime 119889 Elementul de arie 119889119860 are expresia

119889119860 = (2 ∙ 120587 ∙ 120588) ∙ (119889120588)

Pornind de la relația de definiție a momentului de inerție polar obținem

119868119901 ≝ int 1205882 ∙ 119889119860

119860

= int 1205882 ∙ (2 ∙ 120587 ∙ 120588) ∙ 119889120588

119903=119889 2frasl

0

= 2 ∙ 120587 ∙1205884

4|119889 2frasl0 rArr

rArr 119868119901 =120587 ∙ 1198894

32

(421)

Secțiunea este perfect simetrică deci sunt valabile relațiile

119868119911 = 119868119910 rArr 119868119901 = 119868119911 + 119868119910 = 2 ∙ 119868119911 = 2 ∙ 119868119910 =119868119901

2=120587 ∙ 1198894

64 (422)

Și modulele de rezistenţă faţă de orice diametru sunt egale şi se calculează cu

relaţiile

119882119911 = 119882119910 =1198681199111198892frasl=120587 ∙ 1198893

32 (423)

Modulul de rezistenţă polar este

119882119901 =1198681199011198892frasl=120587 ∙ 1198893

16 (424)

453 Secţiune inelară

Calculul momentelor de inerţie axiale pentru o secţiune inelară avacircnd diametrul

interior 119889 şi diametrul exterior 119863 se determină analog pentru suprafaţa circulară plină cu

observaţia că integrala pentru calculul momentului de inerție polar 119868119901 se face icircntre

limitele 119903 = 119889 2frasl şi R= 1198632frasl (icircntre raza interioară 119903 şi raza exterioară 119877) figura 46

Se obţin relaţiile

119868119901 =120587 ∙ 1198634

32∙ [1 minus (

119889

119863)4

] =120587 ∙ 1198634

32∙ (1 minus 1198964) (425)

119868119910 = 119868119910 =120587 ∙ 1198634

64∙ [1 minus (

119889

119863)4

] =120587 ∙ 1198633

64∙ (1 minus 1198964) (426)

Fig 46 Secțiune inelară

119882119901 =120587 ∙ 1198633

16∙ [1 minus (

119889

119863)4

] =120587 ∙ 1198633

16∙ (1 minus 1198964) (427)

119882119911 = 119882119910 =120587 ∙ 1198633

32∙ [1 minus (

119889

119863)4

] =120587 ∙ 1198633

32∙ (1 minus 1198964) (428)

unde 119896 = 119889119863frasl

46 Variaţia momentelor de inerţie faţă de axe paralele

( Relațiile lui STEINER)

Se consideră o suprafaţă oarecare de arie 119860 cu elementul de arie 119889119860 și un sistemul

de axe central 119911119862119910 faţă de care se cunosc momentele de inerţie 119868119911 119868119910 119868119911119910 şi considerăm

un sistem de axe 11991111198741199101 paralele cu sistemul central figura 47 Se pune problema

determinării momentele de inerţie 1198681199111 1198681199101 11986811991111199101 faţă de sistemul de axe paralel cu sistemul

central 11991111198741199101 axe aflate la distanţele 119910119862 = 119888 respectiv 119911119862 = 119889 de acesta

461 Momente de inerţie axiale

Pe baza relaţiilor de definire şi a notaţiilor din figura 42 pentru momentele de

inerţie faţă de axele 1198741199111 1198741199101 se poate scrie

1198681199111 = int 11991012 ∙ 119889119860

119860

= int(119910 + 119888)2 ∙ 119889119860

119860

= int 1199102 ∙ 119889119860

119860

+ 2 ∙ 119888 ∙ int 119910 ∙ 119889119860

119860

+

+1198882int 119889119860

119860

rArr 1198681199111 = 119868119911 + 2 ∙ 119888 ∙ 119878119911 + 1198882 ∙ 119860 hArr 1198681199111 = 119868119911 + 119888

2 ∙ 119860

(429)

Fig 47 Variaţia momentelor de inerţie față de axe paralele

S-a ajuns la relația (429) deoarece momentul static 119878119911 este nul deoarece axa 119862119885

este axă centrală

Pentru momentul de inerție axial icircn raport cu axa 1198741199101 se obține

1198681199101 = int 11991112 ∙ 119889119860

119860

= int(119911 + 119889)2 ∙ 119889119860

119860

= int 1199112 ∙ 119889119860

119860

+ 2 ∙ 119889 ∙ int 119911 ∙ 119889119860

119860

+

+1198892 ∙ int 119889119860

119860

rArr 1198681199101 = 119868119910 + 2 ∙ 119889 ∙ 119878119910 + 1198892 ∙ 119860 hArr 1198681199101 = 119868119910 + 119889

2 ∙ 119860

(430)

Pentru momentul de inerție centrifugal obținem

11986811991111199101 = int 1199101 ∙ 1199111 ∙ 119889119860

119860

= int(119910 + 119888) ∙ (119911 + 119889) ∙ 119889119860

119860

= int 119910 ∙ 119911 ∙ 119889119860 +

119860

+119888 ∙ int 119911 ∙ 119889119860

119860

+ 119889 ∙ int 119910 ∙ 119889119860

119860

rArr 11986811991111199101 = 119868119911119910 + 119888 ∙ 119889 ∙ 119860

(431)

Deoarece

int 119911 ∙ 119889119860

119860

= 119878119910 = 0 int 119910 ∙ 119889119860

119860

= 119878119911 = 0 int 119910 ∙ 119911 ∙ 119889119860

119860

= 119868119911119910

Relaţiile (429) şi (430) arată că momentul de inerţie faţă de o axă oarecare

este egal cu momentul de inerţie faţă de o axă paralelă cu ea trecacircnd prin centrul de

greutate la care se adaugă produsul dintre aria suprafeţei şi pătratul distanţei dintre

cele două axe

Din relaţiile (429) și (430) rezultă de asemenea că momentul de inerţie faţă de o

axă centrală (care trece prin centrul de greutate) este cel mai mic dintre infinitatea de

momente de inerţie obținute faţă de alte axe paralele cu ea

Relaţia (431) arată de asemenea că momentul de inerţie centrifugal faţă de un

sistem de axe oarecare este egal cu momentul de inerţie centrifugal faţă de un sistem

paralele cu el trecacircnd prin centrul de greutate a suprafeţei la care se adaugă produsul

dintre aria suprafeţei şi distanţele dintre axele sistemelor respective

Icircn literatura de specialitate relaţiile (429) (430) şi (431) sunt cunoscute sub

numele de relaţiile lui Steiner

47 Variaţia momentrlor de inerţie faţă de axe rotite

Direcţii principale şi momente de inerţie principale

Fie suprafaţa plană din figura 48 de arie 119860 pe care considerăm o suprafaţă

elementară de arie 119889119860 Pentru sistemul de axe 119911119874119910 se cunosc momentele de inerţie

119868119911 119868119910 119868119911119910 şi vom determina relaţiile de calcul pentru momentele de inerţie afererent unui

sistem de axe 11991111198741199101 rotit cu un unghi faţă de sistemul central

Faţă de sistemul de axe 11991111198741199101 elementul de arie 119889119860 are coordonatele

1199101 = 119875119877 = 119875119876 minus 119877119876 = 119910 ∙ cos 120572 minus 119911 ∙ sin 120572

1199111 = 119873119872 = 119873119875 minus 119875119872 = 119911 ∙ cos 120572 + 119910 ∙ sin 120572 (432)

Fig 47 Variaţia momentelor de inerţie față de axe rotite

Pe baza relaţiilor de calcul ale momentelor de inerţie şi a notaţiilor din figura 42

şi ale relaţiilor (432) momentele de inerţie faţă de sistemul de axe rotit 11991111198741199101 sunt

1198681199111 =119868119911 + 119868119910

2+119868119911 minus 119868119910

2∙ cos 2120572 minus 119868119911119910 ∙ sin 2120572 (433)

1198681199101 =119868119911 + 119868119910

2minus119868119911 minus 119868119910

2∙ cos 2120572 + 119868119911119910 ∙ sin 2120572 (434)

11986811991111199101 =119868119911 minus 119868119910

2∙ sin 2120572 + 119868119911119910 ∙ cos 2120572 (435)

Din relaţiile 433divide435 se observă că icircntre momentele de inerţie axiale şi cele

polare există relaţia

1198681199111 + 1198681199101 = 119868119911 + 119868119910 = 119868119901 (436)

adică suma momentelor de inerţie axiale icircn raport cu orice pereche de axe ortogonale

care trec printr-un pol dat este o constantă şi egală cu momentul de inerţie polar

Prin rotirea sistemului de axe din relaţiile 433divide435 rezultă că momentele de inerţie

variază icircnsă suma lor rămacircne constantă deci există o poziţie a sistemului de axe pentru

care momentele de inerţie au valori extreme maxim respectiv minim

471 Direcţii principale de inerţie

Valoarea unghiului 120572 pentru care momentele de inerţie axiale au valori extreme

este

1205721 =1

2∙ 119886119903119888119905119886119899 (minus

2 ∙ 119868119911119910

119868119911 minus 119868119910) (437)

Poziţia celeilalte direcţii este perpendiculară pe cea dată de unghiul 1205721

Din relaţia (437) se constată că faţă de aceste direcţii rotite pentru care momentele

de inerţie axiale prezintă valori extreme momentul de inerţie centrifugal 11986811991111199101este nul

Atunci se poate afirma că momentele de inerţie axiale au valori extreme icircn raport cu

direcţiile faţă de care momentul de inerţie centrifugal este nul Aceste direcţii se numesc

direcţii principale iar momentele de inerţie faţă de aceste direcţii poartă numele de

momente de inerţie principale

Icircn calculele de rezistenţă interesează icircn mod special poziţia direcţiilor principale

care trec prin centrul de greutate al suprafeţei aşa numitele direcţii principale centrale şi

evident momentele de inerţie principale centrale

Direcţiile principale de inerţie se notează cu 1 respectiv 2 Axa principală 1

corespunde direcţiei faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea maximă iar

axa principală 2 pentru direcţia faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea

minimă

472 Momente de inerţie principale

Momentele de inerţie principale se notează cu litera 119868 la care se pune indicele 1

sau 2 după cum valoarea acestuia este maximă sau minimă deci avem un moment de

inerţie principal 1 (notat 1198681) respectiv moment de inerţie principal 2 (notat 1198682)

Expresiile pentru momentele de inerţie principale sunt

11986812 =119868119911 + 119868119910

2plusmn1

2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)

2+ 4 ∙ (119868119911119910)

2 (438)

Dacă momentul de inerţie centrifugal este negativ (119868119911119910 lt 0) direcţia principală

care trece prin primul cadran (definit de sistemul 119911119862119910) este direcţia principală 120783

Pentru suprafeţele cu cel puţin o axă de simetrie direcţiile centrale 119862119911 119862119910 sunt şi

direcții principale de inerţie și evident momentele de inerţie axiale 119868119911 119868119910 sunt momente

de inerţie principale

48 Caracteristici mecanice ale metalelor

Alegerea materialului pentru confecţionarea unei anumite piese se face şi pe baza

aşa numitelor caracteristici mecanice pe care le prezintă materialul Cunoaşterea acestor

caracteristici mecanice are loc numai pe baza unor icircncercări mecanice care să scoată icircn

evidenţă comportarea materialului icircn condiţii de solicitare

Cea mai utilizată icircncercare icircn urma căreia se pun icircn evidenţă caracteristicile

mecanice ale unui material este icircncercarea la tracţiune

481 Icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general

Icircncercarea la tracţiune a oţelului ca de altfel toate icircncercările de materiale este

standardizată

Icircn cele ce urmează se va prezenta numai partea care interesează strict din punct

de vedere al caracteristicilor mecanice ale oţelului

Epruveta de diametru iniţial 1198890 pentru icircncercarea la tracţiune are o porţiune de

lungime 1198710 numită baza de măsurare pe care se măsoară lungirea acesteia sub acţiunea

solicitării

Icircn funcţie de raportul dintre baza de măsurare 1198710 şi diametrul iniţial 1198890 epruvetele

utilizate pentru icircncercări sunt

epruvete normale (scurte) cacircnd 11987101198890 = 5

epruvete lungi cacircnd 11987101198890 = 10

Icircn timpul icircncercării la diferite valori ale forţei 119865 se măsoară lungirea bazei de

măsurare

∆119871 = 120575 = 119871 minus 1198710 (439)

unde

119871 este dimensiunea bazei de măsurare la un moment dat

Curba forţă-lungire (119865 minus ) icircnregistrată icircn urma icircncercării reprezintă curba

caracteristică la tracţiune

La icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general diagrama caracteristică care se

obţine are forma din figura 48

Curba caracteristică la tracţiune depinde de lungimea bazei de măsurare Pentru

icircnlăturarea acestui neajuns curba caracteristică se reprezintă icircn coordonate şi definite

astfel

120590 =119865

1198600 휀 =

120575

1198710 (440)

unde

1198600 este aria iniţială a secţiunii transversale a epruvetei (icircnainte de solicitare) icircn

zona bazei de măsurare

1198600 =120587 ∙ 1198890

2

4

Deoarece mărimile icircn care se reprezintă curba caracteristică la tracţiune sunt

raportate la aria iniţială a secţiunii transversale (mărimi specifice) curba poartă numele

de curbă caracteristică convenţională la tracţiune

Fig 48 Curba caracteristică convenţională la tracțiune

Pe curba caracteristică convenţională la tracţiune figura 48 se pot stabili o serie

de puncte cărora le corespund mai multe mărimi importante

Ordonata punctului A pacircnă unde curba caracteristică convenţională este linie

dreaptă se numeşte limita de proporţionalitate a materialului 120590119901(1205901) Porţiunea 119874119860 este

zona de proporţionalitate a curbei caracteristice pe acest domeniu este valabilă legea lui

Hooke care exprimă o proporţionalitate icircntre tensiune şi deformaţie specifică

120590 = 119864 ∙ 휀 (441)

unde

119864 = reprezintă panta porţiunii liniare a curbei convenționale caracteristice

la tracțiune Caracteristica de material 119864 se numeşte modul de elasticitate longitudinal

(modulul lui Young)

Ordonata punctului 119861 pacircnă unde materialul se comportă perfect elastic adică

după descărcare icircşi recapătă dimensiunea iniţială 1198710 se numeşte limita de elasticitate

120590119890(119877119890) Icircn realitate nici un material nu are comportare perfect elastică sub acţiunea

solicitărilor el capătă deformaţii permanente (remanente plastice)

După punctul 119861 urmează o porţiune 119861119862119863 icircn care cu toate că icircncărcarea

continuă forţa nu mai creşte avacircnd mici oscilaţii icircn jurul unei valori Se spune că icircn

această porţiune materialul curge iar intervalul 119861119862119863 este un palier de curgere Tensiunea

corespunzătoare palierului de curgere se numeşte limită de curgere aparentă 120590119888(119877119888) Limita de curgere aparentă se calculează cu relaţia

120590119888 =1198651198881198600 (442)

unde

119865119888 reprezintă valoarea forţei icircnregistrată icircn momentul curgerii materialului

După punctul 119863 curba caracteristică are un traseu ascendent pacircnă icircn punctul 119864

Porţiunea 119863119864 este numită zonă de icircntărire (ecruisare) Icircn zona de ecruisare unde se

produc deformaţii plastice semnificative legea lui Hooke nu mai este valabilă La

descărcare relaţia dintre tensiunea şi deformaţia specifică este liniară paralelă cu

porţiunea liniară a curbei caracteristice (dreapta 119872119873)

Deformaţia totală (휀119905) are două componente una elastică (휀119890) şi una plastică (휀119901)

Ordonata punctului 119864 reprezintă rezistenţa de rupere 120590119903(119877119898) a materialului

care se poate calcula cu relaţia

120590119903 = 119877119898 =1198651198981198861199091198600

(443)

unde

119865119898119886119909 reprezintă valoarea maximă a forţei icircnregistrată icircn timpul icircncercării

La atingerea valorii 119865119898119886119909 (punctul 119864) icircntr-un anumit loc al epruvetei secţiunea

icircncepe să se micşoreze (se produce gacirctuirea) continuacircnd pacircnă cacircnd se produce ruperea

totală (punctul 119865)

Dacă după ruperea epruvetei cele două părţi rezultate se aşează cap la cap şi se

măsoară dimensiunea bazei de măsurare 119871119906 (lungimea ultimă) se determină alungirea la

rupere sau lungirea specifică la rupere 휀119903

휀119903 =119871119906 minus 11987101198710

=∆119871

1198710=120575

1198710 (444)

De obicei alungirea se exprimă icircn procente şi se notează cu 119860119899 unde 119899 reprezintă

numărul dat de raportul 11987101198890 (epruvete normale 119899 = 5 epruvete lungi 119899 = 10)

119860119899 =119871119906 minus 11987101198710

∙ 100 [] (445)

Altă mărime care se determină la icircncercarea la tracţiune este gacirctuirea la rupere

(exprimată de obicei icircn procente) şi definită de relaţia

119885 =1198600 minus 1198601199061198600

∙ 100 [] (446)

Mărimile determinate limita de proporţionalitate modulul de elasticitate

longitudinal limita de elasticitate limita de curgere aparentă rezistenţa de rupere

alungirea la rupere şi gacirctuirea la rupere sunt cunoscute ca fiind caracteristici mecanice

ale materialului

Din curba caracteristică convenţională observăm faptul că ruperea (punctul 119865 din

figura 48 se produce la o tensiune mai mică decacirct cea corespunzătoare punctului 119864 Dacă

icircnsă forţa din timpul icircncercării s-ar raporta la aria secţiunii din momentul icircnregistrării

forţei (care este mai mică decacirct cea iniţială 1198600) s-ar obţine aşa numita curbă

caracteristică reală a materialului (traseul 1198741198601198611198621198631198651 din figura 48) La curba

caracteristică reală ruperea se produce icircn punctul 1198651 la o icircncărcare mai mare decacirct cea

corespunzătoare punctului 119864 Icircnseamnă că rezistenţa reală la rupere este mai mare decacirct

rezistenţa la rupere dată de punctul 119864 din diagrama caracteristică convenţională

Dificultatea obţinerii diagramei caracteristice reale faţă de cea a diagramei caracteristice

convenţionale şi considerarea unei rezistenţe la rupere mai mică decacirct a celei reale face

icircn practică utilizarea pe scară mare a diagramei caracteristice convenţionale

Caracteristicile mecanice determinate pe baza curbei caracteristice convenţionale

sunt şi ele caracteristici mecanice convenţionale

Caracteristicile mecanice convenţionale limita de proporţionalitate convenţională

120590119901 limita de elasticitate convenţională 120590119890 limita de curgere convenţională 120590119888 şi rezistenţa

de rupere 120590119903 constituie tensiuni limită pentru un material Pe baza acestor caracteristici

de material se alege valoarea tensiunii admisibile 120590119886 (vezi paragraful 35) pentru

calculele de rezistenţă Cea mai utilizată stare limită pentru stabilirea tensiunii admisibile

120590119886 este limita de curgere convenţională 120590119888

120590119886 =120590119897119894119898119888

=120590119888119888 119904119886119906 120590119886 =

120590119903119888 (447)

Caracteristicile mecanice ale materialului sunt influenţate de o serie de factori

temperatura viteza de solicitare factorii tehnologici iar valorile lor sunt date icircn tabele și

diagrame

Aplicaţie Pentru suprafaţa plană compusă din două dreptunghiuri avacircnd

dimensiunile din figura 49a să se calculeze

a) centrul de greutate al secțiunii compuse 119910119866 119911119866

b) momentele de inerție axiale 119868119911 119868119910 și momentul de inerție centrifugal 119868119911119910

c) razele de inerție 119894119911 119894119910

d) modulele de rezistență 119882119911119898119894119899 119882119911119898119886119909 119882119910119898119894119899 119882119910119898119886119909

e) momentele de inerție principale 1198681 1198682 și direcțiile principale de inerție 1205721

f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 119878119911

Fig 49 Aplicație

Rezolvare Pentru rezolvare vom parcurge următoarele etape

icircmpărțim suprafața compusă icircn două suprafețe simple (dreptunghiuri) notate cu

① și respectiv ② figura 49b

poziționăm centrele de greutate a celor două suprafețe simple ① și respectiv ②

notate cu 1198661 și respectiv 1198662 figura 49c

poziționăm sistemele de axe de coordonate 119911111986611199101 pentru dreptunghiul ① și

119911211986621199102 pentru dreptunghiul ② aflate la intersecția diagonalelor figura 49c

poziționăm sistemele de axe de coordonate 11991101198741199100 ales arbitrar față de care

determinăm poziția centrului de greutate 119866 figura 49c

a) calculăm poziția centrului de greutate folosind relațiile (46) icircn care

1198601 = 6119905 ∙ 119905 = 61199052 1198602 = 4119905 ∙ 119905 = 41199052 119860 = 1198601 + 1198602 = 61199052 + 41199052 = 101199052

iar centrele de greutate 1198661 și respectiv 1198662 au coordonatele (față de sistemul 11991101198741199100)

1198661 1199101 = 3119905 1199111 = 05119905

1198662 1199102 = 051199051199112 = 3119905

cu acestea obținem

119910119866 =1198601 ∙ 1199101 + 1198602 ∙ 1199102

119860=61199052 ∙ 3119905 + 41199052 ∙ 05119905

101199052=201199053

101199052= 2119905

119911119866 =1198601 ∙ 1199111 + 1198602 ∙ 1199112

119860=61199052 ∙ 05119905 + 41199052 ∙ 3119905

101199052=151199053

101199052= 15119905

Poziționăm centrul de greutate 119866 al suprafeței compuse figura 49c

Fig 49 Aplicație

b) pentru determinarea momentelor de inerție axiale 119868119911 119868119910 și a momentului de

inerție centrifugal 119868119910119911 determinăm constantele 1198881 1198882 1198891 1198892 care intervin icircn relația lui

Stainer

1198881 = 1199101 minus 119910119866 = 3119905 minus 2119905 = 119905 1198882 = minus(119910119866 minus 1199102) = minus(2119905 minus 05119905) = minus15119905

1198891 = minus(119911119866 minus 1199111) = minus(15119905 minus 05119905) = minus119905 1198892 = 1199112 minus 119911119892 = 3119905 minus 15119905 = 15119905

Folosind relațiile lui Stainer (429) (430) și (431) calculăm momentele de

inerție axiale și centrifugale față de sistemul central 119911119866119866119910119866

119868119911 =sum(119868119911119894 + 1198881198942 ∙ 119860119894) = 1198681199111 + 1198881

2 ∙ 1198601 + 1198681199112 + 11988822 ∙ 1198602

119868119910 =sum(119868119910119894 + 1198891198942 ∙ 119860119894) = 1198681199101 + 1198891

2 ∙ 1198601 + 1198681199102 + 11988922 ∙ 1198602

119868119911119910 =sum(119868119911119894119910119894 + 119888119894 ∙ 119889119894 ∙ 119860119894) = 11986811991111199101 + 1198881 ∙ 1198891 ∙ 1198601 + 11986811991121199102 + 1198882 ∙ 1198892 ∙ 1198602

1198681199111 = (119887 ∙ ℎ3

12) =

119905 ∙ (6119905)3

12= 181199054 1198681199112 = (

119887 ∙ ℎ3

12) =

4119905 ∙ 1199053

12= 031199054

1198681199101 = (1198873 ∙ ℎ

12) =

1199053 ∙ 6119905

12= 051199054 1198681199102 = (

1198873 ∙ ℎ

12) =

(4119905)3 ∙ 119905

12= 531199054

11986811991111199101 = 11986811991121199102 = 0 deoarece cele două triunghiuri au cel puțin o axă de simetrie

Cu acestea momentele de inerție axiale și momentul de inerție centrifugal devin

119868119911 = 181199054 + 1199052 ∙ 61199052 + 031199054 + (minus15119905)2 ∙ 41199052 = 3331199054

119868119910 = 051199054 + (minus119905)2 ∙ 61199052 + 531199054 + (15119905)2 ∙ 41199052 = 2081199054

119868119911119910 = 0 + 119905 ∙ (minus119905) ∙ 61199052 + 0 + (minus15119905) ∙ (15119905) ∙ 41199052 = minus151199054

c) razele de inerție sau de girație față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910

se calculează cu relațiile (411)

119894119911 = radic119868119911119860= radic

3331199054

101199052= 182119905 119894119910 = radic

119868119910

119860= radic

2081199054

101199052= 144119905

d) modulele de rezistență față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910 se

calculează cu relațiile (412) și (413)

Avacircnd icircn vedere figura 419c obținem

119910119898119886119909 = 6119905 minus 119910119866 = 6119905 minus 2119905 = 4119905 119910119898119894119899 = minus119910119866 = minus2119905

119911119898119886119909 = 5119905 minus 119911119866 = 5119905 minus 15119905 = 35119905 119911119898119894119899 = minus119911119866 = minus15119905

Se obține astfel

119882119911119898119894119899 =119868119911

|119910119898119886119909|=3331199054

4119905= 8331199053

119882119911119898119886119909 =119868119911

|119910119898119894119899|=3331199054

2119905= 16651199053

119882119910119898119894119899 =119868119910

|119911119898119886119909|=2081199054

35119905= 5941199053

119882119910119898119886119909 =119868119910

|119911119898119894119899|=2081199054

15119905= 13871199053

e) momentele de inerție principale 1198681 și respectiv 1198682 se calculează cu relațiile

(438)

11986812 =119868119911 + 119868119910

2plusmn1

2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)

2+ 4 ∙ (119868119911119910)

2=

=3331199054 + 2081199054

2plusmn1

2∙ radic(3331199054 minus 2081199054)2 + 4 ∙ (minus151199054)2 = 27051199054 plusmn 16251199054

De unde obținem

1198681 = 27051199054 + 16251199054 = 4331199054

1198682 = 27051199054 minus 16251199054 = 1081199054

Prima direcție principală de inerție 1 face cu axa centrală 119866119911 unghiul 1205721 dat de

relația (437)

1205721 =1

2∙ arctan (minus

2 ∙ 119868119911119910

119868119911 minus 119868119910) =

1

2∙ arctan [minus

2 ∙ (minus151199054)

3331199054 minus 2081199054] =33 70

Deoarece 1205721 gt 0 rotirea axelor se face acircn sens antiorar acelor de ceasornic figura

49d

Poziția axe principale 2 față de care momentul de inerție are valoarea minimă

1198682 = 119868119898119894119899 este dată de unghiul

1205722 = 1205721 + 900 = 33 70 + 900 = 123 70

f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 se determină cu relația

(45)

1198781199111198602 = 1198602 ∙ 1198882 = 41199052 ∙ (minus15119905) = minus61199053

= (100 minus 100 minus 2121) ∙ 119894 + (0 + 1732 minus 2121) ∙ 119895 = (minus2121) ∙ 119894 + (minus389) ∙ 119895

rArr 119883 = minus2121 [119873]

119884 = minus389 [119873]

Cu acestea obținem rezultanta

119877 = radic1198832 + 1198842 = radic(minus2121)2 + (minus389)2 = 21564 [119873]

Se reprezintă grafic rezultanta icircn sistemul de coordonate 119909119874119910 după care se

calculează unghiul 120572 pe care aceasta rezultantă icircl face cu axa 119874119909 figura 18

tan 120572 =119884

119883=minus389

minus2121= 0183 rArr 120572 = arctan(0183) = 10 40

Fig 18 Reazultanta forțelor aplicate

b) Rezolvare tabelară

Forţa 119894 Componenta 119883119894 Componenta 119884119894

1 1198651 = 100 1198651 = 0

2 minus1198652 ∙ cos 600 = minus100 1198652 ∙ sin 60

0 = 1732

3 minus1198653 ∙ cos 450 = minus2121 minus1198653 ∙ sin 45

0 = minus2121

= sum119894 119883 =sum119883119894 = minus2121 119884 =sum119884119894 = minus389

După determinarea tabelară a celor două componente ale rezultandei calculele se

continua ca şi icircn cazul rezolvării analitice

142 Să se calculeze momentul forţei verticale = 100 [119873] icircn raport cu punctele

B D O şi icircn raport cu axele Ox Oy şi Oz figura 19 și să se determine componentele

torsorului de reducere ale forţei icircn punctul O dacă se cunosc 119886 = 3 [119898] şi 119887 = 4 [119898]

Fig 19 Aplicația 142

Fig 110 Icircnclinarea momentului 119872119874

119861 = 119861119860 times

119872119861 = 119886 ∙ 119865 = 3 ∙ 100 = 300 [119873 ∙ 119898]

119863 = 119863119860 times

119872119863 = 119887 ∙ 119865 = 4 ∙ 100 = 400 [119873 ∙ 119898]

119874 = 119874119860 times

119872119874 = 119888 ∙ 119865 = radic1198862 + 1198872 ∙ 119865 = radic32 + 42 ∙ 100 = 5 ∙ 100 = 500 [119873 ∙ 119898]

119874 se află icircn planul 119909119874119910 cu icircnclinarea 120572 (figura 110)

tan120572 =119886

119887=3

4= 075 rArr 120572 = arctan(075) = 36860

Deci

120572 = 900 minus 120573 = 900 minus 36860 = 53140

Concluzie Componentele torsorului de reducere al forței icircn punctul O sunt o forta

icircn O identică cu forța din punctul A și momentul forței icircn raport cu punctul O 119874

2 INTRODUCERE IcircN REZISTENŢA MATERIALELOR

21 Obiectul şi problemele Rezistenţei materialelor

Rezistenţa materialelor este o disciplină de cultură tehnică generală care continuă

logic şi dezvoltă Mecanica prin introducerea icircn calcule a proprietăţilor de deformabilitate

ale corpurilor solide reale Icircn Mecanică corpul solid este considerat rigid nedeformabil

iar vectorii forţă de icircncărcare sunt consideraţi alunecători Rezistenţa materialelor ia icircn

studiu corpurile reale care sub acţiunea forţelor exterioare (vectori legaţi) icircşi schimbă

forma geometrică respectiv dimensiunile iniţiale şi se distrug prin rupere la valori mari

ale acestora Prin calculele de rezistenţă se determină dimensiunile secţiunilor

transversale ale corpurilor (elemente de rezistenţă) icircn funcţie de mărimea poziţia şi modul

de acţionare a forţelor exterioare proprietăţile mecanice ale materialelor dimensiunile

constructive forma şi importanţa ansamblului icircn care se icircnglobează iar icircn anumite cazuri

şi de durata de funcţionare Elementele de rezistenţă trebuie să icircndeplinească următoarele

condiţii de bază

- condiţia de rezistenţă care are icircn vedere ca eforturile din elementul de rezistenţă

să nu producă distrugerea acestuia prin rupere sau spargere icircn bucăţi

- condiţia de rigiditate se referă la valorile deformaţiilor care nu trebuie să

depăşească anumite mărimile admisibile

- condiţia de stabilitate care consideră posibilitatea menţinerii formei de echilibru

stabil pentru o anumită stare de icircncărcare

Criteriile de rezolvare ale problemelor de Rezistenţa materialelor sunt

- criteriul economic prin care se impune ca orice element de rezistenţă (piesă) să

fie proiectat şi realizat cu soluţia cea mai economică icircn privinţa materialului utilizat şi al

manoperei

- criteriul de bună funcţionalitate a ansamblului din care face parte elementul de

rezistenţă proiectat respectacircnd condiţiile de rezistenţă rigiditate şi stabilitate

Icircn cadrul Rezistenţei materialelor se admit ipoteze simplificatoare care permit

obţinerea unor relaţii de calcul relativ simple şi care exprimă destul de fidel fenomenul

de solicitare real Experimentările practice icircn laborator permit verificarea legilor

rezistenţei materialelor şi determinarea caracteristicilor mecanice ale materialelor

Rezistenţa materialelor permite rezolvarea următoarelor categorii de probleme

- probleme de dimensionare prin care se stabilesc dimensiunile optime ale

elementelor de rezistenţă proiectate icircn funcţie de icircncărcările exterioare (forţe sau

momente) şi de caracteristicile mecanice ale materialului utilizat

- probleme de verificare la care se determină dacă un element de rezistenţă de

dimensiuni cunoscute satisface condiţiile de rezistenţă rigiditate şi stabilitate cunoscacircnd

icircncărcarea exterioară şi caracteristicile mecanice ale materialului utilizat

- probleme de calcul al capacităţii de icircncărcare al unui element de rezistenţă

cunoscacircndu-se caracteristicile mecanice ale materialului dimensiunile şi modul de

solicitare se determină icircncărcarea maximă pe care o poate suporta elementul de rezistență

fără a ceda sau a se deforma periculos

22 Clasificarea corpurilor icircn Rezistenţa materialelor

Corpurile (elementele de rezistenţă) au icircn general forme constructive relativ

complicate Icircn Rezistenţa materialelor pentru simplificarea calculelor corpurile se

schematizează prin forme geometrice mai simple obţinacircndu-se următoarele grupe

a) corpuri solide cu o dimensiune mult mai mare decacirct celelalte două (corpuri cu

fibră medie) Elementele geometrice caracteristice sunt axa longitudinală şi secţiunea

transversală Aceste corpuri solide pot fi

- fire dacă dimensiunile secţiunii transversale sunt foarte mici astfel icircncacirct axa

longitudinală este flexibilă (icircşi schimbă forma uşor) iar sarcinile transversale nu pot fi

preluate de acesta Un fir nu poate fi solicitat decacirct la icircntindere (exemplu cabluri de

macara lanţuri etc)

- bare care rezistă atacirct la solicitări axiale cacirct şi la solicitări transversale

După modul de solicitare barele poartă diferite denumiri convenţionale

tiranţi-solicitaţi la icircntindere figura 21a

stacirclpi-solicitaţi la compresiune figura 21b

grinzi-solicitate la icircncovoiere figura 21c

arbori-solicitaţi la torsiune (răsucire) figura 21d

Fig 21 Denumirea barelor după modul de solicitare

După modul cum variază secţiunea icircn lungul axei barele pot fi

de secţiune constantă figura 22a

de secţiune variabilă continuă figura 22b sau icircn trepte figura 22c

Fig 22 Denumirea barelor după secțiune

După forma axei longitudinale barele pot fi

drepte figura 21

curbe icircn plan figura 23a sau icircn spaţiu figura 23b (numite și curbe stracircmbe)

cotite (axa barei este o linie fracircntă) plane figura 23c sau spațiale figura 23d

Fig 23 Tipuri de bare curbe și cotite

Secţiunea transversală (plană şi normală pe axa barei) poate avea orice formă

geometrică constantă sau variabilă icircn lungul barei

Dacă una din dimensiunile secţiunii transversale (grosimea) este mai mică

comparativ cu celelalte bara se numește bară cu pereţi subţiri (exemplu barele

realizate din platbande sudate cu secţiuni sub formă de profil I profil U cornier etc)

b) corpuri care au două dimensiuni mult mai mari icircn raport cu a treia (grosimea)

se numesc plăci Elementele geometrice caracteristice ale unei plăci sunt forma şi

dimensiunile suprafeţei mediane respectiv grosimea Plăcile se reprezintă schematic

printr-o suprafață care imită forma și dimensiunile suprafeței mediane Suprafaţa mediană

reprezintă locul geometric al tuturor punctelor egal depărtate de cele două feţe ale plăcii

puncte aflate pe perpendicularele duse icircntre cele două feţe figura 24

După destinaţie și forma suprafeței mediane se deosebesc

plăci plane figura 24b

plăci curbe (icircnvelişuri) cu o singură curbură figura 24a sau avacircnd curbură

dublă figura 24c

Fig 24 Tipuri de plăci plane

Plăcile cu grosime mare sunt denumite frecvent dale O placă de grosime mică

ce nu poate prelua decacirct solicitări la icircntindere poartă numele de membrană

Exemple de plăci icircnvelişurile vasele de revoluţie discurile etc

c) corpuri masive care au toate cele trei dimensiuni aproximativ de acelaşi ordin

de mărime (blocuri de fundaţii bile şi role de rulmenţi tuburi cu pereţi groşi etc)

Calculele de rezistenţă sunt mai simple icircn cazul barelor drepte şi mai complicate

la barele curbe plăci respectiv blocuri

23 Clasificarea icircncărcărilor exterioare

Un corp icircşi păstrează forma şi dimensiunile datorită forţelor de atracţie dintre

particulele sale elementare atacircta timp cicirct asupra sa nu acţionează alte forţe aplicate din

exterior care să-l deformeze Icircn construcţia de maşini elementele de rezistenţă preiau şi

transmit acţiunea unor sarcini exterioare (forţe şisau cupluri) pe care le vom denumi

generic forțe sau icircncărcări exterioare Efectul pe care-l au sarcinile este acela de a

modifica forma şi dimensiunile corpului asupra căruia se aplică Icircn punctele de rezemare

(de sprijin sau de legătură cu alte elemente de rezistenţă icircnvecinate) ca urmare a

principiului acţiunii şi reacţiunii apar forţe de legătură sau reacţiuni Ansamblul format

din sarcini şi reacţiuni este cunoscut sub numele de forţe exterioare Sub acţiunea

forţelor exterioare elementele de rezistenţă trebuie să fie icircn echilibru

Forţele exterioare pot fi clasificate după următoarele criterii

a) după mărimea suprafeţei pe care se aplică

- forțe concentrate aplicate teoretic icircntr-un punct figura 25a

- forțe distribuite uniform sau cu intensitate variabilă icircn lungul barei sau pe o

suprafaţă figura 25bc şi d

- momente concentrate care acţionează icircntr-un punct M sau momente uniform

distribut pe o anumită lungime m

Fig 25 Tipuri de sarcini după mărimea suprafeţei de aplicare

b) după locul de aplicare se deosebesc

- forţe de suprafaţă sau de contur care sunt aplicate din exterior pe suprafaţa

corpurilor şi indică legătura cu piesele icircnvecinate

- forţe masice sau de volum distribuite icircn tot corpul (greutăţi forţe de inerţie

respectiv forţe electromagnetice)

c) după modul de acţiune icircn timp se disting

- forţe statice care se aplică lent şi progresiv pacircnă la valoarea nominală de lucru

şi apoi rămacircn constante figura 26a

- forţe dinamice care rezultă din

aplicarea cu icircntreaga intensitate de la icircnceputul perioadei de solicitare iar apoi forţa se

menţine constantă timp icircndelungat figura 26b (forţe de inerţie)

aplicarea bruscă a sarcinii asupra corpului durata de acţiune a sarcinii fiind mică figura

26c (forţe de şoc)

variaţia periodică icircn timp a intensităţii forţei aplicate figura 26d (forţe de oboseală)

Fig26 Tipuri de forţe exterioare (cicluri de solicitare)

Funcţie de modul de variaţie al forţelor exterioare solicitările pot fi statice

oscilante pulsante alternante etc Experimental s-a constatat că rezistenţa unui material

depinde foarte mult de modul de variaţie a forţelor icircn timp Bach a clasificat solicitările

icircn 3 categorii 1-solicitări statice 2-solicitări pulsante 3-solicitări alternant simetrice

Rezistenţa unui material este icircn raportul 321 pentru cele 3 cazuri de solicitare ale lui

Bach Aceasta icircnseamnă că o piesă solicitată static rezistă la o forţă de 3 ori mai mare

decacirct forţa maximă care produce ruperea aceleaşi piese solicitate alternant simetric

d) după poziţia icircn timp a forțelor se disting

- forţe fixe ale căror puncte de aplicaţie sunt mereu aceleaşi

- forţe mobile ale căror puncte de aplicaţie se deplasează icircn timp De exemplu

sarcinile produse de vehiculele care circulă pe un pod sarcinile unei grinzi de pod rulant

icircntr-o halăetc

24 Reazeme Forțe interioare Eforturi Diagrame de eforturi icircn barele

drepte

241 Reazeme Reacțiuni (forțe de legătură)

Pentru a prelua şi transmite acţiunea sarcinilor exterioare elementele de rezistenţă

din componenţa unei structuri sunt fixate icircntre ele prin intermediul unor legături

exterioare numite reazeme Aceste legături au ca scop icircmpiedicarea anumitor mişcări ale

corpului pe direcţiile pe care acestea nu trebuie să se producă O legătură are deci rolul

de a anula unul sau mai multe grade de libertate ale corpului icircn punctul de rezemare Dacă

este anulat un singur grad de libertate legătura este simplă iar dacă sunt impiedicate mai

multe grade de libertate legătura este una compusă Datorită existenţei sarcinilor

exterioare icircn punctele de rezemare pe direcţiile pe care mişcările sunt icircmpiedicate apar

forţe de legătură numite reacţiuni Numărul natura şi direcţiile reacţiunilor depind de

tipul reazemelor Icircn construcţiile reale există o varietate mare de realizare practică a

reazemelor dar icircn calcule se acceptă anumite schematizări care reţin doar aspectul esenţial

al unui reazem şi anume gradul sau gradele de libertate anulate

Pentru o structură de rezistenţă spaţială icircntr-un punct oarecare sunt posibile şase

deplasări trei deplasări liniare (după direcţiile axelor unui sistem ortogonal) şi trei rotiri

(deplasări unghiulare) icircn jurul aceloraşi axe Ca urmare ar fi posibil de realizat maximum

şase tipuri de reazem

Pentru un element de rezistenţă plan icircncărcat cu eforturi cuprinse icircn planul

elementului icircn orice punct sunt posibile trei gade de libertate două deplasări liniare şi o

rotiri Ca urmare pentru cazul unei bare plane se icircntacirclnesc următoarele tipuri de reazeme

1 Reazemul simplu sau reazemul mobil care icircmpiedică deplasarea pe o direcţie

normală pe suprafaţa de rezemare permiţacircnd deplasarea pe o direcţie paralelă cu

suprafaţa de rezemare şi rotirea barei icircn jurul unei axe perpendiculare pe plan icircn punctul

de rezemare Icircn urma icircmpiedicării deplasării şi datorită unor sarcini exterioare icircn

reazemul simplu apare o reacţiune de tip forţă a cărei suport trece prin punctul de

rezemare şi a cărei direcţie este perpendiculară pe suprafaţa de rezemare figura 27

Fig 27 Reazem simplu (mobil)

Icircn figura 27 este reprezentat un reazem mobil poziţionat pe capătul A al unei bare

plane orizontale fiind evidenţiate punctul şi suprafaţa de rezemare direcţia suportului

reacţiunii şi modul de schematizare al reazemului Cea mai des icircntacirclnită reprezentare a

reazemului mobil este a unui triunghi a cărui bază poate luneca pe suprafaţa de rezemare

2 Reazemul fix sau articulaţia icircmpiedică deplasările liniare după toate direcţiile

din planul barei permiţacircnd doar rotirea barei icircn jurul unei axe perpendiculare pe plan şi

care trece prin puncul de rezemare Reacţiunea este cuprinsă icircn planul barei care trece

prin punctul de rezemare dar a cărei mărime şi direcţie nu sunt cunoscute (forţa R)

figura 28

Fig 28 Reazem fix

Se preferă ca icircn locul unei forţe R avacircnd direcţia oarecare icircn plan necunoscută să

se introducă două forţe (HA şi VA) cărora li se cunoaşte direcţia şi pentru care se vor

determina modulele ca valori din condiţiile de echilibru static Icircntr-un reazem fix apar

icircntotdeauna reacţiuni atacirct pe direcţia perpendiculară pe suprafaţa de rezemare

(verticală) cacirct şi pe direcţia paralelă cu prima (orizontală) chiar dacă uneori una sau

chiar ambele reacţiuni au valoarea zero Reprezentarea schematică a articulaţiei este cea

a unui triunghi cu baza fixă şi cu vacircrful icircn punctul de rezemare sau cea a unui pendul

dublu figura 28

3 Icircncastrarea (sau icircnţepenirea) anulează toate gradele de libertate ale capătului

unei bare icircmpiedicacircnd deplasarea liniară după orice direcţie din plan precum şi rotirea

barei icircn jurul unei axe perpendiculare pe plan şi care trece prin punctul de icircncastrare

Urmare a existenţei sarcinilor exterioare şi a blocării deplasărilor icircn icircncastrare apare o

reacţiune căreia nu i se cunoaşte nici mărimea nici direcţia şi nici punctul de aplicaţie

figura 29

Fig 29 Icircncastrarea

Sub acţiunea forţelor exterioare un sistem este icircn echilibru Valoarea reacţinilor

se determină din condiţia de echilibru a sistemului solicitat

Este cunoscut faptul că un sistem plan este icircn echilibru dacă

nu se deplasează pe o direcţie (fie x această direcţie)

nu se deplasează pe o direcţie perpendiculară pe prima (fie y această direcţie)

nu se roteşte faţă de un punct al planului (fie K acest punct)

Cele trei condiţii enunţate mai sus sunt satisfăcute dacă suma proiecţiilor tuturor

forţelor pe direcţia x respectiv y este nulă şi suma tuturor momentelor (cuplurilor) faţă

de un punct al planului este nulă

242 Forțe interioare Metoda secțiunilor

Icircn vederea calculului de rezistenţă de rigiditate şi de stabilitate a barelor sau a

sistemelor de bare este necesară determinarea forţelor şi momentelor interioare

(eforturilor) care apar icircn secţiunile transversale ale acestora şi datorate icircncărcărilor

exterioare Forțele interioare indică legătura dintre particulele din interiorul corpului şi

se pun icircn evidenţă prin metoda secţiunilor care este un procedeu de raţionament

imaginar propus de Cauchy echivalent cu teoria echilibrului părţilor Conform acestui

raționament bdquodacă un corp solid deformabil este icircn echilibru sub acţiunea unui sistem

generalizat de forţe atunci după secționare fiecare parte a sa va fi icircn echilibru sub

acţiunea forţelor exterioare care-i revin şi a unui sistem de forţe pe care trebuie să-l

introducem icircn secţiunea ce delimitează fiecare parte echivalent cu acţiunea forţelor

aplicate pe partea icircndepărtatărdquo

Problemele care apar la aplicarea metodei secţiunilor sunt

- să pună icircn evidenţă existenţa forţelor interioare mai ales că din ceea ce se ştie o

forţă apare icircn prezenţa a două corpuri ca urmare a principiului acţiunii şi reacţiunii

- să explice modul de distribuţie al forţelor interioare pe secţiune

Considerăm un corp aflat icircn echilibru sub acţiunea unui sistem de forţe exterioare

1 2 3⋯119894 ⋯ 119899minus1 119899 şi presupunem că-l secţionăm cu un plan transversal Q (sau cu

o suprafaţă oarecare) figura 210a Icircn urma secţionării fictive (imaginare) conform

principiului echilibrului părţilor fiecare din cele două părţi obţinute trebuie să fie icircn

echilibru sub acţiunea forţelor exterioare care le revin şi a cacircte unui sistem de forţe

interioare pe care trebuie să-l introducem icircn secţiunile rezultate sistem echivalent cu

acţiunea forţelor exterioare ce acţionează asupra celeilalte părţi Astfel pe partea din

dreapta (notată cu II) delimitată de secţiunea de arie Ad sunt aplicate forţele exterioare

119894 ⋯ 119899minus1 119899 şi un sistem de forţe interioare căruia nu i se cunoaşte decacirct efectul acelaşi

cu cel al forţelor 1 2 3 de pe parea din stacircnga (notată cu I şi delimitată de secţiunea

de arie As) figura 210b Prin metoda secţiunilor am reuşit să punem icircn evidenţă existenţa

forţelor interioare şi să le trecem icircn categoria celor exterioare cărora le putem aplica

relaţiile de echivalenţă şi de echilibru cunoscute din statică Ideal ar fi să cunoaştem

distribuţia şi intensitatea punctuală a acestor forţe pentru că s-ar putea ca icircn anumite

puncte ale secţiunii valoarea forţelor să depăşească limita de rezistenţă (limita de curgere)

a materialului Cunoaşterea distribuţiei punctuale a forţelor interioare nu se poate realiza

decacirct icircn cazuri particulare relativ simple de solicitare

Să considerăm partea din dreapta a corpului asupra căreia acționează forțele

119894 ⋯ 119899minus1 119899 mărginit de aria Ad pe care acționează un sistem de forțe interioare

echivalent cu 1 2 3 Deși forțele interioare de pe Ad nu se cunosc totuși efectul lor

este același cu cel al forțelor 1 2 3 deci le putem reduce icircn centrul de greutate C al

secțiunii Ad rezultacircnd componentele torsorului de reducere al forțelor interioare

(119894119889 119894119889) și pentru partea din stacircnga (119894119904 119894119904) Evident conform principiului acțiunii și

reacțiunii

119894119889 = minus119894119904

119894119889 = minus119894119904 (21)

Pe de altă parte cum fiecare dintre părțile corpului după secționare trebuie să fie

icircn echilibru sub acțiunea forțelor exterioare care le revin și a forțelor interioare introduse

rezultă

119894119889 = minus119890119889

119894119889 = minus119890119889

119894119904 = minus119890119889

119894119904 = minus119890119904 (22)

Combinacircnd (21) cu (22) rezultă

119894119889 = 119890119889

119894119889 = 119890119889

119894119904 = 119890119904

119894119904 = 119890119904 (23)

Fig 210 Forțe interioare

Relațiile (22) și (23) permit determinarea componentelor torsorului de reducere

al forțelor interioare din (23) rezultă componentele torsorului forțelor interioare care

acționează icircn secțiunea Ad sunt egale cu componentele torsorului de reducere al forțelor

exterioare de pe partea din stacircnga din (22) rezultă componentele torsorului forțelor

interioare care acționează icircn secțiunea Ad sunt egale și de sens contrar cu componentele

torsorului de reducere al forțelor exterioare de pe partea din dreapta

Observații

1 Torsorul forțelor interioare diferă de la o secțiune la alta dar pentru aceeași

secțiune el este unic și trebuie să respecte condițiile de compatibilitate a deformațiilor

2 Reducacircnd forțele interioare icircn centrul de greutate al secțiunii s-a făcut o

aproximare icircn ceea ce privește efectul modului de dispunere al forțelor

3 Punctul de reducere trebuie să fie

pentru forțele interioare normale la secțiune centrul de greutate

pentru forțele interioare tangente la planul secțiunii centrul de răsucire sau de

tăiere

243 Eforturi

Prin metoda secțiunilor am pus icircn evidență existența forțelor interioare și modul

icircn care se determină componentele torsorului de reducere al forțelor interioare (119894119889 119894119889) de pe fața din dreapta secțiunii (Ad) Cele două componente ale torsorului de reducere al

forțelor interioare de pe Ad se pot descompune după axele unui sistem de referință

triortogonal xCyz astfel

119894119889 = +

119894119889 = 119909 +119872119894 (24)

unde și 119909 sunt proiecțiile lui 119894119889 și respectiv 119894119889 pe axa longitudinală Cx a

barei iar și 119894 sunt proiecțiile acelorași componente 119894119889 și respectiv 119894119889 pe planul yCz

al secțiunii transversale Ad figura 211

Fig 211 Torsorul de reducere al forţelor interioare

La racircndul lor și 119894 se pot descompune după axele sistemului yCz figura 212

= 119910 + 119911

119894 = 119894119910 + 119894119911 (25)

Fig 212 Descompunerea forţei tăietoare şi a momentului icircncovoietor

Cele șase componente ale torsorului de reducere al forțelor interioare ( 119910 119911

119909 119894119910 119894119911) orientate după axele sistemului de referință xCyz se numesc eforturi

Fiecare efort are o denumire stabilită icircn funcție de tipul de deformație pe care-l produce

De asemenea semnul plus (bdquo+rdquo) sau minus (bdquondashrdquo) al fiecărui efort nu depinde de sensul

pozitiv sau negativ al sistemului de axe ci doar de efectul icircn deformații al fiecărui efort

Denumirile celor șase eforturi sunt

119873 este forța axială

119879119910 119879119911 sunt forțe tăietoare orientate după axele Cy și respectiv Cz

119872119909 notat de cele mai multe ori cu 119872119905 este moment de torsiune sau de răsucire

119872119894119911 119872119894119910 sunt momente de icircncovoiere icircn jurul axei Cz și respectiv Cy

Forța axială 119873 poate fi forță axială de icircntindere cacircnd produce o lungire a

tronsonului pe a cărei față acționează (119873 gt 0) figura 213a sau forță axială de

compresiune cacircnd sub efectul ei bara se scurtează (119873 lt 0) figura 213b

Fig 213 Forța axială

Forțele tăietoare 119879119910 și 119879119911 au ca efect lunecarea secțiunii icircn centrul căreia

acționează icircn raport cu secțiunea icircnvecinată lunecare ce se produce pe direcția și icircn sensul

forței Sub acțiunea unei forțe tăietoare bara este solicitată la forfecare Forța tăietoare

este pozitivă 119879119910 gt 0 dacă icircn raport cu un punct oarecare K de pe axa Cx a barei tinde să

rotească secțiunea pe care acționează icircn sens orar

Fig 214 Forța tăietoare

Momentele de icircncovoiere 119872119894119911 și 119872119894119910 au ca efect o rotire a secțiunii icircn centrul

cărora acționează icircn jurul axei după care sunt orientate Icircn figura 215a se vede că

datorită momentului 119872119894119911 fibrele de deasupra axei Cz se alungesc icircn timp ce fibrele de sub

axa Cz se scurtează Fibrele care trec prin axa de icircncovoiere Cz nu se deformează sunt

fibre neutre la icircncovoiere adică axa neutră este Cz Icircn cazul momentului de icircncovoiere

119872119894119910 fibrele care nu se deformează sunt cele care trec prin axa neutră la icircncovoiere Cy

Momentele de icircncovoiere se consideră a fi pozitive (119872119894119911 gt 0119872119894119910 gt 0) dacă

observatorul care privește bara deformată vizualizează fibrele icircntinse

Fig 215 Momentul icircncovoietor

Momentul de torsiune sau de răsucire 119872119909 equiv 119872119905 are ca efect o rotire a secțiunii

icircn al cărei centru acționează icircn jurul axei longitudinale Cx Ca efect secțiunea icircși schimbă

forma (se deformează) adică unghiurile inițiale se modifică dreptunghiul inițial Ad

devine paralelogram Convențional se consideră 119872119905 gt 0 dacă vectorul moment are

aceeași orientare ca și sensul pozitiv ales pextru axa Cx Icircn figura 216 momentul este

negativ

Fig 216 Momentul de torsiune

25 Definiții și convenții de semne pentru eforturile

din secțiunile unei bare drepte plane icircncărcate cu sarcini coplanare

Vom considera o bară plană icircncărcată cu un sistem de forțe arbitrar figura 217

Ne propunem să determinăm eforturile care apar icircn secțiunea barei aflată la distanța 119909 de

reazemul din stacircnga (A)

Pentru aceasta vom aplica metoda secțiunilor vom secționa bara cu un plan

perpendicular pe axa longitudinală a barei și vom analiza doar partea din dreapta secțiunii

mărginită de fața Ad Pentru ca această porțiune de bară să fie icircn echilibru sub acțiunea

forțelor exterioare care acționează asupra sa 1198653 și 119881119861 va trebui să introducem icircn centrul

secțiunii Ad eforturile care pot să apară 119873 119879119910 119872119894119911 Acțiunea acestor eforturi trebuie să

fie echivalentă cu acțiunea forțelor exterioare aplicate pe partea icircnlăturată (parcursă) a

barei 119867119860 119881119860 1198651 1198652 1198720

Deoarece bara este plană și este icircncărcată doar cu sarcini ce aparțin

planului barei

icircn secțiunea Ad apar doar 3 componente ale torsorului de reducere al forțelor

interioare (eforturi)

- 119873 = forța axială

- 119879119910 = forța tăietoare pe care o vom nota cu 119879

- 119872119894119911 = momentul icircncovoietor notat cu Mi

Fig 217 Bară plană icircncărcată cu un sistem de forțe

Vom prezenta următoarele definiții corespunzătoare eforturilor din secțiunea Ad

119873 = forța axială dintr-o secțiune este egală cu suma algebrică a proiecțiilor pe

axa longitudinală a tuturor forțelor exterioare (sarcini și reacțiuni) aplicate pe partea

din stacircnga secțiunii adică pe porțiunea parcursă Forța axială 119873 este pozitivă dacă trage

de tronsonul pe a cărei față acționează (are orientarea normalei exterioare la secțiunea

Ad)

119873(119909) = minus119867119860 + 1198651119867 (26)

119879 = forța tăietoare icircntr-o secțiune este egală cu suma algebrică a proiecțiilor

pe o axă perpendiculară pe axa barei a tuturor forțelor exterioare (sarcini și reacțiuni)

aplicate pe porțiunea de bară aflată icircn stacircnga secțiunii considerate Forța tăietoare 119879

este pozitivă dacă tinde să rotească tronsonul pe a cărui față acționează icircn sens orar icircn

raport cu un punct de pe axa barei aflat la dreapta secțiunii

119879(119909) = 119881119860 minus 1198651119881 minus 1198652 (27)

119872119894 = momentul icircncovoietor icircntr-o secțiune este egal cu suma algebrică a

momentelor obținute prin reducerea tuturor forțelor exterioare ( cupluri sarcini

reacțiuni) aplicate pe porțiunea de bară aflată la stacircnga secțiunii icircn centrul secțiunii

considerate 119872119894 este considerat pozitiv dacă tinde să deformeze bara astfel icircncacirct fibrele

spre care privește un observator să fie icircntinse Cum poziția observatorului este de regulă

sub bară bara se deformează dacă 119872119894 gt 0 astfel icircncacirct partea jos a barei este icircntinsă Se

spune că bara deformată rdquoține apaldquo

119872119894(119909) = 119881119860 ∙ 119909 minus 1198651119881 ∙ (119909 minus 1198971) minus 1198652 ∙ [119909 minus (1198971 + 1198972)] + 1198720 (28)

Sensurile pozitive ale eforturilor care apar icircn centrul secțiunii Ad (deci atunci cacircnd

sensul de parcurs la aplicarea metodei secțiunilor este cel de la stacircnga la dreapta) sunt

indicate icircn figura 218a iar dacă sensul de parcurs este de la dreapta la stacircnga sensurile

pozitive ale eforturilor sunt indicate icircn figura 218b

Fig 218 Convenţia de semne

Definiții asemănătoare se pot da și pentru eforturile din centrul secțiunii As figura

218b adică pentru cazul icircn care sensul de parcurs este cel de la dreapta la stacircnga și deci

partea luată icircn considerare este cea din stacircnga iar partea parcursă din dreapta secțiunii

este icircnlăturată

119873(1199091) = 1198653119867

119879(1199091) = 1198653119881 minus 119881119861

119872119894(1199091) = 119881119861 ∙ 1199091 minus 1198653119881 ∙ (1199091 minus 1198975)

(29)

Avacircnd icircn vedere că fețele Ad și As aparțin aceleeași secțiuni este evident faptul că

eforturile 119873(119909) 119879(119909) și 119872119894(119909) sunt identice cu eforturile 119873(119961120783) 119879(119961120783) și respectiv

119872119894(119961120783) Icircn figura 218c se prezintă o sinteză a convențiilor de semne pozitive pentru cele

3 eforturi atacirct pentru sensul de parcurs de la stacircnga la dreapta (secțiunea Ad) cacirct și pentru

sensul invers (secțiunea As)

Semnele eforturilor sunt importante icircntrucacirct există materiale cu comportări diferite

la icircntindere față de compresiune iar o schimbare a semnului unui efort poate produce

erori grave icircn calcule Semnele eforturilor au fost stabilite icircn funcție de deformațiile

produse și nu depind de sensul axelor sistemului de coordonate

26 Relaţii diferenţiale icircntre eforturi şi sarcini

Pentru a vedea ce legătură există icircntre eforturi și sarcini vom considera o bară

dreaptă icircncărcată cu o sarcină distribuită după o lege oarecare figura 219a Din această

bară vom decupa prin dublă secționare un element de lungime infinit mică 119889119909 Deoarece

lungimea 119889119909 este foarte mică se poate considera sarcina 119901 uniform distribuită Icircn

secțiunile rezultate trebuie să introducem eforturile care pot apărea

- 119879 şi 119872119894 icircn centrul secțiunii din sticircnga eforturi pe care le considerăm pozitive

- 119879 + 119889119879 şi 119872119894 + 119889119872119894 icircn centrul secțiunii din dreapta elementului

Aceste eforturi au o variație mică (119889119879 şi 119889119872119894) față de secțiunea anterioară Spre

deosebire de cazul icircn care bara este secționată o singură dată icircn acest caz eforturile nu

pot fi determinate din cele 2 condiții de echilibru independente deoarece icircn ecuațiile de

echilibru apar 4 necunoscute 119879 119889119879119872119894 și 119889119872119894 deci că problema este dublu static

nedeterminată figura 219

Fig 219 Echivalența icircntre eforturi și sarcini

Ecuațiile de echilibru scrise pentru elementul din figura 219b conduc la stabilirea

unor relaţii foarte importante

(sum119865)119910= 0 hArr 119879 minus 119901 ∙ 119889119909 minus (119879 + 119889119879) = 0 rArr

119889119879

119889119909= minus119901 (210)

Relația (210) arată că derivata funcţiei forţei tăietoare icircn raport cu abscisa

secţiunii este egală cu sarcina distribuită normală la axa barei din acea secţiune luată

cu semn schimbat

Observații

dacă 119901 = 0 nu există sarcină distribuită atunci forța tăietoare T este constantă

icircnclinarea pantei diagramei forței 119879 este egală cu (ndash 119901) (sarcina distribuită cu

semn schimbat)

dacă 119901 = 119888119900119899119904119905 119879 variază liniar pe acel interval

Asemănător se deduce că derivata funcţiei forţei axiale icircn raport cu abscisa

secţiunii este egală cu sarcina distribuită axială din acea secţiune luată cu semn

schimbat adică

119889119873

119889119909= minus119901119867 (211)

Din condiția de echilibru suma de momente faţă de centrul de greutate al secţiunii

din dreapta

(sum119872)119862= 0 hArr 119872119894 minus (119872 + 119889119872119894) + 119879 ∙ 119889119909 minus 119901 ∙

(119889119909)2

2= 0 rArr

119889119872119894

119889119909= 119879 (212)

Relația (212) s-a obținut dupa reducerea termenilor și prin neglijarea infinitului

mic de ordinul 2

119901 ∙(119889119909)2

2

Relația (212) arată că derivata funcţiei moment icircncovoietor icircn raport cu abscisa

secţiunii este egală cu forţa tăietoare din acea secţiune

Observații

dacă 119879 = 0 momentul 119872119894 are un punct de extrem se obține o valoare maximă

pentru 119872119894119898119886119909 dacă forța tăietoare 119879 se anulează trecacircnd de la plus icircn stacircnga la minus icircn

dreapta secțiunii

dacă forța tăietoare este pozitivă pe un interval 119879 gt 0 atunci 119872119894 este crescătoare

pe acel interval

dacă forța tăietoare este negativă pe un interval 119879 lt 0 atunci 119872119894 este

descrescătoare pe acel interval

dacă pe un interval 119901 = 0 forța tăietoare este constantă 119879 = 119888119905 iar 119872119894 variază

liniar pe acel interval

dacă 119901 = 119888119900119899119904119905 119879 variază liniar pe acel interval iar 119872119894 variază parabolic pe

acel interval

Relaţiile diferenţiale sunt utile la reprezentarea corectă şi verificarea diagramelor

de eforturi astfel

pentru porţiunile de grindă pe care p = 0 eforturile N şi T sunt constante iar pe

porţiunile cu p = const eforturile N şi T variază liniar (relaţiile 211 şi 210)

dacă pe o porţiune T = const momentul icircncovoietor Miz variază liniar iar dacă

T variază liniar atunci momentul Miz variază parabolic (relaţia 212)

pe domeniile pe care T gt 0 funcţia Mi(x) este crescătoare iar icircn secţiunea icircn

care T = 0 (graficul funcţiei T intersectează axa x) momentul icircncovoietor are un punct

de extrem local (maxim sau minim relaţia 212)

Pentru rezolvarea problemelor referitoare la trasarea diagramelor de eforturi

pentru barele drepte solicitate de sisteme de forţe plane se parcurg următoarele etape

1) identificarea forţelor aplicate (date) şi pregătirea lor pentru calcule

(descompunerea forţelor concentrate pe direcţiile x şi y calculul rezultantelor forţelor

distribuite)

2) identificarea reazemelor şi introducerea reacţiunilor corespunzătoare (vezi

figurile 27divide29)

3) stabilirea ecuaţiilor de echilibru static calculul şi verificarea reacţiunilor Icircn

rezistența materialelor se folosește sistemul de ecuații (vezi figura 217)

(sum119865)

119909= 0

(sum119872)119860= 0

(sum119872)119861= 0

(213)

4) identificarea domeniilor de variaţie şi scrierea funcţiilor de eforturi pentru N T

şi Mi

5) reprezentarea grafică a diagramelor de eforturi

6) verificarea corectitudinii diagramelor pe baza relaţiilor diferenţiale icircntre eforturi

şi sarcini

Aplicație Pentru grinda dreaptă icircncărcată cu sistemul de forţe reprezentat icircn figura

220 se cere

a) să se calculeze şi să se verifice reacţiunile

b) să se stabilească funcţiile eforturilor Nx Ty şi Miz şi să se reprezinte diagramele

de variaţie

c) să se analizeze relaţiile diferenţiale icircntre eforturi şi sarcini

Dimensiunile grinzii au valorile a = 6 [m] b = 4 [m] și c = 4[m] sistemul de

forţe aplicat fiind format din p = 10 [kN mfrasl ] F = 20 [kN] (icircnclinată cu unghiul α =300 faţă de orizontală) şi M0 = 40 [kN ∙ m]

Rezolvare

a) Se fac următoarele precizări

grinda dreaptă se reprezintă prin axa geometrică

forţa icircnclinată F se descompune după direcţiile orizontală şi verticală icircn FV =F ∙ sin α = 10 [kN] şi FH = F ∙ cos α = 173 [kN]

forţa distribuită uniform p este echivalentă din punct de vedere static cu

rezultanta sa R = p ∙ a = 60 [kN] care acţionează la jumătatea porţiunii de lungime a

icircn reazemele 119860 şi 119861 se introduc componentele HA şi VA respectiv VB ale

reacţiunilor

Pentru calculul reacţiunilor se utilizează ecuaţiile de echilibru static al grinzii

sumXi = 0 HA minus FH = 0 sumYi = 0 VA + VB minus R minus FV = 0 (sumM)B = 0 VA ∙ (b + a) minus R ∙ (b + 05 ∙ a) minus M0 + FV ∙ c = 0

(A1)

Din prima ecuaţie se obţine HA iar din cea de-a treia ecuaţie rezultă VA

HA = FH = 173 [kN]

VA =[R ∙ (b + 05 ∙ a) + M0 minus FV ∙ c]

(b + a)=[60 ∙ (4 + 05 ∙ 6) + 40 minus 10 ∙ 4]

(4 + 6)

VA = 42 [kN]

(A2)

Fig 220 Aplicație

Se observă că cea de-a doua ecuaţie de echilibru conţine două necunoscute

reacţiunile VA şi VB Pentru a calcula componenta VB nu este indicată introducerea lui VA

icircn cea de-a doua ecuaţie a sistemului (A1) pentru că o valoare determinată greşit pentru

VA conduce la o valoare VB de asemenea greşită O ecuaţie independentă din care se poate

determina componenta VB este următoarea

(sumM)A= 0 FV ∙ (a + b + c) minus VB ∙ (a + b) minus M0 + R ∙ 05 ∙ a = 0 (A3)

de unde se obţine

VB =[FV ∙ (a + b + c) minusM0 + R ∙ 05 ∙ a]

(b + a)=[10 ∙ (6 + 4 + 4) minus 40 + 60 ∙ 05 ∙ 6]

(6 + 4)

VB = 28 [kN] (A4)

Ecuaţia de proiecţii ale forţelor pe direcţia verticală (a doua ecuaţie din sistemul

A1) se utilizează pentru verificarea reacţiunilor deja determinate

VA + VB minus R minus FV = 0 rArr 42 + 28 minus 60 minus 10 = 0 (A5)

Ultima egalitate demonstrează că reacţiunile verticale au fost calculate corect

Din cele de mai sus rezultă ordinea firească pentru determinarea reacţiunilor icircn

cazul grinzilor simplu rezemate

sumXi = 0

(sumM)A = 0

(sumM)B = 0

(A6)

iar pentru verificarea componentelor verticale VA şi VB se folosește ecuaţia sumY = 0

b) La stabilirea funcţiilor de eforturi se parcurg icircn general etapele următoare

se notează (numeric sau literal după preferinţă) secţiunile care delimitează

domeniile (intervalele sau tronsoanele) pe care eforturile nu-şi modifică funcţiile (au legi

unice de variaţie)

pe fiecare domeniu se marchează secţiunea imaginară icircn care se stabilesc

funcţiile eforturilor

secţiunea astfel aleasă separă icircn două părţi grinda şi anume porţiunea din stacircnga

şi porţiunea din dreapta secţiunii

se va considera parcursă (şi icircndepărtată) acea parte pe care acţionează mai puţine

sarcini exterioare pentru că acestea vor interveni icircn expresiile funcţiilor de eforturi

poziţiile secţiunilor imaginare se vor determina prin variabilele x1 ⋯ xn (unde

n reprezintă numărul domeniilor de variaţie) cu originea fixată icircn capătul intervalului şi

sensul de parcurgere spre partea considerată rămasă

Grinda prezentată icircn figura 220 are trei domenii de variaţie pentru funcţiile de

eforturi după cum urmează (A-1) (2-B) şi (B-1)

Domeniul (A-1) x1 isin [0 a = 6 m] Porţiunea parcursă şi considerată icircndepărtată este cea de coordonată x1 pe care

acţionează reacţiunile HA şi VA precum şi rezultanta parţială a sarcinii distribuite R1 =p ∙ x1

Funcţia forţă axială Nx are expresia

Nx(x1) = NAminus1 = minusHA = minus173 [kN] = const

(A7)

Funcţia forţă tăietoare Ty are exspresia

Ty(x1) = TAminus1 = VA minus R1 = VA minus p ∙ x1 (A8)

care reprezintă o variaţie liniară de variabilă x1 Se calculează valorile forţei tăietoare la

limitele intervalului de variaţie

- pentru x1 = 0 Ty(x1 = 0) = TA = VA = 42 [kN]

- pentru x1 = a = 6 [m] Ty(x1 = 6) = T1 = VA minus p ∙ a = minus18 [kN]

Observaţie Aşa cum a fost stabilită secţiunea fictivă poziţionată prin coordonata

x1 sar părea că rezultanta R ar trebui luată icircn calculul lui Ty(x1) Acest lucru ar fi greşit

pentru că R = p ∙ a reprezintă rezultanta sarcinii distribuite pe toată lungimea a iar

rezultanta pe porţiunea parcursă de lungime x1 este R1 = p ∙ x1 ne R = p ∙ a

Cu valorile obţinute se trasează diagramele forţelor axială Nx = f(x) şi tăietoare

Ty = f(x) figura 220 Din diagrama forţei tăietoare şi din valorile obţinute analitic se

observă că forţa tăietoare icircşi schimbă semnul pe intervalul analizat deci se anulează pe

acest interval Poziţia secţiunii unde Ty se anulează se determină din ecuaţia

Ty(x1) = 0 rArr VA minus p ∙ x1 = 0 (A9)

cu soluţia x1lowast = ξ = 42 [m] Important de reamintit că icircn această secţiune momentul

icircncovoietor va avea un extrem local adică Miz are un extrem la Ty = 0

Funcţia moment icircncovoietor Miz are expresia

Miz(x1) = VA ∙ x1 minus R1 ∙x12= VA ∙ x1 minus (p ∙ x1) ∙

x12

(A10)

Se observă că funcţia moment icircncovoietor de variabilă x1 are o variaţie parabolică

(gradul al II-lea) Pentru reprezentarea grafică a funcţiei parabolice se calculează valorile

momentului icircncovoietor icircn trei secţiuni

- pentru x1 = 0 Miz(x1 = 0) = MA = 0 [kN ∙ m] - pentru x1 = a = 6 [m] Miz(x1 = 6) = M1 = 72 [kN ∙ m] - pentru x1

lowast = ξ = 42 [m] Miz(x1lowast = ξ = 42 [m]) = Mimax = 882 [kN ∙ m]

Cu acestea se trasează diagrama Miz = f(x) pe intervalul (A-1) figura 220

Observaţie Icircn unele cazuri pe un anumit interval forţa tăietoare nu se anulează

şi momentul icircncovoietor nu are un extrem local Icircn acest caz pentru reprezentarea

variaţiei parabolice a momentului icircncovoietor se va studia semnul derivatei a doua a

funcţiei Miz = f(x1) acesta determinacircnd convexitatea curbei momentului icircncovoietor

Domeniul (2-B) x2 isin [0 c = 4 m] Porţiunile din grindă libere (nerezemate) la un capăt se numesc console iar

stabilirea funcţiilor de eforturi devine mai simplă dacă se consideră icircndepărtată partea din

dreapta secţiunii prin schimbarea sensului pozitiv al axei x Astfel se obţin funcţiile eforturilor

Funcţia forţă axială Nx are expresia

Nx(x2) = N2minusB = minusFH = minus173 [kN] = const

(A11)

Funcţia forţă tăietoare Ty are exspresia

Ty(x2) = T2minusB = FV = 10 [kN] = const (A12)

Funcţia moment icircncovoietor Miz are expresia

Miz(x2) = minusFV ∙ x2 rArr Miz(x2 = 0) = M2 = 0 [kN ∙ m]

Miz(x2 = 4) = MB = minus40 [kN ∙ m] (A13)

variaţie liniară (gradul I)

Domeniul (B-1) x3 isin [0 b = 4 m] Pe acest domeniu se acceptă parcurgerea grinzii de la dreapta adică se consideră

icircndepărtată partea din dreapta secţiunii fictive pentru că are doar două sarcini aplicate F

şi VB faţă de partea din stacircnga secţiunii pe care sunt aplicate trei sarcini p VA şi M0

Astfel se obţin funcţiile eforturilor

Funcţia forţă axială Nx are expresia

Nx(x3) = NBminus1 = minusFH = minus173 [kN] = const

(A14)

Funcţia forţă tăietoare Ty are exspresia

Ty(x3) = TBminus1 = FV minus VB = minus18 [kN] = const (A15)

Funcţia moment icircncovoietor Miz are expresia

Miz(x3) = minusFV ∙ (x3 + c) + VB ∙ x3 rArr

rArr Miz(x3 = 0) = MB = minus40 [kN ∙ m]

Miz(x3 = 4) = M1 = 32 [kN ∙ m]

(A16)

variaţie liniară (gradul I)

Diagramele eforturilor sunt prezentate icircn figura 220

c) Relaţiile diferenţiale dintre eforturi şi sarcini se analizează pe diagramele

eforturilor după cum urmează

sarcina distribuită nu are componentă orizontală adică ph = 0 şi icircn

conformitate cu formula (211) rezultă că Nx = const pe toată lungimea grinzii fapt care

a rezultat din funcţia şi reprezentarea diagramei forţei axiale

pe intervalul (A-1) sarcina distribuită are doar componenta verticală pozitivă

pV = p gt 0 prin urmare forţa tăietoare scade (are panta negativă dTy 119889119909frasl = minusp vezi

relaţia 210) iar momentul icircncovoietor avacircnd derivata a doua negativă d2M119894119911 1198891199092frasl =minuspare convexitatea curbei orientată spre sensul pozitiv al axei momentului Miz adică icircn

jos

pe domeniile (2-B) şi (B-1) deoarece pv = 0 forţa tăietoare Ty este constantă

iar momentul icircncovoietor Miz variază liniar

referitor la relaţia (212) pe porţiunile unde Ty gt 0 momentul Miz este

monoton crescător pe porţiunile unde Ty lt 0 momentul Miz este monoton descrescător

iar icircn secţiunea icircn care Ty = 0 momentul icircncovoietor are un extrem local Mξ =

882 [kN ∙ m] icircn diagrama forţei tăietoare discontinuităţile (salturile) se produc icircn secţiunile

unde acţionează VA VB şi FV iar icircn diagrama momentului icircncovoietor se produce un

singur salt icircn secţiunea icircn care este aplicat M0

se poate scrie

Mξ = suprafața diagramei Ty |ξ0=1

2∙ 42 ∙ 42 = 882 [kN ∙ m]

sau parcurgacircnd grinda de la dreapta la stacircnga rezultă

MB = minussuprafața diagramei Ty |c0= minus10 ∙ 4 = minus40 [kN ∙ m]

Toate aspectele analizate teoretic referitoare la relaţiile diferenţiale dintre eforturi

şi sarcini se regăsesc icircn diagramele de eforturi din figura 220 ceea ce icircnseamnă că

diagramele au fost reprezentate corect

3 TENSIUNI DEPLASĂRI ŞI DEFORMAŢII SPECIFICE

31 Tensiuni

Eforturile obținute icircn urma reducerii forțelor interioare icircn centrul de greutate al

secțiunii nu pot da informații asupra solicitării fiecărui punct al secțiunii respective Este

necesar să se cunoască modul cum se distribuie forțele interioare icircn fiecare punct al

secțiunii pentru a ști care este intensitatea maximă a solicitării Această intensitate

maximă se poate compara cu o valoare critică specifică materialului stabilindu-se astfel

dacă solicitarea este periculoasă sau nu

Mărimea care caracterizează solicitarea locală punctuală o vom denumi tensiune

și o vom defini icircn cele ce urmează Să considerăm partea din dreapta a unui corp solicitat

de forțele exterioare 1198651 1198652 și 1198653 obținută prin secționarea corpului și mărginită de fața

din dreapta Ad a secțiunii Pe secțiunea Ad vom considera un element de arie infinit mic

∆119860 caracterizat de normala la elementul de arie normală care are cosinușii directori

120573 și icircn raport cu un sistem de axe considerat fix Pe elementul infinit mic ∆119860 acționează

forțele interioare care au o rezultantă oarecare figura 31

Prin definiție tensiunea totală este

= lim∆119860rarr0

∆

∆119860 (31)

Tensiunea are aceeaşi direcţie cu forţa elementară ∆ iar mărimea ei este

determinată atacirct de mărimea forţei ∆ cacirct şi de orientarea suprafeţei ∆119860 faţă de direcţia

forţei

Tensiunea 119901 poate fi descompusă icircntr-o componentă orientată după direcţia

normalei la secţiune tensiunea normală notată cu 120590119909 şi o componentă icircn planul secţiunii

tensiunea tangenţială notată cu figura 32

= 119909 + 120591 (32)

Fig 31 Tensiunea totală Fig 32 Tensiunea normală și tangențială

La racircndul ei componenta tensiunii cuprinsă icircn planul secțiunii poate fi

descompusă după direcțiile axelor y și z

120591 = 120591119909119910 + 120591119909119911 (33)

Icircntre cele trei componente ale tensiunii totale care acționează pe elementul de arie

∆119860 este valabilă relația

1199012 = 1205901199092 + 120591119909119910

2 + 1205911199091199112 (34)

După sensul pe care icircl are tensiunea normală 120590 poate avea efect de tracţiune sau

de compresiune exercitat de către partea de corp icircnlăturată asupra părţii rămase Analog

tensiunea tangenţială 120591 poate avea efect de tăiere forfecare sau alunecare Pentru

componentele tensiunii tangențiale 120591119909119910 pe direcţia 119910 respectiv 120591119909119911 pe direcţia 119911 primul

indice indică axa pe care tensiunea este normală iar cel de-al doilea indice indică axa cu

care aceasta este paralel

Tensiunea este o mărime tensorială valoarea ei depinzacircnd atacirct de poziția

punctului icircn planul secțiunii cicirct și de orientarea planului de secționare deci de normala

Operaţiile vectoriale nu pot fi aplicate tensiunilor decacirct după ce acestea au fost icircnmulţite

cu ariile respective adică au fost transformate icircn forţe

Icircn literatura de specialitate mai ales icircn manualele mai vechi pentru noţiunea de

tensiune se mai foloseşte şi denumirea de efort specific

Dacă se consideră un alt element de arie ∆119860 cu centrul icircn același punct avacircnd ca

normală axa 119910 se vor obține alte tensiuni și anume

- 120590119910 este tensiunea normală (paralelă cu axa y)

- 120591119911119909 și 120591119910119911 sunt tensiuni tangențiale paralele cu axele 119909 și respectiv 119911 aflate icircn

planul care are ca normală axa 119910

Dacă icircn jurul unui punct dintr-un corp solicitat se consider un element de volum

infinit mic de forma unui cub icircn cazul cel mai general pe fețele sale vor acționa

tensiunile normale 120590119909 120590119910 și 120590119911 și respectiv tensiunile tangențiale 120591119909119910 120591119909119911 120591119910119909 120591119910119911 120591119911119909

și respectiv 120591119911119910 figura 33 Aceste tensiuni definesc starea de tensiune a punctului

observacircnd faptul că tensorul tensiune are 9 componente Dacă se consideră elementul

de volum finit ca fiind foarte mic se poate presupune că icircn interiorul său nu apar forțe

Ca urmare el va fi icircn echilibru sub acțiunea forțelor elementare produse de tensiunile de

pe fețele sale

Din condiția ca elementul să nu se rotească icircn jurul unor axe care trec prin centrul

său și sunt paralele cu axele sistemului 119909119874119910119911 rezultă

2 ∙ 120591119909119910 ∙ (119889119910 ∙ 119889119911) ∙119889119909

2= 2 ∙ 120591119910119909 ∙ (119889119909 ∙ 119889119911) ∙

119889119910

2 rArr 120591119909119910 = 120591119910119909 (35)

2 ∙ 120591119910119911 ∙ (119889119909 ∙ 119889119911) ∙119889119910

2= 2 ∙ 120591119911119910 ∙ (119889119909 ∙ 119889119910) ∙

119889119911

2 rArr 120591119910119911 = 120591119911119910 (36)

2 ∙ 120591119909119911 ∙ (119889119910 ∙ 119889119911) ∙119889119909

2= 2 ∙ 120591119911119909 ∙ (119889119909 ∙ 119889119910) ∙

119889119911

2 rArr 120591119909119911 = 120591119911119909 (37)

Relațiile (35divide37) 120591119909119910 = 120591119910119909 120591119910119911 = 120591119911119910 120591119909119911 = 120591119911119909 exprimă principiul dualității

tensiunilor tangențiale

Fig 33 Tensiunile normale și tangențiale pe fețele unui cub

Din condiția ca elementul considerat să nu se deplaseze icircn lungul axelor de

coordonate pe fețele opuse acționează aceleași tensiuni normale 120590119909 120590119910 și respectiv 120590119911

Definirea tensorului tensiune este posibilă dacă se cunosc cele 6 componente

independente ale acestuia aflate icircn trei plane perpendicular ce trec prin punctul respectiv

=

120590119909 120591119909119910 120591119909119911120591119910119909 120590119910 120591119910119911120591119911119909 120591119911119910 120590119911

Observaţii

Tensiunile se măsoară icircn [119873 1198982frasl ] (1119873 1198982frasl = 1 119875119886) sau icircn [119872119875119886]

(1 119872119875119886 = 106119875119886 = 106 119873

1198982 1 119872119875119886 = 1

119873

1198981198982)

Starea de tensiune dintr-un punct este considerată cunoscută dacă se cunosc

tensiunile 119901 care acționează pe infinitatea de elemente de suprafață ce trec prin punctual

considerat

Starea de tensiune a unui corp se consider cunoscută dacă se cunosc stările de

tensiune de pe infinitatea de puncte ale corpului considerat

32 Deplasări Deformaţii specifice

321 Deplasări

Aceste noțiuni sunt utile icircn analiza aspectului geometric al problemelor de rezistența

materialelor Deplasările care se analizează sunt cele datorate schimbării formei și

dimensiunilor corpurilor ca urmare a acțiunii forțelor exterioare și nu cele cinematice

posibile pentru solidul rigid care se poate deplasa cu anumită viteză și accelerație

Spre exemplu icircn figura 34a și figura 34b sub acțiunea forței 119865 tronsonul de

bară AB se deformează icircn timp ce tronsonul BC deși punctele sale au deplasări rămacircne

nedeformat (fiind nesolicitat) Toate punctele de pe axele barelor cu excepția celor din

icircncastrare (secțiunile A) au deplasări liniare De cele mai multe ori deformațiile barelor

datorate acțiunii forțelor exterioare se anulează la icircndepărtarea forțelor se spune că

deformațiile sunt elastice Secțiunile transversale ale barei din figura 34a se și rotesc icircn

raport cu pozițiile lor inițiale Spre exemplu secțiunea de căpăt cu centrul icircn C se rotește

cu unghiul

Fig 34 Deformațiile unei grinzi

Oricacirct de complexă ar fi delormația unui corp ea poate fi descrisă de lungiri sau

scurtări și de modificări ale unghiurilor inițiale

Deplasările măsoară schimbarea poziției unui punct al corpului și pot fi liniare

sau unghiulare

Prin deplasare liniară a unui punct se icircnțelege drumul parcurs de acest punct icircn

decursul procesului de deformație după o dreaptă suport dreapta 1198611198611 din figura 34a

Prin deplasare unghiulară se icircnțelege rotirea dintre segmentele de dreaptă

determinate de două puncte ale corpului icircnainte și după deformarea acestuia unghiul

pe care-l fac segmentele 119861119862 și 11986111198621 din figura 34a Această rotire se măsoară prin

unghiul pe care-l fac proiecțiile dreptelor ce conțin cele două segmente icircntr-un sistem

triortogonal

Icircn cazul cel mai general vectorul deplasare liniară se poate descompune icircntr-un

sistem triortogonal icircn trei componente 119906 119907 și 119908 figura 35

Fig 35 Deplasarea liniară

Se consideră acum un corp solid raportat la un sistem de axe ortogonal 119909119874119910119911

figura 35 după deformarea corpului un punct oarecare 119870 al acestuia se deplasează icircn

poziţia 1198701 vectorul 1198701198701 poartă numele de vectorul deplasării totale

Deplasarea totală este suma deplasărilor pe cele trei direcţii ortogonale iar

aceste deplasări se notează astfel

deplasarea pe direcţia 119909 cu ∥ 119874119909

deplasarea pe direcţia 119910 cu ∥ 119874119910

deplasarea pe direcţia 119911 cu ∥ 119874119911

Componentele deplasărilor și formeză matricea deplasărilor liniare 119906119907119908

322 Deformații

Prin deformație icircn general se icircnțelege orice schimbare de formă a unui corp fără

o evaluare cantitativă Icircn Rezistența Materialelor deformația măsoară variația

dimensiunilor geometrice ale corpului considerat din vecinătatea unui punct analog

deplasărilor deformațiile pot fi liniare și unghiulare (lunecări)

Fig 36 Deplasarea liniară

Deformația liniară ∆119897 reprezintă variația lungimii 119897 a unui element liniar al

corpului deformat figura 36 Deformația liniară specifică se definește ca fiind raportul

dintre deformația liniară și lungimea inițială

휀 =∆119897

119897 (38)

unde ∆119897 este lungirea sau scurtarea care este echivalentă cu deformția liniară totală iar

este alungirea

Deformația unghiulară sau lunecarea unui punct 119860 icircn planul 119861119860119862 se definește

prin relația figura 37

120574 = lim119861119860rarr0119862119860rarr0

(119861119860 minus 119861111986011198621 ) (39)

Fig 36 Deformația unghiulară

Schimbacircnd orientarea planului care trece prin 119860 se obțin alte deformații

unghiulare Dacă elementele liniare 119861119860 și 119862119860 sunt inițial perpendiculare deformația 120574 se

numește deformație unghiulară specifică sau lunecare specifică figura 37

Un exemplu de deplasare unghiulară și de deformație unghiulară este prezentat icircn

figura 38 Unghiul este deplasarea unghiulară și măsoară rotirea relativă dintre două

secțiuni aflate la distanța 119897 Unghiul este deformația specifică unghiulară (lunecarea

specifică) din punctul 119870 Aceste deplasări și deformații se obțin icircn urma solicitării barei

de către cele două momente 1198720 egale și de sens contrar

Fig 38 Deplasarea unghiulară

Pentru a analiza starea de deformație din vecinătatea unui punct al unui corp

solicitat complex se decupează din jurul punctului un element de volum mic figura 39a

avacircnd laturile 119889119909 119889119910 și 119889119911 Ca urmare a solicitării laturile acestuia se vor lungi sau

scurta Reprezentarea elementului deformat icircn spațiu este dificilă pentru simplificare

vom analiza doar deformațiile din planul 119909119874119910 Observăm că dimensiunile 119889119909 și 119889119910 s-au

modificat cu valoarea ∆119889119909 respectiv cu ∆119889119910 analog se acceptă și pentru 119889119911 o modificare

de forma ∆119889119911 Astfel se pot defini deformațiile specifice liniare

휀119909 =∆119889119909

119889119909 휀119910 =

∆119889119910

119889119910 휀119911 =

∆119889119911

119889119911 (310)

De cele mai multe ori aceste deformații specifice liniare se pot exprima procentual

și se mai numesc alungiri

Fig 39 Starea de deformație

Icircn figura 39c se vede că unghiul inițial drept dintre muchiile 119889119909 și 119889119910 ale

elementului de volum s-a modificat Se definește deformația specifică unghiulară (sau

lunecarea specifică) mărimea cu care se modifică unghiul inițial drept

120574119909119910 = 120574119909119910prime + 120574119910119909

prime = 120574119910119909120574119910119911 = 120574119910119911

prime + 120574119911119910prime = 120574119911119910

120574119911119909 = 120574119911119909prime + 120574119909119911

prime = 120574119909119911

(311)

Deformațiile 휀119909 휀119910 휀119911 120574119909119910 120574119910119911 120574119911119909 constituie cele șase componente

independente ale tensorului deformațiilor specifice care pot fi scrise de forma

119863 =

휀119909 120574119909119910 120574119909119911120574119910119909 휀119910 120574119910119911120574119911119909 120574119911119910 휀119911

(312)

323 Contracţia transversală

Practica arată că odată cu lungirea unei bare apare o micşorare a mărimii secţiunii

transversale mărime numită contracţie transversală figura 310

Fig 310 Contracția transversală

Contracţia transversală este proporţională cu lungirea specifică coeficientul de

proporţionalitate se notează cu 120599 şi se numeşte coeficient de contracţie transversală sau

coeficientul lui Poisson

La o lungire specifică a barei contracţia transversală este dată de relația

휀119905119903 = 휀119910 = 휀119911 = minus120599 ∙ 휀119909 (313)

Semnul minus bdquo-rdquo arată că cele două mărimi sunt contrare dacă una creşte cealaltă

scade şi invers

Considerăm o bară cilindrică de lungime 119897 şi aria secţiunii transversale 119860 solicitată

la icircntindere axială La un moment dat datorită solicitării lungimea barei devine

[119897 ∙ (1 + 휀)] diametrul devine [119889 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)] iar aria secţiunii transversale devine

[119860 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)2] Dacă volumul barei icircnainte de solicitare a fost (119860 ∙ 119897) după solicitare

acesta devine

119881 + ∆119881 = 119860 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)2 ∙ 119897 ∙ (1 + 휀) =

= 119860 ∙ 119897 ∙ (1 + 휀 minus 2 ∙ 120599 ∙ 휀 minus 2 ∙ 120599 ∙ 휀2 + 1205992 ∙ 휀2 + 1205992 ∙ 휀3) (314)

Deoarece lungirile sunt foarte mici ultimii trei termeni din paranteză fiind infinit mici se pot neglija obţinacircnd

119881 + ∆119881 = 119860 ∙ 119897 + 119860 ∙ 119897 ∙ 휀 ∙ (1 minus 2 ∙ 120599) ⟺ ∆119881 = 휀 ∙ (1 minus 2 ∙ 120599) ∙ 119860 ∙ 119897 (315)

Practica arătă că o astfel de bară solicitată la icircntindere icircşi măreşte volumul deci

∆119881 gt 0 de unde rezultă că

1 minus 2 ∙ 120599 gt 0 rArr 120599 lt 05 (316)

Pentru majoritatea materialelor 120599 = 033 iar pentru materialele care-şi păstrează

volumul constant 120599 = 05

33 Relaţii de echivalenţă icircntre eforturi şi tensiuni

Considerăm un element de suprafață infinit mic 119889119860 situat pe fața de arie (119860) a

secțiunii barei din figura 311 Icircn centrul de greutate 119862 al secțiunii acționează eforturile

119873 119879119910 119879119911 119872119909 119872119894119910 și 119872119894119911 determinate prin metoda secțiunilor

Icircn raport cu un sistem de axe de referință 119909119862119910119911 coordonatele elementului 119889119860 sunt

- 119910 este ordonata elementului de arie 119889119860

- 119911 este abscisa elementului de arie 119889119860

Pe elementul de arie 119889119860 acționează tensiunile

120590119909 tensiunea normală

120591119909119910 și 120591119909119911 tensiuni tangențiale

Dacă se icircnsumează forțele elementare de tipul 120590119909 ∙ 119889119860 120591119909119910 ∙ 119889119860 și 120591119909119911 ∙ 119889119860

va trebui să obținem eforturile 119873 119879119910 și 119879119911

Fig 311 Element de suprafață mic din secțiunea unei bare

Dacă eforturile sunt privite ca forțe exterioare și se scriu ecuațiile de

echilibru ale secțiunii (119860) se vor obține șase relații de echivalență icircntre eforturi și

tensiuni

(sum119883) = 0 rArr int 120590119909 ∙ 119889119860

119860

= 119873 (317)

(sum119884) = 0 rArr int 120591119909119910 ∙ 119889119860

119860

= 119879119910 (318)

(sum119885) = 0 rArr int 120591119909119911 ∙ 119889119860

119860

= 119879119911 (319)

(sum119872)119909= 0 rArr int(120591119909119911 ∙ 119889119860) ∙ 119910

119860

minus int(120591119909119910 ∙ 119889119860) ∙ 119911

119860

= 119872119909 rArr

rArr int(119910 ∙ 120591119909119911 minus 119911 ∙ 120591119909119910) ∙ 119889119860

119860

= 119872119909

(320)

(sum119872)119910= 0 rArr int(120590119909 ∙ 119889119860) ∙ 119911

119860

= 119872119894119910 (321)

(sum119872)119911= 0 rArr int(120590119909 ∙ 119889119860) ∙ 119910

119860

= 119872119894119911 (322)

Cele șase relații de echivalență icircntre eforturi și tensiuni constituie un pas icircnainte

icircn rezolvarea unei probleme de rezistența materialelor Aceste relații vor permite

determinarea tensiunilor maxime

Pentru a rezolva cele 6 relații de echivalență trebuie să se cunoască tensiunile și

ca funcții de punct adică funcții de forma

120590119909 = 120590119909(119909 119910 119911) 120591119909119910 = 120591119909119910(119909 119910 119911) 120591119909119911 = 120591119909119911(119909 119910 119911) (32

3)

Cunoașterea acestor funcții presupune icircnsă analizarea aspectului geometric al

problemei precum și utilizarea unor ipoteze simplificatoare care să permită simplificarea

problemelor

34 Ipoteze de bază icircn rezistenţa materialelor

Depășirea dificultăților legate de interpretarea unor fenomene specifice mecanicii

solidului deformabil a impus acceptarea unor ipoteze care să simplifice fenomenele și să

contribuie la elaborarea unor modele de calcul cicirct mai generale și cacirct mai simple Aceste

ipoteze se referă la structura materialelor şi la comportarea lor sub acţiunea forţelor

exterioare Ipotezele acceptate trebuie să fie icircn deplină concordanţă cu realitatea și să

conducă la rezultate verificate icircn practică

Funcție de aspectele la care se referă ipotezele pot fi

Ipoteze fizice (de material)

Ipoteze de calcul

341 Ipoteze fizice

Se acceptă deoarece teoriile structurale au condus la rezultate care contravin

icircncercărilor experimentale

Ipoteza mediului continuu consideră că orice domeniu elementar al corpului

este ocupat de materie adică nu se acceptă existența unor goluri sau a unor crăpături

microscopice (fisuri) Deși nu corespunde realităţii poate fi acceptată deoarece

dimensiunile corpului sunt mult mai mari decacirct dimensiunile particulelor elemantare Are

avantajul că permite utilizarea proprietăților matematice ale funcțiilor continue pentru

tensiunile și deformațiile din orice punct al corpului Ea este mai apropiată de realitate la

corpurile amorfe şi mai depărtată la cele cristaline dar conduce la rezultate satisfăcătoare

icircn calculele de rezistenţă

Ipoteza nu se poate aplica la corpurile care au goluri tăieturi (multiplu conexe)

pentru unele puncte singulare icircn care tensiunile și deformațiile tind la infinit sau icircn unele

probleme de plasticitate icircn care proprietățile de material au un rol esențial

Ipoteza izotropiei conform acestei ipoteze materialul din care este confecționat

un element de rezistență are aceleași proprietăți după orice direcție un astfel de material

este considerat izotrop Din punct de vedere macroscopic metalele pot fi considerate

izotrope deși la nivel microscopic proprietățile lor diferă de la o direcție cristalografică

la alta Orice conglomerat de cristale poate fi considerat izotrop

Există cazuri cacircnd această ipoteză a izotropiei nu se acceptă

la metalele puternic deformate după o direcție (prin laminare trefilare)

la piesele confecționate din lemn lemnul este anizotrop deoarece proprietățile sale

diferă după două direcții (icircn lungul fibrelor și perpendicular pe această direcție)

Ipoteza omogenității consideră că un corp are aceleași proprietăți icircn orice

punct al său Deși majoritatea materialelor utilizate icircn tehnică sunt eterogene la scară

micro fiind constituite din mai multe faze cu proprietăți diferite la scară macro ele pot

fi considerate omogene Omogenitatea și izotropia sunt proprietăți statistice medii care

nu se condiționează una pe cealaltă Chiar și materialele monofazice pot avea la scară

micro unele segregații care le fac eterogene

Ipoteza elasticităţii perfecte presupune că atacircta timp cacirct solicitările nu

depăşesc anumite limite materialul are o comportare elastică adică icircşi recapătă forma şi

dimensiunile iniţiale odată cu icircnlăturarea sarcinilor Icircn realitate materialele nu prezintă o

elasticitate perfectă ele avacircnd deformaţii remanente mici care icircnsă pot fi neglijate icircn

calculele de rezistenţă

Acceptarea acestei ipoteze a elasticității perfecte permite

- aplicarea relației biunivoce icircntre tensiuni și deformații relație exprimată de legea

lui Hooke ( = 119864 ∙ 휀) unde E este un factor de proporţionalitate numit modul de

elasticitate longitudinal al materialului pentru oţel 119864 = 21 ∙ 105 [119872119875119886] - acceptarea valabilității afirmației bdquolucrul mecanic efectuat de forțele exterioare

ca urmare a parcurgerii deplasărilor punctelor de aplicație se icircnmagazinează integral icircn

corp sub formă de energie de deformație energie cedată la icircndepărtarea sarcinilorrdquo

- este valabilă teoria conform căreia bdquoenergia icircnmagazinată și deformațiile depind

doar de starea inițială și finală de eforturi fără a ține cont de modul icircn care s-a ajuns la

starea finalărdquo

Icircn realitate oricacirct de mici ar fi sarcinile aplicate se produc și deformații plastice

dar acestea pot fi neglijate dacă solicitarea nu depășește anumite limite

342 Ipoteze de calcul

Ipoteza micilor deplasări bdquodeplasările datorate deformării sunt mult mai mici

decacirct dimensiunile corpurilor și ca urmare pot fi neglijate produsele dintre o deplasare și

ea icircnsăşirdquo Pentru cele mai multe corpuri deformaţiile elastice sunt de mărimi mici deci

corpurile solide sub acţiunea sarcinilor icircşi modifică foarte puţin forma iniţială Această

ipoteză este cunoscută şi sub denumirea de ipoteza menţinerii dimensiunilor iniţiale Ea

permite scrierea ecuaţiilor de echilibru ale staticii pe starea nedeformată a elementului

cacircnd nu se iau icircn considerare deplasările punctelor de aplicaţie ale forţelor care se produc

ca urmare a deformării acestuia Calculul efectuat pe schema nedeformată poartă numele

de calcul de ordinul I

Ipoteza micilor deplasări nu poate fi acceptată pentru studiul problemelor de

stabilitate sau la problemele la care nu pot fi icircndeplinite condiţiile de echilibru icircn starea

nedeformată

Calculul de ordinul II admite ipoteza micilor deplasări dar ecuaţiile de echilibru

se scriu icircnsă pentru starea deformată a elementului de rezistenţă

Calculul de ordinul III nu mai acceptă ipoteza micilor deplasări el referindu-se

la cazul deformaţiilor mari cacircnd ecuaţiile de echilibru trebuie scrise pentru starea

deformată

Chiar dacă materialul satisface legea lui Hooke icircn urma calculelor de ordinul II

se obţin de obicei relaţii neliniare icircntre sarcini şi deplasări iar pentru calculul de ordinul

III rezultă ecuaţii diferenţiale neliniare

Principiul efectului local al acțiunii sarcinilor enunțat de Barre de Saint-

Venant Acest principiu destul de folosit icircn Rezistenţa Materialelor precizează că dacă

se icircnlocuiesc forţele care acţionează asupra unui element de suprafață al unui corp

elastic printr-un alt sistem de forţe echivalent din punct de vedere static cu primul noua

distribuţie a forţelor produce la locul de aplicare diferenţe semnificative faţă de prima

dar rămacircne fără efect sau cu efect neglijabil la distanţe mari de locul de aplicare al

forţelor figura 312

Ca o cosecință o sarcină uniform distribuită figura 312a poate fi icircnlocuită cu

rezultanta ei figura 312b dacă se analizează efectul sarcinii la distanță mare de locul icircn

care se aplică sarcina

Fig 312 Principiul Saint-Venant

Icircn prima variantă figura 312a forţa 119865 se aplică pe o porțiune oarecare 119897 (sarcină

uniform distribuită) iar icircn a doua figura 312b icircntru-un punct (forţă concentrată) La

locul de aplicare a sarcinii efectul asupra barei este cu totul diferit de la o variantă la

cealaltă Icircnsă la o distanţă mare de punctul de aplicaţie spre exemplu icircn secţiunea situată

la distanţa 119886 de capătul barei sau chiar icircn icircncastrare ambele bare sunt solicitate la fel

Icircn cazul din figura 312a

119872119894(119909) =119901 ∙ 1199092

2 119909 le 119897 119872119894(119909) = 119901 ∙ 119897 ∙ (119909 minus

119897

2) 119909 gt 119897 (324)

Icircn cazul din figura 312b

119872119894(119909) = 0 119909 lt119897

2 119872119894(119909) = 119901 ∙ 119897 ∙ (119909 minus

119897

2) 119909 gt

119897

2 (325)

Se vede că pentru (119909 gt 119897) adică după depășirea locului icircn care se aplică sarcina

efectul este același

Ipoteza lui Bernoulli sau ipoteza secţiunilor plane precizează că o secţiune

plană şi normală pe axa barei icircnainte de deformare rămacircne plană şi normală pe axa

barei şi după deformare figura 313

Fig 313 Ipoteza lui Bernoulli

Ipoteza stării naturale a corpului sau ipoteza absenţei tensiunilor conform

căreia pentru un corp nesolicitat starea de tensiune şi deformaţie este nulă

Perfecţionarea mijloacelor de calcul şi de investigare pot conduce la renunţarea la

unele ipoteze sau la introducerea altora noi mai aproape de stările reale De aici rezultă

caracterul de continuă perfecţionare a metodelor Rezistenţei Materialelor

35 Coeficienţi de siguranţă Tensiuni admisibile

O piesă corespunde din punct de vedere tehnic dacă tensiunile care iau naştere icircn

interiorul piesei datorită sarcinilor aplicate nu depăşesc anumite valori limită stabilite

convenţional Aceste valori limită ale tensiunii sunt corelate cu caracteristicile mecanice

ale materialelor

Tensiunea limită utilizată icircn calculele de rezistenţă este cunoscută sub denumirea

de tensiune admisibilă sau rezistenţă admisibilă Rezistenţa admisibilă reprezintă

valoarea convenţională aleasă icircn calcul pe baza practicii pentru tensiunea maximă care

poate apare icircntr-o piesă icircn condiţii date de material şi solicitare

Rezistenţa admisibilă (120590119886 sau 120591119886) poate fi definită faţă de o stare limită

periculoasă stare care trebuie evitată deoarece poate conduce distrugere

120590119886 =120590119897119894119898119888

(326)

unde

120590119897119894119898 este tensiunea corespunzătoare stării limită periculoase

119888 estesupraunitar 119888 gt 1 și reprezintă coeficientul de siguranţă faţă de starea limită

periculoasă considerată

Alegerea unor valori inferioare pentru rezistenţa admisibilă faţă de tensiunea

corespunzătoare stării limită periculoase este necesară deoarece

cunoaşterea sarcinilor este de cele mai multe ori aproximativă şi o depăşire a

acestora este foarte posibilă

caracteristicile mecanice ale materialelor variază icircn limite destul de mari ele

fiind influenţate de mulţi factori

schema aleasă pentru calcul (aplicarea sarcinilor schematizarea structurii

ipotezele de calcul etc) depărtează modelul faţă de cel real

Pentru calculele de verificare tensiunea efectivă maximă din elementul de

rezistenţă trebuie să fie mai mică sau cel mult egală cu cea admisibilă

120590119890119891119898119886119909 le 120590119886 (327)

Valoarea rezistenţei admisibile este influenţată de foarte mulţi factori natura

materialului tratamentele termice aplicate piesei durata de funcţionare a piesei modul

de acţionare icircn timp a sarcinilor felul solicitării temperatura gradul de periculozitate

icircn cazul cedării piesei etc

De asemenea valoarea coeficientului de siguranţă se alege icircn principal ţinacircnd

seama de aceiaşi factori care influenţează şi rezistenţa admisibilă

Rezistenţele admisibile pentru cacircteva materiale sunt următoarele

pentru oțelul de uz general OL37 solicitat la icircntindere compresiune sau

icircncovoiere 120590119886 = 150 [119872119875119886] pentru lemnul de brad solicitat la

- compresiune icircn lungul fibrelor şi solicitat la icircncovoiere 120590119886 = 10 [119872119875119886] - tracţiune icircn lungul fibrelor 120590119886 = 7 [119872119875119886] - compresiune perpendiculară pe fibre 120590119886 = 15 [119872119875119886] - forfecare icircn lungul fibrelor 120591119886 = 2 [119872119875119886] - forfecare perpendiculară pe fibre 120590119886 = 45 [119872119875119886]

terenuri de fundaţie din pămacircnt uscat sau umed 120590119886 = 020 divide 025 [119872119875119886]

4 CARACTERISTICI GEOMETRICE ALE SECȚIUNILOR PLANE

41 Noţiuni introductive

Icircn relaţiile de calcul ale tensiunilor şi deformaţiilor elementelor de rezistenţă

pentru unele solicitări (icircncovoierea și torsiunea) secțiunile plane intervin atacirct prin

dimensiunile lor (aria 119860) cicirct și prin forma și poziția pe care o are secțiunea icircn raport cu

planul solicitării Mărimile care caracterizează o secțiune icircn raport cu forma și poziția față

de axele unui sistem de referință sunt denumite caracteristici geometrice de ordin

superior Aria secțiunii este caracteristica geometrică ce depinde doar de dimensiunile

geometrice ale acesteia

Să considerăm o grindă solicitată de o forță exterioară 119865 aşezată icircn două poziții icircn

raport cu planul forţei figura 41 Icircn urma aplicării forței deși avem aceeași grindă

(aceeași arie a secțiunii transversale) și aceeași forță se constată că pentru varianta din

figura 41a deformațiile sunt mult mai mari adică rezistența la icircncovoiere a grinzii din

figura 41a este mai mare decacirct icircn cazul grinzii din figura 41b Comportarea diferită se

explică prin aceea că modificarea poziţiei secţiunii transversale faţă de planul forţelor

modifică caracteristicile geometrice ale secţiunii transversale a grinzii

Fig 41 Grindă solicitată de forța 119865

Pentru realizarea calculelor de rezistenţă şi rigiditate este foarte importantă

cunoaşterea caracteristicilor geometrice ale suprafeţei secţiunii transversale a elementelor

de rezistenţă

Caracteristicile geometrice ale secţiunii transversale a unui element de rezistenţă

sunt

- aria secțiunii notată cu 119860

- momentul static icircn raport cu o axă notat 119878119911 și respectiv 119878119910

- momentul de inerție care poate fi

axial notat 119868119911 și respectiv 119868119910

centrifugal notat 119868119911119910

polar notat 119868119901

- raza de inerţie (giraţie)notată 119894119911 și respectiv 119894119910

- modulul de rezistență care poate fi

axial notat 119882119911 și respectiv 119882119910

polar notat 119882119901

42 Aria și momentul static al suprafețelor plane

Fie o suprafaţă plană de arie 119860 pe care se ia un element infinit mic de arie 119889119860 şi

un sistem de axe rectangulare 119911119874119910 figura 42 Notăm cu 119862 centrul de greutate al suprafeţei

119860 Poziţia suprafeţei elementare 119889119860 faţă de acelaşi sistem de coordonate 119911119874119910 este dată

de abscisa 119911 ordonata 119910 și raza polară

Fig 42 Suprafață plană de arie 119860

Aria suprafeţei 119860 figura 42 se defineşte ca fiind

119860 ≝ int 119889119860

119860

(41)

Aria suprafeţei este icircntotdeauna pozitivă și se măsoară icircn [1198981198982] Momentul static al suprafeţei de arie 119860 icircn raport cu axele 119874119911 și respectiv 119874119910

figura 42 sunt date de relaţiile

119878119911 ≝ int 119910 ∙ 119889119860

119860

119878119910 ≝ int 119911 ∙ 119889119860

119860

(42)

Momentul static poate fi pozitiv negativ sau nul şi se măsoară icircn [1198981198983] Coordonatele centrului de greutate ale suprafeței 119860 se detrmină cu relațiile

119910119862 ≝int 119910 ∙ 119889119860119860

119860 119911119862 ≝

int 119911 ∙ 119889119860119860

119860

(43)

Cunoscacircnd coordonatele 119910119862 și 119911119862 ale centrului de greutate 119862 al secțiunii 119860 atunci

momentele statice se pot determina cu relațiile

119878119911 ≝ int 119910 ∙ 119889119860

119860

= 119910119862 ∙ 119889119860 119878119910 ≝ int 119911 ∙ 119889119860

119860

= 119911119862 ∙ 119889119860 (44)

Aceste relații arată că momentul static al unei suprafețe icircn raport cu o axă este

egal cu produsul dintre aria suprafeței și distanța de la centrul ariei la axa respectivă

Dacă suprafaţa se poate descompune icircn 119899 suprafeţe simple la care se cunosc ariile

(1198601 1198602 ⋯ 119860119894⋯ 119860119899) și poziţiile centrelor de greutate 119862119894 faţă de sistemul de referinţă

expresiile momentelor statice capătă următoarea formă

119878119911 = sum 119910119862119894 ∙ 119860119894119899119894=1 = 119910119862 ∙ 119860 119878119910 = sum 119911119862119894 ∙ 119860119894

119899119894=1 = 119911119862 ∙ 119860 (45)

Din relaţiile (45) rezultă că poziţia centrului de greutate 119862 al unei suprafeţe

compuse poate fi determinată cu relaţiile

119910119862 = (sum119910119862119894 ∙ 119860119894

119899

119894=1

) 119860frasl 119911119862 = (sum119911119862119894 ∙ 119860119894

119899

119894=1

) 119860frasl (46)

Icircn relația (45) 119910119862119894 și respectiv 119911119862119894 reprezintă coordonatele centrelor de greutate 119862119894

ale fiecărei suprafețe simple 119860119894 icircn raport sistemul de axe 119911119874119910

Se constată (relaţia 42) că dacă axele sistemului de referinţă trec prin centrul de

greutate (119910119862 = 119911119862 = 0) momentele statice sunt nule Axele icircn raport cu care momentele

statice sunt nule şi care trec prin centrul de greutate al suprafeţei se numesc axe centrale

Observație dacă secțiunea compusă are o axă de simetrie centrul secțiunii se

găsește pe acea axă iar dacă secțiunea este dublu simetrică poziția centrului secțiunii este

la intersecția axelor de simetrie

43 Momente de inerţie

Momentele de inerţie axiale ale unei suprafețe se calculează icircn raport cu axele de

coordonate 119874119911 și respectiv 119874119910 figura 42 și se determină cu relațiile

119868119911 ≝ int 1199102 ∙ 119889119860

119860

119868119910 ≝ int 1199112 ∙ 119889119860

119860

(47)

Unde 119910 și 119911 sunt distanțele de la elementul de arie 119889119860 la cele două axe de

coordonate 119874119911 și respectiv 119874119910

Momentele de inerţie axiale se măsoară icircn [1198981198984] şi sunt icircntotdeauna pozitive (aria

119889119860 este icircntotdeauna pozitivă și este multiplicată cu patratul distanței 1199102 dacă 119868119911 sau 119868119910

sunt nule icircnseamnă ca secțiunea nu există)

Momentele de inerție axiale se calculează icircndeosebi pentru axele centrale (care

trec prin centrul secțiunii) deoarece icircn raport cu acele axe 119868119911 și 119868119910 au valori minime

Momentul de inerţie centrifugal calculat faţă ambele axe ale sistemului de

referinţă 119911119874119910 este definit de relația

119868119911119910 ≝ int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860

(48)

Momentul de inerţie centrifugal se măsoară icircn [1198981198984] şi poate fi pozitiv negativ

sau nul

Momentul de ineție centrifugal este nul 119868119911119910 = 0 dacă cel puțin una din axele 119874119911

sau 119874119910 este axă de simetrie pentru secțiune

Se consideră o suprafaţă dreptunghiulară pe care faţă de axa de simetrie 119874119910 se iau

două suprafeţe elementare de arie 119889119860 simetrice faţă de axa 119874119910 figura 43

Fig 43 Suprafață dreptunghiulară cu două arii elementare 119889119860

Făcacircnd suma momentelor de inerţie centrifugale pentru cele două suprafeţe

elementare 119889119860 (din stacircnga şi din dreapta faţă de axa 119874119910) se obţine

int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860119889119903

+ int (minus119911) ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860119904119905119892

= int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860119889119903

minus int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860119904119905119892

= 0 (49)

Acelaşi raţionament se poate face și pentru icircntreaga suprafaţă de unde obținem că

momentul de inerție centrifugal este nul 119868119911119910 = 0 Deci pentru o suprafaţă plană care

are cel puţin o axă de simetrie momentul de inerţie centrifugal faţă de sistemul care

conţine acea axă de simetrie este nul

Momentul de inerţie polar al unei suprafeţei icircn raport cu un punct (pol) 119874 figura

42 este definit prin relaţia

1198680 = 119868119901 ≝ int 1205882 ∙ 119889119860

119860

= int(1199102 + 1199112) ∙ 119889119860

119860

= 119868119911 + 119868119910 (410)

unde este distanţa de la polul 119874 la elementul de arie 119889119860 Momentul de inerţie polar se

măsoară icircn [1198981198984] şi este totdeauna pozitiv

Momentul de inerţie polar este egal cu suma momentelor de inerţie faţă de două axe

perpendiculare oarecare şi care trec prin polul considerat

Razele de giraţie sau razele de inerţie sunt mărimi calculate icircn raport cu axele

secțiunii și definite de relaţiile

119894119911 ≝ radic119868119911119860 119894119910 = radic

119868119910

119860 (411)

Se exprimă icircn [119898119898] şi sunt icircntotdeauna pozitive Semnificația unei raze de inerție

este distanța la care dacă ar fi concentrată icircntreaga arie s-ar obține același moment de

inerție ca și cel calculat pentru aria reală

44 Modulul de rezistenţă

Modulul de rezistență se calculează icircn raport cu axele de referință sau icircn raport cu

un pol figura 42 și pot fi axiale (119882119911119882119910) sau polar (119882119901) și se determină numai pe baza

momentelor de inerţie cu relațiile figura 43

119882119911119898119894119899 ≝119868119911119910119898119886119909

119882119911119898119886119909 ≝119868119911119910119898119894119899

(412)

119882119910119898119894119899 ≝119868119910

119911119898119886119909 119882119910119898119886119909 ≝

119868119910

119911119898119894119899 (413)

119882119901 ≝119868119901

120588119898119886119909 (414)

unde

119910119898119886119909 119910119898119894119899 reprezintă distanţa de la axa 119874119911 la punctele extreme cele mai

depărtate respectiv cele mai apropiate ale suprafeţei de această axă

119911119898119886119909 119911119898119894119899 reprezintă distanţa de la axa 119874119910 la punctele extreme cele mai

depărtate respectiv cele mai apropiate ale suprafeţei de această axă

120588119898119886119909 reprezintă distanța maximă de la polul 119874 la punctul secțiunii cel mai

icircndepărtat de acesta

Fig 43 Suprafață dreptunghiulară cu două arii elementare 119889119860

Modulele de rezistenţă se exprimă icircn [1198981198983] şi sunt icircntotdeauna pozitive

Explicația este aceea că momentele de inerție care intră icircn relațiile de definiție sunt

pozitive iar distanțele la punctele extreme sunt pozitive (119910119898119886119909 119910119898119894119899 119911119898119886119909 119911119898119894119899 120588119898119886119909 se

iau icircn valoare absolută)

Icircn cazul suprafeţelor compuse modulul de rezistenţă nu se obţine prin icircnsumarea

algebrică a modulelor de rezistenţă ale suprafeţelor simple componente ci numai prin

intermediul momentului de inerţie axial calculat pentru icircntreaga secțiune

Ca și momentele de inerție modulele de rezistență se calculează numai pentru

sistemele de axe centrale

45 Momente de inerţie şi module de rezistenţă pentru suprafeţe simple

451 Secțiune dreptunghiulară

Fie suprafaţa dreptunghiulară din figura 44 de icircnălțime ℎ și lățime 119887 pe care se

consideră suprafaţă elementară de arie 119889119860 = 119887119889119910 la distanța 119910 de axa 119862119911 sistemul de

axe 119911119862119910 trece prin centrul secțiunii iar axele sunt axe de simetrie pentru dreptunghi

Fig 44 Suprafață dreptunghiulară

Pe baza relațiilor de definiți a momentului de inerție 119868119911 se obține

119868119911 ≝ int 1199102 ∙ 119889119860

119860

= int 1199102 ∙ 119887 ∙ 119889119910 = 2int 1199102 ∙ 119887 ∙ 119889119910 = 2 ∙ 119887 ∙1199103

3|ℎ 2frasl

0rArr

ℎ 2frasl

0

ℎ 2frasl

minusℎ 2frasl

rArr 119868119911 =119887 ∙ ℎ3

12

(415)

Analog pentru un element de arie 119889119860 = ℎ ∙ 119889119911 paralel cu axa 119862119910 situat la distanța

119911 de axa 119862119910

119868119910 ≝ int 1199112 ∙ 119889119860

119860

= int 1199112 ∙ ℎ ∙ 119889119911 = 2int 1199112 ∙ ℎ ∙ 119889119910 = 2 ∙ ℎ ∙1199113

3|119887 2frasl

0rArr

119887 2frasl

0

119887 2frasl

minus119887 2frasl

rArr 119868119910 =1198873 ∙ ℎ

12

(416)

Deoarece axele 119862119911 și 119862119910 sunt axe de simetrie momentul de inerție centrifugal este

119868119911119910 = 0 (417)

Pentru un pătrat avacircnd laturile egale (ℎ = 119887 = 119886) momentele de inerţie faţă de

axele centrale au expresia

119868119911 = 119868119910 =1198864

12 (418)

Modulele de rezistență axiale se calculează cu relațiile de definiție ținacircnd cont că

distanțele pacircnă la fibrele extreme sunt

119910119898119886119909 = 119910119898119894119899 =ℎ

2 119911119898119886119909 = 119911119898119894119899 =

119887

2 (419)

Obținem

119882119911119898119894119899 = 119882119911119898119886119909 =119868119911

119910119898119886119909119898119894119899=119887 ∙ ℎ3

12frasl

ℎ2frasl

=119887 ∙ ℎ2

6

119882119910119898119894119899 = 119882119910119898119886119909 =119868119910

119911119898119886119909119898119894119899=1198873 ∙ ℎ

12frasl

1198872frasl

=1198872 ∙ ℎ

6

(420)

452 Suprafaţă circulară

Din motive de simetrie pentru suprafeţele circulare momentele de inerţie faţă de

orice diametru (care reprezintă şi axe centrale) sunt aceleaşi

Considerăm o secțiune circulară plină cu diametrul 119889 și centrul de greutate 119862 Prin

centrul de greutate 119862 trece sistemul de axe ortogonal 119911119862119910 figura 45

Fig 45 Suprafață circulară

La distanța de centrul de greutate 119862 vom lua un element de suprafață mic de arie

(119889119860) de forma unui inel de grosime 119889 Elementul de arie 119889119860 are expresia

119889119860 = (2 ∙ 120587 ∙ 120588) ∙ (119889120588)

Pornind de la relația de definiție a momentului de inerție polar obținem

119868119901 ≝ int 1205882 ∙ 119889119860

119860

= int 1205882 ∙ (2 ∙ 120587 ∙ 120588) ∙ 119889120588

119903=119889 2frasl

0

= 2 ∙ 120587 ∙1205884

4|119889 2frasl0 rArr

rArr 119868119901 =120587 ∙ 1198894

32

(421)

Secțiunea este perfect simetrică deci sunt valabile relațiile

119868119911 = 119868119910 rArr 119868119901 = 119868119911 + 119868119910 = 2 ∙ 119868119911 = 2 ∙ 119868119910 =119868119901

2=120587 ∙ 1198894

64 (422)

Și modulele de rezistenţă faţă de orice diametru sunt egale şi se calculează cu

relaţiile

119882119911 = 119882119910 =1198681199111198892frasl=120587 ∙ 1198893

32 (423)

Modulul de rezistenţă polar este

119882119901 =1198681199011198892frasl=120587 ∙ 1198893

16 (424)

453 Secţiune inelară

Calculul momentelor de inerţie axiale pentru o secţiune inelară avacircnd diametrul

interior 119889 şi diametrul exterior 119863 se determină analog pentru suprafaţa circulară plină cu

observaţia că integrala pentru calculul momentului de inerție polar 119868119901 se face icircntre

limitele 119903 = 119889 2frasl şi R= 1198632frasl (icircntre raza interioară 119903 şi raza exterioară 119877) figura 46

Se obţin relaţiile

119868119901 =120587 ∙ 1198634

32∙ [1 minus (

119889

119863)4

] =120587 ∙ 1198634

32∙ (1 minus 1198964) (425)

119868119910 = 119868119910 =120587 ∙ 1198634

64∙ [1 minus (

119889

119863)4

] =120587 ∙ 1198633

64∙ (1 minus 1198964) (426)

Fig 46 Secțiune inelară

119882119901 =120587 ∙ 1198633

16∙ [1 minus (

119889

119863)4

] =120587 ∙ 1198633

16∙ (1 minus 1198964) (427)

119882119911 = 119882119910 =120587 ∙ 1198633

32∙ [1 minus (

119889

119863)4

] =120587 ∙ 1198633

32∙ (1 minus 1198964) (428)

unde 119896 = 119889119863frasl

46 Variaţia momentelor de inerţie faţă de axe paralele

( Relațiile lui STEINER)

Se consideră o suprafaţă oarecare de arie 119860 cu elementul de arie 119889119860 și un sistemul

de axe central 119911119862119910 faţă de care se cunosc momentele de inerţie 119868119911 119868119910 119868119911119910 şi considerăm

un sistem de axe 11991111198741199101 paralele cu sistemul central figura 47 Se pune problema

determinării momentele de inerţie 1198681199111 1198681199101 11986811991111199101 faţă de sistemul de axe paralel cu sistemul

central 11991111198741199101 axe aflate la distanţele 119910119862 = 119888 respectiv 119911119862 = 119889 de acesta

461 Momente de inerţie axiale

Pe baza relaţiilor de definire şi a notaţiilor din figura 42 pentru momentele de

inerţie faţă de axele 1198741199111 1198741199101 se poate scrie

1198681199111 = int 11991012 ∙ 119889119860

119860

= int(119910 + 119888)2 ∙ 119889119860

119860

= int 1199102 ∙ 119889119860

119860

+ 2 ∙ 119888 ∙ int 119910 ∙ 119889119860

119860

+

+1198882int 119889119860

119860

rArr 1198681199111 = 119868119911 + 2 ∙ 119888 ∙ 119878119911 + 1198882 ∙ 119860 hArr 1198681199111 = 119868119911 + 119888

2 ∙ 119860

(429)

Fig 47 Variaţia momentelor de inerţie față de axe paralele

S-a ajuns la relația (429) deoarece momentul static 119878119911 este nul deoarece axa 119862119885

este axă centrală

Pentru momentul de inerție axial icircn raport cu axa 1198741199101 se obține

1198681199101 = int 11991112 ∙ 119889119860

119860

= int(119911 + 119889)2 ∙ 119889119860

119860

= int 1199112 ∙ 119889119860

119860

+ 2 ∙ 119889 ∙ int 119911 ∙ 119889119860

119860

+

+1198892 ∙ int 119889119860

119860

rArr 1198681199101 = 119868119910 + 2 ∙ 119889 ∙ 119878119910 + 1198892 ∙ 119860 hArr 1198681199101 = 119868119910 + 119889

2 ∙ 119860

(430)

Pentru momentul de inerție centrifugal obținem

11986811991111199101 = int 1199101 ∙ 1199111 ∙ 119889119860

119860

= int(119910 + 119888) ∙ (119911 + 119889) ∙ 119889119860

119860

= int 119910 ∙ 119911 ∙ 119889119860 +

119860

+119888 ∙ int 119911 ∙ 119889119860

119860

+ 119889 ∙ int 119910 ∙ 119889119860

119860

rArr 11986811991111199101 = 119868119911119910 + 119888 ∙ 119889 ∙ 119860

(431)

Deoarece

int 119911 ∙ 119889119860

119860

= 119878119910 = 0 int 119910 ∙ 119889119860

119860

= 119878119911 = 0 int 119910 ∙ 119911 ∙ 119889119860

119860

= 119868119911119910

Relaţiile (429) şi (430) arată că momentul de inerţie faţă de o axă oarecare

este egal cu momentul de inerţie faţă de o axă paralelă cu ea trecacircnd prin centrul de

greutate la care se adaugă produsul dintre aria suprafeţei şi pătratul distanţei dintre

cele două axe

Din relaţiile (429) și (430) rezultă de asemenea că momentul de inerţie faţă de o

axă centrală (care trece prin centrul de greutate) este cel mai mic dintre infinitatea de

momente de inerţie obținute faţă de alte axe paralele cu ea

Relaţia (431) arată de asemenea că momentul de inerţie centrifugal faţă de un

sistem de axe oarecare este egal cu momentul de inerţie centrifugal faţă de un sistem

paralele cu el trecacircnd prin centrul de greutate a suprafeţei la care se adaugă produsul

dintre aria suprafeţei şi distanţele dintre axele sistemelor respective

Icircn literatura de specialitate relaţiile (429) (430) şi (431) sunt cunoscute sub

numele de relaţiile lui Steiner

47 Variaţia momentrlor de inerţie faţă de axe rotite

Direcţii principale şi momente de inerţie principale

Fie suprafaţa plană din figura 48 de arie 119860 pe care considerăm o suprafaţă

elementară de arie 119889119860 Pentru sistemul de axe 119911119874119910 se cunosc momentele de inerţie

119868119911 119868119910 119868119911119910 şi vom determina relaţiile de calcul pentru momentele de inerţie afererent unui

sistem de axe 11991111198741199101 rotit cu un unghi faţă de sistemul central

Faţă de sistemul de axe 11991111198741199101 elementul de arie 119889119860 are coordonatele

1199101 = 119875119877 = 119875119876 minus 119877119876 = 119910 ∙ cos 120572 minus 119911 ∙ sin 120572

1199111 = 119873119872 = 119873119875 minus 119875119872 = 119911 ∙ cos 120572 + 119910 ∙ sin 120572 (432)

Fig 47 Variaţia momentelor de inerţie față de axe rotite

Pe baza relaţiilor de calcul ale momentelor de inerţie şi a notaţiilor din figura 42

şi ale relaţiilor (432) momentele de inerţie faţă de sistemul de axe rotit 11991111198741199101 sunt

1198681199111 =119868119911 + 119868119910

2+119868119911 minus 119868119910

2∙ cos 2120572 minus 119868119911119910 ∙ sin 2120572 (433)

1198681199101 =119868119911 + 119868119910

2minus119868119911 minus 119868119910

2∙ cos 2120572 + 119868119911119910 ∙ sin 2120572 (434)

11986811991111199101 =119868119911 minus 119868119910

2∙ sin 2120572 + 119868119911119910 ∙ cos 2120572 (435)

Din relaţiile 433divide435 se observă că icircntre momentele de inerţie axiale şi cele

polare există relaţia

1198681199111 + 1198681199101 = 119868119911 + 119868119910 = 119868119901 (436)

adică suma momentelor de inerţie axiale icircn raport cu orice pereche de axe ortogonale

care trec printr-un pol dat este o constantă şi egală cu momentul de inerţie polar

Prin rotirea sistemului de axe din relaţiile 433divide435 rezultă că momentele de inerţie

variază icircnsă suma lor rămacircne constantă deci există o poziţie a sistemului de axe pentru

care momentele de inerţie au valori extreme maxim respectiv minim

471 Direcţii principale de inerţie

Valoarea unghiului 120572 pentru care momentele de inerţie axiale au valori extreme

este

1205721 =1

2∙ 119886119903119888119905119886119899 (minus

2 ∙ 119868119911119910

119868119911 minus 119868119910) (437)

Poziţia celeilalte direcţii este perpendiculară pe cea dată de unghiul 1205721

Din relaţia (437) se constată că faţă de aceste direcţii rotite pentru care momentele

de inerţie axiale prezintă valori extreme momentul de inerţie centrifugal 11986811991111199101este nul

Atunci se poate afirma că momentele de inerţie axiale au valori extreme icircn raport cu

direcţiile faţă de care momentul de inerţie centrifugal este nul Aceste direcţii se numesc

direcţii principale iar momentele de inerţie faţă de aceste direcţii poartă numele de

momente de inerţie principale

Icircn calculele de rezistenţă interesează icircn mod special poziţia direcţiilor principale

care trec prin centrul de greutate al suprafeţei aşa numitele direcţii principale centrale şi

evident momentele de inerţie principale centrale

Direcţiile principale de inerţie se notează cu 1 respectiv 2 Axa principală 1

corespunde direcţiei faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea maximă iar

axa principală 2 pentru direcţia faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea

minimă

472 Momente de inerţie principale

Momentele de inerţie principale se notează cu litera 119868 la care se pune indicele 1

sau 2 după cum valoarea acestuia este maximă sau minimă deci avem un moment de

inerţie principal 1 (notat 1198681) respectiv moment de inerţie principal 2 (notat 1198682)

Expresiile pentru momentele de inerţie principale sunt

11986812 =119868119911 + 119868119910

2plusmn1

2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)

2+ 4 ∙ (119868119911119910)

2 (438)

Dacă momentul de inerţie centrifugal este negativ (119868119911119910 lt 0) direcţia principală

care trece prin primul cadran (definit de sistemul 119911119862119910) este direcţia principală 120783

Pentru suprafeţele cu cel puţin o axă de simetrie direcţiile centrale 119862119911 119862119910 sunt şi

direcții principale de inerţie și evident momentele de inerţie axiale 119868119911 119868119910 sunt momente

de inerţie principale

48 Caracteristici mecanice ale metalelor

Alegerea materialului pentru confecţionarea unei anumite piese se face şi pe baza

aşa numitelor caracteristici mecanice pe care le prezintă materialul Cunoaşterea acestor

caracteristici mecanice are loc numai pe baza unor icircncercări mecanice care să scoată icircn

evidenţă comportarea materialului icircn condiţii de solicitare

Cea mai utilizată icircncercare icircn urma căreia se pun icircn evidenţă caracteristicile

mecanice ale unui material este icircncercarea la tracţiune

481 Icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general

Icircncercarea la tracţiune a oţelului ca de altfel toate icircncercările de materiale este

standardizată

Icircn cele ce urmează se va prezenta numai partea care interesează strict din punct

de vedere al caracteristicilor mecanice ale oţelului

Epruveta de diametru iniţial 1198890 pentru icircncercarea la tracţiune are o porţiune de

lungime 1198710 numită baza de măsurare pe care se măsoară lungirea acesteia sub acţiunea

solicitării

Icircn funcţie de raportul dintre baza de măsurare 1198710 şi diametrul iniţial 1198890 epruvetele

utilizate pentru icircncercări sunt

epruvete normale (scurte) cacircnd 11987101198890 = 5

epruvete lungi cacircnd 11987101198890 = 10

Icircn timpul icircncercării la diferite valori ale forţei 119865 se măsoară lungirea bazei de

măsurare

∆119871 = 120575 = 119871 minus 1198710 (439)

unde

119871 este dimensiunea bazei de măsurare la un moment dat

Curba forţă-lungire (119865 minus ) icircnregistrată icircn urma icircncercării reprezintă curba

caracteristică la tracţiune

La icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general diagrama caracteristică care se

obţine are forma din figura 48

Curba caracteristică la tracţiune depinde de lungimea bazei de măsurare Pentru

icircnlăturarea acestui neajuns curba caracteristică se reprezintă icircn coordonate şi definite

astfel

120590 =119865

1198600 휀 =

120575

1198710 (440)

unde

1198600 este aria iniţială a secţiunii transversale a epruvetei (icircnainte de solicitare) icircn

zona bazei de măsurare

1198600 =120587 ∙ 1198890

2

4

Deoarece mărimile icircn care se reprezintă curba caracteristică la tracţiune sunt

raportate la aria iniţială a secţiunii transversale (mărimi specifice) curba poartă numele

de curbă caracteristică convenţională la tracţiune

Fig 48 Curba caracteristică convenţională la tracțiune

Pe curba caracteristică convenţională la tracţiune figura 48 se pot stabili o serie

de puncte cărora le corespund mai multe mărimi importante

Ordonata punctului A pacircnă unde curba caracteristică convenţională este linie

dreaptă se numeşte limita de proporţionalitate a materialului 120590119901(1205901) Porţiunea 119874119860 este

zona de proporţionalitate a curbei caracteristice pe acest domeniu este valabilă legea lui

Hooke care exprimă o proporţionalitate icircntre tensiune şi deformaţie specifică

120590 = 119864 ∙ 휀 (441)

unde

119864 = reprezintă panta porţiunii liniare a curbei convenționale caracteristice

la tracțiune Caracteristica de material 119864 se numeşte modul de elasticitate longitudinal

(modulul lui Young)

Ordonata punctului 119861 pacircnă unde materialul se comportă perfect elastic adică

după descărcare icircşi recapătă dimensiunea iniţială 1198710 se numeşte limita de elasticitate

120590119890(119877119890) Icircn realitate nici un material nu are comportare perfect elastică sub acţiunea

solicitărilor el capătă deformaţii permanente (remanente plastice)

După punctul 119861 urmează o porţiune 119861119862119863 icircn care cu toate că icircncărcarea

continuă forţa nu mai creşte avacircnd mici oscilaţii icircn jurul unei valori Se spune că icircn

această porţiune materialul curge iar intervalul 119861119862119863 este un palier de curgere Tensiunea

corespunzătoare palierului de curgere se numeşte limită de curgere aparentă 120590119888(119877119888) Limita de curgere aparentă se calculează cu relaţia

120590119888 =1198651198881198600 (442)

unde

119865119888 reprezintă valoarea forţei icircnregistrată icircn momentul curgerii materialului

După punctul 119863 curba caracteristică are un traseu ascendent pacircnă icircn punctul 119864

Porţiunea 119863119864 este numită zonă de icircntărire (ecruisare) Icircn zona de ecruisare unde se

produc deformaţii plastice semnificative legea lui Hooke nu mai este valabilă La

descărcare relaţia dintre tensiunea şi deformaţia specifică este liniară paralelă cu

porţiunea liniară a curbei caracteristice (dreapta 119872119873)

Deformaţia totală (휀119905) are două componente una elastică (휀119890) şi una plastică (휀119901)

Ordonata punctului 119864 reprezintă rezistenţa de rupere 120590119903(119877119898) a materialului

care se poate calcula cu relaţia

120590119903 = 119877119898 =1198651198981198861199091198600

(443)

unde

119865119898119886119909 reprezintă valoarea maximă a forţei icircnregistrată icircn timpul icircncercării

La atingerea valorii 119865119898119886119909 (punctul 119864) icircntr-un anumit loc al epruvetei secţiunea

icircncepe să se micşoreze (se produce gacirctuirea) continuacircnd pacircnă cacircnd se produce ruperea

totală (punctul 119865)

Dacă după ruperea epruvetei cele două părţi rezultate se aşează cap la cap şi se

măsoară dimensiunea bazei de măsurare 119871119906 (lungimea ultimă) se determină alungirea la

rupere sau lungirea specifică la rupere 휀119903

휀119903 =119871119906 minus 11987101198710

=∆119871

1198710=120575

1198710 (444)

De obicei alungirea se exprimă icircn procente şi se notează cu 119860119899 unde 119899 reprezintă

numărul dat de raportul 11987101198890 (epruvete normale 119899 = 5 epruvete lungi 119899 = 10)

119860119899 =119871119906 minus 11987101198710

∙ 100 [] (445)

Altă mărime care se determină la icircncercarea la tracţiune este gacirctuirea la rupere

(exprimată de obicei icircn procente) şi definită de relaţia

119885 =1198600 minus 1198601199061198600

∙ 100 [] (446)

Mărimile determinate limita de proporţionalitate modulul de elasticitate

longitudinal limita de elasticitate limita de curgere aparentă rezistenţa de rupere

alungirea la rupere şi gacirctuirea la rupere sunt cunoscute ca fiind caracteristici mecanice

ale materialului

Din curba caracteristică convenţională observăm faptul că ruperea (punctul 119865 din

figura 48 se produce la o tensiune mai mică decacirct cea corespunzătoare punctului 119864 Dacă

icircnsă forţa din timpul icircncercării s-ar raporta la aria secţiunii din momentul icircnregistrării

forţei (care este mai mică decacirct cea iniţială 1198600) s-ar obţine aşa numita curbă

caracteristică reală a materialului (traseul 1198741198601198611198621198631198651 din figura 48) La curba

caracteristică reală ruperea se produce icircn punctul 1198651 la o icircncărcare mai mare decacirct cea

corespunzătoare punctului 119864 Icircnseamnă că rezistenţa reală la rupere este mai mare decacirct

rezistenţa la rupere dată de punctul 119864 din diagrama caracteristică convenţională

Dificultatea obţinerii diagramei caracteristice reale faţă de cea a diagramei caracteristice

convenţionale şi considerarea unei rezistenţe la rupere mai mică decacirct a celei reale face

icircn practică utilizarea pe scară mare a diagramei caracteristice convenţionale

Caracteristicile mecanice determinate pe baza curbei caracteristice convenţionale

sunt şi ele caracteristici mecanice convenţionale

Caracteristicile mecanice convenţionale limita de proporţionalitate convenţională

120590119901 limita de elasticitate convenţională 120590119890 limita de curgere convenţională 120590119888 şi rezistenţa

de rupere 120590119903 constituie tensiuni limită pentru un material Pe baza acestor caracteristici

de material se alege valoarea tensiunii admisibile 120590119886 (vezi paragraful 35) pentru

calculele de rezistenţă Cea mai utilizată stare limită pentru stabilirea tensiunii admisibile

120590119886 este limita de curgere convenţională 120590119888

120590119886 =120590119897119894119898119888

=120590119888119888 119904119886119906 120590119886 =

120590119903119888 (447)

Caracteristicile mecanice ale materialului sunt influenţate de o serie de factori

temperatura viteza de solicitare factorii tehnologici iar valorile lor sunt date icircn tabele și

diagrame

Aplicaţie Pentru suprafaţa plană compusă din două dreptunghiuri avacircnd

dimensiunile din figura 49a să se calculeze

a) centrul de greutate al secțiunii compuse 119910119866 119911119866

b) momentele de inerție axiale 119868119911 119868119910 și momentul de inerție centrifugal 119868119911119910

c) razele de inerție 119894119911 119894119910

d) modulele de rezistență 119882119911119898119894119899 119882119911119898119886119909 119882119910119898119894119899 119882119910119898119886119909

e) momentele de inerție principale 1198681 1198682 și direcțiile principale de inerție 1205721

f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 119878119911

Fig 49 Aplicație

Rezolvare Pentru rezolvare vom parcurge următoarele etape

icircmpărțim suprafața compusă icircn două suprafețe simple (dreptunghiuri) notate cu

① și respectiv ② figura 49b

poziționăm centrele de greutate a celor două suprafețe simple ① și respectiv ②

notate cu 1198661 și respectiv 1198662 figura 49c

poziționăm sistemele de axe de coordonate 119911111986611199101 pentru dreptunghiul ① și

119911211986621199102 pentru dreptunghiul ② aflate la intersecția diagonalelor figura 49c

poziționăm sistemele de axe de coordonate 11991101198741199100 ales arbitrar față de care

determinăm poziția centrului de greutate 119866 figura 49c

a) calculăm poziția centrului de greutate folosind relațiile (46) icircn care

1198601 = 6119905 ∙ 119905 = 61199052 1198602 = 4119905 ∙ 119905 = 41199052 119860 = 1198601 + 1198602 = 61199052 + 41199052 = 101199052

iar centrele de greutate 1198661 și respectiv 1198662 au coordonatele (față de sistemul 11991101198741199100)

1198661 1199101 = 3119905 1199111 = 05119905

1198662 1199102 = 051199051199112 = 3119905

cu acestea obținem

119910119866 =1198601 ∙ 1199101 + 1198602 ∙ 1199102

119860=61199052 ∙ 3119905 + 41199052 ∙ 05119905

101199052=201199053

101199052= 2119905

119911119866 =1198601 ∙ 1199111 + 1198602 ∙ 1199112

119860=61199052 ∙ 05119905 + 41199052 ∙ 3119905

101199052=151199053

101199052= 15119905

Poziționăm centrul de greutate 119866 al suprafeței compuse figura 49c

Fig 49 Aplicație

b) pentru determinarea momentelor de inerție axiale 119868119911 119868119910 și a momentului de

inerție centrifugal 119868119910119911 determinăm constantele 1198881 1198882 1198891 1198892 care intervin icircn relația lui

Stainer

1198881 = 1199101 minus 119910119866 = 3119905 minus 2119905 = 119905 1198882 = minus(119910119866 minus 1199102) = minus(2119905 minus 05119905) = minus15119905

1198891 = minus(119911119866 minus 1199111) = minus(15119905 minus 05119905) = minus119905 1198892 = 1199112 minus 119911119892 = 3119905 minus 15119905 = 15119905

Folosind relațiile lui Stainer (429) (430) și (431) calculăm momentele de

inerție axiale și centrifugale față de sistemul central 119911119866119866119910119866

119868119911 =sum(119868119911119894 + 1198881198942 ∙ 119860119894) = 1198681199111 + 1198881

2 ∙ 1198601 + 1198681199112 + 11988822 ∙ 1198602

119868119910 =sum(119868119910119894 + 1198891198942 ∙ 119860119894) = 1198681199101 + 1198891

2 ∙ 1198601 + 1198681199102 + 11988922 ∙ 1198602

119868119911119910 =sum(119868119911119894119910119894 + 119888119894 ∙ 119889119894 ∙ 119860119894) = 11986811991111199101 + 1198881 ∙ 1198891 ∙ 1198601 + 11986811991121199102 + 1198882 ∙ 1198892 ∙ 1198602

1198681199111 = (119887 ∙ ℎ3

12) =

119905 ∙ (6119905)3

12= 181199054 1198681199112 = (

119887 ∙ ℎ3

12) =

4119905 ∙ 1199053

12= 031199054

1198681199101 = (1198873 ∙ ℎ

12) =

1199053 ∙ 6119905

12= 051199054 1198681199102 = (

1198873 ∙ ℎ

12) =

(4119905)3 ∙ 119905

12= 531199054

11986811991111199101 = 11986811991121199102 = 0 deoarece cele două triunghiuri au cel puțin o axă de simetrie

Cu acestea momentele de inerție axiale și momentul de inerție centrifugal devin

119868119911 = 181199054 + 1199052 ∙ 61199052 + 031199054 + (minus15119905)2 ∙ 41199052 = 3331199054

119868119910 = 051199054 + (minus119905)2 ∙ 61199052 + 531199054 + (15119905)2 ∙ 41199052 = 2081199054

119868119911119910 = 0 + 119905 ∙ (minus119905) ∙ 61199052 + 0 + (minus15119905) ∙ (15119905) ∙ 41199052 = minus151199054

c) razele de inerție sau de girație față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910

se calculează cu relațiile (411)

119894119911 = radic119868119911119860= radic

3331199054

101199052= 182119905 119894119910 = radic

119868119910

119860= radic

2081199054

101199052= 144119905

d) modulele de rezistență față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910 se

calculează cu relațiile (412) și (413)

Avacircnd icircn vedere figura 419c obținem

119910119898119886119909 = 6119905 minus 119910119866 = 6119905 minus 2119905 = 4119905 119910119898119894119899 = minus119910119866 = minus2119905

119911119898119886119909 = 5119905 minus 119911119866 = 5119905 minus 15119905 = 35119905 119911119898119894119899 = minus119911119866 = minus15119905

Se obține astfel

119882119911119898119894119899 =119868119911

|119910119898119886119909|=3331199054

4119905= 8331199053

119882119911119898119886119909 =119868119911

|119910119898119894119899|=3331199054

2119905= 16651199053

119882119910119898119894119899 =119868119910

|119911119898119886119909|=2081199054

35119905= 5941199053

119882119910119898119886119909 =119868119910

|119911119898119894119899|=2081199054

15119905= 13871199053

e) momentele de inerție principale 1198681 și respectiv 1198682 se calculează cu relațiile

(438)

11986812 =119868119911 + 119868119910

2plusmn1

2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)

2+ 4 ∙ (119868119911119910)

2=

=3331199054 + 2081199054

2plusmn1

2∙ radic(3331199054 minus 2081199054)2 + 4 ∙ (minus151199054)2 = 27051199054 plusmn 16251199054

De unde obținem

1198681 = 27051199054 + 16251199054 = 4331199054

1198682 = 27051199054 minus 16251199054 = 1081199054

Prima direcție principală de inerție 1 face cu axa centrală 119866119911 unghiul 1205721 dat de

relația (437)

1205721 =1

2∙ arctan (minus

2 ∙ 119868119911119910

119868119911 minus 119868119910) =

1

2∙ arctan [minus

2 ∙ (minus151199054)

3331199054 minus 2081199054] =33 70

Deoarece 1205721 gt 0 rotirea axelor se face acircn sens antiorar acelor de ceasornic figura

49d

Poziția axe principale 2 față de care momentul de inerție are valoarea minimă

1198682 = 119868119898119894119899 este dată de unghiul

1205722 = 1205721 + 900 = 33 70 + 900 = 123 70

f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 se determină cu relația

(45)

1198781199111198602 = 1198602 ∙ 1198882 = 41199052 ∙ (minus15119905) = minus61199053

Fig 19 Aplicația 142

Fig 110 Icircnclinarea momentului 119872119874

119861 = 119861119860 times

119872119861 = 119886 ∙ 119865 = 3 ∙ 100 = 300 [119873 ∙ 119898]

119863 = 119863119860 times

119872119863 = 119887 ∙ 119865 = 4 ∙ 100 = 400 [119873 ∙ 119898]

119874 = 119874119860 times

119872119874 = 119888 ∙ 119865 = radic1198862 + 1198872 ∙ 119865 = radic32 + 42 ∙ 100 = 5 ∙ 100 = 500 [119873 ∙ 119898]

119874 se află icircn planul 119909119874119910 cu icircnclinarea 120572 (figura 110)

tan120572 =119886

119887=3

4= 075 rArr 120572 = arctan(075) = 36860

Deci

120572 = 900 minus 120573 = 900 minus 36860 = 53140

Concluzie Componentele torsorului de reducere al forței icircn punctul O sunt o forta

icircn O identică cu forța din punctul A și momentul forței icircn raport cu punctul O 119874

2 INTRODUCERE IcircN REZISTENŢA MATERIALELOR

21 Obiectul şi problemele Rezistenţei materialelor

Rezistenţa materialelor este o disciplină de cultură tehnică generală care continuă

logic şi dezvoltă Mecanica prin introducerea icircn calcule a proprietăţilor de deformabilitate

ale corpurilor solide reale Icircn Mecanică corpul solid este considerat rigid nedeformabil

iar vectorii forţă de icircncărcare sunt consideraţi alunecători Rezistenţa materialelor ia icircn

studiu corpurile reale care sub acţiunea forţelor exterioare (vectori legaţi) icircşi schimbă

forma geometrică respectiv dimensiunile iniţiale şi se distrug prin rupere la valori mari

ale acestora Prin calculele de rezistenţă se determină dimensiunile secţiunilor

transversale ale corpurilor (elemente de rezistenţă) icircn funcţie de mărimea poziţia şi modul

de acţionare a forţelor exterioare proprietăţile mecanice ale materialelor dimensiunile

constructive forma şi importanţa ansamblului icircn care se icircnglobează iar icircn anumite cazuri

şi de durata de funcţionare Elementele de rezistenţă trebuie să icircndeplinească următoarele

condiţii de bază

- condiţia de rezistenţă care are icircn vedere ca eforturile din elementul de rezistenţă

să nu producă distrugerea acestuia prin rupere sau spargere icircn bucăţi

- condiţia de rigiditate se referă la valorile deformaţiilor care nu trebuie să

depăşească anumite mărimile admisibile

- condiţia de stabilitate care consideră posibilitatea menţinerii formei de echilibru

stabil pentru o anumită stare de icircncărcare

Criteriile de rezolvare ale problemelor de Rezistenţa materialelor sunt

- criteriul economic prin care se impune ca orice element de rezistenţă (piesă) să

fie proiectat şi realizat cu soluţia cea mai economică icircn privinţa materialului utilizat şi al

manoperei

- criteriul de bună funcţionalitate a ansamblului din care face parte elementul de

rezistenţă proiectat respectacircnd condiţiile de rezistenţă rigiditate şi stabilitate

Icircn cadrul Rezistenţei materialelor se admit ipoteze simplificatoare care permit

obţinerea unor relaţii de calcul relativ simple şi care exprimă destul de fidel fenomenul

de solicitare real Experimentările practice icircn laborator permit verificarea legilor

rezistenţei materialelor şi determinarea caracteristicilor mecanice ale materialelor

Rezistenţa materialelor permite rezolvarea următoarelor categorii de probleme

- probleme de dimensionare prin care se stabilesc dimensiunile optime ale

elementelor de rezistenţă proiectate icircn funcţie de icircncărcările exterioare (forţe sau

momente) şi de caracteristicile mecanice ale materialului utilizat

- probleme de verificare la care se determină dacă un element de rezistenţă de

dimensiuni cunoscute satisface condiţiile de rezistenţă rigiditate şi stabilitate cunoscacircnd

icircncărcarea exterioară şi caracteristicile mecanice ale materialului utilizat

- probleme de calcul al capacităţii de icircncărcare al unui element de rezistenţă

cunoscacircndu-se caracteristicile mecanice ale materialului dimensiunile şi modul de

solicitare se determină icircncărcarea maximă pe care o poate suporta elementul de rezistență

fără a ceda sau a se deforma periculos

22 Clasificarea corpurilor icircn Rezistenţa materialelor

Corpurile (elementele de rezistenţă) au icircn general forme constructive relativ

complicate Icircn Rezistenţa materialelor pentru simplificarea calculelor corpurile se

schematizează prin forme geometrice mai simple obţinacircndu-se următoarele grupe

a) corpuri solide cu o dimensiune mult mai mare decacirct celelalte două (corpuri cu

fibră medie) Elementele geometrice caracteristice sunt axa longitudinală şi secţiunea

transversală Aceste corpuri solide pot fi

- fire dacă dimensiunile secţiunii transversale sunt foarte mici astfel icircncacirct axa

longitudinală este flexibilă (icircşi schimbă forma uşor) iar sarcinile transversale nu pot fi

preluate de acesta Un fir nu poate fi solicitat decacirct la icircntindere (exemplu cabluri de

macara lanţuri etc)

- bare care rezistă atacirct la solicitări axiale cacirct şi la solicitări transversale

După modul de solicitare barele poartă diferite denumiri convenţionale

tiranţi-solicitaţi la icircntindere figura 21a

stacirclpi-solicitaţi la compresiune figura 21b

grinzi-solicitate la icircncovoiere figura 21c

arbori-solicitaţi la torsiune (răsucire) figura 21d

Fig 21 Denumirea barelor după modul de solicitare

După modul cum variază secţiunea icircn lungul axei barele pot fi

de secţiune constantă figura 22a

de secţiune variabilă continuă figura 22b sau icircn trepte figura 22c

Fig 22 Denumirea barelor după secțiune

După forma axei longitudinale barele pot fi

drepte figura 21

curbe icircn plan figura 23a sau icircn spaţiu figura 23b (numite și curbe stracircmbe)

cotite (axa barei este o linie fracircntă) plane figura 23c sau spațiale figura 23d

Fig 23 Tipuri de bare curbe și cotite

Secţiunea transversală (plană şi normală pe axa barei) poate avea orice formă

geometrică constantă sau variabilă icircn lungul barei

Dacă una din dimensiunile secţiunii transversale (grosimea) este mai mică

comparativ cu celelalte bara se numește bară cu pereţi subţiri (exemplu barele

realizate din platbande sudate cu secţiuni sub formă de profil I profil U cornier etc)

b) corpuri care au două dimensiuni mult mai mari icircn raport cu a treia (grosimea)

se numesc plăci Elementele geometrice caracteristice ale unei plăci sunt forma şi

dimensiunile suprafeţei mediane respectiv grosimea Plăcile se reprezintă schematic

printr-o suprafață care imită forma și dimensiunile suprafeței mediane Suprafaţa mediană

reprezintă locul geometric al tuturor punctelor egal depărtate de cele două feţe ale plăcii

puncte aflate pe perpendicularele duse icircntre cele două feţe figura 24

După destinaţie și forma suprafeței mediane se deosebesc

plăci plane figura 24b

plăci curbe (icircnvelişuri) cu o singură curbură figura 24a sau avacircnd curbură

dublă figura 24c

Fig 24 Tipuri de plăci plane

Plăcile cu grosime mare sunt denumite frecvent dale O placă de grosime mică

ce nu poate prelua decacirct solicitări la icircntindere poartă numele de membrană

Exemple de plăci icircnvelişurile vasele de revoluţie discurile etc

c) corpuri masive care au toate cele trei dimensiuni aproximativ de acelaşi ordin

de mărime (blocuri de fundaţii bile şi role de rulmenţi tuburi cu pereţi groşi etc)

Calculele de rezistenţă sunt mai simple icircn cazul barelor drepte şi mai complicate

la barele curbe plăci respectiv blocuri

23 Clasificarea icircncărcărilor exterioare

Un corp icircşi păstrează forma şi dimensiunile datorită forţelor de atracţie dintre

particulele sale elementare atacircta timp cicirct asupra sa nu acţionează alte forţe aplicate din

exterior care să-l deformeze Icircn construcţia de maşini elementele de rezistenţă preiau şi

transmit acţiunea unor sarcini exterioare (forţe şisau cupluri) pe care le vom denumi

generic forțe sau icircncărcări exterioare Efectul pe care-l au sarcinile este acela de a

modifica forma şi dimensiunile corpului asupra căruia se aplică Icircn punctele de rezemare

(de sprijin sau de legătură cu alte elemente de rezistenţă icircnvecinate) ca urmare a

principiului acţiunii şi reacţiunii apar forţe de legătură sau reacţiuni Ansamblul format

din sarcini şi reacţiuni este cunoscut sub numele de forţe exterioare Sub acţiunea

forţelor exterioare elementele de rezistenţă trebuie să fie icircn echilibru

Forţele exterioare pot fi clasificate după următoarele criterii

a) după mărimea suprafeţei pe care se aplică

- forțe concentrate aplicate teoretic icircntr-un punct figura 25a

- forțe distribuite uniform sau cu intensitate variabilă icircn lungul barei sau pe o

suprafaţă figura 25bc şi d

- momente concentrate care acţionează icircntr-un punct M sau momente uniform

distribut pe o anumită lungime m

Fig 25 Tipuri de sarcini după mărimea suprafeţei de aplicare

b) după locul de aplicare se deosebesc

- forţe de suprafaţă sau de contur care sunt aplicate din exterior pe suprafaţa

corpurilor şi indică legătura cu piesele icircnvecinate

- forţe masice sau de volum distribuite icircn tot corpul (greutăţi forţe de inerţie

respectiv forţe electromagnetice)

c) după modul de acţiune icircn timp se disting

- forţe statice care se aplică lent şi progresiv pacircnă la valoarea nominală de lucru

şi apoi rămacircn constante figura 26a

- forţe dinamice care rezultă din

aplicarea cu icircntreaga intensitate de la icircnceputul perioadei de solicitare iar apoi forţa se

menţine constantă timp icircndelungat figura 26b (forţe de inerţie)

aplicarea bruscă a sarcinii asupra corpului durata de acţiune a sarcinii fiind mică figura

26c (forţe de şoc)

variaţia periodică icircn timp a intensităţii forţei aplicate figura 26d (forţe de oboseală)

Fig26 Tipuri de forţe exterioare (cicluri de solicitare)

Funcţie de modul de variaţie al forţelor exterioare solicitările pot fi statice

oscilante pulsante alternante etc Experimental s-a constatat că rezistenţa unui material

depinde foarte mult de modul de variaţie a forţelor icircn timp Bach a clasificat solicitările

icircn 3 categorii 1-solicitări statice 2-solicitări pulsante 3-solicitări alternant simetrice

Rezistenţa unui material este icircn raportul 321 pentru cele 3 cazuri de solicitare ale lui

Bach Aceasta icircnseamnă că o piesă solicitată static rezistă la o forţă de 3 ori mai mare

decacirct forţa maximă care produce ruperea aceleaşi piese solicitate alternant simetric

d) după poziţia icircn timp a forțelor se disting

- forţe fixe ale căror puncte de aplicaţie sunt mereu aceleaşi

- forţe mobile ale căror puncte de aplicaţie se deplasează icircn timp De exemplu

sarcinile produse de vehiculele care circulă pe un pod sarcinile unei grinzi de pod rulant

icircntr-o halăetc

24 Reazeme Forțe interioare Eforturi Diagrame de eforturi icircn barele

drepte

241 Reazeme Reacțiuni (forțe de legătură)

Pentru a prelua şi transmite acţiunea sarcinilor exterioare elementele de rezistenţă

din componenţa unei structuri sunt fixate icircntre ele prin intermediul unor legături

exterioare numite reazeme Aceste legături au ca scop icircmpiedicarea anumitor mişcări ale

corpului pe direcţiile pe care acestea nu trebuie să se producă O legătură are deci rolul

de a anula unul sau mai multe grade de libertate ale corpului icircn punctul de rezemare Dacă

este anulat un singur grad de libertate legătura este simplă iar dacă sunt impiedicate mai

multe grade de libertate legătura este una compusă Datorită existenţei sarcinilor

exterioare icircn punctele de rezemare pe direcţiile pe care mişcările sunt icircmpiedicate apar

forţe de legătură numite reacţiuni Numărul natura şi direcţiile reacţiunilor depind de

tipul reazemelor Icircn construcţiile reale există o varietate mare de realizare practică a

reazemelor dar icircn calcule se acceptă anumite schematizări care reţin doar aspectul esenţial

al unui reazem şi anume gradul sau gradele de libertate anulate

Pentru o structură de rezistenţă spaţială icircntr-un punct oarecare sunt posibile şase

deplasări trei deplasări liniare (după direcţiile axelor unui sistem ortogonal) şi trei rotiri

(deplasări unghiulare) icircn jurul aceloraşi axe Ca urmare ar fi posibil de realizat maximum

şase tipuri de reazem

Pentru un element de rezistenţă plan icircncărcat cu eforturi cuprinse icircn planul

elementului icircn orice punct sunt posibile trei gade de libertate două deplasări liniare şi o

rotiri Ca urmare pentru cazul unei bare plane se icircntacirclnesc următoarele tipuri de reazeme

1 Reazemul simplu sau reazemul mobil care icircmpiedică deplasarea pe o direcţie

normală pe suprafaţa de rezemare permiţacircnd deplasarea pe o direcţie paralelă cu

suprafaţa de rezemare şi rotirea barei icircn jurul unei axe perpendiculare pe plan icircn punctul

de rezemare Icircn urma icircmpiedicării deplasării şi datorită unor sarcini exterioare icircn

reazemul simplu apare o reacţiune de tip forţă a cărei suport trece prin punctul de

rezemare şi a cărei direcţie este perpendiculară pe suprafaţa de rezemare figura 27

Fig 27 Reazem simplu (mobil)

Icircn figura 27 este reprezentat un reazem mobil poziţionat pe capătul A al unei bare

plane orizontale fiind evidenţiate punctul şi suprafaţa de rezemare direcţia suportului

reacţiunii şi modul de schematizare al reazemului Cea mai des icircntacirclnită reprezentare a

reazemului mobil este a unui triunghi a cărui bază poate luneca pe suprafaţa de rezemare

2 Reazemul fix sau articulaţia icircmpiedică deplasările liniare după toate direcţiile

din planul barei permiţacircnd doar rotirea barei icircn jurul unei axe perpendiculare pe plan şi

care trece prin puncul de rezemare Reacţiunea este cuprinsă icircn planul barei care trece

prin punctul de rezemare dar a cărei mărime şi direcţie nu sunt cunoscute (forţa R)

figura 28

Fig 28 Reazem fix

Se preferă ca icircn locul unei forţe R avacircnd direcţia oarecare icircn plan necunoscută să

se introducă două forţe (HA şi VA) cărora li se cunoaşte direcţia şi pentru care se vor

determina modulele ca valori din condiţiile de echilibru static Icircntr-un reazem fix apar

icircntotdeauna reacţiuni atacirct pe direcţia perpendiculară pe suprafaţa de rezemare

(verticală) cacirct şi pe direcţia paralelă cu prima (orizontală) chiar dacă uneori una sau

chiar ambele reacţiuni au valoarea zero Reprezentarea schematică a articulaţiei este cea

a unui triunghi cu baza fixă şi cu vacircrful icircn punctul de rezemare sau cea a unui pendul

dublu figura 28

3 Icircncastrarea (sau icircnţepenirea) anulează toate gradele de libertate ale capătului

unei bare icircmpiedicacircnd deplasarea liniară după orice direcţie din plan precum şi rotirea

barei icircn jurul unei axe perpendiculare pe plan şi care trece prin punctul de icircncastrare

Urmare a existenţei sarcinilor exterioare şi a blocării deplasărilor icircn icircncastrare apare o

reacţiune căreia nu i se cunoaşte nici mărimea nici direcţia şi nici punctul de aplicaţie

figura 29

Fig 29 Icircncastrarea

Sub acţiunea forţelor exterioare un sistem este icircn echilibru Valoarea reacţinilor

se determină din condiţia de echilibru a sistemului solicitat

Este cunoscut faptul că un sistem plan este icircn echilibru dacă

nu se deplasează pe o direcţie (fie x această direcţie)

nu se deplasează pe o direcţie perpendiculară pe prima (fie y această direcţie)

nu se roteşte faţă de un punct al planului (fie K acest punct)

Cele trei condiţii enunţate mai sus sunt satisfăcute dacă suma proiecţiilor tuturor

forţelor pe direcţia x respectiv y este nulă şi suma tuturor momentelor (cuplurilor) faţă

de un punct al planului este nulă

242 Forțe interioare Metoda secțiunilor

Icircn vederea calculului de rezistenţă de rigiditate şi de stabilitate a barelor sau a

sistemelor de bare este necesară determinarea forţelor şi momentelor interioare

(eforturilor) care apar icircn secţiunile transversale ale acestora şi datorate icircncărcărilor

exterioare Forțele interioare indică legătura dintre particulele din interiorul corpului şi

se pun icircn evidenţă prin metoda secţiunilor care este un procedeu de raţionament

imaginar propus de Cauchy echivalent cu teoria echilibrului părţilor Conform acestui

raționament bdquodacă un corp solid deformabil este icircn echilibru sub acţiunea unui sistem

generalizat de forţe atunci după secționare fiecare parte a sa va fi icircn echilibru sub

acţiunea forţelor exterioare care-i revin şi a unui sistem de forţe pe care trebuie să-l

introducem icircn secţiunea ce delimitează fiecare parte echivalent cu acţiunea forţelor

aplicate pe partea icircndepărtatărdquo

Problemele care apar la aplicarea metodei secţiunilor sunt

- să pună icircn evidenţă existenţa forţelor interioare mai ales că din ceea ce se ştie o

forţă apare icircn prezenţa a două corpuri ca urmare a principiului acţiunii şi reacţiunii

- să explice modul de distribuţie al forţelor interioare pe secţiune

Considerăm un corp aflat icircn echilibru sub acţiunea unui sistem de forţe exterioare

1 2 3⋯119894 ⋯ 119899minus1 119899 şi presupunem că-l secţionăm cu un plan transversal Q (sau cu

o suprafaţă oarecare) figura 210a Icircn urma secţionării fictive (imaginare) conform

principiului echilibrului părţilor fiecare din cele două părţi obţinute trebuie să fie icircn

echilibru sub acţiunea forţelor exterioare care le revin şi a cacircte unui sistem de forţe

interioare pe care trebuie să-l introducem icircn secţiunile rezultate sistem echivalent cu

acţiunea forţelor exterioare ce acţionează asupra celeilalte părţi Astfel pe partea din

dreapta (notată cu II) delimitată de secţiunea de arie Ad sunt aplicate forţele exterioare

119894 ⋯ 119899minus1 119899 şi un sistem de forţe interioare căruia nu i se cunoaşte decacirct efectul acelaşi

cu cel al forţelor 1 2 3 de pe parea din stacircnga (notată cu I şi delimitată de secţiunea

de arie As) figura 210b Prin metoda secţiunilor am reuşit să punem icircn evidenţă existenţa

forţelor interioare şi să le trecem icircn categoria celor exterioare cărora le putem aplica

relaţiile de echivalenţă şi de echilibru cunoscute din statică Ideal ar fi să cunoaştem

distribuţia şi intensitatea punctuală a acestor forţe pentru că s-ar putea ca icircn anumite

puncte ale secţiunii valoarea forţelor să depăşească limita de rezistenţă (limita de curgere)

a materialului Cunoaşterea distribuţiei punctuale a forţelor interioare nu se poate realiza

decacirct icircn cazuri particulare relativ simple de solicitare

Să considerăm partea din dreapta a corpului asupra căreia acționează forțele

119894 ⋯ 119899minus1 119899 mărginit de aria Ad pe care acționează un sistem de forțe interioare

echivalent cu 1 2 3 Deși forțele interioare de pe Ad nu se cunosc totuși efectul lor

este același cu cel al forțelor 1 2 3 deci le putem reduce icircn centrul de greutate C al

secțiunii Ad rezultacircnd componentele torsorului de reducere al forțelor interioare

(119894119889 119894119889) și pentru partea din stacircnga (119894119904 119894119904) Evident conform principiului acțiunii și

reacțiunii

119894119889 = minus119894119904

119894119889 = minus119894119904 (21)

Pe de altă parte cum fiecare dintre părțile corpului după secționare trebuie să fie

icircn echilibru sub acțiunea forțelor exterioare care le revin și a forțelor interioare introduse

rezultă

119894119889 = minus119890119889

119894119889 = minus119890119889

119894119904 = minus119890119889

119894119904 = minus119890119904 (22)

Combinacircnd (21) cu (22) rezultă

119894119889 = 119890119889

119894119889 = 119890119889

119894119904 = 119890119904

119894119904 = 119890119904 (23)

Fig 210 Forțe interioare

Relațiile (22) și (23) permit determinarea componentelor torsorului de reducere

al forțelor interioare din (23) rezultă componentele torsorului forțelor interioare care

acționează icircn secțiunea Ad sunt egale cu componentele torsorului de reducere al forțelor

exterioare de pe partea din stacircnga din (22) rezultă componentele torsorului forțelor

interioare care acționează icircn secțiunea Ad sunt egale și de sens contrar cu componentele

torsorului de reducere al forțelor exterioare de pe partea din dreapta

Observații

1 Torsorul forțelor interioare diferă de la o secțiune la alta dar pentru aceeași

secțiune el este unic și trebuie să respecte condițiile de compatibilitate a deformațiilor

2 Reducacircnd forțele interioare icircn centrul de greutate al secțiunii s-a făcut o

aproximare icircn ceea ce privește efectul modului de dispunere al forțelor

3 Punctul de reducere trebuie să fie

pentru forțele interioare normale la secțiune centrul de greutate

pentru forțele interioare tangente la planul secțiunii centrul de răsucire sau de

tăiere

243 Eforturi

Prin metoda secțiunilor am pus icircn evidență existența forțelor interioare și modul

icircn care se determină componentele torsorului de reducere al forțelor interioare (119894119889 119894119889) de pe fața din dreapta secțiunii (Ad) Cele două componente ale torsorului de reducere al

forțelor interioare de pe Ad se pot descompune după axele unui sistem de referință

triortogonal xCyz astfel

119894119889 = +

119894119889 = 119909 +119872119894 (24)

unde și 119909 sunt proiecțiile lui 119894119889 și respectiv 119894119889 pe axa longitudinală Cx a

barei iar și 119894 sunt proiecțiile acelorași componente 119894119889 și respectiv 119894119889 pe planul yCz

al secțiunii transversale Ad figura 211

Fig 211 Torsorul de reducere al forţelor interioare

La racircndul lor și 119894 se pot descompune după axele sistemului yCz figura 212

= 119910 + 119911

119894 = 119894119910 + 119894119911 (25)

Fig 212 Descompunerea forţei tăietoare şi a momentului icircncovoietor

Cele șase componente ale torsorului de reducere al forțelor interioare ( 119910 119911

119909 119894119910 119894119911) orientate după axele sistemului de referință xCyz se numesc eforturi

Fiecare efort are o denumire stabilită icircn funcție de tipul de deformație pe care-l produce

De asemenea semnul plus (bdquo+rdquo) sau minus (bdquondashrdquo) al fiecărui efort nu depinde de sensul

pozitiv sau negativ al sistemului de axe ci doar de efectul icircn deformații al fiecărui efort

Denumirile celor șase eforturi sunt

119873 este forța axială

119879119910 119879119911 sunt forțe tăietoare orientate după axele Cy și respectiv Cz

119872119909 notat de cele mai multe ori cu 119872119905 este moment de torsiune sau de răsucire

119872119894119911 119872119894119910 sunt momente de icircncovoiere icircn jurul axei Cz și respectiv Cy

Forța axială 119873 poate fi forță axială de icircntindere cacircnd produce o lungire a

tronsonului pe a cărei față acționează (119873 gt 0) figura 213a sau forță axială de

compresiune cacircnd sub efectul ei bara se scurtează (119873 lt 0) figura 213b

Fig 213 Forța axială

Forțele tăietoare 119879119910 și 119879119911 au ca efect lunecarea secțiunii icircn centrul căreia

acționează icircn raport cu secțiunea icircnvecinată lunecare ce se produce pe direcția și icircn sensul

forței Sub acțiunea unei forțe tăietoare bara este solicitată la forfecare Forța tăietoare

este pozitivă 119879119910 gt 0 dacă icircn raport cu un punct oarecare K de pe axa Cx a barei tinde să

rotească secțiunea pe care acționează icircn sens orar

Fig 214 Forța tăietoare

Momentele de icircncovoiere 119872119894119911 și 119872119894119910 au ca efect o rotire a secțiunii icircn centrul

cărora acționează icircn jurul axei după care sunt orientate Icircn figura 215a se vede că

datorită momentului 119872119894119911 fibrele de deasupra axei Cz se alungesc icircn timp ce fibrele de sub

axa Cz se scurtează Fibrele care trec prin axa de icircncovoiere Cz nu se deformează sunt

fibre neutre la icircncovoiere adică axa neutră este Cz Icircn cazul momentului de icircncovoiere

119872119894119910 fibrele care nu se deformează sunt cele care trec prin axa neutră la icircncovoiere Cy

Momentele de icircncovoiere se consideră a fi pozitive (119872119894119911 gt 0119872119894119910 gt 0) dacă

observatorul care privește bara deformată vizualizează fibrele icircntinse

Fig 215 Momentul icircncovoietor

Momentul de torsiune sau de răsucire 119872119909 equiv 119872119905 are ca efect o rotire a secțiunii

icircn al cărei centru acționează icircn jurul axei longitudinale Cx Ca efect secțiunea icircși schimbă

forma (se deformează) adică unghiurile inițiale se modifică dreptunghiul inițial Ad

devine paralelogram Convențional se consideră 119872119905 gt 0 dacă vectorul moment are

aceeași orientare ca și sensul pozitiv ales pextru axa Cx Icircn figura 216 momentul este

negativ

Fig 216 Momentul de torsiune

25 Definiții și convenții de semne pentru eforturile

din secțiunile unei bare drepte plane icircncărcate cu sarcini coplanare

Vom considera o bară plană icircncărcată cu un sistem de forțe arbitrar figura 217

Ne propunem să determinăm eforturile care apar icircn secțiunea barei aflată la distanța 119909 de

reazemul din stacircnga (A)

Pentru aceasta vom aplica metoda secțiunilor vom secționa bara cu un plan

perpendicular pe axa longitudinală a barei și vom analiza doar partea din dreapta secțiunii

mărginită de fața Ad Pentru ca această porțiune de bară să fie icircn echilibru sub acțiunea

forțelor exterioare care acționează asupra sa 1198653 și 119881119861 va trebui să introducem icircn centrul

secțiunii Ad eforturile care pot să apară 119873 119879119910 119872119894119911 Acțiunea acestor eforturi trebuie să

fie echivalentă cu acțiunea forțelor exterioare aplicate pe partea icircnlăturată (parcursă) a

barei 119867119860 119881119860 1198651 1198652 1198720

Deoarece bara este plană și este icircncărcată doar cu sarcini ce aparțin

planului barei

icircn secțiunea Ad apar doar 3 componente ale torsorului de reducere al forțelor

interioare (eforturi)

- 119873 = forța axială

- 119879119910 = forța tăietoare pe care o vom nota cu 119879

- 119872119894119911 = momentul icircncovoietor notat cu Mi

Fig 217 Bară plană icircncărcată cu un sistem de forțe

Vom prezenta următoarele definiții corespunzătoare eforturilor din secțiunea Ad

119873 = forța axială dintr-o secțiune este egală cu suma algebrică a proiecțiilor pe

axa longitudinală a tuturor forțelor exterioare (sarcini și reacțiuni) aplicate pe partea

din stacircnga secțiunii adică pe porțiunea parcursă Forța axială 119873 este pozitivă dacă trage

de tronsonul pe a cărei față acționează (are orientarea normalei exterioare la secțiunea

Ad)

119873(119909) = minus119867119860 + 1198651119867 (26)

119879 = forța tăietoare icircntr-o secțiune este egală cu suma algebrică a proiecțiilor

pe o axă perpendiculară pe axa barei a tuturor forțelor exterioare (sarcini și reacțiuni)

aplicate pe porțiunea de bară aflată icircn stacircnga secțiunii considerate Forța tăietoare 119879

este pozitivă dacă tinde să rotească tronsonul pe a cărui față acționează icircn sens orar icircn

raport cu un punct de pe axa barei aflat la dreapta secțiunii

119879(119909) = 119881119860 minus 1198651119881 minus 1198652 (27)

119872119894 = momentul icircncovoietor icircntr-o secțiune este egal cu suma algebrică a

momentelor obținute prin reducerea tuturor forțelor exterioare ( cupluri sarcini

reacțiuni) aplicate pe porțiunea de bară aflată la stacircnga secțiunii icircn centrul secțiunii

considerate 119872119894 este considerat pozitiv dacă tinde să deformeze bara astfel icircncacirct fibrele

spre care privește un observator să fie icircntinse Cum poziția observatorului este de regulă

sub bară bara se deformează dacă 119872119894 gt 0 astfel icircncacirct partea jos a barei este icircntinsă Se

spune că bara deformată rdquoține apaldquo

119872119894(119909) = 119881119860 ∙ 119909 minus 1198651119881 ∙ (119909 minus 1198971) minus 1198652 ∙ [119909 minus (1198971 + 1198972)] + 1198720 (28)

Sensurile pozitive ale eforturilor care apar icircn centrul secțiunii Ad (deci atunci cacircnd

sensul de parcurs la aplicarea metodei secțiunilor este cel de la stacircnga la dreapta) sunt

indicate icircn figura 218a iar dacă sensul de parcurs este de la dreapta la stacircnga sensurile

pozitive ale eforturilor sunt indicate icircn figura 218b

Fig 218 Convenţia de semne

Definiții asemănătoare se pot da și pentru eforturile din centrul secțiunii As figura

218b adică pentru cazul icircn care sensul de parcurs este cel de la dreapta la stacircnga și deci

partea luată icircn considerare este cea din stacircnga iar partea parcursă din dreapta secțiunii

este icircnlăturată

119873(1199091) = 1198653119867

119879(1199091) = 1198653119881 minus 119881119861

119872119894(1199091) = 119881119861 ∙ 1199091 minus 1198653119881 ∙ (1199091 minus 1198975)

(29)

Avacircnd icircn vedere că fețele Ad și As aparțin aceleeași secțiuni este evident faptul că

eforturile 119873(119909) 119879(119909) și 119872119894(119909) sunt identice cu eforturile 119873(119961120783) 119879(119961120783) și respectiv

119872119894(119961120783) Icircn figura 218c se prezintă o sinteză a convențiilor de semne pozitive pentru cele

3 eforturi atacirct pentru sensul de parcurs de la stacircnga la dreapta (secțiunea Ad) cacirct și pentru

sensul invers (secțiunea As)

Semnele eforturilor sunt importante icircntrucacirct există materiale cu comportări diferite

la icircntindere față de compresiune iar o schimbare a semnului unui efort poate produce

erori grave icircn calcule Semnele eforturilor au fost stabilite icircn funcție de deformațiile

produse și nu depind de sensul axelor sistemului de coordonate

26 Relaţii diferenţiale icircntre eforturi şi sarcini

Pentru a vedea ce legătură există icircntre eforturi și sarcini vom considera o bară

dreaptă icircncărcată cu o sarcină distribuită după o lege oarecare figura 219a Din această

bară vom decupa prin dublă secționare un element de lungime infinit mică 119889119909 Deoarece

lungimea 119889119909 este foarte mică se poate considera sarcina 119901 uniform distribuită Icircn

secțiunile rezultate trebuie să introducem eforturile care pot apărea

- 119879 şi 119872119894 icircn centrul secțiunii din sticircnga eforturi pe care le considerăm pozitive

- 119879 + 119889119879 şi 119872119894 + 119889119872119894 icircn centrul secțiunii din dreapta elementului

Aceste eforturi au o variație mică (119889119879 şi 119889119872119894) față de secțiunea anterioară Spre

deosebire de cazul icircn care bara este secționată o singură dată icircn acest caz eforturile nu

pot fi determinate din cele 2 condiții de echilibru independente deoarece icircn ecuațiile de

echilibru apar 4 necunoscute 119879 119889119879119872119894 și 119889119872119894 deci că problema este dublu static

nedeterminată figura 219

Fig 219 Echivalența icircntre eforturi și sarcini

Ecuațiile de echilibru scrise pentru elementul din figura 219b conduc la stabilirea

unor relaţii foarte importante

(sum119865)119910= 0 hArr 119879 minus 119901 ∙ 119889119909 minus (119879 + 119889119879) = 0 rArr

119889119879

119889119909= minus119901 (210)

Relația (210) arată că derivata funcţiei forţei tăietoare icircn raport cu abscisa

secţiunii este egală cu sarcina distribuită normală la axa barei din acea secţiune luată

cu semn schimbat

Observații

dacă 119901 = 0 nu există sarcină distribuită atunci forța tăietoare T este constantă

icircnclinarea pantei diagramei forței 119879 este egală cu (ndash 119901) (sarcina distribuită cu

semn schimbat)

dacă 119901 = 119888119900119899119904119905 119879 variază liniar pe acel interval

Asemănător se deduce că derivata funcţiei forţei axiale icircn raport cu abscisa

secţiunii este egală cu sarcina distribuită axială din acea secţiune luată cu semn

schimbat adică

119889119873

119889119909= minus119901119867 (211)

Din condiția de echilibru suma de momente faţă de centrul de greutate al secţiunii

din dreapta

(sum119872)119862= 0 hArr 119872119894 minus (119872 + 119889119872119894) + 119879 ∙ 119889119909 minus 119901 ∙

(119889119909)2

2= 0 rArr

119889119872119894

119889119909= 119879 (212)

Relația (212) s-a obținut dupa reducerea termenilor și prin neglijarea infinitului

mic de ordinul 2

119901 ∙(119889119909)2

2

Relația (212) arată că derivata funcţiei moment icircncovoietor icircn raport cu abscisa

secţiunii este egală cu forţa tăietoare din acea secţiune

Observații

dacă 119879 = 0 momentul 119872119894 are un punct de extrem se obține o valoare maximă

pentru 119872119894119898119886119909 dacă forța tăietoare 119879 se anulează trecacircnd de la plus icircn stacircnga la minus icircn

dreapta secțiunii

dacă forța tăietoare este pozitivă pe un interval 119879 gt 0 atunci 119872119894 este crescătoare

pe acel interval

dacă forța tăietoare este negativă pe un interval 119879 lt 0 atunci 119872119894 este

descrescătoare pe acel interval

dacă pe un interval 119901 = 0 forța tăietoare este constantă 119879 = 119888119905 iar 119872119894 variază

liniar pe acel interval

dacă 119901 = 119888119900119899119904119905 119879 variază liniar pe acel interval iar 119872119894 variază parabolic pe

acel interval

Relaţiile diferenţiale sunt utile la reprezentarea corectă şi verificarea diagramelor

de eforturi astfel

pentru porţiunile de grindă pe care p = 0 eforturile N şi T sunt constante iar pe

porţiunile cu p = const eforturile N şi T variază liniar (relaţiile 211 şi 210)

dacă pe o porţiune T = const momentul icircncovoietor Miz variază liniar iar dacă

T variază liniar atunci momentul Miz variază parabolic (relaţia 212)

pe domeniile pe care T gt 0 funcţia Mi(x) este crescătoare iar icircn secţiunea icircn

care T = 0 (graficul funcţiei T intersectează axa x) momentul icircncovoietor are un punct

de extrem local (maxim sau minim relaţia 212)

Pentru rezolvarea problemelor referitoare la trasarea diagramelor de eforturi

pentru barele drepte solicitate de sisteme de forţe plane se parcurg următoarele etape

1) identificarea forţelor aplicate (date) şi pregătirea lor pentru calcule

(descompunerea forţelor concentrate pe direcţiile x şi y calculul rezultantelor forţelor

distribuite)

2) identificarea reazemelor şi introducerea reacţiunilor corespunzătoare (vezi

figurile 27divide29)

3) stabilirea ecuaţiilor de echilibru static calculul şi verificarea reacţiunilor Icircn

rezistența materialelor se folosește sistemul de ecuații (vezi figura 217)

(sum119865)

119909= 0

(sum119872)119860= 0

(sum119872)119861= 0

(213)

4) identificarea domeniilor de variaţie şi scrierea funcţiilor de eforturi pentru N T

şi Mi

5) reprezentarea grafică a diagramelor de eforturi

6) verificarea corectitudinii diagramelor pe baza relaţiilor diferenţiale icircntre eforturi

şi sarcini

Aplicație Pentru grinda dreaptă icircncărcată cu sistemul de forţe reprezentat icircn figura

220 se cere

a) să se calculeze şi să se verifice reacţiunile

b) să se stabilească funcţiile eforturilor Nx Ty şi Miz şi să se reprezinte diagramele

de variaţie

c) să se analizeze relaţiile diferenţiale icircntre eforturi şi sarcini

Dimensiunile grinzii au valorile a = 6 [m] b = 4 [m] și c = 4[m] sistemul de

forţe aplicat fiind format din p = 10 [kN mfrasl ] F = 20 [kN] (icircnclinată cu unghiul α =300 faţă de orizontală) şi M0 = 40 [kN ∙ m]

Rezolvare

a) Se fac următoarele precizări

grinda dreaptă se reprezintă prin axa geometrică

forţa icircnclinată F se descompune după direcţiile orizontală şi verticală icircn FV =F ∙ sin α = 10 [kN] şi FH = F ∙ cos α = 173 [kN]

forţa distribuită uniform p este echivalentă din punct de vedere static cu

rezultanta sa R = p ∙ a = 60 [kN] care acţionează la jumătatea porţiunii de lungime a

icircn reazemele 119860 şi 119861 se introduc componentele HA şi VA respectiv VB ale

reacţiunilor

Pentru calculul reacţiunilor se utilizează ecuaţiile de echilibru static al grinzii

sumXi = 0 HA minus FH = 0 sumYi = 0 VA + VB minus R minus FV = 0 (sumM)B = 0 VA ∙ (b + a) minus R ∙ (b + 05 ∙ a) minus M0 + FV ∙ c = 0

(A1)

Din prima ecuaţie se obţine HA iar din cea de-a treia ecuaţie rezultă VA

HA = FH = 173 [kN]

VA =[R ∙ (b + 05 ∙ a) + M0 minus FV ∙ c]

(b + a)=[60 ∙ (4 + 05 ∙ 6) + 40 minus 10 ∙ 4]

(4 + 6)

VA = 42 [kN]

(A2)

Fig 220 Aplicație

Se observă că cea de-a doua ecuaţie de echilibru conţine două necunoscute

reacţiunile VA şi VB Pentru a calcula componenta VB nu este indicată introducerea lui VA

icircn cea de-a doua ecuaţie a sistemului (A1) pentru că o valoare determinată greşit pentru

VA conduce la o valoare VB de asemenea greşită O ecuaţie independentă din care se poate

determina componenta VB este următoarea

(sumM)A= 0 FV ∙ (a + b + c) minus VB ∙ (a + b) minus M0 + R ∙ 05 ∙ a = 0 (A3)

de unde se obţine

VB =[FV ∙ (a + b + c) minusM0 + R ∙ 05 ∙ a]

(b + a)=[10 ∙ (6 + 4 + 4) minus 40 + 60 ∙ 05 ∙ 6]

(6 + 4)

VB = 28 [kN] (A4)

Ecuaţia de proiecţii ale forţelor pe direcţia verticală (a doua ecuaţie din sistemul

A1) se utilizează pentru verificarea reacţiunilor deja determinate

VA + VB minus R minus FV = 0 rArr 42 + 28 minus 60 minus 10 = 0 (A5)

Ultima egalitate demonstrează că reacţiunile verticale au fost calculate corect

Din cele de mai sus rezultă ordinea firească pentru determinarea reacţiunilor icircn

cazul grinzilor simplu rezemate

sumXi = 0

(sumM)A = 0

(sumM)B = 0

(A6)

iar pentru verificarea componentelor verticale VA şi VB se folosește ecuaţia sumY = 0

b) La stabilirea funcţiilor de eforturi se parcurg icircn general etapele următoare

se notează (numeric sau literal după preferinţă) secţiunile care delimitează

domeniile (intervalele sau tronsoanele) pe care eforturile nu-şi modifică funcţiile (au legi

unice de variaţie)

pe fiecare domeniu se marchează secţiunea imaginară icircn care se stabilesc

funcţiile eforturilor

secţiunea astfel aleasă separă icircn două părţi grinda şi anume porţiunea din stacircnga

şi porţiunea din dreapta secţiunii

se va considera parcursă (şi icircndepărtată) acea parte pe care acţionează mai puţine

sarcini exterioare pentru că acestea vor interveni icircn expresiile funcţiilor de eforturi

poziţiile secţiunilor imaginare se vor determina prin variabilele x1 ⋯ xn (unde

n reprezintă numărul domeniilor de variaţie) cu originea fixată icircn capătul intervalului şi

sensul de parcurgere spre partea considerată rămasă

Grinda prezentată icircn figura 220 are trei domenii de variaţie pentru funcţiile de

eforturi după cum urmează (A-1) (2-B) şi (B-1)

Domeniul (A-1) x1 isin [0 a = 6 m] Porţiunea parcursă şi considerată icircndepărtată este cea de coordonată x1 pe care

acţionează reacţiunile HA şi VA precum şi rezultanta parţială a sarcinii distribuite R1 =p ∙ x1

Funcţia forţă axială Nx are expresia

Nx(x1) = NAminus1 = minusHA = minus173 [kN] = const

(A7)

Funcţia forţă tăietoare Ty are exspresia

Ty(x1) = TAminus1 = VA minus R1 = VA minus p ∙ x1 (A8)

care reprezintă o variaţie liniară de variabilă x1 Se calculează valorile forţei tăietoare la

limitele intervalului de variaţie

- pentru x1 = 0 Ty(x1 = 0) = TA = VA = 42 [kN]

- pentru x1 = a = 6 [m] Ty(x1 = 6) = T1 = VA minus p ∙ a = minus18 [kN]

Observaţie Aşa cum a fost stabilită secţiunea fictivă poziţionată prin coordonata

x1 sar părea că rezultanta R ar trebui luată icircn calculul lui Ty(x1) Acest lucru ar fi greşit

pentru că R = p ∙ a reprezintă rezultanta sarcinii distribuite pe toată lungimea a iar

rezultanta pe porţiunea parcursă de lungime x1 este R1 = p ∙ x1 ne R = p ∙ a

Cu valorile obţinute se trasează diagramele forţelor axială Nx = f(x) şi tăietoare

Ty = f(x) figura 220 Din diagrama forţei tăietoare şi din valorile obţinute analitic se

observă că forţa tăietoare icircşi schimbă semnul pe intervalul analizat deci se anulează pe

acest interval Poziţia secţiunii unde Ty se anulează se determină din ecuaţia

Ty(x1) = 0 rArr VA minus p ∙ x1 = 0 (A9)

cu soluţia x1lowast = ξ = 42 [m] Important de reamintit că icircn această secţiune momentul

icircncovoietor va avea un extrem local adică Miz are un extrem la Ty = 0

Funcţia moment icircncovoietor Miz are expresia

Miz(x1) = VA ∙ x1 minus R1 ∙x12= VA ∙ x1 minus (p ∙ x1) ∙

x12

(A10)

Se observă că funcţia moment icircncovoietor de variabilă x1 are o variaţie parabolică

(gradul al II-lea) Pentru reprezentarea grafică a funcţiei parabolice se calculează valorile

momentului icircncovoietor icircn trei secţiuni

- pentru x1 = 0 Miz(x1 = 0) = MA = 0 [kN ∙ m] - pentru x1 = a = 6 [m] Miz(x1 = 6) = M1 = 72 [kN ∙ m] - pentru x1

lowast = ξ = 42 [m] Miz(x1lowast = ξ = 42 [m]) = Mimax = 882 [kN ∙ m]

Cu acestea se trasează diagrama Miz = f(x) pe intervalul (A-1) figura 220

Observaţie Icircn unele cazuri pe un anumit interval forţa tăietoare nu se anulează

şi momentul icircncovoietor nu are un extrem local Icircn acest caz pentru reprezentarea

variaţiei parabolice a momentului icircncovoietor se va studia semnul derivatei a doua a

funcţiei Miz = f(x1) acesta determinacircnd convexitatea curbei momentului icircncovoietor

Domeniul (2-B) x2 isin [0 c = 4 m] Porţiunile din grindă libere (nerezemate) la un capăt se numesc console iar

stabilirea funcţiilor de eforturi devine mai simplă dacă se consideră icircndepărtată partea din

dreapta secţiunii prin schimbarea sensului pozitiv al axei x Astfel se obţin funcţiile eforturilor

Funcţia forţă axială Nx are expresia

Nx(x2) = N2minusB = minusFH = minus173 [kN] = const

(A11)

Funcţia forţă tăietoare Ty are exspresia

Ty(x2) = T2minusB = FV = 10 [kN] = const (A12)

Funcţia moment icircncovoietor Miz are expresia

Miz(x2) = minusFV ∙ x2 rArr Miz(x2 = 0) = M2 = 0 [kN ∙ m]

Miz(x2 = 4) = MB = minus40 [kN ∙ m] (A13)

variaţie liniară (gradul I)

Domeniul (B-1) x3 isin [0 b = 4 m] Pe acest domeniu se acceptă parcurgerea grinzii de la dreapta adică se consideră

icircndepărtată partea din dreapta secţiunii fictive pentru că are doar două sarcini aplicate F

şi VB faţă de partea din stacircnga secţiunii pe care sunt aplicate trei sarcini p VA şi M0

Astfel se obţin funcţiile eforturilor

Funcţia forţă axială Nx are expresia

Nx(x3) = NBminus1 = minusFH = minus173 [kN] = const

(A14)

Funcţia forţă tăietoare Ty are exspresia

Ty(x3) = TBminus1 = FV minus VB = minus18 [kN] = const (A15)

Funcţia moment icircncovoietor Miz are expresia

Miz(x3) = minusFV ∙ (x3 + c) + VB ∙ x3 rArr

rArr Miz(x3 = 0) = MB = minus40 [kN ∙ m]

Miz(x3 = 4) = M1 = 32 [kN ∙ m]

(A16)

variaţie liniară (gradul I)

Diagramele eforturilor sunt prezentate icircn figura 220

c) Relaţiile diferenţiale dintre eforturi şi sarcini se analizează pe diagramele

eforturilor după cum urmează

sarcina distribuită nu are componentă orizontală adică ph = 0 şi icircn

conformitate cu formula (211) rezultă că Nx = const pe toată lungimea grinzii fapt care

a rezultat din funcţia şi reprezentarea diagramei forţei axiale

pe intervalul (A-1) sarcina distribuită are doar componenta verticală pozitivă

pV = p gt 0 prin urmare forţa tăietoare scade (are panta negativă dTy 119889119909frasl = minusp vezi

relaţia 210) iar momentul icircncovoietor avacircnd derivata a doua negativă d2M119894119911 1198891199092frasl =minuspare convexitatea curbei orientată spre sensul pozitiv al axei momentului Miz adică icircn

jos

pe domeniile (2-B) şi (B-1) deoarece pv = 0 forţa tăietoare Ty este constantă

iar momentul icircncovoietor Miz variază liniar

referitor la relaţia (212) pe porţiunile unde Ty gt 0 momentul Miz este

monoton crescător pe porţiunile unde Ty lt 0 momentul Miz este monoton descrescător

iar icircn secţiunea icircn care Ty = 0 momentul icircncovoietor are un extrem local Mξ =

882 [kN ∙ m] icircn diagrama forţei tăietoare discontinuităţile (salturile) se produc icircn secţiunile

unde acţionează VA VB şi FV iar icircn diagrama momentului icircncovoietor se produce un

singur salt icircn secţiunea icircn care este aplicat M0

se poate scrie

Mξ = suprafața diagramei Ty |ξ0=1

2∙ 42 ∙ 42 = 882 [kN ∙ m]

sau parcurgacircnd grinda de la dreapta la stacircnga rezultă

MB = minussuprafața diagramei Ty |c0= minus10 ∙ 4 = minus40 [kN ∙ m]

Toate aspectele analizate teoretic referitoare la relaţiile diferenţiale dintre eforturi

şi sarcini se regăsesc icircn diagramele de eforturi din figura 220 ceea ce icircnseamnă că

diagramele au fost reprezentate corect

3 TENSIUNI DEPLASĂRI ŞI DEFORMAŢII SPECIFICE

31 Tensiuni

Eforturile obținute icircn urma reducerii forțelor interioare icircn centrul de greutate al

secțiunii nu pot da informații asupra solicitării fiecărui punct al secțiunii respective Este

necesar să se cunoască modul cum se distribuie forțele interioare icircn fiecare punct al

secțiunii pentru a ști care este intensitatea maximă a solicitării Această intensitate

maximă se poate compara cu o valoare critică specifică materialului stabilindu-se astfel

dacă solicitarea este periculoasă sau nu

Mărimea care caracterizează solicitarea locală punctuală o vom denumi tensiune

și o vom defini icircn cele ce urmează Să considerăm partea din dreapta a unui corp solicitat

de forțele exterioare 1198651 1198652 și 1198653 obținută prin secționarea corpului și mărginită de fața

din dreapta Ad a secțiunii Pe secțiunea Ad vom considera un element de arie infinit mic

∆119860 caracterizat de normala la elementul de arie normală care are cosinușii directori

120573 și icircn raport cu un sistem de axe considerat fix Pe elementul infinit mic ∆119860 acționează

forțele interioare care au o rezultantă oarecare figura 31

Prin definiție tensiunea totală este

= lim∆119860rarr0

∆

∆119860 (31)

Tensiunea are aceeaşi direcţie cu forţa elementară ∆ iar mărimea ei este

determinată atacirct de mărimea forţei ∆ cacirct şi de orientarea suprafeţei ∆119860 faţă de direcţia

forţei

Tensiunea 119901 poate fi descompusă icircntr-o componentă orientată după direcţia

normalei la secţiune tensiunea normală notată cu 120590119909 şi o componentă icircn planul secţiunii

tensiunea tangenţială notată cu figura 32

= 119909 + 120591 (32)

Fig 31 Tensiunea totală Fig 32 Tensiunea normală și tangențială

La racircndul ei componenta tensiunii cuprinsă icircn planul secțiunii poate fi

descompusă după direcțiile axelor y și z

120591 = 120591119909119910 + 120591119909119911 (33)

Icircntre cele trei componente ale tensiunii totale care acționează pe elementul de arie

∆119860 este valabilă relația

1199012 = 1205901199092 + 120591119909119910

2 + 1205911199091199112 (34)

După sensul pe care icircl are tensiunea normală 120590 poate avea efect de tracţiune sau

de compresiune exercitat de către partea de corp icircnlăturată asupra părţii rămase Analog

tensiunea tangenţială 120591 poate avea efect de tăiere forfecare sau alunecare Pentru

componentele tensiunii tangențiale 120591119909119910 pe direcţia 119910 respectiv 120591119909119911 pe direcţia 119911 primul

indice indică axa pe care tensiunea este normală iar cel de-al doilea indice indică axa cu

care aceasta este paralel

Tensiunea este o mărime tensorială valoarea ei depinzacircnd atacirct de poziția

punctului icircn planul secțiunii cicirct și de orientarea planului de secționare deci de normala

Operaţiile vectoriale nu pot fi aplicate tensiunilor decacirct după ce acestea au fost icircnmulţite

cu ariile respective adică au fost transformate icircn forţe

Icircn literatura de specialitate mai ales icircn manualele mai vechi pentru noţiunea de

tensiune se mai foloseşte şi denumirea de efort specific

Dacă se consideră un alt element de arie ∆119860 cu centrul icircn același punct avacircnd ca

normală axa 119910 se vor obține alte tensiuni și anume

- 120590119910 este tensiunea normală (paralelă cu axa y)

- 120591119911119909 și 120591119910119911 sunt tensiuni tangențiale paralele cu axele 119909 și respectiv 119911 aflate icircn

planul care are ca normală axa 119910

Dacă icircn jurul unui punct dintr-un corp solicitat se consider un element de volum

infinit mic de forma unui cub icircn cazul cel mai general pe fețele sale vor acționa

tensiunile normale 120590119909 120590119910 și 120590119911 și respectiv tensiunile tangențiale 120591119909119910 120591119909119911 120591119910119909 120591119910119911 120591119911119909

și respectiv 120591119911119910 figura 33 Aceste tensiuni definesc starea de tensiune a punctului

observacircnd faptul că tensorul tensiune are 9 componente Dacă se consideră elementul

de volum finit ca fiind foarte mic se poate presupune că icircn interiorul său nu apar forțe

Ca urmare el va fi icircn echilibru sub acțiunea forțelor elementare produse de tensiunile de

pe fețele sale

Din condiția ca elementul să nu se rotească icircn jurul unor axe care trec prin centrul

său și sunt paralele cu axele sistemului 119909119874119910119911 rezultă

2 ∙ 120591119909119910 ∙ (119889119910 ∙ 119889119911) ∙119889119909

2= 2 ∙ 120591119910119909 ∙ (119889119909 ∙ 119889119911) ∙

119889119910

2 rArr 120591119909119910 = 120591119910119909 (35)

2 ∙ 120591119910119911 ∙ (119889119909 ∙ 119889119911) ∙119889119910

2= 2 ∙ 120591119911119910 ∙ (119889119909 ∙ 119889119910) ∙

119889119911

2 rArr 120591119910119911 = 120591119911119910 (36)

2 ∙ 120591119909119911 ∙ (119889119910 ∙ 119889119911) ∙119889119909

2= 2 ∙ 120591119911119909 ∙ (119889119909 ∙ 119889119910) ∙

119889119911

2 rArr 120591119909119911 = 120591119911119909 (37)

Relațiile (35divide37) 120591119909119910 = 120591119910119909 120591119910119911 = 120591119911119910 120591119909119911 = 120591119911119909 exprimă principiul dualității

tensiunilor tangențiale

Fig 33 Tensiunile normale și tangențiale pe fețele unui cub

Din condiția ca elementul considerat să nu se deplaseze icircn lungul axelor de

coordonate pe fețele opuse acționează aceleași tensiuni normale 120590119909 120590119910 și respectiv 120590119911

Definirea tensorului tensiune este posibilă dacă se cunosc cele 6 componente

independente ale acestuia aflate icircn trei plane perpendicular ce trec prin punctul respectiv

=

120590119909 120591119909119910 120591119909119911120591119910119909 120590119910 120591119910119911120591119911119909 120591119911119910 120590119911

Observaţii

Tensiunile se măsoară icircn [119873 1198982frasl ] (1119873 1198982frasl = 1 119875119886) sau icircn [119872119875119886]

(1 119872119875119886 = 106119875119886 = 106 119873

1198982 1 119872119875119886 = 1

119873

1198981198982)

Starea de tensiune dintr-un punct este considerată cunoscută dacă se cunosc

tensiunile 119901 care acționează pe infinitatea de elemente de suprafață ce trec prin punctual

considerat

Starea de tensiune a unui corp se consider cunoscută dacă se cunosc stările de

tensiune de pe infinitatea de puncte ale corpului considerat

32 Deplasări Deformaţii specifice

321 Deplasări

Aceste noțiuni sunt utile icircn analiza aspectului geometric al problemelor de rezistența

materialelor Deplasările care se analizează sunt cele datorate schimbării formei și

dimensiunilor corpurilor ca urmare a acțiunii forțelor exterioare și nu cele cinematice

posibile pentru solidul rigid care se poate deplasa cu anumită viteză și accelerație

Spre exemplu icircn figura 34a și figura 34b sub acțiunea forței 119865 tronsonul de

bară AB se deformează icircn timp ce tronsonul BC deși punctele sale au deplasări rămacircne

nedeformat (fiind nesolicitat) Toate punctele de pe axele barelor cu excepția celor din

icircncastrare (secțiunile A) au deplasări liniare De cele mai multe ori deformațiile barelor

datorate acțiunii forțelor exterioare se anulează la icircndepărtarea forțelor se spune că

deformațiile sunt elastice Secțiunile transversale ale barei din figura 34a se și rotesc icircn

raport cu pozițiile lor inițiale Spre exemplu secțiunea de căpăt cu centrul icircn C se rotește

cu unghiul

Fig 34 Deformațiile unei grinzi

Oricacirct de complexă ar fi delormația unui corp ea poate fi descrisă de lungiri sau

scurtări și de modificări ale unghiurilor inițiale

Deplasările măsoară schimbarea poziției unui punct al corpului și pot fi liniare

sau unghiulare

Prin deplasare liniară a unui punct se icircnțelege drumul parcurs de acest punct icircn

decursul procesului de deformație după o dreaptă suport dreapta 1198611198611 din figura 34a

Prin deplasare unghiulară se icircnțelege rotirea dintre segmentele de dreaptă

determinate de două puncte ale corpului icircnainte și după deformarea acestuia unghiul

pe care-l fac segmentele 119861119862 și 11986111198621 din figura 34a Această rotire se măsoară prin

unghiul pe care-l fac proiecțiile dreptelor ce conțin cele două segmente icircntr-un sistem

triortogonal

Icircn cazul cel mai general vectorul deplasare liniară se poate descompune icircntr-un

sistem triortogonal icircn trei componente 119906 119907 și 119908 figura 35

Fig 35 Deplasarea liniară

Se consideră acum un corp solid raportat la un sistem de axe ortogonal 119909119874119910119911

figura 35 după deformarea corpului un punct oarecare 119870 al acestuia se deplasează icircn

poziţia 1198701 vectorul 1198701198701 poartă numele de vectorul deplasării totale

Deplasarea totală este suma deplasărilor pe cele trei direcţii ortogonale iar

aceste deplasări se notează astfel

deplasarea pe direcţia 119909 cu ∥ 119874119909

deplasarea pe direcţia 119910 cu ∥ 119874119910

deplasarea pe direcţia 119911 cu ∥ 119874119911

Componentele deplasărilor și formeză matricea deplasărilor liniare 119906119907119908

322 Deformații

Prin deformație icircn general se icircnțelege orice schimbare de formă a unui corp fără

o evaluare cantitativă Icircn Rezistența Materialelor deformația măsoară variația

dimensiunilor geometrice ale corpului considerat din vecinătatea unui punct analog

deplasărilor deformațiile pot fi liniare și unghiulare (lunecări)

Fig 36 Deplasarea liniară

Deformația liniară ∆119897 reprezintă variația lungimii 119897 a unui element liniar al

corpului deformat figura 36 Deformația liniară specifică se definește ca fiind raportul

dintre deformația liniară și lungimea inițială

휀 =∆119897

119897 (38)

unde ∆119897 este lungirea sau scurtarea care este echivalentă cu deformția liniară totală iar

este alungirea

Deformația unghiulară sau lunecarea unui punct 119860 icircn planul 119861119860119862 se definește

prin relația figura 37

120574 = lim119861119860rarr0119862119860rarr0

(119861119860 minus 119861111986011198621 ) (39)

Fig 36 Deformația unghiulară

Schimbacircnd orientarea planului care trece prin 119860 se obțin alte deformații

unghiulare Dacă elementele liniare 119861119860 și 119862119860 sunt inițial perpendiculare deformația 120574 se

numește deformație unghiulară specifică sau lunecare specifică figura 37

Un exemplu de deplasare unghiulară și de deformație unghiulară este prezentat icircn

figura 38 Unghiul este deplasarea unghiulară și măsoară rotirea relativă dintre două

secțiuni aflate la distanța 119897 Unghiul este deformația specifică unghiulară (lunecarea

specifică) din punctul 119870 Aceste deplasări și deformații se obțin icircn urma solicitării barei

de către cele două momente 1198720 egale și de sens contrar

Fig 38 Deplasarea unghiulară

Pentru a analiza starea de deformație din vecinătatea unui punct al unui corp

solicitat complex se decupează din jurul punctului un element de volum mic figura 39a

avacircnd laturile 119889119909 119889119910 și 119889119911 Ca urmare a solicitării laturile acestuia se vor lungi sau

scurta Reprezentarea elementului deformat icircn spațiu este dificilă pentru simplificare

vom analiza doar deformațiile din planul 119909119874119910 Observăm că dimensiunile 119889119909 și 119889119910 s-au

modificat cu valoarea ∆119889119909 respectiv cu ∆119889119910 analog se acceptă și pentru 119889119911 o modificare

de forma ∆119889119911 Astfel se pot defini deformațiile specifice liniare

휀119909 =∆119889119909

119889119909 휀119910 =

∆119889119910

119889119910 휀119911 =

∆119889119911

119889119911 (310)

De cele mai multe ori aceste deformații specifice liniare se pot exprima procentual

și se mai numesc alungiri

Fig 39 Starea de deformație

Icircn figura 39c se vede că unghiul inițial drept dintre muchiile 119889119909 și 119889119910 ale

elementului de volum s-a modificat Se definește deformația specifică unghiulară (sau

lunecarea specifică) mărimea cu care se modifică unghiul inițial drept

120574119909119910 = 120574119909119910prime + 120574119910119909

prime = 120574119910119909120574119910119911 = 120574119910119911

prime + 120574119911119910prime = 120574119911119910

120574119911119909 = 120574119911119909prime + 120574119909119911

prime = 120574119909119911

(311)

Deformațiile 휀119909 휀119910 휀119911 120574119909119910 120574119910119911 120574119911119909 constituie cele șase componente

independente ale tensorului deformațiilor specifice care pot fi scrise de forma

119863 =

휀119909 120574119909119910 120574119909119911120574119910119909 휀119910 120574119910119911120574119911119909 120574119911119910 휀119911

(312)

323 Contracţia transversală

Practica arată că odată cu lungirea unei bare apare o micşorare a mărimii secţiunii

transversale mărime numită contracţie transversală figura 310

Fig 310 Contracția transversală

Contracţia transversală este proporţională cu lungirea specifică coeficientul de

proporţionalitate se notează cu 120599 şi se numeşte coeficient de contracţie transversală sau

coeficientul lui Poisson

La o lungire specifică a barei contracţia transversală este dată de relația

휀119905119903 = 휀119910 = 휀119911 = minus120599 ∙ 휀119909 (313)

Semnul minus bdquo-rdquo arată că cele două mărimi sunt contrare dacă una creşte cealaltă

scade şi invers

Considerăm o bară cilindrică de lungime 119897 şi aria secţiunii transversale 119860 solicitată

la icircntindere axială La un moment dat datorită solicitării lungimea barei devine

[119897 ∙ (1 + 휀)] diametrul devine [119889 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)] iar aria secţiunii transversale devine

[119860 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)2] Dacă volumul barei icircnainte de solicitare a fost (119860 ∙ 119897) după solicitare

acesta devine

119881 + ∆119881 = 119860 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)2 ∙ 119897 ∙ (1 + 휀) =

= 119860 ∙ 119897 ∙ (1 + 휀 minus 2 ∙ 120599 ∙ 휀 minus 2 ∙ 120599 ∙ 휀2 + 1205992 ∙ 휀2 + 1205992 ∙ 휀3) (314)

Deoarece lungirile sunt foarte mici ultimii trei termeni din paranteză fiind infinit mici se pot neglija obţinacircnd

119881 + ∆119881 = 119860 ∙ 119897 + 119860 ∙ 119897 ∙ 휀 ∙ (1 minus 2 ∙ 120599) ⟺ ∆119881 = 휀 ∙ (1 minus 2 ∙ 120599) ∙ 119860 ∙ 119897 (315)

Practica arătă că o astfel de bară solicitată la icircntindere icircşi măreşte volumul deci

∆119881 gt 0 de unde rezultă că

1 minus 2 ∙ 120599 gt 0 rArr 120599 lt 05 (316)

Pentru majoritatea materialelor 120599 = 033 iar pentru materialele care-şi păstrează

volumul constant 120599 = 05

33 Relaţii de echivalenţă icircntre eforturi şi tensiuni

Considerăm un element de suprafață infinit mic 119889119860 situat pe fața de arie (119860) a

secțiunii barei din figura 311 Icircn centrul de greutate 119862 al secțiunii acționează eforturile

119873 119879119910 119879119911 119872119909 119872119894119910 și 119872119894119911 determinate prin metoda secțiunilor

Icircn raport cu un sistem de axe de referință 119909119862119910119911 coordonatele elementului 119889119860 sunt

- 119910 este ordonata elementului de arie 119889119860

- 119911 este abscisa elementului de arie 119889119860

Pe elementul de arie 119889119860 acționează tensiunile

120590119909 tensiunea normală

120591119909119910 și 120591119909119911 tensiuni tangențiale

Dacă se icircnsumează forțele elementare de tipul 120590119909 ∙ 119889119860 120591119909119910 ∙ 119889119860 și 120591119909119911 ∙ 119889119860

va trebui să obținem eforturile 119873 119879119910 și 119879119911

Fig 311 Element de suprafață mic din secțiunea unei bare

Dacă eforturile sunt privite ca forțe exterioare și se scriu ecuațiile de

echilibru ale secțiunii (119860) se vor obține șase relații de echivalență icircntre eforturi și

tensiuni

(sum119883) = 0 rArr int 120590119909 ∙ 119889119860

119860

= 119873 (317)

(sum119884) = 0 rArr int 120591119909119910 ∙ 119889119860

119860

= 119879119910 (318)

(sum119885) = 0 rArr int 120591119909119911 ∙ 119889119860

119860

= 119879119911 (319)

(sum119872)119909= 0 rArr int(120591119909119911 ∙ 119889119860) ∙ 119910

119860

minus int(120591119909119910 ∙ 119889119860) ∙ 119911

119860

= 119872119909 rArr

rArr int(119910 ∙ 120591119909119911 minus 119911 ∙ 120591119909119910) ∙ 119889119860

119860

= 119872119909

(320)

(sum119872)119910= 0 rArr int(120590119909 ∙ 119889119860) ∙ 119911

119860

= 119872119894119910 (321)

(sum119872)119911= 0 rArr int(120590119909 ∙ 119889119860) ∙ 119910

119860

= 119872119894119911 (322)

Cele șase relații de echivalență icircntre eforturi și tensiuni constituie un pas icircnainte

icircn rezolvarea unei probleme de rezistența materialelor Aceste relații vor permite

determinarea tensiunilor maxime

Pentru a rezolva cele 6 relații de echivalență trebuie să se cunoască tensiunile și

ca funcții de punct adică funcții de forma

120590119909 = 120590119909(119909 119910 119911) 120591119909119910 = 120591119909119910(119909 119910 119911) 120591119909119911 = 120591119909119911(119909 119910 119911) (32

3)

Cunoașterea acestor funcții presupune icircnsă analizarea aspectului geometric al

problemei precum și utilizarea unor ipoteze simplificatoare care să permită simplificarea

problemelor

34 Ipoteze de bază icircn rezistenţa materialelor

Depășirea dificultăților legate de interpretarea unor fenomene specifice mecanicii

solidului deformabil a impus acceptarea unor ipoteze care să simplifice fenomenele și să

contribuie la elaborarea unor modele de calcul cicirct mai generale și cacirct mai simple Aceste

ipoteze se referă la structura materialelor şi la comportarea lor sub acţiunea forţelor

exterioare Ipotezele acceptate trebuie să fie icircn deplină concordanţă cu realitatea și să

conducă la rezultate verificate icircn practică

Funcție de aspectele la care se referă ipotezele pot fi

Ipoteze fizice (de material)

Ipoteze de calcul

341 Ipoteze fizice

Se acceptă deoarece teoriile structurale au condus la rezultate care contravin

icircncercărilor experimentale

Ipoteza mediului continuu consideră că orice domeniu elementar al corpului

este ocupat de materie adică nu se acceptă existența unor goluri sau a unor crăpături

microscopice (fisuri) Deși nu corespunde realităţii poate fi acceptată deoarece

dimensiunile corpului sunt mult mai mari decacirct dimensiunile particulelor elemantare Are

avantajul că permite utilizarea proprietăților matematice ale funcțiilor continue pentru

tensiunile și deformațiile din orice punct al corpului Ea este mai apropiată de realitate la

corpurile amorfe şi mai depărtată la cele cristaline dar conduce la rezultate satisfăcătoare

icircn calculele de rezistenţă

Ipoteza nu se poate aplica la corpurile care au goluri tăieturi (multiplu conexe)

pentru unele puncte singulare icircn care tensiunile și deformațiile tind la infinit sau icircn unele

probleme de plasticitate icircn care proprietățile de material au un rol esențial

Ipoteza izotropiei conform acestei ipoteze materialul din care este confecționat

un element de rezistență are aceleași proprietăți după orice direcție un astfel de material

este considerat izotrop Din punct de vedere macroscopic metalele pot fi considerate

izotrope deși la nivel microscopic proprietățile lor diferă de la o direcție cristalografică

la alta Orice conglomerat de cristale poate fi considerat izotrop

Există cazuri cacircnd această ipoteză a izotropiei nu se acceptă

la metalele puternic deformate după o direcție (prin laminare trefilare)

la piesele confecționate din lemn lemnul este anizotrop deoarece proprietățile sale

diferă după două direcții (icircn lungul fibrelor și perpendicular pe această direcție)

Ipoteza omogenității consideră că un corp are aceleași proprietăți icircn orice

punct al său Deși majoritatea materialelor utilizate icircn tehnică sunt eterogene la scară

micro fiind constituite din mai multe faze cu proprietăți diferite la scară macro ele pot

fi considerate omogene Omogenitatea și izotropia sunt proprietăți statistice medii care

nu se condiționează una pe cealaltă Chiar și materialele monofazice pot avea la scară

micro unele segregații care le fac eterogene

Ipoteza elasticităţii perfecte presupune că atacircta timp cacirct solicitările nu

depăşesc anumite limite materialul are o comportare elastică adică icircşi recapătă forma şi

dimensiunile iniţiale odată cu icircnlăturarea sarcinilor Icircn realitate materialele nu prezintă o

elasticitate perfectă ele avacircnd deformaţii remanente mici care icircnsă pot fi neglijate icircn

calculele de rezistenţă

Acceptarea acestei ipoteze a elasticității perfecte permite

- aplicarea relației biunivoce icircntre tensiuni și deformații relație exprimată de legea

lui Hooke ( = 119864 ∙ 휀) unde E este un factor de proporţionalitate numit modul de

elasticitate longitudinal al materialului pentru oţel 119864 = 21 ∙ 105 [119872119875119886] - acceptarea valabilității afirmației bdquolucrul mecanic efectuat de forțele exterioare

ca urmare a parcurgerii deplasărilor punctelor de aplicație se icircnmagazinează integral icircn

corp sub formă de energie de deformație energie cedată la icircndepărtarea sarcinilorrdquo

- este valabilă teoria conform căreia bdquoenergia icircnmagazinată și deformațiile depind

doar de starea inițială și finală de eforturi fără a ține cont de modul icircn care s-a ajuns la

starea finalărdquo

Icircn realitate oricacirct de mici ar fi sarcinile aplicate se produc și deformații plastice

dar acestea pot fi neglijate dacă solicitarea nu depășește anumite limite

342 Ipoteze de calcul

Ipoteza micilor deplasări bdquodeplasările datorate deformării sunt mult mai mici

decacirct dimensiunile corpurilor și ca urmare pot fi neglijate produsele dintre o deplasare și

ea icircnsăşirdquo Pentru cele mai multe corpuri deformaţiile elastice sunt de mărimi mici deci

corpurile solide sub acţiunea sarcinilor icircşi modifică foarte puţin forma iniţială Această

ipoteză este cunoscută şi sub denumirea de ipoteza menţinerii dimensiunilor iniţiale Ea

permite scrierea ecuaţiilor de echilibru ale staticii pe starea nedeformată a elementului

cacircnd nu se iau icircn considerare deplasările punctelor de aplicaţie ale forţelor care se produc

ca urmare a deformării acestuia Calculul efectuat pe schema nedeformată poartă numele

de calcul de ordinul I

Ipoteza micilor deplasări nu poate fi acceptată pentru studiul problemelor de

stabilitate sau la problemele la care nu pot fi icircndeplinite condiţiile de echilibru icircn starea

nedeformată

Calculul de ordinul II admite ipoteza micilor deplasări dar ecuaţiile de echilibru

se scriu icircnsă pentru starea deformată a elementului de rezistenţă

Calculul de ordinul III nu mai acceptă ipoteza micilor deplasări el referindu-se

la cazul deformaţiilor mari cacircnd ecuaţiile de echilibru trebuie scrise pentru starea

deformată

Chiar dacă materialul satisface legea lui Hooke icircn urma calculelor de ordinul II

se obţin de obicei relaţii neliniare icircntre sarcini şi deplasări iar pentru calculul de ordinul

III rezultă ecuaţii diferenţiale neliniare

Principiul efectului local al acțiunii sarcinilor enunțat de Barre de Saint-

Venant Acest principiu destul de folosit icircn Rezistenţa Materialelor precizează că dacă

se icircnlocuiesc forţele care acţionează asupra unui element de suprafață al unui corp

elastic printr-un alt sistem de forţe echivalent din punct de vedere static cu primul noua

distribuţie a forţelor produce la locul de aplicare diferenţe semnificative faţă de prima

dar rămacircne fără efect sau cu efect neglijabil la distanţe mari de locul de aplicare al

forţelor figura 312

Ca o cosecință o sarcină uniform distribuită figura 312a poate fi icircnlocuită cu

rezultanta ei figura 312b dacă se analizează efectul sarcinii la distanță mare de locul icircn

care se aplică sarcina

Fig 312 Principiul Saint-Venant

Icircn prima variantă figura 312a forţa 119865 se aplică pe o porțiune oarecare 119897 (sarcină

uniform distribuită) iar icircn a doua figura 312b icircntru-un punct (forţă concentrată) La

locul de aplicare a sarcinii efectul asupra barei este cu totul diferit de la o variantă la

cealaltă Icircnsă la o distanţă mare de punctul de aplicaţie spre exemplu icircn secţiunea situată

la distanţa 119886 de capătul barei sau chiar icircn icircncastrare ambele bare sunt solicitate la fel

Icircn cazul din figura 312a

119872119894(119909) =119901 ∙ 1199092

2 119909 le 119897 119872119894(119909) = 119901 ∙ 119897 ∙ (119909 minus

119897

2) 119909 gt 119897 (324)

Icircn cazul din figura 312b

119872119894(119909) = 0 119909 lt119897

2 119872119894(119909) = 119901 ∙ 119897 ∙ (119909 minus

119897

2) 119909 gt

119897

2 (325)

Se vede că pentru (119909 gt 119897) adică după depășirea locului icircn care se aplică sarcina

efectul este același

Ipoteza lui Bernoulli sau ipoteza secţiunilor plane precizează că o secţiune

plană şi normală pe axa barei icircnainte de deformare rămacircne plană şi normală pe axa

barei şi după deformare figura 313

Fig 313 Ipoteza lui Bernoulli

Ipoteza stării naturale a corpului sau ipoteza absenţei tensiunilor conform

căreia pentru un corp nesolicitat starea de tensiune şi deformaţie este nulă

Perfecţionarea mijloacelor de calcul şi de investigare pot conduce la renunţarea la

unele ipoteze sau la introducerea altora noi mai aproape de stările reale De aici rezultă

caracterul de continuă perfecţionare a metodelor Rezistenţei Materialelor

35 Coeficienţi de siguranţă Tensiuni admisibile

O piesă corespunde din punct de vedere tehnic dacă tensiunile care iau naştere icircn

interiorul piesei datorită sarcinilor aplicate nu depăşesc anumite valori limită stabilite

convenţional Aceste valori limită ale tensiunii sunt corelate cu caracteristicile mecanice

ale materialelor

Tensiunea limită utilizată icircn calculele de rezistenţă este cunoscută sub denumirea

de tensiune admisibilă sau rezistenţă admisibilă Rezistenţa admisibilă reprezintă

valoarea convenţională aleasă icircn calcul pe baza practicii pentru tensiunea maximă care

poate apare icircntr-o piesă icircn condiţii date de material şi solicitare

Rezistenţa admisibilă (120590119886 sau 120591119886) poate fi definită faţă de o stare limită

periculoasă stare care trebuie evitată deoarece poate conduce distrugere

120590119886 =120590119897119894119898119888

(326)

unde

120590119897119894119898 este tensiunea corespunzătoare stării limită periculoase

119888 estesupraunitar 119888 gt 1 și reprezintă coeficientul de siguranţă faţă de starea limită

periculoasă considerată

Alegerea unor valori inferioare pentru rezistenţa admisibilă faţă de tensiunea

corespunzătoare stării limită periculoase este necesară deoarece

cunoaşterea sarcinilor este de cele mai multe ori aproximativă şi o depăşire a

acestora este foarte posibilă

caracteristicile mecanice ale materialelor variază icircn limite destul de mari ele

fiind influenţate de mulţi factori

schema aleasă pentru calcul (aplicarea sarcinilor schematizarea structurii

ipotezele de calcul etc) depărtează modelul faţă de cel real

Pentru calculele de verificare tensiunea efectivă maximă din elementul de

rezistenţă trebuie să fie mai mică sau cel mult egală cu cea admisibilă

120590119890119891119898119886119909 le 120590119886 (327)

Valoarea rezistenţei admisibile este influenţată de foarte mulţi factori natura

materialului tratamentele termice aplicate piesei durata de funcţionare a piesei modul

de acţionare icircn timp a sarcinilor felul solicitării temperatura gradul de periculozitate

icircn cazul cedării piesei etc

De asemenea valoarea coeficientului de siguranţă se alege icircn principal ţinacircnd

seama de aceiaşi factori care influenţează şi rezistenţa admisibilă

Rezistenţele admisibile pentru cacircteva materiale sunt următoarele

pentru oțelul de uz general OL37 solicitat la icircntindere compresiune sau

icircncovoiere 120590119886 = 150 [119872119875119886] pentru lemnul de brad solicitat la

- compresiune icircn lungul fibrelor şi solicitat la icircncovoiere 120590119886 = 10 [119872119875119886] - tracţiune icircn lungul fibrelor 120590119886 = 7 [119872119875119886] - compresiune perpendiculară pe fibre 120590119886 = 15 [119872119875119886] - forfecare icircn lungul fibrelor 120591119886 = 2 [119872119875119886] - forfecare perpendiculară pe fibre 120590119886 = 45 [119872119875119886]

terenuri de fundaţie din pămacircnt uscat sau umed 120590119886 = 020 divide 025 [119872119875119886]

4 CARACTERISTICI GEOMETRICE ALE SECȚIUNILOR PLANE

41 Noţiuni introductive

Icircn relaţiile de calcul ale tensiunilor şi deformaţiilor elementelor de rezistenţă

pentru unele solicitări (icircncovoierea și torsiunea) secțiunile plane intervin atacirct prin

dimensiunile lor (aria 119860) cicirct și prin forma și poziția pe care o are secțiunea icircn raport cu

planul solicitării Mărimile care caracterizează o secțiune icircn raport cu forma și poziția față

de axele unui sistem de referință sunt denumite caracteristici geometrice de ordin

superior Aria secțiunii este caracteristica geometrică ce depinde doar de dimensiunile

geometrice ale acesteia

Să considerăm o grindă solicitată de o forță exterioară 119865 aşezată icircn două poziții icircn

raport cu planul forţei figura 41 Icircn urma aplicării forței deși avem aceeași grindă

(aceeași arie a secțiunii transversale) și aceeași forță se constată că pentru varianta din

figura 41a deformațiile sunt mult mai mari adică rezistența la icircncovoiere a grinzii din

figura 41a este mai mare decacirct icircn cazul grinzii din figura 41b Comportarea diferită se

explică prin aceea că modificarea poziţiei secţiunii transversale faţă de planul forţelor

modifică caracteristicile geometrice ale secţiunii transversale a grinzii

Fig 41 Grindă solicitată de forța 119865

Pentru realizarea calculelor de rezistenţă şi rigiditate este foarte importantă

cunoaşterea caracteristicilor geometrice ale suprafeţei secţiunii transversale a elementelor

de rezistenţă

Caracteristicile geometrice ale secţiunii transversale a unui element de rezistenţă

sunt

- aria secțiunii notată cu 119860

- momentul static icircn raport cu o axă notat 119878119911 și respectiv 119878119910

- momentul de inerție care poate fi

axial notat 119868119911 și respectiv 119868119910

centrifugal notat 119868119911119910

polar notat 119868119901

- raza de inerţie (giraţie)notată 119894119911 și respectiv 119894119910

- modulul de rezistență care poate fi

axial notat 119882119911 și respectiv 119882119910

polar notat 119882119901

42 Aria și momentul static al suprafețelor plane

Fie o suprafaţă plană de arie 119860 pe care se ia un element infinit mic de arie 119889119860 şi

un sistem de axe rectangulare 119911119874119910 figura 42 Notăm cu 119862 centrul de greutate al suprafeţei

119860 Poziţia suprafeţei elementare 119889119860 faţă de acelaşi sistem de coordonate 119911119874119910 este dată

de abscisa 119911 ordonata 119910 și raza polară

Fig 42 Suprafață plană de arie 119860

Aria suprafeţei 119860 figura 42 se defineşte ca fiind

119860 ≝ int 119889119860

119860

(41)

Aria suprafeţei este icircntotdeauna pozitivă și se măsoară icircn [1198981198982] Momentul static al suprafeţei de arie 119860 icircn raport cu axele 119874119911 și respectiv 119874119910

figura 42 sunt date de relaţiile

119878119911 ≝ int 119910 ∙ 119889119860

119860

119878119910 ≝ int 119911 ∙ 119889119860

119860

(42)

Momentul static poate fi pozitiv negativ sau nul şi se măsoară icircn [1198981198983] Coordonatele centrului de greutate ale suprafeței 119860 se detrmină cu relațiile

119910119862 ≝int 119910 ∙ 119889119860119860

119860 119911119862 ≝

int 119911 ∙ 119889119860119860

119860

(43)

Cunoscacircnd coordonatele 119910119862 și 119911119862 ale centrului de greutate 119862 al secțiunii 119860 atunci

momentele statice se pot determina cu relațiile

119878119911 ≝ int 119910 ∙ 119889119860

119860

= 119910119862 ∙ 119889119860 119878119910 ≝ int 119911 ∙ 119889119860

119860

= 119911119862 ∙ 119889119860 (44)

Aceste relații arată că momentul static al unei suprafețe icircn raport cu o axă este

egal cu produsul dintre aria suprafeței și distanța de la centrul ariei la axa respectivă

Dacă suprafaţa se poate descompune icircn 119899 suprafeţe simple la care se cunosc ariile

(1198601 1198602 ⋯ 119860119894⋯ 119860119899) și poziţiile centrelor de greutate 119862119894 faţă de sistemul de referinţă

expresiile momentelor statice capătă următoarea formă

119878119911 = sum 119910119862119894 ∙ 119860119894119899119894=1 = 119910119862 ∙ 119860 119878119910 = sum 119911119862119894 ∙ 119860119894

119899119894=1 = 119911119862 ∙ 119860 (45)

Din relaţiile (45) rezultă că poziţia centrului de greutate 119862 al unei suprafeţe

compuse poate fi determinată cu relaţiile

119910119862 = (sum119910119862119894 ∙ 119860119894

119899

119894=1

) 119860frasl 119911119862 = (sum119911119862119894 ∙ 119860119894

119899

119894=1

) 119860frasl (46)

Icircn relația (45) 119910119862119894 și respectiv 119911119862119894 reprezintă coordonatele centrelor de greutate 119862119894

ale fiecărei suprafețe simple 119860119894 icircn raport sistemul de axe 119911119874119910

Se constată (relaţia 42) că dacă axele sistemului de referinţă trec prin centrul de

greutate (119910119862 = 119911119862 = 0) momentele statice sunt nule Axele icircn raport cu care momentele

statice sunt nule şi care trec prin centrul de greutate al suprafeţei se numesc axe centrale

Observație dacă secțiunea compusă are o axă de simetrie centrul secțiunii se

găsește pe acea axă iar dacă secțiunea este dublu simetrică poziția centrului secțiunii este

la intersecția axelor de simetrie

43 Momente de inerţie

Momentele de inerţie axiale ale unei suprafețe se calculează icircn raport cu axele de

coordonate 119874119911 și respectiv 119874119910 figura 42 și se determină cu relațiile

119868119911 ≝ int 1199102 ∙ 119889119860

119860

119868119910 ≝ int 1199112 ∙ 119889119860

119860

(47)

Unde 119910 și 119911 sunt distanțele de la elementul de arie 119889119860 la cele două axe de

coordonate 119874119911 și respectiv 119874119910

Momentele de inerţie axiale se măsoară icircn [1198981198984] şi sunt icircntotdeauna pozitive (aria

119889119860 este icircntotdeauna pozitivă și este multiplicată cu patratul distanței 1199102 dacă 119868119911 sau 119868119910

sunt nule icircnseamnă ca secțiunea nu există)

Momentele de inerție axiale se calculează icircndeosebi pentru axele centrale (care

trec prin centrul secțiunii) deoarece icircn raport cu acele axe 119868119911 și 119868119910 au valori minime

Momentul de inerţie centrifugal calculat faţă ambele axe ale sistemului de

referinţă 119911119874119910 este definit de relația

119868119911119910 ≝ int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860

(48)

Momentul de inerţie centrifugal se măsoară icircn [1198981198984] şi poate fi pozitiv negativ

sau nul

Momentul de ineție centrifugal este nul 119868119911119910 = 0 dacă cel puțin una din axele 119874119911

sau 119874119910 este axă de simetrie pentru secțiune

Se consideră o suprafaţă dreptunghiulară pe care faţă de axa de simetrie 119874119910 se iau

două suprafeţe elementare de arie 119889119860 simetrice faţă de axa 119874119910 figura 43

Fig 43 Suprafață dreptunghiulară cu două arii elementare 119889119860

Făcacircnd suma momentelor de inerţie centrifugale pentru cele două suprafeţe

elementare 119889119860 (din stacircnga şi din dreapta faţă de axa 119874119910) se obţine

int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860119889119903

+ int (minus119911) ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860119904119905119892

= int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860119889119903

minus int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860119904119905119892

= 0 (49)

Acelaşi raţionament se poate face și pentru icircntreaga suprafaţă de unde obținem că

momentul de inerție centrifugal este nul 119868119911119910 = 0 Deci pentru o suprafaţă plană care

are cel puţin o axă de simetrie momentul de inerţie centrifugal faţă de sistemul care

conţine acea axă de simetrie este nul

Momentul de inerţie polar al unei suprafeţei icircn raport cu un punct (pol) 119874 figura

42 este definit prin relaţia

1198680 = 119868119901 ≝ int 1205882 ∙ 119889119860

119860

= int(1199102 + 1199112) ∙ 119889119860

119860

= 119868119911 + 119868119910 (410)

unde este distanţa de la polul 119874 la elementul de arie 119889119860 Momentul de inerţie polar se

măsoară icircn [1198981198984] şi este totdeauna pozitiv

Momentul de inerţie polar este egal cu suma momentelor de inerţie faţă de două axe

perpendiculare oarecare şi care trec prin polul considerat

Razele de giraţie sau razele de inerţie sunt mărimi calculate icircn raport cu axele

secțiunii și definite de relaţiile

119894119911 ≝ radic119868119911119860 119894119910 = radic

119868119910

119860 (411)

Se exprimă icircn [119898119898] şi sunt icircntotdeauna pozitive Semnificația unei raze de inerție

este distanța la care dacă ar fi concentrată icircntreaga arie s-ar obține același moment de

inerție ca și cel calculat pentru aria reală

44 Modulul de rezistenţă

Modulul de rezistență se calculează icircn raport cu axele de referință sau icircn raport cu

un pol figura 42 și pot fi axiale (119882119911119882119910) sau polar (119882119901) și se determină numai pe baza

momentelor de inerţie cu relațiile figura 43

119882119911119898119894119899 ≝119868119911119910119898119886119909

119882119911119898119886119909 ≝119868119911119910119898119894119899

(412)

119882119910119898119894119899 ≝119868119910

119911119898119886119909 119882119910119898119886119909 ≝

119868119910

119911119898119894119899 (413)

119882119901 ≝119868119901

120588119898119886119909 (414)

unde

119910119898119886119909 119910119898119894119899 reprezintă distanţa de la axa 119874119911 la punctele extreme cele mai

depărtate respectiv cele mai apropiate ale suprafeţei de această axă

119911119898119886119909 119911119898119894119899 reprezintă distanţa de la axa 119874119910 la punctele extreme cele mai

depărtate respectiv cele mai apropiate ale suprafeţei de această axă

120588119898119886119909 reprezintă distanța maximă de la polul 119874 la punctul secțiunii cel mai

icircndepărtat de acesta

Fig 43 Suprafață dreptunghiulară cu două arii elementare 119889119860

Modulele de rezistenţă se exprimă icircn [1198981198983] şi sunt icircntotdeauna pozitive

Explicația este aceea că momentele de inerție care intră icircn relațiile de definiție sunt

pozitive iar distanțele la punctele extreme sunt pozitive (119910119898119886119909 119910119898119894119899 119911119898119886119909 119911119898119894119899 120588119898119886119909 se

iau icircn valoare absolută)

Icircn cazul suprafeţelor compuse modulul de rezistenţă nu se obţine prin icircnsumarea

algebrică a modulelor de rezistenţă ale suprafeţelor simple componente ci numai prin

intermediul momentului de inerţie axial calculat pentru icircntreaga secțiune

Ca și momentele de inerție modulele de rezistență se calculează numai pentru

sistemele de axe centrale

45 Momente de inerţie şi module de rezistenţă pentru suprafeţe simple

451 Secțiune dreptunghiulară

Fie suprafaţa dreptunghiulară din figura 44 de icircnălțime ℎ și lățime 119887 pe care se

consideră suprafaţă elementară de arie 119889119860 = 119887119889119910 la distanța 119910 de axa 119862119911 sistemul de

axe 119911119862119910 trece prin centrul secțiunii iar axele sunt axe de simetrie pentru dreptunghi

Fig 44 Suprafață dreptunghiulară

Pe baza relațiilor de definiți a momentului de inerție 119868119911 se obține

119868119911 ≝ int 1199102 ∙ 119889119860

119860

= int 1199102 ∙ 119887 ∙ 119889119910 = 2int 1199102 ∙ 119887 ∙ 119889119910 = 2 ∙ 119887 ∙1199103

3|ℎ 2frasl

0rArr

ℎ 2frasl

0

ℎ 2frasl

minusℎ 2frasl

rArr 119868119911 =119887 ∙ ℎ3

12

(415)

Analog pentru un element de arie 119889119860 = ℎ ∙ 119889119911 paralel cu axa 119862119910 situat la distanța

119911 de axa 119862119910

119868119910 ≝ int 1199112 ∙ 119889119860

119860

= int 1199112 ∙ ℎ ∙ 119889119911 = 2int 1199112 ∙ ℎ ∙ 119889119910 = 2 ∙ ℎ ∙1199113

3|119887 2frasl

0rArr

119887 2frasl

0

119887 2frasl

minus119887 2frasl

rArr 119868119910 =1198873 ∙ ℎ

12

(416)

Deoarece axele 119862119911 și 119862119910 sunt axe de simetrie momentul de inerție centrifugal este

119868119911119910 = 0 (417)

Pentru un pătrat avacircnd laturile egale (ℎ = 119887 = 119886) momentele de inerţie faţă de

axele centrale au expresia

119868119911 = 119868119910 =1198864

12 (418)

Modulele de rezistență axiale se calculează cu relațiile de definiție ținacircnd cont că

distanțele pacircnă la fibrele extreme sunt

119910119898119886119909 = 119910119898119894119899 =ℎ

2 119911119898119886119909 = 119911119898119894119899 =

119887

2 (419)

Obținem

119882119911119898119894119899 = 119882119911119898119886119909 =119868119911

119910119898119886119909119898119894119899=119887 ∙ ℎ3

12frasl

ℎ2frasl

=119887 ∙ ℎ2

6

119882119910119898119894119899 = 119882119910119898119886119909 =119868119910

119911119898119886119909119898119894119899=1198873 ∙ ℎ

12frasl

1198872frasl

=1198872 ∙ ℎ

6

(420)

452 Suprafaţă circulară

Din motive de simetrie pentru suprafeţele circulare momentele de inerţie faţă de

orice diametru (care reprezintă şi axe centrale) sunt aceleaşi

Considerăm o secțiune circulară plină cu diametrul 119889 și centrul de greutate 119862 Prin

centrul de greutate 119862 trece sistemul de axe ortogonal 119911119862119910 figura 45

Fig 45 Suprafață circulară

La distanța de centrul de greutate 119862 vom lua un element de suprafață mic de arie

(119889119860) de forma unui inel de grosime 119889 Elementul de arie 119889119860 are expresia

119889119860 = (2 ∙ 120587 ∙ 120588) ∙ (119889120588)

Pornind de la relația de definiție a momentului de inerție polar obținem

119868119901 ≝ int 1205882 ∙ 119889119860

119860

= int 1205882 ∙ (2 ∙ 120587 ∙ 120588) ∙ 119889120588

119903=119889 2frasl

0

= 2 ∙ 120587 ∙1205884

4|119889 2frasl0 rArr

rArr 119868119901 =120587 ∙ 1198894

32

(421)

Secțiunea este perfect simetrică deci sunt valabile relațiile

119868119911 = 119868119910 rArr 119868119901 = 119868119911 + 119868119910 = 2 ∙ 119868119911 = 2 ∙ 119868119910 =119868119901

2=120587 ∙ 1198894

64 (422)

Și modulele de rezistenţă faţă de orice diametru sunt egale şi se calculează cu

relaţiile

119882119911 = 119882119910 =1198681199111198892frasl=120587 ∙ 1198893

32 (423)

Modulul de rezistenţă polar este

119882119901 =1198681199011198892frasl=120587 ∙ 1198893

16 (424)

453 Secţiune inelară

Calculul momentelor de inerţie axiale pentru o secţiune inelară avacircnd diametrul

interior 119889 şi diametrul exterior 119863 se determină analog pentru suprafaţa circulară plină cu

observaţia că integrala pentru calculul momentului de inerție polar 119868119901 se face icircntre

limitele 119903 = 119889 2frasl şi R= 1198632frasl (icircntre raza interioară 119903 şi raza exterioară 119877) figura 46

Se obţin relaţiile

119868119901 =120587 ∙ 1198634

32∙ [1 minus (

119889

119863)4

] =120587 ∙ 1198634

32∙ (1 minus 1198964) (425)

119868119910 = 119868119910 =120587 ∙ 1198634

64∙ [1 minus (

119889

119863)4

] =120587 ∙ 1198633

64∙ (1 minus 1198964) (426)

Fig 46 Secțiune inelară

119882119901 =120587 ∙ 1198633

16∙ [1 minus (

119889

119863)4

] =120587 ∙ 1198633

16∙ (1 minus 1198964) (427)

119882119911 = 119882119910 =120587 ∙ 1198633

32∙ [1 minus (

119889

119863)4

] =120587 ∙ 1198633

32∙ (1 minus 1198964) (428)

unde 119896 = 119889119863frasl

46 Variaţia momentelor de inerţie faţă de axe paralele

( Relațiile lui STEINER)

Se consideră o suprafaţă oarecare de arie 119860 cu elementul de arie 119889119860 și un sistemul

de axe central 119911119862119910 faţă de care se cunosc momentele de inerţie 119868119911 119868119910 119868119911119910 şi considerăm

un sistem de axe 11991111198741199101 paralele cu sistemul central figura 47 Se pune problema

determinării momentele de inerţie 1198681199111 1198681199101 11986811991111199101 faţă de sistemul de axe paralel cu sistemul

central 11991111198741199101 axe aflate la distanţele 119910119862 = 119888 respectiv 119911119862 = 119889 de acesta

461 Momente de inerţie axiale

Pe baza relaţiilor de definire şi a notaţiilor din figura 42 pentru momentele de

inerţie faţă de axele 1198741199111 1198741199101 se poate scrie

1198681199111 = int 11991012 ∙ 119889119860

119860

= int(119910 + 119888)2 ∙ 119889119860

119860

= int 1199102 ∙ 119889119860

119860

+ 2 ∙ 119888 ∙ int 119910 ∙ 119889119860

119860

+

+1198882int 119889119860

119860

rArr 1198681199111 = 119868119911 + 2 ∙ 119888 ∙ 119878119911 + 1198882 ∙ 119860 hArr 1198681199111 = 119868119911 + 119888

2 ∙ 119860

(429)

Fig 47 Variaţia momentelor de inerţie față de axe paralele

S-a ajuns la relația (429) deoarece momentul static 119878119911 este nul deoarece axa 119862119885

este axă centrală

Pentru momentul de inerție axial icircn raport cu axa 1198741199101 se obține

1198681199101 = int 11991112 ∙ 119889119860

119860

= int(119911 + 119889)2 ∙ 119889119860

119860

= int 1199112 ∙ 119889119860

119860

+ 2 ∙ 119889 ∙ int 119911 ∙ 119889119860

119860

+

+1198892 ∙ int 119889119860

119860

rArr 1198681199101 = 119868119910 + 2 ∙ 119889 ∙ 119878119910 + 1198892 ∙ 119860 hArr 1198681199101 = 119868119910 + 119889

2 ∙ 119860

(430)

Pentru momentul de inerție centrifugal obținem

11986811991111199101 = int 1199101 ∙ 1199111 ∙ 119889119860

119860

= int(119910 + 119888) ∙ (119911 + 119889) ∙ 119889119860

119860

= int 119910 ∙ 119911 ∙ 119889119860 +

119860

+119888 ∙ int 119911 ∙ 119889119860

119860

+ 119889 ∙ int 119910 ∙ 119889119860

119860

rArr 11986811991111199101 = 119868119911119910 + 119888 ∙ 119889 ∙ 119860

(431)

Deoarece

int 119911 ∙ 119889119860

119860

= 119878119910 = 0 int 119910 ∙ 119889119860

119860

= 119878119911 = 0 int 119910 ∙ 119911 ∙ 119889119860

119860

= 119868119911119910

Relaţiile (429) şi (430) arată că momentul de inerţie faţă de o axă oarecare

este egal cu momentul de inerţie faţă de o axă paralelă cu ea trecacircnd prin centrul de

greutate la care se adaugă produsul dintre aria suprafeţei şi pătratul distanţei dintre

cele două axe

Din relaţiile (429) și (430) rezultă de asemenea că momentul de inerţie faţă de o

axă centrală (care trece prin centrul de greutate) este cel mai mic dintre infinitatea de

momente de inerţie obținute faţă de alte axe paralele cu ea

Relaţia (431) arată de asemenea că momentul de inerţie centrifugal faţă de un

sistem de axe oarecare este egal cu momentul de inerţie centrifugal faţă de un sistem

paralele cu el trecacircnd prin centrul de greutate a suprafeţei la care se adaugă produsul

dintre aria suprafeţei şi distanţele dintre axele sistemelor respective

Icircn literatura de specialitate relaţiile (429) (430) şi (431) sunt cunoscute sub

numele de relaţiile lui Steiner

47 Variaţia momentrlor de inerţie faţă de axe rotite

Direcţii principale şi momente de inerţie principale

Fie suprafaţa plană din figura 48 de arie 119860 pe care considerăm o suprafaţă

elementară de arie 119889119860 Pentru sistemul de axe 119911119874119910 se cunosc momentele de inerţie

119868119911 119868119910 119868119911119910 şi vom determina relaţiile de calcul pentru momentele de inerţie afererent unui

sistem de axe 11991111198741199101 rotit cu un unghi faţă de sistemul central

Faţă de sistemul de axe 11991111198741199101 elementul de arie 119889119860 are coordonatele

1199101 = 119875119877 = 119875119876 minus 119877119876 = 119910 ∙ cos 120572 minus 119911 ∙ sin 120572

1199111 = 119873119872 = 119873119875 minus 119875119872 = 119911 ∙ cos 120572 + 119910 ∙ sin 120572 (432)

Fig 47 Variaţia momentelor de inerţie față de axe rotite

Pe baza relaţiilor de calcul ale momentelor de inerţie şi a notaţiilor din figura 42

şi ale relaţiilor (432) momentele de inerţie faţă de sistemul de axe rotit 11991111198741199101 sunt

1198681199111 =119868119911 + 119868119910

2+119868119911 minus 119868119910

2∙ cos 2120572 minus 119868119911119910 ∙ sin 2120572 (433)

1198681199101 =119868119911 + 119868119910

2minus119868119911 minus 119868119910

2∙ cos 2120572 + 119868119911119910 ∙ sin 2120572 (434)

11986811991111199101 =119868119911 minus 119868119910

2∙ sin 2120572 + 119868119911119910 ∙ cos 2120572 (435)

Din relaţiile 433divide435 se observă că icircntre momentele de inerţie axiale şi cele

polare există relaţia

1198681199111 + 1198681199101 = 119868119911 + 119868119910 = 119868119901 (436)

adică suma momentelor de inerţie axiale icircn raport cu orice pereche de axe ortogonale

care trec printr-un pol dat este o constantă şi egală cu momentul de inerţie polar

Prin rotirea sistemului de axe din relaţiile 433divide435 rezultă că momentele de inerţie

variază icircnsă suma lor rămacircne constantă deci există o poziţie a sistemului de axe pentru

care momentele de inerţie au valori extreme maxim respectiv minim

471 Direcţii principale de inerţie

Valoarea unghiului 120572 pentru care momentele de inerţie axiale au valori extreme

este

1205721 =1

2∙ 119886119903119888119905119886119899 (minus

2 ∙ 119868119911119910

119868119911 minus 119868119910) (437)

Poziţia celeilalte direcţii este perpendiculară pe cea dată de unghiul 1205721

Din relaţia (437) se constată că faţă de aceste direcţii rotite pentru care momentele

de inerţie axiale prezintă valori extreme momentul de inerţie centrifugal 11986811991111199101este nul

Atunci se poate afirma că momentele de inerţie axiale au valori extreme icircn raport cu

direcţiile faţă de care momentul de inerţie centrifugal este nul Aceste direcţii se numesc

direcţii principale iar momentele de inerţie faţă de aceste direcţii poartă numele de

momente de inerţie principale

Icircn calculele de rezistenţă interesează icircn mod special poziţia direcţiilor principale

care trec prin centrul de greutate al suprafeţei aşa numitele direcţii principale centrale şi

evident momentele de inerţie principale centrale

Direcţiile principale de inerţie se notează cu 1 respectiv 2 Axa principală 1

corespunde direcţiei faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea maximă iar

axa principală 2 pentru direcţia faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea

minimă

472 Momente de inerţie principale

Momentele de inerţie principale se notează cu litera 119868 la care se pune indicele 1

sau 2 după cum valoarea acestuia este maximă sau minimă deci avem un moment de

inerţie principal 1 (notat 1198681) respectiv moment de inerţie principal 2 (notat 1198682)

Expresiile pentru momentele de inerţie principale sunt

11986812 =119868119911 + 119868119910

2plusmn1

2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)

2+ 4 ∙ (119868119911119910)

2 (438)

Dacă momentul de inerţie centrifugal este negativ (119868119911119910 lt 0) direcţia principală

care trece prin primul cadran (definit de sistemul 119911119862119910) este direcţia principală 120783

Pentru suprafeţele cu cel puţin o axă de simetrie direcţiile centrale 119862119911 119862119910 sunt şi

direcții principale de inerţie și evident momentele de inerţie axiale 119868119911 119868119910 sunt momente

de inerţie principale

48 Caracteristici mecanice ale metalelor

Alegerea materialului pentru confecţionarea unei anumite piese se face şi pe baza

aşa numitelor caracteristici mecanice pe care le prezintă materialul Cunoaşterea acestor

caracteristici mecanice are loc numai pe baza unor icircncercări mecanice care să scoată icircn

evidenţă comportarea materialului icircn condiţii de solicitare

Cea mai utilizată icircncercare icircn urma căreia se pun icircn evidenţă caracteristicile

mecanice ale unui material este icircncercarea la tracţiune

481 Icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general

Icircncercarea la tracţiune a oţelului ca de altfel toate icircncercările de materiale este

standardizată

Icircn cele ce urmează se va prezenta numai partea care interesează strict din punct

de vedere al caracteristicilor mecanice ale oţelului

Epruveta de diametru iniţial 1198890 pentru icircncercarea la tracţiune are o porţiune de

lungime 1198710 numită baza de măsurare pe care se măsoară lungirea acesteia sub acţiunea

solicitării

Icircn funcţie de raportul dintre baza de măsurare 1198710 şi diametrul iniţial 1198890 epruvetele

utilizate pentru icircncercări sunt

epruvete normale (scurte) cacircnd 11987101198890 = 5

epruvete lungi cacircnd 11987101198890 = 10

Icircn timpul icircncercării la diferite valori ale forţei 119865 se măsoară lungirea bazei de

măsurare

∆119871 = 120575 = 119871 minus 1198710 (439)

unde

119871 este dimensiunea bazei de măsurare la un moment dat

Curba forţă-lungire (119865 minus ) icircnregistrată icircn urma icircncercării reprezintă curba

caracteristică la tracţiune

La icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general diagrama caracteristică care se

obţine are forma din figura 48

Curba caracteristică la tracţiune depinde de lungimea bazei de măsurare Pentru

icircnlăturarea acestui neajuns curba caracteristică se reprezintă icircn coordonate şi definite

astfel

120590 =119865

1198600 휀 =

120575

1198710 (440)

unde

1198600 este aria iniţială a secţiunii transversale a epruvetei (icircnainte de solicitare) icircn

zona bazei de măsurare

1198600 =120587 ∙ 1198890

2

4

Deoarece mărimile icircn care se reprezintă curba caracteristică la tracţiune sunt

raportate la aria iniţială a secţiunii transversale (mărimi specifice) curba poartă numele

de curbă caracteristică convenţională la tracţiune

Fig 48 Curba caracteristică convenţională la tracțiune

Pe curba caracteristică convenţională la tracţiune figura 48 se pot stabili o serie

de puncte cărora le corespund mai multe mărimi importante

Ordonata punctului A pacircnă unde curba caracteristică convenţională este linie

dreaptă se numeşte limita de proporţionalitate a materialului 120590119901(1205901) Porţiunea 119874119860 este

zona de proporţionalitate a curbei caracteristice pe acest domeniu este valabilă legea lui

Hooke care exprimă o proporţionalitate icircntre tensiune şi deformaţie specifică

120590 = 119864 ∙ 휀 (441)

unde

119864 = reprezintă panta porţiunii liniare a curbei convenționale caracteristice

la tracțiune Caracteristica de material 119864 se numeşte modul de elasticitate longitudinal

(modulul lui Young)

Ordonata punctului 119861 pacircnă unde materialul se comportă perfect elastic adică

după descărcare icircşi recapătă dimensiunea iniţială 1198710 se numeşte limita de elasticitate

120590119890(119877119890) Icircn realitate nici un material nu are comportare perfect elastică sub acţiunea

solicitărilor el capătă deformaţii permanente (remanente plastice)

După punctul 119861 urmează o porţiune 119861119862119863 icircn care cu toate că icircncărcarea

continuă forţa nu mai creşte avacircnd mici oscilaţii icircn jurul unei valori Se spune că icircn

această porţiune materialul curge iar intervalul 119861119862119863 este un palier de curgere Tensiunea

corespunzătoare palierului de curgere se numeşte limită de curgere aparentă 120590119888(119877119888) Limita de curgere aparentă se calculează cu relaţia

120590119888 =1198651198881198600 (442)

unde

119865119888 reprezintă valoarea forţei icircnregistrată icircn momentul curgerii materialului

După punctul 119863 curba caracteristică are un traseu ascendent pacircnă icircn punctul 119864

Porţiunea 119863119864 este numită zonă de icircntărire (ecruisare) Icircn zona de ecruisare unde se

produc deformaţii plastice semnificative legea lui Hooke nu mai este valabilă La

descărcare relaţia dintre tensiunea şi deformaţia specifică este liniară paralelă cu

porţiunea liniară a curbei caracteristice (dreapta 119872119873)

Deformaţia totală (휀119905) are două componente una elastică (휀119890) şi una plastică (휀119901)

Ordonata punctului 119864 reprezintă rezistenţa de rupere 120590119903(119877119898) a materialului

care se poate calcula cu relaţia

120590119903 = 119877119898 =1198651198981198861199091198600

(443)

unde

119865119898119886119909 reprezintă valoarea maximă a forţei icircnregistrată icircn timpul icircncercării

La atingerea valorii 119865119898119886119909 (punctul 119864) icircntr-un anumit loc al epruvetei secţiunea

icircncepe să se micşoreze (se produce gacirctuirea) continuacircnd pacircnă cacircnd se produce ruperea

totală (punctul 119865)

Dacă după ruperea epruvetei cele două părţi rezultate se aşează cap la cap şi se

măsoară dimensiunea bazei de măsurare 119871119906 (lungimea ultimă) se determină alungirea la

rupere sau lungirea specifică la rupere 휀119903

휀119903 =119871119906 minus 11987101198710

=∆119871

1198710=120575

1198710 (444)

De obicei alungirea se exprimă icircn procente şi se notează cu 119860119899 unde 119899 reprezintă

numărul dat de raportul 11987101198890 (epruvete normale 119899 = 5 epruvete lungi 119899 = 10)

119860119899 =119871119906 minus 11987101198710

∙ 100 [] (445)

Altă mărime care se determină la icircncercarea la tracţiune este gacirctuirea la rupere

(exprimată de obicei icircn procente) şi definită de relaţia

119885 =1198600 minus 1198601199061198600

∙ 100 [] (446)

Mărimile determinate limita de proporţionalitate modulul de elasticitate

longitudinal limita de elasticitate limita de curgere aparentă rezistenţa de rupere

alungirea la rupere şi gacirctuirea la rupere sunt cunoscute ca fiind caracteristici mecanice

ale materialului

Din curba caracteristică convenţională observăm faptul că ruperea (punctul 119865 din

figura 48 se produce la o tensiune mai mică decacirct cea corespunzătoare punctului 119864 Dacă

icircnsă forţa din timpul icircncercării s-ar raporta la aria secţiunii din momentul icircnregistrării

forţei (care este mai mică decacirct cea iniţială 1198600) s-ar obţine aşa numita curbă

caracteristică reală a materialului (traseul 1198741198601198611198621198631198651 din figura 48) La curba

caracteristică reală ruperea se produce icircn punctul 1198651 la o icircncărcare mai mare decacirct cea

corespunzătoare punctului 119864 Icircnseamnă că rezistenţa reală la rupere este mai mare decacirct

rezistenţa la rupere dată de punctul 119864 din diagrama caracteristică convenţională

Dificultatea obţinerii diagramei caracteristice reale faţă de cea a diagramei caracteristice

convenţionale şi considerarea unei rezistenţe la rupere mai mică decacirct a celei reale face

icircn practică utilizarea pe scară mare a diagramei caracteristice convenţionale

Caracteristicile mecanice determinate pe baza curbei caracteristice convenţionale

sunt şi ele caracteristici mecanice convenţionale

Caracteristicile mecanice convenţionale limita de proporţionalitate convenţională

120590119901 limita de elasticitate convenţională 120590119890 limita de curgere convenţională 120590119888 şi rezistenţa

de rupere 120590119903 constituie tensiuni limită pentru un material Pe baza acestor caracteristici

de material se alege valoarea tensiunii admisibile 120590119886 (vezi paragraful 35) pentru

calculele de rezistenţă Cea mai utilizată stare limită pentru stabilirea tensiunii admisibile

120590119886 este limita de curgere convenţională 120590119888

120590119886 =120590119897119894119898119888

=120590119888119888 119904119886119906 120590119886 =

120590119903119888 (447)

Caracteristicile mecanice ale materialului sunt influenţate de o serie de factori

temperatura viteza de solicitare factorii tehnologici iar valorile lor sunt date icircn tabele și

diagrame

Aplicaţie Pentru suprafaţa plană compusă din două dreptunghiuri avacircnd

dimensiunile din figura 49a să se calculeze

a) centrul de greutate al secțiunii compuse 119910119866 119911119866

b) momentele de inerție axiale 119868119911 119868119910 și momentul de inerție centrifugal 119868119911119910

c) razele de inerție 119894119911 119894119910

d) modulele de rezistență 119882119911119898119894119899 119882119911119898119886119909 119882119910119898119894119899 119882119910119898119886119909

e) momentele de inerție principale 1198681 1198682 și direcțiile principale de inerție 1205721

f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 119878119911

Fig 49 Aplicație

Rezolvare Pentru rezolvare vom parcurge următoarele etape

icircmpărțim suprafața compusă icircn două suprafețe simple (dreptunghiuri) notate cu

① și respectiv ② figura 49b

poziționăm centrele de greutate a celor două suprafețe simple ① și respectiv ②

notate cu 1198661 și respectiv 1198662 figura 49c

poziționăm sistemele de axe de coordonate 119911111986611199101 pentru dreptunghiul ① și

119911211986621199102 pentru dreptunghiul ② aflate la intersecția diagonalelor figura 49c

poziționăm sistemele de axe de coordonate 11991101198741199100 ales arbitrar față de care

determinăm poziția centrului de greutate 119866 figura 49c

a) calculăm poziția centrului de greutate folosind relațiile (46) icircn care

1198601 = 6119905 ∙ 119905 = 61199052 1198602 = 4119905 ∙ 119905 = 41199052 119860 = 1198601 + 1198602 = 61199052 + 41199052 = 101199052

iar centrele de greutate 1198661 și respectiv 1198662 au coordonatele (față de sistemul 11991101198741199100)

1198661 1199101 = 3119905 1199111 = 05119905

1198662 1199102 = 051199051199112 = 3119905

cu acestea obținem

119910119866 =1198601 ∙ 1199101 + 1198602 ∙ 1199102

119860=61199052 ∙ 3119905 + 41199052 ∙ 05119905

101199052=201199053

101199052= 2119905

119911119866 =1198601 ∙ 1199111 + 1198602 ∙ 1199112

119860=61199052 ∙ 05119905 + 41199052 ∙ 3119905

101199052=151199053

101199052= 15119905

Poziționăm centrul de greutate 119866 al suprafeței compuse figura 49c

Fig 49 Aplicație

b) pentru determinarea momentelor de inerție axiale 119868119911 119868119910 și a momentului de

inerție centrifugal 119868119910119911 determinăm constantele 1198881 1198882 1198891 1198892 care intervin icircn relația lui

Stainer

1198881 = 1199101 minus 119910119866 = 3119905 minus 2119905 = 119905 1198882 = minus(119910119866 minus 1199102) = minus(2119905 minus 05119905) = minus15119905

1198891 = minus(119911119866 minus 1199111) = minus(15119905 minus 05119905) = minus119905 1198892 = 1199112 minus 119911119892 = 3119905 minus 15119905 = 15119905

Folosind relațiile lui Stainer (429) (430) și (431) calculăm momentele de

inerție axiale și centrifugale față de sistemul central 119911119866119866119910119866

119868119911 =sum(119868119911119894 + 1198881198942 ∙ 119860119894) = 1198681199111 + 1198881

2 ∙ 1198601 + 1198681199112 + 11988822 ∙ 1198602

119868119910 =sum(119868119910119894 + 1198891198942 ∙ 119860119894) = 1198681199101 + 1198891

2 ∙ 1198601 + 1198681199102 + 11988922 ∙ 1198602

119868119911119910 =sum(119868119911119894119910119894 + 119888119894 ∙ 119889119894 ∙ 119860119894) = 11986811991111199101 + 1198881 ∙ 1198891 ∙ 1198601 + 11986811991121199102 + 1198882 ∙ 1198892 ∙ 1198602

1198681199111 = (119887 ∙ ℎ3

12) =

119905 ∙ (6119905)3

12= 181199054 1198681199112 = (

119887 ∙ ℎ3

12) =

4119905 ∙ 1199053

12= 031199054

1198681199101 = (1198873 ∙ ℎ

12) =

1199053 ∙ 6119905

12= 051199054 1198681199102 = (

1198873 ∙ ℎ

12) =

(4119905)3 ∙ 119905

12= 531199054

11986811991111199101 = 11986811991121199102 = 0 deoarece cele două triunghiuri au cel puțin o axă de simetrie

Cu acestea momentele de inerție axiale și momentul de inerție centrifugal devin

119868119911 = 181199054 + 1199052 ∙ 61199052 + 031199054 + (minus15119905)2 ∙ 41199052 = 3331199054

119868119910 = 051199054 + (minus119905)2 ∙ 61199052 + 531199054 + (15119905)2 ∙ 41199052 = 2081199054

119868119911119910 = 0 + 119905 ∙ (minus119905) ∙ 61199052 + 0 + (minus15119905) ∙ (15119905) ∙ 41199052 = minus151199054

c) razele de inerție sau de girație față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910

se calculează cu relațiile (411)

119894119911 = radic119868119911119860= radic

3331199054

101199052= 182119905 119894119910 = radic

119868119910

119860= radic

2081199054

101199052= 144119905

d) modulele de rezistență față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910 se

calculează cu relațiile (412) și (413)

Avacircnd icircn vedere figura 419c obținem

119910119898119886119909 = 6119905 minus 119910119866 = 6119905 minus 2119905 = 4119905 119910119898119894119899 = minus119910119866 = minus2119905

119911119898119886119909 = 5119905 minus 119911119866 = 5119905 minus 15119905 = 35119905 119911119898119894119899 = minus119911119866 = minus15119905

Se obține astfel

119882119911119898119894119899 =119868119911

|119910119898119886119909|=3331199054

4119905= 8331199053

119882119911119898119886119909 =119868119911

|119910119898119894119899|=3331199054

2119905= 16651199053

119882119910119898119894119899 =119868119910

|119911119898119886119909|=2081199054

35119905= 5941199053

119882119910119898119886119909 =119868119910

|119911119898119894119899|=2081199054

15119905= 13871199053

e) momentele de inerție principale 1198681 și respectiv 1198682 se calculează cu relațiile

(438)

11986812 =119868119911 + 119868119910

2plusmn1

2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)

2+ 4 ∙ (119868119911119910)

2=

=3331199054 + 2081199054

2plusmn1

2∙ radic(3331199054 minus 2081199054)2 + 4 ∙ (minus151199054)2 = 27051199054 plusmn 16251199054

De unde obținem

1198681 = 27051199054 + 16251199054 = 4331199054

1198682 = 27051199054 minus 16251199054 = 1081199054

Prima direcție principală de inerție 1 face cu axa centrală 119866119911 unghiul 1205721 dat de

relația (437)

1205721 =1

2∙ arctan (minus

2 ∙ 119868119911119910

119868119911 minus 119868119910) =

1

2∙ arctan [minus

2 ∙ (minus151199054)

3331199054 minus 2081199054] =33 70

Deoarece 1205721 gt 0 rotirea axelor se face acircn sens antiorar acelor de ceasornic figura

49d

Poziția axe principale 2 față de care momentul de inerție are valoarea minimă

1198682 = 119868119898119894119899 este dată de unghiul

1205722 = 1205721 + 900 = 33 70 + 900 = 123 70

f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 se determină cu relația

(45)

1198781199111198602 = 1198602 ∙ 1198882 = 41199052 ∙ (minus15119905) = minus61199053

2 INTRODUCERE IcircN REZISTENŢA MATERIALELOR

21 Obiectul şi problemele Rezistenţei materialelor

Rezistenţa materialelor este o disciplină de cultură tehnică generală care continuă

logic şi dezvoltă Mecanica prin introducerea icircn calcule a proprietăţilor de deformabilitate

ale corpurilor solide reale Icircn Mecanică corpul solid este considerat rigid nedeformabil

iar vectorii forţă de icircncărcare sunt consideraţi alunecători Rezistenţa materialelor ia icircn

studiu corpurile reale care sub acţiunea forţelor exterioare (vectori legaţi) icircşi schimbă

forma geometrică respectiv dimensiunile iniţiale şi se distrug prin rupere la valori mari

ale acestora Prin calculele de rezistenţă se determină dimensiunile secţiunilor

transversale ale corpurilor (elemente de rezistenţă) icircn funcţie de mărimea poziţia şi modul

de acţionare a forţelor exterioare proprietăţile mecanice ale materialelor dimensiunile

constructive forma şi importanţa ansamblului icircn care se icircnglobează iar icircn anumite cazuri

şi de durata de funcţionare Elementele de rezistenţă trebuie să icircndeplinească următoarele

condiţii de bază

- condiţia de rezistenţă care are icircn vedere ca eforturile din elementul de rezistenţă

să nu producă distrugerea acestuia prin rupere sau spargere icircn bucăţi

- condiţia de rigiditate se referă la valorile deformaţiilor care nu trebuie să

depăşească anumite mărimile admisibile

- condiţia de stabilitate care consideră posibilitatea menţinerii formei de echilibru

stabil pentru o anumită stare de icircncărcare

Criteriile de rezolvare ale problemelor de Rezistenţa materialelor sunt

- criteriul economic prin care se impune ca orice element de rezistenţă (piesă) să

fie proiectat şi realizat cu soluţia cea mai economică icircn privinţa materialului utilizat şi al

manoperei

- criteriul de bună funcţionalitate a ansamblului din care face parte elementul de

rezistenţă proiectat respectacircnd condiţiile de rezistenţă rigiditate şi stabilitate

Icircn cadrul Rezistenţei materialelor se admit ipoteze simplificatoare care permit

obţinerea unor relaţii de calcul relativ simple şi care exprimă destul de fidel fenomenul

de solicitare real Experimentările practice icircn laborator permit verificarea legilor

rezistenţei materialelor şi determinarea caracteristicilor mecanice ale materialelor

Rezistenţa materialelor permite rezolvarea următoarelor categorii de probleme

- probleme de dimensionare prin care se stabilesc dimensiunile optime ale

elementelor de rezistenţă proiectate icircn funcţie de icircncărcările exterioare (forţe sau

momente) şi de caracteristicile mecanice ale materialului utilizat

- probleme de verificare la care se determină dacă un element de rezistenţă de

dimensiuni cunoscute satisface condiţiile de rezistenţă rigiditate şi stabilitate cunoscacircnd

icircncărcarea exterioară şi caracteristicile mecanice ale materialului utilizat

- probleme de calcul al capacităţii de icircncărcare al unui element de rezistenţă

cunoscacircndu-se caracteristicile mecanice ale materialului dimensiunile şi modul de

solicitare se determină icircncărcarea maximă pe care o poate suporta elementul de rezistență

fără a ceda sau a se deforma periculos

22 Clasificarea corpurilor icircn Rezistenţa materialelor

Corpurile (elementele de rezistenţă) au icircn general forme constructive relativ

complicate Icircn Rezistenţa materialelor pentru simplificarea calculelor corpurile se

schematizează prin forme geometrice mai simple obţinacircndu-se următoarele grupe

a) corpuri solide cu o dimensiune mult mai mare decacirct celelalte două (corpuri cu

fibră medie) Elementele geometrice caracteristice sunt axa longitudinală şi secţiunea

transversală Aceste corpuri solide pot fi

- fire dacă dimensiunile secţiunii transversale sunt foarte mici astfel icircncacirct axa

longitudinală este flexibilă (icircşi schimbă forma uşor) iar sarcinile transversale nu pot fi

preluate de acesta Un fir nu poate fi solicitat decacirct la icircntindere (exemplu cabluri de

macara lanţuri etc)

- bare care rezistă atacirct la solicitări axiale cacirct şi la solicitări transversale

După modul de solicitare barele poartă diferite denumiri convenţionale

tiranţi-solicitaţi la icircntindere figura 21a

stacirclpi-solicitaţi la compresiune figura 21b

grinzi-solicitate la icircncovoiere figura 21c

arbori-solicitaţi la torsiune (răsucire) figura 21d

Fig 21 Denumirea barelor după modul de solicitare

După modul cum variază secţiunea icircn lungul axei barele pot fi

de secţiune constantă figura 22a

de secţiune variabilă continuă figura 22b sau icircn trepte figura 22c

Fig 22 Denumirea barelor după secțiune

După forma axei longitudinale barele pot fi

drepte figura 21

curbe icircn plan figura 23a sau icircn spaţiu figura 23b (numite și curbe stracircmbe)

cotite (axa barei este o linie fracircntă) plane figura 23c sau spațiale figura 23d

Fig 23 Tipuri de bare curbe și cotite

Secţiunea transversală (plană şi normală pe axa barei) poate avea orice formă

geometrică constantă sau variabilă icircn lungul barei

Dacă una din dimensiunile secţiunii transversale (grosimea) este mai mică

comparativ cu celelalte bara se numește bară cu pereţi subţiri (exemplu barele

realizate din platbande sudate cu secţiuni sub formă de profil I profil U cornier etc)

b) corpuri care au două dimensiuni mult mai mari icircn raport cu a treia (grosimea)

se numesc plăci Elementele geometrice caracteristice ale unei plăci sunt forma şi

dimensiunile suprafeţei mediane respectiv grosimea Plăcile se reprezintă schematic

printr-o suprafață care imită forma și dimensiunile suprafeței mediane Suprafaţa mediană

reprezintă locul geometric al tuturor punctelor egal depărtate de cele două feţe ale plăcii

puncte aflate pe perpendicularele duse icircntre cele două feţe figura 24

După destinaţie și forma suprafeței mediane se deosebesc

plăci plane figura 24b

plăci curbe (icircnvelişuri) cu o singură curbură figura 24a sau avacircnd curbură

dublă figura 24c

Fig 24 Tipuri de plăci plane

Plăcile cu grosime mare sunt denumite frecvent dale O placă de grosime mică

ce nu poate prelua decacirct solicitări la icircntindere poartă numele de membrană

Exemple de plăci icircnvelişurile vasele de revoluţie discurile etc

c) corpuri masive care au toate cele trei dimensiuni aproximativ de acelaşi ordin

de mărime (blocuri de fundaţii bile şi role de rulmenţi tuburi cu pereţi groşi etc)

Calculele de rezistenţă sunt mai simple icircn cazul barelor drepte şi mai complicate

la barele curbe plăci respectiv blocuri

23 Clasificarea icircncărcărilor exterioare

Un corp icircşi păstrează forma şi dimensiunile datorită forţelor de atracţie dintre

particulele sale elementare atacircta timp cicirct asupra sa nu acţionează alte forţe aplicate din

exterior care să-l deformeze Icircn construcţia de maşini elementele de rezistenţă preiau şi

transmit acţiunea unor sarcini exterioare (forţe şisau cupluri) pe care le vom denumi

generic forțe sau icircncărcări exterioare Efectul pe care-l au sarcinile este acela de a

modifica forma şi dimensiunile corpului asupra căruia se aplică Icircn punctele de rezemare

(de sprijin sau de legătură cu alte elemente de rezistenţă icircnvecinate) ca urmare a

principiului acţiunii şi reacţiunii apar forţe de legătură sau reacţiuni Ansamblul format

din sarcini şi reacţiuni este cunoscut sub numele de forţe exterioare Sub acţiunea

forţelor exterioare elementele de rezistenţă trebuie să fie icircn echilibru

Forţele exterioare pot fi clasificate după următoarele criterii

a) după mărimea suprafeţei pe care se aplică

- forțe concentrate aplicate teoretic icircntr-un punct figura 25a

- forțe distribuite uniform sau cu intensitate variabilă icircn lungul barei sau pe o

suprafaţă figura 25bc şi d

- momente concentrate care acţionează icircntr-un punct M sau momente uniform

distribut pe o anumită lungime m

Fig 25 Tipuri de sarcini după mărimea suprafeţei de aplicare

b) după locul de aplicare se deosebesc

- forţe de suprafaţă sau de contur care sunt aplicate din exterior pe suprafaţa

corpurilor şi indică legătura cu piesele icircnvecinate

- forţe masice sau de volum distribuite icircn tot corpul (greutăţi forţe de inerţie

respectiv forţe electromagnetice)

c) după modul de acţiune icircn timp se disting

- forţe statice care se aplică lent şi progresiv pacircnă la valoarea nominală de lucru

şi apoi rămacircn constante figura 26a

- forţe dinamice care rezultă din

aplicarea cu icircntreaga intensitate de la icircnceputul perioadei de solicitare iar apoi forţa se

menţine constantă timp icircndelungat figura 26b (forţe de inerţie)

aplicarea bruscă a sarcinii asupra corpului durata de acţiune a sarcinii fiind mică figura

26c (forţe de şoc)

variaţia periodică icircn timp a intensităţii forţei aplicate figura 26d (forţe de oboseală)

Fig26 Tipuri de forţe exterioare (cicluri de solicitare)

Funcţie de modul de variaţie al forţelor exterioare solicitările pot fi statice

oscilante pulsante alternante etc Experimental s-a constatat că rezistenţa unui material

depinde foarte mult de modul de variaţie a forţelor icircn timp Bach a clasificat solicitările

icircn 3 categorii 1-solicitări statice 2-solicitări pulsante 3-solicitări alternant simetrice

Rezistenţa unui material este icircn raportul 321 pentru cele 3 cazuri de solicitare ale lui

Bach Aceasta icircnseamnă că o piesă solicitată static rezistă la o forţă de 3 ori mai mare

decacirct forţa maximă care produce ruperea aceleaşi piese solicitate alternant simetric

d) după poziţia icircn timp a forțelor se disting

- forţe fixe ale căror puncte de aplicaţie sunt mereu aceleaşi

- forţe mobile ale căror puncte de aplicaţie se deplasează icircn timp De exemplu

sarcinile produse de vehiculele care circulă pe un pod sarcinile unei grinzi de pod rulant

icircntr-o halăetc

24 Reazeme Forțe interioare Eforturi Diagrame de eforturi icircn barele

drepte

241 Reazeme Reacțiuni (forțe de legătură)

Pentru a prelua şi transmite acţiunea sarcinilor exterioare elementele de rezistenţă

din componenţa unei structuri sunt fixate icircntre ele prin intermediul unor legături

exterioare numite reazeme Aceste legături au ca scop icircmpiedicarea anumitor mişcări ale

corpului pe direcţiile pe care acestea nu trebuie să se producă O legătură are deci rolul

de a anula unul sau mai multe grade de libertate ale corpului icircn punctul de rezemare Dacă

este anulat un singur grad de libertate legătura este simplă iar dacă sunt impiedicate mai

multe grade de libertate legătura este una compusă Datorită existenţei sarcinilor

exterioare icircn punctele de rezemare pe direcţiile pe care mişcările sunt icircmpiedicate apar

forţe de legătură numite reacţiuni Numărul natura şi direcţiile reacţiunilor depind de

tipul reazemelor Icircn construcţiile reale există o varietate mare de realizare practică a

reazemelor dar icircn calcule se acceptă anumite schematizări care reţin doar aspectul esenţial

al unui reazem şi anume gradul sau gradele de libertate anulate

Pentru o structură de rezistenţă spaţială icircntr-un punct oarecare sunt posibile şase

deplasări trei deplasări liniare (după direcţiile axelor unui sistem ortogonal) şi trei rotiri

(deplasări unghiulare) icircn jurul aceloraşi axe Ca urmare ar fi posibil de realizat maximum

şase tipuri de reazem

Pentru un element de rezistenţă plan icircncărcat cu eforturi cuprinse icircn planul

elementului icircn orice punct sunt posibile trei gade de libertate două deplasări liniare şi o

rotiri Ca urmare pentru cazul unei bare plane se icircntacirclnesc următoarele tipuri de reazeme

1 Reazemul simplu sau reazemul mobil care icircmpiedică deplasarea pe o direcţie

normală pe suprafaţa de rezemare permiţacircnd deplasarea pe o direcţie paralelă cu

suprafaţa de rezemare şi rotirea barei icircn jurul unei axe perpendiculare pe plan icircn punctul

de rezemare Icircn urma icircmpiedicării deplasării şi datorită unor sarcini exterioare icircn

reazemul simplu apare o reacţiune de tip forţă a cărei suport trece prin punctul de

rezemare şi a cărei direcţie este perpendiculară pe suprafaţa de rezemare figura 27

Fig 27 Reazem simplu (mobil)

Icircn figura 27 este reprezentat un reazem mobil poziţionat pe capătul A al unei bare

plane orizontale fiind evidenţiate punctul şi suprafaţa de rezemare direcţia suportului

reacţiunii şi modul de schematizare al reazemului Cea mai des icircntacirclnită reprezentare a

reazemului mobil este a unui triunghi a cărui bază poate luneca pe suprafaţa de rezemare

2 Reazemul fix sau articulaţia icircmpiedică deplasările liniare după toate direcţiile

din planul barei permiţacircnd doar rotirea barei icircn jurul unei axe perpendiculare pe plan şi

care trece prin puncul de rezemare Reacţiunea este cuprinsă icircn planul barei care trece

prin punctul de rezemare dar a cărei mărime şi direcţie nu sunt cunoscute (forţa R)

figura 28

Fig 28 Reazem fix

Se preferă ca icircn locul unei forţe R avacircnd direcţia oarecare icircn plan necunoscută să

se introducă două forţe (HA şi VA) cărora li se cunoaşte direcţia şi pentru care se vor

determina modulele ca valori din condiţiile de echilibru static Icircntr-un reazem fix apar

icircntotdeauna reacţiuni atacirct pe direcţia perpendiculară pe suprafaţa de rezemare

(verticală) cacirct şi pe direcţia paralelă cu prima (orizontală) chiar dacă uneori una sau

chiar ambele reacţiuni au valoarea zero Reprezentarea schematică a articulaţiei este cea

a unui triunghi cu baza fixă şi cu vacircrful icircn punctul de rezemare sau cea a unui pendul

dublu figura 28

3 Icircncastrarea (sau icircnţepenirea) anulează toate gradele de libertate ale capătului

unei bare icircmpiedicacircnd deplasarea liniară după orice direcţie din plan precum şi rotirea

barei icircn jurul unei axe perpendiculare pe plan şi care trece prin punctul de icircncastrare

Urmare a existenţei sarcinilor exterioare şi a blocării deplasărilor icircn icircncastrare apare o

reacţiune căreia nu i se cunoaşte nici mărimea nici direcţia şi nici punctul de aplicaţie

figura 29

Fig 29 Icircncastrarea

Sub acţiunea forţelor exterioare un sistem este icircn echilibru Valoarea reacţinilor

se determină din condiţia de echilibru a sistemului solicitat

Este cunoscut faptul că un sistem plan este icircn echilibru dacă

nu se deplasează pe o direcţie (fie x această direcţie)

nu se deplasează pe o direcţie perpendiculară pe prima (fie y această direcţie)

nu se roteşte faţă de un punct al planului (fie K acest punct)

Cele trei condiţii enunţate mai sus sunt satisfăcute dacă suma proiecţiilor tuturor

forţelor pe direcţia x respectiv y este nulă şi suma tuturor momentelor (cuplurilor) faţă

de un punct al planului este nulă

242 Forțe interioare Metoda secțiunilor

Icircn vederea calculului de rezistenţă de rigiditate şi de stabilitate a barelor sau a

sistemelor de bare este necesară determinarea forţelor şi momentelor interioare

(eforturilor) care apar icircn secţiunile transversale ale acestora şi datorate icircncărcărilor

exterioare Forțele interioare indică legătura dintre particulele din interiorul corpului şi

se pun icircn evidenţă prin metoda secţiunilor care este un procedeu de raţionament

imaginar propus de Cauchy echivalent cu teoria echilibrului părţilor Conform acestui

raționament bdquodacă un corp solid deformabil este icircn echilibru sub acţiunea unui sistem

generalizat de forţe atunci după secționare fiecare parte a sa va fi icircn echilibru sub

acţiunea forţelor exterioare care-i revin şi a unui sistem de forţe pe care trebuie să-l

introducem icircn secţiunea ce delimitează fiecare parte echivalent cu acţiunea forţelor

aplicate pe partea icircndepărtatărdquo

Problemele care apar la aplicarea metodei secţiunilor sunt

- să pună icircn evidenţă existenţa forţelor interioare mai ales că din ceea ce se ştie o

forţă apare icircn prezenţa a două corpuri ca urmare a principiului acţiunii şi reacţiunii

- să explice modul de distribuţie al forţelor interioare pe secţiune

Considerăm un corp aflat icircn echilibru sub acţiunea unui sistem de forţe exterioare

1 2 3⋯119894 ⋯ 119899minus1 119899 şi presupunem că-l secţionăm cu un plan transversal Q (sau cu

o suprafaţă oarecare) figura 210a Icircn urma secţionării fictive (imaginare) conform

principiului echilibrului părţilor fiecare din cele două părţi obţinute trebuie să fie icircn

echilibru sub acţiunea forţelor exterioare care le revin şi a cacircte unui sistem de forţe

interioare pe care trebuie să-l introducem icircn secţiunile rezultate sistem echivalent cu

acţiunea forţelor exterioare ce acţionează asupra celeilalte părţi Astfel pe partea din

dreapta (notată cu II) delimitată de secţiunea de arie Ad sunt aplicate forţele exterioare

119894 ⋯ 119899minus1 119899 şi un sistem de forţe interioare căruia nu i se cunoaşte decacirct efectul acelaşi

cu cel al forţelor 1 2 3 de pe parea din stacircnga (notată cu I şi delimitată de secţiunea

de arie As) figura 210b Prin metoda secţiunilor am reuşit să punem icircn evidenţă existenţa

forţelor interioare şi să le trecem icircn categoria celor exterioare cărora le putem aplica

relaţiile de echivalenţă şi de echilibru cunoscute din statică Ideal ar fi să cunoaştem

distribuţia şi intensitatea punctuală a acestor forţe pentru că s-ar putea ca icircn anumite

puncte ale secţiunii valoarea forţelor să depăşească limita de rezistenţă (limita de curgere)

a materialului Cunoaşterea distribuţiei punctuale a forţelor interioare nu se poate realiza

decacirct icircn cazuri particulare relativ simple de solicitare

Să considerăm partea din dreapta a corpului asupra căreia acționează forțele

119894 ⋯ 119899minus1 119899 mărginit de aria Ad pe care acționează un sistem de forțe interioare

echivalent cu 1 2 3 Deși forțele interioare de pe Ad nu se cunosc totuși efectul lor

este același cu cel al forțelor 1 2 3 deci le putem reduce icircn centrul de greutate C al

secțiunii Ad rezultacircnd componentele torsorului de reducere al forțelor interioare

(119894119889 119894119889) și pentru partea din stacircnga (119894119904 119894119904) Evident conform principiului acțiunii și

reacțiunii

119894119889 = minus119894119904

119894119889 = minus119894119904 (21)

Pe de altă parte cum fiecare dintre părțile corpului după secționare trebuie să fie

icircn echilibru sub acțiunea forțelor exterioare care le revin și a forțelor interioare introduse

rezultă

119894119889 = minus119890119889

119894119889 = minus119890119889

119894119904 = minus119890119889

119894119904 = minus119890119904 (22)

Combinacircnd (21) cu (22) rezultă

119894119889 = 119890119889

119894119889 = 119890119889

119894119904 = 119890119904

119894119904 = 119890119904 (23)

Fig 210 Forțe interioare

Relațiile (22) și (23) permit determinarea componentelor torsorului de reducere

al forțelor interioare din (23) rezultă componentele torsorului forțelor interioare care

acționează icircn secțiunea Ad sunt egale cu componentele torsorului de reducere al forțelor

exterioare de pe partea din stacircnga din (22) rezultă componentele torsorului forțelor

interioare care acționează icircn secțiunea Ad sunt egale și de sens contrar cu componentele

torsorului de reducere al forțelor exterioare de pe partea din dreapta

Observații

1 Torsorul forțelor interioare diferă de la o secțiune la alta dar pentru aceeași

secțiune el este unic și trebuie să respecte condițiile de compatibilitate a deformațiilor

2 Reducacircnd forțele interioare icircn centrul de greutate al secțiunii s-a făcut o

aproximare icircn ceea ce privește efectul modului de dispunere al forțelor

3 Punctul de reducere trebuie să fie

pentru forțele interioare normale la secțiune centrul de greutate

pentru forțele interioare tangente la planul secțiunii centrul de răsucire sau de

tăiere

243 Eforturi

Prin metoda secțiunilor am pus icircn evidență existența forțelor interioare și modul

icircn care se determină componentele torsorului de reducere al forțelor interioare (119894119889 119894119889) de pe fața din dreapta secțiunii (Ad) Cele două componente ale torsorului de reducere al

forțelor interioare de pe Ad se pot descompune după axele unui sistem de referință

triortogonal xCyz astfel

119894119889 = +

119894119889 = 119909 +119872119894 (24)

unde și 119909 sunt proiecțiile lui 119894119889 și respectiv 119894119889 pe axa longitudinală Cx a

barei iar și 119894 sunt proiecțiile acelorași componente 119894119889 și respectiv 119894119889 pe planul yCz

al secțiunii transversale Ad figura 211

Fig 211 Torsorul de reducere al forţelor interioare

La racircndul lor și 119894 se pot descompune după axele sistemului yCz figura 212

= 119910 + 119911

119894 = 119894119910 + 119894119911 (25)

Fig 212 Descompunerea forţei tăietoare şi a momentului icircncovoietor

Cele șase componente ale torsorului de reducere al forțelor interioare ( 119910 119911

119909 119894119910 119894119911) orientate după axele sistemului de referință xCyz se numesc eforturi

Fiecare efort are o denumire stabilită icircn funcție de tipul de deformație pe care-l produce

De asemenea semnul plus (bdquo+rdquo) sau minus (bdquondashrdquo) al fiecărui efort nu depinde de sensul

pozitiv sau negativ al sistemului de axe ci doar de efectul icircn deformații al fiecărui efort

Denumirile celor șase eforturi sunt

119873 este forța axială

119879119910 119879119911 sunt forțe tăietoare orientate după axele Cy și respectiv Cz

119872119909 notat de cele mai multe ori cu 119872119905 este moment de torsiune sau de răsucire

119872119894119911 119872119894119910 sunt momente de icircncovoiere icircn jurul axei Cz și respectiv Cy

Forța axială 119873 poate fi forță axială de icircntindere cacircnd produce o lungire a

tronsonului pe a cărei față acționează (119873 gt 0) figura 213a sau forță axială de

compresiune cacircnd sub efectul ei bara se scurtează (119873 lt 0) figura 213b

Fig 213 Forța axială

Forțele tăietoare 119879119910 și 119879119911 au ca efect lunecarea secțiunii icircn centrul căreia

acționează icircn raport cu secțiunea icircnvecinată lunecare ce se produce pe direcția și icircn sensul

forței Sub acțiunea unei forțe tăietoare bara este solicitată la forfecare Forța tăietoare

este pozitivă 119879119910 gt 0 dacă icircn raport cu un punct oarecare K de pe axa Cx a barei tinde să

rotească secțiunea pe care acționează icircn sens orar

Fig 214 Forța tăietoare

Momentele de icircncovoiere 119872119894119911 și 119872119894119910 au ca efect o rotire a secțiunii icircn centrul

cărora acționează icircn jurul axei după care sunt orientate Icircn figura 215a se vede că

datorită momentului 119872119894119911 fibrele de deasupra axei Cz se alungesc icircn timp ce fibrele de sub

axa Cz se scurtează Fibrele care trec prin axa de icircncovoiere Cz nu se deformează sunt

fibre neutre la icircncovoiere adică axa neutră este Cz Icircn cazul momentului de icircncovoiere

119872119894119910 fibrele care nu se deformează sunt cele care trec prin axa neutră la icircncovoiere Cy

Momentele de icircncovoiere se consideră a fi pozitive (119872119894119911 gt 0119872119894119910 gt 0) dacă

observatorul care privește bara deformată vizualizează fibrele icircntinse

Fig 215 Momentul icircncovoietor

Momentul de torsiune sau de răsucire 119872119909 equiv 119872119905 are ca efect o rotire a secțiunii

icircn al cărei centru acționează icircn jurul axei longitudinale Cx Ca efect secțiunea icircși schimbă

forma (se deformează) adică unghiurile inițiale se modifică dreptunghiul inițial Ad

devine paralelogram Convențional se consideră 119872119905 gt 0 dacă vectorul moment are

aceeași orientare ca și sensul pozitiv ales pextru axa Cx Icircn figura 216 momentul este

negativ

Fig 216 Momentul de torsiune

25 Definiții și convenții de semne pentru eforturile

din secțiunile unei bare drepte plane icircncărcate cu sarcini coplanare

Vom considera o bară plană icircncărcată cu un sistem de forțe arbitrar figura 217

Ne propunem să determinăm eforturile care apar icircn secțiunea barei aflată la distanța 119909 de

reazemul din stacircnga (A)

Pentru aceasta vom aplica metoda secțiunilor vom secționa bara cu un plan

perpendicular pe axa longitudinală a barei și vom analiza doar partea din dreapta secțiunii

mărginită de fața Ad Pentru ca această porțiune de bară să fie icircn echilibru sub acțiunea

forțelor exterioare care acționează asupra sa 1198653 și 119881119861 va trebui să introducem icircn centrul

secțiunii Ad eforturile care pot să apară 119873 119879119910 119872119894119911 Acțiunea acestor eforturi trebuie să

fie echivalentă cu acțiunea forțelor exterioare aplicate pe partea icircnlăturată (parcursă) a

barei 119867119860 119881119860 1198651 1198652 1198720

Deoarece bara este plană și este icircncărcată doar cu sarcini ce aparțin

planului barei

icircn secțiunea Ad apar doar 3 componente ale torsorului de reducere al forțelor

interioare (eforturi)

- 119873 = forța axială

- 119879119910 = forța tăietoare pe care o vom nota cu 119879

- 119872119894119911 = momentul icircncovoietor notat cu Mi

Fig 217 Bară plană icircncărcată cu un sistem de forțe

Vom prezenta următoarele definiții corespunzătoare eforturilor din secțiunea Ad

119873 = forța axială dintr-o secțiune este egală cu suma algebrică a proiecțiilor pe

axa longitudinală a tuturor forțelor exterioare (sarcini și reacțiuni) aplicate pe partea

din stacircnga secțiunii adică pe porțiunea parcursă Forța axială 119873 este pozitivă dacă trage

de tronsonul pe a cărei față acționează (are orientarea normalei exterioare la secțiunea

Ad)

119873(119909) = minus119867119860 + 1198651119867 (26)

119879 = forța tăietoare icircntr-o secțiune este egală cu suma algebrică a proiecțiilor

pe o axă perpendiculară pe axa barei a tuturor forțelor exterioare (sarcini și reacțiuni)

aplicate pe porțiunea de bară aflată icircn stacircnga secțiunii considerate Forța tăietoare 119879

este pozitivă dacă tinde să rotească tronsonul pe a cărui față acționează icircn sens orar icircn

raport cu un punct de pe axa barei aflat la dreapta secțiunii

119879(119909) = 119881119860 minus 1198651119881 minus 1198652 (27)

119872119894 = momentul icircncovoietor icircntr-o secțiune este egal cu suma algebrică a

momentelor obținute prin reducerea tuturor forțelor exterioare ( cupluri sarcini

reacțiuni) aplicate pe porțiunea de bară aflată la stacircnga secțiunii icircn centrul secțiunii

considerate 119872119894 este considerat pozitiv dacă tinde să deformeze bara astfel icircncacirct fibrele

spre care privește un observator să fie icircntinse Cum poziția observatorului este de regulă

sub bară bara se deformează dacă 119872119894 gt 0 astfel icircncacirct partea jos a barei este icircntinsă Se

spune că bara deformată rdquoține apaldquo

119872119894(119909) = 119881119860 ∙ 119909 minus 1198651119881 ∙ (119909 minus 1198971) minus 1198652 ∙ [119909 minus (1198971 + 1198972)] + 1198720 (28)

Sensurile pozitive ale eforturilor care apar icircn centrul secțiunii Ad (deci atunci cacircnd

sensul de parcurs la aplicarea metodei secțiunilor este cel de la stacircnga la dreapta) sunt

indicate icircn figura 218a iar dacă sensul de parcurs este de la dreapta la stacircnga sensurile

pozitive ale eforturilor sunt indicate icircn figura 218b

Fig 218 Convenţia de semne

Definiții asemănătoare se pot da și pentru eforturile din centrul secțiunii As figura

218b adică pentru cazul icircn care sensul de parcurs este cel de la dreapta la stacircnga și deci

partea luată icircn considerare este cea din stacircnga iar partea parcursă din dreapta secțiunii

este icircnlăturată

119873(1199091) = 1198653119867

119879(1199091) = 1198653119881 minus 119881119861

119872119894(1199091) = 119881119861 ∙ 1199091 minus 1198653119881 ∙ (1199091 minus 1198975)

(29)

Avacircnd icircn vedere că fețele Ad și As aparțin aceleeași secțiuni este evident faptul că

eforturile 119873(119909) 119879(119909) și 119872119894(119909) sunt identice cu eforturile 119873(119961120783) 119879(119961120783) și respectiv

119872119894(119961120783) Icircn figura 218c se prezintă o sinteză a convențiilor de semne pozitive pentru cele

3 eforturi atacirct pentru sensul de parcurs de la stacircnga la dreapta (secțiunea Ad) cacirct și pentru

sensul invers (secțiunea As)

Semnele eforturilor sunt importante icircntrucacirct există materiale cu comportări diferite

la icircntindere față de compresiune iar o schimbare a semnului unui efort poate produce

erori grave icircn calcule Semnele eforturilor au fost stabilite icircn funcție de deformațiile

produse și nu depind de sensul axelor sistemului de coordonate

26 Relaţii diferenţiale icircntre eforturi şi sarcini

Pentru a vedea ce legătură există icircntre eforturi și sarcini vom considera o bară

dreaptă icircncărcată cu o sarcină distribuită după o lege oarecare figura 219a Din această

bară vom decupa prin dublă secționare un element de lungime infinit mică 119889119909 Deoarece

lungimea 119889119909 este foarte mică se poate considera sarcina 119901 uniform distribuită Icircn

secțiunile rezultate trebuie să introducem eforturile care pot apărea

- 119879 şi 119872119894 icircn centrul secțiunii din sticircnga eforturi pe care le considerăm pozitive

- 119879 + 119889119879 şi 119872119894 + 119889119872119894 icircn centrul secțiunii din dreapta elementului

Aceste eforturi au o variație mică (119889119879 şi 119889119872119894) față de secțiunea anterioară Spre

deosebire de cazul icircn care bara este secționată o singură dată icircn acest caz eforturile nu

pot fi determinate din cele 2 condiții de echilibru independente deoarece icircn ecuațiile de

echilibru apar 4 necunoscute 119879 119889119879119872119894 și 119889119872119894 deci că problema este dublu static

nedeterminată figura 219

Fig 219 Echivalența icircntre eforturi și sarcini

Ecuațiile de echilibru scrise pentru elementul din figura 219b conduc la stabilirea

unor relaţii foarte importante

(sum119865)119910= 0 hArr 119879 minus 119901 ∙ 119889119909 minus (119879 + 119889119879) = 0 rArr

119889119879

119889119909= minus119901 (210)

Relația (210) arată că derivata funcţiei forţei tăietoare icircn raport cu abscisa

secţiunii este egală cu sarcina distribuită normală la axa barei din acea secţiune luată

cu semn schimbat

Observații

dacă 119901 = 0 nu există sarcină distribuită atunci forța tăietoare T este constantă

icircnclinarea pantei diagramei forței 119879 este egală cu (ndash 119901) (sarcina distribuită cu

semn schimbat)

dacă 119901 = 119888119900119899119904119905 119879 variază liniar pe acel interval

Asemănător se deduce că derivata funcţiei forţei axiale icircn raport cu abscisa

secţiunii este egală cu sarcina distribuită axială din acea secţiune luată cu semn

schimbat adică

119889119873

119889119909= minus119901119867 (211)

Din condiția de echilibru suma de momente faţă de centrul de greutate al secţiunii

din dreapta

(sum119872)119862= 0 hArr 119872119894 minus (119872 + 119889119872119894) + 119879 ∙ 119889119909 minus 119901 ∙

(119889119909)2

2= 0 rArr

119889119872119894

119889119909= 119879 (212)

Relația (212) s-a obținut dupa reducerea termenilor și prin neglijarea infinitului

mic de ordinul 2

119901 ∙(119889119909)2

2

Relația (212) arată că derivata funcţiei moment icircncovoietor icircn raport cu abscisa

secţiunii este egală cu forţa tăietoare din acea secţiune

Observații

dacă 119879 = 0 momentul 119872119894 are un punct de extrem se obține o valoare maximă

pentru 119872119894119898119886119909 dacă forța tăietoare 119879 se anulează trecacircnd de la plus icircn stacircnga la minus icircn

dreapta secțiunii

dacă forța tăietoare este pozitivă pe un interval 119879 gt 0 atunci 119872119894 este crescătoare

pe acel interval

dacă forța tăietoare este negativă pe un interval 119879 lt 0 atunci 119872119894 este

descrescătoare pe acel interval

dacă pe un interval 119901 = 0 forța tăietoare este constantă 119879 = 119888119905 iar 119872119894 variază

liniar pe acel interval

dacă 119901 = 119888119900119899119904119905 119879 variază liniar pe acel interval iar 119872119894 variază parabolic pe

acel interval

Relaţiile diferenţiale sunt utile la reprezentarea corectă şi verificarea diagramelor

de eforturi astfel

pentru porţiunile de grindă pe care p = 0 eforturile N şi T sunt constante iar pe

porţiunile cu p = const eforturile N şi T variază liniar (relaţiile 211 şi 210)

dacă pe o porţiune T = const momentul icircncovoietor Miz variază liniar iar dacă

T variază liniar atunci momentul Miz variază parabolic (relaţia 212)

pe domeniile pe care T gt 0 funcţia Mi(x) este crescătoare iar icircn secţiunea icircn

care T = 0 (graficul funcţiei T intersectează axa x) momentul icircncovoietor are un punct

de extrem local (maxim sau minim relaţia 212)

Pentru rezolvarea problemelor referitoare la trasarea diagramelor de eforturi

pentru barele drepte solicitate de sisteme de forţe plane se parcurg următoarele etape

1) identificarea forţelor aplicate (date) şi pregătirea lor pentru calcule

(descompunerea forţelor concentrate pe direcţiile x şi y calculul rezultantelor forţelor

distribuite)

2) identificarea reazemelor şi introducerea reacţiunilor corespunzătoare (vezi

figurile 27divide29)

3) stabilirea ecuaţiilor de echilibru static calculul şi verificarea reacţiunilor Icircn

rezistența materialelor se folosește sistemul de ecuații (vezi figura 217)

(sum119865)

119909= 0

(sum119872)119860= 0

(sum119872)119861= 0

(213)

4) identificarea domeniilor de variaţie şi scrierea funcţiilor de eforturi pentru N T

şi Mi

5) reprezentarea grafică a diagramelor de eforturi

6) verificarea corectitudinii diagramelor pe baza relaţiilor diferenţiale icircntre eforturi

şi sarcini

Aplicație Pentru grinda dreaptă icircncărcată cu sistemul de forţe reprezentat icircn figura

220 se cere

a) să se calculeze şi să se verifice reacţiunile

b) să se stabilească funcţiile eforturilor Nx Ty şi Miz şi să se reprezinte diagramele

de variaţie

c) să se analizeze relaţiile diferenţiale icircntre eforturi şi sarcini

Dimensiunile grinzii au valorile a = 6 [m] b = 4 [m] și c = 4[m] sistemul de

forţe aplicat fiind format din p = 10 [kN mfrasl ] F = 20 [kN] (icircnclinată cu unghiul α =300 faţă de orizontală) şi M0 = 40 [kN ∙ m]

Rezolvare

a) Se fac următoarele precizări

grinda dreaptă se reprezintă prin axa geometrică

forţa icircnclinată F se descompune după direcţiile orizontală şi verticală icircn FV =F ∙ sin α = 10 [kN] şi FH = F ∙ cos α = 173 [kN]

forţa distribuită uniform p este echivalentă din punct de vedere static cu

rezultanta sa R = p ∙ a = 60 [kN] care acţionează la jumătatea porţiunii de lungime a

icircn reazemele 119860 şi 119861 se introduc componentele HA şi VA respectiv VB ale

reacţiunilor

Pentru calculul reacţiunilor se utilizează ecuaţiile de echilibru static al grinzii

sumXi = 0 HA minus FH = 0 sumYi = 0 VA + VB minus R minus FV = 0 (sumM)B = 0 VA ∙ (b + a) minus R ∙ (b + 05 ∙ a) minus M0 + FV ∙ c = 0

(A1)

Din prima ecuaţie se obţine HA iar din cea de-a treia ecuaţie rezultă VA

HA = FH = 173 [kN]

VA =[R ∙ (b + 05 ∙ a) + M0 minus FV ∙ c]

(b + a)=[60 ∙ (4 + 05 ∙ 6) + 40 minus 10 ∙ 4]

(4 + 6)

VA = 42 [kN]

(A2)

Fig 220 Aplicație

Se observă că cea de-a doua ecuaţie de echilibru conţine două necunoscute

reacţiunile VA şi VB Pentru a calcula componenta VB nu este indicată introducerea lui VA

icircn cea de-a doua ecuaţie a sistemului (A1) pentru că o valoare determinată greşit pentru

VA conduce la o valoare VB de asemenea greşită O ecuaţie independentă din care se poate

determina componenta VB este următoarea

(sumM)A= 0 FV ∙ (a + b + c) minus VB ∙ (a + b) minus M0 + R ∙ 05 ∙ a = 0 (A3)

de unde se obţine

VB =[FV ∙ (a + b + c) minusM0 + R ∙ 05 ∙ a]

(b + a)=[10 ∙ (6 + 4 + 4) minus 40 + 60 ∙ 05 ∙ 6]

(6 + 4)

VB = 28 [kN] (A4)

Ecuaţia de proiecţii ale forţelor pe direcţia verticală (a doua ecuaţie din sistemul

A1) se utilizează pentru verificarea reacţiunilor deja determinate

VA + VB minus R minus FV = 0 rArr 42 + 28 minus 60 minus 10 = 0 (A5)

Ultima egalitate demonstrează că reacţiunile verticale au fost calculate corect

Din cele de mai sus rezultă ordinea firească pentru determinarea reacţiunilor icircn

cazul grinzilor simplu rezemate

sumXi = 0

(sumM)A = 0

(sumM)B = 0

(A6)

iar pentru verificarea componentelor verticale VA şi VB se folosește ecuaţia sumY = 0

b) La stabilirea funcţiilor de eforturi se parcurg icircn general etapele următoare

se notează (numeric sau literal după preferinţă) secţiunile care delimitează

domeniile (intervalele sau tronsoanele) pe care eforturile nu-şi modifică funcţiile (au legi

unice de variaţie)

pe fiecare domeniu se marchează secţiunea imaginară icircn care se stabilesc

funcţiile eforturilor

secţiunea astfel aleasă separă icircn două părţi grinda şi anume porţiunea din stacircnga

şi porţiunea din dreapta secţiunii

se va considera parcursă (şi icircndepărtată) acea parte pe care acţionează mai puţine

sarcini exterioare pentru că acestea vor interveni icircn expresiile funcţiilor de eforturi

poziţiile secţiunilor imaginare se vor determina prin variabilele x1 ⋯ xn (unde

n reprezintă numărul domeniilor de variaţie) cu originea fixată icircn capătul intervalului şi

sensul de parcurgere spre partea considerată rămasă

Grinda prezentată icircn figura 220 are trei domenii de variaţie pentru funcţiile de

eforturi după cum urmează (A-1) (2-B) şi (B-1)

Domeniul (A-1) x1 isin [0 a = 6 m] Porţiunea parcursă şi considerată icircndepărtată este cea de coordonată x1 pe care

acţionează reacţiunile HA şi VA precum şi rezultanta parţială a sarcinii distribuite R1 =p ∙ x1

Funcţia forţă axială Nx are expresia

Nx(x1) = NAminus1 = minusHA = minus173 [kN] = const

(A7)

Funcţia forţă tăietoare Ty are exspresia

Ty(x1) = TAminus1 = VA minus R1 = VA minus p ∙ x1 (A8)

care reprezintă o variaţie liniară de variabilă x1 Se calculează valorile forţei tăietoare la

limitele intervalului de variaţie

- pentru x1 = 0 Ty(x1 = 0) = TA = VA = 42 [kN]

- pentru x1 = a = 6 [m] Ty(x1 = 6) = T1 = VA minus p ∙ a = minus18 [kN]

Observaţie Aşa cum a fost stabilită secţiunea fictivă poziţionată prin coordonata

x1 sar părea că rezultanta R ar trebui luată icircn calculul lui Ty(x1) Acest lucru ar fi greşit

pentru că R = p ∙ a reprezintă rezultanta sarcinii distribuite pe toată lungimea a iar

rezultanta pe porţiunea parcursă de lungime x1 este R1 = p ∙ x1 ne R = p ∙ a

Cu valorile obţinute se trasează diagramele forţelor axială Nx = f(x) şi tăietoare

Ty = f(x) figura 220 Din diagrama forţei tăietoare şi din valorile obţinute analitic se

observă că forţa tăietoare icircşi schimbă semnul pe intervalul analizat deci se anulează pe

acest interval Poziţia secţiunii unde Ty se anulează se determină din ecuaţia

Ty(x1) = 0 rArr VA minus p ∙ x1 = 0 (A9)

cu soluţia x1lowast = ξ = 42 [m] Important de reamintit că icircn această secţiune momentul

icircncovoietor va avea un extrem local adică Miz are un extrem la Ty = 0

Funcţia moment icircncovoietor Miz are expresia

Miz(x1) = VA ∙ x1 minus R1 ∙x12= VA ∙ x1 minus (p ∙ x1) ∙

x12

(A10)

Se observă că funcţia moment icircncovoietor de variabilă x1 are o variaţie parabolică

(gradul al II-lea) Pentru reprezentarea grafică a funcţiei parabolice se calculează valorile

momentului icircncovoietor icircn trei secţiuni

- pentru x1 = 0 Miz(x1 = 0) = MA = 0 [kN ∙ m] - pentru x1 = a = 6 [m] Miz(x1 = 6) = M1 = 72 [kN ∙ m] - pentru x1

lowast = ξ = 42 [m] Miz(x1lowast = ξ = 42 [m]) = Mimax = 882 [kN ∙ m]

Cu acestea se trasează diagrama Miz = f(x) pe intervalul (A-1) figura 220

Observaţie Icircn unele cazuri pe un anumit interval forţa tăietoare nu se anulează

şi momentul icircncovoietor nu are un extrem local Icircn acest caz pentru reprezentarea

variaţiei parabolice a momentului icircncovoietor se va studia semnul derivatei a doua a

funcţiei Miz = f(x1) acesta determinacircnd convexitatea curbei momentului icircncovoietor

Domeniul (2-B) x2 isin [0 c = 4 m] Porţiunile din grindă libere (nerezemate) la un capăt se numesc console iar

stabilirea funcţiilor de eforturi devine mai simplă dacă se consideră icircndepărtată partea din

dreapta secţiunii prin schimbarea sensului pozitiv al axei x Astfel se obţin funcţiile eforturilor

Funcţia forţă axială Nx are expresia

Nx(x2) = N2minusB = minusFH = minus173 [kN] = const

(A11)

Funcţia forţă tăietoare Ty are exspresia

Ty(x2) = T2minusB = FV = 10 [kN] = const (A12)

Funcţia moment icircncovoietor Miz are expresia

Miz(x2) = minusFV ∙ x2 rArr Miz(x2 = 0) = M2 = 0 [kN ∙ m]

Miz(x2 = 4) = MB = minus40 [kN ∙ m] (A13)

variaţie liniară (gradul I)

Domeniul (B-1) x3 isin [0 b = 4 m] Pe acest domeniu se acceptă parcurgerea grinzii de la dreapta adică se consideră

icircndepărtată partea din dreapta secţiunii fictive pentru că are doar două sarcini aplicate F

şi VB faţă de partea din stacircnga secţiunii pe care sunt aplicate trei sarcini p VA şi M0

Astfel se obţin funcţiile eforturilor

Funcţia forţă axială Nx are expresia

Nx(x3) = NBminus1 = minusFH = minus173 [kN] = const

(A14)

Funcţia forţă tăietoare Ty are exspresia

Ty(x3) = TBminus1 = FV minus VB = minus18 [kN] = const (A15)

Funcţia moment icircncovoietor Miz are expresia

Miz(x3) = minusFV ∙ (x3 + c) + VB ∙ x3 rArr

rArr Miz(x3 = 0) = MB = minus40 [kN ∙ m]

Miz(x3 = 4) = M1 = 32 [kN ∙ m]

(A16)

variaţie liniară (gradul I)

Diagramele eforturilor sunt prezentate icircn figura 220

c) Relaţiile diferenţiale dintre eforturi şi sarcini se analizează pe diagramele

eforturilor după cum urmează

sarcina distribuită nu are componentă orizontală adică ph = 0 şi icircn

conformitate cu formula (211) rezultă că Nx = const pe toată lungimea grinzii fapt care

a rezultat din funcţia şi reprezentarea diagramei forţei axiale

pe intervalul (A-1) sarcina distribuită are doar componenta verticală pozitivă

pV = p gt 0 prin urmare forţa tăietoare scade (are panta negativă dTy 119889119909frasl = minusp vezi

relaţia 210) iar momentul icircncovoietor avacircnd derivata a doua negativă d2M119894119911 1198891199092frasl =minuspare convexitatea curbei orientată spre sensul pozitiv al axei momentului Miz adică icircn

jos

pe domeniile (2-B) şi (B-1) deoarece pv = 0 forţa tăietoare Ty este constantă

iar momentul icircncovoietor Miz variază liniar

referitor la relaţia (212) pe porţiunile unde Ty gt 0 momentul Miz este

monoton crescător pe porţiunile unde Ty lt 0 momentul Miz este monoton descrescător

iar icircn secţiunea icircn care Ty = 0 momentul icircncovoietor are un extrem local Mξ =

882 [kN ∙ m] icircn diagrama forţei tăietoare discontinuităţile (salturile) se produc icircn secţiunile

unde acţionează VA VB şi FV iar icircn diagrama momentului icircncovoietor se produce un

singur salt icircn secţiunea icircn care este aplicat M0

se poate scrie

Mξ = suprafața diagramei Ty |ξ0=1

2∙ 42 ∙ 42 = 882 [kN ∙ m]

sau parcurgacircnd grinda de la dreapta la stacircnga rezultă

MB = minussuprafața diagramei Ty |c0= minus10 ∙ 4 = minus40 [kN ∙ m]

Toate aspectele analizate teoretic referitoare la relaţiile diferenţiale dintre eforturi

şi sarcini se regăsesc icircn diagramele de eforturi din figura 220 ceea ce icircnseamnă că

diagramele au fost reprezentate corect

3 TENSIUNI DEPLASĂRI ŞI DEFORMAŢII SPECIFICE

31 Tensiuni

Eforturile obținute icircn urma reducerii forțelor interioare icircn centrul de greutate al

secțiunii nu pot da informații asupra solicitării fiecărui punct al secțiunii respective Este

necesar să se cunoască modul cum se distribuie forțele interioare icircn fiecare punct al

secțiunii pentru a ști care este intensitatea maximă a solicitării Această intensitate

maximă se poate compara cu o valoare critică specifică materialului stabilindu-se astfel

dacă solicitarea este periculoasă sau nu

Mărimea care caracterizează solicitarea locală punctuală o vom denumi tensiune

și o vom defini icircn cele ce urmează Să considerăm partea din dreapta a unui corp solicitat

de forțele exterioare 1198651 1198652 și 1198653 obținută prin secționarea corpului și mărginită de fața

din dreapta Ad a secțiunii Pe secțiunea Ad vom considera un element de arie infinit mic

∆119860 caracterizat de normala la elementul de arie normală care are cosinușii directori

120573 și icircn raport cu un sistem de axe considerat fix Pe elementul infinit mic ∆119860 acționează

forțele interioare care au o rezultantă oarecare figura 31

Prin definiție tensiunea totală este

= lim∆119860rarr0

∆

∆119860 (31)

Tensiunea are aceeaşi direcţie cu forţa elementară ∆ iar mărimea ei este

determinată atacirct de mărimea forţei ∆ cacirct şi de orientarea suprafeţei ∆119860 faţă de direcţia

forţei

Tensiunea 119901 poate fi descompusă icircntr-o componentă orientată după direcţia

normalei la secţiune tensiunea normală notată cu 120590119909 şi o componentă icircn planul secţiunii

tensiunea tangenţială notată cu figura 32

= 119909 + 120591 (32)

Fig 31 Tensiunea totală Fig 32 Tensiunea normală și tangențială

La racircndul ei componenta tensiunii cuprinsă icircn planul secțiunii poate fi

descompusă după direcțiile axelor y și z

120591 = 120591119909119910 + 120591119909119911 (33)

Icircntre cele trei componente ale tensiunii totale care acționează pe elementul de arie

∆119860 este valabilă relația

1199012 = 1205901199092 + 120591119909119910

2 + 1205911199091199112 (34)

După sensul pe care icircl are tensiunea normală 120590 poate avea efect de tracţiune sau

de compresiune exercitat de către partea de corp icircnlăturată asupra părţii rămase Analog

tensiunea tangenţială 120591 poate avea efect de tăiere forfecare sau alunecare Pentru

componentele tensiunii tangențiale 120591119909119910 pe direcţia 119910 respectiv 120591119909119911 pe direcţia 119911 primul

indice indică axa pe care tensiunea este normală iar cel de-al doilea indice indică axa cu

care aceasta este paralel

Tensiunea este o mărime tensorială valoarea ei depinzacircnd atacirct de poziția

punctului icircn planul secțiunii cicirct și de orientarea planului de secționare deci de normala

Operaţiile vectoriale nu pot fi aplicate tensiunilor decacirct după ce acestea au fost icircnmulţite

cu ariile respective adică au fost transformate icircn forţe

Icircn literatura de specialitate mai ales icircn manualele mai vechi pentru noţiunea de

tensiune se mai foloseşte şi denumirea de efort specific

Dacă se consideră un alt element de arie ∆119860 cu centrul icircn același punct avacircnd ca

normală axa 119910 se vor obține alte tensiuni și anume

- 120590119910 este tensiunea normală (paralelă cu axa y)

- 120591119911119909 și 120591119910119911 sunt tensiuni tangențiale paralele cu axele 119909 și respectiv 119911 aflate icircn

planul care are ca normală axa 119910

Dacă icircn jurul unui punct dintr-un corp solicitat se consider un element de volum

infinit mic de forma unui cub icircn cazul cel mai general pe fețele sale vor acționa

tensiunile normale 120590119909 120590119910 și 120590119911 și respectiv tensiunile tangențiale 120591119909119910 120591119909119911 120591119910119909 120591119910119911 120591119911119909

și respectiv 120591119911119910 figura 33 Aceste tensiuni definesc starea de tensiune a punctului

observacircnd faptul că tensorul tensiune are 9 componente Dacă se consideră elementul

de volum finit ca fiind foarte mic se poate presupune că icircn interiorul său nu apar forțe

Ca urmare el va fi icircn echilibru sub acțiunea forțelor elementare produse de tensiunile de

pe fețele sale

Din condiția ca elementul să nu se rotească icircn jurul unor axe care trec prin centrul

său și sunt paralele cu axele sistemului 119909119874119910119911 rezultă

2 ∙ 120591119909119910 ∙ (119889119910 ∙ 119889119911) ∙119889119909

2= 2 ∙ 120591119910119909 ∙ (119889119909 ∙ 119889119911) ∙

119889119910

2 rArr 120591119909119910 = 120591119910119909 (35)

2 ∙ 120591119910119911 ∙ (119889119909 ∙ 119889119911) ∙119889119910

2= 2 ∙ 120591119911119910 ∙ (119889119909 ∙ 119889119910) ∙

119889119911

2 rArr 120591119910119911 = 120591119911119910 (36)

2 ∙ 120591119909119911 ∙ (119889119910 ∙ 119889119911) ∙119889119909

2= 2 ∙ 120591119911119909 ∙ (119889119909 ∙ 119889119910) ∙

119889119911

2 rArr 120591119909119911 = 120591119911119909 (37)

Relațiile (35divide37) 120591119909119910 = 120591119910119909 120591119910119911 = 120591119911119910 120591119909119911 = 120591119911119909 exprimă principiul dualității

tensiunilor tangențiale

Fig 33 Tensiunile normale și tangențiale pe fețele unui cub

Din condiția ca elementul considerat să nu se deplaseze icircn lungul axelor de

coordonate pe fețele opuse acționează aceleași tensiuni normale 120590119909 120590119910 și respectiv 120590119911

Definirea tensorului tensiune este posibilă dacă se cunosc cele 6 componente

independente ale acestuia aflate icircn trei plane perpendicular ce trec prin punctul respectiv

=

120590119909 120591119909119910 120591119909119911120591119910119909 120590119910 120591119910119911120591119911119909 120591119911119910 120590119911

Observaţii

Tensiunile se măsoară icircn [119873 1198982frasl ] (1119873 1198982frasl = 1 119875119886) sau icircn [119872119875119886]

(1 119872119875119886 = 106119875119886 = 106 119873

1198982 1 119872119875119886 = 1

119873

1198981198982)

Starea de tensiune dintr-un punct este considerată cunoscută dacă se cunosc

tensiunile 119901 care acționează pe infinitatea de elemente de suprafață ce trec prin punctual

considerat

Starea de tensiune a unui corp se consider cunoscută dacă se cunosc stările de

tensiune de pe infinitatea de puncte ale corpului considerat

32 Deplasări Deformaţii specifice

321 Deplasări

Aceste noțiuni sunt utile icircn analiza aspectului geometric al problemelor de rezistența

materialelor Deplasările care se analizează sunt cele datorate schimbării formei și

dimensiunilor corpurilor ca urmare a acțiunii forțelor exterioare și nu cele cinematice

posibile pentru solidul rigid care se poate deplasa cu anumită viteză și accelerație

Spre exemplu icircn figura 34a și figura 34b sub acțiunea forței 119865 tronsonul de

bară AB se deformează icircn timp ce tronsonul BC deși punctele sale au deplasări rămacircne

nedeformat (fiind nesolicitat) Toate punctele de pe axele barelor cu excepția celor din

icircncastrare (secțiunile A) au deplasări liniare De cele mai multe ori deformațiile barelor

datorate acțiunii forțelor exterioare se anulează la icircndepărtarea forțelor se spune că

deformațiile sunt elastice Secțiunile transversale ale barei din figura 34a se și rotesc icircn

raport cu pozițiile lor inițiale Spre exemplu secțiunea de căpăt cu centrul icircn C se rotește

cu unghiul

Fig 34 Deformațiile unei grinzi

Oricacirct de complexă ar fi delormația unui corp ea poate fi descrisă de lungiri sau

scurtări și de modificări ale unghiurilor inițiale

Deplasările măsoară schimbarea poziției unui punct al corpului și pot fi liniare

sau unghiulare

Prin deplasare liniară a unui punct se icircnțelege drumul parcurs de acest punct icircn

decursul procesului de deformație după o dreaptă suport dreapta 1198611198611 din figura 34a

Prin deplasare unghiulară se icircnțelege rotirea dintre segmentele de dreaptă

determinate de două puncte ale corpului icircnainte și după deformarea acestuia unghiul

pe care-l fac segmentele 119861119862 și 11986111198621 din figura 34a Această rotire se măsoară prin

unghiul pe care-l fac proiecțiile dreptelor ce conțin cele două segmente icircntr-un sistem

triortogonal

Icircn cazul cel mai general vectorul deplasare liniară se poate descompune icircntr-un

sistem triortogonal icircn trei componente 119906 119907 și 119908 figura 35

Fig 35 Deplasarea liniară

Se consideră acum un corp solid raportat la un sistem de axe ortogonal 119909119874119910119911

figura 35 după deformarea corpului un punct oarecare 119870 al acestuia se deplasează icircn

poziţia 1198701 vectorul 1198701198701 poartă numele de vectorul deplasării totale

Deplasarea totală este suma deplasărilor pe cele trei direcţii ortogonale iar

aceste deplasări se notează astfel

deplasarea pe direcţia 119909 cu ∥ 119874119909

deplasarea pe direcţia 119910 cu ∥ 119874119910

deplasarea pe direcţia 119911 cu ∥ 119874119911

Componentele deplasărilor și formeză matricea deplasărilor liniare 119906119907119908

322 Deformații

Prin deformație icircn general se icircnțelege orice schimbare de formă a unui corp fără

o evaluare cantitativă Icircn Rezistența Materialelor deformația măsoară variația

dimensiunilor geometrice ale corpului considerat din vecinătatea unui punct analog

deplasărilor deformațiile pot fi liniare și unghiulare (lunecări)

Fig 36 Deplasarea liniară

Deformația liniară ∆119897 reprezintă variația lungimii 119897 a unui element liniar al

corpului deformat figura 36 Deformația liniară specifică se definește ca fiind raportul

dintre deformația liniară și lungimea inițială

휀 =∆119897

119897 (38)

unde ∆119897 este lungirea sau scurtarea care este echivalentă cu deformția liniară totală iar

este alungirea

Deformația unghiulară sau lunecarea unui punct 119860 icircn planul 119861119860119862 se definește

prin relația figura 37

120574 = lim119861119860rarr0119862119860rarr0

(119861119860 minus 119861111986011198621 ) (39)

Fig 36 Deformația unghiulară

Schimbacircnd orientarea planului care trece prin 119860 se obțin alte deformații

unghiulare Dacă elementele liniare 119861119860 și 119862119860 sunt inițial perpendiculare deformația 120574 se

numește deformație unghiulară specifică sau lunecare specifică figura 37

Un exemplu de deplasare unghiulară și de deformație unghiulară este prezentat icircn

figura 38 Unghiul este deplasarea unghiulară și măsoară rotirea relativă dintre două

secțiuni aflate la distanța 119897 Unghiul este deformația specifică unghiulară (lunecarea

specifică) din punctul 119870 Aceste deplasări și deformații se obțin icircn urma solicitării barei

de către cele două momente 1198720 egale și de sens contrar

Fig 38 Deplasarea unghiulară

Pentru a analiza starea de deformație din vecinătatea unui punct al unui corp

solicitat complex se decupează din jurul punctului un element de volum mic figura 39a

avacircnd laturile 119889119909 119889119910 și 119889119911 Ca urmare a solicitării laturile acestuia se vor lungi sau

scurta Reprezentarea elementului deformat icircn spațiu este dificilă pentru simplificare

vom analiza doar deformațiile din planul 119909119874119910 Observăm că dimensiunile 119889119909 și 119889119910 s-au

modificat cu valoarea ∆119889119909 respectiv cu ∆119889119910 analog se acceptă și pentru 119889119911 o modificare

de forma ∆119889119911 Astfel se pot defini deformațiile specifice liniare

휀119909 =∆119889119909

119889119909 휀119910 =

∆119889119910

119889119910 휀119911 =

∆119889119911

119889119911 (310)

De cele mai multe ori aceste deformații specifice liniare se pot exprima procentual

și se mai numesc alungiri

Fig 39 Starea de deformație

Icircn figura 39c se vede că unghiul inițial drept dintre muchiile 119889119909 și 119889119910 ale

elementului de volum s-a modificat Se definește deformația specifică unghiulară (sau

lunecarea specifică) mărimea cu care se modifică unghiul inițial drept

120574119909119910 = 120574119909119910prime + 120574119910119909

prime = 120574119910119909120574119910119911 = 120574119910119911

prime + 120574119911119910prime = 120574119911119910

120574119911119909 = 120574119911119909prime + 120574119909119911

prime = 120574119909119911

(311)

Deformațiile 휀119909 휀119910 휀119911 120574119909119910 120574119910119911 120574119911119909 constituie cele șase componente

independente ale tensorului deformațiilor specifice care pot fi scrise de forma

119863 =

휀119909 120574119909119910 120574119909119911120574119910119909 휀119910 120574119910119911120574119911119909 120574119911119910 휀119911

(312)

323 Contracţia transversală

Practica arată că odată cu lungirea unei bare apare o micşorare a mărimii secţiunii

transversale mărime numită contracţie transversală figura 310

Fig 310 Contracția transversală

Contracţia transversală este proporţională cu lungirea specifică coeficientul de

proporţionalitate se notează cu 120599 şi se numeşte coeficient de contracţie transversală sau

coeficientul lui Poisson

La o lungire specifică a barei contracţia transversală este dată de relația

휀119905119903 = 휀119910 = 휀119911 = minus120599 ∙ 휀119909 (313)

Semnul minus bdquo-rdquo arată că cele două mărimi sunt contrare dacă una creşte cealaltă

scade şi invers

Considerăm o bară cilindrică de lungime 119897 şi aria secţiunii transversale 119860 solicitată

la icircntindere axială La un moment dat datorită solicitării lungimea barei devine

[119897 ∙ (1 + 휀)] diametrul devine [119889 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)] iar aria secţiunii transversale devine

[119860 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)2] Dacă volumul barei icircnainte de solicitare a fost (119860 ∙ 119897) după solicitare

acesta devine

119881 + ∆119881 = 119860 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)2 ∙ 119897 ∙ (1 + 휀) =

= 119860 ∙ 119897 ∙ (1 + 휀 minus 2 ∙ 120599 ∙ 휀 minus 2 ∙ 120599 ∙ 휀2 + 1205992 ∙ 휀2 + 1205992 ∙ 휀3) (314)

Deoarece lungirile sunt foarte mici ultimii trei termeni din paranteză fiind infinit mici se pot neglija obţinacircnd

119881 + ∆119881 = 119860 ∙ 119897 + 119860 ∙ 119897 ∙ 휀 ∙ (1 minus 2 ∙ 120599) ⟺ ∆119881 = 휀 ∙ (1 minus 2 ∙ 120599) ∙ 119860 ∙ 119897 (315)

Practica arătă că o astfel de bară solicitată la icircntindere icircşi măreşte volumul deci

∆119881 gt 0 de unde rezultă că

1 minus 2 ∙ 120599 gt 0 rArr 120599 lt 05 (316)

Pentru majoritatea materialelor 120599 = 033 iar pentru materialele care-şi păstrează

volumul constant 120599 = 05

33 Relaţii de echivalenţă icircntre eforturi şi tensiuni

Considerăm un element de suprafață infinit mic 119889119860 situat pe fața de arie (119860) a

secțiunii barei din figura 311 Icircn centrul de greutate 119862 al secțiunii acționează eforturile

119873 119879119910 119879119911 119872119909 119872119894119910 și 119872119894119911 determinate prin metoda secțiunilor

Icircn raport cu un sistem de axe de referință 119909119862119910119911 coordonatele elementului 119889119860 sunt

- 119910 este ordonata elementului de arie 119889119860

- 119911 este abscisa elementului de arie 119889119860

Pe elementul de arie 119889119860 acționează tensiunile

120590119909 tensiunea normală

120591119909119910 și 120591119909119911 tensiuni tangențiale

Dacă se icircnsumează forțele elementare de tipul 120590119909 ∙ 119889119860 120591119909119910 ∙ 119889119860 și 120591119909119911 ∙ 119889119860

va trebui să obținem eforturile 119873 119879119910 și 119879119911

Fig 311 Element de suprafață mic din secțiunea unei bare

Dacă eforturile sunt privite ca forțe exterioare și se scriu ecuațiile de

echilibru ale secțiunii (119860) se vor obține șase relații de echivalență icircntre eforturi și

tensiuni

(sum119883) = 0 rArr int 120590119909 ∙ 119889119860

119860

= 119873 (317)

(sum119884) = 0 rArr int 120591119909119910 ∙ 119889119860

119860

= 119879119910 (318)

(sum119885) = 0 rArr int 120591119909119911 ∙ 119889119860

119860

= 119879119911 (319)

(sum119872)119909= 0 rArr int(120591119909119911 ∙ 119889119860) ∙ 119910

119860

minus int(120591119909119910 ∙ 119889119860) ∙ 119911

119860

= 119872119909 rArr

rArr int(119910 ∙ 120591119909119911 minus 119911 ∙ 120591119909119910) ∙ 119889119860

119860

= 119872119909

(320)

(sum119872)119910= 0 rArr int(120590119909 ∙ 119889119860) ∙ 119911

119860

= 119872119894119910 (321)

(sum119872)119911= 0 rArr int(120590119909 ∙ 119889119860) ∙ 119910

119860

= 119872119894119911 (322)

Cele șase relații de echivalență icircntre eforturi și tensiuni constituie un pas icircnainte

icircn rezolvarea unei probleme de rezistența materialelor Aceste relații vor permite

determinarea tensiunilor maxime

Pentru a rezolva cele 6 relații de echivalență trebuie să se cunoască tensiunile și

ca funcții de punct adică funcții de forma

120590119909 = 120590119909(119909 119910 119911) 120591119909119910 = 120591119909119910(119909 119910 119911) 120591119909119911 = 120591119909119911(119909 119910 119911) (32

3)

Cunoașterea acestor funcții presupune icircnsă analizarea aspectului geometric al

problemei precum și utilizarea unor ipoteze simplificatoare care să permită simplificarea

problemelor

34 Ipoteze de bază icircn rezistenţa materialelor

Depășirea dificultăților legate de interpretarea unor fenomene specifice mecanicii

solidului deformabil a impus acceptarea unor ipoteze care să simplifice fenomenele și să

contribuie la elaborarea unor modele de calcul cicirct mai generale și cacirct mai simple Aceste

ipoteze se referă la structura materialelor şi la comportarea lor sub acţiunea forţelor

exterioare Ipotezele acceptate trebuie să fie icircn deplină concordanţă cu realitatea și să

conducă la rezultate verificate icircn practică

Funcție de aspectele la care se referă ipotezele pot fi

Ipoteze fizice (de material)

Ipoteze de calcul

341 Ipoteze fizice

Se acceptă deoarece teoriile structurale au condus la rezultate care contravin

icircncercărilor experimentale

Ipoteza mediului continuu consideră că orice domeniu elementar al corpului

este ocupat de materie adică nu se acceptă existența unor goluri sau a unor crăpături

microscopice (fisuri) Deși nu corespunde realităţii poate fi acceptată deoarece

dimensiunile corpului sunt mult mai mari decacirct dimensiunile particulelor elemantare Are

avantajul că permite utilizarea proprietăților matematice ale funcțiilor continue pentru

tensiunile și deformațiile din orice punct al corpului Ea este mai apropiată de realitate la

corpurile amorfe şi mai depărtată la cele cristaline dar conduce la rezultate satisfăcătoare

icircn calculele de rezistenţă

Ipoteza nu se poate aplica la corpurile care au goluri tăieturi (multiplu conexe)

pentru unele puncte singulare icircn care tensiunile și deformațiile tind la infinit sau icircn unele

probleme de plasticitate icircn care proprietățile de material au un rol esențial

Ipoteza izotropiei conform acestei ipoteze materialul din care este confecționat

un element de rezistență are aceleași proprietăți după orice direcție un astfel de material

este considerat izotrop Din punct de vedere macroscopic metalele pot fi considerate

izotrope deși la nivel microscopic proprietățile lor diferă de la o direcție cristalografică

la alta Orice conglomerat de cristale poate fi considerat izotrop

Există cazuri cacircnd această ipoteză a izotropiei nu se acceptă

la metalele puternic deformate după o direcție (prin laminare trefilare)

la piesele confecționate din lemn lemnul este anizotrop deoarece proprietățile sale

diferă după două direcții (icircn lungul fibrelor și perpendicular pe această direcție)

Ipoteza omogenității consideră că un corp are aceleași proprietăți icircn orice

punct al său Deși majoritatea materialelor utilizate icircn tehnică sunt eterogene la scară

micro fiind constituite din mai multe faze cu proprietăți diferite la scară macro ele pot

fi considerate omogene Omogenitatea și izotropia sunt proprietăți statistice medii care

nu se condiționează una pe cealaltă Chiar și materialele monofazice pot avea la scară

micro unele segregații care le fac eterogene

Ipoteza elasticităţii perfecte presupune că atacircta timp cacirct solicitările nu

depăşesc anumite limite materialul are o comportare elastică adică icircşi recapătă forma şi

dimensiunile iniţiale odată cu icircnlăturarea sarcinilor Icircn realitate materialele nu prezintă o

elasticitate perfectă ele avacircnd deformaţii remanente mici care icircnsă pot fi neglijate icircn

calculele de rezistenţă

Acceptarea acestei ipoteze a elasticității perfecte permite

- aplicarea relației biunivoce icircntre tensiuni și deformații relație exprimată de legea

lui Hooke ( = 119864 ∙ 휀) unde E este un factor de proporţionalitate numit modul de

elasticitate longitudinal al materialului pentru oţel 119864 = 21 ∙ 105 [119872119875119886] - acceptarea valabilității afirmației bdquolucrul mecanic efectuat de forțele exterioare

ca urmare a parcurgerii deplasărilor punctelor de aplicație se icircnmagazinează integral icircn

corp sub formă de energie de deformație energie cedată la icircndepărtarea sarcinilorrdquo

- este valabilă teoria conform căreia bdquoenergia icircnmagazinată și deformațiile depind

doar de starea inițială și finală de eforturi fără a ține cont de modul icircn care s-a ajuns la

starea finalărdquo

Icircn realitate oricacirct de mici ar fi sarcinile aplicate se produc și deformații plastice

dar acestea pot fi neglijate dacă solicitarea nu depășește anumite limite

342 Ipoteze de calcul

Ipoteza micilor deplasări bdquodeplasările datorate deformării sunt mult mai mici

decacirct dimensiunile corpurilor și ca urmare pot fi neglijate produsele dintre o deplasare și

ea icircnsăşirdquo Pentru cele mai multe corpuri deformaţiile elastice sunt de mărimi mici deci

corpurile solide sub acţiunea sarcinilor icircşi modifică foarte puţin forma iniţială Această

ipoteză este cunoscută şi sub denumirea de ipoteza menţinerii dimensiunilor iniţiale Ea

permite scrierea ecuaţiilor de echilibru ale staticii pe starea nedeformată a elementului

cacircnd nu se iau icircn considerare deplasările punctelor de aplicaţie ale forţelor care se produc

ca urmare a deformării acestuia Calculul efectuat pe schema nedeformată poartă numele

de calcul de ordinul I

Ipoteza micilor deplasări nu poate fi acceptată pentru studiul problemelor de

stabilitate sau la problemele la care nu pot fi icircndeplinite condiţiile de echilibru icircn starea

nedeformată

Calculul de ordinul II admite ipoteza micilor deplasări dar ecuaţiile de echilibru

se scriu icircnsă pentru starea deformată a elementului de rezistenţă

Calculul de ordinul III nu mai acceptă ipoteza micilor deplasări el referindu-se

la cazul deformaţiilor mari cacircnd ecuaţiile de echilibru trebuie scrise pentru starea

deformată

Chiar dacă materialul satisface legea lui Hooke icircn urma calculelor de ordinul II

se obţin de obicei relaţii neliniare icircntre sarcini şi deplasări iar pentru calculul de ordinul

III rezultă ecuaţii diferenţiale neliniare

Principiul efectului local al acțiunii sarcinilor enunțat de Barre de Saint-

Venant Acest principiu destul de folosit icircn Rezistenţa Materialelor precizează că dacă

se icircnlocuiesc forţele care acţionează asupra unui element de suprafață al unui corp

elastic printr-un alt sistem de forţe echivalent din punct de vedere static cu primul noua

distribuţie a forţelor produce la locul de aplicare diferenţe semnificative faţă de prima

dar rămacircne fără efect sau cu efect neglijabil la distanţe mari de locul de aplicare al

forţelor figura 312

Ca o cosecință o sarcină uniform distribuită figura 312a poate fi icircnlocuită cu

rezultanta ei figura 312b dacă se analizează efectul sarcinii la distanță mare de locul icircn

care se aplică sarcina

Fig 312 Principiul Saint-Venant

Icircn prima variantă figura 312a forţa 119865 se aplică pe o porțiune oarecare 119897 (sarcină

uniform distribuită) iar icircn a doua figura 312b icircntru-un punct (forţă concentrată) La

locul de aplicare a sarcinii efectul asupra barei este cu totul diferit de la o variantă la

cealaltă Icircnsă la o distanţă mare de punctul de aplicaţie spre exemplu icircn secţiunea situată

la distanţa 119886 de capătul barei sau chiar icircn icircncastrare ambele bare sunt solicitate la fel

Icircn cazul din figura 312a

119872119894(119909) =119901 ∙ 1199092

2 119909 le 119897 119872119894(119909) = 119901 ∙ 119897 ∙ (119909 minus

119897

2) 119909 gt 119897 (324)

Icircn cazul din figura 312b

119872119894(119909) = 0 119909 lt119897

2 119872119894(119909) = 119901 ∙ 119897 ∙ (119909 minus

119897

2) 119909 gt

119897

2 (325)

Se vede că pentru (119909 gt 119897) adică după depășirea locului icircn care se aplică sarcina

efectul este același

Ipoteza lui Bernoulli sau ipoteza secţiunilor plane precizează că o secţiune

plană şi normală pe axa barei icircnainte de deformare rămacircne plană şi normală pe axa

barei şi după deformare figura 313

Fig 313 Ipoteza lui Bernoulli

Ipoteza stării naturale a corpului sau ipoteza absenţei tensiunilor conform

căreia pentru un corp nesolicitat starea de tensiune şi deformaţie este nulă

Perfecţionarea mijloacelor de calcul şi de investigare pot conduce la renunţarea la

unele ipoteze sau la introducerea altora noi mai aproape de stările reale De aici rezultă

caracterul de continuă perfecţionare a metodelor Rezistenţei Materialelor

35 Coeficienţi de siguranţă Tensiuni admisibile

O piesă corespunde din punct de vedere tehnic dacă tensiunile care iau naştere icircn

interiorul piesei datorită sarcinilor aplicate nu depăşesc anumite valori limită stabilite

convenţional Aceste valori limită ale tensiunii sunt corelate cu caracteristicile mecanice

ale materialelor

Tensiunea limită utilizată icircn calculele de rezistenţă este cunoscută sub denumirea

de tensiune admisibilă sau rezistenţă admisibilă Rezistenţa admisibilă reprezintă

valoarea convenţională aleasă icircn calcul pe baza practicii pentru tensiunea maximă care

poate apare icircntr-o piesă icircn condiţii date de material şi solicitare

Rezistenţa admisibilă (120590119886 sau 120591119886) poate fi definită faţă de o stare limită

periculoasă stare care trebuie evitată deoarece poate conduce distrugere

120590119886 =120590119897119894119898119888

(326)

unde

120590119897119894119898 este tensiunea corespunzătoare stării limită periculoase

119888 estesupraunitar 119888 gt 1 și reprezintă coeficientul de siguranţă faţă de starea limită

periculoasă considerată

Alegerea unor valori inferioare pentru rezistenţa admisibilă faţă de tensiunea

corespunzătoare stării limită periculoase este necesară deoarece

cunoaşterea sarcinilor este de cele mai multe ori aproximativă şi o depăşire a

acestora este foarte posibilă

caracteristicile mecanice ale materialelor variază icircn limite destul de mari ele

fiind influenţate de mulţi factori

schema aleasă pentru calcul (aplicarea sarcinilor schematizarea structurii

ipotezele de calcul etc) depărtează modelul faţă de cel real

Pentru calculele de verificare tensiunea efectivă maximă din elementul de

rezistenţă trebuie să fie mai mică sau cel mult egală cu cea admisibilă

120590119890119891119898119886119909 le 120590119886 (327)

Valoarea rezistenţei admisibile este influenţată de foarte mulţi factori natura

materialului tratamentele termice aplicate piesei durata de funcţionare a piesei modul

de acţionare icircn timp a sarcinilor felul solicitării temperatura gradul de periculozitate

icircn cazul cedării piesei etc

De asemenea valoarea coeficientului de siguranţă se alege icircn principal ţinacircnd

seama de aceiaşi factori care influenţează şi rezistenţa admisibilă

Rezistenţele admisibile pentru cacircteva materiale sunt următoarele

pentru oțelul de uz general OL37 solicitat la icircntindere compresiune sau

icircncovoiere 120590119886 = 150 [119872119875119886] pentru lemnul de brad solicitat la

- compresiune icircn lungul fibrelor şi solicitat la icircncovoiere 120590119886 = 10 [119872119875119886] - tracţiune icircn lungul fibrelor 120590119886 = 7 [119872119875119886] - compresiune perpendiculară pe fibre 120590119886 = 15 [119872119875119886] - forfecare icircn lungul fibrelor 120591119886 = 2 [119872119875119886] - forfecare perpendiculară pe fibre 120590119886 = 45 [119872119875119886]

terenuri de fundaţie din pămacircnt uscat sau umed 120590119886 = 020 divide 025 [119872119875119886]

4 CARACTERISTICI GEOMETRICE ALE SECȚIUNILOR PLANE

41 Noţiuni introductive

Icircn relaţiile de calcul ale tensiunilor şi deformaţiilor elementelor de rezistenţă

pentru unele solicitări (icircncovoierea și torsiunea) secțiunile plane intervin atacirct prin

dimensiunile lor (aria 119860) cicirct și prin forma și poziția pe care o are secțiunea icircn raport cu

planul solicitării Mărimile care caracterizează o secțiune icircn raport cu forma și poziția față

de axele unui sistem de referință sunt denumite caracteristici geometrice de ordin

superior Aria secțiunii este caracteristica geometrică ce depinde doar de dimensiunile

geometrice ale acesteia

Să considerăm o grindă solicitată de o forță exterioară 119865 aşezată icircn două poziții icircn

raport cu planul forţei figura 41 Icircn urma aplicării forței deși avem aceeași grindă

(aceeași arie a secțiunii transversale) și aceeași forță se constată că pentru varianta din

figura 41a deformațiile sunt mult mai mari adică rezistența la icircncovoiere a grinzii din

figura 41a este mai mare decacirct icircn cazul grinzii din figura 41b Comportarea diferită se

explică prin aceea că modificarea poziţiei secţiunii transversale faţă de planul forţelor

modifică caracteristicile geometrice ale secţiunii transversale a grinzii

Fig 41 Grindă solicitată de forța 119865

Pentru realizarea calculelor de rezistenţă şi rigiditate este foarte importantă

cunoaşterea caracteristicilor geometrice ale suprafeţei secţiunii transversale a elementelor

de rezistenţă

Caracteristicile geometrice ale secţiunii transversale a unui element de rezistenţă

sunt

- aria secțiunii notată cu 119860

- momentul static icircn raport cu o axă notat 119878119911 și respectiv 119878119910

- momentul de inerție care poate fi

axial notat 119868119911 și respectiv 119868119910

centrifugal notat 119868119911119910

polar notat 119868119901

- raza de inerţie (giraţie)notată 119894119911 și respectiv 119894119910

- modulul de rezistență care poate fi

axial notat 119882119911 și respectiv 119882119910

polar notat 119882119901

42 Aria și momentul static al suprafețelor plane

Fie o suprafaţă plană de arie 119860 pe care se ia un element infinit mic de arie 119889119860 şi

un sistem de axe rectangulare 119911119874119910 figura 42 Notăm cu 119862 centrul de greutate al suprafeţei

119860 Poziţia suprafeţei elementare 119889119860 faţă de acelaşi sistem de coordonate 119911119874119910 este dată

de abscisa 119911 ordonata 119910 și raza polară

Fig 42 Suprafață plană de arie 119860

Aria suprafeţei 119860 figura 42 se defineşte ca fiind

119860 ≝ int 119889119860

119860

(41)

Aria suprafeţei este icircntotdeauna pozitivă și se măsoară icircn [1198981198982] Momentul static al suprafeţei de arie 119860 icircn raport cu axele 119874119911 și respectiv 119874119910

figura 42 sunt date de relaţiile

119878119911 ≝ int 119910 ∙ 119889119860

119860

119878119910 ≝ int 119911 ∙ 119889119860

119860

(42)

Momentul static poate fi pozitiv negativ sau nul şi se măsoară icircn [1198981198983] Coordonatele centrului de greutate ale suprafeței 119860 se detrmină cu relațiile

119910119862 ≝int 119910 ∙ 119889119860119860

119860 119911119862 ≝

int 119911 ∙ 119889119860119860

119860

(43)

Cunoscacircnd coordonatele 119910119862 și 119911119862 ale centrului de greutate 119862 al secțiunii 119860 atunci

momentele statice se pot determina cu relațiile

119878119911 ≝ int 119910 ∙ 119889119860

119860

= 119910119862 ∙ 119889119860 119878119910 ≝ int 119911 ∙ 119889119860

119860

= 119911119862 ∙ 119889119860 (44)

Aceste relații arată că momentul static al unei suprafețe icircn raport cu o axă este

egal cu produsul dintre aria suprafeței și distanța de la centrul ariei la axa respectivă

Dacă suprafaţa se poate descompune icircn 119899 suprafeţe simple la care se cunosc ariile

(1198601 1198602 ⋯ 119860119894⋯ 119860119899) și poziţiile centrelor de greutate 119862119894 faţă de sistemul de referinţă

expresiile momentelor statice capătă următoarea formă

119878119911 = sum 119910119862119894 ∙ 119860119894119899119894=1 = 119910119862 ∙ 119860 119878119910 = sum 119911119862119894 ∙ 119860119894

119899119894=1 = 119911119862 ∙ 119860 (45)

Din relaţiile (45) rezultă că poziţia centrului de greutate 119862 al unei suprafeţe

compuse poate fi determinată cu relaţiile

119910119862 = (sum119910119862119894 ∙ 119860119894

119899

119894=1

) 119860frasl 119911119862 = (sum119911119862119894 ∙ 119860119894

119899

119894=1

) 119860frasl (46)

Icircn relația (45) 119910119862119894 și respectiv 119911119862119894 reprezintă coordonatele centrelor de greutate 119862119894

ale fiecărei suprafețe simple 119860119894 icircn raport sistemul de axe 119911119874119910

Se constată (relaţia 42) că dacă axele sistemului de referinţă trec prin centrul de

greutate (119910119862 = 119911119862 = 0) momentele statice sunt nule Axele icircn raport cu care momentele

statice sunt nule şi care trec prin centrul de greutate al suprafeţei se numesc axe centrale

Observație dacă secțiunea compusă are o axă de simetrie centrul secțiunii se

găsește pe acea axă iar dacă secțiunea este dublu simetrică poziția centrului secțiunii este

la intersecția axelor de simetrie

43 Momente de inerţie

Momentele de inerţie axiale ale unei suprafețe se calculează icircn raport cu axele de

coordonate 119874119911 și respectiv 119874119910 figura 42 și se determină cu relațiile

119868119911 ≝ int 1199102 ∙ 119889119860

119860

119868119910 ≝ int 1199112 ∙ 119889119860

119860

(47)

Unde 119910 și 119911 sunt distanțele de la elementul de arie 119889119860 la cele două axe de

coordonate 119874119911 și respectiv 119874119910

Momentele de inerţie axiale se măsoară icircn [1198981198984] şi sunt icircntotdeauna pozitive (aria

119889119860 este icircntotdeauna pozitivă și este multiplicată cu patratul distanței 1199102 dacă 119868119911 sau 119868119910

sunt nule icircnseamnă ca secțiunea nu există)

Momentele de inerție axiale se calculează icircndeosebi pentru axele centrale (care

trec prin centrul secțiunii) deoarece icircn raport cu acele axe 119868119911 și 119868119910 au valori minime

Momentul de inerţie centrifugal calculat faţă ambele axe ale sistemului de

referinţă 119911119874119910 este definit de relația

119868119911119910 ≝ int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860

(48)

Momentul de inerţie centrifugal se măsoară icircn [1198981198984] şi poate fi pozitiv negativ

sau nul

Momentul de ineție centrifugal este nul 119868119911119910 = 0 dacă cel puțin una din axele 119874119911

sau 119874119910 este axă de simetrie pentru secțiune

Se consideră o suprafaţă dreptunghiulară pe care faţă de axa de simetrie 119874119910 se iau

două suprafeţe elementare de arie 119889119860 simetrice faţă de axa 119874119910 figura 43

Fig 43 Suprafață dreptunghiulară cu două arii elementare 119889119860

Făcacircnd suma momentelor de inerţie centrifugale pentru cele două suprafeţe

elementare 119889119860 (din stacircnga şi din dreapta faţă de axa 119874119910) se obţine

int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860119889119903

+ int (minus119911) ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860119904119905119892

= int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860119889119903

minus int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860119904119905119892

= 0 (49)

Acelaşi raţionament se poate face și pentru icircntreaga suprafaţă de unde obținem că

momentul de inerție centrifugal este nul 119868119911119910 = 0 Deci pentru o suprafaţă plană care

are cel puţin o axă de simetrie momentul de inerţie centrifugal faţă de sistemul care

conţine acea axă de simetrie este nul

Momentul de inerţie polar al unei suprafeţei icircn raport cu un punct (pol) 119874 figura

42 este definit prin relaţia

1198680 = 119868119901 ≝ int 1205882 ∙ 119889119860

119860

= int(1199102 + 1199112) ∙ 119889119860

119860

= 119868119911 + 119868119910 (410)

unde este distanţa de la polul 119874 la elementul de arie 119889119860 Momentul de inerţie polar se

măsoară icircn [1198981198984] şi este totdeauna pozitiv

Momentul de inerţie polar este egal cu suma momentelor de inerţie faţă de două axe

perpendiculare oarecare şi care trec prin polul considerat

Razele de giraţie sau razele de inerţie sunt mărimi calculate icircn raport cu axele

secțiunii și definite de relaţiile

119894119911 ≝ radic119868119911119860 119894119910 = radic

119868119910

119860 (411)

Se exprimă icircn [119898119898] şi sunt icircntotdeauna pozitive Semnificația unei raze de inerție

este distanța la care dacă ar fi concentrată icircntreaga arie s-ar obține același moment de

inerție ca și cel calculat pentru aria reală

44 Modulul de rezistenţă

Modulul de rezistență se calculează icircn raport cu axele de referință sau icircn raport cu

un pol figura 42 și pot fi axiale (119882119911119882119910) sau polar (119882119901) și se determină numai pe baza

momentelor de inerţie cu relațiile figura 43

119882119911119898119894119899 ≝119868119911119910119898119886119909

119882119911119898119886119909 ≝119868119911119910119898119894119899

(412)

119882119910119898119894119899 ≝119868119910

119911119898119886119909 119882119910119898119886119909 ≝

119868119910

119911119898119894119899 (413)

119882119901 ≝119868119901

120588119898119886119909 (414)

unde

119910119898119886119909 119910119898119894119899 reprezintă distanţa de la axa 119874119911 la punctele extreme cele mai

depărtate respectiv cele mai apropiate ale suprafeţei de această axă

119911119898119886119909 119911119898119894119899 reprezintă distanţa de la axa 119874119910 la punctele extreme cele mai

depărtate respectiv cele mai apropiate ale suprafeţei de această axă

120588119898119886119909 reprezintă distanța maximă de la polul 119874 la punctul secțiunii cel mai

icircndepărtat de acesta

Fig 43 Suprafață dreptunghiulară cu două arii elementare 119889119860

Modulele de rezistenţă se exprimă icircn [1198981198983] şi sunt icircntotdeauna pozitive

Explicația este aceea că momentele de inerție care intră icircn relațiile de definiție sunt

pozitive iar distanțele la punctele extreme sunt pozitive (119910119898119886119909 119910119898119894119899 119911119898119886119909 119911119898119894119899 120588119898119886119909 se

iau icircn valoare absolută)

Icircn cazul suprafeţelor compuse modulul de rezistenţă nu se obţine prin icircnsumarea

algebrică a modulelor de rezistenţă ale suprafeţelor simple componente ci numai prin

intermediul momentului de inerţie axial calculat pentru icircntreaga secțiune

Ca și momentele de inerție modulele de rezistență se calculează numai pentru

sistemele de axe centrale

45 Momente de inerţie şi module de rezistenţă pentru suprafeţe simple

451 Secțiune dreptunghiulară

Fie suprafaţa dreptunghiulară din figura 44 de icircnălțime ℎ și lățime 119887 pe care se

consideră suprafaţă elementară de arie 119889119860 = 119887119889119910 la distanța 119910 de axa 119862119911 sistemul de

axe 119911119862119910 trece prin centrul secțiunii iar axele sunt axe de simetrie pentru dreptunghi

Fig 44 Suprafață dreptunghiulară

Pe baza relațiilor de definiți a momentului de inerție 119868119911 se obține

119868119911 ≝ int 1199102 ∙ 119889119860

119860

= int 1199102 ∙ 119887 ∙ 119889119910 = 2int 1199102 ∙ 119887 ∙ 119889119910 = 2 ∙ 119887 ∙1199103

3|ℎ 2frasl

0rArr

ℎ 2frasl

0

ℎ 2frasl

minusℎ 2frasl

rArr 119868119911 =119887 ∙ ℎ3

12

(415)

Analog pentru un element de arie 119889119860 = ℎ ∙ 119889119911 paralel cu axa 119862119910 situat la distanța

119911 de axa 119862119910

119868119910 ≝ int 1199112 ∙ 119889119860

119860

= int 1199112 ∙ ℎ ∙ 119889119911 = 2int 1199112 ∙ ℎ ∙ 119889119910 = 2 ∙ ℎ ∙1199113

3|119887 2frasl

0rArr

119887 2frasl

0

119887 2frasl

minus119887 2frasl

rArr 119868119910 =1198873 ∙ ℎ

12

(416)

Deoarece axele 119862119911 și 119862119910 sunt axe de simetrie momentul de inerție centrifugal este

119868119911119910 = 0 (417)

Pentru un pătrat avacircnd laturile egale (ℎ = 119887 = 119886) momentele de inerţie faţă de

axele centrale au expresia

119868119911 = 119868119910 =1198864

12 (418)

Modulele de rezistență axiale se calculează cu relațiile de definiție ținacircnd cont că

distanțele pacircnă la fibrele extreme sunt

119910119898119886119909 = 119910119898119894119899 =ℎ

2 119911119898119886119909 = 119911119898119894119899 =

119887

2 (419)

Obținem

119882119911119898119894119899 = 119882119911119898119886119909 =119868119911

119910119898119886119909119898119894119899=119887 ∙ ℎ3

12frasl

ℎ2frasl

=119887 ∙ ℎ2

6

119882119910119898119894119899 = 119882119910119898119886119909 =119868119910

119911119898119886119909119898119894119899=1198873 ∙ ℎ

12frasl

1198872frasl

=1198872 ∙ ℎ

6

(420)

452 Suprafaţă circulară

Din motive de simetrie pentru suprafeţele circulare momentele de inerţie faţă de

orice diametru (care reprezintă şi axe centrale) sunt aceleaşi

Considerăm o secțiune circulară plină cu diametrul 119889 și centrul de greutate 119862 Prin

centrul de greutate 119862 trece sistemul de axe ortogonal 119911119862119910 figura 45

Fig 45 Suprafață circulară

La distanța de centrul de greutate 119862 vom lua un element de suprafață mic de arie

(119889119860) de forma unui inel de grosime 119889 Elementul de arie 119889119860 are expresia

119889119860 = (2 ∙ 120587 ∙ 120588) ∙ (119889120588)

Pornind de la relația de definiție a momentului de inerție polar obținem

119868119901 ≝ int 1205882 ∙ 119889119860

119860

= int 1205882 ∙ (2 ∙ 120587 ∙ 120588) ∙ 119889120588

119903=119889 2frasl

0

= 2 ∙ 120587 ∙1205884

4|119889 2frasl0 rArr

rArr 119868119901 =120587 ∙ 1198894

32

(421)

Secțiunea este perfect simetrică deci sunt valabile relațiile

119868119911 = 119868119910 rArr 119868119901 = 119868119911 + 119868119910 = 2 ∙ 119868119911 = 2 ∙ 119868119910 =119868119901

2=120587 ∙ 1198894

64 (422)

Și modulele de rezistenţă faţă de orice diametru sunt egale şi se calculează cu

relaţiile

119882119911 = 119882119910 =1198681199111198892frasl=120587 ∙ 1198893

32 (423)

Modulul de rezistenţă polar este

119882119901 =1198681199011198892frasl=120587 ∙ 1198893

16 (424)

453 Secţiune inelară

Calculul momentelor de inerţie axiale pentru o secţiune inelară avacircnd diametrul

interior 119889 şi diametrul exterior 119863 se determină analog pentru suprafaţa circulară plină cu

observaţia că integrala pentru calculul momentului de inerție polar 119868119901 se face icircntre

limitele 119903 = 119889 2frasl şi R= 1198632frasl (icircntre raza interioară 119903 şi raza exterioară 119877) figura 46

Se obţin relaţiile

119868119901 =120587 ∙ 1198634

32∙ [1 minus (

119889

119863)4

] =120587 ∙ 1198634

32∙ (1 minus 1198964) (425)

119868119910 = 119868119910 =120587 ∙ 1198634

64∙ [1 minus (

119889

119863)4

] =120587 ∙ 1198633

64∙ (1 minus 1198964) (426)

Fig 46 Secțiune inelară

119882119901 =120587 ∙ 1198633

16∙ [1 minus (

119889

119863)4

] =120587 ∙ 1198633

16∙ (1 minus 1198964) (427)

119882119911 = 119882119910 =120587 ∙ 1198633

32∙ [1 minus (

119889

119863)4

] =120587 ∙ 1198633

32∙ (1 minus 1198964) (428)

unde 119896 = 119889119863frasl

46 Variaţia momentelor de inerţie faţă de axe paralele

( Relațiile lui STEINER)

Se consideră o suprafaţă oarecare de arie 119860 cu elementul de arie 119889119860 și un sistemul

de axe central 119911119862119910 faţă de care se cunosc momentele de inerţie 119868119911 119868119910 119868119911119910 şi considerăm

un sistem de axe 11991111198741199101 paralele cu sistemul central figura 47 Se pune problema

determinării momentele de inerţie 1198681199111 1198681199101 11986811991111199101 faţă de sistemul de axe paralel cu sistemul

central 11991111198741199101 axe aflate la distanţele 119910119862 = 119888 respectiv 119911119862 = 119889 de acesta

461 Momente de inerţie axiale

Pe baza relaţiilor de definire şi a notaţiilor din figura 42 pentru momentele de

inerţie faţă de axele 1198741199111 1198741199101 se poate scrie

1198681199111 = int 11991012 ∙ 119889119860

119860

= int(119910 + 119888)2 ∙ 119889119860

119860

= int 1199102 ∙ 119889119860

119860

+ 2 ∙ 119888 ∙ int 119910 ∙ 119889119860

119860

+

+1198882int 119889119860

119860

rArr 1198681199111 = 119868119911 + 2 ∙ 119888 ∙ 119878119911 + 1198882 ∙ 119860 hArr 1198681199111 = 119868119911 + 119888

2 ∙ 119860

(429)

Fig 47 Variaţia momentelor de inerţie față de axe paralele

S-a ajuns la relația (429) deoarece momentul static 119878119911 este nul deoarece axa 119862119885

este axă centrală

Pentru momentul de inerție axial icircn raport cu axa 1198741199101 se obține

1198681199101 = int 11991112 ∙ 119889119860

119860

= int(119911 + 119889)2 ∙ 119889119860

119860

= int 1199112 ∙ 119889119860

119860

+ 2 ∙ 119889 ∙ int 119911 ∙ 119889119860

119860

+

+1198892 ∙ int 119889119860

119860

rArr 1198681199101 = 119868119910 + 2 ∙ 119889 ∙ 119878119910 + 1198892 ∙ 119860 hArr 1198681199101 = 119868119910 + 119889

2 ∙ 119860

(430)

Pentru momentul de inerție centrifugal obținem

11986811991111199101 = int 1199101 ∙ 1199111 ∙ 119889119860

119860

= int(119910 + 119888) ∙ (119911 + 119889) ∙ 119889119860

119860

= int 119910 ∙ 119911 ∙ 119889119860 +

119860

+119888 ∙ int 119911 ∙ 119889119860

119860

+ 119889 ∙ int 119910 ∙ 119889119860

119860

rArr 11986811991111199101 = 119868119911119910 + 119888 ∙ 119889 ∙ 119860

(431)

Deoarece

int 119911 ∙ 119889119860

119860

= 119878119910 = 0 int 119910 ∙ 119889119860

119860

= 119878119911 = 0 int 119910 ∙ 119911 ∙ 119889119860

119860

= 119868119911119910

Relaţiile (429) şi (430) arată că momentul de inerţie faţă de o axă oarecare

este egal cu momentul de inerţie faţă de o axă paralelă cu ea trecacircnd prin centrul de

greutate la care se adaugă produsul dintre aria suprafeţei şi pătratul distanţei dintre

cele două axe

Din relaţiile (429) și (430) rezultă de asemenea că momentul de inerţie faţă de o

axă centrală (care trece prin centrul de greutate) este cel mai mic dintre infinitatea de

momente de inerţie obținute faţă de alte axe paralele cu ea

Relaţia (431) arată de asemenea că momentul de inerţie centrifugal faţă de un

sistem de axe oarecare este egal cu momentul de inerţie centrifugal faţă de un sistem

paralele cu el trecacircnd prin centrul de greutate a suprafeţei la care se adaugă produsul

dintre aria suprafeţei şi distanţele dintre axele sistemelor respective

Icircn literatura de specialitate relaţiile (429) (430) şi (431) sunt cunoscute sub

numele de relaţiile lui Steiner

47 Variaţia momentrlor de inerţie faţă de axe rotite

Direcţii principale şi momente de inerţie principale

Fie suprafaţa plană din figura 48 de arie 119860 pe care considerăm o suprafaţă

elementară de arie 119889119860 Pentru sistemul de axe 119911119874119910 se cunosc momentele de inerţie

119868119911 119868119910 119868119911119910 şi vom determina relaţiile de calcul pentru momentele de inerţie afererent unui

sistem de axe 11991111198741199101 rotit cu un unghi faţă de sistemul central

Faţă de sistemul de axe 11991111198741199101 elementul de arie 119889119860 are coordonatele

1199101 = 119875119877 = 119875119876 minus 119877119876 = 119910 ∙ cos 120572 minus 119911 ∙ sin 120572

1199111 = 119873119872 = 119873119875 minus 119875119872 = 119911 ∙ cos 120572 + 119910 ∙ sin 120572 (432)

Fig 47 Variaţia momentelor de inerţie față de axe rotite

Pe baza relaţiilor de calcul ale momentelor de inerţie şi a notaţiilor din figura 42

şi ale relaţiilor (432) momentele de inerţie faţă de sistemul de axe rotit 11991111198741199101 sunt

1198681199111 =119868119911 + 119868119910

2+119868119911 minus 119868119910

2∙ cos 2120572 minus 119868119911119910 ∙ sin 2120572 (433)

1198681199101 =119868119911 + 119868119910

2minus119868119911 minus 119868119910

2∙ cos 2120572 + 119868119911119910 ∙ sin 2120572 (434)

11986811991111199101 =119868119911 minus 119868119910

2∙ sin 2120572 + 119868119911119910 ∙ cos 2120572 (435)

Din relaţiile 433divide435 se observă că icircntre momentele de inerţie axiale şi cele

polare există relaţia

1198681199111 + 1198681199101 = 119868119911 + 119868119910 = 119868119901 (436)

adică suma momentelor de inerţie axiale icircn raport cu orice pereche de axe ortogonale

care trec printr-un pol dat este o constantă şi egală cu momentul de inerţie polar

Prin rotirea sistemului de axe din relaţiile 433divide435 rezultă că momentele de inerţie

variază icircnsă suma lor rămacircne constantă deci există o poziţie a sistemului de axe pentru

care momentele de inerţie au valori extreme maxim respectiv minim

471 Direcţii principale de inerţie

Valoarea unghiului 120572 pentru care momentele de inerţie axiale au valori extreme

este

1205721 =1

2∙ 119886119903119888119905119886119899 (minus

2 ∙ 119868119911119910

119868119911 minus 119868119910) (437)

Poziţia celeilalte direcţii este perpendiculară pe cea dată de unghiul 1205721

Din relaţia (437) se constată că faţă de aceste direcţii rotite pentru care momentele

de inerţie axiale prezintă valori extreme momentul de inerţie centrifugal 11986811991111199101este nul

Atunci se poate afirma că momentele de inerţie axiale au valori extreme icircn raport cu

direcţiile faţă de care momentul de inerţie centrifugal este nul Aceste direcţii se numesc

direcţii principale iar momentele de inerţie faţă de aceste direcţii poartă numele de

momente de inerţie principale

Icircn calculele de rezistenţă interesează icircn mod special poziţia direcţiilor principale

care trec prin centrul de greutate al suprafeţei aşa numitele direcţii principale centrale şi

evident momentele de inerţie principale centrale

Direcţiile principale de inerţie se notează cu 1 respectiv 2 Axa principală 1

corespunde direcţiei faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea maximă iar

axa principală 2 pentru direcţia faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea

minimă

472 Momente de inerţie principale

Momentele de inerţie principale se notează cu litera 119868 la care se pune indicele 1

sau 2 după cum valoarea acestuia este maximă sau minimă deci avem un moment de

inerţie principal 1 (notat 1198681) respectiv moment de inerţie principal 2 (notat 1198682)

Expresiile pentru momentele de inerţie principale sunt

11986812 =119868119911 + 119868119910

2plusmn1

2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)

2+ 4 ∙ (119868119911119910)

2 (438)

Dacă momentul de inerţie centrifugal este negativ (119868119911119910 lt 0) direcţia principală

care trece prin primul cadran (definit de sistemul 119911119862119910) este direcţia principală 120783

Pentru suprafeţele cu cel puţin o axă de simetrie direcţiile centrale 119862119911 119862119910 sunt şi

direcții principale de inerţie și evident momentele de inerţie axiale 119868119911 119868119910 sunt momente

de inerţie principale

48 Caracteristici mecanice ale metalelor

Alegerea materialului pentru confecţionarea unei anumite piese se face şi pe baza

aşa numitelor caracteristici mecanice pe care le prezintă materialul Cunoaşterea acestor

caracteristici mecanice are loc numai pe baza unor icircncercări mecanice care să scoată icircn

evidenţă comportarea materialului icircn condiţii de solicitare

Cea mai utilizată icircncercare icircn urma căreia se pun icircn evidenţă caracteristicile

mecanice ale unui material este icircncercarea la tracţiune

481 Icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general

Icircncercarea la tracţiune a oţelului ca de altfel toate icircncercările de materiale este

standardizată

Icircn cele ce urmează se va prezenta numai partea care interesează strict din punct

de vedere al caracteristicilor mecanice ale oţelului

Epruveta de diametru iniţial 1198890 pentru icircncercarea la tracţiune are o porţiune de

lungime 1198710 numită baza de măsurare pe care se măsoară lungirea acesteia sub acţiunea

solicitării

Icircn funcţie de raportul dintre baza de măsurare 1198710 şi diametrul iniţial 1198890 epruvetele

utilizate pentru icircncercări sunt

epruvete normale (scurte) cacircnd 11987101198890 = 5

epruvete lungi cacircnd 11987101198890 = 10

Icircn timpul icircncercării la diferite valori ale forţei 119865 se măsoară lungirea bazei de

măsurare

∆119871 = 120575 = 119871 minus 1198710 (439)

unde

119871 este dimensiunea bazei de măsurare la un moment dat

Curba forţă-lungire (119865 minus ) icircnregistrată icircn urma icircncercării reprezintă curba

caracteristică la tracţiune

La icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general diagrama caracteristică care se

obţine are forma din figura 48

Curba caracteristică la tracţiune depinde de lungimea bazei de măsurare Pentru

icircnlăturarea acestui neajuns curba caracteristică se reprezintă icircn coordonate şi definite

astfel

120590 =119865

1198600 휀 =

120575

1198710 (440)

unde

1198600 este aria iniţială a secţiunii transversale a epruvetei (icircnainte de solicitare) icircn

zona bazei de măsurare

1198600 =120587 ∙ 1198890

2

4

Deoarece mărimile icircn care se reprezintă curba caracteristică la tracţiune sunt

raportate la aria iniţială a secţiunii transversale (mărimi specifice) curba poartă numele

de curbă caracteristică convenţională la tracţiune

Fig 48 Curba caracteristică convenţională la tracțiune

Pe curba caracteristică convenţională la tracţiune figura 48 se pot stabili o serie

de puncte cărora le corespund mai multe mărimi importante

Ordonata punctului A pacircnă unde curba caracteristică convenţională este linie

dreaptă se numeşte limita de proporţionalitate a materialului 120590119901(1205901) Porţiunea 119874119860 este

zona de proporţionalitate a curbei caracteristice pe acest domeniu este valabilă legea lui

Hooke care exprimă o proporţionalitate icircntre tensiune şi deformaţie specifică

120590 = 119864 ∙ 휀 (441)

unde

119864 = reprezintă panta porţiunii liniare a curbei convenționale caracteristice

la tracțiune Caracteristica de material 119864 se numeşte modul de elasticitate longitudinal

(modulul lui Young)

Ordonata punctului 119861 pacircnă unde materialul se comportă perfect elastic adică

după descărcare icircşi recapătă dimensiunea iniţială 1198710 se numeşte limita de elasticitate

120590119890(119877119890) Icircn realitate nici un material nu are comportare perfect elastică sub acţiunea

solicitărilor el capătă deformaţii permanente (remanente plastice)

După punctul 119861 urmează o porţiune 119861119862119863 icircn care cu toate că icircncărcarea

continuă forţa nu mai creşte avacircnd mici oscilaţii icircn jurul unei valori Se spune că icircn

această porţiune materialul curge iar intervalul 119861119862119863 este un palier de curgere Tensiunea

corespunzătoare palierului de curgere se numeşte limită de curgere aparentă 120590119888(119877119888) Limita de curgere aparentă se calculează cu relaţia

120590119888 =1198651198881198600 (442)

unde

119865119888 reprezintă valoarea forţei icircnregistrată icircn momentul curgerii materialului

După punctul 119863 curba caracteristică are un traseu ascendent pacircnă icircn punctul 119864

Porţiunea 119863119864 este numită zonă de icircntărire (ecruisare) Icircn zona de ecruisare unde se

produc deformaţii plastice semnificative legea lui Hooke nu mai este valabilă La

descărcare relaţia dintre tensiunea şi deformaţia specifică este liniară paralelă cu

porţiunea liniară a curbei caracteristice (dreapta 119872119873)

Deformaţia totală (휀119905) are două componente una elastică (휀119890) şi una plastică (휀119901)

Ordonata punctului 119864 reprezintă rezistenţa de rupere 120590119903(119877119898) a materialului

care se poate calcula cu relaţia

120590119903 = 119877119898 =1198651198981198861199091198600

(443)

unde

119865119898119886119909 reprezintă valoarea maximă a forţei icircnregistrată icircn timpul icircncercării

La atingerea valorii 119865119898119886119909 (punctul 119864) icircntr-un anumit loc al epruvetei secţiunea

icircncepe să se micşoreze (se produce gacirctuirea) continuacircnd pacircnă cacircnd se produce ruperea

totală (punctul 119865)

Dacă după ruperea epruvetei cele două părţi rezultate se aşează cap la cap şi se

măsoară dimensiunea bazei de măsurare 119871119906 (lungimea ultimă) se determină alungirea la

rupere sau lungirea specifică la rupere 휀119903

휀119903 =119871119906 minus 11987101198710

=∆119871

1198710=120575

1198710 (444)

De obicei alungirea se exprimă icircn procente şi se notează cu 119860119899 unde 119899 reprezintă

numărul dat de raportul 11987101198890 (epruvete normale 119899 = 5 epruvete lungi 119899 = 10)

119860119899 =119871119906 minus 11987101198710

∙ 100 [] (445)

Altă mărime care se determină la icircncercarea la tracţiune este gacirctuirea la rupere

(exprimată de obicei icircn procente) şi definită de relaţia

119885 =1198600 minus 1198601199061198600

∙ 100 [] (446)

Mărimile determinate limita de proporţionalitate modulul de elasticitate

longitudinal limita de elasticitate limita de curgere aparentă rezistenţa de rupere

alungirea la rupere şi gacirctuirea la rupere sunt cunoscute ca fiind caracteristici mecanice

ale materialului

Din curba caracteristică convenţională observăm faptul că ruperea (punctul 119865 din

figura 48 se produce la o tensiune mai mică decacirct cea corespunzătoare punctului 119864 Dacă

icircnsă forţa din timpul icircncercării s-ar raporta la aria secţiunii din momentul icircnregistrării

forţei (care este mai mică decacirct cea iniţială 1198600) s-ar obţine aşa numita curbă

caracteristică reală a materialului (traseul 1198741198601198611198621198631198651 din figura 48) La curba

caracteristică reală ruperea se produce icircn punctul 1198651 la o icircncărcare mai mare decacirct cea

corespunzătoare punctului 119864 Icircnseamnă că rezistenţa reală la rupere este mai mare decacirct

rezistenţa la rupere dată de punctul 119864 din diagrama caracteristică convenţională

Dificultatea obţinerii diagramei caracteristice reale faţă de cea a diagramei caracteristice

convenţionale şi considerarea unei rezistenţe la rupere mai mică decacirct a celei reale face

icircn practică utilizarea pe scară mare a diagramei caracteristice convenţionale

Caracteristicile mecanice determinate pe baza curbei caracteristice convenţionale

sunt şi ele caracteristici mecanice convenţionale

Caracteristicile mecanice convenţionale limita de proporţionalitate convenţională

120590119901 limita de elasticitate convenţională 120590119890 limita de curgere convenţională 120590119888 şi rezistenţa

de rupere 120590119903 constituie tensiuni limită pentru un material Pe baza acestor caracteristici

de material se alege valoarea tensiunii admisibile 120590119886 (vezi paragraful 35) pentru

calculele de rezistenţă Cea mai utilizată stare limită pentru stabilirea tensiunii admisibile

120590119886 este limita de curgere convenţională 120590119888

120590119886 =120590119897119894119898119888

=120590119888119888 119904119886119906 120590119886 =

120590119903119888 (447)

Caracteristicile mecanice ale materialului sunt influenţate de o serie de factori

temperatura viteza de solicitare factorii tehnologici iar valorile lor sunt date icircn tabele și

diagrame

Aplicaţie Pentru suprafaţa plană compusă din două dreptunghiuri avacircnd

dimensiunile din figura 49a să se calculeze

a) centrul de greutate al secțiunii compuse 119910119866 119911119866

b) momentele de inerție axiale 119868119911 119868119910 și momentul de inerție centrifugal 119868119911119910

c) razele de inerție 119894119911 119894119910

d) modulele de rezistență 119882119911119898119894119899 119882119911119898119886119909 119882119910119898119894119899 119882119910119898119886119909

e) momentele de inerție principale 1198681 1198682 și direcțiile principale de inerție 1205721

f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 119878119911

Fig 49 Aplicație

Rezolvare Pentru rezolvare vom parcurge următoarele etape

icircmpărțim suprafața compusă icircn două suprafețe simple (dreptunghiuri) notate cu

① și respectiv ② figura 49b

poziționăm centrele de greutate a celor două suprafețe simple ① și respectiv ②

notate cu 1198661 și respectiv 1198662 figura 49c

poziționăm sistemele de axe de coordonate 119911111986611199101 pentru dreptunghiul ① și

119911211986621199102 pentru dreptunghiul ② aflate la intersecția diagonalelor figura 49c

poziționăm sistemele de axe de coordonate 11991101198741199100 ales arbitrar față de care

determinăm poziția centrului de greutate 119866 figura 49c

a) calculăm poziția centrului de greutate folosind relațiile (46) icircn care

1198601 = 6119905 ∙ 119905 = 61199052 1198602 = 4119905 ∙ 119905 = 41199052 119860 = 1198601 + 1198602 = 61199052 + 41199052 = 101199052

iar centrele de greutate 1198661 și respectiv 1198662 au coordonatele (față de sistemul 11991101198741199100)

1198661 1199101 = 3119905 1199111 = 05119905

1198662 1199102 = 051199051199112 = 3119905

cu acestea obținem

119910119866 =1198601 ∙ 1199101 + 1198602 ∙ 1199102

119860=61199052 ∙ 3119905 + 41199052 ∙ 05119905

101199052=201199053

101199052= 2119905

119911119866 =1198601 ∙ 1199111 + 1198602 ∙ 1199112

119860=61199052 ∙ 05119905 + 41199052 ∙ 3119905

101199052=151199053

101199052= 15119905

Poziționăm centrul de greutate 119866 al suprafeței compuse figura 49c

Fig 49 Aplicație

b) pentru determinarea momentelor de inerție axiale 119868119911 119868119910 și a momentului de

inerție centrifugal 119868119910119911 determinăm constantele 1198881 1198882 1198891 1198892 care intervin icircn relația lui

Stainer

1198881 = 1199101 minus 119910119866 = 3119905 minus 2119905 = 119905 1198882 = minus(119910119866 minus 1199102) = minus(2119905 minus 05119905) = minus15119905

1198891 = minus(119911119866 minus 1199111) = minus(15119905 minus 05119905) = minus119905 1198892 = 1199112 minus 119911119892 = 3119905 minus 15119905 = 15119905

Folosind relațiile lui Stainer (429) (430) și (431) calculăm momentele de

inerție axiale și centrifugale față de sistemul central 119911119866119866119910119866

119868119911 =sum(119868119911119894 + 1198881198942 ∙ 119860119894) = 1198681199111 + 1198881

2 ∙ 1198601 + 1198681199112 + 11988822 ∙ 1198602

119868119910 =sum(119868119910119894 + 1198891198942 ∙ 119860119894) = 1198681199101 + 1198891

2 ∙ 1198601 + 1198681199102 + 11988922 ∙ 1198602

119868119911119910 =sum(119868119911119894119910119894 + 119888119894 ∙ 119889119894 ∙ 119860119894) = 11986811991111199101 + 1198881 ∙ 1198891 ∙ 1198601 + 11986811991121199102 + 1198882 ∙ 1198892 ∙ 1198602

1198681199111 = (119887 ∙ ℎ3

12) =

119905 ∙ (6119905)3

12= 181199054 1198681199112 = (

119887 ∙ ℎ3

12) =

4119905 ∙ 1199053

12= 031199054

1198681199101 = (1198873 ∙ ℎ

12) =

1199053 ∙ 6119905

12= 051199054 1198681199102 = (

1198873 ∙ ℎ

12) =

(4119905)3 ∙ 119905

12= 531199054

11986811991111199101 = 11986811991121199102 = 0 deoarece cele două triunghiuri au cel puțin o axă de simetrie

Cu acestea momentele de inerție axiale și momentul de inerție centrifugal devin

119868119911 = 181199054 + 1199052 ∙ 61199052 + 031199054 + (minus15119905)2 ∙ 41199052 = 3331199054

119868119910 = 051199054 + (minus119905)2 ∙ 61199052 + 531199054 + (15119905)2 ∙ 41199052 = 2081199054

119868119911119910 = 0 + 119905 ∙ (minus119905) ∙ 61199052 + 0 + (minus15119905) ∙ (15119905) ∙ 41199052 = minus151199054

c) razele de inerție sau de girație față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910

se calculează cu relațiile (411)

119894119911 = radic119868119911119860= radic

3331199054

101199052= 182119905 119894119910 = radic

119868119910

119860= radic

2081199054

101199052= 144119905

d) modulele de rezistență față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910 se

calculează cu relațiile (412) și (413)

Avacircnd icircn vedere figura 419c obținem

119910119898119886119909 = 6119905 minus 119910119866 = 6119905 minus 2119905 = 4119905 119910119898119894119899 = minus119910119866 = minus2119905

119911119898119886119909 = 5119905 minus 119911119866 = 5119905 minus 15119905 = 35119905 119911119898119894119899 = minus119911119866 = minus15119905

Se obține astfel

119882119911119898119894119899 =119868119911

|119910119898119886119909|=3331199054

4119905= 8331199053

119882119911119898119886119909 =119868119911

|119910119898119894119899|=3331199054

2119905= 16651199053

119882119910119898119894119899 =119868119910

|119911119898119886119909|=2081199054

35119905= 5941199053

119882119910119898119886119909 =119868119910

|119911119898119894119899|=2081199054

15119905= 13871199053

e) momentele de inerție principale 1198681 și respectiv 1198682 se calculează cu relațiile

(438)

11986812 =119868119911 + 119868119910

2plusmn1

2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)

2+ 4 ∙ (119868119911119910)

2=

=3331199054 + 2081199054

2plusmn1

2∙ radic(3331199054 minus 2081199054)2 + 4 ∙ (minus151199054)2 = 27051199054 plusmn 16251199054

De unde obținem

1198681 = 27051199054 + 16251199054 = 4331199054

1198682 = 27051199054 minus 16251199054 = 1081199054

Prima direcție principală de inerție 1 face cu axa centrală 119866119911 unghiul 1205721 dat de

relația (437)

1205721 =1

2∙ arctan (minus

2 ∙ 119868119911119910

119868119911 minus 119868119910) =

1

2∙ arctan [minus

2 ∙ (minus151199054)

3331199054 minus 2081199054] =33 70

Deoarece 1205721 gt 0 rotirea axelor se face acircn sens antiorar acelor de ceasornic figura

49d

Poziția axe principale 2 față de care momentul de inerție are valoarea minimă

1198682 = 119868119898119894119899 este dată de unghiul

1205722 = 1205721 + 900 = 33 70 + 900 = 123 70

f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 se determină cu relația

(45)

1198781199111198602 = 1198602 ∙ 1198882 = 41199052 ∙ (minus15119905) = minus61199053

a) corpuri solide cu o dimensiune mult mai mare decacirct celelalte două (corpuri cu

fibră medie) Elementele geometrice caracteristice sunt axa longitudinală şi secţiunea

transversală Aceste corpuri solide pot fi

- fire dacă dimensiunile secţiunii transversale sunt foarte mici astfel icircncacirct axa

longitudinală este flexibilă (icircşi schimbă forma uşor) iar sarcinile transversale nu pot fi

preluate de acesta Un fir nu poate fi solicitat decacirct la icircntindere (exemplu cabluri de

macara lanţuri etc)

- bare care rezistă atacirct la solicitări axiale cacirct şi la solicitări transversale

După modul de solicitare barele poartă diferite denumiri convenţionale

tiranţi-solicitaţi la icircntindere figura 21a

stacirclpi-solicitaţi la compresiune figura 21b

grinzi-solicitate la icircncovoiere figura 21c

arbori-solicitaţi la torsiune (răsucire) figura 21d

Fig 21 Denumirea barelor după modul de solicitare

După modul cum variază secţiunea icircn lungul axei barele pot fi

de secţiune constantă figura 22a

de secţiune variabilă continuă figura 22b sau icircn trepte figura 22c

Fig 22 Denumirea barelor după secțiune

După forma axei longitudinale barele pot fi

drepte figura 21

curbe icircn plan figura 23a sau icircn spaţiu figura 23b (numite și curbe stracircmbe)

cotite (axa barei este o linie fracircntă) plane figura 23c sau spațiale figura 23d

Fig 23 Tipuri de bare curbe și cotite

Secţiunea transversală (plană şi normală pe axa barei) poate avea orice formă

geometrică constantă sau variabilă icircn lungul barei

Dacă una din dimensiunile secţiunii transversale (grosimea) este mai mică

comparativ cu celelalte bara se numește bară cu pereţi subţiri (exemplu barele

realizate din platbande sudate cu secţiuni sub formă de profil I profil U cornier etc)

b) corpuri care au două dimensiuni mult mai mari icircn raport cu a treia (grosimea)

se numesc plăci Elementele geometrice caracteristice ale unei plăci sunt forma şi

dimensiunile suprafeţei mediane respectiv grosimea Plăcile se reprezintă schematic

printr-o suprafață care imită forma și dimensiunile suprafeței mediane Suprafaţa mediană

reprezintă locul geometric al tuturor punctelor egal depărtate de cele două feţe ale plăcii

puncte aflate pe perpendicularele duse icircntre cele două feţe figura 24

După destinaţie și forma suprafeței mediane se deosebesc

plăci plane figura 24b

plăci curbe (icircnvelişuri) cu o singură curbură figura 24a sau avacircnd curbură

dublă figura 24c

Fig 24 Tipuri de plăci plane

Plăcile cu grosime mare sunt denumite frecvent dale O placă de grosime mică

ce nu poate prelua decacirct solicitări la icircntindere poartă numele de membrană

Exemple de plăci icircnvelişurile vasele de revoluţie discurile etc

c) corpuri masive care au toate cele trei dimensiuni aproximativ de acelaşi ordin

de mărime (blocuri de fundaţii bile şi role de rulmenţi tuburi cu pereţi groşi etc)

Calculele de rezistenţă sunt mai simple icircn cazul barelor drepte şi mai complicate

la barele curbe plăci respectiv blocuri

23 Clasificarea icircncărcărilor exterioare

Un corp icircşi păstrează forma şi dimensiunile datorită forţelor de atracţie dintre

particulele sale elementare atacircta timp cicirct asupra sa nu acţionează alte forţe aplicate din

exterior care să-l deformeze Icircn construcţia de maşini elementele de rezistenţă preiau şi

transmit acţiunea unor sarcini exterioare (forţe şisau cupluri) pe care le vom denumi

generic forțe sau icircncărcări exterioare Efectul pe care-l au sarcinile este acela de a

modifica forma şi dimensiunile corpului asupra căruia se aplică Icircn punctele de rezemare

(de sprijin sau de legătură cu alte elemente de rezistenţă icircnvecinate) ca urmare a

principiului acţiunii şi reacţiunii apar forţe de legătură sau reacţiuni Ansamblul format

din sarcini şi reacţiuni este cunoscut sub numele de forţe exterioare Sub acţiunea

forţelor exterioare elementele de rezistenţă trebuie să fie icircn echilibru

Forţele exterioare pot fi clasificate după următoarele criterii

a) după mărimea suprafeţei pe care se aplică

- forțe concentrate aplicate teoretic icircntr-un punct figura 25a

- forțe distribuite uniform sau cu intensitate variabilă icircn lungul barei sau pe o

suprafaţă figura 25bc şi d

- momente concentrate care acţionează icircntr-un punct M sau momente uniform

distribut pe o anumită lungime m

Fig 25 Tipuri de sarcini după mărimea suprafeţei de aplicare

b) după locul de aplicare se deosebesc

- forţe de suprafaţă sau de contur care sunt aplicate din exterior pe suprafaţa

corpurilor şi indică legătura cu piesele icircnvecinate

- forţe masice sau de volum distribuite icircn tot corpul (greutăţi forţe de inerţie

respectiv forţe electromagnetice)

c) după modul de acţiune icircn timp se disting

- forţe statice care se aplică lent şi progresiv pacircnă la valoarea nominală de lucru

şi apoi rămacircn constante figura 26a

- forţe dinamice care rezultă din

aplicarea cu icircntreaga intensitate de la icircnceputul perioadei de solicitare iar apoi forţa se

menţine constantă timp icircndelungat figura 26b (forţe de inerţie)

aplicarea bruscă a sarcinii asupra corpului durata de acţiune a sarcinii fiind mică figura

26c (forţe de şoc)

variaţia periodică icircn timp a intensităţii forţei aplicate figura 26d (forţe de oboseală)

Fig26 Tipuri de forţe exterioare (cicluri de solicitare)

Funcţie de modul de variaţie al forţelor exterioare solicitările pot fi statice

oscilante pulsante alternante etc Experimental s-a constatat că rezistenţa unui material

depinde foarte mult de modul de variaţie a forţelor icircn timp Bach a clasificat solicitările

icircn 3 categorii 1-solicitări statice 2-solicitări pulsante 3-solicitări alternant simetrice

Rezistenţa unui material este icircn raportul 321 pentru cele 3 cazuri de solicitare ale lui

Bach Aceasta icircnseamnă că o piesă solicitată static rezistă la o forţă de 3 ori mai mare

decacirct forţa maximă care produce ruperea aceleaşi piese solicitate alternant simetric

d) după poziţia icircn timp a forțelor se disting

- forţe fixe ale căror puncte de aplicaţie sunt mereu aceleaşi

- forţe mobile ale căror puncte de aplicaţie se deplasează icircn timp De exemplu

sarcinile produse de vehiculele care circulă pe un pod sarcinile unei grinzi de pod rulant

icircntr-o halăetc

24 Reazeme Forțe interioare Eforturi Diagrame de eforturi icircn barele

drepte

241 Reazeme Reacțiuni (forțe de legătură)

Pentru a prelua şi transmite acţiunea sarcinilor exterioare elementele de rezistenţă

din componenţa unei structuri sunt fixate icircntre ele prin intermediul unor legături

exterioare numite reazeme Aceste legături au ca scop icircmpiedicarea anumitor mişcări ale

corpului pe direcţiile pe care acestea nu trebuie să se producă O legătură are deci rolul

de a anula unul sau mai multe grade de libertate ale corpului icircn punctul de rezemare Dacă

este anulat un singur grad de libertate legătura este simplă iar dacă sunt impiedicate mai

multe grade de libertate legătura este una compusă Datorită existenţei sarcinilor

exterioare icircn punctele de rezemare pe direcţiile pe care mişcările sunt icircmpiedicate apar

forţe de legătură numite reacţiuni Numărul natura şi direcţiile reacţiunilor depind de

tipul reazemelor Icircn construcţiile reale există o varietate mare de realizare practică a

reazemelor dar icircn calcule se acceptă anumite schematizări care reţin doar aspectul esenţial

al unui reazem şi anume gradul sau gradele de libertate anulate

Pentru o structură de rezistenţă spaţială icircntr-un punct oarecare sunt posibile şase

deplasări trei deplasări liniare (după direcţiile axelor unui sistem ortogonal) şi trei rotiri

(deplasări unghiulare) icircn jurul aceloraşi axe Ca urmare ar fi posibil de realizat maximum

şase tipuri de reazem

Pentru un element de rezistenţă plan icircncărcat cu eforturi cuprinse icircn planul

elementului icircn orice punct sunt posibile trei gade de libertate două deplasări liniare şi o

rotiri Ca urmare pentru cazul unei bare plane se icircntacirclnesc următoarele tipuri de reazeme

1 Reazemul simplu sau reazemul mobil care icircmpiedică deplasarea pe o direcţie

normală pe suprafaţa de rezemare permiţacircnd deplasarea pe o direcţie paralelă cu

suprafaţa de rezemare şi rotirea barei icircn jurul unei axe perpendiculare pe plan icircn punctul

de rezemare Icircn urma icircmpiedicării deplasării şi datorită unor sarcini exterioare icircn

reazemul simplu apare o reacţiune de tip forţă a cărei suport trece prin punctul de

rezemare şi a cărei direcţie este perpendiculară pe suprafaţa de rezemare figura 27

Fig 27 Reazem simplu (mobil)

Icircn figura 27 este reprezentat un reazem mobil poziţionat pe capătul A al unei bare

plane orizontale fiind evidenţiate punctul şi suprafaţa de rezemare direcţia suportului

reacţiunii şi modul de schematizare al reazemului Cea mai des icircntacirclnită reprezentare a

reazemului mobil este a unui triunghi a cărui bază poate luneca pe suprafaţa de rezemare

2 Reazemul fix sau articulaţia icircmpiedică deplasările liniare după toate direcţiile

din planul barei permiţacircnd doar rotirea barei icircn jurul unei axe perpendiculare pe plan şi

care trece prin puncul de rezemare Reacţiunea este cuprinsă icircn planul barei care trece

prin punctul de rezemare dar a cărei mărime şi direcţie nu sunt cunoscute (forţa R)

figura 28

Fig 28 Reazem fix

Se preferă ca icircn locul unei forţe R avacircnd direcţia oarecare icircn plan necunoscută să

se introducă două forţe (HA şi VA) cărora li se cunoaşte direcţia şi pentru care se vor

determina modulele ca valori din condiţiile de echilibru static Icircntr-un reazem fix apar

icircntotdeauna reacţiuni atacirct pe direcţia perpendiculară pe suprafaţa de rezemare

(verticală) cacirct şi pe direcţia paralelă cu prima (orizontală) chiar dacă uneori una sau

chiar ambele reacţiuni au valoarea zero Reprezentarea schematică a articulaţiei este cea

a unui triunghi cu baza fixă şi cu vacircrful icircn punctul de rezemare sau cea a unui pendul

dublu figura 28

3 Icircncastrarea (sau icircnţepenirea) anulează toate gradele de libertate ale capătului

unei bare icircmpiedicacircnd deplasarea liniară după orice direcţie din plan precum şi rotirea

barei icircn jurul unei axe perpendiculare pe plan şi care trece prin punctul de icircncastrare

Urmare a existenţei sarcinilor exterioare şi a blocării deplasărilor icircn icircncastrare apare o

reacţiune căreia nu i se cunoaşte nici mărimea nici direcţia şi nici punctul de aplicaţie

figura 29

Fig 29 Icircncastrarea

Sub acţiunea forţelor exterioare un sistem este icircn echilibru Valoarea reacţinilor

se determină din condiţia de echilibru a sistemului solicitat

Este cunoscut faptul că un sistem plan este icircn echilibru dacă

nu se deplasează pe o direcţie (fie x această direcţie)

nu se deplasează pe o direcţie perpendiculară pe prima (fie y această direcţie)

nu se roteşte faţă de un punct al planului (fie K acest punct)

Cele trei condiţii enunţate mai sus sunt satisfăcute dacă suma proiecţiilor tuturor

forţelor pe direcţia x respectiv y este nulă şi suma tuturor momentelor (cuplurilor) faţă

de un punct al planului este nulă

242 Forțe interioare Metoda secțiunilor

Icircn vederea calculului de rezistenţă de rigiditate şi de stabilitate a barelor sau a

sistemelor de bare este necesară determinarea forţelor şi momentelor interioare

(eforturilor) care apar icircn secţiunile transversale ale acestora şi datorate icircncărcărilor

exterioare Forțele interioare indică legătura dintre particulele din interiorul corpului şi

se pun icircn evidenţă prin metoda secţiunilor care este un procedeu de raţionament

imaginar propus de Cauchy echivalent cu teoria echilibrului părţilor Conform acestui

raționament bdquodacă un corp solid deformabil este icircn echilibru sub acţiunea unui sistem

generalizat de forţe atunci după secționare fiecare parte a sa va fi icircn echilibru sub

acţiunea forţelor exterioare care-i revin şi a unui sistem de forţe pe care trebuie să-l

introducem icircn secţiunea ce delimitează fiecare parte echivalent cu acţiunea forţelor

aplicate pe partea icircndepărtatărdquo

Problemele care apar la aplicarea metodei secţiunilor sunt

- să pună icircn evidenţă existenţa forţelor interioare mai ales că din ceea ce se ştie o

forţă apare icircn prezenţa a două corpuri ca urmare a principiului acţiunii şi reacţiunii

- să explice modul de distribuţie al forţelor interioare pe secţiune

Considerăm un corp aflat icircn echilibru sub acţiunea unui sistem de forţe exterioare

1 2 3⋯119894 ⋯ 119899minus1 119899 şi presupunem că-l secţionăm cu un plan transversal Q (sau cu

o suprafaţă oarecare) figura 210a Icircn urma secţionării fictive (imaginare) conform

principiului echilibrului părţilor fiecare din cele două părţi obţinute trebuie să fie icircn

echilibru sub acţiunea forţelor exterioare care le revin şi a cacircte unui sistem de forţe

interioare pe care trebuie să-l introducem icircn secţiunile rezultate sistem echivalent cu

acţiunea forţelor exterioare ce acţionează asupra celeilalte părţi Astfel pe partea din

dreapta (notată cu II) delimitată de secţiunea de arie Ad sunt aplicate forţele exterioare

119894 ⋯ 119899minus1 119899 şi un sistem de forţe interioare căruia nu i se cunoaşte decacirct efectul acelaşi

cu cel al forţelor 1 2 3 de pe parea din stacircnga (notată cu I şi delimitată de secţiunea

de arie As) figura 210b Prin metoda secţiunilor am reuşit să punem icircn evidenţă existenţa

forţelor interioare şi să le trecem icircn categoria celor exterioare cărora le putem aplica

relaţiile de echivalenţă şi de echilibru cunoscute din statică Ideal ar fi să cunoaştem

distribuţia şi intensitatea punctuală a acestor forţe pentru că s-ar putea ca icircn anumite

puncte ale secţiunii valoarea forţelor să depăşească limita de rezistenţă (limita de curgere)

a materialului Cunoaşterea distribuţiei punctuale a forţelor interioare nu se poate realiza

decacirct icircn cazuri particulare relativ simple de solicitare

Să considerăm partea din dreapta a corpului asupra căreia acționează forțele

119894 ⋯ 119899minus1 119899 mărginit de aria Ad pe care acționează un sistem de forțe interioare

echivalent cu 1 2 3 Deși forțele interioare de pe Ad nu se cunosc totuși efectul lor

este același cu cel al forțelor 1 2 3 deci le putem reduce icircn centrul de greutate C al

secțiunii Ad rezultacircnd componentele torsorului de reducere al forțelor interioare

(119894119889 119894119889) și pentru partea din stacircnga (119894119904 119894119904) Evident conform principiului acțiunii și

reacțiunii

119894119889 = minus119894119904

119894119889 = minus119894119904 (21)

Pe de altă parte cum fiecare dintre părțile corpului după secționare trebuie să fie

icircn echilibru sub acțiunea forțelor exterioare care le revin și a forțelor interioare introduse

rezultă

119894119889 = minus119890119889

119894119889 = minus119890119889

119894119904 = minus119890119889

119894119904 = minus119890119904 (22)

Combinacircnd (21) cu (22) rezultă

119894119889 = 119890119889

119894119889 = 119890119889

119894119904 = 119890119904

119894119904 = 119890119904 (23)

Fig 210 Forțe interioare

Relațiile (22) și (23) permit determinarea componentelor torsorului de reducere

al forțelor interioare din (23) rezultă componentele torsorului forțelor interioare care

acționează icircn secțiunea Ad sunt egale cu componentele torsorului de reducere al forțelor

exterioare de pe partea din stacircnga din (22) rezultă componentele torsorului forțelor

interioare care acționează icircn secțiunea Ad sunt egale și de sens contrar cu componentele

torsorului de reducere al forțelor exterioare de pe partea din dreapta

Observații

1 Torsorul forțelor interioare diferă de la o secțiune la alta dar pentru aceeași

secțiune el este unic și trebuie să respecte condițiile de compatibilitate a deformațiilor

2 Reducacircnd forțele interioare icircn centrul de greutate al secțiunii s-a făcut o

aproximare icircn ceea ce privește efectul modului de dispunere al forțelor

3 Punctul de reducere trebuie să fie

pentru forțele interioare normale la secțiune centrul de greutate

pentru forțele interioare tangente la planul secțiunii centrul de răsucire sau de

tăiere

243 Eforturi

Prin metoda secțiunilor am pus icircn evidență existența forțelor interioare și modul

icircn care se determină componentele torsorului de reducere al forțelor interioare (119894119889 119894119889) de pe fața din dreapta secțiunii (Ad) Cele două componente ale torsorului de reducere al

forțelor interioare de pe Ad se pot descompune după axele unui sistem de referință

triortogonal xCyz astfel

119894119889 = +

119894119889 = 119909 +119872119894 (24)

unde și 119909 sunt proiecțiile lui 119894119889 și respectiv 119894119889 pe axa longitudinală Cx a

barei iar și 119894 sunt proiecțiile acelorași componente 119894119889 și respectiv 119894119889 pe planul yCz

al secțiunii transversale Ad figura 211

Fig 211 Torsorul de reducere al forţelor interioare

La racircndul lor și 119894 se pot descompune după axele sistemului yCz figura 212

= 119910 + 119911

119894 = 119894119910 + 119894119911 (25)

Fig 212 Descompunerea forţei tăietoare şi a momentului icircncovoietor

Cele șase componente ale torsorului de reducere al forțelor interioare ( 119910 119911

119909 119894119910 119894119911) orientate după axele sistemului de referință xCyz se numesc eforturi

Fiecare efort are o denumire stabilită icircn funcție de tipul de deformație pe care-l produce

De asemenea semnul plus (bdquo+rdquo) sau minus (bdquondashrdquo) al fiecărui efort nu depinde de sensul

pozitiv sau negativ al sistemului de axe ci doar de efectul icircn deformații al fiecărui efort

Denumirile celor șase eforturi sunt

119873 este forța axială

119879119910 119879119911 sunt forțe tăietoare orientate după axele Cy și respectiv Cz

119872119909 notat de cele mai multe ori cu 119872119905 este moment de torsiune sau de răsucire

119872119894119911 119872119894119910 sunt momente de icircncovoiere icircn jurul axei Cz și respectiv Cy

Forța axială 119873 poate fi forță axială de icircntindere cacircnd produce o lungire a

tronsonului pe a cărei față acționează (119873 gt 0) figura 213a sau forță axială de

compresiune cacircnd sub efectul ei bara se scurtează (119873 lt 0) figura 213b

Fig 213 Forța axială

Forțele tăietoare 119879119910 și 119879119911 au ca efect lunecarea secțiunii icircn centrul căreia

acționează icircn raport cu secțiunea icircnvecinată lunecare ce se produce pe direcția și icircn sensul

forței Sub acțiunea unei forțe tăietoare bara este solicitată la forfecare Forța tăietoare

este pozitivă 119879119910 gt 0 dacă icircn raport cu un punct oarecare K de pe axa Cx a barei tinde să

rotească secțiunea pe care acționează icircn sens orar

Fig 214 Forța tăietoare

Momentele de icircncovoiere 119872119894119911 și 119872119894119910 au ca efect o rotire a secțiunii icircn centrul

cărora acționează icircn jurul axei după care sunt orientate Icircn figura 215a se vede că

datorită momentului 119872119894119911 fibrele de deasupra axei Cz se alungesc icircn timp ce fibrele de sub

axa Cz se scurtează Fibrele care trec prin axa de icircncovoiere Cz nu se deformează sunt

fibre neutre la icircncovoiere adică axa neutră este Cz Icircn cazul momentului de icircncovoiere

119872119894119910 fibrele care nu se deformează sunt cele care trec prin axa neutră la icircncovoiere Cy

Momentele de icircncovoiere se consideră a fi pozitive (119872119894119911 gt 0119872119894119910 gt 0) dacă

observatorul care privește bara deformată vizualizează fibrele icircntinse

Fig 215 Momentul icircncovoietor

Momentul de torsiune sau de răsucire 119872119909 equiv 119872119905 are ca efect o rotire a secțiunii

icircn al cărei centru acționează icircn jurul axei longitudinale Cx Ca efect secțiunea icircși schimbă

forma (se deformează) adică unghiurile inițiale se modifică dreptunghiul inițial Ad

devine paralelogram Convențional se consideră 119872119905 gt 0 dacă vectorul moment are

aceeași orientare ca și sensul pozitiv ales pextru axa Cx Icircn figura 216 momentul este

negativ

Fig 216 Momentul de torsiune

25 Definiții și convenții de semne pentru eforturile

din secțiunile unei bare drepte plane icircncărcate cu sarcini coplanare

Vom considera o bară plană icircncărcată cu un sistem de forțe arbitrar figura 217

Ne propunem să determinăm eforturile care apar icircn secțiunea barei aflată la distanța 119909 de

reazemul din stacircnga (A)

Pentru aceasta vom aplica metoda secțiunilor vom secționa bara cu un plan

perpendicular pe axa longitudinală a barei și vom analiza doar partea din dreapta secțiunii

mărginită de fața Ad Pentru ca această porțiune de bară să fie icircn echilibru sub acțiunea

forțelor exterioare care acționează asupra sa 1198653 și 119881119861 va trebui să introducem icircn centrul

secțiunii Ad eforturile care pot să apară 119873 119879119910 119872119894119911 Acțiunea acestor eforturi trebuie să

fie echivalentă cu acțiunea forțelor exterioare aplicate pe partea icircnlăturată (parcursă) a

barei 119867119860 119881119860 1198651 1198652 1198720

Deoarece bara este plană și este icircncărcată doar cu sarcini ce aparțin

planului barei

icircn secțiunea Ad apar doar 3 componente ale torsorului de reducere al forțelor

interioare (eforturi)

- 119873 = forța axială

- 119879119910 = forța tăietoare pe care o vom nota cu 119879

- 119872119894119911 = momentul icircncovoietor notat cu Mi

Fig 217 Bară plană icircncărcată cu un sistem de forțe

Vom prezenta următoarele definiții corespunzătoare eforturilor din secțiunea Ad

119873 = forța axială dintr-o secțiune este egală cu suma algebrică a proiecțiilor pe

axa longitudinală a tuturor forțelor exterioare (sarcini și reacțiuni) aplicate pe partea

din stacircnga secțiunii adică pe porțiunea parcursă Forța axială 119873 este pozitivă dacă trage

de tronsonul pe a cărei față acționează (are orientarea normalei exterioare la secțiunea

Ad)

119873(119909) = minus119867119860 + 1198651119867 (26)

119879 = forța tăietoare icircntr-o secțiune este egală cu suma algebrică a proiecțiilor

pe o axă perpendiculară pe axa barei a tuturor forțelor exterioare (sarcini și reacțiuni)

aplicate pe porțiunea de bară aflată icircn stacircnga secțiunii considerate Forța tăietoare 119879

este pozitivă dacă tinde să rotească tronsonul pe a cărui față acționează icircn sens orar icircn

raport cu un punct de pe axa barei aflat la dreapta secțiunii

119879(119909) = 119881119860 minus 1198651119881 minus 1198652 (27)

119872119894 = momentul icircncovoietor icircntr-o secțiune este egal cu suma algebrică a

momentelor obținute prin reducerea tuturor forțelor exterioare ( cupluri sarcini

reacțiuni) aplicate pe porțiunea de bară aflată la stacircnga secțiunii icircn centrul secțiunii

considerate 119872119894 este considerat pozitiv dacă tinde să deformeze bara astfel icircncacirct fibrele

spre care privește un observator să fie icircntinse Cum poziția observatorului este de regulă

sub bară bara se deformează dacă 119872119894 gt 0 astfel icircncacirct partea jos a barei este icircntinsă Se

spune că bara deformată rdquoține apaldquo

119872119894(119909) = 119881119860 ∙ 119909 minus 1198651119881 ∙ (119909 minus 1198971) minus 1198652 ∙ [119909 minus (1198971 + 1198972)] + 1198720 (28)

Sensurile pozitive ale eforturilor care apar icircn centrul secțiunii Ad (deci atunci cacircnd

sensul de parcurs la aplicarea metodei secțiunilor este cel de la stacircnga la dreapta) sunt

indicate icircn figura 218a iar dacă sensul de parcurs este de la dreapta la stacircnga sensurile

pozitive ale eforturilor sunt indicate icircn figura 218b

Fig 218 Convenţia de semne

Definiții asemănătoare se pot da și pentru eforturile din centrul secțiunii As figura

218b adică pentru cazul icircn care sensul de parcurs este cel de la dreapta la stacircnga și deci

partea luată icircn considerare este cea din stacircnga iar partea parcursă din dreapta secțiunii

este icircnlăturată

119873(1199091) = 1198653119867

119879(1199091) = 1198653119881 minus 119881119861

119872119894(1199091) = 119881119861 ∙ 1199091 minus 1198653119881 ∙ (1199091 minus 1198975)

(29)

Avacircnd icircn vedere că fețele Ad și As aparțin aceleeași secțiuni este evident faptul că

eforturile 119873(119909) 119879(119909) și 119872119894(119909) sunt identice cu eforturile 119873(119961120783) 119879(119961120783) și respectiv

119872119894(119961120783) Icircn figura 218c se prezintă o sinteză a convențiilor de semne pozitive pentru cele

3 eforturi atacirct pentru sensul de parcurs de la stacircnga la dreapta (secțiunea Ad) cacirct și pentru

sensul invers (secțiunea As)

Semnele eforturilor sunt importante icircntrucacirct există materiale cu comportări diferite

la icircntindere față de compresiune iar o schimbare a semnului unui efort poate produce

erori grave icircn calcule Semnele eforturilor au fost stabilite icircn funcție de deformațiile

produse și nu depind de sensul axelor sistemului de coordonate

26 Relaţii diferenţiale icircntre eforturi şi sarcini

Pentru a vedea ce legătură există icircntre eforturi și sarcini vom considera o bară

dreaptă icircncărcată cu o sarcină distribuită după o lege oarecare figura 219a Din această

bară vom decupa prin dublă secționare un element de lungime infinit mică 119889119909 Deoarece

lungimea 119889119909 este foarte mică se poate considera sarcina 119901 uniform distribuită Icircn

secțiunile rezultate trebuie să introducem eforturile care pot apărea

- 119879 şi 119872119894 icircn centrul secțiunii din sticircnga eforturi pe care le considerăm pozitive

- 119879 + 119889119879 şi 119872119894 + 119889119872119894 icircn centrul secțiunii din dreapta elementului

Aceste eforturi au o variație mică (119889119879 şi 119889119872119894) față de secțiunea anterioară Spre

deosebire de cazul icircn care bara este secționată o singură dată icircn acest caz eforturile nu

pot fi determinate din cele 2 condiții de echilibru independente deoarece icircn ecuațiile de

echilibru apar 4 necunoscute 119879 119889119879119872119894 și 119889119872119894 deci că problema este dublu static

nedeterminată figura 219

Fig 219 Echivalența icircntre eforturi și sarcini

Ecuațiile de echilibru scrise pentru elementul din figura 219b conduc la stabilirea

unor relaţii foarte importante

(sum119865)119910= 0 hArr 119879 minus 119901 ∙ 119889119909 minus (119879 + 119889119879) = 0 rArr

119889119879

119889119909= minus119901 (210)

Relația (210) arată că derivata funcţiei forţei tăietoare icircn raport cu abscisa

secţiunii este egală cu sarcina distribuită normală la axa barei din acea secţiune luată

cu semn schimbat

Observații

dacă 119901 = 0 nu există sarcină distribuită atunci forța tăietoare T este constantă

icircnclinarea pantei diagramei forței 119879 este egală cu (ndash 119901) (sarcina distribuită cu

semn schimbat)

dacă 119901 = 119888119900119899119904119905 119879 variază liniar pe acel interval

Asemănător se deduce că derivata funcţiei forţei axiale icircn raport cu abscisa

secţiunii este egală cu sarcina distribuită axială din acea secţiune luată cu semn

schimbat adică

119889119873

119889119909= minus119901119867 (211)

Din condiția de echilibru suma de momente faţă de centrul de greutate al secţiunii

din dreapta

(sum119872)119862= 0 hArr 119872119894 minus (119872 + 119889119872119894) + 119879 ∙ 119889119909 minus 119901 ∙

(119889119909)2

2= 0 rArr

119889119872119894

119889119909= 119879 (212)

Relația (212) s-a obținut dupa reducerea termenilor și prin neglijarea infinitului

mic de ordinul 2

119901 ∙(119889119909)2

2

Relația (212) arată că derivata funcţiei moment icircncovoietor icircn raport cu abscisa

secţiunii este egală cu forţa tăietoare din acea secţiune

Observații

dacă 119879 = 0 momentul 119872119894 are un punct de extrem se obține o valoare maximă

pentru 119872119894119898119886119909 dacă forța tăietoare 119879 se anulează trecacircnd de la plus icircn stacircnga la minus icircn

dreapta secțiunii

dacă forța tăietoare este pozitivă pe un interval 119879 gt 0 atunci 119872119894 este crescătoare

pe acel interval

dacă forța tăietoare este negativă pe un interval 119879 lt 0 atunci 119872119894 este

descrescătoare pe acel interval

dacă pe un interval 119901 = 0 forța tăietoare este constantă 119879 = 119888119905 iar 119872119894 variază

liniar pe acel interval

dacă 119901 = 119888119900119899119904119905 119879 variază liniar pe acel interval iar 119872119894 variază parabolic pe

acel interval

Relaţiile diferenţiale sunt utile la reprezentarea corectă şi verificarea diagramelor

de eforturi astfel

pentru porţiunile de grindă pe care p = 0 eforturile N şi T sunt constante iar pe

porţiunile cu p = const eforturile N şi T variază liniar (relaţiile 211 şi 210)

dacă pe o porţiune T = const momentul icircncovoietor Miz variază liniar iar dacă

T variază liniar atunci momentul Miz variază parabolic (relaţia 212)

pe domeniile pe care T gt 0 funcţia Mi(x) este crescătoare iar icircn secţiunea icircn

care T = 0 (graficul funcţiei T intersectează axa x) momentul icircncovoietor are un punct

de extrem local (maxim sau minim relaţia 212)

Pentru rezolvarea problemelor referitoare la trasarea diagramelor de eforturi

pentru barele drepte solicitate de sisteme de forţe plane se parcurg următoarele etape

1) identificarea forţelor aplicate (date) şi pregătirea lor pentru calcule

(descompunerea forţelor concentrate pe direcţiile x şi y calculul rezultantelor forţelor

distribuite)

2) identificarea reazemelor şi introducerea reacţiunilor corespunzătoare (vezi

figurile 27divide29)

3) stabilirea ecuaţiilor de echilibru static calculul şi verificarea reacţiunilor Icircn

rezistența materialelor se folosește sistemul de ecuații (vezi figura 217)

(sum119865)

119909= 0

(sum119872)119860= 0

(sum119872)119861= 0

(213)

4) identificarea domeniilor de variaţie şi scrierea funcţiilor de eforturi pentru N T

şi Mi

5) reprezentarea grafică a diagramelor de eforturi

6) verificarea corectitudinii diagramelor pe baza relaţiilor diferenţiale icircntre eforturi

şi sarcini

Aplicație Pentru grinda dreaptă icircncărcată cu sistemul de forţe reprezentat icircn figura

220 se cere

a) să se calculeze şi să se verifice reacţiunile

b) să se stabilească funcţiile eforturilor Nx Ty şi Miz şi să se reprezinte diagramele

de variaţie

c) să se analizeze relaţiile diferenţiale icircntre eforturi şi sarcini

Dimensiunile grinzii au valorile a = 6 [m] b = 4 [m] și c = 4[m] sistemul de

forţe aplicat fiind format din p = 10 [kN mfrasl ] F = 20 [kN] (icircnclinată cu unghiul α =300 faţă de orizontală) şi M0 = 40 [kN ∙ m]

Rezolvare

a) Se fac următoarele precizări

grinda dreaptă se reprezintă prin axa geometrică

forţa icircnclinată F se descompune după direcţiile orizontală şi verticală icircn FV =F ∙ sin α = 10 [kN] şi FH = F ∙ cos α = 173 [kN]

forţa distribuită uniform p este echivalentă din punct de vedere static cu

rezultanta sa R = p ∙ a = 60 [kN] care acţionează la jumătatea porţiunii de lungime a

icircn reazemele 119860 şi 119861 se introduc componentele HA şi VA respectiv VB ale

reacţiunilor

Pentru calculul reacţiunilor se utilizează ecuaţiile de echilibru static al grinzii

sumXi = 0 HA minus FH = 0 sumYi = 0 VA + VB minus R minus FV = 0 (sumM)B = 0 VA ∙ (b + a) minus R ∙ (b + 05 ∙ a) minus M0 + FV ∙ c = 0

(A1)

Din prima ecuaţie se obţine HA iar din cea de-a treia ecuaţie rezultă VA

HA = FH = 173 [kN]

VA =[R ∙ (b + 05 ∙ a) + M0 minus FV ∙ c]

(b + a)=[60 ∙ (4 + 05 ∙ 6) + 40 minus 10 ∙ 4]

(4 + 6)

VA = 42 [kN]

(A2)

Fig 220 Aplicație

Se observă că cea de-a doua ecuaţie de echilibru conţine două necunoscute

reacţiunile VA şi VB Pentru a calcula componenta VB nu este indicată introducerea lui VA

icircn cea de-a doua ecuaţie a sistemului (A1) pentru că o valoare determinată greşit pentru

VA conduce la o valoare VB de asemenea greşită O ecuaţie independentă din care se poate

determina componenta VB este următoarea

(sumM)A= 0 FV ∙ (a + b + c) minus VB ∙ (a + b) minus M0 + R ∙ 05 ∙ a = 0 (A3)

de unde se obţine

VB =[FV ∙ (a + b + c) minusM0 + R ∙ 05 ∙ a]

(b + a)=[10 ∙ (6 + 4 + 4) minus 40 + 60 ∙ 05 ∙ 6]

(6 + 4)

VB = 28 [kN] (A4)

Ecuaţia de proiecţii ale forţelor pe direcţia verticală (a doua ecuaţie din sistemul

A1) se utilizează pentru verificarea reacţiunilor deja determinate

VA + VB minus R minus FV = 0 rArr 42 + 28 minus 60 minus 10 = 0 (A5)

Ultima egalitate demonstrează că reacţiunile verticale au fost calculate corect

Din cele de mai sus rezultă ordinea firească pentru determinarea reacţiunilor icircn

cazul grinzilor simplu rezemate

sumXi = 0

(sumM)A = 0

(sumM)B = 0

(A6)

iar pentru verificarea componentelor verticale VA şi VB se folosește ecuaţia sumY = 0

b) La stabilirea funcţiilor de eforturi se parcurg icircn general etapele următoare

se notează (numeric sau literal după preferinţă) secţiunile care delimitează

domeniile (intervalele sau tronsoanele) pe care eforturile nu-şi modifică funcţiile (au legi

unice de variaţie)

pe fiecare domeniu se marchează secţiunea imaginară icircn care se stabilesc

funcţiile eforturilor

secţiunea astfel aleasă separă icircn două părţi grinda şi anume porţiunea din stacircnga

şi porţiunea din dreapta secţiunii

se va considera parcursă (şi icircndepărtată) acea parte pe care acţionează mai puţine

sarcini exterioare pentru că acestea vor interveni icircn expresiile funcţiilor de eforturi

poziţiile secţiunilor imaginare se vor determina prin variabilele x1 ⋯ xn (unde

n reprezintă numărul domeniilor de variaţie) cu originea fixată icircn capătul intervalului şi

sensul de parcurgere spre partea considerată rămasă

Grinda prezentată icircn figura 220 are trei domenii de variaţie pentru funcţiile de

eforturi după cum urmează (A-1) (2-B) şi (B-1)

Domeniul (A-1) x1 isin [0 a = 6 m] Porţiunea parcursă şi considerată icircndepărtată este cea de coordonată x1 pe care

acţionează reacţiunile HA şi VA precum şi rezultanta parţială a sarcinii distribuite R1 =p ∙ x1

Funcţia forţă axială Nx are expresia

Nx(x1) = NAminus1 = minusHA = minus173 [kN] = const

(A7)

Funcţia forţă tăietoare Ty are exspresia

Ty(x1) = TAminus1 = VA minus R1 = VA minus p ∙ x1 (A8)

care reprezintă o variaţie liniară de variabilă x1 Se calculează valorile forţei tăietoare la

limitele intervalului de variaţie

- pentru x1 = 0 Ty(x1 = 0) = TA = VA = 42 [kN]

- pentru x1 = a = 6 [m] Ty(x1 = 6) = T1 = VA minus p ∙ a = minus18 [kN]

Observaţie Aşa cum a fost stabilită secţiunea fictivă poziţionată prin coordonata

x1 sar părea că rezultanta R ar trebui luată icircn calculul lui Ty(x1) Acest lucru ar fi greşit

pentru că R = p ∙ a reprezintă rezultanta sarcinii distribuite pe toată lungimea a iar

rezultanta pe porţiunea parcursă de lungime x1 este R1 = p ∙ x1 ne R = p ∙ a

Cu valorile obţinute se trasează diagramele forţelor axială Nx = f(x) şi tăietoare

Ty = f(x) figura 220 Din diagrama forţei tăietoare şi din valorile obţinute analitic se

observă că forţa tăietoare icircşi schimbă semnul pe intervalul analizat deci se anulează pe

acest interval Poziţia secţiunii unde Ty se anulează se determină din ecuaţia

Ty(x1) = 0 rArr VA minus p ∙ x1 = 0 (A9)

cu soluţia x1lowast = ξ = 42 [m] Important de reamintit că icircn această secţiune momentul

icircncovoietor va avea un extrem local adică Miz are un extrem la Ty = 0

Funcţia moment icircncovoietor Miz are expresia

Miz(x1) = VA ∙ x1 minus R1 ∙x12= VA ∙ x1 minus (p ∙ x1) ∙

x12

(A10)

Se observă că funcţia moment icircncovoietor de variabilă x1 are o variaţie parabolică

(gradul al II-lea) Pentru reprezentarea grafică a funcţiei parabolice se calculează valorile

momentului icircncovoietor icircn trei secţiuni

- pentru x1 = 0 Miz(x1 = 0) = MA = 0 [kN ∙ m] - pentru x1 = a = 6 [m] Miz(x1 = 6) = M1 = 72 [kN ∙ m] - pentru x1

lowast = ξ = 42 [m] Miz(x1lowast = ξ = 42 [m]) = Mimax = 882 [kN ∙ m]

Cu acestea se trasează diagrama Miz = f(x) pe intervalul (A-1) figura 220

Observaţie Icircn unele cazuri pe un anumit interval forţa tăietoare nu se anulează

şi momentul icircncovoietor nu are un extrem local Icircn acest caz pentru reprezentarea

variaţiei parabolice a momentului icircncovoietor se va studia semnul derivatei a doua a

funcţiei Miz = f(x1) acesta determinacircnd convexitatea curbei momentului icircncovoietor

Domeniul (2-B) x2 isin [0 c = 4 m] Porţiunile din grindă libere (nerezemate) la un capăt se numesc console iar

stabilirea funcţiilor de eforturi devine mai simplă dacă se consideră icircndepărtată partea din

dreapta secţiunii prin schimbarea sensului pozitiv al axei x Astfel se obţin funcţiile eforturilor

Funcţia forţă axială Nx are expresia

Nx(x2) = N2minusB = minusFH = minus173 [kN] = const

(A11)

Funcţia forţă tăietoare Ty are exspresia

Ty(x2) = T2minusB = FV = 10 [kN] = const (A12)

Funcţia moment icircncovoietor Miz are expresia

Miz(x2) = minusFV ∙ x2 rArr Miz(x2 = 0) = M2 = 0 [kN ∙ m]

Miz(x2 = 4) = MB = minus40 [kN ∙ m] (A13)

variaţie liniară (gradul I)

Domeniul (B-1) x3 isin [0 b = 4 m] Pe acest domeniu se acceptă parcurgerea grinzii de la dreapta adică se consideră

icircndepărtată partea din dreapta secţiunii fictive pentru că are doar două sarcini aplicate F

şi VB faţă de partea din stacircnga secţiunii pe care sunt aplicate trei sarcini p VA şi M0

Astfel se obţin funcţiile eforturilor

Funcţia forţă axială Nx are expresia

Nx(x3) = NBminus1 = minusFH = minus173 [kN] = const

(A14)

Funcţia forţă tăietoare Ty are exspresia

Ty(x3) = TBminus1 = FV minus VB = minus18 [kN] = const (A15)

Funcţia moment icircncovoietor Miz are expresia

Miz(x3) = minusFV ∙ (x3 + c) + VB ∙ x3 rArr

rArr Miz(x3 = 0) = MB = minus40 [kN ∙ m]

Miz(x3 = 4) = M1 = 32 [kN ∙ m]

(A16)

variaţie liniară (gradul I)

Diagramele eforturilor sunt prezentate icircn figura 220

c) Relaţiile diferenţiale dintre eforturi şi sarcini se analizează pe diagramele

eforturilor după cum urmează

sarcina distribuită nu are componentă orizontală adică ph = 0 şi icircn

conformitate cu formula (211) rezultă că Nx = const pe toată lungimea grinzii fapt care

a rezultat din funcţia şi reprezentarea diagramei forţei axiale

pe intervalul (A-1) sarcina distribuită are doar componenta verticală pozitivă

pV = p gt 0 prin urmare forţa tăietoare scade (are panta negativă dTy 119889119909frasl = minusp vezi

relaţia 210) iar momentul icircncovoietor avacircnd derivata a doua negativă d2M119894119911 1198891199092frasl =minuspare convexitatea curbei orientată spre sensul pozitiv al axei momentului Miz adică icircn

jos

pe domeniile (2-B) şi (B-1) deoarece pv = 0 forţa tăietoare Ty este constantă

iar momentul icircncovoietor Miz variază liniar

referitor la relaţia (212) pe porţiunile unde Ty gt 0 momentul Miz este

monoton crescător pe porţiunile unde Ty lt 0 momentul Miz este monoton descrescător

iar icircn secţiunea icircn care Ty = 0 momentul icircncovoietor are un extrem local Mξ =

882 [kN ∙ m] icircn diagrama forţei tăietoare discontinuităţile (salturile) se produc icircn secţiunile

unde acţionează VA VB şi FV iar icircn diagrama momentului icircncovoietor se produce un

singur salt icircn secţiunea icircn care este aplicat M0

se poate scrie

Mξ = suprafața diagramei Ty |ξ0=1

2∙ 42 ∙ 42 = 882 [kN ∙ m]

sau parcurgacircnd grinda de la dreapta la stacircnga rezultă

MB = minussuprafața diagramei Ty |c0= minus10 ∙ 4 = minus40 [kN ∙ m]

Toate aspectele analizate teoretic referitoare la relaţiile diferenţiale dintre eforturi

şi sarcini se regăsesc icircn diagramele de eforturi din figura 220 ceea ce icircnseamnă că

diagramele au fost reprezentate corect

3 TENSIUNI DEPLASĂRI ŞI DEFORMAŢII SPECIFICE

31 Tensiuni

Eforturile obținute icircn urma reducerii forțelor interioare icircn centrul de greutate al

secțiunii nu pot da informații asupra solicitării fiecărui punct al secțiunii respective Este

necesar să se cunoască modul cum se distribuie forțele interioare icircn fiecare punct al

secțiunii pentru a ști care este intensitatea maximă a solicitării Această intensitate

maximă se poate compara cu o valoare critică specifică materialului stabilindu-se astfel

dacă solicitarea este periculoasă sau nu

Mărimea care caracterizează solicitarea locală punctuală o vom denumi tensiune

și o vom defini icircn cele ce urmează Să considerăm partea din dreapta a unui corp solicitat

de forțele exterioare 1198651 1198652 și 1198653 obținută prin secționarea corpului și mărginită de fața

din dreapta Ad a secțiunii Pe secțiunea Ad vom considera un element de arie infinit mic

∆119860 caracterizat de normala la elementul de arie normală care are cosinușii directori

120573 și icircn raport cu un sistem de axe considerat fix Pe elementul infinit mic ∆119860 acționează

forțele interioare care au o rezultantă oarecare figura 31

Prin definiție tensiunea totală este

= lim∆119860rarr0

∆

∆119860 (31)

Tensiunea are aceeaşi direcţie cu forţa elementară ∆ iar mărimea ei este

determinată atacirct de mărimea forţei ∆ cacirct şi de orientarea suprafeţei ∆119860 faţă de direcţia

forţei

Tensiunea 119901 poate fi descompusă icircntr-o componentă orientată după direcţia

normalei la secţiune tensiunea normală notată cu 120590119909 şi o componentă icircn planul secţiunii

tensiunea tangenţială notată cu figura 32

= 119909 + 120591 (32)

Fig 31 Tensiunea totală Fig 32 Tensiunea normală și tangențială

La racircndul ei componenta tensiunii cuprinsă icircn planul secțiunii poate fi

descompusă după direcțiile axelor y și z

120591 = 120591119909119910 + 120591119909119911 (33)

Icircntre cele trei componente ale tensiunii totale care acționează pe elementul de arie

∆119860 este valabilă relația

1199012 = 1205901199092 + 120591119909119910

2 + 1205911199091199112 (34)

După sensul pe care icircl are tensiunea normală 120590 poate avea efect de tracţiune sau

de compresiune exercitat de către partea de corp icircnlăturată asupra părţii rămase Analog

tensiunea tangenţială 120591 poate avea efect de tăiere forfecare sau alunecare Pentru

componentele tensiunii tangențiale 120591119909119910 pe direcţia 119910 respectiv 120591119909119911 pe direcţia 119911 primul

indice indică axa pe care tensiunea este normală iar cel de-al doilea indice indică axa cu

care aceasta este paralel

Tensiunea este o mărime tensorială valoarea ei depinzacircnd atacirct de poziția

punctului icircn planul secțiunii cicirct și de orientarea planului de secționare deci de normala

Operaţiile vectoriale nu pot fi aplicate tensiunilor decacirct după ce acestea au fost icircnmulţite

cu ariile respective adică au fost transformate icircn forţe

Icircn literatura de specialitate mai ales icircn manualele mai vechi pentru noţiunea de

tensiune se mai foloseşte şi denumirea de efort specific

Dacă se consideră un alt element de arie ∆119860 cu centrul icircn același punct avacircnd ca

normală axa 119910 se vor obține alte tensiuni și anume

- 120590119910 este tensiunea normală (paralelă cu axa y)

- 120591119911119909 și 120591119910119911 sunt tensiuni tangențiale paralele cu axele 119909 și respectiv 119911 aflate icircn

planul care are ca normală axa 119910

Dacă icircn jurul unui punct dintr-un corp solicitat se consider un element de volum

infinit mic de forma unui cub icircn cazul cel mai general pe fețele sale vor acționa

tensiunile normale 120590119909 120590119910 și 120590119911 și respectiv tensiunile tangențiale 120591119909119910 120591119909119911 120591119910119909 120591119910119911 120591119911119909

și respectiv 120591119911119910 figura 33 Aceste tensiuni definesc starea de tensiune a punctului

observacircnd faptul că tensorul tensiune are 9 componente Dacă se consideră elementul

de volum finit ca fiind foarte mic se poate presupune că icircn interiorul său nu apar forțe

Ca urmare el va fi icircn echilibru sub acțiunea forțelor elementare produse de tensiunile de

pe fețele sale

Din condiția ca elementul să nu se rotească icircn jurul unor axe care trec prin centrul

său și sunt paralele cu axele sistemului 119909119874119910119911 rezultă

2 ∙ 120591119909119910 ∙ (119889119910 ∙ 119889119911) ∙119889119909

2= 2 ∙ 120591119910119909 ∙ (119889119909 ∙ 119889119911) ∙

119889119910

2 rArr 120591119909119910 = 120591119910119909 (35)

2 ∙ 120591119910119911 ∙ (119889119909 ∙ 119889119911) ∙119889119910

2= 2 ∙ 120591119911119910 ∙ (119889119909 ∙ 119889119910) ∙

119889119911

2 rArr 120591119910119911 = 120591119911119910 (36)

2 ∙ 120591119909119911 ∙ (119889119910 ∙ 119889119911) ∙119889119909

2= 2 ∙ 120591119911119909 ∙ (119889119909 ∙ 119889119910) ∙

119889119911

2 rArr 120591119909119911 = 120591119911119909 (37)

Relațiile (35divide37) 120591119909119910 = 120591119910119909 120591119910119911 = 120591119911119910 120591119909119911 = 120591119911119909 exprimă principiul dualității

tensiunilor tangențiale

Fig 33 Tensiunile normale și tangențiale pe fețele unui cub

Din condiția ca elementul considerat să nu se deplaseze icircn lungul axelor de

coordonate pe fețele opuse acționează aceleași tensiuni normale 120590119909 120590119910 și respectiv 120590119911

Definirea tensorului tensiune este posibilă dacă se cunosc cele 6 componente

independente ale acestuia aflate icircn trei plane perpendicular ce trec prin punctul respectiv

=

120590119909 120591119909119910 120591119909119911120591119910119909 120590119910 120591119910119911120591119911119909 120591119911119910 120590119911

Observaţii

Tensiunile se măsoară icircn [119873 1198982frasl ] (1119873 1198982frasl = 1 119875119886) sau icircn [119872119875119886]

(1 119872119875119886 = 106119875119886 = 106 119873

1198982 1 119872119875119886 = 1

119873

1198981198982)

Starea de tensiune dintr-un punct este considerată cunoscută dacă se cunosc

tensiunile 119901 care acționează pe infinitatea de elemente de suprafață ce trec prin punctual

considerat

Starea de tensiune a unui corp se consider cunoscută dacă se cunosc stările de

tensiune de pe infinitatea de puncte ale corpului considerat

32 Deplasări Deformaţii specifice

321 Deplasări

Aceste noțiuni sunt utile icircn analiza aspectului geometric al problemelor de rezistența

materialelor Deplasările care se analizează sunt cele datorate schimbării formei și

dimensiunilor corpurilor ca urmare a acțiunii forțelor exterioare și nu cele cinematice

posibile pentru solidul rigid care se poate deplasa cu anumită viteză și accelerație

Spre exemplu icircn figura 34a și figura 34b sub acțiunea forței 119865 tronsonul de

bară AB se deformează icircn timp ce tronsonul BC deși punctele sale au deplasări rămacircne

nedeformat (fiind nesolicitat) Toate punctele de pe axele barelor cu excepția celor din

icircncastrare (secțiunile A) au deplasări liniare De cele mai multe ori deformațiile barelor

datorate acțiunii forțelor exterioare se anulează la icircndepărtarea forțelor se spune că

deformațiile sunt elastice Secțiunile transversale ale barei din figura 34a se și rotesc icircn

raport cu pozițiile lor inițiale Spre exemplu secțiunea de căpăt cu centrul icircn C se rotește

cu unghiul

Fig 34 Deformațiile unei grinzi

Oricacirct de complexă ar fi delormația unui corp ea poate fi descrisă de lungiri sau

scurtări și de modificări ale unghiurilor inițiale

Deplasările măsoară schimbarea poziției unui punct al corpului și pot fi liniare

sau unghiulare

Prin deplasare liniară a unui punct se icircnțelege drumul parcurs de acest punct icircn

decursul procesului de deformație după o dreaptă suport dreapta 1198611198611 din figura 34a

Prin deplasare unghiulară se icircnțelege rotirea dintre segmentele de dreaptă

determinate de două puncte ale corpului icircnainte și după deformarea acestuia unghiul

pe care-l fac segmentele 119861119862 și 11986111198621 din figura 34a Această rotire se măsoară prin

unghiul pe care-l fac proiecțiile dreptelor ce conțin cele două segmente icircntr-un sistem

triortogonal

Icircn cazul cel mai general vectorul deplasare liniară se poate descompune icircntr-un

sistem triortogonal icircn trei componente 119906 119907 și 119908 figura 35

Fig 35 Deplasarea liniară

Se consideră acum un corp solid raportat la un sistem de axe ortogonal 119909119874119910119911

figura 35 după deformarea corpului un punct oarecare 119870 al acestuia se deplasează icircn

poziţia 1198701 vectorul 1198701198701 poartă numele de vectorul deplasării totale

Deplasarea totală este suma deplasărilor pe cele trei direcţii ortogonale iar

aceste deplasări se notează astfel

deplasarea pe direcţia 119909 cu ∥ 119874119909

deplasarea pe direcţia 119910 cu ∥ 119874119910

deplasarea pe direcţia 119911 cu ∥ 119874119911

Componentele deplasărilor și formeză matricea deplasărilor liniare 119906119907119908

322 Deformații

Prin deformație icircn general se icircnțelege orice schimbare de formă a unui corp fără

o evaluare cantitativă Icircn Rezistența Materialelor deformația măsoară variația

dimensiunilor geometrice ale corpului considerat din vecinătatea unui punct analog

deplasărilor deformațiile pot fi liniare și unghiulare (lunecări)

Fig 36 Deplasarea liniară

Deformația liniară ∆119897 reprezintă variația lungimii 119897 a unui element liniar al

corpului deformat figura 36 Deformația liniară specifică se definește ca fiind raportul

dintre deformația liniară și lungimea inițială

휀 =∆119897

119897 (38)

unde ∆119897 este lungirea sau scurtarea care este echivalentă cu deformția liniară totală iar

este alungirea

Deformația unghiulară sau lunecarea unui punct 119860 icircn planul 119861119860119862 se definește

prin relația figura 37

120574 = lim119861119860rarr0119862119860rarr0

(119861119860 minus 119861111986011198621 ) (39)

Fig 36 Deformația unghiulară

Schimbacircnd orientarea planului care trece prin 119860 se obțin alte deformații

unghiulare Dacă elementele liniare 119861119860 și 119862119860 sunt inițial perpendiculare deformația 120574 se

numește deformație unghiulară specifică sau lunecare specifică figura 37

Un exemplu de deplasare unghiulară și de deformație unghiulară este prezentat icircn

figura 38 Unghiul este deplasarea unghiulară și măsoară rotirea relativă dintre două

secțiuni aflate la distanța 119897 Unghiul este deformația specifică unghiulară (lunecarea

specifică) din punctul 119870 Aceste deplasări și deformații se obțin icircn urma solicitării barei

de către cele două momente 1198720 egale și de sens contrar

Fig 38 Deplasarea unghiulară

Pentru a analiza starea de deformație din vecinătatea unui punct al unui corp

solicitat complex se decupează din jurul punctului un element de volum mic figura 39a

avacircnd laturile 119889119909 119889119910 și 119889119911 Ca urmare a solicitării laturile acestuia se vor lungi sau

scurta Reprezentarea elementului deformat icircn spațiu este dificilă pentru simplificare

vom analiza doar deformațiile din planul 119909119874119910 Observăm că dimensiunile 119889119909 și 119889119910 s-au

modificat cu valoarea ∆119889119909 respectiv cu ∆119889119910 analog se acceptă și pentru 119889119911 o modificare

de forma ∆119889119911 Astfel se pot defini deformațiile specifice liniare

휀119909 =∆119889119909

119889119909 휀119910 =

∆119889119910

119889119910 휀119911 =

∆119889119911

119889119911 (310)

De cele mai multe ori aceste deformații specifice liniare se pot exprima procentual

și se mai numesc alungiri

Fig 39 Starea de deformație

Icircn figura 39c se vede că unghiul inițial drept dintre muchiile 119889119909 și 119889119910 ale

elementului de volum s-a modificat Se definește deformația specifică unghiulară (sau

lunecarea specifică) mărimea cu care se modifică unghiul inițial drept

120574119909119910 = 120574119909119910prime + 120574119910119909

prime = 120574119910119909120574119910119911 = 120574119910119911

prime + 120574119911119910prime = 120574119911119910

120574119911119909 = 120574119911119909prime + 120574119909119911

prime = 120574119909119911

(311)

Deformațiile 휀119909 휀119910 휀119911 120574119909119910 120574119910119911 120574119911119909 constituie cele șase componente

independente ale tensorului deformațiilor specifice care pot fi scrise de forma

119863 =

휀119909 120574119909119910 120574119909119911120574119910119909 휀119910 120574119910119911120574119911119909 120574119911119910 휀119911

(312)

323 Contracţia transversală

Practica arată că odată cu lungirea unei bare apare o micşorare a mărimii secţiunii

transversale mărime numită contracţie transversală figura 310

Fig 310 Contracția transversală

Contracţia transversală este proporţională cu lungirea specifică coeficientul de

proporţionalitate se notează cu 120599 şi se numeşte coeficient de contracţie transversală sau

coeficientul lui Poisson

La o lungire specifică a barei contracţia transversală este dată de relația

휀119905119903 = 휀119910 = 휀119911 = minus120599 ∙ 휀119909 (313)

Semnul minus bdquo-rdquo arată că cele două mărimi sunt contrare dacă una creşte cealaltă

scade şi invers

Considerăm o bară cilindrică de lungime 119897 şi aria secţiunii transversale 119860 solicitată

la icircntindere axială La un moment dat datorită solicitării lungimea barei devine

[119897 ∙ (1 + 휀)] diametrul devine [119889 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)] iar aria secţiunii transversale devine

[119860 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)2] Dacă volumul barei icircnainte de solicitare a fost (119860 ∙ 119897) după solicitare

acesta devine

119881 + ∆119881 = 119860 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)2 ∙ 119897 ∙ (1 + 휀) =

= 119860 ∙ 119897 ∙ (1 + 휀 minus 2 ∙ 120599 ∙ 휀 minus 2 ∙ 120599 ∙ 휀2 + 1205992 ∙ 휀2 + 1205992 ∙ 휀3) (314)

Deoarece lungirile sunt foarte mici ultimii trei termeni din paranteză fiind infinit mici se pot neglija obţinacircnd

119881 + ∆119881 = 119860 ∙ 119897 + 119860 ∙ 119897 ∙ 휀 ∙ (1 minus 2 ∙ 120599) ⟺ ∆119881 = 휀 ∙ (1 minus 2 ∙ 120599) ∙ 119860 ∙ 119897 (315)

Practica arătă că o astfel de bară solicitată la icircntindere icircşi măreşte volumul deci

∆119881 gt 0 de unde rezultă că

1 minus 2 ∙ 120599 gt 0 rArr 120599 lt 05 (316)

Pentru majoritatea materialelor 120599 = 033 iar pentru materialele care-şi păstrează

volumul constant 120599 = 05

33 Relaţii de echivalenţă icircntre eforturi şi tensiuni

Considerăm un element de suprafață infinit mic 119889119860 situat pe fața de arie (119860) a

secțiunii barei din figura 311 Icircn centrul de greutate 119862 al secțiunii acționează eforturile

119873 119879119910 119879119911 119872119909 119872119894119910 și 119872119894119911 determinate prin metoda secțiunilor

Icircn raport cu un sistem de axe de referință 119909119862119910119911 coordonatele elementului 119889119860 sunt

- 119910 este ordonata elementului de arie 119889119860

- 119911 este abscisa elementului de arie 119889119860

Pe elementul de arie 119889119860 acționează tensiunile

120590119909 tensiunea normală

120591119909119910 și 120591119909119911 tensiuni tangențiale

Dacă se icircnsumează forțele elementare de tipul 120590119909 ∙ 119889119860 120591119909119910 ∙ 119889119860 și 120591119909119911 ∙ 119889119860

va trebui să obținem eforturile 119873 119879119910 și 119879119911

Fig 311 Element de suprafață mic din secțiunea unei bare

Dacă eforturile sunt privite ca forțe exterioare și se scriu ecuațiile de

echilibru ale secțiunii (119860) se vor obține șase relații de echivalență icircntre eforturi și

tensiuni

(sum119883) = 0 rArr int 120590119909 ∙ 119889119860

119860

= 119873 (317)

(sum119884) = 0 rArr int 120591119909119910 ∙ 119889119860

119860

= 119879119910 (318)

(sum119885) = 0 rArr int 120591119909119911 ∙ 119889119860

119860

= 119879119911 (319)

(sum119872)119909= 0 rArr int(120591119909119911 ∙ 119889119860) ∙ 119910

119860

minus int(120591119909119910 ∙ 119889119860) ∙ 119911

119860

= 119872119909 rArr

rArr int(119910 ∙ 120591119909119911 minus 119911 ∙ 120591119909119910) ∙ 119889119860

119860

= 119872119909

(320)

(sum119872)119910= 0 rArr int(120590119909 ∙ 119889119860) ∙ 119911

119860

= 119872119894119910 (321)

(sum119872)119911= 0 rArr int(120590119909 ∙ 119889119860) ∙ 119910

119860

= 119872119894119911 (322)

Cele șase relații de echivalență icircntre eforturi și tensiuni constituie un pas icircnainte

icircn rezolvarea unei probleme de rezistența materialelor Aceste relații vor permite

determinarea tensiunilor maxime

Pentru a rezolva cele 6 relații de echivalență trebuie să se cunoască tensiunile și

ca funcții de punct adică funcții de forma

120590119909 = 120590119909(119909 119910 119911) 120591119909119910 = 120591119909119910(119909 119910 119911) 120591119909119911 = 120591119909119911(119909 119910 119911) (32

3)

Cunoașterea acestor funcții presupune icircnsă analizarea aspectului geometric al

problemei precum și utilizarea unor ipoteze simplificatoare care să permită simplificarea

problemelor

34 Ipoteze de bază icircn rezistenţa materialelor

Depășirea dificultăților legate de interpretarea unor fenomene specifice mecanicii

solidului deformabil a impus acceptarea unor ipoteze care să simplifice fenomenele și să

contribuie la elaborarea unor modele de calcul cicirct mai generale și cacirct mai simple Aceste

ipoteze se referă la structura materialelor şi la comportarea lor sub acţiunea forţelor

exterioare Ipotezele acceptate trebuie să fie icircn deplină concordanţă cu realitatea și să

conducă la rezultate verificate icircn practică

Funcție de aspectele la care se referă ipotezele pot fi

Ipoteze fizice (de material)

Ipoteze de calcul

341 Ipoteze fizice

Se acceptă deoarece teoriile structurale au condus la rezultate care contravin

icircncercărilor experimentale

Ipoteza mediului continuu consideră că orice domeniu elementar al corpului

este ocupat de materie adică nu se acceptă existența unor goluri sau a unor crăpături

microscopice (fisuri) Deși nu corespunde realităţii poate fi acceptată deoarece

dimensiunile corpului sunt mult mai mari decacirct dimensiunile particulelor elemantare Are

avantajul că permite utilizarea proprietăților matematice ale funcțiilor continue pentru

tensiunile și deformațiile din orice punct al corpului Ea este mai apropiată de realitate la

corpurile amorfe şi mai depărtată la cele cristaline dar conduce la rezultate satisfăcătoare

icircn calculele de rezistenţă

Ipoteza nu se poate aplica la corpurile care au goluri tăieturi (multiplu conexe)

pentru unele puncte singulare icircn care tensiunile și deformațiile tind la infinit sau icircn unele

probleme de plasticitate icircn care proprietățile de material au un rol esențial

Ipoteza izotropiei conform acestei ipoteze materialul din care este confecționat

un element de rezistență are aceleași proprietăți după orice direcție un astfel de material

este considerat izotrop Din punct de vedere macroscopic metalele pot fi considerate

izotrope deși la nivel microscopic proprietățile lor diferă de la o direcție cristalografică

la alta Orice conglomerat de cristale poate fi considerat izotrop

Există cazuri cacircnd această ipoteză a izotropiei nu se acceptă

la metalele puternic deformate după o direcție (prin laminare trefilare)

la piesele confecționate din lemn lemnul este anizotrop deoarece proprietățile sale

diferă după două direcții (icircn lungul fibrelor și perpendicular pe această direcție)

Ipoteza omogenității consideră că un corp are aceleași proprietăți icircn orice

punct al său Deși majoritatea materialelor utilizate icircn tehnică sunt eterogene la scară

micro fiind constituite din mai multe faze cu proprietăți diferite la scară macro ele pot

fi considerate omogene Omogenitatea și izotropia sunt proprietăți statistice medii care

nu se condiționează una pe cealaltă Chiar și materialele monofazice pot avea la scară

micro unele segregații care le fac eterogene

Ipoteza elasticităţii perfecte presupune că atacircta timp cacirct solicitările nu

depăşesc anumite limite materialul are o comportare elastică adică icircşi recapătă forma şi

dimensiunile iniţiale odată cu icircnlăturarea sarcinilor Icircn realitate materialele nu prezintă o

elasticitate perfectă ele avacircnd deformaţii remanente mici care icircnsă pot fi neglijate icircn

calculele de rezistenţă

Acceptarea acestei ipoteze a elasticității perfecte permite

- aplicarea relației biunivoce icircntre tensiuni și deformații relație exprimată de legea

lui Hooke ( = 119864 ∙ 휀) unde E este un factor de proporţionalitate numit modul de

elasticitate longitudinal al materialului pentru oţel 119864 = 21 ∙ 105 [119872119875119886] - acceptarea valabilității afirmației bdquolucrul mecanic efectuat de forțele exterioare

ca urmare a parcurgerii deplasărilor punctelor de aplicație se icircnmagazinează integral icircn

corp sub formă de energie de deformație energie cedată la icircndepărtarea sarcinilorrdquo

- este valabilă teoria conform căreia bdquoenergia icircnmagazinată și deformațiile depind

doar de starea inițială și finală de eforturi fără a ține cont de modul icircn care s-a ajuns la

starea finalărdquo

Icircn realitate oricacirct de mici ar fi sarcinile aplicate se produc și deformații plastice

dar acestea pot fi neglijate dacă solicitarea nu depășește anumite limite

342 Ipoteze de calcul

Ipoteza micilor deplasări bdquodeplasările datorate deformării sunt mult mai mici

decacirct dimensiunile corpurilor și ca urmare pot fi neglijate produsele dintre o deplasare și

ea icircnsăşirdquo Pentru cele mai multe corpuri deformaţiile elastice sunt de mărimi mici deci

corpurile solide sub acţiunea sarcinilor icircşi modifică foarte puţin forma iniţială Această

ipoteză este cunoscută şi sub denumirea de ipoteza menţinerii dimensiunilor iniţiale Ea

permite scrierea ecuaţiilor de echilibru ale staticii pe starea nedeformată a elementului

cacircnd nu se iau icircn considerare deplasările punctelor de aplicaţie ale forţelor care se produc

ca urmare a deformării acestuia Calculul efectuat pe schema nedeformată poartă numele

de calcul de ordinul I

Ipoteza micilor deplasări nu poate fi acceptată pentru studiul problemelor de

stabilitate sau la problemele la care nu pot fi icircndeplinite condiţiile de echilibru icircn starea

nedeformată

Calculul de ordinul II admite ipoteza micilor deplasări dar ecuaţiile de echilibru

se scriu icircnsă pentru starea deformată a elementului de rezistenţă

Calculul de ordinul III nu mai acceptă ipoteza micilor deplasări el referindu-se

la cazul deformaţiilor mari cacircnd ecuaţiile de echilibru trebuie scrise pentru starea

deformată

Chiar dacă materialul satisface legea lui Hooke icircn urma calculelor de ordinul II

se obţin de obicei relaţii neliniare icircntre sarcini şi deplasări iar pentru calculul de ordinul

III rezultă ecuaţii diferenţiale neliniare

Principiul efectului local al acțiunii sarcinilor enunțat de Barre de Saint-

Venant Acest principiu destul de folosit icircn Rezistenţa Materialelor precizează că dacă

se icircnlocuiesc forţele care acţionează asupra unui element de suprafață al unui corp

elastic printr-un alt sistem de forţe echivalent din punct de vedere static cu primul noua

distribuţie a forţelor produce la locul de aplicare diferenţe semnificative faţă de prima

dar rămacircne fără efect sau cu efect neglijabil la distanţe mari de locul de aplicare al

forţelor figura 312

Ca o cosecință o sarcină uniform distribuită figura 312a poate fi icircnlocuită cu

rezultanta ei figura 312b dacă se analizează efectul sarcinii la distanță mare de locul icircn

care se aplică sarcina

Fig 312 Principiul Saint-Venant

Icircn prima variantă figura 312a forţa 119865 se aplică pe o porțiune oarecare 119897 (sarcină

uniform distribuită) iar icircn a doua figura 312b icircntru-un punct (forţă concentrată) La

locul de aplicare a sarcinii efectul asupra barei este cu totul diferit de la o variantă la

cealaltă Icircnsă la o distanţă mare de punctul de aplicaţie spre exemplu icircn secţiunea situată

la distanţa 119886 de capătul barei sau chiar icircn icircncastrare ambele bare sunt solicitate la fel

Icircn cazul din figura 312a

119872119894(119909) =119901 ∙ 1199092

2 119909 le 119897 119872119894(119909) = 119901 ∙ 119897 ∙ (119909 minus

119897

2) 119909 gt 119897 (324)

Icircn cazul din figura 312b

119872119894(119909) = 0 119909 lt119897

2 119872119894(119909) = 119901 ∙ 119897 ∙ (119909 minus

119897

2) 119909 gt

119897

2 (325)

Se vede că pentru (119909 gt 119897) adică după depășirea locului icircn care se aplică sarcina

efectul este același

Ipoteza lui Bernoulli sau ipoteza secţiunilor plane precizează că o secţiune

plană şi normală pe axa barei icircnainte de deformare rămacircne plană şi normală pe axa

barei şi după deformare figura 313

Fig 313 Ipoteza lui Bernoulli

Ipoteza stării naturale a corpului sau ipoteza absenţei tensiunilor conform

căreia pentru un corp nesolicitat starea de tensiune şi deformaţie este nulă

Perfecţionarea mijloacelor de calcul şi de investigare pot conduce la renunţarea la

unele ipoteze sau la introducerea altora noi mai aproape de stările reale De aici rezultă

caracterul de continuă perfecţionare a metodelor Rezistenţei Materialelor

35 Coeficienţi de siguranţă Tensiuni admisibile

O piesă corespunde din punct de vedere tehnic dacă tensiunile care iau naştere icircn

interiorul piesei datorită sarcinilor aplicate nu depăşesc anumite valori limită stabilite

convenţional Aceste valori limită ale tensiunii sunt corelate cu caracteristicile mecanice

ale materialelor

Tensiunea limită utilizată icircn calculele de rezistenţă este cunoscută sub denumirea

de tensiune admisibilă sau rezistenţă admisibilă Rezistenţa admisibilă reprezintă

valoarea convenţională aleasă icircn calcul pe baza practicii pentru tensiunea maximă care

poate apare icircntr-o piesă icircn condiţii date de material şi solicitare

Rezistenţa admisibilă (120590119886 sau 120591119886) poate fi definită faţă de o stare limită

periculoasă stare care trebuie evitată deoarece poate conduce distrugere

120590119886 =120590119897119894119898119888

(326)

unde

120590119897119894119898 este tensiunea corespunzătoare stării limită periculoase

119888 estesupraunitar 119888 gt 1 și reprezintă coeficientul de siguranţă faţă de starea limită

periculoasă considerată

Alegerea unor valori inferioare pentru rezistenţa admisibilă faţă de tensiunea

corespunzătoare stării limită periculoase este necesară deoarece

cunoaşterea sarcinilor este de cele mai multe ori aproximativă şi o depăşire a

acestora este foarte posibilă

caracteristicile mecanice ale materialelor variază icircn limite destul de mari ele

fiind influenţate de mulţi factori

schema aleasă pentru calcul (aplicarea sarcinilor schematizarea structurii

ipotezele de calcul etc) depărtează modelul faţă de cel real

Pentru calculele de verificare tensiunea efectivă maximă din elementul de

rezistenţă trebuie să fie mai mică sau cel mult egală cu cea admisibilă

120590119890119891119898119886119909 le 120590119886 (327)

Valoarea rezistenţei admisibile este influenţată de foarte mulţi factori natura

materialului tratamentele termice aplicate piesei durata de funcţionare a piesei modul

de acţionare icircn timp a sarcinilor felul solicitării temperatura gradul de periculozitate

icircn cazul cedării piesei etc

De asemenea valoarea coeficientului de siguranţă se alege icircn principal ţinacircnd

seama de aceiaşi factori care influenţează şi rezistenţa admisibilă

Rezistenţele admisibile pentru cacircteva materiale sunt următoarele

pentru oțelul de uz general OL37 solicitat la icircntindere compresiune sau

icircncovoiere 120590119886 = 150 [119872119875119886] pentru lemnul de brad solicitat la

- compresiune icircn lungul fibrelor şi solicitat la icircncovoiere 120590119886 = 10 [119872119875119886] - tracţiune icircn lungul fibrelor 120590119886 = 7 [119872119875119886] - compresiune perpendiculară pe fibre 120590119886 = 15 [119872119875119886] - forfecare icircn lungul fibrelor 120591119886 = 2 [119872119875119886] - forfecare perpendiculară pe fibre 120590119886 = 45 [119872119875119886]

terenuri de fundaţie din pămacircnt uscat sau umed 120590119886 = 020 divide 025 [119872119875119886]

4 CARACTERISTICI GEOMETRICE ALE SECȚIUNILOR PLANE

41 Noţiuni introductive

Icircn relaţiile de calcul ale tensiunilor şi deformaţiilor elementelor de rezistenţă

pentru unele solicitări (icircncovoierea și torsiunea) secțiunile plane intervin atacirct prin

dimensiunile lor (aria 119860) cicirct și prin forma și poziția pe care o are secțiunea icircn raport cu

planul solicitării Mărimile care caracterizează o secțiune icircn raport cu forma și poziția față

de axele unui sistem de referință sunt denumite caracteristici geometrice de ordin

superior Aria secțiunii este caracteristica geometrică ce depinde doar de dimensiunile

geometrice ale acesteia

Să considerăm o grindă solicitată de o forță exterioară 119865 aşezată icircn două poziții icircn

raport cu planul forţei figura 41 Icircn urma aplicării forței deși avem aceeași grindă

(aceeași arie a secțiunii transversale) și aceeași forță se constată că pentru varianta din

figura 41a deformațiile sunt mult mai mari adică rezistența la icircncovoiere a grinzii din

figura 41a este mai mare decacirct icircn cazul grinzii din figura 41b Comportarea diferită se

explică prin aceea că modificarea poziţiei secţiunii transversale faţă de planul forţelor

modifică caracteristicile geometrice ale secţiunii transversale a grinzii

Fig 41 Grindă solicitată de forța 119865

Pentru realizarea calculelor de rezistenţă şi rigiditate este foarte importantă

cunoaşterea caracteristicilor geometrice ale suprafeţei secţiunii transversale a elementelor

de rezistenţă

Caracteristicile geometrice ale secţiunii transversale a unui element de rezistenţă

sunt

- aria secțiunii notată cu 119860

- momentul static icircn raport cu o axă notat 119878119911 și respectiv 119878119910

- momentul de inerție care poate fi

axial notat 119868119911 și respectiv 119868119910

centrifugal notat 119868119911119910

polar notat 119868119901

- raza de inerţie (giraţie)notată 119894119911 și respectiv 119894119910

- modulul de rezistență care poate fi

axial notat 119882119911 și respectiv 119882119910

polar notat 119882119901

42 Aria și momentul static al suprafețelor plane

Fie o suprafaţă plană de arie 119860 pe care se ia un element infinit mic de arie 119889119860 şi

un sistem de axe rectangulare 119911119874119910 figura 42 Notăm cu 119862 centrul de greutate al suprafeţei

119860 Poziţia suprafeţei elementare 119889119860 faţă de acelaşi sistem de coordonate 119911119874119910 este dată

de abscisa 119911 ordonata 119910 și raza polară

Fig 42 Suprafață plană de arie 119860

Aria suprafeţei 119860 figura 42 se defineşte ca fiind

119860 ≝ int 119889119860

119860

(41)

Aria suprafeţei este icircntotdeauna pozitivă și se măsoară icircn [1198981198982] Momentul static al suprafeţei de arie 119860 icircn raport cu axele 119874119911 și respectiv 119874119910

figura 42 sunt date de relaţiile

119878119911 ≝ int 119910 ∙ 119889119860

119860

119878119910 ≝ int 119911 ∙ 119889119860

119860

(42)

Momentul static poate fi pozitiv negativ sau nul şi se măsoară icircn [1198981198983] Coordonatele centrului de greutate ale suprafeței 119860 se detrmină cu relațiile

119910119862 ≝int 119910 ∙ 119889119860119860

119860 119911119862 ≝

int 119911 ∙ 119889119860119860

119860

(43)

Cunoscacircnd coordonatele 119910119862 și 119911119862 ale centrului de greutate 119862 al secțiunii 119860 atunci

momentele statice se pot determina cu relațiile

119878119911 ≝ int 119910 ∙ 119889119860

119860

= 119910119862 ∙ 119889119860 119878119910 ≝ int 119911 ∙ 119889119860

119860

= 119911119862 ∙ 119889119860 (44)

Aceste relații arată că momentul static al unei suprafețe icircn raport cu o axă este

egal cu produsul dintre aria suprafeței și distanța de la centrul ariei la axa respectivă

Dacă suprafaţa se poate descompune icircn 119899 suprafeţe simple la care se cunosc ariile

(1198601 1198602 ⋯ 119860119894⋯ 119860119899) și poziţiile centrelor de greutate 119862119894 faţă de sistemul de referinţă

expresiile momentelor statice capătă următoarea formă

119878119911 = sum 119910119862119894 ∙ 119860119894119899119894=1 = 119910119862 ∙ 119860 119878119910 = sum 119911119862119894 ∙ 119860119894

119899119894=1 = 119911119862 ∙ 119860 (45)

Din relaţiile (45) rezultă că poziţia centrului de greutate 119862 al unei suprafeţe

compuse poate fi determinată cu relaţiile

119910119862 = (sum119910119862119894 ∙ 119860119894

119899

119894=1

) 119860frasl 119911119862 = (sum119911119862119894 ∙ 119860119894

119899

119894=1

) 119860frasl (46)

Icircn relația (45) 119910119862119894 și respectiv 119911119862119894 reprezintă coordonatele centrelor de greutate 119862119894

ale fiecărei suprafețe simple 119860119894 icircn raport sistemul de axe 119911119874119910

Se constată (relaţia 42) că dacă axele sistemului de referinţă trec prin centrul de

greutate (119910119862 = 119911119862 = 0) momentele statice sunt nule Axele icircn raport cu care momentele

statice sunt nule şi care trec prin centrul de greutate al suprafeţei se numesc axe centrale

Observație dacă secțiunea compusă are o axă de simetrie centrul secțiunii se

găsește pe acea axă iar dacă secțiunea este dublu simetrică poziția centrului secțiunii este

la intersecția axelor de simetrie

43 Momente de inerţie

Momentele de inerţie axiale ale unei suprafețe se calculează icircn raport cu axele de

coordonate 119874119911 și respectiv 119874119910 figura 42 și se determină cu relațiile

119868119911 ≝ int 1199102 ∙ 119889119860

119860

119868119910 ≝ int 1199112 ∙ 119889119860

119860

(47)

Unde 119910 și 119911 sunt distanțele de la elementul de arie 119889119860 la cele două axe de

coordonate 119874119911 și respectiv 119874119910

Momentele de inerţie axiale se măsoară icircn [1198981198984] şi sunt icircntotdeauna pozitive (aria

119889119860 este icircntotdeauna pozitivă și este multiplicată cu patratul distanței 1199102 dacă 119868119911 sau 119868119910

sunt nule icircnseamnă ca secțiunea nu există)

Momentele de inerție axiale se calculează icircndeosebi pentru axele centrale (care

trec prin centrul secțiunii) deoarece icircn raport cu acele axe 119868119911 și 119868119910 au valori minime

Momentul de inerţie centrifugal calculat faţă ambele axe ale sistemului de

referinţă 119911119874119910 este definit de relația

119868119911119910 ≝ int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860

(48)

Momentul de inerţie centrifugal se măsoară icircn [1198981198984] şi poate fi pozitiv negativ

sau nul

Momentul de ineție centrifugal este nul 119868119911119910 = 0 dacă cel puțin una din axele 119874119911

sau 119874119910 este axă de simetrie pentru secțiune

Se consideră o suprafaţă dreptunghiulară pe care faţă de axa de simetrie 119874119910 se iau

două suprafeţe elementare de arie 119889119860 simetrice faţă de axa 119874119910 figura 43

Fig 43 Suprafață dreptunghiulară cu două arii elementare 119889119860

Făcacircnd suma momentelor de inerţie centrifugale pentru cele două suprafeţe

elementare 119889119860 (din stacircnga şi din dreapta faţă de axa 119874119910) se obţine

int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860119889119903

+ int (minus119911) ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860119904119905119892

= int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860119889119903

minus int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860119904119905119892

= 0 (49)

Acelaşi raţionament se poate face și pentru icircntreaga suprafaţă de unde obținem că

momentul de inerție centrifugal este nul 119868119911119910 = 0 Deci pentru o suprafaţă plană care

are cel puţin o axă de simetrie momentul de inerţie centrifugal faţă de sistemul care

conţine acea axă de simetrie este nul

Momentul de inerţie polar al unei suprafeţei icircn raport cu un punct (pol) 119874 figura

42 este definit prin relaţia

1198680 = 119868119901 ≝ int 1205882 ∙ 119889119860

119860

= int(1199102 + 1199112) ∙ 119889119860

119860

= 119868119911 + 119868119910 (410)

unde este distanţa de la polul 119874 la elementul de arie 119889119860 Momentul de inerţie polar se

măsoară icircn [1198981198984] şi este totdeauna pozitiv

Momentul de inerţie polar este egal cu suma momentelor de inerţie faţă de două axe

perpendiculare oarecare şi care trec prin polul considerat

Razele de giraţie sau razele de inerţie sunt mărimi calculate icircn raport cu axele

secțiunii și definite de relaţiile

119894119911 ≝ radic119868119911119860 119894119910 = radic

119868119910

119860 (411)

Se exprimă icircn [119898119898] şi sunt icircntotdeauna pozitive Semnificația unei raze de inerție

este distanța la care dacă ar fi concentrată icircntreaga arie s-ar obține același moment de

inerție ca și cel calculat pentru aria reală

44 Modulul de rezistenţă

Modulul de rezistență se calculează icircn raport cu axele de referință sau icircn raport cu

un pol figura 42 și pot fi axiale (119882119911119882119910) sau polar (119882119901) și se determină numai pe baza

momentelor de inerţie cu relațiile figura 43

119882119911119898119894119899 ≝119868119911119910119898119886119909

119882119911119898119886119909 ≝119868119911119910119898119894119899

(412)

119882119910119898119894119899 ≝119868119910

119911119898119886119909 119882119910119898119886119909 ≝

119868119910

119911119898119894119899 (413)

119882119901 ≝119868119901

120588119898119886119909 (414)

unde

119910119898119886119909 119910119898119894119899 reprezintă distanţa de la axa 119874119911 la punctele extreme cele mai

depărtate respectiv cele mai apropiate ale suprafeţei de această axă

119911119898119886119909 119911119898119894119899 reprezintă distanţa de la axa 119874119910 la punctele extreme cele mai

depărtate respectiv cele mai apropiate ale suprafeţei de această axă

120588119898119886119909 reprezintă distanța maximă de la polul 119874 la punctul secțiunii cel mai

icircndepărtat de acesta

Fig 43 Suprafață dreptunghiulară cu două arii elementare 119889119860

Modulele de rezistenţă se exprimă icircn [1198981198983] şi sunt icircntotdeauna pozitive

Explicația este aceea că momentele de inerție care intră icircn relațiile de definiție sunt

pozitive iar distanțele la punctele extreme sunt pozitive (119910119898119886119909 119910119898119894119899 119911119898119886119909 119911119898119894119899 120588119898119886119909 se

iau icircn valoare absolută)

Icircn cazul suprafeţelor compuse modulul de rezistenţă nu se obţine prin icircnsumarea

algebrică a modulelor de rezistenţă ale suprafeţelor simple componente ci numai prin

intermediul momentului de inerţie axial calculat pentru icircntreaga secțiune

Ca și momentele de inerție modulele de rezistență se calculează numai pentru

sistemele de axe centrale

45 Momente de inerţie şi module de rezistenţă pentru suprafeţe simple

451 Secțiune dreptunghiulară

Fie suprafaţa dreptunghiulară din figura 44 de icircnălțime ℎ și lățime 119887 pe care se

consideră suprafaţă elementară de arie 119889119860 = 119887119889119910 la distanța 119910 de axa 119862119911 sistemul de

axe 119911119862119910 trece prin centrul secțiunii iar axele sunt axe de simetrie pentru dreptunghi

Fig 44 Suprafață dreptunghiulară

Pe baza relațiilor de definiți a momentului de inerție 119868119911 se obține

119868119911 ≝ int 1199102 ∙ 119889119860

119860

= int 1199102 ∙ 119887 ∙ 119889119910 = 2int 1199102 ∙ 119887 ∙ 119889119910 = 2 ∙ 119887 ∙1199103

3|ℎ 2frasl

0rArr

ℎ 2frasl

0

ℎ 2frasl

minusℎ 2frasl

rArr 119868119911 =119887 ∙ ℎ3

12

(415)

Analog pentru un element de arie 119889119860 = ℎ ∙ 119889119911 paralel cu axa 119862119910 situat la distanța

119911 de axa 119862119910

119868119910 ≝ int 1199112 ∙ 119889119860

119860

= int 1199112 ∙ ℎ ∙ 119889119911 = 2int 1199112 ∙ ℎ ∙ 119889119910 = 2 ∙ ℎ ∙1199113

3|119887 2frasl

0rArr

119887 2frasl

0

119887 2frasl

minus119887 2frasl

rArr 119868119910 =1198873 ∙ ℎ

12

(416)

Deoarece axele 119862119911 și 119862119910 sunt axe de simetrie momentul de inerție centrifugal este

119868119911119910 = 0 (417)

Pentru un pătrat avacircnd laturile egale (ℎ = 119887 = 119886) momentele de inerţie faţă de

axele centrale au expresia

119868119911 = 119868119910 =1198864

12 (418)

Modulele de rezistență axiale se calculează cu relațiile de definiție ținacircnd cont că

distanțele pacircnă la fibrele extreme sunt

119910119898119886119909 = 119910119898119894119899 =ℎ

2 119911119898119886119909 = 119911119898119894119899 =

119887

2 (419)

Obținem

119882119911119898119894119899 = 119882119911119898119886119909 =119868119911

119910119898119886119909119898119894119899=119887 ∙ ℎ3

12frasl

ℎ2frasl

=119887 ∙ ℎ2

6

119882119910119898119894119899 = 119882119910119898119886119909 =119868119910

119911119898119886119909119898119894119899=1198873 ∙ ℎ

12frasl

1198872frasl

=1198872 ∙ ℎ

6

(420)

452 Suprafaţă circulară

Din motive de simetrie pentru suprafeţele circulare momentele de inerţie faţă de

orice diametru (care reprezintă şi axe centrale) sunt aceleaşi

Considerăm o secțiune circulară plină cu diametrul 119889 și centrul de greutate 119862 Prin

centrul de greutate 119862 trece sistemul de axe ortogonal 119911119862119910 figura 45

Fig 45 Suprafață circulară

La distanța de centrul de greutate 119862 vom lua un element de suprafață mic de arie

(119889119860) de forma unui inel de grosime 119889 Elementul de arie 119889119860 are expresia

119889119860 = (2 ∙ 120587 ∙ 120588) ∙ (119889120588)

Pornind de la relația de definiție a momentului de inerție polar obținem

119868119901 ≝ int 1205882 ∙ 119889119860

119860

= int 1205882 ∙ (2 ∙ 120587 ∙ 120588) ∙ 119889120588

119903=119889 2frasl

0

= 2 ∙ 120587 ∙1205884

4|119889 2frasl0 rArr

rArr 119868119901 =120587 ∙ 1198894

32

(421)

Secțiunea este perfect simetrică deci sunt valabile relațiile

119868119911 = 119868119910 rArr 119868119901 = 119868119911 + 119868119910 = 2 ∙ 119868119911 = 2 ∙ 119868119910 =119868119901

2=120587 ∙ 1198894

64 (422)

Și modulele de rezistenţă faţă de orice diametru sunt egale şi se calculează cu

relaţiile

119882119911 = 119882119910 =1198681199111198892frasl=120587 ∙ 1198893

32 (423)

Modulul de rezistenţă polar este

119882119901 =1198681199011198892frasl=120587 ∙ 1198893

16 (424)

453 Secţiune inelară

Calculul momentelor de inerţie axiale pentru o secţiune inelară avacircnd diametrul

interior 119889 şi diametrul exterior 119863 se determină analog pentru suprafaţa circulară plină cu

observaţia că integrala pentru calculul momentului de inerție polar 119868119901 se face icircntre

limitele 119903 = 119889 2frasl şi R= 1198632frasl (icircntre raza interioară 119903 şi raza exterioară 119877) figura 46

Se obţin relaţiile

119868119901 =120587 ∙ 1198634

32∙ [1 minus (

119889

119863)4

] =120587 ∙ 1198634

32∙ (1 minus 1198964) (425)

119868119910 = 119868119910 =120587 ∙ 1198634

64∙ [1 minus (

119889

119863)4

] =120587 ∙ 1198633

64∙ (1 minus 1198964) (426)

Fig 46 Secțiune inelară

119882119901 =120587 ∙ 1198633

16∙ [1 minus (

119889

119863)4

] =120587 ∙ 1198633

16∙ (1 minus 1198964) (427)

119882119911 = 119882119910 =120587 ∙ 1198633

32∙ [1 minus (

119889

119863)4

] =120587 ∙ 1198633

32∙ (1 minus 1198964) (428)

unde 119896 = 119889119863frasl

46 Variaţia momentelor de inerţie faţă de axe paralele

( Relațiile lui STEINER)

Se consideră o suprafaţă oarecare de arie 119860 cu elementul de arie 119889119860 și un sistemul

de axe central 119911119862119910 faţă de care se cunosc momentele de inerţie 119868119911 119868119910 119868119911119910 şi considerăm

un sistem de axe 11991111198741199101 paralele cu sistemul central figura 47 Se pune problema

determinării momentele de inerţie 1198681199111 1198681199101 11986811991111199101 faţă de sistemul de axe paralel cu sistemul

central 11991111198741199101 axe aflate la distanţele 119910119862 = 119888 respectiv 119911119862 = 119889 de acesta

461 Momente de inerţie axiale

Pe baza relaţiilor de definire şi a notaţiilor din figura 42 pentru momentele de

inerţie faţă de axele 1198741199111 1198741199101 se poate scrie

1198681199111 = int 11991012 ∙ 119889119860

119860

= int(119910 + 119888)2 ∙ 119889119860

119860

= int 1199102 ∙ 119889119860

119860

+ 2 ∙ 119888 ∙ int 119910 ∙ 119889119860

119860

+

+1198882int 119889119860

119860

rArr 1198681199111 = 119868119911 + 2 ∙ 119888 ∙ 119878119911 + 1198882 ∙ 119860 hArr 1198681199111 = 119868119911 + 119888

2 ∙ 119860

(429)

Fig 47 Variaţia momentelor de inerţie față de axe paralele

S-a ajuns la relația (429) deoarece momentul static 119878119911 este nul deoarece axa 119862119885

este axă centrală

Pentru momentul de inerție axial icircn raport cu axa 1198741199101 se obține

1198681199101 = int 11991112 ∙ 119889119860

119860

= int(119911 + 119889)2 ∙ 119889119860

119860

= int 1199112 ∙ 119889119860

119860

+ 2 ∙ 119889 ∙ int 119911 ∙ 119889119860

119860

+

+1198892 ∙ int 119889119860

119860

rArr 1198681199101 = 119868119910 + 2 ∙ 119889 ∙ 119878119910 + 1198892 ∙ 119860 hArr 1198681199101 = 119868119910 + 119889

2 ∙ 119860

(430)

Pentru momentul de inerție centrifugal obținem

11986811991111199101 = int 1199101 ∙ 1199111 ∙ 119889119860

119860

= int(119910 + 119888) ∙ (119911 + 119889) ∙ 119889119860

119860

= int 119910 ∙ 119911 ∙ 119889119860 +

119860

+119888 ∙ int 119911 ∙ 119889119860

119860

+ 119889 ∙ int 119910 ∙ 119889119860

119860

rArr 11986811991111199101 = 119868119911119910 + 119888 ∙ 119889 ∙ 119860

(431)

Deoarece

int 119911 ∙ 119889119860

119860

= 119878119910 = 0 int 119910 ∙ 119889119860

119860

= 119878119911 = 0 int 119910 ∙ 119911 ∙ 119889119860

119860

= 119868119911119910

Relaţiile (429) şi (430) arată că momentul de inerţie faţă de o axă oarecare

este egal cu momentul de inerţie faţă de o axă paralelă cu ea trecacircnd prin centrul de

greutate la care se adaugă produsul dintre aria suprafeţei şi pătratul distanţei dintre

cele două axe

Din relaţiile (429) și (430) rezultă de asemenea că momentul de inerţie faţă de o

axă centrală (care trece prin centrul de greutate) este cel mai mic dintre infinitatea de

momente de inerţie obținute faţă de alte axe paralele cu ea

Relaţia (431) arată de asemenea că momentul de inerţie centrifugal faţă de un

sistem de axe oarecare este egal cu momentul de inerţie centrifugal faţă de un sistem

paralele cu el trecacircnd prin centrul de greutate a suprafeţei la care se adaugă produsul

dintre aria suprafeţei şi distanţele dintre axele sistemelor respective

Icircn literatura de specialitate relaţiile (429) (430) şi (431) sunt cunoscute sub

numele de relaţiile lui Steiner

47 Variaţia momentrlor de inerţie faţă de axe rotite

Direcţii principale şi momente de inerţie principale

Fie suprafaţa plană din figura 48 de arie 119860 pe care considerăm o suprafaţă

elementară de arie 119889119860 Pentru sistemul de axe 119911119874119910 se cunosc momentele de inerţie

119868119911 119868119910 119868119911119910 şi vom determina relaţiile de calcul pentru momentele de inerţie afererent unui

sistem de axe 11991111198741199101 rotit cu un unghi faţă de sistemul central

Faţă de sistemul de axe 11991111198741199101 elementul de arie 119889119860 are coordonatele

1199101 = 119875119877 = 119875119876 minus 119877119876 = 119910 ∙ cos 120572 minus 119911 ∙ sin 120572

1199111 = 119873119872 = 119873119875 minus 119875119872 = 119911 ∙ cos 120572 + 119910 ∙ sin 120572 (432)

Fig 47 Variaţia momentelor de inerţie față de axe rotite

Pe baza relaţiilor de calcul ale momentelor de inerţie şi a notaţiilor din figura 42

şi ale relaţiilor (432) momentele de inerţie faţă de sistemul de axe rotit 11991111198741199101 sunt

1198681199111 =119868119911 + 119868119910

2+119868119911 minus 119868119910

2∙ cos 2120572 minus 119868119911119910 ∙ sin 2120572 (433)

1198681199101 =119868119911 + 119868119910

2minus119868119911 minus 119868119910

2∙ cos 2120572 + 119868119911119910 ∙ sin 2120572 (434)

11986811991111199101 =119868119911 minus 119868119910

2∙ sin 2120572 + 119868119911119910 ∙ cos 2120572 (435)

Din relaţiile 433divide435 se observă că icircntre momentele de inerţie axiale şi cele

polare există relaţia

1198681199111 + 1198681199101 = 119868119911 + 119868119910 = 119868119901 (436)

adică suma momentelor de inerţie axiale icircn raport cu orice pereche de axe ortogonale

care trec printr-un pol dat este o constantă şi egală cu momentul de inerţie polar

Prin rotirea sistemului de axe din relaţiile 433divide435 rezultă că momentele de inerţie

variază icircnsă suma lor rămacircne constantă deci există o poziţie a sistemului de axe pentru

care momentele de inerţie au valori extreme maxim respectiv minim

471 Direcţii principale de inerţie

Valoarea unghiului 120572 pentru care momentele de inerţie axiale au valori extreme

este

1205721 =1

2∙ 119886119903119888119905119886119899 (minus

2 ∙ 119868119911119910

119868119911 minus 119868119910) (437)

Poziţia celeilalte direcţii este perpendiculară pe cea dată de unghiul 1205721

Din relaţia (437) se constată că faţă de aceste direcţii rotite pentru care momentele

de inerţie axiale prezintă valori extreme momentul de inerţie centrifugal 11986811991111199101este nul

Atunci se poate afirma că momentele de inerţie axiale au valori extreme icircn raport cu

direcţiile faţă de care momentul de inerţie centrifugal este nul Aceste direcţii se numesc

direcţii principale iar momentele de inerţie faţă de aceste direcţii poartă numele de

momente de inerţie principale

Icircn calculele de rezistenţă interesează icircn mod special poziţia direcţiilor principale

care trec prin centrul de greutate al suprafeţei aşa numitele direcţii principale centrale şi

evident momentele de inerţie principale centrale

Direcţiile principale de inerţie se notează cu 1 respectiv 2 Axa principală 1

corespunde direcţiei faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea maximă iar

axa principală 2 pentru direcţia faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea

minimă

472 Momente de inerţie principale

Momentele de inerţie principale se notează cu litera 119868 la care se pune indicele 1

sau 2 după cum valoarea acestuia este maximă sau minimă deci avem un moment de

inerţie principal 1 (notat 1198681) respectiv moment de inerţie principal 2 (notat 1198682)

Expresiile pentru momentele de inerţie principale sunt

11986812 =119868119911 + 119868119910

2plusmn1

2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)

2+ 4 ∙ (119868119911119910)

2 (438)

Dacă momentul de inerţie centrifugal este negativ (119868119911119910 lt 0) direcţia principală

care trece prin primul cadran (definit de sistemul 119911119862119910) este direcţia principală 120783

Pentru suprafeţele cu cel puţin o axă de simetrie direcţiile centrale 119862119911 119862119910 sunt şi

direcții principale de inerţie și evident momentele de inerţie axiale 119868119911 119868119910 sunt momente

de inerţie principale

48 Caracteristici mecanice ale metalelor

Alegerea materialului pentru confecţionarea unei anumite piese se face şi pe baza

aşa numitelor caracteristici mecanice pe care le prezintă materialul Cunoaşterea acestor

caracteristici mecanice are loc numai pe baza unor icircncercări mecanice care să scoată icircn

evidenţă comportarea materialului icircn condiţii de solicitare

Cea mai utilizată icircncercare icircn urma căreia se pun icircn evidenţă caracteristicile

mecanice ale unui material este icircncercarea la tracţiune

481 Icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general

Icircncercarea la tracţiune a oţelului ca de altfel toate icircncercările de materiale este

standardizată

Icircn cele ce urmează se va prezenta numai partea care interesează strict din punct

de vedere al caracteristicilor mecanice ale oţelului

Epruveta de diametru iniţial 1198890 pentru icircncercarea la tracţiune are o porţiune de

lungime 1198710 numită baza de măsurare pe care se măsoară lungirea acesteia sub acţiunea

solicitării

Icircn funcţie de raportul dintre baza de măsurare 1198710 şi diametrul iniţial 1198890 epruvetele

utilizate pentru icircncercări sunt

epruvete normale (scurte) cacircnd 11987101198890 = 5

epruvete lungi cacircnd 11987101198890 = 10

Icircn timpul icircncercării la diferite valori ale forţei 119865 se măsoară lungirea bazei de

măsurare

∆119871 = 120575 = 119871 minus 1198710 (439)

unde

119871 este dimensiunea bazei de măsurare la un moment dat

Curba forţă-lungire (119865 minus ) icircnregistrată icircn urma icircncercării reprezintă curba

caracteristică la tracţiune

La icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general diagrama caracteristică care se

obţine are forma din figura 48

Curba caracteristică la tracţiune depinde de lungimea bazei de măsurare Pentru

icircnlăturarea acestui neajuns curba caracteristică se reprezintă icircn coordonate şi definite

astfel

120590 =119865

1198600 휀 =

120575

1198710 (440)

unde

1198600 este aria iniţială a secţiunii transversale a epruvetei (icircnainte de solicitare) icircn

zona bazei de măsurare

1198600 =120587 ∙ 1198890

2

4

Deoarece mărimile icircn care se reprezintă curba caracteristică la tracţiune sunt

raportate la aria iniţială a secţiunii transversale (mărimi specifice) curba poartă numele

de curbă caracteristică convenţională la tracţiune

Fig 48 Curba caracteristică convenţională la tracțiune

Pe curba caracteristică convenţională la tracţiune figura 48 se pot stabili o serie

de puncte cărora le corespund mai multe mărimi importante

Ordonata punctului A pacircnă unde curba caracteristică convenţională este linie

dreaptă se numeşte limita de proporţionalitate a materialului 120590119901(1205901) Porţiunea 119874119860 este

zona de proporţionalitate a curbei caracteristice pe acest domeniu este valabilă legea lui

Hooke care exprimă o proporţionalitate icircntre tensiune şi deformaţie specifică

120590 = 119864 ∙ 휀 (441)

unde

119864 = reprezintă panta porţiunii liniare a curbei convenționale caracteristice

la tracțiune Caracteristica de material 119864 se numeşte modul de elasticitate longitudinal

(modulul lui Young)

Ordonata punctului 119861 pacircnă unde materialul se comportă perfect elastic adică

după descărcare icircşi recapătă dimensiunea iniţială 1198710 se numeşte limita de elasticitate

120590119890(119877119890) Icircn realitate nici un material nu are comportare perfect elastică sub acţiunea

solicitărilor el capătă deformaţii permanente (remanente plastice)

După punctul 119861 urmează o porţiune 119861119862119863 icircn care cu toate că icircncărcarea

continuă forţa nu mai creşte avacircnd mici oscilaţii icircn jurul unei valori Se spune că icircn

această porţiune materialul curge iar intervalul 119861119862119863 este un palier de curgere Tensiunea

corespunzătoare palierului de curgere se numeşte limită de curgere aparentă 120590119888(119877119888) Limita de curgere aparentă se calculează cu relaţia

120590119888 =1198651198881198600 (442)

unde

119865119888 reprezintă valoarea forţei icircnregistrată icircn momentul curgerii materialului

După punctul 119863 curba caracteristică are un traseu ascendent pacircnă icircn punctul 119864

Porţiunea 119863119864 este numită zonă de icircntărire (ecruisare) Icircn zona de ecruisare unde se

produc deformaţii plastice semnificative legea lui Hooke nu mai este valabilă La

descărcare relaţia dintre tensiunea şi deformaţia specifică este liniară paralelă cu

porţiunea liniară a curbei caracteristice (dreapta 119872119873)

Deformaţia totală (휀119905) are două componente una elastică (휀119890) şi una plastică (휀119901)

Ordonata punctului 119864 reprezintă rezistenţa de rupere 120590119903(119877119898) a materialului

care se poate calcula cu relaţia

120590119903 = 119877119898 =1198651198981198861199091198600

(443)

unde

119865119898119886119909 reprezintă valoarea maximă a forţei icircnregistrată icircn timpul icircncercării

La atingerea valorii 119865119898119886119909 (punctul 119864) icircntr-un anumit loc al epruvetei secţiunea

icircncepe să se micşoreze (se produce gacirctuirea) continuacircnd pacircnă cacircnd se produce ruperea

totală (punctul 119865)

Dacă după ruperea epruvetei cele două părţi rezultate se aşează cap la cap şi se

măsoară dimensiunea bazei de măsurare 119871119906 (lungimea ultimă) se determină alungirea la

rupere sau lungirea specifică la rupere 휀119903

휀119903 =119871119906 minus 11987101198710

=∆119871

1198710=120575

1198710 (444)

De obicei alungirea se exprimă icircn procente şi se notează cu 119860119899 unde 119899 reprezintă

numărul dat de raportul 11987101198890 (epruvete normale 119899 = 5 epruvete lungi 119899 = 10)

119860119899 =119871119906 minus 11987101198710

∙ 100 [] (445)

Altă mărime care se determină la icircncercarea la tracţiune este gacirctuirea la rupere

(exprimată de obicei icircn procente) şi definită de relaţia

119885 =1198600 minus 1198601199061198600

∙ 100 [] (446)

Mărimile determinate limita de proporţionalitate modulul de elasticitate

longitudinal limita de elasticitate limita de curgere aparentă rezistenţa de rupere

alungirea la rupere şi gacirctuirea la rupere sunt cunoscute ca fiind caracteristici mecanice

ale materialului

Din curba caracteristică convenţională observăm faptul că ruperea (punctul 119865 din

figura 48 se produce la o tensiune mai mică decacirct cea corespunzătoare punctului 119864 Dacă

icircnsă forţa din timpul icircncercării s-ar raporta la aria secţiunii din momentul icircnregistrării

forţei (care este mai mică decacirct cea iniţială 1198600) s-ar obţine aşa numita curbă

caracteristică reală a materialului (traseul 1198741198601198611198621198631198651 din figura 48) La curba

caracteristică reală ruperea se produce icircn punctul 1198651 la o icircncărcare mai mare decacirct cea

corespunzătoare punctului 119864 Icircnseamnă că rezistenţa reală la rupere este mai mare decacirct

rezistenţa la rupere dată de punctul 119864 din diagrama caracteristică convenţională

Dificultatea obţinerii diagramei caracteristice reale faţă de cea a diagramei caracteristice

convenţionale şi considerarea unei rezistenţe la rupere mai mică decacirct a celei reale face

icircn practică utilizarea pe scară mare a diagramei caracteristice convenţionale

Caracteristicile mecanice determinate pe baza curbei caracteristice convenţionale

sunt şi ele caracteristici mecanice convenţionale

Caracteristicile mecanice convenţionale limita de proporţionalitate convenţională

120590119901 limita de elasticitate convenţională 120590119890 limita de curgere convenţională 120590119888 şi rezistenţa

de rupere 120590119903 constituie tensiuni limită pentru un material Pe baza acestor caracteristici

de material se alege valoarea tensiunii admisibile 120590119886 (vezi paragraful 35) pentru

calculele de rezistenţă Cea mai utilizată stare limită pentru stabilirea tensiunii admisibile

120590119886 este limita de curgere convenţională 120590119888

120590119886 =120590119897119894119898119888

=120590119888119888 119904119886119906 120590119886 =

120590119903119888 (447)

Caracteristicile mecanice ale materialului sunt influenţate de o serie de factori

temperatura viteza de solicitare factorii tehnologici iar valorile lor sunt date icircn tabele și

diagrame

Aplicaţie Pentru suprafaţa plană compusă din două dreptunghiuri avacircnd

dimensiunile din figura 49a să se calculeze

a) centrul de greutate al secțiunii compuse 119910119866 119911119866

b) momentele de inerție axiale 119868119911 119868119910 și momentul de inerție centrifugal 119868119911119910

c) razele de inerție 119894119911 119894119910

d) modulele de rezistență 119882119911119898119894119899 119882119911119898119886119909 119882119910119898119894119899 119882119910119898119886119909

e) momentele de inerție principale 1198681 1198682 și direcțiile principale de inerție 1205721

f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 119878119911

Fig 49 Aplicație

Rezolvare Pentru rezolvare vom parcurge următoarele etape

icircmpărțim suprafața compusă icircn două suprafețe simple (dreptunghiuri) notate cu

① și respectiv ② figura 49b

poziționăm centrele de greutate a celor două suprafețe simple ① și respectiv ②

notate cu 1198661 și respectiv 1198662 figura 49c

poziționăm sistemele de axe de coordonate 119911111986611199101 pentru dreptunghiul ① și

119911211986621199102 pentru dreptunghiul ② aflate la intersecția diagonalelor figura 49c

poziționăm sistemele de axe de coordonate 11991101198741199100 ales arbitrar față de care

determinăm poziția centrului de greutate 119866 figura 49c

a) calculăm poziția centrului de greutate folosind relațiile (46) icircn care

1198601 = 6119905 ∙ 119905 = 61199052 1198602 = 4119905 ∙ 119905 = 41199052 119860 = 1198601 + 1198602 = 61199052 + 41199052 = 101199052

iar centrele de greutate 1198661 și respectiv 1198662 au coordonatele (față de sistemul 11991101198741199100)

1198661 1199101 = 3119905 1199111 = 05119905

1198662 1199102 = 051199051199112 = 3119905

cu acestea obținem

119910119866 =1198601 ∙ 1199101 + 1198602 ∙ 1199102

119860=61199052 ∙ 3119905 + 41199052 ∙ 05119905

101199052=201199053

101199052= 2119905

119911119866 =1198601 ∙ 1199111 + 1198602 ∙ 1199112

119860=61199052 ∙ 05119905 + 41199052 ∙ 3119905

101199052=151199053

101199052= 15119905

Poziționăm centrul de greutate 119866 al suprafeței compuse figura 49c

Fig 49 Aplicație

b) pentru determinarea momentelor de inerție axiale 119868119911 119868119910 și a momentului de

inerție centrifugal 119868119910119911 determinăm constantele 1198881 1198882 1198891 1198892 care intervin icircn relația lui

Stainer

1198881 = 1199101 minus 119910119866 = 3119905 minus 2119905 = 119905 1198882 = minus(119910119866 minus 1199102) = minus(2119905 minus 05119905) = minus15119905

1198891 = minus(119911119866 minus 1199111) = minus(15119905 minus 05119905) = minus119905 1198892 = 1199112 minus 119911119892 = 3119905 minus 15119905 = 15119905

Folosind relațiile lui Stainer (429) (430) și (431) calculăm momentele de

inerție axiale și centrifugale față de sistemul central 119911119866119866119910119866

119868119911 =sum(119868119911119894 + 1198881198942 ∙ 119860119894) = 1198681199111 + 1198881

2 ∙ 1198601 + 1198681199112 + 11988822 ∙ 1198602

119868119910 =sum(119868119910119894 + 1198891198942 ∙ 119860119894) = 1198681199101 + 1198891

2 ∙ 1198601 + 1198681199102 + 11988922 ∙ 1198602

119868119911119910 =sum(119868119911119894119910119894 + 119888119894 ∙ 119889119894 ∙ 119860119894) = 11986811991111199101 + 1198881 ∙ 1198891 ∙ 1198601 + 11986811991121199102 + 1198882 ∙ 1198892 ∙ 1198602

1198681199111 = (119887 ∙ ℎ3

12) =

119905 ∙ (6119905)3

12= 181199054 1198681199112 = (

119887 ∙ ℎ3

12) =

4119905 ∙ 1199053

12= 031199054

1198681199101 = (1198873 ∙ ℎ

12) =

1199053 ∙ 6119905

12= 051199054 1198681199102 = (

1198873 ∙ ℎ

12) =

(4119905)3 ∙ 119905

12= 531199054

11986811991111199101 = 11986811991121199102 = 0 deoarece cele două triunghiuri au cel puțin o axă de simetrie

Cu acestea momentele de inerție axiale și momentul de inerție centrifugal devin

119868119911 = 181199054 + 1199052 ∙ 61199052 + 031199054 + (minus15119905)2 ∙ 41199052 = 3331199054

119868119910 = 051199054 + (minus119905)2 ∙ 61199052 + 531199054 + (15119905)2 ∙ 41199052 = 2081199054

119868119911119910 = 0 + 119905 ∙ (minus119905) ∙ 61199052 + 0 + (minus15119905) ∙ (15119905) ∙ 41199052 = minus151199054

c) razele de inerție sau de girație față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910

se calculează cu relațiile (411)

119894119911 = radic119868119911119860= radic

3331199054

101199052= 182119905 119894119910 = radic

119868119910

119860= radic

2081199054

101199052= 144119905

d) modulele de rezistență față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910 se

calculează cu relațiile (412) și (413)

Avacircnd icircn vedere figura 419c obținem

119910119898119886119909 = 6119905 minus 119910119866 = 6119905 minus 2119905 = 4119905 119910119898119894119899 = minus119910119866 = minus2119905

119911119898119886119909 = 5119905 minus 119911119866 = 5119905 minus 15119905 = 35119905 119911119898119894119899 = minus119911119866 = minus15119905

Se obține astfel

119882119911119898119894119899 =119868119911

|119910119898119886119909|=3331199054

4119905= 8331199053

119882119911119898119886119909 =119868119911

|119910119898119894119899|=3331199054

2119905= 16651199053

119882119910119898119894119899 =119868119910

|119911119898119886119909|=2081199054

35119905= 5941199053

119882119910119898119886119909 =119868119910

|119911119898119894119899|=2081199054

15119905= 13871199053

e) momentele de inerție principale 1198681 și respectiv 1198682 se calculează cu relațiile

(438)

11986812 =119868119911 + 119868119910

2plusmn1

2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)

2+ 4 ∙ (119868119911119910)

2=

=3331199054 + 2081199054

2plusmn1

2∙ radic(3331199054 minus 2081199054)2 + 4 ∙ (minus151199054)2 = 27051199054 plusmn 16251199054

De unde obținem

1198681 = 27051199054 + 16251199054 = 4331199054

1198682 = 27051199054 minus 16251199054 = 1081199054

Prima direcție principală de inerție 1 face cu axa centrală 119866119911 unghiul 1205721 dat de

relația (437)

1205721 =1

2∙ arctan (minus

2 ∙ 119868119911119910

119868119911 minus 119868119910) =

1

2∙ arctan [minus

2 ∙ (minus151199054)

3331199054 minus 2081199054] =33 70

Deoarece 1205721 gt 0 rotirea axelor se face acircn sens antiorar acelor de ceasornic figura

49d

Poziția axe principale 2 față de care momentul de inerție are valoarea minimă

1198682 = 119868119898119894119899 este dată de unghiul

1205722 = 1205721 + 900 = 33 70 + 900 = 123 70

f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 se determină cu relația

(45)

1198781199111198602 = 1198602 ∙ 1198882 = 41199052 ∙ (minus15119905) = minus61199053

Secţiunea transversală (plană şi normală pe axa barei) poate avea orice formă

geometrică constantă sau variabilă icircn lungul barei

Dacă una din dimensiunile secţiunii transversale (grosimea) este mai mică

comparativ cu celelalte bara se numește bară cu pereţi subţiri (exemplu barele

realizate din platbande sudate cu secţiuni sub formă de profil I profil U cornier etc)

b) corpuri care au două dimensiuni mult mai mari icircn raport cu a treia (grosimea)

se numesc plăci Elementele geometrice caracteristice ale unei plăci sunt forma şi

dimensiunile suprafeţei mediane respectiv grosimea Plăcile se reprezintă schematic

printr-o suprafață care imită forma și dimensiunile suprafeței mediane Suprafaţa mediană

reprezintă locul geometric al tuturor punctelor egal depărtate de cele două feţe ale plăcii

puncte aflate pe perpendicularele duse icircntre cele două feţe figura 24

După destinaţie și forma suprafeței mediane se deosebesc

plăci plane figura 24b

plăci curbe (icircnvelişuri) cu o singură curbură figura 24a sau avacircnd curbură

dublă figura 24c

Fig 24 Tipuri de plăci plane

Plăcile cu grosime mare sunt denumite frecvent dale O placă de grosime mică

ce nu poate prelua decacirct solicitări la icircntindere poartă numele de membrană

Exemple de plăci icircnvelişurile vasele de revoluţie discurile etc

c) corpuri masive care au toate cele trei dimensiuni aproximativ de acelaşi ordin

de mărime (blocuri de fundaţii bile şi role de rulmenţi tuburi cu pereţi groşi etc)

Calculele de rezistenţă sunt mai simple icircn cazul barelor drepte şi mai complicate

la barele curbe plăci respectiv blocuri

23 Clasificarea icircncărcărilor exterioare

Un corp icircşi păstrează forma şi dimensiunile datorită forţelor de atracţie dintre

particulele sale elementare atacircta timp cicirct asupra sa nu acţionează alte forţe aplicate din

exterior care să-l deformeze Icircn construcţia de maşini elementele de rezistenţă preiau şi

transmit acţiunea unor sarcini exterioare (forţe şisau cupluri) pe care le vom denumi

generic forțe sau icircncărcări exterioare Efectul pe care-l au sarcinile este acela de a

modifica forma şi dimensiunile corpului asupra căruia se aplică Icircn punctele de rezemare

(de sprijin sau de legătură cu alte elemente de rezistenţă icircnvecinate) ca urmare a

principiului acţiunii şi reacţiunii apar forţe de legătură sau reacţiuni Ansamblul format

din sarcini şi reacţiuni este cunoscut sub numele de forţe exterioare Sub acţiunea

forţelor exterioare elementele de rezistenţă trebuie să fie icircn echilibru

Forţele exterioare pot fi clasificate după următoarele criterii

a) după mărimea suprafeţei pe care se aplică

- forțe concentrate aplicate teoretic icircntr-un punct figura 25a

- forțe distribuite uniform sau cu intensitate variabilă icircn lungul barei sau pe o

suprafaţă figura 25bc şi d

- momente concentrate care acţionează icircntr-un punct M sau momente uniform

distribut pe o anumită lungime m

Fig 25 Tipuri de sarcini după mărimea suprafeţei de aplicare

b) după locul de aplicare se deosebesc

- forţe de suprafaţă sau de contur care sunt aplicate din exterior pe suprafaţa

corpurilor şi indică legătura cu piesele icircnvecinate

- forţe masice sau de volum distribuite icircn tot corpul (greutăţi forţe de inerţie

respectiv forţe electromagnetice)

c) după modul de acţiune icircn timp se disting

- forţe statice care se aplică lent şi progresiv pacircnă la valoarea nominală de lucru

şi apoi rămacircn constante figura 26a

- forţe dinamice care rezultă din

aplicarea cu icircntreaga intensitate de la icircnceputul perioadei de solicitare iar apoi forţa se

menţine constantă timp icircndelungat figura 26b (forţe de inerţie)

aplicarea bruscă a sarcinii asupra corpului durata de acţiune a sarcinii fiind mică figura

26c (forţe de şoc)

variaţia periodică icircn timp a intensităţii forţei aplicate figura 26d (forţe de oboseală)

Fig26 Tipuri de forţe exterioare (cicluri de solicitare)

Funcţie de modul de variaţie al forţelor exterioare solicitările pot fi statice

oscilante pulsante alternante etc Experimental s-a constatat că rezistenţa unui material

depinde foarte mult de modul de variaţie a forţelor icircn timp Bach a clasificat solicitările

icircn 3 categorii 1-solicitări statice 2-solicitări pulsante 3-solicitări alternant simetrice

Rezistenţa unui material este icircn raportul 321 pentru cele 3 cazuri de solicitare ale lui

Bach Aceasta icircnseamnă că o piesă solicitată static rezistă la o forţă de 3 ori mai mare

decacirct forţa maximă care produce ruperea aceleaşi piese solicitate alternant simetric

d) după poziţia icircn timp a forțelor se disting

- forţe fixe ale căror puncte de aplicaţie sunt mereu aceleaşi

- forţe mobile ale căror puncte de aplicaţie se deplasează icircn timp De exemplu

sarcinile produse de vehiculele care circulă pe un pod sarcinile unei grinzi de pod rulant

icircntr-o halăetc

24 Reazeme Forțe interioare Eforturi Diagrame de eforturi icircn barele

drepte

241 Reazeme Reacțiuni (forțe de legătură)

Pentru a prelua şi transmite acţiunea sarcinilor exterioare elementele de rezistenţă

din componenţa unei structuri sunt fixate icircntre ele prin intermediul unor legături

exterioare numite reazeme Aceste legături au ca scop icircmpiedicarea anumitor mişcări ale

corpului pe direcţiile pe care acestea nu trebuie să se producă O legătură are deci rolul

de a anula unul sau mai multe grade de libertate ale corpului icircn punctul de rezemare Dacă

este anulat un singur grad de libertate legătura este simplă iar dacă sunt impiedicate mai

multe grade de libertate legătura este una compusă Datorită existenţei sarcinilor

exterioare icircn punctele de rezemare pe direcţiile pe care mişcările sunt icircmpiedicate apar

forţe de legătură numite reacţiuni Numărul natura şi direcţiile reacţiunilor depind de

tipul reazemelor Icircn construcţiile reale există o varietate mare de realizare practică a

reazemelor dar icircn calcule se acceptă anumite schematizări care reţin doar aspectul esenţial

al unui reazem şi anume gradul sau gradele de libertate anulate

Pentru o structură de rezistenţă spaţială icircntr-un punct oarecare sunt posibile şase

deplasări trei deplasări liniare (după direcţiile axelor unui sistem ortogonal) şi trei rotiri

(deplasări unghiulare) icircn jurul aceloraşi axe Ca urmare ar fi posibil de realizat maximum

şase tipuri de reazem

Pentru un element de rezistenţă plan icircncărcat cu eforturi cuprinse icircn planul

elementului icircn orice punct sunt posibile trei gade de libertate două deplasări liniare şi o

rotiri Ca urmare pentru cazul unei bare plane se icircntacirclnesc următoarele tipuri de reazeme

1 Reazemul simplu sau reazemul mobil care icircmpiedică deplasarea pe o direcţie

normală pe suprafaţa de rezemare permiţacircnd deplasarea pe o direcţie paralelă cu

suprafaţa de rezemare şi rotirea barei icircn jurul unei axe perpendiculare pe plan icircn punctul

de rezemare Icircn urma icircmpiedicării deplasării şi datorită unor sarcini exterioare icircn

reazemul simplu apare o reacţiune de tip forţă a cărei suport trece prin punctul de

rezemare şi a cărei direcţie este perpendiculară pe suprafaţa de rezemare figura 27

Fig 27 Reazem simplu (mobil)

Icircn figura 27 este reprezentat un reazem mobil poziţionat pe capătul A al unei bare

plane orizontale fiind evidenţiate punctul şi suprafaţa de rezemare direcţia suportului

reacţiunii şi modul de schematizare al reazemului Cea mai des icircntacirclnită reprezentare a

reazemului mobil este a unui triunghi a cărui bază poate luneca pe suprafaţa de rezemare

2 Reazemul fix sau articulaţia icircmpiedică deplasările liniare după toate direcţiile

din planul barei permiţacircnd doar rotirea barei icircn jurul unei axe perpendiculare pe plan şi

care trece prin puncul de rezemare Reacţiunea este cuprinsă icircn planul barei care trece

prin punctul de rezemare dar a cărei mărime şi direcţie nu sunt cunoscute (forţa R)

figura 28

Fig 28 Reazem fix

Se preferă ca icircn locul unei forţe R avacircnd direcţia oarecare icircn plan necunoscută să

se introducă două forţe (HA şi VA) cărora li se cunoaşte direcţia şi pentru care se vor

determina modulele ca valori din condiţiile de echilibru static Icircntr-un reazem fix apar

icircntotdeauna reacţiuni atacirct pe direcţia perpendiculară pe suprafaţa de rezemare

(verticală) cacirct şi pe direcţia paralelă cu prima (orizontală) chiar dacă uneori una sau

chiar ambele reacţiuni au valoarea zero Reprezentarea schematică a articulaţiei este cea

a unui triunghi cu baza fixă şi cu vacircrful icircn punctul de rezemare sau cea a unui pendul

dublu figura 28

3 Icircncastrarea (sau icircnţepenirea) anulează toate gradele de libertate ale capătului

unei bare icircmpiedicacircnd deplasarea liniară după orice direcţie din plan precum şi rotirea

barei icircn jurul unei axe perpendiculare pe plan şi care trece prin punctul de icircncastrare

Urmare a existenţei sarcinilor exterioare şi a blocării deplasărilor icircn icircncastrare apare o

reacţiune căreia nu i se cunoaşte nici mărimea nici direcţia şi nici punctul de aplicaţie

figura 29

Fig 29 Icircncastrarea

Sub acţiunea forţelor exterioare un sistem este icircn echilibru Valoarea reacţinilor

se determină din condiţia de echilibru a sistemului solicitat

Este cunoscut faptul că un sistem plan este icircn echilibru dacă

nu se deplasează pe o direcţie (fie x această direcţie)

nu se deplasează pe o direcţie perpendiculară pe prima (fie y această direcţie)

nu se roteşte faţă de un punct al planului (fie K acest punct)

Cele trei condiţii enunţate mai sus sunt satisfăcute dacă suma proiecţiilor tuturor

forţelor pe direcţia x respectiv y este nulă şi suma tuturor momentelor (cuplurilor) faţă

de un punct al planului este nulă

242 Forțe interioare Metoda secțiunilor

Icircn vederea calculului de rezistenţă de rigiditate şi de stabilitate a barelor sau a

sistemelor de bare este necesară determinarea forţelor şi momentelor interioare

(eforturilor) care apar icircn secţiunile transversale ale acestora şi datorate icircncărcărilor

exterioare Forțele interioare indică legătura dintre particulele din interiorul corpului şi

se pun icircn evidenţă prin metoda secţiunilor care este un procedeu de raţionament

imaginar propus de Cauchy echivalent cu teoria echilibrului părţilor Conform acestui

raționament bdquodacă un corp solid deformabil este icircn echilibru sub acţiunea unui sistem

generalizat de forţe atunci după secționare fiecare parte a sa va fi icircn echilibru sub

acţiunea forţelor exterioare care-i revin şi a unui sistem de forţe pe care trebuie să-l

introducem icircn secţiunea ce delimitează fiecare parte echivalent cu acţiunea forţelor

aplicate pe partea icircndepărtatărdquo

Problemele care apar la aplicarea metodei secţiunilor sunt

- să pună icircn evidenţă existenţa forţelor interioare mai ales că din ceea ce se ştie o

forţă apare icircn prezenţa a două corpuri ca urmare a principiului acţiunii şi reacţiunii

- să explice modul de distribuţie al forţelor interioare pe secţiune

Considerăm un corp aflat icircn echilibru sub acţiunea unui sistem de forţe exterioare

1 2 3⋯119894 ⋯ 119899minus1 119899 şi presupunem că-l secţionăm cu un plan transversal Q (sau cu

o suprafaţă oarecare) figura 210a Icircn urma secţionării fictive (imaginare) conform

principiului echilibrului părţilor fiecare din cele două părţi obţinute trebuie să fie icircn

echilibru sub acţiunea forţelor exterioare care le revin şi a cacircte unui sistem de forţe

interioare pe care trebuie să-l introducem icircn secţiunile rezultate sistem echivalent cu

acţiunea forţelor exterioare ce acţionează asupra celeilalte părţi Astfel pe partea din

dreapta (notată cu II) delimitată de secţiunea de arie Ad sunt aplicate forţele exterioare

119894 ⋯ 119899minus1 119899 şi un sistem de forţe interioare căruia nu i se cunoaşte decacirct efectul acelaşi

cu cel al forţelor 1 2 3 de pe parea din stacircnga (notată cu I şi delimitată de secţiunea

de arie As) figura 210b Prin metoda secţiunilor am reuşit să punem icircn evidenţă existenţa

forţelor interioare şi să le trecem icircn categoria celor exterioare cărora le putem aplica

relaţiile de echivalenţă şi de echilibru cunoscute din statică Ideal ar fi să cunoaştem

distribuţia şi intensitatea punctuală a acestor forţe pentru că s-ar putea ca icircn anumite

puncte ale secţiunii valoarea forţelor să depăşească limita de rezistenţă (limita de curgere)

a materialului Cunoaşterea distribuţiei punctuale a forţelor interioare nu se poate realiza

decacirct icircn cazuri particulare relativ simple de solicitare

Să considerăm partea din dreapta a corpului asupra căreia acționează forțele

119894 ⋯ 119899minus1 119899 mărginit de aria Ad pe care acționează un sistem de forțe interioare

echivalent cu 1 2 3 Deși forțele interioare de pe Ad nu se cunosc totuși efectul lor

este același cu cel al forțelor 1 2 3 deci le putem reduce icircn centrul de greutate C al

secțiunii Ad rezultacircnd componentele torsorului de reducere al forțelor interioare

(119894119889 119894119889) și pentru partea din stacircnga (119894119904 119894119904) Evident conform principiului acțiunii și

reacțiunii

119894119889 = minus119894119904

119894119889 = minus119894119904 (21)

Pe de altă parte cum fiecare dintre părțile corpului după secționare trebuie să fie

icircn echilibru sub acțiunea forțelor exterioare care le revin și a forțelor interioare introduse

rezultă

119894119889 = minus119890119889

119894119889 = minus119890119889

119894119904 = minus119890119889

119894119904 = minus119890119904 (22)

Combinacircnd (21) cu (22) rezultă

119894119889 = 119890119889

119894119889 = 119890119889

119894119904 = 119890119904

119894119904 = 119890119904 (23)

Fig 210 Forțe interioare

Relațiile (22) și (23) permit determinarea componentelor torsorului de reducere

al forțelor interioare din (23) rezultă componentele torsorului forțelor interioare care

acționează icircn secțiunea Ad sunt egale cu componentele torsorului de reducere al forțelor

exterioare de pe partea din stacircnga din (22) rezultă componentele torsorului forțelor

interioare care acționează icircn secțiunea Ad sunt egale și de sens contrar cu componentele

torsorului de reducere al forțelor exterioare de pe partea din dreapta

Observații

1 Torsorul forțelor interioare diferă de la o secțiune la alta dar pentru aceeași

secțiune el este unic și trebuie să respecte condițiile de compatibilitate a deformațiilor

2 Reducacircnd forțele interioare icircn centrul de greutate al secțiunii s-a făcut o

aproximare icircn ceea ce privește efectul modului de dispunere al forțelor

3 Punctul de reducere trebuie să fie

pentru forțele interioare normale la secțiune centrul de greutate

pentru forțele interioare tangente la planul secțiunii centrul de răsucire sau de

tăiere

243 Eforturi

Prin metoda secțiunilor am pus icircn evidență existența forțelor interioare și modul

icircn care se determină componentele torsorului de reducere al forțelor interioare (119894119889 119894119889) de pe fața din dreapta secțiunii (Ad) Cele două componente ale torsorului de reducere al

forțelor interioare de pe Ad se pot descompune după axele unui sistem de referință

triortogonal xCyz astfel

119894119889 = +

119894119889 = 119909 +119872119894 (24)

unde și 119909 sunt proiecțiile lui 119894119889 și respectiv 119894119889 pe axa longitudinală Cx a

barei iar și 119894 sunt proiecțiile acelorași componente 119894119889 și respectiv 119894119889 pe planul yCz

al secțiunii transversale Ad figura 211

Fig 211 Torsorul de reducere al forţelor interioare

La racircndul lor și 119894 se pot descompune după axele sistemului yCz figura 212

= 119910 + 119911

119894 = 119894119910 + 119894119911 (25)

Fig 212 Descompunerea forţei tăietoare şi a momentului icircncovoietor

Cele șase componente ale torsorului de reducere al forțelor interioare ( 119910 119911

119909 119894119910 119894119911) orientate după axele sistemului de referință xCyz se numesc eforturi

Fiecare efort are o denumire stabilită icircn funcție de tipul de deformație pe care-l produce

De asemenea semnul plus (bdquo+rdquo) sau minus (bdquondashrdquo) al fiecărui efort nu depinde de sensul

pozitiv sau negativ al sistemului de axe ci doar de efectul icircn deformații al fiecărui efort

Denumirile celor șase eforturi sunt

119873 este forța axială

119879119910 119879119911 sunt forțe tăietoare orientate după axele Cy și respectiv Cz

119872119909 notat de cele mai multe ori cu 119872119905 este moment de torsiune sau de răsucire

119872119894119911 119872119894119910 sunt momente de icircncovoiere icircn jurul axei Cz și respectiv Cy

Forța axială 119873 poate fi forță axială de icircntindere cacircnd produce o lungire a

tronsonului pe a cărei față acționează (119873 gt 0) figura 213a sau forță axială de

compresiune cacircnd sub efectul ei bara se scurtează (119873 lt 0) figura 213b

Fig 213 Forța axială

Forțele tăietoare 119879119910 și 119879119911 au ca efect lunecarea secțiunii icircn centrul căreia

acționează icircn raport cu secțiunea icircnvecinată lunecare ce se produce pe direcția și icircn sensul

forței Sub acțiunea unei forțe tăietoare bara este solicitată la forfecare Forța tăietoare

este pozitivă 119879119910 gt 0 dacă icircn raport cu un punct oarecare K de pe axa Cx a barei tinde să

rotească secțiunea pe care acționează icircn sens orar

Fig 214 Forța tăietoare

Momentele de icircncovoiere 119872119894119911 și 119872119894119910 au ca efect o rotire a secțiunii icircn centrul

cărora acționează icircn jurul axei după care sunt orientate Icircn figura 215a se vede că

datorită momentului 119872119894119911 fibrele de deasupra axei Cz se alungesc icircn timp ce fibrele de sub

axa Cz se scurtează Fibrele care trec prin axa de icircncovoiere Cz nu se deformează sunt

fibre neutre la icircncovoiere adică axa neutră este Cz Icircn cazul momentului de icircncovoiere

119872119894119910 fibrele care nu se deformează sunt cele care trec prin axa neutră la icircncovoiere Cy

Momentele de icircncovoiere se consideră a fi pozitive (119872119894119911 gt 0119872119894119910 gt 0) dacă

observatorul care privește bara deformată vizualizează fibrele icircntinse

Fig 215 Momentul icircncovoietor

Momentul de torsiune sau de răsucire 119872119909 equiv 119872119905 are ca efect o rotire a secțiunii

icircn al cărei centru acționează icircn jurul axei longitudinale Cx Ca efect secțiunea icircși schimbă

forma (se deformează) adică unghiurile inițiale se modifică dreptunghiul inițial Ad

devine paralelogram Convențional se consideră 119872119905 gt 0 dacă vectorul moment are

aceeași orientare ca și sensul pozitiv ales pextru axa Cx Icircn figura 216 momentul este

negativ

Fig 216 Momentul de torsiune

25 Definiții și convenții de semne pentru eforturile

din secțiunile unei bare drepte plane icircncărcate cu sarcini coplanare

Vom considera o bară plană icircncărcată cu un sistem de forțe arbitrar figura 217

Ne propunem să determinăm eforturile care apar icircn secțiunea barei aflată la distanța 119909 de

reazemul din stacircnga (A)

Pentru aceasta vom aplica metoda secțiunilor vom secționa bara cu un plan

perpendicular pe axa longitudinală a barei și vom analiza doar partea din dreapta secțiunii

mărginită de fața Ad Pentru ca această porțiune de bară să fie icircn echilibru sub acțiunea

forțelor exterioare care acționează asupra sa 1198653 și 119881119861 va trebui să introducem icircn centrul

secțiunii Ad eforturile care pot să apară 119873 119879119910 119872119894119911 Acțiunea acestor eforturi trebuie să

fie echivalentă cu acțiunea forțelor exterioare aplicate pe partea icircnlăturată (parcursă) a

barei 119867119860 119881119860 1198651 1198652 1198720

Deoarece bara este plană și este icircncărcată doar cu sarcini ce aparțin

planului barei

icircn secțiunea Ad apar doar 3 componente ale torsorului de reducere al forțelor

interioare (eforturi)

- 119873 = forța axială

- 119879119910 = forța tăietoare pe care o vom nota cu 119879

- 119872119894119911 = momentul icircncovoietor notat cu Mi

Fig 217 Bară plană icircncărcată cu un sistem de forțe

Vom prezenta următoarele definiții corespunzătoare eforturilor din secțiunea Ad

119873 = forța axială dintr-o secțiune este egală cu suma algebrică a proiecțiilor pe

axa longitudinală a tuturor forțelor exterioare (sarcini și reacțiuni) aplicate pe partea

din stacircnga secțiunii adică pe porțiunea parcursă Forța axială 119873 este pozitivă dacă trage

de tronsonul pe a cărei față acționează (are orientarea normalei exterioare la secțiunea

Ad)

119873(119909) = minus119867119860 + 1198651119867 (26)

119879 = forța tăietoare icircntr-o secțiune este egală cu suma algebrică a proiecțiilor

pe o axă perpendiculară pe axa barei a tuturor forțelor exterioare (sarcini și reacțiuni)

aplicate pe porțiunea de bară aflată icircn stacircnga secțiunii considerate Forța tăietoare 119879

este pozitivă dacă tinde să rotească tronsonul pe a cărui față acționează icircn sens orar icircn

raport cu un punct de pe axa barei aflat la dreapta secțiunii

119879(119909) = 119881119860 minus 1198651119881 minus 1198652 (27)

119872119894 = momentul icircncovoietor icircntr-o secțiune este egal cu suma algebrică a

momentelor obținute prin reducerea tuturor forțelor exterioare ( cupluri sarcini

reacțiuni) aplicate pe porțiunea de bară aflată la stacircnga secțiunii icircn centrul secțiunii

considerate 119872119894 este considerat pozitiv dacă tinde să deformeze bara astfel icircncacirct fibrele

spre care privește un observator să fie icircntinse Cum poziția observatorului este de regulă

sub bară bara se deformează dacă 119872119894 gt 0 astfel icircncacirct partea jos a barei este icircntinsă Se

spune că bara deformată rdquoține apaldquo

119872119894(119909) = 119881119860 ∙ 119909 minus 1198651119881 ∙ (119909 minus 1198971) minus 1198652 ∙ [119909 minus (1198971 + 1198972)] + 1198720 (28)

Sensurile pozitive ale eforturilor care apar icircn centrul secțiunii Ad (deci atunci cacircnd

sensul de parcurs la aplicarea metodei secțiunilor este cel de la stacircnga la dreapta) sunt

indicate icircn figura 218a iar dacă sensul de parcurs este de la dreapta la stacircnga sensurile

pozitive ale eforturilor sunt indicate icircn figura 218b

Fig 218 Convenţia de semne

Definiții asemănătoare se pot da și pentru eforturile din centrul secțiunii As figura

218b adică pentru cazul icircn care sensul de parcurs este cel de la dreapta la stacircnga și deci

partea luată icircn considerare este cea din stacircnga iar partea parcursă din dreapta secțiunii

este icircnlăturată

119873(1199091) = 1198653119867

119879(1199091) = 1198653119881 minus 119881119861

119872119894(1199091) = 119881119861 ∙ 1199091 minus 1198653119881 ∙ (1199091 minus 1198975)

(29)

Avacircnd icircn vedere că fețele Ad și As aparțin aceleeași secțiuni este evident faptul că

eforturile 119873(119909) 119879(119909) și 119872119894(119909) sunt identice cu eforturile 119873(119961120783) 119879(119961120783) și respectiv

119872119894(119961120783) Icircn figura 218c se prezintă o sinteză a convențiilor de semne pozitive pentru cele

3 eforturi atacirct pentru sensul de parcurs de la stacircnga la dreapta (secțiunea Ad) cacirct și pentru

sensul invers (secțiunea As)

Semnele eforturilor sunt importante icircntrucacirct există materiale cu comportări diferite

la icircntindere față de compresiune iar o schimbare a semnului unui efort poate produce

erori grave icircn calcule Semnele eforturilor au fost stabilite icircn funcție de deformațiile

produse și nu depind de sensul axelor sistemului de coordonate

26 Relaţii diferenţiale icircntre eforturi şi sarcini

Pentru a vedea ce legătură există icircntre eforturi și sarcini vom considera o bară

dreaptă icircncărcată cu o sarcină distribuită după o lege oarecare figura 219a Din această

bară vom decupa prin dublă secționare un element de lungime infinit mică 119889119909 Deoarece

lungimea 119889119909 este foarte mică se poate considera sarcina 119901 uniform distribuită Icircn

secțiunile rezultate trebuie să introducem eforturile care pot apărea

- 119879 şi 119872119894 icircn centrul secțiunii din sticircnga eforturi pe care le considerăm pozitive

- 119879 + 119889119879 şi 119872119894 + 119889119872119894 icircn centrul secțiunii din dreapta elementului

Aceste eforturi au o variație mică (119889119879 şi 119889119872119894) față de secțiunea anterioară Spre

deosebire de cazul icircn care bara este secționată o singură dată icircn acest caz eforturile nu

pot fi determinate din cele 2 condiții de echilibru independente deoarece icircn ecuațiile de

echilibru apar 4 necunoscute 119879 119889119879119872119894 și 119889119872119894 deci că problema este dublu static

nedeterminată figura 219

Fig 219 Echivalența icircntre eforturi și sarcini

Ecuațiile de echilibru scrise pentru elementul din figura 219b conduc la stabilirea

unor relaţii foarte importante

(sum119865)119910= 0 hArr 119879 minus 119901 ∙ 119889119909 minus (119879 + 119889119879) = 0 rArr

119889119879

119889119909= minus119901 (210)

Relația (210) arată că derivata funcţiei forţei tăietoare icircn raport cu abscisa

secţiunii este egală cu sarcina distribuită normală la axa barei din acea secţiune luată

cu semn schimbat

Observații

dacă 119901 = 0 nu există sarcină distribuită atunci forța tăietoare T este constantă

icircnclinarea pantei diagramei forței 119879 este egală cu (ndash 119901) (sarcina distribuită cu

semn schimbat)

dacă 119901 = 119888119900119899119904119905 119879 variază liniar pe acel interval

Asemănător se deduce că derivata funcţiei forţei axiale icircn raport cu abscisa

secţiunii este egală cu sarcina distribuită axială din acea secţiune luată cu semn

schimbat adică

119889119873

119889119909= minus119901119867 (211)

Din condiția de echilibru suma de momente faţă de centrul de greutate al secţiunii

din dreapta

(sum119872)119862= 0 hArr 119872119894 minus (119872 + 119889119872119894) + 119879 ∙ 119889119909 minus 119901 ∙

(119889119909)2

2= 0 rArr

119889119872119894

119889119909= 119879 (212)

Relația (212) s-a obținut dupa reducerea termenilor și prin neglijarea infinitului

mic de ordinul 2

119901 ∙(119889119909)2

2

Relația (212) arată că derivata funcţiei moment icircncovoietor icircn raport cu abscisa

secţiunii este egală cu forţa tăietoare din acea secţiune

Observații

dacă 119879 = 0 momentul 119872119894 are un punct de extrem se obține o valoare maximă

pentru 119872119894119898119886119909 dacă forța tăietoare 119879 se anulează trecacircnd de la plus icircn stacircnga la minus icircn

dreapta secțiunii

dacă forța tăietoare este pozitivă pe un interval 119879 gt 0 atunci 119872119894 este crescătoare

pe acel interval

dacă forța tăietoare este negativă pe un interval 119879 lt 0 atunci 119872119894 este

descrescătoare pe acel interval

dacă pe un interval 119901 = 0 forța tăietoare este constantă 119879 = 119888119905 iar 119872119894 variază

liniar pe acel interval

dacă 119901 = 119888119900119899119904119905 119879 variază liniar pe acel interval iar 119872119894 variază parabolic pe

acel interval

Relaţiile diferenţiale sunt utile la reprezentarea corectă şi verificarea diagramelor

de eforturi astfel

pentru porţiunile de grindă pe care p = 0 eforturile N şi T sunt constante iar pe

porţiunile cu p = const eforturile N şi T variază liniar (relaţiile 211 şi 210)

dacă pe o porţiune T = const momentul icircncovoietor Miz variază liniar iar dacă

T variază liniar atunci momentul Miz variază parabolic (relaţia 212)

pe domeniile pe care T gt 0 funcţia Mi(x) este crescătoare iar icircn secţiunea icircn

care T = 0 (graficul funcţiei T intersectează axa x) momentul icircncovoietor are un punct

de extrem local (maxim sau minim relaţia 212)

Pentru rezolvarea problemelor referitoare la trasarea diagramelor de eforturi

pentru barele drepte solicitate de sisteme de forţe plane se parcurg următoarele etape

1) identificarea forţelor aplicate (date) şi pregătirea lor pentru calcule

(descompunerea forţelor concentrate pe direcţiile x şi y calculul rezultantelor forţelor

distribuite)

2) identificarea reazemelor şi introducerea reacţiunilor corespunzătoare (vezi

figurile 27divide29)

3) stabilirea ecuaţiilor de echilibru static calculul şi verificarea reacţiunilor Icircn

rezistența materialelor se folosește sistemul de ecuații (vezi figura 217)

(sum119865)

119909= 0

(sum119872)119860= 0

(sum119872)119861= 0

(213)

4) identificarea domeniilor de variaţie şi scrierea funcţiilor de eforturi pentru N T

şi Mi

5) reprezentarea grafică a diagramelor de eforturi

6) verificarea corectitudinii diagramelor pe baza relaţiilor diferenţiale icircntre eforturi

şi sarcini

Aplicație Pentru grinda dreaptă icircncărcată cu sistemul de forţe reprezentat icircn figura

220 se cere

a) să se calculeze şi să se verifice reacţiunile

b) să se stabilească funcţiile eforturilor Nx Ty şi Miz şi să se reprezinte diagramele

de variaţie

c) să se analizeze relaţiile diferenţiale icircntre eforturi şi sarcini

Dimensiunile grinzii au valorile a = 6 [m] b = 4 [m] și c = 4[m] sistemul de

forţe aplicat fiind format din p = 10 [kN mfrasl ] F = 20 [kN] (icircnclinată cu unghiul α =300 faţă de orizontală) şi M0 = 40 [kN ∙ m]

Rezolvare

a) Se fac următoarele precizări

grinda dreaptă se reprezintă prin axa geometrică

forţa icircnclinată F se descompune după direcţiile orizontală şi verticală icircn FV =F ∙ sin α = 10 [kN] şi FH = F ∙ cos α = 173 [kN]

forţa distribuită uniform p este echivalentă din punct de vedere static cu

rezultanta sa R = p ∙ a = 60 [kN] care acţionează la jumătatea porţiunii de lungime a

icircn reazemele 119860 şi 119861 se introduc componentele HA şi VA respectiv VB ale

reacţiunilor

Pentru calculul reacţiunilor se utilizează ecuaţiile de echilibru static al grinzii

sumXi = 0 HA minus FH = 0 sumYi = 0 VA + VB minus R minus FV = 0 (sumM)B = 0 VA ∙ (b + a) minus R ∙ (b + 05 ∙ a) minus M0 + FV ∙ c = 0

(A1)

Din prima ecuaţie se obţine HA iar din cea de-a treia ecuaţie rezultă VA

HA = FH = 173 [kN]

VA =[R ∙ (b + 05 ∙ a) + M0 minus FV ∙ c]

(b + a)=[60 ∙ (4 + 05 ∙ 6) + 40 minus 10 ∙ 4]

(4 + 6)

VA = 42 [kN]

(A2)

Fig 220 Aplicație

Se observă că cea de-a doua ecuaţie de echilibru conţine două necunoscute

reacţiunile VA şi VB Pentru a calcula componenta VB nu este indicată introducerea lui VA

icircn cea de-a doua ecuaţie a sistemului (A1) pentru că o valoare determinată greşit pentru

VA conduce la o valoare VB de asemenea greşită O ecuaţie independentă din care se poate

determina componenta VB este următoarea

(sumM)A= 0 FV ∙ (a + b + c) minus VB ∙ (a + b) minus M0 + R ∙ 05 ∙ a = 0 (A3)

de unde se obţine

VB =[FV ∙ (a + b + c) minusM0 + R ∙ 05 ∙ a]

(b + a)=[10 ∙ (6 + 4 + 4) minus 40 + 60 ∙ 05 ∙ 6]

(6 + 4)

VB = 28 [kN] (A4)

Ecuaţia de proiecţii ale forţelor pe direcţia verticală (a doua ecuaţie din sistemul

A1) se utilizează pentru verificarea reacţiunilor deja determinate

VA + VB minus R minus FV = 0 rArr 42 + 28 minus 60 minus 10 = 0 (A5)

Ultima egalitate demonstrează că reacţiunile verticale au fost calculate corect

Din cele de mai sus rezultă ordinea firească pentru determinarea reacţiunilor icircn

cazul grinzilor simplu rezemate

sumXi = 0

(sumM)A = 0

(sumM)B = 0

(A6)

iar pentru verificarea componentelor verticale VA şi VB se folosește ecuaţia sumY = 0

b) La stabilirea funcţiilor de eforturi se parcurg icircn general etapele următoare

se notează (numeric sau literal după preferinţă) secţiunile care delimitează

domeniile (intervalele sau tronsoanele) pe care eforturile nu-şi modifică funcţiile (au legi

unice de variaţie)

pe fiecare domeniu se marchează secţiunea imaginară icircn care se stabilesc

funcţiile eforturilor

secţiunea astfel aleasă separă icircn două părţi grinda şi anume porţiunea din stacircnga

şi porţiunea din dreapta secţiunii

se va considera parcursă (şi icircndepărtată) acea parte pe care acţionează mai puţine

sarcini exterioare pentru că acestea vor interveni icircn expresiile funcţiilor de eforturi

poziţiile secţiunilor imaginare se vor determina prin variabilele x1 ⋯ xn (unde

n reprezintă numărul domeniilor de variaţie) cu originea fixată icircn capătul intervalului şi

sensul de parcurgere spre partea considerată rămasă

Grinda prezentată icircn figura 220 are trei domenii de variaţie pentru funcţiile de

eforturi după cum urmează (A-1) (2-B) şi (B-1)

Domeniul (A-1) x1 isin [0 a = 6 m] Porţiunea parcursă şi considerată icircndepărtată este cea de coordonată x1 pe care

acţionează reacţiunile HA şi VA precum şi rezultanta parţială a sarcinii distribuite R1 =p ∙ x1

Funcţia forţă axială Nx are expresia

Nx(x1) = NAminus1 = minusHA = minus173 [kN] = const

(A7)

Funcţia forţă tăietoare Ty are exspresia

Ty(x1) = TAminus1 = VA minus R1 = VA minus p ∙ x1 (A8)

care reprezintă o variaţie liniară de variabilă x1 Se calculează valorile forţei tăietoare la

limitele intervalului de variaţie

- pentru x1 = 0 Ty(x1 = 0) = TA = VA = 42 [kN]

- pentru x1 = a = 6 [m] Ty(x1 = 6) = T1 = VA minus p ∙ a = minus18 [kN]

Observaţie Aşa cum a fost stabilită secţiunea fictivă poziţionată prin coordonata

x1 sar părea că rezultanta R ar trebui luată icircn calculul lui Ty(x1) Acest lucru ar fi greşit

pentru că R = p ∙ a reprezintă rezultanta sarcinii distribuite pe toată lungimea a iar

rezultanta pe porţiunea parcursă de lungime x1 este R1 = p ∙ x1 ne R = p ∙ a

Cu valorile obţinute se trasează diagramele forţelor axială Nx = f(x) şi tăietoare

Ty = f(x) figura 220 Din diagrama forţei tăietoare şi din valorile obţinute analitic se

observă că forţa tăietoare icircşi schimbă semnul pe intervalul analizat deci se anulează pe

acest interval Poziţia secţiunii unde Ty se anulează se determină din ecuaţia

Ty(x1) = 0 rArr VA minus p ∙ x1 = 0 (A9)

cu soluţia x1lowast = ξ = 42 [m] Important de reamintit că icircn această secţiune momentul

icircncovoietor va avea un extrem local adică Miz are un extrem la Ty = 0

Funcţia moment icircncovoietor Miz are expresia

Miz(x1) = VA ∙ x1 minus R1 ∙x12= VA ∙ x1 minus (p ∙ x1) ∙

x12

(A10)

Se observă că funcţia moment icircncovoietor de variabilă x1 are o variaţie parabolică

(gradul al II-lea) Pentru reprezentarea grafică a funcţiei parabolice se calculează valorile

momentului icircncovoietor icircn trei secţiuni

- pentru x1 = 0 Miz(x1 = 0) = MA = 0 [kN ∙ m] - pentru x1 = a = 6 [m] Miz(x1 = 6) = M1 = 72 [kN ∙ m] - pentru x1

lowast = ξ = 42 [m] Miz(x1lowast = ξ = 42 [m]) = Mimax = 882 [kN ∙ m]

Cu acestea se trasează diagrama Miz = f(x) pe intervalul (A-1) figura 220

Observaţie Icircn unele cazuri pe un anumit interval forţa tăietoare nu se anulează

şi momentul icircncovoietor nu are un extrem local Icircn acest caz pentru reprezentarea

variaţiei parabolice a momentului icircncovoietor se va studia semnul derivatei a doua a

funcţiei Miz = f(x1) acesta determinacircnd convexitatea curbei momentului icircncovoietor

Domeniul (2-B) x2 isin [0 c = 4 m] Porţiunile din grindă libere (nerezemate) la un capăt se numesc console iar

stabilirea funcţiilor de eforturi devine mai simplă dacă se consideră icircndepărtată partea din

dreapta secţiunii prin schimbarea sensului pozitiv al axei x Astfel se obţin funcţiile eforturilor

Funcţia forţă axială Nx are expresia

Nx(x2) = N2minusB = minusFH = minus173 [kN] = const

(A11)

Funcţia forţă tăietoare Ty are exspresia

Ty(x2) = T2minusB = FV = 10 [kN] = const (A12)

Funcţia moment icircncovoietor Miz are expresia

Miz(x2) = minusFV ∙ x2 rArr Miz(x2 = 0) = M2 = 0 [kN ∙ m]

Miz(x2 = 4) = MB = minus40 [kN ∙ m] (A13)

variaţie liniară (gradul I)

Domeniul (B-1) x3 isin [0 b = 4 m] Pe acest domeniu se acceptă parcurgerea grinzii de la dreapta adică se consideră

icircndepărtată partea din dreapta secţiunii fictive pentru că are doar două sarcini aplicate F

şi VB faţă de partea din stacircnga secţiunii pe care sunt aplicate trei sarcini p VA şi M0

Astfel se obţin funcţiile eforturilor

Funcţia forţă axială Nx are expresia

Nx(x3) = NBminus1 = minusFH = minus173 [kN] = const

(A14)

Funcţia forţă tăietoare Ty are exspresia

Ty(x3) = TBminus1 = FV minus VB = minus18 [kN] = const (A15)

Funcţia moment icircncovoietor Miz are expresia

Miz(x3) = minusFV ∙ (x3 + c) + VB ∙ x3 rArr

rArr Miz(x3 = 0) = MB = minus40 [kN ∙ m]

Miz(x3 = 4) = M1 = 32 [kN ∙ m]

(A16)

variaţie liniară (gradul I)

Diagramele eforturilor sunt prezentate icircn figura 220

c) Relaţiile diferenţiale dintre eforturi şi sarcini se analizează pe diagramele

eforturilor după cum urmează

sarcina distribuită nu are componentă orizontală adică ph = 0 şi icircn

conformitate cu formula (211) rezultă că Nx = const pe toată lungimea grinzii fapt care

a rezultat din funcţia şi reprezentarea diagramei forţei axiale

pe intervalul (A-1) sarcina distribuită are doar componenta verticală pozitivă

pV = p gt 0 prin urmare forţa tăietoare scade (are panta negativă dTy 119889119909frasl = minusp vezi

relaţia 210) iar momentul icircncovoietor avacircnd derivata a doua negativă d2M119894119911 1198891199092frasl =minuspare convexitatea curbei orientată spre sensul pozitiv al axei momentului Miz adică icircn

jos

pe domeniile (2-B) şi (B-1) deoarece pv = 0 forţa tăietoare Ty este constantă

iar momentul icircncovoietor Miz variază liniar

referitor la relaţia (212) pe porţiunile unde Ty gt 0 momentul Miz este

monoton crescător pe porţiunile unde Ty lt 0 momentul Miz este monoton descrescător

iar icircn secţiunea icircn care Ty = 0 momentul icircncovoietor are un extrem local Mξ =

882 [kN ∙ m] icircn diagrama forţei tăietoare discontinuităţile (salturile) se produc icircn secţiunile

unde acţionează VA VB şi FV iar icircn diagrama momentului icircncovoietor se produce un

singur salt icircn secţiunea icircn care este aplicat M0

se poate scrie

Mξ = suprafața diagramei Ty |ξ0=1

2∙ 42 ∙ 42 = 882 [kN ∙ m]

sau parcurgacircnd grinda de la dreapta la stacircnga rezultă

MB = minussuprafața diagramei Ty |c0= minus10 ∙ 4 = minus40 [kN ∙ m]

Toate aspectele analizate teoretic referitoare la relaţiile diferenţiale dintre eforturi

şi sarcini se regăsesc icircn diagramele de eforturi din figura 220 ceea ce icircnseamnă că

diagramele au fost reprezentate corect

3 TENSIUNI DEPLASĂRI ŞI DEFORMAŢII SPECIFICE

31 Tensiuni

Eforturile obținute icircn urma reducerii forțelor interioare icircn centrul de greutate al

secțiunii nu pot da informații asupra solicitării fiecărui punct al secțiunii respective Este

necesar să se cunoască modul cum se distribuie forțele interioare icircn fiecare punct al

secțiunii pentru a ști care este intensitatea maximă a solicitării Această intensitate

maximă se poate compara cu o valoare critică specifică materialului stabilindu-se astfel

dacă solicitarea este periculoasă sau nu

Mărimea care caracterizează solicitarea locală punctuală o vom denumi tensiune

și o vom defini icircn cele ce urmează Să considerăm partea din dreapta a unui corp solicitat

de forțele exterioare 1198651 1198652 și 1198653 obținută prin secționarea corpului și mărginită de fața

din dreapta Ad a secțiunii Pe secțiunea Ad vom considera un element de arie infinit mic

∆119860 caracterizat de normala la elementul de arie normală care are cosinușii directori

120573 și icircn raport cu un sistem de axe considerat fix Pe elementul infinit mic ∆119860 acționează

forțele interioare care au o rezultantă oarecare figura 31

Prin definiție tensiunea totală este

= lim∆119860rarr0

∆

∆119860 (31)

Tensiunea are aceeaşi direcţie cu forţa elementară ∆ iar mărimea ei este

determinată atacirct de mărimea forţei ∆ cacirct şi de orientarea suprafeţei ∆119860 faţă de direcţia

forţei

Tensiunea 119901 poate fi descompusă icircntr-o componentă orientată după direcţia

normalei la secţiune tensiunea normală notată cu 120590119909 şi o componentă icircn planul secţiunii

tensiunea tangenţială notată cu figura 32

= 119909 + 120591 (32)

Fig 31 Tensiunea totală Fig 32 Tensiunea normală și tangențială

La racircndul ei componenta tensiunii cuprinsă icircn planul secțiunii poate fi

descompusă după direcțiile axelor y și z

120591 = 120591119909119910 + 120591119909119911 (33)

Icircntre cele trei componente ale tensiunii totale care acționează pe elementul de arie

∆119860 este valabilă relația

1199012 = 1205901199092 + 120591119909119910

2 + 1205911199091199112 (34)

După sensul pe care icircl are tensiunea normală 120590 poate avea efect de tracţiune sau

de compresiune exercitat de către partea de corp icircnlăturată asupra părţii rămase Analog

tensiunea tangenţială 120591 poate avea efect de tăiere forfecare sau alunecare Pentru

componentele tensiunii tangențiale 120591119909119910 pe direcţia 119910 respectiv 120591119909119911 pe direcţia 119911 primul

indice indică axa pe care tensiunea este normală iar cel de-al doilea indice indică axa cu

care aceasta este paralel

Tensiunea este o mărime tensorială valoarea ei depinzacircnd atacirct de poziția

punctului icircn planul secțiunii cicirct și de orientarea planului de secționare deci de normala

Operaţiile vectoriale nu pot fi aplicate tensiunilor decacirct după ce acestea au fost icircnmulţite

cu ariile respective adică au fost transformate icircn forţe

Icircn literatura de specialitate mai ales icircn manualele mai vechi pentru noţiunea de

tensiune se mai foloseşte şi denumirea de efort specific

Dacă se consideră un alt element de arie ∆119860 cu centrul icircn același punct avacircnd ca

normală axa 119910 se vor obține alte tensiuni și anume

- 120590119910 este tensiunea normală (paralelă cu axa y)

- 120591119911119909 și 120591119910119911 sunt tensiuni tangențiale paralele cu axele 119909 și respectiv 119911 aflate icircn

planul care are ca normală axa 119910

Dacă icircn jurul unui punct dintr-un corp solicitat se consider un element de volum

infinit mic de forma unui cub icircn cazul cel mai general pe fețele sale vor acționa

tensiunile normale 120590119909 120590119910 și 120590119911 și respectiv tensiunile tangențiale 120591119909119910 120591119909119911 120591119910119909 120591119910119911 120591119911119909

și respectiv 120591119911119910 figura 33 Aceste tensiuni definesc starea de tensiune a punctului

observacircnd faptul că tensorul tensiune are 9 componente Dacă se consideră elementul

de volum finit ca fiind foarte mic se poate presupune că icircn interiorul său nu apar forțe

Ca urmare el va fi icircn echilibru sub acțiunea forțelor elementare produse de tensiunile de

pe fețele sale

Din condiția ca elementul să nu se rotească icircn jurul unor axe care trec prin centrul

său și sunt paralele cu axele sistemului 119909119874119910119911 rezultă

2 ∙ 120591119909119910 ∙ (119889119910 ∙ 119889119911) ∙119889119909

2= 2 ∙ 120591119910119909 ∙ (119889119909 ∙ 119889119911) ∙

119889119910

2 rArr 120591119909119910 = 120591119910119909 (35)

2 ∙ 120591119910119911 ∙ (119889119909 ∙ 119889119911) ∙119889119910

2= 2 ∙ 120591119911119910 ∙ (119889119909 ∙ 119889119910) ∙

119889119911

2 rArr 120591119910119911 = 120591119911119910 (36)

2 ∙ 120591119909119911 ∙ (119889119910 ∙ 119889119911) ∙119889119909

2= 2 ∙ 120591119911119909 ∙ (119889119909 ∙ 119889119910) ∙

119889119911

2 rArr 120591119909119911 = 120591119911119909 (37)

Relațiile (35divide37) 120591119909119910 = 120591119910119909 120591119910119911 = 120591119911119910 120591119909119911 = 120591119911119909 exprimă principiul dualității

tensiunilor tangențiale

Fig 33 Tensiunile normale și tangențiale pe fețele unui cub

Din condiția ca elementul considerat să nu se deplaseze icircn lungul axelor de

coordonate pe fețele opuse acționează aceleași tensiuni normale 120590119909 120590119910 și respectiv 120590119911

Definirea tensorului tensiune este posibilă dacă se cunosc cele 6 componente

independente ale acestuia aflate icircn trei plane perpendicular ce trec prin punctul respectiv

=

120590119909 120591119909119910 120591119909119911120591119910119909 120590119910 120591119910119911120591119911119909 120591119911119910 120590119911

Observaţii

Tensiunile se măsoară icircn [119873 1198982frasl ] (1119873 1198982frasl = 1 119875119886) sau icircn [119872119875119886]

(1 119872119875119886 = 106119875119886 = 106 119873

1198982 1 119872119875119886 = 1

119873

1198981198982)

Starea de tensiune dintr-un punct este considerată cunoscută dacă se cunosc

tensiunile 119901 care acționează pe infinitatea de elemente de suprafață ce trec prin punctual

considerat

Starea de tensiune a unui corp se consider cunoscută dacă se cunosc stările de

tensiune de pe infinitatea de puncte ale corpului considerat

32 Deplasări Deformaţii specifice

321 Deplasări

Aceste noțiuni sunt utile icircn analiza aspectului geometric al problemelor de rezistența

materialelor Deplasările care se analizează sunt cele datorate schimbării formei și

dimensiunilor corpurilor ca urmare a acțiunii forțelor exterioare și nu cele cinematice

posibile pentru solidul rigid care se poate deplasa cu anumită viteză și accelerație

Spre exemplu icircn figura 34a și figura 34b sub acțiunea forței 119865 tronsonul de

bară AB se deformează icircn timp ce tronsonul BC deși punctele sale au deplasări rămacircne

nedeformat (fiind nesolicitat) Toate punctele de pe axele barelor cu excepția celor din

icircncastrare (secțiunile A) au deplasări liniare De cele mai multe ori deformațiile barelor

datorate acțiunii forțelor exterioare se anulează la icircndepărtarea forțelor se spune că

deformațiile sunt elastice Secțiunile transversale ale barei din figura 34a se și rotesc icircn

raport cu pozițiile lor inițiale Spre exemplu secțiunea de căpăt cu centrul icircn C se rotește

cu unghiul

Fig 34 Deformațiile unei grinzi

Oricacirct de complexă ar fi delormația unui corp ea poate fi descrisă de lungiri sau

scurtări și de modificări ale unghiurilor inițiale

Deplasările măsoară schimbarea poziției unui punct al corpului și pot fi liniare

sau unghiulare

Prin deplasare liniară a unui punct se icircnțelege drumul parcurs de acest punct icircn

decursul procesului de deformație după o dreaptă suport dreapta 1198611198611 din figura 34a

Prin deplasare unghiulară se icircnțelege rotirea dintre segmentele de dreaptă

determinate de două puncte ale corpului icircnainte și după deformarea acestuia unghiul

pe care-l fac segmentele 119861119862 și 11986111198621 din figura 34a Această rotire se măsoară prin

unghiul pe care-l fac proiecțiile dreptelor ce conțin cele două segmente icircntr-un sistem

triortogonal

Icircn cazul cel mai general vectorul deplasare liniară se poate descompune icircntr-un

sistem triortogonal icircn trei componente 119906 119907 și 119908 figura 35

Fig 35 Deplasarea liniară

Se consideră acum un corp solid raportat la un sistem de axe ortogonal 119909119874119910119911

figura 35 după deformarea corpului un punct oarecare 119870 al acestuia se deplasează icircn

poziţia 1198701 vectorul 1198701198701 poartă numele de vectorul deplasării totale

Deplasarea totală este suma deplasărilor pe cele trei direcţii ortogonale iar

aceste deplasări se notează astfel

deplasarea pe direcţia 119909 cu ∥ 119874119909

deplasarea pe direcţia 119910 cu ∥ 119874119910

deplasarea pe direcţia 119911 cu ∥ 119874119911

Componentele deplasărilor și formeză matricea deplasărilor liniare 119906119907119908

322 Deformații

Prin deformație icircn general se icircnțelege orice schimbare de formă a unui corp fără

o evaluare cantitativă Icircn Rezistența Materialelor deformația măsoară variația

dimensiunilor geometrice ale corpului considerat din vecinătatea unui punct analog

deplasărilor deformațiile pot fi liniare și unghiulare (lunecări)

Fig 36 Deplasarea liniară

Deformația liniară ∆119897 reprezintă variația lungimii 119897 a unui element liniar al

corpului deformat figura 36 Deformația liniară specifică se definește ca fiind raportul

dintre deformația liniară și lungimea inițială

휀 =∆119897

119897 (38)

unde ∆119897 este lungirea sau scurtarea care este echivalentă cu deformția liniară totală iar

este alungirea

Deformația unghiulară sau lunecarea unui punct 119860 icircn planul 119861119860119862 se definește

prin relația figura 37

120574 = lim119861119860rarr0119862119860rarr0

(119861119860 minus 119861111986011198621 ) (39)

Fig 36 Deformația unghiulară

Schimbacircnd orientarea planului care trece prin 119860 se obțin alte deformații

unghiulare Dacă elementele liniare 119861119860 și 119862119860 sunt inițial perpendiculare deformația 120574 se

numește deformație unghiulară specifică sau lunecare specifică figura 37

Un exemplu de deplasare unghiulară și de deformație unghiulară este prezentat icircn

figura 38 Unghiul este deplasarea unghiulară și măsoară rotirea relativă dintre două

secțiuni aflate la distanța 119897 Unghiul este deformația specifică unghiulară (lunecarea

specifică) din punctul 119870 Aceste deplasări și deformații se obțin icircn urma solicitării barei

de către cele două momente 1198720 egale și de sens contrar

Fig 38 Deplasarea unghiulară

Pentru a analiza starea de deformație din vecinătatea unui punct al unui corp

solicitat complex se decupează din jurul punctului un element de volum mic figura 39a

avacircnd laturile 119889119909 119889119910 și 119889119911 Ca urmare a solicitării laturile acestuia se vor lungi sau

scurta Reprezentarea elementului deformat icircn spațiu este dificilă pentru simplificare

vom analiza doar deformațiile din planul 119909119874119910 Observăm că dimensiunile 119889119909 și 119889119910 s-au

modificat cu valoarea ∆119889119909 respectiv cu ∆119889119910 analog se acceptă și pentru 119889119911 o modificare

de forma ∆119889119911 Astfel se pot defini deformațiile specifice liniare

휀119909 =∆119889119909

119889119909 휀119910 =

∆119889119910

119889119910 휀119911 =

∆119889119911

119889119911 (310)

De cele mai multe ori aceste deformații specifice liniare se pot exprima procentual

și se mai numesc alungiri

Fig 39 Starea de deformație

Icircn figura 39c se vede că unghiul inițial drept dintre muchiile 119889119909 și 119889119910 ale

elementului de volum s-a modificat Se definește deformația specifică unghiulară (sau

lunecarea specifică) mărimea cu care se modifică unghiul inițial drept

120574119909119910 = 120574119909119910prime + 120574119910119909

prime = 120574119910119909120574119910119911 = 120574119910119911

prime + 120574119911119910prime = 120574119911119910

120574119911119909 = 120574119911119909prime + 120574119909119911

prime = 120574119909119911

(311)

Deformațiile 휀119909 휀119910 휀119911 120574119909119910 120574119910119911 120574119911119909 constituie cele șase componente

independente ale tensorului deformațiilor specifice care pot fi scrise de forma

119863 =

휀119909 120574119909119910 120574119909119911120574119910119909 휀119910 120574119910119911120574119911119909 120574119911119910 휀119911

(312)

323 Contracţia transversală

Practica arată că odată cu lungirea unei bare apare o micşorare a mărimii secţiunii

transversale mărime numită contracţie transversală figura 310

Fig 310 Contracția transversală

Contracţia transversală este proporţională cu lungirea specifică coeficientul de

proporţionalitate se notează cu 120599 şi se numeşte coeficient de contracţie transversală sau

coeficientul lui Poisson

La o lungire specifică a barei contracţia transversală este dată de relația

휀119905119903 = 휀119910 = 휀119911 = minus120599 ∙ 휀119909 (313)

Semnul minus bdquo-rdquo arată că cele două mărimi sunt contrare dacă una creşte cealaltă

scade şi invers

Considerăm o bară cilindrică de lungime 119897 şi aria secţiunii transversale 119860 solicitată

la icircntindere axială La un moment dat datorită solicitării lungimea barei devine

[119897 ∙ (1 + 휀)] diametrul devine [119889 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)] iar aria secţiunii transversale devine

[119860 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)2] Dacă volumul barei icircnainte de solicitare a fost (119860 ∙ 119897) după solicitare

acesta devine

119881 + ∆119881 = 119860 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)2 ∙ 119897 ∙ (1 + 휀) =

= 119860 ∙ 119897 ∙ (1 + 휀 minus 2 ∙ 120599 ∙ 휀 minus 2 ∙ 120599 ∙ 휀2 + 1205992 ∙ 휀2 + 1205992 ∙ 휀3) (314)

Deoarece lungirile sunt foarte mici ultimii trei termeni din paranteză fiind infinit mici se pot neglija obţinacircnd

119881 + ∆119881 = 119860 ∙ 119897 + 119860 ∙ 119897 ∙ 휀 ∙ (1 minus 2 ∙ 120599) ⟺ ∆119881 = 휀 ∙ (1 minus 2 ∙ 120599) ∙ 119860 ∙ 119897 (315)

Practica arătă că o astfel de bară solicitată la icircntindere icircşi măreşte volumul deci

∆119881 gt 0 de unde rezultă că

1 minus 2 ∙ 120599 gt 0 rArr 120599 lt 05 (316)

Pentru majoritatea materialelor 120599 = 033 iar pentru materialele care-şi păstrează

volumul constant 120599 = 05

33 Relaţii de echivalenţă icircntre eforturi şi tensiuni

Considerăm un element de suprafață infinit mic 119889119860 situat pe fața de arie (119860) a

secțiunii barei din figura 311 Icircn centrul de greutate 119862 al secțiunii acționează eforturile

119873 119879119910 119879119911 119872119909 119872119894119910 și 119872119894119911 determinate prin metoda secțiunilor

Icircn raport cu un sistem de axe de referință 119909119862119910119911 coordonatele elementului 119889119860 sunt

- 119910 este ordonata elementului de arie 119889119860

- 119911 este abscisa elementului de arie 119889119860

Pe elementul de arie 119889119860 acționează tensiunile

120590119909 tensiunea normală

120591119909119910 și 120591119909119911 tensiuni tangențiale

Dacă se icircnsumează forțele elementare de tipul 120590119909 ∙ 119889119860 120591119909119910 ∙ 119889119860 și 120591119909119911 ∙ 119889119860

va trebui să obținem eforturile 119873 119879119910 și 119879119911

Fig 311 Element de suprafață mic din secțiunea unei bare

Dacă eforturile sunt privite ca forțe exterioare și se scriu ecuațiile de

echilibru ale secțiunii (119860) se vor obține șase relații de echivalență icircntre eforturi și

tensiuni

(sum119883) = 0 rArr int 120590119909 ∙ 119889119860

119860

= 119873 (317)

(sum119884) = 0 rArr int 120591119909119910 ∙ 119889119860

119860

= 119879119910 (318)

(sum119885) = 0 rArr int 120591119909119911 ∙ 119889119860

119860

= 119879119911 (319)

(sum119872)119909= 0 rArr int(120591119909119911 ∙ 119889119860) ∙ 119910

119860

minus int(120591119909119910 ∙ 119889119860) ∙ 119911

119860

= 119872119909 rArr

rArr int(119910 ∙ 120591119909119911 minus 119911 ∙ 120591119909119910) ∙ 119889119860

119860

= 119872119909

(320)

(sum119872)119910= 0 rArr int(120590119909 ∙ 119889119860) ∙ 119911

119860

= 119872119894119910 (321)

(sum119872)119911= 0 rArr int(120590119909 ∙ 119889119860) ∙ 119910

119860

= 119872119894119911 (322)

Cele șase relații de echivalență icircntre eforturi și tensiuni constituie un pas icircnainte

icircn rezolvarea unei probleme de rezistența materialelor Aceste relații vor permite

determinarea tensiunilor maxime

Pentru a rezolva cele 6 relații de echivalență trebuie să se cunoască tensiunile și

ca funcții de punct adică funcții de forma

120590119909 = 120590119909(119909 119910 119911) 120591119909119910 = 120591119909119910(119909 119910 119911) 120591119909119911 = 120591119909119911(119909 119910 119911) (32

3)

Cunoașterea acestor funcții presupune icircnsă analizarea aspectului geometric al

problemei precum și utilizarea unor ipoteze simplificatoare care să permită simplificarea

problemelor

34 Ipoteze de bază icircn rezistenţa materialelor

Depășirea dificultăților legate de interpretarea unor fenomene specifice mecanicii

solidului deformabil a impus acceptarea unor ipoteze care să simplifice fenomenele și să

contribuie la elaborarea unor modele de calcul cicirct mai generale și cacirct mai simple Aceste

ipoteze se referă la structura materialelor şi la comportarea lor sub acţiunea forţelor

exterioare Ipotezele acceptate trebuie să fie icircn deplină concordanţă cu realitatea și să

conducă la rezultate verificate icircn practică

Funcție de aspectele la care se referă ipotezele pot fi

Ipoteze fizice (de material)

Ipoteze de calcul

341 Ipoteze fizice

Se acceptă deoarece teoriile structurale au condus la rezultate care contravin

icircncercărilor experimentale

Ipoteza mediului continuu consideră că orice domeniu elementar al corpului

este ocupat de materie adică nu se acceptă existența unor goluri sau a unor crăpături

microscopice (fisuri) Deși nu corespunde realităţii poate fi acceptată deoarece

dimensiunile corpului sunt mult mai mari decacirct dimensiunile particulelor elemantare Are

avantajul că permite utilizarea proprietăților matematice ale funcțiilor continue pentru

tensiunile și deformațiile din orice punct al corpului Ea este mai apropiată de realitate la

corpurile amorfe şi mai depărtată la cele cristaline dar conduce la rezultate satisfăcătoare

icircn calculele de rezistenţă

Ipoteza nu se poate aplica la corpurile care au goluri tăieturi (multiplu conexe)

pentru unele puncte singulare icircn care tensiunile și deformațiile tind la infinit sau icircn unele

probleme de plasticitate icircn care proprietățile de material au un rol esențial

Ipoteza izotropiei conform acestei ipoteze materialul din care este confecționat

un element de rezistență are aceleași proprietăți după orice direcție un astfel de material

este considerat izotrop Din punct de vedere macroscopic metalele pot fi considerate

izotrope deși la nivel microscopic proprietățile lor diferă de la o direcție cristalografică

la alta Orice conglomerat de cristale poate fi considerat izotrop

Există cazuri cacircnd această ipoteză a izotropiei nu se acceptă

la metalele puternic deformate după o direcție (prin laminare trefilare)

la piesele confecționate din lemn lemnul este anizotrop deoarece proprietățile sale

diferă după două direcții (icircn lungul fibrelor și perpendicular pe această direcție)

Ipoteza omogenității consideră că un corp are aceleași proprietăți icircn orice

punct al său Deși majoritatea materialelor utilizate icircn tehnică sunt eterogene la scară

micro fiind constituite din mai multe faze cu proprietăți diferite la scară macro ele pot

fi considerate omogene Omogenitatea și izotropia sunt proprietăți statistice medii care

nu se condiționează una pe cealaltă Chiar și materialele monofazice pot avea la scară

micro unele segregații care le fac eterogene

Ipoteza elasticităţii perfecte presupune că atacircta timp cacirct solicitările nu

depăşesc anumite limite materialul are o comportare elastică adică icircşi recapătă forma şi

dimensiunile iniţiale odată cu icircnlăturarea sarcinilor Icircn realitate materialele nu prezintă o

elasticitate perfectă ele avacircnd deformaţii remanente mici care icircnsă pot fi neglijate icircn

calculele de rezistenţă

Acceptarea acestei ipoteze a elasticității perfecte permite

- aplicarea relației biunivoce icircntre tensiuni și deformații relație exprimată de legea

lui Hooke ( = 119864 ∙ 휀) unde E este un factor de proporţionalitate numit modul de

elasticitate longitudinal al materialului pentru oţel 119864 = 21 ∙ 105 [119872119875119886] - acceptarea valabilității afirmației bdquolucrul mecanic efectuat de forțele exterioare

ca urmare a parcurgerii deplasărilor punctelor de aplicație se icircnmagazinează integral icircn

corp sub formă de energie de deformație energie cedată la icircndepărtarea sarcinilorrdquo

- este valabilă teoria conform căreia bdquoenergia icircnmagazinată și deformațiile depind

doar de starea inițială și finală de eforturi fără a ține cont de modul icircn care s-a ajuns la

starea finalărdquo

Icircn realitate oricacirct de mici ar fi sarcinile aplicate se produc și deformații plastice

dar acestea pot fi neglijate dacă solicitarea nu depășește anumite limite

342 Ipoteze de calcul

Ipoteza micilor deplasări bdquodeplasările datorate deformării sunt mult mai mici

decacirct dimensiunile corpurilor și ca urmare pot fi neglijate produsele dintre o deplasare și

ea icircnsăşirdquo Pentru cele mai multe corpuri deformaţiile elastice sunt de mărimi mici deci

corpurile solide sub acţiunea sarcinilor icircşi modifică foarte puţin forma iniţială Această

ipoteză este cunoscută şi sub denumirea de ipoteza menţinerii dimensiunilor iniţiale Ea

permite scrierea ecuaţiilor de echilibru ale staticii pe starea nedeformată a elementului

cacircnd nu se iau icircn considerare deplasările punctelor de aplicaţie ale forţelor care se produc

ca urmare a deformării acestuia Calculul efectuat pe schema nedeformată poartă numele

de calcul de ordinul I

Ipoteza micilor deplasări nu poate fi acceptată pentru studiul problemelor de

stabilitate sau la problemele la care nu pot fi icircndeplinite condiţiile de echilibru icircn starea

nedeformată

Calculul de ordinul II admite ipoteza micilor deplasări dar ecuaţiile de echilibru

se scriu icircnsă pentru starea deformată a elementului de rezistenţă

Calculul de ordinul III nu mai acceptă ipoteza micilor deplasări el referindu-se

la cazul deformaţiilor mari cacircnd ecuaţiile de echilibru trebuie scrise pentru starea

deformată

Chiar dacă materialul satisface legea lui Hooke icircn urma calculelor de ordinul II

se obţin de obicei relaţii neliniare icircntre sarcini şi deplasări iar pentru calculul de ordinul

III rezultă ecuaţii diferenţiale neliniare

Principiul efectului local al acțiunii sarcinilor enunțat de Barre de Saint-

Venant Acest principiu destul de folosit icircn Rezistenţa Materialelor precizează că dacă

se icircnlocuiesc forţele care acţionează asupra unui element de suprafață al unui corp

elastic printr-un alt sistem de forţe echivalent din punct de vedere static cu primul noua

distribuţie a forţelor produce la locul de aplicare diferenţe semnificative faţă de prima

dar rămacircne fără efect sau cu efect neglijabil la distanţe mari de locul de aplicare al

forţelor figura 312

Ca o cosecință o sarcină uniform distribuită figura 312a poate fi icircnlocuită cu

rezultanta ei figura 312b dacă se analizează efectul sarcinii la distanță mare de locul icircn

care se aplică sarcina

Fig 312 Principiul Saint-Venant

Icircn prima variantă figura 312a forţa 119865 se aplică pe o porțiune oarecare 119897 (sarcină

uniform distribuită) iar icircn a doua figura 312b icircntru-un punct (forţă concentrată) La

locul de aplicare a sarcinii efectul asupra barei este cu totul diferit de la o variantă la

cealaltă Icircnsă la o distanţă mare de punctul de aplicaţie spre exemplu icircn secţiunea situată

la distanţa 119886 de capătul barei sau chiar icircn icircncastrare ambele bare sunt solicitate la fel

Icircn cazul din figura 312a

119872119894(119909) =119901 ∙ 1199092

2 119909 le 119897 119872119894(119909) = 119901 ∙ 119897 ∙ (119909 minus

119897

2) 119909 gt 119897 (324)

Icircn cazul din figura 312b

119872119894(119909) = 0 119909 lt119897

2 119872119894(119909) = 119901 ∙ 119897 ∙ (119909 minus

119897

2) 119909 gt

119897

2 (325)

Se vede că pentru (119909 gt 119897) adică după depășirea locului icircn care se aplică sarcina

efectul este același

Ipoteza lui Bernoulli sau ipoteza secţiunilor plane precizează că o secţiune

plană şi normală pe axa barei icircnainte de deformare rămacircne plană şi normală pe axa

barei şi după deformare figura 313

Fig 313 Ipoteza lui Bernoulli

Ipoteza stării naturale a corpului sau ipoteza absenţei tensiunilor conform

căreia pentru un corp nesolicitat starea de tensiune şi deformaţie este nulă

Perfecţionarea mijloacelor de calcul şi de investigare pot conduce la renunţarea la

unele ipoteze sau la introducerea altora noi mai aproape de stările reale De aici rezultă

caracterul de continuă perfecţionare a metodelor Rezistenţei Materialelor

35 Coeficienţi de siguranţă Tensiuni admisibile

O piesă corespunde din punct de vedere tehnic dacă tensiunile care iau naştere icircn

interiorul piesei datorită sarcinilor aplicate nu depăşesc anumite valori limită stabilite

convenţional Aceste valori limită ale tensiunii sunt corelate cu caracteristicile mecanice

ale materialelor

Tensiunea limită utilizată icircn calculele de rezistenţă este cunoscută sub denumirea

de tensiune admisibilă sau rezistenţă admisibilă Rezistenţa admisibilă reprezintă

valoarea convenţională aleasă icircn calcul pe baza practicii pentru tensiunea maximă care

poate apare icircntr-o piesă icircn condiţii date de material şi solicitare

Rezistenţa admisibilă (120590119886 sau 120591119886) poate fi definită faţă de o stare limită

periculoasă stare care trebuie evitată deoarece poate conduce distrugere

120590119886 =120590119897119894119898119888

(326)

unde

120590119897119894119898 este tensiunea corespunzătoare stării limită periculoase

119888 estesupraunitar 119888 gt 1 și reprezintă coeficientul de siguranţă faţă de starea limită

periculoasă considerată

Alegerea unor valori inferioare pentru rezistenţa admisibilă faţă de tensiunea

corespunzătoare stării limită periculoase este necesară deoarece

cunoaşterea sarcinilor este de cele mai multe ori aproximativă şi o depăşire a

acestora este foarte posibilă

caracteristicile mecanice ale materialelor variază icircn limite destul de mari ele

fiind influenţate de mulţi factori

schema aleasă pentru calcul (aplicarea sarcinilor schematizarea structurii

ipotezele de calcul etc) depărtează modelul faţă de cel real

Pentru calculele de verificare tensiunea efectivă maximă din elementul de

rezistenţă trebuie să fie mai mică sau cel mult egală cu cea admisibilă

120590119890119891119898119886119909 le 120590119886 (327)

Valoarea rezistenţei admisibile este influenţată de foarte mulţi factori natura

materialului tratamentele termice aplicate piesei durata de funcţionare a piesei modul

de acţionare icircn timp a sarcinilor felul solicitării temperatura gradul de periculozitate

icircn cazul cedării piesei etc

De asemenea valoarea coeficientului de siguranţă se alege icircn principal ţinacircnd

seama de aceiaşi factori care influenţează şi rezistenţa admisibilă

Rezistenţele admisibile pentru cacircteva materiale sunt următoarele

pentru oțelul de uz general OL37 solicitat la icircntindere compresiune sau

icircncovoiere 120590119886 = 150 [119872119875119886] pentru lemnul de brad solicitat la

- compresiune icircn lungul fibrelor şi solicitat la icircncovoiere 120590119886 = 10 [119872119875119886] - tracţiune icircn lungul fibrelor 120590119886 = 7 [119872119875119886] - compresiune perpendiculară pe fibre 120590119886 = 15 [119872119875119886] - forfecare icircn lungul fibrelor 120591119886 = 2 [119872119875119886] - forfecare perpendiculară pe fibre 120590119886 = 45 [119872119875119886]

terenuri de fundaţie din pămacircnt uscat sau umed 120590119886 = 020 divide 025 [119872119875119886]

4 CARACTERISTICI GEOMETRICE ALE SECȚIUNILOR PLANE

41 Noţiuni introductive

Icircn relaţiile de calcul ale tensiunilor şi deformaţiilor elementelor de rezistenţă

pentru unele solicitări (icircncovoierea și torsiunea) secțiunile plane intervin atacirct prin

dimensiunile lor (aria 119860) cicirct și prin forma și poziția pe care o are secțiunea icircn raport cu

planul solicitării Mărimile care caracterizează o secțiune icircn raport cu forma și poziția față

de axele unui sistem de referință sunt denumite caracteristici geometrice de ordin

superior Aria secțiunii este caracteristica geometrică ce depinde doar de dimensiunile

geometrice ale acesteia

Să considerăm o grindă solicitată de o forță exterioară 119865 aşezată icircn două poziții icircn

raport cu planul forţei figura 41 Icircn urma aplicării forței deși avem aceeași grindă

(aceeași arie a secțiunii transversale) și aceeași forță se constată că pentru varianta din

figura 41a deformațiile sunt mult mai mari adică rezistența la icircncovoiere a grinzii din

figura 41a este mai mare decacirct icircn cazul grinzii din figura 41b Comportarea diferită se

explică prin aceea că modificarea poziţiei secţiunii transversale faţă de planul forţelor

modifică caracteristicile geometrice ale secţiunii transversale a grinzii

Fig 41 Grindă solicitată de forța 119865

Pentru realizarea calculelor de rezistenţă şi rigiditate este foarte importantă

cunoaşterea caracteristicilor geometrice ale suprafeţei secţiunii transversale a elementelor

de rezistenţă

Caracteristicile geometrice ale secţiunii transversale a unui element de rezistenţă

sunt

- aria secțiunii notată cu 119860

- momentul static icircn raport cu o axă notat 119878119911 și respectiv 119878119910

- momentul de inerție care poate fi

axial notat 119868119911 și respectiv 119868119910

centrifugal notat 119868119911119910

polar notat 119868119901

- raza de inerţie (giraţie)notată 119894119911 și respectiv 119894119910

- modulul de rezistență care poate fi

axial notat 119882119911 și respectiv 119882119910

polar notat 119882119901

42 Aria și momentul static al suprafețelor plane

Fie o suprafaţă plană de arie 119860 pe care se ia un element infinit mic de arie 119889119860 şi

un sistem de axe rectangulare 119911119874119910 figura 42 Notăm cu 119862 centrul de greutate al suprafeţei

119860 Poziţia suprafeţei elementare 119889119860 faţă de acelaşi sistem de coordonate 119911119874119910 este dată

de abscisa 119911 ordonata 119910 și raza polară

Fig 42 Suprafață plană de arie 119860

Aria suprafeţei 119860 figura 42 se defineşte ca fiind

119860 ≝ int 119889119860

119860

(41)

Aria suprafeţei este icircntotdeauna pozitivă și se măsoară icircn [1198981198982] Momentul static al suprafeţei de arie 119860 icircn raport cu axele 119874119911 și respectiv 119874119910

figura 42 sunt date de relaţiile

119878119911 ≝ int 119910 ∙ 119889119860

119860

119878119910 ≝ int 119911 ∙ 119889119860

119860

(42)

Momentul static poate fi pozitiv negativ sau nul şi se măsoară icircn [1198981198983] Coordonatele centrului de greutate ale suprafeței 119860 se detrmină cu relațiile

119910119862 ≝int 119910 ∙ 119889119860119860

119860 119911119862 ≝

int 119911 ∙ 119889119860119860

119860

(43)

Cunoscacircnd coordonatele 119910119862 și 119911119862 ale centrului de greutate 119862 al secțiunii 119860 atunci

momentele statice se pot determina cu relațiile

119878119911 ≝ int 119910 ∙ 119889119860

119860

= 119910119862 ∙ 119889119860 119878119910 ≝ int 119911 ∙ 119889119860

119860

= 119911119862 ∙ 119889119860 (44)

Aceste relații arată că momentul static al unei suprafețe icircn raport cu o axă este

egal cu produsul dintre aria suprafeței și distanța de la centrul ariei la axa respectivă

Dacă suprafaţa se poate descompune icircn 119899 suprafeţe simple la care se cunosc ariile

(1198601 1198602 ⋯ 119860119894⋯ 119860119899) și poziţiile centrelor de greutate 119862119894 faţă de sistemul de referinţă

expresiile momentelor statice capătă următoarea formă

119878119911 = sum 119910119862119894 ∙ 119860119894119899119894=1 = 119910119862 ∙ 119860 119878119910 = sum 119911119862119894 ∙ 119860119894

119899119894=1 = 119911119862 ∙ 119860 (45)

Din relaţiile (45) rezultă că poziţia centrului de greutate 119862 al unei suprafeţe

compuse poate fi determinată cu relaţiile

119910119862 = (sum119910119862119894 ∙ 119860119894

119899

119894=1

) 119860frasl 119911119862 = (sum119911119862119894 ∙ 119860119894

119899

119894=1

) 119860frasl (46)

Icircn relația (45) 119910119862119894 și respectiv 119911119862119894 reprezintă coordonatele centrelor de greutate 119862119894

ale fiecărei suprafețe simple 119860119894 icircn raport sistemul de axe 119911119874119910

Se constată (relaţia 42) că dacă axele sistemului de referinţă trec prin centrul de

greutate (119910119862 = 119911119862 = 0) momentele statice sunt nule Axele icircn raport cu care momentele

statice sunt nule şi care trec prin centrul de greutate al suprafeţei se numesc axe centrale

Observație dacă secțiunea compusă are o axă de simetrie centrul secțiunii se

găsește pe acea axă iar dacă secțiunea este dublu simetrică poziția centrului secțiunii este

la intersecția axelor de simetrie

43 Momente de inerţie

Momentele de inerţie axiale ale unei suprafețe se calculează icircn raport cu axele de

coordonate 119874119911 și respectiv 119874119910 figura 42 și se determină cu relațiile

119868119911 ≝ int 1199102 ∙ 119889119860

119860

119868119910 ≝ int 1199112 ∙ 119889119860

119860

(47)

Unde 119910 și 119911 sunt distanțele de la elementul de arie 119889119860 la cele două axe de

coordonate 119874119911 și respectiv 119874119910

Momentele de inerţie axiale se măsoară icircn [1198981198984] şi sunt icircntotdeauna pozitive (aria

119889119860 este icircntotdeauna pozitivă și este multiplicată cu patratul distanței 1199102 dacă 119868119911 sau 119868119910

sunt nule icircnseamnă ca secțiunea nu există)

Momentele de inerție axiale se calculează icircndeosebi pentru axele centrale (care

trec prin centrul secțiunii) deoarece icircn raport cu acele axe 119868119911 și 119868119910 au valori minime

Momentul de inerţie centrifugal calculat faţă ambele axe ale sistemului de

referinţă 119911119874119910 este definit de relația

119868119911119910 ≝ int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860

(48)

Momentul de inerţie centrifugal se măsoară icircn [1198981198984] şi poate fi pozitiv negativ

sau nul

Momentul de ineție centrifugal este nul 119868119911119910 = 0 dacă cel puțin una din axele 119874119911

sau 119874119910 este axă de simetrie pentru secțiune

Se consideră o suprafaţă dreptunghiulară pe care faţă de axa de simetrie 119874119910 se iau

două suprafeţe elementare de arie 119889119860 simetrice faţă de axa 119874119910 figura 43

Fig 43 Suprafață dreptunghiulară cu două arii elementare 119889119860

Făcacircnd suma momentelor de inerţie centrifugale pentru cele două suprafeţe

elementare 119889119860 (din stacircnga şi din dreapta faţă de axa 119874119910) se obţine

int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860119889119903

+ int (minus119911) ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860119904119905119892

= int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860119889119903

minus int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860119904119905119892

= 0 (49)

Acelaşi raţionament se poate face și pentru icircntreaga suprafaţă de unde obținem că

momentul de inerție centrifugal este nul 119868119911119910 = 0 Deci pentru o suprafaţă plană care

are cel puţin o axă de simetrie momentul de inerţie centrifugal faţă de sistemul care

conţine acea axă de simetrie este nul

Momentul de inerţie polar al unei suprafeţei icircn raport cu un punct (pol) 119874 figura

42 este definit prin relaţia

1198680 = 119868119901 ≝ int 1205882 ∙ 119889119860

119860

= int(1199102 + 1199112) ∙ 119889119860

119860

= 119868119911 + 119868119910 (410)

unde este distanţa de la polul 119874 la elementul de arie 119889119860 Momentul de inerţie polar se

măsoară icircn [1198981198984] şi este totdeauna pozitiv

Momentul de inerţie polar este egal cu suma momentelor de inerţie faţă de două axe

perpendiculare oarecare şi care trec prin polul considerat

Razele de giraţie sau razele de inerţie sunt mărimi calculate icircn raport cu axele

secțiunii și definite de relaţiile

119894119911 ≝ radic119868119911119860 119894119910 = radic

119868119910

119860 (411)

Se exprimă icircn [119898119898] şi sunt icircntotdeauna pozitive Semnificația unei raze de inerție

este distanța la care dacă ar fi concentrată icircntreaga arie s-ar obține același moment de

inerție ca și cel calculat pentru aria reală

44 Modulul de rezistenţă

Modulul de rezistență se calculează icircn raport cu axele de referință sau icircn raport cu

un pol figura 42 și pot fi axiale (119882119911119882119910) sau polar (119882119901) și se determină numai pe baza

momentelor de inerţie cu relațiile figura 43

119882119911119898119894119899 ≝119868119911119910119898119886119909

119882119911119898119886119909 ≝119868119911119910119898119894119899

(412)

119882119910119898119894119899 ≝119868119910

119911119898119886119909 119882119910119898119886119909 ≝

119868119910

119911119898119894119899 (413)

119882119901 ≝119868119901

120588119898119886119909 (414)

unde

119910119898119886119909 119910119898119894119899 reprezintă distanţa de la axa 119874119911 la punctele extreme cele mai

depărtate respectiv cele mai apropiate ale suprafeţei de această axă

119911119898119886119909 119911119898119894119899 reprezintă distanţa de la axa 119874119910 la punctele extreme cele mai

depărtate respectiv cele mai apropiate ale suprafeţei de această axă

120588119898119886119909 reprezintă distanța maximă de la polul 119874 la punctul secțiunii cel mai

icircndepărtat de acesta

Fig 43 Suprafață dreptunghiulară cu două arii elementare 119889119860

Modulele de rezistenţă se exprimă icircn [1198981198983] şi sunt icircntotdeauna pozitive

Explicația este aceea că momentele de inerție care intră icircn relațiile de definiție sunt

pozitive iar distanțele la punctele extreme sunt pozitive (119910119898119886119909 119910119898119894119899 119911119898119886119909 119911119898119894119899 120588119898119886119909 se

iau icircn valoare absolută)

Icircn cazul suprafeţelor compuse modulul de rezistenţă nu se obţine prin icircnsumarea

algebrică a modulelor de rezistenţă ale suprafeţelor simple componente ci numai prin

intermediul momentului de inerţie axial calculat pentru icircntreaga secțiune

Ca și momentele de inerție modulele de rezistență se calculează numai pentru

sistemele de axe centrale

45 Momente de inerţie şi module de rezistenţă pentru suprafeţe simple

451 Secțiune dreptunghiulară

Fie suprafaţa dreptunghiulară din figura 44 de icircnălțime ℎ și lățime 119887 pe care se

consideră suprafaţă elementară de arie 119889119860 = 119887119889119910 la distanța 119910 de axa 119862119911 sistemul de

axe 119911119862119910 trece prin centrul secțiunii iar axele sunt axe de simetrie pentru dreptunghi

Fig 44 Suprafață dreptunghiulară

Pe baza relațiilor de definiți a momentului de inerție 119868119911 se obține

119868119911 ≝ int 1199102 ∙ 119889119860

119860

= int 1199102 ∙ 119887 ∙ 119889119910 = 2int 1199102 ∙ 119887 ∙ 119889119910 = 2 ∙ 119887 ∙1199103

3|ℎ 2frasl

0rArr

ℎ 2frasl

0

ℎ 2frasl

minusℎ 2frasl

rArr 119868119911 =119887 ∙ ℎ3

12

(415)

Analog pentru un element de arie 119889119860 = ℎ ∙ 119889119911 paralel cu axa 119862119910 situat la distanța

119911 de axa 119862119910

119868119910 ≝ int 1199112 ∙ 119889119860

119860

= int 1199112 ∙ ℎ ∙ 119889119911 = 2int 1199112 ∙ ℎ ∙ 119889119910 = 2 ∙ ℎ ∙1199113

3|119887 2frasl

0rArr

119887 2frasl

0

119887 2frasl

minus119887 2frasl

rArr 119868119910 =1198873 ∙ ℎ

12

(416)

Deoarece axele 119862119911 și 119862119910 sunt axe de simetrie momentul de inerție centrifugal este

119868119911119910 = 0 (417)

Pentru un pătrat avacircnd laturile egale (ℎ = 119887 = 119886) momentele de inerţie faţă de

axele centrale au expresia

119868119911 = 119868119910 =1198864

12 (418)

Modulele de rezistență axiale se calculează cu relațiile de definiție ținacircnd cont că

distanțele pacircnă la fibrele extreme sunt

119910119898119886119909 = 119910119898119894119899 =ℎ

2 119911119898119886119909 = 119911119898119894119899 =

119887

2 (419)

Obținem

119882119911119898119894119899 = 119882119911119898119886119909 =119868119911

119910119898119886119909119898119894119899=119887 ∙ ℎ3

12frasl

ℎ2frasl

=119887 ∙ ℎ2

6

119882119910119898119894119899 = 119882119910119898119886119909 =119868119910

119911119898119886119909119898119894119899=1198873 ∙ ℎ

12frasl

1198872frasl

=1198872 ∙ ℎ

6

(420)

452 Suprafaţă circulară

Din motive de simetrie pentru suprafeţele circulare momentele de inerţie faţă de

orice diametru (care reprezintă şi axe centrale) sunt aceleaşi

Considerăm o secțiune circulară plină cu diametrul 119889 și centrul de greutate 119862 Prin

centrul de greutate 119862 trece sistemul de axe ortogonal 119911119862119910 figura 45

Fig 45 Suprafață circulară

La distanța de centrul de greutate 119862 vom lua un element de suprafață mic de arie

(119889119860) de forma unui inel de grosime 119889 Elementul de arie 119889119860 are expresia

119889119860 = (2 ∙ 120587 ∙ 120588) ∙ (119889120588)

Pornind de la relația de definiție a momentului de inerție polar obținem

119868119901 ≝ int 1205882 ∙ 119889119860

119860

= int 1205882 ∙ (2 ∙ 120587 ∙ 120588) ∙ 119889120588

119903=119889 2frasl

0

= 2 ∙ 120587 ∙1205884

4|119889 2frasl0 rArr

rArr 119868119901 =120587 ∙ 1198894

32

(421)

Secțiunea este perfect simetrică deci sunt valabile relațiile

119868119911 = 119868119910 rArr 119868119901 = 119868119911 + 119868119910 = 2 ∙ 119868119911 = 2 ∙ 119868119910 =119868119901

2=120587 ∙ 1198894

64 (422)

Și modulele de rezistenţă faţă de orice diametru sunt egale şi se calculează cu

relaţiile

119882119911 = 119882119910 =1198681199111198892frasl=120587 ∙ 1198893

32 (423)

Modulul de rezistenţă polar este

119882119901 =1198681199011198892frasl=120587 ∙ 1198893

16 (424)

453 Secţiune inelară

Calculul momentelor de inerţie axiale pentru o secţiune inelară avacircnd diametrul

interior 119889 şi diametrul exterior 119863 se determină analog pentru suprafaţa circulară plină cu

observaţia că integrala pentru calculul momentului de inerție polar 119868119901 se face icircntre

limitele 119903 = 119889 2frasl şi R= 1198632frasl (icircntre raza interioară 119903 şi raza exterioară 119877) figura 46

Se obţin relaţiile

119868119901 =120587 ∙ 1198634

32∙ [1 minus (

119889

119863)4

] =120587 ∙ 1198634

32∙ (1 minus 1198964) (425)

119868119910 = 119868119910 =120587 ∙ 1198634

64∙ [1 minus (

119889

119863)4

] =120587 ∙ 1198633

64∙ (1 minus 1198964) (426)

Fig 46 Secțiune inelară

119882119901 =120587 ∙ 1198633

16∙ [1 minus (

119889

119863)4

] =120587 ∙ 1198633

16∙ (1 minus 1198964) (427)

119882119911 = 119882119910 =120587 ∙ 1198633

32∙ [1 minus (

119889

119863)4

] =120587 ∙ 1198633

32∙ (1 minus 1198964) (428)

unde 119896 = 119889119863frasl

46 Variaţia momentelor de inerţie faţă de axe paralele

( Relațiile lui STEINER)

Se consideră o suprafaţă oarecare de arie 119860 cu elementul de arie 119889119860 și un sistemul

de axe central 119911119862119910 faţă de care se cunosc momentele de inerţie 119868119911 119868119910 119868119911119910 şi considerăm

un sistem de axe 11991111198741199101 paralele cu sistemul central figura 47 Se pune problema

determinării momentele de inerţie 1198681199111 1198681199101 11986811991111199101 faţă de sistemul de axe paralel cu sistemul

central 11991111198741199101 axe aflate la distanţele 119910119862 = 119888 respectiv 119911119862 = 119889 de acesta

461 Momente de inerţie axiale

Pe baza relaţiilor de definire şi a notaţiilor din figura 42 pentru momentele de

inerţie faţă de axele 1198741199111 1198741199101 se poate scrie

1198681199111 = int 11991012 ∙ 119889119860

119860

= int(119910 + 119888)2 ∙ 119889119860

119860

= int 1199102 ∙ 119889119860

119860

+ 2 ∙ 119888 ∙ int 119910 ∙ 119889119860

119860

+

+1198882int 119889119860

119860

rArr 1198681199111 = 119868119911 + 2 ∙ 119888 ∙ 119878119911 + 1198882 ∙ 119860 hArr 1198681199111 = 119868119911 + 119888

2 ∙ 119860

(429)

Fig 47 Variaţia momentelor de inerţie față de axe paralele

S-a ajuns la relația (429) deoarece momentul static 119878119911 este nul deoarece axa 119862119885

este axă centrală

Pentru momentul de inerție axial icircn raport cu axa 1198741199101 se obține

1198681199101 = int 11991112 ∙ 119889119860

119860

= int(119911 + 119889)2 ∙ 119889119860

119860

= int 1199112 ∙ 119889119860

119860

+ 2 ∙ 119889 ∙ int 119911 ∙ 119889119860

119860

+

+1198892 ∙ int 119889119860

119860

rArr 1198681199101 = 119868119910 + 2 ∙ 119889 ∙ 119878119910 + 1198892 ∙ 119860 hArr 1198681199101 = 119868119910 + 119889

2 ∙ 119860

(430)

Pentru momentul de inerție centrifugal obținem

11986811991111199101 = int 1199101 ∙ 1199111 ∙ 119889119860

119860

= int(119910 + 119888) ∙ (119911 + 119889) ∙ 119889119860

119860

= int 119910 ∙ 119911 ∙ 119889119860 +

119860

+119888 ∙ int 119911 ∙ 119889119860

119860

+ 119889 ∙ int 119910 ∙ 119889119860

119860

rArr 11986811991111199101 = 119868119911119910 + 119888 ∙ 119889 ∙ 119860

(431)

Deoarece

int 119911 ∙ 119889119860

119860

= 119878119910 = 0 int 119910 ∙ 119889119860

119860

= 119878119911 = 0 int 119910 ∙ 119911 ∙ 119889119860

119860

= 119868119911119910

Relaţiile (429) şi (430) arată că momentul de inerţie faţă de o axă oarecare

este egal cu momentul de inerţie faţă de o axă paralelă cu ea trecacircnd prin centrul de

greutate la care se adaugă produsul dintre aria suprafeţei şi pătratul distanţei dintre

cele două axe

Din relaţiile (429) și (430) rezultă de asemenea că momentul de inerţie faţă de o

axă centrală (care trece prin centrul de greutate) este cel mai mic dintre infinitatea de

momente de inerţie obținute faţă de alte axe paralele cu ea

Relaţia (431) arată de asemenea că momentul de inerţie centrifugal faţă de un

sistem de axe oarecare este egal cu momentul de inerţie centrifugal faţă de un sistem

paralele cu el trecacircnd prin centrul de greutate a suprafeţei la care se adaugă produsul

dintre aria suprafeţei şi distanţele dintre axele sistemelor respective

Icircn literatura de specialitate relaţiile (429) (430) şi (431) sunt cunoscute sub

numele de relaţiile lui Steiner

47 Variaţia momentrlor de inerţie faţă de axe rotite

Direcţii principale şi momente de inerţie principale

Fie suprafaţa plană din figura 48 de arie 119860 pe care considerăm o suprafaţă

elementară de arie 119889119860 Pentru sistemul de axe 119911119874119910 se cunosc momentele de inerţie

119868119911 119868119910 119868119911119910 şi vom determina relaţiile de calcul pentru momentele de inerţie afererent unui

sistem de axe 11991111198741199101 rotit cu un unghi faţă de sistemul central

Faţă de sistemul de axe 11991111198741199101 elementul de arie 119889119860 are coordonatele

1199101 = 119875119877 = 119875119876 minus 119877119876 = 119910 ∙ cos 120572 minus 119911 ∙ sin 120572

1199111 = 119873119872 = 119873119875 minus 119875119872 = 119911 ∙ cos 120572 + 119910 ∙ sin 120572 (432)

Fig 47 Variaţia momentelor de inerţie față de axe rotite

Pe baza relaţiilor de calcul ale momentelor de inerţie şi a notaţiilor din figura 42

şi ale relaţiilor (432) momentele de inerţie faţă de sistemul de axe rotit 11991111198741199101 sunt

1198681199111 =119868119911 + 119868119910

2+119868119911 minus 119868119910

2∙ cos 2120572 minus 119868119911119910 ∙ sin 2120572 (433)

1198681199101 =119868119911 + 119868119910

2minus119868119911 minus 119868119910

2∙ cos 2120572 + 119868119911119910 ∙ sin 2120572 (434)

11986811991111199101 =119868119911 minus 119868119910

2∙ sin 2120572 + 119868119911119910 ∙ cos 2120572 (435)

Din relaţiile 433divide435 se observă că icircntre momentele de inerţie axiale şi cele

polare există relaţia

1198681199111 + 1198681199101 = 119868119911 + 119868119910 = 119868119901 (436)

adică suma momentelor de inerţie axiale icircn raport cu orice pereche de axe ortogonale

care trec printr-un pol dat este o constantă şi egală cu momentul de inerţie polar

Prin rotirea sistemului de axe din relaţiile 433divide435 rezultă că momentele de inerţie

variază icircnsă suma lor rămacircne constantă deci există o poziţie a sistemului de axe pentru

care momentele de inerţie au valori extreme maxim respectiv minim

471 Direcţii principale de inerţie

Valoarea unghiului 120572 pentru care momentele de inerţie axiale au valori extreme

este

1205721 =1

2∙ 119886119903119888119905119886119899 (minus

2 ∙ 119868119911119910

119868119911 minus 119868119910) (437)

Poziţia celeilalte direcţii este perpendiculară pe cea dată de unghiul 1205721

Din relaţia (437) se constată că faţă de aceste direcţii rotite pentru care momentele

de inerţie axiale prezintă valori extreme momentul de inerţie centrifugal 11986811991111199101este nul

Atunci se poate afirma că momentele de inerţie axiale au valori extreme icircn raport cu

direcţiile faţă de care momentul de inerţie centrifugal este nul Aceste direcţii se numesc

direcţii principale iar momentele de inerţie faţă de aceste direcţii poartă numele de

momente de inerţie principale

Icircn calculele de rezistenţă interesează icircn mod special poziţia direcţiilor principale

care trec prin centrul de greutate al suprafeţei aşa numitele direcţii principale centrale şi

evident momentele de inerţie principale centrale

Direcţiile principale de inerţie se notează cu 1 respectiv 2 Axa principală 1

corespunde direcţiei faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea maximă iar

axa principală 2 pentru direcţia faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea

minimă

472 Momente de inerţie principale

Momentele de inerţie principale se notează cu litera 119868 la care se pune indicele 1

sau 2 după cum valoarea acestuia este maximă sau minimă deci avem un moment de

inerţie principal 1 (notat 1198681) respectiv moment de inerţie principal 2 (notat 1198682)

Expresiile pentru momentele de inerţie principale sunt

11986812 =119868119911 + 119868119910

2plusmn1

2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)

2+ 4 ∙ (119868119911119910)

2 (438)

Dacă momentul de inerţie centrifugal este negativ (119868119911119910 lt 0) direcţia principală

care trece prin primul cadran (definit de sistemul 119911119862119910) este direcţia principală 120783

Pentru suprafeţele cu cel puţin o axă de simetrie direcţiile centrale 119862119911 119862119910 sunt şi

direcții principale de inerţie și evident momentele de inerţie axiale 119868119911 119868119910 sunt momente

de inerţie principale

48 Caracteristici mecanice ale metalelor

Alegerea materialului pentru confecţionarea unei anumite piese se face şi pe baza

aşa numitelor caracteristici mecanice pe care le prezintă materialul Cunoaşterea acestor

caracteristici mecanice are loc numai pe baza unor icircncercări mecanice care să scoată icircn

evidenţă comportarea materialului icircn condiţii de solicitare

Cea mai utilizată icircncercare icircn urma căreia se pun icircn evidenţă caracteristicile

mecanice ale unui material este icircncercarea la tracţiune

481 Icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general

Icircncercarea la tracţiune a oţelului ca de altfel toate icircncercările de materiale este

standardizată

Icircn cele ce urmează se va prezenta numai partea care interesează strict din punct

de vedere al caracteristicilor mecanice ale oţelului

Epruveta de diametru iniţial 1198890 pentru icircncercarea la tracţiune are o porţiune de

lungime 1198710 numită baza de măsurare pe care se măsoară lungirea acesteia sub acţiunea

solicitării

Icircn funcţie de raportul dintre baza de măsurare 1198710 şi diametrul iniţial 1198890 epruvetele

utilizate pentru icircncercări sunt

epruvete normale (scurte) cacircnd 11987101198890 = 5

epruvete lungi cacircnd 11987101198890 = 10

Icircn timpul icircncercării la diferite valori ale forţei 119865 se măsoară lungirea bazei de

măsurare

∆119871 = 120575 = 119871 minus 1198710 (439)

unde

119871 este dimensiunea bazei de măsurare la un moment dat

Curba forţă-lungire (119865 minus ) icircnregistrată icircn urma icircncercării reprezintă curba

caracteristică la tracţiune

La icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general diagrama caracteristică care se

obţine are forma din figura 48

Curba caracteristică la tracţiune depinde de lungimea bazei de măsurare Pentru

icircnlăturarea acestui neajuns curba caracteristică se reprezintă icircn coordonate şi definite

astfel

120590 =119865

1198600 휀 =

120575

1198710 (440)

unde

1198600 este aria iniţială a secţiunii transversale a epruvetei (icircnainte de solicitare) icircn

zona bazei de măsurare

1198600 =120587 ∙ 1198890

2

4

Deoarece mărimile icircn care se reprezintă curba caracteristică la tracţiune sunt

raportate la aria iniţială a secţiunii transversale (mărimi specifice) curba poartă numele

de curbă caracteristică convenţională la tracţiune

Fig 48 Curba caracteristică convenţională la tracțiune

Pe curba caracteristică convenţională la tracţiune figura 48 se pot stabili o serie

de puncte cărora le corespund mai multe mărimi importante

Ordonata punctului A pacircnă unde curba caracteristică convenţională este linie

dreaptă se numeşte limita de proporţionalitate a materialului 120590119901(1205901) Porţiunea 119874119860 este

zona de proporţionalitate a curbei caracteristice pe acest domeniu este valabilă legea lui

Hooke care exprimă o proporţionalitate icircntre tensiune şi deformaţie specifică

120590 = 119864 ∙ 휀 (441)

unde

119864 = reprezintă panta porţiunii liniare a curbei convenționale caracteristice

la tracțiune Caracteristica de material 119864 se numeşte modul de elasticitate longitudinal

(modulul lui Young)

Ordonata punctului 119861 pacircnă unde materialul se comportă perfect elastic adică

după descărcare icircşi recapătă dimensiunea iniţială 1198710 se numeşte limita de elasticitate

120590119890(119877119890) Icircn realitate nici un material nu are comportare perfect elastică sub acţiunea

solicitărilor el capătă deformaţii permanente (remanente plastice)

După punctul 119861 urmează o porţiune 119861119862119863 icircn care cu toate că icircncărcarea

continuă forţa nu mai creşte avacircnd mici oscilaţii icircn jurul unei valori Se spune că icircn

această porţiune materialul curge iar intervalul 119861119862119863 este un palier de curgere Tensiunea

corespunzătoare palierului de curgere se numeşte limită de curgere aparentă 120590119888(119877119888) Limita de curgere aparentă se calculează cu relaţia

120590119888 =1198651198881198600 (442)

unde

119865119888 reprezintă valoarea forţei icircnregistrată icircn momentul curgerii materialului

După punctul 119863 curba caracteristică are un traseu ascendent pacircnă icircn punctul 119864

Porţiunea 119863119864 este numită zonă de icircntărire (ecruisare) Icircn zona de ecruisare unde se

produc deformaţii plastice semnificative legea lui Hooke nu mai este valabilă La

descărcare relaţia dintre tensiunea şi deformaţia specifică este liniară paralelă cu

porţiunea liniară a curbei caracteristice (dreapta 119872119873)

Deformaţia totală (휀119905) are două componente una elastică (휀119890) şi una plastică (휀119901)

Ordonata punctului 119864 reprezintă rezistenţa de rupere 120590119903(119877119898) a materialului

care se poate calcula cu relaţia

120590119903 = 119877119898 =1198651198981198861199091198600

(443)

unde

119865119898119886119909 reprezintă valoarea maximă a forţei icircnregistrată icircn timpul icircncercării

La atingerea valorii 119865119898119886119909 (punctul 119864) icircntr-un anumit loc al epruvetei secţiunea

icircncepe să se micşoreze (se produce gacirctuirea) continuacircnd pacircnă cacircnd se produce ruperea

totală (punctul 119865)

Dacă după ruperea epruvetei cele două părţi rezultate se aşează cap la cap şi se

măsoară dimensiunea bazei de măsurare 119871119906 (lungimea ultimă) se determină alungirea la

rupere sau lungirea specifică la rupere 휀119903

휀119903 =119871119906 minus 11987101198710

=∆119871

1198710=120575

1198710 (444)

De obicei alungirea se exprimă icircn procente şi se notează cu 119860119899 unde 119899 reprezintă

numărul dat de raportul 11987101198890 (epruvete normale 119899 = 5 epruvete lungi 119899 = 10)

119860119899 =119871119906 minus 11987101198710

∙ 100 [] (445)

Altă mărime care se determină la icircncercarea la tracţiune este gacirctuirea la rupere

(exprimată de obicei icircn procente) şi definită de relaţia

119885 =1198600 minus 1198601199061198600

∙ 100 [] (446)

Mărimile determinate limita de proporţionalitate modulul de elasticitate

longitudinal limita de elasticitate limita de curgere aparentă rezistenţa de rupere

alungirea la rupere şi gacirctuirea la rupere sunt cunoscute ca fiind caracteristici mecanice

ale materialului

Din curba caracteristică convenţională observăm faptul că ruperea (punctul 119865 din

figura 48 se produce la o tensiune mai mică decacirct cea corespunzătoare punctului 119864 Dacă

icircnsă forţa din timpul icircncercării s-ar raporta la aria secţiunii din momentul icircnregistrării

forţei (care este mai mică decacirct cea iniţială 1198600) s-ar obţine aşa numita curbă

caracteristică reală a materialului (traseul 1198741198601198611198621198631198651 din figura 48) La curba

caracteristică reală ruperea se produce icircn punctul 1198651 la o icircncărcare mai mare decacirct cea

corespunzătoare punctului 119864 Icircnseamnă că rezistenţa reală la rupere este mai mare decacirct

rezistenţa la rupere dată de punctul 119864 din diagrama caracteristică convenţională

Dificultatea obţinerii diagramei caracteristice reale faţă de cea a diagramei caracteristice

convenţionale şi considerarea unei rezistenţe la rupere mai mică decacirct a celei reale face

icircn practică utilizarea pe scară mare a diagramei caracteristice convenţionale

Caracteristicile mecanice determinate pe baza curbei caracteristice convenţionale

sunt şi ele caracteristici mecanice convenţionale

Caracteristicile mecanice convenţionale limita de proporţionalitate convenţională

120590119901 limita de elasticitate convenţională 120590119890 limita de curgere convenţională 120590119888 şi rezistenţa

de rupere 120590119903 constituie tensiuni limită pentru un material Pe baza acestor caracteristici

de material se alege valoarea tensiunii admisibile 120590119886 (vezi paragraful 35) pentru

calculele de rezistenţă Cea mai utilizată stare limită pentru stabilirea tensiunii admisibile

120590119886 este limita de curgere convenţională 120590119888

120590119886 =120590119897119894119898119888

=120590119888119888 119904119886119906 120590119886 =

120590119903119888 (447)

Caracteristicile mecanice ale materialului sunt influenţate de o serie de factori

temperatura viteza de solicitare factorii tehnologici iar valorile lor sunt date icircn tabele și

diagrame

Aplicaţie Pentru suprafaţa plană compusă din două dreptunghiuri avacircnd

dimensiunile din figura 49a să se calculeze

a) centrul de greutate al secțiunii compuse 119910119866 119911119866

b) momentele de inerție axiale 119868119911 119868119910 și momentul de inerție centrifugal 119868119911119910

c) razele de inerție 119894119911 119894119910

d) modulele de rezistență 119882119911119898119894119899 119882119911119898119886119909 119882119910119898119894119899 119882119910119898119886119909

e) momentele de inerție principale 1198681 1198682 și direcțiile principale de inerție 1205721

f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 119878119911

Fig 49 Aplicație

Rezolvare Pentru rezolvare vom parcurge următoarele etape

icircmpărțim suprafața compusă icircn două suprafețe simple (dreptunghiuri) notate cu

① și respectiv ② figura 49b

poziționăm centrele de greutate a celor două suprafețe simple ① și respectiv ②

notate cu 1198661 și respectiv 1198662 figura 49c

poziționăm sistemele de axe de coordonate 119911111986611199101 pentru dreptunghiul ① și

119911211986621199102 pentru dreptunghiul ② aflate la intersecția diagonalelor figura 49c

poziționăm sistemele de axe de coordonate 11991101198741199100 ales arbitrar față de care

determinăm poziția centrului de greutate 119866 figura 49c

a) calculăm poziția centrului de greutate folosind relațiile (46) icircn care

1198601 = 6119905 ∙ 119905 = 61199052 1198602 = 4119905 ∙ 119905 = 41199052 119860 = 1198601 + 1198602 = 61199052 + 41199052 = 101199052

iar centrele de greutate 1198661 și respectiv 1198662 au coordonatele (față de sistemul 11991101198741199100)

1198661 1199101 = 3119905 1199111 = 05119905

1198662 1199102 = 051199051199112 = 3119905

cu acestea obținem

119910119866 =1198601 ∙ 1199101 + 1198602 ∙ 1199102

119860=61199052 ∙ 3119905 + 41199052 ∙ 05119905

101199052=201199053

101199052= 2119905

119911119866 =1198601 ∙ 1199111 + 1198602 ∙ 1199112

119860=61199052 ∙ 05119905 + 41199052 ∙ 3119905

101199052=151199053

101199052= 15119905

Poziționăm centrul de greutate 119866 al suprafeței compuse figura 49c

Fig 49 Aplicație

b) pentru determinarea momentelor de inerție axiale 119868119911 119868119910 și a momentului de

inerție centrifugal 119868119910119911 determinăm constantele 1198881 1198882 1198891 1198892 care intervin icircn relația lui

Stainer

1198881 = 1199101 minus 119910119866 = 3119905 minus 2119905 = 119905 1198882 = minus(119910119866 minus 1199102) = minus(2119905 minus 05119905) = minus15119905

1198891 = minus(119911119866 minus 1199111) = minus(15119905 minus 05119905) = minus119905 1198892 = 1199112 minus 119911119892 = 3119905 minus 15119905 = 15119905

Folosind relațiile lui Stainer (429) (430) și (431) calculăm momentele de

inerție axiale și centrifugale față de sistemul central 119911119866119866119910119866

119868119911 =sum(119868119911119894 + 1198881198942 ∙ 119860119894) = 1198681199111 + 1198881

2 ∙ 1198601 + 1198681199112 + 11988822 ∙ 1198602

119868119910 =sum(119868119910119894 + 1198891198942 ∙ 119860119894) = 1198681199101 + 1198891

2 ∙ 1198601 + 1198681199102 + 11988922 ∙ 1198602

119868119911119910 =sum(119868119911119894119910119894 + 119888119894 ∙ 119889119894 ∙ 119860119894) = 11986811991111199101 + 1198881 ∙ 1198891 ∙ 1198601 + 11986811991121199102 + 1198882 ∙ 1198892 ∙ 1198602

1198681199111 = (119887 ∙ ℎ3

12) =

119905 ∙ (6119905)3

12= 181199054 1198681199112 = (

119887 ∙ ℎ3

12) =

4119905 ∙ 1199053

12= 031199054

1198681199101 = (1198873 ∙ ℎ

12) =

1199053 ∙ 6119905

12= 051199054 1198681199102 = (

1198873 ∙ ℎ

12) =

(4119905)3 ∙ 119905

12= 531199054

11986811991111199101 = 11986811991121199102 = 0 deoarece cele două triunghiuri au cel puțin o axă de simetrie

Cu acestea momentele de inerție axiale și momentul de inerție centrifugal devin

119868119911 = 181199054 + 1199052 ∙ 61199052 + 031199054 + (minus15119905)2 ∙ 41199052 = 3331199054

119868119910 = 051199054 + (minus119905)2 ∙ 61199052 + 531199054 + (15119905)2 ∙ 41199052 = 2081199054

119868119911119910 = 0 + 119905 ∙ (minus119905) ∙ 61199052 + 0 + (minus15119905) ∙ (15119905) ∙ 41199052 = minus151199054

c) razele de inerție sau de girație față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910

se calculează cu relațiile (411)

119894119911 = radic119868119911119860= radic

3331199054

101199052= 182119905 119894119910 = radic

119868119910

119860= radic

2081199054

101199052= 144119905

d) modulele de rezistență față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910 se

calculează cu relațiile (412) și (413)

Avacircnd icircn vedere figura 419c obținem

119910119898119886119909 = 6119905 minus 119910119866 = 6119905 minus 2119905 = 4119905 119910119898119894119899 = minus119910119866 = minus2119905

119911119898119886119909 = 5119905 minus 119911119866 = 5119905 minus 15119905 = 35119905 119911119898119894119899 = minus119911119866 = minus15119905

Se obține astfel

119882119911119898119894119899 =119868119911

|119910119898119886119909|=3331199054

4119905= 8331199053

119882119911119898119886119909 =119868119911

|119910119898119894119899|=3331199054

2119905= 16651199053

119882119910119898119894119899 =119868119910

|119911119898119886119909|=2081199054

35119905= 5941199053

119882119910119898119886119909 =119868119910

|119911119898119894119899|=2081199054

15119905= 13871199053

e) momentele de inerție principale 1198681 și respectiv 1198682 se calculează cu relațiile

(438)

11986812 =119868119911 + 119868119910

2plusmn1

2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)

2+ 4 ∙ (119868119911119910)

2=

=3331199054 + 2081199054

2plusmn1

2∙ radic(3331199054 minus 2081199054)2 + 4 ∙ (minus151199054)2 = 27051199054 plusmn 16251199054

De unde obținem

1198681 = 27051199054 + 16251199054 = 4331199054

1198682 = 27051199054 minus 16251199054 = 1081199054

Prima direcție principală de inerție 1 face cu axa centrală 119866119911 unghiul 1205721 dat de

relația (437)

1205721 =1

2∙ arctan (minus

2 ∙ 119868119911119910

119868119911 minus 119868119910) =

1

2∙ arctan [minus

2 ∙ (minus151199054)

3331199054 minus 2081199054] =33 70

Deoarece 1205721 gt 0 rotirea axelor se face acircn sens antiorar acelor de ceasornic figura

49d

Poziția axe principale 2 față de care momentul de inerție are valoarea minimă

1198682 = 119868119898119894119899 este dată de unghiul

1205722 = 1205721 + 900 = 33 70 + 900 = 123 70

f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 se determină cu relația

(45)

1198781199111198602 = 1198602 ∙ 1198882 = 41199052 ∙ (minus15119905) = minus61199053

din sarcini şi reacţiuni este cunoscut sub numele de forţe exterioare Sub acţiunea

forţelor exterioare elementele de rezistenţă trebuie să fie icircn echilibru

Forţele exterioare pot fi clasificate după următoarele criterii

a) după mărimea suprafeţei pe care se aplică

- forțe concentrate aplicate teoretic icircntr-un punct figura 25a

- forțe distribuite uniform sau cu intensitate variabilă icircn lungul barei sau pe o

suprafaţă figura 25bc şi d

- momente concentrate care acţionează icircntr-un punct M sau momente uniform

distribut pe o anumită lungime m

Fig 25 Tipuri de sarcini după mărimea suprafeţei de aplicare

b) după locul de aplicare se deosebesc

- forţe de suprafaţă sau de contur care sunt aplicate din exterior pe suprafaţa

corpurilor şi indică legătura cu piesele icircnvecinate

- forţe masice sau de volum distribuite icircn tot corpul (greutăţi forţe de inerţie

respectiv forţe electromagnetice)

c) după modul de acţiune icircn timp se disting

- forţe statice care se aplică lent şi progresiv pacircnă la valoarea nominală de lucru

şi apoi rămacircn constante figura 26a

- forţe dinamice care rezultă din

aplicarea cu icircntreaga intensitate de la icircnceputul perioadei de solicitare iar apoi forţa se

menţine constantă timp icircndelungat figura 26b (forţe de inerţie)

aplicarea bruscă a sarcinii asupra corpului durata de acţiune a sarcinii fiind mică figura

26c (forţe de şoc)

variaţia periodică icircn timp a intensităţii forţei aplicate figura 26d (forţe de oboseală)

Fig26 Tipuri de forţe exterioare (cicluri de solicitare)

Funcţie de modul de variaţie al forţelor exterioare solicitările pot fi statice

oscilante pulsante alternante etc Experimental s-a constatat că rezistenţa unui material

depinde foarte mult de modul de variaţie a forţelor icircn timp Bach a clasificat solicitările

icircn 3 categorii 1-solicitări statice 2-solicitări pulsante 3-solicitări alternant simetrice

Rezistenţa unui material este icircn raportul 321 pentru cele 3 cazuri de solicitare ale lui

Bach Aceasta icircnseamnă că o piesă solicitată static rezistă la o forţă de 3 ori mai mare

decacirct forţa maximă care produce ruperea aceleaşi piese solicitate alternant simetric

d) după poziţia icircn timp a forțelor se disting

- forţe fixe ale căror puncte de aplicaţie sunt mereu aceleaşi

- forţe mobile ale căror puncte de aplicaţie se deplasează icircn timp De exemplu

sarcinile produse de vehiculele care circulă pe un pod sarcinile unei grinzi de pod rulant

icircntr-o halăetc

24 Reazeme Forțe interioare Eforturi Diagrame de eforturi icircn barele

drepte

241 Reazeme Reacțiuni (forțe de legătură)

Pentru a prelua şi transmite acţiunea sarcinilor exterioare elementele de rezistenţă

din componenţa unei structuri sunt fixate icircntre ele prin intermediul unor legături

exterioare numite reazeme Aceste legături au ca scop icircmpiedicarea anumitor mişcări ale

corpului pe direcţiile pe care acestea nu trebuie să se producă O legătură are deci rolul

de a anula unul sau mai multe grade de libertate ale corpului icircn punctul de rezemare Dacă

este anulat un singur grad de libertate legătura este simplă iar dacă sunt impiedicate mai

multe grade de libertate legătura este una compusă Datorită existenţei sarcinilor

exterioare icircn punctele de rezemare pe direcţiile pe care mişcările sunt icircmpiedicate apar

forţe de legătură numite reacţiuni Numărul natura şi direcţiile reacţiunilor depind de

tipul reazemelor Icircn construcţiile reale există o varietate mare de realizare practică a

reazemelor dar icircn calcule se acceptă anumite schematizări care reţin doar aspectul esenţial

al unui reazem şi anume gradul sau gradele de libertate anulate

Pentru o structură de rezistenţă spaţială icircntr-un punct oarecare sunt posibile şase

deplasări trei deplasări liniare (după direcţiile axelor unui sistem ortogonal) şi trei rotiri

(deplasări unghiulare) icircn jurul aceloraşi axe Ca urmare ar fi posibil de realizat maximum

şase tipuri de reazem

Pentru un element de rezistenţă plan icircncărcat cu eforturi cuprinse icircn planul

elementului icircn orice punct sunt posibile trei gade de libertate două deplasări liniare şi o

rotiri Ca urmare pentru cazul unei bare plane se icircntacirclnesc următoarele tipuri de reazeme

1 Reazemul simplu sau reazemul mobil care icircmpiedică deplasarea pe o direcţie

normală pe suprafaţa de rezemare permiţacircnd deplasarea pe o direcţie paralelă cu

suprafaţa de rezemare şi rotirea barei icircn jurul unei axe perpendiculare pe plan icircn punctul

de rezemare Icircn urma icircmpiedicării deplasării şi datorită unor sarcini exterioare icircn

reazemul simplu apare o reacţiune de tip forţă a cărei suport trece prin punctul de

rezemare şi a cărei direcţie este perpendiculară pe suprafaţa de rezemare figura 27

Fig 27 Reazem simplu (mobil)

Icircn figura 27 este reprezentat un reazem mobil poziţionat pe capătul A al unei bare

plane orizontale fiind evidenţiate punctul şi suprafaţa de rezemare direcţia suportului

reacţiunii şi modul de schematizare al reazemului Cea mai des icircntacirclnită reprezentare a

reazemului mobil este a unui triunghi a cărui bază poate luneca pe suprafaţa de rezemare

2 Reazemul fix sau articulaţia icircmpiedică deplasările liniare după toate direcţiile

din planul barei permiţacircnd doar rotirea barei icircn jurul unei axe perpendiculare pe plan şi

care trece prin puncul de rezemare Reacţiunea este cuprinsă icircn planul barei care trece

prin punctul de rezemare dar a cărei mărime şi direcţie nu sunt cunoscute (forţa R)

figura 28

Fig 28 Reazem fix

Se preferă ca icircn locul unei forţe R avacircnd direcţia oarecare icircn plan necunoscută să

se introducă două forţe (HA şi VA) cărora li se cunoaşte direcţia şi pentru care se vor

determina modulele ca valori din condiţiile de echilibru static Icircntr-un reazem fix apar

icircntotdeauna reacţiuni atacirct pe direcţia perpendiculară pe suprafaţa de rezemare

(verticală) cacirct şi pe direcţia paralelă cu prima (orizontală) chiar dacă uneori una sau

chiar ambele reacţiuni au valoarea zero Reprezentarea schematică a articulaţiei este cea

a unui triunghi cu baza fixă şi cu vacircrful icircn punctul de rezemare sau cea a unui pendul

dublu figura 28

3 Icircncastrarea (sau icircnţepenirea) anulează toate gradele de libertate ale capătului

unei bare icircmpiedicacircnd deplasarea liniară după orice direcţie din plan precum şi rotirea

barei icircn jurul unei axe perpendiculare pe plan şi care trece prin punctul de icircncastrare

Urmare a existenţei sarcinilor exterioare şi a blocării deplasărilor icircn icircncastrare apare o

reacţiune căreia nu i se cunoaşte nici mărimea nici direcţia şi nici punctul de aplicaţie

figura 29

Fig 29 Icircncastrarea

Sub acţiunea forţelor exterioare un sistem este icircn echilibru Valoarea reacţinilor

se determină din condiţia de echilibru a sistemului solicitat

Este cunoscut faptul că un sistem plan este icircn echilibru dacă

nu se deplasează pe o direcţie (fie x această direcţie)

nu se deplasează pe o direcţie perpendiculară pe prima (fie y această direcţie)

nu se roteşte faţă de un punct al planului (fie K acest punct)

Cele trei condiţii enunţate mai sus sunt satisfăcute dacă suma proiecţiilor tuturor

forţelor pe direcţia x respectiv y este nulă şi suma tuturor momentelor (cuplurilor) faţă

de un punct al planului este nulă

242 Forțe interioare Metoda secțiunilor

Icircn vederea calculului de rezistenţă de rigiditate şi de stabilitate a barelor sau a

sistemelor de bare este necesară determinarea forţelor şi momentelor interioare

(eforturilor) care apar icircn secţiunile transversale ale acestora şi datorate icircncărcărilor

exterioare Forțele interioare indică legătura dintre particulele din interiorul corpului şi

se pun icircn evidenţă prin metoda secţiunilor care este un procedeu de raţionament

imaginar propus de Cauchy echivalent cu teoria echilibrului părţilor Conform acestui

raționament bdquodacă un corp solid deformabil este icircn echilibru sub acţiunea unui sistem

generalizat de forţe atunci după secționare fiecare parte a sa va fi icircn echilibru sub

acţiunea forţelor exterioare care-i revin şi a unui sistem de forţe pe care trebuie să-l

introducem icircn secţiunea ce delimitează fiecare parte echivalent cu acţiunea forţelor

aplicate pe partea icircndepărtatărdquo

Problemele care apar la aplicarea metodei secţiunilor sunt

- să pună icircn evidenţă existenţa forţelor interioare mai ales că din ceea ce se ştie o

forţă apare icircn prezenţa a două corpuri ca urmare a principiului acţiunii şi reacţiunii

- să explice modul de distribuţie al forţelor interioare pe secţiune

Considerăm un corp aflat icircn echilibru sub acţiunea unui sistem de forţe exterioare

1 2 3⋯119894 ⋯ 119899minus1 119899 şi presupunem că-l secţionăm cu un plan transversal Q (sau cu

o suprafaţă oarecare) figura 210a Icircn urma secţionării fictive (imaginare) conform

principiului echilibrului părţilor fiecare din cele două părţi obţinute trebuie să fie icircn

echilibru sub acţiunea forţelor exterioare care le revin şi a cacircte unui sistem de forţe

interioare pe care trebuie să-l introducem icircn secţiunile rezultate sistem echivalent cu

acţiunea forţelor exterioare ce acţionează asupra celeilalte părţi Astfel pe partea din

dreapta (notată cu II) delimitată de secţiunea de arie Ad sunt aplicate forţele exterioare

119894 ⋯ 119899minus1 119899 şi un sistem de forţe interioare căruia nu i se cunoaşte decacirct efectul acelaşi

cu cel al forţelor 1 2 3 de pe parea din stacircnga (notată cu I şi delimitată de secţiunea

de arie As) figura 210b Prin metoda secţiunilor am reuşit să punem icircn evidenţă existenţa

forţelor interioare şi să le trecem icircn categoria celor exterioare cărora le putem aplica

relaţiile de echivalenţă şi de echilibru cunoscute din statică Ideal ar fi să cunoaştem

distribuţia şi intensitatea punctuală a acestor forţe pentru că s-ar putea ca icircn anumite

puncte ale secţiunii valoarea forţelor să depăşească limita de rezistenţă (limita de curgere)

a materialului Cunoaşterea distribuţiei punctuale a forţelor interioare nu se poate realiza

decacirct icircn cazuri particulare relativ simple de solicitare

Să considerăm partea din dreapta a corpului asupra căreia acționează forțele

119894 ⋯ 119899minus1 119899 mărginit de aria Ad pe care acționează un sistem de forțe interioare

echivalent cu 1 2 3 Deși forțele interioare de pe Ad nu se cunosc totuși efectul lor

este același cu cel al forțelor 1 2 3 deci le putem reduce icircn centrul de greutate C al

secțiunii Ad rezultacircnd componentele torsorului de reducere al forțelor interioare

(119894119889 119894119889) și pentru partea din stacircnga (119894119904 119894119904) Evident conform principiului acțiunii și

reacțiunii

119894119889 = minus119894119904

119894119889 = minus119894119904 (21)

Pe de altă parte cum fiecare dintre părțile corpului după secționare trebuie să fie

icircn echilibru sub acțiunea forțelor exterioare care le revin și a forțelor interioare introduse

rezultă

119894119889 = minus119890119889

119894119889 = minus119890119889

119894119904 = minus119890119889

119894119904 = minus119890119904 (22)

Combinacircnd (21) cu (22) rezultă

119894119889 = 119890119889

119894119889 = 119890119889

119894119904 = 119890119904

119894119904 = 119890119904 (23)

Fig 210 Forțe interioare

Relațiile (22) și (23) permit determinarea componentelor torsorului de reducere

al forțelor interioare din (23) rezultă componentele torsorului forțelor interioare care

acționează icircn secțiunea Ad sunt egale cu componentele torsorului de reducere al forțelor

exterioare de pe partea din stacircnga din (22) rezultă componentele torsorului forțelor

interioare care acționează icircn secțiunea Ad sunt egale și de sens contrar cu componentele

torsorului de reducere al forțelor exterioare de pe partea din dreapta

Observații

1 Torsorul forțelor interioare diferă de la o secțiune la alta dar pentru aceeași

secțiune el este unic și trebuie să respecte condițiile de compatibilitate a deformațiilor

2 Reducacircnd forțele interioare icircn centrul de greutate al secțiunii s-a făcut o

aproximare icircn ceea ce privește efectul modului de dispunere al forțelor

3 Punctul de reducere trebuie să fie

pentru forțele interioare normale la secțiune centrul de greutate

pentru forțele interioare tangente la planul secțiunii centrul de răsucire sau de

tăiere

243 Eforturi

Prin metoda secțiunilor am pus icircn evidență existența forțelor interioare și modul

icircn care se determină componentele torsorului de reducere al forțelor interioare (119894119889 119894119889) de pe fața din dreapta secțiunii (Ad) Cele două componente ale torsorului de reducere al

forțelor interioare de pe Ad se pot descompune după axele unui sistem de referință

triortogonal xCyz astfel

119894119889 = +

119894119889 = 119909 +119872119894 (24)

unde și 119909 sunt proiecțiile lui 119894119889 și respectiv 119894119889 pe axa longitudinală Cx a

barei iar și 119894 sunt proiecțiile acelorași componente 119894119889 și respectiv 119894119889 pe planul yCz

al secțiunii transversale Ad figura 211

Fig 211 Torsorul de reducere al forţelor interioare

La racircndul lor și 119894 se pot descompune după axele sistemului yCz figura 212

= 119910 + 119911

119894 = 119894119910 + 119894119911 (25)

Fig 212 Descompunerea forţei tăietoare şi a momentului icircncovoietor

Cele șase componente ale torsorului de reducere al forțelor interioare ( 119910 119911

119909 119894119910 119894119911) orientate după axele sistemului de referință xCyz se numesc eforturi

Fiecare efort are o denumire stabilită icircn funcție de tipul de deformație pe care-l produce

De asemenea semnul plus (bdquo+rdquo) sau minus (bdquondashrdquo) al fiecărui efort nu depinde de sensul

pozitiv sau negativ al sistemului de axe ci doar de efectul icircn deformații al fiecărui efort

Denumirile celor șase eforturi sunt

119873 este forța axială

119879119910 119879119911 sunt forțe tăietoare orientate după axele Cy și respectiv Cz

119872119909 notat de cele mai multe ori cu 119872119905 este moment de torsiune sau de răsucire

119872119894119911 119872119894119910 sunt momente de icircncovoiere icircn jurul axei Cz și respectiv Cy

Forța axială 119873 poate fi forță axială de icircntindere cacircnd produce o lungire a

tronsonului pe a cărei față acționează (119873 gt 0) figura 213a sau forță axială de

compresiune cacircnd sub efectul ei bara se scurtează (119873 lt 0) figura 213b

Fig 213 Forța axială

Forțele tăietoare 119879119910 și 119879119911 au ca efect lunecarea secțiunii icircn centrul căreia

acționează icircn raport cu secțiunea icircnvecinată lunecare ce se produce pe direcția și icircn sensul

forței Sub acțiunea unei forțe tăietoare bara este solicitată la forfecare Forța tăietoare

este pozitivă 119879119910 gt 0 dacă icircn raport cu un punct oarecare K de pe axa Cx a barei tinde să

rotească secțiunea pe care acționează icircn sens orar

Fig 214 Forța tăietoare

Momentele de icircncovoiere 119872119894119911 și 119872119894119910 au ca efect o rotire a secțiunii icircn centrul

cărora acționează icircn jurul axei după care sunt orientate Icircn figura 215a se vede că

datorită momentului 119872119894119911 fibrele de deasupra axei Cz se alungesc icircn timp ce fibrele de sub

axa Cz se scurtează Fibrele care trec prin axa de icircncovoiere Cz nu se deformează sunt

fibre neutre la icircncovoiere adică axa neutră este Cz Icircn cazul momentului de icircncovoiere

119872119894119910 fibrele care nu se deformează sunt cele care trec prin axa neutră la icircncovoiere Cy

Momentele de icircncovoiere se consideră a fi pozitive (119872119894119911 gt 0119872119894119910 gt 0) dacă

observatorul care privește bara deformată vizualizează fibrele icircntinse

Fig 215 Momentul icircncovoietor

Momentul de torsiune sau de răsucire 119872119909 equiv 119872119905 are ca efect o rotire a secțiunii

icircn al cărei centru acționează icircn jurul axei longitudinale Cx Ca efect secțiunea icircși schimbă

forma (se deformează) adică unghiurile inițiale se modifică dreptunghiul inițial Ad

devine paralelogram Convențional se consideră 119872119905 gt 0 dacă vectorul moment are

aceeași orientare ca și sensul pozitiv ales pextru axa Cx Icircn figura 216 momentul este

negativ

Fig 216 Momentul de torsiune

25 Definiții și convenții de semne pentru eforturile

din secțiunile unei bare drepte plane icircncărcate cu sarcini coplanare

Vom considera o bară plană icircncărcată cu un sistem de forțe arbitrar figura 217

Ne propunem să determinăm eforturile care apar icircn secțiunea barei aflată la distanța 119909 de

reazemul din stacircnga (A)

Pentru aceasta vom aplica metoda secțiunilor vom secționa bara cu un plan

perpendicular pe axa longitudinală a barei și vom analiza doar partea din dreapta secțiunii

mărginită de fața Ad Pentru ca această porțiune de bară să fie icircn echilibru sub acțiunea

forțelor exterioare care acționează asupra sa 1198653 și 119881119861 va trebui să introducem icircn centrul

secțiunii Ad eforturile care pot să apară 119873 119879119910 119872119894119911 Acțiunea acestor eforturi trebuie să

fie echivalentă cu acțiunea forțelor exterioare aplicate pe partea icircnlăturată (parcursă) a

barei 119867119860 119881119860 1198651 1198652 1198720

Deoarece bara este plană și este icircncărcată doar cu sarcini ce aparțin

planului barei

icircn secțiunea Ad apar doar 3 componente ale torsorului de reducere al forțelor

interioare (eforturi)

- 119873 = forța axială

- 119879119910 = forța tăietoare pe care o vom nota cu 119879

- 119872119894119911 = momentul icircncovoietor notat cu Mi

Fig 217 Bară plană icircncărcată cu un sistem de forțe

Vom prezenta următoarele definiții corespunzătoare eforturilor din secțiunea Ad

119873 = forța axială dintr-o secțiune este egală cu suma algebrică a proiecțiilor pe

axa longitudinală a tuturor forțelor exterioare (sarcini și reacțiuni) aplicate pe partea

din stacircnga secțiunii adică pe porțiunea parcursă Forța axială 119873 este pozitivă dacă trage

de tronsonul pe a cărei față acționează (are orientarea normalei exterioare la secțiunea

Ad)

119873(119909) = minus119867119860 + 1198651119867 (26)

119879 = forța tăietoare icircntr-o secțiune este egală cu suma algebrică a proiecțiilor

pe o axă perpendiculară pe axa barei a tuturor forțelor exterioare (sarcini și reacțiuni)

aplicate pe porțiunea de bară aflată icircn stacircnga secțiunii considerate Forța tăietoare 119879

este pozitivă dacă tinde să rotească tronsonul pe a cărui față acționează icircn sens orar icircn

raport cu un punct de pe axa barei aflat la dreapta secțiunii

119879(119909) = 119881119860 minus 1198651119881 minus 1198652 (27)

119872119894 = momentul icircncovoietor icircntr-o secțiune este egal cu suma algebrică a

momentelor obținute prin reducerea tuturor forțelor exterioare ( cupluri sarcini

reacțiuni) aplicate pe porțiunea de bară aflată la stacircnga secțiunii icircn centrul secțiunii

considerate 119872119894 este considerat pozitiv dacă tinde să deformeze bara astfel icircncacirct fibrele

spre care privește un observator să fie icircntinse Cum poziția observatorului este de regulă

sub bară bara se deformează dacă 119872119894 gt 0 astfel icircncacirct partea jos a barei este icircntinsă Se

spune că bara deformată rdquoține apaldquo

119872119894(119909) = 119881119860 ∙ 119909 minus 1198651119881 ∙ (119909 minus 1198971) minus 1198652 ∙ [119909 minus (1198971 + 1198972)] + 1198720 (28)

Sensurile pozitive ale eforturilor care apar icircn centrul secțiunii Ad (deci atunci cacircnd

sensul de parcurs la aplicarea metodei secțiunilor este cel de la stacircnga la dreapta) sunt

indicate icircn figura 218a iar dacă sensul de parcurs este de la dreapta la stacircnga sensurile

pozitive ale eforturilor sunt indicate icircn figura 218b

Fig 218 Convenţia de semne

Definiții asemănătoare se pot da și pentru eforturile din centrul secțiunii As figura

218b adică pentru cazul icircn care sensul de parcurs este cel de la dreapta la stacircnga și deci

partea luată icircn considerare este cea din stacircnga iar partea parcursă din dreapta secțiunii

este icircnlăturată

119873(1199091) = 1198653119867

119879(1199091) = 1198653119881 minus 119881119861

119872119894(1199091) = 119881119861 ∙ 1199091 minus 1198653119881 ∙ (1199091 minus 1198975)

(29)

Avacircnd icircn vedere că fețele Ad și As aparțin aceleeași secțiuni este evident faptul că

eforturile 119873(119909) 119879(119909) și 119872119894(119909) sunt identice cu eforturile 119873(119961120783) 119879(119961120783) și respectiv

119872119894(119961120783) Icircn figura 218c se prezintă o sinteză a convențiilor de semne pozitive pentru cele

3 eforturi atacirct pentru sensul de parcurs de la stacircnga la dreapta (secțiunea Ad) cacirct și pentru

sensul invers (secțiunea As)

Semnele eforturilor sunt importante icircntrucacirct există materiale cu comportări diferite

la icircntindere față de compresiune iar o schimbare a semnului unui efort poate produce

erori grave icircn calcule Semnele eforturilor au fost stabilite icircn funcție de deformațiile

produse și nu depind de sensul axelor sistemului de coordonate

26 Relaţii diferenţiale icircntre eforturi şi sarcini

Pentru a vedea ce legătură există icircntre eforturi și sarcini vom considera o bară

dreaptă icircncărcată cu o sarcină distribuită după o lege oarecare figura 219a Din această

bară vom decupa prin dublă secționare un element de lungime infinit mică 119889119909 Deoarece

lungimea 119889119909 este foarte mică se poate considera sarcina 119901 uniform distribuită Icircn

secțiunile rezultate trebuie să introducem eforturile care pot apărea

- 119879 şi 119872119894 icircn centrul secțiunii din sticircnga eforturi pe care le considerăm pozitive

- 119879 + 119889119879 şi 119872119894 + 119889119872119894 icircn centrul secțiunii din dreapta elementului

Aceste eforturi au o variație mică (119889119879 şi 119889119872119894) față de secțiunea anterioară Spre

deosebire de cazul icircn care bara este secționată o singură dată icircn acest caz eforturile nu

pot fi determinate din cele 2 condiții de echilibru independente deoarece icircn ecuațiile de

echilibru apar 4 necunoscute 119879 119889119879119872119894 și 119889119872119894 deci că problema este dublu static

nedeterminată figura 219

Fig 219 Echivalența icircntre eforturi și sarcini

Ecuațiile de echilibru scrise pentru elementul din figura 219b conduc la stabilirea

unor relaţii foarte importante

(sum119865)119910= 0 hArr 119879 minus 119901 ∙ 119889119909 minus (119879 + 119889119879) = 0 rArr

119889119879

119889119909= minus119901 (210)

Relația (210) arată că derivata funcţiei forţei tăietoare icircn raport cu abscisa

secţiunii este egală cu sarcina distribuită normală la axa barei din acea secţiune luată

cu semn schimbat

Observații

dacă 119901 = 0 nu există sarcină distribuită atunci forța tăietoare T este constantă

icircnclinarea pantei diagramei forței 119879 este egală cu (ndash 119901) (sarcina distribuită cu

semn schimbat)

dacă 119901 = 119888119900119899119904119905 119879 variază liniar pe acel interval

Asemănător se deduce că derivata funcţiei forţei axiale icircn raport cu abscisa

secţiunii este egală cu sarcina distribuită axială din acea secţiune luată cu semn

schimbat adică

119889119873

119889119909= minus119901119867 (211)

Din condiția de echilibru suma de momente faţă de centrul de greutate al secţiunii

din dreapta

(sum119872)119862= 0 hArr 119872119894 minus (119872 + 119889119872119894) + 119879 ∙ 119889119909 minus 119901 ∙

(119889119909)2

2= 0 rArr

119889119872119894

119889119909= 119879 (212)

Relația (212) s-a obținut dupa reducerea termenilor și prin neglijarea infinitului

mic de ordinul 2

119901 ∙(119889119909)2

2

Relația (212) arată că derivata funcţiei moment icircncovoietor icircn raport cu abscisa

secţiunii este egală cu forţa tăietoare din acea secţiune

Observații

dacă 119879 = 0 momentul 119872119894 are un punct de extrem se obține o valoare maximă

pentru 119872119894119898119886119909 dacă forța tăietoare 119879 se anulează trecacircnd de la plus icircn stacircnga la minus icircn

dreapta secțiunii

dacă forța tăietoare este pozitivă pe un interval 119879 gt 0 atunci 119872119894 este crescătoare

pe acel interval

dacă forța tăietoare este negativă pe un interval 119879 lt 0 atunci 119872119894 este

descrescătoare pe acel interval

dacă pe un interval 119901 = 0 forța tăietoare este constantă 119879 = 119888119905 iar 119872119894 variază

liniar pe acel interval

dacă 119901 = 119888119900119899119904119905 119879 variază liniar pe acel interval iar 119872119894 variază parabolic pe

acel interval

Relaţiile diferenţiale sunt utile la reprezentarea corectă şi verificarea diagramelor

de eforturi astfel

pentru porţiunile de grindă pe care p = 0 eforturile N şi T sunt constante iar pe

porţiunile cu p = const eforturile N şi T variază liniar (relaţiile 211 şi 210)

dacă pe o porţiune T = const momentul icircncovoietor Miz variază liniar iar dacă

T variază liniar atunci momentul Miz variază parabolic (relaţia 212)

pe domeniile pe care T gt 0 funcţia Mi(x) este crescătoare iar icircn secţiunea icircn

care T = 0 (graficul funcţiei T intersectează axa x) momentul icircncovoietor are un punct

de extrem local (maxim sau minim relaţia 212)

Pentru rezolvarea problemelor referitoare la trasarea diagramelor de eforturi

pentru barele drepte solicitate de sisteme de forţe plane se parcurg următoarele etape

1) identificarea forţelor aplicate (date) şi pregătirea lor pentru calcule

(descompunerea forţelor concentrate pe direcţiile x şi y calculul rezultantelor forţelor

distribuite)

2) identificarea reazemelor şi introducerea reacţiunilor corespunzătoare (vezi

figurile 27divide29)

3) stabilirea ecuaţiilor de echilibru static calculul şi verificarea reacţiunilor Icircn

rezistența materialelor se folosește sistemul de ecuații (vezi figura 217)

(sum119865)

119909= 0

(sum119872)119860= 0

(sum119872)119861= 0

(213)

4) identificarea domeniilor de variaţie şi scrierea funcţiilor de eforturi pentru N T

şi Mi

5) reprezentarea grafică a diagramelor de eforturi

6) verificarea corectitudinii diagramelor pe baza relaţiilor diferenţiale icircntre eforturi

şi sarcini

Aplicație Pentru grinda dreaptă icircncărcată cu sistemul de forţe reprezentat icircn figura

220 se cere

a) să se calculeze şi să se verifice reacţiunile

b) să se stabilească funcţiile eforturilor Nx Ty şi Miz şi să se reprezinte diagramele

de variaţie

c) să se analizeze relaţiile diferenţiale icircntre eforturi şi sarcini

Dimensiunile grinzii au valorile a = 6 [m] b = 4 [m] și c = 4[m] sistemul de

forţe aplicat fiind format din p = 10 [kN mfrasl ] F = 20 [kN] (icircnclinată cu unghiul α =300 faţă de orizontală) şi M0 = 40 [kN ∙ m]

Rezolvare

a) Se fac următoarele precizări

grinda dreaptă se reprezintă prin axa geometrică

forţa icircnclinată F se descompune după direcţiile orizontală şi verticală icircn FV =F ∙ sin α = 10 [kN] şi FH = F ∙ cos α = 173 [kN]

forţa distribuită uniform p este echivalentă din punct de vedere static cu

rezultanta sa R = p ∙ a = 60 [kN] care acţionează la jumătatea porţiunii de lungime a

icircn reazemele 119860 şi 119861 se introduc componentele HA şi VA respectiv VB ale

reacţiunilor

Pentru calculul reacţiunilor se utilizează ecuaţiile de echilibru static al grinzii

sumXi = 0 HA minus FH = 0 sumYi = 0 VA + VB minus R minus FV = 0 (sumM)B = 0 VA ∙ (b + a) minus R ∙ (b + 05 ∙ a) minus M0 + FV ∙ c = 0

(A1)

Din prima ecuaţie se obţine HA iar din cea de-a treia ecuaţie rezultă VA

HA = FH = 173 [kN]

VA =[R ∙ (b + 05 ∙ a) + M0 minus FV ∙ c]

(b + a)=[60 ∙ (4 + 05 ∙ 6) + 40 minus 10 ∙ 4]

(4 + 6)

VA = 42 [kN]

(A2)

Fig 220 Aplicație

Se observă că cea de-a doua ecuaţie de echilibru conţine două necunoscute

reacţiunile VA şi VB Pentru a calcula componenta VB nu este indicată introducerea lui VA

icircn cea de-a doua ecuaţie a sistemului (A1) pentru că o valoare determinată greşit pentru

VA conduce la o valoare VB de asemenea greşită O ecuaţie independentă din care se poate

determina componenta VB este următoarea

(sumM)A= 0 FV ∙ (a + b + c) minus VB ∙ (a + b) minus M0 + R ∙ 05 ∙ a = 0 (A3)

de unde se obţine

VB =[FV ∙ (a + b + c) minusM0 + R ∙ 05 ∙ a]

(b + a)=[10 ∙ (6 + 4 + 4) minus 40 + 60 ∙ 05 ∙ 6]

(6 + 4)

VB = 28 [kN] (A4)

Ecuaţia de proiecţii ale forţelor pe direcţia verticală (a doua ecuaţie din sistemul

A1) se utilizează pentru verificarea reacţiunilor deja determinate

VA + VB minus R minus FV = 0 rArr 42 + 28 minus 60 minus 10 = 0 (A5)

Ultima egalitate demonstrează că reacţiunile verticale au fost calculate corect

Din cele de mai sus rezultă ordinea firească pentru determinarea reacţiunilor icircn

cazul grinzilor simplu rezemate

sumXi = 0

(sumM)A = 0

(sumM)B = 0

(A6)

iar pentru verificarea componentelor verticale VA şi VB se folosește ecuaţia sumY = 0

b) La stabilirea funcţiilor de eforturi se parcurg icircn general etapele următoare

se notează (numeric sau literal după preferinţă) secţiunile care delimitează

domeniile (intervalele sau tronsoanele) pe care eforturile nu-şi modifică funcţiile (au legi

unice de variaţie)

pe fiecare domeniu se marchează secţiunea imaginară icircn care se stabilesc

funcţiile eforturilor

secţiunea astfel aleasă separă icircn două părţi grinda şi anume porţiunea din stacircnga

şi porţiunea din dreapta secţiunii

se va considera parcursă (şi icircndepărtată) acea parte pe care acţionează mai puţine

sarcini exterioare pentru că acestea vor interveni icircn expresiile funcţiilor de eforturi

poziţiile secţiunilor imaginare se vor determina prin variabilele x1 ⋯ xn (unde

n reprezintă numărul domeniilor de variaţie) cu originea fixată icircn capătul intervalului şi

sensul de parcurgere spre partea considerată rămasă

Grinda prezentată icircn figura 220 are trei domenii de variaţie pentru funcţiile de

eforturi după cum urmează (A-1) (2-B) şi (B-1)

Domeniul (A-1) x1 isin [0 a = 6 m] Porţiunea parcursă şi considerată icircndepărtată este cea de coordonată x1 pe care

acţionează reacţiunile HA şi VA precum şi rezultanta parţială a sarcinii distribuite R1 =p ∙ x1

Funcţia forţă axială Nx are expresia

Nx(x1) = NAminus1 = minusHA = minus173 [kN] = const

(A7)

Funcţia forţă tăietoare Ty are exspresia

Ty(x1) = TAminus1 = VA minus R1 = VA minus p ∙ x1 (A8)

care reprezintă o variaţie liniară de variabilă x1 Se calculează valorile forţei tăietoare la

limitele intervalului de variaţie

- pentru x1 = 0 Ty(x1 = 0) = TA = VA = 42 [kN]

- pentru x1 = a = 6 [m] Ty(x1 = 6) = T1 = VA minus p ∙ a = minus18 [kN]

Observaţie Aşa cum a fost stabilită secţiunea fictivă poziţionată prin coordonata

x1 sar părea că rezultanta R ar trebui luată icircn calculul lui Ty(x1) Acest lucru ar fi greşit

pentru că R = p ∙ a reprezintă rezultanta sarcinii distribuite pe toată lungimea a iar

rezultanta pe porţiunea parcursă de lungime x1 este R1 = p ∙ x1 ne R = p ∙ a

Cu valorile obţinute se trasează diagramele forţelor axială Nx = f(x) şi tăietoare

Ty = f(x) figura 220 Din diagrama forţei tăietoare şi din valorile obţinute analitic se

observă că forţa tăietoare icircşi schimbă semnul pe intervalul analizat deci se anulează pe

acest interval Poziţia secţiunii unde Ty se anulează se determină din ecuaţia

Ty(x1) = 0 rArr VA minus p ∙ x1 = 0 (A9)

cu soluţia x1lowast = ξ = 42 [m] Important de reamintit că icircn această secţiune momentul

icircncovoietor va avea un extrem local adică Miz are un extrem la Ty = 0

Funcţia moment icircncovoietor Miz are expresia

Miz(x1) = VA ∙ x1 minus R1 ∙x12= VA ∙ x1 minus (p ∙ x1) ∙

x12

(A10)

Se observă că funcţia moment icircncovoietor de variabilă x1 are o variaţie parabolică

(gradul al II-lea) Pentru reprezentarea grafică a funcţiei parabolice se calculează valorile

momentului icircncovoietor icircn trei secţiuni

- pentru x1 = 0 Miz(x1 = 0) = MA = 0 [kN ∙ m] - pentru x1 = a = 6 [m] Miz(x1 = 6) = M1 = 72 [kN ∙ m] - pentru x1

lowast = ξ = 42 [m] Miz(x1lowast = ξ = 42 [m]) = Mimax = 882 [kN ∙ m]

Cu acestea se trasează diagrama Miz = f(x) pe intervalul (A-1) figura 220

Observaţie Icircn unele cazuri pe un anumit interval forţa tăietoare nu se anulează

şi momentul icircncovoietor nu are un extrem local Icircn acest caz pentru reprezentarea

variaţiei parabolice a momentului icircncovoietor se va studia semnul derivatei a doua a

funcţiei Miz = f(x1) acesta determinacircnd convexitatea curbei momentului icircncovoietor

Domeniul (2-B) x2 isin [0 c = 4 m] Porţiunile din grindă libere (nerezemate) la un capăt se numesc console iar

stabilirea funcţiilor de eforturi devine mai simplă dacă se consideră icircndepărtată partea din

dreapta secţiunii prin schimbarea sensului pozitiv al axei x Astfel se obţin funcţiile eforturilor

Funcţia forţă axială Nx are expresia

Nx(x2) = N2minusB = minusFH = minus173 [kN] = const

(A11)

Funcţia forţă tăietoare Ty are exspresia

Ty(x2) = T2minusB = FV = 10 [kN] = const (A12)

Funcţia moment icircncovoietor Miz are expresia

Miz(x2) = minusFV ∙ x2 rArr Miz(x2 = 0) = M2 = 0 [kN ∙ m]

Miz(x2 = 4) = MB = minus40 [kN ∙ m] (A13)

variaţie liniară (gradul I)

Domeniul (B-1) x3 isin [0 b = 4 m] Pe acest domeniu se acceptă parcurgerea grinzii de la dreapta adică se consideră

icircndepărtată partea din dreapta secţiunii fictive pentru că are doar două sarcini aplicate F

şi VB faţă de partea din stacircnga secţiunii pe care sunt aplicate trei sarcini p VA şi M0

Astfel se obţin funcţiile eforturilor

Funcţia forţă axială Nx are expresia

Nx(x3) = NBminus1 = minusFH = minus173 [kN] = const

(A14)

Funcţia forţă tăietoare Ty are exspresia

Ty(x3) = TBminus1 = FV minus VB = minus18 [kN] = const (A15)

Funcţia moment icircncovoietor Miz are expresia

Miz(x3) = minusFV ∙ (x3 + c) + VB ∙ x3 rArr

rArr Miz(x3 = 0) = MB = minus40 [kN ∙ m]

Miz(x3 = 4) = M1 = 32 [kN ∙ m]

(A16)

variaţie liniară (gradul I)

Diagramele eforturilor sunt prezentate icircn figura 220

c) Relaţiile diferenţiale dintre eforturi şi sarcini se analizează pe diagramele

eforturilor după cum urmează

sarcina distribuită nu are componentă orizontală adică ph = 0 şi icircn

conformitate cu formula (211) rezultă că Nx = const pe toată lungimea grinzii fapt care

a rezultat din funcţia şi reprezentarea diagramei forţei axiale

pe intervalul (A-1) sarcina distribuită are doar componenta verticală pozitivă

pV = p gt 0 prin urmare forţa tăietoare scade (are panta negativă dTy 119889119909frasl = minusp vezi

relaţia 210) iar momentul icircncovoietor avacircnd derivata a doua negativă d2M119894119911 1198891199092frasl =minuspare convexitatea curbei orientată spre sensul pozitiv al axei momentului Miz adică icircn

jos

pe domeniile (2-B) şi (B-1) deoarece pv = 0 forţa tăietoare Ty este constantă

iar momentul icircncovoietor Miz variază liniar

referitor la relaţia (212) pe porţiunile unde Ty gt 0 momentul Miz este

monoton crescător pe porţiunile unde Ty lt 0 momentul Miz este monoton descrescător

iar icircn secţiunea icircn care Ty = 0 momentul icircncovoietor are un extrem local Mξ =

882 [kN ∙ m] icircn diagrama forţei tăietoare discontinuităţile (salturile) se produc icircn secţiunile

unde acţionează VA VB şi FV iar icircn diagrama momentului icircncovoietor se produce un

singur salt icircn secţiunea icircn care este aplicat M0

se poate scrie

Mξ = suprafața diagramei Ty |ξ0=1

2∙ 42 ∙ 42 = 882 [kN ∙ m]

sau parcurgacircnd grinda de la dreapta la stacircnga rezultă

MB = minussuprafața diagramei Ty |c0= minus10 ∙ 4 = minus40 [kN ∙ m]

Toate aspectele analizate teoretic referitoare la relaţiile diferenţiale dintre eforturi

şi sarcini se regăsesc icircn diagramele de eforturi din figura 220 ceea ce icircnseamnă că

diagramele au fost reprezentate corect

3 TENSIUNI DEPLASĂRI ŞI DEFORMAŢII SPECIFICE

31 Tensiuni

Eforturile obținute icircn urma reducerii forțelor interioare icircn centrul de greutate al

secțiunii nu pot da informații asupra solicitării fiecărui punct al secțiunii respective Este

necesar să se cunoască modul cum se distribuie forțele interioare icircn fiecare punct al

secțiunii pentru a ști care este intensitatea maximă a solicitării Această intensitate

maximă se poate compara cu o valoare critică specifică materialului stabilindu-se astfel

dacă solicitarea este periculoasă sau nu

Mărimea care caracterizează solicitarea locală punctuală o vom denumi tensiune

și o vom defini icircn cele ce urmează Să considerăm partea din dreapta a unui corp solicitat

de forțele exterioare 1198651 1198652 și 1198653 obținută prin secționarea corpului și mărginită de fața

din dreapta Ad a secțiunii Pe secțiunea Ad vom considera un element de arie infinit mic

∆119860 caracterizat de normala la elementul de arie normală care are cosinușii directori

120573 și icircn raport cu un sistem de axe considerat fix Pe elementul infinit mic ∆119860 acționează

forțele interioare care au o rezultantă oarecare figura 31

Prin definiție tensiunea totală este

= lim∆119860rarr0

∆

∆119860 (31)

Tensiunea are aceeaşi direcţie cu forţa elementară ∆ iar mărimea ei este

determinată atacirct de mărimea forţei ∆ cacirct şi de orientarea suprafeţei ∆119860 faţă de direcţia

forţei

Tensiunea 119901 poate fi descompusă icircntr-o componentă orientată după direcţia

normalei la secţiune tensiunea normală notată cu 120590119909 şi o componentă icircn planul secţiunii

tensiunea tangenţială notată cu figura 32

= 119909 + 120591 (32)

Fig 31 Tensiunea totală Fig 32 Tensiunea normală și tangențială

La racircndul ei componenta tensiunii cuprinsă icircn planul secțiunii poate fi

descompusă după direcțiile axelor y și z

120591 = 120591119909119910 + 120591119909119911 (33)

Icircntre cele trei componente ale tensiunii totale care acționează pe elementul de arie

∆119860 este valabilă relația

1199012 = 1205901199092 + 120591119909119910

2 + 1205911199091199112 (34)

După sensul pe care icircl are tensiunea normală 120590 poate avea efect de tracţiune sau

de compresiune exercitat de către partea de corp icircnlăturată asupra părţii rămase Analog

tensiunea tangenţială 120591 poate avea efect de tăiere forfecare sau alunecare Pentru

componentele tensiunii tangențiale 120591119909119910 pe direcţia 119910 respectiv 120591119909119911 pe direcţia 119911 primul

indice indică axa pe care tensiunea este normală iar cel de-al doilea indice indică axa cu

care aceasta este paralel

Tensiunea este o mărime tensorială valoarea ei depinzacircnd atacirct de poziția

punctului icircn planul secțiunii cicirct și de orientarea planului de secționare deci de normala

Operaţiile vectoriale nu pot fi aplicate tensiunilor decacirct după ce acestea au fost icircnmulţite

cu ariile respective adică au fost transformate icircn forţe

Icircn literatura de specialitate mai ales icircn manualele mai vechi pentru noţiunea de

tensiune se mai foloseşte şi denumirea de efort specific

Dacă se consideră un alt element de arie ∆119860 cu centrul icircn același punct avacircnd ca

normală axa 119910 se vor obține alte tensiuni și anume

- 120590119910 este tensiunea normală (paralelă cu axa y)

- 120591119911119909 și 120591119910119911 sunt tensiuni tangențiale paralele cu axele 119909 și respectiv 119911 aflate icircn

planul care are ca normală axa 119910

Dacă icircn jurul unui punct dintr-un corp solicitat se consider un element de volum

infinit mic de forma unui cub icircn cazul cel mai general pe fețele sale vor acționa

tensiunile normale 120590119909 120590119910 și 120590119911 și respectiv tensiunile tangențiale 120591119909119910 120591119909119911 120591119910119909 120591119910119911 120591119911119909

și respectiv 120591119911119910 figura 33 Aceste tensiuni definesc starea de tensiune a punctului

observacircnd faptul că tensorul tensiune are 9 componente Dacă se consideră elementul

de volum finit ca fiind foarte mic se poate presupune că icircn interiorul său nu apar forțe

Ca urmare el va fi icircn echilibru sub acțiunea forțelor elementare produse de tensiunile de

pe fețele sale

Din condiția ca elementul să nu se rotească icircn jurul unor axe care trec prin centrul

său și sunt paralele cu axele sistemului 119909119874119910119911 rezultă

2 ∙ 120591119909119910 ∙ (119889119910 ∙ 119889119911) ∙119889119909

2= 2 ∙ 120591119910119909 ∙ (119889119909 ∙ 119889119911) ∙

119889119910

2 rArr 120591119909119910 = 120591119910119909 (35)

2 ∙ 120591119910119911 ∙ (119889119909 ∙ 119889119911) ∙119889119910

2= 2 ∙ 120591119911119910 ∙ (119889119909 ∙ 119889119910) ∙

119889119911

2 rArr 120591119910119911 = 120591119911119910 (36)

2 ∙ 120591119909119911 ∙ (119889119910 ∙ 119889119911) ∙119889119909

2= 2 ∙ 120591119911119909 ∙ (119889119909 ∙ 119889119910) ∙

119889119911

2 rArr 120591119909119911 = 120591119911119909 (37)

Relațiile (35divide37) 120591119909119910 = 120591119910119909 120591119910119911 = 120591119911119910 120591119909119911 = 120591119911119909 exprimă principiul dualității

tensiunilor tangențiale

Fig 33 Tensiunile normale și tangențiale pe fețele unui cub

Din condiția ca elementul considerat să nu se deplaseze icircn lungul axelor de

coordonate pe fețele opuse acționează aceleași tensiuni normale 120590119909 120590119910 și respectiv 120590119911

Definirea tensorului tensiune este posibilă dacă se cunosc cele 6 componente

independente ale acestuia aflate icircn trei plane perpendicular ce trec prin punctul respectiv

=

120590119909 120591119909119910 120591119909119911120591119910119909 120590119910 120591119910119911120591119911119909 120591119911119910 120590119911

Observaţii

Tensiunile se măsoară icircn [119873 1198982frasl ] (1119873 1198982frasl = 1 119875119886) sau icircn [119872119875119886]

(1 119872119875119886 = 106119875119886 = 106 119873

1198982 1 119872119875119886 = 1

119873

1198981198982)

Starea de tensiune dintr-un punct este considerată cunoscută dacă se cunosc

tensiunile 119901 care acționează pe infinitatea de elemente de suprafață ce trec prin punctual

considerat

Starea de tensiune a unui corp se consider cunoscută dacă se cunosc stările de

tensiune de pe infinitatea de puncte ale corpului considerat

32 Deplasări Deformaţii specifice

321 Deplasări

Aceste noțiuni sunt utile icircn analiza aspectului geometric al problemelor de rezistența

materialelor Deplasările care se analizează sunt cele datorate schimbării formei și

dimensiunilor corpurilor ca urmare a acțiunii forțelor exterioare și nu cele cinematice

posibile pentru solidul rigid care se poate deplasa cu anumită viteză și accelerație

Spre exemplu icircn figura 34a și figura 34b sub acțiunea forței 119865 tronsonul de

bară AB se deformează icircn timp ce tronsonul BC deși punctele sale au deplasări rămacircne

nedeformat (fiind nesolicitat) Toate punctele de pe axele barelor cu excepția celor din

icircncastrare (secțiunile A) au deplasări liniare De cele mai multe ori deformațiile barelor

datorate acțiunii forțelor exterioare se anulează la icircndepărtarea forțelor se spune că

deformațiile sunt elastice Secțiunile transversale ale barei din figura 34a se și rotesc icircn

raport cu pozițiile lor inițiale Spre exemplu secțiunea de căpăt cu centrul icircn C se rotește

cu unghiul

Fig 34 Deformațiile unei grinzi

Oricacirct de complexă ar fi delormația unui corp ea poate fi descrisă de lungiri sau

scurtări și de modificări ale unghiurilor inițiale

Deplasările măsoară schimbarea poziției unui punct al corpului și pot fi liniare

sau unghiulare

Prin deplasare liniară a unui punct se icircnțelege drumul parcurs de acest punct icircn

decursul procesului de deformație după o dreaptă suport dreapta 1198611198611 din figura 34a

Prin deplasare unghiulară se icircnțelege rotirea dintre segmentele de dreaptă

determinate de două puncte ale corpului icircnainte și după deformarea acestuia unghiul

pe care-l fac segmentele 119861119862 și 11986111198621 din figura 34a Această rotire se măsoară prin

unghiul pe care-l fac proiecțiile dreptelor ce conțin cele două segmente icircntr-un sistem

triortogonal

Icircn cazul cel mai general vectorul deplasare liniară se poate descompune icircntr-un

sistem triortogonal icircn trei componente 119906 119907 și 119908 figura 35

Fig 35 Deplasarea liniară

Se consideră acum un corp solid raportat la un sistem de axe ortogonal 119909119874119910119911

figura 35 după deformarea corpului un punct oarecare 119870 al acestuia se deplasează icircn

poziţia 1198701 vectorul 1198701198701 poartă numele de vectorul deplasării totale

Deplasarea totală este suma deplasărilor pe cele trei direcţii ortogonale iar

aceste deplasări se notează astfel

deplasarea pe direcţia 119909 cu ∥ 119874119909

deplasarea pe direcţia 119910 cu ∥ 119874119910

deplasarea pe direcţia 119911 cu ∥ 119874119911

Componentele deplasărilor și formeză matricea deplasărilor liniare 119906119907119908

322 Deformații

Prin deformație icircn general se icircnțelege orice schimbare de formă a unui corp fără

o evaluare cantitativă Icircn Rezistența Materialelor deformația măsoară variația

dimensiunilor geometrice ale corpului considerat din vecinătatea unui punct analog

deplasărilor deformațiile pot fi liniare și unghiulare (lunecări)

Fig 36 Deplasarea liniară

Deformația liniară ∆119897 reprezintă variația lungimii 119897 a unui element liniar al

corpului deformat figura 36 Deformația liniară specifică se definește ca fiind raportul

dintre deformația liniară și lungimea inițială

휀 =∆119897

119897 (38)

unde ∆119897 este lungirea sau scurtarea care este echivalentă cu deformția liniară totală iar

este alungirea

Deformația unghiulară sau lunecarea unui punct 119860 icircn planul 119861119860119862 se definește

prin relația figura 37

120574 = lim119861119860rarr0119862119860rarr0

(119861119860 minus 119861111986011198621 ) (39)

Fig 36 Deformația unghiulară

Schimbacircnd orientarea planului care trece prin 119860 se obțin alte deformații

unghiulare Dacă elementele liniare 119861119860 și 119862119860 sunt inițial perpendiculare deformația 120574 se

numește deformație unghiulară specifică sau lunecare specifică figura 37

Un exemplu de deplasare unghiulară și de deformație unghiulară este prezentat icircn

figura 38 Unghiul este deplasarea unghiulară și măsoară rotirea relativă dintre două

secțiuni aflate la distanța 119897 Unghiul este deformația specifică unghiulară (lunecarea

specifică) din punctul 119870 Aceste deplasări și deformații se obțin icircn urma solicitării barei

de către cele două momente 1198720 egale și de sens contrar

Fig 38 Deplasarea unghiulară

Pentru a analiza starea de deformație din vecinătatea unui punct al unui corp

solicitat complex se decupează din jurul punctului un element de volum mic figura 39a

avacircnd laturile 119889119909 119889119910 și 119889119911 Ca urmare a solicitării laturile acestuia se vor lungi sau

scurta Reprezentarea elementului deformat icircn spațiu este dificilă pentru simplificare

vom analiza doar deformațiile din planul 119909119874119910 Observăm că dimensiunile 119889119909 și 119889119910 s-au

modificat cu valoarea ∆119889119909 respectiv cu ∆119889119910 analog se acceptă și pentru 119889119911 o modificare

de forma ∆119889119911 Astfel se pot defini deformațiile specifice liniare

휀119909 =∆119889119909

119889119909 휀119910 =

∆119889119910

119889119910 휀119911 =

∆119889119911

119889119911 (310)

De cele mai multe ori aceste deformații specifice liniare se pot exprima procentual

și se mai numesc alungiri

Fig 39 Starea de deformație

Icircn figura 39c se vede că unghiul inițial drept dintre muchiile 119889119909 și 119889119910 ale

elementului de volum s-a modificat Se definește deformația specifică unghiulară (sau

lunecarea specifică) mărimea cu care se modifică unghiul inițial drept

120574119909119910 = 120574119909119910prime + 120574119910119909

prime = 120574119910119909120574119910119911 = 120574119910119911

prime + 120574119911119910prime = 120574119911119910

120574119911119909 = 120574119911119909prime + 120574119909119911

prime = 120574119909119911

(311)

Deformațiile 휀119909 휀119910 휀119911 120574119909119910 120574119910119911 120574119911119909 constituie cele șase componente

independente ale tensorului deformațiilor specifice care pot fi scrise de forma

119863 =

휀119909 120574119909119910 120574119909119911120574119910119909 휀119910 120574119910119911120574119911119909 120574119911119910 휀119911

(312)

323 Contracţia transversală

Practica arată că odată cu lungirea unei bare apare o micşorare a mărimii secţiunii

transversale mărime numită contracţie transversală figura 310

Fig 310 Contracția transversală

Contracţia transversală este proporţională cu lungirea specifică coeficientul de

proporţionalitate se notează cu 120599 şi se numeşte coeficient de contracţie transversală sau

coeficientul lui Poisson

La o lungire specifică a barei contracţia transversală este dată de relația

휀119905119903 = 휀119910 = 휀119911 = minus120599 ∙ 휀119909 (313)

Semnul minus bdquo-rdquo arată că cele două mărimi sunt contrare dacă una creşte cealaltă

scade şi invers

Considerăm o bară cilindrică de lungime 119897 şi aria secţiunii transversale 119860 solicitată

la icircntindere axială La un moment dat datorită solicitării lungimea barei devine

[119897 ∙ (1 + 휀)] diametrul devine [119889 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)] iar aria secţiunii transversale devine

[119860 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)2] Dacă volumul barei icircnainte de solicitare a fost (119860 ∙ 119897) după solicitare

acesta devine

119881 + ∆119881 = 119860 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)2 ∙ 119897 ∙ (1 + 휀) =

= 119860 ∙ 119897 ∙ (1 + 휀 minus 2 ∙ 120599 ∙ 휀 minus 2 ∙ 120599 ∙ 휀2 + 1205992 ∙ 휀2 + 1205992 ∙ 휀3) (314)

Deoarece lungirile sunt foarte mici ultimii trei termeni din paranteză fiind infinit mici se pot neglija obţinacircnd

119881 + ∆119881 = 119860 ∙ 119897 + 119860 ∙ 119897 ∙ 휀 ∙ (1 minus 2 ∙ 120599) ⟺ ∆119881 = 휀 ∙ (1 minus 2 ∙ 120599) ∙ 119860 ∙ 119897 (315)

Practica arătă că o astfel de bară solicitată la icircntindere icircşi măreşte volumul deci

∆119881 gt 0 de unde rezultă că

1 minus 2 ∙ 120599 gt 0 rArr 120599 lt 05 (316)

Pentru majoritatea materialelor 120599 = 033 iar pentru materialele care-şi păstrează

volumul constant 120599 = 05

33 Relaţii de echivalenţă icircntre eforturi şi tensiuni

Considerăm un element de suprafață infinit mic 119889119860 situat pe fața de arie (119860) a

secțiunii barei din figura 311 Icircn centrul de greutate 119862 al secțiunii acționează eforturile

119873 119879119910 119879119911 119872119909 119872119894119910 și 119872119894119911 determinate prin metoda secțiunilor

Icircn raport cu un sistem de axe de referință 119909119862119910119911 coordonatele elementului 119889119860 sunt

- 119910 este ordonata elementului de arie 119889119860

- 119911 este abscisa elementului de arie 119889119860

Pe elementul de arie 119889119860 acționează tensiunile

120590119909 tensiunea normală

120591119909119910 și 120591119909119911 tensiuni tangențiale

Dacă se icircnsumează forțele elementare de tipul 120590119909 ∙ 119889119860 120591119909119910 ∙ 119889119860 și 120591119909119911 ∙ 119889119860

va trebui să obținem eforturile 119873 119879119910 și 119879119911

Fig 311 Element de suprafață mic din secțiunea unei bare

Dacă eforturile sunt privite ca forțe exterioare și se scriu ecuațiile de

echilibru ale secțiunii (119860) se vor obține șase relații de echivalență icircntre eforturi și

tensiuni

(sum119883) = 0 rArr int 120590119909 ∙ 119889119860

119860

= 119873 (317)

(sum119884) = 0 rArr int 120591119909119910 ∙ 119889119860

119860

= 119879119910 (318)

(sum119885) = 0 rArr int 120591119909119911 ∙ 119889119860

119860

= 119879119911 (319)

(sum119872)119909= 0 rArr int(120591119909119911 ∙ 119889119860) ∙ 119910

119860

minus int(120591119909119910 ∙ 119889119860) ∙ 119911

119860

= 119872119909 rArr

rArr int(119910 ∙ 120591119909119911 minus 119911 ∙ 120591119909119910) ∙ 119889119860

119860

= 119872119909

(320)

(sum119872)119910= 0 rArr int(120590119909 ∙ 119889119860) ∙ 119911

119860

= 119872119894119910 (321)

(sum119872)119911= 0 rArr int(120590119909 ∙ 119889119860) ∙ 119910

119860

= 119872119894119911 (322)

Cele șase relații de echivalență icircntre eforturi și tensiuni constituie un pas icircnainte

icircn rezolvarea unei probleme de rezistența materialelor Aceste relații vor permite

determinarea tensiunilor maxime

Pentru a rezolva cele 6 relații de echivalență trebuie să se cunoască tensiunile și

ca funcții de punct adică funcții de forma

120590119909 = 120590119909(119909 119910 119911) 120591119909119910 = 120591119909119910(119909 119910 119911) 120591119909119911 = 120591119909119911(119909 119910 119911) (32

3)

Cunoașterea acestor funcții presupune icircnsă analizarea aspectului geometric al

problemei precum și utilizarea unor ipoteze simplificatoare care să permită simplificarea

problemelor

34 Ipoteze de bază icircn rezistenţa materialelor

Depășirea dificultăților legate de interpretarea unor fenomene specifice mecanicii

solidului deformabil a impus acceptarea unor ipoteze care să simplifice fenomenele și să

contribuie la elaborarea unor modele de calcul cicirct mai generale și cacirct mai simple Aceste

ipoteze se referă la structura materialelor şi la comportarea lor sub acţiunea forţelor

exterioare Ipotezele acceptate trebuie să fie icircn deplină concordanţă cu realitatea și să

conducă la rezultate verificate icircn practică

Funcție de aspectele la care se referă ipotezele pot fi

Ipoteze fizice (de material)

Ipoteze de calcul

341 Ipoteze fizice

Se acceptă deoarece teoriile structurale au condus la rezultate care contravin

icircncercărilor experimentale

Ipoteza mediului continuu consideră că orice domeniu elementar al corpului

este ocupat de materie adică nu se acceptă existența unor goluri sau a unor crăpături

microscopice (fisuri) Deși nu corespunde realităţii poate fi acceptată deoarece

dimensiunile corpului sunt mult mai mari decacirct dimensiunile particulelor elemantare Are

avantajul că permite utilizarea proprietăților matematice ale funcțiilor continue pentru

tensiunile și deformațiile din orice punct al corpului Ea este mai apropiată de realitate la

corpurile amorfe şi mai depărtată la cele cristaline dar conduce la rezultate satisfăcătoare

icircn calculele de rezistenţă

Ipoteza nu se poate aplica la corpurile care au goluri tăieturi (multiplu conexe)

pentru unele puncte singulare icircn care tensiunile și deformațiile tind la infinit sau icircn unele

probleme de plasticitate icircn care proprietățile de material au un rol esențial

Ipoteza izotropiei conform acestei ipoteze materialul din care este confecționat

un element de rezistență are aceleași proprietăți după orice direcție un astfel de material

este considerat izotrop Din punct de vedere macroscopic metalele pot fi considerate

izotrope deși la nivel microscopic proprietățile lor diferă de la o direcție cristalografică

la alta Orice conglomerat de cristale poate fi considerat izotrop

Există cazuri cacircnd această ipoteză a izotropiei nu se acceptă

la metalele puternic deformate după o direcție (prin laminare trefilare)

la piesele confecționate din lemn lemnul este anizotrop deoarece proprietățile sale

diferă după două direcții (icircn lungul fibrelor și perpendicular pe această direcție)

Ipoteza omogenității consideră că un corp are aceleași proprietăți icircn orice

punct al său Deși majoritatea materialelor utilizate icircn tehnică sunt eterogene la scară

micro fiind constituite din mai multe faze cu proprietăți diferite la scară macro ele pot

fi considerate omogene Omogenitatea și izotropia sunt proprietăți statistice medii care

nu se condiționează una pe cealaltă Chiar și materialele monofazice pot avea la scară

micro unele segregații care le fac eterogene

Ipoteza elasticităţii perfecte presupune că atacircta timp cacirct solicitările nu

depăşesc anumite limite materialul are o comportare elastică adică icircşi recapătă forma şi

dimensiunile iniţiale odată cu icircnlăturarea sarcinilor Icircn realitate materialele nu prezintă o

elasticitate perfectă ele avacircnd deformaţii remanente mici care icircnsă pot fi neglijate icircn

calculele de rezistenţă

Acceptarea acestei ipoteze a elasticității perfecte permite

- aplicarea relației biunivoce icircntre tensiuni și deformații relație exprimată de legea

lui Hooke ( = 119864 ∙ 휀) unde E este un factor de proporţionalitate numit modul de

elasticitate longitudinal al materialului pentru oţel 119864 = 21 ∙ 105 [119872119875119886] - acceptarea valabilității afirmației bdquolucrul mecanic efectuat de forțele exterioare

ca urmare a parcurgerii deplasărilor punctelor de aplicație se icircnmagazinează integral icircn

corp sub formă de energie de deformație energie cedată la icircndepărtarea sarcinilorrdquo

- este valabilă teoria conform căreia bdquoenergia icircnmagazinată și deformațiile depind

doar de starea inițială și finală de eforturi fără a ține cont de modul icircn care s-a ajuns la

starea finalărdquo

Icircn realitate oricacirct de mici ar fi sarcinile aplicate se produc și deformații plastice

dar acestea pot fi neglijate dacă solicitarea nu depășește anumite limite

342 Ipoteze de calcul

Ipoteza micilor deplasări bdquodeplasările datorate deformării sunt mult mai mici

decacirct dimensiunile corpurilor și ca urmare pot fi neglijate produsele dintre o deplasare și

ea icircnsăşirdquo Pentru cele mai multe corpuri deformaţiile elastice sunt de mărimi mici deci

corpurile solide sub acţiunea sarcinilor icircşi modifică foarte puţin forma iniţială Această

ipoteză este cunoscută şi sub denumirea de ipoteza menţinerii dimensiunilor iniţiale Ea

permite scrierea ecuaţiilor de echilibru ale staticii pe starea nedeformată a elementului

cacircnd nu se iau icircn considerare deplasările punctelor de aplicaţie ale forţelor care se produc

ca urmare a deformării acestuia Calculul efectuat pe schema nedeformată poartă numele

de calcul de ordinul I

Ipoteza micilor deplasări nu poate fi acceptată pentru studiul problemelor de

stabilitate sau la problemele la care nu pot fi icircndeplinite condiţiile de echilibru icircn starea

nedeformată

Calculul de ordinul II admite ipoteza micilor deplasări dar ecuaţiile de echilibru

se scriu icircnsă pentru starea deformată a elementului de rezistenţă

Calculul de ordinul III nu mai acceptă ipoteza micilor deplasări el referindu-se

la cazul deformaţiilor mari cacircnd ecuaţiile de echilibru trebuie scrise pentru starea

deformată

Chiar dacă materialul satisface legea lui Hooke icircn urma calculelor de ordinul II

se obţin de obicei relaţii neliniare icircntre sarcini şi deplasări iar pentru calculul de ordinul

III rezultă ecuaţii diferenţiale neliniare

Principiul efectului local al acțiunii sarcinilor enunțat de Barre de Saint-

Venant Acest principiu destul de folosit icircn Rezistenţa Materialelor precizează că dacă

se icircnlocuiesc forţele care acţionează asupra unui element de suprafață al unui corp

elastic printr-un alt sistem de forţe echivalent din punct de vedere static cu primul noua

distribuţie a forţelor produce la locul de aplicare diferenţe semnificative faţă de prima

dar rămacircne fără efect sau cu efect neglijabil la distanţe mari de locul de aplicare al

forţelor figura 312

Ca o cosecință o sarcină uniform distribuită figura 312a poate fi icircnlocuită cu

rezultanta ei figura 312b dacă se analizează efectul sarcinii la distanță mare de locul icircn

care se aplică sarcina

Fig 312 Principiul Saint-Venant

Icircn prima variantă figura 312a forţa 119865 se aplică pe o porțiune oarecare 119897 (sarcină

uniform distribuită) iar icircn a doua figura 312b icircntru-un punct (forţă concentrată) La

locul de aplicare a sarcinii efectul asupra barei este cu totul diferit de la o variantă la

cealaltă Icircnsă la o distanţă mare de punctul de aplicaţie spre exemplu icircn secţiunea situată

la distanţa 119886 de capătul barei sau chiar icircn icircncastrare ambele bare sunt solicitate la fel

Icircn cazul din figura 312a

119872119894(119909) =119901 ∙ 1199092

2 119909 le 119897 119872119894(119909) = 119901 ∙ 119897 ∙ (119909 minus

119897

2) 119909 gt 119897 (324)

Icircn cazul din figura 312b

119872119894(119909) = 0 119909 lt119897

2 119872119894(119909) = 119901 ∙ 119897 ∙ (119909 minus

119897

2) 119909 gt

119897

2 (325)

Se vede că pentru (119909 gt 119897) adică după depășirea locului icircn care se aplică sarcina

efectul este același

Ipoteza lui Bernoulli sau ipoteza secţiunilor plane precizează că o secţiune

plană şi normală pe axa barei icircnainte de deformare rămacircne plană şi normală pe axa

barei şi după deformare figura 313

Fig 313 Ipoteza lui Bernoulli

Ipoteza stării naturale a corpului sau ipoteza absenţei tensiunilor conform

căreia pentru un corp nesolicitat starea de tensiune şi deformaţie este nulă

Perfecţionarea mijloacelor de calcul şi de investigare pot conduce la renunţarea la

unele ipoteze sau la introducerea altora noi mai aproape de stările reale De aici rezultă

caracterul de continuă perfecţionare a metodelor Rezistenţei Materialelor

35 Coeficienţi de siguranţă Tensiuni admisibile

O piesă corespunde din punct de vedere tehnic dacă tensiunile care iau naştere icircn

interiorul piesei datorită sarcinilor aplicate nu depăşesc anumite valori limită stabilite

convenţional Aceste valori limită ale tensiunii sunt corelate cu caracteristicile mecanice

ale materialelor

Tensiunea limită utilizată icircn calculele de rezistenţă este cunoscută sub denumirea

de tensiune admisibilă sau rezistenţă admisibilă Rezistenţa admisibilă reprezintă

valoarea convenţională aleasă icircn calcul pe baza practicii pentru tensiunea maximă care

poate apare icircntr-o piesă icircn condiţii date de material şi solicitare

Rezistenţa admisibilă (120590119886 sau 120591119886) poate fi definită faţă de o stare limită

periculoasă stare care trebuie evitată deoarece poate conduce distrugere

120590119886 =120590119897119894119898119888

(326)

unde

120590119897119894119898 este tensiunea corespunzătoare stării limită periculoase

119888 estesupraunitar 119888 gt 1 și reprezintă coeficientul de siguranţă faţă de starea limită

periculoasă considerată

Alegerea unor valori inferioare pentru rezistenţa admisibilă faţă de tensiunea

corespunzătoare stării limită periculoase este necesară deoarece

cunoaşterea sarcinilor este de cele mai multe ori aproximativă şi o depăşire a

acestora este foarte posibilă

caracteristicile mecanice ale materialelor variază icircn limite destul de mari ele

fiind influenţate de mulţi factori

schema aleasă pentru calcul (aplicarea sarcinilor schematizarea structurii

ipotezele de calcul etc) depărtează modelul faţă de cel real

Pentru calculele de verificare tensiunea efectivă maximă din elementul de

rezistenţă trebuie să fie mai mică sau cel mult egală cu cea admisibilă

120590119890119891119898119886119909 le 120590119886 (327)

Valoarea rezistenţei admisibile este influenţată de foarte mulţi factori natura

materialului tratamentele termice aplicate piesei durata de funcţionare a piesei modul

de acţionare icircn timp a sarcinilor felul solicitării temperatura gradul de periculozitate

icircn cazul cedării piesei etc

De asemenea valoarea coeficientului de siguranţă se alege icircn principal ţinacircnd

seama de aceiaşi factori care influenţează şi rezistenţa admisibilă

Rezistenţele admisibile pentru cacircteva materiale sunt următoarele

pentru oțelul de uz general OL37 solicitat la icircntindere compresiune sau

icircncovoiere 120590119886 = 150 [119872119875119886] pentru lemnul de brad solicitat la

- compresiune icircn lungul fibrelor şi solicitat la icircncovoiere 120590119886 = 10 [119872119875119886] - tracţiune icircn lungul fibrelor 120590119886 = 7 [119872119875119886] - compresiune perpendiculară pe fibre 120590119886 = 15 [119872119875119886] - forfecare icircn lungul fibrelor 120591119886 = 2 [119872119875119886] - forfecare perpendiculară pe fibre 120590119886 = 45 [119872119875119886]

terenuri de fundaţie din pămacircnt uscat sau umed 120590119886 = 020 divide 025 [119872119875119886]

4 CARACTERISTICI GEOMETRICE ALE SECȚIUNILOR PLANE

41 Noţiuni introductive

Icircn relaţiile de calcul ale tensiunilor şi deformaţiilor elementelor de rezistenţă

pentru unele solicitări (icircncovoierea și torsiunea) secțiunile plane intervin atacirct prin

dimensiunile lor (aria 119860) cicirct și prin forma și poziția pe care o are secțiunea icircn raport cu

planul solicitării Mărimile care caracterizează o secțiune icircn raport cu forma și poziția față

de axele unui sistem de referință sunt denumite caracteristici geometrice de ordin

superior Aria secțiunii este caracteristica geometrică ce depinde doar de dimensiunile

geometrice ale acesteia

Să considerăm o grindă solicitată de o forță exterioară 119865 aşezată icircn două poziții icircn

raport cu planul forţei figura 41 Icircn urma aplicării forței deși avem aceeași grindă

(aceeași arie a secțiunii transversale) și aceeași forță se constată că pentru varianta din

figura 41a deformațiile sunt mult mai mari adică rezistența la icircncovoiere a grinzii din

figura 41a este mai mare decacirct icircn cazul grinzii din figura 41b Comportarea diferită se

explică prin aceea că modificarea poziţiei secţiunii transversale faţă de planul forţelor

modifică caracteristicile geometrice ale secţiunii transversale a grinzii

Fig 41 Grindă solicitată de forța 119865

Pentru realizarea calculelor de rezistenţă şi rigiditate este foarte importantă

cunoaşterea caracteristicilor geometrice ale suprafeţei secţiunii transversale a elementelor

de rezistenţă

Caracteristicile geometrice ale secţiunii transversale a unui element de rezistenţă

sunt

- aria secțiunii notată cu 119860

- momentul static icircn raport cu o axă notat 119878119911 și respectiv 119878119910

- momentul de inerție care poate fi

axial notat 119868119911 și respectiv 119868119910

centrifugal notat 119868119911119910

polar notat 119868119901

- raza de inerţie (giraţie)notată 119894119911 și respectiv 119894119910

- modulul de rezistență care poate fi

axial notat 119882119911 și respectiv 119882119910

polar notat 119882119901

42 Aria și momentul static al suprafețelor plane

Fie o suprafaţă plană de arie 119860 pe care se ia un element infinit mic de arie 119889119860 şi

un sistem de axe rectangulare 119911119874119910 figura 42 Notăm cu 119862 centrul de greutate al suprafeţei

119860 Poziţia suprafeţei elementare 119889119860 faţă de acelaşi sistem de coordonate 119911119874119910 este dată

de abscisa 119911 ordonata 119910 și raza polară

Fig 42 Suprafață plană de arie 119860

Aria suprafeţei 119860 figura 42 se defineşte ca fiind

119860 ≝ int 119889119860

119860

(41)

Aria suprafeţei este icircntotdeauna pozitivă și se măsoară icircn [1198981198982] Momentul static al suprafeţei de arie 119860 icircn raport cu axele 119874119911 și respectiv 119874119910

figura 42 sunt date de relaţiile

119878119911 ≝ int 119910 ∙ 119889119860

119860

119878119910 ≝ int 119911 ∙ 119889119860

119860

(42)

Momentul static poate fi pozitiv negativ sau nul şi se măsoară icircn [1198981198983] Coordonatele centrului de greutate ale suprafeței 119860 se detrmină cu relațiile

119910119862 ≝int 119910 ∙ 119889119860119860

119860 119911119862 ≝

int 119911 ∙ 119889119860119860

119860

(43)

Cunoscacircnd coordonatele 119910119862 și 119911119862 ale centrului de greutate 119862 al secțiunii 119860 atunci

momentele statice se pot determina cu relațiile

119878119911 ≝ int 119910 ∙ 119889119860

119860

= 119910119862 ∙ 119889119860 119878119910 ≝ int 119911 ∙ 119889119860

119860

= 119911119862 ∙ 119889119860 (44)

Aceste relații arată că momentul static al unei suprafețe icircn raport cu o axă este

egal cu produsul dintre aria suprafeței și distanța de la centrul ariei la axa respectivă

Dacă suprafaţa se poate descompune icircn 119899 suprafeţe simple la care se cunosc ariile

(1198601 1198602 ⋯ 119860119894⋯ 119860119899) și poziţiile centrelor de greutate 119862119894 faţă de sistemul de referinţă

expresiile momentelor statice capătă următoarea formă

119878119911 = sum 119910119862119894 ∙ 119860119894119899119894=1 = 119910119862 ∙ 119860 119878119910 = sum 119911119862119894 ∙ 119860119894

119899119894=1 = 119911119862 ∙ 119860 (45)

Din relaţiile (45) rezultă că poziţia centrului de greutate 119862 al unei suprafeţe

compuse poate fi determinată cu relaţiile

119910119862 = (sum119910119862119894 ∙ 119860119894

119899

119894=1

) 119860frasl 119911119862 = (sum119911119862119894 ∙ 119860119894

119899

119894=1

) 119860frasl (46)

Icircn relația (45) 119910119862119894 și respectiv 119911119862119894 reprezintă coordonatele centrelor de greutate 119862119894

ale fiecărei suprafețe simple 119860119894 icircn raport sistemul de axe 119911119874119910

Se constată (relaţia 42) că dacă axele sistemului de referinţă trec prin centrul de

greutate (119910119862 = 119911119862 = 0) momentele statice sunt nule Axele icircn raport cu care momentele

statice sunt nule şi care trec prin centrul de greutate al suprafeţei se numesc axe centrale

Observație dacă secțiunea compusă are o axă de simetrie centrul secțiunii se

găsește pe acea axă iar dacă secțiunea este dublu simetrică poziția centrului secțiunii este

la intersecția axelor de simetrie

43 Momente de inerţie

Momentele de inerţie axiale ale unei suprafețe se calculează icircn raport cu axele de

coordonate 119874119911 și respectiv 119874119910 figura 42 și se determină cu relațiile

119868119911 ≝ int 1199102 ∙ 119889119860

119860

119868119910 ≝ int 1199112 ∙ 119889119860

119860

(47)

Unde 119910 și 119911 sunt distanțele de la elementul de arie 119889119860 la cele două axe de

coordonate 119874119911 și respectiv 119874119910

Momentele de inerţie axiale se măsoară icircn [1198981198984] şi sunt icircntotdeauna pozitive (aria

119889119860 este icircntotdeauna pozitivă și este multiplicată cu patratul distanței 1199102 dacă 119868119911 sau 119868119910

sunt nule icircnseamnă ca secțiunea nu există)

Momentele de inerție axiale se calculează icircndeosebi pentru axele centrale (care

trec prin centrul secțiunii) deoarece icircn raport cu acele axe 119868119911 și 119868119910 au valori minime

Momentul de inerţie centrifugal calculat faţă ambele axe ale sistemului de

referinţă 119911119874119910 este definit de relația

119868119911119910 ≝ int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860

(48)

Momentul de inerţie centrifugal se măsoară icircn [1198981198984] şi poate fi pozitiv negativ

sau nul

Momentul de ineție centrifugal este nul 119868119911119910 = 0 dacă cel puțin una din axele 119874119911

sau 119874119910 este axă de simetrie pentru secțiune

Se consideră o suprafaţă dreptunghiulară pe care faţă de axa de simetrie 119874119910 se iau

două suprafeţe elementare de arie 119889119860 simetrice faţă de axa 119874119910 figura 43

Fig 43 Suprafață dreptunghiulară cu două arii elementare 119889119860

Făcacircnd suma momentelor de inerţie centrifugale pentru cele două suprafeţe

elementare 119889119860 (din stacircnga şi din dreapta faţă de axa 119874119910) se obţine

int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860119889119903

+ int (minus119911) ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860119904119905119892

= int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860119889119903

minus int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860119904119905119892

= 0 (49)

Acelaşi raţionament se poate face și pentru icircntreaga suprafaţă de unde obținem că

momentul de inerție centrifugal este nul 119868119911119910 = 0 Deci pentru o suprafaţă plană care

are cel puţin o axă de simetrie momentul de inerţie centrifugal faţă de sistemul care

conţine acea axă de simetrie este nul

Momentul de inerţie polar al unei suprafeţei icircn raport cu un punct (pol) 119874 figura

42 este definit prin relaţia

1198680 = 119868119901 ≝ int 1205882 ∙ 119889119860

119860

= int(1199102 + 1199112) ∙ 119889119860

119860

= 119868119911 + 119868119910 (410)

unde este distanţa de la polul 119874 la elementul de arie 119889119860 Momentul de inerţie polar se

măsoară icircn [1198981198984] şi este totdeauna pozitiv

Momentul de inerţie polar este egal cu suma momentelor de inerţie faţă de două axe

perpendiculare oarecare şi care trec prin polul considerat

Razele de giraţie sau razele de inerţie sunt mărimi calculate icircn raport cu axele

secțiunii și definite de relaţiile

119894119911 ≝ radic119868119911119860 119894119910 = radic

119868119910

119860 (411)

Se exprimă icircn [119898119898] şi sunt icircntotdeauna pozitive Semnificația unei raze de inerție

este distanța la care dacă ar fi concentrată icircntreaga arie s-ar obține același moment de

inerție ca și cel calculat pentru aria reală

44 Modulul de rezistenţă

Modulul de rezistență se calculează icircn raport cu axele de referință sau icircn raport cu

un pol figura 42 și pot fi axiale (119882119911119882119910) sau polar (119882119901) și se determină numai pe baza

momentelor de inerţie cu relațiile figura 43

119882119911119898119894119899 ≝119868119911119910119898119886119909

119882119911119898119886119909 ≝119868119911119910119898119894119899

(412)

119882119910119898119894119899 ≝119868119910

119911119898119886119909 119882119910119898119886119909 ≝

119868119910

119911119898119894119899 (413)

119882119901 ≝119868119901

120588119898119886119909 (414)

unde

119910119898119886119909 119910119898119894119899 reprezintă distanţa de la axa 119874119911 la punctele extreme cele mai

depărtate respectiv cele mai apropiate ale suprafeţei de această axă

119911119898119886119909 119911119898119894119899 reprezintă distanţa de la axa 119874119910 la punctele extreme cele mai

depărtate respectiv cele mai apropiate ale suprafeţei de această axă

120588119898119886119909 reprezintă distanța maximă de la polul 119874 la punctul secțiunii cel mai

icircndepărtat de acesta

Fig 43 Suprafață dreptunghiulară cu două arii elementare 119889119860

Modulele de rezistenţă se exprimă icircn [1198981198983] şi sunt icircntotdeauna pozitive

Explicația este aceea că momentele de inerție care intră icircn relațiile de definiție sunt

pozitive iar distanțele la punctele extreme sunt pozitive (119910119898119886119909 119910119898119894119899 119911119898119886119909 119911119898119894119899 120588119898119886119909 se

iau icircn valoare absolută)

Icircn cazul suprafeţelor compuse modulul de rezistenţă nu se obţine prin icircnsumarea

algebrică a modulelor de rezistenţă ale suprafeţelor simple componente ci numai prin

intermediul momentului de inerţie axial calculat pentru icircntreaga secțiune

Ca și momentele de inerție modulele de rezistență se calculează numai pentru

sistemele de axe centrale

45 Momente de inerţie şi module de rezistenţă pentru suprafeţe simple

451 Secțiune dreptunghiulară

Fie suprafaţa dreptunghiulară din figura 44 de icircnălțime ℎ și lățime 119887 pe care se

consideră suprafaţă elementară de arie 119889119860 = 119887119889119910 la distanța 119910 de axa 119862119911 sistemul de

axe 119911119862119910 trece prin centrul secțiunii iar axele sunt axe de simetrie pentru dreptunghi

Fig 44 Suprafață dreptunghiulară

Pe baza relațiilor de definiți a momentului de inerție 119868119911 se obține

119868119911 ≝ int 1199102 ∙ 119889119860

119860

= int 1199102 ∙ 119887 ∙ 119889119910 = 2int 1199102 ∙ 119887 ∙ 119889119910 = 2 ∙ 119887 ∙1199103

3|ℎ 2frasl

0rArr

ℎ 2frasl

0

ℎ 2frasl

minusℎ 2frasl

rArr 119868119911 =119887 ∙ ℎ3

12

(415)

Analog pentru un element de arie 119889119860 = ℎ ∙ 119889119911 paralel cu axa 119862119910 situat la distanța

119911 de axa 119862119910

119868119910 ≝ int 1199112 ∙ 119889119860

119860

= int 1199112 ∙ ℎ ∙ 119889119911 = 2int 1199112 ∙ ℎ ∙ 119889119910 = 2 ∙ ℎ ∙1199113

3|119887 2frasl

0rArr

119887 2frasl

0

119887 2frasl

minus119887 2frasl

rArr 119868119910 =1198873 ∙ ℎ

12

(416)

Deoarece axele 119862119911 și 119862119910 sunt axe de simetrie momentul de inerție centrifugal este

119868119911119910 = 0 (417)

Pentru un pătrat avacircnd laturile egale (ℎ = 119887 = 119886) momentele de inerţie faţă de

axele centrale au expresia

119868119911 = 119868119910 =1198864

12 (418)

Modulele de rezistență axiale se calculează cu relațiile de definiție ținacircnd cont că

distanțele pacircnă la fibrele extreme sunt

119910119898119886119909 = 119910119898119894119899 =ℎ

2 119911119898119886119909 = 119911119898119894119899 =

119887

2 (419)

Obținem

119882119911119898119894119899 = 119882119911119898119886119909 =119868119911

119910119898119886119909119898119894119899=119887 ∙ ℎ3

12frasl

ℎ2frasl

=119887 ∙ ℎ2

6

119882119910119898119894119899 = 119882119910119898119886119909 =119868119910

119911119898119886119909119898119894119899=1198873 ∙ ℎ

12frasl

1198872frasl

=1198872 ∙ ℎ

6

(420)

452 Suprafaţă circulară

Din motive de simetrie pentru suprafeţele circulare momentele de inerţie faţă de

orice diametru (care reprezintă şi axe centrale) sunt aceleaşi

Considerăm o secțiune circulară plină cu diametrul 119889 și centrul de greutate 119862 Prin

centrul de greutate 119862 trece sistemul de axe ortogonal 119911119862119910 figura 45

Fig 45 Suprafață circulară

La distanța de centrul de greutate 119862 vom lua un element de suprafață mic de arie

(119889119860) de forma unui inel de grosime 119889 Elementul de arie 119889119860 are expresia

119889119860 = (2 ∙ 120587 ∙ 120588) ∙ (119889120588)

Pornind de la relația de definiție a momentului de inerție polar obținem

119868119901 ≝ int 1205882 ∙ 119889119860

119860

= int 1205882 ∙ (2 ∙ 120587 ∙ 120588) ∙ 119889120588

119903=119889 2frasl

0

= 2 ∙ 120587 ∙1205884

4|119889 2frasl0 rArr

rArr 119868119901 =120587 ∙ 1198894

32

(421)

Secțiunea este perfect simetrică deci sunt valabile relațiile

119868119911 = 119868119910 rArr 119868119901 = 119868119911 + 119868119910 = 2 ∙ 119868119911 = 2 ∙ 119868119910 =119868119901

2=120587 ∙ 1198894

64 (422)

Și modulele de rezistenţă faţă de orice diametru sunt egale şi se calculează cu

relaţiile

119882119911 = 119882119910 =1198681199111198892frasl=120587 ∙ 1198893

32 (423)

Modulul de rezistenţă polar este

119882119901 =1198681199011198892frasl=120587 ∙ 1198893

16 (424)

453 Secţiune inelară

Calculul momentelor de inerţie axiale pentru o secţiune inelară avacircnd diametrul

interior 119889 şi diametrul exterior 119863 se determină analog pentru suprafaţa circulară plină cu

observaţia că integrala pentru calculul momentului de inerție polar 119868119901 se face icircntre

limitele 119903 = 119889 2frasl şi R= 1198632frasl (icircntre raza interioară 119903 şi raza exterioară 119877) figura 46

Se obţin relaţiile

119868119901 =120587 ∙ 1198634

32∙ [1 minus (

119889

119863)4

] =120587 ∙ 1198634

32∙ (1 minus 1198964) (425)

119868119910 = 119868119910 =120587 ∙ 1198634

64∙ [1 minus (

119889

119863)4

] =120587 ∙ 1198633

64∙ (1 minus 1198964) (426)

Fig 46 Secțiune inelară

119882119901 =120587 ∙ 1198633

16∙ [1 minus (

119889

119863)4

] =120587 ∙ 1198633

16∙ (1 minus 1198964) (427)

119882119911 = 119882119910 =120587 ∙ 1198633

32∙ [1 minus (

119889

119863)4

] =120587 ∙ 1198633

32∙ (1 minus 1198964) (428)

unde 119896 = 119889119863frasl

46 Variaţia momentelor de inerţie faţă de axe paralele

( Relațiile lui STEINER)

Se consideră o suprafaţă oarecare de arie 119860 cu elementul de arie 119889119860 și un sistemul

de axe central 119911119862119910 faţă de care se cunosc momentele de inerţie 119868119911 119868119910 119868119911119910 şi considerăm

un sistem de axe 11991111198741199101 paralele cu sistemul central figura 47 Se pune problema

determinării momentele de inerţie 1198681199111 1198681199101 11986811991111199101 faţă de sistemul de axe paralel cu sistemul

central 11991111198741199101 axe aflate la distanţele 119910119862 = 119888 respectiv 119911119862 = 119889 de acesta

461 Momente de inerţie axiale

Pe baza relaţiilor de definire şi a notaţiilor din figura 42 pentru momentele de

inerţie faţă de axele 1198741199111 1198741199101 se poate scrie

1198681199111 = int 11991012 ∙ 119889119860

119860

= int(119910 + 119888)2 ∙ 119889119860

119860

= int 1199102 ∙ 119889119860

119860

+ 2 ∙ 119888 ∙ int 119910 ∙ 119889119860

119860

+

+1198882int 119889119860

119860

rArr 1198681199111 = 119868119911 + 2 ∙ 119888 ∙ 119878119911 + 1198882 ∙ 119860 hArr 1198681199111 = 119868119911 + 119888

2 ∙ 119860

(429)

Fig 47 Variaţia momentelor de inerţie față de axe paralele

S-a ajuns la relația (429) deoarece momentul static 119878119911 este nul deoarece axa 119862119885

este axă centrală

Pentru momentul de inerție axial icircn raport cu axa 1198741199101 se obține

1198681199101 = int 11991112 ∙ 119889119860

119860

= int(119911 + 119889)2 ∙ 119889119860

119860

= int 1199112 ∙ 119889119860

119860

+ 2 ∙ 119889 ∙ int 119911 ∙ 119889119860

119860

+

+1198892 ∙ int 119889119860

119860

rArr 1198681199101 = 119868119910 + 2 ∙ 119889 ∙ 119878119910 + 1198892 ∙ 119860 hArr 1198681199101 = 119868119910 + 119889

2 ∙ 119860

(430)

Pentru momentul de inerție centrifugal obținem

11986811991111199101 = int 1199101 ∙ 1199111 ∙ 119889119860

119860

= int(119910 + 119888) ∙ (119911 + 119889) ∙ 119889119860

119860

= int 119910 ∙ 119911 ∙ 119889119860 +

119860

+119888 ∙ int 119911 ∙ 119889119860

119860

+ 119889 ∙ int 119910 ∙ 119889119860

119860

rArr 11986811991111199101 = 119868119911119910 + 119888 ∙ 119889 ∙ 119860

(431)

Deoarece

int 119911 ∙ 119889119860

119860

= 119878119910 = 0 int 119910 ∙ 119889119860

119860

= 119878119911 = 0 int 119910 ∙ 119911 ∙ 119889119860

119860

= 119868119911119910

Relaţiile (429) şi (430) arată că momentul de inerţie faţă de o axă oarecare

este egal cu momentul de inerţie faţă de o axă paralelă cu ea trecacircnd prin centrul de

greutate la care se adaugă produsul dintre aria suprafeţei şi pătratul distanţei dintre

cele două axe

Din relaţiile (429) și (430) rezultă de asemenea că momentul de inerţie faţă de o

axă centrală (care trece prin centrul de greutate) este cel mai mic dintre infinitatea de

momente de inerţie obținute faţă de alte axe paralele cu ea

Relaţia (431) arată de asemenea că momentul de inerţie centrifugal faţă de un

sistem de axe oarecare este egal cu momentul de inerţie centrifugal faţă de un sistem

paralele cu el trecacircnd prin centrul de greutate a suprafeţei la care se adaugă produsul

dintre aria suprafeţei şi distanţele dintre axele sistemelor respective

Icircn literatura de specialitate relaţiile (429) (430) şi (431) sunt cunoscute sub

numele de relaţiile lui Steiner

47 Variaţia momentrlor de inerţie faţă de axe rotite

Direcţii principale şi momente de inerţie principale

Fie suprafaţa plană din figura 48 de arie 119860 pe care considerăm o suprafaţă

elementară de arie 119889119860 Pentru sistemul de axe 119911119874119910 se cunosc momentele de inerţie

119868119911 119868119910 119868119911119910 şi vom determina relaţiile de calcul pentru momentele de inerţie afererent unui

sistem de axe 11991111198741199101 rotit cu un unghi faţă de sistemul central

Faţă de sistemul de axe 11991111198741199101 elementul de arie 119889119860 are coordonatele

1199101 = 119875119877 = 119875119876 minus 119877119876 = 119910 ∙ cos 120572 minus 119911 ∙ sin 120572

1199111 = 119873119872 = 119873119875 minus 119875119872 = 119911 ∙ cos 120572 + 119910 ∙ sin 120572 (432)

Fig 47 Variaţia momentelor de inerţie față de axe rotite

Pe baza relaţiilor de calcul ale momentelor de inerţie şi a notaţiilor din figura 42

şi ale relaţiilor (432) momentele de inerţie faţă de sistemul de axe rotit 11991111198741199101 sunt

1198681199111 =119868119911 + 119868119910

2+119868119911 minus 119868119910

2∙ cos 2120572 minus 119868119911119910 ∙ sin 2120572 (433)

1198681199101 =119868119911 + 119868119910

2minus119868119911 minus 119868119910

2∙ cos 2120572 + 119868119911119910 ∙ sin 2120572 (434)

11986811991111199101 =119868119911 minus 119868119910

2∙ sin 2120572 + 119868119911119910 ∙ cos 2120572 (435)

Din relaţiile 433divide435 se observă că icircntre momentele de inerţie axiale şi cele

polare există relaţia

1198681199111 + 1198681199101 = 119868119911 + 119868119910 = 119868119901 (436)

adică suma momentelor de inerţie axiale icircn raport cu orice pereche de axe ortogonale

care trec printr-un pol dat este o constantă şi egală cu momentul de inerţie polar

Prin rotirea sistemului de axe din relaţiile 433divide435 rezultă că momentele de inerţie

variază icircnsă suma lor rămacircne constantă deci există o poziţie a sistemului de axe pentru

care momentele de inerţie au valori extreme maxim respectiv minim

471 Direcţii principale de inerţie

Valoarea unghiului 120572 pentru care momentele de inerţie axiale au valori extreme

este

1205721 =1

2∙ 119886119903119888119905119886119899 (minus

2 ∙ 119868119911119910

119868119911 minus 119868119910) (437)

Poziţia celeilalte direcţii este perpendiculară pe cea dată de unghiul 1205721

Din relaţia (437) se constată că faţă de aceste direcţii rotite pentru care momentele

de inerţie axiale prezintă valori extreme momentul de inerţie centrifugal 11986811991111199101este nul

Atunci se poate afirma că momentele de inerţie axiale au valori extreme icircn raport cu

direcţiile faţă de care momentul de inerţie centrifugal este nul Aceste direcţii se numesc

direcţii principale iar momentele de inerţie faţă de aceste direcţii poartă numele de

momente de inerţie principale

Icircn calculele de rezistenţă interesează icircn mod special poziţia direcţiilor principale

care trec prin centrul de greutate al suprafeţei aşa numitele direcţii principale centrale şi

evident momentele de inerţie principale centrale

Direcţiile principale de inerţie se notează cu 1 respectiv 2 Axa principală 1

corespunde direcţiei faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea maximă iar

axa principală 2 pentru direcţia faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea

minimă

472 Momente de inerţie principale

Momentele de inerţie principale se notează cu litera 119868 la care se pune indicele 1

sau 2 după cum valoarea acestuia este maximă sau minimă deci avem un moment de

inerţie principal 1 (notat 1198681) respectiv moment de inerţie principal 2 (notat 1198682)

Expresiile pentru momentele de inerţie principale sunt

11986812 =119868119911 + 119868119910

2plusmn1

2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)

2+ 4 ∙ (119868119911119910)

2 (438)

Dacă momentul de inerţie centrifugal este negativ (119868119911119910 lt 0) direcţia principală

care trece prin primul cadran (definit de sistemul 119911119862119910) este direcţia principală 120783

Pentru suprafeţele cu cel puţin o axă de simetrie direcţiile centrale 119862119911 119862119910 sunt şi

direcții principale de inerţie și evident momentele de inerţie axiale 119868119911 119868119910 sunt momente

de inerţie principale

48 Caracteristici mecanice ale metalelor

Alegerea materialului pentru confecţionarea unei anumite piese se face şi pe baza

aşa numitelor caracteristici mecanice pe care le prezintă materialul Cunoaşterea acestor

caracteristici mecanice are loc numai pe baza unor icircncercări mecanice care să scoată icircn

evidenţă comportarea materialului icircn condiţii de solicitare

Cea mai utilizată icircncercare icircn urma căreia se pun icircn evidenţă caracteristicile

mecanice ale unui material este icircncercarea la tracţiune

481 Icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general

Icircncercarea la tracţiune a oţelului ca de altfel toate icircncercările de materiale este

standardizată

Icircn cele ce urmează se va prezenta numai partea care interesează strict din punct

de vedere al caracteristicilor mecanice ale oţelului

Epruveta de diametru iniţial 1198890 pentru icircncercarea la tracţiune are o porţiune de

lungime 1198710 numită baza de măsurare pe care se măsoară lungirea acesteia sub acţiunea

solicitării

Icircn funcţie de raportul dintre baza de măsurare 1198710 şi diametrul iniţial 1198890 epruvetele

utilizate pentru icircncercări sunt

epruvete normale (scurte) cacircnd 11987101198890 = 5

epruvete lungi cacircnd 11987101198890 = 10

Icircn timpul icircncercării la diferite valori ale forţei 119865 se măsoară lungirea bazei de

măsurare

∆119871 = 120575 = 119871 minus 1198710 (439)

unde

119871 este dimensiunea bazei de măsurare la un moment dat

Curba forţă-lungire (119865 minus ) icircnregistrată icircn urma icircncercării reprezintă curba

caracteristică la tracţiune

La icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general diagrama caracteristică care se

obţine are forma din figura 48

Curba caracteristică la tracţiune depinde de lungimea bazei de măsurare Pentru

icircnlăturarea acestui neajuns curba caracteristică se reprezintă icircn coordonate şi definite

astfel

120590 =119865

1198600 휀 =

120575

1198710 (440)

unde

1198600 este aria iniţială a secţiunii transversale a epruvetei (icircnainte de solicitare) icircn

zona bazei de măsurare

1198600 =120587 ∙ 1198890

2

4

Deoarece mărimile icircn care se reprezintă curba caracteristică la tracţiune sunt

raportate la aria iniţială a secţiunii transversale (mărimi specifice) curba poartă numele

de curbă caracteristică convenţională la tracţiune

Fig 48 Curba caracteristică convenţională la tracțiune

Pe curba caracteristică convenţională la tracţiune figura 48 se pot stabili o serie

de puncte cărora le corespund mai multe mărimi importante

Ordonata punctului A pacircnă unde curba caracteristică convenţională este linie

dreaptă se numeşte limita de proporţionalitate a materialului 120590119901(1205901) Porţiunea 119874119860 este

zona de proporţionalitate a curbei caracteristice pe acest domeniu este valabilă legea lui

Hooke care exprimă o proporţionalitate icircntre tensiune şi deformaţie specifică

120590 = 119864 ∙ 휀 (441)

unde

119864 = reprezintă panta porţiunii liniare a curbei convenționale caracteristice

la tracțiune Caracteristica de material 119864 se numeşte modul de elasticitate longitudinal

(modulul lui Young)

Ordonata punctului 119861 pacircnă unde materialul se comportă perfect elastic adică

după descărcare icircşi recapătă dimensiunea iniţială 1198710 se numeşte limita de elasticitate

120590119890(119877119890) Icircn realitate nici un material nu are comportare perfect elastică sub acţiunea

solicitărilor el capătă deformaţii permanente (remanente plastice)

După punctul 119861 urmează o porţiune 119861119862119863 icircn care cu toate că icircncărcarea

continuă forţa nu mai creşte avacircnd mici oscilaţii icircn jurul unei valori Se spune că icircn

această porţiune materialul curge iar intervalul 119861119862119863 este un palier de curgere Tensiunea

corespunzătoare palierului de curgere se numeşte limită de curgere aparentă 120590119888(119877119888) Limita de curgere aparentă se calculează cu relaţia

120590119888 =1198651198881198600 (442)

unde

119865119888 reprezintă valoarea forţei icircnregistrată icircn momentul curgerii materialului

După punctul 119863 curba caracteristică are un traseu ascendent pacircnă icircn punctul 119864

Porţiunea 119863119864 este numită zonă de icircntărire (ecruisare) Icircn zona de ecruisare unde se

produc deformaţii plastice semnificative legea lui Hooke nu mai este valabilă La

descărcare relaţia dintre tensiunea şi deformaţia specifică este liniară paralelă cu

porţiunea liniară a curbei caracteristice (dreapta 119872119873)

Deformaţia totală (휀119905) are două componente una elastică (휀119890) şi una plastică (휀119901)

Ordonata punctului 119864 reprezintă rezistenţa de rupere 120590119903(119877119898) a materialului

care se poate calcula cu relaţia

120590119903 = 119877119898 =1198651198981198861199091198600

(443)

unde

119865119898119886119909 reprezintă valoarea maximă a forţei icircnregistrată icircn timpul icircncercării

La atingerea valorii 119865119898119886119909 (punctul 119864) icircntr-un anumit loc al epruvetei secţiunea

icircncepe să se micşoreze (se produce gacirctuirea) continuacircnd pacircnă cacircnd se produce ruperea

totală (punctul 119865)

Dacă după ruperea epruvetei cele două părţi rezultate se aşează cap la cap şi se

măsoară dimensiunea bazei de măsurare 119871119906 (lungimea ultimă) se determină alungirea la

rupere sau lungirea specifică la rupere 휀119903

휀119903 =119871119906 minus 11987101198710

=∆119871

1198710=120575

1198710 (444)

De obicei alungirea se exprimă icircn procente şi se notează cu 119860119899 unde 119899 reprezintă

numărul dat de raportul 11987101198890 (epruvete normale 119899 = 5 epruvete lungi 119899 = 10)

119860119899 =119871119906 minus 11987101198710

∙ 100 [] (445)

Altă mărime care se determină la icircncercarea la tracţiune este gacirctuirea la rupere

(exprimată de obicei icircn procente) şi definită de relaţia

119885 =1198600 minus 1198601199061198600

∙ 100 [] (446)

Mărimile determinate limita de proporţionalitate modulul de elasticitate

longitudinal limita de elasticitate limita de curgere aparentă rezistenţa de rupere

alungirea la rupere şi gacirctuirea la rupere sunt cunoscute ca fiind caracteristici mecanice

ale materialului

Din curba caracteristică convenţională observăm faptul că ruperea (punctul 119865 din

figura 48 se produce la o tensiune mai mică decacirct cea corespunzătoare punctului 119864 Dacă

icircnsă forţa din timpul icircncercării s-ar raporta la aria secţiunii din momentul icircnregistrării

forţei (care este mai mică decacirct cea iniţială 1198600) s-ar obţine aşa numita curbă

caracteristică reală a materialului (traseul 1198741198601198611198621198631198651 din figura 48) La curba

caracteristică reală ruperea se produce icircn punctul 1198651 la o icircncărcare mai mare decacirct cea

corespunzătoare punctului 119864 Icircnseamnă că rezistenţa reală la rupere este mai mare decacirct

rezistenţa la rupere dată de punctul 119864 din diagrama caracteristică convenţională

Dificultatea obţinerii diagramei caracteristice reale faţă de cea a diagramei caracteristice

convenţionale şi considerarea unei rezistenţe la rupere mai mică decacirct a celei reale face

icircn practică utilizarea pe scară mare a diagramei caracteristice convenţionale

Caracteristicile mecanice determinate pe baza curbei caracteristice convenţionale

sunt şi ele caracteristici mecanice convenţionale

Caracteristicile mecanice convenţionale limita de proporţionalitate convenţională

120590119901 limita de elasticitate convenţională 120590119890 limita de curgere convenţională 120590119888 şi rezistenţa

de rupere 120590119903 constituie tensiuni limită pentru un material Pe baza acestor caracteristici

de material se alege valoarea tensiunii admisibile 120590119886 (vezi paragraful 35) pentru

calculele de rezistenţă Cea mai utilizată stare limită pentru stabilirea tensiunii admisibile

120590119886 este limita de curgere convenţională 120590119888

120590119886 =120590119897119894119898119888

=120590119888119888 119904119886119906 120590119886 =

120590119903119888 (447)

Caracteristicile mecanice ale materialului sunt influenţate de o serie de factori

temperatura viteza de solicitare factorii tehnologici iar valorile lor sunt date icircn tabele și

diagrame

Aplicaţie Pentru suprafaţa plană compusă din două dreptunghiuri avacircnd

dimensiunile din figura 49a să se calculeze

a) centrul de greutate al secțiunii compuse 119910119866 119911119866

b) momentele de inerție axiale 119868119911 119868119910 și momentul de inerție centrifugal 119868119911119910

c) razele de inerție 119894119911 119894119910

d) modulele de rezistență 119882119911119898119894119899 119882119911119898119886119909 119882119910119898119894119899 119882119910119898119886119909

e) momentele de inerție principale 1198681 1198682 și direcțiile principale de inerție 1205721

f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 119878119911

Fig 49 Aplicație

Rezolvare Pentru rezolvare vom parcurge următoarele etape

icircmpărțim suprafața compusă icircn două suprafețe simple (dreptunghiuri) notate cu

① și respectiv ② figura 49b

poziționăm centrele de greutate a celor două suprafețe simple ① și respectiv ②

notate cu 1198661 și respectiv 1198662 figura 49c

poziționăm sistemele de axe de coordonate 119911111986611199101 pentru dreptunghiul ① și

119911211986621199102 pentru dreptunghiul ② aflate la intersecția diagonalelor figura 49c

poziționăm sistemele de axe de coordonate 11991101198741199100 ales arbitrar față de care

determinăm poziția centrului de greutate 119866 figura 49c

a) calculăm poziția centrului de greutate folosind relațiile (46) icircn care

1198601 = 6119905 ∙ 119905 = 61199052 1198602 = 4119905 ∙ 119905 = 41199052 119860 = 1198601 + 1198602 = 61199052 + 41199052 = 101199052

iar centrele de greutate 1198661 și respectiv 1198662 au coordonatele (față de sistemul 11991101198741199100)

1198661 1199101 = 3119905 1199111 = 05119905

1198662 1199102 = 051199051199112 = 3119905

cu acestea obținem

119910119866 =1198601 ∙ 1199101 + 1198602 ∙ 1199102

119860=61199052 ∙ 3119905 + 41199052 ∙ 05119905

101199052=201199053

101199052= 2119905

119911119866 =1198601 ∙ 1199111 + 1198602 ∙ 1199112

119860=61199052 ∙ 05119905 + 41199052 ∙ 3119905

101199052=151199053

101199052= 15119905

Poziționăm centrul de greutate 119866 al suprafeței compuse figura 49c

Fig 49 Aplicație

b) pentru determinarea momentelor de inerție axiale 119868119911 119868119910 și a momentului de

inerție centrifugal 119868119910119911 determinăm constantele 1198881 1198882 1198891 1198892 care intervin icircn relația lui

Stainer

1198881 = 1199101 minus 119910119866 = 3119905 minus 2119905 = 119905 1198882 = minus(119910119866 minus 1199102) = minus(2119905 minus 05119905) = minus15119905

1198891 = minus(119911119866 minus 1199111) = minus(15119905 minus 05119905) = minus119905 1198892 = 1199112 minus 119911119892 = 3119905 minus 15119905 = 15119905

Folosind relațiile lui Stainer (429) (430) și (431) calculăm momentele de

inerție axiale și centrifugale față de sistemul central 119911119866119866119910119866

119868119911 =sum(119868119911119894 + 1198881198942 ∙ 119860119894) = 1198681199111 + 1198881

2 ∙ 1198601 + 1198681199112 + 11988822 ∙ 1198602

119868119910 =sum(119868119910119894 + 1198891198942 ∙ 119860119894) = 1198681199101 + 1198891

2 ∙ 1198601 + 1198681199102 + 11988922 ∙ 1198602

119868119911119910 =sum(119868119911119894119910119894 + 119888119894 ∙ 119889119894 ∙ 119860119894) = 11986811991111199101 + 1198881 ∙ 1198891 ∙ 1198601 + 11986811991121199102 + 1198882 ∙ 1198892 ∙ 1198602

1198681199111 = (119887 ∙ ℎ3

12) =

119905 ∙ (6119905)3

12= 181199054 1198681199112 = (

119887 ∙ ℎ3

12) =

4119905 ∙ 1199053

12= 031199054

1198681199101 = (1198873 ∙ ℎ

12) =

1199053 ∙ 6119905

12= 051199054 1198681199102 = (

1198873 ∙ ℎ

12) =

(4119905)3 ∙ 119905

12= 531199054

11986811991111199101 = 11986811991121199102 = 0 deoarece cele două triunghiuri au cel puțin o axă de simetrie

Cu acestea momentele de inerție axiale și momentul de inerție centrifugal devin

119868119911 = 181199054 + 1199052 ∙ 61199052 + 031199054 + (minus15119905)2 ∙ 41199052 = 3331199054

119868119910 = 051199054 + (minus119905)2 ∙ 61199052 + 531199054 + (15119905)2 ∙ 41199052 = 2081199054

119868119911119910 = 0 + 119905 ∙ (minus119905) ∙ 61199052 + 0 + (minus15119905) ∙ (15119905) ∙ 41199052 = minus151199054

c) razele de inerție sau de girație față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910

se calculează cu relațiile (411)

119894119911 = radic119868119911119860= radic

3331199054

101199052= 182119905 119894119910 = radic

119868119910

119860= radic

2081199054

101199052= 144119905

d) modulele de rezistență față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910 se

calculează cu relațiile (412) și (413)

Avacircnd icircn vedere figura 419c obținem

119910119898119886119909 = 6119905 minus 119910119866 = 6119905 minus 2119905 = 4119905 119910119898119894119899 = minus119910119866 = minus2119905

119911119898119886119909 = 5119905 minus 119911119866 = 5119905 minus 15119905 = 35119905 119911119898119894119899 = minus119911119866 = minus15119905

Se obține astfel

119882119911119898119894119899 =119868119911

|119910119898119886119909|=3331199054

4119905= 8331199053

119882119911119898119886119909 =119868119911

|119910119898119894119899|=3331199054

2119905= 16651199053

119882119910119898119894119899 =119868119910

|119911119898119886119909|=2081199054

35119905= 5941199053

119882119910119898119886119909 =119868119910

|119911119898119894119899|=2081199054

15119905= 13871199053

e) momentele de inerție principale 1198681 și respectiv 1198682 se calculează cu relațiile

(438)

11986812 =119868119911 + 119868119910

2plusmn1

2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)

2+ 4 ∙ (119868119911119910)

2=

=3331199054 + 2081199054

2plusmn1

2∙ radic(3331199054 minus 2081199054)2 + 4 ∙ (minus151199054)2 = 27051199054 plusmn 16251199054

De unde obținem

1198681 = 27051199054 + 16251199054 = 4331199054

1198682 = 27051199054 minus 16251199054 = 1081199054

Prima direcție principală de inerție 1 face cu axa centrală 119866119911 unghiul 1205721 dat de

relația (437)

1205721 =1

2∙ arctan (minus

2 ∙ 119868119911119910

119868119911 minus 119868119910) =

1

2∙ arctan [minus

2 ∙ (minus151199054)

3331199054 minus 2081199054] =33 70

Deoarece 1205721 gt 0 rotirea axelor se face acircn sens antiorar acelor de ceasornic figura

49d

Poziția axe principale 2 față de care momentul de inerție are valoarea minimă

1198682 = 119868119898119894119899 este dată de unghiul

1205722 = 1205721 + 900 = 33 70 + 900 = 123 70

f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 se determină cu relația

(45)

1198781199111198602 = 1198602 ∙ 1198882 = 41199052 ∙ (minus15119905) = minus61199053

depinde foarte mult de modul de variaţie a forţelor icircn timp Bach a clasificat solicitările

icircn 3 categorii 1-solicitări statice 2-solicitări pulsante 3-solicitări alternant simetrice

Rezistenţa unui material este icircn raportul 321 pentru cele 3 cazuri de solicitare ale lui

Bach Aceasta icircnseamnă că o piesă solicitată static rezistă la o forţă de 3 ori mai mare

decacirct forţa maximă care produce ruperea aceleaşi piese solicitate alternant simetric

d) după poziţia icircn timp a forțelor se disting

- forţe fixe ale căror puncte de aplicaţie sunt mereu aceleaşi

- forţe mobile ale căror puncte de aplicaţie se deplasează icircn timp De exemplu

sarcinile produse de vehiculele care circulă pe un pod sarcinile unei grinzi de pod rulant

icircntr-o halăetc

24 Reazeme Forțe interioare Eforturi Diagrame de eforturi icircn barele

drepte

241 Reazeme Reacțiuni (forțe de legătură)

Pentru a prelua şi transmite acţiunea sarcinilor exterioare elementele de rezistenţă

din componenţa unei structuri sunt fixate icircntre ele prin intermediul unor legături

exterioare numite reazeme Aceste legături au ca scop icircmpiedicarea anumitor mişcări ale

corpului pe direcţiile pe care acestea nu trebuie să se producă O legătură are deci rolul

de a anula unul sau mai multe grade de libertate ale corpului icircn punctul de rezemare Dacă

este anulat un singur grad de libertate legătura este simplă iar dacă sunt impiedicate mai

multe grade de libertate legătura este una compusă Datorită existenţei sarcinilor

exterioare icircn punctele de rezemare pe direcţiile pe care mişcările sunt icircmpiedicate apar

forţe de legătură numite reacţiuni Numărul natura şi direcţiile reacţiunilor depind de

tipul reazemelor Icircn construcţiile reale există o varietate mare de realizare practică a

reazemelor dar icircn calcule se acceptă anumite schematizări care reţin doar aspectul esenţial

al unui reazem şi anume gradul sau gradele de libertate anulate

Pentru o structură de rezistenţă spaţială icircntr-un punct oarecare sunt posibile şase

deplasări trei deplasări liniare (după direcţiile axelor unui sistem ortogonal) şi trei rotiri

(deplasări unghiulare) icircn jurul aceloraşi axe Ca urmare ar fi posibil de realizat maximum

şase tipuri de reazem

Pentru un element de rezistenţă plan icircncărcat cu eforturi cuprinse icircn planul

elementului icircn orice punct sunt posibile trei gade de libertate două deplasări liniare şi o

rotiri Ca urmare pentru cazul unei bare plane se icircntacirclnesc următoarele tipuri de reazeme

1 Reazemul simplu sau reazemul mobil care icircmpiedică deplasarea pe o direcţie

normală pe suprafaţa de rezemare permiţacircnd deplasarea pe o direcţie paralelă cu

suprafaţa de rezemare şi rotirea barei icircn jurul unei axe perpendiculare pe plan icircn punctul

de rezemare Icircn urma icircmpiedicării deplasării şi datorită unor sarcini exterioare icircn

reazemul simplu apare o reacţiune de tip forţă a cărei suport trece prin punctul de

rezemare şi a cărei direcţie este perpendiculară pe suprafaţa de rezemare figura 27

Fig 27 Reazem simplu (mobil)

Icircn figura 27 este reprezentat un reazem mobil poziţionat pe capătul A al unei bare

plane orizontale fiind evidenţiate punctul şi suprafaţa de rezemare direcţia suportului

reacţiunii şi modul de schematizare al reazemului Cea mai des icircntacirclnită reprezentare a

reazemului mobil este a unui triunghi a cărui bază poate luneca pe suprafaţa de rezemare

2 Reazemul fix sau articulaţia icircmpiedică deplasările liniare după toate direcţiile

din planul barei permiţacircnd doar rotirea barei icircn jurul unei axe perpendiculare pe plan şi

care trece prin puncul de rezemare Reacţiunea este cuprinsă icircn planul barei care trece

prin punctul de rezemare dar a cărei mărime şi direcţie nu sunt cunoscute (forţa R)

figura 28

Fig 28 Reazem fix

Se preferă ca icircn locul unei forţe R avacircnd direcţia oarecare icircn plan necunoscută să

se introducă două forţe (HA şi VA) cărora li se cunoaşte direcţia şi pentru care se vor

determina modulele ca valori din condiţiile de echilibru static Icircntr-un reazem fix apar

icircntotdeauna reacţiuni atacirct pe direcţia perpendiculară pe suprafaţa de rezemare

(verticală) cacirct şi pe direcţia paralelă cu prima (orizontală) chiar dacă uneori una sau

chiar ambele reacţiuni au valoarea zero Reprezentarea schematică a articulaţiei este cea

a unui triunghi cu baza fixă şi cu vacircrful icircn punctul de rezemare sau cea a unui pendul

dublu figura 28

3 Icircncastrarea (sau icircnţepenirea) anulează toate gradele de libertate ale capătului

unei bare icircmpiedicacircnd deplasarea liniară după orice direcţie din plan precum şi rotirea

barei icircn jurul unei axe perpendiculare pe plan şi care trece prin punctul de icircncastrare

Urmare a existenţei sarcinilor exterioare şi a blocării deplasărilor icircn icircncastrare apare o

reacţiune căreia nu i se cunoaşte nici mărimea nici direcţia şi nici punctul de aplicaţie

figura 29

Fig 29 Icircncastrarea

Sub acţiunea forţelor exterioare un sistem este icircn echilibru Valoarea reacţinilor

se determină din condiţia de echilibru a sistemului solicitat

Este cunoscut faptul că un sistem plan este icircn echilibru dacă

nu se deplasează pe o direcţie (fie x această direcţie)

nu se deplasează pe o direcţie perpendiculară pe prima (fie y această direcţie)

nu se roteşte faţă de un punct al planului (fie K acest punct)

Cele trei condiţii enunţate mai sus sunt satisfăcute dacă suma proiecţiilor tuturor

forţelor pe direcţia x respectiv y este nulă şi suma tuturor momentelor (cuplurilor) faţă

de un punct al planului este nulă

242 Forțe interioare Metoda secțiunilor

Icircn vederea calculului de rezistenţă de rigiditate şi de stabilitate a barelor sau a

sistemelor de bare este necesară determinarea forţelor şi momentelor interioare

(eforturilor) care apar icircn secţiunile transversale ale acestora şi datorate icircncărcărilor

exterioare Forțele interioare indică legătura dintre particulele din interiorul corpului şi

se pun icircn evidenţă prin metoda secţiunilor care este un procedeu de raţionament

imaginar propus de Cauchy echivalent cu teoria echilibrului părţilor Conform acestui

raționament bdquodacă un corp solid deformabil este icircn echilibru sub acţiunea unui sistem

generalizat de forţe atunci după secționare fiecare parte a sa va fi icircn echilibru sub

acţiunea forţelor exterioare care-i revin şi a unui sistem de forţe pe care trebuie să-l

introducem icircn secţiunea ce delimitează fiecare parte echivalent cu acţiunea forţelor

aplicate pe partea icircndepărtatărdquo

Problemele care apar la aplicarea metodei secţiunilor sunt

- să pună icircn evidenţă existenţa forţelor interioare mai ales că din ceea ce se ştie o

forţă apare icircn prezenţa a două corpuri ca urmare a principiului acţiunii şi reacţiunii

- să explice modul de distribuţie al forţelor interioare pe secţiune

Considerăm un corp aflat icircn echilibru sub acţiunea unui sistem de forţe exterioare

1 2 3⋯119894 ⋯ 119899minus1 119899 şi presupunem că-l secţionăm cu un plan transversal Q (sau cu

o suprafaţă oarecare) figura 210a Icircn urma secţionării fictive (imaginare) conform

principiului echilibrului părţilor fiecare din cele două părţi obţinute trebuie să fie icircn

echilibru sub acţiunea forţelor exterioare care le revin şi a cacircte unui sistem de forţe

interioare pe care trebuie să-l introducem icircn secţiunile rezultate sistem echivalent cu

acţiunea forţelor exterioare ce acţionează asupra celeilalte părţi Astfel pe partea din

dreapta (notată cu II) delimitată de secţiunea de arie Ad sunt aplicate forţele exterioare

119894 ⋯ 119899minus1 119899 şi un sistem de forţe interioare căruia nu i se cunoaşte decacirct efectul acelaşi

cu cel al forţelor 1 2 3 de pe parea din stacircnga (notată cu I şi delimitată de secţiunea

de arie As) figura 210b Prin metoda secţiunilor am reuşit să punem icircn evidenţă existenţa

forţelor interioare şi să le trecem icircn categoria celor exterioare cărora le putem aplica

relaţiile de echivalenţă şi de echilibru cunoscute din statică Ideal ar fi să cunoaştem

distribuţia şi intensitatea punctuală a acestor forţe pentru că s-ar putea ca icircn anumite

puncte ale secţiunii valoarea forţelor să depăşească limita de rezistenţă (limita de curgere)

a materialului Cunoaşterea distribuţiei punctuale a forţelor interioare nu se poate realiza

decacirct icircn cazuri particulare relativ simple de solicitare

Să considerăm partea din dreapta a corpului asupra căreia acționează forțele

119894 ⋯ 119899minus1 119899 mărginit de aria Ad pe care acționează un sistem de forțe interioare

echivalent cu 1 2 3 Deși forțele interioare de pe Ad nu se cunosc totuși efectul lor

este același cu cel al forțelor 1 2 3 deci le putem reduce icircn centrul de greutate C al

secțiunii Ad rezultacircnd componentele torsorului de reducere al forțelor interioare

(119894119889 119894119889) și pentru partea din stacircnga (119894119904 119894119904) Evident conform principiului acțiunii și

reacțiunii

119894119889 = minus119894119904

119894119889 = minus119894119904 (21)

Pe de altă parte cum fiecare dintre părțile corpului după secționare trebuie să fie

icircn echilibru sub acțiunea forțelor exterioare care le revin și a forțelor interioare introduse

rezultă

119894119889 = minus119890119889

119894119889 = minus119890119889

119894119904 = minus119890119889

119894119904 = minus119890119904 (22)

Combinacircnd (21) cu (22) rezultă

119894119889 = 119890119889

119894119889 = 119890119889

119894119904 = 119890119904

119894119904 = 119890119904 (23)

Fig 210 Forțe interioare

Relațiile (22) și (23) permit determinarea componentelor torsorului de reducere

al forțelor interioare din (23) rezultă componentele torsorului forțelor interioare care

acționează icircn secțiunea Ad sunt egale cu componentele torsorului de reducere al forțelor

exterioare de pe partea din stacircnga din (22) rezultă componentele torsorului forțelor

interioare care acționează icircn secțiunea Ad sunt egale și de sens contrar cu componentele

torsorului de reducere al forțelor exterioare de pe partea din dreapta

Observații

1 Torsorul forțelor interioare diferă de la o secțiune la alta dar pentru aceeași

secțiune el este unic și trebuie să respecte condițiile de compatibilitate a deformațiilor

2 Reducacircnd forțele interioare icircn centrul de greutate al secțiunii s-a făcut o

aproximare icircn ceea ce privește efectul modului de dispunere al forțelor

3 Punctul de reducere trebuie să fie

pentru forțele interioare normale la secțiune centrul de greutate

pentru forțele interioare tangente la planul secțiunii centrul de răsucire sau de

tăiere

243 Eforturi

Prin metoda secțiunilor am pus icircn evidență existența forțelor interioare și modul

icircn care se determină componentele torsorului de reducere al forțelor interioare (119894119889 119894119889) de pe fața din dreapta secțiunii (Ad) Cele două componente ale torsorului de reducere al

forțelor interioare de pe Ad se pot descompune după axele unui sistem de referință

triortogonal xCyz astfel

119894119889 = +

119894119889 = 119909 +119872119894 (24)

unde și 119909 sunt proiecțiile lui 119894119889 și respectiv 119894119889 pe axa longitudinală Cx a

barei iar și 119894 sunt proiecțiile acelorași componente 119894119889 și respectiv 119894119889 pe planul yCz

al secțiunii transversale Ad figura 211

Fig 211 Torsorul de reducere al forţelor interioare

La racircndul lor și 119894 se pot descompune după axele sistemului yCz figura 212

= 119910 + 119911

119894 = 119894119910 + 119894119911 (25)

Fig 212 Descompunerea forţei tăietoare şi a momentului icircncovoietor

Cele șase componente ale torsorului de reducere al forțelor interioare ( 119910 119911

119909 119894119910 119894119911) orientate după axele sistemului de referință xCyz se numesc eforturi

Fiecare efort are o denumire stabilită icircn funcție de tipul de deformație pe care-l produce

De asemenea semnul plus (bdquo+rdquo) sau minus (bdquondashrdquo) al fiecărui efort nu depinde de sensul

pozitiv sau negativ al sistemului de axe ci doar de efectul icircn deformații al fiecărui efort

Denumirile celor șase eforturi sunt

119873 este forța axială

119879119910 119879119911 sunt forțe tăietoare orientate după axele Cy și respectiv Cz

119872119909 notat de cele mai multe ori cu 119872119905 este moment de torsiune sau de răsucire

119872119894119911 119872119894119910 sunt momente de icircncovoiere icircn jurul axei Cz și respectiv Cy

Forța axială 119873 poate fi forță axială de icircntindere cacircnd produce o lungire a

tronsonului pe a cărei față acționează (119873 gt 0) figura 213a sau forță axială de

compresiune cacircnd sub efectul ei bara se scurtează (119873 lt 0) figura 213b

Fig 213 Forța axială

Forțele tăietoare 119879119910 și 119879119911 au ca efect lunecarea secțiunii icircn centrul căreia

acționează icircn raport cu secțiunea icircnvecinată lunecare ce se produce pe direcția și icircn sensul

forței Sub acțiunea unei forțe tăietoare bara este solicitată la forfecare Forța tăietoare

este pozitivă 119879119910 gt 0 dacă icircn raport cu un punct oarecare K de pe axa Cx a barei tinde să

rotească secțiunea pe care acționează icircn sens orar

Fig 214 Forța tăietoare

Momentele de icircncovoiere 119872119894119911 și 119872119894119910 au ca efect o rotire a secțiunii icircn centrul

cărora acționează icircn jurul axei după care sunt orientate Icircn figura 215a se vede că

datorită momentului 119872119894119911 fibrele de deasupra axei Cz se alungesc icircn timp ce fibrele de sub

axa Cz se scurtează Fibrele care trec prin axa de icircncovoiere Cz nu se deformează sunt

fibre neutre la icircncovoiere adică axa neutră este Cz Icircn cazul momentului de icircncovoiere

119872119894119910 fibrele care nu se deformează sunt cele care trec prin axa neutră la icircncovoiere Cy

Momentele de icircncovoiere se consideră a fi pozitive (119872119894119911 gt 0119872119894119910 gt 0) dacă

observatorul care privește bara deformată vizualizează fibrele icircntinse

Fig 215 Momentul icircncovoietor

Momentul de torsiune sau de răsucire 119872119909 equiv 119872119905 are ca efect o rotire a secțiunii

icircn al cărei centru acționează icircn jurul axei longitudinale Cx Ca efect secțiunea icircși schimbă

forma (se deformează) adică unghiurile inițiale se modifică dreptunghiul inițial Ad

devine paralelogram Convențional se consideră 119872119905 gt 0 dacă vectorul moment are

aceeași orientare ca și sensul pozitiv ales pextru axa Cx Icircn figura 216 momentul este

negativ

Fig 216 Momentul de torsiune

25 Definiții și convenții de semne pentru eforturile

din secțiunile unei bare drepte plane icircncărcate cu sarcini coplanare

Vom considera o bară plană icircncărcată cu un sistem de forțe arbitrar figura 217

Ne propunem să determinăm eforturile care apar icircn secțiunea barei aflată la distanța 119909 de

reazemul din stacircnga (A)

Pentru aceasta vom aplica metoda secțiunilor vom secționa bara cu un plan

perpendicular pe axa longitudinală a barei și vom analiza doar partea din dreapta secțiunii

mărginită de fața Ad Pentru ca această porțiune de bară să fie icircn echilibru sub acțiunea

forțelor exterioare care acționează asupra sa 1198653 și 119881119861 va trebui să introducem icircn centrul

secțiunii Ad eforturile care pot să apară 119873 119879119910 119872119894119911 Acțiunea acestor eforturi trebuie să

fie echivalentă cu acțiunea forțelor exterioare aplicate pe partea icircnlăturată (parcursă) a

barei 119867119860 119881119860 1198651 1198652 1198720

Deoarece bara este plană și este icircncărcată doar cu sarcini ce aparțin

planului barei

icircn secțiunea Ad apar doar 3 componente ale torsorului de reducere al forțelor

interioare (eforturi)

- 119873 = forța axială

- 119879119910 = forța tăietoare pe care o vom nota cu 119879

- 119872119894119911 = momentul icircncovoietor notat cu Mi

Fig 217 Bară plană icircncărcată cu un sistem de forțe

Vom prezenta următoarele definiții corespunzătoare eforturilor din secțiunea Ad

119873 = forța axială dintr-o secțiune este egală cu suma algebrică a proiecțiilor pe

axa longitudinală a tuturor forțelor exterioare (sarcini și reacțiuni) aplicate pe partea

din stacircnga secțiunii adică pe porțiunea parcursă Forța axială 119873 este pozitivă dacă trage

de tronsonul pe a cărei față acționează (are orientarea normalei exterioare la secțiunea

Ad)

119873(119909) = minus119867119860 + 1198651119867 (26)

119879 = forța tăietoare icircntr-o secțiune este egală cu suma algebrică a proiecțiilor

pe o axă perpendiculară pe axa barei a tuturor forțelor exterioare (sarcini și reacțiuni)

aplicate pe porțiunea de bară aflată icircn stacircnga secțiunii considerate Forța tăietoare 119879

este pozitivă dacă tinde să rotească tronsonul pe a cărui față acționează icircn sens orar icircn

raport cu un punct de pe axa barei aflat la dreapta secțiunii

119879(119909) = 119881119860 minus 1198651119881 minus 1198652 (27)

119872119894 = momentul icircncovoietor icircntr-o secțiune este egal cu suma algebrică a

momentelor obținute prin reducerea tuturor forțelor exterioare ( cupluri sarcini

reacțiuni) aplicate pe porțiunea de bară aflată la stacircnga secțiunii icircn centrul secțiunii

considerate 119872119894 este considerat pozitiv dacă tinde să deformeze bara astfel icircncacirct fibrele

spre care privește un observator să fie icircntinse Cum poziția observatorului este de regulă

sub bară bara se deformează dacă 119872119894 gt 0 astfel icircncacirct partea jos a barei este icircntinsă Se

spune că bara deformată rdquoține apaldquo

119872119894(119909) = 119881119860 ∙ 119909 minus 1198651119881 ∙ (119909 minus 1198971) minus 1198652 ∙ [119909 minus (1198971 + 1198972)] + 1198720 (28)

Sensurile pozitive ale eforturilor care apar icircn centrul secțiunii Ad (deci atunci cacircnd

sensul de parcurs la aplicarea metodei secțiunilor este cel de la stacircnga la dreapta) sunt

indicate icircn figura 218a iar dacă sensul de parcurs este de la dreapta la stacircnga sensurile

pozitive ale eforturilor sunt indicate icircn figura 218b

Fig 218 Convenţia de semne

Definiții asemănătoare se pot da și pentru eforturile din centrul secțiunii As figura

218b adică pentru cazul icircn care sensul de parcurs este cel de la dreapta la stacircnga și deci

partea luată icircn considerare este cea din stacircnga iar partea parcursă din dreapta secțiunii

este icircnlăturată

119873(1199091) = 1198653119867

119879(1199091) = 1198653119881 minus 119881119861

119872119894(1199091) = 119881119861 ∙ 1199091 minus 1198653119881 ∙ (1199091 minus 1198975)

(29)

Avacircnd icircn vedere că fețele Ad și As aparțin aceleeași secțiuni este evident faptul că

eforturile 119873(119909) 119879(119909) și 119872119894(119909) sunt identice cu eforturile 119873(119961120783) 119879(119961120783) și respectiv

119872119894(119961120783) Icircn figura 218c se prezintă o sinteză a convențiilor de semne pozitive pentru cele

3 eforturi atacirct pentru sensul de parcurs de la stacircnga la dreapta (secțiunea Ad) cacirct și pentru

sensul invers (secțiunea As)

Semnele eforturilor sunt importante icircntrucacirct există materiale cu comportări diferite

la icircntindere față de compresiune iar o schimbare a semnului unui efort poate produce

erori grave icircn calcule Semnele eforturilor au fost stabilite icircn funcție de deformațiile

produse și nu depind de sensul axelor sistemului de coordonate

26 Relaţii diferenţiale icircntre eforturi şi sarcini

Pentru a vedea ce legătură există icircntre eforturi și sarcini vom considera o bară

dreaptă icircncărcată cu o sarcină distribuită după o lege oarecare figura 219a Din această

bară vom decupa prin dublă secționare un element de lungime infinit mică 119889119909 Deoarece

lungimea 119889119909 este foarte mică se poate considera sarcina 119901 uniform distribuită Icircn

secțiunile rezultate trebuie să introducem eforturile care pot apărea

- 119879 şi 119872119894 icircn centrul secțiunii din sticircnga eforturi pe care le considerăm pozitive

- 119879 + 119889119879 şi 119872119894 + 119889119872119894 icircn centrul secțiunii din dreapta elementului

Aceste eforturi au o variație mică (119889119879 şi 119889119872119894) față de secțiunea anterioară Spre

deosebire de cazul icircn care bara este secționată o singură dată icircn acest caz eforturile nu

pot fi determinate din cele 2 condiții de echilibru independente deoarece icircn ecuațiile de

echilibru apar 4 necunoscute 119879 119889119879119872119894 și 119889119872119894 deci că problema este dublu static

nedeterminată figura 219

Fig 219 Echivalența icircntre eforturi și sarcini

Ecuațiile de echilibru scrise pentru elementul din figura 219b conduc la stabilirea

unor relaţii foarte importante

(sum119865)119910= 0 hArr 119879 minus 119901 ∙ 119889119909 minus (119879 + 119889119879) = 0 rArr

119889119879

119889119909= minus119901 (210)

Relația (210) arată că derivata funcţiei forţei tăietoare icircn raport cu abscisa

secţiunii este egală cu sarcina distribuită normală la axa barei din acea secţiune luată

cu semn schimbat

Observații

dacă 119901 = 0 nu există sarcină distribuită atunci forța tăietoare T este constantă

icircnclinarea pantei diagramei forței 119879 este egală cu (ndash 119901) (sarcina distribuită cu

semn schimbat)

dacă 119901 = 119888119900119899119904119905 119879 variază liniar pe acel interval

Asemănător se deduce că derivata funcţiei forţei axiale icircn raport cu abscisa

secţiunii este egală cu sarcina distribuită axială din acea secţiune luată cu semn

schimbat adică

119889119873

119889119909= minus119901119867 (211)

Din condiția de echilibru suma de momente faţă de centrul de greutate al secţiunii

din dreapta

(sum119872)119862= 0 hArr 119872119894 minus (119872 + 119889119872119894) + 119879 ∙ 119889119909 minus 119901 ∙

(119889119909)2

2= 0 rArr

119889119872119894

119889119909= 119879 (212)

Relația (212) s-a obținut dupa reducerea termenilor și prin neglijarea infinitului

mic de ordinul 2

119901 ∙(119889119909)2

2

Relația (212) arată că derivata funcţiei moment icircncovoietor icircn raport cu abscisa

secţiunii este egală cu forţa tăietoare din acea secţiune

Observații

dacă 119879 = 0 momentul 119872119894 are un punct de extrem se obține o valoare maximă

pentru 119872119894119898119886119909 dacă forța tăietoare 119879 se anulează trecacircnd de la plus icircn stacircnga la minus icircn

dreapta secțiunii

dacă forța tăietoare este pozitivă pe un interval 119879 gt 0 atunci 119872119894 este crescătoare

pe acel interval

dacă forța tăietoare este negativă pe un interval 119879 lt 0 atunci 119872119894 este

descrescătoare pe acel interval

dacă pe un interval 119901 = 0 forța tăietoare este constantă 119879 = 119888119905 iar 119872119894 variază

liniar pe acel interval

dacă 119901 = 119888119900119899119904119905 119879 variază liniar pe acel interval iar 119872119894 variază parabolic pe

acel interval

Relaţiile diferenţiale sunt utile la reprezentarea corectă şi verificarea diagramelor

de eforturi astfel

pentru porţiunile de grindă pe care p = 0 eforturile N şi T sunt constante iar pe

porţiunile cu p = const eforturile N şi T variază liniar (relaţiile 211 şi 210)

dacă pe o porţiune T = const momentul icircncovoietor Miz variază liniar iar dacă

T variază liniar atunci momentul Miz variază parabolic (relaţia 212)

pe domeniile pe care T gt 0 funcţia Mi(x) este crescătoare iar icircn secţiunea icircn

care T = 0 (graficul funcţiei T intersectează axa x) momentul icircncovoietor are un punct

de extrem local (maxim sau minim relaţia 212)

Pentru rezolvarea problemelor referitoare la trasarea diagramelor de eforturi

pentru barele drepte solicitate de sisteme de forţe plane se parcurg următoarele etape

1) identificarea forţelor aplicate (date) şi pregătirea lor pentru calcule

(descompunerea forţelor concentrate pe direcţiile x şi y calculul rezultantelor forţelor

distribuite)

2) identificarea reazemelor şi introducerea reacţiunilor corespunzătoare (vezi

figurile 27divide29)

3) stabilirea ecuaţiilor de echilibru static calculul şi verificarea reacţiunilor Icircn

rezistența materialelor se folosește sistemul de ecuații (vezi figura 217)

(sum119865)

119909= 0

(sum119872)119860= 0

(sum119872)119861= 0

(213)

4) identificarea domeniilor de variaţie şi scrierea funcţiilor de eforturi pentru N T

şi Mi

5) reprezentarea grafică a diagramelor de eforturi

6) verificarea corectitudinii diagramelor pe baza relaţiilor diferenţiale icircntre eforturi

şi sarcini

Aplicație Pentru grinda dreaptă icircncărcată cu sistemul de forţe reprezentat icircn figura

220 se cere

a) să se calculeze şi să se verifice reacţiunile

b) să se stabilească funcţiile eforturilor Nx Ty şi Miz şi să se reprezinte diagramele

de variaţie

c) să se analizeze relaţiile diferenţiale icircntre eforturi şi sarcini

Dimensiunile grinzii au valorile a = 6 [m] b = 4 [m] și c = 4[m] sistemul de

forţe aplicat fiind format din p = 10 [kN mfrasl ] F = 20 [kN] (icircnclinată cu unghiul α =300 faţă de orizontală) şi M0 = 40 [kN ∙ m]

Rezolvare

a) Se fac următoarele precizări

grinda dreaptă se reprezintă prin axa geometrică

forţa icircnclinată F se descompune după direcţiile orizontală şi verticală icircn FV =F ∙ sin α = 10 [kN] şi FH = F ∙ cos α = 173 [kN]

forţa distribuită uniform p este echivalentă din punct de vedere static cu

rezultanta sa R = p ∙ a = 60 [kN] care acţionează la jumătatea porţiunii de lungime a

icircn reazemele 119860 şi 119861 se introduc componentele HA şi VA respectiv VB ale

reacţiunilor

Pentru calculul reacţiunilor se utilizează ecuaţiile de echilibru static al grinzii

sumXi = 0 HA minus FH = 0 sumYi = 0 VA + VB minus R minus FV = 0 (sumM)B = 0 VA ∙ (b + a) minus R ∙ (b + 05 ∙ a) minus M0 + FV ∙ c = 0

(A1)

Din prima ecuaţie se obţine HA iar din cea de-a treia ecuaţie rezultă VA

HA = FH = 173 [kN]

VA =[R ∙ (b + 05 ∙ a) + M0 minus FV ∙ c]

(b + a)=[60 ∙ (4 + 05 ∙ 6) + 40 minus 10 ∙ 4]

(4 + 6)

VA = 42 [kN]

(A2)

Fig 220 Aplicație

Se observă că cea de-a doua ecuaţie de echilibru conţine două necunoscute

reacţiunile VA şi VB Pentru a calcula componenta VB nu este indicată introducerea lui VA

icircn cea de-a doua ecuaţie a sistemului (A1) pentru că o valoare determinată greşit pentru

VA conduce la o valoare VB de asemenea greşită O ecuaţie independentă din care se poate

determina componenta VB este următoarea

(sumM)A= 0 FV ∙ (a + b + c) minus VB ∙ (a + b) minus M0 + R ∙ 05 ∙ a = 0 (A3)

de unde se obţine

VB =[FV ∙ (a + b + c) minusM0 + R ∙ 05 ∙ a]

(b + a)=[10 ∙ (6 + 4 + 4) minus 40 + 60 ∙ 05 ∙ 6]

(6 + 4)

VB = 28 [kN] (A4)

Ecuaţia de proiecţii ale forţelor pe direcţia verticală (a doua ecuaţie din sistemul

A1) se utilizează pentru verificarea reacţiunilor deja determinate

VA + VB minus R minus FV = 0 rArr 42 + 28 minus 60 minus 10 = 0 (A5)

Ultima egalitate demonstrează că reacţiunile verticale au fost calculate corect

Din cele de mai sus rezultă ordinea firească pentru determinarea reacţiunilor icircn

cazul grinzilor simplu rezemate

sumXi = 0

(sumM)A = 0

(sumM)B = 0

(A6)

iar pentru verificarea componentelor verticale VA şi VB se folosește ecuaţia sumY = 0

b) La stabilirea funcţiilor de eforturi se parcurg icircn general etapele următoare

se notează (numeric sau literal după preferinţă) secţiunile care delimitează

domeniile (intervalele sau tronsoanele) pe care eforturile nu-şi modifică funcţiile (au legi

unice de variaţie)

pe fiecare domeniu se marchează secţiunea imaginară icircn care se stabilesc

funcţiile eforturilor

secţiunea astfel aleasă separă icircn două părţi grinda şi anume porţiunea din stacircnga

şi porţiunea din dreapta secţiunii

se va considera parcursă (şi icircndepărtată) acea parte pe care acţionează mai puţine

sarcini exterioare pentru că acestea vor interveni icircn expresiile funcţiilor de eforturi

poziţiile secţiunilor imaginare se vor determina prin variabilele x1 ⋯ xn (unde

n reprezintă numărul domeniilor de variaţie) cu originea fixată icircn capătul intervalului şi

sensul de parcurgere spre partea considerată rămasă

Grinda prezentată icircn figura 220 are trei domenii de variaţie pentru funcţiile de

eforturi după cum urmează (A-1) (2-B) şi (B-1)

Domeniul (A-1) x1 isin [0 a = 6 m] Porţiunea parcursă şi considerată icircndepărtată este cea de coordonată x1 pe care

acţionează reacţiunile HA şi VA precum şi rezultanta parţială a sarcinii distribuite R1 =p ∙ x1

Funcţia forţă axială Nx are expresia

Nx(x1) = NAminus1 = minusHA = minus173 [kN] = const

(A7)

Funcţia forţă tăietoare Ty are exspresia

Ty(x1) = TAminus1 = VA minus R1 = VA minus p ∙ x1 (A8)

care reprezintă o variaţie liniară de variabilă x1 Se calculează valorile forţei tăietoare la

limitele intervalului de variaţie

- pentru x1 = 0 Ty(x1 = 0) = TA = VA = 42 [kN]

- pentru x1 = a = 6 [m] Ty(x1 = 6) = T1 = VA minus p ∙ a = minus18 [kN]

Observaţie Aşa cum a fost stabilită secţiunea fictivă poziţionată prin coordonata

x1 sar părea că rezultanta R ar trebui luată icircn calculul lui Ty(x1) Acest lucru ar fi greşit

pentru că R = p ∙ a reprezintă rezultanta sarcinii distribuite pe toată lungimea a iar

rezultanta pe porţiunea parcursă de lungime x1 este R1 = p ∙ x1 ne R = p ∙ a

Cu valorile obţinute se trasează diagramele forţelor axială Nx = f(x) şi tăietoare

Ty = f(x) figura 220 Din diagrama forţei tăietoare şi din valorile obţinute analitic se

observă că forţa tăietoare icircşi schimbă semnul pe intervalul analizat deci se anulează pe

acest interval Poziţia secţiunii unde Ty se anulează se determină din ecuaţia

Ty(x1) = 0 rArr VA minus p ∙ x1 = 0 (A9)

cu soluţia x1lowast = ξ = 42 [m] Important de reamintit că icircn această secţiune momentul

icircncovoietor va avea un extrem local adică Miz are un extrem la Ty = 0

Funcţia moment icircncovoietor Miz are expresia

Miz(x1) = VA ∙ x1 minus R1 ∙x12= VA ∙ x1 minus (p ∙ x1) ∙

x12

(A10)

Se observă că funcţia moment icircncovoietor de variabilă x1 are o variaţie parabolică

(gradul al II-lea) Pentru reprezentarea grafică a funcţiei parabolice se calculează valorile

momentului icircncovoietor icircn trei secţiuni

- pentru x1 = 0 Miz(x1 = 0) = MA = 0 [kN ∙ m] - pentru x1 = a = 6 [m] Miz(x1 = 6) = M1 = 72 [kN ∙ m] - pentru x1

lowast = ξ = 42 [m] Miz(x1lowast = ξ = 42 [m]) = Mimax = 882 [kN ∙ m]

Cu acestea se trasează diagrama Miz = f(x) pe intervalul (A-1) figura 220

Observaţie Icircn unele cazuri pe un anumit interval forţa tăietoare nu se anulează

şi momentul icircncovoietor nu are un extrem local Icircn acest caz pentru reprezentarea

variaţiei parabolice a momentului icircncovoietor se va studia semnul derivatei a doua a

funcţiei Miz = f(x1) acesta determinacircnd convexitatea curbei momentului icircncovoietor

Domeniul (2-B) x2 isin [0 c = 4 m] Porţiunile din grindă libere (nerezemate) la un capăt se numesc console iar

stabilirea funcţiilor de eforturi devine mai simplă dacă se consideră icircndepărtată partea din

dreapta secţiunii prin schimbarea sensului pozitiv al axei x Astfel se obţin funcţiile eforturilor

Funcţia forţă axială Nx are expresia

Nx(x2) = N2minusB = minusFH = minus173 [kN] = const

(A11)

Funcţia forţă tăietoare Ty are exspresia

Ty(x2) = T2minusB = FV = 10 [kN] = const (A12)

Funcţia moment icircncovoietor Miz are expresia

Miz(x2) = minusFV ∙ x2 rArr Miz(x2 = 0) = M2 = 0 [kN ∙ m]

Miz(x2 = 4) = MB = minus40 [kN ∙ m] (A13)

variaţie liniară (gradul I)

Domeniul (B-1) x3 isin [0 b = 4 m] Pe acest domeniu se acceptă parcurgerea grinzii de la dreapta adică se consideră

icircndepărtată partea din dreapta secţiunii fictive pentru că are doar două sarcini aplicate F

şi VB faţă de partea din stacircnga secţiunii pe care sunt aplicate trei sarcini p VA şi M0

Astfel se obţin funcţiile eforturilor

Funcţia forţă axială Nx are expresia

Nx(x3) = NBminus1 = minusFH = minus173 [kN] = const

(A14)

Funcţia forţă tăietoare Ty are exspresia

Ty(x3) = TBminus1 = FV minus VB = minus18 [kN] = const (A15)

Funcţia moment icircncovoietor Miz are expresia

Miz(x3) = minusFV ∙ (x3 + c) + VB ∙ x3 rArr

rArr Miz(x3 = 0) = MB = minus40 [kN ∙ m]

Miz(x3 = 4) = M1 = 32 [kN ∙ m]

(A16)

variaţie liniară (gradul I)

Diagramele eforturilor sunt prezentate icircn figura 220

c) Relaţiile diferenţiale dintre eforturi şi sarcini se analizează pe diagramele

eforturilor după cum urmează

sarcina distribuită nu are componentă orizontală adică ph = 0 şi icircn

conformitate cu formula (211) rezultă că Nx = const pe toată lungimea grinzii fapt care

a rezultat din funcţia şi reprezentarea diagramei forţei axiale

pe intervalul (A-1) sarcina distribuită are doar componenta verticală pozitivă

pV = p gt 0 prin urmare forţa tăietoare scade (are panta negativă dTy 119889119909frasl = minusp vezi

relaţia 210) iar momentul icircncovoietor avacircnd derivata a doua negativă d2M119894119911 1198891199092frasl =minuspare convexitatea curbei orientată spre sensul pozitiv al axei momentului Miz adică icircn

jos

pe domeniile (2-B) şi (B-1) deoarece pv = 0 forţa tăietoare Ty este constantă

iar momentul icircncovoietor Miz variază liniar

referitor la relaţia (212) pe porţiunile unde Ty gt 0 momentul Miz este

monoton crescător pe porţiunile unde Ty lt 0 momentul Miz este monoton descrescător

iar icircn secţiunea icircn care Ty = 0 momentul icircncovoietor are un extrem local Mξ =

882 [kN ∙ m] icircn diagrama forţei tăietoare discontinuităţile (salturile) se produc icircn secţiunile

unde acţionează VA VB şi FV iar icircn diagrama momentului icircncovoietor se produce un

singur salt icircn secţiunea icircn care este aplicat M0

se poate scrie

Mξ = suprafața diagramei Ty |ξ0=1

2∙ 42 ∙ 42 = 882 [kN ∙ m]

sau parcurgacircnd grinda de la dreapta la stacircnga rezultă

MB = minussuprafața diagramei Ty |c0= minus10 ∙ 4 = minus40 [kN ∙ m]

Toate aspectele analizate teoretic referitoare la relaţiile diferenţiale dintre eforturi

şi sarcini se regăsesc icircn diagramele de eforturi din figura 220 ceea ce icircnseamnă că

diagramele au fost reprezentate corect

3 TENSIUNI DEPLASĂRI ŞI DEFORMAŢII SPECIFICE

31 Tensiuni

Eforturile obținute icircn urma reducerii forțelor interioare icircn centrul de greutate al

secțiunii nu pot da informații asupra solicitării fiecărui punct al secțiunii respective Este

necesar să se cunoască modul cum se distribuie forțele interioare icircn fiecare punct al

secțiunii pentru a ști care este intensitatea maximă a solicitării Această intensitate

maximă se poate compara cu o valoare critică specifică materialului stabilindu-se astfel

dacă solicitarea este periculoasă sau nu

Mărimea care caracterizează solicitarea locală punctuală o vom denumi tensiune

și o vom defini icircn cele ce urmează Să considerăm partea din dreapta a unui corp solicitat

de forțele exterioare 1198651 1198652 și 1198653 obținută prin secționarea corpului și mărginită de fața

din dreapta Ad a secțiunii Pe secțiunea Ad vom considera un element de arie infinit mic

∆119860 caracterizat de normala la elementul de arie normală care are cosinușii directori

120573 și icircn raport cu un sistem de axe considerat fix Pe elementul infinit mic ∆119860 acționează

forțele interioare care au o rezultantă oarecare figura 31

Prin definiție tensiunea totală este

= lim∆119860rarr0

∆

∆119860 (31)

Tensiunea are aceeaşi direcţie cu forţa elementară ∆ iar mărimea ei este

determinată atacirct de mărimea forţei ∆ cacirct şi de orientarea suprafeţei ∆119860 faţă de direcţia

forţei

Tensiunea 119901 poate fi descompusă icircntr-o componentă orientată după direcţia

normalei la secţiune tensiunea normală notată cu 120590119909 şi o componentă icircn planul secţiunii

tensiunea tangenţială notată cu figura 32

= 119909 + 120591 (32)

Fig 31 Tensiunea totală Fig 32 Tensiunea normală și tangențială

La racircndul ei componenta tensiunii cuprinsă icircn planul secțiunii poate fi

descompusă după direcțiile axelor y și z

120591 = 120591119909119910 + 120591119909119911 (33)

Icircntre cele trei componente ale tensiunii totale care acționează pe elementul de arie

∆119860 este valabilă relația

1199012 = 1205901199092 + 120591119909119910

2 + 1205911199091199112 (34)

După sensul pe care icircl are tensiunea normală 120590 poate avea efect de tracţiune sau

de compresiune exercitat de către partea de corp icircnlăturată asupra părţii rămase Analog

tensiunea tangenţială 120591 poate avea efect de tăiere forfecare sau alunecare Pentru

componentele tensiunii tangențiale 120591119909119910 pe direcţia 119910 respectiv 120591119909119911 pe direcţia 119911 primul

indice indică axa pe care tensiunea este normală iar cel de-al doilea indice indică axa cu

care aceasta este paralel

Tensiunea este o mărime tensorială valoarea ei depinzacircnd atacirct de poziția

punctului icircn planul secțiunii cicirct și de orientarea planului de secționare deci de normala

Operaţiile vectoriale nu pot fi aplicate tensiunilor decacirct după ce acestea au fost icircnmulţite

cu ariile respective adică au fost transformate icircn forţe

Icircn literatura de specialitate mai ales icircn manualele mai vechi pentru noţiunea de

tensiune se mai foloseşte şi denumirea de efort specific

Dacă se consideră un alt element de arie ∆119860 cu centrul icircn același punct avacircnd ca

normală axa 119910 se vor obține alte tensiuni și anume

- 120590119910 este tensiunea normală (paralelă cu axa y)

- 120591119911119909 și 120591119910119911 sunt tensiuni tangențiale paralele cu axele 119909 și respectiv 119911 aflate icircn

planul care are ca normală axa 119910

Dacă icircn jurul unui punct dintr-un corp solicitat se consider un element de volum

infinit mic de forma unui cub icircn cazul cel mai general pe fețele sale vor acționa

tensiunile normale 120590119909 120590119910 și 120590119911 și respectiv tensiunile tangențiale 120591119909119910 120591119909119911 120591119910119909 120591119910119911 120591119911119909

și respectiv 120591119911119910 figura 33 Aceste tensiuni definesc starea de tensiune a punctului

observacircnd faptul că tensorul tensiune are 9 componente Dacă se consideră elementul

de volum finit ca fiind foarte mic se poate presupune că icircn interiorul său nu apar forțe

Ca urmare el va fi icircn echilibru sub acțiunea forțelor elementare produse de tensiunile de

pe fețele sale

Din condiția ca elementul să nu se rotească icircn jurul unor axe care trec prin centrul

său și sunt paralele cu axele sistemului 119909119874119910119911 rezultă

2 ∙ 120591119909119910 ∙ (119889119910 ∙ 119889119911) ∙119889119909

2= 2 ∙ 120591119910119909 ∙ (119889119909 ∙ 119889119911) ∙

119889119910

2 rArr 120591119909119910 = 120591119910119909 (35)

2 ∙ 120591119910119911 ∙ (119889119909 ∙ 119889119911) ∙119889119910

2= 2 ∙ 120591119911119910 ∙ (119889119909 ∙ 119889119910) ∙

119889119911

2 rArr 120591119910119911 = 120591119911119910 (36)

2 ∙ 120591119909119911 ∙ (119889119910 ∙ 119889119911) ∙119889119909

2= 2 ∙ 120591119911119909 ∙ (119889119909 ∙ 119889119910) ∙

119889119911

2 rArr 120591119909119911 = 120591119911119909 (37)

Relațiile (35divide37) 120591119909119910 = 120591119910119909 120591119910119911 = 120591119911119910 120591119909119911 = 120591119911119909 exprimă principiul dualității

tensiunilor tangențiale

Fig 33 Tensiunile normale și tangențiale pe fețele unui cub

Din condiția ca elementul considerat să nu se deplaseze icircn lungul axelor de

coordonate pe fețele opuse acționează aceleași tensiuni normale 120590119909 120590119910 și respectiv 120590119911

Definirea tensorului tensiune este posibilă dacă se cunosc cele 6 componente

independente ale acestuia aflate icircn trei plane perpendicular ce trec prin punctul respectiv

=

120590119909 120591119909119910 120591119909119911120591119910119909 120590119910 120591119910119911120591119911119909 120591119911119910 120590119911

Observaţii

Tensiunile se măsoară icircn [119873 1198982frasl ] (1119873 1198982frasl = 1 119875119886) sau icircn [119872119875119886]

(1 119872119875119886 = 106119875119886 = 106 119873

1198982 1 119872119875119886 = 1

119873

1198981198982)

Starea de tensiune dintr-un punct este considerată cunoscută dacă se cunosc

tensiunile 119901 care acționează pe infinitatea de elemente de suprafață ce trec prin punctual

considerat

Starea de tensiune a unui corp se consider cunoscută dacă se cunosc stările de

tensiune de pe infinitatea de puncte ale corpului considerat

32 Deplasări Deformaţii specifice

321 Deplasări

Aceste noțiuni sunt utile icircn analiza aspectului geometric al problemelor de rezistența

materialelor Deplasările care se analizează sunt cele datorate schimbării formei și

dimensiunilor corpurilor ca urmare a acțiunii forțelor exterioare și nu cele cinematice

posibile pentru solidul rigid care se poate deplasa cu anumită viteză și accelerație

Spre exemplu icircn figura 34a și figura 34b sub acțiunea forței 119865 tronsonul de

bară AB se deformează icircn timp ce tronsonul BC deși punctele sale au deplasări rămacircne

nedeformat (fiind nesolicitat) Toate punctele de pe axele barelor cu excepția celor din

icircncastrare (secțiunile A) au deplasări liniare De cele mai multe ori deformațiile barelor

datorate acțiunii forțelor exterioare se anulează la icircndepărtarea forțelor se spune că

deformațiile sunt elastice Secțiunile transversale ale barei din figura 34a se și rotesc icircn

raport cu pozițiile lor inițiale Spre exemplu secțiunea de căpăt cu centrul icircn C se rotește

cu unghiul

Fig 34 Deformațiile unei grinzi

Oricacirct de complexă ar fi delormația unui corp ea poate fi descrisă de lungiri sau

scurtări și de modificări ale unghiurilor inițiale

Deplasările măsoară schimbarea poziției unui punct al corpului și pot fi liniare

sau unghiulare

Prin deplasare liniară a unui punct se icircnțelege drumul parcurs de acest punct icircn

decursul procesului de deformație după o dreaptă suport dreapta 1198611198611 din figura 34a

Prin deplasare unghiulară se icircnțelege rotirea dintre segmentele de dreaptă

determinate de două puncte ale corpului icircnainte și după deformarea acestuia unghiul

pe care-l fac segmentele 119861119862 și 11986111198621 din figura 34a Această rotire se măsoară prin

unghiul pe care-l fac proiecțiile dreptelor ce conțin cele două segmente icircntr-un sistem

triortogonal

Icircn cazul cel mai general vectorul deplasare liniară se poate descompune icircntr-un

sistem triortogonal icircn trei componente 119906 119907 și 119908 figura 35

Fig 35 Deplasarea liniară

Se consideră acum un corp solid raportat la un sistem de axe ortogonal 119909119874119910119911

figura 35 după deformarea corpului un punct oarecare 119870 al acestuia se deplasează icircn

poziţia 1198701 vectorul 1198701198701 poartă numele de vectorul deplasării totale

Deplasarea totală este suma deplasărilor pe cele trei direcţii ortogonale iar

aceste deplasări se notează astfel

deplasarea pe direcţia 119909 cu ∥ 119874119909

deplasarea pe direcţia 119910 cu ∥ 119874119910

deplasarea pe direcţia 119911 cu ∥ 119874119911

Componentele deplasărilor și formeză matricea deplasărilor liniare 119906119907119908

322 Deformații

Prin deformație icircn general se icircnțelege orice schimbare de formă a unui corp fără

o evaluare cantitativă Icircn Rezistența Materialelor deformația măsoară variația

dimensiunilor geometrice ale corpului considerat din vecinătatea unui punct analog

deplasărilor deformațiile pot fi liniare și unghiulare (lunecări)

Fig 36 Deplasarea liniară

Deformația liniară ∆119897 reprezintă variația lungimii 119897 a unui element liniar al

corpului deformat figura 36 Deformația liniară specifică se definește ca fiind raportul

dintre deformația liniară și lungimea inițială

휀 =∆119897

119897 (38)

unde ∆119897 este lungirea sau scurtarea care este echivalentă cu deformția liniară totală iar

este alungirea

Deformația unghiulară sau lunecarea unui punct 119860 icircn planul 119861119860119862 se definește

prin relația figura 37

120574 = lim119861119860rarr0119862119860rarr0

(119861119860 minus 119861111986011198621 ) (39)

Fig 36 Deformația unghiulară

Schimbacircnd orientarea planului care trece prin 119860 se obțin alte deformații

unghiulare Dacă elementele liniare 119861119860 și 119862119860 sunt inițial perpendiculare deformația 120574 se

numește deformație unghiulară specifică sau lunecare specifică figura 37

Un exemplu de deplasare unghiulară și de deformație unghiulară este prezentat icircn

figura 38 Unghiul este deplasarea unghiulară și măsoară rotirea relativă dintre două

secțiuni aflate la distanța 119897 Unghiul este deformația specifică unghiulară (lunecarea

specifică) din punctul 119870 Aceste deplasări și deformații se obțin icircn urma solicitării barei

de către cele două momente 1198720 egale și de sens contrar

Fig 38 Deplasarea unghiulară

Pentru a analiza starea de deformație din vecinătatea unui punct al unui corp

solicitat complex se decupează din jurul punctului un element de volum mic figura 39a

avacircnd laturile 119889119909 119889119910 și 119889119911 Ca urmare a solicitării laturile acestuia se vor lungi sau

scurta Reprezentarea elementului deformat icircn spațiu este dificilă pentru simplificare

vom analiza doar deformațiile din planul 119909119874119910 Observăm că dimensiunile 119889119909 și 119889119910 s-au

modificat cu valoarea ∆119889119909 respectiv cu ∆119889119910 analog se acceptă și pentru 119889119911 o modificare

de forma ∆119889119911 Astfel se pot defini deformațiile specifice liniare

휀119909 =∆119889119909

119889119909 휀119910 =

∆119889119910

119889119910 휀119911 =

∆119889119911

119889119911 (310)

De cele mai multe ori aceste deformații specifice liniare se pot exprima procentual

și se mai numesc alungiri

Fig 39 Starea de deformație

Icircn figura 39c se vede că unghiul inițial drept dintre muchiile 119889119909 și 119889119910 ale

elementului de volum s-a modificat Se definește deformația specifică unghiulară (sau

lunecarea specifică) mărimea cu care se modifică unghiul inițial drept

120574119909119910 = 120574119909119910prime + 120574119910119909

prime = 120574119910119909120574119910119911 = 120574119910119911

prime + 120574119911119910prime = 120574119911119910

120574119911119909 = 120574119911119909prime + 120574119909119911

prime = 120574119909119911

(311)

Deformațiile 휀119909 휀119910 휀119911 120574119909119910 120574119910119911 120574119911119909 constituie cele șase componente

independente ale tensorului deformațiilor specifice care pot fi scrise de forma

119863 =

휀119909 120574119909119910 120574119909119911120574119910119909 휀119910 120574119910119911120574119911119909 120574119911119910 휀119911

(312)

323 Contracţia transversală

Practica arată că odată cu lungirea unei bare apare o micşorare a mărimii secţiunii

transversale mărime numită contracţie transversală figura 310

Fig 310 Contracția transversală

Contracţia transversală este proporţională cu lungirea specifică coeficientul de

proporţionalitate se notează cu 120599 şi se numeşte coeficient de contracţie transversală sau

coeficientul lui Poisson

La o lungire specifică a barei contracţia transversală este dată de relația

휀119905119903 = 휀119910 = 휀119911 = minus120599 ∙ 휀119909 (313)

Semnul minus bdquo-rdquo arată că cele două mărimi sunt contrare dacă una creşte cealaltă

scade şi invers

Considerăm o bară cilindrică de lungime 119897 şi aria secţiunii transversale 119860 solicitată

la icircntindere axială La un moment dat datorită solicitării lungimea barei devine

[119897 ∙ (1 + 휀)] diametrul devine [119889 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)] iar aria secţiunii transversale devine

[119860 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)2] Dacă volumul barei icircnainte de solicitare a fost (119860 ∙ 119897) după solicitare

acesta devine

119881 + ∆119881 = 119860 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)2 ∙ 119897 ∙ (1 + 휀) =

= 119860 ∙ 119897 ∙ (1 + 휀 minus 2 ∙ 120599 ∙ 휀 minus 2 ∙ 120599 ∙ 휀2 + 1205992 ∙ 휀2 + 1205992 ∙ 휀3) (314)

Deoarece lungirile sunt foarte mici ultimii trei termeni din paranteză fiind infinit mici se pot neglija obţinacircnd

119881 + ∆119881 = 119860 ∙ 119897 + 119860 ∙ 119897 ∙ 휀 ∙ (1 minus 2 ∙ 120599) ⟺ ∆119881 = 휀 ∙ (1 minus 2 ∙ 120599) ∙ 119860 ∙ 119897 (315)

Practica arătă că o astfel de bară solicitată la icircntindere icircşi măreşte volumul deci

∆119881 gt 0 de unde rezultă că

1 minus 2 ∙ 120599 gt 0 rArr 120599 lt 05 (316)

Pentru majoritatea materialelor 120599 = 033 iar pentru materialele care-şi păstrează

volumul constant 120599 = 05

33 Relaţii de echivalenţă icircntre eforturi şi tensiuni

Considerăm un element de suprafață infinit mic 119889119860 situat pe fața de arie (119860) a

secțiunii barei din figura 311 Icircn centrul de greutate 119862 al secțiunii acționează eforturile

119873 119879119910 119879119911 119872119909 119872119894119910 și 119872119894119911 determinate prin metoda secțiunilor

Icircn raport cu un sistem de axe de referință 119909119862119910119911 coordonatele elementului 119889119860 sunt

- 119910 este ordonata elementului de arie 119889119860

- 119911 este abscisa elementului de arie 119889119860

Pe elementul de arie 119889119860 acționează tensiunile

120590119909 tensiunea normală

120591119909119910 și 120591119909119911 tensiuni tangențiale

Dacă se icircnsumează forțele elementare de tipul 120590119909 ∙ 119889119860 120591119909119910 ∙ 119889119860 și 120591119909119911 ∙ 119889119860

va trebui să obținem eforturile 119873 119879119910 și 119879119911

Fig 311 Element de suprafață mic din secțiunea unei bare

Dacă eforturile sunt privite ca forțe exterioare și se scriu ecuațiile de

echilibru ale secțiunii (119860) se vor obține șase relații de echivalență icircntre eforturi și

tensiuni

(sum119883) = 0 rArr int 120590119909 ∙ 119889119860

119860

= 119873 (317)

(sum119884) = 0 rArr int 120591119909119910 ∙ 119889119860

119860

= 119879119910 (318)

(sum119885) = 0 rArr int 120591119909119911 ∙ 119889119860

119860

= 119879119911 (319)

(sum119872)119909= 0 rArr int(120591119909119911 ∙ 119889119860) ∙ 119910

119860

minus int(120591119909119910 ∙ 119889119860) ∙ 119911

119860

= 119872119909 rArr

rArr int(119910 ∙ 120591119909119911 minus 119911 ∙ 120591119909119910) ∙ 119889119860

119860

= 119872119909

(320)

(sum119872)119910= 0 rArr int(120590119909 ∙ 119889119860) ∙ 119911

119860

= 119872119894119910 (321)

(sum119872)119911= 0 rArr int(120590119909 ∙ 119889119860) ∙ 119910

119860

= 119872119894119911 (322)

Cele șase relații de echivalență icircntre eforturi și tensiuni constituie un pas icircnainte

icircn rezolvarea unei probleme de rezistența materialelor Aceste relații vor permite

determinarea tensiunilor maxime

Pentru a rezolva cele 6 relații de echivalență trebuie să se cunoască tensiunile și

ca funcții de punct adică funcții de forma

120590119909 = 120590119909(119909 119910 119911) 120591119909119910 = 120591119909119910(119909 119910 119911) 120591119909119911 = 120591119909119911(119909 119910 119911) (32

3)

Cunoașterea acestor funcții presupune icircnsă analizarea aspectului geometric al

problemei precum și utilizarea unor ipoteze simplificatoare care să permită simplificarea

problemelor

34 Ipoteze de bază icircn rezistenţa materialelor

Depășirea dificultăților legate de interpretarea unor fenomene specifice mecanicii

solidului deformabil a impus acceptarea unor ipoteze care să simplifice fenomenele și să

contribuie la elaborarea unor modele de calcul cicirct mai generale și cacirct mai simple Aceste

ipoteze se referă la structura materialelor şi la comportarea lor sub acţiunea forţelor

exterioare Ipotezele acceptate trebuie să fie icircn deplină concordanţă cu realitatea și să

conducă la rezultate verificate icircn practică

Funcție de aspectele la care se referă ipotezele pot fi

Ipoteze fizice (de material)

Ipoteze de calcul

341 Ipoteze fizice

Se acceptă deoarece teoriile structurale au condus la rezultate care contravin

icircncercărilor experimentale

Ipoteza mediului continuu consideră că orice domeniu elementar al corpului

este ocupat de materie adică nu se acceptă existența unor goluri sau a unor crăpături

microscopice (fisuri) Deși nu corespunde realităţii poate fi acceptată deoarece

dimensiunile corpului sunt mult mai mari decacirct dimensiunile particulelor elemantare Are

avantajul că permite utilizarea proprietăților matematice ale funcțiilor continue pentru

tensiunile și deformațiile din orice punct al corpului Ea este mai apropiată de realitate la

corpurile amorfe şi mai depărtată la cele cristaline dar conduce la rezultate satisfăcătoare

icircn calculele de rezistenţă

Ipoteza nu se poate aplica la corpurile care au goluri tăieturi (multiplu conexe)

pentru unele puncte singulare icircn care tensiunile și deformațiile tind la infinit sau icircn unele

probleme de plasticitate icircn care proprietățile de material au un rol esențial

Ipoteza izotropiei conform acestei ipoteze materialul din care este confecționat

un element de rezistență are aceleași proprietăți după orice direcție un astfel de material

este considerat izotrop Din punct de vedere macroscopic metalele pot fi considerate

izotrope deși la nivel microscopic proprietățile lor diferă de la o direcție cristalografică

la alta Orice conglomerat de cristale poate fi considerat izotrop

Există cazuri cacircnd această ipoteză a izotropiei nu se acceptă

la metalele puternic deformate după o direcție (prin laminare trefilare)

la piesele confecționate din lemn lemnul este anizotrop deoarece proprietățile sale

diferă după două direcții (icircn lungul fibrelor și perpendicular pe această direcție)

Ipoteza omogenității consideră că un corp are aceleași proprietăți icircn orice

punct al său Deși majoritatea materialelor utilizate icircn tehnică sunt eterogene la scară

micro fiind constituite din mai multe faze cu proprietăți diferite la scară macro ele pot

fi considerate omogene Omogenitatea și izotropia sunt proprietăți statistice medii care

nu se condiționează una pe cealaltă Chiar și materialele monofazice pot avea la scară

micro unele segregații care le fac eterogene

Ipoteza elasticităţii perfecte presupune că atacircta timp cacirct solicitările nu

depăşesc anumite limite materialul are o comportare elastică adică icircşi recapătă forma şi

dimensiunile iniţiale odată cu icircnlăturarea sarcinilor Icircn realitate materialele nu prezintă o

elasticitate perfectă ele avacircnd deformaţii remanente mici care icircnsă pot fi neglijate icircn

calculele de rezistenţă

Acceptarea acestei ipoteze a elasticității perfecte permite

- aplicarea relației biunivoce icircntre tensiuni și deformații relație exprimată de legea

lui Hooke ( = 119864 ∙ 휀) unde E este un factor de proporţionalitate numit modul de

elasticitate longitudinal al materialului pentru oţel 119864 = 21 ∙ 105 [119872119875119886] - acceptarea valabilității afirmației bdquolucrul mecanic efectuat de forțele exterioare

ca urmare a parcurgerii deplasărilor punctelor de aplicație se icircnmagazinează integral icircn

corp sub formă de energie de deformație energie cedată la icircndepărtarea sarcinilorrdquo

- este valabilă teoria conform căreia bdquoenergia icircnmagazinată și deformațiile depind

doar de starea inițială și finală de eforturi fără a ține cont de modul icircn care s-a ajuns la

starea finalărdquo

Icircn realitate oricacirct de mici ar fi sarcinile aplicate se produc și deformații plastice

dar acestea pot fi neglijate dacă solicitarea nu depășește anumite limite

342 Ipoteze de calcul

Ipoteza micilor deplasări bdquodeplasările datorate deformării sunt mult mai mici

decacirct dimensiunile corpurilor și ca urmare pot fi neglijate produsele dintre o deplasare și

ea icircnsăşirdquo Pentru cele mai multe corpuri deformaţiile elastice sunt de mărimi mici deci

corpurile solide sub acţiunea sarcinilor icircşi modifică foarte puţin forma iniţială Această

ipoteză este cunoscută şi sub denumirea de ipoteza menţinerii dimensiunilor iniţiale Ea

permite scrierea ecuaţiilor de echilibru ale staticii pe starea nedeformată a elementului

cacircnd nu se iau icircn considerare deplasările punctelor de aplicaţie ale forţelor care se produc

ca urmare a deformării acestuia Calculul efectuat pe schema nedeformată poartă numele

de calcul de ordinul I

Ipoteza micilor deplasări nu poate fi acceptată pentru studiul problemelor de

stabilitate sau la problemele la care nu pot fi icircndeplinite condiţiile de echilibru icircn starea

nedeformată

Calculul de ordinul II admite ipoteza micilor deplasări dar ecuaţiile de echilibru

se scriu icircnsă pentru starea deformată a elementului de rezistenţă

Calculul de ordinul III nu mai acceptă ipoteza micilor deplasări el referindu-se

la cazul deformaţiilor mari cacircnd ecuaţiile de echilibru trebuie scrise pentru starea

deformată

Chiar dacă materialul satisface legea lui Hooke icircn urma calculelor de ordinul II

se obţin de obicei relaţii neliniare icircntre sarcini şi deplasări iar pentru calculul de ordinul

III rezultă ecuaţii diferenţiale neliniare

Principiul efectului local al acțiunii sarcinilor enunțat de Barre de Saint-

Venant Acest principiu destul de folosit icircn Rezistenţa Materialelor precizează că dacă

se icircnlocuiesc forţele care acţionează asupra unui element de suprafață al unui corp

elastic printr-un alt sistem de forţe echivalent din punct de vedere static cu primul noua

distribuţie a forţelor produce la locul de aplicare diferenţe semnificative faţă de prima

dar rămacircne fără efect sau cu efect neglijabil la distanţe mari de locul de aplicare al

forţelor figura 312

Ca o cosecință o sarcină uniform distribuită figura 312a poate fi icircnlocuită cu

rezultanta ei figura 312b dacă se analizează efectul sarcinii la distanță mare de locul icircn

care se aplică sarcina

Fig 312 Principiul Saint-Venant

Icircn prima variantă figura 312a forţa 119865 se aplică pe o porțiune oarecare 119897 (sarcină

uniform distribuită) iar icircn a doua figura 312b icircntru-un punct (forţă concentrată) La

locul de aplicare a sarcinii efectul asupra barei este cu totul diferit de la o variantă la

cealaltă Icircnsă la o distanţă mare de punctul de aplicaţie spre exemplu icircn secţiunea situată

la distanţa 119886 de capătul barei sau chiar icircn icircncastrare ambele bare sunt solicitate la fel

Icircn cazul din figura 312a

119872119894(119909) =119901 ∙ 1199092

2 119909 le 119897 119872119894(119909) = 119901 ∙ 119897 ∙ (119909 minus

119897

2) 119909 gt 119897 (324)

Icircn cazul din figura 312b

119872119894(119909) = 0 119909 lt119897

2 119872119894(119909) = 119901 ∙ 119897 ∙ (119909 minus

119897

2) 119909 gt

119897

2 (325)

Se vede că pentru (119909 gt 119897) adică după depășirea locului icircn care se aplică sarcina

efectul este același

Ipoteza lui Bernoulli sau ipoteza secţiunilor plane precizează că o secţiune

plană şi normală pe axa barei icircnainte de deformare rămacircne plană şi normală pe axa

barei şi după deformare figura 313

Fig 313 Ipoteza lui Bernoulli

Ipoteza stării naturale a corpului sau ipoteza absenţei tensiunilor conform

căreia pentru un corp nesolicitat starea de tensiune şi deformaţie este nulă

Perfecţionarea mijloacelor de calcul şi de investigare pot conduce la renunţarea la

unele ipoteze sau la introducerea altora noi mai aproape de stările reale De aici rezultă

caracterul de continuă perfecţionare a metodelor Rezistenţei Materialelor

35 Coeficienţi de siguranţă Tensiuni admisibile

O piesă corespunde din punct de vedere tehnic dacă tensiunile care iau naştere icircn

interiorul piesei datorită sarcinilor aplicate nu depăşesc anumite valori limită stabilite

convenţional Aceste valori limită ale tensiunii sunt corelate cu caracteristicile mecanice

ale materialelor

Tensiunea limită utilizată icircn calculele de rezistenţă este cunoscută sub denumirea

de tensiune admisibilă sau rezistenţă admisibilă Rezistenţa admisibilă reprezintă

valoarea convenţională aleasă icircn calcul pe baza practicii pentru tensiunea maximă care

poate apare icircntr-o piesă icircn condiţii date de material şi solicitare

Rezistenţa admisibilă (120590119886 sau 120591119886) poate fi definită faţă de o stare limită

periculoasă stare care trebuie evitată deoarece poate conduce distrugere

120590119886 =120590119897119894119898119888

(326)

unde

120590119897119894119898 este tensiunea corespunzătoare stării limită periculoase

119888 estesupraunitar 119888 gt 1 și reprezintă coeficientul de siguranţă faţă de starea limită

periculoasă considerată

Alegerea unor valori inferioare pentru rezistenţa admisibilă faţă de tensiunea

corespunzătoare stării limită periculoase este necesară deoarece

cunoaşterea sarcinilor este de cele mai multe ori aproximativă şi o depăşire a

acestora este foarte posibilă

caracteristicile mecanice ale materialelor variază icircn limite destul de mari ele

fiind influenţate de mulţi factori

schema aleasă pentru calcul (aplicarea sarcinilor schematizarea structurii

ipotezele de calcul etc) depărtează modelul faţă de cel real

Pentru calculele de verificare tensiunea efectivă maximă din elementul de

rezistenţă trebuie să fie mai mică sau cel mult egală cu cea admisibilă

120590119890119891119898119886119909 le 120590119886 (327)

Valoarea rezistenţei admisibile este influenţată de foarte mulţi factori natura

materialului tratamentele termice aplicate piesei durata de funcţionare a piesei modul

de acţionare icircn timp a sarcinilor felul solicitării temperatura gradul de periculozitate

icircn cazul cedării piesei etc

De asemenea valoarea coeficientului de siguranţă se alege icircn principal ţinacircnd

seama de aceiaşi factori care influenţează şi rezistenţa admisibilă

Rezistenţele admisibile pentru cacircteva materiale sunt următoarele

pentru oțelul de uz general OL37 solicitat la icircntindere compresiune sau

icircncovoiere 120590119886 = 150 [119872119875119886] pentru lemnul de brad solicitat la

- compresiune icircn lungul fibrelor şi solicitat la icircncovoiere 120590119886 = 10 [119872119875119886] - tracţiune icircn lungul fibrelor 120590119886 = 7 [119872119875119886] - compresiune perpendiculară pe fibre 120590119886 = 15 [119872119875119886] - forfecare icircn lungul fibrelor 120591119886 = 2 [119872119875119886] - forfecare perpendiculară pe fibre 120590119886 = 45 [119872119875119886]

terenuri de fundaţie din pămacircnt uscat sau umed 120590119886 = 020 divide 025 [119872119875119886]

4 CARACTERISTICI GEOMETRICE ALE SECȚIUNILOR PLANE

41 Noţiuni introductive

Icircn relaţiile de calcul ale tensiunilor şi deformaţiilor elementelor de rezistenţă

pentru unele solicitări (icircncovoierea și torsiunea) secțiunile plane intervin atacirct prin

dimensiunile lor (aria 119860) cicirct și prin forma și poziția pe care o are secțiunea icircn raport cu

planul solicitării Mărimile care caracterizează o secțiune icircn raport cu forma și poziția față

de axele unui sistem de referință sunt denumite caracteristici geometrice de ordin

superior Aria secțiunii este caracteristica geometrică ce depinde doar de dimensiunile

geometrice ale acesteia

Să considerăm o grindă solicitată de o forță exterioară 119865 aşezată icircn două poziții icircn

raport cu planul forţei figura 41 Icircn urma aplicării forței deși avem aceeași grindă

(aceeași arie a secțiunii transversale) și aceeași forță se constată că pentru varianta din

figura 41a deformațiile sunt mult mai mari adică rezistența la icircncovoiere a grinzii din

figura 41a este mai mare decacirct icircn cazul grinzii din figura 41b Comportarea diferită se

explică prin aceea că modificarea poziţiei secţiunii transversale faţă de planul forţelor

modifică caracteristicile geometrice ale secţiunii transversale a grinzii

Fig 41 Grindă solicitată de forța 119865

Pentru realizarea calculelor de rezistenţă şi rigiditate este foarte importantă

cunoaşterea caracteristicilor geometrice ale suprafeţei secţiunii transversale a elementelor

de rezistenţă

Caracteristicile geometrice ale secţiunii transversale a unui element de rezistenţă

sunt

- aria secțiunii notată cu 119860

- momentul static icircn raport cu o axă notat 119878119911 și respectiv 119878119910

- momentul de inerție care poate fi

axial notat 119868119911 și respectiv 119868119910

centrifugal notat 119868119911119910

polar notat 119868119901

- raza de inerţie (giraţie)notată 119894119911 și respectiv 119894119910

- modulul de rezistență care poate fi

axial notat 119882119911 și respectiv 119882119910

polar notat 119882119901

42 Aria și momentul static al suprafețelor plane

Fie o suprafaţă plană de arie 119860 pe care se ia un element infinit mic de arie 119889119860 şi

un sistem de axe rectangulare 119911119874119910 figura 42 Notăm cu 119862 centrul de greutate al suprafeţei

119860 Poziţia suprafeţei elementare 119889119860 faţă de acelaşi sistem de coordonate 119911119874119910 este dată

de abscisa 119911 ordonata 119910 și raza polară

Fig 42 Suprafață plană de arie 119860

Aria suprafeţei 119860 figura 42 se defineşte ca fiind

119860 ≝ int 119889119860

119860

(41)

Aria suprafeţei este icircntotdeauna pozitivă și se măsoară icircn [1198981198982] Momentul static al suprafeţei de arie 119860 icircn raport cu axele 119874119911 și respectiv 119874119910

figura 42 sunt date de relaţiile

119878119911 ≝ int 119910 ∙ 119889119860

119860

119878119910 ≝ int 119911 ∙ 119889119860

119860

(42)

Momentul static poate fi pozitiv negativ sau nul şi se măsoară icircn [1198981198983] Coordonatele centrului de greutate ale suprafeței 119860 se detrmină cu relațiile

119910119862 ≝int 119910 ∙ 119889119860119860

119860 119911119862 ≝

int 119911 ∙ 119889119860119860

119860

(43)

Cunoscacircnd coordonatele 119910119862 și 119911119862 ale centrului de greutate 119862 al secțiunii 119860 atunci

momentele statice se pot determina cu relațiile

119878119911 ≝ int 119910 ∙ 119889119860

119860

= 119910119862 ∙ 119889119860 119878119910 ≝ int 119911 ∙ 119889119860

119860

= 119911119862 ∙ 119889119860 (44)

Aceste relații arată că momentul static al unei suprafețe icircn raport cu o axă este

egal cu produsul dintre aria suprafeței și distanța de la centrul ariei la axa respectivă

Dacă suprafaţa se poate descompune icircn 119899 suprafeţe simple la care se cunosc ariile

(1198601 1198602 ⋯ 119860119894⋯ 119860119899) și poziţiile centrelor de greutate 119862119894 faţă de sistemul de referinţă

expresiile momentelor statice capătă următoarea formă

119878119911 = sum 119910119862119894 ∙ 119860119894119899119894=1 = 119910119862 ∙ 119860 119878119910 = sum 119911119862119894 ∙ 119860119894

119899119894=1 = 119911119862 ∙ 119860 (45)

Din relaţiile (45) rezultă că poziţia centrului de greutate 119862 al unei suprafeţe

compuse poate fi determinată cu relaţiile

119910119862 = (sum119910119862119894 ∙ 119860119894

119899

119894=1

) 119860frasl 119911119862 = (sum119911119862119894 ∙ 119860119894

119899

119894=1

) 119860frasl (46)

Icircn relația (45) 119910119862119894 și respectiv 119911119862119894 reprezintă coordonatele centrelor de greutate 119862119894

ale fiecărei suprafețe simple 119860119894 icircn raport sistemul de axe 119911119874119910

Se constată (relaţia 42) că dacă axele sistemului de referinţă trec prin centrul de

greutate (119910119862 = 119911119862 = 0) momentele statice sunt nule Axele icircn raport cu care momentele

statice sunt nule şi care trec prin centrul de greutate al suprafeţei se numesc axe centrale

Observație dacă secțiunea compusă are o axă de simetrie centrul secțiunii se

găsește pe acea axă iar dacă secțiunea este dublu simetrică poziția centrului secțiunii este

la intersecția axelor de simetrie

43 Momente de inerţie

Momentele de inerţie axiale ale unei suprafețe se calculează icircn raport cu axele de

coordonate 119874119911 și respectiv 119874119910 figura 42 și se determină cu relațiile

119868119911 ≝ int 1199102 ∙ 119889119860

119860

119868119910 ≝ int 1199112 ∙ 119889119860

119860

(47)

Unde 119910 și 119911 sunt distanțele de la elementul de arie 119889119860 la cele două axe de

coordonate 119874119911 și respectiv 119874119910

Momentele de inerţie axiale se măsoară icircn [1198981198984] şi sunt icircntotdeauna pozitive (aria

119889119860 este icircntotdeauna pozitivă și este multiplicată cu patratul distanței 1199102 dacă 119868119911 sau 119868119910

sunt nule icircnseamnă ca secțiunea nu există)

Momentele de inerție axiale se calculează icircndeosebi pentru axele centrale (care

trec prin centrul secțiunii) deoarece icircn raport cu acele axe 119868119911 și 119868119910 au valori minime

Momentul de inerţie centrifugal calculat faţă ambele axe ale sistemului de

referinţă 119911119874119910 este definit de relația

119868119911119910 ≝ int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860

(48)

Momentul de inerţie centrifugal se măsoară icircn [1198981198984] şi poate fi pozitiv negativ

sau nul

Momentul de ineție centrifugal este nul 119868119911119910 = 0 dacă cel puțin una din axele 119874119911

sau 119874119910 este axă de simetrie pentru secțiune

Se consideră o suprafaţă dreptunghiulară pe care faţă de axa de simetrie 119874119910 se iau

două suprafeţe elementare de arie 119889119860 simetrice faţă de axa 119874119910 figura 43

Fig 43 Suprafață dreptunghiulară cu două arii elementare 119889119860

Făcacircnd suma momentelor de inerţie centrifugale pentru cele două suprafeţe

elementare 119889119860 (din stacircnga şi din dreapta faţă de axa 119874119910) se obţine

int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860119889119903

+ int (minus119911) ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860119904119905119892

= int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860119889119903

minus int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860119904119905119892

= 0 (49)

Acelaşi raţionament se poate face și pentru icircntreaga suprafaţă de unde obținem că

momentul de inerție centrifugal este nul 119868119911119910 = 0 Deci pentru o suprafaţă plană care

are cel puţin o axă de simetrie momentul de inerţie centrifugal faţă de sistemul care

conţine acea axă de simetrie este nul

Momentul de inerţie polar al unei suprafeţei icircn raport cu un punct (pol) 119874 figura

42 este definit prin relaţia

1198680 = 119868119901 ≝ int 1205882 ∙ 119889119860

119860

= int(1199102 + 1199112) ∙ 119889119860

119860

= 119868119911 + 119868119910 (410)

unde este distanţa de la polul 119874 la elementul de arie 119889119860 Momentul de inerţie polar se

măsoară icircn [1198981198984] şi este totdeauna pozitiv

Momentul de inerţie polar este egal cu suma momentelor de inerţie faţă de două axe

perpendiculare oarecare şi care trec prin polul considerat

Razele de giraţie sau razele de inerţie sunt mărimi calculate icircn raport cu axele

secțiunii și definite de relaţiile

119894119911 ≝ radic119868119911119860 119894119910 = radic

119868119910

119860 (411)

Se exprimă icircn [119898119898] şi sunt icircntotdeauna pozitive Semnificația unei raze de inerție

este distanța la care dacă ar fi concentrată icircntreaga arie s-ar obține același moment de

inerție ca și cel calculat pentru aria reală

44 Modulul de rezistenţă

Modulul de rezistență se calculează icircn raport cu axele de referință sau icircn raport cu

un pol figura 42 și pot fi axiale (119882119911119882119910) sau polar (119882119901) și se determină numai pe baza

momentelor de inerţie cu relațiile figura 43

119882119911119898119894119899 ≝119868119911119910119898119886119909

119882119911119898119886119909 ≝119868119911119910119898119894119899

(412)

119882119910119898119894119899 ≝119868119910

119911119898119886119909 119882119910119898119886119909 ≝

119868119910

119911119898119894119899 (413)

119882119901 ≝119868119901

120588119898119886119909 (414)

unde

119910119898119886119909 119910119898119894119899 reprezintă distanţa de la axa 119874119911 la punctele extreme cele mai

depărtate respectiv cele mai apropiate ale suprafeţei de această axă

119911119898119886119909 119911119898119894119899 reprezintă distanţa de la axa 119874119910 la punctele extreme cele mai

depărtate respectiv cele mai apropiate ale suprafeţei de această axă

120588119898119886119909 reprezintă distanța maximă de la polul 119874 la punctul secțiunii cel mai

icircndepărtat de acesta

Fig 43 Suprafață dreptunghiulară cu două arii elementare 119889119860

Modulele de rezistenţă se exprimă icircn [1198981198983] şi sunt icircntotdeauna pozitive

Explicația este aceea că momentele de inerție care intră icircn relațiile de definiție sunt

pozitive iar distanțele la punctele extreme sunt pozitive (119910119898119886119909 119910119898119894119899 119911119898119886119909 119911119898119894119899 120588119898119886119909 se

iau icircn valoare absolută)

Icircn cazul suprafeţelor compuse modulul de rezistenţă nu se obţine prin icircnsumarea

algebrică a modulelor de rezistenţă ale suprafeţelor simple componente ci numai prin

intermediul momentului de inerţie axial calculat pentru icircntreaga secțiune

Ca și momentele de inerție modulele de rezistență se calculează numai pentru

sistemele de axe centrale

45 Momente de inerţie şi module de rezistenţă pentru suprafeţe simple

451 Secțiune dreptunghiulară

Fie suprafaţa dreptunghiulară din figura 44 de icircnălțime ℎ și lățime 119887 pe care se

consideră suprafaţă elementară de arie 119889119860 = 119887119889119910 la distanța 119910 de axa 119862119911 sistemul de

axe 119911119862119910 trece prin centrul secțiunii iar axele sunt axe de simetrie pentru dreptunghi

Fig 44 Suprafață dreptunghiulară

Pe baza relațiilor de definiți a momentului de inerție 119868119911 se obține

119868119911 ≝ int 1199102 ∙ 119889119860

119860

= int 1199102 ∙ 119887 ∙ 119889119910 = 2int 1199102 ∙ 119887 ∙ 119889119910 = 2 ∙ 119887 ∙1199103

3|ℎ 2frasl

0rArr

ℎ 2frasl

0

ℎ 2frasl

minusℎ 2frasl

rArr 119868119911 =119887 ∙ ℎ3

12

(415)

Analog pentru un element de arie 119889119860 = ℎ ∙ 119889119911 paralel cu axa 119862119910 situat la distanța

119911 de axa 119862119910

119868119910 ≝ int 1199112 ∙ 119889119860

119860

= int 1199112 ∙ ℎ ∙ 119889119911 = 2int 1199112 ∙ ℎ ∙ 119889119910 = 2 ∙ ℎ ∙1199113

3|119887 2frasl

0rArr

119887 2frasl

0

119887 2frasl

minus119887 2frasl

rArr 119868119910 =1198873 ∙ ℎ

12

(416)

Deoarece axele 119862119911 și 119862119910 sunt axe de simetrie momentul de inerție centrifugal este

119868119911119910 = 0 (417)

Pentru un pătrat avacircnd laturile egale (ℎ = 119887 = 119886) momentele de inerţie faţă de

axele centrale au expresia

119868119911 = 119868119910 =1198864

12 (418)

Modulele de rezistență axiale se calculează cu relațiile de definiție ținacircnd cont că

distanțele pacircnă la fibrele extreme sunt

119910119898119886119909 = 119910119898119894119899 =ℎ

2 119911119898119886119909 = 119911119898119894119899 =

119887

2 (419)

Obținem

119882119911119898119894119899 = 119882119911119898119886119909 =119868119911

119910119898119886119909119898119894119899=119887 ∙ ℎ3

12frasl

ℎ2frasl

=119887 ∙ ℎ2

6

119882119910119898119894119899 = 119882119910119898119886119909 =119868119910

119911119898119886119909119898119894119899=1198873 ∙ ℎ

12frasl

1198872frasl

=1198872 ∙ ℎ

6

(420)

452 Suprafaţă circulară

Din motive de simetrie pentru suprafeţele circulare momentele de inerţie faţă de

orice diametru (care reprezintă şi axe centrale) sunt aceleaşi

Considerăm o secțiune circulară plină cu diametrul 119889 și centrul de greutate 119862 Prin

centrul de greutate 119862 trece sistemul de axe ortogonal 119911119862119910 figura 45

Fig 45 Suprafață circulară

La distanța de centrul de greutate 119862 vom lua un element de suprafață mic de arie

(119889119860) de forma unui inel de grosime 119889 Elementul de arie 119889119860 are expresia

119889119860 = (2 ∙ 120587 ∙ 120588) ∙ (119889120588)

Pornind de la relația de definiție a momentului de inerție polar obținem

119868119901 ≝ int 1205882 ∙ 119889119860

119860

= int 1205882 ∙ (2 ∙ 120587 ∙ 120588) ∙ 119889120588

119903=119889 2frasl

0

= 2 ∙ 120587 ∙1205884

4|119889 2frasl0 rArr

rArr 119868119901 =120587 ∙ 1198894

32

(421)

Secțiunea este perfect simetrică deci sunt valabile relațiile

119868119911 = 119868119910 rArr 119868119901 = 119868119911 + 119868119910 = 2 ∙ 119868119911 = 2 ∙ 119868119910 =119868119901

2=120587 ∙ 1198894

64 (422)

Și modulele de rezistenţă faţă de orice diametru sunt egale şi se calculează cu

relaţiile

119882119911 = 119882119910 =1198681199111198892frasl=120587 ∙ 1198893

32 (423)

Modulul de rezistenţă polar este

119882119901 =1198681199011198892frasl=120587 ∙ 1198893

16 (424)

453 Secţiune inelară

Calculul momentelor de inerţie axiale pentru o secţiune inelară avacircnd diametrul

interior 119889 şi diametrul exterior 119863 se determină analog pentru suprafaţa circulară plină cu

observaţia că integrala pentru calculul momentului de inerție polar 119868119901 se face icircntre

limitele 119903 = 119889 2frasl şi R= 1198632frasl (icircntre raza interioară 119903 şi raza exterioară 119877) figura 46

Se obţin relaţiile

119868119901 =120587 ∙ 1198634

32∙ [1 minus (

119889

119863)4

] =120587 ∙ 1198634

32∙ (1 minus 1198964) (425)

119868119910 = 119868119910 =120587 ∙ 1198634

64∙ [1 minus (

119889

119863)4

] =120587 ∙ 1198633

64∙ (1 minus 1198964) (426)

Fig 46 Secțiune inelară

119882119901 =120587 ∙ 1198633

16∙ [1 minus (

119889

119863)4

] =120587 ∙ 1198633

16∙ (1 minus 1198964) (427)

119882119911 = 119882119910 =120587 ∙ 1198633

32∙ [1 minus (

119889

119863)4

] =120587 ∙ 1198633

32∙ (1 minus 1198964) (428)

unde 119896 = 119889119863frasl

46 Variaţia momentelor de inerţie faţă de axe paralele

( Relațiile lui STEINER)

Se consideră o suprafaţă oarecare de arie 119860 cu elementul de arie 119889119860 și un sistemul

de axe central 119911119862119910 faţă de care se cunosc momentele de inerţie 119868119911 119868119910 119868119911119910 şi considerăm

un sistem de axe 11991111198741199101 paralele cu sistemul central figura 47 Se pune problema

determinării momentele de inerţie 1198681199111 1198681199101 11986811991111199101 faţă de sistemul de axe paralel cu sistemul

central 11991111198741199101 axe aflate la distanţele 119910119862 = 119888 respectiv 119911119862 = 119889 de acesta

461 Momente de inerţie axiale

Pe baza relaţiilor de definire şi a notaţiilor din figura 42 pentru momentele de

inerţie faţă de axele 1198741199111 1198741199101 se poate scrie

1198681199111 = int 11991012 ∙ 119889119860

119860

= int(119910 + 119888)2 ∙ 119889119860

119860

= int 1199102 ∙ 119889119860

119860

+ 2 ∙ 119888 ∙ int 119910 ∙ 119889119860

119860

+

+1198882int 119889119860

119860

rArr 1198681199111 = 119868119911 + 2 ∙ 119888 ∙ 119878119911 + 1198882 ∙ 119860 hArr 1198681199111 = 119868119911 + 119888

2 ∙ 119860

(429)

Fig 47 Variaţia momentelor de inerţie față de axe paralele

S-a ajuns la relația (429) deoarece momentul static 119878119911 este nul deoarece axa 119862119885

este axă centrală

Pentru momentul de inerție axial icircn raport cu axa 1198741199101 se obține

1198681199101 = int 11991112 ∙ 119889119860

119860

= int(119911 + 119889)2 ∙ 119889119860

119860

= int 1199112 ∙ 119889119860

119860

+ 2 ∙ 119889 ∙ int 119911 ∙ 119889119860

119860

+

+1198892 ∙ int 119889119860

119860

rArr 1198681199101 = 119868119910 + 2 ∙ 119889 ∙ 119878119910 + 1198892 ∙ 119860 hArr 1198681199101 = 119868119910 + 119889

2 ∙ 119860

(430)

Pentru momentul de inerție centrifugal obținem

11986811991111199101 = int 1199101 ∙ 1199111 ∙ 119889119860

119860

= int(119910 + 119888) ∙ (119911 + 119889) ∙ 119889119860

119860

= int 119910 ∙ 119911 ∙ 119889119860 +

119860

+119888 ∙ int 119911 ∙ 119889119860

119860

+ 119889 ∙ int 119910 ∙ 119889119860

119860

rArr 11986811991111199101 = 119868119911119910 + 119888 ∙ 119889 ∙ 119860

(431)

Deoarece

int 119911 ∙ 119889119860

119860

= 119878119910 = 0 int 119910 ∙ 119889119860

119860

= 119878119911 = 0 int 119910 ∙ 119911 ∙ 119889119860

119860

= 119868119911119910

Relaţiile (429) şi (430) arată că momentul de inerţie faţă de o axă oarecare

este egal cu momentul de inerţie faţă de o axă paralelă cu ea trecacircnd prin centrul de

greutate la care se adaugă produsul dintre aria suprafeţei şi pătratul distanţei dintre

cele două axe

Din relaţiile (429) și (430) rezultă de asemenea că momentul de inerţie faţă de o

axă centrală (care trece prin centrul de greutate) este cel mai mic dintre infinitatea de

momente de inerţie obținute faţă de alte axe paralele cu ea

Relaţia (431) arată de asemenea că momentul de inerţie centrifugal faţă de un

sistem de axe oarecare este egal cu momentul de inerţie centrifugal faţă de un sistem

paralele cu el trecacircnd prin centrul de greutate a suprafeţei la care se adaugă produsul

dintre aria suprafeţei şi distanţele dintre axele sistemelor respective

Icircn literatura de specialitate relaţiile (429) (430) şi (431) sunt cunoscute sub

numele de relaţiile lui Steiner

47 Variaţia momentrlor de inerţie faţă de axe rotite

Direcţii principale şi momente de inerţie principale

Fie suprafaţa plană din figura 48 de arie 119860 pe care considerăm o suprafaţă

elementară de arie 119889119860 Pentru sistemul de axe 119911119874119910 se cunosc momentele de inerţie

119868119911 119868119910 119868119911119910 şi vom determina relaţiile de calcul pentru momentele de inerţie afererent unui

sistem de axe 11991111198741199101 rotit cu un unghi faţă de sistemul central

Faţă de sistemul de axe 11991111198741199101 elementul de arie 119889119860 are coordonatele

1199101 = 119875119877 = 119875119876 minus 119877119876 = 119910 ∙ cos 120572 minus 119911 ∙ sin 120572

1199111 = 119873119872 = 119873119875 minus 119875119872 = 119911 ∙ cos 120572 + 119910 ∙ sin 120572 (432)

Fig 47 Variaţia momentelor de inerţie față de axe rotite

Pe baza relaţiilor de calcul ale momentelor de inerţie şi a notaţiilor din figura 42

şi ale relaţiilor (432) momentele de inerţie faţă de sistemul de axe rotit 11991111198741199101 sunt

1198681199111 =119868119911 + 119868119910

2+119868119911 minus 119868119910

2∙ cos 2120572 minus 119868119911119910 ∙ sin 2120572 (433)

1198681199101 =119868119911 + 119868119910

2minus119868119911 minus 119868119910

2∙ cos 2120572 + 119868119911119910 ∙ sin 2120572 (434)

11986811991111199101 =119868119911 minus 119868119910

2∙ sin 2120572 + 119868119911119910 ∙ cos 2120572 (435)

Din relaţiile 433divide435 se observă că icircntre momentele de inerţie axiale şi cele

polare există relaţia

1198681199111 + 1198681199101 = 119868119911 + 119868119910 = 119868119901 (436)

adică suma momentelor de inerţie axiale icircn raport cu orice pereche de axe ortogonale

care trec printr-un pol dat este o constantă şi egală cu momentul de inerţie polar

Prin rotirea sistemului de axe din relaţiile 433divide435 rezultă că momentele de inerţie

variază icircnsă suma lor rămacircne constantă deci există o poziţie a sistemului de axe pentru

care momentele de inerţie au valori extreme maxim respectiv minim

471 Direcţii principale de inerţie

Valoarea unghiului 120572 pentru care momentele de inerţie axiale au valori extreme

este

1205721 =1

2∙ 119886119903119888119905119886119899 (minus

2 ∙ 119868119911119910

119868119911 minus 119868119910) (437)

Poziţia celeilalte direcţii este perpendiculară pe cea dată de unghiul 1205721

Din relaţia (437) se constată că faţă de aceste direcţii rotite pentru care momentele

de inerţie axiale prezintă valori extreme momentul de inerţie centrifugal 11986811991111199101este nul

Atunci se poate afirma că momentele de inerţie axiale au valori extreme icircn raport cu

direcţiile faţă de care momentul de inerţie centrifugal este nul Aceste direcţii se numesc

direcţii principale iar momentele de inerţie faţă de aceste direcţii poartă numele de

momente de inerţie principale

Icircn calculele de rezistenţă interesează icircn mod special poziţia direcţiilor principale

care trec prin centrul de greutate al suprafeţei aşa numitele direcţii principale centrale şi

evident momentele de inerţie principale centrale

Direcţiile principale de inerţie se notează cu 1 respectiv 2 Axa principală 1

corespunde direcţiei faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea maximă iar

axa principală 2 pentru direcţia faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea

minimă

472 Momente de inerţie principale

Momentele de inerţie principale se notează cu litera 119868 la care se pune indicele 1

sau 2 după cum valoarea acestuia este maximă sau minimă deci avem un moment de

inerţie principal 1 (notat 1198681) respectiv moment de inerţie principal 2 (notat 1198682)

Expresiile pentru momentele de inerţie principale sunt

11986812 =119868119911 + 119868119910

2plusmn1

2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)

2+ 4 ∙ (119868119911119910)

2 (438)

Dacă momentul de inerţie centrifugal este negativ (119868119911119910 lt 0) direcţia principală

care trece prin primul cadran (definit de sistemul 119911119862119910) este direcţia principală 120783

Pentru suprafeţele cu cel puţin o axă de simetrie direcţiile centrale 119862119911 119862119910 sunt şi

direcții principale de inerţie și evident momentele de inerţie axiale 119868119911 119868119910 sunt momente

de inerţie principale

48 Caracteristici mecanice ale metalelor

Alegerea materialului pentru confecţionarea unei anumite piese se face şi pe baza

aşa numitelor caracteristici mecanice pe care le prezintă materialul Cunoaşterea acestor

caracteristici mecanice are loc numai pe baza unor icircncercări mecanice care să scoată icircn

evidenţă comportarea materialului icircn condiţii de solicitare

Cea mai utilizată icircncercare icircn urma căreia se pun icircn evidenţă caracteristicile

mecanice ale unui material este icircncercarea la tracţiune

481 Icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general

Icircncercarea la tracţiune a oţelului ca de altfel toate icircncercările de materiale este

standardizată

Icircn cele ce urmează se va prezenta numai partea care interesează strict din punct

de vedere al caracteristicilor mecanice ale oţelului

Epruveta de diametru iniţial 1198890 pentru icircncercarea la tracţiune are o porţiune de

lungime 1198710 numită baza de măsurare pe care se măsoară lungirea acesteia sub acţiunea

solicitării

Icircn funcţie de raportul dintre baza de măsurare 1198710 şi diametrul iniţial 1198890 epruvetele

utilizate pentru icircncercări sunt

epruvete normale (scurte) cacircnd 11987101198890 = 5

epruvete lungi cacircnd 11987101198890 = 10

Icircn timpul icircncercării la diferite valori ale forţei 119865 se măsoară lungirea bazei de

măsurare

∆119871 = 120575 = 119871 minus 1198710 (439)

unde

119871 este dimensiunea bazei de măsurare la un moment dat

Curba forţă-lungire (119865 minus ) icircnregistrată icircn urma icircncercării reprezintă curba

caracteristică la tracţiune

La icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general diagrama caracteristică care se

obţine are forma din figura 48

Curba caracteristică la tracţiune depinde de lungimea bazei de măsurare Pentru

icircnlăturarea acestui neajuns curba caracteristică se reprezintă icircn coordonate şi definite

astfel

120590 =119865

1198600 휀 =

120575

1198710 (440)

unde

1198600 este aria iniţială a secţiunii transversale a epruvetei (icircnainte de solicitare) icircn

zona bazei de măsurare

1198600 =120587 ∙ 1198890

2

4

Deoarece mărimile icircn care se reprezintă curba caracteristică la tracţiune sunt

raportate la aria iniţială a secţiunii transversale (mărimi specifice) curba poartă numele

de curbă caracteristică convenţională la tracţiune

Fig 48 Curba caracteristică convenţională la tracțiune

Pe curba caracteristică convenţională la tracţiune figura 48 se pot stabili o serie

de puncte cărora le corespund mai multe mărimi importante

Ordonata punctului A pacircnă unde curba caracteristică convenţională este linie

dreaptă se numeşte limita de proporţionalitate a materialului 120590119901(1205901) Porţiunea 119874119860 este

zona de proporţionalitate a curbei caracteristice pe acest domeniu este valabilă legea lui

Hooke care exprimă o proporţionalitate icircntre tensiune şi deformaţie specifică

120590 = 119864 ∙ 휀 (441)

unde

119864 = reprezintă panta porţiunii liniare a curbei convenționale caracteristice

la tracțiune Caracteristica de material 119864 se numeşte modul de elasticitate longitudinal

(modulul lui Young)

Ordonata punctului 119861 pacircnă unde materialul se comportă perfect elastic adică

după descărcare icircşi recapătă dimensiunea iniţială 1198710 se numeşte limita de elasticitate

120590119890(119877119890) Icircn realitate nici un material nu are comportare perfect elastică sub acţiunea

solicitărilor el capătă deformaţii permanente (remanente plastice)

După punctul 119861 urmează o porţiune 119861119862119863 icircn care cu toate că icircncărcarea

continuă forţa nu mai creşte avacircnd mici oscilaţii icircn jurul unei valori Se spune că icircn

această porţiune materialul curge iar intervalul 119861119862119863 este un palier de curgere Tensiunea

corespunzătoare palierului de curgere se numeşte limită de curgere aparentă 120590119888(119877119888) Limita de curgere aparentă se calculează cu relaţia

120590119888 =1198651198881198600 (442)

unde

119865119888 reprezintă valoarea forţei icircnregistrată icircn momentul curgerii materialului

După punctul 119863 curba caracteristică are un traseu ascendent pacircnă icircn punctul 119864

Porţiunea 119863119864 este numită zonă de icircntărire (ecruisare) Icircn zona de ecruisare unde se

produc deformaţii plastice semnificative legea lui Hooke nu mai este valabilă La

descărcare relaţia dintre tensiunea şi deformaţia specifică este liniară paralelă cu

porţiunea liniară a curbei caracteristice (dreapta 119872119873)

Deformaţia totală (휀119905) are două componente una elastică (휀119890) şi una plastică (휀119901)

Ordonata punctului 119864 reprezintă rezistenţa de rupere 120590119903(119877119898) a materialului

care se poate calcula cu relaţia

120590119903 = 119877119898 =1198651198981198861199091198600

(443)

unde

119865119898119886119909 reprezintă valoarea maximă a forţei icircnregistrată icircn timpul icircncercării

La atingerea valorii 119865119898119886119909 (punctul 119864) icircntr-un anumit loc al epruvetei secţiunea

icircncepe să se micşoreze (se produce gacirctuirea) continuacircnd pacircnă cacircnd se produce ruperea

totală (punctul 119865)

Dacă după ruperea epruvetei cele două părţi rezultate se aşează cap la cap şi se

măsoară dimensiunea bazei de măsurare 119871119906 (lungimea ultimă) se determină alungirea la

rupere sau lungirea specifică la rupere 휀119903

휀119903 =119871119906 minus 11987101198710

=∆119871

1198710=120575

1198710 (444)

De obicei alungirea se exprimă icircn procente şi se notează cu 119860119899 unde 119899 reprezintă

numărul dat de raportul 11987101198890 (epruvete normale 119899 = 5 epruvete lungi 119899 = 10)

119860119899 =119871119906 minus 11987101198710

∙ 100 [] (445)

Altă mărime care se determină la icircncercarea la tracţiune este gacirctuirea la rupere

(exprimată de obicei icircn procente) şi definită de relaţia

119885 =1198600 minus 1198601199061198600

∙ 100 [] (446)

Mărimile determinate limita de proporţionalitate modulul de elasticitate

longitudinal limita de elasticitate limita de curgere aparentă rezistenţa de rupere

alungirea la rupere şi gacirctuirea la rupere sunt cunoscute ca fiind caracteristici mecanice

ale materialului

Din curba caracteristică convenţională observăm faptul că ruperea (punctul 119865 din

figura 48 se produce la o tensiune mai mică decacirct cea corespunzătoare punctului 119864 Dacă

icircnsă forţa din timpul icircncercării s-ar raporta la aria secţiunii din momentul icircnregistrării

forţei (care este mai mică decacirct cea iniţială 1198600) s-ar obţine aşa numita curbă

caracteristică reală a materialului (traseul 1198741198601198611198621198631198651 din figura 48) La curba

caracteristică reală ruperea se produce icircn punctul 1198651 la o icircncărcare mai mare decacirct cea

corespunzătoare punctului 119864 Icircnseamnă că rezistenţa reală la rupere este mai mare decacirct

rezistenţa la rupere dată de punctul 119864 din diagrama caracteristică convenţională

Dificultatea obţinerii diagramei caracteristice reale faţă de cea a diagramei caracteristice

convenţionale şi considerarea unei rezistenţe la rupere mai mică decacirct a celei reale face

icircn practică utilizarea pe scară mare a diagramei caracteristice convenţionale

Caracteristicile mecanice determinate pe baza curbei caracteristice convenţionale

sunt şi ele caracteristici mecanice convenţionale

Caracteristicile mecanice convenţionale limita de proporţionalitate convenţională

120590119901 limita de elasticitate convenţională 120590119890 limita de curgere convenţională 120590119888 şi rezistenţa

de rupere 120590119903 constituie tensiuni limită pentru un material Pe baza acestor caracteristici

de material se alege valoarea tensiunii admisibile 120590119886 (vezi paragraful 35) pentru

calculele de rezistenţă Cea mai utilizată stare limită pentru stabilirea tensiunii admisibile

120590119886 este limita de curgere convenţională 120590119888

120590119886 =120590119897119894119898119888

=120590119888119888 119904119886119906 120590119886 =

120590119903119888 (447)

Caracteristicile mecanice ale materialului sunt influenţate de o serie de factori

temperatura viteza de solicitare factorii tehnologici iar valorile lor sunt date icircn tabele și

diagrame

Aplicaţie Pentru suprafaţa plană compusă din două dreptunghiuri avacircnd

dimensiunile din figura 49a să se calculeze

a) centrul de greutate al secțiunii compuse 119910119866 119911119866

b) momentele de inerție axiale 119868119911 119868119910 și momentul de inerție centrifugal 119868119911119910

c) razele de inerție 119894119911 119894119910

d) modulele de rezistență 119882119911119898119894119899 119882119911119898119886119909 119882119910119898119894119899 119882119910119898119886119909

e) momentele de inerție principale 1198681 1198682 și direcțiile principale de inerție 1205721

f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 119878119911

Fig 49 Aplicație

Rezolvare Pentru rezolvare vom parcurge următoarele etape

icircmpărțim suprafața compusă icircn două suprafețe simple (dreptunghiuri) notate cu

① și respectiv ② figura 49b

poziționăm centrele de greutate a celor două suprafețe simple ① și respectiv ②

notate cu 1198661 și respectiv 1198662 figura 49c

poziționăm sistemele de axe de coordonate 119911111986611199101 pentru dreptunghiul ① și

119911211986621199102 pentru dreptunghiul ② aflate la intersecția diagonalelor figura 49c

poziționăm sistemele de axe de coordonate 11991101198741199100 ales arbitrar față de care

determinăm poziția centrului de greutate 119866 figura 49c

a) calculăm poziția centrului de greutate folosind relațiile (46) icircn care

1198601 = 6119905 ∙ 119905 = 61199052 1198602 = 4119905 ∙ 119905 = 41199052 119860 = 1198601 + 1198602 = 61199052 + 41199052 = 101199052

iar centrele de greutate 1198661 și respectiv 1198662 au coordonatele (față de sistemul 11991101198741199100)

1198661 1199101 = 3119905 1199111 = 05119905

1198662 1199102 = 051199051199112 = 3119905

cu acestea obținem

119910119866 =1198601 ∙ 1199101 + 1198602 ∙ 1199102

119860=61199052 ∙ 3119905 + 41199052 ∙ 05119905

101199052=201199053

101199052= 2119905

119911119866 =1198601 ∙ 1199111 + 1198602 ∙ 1199112

119860=61199052 ∙ 05119905 + 41199052 ∙ 3119905

101199052=151199053

101199052= 15119905

Poziționăm centrul de greutate 119866 al suprafeței compuse figura 49c

Fig 49 Aplicație

b) pentru determinarea momentelor de inerție axiale 119868119911 119868119910 și a momentului de

inerție centrifugal 119868119910119911 determinăm constantele 1198881 1198882 1198891 1198892 care intervin icircn relația lui

Stainer

1198881 = 1199101 minus 119910119866 = 3119905 minus 2119905 = 119905 1198882 = minus(119910119866 minus 1199102) = minus(2119905 minus 05119905) = minus15119905

1198891 = minus(119911119866 minus 1199111) = minus(15119905 minus 05119905) = minus119905 1198892 = 1199112 minus 119911119892 = 3119905 minus 15119905 = 15119905

Folosind relațiile lui Stainer (429) (430) și (431) calculăm momentele de

inerție axiale și centrifugale față de sistemul central 119911119866119866119910119866

119868119911 =sum(119868119911119894 + 1198881198942 ∙ 119860119894) = 1198681199111 + 1198881

2 ∙ 1198601 + 1198681199112 + 11988822 ∙ 1198602

119868119910 =sum(119868119910119894 + 1198891198942 ∙ 119860119894) = 1198681199101 + 1198891

2 ∙ 1198601 + 1198681199102 + 11988922 ∙ 1198602

119868119911119910 =sum(119868119911119894119910119894 + 119888119894 ∙ 119889119894 ∙ 119860119894) = 11986811991111199101 + 1198881 ∙ 1198891 ∙ 1198601 + 11986811991121199102 + 1198882 ∙ 1198892 ∙ 1198602

1198681199111 = (119887 ∙ ℎ3

12) =

119905 ∙ (6119905)3

12= 181199054 1198681199112 = (

119887 ∙ ℎ3

12) =

4119905 ∙ 1199053

12= 031199054

1198681199101 = (1198873 ∙ ℎ

12) =

1199053 ∙ 6119905

12= 051199054 1198681199102 = (

1198873 ∙ ℎ

12) =

(4119905)3 ∙ 119905

12= 531199054

11986811991111199101 = 11986811991121199102 = 0 deoarece cele două triunghiuri au cel puțin o axă de simetrie

Cu acestea momentele de inerție axiale și momentul de inerție centrifugal devin

119868119911 = 181199054 + 1199052 ∙ 61199052 + 031199054 + (minus15119905)2 ∙ 41199052 = 3331199054

119868119910 = 051199054 + (minus119905)2 ∙ 61199052 + 531199054 + (15119905)2 ∙ 41199052 = 2081199054

119868119911119910 = 0 + 119905 ∙ (minus119905) ∙ 61199052 + 0 + (minus15119905) ∙ (15119905) ∙ 41199052 = minus151199054

c) razele de inerție sau de girație față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910

se calculează cu relațiile (411)

119894119911 = radic119868119911119860= radic

3331199054

101199052= 182119905 119894119910 = radic

119868119910

119860= radic

2081199054

101199052= 144119905

d) modulele de rezistență față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910 se

calculează cu relațiile (412) și (413)

Avacircnd icircn vedere figura 419c obținem

119910119898119886119909 = 6119905 minus 119910119866 = 6119905 minus 2119905 = 4119905 119910119898119894119899 = minus119910119866 = minus2119905

119911119898119886119909 = 5119905 minus 119911119866 = 5119905 minus 15119905 = 35119905 119911119898119894119899 = minus119911119866 = minus15119905

Se obține astfel

119882119911119898119894119899 =119868119911

|119910119898119886119909|=3331199054

4119905= 8331199053

119882119911119898119886119909 =119868119911

|119910119898119894119899|=3331199054

2119905= 16651199053

119882119910119898119894119899 =119868119910

|119911119898119886119909|=2081199054

35119905= 5941199053

119882119910119898119886119909 =119868119910

|119911119898119894119899|=2081199054

15119905= 13871199053

e) momentele de inerție principale 1198681 și respectiv 1198682 se calculează cu relațiile

(438)

11986812 =119868119911 + 119868119910

2plusmn1

2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)

2+ 4 ∙ (119868119911119910)

2=

=3331199054 + 2081199054

2plusmn1

2∙ radic(3331199054 minus 2081199054)2 + 4 ∙ (minus151199054)2 = 27051199054 plusmn 16251199054

De unde obținem

1198681 = 27051199054 + 16251199054 = 4331199054

1198682 = 27051199054 minus 16251199054 = 1081199054

Prima direcție principală de inerție 1 face cu axa centrală 119866119911 unghiul 1205721 dat de

relația (437)

1205721 =1

2∙ arctan (minus

2 ∙ 119868119911119910

119868119911 minus 119868119910) =

1

2∙ arctan [minus

2 ∙ (minus151199054)

3331199054 minus 2081199054] =33 70

Deoarece 1205721 gt 0 rotirea axelor se face acircn sens antiorar acelor de ceasornic figura

49d

Poziția axe principale 2 față de care momentul de inerție are valoarea minimă

1198682 = 119868119898119894119899 este dată de unghiul

1205722 = 1205721 + 900 = 33 70 + 900 = 123 70

f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 se determină cu relația

(45)

1198781199111198602 = 1198602 ∙ 1198882 = 41199052 ∙ (minus15119905) = minus61199053

Icircn figura 27 este reprezentat un reazem mobil poziţionat pe capătul A al unei bare

plane orizontale fiind evidenţiate punctul şi suprafaţa de rezemare direcţia suportului

reacţiunii şi modul de schematizare al reazemului Cea mai des icircntacirclnită reprezentare a

reazemului mobil este a unui triunghi a cărui bază poate luneca pe suprafaţa de rezemare

2 Reazemul fix sau articulaţia icircmpiedică deplasările liniare după toate direcţiile

din planul barei permiţacircnd doar rotirea barei icircn jurul unei axe perpendiculare pe plan şi

care trece prin puncul de rezemare Reacţiunea este cuprinsă icircn planul barei care trece

prin punctul de rezemare dar a cărei mărime şi direcţie nu sunt cunoscute (forţa R)

figura 28

Fig 28 Reazem fix

Se preferă ca icircn locul unei forţe R avacircnd direcţia oarecare icircn plan necunoscută să

se introducă două forţe (HA şi VA) cărora li se cunoaşte direcţia şi pentru care se vor

determina modulele ca valori din condiţiile de echilibru static Icircntr-un reazem fix apar

icircntotdeauna reacţiuni atacirct pe direcţia perpendiculară pe suprafaţa de rezemare

(verticală) cacirct şi pe direcţia paralelă cu prima (orizontală) chiar dacă uneori una sau

chiar ambele reacţiuni au valoarea zero Reprezentarea schematică a articulaţiei este cea

a unui triunghi cu baza fixă şi cu vacircrful icircn punctul de rezemare sau cea a unui pendul

dublu figura 28

3 Icircncastrarea (sau icircnţepenirea) anulează toate gradele de libertate ale capătului

unei bare icircmpiedicacircnd deplasarea liniară după orice direcţie din plan precum şi rotirea

barei icircn jurul unei axe perpendiculare pe plan şi care trece prin punctul de icircncastrare

Urmare a existenţei sarcinilor exterioare şi a blocării deplasărilor icircn icircncastrare apare o

reacţiune căreia nu i se cunoaşte nici mărimea nici direcţia şi nici punctul de aplicaţie

figura 29

Fig 29 Icircncastrarea

Sub acţiunea forţelor exterioare un sistem este icircn echilibru Valoarea reacţinilor

se determină din condiţia de echilibru a sistemului solicitat

Este cunoscut faptul că un sistem plan este icircn echilibru dacă

nu se deplasează pe o direcţie (fie x această direcţie)

nu se deplasează pe o direcţie perpendiculară pe prima (fie y această direcţie)

nu se roteşte faţă de un punct al planului (fie K acest punct)

Cele trei condiţii enunţate mai sus sunt satisfăcute dacă suma proiecţiilor tuturor

forţelor pe direcţia x respectiv y este nulă şi suma tuturor momentelor (cuplurilor) faţă

de un punct al planului este nulă

242 Forțe interioare Metoda secțiunilor

Icircn vederea calculului de rezistenţă de rigiditate şi de stabilitate a barelor sau a

sistemelor de bare este necesară determinarea forţelor şi momentelor interioare

(eforturilor) care apar icircn secţiunile transversale ale acestora şi datorate icircncărcărilor

exterioare Forțele interioare indică legătura dintre particulele din interiorul corpului şi

se pun icircn evidenţă prin metoda secţiunilor care este un procedeu de raţionament

imaginar propus de Cauchy echivalent cu teoria echilibrului părţilor Conform acestui

raționament bdquodacă un corp solid deformabil este icircn echilibru sub acţiunea unui sistem

generalizat de forţe atunci după secționare fiecare parte a sa va fi icircn echilibru sub

acţiunea forţelor exterioare care-i revin şi a unui sistem de forţe pe care trebuie să-l

introducem icircn secţiunea ce delimitează fiecare parte echivalent cu acţiunea forţelor

aplicate pe partea icircndepărtatărdquo

Problemele care apar la aplicarea metodei secţiunilor sunt

- să pună icircn evidenţă existenţa forţelor interioare mai ales că din ceea ce se ştie o

forţă apare icircn prezenţa a două corpuri ca urmare a principiului acţiunii şi reacţiunii

- să explice modul de distribuţie al forţelor interioare pe secţiune

Considerăm un corp aflat icircn echilibru sub acţiunea unui sistem de forţe exterioare

1 2 3⋯119894 ⋯ 119899minus1 119899 şi presupunem că-l secţionăm cu un plan transversal Q (sau cu

o suprafaţă oarecare) figura 210a Icircn urma secţionării fictive (imaginare) conform

principiului echilibrului părţilor fiecare din cele două părţi obţinute trebuie să fie icircn

echilibru sub acţiunea forţelor exterioare care le revin şi a cacircte unui sistem de forţe

interioare pe care trebuie să-l introducem icircn secţiunile rezultate sistem echivalent cu

acţiunea forţelor exterioare ce acţionează asupra celeilalte părţi Astfel pe partea din

dreapta (notată cu II) delimitată de secţiunea de arie Ad sunt aplicate forţele exterioare

119894 ⋯ 119899minus1 119899 şi un sistem de forţe interioare căruia nu i se cunoaşte decacirct efectul acelaşi

cu cel al forţelor 1 2 3 de pe parea din stacircnga (notată cu I şi delimitată de secţiunea

de arie As) figura 210b Prin metoda secţiunilor am reuşit să punem icircn evidenţă existenţa

forţelor interioare şi să le trecem icircn categoria celor exterioare cărora le putem aplica

relaţiile de echivalenţă şi de echilibru cunoscute din statică Ideal ar fi să cunoaştem

distribuţia şi intensitatea punctuală a acestor forţe pentru că s-ar putea ca icircn anumite

puncte ale secţiunii valoarea forţelor să depăşească limita de rezistenţă (limita de curgere)

a materialului Cunoaşterea distribuţiei punctuale a forţelor interioare nu se poate realiza

decacirct icircn cazuri particulare relativ simple de solicitare

Să considerăm partea din dreapta a corpului asupra căreia acționează forțele

119894 ⋯ 119899minus1 119899 mărginit de aria Ad pe care acționează un sistem de forțe interioare

echivalent cu 1 2 3 Deși forțele interioare de pe Ad nu se cunosc totuși efectul lor

este același cu cel al forțelor 1 2 3 deci le putem reduce icircn centrul de greutate C al

secțiunii Ad rezultacircnd componentele torsorului de reducere al forțelor interioare

(119894119889 119894119889) și pentru partea din stacircnga (119894119904 119894119904) Evident conform principiului acțiunii și

reacțiunii

119894119889 = minus119894119904

119894119889 = minus119894119904 (21)

Pe de altă parte cum fiecare dintre părțile corpului după secționare trebuie să fie

icircn echilibru sub acțiunea forțelor exterioare care le revin și a forțelor interioare introduse

rezultă

119894119889 = minus119890119889

119894119889 = minus119890119889

119894119904 = minus119890119889

119894119904 = minus119890119904 (22)

Combinacircnd (21) cu (22) rezultă

119894119889 = 119890119889

119894119889 = 119890119889

119894119904 = 119890119904

119894119904 = 119890119904 (23)

Fig 210 Forțe interioare

Relațiile (22) și (23) permit determinarea componentelor torsorului de reducere

al forțelor interioare din (23) rezultă componentele torsorului forțelor interioare care

acționează icircn secțiunea Ad sunt egale cu componentele torsorului de reducere al forțelor

exterioare de pe partea din stacircnga din (22) rezultă componentele torsorului forțelor

interioare care acționează icircn secțiunea Ad sunt egale și de sens contrar cu componentele

torsorului de reducere al forțelor exterioare de pe partea din dreapta

Observații

1 Torsorul forțelor interioare diferă de la o secțiune la alta dar pentru aceeași

secțiune el este unic și trebuie să respecte condițiile de compatibilitate a deformațiilor

2 Reducacircnd forțele interioare icircn centrul de greutate al secțiunii s-a făcut o

aproximare icircn ceea ce privește efectul modului de dispunere al forțelor

3 Punctul de reducere trebuie să fie

pentru forțele interioare normale la secțiune centrul de greutate

pentru forțele interioare tangente la planul secțiunii centrul de răsucire sau de

tăiere

243 Eforturi

Prin metoda secțiunilor am pus icircn evidență existența forțelor interioare și modul

icircn care se determină componentele torsorului de reducere al forțelor interioare (119894119889 119894119889) de pe fața din dreapta secțiunii (Ad) Cele două componente ale torsorului de reducere al

forțelor interioare de pe Ad se pot descompune după axele unui sistem de referință

triortogonal xCyz astfel

119894119889 = +

119894119889 = 119909 +119872119894 (24)

unde și 119909 sunt proiecțiile lui 119894119889 și respectiv 119894119889 pe axa longitudinală Cx a

barei iar și 119894 sunt proiecțiile acelorași componente 119894119889 și respectiv 119894119889 pe planul yCz

al secțiunii transversale Ad figura 211

Fig 211 Torsorul de reducere al forţelor interioare

La racircndul lor și 119894 se pot descompune după axele sistemului yCz figura 212

= 119910 + 119911

119894 = 119894119910 + 119894119911 (25)

Fig 212 Descompunerea forţei tăietoare şi a momentului icircncovoietor

Cele șase componente ale torsorului de reducere al forțelor interioare ( 119910 119911

119909 119894119910 119894119911) orientate după axele sistemului de referință xCyz se numesc eforturi

Fiecare efort are o denumire stabilită icircn funcție de tipul de deformație pe care-l produce

De asemenea semnul plus (bdquo+rdquo) sau minus (bdquondashrdquo) al fiecărui efort nu depinde de sensul

pozitiv sau negativ al sistemului de axe ci doar de efectul icircn deformații al fiecărui efort

Denumirile celor șase eforturi sunt

119873 este forța axială

119879119910 119879119911 sunt forțe tăietoare orientate după axele Cy și respectiv Cz

119872119909 notat de cele mai multe ori cu 119872119905 este moment de torsiune sau de răsucire

119872119894119911 119872119894119910 sunt momente de icircncovoiere icircn jurul axei Cz și respectiv Cy

Forța axială 119873 poate fi forță axială de icircntindere cacircnd produce o lungire a

tronsonului pe a cărei față acționează (119873 gt 0) figura 213a sau forță axială de

compresiune cacircnd sub efectul ei bara se scurtează (119873 lt 0) figura 213b

Fig 213 Forța axială

Forțele tăietoare 119879119910 și 119879119911 au ca efect lunecarea secțiunii icircn centrul căreia

acționează icircn raport cu secțiunea icircnvecinată lunecare ce se produce pe direcția și icircn sensul

forței Sub acțiunea unei forțe tăietoare bara este solicitată la forfecare Forța tăietoare

este pozitivă 119879119910 gt 0 dacă icircn raport cu un punct oarecare K de pe axa Cx a barei tinde să

rotească secțiunea pe care acționează icircn sens orar

Fig 214 Forța tăietoare

Momentele de icircncovoiere 119872119894119911 și 119872119894119910 au ca efect o rotire a secțiunii icircn centrul

cărora acționează icircn jurul axei după care sunt orientate Icircn figura 215a se vede că

datorită momentului 119872119894119911 fibrele de deasupra axei Cz se alungesc icircn timp ce fibrele de sub

axa Cz se scurtează Fibrele care trec prin axa de icircncovoiere Cz nu se deformează sunt

fibre neutre la icircncovoiere adică axa neutră este Cz Icircn cazul momentului de icircncovoiere

119872119894119910 fibrele care nu se deformează sunt cele care trec prin axa neutră la icircncovoiere Cy

Momentele de icircncovoiere se consideră a fi pozitive (119872119894119911 gt 0119872119894119910 gt 0) dacă

observatorul care privește bara deformată vizualizează fibrele icircntinse

Fig 215 Momentul icircncovoietor

Momentul de torsiune sau de răsucire 119872119909 equiv 119872119905 are ca efect o rotire a secțiunii

icircn al cărei centru acționează icircn jurul axei longitudinale Cx Ca efect secțiunea icircși schimbă

forma (se deformează) adică unghiurile inițiale se modifică dreptunghiul inițial Ad

devine paralelogram Convențional se consideră 119872119905 gt 0 dacă vectorul moment are

aceeași orientare ca și sensul pozitiv ales pextru axa Cx Icircn figura 216 momentul este

negativ

Fig 216 Momentul de torsiune

25 Definiții și convenții de semne pentru eforturile

din secțiunile unei bare drepte plane icircncărcate cu sarcini coplanare

Vom considera o bară plană icircncărcată cu un sistem de forțe arbitrar figura 217

Ne propunem să determinăm eforturile care apar icircn secțiunea barei aflată la distanța 119909 de

reazemul din stacircnga (A)

Pentru aceasta vom aplica metoda secțiunilor vom secționa bara cu un plan

perpendicular pe axa longitudinală a barei și vom analiza doar partea din dreapta secțiunii

mărginită de fața Ad Pentru ca această porțiune de bară să fie icircn echilibru sub acțiunea

forțelor exterioare care acționează asupra sa 1198653 și 119881119861 va trebui să introducem icircn centrul

secțiunii Ad eforturile care pot să apară 119873 119879119910 119872119894119911 Acțiunea acestor eforturi trebuie să

fie echivalentă cu acțiunea forțelor exterioare aplicate pe partea icircnlăturată (parcursă) a

barei 119867119860 119881119860 1198651 1198652 1198720

Deoarece bara este plană și este icircncărcată doar cu sarcini ce aparțin

planului barei

icircn secțiunea Ad apar doar 3 componente ale torsorului de reducere al forțelor

interioare (eforturi)

- 119873 = forța axială

- 119879119910 = forța tăietoare pe care o vom nota cu 119879

- 119872119894119911 = momentul icircncovoietor notat cu Mi

Fig 217 Bară plană icircncărcată cu un sistem de forțe

Vom prezenta următoarele definiții corespunzătoare eforturilor din secțiunea Ad

119873 = forța axială dintr-o secțiune este egală cu suma algebrică a proiecțiilor pe

axa longitudinală a tuturor forțelor exterioare (sarcini și reacțiuni) aplicate pe partea

din stacircnga secțiunii adică pe porțiunea parcursă Forța axială 119873 este pozitivă dacă trage

de tronsonul pe a cărei față acționează (are orientarea normalei exterioare la secțiunea

Ad)

119873(119909) = minus119867119860 + 1198651119867 (26)

119879 = forța tăietoare icircntr-o secțiune este egală cu suma algebrică a proiecțiilor

pe o axă perpendiculară pe axa barei a tuturor forțelor exterioare (sarcini și reacțiuni)

aplicate pe porțiunea de bară aflată icircn stacircnga secțiunii considerate Forța tăietoare 119879

este pozitivă dacă tinde să rotească tronsonul pe a cărui față acționează icircn sens orar icircn

raport cu un punct de pe axa barei aflat la dreapta secțiunii

119879(119909) = 119881119860 minus 1198651119881 minus 1198652 (27)

119872119894 = momentul icircncovoietor icircntr-o secțiune este egal cu suma algebrică a

momentelor obținute prin reducerea tuturor forțelor exterioare ( cupluri sarcini

reacțiuni) aplicate pe porțiunea de bară aflată la stacircnga secțiunii icircn centrul secțiunii

considerate 119872119894 este considerat pozitiv dacă tinde să deformeze bara astfel icircncacirct fibrele

spre care privește un observator să fie icircntinse Cum poziția observatorului este de regulă

sub bară bara se deformează dacă 119872119894 gt 0 astfel icircncacirct partea jos a barei este icircntinsă Se

spune că bara deformată rdquoține apaldquo

119872119894(119909) = 119881119860 ∙ 119909 minus 1198651119881 ∙ (119909 minus 1198971) minus 1198652 ∙ [119909 minus (1198971 + 1198972)] + 1198720 (28)

Sensurile pozitive ale eforturilor care apar icircn centrul secțiunii Ad (deci atunci cacircnd

sensul de parcurs la aplicarea metodei secțiunilor este cel de la stacircnga la dreapta) sunt

indicate icircn figura 218a iar dacă sensul de parcurs este de la dreapta la stacircnga sensurile

pozitive ale eforturilor sunt indicate icircn figura 218b

Fig 218 Convenţia de semne

Definiții asemănătoare se pot da și pentru eforturile din centrul secțiunii As figura

218b adică pentru cazul icircn care sensul de parcurs este cel de la dreapta la stacircnga și deci

partea luată icircn considerare este cea din stacircnga iar partea parcursă din dreapta secțiunii

este icircnlăturată

119873(1199091) = 1198653119867

119879(1199091) = 1198653119881 minus 119881119861

119872119894(1199091) = 119881119861 ∙ 1199091 minus 1198653119881 ∙ (1199091 minus 1198975)

(29)

Avacircnd icircn vedere că fețele Ad și As aparțin aceleeași secțiuni este evident faptul că

eforturile 119873(119909) 119879(119909) și 119872119894(119909) sunt identice cu eforturile 119873(119961120783) 119879(119961120783) și respectiv

119872119894(119961120783) Icircn figura 218c se prezintă o sinteză a convențiilor de semne pozitive pentru cele

3 eforturi atacirct pentru sensul de parcurs de la stacircnga la dreapta (secțiunea Ad) cacirct și pentru

sensul invers (secțiunea As)

Semnele eforturilor sunt importante icircntrucacirct există materiale cu comportări diferite

la icircntindere față de compresiune iar o schimbare a semnului unui efort poate produce

erori grave icircn calcule Semnele eforturilor au fost stabilite icircn funcție de deformațiile

produse și nu depind de sensul axelor sistemului de coordonate

26 Relaţii diferenţiale icircntre eforturi şi sarcini

Pentru a vedea ce legătură există icircntre eforturi și sarcini vom considera o bară

dreaptă icircncărcată cu o sarcină distribuită după o lege oarecare figura 219a Din această

bară vom decupa prin dublă secționare un element de lungime infinit mică 119889119909 Deoarece

lungimea 119889119909 este foarte mică se poate considera sarcina 119901 uniform distribuită Icircn

secțiunile rezultate trebuie să introducem eforturile care pot apărea

- 119879 şi 119872119894 icircn centrul secțiunii din sticircnga eforturi pe care le considerăm pozitive

- 119879 + 119889119879 şi 119872119894 + 119889119872119894 icircn centrul secțiunii din dreapta elementului

Aceste eforturi au o variație mică (119889119879 şi 119889119872119894) față de secțiunea anterioară Spre

deosebire de cazul icircn care bara este secționată o singură dată icircn acest caz eforturile nu

pot fi determinate din cele 2 condiții de echilibru independente deoarece icircn ecuațiile de

echilibru apar 4 necunoscute 119879 119889119879119872119894 și 119889119872119894 deci că problema este dublu static

nedeterminată figura 219

Fig 219 Echivalența icircntre eforturi și sarcini

Ecuațiile de echilibru scrise pentru elementul din figura 219b conduc la stabilirea

unor relaţii foarte importante

(sum119865)119910= 0 hArr 119879 minus 119901 ∙ 119889119909 minus (119879 + 119889119879) = 0 rArr

119889119879

119889119909= minus119901 (210)

Relația (210) arată că derivata funcţiei forţei tăietoare icircn raport cu abscisa

secţiunii este egală cu sarcina distribuită normală la axa barei din acea secţiune luată

cu semn schimbat

Observații

dacă 119901 = 0 nu există sarcină distribuită atunci forța tăietoare T este constantă

icircnclinarea pantei diagramei forței 119879 este egală cu (ndash 119901) (sarcina distribuită cu

semn schimbat)

dacă 119901 = 119888119900119899119904119905 119879 variază liniar pe acel interval

Asemănător se deduce că derivata funcţiei forţei axiale icircn raport cu abscisa

secţiunii este egală cu sarcina distribuită axială din acea secţiune luată cu semn

schimbat adică

119889119873

119889119909= minus119901119867 (211)

Din condiția de echilibru suma de momente faţă de centrul de greutate al secţiunii

din dreapta

(sum119872)119862= 0 hArr 119872119894 minus (119872 + 119889119872119894) + 119879 ∙ 119889119909 minus 119901 ∙

(119889119909)2

2= 0 rArr

119889119872119894

119889119909= 119879 (212)

Relația (212) s-a obținut dupa reducerea termenilor și prin neglijarea infinitului

mic de ordinul 2

119901 ∙(119889119909)2

2

Relația (212) arată că derivata funcţiei moment icircncovoietor icircn raport cu abscisa

secţiunii este egală cu forţa tăietoare din acea secţiune

Observații

dacă 119879 = 0 momentul 119872119894 are un punct de extrem se obține o valoare maximă

pentru 119872119894119898119886119909 dacă forța tăietoare 119879 se anulează trecacircnd de la plus icircn stacircnga la minus icircn

dreapta secțiunii

dacă forța tăietoare este pozitivă pe un interval 119879 gt 0 atunci 119872119894 este crescătoare

pe acel interval

dacă forța tăietoare este negativă pe un interval 119879 lt 0 atunci 119872119894 este

descrescătoare pe acel interval

dacă pe un interval 119901 = 0 forța tăietoare este constantă 119879 = 119888119905 iar 119872119894 variază

liniar pe acel interval

dacă 119901 = 119888119900119899119904119905 119879 variază liniar pe acel interval iar 119872119894 variază parabolic pe

acel interval

Relaţiile diferenţiale sunt utile la reprezentarea corectă şi verificarea diagramelor

de eforturi astfel

pentru porţiunile de grindă pe care p = 0 eforturile N şi T sunt constante iar pe

porţiunile cu p = const eforturile N şi T variază liniar (relaţiile 211 şi 210)

dacă pe o porţiune T = const momentul icircncovoietor Miz variază liniar iar dacă

T variază liniar atunci momentul Miz variază parabolic (relaţia 212)

pe domeniile pe care T gt 0 funcţia Mi(x) este crescătoare iar icircn secţiunea icircn

care T = 0 (graficul funcţiei T intersectează axa x) momentul icircncovoietor are un punct

de extrem local (maxim sau minim relaţia 212)

Pentru rezolvarea problemelor referitoare la trasarea diagramelor de eforturi

pentru barele drepte solicitate de sisteme de forţe plane se parcurg următoarele etape

1) identificarea forţelor aplicate (date) şi pregătirea lor pentru calcule

(descompunerea forţelor concentrate pe direcţiile x şi y calculul rezultantelor forţelor

distribuite)

2) identificarea reazemelor şi introducerea reacţiunilor corespunzătoare (vezi

figurile 27divide29)

3) stabilirea ecuaţiilor de echilibru static calculul şi verificarea reacţiunilor Icircn

rezistența materialelor se folosește sistemul de ecuații (vezi figura 217)

(sum119865)

119909= 0

(sum119872)119860= 0

(sum119872)119861= 0

(213)

4) identificarea domeniilor de variaţie şi scrierea funcţiilor de eforturi pentru N T

şi Mi

5) reprezentarea grafică a diagramelor de eforturi

6) verificarea corectitudinii diagramelor pe baza relaţiilor diferenţiale icircntre eforturi

şi sarcini

Aplicație Pentru grinda dreaptă icircncărcată cu sistemul de forţe reprezentat icircn figura

220 se cere

a) să se calculeze şi să se verifice reacţiunile

b) să se stabilească funcţiile eforturilor Nx Ty şi Miz şi să se reprezinte diagramele

de variaţie

c) să se analizeze relaţiile diferenţiale icircntre eforturi şi sarcini

Dimensiunile grinzii au valorile a = 6 [m] b = 4 [m] și c = 4[m] sistemul de

forţe aplicat fiind format din p = 10 [kN mfrasl ] F = 20 [kN] (icircnclinată cu unghiul α =300 faţă de orizontală) şi M0 = 40 [kN ∙ m]

Rezolvare

a) Se fac următoarele precizări

grinda dreaptă se reprezintă prin axa geometrică

forţa icircnclinată F se descompune după direcţiile orizontală şi verticală icircn FV =F ∙ sin α = 10 [kN] şi FH = F ∙ cos α = 173 [kN]

forţa distribuită uniform p este echivalentă din punct de vedere static cu

rezultanta sa R = p ∙ a = 60 [kN] care acţionează la jumătatea porţiunii de lungime a

icircn reazemele 119860 şi 119861 se introduc componentele HA şi VA respectiv VB ale

reacţiunilor

Pentru calculul reacţiunilor se utilizează ecuaţiile de echilibru static al grinzii

sumXi = 0 HA minus FH = 0 sumYi = 0 VA + VB minus R minus FV = 0 (sumM)B = 0 VA ∙ (b + a) minus R ∙ (b + 05 ∙ a) minus M0 + FV ∙ c = 0

(A1)

Din prima ecuaţie se obţine HA iar din cea de-a treia ecuaţie rezultă VA

HA = FH = 173 [kN]

VA =[R ∙ (b + 05 ∙ a) + M0 minus FV ∙ c]

(b + a)=[60 ∙ (4 + 05 ∙ 6) + 40 minus 10 ∙ 4]

(4 + 6)

VA = 42 [kN]

(A2)

Fig 220 Aplicație

Se observă că cea de-a doua ecuaţie de echilibru conţine două necunoscute

reacţiunile VA şi VB Pentru a calcula componenta VB nu este indicată introducerea lui VA

icircn cea de-a doua ecuaţie a sistemului (A1) pentru că o valoare determinată greşit pentru

VA conduce la o valoare VB de asemenea greşită O ecuaţie independentă din care se poate

determina componenta VB este următoarea

(sumM)A= 0 FV ∙ (a + b + c) minus VB ∙ (a + b) minus M0 + R ∙ 05 ∙ a = 0 (A3)

de unde se obţine

VB =[FV ∙ (a + b + c) minusM0 + R ∙ 05 ∙ a]

(b + a)=[10 ∙ (6 + 4 + 4) minus 40 + 60 ∙ 05 ∙ 6]

(6 + 4)

VB = 28 [kN] (A4)

Ecuaţia de proiecţii ale forţelor pe direcţia verticală (a doua ecuaţie din sistemul

A1) se utilizează pentru verificarea reacţiunilor deja determinate

VA + VB minus R minus FV = 0 rArr 42 + 28 minus 60 minus 10 = 0 (A5)

Ultima egalitate demonstrează că reacţiunile verticale au fost calculate corect

Din cele de mai sus rezultă ordinea firească pentru determinarea reacţiunilor icircn

cazul grinzilor simplu rezemate

sumXi = 0

(sumM)A = 0

(sumM)B = 0

(A6)

iar pentru verificarea componentelor verticale VA şi VB se folosește ecuaţia sumY = 0

b) La stabilirea funcţiilor de eforturi se parcurg icircn general etapele următoare

se notează (numeric sau literal după preferinţă) secţiunile care delimitează

domeniile (intervalele sau tronsoanele) pe care eforturile nu-şi modifică funcţiile (au legi

unice de variaţie)

pe fiecare domeniu se marchează secţiunea imaginară icircn care se stabilesc

funcţiile eforturilor

secţiunea astfel aleasă separă icircn două părţi grinda şi anume porţiunea din stacircnga

şi porţiunea din dreapta secţiunii

se va considera parcursă (şi icircndepărtată) acea parte pe care acţionează mai puţine

sarcini exterioare pentru că acestea vor interveni icircn expresiile funcţiilor de eforturi

poziţiile secţiunilor imaginare se vor determina prin variabilele x1 ⋯ xn (unde

n reprezintă numărul domeniilor de variaţie) cu originea fixată icircn capătul intervalului şi

sensul de parcurgere spre partea considerată rămasă

Grinda prezentată icircn figura 220 are trei domenii de variaţie pentru funcţiile de

eforturi după cum urmează (A-1) (2-B) şi (B-1)

Domeniul (A-1) x1 isin [0 a = 6 m] Porţiunea parcursă şi considerată icircndepărtată este cea de coordonată x1 pe care

acţionează reacţiunile HA şi VA precum şi rezultanta parţială a sarcinii distribuite R1 =p ∙ x1

Funcţia forţă axială Nx are expresia

Nx(x1) = NAminus1 = minusHA = minus173 [kN] = const

(A7)

Funcţia forţă tăietoare Ty are exspresia

Ty(x1) = TAminus1 = VA minus R1 = VA minus p ∙ x1 (A8)

care reprezintă o variaţie liniară de variabilă x1 Se calculează valorile forţei tăietoare la

limitele intervalului de variaţie

- pentru x1 = 0 Ty(x1 = 0) = TA = VA = 42 [kN]

- pentru x1 = a = 6 [m] Ty(x1 = 6) = T1 = VA minus p ∙ a = minus18 [kN]

Observaţie Aşa cum a fost stabilită secţiunea fictivă poziţionată prin coordonata

x1 sar părea că rezultanta R ar trebui luată icircn calculul lui Ty(x1) Acest lucru ar fi greşit

pentru că R = p ∙ a reprezintă rezultanta sarcinii distribuite pe toată lungimea a iar

rezultanta pe porţiunea parcursă de lungime x1 este R1 = p ∙ x1 ne R = p ∙ a

Cu valorile obţinute se trasează diagramele forţelor axială Nx = f(x) şi tăietoare

Ty = f(x) figura 220 Din diagrama forţei tăietoare şi din valorile obţinute analitic se

observă că forţa tăietoare icircşi schimbă semnul pe intervalul analizat deci se anulează pe

acest interval Poziţia secţiunii unde Ty se anulează se determină din ecuaţia

Ty(x1) = 0 rArr VA minus p ∙ x1 = 0 (A9)

cu soluţia x1lowast = ξ = 42 [m] Important de reamintit că icircn această secţiune momentul

icircncovoietor va avea un extrem local adică Miz are un extrem la Ty = 0

Funcţia moment icircncovoietor Miz are expresia

Miz(x1) = VA ∙ x1 minus R1 ∙x12= VA ∙ x1 minus (p ∙ x1) ∙

x12

(A10)

Se observă că funcţia moment icircncovoietor de variabilă x1 are o variaţie parabolică

(gradul al II-lea) Pentru reprezentarea grafică a funcţiei parabolice se calculează valorile

momentului icircncovoietor icircn trei secţiuni

- pentru x1 = 0 Miz(x1 = 0) = MA = 0 [kN ∙ m] - pentru x1 = a = 6 [m] Miz(x1 = 6) = M1 = 72 [kN ∙ m] - pentru x1

lowast = ξ = 42 [m] Miz(x1lowast = ξ = 42 [m]) = Mimax = 882 [kN ∙ m]

Cu acestea se trasează diagrama Miz = f(x) pe intervalul (A-1) figura 220

Observaţie Icircn unele cazuri pe un anumit interval forţa tăietoare nu se anulează

şi momentul icircncovoietor nu are un extrem local Icircn acest caz pentru reprezentarea

variaţiei parabolice a momentului icircncovoietor se va studia semnul derivatei a doua a

funcţiei Miz = f(x1) acesta determinacircnd convexitatea curbei momentului icircncovoietor

Domeniul (2-B) x2 isin [0 c = 4 m] Porţiunile din grindă libere (nerezemate) la un capăt se numesc console iar

stabilirea funcţiilor de eforturi devine mai simplă dacă se consideră icircndepărtată partea din

dreapta secţiunii prin schimbarea sensului pozitiv al axei x Astfel se obţin funcţiile eforturilor

Funcţia forţă axială Nx are expresia

Nx(x2) = N2minusB = minusFH = minus173 [kN] = const

(A11)

Funcţia forţă tăietoare Ty are exspresia

Ty(x2) = T2minusB = FV = 10 [kN] = const (A12)

Funcţia moment icircncovoietor Miz are expresia

Miz(x2) = minusFV ∙ x2 rArr Miz(x2 = 0) = M2 = 0 [kN ∙ m]

Miz(x2 = 4) = MB = minus40 [kN ∙ m] (A13)

variaţie liniară (gradul I)

Domeniul (B-1) x3 isin [0 b = 4 m] Pe acest domeniu se acceptă parcurgerea grinzii de la dreapta adică se consideră

icircndepărtată partea din dreapta secţiunii fictive pentru că are doar două sarcini aplicate F

şi VB faţă de partea din stacircnga secţiunii pe care sunt aplicate trei sarcini p VA şi M0

Astfel se obţin funcţiile eforturilor

Funcţia forţă axială Nx are expresia

Nx(x3) = NBminus1 = minusFH = minus173 [kN] = const

(A14)

Funcţia forţă tăietoare Ty are exspresia

Ty(x3) = TBminus1 = FV minus VB = minus18 [kN] = const (A15)

Funcţia moment icircncovoietor Miz are expresia

Miz(x3) = minusFV ∙ (x3 + c) + VB ∙ x3 rArr

rArr Miz(x3 = 0) = MB = minus40 [kN ∙ m]

Miz(x3 = 4) = M1 = 32 [kN ∙ m]

(A16)

variaţie liniară (gradul I)

Diagramele eforturilor sunt prezentate icircn figura 220

c) Relaţiile diferenţiale dintre eforturi şi sarcini se analizează pe diagramele

eforturilor după cum urmează

sarcina distribuită nu are componentă orizontală adică ph = 0 şi icircn

conformitate cu formula (211) rezultă că Nx = const pe toată lungimea grinzii fapt care

a rezultat din funcţia şi reprezentarea diagramei forţei axiale

pe intervalul (A-1) sarcina distribuită are doar componenta verticală pozitivă

pV = p gt 0 prin urmare forţa tăietoare scade (are panta negativă dTy 119889119909frasl = minusp vezi

relaţia 210) iar momentul icircncovoietor avacircnd derivata a doua negativă d2M119894119911 1198891199092frasl =minuspare convexitatea curbei orientată spre sensul pozitiv al axei momentului Miz adică icircn

jos

pe domeniile (2-B) şi (B-1) deoarece pv = 0 forţa tăietoare Ty este constantă

iar momentul icircncovoietor Miz variază liniar

referitor la relaţia (212) pe porţiunile unde Ty gt 0 momentul Miz este

monoton crescător pe porţiunile unde Ty lt 0 momentul Miz este monoton descrescător

iar icircn secţiunea icircn care Ty = 0 momentul icircncovoietor are un extrem local Mξ =

882 [kN ∙ m] icircn diagrama forţei tăietoare discontinuităţile (salturile) se produc icircn secţiunile

unde acţionează VA VB şi FV iar icircn diagrama momentului icircncovoietor se produce un

singur salt icircn secţiunea icircn care este aplicat M0

se poate scrie

Mξ = suprafața diagramei Ty |ξ0=1

2∙ 42 ∙ 42 = 882 [kN ∙ m]

sau parcurgacircnd grinda de la dreapta la stacircnga rezultă

MB = minussuprafața diagramei Ty |c0= minus10 ∙ 4 = minus40 [kN ∙ m]

Toate aspectele analizate teoretic referitoare la relaţiile diferenţiale dintre eforturi

şi sarcini se regăsesc icircn diagramele de eforturi din figura 220 ceea ce icircnseamnă că

diagramele au fost reprezentate corect

3 TENSIUNI DEPLASĂRI ŞI DEFORMAŢII SPECIFICE

31 Tensiuni

Eforturile obținute icircn urma reducerii forțelor interioare icircn centrul de greutate al

secțiunii nu pot da informații asupra solicitării fiecărui punct al secțiunii respective Este

necesar să se cunoască modul cum se distribuie forțele interioare icircn fiecare punct al

secțiunii pentru a ști care este intensitatea maximă a solicitării Această intensitate

maximă se poate compara cu o valoare critică specifică materialului stabilindu-se astfel

dacă solicitarea este periculoasă sau nu

Mărimea care caracterizează solicitarea locală punctuală o vom denumi tensiune

și o vom defini icircn cele ce urmează Să considerăm partea din dreapta a unui corp solicitat

de forțele exterioare 1198651 1198652 și 1198653 obținută prin secționarea corpului și mărginită de fața

din dreapta Ad a secțiunii Pe secțiunea Ad vom considera un element de arie infinit mic

∆119860 caracterizat de normala la elementul de arie normală care are cosinușii directori

120573 și icircn raport cu un sistem de axe considerat fix Pe elementul infinit mic ∆119860 acționează

forțele interioare care au o rezultantă oarecare figura 31

Prin definiție tensiunea totală este

= lim∆119860rarr0

∆

∆119860 (31)

Tensiunea are aceeaşi direcţie cu forţa elementară ∆ iar mărimea ei este

determinată atacirct de mărimea forţei ∆ cacirct şi de orientarea suprafeţei ∆119860 faţă de direcţia

forţei

Tensiunea 119901 poate fi descompusă icircntr-o componentă orientată după direcţia

normalei la secţiune tensiunea normală notată cu 120590119909 şi o componentă icircn planul secţiunii

tensiunea tangenţială notată cu figura 32

= 119909 + 120591 (32)

Fig 31 Tensiunea totală Fig 32 Tensiunea normală și tangențială

La racircndul ei componenta tensiunii cuprinsă icircn planul secțiunii poate fi

descompusă după direcțiile axelor y și z

120591 = 120591119909119910 + 120591119909119911 (33)

Icircntre cele trei componente ale tensiunii totale care acționează pe elementul de arie

∆119860 este valabilă relația

1199012 = 1205901199092 + 120591119909119910

2 + 1205911199091199112 (34)

După sensul pe care icircl are tensiunea normală 120590 poate avea efect de tracţiune sau

de compresiune exercitat de către partea de corp icircnlăturată asupra părţii rămase Analog

tensiunea tangenţială 120591 poate avea efect de tăiere forfecare sau alunecare Pentru

componentele tensiunii tangențiale 120591119909119910 pe direcţia 119910 respectiv 120591119909119911 pe direcţia 119911 primul

indice indică axa pe care tensiunea este normală iar cel de-al doilea indice indică axa cu

care aceasta este paralel

Tensiunea este o mărime tensorială valoarea ei depinzacircnd atacirct de poziția

punctului icircn planul secțiunii cicirct și de orientarea planului de secționare deci de normala

Operaţiile vectoriale nu pot fi aplicate tensiunilor decacirct după ce acestea au fost icircnmulţite

cu ariile respective adică au fost transformate icircn forţe

Icircn literatura de specialitate mai ales icircn manualele mai vechi pentru noţiunea de

tensiune se mai foloseşte şi denumirea de efort specific

Dacă se consideră un alt element de arie ∆119860 cu centrul icircn același punct avacircnd ca

normală axa 119910 se vor obține alte tensiuni și anume

- 120590119910 este tensiunea normală (paralelă cu axa y)

- 120591119911119909 și 120591119910119911 sunt tensiuni tangențiale paralele cu axele 119909 și respectiv 119911 aflate icircn

planul care are ca normală axa 119910

Dacă icircn jurul unui punct dintr-un corp solicitat se consider un element de volum

infinit mic de forma unui cub icircn cazul cel mai general pe fețele sale vor acționa

tensiunile normale 120590119909 120590119910 și 120590119911 și respectiv tensiunile tangențiale 120591119909119910 120591119909119911 120591119910119909 120591119910119911 120591119911119909

și respectiv 120591119911119910 figura 33 Aceste tensiuni definesc starea de tensiune a punctului

observacircnd faptul că tensorul tensiune are 9 componente Dacă se consideră elementul

de volum finit ca fiind foarte mic se poate presupune că icircn interiorul său nu apar forțe

Ca urmare el va fi icircn echilibru sub acțiunea forțelor elementare produse de tensiunile de

pe fețele sale

Din condiția ca elementul să nu se rotească icircn jurul unor axe care trec prin centrul

său și sunt paralele cu axele sistemului 119909119874119910119911 rezultă

2 ∙ 120591119909119910 ∙ (119889119910 ∙ 119889119911) ∙119889119909

2= 2 ∙ 120591119910119909 ∙ (119889119909 ∙ 119889119911) ∙

119889119910

2 rArr 120591119909119910 = 120591119910119909 (35)

2 ∙ 120591119910119911 ∙ (119889119909 ∙ 119889119911) ∙119889119910

2= 2 ∙ 120591119911119910 ∙ (119889119909 ∙ 119889119910) ∙

119889119911

2 rArr 120591119910119911 = 120591119911119910 (36)

2 ∙ 120591119909119911 ∙ (119889119910 ∙ 119889119911) ∙119889119909

2= 2 ∙ 120591119911119909 ∙ (119889119909 ∙ 119889119910) ∙

119889119911

2 rArr 120591119909119911 = 120591119911119909 (37)

Relațiile (35divide37) 120591119909119910 = 120591119910119909 120591119910119911 = 120591119911119910 120591119909119911 = 120591119911119909 exprimă principiul dualității

tensiunilor tangențiale

Fig 33 Tensiunile normale și tangențiale pe fețele unui cub

Din condiția ca elementul considerat să nu se deplaseze icircn lungul axelor de

coordonate pe fețele opuse acționează aceleași tensiuni normale 120590119909 120590119910 și respectiv 120590119911

Definirea tensorului tensiune este posibilă dacă se cunosc cele 6 componente

independente ale acestuia aflate icircn trei plane perpendicular ce trec prin punctul respectiv

=

120590119909 120591119909119910 120591119909119911120591119910119909 120590119910 120591119910119911120591119911119909 120591119911119910 120590119911

Observaţii

Tensiunile se măsoară icircn [119873 1198982frasl ] (1119873 1198982frasl = 1 119875119886) sau icircn [119872119875119886]

(1 119872119875119886 = 106119875119886 = 106 119873

1198982 1 119872119875119886 = 1

119873

1198981198982)

Starea de tensiune dintr-un punct este considerată cunoscută dacă se cunosc

tensiunile 119901 care acționează pe infinitatea de elemente de suprafață ce trec prin punctual

considerat

Starea de tensiune a unui corp se consider cunoscută dacă se cunosc stările de

tensiune de pe infinitatea de puncte ale corpului considerat

32 Deplasări Deformaţii specifice

321 Deplasări

Aceste noțiuni sunt utile icircn analiza aspectului geometric al problemelor de rezistența

materialelor Deplasările care se analizează sunt cele datorate schimbării formei și

dimensiunilor corpurilor ca urmare a acțiunii forțelor exterioare și nu cele cinematice

posibile pentru solidul rigid care se poate deplasa cu anumită viteză și accelerație

Spre exemplu icircn figura 34a și figura 34b sub acțiunea forței 119865 tronsonul de

bară AB se deformează icircn timp ce tronsonul BC deși punctele sale au deplasări rămacircne

nedeformat (fiind nesolicitat) Toate punctele de pe axele barelor cu excepția celor din

icircncastrare (secțiunile A) au deplasări liniare De cele mai multe ori deformațiile barelor

datorate acțiunii forțelor exterioare se anulează la icircndepărtarea forțelor se spune că

deformațiile sunt elastice Secțiunile transversale ale barei din figura 34a se și rotesc icircn

raport cu pozițiile lor inițiale Spre exemplu secțiunea de căpăt cu centrul icircn C se rotește

cu unghiul

Fig 34 Deformațiile unei grinzi

Oricacirct de complexă ar fi delormația unui corp ea poate fi descrisă de lungiri sau

scurtări și de modificări ale unghiurilor inițiale

Deplasările măsoară schimbarea poziției unui punct al corpului și pot fi liniare

sau unghiulare

Prin deplasare liniară a unui punct se icircnțelege drumul parcurs de acest punct icircn

decursul procesului de deformație după o dreaptă suport dreapta 1198611198611 din figura 34a

Prin deplasare unghiulară se icircnțelege rotirea dintre segmentele de dreaptă

determinate de două puncte ale corpului icircnainte și după deformarea acestuia unghiul

pe care-l fac segmentele 119861119862 și 11986111198621 din figura 34a Această rotire se măsoară prin

unghiul pe care-l fac proiecțiile dreptelor ce conțin cele două segmente icircntr-un sistem

triortogonal

Icircn cazul cel mai general vectorul deplasare liniară se poate descompune icircntr-un

sistem triortogonal icircn trei componente 119906 119907 și 119908 figura 35

Fig 35 Deplasarea liniară

Se consideră acum un corp solid raportat la un sistem de axe ortogonal 119909119874119910119911

figura 35 după deformarea corpului un punct oarecare 119870 al acestuia se deplasează icircn

poziţia 1198701 vectorul 1198701198701 poartă numele de vectorul deplasării totale

Deplasarea totală este suma deplasărilor pe cele trei direcţii ortogonale iar

aceste deplasări se notează astfel

deplasarea pe direcţia 119909 cu ∥ 119874119909

deplasarea pe direcţia 119910 cu ∥ 119874119910

deplasarea pe direcţia 119911 cu ∥ 119874119911

Componentele deplasărilor și formeză matricea deplasărilor liniare 119906119907119908

322 Deformații

Prin deformație icircn general se icircnțelege orice schimbare de formă a unui corp fără

o evaluare cantitativă Icircn Rezistența Materialelor deformația măsoară variația

dimensiunilor geometrice ale corpului considerat din vecinătatea unui punct analog

deplasărilor deformațiile pot fi liniare și unghiulare (lunecări)

Fig 36 Deplasarea liniară

Deformația liniară ∆119897 reprezintă variația lungimii 119897 a unui element liniar al

corpului deformat figura 36 Deformația liniară specifică se definește ca fiind raportul

dintre deformația liniară și lungimea inițială

휀 =∆119897

119897 (38)

unde ∆119897 este lungirea sau scurtarea care este echivalentă cu deformția liniară totală iar

este alungirea

Deformația unghiulară sau lunecarea unui punct 119860 icircn planul 119861119860119862 se definește

prin relația figura 37

120574 = lim119861119860rarr0119862119860rarr0

(119861119860 minus 119861111986011198621 ) (39)

Fig 36 Deformația unghiulară

Schimbacircnd orientarea planului care trece prin 119860 se obțin alte deformații

unghiulare Dacă elementele liniare 119861119860 și 119862119860 sunt inițial perpendiculare deformația 120574 se

numește deformație unghiulară specifică sau lunecare specifică figura 37

Un exemplu de deplasare unghiulară și de deformație unghiulară este prezentat icircn

figura 38 Unghiul este deplasarea unghiulară și măsoară rotirea relativă dintre două

secțiuni aflate la distanța 119897 Unghiul este deformația specifică unghiulară (lunecarea

specifică) din punctul 119870 Aceste deplasări și deformații se obțin icircn urma solicitării barei

de către cele două momente 1198720 egale și de sens contrar

Fig 38 Deplasarea unghiulară

Pentru a analiza starea de deformație din vecinătatea unui punct al unui corp

solicitat complex se decupează din jurul punctului un element de volum mic figura 39a

avacircnd laturile 119889119909 119889119910 și 119889119911 Ca urmare a solicitării laturile acestuia se vor lungi sau

scurta Reprezentarea elementului deformat icircn spațiu este dificilă pentru simplificare

vom analiza doar deformațiile din planul 119909119874119910 Observăm că dimensiunile 119889119909 și 119889119910 s-au

modificat cu valoarea ∆119889119909 respectiv cu ∆119889119910 analog se acceptă și pentru 119889119911 o modificare

de forma ∆119889119911 Astfel se pot defini deformațiile specifice liniare

휀119909 =∆119889119909

119889119909 휀119910 =

∆119889119910

119889119910 휀119911 =

∆119889119911

119889119911 (310)

De cele mai multe ori aceste deformații specifice liniare se pot exprima procentual

și se mai numesc alungiri

Fig 39 Starea de deformație

Icircn figura 39c se vede că unghiul inițial drept dintre muchiile 119889119909 și 119889119910 ale

elementului de volum s-a modificat Se definește deformația specifică unghiulară (sau

lunecarea specifică) mărimea cu care se modifică unghiul inițial drept

120574119909119910 = 120574119909119910prime + 120574119910119909

prime = 120574119910119909120574119910119911 = 120574119910119911

prime + 120574119911119910prime = 120574119911119910

120574119911119909 = 120574119911119909prime + 120574119909119911

prime = 120574119909119911

(311)

Deformațiile 휀119909 휀119910 휀119911 120574119909119910 120574119910119911 120574119911119909 constituie cele șase componente

independente ale tensorului deformațiilor specifice care pot fi scrise de forma

119863 =

휀119909 120574119909119910 120574119909119911120574119910119909 휀119910 120574119910119911120574119911119909 120574119911119910 휀119911

(312)

323 Contracţia transversală

Practica arată că odată cu lungirea unei bare apare o micşorare a mărimii secţiunii

transversale mărime numită contracţie transversală figura 310

Fig 310 Contracția transversală

Contracţia transversală este proporţională cu lungirea specifică coeficientul de

proporţionalitate se notează cu 120599 şi se numeşte coeficient de contracţie transversală sau

coeficientul lui Poisson

La o lungire specifică a barei contracţia transversală este dată de relația

휀119905119903 = 휀119910 = 휀119911 = minus120599 ∙ 휀119909 (313)

Semnul minus bdquo-rdquo arată că cele două mărimi sunt contrare dacă una creşte cealaltă

scade şi invers

Considerăm o bară cilindrică de lungime 119897 şi aria secţiunii transversale 119860 solicitată

la icircntindere axială La un moment dat datorită solicitării lungimea barei devine

[119897 ∙ (1 + 휀)] diametrul devine [119889 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)] iar aria secţiunii transversale devine

[119860 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)2] Dacă volumul barei icircnainte de solicitare a fost (119860 ∙ 119897) după solicitare

acesta devine

119881 + ∆119881 = 119860 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)2 ∙ 119897 ∙ (1 + 휀) =

= 119860 ∙ 119897 ∙ (1 + 휀 minus 2 ∙ 120599 ∙ 휀 minus 2 ∙ 120599 ∙ 휀2 + 1205992 ∙ 휀2 + 1205992 ∙ 휀3) (314)

Deoarece lungirile sunt foarte mici ultimii trei termeni din paranteză fiind infinit mici se pot neglija obţinacircnd

119881 + ∆119881 = 119860 ∙ 119897 + 119860 ∙ 119897 ∙ 휀 ∙ (1 minus 2 ∙ 120599) ⟺ ∆119881 = 휀 ∙ (1 minus 2 ∙ 120599) ∙ 119860 ∙ 119897 (315)

Practica arătă că o astfel de bară solicitată la icircntindere icircşi măreşte volumul deci

∆119881 gt 0 de unde rezultă că

1 minus 2 ∙ 120599 gt 0 rArr 120599 lt 05 (316)

Pentru majoritatea materialelor 120599 = 033 iar pentru materialele care-şi păstrează

volumul constant 120599 = 05

33 Relaţii de echivalenţă icircntre eforturi şi tensiuni

Considerăm un element de suprafață infinit mic 119889119860 situat pe fața de arie (119860) a

secțiunii barei din figura 311 Icircn centrul de greutate 119862 al secțiunii acționează eforturile

119873 119879119910 119879119911 119872119909 119872119894119910 și 119872119894119911 determinate prin metoda secțiunilor

Icircn raport cu un sistem de axe de referință 119909119862119910119911 coordonatele elementului 119889119860 sunt

- 119910 este ordonata elementului de arie 119889119860

- 119911 este abscisa elementului de arie 119889119860

Pe elementul de arie 119889119860 acționează tensiunile

120590119909 tensiunea normală

120591119909119910 și 120591119909119911 tensiuni tangențiale

Dacă se icircnsumează forțele elementare de tipul 120590119909 ∙ 119889119860 120591119909119910 ∙ 119889119860 și 120591119909119911 ∙ 119889119860

va trebui să obținem eforturile 119873 119879119910 și 119879119911

Fig 311 Element de suprafață mic din secțiunea unei bare

Dacă eforturile sunt privite ca forțe exterioare și se scriu ecuațiile de

echilibru ale secțiunii (119860) se vor obține șase relații de echivalență icircntre eforturi și

tensiuni

(sum119883) = 0 rArr int 120590119909 ∙ 119889119860

119860

= 119873 (317)

(sum119884) = 0 rArr int 120591119909119910 ∙ 119889119860

119860

= 119879119910 (318)

(sum119885) = 0 rArr int 120591119909119911 ∙ 119889119860

119860

= 119879119911 (319)

(sum119872)119909= 0 rArr int(120591119909119911 ∙ 119889119860) ∙ 119910

119860

minus int(120591119909119910 ∙ 119889119860) ∙ 119911

119860

= 119872119909 rArr

rArr int(119910 ∙ 120591119909119911 minus 119911 ∙ 120591119909119910) ∙ 119889119860

119860

= 119872119909

(320)

(sum119872)119910= 0 rArr int(120590119909 ∙ 119889119860) ∙ 119911

119860

= 119872119894119910 (321)

(sum119872)119911= 0 rArr int(120590119909 ∙ 119889119860) ∙ 119910

119860

= 119872119894119911 (322)

Cele șase relații de echivalență icircntre eforturi și tensiuni constituie un pas icircnainte

icircn rezolvarea unei probleme de rezistența materialelor Aceste relații vor permite

determinarea tensiunilor maxime

Pentru a rezolva cele 6 relații de echivalență trebuie să se cunoască tensiunile și

ca funcții de punct adică funcții de forma

120590119909 = 120590119909(119909 119910 119911) 120591119909119910 = 120591119909119910(119909 119910 119911) 120591119909119911 = 120591119909119911(119909 119910 119911) (32

3)

Cunoașterea acestor funcții presupune icircnsă analizarea aspectului geometric al

problemei precum și utilizarea unor ipoteze simplificatoare care să permită simplificarea

problemelor

34 Ipoteze de bază icircn rezistenţa materialelor

Depășirea dificultăților legate de interpretarea unor fenomene specifice mecanicii

solidului deformabil a impus acceptarea unor ipoteze care să simplifice fenomenele și să

contribuie la elaborarea unor modele de calcul cicirct mai generale și cacirct mai simple Aceste

ipoteze se referă la structura materialelor şi la comportarea lor sub acţiunea forţelor

exterioare Ipotezele acceptate trebuie să fie icircn deplină concordanţă cu realitatea și să

conducă la rezultate verificate icircn practică

Funcție de aspectele la care se referă ipotezele pot fi

Ipoteze fizice (de material)

Ipoteze de calcul

341 Ipoteze fizice

Se acceptă deoarece teoriile structurale au condus la rezultate care contravin

icircncercărilor experimentale

Ipoteza mediului continuu consideră că orice domeniu elementar al corpului

este ocupat de materie adică nu se acceptă existența unor goluri sau a unor crăpături

microscopice (fisuri) Deși nu corespunde realităţii poate fi acceptată deoarece

dimensiunile corpului sunt mult mai mari decacirct dimensiunile particulelor elemantare Are

avantajul că permite utilizarea proprietăților matematice ale funcțiilor continue pentru

tensiunile și deformațiile din orice punct al corpului Ea este mai apropiată de realitate la

corpurile amorfe şi mai depărtată la cele cristaline dar conduce la rezultate satisfăcătoare

icircn calculele de rezistenţă

Ipoteza nu se poate aplica la corpurile care au goluri tăieturi (multiplu conexe)

pentru unele puncte singulare icircn care tensiunile și deformațiile tind la infinit sau icircn unele

probleme de plasticitate icircn care proprietățile de material au un rol esențial

Ipoteza izotropiei conform acestei ipoteze materialul din care este confecționat

un element de rezistență are aceleași proprietăți după orice direcție un astfel de material

este considerat izotrop Din punct de vedere macroscopic metalele pot fi considerate

izotrope deși la nivel microscopic proprietățile lor diferă de la o direcție cristalografică

la alta Orice conglomerat de cristale poate fi considerat izotrop

Există cazuri cacircnd această ipoteză a izotropiei nu se acceptă

la metalele puternic deformate după o direcție (prin laminare trefilare)

la piesele confecționate din lemn lemnul este anizotrop deoarece proprietățile sale

diferă după două direcții (icircn lungul fibrelor și perpendicular pe această direcție)

Ipoteza omogenității consideră că un corp are aceleași proprietăți icircn orice

punct al său Deși majoritatea materialelor utilizate icircn tehnică sunt eterogene la scară

micro fiind constituite din mai multe faze cu proprietăți diferite la scară macro ele pot

fi considerate omogene Omogenitatea și izotropia sunt proprietăți statistice medii care

nu se condiționează una pe cealaltă Chiar și materialele monofazice pot avea la scară

micro unele segregații care le fac eterogene

Ipoteza elasticităţii perfecte presupune că atacircta timp cacirct solicitările nu

depăşesc anumite limite materialul are o comportare elastică adică icircşi recapătă forma şi

dimensiunile iniţiale odată cu icircnlăturarea sarcinilor Icircn realitate materialele nu prezintă o

elasticitate perfectă ele avacircnd deformaţii remanente mici care icircnsă pot fi neglijate icircn

calculele de rezistenţă

Acceptarea acestei ipoteze a elasticității perfecte permite

- aplicarea relației biunivoce icircntre tensiuni și deformații relație exprimată de legea

lui Hooke ( = 119864 ∙ 휀) unde E este un factor de proporţionalitate numit modul de

elasticitate longitudinal al materialului pentru oţel 119864 = 21 ∙ 105 [119872119875119886] - acceptarea valabilității afirmației bdquolucrul mecanic efectuat de forțele exterioare

ca urmare a parcurgerii deplasărilor punctelor de aplicație se icircnmagazinează integral icircn

corp sub formă de energie de deformație energie cedată la icircndepărtarea sarcinilorrdquo

- este valabilă teoria conform căreia bdquoenergia icircnmagazinată și deformațiile depind

doar de starea inițială și finală de eforturi fără a ține cont de modul icircn care s-a ajuns la

starea finalărdquo

Icircn realitate oricacirct de mici ar fi sarcinile aplicate se produc și deformații plastice

dar acestea pot fi neglijate dacă solicitarea nu depășește anumite limite

342 Ipoteze de calcul

Ipoteza micilor deplasări bdquodeplasările datorate deformării sunt mult mai mici

decacirct dimensiunile corpurilor și ca urmare pot fi neglijate produsele dintre o deplasare și

ea icircnsăşirdquo Pentru cele mai multe corpuri deformaţiile elastice sunt de mărimi mici deci

corpurile solide sub acţiunea sarcinilor icircşi modifică foarte puţin forma iniţială Această

ipoteză este cunoscută şi sub denumirea de ipoteza menţinerii dimensiunilor iniţiale Ea

permite scrierea ecuaţiilor de echilibru ale staticii pe starea nedeformată a elementului

cacircnd nu se iau icircn considerare deplasările punctelor de aplicaţie ale forţelor care se produc

ca urmare a deformării acestuia Calculul efectuat pe schema nedeformată poartă numele

de calcul de ordinul I

Ipoteza micilor deplasări nu poate fi acceptată pentru studiul problemelor de

stabilitate sau la problemele la care nu pot fi icircndeplinite condiţiile de echilibru icircn starea

nedeformată

Calculul de ordinul II admite ipoteza micilor deplasări dar ecuaţiile de echilibru

se scriu icircnsă pentru starea deformată a elementului de rezistenţă

Calculul de ordinul III nu mai acceptă ipoteza micilor deplasări el referindu-se

la cazul deformaţiilor mari cacircnd ecuaţiile de echilibru trebuie scrise pentru starea

deformată

Chiar dacă materialul satisface legea lui Hooke icircn urma calculelor de ordinul II

se obţin de obicei relaţii neliniare icircntre sarcini şi deplasări iar pentru calculul de ordinul

III rezultă ecuaţii diferenţiale neliniare

Principiul efectului local al acțiunii sarcinilor enunțat de Barre de Saint-

Venant Acest principiu destul de folosit icircn Rezistenţa Materialelor precizează că dacă

se icircnlocuiesc forţele care acţionează asupra unui element de suprafață al unui corp

elastic printr-un alt sistem de forţe echivalent din punct de vedere static cu primul noua

distribuţie a forţelor produce la locul de aplicare diferenţe semnificative faţă de prima

dar rămacircne fără efect sau cu efect neglijabil la distanţe mari de locul de aplicare al

forţelor figura 312

Ca o cosecință o sarcină uniform distribuită figura 312a poate fi icircnlocuită cu

rezultanta ei figura 312b dacă se analizează efectul sarcinii la distanță mare de locul icircn

care se aplică sarcina

Fig 312 Principiul Saint-Venant

Icircn prima variantă figura 312a forţa 119865 se aplică pe o porțiune oarecare 119897 (sarcină

uniform distribuită) iar icircn a doua figura 312b icircntru-un punct (forţă concentrată) La

locul de aplicare a sarcinii efectul asupra barei este cu totul diferit de la o variantă la

cealaltă Icircnsă la o distanţă mare de punctul de aplicaţie spre exemplu icircn secţiunea situată

la distanţa 119886 de capătul barei sau chiar icircn icircncastrare ambele bare sunt solicitate la fel

Icircn cazul din figura 312a

119872119894(119909) =119901 ∙ 1199092

2 119909 le 119897 119872119894(119909) = 119901 ∙ 119897 ∙ (119909 minus

119897

2) 119909 gt 119897 (324)

Icircn cazul din figura 312b

119872119894(119909) = 0 119909 lt119897

2 119872119894(119909) = 119901 ∙ 119897 ∙ (119909 minus

119897

2) 119909 gt

119897

2 (325)

Se vede că pentru (119909 gt 119897) adică după depășirea locului icircn care se aplică sarcina

efectul este același

Ipoteza lui Bernoulli sau ipoteza secţiunilor plane precizează că o secţiune

plană şi normală pe axa barei icircnainte de deformare rămacircne plană şi normală pe axa

barei şi după deformare figura 313

Fig 313 Ipoteza lui Bernoulli

Ipoteza stării naturale a corpului sau ipoteza absenţei tensiunilor conform

căreia pentru un corp nesolicitat starea de tensiune şi deformaţie este nulă

Perfecţionarea mijloacelor de calcul şi de investigare pot conduce la renunţarea la

unele ipoteze sau la introducerea altora noi mai aproape de stările reale De aici rezultă

caracterul de continuă perfecţionare a metodelor Rezistenţei Materialelor

35 Coeficienţi de siguranţă Tensiuni admisibile

O piesă corespunde din punct de vedere tehnic dacă tensiunile care iau naştere icircn

interiorul piesei datorită sarcinilor aplicate nu depăşesc anumite valori limită stabilite

convenţional Aceste valori limită ale tensiunii sunt corelate cu caracteristicile mecanice

ale materialelor

Tensiunea limită utilizată icircn calculele de rezistenţă este cunoscută sub denumirea

de tensiune admisibilă sau rezistenţă admisibilă Rezistenţa admisibilă reprezintă

valoarea convenţională aleasă icircn calcul pe baza practicii pentru tensiunea maximă care

poate apare icircntr-o piesă icircn condiţii date de material şi solicitare

Rezistenţa admisibilă (120590119886 sau 120591119886) poate fi definită faţă de o stare limită

periculoasă stare care trebuie evitată deoarece poate conduce distrugere

120590119886 =120590119897119894119898119888

(326)

unde

120590119897119894119898 este tensiunea corespunzătoare stării limită periculoase

119888 estesupraunitar 119888 gt 1 și reprezintă coeficientul de siguranţă faţă de starea limită

periculoasă considerată

Alegerea unor valori inferioare pentru rezistenţa admisibilă faţă de tensiunea

corespunzătoare stării limită periculoase este necesară deoarece

cunoaşterea sarcinilor este de cele mai multe ori aproximativă şi o depăşire a

acestora este foarte posibilă

caracteristicile mecanice ale materialelor variază icircn limite destul de mari ele

fiind influenţate de mulţi factori

schema aleasă pentru calcul (aplicarea sarcinilor schematizarea structurii

ipotezele de calcul etc) depărtează modelul faţă de cel real

Pentru calculele de verificare tensiunea efectivă maximă din elementul de

rezistenţă trebuie să fie mai mică sau cel mult egală cu cea admisibilă

120590119890119891119898119886119909 le 120590119886 (327)

Valoarea rezistenţei admisibile este influenţată de foarte mulţi factori natura

materialului tratamentele termice aplicate piesei durata de funcţionare a piesei modul

de acţionare icircn timp a sarcinilor felul solicitării temperatura gradul de periculozitate

icircn cazul cedării piesei etc

De asemenea valoarea coeficientului de siguranţă se alege icircn principal ţinacircnd

seama de aceiaşi factori care influenţează şi rezistenţa admisibilă

Rezistenţele admisibile pentru cacircteva materiale sunt următoarele

pentru oțelul de uz general OL37 solicitat la icircntindere compresiune sau

icircncovoiere 120590119886 = 150 [119872119875119886] pentru lemnul de brad solicitat la

- compresiune icircn lungul fibrelor şi solicitat la icircncovoiere 120590119886 = 10 [119872119875119886] - tracţiune icircn lungul fibrelor 120590119886 = 7 [119872119875119886] - compresiune perpendiculară pe fibre 120590119886 = 15 [119872119875119886] - forfecare icircn lungul fibrelor 120591119886 = 2 [119872119875119886] - forfecare perpendiculară pe fibre 120590119886 = 45 [119872119875119886]

terenuri de fundaţie din pămacircnt uscat sau umed 120590119886 = 020 divide 025 [119872119875119886]

4 CARACTERISTICI GEOMETRICE ALE SECȚIUNILOR PLANE

41 Noţiuni introductive

Icircn relaţiile de calcul ale tensiunilor şi deformaţiilor elementelor de rezistenţă

pentru unele solicitări (icircncovoierea și torsiunea) secțiunile plane intervin atacirct prin

dimensiunile lor (aria 119860) cicirct și prin forma și poziția pe care o are secțiunea icircn raport cu

planul solicitării Mărimile care caracterizează o secțiune icircn raport cu forma și poziția față

de axele unui sistem de referință sunt denumite caracteristici geometrice de ordin

superior Aria secțiunii este caracteristica geometrică ce depinde doar de dimensiunile

geometrice ale acesteia

Să considerăm o grindă solicitată de o forță exterioară 119865 aşezată icircn două poziții icircn

raport cu planul forţei figura 41 Icircn urma aplicării forței deși avem aceeași grindă

(aceeași arie a secțiunii transversale) și aceeași forță se constată că pentru varianta din

figura 41a deformațiile sunt mult mai mari adică rezistența la icircncovoiere a grinzii din

figura 41a este mai mare decacirct icircn cazul grinzii din figura 41b Comportarea diferită se

explică prin aceea că modificarea poziţiei secţiunii transversale faţă de planul forţelor

modifică caracteristicile geometrice ale secţiunii transversale a grinzii

Fig 41 Grindă solicitată de forța 119865

Pentru realizarea calculelor de rezistenţă şi rigiditate este foarte importantă

cunoaşterea caracteristicilor geometrice ale suprafeţei secţiunii transversale a elementelor

de rezistenţă

Caracteristicile geometrice ale secţiunii transversale a unui element de rezistenţă

sunt

- aria secțiunii notată cu 119860

- momentul static icircn raport cu o axă notat 119878119911 și respectiv 119878119910

- momentul de inerție care poate fi

axial notat 119868119911 și respectiv 119868119910

centrifugal notat 119868119911119910

polar notat 119868119901

- raza de inerţie (giraţie)notată 119894119911 și respectiv 119894119910

- modulul de rezistență care poate fi

axial notat 119882119911 și respectiv 119882119910

polar notat 119882119901

42 Aria și momentul static al suprafețelor plane

Fie o suprafaţă plană de arie 119860 pe care se ia un element infinit mic de arie 119889119860 şi

un sistem de axe rectangulare 119911119874119910 figura 42 Notăm cu 119862 centrul de greutate al suprafeţei

119860 Poziţia suprafeţei elementare 119889119860 faţă de acelaşi sistem de coordonate 119911119874119910 este dată

de abscisa 119911 ordonata 119910 și raza polară

Fig 42 Suprafață plană de arie 119860

Aria suprafeţei 119860 figura 42 se defineşte ca fiind

119860 ≝ int 119889119860

119860

(41)

Aria suprafeţei este icircntotdeauna pozitivă și se măsoară icircn [1198981198982] Momentul static al suprafeţei de arie 119860 icircn raport cu axele 119874119911 și respectiv 119874119910

figura 42 sunt date de relaţiile

119878119911 ≝ int 119910 ∙ 119889119860

119860

119878119910 ≝ int 119911 ∙ 119889119860

119860

(42)

Momentul static poate fi pozitiv negativ sau nul şi se măsoară icircn [1198981198983] Coordonatele centrului de greutate ale suprafeței 119860 se detrmină cu relațiile

119910119862 ≝int 119910 ∙ 119889119860119860

119860 119911119862 ≝

int 119911 ∙ 119889119860119860

119860

(43)

Cunoscacircnd coordonatele 119910119862 și 119911119862 ale centrului de greutate 119862 al secțiunii 119860 atunci

momentele statice se pot determina cu relațiile

119878119911 ≝ int 119910 ∙ 119889119860

119860

= 119910119862 ∙ 119889119860 119878119910 ≝ int 119911 ∙ 119889119860

119860

= 119911119862 ∙ 119889119860 (44)

Aceste relații arată că momentul static al unei suprafețe icircn raport cu o axă este

egal cu produsul dintre aria suprafeței și distanța de la centrul ariei la axa respectivă

Dacă suprafaţa se poate descompune icircn 119899 suprafeţe simple la care se cunosc ariile

(1198601 1198602 ⋯ 119860119894⋯ 119860119899) și poziţiile centrelor de greutate 119862119894 faţă de sistemul de referinţă

expresiile momentelor statice capătă următoarea formă

119878119911 = sum 119910119862119894 ∙ 119860119894119899119894=1 = 119910119862 ∙ 119860 119878119910 = sum 119911119862119894 ∙ 119860119894

119899119894=1 = 119911119862 ∙ 119860 (45)

Din relaţiile (45) rezultă că poziţia centrului de greutate 119862 al unei suprafeţe

compuse poate fi determinată cu relaţiile

119910119862 = (sum119910119862119894 ∙ 119860119894

119899

119894=1

) 119860frasl 119911119862 = (sum119911119862119894 ∙ 119860119894

119899

119894=1

) 119860frasl (46)

Icircn relația (45) 119910119862119894 și respectiv 119911119862119894 reprezintă coordonatele centrelor de greutate 119862119894

ale fiecărei suprafețe simple 119860119894 icircn raport sistemul de axe 119911119874119910

Se constată (relaţia 42) că dacă axele sistemului de referinţă trec prin centrul de

greutate (119910119862 = 119911119862 = 0) momentele statice sunt nule Axele icircn raport cu care momentele

statice sunt nule şi care trec prin centrul de greutate al suprafeţei se numesc axe centrale

Observație dacă secțiunea compusă are o axă de simetrie centrul secțiunii se

găsește pe acea axă iar dacă secțiunea este dublu simetrică poziția centrului secțiunii este

la intersecția axelor de simetrie

43 Momente de inerţie

Momentele de inerţie axiale ale unei suprafețe se calculează icircn raport cu axele de

coordonate 119874119911 și respectiv 119874119910 figura 42 și se determină cu relațiile

119868119911 ≝ int 1199102 ∙ 119889119860

119860

119868119910 ≝ int 1199112 ∙ 119889119860

119860

(47)

Unde 119910 și 119911 sunt distanțele de la elementul de arie 119889119860 la cele două axe de

coordonate 119874119911 și respectiv 119874119910

Momentele de inerţie axiale se măsoară icircn [1198981198984] şi sunt icircntotdeauna pozitive (aria

119889119860 este icircntotdeauna pozitivă și este multiplicată cu patratul distanței 1199102 dacă 119868119911 sau 119868119910

sunt nule icircnseamnă ca secțiunea nu există)

Momentele de inerție axiale se calculează icircndeosebi pentru axele centrale (care

trec prin centrul secțiunii) deoarece icircn raport cu acele axe 119868119911 și 119868119910 au valori minime

Momentul de inerţie centrifugal calculat faţă ambele axe ale sistemului de

referinţă 119911119874119910 este definit de relația

119868119911119910 ≝ int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860

(48)

Momentul de inerţie centrifugal se măsoară icircn [1198981198984] şi poate fi pozitiv negativ

sau nul

Momentul de ineție centrifugal este nul 119868119911119910 = 0 dacă cel puțin una din axele 119874119911

sau 119874119910 este axă de simetrie pentru secțiune

Se consideră o suprafaţă dreptunghiulară pe care faţă de axa de simetrie 119874119910 se iau

două suprafeţe elementare de arie 119889119860 simetrice faţă de axa 119874119910 figura 43

Fig 43 Suprafață dreptunghiulară cu două arii elementare 119889119860

Făcacircnd suma momentelor de inerţie centrifugale pentru cele două suprafeţe

elementare 119889119860 (din stacircnga şi din dreapta faţă de axa 119874119910) se obţine

int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860119889119903

+ int (minus119911) ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860119904119905119892

= int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860119889119903

minus int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860119904119905119892

= 0 (49)

Acelaşi raţionament se poate face și pentru icircntreaga suprafaţă de unde obținem că

momentul de inerție centrifugal este nul 119868119911119910 = 0 Deci pentru o suprafaţă plană care

are cel puţin o axă de simetrie momentul de inerţie centrifugal faţă de sistemul care

conţine acea axă de simetrie este nul

Momentul de inerţie polar al unei suprafeţei icircn raport cu un punct (pol) 119874 figura

42 este definit prin relaţia

1198680 = 119868119901 ≝ int 1205882 ∙ 119889119860

119860

= int(1199102 + 1199112) ∙ 119889119860

119860

= 119868119911 + 119868119910 (410)

unde este distanţa de la polul 119874 la elementul de arie 119889119860 Momentul de inerţie polar se

măsoară icircn [1198981198984] şi este totdeauna pozitiv

Momentul de inerţie polar este egal cu suma momentelor de inerţie faţă de două axe

perpendiculare oarecare şi care trec prin polul considerat

Razele de giraţie sau razele de inerţie sunt mărimi calculate icircn raport cu axele

secțiunii și definite de relaţiile

119894119911 ≝ radic119868119911119860 119894119910 = radic

119868119910

119860 (411)

Se exprimă icircn [119898119898] şi sunt icircntotdeauna pozitive Semnificația unei raze de inerție

este distanța la care dacă ar fi concentrată icircntreaga arie s-ar obține același moment de

inerție ca și cel calculat pentru aria reală

44 Modulul de rezistenţă

Modulul de rezistență se calculează icircn raport cu axele de referință sau icircn raport cu

un pol figura 42 și pot fi axiale (119882119911119882119910) sau polar (119882119901) și se determină numai pe baza

momentelor de inerţie cu relațiile figura 43

119882119911119898119894119899 ≝119868119911119910119898119886119909

119882119911119898119886119909 ≝119868119911119910119898119894119899

(412)

119882119910119898119894119899 ≝119868119910

119911119898119886119909 119882119910119898119886119909 ≝

119868119910

119911119898119894119899 (413)

119882119901 ≝119868119901

120588119898119886119909 (414)

unde

119910119898119886119909 119910119898119894119899 reprezintă distanţa de la axa 119874119911 la punctele extreme cele mai

depărtate respectiv cele mai apropiate ale suprafeţei de această axă

119911119898119886119909 119911119898119894119899 reprezintă distanţa de la axa 119874119910 la punctele extreme cele mai

depărtate respectiv cele mai apropiate ale suprafeţei de această axă

120588119898119886119909 reprezintă distanța maximă de la polul 119874 la punctul secțiunii cel mai

icircndepărtat de acesta

Fig 43 Suprafață dreptunghiulară cu două arii elementare 119889119860

Modulele de rezistenţă se exprimă icircn [1198981198983] şi sunt icircntotdeauna pozitive

Explicația este aceea că momentele de inerție care intră icircn relațiile de definiție sunt

pozitive iar distanțele la punctele extreme sunt pozitive (119910119898119886119909 119910119898119894119899 119911119898119886119909 119911119898119894119899 120588119898119886119909 se

iau icircn valoare absolută)

Icircn cazul suprafeţelor compuse modulul de rezistenţă nu se obţine prin icircnsumarea

algebrică a modulelor de rezistenţă ale suprafeţelor simple componente ci numai prin

intermediul momentului de inerţie axial calculat pentru icircntreaga secțiune

Ca și momentele de inerție modulele de rezistență se calculează numai pentru

sistemele de axe centrale

45 Momente de inerţie şi module de rezistenţă pentru suprafeţe simple

451 Secțiune dreptunghiulară

Fie suprafaţa dreptunghiulară din figura 44 de icircnălțime ℎ și lățime 119887 pe care se

consideră suprafaţă elementară de arie 119889119860 = 119887119889119910 la distanța 119910 de axa 119862119911 sistemul de

axe 119911119862119910 trece prin centrul secțiunii iar axele sunt axe de simetrie pentru dreptunghi

Fig 44 Suprafață dreptunghiulară

Pe baza relațiilor de definiți a momentului de inerție 119868119911 se obține

119868119911 ≝ int 1199102 ∙ 119889119860

119860

= int 1199102 ∙ 119887 ∙ 119889119910 = 2int 1199102 ∙ 119887 ∙ 119889119910 = 2 ∙ 119887 ∙1199103

3|ℎ 2frasl

0rArr

ℎ 2frasl

0

ℎ 2frasl

minusℎ 2frasl

rArr 119868119911 =119887 ∙ ℎ3

12

(415)

Analog pentru un element de arie 119889119860 = ℎ ∙ 119889119911 paralel cu axa 119862119910 situat la distanța

119911 de axa 119862119910

119868119910 ≝ int 1199112 ∙ 119889119860

119860

= int 1199112 ∙ ℎ ∙ 119889119911 = 2int 1199112 ∙ ℎ ∙ 119889119910 = 2 ∙ ℎ ∙1199113

3|119887 2frasl

0rArr

119887 2frasl

0

119887 2frasl

minus119887 2frasl

rArr 119868119910 =1198873 ∙ ℎ

12

(416)

Deoarece axele 119862119911 și 119862119910 sunt axe de simetrie momentul de inerție centrifugal este

119868119911119910 = 0 (417)

Pentru un pătrat avacircnd laturile egale (ℎ = 119887 = 119886) momentele de inerţie faţă de

axele centrale au expresia

119868119911 = 119868119910 =1198864

12 (418)

Modulele de rezistență axiale se calculează cu relațiile de definiție ținacircnd cont că

distanțele pacircnă la fibrele extreme sunt

119910119898119886119909 = 119910119898119894119899 =ℎ

2 119911119898119886119909 = 119911119898119894119899 =

119887

2 (419)

Obținem

119882119911119898119894119899 = 119882119911119898119886119909 =119868119911

119910119898119886119909119898119894119899=119887 ∙ ℎ3

12frasl

ℎ2frasl

=119887 ∙ ℎ2

6

119882119910119898119894119899 = 119882119910119898119886119909 =119868119910

119911119898119886119909119898119894119899=1198873 ∙ ℎ

12frasl

1198872frasl

=1198872 ∙ ℎ

6

(420)

452 Suprafaţă circulară

Din motive de simetrie pentru suprafeţele circulare momentele de inerţie faţă de

orice diametru (care reprezintă şi axe centrale) sunt aceleaşi

Considerăm o secțiune circulară plină cu diametrul 119889 și centrul de greutate 119862 Prin

centrul de greutate 119862 trece sistemul de axe ortogonal 119911119862119910 figura 45

Fig 45 Suprafață circulară

La distanța de centrul de greutate 119862 vom lua un element de suprafață mic de arie

(119889119860) de forma unui inel de grosime 119889 Elementul de arie 119889119860 are expresia

119889119860 = (2 ∙ 120587 ∙ 120588) ∙ (119889120588)

Pornind de la relația de definiție a momentului de inerție polar obținem

119868119901 ≝ int 1205882 ∙ 119889119860

119860

= int 1205882 ∙ (2 ∙ 120587 ∙ 120588) ∙ 119889120588

119903=119889 2frasl

0

= 2 ∙ 120587 ∙1205884

4|119889 2frasl0 rArr

rArr 119868119901 =120587 ∙ 1198894

32

(421)

Secțiunea este perfect simetrică deci sunt valabile relațiile

119868119911 = 119868119910 rArr 119868119901 = 119868119911 + 119868119910 = 2 ∙ 119868119911 = 2 ∙ 119868119910 =119868119901

2=120587 ∙ 1198894

64 (422)

Și modulele de rezistenţă faţă de orice diametru sunt egale şi se calculează cu

relaţiile

119882119911 = 119882119910 =1198681199111198892frasl=120587 ∙ 1198893

32 (423)

Modulul de rezistenţă polar este

119882119901 =1198681199011198892frasl=120587 ∙ 1198893

16 (424)

453 Secţiune inelară

Calculul momentelor de inerţie axiale pentru o secţiune inelară avacircnd diametrul

interior 119889 şi diametrul exterior 119863 se determină analog pentru suprafaţa circulară plină cu

observaţia că integrala pentru calculul momentului de inerție polar 119868119901 se face icircntre

limitele 119903 = 119889 2frasl şi R= 1198632frasl (icircntre raza interioară 119903 şi raza exterioară 119877) figura 46

Se obţin relaţiile

119868119901 =120587 ∙ 1198634

32∙ [1 minus (

119889

119863)4

] =120587 ∙ 1198634

32∙ (1 minus 1198964) (425)

119868119910 = 119868119910 =120587 ∙ 1198634

64∙ [1 minus (

119889

119863)4

] =120587 ∙ 1198633

64∙ (1 minus 1198964) (426)

Fig 46 Secțiune inelară

119882119901 =120587 ∙ 1198633

16∙ [1 minus (

119889

119863)4

] =120587 ∙ 1198633

16∙ (1 minus 1198964) (427)

119882119911 = 119882119910 =120587 ∙ 1198633

32∙ [1 minus (

119889

119863)4

] =120587 ∙ 1198633

32∙ (1 minus 1198964) (428)

unde 119896 = 119889119863frasl

46 Variaţia momentelor de inerţie faţă de axe paralele

( Relațiile lui STEINER)

Se consideră o suprafaţă oarecare de arie 119860 cu elementul de arie 119889119860 și un sistemul

de axe central 119911119862119910 faţă de care se cunosc momentele de inerţie 119868119911 119868119910 119868119911119910 şi considerăm

un sistem de axe 11991111198741199101 paralele cu sistemul central figura 47 Se pune problema

determinării momentele de inerţie 1198681199111 1198681199101 11986811991111199101 faţă de sistemul de axe paralel cu sistemul

central 11991111198741199101 axe aflate la distanţele 119910119862 = 119888 respectiv 119911119862 = 119889 de acesta

461 Momente de inerţie axiale

Pe baza relaţiilor de definire şi a notaţiilor din figura 42 pentru momentele de

inerţie faţă de axele 1198741199111 1198741199101 se poate scrie

1198681199111 = int 11991012 ∙ 119889119860

119860

= int(119910 + 119888)2 ∙ 119889119860

119860

= int 1199102 ∙ 119889119860

119860

+ 2 ∙ 119888 ∙ int 119910 ∙ 119889119860

119860

+

+1198882int 119889119860

119860

rArr 1198681199111 = 119868119911 + 2 ∙ 119888 ∙ 119878119911 + 1198882 ∙ 119860 hArr 1198681199111 = 119868119911 + 119888

2 ∙ 119860

(429)

Fig 47 Variaţia momentelor de inerţie față de axe paralele

S-a ajuns la relația (429) deoarece momentul static 119878119911 este nul deoarece axa 119862119885

este axă centrală

Pentru momentul de inerție axial icircn raport cu axa 1198741199101 se obține

1198681199101 = int 11991112 ∙ 119889119860

119860

= int(119911 + 119889)2 ∙ 119889119860

119860

= int 1199112 ∙ 119889119860

119860

+ 2 ∙ 119889 ∙ int 119911 ∙ 119889119860

119860

+

+1198892 ∙ int 119889119860

119860

rArr 1198681199101 = 119868119910 + 2 ∙ 119889 ∙ 119878119910 + 1198892 ∙ 119860 hArr 1198681199101 = 119868119910 + 119889

2 ∙ 119860

(430)

Pentru momentul de inerție centrifugal obținem

11986811991111199101 = int 1199101 ∙ 1199111 ∙ 119889119860

119860

= int(119910 + 119888) ∙ (119911 + 119889) ∙ 119889119860

119860

= int 119910 ∙ 119911 ∙ 119889119860 +

119860

+119888 ∙ int 119911 ∙ 119889119860

119860

+ 119889 ∙ int 119910 ∙ 119889119860

119860

rArr 11986811991111199101 = 119868119911119910 + 119888 ∙ 119889 ∙ 119860

(431)

Deoarece

int 119911 ∙ 119889119860

119860

= 119878119910 = 0 int 119910 ∙ 119889119860

119860

= 119878119911 = 0 int 119910 ∙ 119911 ∙ 119889119860

119860

= 119868119911119910

Relaţiile (429) şi (430) arată că momentul de inerţie faţă de o axă oarecare

este egal cu momentul de inerţie faţă de o axă paralelă cu ea trecacircnd prin centrul de

greutate la care se adaugă produsul dintre aria suprafeţei şi pătratul distanţei dintre

cele două axe

Din relaţiile (429) și (430) rezultă de asemenea că momentul de inerţie faţă de o

axă centrală (care trece prin centrul de greutate) este cel mai mic dintre infinitatea de

momente de inerţie obținute faţă de alte axe paralele cu ea

Relaţia (431) arată de asemenea că momentul de inerţie centrifugal faţă de un

sistem de axe oarecare este egal cu momentul de inerţie centrifugal faţă de un sistem

paralele cu el trecacircnd prin centrul de greutate a suprafeţei la care se adaugă produsul

dintre aria suprafeţei şi distanţele dintre axele sistemelor respective

Icircn literatura de specialitate relaţiile (429) (430) şi (431) sunt cunoscute sub

numele de relaţiile lui Steiner

47 Variaţia momentrlor de inerţie faţă de axe rotite

Direcţii principale şi momente de inerţie principale

Fie suprafaţa plană din figura 48 de arie 119860 pe care considerăm o suprafaţă

elementară de arie 119889119860 Pentru sistemul de axe 119911119874119910 se cunosc momentele de inerţie

119868119911 119868119910 119868119911119910 şi vom determina relaţiile de calcul pentru momentele de inerţie afererent unui

sistem de axe 11991111198741199101 rotit cu un unghi faţă de sistemul central

Faţă de sistemul de axe 11991111198741199101 elementul de arie 119889119860 are coordonatele

1199101 = 119875119877 = 119875119876 minus 119877119876 = 119910 ∙ cos 120572 minus 119911 ∙ sin 120572

1199111 = 119873119872 = 119873119875 minus 119875119872 = 119911 ∙ cos 120572 + 119910 ∙ sin 120572 (432)

Fig 47 Variaţia momentelor de inerţie față de axe rotite

Pe baza relaţiilor de calcul ale momentelor de inerţie şi a notaţiilor din figura 42

şi ale relaţiilor (432) momentele de inerţie faţă de sistemul de axe rotit 11991111198741199101 sunt

1198681199111 =119868119911 + 119868119910

2+119868119911 minus 119868119910

2∙ cos 2120572 minus 119868119911119910 ∙ sin 2120572 (433)

1198681199101 =119868119911 + 119868119910

2minus119868119911 minus 119868119910

2∙ cos 2120572 + 119868119911119910 ∙ sin 2120572 (434)

11986811991111199101 =119868119911 minus 119868119910

2∙ sin 2120572 + 119868119911119910 ∙ cos 2120572 (435)

Din relaţiile 433divide435 se observă că icircntre momentele de inerţie axiale şi cele

polare există relaţia

1198681199111 + 1198681199101 = 119868119911 + 119868119910 = 119868119901 (436)

adică suma momentelor de inerţie axiale icircn raport cu orice pereche de axe ortogonale

care trec printr-un pol dat este o constantă şi egală cu momentul de inerţie polar

Prin rotirea sistemului de axe din relaţiile 433divide435 rezultă că momentele de inerţie

variază icircnsă suma lor rămacircne constantă deci există o poziţie a sistemului de axe pentru

care momentele de inerţie au valori extreme maxim respectiv minim

471 Direcţii principale de inerţie

Valoarea unghiului 120572 pentru care momentele de inerţie axiale au valori extreme

este

1205721 =1

2∙ 119886119903119888119905119886119899 (minus

2 ∙ 119868119911119910

119868119911 minus 119868119910) (437)

Poziţia celeilalte direcţii este perpendiculară pe cea dată de unghiul 1205721

Din relaţia (437) se constată că faţă de aceste direcţii rotite pentru care momentele

de inerţie axiale prezintă valori extreme momentul de inerţie centrifugal 11986811991111199101este nul

Atunci se poate afirma că momentele de inerţie axiale au valori extreme icircn raport cu

direcţiile faţă de care momentul de inerţie centrifugal este nul Aceste direcţii se numesc

direcţii principale iar momentele de inerţie faţă de aceste direcţii poartă numele de

momente de inerţie principale

Icircn calculele de rezistenţă interesează icircn mod special poziţia direcţiilor principale

care trec prin centrul de greutate al suprafeţei aşa numitele direcţii principale centrale şi

evident momentele de inerţie principale centrale

Direcţiile principale de inerţie se notează cu 1 respectiv 2 Axa principală 1

corespunde direcţiei faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea maximă iar

axa principală 2 pentru direcţia faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea

minimă

472 Momente de inerţie principale

Momentele de inerţie principale se notează cu litera 119868 la care se pune indicele 1

sau 2 după cum valoarea acestuia este maximă sau minimă deci avem un moment de

inerţie principal 1 (notat 1198681) respectiv moment de inerţie principal 2 (notat 1198682)

Expresiile pentru momentele de inerţie principale sunt

11986812 =119868119911 + 119868119910

2plusmn1

2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)

2+ 4 ∙ (119868119911119910)

2 (438)

Dacă momentul de inerţie centrifugal este negativ (119868119911119910 lt 0) direcţia principală

care trece prin primul cadran (definit de sistemul 119911119862119910) este direcţia principală 120783

Pentru suprafeţele cu cel puţin o axă de simetrie direcţiile centrale 119862119911 119862119910 sunt şi

direcții principale de inerţie și evident momentele de inerţie axiale 119868119911 119868119910 sunt momente

de inerţie principale

48 Caracteristici mecanice ale metalelor

Alegerea materialului pentru confecţionarea unei anumite piese se face şi pe baza

aşa numitelor caracteristici mecanice pe care le prezintă materialul Cunoaşterea acestor

caracteristici mecanice are loc numai pe baza unor icircncercări mecanice care să scoată icircn

evidenţă comportarea materialului icircn condiţii de solicitare

Cea mai utilizată icircncercare icircn urma căreia se pun icircn evidenţă caracteristicile

mecanice ale unui material este icircncercarea la tracţiune

481 Icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general

Icircncercarea la tracţiune a oţelului ca de altfel toate icircncercările de materiale este

standardizată

Icircn cele ce urmează se va prezenta numai partea care interesează strict din punct

de vedere al caracteristicilor mecanice ale oţelului

Epruveta de diametru iniţial 1198890 pentru icircncercarea la tracţiune are o porţiune de

lungime 1198710 numită baza de măsurare pe care se măsoară lungirea acesteia sub acţiunea

solicitării

Icircn funcţie de raportul dintre baza de măsurare 1198710 şi diametrul iniţial 1198890 epruvetele

utilizate pentru icircncercări sunt

epruvete normale (scurte) cacircnd 11987101198890 = 5

epruvete lungi cacircnd 11987101198890 = 10

Icircn timpul icircncercării la diferite valori ale forţei 119865 se măsoară lungirea bazei de

măsurare

∆119871 = 120575 = 119871 minus 1198710 (439)

unde

119871 este dimensiunea bazei de măsurare la un moment dat

Curba forţă-lungire (119865 minus ) icircnregistrată icircn urma icircncercării reprezintă curba

caracteristică la tracţiune

La icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general diagrama caracteristică care se

obţine are forma din figura 48

Curba caracteristică la tracţiune depinde de lungimea bazei de măsurare Pentru

icircnlăturarea acestui neajuns curba caracteristică se reprezintă icircn coordonate şi definite

astfel

120590 =119865

1198600 휀 =

120575

1198710 (440)

unde

1198600 este aria iniţială a secţiunii transversale a epruvetei (icircnainte de solicitare) icircn

zona bazei de măsurare

1198600 =120587 ∙ 1198890

2

4

Deoarece mărimile icircn care se reprezintă curba caracteristică la tracţiune sunt

raportate la aria iniţială a secţiunii transversale (mărimi specifice) curba poartă numele

de curbă caracteristică convenţională la tracţiune

Fig 48 Curba caracteristică convenţională la tracțiune

Pe curba caracteristică convenţională la tracţiune figura 48 se pot stabili o serie

de puncte cărora le corespund mai multe mărimi importante

Ordonata punctului A pacircnă unde curba caracteristică convenţională este linie

dreaptă se numeşte limita de proporţionalitate a materialului 120590119901(1205901) Porţiunea 119874119860 este

zona de proporţionalitate a curbei caracteristice pe acest domeniu este valabilă legea lui

Hooke care exprimă o proporţionalitate icircntre tensiune şi deformaţie specifică

120590 = 119864 ∙ 휀 (441)

unde

119864 = reprezintă panta porţiunii liniare a curbei convenționale caracteristice

la tracțiune Caracteristica de material 119864 se numeşte modul de elasticitate longitudinal

(modulul lui Young)

Ordonata punctului 119861 pacircnă unde materialul se comportă perfect elastic adică

după descărcare icircşi recapătă dimensiunea iniţială 1198710 se numeşte limita de elasticitate

120590119890(119877119890) Icircn realitate nici un material nu are comportare perfect elastică sub acţiunea

solicitărilor el capătă deformaţii permanente (remanente plastice)

După punctul 119861 urmează o porţiune 119861119862119863 icircn care cu toate că icircncărcarea

continuă forţa nu mai creşte avacircnd mici oscilaţii icircn jurul unei valori Se spune că icircn

această porţiune materialul curge iar intervalul 119861119862119863 este un palier de curgere Tensiunea

corespunzătoare palierului de curgere se numeşte limită de curgere aparentă 120590119888(119877119888) Limita de curgere aparentă se calculează cu relaţia

120590119888 =1198651198881198600 (442)

unde

119865119888 reprezintă valoarea forţei icircnregistrată icircn momentul curgerii materialului

După punctul 119863 curba caracteristică are un traseu ascendent pacircnă icircn punctul 119864

Porţiunea 119863119864 este numită zonă de icircntărire (ecruisare) Icircn zona de ecruisare unde se

produc deformaţii plastice semnificative legea lui Hooke nu mai este valabilă La

descărcare relaţia dintre tensiunea şi deformaţia specifică este liniară paralelă cu

porţiunea liniară a curbei caracteristice (dreapta 119872119873)

Deformaţia totală (휀119905) are două componente una elastică (휀119890) şi una plastică (휀119901)

Ordonata punctului 119864 reprezintă rezistenţa de rupere 120590119903(119877119898) a materialului

care se poate calcula cu relaţia

120590119903 = 119877119898 =1198651198981198861199091198600

(443)

unde

119865119898119886119909 reprezintă valoarea maximă a forţei icircnregistrată icircn timpul icircncercării

La atingerea valorii 119865119898119886119909 (punctul 119864) icircntr-un anumit loc al epruvetei secţiunea

icircncepe să se micşoreze (se produce gacirctuirea) continuacircnd pacircnă cacircnd se produce ruperea

totală (punctul 119865)

Dacă după ruperea epruvetei cele două părţi rezultate se aşează cap la cap şi se

măsoară dimensiunea bazei de măsurare 119871119906 (lungimea ultimă) se determină alungirea la

rupere sau lungirea specifică la rupere 휀119903

휀119903 =119871119906 minus 11987101198710

=∆119871

1198710=120575

1198710 (444)

De obicei alungirea se exprimă icircn procente şi se notează cu 119860119899 unde 119899 reprezintă

numărul dat de raportul 11987101198890 (epruvete normale 119899 = 5 epruvete lungi 119899 = 10)

119860119899 =119871119906 minus 11987101198710

∙ 100 [] (445)

Altă mărime care se determină la icircncercarea la tracţiune este gacirctuirea la rupere

(exprimată de obicei icircn procente) şi definită de relaţia

119885 =1198600 minus 1198601199061198600

∙ 100 [] (446)

Mărimile determinate limita de proporţionalitate modulul de elasticitate

longitudinal limita de elasticitate limita de curgere aparentă rezistenţa de rupere

alungirea la rupere şi gacirctuirea la rupere sunt cunoscute ca fiind caracteristici mecanice

ale materialului

Din curba caracteristică convenţională observăm faptul că ruperea (punctul 119865 din

figura 48 se produce la o tensiune mai mică decacirct cea corespunzătoare punctului 119864 Dacă

icircnsă forţa din timpul icircncercării s-ar raporta la aria secţiunii din momentul icircnregistrării

forţei (care este mai mică decacirct cea iniţială 1198600) s-ar obţine aşa numita curbă

caracteristică reală a materialului (traseul 1198741198601198611198621198631198651 din figura 48) La curba

caracteristică reală ruperea se produce icircn punctul 1198651 la o icircncărcare mai mare decacirct cea

corespunzătoare punctului 119864 Icircnseamnă că rezistenţa reală la rupere este mai mare decacirct

rezistenţa la rupere dată de punctul 119864 din diagrama caracteristică convenţională

Dificultatea obţinerii diagramei caracteristice reale faţă de cea a diagramei caracteristice

convenţionale şi considerarea unei rezistenţe la rupere mai mică decacirct a celei reale face

icircn practică utilizarea pe scară mare a diagramei caracteristice convenţionale

Caracteristicile mecanice determinate pe baza curbei caracteristice convenţionale

sunt şi ele caracteristici mecanice convenţionale

Caracteristicile mecanice convenţionale limita de proporţionalitate convenţională

120590119901 limita de elasticitate convenţională 120590119890 limita de curgere convenţională 120590119888 şi rezistenţa

de rupere 120590119903 constituie tensiuni limită pentru un material Pe baza acestor caracteristici

de material se alege valoarea tensiunii admisibile 120590119886 (vezi paragraful 35) pentru

calculele de rezistenţă Cea mai utilizată stare limită pentru stabilirea tensiunii admisibile

120590119886 este limita de curgere convenţională 120590119888

120590119886 =120590119897119894119898119888

=120590119888119888 119904119886119906 120590119886 =

120590119903119888 (447)

Caracteristicile mecanice ale materialului sunt influenţate de o serie de factori

temperatura viteza de solicitare factorii tehnologici iar valorile lor sunt date icircn tabele și

diagrame

Aplicaţie Pentru suprafaţa plană compusă din două dreptunghiuri avacircnd

dimensiunile din figura 49a să se calculeze

a) centrul de greutate al secțiunii compuse 119910119866 119911119866

b) momentele de inerție axiale 119868119911 119868119910 și momentul de inerție centrifugal 119868119911119910

c) razele de inerție 119894119911 119894119910

d) modulele de rezistență 119882119911119898119894119899 119882119911119898119886119909 119882119910119898119894119899 119882119910119898119886119909

e) momentele de inerție principale 1198681 1198682 și direcțiile principale de inerție 1205721

f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 119878119911

Fig 49 Aplicație

Rezolvare Pentru rezolvare vom parcurge următoarele etape

icircmpărțim suprafața compusă icircn două suprafețe simple (dreptunghiuri) notate cu

① și respectiv ② figura 49b

poziționăm centrele de greutate a celor două suprafețe simple ① și respectiv ②

notate cu 1198661 și respectiv 1198662 figura 49c

poziționăm sistemele de axe de coordonate 119911111986611199101 pentru dreptunghiul ① și

119911211986621199102 pentru dreptunghiul ② aflate la intersecția diagonalelor figura 49c

poziționăm sistemele de axe de coordonate 11991101198741199100 ales arbitrar față de care

determinăm poziția centrului de greutate 119866 figura 49c

a) calculăm poziția centrului de greutate folosind relațiile (46) icircn care

1198601 = 6119905 ∙ 119905 = 61199052 1198602 = 4119905 ∙ 119905 = 41199052 119860 = 1198601 + 1198602 = 61199052 + 41199052 = 101199052

iar centrele de greutate 1198661 și respectiv 1198662 au coordonatele (față de sistemul 11991101198741199100)

1198661 1199101 = 3119905 1199111 = 05119905

1198662 1199102 = 051199051199112 = 3119905

cu acestea obținem

119910119866 =1198601 ∙ 1199101 + 1198602 ∙ 1199102

119860=61199052 ∙ 3119905 + 41199052 ∙ 05119905

101199052=201199053

101199052= 2119905

119911119866 =1198601 ∙ 1199111 + 1198602 ∙ 1199112

119860=61199052 ∙ 05119905 + 41199052 ∙ 3119905

101199052=151199053

101199052= 15119905

Poziționăm centrul de greutate 119866 al suprafeței compuse figura 49c

Fig 49 Aplicație

b) pentru determinarea momentelor de inerție axiale 119868119911 119868119910 și a momentului de

inerție centrifugal 119868119910119911 determinăm constantele 1198881 1198882 1198891 1198892 care intervin icircn relația lui

Stainer

1198881 = 1199101 minus 119910119866 = 3119905 minus 2119905 = 119905 1198882 = minus(119910119866 minus 1199102) = minus(2119905 minus 05119905) = minus15119905

1198891 = minus(119911119866 minus 1199111) = minus(15119905 minus 05119905) = minus119905 1198892 = 1199112 minus 119911119892 = 3119905 minus 15119905 = 15119905

Folosind relațiile lui Stainer (429) (430) și (431) calculăm momentele de

inerție axiale și centrifugale față de sistemul central 119911119866119866119910119866

119868119911 =sum(119868119911119894 + 1198881198942 ∙ 119860119894) = 1198681199111 + 1198881

2 ∙ 1198601 + 1198681199112 + 11988822 ∙ 1198602

119868119910 =sum(119868119910119894 + 1198891198942 ∙ 119860119894) = 1198681199101 + 1198891

2 ∙ 1198601 + 1198681199102 + 11988922 ∙ 1198602

119868119911119910 =sum(119868119911119894119910119894 + 119888119894 ∙ 119889119894 ∙ 119860119894) = 11986811991111199101 + 1198881 ∙ 1198891 ∙ 1198601 + 11986811991121199102 + 1198882 ∙ 1198892 ∙ 1198602

1198681199111 = (119887 ∙ ℎ3

12) =

119905 ∙ (6119905)3

12= 181199054 1198681199112 = (

119887 ∙ ℎ3

12) =

4119905 ∙ 1199053

12= 031199054

1198681199101 = (1198873 ∙ ℎ

12) =

1199053 ∙ 6119905

12= 051199054 1198681199102 = (

1198873 ∙ ℎ

12) =

(4119905)3 ∙ 119905

12= 531199054

11986811991111199101 = 11986811991121199102 = 0 deoarece cele două triunghiuri au cel puțin o axă de simetrie

Cu acestea momentele de inerție axiale și momentul de inerție centrifugal devin

119868119911 = 181199054 + 1199052 ∙ 61199052 + 031199054 + (minus15119905)2 ∙ 41199052 = 3331199054

119868119910 = 051199054 + (minus119905)2 ∙ 61199052 + 531199054 + (15119905)2 ∙ 41199052 = 2081199054

119868119911119910 = 0 + 119905 ∙ (minus119905) ∙ 61199052 + 0 + (minus15119905) ∙ (15119905) ∙ 41199052 = minus151199054

c) razele de inerție sau de girație față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910

se calculează cu relațiile (411)

119894119911 = radic119868119911119860= radic

3331199054

101199052= 182119905 119894119910 = radic

119868119910

119860= radic

2081199054

101199052= 144119905

d) modulele de rezistență față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910 se

calculează cu relațiile (412) și (413)

Avacircnd icircn vedere figura 419c obținem

119910119898119886119909 = 6119905 minus 119910119866 = 6119905 minus 2119905 = 4119905 119910119898119894119899 = minus119910119866 = minus2119905

119911119898119886119909 = 5119905 minus 119911119866 = 5119905 minus 15119905 = 35119905 119911119898119894119899 = minus119911119866 = minus15119905

Se obține astfel

119882119911119898119894119899 =119868119911

|119910119898119886119909|=3331199054

4119905= 8331199053

119882119911119898119886119909 =119868119911

|119910119898119894119899|=3331199054

2119905= 16651199053

119882119910119898119894119899 =119868119910

|119911119898119886119909|=2081199054

35119905= 5941199053

119882119910119898119886119909 =119868119910

|119911119898119894119899|=2081199054

15119905= 13871199053

e) momentele de inerție principale 1198681 și respectiv 1198682 se calculează cu relațiile

(438)

11986812 =119868119911 + 119868119910

2plusmn1

2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)

2+ 4 ∙ (119868119911119910)

2=

=3331199054 + 2081199054

2plusmn1

2∙ radic(3331199054 minus 2081199054)2 + 4 ∙ (minus151199054)2 = 27051199054 plusmn 16251199054

De unde obținem

1198681 = 27051199054 + 16251199054 = 4331199054

1198682 = 27051199054 minus 16251199054 = 1081199054

Prima direcție principală de inerție 1 face cu axa centrală 119866119911 unghiul 1205721 dat de

relația (437)

1205721 =1

2∙ arctan (minus

2 ∙ 119868119911119910

119868119911 minus 119868119910) =

1

2∙ arctan [minus

2 ∙ (minus151199054)

3331199054 minus 2081199054] =33 70

Deoarece 1205721 gt 0 rotirea axelor se face acircn sens antiorar acelor de ceasornic figura

49d

Poziția axe principale 2 față de care momentul de inerție are valoarea minimă

1198682 = 119868119898119894119899 este dată de unghiul

1205722 = 1205721 + 900 = 33 70 + 900 = 123 70

f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 se determină cu relația

(45)

1198781199111198602 = 1198602 ∙ 1198882 = 41199052 ∙ (minus15119905) = minus61199053

242 Forțe interioare Metoda secțiunilor

Icircn vederea calculului de rezistenţă de rigiditate şi de stabilitate a barelor sau a

sistemelor de bare este necesară determinarea forţelor şi momentelor interioare

(eforturilor) care apar icircn secţiunile transversale ale acestora şi datorate icircncărcărilor

exterioare Forțele interioare indică legătura dintre particulele din interiorul corpului şi

se pun icircn evidenţă prin metoda secţiunilor care este un procedeu de raţionament

imaginar propus de Cauchy echivalent cu teoria echilibrului părţilor Conform acestui

raționament bdquodacă un corp solid deformabil este icircn echilibru sub acţiunea unui sistem

generalizat de forţe atunci după secționare fiecare parte a sa va fi icircn echilibru sub

acţiunea forţelor exterioare care-i revin şi a unui sistem de forţe pe care trebuie să-l

introducem icircn secţiunea ce delimitează fiecare parte echivalent cu acţiunea forţelor

aplicate pe partea icircndepărtatărdquo

Problemele care apar la aplicarea metodei secţiunilor sunt

- să pună icircn evidenţă existenţa forţelor interioare mai ales că din ceea ce se ştie o

forţă apare icircn prezenţa a două corpuri ca urmare a principiului acţiunii şi reacţiunii

- să explice modul de distribuţie al forţelor interioare pe secţiune

Considerăm un corp aflat icircn echilibru sub acţiunea unui sistem de forţe exterioare

1 2 3⋯119894 ⋯ 119899minus1 119899 şi presupunem că-l secţionăm cu un plan transversal Q (sau cu

o suprafaţă oarecare) figura 210a Icircn urma secţionării fictive (imaginare) conform

principiului echilibrului părţilor fiecare din cele două părţi obţinute trebuie să fie icircn

echilibru sub acţiunea forţelor exterioare care le revin şi a cacircte unui sistem de forţe

interioare pe care trebuie să-l introducem icircn secţiunile rezultate sistem echivalent cu

acţiunea forţelor exterioare ce acţionează asupra celeilalte părţi Astfel pe partea din

dreapta (notată cu II) delimitată de secţiunea de arie Ad sunt aplicate forţele exterioare

119894 ⋯ 119899minus1 119899 şi un sistem de forţe interioare căruia nu i se cunoaşte decacirct efectul acelaşi

cu cel al forţelor 1 2 3 de pe parea din stacircnga (notată cu I şi delimitată de secţiunea

de arie As) figura 210b Prin metoda secţiunilor am reuşit să punem icircn evidenţă existenţa

forţelor interioare şi să le trecem icircn categoria celor exterioare cărora le putem aplica

relaţiile de echivalenţă şi de echilibru cunoscute din statică Ideal ar fi să cunoaştem

distribuţia şi intensitatea punctuală a acestor forţe pentru că s-ar putea ca icircn anumite

puncte ale secţiunii valoarea forţelor să depăşească limita de rezistenţă (limita de curgere)

a materialului Cunoaşterea distribuţiei punctuale a forţelor interioare nu se poate realiza

decacirct icircn cazuri particulare relativ simple de solicitare

Să considerăm partea din dreapta a corpului asupra căreia acționează forțele

119894 ⋯ 119899minus1 119899 mărginit de aria Ad pe care acționează un sistem de forțe interioare

echivalent cu 1 2 3 Deși forțele interioare de pe Ad nu se cunosc totuși efectul lor

este același cu cel al forțelor 1 2 3 deci le putem reduce icircn centrul de greutate C al

secțiunii Ad rezultacircnd componentele torsorului de reducere al forțelor interioare

(119894119889 119894119889) și pentru partea din stacircnga (119894119904 119894119904) Evident conform principiului acțiunii și

reacțiunii

119894119889 = minus119894119904

119894119889 = minus119894119904 (21)

Pe de altă parte cum fiecare dintre părțile corpului după secționare trebuie să fie

icircn echilibru sub acțiunea forțelor exterioare care le revin și a forțelor interioare introduse

rezultă

119894119889 = minus119890119889

119894119889 = minus119890119889

119894119904 = minus119890119889

119894119904 = minus119890119904 (22)

Combinacircnd (21) cu (22) rezultă

119894119889 = 119890119889

119894119889 = 119890119889

119894119904 = 119890119904

119894119904 = 119890119904 (23)

Fig 210 Forțe interioare

Relațiile (22) și (23) permit determinarea componentelor torsorului de reducere

al forțelor interioare din (23) rezultă componentele torsorului forțelor interioare care

acționează icircn secțiunea Ad sunt egale cu componentele torsorului de reducere al forțelor

exterioare de pe partea din stacircnga din (22) rezultă componentele torsorului forțelor

interioare care acționează icircn secțiunea Ad sunt egale și de sens contrar cu componentele

torsorului de reducere al forțelor exterioare de pe partea din dreapta

Observații

1 Torsorul forțelor interioare diferă de la o secțiune la alta dar pentru aceeași

secțiune el este unic și trebuie să respecte condițiile de compatibilitate a deformațiilor

2 Reducacircnd forțele interioare icircn centrul de greutate al secțiunii s-a făcut o

aproximare icircn ceea ce privește efectul modului de dispunere al forțelor

3 Punctul de reducere trebuie să fie

pentru forțele interioare normale la secțiune centrul de greutate

pentru forțele interioare tangente la planul secțiunii centrul de răsucire sau de

tăiere

243 Eforturi

Prin metoda secțiunilor am pus icircn evidență existența forțelor interioare și modul

icircn care se determină componentele torsorului de reducere al forțelor interioare (119894119889 119894119889) de pe fața din dreapta secțiunii (Ad) Cele două componente ale torsorului de reducere al

forțelor interioare de pe Ad se pot descompune după axele unui sistem de referință

triortogonal xCyz astfel

119894119889 = +

119894119889 = 119909 +119872119894 (24)

unde și 119909 sunt proiecțiile lui 119894119889 și respectiv 119894119889 pe axa longitudinală Cx a

barei iar și 119894 sunt proiecțiile acelorași componente 119894119889 și respectiv 119894119889 pe planul yCz

al secțiunii transversale Ad figura 211

Fig 211 Torsorul de reducere al forţelor interioare

La racircndul lor și 119894 se pot descompune după axele sistemului yCz figura 212

= 119910 + 119911

119894 = 119894119910 + 119894119911 (25)

Fig 212 Descompunerea forţei tăietoare şi a momentului icircncovoietor

Cele șase componente ale torsorului de reducere al forțelor interioare ( 119910 119911

119909 119894119910 119894119911) orientate după axele sistemului de referință xCyz se numesc eforturi

Fiecare efort are o denumire stabilită icircn funcție de tipul de deformație pe care-l produce

De asemenea semnul plus (bdquo+rdquo) sau minus (bdquondashrdquo) al fiecărui efort nu depinde de sensul

pozitiv sau negativ al sistemului de axe ci doar de efectul icircn deformații al fiecărui efort

Denumirile celor șase eforturi sunt

119873 este forța axială

119879119910 119879119911 sunt forțe tăietoare orientate după axele Cy și respectiv Cz

119872119909 notat de cele mai multe ori cu 119872119905 este moment de torsiune sau de răsucire

119872119894119911 119872119894119910 sunt momente de icircncovoiere icircn jurul axei Cz și respectiv Cy

Forța axială 119873 poate fi forță axială de icircntindere cacircnd produce o lungire a

tronsonului pe a cărei față acționează (119873 gt 0) figura 213a sau forță axială de

compresiune cacircnd sub efectul ei bara se scurtează (119873 lt 0) figura 213b

Fig 213 Forța axială

Forțele tăietoare 119879119910 și 119879119911 au ca efect lunecarea secțiunii icircn centrul căreia

acționează icircn raport cu secțiunea icircnvecinată lunecare ce se produce pe direcția și icircn sensul

forței Sub acțiunea unei forțe tăietoare bara este solicitată la forfecare Forța tăietoare

este pozitivă 119879119910 gt 0 dacă icircn raport cu un punct oarecare K de pe axa Cx a barei tinde să

rotească secțiunea pe care acționează icircn sens orar

Fig 214 Forța tăietoare

Momentele de icircncovoiere 119872119894119911 și 119872119894119910 au ca efect o rotire a secțiunii icircn centrul

cărora acționează icircn jurul axei după care sunt orientate Icircn figura 215a se vede că

datorită momentului 119872119894119911 fibrele de deasupra axei Cz se alungesc icircn timp ce fibrele de sub

axa Cz se scurtează Fibrele care trec prin axa de icircncovoiere Cz nu se deformează sunt

fibre neutre la icircncovoiere adică axa neutră este Cz Icircn cazul momentului de icircncovoiere

119872119894119910 fibrele care nu se deformează sunt cele care trec prin axa neutră la icircncovoiere Cy

Momentele de icircncovoiere se consideră a fi pozitive (119872119894119911 gt 0119872119894119910 gt 0) dacă

observatorul care privește bara deformată vizualizează fibrele icircntinse

Fig 215 Momentul icircncovoietor

Momentul de torsiune sau de răsucire 119872119909 equiv 119872119905 are ca efect o rotire a secțiunii

icircn al cărei centru acționează icircn jurul axei longitudinale Cx Ca efect secțiunea icircși schimbă

forma (se deformează) adică unghiurile inițiale se modifică dreptunghiul inițial Ad

devine paralelogram Convențional se consideră 119872119905 gt 0 dacă vectorul moment are

aceeași orientare ca și sensul pozitiv ales pextru axa Cx Icircn figura 216 momentul este

negativ

Fig 216 Momentul de torsiune

25 Definiții și convenții de semne pentru eforturile

din secțiunile unei bare drepte plane icircncărcate cu sarcini coplanare

Vom considera o bară plană icircncărcată cu un sistem de forțe arbitrar figura 217

Ne propunem să determinăm eforturile care apar icircn secțiunea barei aflată la distanța 119909 de

reazemul din stacircnga (A)

Pentru aceasta vom aplica metoda secțiunilor vom secționa bara cu un plan

perpendicular pe axa longitudinală a barei și vom analiza doar partea din dreapta secțiunii

mărginită de fața Ad Pentru ca această porțiune de bară să fie icircn echilibru sub acțiunea

forțelor exterioare care acționează asupra sa 1198653 și 119881119861 va trebui să introducem icircn centrul

secțiunii Ad eforturile care pot să apară 119873 119879119910 119872119894119911 Acțiunea acestor eforturi trebuie să

fie echivalentă cu acțiunea forțelor exterioare aplicate pe partea icircnlăturată (parcursă) a

barei 119867119860 119881119860 1198651 1198652 1198720

Deoarece bara este plană și este icircncărcată doar cu sarcini ce aparțin

planului barei

icircn secțiunea Ad apar doar 3 componente ale torsorului de reducere al forțelor

interioare (eforturi)

- 119873 = forța axială

- 119879119910 = forța tăietoare pe care o vom nota cu 119879

- 119872119894119911 = momentul icircncovoietor notat cu Mi

Fig 217 Bară plană icircncărcată cu un sistem de forțe

Vom prezenta următoarele definiții corespunzătoare eforturilor din secțiunea Ad

119873 = forța axială dintr-o secțiune este egală cu suma algebrică a proiecțiilor pe

axa longitudinală a tuturor forțelor exterioare (sarcini și reacțiuni) aplicate pe partea

din stacircnga secțiunii adică pe porțiunea parcursă Forța axială 119873 este pozitivă dacă trage

de tronsonul pe a cărei față acționează (are orientarea normalei exterioare la secțiunea

Ad)

119873(119909) = minus119867119860 + 1198651119867 (26)

119879 = forța tăietoare icircntr-o secțiune este egală cu suma algebrică a proiecțiilor

pe o axă perpendiculară pe axa barei a tuturor forțelor exterioare (sarcini și reacțiuni)

aplicate pe porțiunea de bară aflată icircn stacircnga secțiunii considerate Forța tăietoare 119879

este pozitivă dacă tinde să rotească tronsonul pe a cărui față acționează icircn sens orar icircn

raport cu un punct de pe axa barei aflat la dreapta secțiunii

119879(119909) = 119881119860 minus 1198651119881 minus 1198652 (27)

119872119894 = momentul icircncovoietor icircntr-o secțiune este egal cu suma algebrică a

momentelor obținute prin reducerea tuturor forțelor exterioare ( cupluri sarcini

reacțiuni) aplicate pe porțiunea de bară aflată la stacircnga secțiunii icircn centrul secțiunii

considerate 119872119894 este considerat pozitiv dacă tinde să deformeze bara astfel icircncacirct fibrele

spre care privește un observator să fie icircntinse Cum poziția observatorului este de regulă

sub bară bara se deformează dacă 119872119894 gt 0 astfel icircncacirct partea jos a barei este icircntinsă Se

spune că bara deformată rdquoține apaldquo

119872119894(119909) = 119881119860 ∙ 119909 minus 1198651119881 ∙ (119909 minus 1198971) minus 1198652 ∙ [119909 minus (1198971 + 1198972)] + 1198720 (28)

Sensurile pozitive ale eforturilor care apar icircn centrul secțiunii Ad (deci atunci cacircnd

sensul de parcurs la aplicarea metodei secțiunilor este cel de la stacircnga la dreapta) sunt

indicate icircn figura 218a iar dacă sensul de parcurs este de la dreapta la stacircnga sensurile

pozitive ale eforturilor sunt indicate icircn figura 218b

Fig 218 Convenţia de semne

Definiții asemănătoare se pot da și pentru eforturile din centrul secțiunii As figura

218b adică pentru cazul icircn care sensul de parcurs este cel de la dreapta la stacircnga și deci

partea luată icircn considerare este cea din stacircnga iar partea parcursă din dreapta secțiunii

este icircnlăturată

119873(1199091) = 1198653119867

119879(1199091) = 1198653119881 minus 119881119861

119872119894(1199091) = 119881119861 ∙ 1199091 minus 1198653119881 ∙ (1199091 minus 1198975)

(29)

Avacircnd icircn vedere că fețele Ad și As aparțin aceleeași secțiuni este evident faptul că

eforturile 119873(119909) 119879(119909) și 119872119894(119909) sunt identice cu eforturile 119873(119961120783) 119879(119961120783) și respectiv

119872119894(119961120783) Icircn figura 218c se prezintă o sinteză a convențiilor de semne pozitive pentru cele

3 eforturi atacirct pentru sensul de parcurs de la stacircnga la dreapta (secțiunea Ad) cacirct și pentru

sensul invers (secțiunea As)

Semnele eforturilor sunt importante icircntrucacirct există materiale cu comportări diferite

la icircntindere față de compresiune iar o schimbare a semnului unui efort poate produce

erori grave icircn calcule Semnele eforturilor au fost stabilite icircn funcție de deformațiile

produse și nu depind de sensul axelor sistemului de coordonate

26 Relaţii diferenţiale icircntre eforturi şi sarcini

Pentru a vedea ce legătură există icircntre eforturi și sarcini vom considera o bară

dreaptă icircncărcată cu o sarcină distribuită după o lege oarecare figura 219a Din această

bară vom decupa prin dublă secționare un element de lungime infinit mică 119889119909 Deoarece

lungimea 119889119909 este foarte mică se poate considera sarcina 119901 uniform distribuită Icircn

secțiunile rezultate trebuie să introducem eforturile care pot apărea

- 119879 şi 119872119894 icircn centrul secțiunii din sticircnga eforturi pe care le considerăm pozitive

- 119879 + 119889119879 şi 119872119894 + 119889119872119894 icircn centrul secțiunii din dreapta elementului

Aceste eforturi au o variație mică (119889119879 şi 119889119872119894) față de secțiunea anterioară Spre

deosebire de cazul icircn care bara este secționată o singură dată icircn acest caz eforturile nu

pot fi determinate din cele 2 condiții de echilibru independente deoarece icircn ecuațiile de

echilibru apar 4 necunoscute 119879 119889119879119872119894 și 119889119872119894 deci că problema este dublu static

nedeterminată figura 219

Fig 219 Echivalența icircntre eforturi și sarcini

Ecuațiile de echilibru scrise pentru elementul din figura 219b conduc la stabilirea

unor relaţii foarte importante

(sum119865)119910= 0 hArr 119879 minus 119901 ∙ 119889119909 minus (119879 + 119889119879) = 0 rArr

119889119879

119889119909= minus119901 (210)

Relația (210) arată că derivata funcţiei forţei tăietoare icircn raport cu abscisa

secţiunii este egală cu sarcina distribuită normală la axa barei din acea secţiune luată

cu semn schimbat

Observații

dacă 119901 = 0 nu există sarcină distribuită atunci forța tăietoare T este constantă

icircnclinarea pantei diagramei forței 119879 este egală cu (ndash 119901) (sarcina distribuită cu

semn schimbat)

dacă 119901 = 119888119900119899119904119905 119879 variază liniar pe acel interval

Asemănător se deduce că derivata funcţiei forţei axiale icircn raport cu abscisa

secţiunii este egală cu sarcina distribuită axială din acea secţiune luată cu semn

schimbat adică

119889119873

119889119909= minus119901119867 (211)

Din condiția de echilibru suma de momente faţă de centrul de greutate al secţiunii

din dreapta

(sum119872)119862= 0 hArr 119872119894 minus (119872 + 119889119872119894) + 119879 ∙ 119889119909 minus 119901 ∙

(119889119909)2

2= 0 rArr

119889119872119894

119889119909= 119879 (212)

Relația (212) s-a obținut dupa reducerea termenilor și prin neglijarea infinitului

mic de ordinul 2

119901 ∙(119889119909)2

2

Relația (212) arată că derivata funcţiei moment icircncovoietor icircn raport cu abscisa

secţiunii este egală cu forţa tăietoare din acea secţiune

Observații

dacă 119879 = 0 momentul 119872119894 are un punct de extrem se obține o valoare maximă

pentru 119872119894119898119886119909 dacă forța tăietoare 119879 se anulează trecacircnd de la plus icircn stacircnga la minus icircn

dreapta secțiunii

dacă forța tăietoare este pozitivă pe un interval 119879 gt 0 atunci 119872119894 este crescătoare

pe acel interval

dacă forța tăietoare este negativă pe un interval 119879 lt 0 atunci 119872119894 este

descrescătoare pe acel interval

dacă pe un interval 119901 = 0 forța tăietoare este constantă 119879 = 119888119905 iar 119872119894 variază

liniar pe acel interval

dacă 119901 = 119888119900119899119904119905 119879 variază liniar pe acel interval iar 119872119894 variază parabolic pe

acel interval

Relaţiile diferenţiale sunt utile la reprezentarea corectă şi verificarea diagramelor

de eforturi astfel

pentru porţiunile de grindă pe care p = 0 eforturile N şi T sunt constante iar pe

porţiunile cu p = const eforturile N şi T variază liniar (relaţiile 211 şi 210)

dacă pe o porţiune T = const momentul icircncovoietor Miz variază liniar iar dacă

T variază liniar atunci momentul Miz variază parabolic (relaţia 212)

pe domeniile pe care T gt 0 funcţia Mi(x) este crescătoare iar icircn secţiunea icircn

care T = 0 (graficul funcţiei T intersectează axa x) momentul icircncovoietor are un punct

de extrem local (maxim sau minim relaţia 212)

Pentru rezolvarea problemelor referitoare la trasarea diagramelor de eforturi

pentru barele drepte solicitate de sisteme de forţe plane se parcurg următoarele etape

1) identificarea forţelor aplicate (date) şi pregătirea lor pentru calcule

(descompunerea forţelor concentrate pe direcţiile x şi y calculul rezultantelor forţelor

distribuite)

2) identificarea reazemelor şi introducerea reacţiunilor corespunzătoare (vezi

figurile 27divide29)

3) stabilirea ecuaţiilor de echilibru static calculul şi verificarea reacţiunilor Icircn

rezistența materialelor se folosește sistemul de ecuații (vezi figura 217)

(sum119865)

119909= 0

(sum119872)119860= 0

(sum119872)119861= 0

(213)

4) identificarea domeniilor de variaţie şi scrierea funcţiilor de eforturi pentru N T

şi Mi

5) reprezentarea grafică a diagramelor de eforturi

6) verificarea corectitudinii diagramelor pe baza relaţiilor diferenţiale icircntre eforturi

şi sarcini

Aplicație Pentru grinda dreaptă icircncărcată cu sistemul de forţe reprezentat icircn figura

220 se cere

a) să se calculeze şi să se verifice reacţiunile

b) să se stabilească funcţiile eforturilor Nx Ty şi Miz şi să se reprezinte diagramele

de variaţie

c) să se analizeze relaţiile diferenţiale icircntre eforturi şi sarcini

Dimensiunile grinzii au valorile a = 6 [m] b = 4 [m] și c = 4[m] sistemul de

forţe aplicat fiind format din p = 10 [kN mfrasl ] F = 20 [kN] (icircnclinată cu unghiul α =300 faţă de orizontală) şi M0 = 40 [kN ∙ m]

Rezolvare

a) Se fac următoarele precizări

grinda dreaptă se reprezintă prin axa geometrică

forţa icircnclinată F se descompune după direcţiile orizontală şi verticală icircn FV =F ∙ sin α = 10 [kN] şi FH = F ∙ cos α = 173 [kN]

forţa distribuită uniform p este echivalentă din punct de vedere static cu

rezultanta sa R = p ∙ a = 60 [kN] care acţionează la jumătatea porţiunii de lungime a

icircn reazemele 119860 şi 119861 se introduc componentele HA şi VA respectiv VB ale

reacţiunilor

Pentru calculul reacţiunilor se utilizează ecuaţiile de echilibru static al grinzii

sumXi = 0 HA minus FH = 0 sumYi = 0 VA + VB minus R minus FV = 0 (sumM)B = 0 VA ∙ (b + a) minus R ∙ (b + 05 ∙ a) minus M0 + FV ∙ c = 0

(A1)

Din prima ecuaţie se obţine HA iar din cea de-a treia ecuaţie rezultă VA

HA = FH = 173 [kN]

VA =[R ∙ (b + 05 ∙ a) + M0 minus FV ∙ c]

(b + a)=[60 ∙ (4 + 05 ∙ 6) + 40 minus 10 ∙ 4]

(4 + 6)

VA = 42 [kN]

(A2)

Fig 220 Aplicație

Se observă că cea de-a doua ecuaţie de echilibru conţine două necunoscute

reacţiunile VA şi VB Pentru a calcula componenta VB nu este indicată introducerea lui VA

icircn cea de-a doua ecuaţie a sistemului (A1) pentru că o valoare determinată greşit pentru

VA conduce la o valoare VB de asemenea greşită O ecuaţie independentă din care se poate

determina componenta VB este următoarea

(sumM)A= 0 FV ∙ (a + b + c) minus VB ∙ (a + b) minus M0 + R ∙ 05 ∙ a = 0 (A3)

de unde se obţine

VB =[FV ∙ (a + b + c) minusM0 + R ∙ 05 ∙ a]

(b + a)=[10 ∙ (6 + 4 + 4) minus 40 + 60 ∙ 05 ∙ 6]

(6 + 4)

VB = 28 [kN] (A4)

Ecuaţia de proiecţii ale forţelor pe direcţia verticală (a doua ecuaţie din sistemul

A1) se utilizează pentru verificarea reacţiunilor deja determinate

VA + VB minus R minus FV = 0 rArr 42 + 28 minus 60 minus 10 = 0 (A5)

Ultima egalitate demonstrează că reacţiunile verticale au fost calculate corect

Din cele de mai sus rezultă ordinea firească pentru determinarea reacţiunilor icircn

cazul grinzilor simplu rezemate

sumXi = 0

(sumM)A = 0

(sumM)B = 0

(A6)

iar pentru verificarea componentelor verticale VA şi VB se folosește ecuaţia sumY = 0

b) La stabilirea funcţiilor de eforturi se parcurg icircn general etapele următoare

se notează (numeric sau literal după preferinţă) secţiunile care delimitează

domeniile (intervalele sau tronsoanele) pe care eforturile nu-şi modifică funcţiile (au legi

unice de variaţie)

pe fiecare domeniu se marchează secţiunea imaginară icircn care se stabilesc

funcţiile eforturilor

secţiunea astfel aleasă separă icircn două părţi grinda şi anume porţiunea din stacircnga

şi porţiunea din dreapta secţiunii

se va considera parcursă (şi icircndepărtată) acea parte pe care acţionează mai puţine

sarcini exterioare pentru că acestea vor interveni icircn expresiile funcţiilor de eforturi

poziţiile secţiunilor imaginare se vor determina prin variabilele x1 ⋯ xn (unde

n reprezintă numărul domeniilor de variaţie) cu originea fixată icircn capătul intervalului şi

sensul de parcurgere spre partea considerată rămasă

Grinda prezentată icircn figura 220 are trei domenii de variaţie pentru funcţiile de

eforturi după cum urmează (A-1) (2-B) şi (B-1)

Domeniul (A-1) x1 isin [0 a = 6 m] Porţiunea parcursă şi considerată icircndepărtată este cea de coordonată x1 pe care

acţionează reacţiunile HA şi VA precum şi rezultanta parţială a sarcinii distribuite R1 =p ∙ x1

Funcţia forţă axială Nx are expresia

Nx(x1) = NAminus1 = minusHA = minus173 [kN] = const

(A7)

Funcţia forţă tăietoare Ty are exspresia

Ty(x1) = TAminus1 = VA minus R1 = VA minus p ∙ x1 (A8)

care reprezintă o variaţie liniară de variabilă x1 Se calculează valorile forţei tăietoare la

limitele intervalului de variaţie

- pentru x1 = 0 Ty(x1 = 0) = TA = VA = 42 [kN]

- pentru x1 = a = 6 [m] Ty(x1 = 6) = T1 = VA minus p ∙ a = minus18 [kN]

Observaţie Aşa cum a fost stabilită secţiunea fictivă poziţionată prin coordonata

x1 sar părea că rezultanta R ar trebui luată icircn calculul lui Ty(x1) Acest lucru ar fi greşit

pentru că R = p ∙ a reprezintă rezultanta sarcinii distribuite pe toată lungimea a iar

rezultanta pe porţiunea parcursă de lungime x1 este R1 = p ∙ x1 ne R = p ∙ a

Cu valorile obţinute se trasează diagramele forţelor axială Nx = f(x) şi tăietoare

Ty = f(x) figura 220 Din diagrama forţei tăietoare şi din valorile obţinute analitic se

observă că forţa tăietoare icircşi schimbă semnul pe intervalul analizat deci se anulează pe

acest interval Poziţia secţiunii unde Ty se anulează se determină din ecuaţia

Ty(x1) = 0 rArr VA minus p ∙ x1 = 0 (A9)

cu soluţia x1lowast = ξ = 42 [m] Important de reamintit că icircn această secţiune momentul

icircncovoietor va avea un extrem local adică Miz are un extrem la Ty = 0

Funcţia moment icircncovoietor Miz are expresia

Miz(x1) = VA ∙ x1 minus R1 ∙x12= VA ∙ x1 minus (p ∙ x1) ∙

x12

(A10)

Se observă că funcţia moment icircncovoietor de variabilă x1 are o variaţie parabolică

(gradul al II-lea) Pentru reprezentarea grafică a funcţiei parabolice se calculează valorile

momentului icircncovoietor icircn trei secţiuni

- pentru x1 = 0 Miz(x1 = 0) = MA = 0 [kN ∙ m] - pentru x1 = a = 6 [m] Miz(x1 = 6) = M1 = 72 [kN ∙ m] - pentru x1

lowast = ξ = 42 [m] Miz(x1lowast = ξ = 42 [m]) = Mimax = 882 [kN ∙ m]

Cu acestea se trasează diagrama Miz = f(x) pe intervalul (A-1) figura 220

Observaţie Icircn unele cazuri pe un anumit interval forţa tăietoare nu se anulează

şi momentul icircncovoietor nu are un extrem local Icircn acest caz pentru reprezentarea

variaţiei parabolice a momentului icircncovoietor se va studia semnul derivatei a doua a

funcţiei Miz = f(x1) acesta determinacircnd convexitatea curbei momentului icircncovoietor

Domeniul (2-B) x2 isin [0 c = 4 m] Porţiunile din grindă libere (nerezemate) la un capăt se numesc console iar

stabilirea funcţiilor de eforturi devine mai simplă dacă se consideră icircndepărtată partea din

dreapta secţiunii prin schimbarea sensului pozitiv al axei x Astfel se obţin funcţiile eforturilor

Funcţia forţă axială Nx are expresia

Nx(x2) = N2minusB = minusFH = minus173 [kN] = const

(A11)

Funcţia forţă tăietoare Ty are exspresia

Ty(x2) = T2minusB = FV = 10 [kN] = const (A12)

Funcţia moment icircncovoietor Miz are expresia

Miz(x2) = minusFV ∙ x2 rArr Miz(x2 = 0) = M2 = 0 [kN ∙ m]

Miz(x2 = 4) = MB = minus40 [kN ∙ m] (A13)

variaţie liniară (gradul I)

Domeniul (B-1) x3 isin [0 b = 4 m] Pe acest domeniu se acceptă parcurgerea grinzii de la dreapta adică se consideră

icircndepărtată partea din dreapta secţiunii fictive pentru că are doar două sarcini aplicate F

şi VB faţă de partea din stacircnga secţiunii pe care sunt aplicate trei sarcini p VA şi M0

Astfel se obţin funcţiile eforturilor

Funcţia forţă axială Nx are expresia

Nx(x3) = NBminus1 = minusFH = minus173 [kN] = const

(A14)

Funcţia forţă tăietoare Ty are exspresia

Ty(x3) = TBminus1 = FV minus VB = minus18 [kN] = const (A15)

Funcţia moment icircncovoietor Miz are expresia

Miz(x3) = minusFV ∙ (x3 + c) + VB ∙ x3 rArr

rArr Miz(x3 = 0) = MB = minus40 [kN ∙ m]

Miz(x3 = 4) = M1 = 32 [kN ∙ m]

(A16)

variaţie liniară (gradul I)

Diagramele eforturilor sunt prezentate icircn figura 220

c) Relaţiile diferenţiale dintre eforturi şi sarcini se analizează pe diagramele

eforturilor după cum urmează

sarcina distribuită nu are componentă orizontală adică ph = 0 şi icircn

conformitate cu formula (211) rezultă că Nx = const pe toată lungimea grinzii fapt care

a rezultat din funcţia şi reprezentarea diagramei forţei axiale

pe intervalul (A-1) sarcina distribuită are doar componenta verticală pozitivă

pV = p gt 0 prin urmare forţa tăietoare scade (are panta negativă dTy 119889119909frasl = minusp vezi

relaţia 210) iar momentul icircncovoietor avacircnd derivata a doua negativă d2M119894119911 1198891199092frasl =minuspare convexitatea curbei orientată spre sensul pozitiv al axei momentului Miz adică icircn

jos

pe domeniile (2-B) şi (B-1) deoarece pv = 0 forţa tăietoare Ty este constantă

iar momentul icircncovoietor Miz variază liniar

referitor la relaţia (212) pe porţiunile unde Ty gt 0 momentul Miz este

monoton crescător pe porţiunile unde Ty lt 0 momentul Miz este monoton descrescător

iar icircn secţiunea icircn care Ty = 0 momentul icircncovoietor are un extrem local Mξ =

882 [kN ∙ m] icircn diagrama forţei tăietoare discontinuităţile (salturile) se produc icircn secţiunile

unde acţionează VA VB şi FV iar icircn diagrama momentului icircncovoietor se produce un

singur salt icircn secţiunea icircn care este aplicat M0

se poate scrie

Mξ = suprafața diagramei Ty |ξ0=1

2∙ 42 ∙ 42 = 882 [kN ∙ m]

sau parcurgacircnd grinda de la dreapta la stacircnga rezultă

MB = minussuprafața diagramei Ty |c0= minus10 ∙ 4 = minus40 [kN ∙ m]

Toate aspectele analizate teoretic referitoare la relaţiile diferenţiale dintre eforturi

şi sarcini se regăsesc icircn diagramele de eforturi din figura 220 ceea ce icircnseamnă că

diagramele au fost reprezentate corect

3 TENSIUNI DEPLASĂRI ŞI DEFORMAŢII SPECIFICE

31 Tensiuni

Eforturile obținute icircn urma reducerii forțelor interioare icircn centrul de greutate al

secțiunii nu pot da informații asupra solicitării fiecărui punct al secțiunii respective Este

necesar să se cunoască modul cum se distribuie forțele interioare icircn fiecare punct al

secțiunii pentru a ști care este intensitatea maximă a solicitării Această intensitate

maximă se poate compara cu o valoare critică specifică materialului stabilindu-se astfel

dacă solicitarea este periculoasă sau nu

Mărimea care caracterizează solicitarea locală punctuală o vom denumi tensiune

și o vom defini icircn cele ce urmează Să considerăm partea din dreapta a unui corp solicitat

de forțele exterioare 1198651 1198652 și 1198653 obținută prin secționarea corpului și mărginită de fața

din dreapta Ad a secțiunii Pe secțiunea Ad vom considera un element de arie infinit mic

∆119860 caracterizat de normala la elementul de arie normală care are cosinușii directori

120573 și icircn raport cu un sistem de axe considerat fix Pe elementul infinit mic ∆119860 acționează

forțele interioare care au o rezultantă oarecare figura 31

Prin definiție tensiunea totală este

= lim∆119860rarr0

∆

∆119860 (31)

Tensiunea are aceeaşi direcţie cu forţa elementară ∆ iar mărimea ei este

determinată atacirct de mărimea forţei ∆ cacirct şi de orientarea suprafeţei ∆119860 faţă de direcţia

forţei

Tensiunea 119901 poate fi descompusă icircntr-o componentă orientată după direcţia

normalei la secţiune tensiunea normală notată cu 120590119909 şi o componentă icircn planul secţiunii

tensiunea tangenţială notată cu figura 32

= 119909 + 120591 (32)

Fig 31 Tensiunea totală Fig 32 Tensiunea normală și tangențială

La racircndul ei componenta tensiunii cuprinsă icircn planul secțiunii poate fi

descompusă după direcțiile axelor y și z

120591 = 120591119909119910 + 120591119909119911 (33)

Icircntre cele trei componente ale tensiunii totale care acționează pe elementul de arie

∆119860 este valabilă relația

1199012 = 1205901199092 + 120591119909119910

2 + 1205911199091199112 (34)

După sensul pe care icircl are tensiunea normală 120590 poate avea efect de tracţiune sau

de compresiune exercitat de către partea de corp icircnlăturată asupra părţii rămase Analog

tensiunea tangenţială 120591 poate avea efect de tăiere forfecare sau alunecare Pentru

componentele tensiunii tangențiale 120591119909119910 pe direcţia 119910 respectiv 120591119909119911 pe direcţia 119911 primul

indice indică axa pe care tensiunea este normală iar cel de-al doilea indice indică axa cu

care aceasta este paralel

Tensiunea este o mărime tensorială valoarea ei depinzacircnd atacirct de poziția

punctului icircn planul secțiunii cicirct și de orientarea planului de secționare deci de normala

Operaţiile vectoriale nu pot fi aplicate tensiunilor decacirct după ce acestea au fost icircnmulţite

cu ariile respective adică au fost transformate icircn forţe

Icircn literatura de specialitate mai ales icircn manualele mai vechi pentru noţiunea de

tensiune se mai foloseşte şi denumirea de efort specific

Dacă se consideră un alt element de arie ∆119860 cu centrul icircn același punct avacircnd ca

normală axa 119910 se vor obține alte tensiuni și anume

- 120590119910 este tensiunea normală (paralelă cu axa y)

- 120591119911119909 și 120591119910119911 sunt tensiuni tangențiale paralele cu axele 119909 și respectiv 119911 aflate icircn

planul care are ca normală axa 119910

Dacă icircn jurul unui punct dintr-un corp solicitat se consider un element de volum

infinit mic de forma unui cub icircn cazul cel mai general pe fețele sale vor acționa

tensiunile normale 120590119909 120590119910 și 120590119911 și respectiv tensiunile tangențiale 120591119909119910 120591119909119911 120591119910119909 120591119910119911 120591119911119909

și respectiv 120591119911119910 figura 33 Aceste tensiuni definesc starea de tensiune a punctului

observacircnd faptul că tensorul tensiune are 9 componente Dacă se consideră elementul

de volum finit ca fiind foarte mic se poate presupune că icircn interiorul său nu apar forțe

Ca urmare el va fi icircn echilibru sub acțiunea forțelor elementare produse de tensiunile de

pe fețele sale

Din condiția ca elementul să nu se rotească icircn jurul unor axe care trec prin centrul

său și sunt paralele cu axele sistemului 119909119874119910119911 rezultă

2 ∙ 120591119909119910 ∙ (119889119910 ∙ 119889119911) ∙119889119909

2= 2 ∙ 120591119910119909 ∙ (119889119909 ∙ 119889119911) ∙

119889119910

2 rArr 120591119909119910 = 120591119910119909 (35)

2 ∙ 120591119910119911 ∙ (119889119909 ∙ 119889119911) ∙119889119910

2= 2 ∙ 120591119911119910 ∙ (119889119909 ∙ 119889119910) ∙

119889119911

2 rArr 120591119910119911 = 120591119911119910 (36)

2 ∙ 120591119909119911 ∙ (119889119910 ∙ 119889119911) ∙119889119909

2= 2 ∙ 120591119911119909 ∙ (119889119909 ∙ 119889119910) ∙

119889119911

2 rArr 120591119909119911 = 120591119911119909 (37)

Relațiile (35divide37) 120591119909119910 = 120591119910119909 120591119910119911 = 120591119911119910 120591119909119911 = 120591119911119909 exprimă principiul dualității

tensiunilor tangențiale

Fig 33 Tensiunile normale și tangențiale pe fețele unui cub

Din condiția ca elementul considerat să nu se deplaseze icircn lungul axelor de

coordonate pe fețele opuse acționează aceleași tensiuni normale 120590119909 120590119910 și respectiv 120590119911

Definirea tensorului tensiune este posibilă dacă se cunosc cele 6 componente

independente ale acestuia aflate icircn trei plane perpendicular ce trec prin punctul respectiv

=

120590119909 120591119909119910 120591119909119911120591119910119909 120590119910 120591119910119911120591119911119909 120591119911119910 120590119911

Observaţii

Tensiunile se măsoară icircn [119873 1198982frasl ] (1119873 1198982frasl = 1 119875119886) sau icircn [119872119875119886]

(1 119872119875119886 = 106119875119886 = 106 119873

1198982 1 119872119875119886 = 1

119873

1198981198982)

Starea de tensiune dintr-un punct este considerată cunoscută dacă se cunosc

tensiunile 119901 care acționează pe infinitatea de elemente de suprafață ce trec prin punctual

considerat

Starea de tensiune a unui corp se consider cunoscută dacă se cunosc stările de

tensiune de pe infinitatea de puncte ale corpului considerat

32 Deplasări Deformaţii specifice

321 Deplasări

Aceste noțiuni sunt utile icircn analiza aspectului geometric al problemelor de rezistența

materialelor Deplasările care se analizează sunt cele datorate schimbării formei și

dimensiunilor corpurilor ca urmare a acțiunii forțelor exterioare și nu cele cinematice

posibile pentru solidul rigid care se poate deplasa cu anumită viteză și accelerație

Spre exemplu icircn figura 34a și figura 34b sub acțiunea forței 119865 tronsonul de

bară AB se deformează icircn timp ce tronsonul BC deși punctele sale au deplasări rămacircne

nedeformat (fiind nesolicitat) Toate punctele de pe axele barelor cu excepția celor din

icircncastrare (secțiunile A) au deplasări liniare De cele mai multe ori deformațiile barelor

datorate acțiunii forțelor exterioare se anulează la icircndepărtarea forțelor se spune că

deformațiile sunt elastice Secțiunile transversale ale barei din figura 34a se și rotesc icircn

raport cu pozițiile lor inițiale Spre exemplu secțiunea de căpăt cu centrul icircn C se rotește

cu unghiul

Fig 34 Deformațiile unei grinzi

Oricacirct de complexă ar fi delormația unui corp ea poate fi descrisă de lungiri sau

scurtări și de modificări ale unghiurilor inițiale

Deplasările măsoară schimbarea poziției unui punct al corpului și pot fi liniare

sau unghiulare

Prin deplasare liniară a unui punct se icircnțelege drumul parcurs de acest punct icircn

decursul procesului de deformație după o dreaptă suport dreapta 1198611198611 din figura 34a

Prin deplasare unghiulară se icircnțelege rotirea dintre segmentele de dreaptă

determinate de două puncte ale corpului icircnainte și după deformarea acestuia unghiul

pe care-l fac segmentele 119861119862 și 11986111198621 din figura 34a Această rotire se măsoară prin

unghiul pe care-l fac proiecțiile dreptelor ce conțin cele două segmente icircntr-un sistem

triortogonal

Icircn cazul cel mai general vectorul deplasare liniară se poate descompune icircntr-un

sistem triortogonal icircn trei componente 119906 119907 și 119908 figura 35

Fig 35 Deplasarea liniară

Se consideră acum un corp solid raportat la un sistem de axe ortogonal 119909119874119910119911

figura 35 după deformarea corpului un punct oarecare 119870 al acestuia se deplasează icircn

poziţia 1198701 vectorul 1198701198701 poartă numele de vectorul deplasării totale

Deplasarea totală este suma deplasărilor pe cele trei direcţii ortogonale iar

aceste deplasări se notează astfel

deplasarea pe direcţia 119909 cu ∥ 119874119909

deplasarea pe direcţia 119910 cu ∥ 119874119910

deplasarea pe direcţia 119911 cu ∥ 119874119911

Componentele deplasărilor și formeză matricea deplasărilor liniare 119906119907119908

322 Deformații

Prin deformație icircn general se icircnțelege orice schimbare de formă a unui corp fără

o evaluare cantitativă Icircn Rezistența Materialelor deformația măsoară variația

dimensiunilor geometrice ale corpului considerat din vecinătatea unui punct analog

deplasărilor deformațiile pot fi liniare și unghiulare (lunecări)

Fig 36 Deplasarea liniară

Deformația liniară ∆119897 reprezintă variația lungimii 119897 a unui element liniar al

corpului deformat figura 36 Deformația liniară specifică se definește ca fiind raportul

dintre deformația liniară și lungimea inițială

휀 =∆119897

119897 (38)

unde ∆119897 este lungirea sau scurtarea care este echivalentă cu deformția liniară totală iar

este alungirea

Deformația unghiulară sau lunecarea unui punct 119860 icircn planul 119861119860119862 se definește

prin relația figura 37

120574 = lim119861119860rarr0119862119860rarr0

(119861119860 minus 119861111986011198621 ) (39)

Fig 36 Deformația unghiulară

Schimbacircnd orientarea planului care trece prin 119860 se obțin alte deformații

unghiulare Dacă elementele liniare 119861119860 și 119862119860 sunt inițial perpendiculare deformația 120574 se

numește deformație unghiulară specifică sau lunecare specifică figura 37

Un exemplu de deplasare unghiulară și de deformație unghiulară este prezentat icircn

figura 38 Unghiul este deplasarea unghiulară și măsoară rotirea relativă dintre două

secțiuni aflate la distanța 119897 Unghiul este deformația specifică unghiulară (lunecarea

specifică) din punctul 119870 Aceste deplasări și deformații se obțin icircn urma solicitării barei

de către cele două momente 1198720 egale și de sens contrar

Fig 38 Deplasarea unghiulară

Pentru a analiza starea de deformație din vecinătatea unui punct al unui corp

solicitat complex se decupează din jurul punctului un element de volum mic figura 39a

avacircnd laturile 119889119909 119889119910 și 119889119911 Ca urmare a solicitării laturile acestuia se vor lungi sau

scurta Reprezentarea elementului deformat icircn spațiu este dificilă pentru simplificare

vom analiza doar deformațiile din planul 119909119874119910 Observăm că dimensiunile 119889119909 și 119889119910 s-au

modificat cu valoarea ∆119889119909 respectiv cu ∆119889119910 analog se acceptă și pentru 119889119911 o modificare

de forma ∆119889119911 Astfel se pot defini deformațiile specifice liniare

휀119909 =∆119889119909

119889119909 휀119910 =

∆119889119910

119889119910 휀119911 =

∆119889119911

119889119911 (310)

De cele mai multe ori aceste deformații specifice liniare se pot exprima procentual

și se mai numesc alungiri

Fig 39 Starea de deformație

Icircn figura 39c se vede că unghiul inițial drept dintre muchiile 119889119909 și 119889119910 ale

elementului de volum s-a modificat Se definește deformația specifică unghiulară (sau

lunecarea specifică) mărimea cu care se modifică unghiul inițial drept

120574119909119910 = 120574119909119910prime + 120574119910119909

prime = 120574119910119909120574119910119911 = 120574119910119911

prime + 120574119911119910prime = 120574119911119910

120574119911119909 = 120574119911119909prime + 120574119909119911

prime = 120574119909119911

(311)

Deformațiile 휀119909 휀119910 휀119911 120574119909119910 120574119910119911 120574119911119909 constituie cele șase componente

independente ale tensorului deformațiilor specifice care pot fi scrise de forma

119863 =

휀119909 120574119909119910 120574119909119911120574119910119909 휀119910 120574119910119911120574119911119909 120574119911119910 휀119911

(312)

323 Contracţia transversală

Practica arată că odată cu lungirea unei bare apare o micşorare a mărimii secţiunii

transversale mărime numită contracţie transversală figura 310

Fig 310 Contracția transversală

Contracţia transversală este proporţională cu lungirea specifică coeficientul de

proporţionalitate se notează cu 120599 şi se numeşte coeficient de contracţie transversală sau

coeficientul lui Poisson

La o lungire specifică a barei contracţia transversală este dată de relația

휀119905119903 = 휀119910 = 휀119911 = minus120599 ∙ 휀119909 (313)

Semnul minus bdquo-rdquo arată că cele două mărimi sunt contrare dacă una creşte cealaltă

scade şi invers

Considerăm o bară cilindrică de lungime 119897 şi aria secţiunii transversale 119860 solicitată

la icircntindere axială La un moment dat datorită solicitării lungimea barei devine

[119897 ∙ (1 + 휀)] diametrul devine [119889 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)] iar aria secţiunii transversale devine

[119860 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)2] Dacă volumul barei icircnainte de solicitare a fost (119860 ∙ 119897) după solicitare

acesta devine

119881 + ∆119881 = 119860 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)2 ∙ 119897 ∙ (1 + 휀) =

= 119860 ∙ 119897 ∙ (1 + 휀 minus 2 ∙ 120599 ∙ 휀 minus 2 ∙ 120599 ∙ 휀2 + 1205992 ∙ 휀2 + 1205992 ∙ 휀3) (314)

Deoarece lungirile sunt foarte mici ultimii trei termeni din paranteză fiind infinit mici se pot neglija obţinacircnd

119881 + ∆119881 = 119860 ∙ 119897 + 119860 ∙ 119897 ∙ 휀 ∙ (1 minus 2 ∙ 120599) ⟺ ∆119881 = 휀 ∙ (1 minus 2 ∙ 120599) ∙ 119860 ∙ 119897 (315)

Practica arătă că o astfel de bară solicitată la icircntindere icircşi măreşte volumul deci

∆119881 gt 0 de unde rezultă că

1 minus 2 ∙ 120599 gt 0 rArr 120599 lt 05 (316)

Pentru majoritatea materialelor 120599 = 033 iar pentru materialele care-şi păstrează

volumul constant 120599 = 05

33 Relaţii de echivalenţă icircntre eforturi şi tensiuni

Considerăm un element de suprafață infinit mic 119889119860 situat pe fața de arie (119860) a

secțiunii barei din figura 311 Icircn centrul de greutate 119862 al secțiunii acționează eforturile

119873 119879119910 119879119911 119872119909 119872119894119910 și 119872119894119911 determinate prin metoda secțiunilor

Icircn raport cu un sistem de axe de referință 119909119862119910119911 coordonatele elementului 119889119860 sunt

- 119910 este ordonata elementului de arie 119889119860

- 119911 este abscisa elementului de arie 119889119860

Pe elementul de arie 119889119860 acționează tensiunile

120590119909 tensiunea normală

120591119909119910 și 120591119909119911 tensiuni tangențiale

Dacă se icircnsumează forțele elementare de tipul 120590119909 ∙ 119889119860 120591119909119910 ∙ 119889119860 și 120591119909119911 ∙ 119889119860

va trebui să obținem eforturile 119873 119879119910 și 119879119911

Fig 311 Element de suprafață mic din secțiunea unei bare

Dacă eforturile sunt privite ca forțe exterioare și se scriu ecuațiile de

echilibru ale secțiunii (119860) se vor obține șase relații de echivalență icircntre eforturi și

tensiuni

(sum119883) = 0 rArr int 120590119909 ∙ 119889119860

119860

= 119873 (317)

(sum119884) = 0 rArr int 120591119909119910 ∙ 119889119860

119860

= 119879119910 (318)

(sum119885) = 0 rArr int 120591119909119911 ∙ 119889119860

119860

= 119879119911 (319)

(sum119872)119909= 0 rArr int(120591119909119911 ∙ 119889119860) ∙ 119910

119860

minus int(120591119909119910 ∙ 119889119860) ∙ 119911

119860

= 119872119909 rArr

rArr int(119910 ∙ 120591119909119911 minus 119911 ∙ 120591119909119910) ∙ 119889119860

119860

= 119872119909

(320)

(sum119872)119910= 0 rArr int(120590119909 ∙ 119889119860) ∙ 119911

119860

= 119872119894119910 (321)

(sum119872)119911= 0 rArr int(120590119909 ∙ 119889119860) ∙ 119910

119860

= 119872119894119911 (322)

Cele șase relații de echivalență icircntre eforturi și tensiuni constituie un pas icircnainte

icircn rezolvarea unei probleme de rezistența materialelor Aceste relații vor permite

determinarea tensiunilor maxime

Pentru a rezolva cele 6 relații de echivalență trebuie să se cunoască tensiunile și

ca funcții de punct adică funcții de forma

120590119909 = 120590119909(119909 119910 119911) 120591119909119910 = 120591119909119910(119909 119910 119911) 120591119909119911 = 120591119909119911(119909 119910 119911) (32

3)

Cunoașterea acestor funcții presupune icircnsă analizarea aspectului geometric al

problemei precum și utilizarea unor ipoteze simplificatoare care să permită simplificarea

problemelor

34 Ipoteze de bază icircn rezistenţa materialelor

Depășirea dificultăților legate de interpretarea unor fenomene specifice mecanicii

solidului deformabil a impus acceptarea unor ipoteze care să simplifice fenomenele și să

contribuie la elaborarea unor modele de calcul cicirct mai generale și cacirct mai simple Aceste

ipoteze se referă la structura materialelor şi la comportarea lor sub acţiunea forţelor

exterioare Ipotezele acceptate trebuie să fie icircn deplină concordanţă cu realitatea și să

conducă la rezultate verificate icircn practică

Funcție de aspectele la care se referă ipotezele pot fi

Ipoteze fizice (de material)

Ipoteze de calcul

341 Ipoteze fizice

Se acceptă deoarece teoriile structurale au condus la rezultate care contravin

icircncercărilor experimentale

Ipoteza mediului continuu consideră că orice domeniu elementar al corpului

este ocupat de materie adică nu se acceptă existența unor goluri sau a unor crăpături

microscopice (fisuri) Deși nu corespunde realităţii poate fi acceptată deoarece

dimensiunile corpului sunt mult mai mari decacirct dimensiunile particulelor elemantare Are

avantajul că permite utilizarea proprietăților matematice ale funcțiilor continue pentru

tensiunile și deformațiile din orice punct al corpului Ea este mai apropiată de realitate la

corpurile amorfe şi mai depărtată la cele cristaline dar conduce la rezultate satisfăcătoare

icircn calculele de rezistenţă

Ipoteza nu se poate aplica la corpurile care au goluri tăieturi (multiplu conexe)

pentru unele puncte singulare icircn care tensiunile și deformațiile tind la infinit sau icircn unele

probleme de plasticitate icircn care proprietățile de material au un rol esențial

Ipoteza izotropiei conform acestei ipoteze materialul din care este confecționat

un element de rezistență are aceleași proprietăți după orice direcție un astfel de material

este considerat izotrop Din punct de vedere macroscopic metalele pot fi considerate

izotrope deși la nivel microscopic proprietățile lor diferă de la o direcție cristalografică

la alta Orice conglomerat de cristale poate fi considerat izotrop

Există cazuri cacircnd această ipoteză a izotropiei nu se acceptă

la metalele puternic deformate după o direcție (prin laminare trefilare)

la piesele confecționate din lemn lemnul este anizotrop deoarece proprietățile sale

diferă după două direcții (icircn lungul fibrelor și perpendicular pe această direcție)

Ipoteza omogenității consideră că un corp are aceleași proprietăți icircn orice

punct al său Deși majoritatea materialelor utilizate icircn tehnică sunt eterogene la scară

micro fiind constituite din mai multe faze cu proprietăți diferite la scară macro ele pot

fi considerate omogene Omogenitatea și izotropia sunt proprietăți statistice medii care

nu se condiționează una pe cealaltă Chiar și materialele monofazice pot avea la scară

micro unele segregații care le fac eterogene

Ipoteza elasticităţii perfecte presupune că atacircta timp cacirct solicitările nu

depăşesc anumite limite materialul are o comportare elastică adică icircşi recapătă forma şi

dimensiunile iniţiale odată cu icircnlăturarea sarcinilor Icircn realitate materialele nu prezintă o

elasticitate perfectă ele avacircnd deformaţii remanente mici care icircnsă pot fi neglijate icircn

calculele de rezistenţă

Acceptarea acestei ipoteze a elasticității perfecte permite

- aplicarea relației biunivoce icircntre tensiuni și deformații relație exprimată de legea

lui Hooke ( = 119864 ∙ 휀) unde E este un factor de proporţionalitate numit modul de

elasticitate longitudinal al materialului pentru oţel 119864 = 21 ∙ 105 [119872119875119886] - acceptarea valabilității afirmației bdquolucrul mecanic efectuat de forțele exterioare

ca urmare a parcurgerii deplasărilor punctelor de aplicație se icircnmagazinează integral icircn

corp sub formă de energie de deformație energie cedată la icircndepărtarea sarcinilorrdquo

- este valabilă teoria conform căreia bdquoenergia icircnmagazinată și deformațiile depind

doar de starea inițială și finală de eforturi fără a ține cont de modul icircn care s-a ajuns la

starea finalărdquo

Icircn realitate oricacirct de mici ar fi sarcinile aplicate se produc și deformații plastice

dar acestea pot fi neglijate dacă solicitarea nu depășește anumite limite

342 Ipoteze de calcul

Ipoteza micilor deplasări bdquodeplasările datorate deformării sunt mult mai mici

decacirct dimensiunile corpurilor și ca urmare pot fi neglijate produsele dintre o deplasare și

ea icircnsăşirdquo Pentru cele mai multe corpuri deformaţiile elastice sunt de mărimi mici deci

corpurile solide sub acţiunea sarcinilor icircşi modifică foarte puţin forma iniţială Această

ipoteză este cunoscută şi sub denumirea de ipoteza menţinerii dimensiunilor iniţiale Ea

permite scrierea ecuaţiilor de echilibru ale staticii pe starea nedeformată a elementului

cacircnd nu se iau icircn considerare deplasările punctelor de aplicaţie ale forţelor care se produc

ca urmare a deformării acestuia Calculul efectuat pe schema nedeformată poartă numele

de calcul de ordinul I

Ipoteza micilor deplasări nu poate fi acceptată pentru studiul problemelor de

stabilitate sau la problemele la care nu pot fi icircndeplinite condiţiile de echilibru icircn starea

nedeformată

Calculul de ordinul II admite ipoteza micilor deplasări dar ecuaţiile de echilibru

se scriu icircnsă pentru starea deformată a elementului de rezistenţă

Calculul de ordinul III nu mai acceptă ipoteza micilor deplasări el referindu-se

la cazul deformaţiilor mari cacircnd ecuaţiile de echilibru trebuie scrise pentru starea

deformată

Chiar dacă materialul satisface legea lui Hooke icircn urma calculelor de ordinul II

se obţin de obicei relaţii neliniare icircntre sarcini şi deplasări iar pentru calculul de ordinul

III rezultă ecuaţii diferenţiale neliniare

Principiul efectului local al acțiunii sarcinilor enunțat de Barre de Saint-

Venant Acest principiu destul de folosit icircn Rezistenţa Materialelor precizează că dacă

se icircnlocuiesc forţele care acţionează asupra unui element de suprafață al unui corp

elastic printr-un alt sistem de forţe echivalent din punct de vedere static cu primul noua

distribuţie a forţelor produce la locul de aplicare diferenţe semnificative faţă de prima

dar rămacircne fără efect sau cu efect neglijabil la distanţe mari de locul de aplicare al

forţelor figura 312

Ca o cosecință o sarcină uniform distribuită figura 312a poate fi icircnlocuită cu

rezultanta ei figura 312b dacă se analizează efectul sarcinii la distanță mare de locul icircn

care se aplică sarcina

Fig 312 Principiul Saint-Venant

Icircn prima variantă figura 312a forţa 119865 se aplică pe o porțiune oarecare 119897 (sarcină

uniform distribuită) iar icircn a doua figura 312b icircntru-un punct (forţă concentrată) La

locul de aplicare a sarcinii efectul asupra barei este cu totul diferit de la o variantă la

cealaltă Icircnsă la o distanţă mare de punctul de aplicaţie spre exemplu icircn secţiunea situată

la distanţa 119886 de capătul barei sau chiar icircn icircncastrare ambele bare sunt solicitate la fel

Icircn cazul din figura 312a

119872119894(119909) =119901 ∙ 1199092

2 119909 le 119897 119872119894(119909) = 119901 ∙ 119897 ∙ (119909 minus

119897

2) 119909 gt 119897 (324)

Icircn cazul din figura 312b

119872119894(119909) = 0 119909 lt119897

2 119872119894(119909) = 119901 ∙ 119897 ∙ (119909 minus

119897

2) 119909 gt

119897

2 (325)

Se vede că pentru (119909 gt 119897) adică după depășirea locului icircn care se aplică sarcina

efectul este același

Ipoteza lui Bernoulli sau ipoteza secţiunilor plane precizează că o secţiune

plană şi normală pe axa barei icircnainte de deformare rămacircne plană şi normală pe axa

barei şi după deformare figura 313

Fig 313 Ipoteza lui Bernoulli

Ipoteza stării naturale a corpului sau ipoteza absenţei tensiunilor conform

căreia pentru un corp nesolicitat starea de tensiune şi deformaţie este nulă

Perfecţionarea mijloacelor de calcul şi de investigare pot conduce la renunţarea la

unele ipoteze sau la introducerea altora noi mai aproape de stările reale De aici rezultă

caracterul de continuă perfecţionare a metodelor Rezistenţei Materialelor

35 Coeficienţi de siguranţă Tensiuni admisibile

O piesă corespunde din punct de vedere tehnic dacă tensiunile care iau naştere icircn

interiorul piesei datorită sarcinilor aplicate nu depăşesc anumite valori limită stabilite

convenţional Aceste valori limită ale tensiunii sunt corelate cu caracteristicile mecanice

ale materialelor

Tensiunea limită utilizată icircn calculele de rezistenţă este cunoscută sub denumirea

de tensiune admisibilă sau rezistenţă admisibilă Rezistenţa admisibilă reprezintă

valoarea convenţională aleasă icircn calcul pe baza practicii pentru tensiunea maximă care

poate apare icircntr-o piesă icircn condiţii date de material şi solicitare

Rezistenţa admisibilă (120590119886 sau 120591119886) poate fi definită faţă de o stare limită

periculoasă stare care trebuie evitată deoarece poate conduce distrugere

120590119886 =120590119897119894119898119888

(326)

unde

120590119897119894119898 este tensiunea corespunzătoare stării limită periculoase

119888 estesupraunitar 119888 gt 1 și reprezintă coeficientul de siguranţă faţă de starea limită

periculoasă considerată

Alegerea unor valori inferioare pentru rezistenţa admisibilă faţă de tensiunea

corespunzătoare stării limită periculoase este necesară deoarece

cunoaşterea sarcinilor este de cele mai multe ori aproximativă şi o depăşire a

acestora este foarte posibilă

caracteristicile mecanice ale materialelor variază icircn limite destul de mari ele

fiind influenţate de mulţi factori

schema aleasă pentru calcul (aplicarea sarcinilor schematizarea structurii

ipotezele de calcul etc) depărtează modelul faţă de cel real

Pentru calculele de verificare tensiunea efectivă maximă din elementul de

rezistenţă trebuie să fie mai mică sau cel mult egală cu cea admisibilă

120590119890119891119898119886119909 le 120590119886 (327)

Valoarea rezistenţei admisibile este influenţată de foarte mulţi factori natura

materialului tratamentele termice aplicate piesei durata de funcţionare a piesei modul

de acţionare icircn timp a sarcinilor felul solicitării temperatura gradul de periculozitate

icircn cazul cedării piesei etc

De asemenea valoarea coeficientului de siguranţă se alege icircn principal ţinacircnd

seama de aceiaşi factori care influenţează şi rezistenţa admisibilă

Rezistenţele admisibile pentru cacircteva materiale sunt următoarele

pentru oțelul de uz general OL37 solicitat la icircntindere compresiune sau

icircncovoiere 120590119886 = 150 [119872119875119886] pentru lemnul de brad solicitat la

- compresiune icircn lungul fibrelor şi solicitat la icircncovoiere 120590119886 = 10 [119872119875119886] - tracţiune icircn lungul fibrelor 120590119886 = 7 [119872119875119886] - compresiune perpendiculară pe fibre 120590119886 = 15 [119872119875119886] - forfecare icircn lungul fibrelor 120591119886 = 2 [119872119875119886] - forfecare perpendiculară pe fibre 120590119886 = 45 [119872119875119886]

terenuri de fundaţie din pămacircnt uscat sau umed 120590119886 = 020 divide 025 [119872119875119886]

4 CARACTERISTICI GEOMETRICE ALE SECȚIUNILOR PLANE

41 Noţiuni introductive

Icircn relaţiile de calcul ale tensiunilor şi deformaţiilor elementelor de rezistenţă

pentru unele solicitări (icircncovoierea și torsiunea) secțiunile plane intervin atacirct prin

dimensiunile lor (aria 119860) cicirct și prin forma și poziția pe care o are secțiunea icircn raport cu

planul solicitării Mărimile care caracterizează o secțiune icircn raport cu forma și poziția față

de axele unui sistem de referință sunt denumite caracteristici geometrice de ordin

superior Aria secțiunii este caracteristica geometrică ce depinde doar de dimensiunile

geometrice ale acesteia

Să considerăm o grindă solicitată de o forță exterioară 119865 aşezată icircn două poziții icircn

raport cu planul forţei figura 41 Icircn urma aplicării forței deși avem aceeași grindă

(aceeași arie a secțiunii transversale) și aceeași forță se constată că pentru varianta din

figura 41a deformațiile sunt mult mai mari adică rezistența la icircncovoiere a grinzii din

figura 41a este mai mare decacirct icircn cazul grinzii din figura 41b Comportarea diferită se

explică prin aceea că modificarea poziţiei secţiunii transversale faţă de planul forţelor

modifică caracteristicile geometrice ale secţiunii transversale a grinzii

Fig 41 Grindă solicitată de forța 119865

Pentru realizarea calculelor de rezistenţă şi rigiditate este foarte importantă

cunoaşterea caracteristicilor geometrice ale suprafeţei secţiunii transversale a elementelor

de rezistenţă

Caracteristicile geometrice ale secţiunii transversale a unui element de rezistenţă

sunt

- aria secțiunii notată cu 119860

- momentul static icircn raport cu o axă notat 119878119911 și respectiv 119878119910

- momentul de inerție care poate fi

axial notat 119868119911 și respectiv 119868119910

centrifugal notat 119868119911119910

polar notat 119868119901

- raza de inerţie (giraţie)notată 119894119911 și respectiv 119894119910

- modulul de rezistență care poate fi

axial notat 119882119911 și respectiv 119882119910

polar notat 119882119901

42 Aria și momentul static al suprafețelor plane

Fie o suprafaţă plană de arie 119860 pe care se ia un element infinit mic de arie 119889119860 şi

un sistem de axe rectangulare 119911119874119910 figura 42 Notăm cu 119862 centrul de greutate al suprafeţei

119860 Poziţia suprafeţei elementare 119889119860 faţă de acelaşi sistem de coordonate 119911119874119910 este dată

de abscisa 119911 ordonata 119910 și raza polară

Fig 42 Suprafață plană de arie 119860

Aria suprafeţei 119860 figura 42 se defineşte ca fiind

119860 ≝ int 119889119860

119860

(41)

Aria suprafeţei este icircntotdeauna pozitivă și se măsoară icircn [1198981198982] Momentul static al suprafeţei de arie 119860 icircn raport cu axele 119874119911 și respectiv 119874119910

figura 42 sunt date de relaţiile

119878119911 ≝ int 119910 ∙ 119889119860

119860

119878119910 ≝ int 119911 ∙ 119889119860

119860

(42)

Momentul static poate fi pozitiv negativ sau nul şi se măsoară icircn [1198981198983] Coordonatele centrului de greutate ale suprafeței 119860 se detrmină cu relațiile

119910119862 ≝int 119910 ∙ 119889119860119860

119860 119911119862 ≝

int 119911 ∙ 119889119860119860

119860

(43)

Cunoscacircnd coordonatele 119910119862 și 119911119862 ale centrului de greutate 119862 al secțiunii 119860 atunci

momentele statice se pot determina cu relațiile

119878119911 ≝ int 119910 ∙ 119889119860

119860

= 119910119862 ∙ 119889119860 119878119910 ≝ int 119911 ∙ 119889119860

119860

= 119911119862 ∙ 119889119860 (44)

Aceste relații arată că momentul static al unei suprafețe icircn raport cu o axă este

egal cu produsul dintre aria suprafeței și distanța de la centrul ariei la axa respectivă

Dacă suprafaţa se poate descompune icircn 119899 suprafeţe simple la care se cunosc ariile

(1198601 1198602 ⋯ 119860119894⋯ 119860119899) și poziţiile centrelor de greutate 119862119894 faţă de sistemul de referinţă

expresiile momentelor statice capătă următoarea formă

119878119911 = sum 119910119862119894 ∙ 119860119894119899119894=1 = 119910119862 ∙ 119860 119878119910 = sum 119911119862119894 ∙ 119860119894

119899119894=1 = 119911119862 ∙ 119860 (45)

Din relaţiile (45) rezultă că poziţia centrului de greutate 119862 al unei suprafeţe

compuse poate fi determinată cu relaţiile

119910119862 = (sum119910119862119894 ∙ 119860119894

119899

119894=1

) 119860frasl 119911119862 = (sum119911119862119894 ∙ 119860119894

119899

119894=1

) 119860frasl (46)

Icircn relația (45) 119910119862119894 și respectiv 119911119862119894 reprezintă coordonatele centrelor de greutate 119862119894

ale fiecărei suprafețe simple 119860119894 icircn raport sistemul de axe 119911119874119910

Se constată (relaţia 42) că dacă axele sistemului de referinţă trec prin centrul de

greutate (119910119862 = 119911119862 = 0) momentele statice sunt nule Axele icircn raport cu care momentele

statice sunt nule şi care trec prin centrul de greutate al suprafeţei se numesc axe centrale

Observație dacă secțiunea compusă are o axă de simetrie centrul secțiunii se

găsește pe acea axă iar dacă secțiunea este dublu simetrică poziția centrului secțiunii este

la intersecția axelor de simetrie

43 Momente de inerţie

Momentele de inerţie axiale ale unei suprafețe se calculează icircn raport cu axele de

coordonate 119874119911 și respectiv 119874119910 figura 42 și se determină cu relațiile

119868119911 ≝ int 1199102 ∙ 119889119860

119860

119868119910 ≝ int 1199112 ∙ 119889119860

119860

(47)

Unde 119910 și 119911 sunt distanțele de la elementul de arie 119889119860 la cele două axe de

coordonate 119874119911 și respectiv 119874119910

Momentele de inerţie axiale se măsoară icircn [1198981198984] şi sunt icircntotdeauna pozitive (aria

119889119860 este icircntotdeauna pozitivă și este multiplicată cu patratul distanței 1199102 dacă 119868119911 sau 119868119910

sunt nule icircnseamnă ca secțiunea nu există)

Momentele de inerție axiale se calculează icircndeosebi pentru axele centrale (care

trec prin centrul secțiunii) deoarece icircn raport cu acele axe 119868119911 și 119868119910 au valori minime

Momentul de inerţie centrifugal calculat faţă ambele axe ale sistemului de

referinţă 119911119874119910 este definit de relația

119868119911119910 ≝ int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860

(48)

Momentul de inerţie centrifugal se măsoară icircn [1198981198984] şi poate fi pozitiv negativ

sau nul

Momentul de ineție centrifugal este nul 119868119911119910 = 0 dacă cel puțin una din axele 119874119911

sau 119874119910 este axă de simetrie pentru secțiune

Se consideră o suprafaţă dreptunghiulară pe care faţă de axa de simetrie 119874119910 se iau

două suprafeţe elementare de arie 119889119860 simetrice faţă de axa 119874119910 figura 43

Fig 43 Suprafață dreptunghiulară cu două arii elementare 119889119860

Făcacircnd suma momentelor de inerţie centrifugale pentru cele două suprafeţe

elementare 119889119860 (din stacircnga şi din dreapta faţă de axa 119874119910) se obţine

int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860119889119903

+ int (minus119911) ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860119904119905119892

= int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860119889119903

minus int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860119904119905119892

= 0 (49)

Acelaşi raţionament se poate face și pentru icircntreaga suprafaţă de unde obținem că

momentul de inerție centrifugal este nul 119868119911119910 = 0 Deci pentru o suprafaţă plană care

are cel puţin o axă de simetrie momentul de inerţie centrifugal faţă de sistemul care

conţine acea axă de simetrie este nul

Momentul de inerţie polar al unei suprafeţei icircn raport cu un punct (pol) 119874 figura

42 este definit prin relaţia

1198680 = 119868119901 ≝ int 1205882 ∙ 119889119860

119860

= int(1199102 + 1199112) ∙ 119889119860

119860

= 119868119911 + 119868119910 (410)

unde este distanţa de la polul 119874 la elementul de arie 119889119860 Momentul de inerţie polar se

măsoară icircn [1198981198984] şi este totdeauna pozitiv

Momentul de inerţie polar este egal cu suma momentelor de inerţie faţă de două axe

perpendiculare oarecare şi care trec prin polul considerat

Razele de giraţie sau razele de inerţie sunt mărimi calculate icircn raport cu axele

secțiunii și definite de relaţiile

119894119911 ≝ radic119868119911119860 119894119910 = radic

119868119910

119860 (411)

Se exprimă icircn [119898119898] şi sunt icircntotdeauna pozitive Semnificația unei raze de inerție

este distanța la care dacă ar fi concentrată icircntreaga arie s-ar obține același moment de

inerție ca și cel calculat pentru aria reală

44 Modulul de rezistenţă

Modulul de rezistență se calculează icircn raport cu axele de referință sau icircn raport cu

un pol figura 42 și pot fi axiale (119882119911119882119910) sau polar (119882119901) și se determină numai pe baza

momentelor de inerţie cu relațiile figura 43

119882119911119898119894119899 ≝119868119911119910119898119886119909

119882119911119898119886119909 ≝119868119911119910119898119894119899

(412)

119882119910119898119894119899 ≝119868119910

119911119898119886119909 119882119910119898119886119909 ≝

119868119910

119911119898119894119899 (413)

119882119901 ≝119868119901

120588119898119886119909 (414)

unde

119910119898119886119909 119910119898119894119899 reprezintă distanţa de la axa 119874119911 la punctele extreme cele mai

depărtate respectiv cele mai apropiate ale suprafeţei de această axă

119911119898119886119909 119911119898119894119899 reprezintă distanţa de la axa 119874119910 la punctele extreme cele mai

depărtate respectiv cele mai apropiate ale suprafeţei de această axă

120588119898119886119909 reprezintă distanța maximă de la polul 119874 la punctul secțiunii cel mai

icircndepărtat de acesta

Fig 43 Suprafață dreptunghiulară cu două arii elementare 119889119860

Modulele de rezistenţă se exprimă icircn [1198981198983] şi sunt icircntotdeauna pozitive

Explicația este aceea că momentele de inerție care intră icircn relațiile de definiție sunt

pozitive iar distanțele la punctele extreme sunt pozitive (119910119898119886119909 119910119898119894119899 119911119898119886119909 119911119898119894119899 120588119898119886119909 se

iau icircn valoare absolută)

Icircn cazul suprafeţelor compuse modulul de rezistenţă nu se obţine prin icircnsumarea

algebrică a modulelor de rezistenţă ale suprafeţelor simple componente ci numai prin

intermediul momentului de inerţie axial calculat pentru icircntreaga secțiune

Ca și momentele de inerție modulele de rezistență se calculează numai pentru

sistemele de axe centrale

45 Momente de inerţie şi module de rezistenţă pentru suprafeţe simple

451 Secțiune dreptunghiulară

Fie suprafaţa dreptunghiulară din figura 44 de icircnălțime ℎ și lățime 119887 pe care se

consideră suprafaţă elementară de arie 119889119860 = 119887119889119910 la distanța 119910 de axa 119862119911 sistemul de

axe 119911119862119910 trece prin centrul secțiunii iar axele sunt axe de simetrie pentru dreptunghi

Fig 44 Suprafață dreptunghiulară

Pe baza relațiilor de definiți a momentului de inerție 119868119911 se obține

119868119911 ≝ int 1199102 ∙ 119889119860

119860

= int 1199102 ∙ 119887 ∙ 119889119910 = 2int 1199102 ∙ 119887 ∙ 119889119910 = 2 ∙ 119887 ∙1199103

3|ℎ 2frasl

0rArr

ℎ 2frasl

0

ℎ 2frasl

minusℎ 2frasl

rArr 119868119911 =119887 ∙ ℎ3

12

(415)

Analog pentru un element de arie 119889119860 = ℎ ∙ 119889119911 paralel cu axa 119862119910 situat la distanța

119911 de axa 119862119910

119868119910 ≝ int 1199112 ∙ 119889119860

119860

= int 1199112 ∙ ℎ ∙ 119889119911 = 2int 1199112 ∙ ℎ ∙ 119889119910 = 2 ∙ ℎ ∙1199113

3|119887 2frasl

0rArr

119887 2frasl

0

119887 2frasl

minus119887 2frasl

rArr 119868119910 =1198873 ∙ ℎ

12

(416)

Deoarece axele 119862119911 și 119862119910 sunt axe de simetrie momentul de inerție centrifugal este

119868119911119910 = 0 (417)

Pentru un pătrat avacircnd laturile egale (ℎ = 119887 = 119886) momentele de inerţie faţă de

axele centrale au expresia

119868119911 = 119868119910 =1198864

12 (418)

Modulele de rezistență axiale se calculează cu relațiile de definiție ținacircnd cont că

distanțele pacircnă la fibrele extreme sunt

119910119898119886119909 = 119910119898119894119899 =ℎ

2 119911119898119886119909 = 119911119898119894119899 =

119887

2 (419)

Obținem

119882119911119898119894119899 = 119882119911119898119886119909 =119868119911

119910119898119886119909119898119894119899=119887 ∙ ℎ3

12frasl

ℎ2frasl

=119887 ∙ ℎ2

6

119882119910119898119894119899 = 119882119910119898119886119909 =119868119910

119911119898119886119909119898119894119899=1198873 ∙ ℎ

12frasl

1198872frasl

=1198872 ∙ ℎ

6

(420)

452 Suprafaţă circulară

Din motive de simetrie pentru suprafeţele circulare momentele de inerţie faţă de

orice diametru (care reprezintă şi axe centrale) sunt aceleaşi

Considerăm o secțiune circulară plină cu diametrul 119889 și centrul de greutate 119862 Prin

centrul de greutate 119862 trece sistemul de axe ortogonal 119911119862119910 figura 45

Fig 45 Suprafață circulară

La distanța de centrul de greutate 119862 vom lua un element de suprafață mic de arie

(119889119860) de forma unui inel de grosime 119889 Elementul de arie 119889119860 are expresia

119889119860 = (2 ∙ 120587 ∙ 120588) ∙ (119889120588)

Pornind de la relația de definiție a momentului de inerție polar obținem

119868119901 ≝ int 1205882 ∙ 119889119860

119860

= int 1205882 ∙ (2 ∙ 120587 ∙ 120588) ∙ 119889120588

119903=119889 2frasl

0

= 2 ∙ 120587 ∙1205884

4|119889 2frasl0 rArr

rArr 119868119901 =120587 ∙ 1198894

32

(421)

Secțiunea este perfect simetrică deci sunt valabile relațiile

119868119911 = 119868119910 rArr 119868119901 = 119868119911 + 119868119910 = 2 ∙ 119868119911 = 2 ∙ 119868119910 =119868119901

2=120587 ∙ 1198894

64 (422)

Și modulele de rezistenţă faţă de orice diametru sunt egale şi se calculează cu

relaţiile

119882119911 = 119882119910 =1198681199111198892frasl=120587 ∙ 1198893

32 (423)

Modulul de rezistenţă polar este

119882119901 =1198681199011198892frasl=120587 ∙ 1198893

16 (424)

453 Secţiune inelară

Calculul momentelor de inerţie axiale pentru o secţiune inelară avacircnd diametrul

interior 119889 şi diametrul exterior 119863 se determină analog pentru suprafaţa circulară plină cu

observaţia că integrala pentru calculul momentului de inerție polar 119868119901 se face icircntre

limitele 119903 = 119889 2frasl şi R= 1198632frasl (icircntre raza interioară 119903 şi raza exterioară 119877) figura 46

Se obţin relaţiile

119868119901 =120587 ∙ 1198634

32∙ [1 minus (

119889

119863)4

] =120587 ∙ 1198634

32∙ (1 minus 1198964) (425)

119868119910 = 119868119910 =120587 ∙ 1198634

64∙ [1 minus (

119889

119863)4

] =120587 ∙ 1198633

64∙ (1 minus 1198964) (426)

Fig 46 Secțiune inelară

119882119901 =120587 ∙ 1198633

16∙ [1 minus (

119889

119863)4

] =120587 ∙ 1198633

16∙ (1 minus 1198964) (427)

119882119911 = 119882119910 =120587 ∙ 1198633

32∙ [1 minus (

119889

119863)4

] =120587 ∙ 1198633

32∙ (1 minus 1198964) (428)

unde 119896 = 119889119863frasl

46 Variaţia momentelor de inerţie faţă de axe paralele

( Relațiile lui STEINER)

Se consideră o suprafaţă oarecare de arie 119860 cu elementul de arie 119889119860 și un sistemul

de axe central 119911119862119910 faţă de care se cunosc momentele de inerţie 119868119911 119868119910 119868119911119910 şi considerăm

un sistem de axe 11991111198741199101 paralele cu sistemul central figura 47 Se pune problema

determinării momentele de inerţie 1198681199111 1198681199101 11986811991111199101 faţă de sistemul de axe paralel cu sistemul

central 11991111198741199101 axe aflate la distanţele 119910119862 = 119888 respectiv 119911119862 = 119889 de acesta

461 Momente de inerţie axiale

Pe baza relaţiilor de definire şi a notaţiilor din figura 42 pentru momentele de

inerţie faţă de axele 1198741199111 1198741199101 se poate scrie

1198681199111 = int 11991012 ∙ 119889119860

119860

= int(119910 + 119888)2 ∙ 119889119860

119860

= int 1199102 ∙ 119889119860

119860

+ 2 ∙ 119888 ∙ int 119910 ∙ 119889119860

119860

+

+1198882int 119889119860

119860

rArr 1198681199111 = 119868119911 + 2 ∙ 119888 ∙ 119878119911 + 1198882 ∙ 119860 hArr 1198681199111 = 119868119911 + 119888

2 ∙ 119860

(429)

Fig 47 Variaţia momentelor de inerţie față de axe paralele

S-a ajuns la relația (429) deoarece momentul static 119878119911 este nul deoarece axa 119862119885

este axă centrală

Pentru momentul de inerție axial icircn raport cu axa 1198741199101 se obține

1198681199101 = int 11991112 ∙ 119889119860

119860

= int(119911 + 119889)2 ∙ 119889119860

119860

= int 1199112 ∙ 119889119860

119860

+ 2 ∙ 119889 ∙ int 119911 ∙ 119889119860

119860

+

+1198892 ∙ int 119889119860

119860

rArr 1198681199101 = 119868119910 + 2 ∙ 119889 ∙ 119878119910 + 1198892 ∙ 119860 hArr 1198681199101 = 119868119910 + 119889

2 ∙ 119860

(430)

Pentru momentul de inerție centrifugal obținem

11986811991111199101 = int 1199101 ∙ 1199111 ∙ 119889119860

119860

= int(119910 + 119888) ∙ (119911 + 119889) ∙ 119889119860

119860

= int 119910 ∙ 119911 ∙ 119889119860 +

119860

+119888 ∙ int 119911 ∙ 119889119860

119860

+ 119889 ∙ int 119910 ∙ 119889119860

119860

rArr 11986811991111199101 = 119868119911119910 + 119888 ∙ 119889 ∙ 119860

(431)

Deoarece

int 119911 ∙ 119889119860

119860

= 119878119910 = 0 int 119910 ∙ 119889119860

119860

= 119878119911 = 0 int 119910 ∙ 119911 ∙ 119889119860

119860

= 119868119911119910

Relaţiile (429) şi (430) arată că momentul de inerţie faţă de o axă oarecare

este egal cu momentul de inerţie faţă de o axă paralelă cu ea trecacircnd prin centrul de

greutate la care se adaugă produsul dintre aria suprafeţei şi pătratul distanţei dintre

cele două axe

Din relaţiile (429) și (430) rezultă de asemenea că momentul de inerţie faţă de o

axă centrală (care trece prin centrul de greutate) este cel mai mic dintre infinitatea de

momente de inerţie obținute faţă de alte axe paralele cu ea

Relaţia (431) arată de asemenea că momentul de inerţie centrifugal faţă de un

sistem de axe oarecare este egal cu momentul de inerţie centrifugal faţă de un sistem

paralele cu el trecacircnd prin centrul de greutate a suprafeţei la care se adaugă produsul

dintre aria suprafeţei şi distanţele dintre axele sistemelor respective

Icircn literatura de specialitate relaţiile (429) (430) şi (431) sunt cunoscute sub

numele de relaţiile lui Steiner

47 Variaţia momentrlor de inerţie faţă de axe rotite

Direcţii principale şi momente de inerţie principale

Fie suprafaţa plană din figura 48 de arie 119860 pe care considerăm o suprafaţă

elementară de arie 119889119860 Pentru sistemul de axe 119911119874119910 se cunosc momentele de inerţie

119868119911 119868119910 119868119911119910 şi vom determina relaţiile de calcul pentru momentele de inerţie afererent unui

sistem de axe 11991111198741199101 rotit cu un unghi faţă de sistemul central

Faţă de sistemul de axe 11991111198741199101 elementul de arie 119889119860 are coordonatele

1199101 = 119875119877 = 119875119876 minus 119877119876 = 119910 ∙ cos 120572 minus 119911 ∙ sin 120572

1199111 = 119873119872 = 119873119875 minus 119875119872 = 119911 ∙ cos 120572 + 119910 ∙ sin 120572 (432)

Fig 47 Variaţia momentelor de inerţie față de axe rotite

Pe baza relaţiilor de calcul ale momentelor de inerţie şi a notaţiilor din figura 42

şi ale relaţiilor (432) momentele de inerţie faţă de sistemul de axe rotit 11991111198741199101 sunt

1198681199111 =119868119911 + 119868119910

2+119868119911 minus 119868119910

2∙ cos 2120572 minus 119868119911119910 ∙ sin 2120572 (433)

1198681199101 =119868119911 + 119868119910

2minus119868119911 minus 119868119910

2∙ cos 2120572 + 119868119911119910 ∙ sin 2120572 (434)

11986811991111199101 =119868119911 minus 119868119910

2∙ sin 2120572 + 119868119911119910 ∙ cos 2120572 (435)

Din relaţiile 433divide435 se observă că icircntre momentele de inerţie axiale şi cele

polare există relaţia

1198681199111 + 1198681199101 = 119868119911 + 119868119910 = 119868119901 (436)

adică suma momentelor de inerţie axiale icircn raport cu orice pereche de axe ortogonale

care trec printr-un pol dat este o constantă şi egală cu momentul de inerţie polar

Prin rotirea sistemului de axe din relaţiile 433divide435 rezultă că momentele de inerţie

variază icircnsă suma lor rămacircne constantă deci există o poziţie a sistemului de axe pentru

care momentele de inerţie au valori extreme maxim respectiv minim

471 Direcţii principale de inerţie

Valoarea unghiului 120572 pentru care momentele de inerţie axiale au valori extreme

este

1205721 =1

2∙ 119886119903119888119905119886119899 (minus

2 ∙ 119868119911119910

119868119911 minus 119868119910) (437)

Poziţia celeilalte direcţii este perpendiculară pe cea dată de unghiul 1205721

Din relaţia (437) se constată că faţă de aceste direcţii rotite pentru care momentele

de inerţie axiale prezintă valori extreme momentul de inerţie centrifugal 11986811991111199101este nul

Atunci se poate afirma că momentele de inerţie axiale au valori extreme icircn raport cu

direcţiile faţă de care momentul de inerţie centrifugal este nul Aceste direcţii se numesc

direcţii principale iar momentele de inerţie faţă de aceste direcţii poartă numele de

momente de inerţie principale

Icircn calculele de rezistenţă interesează icircn mod special poziţia direcţiilor principale

care trec prin centrul de greutate al suprafeţei aşa numitele direcţii principale centrale şi

evident momentele de inerţie principale centrale

Direcţiile principale de inerţie se notează cu 1 respectiv 2 Axa principală 1

corespunde direcţiei faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea maximă iar

axa principală 2 pentru direcţia faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea

minimă

472 Momente de inerţie principale

Momentele de inerţie principale se notează cu litera 119868 la care se pune indicele 1

sau 2 după cum valoarea acestuia este maximă sau minimă deci avem un moment de

inerţie principal 1 (notat 1198681) respectiv moment de inerţie principal 2 (notat 1198682)

Expresiile pentru momentele de inerţie principale sunt

11986812 =119868119911 + 119868119910

2plusmn1

2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)

2+ 4 ∙ (119868119911119910)

2 (438)

Dacă momentul de inerţie centrifugal este negativ (119868119911119910 lt 0) direcţia principală

care trece prin primul cadran (definit de sistemul 119911119862119910) este direcţia principală 120783

Pentru suprafeţele cu cel puţin o axă de simetrie direcţiile centrale 119862119911 119862119910 sunt şi

direcții principale de inerţie și evident momentele de inerţie axiale 119868119911 119868119910 sunt momente

de inerţie principale

48 Caracteristici mecanice ale metalelor

Alegerea materialului pentru confecţionarea unei anumite piese se face şi pe baza

aşa numitelor caracteristici mecanice pe care le prezintă materialul Cunoaşterea acestor

caracteristici mecanice are loc numai pe baza unor icircncercări mecanice care să scoată icircn

evidenţă comportarea materialului icircn condiţii de solicitare

Cea mai utilizată icircncercare icircn urma căreia se pun icircn evidenţă caracteristicile

mecanice ale unui material este icircncercarea la tracţiune

481 Icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general

Icircncercarea la tracţiune a oţelului ca de altfel toate icircncercările de materiale este

standardizată

Icircn cele ce urmează se va prezenta numai partea care interesează strict din punct

de vedere al caracteristicilor mecanice ale oţelului

Epruveta de diametru iniţial 1198890 pentru icircncercarea la tracţiune are o porţiune de

lungime 1198710 numită baza de măsurare pe care se măsoară lungirea acesteia sub acţiunea

solicitării

Icircn funcţie de raportul dintre baza de măsurare 1198710 şi diametrul iniţial 1198890 epruvetele

utilizate pentru icircncercări sunt

epruvete normale (scurte) cacircnd 11987101198890 = 5

epruvete lungi cacircnd 11987101198890 = 10

Icircn timpul icircncercării la diferite valori ale forţei 119865 se măsoară lungirea bazei de

măsurare

∆119871 = 120575 = 119871 minus 1198710 (439)

unde

119871 este dimensiunea bazei de măsurare la un moment dat

Curba forţă-lungire (119865 minus ) icircnregistrată icircn urma icircncercării reprezintă curba

caracteristică la tracţiune

La icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general diagrama caracteristică care se

obţine are forma din figura 48

Curba caracteristică la tracţiune depinde de lungimea bazei de măsurare Pentru

icircnlăturarea acestui neajuns curba caracteristică se reprezintă icircn coordonate şi definite

astfel

120590 =119865

1198600 휀 =

120575

1198710 (440)

unde

1198600 este aria iniţială a secţiunii transversale a epruvetei (icircnainte de solicitare) icircn

zona bazei de măsurare

1198600 =120587 ∙ 1198890

2

4

Deoarece mărimile icircn care se reprezintă curba caracteristică la tracţiune sunt

raportate la aria iniţială a secţiunii transversale (mărimi specifice) curba poartă numele

de curbă caracteristică convenţională la tracţiune

Fig 48 Curba caracteristică convenţională la tracțiune

Pe curba caracteristică convenţională la tracţiune figura 48 se pot stabili o serie

de puncte cărora le corespund mai multe mărimi importante

Ordonata punctului A pacircnă unde curba caracteristică convenţională este linie

dreaptă se numeşte limita de proporţionalitate a materialului 120590119901(1205901) Porţiunea 119874119860 este

zona de proporţionalitate a curbei caracteristice pe acest domeniu este valabilă legea lui

Hooke care exprimă o proporţionalitate icircntre tensiune şi deformaţie specifică

120590 = 119864 ∙ 휀 (441)

unde

119864 = reprezintă panta porţiunii liniare a curbei convenționale caracteristice

la tracțiune Caracteristica de material 119864 se numeşte modul de elasticitate longitudinal

(modulul lui Young)

Ordonata punctului 119861 pacircnă unde materialul se comportă perfect elastic adică

după descărcare icircşi recapătă dimensiunea iniţială 1198710 se numeşte limita de elasticitate

120590119890(119877119890) Icircn realitate nici un material nu are comportare perfect elastică sub acţiunea

solicitărilor el capătă deformaţii permanente (remanente plastice)

După punctul 119861 urmează o porţiune 119861119862119863 icircn care cu toate că icircncărcarea

continuă forţa nu mai creşte avacircnd mici oscilaţii icircn jurul unei valori Se spune că icircn

această porţiune materialul curge iar intervalul 119861119862119863 este un palier de curgere Tensiunea

corespunzătoare palierului de curgere se numeşte limită de curgere aparentă 120590119888(119877119888) Limita de curgere aparentă se calculează cu relaţia

120590119888 =1198651198881198600 (442)

unde

119865119888 reprezintă valoarea forţei icircnregistrată icircn momentul curgerii materialului

După punctul 119863 curba caracteristică are un traseu ascendent pacircnă icircn punctul 119864

Porţiunea 119863119864 este numită zonă de icircntărire (ecruisare) Icircn zona de ecruisare unde se

produc deformaţii plastice semnificative legea lui Hooke nu mai este valabilă La

descărcare relaţia dintre tensiunea şi deformaţia specifică este liniară paralelă cu

porţiunea liniară a curbei caracteristice (dreapta 119872119873)

Deformaţia totală (휀119905) are două componente una elastică (휀119890) şi una plastică (휀119901)

Ordonata punctului 119864 reprezintă rezistenţa de rupere 120590119903(119877119898) a materialului

care se poate calcula cu relaţia

120590119903 = 119877119898 =1198651198981198861199091198600

(443)

unde

119865119898119886119909 reprezintă valoarea maximă a forţei icircnregistrată icircn timpul icircncercării

La atingerea valorii 119865119898119886119909 (punctul 119864) icircntr-un anumit loc al epruvetei secţiunea

icircncepe să se micşoreze (se produce gacirctuirea) continuacircnd pacircnă cacircnd se produce ruperea

totală (punctul 119865)

Dacă după ruperea epruvetei cele două părţi rezultate se aşează cap la cap şi se

măsoară dimensiunea bazei de măsurare 119871119906 (lungimea ultimă) se determină alungirea la

rupere sau lungirea specifică la rupere 휀119903

휀119903 =119871119906 minus 11987101198710

=∆119871

1198710=120575

1198710 (444)

De obicei alungirea se exprimă icircn procente şi se notează cu 119860119899 unde 119899 reprezintă

numărul dat de raportul 11987101198890 (epruvete normale 119899 = 5 epruvete lungi 119899 = 10)

119860119899 =119871119906 minus 11987101198710

∙ 100 [] (445)

Altă mărime care se determină la icircncercarea la tracţiune este gacirctuirea la rupere

(exprimată de obicei icircn procente) şi definită de relaţia

119885 =1198600 minus 1198601199061198600

∙ 100 [] (446)

Mărimile determinate limita de proporţionalitate modulul de elasticitate

longitudinal limita de elasticitate limita de curgere aparentă rezistenţa de rupere

alungirea la rupere şi gacirctuirea la rupere sunt cunoscute ca fiind caracteristici mecanice

ale materialului

Din curba caracteristică convenţională observăm faptul că ruperea (punctul 119865 din

figura 48 se produce la o tensiune mai mică decacirct cea corespunzătoare punctului 119864 Dacă

icircnsă forţa din timpul icircncercării s-ar raporta la aria secţiunii din momentul icircnregistrării

forţei (care este mai mică decacirct cea iniţială 1198600) s-ar obţine aşa numita curbă

caracteristică reală a materialului (traseul 1198741198601198611198621198631198651 din figura 48) La curba

caracteristică reală ruperea se produce icircn punctul 1198651 la o icircncărcare mai mare decacirct cea

corespunzătoare punctului 119864 Icircnseamnă că rezistenţa reală la rupere este mai mare decacirct

rezistenţa la rupere dată de punctul 119864 din diagrama caracteristică convenţională

Dificultatea obţinerii diagramei caracteristice reale faţă de cea a diagramei caracteristice

convenţionale şi considerarea unei rezistenţe la rupere mai mică decacirct a celei reale face

icircn practică utilizarea pe scară mare a diagramei caracteristice convenţionale

Caracteristicile mecanice determinate pe baza curbei caracteristice convenţionale

sunt şi ele caracteristici mecanice convenţionale

Caracteristicile mecanice convenţionale limita de proporţionalitate convenţională

120590119901 limita de elasticitate convenţională 120590119890 limita de curgere convenţională 120590119888 şi rezistenţa

de rupere 120590119903 constituie tensiuni limită pentru un material Pe baza acestor caracteristici

de material se alege valoarea tensiunii admisibile 120590119886 (vezi paragraful 35) pentru

calculele de rezistenţă Cea mai utilizată stare limită pentru stabilirea tensiunii admisibile

120590119886 este limita de curgere convenţională 120590119888

120590119886 =120590119897119894119898119888

=120590119888119888 119904119886119906 120590119886 =

120590119903119888 (447)

Caracteristicile mecanice ale materialului sunt influenţate de o serie de factori

temperatura viteza de solicitare factorii tehnologici iar valorile lor sunt date icircn tabele și

diagrame

Aplicaţie Pentru suprafaţa plană compusă din două dreptunghiuri avacircnd

dimensiunile din figura 49a să se calculeze

a) centrul de greutate al secțiunii compuse 119910119866 119911119866

b) momentele de inerție axiale 119868119911 119868119910 și momentul de inerție centrifugal 119868119911119910

c) razele de inerție 119894119911 119894119910

d) modulele de rezistență 119882119911119898119894119899 119882119911119898119886119909 119882119910119898119894119899 119882119910119898119886119909

e) momentele de inerție principale 1198681 1198682 și direcțiile principale de inerție 1205721

f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 119878119911

Fig 49 Aplicație

Rezolvare Pentru rezolvare vom parcurge următoarele etape

icircmpărțim suprafața compusă icircn două suprafețe simple (dreptunghiuri) notate cu

① și respectiv ② figura 49b

poziționăm centrele de greutate a celor două suprafețe simple ① și respectiv ②

notate cu 1198661 și respectiv 1198662 figura 49c

poziționăm sistemele de axe de coordonate 119911111986611199101 pentru dreptunghiul ① și

119911211986621199102 pentru dreptunghiul ② aflate la intersecția diagonalelor figura 49c

poziționăm sistemele de axe de coordonate 11991101198741199100 ales arbitrar față de care

determinăm poziția centrului de greutate 119866 figura 49c

a) calculăm poziția centrului de greutate folosind relațiile (46) icircn care

1198601 = 6119905 ∙ 119905 = 61199052 1198602 = 4119905 ∙ 119905 = 41199052 119860 = 1198601 + 1198602 = 61199052 + 41199052 = 101199052

iar centrele de greutate 1198661 și respectiv 1198662 au coordonatele (față de sistemul 11991101198741199100)

1198661 1199101 = 3119905 1199111 = 05119905

1198662 1199102 = 051199051199112 = 3119905

cu acestea obținem

119910119866 =1198601 ∙ 1199101 + 1198602 ∙ 1199102

119860=61199052 ∙ 3119905 + 41199052 ∙ 05119905

101199052=201199053

101199052= 2119905

119911119866 =1198601 ∙ 1199111 + 1198602 ∙ 1199112

119860=61199052 ∙ 05119905 + 41199052 ∙ 3119905

101199052=151199053

101199052= 15119905

Poziționăm centrul de greutate 119866 al suprafeței compuse figura 49c

Fig 49 Aplicație

b) pentru determinarea momentelor de inerție axiale 119868119911 119868119910 și a momentului de

inerție centrifugal 119868119910119911 determinăm constantele 1198881 1198882 1198891 1198892 care intervin icircn relația lui

Stainer

1198881 = 1199101 minus 119910119866 = 3119905 minus 2119905 = 119905 1198882 = minus(119910119866 minus 1199102) = minus(2119905 minus 05119905) = minus15119905

1198891 = minus(119911119866 minus 1199111) = minus(15119905 minus 05119905) = minus119905 1198892 = 1199112 minus 119911119892 = 3119905 minus 15119905 = 15119905

Folosind relațiile lui Stainer (429) (430) și (431) calculăm momentele de

inerție axiale și centrifugale față de sistemul central 119911119866119866119910119866

119868119911 =sum(119868119911119894 + 1198881198942 ∙ 119860119894) = 1198681199111 + 1198881

2 ∙ 1198601 + 1198681199112 + 11988822 ∙ 1198602

119868119910 =sum(119868119910119894 + 1198891198942 ∙ 119860119894) = 1198681199101 + 1198891

2 ∙ 1198601 + 1198681199102 + 11988922 ∙ 1198602

119868119911119910 =sum(119868119911119894119910119894 + 119888119894 ∙ 119889119894 ∙ 119860119894) = 11986811991111199101 + 1198881 ∙ 1198891 ∙ 1198601 + 11986811991121199102 + 1198882 ∙ 1198892 ∙ 1198602

1198681199111 = (119887 ∙ ℎ3

12) =

119905 ∙ (6119905)3

12= 181199054 1198681199112 = (

119887 ∙ ℎ3

12) =

4119905 ∙ 1199053

12= 031199054

1198681199101 = (1198873 ∙ ℎ

12) =

1199053 ∙ 6119905

12= 051199054 1198681199102 = (

1198873 ∙ ℎ

12) =

(4119905)3 ∙ 119905

12= 531199054

11986811991111199101 = 11986811991121199102 = 0 deoarece cele două triunghiuri au cel puțin o axă de simetrie

Cu acestea momentele de inerție axiale și momentul de inerție centrifugal devin

119868119911 = 181199054 + 1199052 ∙ 61199052 + 031199054 + (minus15119905)2 ∙ 41199052 = 3331199054

119868119910 = 051199054 + (minus119905)2 ∙ 61199052 + 531199054 + (15119905)2 ∙ 41199052 = 2081199054

119868119911119910 = 0 + 119905 ∙ (minus119905) ∙ 61199052 + 0 + (minus15119905) ∙ (15119905) ∙ 41199052 = minus151199054

c) razele de inerție sau de girație față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910

se calculează cu relațiile (411)

119894119911 = radic119868119911119860= radic

3331199054

101199052= 182119905 119894119910 = radic

119868119910

119860= radic

2081199054

101199052= 144119905

d) modulele de rezistență față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910 se

calculează cu relațiile (412) și (413)

Avacircnd icircn vedere figura 419c obținem

119910119898119886119909 = 6119905 minus 119910119866 = 6119905 minus 2119905 = 4119905 119910119898119894119899 = minus119910119866 = minus2119905

119911119898119886119909 = 5119905 minus 119911119866 = 5119905 minus 15119905 = 35119905 119911119898119894119899 = minus119911119866 = minus15119905

Se obține astfel

119882119911119898119894119899 =119868119911

|119910119898119886119909|=3331199054

4119905= 8331199053

119882119911119898119886119909 =119868119911

|119910119898119894119899|=3331199054

2119905= 16651199053

119882119910119898119894119899 =119868119910

|119911119898119886119909|=2081199054

35119905= 5941199053

119882119910119898119886119909 =119868119910

|119911119898119894119899|=2081199054

15119905= 13871199053

e) momentele de inerție principale 1198681 și respectiv 1198682 se calculează cu relațiile

(438)

11986812 =119868119911 + 119868119910

2plusmn1

2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)

2+ 4 ∙ (119868119911119910)

2=

=3331199054 + 2081199054

2plusmn1

2∙ radic(3331199054 minus 2081199054)2 + 4 ∙ (minus151199054)2 = 27051199054 plusmn 16251199054

De unde obținem

1198681 = 27051199054 + 16251199054 = 4331199054

1198682 = 27051199054 minus 16251199054 = 1081199054

Prima direcție principală de inerție 1 face cu axa centrală 119866119911 unghiul 1205721 dat de

relația (437)

1205721 =1

2∙ arctan (minus

2 ∙ 119868119911119910

119868119911 minus 119868119910) =

1

2∙ arctan [minus

2 ∙ (minus151199054)

3331199054 minus 2081199054] =33 70

Deoarece 1205721 gt 0 rotirea axelor se face acircn sens antiorar acelor de ceasornic figura

49d

Poziția axe principale 2 față de care momentul de inerție are valoarea minimă

1198682 = 119868119898119894119899 este dată de unghiul

1205722 = 1205721 + 900 = 33 70 + 900 = 123 70

f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 se determină cu relația

(45)

1198781199111198602 = 1198602 ∙ 1198882 = 41199052 ∙ (minus15119905) = minus61199053

119894119889 = minus119890119889

119894119889 = minus119890119889

119894119904 = minus119890119889

119894119904 = minus119890119904 (22)

Combinacircnd (21) cu (22) rezultă

119894119889 = 119890119889

119894119889 = 119890119889

119894119904 = 119890119904

119894119904 = 119890119904 (23)

Fig 210 Forțe interioare

Relațiile (22) și (23) permit determinarea componentelor torsorului de reducere

al forțelor interioare din (23) rezultă componentele torsorului forțelor interioare care

acționează icircn secțiunea Ad sunt egale cu componentele torsorului de reducere al forțelor

exterioare de pe partea din stacircnga din (22) rezultă componentele torsorului forțelor

interioare care acționează icircn secțiunea Ad sunt egale și de sens contrar cu componentele

torsorului de reducere al forțelor exterioare de pe partea din dreapta

Observații

1 Torsorul forțelor interioare diferă de la o secțiune la alta dar pentru aceeași

secțiune el este unic și trebuie să respecte condițiile de compatibilitate a deformațiilor

2 Reducacircnd forțele interioare icircn centrul de greutate al secțiunii s-a făcut o

aproximare icircn ceea ce privește efectul modului de dispunere al forțelor

3 Punctul de reducere trebuie să fie

pentru forțele interioare normale la secțiune centrul de greutate

pentru forțele interioare tangente la planul secțiunii centrul de răsucire sau de

tăiere

243 Eforturi

Prin metoda secțiunilor am pus icircn evidență existența forțelor interioare și modul

icircn care se determină componentele torsorului de reducere al forțelor interioare (119894119889 119894119889) de pe fața din dreapta secțiunii (Ad) Cele două componente ale torsorului de reducere al

forțelor interioare de pe Ad se pot descompune după axele unui sistem de referință

triortogonal xCyz astfel

119894119889 = +

119894119889 = 119909 +119872119894 (24)

unde și 119909 sunt proiecțiile lui 119894119889 și respectiv 119894119889 pe axa longitudinală Cx a

barei iar și 119894 sunt proiecțiile acelorași componente 119894119889 și respectiv 119894119889 pe planul yCz

al secțiunii transversale Ad figura 211

Fig 211 Torsorul de reducere al forţelor interioare

La racircndul lor și 119894 se pot descompune după axele sistemului yCz figura 212

= 119910 + 119911

119894 = 119894119910 + 119894119911 (25)

Fig 212 Descompunerea forţei tăietoare şi a momentului icircncovoietor

Cele șase componente ale torsorului de reducere al forțelor interioare ( 119910 119911

119909 119894119910 119894119911) orientate după axele sistemului de referință xCyz se numesc eforturi

Fiecare efort are o denumire stabilită icircn funcție de tipul de deformație pe care-l produce

De asemenea semnul plus (bdquo+rdquo) sau minus (bdquondashrdquo) al fiecărui efort nu depinde de sensul

pozitiv sau negativ al sistemului de axe ci doar de efectul icircn deformații al fiecărui efort

Denumirile celor șase eforturi sunt

119873 este forța axială

119879119910 119879119911 sunt forțe tăietoare orientate după axele Cy și respectiv Cz

119872119909 notat de cele mai multe ori cu 119872119905 este moment de torsiune sau de răsucire

119872119894119911 119872119894119910 sunt momente de icircncovoiere icircn jurul axei Cz și respectiv Cy

Forța axială 119873 poate fi forță axială de icircntindere cacircnd produce o lungire a

tronsonului pe a cărei față acționează (119873 gt 0) figura 213a sau forță axială de

compresiune cacircnd sub efectul ei bara se scurtează (119873 lt 0) figura 213b

Fig 213 Forța axială

Forțele tăietoare 119879119910 și 119879119911 au ca efect lunecarea secțiunii icircn centrul căreia

acționează icircn raport cu secțiunea icircnvecinată lunecare ce se produce pe direcția și icircn sensul

forței Sub acțiunea unei forțe tăietoare bara este solicitată la forfecare Forța tăietoare

este pozitivă 119879119910 gt 0 dacă icircn raport cu un punct oarecare K de pe axa Cx a barei tinde să

rotească secțiunea pe care acționează icircn sens orar

Fig 214 Forța tăietoare

Momentele de icircncovoiere 119872119894119911 și 119872119894119910 au ca efect o rotire a secțiunii icircn centrul

cărora acționează icircn jurul axei după care sunt orientate Icircn figura 215a se vede că

datorită momentului 119872119894119911 fibrele de deasupra axei Cz se alungesc icircn timp ce fibrele de sub

axa Cz se scurtează Fibrele care trec prin axa de icircncovoiere Cz nu se deformează sunt

fibre neutre la icircncovoiere adică axa neutră este Cz Icircn cazul momentului de icircncovoiere

119872119894119910 fibrele care nu se deformează sunt cele care trec prin axa neutră la icircncovoiere Cy

Momentele de icircncovoiere se consideră a fi pozitive (119872119894119911 gt 0119872119894119910 gt 0) dacă

observatorul care privește bara deformată vizualizează fibrele icircntinse

Fig 215 Momentul icircncovoietor

Momentul de torsiune sau de răsucire 119872119909 equiv 119872119905 are ca efect o rotire a secțiunii

icircn al cărei centru acționează icircn jurul axei longitudinale Cx Ca efect secțiunea icircși schimbă

forma (se deformează) adică unghiurile inițiale se modifică dreptunghiul inițial Ad

devine paralelogram Convențional se consideră 119872119905 gt 0 dacă vectorul moment are

aceeași orientare ca și sensul pozitiv ales pextru axa Cx Icircn figura 216 momentul este

negativ

Fig 216 Momentul de torsiune

25 Definiții și convenții de semne pentru eforturile

din secțiunile unei bare drepte plane icircncărcate cu sarcini coplanare

Vom considera o bară plană icircncărcată cu un sistem de forțe arbitrar figura 217

Ne propunem să determinăm eforturile care apar icircn secțiunea barei aflată la distanța 119909 de

reazemul din stacircnga (A)

Pentru aceasta vom aplica metoda secțiunilor vom secționa bara cu un plan

perpendicular pe axa longitudinală a barei și vom analiza doar partea din dreapta secțiunii

mărginită de fața Ad Pentru ca această porțiune de bară să fie icircn echilibru sub acțiunea

forțelor exterioare care acționează asupra sa 1198653 și 119881119861 va trebui să introducem icircn centrul

secțiunii Ad eforturile care pot să apară 119873 119879119910 119872119894119911 Acțiunea acestor eforturi trebuie să

fie echivalentă cu acțiunea forțelor exterioare aplicate pe partea icircnlăturată (parcursă) a

barei 119867119860 119881119860 1198651 1198652 1198720

Deoarece bara este plană și este icircncărcată doar cu sarcini ce aparțin

planului barei

icircn secțiunea Ad apar doar 3 componente ale torsorului de reducere al forțelor

interioare (eforturi)

- 119873 = forța axială

- 119879119910 = forța tăietoare pe care o vom nota cu 119879

- 119872119894119911 = momentul icircncovoietor notat cu Mi

Fig 217 Bară plană icircncărcată cu un sistem de forțe

Vom prezenta următoarele definiții corespunzătoare eforturilor din secțiunea Ad

119873 = forța axială dintr-o secțiune este egală cu suma algebrică a proiecțiilor pe

axa longitudinală a tuturor forțelor exterioare (sarcini și reacțiuni) aplicate pe partea

din stacircnga secțiunii adică pe porțiunea parcursă Forța axială 119873 este pozitivă dacă trage

de tronsonul pe a cărei față acționează (are orientarea normalei exterioare la secțiunea

Ad)

119873(119909) = minus119867119860 + 1198651119867 (26)

119879 = forța tăietoare icircntr-o secțiune este egală cu suma algebrică a proiecțiilor

pe o axă perpendiculară pe axa barei a tuturor forțelor exterioare (sarcini și reacțiuni)

aplicate pe porțiunea de bară aflată icircn stacircnga secțiunii considerate Forța tăietoare 119879

este pozitivă dacă tinde să rotească tronsonul pe a cărui față acționează icircn sens orar icircn

raport cu un punct de pe axa barei aflat la dreapta secțiunii

119879(119909) = 119881119860 minus 1198651119881 minus 1198652 (27)

119872119894 = momentul icircncovoietor icircntr-o secțiune este egal cu suma algebrică a

momentelor obținute prin reducerea tuturor forțelor exterioare ( cupluri sarcini

reacțiuni) aplicate pe porțiunea de bară aflată la stacircnga secțiunii icircn centrul secțiunii

considerate 119872119894 este considerat pozitiv dacă tinde să deformeze bara astfel icircncacirct fibrele

spre care privește un observator să fie icircntinse Cum poziția observatorului este de regulă

sub bară bara se deformează dacă 119872119894 gt 0 astfel icircncacirct partea jos a barei este icircntinsă Se

spune că bara deformată rdquoține apaldquo

119872119894(119909) = 119881119860 ∙ 119909 minus 1198651119881 ∙ (119909 minus 1198971) minus 1198652 ∙ [119909 minus (1198971 + 1198972)] + 1198720 (28)

Sensurile pozitive ale eforturilor care apar icircn centrul secțiunii Ad (deci atunci cacircnd

sensul de parcurs la aplicarea metodei secțiunilor este cel de la stacircnga la dreapta) sunt

indicate icircn figura 218a iar dacă sensul de parcurs este de la dreapta la stacircnga sensurile

pozitive ale eforturilor sunt indicate icircn figura 218b

Fig 218 Convenţia de semne

Definiții asemănătoare se pot da și pentru eforturile din centrul secțiunii As figura

218b adică pentru cazul icircn care sensul de parcurs este cel de la dreapta la stacircnga și deci

partea luată icircn considerare este cea din stacircnga iar partea parcursă din dreapta secțiunii

este icircnlăturată

119873(1199091) = 1198653119867

119879(1199091) = 1198653119881 minus 119881119861

119872119894(1199091) = 119881119861 ∙ 1199091 minus 1198653119881 ∙ (1199091 minus 1198975)

(29)

Avacircnd icircn vedere că fețele Ad și As aparțin aceleeași secțiuni este evident faptul că

eforturile 119873(119909) 119879(119909) și 119872119894(119909) sunt identice cu eforturile 119873(119961120783) 119879(119961120783) și respectiv

119872119894(119961120783) Icircn figura 218c se prezintă o sinteză a convențiilor de semne pozitive pentru cele

3 eforturi atacirct pentru sensul de parcurs de la stacircnga la dreapta (secțiunea Ad) cacirct și pentru

sensul invers (secțiunea As)

Semnele eforturilor sunt importante icircntrucacirct există materiale cu comportări diferite

la icircntindere față de compresiune iar o schimbare a semnului unui efort poate produce

erori grave icircn calcule Semnele eforturilor au fost stabilite icircn funcție de deformațiile

produse și nu depind de sensul axelor sistemului de coordonate

26 Relaţii diferenţiale icircntre eforturi şi sarcini

Pentru a vedea ce legătură există icircntre eforturi și sarcini vom considera o bară

dreaptă icircncărcată cu o sarcină distribuită după o lege oarecare figura 219a Din această

bară vom decupa prin dublă secționare un element de lungime infinit mică 119889119909 Deoarece

lungimea 119889119909 este foarte mică se poate considera sarcina 119901 uniform distribuită Icircn

secțiunile rezultate trebuie să introducem eforturile care pot apărea

- 119879 şi 119872119894 icircn centrul secțiunii din sticircnga eforturi pe care le considerăm pozitive

- 119879 + 119889119879 şi 119872119894 + 119889119872119894 icircn centrul secțiunii din dreapta elementului

Aceste eforturi au o variație mică (119889119879 şi 119889119872119894) față de secțiunea anterioară Spre

deosebire de cazul icircn care bara este secționată o singură dată icircn acest caz eforturile nu

pot fi determinate din cele 2 condiții de echilibru independente deoarece icircn ecuațiile de

echilibru apar 4 necunoscute 119879 119889119879119872119894 și 119889119872119894 deci că problema este dublu static

nedeterminată figura 219

Fig 219 Echivalența icircntre eforturi și sarcini

Ecuațiile de echilibru scrise pentru elementul din figura 219b conduc la stabilirea

unor relaţii foarte importante

(sum119865)119910= 0 hArr 119879 minus 119901 ∙ 119889119909 minus (119879 + 119889119879) = 0 rArr

119889119879

119889119909= minus119901 (210)

Relația (210) arată că derivata funcţiei forţei tăietoare icircn raport cu abscisa

secţiunii este egală cu sarcina distribuită normală la axa barei din acea secţiune luată

cu semn schimbat

Observații

dacă 119901 = 0 nu există sarcină distribuită atunci forța tăietoare T este constantă

icircnclinarea pantei diagramei forței 119879 este egală cu (ndash 119901) (sarcina distribuită cu

semn schimbat)

dacă 119901 = 119888119900119899119904119905 119879 variază liniar pe acel interval

Asemănător se deduce că derivata funcţiei forţei axiale icircn raport cu abscisa

secţiunii este egală cu sarcina distribuită axială din acea secţiune luată cu semn

schimbat adică

119889119873

119889119909= minus119901119867 (211)

Din condiția de echilibru suma de momente faţă de centrul de greutate al secţiunii

din dreapta

(sum119872)119862= 0 hArr 119872119894 minus (119872 + 119889119872119894) + 119879 ∙ 119889119909 minus 119901 ∙

(119889119909)2

2= 0 rArr

119889119872119894

119889119909= 119879 (212)

Relația (212) s-a obținut dupa reducerea termenilor și prin neglijarea infinitului

mic de ordinul 2

119901 ∙(119889119909)2

2

Relația (212) arată că derivata funcţiei moment icircncovoietor icircn raport cu abscisa

secţiunii este egală cu forţa tăietoare din acea secţiune

Observații

dacă 119879 = 0 momentul 119872119894 are un punct de extrem se obține o valoare maximă

pentru 119872119894119898119886119909 dacă forța tăietoare 119879 se anulează trecacircnd de la plus icircn stacircnga la minus icircn

dreapta secțiunii

dacă forța tăietoare este pozitivă pe un interval 119879 gt 0 atunci 119872119894 este crescătoare

pe acel interval

dacă forța tăietoare este negativă pe un interval 119879 lt 0 atunci 119872119894 este

descrescătoare pe acel interval

dacă pe un interval 119901 = 0 forța tăietoare este constantă 119879 = 119888119905 iar 119872119894 variază

liniar pe acel interval

dacă 119901 = 119888119900119899119904119905 119879 variază liniar pe acel interval iar 119872119894 variază parabolic pe

acel interval

Relaţiile diferenţiale sunt utile la reprezentarea corectă şi verificarea diagramelor

de eforturi astfel

pentru porţiunile de grindă pe care p = 0 eforturile N şi T sunt constante iar pe

porţiunile cu p = const eforturile N şi T variază liniar (relaţiile 211 şi 210)

dacă pe o porţiune T = const momentul icircncovoietor Miz variază liniar iar dacă

T variază liniar atunci momentul Miz variază parabolic (relaţia 212)

pe domeniile pe care T gt 0 funcţia Mi(x) este crescătoare iar icircn secţiunea icircn

care T = 0 (graficul funcţiei T intersectează axa x) momentul icircncovoietor are un punct

de extrem local (maxim sau minim relaţia 212)

Pentru rezolvarea problemelor referitoare la trasarea diagramelor de eforturi

pentru barele drepte solicitate de sisteme de forţe plane se parcurg următoarele etape

1) identificarea forţelor aplicate (date) şi pregătirea lor pentru calcule

(descompunerea forţelor concentrate pe direcţiile x şi y calculul rezultantelor forţelor

distribuite)

2) identificarea reazemelor şi introducerea reacţiunilor corespunzătoare (vezi

figurile 27divide29)

3) stabilirea ecuaţiilor de echilibru static calculul şi verificarea reacţiunilor Icircn

rezistența materialelor se folosește sistemul de ecuații (vezi figura 217)

(sum119865)

119909= 0

(sum119872)119860= 0

(sum119872)119861= 0

(213)

4) identificarea domeniilor de variaţie şi scrierea funcţiilor de eforturi pentru N T

şi Mi

5) reprezentarea grafică a diagramelor de eforturi

6) verificarea corectitudinii diagramelor pe baza relaţiilor diferenţiale icircntre eforturi

şi sarcini

Aplicație Pentru grinda dreaptă icircncărcată cu sistemul de forţe reprezentat icircn figura

220 se cere

a) să se calculeze şi să se verifice reacţiunile

b) să se stabilească funcţiile eforturilor Nx Ty şi Miz şi să se reprezinte diagramele

de variaţie

c) să se analizeze relaţiile diferenţiale icircntre eforturi şi sarcini

Dimensiunile grinzii au valorile a = 6 [m] b = 4 [m] și c = 4[m] sistemul de

forţe aplicat fiind format din p = 10 [kN mfrasl ] F = 20 [kN] (icircnclinată cu unghiul α =300 faţă de orizontală) şi M0 = 40 [kN ∙ m]

Rezolvare

a) Se fac următoarele precizări

grinda dreaptă se reprezintă prin axa geometrică

forţa icircnclinată F se descompune după direcţiile orizontală şi verticală icircn FV =F ∙ sin α = 10 [kN] şi FH = F ∙ cos α = 173 [kN]

forţa distribuită uniform p este echivalentă din punct de vedere static cu

rezultanta sa R = p ∙ a = 60 [kN] care acţionează la jumătatea porţiunii de lungime a

icircn reazemele 119860 şi 119861 se introduc componentele HA şi VA respectiv VB ale

reacţiunilor

Pentru calculul reacţiunilor se utilizează ecuaţiile de echilibru static al grinzii

sumXi = 0 HA minus FH = 0 sumYi = 0 VA + VB minus R minus FV = 0 (sumM)B = 0 VA ∙ (b + a) minus R ∙ (b + 05 ∙ a) minus M0 + FV ∙ c = 0

(A1)

Din prima ecuaţie se obţine HA iar din cea de-a treia ecuaţie rezultă VA

HA = FH = 173 [kN]

VA =[R ∙ (b + 05 ∙ a) + M0 minus FV ∙ c]

(b + a)=[60 ∙ (4 + 05 ∙ 6) + 40 minus 10 ∙ 4]

(4 + 6)

VA = 42 [kN]

(A2)

Fig 220 Aplicație

Se observă că cea de-a doua ecuaţie de echilibru conţine două necunoscute

reacţiunile VA şi VB Pentru a calcula componenta VB nu este indicată introducerea lui VA

icircn cea de-a doua ecuaţie a sistemului (A1) pentru că o valoare determinată greşit pentru

VA conduce la o valoare VB de asemenea greşită O ecuaţie independentă din care se poate

determina componenta VB este următoarea

(sumM)A= 0 FV ∙ (a + b + c) minus VB ∙ (a + b) minus M0 + R ∙ 05 ∙ a = 0 (A3)

de unde se obţine

VB =[FV ∙ (a + b + c) minusM0 + R ∙ 05 ∙ a]

(b + a)=[10 ∙ (6 + 4 + 4) minus 40 + 60 ∙ 05 ∙ 6]

(6 + 4)

VB = 28 [kN] (A4)

Ecuaţia de proiecţii ale forţelor pe direcţia verticală (a doua ecuaţie din sistemul

A1) se utilizează pentru verificarea reacţiunilor deja determinate

VA + VB minus R minus FV = 0 rArr 42 + 28 minus 60 minus 10 = 0 (A5)

Ultima egalitate demonstrează că reacţiunile verticale au fost calculate corect

Din cele de mai sus rezultă ordinea firească pentru determinarea reacţiunilor icircn

cazul grinzilor simplu rezemate

sumXi = 0

(sumM)A = 0

(sumM)B = 0

(A6)

iar pentru verificarea componentelor verticale VA şi VB se folosește ecuaţia sumY = 0

b) La stabilirea funcţiilor de eforturi se parcurg icircn general etapele următoare

se notează (numeric sau literal după preferinţă) secţiunile care delimitează

domeniile (intervalele sau tronsoanele) pe care eforturile nu-şi modifică funcţiile (au legi

unice de variaţie)

pe fiecare domeniu se marchează secţiunea imaginară icircn care se stabilesc

funcţiile eforturilor

secţiunea astfel aleasă separă icircn două părţi grinda şi anume porţiunea din stacircnga

şi porţiunea din dreapta secţiunii

se va considera parcursă (şi icircndepărtată) acea parte pe care acţionează mai puţine

sarcini exterioare pentru că acestea vor interveni icircn expresiile funcţiilor de eforturi

poziţiile secţiunilor imaginare se vor determina prin variabilele x1 ⋯ xn (unde

n reprezintă numărul domeniilor de variaţie) cu originea fixată icircn capătul intervalului şi

sensul de parcurgere spre partea considerată rămasă

Grinda prezentată icircn figura 220 are trei domenii de variaţie pentru funcţiile de

eforturi după cum urmează (A-1) (2-B) şi (B-1)

Domeniul (A-1) x1 isin [0 a = 6 m] Porţiunea parcursă şi considerată icircndepărtată este cea de coordonată x1 pe care

acţionează reacţiunile HA şi VA precum şi rezultanta parţială a sarcinii distribuite R1 =p ∙ x1

Funcţia forţă axială Nx are expresia

Nx(x1) = NAminus1 = minusHA = minus173 [kN] = const

(A7)

Funcţia forţă tăietoare Ty are exspresia

Ty(x1) = TAminus1 = VA minus R1 = VA minus p ∙ x1 (A8)

care reprezintă o variaţie liniară de variabilă x1 Se calculează valorile forţei tăietoare la

limitele intervalului de variaţie

- pentru x1 = 0 Ty(x1 = 0) = TA = VA = 42 [kN]

- pentru x1 = a = 6 [m] Ty(x1 = 6) = T1 = VA minus p ∙ a = minus18 [kN]

Observaţie Aşa cum a fost stabilită secţiunea fictivă poziţionată prin coordonata

x1 sar părea că rezultanta R ar trebui luată icircn calculul lui Ty(x1) Acest lucru ar fi greşit

pentru că R = p ∙ a reprezintă rezultanta sarcinii distribuite pe toată lungimea a iar

rezultanta pe porţiunea parcursă de lungime x1 este R1 = p ∙ x1 ne R = p ∙ a

Cu valorile obţinute se trasează diagramele forţelor axială Nx = f(x) şi tăietoare

Ty = f(x) figura 220 Din diagrama forţei tăietoare şi din valorile obţinute analitic se

observă că forţa tăietoare icircşi schimbă semnul pe intervalul analizat deci se anulează pe

acest interval Poziţia secţiunii unde Ty se anulează se determină din ecuaţia

Ty(x1) = 0 rArr VA minus p ∙ x1 = 0 (A9)

cu soluţia x1lowast = ξ = 42 [m] Important de reamintit că icircn această secţiune momentul

icircncovoietor va avea un extrem local adică Miz are un extrem la Ty = 0

Funcţia moment icircncovoietor Miz are expresia

Miz(x1) = VA ∙ x1 minus R1 ∙x12= VA ∙ x1 minus (p ∙ x1) ∙

x12

(A10)

Se observă că funcţia moment icircncovoietor de variabilă x1 are o variaţie parabolică

(gradul al II-lea) Pentru reprezentarea grafică a funcţiei parabolice se calculează valorile

momentului icircncovoietor icircn trei secţiuni

- pentru x1 = 0 Miz(x1 = 0) = MA = 0 [kN ∙ m] - pentru x1 = a = 6 [m] Miz(x1 = 6) = M1 = 72 [kN ∙ m] - pentru x1

lowast = ξ = 42 [m] Miz(x1lowast = ξ = 42 [m]) = Mimax = 882 [kN ∙ m]

Cu acestea se trasează diagrama Miz = f(x) pe intervalul (A-1) figura 220

Observaţie Icircn unele cazuri pe un anumit interval forţa tăietoare nu se anulează

şi momentul icircncovoietor nu are un extrem local Icircn acest caz pentru reprezentarea

variaţiei parabolice a momentului icircncovoietor se va studia semnul derivatei a doua a

funcţiei Miz = f(x1) acesta determinacircnd convexitatea curbei momentului icircncovoietor

Domeniul (2-B) x2 isin [0 c = 4 m] Porţiunile din grindă libere (nerezemate) la un capăt se numesc console iar

stabilirea funcţiilor de eforturi devine mai simplă dacă se consideră icircndepărtată partea din

dreapta secţiunii prin schimbarea sensului pozitiv al axei x Astfel se obţin funcţiile eforturilor

Funcţia forţă axială Nx are expresia

Nx(x2) = N2minusB = minusFH = minus173 [kN] = const

(A11)

Funcţia forţă tăietoare Ty are exspresia

Ty(x2) = T2minusB = FV = 10 [kN] = const (A12)

Funcţia moment icircncovoietor Miz are expresia

Miz(x2) = minusFV ∙ x2 rArr Miz(x2 = 0) = M2 = 0 [kN ∙ m]

Miz(x2 = 4) = MB = minus40 [kN ∙ m] (A13)

variaţie liniară (gradul I)

Domeniul (B-1) x3 isin [0 b = 4 m] Pe acest domeniu se acceptă parcurgerea grinzii de la dreapta adică se consideră

icircndepărtată partea din dreapta secţiunii fictive pentru că are doar două sarcini aplicate F

şi VB faţă de partea din stacircnga secţiunii pe care sunt aplicate trei sarcini p VA şi M0

Astfel se obţin funcţiile eforturilor

Funcţia forţă axială Nx are expresia

Nx(x3) = NBminus1 = minusFH = minus173 [kN] = const

(A14)

Funcţia forţă tăietoare Ty are exspresia

Ty(x3) = TBminus1 = FV minus VB = minus18 [kN] = const (A15)

Funcţia moment icircncovoietor Miz are expresia

Miz(x3) = minusFV ∙ (x3 + c) + VB ∙ x3 rArr

rArr Miz(x3 = 0) = MB = minus40 [kN ∙ m]

Miz(x3 = 4) = M1 = 32 [kN ∙ m]

(A16)

variaţie liniară (gradul I)

Diagramele eforturilor sunt prezentate icircn figura 220

c) Relaţiile diferenţiale dintre eforturi şi sarcini se analizează pe diagramele

eforturilor după cum urmează

sarcina distribuită nu are componentă orizontală adică ph = 0 şi icircn

conformitate cu formula (211) rezultă că Nx = const pe toată lungimea grinzii fapt care

a rezultat din funcţia şi reprezentarea diagramei forţei axiale

pe intervalul (A-1) sarcina distribuită are doar componenta verticală pozitivă

pV = p gt 0 prin urmare forţa tăietoare scade (are panta negativă dTy 119889119909frasl = minusp vezi

relaţia 210) iar momentul icircncovoietor avacircnd derivata a doua negativă d2M119894119911 1198891199092frasl =minuspare convexitatea curbei orientată spre sensul pozitiv al axei momentului Miz adică icircn

jos

pe domeniile (2-B) şi (B-1) deoarece pv = 0 forţa tăietoare Ty este constantă

iar momentul icircncovoietor Miz variază liniar

referitor la relaţia (212) pe porţiunile unde Ty gt 0 momentul Miz este

monoton crescător pe porţiunile unde Ty lt 0 momentul Miz este monoton descrescător

iar icircn secţiunea icircn care Ty = 0 momentul icircncovoietor are un extrem local Mξ =

882 [kN ∙ m] icircn diagrama forţei tăietoare discontinuităţile (salturile) se produc icircn secţiunile

unde acţionează VA VB şi FV iar icircn diagrama momentului icircncovoietor se produce un

singur salt icircn secţiunea icircn care este aplicat M0

se poate scrie

Mξ = suprafața diagramei Ty |ξ0=1

2∙ 42 ∙ 42 = 882 [kN ∙ m]

sau parcurgacircnd grinda de la dreapta la stacircnga rezultă

MB = minussuprafața diagramei Ty |c0= minus10 ∙ 4 = minus40 [kN ∙ m]

Toate aspectele analizate teoretic referitoare la relaţiile diferenţiale dintre eforturi

şi sarcini se regăsesc icircn diagramele de eforturi din figura 220 ceea ce icircnseamnă că

diagramele au fost reprezentate corect

3 TENSIUNI DEPLASĂRI ŞI DEFORMAŢII SPECIFICE

31 Tensiuni

Eforturile obținute icircn urma reducerii forțelor interioare icircn centrul de greutate al

secțiunii nu pot da informații asupra solicitării fiecărui punct al secțiunii respective Este

necesar să se cunoască modul cum se distribuie forțele interioare icircn fiecare punct al

secțiunii pentru a ști care este intensitatea maximă a solicitării Această intensitate

maximă se poate compara cu o valoare critică specifică materialului stabilindu-se astfel

dacă solicitarea este periculoasă sau nu

Mărimea care caracterizează solicitarea locală punctuală o vom denumi tensiune

și o vom defini icircn cele ce urmează Să considerăm partea din dreapta a unui corp solicitat

de forțele exterioare 1198651 1198652 și 1198653 obținută prin secționarea corpului și mărginită de fața

din dreapta Ad a secțiunii Pe secțiunea Ad vom considera un element de arie infinit mic

∆119860 caracterizat de normala la elementul de arie normală care are cosinușii directori

120573 și icircn raport cu un sistem de axe considerat fix Pe elementul infinit mic ∆119860 acționează

forțele interioare care au o rezultantă oarecare figura 31

Prin definiție tensiunea totală este

= lim∆119860rarr0

∆

∆119860 (31)

Tensiunea are aceeaşi direcţie cu forţa elementară ∆ iar mărimea ei este

determinată atacirct de mărimea forţei ∆ cacirct şi de orientarea suprafeţei ∆119860 faţă de direcţia

forţei

Tensiunea 119901 poate fi descompusă icircntr-o componentă orientată după direcţia

normalei la secţiune tensiunea normală notată cu 120590119909 şi o componentă icircn planul secţiunii

tensiunea tangenţială notată cu figura 32

= 119909 + 120591 (32)

Fig 31 Tensiunea totală Fig 32 Tensiunea normală și tangențială

La racircndul ei componenta tensiunii cuprinsă icircn planul secțiunii poate fi

descompusă după direcțiile axelor y și z

120591 = 120591119909119910 + 120591119909119911 (33)

Icircntre cele trei componente ale tensiunii totale care acționează pe elementul de arie

∆119860 este valabilă relația

1199012 = 1205901199092 + 120591119909119910

2 + 1205911199091199112 (34)

După sensul pe care icircl are tensiunea normală 120590 poate avea efect de tracţiune sau

de compresiune exercitat de către partea de corp icircnlăturată asupra părţii rămase Analog

tensiunea tangenţială 120591 poate avea efect de tăiere forfecare sau alunecare Pentru

componentele tensiunii tangențiale 120591119909119910 pe direcţia 119910 respectiv 120591119909119911 pe direcţia 119911 primul

indice indică axa pe care tensiunea este normală iar cel de-al doilea indice indică axa cu

care aceasta este paralel

Tensiunea este o mărime tensorială valoarea ei depinzacircnd atacirct de poziția

punctului icircn planul secțiunii cicirct și de orientarea planului de secționare deci de normala

Operaţiile vectoriale nu pot fi aplicate tensiunilor decacirct după ce acestea au fost icircnmulţite

cu ariile respective adică au fost transformate icircn forţe

Icircn literatura de specialitate mai ales icircn manualele mai vechi pentru noţiunea de

tensiune se mai foloseşte şi denumirea de efort specific

Dacă se consideră un alt element de arie ∆119860 cu centrul icircn același punct avacircnd ca

normală axa 119910 se vor obține alte tensiuni și anume

- 120590119910 este tensiunea normală (paralelă cu axa y)

- 120591119911119909 și 120591119910119911 sunt tensiuni tangențiale paralele cu axele 119909 și respectiv 119911 aflate icircn

planul care are ca normală axa 119910

Dacă icircn jurul unui punct dintr-un corp solicitat se consider un element de volum

infinit mic de forma unui cub icircn cazul cel mai general pe fețele sale vor acționa

tensiunile normale 120590119909 120590119910 și 120590119911 și respectiv tensiunile tangențiale 120591119909119910 120591119909119911 120591119910119909 120591119910119911 120591119911119909

și respectiv 120591119911119910 figura 33 Aceste tensiuni definesc starea de tensiune a punctului

observacircnd faptul că tensorul tensiune are 9 componente Dacă se consideră elementul

de volum finit ca fiind foarte mic se poate presupune că icircn interiorul său nu apar forțe

Ca urmare el va fi icircn echilibru sub acțiunea forțelor elementare produse de tensiunile de

pe fețele sale

Din condiția ca elementul să nu se rotească icircn jurul unor axe care trec prin centrul

său și sunt paralele cu axele sistemului 119909119874119910119911 rezultă

2 ∙ 120591119909119910 ∙ (119889119910 ∙ 119889119911) ∙119889119909

2= 2 ∙ 120591119910119909 ∙ (119889119909 ∙ 119889119911) ∙

119889119910

2 rArr 120591119909119910 = 120591119910119909 (35)

2 ∙ 120591119910119911 ∙ (119889119909 ∙ 119889119911) ∙119889119910

2= 2 ∙ 120591119911119910 ∙ (119889119909 ∙ 119889119910) ∙

119889119911

2 rArr 120591119910119911 = 120591119911119910 (36)

2 ∙ 120591119909119911 ∙ (119889119910 ∙ 119889119911) ∙119889119909

2= 2 ∙ 120591119911119909 ∙ (119889119909 ∙ 119889119910) ∙

119889119911

2 rArr 120591119909119911 = 120591119911119909 (37)

Relațiile (35divide37) 120591119909119910 = 120591119910119909 120591119910119911 = 120591119911119910 120591119909119911 = 120591119911119909 exprimă principiul dualității

tensiunilor tangențiale

Fig 33 Tensiunile normale și tangențiale pe fețele unui cub

Din condiția ca elementul considerat să nu se deplaseze icircn lungul axelor de

coordonate pe fețele opuse acționează aceleași tensiuni normale 120590119909 120590119910 și respectiv 120590119911

Definirea tensorului tensiune este posibilă dacă se cunosc cele 6 componente

independente ale acestuia aflate icircn trei plane perpendicular ce trec prin punctul respectiv

=

120590119909 120591119909119910 120591119909119911120591119910119909 120590119910 120591119910119911120591119911119909 120591119911119910 120590119911

Observaţii

Tensiunile se măsoară icircn [119873 1198982frasl ] (1119873 1198982frasl = 1 119875119886) sau icircn [119872119875119886]

(1 119872119875119886 = 106119875119886 = 106 119873

1198982 1 119872119875119886 = 1

119873

1198981198982)

Starea de tensiune dintr-un punct este considerată cunoscută dacă se cunosc

tensiunile 119901 care acționează pe infinitatea de elemente de suprafață ce trec prin punctual

considerat

Starea de tensiune a unui corp se consider cunoscută dacă se cunosc stările de

tensiune de pe infinitatea de puncte ale corpului considerat

32 Deplasări Deformaţii specifice

321 Deplasări

Aceste noțiuni sunt utile icircn analiza aspectului geometric al problemelor de rezistența

materialelor Deplasările care se analizează sunt cele datorate schimbării formei și

dimensiunilor corpurilor ca urmare a acțiunii forțelor exterioare și nu cele cinematice

posibile pentru solidul rigid care se poate deplasa cu anumită viteză și accelerație

Spre exemplu icircn figura 34a și figura 34b sub acțiunea forței 119865 tronsonul de

bară AB se deformează icircn timp ce tronsonul BC deși punctele sale au deplasări rămacircne

nedeformat (fiind nesolicitat) Toate punctele de pe axele barelor cu excepția celor din

icircncastrare (secțiunile A) au deplasări liniare De cele mai multe ori deformațiile barelor

datorate acțiunii forțelor exterioare se anulează la icircndepărtarea forțelor se spune că

deformațiile sunt elastice Secțiunile transversale ale barei din figura 34a se și rotesc icircn

raport cu pozițiile lor inițiale Spre exemplu secțiunea de căpăt cu centrul icircn C se rotește

cu unghiul

Fig 34 Deformațiile unei grinzi

Oricacirct de complexă ar fi delormația unui corp ea poate fi descrisă de lungiri sau

scurtări și de modificări ale unghiurilor inițiale

Deplasările măsoară schimbarea poziției unui punct al corpului și pot fi liniare

sau unghiulare

Prin deplasare liniară a unui punct se icircnțelege drumul parcurs de acest punct icircn

decursul procesului de deformație după o dreaptă suport dreapta 1198611198611 din figura 34a

Prin deplasare unghiulară se icircnțelege rotirea dintre segmentele de dreaptă

determinate de două puncte ale corpului icircnainte și după deformarea acestuia unghiul

pe care-l fac segmentele 119861119862 și 11986111198621 din figura 34a Această rotire se măsoară prin

unghiul pe care-l fac proiecțiile dreptelor ce conțin cele două segmente icircntr-un sistem

triortogonal

Icircn cazul cel mai general vectorul deplasare liniară se poate descompune icircntr-un

sistem triortogonal icircn trei componente 119906 119907 și 119908 figura 35

Fig 35 Deplasarea liniară

Se consideră acum un corp solid raportat la un sistem de axe ortogonal 119909119874119910119911

figura 35 după deformarea corpului un punct oarecare 119870 al acestuia se deplasează icircn

poziţia 1198701 vectorul 1198701198701 poartă numele de vectorul deplasării totale

Deplasarea totală este suma deplasărilor pe cele trei direcţii ortogonale iar

aceste deplasări se notează astfel

deplasarea pe direcţia 119909 cu ∥ 119874119909

deplasarea pe direcţia 119910 cu ∥ 119874119910

deplasarea pe direcţia 119911 cu ∥ 119874119911

Componentele deplasărilor și formeză matricea deplasărilor liniare 119906119907119908

322 Deformații

Prin deformație icircn general se icircnțelege orice schimbare de formă a unui corp fără

o evaluare cantitativă Icircn Rezistența Materialelor deformația măsoară variația

dimensiunilor geometrice ale corpului considerat din vecinătatea unui punct analog

deplasărilor deformațiile pot fi liniare și unghiulare (lunecări)

Fig 36 Deplasarea liniară

Deformația liniară ∆119897 reprezintă variația lungimii 119897 a unui element liniar al

corpului deformat figura 36 Deformația liniară specifică se definește ca fiind raportul

dintre deformația liniară și lungimea inițială

휀 =∆119897

119897 (38)

unde ∆119897 este lungirea sau scurtarea care este echivalentă cu deformția liniară totală iar

este alungirea

Deformația unghiulară sau lunecarea unui punct 119860 icircn planul 119861119860119862 se definește

prin relația figura 37

120574 = lim119861119860rarr0119862119860rarr0

(119861119860 minus 119861111986011198621 ) (39)

Fig 36 Deformația unghiulară

Schimbacircnd orientarea planului care trece prin 119860 se obțin alte deformații

unghiulare Dacă elementele liniare 119861119860 și 119862119860 sunt inițial perpendiculare deformația 120574 se

numește deformație unghiulară specifică sau lunecare specifică figura 37

Un exemplu de deplasare unghiulară și de deformație unghiulară este prezentat icircn

figura 38 Unghiul este deplasarea unghiulară și măsoară rotirea relativă dintre două

secțiuni aflate la distanța 119897 Unghiul este deformația specifică unghiulară (lunecarea

specifică) din punctul 119870 Aceste deplasări și deformații se obțin icircn urma solicitării barei

de către cele două momente 1198720 egale și de sens contrar

Fig 38 Deplasarea unghiulară

Pentru a analiza starea de deformație din vecinătatea unui punct al unui corp

solicitat complex se decupează din jurul punctului un element de volum mic figura 39a

avacircnd laturile 119889119909 119889119910 și 119889119911 Ca urmare a solicitării laturile acestuia se vor lungi sau

scurta Reprezentarea elementului deformat icircn spațiu este dificilă pentru simplificare

vom analiza doar deformațiile din planul 119909119874119910 Observăm că dimensiunile 119889119909 și 119889119910 s-au

modificat cu valoarea ∆119889119909 respectiv cu ∆119889119910 analog se acceptă și pentru 119889119911 o modificare

de forma ∆119889119911 Astfel se pot defini deformațiile specifice liniare

휀119909 =∆119889119909

119889119909 휀119910 =

∆119889119910

119889119910 휀119911 =

∆119889119911

119889119911 (310)

De cele mai multe ori aceste deformații specifice liniare se pot exprima procentual

și se mai numesc alungiri

Fig 39 Starea de deformație

Icircn figura 39c se vede că unghiul inițial drept dintre muchiile 119889119909 și 119889119910 ale

elementului de volum s-a modificat Se definește deformația specifică unghiulară (sau

lunecarea specifică) mărimea cu care se modifică unghiul inițial drept

120574119909119910 = 120574119909119910prime + 120574119910119909

prime = 120574119910119909120574119910119911 = 120574119910119911

prime + 120574119911119910prime = 120574119911119910

120574119911119909 = 120574119911119909prime + 120574119909119911

prime = 120574119909119911

(311)

Deformațiile 휀119909 휀119910 휀119911 120574119909119910 120574119910119911 120574119911119909 constituie cele șase componente

independente ale tensorului deformațiilor specifice care pot fi scrise de forma

119863 =

휀119909 120574119909119910 120574119909119911120574119910119909 휀119910 120574119910119911120574119911119909 120574119911119910 휀119911

(312)

323 Contracţia transversală

Practica arată că odată cu lungirea unei bare apare o micşorare a mărimii secţiunii

transversale mărime numită contracţie transversală figura 310

Fig 310 Contracția transversală

Contracţia transversală este proporţională cu lungirea specifică coeficientul de

proporţionalitate se notează cu 120599 şi se numeşte coeficient de contracţie transversală sau

coeficientul lui Poisson

La o lungire specifică a barei contracţia transversală este dată de relația

휀119905119903 = 휀119910 = 휀119911 = minus120599 ∙ 휀119909 (313)

Semnul minus bdquo-rdquo arată că cele două mărimi sunt contrare dacă una creşte cealaltă

scade şi invers

Considerăm o bară cilindrică de lungime 119897 şi aria secţiunii transversale 119860 solicitată

la icircntindere axială La un moment dat datorită solicitării lungimea barei devine

[119897 ∙ (1 + 휀)] diametrul devine [119889 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)] iar aria secţiunii transversale devine

[119860 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)2] Dacă volumul barei icircnainte de solicitare a fost (119860 ∙ 119897) după solicitare

acesta devine

119881 + ∆119881 = 119860 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)2 ∙ 119897 ∙ (1 + 휀) =

= 119860 ∙ 119897 ∙ (1 + 휀 minus 2 ∙ 120599 ∙ 휀 minus 2 ∙ 120599 ∙ 휀2 + 1205992 ∙ 휀2 + 1205992 ∙ 휀3) (314)

Deoarece lungirile sunt foarte mici ultimii trei termeni din paranteză fiind infinit mici se pot neglija obţinacircnd

119881 + ∆119881 = 119860 ∙ 119897 + 119860 ∙ 119897 ∙ 휀 ∙ (1 minus 2 ∙ 120599) ⟺ ∆119881 = 휀 ∙ (1 minus 2 ∙ 120599) ∙ 119860 ∙ 119897 (315)

Practica arătă că o astfel de bară solicitată la icircntindere icircşi măreşte volumul deci

∆119881 gt 0 de unde rezultă că

1 minus 2 ∙ 120599 gt 0 rArr 120599 lt 05 (316)

Pentru majoritatea materialelor 120599 = 033 iar pentru materialele care-şi păstrează

volumul constant 120599 = 05

33 Relaţii de echivalenţă icircntre eforturi şi tensiuni

Considerăm un element de suprafață infinit mic 119889119860 situat pe fața de arie (119860) a

secțiunii barei din figura 311 Icircn centrul de greutate 119862 al secțiunii acționează eforturile

119873 119879119910 119879119911 119872119909 119872119894119910 și 119872119894119911 determinate prin metoda secțiunilor

Icircn raport cu un sistem de axe de referință 119909119862119910119911 coordonatele elementului 119889119860 sunt

- 119910 este ordonata elementului de arie 119889119860

- 119911 este abscisa elementului de arie 119889119860

Pe elementul de arie 119889119860 acționează tensiunile

120590119909 tensiunea normală

120591119909119910 și 120591119909119911 tensiuni tangențiale

Dacă se icircnsumează forțele elementare de tipul 120590119909 ∙ 119889119860 120591119909119910 ∙ 119889119860 și 120591119909119911 ∙ 119889119860

va trebui să obținem eforturile 119873 119879119910 și 119879119911

Fig 311 Element de suprafață mic din secțiunea unei bare

Dacă eforturile sunt privite ca forțe exterioare și se scriu ecuațiile de

echilibru ale secțiunii (119860) se vor obține șase relații de echivalență icircntre eforturi și

tensiuni

(sum119883) = 0 rArr int 120590119909 ∙ 119889119860

119860

= 119873 (317)

(sum119884) = 0 rArr int 120591119909119910 ∙ 119889119860

119860

= 119879119910 (318)

(sum119885) = 0 rArr int 120591119909119911 ∙ 119889119860

119860

= 119879119911 (319)

(sum119872)119909= 0 rArr int(120591119909119911 ∙ 119889119860) ∙ 119910

119860

minus int(120591119909119910 ∙ 119889119860) ∙ 119911

119860

= 119872119909 rArr

rArr int(119910 ∙ 120591119909119911 minus 119911 ∙ 120591119909119910) ∙ 119889119860

119860

= 119872119909

(320)

(sum119872)119910= 0 rArr int(120590119909 ∙ 119889119860) ∙ 119911

119860

= 119872119894119910 (321)

(sum119872)119911= 0 rArr int(120590119909 ∙ 119889119860) ∙ 119910

119860

= 119872119894119911 (322)

Cele șase relații de echivalență icircntre eforturi și tensiuni constituie un pas icircnainte

icircn rezolvarea unei probleme de rezistența materialelor Aceste relații vor permite

determinarea tensiunilor maxime

Pentru a rezolva cele 6 relații de echivalență trebuie să se cunoască tensiunile și

ca funcții de punct adică funcții de forma

120590119909 = 120590119909(119909 119910 119911) 120591119909119910 = 120591119909119910(119909 119910 119911) 120591119909119911 = 120591119909119911(119909 119910 119911) (32

3)

Cunoașterea acestor funcții presupune icircnsă analizarea aspectului geometric al

problemei precum și utilizarea unor ipoteze simplificatoare care să permită simplificarea

problemelor

34 Ipoteze de bază icircn rezistenţa materialelor

Depășirea dificultăților legate de interpretarea unor fenomene specifice mecanicii

solidului deformabil a impus acceptarea unor ipoteze care să simplifice fenomenele și să

contribuie la elaborarea unor modele de calcul cicirct mai generale și cacirct mai simple Aceste

ipoteze se referă la structura materialelor şi la comportarea lor sub acţiunea forţelor

exterioare Ipotezele acceptate trebuie să fie icircn deplină concordanţă cu realitatea și să

conducă la rezultate verificate icircn practică

Funcție de aspectele la care se referă ipotezele pot fi

Ipoteze fizice (de material)

Ipoteze de calcul

341 Ipoteze fizice

Se acceptă deoarece teoriile structurale au condus la rezultate care contravin

icircncercărilor experimentale

Ipoteza mediului continuu consideră că orice domeniu elementar al corpului

este ocupat de materie adică nu se acceptă existența unor goluri sau a unor crăpături

microscopice (fisuri) Deși nu corespunde realităţii poate fi acceptată deoarece

dimensiunile corpului sunt mult mai mari decacirct dimensiunile particulelor elemantare Are

avantajul că permite utilizarea proprietăților matematice ale funcțiilor continue pentru

tensiunile și deformațiile din orice punct al corpului Ea este mai apropiată de realitate la

corpurile amorfe şi mai depărtată la cele cristaline dar conduce la rezultate satisfăcătoare

icircn calculele de rezistenţă

Ipoteza nu se poate aplica la corpurile care au goluri tăieturi (multiplu conexe)

pentru unele puncte singulare icircn care tensiunile și deformațiile tind la infinit sau icircn unele

probleme de plasticitate icircn care proprietățile de material au un rol esențial

Ipoteza izotropiei conform acestei ipoteze materialul din care este confecționat

un element de rezistență are aceleași proprietăți după orice direcție un astfel de material

este considerat izotrop Din punct de vedere macroscopic metalele pot fi considerate

izotrope deși la nivel microscopic proprietățile lor diferă de la o direcție cristalografică

la alta Orice conglomerat de cristale poate fi considerat izotrop

Există cazuri cacircnd această ipoteză a izotropiei nu se acceptă

la metalele puternic deformate după o direcție (prin laminare trefilare)

la piesele confecționate din lemn lemnul este anizotrop deoarece proprietățile sale

diferă după două direcții (icircn lungul fibrelor și perpendicular pe această direcție)

Ipoteza omogenității consideră că un corp are aceleași proprietăți icircn orice

punct al său Deși majoritatea materialelor utilizate icircn tehnică sunt eterogene la scară

micro fiind constituite din mai multe faze cu proprietăți diferite la scară macro ele pot

fi considerate omogene Omogenitatea și izotropia sunt proprietăți statistice medii care

nu se condiționează una pe cealaltă Chiar și materialele monofazice pot avea la scară

micro unele segregații care le fac eterogene

Ipoteza elasticităţii perfecte presupune că atacircta timp cacirct solicitările nu

depăşesc anumite limite materialul are o comportare elastică adică icircşi recapătă forma şi

dimensiunile iniţiale odată cu icircnlăturarea sarcinilor Icircn realitate materialele nu prezintă o

elasticitate perfectă ele avacircnd deformaţii remanente mici care icircnsă pot fi neglijate icircn

calculele de rezistenţă

Acceptarea acestei ipoteze a elasticității perfecte permite

- aplicarea relației biunivoce icircntre tensiuni și deformații relație exprimată de legea

lui Hooke ( = 119864 ∙ 휀) unde E este un factor de proporţionalitate numit modul de

elasticitate longitudinal al materialului pentru oţel 119864 = 21 ∙ 105 [119872119875119886] - acceptarea valabilității afirmației bdquolucrul mecanic efectuat de forțele exterioare

ca urmare a parcurgerii deplasărilor punctelor de aplicație se icircnmagazinează integral icircn

corp sub formă de energie de deformație energie cedată la icircndepărtarea sarcinilorrdquo

- este valabilă teoria conform căreia bdquoenergia icircnmagazinată și deformațiile depind

doar de starea inițială și finală de eforturi fără a ține cont de modul icircn care s-a ajuns la

starea finalărdquo

Icircn realitate oricacirct de mici ar fi sarcinile aplicate se produc și deformații plastice

dar acestea pot fi neglijate dacă solicitarea nu depășește anumite limite

342 Ipoteze de calcul

Ipoteza micilor deplasări bdquodeplasările datorate deformării sunt mult mai mici

decacirct dimensiunile corpurilor și ca urmare pot fi neglijate produsele dintre o deplasare și

ea icircnsăşirdquo Pentru cele mai multe corpuri deformaţiile elastice sunt de mărimi mici deci

corpurile solide sub acţiunea sarcinilor icircşi modifică foarte puţin forma iniţială Această

ipoteză este cunoscută şi sub denumirea de ipoteza menţinerii dimensiunilor iniţiale Ea

permite scrierea ecuaţiilor de echilibru ale staticii pe starea nedeformată a elementului

cacircnd nu se iau icircn considerare deplasările punctelor de aplicaţie ale forţelor care se produc

ca urmare a deformării acestuia Calculul efectuat pe schema nedeformată poartă numele

de calcul de ordinul I

Ipoteza micilor deplasări nu poate fi acceptată pentru studiul problemelor de

stabilitate sau la problemele la care nu pot fi icircndeplinite condiţiile de echilibru icircn starea

nedeformată

Calculul de ordinul II admite ipoteza micilor deplasări dar ecuaţiile de echilibru

se scriu icircnsă pentru starea deformată a elementului de rezistenţă

Calculul de ordinul III nu mai acceptă ipoteza micilor deplasări el referindu-se

la cazul deformaţiilor mari cacircnd ecuaţiile de echilibru trebuie scrise pentru starea

deformată

Chiar dacă materialul satisface legea lui Hooke icircn urma calculelor de ordinul II

se obţin de obicei relaţii neliniare icircntre sarcini şi deplasări iar pentru calculul de ordinul

III rezultă ecuaţii diferenţiale neliniare

Principiul efectului local al acțiunii sarcinilor enunțat de Barre de Saint-

Venant Acest principiu destul de folosit icircn Rezistenţa Materialelor precizează că dacă

se icircnlocuiesc forţele care acţionează asupra unui element de suprafață al unui corp

elastic printr-un alt sistem de forţe echivalent din punct de vedere static cu primul noua

distribuţie a forţelor produce la locul de aplicare diferenţe semnificative faţă de prima

dar rămacircne fără efect sau cu efect neglijabil la distanţe mari de locul de aplicare al

forţelor figura 312

Ca o cosecință o sarcină uniform distribuită figura 312a poate fi icircnlocuită cu

rezultanta ei figura 312b dacă se analizează efectul sarcinii la distanță mare de locul icircn

care se aplică sarcina

Fig 312 Principiul Saint-Venant

Icircn prima variantă figura 312a forţa 119865 se aplică pe o porțiune oarecare 119897 (sarcină

uniform distribuită) iar icircn a doua figura 312b icircntru-un punct (forţă concentrată) La

locul de aplicare a sarcinii efectul asupra barei este cu totul diferit de la o variantă la

cealaltă Icircnsă la o distanţă mare de punctul de aplicaţie spre exemplu icircn secţiunea situată

la distanţa 119886 de capătul barei sau chiar icircn icircncastrare ambele bare sunt solicitate la fel

Icircn cazul din figura 312a

119872119894(119909) =119901 ∙ 1199092

2 119909 le 119897 119872119894(119909) = 119901 ∙ 119897 ∙ (119909 minus

119897

2) 119909 gt 119897 (324)

Icircn cazul din figura 312b

119872119894(119909) = 0 119909 lt119897

2 119872119894(119909) = 119901 ∙ 119897 ∙ (119909 minus

119897

2) 119909 gt

119897

2 (325)

Se vede că pentru (119909 gt 119897) adică după depășirea locului icircn care se aplică sarcina

efectul este același

Ipoteza lui Bernoulli sau ipoteza secţiunilor plane precizează că o secţiune

plană şi normală pe axa barei icircnainte de deformare rămacircne plană şi normală pe axa

barei şi după deformare figura 313

Fig 313 Ipoteza lui Bernoulli

Ipoteza stării naturale a corpului sau ipoteza absenţei tensiunilor conform

căreia pentru un corp nesolicitat starea de tensiune şi deformaţie este nulă

Perfecţionarea mijloacelor de calcul şi de investigare pot conduce la renunţarea la

unele ipoteze sau la introducerea altora noi mai aproape de stările reale De aici rezultă

caracterul de continuă perfecţionare a metodelor Rezistenţei Materialelor

35 Coeficienţi de siguranţă Tensiuni admisibile

O piesă corespunde din punct de vedere tehnic dacă tensiunile care iau naştere icircn

interiorul piesei datorită sarcinilor aplicate nu depăşesc anumite valori limită stabilite

convenţional Aceste valori limită ale tensiunii sunt corelate cu caracteristicile mecanice

ale materialelor

Tensiunea limită utilizată icircn calculele de rezistenţă este cunoscută sub denumirea

de tensiune admisibilă sau rezistenţă admisibilă Rezistenţa admisibilă reprezintă

valoarea convenţională aleasă icircn calcul pe baza practicii pentru tensiunea maximă care

poate apare icircntr-o piesă icircn condiţii date de material şi solicitare

Rezistenţa admisibilă (120590119886 sau 120591119886) poate fi definită faţă de o stare limită

periculoasă stare care trebuie evitată deoarece poate conduce distrugere

120590119886 =120590119897119894119898119888

(326)

unde

120590119897119894119898 este tensiunea corespunzătoare stării limită periculoase

119888 estesupraunitar 119888 gt 1 și reprezintă coeficientul de siguranţă faţă de starea limită

periculoasă considerată

Alegerea unor valori inferioare pentru rezistenţa admisibilă faţă de tensiunea

corespunzătoare stării limită periculoase este necesară deoarece

cunoaşterea sarcinilor este de cele mai multe ori aproximativă şi o depăşire a

acestora este foarte posibilă

caracteristicile mecanice ale materialelor variază icircn limite destul de mari ele

fiind influenţate de mulţi factori

schema aleasă pentru calcul (aplicarea sarcinilor schematizarea structurii

ipotezele de calcul etc) depărtează modelul faţă de cel real

Pentru calculele de verificare tensiunea efectivă maximă din elementul de

rezistenţă trebuie să fie mai mică sau cel mult egală cu cea admisibilă

120590119890119891119898119886119909 le 120590119886 (327)

Valoarea rezistenţei admisibile este influenţată de foarte mulţi factori natura

materialului tratamentele termice aplicate piesei durata de funcţionare a piesei modul

de acţionare icircn timp a sarcinilor felul solicitării temperatura gradul de periculozitate

icircn cazul cedării piesei etc

De asemenea valoarea coeficientului de siguranţă se alege icircn principal ţinacircnd

seama de aceiaşi factori care influenţează şi rezistenţa admisibilă

Rezistenţele admisibile pentru cacircteva materiale sunt următoarele

pentru oțelul de uz general OL37 solicitat la icircntindere compresiune sau

icircncovoiere 120590119886 = 150 [119872119875119886] pentru lemnul de brad solicitat la

- compresiune icircn lungul fibrelor şi solicitat la icircncovoiere 120590119886 = 10 [119872119875119886] - tracţiune icircn lungul fibrelor 120590119886 = 7 [119872119875119886] - compresiune perpendiculară pe fibre 120590119886 = 15 [119872119875119886] - forfecare icircn lungul fibrelor 120591119886 = 2 [119872119875119886] - forfecare perpendiculară pe fibre 120590119886 = 45 [119872119875119886]

terenuri de fundaţie din pămacircnt uscat sau umed 120590119886 = 020 divide 025 [119872119875119886]

4 CARACTERISTICI GEOMETRICE ALE SECȚIUNILOR PLANE

41 Noţiuni introductive

Icircn relaţiile de calcul ale tensiunilor şi deformaţiilor elementelor de rezistenţă

pentru unele solicitări (icircncovoierea și torsiunea) secțiunile plane intervin atacirct prin

dimensiunile lor (aria 119860) cicirct și prin forma și poziția pe care o are secțiunea icircn raport cu

planul solicitării Mărimile care caracterizează o secțiune icircn raport cu forma și poziția față

de axele unui sistem de referință sunt denumite caracteristici geometrice de ordin

superior Aria secțiunii este caracteristica geometrică ce depinde doar de dimensiunile

geometrice ale acesteia

Să considerăm o grindă solicitată de o forță exterioară 119865 aşezată icircn două poziții icircn

raport cu planul forţei figura 41 Icircn urma aplicării forței deși avem aceeași grindă

(aceeași arie a secțiunii transversale) și aceeași forță se constată că pentru varianta din

figura 41a deformațiile sunt mult mai mari adică rezistența la icircncovoiere a grinzii din

figura 41a este mai mare decacirct icircn cazul grinzii din figura 41b Comportarea diferită se

explică prin aceea că modificarea poziţiei secţiunii transversale faţă de planul forţelor

modifică caracteristicile geometrice ale secţiunii transversale a grinzii

Fig 41 Grindă solicitată de forța 119865

Pentru realizarea calculelor de rezistenţă şi rigiditate este foarte importantă

cunoaşterea caracteristicilor geometrice ale suprafeţei secţiunii transversale a elementelor

de rezistenţă

Caracteristicile geometrice ale secţiunii transversale a unui element de rezistenţă

sunt

- aria secțiunii notată cu 119860

- momentul static icircn raport cu o axă notat 119878119911 și respectiv 119878119910

- momentul de inerție care poate fi

axial notat 119868119911 și respectiv 119868119910

centrifugal notat 119868119911119910

polar notat 119868119901

- raza de inerţie (giraţie)notată 119894119911 și respectiv 119894119910

- modulul de rezistență care poate fi

axial notat 119882119911 și respectiv 119882119910

polar notat 119882119901

42 Aria și momentul static al suprafețelor plane

Fie o suprafaţă plană de arie 119860 pe care se ia un element infinit mic de arie 119889119860 şi

un sistem de axe rectangulare 119911119874119910 figura 42 Notăm cu 119862 centrul de greutate al suprafeţei

119860 Poziţia suprafeţei elementare 119889119860 faţă de acelaşi sistem de coordonate 119911119874119910 este dată

de abscisa 119911 ordonata 119910 și raza polară

Fig 42 Suprafață plană de arie 119860

Aria suprafeţei 119860 figura 42 se defineşte ca fiind

119860 ≝ int 119889119860

119860

(41)

Aria suprafeţei este icircntotdeauna pozitivă și se măsoară icircn [1198981198982] Momentul static al suprafeţei de arie 119860 icircn raport cu axele 119874119911 și respectiv 119874119910

figura 42 sunt date de relaţiile

119878119911 ≝ int 119910 ∙ 119889119860

119860

119878119910 ≝ int 119911 ∙ 119889119860

119860

(42)

Momentul static poate fi pozitiv negativ sau nul şi se măsoară icircn [1198981198983] Coordonatele centrului de greutate ale suprafeței 119860 se detrmină cu relațiile

119910119862 ≝int 119910 ∙ 119889119860119860

119860 119911119862 ≝

int 119911 ∙ 119889119860119860

119860

(43)

Cunoscacircnd coordonatele 119910119862 și 119911119862 ale centrului de greutate 119862 al secțiunii 119860 atunci

momentele statice se pot determina cu relațiile

119878119911 ≝ int 119910 ∙ 119889119860

119860

= 119910119862 ∙ 119889119860 119878119910 ≝ int 119911 ∙ 119889119860

119860

= 119911119862 ∙ 119889119860 (44)

Aceste relații arată că momentul static al unei suprafețe icircn raport cu o axă este

egal cu produsul dintre aria suprafeței și distanța de la centrul ariei la axa respectivă

Dacă suprafaţa se poate descompune icircn 119899 suprafeţe simple la care se cunosc ariile

(1198601 1198602 ⋯ 119860119894⋯ 119860119899) și poziţiile centrelor de greutate 119862119894 faţă de sistemul de referinţă

expresiile momentelor statice capătă următoarea formă

119878119911 = sum 119910119862119894 ∙ 119860119894119899119894=1 = 119910119862 ∙ 119860 119878119910 = sum 119911119862119894 ∙ 119860119894

119899119894=1 = 119911119862 ∙ 119860 (45)

Din relaţiile (45) rezultă că poziţia centrului de greutate 119862 al unei suprafeţe

compuse poate fi determinată cu relaţiile

119910119862 = (sum119910119862119894 ∙ 119860119894

119899

119894=1

) 119860frasl 119911119862 = (sum119911119862119894 ∙ 119860119894

119899

119894=1

) 119860frasl (46)

Icircn relația (45) 119910119862119894 și respectiv 119911119862119894 reprezintă coordonatele centrelor de greutate 119862119894

ale fiecărei suprafețe simple 119860119894 icircn raport sistemul de axe 119911119874119910

Se constată (relaţia 42) că dacă axele sistemului de referinţă trec prin centrul de

greutate (119910119862 = 119911119862 = 0) momentele statice sunt nule Axele icircn raport cu care momentele

statice sunt nule şi care trec prin centrul de greutate al suprafeţei se numesc axe centrale

Observație dacă secțiunea compusă are o axă de simetrie centrul secțiunii se

găsește pe acea axă iar dacă secțiunea este dublu simetrică poziția centrului secțiunii este

la intersecția axelor de simetrie

43 Momente de inerţie

Momentele de inerţie axiale ale unei suprafețe se calculează icircn raport cu axele de

coordonate 119874119911 și respectiv 119874119910 figura 42 și se determină cu relațiile

119868119911 ≝ int 1199102 ∙ 119889119860

119860

119868119910 ≝ int 1199112 ∙ 119889119860

119860

(47)

Unde 119910 și 119911 sunt distanțele de la elementul de arie 119889119860 la cele două axe de

coordonate 119874119911 și respectiv 119874119910

Momentele de inerţie axiale se măsoară icircn [1198981198984] şi sunt icircntotdeauna pozitive (aria

119889119860 este icircntotdeauna pozitivă și este multiplicată cu patratul distanței 1199102 dacă 119868119911 sau 119868119910

sunt nule icircnseamnă ca secțiunea nu există)

Momentele de inerție axiale se calculează icircndeosebi pentru axele centrale (care

trec prin centrul secțiunii) deoarece icircn raport cu acele axe 119868119911 și 119868119910 au valori minime

Momentul de inerţie centrifugal calculat faţă ambele axe ale sistemului de

referinţă 119911119874119910 este definit de relația

119868119911119910 ≝ int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860

(48)

Momentul de inerţie centrifugal se măsoară icircn [1198981198984] şi poate fi pozitiv negativ

sau nul

Momentul de ineție centrifugal este nul 119868119911119910 = 0 dacă cel puțin una din axele 119874119911

sau 119874119910 este axă de simetrie pentru secțiune

Se consideră o suprafaţă dreptunghiulară pe care faţă de axa de simetrie 119874119910 se iau

două suprafeţe elementare de arie 119889119860 simetrice faţă de axa 119874119910 figura 43

Fig 43 Suprafață dreptunghiulară cu două arii elementare 119889119860

Făcacircnd suma momentelor de inerţie centrifugale pentru cele două suprafeţe

elementare 119889119860 (din stacircnga şi din dreapta faţă de axa 119874119910) se obţine

int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860119889119903

+ int (minus119911) ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860119904119905119892

= int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860119889119903

minus int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860119904119905119892

= 0 (49)

Acelaşi raţionament se poate face și pentru icircntreaga suprafaţă de unde obținem că

momentul de inerție centrifugal este nul 119868119911119910 = 0 Deci pentru o suprafaţă plană care

are cel puţin o axă de simetrie momentul de inerţie centrifugal faţă de sistemul care

conţine acea axă de simetrie este nul

Momentul de inerţie polar al unei suprafeţei icircn raport cu un punct (pol) 119874 figura

42 este definit prin relaţia

1198680 = 119868119901 ≝ int 1205882 ∙ 119889119860

119860

= int(1199102 + 1199112) ∙ 119889119860

119860

= 119868119911 + 119868119910 (410)

unde este distanţa de la polul 119874 la elementul de arie 119889119860 Momentul de inerţie polar se

măsoară icircn [1198981198984] şi este totdeauna pozitiv

Momentul de inerţie polar este egal cu suma momentelor de inerţie faţă de două axe

perpendiculare oarecare şi care trec prin polul considerat

Razele de giraţie sau razele de inerţie sunt mărimi calculate icircn raport cu axele

secțiunii și definite de relaţiile

119894119911 ≝ radic119868119911119860 119894119910 = radic

119868119910

119860 (411)

Se exprimă icircn [119898119898] şi sunt icircntotdeauna pozitive Semnificația unei raze de inerție

este distanța la care dacă ar fi concentrată icircntreaga arie s-ar obține același moment de

inerție ca și cel calculat pentru aria reală

44 Modulul de rezistenţă

Modulul de rezistență se calculează icircn raport cu axele de referință sau icircn raport cu

un pol figura 42 și pot fi axiale (119882119911119882119910) sau polar (119882119901) și se determină numai pe baza

momentelor de inerţie cu relațiile figura 43

119882119911119898119894119899 ≝119868119911119910119898119886119909

119882119911119898119886119909 ≝119868119911119910119898119894119899

(412)

119882119910119898119894119899 ≝119868119910

119911119898119886119909 119882119910119898119886119909 ≝

119868119910

119911119898119894119899 (413)

119882119901 ≝119868119901

120588119898119886119909 (414)

unde

119910119898119886119909 119910119898119894119899 reprezintă distanţa de la axa 119874119911 la punctele extreme cele mai

depărtate respectiv cele mai apropiate ale suprafeţei de această axă

119911119898119886119909 119911119898119894119899 reprezintă distanţa de la axa 119874119910 la punctele extreme cele mai

depărtate respectiv cele mai apropiate ale suprafeţei de această axă

120588119898119886119909 reprezintă distanța maximă de la polul 119874 la punctul secțiunii cel mai

icircndepărtat de acesta

Fig 43 Suprafață dreptunghiulară cu două arii elementare 119889119860

Modulele de rezistenţă se exprimă icircn [1198981198983] şi sunt icircntotdeauna pozitive

Explicația este aceea că momentele de inerție care intră icircn relațiile de definiție sunt

pozitive iar distanțele la punctele extreme sunt pozitive (119910119898119886119909 119910119898119894119899 119911119898119886119909 119911119898119894119899 120588119898119886119909 se

iau icircn valoare absolută)

Icircn cazul suprafeţelor compuse modulul de rezistenţă nu se obţine prin icircnsumarea

algebrică a modulelor de rezistenţă ale suprafeţelor simple componente ci numai prin

intermediul momentului de inerţie axial calculat pentru icircntreaga secțiune

Ca și momentele de inerție modulele de rezistență se calculează numai pentru

sistemele de axe centrale

45 Momente de inerţie şi module de rezistenţă pentru suprafeţe simple

451 Secțiune dreptunghiulară

Fie suprafaţa dreptunghiulară din figura 44 de icircnălțime ℎ și lățime 119887 pe care se

consideră suprafaţă elementară de arie 119889119860 = 119887119889119910 la distanța 119910 de axa 119862119911 sistemul de

axe 119911119862119910 trece prin centrul secțiunii iar axele sunt axe de simetrie pentru dreptunghi

Fig 44 Suprafață dreptunghiulară

Pe baza relațiilor de definiți a momentului de inerție 119868119911 se obține

119868119911 ≝ int 1199102 ∙ 119889119860

119860

= int 1199102 ∙ 119887 ∙ 119889119910 = 2int 1199102 ∙ 119887 ∙ 119889119910 = 2 ∙ 119887 ∙1199103

3|ℎ 2frasl

0rArr

ℎ 2frasl

0

ℎ 2frasl

minusℎ 2frasl

rArr 119868119911 =119887 ∙ ℎ3

12

(415)

Analog pentru un element de arie 119889119860 = ℎ ∙ 119889119911 paralel cu axa 119862119910 situat la distanța

119911 de axa 119862119910

119868119910 ≝ int 1199112 ∙ 119889119860

119860

= int 1199112 ∙ ℎ ∙ 119889119911 = 2int 1199112 ∙ ℎ ∙ 119889119910 = 2 ∙ ℎ ∙1199113

3|119887 2frasl

0rArr

119887 2frasl

0

119887 2frasl

minus119887 2frasl

rArr 119868119910 =1198873 ∙ ℎ

12

(416)

Deoarece axele 119862119911 și 119862119910 sunt axe de simetrie momentul de inerție centrifugal este

119868119911119910 = 0 (417)

Pentru un pătrat avacircnd laturile egale (ℎ = 119887 = 119886) momentele de inerţie faţă de

axele centrale au expresia

119868119911 = 119868119910 =1198864

12 (418)

Modulele de rezistență axiale se calculează cu relațiile de definiție ținacircnd cont că

distanțele pacircnă la fibrele extreme sunt

119910119898119886119909 = 119910119898119894119899 =ℎ

2 119911119898119886119909 = 119911119898119894119899 =

119887

2 (419)

Obținem

119882119911119898119894119899 = 119882119911119898119886119909 =119868119911

119910119898119886119909119898119894119899=119887 ∙ ℎ3

12frasl

ℎ2frasl

=119887 ∙ ℎ2

6

119882119910119898119894119899 = 119882119910119898119886119909 =119868119910

119911119898119886119909119898119894119899=1198873 ∙ ℎ

12frasl

1198872frasl

=1198872 ∙ ℎ

6

(420)

452 Suprafaţă circulară

Din motive de simetrie pentru suprafeţele circulare momentele de inerţie faţă de

orice diametru (care reprezintă şi axe centrale) sunt aceleaşi

Considerăm o secțiune circulară plină cu diametrul 119889 și centrul de greutate 119862 Prin

centrul de greutate 119862 trece sistemul de axe ortogonal 119911119862119910 figura 45

Fig 45 Suprafață circulară

La distanța de centrul de greutate 119862 vom lua un element de suprafață mic de arie

(119889119860) de forma unui inel de grosime 119889 Elementul de arie 119889119860 are expresia

119889119860 = (2 ∙ 120587 ∙ 120588) ∙ (119889120588)

Pornind de la relația de definiție a momentului de inerție polar obținem

119868119901 ≝ int 1205882 ∙ 119889119860

119860

= int 1205882 ∙ (2 ∙ 120587 ∙ 120588) ∙ 119889120588

119903=119889 2frasl

0

= 2 ∙ 120587 ∙1205884

4|119889 2frasl0 rArr

rArr 119868119901 =120587 ∙ 1198894

32

(421)

Secțiunea este perfect simetrică deci sunt valabile relațiile

119868119911 = 119868119910 rArr 119868119901 = 119868119911 + 119868119910 = 2 ∙ 119868119911 = 2 ∙ 119868119910 =119868119901

2=120587 ∙ 1198894

64 (422)

Și modulele de rezistenţă faţă de orice diametru sunt egale şi se calculează cu

relaţiile

119882119911 = 119882119910 =1198681199111198892frasl=120587 ∙ 1198893

32 (423)

Modulul de rezistenţă polar este

119882119901 =1198681199011198892frasl=120587 ∙ 1198893

16 (424)

453 Secţiune inelară

Calculul momentelor de inerţie axiale pentru o secţiune inelară avacircnd diametrul

interior 119889 şi diametrul exterior 119863 se determină analog pentru suprafaţa circulară plină cu

observaţia că integrala pentru calculul momentului de inerție polar 119868119901 se face icircntre

limitele 119903 = 119889 2frasl şi R= 1198632frasl (icircntre raza interioară 119903 şi raza exterioară 119877) figura 46

Se obţin relaţiile

119868119901 =120587 ∙ 1198634

32∙ [1 minus (

119889

119863)4

] =120587 ∙ 1198634

32∙ (1 minus 1198964) (425)

119868119910 = 119868119910 =120587 ∙ 1198634

64∙ [1 minus (

119889

119863)4

] =120587 ∙ 1198633

64∙ (1 minus 1198964) (426)

Fig 46 Secțiune inelară

119882119901 =120587 ∙ 1198633

16∙ [1 minus (

119889

119863)4

] =120587 ∙ 1198633

16∙ (1 minus 1198964) (427)

119882119911 = 119882119910 =120587 ∙ 1198633

32∙ [1 minus (

119889

119863)4

] =120587 ∙ 1198633

32∙ (1 minus 1198964) (428)

unde 119896 = 119889119863frasl

46 Variaţia momentelor de inerţie faţă de axe paralele

( Relațiile lui STEINER)

Se consideră o suprafaţă oarecare de arie 119860 cu elementul de arie 119889119860 și un sistemul

de axe central 119911119862119910 faţă de care se cunosc momentele de inerţie 119868119911 119868119910 119868119911119910 şi considerăm

un sistem de axe 11991111198741199101 paralele cu sistemul central figura 47 Se pune problema

determinării momentele de inerţie 1198681199111 1198681199101 11986811991111199101 faţă de sistemul de axe paralel cu sistemul

central 11991111198741199101 axe aflate la distanţele 119910119862 = 119888 respectiv 119911119862 = 119889 de acesta

461 Momente de inerţie axiale

Pe baza relaţiilor de definire şi a notaţiilor din figura 42 pentru momentele de

inerţie faţă de axele 1198741199111 1198741199101 se poate scrie

1198681199111 = int 11991012 ∙ 119889119860

119860

= int(119910 + 119888)2 ∙ 119889119860

119860

= int 1199102 ∙ 119889119860

119860

+ 2 ∙ 119888 ∙ int 119910 ∙ 119889119860

119860

+

+1198882int 119889119860

119860

rArr 1198681199111 = 119868119911 + 2 ∙ 119888 ∙ 119878119911 + 1198882 ∙ 119860 hArr 1198681199111 = 119868119911 + 119888

2 ∙ 119860

(429)

Fig 47 Variaţia momentelor de inerţie față de axe paralele

S-a ajuns la relația (429) deoarece momentul static 119878119911 este nul deoarece axa 119862119885

este axă centrală

Pentru momentul de inerție axial icircn raport cu axa 1198741199101 se obține

1198681199101 = int 11991112 ∙ 119889119860

119860

= int(119911 + 119889)2 ∙ 119889119860

119860

= int 1199112 ∙ 119889119860

119860

+ 2 ∙ 119889 ∙ int 119911 ∙ 119889119860

119860

+

+1198892 ∙ int 119889119860

119860

rArr 1198681199101 = 119868119910 + 2 ∙ 119889 ∙ 119878119910 + 1198892 ∙ 119860 hArr 1198681199101 = 119868119910 + 119889

2 ∙ 119860

(430)

Pentru momentul de inerție centrifugal obținem

11986811991111199101 = int 1199101 ∙ 1199111 ∙ 119889119860

119860

= int(119910 + 119888) ∙ (119911 + 119889) ∙ 119889119860

119860

= int 119910 ∙ 119911 ∙ 119889119860 +

119860

+119888 ∙ int 119911 ∙ 119889119860

119860

+ 119889 ∙ int 119910 ∙ 119889119860

119860

rArr 11986811991111199101 = 119868119911119910 + 119888 ∙ 119889 ∙ 119860

(431)

Deoarece

int 119911 ∙ 119889119860

119860

= 119878119910 = 0 int 119910 ∙ 119889119860

119860

= 119878119911 = 0 int 119910 ∙ 119911 ∙ 119889119860

119860

= 119868119911119910

Relaţiile (429) şi (430) arată că momentul de inerţie faţă de o axă oarecare

este egal cu momentul de inerţie faţă de o axă paralelă cu ea trecacircnd prin centrul de

greutate la care se adaugă produsul dintre aria suprafeţei şi pătratul distanţei dintre

cele două axe

Din relaţiile (429) și (430) rezultă de asemenea că momentul de inerţie faţă de o

axă centrală (care trece prin centrul de greutate) este cel mai mic dintre infinitatea de

momente de inerţie obținute faţă de alte axe paralele cu ea

Relaţia (431) arată de asemenea că momentul de inerţie centrifugal faţă de un

sistem de axe oarecare este egal cu momentul de inerţie centrifugal faţă de un sistem

paralele cu el trecacircnd prin centrul de greutate a suprafeţei la care se adaugă produsul

dintre aria suprafeţei şi distanţele dintre axele sistemelor respective

Icircn literatura de specialitate relaţiile (429) (430) şi (431) sunt cunoscute sub

numele de relaţiile lui Steiner

47 Variaţia momentrlor de inerţie faţă de axe rotite

Direcţii principale şi momente de inerţie principale

Fie suprafaţa plană din figura 48 de arie 119860 pe care considerăm o suprafaţă

elementară de arie 119889119860 Pentru sistemul de axe 119911119874119910 se cunosc momentele de inerţie

119868119911 119868119910 119868119911119910 şi vom determina relaţiile de calcul pentru momentele de inerţie afererent unui

sistem de axe 11991111198741199101 rotit cu un unghi faţă de sistemul central

Faţă de sistemul de axe 11991111198741199101 elementul de arie 119889119860 are coordonatele

1199101 = 119875119877 = 119875119876 minus 119877119876 = 119910 ∙ cos 120572 minus 119911 ∙ sin 120572

1199111 = 119873119872 = 119873119875 minus 119875119872 = 119911 ∙ cos 120572 + 119910 ∙ sin 120572 (432)

Fig 47 Variaţia momentelor de inerţie față de axe rotite

Pe baza relaţiilor de calcul ale momentelor de inerţie şi a notaţiilor din figura 42

şi ale relaţiilor (432) momentele de inerţie faţă de sistemul de axe rotit 11991111198741199101 sunt

1198681199111 =119868119911 + 119868119910

2+119868119911 minus 119868119910

2∙ cos 2120572 minus 119868119911119910 ∙ sin 2120572 (433)

1198681199101 =119868119911 + 119868119910

2minus119868119911 minus 119868119910

2∙ cos 2120572 + 119868119911119910 ∙ sin 2120572 (434)

11986811991111199101 =119868119911 minus 119868119910

2∙ sin 2120572 + 119868119911119910 ∙ cos 2120572 (435)

Din relaţiile 433divide435 se observă că icircntre momentele de inerţie axiale şi cele

polare există relaţia

1198681199111 + 1198681199101 = 119868119911 + 119868119910 = 119868119901 (436)

adică suma momentelor de inerţie axiale icircn raport cu orice pereche de axe ortogonale

care trec printr-un pol dat este o constantă şi egală cu momentul de inerţie polar

Prin rotirea sistemului de axe din relaţiile 433divide435 rezultă că momentele de inerţie

variază icircnsă suma lor rămacircne constantă deci există o poziţie a sistemului de axe pentru

care momentele de inerţie au valori extreme maxim respectiv minim

471 Direcţii principale de inerţie

Valoarea unghiului 120572 pentru care momentele de inerţie axiale au valori extreme

este

1205721 =1

2∙ 119886119903119888119905119886119899 (minus

2 ∙ 119868119911119910

119868119911 minus 119868119910) (437)

Poziţia celeilalte direcţii este perpendiculară pe cea dată de unghiul 1205721

Din relaţia (437) se constată că faţă de aceste direcţii rotite pentru care momentele

de inerţie axiale prezintă valori extreme momentul de inerţie centrifugal 11986811991111199101este nul

Atunci se poate afirma că momentele de inerţie axiale au valori extreme icircn raport cu

direcţiile faţă de care momentul de inerţie centrifugal este nul Aceste direcţii se numesc

direcţii principale iar momentele de inerţie faţă de aceste direcţii poartă numele de

momente de inerţie principale

Icircn calculele de rezistenţă interesează icircn mod special poziţia direcţiilor principale

care trec prin centrul de greutate al suprafeţei aşa numitele direcţii principale centrale şi

evident momentele de inerţie principale centrale

Direcţiile principale de inerţie se notează cu 1 respectiv 2 Axa principală 1

corespunde direcţiei faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea maximă iar

axa principală 2 pentru direcţia faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea

minimă

472 Momente de inerţie principale

Momentele de inerţie principale se notează cu litera 119868 la care se pune indicele 1

sau 2 după cum valoarea acestuia este maximă sau minimă deci avem un moment de

inerţie principal 1 (notat 1198681) respectiv moment de inerţie principal 2 (notat 1198682)

Expresiile pentru momentele de inerţie principale sunt

11986812 =119868119911 + 119868119910

2plusmn1

2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)

2+ 4 ∙ (119868119911119910)

2 (438)

Dacă momentul de inerţie centrifugal este negativ (119868119911119910 lt 0) direcţia principală

care trece prin primul cadran (definit de sistemul 119911119862119910) este direcţia principală 120783

Pentru suprafeţele cu cel puţin o axă de simetrie direcţiile centrale 119862119911 119862119910 sunt şi

direcții principale de inerţie și evident momentele de inerţie axiale 119868119911 119868119910 sunt momente

de inerţie principale

48 Caracteristici mecanice ale metalelor

Alegerea materialului pentru confecţionarea unei anumite piese se face şi pe baza

aşa numitelor caracteristici mecanice pe care le prezintă materialul Cunoaşterea acestor

caracteristici mecanice are loc numai pe baza unor icircncercări mecanice care să scoată icircn

evidenţă comportarea materialului icircn condiţii de solicitare

Cea mai utilizată icircncercare icircn urma căreia se pun icircn evidenţă caracteristicile

mecanice ale unui material este icircncercarea la tracţiune

481 Icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general

Icircncercarea la tracţiune a oţelului ca de altfel toate icircncercările de materiale este

standardizată

Icircn cele ce urmează se va prezenta numai partea care interesează strict din punct

de vedere al caracteristicilor mecanice ale oţelului

Epruveta de diametru iniţial 1198890 pentru icircncercarea la tracţiune are o porţiune de

lungime 1198710 numită baza de măsurare pe care se măsoară lungirea acesteia sub acţiunea

solicitării

Icircn funcţie de raportul dintre baza de măsurare 1198710 şi diametrul iniţial 1198890 epruvetele

utilizate pentru icircncercări sunt

epruvete normale (scurte) cacircnd 11987101198890 = 5

epruvete lungi cacircnd 11987101198890 = 10

Icircn timpul icircncercării la diferite valori ale forţei 119865 se măsoară lungirea bazei de

măsurare

∆119871 = 120575 = 119871 minus 1198710 (439)

unde

119871 este dimensiunea bazei de măsurare la un moment dat

Curba forţă-lungire (119865 minus ) icircnregistrată icircn urma icircncercării reprezintă curba

caracteristică la tracţiune

La icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general diagrama caracteristică care se

obţine are forma din figura 48

Curba caracteristică la tracţiune depinde de lungimea bazei de măsurare Pentru

icircnlăturarea acestui neajuns curba caracteristică se reprezintă icircn coordonate şi definite

astfel

120590 =119865

1198600 휀 =

120575

1198710 (440)

unde

1198600 este aria iniţială a secţiunii transversale a epruvetei (icircnainte de solicitare) icircn

zona bazei de măsurare

1198600 =120587 ∙ 1198890

2

4

Deoarece mărimile icircn care se reprezintă curba caracteristică la tracţiune sunt

raportate la aria iniţială a secţiunii transversale (mărimi specifice) curba poartă numele

de curbă caracteristică convenţională la tracţiune

Fig 48 Curba caracteristică convenţională la tracțiune

Pe curba caracteristică convenţională la tracţiune figura 48 se pot stabili o serie

de puncte cărora le corespund mai multe mărimi importante

Ordonata punctului A pacircnă unde curba caracteristică convenţională este linie

dreaptă se numeşte limita de proporţionalitate a materialului 120590119901(1205901) Porţiunea 119874119860 este

zona de proporţionalitate a curbei caracteristice pe acest domeniu este valabilă legea lui

Hooke care exprimă o proporţionalitate icircntre tensiune şi deformaţie specifică

120590 = 119864 ∙ 휀 (441)

unde

119864 = reprezintă panta porţiunii liniare a curbei convenționale caracteristice

la tracțiune Caracteristica de material 119864 se numeşte modul de elasticitate longitudinal

(modulul lui Young)

Ordonata punctului 119861 pacircnă unde materialul se comportă perfect elastic adică

după descărcare icircşi recapătă dimensiunea iniţială 1198710 se numeşte limita de elasticitate

120590119890(119877119890) Icircn realitate nici un material nu are comportare perfect elastică sub acţiunea

solicitărilor el capătă deformaţii permanente (remanente plastice)

După punctul 119861 urmează o porţiune 119861119862119863 icircn care cu toate că icircncărcarea

continuă forţa nu mai creşte avacircnd mici oscilaţii icircn jurul unei valori Se spune că icircn

această porţiune materialul curge iar intervalul 119861119862119863 este un palier de curgere Tensiunea

corespunzătoare palierului de curgere se numeşte limită de curgere aparentă 120590119888(119877119888) Limita de curgere aparentă se calculează cu relaţia

120590119888 =1198651198881198600 (442)

unde

119865119888 reprezintă valoarea forţei icircnregistrată icircn momentul curgerii materialului

După punctul 119863 curba caracteristică are un traseu ascendent pacircnă icircn punctul 119864

Porţiunea 119863119864 este numită zonă de icircntărire (ecruisare) Icircn zona de ecruisare unde se

produc deformaţii plastice semnificative legea lui Hooke nu mai este valabilă La

descărcare relaţia dintre tensiunea şi deformaţia specifică este liniară paralelă cu

porţiunea liniară a curbei caracteristice (dreapta 119872119873)

Deformaţia totală (휀119905) are două componente una elastică (휀119890) şi una plastică (휀119901)

Ordonata punctului 119864 reprezintă rezistenţa de rupere 120590119903(119877119898) a materialului

care se poate calcula cu relaţia

120590119903 = 119877119898 =1198651198981198861199091198600

(443)

unde

119865119898119886119909 reprezintă valoarea maximă a forţei icircnregistrată icircn timpul icircncercării

La atingerea valorii 119865119898119886119909 (punctul 119864) icircntr-un anumit loc al epruvetei secţiunea

icircncepe să se micşoreze (se produce gacirctuirea) continuacircnd pacircnă cacircnd se produce ruperea

totală (punctul 119865)

Dacă după ruperea epruvetei cele două părţi rezultate se aşează cap la cap şi se

măsoară dimensiunea bazei de măsurare 119871119906 (lungimea ultimă) se determină alungirea la

rupere sau lungirea specifică la rupere 휀119903

휀119903 =119871119906 minus 11987101198710

=∆119871

1198710=120575

1198710 (444)

De obicei alungirea se exprimă icircn procente şi se notează cu 119860119899 unde 119899 reprezintă

numărul dat de raportul 11987101198890 (epruvete normale 119899 = 5 epruvete lungi 119899 = 10)

119860119899 =119871119906 minus 11987101198710

∙ 100 [] (445)

Altă mărime care se determină la icircncercarea la tracţiune este gacirctuirea la rupere

(exprimată de obicei icircn procente) şi definită de relaţia

119885 =1198600 minus 1198601199061198600

∙ 100 [] (446)

Mărimile determinate limita de proporţionalitate modulul de elasticitate

longitudinal limita de elasticitate limita de curgere aparentă rezistenţa de rupere

alungirea la rupere şi gacirctuirea la rupere sunt cunoscute ca fiind caracteristici mecanice

ale materialului

Din curba caracteristică convenţională observăm faptul că ruperea (punctul 119865 din

figura 48 se produce la o tensiune mai mică decacirct cea corespunzătoare punctului 119864 Dacă

icircnsă forţa din timpul icircncercării s-ar raporta la aria secţiunii din momentul icircnregistrării

forţei (care este mai mică decacirct cea iniţială 1198600) s-ar obţine aşa numita curbă

caracteristică reală a materialului (traseul 1198741198601198611198621198631198651 din figura 48) La curba

caracteristică reală ruperea se produce icircn punctul 1198651 la o icircncărcare mai mare decacirct cea

corespunzătoare punctului 119864 Icircnseamnă că rezistenţa reală la rupere este mai mare decacirct

rezistenţa la rupere dată de punctul 119864 din diagrama caracteristică convenţională

Dificultatea obţinerii diagramei caracteristice reale faţă de cea a diagramei caracteristice

convenţionale şi considerarea unei rezistenţe la rupere mai mică decacirct a celei reale face

icircn practică utilizarea pe scară mare a diagramei caracteristice convenţionale

Caracteristicile mecanice determinate pe baza curbei caracteristice convenţionale

sunt şi ele caracteristici mecanice convenţionale

Caracteristicile mecanice convenţionale limita de proporţionalitate convenţională

120590119901 limita de elasticitate convenţională 120590119890 limita de curgere convenţională 120590119888 şi rezistenţa

de rupere 120590119903 constituie tensiuni limită pentru un material Pe baza acestor caracteristici

de material se alege valoarea tensiunii admisibile 120590119886 (vezi paragraful 35) pentru

calculele de rezistenţă Cea mai utilizată stare limită pentru stabilirea tensiunii admisibile

120590119886 este limita de curgere convenţională 120590119888

120590119886 =120590119897119894119898119888

=120590119888119888 119904119886119906 120590119886 =

120590119903119888 (447)

Caracteristicile mecanice ale materialului sunt influenţate de o serie de factori

temperatura viteza de solicitare factorii tehnologici iar valorile lor sunt date icircn tabele și

diagrame

Aplicaţie Pentru suprafaţa plană compusă din două dreptunghiuri avacircnd

dimensiunile din figura 49a să se calculeze

a) centrul de greutate al secțiunii compuse 119910119866 119911119866

b) momentele de inerție axiale 119868119911 119868119910 și momentul de inerție centrifugal 119868119911119910

c) razele de inerție 119894119911 119894119910

d) modulele de rezistență 119882119911119898119894119899 119882119911119898119886119909 119882119910119898119894119899 119882119910119898119886119909

e) momentele de inerție principale 1198681 1198682 și direcțiile principale de inerție 1205721

f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 119878119911

Fig 49 Aplicație

Rezolvare Pentru rezolvare vom parcurge următoarele etape

icircmpărțim suprafața compusă icircn două suprafețe simple (dreptunghiuri) notate cu

① și respectiv ② figura 49b

poziționăm centrele de greutate a celor două suprafețe simple ① și respectiv ②

notate cu 1198661 și respectiv 1198662 figura 49c

poziționăm sistemele de axe de coordonate 119911111986611199101 pentru dreptunghiul ① și

119911211986621199102 pentru dreptunghiul ② aflate la intersecția diagonalelor figura 49c

poziționăm sistemele de axe de coordonate 11991101198741199100 ales arbitrar față de care

determinăm poziția centrului de greutate 119866 figura 49c

a) calculăm poziția centrului de greutate folosind relațiile (46) icircn care

1198601 = 6119905 ∙ 119905 = 61199052 1198602 = 4119905 ∙ 119905 = 41199052 119860 = 1198601 + 1198602 = 61199052 + 41199052 = 101199052

iar centrele de greutate 1198661 și respectiv 1198662 au coordonatele (față de sistemul 11991101198741199100)

1198661 1199101 = 3119905 1199111 = 05119905

1198662 1199102 = 051199051199112 = 3119905

cu acestea obținem

119910119866 =1198601 ∙ 1199101 + 1198602 ∙ 1199102

119860=61199052 ∙ 3119905 + 41199052 ∙ 05119905

101199052=201199053

101199052= 2119905

119911119866 =1198601 ∙ 1199111 + 1198602 ∙ 1199112

119860=61199052 ∙ 05119905 + 41199052 ∙ 3119905

101199052=151199053

101199052= 15119905

Poziționăm centrul de greutate 119866 al suprafeței compuse figura 49c

Fig 49 Aplicație

b) pentru determinarea momentelor de inerție axiale 119868119911 119868119910 și a momentului de

inerție centrifugal 119868119910119911 determinăm constantele 1198881 1198882 1198891 1198892 care intervin icircn relația lui

Stainer

1198881 = 1199101 minus 119910119866 = 3119905 minus 2119905 = 119905 1198882 = minus(119910119866 minus 1199102) = minus(2119905 minus 05119905) = minus15119905

1198891 = minus(119911119866 minus 1199111) = minus(15119905 minus 05119905) = minus119905 1198892 = 1199112 minus 119911119892 = 3119905 minus 15119905 = 15119905

Folosind relațiile lui Stainer (429) (430) și (431) calculăm momentele de

inerție axiale și centrifugale față de sistemul central 119911119866119866119910119866

119868119911 =sum(119868119911119894 + 1198881198942 ∙ 119860119894) = 1198681199111 + 1198881

2 ∙ 1198601 + 1198681199112 + 11988822 ∙ 1198602

119868119910 =sum(119868119910119894 + 1198891198942 ∙ 119860119894) = 1198681199101 + 1198891

2 ∙ 1198601 + 1198681199102 + 11988922 ∙ 1198602

119868119911119910 =sum(119868119911119894119910119894 + 119888119894 ∙ 119889119894 ∙ 119860119894) = 11986811991111199101 + 1198881 ∙ 1198891 ∙ 1198601 + 11986811991121199102 + 1198882 ∙ 1198892 ∙ 1198602

1198681199111 = (119887 ∙ ℎ3

12) =

119905 ∙ (6119905)3

12= 181199054 1198681199112 = (

119887 ∙ ℎ3

12) =

4119905 ∙ 1199053

12= 031199054

1198681199101 = (1198873 ∙ ℎ

12) =

1199053 ∙ 6119905

12= 051199054 1198681199102 = (

1198873 ∙ ℎ

12) =

(4119905)3 ∙ 119905

12= 531199054

11986811991111199101 = 11986811991121199102 = 0 deoarece cele două triunghiuri au cel puțin o axă de simetrie

Cu acestea momentele de inerție axiale și momentul de inerție centrifugal devin

119868119911 = 181199054 + 1199052 ∙ 61199052 + 031199054 + (minus15119905)2 ∙ 41199052 = 3331199054

119868119910 = 051199054 + (minus119905)2 ∙ 61199052 + 531199054 + (15119905)2 ∙ 41199052 = 2081199054

119868119911119910 = 0 + 119905 ∙ (minus119905) ∙ 61199052 + 0 + (minus15119905) ∙ (15119905) ∙ 41199052 = minus151199054

c) razele de inerție sau de girație față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910

se calculează cu relațiile (411)

119894119911 = radic119868119911119860= radic

3331199054

101199052= 182119905 119894119910 = radic

119868119910

119860= radic

2081199054

101199052= 144119905

d) modulele de rezistență față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910 se

calculează cu relațiile (412) și (413)

Avacircnd icircn vedere figura 419c obținem

119910119898119886119909 = 6119905 minus 119910119866 = 6119905 minus 2119905 = 4119905 119910119898119894119899 = minus119910119866 = minus2119905

119911119898119886119909 = 5119905 minus 119911119866 = 5119905 minus 15119905 = 35119905 119911119898119894119899 = minus119911119866 = minus15119905

Se obține astfel

119882119911119898119894119899 =119868119911

|119910119898119886119909|=3331199054

4119905= 8331199053

119882119911119898119886119909 =119868119911

|119910119898119894119899|=3331199054

2119905= 16651199053

119882119910119898119894119899 =119868119910

|119911119898119886119909|=2081199054

35119905= 5941199053

119882119910119898119886119909 =119868119910

|119911119898119894119899|=2081199054

15119905= 13871199053

e) momentele de inerție principale 1198681 și respectiv 1198682 se calculează cu relațiile

(438)

11986812 =119868119911 + 119868119910

2plusmn1

2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)

2+ 4 ∙ (119868119911119910)

2=

=3331199054 + 2081199054

2plusmn1

2∙ radic(3331199054 minus 2081199054)2 + 4 ∙ (minus151199054)2 = 27051199054 plusmn 16251199054

De unde obținem

1198681 = 27051199054 + 16251199054 = 4331199054

1198682 = 27051199054 minus 16251199054 = 1081199054

Prima direcție principală de inerție 1 face cu axa centrală 119866119911 unghiul 1205721 dat de

relația (437)

1205721 =1

2∙ arctan (minus

2 ∙ 119868119911119910

119868119911 minus 119868119910) =

1

2∙ arctan [minus

2 ∙ (minus151199054)

3331199054 minus 2081199054] =33 70

Deoarece 1205721 gt 0 rotirea axelor se face acircn sens antiorar acelor de ceasornic figura

49d

Poziția axe principale 2 față de care momentul de inerție are valoarea minimă

1198682 = 119868119898119894119899 este dată de unghiul

1205722 = 1205721 + 900 = 33 70 + 900 = 123 70

f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 se determină cu relația

(45)

1198781199111198602 = 1198602 ∙ 1198882 = 41199052 ∙ (minus15119905) = minus61199053

2 Reducacircnd forțele interioare icircn centrul de greutate al secțiunii s-a făcut o

aproximare icircn ceea ce privește efectul modului de dispunere al forțelor

3 Punctul de reducere trebuie să fie

pentru forțele interioare normale la secțiune centrul de greutate

pentru forțele interioare tangente la planul secțiunii centrul de răsucire sau de

tăiere

243 Eforturi

Prin metoda secțiunilor am pus icircn evidență existența forțelor interioare și modul

icircn care se determină componentele torsorului de reducere al forțelor interioare (119894119889 119894119889) de pe fața din dreapta secțiunii (Ad) Cele două componente ale torsorului de reducere al

forțelor interioare de pe Ad se pot descompune după axele unui sistem de referință

triortogonal xCyz astfel

119894119889 = +

119894119889 = 119909 +119872119894 (24)

unde și 119909 sunt proiecțiile lui 119894119889 și respectiv 119894119889 pe axa longitudinală Cx a

barei iar și 119894 sunt proiecțiile acelorași componente 119894119889 și respectiv 119894119889 pe planul yCz

al secțiunii transversale Ad figura 211

Fig 211 Torsorul de reducere al forţelor interioare

La racircndul lor și 119894 se pot descompune după axele sistemului yCz figura 212

= 119910 + 119911

119894 = 119894119910 + 119894119911 (25)

Fig 212 Descompunerea forţei tăietoare şi a momentului icircncovoietor

Cele șase componente ale torsorului de reducere al forțelor interioare ( 119910 119911

119909 119894119910 119894119911) orientate după axele sistemului de referință xCyz se numesc eforturi

Fiecare efort are o denumire stabilită icircn funcție de tipul de deformație pe care-l produce

De asemenea semnul plus (bdquo+rdquo) sau minus (bdquondashrdquo) al fiecărui efort nu depinde de sensul

pozitiv sau negativ al sistemului de axe ci doar de efectul icircn deformații al fiecărui efort

Denumirile celor șase eforturi sunt

119873 este forța axială

119879119910 119879119911 sunt forțe tăietoare orientate după axele Cy și respectiv Cz

119872119909 notat de cele mai multe ori cu 119872119905 este moment de torsiune sau de răsucire

119872119894119911 119872119894119910 sunt momente de icircncovoiere icircn jurul axei Cz și respectiv Cy

Forța axială 119873 poate fi forță axială de icircntindere cacircnd produce o lungire a

tronsonului pe a cărei față acționează (119873 gt 0) figura 213a sau forță axială de

compresiune cacircnd sub efectul ei bara se scurtează (119873 lt 0) figura 213b

Fig 213 Forța axială

Forțele tăietoare 119879119910 și 119879119911 au ca efect lunecarea secțiunii icircn centrul căreia

acționează icircn raport cu secțiunea icircnvecinată lunecare ce se produce pe direcția și icircn sensul

forței Sub acțiunea unei forțe tăietoare bara este solicitată la forfecare Forța tăietoare

este pozitivă 119879119910 gt 0 dacă icircn raport cu un punct oarecare K de pe axa Cx a barei tinde să

rotească secțiunea pe care acționează icircn sens orar

Fig 214 Forța tăietoare

Momentele de icircncovoiere 119872119894119911 și 119872119894119910 au ca efect o rotire a secțiunii icircn centrul

cărora acționează icircn jurul axei după care sunt orientate Icircn figura 215a se vede că

datorită momentului 119872119894119911 fibrele de deasupra axei Cz se alungesc icircn timp ce fibrele de sub

axa Cz se scurtează Fibrele care trec prin axa de icircncovoiere Cz nu se deformează sunt

fibre neutre la icircncovoiere adică axa neutră este Cz Icircn cazul momentului de icircncovoiere

119872119894119910 fibrele care nu se deformează sunt cele care trec prin axa neutră la icircncovoiere Cy

Momentele de icircncovoiere se consideră a fi pozitive (119872119894119911 gt 0119872119894119910 gt 0) dacă

observatorul care privește bara deformată vizualizează fibrele icircntinse

Fig 215 Momentul icircncovoietor

Momentul de torsiune sau de răsucire 119872119909 equiv 119872119905 are ca efect o rotire a secțiunii

icircn al cărei centru acționează icircn jurul axei longitudinale Cx Ca efect secțiunea icircși schimbă

forma (se deformează) adică unghiurile inițiale se modifică dreptunghiul inițial Ad

devine paralelogram Convențional se consideră 119872119905 gt 0 dacă vectorul moment are

aceeași orientare ca și sensul pozitiv ales pextru axa Cx Icircn figura 216 momentul este

negativ

Fig 216 Momentul de torsiune

25 Definiții și convenții de semne pentru eforturile

din secțiunile unei bare drepte plane icircncărcate cu sarcini coplanare

Vom considera o bară plană icircncărcată cu un sistem de forțe arbitrar figura 217

Ne propunem să determinăm eforturile care apar icircn secțiunea barei aflată la distanța 119909 de

reazemul din stacircnga (A)

Pentru aceasta vom aplica metoda secțiunilor vom secționa bara cu un plan

perpendicular pe axa longitudinală a barei și vom analiza doar partea din dreapta secțiunii

mărginită de fața Ad Pentru ca această porțiune de bară să fie icircn echilibru sub acțiunea

forțelor exterioare care acționează asupra sa 1198653 și 119881119861 va trebui să introducem icircn centrul

secțiunii Ad eforturile care pot să apară 119873 119879119910 119872119894119911 Acțiunea acestor eforturi trebuie să

fie echivalentă cu acțiunea forțelor exterioare aplicate pe partea icircnlăturată (parcursă) a

barei 119867119860 119881119860 1198651 1198652 1198720

Deoarece bara este plană și este icircncărcată doar cu sarcini ce aparțin

planului barei

icircn secțiunea Ad apar doar 3 componente ale torsorului de reducere al forțelor

interioare (eforturi)

- 119873 = forța axială

- 119879119910 = forța tăietoare pe care o vom nota cu 119879

- 119872119894119911 = momentul icircncovoietor notat cu Mi

Fig 217 Bară plană icircncărcată cu un sistem de forțe

Vom prezenta următoarele definiții corespunzătoare eforturilor din secțiunea Ad

119873 = forța axială dintr-o secțiune este egală cu suma algebrică a proiecțiilor pe

axa longitudinală a tuturor forțelor exterioare (sarcini și reacțiuni) aplicate pe partea

din stacircnga secțiunii adică pe porțiunea parcursă Forța axială 119873 este pozitivă dacă trage

de tronsonul pe a cărei față acționează (are orientarea normalei exterioare la secțiunea

Ad)

119873(119909) = minus119867119860 + 1198651119867 (26)

119879 = forța tăietoare icircntr-o secțiune este egală cu suma algebrică a proiecțiilor

pe o axă perpendiculară pe axa barei a tuturor forțelor exterioare (sarcini și reacțiuni)

aplicate pe porțiunea de bară aflată icircn stacircnga secțiunii considerate Forța tăietoare 119879

este pozitivă dacă tinde să rotească tronsonul pe a cărui față acționează icircn sens orar icircn

raport cu un punct de pe axa barei aflat la dreapta secțiunii

119879(119909) = 119881119860 minus 1198651119881 minus 1198652 (27)

119872119894 = momentul icircncovoietor icircntr-o secțiune este egal cu suma algebrică a

momentelor obținute prin reducerea tuturor forțelor exterioare ( cupluri sarcini

reacțiuni) aplicate pe porțiunea de bară aflată la stacircnga secțiunii icircn centrul secțiunii

considerate 119872119894 este considerat pozitiv dacă tinde să deformeze bara astfel icircncacirct fibrele

spre care privește un observator să fie icircntinse Cum poziția observatorului este de regulă

sub bară bara se deformează dacă 119872119894 gt 0 astfel icircncacirct partea jos a barei este icircntinsă Se

spune că bara deformată rdquoține apaldquo

119872119894(119909) = 119881119860 ∙ 119909 minus 1198651119881 ∙ (119909 minus 1198971) minus 1198652 ∙ [119909 minus (1198971 + 1198972)] + 1198720 (28)

Sensurile pozitive ale eforturilor care apar icircn centrul secțiunii Ad (deci atunci cacircnd

sensul de parcurs la aplicarea metodei secțiunilor este cel de la stacircnga la dreapta) sunt

indicate icircn figura 218a iar dacă sensul de parcurs este de la dreapta la stacircnga sensurile

pozitive ale eforturilor sunt indicate icircn figura 218b

Fig 218 Convenţia de semne

Definiții asemănătoare se pot da și pentru eforturile din centrul secțiunii As figura

218b adică pentru cazul icircn care sensul de parcurs este cel de la dreapta la stacircnga și deci

partea luată icircn considerare este cea din stacircnga iar partea parcursă din dreapta secțiunii

este icircnlăturată

119873(1199091) = 1198653119867

119879(1199091) = 1198653119881 minus 119881119861

119872119894(1199091) = 119881119861 ∙ 1199091 minus 1198653119881 ∙ (1199091 minus 1198975)

(29)

Avacircnd icircn vedere că fețele Ad și As aparțin aceleeași secțiuni este evident faptul că

eforturile 119873(119909) 119879(119909) și 119872119894(119909) sunt identice cu eforturile 119873(119961120783) 119879(119961120783) și respectiv

119872119894(119961120783) Icircn figura 218c se prezintă o sinteză a convențiilor de semne pozitive pentru cele

3 eforturi atacirct pentru sensul de parcurs de la stacircnga la dreapta (secțiunea Ad) cacirct și pentru

sensul invers (secțiunea As)

Semnele eforturilor sunt importante icircntrucacirct există materiale cu comportări diferite

la icircntindere față de compresiune iar o schimbare a semnului unui efort poate produce

erori grave icircn calcule Semnele eforturilor au fost stabilite icircn funcție de deformațiile

produse și nu depind de sensul axelor sistemului de coordonate

26 Relaţii diferenţiale icircntre eforturi şi sarcini

Pentru a vedea ce legătură există icircntre eforturi și sarcini vom considera o bară

dreaptă icircncărcată cu o sarcină distribuită după o lege oarecare figura 219a Din această

bară vom decupa prin dublă secționare un element de lungime infinit mică 119889119909 Deoarece

lungimea 119889119909 este foarte mică se poate considera sarcina 119901 uniform distribuită Icircn

secțiunile rezultate trebuie să introducem eforturile care pot apărea

- 119879 şi 119872119894 icircn centrul secțiunii din sticircnga eforturi pe care le considerăm pozitive

- 119879 + 119889119879 şi 119872119894 + 119889119872119894 icircn centrul secțiunii din dreapta elementului

Aceste eforturi au o variație mică (119889119879 şi 119889119872119894) față de secțiunea anterioară Spre

deosebire de cazul icircn care bara este secționată o singură dată icircn acest caz eforturile nu

pot fi determinate din cele 2 condiții de echilibru independente deoarece icircn ecuațiile de

echilibru apar 4 necunoscute 119879 119889119879119872119894 și 119889119872119894 deci că problema este dublu static

nedeterminată figura 219

Fig 219 Echivalența icircntre eforturi și sarcini

Ecuațiile de echilibru scrise pentru elementul din figura 219b conduc la stabilirea

unor relaţii foarte importante

(sum119865)119910= 0 hArr 119879 minus 119901 ∙ 119889119909 minus (119879 + 119889119879) = 0 rArr

119889119879

119889119909= minus119901 (210)

Relația (210) arată că derivata funcţiei forţei tăietoare icircn raport cu abscisa

secţiunii este egală cu sarcina distribuită normală la axa barei din acea secţiune luată

cu semn schimbat

Observații

dacă 119901 = 0 nu există sarcină distribuită atunci forța tăietoare T este constantă

icircnclinarea pantei diagramei forței 119879 este egală cu (ndash 119901) (sarcina distribuită cu

semn schimbat)

dacă 119901 = 119888119900119899119904119905 119879 variază liniar pe acel interval

Asemănător se deduce că derivata funcţiei forţei axiale icircn raport cu abscisa

secţiunii este egală cu sarcina distribuită axială din acea secţiune luată cu semn

schimbat adică

119889119873

119889119909= minus119901119867 (211)

Din condiția de echilibru suma de momente faţă de centrul de greutate al secţiunii

din dreapta

(sum119872)119862= 0 hArr 119872119894 minus (119872 + 119889119872119894) + 119879 ∙ 119889119909 minus 119901 ∙

(119889119909)2

2= 0 rArr

119889119872119894

119889119909= 119879 (212)

Relația (212) s-a obținut dupa reducerea termenilor și prin neglijarea infinitului

mic de ordinul 2

119901 ∙(119889119909)2

2

Relația (212) arată că derivata funcţiei moment icircncovoietor icircn raport cu abscisa

secţiunii este egală cu forţa tăietoare din acea secţiune

Observații

dacă 119879 = 0 momentul 119872119894 are un punct de extrem se obține o valoare maximă

pentru 119872119894119898119886119909 dacă forța tăietoare 119879 se anulează trecacircnd de la plus icircn stacircnga la minus icircn

dreapta secțiunii

dacă forța tăietoare este pozitivă pe un interval 119879 gt 0 atunci 119872119894 este crescătoare

pe acel interval

dacă forța tăietoare este negativă pe un interval 119879 lt 0 atunci 119872119894 este

descrescătoare pe acel interval

dacă pe un interval 119901 = 0 forța tăietoare este constantă 119879 = 119888119905 iar 119872119894 variază

liniar pe acel interval

dacă 119901 = 119888119900119899119904119905 119879 variază liniar pe acel interval iar 119872119894 variază parabolic pe

acel interval

Relaţiile diferenţiale sunt utile la reprezentarea corectă şi verificarea diagramelor

de eforturi astfel

pentru porţiunile de grindă pe care p = 0 eforturile N şi T sunt constante iar pe

porţiunile cu p = const eforturile N şi T variază liniar (relaţiile 211 şi 210)

dacă pe o porţiune T = const momentul icircncovoietor Miz variază liniar iar dacă

T variază liniar atunci momentul Miz variază parabolic (relaţia 212)

pe domeniile pe care T gt 0 funcţia Mi(x) este crescătoare iar icircn secţiunea icircn

care T = 0 (graficul funcţiei T intersectează axa x) momentul icircncovoietor are un punct

de extrem local (maxim sau minim relaţia 212)

Pentru rezolvarea problemelor referitoare la trasarea diagramelor de eforturi

pentru barele drepte solicitate de sisteme de forţe plane se parcurg următoarele etape

1) identificarea forţelor aplicate (date) şi pregătirea lor pentru calcule

(descompunerea forţelor concentrate pe direcţiile x şi y calculul rezultantelor forţelor

distribuite)

2) identificarea reazemelor şi introducerea reacţiunilor corespunzătoare (vezi

figurile 27divide29)

3) stabilirea ecuaţiilor de echilibru static calculul şi verificarea reacţiunilor Icircn

rezistența materialelor se folosește sistemul de ecuații (vezi figura 217)

(sum119865)

119909= 0

(sum119872)119860= 0

(sum119872)119861= 0

(213)

4) identificarea domeniilor de variaţie şi scrierea funcţiilor de eforturi pentru N T

şi Mi

5) reprezentarea grafică a diagramelor de eforturi

6) verificarea corectitudinii diagramelor pe baza relaţiilor diferenţiale icircntre eforturi

şi sarcini

Aplicație Pentru grinda dreaptă icircncărcată cu sistemul de forţe reprezentat icircn figura

220 se cere

a) să se calculeze şi să se verifice reacţiunile

b) să se stabilească funcţiile eforturilor Nx Ty şi Miz şi să se reprezinte diagramele

de variaţie

c) să se analizeze relaţiile diferenţiale icircntre eforturi şi sarcini

Dimensiunile grinzii au valorile a = 6 [m] b = 4 [m] și c = 4[m] sistemul de

forţe aplicat fiind format din p = 10 [kN mfrasl ] F = 20 [kN] (icircnclinată cu unghiul α =300 faţă de orizontală) şi M0 = 40 [kN ∙ m]

Rezolvare

a) Se fac următoarele precizări

grinda dreaptă se reprezintă prin axa geometrică

forţa icircnclinată F se descompune după direcţiile orizontală şi verticală icircn FV =F ∙ sin α = 10 [kN] şi FH = F ∙ cos α = 173 [kN]

forţa distribuită uniform p este echivalentă din punct de vedere static cu

rezultanta sa R = p ∙ a = 60 [kN] care acţionează la jumătatea porţiunii de lungime a

icircn reazemele 119860 şi 119861 se introduc componentele HA şi VA respectiv VB ale

reacţiunilor

Pentru calculul reacţiunilor se utilizează ecuaţiile de echilibru static al grinzii

sumXi = 0 HA minus FH = 0 sumYi = 0 VA + VB minus R minus FV = 0 (sumM)B = 0 VA ∙ (b + a) minus R ∙ (b + 05 ∙ a) minus M0 + FV ∙ c = 0

(A1)

Din prima ecuaţie se obţine HA iar din cea de-a treia ecuaţie rezultă VA

HA = FH = 173 [kN]

VA =[R ∙ (b + 05 ∙ a) + M0 minus FV ∙ c]

(b + a)=[60 ∙ (4 + 05 ∙ 6) + 40 minus 10 ∙ 4]

(4 + 6)

VA = 42 [kN]

(A2)

Fig 220 Aplicație

Se observă că cea de-a doua ecuaţie de echilibru conţine două necunoscute

reacţiunile VA şi VB Pentru a calcula componenta VB nu este indicată introducerea lui VA

icircn cea de-a doua ecuaţie a sistemului (A1) pentru că o valoare determinată greşit pentru

VA conduce la o valoare VB de asemenea greşită O ecuaţie independentă din care se poate

determina componenta VB este următoarea

(sumM)A= 0 FV ∙ (a + b + c) minus VB ∙ (a + b) minus M0 + R ∙ 05 ∙ a = 0 (A3)

de unde se obţine

VB =[FV ∙ (a + b + c) minusM0 + R ∙ 05 ∙ a]

(b + a)=[10 ∙ (6 + 4 + 4) minus 40 + 60 ∙ 05 ∙ 6]

(6 + 4)

VB = 28 [kN] (A4)

Ecuaţia de proiecţii ale forţelor pe direcţia verticală (a doua ecuaţie din sistemul

A1) se utilizează pentru verificarea reacţiunilor deja determinate

VA + VB minus R minus FV = 0 rArr 42 + 28 minus 60 minus 10 = 0 (A5)

Ultima egalitate demonstrează că reacţiunile verticale au fost calculate corect

Din cele de mai sus rezultă ordinea firească pentru determinarea reacţiunilor icircn

cazul grinzilor simplu rezemate

sumXi = 0

(sumM)A = 0

(sumM)B = 0

(A6)

iar pentru verificarea componentelor verticale VA şi VB se folosește ecuaţia sumY = 0

b) La stabilirea funcţiilor de eforturi se parcurg icircn general etapele următoare

se notează (numeric sau literal după preferinţă) secţiunile care delimitează

domeniile (intervalele sau tronsoanele) pe care eforturile nu-şi modifică funcţiile (au legi

unice de variaţie)

pe fiecare domeniu se marchează secţiunea imaginară icircn care se stabilesc

funcţiile eforturilor

secţiunea astfel aleasă separă icircn două părţi grinda şi anume porţiunea din stacircnga

şi porţiunea din dreapta secţiunii

se va considera parcursă (şi icircndepărtată) acea parte pe care acţionează mai puţine

sarcini exterioare pentru că acestea vor interveni icircn expresiile funcţiilor de eforturi

poziţiile secţiunilor imaginare se vor determina prin variabilele x1 ⋯ xn (unde

n reprezintă numărul domeniilor de variaţie) cu originea fixată icircn capătul intervalului şi

sensul de parcurgere spre partea considerată rămasă

Grinda prezentată icircn figura 220 are trei domenii de variaţie pentru funcţiile de

eforturi după cum urmează (A-1) (2-B) şi (B-1)

Domeniul (A-1) x1 isin [0 a = 6 m] Porţiunea parcursă şi considerată icircndepărtată este cea de coordonată x1 pe care

acţionează reacţiunile HA şi VA precum şi rezultanta parţială a sarcinii distribuite R1 =p ∙ x1

Funcţia forţă axială Nx are expresia

Nx(x1) = NAminus1 = minusHA = minus173 [kN] = const

(A7)

Funcţia forţă tăietoare Ty are exspresia

Ty(x1) = TAminus1 = VA minus R1 = VA minus p ∙ x1 (A8)

care reprezintă o variaţie liniară de variabilă x1 Se calculează valorile forţei tăietoare la

limitele intervalului de variaţie

- pentru x1 = 0 Ty(x1 = 0) = TA = VA = 42 [kN]

- pentru x1 = a = 6 [m] Ty(x1 = 6) = T1 = VA minus p ∙ a = minus18 [kN]

Observaţie Aşa cum a fost stabilită secţiunea fictivă poziţionată prin coordonata

x1 sar părea că rezultanta R ar trebui luată icircn calculul lui Ty(x1) Acest lucru ar fi greşit

pentru că R = p ∙ a reprezintă rezultanta sarcinii distribuite pe toată lungimea a iar

rezultanta pe porţiunea parcursă de lungime x1 este R1 = p ∙ x1 ne R = p ∙ a

Cu valorile obţinute se trasează diagramele forţelor axială Nx = f(x) şi tăietoare

Ty = f(x) figura 220 Din diagrama forţei tăietoare şi din valorile obţinute analitic se

observă că forţa tăietoare icircşi schimbă semnul pe intervalul analizat deci se anulează pe

acest interval Poziţia secţiunii unde Ty se anulează se determină din ecuaţia

Ty(x1) = 0 rArr VA minus p ∙ x1 = 0 (A9)

cu soluţia x1lowast = ξ = 42 [m] Important de reamintit că icircn această secţiune momentul

icircncovoietor va avea un extrem local adică Miz are un extrem la Ty = 0

Funcţia moment icircncovoietor Miz are expresia

Miz(x1) = VA ∙ x1 minus R1 ∙x12= VA ∙ x1 minus (p ∙ x1) ∙

x12

(A10)

Se observă că funcţia moment icircncovoietor de variabilă x1 are o variaţie parabolică

(gradul al II-lea) Pentru reprezentarea grafică a funcţiei parabolice se calculează valorile

momentului icircncovoietor icircn trei secţiuni

- pentru x1 = 0 Miz(x1 = 0) = MA = 0 [kN ∙ m] - pentru x1 = a = 6 [m] Miz(x1 = 6) = M1 = 72 [kN ∙ m] - pentru x1

lowast = ξ = 42 [m] Miz(x1lowast = ξ = 42 [m]) = Mimax = 882 [kN ∙ m]

Cu acestea se trasează diagrama Miz = f(x) pe intervalul (A-1) figura 220

Observaţie Icircn unele cazuri pe un anumit interval forţa tăietoare nu se anulează

şi momentul icircncovoietor nu are un extrem local Icircn acest caz pentru reprezentarea

variaţiei parabolice a momentului icircncovoietor se va studia semnul derivatei a doua a

funcţiei Miz = f(x1) acesta determinacircnd convexitatea curbei momentului icircncovoietor

Domeniul (2-B) x2 isin [0 c = 4 m] Porţiunile din grindă libere (nerezemate) la un capăt se numesc console iar

stabilirea funcţiilor de eforturi devine mai simplă dacă se consideră icircndepărtată partea din

dreapta secţiunii prin schimbarea sensului pozitiv al axei x Astfel se obţin funcţiile eforturilor

Funcţia forţă axială Nx are expresia

Nx(x2) = N2minusB = minusFH = minus173 [kN] = const

(A11)

Funcţia forţă tăietoare Ty are exspresia

Ty(x2) = T2minusB = FV = 10 [kN] = const (A12)

Funcţia moment icircncovoietor Miz are expresia

Miz(x2) = minusFV ∙ x2 rArr Miz(x2 = 0) = M2 = 0 [kN ∙ m]

Miz(x2 = 4) = MB = minus40 [kN ∙ m] (A13)

variaţie liniară (gradul I)

Domeniul (B-1) x3 isin [0 b = 4 m] Pe acest domeniu se acceptă parcurgerea grinzii de la dreapta adică se consideră

icircndepărtată partea din dreapta secţiunii fictive pentru că are doar două sarcini aplicate F

şi VB faţă de partea din stacircnga secţiunii pe care sunt aplicate trei sarcini p VA şi M0

Astfel se obţin funcţiile eforturilor

Funcţia forţă axială Nx are expresia

Nx(x3) = NBminus1 = minusFH = minus173 [kN] = const

(A14)

Funcţia forţă tăietoare Ty are exspresia

Ty(x3) = TBminus1 = FV minus VB = minus18 [kN] = const (A15)

Funcţia moment icircncovoietor Miz are expresia

Miz(x3) = minusFV ∙ (x3 + c) + VB ∙ x3 rArr

rArr Miz(x3 = 0) = MB = minus40 [kN ∙ m]

Miz(x3 = 4) = M1 = 32 [kN ∙ m]

(A16)

variaţie liniară (gradul I)

Diagramele eforturilor sunt prezentate icircn figura 220

c) Relaţiile diferenţiale dintre eforturi şi sarcini se analizează pe diagramele

eforturilor după cum urmează

sarcina distribuită nu are componentă orizontală adică ph = 0 şi icircn

conformitate cu formula (211) rezultă că Nx = const pe toată lungimea grinzii fapt care

a rezultat din funcţia şi reprezentarea diagramei forţei axiale

pe intervalul (A-1) sarcina distribuită are doar componenta verticală pozitivă

pV = p gt 0 prin urmare forţa tăietoare scade (are panta negativă dTy 119889119909frasl = minusp vezi

relaţia 210) iar momentul icircncovoietor avacircnd derivata a doua negativă d2M119894119911 1198891199092frasl =minuspare convexitatea curbei orientată spre sensul pozitiv al axei momentului Miz adică icircn

jos

pe domeniile (2-B) şi (B-1) deoarece pv = 0 forţa tăietoare Ty este constantă

iar momentul icircncovoietor Miz variază liniar

referitor la relaţia (212) pe porţiunile unde Ty gt 0 momentul Miz este

monoton crescător pe porţiunile unde Ty lt 0 momentul Miz este monoton descrescător

iar icircn secţiunea icircn care Ty = 0 momentul icircncovoietor are un extrem local Mξ =

882 [kN ∙ m] icircn diagrama forţei tăietoare discontinuităţile (salturile) se produc icircn secţiunile

unde acţionează VA VB şi FV iar icircn diagrama momentului icircncovoietor se produce un

singur salt icircn secţiunea icircn care este aplicat M0

se poate scrie

Mξ = suprafața diagramei Ty |ξ0=1

2∙ 42 ∙ 42 = 882 [kN ∙ m]

sau parcurgacircnd grinda de la dreapta la stacircnga rezultă

MB = minussuprafața diagramei Ty |c0= minus10 ∙ 4 = minus40 [kN ∙ m]

Toate aspectele analizate teoretic referitoare la relaţiile diferenţiale dintre eforturi

şi sarcini se regăsesc icircn diagramele de eforturi din figura 220 ceea ce icircnseamnă că

diagramele au fost reprezentate corect

3 TENSIUNI DEPLASĂRI ŞI DEFORMAŢII SPECIFICE

31 Tensiuni

Eforturile obținute icircn urma reducerii forțelor interioare icircn centrul de greutate al

secțiunii nu pot da informații asupra solicitării fiecărui punct al secțiunii respective Este

necesar să se cunoască modul cum se distribuie forțele interioare icircn fiecare punct al

secțiunii pentru a ști care este intensitatea maximă a solicitării Această intensitate

maximă se poate compara cu o valoare critică specifică materialului stabilindu-se astfel

dacă solicitarea este periculoasă sau nu

Mărimea care caracterizează solicitarea locală punctuală o vom denumi tensiune

și o vom defini icircn cele ce urmează Să considerăm partea din dreapta a unui corp solicitat

de forțele exterioare 1198651 1198652 și 1198653 obținută prin secționarea corpului și mărginită de fața

din dreapta Ad a secțiunii Pe secțiunea Ad vom considera un element de arie infinit mic

∆119860 caracterizat de normala la elementul de arie normală care are cosinușii directori

120573 și icircn raport cu un sistem de axe considerat fix Pe elementul infinit mic ∆119860 acționează

forțele interioare care au o rezultantă oarecare figura 31

Prin definiție tensiunea totală este

= lim∆119860rarr0

∆

∆119860 (31)

Tensiunea are aceeaşi direcţie cu forţa elementară ∆ iar mărimea ei este

determinată atacirct de mărimea forţei ∆ cacirct şi de orientarea suprafeţei ∆119860 faţă de direcţia

forţei

Tensiunea 119901 poate fi descompusă icircntr-o componentă orientată după direcţia

normalei la secţiune tensiunea normală notată cu 120590119909 şi o componentă icircn planul secţiunii

tensiunea tangenţială notată cu figura 32

= 119909 + 120591 (32)

Fig 31 Tensiunea totală Fig 32 Tensiunea normală și tangențială

La racircndul ei componenta tensiunii cuprinsă icircn planul secțiunii poate fi

descompusă după direcțiile axelor y și z

120591 = 120591119909119910 + 120591119909119911 (33)

Icircntre cele trei componente ale tensiunii totale care acționează pe elementul de arie

∆119860 este valabilă relația

1199012 = 1205901199092 + 120591119909119910

2 + 1205911199091199112 (34)

După sensul pe care icircl are tensiunea normală 120590 poate avea efect de tracţiune sau

de compresiune exercitat de către partea de corp icircnlăturată asupra părţii rămase Analog

tensiunea tangenţială 120591 poate avea efect de tăiere forfecare sau alunecare Pentru

componentele tensiunii tangențiale 120591119909119910 pe direcţia 119910 respectiv 120591119909119911 pe direcţia 119911 primul

indice indică axa pe care tensiunea este normală iar cel de-al doilea indice indică axa cu

care aceasta este paralel

Tensiunea este o mărime tensorială valoarea ei depinzacircnd atacirct de poziția

punctului icircn planul secțiunii cicirct și de orientarea planului de secționare deci de normala

Operaţiile vectoriale nu pot fi aplicate tensiunilor decacirct după ce acestea au fost icircnmulţite

cu ariile respective adică au fost transformate icircn forţe

Icircn literatura de specialitate mai ales icircn manualele mai vechi pentru noţiunea de

tensiune se mai foloseşte şi denumirea de efort specific

Dacă se consideră un alt element de arie ∆119860 cu centrul icircn același punct avacircnd ca

normală axa 119910 se vor obține alte tensiuni și anume

- 120590119910 este tensiunea normală (paralelă cu axa y)

- 120591119911119909 și 120591119910119911 sunt tensiuni tangențiale paralele cu axele 119909 și respectiv 119911 aflate icircn

planul care are ca normală axa 119910

Dacă icircn jurul unui punct dintr-un corp solicitat se consider un element de volum

infinit mic de forma unui cub icircn cazul cel mai general pe fețele sale vor acționa

tensiunile normale 120590119909 120590119910 și 120590119911 și respectiv tensiunile tangențiale 120591119909119910 120591119909119911 120591119910119909 120591119910119911 120591119911119909

și respectiv 120591119911119910 figura 33 Aceste tensiuni definesc starea de tensiune a punctului

observacircnd faptul că tensorul tensiune are 9 componente Dacă se consideră elementul

de volum finit ca fiind foarte mic se poate presupune că icircn interiorul său nu apar forțe

Ca urmare el va fi icircn echilibru sub acțiunea forțelor elementare produse de tensiunile de

pe fețele sale

Din condiția ca elementul să nu se rotească icircn jurul unor axe care trec prin centrul

său și sunt paralele cu axele sistemului 119909119874119910119911 rezultă

2 ∙ 120591119909119910 ∙ (119889119910 ∙ 119889119911) ∙119889119909

2= 2 ∙ 120591119910119909 ∙ (119889119909 ∙ 119889119911) ∙

119889119910

2 rArr 120591119909119910 = 120591119910119909 (35)

2 ∙ 120591119910119911 ∙ (119889119909 ∙ 119889119911) ∙119889119910

2= 2 ∙ 120591119911119910 ∙ (119889119909 ∙ 119889119910) ∙

119889119911

2 rArr 120591119910119911 = 120591119911119910 (36)

2 ∙ 120591119909119911 ∙ (119889119910 ∙ 119889119911) ∙119889119909

2= 2 ∙ 120591119911119909 ∙ (119889119909 ∙ 119889119910) ∙

119889119911

2 rArr 120591119909119911 = 120591119911119909 (37)

Relațiile (35divide37) 120591119909119910 = 120591119910119909 120591119910119911 = 120591119911119910 120591119909119911 = 120591119911119909 exprimă principiul dualității

tensiunilor tangențiale

Fig 33 Tensiunile normale și tangențiale pe fețele unui cub

Din condiția ca elementul considerat să nu se deplaseze icircn lungul axelor de

coordonate pe fețele opuse acționează aceleași tensiuni normale 120590119909 120590119910 și respectiv 120590119911

Definirea tensorului tensiune este posibilă dacă se cunosc cele 6 componente

independente ale acestuia aflate icircn trei plane perpendicular ce trec prin punctul respectiv

=

120590119909 120591119909119910 120591119909119911120591119910119909 120590119910 120591119910119911120591119911119909 120591119911119910 120590119911

Observaţii

Tensiunile se măsoară icircn [119873 1198982frasl ] (1119873 1198982frasl = 1 119875119886) sau icircn [119872119875119886]

(1 119872119875119886 = 106119875119886 = 106 119873

1198982 1 119872119875119886 = 1

119873

1198981198982)

Starea de tensiune dintr-un punct este considerată cunoscută dacă se cunosc

tensiunile 119901 care acționează pe infinitatea de elemente de suprafață ce trec prin punctual

considerat

Starea de tensiune a unui corp se consider cunoscută dacă se cunosc stările de

tensiune de pe infinitatea de puncte ale corpului considerat

32 Deplasări Deformaţii specifice

321 Deplasări

Aceste noțiuni sunt utile icircn analiza aspectului geometric al problemelor de rezistența

materialelor Deplasările care se analizează sunt cele datorate schimbării formei și

dimensiunilor corpurilor ca urmare a acțiunii forțelor exterioare și nu cele cinematice

posibile pentru solidul rigid care se poate deplasa cu anumită viteză și accelerație

Spre exemplu icircn figura 34a și figura 34b sub acțiunea forței 119865 tronsonul de

bară AB se deformează icircn timp ce tronsonul BC deși punctele sale au deplasări rămacircne

nedeformat (fiind nesolicitat) Toate punctele de pe axele barelor cu excepția celor din

icircncastrare (secțiunile A) au deplasări liniare De cele mai multe ori deformațiile barelor

datorate acțiunii forțelor exterioare se anulează la icircndepărtarea forțelor se spune că

deformațiile sunt elastice Secțiunile transversale ale barei din figura 34a se și rotesc icircn

raport cu pozițiile lor inițiale Spre exemplu secțiunea de căpăt cu centrul icircn C se rotește

cu unghiul

Fig 34 Deformațiile unei grinzi

Oricacirct de complexă ar fi delormația unui corp ea poate fi descrisă de lungiri sau

scurtări și de modificări ale unghiurilor inițiale

Deplasările măsoară schimbarea poziției unui punct al corpului și pot fi liniare

sau unghiulare

Prin deplasare liniară a unui punct se icircnțelege drumul parcurs de acest punct icircn

decursul procesului de deformație după o dreaptă suport dreapta 1198611198611 din figura 34a

Prin deplasare unghiulară se icircnțelege rotirea dintre segmentele de dreaptă

determinate de două puncte ale corpului icircnainte și după deformarea acestuia unghiul

pe care-l fac segmentele 119861119862 și 11986111198621 din figura 34a Această rotire se măsoară prin

unghiul pe care-l fac proiecțiile dreptelor ce conțin cele două segmente icircntr-un sistem

triortogonal

Icircn cazul cel mai general vectorul deplasare liniară se poate descompune icircntr-un

sistem triortogonal icircn trei componente 119906 119907 și 119908 figura 35

Fig 35 Deplasarea liniară

Se consideră acum un corp solid raportat la un sistem de axe ortogonal 119909119874119910119911

figura 35 după deformarea corpului un punct oarecare 119870 al acestuia se deplasează icircn

poziţia 1198701 vectorul 1198701198701 poartă numele de vectorul deplasării totale

Deplasarea totală este suma deplasărilor pe cele trei direcţii ortogonale iar

aceste deplasări se notează astfel

deplasarea pe direcţia 119909 cu ∥ 119874119909

deplasarea pe direcţia 119910 cu ∥ 119874119910

deplasarea pe direcţia 119911 cu ∥ 119874119911

Componentele deplasărilor și formeză matricea deplasărilor liniare 119906119907119908

322 Deformații

Prin deformație icircn general se icircnțelege orice schimbare de formă a unui corp fără

o evaluare cantitativă Icircn Rezistența Materialelor deformația măsoară variația

dimensiunilor geometrice ale corpului considerat din vecinătatea unui punct analog

deplasărilor deformațiile pot fi liniare și unghiulare (lunecări)

Fig 36 Deplasarea liniară

Deformația liniară ∆119897 reprezintă variația lungimii 119897 a unui element liniar al

corpului deformat figura 36 Deformația liniară specifică se definește ca fiind raportul

dintre deformația liniară și lungimea inițială

휀 =∆119897

119897 (38)

unde ∆119897 este lungirea sau scurtarea care este echivalentă cu deformția liniară totală iar

este alungirea

Deformația unghiulară sau lunecarea unui punct 119860 icircn planul 119861119860119862 se definește

prin relația figura 37

120574 = lim119861119860rarr0119862119860rarr0

(119861119860 minus 119861111986011198621 ) (39)

Fig 36 Deformația unghiulară

Schimbacircnd orientarea planului care trece prin 119860 se obțin alte deformații

unghiulare Dacă elementele liniare 119861119860 și 119862119860 sunt inițial perpendiculare deformația 120574 se

numește deformație unghiulară specifică sau lunecare specifică figura 37

Un exemplu de deplasare unghiulară și de deformație unghiulară este prezentat icircn

figura 38 Unghiul este deplasarea unghiulară și măsoară rotirea relativă dintre două

secțiuni aflate la distanța 119897 Unghiul este deformația specifică unghiulară (lunecarea

specifică) din punctul 119870 Aceste deplasări și deformații se obțin icircn urma solicitării barei

de către cele două momente 1198720 egale și de sens contrar

Fig 38 Deplasarea unghiulară

Pentru a analiza starea de deformație din vecinătatea unui punct al unui corp

solicitat complex se decupează din jurul punctului un element de volum mic figura 39a

avacircnd laturile 119889119909 119889119910 și 119889119911 Ca urmare a solicitării laturile acestuia se vor lungi sau

scurta Reprezentarea elementului deformat icircn spațiu este dificilă pentru simplificare

vom analiza doar deformațiile din planul 119909119874119910 Observăm că dimensiunile 119889119909 și 119889119910 s-au

modificat cu valoarea ∆119889119909 respectiv cu ∆119889119910 analog se acceptă și pentru 119889119911 o modificare

de forma ∆119889119911 Astfel se pot defini deformațiile specifice liniare

휀119909 =∆119889119909

119889119909 휀119910 =

∆119889119910

119889119910 휀119911 =

∆119889119911

119889119911 (310)

De cele mai multe ori aceste deformații specifice liniare se pot exprima procentual

și se mai numesc alungiri

Fig 39 Starea de deformație

Icircn figura 39c se vede că unghiul inițial drept dintre muchiile 119889119909 și 119889119910 ale

elementului de volum s-a modificat Se definește deformația specifică unghiulară (sau

lunecarea specifică) mărimea cu care se modifică unghiul inițial drept

120574119909119910 = 120574119909119910prime + 120574119910119909

prime = 120574119910119909120574119910119911 = 120574119910119911

prime + 120574119911119910prime = 120574119911119910

120574119911119909 = 120574119911119909prime + 120574119909119911

prime = 120574119909119911

(311)

Deformațiile 휀119909 휀119910 휀119911 120574119909119910 120574119910119911 120574119911119909 constituie cele șase componente

independente ale tensorului deformațiilor specifice care pot fi scrise de forma

119863 =

휀119909 120574119909119910 120574119909119911120574119910119909 휀119910 120574119910119911120574119911119909 120574119911119910 휀119911

(312)

323 Contracţia transversală

Practica arată că odată cu lungirea unei bare apare o micşorare a mărimii secţiunii

transversale mărime numită contracţie transversală figura 310

Fig 310 Contracția transversală

Contracţia transversală este proporţională cu lungirea specifică coeficientul de

proporţionalitate se notează cu 120599 şi se numeşte coeficient de contracţie transversală sau

coeficientul lui Poisson

La o lungire specifică a barei contracţia transversală este dată de relația

휀119905119903 = 휀119910 = 휀119911 = minus120599 ∙ 휀119909 (313)

Semnul minus bdquo-rdquo arată că cele două mărimi sunt contrare dacă una creşte cealaltă

scade şi invers

Considerăm o bară cilindrică de lungime 119897 şi aria secţiunii transversale 119860 solicitată

la icircntindere axială La un moment dat datorită solicitării lungimea barei devine

[119897 ∙ (1 + 휀)] diametrul devine [119889 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)] iar aria secţiunii transversale devine

[119860 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)2] Dacă volumul barei icircnainte de solicitare a fost (119860 ∙ 119897) după solicitare

acesta devine

119881 + ∆119881 = 119860 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)2 ∙ 119897 ∙ (1 + 휀) =

= 119860 ∙ 119897 ∙ (1 + 휀 minus 2 ∙ 120599 ∙ 휀 minus 2 ∙ 120599 ∙ 휀2 + 1205992 ∙ 휀2 + 1205992 ∙ 휀3) (314)

Deoarece lungirile sunt foarte mici ultimii trei termeni din paranteză fiind infinit mici se pot neglija obţinacircnd

119881 + ∆119881 = 119860 ∙ 119897 + 119860 ∙ 119897 ∙ 휀 ∙ (1 minus 2 ∙ 120599) ⟺ ∆119881 = 휀 ∙ (1 minus 2 ∙ 120599) ∙ 119860 ∙ 119897 (315)

Practica arătă că o astfel de bară solicitată la icircntindere icircşi măreşte volumul deci

∆119881 gt 0 de unde rezultă că

1 minus 2 ∙ 120599 gt 0 rArr 120599 lt 05 (316)

Pentru majoritatea materialelor 120599 = 033 iar pentru materialele care-şi păstrează

volumul constant 120599 = 05

33 Relaţii de echivalenţă icircntre eforturi şi tensiuni

Considerăm un element de suprafață infinit mic 119889119860 situat pe fața de arie (119860) a

secțiunii barei din figura 311 Icircn centrul de greutate 119862 al secțiunii acționează eforturile

119873 119879119910 119879119911 119872119909 119872119894119910 și 119872119894119911 determinate prin metoda secțiunilor

Icircn raport cu un sistem de axe de referință 119909119862119910119911 coordonatele elementului 119889119860 sunt

- 119910 este ordonata elementului de arie 119889119860

- 119911 este abscisa elementului de arie 119889119860

Pe elementul de arie 119889119860 acționează tensiunile

120590119909 tensiunea normală

120591119909119910 și 120591119909119911 tensiuni tangențiale

Dacă se icircnsumează forțele elementare de tipul 120590119909 ∙ 119889119860 120591119909119910 ∙ 119889119860 și 120591119909119911 ∙ 119889119860

va trebui să obținem eforturile 119873 119879119910 și 119879119911

Fig 311 Element de suprafață mic din secțiunea unei bare

Dacă eforturile sunt privite ca forțe exterioare și se scriu ecuațiile de

echilibru ale secțiunii (119860) se vor obține șase relații de echivalență icircntre eforturi și

tensiuni

(sum119883) = 0 rArr int 120590119909 ∙ 119889119860

119860

= 119873 (317)

(sum119884) = 0 rArr int 120591119909119910 ∙ 119889119860

119860

= 119879119910 (318)

(sum119885) = 0 rArr int 120591119909119911 ∙ 119889119860

119860

= 119879119911 (319)

(sum119872)119909= 0 rArr int(120591119909119911 ∙ 119889119860) ∙ 119910

119860

minus int(120591119909119910 ∙ 119889119860) ∙ 119911

119860

= 119872119909 rArr

rArr int(119910 ∙ 120591119909119911 minus 119911 ∙ 120591119909119910) ∙ 119889119860

119860

= 119872119909

(320)

(sum119872)119910= 0 rArr int(120590119909 ∙ 119889119860) ∙ 119911

119860

= 119872119894119910 (321)

(sum119872)119911= 0 rArr int(120590119909 ∙ 119889119860) ∙ 119910

119860

= 119872119894119911 (322)

Cele șase relații de echivalență icircntre eforturi și tensiuni constituie un pas icircnainte

icircn rezolvarea unei probleme de rezistența materialelor Aceste relații vor permite

determinarea tensiunilor maxime

Pentru a rezolva cele 6 relații de echivalență trebuie să se cunoască tensiunile și

ca funcții de punct adică funcții de forma

120590119909 = 120590119909(119909 119910 119911) 120591119909119910 = 120591119909119910(119909 119910 119911) 120591119909119911 = 120591119909119911(119909 119910 119911) (32

3)

Cunoașterea acestor funcții presupune icircnsă analizarea aspectului geometric al

problemei precum și utilizarea unor ipoteze simplificatoare care să permită simplificarea

problemelor

34 Ipoteze de bază icircn rezistenţa materialelor

Depășirea dificultăților legate de interpretarea unor fenomene specifice mecanicii

solidului deformabil a impus acceptarea unor ipoteze care să simplifice fenomenele și să

contribuie la elaborarea unor modele de calcul cicirct mai generale și cacirct mai simple Aceste

ipoteze se referă la structura materialelor şi la comportarea lor sub acţiunea forţelor

exterioare Ipotezele acceptate trebuie să fie icircn deplină concordanţă cu realitatea și să

conducă la rezultate verificate icircn practică

Funcție de aspectele la care se referă ipotezele pot fi

Ipoteze fizice (de material)

Ipoteze de calcul

341 Ipoteze fizice

Se acceptă deoarece teoriile structurale au condus la rezultate care contravin

icircncercărilor experimentale

Ipoteza mediului continuu consideră că orice domeniu elementar al corpului

este ocupat de materie adică nu se acceptă existența unor goluri sau a unor crăpături

microscopice (fisuri) Deși nu corespunde realităţii poate fi acceptată deoarece

dimensiunile corpului sunt mult mai mari decacirct dimensiunile particulelor elemantare Are

avantajul că permite utilizarea proprietăților matematice ale funcțiilor continue pentru

tensiunile și deformațiile din orice punct al corpului Ea este mai apropiată de realitate la

corpurile amorfe şi mai depărtată la cele cristaline dar conduce la rezultate satisfăcătoare

icircn calculele de rezistenţă

Ipoteza nu se poate aplica la corpurile care au goluri tăieturi (multiplu conexe)

pentru unele puncte singulare icircn care tensiunile și deformațiile tind la infinit sau icircn unele

probleme de plasticitate icircn care proprietățile de material au un rol esențial

Ipoteza izotropiei conform acestei ipoteze materialul din care este confecționat

un element de rezistență are aceleași proprietăți după orice direcție un astfel de material

este considerat izotrop Din punct de vedere macroscopic metalele pot fi considerate

izotrope deși la nivel microscopic proprietățile lor diferă de la o direcție cristalografică

la alta Orice conglomerat de cristale poate fi considerat izotrop

Există cazuri cacircnd această ipoteză a izotropiei nu se acceptă

la metalele puternic deformate după o direcție (prin laminare trefilare)

la piesele confecționate din lemn lemnul este anizotrop deoarece proprietățile sale

diferă după două direcții (icircn lungul fibrelor și perpendicular pe această direcție)

Ipoteza omogenității consideră că un corp are aceleași proprietăți icircn orice

punct al său Deși majoritatea materialelor utilizate icircn tehnică sunt eterogene la scară

micro fiind constituite din mai multe faze cu proprietăți diferite la scară macro ele pot

fi considerate omogene Omogenitatea și izotropia sunt proprietăți statistice medii care

nu se condiționează una pe cealaltă Chiar și materialele monofazice pot avea la scară

micro unele segregații care le fac eterogene

Ipoteza elasticităţii perfecte presupune că atacircta timp cacirct solicitările nu

depăşesc anumite limite materialul are o comportare elastică adică icircşi recapătă forma şi

dimensiunile iniţiale odată cu icircnlăturarea sarcinilor Icircn realitate materialele nu prezintă o

elasticitate perfectă ele avacircnd deformaţii remanente mici care icircnsă pot fi neglijate icircn

calculele de rezistenţă

Acceptarea acestei ipoteze a elasticității perfecte permite

- aplicarea relației biunivoce icircntre tensiuni și deformații relație exprimată de legea

lui Hooke ( = 119864 ∙ 휀) unde E este un factor de proporţionalitate numit modul de

elasticitate longitudinal al materialului pentru oţel 119864 = 21 ∙ 105 [119872119875119886] - acceptarea valabilității afirmației bdquolucrul mecanic efectuat de forțele exterioare

ca urmare a parcurgerii deplasărilor punctelor de aplicație se icircnmagazinează integral icircn

corp sub formă de energie de deformație energie cedată la icircndepărtarea sarcinilorrdquo

- este valabilă teoria conform căreia bdquoenergia icircnmagazinată și deformațiile depind

doar de starea inițială și finală de eforturi fără a ține cont de modul icircn care s-a ajuns la

starea finalărdquo

Icircn realitate oricacirct de mici ar fi sarcinile aplicate se produc și deformații plastice

dar acestea pot fi neglijate dacă solicitarea nu depășește anumite limite

342 Ipoteze de calcul

Ipoteza micilor deplasări bdquodeplasările datorate deformării sunt mult mai mici

decacirct dimensiunile corpurilor și ca urmare pot fi neglijate produsele dintre o deplasare și

ea icircnsăşirdquo Pentru cele mai multe corpuri deformaţiile elastice sunt de mărimi mici deci

corpurile solide sub acţiunea sarcinilor icircşi modifică foarte puţin forma iniţială Această

ipoteză este cunoscută şi sub denumirea de ipoteza menţinerii dimensiunilor iniţiale Ea

permite scrierea ecuaţiilor de echilibru ale staticii pe starea nedeformată a elementului

cacircnd nu se iau icircn considerare deplasările punctelor de aplicaţie ale forţelor care se produc

ca urmare a deformării acestuia Calculul efectuat pe schema nedeformată poartă numele

de calcul de ordinul I

Ipoteza micilor deplasări nu poate fi acceptată pentru studiul problemelor de

stabilitate sau la problemele la care nu pot fi icircndeplinite condiţiile de echilibru icircn starea

nedeformată

Calculul de ordinul II admite ipoteza micilor deplasări dar ecuaţiile de echilibru

se scriu icircnsă pentru starea deformată a elementului de rezistenţă

Calculul de ordinul III nu mai acceptă ipoteza micilor deplasări el referindu-se

la cazul deformaţiilor mari cacircnd ecuaţiile de echilibru trebuie scrise pentru starea

deformată

Chiar dacă materialul satisface legea lui Hooke icircn urma calculelor de ordinul II

se obţin de obicei relaţii neliniare icircntre sarcini şi deplasări iar pentru calculul de ordinul

III rezultă ecuaţii diferenţiale neliniare

Principiul efectului local al acțiunii sarcinilor enunțat de Barre de Saint-

Venant Acest principiu destul de folosit icircn Rezistenţa Materialelor precizează că dacă

se icircnlocuiesc forţele care acţionează asupra unui element de suprafață al unui corp

elastic printr-un alt sistem de forţe echivalent din punct de vedere static cu primul noua

distribuţie a forţelor produce la locul de aplicare diferenţe semnificative faţă de prima

dar rămacircne fără efect sau cu efect neglijabil la distanţe mari de locul de aplicare al

forţelor figura 312

Ca o cosecință o sarcină uniform distribuită figura 312a poate fi icircnlocuită cu

rezultanta ei figura 312b dacă se analizează efectul sarcinii la distanță mare de locul icircn

care se aplică sarcina

Fig 312 Principiul Saint-Venant

Icircn prima variantă figura 312a forţa 119865 se aplică pe o porțiune oarecare 119897 (sarcină

uniform distribuită) iar icircn a doua figura 312b icircntru-un punct (forţă concentrată) La

locul de aplicare a sarcinii efectul asupra barei este cu totul diferit de la o variantă la

cealaltă Icircnsă la o distanţă mare de punctul de aplicaţie spre exemplu icircn secţiunea situată

la distanţa 119886 de capătul barei sau chiar icircn icircncastrare ambele bare sunt solicitate la fel

Icircn cazul din figura 312a

119872119894(119909) =119901 ∙ 1199092

2 119909 le 119897 119872119894(119909) = 119901 ∙ 119897 ∙ (119909 minus

119897

2) 119909 gt 119897 (324)

Icircn cazul din figura 312b

119872119894(119909) = 0 119909 lt119897

2 119872119894(119909) = 119901 ∙ 119897 ∙ (119909 minus

119897

2) 119909 gt

119897

2 (325)

Se vede că pentru (119909 gt 119897) adică după depășirea locului icircn care se aplică sarcina

efectul este același

Ipoteza lui Bernoulli sau ipoteza secţiunilor plane precizează că o secţiune

plană şi normală pe axa barei icircnainte de deformare rămacircne plană şi normală pe axa

barei şi după deformare figura 313

Fig 313 Ipoteza lui Bernoulli

Ipoteza stării naturale a corpului sau ipoteza absenţei tensiunilor conform

căreia pentru un corp nesolicitat starea de tensiune şi deformaţie este nulă

Perfecţionarea mijloacelor de calcul şi de investigare pot conduce la renunţarea la

unele ipoteze sau la introducerea altora noi mai aproape de stările reale De aici rezultă

caracterul de continuă perfecţionare a metodelor Rezistenţei Materialelor

35 Coeficienţi de siguranţă Tensiuni admisibile

O piesă corespunde din punct de vedere tehnic dacă tensiunile care iau naştere icircn

interiorul piesei datorită sarcinilor aplicate nu depăşesc anumite valori limită stabilite

convenţional Aceste valori limită ale tensiunii sunt corelate cu caracteristicile mecanice

ale materialelor

Tensiunea limită utilizată icircn calculele de rezistenţă este cunoscută sub denumirea

de tensiune admisibilă sau rezistenţă admisibilă Rezistenţa admisibilă reprezintă

valoarea convenţională aleasă icircn calcul pe baza practicii pentru tensiunea maximă care

poate apare icircntr-o piesă icircn condiţii date de material şi solicitare

Rezistenţa admisibilă (120590119886 sau 120591119886) poate fi definită faţă de o stare limită

periculoasă stare care trebuie evitată deoarece poate conduce distrugere

120590119886 =120590119897119894119898119888

(326)

unde

120590119897119894119898 este tensiunea corespunzătoare stării limită periculoase

119888 estesupraunitar 119888 gt 1 și reprezintă coeficientul de siguranţă faţă de starea limită

periculoasă considerată

Alegerea unor valori inferioare pentru rezistenţa admisibilă faţă de tensiunea

corespunzătoare stării limită periculoase este necesară deoarece

cunoaşterea sarcinilor este de cele mai multe ori aproximativă şi o depăşire a

acestora este foarte posibilă

caracteristicile mecanice ale materialelor variază icircn limite destul de mari ele

fiind influenţate de mulţi factori

schema aleasă pentru calcul (aplicarea sarcinilor schematizarea structurii

ipotezele de calcul etc) depărtează modelul faţă de cel real

Pentru calculele de verificare tensiunea efectivă maximă din elementul de

rezistenţă trebuie să fie mai mică sau cel mult egală cu cea admisibilă

120590119890119891119898119886119909 le 120590119886 (327)

Valoarea rezistenţei admisibile este influenţată de foarte mulţi factori natura

materialului tratamentele termice aplicate piesei durata de funcţionare a piesei modul

de acţionare icircn timp a sarcinilor felul solicitării temperatura gradul de periculozitate

icircn cazul cedării piesei etc

De asemenea valoarea coeficientului de siguranţă se alege icircn principal ţinacircnd

seama de aceiaşi factori care influenţează şi rezistenţa admisibilă

Rezistenţele admisibile pentru cacircteva materiale sunt următoarele

pentru oțelul de uz general OL37 solicitat la icircntindere compresiune sau

icircncovoiere 120590119886 = 150 [119872119875119886] pentru lemnul de brad solicitat la

- compresiune icircn lungul fibrelor şi solicitat la icircncovoiere 120590119886 = 10 [119872119875119886] - tracţiune icircn lungul fibrelor 120590119886 = 7 [119872119875119886] - compresiune perpendiculară pe fibre 120590119886 = 15 [119872119875119886] - forfecare icircn lungul fibrelor 120591119886 = 2 [119872119875119886] - forfecare perpendiculară pe fibre 120590119886 = 45 [119872119875119886]

terenuri de fundaţie din pămacircnt uscat sau umed 120590119886 = 020 divide 025 [119872119875119886]

4 CARACTERISTICI GEOMETRICE ALE SECȚIUNILOR PLANE

41 Noţiuni introductive

Icircn relaţiile de calcul ale tensiunilor şi deformaţiilor elementelor de rezistenţă

pentru unele solicitări (icircncovoierea și torsiunea) secțiunile plane intervin atacirct prin

dimensiunile lor (aria 119860) cicirct și prin forma și poziția pe care o are secțiunea icircn raport cu

planul solicitării Mărimile care caracterizează o secțiune icircn raport cu forma și poziția față

de axele unui sistem de referință sunt denumite caracteristici geometrice de ordin

superior Aria secțiunii este caracteristica geometrică ce depinde doar de dimensiunile

geometrice ale acesteia

Să considerăm o grindă solicitată de o forță exterioară 119865 aşezată icircn două poziții icircn

raport cu planul forţei figura 41 Icircn urma aplicării forței deși avem aceeași grindă

(aceeași arie a secțiunii transversale) și aceeași forță se constată că pentru varianta din

figura 41a deformațiile sunt mult mai mari adică rezistența la icircncovoiere a grinzii din

figura 41a este mai mare decacirct icircn cazul grinzii din figura 41b Comportarea diferită se

explică prin aceea că modificarea poziţiei secţiunii transversale faţă de planul forţelor

modifică caracteristicile geometrice ale secţiunii transversale a grinzii

Fig 41 Grindă solicitată de forța 119865

Pentru realizarea calculelor de rezistenţă şi rigiditate este foarte importantă

cunoaşterea caracteristicilor geometrice ale suprafeţei secţiunii transversale a elementelor

de rezistenţă

Caracteristicile geometrice ale secţiunii transversale a unui element de rezistenţă

sunt

- aria secțiunii notată cu 119860

- momentul static icircn raport cu o axă notat 119878119911 și respectiv 119878119910

- momentul de inerție care poate fi

axial notat 119868119911 și respectiv 119868119910

centrifugal notat 119868119911119910

polar notat 119868119901

- raza de inerţie (giraţie)notată 119894119911 și respectiv 119894119910

- modulul de rezistență care poate fi

axial notat 119882119911 și respectiv 119882119910

polar notat 119882119901

42 Aria și momentul static al suprafețelor plane

Fie o suprafaţă plană de arie 119860 pe care se ia un element infinit mic de arie 119889119860 şi

un sistem de axe rectangulare 119911119874119910 figura 42 Notăm cu 119862 centrul de greutate al suprafeţei

119860 Poziţia suprafeţei elementare 119889119860 faţă de acelaşi sistem de coordonate 119911119874119910 este dată

de abscisa 119911 ordonata 119910 și raza polară

Fig 42 Suprafață plană de arie 119860

Aria suprafeţei 119860 figura 42 se defineşte ca fiind

119860 ≝ int 119889119860

119860

(41)

Aria suprafeţei este icircntotdeauna pozitivă și se măsoară icircn [1198981198982] Momentul static al suprafeţei de arie 119860 icircn raport cu axele 119874119911 și respectiv 119874119910

figura 42 sunt date de relaţiile

119878119911 ≝ int 119910 ∙ 119889119860

119860

119878119910 ≝ int 119911 ∙ 119889119860

119860

(42)

Momentul static poate fi pozitiv negativ sau nul şi se măsoară icircn [1198981198983] Coordonatele centrului de greutate ale suprafeței 119860 se detrmină cu relațiile

119910119862 ≝int 119910 ∙ 119889119860119860

119860 119911119862 ≝

int 119911 ∙ 119889119860119860

119860

(43)

Cunoscacircnd coordonatele 119910119862 și 119911119862 ale centrului de greutate 119862 al secțiunii 119860 atunci

momentele statice se pot determina cu relațiile

119878119911 ≝ int 119910 ∙ 119889119860

119860

= 119910119862 ∙ 119889119860 119878119910 ≝ int 119911 ∙ 119889119860

119860

= 119911119862 ∙ 119889119860 (44)

Aceste relații arată că momentul static al unei suprafețe icircn raport cu o axă este

egal cu produsul dintre aria suprafeței și distanța de la centrul ariei la axa respectivă

Dacă suprafaţa se poate descompune icircn 119899 suprafeţe simple la care se cunosc ariile

(1198601 1198602 ⋯ 119860119894⋯ 119860119899) și poziţiile centrelor de greutate 119862119894 faţă de sistemul de referinţă

expresiile momentelor statice capătă următoarea formă

119878119911 = sum 119910119862119894 ∙ 119860119894119899119894=1 = 119910119862 ∙ 119860 119878119910 = sum 119911119862119894 ∙ 119860119894

119899119894=1 = 119911119862 ∙ 119860 (45)

Din relaţiile (45) rezultă că poziţia centrului de greutate 119862 al unei suprafeţe

compuse poate fi determinată cu relaţiile

119910119862 = (sum119910119862119894 ∙ 119860119894

119899

119894=1

) 119860frasl 119911119862 = (sum119911119862119894 ∙ 119860119894

119899

119894=1

) 119860frasl (46)

Icircn relația (45) 119910119862119894 și respectiv 119911119862119894 reprezintă coordonatele centrelor de greutate 119862119894

ale fiecărei suprafețe simple 119860119894 icircn raport sistemul de axe 119911119874119910

Se constată (relaţia 42) că dacă axele sistemului de referinţă trec prin centrul de

greutate (119910119862 = 119911119862 = 0) momentele statice sunt nule Axele icircn raport cu care momentele

statice sunt nule şi care trec prin centrul de greutate al suprafeţei se numesc axe centrale

Observație dacă secțiunea compusă are o axă de simetrie centrul secțiunii se

găsește pe acea axă iar dacă secțiunea este dublu simetrică poziția centrului secțiunii este

la intersecția axelor de simetrie

43 Momente de inerţie

Momentele de inerţie axiale ale unei suprafețe se calculează icircn raport cu axele de

coordonate 119874119911 și respectiv 119874119910 figura 42 și se determină cu relațiile

119868119911 ≝ int 1199102 ∙ 119889119860

119860

119868119910 ≝ int 1199112 ∙ 119889119860

119860

(47)

Unde 119910 și 119911 sunt distanțele de la elementul de arie 119889119860 la cele două axe de

coordonate 119874119911 și respectiv 119874119910

Momentele de inerţie axiale se măsoară icircn [1198981198984] şi sunt icircntotdeauna pozitive (aria

119889119860 este icircntotdeauna pozitivă și este multiplicată cu patratul distanței 1199102 dacă 119868119911 sau 119868119910

sunt nule icircnseamnă ca secțiunea nu există)

Momentele de inerție axiale se calculează icircndeosebi pentru axele centrale (care

trec prin centrul secțiunii) deoarece icircn raport cu acele axe 119868119911 și 119868119910 au valori minime

Momentul de inerţie centrifugal calculat faţă ambele axe ale sistemului de

referinţă 119911119874119910 este definit de relația

119868119911119910 ≝ int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860

(48)

Momentul de inerţie centrifugal se măsoară icircn [1198981198984] şi poate fi pozitiv negativ

sau nul

Momentul de ineție centrifugal este nul 119868119911119910 = 0 dacă cel puțin una din axele 119874119911

sau 119874119910 este axă de simetrie pentru secțiune

Se consideră o suprafaţă dreptunghiulară pe care faţă de axa de simetrie 119874119910 se iau

două suprafeţe elementare de arie 119889119860 simetrice faţă de axa 119874119910 figura 43

Fig 43 Suprafață dreptunghiulară cu două arii elementare 119889119860

Făcacircnd suma momentelor de inerţie centrifugale pentru cele două suprafeţe

elementare 119889119860 (din stacircnga şi din dreapta faţă de axa 119874119910) se obţine

int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860119889119903

+ int (minus119911) ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860119904119905119892

= int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860119889119903

minus int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860119904119905119892

= 0 (49)

Acelaşi raţionament se poate face și pentru icircntreaga suprafaţă de unde obținem că

momentul de inerție centrifugal este nul 119868119911119910 = 0 Deci pentru o suprafaţă plană care

are cel puţin o axă de simetrie momentul de inerţie centrifugal faţă de sistemul care

conţine acea axă de simetrie este nul

Momentul de inerţie polar al unei suprafeţei icircn raport cu un punct (pol) 119874 figura

42 este definit prin relaţia

1198680 = 119868119901 ≝ int 1205882 ∙ 119889119860

119860

= int(1199102 + 1199112) ∙ 119889119860

119860

= 119868119911 + 119868119910 (410)

unde este distanţa de la polul 119874 la elementul de arie 119889119860 Momentul de inerţie polar se

măsoară icircn [1198981198984] şi este totdeauna pozitiv

Momentul de inerţie polar este egal cu suma momentelor de inerţie faţă de două axe

perpendiculare oarecare şi care trec prin polul considerat

Razele de giraţie sau razele de inerţie sunt mărimi calculate icircn raport cu axele

secțiunii și definite de relaţiile

119894119911 ≝ radic119868119911119860 119894119910 = radic

119868119910

119860 (411)

Se exprimă icircn [119898119898] şi sunt icircntotdeauna pozitive Semnificația unei raze de inerție

este distanța la care dacă ar fi concentrată icircntreaga arie s-ar obține același moment de

inerție ca și cel calculat pentru aria reală

44 Modulul de rezistenţă

Modulul de rezistență se calculează icircn raport cu axele de referință sau icircn raport cu

un pol figura 42 și pot fi axiale (119882119911119882119910) sau polar (119882119901) și se determină numai pe baza

momentelor de inerţie cu relațiile figura 43

119882119911119898119894119899 ≝119868119911119910119898119886119909

119882119911119898119886119909 ≝119868119911119910119898119894119899

(412)

119882119910119898119894119899 ≝119868119910

119911119898119886119909 119882119910119898119886119909 ≝

119868119910

119911119898119894119899 (413)

119882119901 ≝119868119901

120588119898119886119909 (414)

unde

119910119898119886119909 119910119898119894119899 reprezintă distanţa de la axa 119874119911 la punctele extreme cele mai

depărtate respectiv cele mai apropiate ale suprafeţei de această axă

119911119898119886119909 119911119898119894119899 reprezintă distanţa de la axa 119874119910 la punctele extreme cele mai

depărtate respectiv cele mai apropiate ale suprafeţei de această axă

120588119898119886119909 reprezintă distanța maximă de la polul 119874 la punctul secțiunii cel mai

icircndepărtat de acesta

Fig 43 Suprafață dreptunghiulară cu două arii elementare 119889119860

Modulele de rezistenţă se exprimă icircn [1198981198983] şi sunt icircntotdeauna pozitive

Explicația este aceea că momentele de inerție care intră icircn relațiile de definiție sunt

pozitive iar distanțele la punctele extreme sunt pozitive (119910119898119886119909 119910119898119894119899 119911119898119886119909 119911119898119894119899 120588119898119886119909 se

iau icircn valoare absolută)

Icircn cazul suprafeţelor compuse modulul de rezistenţă nu se obţine prin icircnsumarea

algebrică a modulelor de rezistenţă ale suprafeţelor simple componente ci numai prin

intermediul momentului de inerţie axial calculat pentru icircntreaga secțiune

Ca și momentele de inerție modulele de rezistență se calculează numai pentru

sistemele de axe centrale

45 Momente de inerţie şi module de rezistenţă pentru suprafeţe simple

451 Secțiune dreptunghiulară

Fie suprafaţa dreptunghiulară din figura 44 de icircnălțime ℎ și lățime 119887 pe care se

consideră suprafaţă elementară de arie 119889119860 = 119887119889119910 la distanța 119910 de axa 119862119911 sistemul de

axe 119911119862119910 trece prin centrul secțiunii iar axele sunt axe de simetrie pentru dreptunghi

Fig 44 Suprafață dreptunghiulară

Pe baza relațiilor de definiți a momentului de inerție 119868119911 se obține

119868119911 ≝ int 1199102 ∙ 119889119860

119860

= int 1199102 ∙ 119887 ∙ 119889119910 = 2int 1199102 ∙ 119887 ∙ 119889119910 = 2 ∙ 119887 ∙1199103

3|ℎ 2frasl

0rArr

ℎ 2frasl

0

ℎ 2frasl

minusℎ 2frasl

rArr 119868119911 =119887 ∙ ℎ3

12

(415)

Analog pentru un element de arie 119889119860 = ℎ ∙ 119889119911 paralel cu axa 119862119910 situat la distanța

119911 de axa 119862119910

119868119910 ≝ int 1199112 ∙ 119889119860

119860

= int 1199112 ∙ ℎ ∙ 119889119911 = 2int 1199112 ∙ ℎ ∙ 119889119910 = 2 ∙ ℎ ∙1199113

3|119887 2frasl

0rArr

119887 2frasl

0

119887 2frasl

minus119887 2frasl

rArr 119868119910 =1198873 ∙ ℎ

12

(416)

Deoarece axele 119862119911 și 119862119910 sunt axe de simetrie momentul de inerție centrifugal este

119868119911119910 = 0 (417)

Pentru un pătrat avacircnd laturile egale (ℎ = 119887 = 119886) momentele de inerţie faţă de

axele centrale au expresia

119868119911 = 119868119910 =1198864

12 (418)

Modulele de rezistență axiale se calculează cu relațiile de definiție ținacircnd cont că

distanțele pacircnă la fibrele extreme sunt

119910119898119886119909 = 119910119898119894119899 =ℎ

2 119911119898119886119909 = 119911119898119894119899 =

119887

2 (419)

Obținem

119882119911119898119894119899 = 119882119911119898119886119909 =119868119911

119910119898119886119909119898119894119899=119887 ∙ ℎ3

12frasl

ℎ2frasl

=119887 ∙ ℎ2

6

119882119910119898119894119899 = 119882119910119898119886119909 =119868119910

119911119898119886119909119898119894119899=1198873 ∙ ℎ

12frasl

1198872frasl

=1198872 ∙ ℎ

6

(420)

452 Suprafaţă circulară

Din motive de simetrie pentru suprafeţele circulare momentele de inerţie faţă de

orice diametru (care reprezintă şi axe centrale) sunt aceleaşi

Considerăm o secțiune circulară plină cu diametrul 119889 și centrul de greutate 119862 Prin

centrul de greutate 119862 trece sistemul de axe ortogonal 119911119862119910 figura 45

Fig 45 Suprafață circulară

La distanța de centrul de greutate 119862 vom lua un element de suprafață mic de arie

(119889119860) de forma unui inel de grosime 119889 Elementul de arie 119889119860 are expresia

119889119860 = (2 ∙ 120587 ∙ 120588) ∙ (119889120588)

Pornind de la relația de definiție a momentului de inerție polar obținem

119868119901 ≝ int 1205882 ∙ 119889119860

119860

= int 1205882 ∙ (2 ∙ 120587 ∙ 120588) ∙ 119889120588

119903=119889 2frasl

0

= 2 ∙ 120587 ∙1205884

4|119889 2frasl0 rArr

rArr 119868119901 =120587 ∙ 1198894

32

(421)

Secțiunea este perfect simetrică deci sunt valabile relațiile

119868119911 = 119868119910 rArr 119868119901 = 119868119911 + 119868119910 = 2 ∙ 119868119911 = 2 ∙ 119868119910 =119868119901

2=120587 ∙ 1198894

64 (422)

Și modulele de rezistenţă faţă de orice diametru sunt egale şi se calculează cu

relaţiile

119882119911 = 119882119910 =1198681199111198892frasl=120587 ∙ 1198893

32 (423)

Modulul de rezistenţă polar este

119882119901 =1198681199011198892frasl=120587 ∙ 1198893

16 (424)

453 Secţiune inelară

Calculul momentelor de inerţie axiale pentru o secţiune inelară avacircnd diametrul

interior 119889 şi diametrul exterior 119863 se determină analog pentru suprafaţa circulară plină cu

observaţia că integrala pentru calculul momentului de inerție polar 119868119901 se face icircntre

limitele 119903 = 119889 2frasl şi R= 1198632frasl (icircntre raza interioară 119903 şi raza exterioară 119877) figura 46

Se obţin relaţiile

119868119901 =120587 ∙ 1198634

32∙ [1 minus (

119889

119863)4

] =120587 ∙ 1198634

32∙ (1 minus 1198964) (425)

119868119910 = 119868119910 =120587 ∙ 1198634

64∙ [1 minus (

119889

119863)4

] =120587 ∙ 1198633

64∙ (1 minus 1198964) (426)

Fig 46 Secțiune inelară

119882119901 =120587 ∙ 1198633

16∙ [1 minus (

119889

119863)4

] =120587 ∙ 1198633

16∙ (1 minus 1198964) (427)

119882119911 = 119882119910 =120587 ∙ 1198633

32∙ [1 minus (

119889

119863)4

] =120587 ∙ 1198633

32∙ (1 minus 1198964) (428)

unde 119896 = 119889119863frasl

46 Variaţia momentelor de inerţie faţă de axe paralele

( Relațiile lui STEINER)

Se consideră o suprafaţă oarecare de arie 119860 cu elementul de arie 119889119860 și un sistemul

de axe central 119911119862119910 faţă de care se cunosc momentele de inerţie 119868119911 119868119910 119868119911119910 şi considerăm

un sistem de axe 11991111198741199101 paralele cu sistemul central figura 47 Se pune problema

determinării momentele de inerţie 1198681199111 1198681199101 11986811991111199101 faţă de sistemul de axe paralel cu sistemul

central 11991111198741199101 axe aflate la distanţele 119910119862 = 119888 respectiv 119911119862 = 119889 de acesta

461 Momente de inerţie axiale

Pe baza relaţiilor de definire şi a notaţiilor din figura 42 pentru momentele de

inerţie faţă de axele 1198741199111 1198741199101 se poate scrie

1198681199111 = int 11991012 ∙ 119889119860

119860

= int(119910 + 119888)2 ∙ 119889119860

119860

= int 1199102 ∙ 119889119860

119860

+ 2 ∙ 119888 ∙ int 119910 ∙ 119889119860

119860

+

+1198882int 119889119860

119860

rArr 1198681199111 = 119868119911 + 2 ∙ 119888 ∙ 119878119911 + 1198882 ∙ 119860 hArr 1198681199111 = 119868119911 + 119888

2 ∙ 119860

(429)

Fig 47 Variaţia momentelor de inerţie față de axe paralele

S-a ajuns la relația (429) deoarece momentul static 119878119911 este nul deoarece axa 119862119885

este axă centrală

Pentru momentul de inerție axial icircn raport cu axa 1198741199101 se obține

1198681199101 = int 11991112 ∙ 119889119860

119860

= int(119911 + 119889)2 ∙ 119889119860

119860

= int 1199112 ∙ 119889119860

119860

+ 2 ∙ 119889 ∙ int 119911 ∙ 119889119860

119860

+

+1198892 ∙ int 119889119860

119860

rArr 1198681199101 = 119868119910 + 2 ∙ 119889 ∙ 119878119910 + 1198892 ∙ 119860 hArr 1198681199101 = 119868119910 + 119889

2 ∙ 119860

(430)

Pentru momentul de inerție centrifugal obținem

11986811991111199101 = int 1199101 ∙ 1199111 ∙ 119889119860

119860

= int(119910 + 119888) ∙ (119911 + 119889) ∙ 119889119860

119860

= int 119910 ∙ 119911 ∙ 119889119860 +

119860

+119888 ∙ int 119911 ∙ 119889119860

119860

+ 119889 ∙ int 119910 ∙ 119889119860

119860

rArr 11986811991111199101 = 119868119911119910 + 119888 ∙ 119889 ∙ 119860

(431)

Deoarece

int 119911 ∙ 119889119860

119860

= 119878119910 = 0 int 119910 ∙ 119889119860

119860

= 119878119911 = 0 int 119910 ∙ 119911 ∙ 119889119860

119860

= 119868119911119910

Relaţiile (429) şi (430) arată că momentul de inerţie faţă de o axă oarecare

este egal cu momentul de inerţie faţă de o axă paralelă cu ea trecacircnd prin centrul de

greutate la care se adaugă produsul dintre aria suprafeţei şi pătratul distanţei dintre

cele două axe

Din relaţiile (429) și (430) rezultă de asemenea că momentul de inerţie faţă de o

axă centrală (care trece prin centrul de greutate) este cel mai mic dintre infinitatea de

momente de inerţie obținute faţă de alte axe paralele cu ea

Relaţia (431) arată de asemenea că momentul de inerţie centrifugal faţă de un

sistem de axe oarecare este egal cu momentul de inerţie centrifugal faţă de un sistem

paralele cu el trecacircnd prin centrul de greutate a suprafeţei la care se adaugă produsul

dintre aria suprafeţei şi distanţele dintre axele sistemelor respective

Icircn literatura de specialitate relaţiile (429) (430) şi (431) sunt cunoscute sub

numele de relaţiile lui Steiner

47 Variaţia momentrlor de inerţie faţă de axe rotite

Direcţii principale şi momente de inerţie principale

Fie suprafaţa plană din figura 48 de arie 119860 pe care considerăm o suprafaţă

elementară de arie 119889119860 Pentru sistemul de axe 119911119874119910 se cunosc momentele de inerţie

119868119911 119868119910 119868119911119910 şi vom determina relaţiile de calcul pentru momentele de inerţie afererent unui

sistem de axe 11991111198741199101 rotit cu un unghi faţă de sistemul central

Faţă de sistemul de axe 11991111198741199101 elementul de arie 119889119860 are coordonatele

1199101 = 119875119877 = 119875119876 minus 119877119876 = 119910 ∙ cos 120572 minus 119911 ∙ sin 120572

1199111 = 119873119872 = 119873119875 minus 119875119872 = 119911 ∙ cos 120572 + 119910 ∙ sin 120572 (432)

Fig 47 Variaţia momentelor de inerţie față de axe rotite

Pe baza relaţiilor de calcul ale momentelor de inerţie şi a notaţiilor din figura 42

şi ale relaţiilor (432) momentele de inerţie faţă de sistemul de axe rotit 11991111198741199101 sunt

1198681199111 =119868119911 + 119868119910

2+119868119911 minus 119868119910

2∙ cos 2120572 minus 119868119911119910 ∙ sin 2120572 (433)

1198681199101 =119868119911 + 119868119910

2minus119868119911 minus 119868119910

2∙ cos 2120572 + 119868119911119910 ∙ sin 2120572 (434)

11986811991111199101 =119868119911 minus 119868119910

2∙ sin 2120572 + 119868119911119910 ∙ cos 2120572 (435)

Din relaţiile 433divide435 se observă că icircntre momentele de inerţie axiale şi cele

polare există relaţia

1198681199111 + 1198681199101 = 119868119911 + 119868119910 = 119868119901 (436)

adică suma momentelor de inerţie axiale icircn raport cu orice pereche de axe ortogonale

care trec printr-un pol dat este o constantă şi egală cu momentul de inerţie polar

Prin rotirea sistemului de axe din relaţiile 433divide435 rezultă că momentele de inerţie

variază icircnsă suma lor rămacircne constantă deci există o poziţie a sistemului de axe pentru

care momentele de inerţie au valori extreme maxim respectiv minim

471 Direcţii principale de inerţie

Valoarea unghiului 120572 pentru care momentele de inerţie axiale au valori extreme

este

1205721 =1

2∙ 119886119903119888119905119886119899 (minus

2 ∙ 119868119911119910

119868119911 minus 119868119910) (437)

Poziţia celeilalte direcţii este perpendiculară pe cea dată de unghiul 1205721

Din relaţia (437) se constată că faţă de aceste direcţii rotite pentru care momentele

de inerţie axiale prezintă valori extreme momentul de inerţie centrifugal 11986811991111199101este nul

Atunci se poate afirma că momentele de inerţie axiale au valori extreme icircn raport cu

direcţiile faţă de care momentul de inerţie centrifugal este nul Aceste direcţii se numesc

direcţii principale iar momentele de inerţie faţă de aceste direcţii poartă numele de

momente de inerţie principale

Icircn calculele de rezistenţă interesează icircn mod special poziţia direcţiilor principale

care trec prin centrul de greutate al suprafeţei aşa numitele direcţii principale centrale şi

evident momentele de inerţie principale centrale

Direcţiile principale de inerţie se notează cu 1 respectiv 2 Axa principală 1

corespunde direcţiei faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea maximă iar

axa principală 2 pentru direcţia faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea

minimă

472 Momente de inerţie principale

Momentele de inerţie principale se notează cu litera 119868 la care se pune indicele 1

sau 2 după cum valoarea acestuia este maximă sau minimă deci avem un moment de

inerţie principal 1 (notat 1198681) respectiv moment de inerţie principal 2 (notat 1198682)

Expresiile pentru momentele de inerţie principale sunt

11986812 =119868119911 + 119868119910

2plusmn1

2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)

2+ 4 ∙ (119868119911119910)

2 (438)

Dacă momentul de inerţie centrifugal este negativ (119868119911119910 lt 0) direcţia principală

care trece prin primul cadran (definit de sistemul 119911119862119910) este direcţia principală 120783

Pentru suprafeţele cu cel puţin o axă de simetrie direcţiile centrale 119862119911 119862119910 sunt şi

direcții principale de inerţie și evident momentele de inerţie axiale 119868119911 119868119910 sunt momente

de inerţie principale

48 Caracteristici mecanice ale metalelor

Alegerea materialului pentru confecţionarea unei anumite piese se face şi pe baza

aşa numitelor caracteristici mecanice pe care le prezintă materialul Cunoaşterea acestor

caracteristici mecanice are loc numai pe baza unor icircncercări mecanice care să scoată icircn

evidenţă comportarea materialului icircn condiţii de solicitare

Cea mai utilizată icircncercare icircn urma căreia se pun icircn evidenţă caracteristicile

mecanice ale unui material este icircncercarea la tracţiune

481 Icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general

Icircncercarea la tracţiune a oţelului ca de altfel toate icircncercările de materiale este

standardizată

Icircn cele ce urmează se va prezenta numai partea care interesează strict din punct

de vedere al caracteristicilor mecanice ale oţelului

Epruveta de diametru iniţial 1198890 pentru icircncercarea la tracţiune are o porţiune de

lungime 1198710 numită baza de măsurare pe care se măsoară lungirea acesteia sub acţiunea

solicitării

Icircn funcţie de raportul dintre baza de măsurare 1198710 şi diametrul iniţial 1198890 epruvetele

utilizate pentru icircncercări sunt

epruvete normale (scurte) cacircnd 11987101198890 = 5

epruvete lungi cacircnd 11987101198890 = 10

Icircn timpul icircncercării la diferite valori ale forţei 119865 se măsoară lungirea bazei de

măsurare

∆119871 = 120575 = 119871 minus 1198710 (439)

unde

119871 este dimensiunea bazei de măsurare la un moment dat

Curba forţă-lungire (119865 minus ) icircnregistrată icircn urma icircncercării reprezintă curba

caracteristică la tracţiune

La icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general diagrama caracteristică care se

obţine are forma din figura 48

Curba caracteristică la tracţiune depinde de lungimea bazei de măsurare Pentru

icircnlăturarea acestui neajuns curba caracteristică se reprezintă icircn coordonate şi definite

astfel

120590 =119865

1198600 휀 =

120575

1198710 (440)

unde

1198600 este aria iniţială a secţiunii transversale a epruvetei (icircnainte de solicitare) icircn

zona bazei de măsurare

1198600 =120587 ∙ 1198890

2

4

Deoarece mărimile icircn care se reprezintă curba caracteristică la tracţiune sunt

raportate la aria iniţială a secţiunii transversale (mărimi specifice) curba poartă numele

de curbă caracteristică convenţională la tracţiune

Fig 48 Curba caracteristică convenţională la tracțiune

Pe curba caracteristică convenţională la tracţiune figura 48 se pot stabili o serie

de puncte cărora le corespund mai multe mărimi importante

Ordonata punctului A pacircnă unde curba caracteristică convenţională este linie

dreaptă se numeşte limita de proporţionalitate a materialului 120590119901(1205901) Porţiunea 119874119860 este

zona de proporţionalitate a curbei caracteristice pe acest domeniu este valabilă legea lui

Hooke care exprimă o proporţionalitate icircntre tensiune şi deformaţie specifică

120590 = 119864 ∙ 휀 (441)

unde

119864 = reprezintă panta porţiunii liniare a curbei convenționale caracteristice

la tracțiune Caracteristica de material 119864 se numeşte modul de elasticitate longitudinal

(modulul lui Young)

Ordonata punctului 119861 pacircnă unde materialul se comportă perfect elastic adică

după descărcare icircşi recapătă dimensiunea iniţială 1198710 se numeşte limita de elasticitate

120590119890(119877119890) Icircn realitate nici un material nu are comportare perfect elastică sub acţiunea

solicitărilor el capătă deformaţii permanente (remanente plastice)

După punctul 119861 urmează o porţiune 119861119862119863 icircn care cu toate că icircncărcarea

continuă forţa nu mai creşte avacircnd mici oscilaţii icircn jurul unei valori Se spune că icircn

această porţiune materialul curge iar intervalul 119861119862119863 este un palier de curgere Tensiunea

corespunzătoare palierului de curgere se numeşte limită de curgere aparentă 120590119888(119877119888) Limita de curgere aparentă se calculează cu relaţia

120590119888 =1198651198881198600 (442)

unde

119865119888 reprezintă valoarea forţei icircnregistrată icircn momentul curgerii materialului

După punctul 119863 curba caracteristică are un traseu ascendent pacircnă icircn punctul 119864

Porţiunea 119863119864 este numită zonă de icircntărire (ecruisare) Icircn zona de ecruisare unde se

produc deformaţii plastice semnificative legea lui Hooke nu mai este valabilă La

descărcare relaţia dintre tensiunea şi deformaţia specifică este liniară paralelă cu

porţiunea liniară a curbei caracteristice (dreapta 119872119873)

Deformaţia totală (휀119905) are două componente una elastică (휀119890) şi una plastică (휀119901)

Ordonata punctului 119864 reprezintă rezistenţa de rupere 120590119903(119877119898) a materialului

care se poate calcula cu relaţia

120590119903 = 119877119898 =1198651198981198861199091198600

(443)

unde

119865119898119886119909 reprezintă valoarea maximă a forţei icircnregistrată icircn timpul icircncercării

La atingerea valorii 119865119898119886119909 (punctul 119864) icircntr-un anumit loc al epruvetei secţiunea

icircncepe să se micşoreze (se produce gacirctuirea) continuacircnd pacircnă cacircnd se produce ruperea

totală (punctul 119865)

Dacă după ruperea epruvetei cele două părţi rezultate se aşează cap la cap şi se

măsoară dimensiunea bazei de măsurare 119871119906 (lungimea ultimă) se determină alungirea la

rupere sau lungirea specifică la rupere 휀119903

휀119903 =119871119906 minus 11987101198710

=∆119871

1198710=120575

1198710 (444)

De obicei alungirea se exprimă icircn procente şi se notează cu 119860119899 unde 119899 reprezintă

numărul dat de raportul 11987101198890 (epruvete normale 119899 = 5 epruvete lungi 119899 = 10)

119860119899 =119871119906 minus 11987101198710

∙ 100 [] (445)

Altă mărime care se determină la icircncercarea la tracţiune este gacirctuirea la rupere

(exprimată de obicei icircn procente) şi definită de relaţia

119885 =1198600 minus 1198601199061198600

∙ 100 [] (446)

Mărimile determinate limita de proporţionalitate modulul de elasticitate

longitudinal limita de elasticitate limita de curgere aparentă rezistenţa de rupere

alungirea la rupere şi gacirctuirea la rupere sunt cunoscute ca fiind caracteristici mecanice

ale materialului

Din curba caracteristică convenţională observăm faptul că ruperea (punctul 119865 din

figura 48 se produce la o tensiune mai mică decacirct cea corespunzătoare punctului 119864 Dacă

icircnsă forţa din timpul icircncercării s-ar raporta la aria secţiunii din momentul icircnregistrării

forţei (care este mai mică decacirct cea iniţială 1198600) s-ar obţine aşa numita curbă

caracteristică reală a materialului (traseul 1198741198601198611198621198631198651 din figura 48) La curba

caracteristică reală ruperea se produce icircn punctul 1198651 la o icircncărcare mai mare decacirct cea

corespunzătoare punctului 119864 Icircnseamnă că rezistenţa reală la rupere este mai mare decacirct

rezistenţa la rupere dată de punctul 119864 din diagrama caracteristică convenţională

Dificultatea obţinerii diagramei caracteristice reale faţă de cea a diagramei caracteristice

convenţionale şi considerarea unei rezistenţe la rupere mai mică decacirct a celei reale face

icircn practică utilizarea pe scară mare a diagramei caracteristice convenţionale

Caracteristicile mecanice determinate pe baza curbei caracteristice convenţionale

sunt şi ele caracteristici mecanice convenţionale

Caracteristicile mecanice convenţionale limita de proporţionalitate convenţională

120590119901 limita de elasticitate convenţională 120590119890 limita de curgere convenţională 120590119888 şi rezistenţa

de rupere 120590119903 constituie tensiuni limită pentru un material Pe baza acestor caracteristici

de material se alege valoarea tensiunii admisibile 120590119886 (vezi paragraful 35) pentru

calculele de rezistenţă Cea mai utilizată stare limită pentru stabilirea tensiunii admisibile

120590119886 este limita de curgere convenţională 120590119888

120590119886 =120590119897119894119898119888

=120590119888119888 119904119886119906 120590119886 =

120590119903119888 (447)

Caracteristicile mecanice ale materialului sunt influenţate de o serie de factori

temperatura viteza de solicitare factorii tehnologici iar valorile lor sunt date icircn tabele și

diagrame

Aplicaţie Pentru suprafaţa plană compusă din două dreptunghiuri avacircnd

dimensiunile din figura 49a să se calculeze

a) centrul de greutate al secțiunii compuse 119910119866 119911119866

b) momentele de inerție axiale 119868119911 119868119910 și momentul de inerție centrifugal 119868119911119910

c) razele de inerție 119894119911 119894119910

d) modulele de rezistență 119882119911119898119894119899 119882119911119898119886119909 119882119910119898119894119899 119882119910119898119886119909

e) momentele de inerție principale 1198681 1198682 și direcțiile principale de inerție 1205721

f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 119878119911

Fig 49 Aplicație

Rezolvare Pentru rezolvare vom parcurge următoarele etape

icircmpărțim suprafața compusă icircn două suprafețe simple (dreptunghiuri) notate cu

① și respectiv ② figura 49b

poziționăm centrele de greutate a celor două suprafețe simple ① și respectiv ②

notate cu 1198661 și respectiv 1198662 figura 49c

poziționăm sistemele de axe de coordonate 119911111986611199101 pentru dreptunghiul ① și

119911211986621199102 pentru dreptunghiul ② aflate la intersecția diagonalelor figura 49c

poziționăm sistemele de axe de coordonate 11991101198741199100 ales arbitrar față de care

determinăm poziția centrului de greutate 119866 figura 49c

a) calculăm poziția centrului de greutate folosind relațiile (46) icircn care

1198601 = 6119905 ∙ 119905 = 61199052 1198602 = 4119905 ∙ 119905 = 41199052 119860 = 1198601 + 1198602 = 61199052 + 41199052 = 101199052

iar centrele de greutate 1198661 și respectiv 1198662 au coordonatele (față de sistemul 11991101198741199100)

1198661 1199101 = 3119905 1199111 = 05119905

1198662 1199102 = 051199051199112 = 3119905

cu acestea obținem

119910119866 =1198601 ∙ 1199101 + 1198602 ∙ 1199102

119860=61199052 ∙ 3119905 + 41199052 ∙ 05119905

101199052=201199053

101199052= 2119905

119911119866 =1198601 ∙ 1199111 + 1198602 ∙ 1199112

119860=61199052 ∙ 05119905 + 41199052 ∙ 3119905

101199052=151199053

101199052= 15119905

Poziționăm centrul de greutate 119866 al suprafeței compuse figura 49c

Fig 49 Aplicație

b) pentru determinarea momentelor de inerție axiale 119868119911 119868119910 și a momentului de

inerție centrifugal 119868119910119911 determinăm constantele 1198881 1198882 1198891 1198892 care intervin icircn relația lui

Stainer

1198881 = 1199101 minus 119910119866 = 3119905 minus 2119905 = 119905 1198882 = minus(119910119866 minus 1199102) = minus(2119905 minus 05119905) = minus15119905

1198891 = minus(119911119866 minus 1199111) = minus(15119905 minus 05119905) = minus119905 1198892 = 1199112 minus 119911119892 = 3119905 minus 15119905 = 15119905

Folosind relațiile lui Stainer (429) (430) și (431) calculăm momentele de

inerție axiale și centrifugale față de sistemul central 119911119866119866119910119866

119868119911 =sum(119868119911119894 + 1198881198942 ∙ 119860119894) = 1198681199111 + 1198881

2 ∙ 1198601 + 1198681199112 + 11988822 ∙ 1198602

119868119910 =sum(119868119910119894 + 1198891198942 ∙ 119860119894) = 1198681199101 + 1198891

2 ∙ 1198601 + 1198681199102 + 11988922 ∙ 1198602

119868119911119910 =sum(119868119911119894119910119894 + 119888119894 ∙ 119889119894 ∙ 119860119894) = 11986811991111199101 + 1198881 ∙ 1198891 ∙ 1198601 + 11986811991121199102 + 1198882 ∙ 1198892 ∙ 1198602

1198681199111 = (119887 ∙ ℎ3

12) =

119905 ∙ (6119905)3

12= 181199054 1198681199112 = (

119887 ∙ ℎ3

12) =

4119905 ∙ 1199053

12= 031199054

1198681199101 = (1198873 ∙ ℎ

12) =

1199053 ∙ 6119905

12= 051199054 1198681199102 = (

1198873 ∙ ℎ

12) =

(4119905)3 ∙ 119905

12= 531199054

11986811991111199101 = 11986811991121199102 = 0 deoarece cele două triunghiuri au cel puțin o axă de simetrie

Cu acestea momentele de inerție axiale și momentul de inerție centrifugal devin

119868119911 = 181199054 + 1199052 ∙ 61199052 + 031199054 + (minus15119905)2 ∙ 41199052 = 3331199054

119868119910 = 051199054 + (minus119905)2 ∙ 61199052 + 531199054 + (15119905)2 ∙ 41199052 = 2081199054

119868119911119910 = 0 + 119905 ∙ (minus119905) ∙ 61199052 + 0 + (minus15119905) ∙ (15119905) ∙ 41199052 = minus151199054

c) razele de inerție sau de girație față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910

se calculează cu relațiile (411)

119894119911 = radic119868119911119860= radic

3331199054

101199052= 182119905 119894119910 = radic

119868119910

119860= radic

2081199054

101199052= 144119905

d) modulele de rezistență față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910 se

calculează cu relațiile (412) și (413)

Avacircnd icircn vedere figura 419c obținem

119910119898119886119909 = 6119905 minus 119910119866 = 6119905 minus 2119905 = 4119905 119910119898119894119899 = minus119910119866 = minus2119905

119911119898119886119909 = 5119905 minus 119911119866 = 5119905 minus 15119905 = 35119905 119911119898119894119899 = minus119911119866 = minus15119905

Se obține astfel

119882119911119898119894119899 =119868119911

|119910119898119886119909|=3331199054

4119905= 8331199053

119882119911119898119886119909 =119868119911

|119910119898119894119899|=3331199054

2119905= 16651199053

119882119910119898119894119899 =119868119910

|119911119898119886119909|=2081199054

35119905= 5941199053

119882119910119898119886119909 =119868119910

|119911119898119894119899|=2081199054

15119905= 13871199053

e) momentele de inerție principale 1198681 și respectiv 1198682 se calculează cu relațiile

(438)

11986812 =119868119911 + 119868119910

2plusmn1

2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)

2+ 4 ∙ (119868119911119910)

2=

=3331199054 + 2081199054

2plusmn1

2∙ radic(3331199054 minus 2081199054)2 + 4 ∙ (minus151199054)2 = 27051199054 plusmn 16251199054

De unde obținem

1198681 = 27051199054 + 16251199054 = 4331199054

1198682 = 27051199054 minus 16251199054 = 1081199054

Prima direcție principală de inerție 1 face cu axa centrală 119866119911 unghiul 1205721 dat de

relația (437)

1205721 =1

2∙ arctan (minus

2 ∙ 119868119911119910

119868119911 minus 119868119910) =

1

2∙ arctan [minus

2 ∙ (minus151199054)

3331199054 minus 2081199054] =33 70

Deoarece 1205721 gt 0 rotirea axelor se face acircn sens antiorar acelor de ceasornic figura

49d

Poziția axe principale 2 față de care momentul de inerție are valoarea minimă

1198682 = 119868119898119894119899 este dată de unghiul

1205722 = 1205721 + 900 = 33 70 + 900 = 123 70

f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 se determină cu relația

(45)

1198781199111198602 = 1198602 ∙ 1198882 = 41199052 ∙ (minus15119905) = minus61199053

Fig 212 Descompunerea forţei tăietoare şi a momentului icircncovoietor

Cele șase componente ale torsorului de reducere al forțelor interioare ( 119910 119911

119909 119894119910 119894119911) orientate după axele sistemului de referință xCyz se numesc eforturi

Fiecare efort are o denumire stabilită icircn funcție de tipul de deformație pe care-l produce

De asemenea semnul plus (bdquo+rdquo) sau minus (bdquondashrdquo) al fiecărui efort nu depinde de sensul

pozitiv sau negativ al sistemului de axe ci doar de efectul icircn deformații al fiecărui efort

Denumirile celor șase eforturi sunt

119873 este forța axială

119879119910 119879119911 sunt forțe tăietoare orientate după axele Cy și respectiv Cz

119872119909 notat de cele mai multe ori cu 119872119905 este moment de torsiune sau de răsucire

119872119894119911 119872119894119910 sunt momente de icircncovoiere icircn jurul axei Cz și respectiv Cy

Forța axială 119873 poate fi forță axială de icircntindere cacircnd produce o lungire a

tronsonului pe a cărei față acționează (119873 gt 0) figura 213a sau forță axială de

compresiune cacircnd sub efectul ei bara se scurtează (119873 lt 0) figura 213b

Fig 213 Forța axială

Forțele tăietoare 119879119910 și 119879119911 au ca efect lunecarea secțiunii icircn centrul căreia

acționează icircn raport cu secțiunea icircnvecinată lunecare ce se produce pe direcția și icircn sensul

forței Sub acțiunea unei forțe tăietoare bara este solicitată la forfecare Forța tăietoare

este pozitivă 119879119910 gt 0 dacă icircn raport cu un punct oarecare K de pe axa Cx a barei tinde să

rotească secțiunea pe care acționează icircn sens orar

Fig 214 Forța tăietoare

Momentele de icircncovoiere 119872119894119911 și 119872119894119910 au ca efect o rotire a secțiunii icircn centrul

cărora acționează icircn jurul axei după care sunt orientate Icircn figura 215a se vede că

datorită momentului 119872119894119911 fibrele de deasupra axei Cz se alungesc icircn timp ce fibrele de sub

axa Cz se scurtează Fibrele care trec prin axa de icircncovoiere Cz nu se deformează sunt

fibre neutre la icircncovoiere adică axa neutră este Cz Icircn cazul momentului de icircncovoiere

119872119894119910 fibrele care nu se deformează sunt cele care trec prin axa neutră la icircncovoiere Cy

Momentele de icircncovoiere se consideră a fi pozitive (119872119894119911 gt 0119872119894119910 gt 0) dacă

observatorul care privește bara deformată vizualizează fibrele icircntinse

Fig 215 Momentul icircncovoietor

Momentul de torsiune sau de răsucire 119872119909 equiv 119872119905 are ca efect o rotire a secțiunii

icircn al cărei centru acționează icircn jurul axei longitudinale Cx Ca efect secțiunea icircși schimbă

forma (se deformează) adică unghiurile inițiale se modifică dreptunghiul inițial Ad

devine paralelogram Convențional se consideră 119872119905 gt 0 dacă vectorul moment are

aceeași orientare ca și sensul pozitiv ales pextru axa Cx Icircn figura 216 momentul este

negativ

Fig 216 Momentul de torsiune

25 Definiții și convenții de semne pentru eforturile

din secțiunile unei bare drepte plane icircncărcate cu sarcini coplanare

Vom considera o bară plană icircncărcată cu un sistem de forțe arbitrar figura 217

Ne propunem să determinăm eforturile care apar icircn secțiunea barei aflată la distanța 119909 de

reazemul din stacircnga (A)

Pentru aceasta vom aplica metoda secțiunilor vom secționa bara cu un plan

perpendicular pe axa longitudinală a barei și vom analiza doar partea din dreapta secțiunii

mărginită de fața Ad Pentru ca această porțiune de bară să fie icircn echilibru sub acțiunea

forțelor exterioare care acționează asupra sa 1198653 și 119881119861 va trebui să introducem icircn centrul

secțiunii Ad eforturile care pot să apară 119873 119879119910 119872119894119911 Acțiunea acestor eforturi trebuie să

fie echivalentă cu acțiunea forțelor exterioare aplicate pe partea icircnlăturată (parcursă) a

barei 119867119860 119881119860 1198651 1198652 1198720

Deoarece bara este plană și este icircncărcată doar cu sarcini ce aparțin

planului barei

icircn secțiunea Ad apar doar 3 componente ale torsorului de reducere al forțelor

interioare (eforturi)

- 119873 = forța axială

- 119879119910 = forța tăietoare pe care o vom nota cu 119879

- 119872119894119911 = momentul icircncovoietor notat cu Mi

Fig 217 Bară plană icircncărcată cu un sistem de forțe

Vom prezenta următoarele definiții corespunzătoare eforturilor din secțiunea Ad

119873 = forța axială dintr-o secțiune este egală cu suma algebrică a proiecțiilor pe

axa longitudinală a tuturor forțelor exterioare (sarcini și reacțiuni) aplicate pe partea

din stacircnga secțiunii adică pe porțiunea parcursă Forța axială 119873 este pozitivă dacă trage

de tronsonul pe a cărei față acționează (are orientarea normalei exterioare la secțiunea

Ad)

119873(119909) = minus119867119860 + 1198651119867 (26)

119879 = forța tăietoare icircntr-o secțiune este egală cu suma algebrică a proiecțiilor

pe o axă perpendiculară pe axa barei a tuturor forțelor exterioare (sarcini și reacțiuni)

aplicate pe porțiunea de bară aflată icircn stacircnga secțiunii considerate Forța tăietoare 119879

este pozitivă dacă tinde să rotească tronsonul pe a cărui față acționează icircn sens orar icircn

raport cu un punct de pe axa barei aflat la dreapta secțiunii

119879(119909) = 119881119860 minus 1198651119881 minus 1198652 (27)

119872119894 = momentul icircncovoietor icircntr-o secțiune este egal cu suma algebrică a

momentelor obținute prin reducerea tuturor forțelor exterioare ( cupluri sarcini

reacțiuni) aplicate pe porțiunea de bară aflată la stacircnga secțiunii icircn centrul secțiunii

considerate 119872119894 este considerat pozitiv dacă tinde să deformeze bara astfel icircncacirct fibrele

spre care privește un observator să fie icircntinse Cum poziția observatorului este de regulă

sub bară bara se deformează dacă 119872119894 gt 0 astfel icircncacirct partea jos a barei este icircntinsă Se

spune că bara deformată rdquoține apaldquo

119872119894(119909) = 119881119860 ∙ 119909 minus 1198651119881 ∙ (119909 minus 1198971) minus 1198652 ∙ [119909 minus (1198971 + 1198972)] + 1198720 (28)

Sensurile pozitive ale eforturilor care apar icircn centrul secțiunii Ad (deci atunci cacircnd

sensul de parcurs la aplicarea metodei secțiunilor este cel de la stacircnga la dreapta) sunt

indicate icircn figura 218a iar dacă sensul de parcurs este de la dreapta la stacircnga sensurile

pozitive ale eforturilor sunt indicate icircn figura 218b

Fig 218 Convenţia de semne

Definiții asemănătoare se pot da și pentru eforturile din centrul secțiunii As figura

218b adică pentru cazul icircn care sensul de parcurs este cel de la dreapta la stacircnga și deci

partea luată icircn considerare este cea din stacircnga iar partea parcursă din dreapta secțiunii

este icircnlăturată

119873(1199091) = 1198653119867

119879(1199091) = 1198653119881 minus 119881119861

119872119894(1199091) = 119881119861 ∙ 1199091 minus 1198653119881 ∙ (1199091 minus 1198975)

(29)

Avacircnd icircn vedere că fețele Ad și As aparțin aceleeași secțiuni este evident faptul că

eforturile 119873(119909) 119879(119909) și 119872119894(119909) sunt identice cu eforturile 119873(119961120783) 119879(119961120783) și respectiv

119872119894(119961120783) Icircn figura 218c se prezintă o sinteză a convențiilor de semne pozitive pentru cele

3 eforturi atacirct pentru sensul de parcurs de la stacircnga la dreapta (secțiunea Ad) cacirct și pentru

sensul invers (secțiunea As)

Semnele eforturilor sunt importante icircntrucacirct există materiale cu comportări diferite

la icircntindere față de compresiune iar o schimbare a semnului unui efort poate produce

erori grave icircn calcule Semnele eforturilor au fost stabilite icircn funcție de deformațiile

produse și nu depind de sensul axelor sistemului de coordonate

26 Relaţii diferenţiale icircntre eforturi şi sarcini

Pentru a vedea ce legătură există icircntre eforturi și sarcini vom considera o bară

dreaptă icircncărcată cu o sarcină distribuită după o lege oarecare figura 219a Din această

bară vom decupa prin dublă secționare un element de lungime infinit mică 119889119909 Deoarece

lungimea 119889119909 este foarte mică se poate considera sarcina 119901 uniform distribuită Icircn

secțiunile rezultate trebuie să introducem eforturile care pot apărea

- 119879 şi 119872119894 icircn centrul secțiunii din sticircnga eforturi pe care le considerăm pozitive

- 119879 + 119889119879 şi 119872119894 + 119889119872119894 icircn centrul secțiunii din dreapta elementului

Aceste eforturi au o variație mică (119889119879 şi 119889119872119894) față de secțiunea anterioară Spre

deosebire de cazul icircn care bara este secționată o singură dată icircn acest caz eforturile nu

pot fi determinate din cele 2 condiții de echilibru independente deoarece icircn ecuațiile de

echilibru apar 4 necunoscute 119879 119889119879119872119894 și 119889119872119894 deci că problema este dublu static

nedeterminată figura 219

Fig 219 Echivalența icircntre eforturi și sarcini

Ecuațiile de echilibru scrise pentru elementul din figura 219b conduc la stabilirea

unor relaţii foarte importante

(sum119865)119910= 0 hArr 119879 minus 119901 ∙ 119889119909 minus (119879 + 119889119879) = 0 rArr

119889119879

119889119909= minus119901 (210)

Relația (210) arată că derivata funcţiei forţei tăietoare icircn raport cu abscisa

secţiunii este egală cu sarcina distribuită normală la axa barei din acea secţiune luată

cu semn schimbat

Observații

dacă 119901 = 0 nu există sarcină distribuită atunci forța tăietoare T este constantă

icircnclinarea pantei diagramei forței 119879 este egală cu (ndash 119901) (sarcina distribuită cu

semn schimbat)

dacă 119901 = 119888119900119899119904119905 119879 variază liniar pe acel interval

Asemănător se deduce că derivata funcţiei forţei axiale icircn raport cu abscisa

secţiunii este egală cu sarcina distribuită axială din acea secţiune luată cu semn

schimbat adică

119889119873

119889119909= minus119901119867 (211)

Din condiția de echilibru suma de momente faţă de centrul de greutate al secţiunii

din dreapta

(sum119872)119862= 0 hArr 119872119894 minus (119872 + 119889119872119894) + 119879 ∙ 119889119909 minus 119901 ∙

(119889119909)2

2= 0 rArr

119889119872119894

119889119909= 119879 (212)

Relația (212) s-a obținut dupa reducerea termenilor și prin neglijarea infinitului

mic de ordinul 2

119901 ∙(119889119909)2

2

Relația (212) arată că derivata funcţiei moment icircncovoietor icircn raport cu abscisa

secţiunii este egală cu forţa tăietoare din acea secţiune

Observații

dacă 119879 = 0 momentul 119872119894 are un punct de extrem se obține o valoare maximă

pentru 119872119894119898119886119909 dacă forța tăietoare 119879 se anulează trecacircnd de la plus icircn stacircnga la minus icircn

dreapta secțiunii

dacă forța tăietoare este pozitivă pe un interval 119879 gt 0 atunci 119872119894 este crescătoare

pe acel interval

dacă forța tăietoare este negativă pe un interval 119879 lt 0 atunci 119872119894 este

descrescătoare pe acel interval

dacă pe un interval 119901 = 0 forța tăietoare este constantă 119879 = 119888119905 iar 119872119894 variază

liniar pe acel interval

dacă 119901 = 119888119900119899119904119905 119879 variază liniar pe acel interval iar 119872119894 variază parabolic pe

acel interval

Relaţiile diferenţiale sunt utile la reprezentarea corectă şi verificarea diagramelor

de eforturi astfel

pentru porţiunile de grindă pe care p = 0 eforturile N şi T sunt constante iar pe

porţiunile cu p = const eforturile N şi T variază liniar (relaţiile 211 şi 210)

dacă pe o porţiune T = const momentul icircncovoietor Miz variază liniar iar dacă

T variază liniar atunci momentul Miz variază parabolic (relaţia 212)

pe domeniile pe care T gt 0 funcţia Mi(x) este crescătoare iar icircn secţiunea icircn

care T = 0 (graficul funcţiei T intersectează axa x) momentul icircncovoietor are un punct

de extrem local (maxim sau minim relaţia 212)

Pentru rezolvarea problemelor referitoare la trasarea diagramelor de eforturi

pentru barele drepte solicitate de sisteme de forţe plane se parcurg următoarele etape

1) identificarea forţelor aplicate (date) şi pregătirea lor pentru calcule

(descompunerea forţelor concentrate pe direcţiile x şi y calculul rezultantelor forţelor

distribuite)

2) identificarea reazemelor şi introducerea reacţiunilor corespunzătoare (vezi

figurile 27divide29)

3) stabilirea ecuaţiilor de echilibru static calculul şi verificarea reacţiunilor Icircn

rezistența materialelor se folosește sistemul de ecuații (vezi figura 217)

(sum119865)

119909= 0

(sum119872)119860= 0

(sum119872)119861= 0

(213)

4) identificarea domeniilor de variaţie şi scrierea funcţiilor de eforturi pentru N T

şi Mi

5) reprezentarea grafică a diagramelor de eforturi

6) verificarea corectitudinii diagramelor pe baza relaţiilor diferenţiale icircntre eforturi

şi sarcini

Aplicație Pentru grinda dreaptă icircncărcată cu sistemul de forţe reprezentat icircn figura

220 se cere

a) să se calculeze şi să se verifice reacţiunile

b) să se stabilească funcţiile eforturilor Nx Ty şi Miz şi să se reprezinte diagramele

de variaţie

c) să se analizeze relaţiile diferenţiale icircntre eforturi şi sarcini

Dimensiunile grinzii au valorile a = 6 [m] b = 4 [m] și c = 4[m] sistemul de

forţe aplicat fiind format din p = 10 [kN mfrasl ] F = 20 [kN] (icircnclinată cu unghiul α =300 faţă de orizontală) şi M0 = 40 [kN ∙ m]

Rezolvare

a) Se fac următoarele precizări

grinda dreaptă se reprezintă prin axa geometrică

forţa icircnclinată F se descompune după direcţiile orizontală şi verticală icircn FV =F ∙ sin α = 10 [kN] şi FH = F ∙ cos α = 173 [kN]

forţa distribuită uniform p este echivalentă din punct de vedere static cu

rezultanta sa R = p ∙ a = 60 [kN] care acţionează la jumătatea porţiunii de lungime a

icircn reazemele 119860 şi 119861 se introduc componentele HA şi VA respectiv VB ale

reacţiunilor

Pentru calculul reacţiunilor se utilizează ecuaţiile de echilibru static al grinzii

sumXi = 0 HA minus FH = 0 sumYi = 0 VA + VB minus R minus FV = 0 (sumM)B = 0 VA ∙ (b + a) minus R ∙ (b + 05 ∙ a) minus M0 + FV ∙ c = 0

(A1)

Din prima ecuaţie se obţine HA iar din cea de-a treia ecuaţie rezultă VA

HA = FH = 173 [kN]

VA =[R ∙ (b + 05 ∙ a) + M0 minus FV ∙ c]

(b + a)=[60 ∙ (4 + 05 ∙ 6) + 40 minus 10 ∙ 4]

(4 + 6)

VA = 42 [kN]

(A2)

Fig 220 Aplicație

Se observă că cea de-a doua ecuaţie de echilibru conţine două necunoscute

reacţiunile VA şi VB Pentru a calcula componenta VB nu este indicată introducerea lui VA

icircn cea de-a doua ecuaţie a sistemului (A1) pentru că o valoare determinată greşit pentru

VA conduce la o valoare VB de asemenea greşită O ecuaţie independentă din care se poate

determina componenta VB este următoarea

(sumM)A= 0 FV ∙ (a + b + c) minus VB ∙ (a + b) minus M0 + R ∙ 05 ∙ a = 0 (A3)

de unde se obţine

VB =[FV ∙ (a + b + c) minusM0 + R ∙ 05 ∙ a]

(b + a)=[10 ∙ (6 + 4 + 4) minus 40 + 60 ∙ 05 ∙ 6]

(6 + 4)

VB = 28 [kN] (A4)

Ecuaţia de proiecţii ale forţelor pe direcţia verticală (a doua ecuaţie din sistemul

A1) se utilizează pentru verificarea reacţiunilor deja determinate

VA + VB minus R minus FV = 0 rArr 42 + 28 minus 60 minus 10 = 0 (A5)

Ultima egalitate demonstrează că reacţiunile verticale au fost calculate corect

Din cele de mai sus rezultă ordinea firească pentru determinarea reacţiunilor icircn

cazul grinzilor simplu rezemate

sumXi = 0

(sumM)A = 0

(sumM)B = 0

(A6)

iar pentru verificarea componentelor verticale VA şi VB se folosește ecuaţia sumY = 0

b) La stabilirea funcţiilor de eforturi se parcurg icircn general etapele următoare

se notează (numeric sau literal după preferinţă) secţiunile care delimitează

domeniile (intervalele sau tronsoanele) pe care eforturile nu-şi modifică funcţiile (au legi

unice de variaţie)

pe fiecare domeniu se marchează secţiunea imaginară icircn care se stabilesc

funcţiile eforturilor

secţiunea astfel aleasă separă icircn două părţi grinda şi anume porţiunea din stacircnga

şi porţiunea din dreapta secţiunii

se va considera parcursă (şi icircndepărtată) acea parte pe care acţionează mai puţine

sarcini exterioare pentru că acestea vor interveni icircn expresiile funcţiilor de eforturi

poziţiile secţiunilor imaginare se vor determina prin variabilele x1 ⋯ xn (unde

n reprezintă numărul domeniilor de variaţie) cu originea fixată icircn capătul intervalului şi

sensul de parcurgere spre partea considerată rămasă

Grinda prezentată icircn figura 220 are trei domenii de variaţie pentru funcţiile de

eforturi după cum urmează (A-1) (2-B) şi (B-1)

Domeniul (A-1) x1 isin [0 a = 6 m] Porţiunea parcursă şi considerată icircndepărtată este cea de coordonată x1 pe care

acţionează reacţiunile HA şi VA precum şi rezultanta parţială a sarcinii distribuite R1 =p ∙ x1

Funcţia forţă axială Nx are expresia

Nx(x1) = NAminus1 = minusHA = minus173 [kN] = const

(A7)

Funcţia forţă tăietoare Ty are exspresia

Ty(x1) = TAminus1 = VA minus R1 = VA minus p ∙ x1 (A8)

care reprezintă o variaţie liniară de variabilă x1 Se calculează valorile forţei tăietoare la

limitele intervalului de variaţie

- pentru x1 = 0 Ty(x1 = 0) = TA = VA = 42 [kN]

- pentru x1 = a = 6 [m] Ty(x1 = 6) = T1 = VA minus p ∙ a = minus18 [kN]

Observaţie Aşa cum a fost stabilită secţiunea fictivă poziţionată prin coordonata

x1 sar părea că rezultanta R ar trebui luată icircn calculul lui Ty(x1) Acest lucru ar fi greşit

pentru că R = p ∙ a reprezintă rezultanta sarcinii distribuite pe toată lungimea a iar

rezultanta pe porţiunea parcursă de lungime x1 este R1 = p ∙ x1 ne R = p ∙ a

Cu valorile obţinute se trasează diagramele forţelor axială Nx = f(x) şi tăietoare

Ty = f(x) figura 220 Din diagrama forţei tăietoare şi din valorile obţinute analitic se

observă că forţa tăietoare icircşi schimbă semnul pe intervalul analizat deci se anulează pe

acest interval Poziţia secţiunii unde Ty se anulează se determină din ecuaţia

Ty(x1) = 0 rArr VA minus p ∙ x1 = 0 (A9)

cu soluţia x1lowast = ξ = 42 [m] Important de reamintit că icircn această secţiune momentul

icircncovoietor va avea un extrem local adică Miz are un extrem la Ty = 0

Funcţia moment icircncovoietor Miz are expresia

Miz(x1) = VA ∙ x1 minus R1 ∙x12= VA ∙ x1 minus (p ∙ x1) ∙

x12

(A10)

Se observă că funcţia moment icircncovoietor de variabilă x1 are o variaţie parabolică

(gradul al II-lea) Pentru reprezentarea grafică a funcţiei parabolice se calculează valorile

momentului icircncovoietor icircn trei secţiuni

- pentru x1 = 0 Miz(x1 = 0) = MA = 0 [kN ∙ m] - pentru x1 = a = 6 [m] Miz(x1 = 6) = M1 = 72 [kN ∙ m] - pentru x1

lowast = ξ = 42 [m] Miz(x1lowast = ξ = 42 [m]) = Mimax = 882 [kN ∙ m]

Cu acestea se trasează diagrama Miz = f(x) pe intervalul (A-1) figura 220

Observaţie Icircn unele cazuri pe un anumit interval forţa tăietoare nu se anulează

şi momentul icircncovoietor nu are un extrem local Icircn acest caz pentru reprezentarea

variaţiei parabolice a momentului icircncovoietor se va studia semnul derivatei a doua a

funcţiei Miz = f(x1) acesta determinacircnd convexitatea curbei momentului icircncovoietor

Domeniul (2-B) x2 isin [0 c = 4 m] Porţiunile din grindă libere (nerezemate) la un capăt se numesc console iar

stabilirea funcţiilor de eforturi devine mai simplă dacă se consideră icircndepărtată partea din

dreapta secţiunii prin schimbarea sensului pozitiv al axei x Astfel se obţin funcţiile eforturilor

Funcţia forţă axială Nx are expresia

Nx(x2) = N2minusB = minusFH = minus173 [kN] = const

(A11)

Funcţia forţă tăietoare Ty are exspresia

Ty(x2) = T2minusB = FV = 10 [kN] = const (A12)

Funcţia moment icircncovoietor Miz are expresia

Miz(x2) = minusFV ∙ x2 rArr Miz(x2 = 0) = M2 = 0 [kN ∙ m]

Miz(x2 = 4) = MB = minus40 [kN ∙ m] (A13)

variaţie liniară (gradul I)

Domeniul (B-1) x3 isin [0 b = 4 m] Pe acest domeniu se acceptă parcurgerea grinzii de la dreapta adică se consideră

icircndepărtată partea din dreapta secţiunii fictive pentru că are doar două sarcini aplicate F

şi VB faţă de partea din stacircnga secţiunii pe care sunt aplicate trei sarcini p VA şi M0

Astfel se obţin funcţiile eforturilor

Funcţia forţă axială Nx are expresia

Nx(x3) = NBminus1 = minusFH = minus173 [kN] = const

(A14)

Funcţia forţă tăietoare Ty are exspresia

Ty(x3) = TBminus1 = FV minus VB = minus18 [kN] = const (A15)

Funcţia moment icircncovoietor Miz are expresia

Miz(x3) = minusFV ∙ (x3 + c) + VB ∙ x3 rArr

rArr Miz(x3 = 0) = MB = minus40 [kN ∙ m]

Miz(x3 = 4) = M1 = 32 [kN ∙ m]

(A16)

variaţie liniară (gradul I)

Diagramele eforturilor sunt prezentate icircn figura 220

c) Relaţiile diferenţiale dintre eforturi şi sarcini se analizează pe diagramele

eforturilor după cum urmează

sarcina distribuită nu are componentă orizontală adică ph = 0 şi icircn

conformitate cu formula (211) rezultă că Nx = const pe toată lungimea grinzii fapt care

a rezultat din funcţia şi reprezentarea diagramei forţei axiale

pe intervalul (A-1) sarcina distribuită are doar componenta verticală pozitivă

pV = p gt 0 prin urmare forţa tăietoare scade (are panta negativă dTy 119889119909frasl = minusp vezi

relaţia 210) iar momentul icircncovoietor avacircnd derivata a doua negativă d2M119894119911 1198891199092frasl =minuspare convexitatea curbei orientată spre sensul pozitiv al axei momentului Miz adică icircn

jos

pe domeniile (2-B) şi (B-1) deoarece pv = 0 forţa tăietoare Ty este constantă

iar momentul icircncovoietor Miz variază liniar

referitor la relaţia (212) pe porţiunile unde Ty gt 0 momentul Miz este

monoton crescător pe porţiunile unde Ty lt 0 momentul Miz este monoton descrescător

iar icircn secţiunea icircn care Ty = 0 momentul icircncovoietor are un extrem local Mξ =

882 [kN ∙ m] icircn diagrama forţei tăietoare discontinuităţile (salturile) se produc icircn secţiunile

unde acţionează VA VB şi FV iar icircn diagrama momentului icircncovoietor se produce un

singur salt icircn secţiunea icircn care este aplicat M0

se poate scrie

Mξ = suprafața diagramei Ty |ξ0=1

2∙ 42 ∙ 42 = 882 [kN ∙ m]

sau parcurgacircnd grinda de la dreapta la stacircnga rezultă

MB = minussuprafața diagramei Ty |c0= minus10 ∙ 4 = minus40 [kN ∙ m]

Toate aspectele analizate teoretic referitoare la relaţiile diferenţiale dintre eforturi

şi sarcini se regăsesc icircn diagramele de eforturi din figura 220 ceea ce icircnseamnă că

diagramele au fost reprezentate corect

3 TENSIUNI DEPLASĂRI ŞI DEFORMAŢII SPECIFICE

31 Tensiuni

Eforturile obținute icircn urma reducerii forțelor interioare icircn centrul de greutate al

secțiunii nu pot da informații asupra solicitării fiecărui punct al secțiunii respective Este

necesar să se cunoască modul cum se distribuie forțele interioare icircn fiecare punct al

secțiunii pentru a ști care este intensitatea maximă a solicitării Această intensitate

maximă se poate compara cu o valoare critică specifică materialului stabilindu-se astfel

dacă solicitarea este periculoasă sau nu

Mărimea care caracterizează solicitarea locală punctuală o vom denumi tensiune

și o vom defini icircn cele ce urmează Să considerăm partea din dreapta a unui corp solicitat

de forțele exterioare 1198651 1198652 și 1198653 obținută prin secționarea corpului și mărginită de fața

din dreapta Ad a secțiunii Pe secțiunea Ad vom considera un element de arie infinit mic

∆119860 caracterizat de normala la elementul de arie normală care are cosinușii directori

120573 și icircn raport cu un sistem de axe considerat fix Pe elementul infinit mic ∆119860 acționează

forțele interioare care au o rezultantă oarecare figura 31

Prin definiție tensiunea totală este

= lim∆119860rarr0

∆

∆119860 (31)

Tensiunea are aceeaşi direcţie cu forţa elementară ∆ iar mărimea ei este

determinată atacirct de mărimea forţei ∆ cacirct şi de orientarea suprafeţei ∆119860 faţă de direcţia

forţei

Tensiunea 119901 poate fi descompusă icircntr-o componentă orientată după direcţia

normalei la secţiune tensiunea normală notată cu 120590119909 şi o componentă icircn planul secţiunii

tensiunea tangenţială notată cu figura 32

= 119909 + 120591 (32)

Fig 31 Tensiunea totală Fig 32 Tensiunea normală și tangențială

La racircndul ei componenta tensiunii cuprinsă icircn planul secțiunii poate fi

descompusă după direcțiile axelor y și z

120591 = 120591119909119910 + 120591119909119911 (33)

Icircntre cele trei componente ale tensiunii totale care acționează pe elementul de arie

∆119860 este valabilă relația

1199012 = 1205901199092 + 120591119909119910

2 + 1205911199091199112 (34)

După sensul pe care icircl are tensiunea normală 120590 poate avea efect de tracţiune sau

de compresiune exercitat de către partea de corp icircnlăturată asupra părţii rămase Analog

tensiunea tangenţială 120591 poate avea efect de tăiere forfecare sau alunecare Pentru

componentele tensiunii tangențiale 120591119909119910 pe direcţia 119910 respectiv 120591119909119911 pe direcţia 119911 primul

indice indică axa pe care tensiunea este normală iar cel de-al doilea indice indică axa cu

care aceasta este paralel

Tensiunea este o mărime tensorială valoarea ei depinzacircnd atacirct de poziția

punctului icircn planul secțiunii cicirct și de orientarea planului de secționare deci de normala

Operaţiile vectoriale nu pot fi aplicate tensiunilor decacirct după ce acestea au fost icircnmulţite

cu ariile respective adică au fost transformate icircn forţe

Icircn literatura de specialitate mai ales icircn manualele mai vechi pentru noţiunea de

tensiune se mai foloseşte şi denumirea de efort specific

Dacă se consideră un alt element de arie ∆119860 cu centrul icircn același punct avacircnd ca

normală axa 119910 se vor obține alte tensiuni și anume

- 120590119910 este tensiunea normală (paralelă cu axa y)

- 120591119911119909 și 120591119910119911 sunt tensiuni tangențiale paralele cu axele 119909 și respectiv 119911 aflate icircn

planul care are ca normală axa 119910

Dacă icircn jurul unui punct dintr-un corp solicitat se consider un element de volum

infinit mic de forma unui cub icircn cazul cel mai general pe fețele sale vor acționa

tensiunile normale 120590119909 120590119910 și 120590119911 și respectiv tensiunile tangențiale 120591119909119910 120591119909119911 120591119910119909 120591119910119911 120591119911119909

și respectiv 120591119911119910 figura 33 Aceste tensiuni definesc starea de tensiune a punctului

observacircnd faptul că tensorul tensiune are 9 componente Dacă se consideră elementul

de volum finit ca fiind foarte mic se poate presupune că icircn interiorul său nu apar forțe

Ca urmare el va fi icircn echilibru sub acțiunea forțelor elementare produse de tensiunile de

pe fețele sale

Din condiția ca elementul să nu se rotească icircn jurul unor axe care trec prin centrul

său și sunt paralele cu axele sistemului 119909119874119910119911 rezultă

2 ∙ 120591119909119910 ∙ (119889119910 ∙ 119889119911) ∙119889119909

2= 2 ∙ 120591119910119909 ∙ (119889119909 ∙ 119889119911) ∙

119889119910

2 rArr 120591119909119910 = 120591119910119909 (35)

2 ∙ 120591119910119911 ∙ (119889119909 ∙ 119889119911) ∙119889119910

2= 2 ∙ 120591119911119910 ∙ (119889119909 ∙ 119889119910) ∙

119889119911

2 rArr 120591119910119911 = 120591119911119910 (36)

2 ∙ 120591119909119911 ∙ (119889119910 ∙ 119889119911) ∙119889119909

2= 2 ∙ 120591119911119909 ∙ (119889119909 ∙ 119889119910) ∙

119889119911

2 rArr 120591119909119911 = 120591119911119909 (37)

Relațiile (35divide37) 120591119909119910 = 120591119910119909 120591119910119911 = 120591119911119910 120591119909119911 = 120591119911119909 exprimă principiul dualității

tensiunilor tangențiale

Fig 33 Tensiunile normale și tangențiale pe fețele unui cub

Din condiția ca elementul considerat să nu se deplaseze icircn lungul axelor de

coordonate pe fețele opuse acționează aceleași tensiuni normale 120590119909 120590119910 și respectiv 120590119911

Definirea tensorului tensiune este posibilă dacă se cunosc cele 6 componente

independente ale acestuia aflate icircn trei plane perpendicular ce trec prin punctul respectiv

=

120590119909 120591119909119910 120591119909119911120591119910119909 120590119910 120591119910119911120591119911119909 120591119911119910 120590119911

Observaţii

Tensiunile se măsoară icircn [119873 1198982frasl ] (1119873 1198982frasl = 1 119875119886) sau icircn [119872119875119886]

(1 119872119875119886 = 106119875119886 = 106 119873

1198982 1 119872119875119886 = 1

119873

1198981198982)

Starea de tensiune dintr-un punct este considerată cunoscută dacă se cunosc

tensiunile 119901 care acționează pe infinitatea de elemente de suprafață ce trec prin punctual

considerat

Starea de tensiune a unui corp se consider cunoscută dacă se cunosc stările de

tensiune de pe infinitatea de puncte ale corpului considerat

32 Deplasări Deformaţii specifice

321 Deplasări

Aceste noțiuni sunt utile icircn analiza aspectului geometric al problemelor de rezistența

materialelor Deplasările care se analizează sunt cele datorate schimbării formei și

dimensiunilor corpurilor ca urmare a acțiunii forțelor exterioare și nu cele cinematice

posibile pentru solidul rigid care se poate deplasa cu anumită viteză și accelerație

Spre exemplu icircn figura 34a și figura 34b sub acțiunea forței 119865 tronsonul de

bară AB se deformează icircn timp ce tronsonul BC deși punctele sale au deplasări rămacircne

nedeformat (fiind nesolicitat) Toate punctele de pe axele barelor cu excepția celor din

icircncastrare (secțiunile A) au deplasări liniare De cele mai multe ori deformațiile barelor

datorate acțiunii forțelor exterioare se anulează la icircndepărtarea forțelor se spune că

deformațiile sunt elastice Secțiunile transversale ale barei din figura 34a se și rotesc icircn

raport cu pozițiile lor inițiale Spre exemplu secțiunea de căpăt cu centrul icircn C se rotește

cu unghiul

Fig 34 Deformațiile unei grinzi

Oricacirct de complexă ar fi delormația unui corp ea poate fi descrisă de lungiri sau

scurtări și de modificări ale unghiurilor inițiale

Deplasările măsoară schimbarea poziției unui punct al corpului și pot fi liniare

sau unghiulare

Prin deplasare liniară a unui punct se icircnțelege drumul parcurs de acest punct icircn

decursul procesului de deformație după o dreaptă suport dreapta 1198611198611 din figura 34a

Prin deplasare unghiulară se icircnțelege rotirea dintre segmentele de dreaptă

determinate de două puncte ale corpului icircnainte și după deformarea acestuia unghiul

pe care-l fac segmentele 119861119862 și 11986111198621 din figura 34a Această rotire se măsoară prin

unghiul pe care-l fac proiecțiile dreptelor ce conțin cele două segmente icircntr-un sistem

triortogonal

Icircn cazul cel mai general vectorul deplasare liniară se poate descompune icircntr-un

sistem triortogonal icircn trei componente 119906 119907 și 119908 figura 35

Fig 35 Deplasarea liniară

Se consideră acum un corp solid raportat la un sistem de axe ortogonal 119909119874119910119911

figura 35 după deformarea corpului un punct oarecare 119870 al acestuia se deplasează icircn

poziţia 1198701 vectorul 1198701198701 poartă numele de vectorul deplasării totale

Deplasarea totală este suma deplasărilor pe cele trei direcţii ortogonale iar

aceste deplasări se notează astfel

deplasarea pe direcţia 119909 cu ∥ 119874119909

deplasarea pe direcţia 119910 cu ∥ 119874119910

deplasarea pe direcţia 119911 cu ∥ 119874119911

Componentele deplasărilor și formeză matricea deplasărilor liniare 119906119907119908

322 Deformații

Prin deformație icircn general se icircnțelege orice schimbare de formă a unui corp fără

o evaluare cantitativă Icircn Rezistența Materialelor deformația măsoară variația

dimensiunilor geometrice ale corpului considerat din vecinătatea unui punct analog

deplasărilor deformațiile pot fi liniare și unghiulare (lunecări)

Fig 36 Deplasarea liniară

Deformația liniară ∆119897 reprezintă variația lungimii 119897 a unui element liniar al

corpului deformat figura 36 Deformația liniară specifică se definește ca fiind raportul

dintre deformația liniară și lungimea inițială

휀 =∆119897

119897 (38)

unde ∆119897 este lungirea sau scurtarea care este echivalentă cu deformția liniară totală iar

este alungirea

Deformația unghiulară sau lunecarea unui punct 119860 icircn planul 119861119860119862 se definește

prin relația figura 37

120574 = lim119861119860rarr0119862119860rarr0

(119861119860 minus 119861111986011198621 ) (39)

Fig 36 Deformația unghiulară

Schimbacircnd orientarea planului care trece prin 119860 se obțin alte deformații

unghiulare Dacă elementele liniare 119861119860 și 119862119860 sunt inițial perpendiculare deformația 120574 se

numește deformație unghiulară specifică sau lunecare specifică figura 37

Un exemplu de deplasare unghiulară și de deformație unghiulară este prezentat icircn

figura 38 Unghiul este deplasarea unghiulară și măsoară rotirea relativă dintre două

secțiuni aflate la distanța 119897 Unghiul este deformația specifică unghiulară (lunecarea

specifică) din punctul 119870 Aceste deplasări și deformații se obțin icircn urma solicitării barei

de către cele două momente 1198720 egale și de sens contrar

Fig 38 Deplasarea unghiulară

Pentru a analiza starea de deformație din vecinătatea unui punct al unui corp

solicitat complex se decupează din jurul punctului un element de volum mic figura 39a

avacircnd laturile 119889119909 119889119910 și 119889119911 Ca urmare a solicitării laturile acestuia se vor lungi sau

scurta Reprezentarea elementului deformat icircn spațiu este dificilă pentru simplificare

vom analiza doar deformațiile din planul 119909119874119910 Observăm că dimensiunile 119889119909 și 119889119910 s-au

modificat cu valoarea ∆119889119909 respectiv cu ∆119889119910 analog se acceptă și pentru 119889119911 o modificare

de forma ∆119889119911 Astfel se pot defini deformațiile specifice liniare

휀119909 =∆119889119909

119889119909 휀119910 =

∆119889119910

119889119910 휀119911 =

∆119889119911

119889119911 (310)

De cele mai multe ori aceste deformații specifice liniare se pot exprima procentual

și se mai numesc alungiri

Fig 39 Starea de deformație

Icircn figura 39c se vede că unghiul inițial drept dintre muchiile 119889119909 și 119889119910 ale

elementului de volum s-a modificat Se definește deformația specifică unghiulară (sau

lunecarea specifică) mărimea cu care se modifică unghiul inițial drept

120574119909119910 = 120574119909119910prime + 120574119910119909

prime = 120574119910119909120574119910119911 = 120574119910119911

prime + 120574119911119910prime = 120574119911119910

120574119911119909 = 120574119911119909prime + 120574119909119911

prime = 120574119909119911

(311)

Deformațiile 휀119909 휀119910 휀119911 120574119909119910 120574119910119911 120574119911119909 constituie cele șase componente

independente ale tensorului deformațiilor specifice care pot fi scrise de forma

119863 =

휀119909 120574119909119910 120574119909119911120574119910119909 휀119910 120574119910119911120574119911119909 120574119911119910 휀119911

(312)

323 Contracţia transversală

Practica arată că odată cu lungirea unei bare apare o micşorare a mărimii secţiunii

transversale mărime numită contracţie transversală figura 310

Fig 310 Contracția transversală

Contracţia transversală este proporţională cu lungirea specifică coeficientul de

proporţionalitate se notează cu 120599 şi se numeşte coeficient de contracţie transversală sau

coeficientul lui Poisson

La o lungire specifică a barei contracţia transversală este dată de relația

휀119905119903 = 휀119910 = 휀119911 = minus120599 ∙ 휀119909 (313)

Semnul minus bdquo-rdquo arată că cele două mărimi sunt contrare dacă una creşte cealaltă

scade şi invers

Considerăm o bară cilindrică de lungime 119897 şi aria secţiunii transversale 119860 solicitată

la icircntindere axială La un moment dat datorită solicitării lungimea barei devine

[119897 ∙ (1 + 휀)] diametrul devine [119889 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)] iar aria secţiunii transversale devine

[119860 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)2] Dacă volumul barei icircnainte de solicitare a fost (119860 ∙ 119897) după solicitare

acesta devine

119881 + ∆119881 = 119860 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)2 ∙ 119897 ∙ (1 + 휀) =

= 119860 ∙ 119897 ∙ (1 + 휀 minus 2 ∙ 120599 ∙ 휀 minus 2 ∙ 120599 ∙ 휀2 + 1205992 ∙ 휀2 + 1205992 ∙ 휀3) (314)

Deoarece lungirile sunt foarte mici ultimii trei termeni din paranteză fiind infinit mici se pot neglija obţinacircnd

119881 + ∆119881 = 119860 ∙ 119897 + 119860 ∙ 119897 ∙ 휀 ∙ (1 minus 2 ∙ 120599) ⟺ ∆119881 = 휀 ∙ (1 minus 2 ∙ 120599) ∙ 119860 ∙ 119897 (315)

Practica arătă că o astfel de bară solicitată la icircntindere icircşi măreşte volumul deci

∆119881 gt 0 de unde rezultă că

1 minus 2 ∙ 120599 gt 0 rArr 120599 lt 05 (316)

Pentru majoritatea materialelor 120599 = 033 iar pentru materialele care-şi păstrează

volumul constant 120599 = 05

33 Relaţii de echivalenţă icircntre eforturi şi tensiuni

Considerăm un element de suprafață infinit mic 119889119860 situat pe fața de arie (119860) a

secțiunii barei din figura 311 Icircn centrul de greutate 119862 al secțiunii acționează eforturile

119873 119879119910 119879119911 119872119909 119872119894119910 și 119872119894119911 determinate prin metoda secțiunilor

Icircn raport cu un sistem de axe de referință 119909119862119910119911 coordonatele elementului 119889119860 sunt

- 119910 este ordonata elementului de arie 119889119860

- 119911 este abscisa elementului de arie 119889119860

Pe elementul de arie 119889119860 acționează tensiunile

120590119909 tensiunea normală

120591119909119910 și 120591119909119911 tensiuni tangențiale

Dacă se icircnsumează forțele elementare de tipul 120590119909 ∙ 119889119860 120591119909119910 ∙ 119889119860 și 120591119909119911 ∙ 119889119860

va trebui să obținem eforturile 119873 119879119910 și 119879119911

Fig 311 Element de suprafață mic din secțiunea unei bare

Dacă eforturile sunt privite ca forțe exterioare și se scriu ecuațiile de

echilibru ale secțiunii (119860) se vor obține șase relații de echivalență icircntre eforturi și

tensiuni

(sum119883) = 0 rArr int 120590119909 ∙ 119889119860

119860

= 119873 (317)

(sum119884) = 0 rArr int 120591119909119910 ∙ 119889119860

119860

= 119879119910 (318)

(sum119885) = 0 rArr int 120591119909119911 ∙ 119889119860

119860

= 119879119911 (319)

(sum119872)119909= 0 rArr int(120591119909119911 ∙ 119889119860) ∙ 119910

119860

minus int(120591119909119910 ∙ 119889119860) ∙ 119911

119860

= 119872119909 rArr

rArr int(119910 ∙ 120591119909119911 minus 119911 ∙ 120591119909119910) ∙ 119889119860

119860

= 119872119909

(320)

(sum119872)119910= 0 rArr int(120590119909 ∙ 119889119860) ∙ 119911

119860

= 119872119894119910 (321)

(sum119872)119911= 0 rArr int(120590119909 ∙ 119889119860) ∙ 119910

119860

= 119872119894119911 (322)

Cele șase relații de echivalență icircntre eforturi și tensiuni constituie un pas icircnainte

icircn rezolvarea unei probleme de rezistența materialelor Aceste relații vor permite

determinarea tensiunilor maxime

Pentru a rezolva cele 6 relații de echivalență trebuie să se cunoască tensiunile și

ca funcții de punct adică funcții de forma

120590119909 = 120590119909(119909 119910 119911) 120591119909119910 = 120591119909119910(119909 119910 119911) 120591119909119911 = 120591119909119911(119909 119910 119911) (32

3)

Cunoașterea acestor funcții presupune icircnsă analizarea aspectului geometric al

problemei precum și utilizarea unor ipoteze simplificatoare care să permită simplificarea

problemelor

34 Ipoteze de bază icircn rezistenţa materialelor

Depășirea dificultăților legate de interpretarea unor fenomene specifice mecanicii

solidului deformabil a impus acceptarea unor ipoteze care să simplifice fenomenele și să

contribuie la elaborarea unor modele de calcul cicirct mai generale și cacirct mai simple Aceste

ipoteze se referă la structura materialelor şi la comportarea lor sub acţiunea forţelor

exterioare Ipotezele acceptate trebuie să fie icircn deplină concordanţă cu realitatea și să

conducă la rezultate verificate icircn practică

Funcție de aspectele la care se referă ipotezele pot fi

Ipoteze fizice (de material)

Ipoteze de calcul

341 Ipoteze fizice

Se acceptă deoarece teoriile structurale au condus la rezultate care contravin

icircncercărilor experimentale

Ipoteza mediului continuu consideră că orice domeniu elementar al corpului

este ocupat de materie adică nu se acceptă existența unor goluri sau a unor crăpături

microscopice (fisuri) Deși nu corespunde realităţii poate fi acceptată deoarece

dimensiunile corpului sunt mult mai mari decacirct dimensiunile particulelor elemantare Are

avantajul că permite utilizarea proprietăților matematice ale funcțiilor continue pentru

tensiunile și deformațiile din orice punct al corpului Ea este mai apropiată de realitate la

corpurile amorfe şi mai depărtată la cele cristaline dar conduce la rezultate satisfăcătoare

icircn calculele de rezistenţă

Ipoteza nu se poate aplica la corpurile care au goluri tăieturi (multiplu conexe)

pentru unele puncte singulare icircn care tensiunile și deformațiile tind la infinit sau icircn unele

probleme de plasticitate icircn care proprietățile de material au un rol esențial

Ipoteza izotropiei conform acestei ipoteze materialul din care este confecționat

un element de rezistență are aceleași proprietăți după orice direcție un astfel de material

este considerat izotrop Din punct de vedere macroscopic metalele pot fi considerate

izotrope deși la nivel microscopic proprietățile lor diferă de la o direcție cristalografică

la alta Orice conglomerat de cristale poate fi considerat izotrop

Există cazuri cacircnd această ipoteză a izotropiei nu se acceptă

la metalele puternic deformate după o direcție (prin laminare trefilare)

la piesele confecționate din lemn lemnul este anizotrop deoarece proprietățile sale

diferă după două direcții (icircn lungul fibrelor și perpendicular pe această direcție)

Ipoteza omogenității consideră că un corp are aceleași proprietăți icircn orice

punct al său Deși majoritatea materialelor utilizate icircn tehnică sunt eterogene la scară

micro fiind constituite din mai multe faze cu proprietăți diferite la scară macro ele pot

fi considerate omogene Omogenitatea și izotropia sunt proprietăți statistice medii care

nu se condiționează una pe cealaltă Chiar și materialele monofazice pot avea la scară

micro unele segregații care le fac eterogene

Ipoteza elasticităţii perfecte presupune că atacircta timp cacirct solicitările nu

depăşesc anumite limite materialul are o comportare elastică adică icircşi recapătă forma şi

dimensiunile iniţiale odată cu icircnlăturarea sarcinilor Icircn realitate materialele nu prezintă o

elasticitate perfectă ele avacircnd deformaţii remanente mici care icircnsă pot fi neglijate icircn

calculele de rezistenţă

Acceptarea acestei ipoteze a elasticității perfecte permite

- aplicarea relației biunivoce icircntre tensiuni și deformații relație exprimată de legea

lui Hooke ( = 119864 ∙ 휀) unde E este un factor de proporţionalitate numit modul de

elasticitate longitudinal al materialului pentru oţel 119864 = 21 ∙ 105 [119872119875119886] - acceptarea valabilității afirmației bdquolucrul mecanic efectuat de forțele exterioare

ca urmare a parcurgerii deplasărilor punctelor de aplicație se icircnmagazinează integral icircn

corp sub formă de energie de deformație energie cedată la icircndepărtarea sarcinilorrdquo

- este valabilă teoria conform căreia bdquoenergia icircnmagazinată și deformațiile depind

doar de starea inițială și finală de eforturi fără a ține cont de modul icircn care s-a ajuns la

starea finalărdquo

Icircn realitate oricacirct de mici ar fi sarcinile aplicate se produc și deformații plastice

dar acestea pot fi neglijate dacă solicitarea nu depășește anumite limite

342 Ipoteze de calcul

Ipoteza micilor deplasări bdquodeplasările datorate deformării sunt mult mai mici

decacirct dimensiunile corpurilor și ca urmare pot fi neglijate produsele dintre o deplasare și

ea icircnsăşirdquo Pentru cele mai multe corpuri deformaţiile elastice sunt de mărimi mici deci

corpurile solide sub acţiunea sarcinilor icircşi modifică foarte puţin forma iniţială Această

ipoteză este cunoscută şi sub denumirea de ipoteza menţinerii dimensiunilor iniţiale Ea

permite scrierea ecuaţiilor de echilibru ale staticii pe starea nedeformată a elementului

cacircnd nu se iau icircn considerare deplasările punctelor de aplicaţie ale forţelor care se produc

ca urmare a deformării acestuia Calculul efectuat pe schema nedeformată poartă numele

de calcul de ordinul I

Ipoteza micilor deplasări nu poate fi acceptată pentru studiul problemelor de

stabilitate sau la problemele la care nu pot fi icircndeplinite condiţiile de echilibru icircn starea

nedeformată

Calculul de ordinul II admite ipoteza micilor deplasări dar ecuaţiile de echilibru

se scriu icircnsă pentru starea deformată a elementului de rezistenţă

Calculul de ordinul III nu mai acceptă ipoteza micilor deplasări el referindu-se

la cazul deformaţiilor mari cacircnd ecuaţiile de echilibru trebuie scrise pentru starea

deformată

Chiar dacă materialul satisface legea lui Hooke icircn urma calculelor de ordinul II

se obţin de obicei relaţii neliniare icircntre sarcini şi deplasări iar pentru calculul de ordinul

III rezultă ecuaţii diferenţiale neliniare

Principiul efectului local al acțiunii sarcinilor enunțat de Barre de Saint-

Venant Acest principiu destul de folosit icircn Rezistenţa Materialelor precizează că dacă

se icircnlocuiesc forţele care acţionează asupra unui element de suprafață al unui corp

elastic printr-un alt sistem de forţe echivalent din punct de vedere static cu primul noua

distribuţie a forţelor produce la locul de aplicare diferenţe semnificative faţă de prima

dar rămacircne fără efect sau cu efect neglijabil la distanţe mari de locul de aplicare al

forţelor figura 312

Ca o cosecință o sarcină uniform distribuită figura 312a poate fi icircnlocuită cu

rezultanta ei figura 312b dacă se analizează efectul sarcinii la distanță mare de locul icircn

care se aplică sarcina

Fig 312 Principiul Saint-Venant

Icircn prima variantă figura 312a forţa 119865 se aplică pe o porțiune oarecare 119897 (sarcină

uniform distribuită) iar icircn a doua figura 312b icircntru-un punct (forţă concentrată) La

locul de aplicare a sarcinii efectul asupra barei este cu totul diferit de la o variantă la

cealaltă Icircnsă la o distanţă mare de punctul de aplicaţie spre exemplu icircn secţiunea situată

la distanţa 119886 de capătul barei sau chiar icircn icircncastrare ambele bare sunt solicitate la fel

Icircn cazul din figura 312a

119872119894(119909) =119901 ∙ 1199092

2 119909 le 119897 119872119894(119909) = 119901 ∙ 119897 ∙ (119909 minus

119897

2) 119909 gt 119897 (324)

Icircn cazul din figura 312b

119872119894(119909) = 0 119909 lt119897

2 119872119894(119909) = 119901 ∙ 119897 ∙ (119909 minus

119897

2) 119909 gt

119897

2 (325)

Se vede că pentru (119909 gt 119897) adică după depășirea locului icircn care se aplică sarcina

efectul este același

Ipoteza lui Bernoulli sau ipoteza secţiunilor plane precizează că o secţiune

plană şi normală pe axa barei icircnainte de deformare rămacircne plană şi normală pe axa

barei şi după deformare figura 313

Fig 313 Ipoteza lui Bernoulli

Ipoteza stării naturale a corpului sau ipoteza absenţei tensiunilor conform

căreia pentru un corp nesolicitat starea de tensiune şi deformaţie este nulă

Perfecţionarea mijloacelor de calcul şi de investigare pot conduce la renunţarea la

unele ipoteze sau la introducerea altora noi mai aproape de stările reale De aici rezultă

caracterul de continuă perfecţionare a metodelor Rezistenţei Materialelor

35 Coeficienţi de siguranţă Tensiuni admisibile

O piesă corespunde din punct de vedere tehnic dacă tensiunile care iau naştere icircn

interiorul piesei datorită sarcinilor aplicate nu depăşesc anumite valori limită stabilite

convenţional Aceste valori limită ale tensiunii sunt corelate cu caracteristicile mecanice

ale materialelor

Tensiunea limită utilizată icircn calculele de rezistenţă este cunoscută sub denumirea

de tensiune admisibilă sau rezistenţă admisibilă Rezistenţa admisibilă reprezintă

valoarea convenţională aleasă icircn calcul pe baza practicii pentru tensiunea maximă care

poate apare icircntr-o piesă icircn condiţii date de material şi solicitare

Rezistenţa admisibilă (120590119886 sau 120591119886) poate fi definită faţă de o stare limită

periculoasă stare care trebuie evitată deoarece poate conduce distrugere

120590119886 =120590119897119894119898119888

(326)

unde

120590119897119894119898 este tensiunea corespunzătoare stării limită periculoase

119888 estesupraunitar 119888 gt 1 și reprezintă coeficientul de siguranţă faţă de starea limită

periculoasă considerată

Alegerea unor valori inferioare pentru rezistenţa admisibilă faţă de tensiunea

corespunzătoare stării limită periculoase este necesară deoarece

cunoaşterea sarcinilor este de cele mai multe ori aproximativă şi o depăşire a

acestora este foarte posibilă

caracteristicile mecanice ale materialelor variază icircn limite destul de mari ele

fiind influenţate de mulţi factori

schema aleasă pentru calcul (aplicarea sarcinilor schematizarea structurii

ipotezele de calcul etc) depărtează modelul faţă de cel real

Pentru calculele de verificare tensiunea efectivă maximă din elementul de

rezistenţă trebuie să fie mai mică sau cel mult egală cu cea admisibilă

120590119890119891119898119886119909 le 120590119886 (327)

Valoarea rezistenţei admisibile este influenţată de foarte mulţi factori natura

materialului tratamentele termice aplicate piesei durata de funcţionare a piesei modul

de acţionare icircn timp a sarcinilor felul solicitării temperatura gradul de periculozitate

icircn cazul cedării piesei etc

De asemenea valoarea coeficientului de siguranţă se alege icircn principal ţinacircnd

seama de aceiaşi factori care influenţează şi rezistenţa admisibilă

Rezistenţele admisibile pentru cacircteva materiale sunt următoarele

pentru oțelul de uz general OL37 solicitat la icircntindere compresiune sau

icircncovoiere 120590119886 = 150 [119872119875119886] pentru lemnul de brad solicitat la

- compresiune icircn lungul fibrelor şi solicitat la icircncovoiere 120590119886 = 10 [119872119875119886] - tracţiune icircn lungul fibrelor 120590119886 = 7 [119872119875119886] - compresiune perpendiculară pe fibre 120590119886 = 15 [119872119875119886] - forfecare icircn lungul fibrelor 120591119886 = 2 [119872119875119886] - forfecare perpendiculară pe fibre 120590119886 = 45 [119872119875119886]

terenuri de fundaţie din pămacircnt uscat sau umed 120590119886 = 020 divide 025 [119872119875119886]

4 CARACTERISTICI GEOMETRICE ALE SECȚIUNILOR PLANE

41 Noţiuni introductive

Icircn relaţiile de calcul ale tensiunilor şi deformaţiilor elementelor de rezistenţă

pentru unele solicitări (icircncovoierea și torsiunea) secțiunile plane intervin atacirct prin

dimensiunile lor (aria 119860) cicirct și prin forma și poziția pe care o are secțiunea icircn raport cu

planul solicitării Mărimile care caracterizează o secțiune icircn raport cu forma și poziția față

de axele unui sistem de referință sunt denumite caracteristici geometrice de ordin

superior Aria secțiunii este caracteristica geometrică ce depinde doar de dimensiunile

geometrice ale acesteia

Să considerăm o grindă solicitată de o forță exterioară 119865 aşezată icircn două poziții icircn

raport cu planul forţei figura 41 Icircn urma aplicării forței deși avem aceeași grindă

(aceeași arie a secțiunii transversale) și aceeași forță se constată că pentru varianta din

figura 41a deformațiile sunt mult mai mari adică rezistența la icircncovoiere a grinzii din

figura 41a este mai mare decacirct icircn cazul grinzii din figura 41b Comportarea diferită se

explică prin aceea că modificarea poziţiei secţiunii transversale faţă de planul forţelor

modifică caracteristicile geometrice ale secţiunii transversale a grinzii

Fig 41 Grindă solicitată de forța 119865

Pentru realizarea calculelor de rezistenţă şi rigiditate este foarte importantă

cunoaşterea caracteristicilor geometrice ale suprafeţei secţiunii transversale a elementelor

de rezistenţă

Caracteristicile geometrice ale secţiunii transversale a unui element de rezistenţă

sunt

- aria secțiunii notată cu 119860

- momentul static icircn raport cu o axă notat 119878119911 și respectiv 119878119910

- momentul de inerție care poate fi

axial notat 119868119911 și respectiv 119868119910

centrifugal notat 119868119911119910

polar notat 119868119901

- raza de inerţie (giraţie)notată 119894119911 și respectiv 119894119910

- modulul de rezistență care poate fi

axial notat 119882119911 și respectiv 119882119910

polar notat 119882119901

42 Aria și momentul static al suprafețelor plane

Fie o suprafaţă plană de arie 119860 pe care se ia un element infinit mic de arie 119889119860 şi

un sistem de axe rectangulare 119911119874119910 figura 42 Notăm cu 119862 centrul de greutate al suprafeţei

119860 Poziţia suprafeţei elementare 119889119860 faţă de acelaşi sistem de coordonate 119911119874119910 este dată

de abscisa 119911 ordonata 119910 și raza polară

Fig 42 Suprafață plană de arie 119860

Aria suprafeţei 119860 figura 42 se defineşte ca fiind

119860 ≝ int 119889119860

119860

(41)

Aria suprafeţei este icircntotdeauna pozitivă și se măsoară icircn [1198981198982] Momentul static al suprafeţei de arie 119860 icircn raport cu axele 119874119911 și respectiv 119874119910

figura 42 sunt date de relaţiile

119878119911 ≝ int 119910 ∙ 119889119860

119860

119878119910 ≝ int 119911 ∙ 119889119860

119860

(42)

Momentul static poate fi pozitiv negativ sau nul şi se măsoară icircn [1198981198983] Coordonatele centrului de greutate ale suprafeței 119860 se detrmină cu relațiile

119910119862 ≝int 119910 ∙ 119889119860119860

119860 119911119862 ≝

int 119911 ∙ 119889119860119860

119860

(43)

Cunoscacircnd coordonatele 119910119862 și 119911119862 ale centrului de greutate 119862 al secțiunii 119860 atunci

momentele statice se pot determina cu relațiile

119878119911 ≝ int 119910 ∙ 119889119860

119860

= 119910119862 ∙ 119889119860 119878119910 ≝ int 119911 ∙ 119889119860

119860

= 119911119862 ∙ 119889119860 (44)

Aceste relații arată că momentul static al unei suprafețe icircn raport cu o axă este

egal cu produsul dintre aria suprafeței și distanța de la centrul ariei la axa respectivă

Dacă suprafaţa se poate descompune icircn 119899 suprafeţe simple la care se cunosc ariile

(1198601 1198602 ⋯ 119860119894⋯ 119860119899) și poziţiile centrelor de greutate 119862119894 faţă de sistemul de referinţă

expresiile momentelor statice capătă următoarea formă

119878119911 = sum 119910119862119894 ∙ 119860119894119899119894=1 = 119910119862 ∙ 119860 119878119910 = sum 119911119862119894 ∙ 119860119894

119899119894=1 = 119911119862 ∙ 119860 (45)

Din relaţiile (45) rezultă că poziţia centrului de greutate 119862 al unei suprafeţe

compuse poate fi determinată cu relaţiile

119910119862 = (sum119910119862119894 ∙ 119860119894

119899

119894=1

) 119860frasl 119911119862 = (sum119911119862119894 ∙ 119860119894

119899

119894=1

) 119860frasl (46)

Icircn relația (45) 119910119862119894 și respectiv 119911119862119894 reprezintă coordonatele centrelor de greutate 119862119894

ale fiecărei suprafețe simple 119860119894 icircn raport sistemul de axe 119911119874119910

Se constată (relaţia 42) că dacă axele sistemului de referinţă trec prin centrul de

greutate (119910119862 = 119911119862 = 0) momentele statice sunt nule Axele icircn raport cu care momentele

statice sunt nule şi care trec prin centrul de greutate al suprafeţei se numesc axe centrale

Observație dacă secțiunea compusă are o axă de simetrie centrul secțiunii se

găsește pe acea axă iar dacă secțiunea este dublu simetrică poziția centrului secțiunii este

la intersecția axelor de simetrie

43 Momente de inerţie

Momentele de inerţie axiale ale unei suprafețe se calculează icircn raport cu axele de

coordonate 119874119911 și respectiv 119874119910 figura 42 și se determină cu relațiile

119868119911 ≝ int 1199102 ∙ 119889119860

119860

119868119910 ≝ int 1199112 ∙ 119889119860

119860

(47)

Unde 119910 și 119911 sunt distanțele de la elementul de arie 119889119860 la cele două axe de

coordonate 119874119911 și respectiv 119874119910

Momentele de inerţie axiale se măsoară icircn [1198981198984] şi sunt icircntotdeauna pozitive (aria

119889119860 este icircntotdeauna pozitivă și este multiplicată cu patratul distanței 1199102 dacă 119868119911 sau 119868119910

sunt nule icircnseamnă ca secțiunea nu există)

Momentele de inerție axiale se calculează icircndeosebi pentru axele centrale (care

trec prin centrul secțiunii) deoarece icircn raport cu acele axe 119868119911 și 119868119910 au valori minime

Momentul de inerţie centrifugal calculat faţă ambele axe ale sistemului de

referinţă 119911119874119910 este definit de relația

119868119911119910 ≝ int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860

(48)

Momentul de inerţie centrifugal se măsoară icircn [1198981198984] şi poate fi pozitiv negativ

sau nul

Momentul de ineție centrifugal este nul 119868119911119910 = 0 dacă cel puțin una din axele 119874119911

sau 119874119910 este axă de simetrie pentru secțiune

Se consideră o suprafaţă dreptunghiulară pe care faţă de axa de simetrie 119874119910 se iau

două suprafeţe elementare de arie 119889119860 simetrice faţă de axa 119874119910 figura 43

Fig 43 Suprafață dreptunghiulară cu două arii elementare 119889119860

Făcacircnd suma momentelor de inerţie centrifugale pentru cele două suprafeţe

elementare 119889119860 (din stacircnga şi din dreapta faţă de axa 119874119910) se obţine

int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860119889119903

+ int (minus119911) ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860119904119905119892

= int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860119889119903

minus int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860119904119905119892

= 0 (49)

Acelaşi raţionament se poate face și pentru icircntreaga suprafaţă de unde obținem că

momentul de inerție centrifugal este nul 119868119911119910 = 0 Deci pentru o suprafaţă plană care

are cel puţin o axă de simetrie momentul de inerţie centrifugal faţă de sistemul care

conţine acea axă de simetrie este nul

Momentul de inerţie polar al unei suprafeţei icircn raport cu un punct (pol) 119874 figura

42 este definit prin relaţia

1198680 = 119868119901 ≝ int 1205882 ∙ 119889119860

119860

= int(1199102 + 1199112) ∙ 119889119860

119860

= 119868119911 + 119868119910 (410)

unde este distanţa de la polul 119874 la elementul de arie 119889119860 Momentul de inerţie polar se

măsoară icircn [1198981198984] şi este totdeauna pozitiv

Momentul de inerţie polar este egal cu suma momentelor de inerţie faţă de două axe

perpendiculare oarecare şi care trec prin polul considerat

Razele de giraţie sau razele de inerţie sunt mărimi calculate icircn raport cu axele

secțiunii și definite de relaţiile

119894119911 ≝ radic119868119911119860 119894119910 = radic

119868119910

119860 (411)

Se exprimă icircn [119898119898] şi sunt icircntotdeauna pozitive Semnificația unei raze de inerție

este distanța la care dacă ar fi concentrată icircntreaga arie s-ar obține același moment de

inerție ca și cel calculat pentru aria reală

44 Modulul de rezistenţă

Modulul de rezistență se calculează icircn raport cu axele de referință sau icircn raport cu

un pol figura 42 și pot fi axiale (119882119911119882119910) sau polar (119882119901) și se determină numai pe baza

momentelor de inerţie cu relațiile figura 43

119882119911119898119894119899 ≝119868119911119910119898119886119909

119882119911119898119886119909 ≝119868119911119910119898119894119899

(412)

119882119910119898119894119899 ≝119868119910

119911119898119886119909 119882119910119898119886119909 ≝

119868119910

119911119898119894119899 (413)

119882119901 ≝119868119901

120588119898119886119909 (414)

unde

119910119898119886119909 119910119898119894119899 reprezintă distanţa de la axa 119874119911 la punctele extreme cele mai

depărtate respectiv cele mai apropiate ale suprafeţei de această axă

119911119898119886119909 119911119898119894119899 reprezintă distanţa de la axa 119874119910 la punctele extreme cele mai

depărtate respectiv cele mai apropiate ale suprafeţei de această axă

120588119898119886119909 reprezintă distanța maximă de la polul 119874 la punctul secțiunii cel mai

icircndepărtat de acesta

Fig 43 Suprafață dreptunghiulară cu două arii elementare 119889119860

Modulele de rezistenţă se exprimă icircn [1198981198983] şi sunt icircntotdeauna pozitive

Explicația este aceea că momentele de inerție care intră icircn relațiile de definiție sunt

pozitive iar distanțele la punctele extreme sunt pozitive (119910119898119886119909 119910119898119894119899 119911119898119886119909 119911119898119894119899 120588119898119886119909 se

iau icircn valoare absolută)

Icircn cazul suprafeţelor compuse modulul de rezistenţă nu se obţine prin icircnsumarea

algebrică a modulelor de rezistenţă ale suprafeţelor simple componente ci numai prin

intermediul momentului de inerţie axial calculat pentru icircntreaga secțiune

Ca și momentele de inerție modulele de rezistență se calculează numai pentru

sistemele de axe centrale

45 Momente de inerţie şi module de rezistenţă pentru suprafeţe simple

451 Secțiune dreptunghiulară

Fie suprafaţa dreptunghiulară din figura 44 de icircnălțime ℎ și lățime 119887 pe care se

consideră suprafaţă elementară de arie 119889119860 = 119887119889119910 la distanța 119910 de axa 119862119911 sistemul de

axe 119911119862119910 trece prin centrul secțiunii iar axele sunt axe de simetrie pentru dreptunghi

Fig 44 Suprafață dreptunghiulară

Pe baza relațiilor de definiți a momentului de inerție 119868119911 se obține

119868119911 ≝ int 1199102 ∙ 119889119860

119860

= int 1199102 ∙ 119887 ∙ 119889119910 = 2int 1199102 ∙ 119887 ∙ 119889119910 = 2 ∙ 119887 ∙1199103

3|ℎ 2frasl

0rArr

ℎ 2frasl

0

ℎ 2frasl

minusℎ 2frasl

rArr 119868119911 =119887 ∙ ℎ3

12

(415)

Analog pentru un element de arie 119889119860 = ℎ ∙ 119889119911 paralel cu axa 119862119910 situat la distanța

119911 de axa 119862119910

119868119910 ≝ int 1199112 ∙ 119889119860

119860

= int 1199112 ∙ ℎ ∙ 119889119911 = 2int 1199112 ∙ ℎ ∙ 119889119910 = 2 ∙ ℎ ∙1199113

3|119887 2frasl

0rArr

119887 2frasl

0

119887 2frasl

minus119887 2frasl

rArr 119868119910 =1198873 ∙ ℎ

12

(416)

Deoarece axele 119862119911 și 119862119910 sunt axe de simetrie momentul de inerție centrifugal este

119868119911119910 = 0 (417)

Pentru un pătrat avacircnd laturile egale (ℎ = 119887 = 119886) momentele de inerţie faţă de

axele centrale au expresia

119868119911 = 119868119910 =1198864

12 (418)

Modulele de rezistență axiale se calculează cu relațiile de definiție ținacircnd cont că

distanțele pacircnă la fibrele extreme sunt

119910119898119886119909 = 119910119898119894119899 =ℎ

2 119911119898119886119909 = 119911119898119894119899 =

119887

2 (419)

Obținem

119882119911119898119894119899 = 119882119911119898119886119909 =119868119911

119910119898119886119909119898119894119899=119887 ∙ ℎ3

12frasl

ℎ2frasl

=119887 ∙ ℎ2

6

119882119910119898119894119899 = 119882119910119898119886119909 =119868119910

119911119898119886119909119898119894119899=1198873 ∙ ℎ

12frasl

1198872frasl

=1198872 ∙ ℎ

6

(420)

452 Suprafaţă circulară

Din motive de simetrie pentru suprafeţele circulare momentele de inerţie faţă de

orice diametru (care reprezintă şi axe centrale) sunt aceleaşi

Considerăm o secțiune circulară plină cu diametrul 119889 și centrul de greutate 119862 Prin

centrul de greutate 119862 trece sistemul de axe ortogonal 119911119862119910 figura 45

Fig 45 Suprafață circulară

La distanța de centrul de greutate 119862 vom lua un element de suprafață mic de arie

(119889119860) de forma unui inel de grosime 119889 Elementul de arie 119889119860 are expresia

119889119860 = (2 ∙ 120587 ∙ 120588) ∙ (119889120588)

Pornind de la relația de definiție a momentului de inerție polar obținem

119868119901 ≝ int 1205882 ∙ 119889119860

119860

= int 1205882 ∙ (2 ∙ 120587 ∙ 120588) ∙ 119889120588

119903=119889 2frasl

0

= 2 ∙ 120587 ∙1205884

4|119889 2frasl0 rArr

rArr 119868119901 =120587 ∙ 1198894

32

(421)

Secțiunea este perfect simetrică deci sunt valabile relațiile

119868119911 = 119868119910 rArr 119868119901 = 119868119911 + 119868119910 = 2 ∙ 119868119911 = 2 ∙ 119868119910 =119868119901

2=120587 ∙ 1198894

64 (422)

Și modulele de rezistenţă faţă de orice diametru sunt egale şi se calculează cu

relaţiile

119882119911 = 119882119910 =1198681199111198892frasl=120587 ∙ 1198893

32 (423)

Modulul de rezistenţă polar este

119882119901 =1198681199011198892frasl=120587 ∙ 1198893

16 (424)

453 Secţiune inelară

Calculul momentelor de inerţie axiale pentru o secţiune inelară avacircnd diametrul

interior 119889 şi diametrul exterior 119863 se determină analog pentru suprafaţa circulară plină cu

observaţia că integrala pentru calculul momentului de inerție polar 119868119901 se face icircntre

limitele 119903 = 119889 2frasl şi R= 1198632frasl (icircntre raza interioară 119903 şi raza exterioară 119877) figura 46

Se obţin relaţiile

119868119901 =120587 ∙ 1198634

32∙ [1 minus (

119889

119863)4

] =120587 ∙ 1198634

32∙ (1 minus 1198964) (425)

119868119910 = 119868119910 =120587 ∙ 1198634

64∙ [1 minus (

119889

119863)4

] =120587 ∙ 1198633

64∙ (1 minus 1198964) (426)

Fig 46 Secțiune inelară

119882119901 =120587 ∙ 1198633

16∙ [1 minus (

119889

119863)4

] =120587 ∙ 1198633

16∙ (1 minus 1198964) (427)

119882119911 = 119882119910 =120587 ∙ 1198633

32∙ [1 minus (

119889

119863)4

] =120587 ∙ 1198633

32∙ (1 minus 1198964) (428)

unde 119896 = 119889119863frasl

46 Variaţia momentelor de inerţie faţă de axe paralele

( Relațiile lui STEINER)

Se consideră o suprafaţă oarecare de arie 119860 cu elementul de arie 119889119860 și un sistemul

de axe central 119911119862119910 faţă de care se cunosc momentele de inerţie 119868119911 119868119910 119868119911119910 şi considerăm

un sistem de axe 11991111198741199101 paralele cu sistemul central figura 47 Se pune problema

determinării momentele de inerţie 1198681199111 1198681199101 11986811991111199101 faţă de sistemul de axe paralel cu sistemul

central 11991111198741199101 axe aflate la distanţele 119910119862 = 119888 respectiv 119911119862 = 119889 de acesta

461 Momente de inerţie axiale

Pe baza relaţiilor de definire şi a notaţiilor din figura 42 pentru momentele de

inerţie faţă de axele 1198741199111 1198741199101 se poate scrie

1198681199111 = int 11991012 ∙ 119889119860

119860

= int(119910 + 119888)2 ∙ 119889119860

119860

= int 1199102 ∙ 119889119860

119860

+ 2 ∙ 119888 ∙ int 119910 ∙ 119889119860

119860

+

+1198882int 119889119860

119860

rArr 1198681199111 = 119868119911 + 2 ∙ 119888 ∙ 119878119911 + 1198882 ∙ 119860 hArr 1198681199111 = 119868119911 + 119888

2 ∙ 119860

(429)

Fig 47 Variaţia momentelor de inerţie față de axe paralele

S-a ajuns la relația (429) deoarece momentul static 119878119911 este nul deoarece axa 119862119885

este axă centrală

Pentru momentul de inerție axial icircn raport cu axa 1198741199101 se obține

1198681199101 = int 11991112 ∙ 119889119860

119860

= int(119911 + 119889)2 ∙ 119889119860

119860

= int 1199112 ∙ 119889119860

119860

+ 2 ∙ 119889 ∙ int 119911 ∙ 119889119860

119860

+

+1198892 ∙ int 119889119860

119860

rArr 1198681199101 = 119868119910 + 2 ∙ 119889 ∙ 119878119910 + 1198892 ∙ 119860 hArr 1198681199101 = 119868119910 + 119889

2 ∙ 119860

(430)

Pentru momentul de inerție centrifugal obținem

11986811991111199101 = int 1199101 ∙ 1199111 ∙ 119889119860

119860

= int(119910 + 119888) ∙ (119911 + 119889) ∙ 119889119860

119860

= int 119910 ∙ 119911 ∙ 119889119860 +

119860

+119888 ∙ int 119911 ∙ 119889119860

119860

+ 119889 ∙ int 119910 ∙ 119889119860

119860

rArr 11986811991111199101 = 119868119911119910 + 119888 ∙ 119889 ∙ 119860

(431)

Deoarece

int 119911 ∙ 119889119860

119860

= 119878119910 = 0 int 119910 ∙ 119889119860

119860

= 119878119911 = 0 int 119910 ∙ 119911 ∙ 119889119860

119860

= 119868119911119910

Relaţiile (429) şi (430) arată că momentul de inerţie faţă de o axă oarecare

este egal cu momentul de inerţie faţă de o axă paralelă cu ea trecacircnd prin centrul de

greutate la care se adaugă produsul dintre aria suprafeţei şi pătratul distanţei dintre

cele două axe

Din relaţiile (429) și (430) rezultă de asemenea că momentul de inerţie faţă de o

axă centrală (care trece prin centrul de greutate) este cel mai mic dintre infinitatea de

momente de inerţie obținute faţă de alte axe paralele cu ea

Relaţia (431) arată de asemenea că momentul de inerţie centrifugal faţă de un

sistem de axe oarecare este egal cu momentul de inerţie centrifugal faţă de un sistem

paralele cu el trecacircnd prin centrul de greutate a suprafeţei la care se adaugă produsul

dintre aria suprafeţei şi distanţele dintre axele sistemelor respective

Icircn literatura de specialitate relaţiile (429) (430) şi (431) sunt cunoscute sub

numele de relaţiile lui Steiner

47 Variaţia momentrlor de inerţie faţă de axe rotite

Direcţii principale şi momente de inerţie principale

Fie suprafaţa plană din figura 48 de arie 119860 pe care considerăm o suprafaţă

elementară de arie 119889119860 Pentru sistemul de axe 119911119874119910 se cunosc momentele de inerţie

119868119911 119868119910 119868119911119910 şi vom determina relaţiile de calcul pentru momentele de inerţie afererent unui

sistem de axe 11991111198741199101 rotit cu un unghi faţă de sistemul central

Faţă de sistemul de axe 11991111198741199101 elementul de arie 119889119860 are coordonatele

1199101 = 119875119877 = 119875119876 minus 119877119876 = 119910 ∙ cos 120572 minus 119911 ∙ sin 120572

1199111 = 119873119872 = 119873119875 minus 119875119872 = 119911 ∙ cos 120572 + 119910 ∙ sin 120572 (432)

Fig 47 Variaţia momentelor de inerţie față de axe rotite

Pe baza relaţiilor de calcul ale momentelor de inerţie şi a notaţiilor din figura 42

şi ale relaţiilor (432) momentele de inerţie faţă de sistemul de axe rotit 11991111198741199101 sunt

1198681199111 =119868119911 + 119868119910

2+119868119911 minus 119868119910

2∙ cos 2120572 minus 119868119911119910 ∙ sin 2120572 (433)

1198681199101 =119868119911 + 119868119910

2minus119868119911 minus 119868119910

2∙ cos 2120572 + 119868119911119910 ∙ sin 2120572 (434)

11986811991111199101 =119868119911 minus 119868119910

2∙ sin 2120572 + 119868119911119910 ∙ cos 2120572 (435)

Din relaţiile 433divide435 se observă că icircntre momentele de inerţie axiale şi cele

polare există relaţia

1198681199111 + 1198681199101 = 119868119911 + 119868119910 = 119868119901 (436)

adică suma momentelor de inerţie axiale icircn raport cu orice pereche de axe ortogonale

care trec printr-un pol dat este o constantă şi egală cu momentul de inerţie polar

Prin rotirea sistemului de axe din relaţiile 433divide435 rezultă că momentele de inerţie

variază icircnsă suma lor rămacircne constantă deci există o poziţie a sistemului de axe pentru

care momentele de inerţie au valori extreme maxim respectiv minim

471 Direcţii principale de inerţie

Valoarea unghiului 120572 pentru care momentele de inerţie axiale au valori extreme

este

1205721 =1

2∙ 119886119903119888119905119886119899 (minus

2 ∙ 119868119911119910

119868119911 minus 119868119910) (437)

Poziţia celeilalte direcţii este perpendiculară pe cea dată de unghiul 1205721

Din relaţia (437) se constată că faţă de aceste direcţii rotite pentru care momentele

de inerţie axiale prezintă valori extreme momentul de inerţie centrifugal 11986811991111199101este nul

Atunci se poate afirma că momentele de inerţie axiale au valori extreme icircn raport cu

direcţiile faţă de care momentul de inerţie centrifugal este nul Aceste direcţii se numesc

direcţii principale iar momentele de inerţie faţă de aceste direcţii poartă numele de

momente de inerţie principale

Icircn calculele de rezistenţă interesează icircn mod special poziţia direcţiilor principale

care trec prin centrul de greutate al suprafeţei aşa numitele direcţii principale centrale şi

evident momentele de inerţie principale centrale

Direcţiile principale de inerţie se notează cu 1 respectiv 2 Axa principală 1

corespunde direcţiei faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea maximă iar

axa principală 2 pentru direcţia faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea

minimă

472 Momente de inerţie principale

Momentele de inerţie principale se notează cu litera 119868 la care se pune indicele 1

sau 2 după cum valoarea acestuia este maximă sau minimă deci avem un moment de

inerţie principal 1 (notat 1198681) respectiv moment de inerţie principal 2 (notat 1198682)

Expresiile pentru momentele de inerţie principale sunt

11986812 =119868119911 + 119868119910

2plusmn1

2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)

2+ 4 ∙ (119868119911119910)

2 (438)

Dacă momentul de inerţie centrifugal este negativ (119868119911119910 lt 0) direcţia principală

care trece prin primul cadran (definit de sistemul 119911119862119910) este direcţia principală 120783

Pentru suprafeţele cu cel puţin o axă de simetrie direcţiile centrale 119862119911 119862119910 sunt şi

direcții principale de inerţie și evident momentele de inerţie axiale 119868119911 119868119910 sunt momente

de inerţie principale

48 Caracteristici mecanice ale metalelor

Alegerea materialului pentru confecţionarea unei anumite piese se face şi pe baza

aşa numitelor caracteristici mecanice pe care le prezintă materialul Cunoaşterea acestor

caracteristici mecanice are loc numai pe baza unor icircncercări mecanice care să scoată icircn

evidenţă comportarea materialului icircn condiţii de solicitare

Cea mai utilizată icircncercare icircn urma căreia se pun icircn evidenţă caracteristicile

mecanice ale unui material este icircncercarea la tracţiune

481 Icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general

Icircncercarea la tracţiune a oţelului ca de altfel toate icircncercările de materiale este

standardizată

Icircn cele ce urmează se va prezenta numai partea care interesează strict din punct

de vedere al caracteristicilor mecanice ale oţelului

Epruveta de diametru iniţial 1198890 pentru icircncercarea la tracţiune are o porţiune de

lungime 1198710 numită baza de măsurare pe care se măsoară lungirea acesteia sub acţiunea

solicitării

Icircn funcţie de raportul dintre baza de măsurare 1198710 şi diametrul iniţial 1198890 epruvetele

utilizate pentru icircncercări sunt

epruvete normale (scurte) cacircnd 11987101198890 = 5

epruvete lungi cacircnd 11987101198890 = 10

Icircn timpul icircncercării la diferite valori ale forţei 119865 se măsoară lungirea bazei de

măsurare

∆119871 = 120575 = 119871 minus 1198710 (439)

unde

119871 este dimensiunea bazei de măsurare la un moment dat

Curba forţă-lungire (119865 minus ) icircnregistrată icircn urma icircncercării reprezintă curba

caracteristică la tracţiune

La icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general diagrama caracteristică care se

obţine are forma din figura 48

Curba caracteristică la tracţiune depinde de lungimea bazei de măsurare Pentru

icircnlăturarea acestui neajuns curba caracteristică se reprezintă icircn coordonate şi definite

astfel

120590 =119865

1198600 휀 =

120575

1198710 (440)

unde

1198600 este aria iniţială a secţiunii transversale a epruvetei (icircnainte de solicitare) icircn

zona bazei de măsurare

1198600 =120587 ∙ 1198890

2

4

Deoarece mărimile icircn care se reprezintă curba caracteristică la tracţiune sunt

raportate la aria iniţială a secţiunii transversale (mărimi specifice) curba poartă numele

de curbă caracteristică convenţională la tracţiune

Fig 48 Curba caracteristică convenţională la tracțiune

Pe curba caracteristică convenţională la tracţiune figura 48 se pot stabili o serie

de puncte cărora le corespund mai multe mărimi importante

Ordonata punctului A pacircnă unde curba caracteristică convenţională este linie

dreaptă se numeşte limita de proporţionalitate a materialului 120590119901(1205901) Porţiunea 119874119860 este

zona de proporţionalitate a curbei caracteristice pe acest domeniu este valabilă legea lui

Hooke care exprimă o proporţionalitate icircntre tensiune şi deformaţie specifică

120590 = 119864 ∙ 휀 (441)

unde

119864 = reprezintă panta porţiunii liniare a curbei convenționale caracteristice

la tracțiune Caracteristica de material 119864 se numeşte modul de elasticitate longitudinal

(modulul lui Young)

Ordonata punctului 119861 pacircnă unde materialul se comportă perfect elastic adică

după descărcare icircşi recapătă dimensiunea iniţială 1198710 se numeşte limita de elasticitate

120590119890(119877119890) Icircn realitate nici un material nu are comportare perfect elastică sub acţiunea

solicitărilor el capătă deformaţii permanente (remanente plastice)

După punctul 119861 urmează o porţiune 119861119862119863 icircn care cu toate că icircncărcarea

continuă forţa nu mai creşte avacircnd mici oscilaţii icircn jurul unei valori Se spune că icircn

această porţiune materialul curge iar intervalul 119861119862119863 este un palier de curgere Tensiunea

corespunzătoare palierului de curgere se numeşte limită de curgere aparentă 120590119888(119877119888) Limita de curgere aparentă se calculează cu relaţia

120590119888 =1198651198881198600 (442)

unde

119865119888 reprezintă valoarea forţei icircnregistrată icircn momentul curgerii materialului

După punctul 119863 curba caracteristică are un traseu ascendent pacircnă icircn punctul 119864

Porţiunea 119863119864 este numită zonă de icircntărire (ecruisare) Icircn zona de ecruisare unde se

produc deformaţii plastice semnificative legea lui Hooke nu mai este valabilă La

descărcare relaţia dintre tensiunea şi deformaţia specifică este liniară paralelă cu

porţiunea liniară a curbei caracteristice (dreapta 119872119873)

Deformaţia totală (휀119905) are două componente una elastică (휀119890) şi una plastică (휀119901)

Ordonata punctului 119864 reprezintă rezistenţa de rupere 120590119903(119877119898) a materialului

care se poate calcula cu relaţia

120590119903 = 119877119898 =1198651198981198861199091198600

(443)

unde

119865119898119886119909 reprezintă valoarea maximă a forţei icircnregistrată icircn timpul icircncercării

La atingerea valorii 119865119898119886119909 (punctul 119864) icircntr-un anumit loc al epruvetei secţiunea

icircncepe să se micşoreze (se produce gacirctuirea) continuacircnd pacircnă cacircnd se produce ruperea

totală (punctul 119865)

Dacă după ruperea epruvetei cele două părţi rezultate se aşează cap la cap şi se

măsoară dimensiunea bazei de măsurare 119871119906 (lungimea ultimă) se determină alungirea la

rupere sau lungirea specifică la rupere 휀119903

휀119903 =119871119906 minus 11987101198710

=∆119871

1198710=120575

1198710 (444)

De obicei alungirea se exprimă icircn procente şi se notează cu 119860119899 unde 119899 reprezintă

numărul dat de raportul 11987101198890 (epruvete normale 119899 = 5 epruvete lungi 119899 = 10)

119860119899 =119871119906 minus 11987101198710

∙ 100 [] (445)

Altă mărime care se determină la icircncercarea la tracţiune este gacirctuirea la rupere

(exprimată de obicei icircn procente) şi definită de relaţia

119885 =1198600 minus 1198601199061198600

∙ 100 [] (446)

Mărimile determinate limita de proporţionalitate modulul de elasticitate

longitudinal limita de elasticitate limita de curgere aparentă rezistenţa de rupere

alungirea la rupere şi gacirctuirea la rupere sunt cunoscute ca fiind caracteristici mecanice

ale materialului

Din curba caracteristică convenţională observăm faptul că ruperea (punctul 119865 din

figura 48 se produce la o tensiune mai mică decacirct cea corespunzătoare punctului 119864 Dacă

icircnsă forţa din timpul icircncercării s-ar raporta la aria secţiunii din momentul icircnregistrării

forţei (care este mai mică decacirct cea iniţială 1198600) s-ar obţine aşa numita curbă

caracteristică reală a materialului (traseul 1198741198601198611198621198631198651 din figura 48) La curba

caracteristică reală ruperea se produce icircn punctul 1198651 la o icircncărcare mai mare decacirct cea

corespunzătoare punctului 119864 Icircnseamnă că rezistenţa reală la rupere este mai mare decacirct

rezistenţa la rupere dată de punctul 119864 din diagrama caracteristică convenţională

Dificultatea obţinerii diagramei caracteristice reale faţă de cea a diagramei caracteristice

convenţionale şi considerarea unei rezistenţe la rupere mai mică decacirct a celei reale face

icircn practică utilizarea pe scară mare a diagramei caracteristice convenţionale

Caracteristicile mecanice determinate pe baza curbei caracteristice convenţionale

sunt şi ele caracteristici mecanice convenţionale

Caracteristicile mecanice convenţionale limita de proporţionalitate convenţională

120590119901 limita de elasticitate convenţională 120590119890 limita de curgere convenţională 120590119888 şi rezistenţa

de rupere 120590119903 constituie tensiuni limită pentru un material Pe baza acestor caracteristici

de material se alege valoarea tensiunii admisibile 120590119886 (vezi paragraful 35) pentru

calculele de rezistenţă Cea mai utilizată stare limită pentru stabilirea tensiunii admisibile

120590119886 este limita de curgere convenţională 120590119888

120590119886 =120590119897119894119898119888

=120590119888119888 119904119886119906 120590119886 =

120590119903119888 (447)

Caracteristicile mecanice ale materialului sunt influenţate de o serie de factori

temperatura viteza de solicitare factorii tehnologici iar valorile lor sunt date icircn tabele și

diagrame

Aplicaţie Pentru suprafaţa plană compusă din două dreptunghiuri avacircnd

dimensiunile din figura 49a să se calculeze

a) centrul de greutate al secțiunii compuse 119910119866 119911119866

b) momentele de inerție axiale 119868119911 119868119910 și momentul de inerție centrifugal 119868119911119910

c) razele de inerție 119894119911 119894119910

d) modulele de rezistență 119882119911119898119894119899 119882119911119898119886119909 119882119910119898119894119899 119882119910119898119886119909

e) momentele de inerție principale 1198681 1198682 și direcțiile principale de inerție 1205721

f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 119878119911

Fig 49 Aplicație

Rezolvare Pentru rezolvare vom parcurge următoarele etape

icircmpărțim suprafața compusă icircn două suprafețe simple (dreptunghiuri) notate cu

① și respectiv ② figura 49b

poziționăm centrele de greutate a celor două suprafețe simple ① și respectiv ②

notate cu 1198661 și respectiv 1198662 figura 49c

poziționăm sistemele de axe de coordonate 119911111986611199101 pentru dreptunghiul ① și

119911211986621199102 pentru dreptunghiul ② aflate la intersecția diagonalelor figura 49c

poziționăm sistemele de axe de coordonate 11991101198741199100 ales arbitrar față de care

determinăm poziția centrului de greutate 119866 figura 49c

a) calculăm poziția centrului de greutate folosind relațiile (46) icircn care

1198601 = 6119905 ∙ 119905 = 61199052 1198602 = 4119905 ∙ 119905 = 41199052 119860 = 1198601 + 1198602 = 61199052 + 41199052 = 101199052

iar centrele de greutate 1198661 și respectiv 1198662 au coordonatele (față de sistemul 11991101198741199100)

1198661 1199101 = 3119905 1199111 = 05119905

1198662 1199102 = 051199051199112 = 3119905

cu acestea obținem

119910119866 =1198601 ∙ 1199101 + 1198602 ∙ 1199102

119860=61199052 ∙ 3119905 + 41199052 ∙ 05119905

101199052=201199053

101199052= 2119905

119911119866 =1198601 ∙ 1199111 + 1198602 ∙ 1199112

119860=61199052 ∙ 05119905 + 41199052 ∙ 3119905

101199052=151199053

101199052= 15119905

Poziționăm centrul de greutate 119866 al suprafeței compuse figura 49c

Fig 49 Aplicație

b) pentru determinarea momentelor de inerție axiale 119868119911 119868119910 și a momentului de

inerție centrifugal 119868119910119911 determinăm constantele 1198881 1198882 1198891 1198892 care intervin icircn relația lui

Stainer

1198881 = 1199101 minus 119910119866 = 3119905 minus 2119905 = 119905 1198882 = minus(119910119866 minus 1199102) = minus(2119905 minus 05119905) = minus15119905

1198891 = minus(119911119866 minus 1199111) = minus(15119905 minus 05119905) = minus119905 1198892 = 1199112 minus 119911119892 = 3119905 minus 15119905 = 15119905

Folosind relațiile lui Stainer (429) (430) și (431) calculăm momentele de

inerție axiale și centrifugale față de sistemul central 119911119866119866119910119866

119868119911 =sum(119868119911119894 + 1198881198942 ∙ 119860119894) = 1198681199111 + 1198881

2 ∙ 1198601 + 1198681199112 + 11988822 ∙ 1198602

119868119910 =sum(119868119910119894 + 1198891198942 ∙ 119860119894) = 1198681199101 + 1198891

2 ∙ 1198601 + 1198681199102 + 11988922 ∙ 1198602

119868119911119910 =sum(119868119911119894119910119894 + 119888119894 ∙ 119889119894 ∙ 119860119894) = 11986811991111199101 + 1198881 ∙ 1198891 ∙ 1198601 + 11986811991121199102 + 1198882 ∙ 1198892 ∙ 1198602

1198681199111 = (119887 ∙ ℎ3

12) =

119905 ∙ (6119905)3

12= 181199054 1198681199112 = (

119887 ∙ ℎ3

12) =

4119905 ∙ 1199053

12= 031199054

1198681199101 = (1198873 ∙ ℎ

12) =

1199053 ∙ 6119905

12= 051199054 1198681199102 = (

1198873 ∙ ℎ

12) =

(4119905)3 ∙ 119905

12= 531199054

11986811991111199101 = 11986811991121199102 = 0 deoarece cele două triunghiuri au cel puțin o axă de simetrie

Cu acestea momentele de inerție axiale și momentul de inerție centrifugal devin

119868119911 = 181199054 + 1199052 ∙ 61199052 + 031199054 + (minus15119905)2 ∙ 41199052 = 3331199054

119868119910 = 051199054 + (minus119905)2 ∙ 61199052 + 531199054 + (15119905)2 ∙ 41199052 = 2081199054

119868119911119910 = 0 + 119905 ∙ (minus119905) ∙ 61199052 + 0 + (minus15119905) ∙ (15119905) ∙ 41199052 = minus151199054

c) razele de inerție sau de girație față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910

se calculează cu relațiile (411)

119894119911 = radic119868119911119860= radic

3331199054

101199052= 182119905 119894119910 = radic

119868119910

119860= radic

2081199054

101199052= 144119905

d) modulele de rezistență față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910 se

calculează cu relațiile (412) și (413)

Avacircnd icircn vedere figura 419c obținem

119910119898119886119909 = 6119905 minus 119910119866 = 6119905 minus 2119905 = 4119905 119910119898119894119899 = minus119910119866 = minus2119905

119911119898119886119909 = 5119905 minus 119911119866 = 5119905 minus 15119905 = 35119905 119911119898119894119899 = minus119911119866 = minus15119905

Se obține astfel

119882119911119898119894119899 =119868119911

|119910119898119886119909|=3331199054

4119905= 8331199053

119882119911119898119886119909 =119868119911

|119910119898119894119899|=3331199054

2119905= 16651199053

119882119910119898119894119899 =119868119910

|119911119898119886119909|=2081199054

35119905= 5941199053

119882119910119898119886119909 =119868119910

|119911119898119894119899|=2081199054

15119905= 13871199053

e) momentele de inerție principale 1198681 și respectiv 1198682 se calculează cu relațiile

(438)

11986812 =119868119911 + 119868119910

2plusmn1

2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)

2+ 4 ∙ (119868119911119910)

2=

=3331199054 + 2081199054

2plusmn1

2∙ radic(3331199054 minus 2081199054)2 + 4 ∙ (minus151199054)2 = 27051199054 plusmn 16251199054

De unde obținem

1198681 = 27051199054 + 16251199054 = 4331199054

1198682 = 27051199054 minus 16251199054 = 1081199054

Prima direcție principală de inerție 1 face cu axa centrală 119866119911 unghiul 1205721 dat de

relația (437)

1205721 =1

2∙ arctan (minus

2 ∙ 119868119911119910

119868119911 minus 119868119910) =

1

2∙ arctan [minus

2 ∙ (minus151199054)

3331199054 minus 2081199054] =33 70

Deoarece 1205721 gt 0 rotirea axelor se face acircn sens antiorar acelor de ceasornic figura

49d

Poziția axe principale 2 față de care momentul de inerție are valoarea minimă

1198682 = 119868119898119894119899 este dată de unghiul

1205722 = 1205721 + 900 = 33 70 + 900 = 123 70

f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 se determină cu relația

(45)

1198781199111198602 = 1198602 ∙ 1198882 = 41199052 ∙ (minus15119905) = minus61199053

Fig 214 Forța tăietoare

Momentele de icircncovoiere 119872119894119911 și 119872119894119910 au ca efect o rotire a secțiunii icircn centrul

cărora acționează icircn jurul axei după care sunt orientate Icircn figura 215a se vede că

datorită momentului 119872119894119911 fibrele de deasupra axei Cz se alungesc icircn timp ce fibrele de sub

axa Cz se scurtează Fibrele care trec prin axa de icircncovoiere Cz nu se deformează sunt

fibre neutre la icircncovoiere adică axa neutră este Cz Icircn cazul momentului de icircncovoiere

119872119894119910 fibrele care nu se deformează sunt cele care trec prin axa neutră la icircncovoiere Cy

Momentele de icircncovoiere se consideră a fi pozitive (119872119894119911 gt 0119872119894119910 gt 0) dacă

observatorul care privește bara deformată vizualizează fibrele icircntinse

Fig 215 Momentul icircncovoietor

Momentul de torsiune sau de răsucire 119872119909 equiv 119872119905 are ca efect o rotire a secțiunii

icircn al cărei centru acționează icircn jurul axei longitudinale Cx Ca efect secțiunea icircși schimbă

forma (se deformează) adică unghiurile inițiale se modifică dreptunghiul inițial Ad

devine paralelogram Convențional se consideră 119872119905 gt 0 dacă vectorul moment are

aceeași orientare ca și sensul pozitiv ales pextru axa Cx Icircn figura 216 momentul este

negativ

Fig 216 Momentul de torsiune

25 Definiții și convenții de semne pentru eforturile

din secțiunile unei bare drepte plane icircncărcate cu sarcini coplanare

Vom considera o bară plană icircncărcată cu un sistem de forțe arbitrar figura 217

Ne propunem să determinăm eforturile care apar icircn secțiunea barei aflată la distanța 119909 de

reazemul din stacircnga (A)

Pentru aceasta vom aplica metoda secțiunilor vom secționa bara cu un plan

perpendicular pe axa longitudinală a barei și vom analiza doar partea din dreapta secțiunii

mărginită de fața Ad Pentru ca această porțiune de bară să fie icircn echilibru sub acțiunea

forțelor exterioare care acționează asupra sa 1198653 și 119881119861 va trebui să introducem icircn centrul

secțiunii Ad eforturile care pot să apară 119873 119879119910 119872119894119911 Acțiunea acestor eforturi trebuie să

fie echivalentă cu acțiunea forțelor exterioare aplicate pe partea icircnlăturată (parcursă) a

barei 119867119860 119881119860 1198651 1198652 1198720

Deoarece bara este plană și este icircncărcată doar cu sarcini ce aparțin

planului barei

icircn secțiunea Ad apar doar 3 componente ale torsorului de reducere al forțelor

interioare (eforturi)

- 119873 = forța axială

- 119879119910 = forța tăietoare pe care o vom nota cu 119879

- 119872119894119911 = momentul icircncovoietor notat cu Mi

Fig 217 Bară plană icircncărcată cu un sistem de forțe

Vom prezenta următoarele definiții corespunzătoare eforturilor din secțiunea Ad

119873 = forța axială dintr-o secțiune este egală cu suma algebrică a proiecțiilor pe

axa longitudinală a tuturor forțelor exterioare (sarcini și reacțiuni) aplicate pe partea

din stacircnga secțiunii adică pe porțiunea parcursă Forța axială 119873 este pozitivă dacă trage

de tronsonul pe a cărei față acționează (are orientarea normalei exterioare la secțiunea

Ad)

119873(119909) = minus119867119860 + 1198651119867 (26)

119879 = forța tăietoare icircntr-o secțiune este egală cu suma algebrică a proiecțiilor

pe o axă perpendiculară pe axa barei a tuturor forțelor exterioare (sarcini și reacțiuni)

aplicate pe porțiunea de bară aflată icircn stacircnga secțiunii considerate Forța tăietoare 119879

este pozitivă dacă tinde să rotească tronsonul pe a cărui față acționează icircn sens orar icircn

raport cu un punct de pe axa barei aflat la dreapta secțiunii

119879(119909) = 119881119860 minus 1198651119881 minus 1198652 (27)

119872119894 = momentul icircncovoietor icircntr-o secțiune este egal cu suma algebrică a

momentelor obținute prin reducerea tuturor forțelor exterioare ( cupluri sarcini

reacțiuni) aplicate pe porțiunea de bară aflată la stacircnga secțiunii icircn centrul secțiunii

considerate 119872119894 este considerat pozitiv dacă tinde să deformeze bara astfel icircncacirct fibrele

spre care privește un observator să fie icircntinse Cum poziția observatorului este de regulă

sub bară bara se deformează dacă 119872119894 gt 0 astfel icircncacirct partea jos a barei este icircntinsă Se

spune că bara deformată rdquoține apaldquo

119872119894(119909) = 119881119860 ∙ 119909 minus 1198651119881 ∙ (119909 minus 1198971) minus 1198652 ∙ [119909 minus (1198971 + 1198972)] + 1198720 (28)

Sensurile pozitive ale eforturilor care apar icircn centrul secțiunii Ad (deci atunci cacircnd

sensul de parcurs la aplicarea metodei secțiunilor este cel de la stacircnga la dreapta) sunt

indicate icircn figura 218a iar dacă sensul de parcurs este de la dreapta la stacircnga sensurile

pozitive ale eforturilor sunt indicate icircn figura 218b

Fig 218 Convenţia de semne

Definiții asemănătoare se pot da și pentru eforturile din centrul secțiunii As figura

218b adică pentru cazul icircn care sensul de parcurs este cel de la dreapta la stacircnga și deci

partea luată icircn considerare este cea din stacircnga iar partea parcursă din dreapta secțiunii

este icircnlăturată

119873(1199091) = 1198653119867

119879(1199091) = 1198653119881 minus 119881119861

119872119894(1199091) = 119881119861 ∙ 1199091 minus 1198653119881 ∙ (1199091 minus 1198975)

(29)

Avacircnd icircn vedere că fețele Ad și As aparțin aceleeași secțiuni este evident faptul că

eforturile 119873(119909) 119879(119909) și 119872119894(119909) sunt identice cu eforturile 119873(119961120783) 119879(119961120783) și respectiv

119872119894(119961120783) Icircn figura 218c se prezintă o sinteză a convențiilor de semne pozitive pentru cele

3 eforturi atacirct pentru sensul de parcurs de la stacircnga la dreapta (secțiunea Ad) cacirct și pentru

sensul invers (secțiunea As)

Semnele eforturilor sunt importante icircntrucacirct există materiale cu comportări diferite

la icircntindere față de compresiune iar o schimbare a semnului unui efort poate produce

erori grave icircn calcule Semnele eforturilor au fost stabilite icircn funcție de deformațiile

produse și nu depind de sensul axelor sistemului de coordonate

26 Relaţii diferenţiale icircntre eforturi şi sarcini

Pentru a vedea ce legătură există icircntre eforturi și sarcini vom considera o bară

dreaptă icircncărcată cu o sarcină distribuită după o lege oarecare figura 219a Din această

bară vom decupa prin dublă secționare un element de lungime infinit mică 119889119909 Deoarece

lungimea 119889119909 este foarte mică se poate considera sarcina 119901 uniform distribuită Icircn

secțiunile rezultate trebuie să introducem eforturile care pot apărea

- 119879 şi 119872119894 icircn centrul secțiunii din sticircnga eforturi pe care le considerăm pozitive

- 119879 + 119889119879 şi 119872119894 + 119889119872119894 icircn centrul secțiunii din dreapta elementului

Aceste eforturi au o variație mică (119889119879 şi 119889119872119894) față de secțiunea anterioară Spre

deosebire de cazul icircn care bara este secționată o singură dată icircn acest caz eforturile nu

pot fi determinate din cele 2 condiții de echilibru independente deoarece icircn ecuațiile de

echilibru apar 4 necunoscute 119879 119889119879119872119894 și 119889119872119894 deci că problema este dublu static

nedeterminată figura 219

Fig 219 Echivalența icircntre eforturi și sarcini

Ecuațiile de echilibru scrise pentru elementul din figura 219b conduc la stabilirea

unor relaţii foarte importante

(sum119865)119910= 0 hArr 119879 minus 119901 ∙ 119889119909 minus (119879 + 119889119879) = 0 rArr

119889119879

119889119909= minus119901 (210)

Relația (210) arată că derivata funcţiei forţei tăietoare icircn raport cu abscisa

secţiunii este egală cu sarcina distribuită normală la axa barei din acea secţiune luată

cu semn schimbat

Observații

dacă 119901 = 0 nu există sarcină distribuită atunci forța tăietoare T este constantă

icircnclinarea pantei diagramei forței 119879 este egală cu (ndash 119901) (sarcina distribuită cu

semn schimbat)

dacă 119901 = 119888119900119899119904119905 119879 variază liniar pe acel interval

Asemănător se deduce că derivata funcţiei forţei axiale icircn raport cu abscisa

secţiunii este egală cu sarcina distribuită axială din acea secţiune luată cu semn

schimbat adică

119889119873

119889119909= minus119901119867 (211)

Din condiția de echilibru suma de momente faţă de centrul de greutate al secţiunii

din dreapta

(sum119872)119862= 0 hArr 119872119894 minus (119872 + 119889119872119894) + 119879 ∙ 119889119909 minus 119901 ∙

(119889119909)2

2= 0 rArr

119889119872119894

119889119909= 119879 (212)

Relația (212) s-a obținut dupa reducerea termenilor și prin neglijarea infinitului

mic de ordinul 2

119901 ∙(119889119909)2

2

Relația (212) arată că derivata funcţiei moment icircncovoietor icircn raport cu abscisa

secţiunii este egală cu forţa tăietoare din acea secţiune

Observații

dacă 119879 = 0 momentul 119872119894 are un punct de extrem se obține o valoare maximă

pentru 119872119894119898119886119909 dacă forța tăietoare 119879 se anulează trecacircnd de la plus icircn stacircnga la minus icircn

dreapta secțiunii

dacă forța tăietoare este pozitivă pe un interval 119879 gt 0 atunci 119872119894 este crescătoare

pe acel interval

dacă forța tăietoare este negativă pe un interval 119879 lt 0 atunci 119872119894 este

descrescătoare pe acel interval

dacă pe un interval 119901 = 0 forța tăietoare este constantă 119879 = 119888119905 iar 119872119894 variază

liniar pe acel interval

dacă 119901 = 119888119900119899119904119905 119879 variază liniar pe acel interval iar 119872119894 variază parabolic pe

acel interval

Relaţiile diferenţiale sunt utile la reprezentarea corectă şi verificarea diagramelor

de eforturi astfel

pentru porţiunile de grindă pe care p = 0 eforturile N şi T sunt constante iar pe

porţiunile cu p = const eforturile N şi T variază liniar (relaţiile 211 şi 210)

dacă pe o porţiune T = const momentul icircncovoietor Miz variază liniar iar dacă

T variază liniar atunci momentul Miz variază parabolic (relaţia 212)

pe domeniile pe care T gt 0 funcţia Mi(x) este crescătoare iar icircn secţiunea icircn

care T = 0 (graficul funcţiei T intersectează axa x) momentul icircncovoietor are un punct

de extrem local (maxim sau minim relaţia 212)

Pentru rezolvarea problemelor referitoare la trasarea diagramelor de eforturi

pentru barele drepte solicitate de sisteme de forţe plane se parcurg următoarele etape

1) identificarea forţelor aplicate (date) şi pregătirea lor pentru calcule

(descompunerea forţelor concentrate pe direcţiile x şi y calculul rezultantelor forţelor

distribuite)

2) identificarea reazemelor şi introducerea reacţiunilor corespunzătoare (vezi

figurile 27divide29)

3) stabilirea ecuaţiilor de echilibru static calculul şi verificarea reacţiunilor Icircn

rezistența materialelor se folosește sistemul de ecuații (vezi figura 217)

(sum119865)

119909= 0

(sum119872)119860= 0

(sum119872)119861= 0

(213)

4) identificarea domeniilor de variaţie şi scrierea funcţiilor de eforturi pentru N T

şi Mi

5) reprezentarea grafică a diagramelor de eforturi

6) verificarea corectitudinii diagramelor pe baza relaţiilor diferenţiale icircntre eforturi

şi sarcini

Aplicație Pentru grinda dreaptă icircncărcată cu sistemul de forţe reprezentat icircn figura

220 se cere

a) să se calculeze şi să se verifice reacţiunile

b) să se stabilească funcţiile eforturilor Nx Ty şi Miz şi să se reprezinte diagramele

de variaţie

c) să se analizeze relaţiile diferenţiale icircntre eforturi şi sarcini

Dimensiunile grinzii au valorile a = 6 [m] b = 4 [m] și c = 4[m] sistemul de

forţe aplicat fiind format din p = 10 [kN mfrasl ] F = 20 [kN] (icircnclinată cu unghiul α =300 faţă de orizontală) şi M0 = 40 [kN ∙ m]

Rezolvare

a) Se fac următoarele precizări

grinda dreaptă se reprezintă prin axa geometrică

forţa icircnclinată F se descompune după direcţiile orizontală şi verticală icircn FV =F ∙ sin α = 10 [kN] şi FH = F ∙ cos α = 173 [kN]

forţa distribuită uniform p este echivalentă din punct de vedere static cu

rezultanta sa R = p ∙ a = 60 [kN] care acţionează la jumătatea porţiunii de lungime a

icircn reazemele 119860 şi 119861 se introduc componentele HA şi VA respectiv VB ale

reacţiunilor

Pentru calculul reacţiunilor se utilizează ecuaţiile de echilibru static al grinzii

sumXi = 0 HA minus FH = 0 sumYi = 0 VA + VB minus R minus FV = 0 (sumM)B = 0 VA ∙ (b + a) minus R ∙ (b + 05 ∙ a) minus M0 + FV ∙ c = 0

(A1)

Din prima ecuaţie se obţine HA iar din cea de-a treia ecuaţie rezultă VA

HA = FH = 173 [kN]

VA =[R ∙ (b + 05 ∙ a) + M0 minus FV ∙ c]

(b + a)=[60 ∙ (4 + 05 ∙ 6) + 40 minus 10 ∙ 4]

(4 + 6)

VA = 42 [kN]

(A2)

Fig 220 Aplicație

Se observă că cea de-a doua ecuaţie de echilibru conţine două necunoscute

reacţiunile VA şi VB Pentru a calcula componenta VB nu este indicată introducerea lui VA

icircn cea de-a doua ecuaţie a sistemului (A1) pentru că o valoare determinată greşit pentru

VA conduce la o valoare VB de asemenea greşită O ecuaţie independentă din care se poate

determina componenta VB este următoarea

(sumM)A= 0 FV ∙ (a + b + c) minus VB ∙ (a + b) minus M0 + R ∙ 05 ∙ a = 0 (A3)

de unde se obţine

VB =[FV ∙ (a + b + c) minusM0 + R ∙ 05 ∙ a]

(b + a)=[10 ∙ (6 + 4 + 4) minus 40 + 60 ∙ 05 ∙ 6]

(6 + 4)

VB = 28 [kN] (A4)

Ecuaţia de proiecţii ale forţelor pe direcţia verticală (a doua ecuaţie din sistemul

A1) se utilizează pentru verificarea reacţiunilor deja determinate

VA + VB minus R minus FV = 0 rArr 42 + 28 minus 60 minus 10 = 0 (A5)

Ultima egalitate demonstrează că reacţiunile verticale au fost calculate corect

Din cele de mai sus rezultă ordinea firească pentru determinarea reacţiunilor icircn

cazul grinzilor simplu rezemate

sumXi = 0

(sumM)A = 0

(sumM)B = 0

(A6)

iar pentru verificarea componentelor verticale VA şi VB se folosește ecuaţia sumY = 0

b) La stabilirea funcţiilor de eforturi se parcurg icircn general etapele următoare

se notează (numeric sau literal după preferinţă) secţiunile care delimitează

domeniile (intervalele sau tronsoanele) pe care eforturile nu-şi modifică funcţiile (au legi

unice de variaţie)

pe fiecare domeniu se marchează secţiunea imaginară icircn care se stabilesc

funcţiile eforturilor

secţiunea astfel aleasă separă icircn două părţi grinda şi anume porţiunea din stacircnga

şi porţiunea din dreapta secţiunii

se va considera parcursă (şi icircndepărtată) acea parte pe care acţionează mai puţine

sarcini exterioare pentru că acestea vor interveni icircn expresiile funcţiilor de eforturi

poziţiile secţiunilor imaginare se vor determina prin variabilele x1 ⋯ xn (unde

n reprezintă numărul domeniilor de variaţie) cu originea fixată icircn capătul intervalului şi

sensul de parcurgere spre partea considerată rămasă

Grinda prezentată icircn figura 220 are trei domenii de variaţie pentru funcţiile de

eforturi după cum urmează (A-1) (2-B) şi (B-1)

Domeniul (A-1) x1 isin [0 a = 6 m] Porţiunea parcursă şi considerată icircndepărtată este cea de coordonată x1 pe care

acţionează reacţiunile HA şi VA precum şi rezultanta parţială a sarcinii distribuite R1 =p ∙ x1

Funcţia forţă axială Nx are expresia

Nx(x1) = NAminus1 = minusHA = minus173 [kN] = const

(A7)

Funcţia forţă tăietoare Ty are exspresia

Ty(x1) = TAminus1 = VA minus R1 = VA minus p ∙ x1 (A8)

care reprezintă o variaţie liniară de variabilă x1 Se calculează valorile forţei tăietoare la

limitele intervalului de variaţie

- pentru x1 = 0 Ty(x1 = 0) = TA = VA = 42 [kN]

- pentru x1 = a = 6 [m] Ty(x1 = 6) = T1 = VA minus p ∙ a = minus18 [kN]

Observaţie Aşa cum a fost stabilită secţiunea fictivă poziţionată prin coordonata

x1 sar părea că rezultanta R ar trebui luată icircn calculul lui Ty(x1) Acest lucru ar fi greşit

pentru că R = p ∙ a reprezintă rezultanta sarcinii distribuite pe toată lungimea a iar

rezultanta pe porţiunea parcursă de lungime x1 este R1 = p ∙ x1 ne R = p ∙ a

Cu valorile obţinute se trasează diagramele forţelor axială Nx = f(x) şi tăietoare

Ty = f(x) figura 220 Din diagrama forţei tăietoare şi din valorile obţinute analitic se

observă că forţa tăietoare icircşi schimbă semnul pe intervalul analizat deci se anulează pe

acest interval Poziţia secţiunii unde Ty se anulează se determină din ecuaţia

Ty(x1) = 0 rArr VA minus p ∙ x1 = 0 (A9)

cu soluţia x1lowast = ξ = 42 [m] Important de reamintit că icircn această secţiune momentul

icircncovoietor va avea un extrem local adică Miz are un extrem la Ty = 0

Funcţia moment icircncovoietor Miz are expresia

Miz(x1) = VA ∙ x1 minus R1 ∙x12= VA ∙ x1 minus (p ∙ x1) ∙

x12

(A10)

Se observă că funcţia moment icircncovoietor de variabilă x1 are o variaţie parabolică

(gradul al II-lea) Pentru reprezentarea grafică a funcţiei parabolice se calculează valorile

momentului icircncovoietor icircn trei secţiuni

- pentru x1 = 0 Miz(x1 = 0) = MA = 0 [kN ∙ m] - pentru x1 = a = 6 [m] Miz(x1 = 6) = M1 = 72 [kN ∙ m] - pentru x1

lowast = ξ = 42 [m] Miz(x1lowast = ξ = 42 [m]) = Mimax = 882 [kN ∙ m]

Cu acestea se trasează diagrama Miz = f(x) pe intervalul (A-1) figura 220

Observaţie Icircn unele cazuri pe un anumit interval forţa tăietoare nu se anulează

şi momentul icircncovoietor nu are un extrem local Icircn acest caz pentru reprezentarea

variaţiei parabolice a momentului icircncovoietor se va studia semnul derivatei a doua a

funcţiei Miz = f(x1) acesta determinacircnd convexitatea curbei momentului icircncovoietor

Domeniul (2-B) x2 isin [0 c = 4 m] Porţiunile din grindă libere (nerezemate) la un capăt se numesc console iar

stabilirea funcţiilor de eforturi devine mai simplă dacă se consideră icircndepărtată partea din

dreapta secţiunii prin schimbarea sensului pozitiv al axei x Astfel se obţin funcţiile eforturilor

Funcţia forţă axială Nx are expresia

Nx(x2) = N2minusB = minusFH = minus173 [kN] = const

(A11)

Funcţia forţă tăietoare Ty are exspresia

Ty(x2) = T2minusB = FV = 10 [kN] = const (A12)

Funcţia moment icircncovoietor Miz are expresia

Miz(x2) = minusFV ∙ x2 rArr Miz(x2 = 0) = M2 = 0 [kN ∙ m]

Miz(x2 = 4) = MB = minus40 [kN ∙ m] (A13)

variaţie liniară (gradul I)

Domeniul (B-1) x3 isin [0 b = 4 m] Pe acest domeniu se acceptă parcurgerea grinzii de la dreapta adică se consideră

icircndepărtată partea din dreapta secţiunii fictive pentru că are doar două sarcini aplicate F

şi VB faţă de partea din stacircnga secţiunii pe care sunt aplicate trei sarcini p VA şi M0

Astfel se obţin funcţiile eforturilor

Funcţia forţă axială Nx are expresia

Nx(x3) = NBminus1 = minusFH = minus173 [kN] = const

(A14)

Funcţia forţă tăietoare Ty are exspresia

Ty(x3) = TBminus1 = FV minus VB = minus18 [kN] = const (A15)

Funcţia moment icircncovoietor Miz are expresia

Miz(x3) = minusFV ∙ (x3 + c) + VB ∙ x3 rArr

rArr Miz(x3 = 0) = MB = minus40 [kN ∙ m]

Miz(x3 = 4) = M1 = 32 [kN ∙ m]

(A16)

variaţie liniară (gradul I)

Diagramele eforturilor sunt prezentate icircn figura 220

c) Relaţiile diferenţiale dintre eforturi şi sarcini se analizează pe diagramele

eforturilor după cum urmează

sarcina distribuită nu are componentă orizontală adică ph = 0 şi icircn

conformitate cu formula (211) rezultă că Nx = const pe toată lungimea grinzii fapt care

a rezultat din funcţia şi reprezentarea diagramei forţei axiale

pe intervalul (A-1) sarcina distribuită are doar componenta verticală pozitivă

pV = p gt 0 prin urmare forţa tăietoare scade (are panta negativă dTy 119889119909frasl = minusp vezi

relaţia 210) iar momentul icircncovoietor avacircnd derivata a doua negativă d2M119894119911 1198891199092frasl =minuspare convexitatea curbei orientată spre sensul pozitiv al axei momentului Miz adică icircn

jos

pe domeniile (2-B) şi (B-1) deoarece pv = 0 forţa tăietoare Ty este constantă

iar momentul icircncovoietor Miz variază liniar

referitor la relaţia (212) pe porţiunile unde Ty gt 0 momentul Miz este

monoton crescător pe porţiunile unde Ty lt 0 momentul Miz este monoton descrescător

iar icircn secţiunea icircn care Ty = 0 momentul icircncovoietor are un extrem local Mξ =

882 [kN ∙ m] icircn diagrama forţei tăietoare discontinuităţile (salturile) se produc icircn secţiunile

unde acţionează VA VB şi FV iar icircn diagrama momentului icircncovoietor se produce un

singur salt icircn secţiunea icircn care este aplicat M0

se poate scrie

Mξ = suprafața diagramei Ty |ξ0=1

2∙ 42 ∙ 42 = 882 [kN ∙ m]

sau parcurgacircnd grinda de la dreapta la stacircnga rezultă

MB = minussuprafața diagramei Ty |c0= minus10 ∙ 4 = minus40 [kN ∙ m]

Toate aspectele analizate teoretic referitoare la relaţiile diferenţiale dintre eforturi

şi sarcini se regăsesc icircn diagramele de eforturi din figura 220 ceea ce icircnseamnă că

diagramele au fost reprezentate corect

3 TENSIUNI DEPLASĂRI ŞI DEFORMAŢII SPECIFICE

31 Tensiuni

Eforturile obținute icircn urma reducerii forțelor interioare icircn centrul de greutate al

secțiunii nu pot da informații asupra solicitării fiecărui punct al secțiunii respective Este

necesar să se cunoască modul cum se distribuie forțele interioare icircn fiecare punct al

secțiunii pentru a ști care este intensitatea maximă a solicitării Această intensitate

maximă se poate compara cu o valoare critică specifică materialului stabilindu-se astfel

dacă solicitarea este periculoasă sau nu

Mărimea care caracterizează solicitarea locală punctuală o vom denumi tensiune

și o vom defini icircn cele ce urmează Să considerăm partea din dreapta a unui corp solicitat

de forțele exterioare 1198651 1198652 și 1198653 obținută prin secționarea corpului și mărginită de fața

din dreapta Ad a secțiunii Pe secțiunea Ad vom considera un element de arie infinit mic

∆119860 caracterizat de normala la elementul de arie normală care are cosinușii directori

120573 și icircn raport cu un sistem de axe considerat fix Pe elementul infinit mic ∆119860 acționează

forțele interioare care au o rezultantă oarecare figura 31

Prin definiție tensiunea totală este

= lim∆119860rarr0

∆

∆119860 (31)

Tensiunea are aceeaşi direcţie cu forţa elementară ∆ iar mărimea ei este

determinată atacirct de mărimea forţei ∆ cacirct şi de orientarea suprafeţei ∆119860 faţă de direcţia

forţei

Tensiunea 119901 poate fi descompusă icircntr-o componentă orientată după direcţia

normalei la secţiune tensiunea normală notată cu 120590119909 şi o componentă icircn planul secţiunii

tensiunea tangenţială notată cu figura 32

= 119909 + 120591 (32)

Fig 31 Tensiunea totală Fig 32 Tensiunea normală și tangențială

La racircndul ei componenta tensiunii cuprinsă icircn planul secțiunii poate fi

descompusă după direcțiile axelor y și z

120591 = 120591119909119910 + 120591119909119911 (33)

Icircntre cele trei componente ale tensiunii totale care acționează pe elementul de arie

∆119860 este valabilă relația

1199012 = 1205901199092 + 120591119909119910

2 + 1205911199091199112 (34)

După sensul pe care icircl are tensiunea normală 120590 poate avea efect de tracţiune sau

de compresiune exercitat de către partea de corp icircnlăturată asupra părţii rămase Analog

tensiunea tangenţială 120591 poate avea efect de tăiere forfecare sau alunecare Pentru

componentele tensiunii tangențiale 120591119909119910 pe direcţia 119910 respectiv 120591119909119911 pe direcţia 119911 primul

indice indică axa pe care tensiunea este normală iar cel de-al doilea indice indică axa cu

care aceasta este paralel

Tensiunea este o mărime tensorială valoarea ei depinzacircnd atacirct de poziția

punctului icircn planul secțiunii cicirct și de orientarea planului de secționare deci de normala

Operaţiile vectoriale nu pot fi aplicate tensiunilor decacirct după ce acestea au fost icircnmulţite

cu ariile respective adică au fost transformate icircn forţe

Icircn literatura de specialitate mai ales icircn manualele mai vechi pentru noţiunea de

tensiune se mai foloseşte şi denumirea de efort specific

Dacă se consideră un alt element de arie ∆119860 cu centrul icircn același punct avacircnd ca

normală axa 119910 se vor obține alte tensiuni și anume

- 120590119910 este tensiunea normală (paralelă cu axa y)

- 120591119911119909 și 120591119910119911 sunt tensiuni tangențiale paralele cu axele 119909 și respectiv 119911 aflate icircn

planul care are ca normală axa 119910

Dacă icircn jurul unui punct dintr-un corp solicitat se consider un element de volum

infinit mic de forma unui cub icircn cazul cel mai general pe fețele sale vor acționa

tensiunile normale 120590119909 120590119910 și 120590119911 și respectiv tensiunile tangențiale 120591119909119910 120591119909119911 120591119910119909 120591119910119911 120591119911119909

și respectiv 120591119911119910 figura 33 Aceste tensiuni definesc starea de tensiune a punctului

observacircnd faptul că tensorul tensiune are 9 componente Dacă se consideră elementul

de volum finit ca fiind foarte mic se poate presupune că icircn interiorul său nu apar forțe

Ca urmare el va fi icircn echilibru sub acțiunea forțelor elementare produse de tensiunile de

pe fețele sale

Din condiția ca elementul să nu se rotească icircn jurul unor axe care trec prin centrul

său și sunt paralele cu axele sistemului 119909119874119910119911 rezultă

2 ∙ 120591119909119910 ∙ (119889119910 ∙ 119889119911) ∙119889119909

2= 2 ∙ 120591119910119909 ∙ (119889119909 ∙ 119889119911) ∙

119889119910

2 rArr 120591119909119910 = 120591119910119909 (35)

2 ∙ 120591119910119911 ∙ (119889119909 ∙ 119889119911) ∙119889119910

2= 2 ∙ 120591119911119910 ∙ (119889119909 ∙ 119889119910) ∙

119889119911

2 rArr 120591119910119911 = 120591119911119910 (36)

2 ∙ 120591119909119911 ∙ (119889119910 ∙ 119889119911) ∙119889119909

2= 2 ∙ 120591119911119909 ∙ (119889119909 ∙ 119889119910) ∙

119889119911

2 rArr 120591119909119911 = 120591119911119909 (37)

Relațiile (35divide37) 120591119909119910 = 120591119910119909 120591119910119911 = 120591119911119910 120591119909119911 = 120591119911119909 exprimă principiul dualității

tensiunilor tangențiale

Fig 33 Tensiunile normale și tangențiale pe fețele unui cub

Din condiția ca elementul considerat să nu se deplaseze icircn lungul axelor de

coordonate pe fețele opuse acționează aceleași tensiuni normale 120590119909 120590119910 și respectiv 120590119911

Definirea tensorului tensiune este posibilă dacă se cunosc cele 6 componente

independente ale acestuia aflate icircn trei plane perpendicular ce trec prin punctul respectiv

=

120590119909 120591119909119910 120591119909119911120591119910119909 120590119910 120591119910119911120591119911119909 120591119911119910 120590119911

Observaţii

Tensiunile se măsoară icircn [119873 1198982frasl ] (1119873 1198982frasl = 1 119875119886) sau icircn [119872119875119886]

(1 119872119875119886 = 106119875119886 = 106 119873

1198982 1 119872119875119886 = 1

119873

1198981198982)

Starea de tensiune dintr-un punct este considerată cunoscută dacă se cunosc

tensiunile 119901 care acționează pe infinitatea de elemente de suprafață ce trec prin punctual

considerat

Starea de tensiune a unui corp se consider cunoscută dacă se cunosc stările de

tensiune de pe infinitatea de puncte ale corpului considerat

32 Deplasări Deformaţii specifice

321 Deplasări

Aceste noțiuni sunt utile icircn analiza aspectului geometric al problemelor de rezistența

materialelor Deplasările care se analizează sunt cele datorate schimbării formei și

dimensiunilor corpurilor ca urmare a acțiunii forțelor exterioare și nu cele cinematice

posibile pentru solidul rigid care se poate deplasa cu anumită viteză și accelerație

Spre exemplu icircn figura 34a și figura 34b sub acțiunea forței 119865 tronsonul de

bară AB se deformează icircn timp ce tronsonul BC deși punctele sale au deplasări rămacircne

nedeformat (fiind nesolicitat) Toate punctele de pe axele barelor cu excepția celor din

icircncastrare (secțiunile A) au deplasări liniare De cele mai multe ori deformațiile barelor

datorate acțiunii forțelor exterioare se anulează la icircndepărtarea forțelor se spune că

deformațiile sunt elastice Secțiunile transversale ale barei din figura 34a se și rotesc icircn

raport cu pozițiile lor inițiale Spre exemplu secțiunea de căpăt cu centrul icircn C se rotește

cu unghiul

Fig 34 Deformațiile unei grinzi

Oricacirct de complexă ar fi delormația unui corp ea poate fi descrisă de lungiri sau

scurtări și de modificări ale unghiurilor inițiale

Deplasările măsoară schimbarea poziției unui punct al corpului și pot fi liniare

sau unghiulare

Prin deplasare liniară a unui punct se icircnțelege drumul parcurs de acest punct icircn

decursul procesului de deformație după o dreaptă suport dreapta 1198611198611 din figura 34a

Prin deplasare unghiulară se icircnțelege rotirea dintre segmentele de dreaptă

determinate de două puncte ale corpului icircnainte și după deformarea acestuia unghiul

pe care-l fac segmentele 119861119862 și 11986111198621 din figura 34a Această rotire se măsoară prin

unghiul pe care-l fac proiecțiile dreptelor ce conțin cele două segmente icircntr-un sistem

triortogonal

Icircn cazul cel mai general vectorul deplasare liniară se poate descompune icircntr-un

sistem triortogonal icircn trei componente 119906 119907 și 119908 figura 35

Fig 35 Deplasarea liniară

Se consideră acum un corp solid raportat la un sistem de axe ortogonal 119909119874119910119911

figura 35 după deformarea corpului un punct oarecare 119870 al acestuia se deplasează icircn

poziţia 1198701 vectorul 1198701198701 poartă numele de vectorul deplasării totale

Deplasarea totală este suma deplasărilor pe cele trei direcţii ortogonale iar

aceste deplasări se notează astfel

deplasarea pe direcţia 119909 cu ∥ 119874119909

deplasarea pe direcţia 119910 cu ∥ 119874119910

deplasarea pe direcţia 119911 cu ∥ 119874119911

Componentele deplasărilor și formeză matricea deplasărilor liniare 119906119907119908

322 Deformații

Prin deformație icircn general se icircnțelege orice schimbare de formă a unui corp fără

o evaluare cantitativă Icircn Rezistența Materialelor deformația măsoară variația

dimensiunilor geometrice ale corpului considerat din vecinătatea unui punct analog

deplasărilor deformațiile pot fi liniare și unghiulare (lunecări)

Fig 36 Deplasarea liniară

Deformația liniară ∆119897 reprezintă variația lungimii 119897 a unui element liniar al

corpului deformat figura 36 Deformația liniară specifică se definește ca fiind raportul

dintre deformația liniară și lungimea inițială

휀 =∆119897

119897 (38)

unde ∆119897 este lungirea sau scurtarea care este echivalentă cu deformția liniară totală iar

este alungirea

Deformația unghiulară sau lunecarea unui punct 119860 icircn planul 119861119860119862 se definește

prin relația figura 37

120574 = lim119861119860rarr0119862119860rarr0

(119861119860 minus 119861111986011198621 ) (39)

Fig 36 Deformația unghiulară

Schimbacircnd orientarea planului care trece prin 119860 se obțin alte deformații

unghiulare Dacă elementele liniare 119861119860 și 119862119860 sunt inițial perpendiculare deformația 120574 se

numește deformație unghiulară specifică sau lunecare specifică figura 37

Un exemplu de deplasare unghiulară și de deformație unghiulară este prezentat icircn

figura 38 Unghiul este deplasarea unghiulară și măsoară rotirea relativă dintre două

secțiuni aflate la distanța 119897 Unghiul este deformația specifică unghiulară (lunecarea

specifică) din punctul 119870 Aceste deplasări și deformații se obțin icircn urma solicitării barei

de către cele două momente 1198720 egale și de sens contrar

Fig 38 Deplasarea unghiulară

Pentru a analiza starea de deformație din vecinătatea unui punct al unui corp

solicitat complex se decupează din jurul punctului un element de volum mic figura 39a

avacircnd laturile 119889119909 119889119910 și 119889119911 Ca urmare a solicitării laturile acestuia se vor lungi sau

scurta Reprezentarea elementului deformat icircn spațiu este dificilă pentru simplificare

vom analiza doar deformațiile din planul 119909119874119910 Observăm că dimensiunile 119889119909 și 119889119910 s-au

modificat cu valoarea ∆119889119909 respectiv cu ∆119889119910 analog se acceptă și pentru 119889119911 o modificare

de forma ∆119889119911 Astfel se pot defini deformațiile specifice liniare

휀119909 =∆119889119909

119889119909 휀119910 =

∆119889119910

119889119910 휀119911 =

∆119889119911

119889119911 (310)

De cele mai multe ori aceste deformații specifice liniare se pot exprima procentual

și se mai numesc alungiri

Fig 39 Starea de deformație

Icircn figura 39c se vede că unghiul inițial drept dintre muchiile 119889119909 și 119889119910 ale

elementului de volum s-a modificat Se definește deformația specifică unghiulară (sau

lunecarea specifică) mărimea cu care se modifică unghiul inițial drept

120574119909119910 = 120574119909119910prime + 120574119910119909

prime = 120574119910119909120574119910119911 = 120574119910119911

prime + 120574119911119910prime = 120574119911119910

120574119911119909 = 120574119911119909prime + 120574119909119911

prime = 120574119909119911

(311)

Deformațiile 휀119909 휀119910 휀119911 120574119909119910 120574119910119911 120574119911119909 constituie cele șase componente

independente ale tensorului deformațiilor specifice care pot fi scrise de forma

119863 =

휀119909 120574119909119910 120574119909119911120574119910119909 휀119910 120574119910119911120574119911119909 120574119911119910 휀119911

(312)

323 Contracţia transversală

Practica arată că odată cu lungirea unei bare apare o micşorare a mărimii secţiunii

transversale mărime numită contracţie transversală figura 310

Fig 310 Contracția transversală

Contracţia transversală este proporţională cu lungirea specifică coeficientul de

proporţionalitate se notează cu 120599 şi se numeşte coeficient de contracţie transversală sau

coeficientul lui Poisson

La o lungire specifică a barei contracţia transversală este dată de relația

휀119905119903 = 휀119910 = 휀119911 = minus120599 ∙ 휀119909 (313)

Semnul minus bdquo-rdquo arată că cele două mărimi sunt contrare dacă una creşte cealaltă

scade şi invers

Considerăm o bară cilindrică de lungime 119897 şi aria secţiunii transversale 119860 solicitată

la icircntindere axială La un moment dat datorită solicitării lungimea barei devine

[119897 ∙ (1 + 휀)] diametrul devine [119889 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)] iar aria secţiunii transversale devine

[119860 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)2] Dacă volumul barei icircnainte de solicitare a fost (119860 ∙ 119897) după solicitare

acesta devine

119881 + ∆119881 = 119860 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)2 ∙ 119897 ∙ (1 + 휀) =

= 119860 ∙ 119897 ∙ (1 + 휀 minus 2 ∙ 120599 ∙ 휀 minus 2 ∙ 120599 ∙ 휀2 + 1205992 ∙ 휀2 + 1205992 ∙ 휀3) (314)

Deoarece lungirile sunt foarte mici ultimii trei termeni din paranteză fiind infinit mici se pot neglija obţinacircnd

119881 + ∆119881 = 119860 ∙ 119897 + 119860 ∙ 119897 ∙ 휀 ∙ (1 minus 2 ∙ 120599) ⟺ ∆119881 = 휀 ∙ (1 minus 2 ∙ 120599) ∙ 119860 ∙ 119897 (315)

Practica arătă că o astfel de bară solicitată la icircntindere icircşi măreşte volumul deci

∆119881 gt 0 de unde rezultă că

1 minus 2 ∙ 120599 gt 0 rArr 120599 lt 05 (316)

Pentru majoritatea materialelor 120599 = 033 iar pentru materialele care-şi păstrează

volumul constant 120599 = 05

33 Relaţii de echivalenţă icircntre eforturi şi tensiuni

Considerăm un element de suprafață infinit mic 119889119860 situat pe fața de arie (119860) a

secțiunii barei din figura 311 Icircn centrul de greutate 119862 al secțiunii acționează eforturile

119873 119879119910 119879119911 119872119909 119872119894119910 și 119872119894119911 determinate prin metoda secțiunilor

Icircn raport cu un sistem de axe de referință 119909119862119910119911 coordonatele elementului 119889119860 sunt

- 119910 este ordonata elementului de arie 119889119860

- 119911 este abscisa elementului de arie 119889119860

Pe elementul de arie 119889119860 acționează tensiunile

120590119909 tensiunea normală

120591119909119910 și 120591119909119911 tensiuni tangențiale

Dacă se icircnsumează forțele elementare de tipul 120590119909 ∙ 119889119860 120591119909119910 ∙ 119889119860 și 120591119909119911 ∙ 119889119860

va trebui să obținem eforturile 119873 119879119910 și 119879119911

Fig 311 Element de suprafață mic din secțiunea unei bare

Dacă eforturile sunt privite ca forțe exterioare și se scriu ecuațiile de

echilibru ale secțiunii (119860) se vor obține șase relații de echivalență icircntre eforturi și

tensiuni

(sum119883) = 0 rArr int 120590119909 ∙ 119889119860

119860

= 119873 (317)

(sum119884) = 0 rArr int 120591119909119910 ∙ 119889119860

119860

= 119879119910 (318)

(sum119885) = 0 rArr int 120591119909119911 ∙ 119889119860

119860

= 119879119911 (319)

(sum119872)119909= 0 rArr int(120591119909119911 ∙ 119889119860) ∙ 119910

119860

minus int(120591119909119910 ∙ 119889119860) ∙ 119911

119860

= 119872119909 rArr

rArr int(119910 ∙ 120591119909119911 minus 119911 ∙ 120591119909119910) ∙ 119889119860

119860

= 119872119909

(320)

(sum119872)119910= 0 rArr int(120590119909 ∙ 119889119860) ∙ 119911

119860

= 119872119894119910 (321)

(sum119872)119911= 0 rArr int(120590119909 ∙ 119889119860) ∙ 119910

119860

= 119872119894119911 (322)

Cele șase relații de echivalență icircntre eforturi și tensiuni constituie un pas icircnainte

icircn rezolvarea unei probleme de rezistența materialelor Aceste relații vor permite

determinarea tensiunilor maxime

Pentru a rezolva cele 6 relații de echivalență trebuie să se cunoască tensiunile și

ca funcții de punct adică funcții de forma

120590119909 = 120590119909(119909 119910 119911) 120591119909119910 = 120591119909119910(119909 119910 119911) 120591119909119911 = 120591119909119911(119909 119910 119911) (32

3)

Cunoașterea acestor funcții presupune icircnsă analizarea aspectului geometric al

problemei precum și utilizarea unor ipoteze simplificatoare care să permită simplificarea

problemelor

34 Ipoteze de bază icircn rezistenţa materialelor

Depășirea dificultăților legate de interpretarea unor fenomene specifice mecanicii

solidului deformabil a impus acceptarea unor ipoteze care să simplifice fenomenele și să

contribuie la elaborarea unor modele de calcul cicirct mai generale și cacirct mai simple Aceste

ipoteze se referă la structura materialelor şi la comportarea lor sub acţiunea forţelor

exterioare Ipotezele acceptate trebuie să fie icircn deplină concordanţă cu realitatea și să

conducă la rezultate verificate icircn practică

Funcție de aspectele la care se referă ipotezele pot fi

Ipoteze fizice (de material)

Ipoteze de calcul

341 Ipoteze fizice

Se acceptă deoarece teoriile structurale au condus la rezultate care contravin

icircncercărilor experimentale

Ipoteza mediului continuu consideră că orice domeniu elementar al corpului

este ocupat de materie adică nu se acceptă existența unor goluri sau a unor crăpături

microscopice (fisuri) Deși nu corespunde realităţii poate fi acceptată deoarece

dimensiunile corpului sunt mult mai mari decacirct dimensiunile particulelor elemantare Are

avantajul că permite utilizarea proprietăților matematice ale funcțiilor continue pentru

tensiunile și deformațiile din orice punct al corpului Ea este mai apropiată de realitate la

corpurile amorfe şi mai depărtată la cele cristaline dar conduce la rezultate satisfăcătoare

icircn calculele de rezistenţă

Ipoteza nu se poate aplica la corpurile care au goluri tăieturi (multiplu conexe)

pentru unele puncte singulare icircn care tensiunile și deformațiile tind la infinit sau icircn unele

probleme de plasticitate icircn care proprietățile de material au un rol esențial

Ipoteza izotropiei conform acestei ipoteze materialul din care este confecționat

un element de rezistență are aceleași proprietăți după orice direcție un astfel de material

este considerat izotrop Din punct de vedere macroscopic metalele pot fi considerate

izotrope deși la nivel microscopic proprietățile lor diferă de la o direcție cristalografică

la alta Orice conglomerat de cristale poate fi considerat izotrop

Există cazuri cacircnd această ipoteză a izotropiei nu se acceptă

la metalele puternic deformate după o direcție (prin laminare trefilare)

la piesele confecționate din lemn lemnul este anizotrop deoarece proprietățile sale

diferă după două direcții (icircn lungul fibrelor și perpendicular pe această direcție)

Ipoteza omogenității consideră că un corp are aceleași proprietăți icircn orice

punct al său Deși majoritatea materialelor utilizate icircn tehnică sunt eterogene la scară

micro fiind constituite din mai multe faze cu proprietăți diferite la scară macro ele pot

fi considerate omogene Omogenitatea și izotropia sunt proprietăți statistice medii care

nu se condiționează una pe cealaltă Chiar și materialele monofazice pot avea la scară

micro unele segregații care le fac eterogene

Ipoteza elasticităţii perfecte presupune că atacircta timp cacirct solicitările nu

depăşesc anumite limite materialul are o comportare elastică adică icircşi recapătă forma şi

dimensiunile iniţiale odată cu icircnlăturarea sarcinilor Icircn realitate materialele nu prezintă o

elasticitate perfectă ele avacircnd deformaţii remanente mici care icircnsă pot fi neglijate icircn

calculele de rezistenţă

Acceptarea acestei ipoteze a elasticității perfecte permite

- aplicarea relației biunivoce icircntre tensiuni și deformații relație exprimată de legea

lui Hooke ( = 119864 ∙ 휀) unde E este un factor de proporţionalitate numit modul de

elasticitate longitudinal al materialului pentru oţel 119864 = 21 ∙ 105 [119872119875119886] - acceptarea valabilității afirmației bdquolucrul mecanic efectuat de forțele exterioare

ca urmare a parcurgerii deplasărilor punctelor de aplicație se icircnmagazinează integral icircn

corp sub formă de energie de deformație energie cedată la icircndepărtarea sarcinilorrdquo

- este valabilă teoria conform căreia bdquoenergia icircnmagazinată și deformațiile depind

doar de starea inițială și finală de eforturi fără a ține cont de modul icircn care s-a ajuns la

starea finalărdquo

Icircn realitate oricacirct de mici ar fi sarcinile aplicate se produc și deformații plastice

dar acestea pot fi neglijate dacă solicitarea nu depășește anumite limite

342 Ipoteze de calcul

Ipoteza micilor deplasări bdquodeplasările datorate deformării sunt mult mai mici

decacirct dimensiunile corpurilor și ca urmare pot fi neglijate produsele dintre o deplasare și

ea icircnsăşirdquo Pentru cele mai multe corpuri deformaţiile elastice sunt de mărimi mici deci

corpurile solide sub acţiunea sarcinilor icircşi modifică foarte puţin forma iniţială Această

ipoteză este cunoscută şi sub denumirea de ipoteza menţinerii dimensiunilor iniţiale Ea

permite scrierea ecuaţiilor de echilibru ale staticii pe starea nedeformată a elementului

cacircnd nu se iau icircn considerare deplasările punctelor de aplicaţie ale forţelor care se produc

ca urmare a deformării acestuia Calculul efectuat pe schema nedeformată poartă numele

de calcul de ordinul I

Ipoteza micilor deplasări nu poate fi acceptată pentru studiul problemelor de

stabilitate sau la problemele la care nu pot fi icircndeplinite condiţiile de echilibru icircn starea

nedeformată

Calculul de ordinul II admite ipoteza micilor deplasări dar ecuaţiile de echilibru

se scriu icircnsă pentru starea deformată a elementului de rezistenţă

Calculul de ordinul III nu mai acceptă ipoteza micilor deplasări el referindu-se

la cazul deformaţiilor mari cacircnd ecuaţiile de echilibru trebuie scrise pentru starea

deformată

Chiar dacă materialul satisface legea lui Hooke icircn urma calculelor de ordinul II

se obţin de obicei relaţii neliniare icircntre sarcini şi deplasări iar pentru calculul de ordinul

III rezultă ecuaţii diferenţiale neliniare

Principiul efectului local al acțiunii sarcinilor enunțat de Barre de Saint-

Venant Acest principiu destul de folosit icircn Rezistenţa Materialelor precizează că dacă

se icircnlocuiesc forţele care acţionează asupra unui element de suprafață al unui corp

elastic printr-un alt sistem de forţe echivalent din punct de vedere static cu primul noua

distribuţie a forţelor produce la locul de aplicare diferenţe semnificative faţă de prima

dar rămacircne fără efect sau cu efect neglijabil la distanţe mari de locul de aplicare al

forţelor figura 312

Ca o cosecință o sarcină uniform distribuită figura 312a poate fi icircnlocuită cu

rezultanta ei figura 312b dacă se analizează efectul sarcinii la distanță mare de locul icircn

care se aplică sarcina

Fig 312 Principiul Saint-Venant

Icircn prima variantă figura 312a forţa 119865 se aplică pe o porțiune oarecare 119897 (sarcină

uniform distribuită) iar icircn a doua figura 312b icircntru-un punct (forţă concentrată) La

locul de aplicare a sarcinii efectul asupra barei este cu totul diferit de la o variantă la

cealaltă Icircnsă la o distanţă mare de punctul de aplicaţie spre exemplu icircn secţiunea situată

la distanţa 119886 de capătul barei sau chiar icircn icircncastrare ambele bare sunt solicitate la fel

Icircn cazul din figura 312a

119872119894(119909) =119901 ∙ 1199092

2 119909 le 119897 119872119894(119909) = 119901 ∙ 119897 ∙ (119909 minus

119897

2) 119909 gt 119897 (324)

Icircn cazul din figura 312b

119872119894(119909) = 0 119909 lt119897

2 119872119894(119909) = 119901 ∙ 119897 ∙ (119909 minus

119897

2) 119909 gt

119897

2 (325)

Se vede că pentru (119909 gt 119897) adică după depășirea locului icircn care se aplică sarcina

efectul este același

Ipoteza lui Bernoulli sau ipoteza secţiunilor plane precizează că o secţiune

plană şi normală pe axa barei icircnainte de deformare rămacircne plană şi normală pe axa

barei şi după deformare figura 313

Fig 313 Ipoteza lui Bernoulli

Ipoteza stării naturale a corpului sau ipoteza absenţei tensiunilor conform

căreia pentru un corp nesolicitat starea de tensiune şi deformaţie este nulă

Perfecţionarea mijloacelor de calcul şi de investigare pot conduce la renunţarea la

unele ipoteze sau la introducerea altora noi mai aproape de stările reale De aici rezultă

caracterul de continuă perfecţionare a metodelor Rezistenţei Materialelor

35 Coeficienţi de siguranţă Tensiuni admisibile

O piesă corespunde din punct de vedere tehnic dacă tensiunile care iau naştere icircn

interiorul piesei datorită sarcinilor aplicate nu depăşesc anumite valori limită stabilite

convenţional Aceste valori limită ale tensiunii sunt corelate cu caracteristicile mecanice

ale materialelor

Tensiunea limită utilizată icircn calculele de rezistenţă este cunoscută sub denumirea

de tensiune admisibilă sau rezistenţă admisibilă Rezistenţa admisibilă reprezintă

valoarea convenţională aleasă icircn calcul pe baza practicii pentru tensiunea maximă care

poate apare icircntr-o piesă icircn condiţii date de material şi solicitare

Rezistenţa admisibilă (120590119886 sau 120591119886) poate fi definită faţă de o stare limită

periculoasă stare care trebuie evitată deoarece poate conduce distrugere

120590119886 =120590119897119894119898119888

(326)

unde

120590119897119894119898 este tensiunea corespunzătoare stării limită periculoase

119888 estesupraunitar 119888 gt 1 și reprezintă coeficientul de siguranţă faţă de starea limită

periculoasă considerată

Alegerea unor valori inferioare pentru rezistenţa admisibilă faţă de tensiunea

corespunzătoare stării limită periculoase este necesară deoarece

cunoaşterea sarcinilor este de cele mai multe ori aproximativă şi o depăşire a

acestora este foarte posibilă

caracteristicile mecanice ale materialelor variază icircn limite destul de mari ele

fiind influenţate de mulţi factori

schema aleasă pentru calcul (aplicarea sarcinilor schematizarea structurii

ipotezele de calcul etc) depărtează modelul faţă de cel real

Pentru calculele de verificare tensiunea efectivă maximă din elementul de

rezistenţă trebuie să fie mai mică sau cel mult egală cu cea admisibilă

120590119890119891119898119886119909 le 120590119886 (327)

Valoarea rezistenţei admisibile este influenţată de foarte mulţi factori natura

materialului tratamentele termice aplicate piesei durata de funcţionare a piesei modul

de acţionare icircn timp a sarcinilor felul solicitării temperatura gradul de periculozitate

icircn cazul cedării piesei etc

De asemenea valoarea coeficientului de siguranţă se alege icircn principal ţinacircnd

seama de aceiaşi factori care influenţează şi rezistenţa admisibilă

Rezistenţele admisibile pentru cacircteva materiale sunt următoarele

pentru oțelul de uz general OL37 solicitat la icircntindere compresiune sau

icircncovoiere 120590119886 = 150 [119872119875119886] pentru lemnul de brad solicitat la

- compresiune icircn lungul fibrelor şi solicitat la icircncovoiere 120590119886 = 10 [119872119875119886] - tracţiune icircn lungul fibrelor 120590119886 = 7 [119872119875119886] - compresiune perpendiculară pe fibre 120590119886 = 15 [119872119875119886] - forfecare icircn lungul fibrelor 120591119886 = 2 [119872119875119886] - forfecare perpendiculară pe fibre 120590119886 = 45 [119872119875119886]

terenuri de fundaţie din pămacircnt uscat sau umed 120590119886 = 020 divide 025 [119872119875119886]

4 CARACTERISTICI GEOMETRICE ALE SECȚIUNILOR PLANE

41 Noţiuni introductive

Icircn relaţiile de calcul ale tensiunilor şi deformaţiilor elementelor de rezistenţă

pentru unele solicitări (icircncovoierea și torsiunea) secțiunile plane intervin atacirct prin

dimensiunile lor (aria 119860) cicirct și prin forma și poziția pe care o are secțiunea icircn raport cu

planul solicitării Mărimile care caracterizează o secțiune icircn raport cu forma și poziția față

de axele unui sistem de referință sunt denumite caracteristici geometrice de ordin

superior Aria secțiunii este caracteristica geometrică ce depinde doar de dimensiunile

geometrice ale acesteia

Să considerăm o grindă solicitată de o forță exterioară 119865 aşezată icircn două poziții icircn

raport cu planul forţei figura 41 Icircn urma aplicării forței deși avem aceeași grindă

(aceeași arie a secțiunii transversale) și aceeași forță se constată că pentru varianta din

figura 41a deformațiile sunt mult mai mari adică rezistența la icircncovoiere a grinzii din

figura 41a este mai mare decacirct icircn cazul grinzii din figura 41b Comportarea diferită se

explică prin aceea că modificarea poziţiei secţiunii transversale faţă de planul forţelor

modifică caracteristicile geometrice ale secţiunii transversale a grinzii

Fig 41 Grindă solicitată de forța 119865

Pentru realizarea calculelor de rezistenţă şi rigiditate este foarte importantă

cunoaşterea caracteristicilor geometrice ale suprafeţei secţiunii transversale a elementelor

de rezistenţă

Caracteristicile geometrice ale secţiunii transversale a unui element de rezistenţă

sunt

- aria secțiunii notată cu 119860

- momentul static icircn raport cu o axă notat 119878119911 și respectiv 119878119910

- momentul de inerție care poate fi

axial notat 119868119911 și respectiv 119868119910

centrifugal notat 119868119911119910

polar notat 119868119901

- raza de inerţie (giraţie)notată 119894119911 și respectiv 119894119910

- modulul de rezistență care poate fi

axial notat 119882119911 și respectiv 119882119910

polar notat 119882119901

42 Aria și momentul static al suprafețelor plane

Fie o suprafaţă plană de arie 119860 pe care se ia un element infinit mic de arie 119889119860 şi

un sistem de axe rectangulare 119911119874119910 figura 42 Notăm cu 119862 centrul de greutate al suprafeţei

119860 Poziţia suprafeţei elementare 119889119860 faţă de acelaşi sistem de coordonate 119911119874119910 este dată

de abscisa 119911 ordonata 119910 și raza polară

Fig 42 Suprafață plană de arie 119860

Aria suprafeţei 119860 figura 42 se defineşte ca fiind

119860 ≝ int 119889119860

119860

(41)

Aria suprafeţei este icircntotdeauna pozitivă și se măsoară icircn [1198981198982] Momentul static al suprafeţei de arie 119860 icircn raport cu axele 119874119911 și respectiv 119874119910

figura 42 sunt date de relaţiile

119878119911 ≝ int 119910 ∙ 119889119860

119860

119878119910 ≝ int 119911 ∙ 119889119860

119860

(42)

Momentul static poate fi pozitiv negativ sau nul şi se măsoară icircn [1198981198983] Coordonatele centrului de greutate ale suprafeței 119860 se detrmină cu relațiile

119910119862 ≝int 119910 ∙ 119889119860119860

119860 119911119862 ≝

int 119911 ∙ 119889119860119860

119860

(43)

Cunoscacircnd coordonatele 119910119862 și 119911119862 ale centrului de greutate 119862 al secțiunii 119860 atunci

momentele statice se pot determina cu relațiile

119878119911 ≝ int 119910 ∙ 119889119860

119860

= 119910119862 ∙ 119889119860 119878119910 ≝ int 119911 ∙ 119889119860

119860

= 119911119862 ∙ 119889119860 (44)

Aceste relații arată că momentul static al unei suprafețe icircn raport cu o axă este

egal cu produsul dintre aria suprafeței și distanța de la centrul ariei la axa respectivă

Dacă suprafaţa se poate descompune icircn 119899 suprafeţe simple la care se cunosc ariile

(1198601 1198602 ⋯ 119860119894⋯ 119860119899) și poziţiile centrelor de greutate 119862119894 faţă de sistemul de referinţă

expresiile momentelor statice capătă următoarea formă

119878119911 = sum 119910119862119894 ∙ 119860119894119899119894=1 = 119910119862 ∙ 119860 119878119910 = sum 119911119862119894 ∙ 119860119894

119899119894=1 = 119911119862 ∙ 119860 (45)

Din relaţiile (45) rezultă că poziţia centrului de greutate 119862 al unei suprafeţe

compuse poate fi determinată cu relaţiile

119910119862 = (sum119910119862119894 ∙ 119860119894

119899

119894=1

) 119860frasl 119911119862 = (sum119911119862119894 ∙ 119860119894

119899

119894=1

) 119860frasl (46)

Icircn relația (45) 119910119862119894 și respectiv 119911119862119894 reprezintă coordonatele centrelor de greutate 119862119894

ale fiecărei suprafețe simple 119860119894 icircn raport sistemul de axe 119911119874119910

Se constată (relaţia 42) că dacă axele sistemului de referinţă trec prin centrul de

greutate (119910119862 = 119911119862 = 0) momentele statice sunt nule Axele icircn raport cu care momentele

statice sunt nule şi care trec prin centrul de greutate al suprafeţei se numesc axe centrale

Observație dacă secțiunea compusă are o axă de simetrie centrul secțiunii se

găsește pe acea axă iar dacă secțiunea este dublu simetrică poziția centrului secțiunii este

la intersecția axelor de simetrie

43 Momente de inerţie

Momentele de inerţie axiale ale unei suprafețe se calculează icircn raport cu axele de

coordonate 119874119911 și respectiv 119874119910 figura 42 și se determină cu relațiile

119868119911 ≝ int 1199102 ∙ 119889119860

119860

119868119910 ≝ int 1199112 ∙ 119889119860

119860

(47)

Unde 119910 și 119911 sunt distanțele de la elementul de arie 119889119860 la cele două axe de

coordonate 119874119911 și respectiv 119874119910

Momentele de inerţie axiale se măsoară icircn [1198981198984] şi sunt icircntotdeauna pozitive (aria

119889119860 este icircntotdeauna pozitivă și este multiplicată cu patratul distanței 1199102 dacă 119868119911 sau 119868119910

sunt nule icircnseamnă ca secțiunea nu există)

Momentele de inerție axiale se calculează icircndeosebi pentru axele centrale (care

trec prin centrul secțiunii) deoarece icircn raport cu acele axe 119868119911 și 119868119910 au valori minime

Momentul de inerţie centrifugal calculat faţă ambele axe ale sistemului de

referinţă 119911119874119910 este definit de relația

119868119911119910 ≝ int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860

(48)

Momentul de inerţie centrifugal se măsoară icircn [1198981198984] şi poate fi pozitiv negativ

sau nul

Momentul de ineție centrifugal este nul 119868119911119910 = 0 dacă cel puțin una din axele 119874119911

sau 119874119910 este axă de simetrie pentru secțiune

Se consideră o suprafaţă dreptunghiulară pe care faţă de axa de simetrie 119874119910 se iau

două suprafeţe elementare de arie 119889119860 simetrice faţă de axa 119874119910 figura 43

Fig 43 Suprafață dreptunghiulară cu două arii elementare 119889119860

Făcacircnd suma momentelor de inerţie centrifugale pentru cele două suprafeţe

elementare 119889119860 (din stacircnga şi din dreapta faţă de axa 119874119910) se obţine

int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860119889119903

+ int (minus119911) ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860119904119905119892

= int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860119889119903

minus int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860119904119905119892

= 0 (49)

Acelaşi raţionament se poate face și pentru icircntreaga suprafaţă de unde obținem că

momentul de inerție centrifugal este nul 119868119911119910 = 0 Deci pentru o suprafaţă plană care

are cel puţin o axă de simetrie momentul de inerţie centrifugal faţă de sistemul care

conţine acea axă de simetrie este nul

Momentul de inerţie polar al unei suprafeţei icircn raport cu un punct (pol) 119874 figura

42 este definit prin relaţia

1198680 = 119868119901 ≝ int 1205882 ∙ 119889119860

119860

= int(1199102 + 1199112) ∙ 119889119860

119860

= 119868119911 + 119868119910 (410)

unde este distanţa de la polul 119874 la elementul de arie 119889119860 Momentul de inerţie polar se

măsoară icircn [1198981198984] şi este totdeauna pozitiv

Momentul de inerţie polar este egal cu suma momentelor de inerţie faţă de două axe

perpendiculare oarecare şi care trec prin polul considerat

Razele de giraţie sau razele de inerţie sunt mărimi calculate icircn raport cu axele

secțiunii și definite de relaţiile

119894119911 ≝ radic119868119911119860 119894119910 = radic

119868119910

119860 (411)

Se exprimă icircn [119898119898] şi sunt icircntotdeauna pozitive Semnificația unei raze de inerție

este distanța la care dacă ar fi concentrată icircntreaga arie s-ar obține același moment de

inerție ca și cel calculat pentru aria reală

44 Modulul de rezistenţă

Modulul de rezistență se calculează icircn raport cu axele de referință sau icircn raport cu

un pol figura 42 și pot fi axiale (119882119911119882119910) sau polar (119882119901) și se determină numai pe baza

momentelor de inerţie cu relațiile figura 43

119882119911119898119894119899 ≝119868119911119910119898119886119909

119882119911119898119886119909 ≝119868119911119910119898119894119899

(412)

119882119910119898119894119899 ≝119868119910

119911119898119886119909 119882119910119898119886119909 ≝

119868119910

119911119898119894119899 (413)

119882119901 ≝119868119901

120588119898119886119909 (414)

unde

119910119898119886119909 119910119898119894119899 reprezintă distanţa de la axa 119874119911 la punctele extreme cele mai

depărtate respectiv cele mai apropiate ale suprafeţei de această axă

119911119898119886119909 119911119898119894119899 reprezintă distanţa de la axa 119874119910 la punctele extreme cele mai

depărtate respectiv cele mai apropiate ale suprafeţei de această axă

120588119898119886119909 reprezintă distanța maximă de la polul 119874 la punctul secțiunii cel mai

icircndepărtat de acesta

Fig 43 Suprafață dreptunghiulară cu două arii elementare 119889119860

Modulele de rezistenţă se exprimă icircn [1198981198983] şi sunt icircntotdeauna pozitive

Explicația este aceea că momentele de inerție care intră icircn relațiile de definiție sunt

pozitive iar distanțele la punctele extreme sunt pozitive (119910119898119886119909 119910119898119894119899 119911119898119886119909 119911119898119894119899 120588119898119886119909 se

iau icircn valoare absolută)

Icircn cazul suprafeţelor compuse modulul de rezistenţă nu se obţine prin icircnsumarea

algebrică a modulelor de rezistenţă ale suprafeţelor simple componente ci numai prin

intermediul momentului de inerţie axial calculat pentru icircntreaga secțiune

Ca și momentele de inerție modulele de rezistență se calculează numai pentru

sistemele de axe centrale

45 Momente de inerţie şi module de rezistenţă pentru suprafeţe simple

451 Secțiune dreptunghiulară

Fie suprafaţa dreptunghiulară din figura 44 de icircnălțime ℎ și lățime 119887 pe care se

consideră suprafaţă elementară de arie 119889119860 = 119887119889119910 la distanța 119910 de axa 119862119911 sistemul de

axe 119911119862119910 trece prin centrul secțiunii iar axele sunt axe de simetrie pentru dreptunghi

Fig 44 Suprafață dreptunghiulară

Pe baza relațiilor de definiți a momentului de inerție 119868119911 se obține

119868119911 ≝ int 1199102 ∙ 119889119860

119860

= int 1199102 ∙ 119887 ∙ 119889119910 = 2int 1199102 ∙ 119887 ∙ 119889119910 = 2 ∙ 119887 ∙1199103

3|ℎ 2frasl

0rArr

ℎ 2frasl

0

ℎ 2frasl

minusℎ 2frasl

rArr 119868119911 =119887 ∙ ℎ3

12

(415)

Analog pentru un element de arie 119889119860 = ℎ ∙ 119889119911 paralel cu axa 119862119910 situat la distanța

119911 de axa 119862119910

119868119910 ≝ int 1199112 ∙ 119889119860

119860

= int 1199112 ∙ ℎ ∙ 119889119911 = 2int 1199112 ∙ ℎ ∙ 119889119910 = 2 ∙ ℎ ∙1199113

3|119887 2frasl

0rArr

119887 2frasl

0

119887 2frasl

minus119887 2frasl

rArr 119868119910 =1198873 ∙ ℎ

12

(416)

Deoarece axele 119862119911 și 119862119910 sunt axe de simetrie momentul de inerție centrifugal este

119868119911119910 = 0 (417)

Pentru un pătrat avacircnd laturile egale (ℎ = 119887 = 119886) momentele de inerţie faţă de

axele centrale au expresia

119868119911 = 119868119910 =1198864

12 (418)

Modulele de rezistență axiale se calculează cu relațiile de definiție ținacircnd cont că

distanțele pacircnă la fibrele extreme sunt

119910119898119886119909 = 119910119898119894119899 =ℎ

2 119911119898119886119909 = 119911119898119894119899 =

119887

2 (419)

Obținem

119882119911119898119894119899 = 119882119911119898119886119909 =119868119911

119910119898119886119909119898119894119899=119887 ∙ ℎ3

12frasl

ℎ2frasl

=119887 ∙ ℎ2

6

119882119910119898119894119899 = 119882119910119898119886119909 =119868119910

119911119898119886119909119898119894119899=1198873 ∙ ℎ

12frasl

1198872frasl

=1198872 ∙ ℎ

6

(420)

452 Suprafaţă circulară

Din motive de simetrie pentru suprafeţele circulare momentele de inerţie faţă de

orice diametru (care reprezintă şi axe centrale) sunt aceleaşi

Considerăm o secțiune circulară plină cu diametrul 119889 și centrul de greutate 119862 Prin

centrul de greutate 119862 trece sistemul de axe ortogonal 119911119862119910 figura 45

Fig 45 Suprafață circulară

La distanța de centrul de greutate 119862 vom lua un element de suprafață mic de arie

(119889119860) de forma unui inel de grosime 119889 Elementul de arie 119889119860 are expresia

119889119860 = (2 ∙ 120587 ∙ 120588) ∙ (119889120588)

Pornind de la relația de definiție a momentului de inerție polar obținem

119868119901 ≝ int 1205882 ∙ 119889119860

119860

= int 1205882 ∙ (2 ∙ 120587 ∙ 120588) ∙ 119889120588

119903=119889 2frasl

0

= 2 ∙ 120587 ∙1205884

4|119889 2frasl0 rArr

rArr 119868119901 =120587 ∙ 1198894

32

(421)

Secțiunea este perfect simetrică deci sunt valabile relațiile

119868119911 = 119868119910 rArr 119868119901 = 119868119911 + 119868119910 = 2 ∙ 119868119911 = 2 ∙ 119868119910 =119868119901

2=120587 ∙ 1198894

64 (422)

Și modulele de rezistenţă faţă de orice diametru sunt egale şi se calculează cu

relaţiile

119882119911 = 119882119910 =1198681199111198892frasl=120587 ∙ 1198893

32 (423)

Modulul de rezistenţă polar este

119882119901 =1198681199011198892frasl=120587 ∙ 1198893

16 (424)

453 Secţiune inelară

Calculul momentelor de inerţie axiale pentru o secţiune inelară avacircnd diametrul

interior 119889 şi diametrul exterior 119863 se determină analog pentru suprafaţa circulară plină cu

observaţia că integrala pentru calculul momentului de inerție polar 119868119901 se face icircntre

limitele 119903 = 119889 2frasl şi R= 1198632frasl (icircntre raza interioară 119903 şi raza exterioară 119877) figura 46

Se obţin relaţiile

119868119901 =120587 ∙ 1198634

32∙ [1 minus (

119889

119863)4

] =120587 ∙ 1198634

32∙ (1 minus 1198964) (425)

119868119910 = 119868119910 =120587 ∙ 1198634

64∙ [1 minus (

119889

119863)4

] =120587 ∙ 1198633

64∙ (1 minus 1198964) (426)

Fig 46 Secțiune inelară

119882119901 =120587 ∙ 1198633

16∙ [1 minus (

119889

119863)4

] =120587 ∙ 1198633

16∙ (1 minus 1198964) (427)

119882119911 = 119882119910 =120587 ∙ 1198633

32∙ [1 minus (

119889

119863)4

] =120587 ∙ 1198633

32∙ (1 minus 1198964) (428)

unde 119896 = 119889119863frasl

46 Variaţia momentelor de inerţie faţă de axe paralele

( Relațiile lui STEINER)

Se consideră o suprafaţă oarecare de arie 119860 cu elementul de arie 119889119860 și un sistemul

de axe central 119911119862119910 faţă de care se cunosc momentele de inerţie 119868119911 119868119910 119868119911119910 şi considerăm

un sistem de axe 11991111198741199101 paralele cu sistemul central figura 47 Se pune problema

determinării momentele de inerţie 1198681199111 1198681199101 11986811991111199101 faţă de sistemul de axe paralel cu sistemul

central 11991111198741199101 axe aflate la distanţele 119910119862 = 119888 respectiv 119911119862 = 119889 de acesta

461 Momente de inerţie axiale

Pe baza relaţiilor de definire şi a notaţiilor din figura 42 pentru momentele de

inerţie faţă de axele 1198741199111 1198741199101 se poate scrie

1198681199111 = int 11991012 ∙ 119889119860

119860

= int(119910 + 119888)2 ∙ 119889119860

119860

= int 1199102 ∙ 119889119860

119860

+ 2 ∙ 119888 ∙ int 119910 ∙ 119889119860

119860

+

+1198882int 119889119860

119860

rArr 1198681199111 = 119868119911 + 2 ∙ 119888 ∙ 119878119911 + 1198882 ∙ 119860 hArr 1198681199111 = 119868119911 + 119888

2 ∙ 119860

(429)

Fig 47 Variaţia momentelor de inerţie față de axe paralele

S-a ajuns la relația (429) deoarece momentul static 119878119911 este nul deoarece axa 119862119885

este axă centrală

Pentru momentul de inerție axial icircn raport cu axa 1198741199101 se obține

1198681199101 = int 11991112 ∙ 119889119860

119860

= int(119911 + 119889)2 ∙ 119889119860

119860

= int 1199112 ∙ 119889119860

119860

+ 2 ∙ 119889 ∙ int 119911 ∙ 119889119860

119860

+

+1198892 ∙ int 119889119860

119860

rArr 1198681199101 = 119868119910 + 2 ∙ 119889 ∙ 119878119910 + 1198892 ∙ 119860 hArr 1198681199101 = 119868119910 + 119889

2 ∙ 119860

(430)

Pentru momentul de inerție centrifugal obținem

11986811991111199101 = int 1199101 ∙ 1199111 ∙ 119889119860

119860

= int(119910 + 119888) ∙ (119911 + 119889) ∙ 119889119860

119860

= int 119910 ∙ 119911 ∙ 119889119860 +

119860

+119888 ∙ int 119911 ∙ 119889119860

119860

+ 119889 ∙ int 119910 ∙ 119889119860

119860

rArr 11986811991111199101 = 119868119911119910 + 119888 ∙ 119889 ∙ 119860

(431)

Deoarece

int 119911 ∙ 119889119860

119860

= 119878119910 = 0 int 119910 ∙ 119889119860

119860

= 119878119911 = 0 int 119910 ∙ 119911 ∙ 119889119860

119860

= 119868119911119910

Relaţiile (429) şi (430) arată că momentul de inerţie faţă de o axă oarecare

este egal cu momentul de inerţie faţă de o axă paralelă cu ea trecacircnd prin centrul de

greutate la care se adaugă produsul dintre aria suprafeţei şi pătratul distanţei dintre

cele două axe

Din relaţiile (429) și (430) rezultă de asemenea că momentul de inerţie faţă de o

axă centrală (care trece prin centrul de greutate) este cel mai mic dintre infinitatea de

momente de inerţie obținute faţă de alte axe paralele cu ea

Relaţia (431) arată de asemenea că momentul de inerţie centrifugal faţă de un

sistem de axe oarecare este egal cu momentul de inerţie centrifugal faţă de un sistem

paralele cu el trecacircnd prin centrul de greutate a suprafeţei la care se adaugă produsul

dintre aria suprafeţei şi distanţele dintre axele sistemelor respective

Icircn literatura de specialitate relaţiile (429) (430) şi (431) sunt cunoscute sub

numele de relaţiile lui Steiner

47 Variaţia momentrlor de inerţie faţă de axe rotite

Direcţii principale şi momente de inerţie principale

Fie suprafaţa plană din figura 48 de arie 119860 pe care considerăm o suprafaţă

elementară de arie 119889119860 Pentru sistemul de axe 119911119874119910 se cunosc momentele de inerţie

119868119911 119868119910 119868119911119910 şi vom determina relaţiile de calcul pentru momentele de inerţie afererent unui

sistem de axe 11991111198741199101 rotit cu un unghi faţă de sistemul central

Faţă de sistemul de axe 11991111198741199101 elementul de arie 119889119860 are coordonatele

1199101 = 119875119877 = 119875119876 minus 119877119876 = 119910 ∙ cos 120572 minus 119911 ∙ sin 120572

1199111 = 119873119872 = 119873119875 minus 119875119872 = 119911 ∙ cos 120572 + 119910 ∙ sin 120572 (432)

Fig 47 Variaţia momentelor de inerţie față de axe rotite

Pe baza relaţiilor de calcul ale momentelor de inerţie şi a notaţiilor din figura 42

şi ale relaţiilor (432) momentele de inerţie faţă de sistemul de axe rotit 11991111198741199101 sunt

1198681199111 =119868119911 + 119868119910

2+119868119911 minus 119868119910

2∙ cos 2120572 minus 119868119911119910 ∙ sin 2120572 (433)

1198681199101 =119868119911 + 119868119910

2minus119868119911 minus 119868119910

2∙ cos 2120572 + 119868119911119910 ∙ sin 2120572 (434)

11986811991111199101 =119868119911 minus 119868119910

2∙ sin 2120572 + 119868119911119910 ∙ cos 2120572 (435)

Din relaţiile 433divide435 se observă că icircntre momentele de inerţie axiale şi cele

polare există relaţia

1198681199111 + 1198681199101 = 119868119911 + 119868119910 = 119868119901 (436)

adică suma momentelor de inerţie axiale icircn raport cu orice pereche de axe ortogonale

care trec printr-un pol dat este o constantă şi egală cu momentul de inerţie polar

Prin rotirea sistemului de axe din relaţiile 433divide435 rezultă că momentele de inerţie

variază icircnsă suma lor rămacircne constantă deci există o poziţie a sistemului de axe pentru

care momentele de inerţie au valori extreme maxim respectiv minim

471 Direcţii principale de inerţie

Valoarea unghiului 120572 pentru care momentele de inerţie axiale au valori extreme

este

1205721 =1

2∙ 119886119903119888119905119886119899 (minus

2 ∙ 119868119911119910

119868119911 minus 119868119910) (437)

Poziţia celeilalte direcţii este perpendiculară pe cea dată de unghiul 1205721

Din relaţia (437) se constată că faţă de aceste direcţii rotite pentru care momentele

de inerţie axiale prezintă valori extreme momentul de inerţie centrifugal 11986811991111199101este nul

Atunci se poate afirma că momentele de inerţie axiale au valori extreme icircn raport cu

direcţiile faţă de care momentul de inerţie centrifugal este nul Aceste direcţii se numesc

direcţii principale iar momentele de inerţie faţă de aceste direcţii poartă numele de

momente de inerţie principale

Icircn calculele de rezistenţă interesează icircn mod special poziţia direcţiilor principale

care trec prin centrul de greutate al suprafeţei aşa numitele direcţii principale centrale şi

evident momentele de inerţie principale centrale

Direcţiile principale de inerţie se notează cu 1 respectiv 2 Axa principală 1

corespunde direcţiei faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea maximă iar

axa principală 2 pentru direcţia faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea

minimă

472 Momente de inerţie principale

Momentele de inerţie principale se notează cu litera 119868 la care se pune indicele 1

sau 2 după cum valoarea acestuia este maximă sau minimă deci avem un moment de

inerţie principal 1 (notat 1198681) respectiv moment de inerţie principal 2 (notat 1198682)

Expresiile pentru momentele de inerţie principale sunt

11986812 =119868119911 + 119868119910

2plusmn1

2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)

2+ 4 ∙ (119868119911119910)

2 (438)

Dacă momentul de inerţie centrifugal este negativ (119868119911119910 lt 0) direcţia principală

care trece prin primul cadran (definit de sistemul 119911119862119910) este direcţia principală 120783

Pentru suprafeţele cu cel puţin o axă de simetrie direcţiile centrale 119862119911 119862119910 sunt şi

direcții principale de inerţie și evident momentele de inerţie axiale 119868119911 119868119910 sunt momente

de inerţie principale

48 Caracteristici mecanice ale metalelor

Alegerea materialului pentru confecţionarea unei anumite piese se face şi pe baza

aşa numitelor caracteristici mecanice pe care le prezintă materialul Cunoaşterea acestor

caracteristici mecanice are loc numai pe baza unor icircncercări mecanice care să scoată icircn

evidenţă comportarea materialului icircn condiţii de solicitare

Cea mai utilizată icircncercare icircn urma căreia se pun icircn evidenţă caracteristicile

mecanice ale unui material este icircncercarea la tracţiune

481 Icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general

Icircncercarea la tracţiune a oţelului ca de altfel toate icircncercările de materiale este

standardizată

Icircn cele ce urmează se va prezenta numai partea care interesează strict din punct

de vedere al caracteristicilor mecanice ale oţelului

Epruveta de diametru iniţial 1198890 pentru icircncercarea la tracţiune are o porţiune de

lungime 1198710 numită baza de măsurare pe care se măsoară lungirea acesteia sub acţiunea

solicitării

Icircn funcţie de raportul dintre baza de măsurare 1198710 şi diametrul iniţial 1198890 epruvetele

utilizate pentru icircncercări sunt

epruvete normale (scurte) cacircnd 11987101198890 = 5

epruvete lungi cacircnd 11987101198890 = 10

Icircn timpul icircncercării la diferite valori ale forţei 119865 se măsoară lungirea bazei de

măsurare

∆119871 = 120575 = 119871 minus 1198710 (439)

unde

119871 este dimensiunea bazei de măsurare la un moment dat

Curba forţă-lungire (119865 minus ) icircnregistrată icircn urma icircncercării reprezintă curba

caracteristică la tracţiune

La icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general diagrama caracteristică care se

obţine are forma din figura 48

Curba caracteristică la tracţiune depinde de lungimea bazei de măsurare Pentru

icircnlăturarea acestui neajuns curba caracteristică se reprezintă icircn coordonate şi definite

astfel

120590 =119865

1198600 휀 =

120575

1198710 (440)

unde

1198600 este aria iniţială a secţiunii transversale a epruvetei (icircnainte de solicitare) icircn

zona bazei de măsurare

1198600 =120587 ∙ 1198890

2

4

Deoarece mărimile icircn care se reprezintă curba caracteristică la tracţiune sunt

raportate la aria iniţială a secţiunii transversale (mărimi specifice) curba poartă numele

de curbă caracteristică convenţională la tracţiune

Fig 48 Curba caracteristică convenţională la tracțiune

Pe curba caracteristică convenţională la tracţiune figura 48 se pot stabili o serie

de puncte cărora le corespund mai multe mărimi importante

Ordonata punctului A pacircnă unde curba caracteristică convenţională este linie

dreaptă se numeşte limita de proporţionalitate a materialului 120590119901(1205901) Porţiunea 119874119860 este

zona de proporţionalitate a curbei caracteristice pe acest domeniu este valabilă legea lui

Hooke care exprimă o proporţionalitate icircntre tensiune şi deformaţie specifică

120590 = 119864 ∙ 휀 (441)

unde

119864 = reprezintă panta porţiunii liniare a curbei convenționale caracteristice

la tracțiune Caracteristica de material 119864 se numeşte modul de elasticitate longitudinal

(modulul lui Young)

Ordonata punctului 119861 pacircnă unde materialul se comportă perfect elastic adică

după descărcare icircşi recapătă dimensiunea iniţială 1198710 se numeşte limita de elasticitate

120590119890(119877119890) Icircn realitate nici un material nu are comportare perfect elastică sub acţiunea

solicitărilor el capătă deformaţii permanente (remanente plastice)

După punctul 119861 urmează o porţiune 119861119862119863 icircn care cu toate că icircncărcarea

continuă forţa nu mai creşte avacircnd mici oscilaţii icircn jurul unei valori Se spune că icircn

această porţiune materialul curge iar intervalul 119861119862119863 este un palier de curgere Tensiunea

corespunzătoare palierului de curgere se numeşte limită de curgere aparentă 120590119888(119877119888) Limita de curgere aparentă se calculează cu relaţia

120590119888 =1198651198881198600 (442)

unde

119865119888 reprezintă valoarea forţei icircnregistrată icircn momentul curgerii materialului

După punctul 119863 curba caracteristică are un traseu ascendent pacircnă icircn punctul 119864

Porţiunea 119863119864 este numită zonă de icircntărire (ecruisare) Icircn zona de ecruisare unde se

produc deformaţii plastice semnificative legea lui Hooke nu mai este valabilă La

descărcare relaţia dintre tensiunea şi deformaţia specifică este liniară paralelă cu

porţiunea liniară a curbei caracteristice (dreapta 119872119873)

Deformaţia totală (휀119905) are două componente una elastică (휀119890) şi una plastică (휀119901)

Ordonata punctului 119864 reprezintă rezistenţa de rupere 120590119903(119877119898) a materialului

care se poate calcula cu relaţia

120590119903 = 119877119898 =1198651198981198861199091198600

(443)

unde

119865119898119886119909 reprezintă valoarea maximă a forţei icircnregistrată icircn timpul icircncercării

La atingerea valorii 119865119898119886119909 (punctul 119864) icircntr-un anumit loc al epruvetei secţiunea

icircncepe să se micşoreze (se produce gacirctuirea) continuacircnd pacircnă cacircnd se produce ruperea

totală (punctul 119865)

Dacă după ruperea epruvetei cele două părţi rezultate se aşează cap la cap şi se

măsoară dimensiunea bazei de măsurare 119871119906 (lungimea ultimă) se determină alungirea la

rupere sau lungirea specifică la rupere 휀119903

휀119903 =119871119906 minus 11987101198710

=∆119871

1198710=120575

1198710 (444)

De obicei alungirea se exprimă icircn procente şi se notează cu 119860119899 unde 119899 reprezintă

numărul dat de raportul 11987101198890 (epruvete normale 119899 = 5 epruvete lungi 119899 = 10)

119860119899 =119871119906 minus 11987101198710

∙ 100 [] (445)

Altă mărime care se determină la icircncercarea la tracţiune este gacirctuirea la rupere

(exprimată de obicei icircn procente) şi definită de relaţia

119885 =1198600 minus 1198601199061198600

∙ 100 [] (446)

Mărimile determinate limita de proporţionalitate modulul de elasticitate

longitudinal limita de elasticitate limita de curgere aparentă rezistenţa de rupere

alungirea la rupere şi gacirctuirea la rupere sunt cunoscute ca fiind caracteristici mecanice

ale materialului

Din curba caracteristică convenţională observăm faptul că ruperea (punctul 119865 din

figura 48 se produce la o tensiune mai mică decacirct cea corespunzătoare punctului 119864 Dacă

icircnsă forţa din timpul icircncercării s-ar raporta la aria secţiunii din momentul icircnregistrării

forţei (care este mai mică decacirct cea iniţială 1198600) s-ar obţine aşa numita curbă

caracteristică reală a materialului (traseul 1198741198601198611198621198631198651 din figura 48) La curba

caracteristică reală ruperea se produce icircn punctul 1198651 la o icircncărcare mai mare decacirct cea

corespunzătoare punctului 119864 Icircnseamnă că rezistenţa reală la rupere este mai mare decacirct

rezistenţa la rupere dată de punctul 119864 din diagrama caracteristică convenţională

Dificultatea obţinerii diagramei caracteristice reale faţă de cea a diagramei caracteristice

convenţionale şi considerarea unei rezistenţe la rupere mai mică decacirct a celei reale face

icircn practică utilizarea pe scară mare a diagramei caracteristice convenţionale

Caracteristicile mecanice determinate pe baza curbei caracteristice convenţionale

sunt şi ele caracteristici mecanice convenţionale

Caracteristicile mecanice convenţionale limita de proporţionalitate convenţională

120590119901 limita de elasticitate convenţională 120590119890 limita de curgere convenţională 120590119888 şi rezistenţa

de rupere 120590119903 constituie tensiuni limită pentru un material Pe baza acestor caracteristici

de material se alege valoarea tensiunii admisibile 120590119886 (vezi paragraful 35) pentru

calculele de rezistenţă Cea mai utilizată stare limită pentru stabilirea tensiunii admisibile

120590119886 este limita de curgere convenţională 120590119888

120590119886 =120590119897119894119898119888

=120590119888119888 119904119886119906 120590119886 =

120590119903119888 (447)

Caracteristicile mecanice ale materialului sunt influenţate de o serie de factori

temperatura viteza de solicitare factorii tehnologici iar valorile lor sunt date icircn tabele și

diagrame

Aplicaţie Pentru suprafaţa plană compusă din două dreptunghiuri avacircnd

dimensiunile din figura 49a să se calculeze

a) centrul de greutate al secțiunii compuse 119910119866 119911119866

b) momentele de inerție axiale 119868119911 119868119910 și momentul de inerție centrifugal 119868119911119910

c) razele de inerție 119894119911 119894119910

d) modulele de rezistență 119882119911119898119894119899 119882119911119898119886119909 119882119910119898119894119899 119882119910119898119886119909

e) momentele de inerție principale 1198681 1198682 și direcțiile principale de inerție 1205721

f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 119878119911

Fig 49 Aplicație

Rezolvare Pentru rezolvare vom parcurge următoarele etape

icircmpărțim suprafața compusă icircn două suprafețe simple (dreptunghiuri) notate cu

① și respectiv ② figura 49b

poziționăm centrele de greutate a celor două suprafețe simple ① și respectiv ②

notate cu 1198661 și respectiv 1198662 figura 49c

poziționăm sistemele de axe de coordonate 119911111986611199101 pentru dreptunghiul ① și

119911211986621199102 pentru dreptunghiul ② aflate la intersecția diagonalelor figura 49c

poziționăm sistemele de axe de coordonate 11991101198741199100 ales arbitrar față de care

determinăm poziția centrului de greutate 119866 figura 49c

a) calculăm poziția centrului de greutate folosind relațiile (46) icircn care

1198601 = 6119905 ∙ 119905 = 61199052 1198602 = 4119905 ∙ 119905 = 41199052 119860 = 1198601 + 1198602 = 61199052 + 41199052 = 101199052

iar centrele de greutate 1198661 și respectiv 1198662 au coordonatele (față de sistemul 11991101198741199100)

1198661 1199101 = 3119905 1199111 = 05119905

1198662 1199102 = 051199051199112 = 3119905

cu acestea obținem

119910119866 =1198601 ∙ 1199101 + 1198602 ∙ 1199102

119860=61199052 ∙ 3119905 + 41199052 ∙ 05119905

101199052=201199053

101199052= 2119905

119911119866 =1198601 ∙ 1199111 + 1198602 ∙ 1199112

119860=61199052 ∙ 05119905 + 41199052 ∙ 3119905

101199052=151199053

101199052= 15119905

Poziționăm centrul de greutate 119866 al suprafeței compuse figura 49c

Fig 49 Aplicație

b) pentru determinarea momentelor de inerție axiale 119868119911 119868119910 și a momentului de

inerție centrifugal 119868119910119911 determinăm constantele 1198881 1198882 1198891 1198892 care intervin icircn relația lui

Stainer

1198881 = 1199101 minus 119910119866 = 3119905 minus 2119905 = 119905 1198882 = minus(119910119866 minus 1199102) = minus(2119905 minus 05119905) = minus15119905

1198891 = minus(119911119866 minus 1199111) = minus(15119905 minus 05119905) = minus119905 1198892 = 1199112 minus 119911119892 = 3119905 minus 15119905 = 15119905

Folosind relațiile lui Stainer (429) (430) și (431) calculăm momentele de

inerție axiale și centrifugale față de sistemul central 119911119866119866119910119866

119868119911 =sum(119868119911119894 + 1198881198942 ∙ 119860119894) = 1198681199111 + 1198881

2 ∙ 1198601 + 1198681199112 + 11988822 ∙ 1198602

119868119910 =sum(119868119910119894 + 1198891198942 ∙ 119860119894) = 1198681199101 + 1198891

2 ∙ 1198601 + 1198681199102 + 11988922 ∙ 1198602

119868119911119910 =sum(119868119911119894119910119894 + 119888119894 ∙ 119889119894 ∙ 119860119894) = 11986811991111199101 + 1198881 ∙ 1198891 ∙ 1198601 + 11986811991121199102 + 1198882 ∙ 1198892 ∙ 1198602

1198681199111 = (119887 ∙ ℎ3

12) =

119905 ∙ (6119905)3

12= 181199054 1198681199112 = (

119887 ∙ ℎ3

12) =

4119905 ∙ 1199053

12= 031199054

1198681199101 = (1198873 ∙ ℎ

12) =

1199053 ∙ 6119905

12= 051199054 1198681199102 = (

1198873 ∙ ℎ

12) =

(4119905)3 ∙ 119905

12= 531199054

11986811991111199101 = 11986811991121199102 = 0 deoarece cele două triunghiuri au cel puțin o axă de simetrie

Cu acestea momentele de inerție axiale și momentul de inerție centrifugal devin

119868119911 = 181199054 + 1199052 ∙ 61199052 + 031199054 + (minus15119905)2 ∙ 41199052 = 3331199054

119868119910 = 051199054 + (minus119905)2 ∙ 61199052 + 531199054 + (15119905)2 ∙ 41199052 = 2081199054

119868119911119910 = 0 + 119905 ∙ (minus119905) ∙ 61199052 + 0 + (minus15119905) ∙ (15119905) ∙ 41199052 = minus151199054

c) razele de inerție sau de girație față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910

se calculează cu relațiile (411)

119894119911 = radic119868119911119860= radic

3331199054

101199052= 182119905 119894119910 = radic

119868119910

119860= radic

2081199054

101199052= 144119905

d) modulele de rezistență față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910 se

calculează cu relațiile (412) și (413)

Avacircnd icircn vedere figura 419c obținem

119910119898119886119909 = 6119905 minus 119910119866 = 6119905 minus 2119905 = 4119905 119910119898119894119899 = minus119910119866 = minus2119905

119911119898119886119909 = 5119905 minus 119911119866 = 5119905 minus 15119905 = 35119905 119911119898119894119899 = minus119911119866 = minus15119905

Se obține astfel

119882119911119898119894119899 =119868119911

|119910119898119886119909|=3331199054

4119905= 8331199053

119882119911119898119886119909 =119868119911

|119910119898119894119899|=3331199054

2119905= 16651199053

119882119910119898119894119899 =119868119910

|119911119898119886119909|=2081199054

35119905= 5941199053

119882119910119898119886119909 =119868119910

|119911119898119894119899|=2081199054

15119905= 13871199053

e) momentele de inerție principale 1198681 și respectiv 1198682 se calculează cu relațiile

(438)

11986812 =119868119911 + 119868119910

2plusmn1

2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)

2+ 4 ∙ (119868119911119910)

2=

=3331199054 + 2081199054

2plusmn1

2∙ radic(3331199054 minus 2081199054)2 + 4 ∙ (minus151199054)2 = 27051199054 plusmn 16251199054

De unde obținem

1198681 = 27051199054 + 16251199054 = 4331199054

1198682 = 27051199054 minus 16251199054 = 1081199054

Prima direcție principală de inerție 1 face cu axa centrală 119866119911 unghiul 1205721 dat de

relația (437)

1205721 =1

2∙ arctan (minus

2 ∙ 119868119911119910

119868119911 minus 119868119910) =

1

2∙ arctan [minus

2 ∙ (minus151199054)

3331199054 minus 2081199054] =33 70

Deoarece 1205721 gt 0 rotirea axelor se face acircn sens antiorar acelor de ceasornic figura

49d

Poziția axe principale 2 față de care momentul de inerție are valoarea minimă

1198682 = 119868119898119894119899 este dată de unghiul

1205722 = 1205721 + 900 = 33 70 + 900 = 123 70

f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 se determină cu relația

(45)

1198781199111198602 = 1198602 ∙ 1198882 = 41199052 ∙ (minus15119905) = minus61199053

25 Definiții și convenții de semne pentru eforturile

din secțiunile unei bare drepte plane icircncărcate cu sarcini coplanare

Vom considera o bară plană icircncărcată cu un sistem de forțe arbitrar figura 217

Ne propunem să determinăm eforturile care apar icircn secțiunea barei aflată la distanța 119909 de

reazemul din stacircnga (A)

Pentru aceasta vom aplica metoda secțiunilor vom secționa bara cu un plan

perpendicular pe axa longitudinală a barei și vom analiza doar partea din dreapta secțiunii

mărginită de fața Ad Pentru ca această porțiune de bară să fie icircn echilibru sub acțiunea

forțelor exterioare care acționează asupra sa 1198653 și 119881119861 va trebui să introducem icircn centrul

secțiunii Ad eforturile care pot să apară 119873 119879119910 119872119894119911 Acțiunea acestor eforturi trebuie să

fie echivalentă cu acțiunea forțelor exterioare aplicate pe partea icircnlăturată (parcursă) a

barei 119867119860 119881119860 1198651 1198652 1198720

Deoarece bara este plană și este icircncărcată doar cu sarcini ce aparțin

planului barei

icircn secțiunea Ad apar doar 3 componente ale torsorului de reducere al forțelor

interioare (eforturi)

- 119873 = forța axială

- 119879119910 = forța tăietoare pe care o vom nota cu 119879

- 119872119894119911 = momentul icircncovoietor notat cu Mi

Fig 217 Bară plană icircncărcată cu un sistem de forțe

Vom prezenta următoarele definiții corespunzătoare eforturilor din secțiunea Ad

119873 = forța axială dintr-o secțiune este egală cu suma algebrică a proiecțiilor pe

axa longitudinală a tuturor forțelor exterioare (sarcini și reacțiuni) aplicate pe partea

din stacircnga secțiunii adică pe porțiunea parcursă Forța axială 119873 este pozitivă dacă trage

de tronsonul pe a cărei față acționează (are orientarea normalei exterioare la secțiunea

Ad)

119873(119909) = minus119867119860 + 1198651119867 (26)

119879 = forța tăietoare icircntr-o secțiune este egală cu suma algebrică a proiecțiilor

pe o axă perpendiculară pe axa barei a tuturor forțelor exterioare (sarcini și reacțiuni)

aplicate pe porțiunea de bară aflată icircn stacircnga secțiunii considerate Forța tăietoare 119879

este pozitivă dacă tinde să rotească tronsonul pe a cărui față acționează icircn sens orar icircn

raport cu un punct de pe axa barei aflat la dreapta secțiunii

119879(119909) = 119881119860 minus 1198651119881 minus 1198652 (27)

119872119894 = momentul icircncovoietor icircntr-o secțiune este egal cu suma algebrică a

momentelor obținute prin reducerea tuturor forțelor exterioare ( cupluri sarcini

reacțiuni) aplicate pe porțiunea de bară aflată la stacircnga secțiunii icircn centrul secțiunii

considerate 119872119894 este considerat pozitiv dacă tinde să deformeze bara astfel icircncacirct fibrele

spre care privește un observator să fie icircntinse Cum poziția observatorului este de regulă

sub bară bara se deformează dacă 119872119894 gt 0 astfel icircncacirct partea jos a barei este icircntinsă Se

spune că bara deformată rdquoține apaldquo

119872119894(119909) = 119881119860 ∙ 119909 minus 1198651119881 ∙ (119909 minus 1198971) minus 1198652 ∙ [119909 minus (1198971 + 1198972)] + 1198720 (28)

Sensurile pozitive ale eforturilor care apar icircn centrul secțiunii Ad (deci atunci cacircnd

sensul de parcurs la aplicarea metodei secțiunilor este cel de la stacircnga la dreapta) sunt

indicate icircn figura 218a iar dacă sensul de parcurs este de la dreapta la stacircnga sensurile

pozitive ale eforturilor sunt indicate icircn figura 218b

Fig 218 Convenţia de semne

Definiții asemănătoare se pot da și pentru eforturile din centrul secțiunii As figura

218b adică pentru cazul icircn care sensul de parcurs este cel de la dreapta la stacircnga și deci

partea luată icircn considerare este cea din stacircnga iar partea parcursă din dreapta secțiunii

este icircnlăturată

119873(1199091) = 1198653119867

119879(1199091) = 1198653119881 minus 119881119861

119872119894(1199091) = 119881119861 ∙ 1199091 minus 1198653119881 ∙ (1199091 minus 1198975)

(29)

Avacircnd icircn vedere că fețele Ad și As aparțin aceleeași secțiuni este evident faptul că

eforturile 119873(119909) 119879(119909) și 119872119894(119909) sunt identice cu eforturile 119873(119961120783) 119879(119961120783) și respectiv

119872119894(119961120783) Icircn figura 218c se prezintă o sinteză a convențiilor de semne pozitive pentru cele

3 eforturi atacirct pentru sensul de parcurs de la stacircnga la dreapta (secțiunea Ad) cacirct și pentru

sensul invers (secțiunea As)

Semnele eforturilor sunt importante icircntrucacirct există materiale cu comportări diferite

la icircntindere față de compresiune iar o schimbare a semnului unui efort poate produce

erori grave icircn calcule Semnele eforturilor au fost stabilite icircn funcție de deformațiile

produse și nu depind de sensul axelor sistemului de coordonate

26 Relaţii diferenţiale icircntre eforturi şi sarcini

Pentru a vedea ce legătură există icircntre eforturi și sarcini vom considera o bară

dreaptă icircncărcată cu o sarcină distribuită după o lege oarecare figura 219a Din această

bară vom decupa prin dublă secționare un element de lungime infinit mică 119889119909 Deoarece

lungimea 119889119909 este foarte mică se poate considera sarcina 119901 uniform distribuită Icircn

secțiunile rezultate trebuie să introducem eforturile care pot apărea

- 119879 şi 119872119894 icircn centrul secțiunii din sticircnga eforturi pe care le considerăm pozitive

- 119879 + 119889119879 şi 119872119894 + 119889119872119894 icircn centrul secțiunii din dreapta elementului

Aceste eforturi au o variație mică (119889119879 şi 119889119872119894) față de secțiunea anterioară Spre

deosebire de cazul icircn care bara este secționată o singură dată icircn acest caz eforturile nu

pot fi determinate din cele 2 condiții de echilibru independente deoarece icircn ecuațiile de

echilibru apar 4 necunoscute 119879 119889119879119872119894 și 119889119872119894 deci că problema este dublu static

nedeterminată figura 219

Fig 219 Echivalența icircntre eforturi și sarcini

Ecuațiile de echilibru scrise pentru elementul din figura 219b conduc la stabilirea

unor relaţii foarte importante

(sum119865)119910= 0 hArr 119879 minus 119901 ∙ 119889119909 minus (119879 + 119889119879) = 0 rArr

119889119879

119889119909= minus119901 (210)

Relația (210) arată că derivata funcţiei forţei tăietoare icircn raport cu abscisa

secţiunii este egală cu sarcina distribuită normală la axa barei din acea secţiune luată

cu semn schimbat

Observații

dacă 119901 = 0 nu există sarcină distribuită atunci forța tăietoare T este constantă

icircnclinarea pantei diagramei forței 119879 este egală cu (ndash 119901) (sarcina distribuită cu

semn schimbat)

dacă 119901 = 119888119900119899119904119905 119879 variază liniar pe acel interval

Asemănător se deduce că derivata funcţiei forţei axiale icircn raport cu abscisa

secţiunii este egală cu sarcina distribuită axială din acea secţiune luată cu semn

schimbat adică

119889119873

119889119909= minus119901119867 (211)

Din condiția de echilibru suma de momente faţă de centrul de greutate al secţiunii

din dreapta

(sum119872)119862= 0 hArr 119872119894 minus (119872 + 119889119872119894) + 119879 ∙ 119889119909 minus 119901 ∙

(119889119909)2

2= 0 rArr

119889119872119894

119889119909= 119879 (212)

Relația (212) s-a obținut dupa reducerea termenilor și prin neglijarea infinitului

mic de ordinul 2

119901 ∙(119889119909)2

2

Relația (212) arată că derivata funcţiei moment icircncovoietor icircn raport cu abscisa

secţiunii este egală cu forţa tăietoare din acea secţiune

Observații

dacă 119879 = 0 momentul 119872119894 are un punct de extrem se obține o valoare maximă

pentru 119872119894119898119886119909 dacă forța tăietoare 119879 se anulează trecacircnd de la plus icircn stacircnga la minus icircn

dreapta secțiunii

dacă forța tăietoare este pozitivă pe un interval 119879 gt 0 atunci 119872119894 este crescătoare

pe acel interval

dacă forța tăietoare este negativă pe un interval 119879 lt 0 atunci 119872119894 este

descrescătoare pe acel interval

dacă pe un interval 119901 = 0 forța tăietoare este constantă 119879 = 119888119905 iar 119872119894 variază

liniar pe acel interval

dacă 119901 = 119888119900119899119904119905 119879 variază liniar pe acel interval iar 119872119894 variază parabolic pe

acel interval

Relaţiile diferenţiale sunt utile la reprezentarea corectă şi verificarea diagramelor

de eforturi astfel

pentru porţiunile de grindă pe care p = 0 eforturile N şi T sunt constante iar pe

porţiunile cu p = const eforturile N şi T variază liniar (relaţiile 211 şi 210)

dacă pe o porţiune T = const momentul icircncovoietor Miz variază liniar iar dacă

T variază liniar atunci momentul Miz variază parabolic (relaţia 212)

pe domeniile pe care T gt 0 funcţia Mi(x) este crescătoare iar icircn secţiunea icircn

care T = 0 (graficul funcţiei T intersectează axa x) momentul icircncovoietor are un punct

de extrem local (maxim sau minim relaţia 212)

Pentru rezolvarea problemelor referitoare la trasarea diagramelor de eforturi

pentru barele drepte solicitate de sisteme de forţe plane se parcurg următoarele etape

1) identificarea forţelor aplicate (date) şi pregătirea lor pentru calcule

(descompunerea forţelor concentrate pe direcţiile x şi y calculul rezultantelor forţelor

distribuite)

2) identificarea reazemelor şi introducerea reacţiunilor corespunzătoare (vezi

figurile 27divide29)

3) stabilirea ecuaţiilor de echilibru static calculul şi verificarea reacţiunilor Icircn

rezistența materialelor se folosește sistemul de ecuații (vezi figura 217)

(sum119865)

119909= 0

(sum119872)119860= 0

(sum119872)119861= 0

(213)

4) identificarea domeniilor de variaţie şi scrierea funcţiilor de eforturi pentru N T

şi Mi

5) reprezentarea grafică a diagramelor de eforturi

6) verificarea corectitudinii diagramelor pe baza relaţiilor diferenţiale icircntre eforturi

şi sarcini

Aplicație Pentru grinda dreaptă icircncărcată cu sistemul de forţe reprezentat icircn figura

220 se cere

a) să se calculeze şi să se verifice reacţiunile

b) să se stabilească funcţiile eforturilor Nx Ty şi Miz şi să se reprezinte diagramele

de variaţie

c) să se analizeze relaţiile diferenţiale icircntre eforturi şi sarcini

Dimensiunile grinzii au valorile a = 6 [m] b = 4 [m] și c = 4[m] sistemul de

forţe aplicat fiind format din p = 10 [kN mfrasl ] F = 20 [kN] (icircnclinată cu unghiul α =300 faţă de orizontală) şi M0 = 40 [kN ∙ m]

Rezolvare

a) Se fac următoarele precizări

grinda dreaptă se reprezintă prin axa geometrică

forţa icircnclinată F se descompune după direcţiile orizontală şi verticală icircn FV =F ∙ sin α = 10 [kN] şi FH = F ∙ cos α = 173 [kN]

forţa distribuită uniform p este echivalentă din punct de vedere static cu

rezultanta sa R = p ∙ a = 60 [kN] care acţionează la jumătatea porţiunii de lungime a

icircn reazemele 119860 şi 119861 se introduc componentele HA şi VA respectiv VB ale

reacţiunilor

Pentru calculul reacţiunilor se utilizează ecuaţiile de echilibru static al grinzii

sumXi = 0 HA minus FH = 0 sumYi = 0 VA + VB minus R minus FV = 0 (sumM)B = 0 VA ∙ (b + a) minus R ∙ (b + 05 ∙ a) minus M0 + FV ∙ c = 0

(A1)

Din prima ecuaţie se obţine HA iar din cea de-a treia ecuaţie rezultă VA

HA = FH = 173 [kN]

VA =[R ∙ (b + 05 ∙ a) + M0 minus FV ∙ c]

(b + a)=[60 ∙ (4 + 05 ∙ 6) + 40 minus 10 ∙ 4]

(4 + 6)

VA = 42 [kN]

(A2)

Fig 220 Aplicație

Se observă că cea de-a doua ecuaţie de echilibru conţine două necunoscute

reacţiunile VA şi VB Pentru a calcula componenta VB nu este indicată introducerea lui VA

icircn cea de-a doua ecuaţie a sistemului (A1) pentru că o valoare determinată greşit pentru

VA conduce la o valoare VB de asemenea greşită O ecuaţie independentă din care se poate

determina componenta VB este următoarea

(sumM)A= 0 FV ∙ (a + b + c) minus VB ∙ (a + b) minus M0 + R ∙ 05 ∙ a = 0 (A3)

de unde se obţine

VB =[FV ∙ (a + b + c) minusM0 + R ∙ 05 ∙ a]

(b + a)=[10 ∙ (6 + 4 + 4) minus 40 + 60 ∙ 05 ∙ 6]

(6 + 4)

VB = 28 [kN] (A4)

Ecuaţia de proiecţii ale forţelor pe direcţia verticală (a doua ecuaţie din sistemul

A1) se utilizează pentru verificarea reacţiunilor deja determinate

VA + VB minus R minus FV = 0 rArr 42 + 28 minus 60 minus 10 = 0 (A5)

Ultima egalitate demonstrează că reacţiunile verticale au fost calculate corect

Din cele de mai sus rezultă ordinea firească pentru determinarea reacţiunilor icircn

cazul grinzilor simplu rezemate

sumXi = 0

(sumM)A = 0

(sumM)B = 0

(A6)

iar pentru verificarea componentelor verticale VA şi VB se folosește ecuaţia sumY = 0

b) La stabilirea funcţiilor de eforturi se parcurg icircn general etapele următoare

se notează (numeric sau literal după preferinţă) secţiunile care delimitează

domeniile (intervalele sau tronsoanele) pe care eforturile nu-şi modifică funcţiile (au legi

unice de variaţie)

pe fiecare domeniu se marchează secţiunea imaginară icircn care se stabilesc

funcţiile eforturilor

secţiunea astfel aleasă separă icircn două părţi grinda şi anume porţiunea din stacircnga

şi porţiunea din dreapta secţiunii

se va considera parcursă (şi icircndepărtată) acea parte pe care acţionează mai puţine

sarcini exterioare pentru că acestea vor interveni icircn expresiile funcţiilor de eforturi

poziţiile secţiunilor imaginare se vor determina prin variabilele x1 ⋯ xn (unde

n reprezintă numărul domeniilor de variaţie) cu originea fixată icircn capătul intervalului şi

sensul de parcurgere spre partea considerată rămasă

Grinda prezentată icircn figura 220 are trei domenii de variaţie pentru funcţiile de

eforturi după cum urmează (A-1) (2-B) şi (B-1)

Domeniul (A-1) x1 isin [0 a = 6 m] Porţiunea parcursă şi considerată icircndepărtată este cea de coordonată x1 pe care

acţionează reacţiunile HA şi VA precum şi rezultanta parţială a sarcinii distribuite R1 =p ∙ x1

Funcţia forţă axială Nx are expresia

Nx(x1) = NAminus1 = minusHA = minus173 [kN] = const

(A7)

Funcţia forţă tăietoare Ty are exspresia

Ty(x1) = TAminus1 = VA minus R1 = VA minus p ∙ x1 (A8)

care reprezintă o variaţie liniară de variabilă x1 Se calculează valorile forţei tăietoare la

limitele intervalului de variaţie

- pentru x1 = 0 Ty(x1 = 0) = TA = VA = 42 [kN]

- pentru x1 = a = 6 [m] Ty(x1 = 6) = T1 = VA minus p ∙ a = minus18 [kN]

Observaţie Aşa cum a fost stabilită secţiunea fictivă poziţionată prin coordonata

x1 sar părea că rezultanta R ar trebui luată icircn calculul lui Ty(x1) Acest lucru ar fi greşit

pentru că R = p ∙ a reprezintă rezultanta sarcinii distribuite pe toată lungimea a iar

rezultanta pe porţiunea parcursă de lungime x1 este R1 = p ∙ x1 ne R = p ∙ a

Cu valorile obţinute se trasează diagramele forţelor axială Nx = f(x) şi tăietoare

Ty = f(x) figura 220 Din diagrama forţei tăietoare şi din valorile obţinute analitic se

observă că forţa tăietoare icircşi schimbă semnul pe intervalul analizat deci se anulează pe

acest interval Poziţia secţiunii unde Ty se anulează se determină din ecuaţia

Ty(x1) = 0 rArr VA minus p ∙ x1 = 0 (A9)

cu soluţia x1lowast = ξ = 42 [m] Important de reamintit că icircn această secţiune momentul

icircncovoietor va avea un extrem local adică Miz are un extrem la Ty = 0

Funcţia moment icircncovoietor Miz are expresia

Miz(x1) = VA ∙ x1 minus R1 ∙x12= VA ∙ x1 minus (p ∙ x1) ∙

x12

(A10)

Se observă că funcţia moment icircncovoietor de variabilă x1 are o variaţie parabolică

(gradul al II-lea) Pentru reprezentarea grafică a funcţiei parabolice se calculează valorile

momentului icircncovoietor icircn trei secţiuni

- pentru x1 = 0 Miz(x1 = 0) = MA = 0 [kN ∙ m] - pentru x1 = a = 6 [m] Miz(x1 = 6) = M1 = 72 [kN ∙ m] - pentru x1

lowast = ξ = 42 [m] Miz(x1lowast = ξ = 42 [m]) = Mimax = 882 [kN ∙ m]

Cu acestea se trasează diagrama Miz = f(x) pe intervalul (A-1) figura 220

Observaţie Icircn unele cazuri pe un anumit interval forţa tăietoare nu se anulează

şi momentul icircncovoietor nu are un extrem local Icircn acest caz pentru reprezentarea

variaţiei parabolice a momentului icircncovoietor se va studia semnul derivatei a doua a

funcţiei Miz = f(x1) acesta determinacircnd convexitatea curbei momentului icircncovoietor

Domeniul (2-B) x2 isin [0 c = 4 m] Porţiunile din grindă libere (nerezemate) la un capăt se numesc console iar

stabilirea funcţiilor de eforturi devine mai simplă dacă se consideră icircndepărtată partea din

dreapta secţiunii prin schimbarea sensului pozitiv al axei x Astfel se obţin funcţiile eforturilor

Funcţia forţă axială Nx are expresia

Nx(x2) = N2minusB = minusFH = minus173 [kN] = const

(A11)

Funcţia forţă tăietoare Ty are exspresia

Ty(x2) = T2minusB = FV = 10 [kN] = const (A12)

Funcţia moment icircncovoietor Miz are expresia

Miz(x2) = minusFV ∙ x2 rArr Miz(x2 = 0) = M2 = 0 [kN ∙ m]

Miz(x2 = 4) = MB = minus40 [kN ∙ m] (A13)

variaţie liniară (gradul I)

Domeniul (B-1) x3 isin [0 b = 4 m] Pe acest domeniu se acceptă parcurgerea grinzii de la dreapta adică se consideră

icircndepărtată partea din dreapta secţiunii fictive pentru că are doar două sarcini aplicate F

şi VB faţă de partea din stacircnga secţiunii pe care sunt aplicate trei sarcini p VA şi M0

Astfel se obţin funcţiile eforturilor

Funcţia forţă axială Nx are expresia

Nx(x3) = NBminus1 = minusFH = minus173 [kN] = const

(A14)

Funcţia forţă tăietoare Ty are exspresia

Ty(x3) = TBminus1 = FV minus VB = minus18 [kN] = const (A15)

Funcţia moment icircncovoietor Miz are expresia

Miz(x3) = minusFV ∙ (x3 + c) + VB ∙ x3 rArr

rArr Miz(x3 = 0) = MB = minus40 [kN ∙ m]

Miz(x3 = 4) = M1 = 32 [kN ∙ m]

(A16)

variaţie liniară (gradul I)

Diagramele eforturilor sunt prezentate icircn figura 220

c) Relaţiile diferenţiale dintre eforturi şi sarcini se analizează pe diagramele

eforturilor după cum urmează

sarcina distribuită nu are componentă orizontală adică ph = 0 şi icircn

conformitate cu formula (211) rezultă că Nx = const pe toată lungimea grinzii fapt care

a rezultat din funcţia şi reprezentarea diagramei forţei axiale

pe intervalul (A-1) sarcina distribuită are doar componenta verticală pozitivă

pV = p gt 0 prin urmare forţa tăietoare scade (are panta negativă dTy 119889119909frasl = minusp vezi

relaţia 210) iar momentul icircncovoietor avacircnd derivata a doua negativă d2M119894119911 1198891199092frasl =minuspare convexitatea curbei orientată spre sensul pozitiv al axei momentului Miz adică icircn

jos

pe domeniile (2-B) şi (B-1) deoarece pv = 0 forţa tăietoare Ty este constantă

iar momentul icircncovoietor Miz variază liniar

referitor la relaţia (212) pe porţiunile unde Ty gt 0 momentul Miz este

monoton crescător pe porţiunile unde Ty lt 0 momentul Miz este monoton descrescător

iar icircn secţiunea icircn care Ty = 0 momentul icircncovoietor are un extrem local Mξ =

882 [kN ∙ m] icircn diagrama forţei tăietoare discontinuităţile (salturile) se produc icircn secţiunile

unde acţionează VA VB şi FV iar icircn diagrama momentului icircncovoietor se produce un

singur salt icircn secţiunea icircn care este aplicat M0

se poate scrie

Mξ = suprafața diagramei Ty |ξ0=1

2∙ 42 ∙ 42 = 882 [kN ∙ m]

sau parcurgacircnd grinda de la dreapta la stacircnga rezultă

MB = minussuprafața diagramei Ty |c0= minus10 ∙ 4 = minus40 [kN ∙ m]

Toate aspectele analizate teoretic referitoare la relaţiile diferenţiale dintre eforturi

şi sarcini se regăsesc icircn diagramele de eforturi din figura 220 ceea ce icircnseamnă că

diagramele au fost reprezentate corect

3 TENSIUNI DEPLASĂRI ŞI DEFORMAŢII SPECIFICE

31 Tensiuni

Eforturile obținute icircn urma reducerii forțelor interioare icircn centrul de greutate al

secțiunii nu pot da informații asupra solicitării fiecărui punct al secțiunii respective Este

necesar să se cunoască modul cum se distribuie forțele interioare icircn fiecare punct al

secțiunii pentru a ști care este intensitatea maximă a solicitării Această intensitate

maximă se poate compara cu o valoare critică specifică materialului stabilindu-se astfel

dacă solicitarea este periculoasă sau nu

Mărimea care caracterizează solicitarea locală punctuală o vom denumi tensiune

și o vom defini icircn cele ce urmează Să considerăm partea din dreapta a unui corp solicitat

de forțele exterioare 1198651 1198652 și 1198653 obținută prin secționarea corpului și mărginită de fața

din dreapta Ad a secțiunii Pe secțiunea Ad vom considera un element de arie infinit mic

∆119860 caracterizat de normala la elementul de arie normală care are cosinușii directori

120573 și icircn raport cu un sistem de axe considerat fix Pe elementul infinit mic ∆119860 acționează

forțele interioare care au o rezultantă oarecare figura 31

Prin definiție tensiunea totală este

= lim∆119860rarr0

∆

∆119860 (31)

Tensiunea are aceeaşi direcţie cu forţa elementară ∆ iar mărimea ei este

determinată atacirct de mărimea forţei ∆ cacirct şi de orientarea suprafeţei ∆119860 faţă de direcţia

forţei

Tensiunea 119901 poate fi descompusă icircntr-o componentă orientată după direcţia

normalei la secţiune tensiunea normală notată cu 120590119909 şi o componentă icircn planul secţiunii

tensiunea tangenţială notată cu figura 32

= 119909 + 120591 (32)

Fig 31 Tensiunea totală Fig 32 Tensiunea normală și tangențială

La racircndul ei componenta tensiunii cuprinsă icircn planul secțiunii poate fi

descompusă după direcțiile axelor y și z

120591 = 120591119909119910 + 120591119909119911 (33)

Icircntre cele trei componente ale tensiunii totale care acționează pe elementul de arie

∆119860 este valabilă relația

1199012 = 1205901199092 + 120591119909119910

2 + 1205911199091199112 (34)

După sensul pe care icircl are tensiunea normală 120590 poate avea efect de tracţiune sau

de compresiune exercitat de către partea de corp icircnlăturată asupra părţii rămase Analog

tensiunea tangenţială 120591 poate avea efect de tăiere forfecare sau alunecare Pentru

componentele tensiunii tangențiale 120591119909119910 pe direcţia 119910 respectiv 120591119909119911 pe direcţia 119911 primul

indice indică axa pe care tensiunea este normală iar cel de-al doilea indice indică axa cu

care aceasta este paralel

Tensiunea este o mărime tensorială valoarea ei depinzacircnd atacirct de poziția

punctului icircn planul secțiunii cicirct și de orientarea planului de secționare deci de normala

Operaţiile vectoriale nu pot fi aplicate tensiunilor decacirct după ce acestea au fost icircnmulţite

cu ariile respective adică au fost transformate icircn forţe

Icircn literatura de specialitate mai ales icircn manualele mai vechi pentru noţiunea de

tensiune se mai foloseşte şi denumirea de efort specific

Dacă se consideră un alt element de arie ∆119860 cu centrul icircn același punct avacircnd ca

normală axa 119910 se vor obține alte tensiuni și anume

- 120590119910 este tensiunea normală (paralelă cu axa y)

- 120591119911119909 și 120591119910119911 sunt tensiuni tangențiale paralele cu axele 119909 și respectiv 119911 aflate icircn

planul care are ca normală axa 119910

Dacă icircn jurul unui punct dintr-un corp solicitat se consider un element de volum

infinit mic de forma unui cub icircn cazul cel mai general pe fețele sale vor acționa

tensiunile normale 120590119909 120590119910 și 120590119911 și respectiv tensiunile tangențiale 120591119909119910 120591119909119911 120591119910119909 120591119910119911 120591119911119909

și respectiv 120591119911119910 figura 33 Aceste tensiuni definesc starea de tensiune a punctului

observacircnd faptul că tensorul tensiune are 9 componente Dacă se consideră elementul

de volum finit ca fiind foarte mic se poate presupune că icircn interiorul său nu apar forțe

Ca urmare el va fi icircn echilibru sub acțiunea forțelor elementare produse de tensiunile de

pe fețele sale

Din condiția ca elementul să nu se rotească icircn jurul unor axe care trec prin centrul

său și sunt paralele cu axele sistemului 119909119874119910119911 rezultă

2 ∙ 120591119909119910 ∙ (119889119910 ∙ 119889119911) ∙119889119909

2= 2 ∙ 120591119910119909 ∙ (119889119909 ∙ 119889119911) ∙

119889119910

2 rArr 120591119909119910 = 120591119910119909 (35)

2 ∙ 120591119910119911 ∙ (119889119909 ∙ 119889119911) ∙119889119910

2= 2 ∙ 120591119911119910 ∙ (119889119909 ∙ 119889119910) ∙

119889119911

2 rArr 120591119910119911 = 120591119911119910 (36)

2 ∙ 120591119909119911 ∙ (119889119910 ∙ 119889119911) ∙119889119909

2= 2 ∙ 120591119911119909 ∙ (119889119909 ∙ 119889119910) ∙

119889119911

2 rArr 120591119909119911 = 120591119911119909 (37)

Relațiile (35divide37) 120591119909119910 = 120591119910119909 120591119910119911 = 120591119911119910 120591119909119911 = 120591119911119909 exprimă principiul dualității

tensiunilor tangențiale

Fig 33 Tensiunile normale și tangențiale pe fețele unui cub

Din condiția ca elementul considerat să nu se deplaseze icircn lungul axelor de

coordonate pe fețele opuse acționează aceleași tensiuni normale 120590119909 120590119910 și respectiv 120590119911

Definirea tensorului tensiune este posibilă dacă se cunosc cele 6 componente

independente ale acestuia aflate icircn trei plane perpendicular ce trec prin punctul respectiv

=

120590119909 120591119909119910 120591119909119911120591119910119909 120590119910 120591119910119911120591119911119909 120591119911119910 120590119911

Observaţii

Tensiunile se măsoară icircn [119873 1198982frasl ] (1119873 1198982frasl = 1 119875119886) sau icircn [119872119875119886]

(1 119872119875119886 = 106119875119886 = 106 119873

1198982 1 119872119875119886 = 1

119873

1198981198982)

Starea de tensiune dintr-un punct este considerată cunoscută dacă se cunosc

tensiunile 119901 care acționează pe infinitatea de elemente de suprafață ce trec prin punctual

considerat

Starea de tensiune a unui corp se consider cunoscută dacă se cunosc stările de

tensiune de pe infinitatea de puncte ale corpului considerat

32 Deplasări Deformaţii specifice

321 Deplasări

Aceste noțiuni sunt utile icircn analiza aspectului geometric al problemelor de rezistența

materialelor Deplasările care se analizează sunt cele datorate schimbării formei și

dimensiunilor corpurilor ca urmare a acțiunii forțelor exterioare și nu cele cinematice

posibile pentru solidul rigid care se poate deplasa cu anumită viteză și accelerație

Spre exemplu icircn figura 34a și figura 34b sub acțiunea forței 119865 tronsonul de

bară AB se deformează icircn timp ce tronsonul BC deși punctele sale au deplasări rămacircne

nedeformat (fiind nesolicitat) Toate punctele de pe axele barelor cu excepția celor din

icircncastrare (secțiunile A) au deplasări liniare De cele mai multe ori deformațiile barelor

datorate acțiunii forțelor exterioare se anulează la icircndepărtarea forțelor se spune că

deformațiile sunt elastice Secțiunile transversale ale barei din figura 34a se și rotesc icircn

raport cu pozițiile lor inițiale Spre exemplu secțiunea de căpăt cu centrul icircn C se rotește

cu unghiul

Fig 34 Deformațiile unei grinzi

Oricacirct de complexă ar fi delormația unui corp ea poate fi descrisă de lungiri sau

scurtări și de modificări ale unghiurilor inițiale

Deplasările măsoară schimbarea poziției unui punct al corpului și pot fi liniare

sau unghiulare

Prin deplasare liniară a unui punct se icircnțelege drumul parcurs de acest punct icircn

decursul procesului de deformație după o dreaptă suport dreapta 1198611198611 din figura 34a

Prin deplasare unghiulară se icircnțelege rotirea dintre segmentele de dreaptă

determinate de două puncte ale corpului icircnainte și după deformarea acestuia unghiul

pe care-l fac segmentele 119861119862 și 11986111198621 din figura 34a Această rotire se măsoară prin

unghiul pe care-l fac proiecțiile dreptelor ce conțin cele două segmente icircntr-un sistem

triortogonal

Icircn cazul cel mai general vectorul deplasare liniară se poate descompune icircntr-un

sistem triortogonal icircn trei componente 119906 119907 și 119908 figura 35

Fig 35 Deplasarea liniară

Se consideră acum un corp solid raportat la un sistem de axe ortogonal 119909119874119910119911

figura 35 după deformarea corpului un punct oarecare 119870 al acestuia se deplasează icircn

poziţia 1198701 vectorul 1198701198701 poartă numele de vectorul deplasării totale

Deplasarea totală este suma deplasărilor pe cele trei direcţii ortogonale iar

aceste deplasări se notează astfel

deplasarea pe direcţia 119909 cu ∥ 119874119909

deplasarea pe direcţia 119910 cu ∥ 119874119910

deplasarea pe direcţia 119911 cu ∥ 119874119911

Componentele deplasărilor și formeză matricea deplasărilor liniare 119906119907119908

322 Deformații

Prin deformație icircn general se icircnțelege orice schimbare de formă a unui corp fără

o evaluare cantitativă Icircn Rezistența Materialelor deformația măsoară variația

dimensiunilor geometrice ale corpului considerat din vecinătatea unui punct analog

deplasărilor deformațiile pot fi liniare și unghiulare (lunecări)

Fig 36 Deplasarea liniară

Deformația liniară ∆119897 reprezintă variația lungimii 119897 a unui element liniar al

corpului deformat figura 36 Deformația liniară specifică se definește ca fiind raportul

dintre deformația liniară și lungimea inițială

휀 =∆119897

119897 (38)

unde ∆119897 este lungirea sau scurtarea care este echivalentă cu deformția liniară totală iar

este alungirea

Deformația unghiulară sau lunecarea unui punct 119860 icircn planul 119861119860119862 se definește

prin relația figura 37

120574 = lim119861119860rarr0119862119860rarr0

(119861119860 minus 119861111986011198621 ) (39)

Fig 36 Deformația unghiulară

Schimbacircnd orientarea planului care trece prin 119860 se obțin alte deformații

unghiulare Dacă elementele liniare 119861119860 și 119862119860 sunt inițial perpendiculare deformația 120574 se

numește deformație unghiulară specifică sau lunecare specifică figura 37

Un exemplu de deplasare unghiulară și de deformație unghiulară este prezentat icircn

figura 38 Unghiul este deplasarea unghiulară și măsoară rotirea relativă dintre două

secțiuni aflate la distanța 119897 Unghiul este deformația specifică unghiulară (lunecarea

specifică) din punctul 119870 Aceste deplasări și deformații se obțin icircn urma solicitării barei

de către cele două momente 1198720 egale și de sens contrar

Fig 38 Deplasarea unghiulară

Pentru a analiza starea de deformație din vecinătatea unui punct al unui corp

solicitat complex se decupează din jurul punctului un element de volum mic figura 39a

avacircnd laturile 119889119909 119889119910 și 119889119911 Ca urmare a solicitării laturile acestuia se vor lungi sau

scurta Reprezentarea elementului deformat icircn spațiu este dificilă pentru simplificare

vom analiza doar deformațiile din planul 119909119874119910 Observăm că dimensiunile 119889119909 și 119889119910 s-au

modificat cu valoarea ∆119889119909 respectiv cu ∆119889119910 analog se acceptă și pentru 119889119911 o modificare

de forma ∆119889119911 Astfel se pot defini deformațiile specifice liniare

휀119909 =∆119889119909

119889119909 휀119910 =

∆119889119910

119889119910 휀119911 =

∆119889119911

119889119911 (310)

De cele mai multe ori aceste deformații specifice liniare se pot exprima procentual

și se mai numesc alungiri

Fig 39 Starea de deformație

Icircn figura 39c se vede că unghiul inițial drept dintre muchiile 119889119909 și 119889119910 ale

elementului de volum s-a modificat Se definește deformația specifică unghiulară (sau

lunecarea specifică) mărimea cu care se modifică unghiul inițial drept

120574119909119910 = 120574119909119910prime + 120574119910119909

prime = 120574119910119909120574119910119911 = 120574119910119911

prime + 120574119911119910prime = 120574119911119910

120574119911119909 = 120574119911119909prime + 120574119909119911

prime = 120574119909119911

(311)

Deformațiile 휀119909 휀119910 휀119911 120574119909119910 120574119910119911 120574119911119909 constituie cele șase componente

independente ale tensorului deformațiilor specifice care pot fi scrise de forma

119863 =

휀119909 120574119909119910 120574119909119911120574119910119909 휀119910 120574119910119911120574119911119909 120574119911119910 휀119911

(312)

323 Contracţia transversală

Practica arată că odată cu lungirea unei bare apare o micşorare a mărimii secţiunii

transversale mărime numită contracţie transversală figura 310

Fig 310 Contracția transversală

Contracţia transversală este proporţională cu lungirea specifică coeficientul de

proporţionalitate se notează cu 120599 şi se numeşte coeficient de contracţie transversală sau

coeficientul lui Poisson

La o lungire specifică a barei contracţia transversală este dată de relația

휀119905119903 = 휀119910 = 휀119911 = minus120599 ∙ 휀119909 (313)

Semnul minus bdquo-rdquo arată că cele două mărimi sunt contrare dacă una creşte cealaltă

scade şi invers

Considerăm o bară cilindrică de lungime 119897 şi aria secţiunii transversale 119860 solicitată

la icircntindere axială La un moment dat datorită solicitării lungimea barei devine

[119897 ∙ (1 + 휀)] diametrul devine [119889 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)] iar aria secţiunii transversale devine

[119860 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)2] Dacă volumul barei icircnainte de solicitare a fost (119860 ∙ 119897) după solicitare

acesta devine

119881 + ∆119881 = 119860 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)2 ∙ 119897 ∙ (1 + 휀) =

= 119860 ∙ 119897 ∙ (1 + 휀 minus 2 ∙ 120599 ∙ 휀 minus 2 ∙ 120599 ∙ 휀2 + 1205992 ∙ 휀2 + 1205992 ∙ 휀3) (314)

Deoarece lungirile sunt foarte mici ultimii trei termeni din paranteză fiind infinit mici se pot neglija obţinacircnd

119881 + ∆119881 = 119860 ∙ 119897 + 119860 ∙ 119897 ∙ 휀 ∙ (1 minus 2 ∙ 120599) ⟺ ∆119881 = 휀 ∙ (1 minus 2 ∙ 120599) ∙ 119860 ∙ 119897 (315)

Practica arătă că o astfel de bară solicitată la icircntindere icircşi măreşte volumul deci

∆119881 gt 0 de unde rezultă că

1 minus 2 ∙ 120599 gt 0 rArr 120599 lt 05 (316)

Pentru majoritatea materialelor 120599 = 033 iar pentru materialele care-şi păstrează

volumul constant 120599 = 05

33 Relaţii de echivalenţă icircntre eforturi şi tensiuni

Considerăm un element de suprafață infinit mic 119889119860 situat pe fața de arie (119860) a

secțiunii barei din figura 311 Icircn centrul de greutate 119862 al secțiunii acționează eforturile

119873 119879119910 119879119911 119872119909 119872119894119910 și 119872119894119911 determinate prin metoda secțiunilor

Icircn raport cu un sistem de axe de referință 119909119862119910119911 coordonatele elementului 119889119860 sunt

- 119910 este ordonata elementului de arie 119889119860

- 119911 este abscisa elementului de arie 119889119860

Pe elementul de arie 119889119860 acționează tensiunile

120590119909 tensiunea normală

120591119909119910 și 120591119909119911 tensiuni tangențiale

Dacă se icircnsumează forțele elementare de tipul 120590119909 ∙ 119889119860 120591119909119910 ∙ 119889119860 și 120591119909119911 ∙ 119889119860

va trebui să obținem eforturile 119873 119879119910 și 119879119911

Fig 311 Element de suprafață mic din secțiunea unei bare

Dacă eforturile sunt privite ca forțe exterioare și se scriu ecuațiile de

echilibru ale secțiunii (119860) se vor obține șase relații de echivalență icircntre eforturi și

tensiuni

(sum119883) = 0 rArr int 120590119909 ∙ 119889119860

119860

= 119873 (317)

(sum119884) = 0 rArr int 120591119909119910 ∙ 119889119860

119860

= 119879119910 (318)

(sum119885) = 0 rArr int 120591119909119911 ∙ 119889119860

119860

= 119879119911 (319)

(sum119872)119909= 0 rArr int(120591119909119911 ∙ 119889119860) ∙ 119910

119860

minus int(120591119909119910 ∙ 119889119860) ∙ 119911

119860

= 119872119909 rArr

rArr int(119910 ∙ 120591119909119911 minus 119911 ∙ 120591119909119910) ∙ 119889119860

119860

= 119872119909

(320)

(sum119872)119910= 0 rArr int(120590119909 ∙ 119889119860) ∙ 119911

119860

= 119872119894119910 (321)

(sum119872)119911= 0 rArr int(120590119909 ∙ 119889119860) ∙ 119910

119860

= 119872119894119911 (322)

Cele șase relații de echivalență icircntre eforturi și tensiuni constituie un pas icircnainte

icircn rezolvarea unei probleme de rezistența materialelor Aceste relații vor permite

determinarea tensiunilor maxime

Pentru a rezolva cele 6 relații de echivalență trebuie să se cunoască tensiunile și

ca funcții de punct adică funcții de forma

120590119909 = 120590119909(119909 119910 119911) 120591119909119910 = 120591119909119910(119909 119910 119911) 120591119909119911 = 120591119909119911(119909 119910 119911) (32

3)

Cunoașterea acestor funcții presupune icircnsă analizarea aspectului geometric al

problemei precum și utilizarea unor ipoteze simplificatoare care să permită simplificarea

problemelor

34 Ipoteze de bază icircn rezistenţa materialelor

Depășirea dificultăților legate de interpretarea unor fenomene specifice mecanicii

solidului deformabil a impus acceptarea unor ipoteze care să simplifice fenomenele și să

contribuie la elaborarea unor modele de calcul cicirct mai generale și cacirct mai simple Aceste

ipoteze se referă la structura materialelor şi la comportarea lor sub acţiunea forţelor

exterioare Ipotezele acceptate trebuie să fie icircn deplină concordanţă cu realitatea și să

conducă la rezultate verificate icircn practică

Funcție de aspectele la care se referă ipotezele pot fi

Ipoteze fizice (de material)

Ipoteze de calcul

341 Ipoteze fizice

Se acceptă deoarece teoriile structurale au condus la rezultate care contravin

icircncercărilor experimentale

Ipoteza mediului continuu consideră că orice domeniu elementar al corpului

este ocupat de materie adică nu se acceptă existența unor goluri sau a unor crăpături

microscopice (fisuri) Deși nu corespunde realităţii poate fi acceptată deoarece

dimensiunile corpului sunt mult mai mari decacirct dimensiunile particulelor elemantare Are

avantajul că permite utilizarea proprietăților matematice ale funcțiilor continue pentru

tensiunile și deformațiile din orice punct al corpului Ea este mai apropiată de realitate la

corpurile amorfe şi mai depărtată la cele cristaline dar conduce la rezultate satisfăcătoare

icircn calculele de rezistenţă

Ipoteza nu se poate aplica la corpurile care au goluri tăieturi (multiplu conexe)

pentru unele puncte singulare icircn care tensiunile și deformațiile tind la infinit sau icircn unele

probleme de plasticitate icircn care proprietățile de material au un rol esențial

Ipoteza izotropiei conform acestei ipoteze materialul din care este confecționat

un element de rezistență are aceleași proprietăți după orice direcție un astfel de material

este considerat izotrop Din punct de vedere macroscopic metalele pot fi considerate

izotrope deși la nivel microscopic proprietățile lor diferă de la o direcție cristalografică

la alta Orice conglomerat de cristale poate fi considerat izotrop

Există cazuri cacircnd această ipoteză a izotropiei nu se acceptă

la metalele puternic deformate după o direcție (prin laminare trefilare)

la piesele confecționate din lemn lemnul este anizotrop deoarece proprietățile sale

diferă după două direcții (icircn lungul fibrelor și perpendicular pe această direcție)

Ipoteza omogenității consideră că un corp are aceleași proprietăți icircn orice

punct al său Deși majoritatea materialelor utilizate icircn tehnică sunt eterogene la scară

micro fiind constituite din mai multe faze cu proprietăți diferite la scară macro ele pot

fi considerate omogene Omogenitatea și izotropia sunt proprietăți statistice medii care

nu se condiționează una pe cealaltă Chiar și materialele monofazice pot avea la scară

micro unele segregații care le fac eterogene

Ipoteza elasticităţii perfecte presupune că atacircta timp cacirct solicitările nu

depăşesc anumite limite materialul are o comportare elastică adică icircşi recapătă forma şi

dimensiunile iniţiale odată cu icircnlăturarea sarcinilor Icircn realitate materialele nu prezintă o

elasticitate perfectă ele avacircnd deformaţii remanente mici care icircnsă pot fi neglijate icircn

calculele de rezistenţă

Acceptarea acestei ipoteze a elasticității perfecte permite

- aplicarea relației biunivoce icircntre tensiuni și deformații relație exprimată de legea

lui Hooke ( = 119864 ∙ 휀) unde E este un factor de proporţionalitate numit modul de

elasticitate longitudinal al materialului pentru oţel 119864 = 21 ∙ 105 [119872119875119886] - acceptarea valabilității afirmației bdquolucrul mecanic efectuat de forțele exterioare

ca urmare a parcurgerii deplasărilor punctelor de aplicație se icircnmagazinează integral icircn

corp sub formă de energie de deformație energie cedată la icircndepărtarea sarcinilorrdquo

- este valabilă teoria conform căreia bdquoenergia icircnmagazinată și deformațiile depind

doar de starea inițială și finală de eforturi fără a ține cont de modul icircn care s-a ajuns la

starea finalărdquo

Icircn realitate oricacirct de mici ar fi sarcinile aplicate se produc și deformații plastice

dar acestea pot fi neglijate dacă solicitarea nu depășește anumite limite

342 Ipoteze de calcul

Ipoteza micilor deplasări bdquodeplasările datorate deformării sunt mult mai mici

decacirct dimensiunile corpurilor și ca urmare pot fi neglijate produsele dintre o deplasare și

ea icircnsăşirdquo Pentru cele mai multe corpuri deformaţiile elastice sunt de mărimi mici deci

corpurile solide sub acţiunea sarcinilor icircşi modifică foarte puţin forma iniţială Această

ipoteză este cunoscută şi sub denumirea de ipoteza menţinerii dimensiunilor iniţiale Ea

permite scrierea ecuaţiilor de echilibru ale staticii pe starea nedeformată a elementului

cacircnd nu se iau icircn considerare deplasările punctelor de aplicaţie ale forţelor care se produc

ca urmare a deformării acestuia Calculul efectuat pe schema nedeformată poartă numele

de calcul de ordinul I

Ipoteza micilor deplasări nu poate fi acceptată pentru studiul problemelor de

stabilitate sau la problemele la care nu pot fi icircndeplinite condiţiile de echilibru icircn starea

nedeformată

Calculul de ordinul II admite ipoteza micilor deplasări dar ecuaţiile de echilibru

se scriu icircnsă pentru starea deformată a elementului de rezistenţă

Calculul de ordinul III nu mai acceptă ipoteza micilor deplasări el referindu-se

la cazul deformaţiilor mari cacircnd ecuaţiile de echilibru trebuie scrise pentru starea

deformată

Chiar dacă materialul satisface legea lui Hooke icircn urma calculelor de ordinul II

se obţin de obicei relaţii neliniare icircntre sarcini şi deplasări iar pentru calculul de ordinul

III rezultă ecuaţii diferenţiale neliniare

Principiul efectului local al acțiunii sarcinilor enunțat de Barre de Saint-

Venant Acest principiu destul de folosit icircn Rezistenţa Materialelor precizează că dacă

se icircnlocuiesc forţele care acţionează asupra unui element de suprafață al unui corp

elastic printr-un alt sistem de forţe echivalent din punct de vedere static cu primul noua

distribuţie a forţelor produce la locul de aplicare diferenţe semnificative faţă de prima

dar rămacircne fără efect sau cu efect neglijabil la distanţe mari de locul de aplicare al

forţelor figura 312

Ca o cosecință o sarcină uniform distribuită figura 312a poate fi icircnlocuită cu

rezultanta ei figura 312b dacă se analizează efectul sarcinii la distanță mare de locul icircn

care se aplică sarcina

Fig 312 Principiul Saint-Venant

Icircn prima variantă figura 312a forţa 119865 se aplică pe o porțiune oarecare 119897 (sarcină

uniform distribuită) iar icircn a doua figura 312b icircntru-un punct (forţă concentrată) La

locul de aplicare a sarcinii efectul asupra barei este cu totul diferit de la o variantă la

cealaltă Icircnsă la o distanţă mare de punctul de aplicaţie spre exemplu icircn secţiunea situată

la distanţa 119886 de capătul barei sau chiar icircn icircncastrare ambele bare sunt solicitate la fel

Icircn cazul din figura 312a

119872119894(119909) =119901 ∙ 1199092

2 119909 le 119897 119872119894(119909) = 119901 ∙ 119897 ∙ (119909 minus

119897

2) 119909 gt 119897 (324)

Icircn cazul din figura 312b

119872119894(119909) = 0 119909 lt119897

2 119872119894(119909) = 119901 ∙ 119897 ∙ (119909 minus

119897

2) 119909 gt

119897

2 (325)

Se vede că pentru (119909 gt 119897) adică după depășirea locului icircn care se aplică sarcina

efectul este același

Ipoteza lui Bernoulli sau ipoteza secţiunilor plane precizează că o secţiune

plană şi normală pe axa barei icircnainte de deformare rămacircne plană şi normală pe axa

barei şi după deformare figura 313

Fig 313 Ipoteza lui Bernoulli

Ipoteza stării naturale a corpului sau ipoteza absenţei tensiunilor conform

căreia pentru un corp nesolicitat starea de tensiune şi deformaţie este nulă

Perfecţionarea mijloacelor de calcul şi de investigare pot conduce la renunţarea la

unele ipoteze sau la introducerea altora noi mai aproape de stările reale De aici rezultă

caracterul de continuă perfecţionare a metodelor Rezistenţei Materialelor

35 Coeficienţi de siguranţă Tensiuni admisibile

O piesă corespunde din punct de vedere tehnic dacă tensiunile care iau naştere icircn

interiorul piesei datorită sarcinilor aplicate nu depăşesc anumite valori limită stabilite

convenţional Aceste valori limită ale tensiunii sunt corelate cu caracteristicile mecanice

ale materialelor

Tensiunea limită utilizată icircn calculele de rezistenţă este cunoscută sub denumirea

de tensiune admisibilă sau rezistenţă admisibilă Rezistenţa admisibilă reprezintă

valoarea convenţională aleasă icircn calcul pe baza practicii pentru tensiunea maximă care

poate apare icircntr-o piesă icircn condiţii date de material şi solicitare

Rezistenţa admisibilă (120590119886 sau 120591119886) poate fi definită faţă de o stare limită

periculoasă stare care trebuie evitată deoarece poate conduce distrugere

120590119886 =120590119897119894119898119888

(326)

unde

120590119897119894119898 este tensiunea corespunzătoare stării limită periculoase

119888 estesupraunitar 119888 gt 1 și reprezintă coeficientul de siguranţă faţă de starea limită

periculoasă considerată

Alegerea unor valori inferioare pentru rezistenţa admisibilă faţă de tensiunea

corespunzătoare stării limită periculoase este necesară deoarece

cunoaşterea sarcinilor este de cele mai multe ori aproximativă şi o depăşire a

acestora este foarte posibilă

caracteristicile mecanice ale materialelor variază icircn limite destul de mari ele

fiind influenţate de mulţi factori

schema aleasă pentru calcul (aplicarea sarcinilor schematizarea structurii

ipotezele de calcul etc) depărtează modelul faţă de cel real

Pentru calculele de verificare tensiunea efectivă maximă din elementul de

rezistenţă trebuie să fie mai mică sau cel mult egală cu cea admisibilă

120590119890119891119898119886119909 le 120590119886 (327)

Valoarea rezistenţei admisibile este influenţată de foarte mulţi factori natura

materialului tratamentele termice aplicate piesei durata de funcţionare a piesei modul

de acţionare icircn timp a sarcinilor felul solicitării temperatura gradul de periculozitate

icircn cazul cedării piesei etc

De asemenea valoarea coeficientului de siguranţă se alege icircn principal ţinacircnd

seama de aceiaşi factori care influenţează şi rezistenţa admisibilă

Rezistenţele admisibile pentru cacircteva materiale sunt următoarele

pentru oțelul de uz general OL37 solicitat la icircntindere compresiune sau

icircncovoiere 120590119886 = 150 [119872119875119886] pentru lemnul de brad solicitat la

- compresiune icircn lungul fibrelor şi solicitat la icircncovoiere 120590119886 = 10 [119872119875119886] - tracţiune icircn lungul fibrelor 120590119886 = 7 [119872119875119886] - compresiune perpendiculară pe fibre 120590119886 = 15 [119872119875119886] - forfecare icircn lungul fibrelor 120591119886 = 2 [119872119875119886] - forfecare perpendiculară pe fibre 120590119886 = 45 [119872119875119886]

terenuri de fundaţie din pămacircnt uscat sau umed 120590119886 = 020 divide 025 [119872119875119886]

4 CARACTERISTICI GEOMETRICE ALE SECȚIUNILOR PLANE

41 Noţiuni introductive

Icircn relaţiile de calcul ale tensiunilor şi deformaţiilor elementelor de rezistenţă

pentru unele solicitări (icircncovoierea și torsiunea) secțiunile plane intervin atacirct prin

dimensiunile lor (aria 119860) cicirct și prin forma și poziția pe care o are secțiunea icircn raport cu

planul solicitării Mărimile care caracterizează o secțiune icircn raport cu forma și poziția față

de axele unui sistem de referință sunt denumite caracteristici geometrice de ordin

superior Aria secțiunii este caracteristica geometrică ce depinde doar de dimensiunile

geometrice ale acesteia

Să considerăm o grindă solicitată de o forță exterioară 119865 aşezată icircn două poziții icircn

raport cu planul forţei figura 41 Icircn urma aplicării forței deși avem aceeași grindă

(aceeași arie a secțiunii transversale) și aceeași forță se constată că pentru varianta din

figura 41a deformațiile sunt mult mai mari adică rezistența la icircncovoiere a grinzii din

figura 41a este mai mare decacirct icircn cazul grinzii din figura 41b Comportarea diferită se

explică prin aceea că modificarea poziţiei secţiunii transversale faţă de planul forţelor

modifică caracteristicile geometrice ale secţiunii transversale a grinzii

Fig 41 Grindă solicitată de forța 119865

Pentru realizarea calculelor de rezistenţă şi rigiditate este foarte importantă

cunoaşterea caracteristicilor geometrice ale suprafeţei secţiunii transversale a elementelor

de rezistenţă

Caracteristicile geometrice ale secţiunii transversale a unui element de rezistenţă

sunt

- aria secțiunii notată cu 119860

- momentul static icircn raport cu o axă notat 119878119911 și respectiv 119878119910

- momentul de inerție care poate fi

axial notat 119868119911 și respectiv 119868119910

centrifugal notat 119868119911119910

polar notat 119868119901

- raza de inerţie (giraţie)notată 119894119911 și respectiv 119894119910

- modulul de rezistență care poate fi

axial notat 119882119911 și respectiv 119882119910

polar notat 119882119901

42 Aria și momentul static al suprafețelor plane

Fie o suprafaţă plană de arie 119860 pe care se ia un element infinit mic de arie 119889119860 şi

un sistem de axe rectangulare 119911119874119910 figura 42 Notăm cu 119862 centrul de greutate al suprafeţei

119860 Poziţia suprafeţei elementare 119889119860 faţă de acelaşi sistem de coordonate 119911119874119910 este dată

de abscisa 119911 ordonata 119910 și raza polară

Fig 42 Suprafață plană de arie 119860

Aria suprafeţei 119860 figura 42 se defineşte ca fiind

119860 ≝ int 119889119860

119860

(41)

Aria suprafeţei este icircntotdeauna pozitivă și se măsoară icircn [1198981198982] Momentul static al suprafeţei de arie 119860 icircn raport cu axele 119874119911 și respectiv 119874119910

figura 42 sunt date de relaţiile

119878119911 ≝ int 119910 ∙ 119889119860

119860

119878119910 ≝ int 119911 ∙ 119889119860

119860

(42)

Momentul static poate fi pozitiv negativ sau nul şi se măsoară icircn [1198981198983] Coordonatele centrului de greutate ale suprafeței 119860 se detrmină cu relațiile

119910119862 ≝int 119910 ∙ 119889119860119860

119860 119911119862 ≝

int 119911 ∙ 119889119860119860

119860

(43)

Cunoscacircnd coordonatele 119910119862 și 119911119862 ale centrului de greutate 119862 al secțiunii 119860 atunci

momentele statice se pot determina cu relațiile

119878119911 ≝ int 119910 ∙ 119889119860

119860

= 119910119862 ∙ 119889119860 119878119910 ≝ int 119911 ∙ 119889119860

119860

= 119911119862 ∙ 119889119860 (44)

Aceste relații arată că momentul static al unei suprafețe icircn raport cu o axă este

egal cu produsul dintre aria suprafeței și distanța de la centrul ariei la axa respectivă

Dacă suprafaţa se poate descompune icircn 119899 suprafeţe simple la care se cunosc ariile

(1198601 1198602 ⋯ 119860119894⋯ 119860119899) și poziţiile centrelor de greutate 119862119894 faţă de sistemul de referinţă

expresiile momentelor statice capătă următoarea formă

119878119911 = sum 119910119862119894 ∙ 119860119894119899119894=1 = 119910119862 ∙ 119860 119878119910 = sum 119911119862119894 ∙ 119860119894

119899119894=1 = 119911119862 ∙ 119860 (45)

Din relaţiile (45) rezultă că poziţia centrului de greutate 119862 al unei suprafeţe

compuse poate fi determinată cu relaţiile

119910119862 = (sum119910119862119894 ∙ 119860119894

119899

119894=1

) 119860frasl 119911119862 = (sum119911119862119894 ∙ 119860119894

119899

119894=1

) 119860frasl (46)

Icircn relația (45) 119910119862119894 și respectiv 119911119862119894 reprezintă coordonatele centrelor de greutate 119862119894

ale fiecărei suprafețe simple 119860119894 icircn raport sistemul de axe 119911119874119910

Se constată (relaţia 42) că dacă axele sistemului de referinţă trec prin centrul de

greutate (119910119862 = 119911119862 = 0) momentele statice sunt nule Axele icircn raport cu care momentele

statice sunt nule şi care trec prin centrul de greutate al suprafeţei se numesc axe centrale

Observație dacă secțiunea compusă are o axă de simetrie centrul secțiunii se

găsește pe acea axă iar dacă secțiunea este dublu simetrică poziția centrului secțiunii este

la intersecția axelor de simetrie

43 Momente de inerţie

Momentele de inerţie axiale ale unei suprafețe se calculează icircn raport cu axele de

coordonate 119874119911 și respectiv 119874119910 figura 42 și se determină cu relațiile

119868119911 ≝ int 1199102 ∙ 119889119860

119860

119868119910 ≝ int 1199112 ∙ 119889119860

119860

(47)

Unde 119910 și 119911 sunt distanțele de la elementul de arie 119889119860 la cele două axe de

coordonate 119874119911 și respectiv 119874119910

Momentele de inerţie axiale se măsoară icircn [1198981198984] şi sunt icircntotdeauna pozitive (aria

119889119860 este icircntotdeauna pozitivă și este multiplicată cu patratul distanței 1199102 dacă 119868119911 sau 119868119910

sunt nule icircnseamnă ca secțiunea nu există)

Momentele de inerție axiale se calculează icircndeosebi pentru axele centrale (care

trec prin centrul secțiunii) deoarece icircn raport cu acele axe 119868119911 și 119868119910 au valori minime

Momentul de inerţie centrifugal calculat faţă ambele axe ale sistemului de

referinţă 119911119874119910 este definit de relația

119868119911119910 ≝ int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860

(48)

Momentul de inerţie centrifugal se măsoară icircn [1198981198984] şi poate fi pozitiv negativ

sau nul

Momentul de ineție centrifugal este nul 119868119911119910 = 0 dacă cel puțin una din axele 119874119911

sau 119874119910 este axă de simetrie pentru secțiune

Se consideră o suprafaţă dreptunghiulară pe care faţă de axa de simetrie 119874119910 se iau

două suprafeţe elementare de arie 119889119860 simetrice faţă de axa 119874119910 figura 43

Fig 43 Suprafață dreptunghiulară cu două arii elementare 119889119860

Făcacircnd suma momentelor de inerţie centrifugale pentru cele două suprafeţe

elementare 119889119860 (din stacircnga şi din dreapta faţă de axa 119874119910) se obţine

int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860119889119903

+ int (minus119911) ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860119904119905119892

= int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860119889119903

minus int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860119904119905119892

= 0 (49)

Acelaşi raţionament se poate face și pentru icircntreaga suprafaţă de unde obținem că

momentul de inerție centrifugal este nul 119868119911119910 = 0 Deci pentru o suprafaţă plană care

are cel puţin o axă de simetrie momentul de inerţie centrifugal faţă de sistemul care

conţine acea axă de simetrie este nul

Momentul de inerţie polar al unei suprafeţei icircn raport cu un punct (pol) 119874 figura

42 este definit prin relaţia

1198680 = 119868119901 ≝ int 1205882 ∙ 119889119860

119860

= int(1199102 + 1199112) ∙ 119889119860

119860

= 119868119911 + 119868119910 (410)

unde este distanţa de la polul 119874 la elementul de arie 119889119860 Momentul de inerţie polar se

măsoară icircn [1198981198984] şi este totdeauna pozitiv

Momentul de inerţie polar este egal cu suma momentelor de inerţie faţă de două axe

perpendiculare oarecare şi care trec prin polul considerat

Razele de giraţie sau razele de inerţie sunt mărimi calculate icircn raport cu axele

secțiunii și definite de relaţiile

119894119911 ≝ radic119868119911119860 119894119910 = radic

119868119910

119860 (411)

Se exprimă icircn [119898119898] şi sunt icircntotdeauna pozitive Semnificația unei raze de inerție

este distanța la care dacă ar fi concentrată icircntreaga arie s-ar obține același moment de

inerție ca și cel calculat pentru aria reală

44 Modulul de rezistenţă

Modulul de rezistență se calculează icircn raport cu axele de referință sau icircn raport cu

un pol figura 42 și pot fi axiale (119882119911119882119910) sau polar (119882119901) și se determină numai pe baza

momentelor de inerţie cu relațiile figura 43

119882119911119898119894119899 ≝119868119911119910119898119886119909

119882119911119898119886119909 ≝119868119911119910119898119894119899

(412)

119882119910119898119894119899 ≝119868119910

119911119898119886119909 119882119910119898119886119909 ≝

119868119910

119911119898119894119899 (413)

119882119901 ≝119868119901

120588119898119886119909 (414)

unde

119910119898119886119909 119910119898119894119899 reprezintă distanţa de la axa 119874119911 la punctele extreme cele mai

depărtate respectiv cele mai apropiate ale suprafeţei de această axă

119911119898119886119909 119911119898119894119899 reprezintă distanţa de la axa 119874119910 la punctele extreme cele mai

depărtate respectiv cele mai apropiate ale suprafeţei de această axă

120588119898119886119909 reprezintă distanța maximă de la polul 119874 la punctul secțiunii cel mai

icircndepărtat de acesta

Fig 43 Suprafață dreptunghiulară cu două arii elementare 119889119860

Modulele de rezistenţă se exprimă icircn [1198981198983] şi sunt icircntotdeauna pozitive

Explicația este aceea că momentele de inerție care intră icircn relațiile de definiție sunt

pozitive iar distanțele la punctele extreme sunt pozitive (119910119898119886119909 119910119898119894119899 119911119898119886119909 119911119898119894119899 120588119898119886119909 se

iau icircn valoare absolută)

Icircn cazul suprafeţelor compuse modulul de rezistenţă nu se obţine prin icircnsumarea

algebrică a modulelor de rezistenţă ale suprafeţelor simple componente ci numai prin

intermediul momentului de inerţie axial calculat pentru icircntreaga secțiune

Ca și momentele de inerție modulele de rezistență se calculează numai pentru

sistemele de axe centrale

45 Momente de inerţie şi module de rezistenţă pentru suprafeţe simple

451 Secțiune dreptunghiulară

Fie suprafaţa dreptunghiulară din figura 44 de icircnălțime ℎ și lățime 119887 pe care se

consideră suprafaţă elementară de arie 119889119860 = 119887119889119910 la distanța 119910 de axa 119862119911 sistemul de

axe 119911119862119910 trece prin centrul secțiunii iar axele sunt axe de simetrie pentru dreptunghi

Fig 44 Suprafață dreptunghiulară

Pe baza relațiilor de definiți a momentului de inerție 119868119911 se obține

119868119911 ≝ int 1199102 ∙ 119889119860

119860

= int 1199102 ∙ 119887 ∙ 119889119910 = 2int 1199102 ∙ 119887 ∙ 119889119910 = 2 ∙ 119887 ∙1199103

3|ℎ 2frasl

0rArr

ℎ 2frasl

0

ℎ 2frasl

minusℎ 2frasl

rArr 119868119911 =119887 ∙ ℎ3

12

(415)

Analog pentru un element de arie 119889119860 = ℎ ∙ 119889119911 paralel cu axa 119862119910 situat la distanța

119911 de axa 119862119910

119868119910 ≝ int 1199112 ∙ 119889119860

119860

= int 1199112 ∙ ℎ ∙ 119889119911 = 2int 1199112 ∙ ℎ ∙ 119889119910 = 2 ∙ ℎ ∙1199113

3|119887 2frasl

0rArr

119887 2frasl

0

119887 2frasl

minus119887 2frasl

rArr 119868119910 =1198873 ∙ ℎ

12

(416)

Deoarece axele 119862119911 și 119862119910 sunt axe de simetrie momentul de inerție centrifugal este

119868119911119910 = 0 (417)

Pentru un pătrat avacircnd laturile egale (ℎ = 119887 = 119886) momentele de inerţie faţă de

axele centrale au expresia

119868119911 = 119868119910 =1198864

12 (418)

Modulele de rezistență axiale se calculează cu relațiile de definiție ținacircnd cont că

distanțele pacircnă la fibrele extreme sunt

119910119898119886119909 = 119910119898119894119899 =ℎ

2 119911119898119886119909 = 119911119898119894119899 =

119887

2 (419)

Obținem

119882119911119898119894119899 = 119882119911119898119886119909 =119868119911

119910119898119886119909119898119894119899=119887 ∙ ℎ3

12frasl

ℎ2frasl

=119887 ∙ ℎ2

6

119882119910119898119894119899 = 119882119910119898119886119909 =119868119910

119911119898119886119909119898119894119899=1198873 ∙ ℎ

12frasl

1198872frasl

=1198872 ∙ ℎ

6

(420)

452 Suprafaţă circulară

Din motive de simetrie pentru suprafeţele circulare momentele de inerţie faţă de

orice diametru (care reprezintă şi axe centrale) sunt aceleaşi

Considerăm o secțiune circulară plină cu diametrul 119889 și centrul de greutate 119862 Prin

centrul de greutate 119862 trece sistemul de axe ortogonal 119911119862119910 figura 45

Fig 45 Suprafață circulară

La distanța de centrul de greutate 119862 vom lua un element de suprafață mic de arie

(119889119860) de forma unui inel de grosime 119889 Elementul de arie 119889119860 are expresia

119889119860 = (2 ∙ 120587 ∙ 120588) ∙ (119889120588)

Pornind de la relația de definiție a momentului de inerție polar obținem

119868119901 ≝ int 1205882 ∙ 119889119860

119860

= int 1205882 ∙ (2 ∙ 120587 ∙ 120588) ∙ 119889120588

119903=119889 2frasl

0

= 2 ∙ 120587 ∙1205884

4|119889 2frasl0 rArr

rArr 119868119901 =120587 ∙ 1198894

32

(421)

Secțiunea este perfect simetrică deci sunt valabile relațiile

119868119911 = 119868119910 rArr 119868119901 = 119868119911 + 119868119910 = 2 ∙ 119868119911 = 2 ∙ 119868119910 =119868119901

2=120587 ∙ 1198894

64 (422)

Și modulele de rezistenţă faţă de orice diametru sunt egale şi se calculează cu

relaţiile

119882119911 = 119882119910 =1198681199111198892frasl=120587 ∙ 1198893

32 (423)

Modulul de rezistenţă polar este

119882119901 =1198681199011198892frasl=120587 ∙ 1198893

16 (424)

453 Secţiune inelară

Calculul momentelor de inerţie axiale pentru o secţiune inelară avacircnd diametrul

interior 119889 şi diametrul exterior 119863 se determină analog pentru suprafaţa circulară plină cu

observaţia că integrala pentru calculul momentului de inerție polar 119868119901 se face icircntre

limitele 119903 = 119889 2frasl şi R= 1198632frasl (icircntre raza interioară 119903 şi raza exterioară 119877) figura 46

Se obţin relaţiile

119868119901 =120587 ∙ 1198634

32∙ [1 minus (

119889

119863)4

] =120587 ∙ 1198634

32∙ (1 minus 1198964) (425)

119868119910 = 119868119910 =120587 ∙ 1198634

64∙ [1 minus (

119889

119863)4

] =120587 ∙ 1198633

64∙ (1 minus 1198964) (426)

Fig 46 Secțiune inelară

119882119901 =120587 ∙ 1198633

16∙ [1 minus (

119889

119863)4

] =120587 ∙ 1198633

16∙ (1 minus 1198964) (427)

119882119911 = 119882119910 =120587 ∙ 1198633

32∙ [1 minus (

119889

119863)4

] =120587 ∙ 1198633

32∙ (1 minus 1198964) (428)

unde 119896 = 119889119863frasl

46 Variaţia momentelor de inerţie faţă de axe paralele

( Relațiile lui STEINER)

Se consideră o suprafaţă oarecare de arie 119860 cu elementul de arie 119889119860 și un sistemul

de axe central 119911119862119910 faţă de care se cunosc momentele de inerţie 119868119911 119868119910 119868119911119910 şi considerăm

un sistem de axe 11991111198741199101 paralele cu sistemul central figura 47 Se pune problema

determinării momentele de inerţie 1198681199111 1198681199101 11986811991111199101 faţă de sistemul de axe paralel cu sistemul

central 11991111198741199101 axe aflate la distanţele 119910119862 = 119888 respectiv 119911119862 = 119889 de acesta

461 Momente de inerţie axiale

Pe baza relaţiilor de definire şi a notaţiilor din figura 42 pentru momentele de

inerţie faţă de axele 1198741199111 1198741199101 se poate scrie

1198681199111 = int 11991012 ∙ 119889119860

119860

= int(119910 + 119888)2 ∙ 119889119860

119860

= int 1199102 ∙ 119889119860

119860

+ 2 ∙ 119888 ∙ int 119910 ∙ 119889119860

119860

+

+1198882int 119889119860

119860

rArr 1198681199111 = 119868119911 + 2 ∙ 119888 ∙ 119878119911 + 1198882 ∙ 119860 hArr 1198681199111 = 119868119911 + 119888

2 ∙ 119860

(429)

Fig 47 Variaţia momentelor de inerţie față de axe paralele

S-a ajuns la relația (429) deoarece momentul static 119878119911 este nul deoarece axa 119862119885

este axă centrală

Pentru momentul de inerție axial icircn raport cu axa 1198741199101 se obține

1198681199101 = int 11991112 ∙ 119889119860

119860

= int(119911 + 119889)2 ∙ 119889119860

119860

= int 1199112 ∙ 119889119860

119860

+ 2 ∙ 119889 ∙ int 119911 ∙ 119889119860

119860

+

+1198892 ∙ int 119889119860

119860

rArr 1198681199101 = 119868119910 + 2 ∙ 119889 ∙ 119878119910 + 1198892 ∙ 119860 hArr 1198681199101 = 119868119910 + 119889

2 ∙ 119860

(430)

Pentru momentul de inerție centrifugal obținem

11986811991111199101 = int 1199101 ∙ 1199111 ∙ 119889119860

119860

= int(119910 + 119888) ∙ (119911 + 119889) ∙ 119889119860

119860

= int 119910 ∙ 119911 ∙ 119889119860 +

119860

+119888 ∙ int 119911 ∙ 119889119860

119860

+ 119889 ∙ int 119910 ∙ 119889119860

119860

rArr 11986811991111199101 = 119868119911119910 + 119888 ∙ 119889 ∙ 119860

(431)

Deoarece

int 119911 ∙ 119889119860

119860

= 119878119910 = 0 int 119910 ∙ 119889119860

119860

= 119878119911 = 0 int 119910 ∙ 119911 ∙ 119889119860

119860

= 119868119911119910

Relaţiile (429) şi (430) arată că momentul de inerţie faţă de o axă oarecare

este egal cu momentul de inerţie faţă de o axă paralelă cu ea trecacircnd prin centrul de

greutate la care se adaugă produsul dintre aria suprafeţei şi pătratul distanţei dintre

cele două axe

Din relaţiile (429) și (430) rezultă de asemenea că momentul de inerţie faţă de o

axă centrală (care trece prin centrul de greutate) este cel mai mic dintre infinitatea de

momente de inerţie obținute faţă de alte axe paralele cu ea

Relaţia (431) arată de asemenea că momentul de inerţie centrifugal faţă de un

sistem de axe oarecare este egal cu momentul de inerţie centrifugal faţă de un sistem

paralele cu el trecacircnd prin centrul de greutate a suprafeţei la care se adaugă produsul

dintre aria suprafeţei şi distanţele dintre axele sistemelor respective

Icircn literatura de specialitate relaţiile (429) (430) şi (431) sunt cunoscute sub

numele de relaţiile lui Steiner

47 Variaţia momentrlor de inerţie faţă de axe rotite

Direcţii principale şi momente de inerţie principale

Fie suprafaţa plană din figura 48 de arie 119860 pe care considerăm o suprafaţă

elementară de arie 119889119860 Pentru sistemul de axe 119911119874119910 se cunosc momentele de inerţie

119868119911 119868119910 119868119911119910 şi vom determina relaţiile de calcul pentru momentele de inerţie afererent unui

sistem de axe 11991111198741199101 rotit cu un unghi faţă de sistemul central

Faţă de sistemul de axe 11991111198741199101 elementul de arie 119889119860 are coordonatele

1199101 = 119875119877 = 119875119876 minus 119877119876 = 119910 ∙ cos 120572 minus 119911 ∙ sin 120572

1199111 = 119873119872 = 119873119875 minus 119875119872 = 119911 ∙ cos 120572 + 119910 ∙ sin 120572 (432)

Fig 47 Variaţia momentelor de inerţie față de axe rotite

Pe baza relaţiilor de calcul ale momentelor de inerţie şi a notaţiilor din figura 42

şi ale relaţiilor (432) momentele de inerţie faţă de sistemul de axe rotit 11991111198741199101 sunt

1198681199111 =119868119911 + 119868119910

2+119868119911 minus 119868119910

2∙ cos 2120572 minus 119868119911119910 ∙ sin 2120572 (433)

1198681199101 =119868119911 + 119868119910

2minus119868119911 minus 119868119910

2∙ cos 2120572 + 119868119911119910 ∙ sin 2120572 (434)

11986811991111199101 =119868119911 minus 119868119910

2∙ sin 2120572 + 119868119911119910 ∙ cos 2120572 (435)

Din relaţiile 433divide435 se observă că icircntre momentele de inerţie axiale şi cele

polare există relaţia

1198681199111 + 1198681199101 = 119868119911 + 119868119910 = 119868119901 (436)

adică suma momentelor de inerţie axiale icircn raport cu orice pereche de axe ortogonale

care trec printr-un pol dat este o constantă şi egală cu momentul de inerţie polar

Prin rotirea sistemului de axe din relaţiile 433divide435 rezultă că momentele de inerţie

variază icircnsă suma lor rămacircne constantă deci există o poziţie a sistemului de axe pentru

care momentele de inerţie au valori extreme maxim respectiv minim

471 Direcţii principale de inerţie

Valoarea unghiului 120572 pentru care momentele de inerţie axiale au valori extreme

este

1205721 =1

2∙ 119886119903119888119905119886119899 (minus

2 ∙ 119868119911119910

119868119911 minus 119868119910) (437)

Poziţia celeilalte direcţii este perpendiculară pe cea dată de unghiul 1205721

Din relaţia (437) se constată că faţă de aceste direcţii rotite pentru care momentele

de inerţie axiale prezintă valori extreme momentul de inerţie centrifugal 11986811991111199101este nul

Atunci se poate afirma că momentele de inerţie axiale au valori extreme icircn raport cu

direcţiile faţă de care momentul de inerţie centrifugal este nul Aceste direcţii se numesc

direcţii principale iar momentele de inerţie faţă de aceste direcţii poartă numele de

momente de inerţie principale

Icircn calculele de rezistenţă interesează icircn mod special poziţia direcţiilor principale

care trec prin centrul de greutate al suprafeţei aşa numitele direcţii principale centrale şi

evident momentele de inerţie principale centrale

Direcţiile principale de inerţie se notează cu 1 respectiv 2 Axa principală 1

corespunde direcţiei faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea maximă iar

axa principală 2 pentru direcţia faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea

minimă

472 Momente de inerţie principale

Momentele de inerţie principale se notează cu litera 119868 la care se pune indicele 1

sau 2 după cum valoarea acestuia este maximă sau minimă deci avem un moment de

inerţie principal 1 (notat 1198681) respectiv moment de inerţie principal 2 (notat 1198682)

Expresiile pentru momentele de inerţie principale sunt

11986812 =119868119911 + 119868119910

2plusmn1

2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)

2+ 4 ∙ (119868119911119910)

2 (438)

Dacă momentul de inerţie centrifugal este negativ (119868119911119910 lt 0) direcţia principală

care trece prin primul cadran (definit de sistemul 119911119862119910) este direcţia principală 120783

Pentru suprafeţele cu cel puţin o axă de simetrie direcţiile centrale 119862119911 119862119910 sunt şi

direcții principale de inerţie și evident momentele de inerţie axiale 119868119911 119868119910 sunt momente

de inerţie principale

48 Caracteristici mecanice ale metalelor

Alegerea materialului pentru confecţionarea unei anumite piese se face şi pe baza

aşa numitelor caracteristici mecanice pe care le prezintă materialul Cunoaşterea acestor

caracteristici mecanice are loc numai pe baza unor icircncercări mecanice care să scoată icircn

evidenţă comportarea materialului icircn condiţii de solicitare

Cea mai utilizată icircncercare icircn urma căreia se pun icircn evidenţă caracteristicile

mecanice ale unui material este icircncercarea la tracţiune

481 Icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general

Icircncercarea la tracţiune a oţelului ca de altfel toate icircncercările de materiale este

standardizată

Icircn cele ce urmează se va prezenta numai partea care interesează strict din punct

de vedere al caracteristicilor mecanice ale oţelului

Epruveta de diametru iniţial 1198890 pentru icircncercarea la tracţiune are o porţiune de

lungime 1198710 numită baza de măsurare pe care se măsoară lungirea acesteia sub acţiunea

solicitării

Icircn funcţie de raportul dintre baza de măsurare 1198710 şi diametrul iniţial 1198890 epruvetele

utilizate pentru icircncercări sunt

epruvete normale (scurte) cacircnd 11987101198890 = 5

epruvete lungi cacircnd 11987101198890 = 10

Icircn timpul icircncercării la diferite valori ale forţei 119865 se măsoară lungirea bazei de

măsurare

∆119871 = 120575 = 119871 minus 1198710 (439)

unde

119871 este dimensiunea bazei de măsurare la un moment dat

Curba forţă-lungire (119865 minus ) icircnregistrată icircn urma icircncercării reprezintă curba

caracteristică la tracţiune

La icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general diagrama caracteristică care se

obţine are forma din figura 48

Curba caracteristică la tracţiune depinde de lungimea bazei de măsurare Pentru

icircnlăturarea acestui neajuns curba caracteristică se reprezintă icircn coordonate şi definite

astfel

120590 =119865

1198600 휀 =

120575

1198710 (440)

unde

1198600 este aria iniţială a secţiunii transversale a epruvetei (icircnainte de solicitare) icircn

zona bazei de măsurare

1198600 =120587 ∙ 1198890

2

4

Deoarece mărimile icircn care se reprezintă curba caracteristică la tracţiune sunt

raportate la aria iniţială a secţiunii transversale (mărimi specifice) curba poartă numele

de curbă caracteristică convenţională la tracţiune

Fig 48 Curba caracteristică convenţională la tracțiune

Pe curba caracteristică convenţională la tracţiune figura 48 se pot stabili o serie

de puncte cărora le corespund mai multe mărimi importante

Ordonata punctului A pacircnă unde curba caracteristică convenţională este linie

dreaptă se numeşte limita de proporţionalitate a materialului 120590119901(1205901) Porţiunea 119874119860 este

zona de proporţionalitate a curbei caracteristice pe acest domeniu este valabilă legea lui

Hooke care exprimă o proporţionalitate icircntre tensiune şi deformaţie specifică

120590 = 119864 ∙ 휀 (441)

unde

119864 = reprezintă panta porţiunii liniare a curbei convenționale caracteristice

la tracțiune Caracteristica de material 119864 se numeşte modul de elasticitate longitudinal

(modulul lui Young)

Ordonata punctului 119861 pacircnă unde materialul se comportă perfect elastic adică

după descărcare icircşi recapătă dimensiunea iniţială 1198710 se numeşte limita de elasticitate

120590119890(119877119890) Icircn realitate nici un material nu are comportare perfect elastică sub acţiunea

solicitărilor el capătă deformaţii permanente (remanente plastice)

După punctul 119861 urmează o porţiune 119861119862119863 icircn care cu toate că icircncărcarea

continuă forţa nu mai creşte avacircnd mici oscilaţii icircn jurul unei valori Se spune că icircn

această porţiune materialul curge iar intervalul 119861119862119863 este un palier de curgere Tensiunea

corespunzătoare palierului de curgere se numeşte limită de curgere aparentă 120590119888(119877119888) Limita de curgere aparentă se calculează cu relaţia

120590119888 =1198651198881198600 (442)

unde

119865119888 reprezintă valoarea forţei icircnregistrată icircn momentul curgerii materialului

După punctul 119863 curba caracteristică are un traseu ascendent pacircnă icircn punctul 119864

Porţiunea 119863119864 este numită zonă de icircntărire (ecruisare) Icircn zona de ecruisare unde se

produc deformaţii plastice semnificative legea lui Hooke nu mai este valabilă La

descărcare relaţia dintre tensiunea şi deformaţia specifică este liniară paralelă cu

porţiunea liniară a curbei caracteristice (dreapta 119872119873)

Deformaţia totală (휀119905) are două componente una elastică (휀119890) şi una plastică (휀119901)

Ordonata punctului 119864 reprezintă rezistenţa de rupere 120590119903(119877119898) a materialului

care se poate calcula cu relaţia

120590119903 = 119877119898 =1198651198981198861199091198600

(443)

unde

119865119898119886119909 reprezintă valoarea maximă a forţei icircnregistrată icircn timpul icircncercării

La atingerea valorii 119865119898119886119909 (punctul 119864) icircntr-un anumit loc al epruvetei secţiunea

icircncepe să se micşoreze (se produce gacirctuirea) continuacircnd pacircnă cacircnd se produce ruperea

totală (punctul 119865)

Dacă după ruperea epruvetei cele două părţi rezultate se aşează cap la cap şi se

măsoară dimensiunea bazei de măsurare 119871119906 (lungimea ultimă) se determină alungirea la

rupere sau lungirea specifică la rupere 휀119903

휀119903 =119871119906 minus 11987101198710

=∆119871

1198710=120575

1198710 (444)

De obicei alungirea se exprimă icircn procente şi se notează cu 119860119899 unde 119899 reprezintă

numărul dat de raportul 11987101198890 (epruvete normale 119899 = 5 epruvete lungi 119899 = 10)

119860119899 =119871119906 minus 11987101198710

∙ 100 [] (445)

Altă mărime care se determină la icircncercarea la tracţiune este gacirctuirea la rupere

(exprimată de obicei icircn procente) şi definită de relaţia

119885 =1198600 minus 1198601199061198600

∙ 100 [] (446)

Mărimile determinate limita de proporţionalitate modulul de elasticitate

longitudinal limita de elasticitate limita de curgere aparentă rezistenţa de rupere

alungirea la rupere şi gacirctuirea la rupere sunt cunoscute ca fiind caracteristici mecanice

ale materialului

Din curba caracteristică convenţională observăm faptul că ruperea (punctul 119865 din

figura 48 se produce la o tensiune mai mică decacirct cea corespunzătoare punctului 119864 Dacă

icircnsă forţa din timpul icircncercării s-ar raporta la aria secţiunii din momentul icircnregistrării

forţei (care este mai mică decacirct cea iniţială 1198600) s-ar obţine aşa numita curbă

caracteristică reală a materialului (traseul 1198741198601198611198621198631198651 din figura 48) La curba

caracteristică reală ruperea se produce icircn punctul 1198651 la o icircncărcare mai mare decacirct cea

corespunzătoare punctului 119864 Icircnseamnă că rezistenţa reală la rupere este mai mare decacirct

rezistenţa la rupere dată de punctul 119864 din diagrama caracteristică convenţională

Dificultatea obţinerii diagramei caracteristice reale faţă de cea a diagramei caracteristice

convenţionale şi considerarea unei rezistenţe la rupere mai mică decacirct a celei reale face

icircn practică utilizarea pe scară mare a diagramei caracteristice convenţionale

Caracteristicile mecanice determinate pe baza curbei caracteristice convenţionale

sunt şi ele caracteristici mecanice convenţionale

Caracteristicile mecanice convenţionale limita de proporţionalitate convenţională

120590119901 limita de elasticitate convenţională 120590119890 limita de curgere convenţională 120590119888 şi rezistenţa

de rupere 120590119903 constituie tensiuni limită pentru un material Pe baza acestor caracteristici

de material se alege valoarea tensiunii admisibile 120590119886 (vezi paragraful 35) pentru

calculele de rezistenţă Cea mai utilizată stare limită pentru stabilirea tensiunii admisibile

120590119886 este limita de curgere convenţională 120590119888

120590119886 =120590119897119894119898119888

=120590119888119888 119904119886119906 120590119886 =

120590119903119888 (447)

Caracteristicile mecanice ale materialului sunt influenţate de o serie de factori

temperatura viteza de solicitare factorii tehnologici iar valorile lor sunt date icircn tabele și

diagrame

Aplicaţie Pentru suprafaţa plană compusă din două dreptunghiuri avacircnd

dimensiunile din figura 49a să se calculeze

a) centrul de greutate al secțiunii compuse 119910119866 119911119866

b) momentele de inerție axiale 119868119911 119868119910 și momentul de inerție centrifugal 119868119911119910

c) razele de inerție 119894119911 119894119910

d) modulele de rezistență 119882119911119898119894119899 119882119911119898119886119909 119882119910119898119894119899 119882119910119898119886119909

e) momentele de inerție principale 1198681 1198682 și direcțiile principale de inerție 1205721

f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 119878119911

Fig 49 Aplicație

Rezolvare Pentru rezolvare vom parcurge următoarele etape

icircmpărțim suprafața compusă icircn două suprafețe simple (dreptunghiuri) notate cu

① și respectiv ② figura 49b

poziționăm centrele de greutate a celor două suprafețe simple ① și respectiv ②

notate cu 1198661 și respectiv 1198662 figura 49c

poziționăm sistemele de axe de coordonate 119911111986611199101 pentru dreptunghiul ① și

119911211986621199102 pentru dreptunghiul ② aflate la intersecția diagonalelor figura 49c

poziționăm sistemele de axe de coordonate 11991101198741199100 ales arbitrar față de care

determinăm poziția centrului de greutate 119866 figura 49c

a) calculăm poziția centrului de greutate folosind relațiile (46) icircn care

1198601 = 6119905 ∙ 119905 = 61199052 1198602 = 4119905 ∙ 119905 = 41199052 119860 = 1198601 + 1198602 = 61199052 + 41199052 = 101199052

iar centrele de greutate 1198661 și respectiv 1198662 au coordonatele (față de sistemul 11991101198741199100)

1198661 1199101 = 3119905 1199111 = 05119905

1198662 1199102 = 051199051199112 = 3119905

cu acestea obținem

119910119866 =1198601 ∙ 1199101 + 1198602 ∙ 1199102

119860=61199052 ∙ 3119905 + 41199052 ∙ 05119905

101199052=201199053

101199052= 2119905

119911119866 =1198601 ∙ 1199111 + 1198602 ∙ 1199112

119860=61199052 ∙ 05119905 + 41199052 ∙ 3119905

101199052=151199053

101199052= 15119905

Poziționăm centrul de greutate 119866 al suprafeței compuse figura 49c

Fig 49 Aplicație

b) pentru determinarea momentelor de inerție axiale 119868119911 119868119910 și a momentului de

inerție centrifugal 119868119910119911 determinăm constantele 1198881 1198882 1198891 1198892 care intervin icircn relația lui

Stainer

1198881 = 1199101 minus 119910119866 = 3119905 minus 2119905 = 119905 1198882 = minus(119910119866 minus 1199102) = minus(2119905 minus 05119905) = minus15119905

1198891 = minus(119911119866 minus 1199111) = minus(15119905 minus 05119905) = minus119905 1198892 = 1199112 minus 119911119892 = 3119905 minus 15119905 = 15119905

Folosind relațiile lui Stainer (429) (430) și (431) calculăm momentele de

inerție axiale și centrifugale față de sistemul central 119911119866119866119910119866

119868119911 =sum(119868119911119894 + 1198881198942 ∙ 119860119894) = 1198681199111 + 1198881

2 ∙ 1198601 + 1198681199112 + 11988822 ∙ 1198602

119868119910 =sum(119868119910119894 + 1198891198942 ∙ 119860119894) = 1198681199101 + 1198891

2 ∙ 1198601 + 1198681199102 + 11988922 ∙ 1198602

119868119911119910 =sum(119868119911119894119910119894 + 119888119894 ∙ 119889119894 ∙ 119860119894) = 11986811991111199101 + 1198881 ∙ 1198891 ∙ 1198601 + 11986811991121199102 + 1198882 ∙ 1198892 ∙ 1198602

1198681199111 = (119887 ∙ ℎ3

12) =

119905 ∙ (6119905)3

12= 181199054 1198681199112 = (

119887 ∙ ℎ3

12) =

4119905 ∙ 1199053

12= 031199054

1198681199101 = (1198873 ∙ ℎ

12) =

1199053 ∙ 6119905

12= 051199054 1198681199102 = (

1198873 ∙ ℎ

12) =

(4119905)3 ∙ 119905

12= 531199054

11986811991111199101 = 11986811991121199102 = 0 deoarece cele două triunghiuri au cel puțin o axă de simetrie

Cu acestea momentele de inerție axiale și momentul de inerție centrifugal devin

119868119911 = 181199054 + 1199052 ∙ 61199052 + 031199054 + (minus15119905)2 ∙ 41199052 = 3331199054

119868119910 = 051199054 + (minus119905)2 ∙ 61199052 + 531199054 + (15119905)2 ∙ 41199052 = 2081199054

119868119911119910 = 0 + 119905 ∙ (minus119905) ∙ 61199052 + 0 + (minus15119905) ∙ (15119905) ∙ 41199052 = minus151199054

c) razele de inerție sau de girație față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910

se calculează cu relațiile (411)

119894119911 = radic119868119911119860= radic

3331199054

101199052= 182119905 119894119910 = radic

119868119910

119860= radic

2081199054

101199052= 144119905

d) modulele de rezistență față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910 se

calculează cu relațiile (412) și (413)

Avacircnd icircn vedere figura 419c obținem

119910119898119886119909 = 6119905 minus 119910119866 = 6119905 minus 2119905 = 4119905 119910119898119894119899 = minus119910119866 = minus2119905

119911119898119886119909 = 5119905 minus 119911119866 = 5119905 minus 15119905 = 35119905 119911119898119894119899 = minus119911119866 = minus15119905

Se obține astfel

119882119911119898119894119899 =119868119911

|119910119898119886119909|=3331199054

4119905= 8331199053

119882119911119898119886119909 =119868119911

|119910119898119894119899|=3331199054

2119905= 16651199053

119882119910119898119894119899 =119868119910

|119911119898119886119909|=2081199054

35119905= 5941199053

119882119910119898119886119909 =119868119910

|119911119898119894119899|=2081199054

15119905= 13871199053

e) momentele de inerție principale 1198681 și respectiv 1198682 se calculează cu relațiile

(438)

11986812 =119868119911 + 119868119910

2plusmn1

2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)

2+ 4 ∙ (119868119911119910)

2=

=3331199054 + 2081199054

2plusmn1

2∙ radic(3331199054 minus 2081199054)2 + 4 ∙ (minus151199054)2 = 27051199054 plusmn 16251199054

De unde obținem

1198681 = 27051199054 + 16251199054 = 4331199054

1198682 = 27051199054 minus 16251199054 = 1081199054

Prima direcție principală de inerție 1 face cu axa centrală 119866119911 unghiul 1205721 dat de

relația (437)

1205721 =1

2∙ arctan (minus

2 ∙ 119868119911119910

119868119911 minus 119868119910) =

1

2∙ arctan [minus

2 ∙ (minus151199054)

3331199054 minus 2081199054] =33 70

Deoarece 1205721 gt 0 rotirea axelor se face acircn sens antiorar acelor de ceasornic figura

49d

Poziția axe principale 2 față de care momentul de inerție are valoarea minimă

1198682 = 119868119898119894119899 este dată de unghiul

1205722 = 1205721 + 900 = 33 70 + 900 = 123 70

f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 se determină cu relația

(45)

1198781199111198602 = 1198602 ∙ 1198882 = 41199052 ∙ (minus15119905) = minus61199053

de tronsonul pe a cărei față acționează (are orientarea normalei exterioare la secțiunea

Ad)

119873(119909) = minus119867119860 + 1198651119867 (26)

119879 = forța tăietoare icircntr-o secțiune este egală cu suma algebrică a proiecțiilor

pe o axă perpendiculară pe axa barei a tuturor forțelor exterioare (sarcini și reacțiuni)

aplicate pe porțiunea de bară aflată icircn stacircnga secțiunii considerate Forța tăietoare 119879

este pozitivă dacă tinde să rotească tronsonul pe a cărui față acționează icircn sens orar icircn

raport cu un punct de pe axa barei aflat la dreapta secțiunii

119879(119909) = 119881119860 minus 1198651119881 minus 1198652 (27)

119872119894 = momentul icircncovoietor icircntr-o secțiune este egal cu suma algebrică a

momentelor obținute prin reducerea tuturor forțelor exterioare ( cupluri sarcini

reacțiuni) aplicate pe porțiunea de bară aflată la stacircnga secțiunii icircn centrul secțiunii

considerate 119872119894 este considerat pozitiv dacă tinde să deformeze bara astfel icircncacirct fibrele

spre care privește un observator să fie icircntinse Cum poziția observatorului este de regulă

sub bară bara se deformează dacă 119872119894 gt 0 astfel icircncacirct partea jos a barei este icircntinsă Se

spune că bara deformată rdquoține apaldquo

119872119894(119909) = 119881119860 ∙ 119909 minus 1198651119881 ∙ (119909 minus 1198971) minus 1198652 ∙ [119909 minus (1198971 + 1198972)] + 1198720 (28)

Sensurile pozitive ale eforturilor care apar icircn centrul secțiunii Ad (deci atunci cacircnd

sensul de parcurs la aplicarea metodei secțiunilor este cel de la stacircnga la dreapta) sunt

indicate icircn figura 218a iar dacă sensul de parcurs este de la dreapta la stacircnga sensurile

pozitive ale eforturilor sunt indicate icircn figura 218b

Fig 218 Convenţia de semne

Definiții asemănătoare se pot da și pentru eforturile din centrul secțiunii As figura

218b adică pentru cazul icircn care sensul de parcurs este cel de la dreapta la stacircnga și deci

partea luată icircn considerare este cea din stacircnga iar partea parcursă din dreapta secțiunii

este icircnlăturată

119873(1199091) = 1198653119867

119879(1199091) = 1198653119881 minus 119881119861

119872119894(1199091) = 119881119861 ∙ 1199091 minus 1198653119881 ∙ (1199091 minus 1198975)

(29)

Avacircnd icircn vedere că fețele Ad și As aparțin aceleeași secțiuni este evident faptul că

eforturile 119873(119909) 119879(119909) și 119872119894(119909) sunt identice cu eforturile 119873(119961120783) 119879(119961120783) și respectiv

119872119894(119961120783) Icircn figura 218c se prezintă o sinteză a convențiilor de semne pozitive pentru cele

3 eforturi atacirct pentru sensul de parcurs de la stacircnga la dreapta (secțiunea Ad) cacirct și pentru

sensul invers (secțiunea As)

Semnele eforturilor sunt importante icircntrucacirct există materiale cu comportări diferite

la icircntindere față de compresiune iar o schimbare a semnului unui efort poate produce

erori grave icircn calcule Semnele eforturilor au fost stabilite icircn funcție de deformațiile

produse și nu depind de sensul axelor sistemului de coordonate

26 Relaţii diferenţiale icircntre eforturi şi sarcini

Pentru a vedea ce legătură există icircntre eforturi și sarcini vom considera o bară

dreaptă icircncărcată cu o sarcină distribuită după o lege oarecare figura 219a Din această

bară vom decupa prin dublă secționare un element de lungime infinit mică 119889119909 Deoarece

lungimea 119889119909 este foarte mică se poate considera sarcina 119901 uniform distribuită Icircn

secțiunile rezultate trebuie să introducem eforturile care pot apărea

- 119879 şi 119872119894 icircn centrul secțiunii din sticircnga eforturi pe care le considerăm pozitive

- 119879 + 119889119879 şi 119872119894 + 119889119872119894 icircn centrul secțiunii din dreapta elementului

Aceste eforturi au o variație mică (119889119879 şi 119889119872119894) față de secțiunea anterioară Spre

deosebire de cazul icircn care bara este secționată o singură dată icircn acest caz eforturile nu

pot fi determinate din cele 2 condiții de echilibru independente deoarece icircn ecuațiile de

echilibru apar 4 necunoscute 119879 119889119879119872119894 și 119889119872119894 deci că problema este dublu static

nedeterminată figura 219

Fig 219 Echivalența icircntre eforturi și sarcini

Ecuațiile de echilibru scrise pentru elementul din figura 219b conduc la stabilirea

unor relaţii foarte importante

(sum119865)119910= 0 hArr 119879 minus 119901 ∙ 119889119909 minus (119879 + 119889119879) = 0 rArr

119889119879

119889119909= minus119901 (210)

Relația (210) arată că derivata funcţiei forţei tăietoare icircn raport cu abscisa

secţiunii este egală cu sarcina distribuită normală la axa barei din acea secţiune luată

cu semn schimbat

Observații

dacă 119901 = 0 nu există sarcină distribuită atunci forța tăietoare T este constantă

icircnclinarea pantei diagramei forței 119879 este egală cu (ndash 119901) (sarcina distribuită cu

semn schimbat)

dacă 119901 = 119888119900119899119904119905 119879 variază liniar pe acel interval

Asemănător se deduce că derivata funcţiei forţei axiale icircn raport cu abscisa

secţiunii este egală cu sarcina distribuită axială din acea secţiune luată cu semn

schimbat adică

119889119873

119889119909= minus119901119867 (211)

Din condiția de echilibru suma de momente faţă de centrul de greutate al secţiunii

din dreapta

(sum119872)119862= 0 hArr 119872119894 minus (119872 + 119889119872119894) + 119879 ∙ 119889119909 minus 119901 ∙

(119889119909)2

2= 0 rArr

119889119872119894

119889119909= 119879 (212)

Relația (212) s-a obținut dupa reducerea termenilor și prin neglijarea infinitului

mic de ordinul 2

119901 ∙(119889119909)2

2

Relația (212) arată că derivata funcţiei moment icircncovoietor icircn raport cu abscisa

secţiunii este egală cu forţa tăietoare din acea secţiune

Observații

dacă 119879 = 0 momentul 119872119894 are un punct de extrem se obține o valoare maximă

pentru 119872119894119898119886119909 dacă forța tăietoare 119879 se anulează trecacircnd de la plus icircn stacircnga la minus icircn

dreapta secțiunii

dacă forța tăietoare este pozitivă pe un interval 119879 gt 0 atunci 119872119894 este crescătoare

pe acel interval

dacă forța tăietoare este negativă pe un interval 119879 lt 0 atunci 119872119894 este

descrescătoare pe acel interval

dacă pe un interval 119901 = 0 forța tăietoare este constantă 119879 = 119888119905 iar 119872119894 variază

liniar pe acel interval

dacă 119901 = 119888119900119899119904119905 119879 variază liniar pe acel interval iar 119872119894 variază parabolic pe

acel interval

Relaţiile diferenţiale sunt utile la reprezentarea corectă şi verificarea diagramelor

de eforturi astfel

pentru porţiunile de grindă pe care p = 0 eforturile N şi T sunt constante iar pe

porţiunile cu p = const eforturile N şi T variază liniar (relaţiile 211 şi 210)

dacă pe o porţiune T = const momentul icircncovoietor Miz variază liniar iar dacă

T variază liniar atunci momentul Miz variază parabolic (relaţia 212)

pe domeniile pe care T gt 0 funcţia Mi(x) este crescătoare iar icircn secţiunea icircn

care T = 0 (graficul funcţiei T intersectează axa x) momentul icircncovoietor are un punct

de extrem local (maxim sau minim relaţia 212)

Pentru rezolvarea problemelor referitoare la trasarea diagramelor de eforturi

pentru barele drepte solicitate de sisteme de forţe plane se parcurg următoarele etape

1) identificarea forţelor aplicate (date) şi pregătirea lor pentru calcule

(descompunerea forţelor concentrate pe direcţiile x şi y calculul rezultantelor forţelor

distribuite)

2) identificarea reazemelor şi introducerea reacţiunilor corespunzătoare (vezi

figurile 27divide29)

3) stabilirea ecuaţiilor de echilibru static calculul şi verificarea reacţiunilor Icircn

rezistența materialelor se folosește sistemul de ecuații (vezi figura 217)

(sum119865)

119909= 0

(sum119872)119860= 0

(sum119872)119861= 0

(213)

4) identificarea domeniilor de variaţie şi scrierea funcţiilor de eforturi pentru N T

şi Mi

5) reprezentarea grafică a diagramelor de eforturi

6) verificarea corectitudinii diagramelor pe baza relaţiilor diferenţiale icircntre eforturi

şi sarcini

Aplicație Pentru grinda dreaptă icircncărcată cu sistemul de forţe reprezentat icircn figura

220 se cere

a) să se calculeze şi să se verifice reacţiunile

b) să se stabilească funcţiile eforturilor Nx Ty şi Miz şi să se reprezinte diagramele

de variaţie

c) să se analizeze relaţiile diferenţiale icircntre eforturi şi sarcini

Dimensiunile grinzii au valorile a = 6 [m] b = 4 [m] și c = 4[m] sistemul de

forţe aplicat fiind format din p = 10 [kN mfrasl ] F = 20 [kN] (icircnclinată cu unghiul α =300 faţă de orizontală) şi M0 = 40 [kN ∙ m]

Rezolvare

a) Se fac următoarele precizări

grinda dreaptă se reprezintă prin axa geometrică

forţa icircnclinată F se descompune după direcţiile orizontală şi verticală icircn FV =F ∙ sin α = 10 [kN] şi FH = F ∙ cos α = 173 [kN]

forţa distribuită uniform p este echivalentă din punct de vedere static cu

rezultanta sa R = p ∙ a = 60 [kN] care acţionează la jumătatea porţiunii de lungime a

icircn reazemele 119860 şi 119861 se introduc componentele HA şi VA respectiv VB ale

reacţiunilor

Pentru calculul reacţiunilor se utilizează ecuaţiile de echilibru static al grinzii

sumXi = 0 HA minus FH = 0 sumYi = 0 VA + VB minus R minus FV = 0 (sumM)B = 0 VA ∙ (b + a) minus R ∙ (b + 05 ∙ a) minus M0 + FV ∙ c = 0

(A1)

Din prima ecuaţie se obţine HA iar din cea de-a treia ecuaţie rezultă VA

HA = FH = 173 [kN]

VA =[R ∙ (b + 05 ∙ a) + M0 minus FV ∙ c]

(b + a)=[60 ∙ (4 + 05 ∙ 6) + 40 minus 10 ∙ 4]

(4 + 6)

VA = 42 [kN]

(A2)

Fig 220 Aplicație

Se observă că cea de-a doua ecuaţie de echilibru conţine două necunoscute

reacţiunile VA şi VB Pentru a calcula componenta VB nu este indicată introducerea lui VA

icircn cea de-a doua ecuaţie a sistemului (A1) pentru că o valoare determinată greşit pentru

VA conduce la o valoare VB de asemenea greşită O ecuaţie independentă din care se poate

determina componenta VB este următoarea

(sumM)A= 0 FV ∙ (a + b + c) minus VB ∙ (a + b) minus M0 + R ∙ 05 ∙ a = 0 (A3)

de unde se obţine

VB =[FV ∙ (a + b + c) minusM0 + R ∙ 05 ∙ a]

(b + a)=[10 ∙ (6 + 4 + 4) minus 40 + 60 ∙ 05 ∙ 6]

(6 + 4)

VB = 28 [kN] (A4)

Ecuaţia de proiecţii ale forţelor pe direcţia verticală (a doua ecuaţie din sistemul

A1) se utilizează pentru verificarea reacţiunilor deja determinate

VA + VB minus R minus FV = 0 rArr 42 + 28 minus 60 minus 10 = 0 (A5)

Ultima egalitate demonstrează că reacţiunile verticale au fost calculate corect

Din cele de mai sus rezultă ordinea firească pentru determinarea reacţiunilor icircn

cazul grinzilor simplu rezemate

sumXi = 0

(sumM)A = 0

(sumM)B = 0

(A6)

iar pentru verificarea componentelor verticale VA şi VB se folosește ecuaţia sumY = 0

b) La stabilirea funcţiilor de eforturi se parcurg icircn general etapele următoare

se notează (numeric sau literal după preferinţă) secţiunile care delimitează

domeniile (intervalele sau tronsoanele) pe care eforturile nu-şi modifică funcţiile (au legi

unice de variaţie)

pe fiecare domeniu se marchează secţiunea imaginară icircn care se stabilesc

funcţiile eforturilor

secţiunea astfel aleasă separă icircn două părţi grinda şi anume porţiunea din stacircnga

şi porţiunea din dreapta secţiunii

se va considera parcursă (şi icircndepărtată) acea parte pe care acţionează mai puţine

sarcini exterioare pentru că acestea vor interveni icircn expresiile funcţiilor de eforturi

poziţiile secţiunilor imaginare se vor determina prin variabilele x1 ⋯ xn (unde

n reprezintă numărul domeniilor de variaţie) cu originea fixată icircn capătul intervalului şi

sensul de parcurgere spre partea considerată rămasă

Grinda prezentată icircn figura 220 are trei domenii de variaţie pentru funcţiile de

eforturi după cum urmează (A-1) (2-B) şi (B-1)

Domeniul (A-1) x1 isin [0 a = 6 m] Porţiunea parcursă şi considerată icircndepărtată este cea de coordonată x1 pe care

acţionează reacţiunile HA şi VA precum şi rezultanta parţială a sarcinii distribuite R1 =p ∙ x1

Funcţia forţă axială Nx are expresia

Nx(x1) = NAminus1 = minusHA = minus173 [kN] = const

(A7)

Funcţia forţă tăietoare Ty are exspresia

Ty(x1) = TAminus1 = VA minus R1 = VA minus p ∙ x1 (A8)

care reprezintă o variaţie liniară de variabilă x1 Se calculează valorile forţei tăietoare la

limitele intervalului de variaţie

- pentru x1 = 0 Ty(x1 = 0) = TA = VA = 42 [kN]

- pentru x1 = a = 6 [m] Ty(x1 = 6) = T1 = VA minus p ∙ a = minus18 [kN]

Observaţie Aşa cum a fost stabilită secţiunea fictivă poziţionată prin coordonata

x1 sar părea că rezultanta R ar trebui luată icircn calculul lui Ty(x1) Acest lucru ar fi greşit

pentru că R = p ∙ a reprezintă rezultanta sarcinii distribuite pe toată lungimea a iar

rezultanta pe porţiunea parcursă de lungime x1 este R1 = p ∙ x1 ne R = p ∙ a

Cu valorile obţinute se trasează diagramele forţelor axială Nx = f(x) şi tăietoare

Ty = f(x) figura 220 Din diagrama forţei tăietoare şi din valorile obţinute analitic se

observă că forţa tăietoare icircşi schimbă semnul pe intervalul analizat deci se anulează pe

acest interval Poziţia secţiunii unde Ty se anulează se determină din ecuaţia

Ty(x1) = 0 rArr VA minus p ∙ x1 = 0 (A9)

cu soluţia x1lowast = ξ = 42 [m] Important de reamintit că icircn această secţiune momentul

icircncovoietor va avea un extrem local adică Miz are un extrem la Ty = 0

Funcţia moment icircncovoietor Miz are expresia

Miz(x1) = VA ∙ x1 minus R1 ∙x12= VA ∙ x1 minus (p ∙ x1) ∙

x12

(A10)

Se observă că funcţia moment icircncovoietor de variabilă x1 are o variaţie parabolică

(gradul al II-lea) Pentru reprezentarea grafică a funcţiei parabolice se calculează valorile

momentului icircncovoietor icircn trei secţiuni

- pentru x1 = 0 Miz(x1 = 0) = MA = 0 [kN ∙ m] - pentru x1 = a = 6 [m] Miz(x1 = 6) = M1 = 72 [kN ∙ m] - pentru x1

lowast = ξ = 42 [m] Miz(x1lowast = ξ = 42 [m]) = Mimax = 882 [kN ∙ m]

Cu acestea se trasează diagrama Miz = f(x) pe intervalul (A-1) figura 220

Observaţie Icircn unele cazuri pe un anumit interval forţa tăietoare nu se anulează

şi momentul icircncovoietor nu are un extrem local Icircn acest caz pentru reprezentarea

variaţiei parabolice a momentului icircncovoietor se va studia semnul derivatei a doua a

funcţiei Miz = f(x1) acesta determinacircnd convexitatea curbei momentului icircncovoietor

Domeniul (2-B) x2 isin [0 c = 4 m] Porţiunile din grindă libere (nerezemate) la un capăt se numesc console iar

stabilirea funcţiilor de eforturi devine mai simplă dacă se consideră icircndepărtată partea din

dreapta secţiunii prin schimbarea sensului pozitiv al axei x Astfel se obţin funcţiile eforturilor

Funcţia forţă axială Nx are expresia

Nx(x2) = N2minusB = minusFH = minus173 [kN] = const

(A11)

Funcţia forţă tăietoare Ty are exspresia

Ty(x2) = T2minusB = FV = 10 [kN] = const (A12)

Funcţia moment icircncovoietor Miz are expresia

Miz(x2) = minusFV ∙ x2 rArr Miz(x2 = 0) = M2 = 0 [kN ∙ m]

Miz(x2 = 4) = MB = minus40 [kN ∙ m] (A13)

variaţie liniară (gradul I)

Domeniul (B-1) x3 isin [0 b = 4 m] Pe acest domeniu se acceptă parcurgerea grinzii de la dreapta adică se consideră

icircndepărtată partea din dreapta secţiunii fictive pentru că are doar două sarcini aplicate F

şi VB faţă de partea din stacircnga secţiunii pe care sunt aplicate trei sarcini p VA şi M0

Astfel se obţin funcţiile eforturilor

Funcţia forţă axială Nx are expresia

Nx(x3) = NBminus1 = minusFH = minus173 [kN] = const

(A14)

Funcţia forţă tăietoare Ty are exspresia

Ty(x3) = TBminus1 = FV minus VB = minus18 [kN] = const (A15)

Funcţia moment icircncovoietor Miz are expresia

Miz(x3) = minusFV ∙ (x3 + c) + VB ∙ x3 rArr

rArr Miz(x3 = 0) = MB = minus40 [kN ∙ m]

Miz(x3 = 4) = M1 = 32 [kN ∙ m]

(A16)

variaţie liniară (gradul I)

Diagramele eforturilor sunt prezentate icircn figura 220

c) Relaţiile diferenţiale dintre eforturi şi sarcini se analizează pe diagramele

eforturilor după cum urmează

sarcina distribuită nu are componentă orizontală adică ph = 0 şi icircn

conformitate cu formula (211) rezultă că Nx = const pe toată lungimea grinzii fapt care

a rezultat din funcţia şi reprezentarea diagramei forţei axiale

pe intervalul (A-1) sarcina distribuită are doar componenta verticală pozitivă

pV = p gt 0 prin urmare forţa tăietoare scade (are panta negativă dTy 119889119909frasl = minusp vezi

relaţia 210) iar momentul icircncovoietor avacircnd derivata a doua negativă d2M119894119911 1198891199092frasl =minuspare convexitatea curbei orientată spre sensul pozitiv al axei momentului Miz adică icircn

jos

pe domeniile (2-B) şi (B-1) deoarece pv = 0 forţa tăietoare Ty este constantă

iar momentul icircncovoietor Miz variază liniar

referitor la relaţia (212) pe porţiunile unde Ty gt 0 momentul Miz este

monoton crescător pe porţiunile unde Ty lt 0 momentul Miz este monoton descrescător

iar icircn secţiunea icircn care Ty = 0 momentul icircncovoietor are un extrem local Mξ =

882 [kN ∙ m] icircn diagrama forţei tăietoare discontinuităţile (salturile) se produc icircn secţiunile

unde acţionează VA VB şi FV iar icircn diagrama momentului icircncovoietor se produce un

singur salt icircn secţiunea icircn care este aplicat M0

se poate scrie

Mξ = suprafața diagramei Ty |ξ0=1

2∙ 42 ∙ 42 = 882 [kN ∙ m]

sau parcurgacircnd grinda de la dreapta la stacircnga rezultă

MB = minussuprafața diagramei Ty |c0= minus10 ∙ 4 = minus40 [kN ∙ m]

Toate aspectele analizate teoretic referitoare la relaţiile diferenţiale dintre eforturi

şi sarcini se regăsesc icircn diagramele de eforturi din figura 220 ceea ce icircnseamnă că

diagramele au fost reprezentate corect

3 TENSIUNI DEPLASĂRI ŞI DEFORMAŢII SPECIFICE

31 Tensiuni

Eforturile obținute icircn urma reducerii forțelor interioare icircn centrul de greutate al

secțiunii nu pot da informații asupra solicitării fiecărui punct al secțiunii respective Este

necesar să se cunoască modul cum se distribuie forțele interioare icircn fiecare punct al

secțiunii pentru a ști care este intensitatea maximă a solicitării Această intensitate

maximă se poate compara cu o valoare critică specifică materialului stabilindu-se astfel

dacă solicitarea este periculoasă sau nu

Mărimea care caracterizează solicitarea locală punctuală o vom denumi tensiune

și o vom defini icircn cele ce urmează Să considerăm partea din dreapta a unui corp solicitat

de forțele exterioare 1198651 1198652 și 1198653 obținută prin secționarea corpului și mărginită de fața

din dreapta Ad a secțiunii Pe secțiunea Ad vom considera un element de arie infinit mic

∆119860 caracterizat de normala la elementul de arie normală care are cosinușii directori

120573 și icircn raport cu un sistem de axe considerat fix Pe elementul infinit mic ∆119860 acționează

forțele interioare care au o rezultantă oarecare figura 31

Prin definiție tensiunea totală este

= lim∆119860rarr0

∆

∆119860 (31)

Tensiunea are aceeaşi direcţie cu forţa elementară ∆ iar mărimea ei este

determinată atacirct de mărimea forţei ∆ cacirct şi de orientarea suprafeţei ∆119860 faţă de direcţia

forţei

Tensiunea 119901 poate fi descompusă icircntr-o componentă orientată după direcţia

normalei la secţiune tensiunea normală notată cu 120590119909 şi o componentă icircn planul secţiunii

tensiunea tangenţială notată cu figura 32

= 119909 + 120591 (32)

Fig 31 Tensiunea totală Fig 32 Tensiunea normală și tangențială

La racircndul ei componenta tensiunii cuprinsă icircn planul secțiunii poate fi

descompusă după direcțiile axelor y și z

120591 = 120591119909119910 + 120591119909119911 (33)

Icircntre cele trei componente ale tensiunii totale care acționează pe elementul de arie

∆119860 este valabilă relația

1199012 = 1205901199092 + 120591119909119910

2 + 1205911199091199112 (34)

După sensul pe care icircl are tensiunea normală 120590 poate avea efect de tracţiune sau

de compresiune exercitat de către partea de corp icircnlăturată asupra părţii rămase Analog

tensiunea tangenţială 120591 poate avea efect de tăiere forfecare sau alunecare Pentru

componentele tensiunii tangențiale 120591119909119910 pe direcţia 119910 respectiv 120591119909119911 pe direcţia 119911 primul

indice indică axa pe care tensiunea este normală iar cel de-al doilea indice indică axa cu

care aceasta este paralel

Tensiunea este o mărime tensorială valoarea ei depinzacircnd atacirct de poziția

punctului icircn planul secțiunii cicirct și de orientarea planului de secționare deci de normala

Operaţiile vectoriale nu pot fi aplicate tensiunilor decacirct după ce acestea au fost icircnmulţite

cu ariile respective adică au fost transformate icircn forţe

Icircn literatura de specialitate mai ales icircn manualele mai vechi pentru noţiunea de

tensiune se mai foloseşte şi denumirea de efort specific

Dacă se consideră un alt element de arie ∆119860 cu centrul icircn același punct avacircnd ca

normală axa 119910 se vor obține alte tensiuni și anume

- 120590119910 este tensiunea normală (paralelă cu axa y)

- 120591119911119909 și 120591119910119911 sunt tensiuni tangențiale paralele cu axele 119909 și respectiv 119911 aflate icircn

planul care are ca normală axa 119910

Dacă icircn jurul unui punct dintr-un corp solicitat se consider un element de volum

infinit mic de forma unui cub icircn cazul cel mai general pe fețele sale vor acționa

tensiunile normale 120590119909 120590119910 și 120590119911 și respectiv tensiunile tangențiale 120591119909119910 120591119909119911 120591119910119909 120591119910119911 120591119911119909

și respectiv 120591119911119910 figura 33 Aceste tensiuni definesc starea de tensiune a punctului

observacircnd faptul că tensorul tensiune are 9 componente Dacă se consideră elementul

de volum finit ca fiind foarte mic se poate presupune că icircn interiorul său nu apar forțe

Ca urmare el va fi icircn echilibru sub acțiunea forțelor elementare produse de tensiunile de

pe fețele sale

Din condiția ca elementul să nu se rotească icircn jurul unor axe care trec prin centrul

său și sunt paralele cu axele sistemului 119909119874119910119911 rezultă

2 ∙ 120591119909119910 ∙ (119889119910 ∙ 119889119911) ∙119889119909

2= 2 ∙ 120591119910119909 ∙ (119889119909 ∙ 119889119911) ∙

119889119910

2 rArr 120591119909119910 = 120591119910119909 (35)

2 ∙ 120591119910119911 ∙ (119889119909 ∙ 119889119911) ∙119889119910

2= 2 ∙ 120591119911119910 ∙ (119889119909 ∙ 119889119910) ∙

119889119911

2 rArr 120591119910119911 = 120591119911119910 (36)

2 ∙ 120591119909119911 ∙ (119889119910 ∙ 119889119911) ∙119889119909

2= 2 ∙ 120591119911119909 ∙ (119889119909 ∙ 119889119910) ∙

119889119911

2 rArr 120591119909119911 = 120591119911119909 (37)

Relațiile (35divide37) 120591119909119910 = 120591119910119909 120591119910119911 = 120591119911119910 120591119909119911 = 120591119911119909 exprimă principiul dualității

tensiunilor tangențiale

Fig 33 Tensiunile normale și tangențiale pe fețele unui cub

Din condiția ca elementul considerat să nu se deplaseze icircn lungul axelor de

coordonate pe fețele opuse acționează aceleași tensiuni normale 120590119909 120590119910 și respectiv 120590119911

Definirea tensorului tensiune este posibilă dacă se cunosc cele 6 componente

independente ale acestuia aflate icircn trei plane perpendicular ce trec prin punctul respectiv

=

120590119909 120591119909119910 120591119909119911120591119910119909 120590119910 120591119910119911120591119911119909 120591119911119910 120590119911

Observaţii

Tensiunile se măsoară icircn [119873 1198982frasl ] (1119873 1198982frasl = 1 119875119886) sau icircn [119872119875119886]

(1 119872119875119886 = 106119875119886 = 106 119873

1198982 1 119872119875119886 = 1

119873

1198981198982)

Starea de tensiune dintr-un punct este considerată cunoscută dacă se cunosc

tensiunile 119901 care acționează pe infinitatea de elemente de suprafață ce trec prin punctual

considerat

Starea de tensiune a unui corp se consider cunoscută dacă se cunosc stările de

tensiune de pe infinitatea de puncte ale corpului considerat

32 Deplasări Deformaţii specifice

321 Deplasări

Aceste noțiuni sunt utile icircn analiza aspectului geometric al problemelor de rezistența

materialelor Deplasările care se analizează sunt cele datorate schimbării formei și

dimensiunilor corpurilor ca urmare a acțiunii forțelor exterioare și nu cele cinematice

posibile pentru solidul rigid care se poate deplasa cu anumită viteză și accelerație

Spre exemplu icircn figura 34a și figura 34b sub acțiunea forței 119865 tronsonul de

bară AB se deformează icircn timp ce tronsonul BC deși punctele sale au deplasări rămacircne

nedeformat (fiind nesolicitat) Toate punctele de pe axele barelor cu excepția celor din

icircncastrare (secțiunile A) au deplasări liniare De cele mai multe ori deformațiile barelor

datorate acțiunii forțelor exterioare se anulează la icircndepărtarea forțelor se spune că

deformațiile sunt elastice Secțiunile transversale ale barei din figura 34a se și rotesc icircn

raport cu pozițiile lor inițiale Spre exemplu secțiunea de căpăt cu centrul icircn C se rotește

cu unghiul

Fig 34 Deformațiile unei grinzi

Oricacirct de complexă ar fi delormația unui corp ea poate fi descrisă de lungiri sau

scurtări și de modificări ale unghiurilor inițiale

Deplasările măsoară schimbarea poziției unui punct al corpului și pot fi liniare

sau unghiulare

Prin deplasare liniară a unui punct se icircnțelege drumul parcurs de acest punct icircn

decursul procesului de deformație după o dreaptă suport dreapta 1198611198611 din figura 34a

Prin deplasare unghiulară se icircnțelege rotirea dintre segmentele de dreaptă

determinate de două puncte ale corpului icircnainte și după deformarea acestuia unghiul

pe care-l fac segmentele 119861119862 și 11986111198621 din figura 34a Această rotire se măsoară prin

unghiul pe care-l fac proiecțiile dreptelor ce conțin cele două segmente icircntr-un sistem

triortogonal

Icircn cazul cel mai general vectorul deplasare liniară se poate descompune icircntr-un

sistem triortogonal icircn trei componente 119906 119907 și 119908 figura 35

Fig 35 Deplasarea liniară

Se consideră acum un corp solid raportat la un sistem de axe ortogonal 119909119874119910119911

figura 35 după deformarea corpului un punct oarecare 119870 al acestuia se deplasează icircn

poziţia 1198701 vectorul 1198701198701 poartă numele de vectorul deplasării totale

Deplasarea totală este suma deplasărilor pe cele trei direcţii ortogonale iar

aceste deplasări se notează astfel

deplasarea pe direcţia 119909 cu ∥ 119874119909

deplasarea pe direcţia 119910 cu ∥ 119874119910

deplasarea pe direcţia 119911 cu ∥ 119874119911

Componentele deplasărilor și formeză matricea deplasărilor liniare 119906119907119908

322 Deformații

Prin deformație icircn general se icircnțelege orice schimbare de formă a unui corp fără

o evaluare cantitativă Icircn Rezistența Materialelor deformația măsoară variația

dimensiunilor geometrice ale corpului considerat din vecinătatea unui punct analog

deplasărilor deformațiile pot fi liniare și unghiulare (lunecări)

Fig 36 Deplasarea liniară

Deformația liniară ∆119897 reprezintă variația lungimii 119897 a unui element liniar al

corpului deformat figura 36 Deformația liniară specifică se definește ca fiind raportul

dintre deformația liniară și lungimea inițială

휀 =∆119897

119897 (38)

unde ∆119897 este lungirea sau scurtarea care este echivalentă cu deformția liniară totală iar

este alungirea

Deformația unghiulară sau lunecarea unui punct 119860 icircn planul 119861119860119862 se definește

prin relația figura 37

120574 = lim119861119860rarr0119862119860rarr0

(119861119860 minus 119861111986011198621 ) (39)

Fig 36 Deformația unghiulară

Schimbacircnd orientarea planului care trece prin 119860 se obțin alte deformații

unghiulare Dacă elementele liniare 119861119860 și 119862119860 sunt inițial perpendiculare deformația 120574 se

numește deformație unghiulară specifică sau lunecare specifică figura 37

Un exemplu de deplasare unghiulară și de deformație unghiulară este prezentat icircn

figura 38 Unghiul este deplasarea unghiulară și măsoară rotirea relativă dintre două

secțiuni aflate la distanța 119897 Unghiul este deformația specifică unghiulară (lunecarea

specifică) din punctul 119870 Aceste deplasări și deformații se obțin icircn urma solicitării barei

de către cele două momente 1198720 egale și de sens contrar

Fig 38 Deplasarea unghiulară

Pentru a analiza starea de deformație din vecinătatea unui punct al unui corp

solicitat complex se decupează din jurul punctului un element de volum mic figura 39a

avacircnd laturile 119889119909 119889119910 și 119889119911 Ca urmare a solicitării laturile acestuia se vor lungi sau

scurta Reprezentarea elementului deformat icircn spațiu este dificilă pentru simplificare

vom analiza doar deformațiile din planul 119909119874119910 Observăm că dimensiunile 119889119909 și 119889119910 s-au

modificat cu valoarea ∆119889119909 respectiv cu ∆119889119910 analog se acceptă și pentru 119889119911 o modificare

de forma ∆119889119911 Astfel se pot defini deformațiile specifice liniare

휀119909 =∆119889119909

119889119909 휀119910 =

∆119889119910

119889119910 휀119911 =

∆119889119911

119889119911 (310)

De cele mai multe ori aceste deformații specifice liniare se pot exprima procentual

și se mai numesc alungiri

Fig 39 Starea de deformație

Icircn figura 39c se vede că unghiul inițial drept dintre muchiile 119889119909 și 119889119910 ale

elementului de volum s-a modificat Se definește deformația specifică unghiulară (sau

lunecarea specifică) mărimea cu care se modifică unghiul inițial drept

120574119909119910 = 120574119909119910prime + 120574119910119909

prime = 120574119910119909120574119910119911 = 120574119910119911

prime + 120574119911119910prime = 120574119911119910

120574119911119909 = 120574119911119909prime + 120574119909119911

prime = 120574119909119911

(311)

Deformațiile 휀119909 휀119910 휀119911 120574119909119910 120574119910119911 120574119911119909 constituie cele șase componente

independente ale tensorului deformațiilor specifice care pot fi scrise de forma

119863 =

휀119909 120574119909119910 120574119909119911120574119910119909 휀119910 120574119910119911120574119911119909 120574119911119910 휀119911

(312)

323 Contracţia transversală

Practica arată că odată cu lungirea unei bare apare o micşorare a mărimii secţiunii

transversale mărime numită contracţie transversală figura 310

Fig 310 Contracția transversală

Contracţia transversală este proporţională cu lungirea specifică coeficientul de

proporţionalitate se notează cu 120599 şi se numeşte coeficient de contracţie transversală sau

coeficientul lui Poisson

La o lungire specifică a barei contracţia transversală este dată de relația

휀119905119903 = 휀119910 = 휀119911 = minus120599 ∙ 휀119909 (313)

Semnul minus bdquo-rdquo arată că cele două mărimi sunt contrare dacă una creşte cealaltă

scade şi invers

Considerăm o bară cilindrică de lungime 119897 şi aria secţiunii transversale 119860 solicitată

la icircntindere axială La un moment dat datorită solicitării lungimea barei devine

[119897 ∙ (1 + 휀)] diametrul devine [119889 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)] iar aria secţiunii transversale devine

[119860 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)2] Dacă volumul barei icircnainte de solicitare a fost (119860 ∙ 119897) după solicitare

acesta devine

119881 + ∆119881 = 119860 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)2 ∙ 119897 ∙ (1 + 휀) =

= 119860 ∙ 119897 ∙ (1 + 휀 minus 2 ∙ 120599 ∙ 휀 minus 2 ∙ 120599 ∙ 휀2 + 1205992 ∙ 휀2 + 1205992 ∙ 휀3) (314)

Deoarece lungirile sunt foarte mici ultimii trei termeni din paranteză fiind infinit mici se pot neglija obţinacircnd

119881 + ∆119881 = 119860 ∙ 119897 + 119860 ∙ 119897 ∙ 휀 ∙ (1 minus 2 ∙ 120599) ⟺ ∆119881 = 휀 ∙ (1 minus 2 ∙ 120599) ∙ 119860 ∙ 119897 (315)

Practica arătă că o astfel de bară solicitată la icircntindere icircşi măreşte volumul deci

∆119881 gt 0 de unde rezultă că

1 minus 2 ∙ 120599 gt 0 rArr 120599 lt 05 (316)

Pentru majoritatea materialelor 120599 = 033 iar pentru materialele care-şi păstrează

volumul constant 120599 = 05

33 Relaţii de echivalenţă icircntre eforturi şi tensiuni

Considerăm un element de suprafață infinit mic 119889119860 situat pe fața de arie (119860) a

secțiunii barei din figura 311 Icircn centrul de greutate 119862 al secțiunii acționează eforturile

119873 119879119910 119879119911 119872119909 119872119894119910 și 119872119894119911 determinate prin metoda secțiunilor

Icircn raport cu un sistem de axe de referință 119909119862119910119911 coordonatele elementului 119889119860 sunt

- 119910 este ordonata elementului de arie 119889119860

- 119911 este abscisa elementului de arie 119889119860

Pe elementul de arie 119889119860 acționează tensiunile

120590119909 tensiunea normală

120591119909119910 și 120591119909119911 tensiuni tangențiale

Dacă se icircnsumează forțele elementare de tipul 120590119909 ∙ 119889119860 120591119909119910 ∙ 119889119860 și 120591119909119911 ∙ 119889119860

va trebui să obținem eforturile 119873 119879119910 și 119879119911

Fig 311 Element de suprafață mic din secțiunea unei bare

Dacă eforturile sunt privite ca forțe exterioare și se scriu ecuațiile de

echilibru ale secțiunii (119860) se vor obține șase relații de echivalență icircntre eforturi și

tensiuni

(sum119883) = 0 rArr int 120590119909 ∙ 119889119860

119860

= 119873 (317)

(sum119884) = 0 rArr int 120591119909119910 ∙ 119889119860

119860

= 119879119910 (318)

(sum119885) = 0 rArr int 120591119909119911 ∙ 119889119860

119860

= 119879119911 (319)

(sum119872)119909= 0 rArr int(120591119909119911 ∙ 119889119860) ∙ 119910

119860

minus int(120591119909119910 ∙ 119889119860) ∙ 119911

119860

= 119872119909 rArr

rArr int(119910 ∙ 120591119909119911 minus 119911 ∙ 120591119909119910) ∙ 119889119860

119860

= 119872119909

(320)

(sum119872)119910= 0 rArr int(120590119909 ∙ 119889119860) ∙ 119911

119860

= 119872119894119910 (321)

(sum119872)119911= 0 rArr int(120590119909 ∙ 119889119860) ∙ 119910

119860

= 119872119894119911 (322)

Cele șase relații de echivalență icircntre eforturi și tensiuni constituie un pas icircnainte

icircn rezolvarea unei probleme de rezistența materialelor Aceste relații vor permite

determinarea tensiunilor maxime

Pentru a rezolva cele 6 relații de echivalență trebuie să se cunoască tensiunile și

ca funcții de punct adică funcții de forma

120590119909 = 120590119909(119909 119910 119911) 120591119909119910 = 120591119909119910(119909 119910 119911) 120591119909119911 = 120591119909119911(119909 119910 119911) (32

3)

Cunoașterea acestor funcții presupune icircnsă analizarea aspectului geometric al

problemei precum și utilizarea unor ipoteze simplificatoare care să permită simplificarea

problemelor

34 Ipoteze de bază icircn rezistenţa materialelor

Depășirea dificultăților legate de interpretarea unor fenomene specifice mecanicii

solidului deformabil a impus acceptarea unor ipoteze care să simplifice fenomenele și să

contribuie la elaborarea unor modele de calcul cicirct mai generale și cacirct mai simple Aceste

ipoteze se referă la structura materialelor şi la comportarea lor sub acţiunea forţelor

exterioare Ipotezele acceptate trebuie să fie icircn deplină concordanţă cu realitatea și să

conducă la rezultate verificate icircn practică

Funcție de aspectele la care se referă ipotezele pot fi

Ipoteze fizice (de material)

Ipoteze de calcul

341 Ipoteze fizice

Se acceptă deoarece teoriile structurale au condus la rezultate care contravin

icircncercărilor experimentale

Ipoteza mediului continuu consideră că orice domeniu elementar al corpului

este ocupat de materie adică nu se acceptă existența unor goluri sau a unor crăpături

microscopice (fisuri) Deși nu corespunde realităţii poate fi acceptată deoarece

dimensiunile corpului sunt mult mai mari decacirct dimensiunile particulelor elemantare Are

avantajul că permite utilizarea proprietăților matematice ale funcțiilor continue pentru

tensiunile și deformațiile din orice punct al corpului Ea este mai apropiată de realitate la

corpurile amorfe şi mai depărtată la cele cristaline dar conduce la rezultate satisfăcătoare

icircn calculele de rezistenţă

Ipoteza nu se poate aplica la corpurile care au goluri tăieturi (multiplu conexe)

pentru unele puncte singulare icircn care tensiunile și deformațiile tind la infinit sau icircn unele

probleme de plasticitate icircn care proprietățile de material au un rol esențial

Ipoteza izotropiei conform acestei ipoteze materialul din care este confecționat

un element de rezistență are aceleași proprietăți după orice direcție un astfel de material

este considerat izotrop Din punct de vedere macroscopic metalele pot fi considerate

izotrope deși la nivel microscopic proprietățile lor diferă de la o direcție cristalografică

la alta Orice conglomerat de cristale poate fi considerat izotrop

Există cazuri cacircnd această ipoteză a izotropiei nu se acceptă

la metalele puternic deformate după o direcție (prin laminare trefilare)

la piesele confecționate din lemn lemnul este anizotrop deoarece proprietățile sale

diferă după două direcții (icircn lungul fibrelor și perpendicular pe această direcție)

Ipoteza omogenității consideră că un corp are aceleași proprietăți icircn orice

punct al său Deși majoritatea materialelor utilizate icircn tehnică sunt eterogene la scară

micro fiind constituite din mai multe faze cu proprietăți diferite la scară macro ele pot

fi considerate omogene Omogenitatea și izotropia sunt proprietăți statistice medii care

nu se condiționează una pe cealaltă Chiar și materialele monofazice pot avea la scară

micro unele segregații care le fac eterogene

Ipoteza elasticităţii perfecte presupune că atacircta timp cacirct solicitările nu

depăşesc anumite limite materialul are o comportare elastică adică icircşi recapătă forma şi

dimensiunile iniţiale odată cu icircnlăturarea sarcinilor Icircn realitate materialele nu prezintă o

elasticitate perfectă ele avacircnd deformaţii remanente mici care icircnsă pot fi neglijate icircn

calculele de rezistenţă

Acceptarea acestei ipoteze a elasticității perfecte permite

- aplicarea relației biunivoce icircntre tensiuni și deformații relație exprimată de legea

lui Hooke ( = 119864 ∙ 휀) unde E este un factor de proporţionalitate numit modul de

elasticitate longitudinal al materialului pentru oţel 119864 = 21 ∙ 105 [119872119875119886] - acceptarea valabilității afirmației bdquolucrul mecanic efectuat de forțele exterioare

ca urmare a parcurgerii deplasărilor punctelor de aplicație se icircnmagazinează integral icircn

corp sub formă de energie de deformație energie cedată la icircndepărtarea sarcinilorrdquo

- este valabilă teoria conform căreia bdquoenergia icircnmagazinată și deformațiile depind

doar de starea inițială și finală de eforturi fără a ține cont de modul icircn care s-a ajuns la

starea finalărdquo

Icircn realitate oricacirct de mici ar fi sarcinile aplicate se produc și deformații plastice

dar acestea pot fi neglijate dacă solicitarea nu depășește anumite limite

342 Ipoteze de calcul

Ipoteza micilor deplasări bdquodeplasările datorate deformării sunt mult mai mici

decacirct dimensiunile corpurilor și ca urmare pot fi neglijate produsele dintre o deplasare și

ea icircnsăşirdquo Pentru cele mai multe corpuri deformaţiile elastice sunt de mărimi mici deci

corpurile solide sub acţiunea sarcinilor icircşi modifică foarte puţin forma iniţială Această

ipoteză este cunoscută şi sub denumirea de ipoteza menţinerii dimensiunilor iniţiale Ea

permite scrierea ecuaţiilor de echilibru ale staticii pe starea nedeformată a elementului

cacircnd nu se iau icircn considerare deplasările punctelor de aplicaţie ale forţelor care se produc

ca urmare a deformării acestuia Calculul efectuat pe schema nedeformată poartă numele

de calcul de ordinul I

Ipoteza micilor deplasări nu poate fi acceptată pentru studiul problemelor de

stabilitate sau la problemele la care nu pot fi icircndeplinite condiţiile de echilibru icircn starea

nedeformată

Calculul de ordinul II admite ipoteza micilor deplasări dar ecuaţiile de echilibru

se scriu icircnsă pentru starea deformată a elementului de rezistenţă

Calculul de ordinul III nu mai acceptă ipoteza micilor deplasări el referindu-se

la cazul deformaţiilor mari cacircnd ecuaţiile de echilibru trebuie scrise pentru starea

deformată

Chiar dacă materialul satisface legea lui Hooke icircn urma calculelor de ordinul II

se obţin de obicei relaţii neliniare icircntre sarcini şi deplasări iar pentru calculul de ordinul

III rezultă ecuaţii diferenţiale neliniare

Principiul efectului local al acțiunii sarcinilor enunțat de Barre de Saint-

Venant Acest principiu destul de folosit icircn Rezistenţa Materialelor precizează că dacă

se icircnlocuiesc forţele care acţionează asupra unui element de suprafață al unui corp

elastic printr-un alt sistem de forţe echivalent din punct de vedere static cu primul noua

distribuţie a forţelor produce la locul de aplicare diferenţe semnificative faţă de prima

dar rămacircne fără efect sau cu efect neglijabil la distanţe mari de locul de aplicare al

forţelor figura 312

Ca o cosecință o sarcină uniform distribuită figura 312a poate fi icircnlocuită cu

rezultanta ei figura 312b dacă se analizează efectul sarcinii la distanță mare de locul icircn

care se aplică sarcina

Fig 312 Principiul Saint-Venant

Icircn prima variantă figura 312a forţa 119865 se aplică pe o porțiune oarecare 119897 (sarcină

uniform distribuită) iar icircn a doua figura 312b icircntru-un punct (forţă concentrată) La

locul de aplicare a sarcinii efectul asupra barei este cu totul diferit de la o variantă la

cealaltă Icircnsă la o distanţă mare de punctul de aplicaţie spre exemplu icircn secţiunea situată

la distanţa 119886 de capătul barei sau chiar icircn icircncastrare ambele bare sunt solicitate la fel

Icircn cazul din figura 312a

119872119894(119909) =119901 ∙ 1199092

2 119909 le 119897 119872119894(119909) = 119901 ∙ 119897 ∙ (119909 minus

119897

2) 119909 gt 119897 (324)

Icircn cazul din figura 312b

119872119894(119909) = 0 119909 lt119897

2 119872119894(119909) = 119901 ∙ 119897 ∙ (119909 minus

119897

2) 119909 gt

119897

2 (325)

Se vede că pentru (119909 gt 119897) adică după depășirea locului icircn care se aplică sarcina

efectul este același

Ipoteza lui Bernoulli sau ipoteza secţiunilor plane precizează că o secţiune

plană şi normală pe axa barei icircnainte de deformare rămacircne plană şi normală pe axa

barei şi după deformare figura 313

Fig 313 Ipoteza lui Bernoulli

Ipoteza stării naturale a corpului sau ipoteza absenţei tensiunilor conform

căreia pentru un corp nesolicitat starea de tensiune şi deformaţie este nulă

Perfecţionarea mijloacelor de calcul şi de investigare pot conduce la renunţarea la

unele ipoteze sau la introducerea altora noi mai aproape de stările reale De aici rezultă

caracterul de continuă perfecţionare a metodelor Rezistenţei Materialelor

35 Coeficienţi de siguranţă Tensiuni admisibile

O piesă corespunde din punct de vedere tehnic dacă tensiunile care iau naştere icircn

interiorul piesei datorită sarcinilor aplicate nu depăşesc anumite valori limită stabilite

convenţional Aceste valori limită ale tensiunii sunt corelate cu caracteristicile mecanice

ale materialelor

Tensiunea limită utilizată icircn calculele de rezistenţă este cunoscută sub denumirea

de tensiune admisibilă sau rezistenţă admisibilă Rezistenţa admisibilă reprezintă

valoarea convenţională aleasă icircn calcul pe baza practicii pentru tensiunea maximă care

poate apare icircntr-o piesă icircn condiţii date de material şi solicitare

Rezistenţa admisibilă (120590119886 sau 120591119886) poate fi definită faţă de o stare limită

periculoasă stare care trebuie evitată deoarece poate conduce distrugere

120590119886 =120590119897119894119898119888

(326)

unde

120590119897119894119898 este tensiunea corespunzătoare stării limită periculoase

119888 estesupraunitar 119888 gt 1 și reprezintă coeficientul de siguranţă faţă de starea limită

periculoasă considerată

Alegerea unor valori inferioare pentru rezistenţa admisibilă faţă de tensiunea

corespunzătoare stării limită periculoase este necesară deoarece

cunoaşterea sarcinilor este de cele mai multe ori aproximativă şi o depăşire a

acestora este foarte posibilă

caracteristicile mecanice ale materialelor variază icircn limite destul de mari ele

fiind influenţate de mulţi factori

schema aleasă pentru calcul (aplicarea sarcinilor schematizarea structurii

ipotezele de calcul etc) depărtează modelul faţă de cel real

Pentru calculele de verificare tensiunea efectivă maximă din elementul de

rezistenţă trebuie să fie mai mică sau cel mult egală cu cea admisibilă

120590119890119891119898119886119909 le 120590119886 (327)

Valoarea rezistenţei admisibile este influenţată de foarte mulţi factori natura

materialului tratamentele termice aplicate piesei durata de funcţionare a piesei modul

de acţionare icircn timp a sarcinilor felul solicitării temperatura gradul de periculozitate

icircn cazul cedării piesei etc

De asemenea valoarea coeficientului de siguranţă se alege icircn principal ţinacircnd

seama de aceiaşi factori care influenţează şi rezistenţa admisibilă

Rezistenţele admisibile pentru cacircteva materiale sunt următoarele

pentru oțelul de uz general OL37 solicitat la icircntindere compresiune sau

icircncovoiere 120590119886 = 150 [119872119875119886] pentru lemnul de brad solicitat la

- compresiune icircn lungul fibrelor şi solicitat la icircncovoiere 120590119886 = 10 [119872119875119886] - tracţiune icircn lungul fibrelor 120590119886 = 7 [119872119875119886] - compresiune perpendiculară pe fibre 120590119886 = 15 [119872119875119886] - forfecare icircn lungul fibrelor 120591119886 = 2 [119872119875119886] - forfecare perpendiculară pe fibre 120590119886 = 45 [119872119875119886]

terenuri de fundaţie din pămacircnt uscat sau umed 120590119886 = 020 divide 025 [119872119875119886]

4 CARACTERISTICI GEOMETRICE ALE SECȚIUNILOR PLANE

41 Noţiuni introductive

Icircn relaţiile de calcul ale tensiunilor şi deformaţiilor elementelor de rezistenţă

pentru unele solicitări (icircncovoierea și torsiunea) secțiunile plane intervin atacirct prin

dimensiunile lor (aria 119860) cicirct și prin forma și poziția pe care o are secțiunea icircn raport cu

planul solicitării Mărimile care caracterizează o secțiune icircn raport cu forma și poziția față

de axele unui sistem de referință sunt denumite caracteristici geometrice de ordin

superior Aria secțiunii este caracteristica geometrică ce depinde doar de dimensiunile

geometrice ale acesteia

Să considerăm o grindă solicitată de o forță exterioară 119865 aşezată icircn două poziții icircn

raport cu planul forţei figura 41 Icircn urma aplicării forței deși avem aceeași grindă

(aceeași arie a secțiunii transversale) și aceeași forță se constată că pentru varianta din

figura 41a deformațiile sunt mult mai mari adică rezistența la icircncovoiere a grinzii din

figura 41a este mai mare decacirct icircn cazul grinzii din figura 41b Comportarea diferită se

explică prin aceea că modificarea poziţiei secţiunii transversale faţă de planul forţelor

modifică caracteristicile geometrice ale secţiunii transversale a grinzii

Fig 41 Grindă solicitată de forța 119865

Pentru realizarea calculelor de rezistenţă şi rigiditate este foarte importantă

cunoaşterea caracteristicilor geometrice ale suprafeţei secţiunii transversale a elementelor

de rezistenţă

Caracteristicile geometrice ale secţiunii transversale a unui element de rezistenţă

sunt

- aria secțiunii notată cu 119860

- momentul static icircn raport cu o axă notat 119878119911 și respectiv 119878119910

- momentul de inerție care poate fi

axial notat 119868119911 și respectiv 119868119910

centrifugal notat 119868119911119910

polar notat 119868119901

- raza de inerţie (giraţie)notată 119894119911 și respectiv 119894119910

- modulul de rezistență care poate fi

axial notat 119882119911 și respectiv 119882119910

polar notat 119882119901

42 Aria și momentul static al suprafețelor plane

Fie o suprafaţă plană de arie 119860 pe care se ia un element infinit mic de arie 119889119860 şi

un sistem de axe rectangulare 119911119874119910 figura 42 Notăm cu 119862 centrul de greutate al suprafeţei

119860 Poziţia suprafeţei elementare 119889119860 faţă de acelaşi sistem de coordonate 119911119874119910 este dată

de abscisa 119911 ordonata 119910 și raza polară

Fig 42 Suprafață plană de arie 119860

Aria suprafeţei 119860 figura 42 se defineşte ca fiind

119860 ≝ int 119889119860

119860

(41)

Aria suprafeţei este icircntotdeauna pozitivă și se măsoară icircn [1198981198982] Momentul static al suprafeţei de arie 119860 icircn raport cu axele 119874119911 și respectiv 119874119910

figura 42 sunt date de relaţiile

119878119911 ≝ int 119910 ∙ 119889119860

119860

119878119910 ≝ int 119911 ∙ 119889119860

119860

(42)

Momentul static poate fi pozitiv negativ sau nul şi se măsoară icircn [1198981198983] Coordonatele centrului de greutate ale suprafeței 119860 se detrmină cu relațiile

119910119862 ≝int 119910 ∙ 119889119860119860

119860 119911119862 ≝

int 119911 ∙ 119889119860119860

119860

(43)

Cunoscacircnd coordonatele 119910119862 și 119911119862 ale centrului de greutate 119862 al secțiunii 119860 atunci

momentele statice se pot determina cu relațiile

119878119911 ≝ int 119910 ∙ 119889119860

119860

= 119910119862 ∙ 119889119860 119878119910 ≝ int 119911 ∙ 119889119860

119860

= 119911119862 ∙ 119889119860 (44)

Aceste relații arată că momentul static al unei suprafețe icircn raport cu o axă este

egal cu produsul dintre aria suprafeței și distanța de la centrul ariei la axa respectivă

Dacă suprafaţa se poate descompune icircn 119899 suprafeţe simple la care se cunosc ariile

(1198601 1198602 ⋯ 119860119894⋯ 119860119899) și poziţiile centrelor de greutate 119862119894 faţă de sistemul de referinţă

expresiile momentelor statice capătă următoarea formă

119878119911 = sum 119910119862119894 ∙ 119860119894119899119894=1 = 119910119862 ∙ 119860 119878119910 = sum 119911119862119894 ∙ 119860119894

119899119894=1 = 119911119862 ∙ 119860 (45)

Din relaţiile (45) rezultă că poziţia centrului de greutate 119862 al unei suprafeţe

compuse poate fi determinată cu relaţiile

119910119862 = (sum119910119862119894 ∙ 119860119894

119899

119894=1

) 119860frasl 119911119862 = (sum119911119862119894 ∙ 119860119894

119899

119894=1

) 119860frasl (46)

Icircn relația (45) 119910119862119894 și respectiv 119911119862119894 reprezintă coordonatele centrelor de greutate 119862119894

ale fiecărei suprafețe simple 119860119894 icircn raport sistemul de axe 119911119874119910

Se constată (relaţia 42) că dacă axele sistemului de referinţă trec prin centrul de

greutate (119910119862 = 119911119862 = 0) momentele statice sunt nule Axele icircn raport cu care momentele

statice sunt nule şi care trec prin centrul de greutate al suprafeţei se numesc axe centrale

Observație dacă secțiunea compusă are o axă de simetrie centrul secțiunii se

găsește pe acea axă iar dacă secțiunea este dublu simetrică poziția centrului secțiunii este

la intersecția axelor de simetrie

43 Momente de inerţie

Momentele de inerţie axiale ale unei suprafețe se calculează icircn raport cu axele de

coordonate 119874119911 și respectiv 119874119910 figura 42 și se determină cu relațiile

119868119911 ≝ int 1199102 ∙ 119889119860

119860

119868119910 ≝ int 1199112 ∙ 119889119860

119860

(47)

Unde 119910 și 119911 sunt distanțele de la elementul de arie 119889119860 la cele două axe de

coordonate 119874119911 și respectiv 119874119910

Momentele de inerţie axiale se măsoară icircn [1198981198984] şi sunt icircntotdeauna pozitive (aria

119889119860 este icircntotdeauna pozitivă și este multiplicată cu patratul distanței 1199102 dacă 119868119911 sau 119868119910

sunt nule icircnseamnă ca secțiunea nu există)

Momentele de inerție axiale se calculează icircndeosebi pentru axele centrale (care

trec prin centrul secțiunii) deoarece icircn raport cu acele axe 119868119911 și 119868119910 au valori minime

Momentul de inerţie centrifugal calculat faţă ambele axe ale sistemului de

referinţă 119911119874119910 este definit de relația

119868119911119910 ≝ int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860

(48)

Momentul de inerţie centrifugal se măsoară icircn [1198981198984] şi poate fi pozitiv negativ

sau nul

Momentul de ineție centrifugal este nul 119868119911119910 = 0 dacă cel puțin una din axele 119874119911

sau 119874119910 este axă de simetrie pentru secțiune

Se consideră o suprafaţă dreptunghiulară pe care faţă de axa de simetrie 119874119910 se iau

două suprafeţe elementare de arie 119889119860 simetrice faţă de axa 119874119910 figura 43

Fig 43 Suprafață dreptunghiulară cu două arii elementare 119889119860

Făcacircnd suma momentelor de inerţie centrifugale pentru cele două suprafeţe

elementare 119889119860 (din stacircnga şi din dreapta faţă de axa 119874119910) se obţine

int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860119889119903

+ int (minus119911) ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860119904119905119892

= int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860119889119903

minus int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860119904119905119892

= 0 (49)

Acelaşi raţionament se poate face și pentru icircntreaga suprafaţă de unde obținem că

momentul de inerție centrifugal este nul 119868119911119910 = 0 Deci pentru o suprafaţă plană care

are cel puţin o axă de simetrie momentul de inerţie centrifugal faţă de sistemul care

conţine acea axă de simetrie este nul

Momentul de inerţie polar al unei suprafeţei icircn raport cu un punct (pol) 119874 figura

42 este definit prin relaţia

1198680 = 119868119901 ≝ int 1205882 ∙ 119889119860

119860

= int(1199102 + 1199112) ∙ 119889119860

119860

= 119868119911 + 119868119910 (410)

unde este distanţa de la polul 119874 la elementul de arie 119889119860 Momentul de inerţie polar se

măsoară icircn [1198981198984] şi este totdeauna pozitiv

Momentul de inerţie polar este egal cu suma momentelor de inerţie faţă de două axe

perpendiculare oarecare şi care trec prin polul considerat

Razele de giraţie sau razele de inerţie sunt mărimi calculate icircn raport cu axele

secțiunii și definite de relaţiile

119894119911 ≝ radic119868119911119860 119894119910 = radic

119868119910

119860 (411)

Se exprimă icircn [119898119898] şi sunt icircntotdeauna pozitive Semnificația unei raze de inerție

este distanța la care dacă ar fi concentrată icircntreaga arie s-ar obține același moment de

inerție ca și cel calculat pentru aria reală

44 Modulul de rezistenţă

Modulul de rezistență se calculează icircn raport cu axele de referință sau icircn raport cu

un pol figura 42 și pot fi axiale (119882119911119882119910) sau polar (119882119901) și se determină numai pe baza

momentelor de inerţie cu relațiile figura 43

119882119911119898119894119899 ≝119868119911119910119898119886119909

119882119911119898119886119909 ≝119868119911119910119898119894119899

(412)

119882119910119898119894119899 ≝119868119910

119911119898119886119909 119882119910119898119886119909 ≝

119868119910

119911119898119894119899 (413)

119882119901 ≝119868119901

120588119898119886119909 (414)

unde

119910119898119886119909 119910119898119894119899 reprezintă distanţa de la axa 119874119911 la punctele extreme cele mai

depărtate respectiv cele mai apropiate ale suprafeţei de această axă

119911119898119886119909 119911119898119894119899 reprezintă distanţa de la axa 119874119910 la punctele extreme cele mai

depărtate respectiv cele mai apropiate ale suprafeţei de această axă

120588119898119886119909 reprezintă distanța maximă de la polul 119874 la punctul secțiunii cel mai

icircndepărtat de acesta

Fig 43 Suprafață dreptunghiulară cu două arii elementare 119889119860

Modulele de rezistenţă se exprimă icircn [1198981198983] şi sunt icircntotdeauna pozitive

Explicația este aceea că momentele de inerție care intră icircn relațiile de definiție sunt

pozitive iar distanțele la punctele extreme sunt pozitive (119910119898119886119909 119910119898119894119899 119911119898119886119909 119911119898119894119899 120588119898119886119909 se

iau icircn valoare absolută)

Icircn cazul suprafeţelor compuse modulul de rezistenţă nu se obţine prin icircnsumarea

algebrică a modulelor de rezistenţă ale suprafeţelor simple componente ci numai prin

intermediul momentului de inerţie axial calculat pentru icircntreaga secțiune

Ca și momentele de inerție modulele de rezistență se calculează numai pentru

sistemele de axe centrale

45 Momente de inerţie şi module de rezistenţă pentru suprafeţe simple

451 Secțiune dreptunghiulară

Fie suprafaţa dreptunghiulară din figura 44 de icircnălțime ℎ și lățime 119887 pe care se

consideră suprafaţă elementară de arie 119889119860 = 119887119889119910 la distanța 119910 de axa 119862119911 sistemul de

axe 119911119862119910 trece prin centrul secțiunii iar axele sunt axe de simetrie pentru dreptunghi

Fig 44 Suprafață dreptunghiulară

Pe baza relațiilor de definiți a momentului de inerție 119868119911 se obține

119868119911 ≝ int 1199102 ∙ 119889119860

119860

= int 1199102 ∙ 119887 ∙ 119889119910 = 2int 1199102 ∙ 119887 ∙ 119889119910 = 2 ∙ 119887 ∙1199103

3|ℎ 2frasl

0rArr

ℎ 2frasl

0

ℎ 2frasl

minusℎ 2frasl

rArr 119868119911 =119887 ∙ ℎ3

12

(415)

Analog pentru un element de arie 119889119860 = ℎ ∙ 119889119911 paralel cu axa 119862119910 situat la distanța

119911 de axa 119862119910

119868119910 ≝ int 1199112 ∙ 119889119860

119860

= int 1199112 ∙ ℎ ∙ 119889119911 = 2int 1199112 ∙ ℎ ∙ 119889119910 = 2 ∙ ℎ ∙1199113

3|119887 2frasl

0rArr

119887 2frasl

0

119887 2frasl

minus119887 2frasl

rArr 119868119910 =1198873 ∙ ℎ

12

(416)

Deoarece axele 119862119911 și 119862119910 sunt axe de simetrie momentul de inerție centrifugal este

119868119911119910 = 0 (417)

Pentru un pătrat avacircnd laturile egale (ℎ = 119887 = 119886) momentele de inerţie faţă de

axele centrale au expresia

119868119911 = 119868119910 =1198864

12 (418)

Modulele de rezistență axiale se calculează cu relațiile de definiție ținacircnd cont că

distanțele pacircnă la fibrele extreme sunt

119910119898119886119909 = 119910119898119894119899 =ℎ

2 119911119898119886119909 = 119911119898119894119899 =

119887

2 (419)

Obținem

119882119911119898119894119899 = 119882119911119898119886119909 =119868119911

119910119898119886119909119898119894119899=119887 ∙ ℎ3

12frasl

ℎ2frasl

=119887 ∙ ℎ2

6

119882119910119898119894119899 = 119882119910119898119886119909 =119868119910

119911119898119886119909119898119894119899=1198873 ∙ ℎ

12frasl

1198872frasl

=1198872 ∙ ℎ

6

(420)

452 Suprafaţă circulară

Din motive de simetrie pentru suprafeţele circulare momentele de inerţie faţă de

orice diametru (care reprezintă şi axe centrale) sunt aceleaşi

Considerăm o secțiune circulară plină cu diametrul 119889 și centrul de greutate 119862 Prin

centrul de greutate 119862 trece sistemul de axe ortogonal 119911119862119910 figura 45

Fig 45 Suprafață circulară

La distanța de centrul de greutate 119862 vom lua un element de suprafață mic de arie

(119889119860) de forma unui inel de grosime 119889 Elementul de arie 119889119860 are expresia

119889119860 = (2 ∙ 120587 ∙ 120588) ∙ (119889120588)

Pornind de la relația de definiție a momentului de inerție polar obținem

119868119901 ≝ int 1205882 ∙ 119889119860

119860

= int 1205882 ∙ (2 ∙ 120587 ∙ 120588) ∙ 119889120588

119903=119889 2frasl

0

= 2 ∙ 120587 ∙1205884

4|119889 2frasl0 rArr

rArr 119868119901 =120587 ∙ 1198894

32

(421)

Secțiunea este perfect simetrică deci sunt valabile relațiile

119868119911 = 119868119910 rArr 119868119901 = 119868119911 + 119868119910 = 2 ∙ 119868119911 = 2 ∙ 119868119910 =119868119901

2=120587 ∙ 1198894

64 (422)

Și modulele de rezistenţă faţă de orice diametru sunt egale şi se calculează cu

relaţiile

119882119911 = 119882119910 =1198681199111198892frasl=120587 ∙ 1198893

32 (423)

Modulul de rezistenţă polar este

119882119901 =1198681199011198892frasl=120587 ∙ 1198893

16 (424)

453 Secţiune inelară

Calculul momentelor de inerţie axiale pentru o secţiune inelară avacircnd diametrul

interior 119889 şi diametrul exterior 119863 se determină analog pentru suprafaţa circulară plină cu

observaţia că integrala pentru calculul momentului de inerție polar 119868119901 se face icircntre

limitele 119903 = 119889 2frasl şi R= 1198632frasl (icircntre raza interioară 119903 şi raza exterioară 119877) figura 46

Se obţin relaţiile

119868119901 =120587 ∙ 1198634

32∙ [1 minus (

119889

119863)4

] =120587 ∙ 1198634

32∙ (1 minus 1198964) (425)

119868119910 = 119868119910 =120587 ∙ 1198634

64∙ [1 minus (

119889

119863)4

] =120587 ∙ 1198633

64∙ (1 minus 1198964) (426)

Fig 46 Secțiune inelară

119882119901 =120587 ∙ 1198633

16∙ [1 minus (

119889

119863)4

] =120587 ∙ 1198633

16∙ (1 minus 1198964) (427)

119882119911 = 119882119910 =120587 ∙ 1198633

32∙ [1 minus (

119889

119863)4

] =120587 ∙ 1198633

32∙ (1 minus 1198964) (428)

unde 119896 = 119889119863frasl

46 Variaţia momentelor de inerţie faţă de axe paralele

( Relațiile lui STEINER)

Se consideră o suprafaţă oarecare de arie 119860 cu elementul de arie 119889119860 și un sistemul

de axe central 119911119862119910 faţă de care se cunosc momentele de inerţie 119868119911 119868119910 119868119911119910 şi considerăm

un sistem de axe 11991111198741199101 paralele cu sistemul central figura 47 Se pune problema

determinării momentele de inerţie 1198681199111 1198681199101 11986811991111199101 faţă de sistemul de axe paralel cu sistemul

central 11991111198741199101 axe aflate la distanţele 119910119862 = 119888 respectiv 119911119862 = 119889 de acesta

461 Momente de inerţie axiale

Pe baza relaţiilor de definire şi a notaţiilor din figura 42 pentru momentele de

inerţie faţă de axele 1198741199111 1198741199101 se poate scrie

1198681199111 = int 11991012 ∙ 119889119860

119860

= int(119910 + 119888)2 ∙ 119889119860

119860

= int 1199102 ∙ 119889119860

119860

+ 2 ∙ 119888 ∙ int 119910 ∙ 119889119860

119860

+

+1198882int 119889119860

119860

rArr 1198681199111 = 119868119911 + 2 ∙ 119888 ∙ 119878119911 + 1198882 ∙ 119860 hArr 1198681199111 = 119868119911 + 119888

2 ∙ 119860

(429)

Fig 47 Variaţia momentelor de inerţie față de axe paralele

S-a ajuns la relația (429) deoarece momentul static 119878119911 este nul deoarece axa 119862119885

este axă centrală

Pentru momentul de inerție axial icircn raport cu axa 1198741199101 se obține

1198681199101 = int 11991112 ∙ 119889119860

119860

= int(119911 + 119889)2 ∙ 119889119860

119860

= int 1199112 ∙ 119889119860

119860

+ 2 ∙ 119889 ∙ int 119911 ∙ 119889119860

119860

+

+1198892 ∙ int 119889119860

119860

rArr 1198681199101 = 119868119910 + 2 ∙ 119889 ∙ 119878119910 + 1198892 ∙ 119860 hArr 1198681199101 = 119868119910 + 119889

2 ∙ 119860

(430)

Pentru momentul de inerție centrifugal obținem

11986811991111199101 = int 1199101 ∙ 1199111 ∙ 119889119860

119860

= int(119910 + 119888) ∙ (119911 + 119889) ∙ 119889119860

119860

= int 119910 ∙ 119911 ∙ 119889119860 +

119860

+119888 ∙ int 119911 ∙ 119889119860

119860

+ 119889 ∙ int 119910 ∙ 119889119860

119860

rArr 11986811991111199101 = 119868119911119910 + 119888 ∙ 119889 ∙ 119860

(431)

Deoarece

int 119911 ∙ 119889119860

119860

= 119878119910 = 0 int 119910 ∙ 119889119860

119860

= 119878119911 = 0 int 119910 ∙ 119911 ∙ 119889119860

119860

= 119868119911119910

Relaţiile (429) şi (430) arată că momentul de inerţie faţă de o axă oarecare

este egal cu momentul de inerţie faţă de o axă paralelă cu ea trecacircnd prin centrul de

greutate la care se adaugă produsul dintre aria suprafeţei şi pătratul distanţei dintre

cele două axe

Din relaţiile (429) și (430) rezultă de asemenea că momentul de inerţie faţă de o

axă centrală (care trece prin centrul de greutate) este cel mai mic dintre infinitatea de

momente de inerţie obținute faţă de alte axe paralele cu ea

Relaţia (431) arată de asemenea că momentul de inerţie centrifugal faţă de un

sistem de axe oarecare este egal cu momentul de inerţie centrifugal faţă de un sistem

paralele cu el trecacircnd prin centrul de greutate a suprafeţei la care se adaugă produsul

dintre aria suprafeţei şi distanţele dintre axele sistemelor respective

Icircn literatura de specialitate relaţiile (429) (430) şi (431) sunt cunoscute sub

numele de relaţiile lui Steiner

47 Variaţia momentrlor de inerţie faţă de axe rotite

Direcţii principale şi momente de inerţie principale

Fie suprafaţa plană din figura 48 de arie 119860 pe care considerăm o suprafaţă

elementară de arie 119889119860 Pentru sistemul de axe 119911119874119910 se cunosc momentele de inerţie

119868119911 119868119910 119868119911119910 şi vom determina relaţiile de calcul pentru momentele de inerţie afererent unui

sistem de axe 11991111198741199101 rotit cu un unghi faţă de sistemul central

Faţă de sistemul de axe 11991111198741199101 elementul de arie 119889119860 are coordonatele

1199101 = 119875119877 = 119875119876 minus 119877119876 = 119910 ∙ cos 120572 minus 119911 ∙ sin 120572

1199111 = 119873119872 = 119873119875 minus 119875119872 = 119911 ∙ cos 120572 + 119910 ∙ sin 120572 (432)

Fig 47 Variaţia momentelor de inerţie față de axe rotite

Pe baza relaţiilor de calcul ale momentelor de inerţie şi a notaţiilor din figura 42

şi ale relaţiilor (432) momentele de inerţie faţă de sistemul de axe rotit 11991111198741199101 sunt

1198681199111 =119868119911 + 119868119910

2+119868119911 minus 119868119910

2∙ cos 2120572 minus 119868119911119910 ∙ sin 2120572 (433)

1198681199101 =119868119911 + 119868119910

2minus119868119911 minus 119868119910

2∙ cos 2120572 + 119868119911119910 ∙ sin 2120572 (434)

11986811991111199101 =119868119911 minus 119868119910

2∙ sin 2120572 + 119868119911119910 ∙ cos 2120572 (435)

Din relaţiile 433divide435 se observă că icircntre momentele de inerţie axiale şi cele

polare există relaţia

1198681199111 + 1198681199101 = 119868119911 + 119868119910 = 119868119901 (436)

adică suma momentelor de inerţie axiale icircn raport cu orice pereche de axe ortogonale

care trec printr-un pol dat este o constantă şi egală cu momentul de inerţie polar

Prin rotirea sistemului de axe din relaţiile 433divide435 rezultă că momentele de inerţie

variază icircnsă suma lor rămacircne constantă deci există o poziţie a sistemului de axe pentru

care momentele de inerţie au valori extreme maxim respectiv minim

471 Direcţii principale de inerţie

Valoarea unghiului 120572 pentru care momentele de inerţie axiale au valori extreme

este

1205721 =1

2∙ 119886119903119888119905119886119899 (minus

2 ∙ 119868119911119910

119868119911 minus 119868119910) (437)

Poziţia celeilalte direcţii este perpendiculară pe cea dată de unghiul 1205721

Din relaţia (437) se constată că faţă de aceste direcţii rotite pentru care momentele

de inerţie axiale prezintă valori extreme momentul de inerţie centrifugal 11986811991111199101este nul

Atunci se poate afirma că momentele de inerţie axiale au valori extreme icircn raport cu

direcţiile faţă de care momentul de inerţie centrifugal este nul Aceste direcţii se numesc

direcţii principale iar momentele de inerţie faţă de aceste direcţii poartă numele de

momente de inerţie principale

Icircn calculele de rezistenţă interesează icircn mod special poziţia direcţiilor principale

care trec prin centrul de greutate al suprafeţei aşa numitele direcţii principale centrale şi

evident momentele de inerţie principale centrale

Direcţiile principale de inerţie se notează cu 1 respectiv 2 Axa principală 1

corespunde direcţiei faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea maximă iar

axa principală 2 pentru direcţia faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea

minimă

472 Momente de inerţie principale

Momentele de inerţie principale se notează cu litera 119868 la care se pune indicele 1

sau 2 după cum valoarea acestuia este maximă sau minimă deci avem un moment de

inerţie principal 1 (notat 1198681) respectiv moment de inerţie principal 2 (notat 1198682)

Expresiile pentru momentele de inerţie principale sunt

11986812 =119868119911 + 119868119910

2plusmn1

2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)

2+ 4 ∙ (119868119911119910)

2 (438)

Dacă momentul de inerţie centrifugal este negativ (119868119911119910 lt 0) direcţia principală

care trece prin primul cadran (definit de sistemul 119911119862119910) este direcţia principală 120783

Pentru suprafeţele cu cel puţin o axă de simetrie direcţiile centrale 119862119911 119862119910 sunt şi

direcții principale de inerţie și evident momentele de inerţie axiale 119868119911 119868119910 sunt momente

de inerţie principale

48 Caracteristici mecanice ale metalelor

Alegerea materialului pentru confecţionarea unei anumite piese se face şi pe baza

aşa numitelor caracteristici mecanice pe care le prezintă materialul Cunoaşterea acestor

caracteristici mecanice are loc numai pe baza unor icircncercări mecanice care să scoată icircn

evidenţă comportarea materialului icircn condiţii de solicitare

Cea mai utilizată icircncercare icircn urma căreia se pun icircn evidenţă caracteristicile

mecanice ale unui material este icircncercarea la tracţiune

481 Icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general

Icircncercarea la tracţiune a oţelului ca de altfel toate icircncercările de materiale este

standardizată

Icircn cele ce urmează se va prezenta numai partea care interesează strict din punct

de vedere al caracteristicilor mecanice ale oţelului

Epruveta de diametru iniţial 1198890 pentru icircncercarea la tracţiune are o porţiune de

lungime 1198710 numită baza de măsurare pe care se măsoară lungirea acesteia sub acţiunea

solicitării

Icircn funcţie de raportul dintre baza de măsurare 1198710 şi diametrul iniţial 1198890 epruvetele

utilizate pentru icircncercări sunt

epruvete normale (scurte) cacircnd 11987101198890 = 5

epruvete lungi cacircnd 11987101198890 = 10

Icircn timpul icircncercării la diferite valori ale forţei 119865 se măsoară lungirea bazei de

măsurare

∆119871 = 120575 = 119871 minus 1198710 (439)

unde

119871 este dimensiunea bazei de măsurare la un moment dat

Curba forţă-lungire (119865 minus ) icircnregistrată icircn urma icircncercării reprezintă curba

caracteristică la tracţiune

La icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general diagrama caracteristică care se

obţine are forma din figura 48

Curba caracteristică la tracţiune depinde de lungimea bazei de măsurare Pentru

icircnlăturarea acestui neajuns curba caracteristică se reprezintă icircn coordonate şi definite

astfel

120590 =119865

1198600 휀 =

120575

1198710 (440)

unde

1198600 este aria iniţială a secţiunii transversale a epruvetei (icircnainte de solicitare) icircn

zona bazei de măsurare

1198600 =120587 ∙ 1198890

2

4

Deoarece mărimile icircn care se reprezintă curba caracteristică la tracţiune sunt

raportate la aria iniţială a secţiunii transversale (mărimi specifice) curba poartă numele

de curbă caracteristică convenţională la tracţiune

Fig 48 Curba caracteristică convenţională la tracțiune

Pe curba caracteristică convenţională la tracţiune figura 48 se pot stabili o serie

de puncte cărora le corespund mai multe mărimi importante

Ordonata punctului A pacircnă unde curba caracteristică convenţională este linie

dreaptă se numeşte limita de proporţionalitate a materialului 120590119901(1205901) Porţiunea 119874119860 este

zona de proporţionalitate a curbei caracteristice pe acest domeniu este valabilă legea lui

Hooke care exprimă o proporţionalitate icircntre tensiune şi deformaţie specifică

120590 = 119864 ∙ 휀 (441)

unde

119864 = reprezintă panta porţiunii liniare a curbei convenționale caracteristice

la tracțiune Caracteristica de material 119864 se numeşte modul de elasticitate longitudinal

(modulul lui Young)

Ordonata punctului 119861 pacircnă unde materialul se comportă perfect elastic adică

după descărcare icircşi recapătă dimensiunea iniţială 1198710 se numeşte limita de elasticitate

120590119890(119877119890) Icircn realitate nici un material nu are comportare perfect elastică sub acţiunea

solicitărilor el capătă deformaţii permanente (remanente plastice)

După punctul 119861 urmează o porţiune 119861119862119863 icircn care cu toate că icircncărcarea

continuă forţa nu mai creşte avacircnd mici oscilaţii icircn jurul unei valori Se spune că icircn

această porţiune materialul curge iar intervalul 119861119862119863 este un palier de curgere Tensiunea

corespunzătoare palierului de curgere se numeşte limită de curgere aparentă 120590119888(119877119888) Limita de curgere aparentă se calculează cu relaţia

120590119888 =1198651198881198600 (442)

unde

119865119888 reprezintă valoarea forţei icircnregistrată icircn momentul curgerii materialului

După punctul 119863 curba caracteristică are un traseu ascendent pacircnă icircn punctul 119864

Porţiunea 119863119864 este numită zonă de icircntărire (ecruisare) Icircn zona de ecruisare unde se

produc deformaţii plastice semnificative legea lui Hooke nu mai este valabilă La

descărcare relaţia dintre tensiunea şi deformaţia specifică este liniară paralelă cu

porţiunea liniară a curbei caracteristice (dreapta 119872119873)

Deformaţia totală (휀119905) are două componente una elastică (휀119890) şi una plastică (휀119901)

Ordonata punctului 119864 reprezintă rezistenţa de rupere 120590119903(119877119898) a materialului

care se poate calcula cu relaţia

120590119903 = 119877119898 =1198651198981198861199091198600

(443)

unde

119865119898119886119909 reprezintă valoarea maximă a forţei icircnregistrată icircn timpul icircncercării

La atingerea valorii 119865119898119886119909 (punctul 119864) icircntr-un anumit loc al epruvetei secţiunea

icircncepe să se micşoreze (se produce gacirctuirea) continuacircnd pacircnă cacircnd se produce ruperea

totală (punctul 119865)

Dacă după ruperea epruvetei cele două părţi rezultate se aşează cap la cap şi se

măsoară dimensiunea bazei de măsurare 119871119906 (lungimea ultimă) se determină alungirea la

rupere sau lungirea specifică la rupere 휀119903

휀119903 =119871119906 minus 11987101198710

=∆119871

1198710=120575

1198710 (444)

De obicei alungirea se exprimă icircn procente şi se notează cu 119860119899 unde 119899 reprezintă

numărul dat de raportul 11987101198890 (epruvete normale 119899 = 5 epruvete lungi 119899 = 10)

119860119899 =119871119906 minus 11987101198710

∙ 100 [] (445)

Altă mărime care se determină la icircncercarea la tracţiune este gacirctuirea la rupere

(exprimată de obicei icircn procente) şi definită de relaţia

119885 =1198600 minus 1198601199061198600

∙ 100 [] (446)

Mărimile determinate limita de proporţionalitate modulul de elasticitate

longitudinal limita de elasticitate limita de curgere aparentă rezistenţa de rupere

alungirea la rupere şi gacirctuirea la rupere sunt cunoscute ca fiind caracteristici mecanice

ale materialului

Din curba caracteristică convenţională observăm faptul că ruperea (punctul 119865 din

figura 48 se produce la o tensiune mai mică decacirct cea corespunzătoare punctului 119864 Dacă

icircnsă forţa din timpul icircncercării s-ar raporta la aria secţiunii din momentul icircnregistrării

forţei (care este mai mică decacirct cea iniţială 1198600) s-ar obţine aşa numita curbă

caracteristică reală a materialului (traseul 1198741198601198611198621198631198651 din figura 48) La curba

caracteristică reală ruperea se produce icircn punctul 1198651 la o icircncărcare mai mare decacirct cea

corespunzătoare punctului 119864 Icircnseamnă că rezistenţa reală la rupere este mai mare decacirct

rezistenţa la rupere dată de punctul 119864 din diagrama caracteristică convenţională

Dificultatea obţinerii diagramei caracteristice reale faţă de cea a diagramei caracteristice

convenţionale şi considerarea unei rezistenţe la rupere mai mică decacirct a celei reale face

icircn practică utilizarea pe scară mare a diagramei caracteristice convenţionale

Caracteristicile mecanice determinate pe baza curbei caracteristice convenţionale

sunt şi ele caracteristici mecanice convenţionale

Caracteristicile mecanice convenţionale limita de proporţionalitate convenţională

120590119901 limita de elasticitate convenţională 120590119890 limita de curgere convenţională 120590119888 şi rezistenţa

de rupere 120590119903 constituie tensiuni limită pentru un material Pe baza acestor caracteristici

de material se alege valoarea tensiunii admisibile 120590119886 (vezi paragraful 35) pentru

calculele de rezistenţă Cea mai utilizată stare limită pentru stabilirea tensiunii admisibile

120590119886 este limita de curgere convenţională 120590119888

120590119886 =120590119897119894119898119888

=120590119888119888 119904119886119906 120590119886 =

120590119903119888 (447)

Caracteristicile mecanice ale materialului sunt influenţate de o serie de factori

temperatura viteza de solicitare factorii tehnologici iar valorile lor sunt date icircn tabele și

diagrame

Aplicaţie Pentru suprafaţa plană compusă din două dreptunghiuri avacircnd

dimensiunile din figura 49a să se calculeze

a) centrul de greutate al secțiunii compuse 119910119866 119911119866

b) momentele de inerție axiale 119868119911 119868119910 și momentul de inerție centrifugal 119868119911119910

c) razele de inerție 119894119911 119894119910

d) modulele de rezistență 119882119911119898119894119899 119882119911119898119886119909 119882119910119898119894119899 119882119910119898119886119909

e) momentele de inerție principale 1198681 1198682 și direcțiile principale de inerție 1205721

f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 119878119911

Fig 49 Aplicație

Rezolvare Pentru rezolvare vom parcurge următoarele etape

icircmpărțim suprafața compusă icircn două suprafețe simple (dreptunghiuri) notate cu

① și respectiv ② figura 49b

poziționăm centrele de greutate a celor două suprafețe simple ① și respectiv ②

notate cu 1198661 și respectiv 1198662 figura 49c

poziționăm sistemele de axe de coordonate 119911111986611199101 pentru dreptunghiul ① și

119911211986621199102 pentru dreptunghiul ② aflate la intersecția diagonalelor figura 49c

poziționăm sistemele de axe de coordonate 11991101198741199100 ales arbitrar față de care

determinăm poziția centrului de greutate 119866 figura 49c

a) calculăm poziția centrului de greutate folosind relațiile (46) icircn care

1198601 = 6119905 ∙ 119905 = 61199052 1198602 = 4119905 ∙ 119905 = 41199052 119860 = 1198601 + 1198602 = 61199052 + 41199052 = 101199052

iar centrele de greutate 1198661 și respectiv 1198662 au coordonatele (față de sistemul 11991101198741199100)

1198661 1199101 = 3119905 1199111 = 05119905

1198662 1199102 = 051199051199112 = 3119905

cu acestea obținem

119910119866 =1198601 ∙ 1199101 + 1198602 ∙ 1199102

119860=61199052 ∙ 3119905 + 41199052 ∙ 05119905

101199052=201199053

101199052= 2119905

119911119866 =1198601 ∙ 1199111 + 1198602 ∙ 1199112

119860=61199052 ∙ 05119905 + 41199052 ∙ 3119905

101199052=151199053

101199052= 15119905

Poziționăm centrul de greutate 119866 al suprafeței compuse figura 49c

Fig 49 Aplicație

b) pentru determinarea momentelor de inerție axiale 119868119911 119868119910 și a momentului de

inerție centrifugal 119868119910119911 determinăm constantele 1198881 1198882 1198891 1198892 care intervin icircn relația lui

Stainer

1198881 = 1199101 minus 119910119866 = 3119905 minus 2119905 = 119905 1198882 = minus(119910119866 minus 1199102) = minus(2119905 minus 05119905) = minus15119905

1198891 = minus(119911119866 minus 1199111) = minus(15119905 minus 05119905) = minus119905 1198892 = 1199112 minus 119911119892 = 3119905 minus 15119905 = 15119905

Folosind relațiile lui Stainer (429) (430) și (431) calculăm momentele de

inerție axiale și centrifugale față de sistemul central 119911119866119866119910119866

119868119911 =sum(119868119911119894 + 1198881198942 ∙ 119860119894) = 1198681199111 + 1198881

2 ∙ 1198601 + 1198681199112 + 11988822 ∙ 1198602

119868119910 =sum(119868119910119894 + 1198891198942 ∙ 119860119894) = 1198681199101 + 1198891

2 ∙ 1198601 + 1198681199102 + 11988922 ∙ 1198602

119868119911119910 =sum(119868119911119894119910119894 + 119888119894 ∙ 119889119894 ∙ 119860119894) = 11986811991111199101 + 1198881 ∙ 1198891 ∙ 1198601 + 11986811991121199102 + 1198882 ∙ 1198892 ∙ 1198602

1198681199111 = (119887 ∙ ℎ3

12) =

119905 ∙ (6119905)3

12= 181199054 1198681199112 = (

119887 ∙ ℎ3

12) =

4119905 ∙ 1199053

12= 031199054

1198681199101 = (1198873 ∙ ℎ

12) =

1199053 ∙ 6119905

12= 051199054 1198681199102 = (

1198873 ∙ ℎ

12) =

(4119905)3 ∙ 119905

12= 531199054

11986811991111199101 = 11986811991121199102 = 0 deoarece cele două triunghiuri au cel puțin o axă de simetrie

Cu acestea momentele de inerție axiale și momentul de inerție centrifugal devin

119868119911 = 181199054 + 1199052 ∙ 61199052 + 031199054 + (minus15119905)2 ∙ 41199052 = 3331199054

119868119910 = 051199054 + (minus119905)2 ∙ 61199052 + 531199054 + (15119905)2 ∙ 41199052 = 2081199054

119868119911119910 = 0 + 119905 ∙ (minus119905) ∙ 61199052 + 0 + (minus15119905) ∙ (15119905) ∙ 41199052 = minus151199054

c) razele de inerție sau de girație față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910

se calculează cu relațiile (411)

119894119911 = radic119868119911119860= radic

3331199054

101199052= 182119905 119894119910 = radic

119868119910

119860= radic

2081199054

101199052= 144119905

d) modulele de rezistență față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910 se

calculează cu relațiile (412) și (413)

Avacircnd icircn vedere figura 419c obținem

119910119898119886119909 = 6119905 minus 119910119866 = 6119905 minus 2119905 = 4119905 119910119898119894119899 = minus119910119866 = minus2119905

119911119898119886119909 = 5119905 minus 119911119866 = 5119905 minus 15119905 = 35119905 119911119898119894119899 = minus119911119866 = minus15119905

Se obține astfel

119882119911119898119894119899 =119868119911

|119910119898119886119909|=3331199054

4119905= 8331199053

119882119911119898119886119909 =119868119911

|119910119898119894119899|=3331199054

2119905= 16651199053

119882119910119898119894119899 =119868119910

|119911119898119886119909|=2081199054

35119905= 5941199053

119882119910119898119886119909 =119868119910

|119911119898119894119899|=2081199054

15119905= 13871199053

e) momentele de inerție principale 1198681 și respectiv 1198682 se calculează cu relațiile

(438)

11986812 =119868119911 + 119868119910

2plusmn1

2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)

2+ 4 ∙ (119868119911119910)

2=

=3331199054 + 2081199054

2plusmn1

2∙ radic(3331199054 minus 2081199054)2 + 4 ∙ (minus151199054)2 = 27051199054 plusmn 16251199054

De unde obținem

1198681 = 27051199054 + 16251199054 = 4331199054

1198682 = 27051199054 minus 16251199054 = 1081199054

Prima direcție principală de inerție 1 face cu axa centrală 119866119911 unghiul 1205721 dat de

relația (437)

1205721 =1

2∙ arctan (minus

2 ∙ 119868119911119910

119868119911 minus 119868119910) =

1

2∙ arctan [minus

2 ∙ (minus151199054)

3331199054 minus 2081199054] =33 70

Deoarece 1205721 gt 0 rotirea axelor se face acircn sens antiorar acelor de ceasornic figura

49d

Poziția axe principale 2 față de care momentul de inerție are valoarea minimă

1198682 = 119868119898119894119899 este dată de unghiul

1205722 = 1205721 + 900 = 33 70 + 900 = 123 70

f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 se determină cu relația

(45)

1198781199111198602 = 1198602 ∙ 1198882 = 41199052 ∙ (minus15119905) = minus61199053

Avacircnd icircn vedere că fețele Ad și As aparțin aceleeași secțiuni este evident faptul că

eforturile 119873(119909) 119879(119909) și 119872119894(119909) sunt identice cu eforturile 119873(119961120783) 119879(119961120783) și respectiv

119872119894(119961120783) Icircn figura 218c se prezintă o sinteză a convențiilor de semne pozitive pentru cele

3 eforturi atacirct pentru sensul de parcurs de la stacircnga la dreapta (secțiunea Ad) cacirct și pentru

sensul invers (secțiunea As)

Semnele eforturilor sunt importante icircntrucacirct există materiale cu comportări diferite

la icircntindere față de compresiune iar o schimbare a semnului unui efort poate produce

erori grave icircn calcule Semnele eforturilor au fost stabilite icircn funcție de deformațiile

produse și nu depind de sensul axelor sistemului de coordonate

26 Relaţii diferenţiale icircntre eforturi şi sarcini

Pentru a vedea ce legătură există icircntre eforturi și sarcini vom considera o bară

dreaptă icircncărcată cu o sarcină distribuită după o lege oarecare figura 219a Din această

bară vom decupa prin dublă secționare un element de lungime infinit mică 119889119909 Deoarece

lungimea 119889119909 este foarte mică se poate considera sarcina 119901 uniform distribuită Icircn

secțiunile rezultate trebuie să introducem eforturile care pot apărea

- 119879 şi 119872119894 icircn centrul secțiunii din sticircnga eforturi pe care le considerăm pozitive

- 119879 + 119889119879 şi 119872119894 + 119889119872119894 icircn centrul secțiunii din dreapta elementului

Aceste eforturi au o variație mică (119889119879 şi 119889119872119894) față de secțiunea anterioară Spre

deosebire de cazul icircn care bara este secționată o singură dată icircn acest caz eforturile nu

pot fi determinate din cele 2 condiții de echilibru independente deoarece icircn ecuațiile de

echilibru apar 4 necunoscute 119879 119889119879119872119894 și 119889119872119894 deci că problema este dublu static

nedeterminată figura 219

Fig 219 Echivalența icircntre eforturi și sarcini

Ecuațiile de echilibru scrise pentru elementul din figura 219b conduc la stabilirea

unor relaţii foarte importante

(sum119865)119910= 0 hArr 119879 minus 119901 ∙ 119889119909 minus (119879 + 119889119879) = 0 rArr

119889119879

119889119909= minus119901 (210)

Relația (210) arată că derivata funcţiei forţei tăietoare icircn raport cu abscisa

secţiunii este egală cu sarcina distribuită normală la axa barei din acea secţiune luată

cu semn schimbat

Observații

dacă 119901 = 0 nu există sarcină distribuită atunci forța tăietoare T este constantă

icircnclinarea pantei diagramei forței 119879 este egală cu (ndash 119901) (sarcina distribuită cu

semn schimbat)

dacă 119901 = 119888119900119899119904119905 119879 variază liniar pe acel interval

Asemănător se deduce că derivata funcţiei forţei axiale icircn raport cu abscisa

secţiunii este egală cu sarcina distribuită axială din acea secţiune luată cu semn

schimbat adică

119889119873

119889119909= minus119901119867 (211)

Din condiția de echilibru suma de momente faţă de centrul de greutate al secţiunii

din dreapta

(sum119872)119862= 0 hArr 119872119894 minus (119872 + 119889119872119894) + 119879 ∙ 119889119909 minus 119901 ∙

(119889119909)2

2= 0 rArr

119889119872119894

119889119909= 119879 (212)

Relația (212) s-a obținut dupa reducerea termenilor și prin neglijarea infinitului

mic de ordinul 2

119901 ∙(119889119909)2

2

Relația (212) arată că derivata funcţiei moment icircncovoietor icircn raport cu abscisa

secţiunii este egală cu forţa tăietoare din acea secţiune

Observații

dacă 119879 = 0 momentul 119872119894 are un punct de extrem se obține o valoare maximă

pentru 119872119894119898119886119909 dacă forța tăietoare 119879 se anulează trecacircnd de la plus icircn stacircnga la minus icircn

dreapta secțiunii

dacă forța tăietoare este pozitivă pe un interval 119879 gt 0 atunci 119872119894 este crescătoare

pe acel interval

dacă forța tăietoare este negativă pe un interval 119879 lt 0 atunci 119872119894 este

descrescătoare pe acel interval

dacă pe un interval 119901 = 0 forța tăietoare este constantă 119879 = 119888119905 iar 119872119894 variază

liniar pe acel interval

dacă 119901 = 119888119900119899119904119905 119879 variază liniar pe acel interval iar 119872119894 variază parabolic pe

acel interval

Relaţiile diferenţiale sunt utile la reprezentarea corectă şi verificarea diagramelor

de eforturi astfel

pentru porţiunile de grindă pe care p = 0 eforturile N şi T sunt constante iar pe

porţiunile cu p = const eforturile N şi T variază liniar (relaţiile 211 şi 210)

dacă pe o porţiune T = const momentul icircncovoietor Miz variază liniar iar dacă

T variază liniar atunci momentul Miz variază parabolic (relaţia 212)

pe domeniile pe care T gt 0 funcţia Mi(x) este crescătoare iar icircn secţiunea icircn

care T = 0 (graficul funcţiei T intersectează axa x) momentul icircncovoietor are un punct

de extrem local (maxim sau minim relaţia 212)

Pentru rezolvarea problemelor referitoare la trasarea diagramelor de eforturi

pentru barele drepte solicitate de sisteme de forţe plane se parcurg următoarele etape

1) identificarea forţelor aplicate (date) şi pregătirea lor pentru calcule

(descompunerea forţelor concentrate pe direcţiile x şi y calculul rezultantelor forţelor

distribuite)

2) identificarea reazemelor şi introducerea reacţiunilor corespunzătoare (vezi

figurile 27divide29)

3) stabilirea ecuaţiilor de echilibru static calculul şi verificarea reacţiunilor Icircn

rezistența materialelor se folosește sistemul de ecuații (vezi figura 217)

(sum119865)

119909= 0

(sum119872)119860= 0

(sum119872)119861= 0

(213)

4) identificarea domeniilor de variaţie şi scrierea funcţiilor de eforturi pentru N T

şi Mi

5) reprezentarea grafică a diagramelor de eforturi

6) verificarea corectitudinii diagramelor pe baza relaţiilor diferenţiale icircntre eforturi

şi sarcini

Aplicație Pentru grinda dreaptă icircncărcată cu sistemul de forţe reprezentat icircn figura

220 se cere

a) să se calculeze şi să se verifice reacţiunile

b) să se stabilească funcţiile eforturilor Nx Ty şi Miz şi să se reprezinte diagramele

de variaţie

c) să se analizeze relaţiile diferenţiale icircntre eforturi şi sarcini

Dimensiunile grinzii au valorile a = 6 [m] b = 4 [m] și c = 4[m] sistemul de

forţe aplicat fiind format din p = 10 [kN mfrasl ] F = 20 [kN] (icircnclinată cu unghiul α =300 faţă de orizontală) şi M0 = 40 [kN ∙ m]

Rezolvare

a) Se fac următoarele precizări

grinda dreaptă se reprezintă prin axa geometrică

forţa icircnclinată F se descompune după direcţiile orizontală şi verticală icircn FV =F ∙ sin α = 10 [kN] şi FH = F ∙ cos α = 173 [kN]

forţa distribuită uniform p este echivalentă din punct de vedere static cu

rezultanta sa R = p ∙ a = 60 [kN] care acţionează la jumătatea porţiunii de lungime a

icircn reazemele 119860 şi 119861 se introduc componentele HA şi VA respectiv VB ale

reacţiunilor

Pentru calculul reacţiunilor se utilizează ecuaţiile de echilibru static al grinzii

sumXi = 0 HA minus FH = 0 sumYi = 0 VA + VB minus R minus FV = 0 (sumM)B = 0 VA ∙ (b + a) minus R ∙ (b + 05 ∙ a) minus M0 + FV ∙ c = 0

(A1)

Din prima ecuaţie se obţine HA iar din cea de-a treia ecuaţie rezultă VA

HA = FH = 173 [kN]

VA =[R ∙ (b + 05 ∙ a) + M0 minus FV ∙ c]

(b + a)=[60 ∙ (4 + 05 ∙ 6) + 40 minus 10 ∙ 4]

(4 + 6)

VA = 42 [kN]

(A2)

Fig 220 Aplicație

Se observă că cea de-a doua ecuaţie de echilibru conţine două necunoscute

reacţiunile VA şi VB Pentru a calcula componenta VB nu este indicată introducerea lui VA

icircn cea de-a doua ecuaţie a sistemului (A1) pentru că o valoare determinată greşit pentru

VA conduce la o valoare VB de asemenea greşită O ecuaţie independentă din care se poate

determina componenta VB este următoarea

(sumM)A= 0 FV ∙ (a + b + c) minus VB ∙ (a + b) minus M0 + R ∙ 05 ∙ a = 0 (A3)

de unde se obţine

VB =[FV ∙ (a + b + c) minusM0 + R ∙ 05 ∙ a]

(b + a)=[10 ∙ (6 + 4 + 4) minus 40 + 60 ∙ 05 ∙ 6]

(6 + 4)

VB = 28 [kN] (A4)

Ecuaţia de proiecţii ale forţelor pe direcţia verticală (a doua ecuaţie din sistemul

A1) se utilizează pentru verificarea reacţiunilor deja determinate

VA + VB minus R minus FV = 0 rArr 42 + 28 minus 60 minus 10 = 0 (A5)

Ultima egalitate demonstrează că reacţiunile verticale au fost calculate corect

Din cele de mai sus rezultă ordinea firească pentru determinarea reacţiunilor icircn

cazul grinzilor simplu rezemate

sumXi = 0

(sumM)A = 0

(sumM)B = 0

(A6)

iar pentru verificarea componentelor verticale VA şi VB se folosește ecuaţia sumY = 0

b) La stabilirea funcţiilor de eforturi se parcurg icircn general etapele următoare

se notează (numeric sau literal după preferinţă) secţiunile care delimitează

domeniile (intervalele sau tronsoanele) pe care eforturile nu-şi modifică funcţiile (au legi

unice de variaţie)

pe fiecare domeniu se marchează secţiunea imaginară icircn care se stabilesc

funcţiile eforturilor

secţiunea astfel aleasă separă icircn două părţi grinda şi anume porţiunea din stacircnga

şi porţiunea din dreapta secţiunii

se va considera parcursă (şi icircndepărtată) acea parte pe care acţionează mai puţine

sarcini exterioare pentru că acestea vor interveni icircn expresiile funcţiilor de eforturi

poziţiile secţiunilor imaginare se vor determina prin variabilele x1 ⋯ xn (unde

n reprezintă numărul domeniilor de variaţie) cu originea fixată icircn capătul intervalului şi

sensul de parcurgere spre partea considerată rămasă

Grinda prezentată icircn figura 220 are trei domenii de variaţie pentru funcţiile de

eforturi după cum urmează (A-1) (2-B) şi (B-1)

Domeniul (A-1) x1 isin [0 a = 6 m] Porţiunea parcursă şi considerată icircndepărtată este cea de coordonată x1 pe care

acţionează reacţiunile HA şi VA precum şi rezultanta parţială a sarcinii distribuite R1 =p ∙ x1

Funcţia forţă axială Nx are expresia

Nx(x1) = NAminus1 = minusHA = minus173 [kN] = const

(A7)

Funcţia forţă tăietoare Ty are exspresia

Ty(x1) = TAminus1 = VA minus R1 = VA minus p ∙ x1 (A8)

care reprezintă o variaţie liniară de variabilă x1 Se calculează valorile forţei tăietoare la

limitele intervalului de variaţie

- pentru x1 = 0 Ty(x1 = 0) = TA = VA = 42 [kN]

- pentru x1 = a = 6 [m] Ty(x1 = 6) = T1 = VA minus p ∙ a = minus18 [kN]

Observaţie Aşa cum a fost stabilită secţiunea fictivă poziţionată prin coordonata

x1 sar părea că rezultanta R ar trebui luată icircn calculul lui Ty(x1) Acest lucru ar fi greşit

pentru că R = p ∙ a reprezintă rezultanta sarcinii distribuite pe toată lungimea a iar

rezultanta pe porţiunea parcursă de lungime x1 este R1 = p ∙ x1 ne R = p ∙ a

Cu valorile obţinute se trasează diagramele forţelor axială Nx = f(x) şi tăietoare

Ty = f(x) figura 220 Din diagrama forţei tăietoare şi din valorile obţinute analitic se

observă că forţa tăietoare icircşi schimbă semnul pe intervalul analizat deci se anulează pe

acest interval Poziţia secţiunii unde Ty se anulează se determină din ecuaţia

Ty(x1) = 0 rArr VA minus p ∙ x1 = 0 (A9)

cu soluţia x1lowast = ξ = 42 [m] Important de reamintit că icircn această secţiune momentul

icircncovoietor va avea un extrem local adică Miz are un extrem la Ty = 0

Funcţia moment icircncovoietor Miz are expresia

Miz(x1) = VA ∙ x1 minus R1 ∙x12= VA ∙ x1 minus (p ∙ x1) ∙

x12

(A10)

Se observă că funcţia moment icircncovoietor de variabilă x1 are o variaţie parabolică

(gradul al II-lea) Pentru reprezentarea grafică a funcţiei parabolice se calculează valorile

momentului icircncovoietor icircn trei secţiuni

- pentru x1 = 0 Miz(x1 = 0) = MA = 0 [kN ∙ m] - pentru x1 = a = 6 [m] Miz(x1 = 6) = M1 = 72 [kN ∙ m] - pentru x1

lowast = ξ = 42 [m] Miz(x1lowast = ξ = 42 [m]) = Mimax = 882 [kN ∙ m]

Cu acestea se trasează diagrama Miz = f(x) pe intervalul (A-1) figura 220

Observaţie Icircn unele cazuri pe un anumit interval forţa tăietoare nu se anulează

şi momentul icircncovoietor nu are un extrem local Icircn acest caz pentru reprezentarea

variaţiei parabolice a momentului icircncovoietor se va studia semnul derivatei a doua a

funcţiei Miz = f(x1) acesta determinacircnd convexitatea curbei momentului icircncovoietor

Domeniul (2-B) x2 isin [0 c = 4 m] Porţiunile din grindă libere (nerezemate) la un capăt se numesc console iar

stabilirea funcţiilor de eforturi devine mai simplă dacă se consideră icircndepărtată partea din

dreapta secţiunii prin schimbarea sensului pozitiv al axei x Astfel se obţin funcţiile eforturilor

Funcţia forţă axială Nx are expresia

Nx(x2) = N2minusB = minusFH = minus173 [kN] = const

(A11)

Funcţia forţă tăietoare Ty are exspresia

Ty(x2) = T2minusB = FV = 10 [kN] = const (A12)

Funcţia moment icircncovoietor Miz are expresia

Miz(x2) = minusFV ∙ x2 rArr Miz(x2 = 0) = M2 = 0 [kN ∙ m]

Miz(x2 = 4) = MB = minus40 [kN ∙ m] (A13)

variaţie liniară (gradul I)

Domeniul (B-1) x3 isin [0 b = 4 m] Pe acest domeniu se acceptă parcurgerea grinzii de la dreapta adică se consideră

icircndepărtată partea din dreapta secţiunii fictive pentru că are doar două sarcini aplicate F

şi VB faţă de partea din stacircnga secţiunii pe care sunt aplicate trei sarcini p VA şi M0

Astfel se obţin funcţiile eforturilor

Funcţia forţă axială Nx are expresia

Nx(x3) = NBminus1 = minusFH = minus173 [kN] = const

(A14)

Funcţia forţă tăietoare Ty are exspresia

Ty(x3) = TBminus1 = FV minus VB = minus18 [kN] = const (A15)

Funcţia moment icircncovoietor Miz are expresia

Miz(x3) = minusFV ∙ (x3 + c) + VB ∙ x3 rArr

rArr Miz(x3 = 0) = MB = minus40 [kN ∙ m]

Miz(x3 = 4) = M1 = 32 [kN ∙ m]

(A16)

variaţie liniară (gradul I)

Diagramele eforturilor sunt prezentate icircn figura 220

c) Relaţiile diferenţiale dintre eforturi şi sarcini se analizează pe diagramele

eforturilor după cum urmează

sarcina distribuită nu are componentă orizontală adică ph = 0 şi icircn

conformitate cu formula (211) rezultă că Nx = const pe toată lungimea grinzii fapt care

a rezultat din funcţia şi reprezentarea diagramei forţei axiale

pe intervalul (A-1) sarcina distribuită are doar componenta verticală pozitivă

pV = p gt 0 prin urmare forţa tăietoare scade (are panta negativă dTy 119889119909frasl = minusp vezi

relaţia 210) iar momentul icircncovoietor avacircnd derivata a doua negativă d2M119894119911 1198891199092frasl =minuspare convexitatea curbei orientată spre sensul pozitiv al axei momentului Miz adică icircn

jos

pe domeniile (2-B) şi (B-1) deoarece pv = 0 forţa tăietoare Ty este constantă

iar momentul icircncovoietor Miz variază liniar

referitor la relaţia (212) pe porţiunile unde Ty gt 0 momentul Miz este

monoton crescător pe porţiunile unde Ty lt 0 momentul Miz este monoton descrescător

iar icircn secţiunea icircn care Ty = 0 momentul icircncovoietor are un extrem local Mξ =

882 [kN ∙ m] icircn diagrama forţei tăietoare discontinuităţile (salturile) se produc icircn secţiunile

unde acţionează VA VB şi FV iar icircn diagrama momentului icircncovoietor se produce un

singur salt icircn secţiunea icircn care este aplicat M0

se poate scrie

Mξ = suprafața diagramei Ty |ξ0=1

2∙ 42 ∙ 42 = 882 [kN ∙ m]

sau parcurgacircnd grinda de la dreapta la stacircnga rezultă

MB = minussuprafața diagramei Ty |c0= minus10 ∙ 4 = minus40 [kN ∙ m]

Toate aspectele analizate teoretic referitoare la relaţiile diferenţiale dintre eforturi

şi sarcini se regăsesc icircn diagramele de eforturi din figura 220 ceea ce icircnseamnă că

diagramele au fost reprezentate corect

3 TENSIUNI DEPLASĂRI ŞI DEFORMAŢII SPECIFICE

31 Tensiuni

Eforturile obținute icircn urma reducerii forțelor interioare icircn centrul de greutate al

secțiunii nu pot da informații asupra solicitării fiecărui punct al secțiunii respective Este

necesar să se cunoască modul cum se distribuie forțele interioare icircn fiecare punct al

secțiunii pentru a ști care este intensitatea maximă a solicitării Această intensitate

maximă se poate compara cu o valoare critică specifică materialului stabilindu-se astfel

dacă solicitarea este periculoasă sau nu

Mărimea care caracterizează solicitarea locală punctuală o vom denumi tensiune

și o vom defini icircn cele ce urmează Să considerăm partea din dreapta a unui corp solicitat

de forțele exterioare 1198651 1198652 și 1198653 obținută prin secționarea corpului și mărginită de fața

din dreapta Ad a secțiunii Pe secțiunea Ad vom considera un element de arie infinit mic

∆119860 caracterizat de normala la elementul de arie normală care are cosinușii directori

120573 și icircn raport cu un sistem de axe considerat fix Pe elementul infinit mic ∆119860 acționează

forțele interioare care au o rezultantă oarecare figura 31

Prin definiție tensiunea totală este

= lim∆119860rarr0

∆

∆119860 (31)

Tensiunea are aceeaşi direcţie cu forţa elementară ∆ iar mărimea ei este

determinată atacirct de mărimea forţei ∆ cacirct şi de orientarea suprafeţei ∆119860 faţă de direcţia

forţei

Tensiunea 119901 poate fi descompusă icircntr-o componentă orientată după direcţia

normalei la secţiune tensiunea normală notată cu 120590119909 şi o componentă icircn planul secţiunii

tensiunea tangenţială notată cu figura 32

= 119909 + 120591 (32)

Fig 31 Tensiunea totală Fig 32 Tensiunea normală și tangențială

La racircndul ei componenta tensiunii cuprinsă icircn planul secțiunii poate fi

descompusă după direcțiile axelor y și z

120591 = 120591119909119910 + 120591119909119911 (33)

Icircntre cele trei componente ale tensiunii totale care acționează pe elementul de arie

∆119860 este valabilă relația

1199012 = 1205901199092 + 120591119909119910

2 + 1205911199091199112 (34)

După sensul pe care icircl are tensiunea normală 120590 poate avea efect de tracţiune sau

de compresiune exercitat de către partea de corp icircnlăturată asupra părţii rămase Analog

tensiunea tangenţială 120591 poate avea efect de tăiere forfecare sau alunecare Pentru

componentele tensiunii tangențiale 120591119909119910 pe direcţia 119910 respectiv 120591119909119911 pe direcţia 119911 primul

indice indică axa pe care tensiunea este normală iar cel de-al doilea indice indică axa cu

care aceasta este paralel

Tensiunea este o mărime tensorială valoarea ei depinzacircnd atacirct de poziția

punctului icircn planul secțiunii cicirct și de orientarea planului de secționare deci de normala

Operaţiile vectoriale nu pot fi aplicate tensiunilor decacirct după ce acestea au fost icircnmulţite

cu ariile respective adică au fost transformate icircn forţe

Icircn literatura de specialitate mai ales icircn manualele mai vechi pentru noţiunea de

tensiune se mai foloseşte şi denumirea de efort specific

Dacă se consideră un alt element de arie ∆119860 cu centrul icircn același punct avacircnd ca

normală axa 119910 se vor obține alte tensiuni și anume

- 120590119910 este tensiunea normală (paralelă cu axa y)

- 120591119911119909 și 120591119910119911 sunt tensiuni tangențiale paralele cu axele 119909 și respectiv 119911 aflate icircn

planul care are ca normală axa 119910

Dacă icircn jurul unui punct dintr-un corp solicitat se consider un element de volum

infinit mic de forma unui cub icircn cazul cel mai general pe fețele sale vor acționa

tensiunile normale 120590119909 120590119910 și 120590119911 și respectiv tensiunile tangențiale 120591119909119910 120591119909119911 120591119910119909 120591119910119911 120591119911119909

și respectiv 120591119911119910 figura 33 Aceste tensiuni definesc starea de tensiune a punctului

observacircnd faptul că tensorul tensiune are 9 componente Dacă se consideră elementul

de volum finit ca fiind foarte mic se poate presupune că icircn interiorul său nu apar forțe

Ca urmare el va fi icircn echilibru sub acțiunea forțelor elementare produse de tensiunile de

pe fețele sale

Din condiția ca elementul să nu se rotească icircn jurul unor axe care trec prin centrul

său și sunt paralele cu axele sistemului 119909119874119910119911 rezultă

2 ∙ 120591119909119910 ∙ (119889119910 ∙ 119889119911) ∙119889119909

2= 2 ∙ 120591119910119909 ∙ (119889119909 ∙ 119889119911) ∙

119889119910

2 rArr 120591119909119910 = 120591119910119909 (35)

2 ∙ 120591119910119911 ∙ (119889119909 ∙ 119889119911) ∙119889119910

2= 2 ∙ 120591119911119910 ∙ (119889119909 ∙ 119889119910) ∙

119889119911

2 rArr 120591119910119911 = 120591119911119910 (36)

2 ∙ 120591119909119911 ∙ (119889119910 ∙ 119889119911) ∙119889119909

2= 2 ∙ 120591119911119909 ∙ (119889119909 ∙ 119889119910) ∙

119889119911

2 rArr 120591119909119911 = 120591119911119909 (37)

Relațiile (35divide37) 120591119909119910 = 120591119910119909 120591119910119911 = 120591119911119910 120591119909119911 = 120591119911119909 exprimă principiul dualității

tensiunilor tangențiale

Fig 33 Tensiunile normale și tangențiale pe fețele unui cub

Din condiția ca elementul considerat să nu se deplaseze icircn lungul axelor de

coordonate pe fețele opuse acționează aceleași tensiuni normale 120590119909 120590119910 și respectiv 120590119911

Definirea tensorului tensiune este posibilă dacă se cunosc cele 6 componente

independente ale acestuia aflate icircn trei plane perpendicular ce trec prin punctul respectiv

=

120590119909 120591119909119910 120591119909119911120591119910119909 120590119910 120591119910119911120591119911119909 120591119911119910 120590119911

Observaţii

Tensiunile se măsoară icircn [119873 1198982frasl ] (1119873 1198982frasl = 1 119875119886) sau icircn [119872119875119886]

(1 119872119875119886 = 106119875119886 = 106 119873

1198982 1 119872119875119886 = 1

119873

1198981198982)

Starea de tensiune dintr-un punct este considerată cunoscută dacă se cunosc

tensiunile 119901 care acționează pe infinitatea de elemente de suprafață ce trec prin punctual

considerat

Starea de tensiune a unui corp se consider cunoscută dacă se cunosc stările de

tensiune de pe infinitatea de puncte ale corpului considerat

32 Deplasări Deformaţii specifice

321 Deplasări

Aceste noțiuni sunt utile icircn analiza aspectului geometric al problemelor de rezistența

materialelor Deplasările care se analizează sunt cele datorate schimbării formei și

dimensiunilor corpurilor ca urmare a acțiunii forțelor exterioare și nu cele cinematice

posibile pentru solidul rigid care se poate deplasa cu anumită viteză și accelerație

Spre exemplu icircn figura 34a și figura 34b sub acțiunea forței 119865 tronsonul de

bară AB se deformează icircn timp ce tronsonul BC deși punctele sale au deplasări rămacircne

nedeformat (fiind nesolicitat) Toate punctele de pe axele barelor cu excepția celor din

icircncastrare (secțiunile A) au deplasări liniare De cele mai multe ori deformațiile barelor

datorate acțiunii forțelor exterioare se anulează la icircndepărtarea forțelor se spune că

deformațiile sunt elastice Secțiunile transversale ale barei din figura 34a se și rotesc icircn

raport cu pozițiile lor inițiale Spre exemplu secțiunea de căpăt cu centrul icircn C se rotește

cu unghiul

Fig 34 Deformațiile unei grinzi

Oricacirct de complexă ar fi delormația unui corp ea poate fi descrisă de lungiri sau

scurtări și de modificări ale unghiurilor inițiale

Deplasările măsoară schimbarea poziției unui punct al corpului și pot fi liniare

sau unghiulare

Prin deplasare liniară a unui punct se icircnțelege drumul parcurs de acest punct icircn

decursul procesului de deformație după o dreaptă suport dreapta 1198611198611 din figura 34a

Prin deplasare unghiulară se icircnțelege rotirea dintre segmentele de dreaptă

determinate de două puncte ale corpului icircnainte și după deformarea acestuia unghiul

pe care-l fac segmentele 119861119862 și 11986111198621 din figura 34a Această rotire se măsoară prin

unghiul pe care-l fac proiecțiile dreptelor ce conțin cele două segmente icircntr-un sistem

triortogonal

Icircn cazul cel mai general vectorul deplasare liniară se poate descompune icircntr-un

sistem triortogonal icircn trei componente 119906 119907 și 119908 figura 35

Fig 35 Deplasarea liniară

Se consideră acum un corp solid raportat la un sistem de axe ortogonal 119909119874119910119911

figura 35 după deformarea corpului un punct oarecare 119870 al acestuia se deplasează icircn

poziţia 1198701 vectorul 1198701198701 poartă numele de vectorul deplasării totale

Deplasarea totală este suma deplasărilor pe cele trei direcţii ortogonale iar

aceste deplasări se notează astfel

deplasarea pe direcţia 119909 cu ∥ 119874119909

deplasarea pe direcţia 119910 cu ∥ 119874119910

deplasarea pe direcţia 119911 cu ∥ 119874119911

Componentele deplasărilor și formeză matricea deplasărilor liniare 119906119907119908

322 Deformații

Prin deformație icircn general se icircnțelege orice schimbare de formă a unui corp fără

o evaluare cantitativă Icircn Rezistența Materialelor deformația măsoară variația

dimensiunilor geometrice ale corpului considerat din vecinătatea unui punct analog

deplasărilor deformațiile pot fi liniare și unghiulare (lunecări)

Fig 36 Deplasarea liniară

Deformația liniară ∆119897 reprezintă variația lungimii 119897 a unui element liniar al

corpului deformat figura 36 Deformația liniară specifică se definește ca fiind raportul

dintre deformația liniară și lungimea inițială

휀 =∆119897

119897 (38)

unde ∆119897 este lungirea sau scurtarea care este echivalentă cu deformția liniară totală iar

este alungirea

Deformația unghiulară sau lunecarea unui punct 119860 icircn planul 119861119860119862 se definește

prin relația figura 37

120574 = lim119861119860rarr0119862119860rarr0

(119861119860 minus 119861111986011198621 ) (39)

Fig 36 Deformația unghiulară

Schimbacircnd orientarea planului care trece prin 119860 se obțin alte deformații

unghiulare Dacă elementele liniare 119861119860 și 119862119860 sunt inițial perpendiculare deformația 120574 se

numește deformație unghiulară specifică sau lunecare specifică figura 37

Un exemplu de deplasare unghiulară și de deformație unghiulară este prezentat icircn

figura 38 Unghiul este deplasarea unghiulară și măsoară rotirea relativă dintre două

secțiuni aflate la distanța 119897 Unghiul este deformația specifică unghiulară (lunecarea

specifică) din punctul 119870 Aceste deplasări și deformații se obțin icircn urma solicitării barei

de către cele două momente 1198720 egale și de sens contrar

Fig 38 Deplasarea unghiulară

Pentru a analiza starea de deformație din vecinătatea unui punct al unui corp

solicitat complex se decupează din jurul punctului un element de volum mic figura 39a

avacircnd laturile 119889119909 119889119910 și 119889119911 Ca urmare a solicitării laturile acestuia se vor lungi sau

scurta Reprezentarea elementului deformat icircn spațiu este dificilă pentru simplificare

vom analiza doar deformațiile din planul 119909119874119910 Observăm că dimensiunile 119889119909 și 119889119910 s-au

modificat cu valoarea ∆119889119909 respectiv cu ∆119889119910 analog se acceptă și pentru 119889119911 o modificare

de forma ∆119889119911 Astfel se pot defini deformațiile specifice liniare

휀119909 =∆119889119909

119889119909 휀119910 =

∆119889119910

119889119910 휀119911 =

∆119889119911

119889119911 (310)

De cele mai multe ori aceste deformații specifice liniare se pot exprima procentual

și se mai numesc alungiri

Fig 39 Starea de deformație

Icircn figura 39c se vede că unghiul inițial drept dintre muchiile 119889119909 și 119889119910 ale

elementului de volum s-a modificat Se definește deformația specifică unghiulară (sau

lunecarea specifică) mărimea cu care se modifică unghiul inițial drept

120574119909119910 = 120574119909119910prime + 120574119910119909

prime = 120574119910119909120574119910119911 = 120574119910119911

prime + 120574119911119910prime = 120574119911119910

120574119911119909 = 120574119911119909prime + 120574119909119911

prime = 120574119909119911

(311)

Deformațiile 휀119909 휀119910 휀119911 120574119909119910 120574119910119911 120574119911119909 constituie cele șase componente

independente ale tensorului deformațiilor specifice care pot fi scrise de forma

119863 =

휀119909 120574119909119910 120574119909119911120574119910119909 휀119910 120574119910119911120574119911119909 120574119911119910 휀119911

(312)

323 Contracţia transversală

Practica arată că odată cu lungirea unei bare apare o micşorare a mărimii secţiunii

transversale mărime numită contracţie transversală figura 310

Fig 310 Contracția transversală

Contracţia transversală este proporţională cu lungirea specifică coeficientul de

proporţionalitate se notează cu 120599 şi se numeşte coeficient de contracţie transversală sau

coeficientul lui Poisson

La o lungire specifică a barei contracţia transversală este dată de relația

휀119905119903 = 휀119910 = 휀119911 = minus120599 ∙ 휀119909 (313)

Semnul minus bdquo-rdquo arată că cele două mărimi sunt contrare dacă una creşte cealaltă

scade şi invers

Considerăm o bară cilindrică de lungime 119897 şi aria secţiunii transversale 119860 solicitată

la icircntindere axială La un moment dat datorită solicitării lungimea barei devine

[119897 ∙ (1 + 휀)] diametrul devine [119889 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)] iar aria secţiunii transversale devine

[119860 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)2] Dacă volumul barei icircnainte de solicitare a fost (119860 ∙ 119897) după solicitare

acesta devine

119881 + ∆119881 = 119860 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)2 ∙ 119897 ∙ (1 + 휀) =

= 119860 ∙ 119897 ∙ (1 + 휀 minus 2 ∙ 120599 ∙ 휀 minus 2 ∙ 120599 ∙ 휀2 + 1205992 ∙ 휀2 + 1205992 ∙ 휀3) (314)

Deoarece lungirile sunt foarte mici ultimii trei termeni din paranteză fiind infinit mici se pot neglija obţinacircnd

119881 + ∆119881 = 119860 ∙ 119897 + 119860 ∙ 119897 ∙ 휀 ∙ (1 minus 2 ∙ 120599) ⟺ ∆119881 = 휀 ∙ (1 minus 2 ∙ 120599) ∙ 119860 ∙ 119897 (315)

Practica arătă că o astfel de bară solicitată la icircntindere icircşi măreşte volumul deci

∆119881 gt 0 de unde rezultă că

1 minus 2 ∙ 120599 gt 0 rArr 120599 lt 05 (316)

Pentru majoritatea materialelor 120599 = 033 iar pentru materialele care-şi păstrează

volumul constant 120599 = 05

33 Relaţii de echivalenţă icircntre eforturi şi tensiuni

Considerăm un element de suprafață infinit mic 119889119860 situat pe fața de arie (119860) a

secțiunii barei din figura 311 Icircn centrul de greutate 119862 al secțiunii acționează eforturile

119873 119879119910 119879119911 119872119909 119872119894119910 și 119872119894119911 determinate prin metoda secțiunilor

Icircn raport cu un sistem de axe de referință 119909119862119910119911 coordonatele elementului 119889119860 sunt

- 119910 este ordonata elementului de arie 119889119860

- 119911 este abscisa elementului de arie 119889119860

Pe elementul de arie 119889119860 acționează tensiunile

120590119909 tensiunea normală

120591119909119910 și 120591119909119911 tensiuni tangențiale

Dacă se icircnsumează forțele elementare de tipul 120590119909 ∙ 119889119860 120591119909119910 ∙ 119889119860 și 120591119909119911 ∙ 119889119860

va trebui să obținem eforturile 119873 119879119910 și 119879119911

Fig 311 Element de suprafață mic din secțiunea unei bare

Dacă eforturile sunt privite ca forțe exterioare și se scriu ecuațiile de

echilibru ale secțiunii (119860) se vor obține șase relații de echivalență icircntre eforturi și

tensiuni

(sum119883) = 0 rArr int 120590119909 ∙ 119889119860

119860

= 119873 (317)

(sum119884) = 0 rArr int 120591119909119910 ∙ 119889119860

119860

= 119879119910 (318)

(sum119885) = 0 rArr int 120591119909119911 ∙ 119889119860

119860

= 119879119911 (319)

(sum119872)119909= 0 rArr int(120591119909119911 ∙ 119889119860) ∙ 119910

119860

minus int(120591119909119910 ∙ 119889119860) ∙ 119911

119860

= 119872119909 rArr

rArr int(119910 ∙ 120591119909119911 minus 119911 ∙ 120591119909119910) ∙ 119889119860

119860

= 119872119909

(320)

(sum119872)119910= 0 rArr int(120590119909 ∙ 119889119860) ∙ 119911

119860

= 119872119894119910 (321)

(sum119872)119911= 0 rArr int(120590119909 ∙ 119889119860) ∙ 119910

119860

= 119872119894119911 (322)

Cele șase relații de echivalență icircntre eforturi și tensiuni constituie un pas icircnainte

icircn rezolvarea unei probleme de rezistența materialelor Aceste relații vor permite

determinarea tensiunilor maxime

Pentru a rezolva cele 6 relații de echivalență trebuie să se cunoască tensiunile și

ca funcții de punct adică funcții de forma

120590119909 = 120590119909(119909 119910 119911) 120591119909119910 = 120591119909119910(119909 119910 119911) 120591119909119911 = 120591119909119911(119909 119910 119911) (32

3)

Cunoașterea acestor funcții presupune icircnsă analizarea aspectului geometric al

problemei precum și utilizarea unor ipoteze simplificatoare care să permită simplificarea

problemelor

34 Ipoteze de bază icircn rezistenţa materialelor

Depășirea dificultăților legate de interpretarea unor fenomene specifice mecanicii

solidului deformabil a impus acceptarea unor ipoteze care să simplifice fenomenele și să

contribuie la elaborarea unor modele de calcul cicirct mai generale și cacirct mai simple Aceste

ipoteze se referă la structura materialelor şi la comportarea lor sub acţiunea forţelor

exterioare Ipotezele acceptate trebuie să fie icircn deplină concordanţă cu realitatea și să

conducă la rezultate verificate icircn practică

Funcție de aspectele la care se referă ipotezele pot fi

Ipoteze fizice (de material)

Ipoteze de calcul

341 Ipoteze fizice

Se acceptă deoarece teoriile structurale au condus la rezultate care contravin

icircncercărilor experimentale

Ipoteza mediului continuu consideră că orice domeniu elementar al corpului

este ocupat de materie adică nu se acceptă existența unor goluri sau a unor crăpături

microscopice (fisuri) Deși nu corespunde realităţii poate fi acceptată deoarece

dimensiunile corpului sunt mult mai mari decacirct dimensiunile particulelor elemantare Are

avantajul că permite utilizarea proprietăților matematice ale funcțiilor continue pentru

tensiunile și deformațiile din orice punct al corpului Ea este mai apropiată de realitate la

corpurile amorfe şi mai depărtată la cele cristaline dar conduce la rezultate satisfăcătoare

icircn calculele de rezistenţă

Ipoteza nu se poate aplica la corpurile care au goluri tăieturi (multiplu conexe)

pentru unele puncte singulare icircn care tensiunile și deformațiile tind la infinit sau icircn unele

probleme de plasticitate icircn care proprietățile de material au un rol esențial

Ipoteza izotropiei conform acestei ipoteze materialul din care este confecționat

un element de rezistență are aceleași proprietăți după orice direcție un astfel de material

este considerat izotrop Din punct de vedere macroscopic metalele pot fi considerate

izotrope deși la nivel microscopic proprietățile lor diferă de la o direcție cristalografică

la alta Orice conglomerat de cristale poate fi considerat izotrop

Există cazuri cacircnd această ipoteză a izotropiei nu se acceptă

la metalele puternic deformate după o direcție (prin laminare trefilare)

la piesele confecționate din lemn lemnul este anizotrop deoarece proprietățile sale

diferă după două direcții (icircn lungul fibrelor și perpendicular pe această direcție)

Ipoteza omogenității consideră că un corp are aceleași proprietăți icircn orice

punct al său Deși majoritatea materialelor utilizate icircn tehnică sunt eterogene la scară

micro fiind constituite din mai multe faze cu proprietăți diferite la scară macro ele pot

fi considerate omogene Omogenitatea și izotropia sunt proprietăți statistice medii care

nu se condiționează una pe cealaltă Chiar și materialele monofazice pot avea la scară

micro unele segregații care le fac eterogene

Ipoteza elasticităţii perfecte presupune că atacircta timp cacirct solicitările nu

depăşesc anumite limite materialul are o comportare elastică adică icircşi recapătă forma şi

dimensiunile iniţiale odată cu icircnlăturarea sarcinilor Icircn realitate materialele nu prezintă o

elasticitate perfectă ele avacircnd deformaţii remanente mici care icircnsă pot fi neglijate icircn

calculele de rezistenţă

Acceptarea acestei ipoteze a elasticității perfecte permite

- aplicarea relației biunivoce icircntre tensiuni și deformații relație exprimată de legea

lui Hooke ( = 119864 ∙ 휀) unde E este un factor de proporţionalitate numit modul de

elasticitate longitudinal al materialului pentru oţel 119864 = 21 ∙ 105 [119872119875119886] - acceptarea valabilității afirmației bdquolucrul mecanic efectuat de forțele exterioare

ca urmare a parcurgerii deplasărilor punctelor de aplicație se icircnmagazinează integral icircn

corp sub formă de energie de deformație energie cedată la icircndepărtarea sarcinilorrdquo

- este valabilă teoria conform căreia bdquoenergia icircnmagazinată și deformațiile depind

doar de starea inițială și finală de eforturi fără a ține cont de modul icircn care s-a ajuns la

starea finalărdquo

Icircn realitate oricacirct de mici ar fi sarcinile aplicate se produc și deformații plastice

dar acestea pot fi neglijate dacă solicitarea nu depășește anumite limite

342 Ipoteze de calcul

Ipoteza micilor deplasări bdquodeplasările datorate deformării sunt mult mai mici

decacirct dimensiunile corpurilor și ca urmare pot fi neglijate produsele dintre o deplasare și

ea icircnsăşirdquo Pentru cele mai multe corpuri deformaţiile elastice sunt de mărimi mici deci

corpurile solide sub acţiunea sarcinilor icircşi modifică foarte puţin forma iniţială Această

ipoteză este cunoscută şi sub denumirea de ipoteza menţinerii dimensiunilor iniţiale Ea

permite scrierea ecuaţiilor de echilibru ale staticii pe starea nedeformată a elementului

cacircnd nu se iau icircn considerare deplasările punctelor de aplicaţie ale forţelor care se produc

ca urmare a deformării acestuia Calculul efectuat pe schema nedeformată poartă numele

de calcul de ordinul I

Ipoteza micilor deplasări nu poate fi acceptată pentru studiul problemelor de

stabilitate sau la problemele la care nu pot fi icircndeplinite condiţiile de echilibru icircn starea

nedeformată

Calculul de ordinul II admite ipoteza micilor deplasări dar ecuaţiile de echilibru

se scriu icircnsă pentru starea deformată a elementului de rezistenţă

Calculul de ordinul III nu mai acceptă ipoteza micilor deplasări el referindu-se

la cazul deformaţiilor mari cacircnd ecuaţiile de echilibru trebuie scrise pentru starea

deformată

Chiar dacă materialul satisface legea lui Hooke icircn urma calculelor de ordinul II

se obţin de obicei relaţii neliniare icircntre sarcini şi deplasări iar pentru calculul de ordinul

III rezultă ecuaţii diferenţiale neliniare

Principiul efectului local al acțiunii sarcinilor enunțat de Barre de Saint-

Venant Acest principiu destul de folosit icircn Rezistenţa Materialelor precizează că dacă

se icircnlocuiesc forţele care acţionează asupra unui element de suprafață al unui corp

elastic printr-un alt sistem de forţe echivalent din punct de vedere static cu primul noua

distribuţie a forţelor produce la locul de aplicare diferenţe semnificative faţă de prima

dar rămacircne fără efect sau cu efect neglijabil la distanţe mari de locul de aplicare al

forţelor figura 312

Ca o cosecință o sarcină uniform distribuită figura 312a poate fi icircnlocuită cu

rezultanta ei figura 312b dacă se analizează efectul sarcinii la distanță mare de locul icircn

care se aplică sarcina

Fig 312 Principiul Saint-Venant

Icircn prima variantă figura 312a forţa 119865 se aplică pe o porțiune oarecare 119897 (sarcină

uniform distribuită) iar icircn a doua figura 312b icircntru-un punct (forţă concentrată) La

locul de aplicare a sarcinii efectul asupra barei este cu totul diferit de la o variantă la

cealaltă Icircnsă la o distanţă mare de punctul de aplicaţie spre exemplu icircn secţiunea situată

la distanţa 119886 de capătul barei sau chiar icircn icircncastrare ambele bare sunt solicitate la fel

Icircn cazul din figura 312a

119872119894(119909) =119901 ∙ 1199092

2 119909 le 119897 119872119894(119909) = 119901 ∙ 119897 ∙ (119909 minus

119897

2) 119909 gt 119897 (324)

Icircn cazul din figura 312b

119872119894(119909) = 0 119909 lt119897

2 119872119894(119909) = 119901 ∙ 119897 ∙ (119909 minus

119897

2) 119909 gt

119897

2 (325)

Se vede că pentru (119909 gt 119897) adică după depășirea locului icircn care se aplică sarcina

efectul este același

Ipoteza lui Bernoulli sau ipoteza secţiunilor plane precizează că o secţiune

plană şi normală pe axa barei icircnainte de deformare rămacircne plană şi normală pe axa

barei şi după deformare figura 313

Fig 313 Ipoteza lui Bernoulli

Ipoteza stării naturale a corpului sau ipoteza absenţei tensiunilor conform

căreia pentru un corp nesolicitat starea de tensiune şi deformaţie este nulă

Perfecţionarea mijloacelor de calcul şi de investigare pot conduce la renunţarea la

unele ipoteze sau la introducerea altora noi mai aproape de stările reale De aici rezultă

caracterul de continuă perfecţionare a metodelor Rezistenţei Materialelor

35 Coeficienţi de siguranţă Tensiuni admisibile

O piesă corespunde din punct de vedere tehnic dacă tensiunile care iau naştere icircn

interiorul piesei datorită sarcinilor aplicate nu depăşesc anumite valori limită stabilite

convenţional Aceste valori limită ale tensiunii sunt corelate cu caracteristicile mecanice

ale materialelor

Tensiunea limită utilizată icircn calculele de rezistenţă este cunoscută sub denumirea

de tensiune admisibilă sau rezistenţă admisibilă Rezistenţa admisibilă reprezintă

valoarea convenţională aleasă icircn calcul pe baza practicii pentru tensiunea maximă care

poate apare icircntr-o piesă icircn condiţii date de material şi solicitare

Rezistenţa admisibilă (120590119886 sau 120591119886) poate fi definită faţă de o stare limită

periculoasă stare care trebuie evitată deoarece poate conduce distrugere

120590119886 =120590119897119894119898119888

(326)

unde

120590119897119894119898 este tensiunea corespunzătoare stării limită periculoase

119888 estesupraunitar 119888 gt 1 și reprezintă coeficientul de siguranţă faţă de starea limită

periculoasă considerată

Alegerea unor valori inferioare pentru rezistenţa admisibilă faţă de tensiunea

corespunzătoare stării limită periculoase este necesară deoarece

cunoaşterea sarcinilor este de cele mai multe ori aproximativă şi o depăşire a

acestora este foarte posibilă

caracteristicile mecanice ale materialelor variază icircn limite destul de mari ele

fiind influenţate de mulţi factori

schema aleasă pentru calcul (aplicarea sarcinilor schematizarea structurii

ipotezele de calcul etc) depărtează modelul faţă de cel real

Pentru calculele de verificare tensiunea efectivă maximă din elementul de

rezistenţă trebuie să fie mai mică sau cel mult egală cu cea admisibilă

120590119890119891119898119886119909 le 120590119886 (327)

Valoarea rezistenţei admisibile este influenţată de foarte mulţi factori natura

materialului tratamentele termice aplicate piesei durata de funcţionare a piesei modul

de acţionare icircn timp a sarcinilor felul solicitării temperatura gradul de periculozitate

icircn cazul cedării piesei etc

De asemenea valoarea coeficientului de siguranţă se alege icircn principal ţinacircnd

seama de aceiaşi factori care influenţează şi rezistenţa admisibilă

Rezistenţele admisibile pentru cacircteva materiale sunt următoarele

pentru oțelul de uz general OL37 solicitat la icircntindere compresiune sau

icircncovoiere 120590119886 = 150 [119872119875119886] pentru lemnul de brad solicitat la

- compresiune icircn lungul fibrelor şi solicitat la icircncovoiere 120590119886 = 10 [119872119875119886] - tracţiune icircn lungul fibrelor 120590119886 = 7 [119872119875119886] - compresiune perpendiculară pe fibre 120590119886 = 15 [119872119875119886] - forfecare icircn lungul fibrelor 120591119886 = 2 [119872119875119886] - forfecare perpendiculară pe fibre 120590119886 = 45 [119872119875119886]

terenuri de fundaţie din pămacircnt uscat sau umed 120590119886 = 020 divide 025 [119872119875119886]

4 CARACTERISTICI GEOMETRICE ALE SECȚIUNILOR PLANE

41 Noţiuni introductive

Icircn relaţiile de calcul ale tensiunilor şi deformaţiilor elementelor de rezistenţă

pentru unele solicitări (icircncovoierea și torsiunea) secțiunile plane intervin atacirct prin

dimensiunile lor (aria 119860) cicirct și prin forma și poziția pe care o are secțiunea icircn raport cu

planul solicitării Mărimile care caracterizează o secțiune icircn raport cu forma și poziția față

de axele unui sistem de referință sunt denumite caracteristici geometrice de ordin

superior Aria secțiunii este caracteristica geometrică ce depinde doar de dimensiunile

geometrice ale acesteia

Să considerăm o grindă solicitată de o forță exterioară 119865 aşezată icircn două poziții icircn

raport cu planul forţei figura 41 Icircn urma aplicării forței deși avem aceeași grindă

(aceeași arie a secțiunii transversale) și aceeași forță se constată că pentru varianta din

figura 41a deformațiile sunt mult mai mari adică rezistența la icircncovoiere a grinzii din

figura 41a este mai mare decacirct icircn cazul grinzii din figura 41b Comportarea diferită se

explică prin aceea că modificarea poziţiei secţiunii transversale faţă de planul forţelor

modifică caracteristicile geometrice ale secţiunii transversale a grinzii

Fig 41 Grindă solicitată de forța 119865

Pentru realizarea calculelor de rezistenţă şi rigiditate este foarte importantă

cunoaşterea caracteristicilor geometrice ale suprafeţei secţiunii transversale a elementelor

de rezistenţă

Caracteristicile geometrice ale secţiunii transversale a unui element de rezistenţă

sunt

- aria secțiunii notată cu 119860

- momentul static icircn raport cu o axă notat 119878119911 și respectiv 119878119910

- momentul de inerție care poate fi

axial notat 119868119911 și respectiv 119868119910

centrifugal notat 119868119911119910

polar notat 119868119901

- raza de inerţie (giraţie)notată 119894119911 și respectiv 119894119910

- modulul de rezistență care poate fi

axial notat 119882119911 și respectiv 119882119910

polar notat 119882119901

42 Aria și momentul static al suprafețelor plane

Fie o suprafaţă plană de arie 119860 pe care se ia un element infinit mic de arie 119889119860 şi

un sistem de axe rectangulare 119911119874119910 figura 42 Notăm cu 119862 centrul de greutate al suprafeţei

119860 Poziţia suprafeţei elementare 119889119860 faţă de acelaşi sistem de coordonate 119911119874119910 este dată

de abscisa 119911 ordonata 119910 și raza polară

Fig 42 Suprafață plană de arie 119860

Aria suprafeţei 119860 figura 42 se defineşte ca fiind

119860 ≝ int 119889119860

119860

(41)

Aria suprafeţei este icircntotdeauna pozitivă și se măsoară icircn [1198981198982] Momentul static al suprafeţei de arie 119860 icircn raport cu axele 119874119911 și respectiv 119874119910

figura 42 sunt date de relaţiile

119878119911 ≝ int 119910 ∙ 119889119860

119860

119878119910 ≝ int 119911 ∙ 119889119860

119860

(42)

Momentul static poate fi pozitiv negativ sau nul şi se măsoară icircn [1198981198983] Coordonatele centrului de greutate ale suprafeței 119860 se detrmină cu relațiile

119910119862 ≝int 119910 ∙ 119889119860119860

119860 119911119862 ≝

int 119911 ∙ 119889119860119860

119860

(43)

Cunoscacircnd coordonatele 119910119862 și 119911119862 ale centrului de greutate 119862 al secțiunii 119860 atunci

momentele statice se pot determina cu relațiile

119878119911 ≝ int 119910 ∙ 119889119860

119860

= 119910119862 ∙ 119889119860 119878119910 ≝ int 119911 ∙ 119889119860

119860

= 119911119862 ∙ 119889119860 (44)

Aceste relații arată că momentul static al unei suprafețe icircn raport cu o axă este

egal cu produsul dintre aria suprafeței și distanța de la centrul ariei la axa respectivă

Dacă suprafaţa se poate descompune icircn 119899 suprafeţe simple la care se cunosc ariile

(1198601 1198602 ⋯ 119860119894⋯ 119860119899) și poziţiile centrelor de greutate 119862119894 faţă de sistemul de referinţă

expresiile momentelor statice capătă următoarea formă

119878119911 = sum 119910119862119894 ∙ 119860119894119899119894=1 = 119910119862 ∙ 119860 119878119910 = sum 119911119862119894 ∙ 119860119894

119899119894=1 = 119911119862 ∙ 119860 (45)

Din relaţiile (45) rezultă că poziţia centrului de greutate 119862 al unei suprafeţe

compuse poate fi determinată cu relaţiile

119910119862 = (sum119910119862119894 ∙ 119860119894

119899

119894=1

) 119860frasl 119911119862 = (sum119911119862119894 ∙ 119860119894

119899

119894=1

) 119860frasl (46)

Icircn relația (45) 119910119862119894 și respectiv 119911119862119894 reprezintă coordonatele centrelor de greutate 119862119894

ale fiecărei suprafețe simple 119860119894 icircn raport sistemul de axe 119911119874119910

Se constată (relaţia 42) că dacă axele sistemului de referinţă trec prin centrul de

greutate (119910119862 = 119911119862 = 0) momentele statice sunt nule Axele icircn raport cu care momentele

statice sunt nule şi care trec prin centrul de greutate al suprafeţei se numesc axe centrale

Observație dacă secțiunea compusă are o axă de simetrie centrul secțiunii se

găsește pe acea axă iar dacă secțiunea este dublu simetrică poziția centrului secțiunii este

la intersecția axelor de simetrie

43 Momente de inerţie

Momentele de inerţie axiale ale unei suprafețe se calculează icircn raport cu axele de

coordonate 119874119911 și respectiv 119874119910 figura 42 și se determină cu relațiile

119868119911 ≝ int 1199102 ∙ 119889119860

119860

119868119910 ≝ int 1199112 ∙ 119889119860

119860

(47)

Unde 119910 și 119911 sunt distanțele de la elementul de arie 119889119860 la cele două axe de

coordonate 119874119911 și respectiv 119874119910

Momentele de inerţie axiale se măsoară icircn [1198981198984] şi sunt icircntotdeauna pozitive (aria

119889119860 este icircntotdeauna pozitivă și este multiplicată cu patratul distanței 1199102 dacă 119868119911 sau 119868119910

sunt nule icircnseamnă ca secțiunea nu există)

Momentele de inerție axiale se calculează icircndeosebi pentru axele centrale (care

trec prin centrul secțiunii) deoarece icircn raport cu acele axe 119868119911 și 119868119910 au valori minime

Momentul de inerţie centrifugal calculat faţă ambele axe ale sistemului de

referinţă 119911119874119910 este definit de relația

119868119911119910 ≝ int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860

(48)

Momentul de inerţie centrifugal se măsoară icircn [1198981198984] şi poate fi pozitiv negativ

sau nul

Momentul de ineție centrifugal este nul 119868119911119910 = 0 dacă cel puțin una din axele 119874119911

sau 119874119910 este axă de simetrie pentru secțiune

Se consideră o suprafaţă dreptunghiulară pe care faţă de axa de simetrie 119874119910 se iau

două suprafeţe elementare de arie 119889119860 simetrice faţă de axa 119874119910 figura 43

Fig 43 Suprafață dreptunghiulară cu două arii elementare 119889119860

Făcacircnd suma momentelor de inerţie centrifugale pentru cele două suprafeţe

elementare 119889119860 (din stacircnga şi din dreapta faţă de axa 119874119910) se obţine

int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860119889119903

+ int (minus119911) ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860119904119905119892

= int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860119889119903

minus int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860119904119905119892

= 0 (49)

Acelaşi raţionament se poate face și pentru icircntreaga suprafaţă de unde obținem că

momentul de inerție centrifugal este nul 119868119911119910 = 0 Deci pentru o suprafaţă plană care

are cel puţin o axă de simetrie momentul de inerţie centrifugal faţă de sistemul care

conţine acea axă de simetrie este nul

Momentul de inerţie polar al unei suprafeţei icircn raport cu un punct (pol) 119874 figura

42 este definit prin relaţia

1198680 = 119868119901 ≝ int 1205882 ∙ 119889119860

119860

= int(1199102 + 1199112) ∙ 119889119860

119860

= 119868119911 + 119868119910 (410)

unde este distanţa de la polul 119874 la elementul de arie 119889119860 Momentul de inerţie polar se

măsoară icircn [1198981198984] şi este totdeauna pozitiv

Momentul de inerţie polar este egal cu suma momentelor de inerţie faţă de două axe

perpendiculare oarecare şi care trec prin polul considerat

Razele de giraţie sau razele de inerţie sunt mărimi calculate icircn raport cu axele

secțiunii și definite de relaţiile

119894119911 ≝ radic119868119911119860 119894119910 = radic

119868119910

119860 (411)

Se exprimă icircn [119898119898] şi sunt icircntotdeauna pozitive Semnificația unei raze de inerție

este distanța la care dacă ar fi concentrată icircntreaga arie s-ar obține același moment de

inerție ca și cel calculat pentru aria reală

44 Modulul de rezistenţă

Modulul de rezistență se calculează icircn raport cu axele de referință sau icircn raport cu

un pol figura 42 și pot fi axiale (119882119911119882119910) sau polar (119882119901) și se determină numai pe baza

momentelor de inerţie cu relațiile figura 43

119882119911119898119894119899 ≝119868119911119910119898119886119909

119882119911119898119886119909 ≝119868119911119910119898119894119899

(412)

119882119910119898119894119899 ≝119868119910

119911119898119886119909 119882119910119898119886119909 ≝

119868119910

119911119898119894119899 (413)

119882119901 ≝119868119901

120588119898119886119909 (414)

unde

119910119898119886119909 119910119898119894119899 reprezintă distanţa de la axa 119874119911 la punctele extreme cele mai

depărtate respectiv cele mai apropiate ale suprafeţei de această axă

119911119898119886119909 119911119898119894119899 reprezintă distanţa de la axa 119874119910 la punctele extreme cele mai

depărtate respectiv cele mai apropiate ale suprafeţei de această axă

120588119898119886119909 reprezintă distanța maximă de la polul 119874 la punctul secțiunii cel mai

icircndepărtat de acesta

Fig 43 Suprafață dreptunghiulară cu două arii elementare 119889119860

Modulele de rezistenţă se exprimă icircn [1198981198983] şi sunt icircntotdeauna pozitive

Explicația este aceea că momentele de inerție care intră icircn relațiile de definiție sunt

pozitive iar distanțele la punctele extreme sunt pozitive (119910119898119886119909 119910119898119894119899 119911119898119886119909 119911119898119894119899 120588119898119886119909 se

iau icircn valoare absolută)

Icircn cazul suprafeţelor compuse modulul de rezistenţă nu se obţine prin icircnsumarea

algebrică a modulelor de rezistenţă ale suprafeţelor simple componente ci numai prin

intermediul momentului de inerţie axial calculat pentru icircntreaga secțiune

Ca și momentele de inerție modulele de rezistență se calculează numai pentru

sistemele de axe centrale

45 Momente de inerţie şi module de rezistenţă pentru suprafeţe simple

451 Secțiune dreptunghiulară

Fie suprafaţa dreptunghiulară din figura 44 de icircnălțime ℎ și lățime 119887 pe care se

consideră suprafaţă elementară de arie 119889119860 = 119887119889119910 la distanța 119910 de axa 119862119911 sistemul de

axe 119911119862119910 trece prin centrul secțiunii iar axele sunt axe de simetrie pentru dreptunghi

Fig 44 Suprafață dreptunghiulară

Pe baza relațiilor de definiți a momentului de inerție 119868119911 se obține

119868119911 ≝ int 1199102 ∙ 119889119860

119860

= int 1199102 ∙ 119887 ∙ 119889119910 = 2int 1199102 ∙ 119887 ∙ 119889119910 = 2 ∙ 119887 ∙1199103

3|ℎ 2frasl

0rArr

ℎ 2frasl

0

ℎ 2frasl

minusℎ 2frasl

rArr 119868119911 =119887 ∙ ℎ3

12

(415)

Analog pentru un element de arie 119889119860 = ℎ ∙ 119889119911 paralel cu axa 119862119910 situat la distanța

119911 de axa 119862119910

119868119910 ≝ int 1199112 ∙ 119889119860

119860

= int 1199112 ∙ ℎ ∙ 119889119911 = 2int 1199112 ∙ ℎ ∙ 119889119910 = 2 ∙ ℎ ∙1199113

3|119887 2frasl

0rArr

119887 2frasl

0

119887 2frasl

minus119887 2frasl

rArr 119868119910 =1198873 ∙ ℎ

12

(416)

Deoarece axele 119862119911 și 119862119910 sunt axe de simetrie momentul de inerție centrifugal este

119868119911119910 = 0 (417)

Pentru un pătrat avacircnd laturile egale (ℎ = 119887 = 119886) momentele de inerţie faţă de

axele centrale au expresia

119868119911 = 119868119910 =1198864

12 (418)

Modulele de rezistență axiale se calculează cu relațiile de definiție ținacircnd cont că

distanțele pacircnă la fibrele extreme sunt

119910119898119886119909 = 119910119898119894119899 =ℎ

2 119911119898119886119909 = 119911119898119894119899 =

119887

2 (419)

Obținem

119882119911119898119894119899 = 119882119911119898119886119909 =119868119911

119910119898119886119909119898119894119899=119887 ∙ ℎ3

12frasl

ℎ2frasl

=119887 ∙ ℎ2

6

119882119910119898119894119899 = 119882119910119898119886119909 =119868119910

119911119898119886119909119898119894119899=1198873 ∙ ℎ

12frasl

1198872frasl

=1198872 ∙ ℎ

6

(420)

452 Suprafaţă circulară

Din motive de simetrie pentru suprafeţele circulare momentele de inerţie faţă de

orice diametru (care reprezintă şi axe centrale) sunt aceleaşi

Considerăm o secțiune circulară plină cu diametrul 119889 și centrul de greutate 119862 Prin

centrul de greutate 119862 trece sistemul de axe ortogonal 119911119862119910 figura 45

Fig 45 Suprafață circulară

La distanța de centrul de greutate 119862 vom lua un element de suprafață mic de arie

(119889119860) de forma unui inel de grosime 119889 Elementul de arie 119889119860 are expresia

119889119860 = (2 ∙ 120587 ∙ 120588) ∙ (119889120588)

Pornind de la relația de definiție a momentului de inerție polar obținem

119868119901 ≝ int 1205882 ∙ 119889119860

119860

= int 1205882 ∙ (2 ∙ 120587 ∙ 120588) ∙ 119889120588

119903=119889 2frasl

0

= 2 ∙ 120587 ∙1205884

4|119889 2frasl0 rArr

rArr 119868119901 =120587 ∙ 1198894

32

(421)

Secțiunea este perfect simetrică deci sunt valabile relațiile

119868119911 = 119868119910 rArr 119868119901 = 119868119911 + 119868119910 = 2 ∙ 119868119911 = 2 ∙ 119868119910 =119868119901

2=120587 ∙ 1198894

64 (422)

Și modulele de rezistenţă faţă de orice diametru sunt egale şi se calculează cu

relaţiile

119882119911 = 119882119910 =1198681199111198892frasl=120587 ∙ 1198893

32 (423)

Modulul de rezistenţă polar este

119882119901 =1198681199011198892frasl=120587 ∙ 1198893

16 (424)

453 Secţiune inelară

Calculul momentelor de inerţie axiale pentru o secţiune inelară avacircnd diametrul

interior 119889 şi diametrul exterior 119863 se determină analog pentru suprafaţa circulară plină cu

observaţia că integrala pentru calculul momentului de inerție polar 119868119901 se face icircntre

limitele 119903 = 119889 2frasl şi R= 1198632frasl (icircntre raza interioară 119903 şi raza exterioară 119877) figura 46

Se obţin relaţiile

119868119901 =120587 ∙ 1198634

32∙ [1 minus (

119889

119863)4

] =120587 ∙ 1198634

32∙ (1 minus 1198964) (425)

119868119910 = 119868119910 =120587 ∙ 1198634

64∙ [1 minus (

119889

119863)4

] =120587 ∙ 1198633

64∙ (1 minus 1198964) (426)

Fig 46 Secțiune inelară

119882119901 =120587 ∙ 1198633

16∙ [1 minus (

119889

119863)4

] =120587 ∙ 1198633

16∙ (1 minus 1198964) (427)

119882119911 = 119882119910 =120587 ∙ 1198633

32∙ [1 minus (

119889

119863)4

] =120587 ∙ 1198633

32∙ (1 minus 1198964) (428)

unde 119896 = 119889119863frasl

46 Variaţia momentelor de inerţie faţă de axe paralele

( Relațiile lui STEINER)

Se consideră o suprafaţă oarecare de arie 119860 cu elementul de arie 119889119860 și un sistemul

de axe central 119911119862119910 faţă de care se cunosc momentele de inerţie 119868119911 119868119910 119868119911119910 şi considerăm

un sistem de axe 11991111198741199101 paralele cu sistemul central figura 47 Se pune problema

determinării momentele de inerţie 1198681199111 1198681199101 11986811991111199101 faţă de sistemul de axe paralel cu sistemul

central 11991111198741199101 axe aflate la distanţele 119910119862 = 119888 respectiv 119911119862 = 119889 de acesta

461 Momente de inerţie axiale

Pe baza relaţiilor de definire şi a notaţiilor din figura 42 pentru momentele de

inerţie faţă de axele 1198741199111 1198741199101 se poate scrie

1198681199111 = int 11991012 ∙ 119889119860

119860

= int(119910 + 119888)2 ∙ 119889119860

119860

= int 1199102 ∙ 119889119860

119860

+ 2 ∙ 119888 ∙ int 119910 ∙ 119889119860

119860

+

+1198882int 119889119860

119860

rArr 1198681199111 = 119868119911 + 2 ∙ 119888 ∙ 119878119911 + 1198882 ∙ 119860 hArr 1198681199111 = 119868119911 + 119888

2 ∙ 119860

(429)

Fig 47 Variaţia momentelor de inerţie față de axe paralele

S-a ajuns la relația (429) deoarece momentul static 119878119911 este nul deoarece axa 119862119885

este axă centrală

Pentru momentul de inerție axial icircn raport cu axa 1198741199101 se obține

1198681199101 = int 11991112 ∙ 119889119860

119860

= int(119911 + 119889)2 ∙ 119889119860

119860

= int 1199112 ∙ 119889119860

119860

+ 2 ∙ 119889 ∙ int 119911 ∙ 119889119860

119860

+

+1198892 ∙ int 119889119860

119860

rArr 1198681199101 = 119868119910 + 2 ∙ 119889 ∙ 119878119910 + 1198892 ∙ 119860 hArr 1198681199101 = 119868119910 + 119889

2 ∙ 119860

(430)

Pentru momentul de inerție centrifugal obținem

11986811991111199101 = int 1199101 ∙ 1199111 ∙ 119889119860

119860

= int(119910 + 119888) ∙ (119911 + 119889) ∙ 119889119860

119860

= int 119910 ∙ 119911 ∙ 119889119860 +

119860

+119888 ∙ int 119911 ∙ 119889119860

119860

+ 119889 ∙ int 119910 ∙ 119889119860

119860

rArr 11986811991111199101 = 119868119911119910 + 119888 ∙ 119889 ∙ 119860

(431)

Deoarece

int 119911 ∙ 119889119860

119860

= 119878119910 = 0 int 119910 ∙ 119889119860

119860

= 119878119911 = 0 int 119910 ∙ 119911 ∙ 119889119860

119860

= 119868119911119910

Relaţiile (429) şi (430) arată că momentul de inerţie faţă de o axă oarecare

este egal cu momentul de inerţie faţă de o axă paralelă cu ea trecacircnd prin centrul de

greutate la care se adaugă produsul dintre aria suprafeţei şi pătratul distanţei dintre

cele două axe

Din relaţiile (429) și (430) rezultă de asemenea că momentul de inerţie faţă de o

axă centrală (care trece prin centrul de greutate) este cel mai mic dintre infinitatea de

momente de inerţie obținute faţă de alte axe paralele cu ea

Relaţia (431) arată de asemenea că momentul de inerţie centrifugal faţă de un

sistem de axe oarecare este egal cu momentul de inerţie centrifugal faţă de un sistem

paralele cu el trecacircnd prin centrul de greutate a suprafeţei la care se adaugă produsul

dintre aria suprafeţei şi distanţele dintre axele sistemelor respective

Icircn literatura de specialitate relaţiile (429) (430) şi (431) sunt cunoscute sub

numele de relaţiile lui Steiner

47 Variaţia momentrlor de inerţie faţă de axe rotite

Direcţii principale şi momente de inerţie principale

Fie suprafaţa plană din figura 48 de arie 119860 pe care considerăm o suprafaţă

elementară de arie 119889119860 Pentru sistemul de axe 119911119874119910 se cunosc momentele de inerţie

119868119911 119868119910 119868119911119910 şi vom determina relaţiile de calcul pentru momentele de inerţie afererent unui

sistem de axe 11991111198741199101 rotit cu un unghi faţă de sistemul central

Faţă de sistemul de axe 11991111198741199101 elementul de arie 119889119860 are coordonatele

1199101 = 119875119877 = 119875119876 minus 119877119876 = 119910 ∙ cos 120572 minus 119911 ∙ sin 120572

1199111 = 119873119872 = 119873119875 minus 119875119872 = 119911 ∙ cos 120572 + 119910 ∙ sin 120572 (432)

Fig 47 Variaţia momentelor de inerţie față de axe rotite

Pe baza relaţiilor de calcul ale momentelor de inerţie şi a notaţiilor din figura 42

şi ale relaţiilor (432) momentele de inerţie faţă de sistemul de axe rotit 11991111198741199101 sunt

1198681199111 =119868119911 + 119868119910

2+119868119911 minus 119868119910

2∙ cos 2120572 minus 119868119911119910 ∙ sin 2120572 (433)

1198681199101 =119868119911 + 119868119910

2minus119868119911 minus 119868119910

2∙ cos 2120572 + 119868119911119910 ∙ sin 2120572 (434)

11986811991111199101 =119868119911 minus 119868119910

2∙ sin 2120572 + 119868119911119910 ∙ cos 2120572 (435)

Din relaţiile 433divide435 se observă că icircntre momentele de inerţie axiale şi cele

polare există relaţia

1198681199111 + 1198681199101 = 119868119911 + 119868119910 = 119868119901 (436)

adică suma momentelor de inerţie axiale icircn raport cu orice pereche de axe ortogonale

care trec printr-un pol dat este o constantă şi egală cu momentul de inerţie polar

Prin rotirea sistemului de axe din relaţiile 433divide435 rezultă că momentele de inerţie

variază icircnsă suma lor rămacircne constantă deci există o poziţie a sistemului de axe pentru

care momentele de inerţie au valori extreme maxim respectiv minim

471 Direcţii principale de inerţie

Valoarea unghiului 120572 pentru care momentele de inerţie axiale au valori extreme

este

1205721 =1

2∙ 119886119903119888119905119886119899 (minus

2 ∙ 119868119911119910

119868119911 minus 119868119910) (437)

Poziţia celeilalte direcţii este perpendiculară pe cea dată de unghiul 1205721

Din relaţia (437) se constată că faţă de aceste direcţii rotite pentru care momentele

de inerţie axiale prezintă valori extreme momentul de inerţie centrifugal 11986811991111199101este nul

Atunci se poate afirma că momentele de inerţie axiale au valori extreme icircn raport cu

direcţiile faţă de care momentul de inerţie centrifugal este nul Aceste direcţii se numesc

direcţii principale iar momentele de inerţie faţă de aceste direcţii poartă numele de

momente de inerţie principale

Icircn calculele de rezistenţă interesează icircn mod special poziţia direcţiilor principale

care trec prin centrul de greutate al suprafeţei aşa numitele direcţii principale centrale şi

evident momentele de inerţie principale centrale

Direcţiile principale de inerţie se notează cu 1 respectiv 2 Axa principală 1

corespunde direcţiei faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea maximă iar

axa principală 2 pentru direcţia faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea

minimă

472 Momente de inerţie principale

Momentele de inerţie principale se notează cu litera 119868 la care se pune indicele 1

sau 2 după cum valoarea acestuia este maximă sau minimă deci avem un moment de

inerţie principal 1 (notat 1198681) respectiv moment de inerţie principal 2 (notat 1198682)

Expresiile pentru momentele de inerţie principale sunt

11986812 =119868119911 + 119868119910

2plusmn1

2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)

2+ 4 ∙ (119868119911119910)

2 (438)

Dacă momentul de inerţie centrifugal este negativ (119868119911119910 lt 0) direcţia principală

care trece prin primul cadran (definit de sistemul 119911119862119910) este direcţia principală 120783

Pentru suprafeţele cu cel puţin o axă de simetrie direcţiile centrale 119862119911 119862119910 sunt şi

direcții principale de inerţie și evident momentele de inerţie axiale 119868119911 119868119910 sunt momente

de inerţie principale

48 Caracteristici mecanice ale metalelor

Alegerea materialului pentru confecţionarea unei anumite piese se face şi pe baza

aşa numitelor caracteristici mecanice pe care le prezintă materialul Cunoaşterea acestor

caracteristici mecanice are loc numai pe baza unor icircncercări mecanice care să scoată icircn

evidenţă comportarea materialului icircn condiţii de solicitare

Cea mai utilizată icircncercare icircn urma căreia se pun icircn evidenţă caracteristicile

mecanice ale unui material este icircncercarea la tracţiune

481 Icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general

Icircncercarea la tracţiune a oţelului ca de altfel toate icircncercările de materiale este

standardizată

Icircn cele ce urmează se va prezenta numai partea care interesează strict din punct

de vedere al caracteristicilor mecanice ale oţelului

Epruveta de diametru iniţial 1198890 pentru icircncercarea la tracţiune are o porţiune de

lungime 1198710 numită baza de măsurare pe care se măsoară lungirea acesteia sub acţiunea

solicitării

Icircn funcţie de raportul dintre baza de măsurare 1198710 şi diametrul iniţial 1198890 epruvetele

utilizate pentru icircncercări sunt

epruvete normale (scurte) cacircnd 11987101198890 = 5

epruvete lungi cacircnd 11987101198890 = 10

Icircn timpul icircncercării la diferite valori ale forţei 119865 se măsoară lungirea bazei de

măsurare

∆119871 = 120575 = 119871 minus 1198710 (439)

unde

119871 este dimensiunea bazei de măsurare la un moment dat

Curba forţă-lungire (119865 minus ) icircnregistrată icircn urma icircncercării reprezintă curba

caracteristică la tracţiune

La icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general diagrama caracteristică care se

obţine are forma din figura 48

Curba caracteristică la tracţiune depinde de lungimea bazei de măsurare Pentru

icircnlăturarea acestui neajuns curba caracteristică se reprezintă icircn coordonate şi definite

astfel

120590 =119865

1198600 휀 =

120575

1198710 (440)

unde

1198600 este aria iniţială a secţiunii transversale a epruvetei (icircnainte de solicitare) icircn

zona bazei de măsurare

1198600 =120587 ∙ 1198890

2

4

Deoarece mărimile icircn care se reprezintă curba caracteristică la tracţiune sunt

raportate la aria iniţială a secţiunii transversale (mărimi specifice) curba poartă numele

de curbă caracteristică convenţională la tracţiune

Fig 48 Curba caracteristică convenţională la tracțiune

Pe curba caracteristică convenţională la tracţiune figura 48 se pot stabili o serie

de puncte cărora le corespund mai multe mărimi importante

Ordonata punctului A pacircnă unde curba caracteristică convenţională este linie

dreaptă se numeşte limita de proporţionalitate a materialului 120590119901(1205901) Porţiunea 119874119860 este

zona de proporţionalitate a curbei caracteristice pe acest domeniu este valabilă legea lui

Hooke care exprimă o proporţionalitate icircntre tensiune şi deformaţie specifică

120590 = 119864 ∙ 휀 (441)

unde

119864 = reprezintă panta porţiunii liniare a curbei convenționale caracteristice

la tracțiune Caracteristica de material 119864 se numeşte modul de elasticitate longitudinal

(modulul lui Young)

Ordonata punctului 119861 pacircnă unde materialul se comportă perfect elastic adică

după descărcare icircşi recapătă dimensiunea iniţială 1198710 se numeşte limita de elasticitate

120590119890(119877119890) Icircn realitate nici un material nu are comportare perfect elastică sub acţiunea

solicitărilor el capătă deformaţii permanente (remanente plastice)

După punctul 119861 urmează o porţiune 119861119862119863 icircn care cu toate că icircncărcarea

continuă forţa nu mai creşte avacircnd mici oscilaţii icircn jurul unei valori Se spune că icircn

această porţiune materialul curge iar intervalul 119861119862119863 este un palier de curgere Tensiunea

corespunzătoare palierului de curgere se numeşte limită de curgere aparentă 120590119888(119877119888) Limita de curgere aparentă se calculează cu relaţia

120590119888 =1198651198881198600 (442)

unde

119865119888 reprezintă valoarea forţei icircnregistrată icircn momentul curgerii materialului

După punctul 119863 curba caracteristică are un traseu ascendent pacircnă icircn punctul 119864

Porţiunea 119863119864 este numită zonă de icircntărire (ecruisare) Icircn zona de ecruisare unde se

produc deformaţii plastice semnificative legea lui Hooke nu mai este valabilă La

descărcare relaţia dintre tensiunea şi deformaţia specifică este liniară paralelă cu

porţiunea liniară a curbei caracteristice (dreapta 119872119873)

Deformaţia totală (휀119905) are două componente una elastică (휀119890) şi una plastică (휀119901)

Ordonata punctului 119864 reprezintă rezistenţa de rupere 120590119903(119877119898) a materialului

care se poate calcula cu relaţia

120590119903 = 119877119898 =1198651198981198861199091198600

(443)

unde

119865119898119886119909 reprezintă valoarea maximă a forţei icircnregistrată icircn timpul icircncercării

La atingerea valorii 119865119898119886119909 (punctul 119864) icircntr-un anumit loc al epruvetei secţiunea

icircncepe să se micşoreze (se produce gacirctuirea) continuacircnd pacircnă cacircnd se produce ruperea

totală (punctul 119865)

Dacă după ruperea epruvetei cele două părţi rezultate se aşează cap la cap şi se

măsoară dimensiunea bazei de măsurare 119871119906 (lungimea ultimă) se determină alungirea la

rupere sau lungirea specifică la rupere 휀119903

휀119903 =119871119906 minus 11987101198710

=∆119871

1198710=120575

1198710 (444)

De obicei alungirea se exprimă icircn procente şi se notează cu 119860119899 unde 119899 reprezintă

numărul dat de raportul 11987101198890 (epruvete normale 119899 = 5 epruvete lungi 119899 = 10)

119860119899 =119871119906 minus 11987101198710

∙ 100 [] (445)

Altă mărime care se determină la icircncercarea la tracţiune este gacirctuirea la rupere

(exprimată de obicei icircn procente) şi definită de relaţia

119885 =1198600 minus 1198601199061198600

∙ 100 [] (446)

Mărimile determinate limita de proporţionalitate modulul de elasticitate

longitudinal limita de elasticitate limita de curgere aparentă rezistenţa de rupere

alungirea la rupere şi gacirctuirea la rupere sunt cunoscute ca fiind caracteristici mecanice

ale materialului

Din curba caracteristică convenţională observăm faptul că ruperea (punctul 119865 din

figura 48 se produce la o tensiune mai mică decacirct cea corespunzătoare punctului 119864 Dacă

icircnsă forţa din timpul icircncercării s-ar raporta la aria secţiunii din momentul icircnregistrării

forţei (care este mai mică decacirct cea iniţială 1198600) s-ar obţine aşa numita curbă

caracteristică reală a materialului (traseul 1198741198601198611198621198631198651 din figura 48) La curba

caracteristică reală ruperea se produce icircn punctul 1198651 la o icircncărcare mai mare decacirct cea

corespunzătoare punctului 119864 Icircnseamnă că rezistenţa reală la rupere este mai mare decacirct

rezistenţa la rupere dată de punctul 119864 din diagrama caracteristică convenţională

Dificultatea obţinerii diagramei caracteristice reale faţă de cea a diagramei caracteristice

convenţionale şi considerarea unei rezistenţe la rupere mai mică decacirct a celei reale face

icircn practică utilizarea pe scară mare a diagramei caracteristice convenţionale

Caracteristicile mecanice determinate pe baza curbei caracteristice convenţionale

sunt şi ele caracteristici mecanice convenţionale

Caracteristicile mecanice convenţionale limita de proporţionalitate convenţională

120590119901 limita de elasticitate convenţională 120590119890 limita de curgere convenţională 120590119888 şi rezistenţa

de rupere 120590119903 constituie tensiuni limită pentru un material Pe baza acestor caracteristici

de material se alege valoarea tensiunii admisibile 120590119886 (vezi paragraful 35) pentru

calculele de rezistenţă Cea mai utilizată stare limită pentru stabilirea tensiunii admisibile

120590119886 este limita de curgere convenţională 120590119888

120590119886 =120590119897119894119898119888

=120590119888119888 119904119886119906 120590119886 =

120590119903119888 (447)

Caracteristicile mecanice ale materialului sunt influenţate de o serie de factori

temperatura viteza de solicitare factorii tehnologici iar valorile lor sunt date icircn tabele și

diagrame

Aplicaţie Pentru suprafaţa plană compusă din două dreptunghiuri avacircnd

dimensiunile din figura 49a să se calculeze

a) centrul de greutate al secțiunii compuse 119910119866 119911119866

b) momentele de inerție axiale 119868119911 119868119910 și momentul de inerție centrifugal 119868119911119910

c) razele de inerție 119894119911 119894119910

d) modulele de rezistență 119882119911119898119894119899 119882119911119898119886119909 119882119910119898119894119899 119882119910119898119886119909

e) momentele de inerție principale 1198681 1198682 și direcțiile principale de inerție 1205721

f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 119878119911

Fig 49 Aplicație

Rezolvare Pentru rezolvare vom parcurge următoarele etape

icircmpărțim suprafața compusă icircn două suprafețe simple (dreptunghiuri) notate cu

① și respectiv ② figura 49b

poziționăm centrele de greutate a celor două suprafețe simple ① și respectiv ②

notate cu 1198661 și respectiv 1198662 figura 49c

poziționăm sistemele de axe de coordonate 119911111986611199101 pentru dreptunghiul ① și

119911211986621199102 pentru dreptunghiul ② aflate la intersecția diagonalelor figura 49c

poziționăm sistemele de axe de coordonate 11991101198741199100 ales arbitrar față de care

determinăm poziția centrului de greutate 119866 figura 49c

a) calculăm poziția centrului de greutate folosind relațiile (46) icircn care

1198601 = 6119905 ∙ 119905 = 61199052 1198602 = 4119905 ∙ 119905 = 41199052 119860 = 1198601 + 1198602 = 61199052 + 41199052 = 101199052

iar centrele de greutate 1198661 și respectiv 1198662 au coordonatele (față de sistemul 11991101198741199100)

1198661 1199101 = 3119905 1199111 = 05119905

1198662 1199102 = 051199051199112 = 3119905

cu acestea obținem

119910119866 =1198601 ∙ 1199101 + 1198602 ∙ 1199102

119860=61199052 ∙ 3119905 + 41199052 ∙ 05119905

101199052=201199053

101199052= 2119905

119911119866 =1198601 ∙ 1199111 + 1198602 ∙ 1199112

119860=61199052 ∙ 05119905 + 41199052 ∙ 3119905

101199052=151199053

101199052= 15119905

Poziționăm centrul de greutate 119866 al suprafeței compuse figura 49c

Fig 49 Aplicație

b) pentru determinarea momentelor de inerție axiale 119868119911 119868119910 și a momentului de

inerție centrifugal 119868119910119911 determinăm constantele 1198881 1198882 1198891 1198892 care intervin icircn relația lui

Stainer

1198881 = 1199101 minus 119910119866 = 3119905 minus 2119905 = 119905 1198882 = minus(119910119866 minus 1199102) = minus(2119905 minus 05119905) = minus15119905

1198891 = minus(119911119866 minus 1199111) = minus(15119905 minus 05119905) = minus119905 1198892 = 1199112 minus 119911119892 = 3119905 minus 15119905 = 15119905

Folosind relațiile lui Stainer (429) (430) și (431) calculăm momentele de

inerție axiale și centrifugale față de sistemul central 119911119866119866119910119866

119868119911 =sum(119868119911119894 + 1198881198942 ∙ 119860119894) = 1198681199111 + 1198881

2 ∙ 1198601 + 1198681199112 + 11988822 ∙ 1198602

119868119910 =sum(119868119910119894 + 1198891198942 ∙ 119860119894) = 1198681199101 + 1198891

2 ∙ 1198601 + 1198681199102 + 11988922 ∙ 1198602

119868119911119910 =sum(119868119911119894119910119894 + 119888119894 ∙ 119889119894 ∙ 119860119894) = 11986811991111199101 + 1198881 ∙ 1198891 ∙ 1198601 + 11986811991121199102 + 1198882 ∙ 1198892 ∙ 1198602

1198681199111 = (119887 ∙ ℎ3

12) =

119905 ∙ (6119905)3

12= 181199054 1198681199112 = (

119887 ∙ ℎ3

12) =

4119905 ∙ 1199053

12= 031199054

1198681199101 = (1198873 ∙ ℎ

12) =

1199053 ∙ 6119905

12= 051199054 1198681199102 = (

1198873 ∙ ℎ

12) =

(4119905)3 ∙ 119905

12= 531199054

11986811991111199101 = 11986811991121199102 = 0 deoarece cele două triunghiuri au cel puțin o axă de simetrie

Cu acestea momentele de inerție axiale și momentul de inerție centrifugal devin

119868119911 = 181199054 + 1199052 ∙ 61199052 + 031199054 + (minus15119905)2 ∙ 41199052 = 3331199054

119868119910 = 051199054 + (minus119905)2 ∙ 61199052 + 531199054 + (15119905)2 ∙ 41199052 = 2081199054

119868119911119910 = 0 + 119905 ∙ (minus119905) ∙ 61199052 + 0 + (minus15119905) ∙ (15119905) ∙ 41199052 = minus151199054

c) razele de inerție sau de girație față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910

se calculează cu relațiile (411)

119894119911 = radic119868119911119860= radic

3331199054

101199052= 182119905 119894119910 = radic

119868119910

119860= radic

2081199054

101199052= 144119905

d) modulele de rezistență față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910 se

calculează cu relațiile (412) și (413)

Avacircnd icircn vedere figura 419c obținem

119910119898119886119909 = 6119905 minus 119910119866 = 6119905 minus 2119905 = 4119905 119910119898119894119899 = minus119910119866 = minus2119905

119911119898119886119909 = 5119905 minus 119911119866 = 5119905 minus 15119905 = 35119905 119911119898119894119899 = minus119911119866 = minus15119905

Se obține astfel

119882119911119898119894119899 =119868119911

|119910119898119886119909|=3331199054

4119905= 8331199053

119882119911119898119886119909 =119868119911

|119910119898119894119899|=3331199054

2119905= 16651199053

119882119910119898119894119899 =119868119910

|119911119898119886119909|=2081199054

35119905= 5941199053

119882119910119898119886119909 =119868119910

|119911119898119894119899|=2081199054

15119905= 13871199053

e) momentele de inerție principale 1198681 și respectiv 1198682 se calculează cu relațiile

(438)

11986812 =119868119911 + 119868119910

2plusmn1

2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)

2+ 4 ∙ (119868119911119910)

2=

=3331199054 + 2081199054

2plusmn1

2∙ radic(3331199054 minus 2081199054)2 + 4 ∙ (minus151199054)2 = 27051199054 plusmn 16251199054

De unde obținem

1198681 = 27051199054 + 16251199054 = 4331199054

1198682 = 27051199054 minus 16251199054 = 1081199054

Prima direcție principală de inerție 1 face cu axa centrală 119866119911 unghiul 1205721 dat de

relația (437)

1205721 =1

2∙ arctan (minus

2 ∙ 119868119911119910

119868119911 minus 119868119910) =

1

2∙ arctan [minus

2 ∙ (minus151199054)

3331199054 minus 2081199054] =33 70

Deoarece 1205721 gt 0 rotirea axelor se face acircn sens antiorar acelor de ceasornic figura

49d

Poziția axe principale 2 față de care momentul de inerție are valoarea minimă

1198682 = 119868119898119894119899 este dată de unghiul

1205722 = 1205721 + 900 = 33 70 + 900 = 123 70

f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 se determină cu relația

(45)

1198781199111198602 = 1198602 ∙ 1198882 = 41199052 ∙ (minus15119905) = minus61199053

icircnclinarea pantei diagramei forței 119879 este egală cu (ndash 119901) (sarcina distribuită cu

semn schimbat)

dacă 119901 = 119888119900119899119904119905 119879 variază liniar pe acel interval

Asemănător se deduce că derivata funcţiei forţei axiale icircn raport cu abscisa

secţiunii este egală cu sarcina distribuită axială din acea secţiune luată cu semn

schimbat adică

119889119873

119889119909= minus119901119867 (211)

Din condiția de echilibru suma de momente faţă de centrul de greutate al secţiunii

din dreapta

(sum119872)119862= 0 hArr 119872119894 minus (119872 + 119889119872119894) + 119879 ∙ 119889119909 minus 119901 ∙

(119889119909)2

2= 0 rArr

119889119872119894

119889119909= 119879 (212)

Relația (212) s-a obținut dupa reducerea termenilor și prin neglijarea infinitului

mic de ordinul 2

119901 ∙(119889119909)2

2

Relația (212) arată că derivata funcţiei moment icircncovoietor icircn raport cu abscisa

secţiunii este egală cu forţa tăietoare din acea secţiune

Observații

dacă 119879 = 0 momentul 119872119894 are un punct de extrem se obține o valoare maximă

pentru 119872119894119898119886119909 dacă forța tăietoare 119879 se anulează trecacircnd de la plus icircn stacircnga la minus icircn

dreapta secțiunii

dacă forța tăietoare este pozitivă pe un interval 119879 gt 0 atunci 119872119894 este crescătoare

pe acel interval

dacă forța tăietoare este negativă pe un interval 119879 lt 0 atunci 119872119894 este

descrescătoare pe acel interval

dacă pe un interval 119901 = 0 forța tăietoare este constantă 119879 = 119888119905 iar 119872119894 variază

liniar pe acel interval

dacă 119901 = 119888119900119899119904119905 119879 variază liniar pe acel interval iar 119872119894 variază parabolic pe

acel interval

Relaţiile diferenţiale sunt utile la reprezentarea corectă şi verificarea diagramelor

de eforturi astfel

pentru porţiunile de grindă pe care p = 0 eforturile N şi T sunt constante iar pe

porţiunile cu p = const eforturile N şi T variază liniar (relaţiile 211 şi 210)

dacă pe o porţiune T = const momentul icircncovoietor Miz variază liniar iar dacă

T variază liniar atunci momentul Miz variază parabolic (relaţia 212)

pe domeniile pe care T gt 0 funcţia Mi(x) este crescătoare iar icircn secţiunea icircn

care T = 0 (graficul funcţiei T intersectează axa x) momentul icircncovoietor are un punct

de extrem local (maxim sau minim relaţia 212)

Pentru rezolvarea problemelor referitoare la trasarea diagramelor de eforturi

pentru barele drepte solicitate de sisteme de forţe plane se parcurg următoarele etape

1) identificarea forţelor aplicate (date) şi pregătirea lor pentru calcule

(descompunerea forţelor concentrate pe direcţiile x şi y calculul rezultantelor forţelor

distribuite)

2) identificarea reazemelor şi introducerea reacţiunilor corespunzătoare (vezi

figurile 27divide29)

3) stabilirea ecuaţiilor de echilibru static calculul şi verificarea reacţiunilor Icircn

rezistența materialelor se folosește sistemul de ecuații (vezi figura 217)

(sum119865)

119909= 0

(sum119872)119860= 0

(sum119872)119861= 0

(213)

4) identificarea domeniilor de variaţie şi scrierea funcţiilor de eforturi pentru N T

şi Mi

5) reprezentarea grafică a diagramelor de eforturi

6) verificarea corectitudinii diagramelor pe baza relaţiilor diferenţiale icircntre eforturi

şi sarcini

Aplicație Pentru grinda dreaptă icircncărcată cu sistemul de forţe reprezentat icircn figura

220 se cere

a) să se calculeze şi să se verifice reacţiunile

b) să se stabilească funcţiile eforturilor Nx Ty şi Miz şi să se reprezinte diagramele

de variaţie

c) să se analizeze relaţiile diferenţiale icircntre eforturi şi sarcini

Dimensiunile grinzii au valorile a = 6 [m] b = 4 [m] și c = 4[m] sistemul de

forţe aplicat fiind format din p = 10 [kN mfrasl ] F = 20 [kN] (icircnclinată cu unghiul α =300 faţă de orizontală) şi M0 = 40 [kN ∙ m]

Rezolvare

a) Se fac următoarele precizări

grinda dreaptă se reprezintă prin axa geometrică

forţa icircnclinată F se descompune după direcţiile orizontală şi verticală icircn FV =F ∙ sin α = 10 [kN] şi FH = F ∙ cos α = 173 [kN]

forţa distribuită uniform p este echivalentă din punct de vedere static cu

rezultanta sa R = p ∙ a = 60 [kN] care acţionează la jumătatea porţiunii de lungime a

icircn reazemele 119860 şi 119861 se introduc componentele HA şi VA respectiv VB ale

reacţiunilor

Pentru calculul reacţiunilor se utilizează ecuaţiile de echilibru static al grinzii

sumXi = 0 HA minus FH = 0 sumYi = 0 VA + VB minus R minus FV = 0 (sumM)B = 0 VA ∙ (b + a) minus R ∙ (b + 05 ∙ a) minus M0 + FV ∙ c = 0

(A1)

Din prima ecuaţie se obţine HA iar din cea de-a treia ecuaţie rezultă VA

HA = FH = 173 [kN]

VA =[R ∙ (b + 05 ∙ a) + M0 minus FV ∙ c]

(b + a)=[60 ∙ (4 + 05 ∙ 6) + 40 minus 10 ∙ 4]

(4 + 6)

VA = 42 [kN]

(A2)

Fig 220 Aplicație

Se observă că cea de-a doua ecuaţie de echilibru conţine două necunoscute

reacţiunile VA şi VB Pentru a calcula componenta VB nu este indicată introducerea lui VA

icircn cea de-a doua ecuaţie a sistemului (A1) pentru că o valoare determinată greşit pentru

VA conduce la o valoare VB de asemenea greşită O ecuaţie independentă din care se poate

determina componenta VB este următoarea

(sumM)A= 0 FV ∙ (a + b + c) minus VB ∙ (a + b) minus M0 + R ∙ 05 ∙ a = 0 (A3)

de unde se obţine

VB =[FV ∙ (a + b + c) minusM0 + R ∙ 05 ∙ a]

(b + a)=[10 ∙ (6 + 4 + 4) minus 40 + 60 ∙ 05 ∙ 6]

(6 + 4)

VB = 28 [kN] (A4)

Ecuaţia de proiecţii ale forţelor pe direcţia verticală (a doua ecuaţie din sistemul

A1) se utilizează pentru verificarea reacţiunilor deja determinate

VA + VB minus R minus FV = 0 rArr 42 + 28 minus 60 minus 10 = 0 (A5)

Ultima egalitate demonstrează că reacţiunile verticale au fost calculate corect

Din cele de mai sus rezultă ordinea firească pentru determinarea reacţiunilor icircn

cazul grinzilor simplu rezemate

sumXi = 0

(sumM)A = 0

(sumM)B = 0

(A6)

iar pentru verificarea componentelor verticale VA şi VB se folosește ecuaţia sumY = 0

b) La stabilirea funcţiilor de eforturi se parcurg icircn general etapele următoare

se notează (numeric sau literal după preferinţă) secţiunile care delimitează

domeniile (intervalele sau tronsoanele) pe care eforturile nu-şi modifică funcţiile (au legi

unice de variaţie)

pe fiecare domeniu se marchează secţiunea imaginară icircn care se stabilesc

funcţiile eforturilor

secţiunea astfel aleasă separă icircn două părţi grinda şi anume porţiunea din stacircnga

şi porţiunea din dreapta secţiunii

se va considera parcursă (şi icircndepărtată) acea parte pe care acţionează mai puţine

sarcini exterioare pentru că acestea vor interveni icircn expresiile funcţiilor de eforturi

poziţiile secţiunilor imaginare se vor determina prin variabilele x1 ⋯ xn (unde

n reprezintă numărul domeniilor de variaţie) cu originea fixată icircn capătul intervalului şi

sensul de parcurgere spre partea considerată rămasă

Grinda prezentată icircn figura 220 are trei domenii de variaţie pentru funcţiile de

eforturi după cum urmează (A-1) (2-B) şi (B-1)

Domeniul (A-1) x1 isin [0 a = 6 m] Porţiunea parcursă şi considerată icircndepărtată este cea de coordonată x1 pe care

acţionează reacţiunile HA şi VA precum şi rezultanta parţială a sarcinii distribuite R1 =p ∙ x1

Funcţia forţă axială Nx are expresia

Nx(x1) = NAminus1 = minusHA = minus173 [kN] = const

(A7)

Funcţia forţă tăietoare Ty are exspresia

Ty(x1) = TAminus1 = VA minus R1 = VA minus p ∙ x1 (A8)

care reprezintă o variaţie liniară de variabilă x1 Se calculează valorile forţei tăietoare la

limitele intervalului de variaţie

- pentru x1 = 0 Ty(x1 = 0) = TA = VA = 42 [kN]

- pentru x1 = a = 6 [m] Ty(x1 = 6) = T1 = VA minus p ∙ a = minus18 [kN]

Observaţie Aşa cum a fost stabilită secţiunea fictivă poziţionată prin coordonata

x1 sar părea că rezultanta R ar trebui luată icircn calculul lui Ty(x1) Acest lucru ar fi greşit

pentru că R = p ∙ a reprezintă rezultanta sarcinii distribuite pe toată lungimea a iar

rezultanta pe porţiunea parcursă de lungime x1 este R1 = p ∙ x1 ne R = p ∙ a

Cu valorile obţinute se trasează diagramele forţelor axială Nx = f(x) şi tăietoare

Ty = f(x) figura 220 Din diagrama forţei tăietoare şi din valorile obţinute analitic se

observă că forţa tăietoare icircşi schimbă semnul pe intervalul analizat deci se anulează pe

acest interval Poziţia secţiunii unde Ty se anulează se determină din ecuaţia

Ty(x1) = 0 rArr VA minus p ∙ x1 = 0 (A9)

cu soluţia x1lowast = ξ = 42 [m] Important de reamintit că icircn această secţiune momentul

icircncovoietor va avea un extrem local adică Miz are un extrem la Ty = 0

Funcţia moment icircncovoietor Miz are expresia

Miz(x1) = VA ∙ x1 minus R1 ∙x12= VA ∙ x1 minus (p ∙ x1) ∙

x12

(A10)

Se observă că funcţia moment icircncovoietor de variabilă x1 are o variaţie parabolică

(gradul al II-lea) Pentru reprezentarea grafică a funcţiei parabolice se calculează valorile

momentului icircncovoietor icircn trei secţiuni

- pentru x1 = 0 Miz(x1 = 0) = MA = 0 [kN ∙ m] - pentru x1 = a = 6 [m] Miz(x1 = 6) = M1 = 72 [kN ∙ m] - pentru x1

lowast = ξ = 42 [m] Miz(x1lowast = ξ = 42 [m]) = Mimax = 882 [kN ∙ m]

Cu acestea se trasează diagrama Miz = f(x) pe intervalul (A-1) figura 220

Observaţie Icircn unele cazuri pe un anumit interval forţa tăietoare nu se anulează

şi momentul icircncovoietor nu are un extrem local Icircn acest caz pentru reprezentarea

variaţiei parabolice a momentului icircncovoietor se va studia semnul derivatei a doua a

funcţiei Miz = f(x1) acesta determinacircnd convexitatea curbei momentului icircncovoietor

Domeniul (2-B) x2 isin [0 c = 4 m] Porţiunile din grindă libere (nerezemate) la un capăt se numesc console iar

stabilirea funcţiilor de eforturi devine mai simplă dacă se consideră icircndepărtată partea din

dreapta secţiunii prin schimbarea sensului pozitiv al axei x Astfel se obţin funcţiile eforturilor

Funcţia forţă axială Nx are expresia

Nx(x2) = N2minusB = minusFH = minus173 [kN] = const

(A11)

Funcţia forţă tăietoare Ty are exspresia

Ty(x2) = T2minusB = FV = 10 [kN] = const (A12)

Funcţia moment icircncovoietor Miz are expresia

Miz(x2) = minusFV ∙ x2 rArr Miz(x2 = 0) = M2 = 0 [kN ∙ m]

Miz(x2 = 4) = MB = minus40 [kN ∙ m] (A13)

variaţie liniară (gradul I)

Domeniul (B-1) x3 isin [0 b = 4 m] Pe acest domeniu se acceptă parcurgerea grinzii de la dreapta adică se consideră

icircndepărtată partea din dreapta secţiunii fictive pentru că are doar două sarcini aplicate F

şi VB faţă de partea din stacircnga secţiunii pe care sunt aplicate trei sarcini p VA şi M0

Astfel se obţin funcţiile eforturilor

Funcţia forţă axială Nx are expresia

Nx(x3) = NBminus1 = minusFH = minus173 [kN] = const

(A14)

Funcţia forţă tăietoare Ty are exspresia

Ty(x3) = TBminus1 = FV minus VB = minus18 [kN] = const (A15)

Funcţia moment icircncovoietor Miz are expresia

Miz(x3) = minusFV ∙ (x3 + c) + VB ∙ x3 rArr

rArr Miz(x3 = 0) = MB = minus40 [kN ∙ m]

Miz(x3 = 4) = M1 = 32 [kN ∙ m]

(A16)

variaţie liniară (gradul I)

Diagramele eforturilor sunt prezentate icircn figura 220

c) Relaţiile diferenţiale dintre eforturi şi sarcini se analizează pe diagramele

eforturilor după cum urmează

sarcina distribuită nu are componentă orizontală adică ph = 0 şi icircn

conformitate cu formula (211) rezultă că Nx = const pe toată lungimea grinzii fapt care

a rezultat din funcţia şi reprezentarea diagramei forţei axiale

pe intervalul (A-1) sarcina distribuită are doar componenta verticală pozitivă

pV = p gt 0 prin urmare forţa tăietoare scade (are panta negativă dTy 119889119909frasl = minusp vezi

relaţia 210) iar momentul icircncovoietor avacircnd derivata a doua negativă d2M119894119911 1198891199092frasl =minuspare convexitatea curbei orientată spre sensul pozitiv al axei momentului Miz adică icircn

jos

pe domeniile (2-B) şi (B-1) deoarece pv = 0 forţa tăietoare Ty este constantă

iar momentul icircncovoietor Miz variază liniar

referitor la relaţia (212) pe porţiunile unde Ty gt 0 momentul Miz este

monoton crescător pe porţiunile unde Ty lt 0 momentul Miz este monoton descrescător

iar icircn secţiunea icircn care Ty = 0 momentul icircncovoietor are un extrem local Mξ =

882 [kN ∙ m] icircn diagrama forţei tăietoare discontinuităţile (salturile) se produc icircn secţiunile

unde acţionează VA VB şi FV iar icircn diagrama momentului icircncovoietor se produce un

singur salt icircn secţiunea icircn care este aplicat M0

se poate scrie

Mξ = suprafața diagramei Ty |ξ0=1

2∙ 42 ∙ 42 = 882 [kN ∙ m]

sau parcurgacircnd grinda de la dreapta la stacircnga rezultă

MB = minussuprafața diagramei Ty |c0= minus10 ∙ 4 = minus40 [kN ∙ m]

Toate aspectele analizate teoretic referitoare la relaţiile diferenţiale dintre eforturi

şi sarcini se regăsesc icircn diagramele de eforturi din figura 220 ceea ce icircnseamnă că

diagramele au fost reprezentate corect

3 TENSIUNI DEPLASĂRI ŞI DEFORMAŢII SPECIFICE

31 Tensiuni

Eforturile obținute icircn urma reducerii forțelor interioare icircn centrul de greutate al

secțiunii nu pot da informații asupra solicitării fiecărui punct al secțiunii respective Este

necesar să se cunoască modul cum se distribuie forțele interioare icircn fiecare punct al

secțiunii pentru a ști care este intensitatea maximă a solicitării Această intensitate

maximă se poate compara cu o valoare critică specifică materialului stabilindu-se astfel

dacă solicitarea este periculoasă sau nu

Mărimea care caracterizează solicitarea locală punctuală o vom denumi tensiune

și o vom defini icircn cele ce urmează Să considerăm partea din dreapta a unui corp solicitat

de forțele exterioare 1198651 1198652 și 1198653 obținută prin secționarea corpului și mărginită de fața

din dreapta Ad a secțiunii Pe secțiunea Ad vom considera un element de arie infinit mic

∆119860 caracterizat de normala la elementul de arie normală care are cosinușii directori

120573 și icircn raport cu un sistem de axe considerat fix Pe elementul infinit mic ∆119860 acționează

forțele interioare care au o rezultantă oarecare figura 31

Prin definiție tensiunea totală este

= lim∆119860rarr0

∆

∆119860 (31)

Tensiunea are aceeaşi direcţie cu forţa elementară ∆ iar mărimea ei este

determinată atacirct de mărimea forţei ∆ cacirct şi de orientarea suprafeţei ∆119860 faţă de direcţia

forţei

Tensiunea 119901 poate fi descompusă icircntr-o componentă orientată după direcţia

normalei la secţiune tensiunea normală notată cu 120590119909 şi o componentă icircn planul secţiunii

tensiunea tangenţială notată cu figura 32

= 119909 + 120591 (32)

Fig 31 Tensiunea totală Fig 32 Tensiunea normală și tangențială

La racircndul ei componenta tensiunii cuprinsă icircn planul secțiunii poate fi

descompusă după direcțiile axelor y și z

120591 = 120591119909119910 + 120591119909119911 (33)

Icircntre cele trei componente ale tensiunii totale care acționează pe elementul de arie

∆119860 este valabilă relația

1199012 = 1205901199092 + 120591119909119910

2 + 1205911199091199112 (34)

După sensul pe care icircl are tensiunea normală 120590 poate avea efect de tracţiune sau

de compresiune exercitat de către partea de corp icircnlăturată asupra părţii rămase Analog

tensiunea tangenţială 120591 poate avea efect de tăiere forfecare sau alunecare Pentru

componentele tensiunii tangențiale 120591119909119910 pe direcţia 119910 respectiv 120591119909119911 pe direcţia 119911 primul

indice indică axa pe care tensiunea este normală iar cel de-al doilea indice indică axa cu

care aceasta este paralel

Tensiunea este o mărime tensorială valoarea ei depinzacircnd atacirct de poziția

punctului icircn planul secțiunii cicirct și de orientarea planului de secționare deci de normala

Operaţiile vectoriale nu pot fi aplicate tensiunilor decacirct după ce acestea au fost icircnmulţite

cu ariile respective adică au fost transformate icircn forţe

Icircn literatura de specialitate mai ales icircn manualele mai vechi pentru noţiunea de

tensiune se mai foloseşte şi denumirea de efort specific

Dacă se consideră un alt element de arie ∆119860 cu centrul icircn același punct avacircnd ca

normală axa 119910 se vor obține alte tensiuni și anume

- 120590119910 este tensiunea normală (paralelă cu axa y)

- 120591119911119909 și 120591119910119911 sunt tensiuni tangențiale paralele cu axele 119909 și respectiv 119911 aflate icircn

planul care are ca normală axa 119910

Dacă icircn jurul unui punct dintr-un corp solicitat se consider un element de volum

infinit mic de forma unui cub icircn cazul cel mai general pe fețele sale vor acționa

tensiunile normale 120590119909 120590119910 și 120590119911 și respectiv tensiunile tangențiale 120591119909119910 120591119909119911 120591119910119909 120591119910119911 120591119911119909

și respectiv 120591119911119910 figura 33 Aceste tensiuni definesc starea de tensiune a punctului

observacircnd faptul că tensorul tensiune are 9 componente Dacă se consideră elementul

de volum finit ca fiind foarte mic se poate presupune că icircn interiorul său nu apar forțe

Ca urmare el va fi icircn echilibru sub acțiunea forțelor elementare produse de tensiunile de

pe fețele sale

Din condiția ca elementul să nu se rotească icircn jurul unor axe care trec prin centrul

său și sunt paralele cu axele sistemului 119909119874119910119911 rezultă

2 ∙ 120591119909119910 ∙ (119889119910 ∙ 119889119911) ∙119889119909

2= 2 ∙ 120591119910119909 ∙ (119889119909 ∙ 119889119911) ∙

119889119910

2 rArr 120591119909119910 = 120591119910119909 (35)

2 ∙ 120591119910119911 ∙ (119889119909 ∙ 119889119911) ∙119889119910

2= 2 ∙ 120591119911119910 ∙ (119889119909 ∙ 119889119910) ∙

119889119911

2 rArr 120591119910119911 = 120591119911119910 (36)

2 ∙ 120591119909119911 ∙ (119889119910 ∙ 119889119911) ∙119889119909

2= 2 ∙ 120591119911119909 ∙ (119889119909 ∙ 119889119910) ∙

119889119911

2 rArr 120591119909119911 = 120591119911119909 (37)

Relațiile (35divide37) 120591119909119910 = 120591119910119909 120591119910119911 = 120591119911119910 120591119909119911 = 120591119911119909 exprimă principiul dualității

tensiunilor tangențiale

Fig 33 Tensiunile normale și tangențiale pe fețele unui cub

Din condiția ca elementul considerat să nu se deplaseze icircn lungul axelor de

coordonate pe fețele opuse acționează aceleași tensiuni normale 120590119909 120590119910 și respectiv 120590119911

Definirea tensorului tensiune este posibilă dacă se cunosc cele 6 componente

independente ale acestuia aflate icircn trei plane perpendicular ce trec prin punctul respectiv

=

120590119909 120591119909119910 120591119909119911120591119910119909 120590119910 120591119910119911120591119911119909 120591119911119910 120590119911

Observaţii

Tensiunile se măsoară icircn [119873 1198982frasl ] (1119873 1198982frasl = 1 119875119886) sau icircn [119872119875119886]

(1 119872119875119886 = 106119875119886 = 106 119873

1198982 1 119872119875119886 = 1

119873

1198981198982)

Starea de tensiune dintr-un punct este considerată cunoscută dacă se cunosc

tensiunile 119901 care acționează pe infinitatea de elemente de suprafață ce trec prin punctual

considerat

Starea de tensiune a unui corp se consider cunoscută dacă se cunosc stările de

tensiune de pe infinitatea de puncte ale corpului considerat

32 Deplasări Deformaţii specifice

321 Deplasări

Aceste noțiuni sunt utile icircn analiza aspectului geometric al problemelor de rezistența

materialelor Deplasările care se analizează sunt cele datorate schimbării formei și

dimensiunilor corpurilor ca urmare a acțiunii forțelor exterioare și nu cele cinematice

posibile pentru solidul rigid care se poate deplasa cu anumită viteză și accelerație

Spre exemplu icircn figura 34a și figura 34b sub acțiunea forței 119865 tronsonul de

bară AB se deformează icircn timp ce tronsonul BC deși punctele sale au deplasări rămacircne

nedeformat (fiind nesolicitat) Toate punctele de pe axele barelor cu excepția celor din

icircncastrare (secțiunile A) au deplasări liniare De cele mai multe ori deformațiile barelor

datorate acțiunii forțelor exterioare se anulează la icircndepărtarea forțelor se spune că

deformațiile sunt elastice Secțiunile transversale ale barei din figura 34a se și rotesc icircn

raport cu pozițiile lor inițiale Spre exemplu secțiunea de căpăt cu centrul icircn C se rotește

cu unghiul

Fig 34 Deformațiile unei grinzi

Oricacirct de complexă ar fi delormația unui corp ea poate fi descrisă de lungiri sau

scurtări și de modificări ale unghiurilor inițiale

Deplasările măsoară schimbarea poziției unui punct al corpului și pot fi liniare

sau unghiulare

Prin deplasare liniară a unui punct se icircnțelege drumul parcurs de acest punct icircn

decursul procesului de deformație după o dreaptă suport dreapta 1198611198611 din figura 34a

Prin deplasare unghiulară se icircnțelege rotirea dintre segmentele de dreaptă

determinate de două puncte ale corpului icircnainte și după deformarea acestuia unghiul

pe care-l fac segmentele 119861119862 și 11986111198621 din figura 34a Această rotire se măsoară prin

unghiul pe care-l fac proiecțiile dreptelor ce conțin cele două segmente icircntr-un sistem

triortogonal

Icircn cazul cel mai general vectorul deplasare liniară se poate descompune icircntr-un

sistem triortogonal icircn trei componente 119906 119907 și 119908 figura 35

Fig 35 Deplasarea liniară

Se consideră acum un corp solid raportat la un sistem de axe ortogonal 119909119874119910119911

figura 35 după deformarea corpului un punct oarecare 119870 al acestuia se deplasează icircn

poziţia 1198701 vectorul 1198701198701 poartă numele de vectorul deplasării totale

Deplasarea totală este suma deplasărilor pe cele trei direcţii ortogonale iar

aceste deplasări se notează astfel

deplasarea pe direcţia 119909 cu ∥ 119874119909

deplasarea pe direcţia 119910 cu ∥ 119874119910

deplasarea pe direcţia 119911 cu ∥ 119874119911

Componentele deplasărilor și formeză matricea deplasărilor liniare 119906119907119908

322 Deformații

Prin deformație icircn general se icircnțelege orice schimbare de formă a unui corp fără

o evaluare cantitativă Icircn Rezistența Materialelor deformația măsoară variația

dimensiunilor geometrice ale corpului considerat din vecinătatea unui punct analog

deplasărilor deformațiile pot fi liniare și unghiulare (lunecări)

Fig 36 Deplasarea liniară

Deformația liniară ∆119897 reprezintă variația lungimii 119897 a unui element liniar al

corpului deformat figura 36 Deformația liniară specifică se definește ca fiind raportul

dintre deformația liniară și lungimea inițială

휀 =∆119897

119897 (38)

unde ∆119897 este lungirea sau scurtarea care este echivalentă cu deformția liniară totală iar

este alungirea

Deformația unghiulară sau lunecarea unui punct 119860 icircn planul 119861119860119862 se definește

prin relația figura 37

120574 = lim119861119860rarr0119862119860rarr0

(119861119860 minus 119861111986011198621 ) (39)

Fig 36 Deformația unghiulară

Schimbacircnd orientarea planului care trece prin 119860 se obțin alte deformații

unghiulare Dacă elementele liniare 119861119860 și 119862119860 sunt inițial perpendiculare deformația 120574 se

numește deformație unghiulară specifică sau lunecare specifică figura 37

Un exemplu de deplasare unghiulară și de deformație unghiulară este prezentat icircn

figura 38 Unghiul este deplasarea unghiulară și măsoară rotirea relativă dintre două

secțiuni aflate la distanța 119897 Unghiul este deformația specifică unghiulară (lunecarea

specifică) din punctul 119870 Aceste deplasări și deformații se obțin icircn urma solicitării barei

de către cele două momente 1198720 egale și de sens contrar

Fig 38 Deplasarea unghiulară

Pentru a analiza starea de deformație din vecinătatea unui punct al unui corp

solicitat complex se decupează din jurul punctului un element de volum mic figura 39a

avacircnd laturile 119889119909 119889119910 și 119889119911 Ca urmare a solicitării laturile acestuia se vor lungi sau

scurta Reprezentarea elementului deformat icircn spațiu este dificilă pentru simplificare

vom analiza doar deformațiile din planul 119909119874119910 Observăm că dimensiunile 119889119909 și 119889119910 s-au

modificat cu valoarea ∆119889119909 respectiv cu ∆119889119910 analog se acceptă și pentru 119889119911 o modificare

de forma ∆119889119911 Astfel se pot defini deformațiile specifice liniare

휀119909 =∆119889119909

119889119909 휀119910 =

∆119889119910

119889119910 휀119911 =

∆119889119911

119889119911 (310)

De cele mai multe ori aceste deformații specifice liniare se pot exprima procentual

și se mai numesc alungiri

Fig 39 Starea de deformație

Icircn figura 39c se vede că unghiul inițial drept dintre muchiile 119889119909 și 119889119910 ale

elementului de volum s-a modificat Se definește deformația specifică unghiulară (sau

lunecarea specifică) mărimea cu care se modifică unghiul inițial drept

120574119909119910 = 120574119909119910prime + 120574119910119909

prime = 120574119910119909120574119910119911 = 120574119910119911

prime + 120574119911119910prime = 120574119911119910

120574119911119909 = 120574119911119909prime + 120574119909119911

prime = 120574119909119911

(311)

Deformațiile 휀119909 휀119910 휀119911 120574119909119910 120574119910119911 120574119911119909 constituie cele șase componente

independente ale tensorului deformațiilor specifice care pot fi scrise de forma

119863 =

휀119909 120574119909119910 120574119909119911120574119910119909 휀119910 120574119910119911120574119911119909 120574119911119910 휀119911

(312)

323 Contracţia transversală

Practica arată că odată cu lungirea unei bare apare o micşorare a mărimii secţiunii

transversale mărime numită contracţie transversală figura 310

Fig 310 Contracția transversală

Contracţia transversală este proporţională cu lungirea specifică coeficientul de

proporţionalitate se notează cu 120599 şi se numeşte coeficient de contracţie transversală sau

coeficientul lui Poisson

La o lungire specifică a barei contracţia transversală este dată de relația

휀119905119903 = 휀119910 = 휀119911 = minus120599 ∙ 휀119909 (313)

Semnul minus bdquo-rdquo arată că cele două mărimi sunt contrare dacă una creşte cealaltă

scade şi invers

Considerăm o bară cilindrică de lungime 119897 şi aria secţiunii transversale 119860 solicitată

la icircntindere axială La un moment dat datorită solicitării lungimea barei devine

[119897 ∙ (1 + 휀)] diametrul devine [119889 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)] iar aria secţiunii transversale devine

[119860 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)2] Dacă volumul barei icircnainte de solicitare a fost (119860 ∙ 119897) după solicitare

acesta devine

119881 + ∆119881 = 119860 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)2 ∙ 119897 ∙ (1 + 휀) =

= 119860 ∙ 119897 ∙ (1 + 휀 minus 2 ∙ 120599 ∙ 휀 minus 2 ∙ 120599 ∙ 휀2 + 1205992 ∙ 휀2 + 1205992 ∙ 휀3) (314)

Deoarece lungirile sunt foarte mici ultimii trei termeni din paranteză fiind infinit mici se pot neglija obţinacircnd

119881 + ∆119881 = 119860 ∙ 119897 + 119860 ∙ 119897 ∙ 휀 ∙ (1 minus 2 ∙ 120599) ⟺ ∆119881 = 휀 ∙ (1 minus 2 ∙ 120599) ∙ 119860 ∙ 119897 (315)

Practica arătă că o astfel de bară solicitată la icircntindere icircşi măreşte volumul deci

∆119881 gt 0 de unde rezultă că

1 minus 2 ∙ 120599 gt 0 rArr 120599 lt 05 (316)

Pentru majoritatea materialelor 120599 = 033 iar pentru materialele care-şi păstrează

volumul constant 120599 = 05

33 Relaţii de echivalenţă icircntre eforturi şi tensiuni

Considerăm un element de suprafață infinit mic 119889119860 situat pe fața de arie (119860) a

secțiunii barei din figura 311 Icircn centrul de greutate 119862 al secțiunii acționează eforturile

119873 119879119910 119879119911 119872119909 119872119894119910 și 119872119894119911 determinate prin metoda secțiunilor

Icircn raport cu un sistem de axe de referință 119909119862119910119911 coordonatele elementului 119889119860 sunt

- 119910 este ordonata elementului de arie 119889119860

- 119911 este abscisa elementului de arie 119889119860

Pe elementul de arie 119889119860 acționează tensiunile

120590119909 tensiunea normală

120591119909119910 și 120591119909119911 tensiuni tangențiale

Dacă se icircnsumează forțele elementare de tipul 120590119909 ∙ 119889119860 120591119909119910 ∙ 119889119860 și 120591119909119911 ∙ 119889119860

va trebui să obținem eforturile 119873 119879119910 și 119879119911

Fig 311 Element de suprafață mic din secțiunea unei bare

Dacă eforturile sunt privite ca forțe exterioare și se scriu ecuațiile de

echilibru ale secțiunii (119860) se vor obține șase relații de echivalență icircntre eforturi și

tensiuni

(sum119883) = 0 rArr int 120590119909 ∙ 119889119860

119860

= 119873 (317)

(sum119884) = 0 rArr int 120591119909119910 ∙ 119889119860

119860

= 119879119910 (318)

(sum119885) = 0 rArr int 120591119909119911 ∙ 119889119860

119860

= 119879119911 (319)

(sum119872)119909= 0 rArr int(120591119909119911 ∙ 119889119860) ∙ 119910

119860

minus int(120591119909119910 ∙ 119889119860) ∙ 119911

119860

= 119872119909 rArr

rArr int(119910 ∙ 120591119909119911 minus 119911 ∙ 120591119909119910) ∙ 119889119860

119860

= 119872119909

(320)

(sum119872)119910= 0 rArr int(120590119909 ∙ 119889119860) ∙ 119911

119860

= 119872119894119910 (321)

(sum119872)119911= 0 rArr int(120590119909 ∙ 119889119860) ∙ 119910

119860

= 119872119894119911 (322)

Cele șase relații de echivalență icircntre eforturi și tensiuni constituie un pas icircnainte

icircn rezolvarea unei probleme de rezistența materialelor Aceste relații vor permite

determinarea tensiunilor maxime

Pentru a rezolva cele 6 relații de echivalență trebuie să se cunoască tensiunile și

ca funcții de punct adică funcții de forma

120590119909 = 120590119909(119909 119910 119911) 120591119909119910 = 120591119909119910(119909 119910 119911) 120591119909119911 = 120591119909119911(119909 119910 119911) (32

3)

Cunoașterea acestor funcții presupune icircnsă analizarea aspectului geometric al

problemei precum și utilizarea unor ipoteze simplificatoare care să permită simplificarea

problemelor

34 Ipoteze de bază icircn rezistenţa materialelor

Depășirea dificultăților legate de interpretarea unor fenomene specifice mecanicii

solidului deformabil a impus acceptarea unor ipoteze care să simplifice fenomenele și să

contribuie la elaborarea unor modele de calcul cicirct mai generale și cacirct mai simple Aceste

ipoteze se referă la structura materialelor şi la comportarea lor sub acţiunea forţelor

exterioare Ipotezele acceptate trebuie să fie icircn deplină concordanţă cu realitatea și să

conducă la rezultate verificate icircn practică

Funcție de aspectele la care se referă ipotezele pot fi

Ipoteze fizice (de material)

Ipoteze de calcul

341 Ipoteze fizice

Se acceptă deoarece teoriile structurale au condus la rezultate care contravin

icircncercărilor experimentale

Ipoteza mediului continuu consideră că orice domeniu elementar al corpului

este ocupat de materie adică nu se acceptă existența unor goluri sau a unor crăpături

microscopice (fisuri) Deși nu corespunde realităţii poate fi acceptată deoarece

dimensiunile corpului sunt mult mai mari decacirct dimensiunile particulelor elemantare Are

avantajul că permite utilizarea proprietăților matematice ale funcțiilor continue pentru

tensiunile și deformațiile din orice punct al corpului Ea este mai apropiată de realitate la

corpurile amorfe şi mai depărtată la cele cristaline dar conduce la rezultate satisfăcătoare

icircn calculele de rezistenţă

Ipoteza nu se poate aplica la corpurile care au goluri tăieturi (multiplu conexe)

pentru unele puncte singulare icircn care tensiunile și deformațiile tind la infinit sau icircn unele

probleme de plasticitate icircn care proprietățile de material au un rol esențial

Ipoteza izotropiei conform acestei ipoteze materialul din care este confecționat

un element de rezistență are aceleași proprietăți după orice direcție un astfel de material

este considerat izotrop Din punct de vedere macroscopic metalele pot fi considerate

izotrope deși la nivel microscopic proprietățile lor diferă de la o direcție cristalografică

la alta Orice conglomerat de cristale poate fi considerat izotrop

Există cazuri cacircnd această ipoteză a izotropiei nu se acceptă

la metalele puternic deformate după o direcție (prin laminare trefilare)

la piesele confecționate din lemn lemnul este anizotrop deoarece proprietățile sale

diferă după două direcții (icircn lungul fibrelor și perpendicular pe această direcție)

Ipoteza omogenității consideră că un corp are aceleași proprietăți icircn orice

punct al său Deși majoritatea materialelor utilizate icircn tehnică sunt eterogene la scară

micro fiind constituite din mai multe faze cu proprietăți diferite la scară macro ele pot

fi considerate omogene Omogenitatea și izotropia sunt proprietăți statistice medii care

nu se condiționează una pe cealaltă Chiar și materialele monofazice pot avea la scară

micro unele segregații care le fac eterogene

Ipoteza elasticităţii perfecte presupune că atacircta timp cacirct solicitările nu

depăşesc anumite limite materialul are o comportare elastică adică icircşi recapătă forma şi

dimensiunile iniţiale odată cu icircnlăturarea sarcinilor Icircn realitate materialele nu prezintă o

elasticitate perfectă ele avacircnd deformaţii remanente mici care icircnsă pot fi neglijate icircn

calculele de rezistenţă

Acceptarea acestei ipoteze a elasticității perfecte permite

- aplicarea relației biunivoce icircntre tensiuni și deformații relație exprimată de legea

lui Hooke ( = 119864 ∙ 휀) unde E este un factor de proporţionalitate numit modul de

elasticitate longitudinal al materialului pentru oţel 119864 = 21 ∙ 105 [119872119875119886] - acceptarea valabilității afirmației bdquolucrul mecanic efectuat de forțele exterioare

ca urmare a parcurgerii deplasărilor punctelor de aplicație se icircnmagazinează integral icircn

corp sub formă de energie de deformație energie cedată la icircndepărtarea sarcinilorrdquo

- este valabilă teoria conform căreia bdquoenergia icircnmagazinată și deformațiile depind

doar de starea inițială și finală de eforturi fără a ține cont de modul icircn care s-a ajuns la

starea finalărdquo

Icircn realitate oricacirct de mici ar fi sarcinile aplicate se produc și deformații plastice

dar acestea pot fi neglijate dacă solicitarea nu depășește anumite limite

342 Ipoteze de calcul

Ipoteza micilor deplasări bdquodeplasările datorate deformării sunt mult mai mici

decacirct dimensiunile corpurilor și ca urmare pot fi neglijate produsele dintre o deplasare și

ea icircnsăşirdquo Pentru cele mai multe corpuri deformaţiile elastice sunt de mărimi mici deci

corpurile solide sub acţiunea sarcinilor icircşi modifică foarte puţin forma iniţială Această

ipoteză este cunoscută şi sub denumirea de ipoteza menţinerii dimensiunilor iniţiale Ea

permite scrierea ecuaţiilor de echilibru ale staticii pe starea nedeformată a elementului

cacircnd nu se iau icircn considerare deplasările punctelor de aplicaţie ale forţelor care se produc

ca urmare a deformării acestuia Calculul efectuat pe schema nedeformată poartă numele

de calcul de ordinul I

Ipoteza micilor deplasări nu poate fi acceptată pentru studiul problemelor de

stabilitate sau la problemele la care nu pot fi icircndeplinite condiţiile de echilibru icircn starea

nedeformată

Calculul de ordinul II admite ipoteza micilor deplasări dar ecuaţiile de echilibru

se scriu icircnsă pentru starea deformată a elementului de rezistenţă

Calculul de ordinul III nu mai acceptă ipoteza micilor deplasări el referindu-se

la cazul deformaţiilor mari cacircnd ecuaţiile de echilibru trebuie scrise pentru starea

deformată

Chiar dacă materialul satisface legea lui Hooke icircn urma calculelor de ordinul II

se obţin de obicei relaţii neliniare icircntre sarcini şi deplasări iar pentru calculul de ordinul

III rezultă ecuaţii diferenţiale neliniare

Principiul efectului local al acțiunii sarcinilor enunțat de Barre de Saint-

Venant Acest principiu destul de folosit icircn Rezistenţa Materialelor precizează că dacă

se icircnlocuiesc forţele care acţionează asupra unui element de suprafață al unui corp

elastic printr-un alt sistem de forţe echivalent din punct de vedere static cu primul noua

distribuţie a forţelor produce la locul de aplicare diferenţe semnificative faţă de prima

dar rămacircne fără efect sau cu efect neglijabil la distanţe mari de locul de aplicare al

forţelor figura 312

Ca o cosecință o sarcină uniform distribuită figura 312a poate fi icircnlocuită cu

rezultanta ei figura 312b dacă se analizează efectul sarcinii la distanță mare de locul icircn

care se aplică sarcina

Fig 312 Principiul Saint-Venant

Icircn prima variantă figura 312a forţa 119865 se aplică pe o porțiune oarecare 119897 (sarcină

uniform distribuită) iar icircn a doua figura 312b icircntru-un punct (forţă concentrată) La

locul de aplicare a sarcinii efectul asupra barei este cu totul diferit de la o variantă la

cealaltă Icircnsă la o distanţă mare de punctul de aplicaţie spre exemplu icircn secţiunea situată

la distanţa 119886 de capătul barei sau chiar icircn icircncastrare ambele bare sunt solicitate la fel

Icircn cazul din figura 312a

119872119894(119909) =119901 ∙ 1199092

2 119909 le 119897 119872119894(119909) = 119901 ∙ 119897 ∙ (119909 minus

119897

2) 119909 gt 119897 (324)

Icircn cazul din figura 312b

119872119894(119909) = 0 119909 lt119897

2 119872119894(119909) = 119901 ∙ 119897 ∙ (119909 minus

119897

2) 119909 gt

119897

2 (325)

Se vede că pentru (119909 gt 119897) adică după depășirea locului icircn care se aplică sarcina

efectul este același

Ipoteza lui Bernoulli sau ipoteza secţiunilor plane precizează că o secţiune

plană şi normală pe axa barei icircnainte de deformare rămacircne plană şi normală pe axa

barei şi după deformare figura 313

Fig 313 Ipoteza lui Bernoulli

Ipoteza stării naturale a corpului sau ipoteza absenţei tensiunilor conform

căreia pentru un corp nesolicitat starea de tensiune şi deformaţie este nulă

Perfecţionarea mijloacelor de calcul şi de investigare pot conduce la renunţarea la

unele ipoteze sau la introducerea altora noi mai aproape de stările reale De aici rezultă

caracterul de continuă perfecţionare a metodelor Rezistenţei Materialelor

35 Coeficienţi de siguranţă Tensiuni admisibile

O piesă corespunde din punct de vedere tehnic dacă tensiunile care iau naştere icircn

interiorul piesei datorită sarcinilor aplicate nu depăşesc anumite valori limită stabilite

convenţional Aceste valori limită ale tensiunii sunt corelate cu caracteristicile mecanice

ale materialelor

Tensiunea limită utilizată icircn calculele de rezistenţă este cunoscută sub denumirea

de tensiune admisibilă sau rezistenţă admisibilă Rezistenţa admisibilă reprezintă

valoarea convenţională aleasă icircn calcul pe baza practicii pentru tensiunea maximă care

poate apare icircntr-o piesă icircn condiţii date de material şi solicitare

Rezistenţa admisibilă (120590119886 sau 120591119886) poate fi definită faţă de o stare limită

periculoasă stare care trebuie evitată deoarece poate conduce distrugere

120590119886 =120590119897119894119898119888

(326)

unde

120590119897119894119898 este tensiunea corespunzătoare stării limită periculoase

119888 estesupraunitar 119888 gt 1 și reprezintă coeficientul de siguranţă faţă de starea limită

periculoasă considerată

Alegerea unor valori inferioare pentru rezistenţa admisibilă faţă de tensiunea

corespunzătoare stării limită periculoase este necesară deoarece

cunoaşterea sarcinilor este de cele mai multe ori aproximativă şi o depăşire a

acestora este foarte posibilă

caracteristicile mecanice ale materialelor variază icircn limite destul de mari ele

fiind influenţate de mulţi factori

schema aleasă pentru calcul (aplicarea sarcinilor schematizarea structurii

ipotezele de calcul etc) depărtează modelul faţă de cel real

Pentru calculele de verificare tensiunea efectivă maximă din elementul de

rezistenţă trebuie să fie mai mică sau cel mult egală cu cea admisibilă

120590119890119891119898119886119909 le 120590119886 (327)

Valoarea rezistenţei admisibile este influenţată de foarte mulţi factori natura

materialului tratamentele termice aplicate piesei durata de funcţionare a piesei modul

de acţionare icircn timp a sarcinilor felul solicitării temperatura gradul de periculozitate

icircn cazul cedării piesei etc

De asemenea valoarea coeficientului de siguranţă se alege icircn principal ţinacircnd

seama de aceiaşi factori care influenţează şi rezistenţa admisibilă

Rezistenţele admisibile pentru cacircteva materiale sunt următoarele

pentru oțelul de uz general OL37 solicitat la icircntindere compresiune sau

icircncovoiere 120590119886 = 150 [119872119875119886] pentru lemnul de brad solicitat la

- compresiune icircn lungul fibrelor şi solicitat la icircncovoiere 120590119886 = 10 [119872119875119886] - tracţiune icircn lungul fibrelor 120590119886 = 7 [119872119875119886] - compresiune perpendiculară pe fibre 120590119886 = 15 [119872119875119886] - forfecare icircn lungul fibrelor 120591119886 = 2 [119872119875119886] - forfecare perpendiculară pe fibre 120590119886 = 45 [119872119875119886]

terenuri de fundaţie din pămacircnt uscat sau umed 120590119886 = 020 divide 025 [119872119875119886]

4 CARACTERISTICI GEOMETRICE ALE SECȚIUNILOR PLANE

41 Noţiuni introductive

Icircn relaţiile de calcul ale tensiunilor şi deformaţiilor elementelor de rezistenţă

pentru unele solicitări (icircncovoierea și torsiunea) secțiunile plane intervin atacirct prin

dimensiunile lor (aria 119860) cicirct și prin forma și poziția pe care o are secțiunea icircn raport cu

planul solicitării Mărimile care caracterizează o secțiune icircn raport cu forma și poziția față

de axele unui sistem de referință sunt denumite caracteristici geometrice de ordin

superior Aria secțiunii este caracteristica geometrică ce depinde doar de dimensiunile

geometrice ale acesteia

Să considerăm o grindă solicitată de o forță exterioară 119865 aşezată icircn două poziții icircn

raport cu planul forţei figura 41 Icircn urma aplicării forței deși avem aceeași grindă

(aceeași arie a secțiunii transversale) și aceeași forță se constată că pentru varianta din

figura 41a deformațiile sunt mult mai mari adică rezistența la icircncovoiere a grinzii din

figura 41a este mai mare decacirct icircn cazul grinzii din figura 41b Comportarea diferită se

explică prin aceea că modificarea poziţiei secţiunii transversale faţă de planul forţelor

modifică caracteristicile geometrice ale secţiunii transversale a grinzii

Fig 41 Grindă solicitată de forța 119865

Pentru realizarea calculelor de rezistenţă şi rigiditate este foarte importantă

cunoaşterea caracteristicilor geometrice ale suprafeţei secţiunii transversale a elementelor

de rezistenţă

Caracteristicile geometrice ale secţiunii transversale a unui element de rezistenţă

sunt

- aria secțiunii notată cu 119860

- momentul static icircn raport cu o axă notat 119878119911 și respectiv 119878119910

- momentul de inerție care poate fi

axial notat 119868119911 și respectiv 119868119910

centrifugal notat 119868119911119910

polar notat 119868119901

- raza de inerţie (giraţie)notată 119894119911 și respectiv 119894119910

- modulul de rezistență care poate fi

axial notat 119882119911 și respectiv 119882119910

polar notat 119882119901

42 Aria și momentul static al suprafețelor plane

Fie o suprafaţă plană de arie 119860 pe care se ia un element infinit mic de arie 119889119860 şi

un sistem de axe rectangulare 119911119874119910 figura 42 Notăm cu 119862 centrul de greutate al suprafeţei

119860 Poziţia suprafeţei elementare 119889119860 faţă de acelaşi sistem de coordonate 119911119874119910 este dată

de abscisa 119911 ordonata 119910 și raza polară

Fig 42 Suprafață plană de arie 119860

Aria suprafeţei 119860 figura 42 se defineşte ca fiind

119860 ≝ int 119889119860

119860

(41)

Aria suprafeţei este icircntotdeauna pozitivă și se măsoară icircn [1198981198982] Momentul static al suprafeţei de arie 119860 icircn raport cu axele 119874119911 și respectiv 119874119910

figura 42 sunt date de relaţiile

119878119911 ≝ int 119910 ∙ 119889119860

119860

119878119910 ≝ int 119911 ∙ 119889119860

119860

(42)

Momentul static poate fi pozitiv negativ sau nul şi se măsoară icircn [1198981198983] Coordonatele centrului de greutate ale suprafeței 119860 se detrmină cu relațiile

119910119862 ≝int 119910 ∙ 119889119860119860

119860 119911119862 ≝

int 119911 ∙ 119889119860119860

119860

(43)

Cunoscacircnd coordonatele 119910119862 și 119911119862 ale centrului de greutate 119862 al secțiunii 119860 atunci

momentele statice se pot determina cu relațiile

119878119911 ≝ int 119910 ∙ 119889119860

119860

= 119910119862 ∙ 119889119860 119878119910 ≝ int 119911 ∙ 119889119860

119860

= 119911119862 ∙ 119889119860 (44)

Aceste relații arată că momentul static al unei suprafețe icircn raport cu o axă este

egal cu produsul dintre aria suprafeței și distanța de la centrul ariei la axa respectivă

Dacă suprafaţa se poate descompune icircn 119899 suprafeţe simple la care se cunosc ariile

(1198601 1198602 ⋯ 119860119894⋯ 119860119899) și poziţiile centrelor de greutate 119862119894 faţă de sistemul de referinţă

expresiile momentelor statice capătă următoarea formă

119878119911 = sum 119910119862119894 ∙ 119860119894119899119894=1 = 119910119862 ∙ 119860 119878119910 = sum 119911119862119894 ∙ 119860119894

119899119894=1 = 119911119862 ∙ 119860 (45)

Din relaţiile (45) rezultă că poziţia centrului de greutate 119862 al unei suprafeţe

compuse poate fi determinată cu relaţiile

119910119862 = (sum119910119862119894 ∙ 119860119894

119899

119894=1

) 119860frasl 119911119862 = (sum119911119862119894 ∙ 119860119894

119899

119894=1

) 119860frasl (46)

Icircn relația (45) 119910119862119894 și respectiv 119911119862119894 reprezintă coordonatele centrelor de greutate 119862119894

ale fiecărei suprafețe simple 119860119894 icircn raport sistemul de axe 119911119874119910

Se constată (relaţia 42) că dacă axele sistemului de referinţă trec prin centrul de

greutate (119910119862 = 119911119862 = 0) momentele statice sunt nule Axele icircn raport cu care momentele

statice sunt nule şi care trec prin centrul de greutate al suprafeţei se numesc axe centrale

Observație dacă secțiunea compusă are o axă de simetrie centrul secțiunii se

găsește pe acea axă iar dacă secțiunea este dublu simetrică poziția centrului secțiunii este

la intersecția axelor de simetrie

43 Momente de inerţie

Momentele de inerţie axiale ale unei suprafețe se calculează icircn raport cu axele de

coordonate 119874119911 și respectiv 119874119910 figura 42 și se determină cu relațiile

119868119911 ≝ int 1199102 ∙ 119889119860

119860

119868119910 ≝ int 1199112 ∙ 119889119860

119860

(47)

Unde 119910 și 119911 sunt distanțele de la elementul de arie 119889119860 la cele două axe de

coordonate 119874119911 și respectiv 119874119910

Momentele de inerţie axiale se măsoară icircn [1198981198984] şi sunt icircntotdeauna pozitive (aria

119889119860 este icircntotdeauna pozitivă și este multiplicată cu patratul distanței 1199102 dacă 119868119911 sau 119868119910

sunt nule icircnseamnă ca secțiunea nu există)

Momentele de inerție axiale se calculează icircndeosebi pentru axele centrale (care

trec prin centrul secțiunii) deoarece icircn raport cu acele axe 119868119911 și 119868119910 au valori minime

Momentul de inerţie centrifugal calculat faţă ambele axe ale sistemului de

referinţă 119911119874119910 este definit de relația

119868119911119910 ≝ int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860

(48)

Momentul de inerţie centrifugal se măsoară icircn [1198981198984] şi poate fi pozitiv negativ

sau nul

Momentul de ineție centrifugal este nul 119868119911119910 = 0 dacă cel puțin una din axele 119874119911

sau 119874119910 este axă de simetrie pentru secțiune

Se consideră o suprafaţă dreptunghiulară pe care faţă de axa de simetrie 119874119910 se iau

două suprafeţe elementare de arie 119889119860 simetrice faţă de axa 119874119910 figura 43

Fig 43 Suprafață dreptunghiulară cu două arii elementare 119889119860

Făcacircnd suma momentelor de inerţie centrifugale pentru cele două suprafeţe

elementare 119889119860 (din stacircnga şi din dreapta faţă de axa 119874119910) se obţine

int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860119889119903

+ int (minus119911) ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860119904119905119892

= int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860119889119903

minus int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860119904119905119892

= 0 (49)

Acelaşi raţionament se poate face și pentru icircntreaga suprafaţă de unde obținem că

momentul de inerție centrifugal este nul 119868119911119910 = 0 Deci pentru o suprafaţă plană care

are cel puţin o axă de simetrie momentul de inerţie centrifugal faţă de sistemul care

conţine acea axă de simetrie este nul

Momentul de inerţie polar al unei suprafeţei icircn raport cu un punct (pol) 119874 figura

42 este definit prin relaţia

1198680 = 119868119901 ≝ int 1205882 ∙ 119889119860

119860

= int(1199102 + 1199112) ∙ 119889119860

119860

= 119868119911 + 119868119910 (410)

unde este distanţa de la polul 119874 la elementul de arie 119889119860 Momentul de inerţie polar se

măsoară icircn [1198981198984] şi este totdeauna pozitiv

Momentul de inerţie polar este egal cu suma momentelor de inerţie faţă de două axe

perpendiculare oarecare şi care trec prin polul considerat

Razele de giraţie sau razele de inerţie sunt mărimi calculate icircn raport cu axele

secțiunii și definite de relaţiile

119894119911 ≝ radic119868119911119860 119894119910 = radic

119868119910

119860 (411)

Se exprimă icircn [119898119898] şi sunt icircntotdeauna pozitive Semnificația unei raze de inerție

este distanța la care dacă ar fi concentrată icircntreaga arie s-ar obține același moment de

inerție ca și cel calculat pentru aria reală

44 Modulul de rezistenţă

Modulul de rezistență se calculează icircn raport cu axele de referință sau icircn raport cu

un pol figura 42 și pot fi axiale (119882119911119882119910) sau polar (119882119901) și se determină numai pe baza

momentelor de inerţie cu relațiile figura 43

119882119911119898119894119899 ≝119868119911119910119898119886119909

119882119911119898119886119909 ≝119868119911119910119898119894119899

(412)

119882119910119898119894119899 ≝119868119910

119911119898119886119909 119882119910119898119886119909 ≝

119868119910

119911119898119894119899 (413)

119882119901 ≝119868119901

120588119898119886119909 (414)

unde

119910119898119886119909 119910119898119894119899 reprezintă distanţa de la axa 119874119911 la punctele extreme cele mai

depărtate respectiv cele mai apropiate ale suprafeţei de această axă

119911119898119886119909 119911119898119894119899 reprezintă distanţa de la axa 119874119910 la punctele extreme cele mai

depărtate respectiv cele mai apropiate ale suprafeţei de această axă

120588119898119886119909 reprezintă distanța maximă de la polul 119874 la punctul secțiunii cel mai

icircndepărtat de acesta

Fig 43 Suprafață dreptunghiulară cu două arii elementare 119889119860

Modulele de rezistenţă se exprimă icircn [1198981198983] şi sunt icircntotdeauna pozitive

Explicația este aceea că momentele de inerție care intră icircn relațiile de definiție sunt

pozitive iar distanțele la punctele extreme sunt pozitive (119910119898119886119909 119910119898119894119899 119911119898119886119909 119911119898119894119899 120588119898119886119909 se

iau icircn valoare absolută)

Icircn cazul suprafeţelor compuse modulul de rezistenţă nu se obţine prin icircnsumarea

algebrică a modulelor de rezistenţă ale suprafeţelor simple componente ci numai prin

intermediul momentului de inerţie axial calculat pentru icircntreaga secțiune

Ca și momentele de inerție modulele de rezistență se calculează numai pentru

sistemele de axe centrale

45 Momente de inerţie şi module de rezistenţă pentru suprafeţe simple

451 Secțiune dreptunghiulară

Fie suprafaţa dreptunghiulară din figura 44 de icircnălțime ℎ și lățime 119887 pe care se

consideră suprafaţă elementară de arie 119889119860 = 119887119889119910 la distanța 119910 de axa 119862119911 sistemul de

axe 119911119862119910 trece prin centrul secțiunii iar axele sunt axe de simetrie pentru dreptunghi

Fig 44 Suprafață dreptunghiulară

Pe baza relațiilor de definiți a momentului de inerție 119868119911 se obține

119868119911 ≝ int 1199102 ∙ 119889119860

119860

= int 1199102 ∙ 119887 ∙ 119889119910 = 2int 1199102 ∙ 119887 ∙ 119889119910 = 2 ∙ 119887 ∙1199103

3|ℎ 2frasl

0rArr

ℎ 2frasl

0

ℎ 2frasl

minusℎ 2frasl

rArr 119868119911 =119887 ∙ ℎ3

12

(415)

Analog pentru un element de arie 119889119860 = ℎ ∙ 119889119911 paralel cu axa 119862119910 situat la distanța

119911 de axa 119862119910

119868119910 ≝ int 1199112 ∙ 119889119860

119860

= int 1199112 ∙ ℎ ∙ 119889119911 = 2int 1199112 ∙ ℎ ∙ 119889119910 = 2 ∙ ℎ ∙1199113

3|119887 2frasl

0rArr

119887 2frasl

0

119887 2frasl

minus119887 2frasl

rArr 119868119910 =1198873 ∙ ℎ

12

(416)

Deoarece axele 119862119911 și 119862119910 sunt axe de simetrie momentul de inerție centrifugal este

119868119911119910 = 0 (417)

Pentru un pătrat avacircnd laturile egale (ℎ = 119887 = 119886) momentele de inerţie faţă de

axele centrale au expresia

119868119911 = 119868119910 =1198864

12 (418)

Modulele de rezistență axiale se calculează cu relațiile de definiție ținacircnd cont că

distanțele pacircnă la fibrele extreme sunt

119910119898119886119909 = 119910119898119894119899 =ℎ

2 119911119898119886119909 = 119911119898119894119899 =

119887

2 (419)

Obținem

119882119911119898119894119899 = 119882119911119898119886119909 =119868119911

119910119898119886119909119898119894119899=119887 ∙ ℎ3

12frasl

ℎ2frasl

=119887 ∙ ℎ2

6

119882119910119898119894119899 = 119882119910119898119886119909 =119868119910

119911119898119886119909119898119894119899=1198873 ∙ ℎ

12frasl

1198872frasl

=1198872 ∙ ℎ

6

(420)

452 Suprafaţă circulară

Din motive de simetrie pentru suprafeţele circulare momentele de inerţie faţă de

orice diametru (care reprezintă şi axe centrale) sunt aceleaşi

Considerăm o secțiune circulară plină cu diametrul 119889 și centrul de greutate 119862 Prin

centrul de greutate 119862 trece sistemul de axe ortogonal 119911119862119910 figura 45

Fig 45 Suprafață circulară

La distanța de centrul de greutate 119862 vom lua un element de suprafață mic de arie

(119889119860) de forma unui inel de grosime 119889 Elementul de arie 119889119860 are expresia

119889119860 = (2 ∙ 120587 ∙ 120588) ∙ (119889120588)

Pornind de la relația de definiție a momentului de inerție polar obținem

119868119901 ≝ int 1205882 ∙ 119889119860

119860

= int 1205882 ∙ (2 ∙ 120587 ∙ 120588) ∙ 119889120588

119903=119889 2frasl

0

= 2 ∙ 120587 ∙1205884

4|119889 2frasl0 rArr

rArr 119868119901 =120587 ∙ 1198894

32

(421)

Secțiunea este perfect simetrică deci sunt valabile relațiile

119868119911 = 119868119910 rArr 119868119901 = 119868119911 + 119868119910 = 2 ∙ 119868119911 = 2 ∙ 119868119910 =119868119901

2=120587 ∙ 1198894

64 (422)

Și modulele de rezistenţă faţă de orice diametru sunt egale şi se calculează cu

relaţiile

119882119911 = 119882119910 =1198681199111198892frasl=120587 ∙ 1198893

32 (423)

Modulul de rezistenţă polar este

119882119901 =1198681199011198892frasl=120587 ∙ 1198893

16 (424)

453 Secţiune inelară

Calculul momentelor de inerţie axiale pentru o secţiune inelară avacircnd diametrul

interior 119889 şi diametrul exterior 119863 se determină analog pentru suprafaţa circulară plină cu

observaţia că integrala pentru calculul momentului de inerție polar 119868119901 se face icircntre

limitele 119903 = 119889 2frasl şi R= 1198632frasl (icircntre raza interioară 119903 şi raza exterioară 119877) figura 46

Se obţin relaţiile

119868119901 =120587 ∙ 1198634

32∙ [1 minus (

119889

119863)4

] =120587 ∙ 1198634

32∙ (1 minus 1198964) (425)

119868119910 = 119868119910 =120587 ∙ 1198634

64∙ [1 minus (

119889

119863)4

] =120587 ∙ 1198633

64∙ (1 minus 1198964) (426)

Fig 46 Secțiune inelară

119882119901 =120587 ∙ 1198633

16∙ [1 minus (

119889

119863)4

] =120587 ∙ 1198633

16∙ (1 minus 1198964) (427)

119882119911 = 119882119910 =120587 ∙ 1198633

32∙ [1 minus (

119889

119863)4

] =120587 ∙ 1198633

32∙ (1 minus 1198964) (428)

unde 119896 = 119889119863frasl

46 Variaţia momentelor de inerţie faţă de axe paralele

( Relațiile lui STEINER)

Se consideră o suprafaţă oarecare de arie 119860 cu elementul de arie 119889119860 și un sistemul

de axe central 119911119862119910 faţă de care se cunosc momentele de inerţie 119868119911 119868119910 119868119911119910 şi considerăm

un sistem de axe 11991111198741199101 paralele cu sistemul central figura 47 Se pune problema

determinării momentele de inerţie 1198681199111 1198681199101 11986811991111199101 faţă de sistemul de axe paralel cu sistemul

central 11991111198741199101 axe aflate la distanţele 119910119862 = 119888 respectiv 119911119862 = 119889 de acesta

461 Momente de inerţie axiale

Pe baza relaţiilor de definire şi a notaţiilor din figura 42 pentru momentele de

inerţie faţă de axele 1198741199111 1198741199101 se poate scrie

1198681199111 = int 11991012 ∙ 119889119860

119860

= int(119910 + 119888)2 ∙ 119889119860

119860

= int 1199102 ∙ 119889119860

119860

+ 2 ∙ 119888 ∙ int 119910 ∙ 119889119860

119860

+

+1198882int 119889119860

119860

rArr 1198681199111 = 119868119911 + 2 ∙ 119888 ∙ 119878119911 + 1198882 ∙ 119860 hArr 1198681199111 = 119868119911 + 119888

2 ∙ 119860

(429)

Fig 47 Variaţia momentelor de inerţie față de axe paralele

S-a ajuns la relația (429) deoarece momentul static 119878119911 este nul deoarece axa 119862119885

este axă centrală

Pentru momentul de inerție axial icircn raport cu axa 1198741199101 se obține

1198681199101 = int 11991112 ∙ 119889119860

119860

= int(119911 + 119889)2 ∙ 119889119860

119860

= int 1199112 ∙ 119889119860

119860

+ 2 ∙ 119889 ∙ int 119911 ∙ 119889119860

119860

+

+1198892 ∙ int 119889119860

119860

rArr 1198681199101 = 119868119910 + 2 ∙ 119889 ∙ 119878119910 + 1198892 ∙ 119860 hArr 1198681199101 = 119868119910 + 119889

2 ∙ 119860

(430)

Pentru momentul de inerție centrifugal obținem

11986811991111199101 = int 1199101 ∙ 1199111 ∙ 119889119860

119860

= int(119910 + 119888) ∙ (119911 + 119889) ∙ 119889119860

119860

= int 119910 ∙ 119911 ∙ 119889119860 +

119860

+119888 ∙ int 119911 ∙ 119889119860

119860

+ 119889 ∙ int 119910 ∙ 119889119860

119860

rArr 11986811991111199101 = 119868119911119910 + 119888 ∙ 119889 ∙ 119860

(431)

Deoarece

int 119911 ∙ 119889119860

119860

= 119878119910 = 0 int 119910 ∙ 119889119860

119860

= 119878119911 = 0 int 119910 ∙ 119911 ∙ 119889119860

119860

= 119868119911119910

Relaţiile (429) şi (430) arată că momentul de inerţie faţă de o axă oarecare

este egal cu momentul de inerţie faţă de o axă paralelă cu ea trecacircnd prin centrul de

greutate la care se adaugă produsul dintre aria suprafeţei şi pătratul distanţei dintre

cele două axe

Din relaţiile (429) și (430) rezultă de asemenea că momentul de inerţie faţă de o

axă centrală (care trece prin centrul de greutate) este cel mai mic dintre infinitatea de

momente de inerţie obținute faţă de alte axe paralele cu ea

Relaţia (431) arată de asemenea că momentul de inerţie centrifugal faţă de un

sistem de axe oarecare este egal cu momentul de inerţie centrifugal faţă de un sistem

paralele cu el trecacircnd prin centrul de greutate a suprafeţei la care se adaugă produsul

dintre aria suprafeţei şi distanţele dintre axele sistemelor respective

Icircn literatura de specialitate relaţiile (429) (430) şi (431) sunt cunoscute sub

numele de relaţiile lui Steiner

47 Variaţia momentrlor de inerţie faţă de axe rotite

Direcţii principale şi momente de inerţie principale

Fie suprafaţa plană din figura 48 de arie 119860 pe care considerăm o suprafaţă

elementară de arie 119889119860 Pentru sistemul de axe 119911119874119910 se cunosc momentele de inerţie

119868119911 119868119910 119868119911119910 şi vom determina relaţiile de calcul pentru momentele de inerţie afererent unui

sistem de axe 11991111198741199101 rotit cu un unghi faţă de sistemul central

Faţă de sistemul de axe 11991111198741199101 elementul de arie 119889119860 are coordonatele

1199101 = 119875119877 = 119875119876 minus 119877119876 = 119910 ∙ cos 120572 minus 119911 ∙ sin 120572

1199111 = 119873119872 = 119873119875 minus 119875119872 = 119911 ∙ cos 120572 + 119910 ∙ sin 120572 (432)

Fig 47 Variaţia momentelor de inerţie față de axe rotite

Pe baza relaţiilor de calcul ale momentelor de inerţie şi a notaţiilor din figura 42

şi ale relaţiilor (432) momentele de inerţie faţă de sistemul de axe rotit 11991111198741199101 sunt

1198681199111 =119868119911 + 119868119910

2+119868119911 minus 119868119910

2∙ cos 2120572 minus 119868119911119910 ∙ sin 2120572 (433)

1198681199101 =119868119911 + 119868119910

2minus119868119911 minus 119868119910

2∙ cos 2120572 + 119868119911119910 ∙ sin 2120572 (434)

11986811991111199101 =119868119911 minus 119868119910

2∙ sin 2120572 + 119868119911119910 ∙ cos 2120572 (435)

Din relaţiile 433divide435 se observă că icircntre momentele de inerţie axiale şi cele

polare există relaţia

1198681199111 + 1198681199101 = 119868119911 + 119868119910 = 119868119901 (436)

adică suma momentelor de inerţie axiale icircn raport cu orice pereche de axe ortogonale

care trec printr-un pol dat este o constantă şi egală cu momentul de inerţie polar

Prin rotirea sistemului de axe din relaţiile 433divide435 rezultă că momentele de inerţie

variază icircnsă suma lor rămacircne constantă deci există o poziţie a sistemului de axe pentru

care momentele de inerţie au valori extreme maxim respectiv minim

471 Direcţii principale de inerţie

Valoarea unghiului 120572 pentru care momentele de inerţie axiale au valori extreme

este

1205721 =1

2∙ 119886119903119888119905119886119899 (minus

2 ∙ 119868119911119910

119868119911 minus 119868119910) (437)

Poziţia celeilalte direcţii este perpendiculară pe cea dată de unghiul 1205721

Din relaţia (437) se constată că faţă de aceste direcţii rotite pentru care momentele

de inerţie axiale prezintă valori extreme momentul de inerţie centrifugal 11986811991111199101este nul

Atunci se poate afirma că momentele de inerţie axiale au valori extreme icircn raport cu

direcţiile faţă de care momentul de inerţie centrifugal este nul Aceste direcţii se numesc

direcţii principale iar momentele de inerţie faţă de aceste direcţii poartă numele de

momente de inerţie principale

Icircn calculele de rezistenţă interesează icircn mod special poziţia direcţiilor principale

care trec prin centrul de greutate al suprafeţei aşa numitele direcţii principale centrale şi

evident momentele de inerţie principale centrale

Direcţiile principale de inerţie se notează cu 1 respectiv 2 Axa principală 1

corespunde direcţiei faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea maximă iar

axa principală 2 pentru direcţia faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea

minimă

472 Momente de inerţie principale

Momentele de inerţie principale se notează cu litera 119868 la care se pune indicele 1

sau 2 după cum valoarea acestuia este maximă sau minimă deci avem un moment de

inerţie principal 1 (notat 1198681) respectiv moment de inerţie principal 2 (notat 1198682)

Expresiile pentru momentele de inerţie principale sunt

11986812 =119868119911 + 119868119910

2plusmn1

2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)

2+ 4 ∙ (119868119911119910)

2 (438)

Dacă momentul de inerţie centrifugal este negativ (119868119911119910 lt 0) direcţia principală

care trece prin primul cadran (definit de sistemul 119911119862119910) este direcţia principală 120783

Pentru suprafeţele cu cel puţin o axă de simetrie direcţiile centrale 119862119911 119862119910 sunt şi

direcții principale de inerţie și evident momentele de inerţie axiale 119868119911 119868119910 sunt momente

de inerţie principale

48 Caracteristici mecanice ale metalelor

Alegerea materialului pentru confecţionarea unei anumite piese se face şi pe baza

aşa numitelor caracteristici mecanice pe care le prezintă materialul Cunoaşterea acestor

caracteristici mecanice are loc numai pe baza unor icircncercări mecanice care să scoată icircn

evidenţă comportarea materialului icircn condiţii de solicitare

Cea mai utilizată icircncercare icircn urma căreia se pun icircn evidenţă caracteristicile

mecanice ale unui material este icircncercarea la tracţiune

481 Icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general

Icircncercarea la tracţiune a oţelului ca de altfel toate icircncercările de materiale este

standardizată

Icircn cele ce urmează se va prezenta numai partea care interesează strict din punct

de vedere al caracteristicilor mecanice ale oţelului

Epruveta de diametru iniţial 1198890 pentru icircncercarea la tracţiune are o porţiune de

lungime 1198710 numită baza de măsurare pe care se măsoară lungirea acesteia sub acţiunea

solicitării

Icircn funcţie de raportul dintre baza de măsurare 1198710 şi diametrul iniţial 1198890 epruvetele

utilizate pentru icircncercări sunt

epruvete normale (scurte) cacircnd 11987101198890 = 5

epruvete lungi cacircnd 11987101198890 = 10

Icircn timpul icircncercării la diferite valori ale forţei 119865 se măsoară lungirea bazei de

măsurare

∆119871 = 120575 = 119871 minus 1198710 (439)

unde

119871 este dimensiunea bazei de măsurare la un moment dat

Curba forţă-lungire (119865 minus ) icircnregistrată icircn urma icircncercării reprezintă curba

caracteristică la tracţiune

La icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general diagrama caracteristică care se

obţine are forma din figura 48

Curba caracteristică la tracţiune depinde de lungimea bazei de măsurare Pentru

icircnlăturarea acestui neajuns curba caracteristică se reprezintă icircn coordonate şi definite

astfel

120590 =119865

1198600 휀 =

120575

1198710 (440)

unde

1198600 este aria iniţială a secţiunii transversale a epruvetei (icircnainte de solicitare) icircn

zona bazei de măsurare

1198600 =120587 ∙ 1198890

2

4

Deoarece mărimile icircn care se reprezintă curba caracteristică la tracţiune sunt

raportate la aria iniţială a secţiunii transversale (mărimi specifice) curba poartă numele

de curbă caracteristică convenţională la tracţiune

Fig 48 Curba caracteristică convenţională la tracțiune

Pe curba caracteristică convenţională la tracţiune figura 48 se pot stabili o serie

de puncte cărora le corespund mai multe mărimi importante

Ordonata punctului A pacircnă unde curba caracteristică convenţională este linie

dreaptă se numeşte limita de proporţionalitate a materialului 120590119901(1205901) Porţiunea 119874119860 este

zona de proporţionalitate a curbei caracteristice pe acest domeniu este valabilă legea lui

Hooke care exprimă o proporţionalitate icircntre tensiune şi deformaţie specifică

120590 = 119864 ∙ 휀 (441)

unde

119864 = reprezintă panta porţiunii liniare a curbei convenționale caracteristice

la tracțiune Caracteristica de material 119864 se numeşte modul de elasticitate longitudinal

(modulul lui Young)

Ordonata punctului 119861 pacircnă unde materialul se comportă perfect elastic adică

după descărcare icircşi recapătă dimensiunea iniţială 1198710 se numeşte limita de elasticitate

120590119890(119877119890) Icircn realitate nici un material nu are comportare perfect elastică sub acţiunea

solicitărilor el capătă deformaţii permanente (remanente plastice)

După punctul 119861 urmează o porţiune 119861119862119863 icircn care cu toate că icircncărcarea

continuă forţa nu mai creşte avacircnd mici oscilaţii icircn jurul unei valori Se spune că icircn

această porţiune materialul curge iar intervalul 119861119862119863 este un palier de curgere Tensiunea

corespunzătoare palierului de curgere se numeşte limită de curgere aparentă 120590119888(119877119888) Limita de curgere aparentă se calculează cu relaţia

120590119888 =1198651198881198600 (442)

unde

119865119888 reprezintă valoarea forţei icircnregistrată icircn momentul curgerii materialului

După punctul 119863 curba caracteristică are un traseu ascendent pacircnă icircn punctul 119864

Porţiunea 119863119864 este numită zonă de icircntărire (ecruisare) Icircn zona de ecruisare unde se

produc deformaţii plastice semnificative legea lui Hooke nu mai este valabilă La

descărcare relaţia dintre tensiunea şi deformaţia specifică este liniară paralelă cu

porţiunea liniară a curbei caracteristice (dreapta 119872119873)

Deformaţia totală (휀119905) are două componente una elastică (휀119890) şi una plastică (휀119901)

Ordonata punctului 119864 reprezintă rezistenţa de rupere 120590119903(119877119898) a materialului

care se poate calcula cu relaţia

120590119903 = 119877119898 =1198651198981198861199091198600

(443)

unde

119865119898119886119909 reprezintă valoarea maximă a forţei icircnregistrată icircn timpul icircncercării

La atingerea valorii 119865119898119886119909 (punctul 119864) icircntr-un anumit loc al epruvetei secţiunea

icircncepe să se micşoreze (se produce gacirctuirea) continuacircnd pacircnă cacircnd se produce ruperea

totală (punctul 119865)

Dacă după ruperea epruvetei cele două părţi rezultate se aşează cap la cap şi se

măsoară dimensiunea bazei de măsurare 119871119906 (lungimea ultimă) se determină alungirea la

rupere sau lungirea specifică la rupere 휀119903

휀119903 =119871119906 minus 11987101198710

=∆119871

1198710=120575

1198710 (444)

De obicei alungirea se exprimă icircn procente şi se notează cu 119860119899 unde 119899 reprezintă

numărul dat de raportul 11987101198890 (epruvete normale 119899 = 5 epruvete lungi 119899 = 10)

119860119899 =119871119906 minus 11987101198710

∙ 100 [] (445)

Altă mărime care se determină la icircncercarea la tracţiune este gacirctuirea la rupere

(exprimată de obicei icircn procente) şi definită de relaţia

119885 =1198600 minus 1198601199061198600

∙ 100 [] (446)

Mărimile determinate limita de proporţionalitate modulul de elasticitate

longitudinal limita de elasticitate limita de curgere aparentă rezistenţa de rupere

alungirea la rupere şi gacirctuirea la rupere sunt cunoscute ca fiind caracteristici mecanice

ale materialului

Din curba caracteristică convenţională observăm faptul că ruperea (punctul 119865 din

figura 48 se produce la o tensiune mai mică decacirct cea corespunzătoare punctului 119864 Dacă

icircnsă forţa din timpul icircncercării s-ar raporta la aria secţiunii din momentul icircnregistrării

forţei (care este mai mică decacirct cea iniţială 1198600) s-ar obţine aşa numita curbă

caracteristică reală a materialului (traseul 1198741198601198611198621198631198651 din figura 48) La curba

caracteristică reală ruperea se produce icircn punctul 1198651 la o icircncărcare mai mare decacirct cea

corespunzătoare punctului 119864 Icircnseamnă că rezistenţa reală la rupere este mai mare decacirct

rezistenţa la rupere dată de punctul 119864 din diagrama caracteristică convenţională

Dificultatea obţinerii diagramei caracteristice reale faţă de cea a diagramei caracteristice

convenţionale şi considerarea unei rezistenţe la rupere mai mică decacirct a celei reale face

icircn practică utilizarea pe scară mare a diagramei caracteristice convenţionale

Caracteristicile mecanice determinate pe baza curbei caracteristice convenţionale

sunt şi ele caracteristici mecanice convenţionale

Caracteristicile mecanice convenţionale limita de proporţionalitate convenţională

120590119901 limita de elasticitate convenţională 120590119890 limita de curgere convenţională 120590119888 şi rezistenţa

de rupere 120590119903 constituie tensiuni limită pentru un material Pe baza acestor caracteristici

de material se alege valoarea tensiunii admisibile 120590119886 (vezi paragraful 35) pentru

calculele de rezistenţă Cea mai utilizată stare limită pentru stabilirea tensiunii admisibile

120590119886 este limita de curgere convenţională 120590119888

120590119886 =120590119897119894119898119888

=120590119888119888 119904119886119906 120590119886 =

120590119903119888 (447)

Caracteristicile mecanice ale materialului sunt influenţate de o serie de factori

temperatura viteza de solicitare factorii tehnologici iar valorile lor sunt date icircn tabele și

diagrame

Aplicaţie Pentru suprafaţa plană compusă din două dreptunghiuri avacircnd

dimensiunile din figura 49a să se calculeze

a) centrul de greutate al secțiunii compuse 119910119866 119911119866

b) momentele de inerție axiale 119868119911 119868119910 și momentul de inerție centrifugal 119868119911119910

c) razele de inerție 119894119911 119894119910

d) modulele de rezistență 119882119911119898119894119899 119882119911119898119886119909 119882119910119898119894119899 119882119910119898119886119909

e) momentele de inerție principale 1198681 1198682 și direcțiile principale de inerție 1205721

f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 119878119911

Fig 49 Aplicație

Rezolvare Pentru rezolvare vom parcurge următoarele etape

icircmpărțim suprafața compusă icircn două suprafețe simple (dreptunghiuri) notate cu

① și respectiv ② figura 49b

poziționăm centrele de greutate a celor două suprafețe simple ① și respectiv ②

notate cu 1198661 și respectiv 1198662 figura 49c

poziționăm sistemele de axe de coordonate 119911111986611199101 pentru dreptunghiul ① și

119911211986621199102 pentru dreptunghiul ② aflate la intersecția diagonalelor figura 49c

poziționăm sistemele de axe de coordonate 11991101198741199100 ales arbitrar față de care

determinăm poziția centrului de greutate 119866 figura 49c

a) calculăm poziția centrului de greutate folosind relațiile (46) icircn care

1198601 = 6119905 ∙ 119905 = 61199052 1198602 = 4119905 ∙ 119905 = 41199052 119860 = 1198601 + 1198602 = 61199052 + 41199052 = 101199052

iar centrele de greutate 1198661 și respectiv 1198662 au coordonatele (față de sistemul 11991101198741199100)

1198661 1199101 = 3119905 1199111 = 05119905

1198662 1199102 = 051199051199112 = 3119905

cu acestea obținem

119910119866 =1198601 ∙ 1199101 + 1198602 ∙ 1199102

119860=61199052 ∙ 3119905 + 41199052 ∙ 05119905

101199052=201199053

101199052= 2119905

119911119866 =1198601 ∙ 1199111 + 1198602 ∙ 1199112

119860=61199052 ∙ 05119905 + 41199052 ∙ 3119905

101199052=151199053

101199052= 15119905

Poziționăm centrul de greutate 119866 al suprafeței compuse figura 49c

Fig 49 Aplicație

b) pentru determinarea momentelor de inerție axiale 119868119911 119868119910 și a momentului de

inerție centrifugal 119868119910119911 determinăm constantele 1198881 1198882 1198891 1198892 care intervin icircn relația lui

Stainer

1198881 = 1199101 minus 119910119866 = 3119905 minus 2119905 = 119905 1198882 = minus(119910119866 minus 1199102) = minus(2119905 minus 05119905) = minus15119905

1198891 = minus(119911119866 minus 1199111) = minus(15119905 minus 05119905) = minus119905 1198892 = 1199112 minus 119911119892 = 3119905 minus 15119905 = 15119905

Folosind relațiile lui Stainer (429) (430) și (431) calculăm momentele de

inerție axiale și centrifugale față de sistemul central 119911119866119866119910119866

119868119911 =sum(119868119911119894 + 1198881198942 ∙ 119860119894) = 1198681199111 + 1198881

2 ∙ 1198601 + 1198681199112 + 11988822 ∙ 1198602

119868119910 =sum(119868119910119894 + 1198891198942 ∙ 119860119894) = 1198681199101 + 1198891

2 ∙ 1198601 + 1198681199102 + 11988922 ∙ 1198602

119868119911119910 =sum(119868119911119894119910119894 + 119888119894 ∙ 119889119894 ∙ 119860119894) = 11986811991111199101 + 1198881 ∙ 1198891 ∙ 1198601 + 11986811991121199102 + 1198882 ∙ 1198892 ∙ 1198602

1198681199111 = (119887 ∙ ℎ3

12) =

119905 ∙ (6119905)3

12= 181199054 1198681199112 = (

119887 ∙ ℎ3

12) =

4119905 ∙ 1199053

12= 031199054

1198681199101 = (1198873 ∙ ℎ

12) =

1199053 ∙ 6119905

12= 051199054 1198681199102 = (

1198873 ∙ ℎ

12) =

(4119905)3 ∙ 119905

12= 531199054

11986811991111199101 = 11986811991121199102 = 0 deoarece cele două triunghiuri au cel puțin o axă de simetrie

Cu acestea momentele de inerție axiale și momentul de inerție centrifugal devin

119868119911 = 181199054 + 1199052 ∙ 61199052 + 031199054 + (minus15119905)2 ∙ 41199052 = 3331199054

119868119910 = 051199054 + (minus119905)2 ∙ 61199052 + 531199054 + (15119905)2 ∙ 41199052 = 2081199054

119868119911119910 = 0 + 119905 ∙ (minus119905) ∙ 61199052 + 0 + (minus15119905) ∙ (15119905) ∙ 41199052 = minus151199054

c) razele de inerție sau de girație față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910

se calculează cu relațiile (411)

119894119911 = radic119868119911119860= radic

3331199054

101199052= 182119905 119894119910 = radic

119868119910

119860= radic

2081199054

101199052= 144119905

d) modulele de rezistență față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910 se

calculează cu relațiile (412) și (413)

Avacircnd icircn vedere figura 419c obținem

119910119898119886119909 = 6119905 minus 119910119866 = 6119905 minus 2119905 = 4119905 119910119898119894119899 = minus119910119866 = minus2119905

119911119898119886119909 = 5119905 minus 119911119866 = 5119905 minus 15119905 = 35119905 119911119898119894119899 = minus119911119866 = minus15119905

Se obține astfel

119882119911119898119894119899 =119868119911

|119910119898119886119909|=3331199054

4119905= 8331199053

119882119911119898119886119909 =119868119911

|119910119898119894119899|=3331199054

2119905= 16651199053

119882119910119898119894119899 =119868119910

|119911119898119886119909|=2081199054

35119905= 5941199053

119882119910119898119886119909 =119868119910

|119911119898119894119899|=2081199054

15119905= 13871199053

e) momentele de inerție principale 1198681 și respectiv 1198682 se calculează cu relațiile

(438)

11986812 =119868119911 + 119868119910

2plusmn1

2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)

2+ 4 ∙ (119868119911119910)

2=

=3331199054 + 2081199054

2plusmn1

2∙ radic(3331199054 minus 2081199054)2 + 4 ∙ (minus151199054)2 = 27051199054 plusmn 16251199054

De unde obținem

1198681 = 27051199054 + 16251199054 = 4331199054

1198682 = 27051199054 minus 16251199054 = 1081199054

Prima direcție principală de inerție 1 face cu axa centrală 119866119911 unghiul 1205721 dat de

relația (437)

1205721 =1

2∙ arctan (minus

2 ∙ 119868119911119910

119868119911 minus 119868119910) =

1

2∙ arctan [minus

2 ∙ (minus151199054)

3331199054 minus 2081199054] =33 70

Deoarece 1205721 gt 0 rotirea axelor se face acircn sens antiorar acelor de ceasornic figura

49d

Poziția axe principale 2 față de care momentul de inerție are valoarea minimă

1198682 = 119868119898119894119899 este dată de unghiul

1205722 = 1205721 + 900 = 33 70 + 900 = 123 70

f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 se determină cu relația

(45)

1198781199111198602 = 1198602 ∙ 1198882 = 41199052 ∙ (minus15119905) = minus61199053

2) identificarea reazemelor şi introducerea reacţiunilor corespunzătoare (vezi

figurile 27divide29)

3) stabilirea ecuaţiilor de echilibru static calculul şi verificarea reacţiunilor Icircn

rezistența materialelor se folosește sistemul de ecuații (vezi figura 217)

(sum119865)

119909= 0

(sum119872)119860= 0

(sum119872)119861= 0

(213)

4) identificarea domeniilor de variaţie şi scrierea funcţiilor de eforturi pentru N T

şi Mi

5) reprezentarea grafică a diagramelor de eforturi

6) verificarea corectitudinii diagramelor pe baza relaţiilor diferenţiale icircntre eforturi

şi sarcini

Aplicație Pentru grinda dreaptă icircncărcată cu sistemul de forţe reprezentat icircn figura

220 se cere

a) să se calculeze şi să se verifice reacţiunile

b) să se stabilească funcţiile eforturilor Nx Ty şi Miz şi să se reprezinte diagramele

de variaţie

c) să se analizeze relaţiile diferenţiale icircntre eforturi şi sarcini

Dimensiunile grinzii au valorile a = 6 [m] b = 4 [m] și c = 4[m] sistemul de

forţe aplicat fiind format din p = 10 [kN mfrasl ] F = 20 [kN] (icircnclinată cu unghiul α =300 faţă de orizontală) şi M0 = 40 [kN ∙ m]

Rezolvare

a) Se fac următoarele precizări

grinda dreaptă se reprezintă prin axa geometrică

forţa icircnclinată F se descompune după direcţiile orizontală şi verticală icircn FV =F ∙ sin α = 10 [kN] şi FH = F ∙ cos α = 173 [kN]

forţa distribuită uniform p este echivalentă din punct de vedere static cu

rezultanta sa R = p ∙ a = 60 [kN] care acţionează la jumătatea porţiunii de lungime a

icircn reazemele 119860 şi 119861 se introduc componentele HA şi VA respectiv VB ale

reacţiunilor

Pentru calculul reacţiunilor se utilizează ecuaţiile de echilibru static al grinzii

sumXi = 0 HA minus FH = 0 sumYi = 0 VA + VB minus R minus FV = 0 (sumM)B = 0 VA ∙ (b + a) minus R ∙ (b + 05 ∙ a) minus M0 + FV ∙ c = 0

(A1)

Din prima ecuaţie se obţine HA iar din cea de-a treia ecuaţie rezultă VA

HA = FH = 173 [kN]

VA =[R ∙ (b + 05 ∙ a) + M0 minus FV ∙ c]

(b + a)=[60 ∙ (4 + 05 ∙ 6) + 40 minus 10 ∙ 4]

(4 + 6)

VA = 42 [kN]

(A2)

Fig 220 Aplicație

Se observă că cea de-a doua ecuaţie de echilibru conţine două necunoscute

reacţiunile VA şi VB Pentru a calcula componenta VB nu este indicată introducerea lui VA

icircn cea de-a doua ecuaţie a sistemului (A1) pentru că o valoare determinată greşit pentru

VA conduce la o valoare VB de asemenea greşită O ecuaţie independentă din care se poate

determina componenta VB este următoarea

(sumM)A= 0 FV ∙ (a + b + c) minus VB ∙ (a + b) minus M0 + R ∙ 05 ∙ a = 0 (A3)

de unde se obţine

VB =[FV ∙ (a + b + c) minusM0 + R ∙ 05 ∙ a]

(b + a)=[10 ∙ (6 + 4 + 4) minus 40 + 60 ∙ 05 ∙ 6]

(6 + 4)

VB = 28 [kN] (A4)

Ecuaţia de proiecţii ale forţelor pe direcţia verticală (a doua ecuaţie din sistemul

A1) se utilizează pentru verificarea reacţiunilor deja determinate

VA + VB minus R minus FV = 0 rArr 42 + 28 minus 60 minus 10 = 0 (A5)

Ultima egalitate demonstrează că reacţiunile verticale au fost calculate corect

Din cele de mai sus rezultă ordinea firească pentru determinarea reacţiunilor icircn

cazul grinzilor simplu rezemate

sumXi = 0

(sumM)A = 0

(sumM)B = 0

(A6)

iar pentru verificarea componentelor verticale VA şi VB se folosește ecuaţia sumY = 0

b) La stabilirea funcţiilor de eforturi se parcurg icircn general etapele următoare

se notează (numeric sau literal după preferinţă) secţiunile care delimitează

domeniile (intervalele sau tronsoanele) pe care eforturile nu-şi modifică funcţiile (au legi

unice de variaţie)

pe fiecare domeniu se marchează secţiunea imaginară icircn care se stabilesc

funcţiile eforturilor

secţiunea astfel aleasă separă icircn două părţi grinda şi anume porţiunea din stacircnga

şi porţiunea din dreapta secţiunii

se va considera parcursă (şi icircndepărtată) acea parte pe care acţionează mai puţine

sarcini exterioare pentru că acestea vor interveni icircn expresiile funcţiilor de eforturi

poziţiile secţiunilor imaginare se vor determina prin variabilele x1 ⋯ xn (unde

n reprezintă numărul domeniilor de variaţie) cu originea fixată icircn capătul intervalului şi

sensul de parcurgere spre partea considerată rămasă

Grinda prezentată icircn figura 220 are trei domenii de variaţie pentru funcţiile de

eforturi după cum urmează (A-1) (2-B) şi (B-1)

Domeniul (A-1) x1 isin [0 a = 6 m] Porţiunea parcursă şi considerată icircndepărtată este cea de coordonată x1 pe care

acţionează reacţiunile HA şi VA precum şi rezultanta parţială a sarcinii distribuite R1 =p ∙ x1

Funcţia forţă axială Nx are expresia

Nx(x1) = NAminus1 = minusHA = minus173 [kN] = const

(A7)

Funcţia forţă tăietoare Ty are exspresia

Ty(x1) = TAminus1 = VA minus R1 = VA minus p ∙ x1 (A8)

care reprezintă o variaţie liniară de variabilă x1 Se calculează valorile forţei tăietoare la

limitele intervalului de variaţie

- pentru x1 = 0 Ty(x1 = 0) = TA = VA = 42 [kN]

- pentru x1 = a = 6 [m] Ty(x1 = 6) = T1 = VA minus p ∙ a = minus18 [kN]

Observaţie Aşa cum a fost stabilită secţiunea fictivă poziţionată prin coordonata

x1 sar părea că rezultanta R ar trebui luată icircn calculul lui Ty(x1) Acest lucru ar fi greşit

pentru că R = p ∙ a reprezintă rezultanta sarcinii distribuite pe toată lungimea a iar

rezultanta pe porţiunea parcursă de lungime x1 este R1 = p ∙ x1 ne R = p ∙ a

Cu valorile obţinute se trasează diagramele forţelor axială Nx = f(x) şi tăietoare

Ty = f(x) figura 220 Din diagrama forţei tăietoare şi din valorile obţinute analitic se

observă că forţa tăietoare icircşi schimbă semnul pe intervalul analizat deci se anulează pe

acest interval Poziţia secţiunii unde Ty se anulează se determină din ecuaţia

Ty(x1) = 0 rArr VA minus p ∙ x1 = 0 (A9)

cu soluţia x1lowast = ξ = 42 [m] Important de reamintit că icircn această secţiune momentul

icircncovoietor va avea un extrem local adică Miz are un extrem la Ty = 0

Funcţia moment icircncovoietor Miz are expresia

Miz(x1) = VA ∙ x1 minus R1 ∙x12= VA ∙ x1 minus (p ∙ x1) ∙

x12

(A10)

Se observă că funcţia moment icircncovoietor de variabilă x1 are o variaţie parabolică

(gradul al II-lea) Pentru reprezentarea grafică a funcţiei parabolice se calculează valorile

momentului icircncovoietor icircn trei secţiuni

- pentru x1 = 0 Miz(x1 = 0) = MA = 0 [kN ∙ m] - pentru x1 = a = 6 [m] Miz(x1 = 6) = M1 = 72 [kN ∙ m] - pentru x1

lowast = ξ = 42 [m] Miz(x1lowast = ξ = 42 [m]) = Mimax = 882 [kN ∙ m]

Cu acestea se trasează diagrama Miz = f(x) pe intervalul (A-1) figura 220

Observaţie Icircn unele cazuri pe un anumit interval forţa tăietoare nu se anulează

şi momentul icircncovoietor nu are un extrem local Icircn acest caz pentru reprezentarea

variaţiei parabolice a momentului icircncovoietor se va studia semnul derivatei a doua a

funcţiei Miz = f(x1) acesta determinacircnd convexitatea curbei momentului icircncovoietor

Domeniul (2-B) x2 isin [0 c = 4 m] Porţiunile din grindă libere (nerezemate) la un capăt se numesc console iar

stabilirea funcţiilor de eforturi devine mai simplă dacă se consideră icircndepărtată partea din

dreapta secţiunii prin schimbarea sensului pozitiv al axei x Astfel se obţin funcţiile eforturilor

Funcţia forţă axială Nx are expresia

Nx(x2) = N2minusB = minusFH = minus173 [kN] = const

(A11)

Funcţia forţă tăietoare Ty are exspresia

Ty(x2) = T2minusB = FV = 10 [kN] = const (A12)

Funcţia moment icircncovoietor Miz are expresia

Miz(x2) = minusFV ∙ x2 rArr Miz(x2 = 0) = M2 = 0 [kN ∙ m]

Miz(x2 = 4) = MB = minus40 [kN ∙ m] (A13)

variaţie liniară (gradul I)

Domeniul (B-1) x3 isin [0 b = 4 m] Pe acest domeniu se acceptă parcurgerea grinzii de la dreapta adică se consideră

icircndepărtată partea din dreapta secţiunii fictive pentru că are doar două sarcini aplicate F

şi VB faţă de partea din stacircnga secţiunii pe care sunt aplicate trei sarcini p VA şi M0

Astfel se obţin funcţiile eforturilor

Funcţia forţă axială Nx are expresia

Nx(x3) = NBminus1 = minusFH = minus173 [kN] = const

(A14)

Funcţia forţă tăietoare Ty are exspresia

Ty(x3) = TBminus1 = FV minus VB = minus18 [kN] = const (A15)

Funcţia moment icircncovoietor Miz are expresia

Miz(x3) = minusFV ∙ (x3 + c) + VB ∙ x3 rArr

rArr Miz(x3 = 0) = MB = minus40 [kN ∙ m]

Miz(x3 = 4) = M1 = 32 [kN ∙ m]

(A16)

variaţie liniară (gradul I)

Diagramele eforturilor sunt prezentate icircn figura 220

c) Relaţiile diferenţiale dintre eforturi şi sarcini se analizează pe diagramele

eforturilor după cum urmează

sarcina distribuită nu are componentă orizontală adică ph = 0 şi icircn

conformitate cu formula (211) rezultă că Nx = const pe toată lungimea grinzii fapt care

a rezultat din funcţia şi reprezentarea diagramei forţei axiale

pe intervalul (A-1) sarcina distribuită are doar componenta verticală pozitivă

pV = p gt 0 prin urmare forţa tăietoare scade (are panta negativă dTy 119889119909frasl = minusp vezi

relaţia 210) iar momentul icircncovoietor avacircnd derivata a doua negativă d2M119894119911 1198891199092frasl =minuspare convexitatea curbei orientată spre sensul pozitiv al axei momentului Miz adică icircn

jos

pe domeniile (2-B) şi (B-1) deoarece pv = 0 forţa tăietoare Ty este constantă

iar momentul icircncovoietor Miz variază liniar

referitor la relaţia (212) pe porţiunile unde Ty gt 0 momentul Miz este

monoton crescător pe porţiunile unde Ty lt 0 momentul Miz este monoton descrescător

iar icircn secţiunea icircn care Ty = 0 momentul icircncovoietor are un extrem local Mξ =

882 [kN ∙ m] icircn diagrama forţei tăietoare discontinuităţile (salturile) se produc icircn secţiunile

unde acţionează VA VB şi FV iar icircn diagrama momentului icircncovoietor se produce un

singur salt icircn secţiunea icircn care este aplicat M0

se poate scrie

Mξ = suprafața diagramei Ty |ξ0=1

2∙ 42 ∙ 42 = 882 [kN ∙ m]

sau parcurgacircnd grinda de la dreapta la stacircnga rezultă

MB = minussuprafața diagramei Ty |c0= minus10 ∙ 4 = minus40 [kN ∙ m]

Toate aspectele analizate teoretic referitoare la relaţiile diferenţiale dintre eforturi

şi sarcini se regăsesc icircn diagramele de eforturi din figura 220 ceea ce icircnseamnă că

diagramele au fost reprezentate corect

3 TENSIUNI DEPLASĂRI ŞI DEFORMAŢII SPECIFICE

31 Tensiuni

Eforturile obținute icircn urma reducerii forțelor interioare icircn centrul de greutate al

secțiunii nu pot da informații asupra solicitării fiecărui punct al secțiunii respective Este

necesar să se cunoască modul cum se distribuie forțele interioare icircn fiecare punct al

secțiunii pentru a ști care este intensitatea maximă a solicitării Această intensitate

maximă se poate compara cu o valoare critică specifică materialului stabilindu-se astfel

dacă solicitarea este periculoasă sau nu

Mărimea care caracterizează solicitarea locală punctuală o vom denumi tensiune

și o vom defini icircn cele ce urmează Să considerăm partea din dreapta a unui corp solicitat

de forțele exterioare 1198651 1198652 și 1198653 obținută prin secționarea corpului și mărginită de fața

din dreapta Ad a secțiunii Pe secțiunea Ad vom considera un element de arie infinit mic

∆119860 caracterizat de normala la elementul de arie normală care are cosinușii directori

120573 și icircn raport cu un sistem de axe considerat fix Pe elementul infinit mic ∆119860 acționează

forțele interioare care au o rezultantă oarecare figura 31

Prin definiție tensiunea totală este

= lim∆119860rarr0

∆

∆119860 (31)

Tensiunea are aceeaşi direcţie cu forţa elementară ∆ iar mărimea ei este

determinată atacirct de mărimea forţei ∆ cacirct şi de orientarea suprafeţei ∆119860 faţă de direcţia

forţei

Tensiunea 119901 poate fi descompusă icircntr-o componentă orientată după direcţia

normalei la secţiune tensiunea normală notată cu 120590119909 şi o componentă icircn planul secţiunii

tensiunea tangenţială notată cu figura 32

= 119909 + 120591 (32)

Fig 31 Tensiunea totală Fig 32 Tensiunea normală și tangențială

La racircndul ei componenta tensiunii cuprinsă icircn planul secțiunii poate fi

descompusă după direcțiile axelor y și z

120591 = 120591119909119910 + 120591119909119911 (33)

Icircntre cele trei componente ale tensiunii totale care acționează pe elementul de arie

∆119860 este valabilă relația

1199012 = 1205901199092 + 120591119909119910

2 + 1205911199091199112 (34)

După sensul pe care icircl are tensiunea normală 120590 poate avea efect de tracţiune sau

de compresiune exercitat de către partea de corp icircnlăturată asupra părţii rămase Analog

tensiunea tangenţială 120591 poate avea efect de tăiere forfecare sau alunecare Pentru

componentele tensiunii tangențiale 120591119909119910 pe direcţia 119910 respectiv 120591119909119911 pe direcţia 119911 primul

indice indică axa pe care tensiunea este normală iar cel de-al doilea indice indică axa cu

care aceasta este paralel

Tensiunea este o mărime tensorială valoarea ei depinzacircnd atacirct de poziția

punctului icircn planul secțiunii cicirct și de orientarea planului de secționare deci de normala

Operaţiile vectoriale nu pot fi aplicate tensiunilor decacirct după ce acestea au fost icircnmulţite

cu ariile respective adică au fost transformate icircn forţe

Icircn literatura de specialitate mai ales icircn manualele mai vechi pentru noţiunea de

tensiune se mai foloseşte şi denumirea de efort specific

Dacă se consideră un alt element de arie ∆119860 cu centrul icircn același punct avacircnd ca

normală axa 119910 se vor obține alte tensiuni și anume

- 120590119910 este tensiunea normală (paralelă cu axa y)

- 120591119911119909 și 120591119910119911 sunt tensiuni tangențiale paralele cu axele 119909 și respectiv 119911 aflate icircn

planul care are ca normală axa 119910

Dacă icircn jurul unui punct dintr-un corp solicitat se consider un element de volum

infinit mic de forma unui cub icircn cazul cel mai general pe fețele sale vor acționa

tensiunile normale 120590119909 120590119910 și 120590119911 și respectiv tensiunile tangențiale 120591119909119910 120591119909119911 120591119910119909 120591119910119911 120591119911119909

și respectiv 120591119911119910 figura 33 Aceste tensiuni definesc starea de tensiune a punctului

observacircnd faptul că tensorul tensiune are 9 componente Dacă se consideră elementul

de volum finit ca fiind foarte mic se poate presupune că icircn interiorul său nu apar forțe

Ca urmare el va fi icircn echilibru sub acțiunea forțelor elementare produse de tensiunile de

pe fețele sale

Din condiția ca elementul să nu se rotească icircn jurul unor axe care trec prin centrul

său și sunt paralele cu axele sistemului 119909119874119910119911 rezultă

2 ∙ 120591119909119910 ∙ (119889119910 ∙ 119889119911) ∙119889119909

2= 2 ∙ 120591119910119909 ∙ (119889119909 ∙ 119889119911) ∙

119889119910

2 rArr 120591119909119910 = 120591119910119909 (35)

2 ∙ 120591119910119911 ∙ (119889119909 ∙ 119889119911) ∙119889119910

2= 2 ∙ 120591119911119910 ∙ (119889119909 ∙ 119889119910) ∙

119889119911

2 rArr 120591119910119911 = 120591119911119910 (36)

2 ∙ 120591119909119911 ∙ (119889119910 ∙ 119889119911) ∙119889119909

2= 2 ∙ 120591119911119909 ∙ (119889119909 ∙ 119889119910) ∙

119889119911

2 rArr 120591119909119911 = 120591119911119909 (37)

Relațiile (35divide37) 120591119909119910 = 120591119910119909 120591119910119911 = 120591119911119910 120591119909119911 = 120591119911119909 exprimă principiul dualității

tensiunilor tangențiale

Fig 33 Tensiunile normale și tangențiale pe fețele unui cub

Din condiția ca elementul considerat să nu se deplaseze icircn lungul axelor de

coordonate pe fețele opuse acționează aceleași tensiuni normale 120590119909 120590119910 și respectiv 120590119911

Definirea tensorului tensiune este posibilă dacă se cunosc cele 6 componente

independente ale acestuia aflate icircn trei plane perpendicular ce trec prin punctul respectiv

=

120590119909 120591119909119910 120591119909119911120591119910119909 120590119910 120591119910119911120591119911119909 120591119911119910 120590119911

Observaţii

Tensiunile se măsoară icircn [119873 1198982frasl ] (1119873 1198982frasl = 1 119875119886) sau icircn [119872119875119886]

(1 119872119875119886 = 106119875119886 = 106 119873

1198982 1 119872119875119886 = 1

119873

1198981198982)

Starea de tensiune dintr-un punct este considerată cunoscută dacă se cunosc

tensiunile 119901 care acționează pe infinitatea de elemente de suprafață ce trec prin punctual

considerat

Starea de tensiune a unui corp se consider cunoscută dacă se cunosc stările de

tensiune de pe infinitatea de puncte ale corpului considerat

32 Deplasări Deformaţii specifice

321 Deplasări

Aceste noțiuni sunt utile icircn analiza aspectului geometric al problemelor de rezistența

materialelor Deplasările care se analizează sunt cele datorate schimbării formei și

dimensiunilor corpurilor ca urmare a acțiunii forțelor exterioare și nu cele cinematice

posibile pentru solidul rigid care se poate deplasa cu anumită viteză și accelerație

Spre exemplu icircn figura 34a și figura 34b sub acțiunea forței 119865 tronsonul de

bară AB se deformează icircn timp ce tronsonul BC deși punctele sale au deplasări rămacircne

nedeformat (fiind nesolicitat) Toate punctele de pe axele barelor cu excepția celor din

icircncastrare (secțiunile A) au deplasări liniare De cele mai multe ori deformațiile barelor

datorate acțiunii forțelor exterioare se anulează la icircndepărtarea forțelor se spune că

deformațiile sunt elastice Secțiunile transversale ale barei din figura 34a se și rotesc icircn

raport cu pozițiile lor inițiale Spre exemplu secțiunea de căpăt cu centrul icircn C se rotește

cu unghiul

Fig 34 Deformațiile unei grinzi

Oricacirct de complexă ar fi delormația unui corp ea poate fi descrisă de lungiri sau

scurtări și de modificări ale unghiurilor inițiale

Deplasările măsoară schimbarea poziției unui punct al corpului și pot fi liniare

sau unghiulare

Prin deplasare liniară a unui punct se icircnțelege drumul parcurs de acest punct icircn

decursul procesului de deformație după o dreaptă suport dreapta 1198611198611 din figura 34a

Prin deplasare unghiulară se icircnțelege rotirea dintre segmentele de dreaptă

determinate de două puncte ale corpului icircnainte și după deformarea acestuia unghiul

pe care-l fac segmentele 119861119862 și 11986111198621 din figura 34a Această rotire se măsoară prin

unghiul pe care-l fac proiecțiile dreptelor ce conțin cele două segmente icircntr-un sistem

triortogonal

Icircn cazul cel mai general vectorul deplasare liniară se poate descompune icircntr-un

sistem triortogonal icircn trei componente 119906 119907 și 119908 figura 35

Fig 35 Deplasarea liniară

Se consideră acum un corp solid raportat la un sistem de axe ortogonal 119909119874119910119911

figura 35 după deformarea corpului un punct oarecare 119870 al acestuia se deplasează icircn

poziţia 1198701 vectorul 1198701198701 poartă numele de vectorul deplasării totale

Deplasarea totală este suma deplasărilor pe cele trei direcţii ortogonale iar

aceste deplasări se notează astfel

deplasarea pe direcţia 119909 cu ∥ 119874119909

deplasarea pe direcţia 119910 cu ∥ 119874119910

deplasarea pe direcţia 119911 cu ∥ 119874119911

Componentele deplasărilor și formeză matricea deplasărilor liniare 119906119907119908

322 Deformații

Prin deformație icircn general se icircnțelege orice schimbare de formă a unui corp fără

o evaluare cantitativă Icircn Rezistența Materialelor deformația măsoară variația

dimensiunilor geometrice ale corpului considerat din vecinătatea unui punct analog

deplasărilor deformațiile pot fi liniare și unghiulare (lunecări)

Fig 36 Deplasarea liniară

Deformația liniară ∆119897 reprezintă variația lungimii 119897 a unui element liniar al

corpului deformat figura 36 Deformația liniară specifică se definește ca fiind raportul

dintre deformația liniară și lungimea inițială

휀 =∆119897

119897 (38)

unde ∆119897 este lungirea sau scurtarea care este echivalentă cu deformția liniară totală iar

este alungirea

Deformația unghiulară sau lunecarea unui punct 119860 icircn planul 119861119860119862 se definește

prin relația figura 37

120574 = lim119861119860rarr0119862119860rarr0

(119861119860 minus 119861111986011198621 ) (39)

Fig 36 Deformația unghiulară

Schimbacircnd orientarea planului care trece prin 119860 se obțin alte deformații

unghiulare Dacă elementele liniare 119861119860 și 119862119860 sunt inițial perpendiculare deformația 120574 se

numește deformație unghiulară specifică sau lunecare specifică figura 37

Un exemplu de deplasare unghiulară și de deformație unghiulară este prezentat icircn

figura 38 Unghiul este deplasarea unghiulară și măsoară rotirea relativă dintre două

secțiuni aflate la distanța 119897 Unghiul este deformația specifică unghiulară (lunecarea

specifică) din punctul 119870 Aceste deplasări și deformații se obțin icircn urma solicitării barei

de către cele două momente 1198720 egale și de sens contrar

Fig 38 Deplasarea unghiulară

Pentru a analiza starea de deformație din vecinătatea unui punct al unui corp

solicitat complex se decupează din jurul punctului un element de volum mic figura 39a

avacircnd laturile 119889119909 119889119910 și 119889119911 Ca urmare a solicitării laturile acestuia se vor lungi sau

scurta Reprezentarea elementului deformat icircn spațiu este dificilă pentru simplificare

vom analiza doar deformațiile din planul 119909119874119910 Observăm că dimensiunile 119889119909 și 119889119910 s-au

modificat cu valoarea ∆119889119909 respectiv cu ∆119889119910 analog se acceptă și pentru 119889119911 o modificare

de forma ∆119889119911 Astfel se pot defini deformațiile specifice liniare

휀119909 =∆119889119909

119889119909 휀119910 =

∆119889119910

119889119910 휀119911 =

∆119889119911

119889119911 (310)

De cele mai multe ori aceste deformații specifice liniare se pot exprima procentual

și se mai numesc alungiri

Fig 39 Starea de deformație

Icircn figura 39c se vede că unghiul inițial drept dintre muchiile 119889119909 și 119889119910 ale

elementului de volum s-a modificat Se definește deformația specifică unghiulară (sau

lunecarea specifică) mărimea cu care se modifică unghiul inițial drept

120574119909119910 = 120574119909119910prime + 120574119910119909

prime = 120574119910119909120574119910119911 = 120574119910119911

prime + 120574119911119910prime = 120574119911119910

120574119911119909 = 120574119911119909prime + 120574119909119911

prime = 120574119909119911

(311)

Deformațiile 휀119909 휀119910 휀119911 120574119909119910 120574119910119911 120574119911119909 constituie cele șase componente

independente ale tensorului deformațiilor specifice care pot fi scrise de forma

119863 =

휀119909 120574119909119910 120574119909119911120574119910119909 휀119910 120574119910119911120574119911119909 120574119911119910 휀119911

(312)

323 Contracţia transversală

Practica arată că odată cu lungirea unei bare apare o micşorare a mărimii secţiunii

transversale mărime numită contracţie transversală figura 310

Fig 310 Contracția transversală

Contracţia transversală este proporţională cu lungirea specifică coeficientul de

proporţionalitate se notează cu 120599 şi se numeşte coeficient de contracţie transversală sau

coeficientul lui Poisson

La o lungire specifică a barei contracţia transversală este dată de relația

휀119905119903 = 휀119910 = 휀119911 = minus120599 ∙ 휀119909 (313)

Semnul minus bdquo-rdquo arată că cele două mărimi sunt contrare dacă una creşte cealaltă

scade şi invers

Considerăm o bară cilindrică de lungime 119897 şi aria secţiunii transversale 119860 solicitată

la icircntindere axială La un moment dat datorită solicitării lungimea barei devine

[119897 ∙ (1 + 휀)] diametrul devine [119889 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)] iar aria secţiunii transversale devine

[119860 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)2] Dacă volumul barei icircnainte de solicitare a fost (119860 ∙ 119897) după solicitare

acesta devine

119881 + ∆119881 = 119860 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)2 ∙ 119897 ∙ (1 + 휀) =

= 119860 ∙ 119897 ∙ (1 + 휀 minus 2 ∙ 120599 ∙ 휀 minus 2 ∙ 120599 ∙ 휀2 + 1205992 ∙ 휀2 + 1205992 ∙ 휀3) (314)

Deoarece lungirile sunt foarte mici ultimii trei termeni din paranteză fiind infinit mici se pot neglija obţinacircnd

119881 + ∆119881 = 119860 ∙ 119897 + 119860 ∙ 119897 ∙ 휀 ∙ (1 minus 2 ∙ 120599) ⟺ ∆119881 = 휀 ∙ (1 minus 2 ∙ 120599) ∙ 119860 ∙ 119897 (315)

Practica arătă că o astfel de bară solicitată la icircntindere icircşi măreşte volumul deci

∆119881 gt 0 de unde rezultă că

1 minus 2 ∙ 120599 gt 0 rArr 120599 lt 05 (316)

Pentru majoritatea materialelor 120599 = 033 iar pentru materialele care-şi păstrează

volumul constant 120599 = 05

33 Relaţii de echivalenţă icircntre eforturi şi tensiuni

Considerăm un element de suprafață infinit mic 119889119860 situat pe fața de arie (119860) a

secțiunii barei din figura 311 Icircn centrul de greutate 119862 al secțiunii acționează eforturile

119873 119879119910 119879119911 119872119909 119872119894119910 și 119872119894119911 determinate prin metoda secțiunilor

Icircn raport cu un sistem de axe de referință 119909119862119910119911 coordonatele elementului 119889119860 sunt

- 119910 este ordonata elementului de arie 119889119860

- 119911 este abscisa elementului de arie 119889119860

Pe elementul de arie 119889119860 acționează tensiunile

120590119909 tensiunea normală

120591119909119910 și 120591119909119911 tensiuni tangențiale

Dacă se icircnsumează forțele elementare de tipul 120590119909 ∙ 119889119860 120591119909119910 ∙ 119889119860 și 120591119909119911 ∙ 119889119860

va trebui să obținem eforturile 119873 119879119910 și 119879119911

Fig 311 Element de suprafață mic din secțiunea unei bare

Dacă eforturile sunt privite ca forțe exterioare și se scriu ecuațiile de

echilibru ale secțiunii (119860) se vor obține șase relații de echivalență icircntre eforturi și

tensiuni

(sum119883) = 0 rArr int 120590119909 ∙ 119889119860

119860

= 119873 (317)

(sum119884) = 0 rArr int 120591119909119910 ∙ 119889119860

119860

= 119879119910 (318)

(sum119885) = 0 rArr int 120591119909119911 ∙ 119889119860

119860

= 119879119911 (319)

(sum119872)119909= 0 rArr int(120591119909119911 ∙ 119889119860) ∙ 119910

119860

minus int(120591119909119910 ∙ 119889119860) ∙ 119911

119860

= 119872119909 rArr

rArr int(119910 ∙ 120591119909119911 minus 119911 ∙ 120591119909119910) ∙ 119889119860

119860

= 119872119909

(320)

(sum119872)119910= 0 rArr int(120590119909 ∙ 119889119860) ∙ 119911

119860

= 119872119894119910 (321)

(sum119872)119911= 0 rArr int(120590119909 ∙ 119889119860) ∙ 119910

119860

= 119872119894119911 (322)

Cele șase relații de echivalență icircntre eforturi și tensiuni constituie un pas icircnainte

icircn rezolvarea unei probleme de rezistența materialelor Aceste relații vor permite

determinarea tensiunilor maxime

Pentru a rezolva cele 6 relații de echivalență trebuie să se cunoască tensiunile și

ca funcții de punct adică funcții de forma

120590119909 = 120590119909(119909 119910 119911) 120591119909119910 = 120591119909119910(119909 119910 119911) 120591119909119911 = 120591119909119911(119909 119910 119911) (32

3)

Cunoașterea acestor funcții presupune icircnsă analizarea aspectului geometric al

problemei precum și utilizarea unor ipoteze simplificatoare care să permită simplificarea

problemelor

34 Ipoteze de bază icircn rezistenţa materialelor

Depășirea dificultăților legate de interpretarea unor fenomene specifice mecanicii

solidului deformabil a impus acceptarea unor ipoteze care să simplifice fenomenele și să

contribuie la elaborarea unor modele de calcul cicirct mai generale și cacirct mai simple Aceste

ipoteze se referă la structura materialelor şi la comportarea lor sub acţiunea forţelor

exterioare Ipotezele acceptate trebuie să fie icircn deplină concordanţă cu realitatea și să

conducă la rezultate verificate icircn practică

Funcție de aspectele la care se referă ipotezele pot fi

Ipoteze fizice (de material)

Ipoteze de calcul

341 Ipoteze fizice

Se acceptă deoarece teoriile structurale au condus la rezultate care contravin

icircncercărilor experimentale

Ipoteza mediului continuu consideră că orice domeniu elementar al corpului

este ocupat de materie adică nu se acceptă existența unor goluri sau a unor crăpături

microscopice (fisuri) Deși nu corespunde realităţii poate fi acceptată deoarece

dimensiunile corpului sunt mult mai mari decacirct dimensiunile particulelor elemantare Are

avantajul că permite utilizarea proprietăților matematice ale funcțiilor continue pentru

tensiunile și deformațiile din orice punct al corpului Ea este mai apropiată de realitate la

corpurile amorfe şi mai depărtată la cele cristaline dar conduce la rezultate satisfăcătoare

icircn calculele de rezistenţă

Ipoteza nu se poate aplica la corpurile care au goluri tăieturi (multiplu conexe)

pentru unele puncte singulare icircn care tensiunile și deformațiile tind la infinit sau icircn unele

probleme de plasticitate icircn care proprietățile de material au un rol esențial

Ipoteza izotropiei conform acestei ipoteze materialul din care este confecționat

un element de rezistență are aceleași proprietăți după orice direcție un astfel de material

este considerat izotrop Din punct de vedere macroscopic metalele pot fi considerate

izotrope deși la nivel microscopic proprietățile lor diferă de la o direcție cristalografică

la alta Orice conglomerat de cristale poate fi considerat izotrop

Există cazuri cacircnd această ipoteză a izotropiei nu se acceptă

la metalele puternic deformate după o direcție (prin laminare trefilare)

la piesele confecționate din lemn lemnul este anizotrop deoarece proprietățile sale

diferă după două direcții (icircn lungul fibrelor și perpendicular pe această direcție)

Ipoteza omogenității consideră că un corp are aceleași proprietăți icircn orice

punct al său Deși majoritatea materialelor utilizate icircn tehnică sunt eterogene la scară

micro fiind constituite din mai multe faze cu proprietăți diferite la scară macro ele pot

fi considerate omogene Omogenitatea și izotropia sunt proprietăți statistice medii care

nu se condiționează una pe cealaltă Chiar și materialele monofazice pot avea la scară

micro unele segregații care le fac eterogene

Ipoteza elasticităţii perfecte presupune că atacircta timp cacirct solicitările nu

depăşesc anumite limite materialul are o comportare elastică adică icircşi recapătă forma şi

dimensiunile iniţiale odată cu icircnlăturarea sarcinilor Icircn realitate materialele nu prezintă o

elasticitate perfectă ele avacircnd deformaţii remanente mici care icircnsă pot fi neglijate icircn

calculele de rezistenţă

Acceptarea acestei ipoteze a elasticității perfecte permite

- aplicarea relației biunivoce icircntre tensiuni și deformații relație exprimată de legea

lui Hooke ( = 119864 ∙ 휀) unde E este un factor de proporţionalitate numit modul de

elasticitate longitudinal al materialului pentru oţel 119864 = 21 ∙ 105 [119872119875119886] - acceptarea valabilității afirmației bdquolucrul mecanic efectuat de forțele exterioare

ca urmare a parcurgerii deplasărilor punctelor de aplicație se icircnmagazinează integral icircn

corp sub formă de energie de deformație energie cedată la icircndepărtarea sarcinilorrdquo

- este valabilă teoria conform căreia bdquoenergia icircnmagazinată și deformațiile depind

doar de starea inițială și finală de eforturi fără a ține cont de modul icircn care s-a ajuns la

starea finalărdquo

Icircn realitate oricacirct de mici ar fi sarcinile aplicate se produc și deformații plastice

dar acestea pot fi neglijate dacă solicitarea nu depășește anumite limite

342 Ipoteze de calcul

Ipoteza micilor deplasări bdquodeplasările datorate deformării sunt mult mai mici

decacirct dimensiunile corpurilor și ca urmare pot fi neglijate produsele dintre o deplasare și

ea icircnsăşirdquo Pentru cele mai multe corpuri deformaţiile elastice sunt de mărimi mici deci

corpurile solide sub acţiunea sarcinilor icircşi modifică foarte puţin forma iniţială Această

ipoteză este cunoscută şi sub denumirea de ipoteza menţinerii dimensiunilor iniţiale Ea

permite scrierea ecuaţiilor de echilibru ale staticii pe starea nedeformată a elementului

cacircnd nu se iau icircn considerare deplasările punctelor de aplicaţie ale forţelor care se produc

ca urmare a deformării acestuia Calculul efectuat pe schema nedeformată poartă numele

de calcul de ordinul I

Ipoteza micilor deplasări nu poate fi acceptată pentru studiul problemelor de

stabilitate sau la problemele la care nu pot fi icircndeplinite condiţiile de echilibru icircn starea

nedeformată

Calculul de ordinul II admite ipoteza micilor deplasări dar ecuaţiile de echilibru

se scriu icircnsă pentru starea deformată a elementului de rezistenţă

Calculul de ordinul III nu mai acceptă ipoteza micilor deplasări el referindu-se

la cazul deformaţiilor mari cacircnd ecuaţiile de echilibru trebuie scrise pentru starea

deformată

Chiar dacă materialul satisface legea lui Hooke icircn urma calculelor de ordinul II

se obţin de obicei relaţii neliniare icircntre sarcini şi deplasări iar pentru calculul de ordinul

III rezultă ecuaţii diferenţiale neliniare

Principiul efectului local al acțiunii sarcinilor enunțat de Barre de Saint-

Venant Acest principiu destul de folosit icircn Rezistenţa Materialelor precizează că dacă

se icircnlocuiesc forţele care acţionează asupra unui element de suprafață al unui corp

elastic printr-un alt sistem de forţe echivalent din punct de vedere static cu primul noua

distribuţie a forţelor produce la locul de aplicare diferenţe semnificative faţă de prima

dar rămacircne fără efect sau cu efect neglijabil la distanţe mari de locul de aplicare al

forţelor figura 312

Ca o cosecință o sarcină uniform distribuită figura 312a poate fi icircnlocuită cu

rezultanta ei figura 312b dacă se analizează efectul sarcinii la distanță mare de locul icircn

care se aplică sarcina

Fig 312 Principiul Saint-Venant

Icircn prima variantă figura 312a forţa 119865 se aplică pe o porțiune oarecare 119897 (sarcină

uniform distribuită) iar icircn a doua figura 312b icircntru-un punct (forţă concentrată) La

locul de aplicare a sarcinii efectul asupra barei este cu totul diferit de la o variantă la

cealaltă Icircnsă la o distanţă mare de punctul de aplicaţie spre exemplu icircn secţiunea situată

la distanţa 119886 de capătul barei sau chiar icircn icircncastrare ambele bare sunt solicitate la fel

Icircn cazul din figura 312a

119872119894(119909) =119901 ∙ 1199092

2 119909 le 119897 119872119894(119909) = 119901 ∙ 119897 ∙ (119909 minus

119897

2) 119909 gt 119897 (324)

Icircn cazul din figura 312b

119872119894(119909) = 0 119909 lt119897

2 119872119894(119909) = 119901 ∙ 119897 ∙ (119909 minus

119897

2) 119909 gt

119897

2 (325)

Se vede că pentru (119909 gt 119897) adică după depășirea locului icircn care se aplică sarcina

efectul este același

Ipoteza lui Bernoulli sau ipoteza secţiunilor plane precizează că o secţiune

plană şi normală pe axa barei icircnainte de deformare rămacircne plană şi normală pe axa

barei şi după deformare figura 313

Fig 313 Ipoteza lui Bernoulli

Ipoteza stării naturale a corpului sau ipoteza absenţei tensiunilor conform

căreia pentru un corp nesolicitat starea de tensiune şi deformaţie este nulă

Perfecţionarea mijloacelor de calcul şi de investigare pot conduce la renunţarea la

unele ipoteze sau la introducerea altora noi mai aproape de stările reale De aici rezultă

caracterul de continuă perfecţionare a metodelor Rezistenţei Materialelor

35 Coeficienţi de siguranţă Tensiuni admisibile

O piesă corespunde din punct de vedere tehnic dacă tensiunile care iau naştere icircn

interiorul piesei datorită sarcinilor aplicate nu depăşesc anumite valori limită stabilite

convenţional Aceste valori limită ale tensiunii sunt corelate cu caracteristicile mecanice

ale materialelor

Tensiunea limită utilizată icircn calculele de rezistenţă este cunoscută sub denumirea

de tensiune admisibilă sau rezistenţă admisibilă Rezistenţa admisibilă reprezintă

valoarea convenţională aleasă icircn calcul pe baza practicii pentru tensiunea maximă care

poate apare icircntr-o piesă icircn condiţii date de material şi solicitare

Rezistenţa admisibilă (120590119886 sau 120591119886) poate fi definită faţă de o stare limită

periculoasă stare care trebuie evitată deoarece poate conduce distrugere

120590119886 =120590119897119894119898119888

(326)

unde

120590119897119894119898 este tensiunea corespunzătoare stării limită periculoase

119888 estesupraunitar 119888 gt 1 și reprezintă coeficientul de siguranţă faţă de starea limită

periculoasă considerată

Alegerea unor valori inferioare pentru rezistenţa admisibilă faţă de tensiunea

corespunzătoare stării limită periculoase este necesară deoarece

cunoaşterea sarcinilor este de cele mai multe ori aproximativă şi o depăşire a

acestora este foarte posibilă

caracteristicile mecanice ale materialelor variază icircn limite destul de mari ele

fiind influenţate de mulţi factori

schema aleasă pentru calcul (aplicarea sarcinilor schematizarea structurii

ipotezele de calcul etc) depărtează modelul faţă de cel real

Pentru calculele de verificare tensiunea efectivă maximă din elementul de

rezistenţă trebuie să fie mai mică sau cel mult egală cu cea admisibilă

120590119890119891119898119886119909 le 120590119886 (327)

Valoarea rezistenţei admisibile este influenţată de foarte mulţi factori natura

materialului tratamentele termice aplicate piesei durata de funcţionare a piesei modul

de acţionare icircn timp a sarcinilor felul solicitării temperatura gradul de periculozitate

icircn cazul cedării piesei etc

De asemenea valoarea coeficientului de siguranţă se alege icircn principal ţinacircnd

seama de aceiaşi factori care influenţează şi rezistenţa admisibilă

Rezistenţele admisibile pentru cacircteva materiale sunt următoarele

pentru oțelul de uz general OL37 solicitat la icircntindere compresiune sau

icircncovoiere 120590119886 = 150 [119872119875119886] pentru lemnul de brad solicitat la

- compresiune icircn lungul fibrelor şi solicitat la icircncovoiere 120590119886 = 10 [119872119875119886] - tracţiune icircn lungul fibrelor 120590119886 = 7 [119872119875119886] - compresiune perpendiculară pe fibre 120590119886 = 15 [119872119875119886] - forfecare icircn lungul fibrelor 120591119886 = 2 [119872119875119886] - forfecare perpendiculară pe fibre 120590119886 = 45 [119872119875119886]

terenuri de fundaţie din pămacircnt uscat sau umed 120590119886 = 020 divide 025 [119872119875119886]

4 CARACTERISTICI GEOMETRICE ALE SECȚIUNILOR PLANE

41 Noţiuni introductive

Icircn relaţiile de calcul ale tensiunilor şi deformaţiilor elementelor de rezistenţă

pentru unele solicitări (icircncovoierea și torsiunea) secțiunile plane intervin atacirct prin

dimensiunile lor (aria 119860) cicirct și prin forma și poziția pe care o are secțiunea icircn raport cu

planul solicitării Mărimile care caracterizează o secțiune icircn raport cu forma și poziția față

de axele unui sistem de referință sunt denumite caracteristici geometrice de ordin

superior Aria secțiunii este caracteristica geometrică ce depinde doar de dimensiunile

geometrice ale acesteia

Să considerăm o grindă solicitată de o forță exterioară 119865 aşezată icircn două poziții icircn

raport cu planul forţei figura 41 Icircn urma aplicării forței deși avem aceeași grindă

(aceeași arie a secțiunii transversale) și aceeași forță se constată că pentru varianta din

figura 41a deformațiile sunt mult mai mari adică rezistența la icircncovoiere a grinzii din

figura 41a este mai mare decacirct icircn cazul grinzii din figura 41b Comportarea diferită se

explică prin aceea că modificarea poziţiei secţiunii transversale faţă de planul forţelor

modifică caracteristicile geometrice ale secţiunii transversale a grinzii

Fig 41 Grindă solicitată de forța 119865

Pentru realizarea calculelor de rezistenţă şi rigiditate este foarte importantă

cunoaşterea caracteristicilor geometrice ale suprafeţei secţiunii transversale a elementelor

de rezistenţă

Caracteristicile geometrice ale secţiunii transversale a unui element de rezistenţă

sunt

- aria secțiunii notată cu 119860

- momentul static icircn raport cu o axă notat 119878119911 și respectiv 119878119910

- momentul de inerție care poate fi

axial notat 119868119911 și respectiv 119868119910

centrifugal notat 119868119911119910

polar notat 119868119901

- raza de inerţie (giraţie)notată 119894119911 și respectiv 119894119910

- modulul de rezistență care poate fi

axial notat 119882119911 și respectiv 119882119910

polar notat 119882119901

42 Aria și momentul static al suprafețelor plane

Fie o suprafaţă plană de arie 119860 pe care se ia un element infinit mic de arie 119889119860 şi

un sistem de axe rectangulare 119911119874119910 figura 42 Notăm cu 119862 centrul de greutate al suprafeţei

119860 Poziţia suprafeţei elementare 119889119860 faţă de acelaşi sistem de coordonate 119911119874119910 este dată

de abscisa 119911 ordonata 119910 și raza polară

Fig 42 Suprafață plană de arie 119860

Aria suprafeţei 119860 figura 42 se defineşte ca fiind

119860 ≝ int 119889119860

119860

(41)

Aria suprafeţei este icircntotdeauna pozitivă și se măsoară icircn [1198981198982] Momentul static al suprafeţei de arie 119860 icircn raport cu axele 119874119911 și respectiv 119874119910

figura 42 sunt date de relaţiile

119878119911 ≝ int 119910 ∙ 119889119860

119860

119878119910 ≝ int 119911 ∙ 119889119860

119860

(42)

Momentul static poate fi pozitiv negativ sau nul şi se măsoară icircn [1198981198983] Coordonatele centrului de greutate ale suprafeței 119860 se detrmină cu relațiile

119910119862 ≝int 119910 ∙ 119889119860119860

119860 119911119862 ≝

int 119911 ∙ 119889119860119860

119860

(43)

Cunoscacircnd coordonatele 119910119862 și 119911119862 ale centrului de greutate 119862 al secțiunii 119860 atunci

momentele statice se pot determina cu relațiile

119878119911 ≝ int 119910 ∙ 119889119860

119860

= 119910119862 ∙ 119889119860 119878119910 ≝ int 119911 ∙ 119889119860

119860

= 119911119862 ∙ 119889119860 (44)

Aceste relații arată că momentul static al unei suprafețe icircn raport cu o axă este

egal cu produsul dintre aria suprafeței și distanța de la centrul ariei la axa respectivă

Dacă suprafaţa se poate descompune icircn 119899 suprafeţe simple la care se cunosc ariile

(1198601 1198602 ⋯ 119860119894⋯ 119860119899) și poziţiile centrelor de greutate 119862119894 faţă de sistemul de referinţă

expresiile momentelor statice capătă următoarea formă

119878119911 = sum 119910119862119894 ∙ 119860119894119899119894=1 = 119910119862 ∙ 119860 119878119910 = sum 119911119862119894 ∙ 119860119894

119899119894=1 = 119911119862 ∙ 119860 (45)

Din relaţiile (45) rezultă că poziţia centrului de greutate 119862 al unei suprafeţe

compuse poate fi determinată cu relaţiile

119910119862 = (sum119910119862119894 ∙ 119860119894

119899

119894=1

) 119860frasl 119911119862 = (sum119911119862119894 ∙ 119860119894

119899

119894=1

) 119860frasl (46)

Icircn relația (45) 119910119862119894 și respectiv 119911119862119894 reprezintă coordonatele centrelor de greutate 119862119894

ale fiecărei suprafețe simple 119860119894 icircn raport sistemul de axe 119911119874119910

Se constată (relaţia 42) că dacă axele sistemului de referinţă trec prin centrul de

greutate (119910119862 = 119911119862 = 0) momentele statice sunt nule Axele icircn raport cu care momentele

statice sunt nule şi care trec prin centrul de greutate al suprafeţei se numesc axe centrale

Observație dacă secțiunea compusă are o axă de simetrie centrul secțiunii se

găsește pe acea axă iar dacă secțiunea este dublu simetrică poziția centrului secțiunii este

la intersecția axelor de simetrie

43 Momente de inerţie

Momentele de inerţie axiale ale unei suprafețe se calculează icircn raport cu axele de

coordonate 119874119911 și respectiv 119874119910 figura 42 și se determină cu relațiile

119868119911 ≝ int 1199102 ∙ 119889119860

119860

119868119910 ≝ int 1199112 ∙ 119889119860

119860

(47)

Unde 119910 și 119911 sunt distanțele de la elementul de arie 119889119860 la cele două axe de

coordonate 119874119911 și respectiv 119874119910

Momentele de inerţie axiale se măsoară icircn [1198981198984] şi sunt icircntotdeauna pozitive (aria

119889119860 este icircntotdeauna pozitivă și este multiplicată cu patratul distanței 1199102 dacă 119868119911 sau 119868119910

sunt nule icircnseamnă ca secțiunea nu există)

Momentele de inerție axiale se calculează icircndeosebi pentru axele centrale (care

trec prin centrul secțiunii) deoarece icircn raport cu acele axe 119868119911 și 119868119910 au valori minime

Momentul de inerţie centrifugal calculat faţă ambele axe ale sistemului de

referinţă 119911119874119910 este definit de relația

119868119911119910 ≝ int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860

(48)

Momentul de inerţie centrifugal se măsoară icircn [1198981198984] şi poate fi pozitiv negativ

sau nul

Momentul de ineție centrifugal este nul 119868119911119910 = 0 dacă cel puțin una din axele 119874119911

sau 119874119910 este axă de simetrie pentru secțiune

Se consideră o suprafaţă dreptunghiulară pe care faţă de axa de simetrie 119874119910 se iau

două suprafeţe elementare de arie 119889119860 simetrice faţă de axa 119874119910 figura 43

Fig 43 Suprafață dreptunghiulară cu două arii elementare 119889119860

Făcacircnd suma momentelor de inerţie centrifugale pentru cele două suprafeţe

elementare 119889119860 (din stacircnga şi din dreapta faţă de axa 119874119910) se obţine

int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860119889119903

+ int (minus119911) ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860119904119905119892

= int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860119889119903

minus int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860119904119905119892

= 0 (49)

Acelaşi raţionament se poate face și pentru icircntreaga suprafaţă de unde obținem că

momentul de inerție centrifugal este nul 119868119911119910 = 0 Deci pentru o suprafaţă plană care

are cel puţin o axă de simetrie momentul de inerţie centrifugal faţă de sistemul care

conţine acea axă de simetrie este nul

Momentul de inerţie polar al unei suprafeţei icircn raport cu un punct (pol) 119874 figura

42 este definit prin relaţia

1198680 = 119868119901 ≝ int 1205882 ∙ 119889119860

119860

= int(1199102 + 1199112) ∙ 119889119860

119860

= 119868119911 + 119868119910 (410)

unde este distanţa de la polul 119874 la elementul de arie 119889119860 Momentul de inerţie polar se

măsoară icircn [1198981198984] şi este totdeauna pozitiv

Momentul de inerţie polar este egal cu suma momentelor de inerţie faţă de două axe

perpendiculare oarecare şi care trec prin polul considerat

Razele de giraţie sau razele de inerţie sunt mărimi calculate icircn raport cu axele

secțiunii și definite de relaţiile

119894119911 ≝ radic119868119911119860 119894119910 = radic

119868119910

119860 (411)

Se exprimă icircn [119898119898] şi sunt icircntotdeauna pozitive Semnificația unei raze de inerție

este distanța la care dacă ar fi concentrată icircntreaga arie s-ar obține același moment de

inerție ca și cel calculat pentru aria reală

44 Modulul de rezistenţă

Modulul de rezistență se calculează icircn raport cu axele de referință sau icircn raport cu

un pol figura 42 și pot fi axiale (119882119911119882119910) sau polar (119882119901) și se determină numai pe baza

momentelor de inerţie cu relațiile figura 43

119882119911119898119894119899 ≝119868119911119910119898119886119909

119882119911119898119886119909 ≝119868119911119910119898119894119899

(412)

119882119910119898119894119899 ≝119868119910

119911119898119886119909 119882119910119898119886119909 ≝

119868119910

119911119898119894119899 (413)

119882119901 ≝119868119901

120588119898119886119909 (414)

unde

119910119898119886119909 119910119898119894119899 reprezintă distanţa de la axa 119874119911 la punctele extreme cele mai

depărtate respectiv cele mai apropiate ale suprafeţei de această axă

119911119898119886119909 119911119898119894119899 reprezintă distanţa de la axa 119874119910 la punctele extreme cele mai

depărtate respectiv cele mai apropiate ale suprafeţei de această axă

120588119898119886119909 reprezintă distanța maximă de la polul 119874 la punctul secțiunii cel mai

icircndepărtat de acesta

Fig 43 Suprafață dreptunghiulară cu două arii elementare 119889119860

Modulele de rezistenţă se exprimă icircn [1198981198983] şi sunt icircntotdeauna pozitive

Explicația este aceea că momentele de inerție care intră icircn relațiile de definiție sunt

pozitive iar distanțele la punctele extreme sunt pozitive (119910119898119886119909 119910119898119894119899 119911119898119886119909 119911119898119894119899 120588119898119886119909 se

iau icircn valoare absolută)

Icircn cazul suprafeţelor compuse modulul de rezistenţă nu se obţine prin icircnsumarea

algebrică a modulelor de rezistenţă ale suprafeţelor simple componente ci numai prin

intermediul momentului de inerţie axial calculat pentru icircntreaga secțiune

Ca și momentele de inerție modulele de rezistență se calculează numai pentru

sistemele de axe centrale

45 Momente de inerţie şi module de rezistenţă pentru suprafeţe simple

451 Secțiune dreptunghiulară

Fie suprafaţa dreptunghiulară din figura 44 de icircnălțime ℎ și lățime 119887 pe care se

consideră suprafaţă elementară de arie 119889119860 = 119887119889119910 la distanța 119910 de axa 119862119911 sistemul de

axe 119911119862119910 trece prin centrul secțiunii iar axele sunt axe de simetrie pentru dreptunghi

Fig 44 Suprafață dreptunghiulară

Pe baza relațiilor de definiți a momentului de inerție 119868119911 se obține

119868119911 ≝ int 1199102 ∙ 119889119860

119860

= int 1199102 ∙ 119887 ∙ 119889119910 = 2int 1199102 ∙ 119887 ∙ 119889119910 = 2 ∙ 119887 ∙1199103

3|ℎ 2frasl

0rArr

ℎ 2frasl

0

ℎ 2frasl

minusℎ 2frasl

rArr 119868119911 =119887 ∙ ℎ3

12

(415)

Analog pentru un element de arie 119889119860 = ℎ ∙ 119889119911 paralel cu axa 119862119910 situat la distanța

119911 de axa 119862119910

119868119910 ≝ int 1199112 ∙ 119889119860

119860

= int 1199112 ∙ ℎ ∙ 119889119911 = 2int 1199112 ∙ ℎ ∙ 119889119910 = 2 ∙ ℎ ∙1199113

3|119887 2frasl

0rArr

119887 2frasl

0

119887 2frasl

minus119887 2frasl

rArr 119868119910 =1198873 ∙ ℎ

12

(416)

Deoarece axele 119862119911 și 119862119910 sunt axe de simetrie momentul de inerție centrifugal este

119868119911119910 = 0 (417)

Pentru un pătrat avacircnd laturile egale (ℎ = 119887 = 119886) momentele de inerţie faţă de

axele centrale au expresia

119868119911 = 119868119910 =1198864

12 (418)

Modulele de rezistență axiale se calculează cu relațiile de definiție ținacircnd cont că

distanțele pacircnă la fibrele extreme sunt

119910119898119886119909 = 119910119898119894119899 =ℎ

2 119911119898119886119909 = 119911119898119894119899 =

119887

2 (419)

Obținem

119882119911119898119894119899 = 119882119911119898119886119909 =119868119911

119910119898119886119909119898119894119899=119887 ∙ ℎ3

12frasl

ℎ2frasl

=119887 ∙ ℎ2

6

119882119910119898119894119899 = 119882119910119898119886119909 =119868119910

119911119898119886119909119898119894119899=1198873 ∙ ℎ

12frasl

1198872frasl

=1198872 ∙ ℎ

6

(420)

452 Suprafaţă circulară

Din motive de simetrie pentru suprafeţele circulare momentele de inerţie faţă de

orice diametru (care reprezintă şi axe centrale) sunt aceleaşi

Considerăm o secțiune circulară plină cu diametrul 119889 și centrul de greutate 119862 Prin

centrul de greutate 119862 trece sistemul de axe ortogonal 119911119862119910 figura 45

Fig 45 Suprafață circulară

La distanța de centrul de greutate 119862 vom lua un element de suprafață mic de arie

(119889119860) de forma unui inel de grosime 119889 Elementul de arie 119889119860 are expresia

119889119860 = (2 ∙ 120587 ∙ 120588) ∙ (119889120588)

Pornind de la relația de definiție a momentului de inerție polar obținem

119868119901 ≝ int 1205882 ∙ 119889119860

119860

= int 1205882 ∙ (2 ∙ 120587 ∙ 120588) ∙ 119889120588

119903=119889 2frasl

0

= 2 ∙ 120587 ∙1205884

4|119889 2frasl0 rArr

rArr 119868119901 =120587 ∙ 1198894

32

(421)

Secțiunea este perfect simetrică deci sunt valabile relațiile

119868119911 = 119868119910 rArr 119868119901 = 119868119911 + 119868119910 = 2 ∙ 119868119911 = 2 ∙ 119868119910 =119868119901

2=120587 ∙ 1198894

64 (422)

Și modulele de rezistenţă faţă de orice diametru sunt egale şi se calculează cu

relaţiile

119882119911 = 119882119910 =1198681199111198892frasl=120587 ∙ 1198893

32 (423)

Modulul de rezistenţă polar este

119882119901 =1198681199011198892frasl=120587 ∙ 1198893

16 (424)

453 Secţiune inelară

Calculul momentelor de inerţie axiale pentru o secţiune inelară avacircnd diametrul

interior 119889 şi diametrul exterior 119863 se determină analog pentru suprafaţa circulară plină cu

observaţia că integrala pentru calculul momentului de inerție polar 119868119901 se face icircntre

limitele 119903 = 119889 2frasl şi R= 1198632frasl (icircntre raza interioară 119903 şi raza exterioară 119877) figura 46

Se obţin relaţiile

119868119901 =120587 ∙ 1198634

32∙ [1 minus (

119889

119863)4

] =120587 ∙ 1198634

32∙ (1 minus 1198964) (425)

119868119910 = 119868119910 =120587 ∙ 1198634

64∙ [1 minus (

119889

119863)4

] =120587 ∙ 1198633

64∙ (1 minus 1198964) (426)

Fig 46 Secțiune inelară

119882119901 =120587 ∙ 1198633

16∙ [1 minus (

119889

119863)4

] =120587 ∙ 1198633

16∙ (1 minus 1198964) (427)

119882119911 = 119882119910 =120587 ∙ 1198633

32∙ [1 minus (

119889

119863)4

] =120587 ∙ 1198633

32∙ (1 minus 1198964) (428)

unde 119896 = 119889119863frasl

46 Variaţia momentelor de inerţie faţă de axe paralele

( Relațiile lui STEINER)

Se consideră o suprafaţă oarecare de arie 119860 cu elementul de arie 119889119860 și un sistemul

de axe central 119911119862119910 faţă de care se cunosc momentele de inerţie 119868119911 119868119910 119868119911119910 şi considerăm

un sistem de axe 11991111198741199101 paralele cu sistemul central figura 47 Se pune problema

determinării momentele de inerţie 1198681199111 1198681199101 11986811991111199101 faţă de sistemul de axe paralel cu sistemul

central 11991111198741199101 axe aflate la distanţele 119910119862 = 119888 respectiv 119911119862 = 119889 de acesta

461 Momente de inerţie axiale

Pe baza relaţiilor de definire şi a notaţiilor din figura 42 pentru momentele de

inerţie faţă de axele 1198741199111 1198741199101 se poate scrie

1198681199111 = int 11991012 ∙ 119889119860

119860

= int(119910 + 119888)2 ∙ 119889119860

119860

= int 1199102 ∙ 119889119860

119860

+ 2 ∙ 119888 ∙ int 119910 ∙ 119889119860

119860

+

+1198882int 119889119860

119860

rArr 1198681199111 = 119868119911 + 2 ∙ 119888 ∙ 119878119911 + 1198882 ∙ 119860 hArr 1198681199111 = 119868119911 + 119888

2 ∙ 119860

(429)

Fig 47 Variaţia momentelor de inerţie față de axe paralele

S-a ajuns la relația (429) deoarece momentul static 119878119911 este nul deoarece axa 119862119885

este axă centrală

Pentru momentul de inerție axial icircn raport cu axa 1198741199101 se obține

1198681199101 = int 11991112 ∙ 119889119860

119860

= int(119911 + 119889)2 ∙ 119889119860

119860

= int 1199112 ∙ 119889119860

119860

+ 2 ∙ 119889 ∙ int 119911 ∙ 119889119860

119860

+

+1198892 ∙ int 119889119860

119860

rArr 1198681199101 = 119868119910 + 2 ∙ 119889 ∙ 119878119910 + 1198892 ∙ 119860 hArr 1198681199101 = 119868119910 + 119889

2 ∙ 119860

(430)

Pentru momentul de inerție centrifugal obținem

11986811991111199101 = int 1199101 ∙ 1199111 ∙ 119889119860

119860

= int(119910 + 119888) ∙ (119911 + 119889) ∙ 119889119860

119860

= int 119910 ∙ 119911 ∙ 119889119860 +

119860

+119888 ∙ int 119911 ∙ 119889119860

119860

+ 119889 ∙ int 119910 ∙ 119889119860

119860

rArr 11986811991111199101 = 119868119911119910 + 119888 ∙ 119889 ∙ 119860

(431)

Deoarece

int 119911 ∙ 119889119860

119860

= 119878119910 = 0 int 119910 ∙ 119889119860

119860

= 119878119911 = 0 int 119910 ∙ 119911 ∙ 119889119860

119860

= 119868119911119910

Relaţiile (429) şi (430) arată că momentul de inerţie faţă de o axă oarecare

este egal cu momentul de inerţie faţă de o axă paralelă cu ea trecacircnd prin centrul de

greutate la care se adaugă produsul dintre aria suprafeţei şi pătratul distanţei dintre

cele două axe

Din relaţiile (429) și (430) rezultă de asemenea că momentul de inerţie faţă de o

axă centrală (care trece prin centrul de greutate) este cel mai mic dintre infinitatea de

momente de inerţie obținute faţă de alte axe paralele cu ea

Relaţia (431) arată de asemenea că momentul de inerţie centrifugal faţă de un

sistem de axe oarecare este egal cu momentul de inerţie centrifugal faţă de un sistem

paralele cu el trecacircnd prin centrul de greutate a suprafeţei la care se adaugă produsul

dintre aria suprafeţei şi distanţele dintre axele sistemelor respective

Icircn literatura de specialitate relaţiile (429) (430) şi (431) sunt cunoscute sub

numele de relaţiile lui Steiner

47 Variaţia momentrlor de inerţie faţă de axe rotite

Direcţii principale şi momente de inerţie principale

Fie suprafaţa plană din figura 48 de arie 119860 pe care considerăm o suprafaţă

elementară de arie 119889119860 Pentru sistemul de axe 119911119874119910 se cunosc momentele de inerţie

119868119911 119868119910 119868119911119910 şi vom determina relaţiile de calcul pentru momentele de inerţie afererent unui

sistem de axe 11991111198741199101 rotit cu un unghi faţă de sistemul central

Faţă de sistemul de axe 11991111198741199101 elementul de arie 119889119860 are coordonatele

1199101 = 119875119877 = 119875119876 minus 119877119876 = 119910 ∙ cos 120572 minus 119911 ∙ sin 120572

1199111 = 119873119872 = 119873119875 minus 119875119872 = 119911 ∙ cos 120572 + 119910 ∙ sin 120572 (432)

Fig 47 Variaţia momentelor de inerţie față de axe rotite

Pe baza relaţiilor de calcul ale momentelor de inerţie şi a notaţiilor din figura 42

şi ale relaţiilor (432) momentele de inerţie faţă de sistemul de axe rotit 11991111198741199101 sunt

1198681199111 =119868119911 + 119868119910

2+119868119911 minus 119868119910

2∙ cos 2120572 minus 119868119911119910 ∙ sin 2120572 (433)

1198681199101 =119868119911 + 119868119910

2minus119868119911 minus 119868119910

2∙ cos 2120572 + 119868119911119910 ∙ sin 2120572 (434)

11986811991111199101 =119868119911 minus 119868119910

2∙ sin 2120572 + 119868119911119910 ∙ cos 2120572 (435)

Din relaţiile 433divide435 se observă că icircntre momentele de inerţie axiale şi cele

polare există relaţia

1198681199111 + 1198681199101 = 119868119911 + 119868119910 = 119868119901 (436)

adică suma momentelor de inerţie axiale icircn raport cu orice pereche de axe ortogonale

care trec printr-un pol dat este o constantă şi egală cu momentul de inerţie polar

Prin rotirea sistemului de axe din relaţiile 433divide435 rezultă că momentele de inerţie

variază icircnsă suma lor rămacircne constantă deci există o poziţie a sistemului de axe pentru

care momentele de inerţie au valori extreme maxim respectiv minim

471 Direcţii principale de inerţie

Valoarea unghiului 120572 pentru care momentele de inerţie axiale au valori extreme

este

1205721 =1

2∙ 119886119903119888119905119886119899 (minus

2 ∙ 119868119911119910

119868119911 minus 119868119910) (437)

Poziţia celeilalte direcţii este perpendiculară pe cea dată de unghiul 1205721

Din relaţia (437) se constată că faţă de aceste direcţii rotite pentru care momentele

de inerţie axiale prezintă valori extreme momentul de inerţie centrifugal 11986811991111199101este nul

Atunci se poate afirma că momentele de inerţie axiale au valori extreme icircn raport cu

direcţiile faţă de care momentul de inerţie centrifugal este nul Aceste direcţii se numesc

direcţii principale iar momentele de inerţie faţă de aceste direcţii poartă numele de

momente de inerţie principale

Icircn calculele de rezistenţă interesează icircn mod special poziţia direcţiilor principale

care trec prin centrul de greutate al suprafeţei aşa numitele direcţii principale centrale şi

evident momentele de inerţie principale centrale

Direcţiile principale de inerţie se notează cu 1 respectiv 2 Axa principală 1

corespunde direcţiei faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea maximă iar

axa principală 2 pentru direcţia faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea

minimă

472 Momente de inerţie principale

Momentele de inerţie principale se notează cu litera 119868 la care se pune indicele 1

sau 2 după cum valoarea acestuia este maximă sau minimă deci avem un moment de

inerţie principal 1 (notat 1198681) respectiv moment de inerţie principal 2 (notat 1198682)

Expresiile pentru momentele de inerţie principale sunt

11986812 =119868119911 + 119868119910

2plusmn1

2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)

2+ 4 ∙ (119868119911119910)

2 (438)

Dacă momentul de inerţie centrifugal este negativ (119868119911119910 lt 0) direcţia principală

care trece prin primul cadran (definit de sistemul 119911119862119910) este direcţia principală 120783

Pentru suprafeţele cu cel puţin o axă de simetrie direcţiile centrale 119862119911 119862119910 sunt şi

direcții principale de inerţie și evident momentele de inerţie axiale 119868119911 119868119910 sunt momente

de inerţie principale

48 Caracteristici mecanice ale metalelor

Alegerea materialului pentru confecţionarea unei anumite piese se face şi pe baza

aşa numitelor caracteristici mecanice pe care le prezintă materialul Cunoaşterea acestor

caracteristici mecanice are loc numai pe baza unor icircncercări mecanice care să scoată icircn

evidenţă comportarea materialului icircn condiţii de solicitare

Cea mai utilizată icircncercare icircn urma căreia se pun icircn evidenţă caracteristicile

mecanice ale unui material este icircncercarea la tracţiune

481 Icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general

Icircncercarea la tracţiune a oţelului ca de altfel toate icircncercările de materiale este

standardizată

Icircn cele ce urmează se va prezenta numai partea care interesează strict din punct

de vedere al caracteristicilor mecanice ale oţelului

Epruveta de diametru iniţial 1198890 pentru icircncercarea la tracţiune are o porţiune de

lungime 1198710 numită baza de măsurare pe care se măsoară lungirea acesteia sub acţiunea

solicitării

Icircn funcţie de raportul dintre baza de măsurare 1198710 şi diametrul iniţial 1198890 epruvetele

utilizate pentru icircncercări sunt

epruvete normale (scurte) cacircnd 11987101198890 = 5

epruvete lungi cacircnd 11987101198890 = 10

Icircn timpul icircncercării la diferite valori ale forţei 119865 se măsoară lungirea bazei de

măsurare

∆119871 = 120575 = 119871 minus 1198710 (439)

unde

119871 este dimensiunea bazei de măsurare la un moment dat

Curba forţă-lungire (119865 minus ) icircnregistrată icircn urma icircncercării reprezintă curba

caracteristică la tracţiune

La icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general diagrama caracteristică care se

obţine are forma din figura 48

Curba caracteristică la tracţiune depinde de lungimea bazei de măsurare Pentru

icircnlăturarea acestui neajuns curba caracteristică se reprezintă icircn coordonate şi definite

astfel

120590 =119865

1198600 휀 =

120575

1198710 (440)

unde

1198600 este aria iniţială a secţiunii transversale a epruvetei (icircnainte de solicitare) icircn

zona bazei de măsurare

1198600 =120587 ∙ 1198890

2

4

Deoarece mărimile icircn care se reprezintă curba caracteristică la tracţiune sunt

raportate la aria iniţială a secţiunii transversale (mărimi specifice) curba poartă numele

de curbă caracteristică convenţională la tracţiune

Fig 48 Curba caracteristică convenţională la tracțiune

Pe curba caracteristică convenţională la tracţiune figura 48 se pot stabili o serie

de puncte cărora le corespund mai multe mărimi importante

Ordonata punctului A pacircnă unde curba caracteristică convenţională este linie

dreaptă se numeşte limita de proporţionalitate a materialului 120590119901(1205901) Porţiunea 119874119860 este

zona de proporţionalitate a curbei caracteristice pe acest domeniu este valabilă legea lui

Hooke care exprimă o proporţionalitate icircntre tensiune şi deformaţie specifică

120590 = 119864 ∙ 휀 (441)

unde

119864 = reprezintă panta porţiunii liniare a curbei convenționale caracteristice

la tracțiune Caracteristica de material 119864 se numeşte modul de elasticitate longitudinal

(modulul lui Young)

Ordonata punctului 119861 pacircnă unde materialul se comportă perfect elastic adică

după descărcare icircşi recapătă dimensiunea iniţială 1198710 se numeşte limita de elasticitate

120590119890(119877119890) Icircn realitate nici un material nu are comportare perfect elastică sub acţiunea

solicitărilor el capătă deformaţii permanente (remanente plastice)

După punctul 119861 urmează o porţiune 119861119862119863 icircn care cu toate că icircncărcarea

continuă forţa nu mai creşte avacircnd mici oscilaţii icircn jurul unei valori Se spune că icircn

această porţiune materialul curge iar intervalul 119861119862119863 este un palier de curgere Tensiunea

corespunzătoare palierului de curgere se numeşte limită de curgere aparentă 120590119888(119877119888) Limita de curgere aparentă se calculează cu relaţia

120590119888 =1198651198881198600 (442)

unde

119865119888 reprezintă valoarea forţei icircnregistrată icircn momentul curgerii materialului

După punctul 119863 curba caracteristică are un traseu ascendent pacircnă icircn punctul 119864

Porţiunea 119863119864 este numită zonă de icircntărire (ecruisare) Icircn zona de ecruisare unde se

produc deformaţii plastice semnificative legea lui Hooke nu mai este valabilă La

descărcare relaţia dintre tensiunea şi deformaţia specifică este liniară paralelă cu

porţiunea liniară a curbei caracteristice (dreapta 119872119873)

Deformaţia totală (휀119905) are două componente una elastică (휀119890) şi una plastică (휀119901)

Ordonata punctului 119864 reprezintă rezistenţa de rupere 120590119903(119877119898) a materialului

care se poate calcula cu relaţia

120590119903 = 119877119898 =1198651198981198861199091198600

(443)

unde

119865119898119886119909 reprezintă valoarea maximă a forţei icircnregistrată icircn timpul icircncercării

La atingerea valorii 119865119898119886119909 (punctul 119864) icircntr-un anumit loc al epruvetei secţiunea

icircncepe să se micşoreze (se produce gacirctuirea) continuacircnd pacircnă cacircnd se produce ruperea

totală (punctul 119865)

Dacă după ruperea epruvetei cele două părţi rezultate se aşează cap la cap şi se

măsoară dimensiunea bazei de măsurare 119871119906 (lungimea ultimă) se determină alungirea la

rupere sau lungirea specifică la rupere 휀119903

휀119903 =119871119906 minus 11987101198710

=∆119871

1198710=120575

1198710 (444)

De obicei alungirea se exprimă icircn procente şi se notează cu 119860119899 unde 119899 reprezintă

numărul dat de raportul 11987101198890 (epruvete normale 119899 = 5 epruvete lungi 119899 = 10)

119860119899 =119871119906 minus 11987101198710

∙ 100 [] (445)

Altă mărime care se determină la icircncercarea la tracţiune este gacirctuirea la rupere

(exprimată de obicei icircn procente) şi definită de relaţia

119885 =1198600 minus 1198601199061198600

∙ 100 [] (446)

Mărimile determinate limita de proporţionalitate modulul de elasticitate

longitudinal limita de elasticitate limita de curgere aparentă rezistenţa de rupere

alungirea la rupere şi gacirctuirea la rupere sunt cunoscute ca fiind caracteristici mecanice

ale materialului

Din curba caracteristică convenţională observăm faptul că ruperea (punctul 119865 din

figura 48 se produce la o tensiune mai mică decacirct cea corespunzătoare punctului 119864 Dacă

icircnsă forţa din timpul icircncercării s-ar raporta la aria secţiunii din momentul icircnregistrării

forţei (care este mai mică decacirct cea iniţială 1198600) s-ar obţine aşa numita curbă

caracteristică reală a materialului (traseul 1198741198601198611198621198631198651 din figura 48) La curba

caracteristică reală ruperea se produce icircn punctul 1198651 la o icircncărcare mai mare decacirct cea

corespunzătoare punctului 119864 Icircnseamnă că rezistenţa reală la rupere este mai mare decacirct

rezistenţa la rupere dată de punctul 119864 din diagrama caracteristică convenţională

Dificultatea obţinerii diagramei caracteristice reale faţă de cea a diagramei caracteristice

convenţionale şi considerarea unei rezistenţe la rupere mai mică decacirct a celei reale face

icircn practică utilizarea pe scară mare a diagramei caracteristice convenţionale

Caracteristicile mecanice determinate pe baza curbei caracteristice convenţionale

sunt şi ele caracteristici mecanice convenţionale

Caracteristicile mecanice convenţionale limita de proporţionalitate convenţională

120590119901 limita de elasticitate convenţională 120590119890 limita de curgere convenţională 120590119888 şi rezistenţa

de rupere 120590119903 constituie tensiuni limită pentru un material Pe baza acestor caracteristici

de material se alege valoarea tensiunii admisibile 120590119886 (vezi paragraful 35) pentru

calculele de rezistenţă Cea mai utilizată stare limită pentru stabilirea tensiunii admisibile

120590119886 este limita de curgere convenţională 120590119888

120590119886 =120590119897119894119898119888

=120590119888119888 119904119886119906 120590119886 =

120590119903119888 (447)

Caracteristicile mecanice ale materialului sunt influenţate de o serie de factori

temperatura viteza de solicitare factorii tehnologici iar valorile lor sunt date icircn tabele și

diagrame

Aplicaţie Pentru suprafaţa plană compusă din două dreptunghiuri avacircnd

dimensiunile din figura 49a să se calculeze

a) centrul de greutate al secțiunii compuse 119910119866 119911119866

b) momentele de inerție axiale 119868119911 119868119910 și momentul de inerție centrifugal 119868119911119910

c) razele de inerție 119894119911 119894119910

d) modulele de rezistență 119882119911119898119894119899 119882119911119898119886119909 119882119910119898119894119899 119882119910119898119886119909

e) momentele de inerție principale 1198681 1198682 și direcțiile principale de inerție 1205721

f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 119878119911

Fig 49 Aplicație

Rezolvare Pentru rezolvare vom parcurge următoarele etape

icircmpărțim suprafața compusă icircn două suprafețe simple (dreptunghiuri) notate cu

① și respectiv ② figura 49b

poziționăm centrele de greutate a celor două suprafețe simple ① și respectiv ②

notate cu 1198661 și respectiv 1198662 figura 49c

poziționăm sistemele de axe de coordonate 119911111986611199101 pentru dreptunghiul ① și

119911211986621199102 pentru dreptunghiul ② aflate la intersecția diagonalelor figura 49c

poziționăm sistemele de axe de coordonate 11991101198741199100 ales arbitrar față de care

determinăm poziția centrului de greutate 119866 figura 49c

a) calculăm poziția centrului de greutate folosind relațiile (46) icircn care

1198601 = 6119905 ∙ 119905 = 61199052 1198602 = 4119905 ∙ 119905 = 41199052 119860 = 1198601 + 1198602 = 61199052 + 41199052 = 101199052

iar centrele de greutate 1198661 și respectiv 1198662 au coordonatele (față de sistemul 11991101198741199100)

1198661 1199101 = 3119905 1199111 = 05119905

1198662 1199102 = 051199051199112 = 3119905

cu acestea obținem

119910119866 =1198601 ∙ 1199101 + 1198602 ∙ 1199102

119860=61199052 ∙ 3119905 + 41199052 ∙ 05119905

101199052=201199053

101199052= 2119905

119911119866 =1198601 ∙ 1199111 + 1198602 ∙ 1199112

119860=61199052 ∙ 05119905 + 41199052 ∙ 3119905

101199052=151199053

101199052= 15119905

Poziționăm centrul de greutate 119866 al suprafeței compuse figura 49c

Fig 49 Aplicație

b) pentru determinarea momentelor de inerție axiale 119868119911 119868119910 și a momentului de

inerție centrifugal 119868119910119911 determinăm constantele 1198881 1198882 1198891 1198892 care intervin icircn relația lui

Stainer

1198881 = 1199101 minus 119910119866 = 3119905 minus 2119905 = 119905 1198882 = minus(119910119866 minus 1199102) = minus(2119905 minus 05119905) = minus15119905

1198891 = minus(119911119866 minus 1199111) = minus(15119905 minus 05119905) = minus119905 1198892 = 1199112 minus 119911119892 = 3119905 minus 15119905 = 15119905

Folosind relațiile lui Stainer (429) (430) și (431) calculăm momentele de

inerție axiale și centrifugale față de sistemul central 119911119866119866119910119866

119868119911 =sum(119868119911119894 + 1198881198942 ∙ 119860119894) = 1198681199111 + 1198881

2 ∙ 1198601 + 1198681199112 + 11988822 ∙ 1198602

119868119910 =sum(119868119910119894 + 1198891198942 ∙ 119860119894) = 1198681199101 + 1198891

2 ∙ 1198601 + 1198681199102 + 11988922 ∙ 1198602

119868119911119910 =sum(119868119911119894119910119894 + 119888119894 ∙ 119889119894 ∙ 119860119894) = 11986811991111199101 + 1198881 ∙ 1198891 ∙ 1198601 + 11986811991121199102 + 1198882 ∙ 1198892 ∙ 1198602

1198681199111 = (119887 ∙ ℎ3

12) =

119905 ∙ (6119905)3

12= 181199054 1198681199112 = (

119887 ∙ ℎ3

12) =

4119905 ∙ 1199053

12= 031199054

1198681199101 = (1198873 ∙ ℎ

12) =

1199053 ∙ 6119905

12= 051199054 1198681199102 = (

1198873 ∙ ℎ

12) =

(4119905)3 ∙ 119905

12= 531199054

11986811991111199101 = 11986811991121199102 = 0 deoarece cele două triunghiuri au cel puțin o axă de simetrie

Cu acestea momentele de inerție axiale și momentul de inerție centrifugal devin

119868119911 = 181199054 + 1199052 ∙ 61199052 + 031199054 + (minus15119905)2 ∙ 41199052 = 3331199054

119868119910 = 051199054 + (minus119905)2 ∙ 61199052 + 531199054 + (15119905)2 ∙ 41199052 = 2081199054

119868119911119910 = 0 + 119905 ∙ (minus119905) ∙ 61199052 + 0 + (minus15119905) ∙ (15119905) ∙ 41199052 = minus151199054

c) razele de inerție sau de girație față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910

se calculează cu relațiile (411)

119894119911 = radic119868119911119860= radic

3331199054

101199052= 182119905 119894119910 = radic

119868119910

119860= radic

2081199054

101199052= 144119905

d) modulele de rezistență față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910 se

calculează cu relațiile (412) și (413)

Avacircnd icircn vedere figura 419c obținem

119910119898119886119909 = 6119905 minus 119910119866 = 6119905 minus 2119905 = 4119905 119910119898119894119899 = minus119910119866 = minus2119905

119911119898119886119909 = 5119905 minus 119911119866 = 5119905 minus 15119905 = 35119905 119911119898119894119899 = minus119911119866 = minus15119905

Se obține astfel

119882119911119898119894119899 =119868119911

|119910119898119886119909|=3331199054

4119905= 8331199053

119882119911119898119886119909 =119868119911

|119910119898119894119899|=3331199054

2119905= 16651199053

119882119910119898119894119899 =119868119910

|119911119898119886119909|=2081199054

35119905= 5941199053

119882119910119898119886119909 =119868119910

|119911119898119894119899|=2081199054

15119905= 13871199053

e) momentele de inerție principale 1198681 și respectiv 1198682 se calculează cu relațiile

(438)

11986812 =119868119911 + 119868119910

2plusmn1

2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)

2+ 4 ∙ (119868119911119910)

2=

=3331199054 + 2081199054

2plusmn1

2∙ radic(3331199054 minus 2081199054)2 + 4 ∙ (minus151199054)2 = 27051199054 plusmn 16251199054

De unde obținem

1198681 = 27051199054 + 16251199054 = 4331199054

1198682 = 27051199054 minus 16251199054 = 1081199054

Prima direcție principală de inerție 1 face cu axa centrală 119866119911 unghiul 1205721 dat de

relația (437)

1205721 =1

2∙ arctan (minus

2 ∙ 119868119911119910

119868119911 minus 119868119910) =

1

2∙ arctan [minus

2 ∙ (minus151199054)

3331199054 minus 2081199054] =33 70

Deoarece 1205721 gt 0 rotirea axelor se face acircn sens antiorar acelor de ceasornic figura

49d

Poziția axe principale 2 față de care momentul de inerție are valoarea minimă

1198682 = 119868119898119894119899 este dată de unghiul

1205722 = 1205721 + 900 = 33 70 + 900 = 123 70

f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 se determină cu relația

(45)

1198781199111198602 = 1198602 ∙ 1198882 = 41199052 ∙ (minus15119905) = minus61199053

Fig 220 Aplicație

Se observă că cea de-a doua ecuaţie de echilibru conţine două necunoscute

reacţiunile VA şi VB Pentru a calcula componenta VB nu este indicată introducerea lui VA

icircn cea de-a doua ecuaţie a sistemului (A1) pentru că o valoare determinată greşit pentru

VA conduce la o valoare VB de asemenea greşită O ecuaţie independentă din care se poate

determina componenta VB este următoarea

(sumM)A= 0 FV ∙ (a + b + c) minus VB ∙ (a + b) minus M0 + R ∙ 05 ∙ a = 0 (A3)

de unde se obţine

VB =[FV ∙ (a + b + c) minusM0 + R ∙ 05 ∙ a]

(b + a)=[10 ∙ (6 + 4 + 4) minus 40 + 60 ∙ 05 ∙ 6]

(6 + 4)

VB = 28 [kN] (A4)

Ecuaţia de proiecţii ale forţelor pe direcţia verticală (a doua ecuaţie din sistemul

A1) se utilizează pentru verificarea reacţiunilor deja determinate

VA + VB minus R minus FV = 0 rArr 42 + 28 minus 60 minus 10 = 0 (A5)

Ultima egalitate demonstrează că reacţiunile verticale au fost calculate corect

Din cele de mai sus rezultă ordinea firească pentru determinarea reacţiunilor icircn

cazul grinzilor simplu rezemate

sumXi = 0

(sumM)A = 0

(sumM)B = 0

(A6)

iar pentru verificarea componentelor verticale VA şi VB se folosește ecuaţia sumY = 0

b) La stabilirea funcţiilor de eforturi se parcurg icircn general etapele următoare

se notează (numeric sau literal după preferinţă) secţiunile care delimitează

domeniile (intervalele sau tronsoanele) pe care eforturile nu-şi modifică funcţiile (au legi

unice de variaţie)

pe fiecare domeniu se marchează secţiunea imaginară icircn care se stabilesc

funcţiile eforturilor

secţiunea astfel aleasă separă icircn două părţi grinda şi anume porţiunea din stacircnga

şi porţiunea din dreapta secţiunii

se va considera parcursă (şi icircndepărtată) acea parte pe care acţionează mai puţine

sarcini exterioare pentru că acestea vor interveni icircn expresiile funcţiilor de eforturi

poziţiile secţiunilor imaginare se vor determina prin variabilele x1 ⋯ xn (unde

n reprezintă numărul domeniilor de variaţie) cu originea fixată icircn capătul intervalului şi

sensul de parcurgere spre partea considerată rămasă

Grinda prezentată icircn figura 220 are trei domenii de variaţie pentru funcţiile de

eforturi după cum urmează (A-1) (2-B) şi (B-1)

Domeniul (A-1) x1 isin [0 a = 6 m] Porţiunea parcursă şi considerată icircndepărtată este cea de coordonată x1 pe care

acţionează reacţiunile HA şi VA precum şi rezultanta parţială a sarcinii distribuite R1 =p ∙ x1

Funcţia forţă axială Nx are expresia

Nx(x1) = NAminus1 = minusHA = minus173 [kN] = const

(A7)

Funcţia forţă tăietoare Ty are exspresia

Ty(x1) = TAminus1 = VA minus R1 = VA minus p ∙ x1 (A8)

care reprezintă o variaţie liniară de variabilă x1 Se calculează valorile forţei tăietoare la

limitele intervalului de variaţie

- pentru x1 = 0 Ty(x1 = 0) = TA = VA = 42 [kN]

- pentru x1 = a = 6 [m] Ty(x1 = 6) = T1 = VA minus p ∙ a = minus18 [kN]

Observaţie Aşa cum a fost stabilită secţiunea fictivă poziţionată prin coordonata

x1 sar părea că rezultanta R ar trebui luată icircn calculul lui Ty(x1) Acest lucru ar fi greşit

pentru că R = p ∙ a reprezintă rezultanta sarcinii distribuite pe toată lungimea a iar

rezultanta pe porţiunea parcursă de lungime x1 este R1 = p ∙ x1 ne R = p ∙ a

Cu valorile obţinute se trasează diagramele forţelor axială Nx = f(x) şi tăietoare

Ty = f(x) figura 220 Din diagrama forţei tăietoare şi din valorile obţinute analitic se

observă că forţa tăietoare icircşi schimbă semnul pe intervalul analizat deci se anulează pe

acest interval Poziţia secţiunii unde Ty se anulează se determină din ecuaţia

Ty(x1) = 0 rArr VA minus p ∙ x1 = 0 (A9)

cu soluţia x1lowast = ξ = 42 [m] Important de reamintit că icircn această secţiune momentul

icircncovoietor va avea un extrem local adică Miz are un extrem la Ty = 0

Funcţia moment icircncovoietor Miz are expresia

Miz(x1) = VA ∙ x1 minus R1 ∙x12= VA ∙ x1 minus (p ∙ x1) ∙

x12

(A10)

Se observă că funcţia moment icircncovoietor de variabilă x1 are o variaţie parabolică

(gradul al II-lea) Pentru reprezentarea grafică a funcţiei parabolice se calculează valorile

momentului icircncovoietor icircn trei secţiuni

- pentru x1 = 0 Miz(x1 = 0) = MA = 0 [kN ∙ m] - pentru x1 = a = 6 [m] Miz(x1 = 6) = M1 = 72 [kN ∙ m] - pentru x1

lowast = ξ = 42 [m] Miz(x1lowast = ξ = 42 [m]) = Mimax = 882 [kN ∙ m]

Cu acestea se trasează diagrama Miz = f(x) pe intervalul (A-1) figura 220

Observaţie Icircn unele cazuri pe un anumit interval forţa tăietoare nu se anulează

şi momentul icircncovoietor nu are un extrem local Icircn acest caz pentru reprezentarea

variaţiei parabolice a momentului icircncovoietor se va studia semnul derivatei a doua a

funcţiei Miz = f(x1) acesta determinacircnd convexitatea curbei momentului icircncovoietor

Domeniul (2-B) x2 isin [0 c = 4 m] Porţiunile din grindă libere (nerezemate) la un capăt se numesc console iar

stabilirea funcţiilor de eforturi devine mai simplă dacă se consideră icircndepărtată partea din

dreapta secţiunii prin schimbarea sensului pozitiv al axei x Astfel se obţin funcţiile eforturilor

Funcţia forţă axială Nx are expresia

Nx(x2) = N2minusB = minusFH = minus173 [kN] = const

(A11)

Funcţia forţă tăietoare Ty are exspresia

Ty(x2) = T2minusB = FV = 10 [kN] = const (A12)

Funcţia moment icircncovoietor Miz are expresia

Miz(x2) = minusFV ∙ x2 rArr Miz(x2 = 0) = M2 = 0 [kN ∙ m]

Miz(x2 = 4) = MB = minus40 [kN ∙ m] (A13)

variaţie liniară (gradul I)

Domeniul (B-1) x3 isin [0 b = 4 m] Pe acest domeniu se acceptă parcurgerea grinzii de la dreapta adică se consideră

icircndepărtată partea din dreapta secţiunii fictive pentru că are doar două sarcini aplicate F

şi VB faţă de partea din stacircnga secţiunii pe care sunt aplicate trei sarcini p VA şi M0

Astfel se obţin funcţiile eforturilor

Funcţia forţă axială Nx are expresia

Nx(x3) = NBminus1 = minusFH = minus173 [kN] = const

(A14)

Funcţia forţă tăietoare Ty are exspresia

Ty(x3) = TBminus1 = FV minus VB = minus18 [kN] = const (A15)

Funcţia moment icircncovoietor Miz are expresia

Miz(x3) = minusFV ∙ (x3 + c) + VB ∙ x3 rArr

rArr Miz(x3 = 0) = MB = minus40 [kN ∙ m]

Miz(x3 = 4) = M1 = 32 [kN ∙ m]

(A16)

variaţie liniară (gradul I)

Diagramele eforturilor sunt prezentate icircn figura 220

c) Relaţiile diferenţiale dintre eforturi şi sarcini se analizează pe diagramele

eforturilor după cum urmează

sarcina distribuită nu are componentă orizontală adică ph = 0 şi icircn

conformitate cu formula (211) rezultă că Nx = const pe toată lungimea grinzii fapt care

a rezultat din funcţia şi reprezentarea diagramei forţei axiale

pe intervalul (A-1) sarcina distribuită are doar componenta verticală pozitivă

pV = p gt 0 prin urmare forţa tăietoare scade (are panta negativă dTy 119889119909frasl = minusp vezi

relaţia 210) iar momentul icircncovoietor avacircnd derivata a doua negativă d2M119894119911 1198891199092frasl =minuspare convexitatea curbei orientată spre sensul pozitiv al axei momentului Miz adică icircn

jos

pe domeniile (2-B) şi (B-1) deoarece pv = 0 forţa tăietoare Ty este constantă

iar momentul icircncovoietor Miz variază liniar

referitor la relaţia (212) pe porţiunile unde Ty gt 0 momentul Miz este

monoton crescător pe porţiunile unde Ty lt 0 momentul Miz este monoton descrescător

iar icircn secţiunea icircn care Ty = 0 momentul icircncovoietor are un extrem local Mξ =

882 [kN ∙ m] icircn diagrama forţei tăietoare discontinuităţile (salturile) se produc icircn secţiunile

unde acţionează VA VB şi FV iar icircn diagrama momentului icircncovoietor se produce un

singur salt icircn secţiunea icircn care este aplicat M0

se poate scrie

Mξ = suprafața diagramei Ty |ξ0=1

2∙ 42 ∙ 42 = 882 [kN ∙ m]

sau parcurgacircnd grinda de la dreapta la stacircnga rezultă

MB = minussuprafața diagramei Ty |c0= minus10 ∙ 4 = minus40 [kN ∙ m]

Toate aspectele analizate teoretic referitoare la relaţiile diferenţiale dintre eforturi

şi sarcini se regăsesc icircn diagramele de eforturi din figura 220 ceea ce icircnseamnă că

diagramele au fost reprezentate corect

3 TENSIUNI DEPLASĂRI ŞI DEFORMAŢII SPECIFICE

31 Tensiuni

Eforturile obținute icircn urma reducerii forțelor interioare icircn centrul de greutate al

secțiunii nu pot da informații asupra solicitării fiecărui punct al secțiunii respective Este

necesar să se cunoască modul cum se distribuie forțele interioare icircn fiecare punct al

secțiunii pentru a ști care este intensitatea maximă a solicitării Această intensitate

maximă se poate compara cu o valoare critică specifică materialului stabilindu-se astfel

dacă solicitarea este periculoasă sau nu

Mărimea care caracterizează solicitarea locală punctuală o vom denumi tensiune

și o vom defini icircn cele ce urmează Să considerăm partea din dreapta a unui corp solicitat

de forțele exterioare 1198651 1198652 și 1198653 obținută prin secționarea corpului și mărginită de fața

din dreapta Ad a secțiunii Pe secțiunea Ad vom considera un element de arie infinit mic

∆119860 caracterizat de normala la elementul de arie normală care are cosinușii directori

120573 și icircn raport cu un sistem de axe considerat fix Pe elementul infinit mic ∆119860 acționează

forțele interioare care au o rezultantă oarecare figura 31

Prin definiție tensiunea totală este

= lim∆119860rarr0

∆

∆119860 (31)

Tensiunea are aceeaşi direcţie cu forţa elementară ∆ iar mărimea ei este

determinată atacirct de mărimea forţei ∆ cacirct şi de orientarea suprafeţei ∆119860 faţă de direcţia

forţei

Tensiunea 119901 poate fi descompusă icircntr-o componentă orientată după direcţia

normalei la secţiune tensiunea normală notată cu 120590119909 şi o componentă icircn planul secţiunii

tensiunea tangenţială notată cu figura 32

= 119909 + 120591 (32)

Fig 31 Tensiunea totală Fig 32 Tensiunea normală și tangențială

La racircndul ei componenta tensiunii cuprinsă icircn planul secțiunii poate fi

descompusă după direcțiile axelor y și z

120591 = 120591119909119910 + 120591119909119911 (33)

Icircntre cele trei componente ale tensiunii totale care acționează pe elementul de arie

∆119860 este valabilă relația

1199012 = 1205901199092 + 120591119909119910

2 + 1205911199091199112 (34)

După sensul pe care icircl are tensiunea normală 120590 poate avea efect de tracţiune sau

de compresiune exercitat de către partea de corp icircnlăturată asupra părţii rămase Analog

tensiunea tangenţială 120591 poate avea efect de tăiere forfecare sau alunecare Pentru

componentele tensiunii tangențiale 120591119909119910 pe direcţia 119910 respectiv 120591119909119911 pe direcţia 119911 primul

indice indică axa pe care tensiunea este normală iar cel de-al doilea indice indică axa cu

care aceasta este paralel

Tensiunea este o mărime tensorială valoarea ei depinzacircnd atacirct de poziția

punctului icircn planul secțiunii cicirct și de orientarea planului de secționare deci de normala

Operaţiile vectoriale nu pot fi aplicate tensiunilor decacirct după ce acestea au fost icircnmulţite

cu ariile respective adică au fost transformate icircn forţe

Icircn literatura de specialitate mai ales icircn manualele mai vechi pentru noţiunea de

tensiune se mai foloseşte şi denumirea de efort specific

Dacă se consideră un alt element de arie ∆119860 cu centrul icircn același punct avacircnd ca

normală axa 119910 se vor obține alte tensiuni și anume

- 120590119910 este tensiunea normală (paralelă cu axa y)

- 120591119911119909 și 120591119910119911 sunt tensiuni tangențiale paralele cu axele 119909 și respectiv 119911 aflate icircn

planul care are ca normală axa 119910

Dacă icircn jurul unui punct dintr-un corp solicitat se consider un element de volum

infinit mic de forma unui cub icircn cazul cel mai general pe fețele sale vor acționa

tensiunile normale 120590119909 120590119910 și 120590119911 și respectiv tensiunile tangențiale 120591119909119910 120591119909119911 120591119910119909 120591119910119911 120591119911119909

și respectiv 120591119911119910 figura 33 Aceste tensiuni definesc starea de tensiune a punctului

observacircnd faptul că tensorul tensiune are 9 componente Dacă se consideră elementul

de volum finit ca fiind foarte mic se poate presupune că icircn interiorul său nu apar forțe

Ca urmare el va fi icircn echilibru sub acțiunea forțelor elementare produse de tensiunile de

pe fețele sale

Din condiția ca elementul să nu se rotească icircn jurul unor axe care trec prin centrul

său și sunt paralele cu axele sistemului 119909119874119910119911 rezultă

2 ∙ 120591119909119910 ∙ (119889119910 ∙ 119889119911) ∙119889119909

2= 2 ∙ 120591119910119909 ∙ (119889119909 ∙ 119889119911) ∙

119889119910

2 rArr 120591119909119910 = 120591119910119909 (35)

2 ∙ 120591119910119911 ∙ (119889119909 ∙ 119889119911) ∙119889119910

2= 2 ∙ 120591119911119910 ∙ (119889119909 ∙ 119889119910) ∙

119889119911

2 rArr 120591119910119911 = 120591119911119910 (36)

2 ∙ 120591119909119911 ∙ (119889119910 ∙ 119889119911) ∙119889119909

2= 2 ∙ 120591119911119909 ∙ (119889119909 ∙ 119889119910) ∙

119889119911

2 rArr 120591119909119911 = 120591119911119909 (37)

Relațiile (35divide37) 120591119909119910 = 120591119910119909 120591119910119911 = 120591119911119910 120591119909119911 = 120591119911119909 exprimă principiul dualității

tensiunilor tangențiale

Fig 33 Tensiunile normale și tangențiale pe fețele unui cub

Din condiția ca elementul considerat să nu se deplaseze icircn lungul axelor de

coordonate pe fețele opuse acționează aceleași tensiuni normale 120590119909 120590119910 și respectiv 120590119911

Definirea tensorului tensiune este posibilă dacă se cunosc cele 6 componente

independente ale acestuia aflate icircn trei plane perpendicular ce trec prin punctul respectiv

=

120590119909 120591119909119910 120591119909119911120591119910119909 120590119910 120591119910119911120591119911119909 120591119911119910 120590119911

Observaţii

Tensiunile se măsoară icircn [119873 1198982frasl ] (1119873 1198982frasl = 1 119875119886) sau icircn [119872119875119886]

(1 119872119875119886 = 106119875119886 = 106 119873

1198982 1 119872119875119886 = 1

119873

1198981198982)

Starea de tensiune dintr-un punct este considerată cunoscută dacă se cunosc

tensiunile 119901 care acționează pe infinitatea de elemente de suprafață ce trec prin punctual

considerat

Starea de tensiune a unui corp se consider cunoscută dacă se cunosc stările de

tensiune de pe infinitatea de puncte ale corpului considerat

32 Deplasări Deformaţii specifice

321 Deplasări

Aceste noțiuni sunt utile icircn analiza aspectului geometric al problemelor de rezistența

materialelor Deplasările care se analizează sunt cele datorate schimbării formei și

dimensiunilor corpurilor ca urmare a acțiunii forțelor exterioare și nu cele cinematice

posibile pentru solidul rigid care se poate deplasa cu anumită viteză și accelerație

Spre exemplu icircn figura 34a și figura 34b sub acțiunea forței 119865 tronsonul de

bară AB se deformează icircn timp ce tronsonul BC deși punctele sale au deplasări rămacircne

nedeformat (fiind nesolicitat) Toate punctele de pe axele barelor cu excepția celor din

icircncastrare (secțiunile A) au deplasări liniare De cele mai multe ori deformațiile barelor

datorate acțiunii forțelor exterioare se anulează la icircndepărtarea forțelor se spune că

deformațiile sunt elastice Secțiunile transversale ale barei din figura 34a se și rotesc icircn

raport cu pozițiile lor inițiale Spre exemplu secțiunea de căpăt cu centrul icircn C se rotește

cu unghiul

Fig 34 Deformațiile unei grinzi

Oricacirct de complexă ar fi delormația unui corp ea poate fi descrisă de lungiri sau

scurtări și de modificări ale unghiurilor inițiale

Deplasările măsoară schimbarea poziției unui punct al corpului și pot fi liniare

sau unghiulare

Prin deplasare liniară a unui punct se icircnțelege drumul parcurs de acest punct icircn

decursul procesului de deformație după o dreaptă suport dreapta 1198611198611 din figura 34a

Prin deplasare unghiulară se icircnțelege rotirea dintre segmentele de dreaptă

determinate de două puncte ale corpului icircnainte și după deformarea acestuia unghiul

pe care-l fac segmentele 119861119862 și 11986111198621 din figura 34a Această rotire se măsoară prin

unghiul pe care-l fac proiecțiile dreptelor ce conțin cele două segmente icircntr-un sistem

triortogonal

Icircn cazul cel mai general vectorul deplasare liniară se poate descompune icircntr-un

sistem triortogonal icircn trei componente 119906 119907 și 119908 figura 35

Fig 35 Deplasarea liniară

Se consideră acum un corp solid raportat la un sistem de axe ortogonal 119909119874119910119911

figura 35 după deformarea corpului un punct oarecare 119870 al acestuia se deplasează icircn

poziţia 1198701 vectorul 1198701198701 poartă numele de vectorul deplasării totale

Deplasarea totală este suma deplasărilor pe cele trei direcţii ortogonale iar

aceste deplasări se notează astfel

deplasarea pe direcţia 119909 cu ∥ 119874119909

deplasarea pe direcţia 119910 cu ∥ 119874119910

deplasarea pe direcţia 119911 cu ∥ 119874119911

Componentele deplasărilor și formeză matricea deplasărilor liniare 119906119907119908

322 Deformații

Prin deformație icircn general se icircnțelege orice schimbare de formă a unui corp fără

o evaluare cantitativă Icircn Rezistența Materialelor deformația măsoară variația

dimensiunilor geometrice ale corpului considerat din vecinătatea unui punct analog

deplasărilor deformațiile pot fi liniare și unghiulare (lunecări)

Fig 36 Deplasarea liniară

Deformația liniară ∆119897 reprezintă variația lungimii 119897 a unui element liniar al

corpului deformat figura 36 Deformația liniară specifică se definește ca fiind raportul

dintre deformația liniară și lungimea inițială

휀 =∆119897

119897 (38)

unde ∆119897 este lungirea sau scurtarea care este echivalentă cu deformția liniară totală iar

este alungirea

Deformația unghiulară sau lunecarea unui punct 119860 icircn planul 119861119860119862 se definește

prin relația figura 37

120574 = lim119861119860rarr0119862119860rarr0

(119861119860 minus 119861111986011198621 ) (39)

Fig 36 Deformația unghiulară

Schimbacircnd orientarea planului care trece prin 119860 se obțin alte deformații

unghiulare Dacă elementele liniare 119861119860 și 119862119860 sunt inițial perpendiculare deformația 120574 se

numește deformație unghiulară specifică sau lunecare specifică figura 37

Un exemplu de deplasare unghiulară și de deformație unghiulară este prezentat icircn

figura 38 Unghiul este deplasarea unghiulară și măsoară rotirea relativă dintre două

secțiuni aflate la distanța 119897 Unghiul este deformația specifică unghiulară (lunecarea

specifică) din punctul 119870 Aceste deplasări și deformații se obțin icircn urma solicitării barei

de către cele două momente 1198720 egale și de sens contrar

Fig 38 Deplasarea unghiulară

Pentru a analiza starea de deformație din vecinătatea unui punct al unui corp

solicitat complex se decupează din jurul punctului un element de volum mic figura 39a

avacircnd laturile 119889119909 119889119910 și 119889119911 Ca urmare a solicitării laturile acestuia se vor lungi sau

scurta Reprezentarea elementului deformat icircn spațiu este dificilă pentru simplificare

vom analiza doar deformațiile din planul 119909119874119910 Observăm că dimensiunile 119889119909 și 119889119910 s-au

modificat cu valoarea ∆119889119909 respectiv cu ∆119889119910 analog se acceptă și pentru 119889119911 o modificare

de forma ∆119889119911 Astfel se pot defini deformațiile specifice liniare

휀119909 =∆119889119909

119889119909 휀119910 =

∆119889119910

119889119910 휀119911 =

∆119889119911

119889119911 (310)

De cele mai multe ori aceste deformații specifice liniare se pot exprima procentual

și se mai numesc alungiri

Fig 39 Starea de deformație

Icircn figura 39c se vede că unghiul inițial drept dintre muchiile 119889119909 și 119889119910 ale

elementului de volum s-a modificat Se definește deformația specifică unghiulară (sau

lunecarea specifică) mărimea cu care se modifică unghiul inițial drept

120574119909119910 = 120574119909119910prime + 120574119910119909

prime = 120574119910119909120574119910119911 = 120574119910119911

prime + 120574119911119910prime = 120574119911119910

120574119911119909 = 120574119911119909prime + 120574119909119911

prime = 120574119909119911

(311)

Deformațiile 휀119909 휀119910 휀119911 120574119909119910 120574119910119911 120574119911119909 constituie cele șase componente

independente ale tensorului deformațiilor specifice care pot fi scrise de forma

119863 =

휀119909 120574119909119910 120574119909119911120574119910119909 휀119910 120574119910119911120574119911119909 120574119911119910 휀119911

(312)

323 Contracţia transversală

Practica arată că odată cu lungirea unei bare apare o micşorare a mărimii secţiunii

transversale mărime numită contracţie transversală figura 310

Fig 310 Contracția transversală

Contracţia transversală este proporţională cu lungirea specifică coeficientul de

proporţionalitate se notează cu 120599 şi se numeşte coeficient de contracţie transversală sau

coeficientul lui Poisson

La o lungire specifică a barei contracţia transversală este dată de relația

휀119905119903 = 휀119910 = 휀119911 = minus120599 ∙ 휀119909 (313)

Semnul minus bdquo-rdquo arată că cele două mărimi sunt contrare dacă una creşte cealaltă

scade şi invers

Considerăm o bară cilindrică de lungime 119897 şi aria secţiunii transversale 119860 solicitată

la icircntindere axială La un moment dat datorită solicitării lungimea barei devine

[119897 ∙ (1 + 휀)] diametrul devine [119889 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)] iar aria secţiunii transversale devine

[119860 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)2] Dacă volumul barei icircnainte de solicitare a fost (119860 ∙ 119897) după solicitare

acesta devine

119881 + ∆119881 = 119860 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)2 ∙ 119897 ∙ (1 + 휀) =

= 119860 ∙ 119897 ∙ (1 + 휀 minus 2 ∙ 120599 ∙ 휀 minus 2 ∙ 120599 ∙ 휀2 + 1205992 ∙ 휀2 + 1205992 ∙ 휀3) (314)

Deoarece lungirile sunt foarte mici ultimii trei termeni din paranteză fiind infinit mici se pot neglija obţinacircnd

119881 + ∆119881 = 119860 ∙ 119897 + 119860 ∙ 119897 ∙ 휀 ∙ (1 minus 2 ∙ 120599) ⟺ ∆119881 = 휀 ∙ (1 minus 2 ∙ 120599) ∙ 119860 ∙ 119897 (315)

Practica arătă că o astfel de bară solicitată la icircntindere icircşi măreşte volumul deci

∆119881 gt 0 de unde rezultă că

1 minus 2 ∙ 120599 gt 0 rArr 120599 lt 05 (316)

Pentru majoritatea materialelor 120599 = 033 iar pentru materialele care-şi păstrează

volumul constant 120599 = 05

33 Relaţii de echivalenţă icircntre eforturi şi tensiuni

Considerăm un element de suprafață infinit mic 119889119860 situat pe fața de arie (119860) a

secțiunii barei din figura 311 Icircn centrul de greutate 119862 al secțiunii acționează eforturile

119873 119879119910 119879119911 119872119909 119872119894119910 și 119872119894119911 determinate prin metoda secțiunilor

Icircn raport cu un sistem de axe de referință 119909119862119910119911 coordonatele elementului 119889119860 sunt

- 119910 este ordonata elementului de arie 119889119860

- 119911 este abscisa elementului de arie 119889119860

Pe elementul de arie 119889119860 acționează tensiunile

120590119909 tensiunea normală

120591119909119910 și 120591119909119911 tensiuni tangențiale

Dacă se icircnsumează forțele elementare de tipul 120590119909 ∙ 119889119860 120591119909119910 ∙ 119889119860 și 120591119909119911 ∙ 119889119860

va trebui să obținem eforturile 119873 119879119910 și 119879119911

Fig 311 Element de suprafață mic din secțiunea unei bare

Dacă eforturile sunt privite ca forțe exterioare și se scriu ecuațiile de

echilibru ale secțiunii (119860) se vor obține șase relații de echivalență icircntre eforturi și

tensiuni

(sum119883) = 0 rArr int 120590119909 ∙ 119889119860

119860

= 119873 (317)

(sum119884) = 0 rArr int 120591119909119910 ∙ 119889119860

119860

= 119879119910 (318)

(sum119885) = 0 rArr int 120591119909119911 ∙ 119889119860

119860

= 119879119911 (319)

(sum119872)119909= 0 rArr int(120591119909119911 ∙ 119889119860) ∙ 119910

119860

minus int(120591119909119910 ∙ 119889119860) ∙ 119911

119860

= 119872119909 rArr

rArr int(119910 ∙ 120591119909119911 minus 119911 ∙ 120591119909119910) ∙ 119889119860

119860

= 119872119909

(320)

(sum119872)119910= 0 rArr int(120590119909 ∙ 119889119860) ∙ 119911

119860

= 119872119894119910 (321)

(sum119872)119911= 0 rArr int(120590119909 ∙ 119889119860) ∙ 119910

119860

= 119872119894119911 (322)

Cele șase relații de echivalență icircntre eforturi și tensiuni constituie un pas icircnainte

icircn rezolvarea unei probleme de rezistența materialelor Aceste relații vor permite

determinarea tensiunilor maxime

Pentru a rezolva cele 6 relații de echivalență trebuie să se cunoască tensiunile și

ca funcții de punct adică funcții de forma

120590119909 = 120590119909(119909 119910 119911) 120591119909119910 = 120591119909119910(119909 119910 119911) 120591119909119911 = 120591119909119911(119909 119910 119911) (32

3)

Cunoașterea acestor funcții presupune icircnsă analizarea aspectului geometric al

problemei precum și utilizarea unor ipoteze simplificatoare care să permită simplificarea

problemelor

34 Ipoteze de bază icircn rezistenţa materialelor

Depășirea dificultăților legate de interpretarea unor fenomene specifice mecanicii

solidului deformabil a impus acceptarea unor ipoteze care să simplifice fenomenele și să

contribuie la elaborarea unor modele de calcul cicirct mai generale și cacirct mai simple Aceste

ipoteze se referă la structura materialelor şi la comportarea lor sub acţiunea forţelor

exterioare Ipotezele acceptate trebuie să fie icircn deplină concordanţă cu realitatea și să

conducă la rezultate verificate icircn practică

Funcție de aspectele la care se referă ipotezele pot fi

Ipoteze fizice (de material)

Ipoteze de calcul

341 Ipoteze fizice

Se acceptă deoarece teoriile structurale au condus la rezultate care contravin

icircncercărilor experimentale

Ipoteza mediului continuu consideră că orice domeniu elementar al corpului

este ocupat de materie adică nu se acceptă existența unor goluri sau a unor crăpături

microscopice (fisuri) Deși nu corespunde realităţii poate fi acceptată deoarece

dimensiunile corpului sunt mult mai mari decacirct dimensiunile particulelor elemantare Are

avantajul că permite utilizarea proprietăților matematice ale funcțiilor continue pentru

tensiunile și deformațiile din orice punct al corpului Ea este mai apropiată de realitate la

corpurile amorfe şi mai depărtată la cele cristaline dar conduce la rezultate satisfăcătoare

icircn calculele de rezistenţă

Ipoteza nu se poate aplica la corpurile care au goluri tăieturi (multiplu conexe)

pentru unele puncte singulare icircn care tensiunile și deformațiile tind la infinit sau icircn unele

probleme de plasticitate icircn care proprietățile de material au un rol esențial

Ipoteza izotropiei conform acestei ipoteze materialul din care este confecționat

un element de rezistență are aceleași proprietăți după orice direcție un astfel de material

este considerat izotrop Din punct de vedere macroscopic metalele pot fi considerate

izotrope deși la nivel microscopic proprietățile lor diferă de la o direcție cristalografică

la alta Orice conglomerat de cristale poate fi considerat izotrop

Există cazuri cacircnd această ipoteză a izotropiei nu se acceptă

la metalele puternic deformate după o direcție (prin laminare trefilare)

la piesele confecționate din lemn lemnul este anizotrop deoarece proprietățile sale

diferă după două direcții (icircn lungul fibrelor și perpendicular pe această direcție)

Ipoteza omogenității consideră că un corp are aceleași proprietăți icircn orice

punct al său Deși majoritatea materialelor utilizate icircn tehnică sunt eterogene la scară

micro fiind constituite din mai multe faze cu proprietăți diferite la scară macro ele pot

fi considerate omogene Omogenitatea și izotropia sunt proprietăți statistice medii care

nu se condiționează una pe cealaltă Chiar și materialele monofazice pot avea la scară

micro unele segregații care le fac eterogene

Ipoteza elasticităţii perfecte presupune că atacircta timp cacirct solicitările nu

depăşesc anumite limite materialul are o comportare elastică adică icircşi recapătă forma şi

dimensiunile iniţiale odată cu icircnlăturarea sarcinilor Icircn realitate materialele nu prezintă o

elasticitate perfectă ele avacircnd deformaţii remanente mici care icircnsă pot fi neglijate icircn

calculele de rezistenţă

Acceptarea acestei ipoteze a elasticității perfecte permite

- aplicarea relației biunivoce icircntre tensiuni și deformații relație exprimată de legea

lui Hooke ( = 119864 ∙ 휀) unde E este un factor de proporţionalitate numit modul de

elasticitate longitudinal al materialului pentru oţel 119864 = 21 ∙ 105 [119872119875119886] - acceptarea valabilității afirmației bdquolucrul mecanic efectuat de forțele exterioare

ca urmare a parcurgerii deplasărilor punctelor de aplicație se icircnmagazinează integral icircn

corp sub formă de energie de deformație energie cedată la icircndepărtarea sarcinilorrdquo

- este valabilă teoria conform căreia bdquoenergia icircnmagazinată și deformațiile depind

doar de starea inițială și finală de eforturi fără a ține cont de modul icircn care s-a ajuns la

starea finalărdquo

Icircn realitate oricacirct de mici ar fi sarcinile aplicate se produc și deformații plastice

dar acestea pot fi neglijate dacă solicitarea nu depășește anumite limite

342 Ipoteze de calcul

Ipoteza micilor deplasări bdquodeplasările datorate deformării sunt mult mai mici

decacirct dimensiunile corpurilor și ca urmare pot fi neglijate produsele dintre o deplasare și

ea icircnsăşirdquo Pentru cele mai multe corpuri deformaţiile elastice sunt de mărimi mici deci

corpurile solide sub acţiunea sarcinilor icircşi modifică foarte puţin forma iniţială Această

ipoteză este cunoscută şi sub denumirea de ipoteza menţinerii dimensiunilor iniţiale Ea

permite scrierea ecuaţiilor de echilibru ale staticii pe starea nedeformată a elementului

cacircnd nu se iau icircn considerare deplasările punctelor de aplicaţie ale forţelor care se produc

ca urmare a deformării acestuia Calculul efectuat pe schema nedeformată poartă numele

de calcul de ordinul I

Ipoteza micilor deplasări nu poate fi acceptată pentru studiul problemelor de

stabilitate sau la problemele la care nu pot fi icircndeplinite condiţiile de echilibru icircn starea

nedeformată

Calculul de ordinul II admite ipoteza micilor deplasări dar ecuaţiile de echilibru

se scriu icircnsă pentru starea deformată a elementului de rezistenţă

Calculul de ordinul III nu mai acceptă ipoteza micilor deplasări el referindu-se

la cazul deformaţiilor mari cacircnd ecuaţiile de echilibru trebuie scrise pentru starea

deformată

Chiar dacă materialul satisface legea lui Hooke icircn urma calculelor de ordinul II

se obţin de obicei relaţii neliniare icircntre sarcini şi deplasări iar pentru calculul de ordinul

III rezultă ecuaţii diferenţiale neliniare

Principiul efectului local al acțiunii sarcinilor enunțat de Barre de Saint-

Venant Acest principiu destul de folosit icircn Rezistenţa Materialelor precizează că dacă

se icircnlocuiesc forţele care acţionează asupra unui element de suprafață al unui corp

elastic printr-un alt sistem de forţe echivalent din punct de vedere static cu primul noua

distribuţie a forţelor produce la locul de aplicare diferenţe semnificative faţă de prima

dar rămacircne fără efect sau cu efect neglijabil la distanţe mari de locul de aplicare al

forţelor figura 312

Ca o cosecință o sarcină uniform distribuită figura 312a poate fi icircnlocuită cu

rezultanta ei figura 312b dacă se analizează efectul sarcinii la distanță mare de locul icircn

care se aplică sarcina

Fig 312 Principiul Saint-Venant

Icircn prima variantă figura 312a forţa 119865 se aplică pe o porțiune oarecare 119897 (sarcină

uniform distribuită) iar icircn a doua figura 312b icircntru-un punct (forţă concentrată) La

locul de aplicare a sarcinii efectul asupra barei este cu totul diferit de la o variantă la

cealaltă Icircnsă la o distanţă mare de punctul de aplicaţie spre exemplu icircn secţiunea situată

la distanţa 119886 de capătul barei sau chiar icircn icircncastrare ambele bare sunt solicitate la fel

Icircn cazul din figura 312a

119872119894(119909) =119901 ∙ 1199092

2 119909 le 119897 119872119894(119909) = 119901 ∙ 119897 ∙ (119909 minus

119897

2) 119909 gt 119897 (324)

Icircn cazul din figura 312b

119872119894(119909) = 0 119909 lt119897

2 119872119894(119909) = 119901 ∙ 119897 ∙ (119909 minus

119897

2) 119909 gt

119897

2 (325)

Se vede că pentru (119909 gt 119897) adică după depășirea locului icircn care se aplică sarcina

efectul este același

Ipoteza lui Bernoulli sau ipoteza secţiunilor plane precizează că o secţiune

plană şi normală pe axa barei icircnainte de deformare rămacircne plană şi normală pe axa

barei şi după deformare figura 313

Fig 313 Ipoteza lui Bernoulli

Ipoteza stării naturale a corpului sau ipoteza absenţei tensiunilor conform

căreia pentru un corp nesolicitat starea de tensiune şi deformaţie este nulă

Perfecţionarea mijloacelor de calcul şi de investigare pot conduce la renunţarea la

unele ipoteze sau la introducerea altora noi mai aproape de stările reale De aici rezultă

caracterul de continuă perfecţionare a metodelor Rezistenţei Materialelor

35 Coeficienţi de siguranţă Tensiuni admisibile

O piesă corespunde din punct de vedere tehnic dacă tensiunile care iau naştere icircn

interiorul piesei datorită sarcinilor aplicate nu depăşesc anumite valori limită stabilite

convenţional Aceste valori limită ale tensiunii sunt corelate cu caracteristicile mecanice

ale materialelor

Tensiunea limită utilizată icircn calculele de rezistenţă este cunoscută sub denumirea

de tensiune admisibilă sau rezistenţă admisibilă Rezistenţa admisibilă reprezintă

valoarea convenţională aleasă icircn calcul pe baza practicii pentru tensiunea maximă care

poate apare icircntr-o piesă icircn condiţii date de material şi solicitare

Rezistenţa admisibilă (120590119886 sau 120591119886) poate fi definită faţă de o stare limită

periculoasă stare care trebuie evitată deoarece poate conduce distrugere

120590119886 =120590119897119894119898119888

(326)

unde

120590119897119894119898 este tensiunea corespunzătoare stării limită periculoase

119888 estesupraunitar 119888 gt 1 și reprezintă coeficientul de siguranţă faţă de starea limită

periculoasă considerată

Alegerea unor valori inferioare pentru rezistenţa admisibilă faţă de tensiunea

corespunzătoare stării limită periculoase este necesară deoarece

cunoaşterea sarcinilor este de cele mai multe ori aproximativă şi o depăşire a

acestora este foarte posibilă

caracteristicile mecanice ale materialelor variază icircn limite destul de mari ele

fiind influenţate de mulţi factori

schema aleasă pentru calcul (aplicarea sarcinilor schematizarea structurii

ipotezele de calcul etc) depărtează modelul faţă de cel real

Pentru calculele de verificare tensiunea efectivă maximă din elementul de

rezistenţă trebuie să fie mai mică sau cel mult egală cu cea admisibilă

120590119890119891119898119886119909 le 120590119886 (327)

Valoarea rezistenţei admisibile este influenţată de foarte mulţi factori natura

materialului tratamentele termice aplicate piesei durata de funcţionare a piesei modul

de acţionare icircn timp a sarcinilor felul solicitării temperatura gradul de periculozitate

icircn cazul cedării piesei etc

De asemenea valoarea coeficientului de siguranţă se alege icircn principal ţinacircnd

seama de aceiaşi factori care influenţează şi rezistenţa admisibilă

Rezistenţele admisibile pentru cacircteva materiale sunt următoarele

pentru oțelul de uz general OL37 solicitat la icircntindere compresiune sau

icircncovoiere 120590119886 = 150 [119872119875119886] pentru lemnul de brad solicitat la

- compresiune icircn lungul fibrelor şi solicitat la icircncovoiere 120590119886 = 10 [119872119875119886] - tracţiune icircn lungul fibrelor 120590119886 = 7 [119872119875119886] - compresiune perpendiculară pe fibre 120590119886 = 15 [119872119875119886] - forfecare icircn lungul fibrelor 120591119886 = 2 [119872119875119886] - forfecare perpendiculară pe fibre 120590119886 = 45 [119872119875119886]

terenuri de fundaţie din pămacircnt uscat sau umed 120590119886 = 020 divide 025 [119872119875119886]

4 CARACTERISTICI GEOMETRICE ALE SECȚIUNILOR PLANE

41 Noţiuni introductive

Icircn relaţiile de calcul ale tensiunilor şi deformaţiilor elementelor de rezistenţă

pentru unele solicitări (icircncovoierea și torsiunea) secțiunile plane intervin atacirct prin

dimensiunile lor (aria 119860) cicirct și prin forma și poziția pe care o are secțiunea icircn raport cu

planul solicitării Mărimile care caracterizează o secțiune icircn raport cu forma și poziția față

de axele unui sistem de referință sunt denumite caracteristici geometrice de ordin

superior Aria secțiunii este caracteristica geometrică ce depinde doar de dimensiunile

geometrice ale acesteia

Să considerăm o grindă solicitată de o forță exterioară 119865 aşezată icircn două poziții icircn

raport cu planul forţei figura 41 Icircn urma aplicării forței deși avem aceeași grindă

(aceeași arie a secțiunii transversale) și aceeași forță se constată că pentru varianta din

figura 41a deformațiile sunt mult mai mari adică rezistența la icircncovoiere a grinzii din

figura 41a este mai mare decacirct icircn cazul grinzii din figura 41b Comportarea diferită se

explică prin aceea că modificarea poziţiei secţiunii transversale faţă de planul forţelor

modifică caracteristicile geometrice ale secţiunii transversale a grinzii

Fig 41 Grindă solicitată de forța 119865

Pentru realizarea calculelor de rezistenţă şi rigiditate este foarte importantă

cunoaşterea caracteristicilor geometrice ale suprafeţei secţiunii transversale a elementelor

de rezistenţă

Caracteristicile geometrice ale secţiunii transversale a unui element de rezistenţă

sunt

- aria secțiunii notată cu 119860

- momentul static icircn raport cu o axă notat 119878119911 și respectiv 119878119910

- momentul de inerție care poate fi

axial notat 119868119911 și respectiv 119868119910

centrifugal notat 119868119911119910

polar notat 119868119901

- raza de inerţie (giraţie)notată 119894119911 și respectiv 119894119910

- modulul de rezistență care poate fi

axial notat 119882119911 și respectiv 119882119910

polar notat 119882119901

42 Aria și momentul static al suprafețelor plane

Fie o suprafaţă plană de arie 119860 pe care se ia un element infinit mic de arie 119889119860 şi

un sistem de axe rectangulare 119911119874119910 figura 42 Notăm cu 119862 centrul de greutate al suprafeţei

119860 Poziţia suprafeţei elementare 119889119860 faţă de acelaşi sistem de coordonate 119911119874119910 este dată

de abscisa 119911 ordonata 119910 și raza polară

Fig 42 Suprafață plană de arie 119860

Aria suprafeţei 119860 figura 42 se defineşte ca fiind

119860 ≝ int 119889119860

119860

(41)

Aria suprafeţei este icircntotdeauna pozitivă și se măsoară icircn [1198981198982] Momentul static al suprafeţei de arie 119860 icircn raport cu axele 119874119911 și respectiv 119874119910

figura 42 sunt date de relaţiile

119878119911 ≝ int 119910 ∙ 119889119860

119860

119878119910 ≝ int 119911 ∙ 119889119860

119860

(42)

Momentul static poate fi pozitiv negativ sau nul şi se măsoară icircn [1198981198983] Coordonatele centrului de greutate ale suprafeței 119860 se detrmină cu relațiile

119910119862 ≝int 119910 ∙ 119889119860119860

119860 119911119862 ≝

int 119911 ∙ 119889119860119860

119860

(43)

Cunoscacircnd coordonatele 119910119862 și 119911119862 ale centrului de greutate 119862 al secțiunii 119860 atunci

momentele statice se pot determina cu relațiile

119878119911 ≝ int 119910 ∙ 119889119860

119860

= 119910119862 ∙ 119889119860 119878119910 ≝ int 119911 ∙ 119889119860

119860

= 119911119862 ∙ 119889119860 (44)

Aceste relații arată că momentul static al unei suprafețe icircn raport cu o axă este

egal cu produsul dintre aria suprafeței și distanța de la centrul ariei la axa respectivă

Dacă suprafaţa se poate descompune icircn 119899 suprafeţe simple la care se cunosc ariile

(1198601 1198602 ⋯ 119860119894⋯ 119860119899) și poziţiile centrelor de greutate 119862119894 faţă de sistemul de referinţă

expresiile momentelor statice capătă următoarea formă

119878119911 = sum 119910119862119894 ∙ 119860119894119899119894=1 = 119910119862 ∙ 119860 119878119910 = sum 119911119862119894 ∙ 119860119894

119899119894=1 = 119911119862 ∙ 119860 (45)

Din relaţiile (45) rezultă că poziţia centrului de greutate 119862 al unei suprafeţe

compuse poate fi determinată cu relaţiile

119910119862 = (sum119910119862119894 ∙ 119860119894

119899

119894=1

) 119860frasl 119911119862 = (sum119911119862119894 ∙ 119860119894

119899

119894=1

) 119860frasl (46)

Icircn relația (45) 119910119862119894 și respectiv 119911119862119894 reprezintă coordonatele centrelor de greutate 119862119894

ale fiecărei suprafețe simple 119860119894 icircn raport sistemul de axe 119911119874119910

Se constată (relaţia 42) că dacă axele sistemului de referinţă trec prin centrul de

greutate (119910119862 = 119911119862 = 0) momentele statice sunt nule Axele icircn raport cu care momentele

statice sunt nule şi care trec prin centrul de greutate al suprafeţei se numesc axe centrale

Observație dacă secțiunea compusă are o axă de simetrie centrul secțiunii se

găsește pe acea axă iar dacă secțiunea este dublu simetrică poziția centrului secțiunii este

la intersecția axelor de simetrie

43 Momente de inerţie

Momentele de inerţie axiale ale unei suprafețe se calculează icircn raport cu axele de

coordonate 119874119911 și respectiv 119874119910 figura 42 și se determină cu relațiile

119868119911 ≝ int 1199102 ∙ 119889119860

119860

119868119910 ≝ int 1199112 ∙ 119889119860

119860

(47)

Unde 119910 și 119911 sunt distanțele de la elementul de arie 119889119860 la cele două axe de

coordonate 119874119911 și respectiv 119874119910

Momentele de inerţie axiale se măsoară icircn [1198981198984] şi sunt icircntotdeauna pozitive (aria

119889119860 este icircntotdeauna pozitivă și este multiplicată cu patratul distanței 1199102 dacă 119868119911 sau 119868119910

sunt nule icircnseamnă ca secțiunea nu există)

Momentele de inerție axiale se calculează icircndeosebi pentru axele centrale (care

trec prin centrul secțiunii) deoarece icircn raport cu acele axe 119868119911 și 119868119910 au valori minime

Momentul de inerţie centrifugal calculat faţă ambele axe ale sistemului de

referinţă 119911119874119910 este definit de relația

119868119911119910 ≝ int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860

(48)

Momentul de inerţie centrifugal se măsoară icircn [1198981198984] şi poate fi pozitiv negativ

sau nul

Momentul de ineție centrifugal este nul 119868119911119910 = 0 dacă cel puțin una din axele 119874119911

sau 119874119910 este axă de simetrie pentru secțiune

Se consideră o suprafaţă dreptunghiulară pe care faţă de axa de simetrie 119874119910 se iau

două suprafeţe elementare de arie 119889119860 simetrice faţă de axa 119874119910 figura 43

Fig 43 Suprafață dreptunghiulară cu două arii elementare 119889119860

Făcacircnd suma momentelor de inerţie centrifugale pentru cele două suprafeţe

elementare 119889119860 (din stacircnga şi din dreapta faţă de axa 119874119910) se obţine

int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860119889119903

+ int (minus119911) ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860119904119905119892

= int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860119889119903

minus int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860119904119905119892

= 0 (49)

Acelaşi raţionament se poate face și pentru icircntreaga suprafaţă de unde obținem că

momentul de inerție centrifugal este nul 119868119911119910 = 0 Deci pentru o suprafaţă plană care

are cel puţin o axă de simetrie momentul de inerţie centrifugal faţă de sistemul care

conţine acea axă de simetrie este nul

Momentul de inerţie polar al unei suprafeţei icircn raport cu un punct (pol) 119874 figura

42 este definit prin relaţia

1198680 = 119868119901 ≝ int 1205882 ∙ 119889119860

119860

= int(1199102 + 1199112) ∙ 119889119860

119860

= 119868119911 + 119868119910 (410)

unde este distanţa de la polul 119874 la elementul de arie 119889119860 Momentul de inerţie polar se

măsoară icircn [1198981198984] şi este totdeauna pozitiv

Momentul de inerţie polar este egal cu suma momentelor de inerţie faţă de două axe

perpendiculare oarecare şi care trec prin polul considerat

Razele de giraţie sau razele de inerţie sunt mărimi calculate icircn raport cu axele

secțiunii și definite de relaţiile

119894119911 ≝ radic119868119911119860 119894119910 = radic

119868119910

119860 (411)

Se exprimă icircn [119898119898] şi sunt icircntotdeauna pozitive Semnificația unei raze de inerție

este distanța la care dacă ar fi concentrată icircntreaga arie s-ar obține același moment de

inerție ca și cel calculat pentru aria reală

44 Modulul de rezistenţă

Modulul de rezistență se calculează icircn raport cu axele de referință sau icircn raport cu

un pol figura 42 și pot fi axiale (119882119911119882119910) sau polar (119882119901) și se determină numai pe baza

momentelor de inerţie cu relațiile figura 43

119882119911119898119894119899 ≝119868119911119910119898119886119909

119882119911119898119886119909 ≝119868119911119910119898119894119899

(412)

119882119910119898119894119899 ≝119868119910

119911119898119886119909 119882119910119898119886119909 ≝

119868119910

119911119898119894119899 (413)

119882119901 ≝119868119901

120588119898119886119909 (414)

unde

119910119898119886119909 119910119898119894119899 reprezintă distanţa de la axa 119874119911 la punctele extreme cele mai

depărtate respectiv cele mai apropiate ale suprafeţei de această axă

119911119898119886119909 119911119898119894119899 reprezintă distanţa de la axa 119874119910 la punctele extreme cele mai

depărtate respectiv cele mai apropiate ale suprafeţei de această axă

120588119898119886119909 reprezintă distanța maximă de la polul 119874 la punctul secțiunii cel mai

icircndepărtat de acesta

Fig 43 Suprafață dreptunghiulară cu două arii elementare 119889119860

Modulele de rezistenţă se exprimă icircn [1198981198983] şi sunt icircntotdeauna pozitive

Explicația este aceea că momentele de inerție care intră icircn relațiile de definiție sunt

pozitive iar distanțele la punctele extreme sunt pozitive (119910119898119886119909 119910119898119894119899 119911119898119886119909 119911119898119894119899 120588119898119886119909 se

iau icircn valoare absolută)

Icircn cazul suprafeţelor compuse modulul de rezistenţă nu se obţine prin icircnsumarea

algebrică a modulelor de rezistenţă ale suprafeţelor simple componente ci numai prin

intermediul momentului de inerţie axial calculat pentru icircntreaga secțiune

Ca și momentele de inerție modulele de rezistență se calculează numai pentru

sistemele de axe centrale

45 Momente de inerţie şi module de rezistenţă pentru suprafeţe simple

451 Secțiune dreptunghiulară

Fie suprafaţa dreptunghiulară din figura 44 de icircnălțime ℎ și lățime 119887 pe care se

consideră suprafaţă elementară de arie 119889119860 = 119887119889119910 la distanța 119910 de axa 119862119911 sistemul de

axe 119911119862119910 trece prin centrul secțiunii iar axele sunt axe de simetrie pentru dreptunghi

Fig 44 Suprafață dreptunghiulară

Pe baza relațiilor de definiți a momentului de inerție 119868119911 se obține

119868119911 ≝ int 1199102 ∙ 119889119860

119860

= int 1199102 ∙ 119887 ∙ 119889119910 = 2int 1199102 ∙ 119887 ∙ 119889119910 = 2 ∙ 119887 ∙1199103

3|ℎ 2frasl

0rArr

ℎ 2frasl

0

ℎ 2frasl

minusℎ 2frasl

rArr 119868119911 =119887 ∙ ℎ3

12

(415)

Analog pentru un element de arie 119889119860 = ℎ ∙ 119889119911 paralel cu axa 119862119910 situat la distanța

119911 de axa 119862119910

119868119910 ≝ int 1199112 ∙ 119889119860

119860

= int 1199112 ∙ ℎ ∙ 119889119911 = 2int 1199112 ∙ ℎ ∙ 119889119910 = 2 ∙ ℎ ∙1199113

3|119887 2frasl

0rArr

119887 2frasl

0

119887 2frasl

minus119887 2frasl

rArr 119868119910 =1198873 ∙ ℎ

12

(416)

Deoarece axele 119862119911 și 119862119910 sunt axe de simetrie momentul de inerție centrifugal este

119868119911119910 = 0 (417)

Pentru un pătrat avacircnd laturile egale (ℎ = 119887 = 119886) momentele de inerţie faţă de

axele centrale au expresia

119868119911 = 119868119910 =1198864

12 (418)

Modulele de rezistență axiale se calculează cu relațiile de definiție ținacircnd cont că

distanțele pacircnă la fibrele extreme sunt

119910119898119886119909 = 119910119898119894119899 =ℎ

2 119911119898119886119909 = 119911119898119894119899 =

119887

2 (419)

Obținem

119882119911119898119894119899 = 119882119911119898119886119909 =119868119911

119910119898119886119909119898119894119899=119887 ∙ ℎ3

12frasl

ℎ2frasl

=119887 ∙ ℎ2

6

119882119910119898119894119899 = 119882119910119898119886119909 =119868119910

119911119898119886119909119898119894119899=1198873 ∙ ℎ

12frasl

1198872frasl

=1198872 ∙ ℎ

6

(420)

452 Suprafaţă circulară

Din motive de simetrie pentru suprafeţele circulare momentele de inerţie faţă de

orice diametru (care reprezintă şi axe centrale) sunt aceleaşi

Considerăm o secțiune circulară plină cu diametrul 119889 și centrul de greutate 119862 Prin

centrul de greutate 119862 trece sistemul de axe ortogonal 119911119862119910 figura 45

Fig 45 Suprafață circulară

La distanța de centrul de greutate 119862 vom lua un element de suprafață mic de arie

(119889119860) de forma unui inel de grosime 119889 Elementul de arie 119889119860 are expresia

119889119860 = (2 ∙ 120587 ∙ 120588) ∙ (119889120588)

Pornind de la relația de definiție a momentului de inerție polar obținem

119868119901 ≝ int 1205882 ∙ 119889119860

119860

= int 1205882 ∙ (2 ∙ 120587 ∙ 120588) ∙ 119889120588

119903=119889 2frasl

0

= 2 ∙ 120587 ∙1205884

4|119889 2frasl0 rArr

rArr 119868119901 =120587 ∙ 1198894

32

(421)

Secțiunea este perfect simetrică deci sunt valabile relațiile

119868119911 = 119868119910 rArr 119868119901 = 119868119911 + 119868119910 = 2 ∙ 119868119911 = 2 ∙ 119868119910 =119868119901

2=120587 ∙ 1198894

64 (422)

Și modulele de rezistenţă faţă de orice diametru sunt egale şi se calculează cu

relaţiile

119882119911 = 119882119910 =1198681199111198892frasl=120587 ∙ 1198893

32 (423)

Modulul de rezistenţă polar este

119882119901 =1198681199011198892frasl=120587 ∙ 1198893

16 (424)

453 Secţiune inelară

Calculul momentelor de inerţie axiale pentru o secţiune inelară avacircnd diametrul

interior 119889 şi diametrul exterior 119863 se determină analog pentru suprafaţa circulară plină cu

observaţia că integrala pentru calculul momentului de inerție polar 119868119901 se face icircntre

limitele 119903 = 119889 2frasl şi R= 1198632frasl (icircntre raza interioară 119903 şi raza exterioară 119877) figura 46

Se obţin relaţiile

119868119901 =120587 ∙ 1198634

32∙ [1 minus (

119889

119863)4

] =120587 ∙ 1198634

32∙ (1 minus 1198964) (425)

119868119910 = 119868119910 =120587 ∙ 1198634

64∙ [1 minus (

119889

119863)4

] =120587 ∙ 1198633

64∙ (1 minus 1198964) (426)

Fig 46 Secțiune inelară

119882119901 =120587 ∙ 1198633

16∙ [1 minus (

119889

119863)4

] =120587 ∙ 1198633

16∙ (1 minus 1198964) (427)

119882119911 = 119882119910 =120587 ∙ 1198633

32∙ [1 minus (

119889

119863)4

] =120587 ∙ 1198633

32∙ (1 minus 1198964) (428)

unde 119896 = 119889119863frasl

46 Variaţia momentelor de inerţie faţă de axe paralele

( Relațiile lui STEINER)

Se consideră o suprafaţă oarecare de arie 119860 cu elementul de arie 119889119860 și un sistemul

de axe central 119911119862119910 faţă de care se cunosc momentele de inerţie 119868119911 119868119910 119868119911119910 şi considerăm

un sistem de axe 11991111198741199101 paralele cu sistemul central figura 47 Se pune problema

determinării momentele de inerţie 1198681199111 1198681199101 11986811991111199101 faţă de sistemul de axe paralel cu sistemul

central 11991111198741199101 axe aflate la distanţele 119910119862 = 119888 respectiv 119911119862 = 119889 de acesta

461 Momente de inerţie axiale

Pe baza relaţiilor de definire şi a notaţiilor din figura 42 pentru momentele de

inerţie faţă de axele 1198741199111 1198741199101 se poate scrie

1198681199111 = int 11991012 ∙ 119889119860

119860

= int(119910 + 119888)2 ∙ 119889119860

119860

= int 1199102 ∙ 119889119860

119860

+ 2 ∙ 119888 ∙ int 119910 ∙ 119889119860

119860

+

+1198882int 119889119860

119860

rArr 1198681199111 = 119868119911 + 2 ∙ 119888 ∙ 119878119911 + 1198882 ∙ 119860 hArr 1198681199111 = 119868119911 + 119888

2 ∙ 119860

(429)

Fig 47 Variaţia momentelor de inerţie față de axe paralele

S-a ajuns la relația (429) deoarece momentul static 119878119911 este nul deoarece axa 119862119885

este axă centrală

Pentru momentul de inerție axial icircn raport cu axa 1198741199101 se obține

1198681199101 = int 11991112 ∙ 119889119860

119860

= int(119911 + 119889)2 ∙ 119889119860

119860

= int 1199112 ∙ 119889119860

119860

+ 2 ∙ 119889 ∙ int 119911 ∙ 119889119860

119860

+

+1198892 ∙ int 119889119860

119860

rArr 1198681199101 = 119868119910 + 2 ∙ 119889 ∙ 119878119910 + 1198892 ∙ 119860 hArr 1198681199101 = 119868119910 + 119889

2 ∙ 119860

(430)

Pentru momentul de inerție centrifugal obținem

11986811991111199101 = int 1199101 ∙ 1199111 ∙ 119889119860

119860

= int(119910 + 119888) ∙ (119911 + 119889) ∙ 119889119860

119860

= int 119910 ∙ 119911 ∙ 119889119860 +

119860

+119888 ∙ int 119911 ∙ 119889119860

119860

+ 119889 ∙ int 119910 ∙ 119889119860

119860

rArr 11986811991111199101 = 119868119911119910 + 119888 ∙ 119889 ∙ 119860

(431)

Deoarece

int 119911 ∙ 119889119860

119860

= 119878119910 = 0 int 119910 ∙ 119889119860

119860

= 119878119911 = 0 int 119910 ∙ 119911 ∙ 119889119860

119860

= 119868119911119910

Relaţiile (429) şi (430) arată că momentul de inerţie faţă de o axă oarecare

este egal cu momentul de inerţie faţă de o axă paralelă cu ea trecacircnd prin centrul de

greutate la care se adaugă produsul dintre aria suprafeţei şi pătratul distanţei dintre

cele două axe

Din relaţiile (429) și (430) rezultă de asemenea că momentul de inerţie faţă de o

axă centrală (care trece prin centrul de greutate) este cel mai mic dintre infinitatea de

momente de inerţie obținute faţă de alte axe paralele cu ea

Relaţia (431) arată de asemenea că momentul de inerţie centrifugal faţă de un

sistem de axe oarecare este egal cu momentul de inerţie centrifugal faţă de un sistem

paralele cu el trecacircnd prin centrul de greutate a suprafeţei la care se adaugă produsul

dintre aria suprafeţei şi distanţele dintre axele sistemelor respective

Icircn literatura de specialitate relaţiile (429) (430) şi (431) sunt cunoscute sub

numele de relaţiile lui Steiner

47 Variaţia momentrlor de inerţie faţă de axe rotite

Direcţii principale şi momente de inerţie principale

Fie suprafaţa plană din figura 48 de arie 119860 pe care considerăm o suprafaţă

elementară de arie 119889119860 Pentru sistemul de axe 119911119874119910 se cunosc momentele de inerţie

119868119911 119868119910 119868119911119910 şi vom determina relaţiile de calcul pentru momentele de inerţie afererent unui

sistem de axe 11991111198741199101 rotit cu un unghi faţă de sistemul central

Faţă de sistemul de axe 11991111198741199101 elementul de arie 119889119860 are coordonatele

1199101 = 119875119877 = 119875119876 minus 119877119876 = 119910 ∙ cos 120572 minus 119911 ∙ sin 120572

1199111 = 119873119872 = 119873119875 minus 119875119872 = 119911 ∙ cos 120572 + 119910 ∙ sin 120572 (432)

Fig 47 Variaţia momentelor de inerţie față de axe rotite

Pe baza relaţiilor de calcul ale momentelor de inerţie şi a notaţiilor din figura 42

şi ale relaţiilor (432) momentele de inerţie faţă de sistemul de axe rotit 11991111198741199101 sunt

1198681199111 =119868119911 + 119868119910

2+119868119911 minus 119868119910

2∙ cos 2120572 minus 119868119911119910 ∙ sin 2120572 (433)

1198681199101 =119868119911 + 119868119910

2minus119868119911 minus 119868119910

2∙ cos 2120572 + 119868119911119910 ∙ sin 2120572 (434)

11986811991111199101 =119868119911 minus 119868119910

2∙ sin 2120572 + 119868119911119910 ∙ cos 2120572 (435)

Din relaţiile 433divide435 se observă că icircntre momentele de inerţie axiale şi cele

polare există relaţia

1198681199111 + 1198681199101 = 119868119911 + 119868119910 = 119868119901 (436)

adică suma momentelor de inerţie axiale icircn raport cu orice pereche de axe ortogonale

care trec printr-un pol dat este o constantă şi egală cu momentul de inerţie polar

Prin rotirea sistemului de axe din relaţiile 433divide435 rezultă că momentele de inerţie

variază icircnsă suma lor rămacircne constantă deci există o poziţie a sistemului de axe pentru

care momentele de inerţie au valori extreme maxim respectiv minim

471 Direcţii principale de inerţie

Valoarea unghiului 120572 pentru care momentele de inerţie axiale au valori extreme

este

1205721 =1

2∙ 119886119903119888119905119886119899 (minus

2 ∙ 119868119911119910

119868119911 minus 119868119910) (437)

Poziţia celeilalte direcţii este perpendiculară pe cea dată de unghiul 1205721

Din relaţia (437) se constată că faţă de aceste direcţii rotite pentru care momentele

de inerţie axiale prezintă valori extreme momentul de inerţie centrifugal 11986811991111199101este nul

Atunci se poate afirma că momentele de inerţie axiale au valori extreme icircn raport cu

direcţiile faţă de care momentul de inerţie centrifugal este nul Aceste direcţii se numesc

direcţii principale iar momentele de inerţie faţă de aceste direcţii poartă numele de

momente de inerţie principale

Icircn calculele de rezistenţă interesează icircn mod special poziţia direcţiilor principale

care trec prin centrul de greutate al suprafeţei aşa numitele direcţii principale centrale şi

evident momentele de inerţie principale centrale

Direcţiile principale de inerţie se notează cu 1 respectiv 2 Axa principală 1

corespunde direcţiei faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea maximă iar

axa principală 2 pentru direcţia faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea

minimă

472 Momente de inerţie principale

Momentele de inerţie principale se notează cu litera 119868 la care se pune indicele 1

sau 2 după cum valoarea acestuia este maximă sau minimă deci avem un moment de

inerţie principal 1 (notat 1198681) respectiv moment de inerţie principal 2 (notat 1198682)

Expresiile pentru momentele de inerţie principale sunt

11986812 =119868119911 + 119868119910

2plusmn1

2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)

2+ 4 ∙ (119868119911119910)

2 (438)

Dacă momentul de inerţie centrifugal este negativ (119868119911119910 lt 0) direcţia principală

care trece prin primul cadran (definit de sistemul 119911119862119910) este direcţia principală 120783

Pentru suprafeţele cu cel puţin o axă de simetrie direcţiile centrale 119862119911 119862119910 sunt şi

direcții principale de inerţie și evident momentele de inerţie axiale 119868119911 119868119910 sunt momente

de inerţie principale

48 Caracteristici mecanice ale metalelor

Alegerea materialului pentru confecţionarea unei anumite piese se face şi pe baza

aşa numitelor caracteristici mecanice pe care le prezintă materialul Cunoaşterea acestor

caracteristici mecanice are loc numai pe baza unor icircncercări mecanice care să scoată icircn

evidenţă comportarea materialului icircn condiţii de solicitare

Cea mai utilizată icircncercare icircn urma căreia se pun icircn evidenţă caracteristicile

mecanice ale unui material este icircncercarea la tracţiune

481 Icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general

Icircncercarea la tracţiune a oţelului ca de altfel toate icircncercările de materiale este

standardizată

Icircn cele ce urmează se va prezenta numai partea care interesează strict din punct

de vedere al caracteristicilor mecanice ale oţelului

Epruveta de diametru iniţial 1198890 pentru icircncercarea la tracţiune are o porţiune de

lungime 1198710 numită baza de măsurare pe care se măsoară lungirea acesteia sub acţiunea

solicitării

Icircn funcţie de raportul dintre baza de măsurare 1198710 şi diametrul iniţial 1198890 epruvetele

utilizate pentru icircncercări sunt

epruvete normale (scurte) cacircnd 11987101198890 = 5

epruvete lungi cacircnd 11987101198890 = 10

Icircn timpul icircncercării la diferite valori ale forţei 119865 se măsoară lungirea bazei de

măsurare

∆119871 = 120575 = 119871 minus 1198710 (439)

unde

119871 este dimensiunea bazei de măsurare la un moment dat

Curba forţă-lungire (119865 minus ) icircnregistrată icircn urma icircncercării reprezintă curba

caracteristică la tracţiune

La icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general diagrama caracteristică care se

obţine are forma din figura 48

Curba caracteristică la tracţiune depinde de lungimea bazei de măsurare Pentru

icircnlăturarea acestui neajuns curba caracteristică se reprezintă icircn coordonate şi definite

astfel

120590 =119865

1198600 휀 =

120575

1198710 (440)

unde

1198600 este aria iniţială a secţiunii transversale a epruvetei (icircnainte de solicitare) icircn

zona bazei de măsurare

1198600 =120587 ∙ 1198890

2

4

Deoarece mărimile icircn care se reprezintă curba caracteristică la tracţiune sunt

raportate la aria iniţială a secţiunii transversale (mărimi specifice) curba poartă numele

de curbă caracteristică convenţională la tracţiune

Fig 48 Curba caracteristică convenţională la tracțiune

Pe curba caracteristică convenţională la tracţiune figura 48 se pot stabili o serie

de puncte cărora le corespund mai multe mărimi importante

Ordonata punctului A pacircnă unde curba caracteristică convenţională este linie

dreaptă se numeşte limita de proporţionalitate a materialului 120590119901(1205901) Porţiunea 119874119860 este

zona de proporţionalitate a curbei caracteristice pe acest domeniu este valabilă legea lui

Hooke care exprimă o proporţionalitate icircntre tensiune şi deformaţie specifică

120590 = 119864 ∙ 휀 (441)

unde

119864 = reprezintă panta porţiunii liniare a curbei convenționale caracteristice

la tracțiune Caracteristica de material 119864 se numeşte modul de elasticitate longitudinal

(modulul lui Young)

Ordonata punctului 119861 pacircnă unde materialul se comportă perfect elastic adică

după descărcare icircşi recapătă dimensiunea iniţială 1198710 se numeşte limita de elasticitate

120590119890(119877119890) Icircn realitate nici un material nu are comportare perfect elastică sub acţiunea

solicitărilor el capătă deformaţii permanente (remanente plastice)

După punctul 119861 urmează o porţiune 119861119862119863 icircn care cu toate că icircncărcarea

continuă forţa nu mai creşte avacircnd mici oscilaţii icircn jurul unei valori Se spune că icircn

această porţiune materialul curge iar intervalul 119861119862119863 este un palier de curgere Tensiunea

corespunzătoare palierului de curgere se numeşte limită de curgere aparentă 120590119888(119877119888) Limita de curgere aparentă se calculează cu relaţia

120590119888 =1198651198881198600 (442)

unde

119865119888 reprezintă valoarea forţei icircnregistrată icircn momentul curgerii materialului

După punctul 119863 curba caracteristică are un traseu ascendent pacircnă icircn punctul 119864

Porţiunea 119863119864 este numită zonă de icircntărire (ecruisare) Icircn zona de ecruisare unde se

produc deformaţii plastice semnificative legea lui Hooke nu mai este valabilă La

descărcare relaţia dintre tensiunea şi deformaţia specifică este liniară paralelă cu

porţiunea liniară a curbei caracteristice (dreapta 119872119873)

Deformaţia totală (휀119905) are două componente una elastică (휀119890) şi una plastică (휀119901)

Ordonata punctului 119864 reprezintă rezistenţa de rupere 120590119903(119877119898) a materialului

care se poate calcula cu relaţia

120590119903 = 119877119898 =1198651198981198861199091198600

(443)

unde

119865119898119886119909 reprezintă valoarea maximă a forţei icircnregistrată icircn timpul icircncercării

La atingerea valorii 119865119898119886119909 (punctul 119864) icircntr-un anumit loc al epruvetei secţiunea

icircncepe să se micşoreze (se produce gacirctuirea) continuacircnd pacircnă cacircnd se produce ruperea

totală (punctul 119865)

Dacă după ruperea epruvetei cele două părţi rezultate se aşează cap la cap şi se

măsoară dimensiunea bazei de măsurare 119871119906 (lungimea ultimă) se determină alungirea la

rupere sau lungirea specifică la rupere 휀119903

휀119903 =119871119906 minus 11987101198710

=∆119871

1198710=120575

1198710 (444)

De obicei alungirea se exprimă icircn procente şi se notează cu 119860119899 unde 119899 reprezintă

numărul dat de raportul 11987101198890 (epruvete normale 119899 = 5 epruvete lungi 119899 = 10)

119860119899 =119871119906 minus 11987101198710

∙ 100 [] (445)

Altă mărime care se determină la icircncercarea la tracţiune este gacirctuirea la rupere

(exprimată de obicei icircn procente) şi definită de relaţia

119885 =1198600 minus 1198601199061198600

∙ 100 [] (446)

Mărimile determinate limita de proporţionalitate modulul de elasticitate

longitudinal limita de elasticitate limita de curgere aparentă rezistenţa de rupere

alungirea la rupere şi gacirctuirea la rupere sunt cunoscute ca fiind caracteristici mecanice

ale materialului

Din curba caracteristică convenţională observăm faptul că ruperea (punctul 119865 din

figura 48 se produce la o tensiune mai mică decacirct cea corespunzătoare punctului 119864 Dacă

icircnsă forţa din timpul icircncercării s-ar raporta la aria secţiunii din momentul icircnregistrării

forţei (care este mai mică decacirct cea iniţială 1198600) s-ar obţine aşa numita curbă

caracteristică reală a materialului (traseul 1198741198601198611198621198631198651 din figura 48) La curba

caracteristică reală ruperea se produce icircn punctul 1198651 la o icircncărcare mai mare decacirct cea

corespunzătoare punctului 119864 Icircnseamnă că rezistenţa reală la rupere este mai mare decacirct

rezistenţa la rupere dată de punctul 119864 din diagrama caracteristică convenţională

Dificultatea obţinerii diagramei caracteristice reale faţă de cea a diagramei caracteristice

convenţionale şi considerarea unei rezistenţe la rupere mai mică decacirct a celei reale face

icircn practică utilizarea pe scară mare a diagramei caracteristice convenţionale

Caracteristicile mecanice determinate pe baza curbei caracteristice convenţionale

sunt şi ele caracteristici mecanice convenţionale

Caracteristicile mecanice convenţionale limita de proporţionalitate convenţională

120590119901 limita de elasticitate convenţională 120590119890 limita de curgere convenţională 120590119888 şi rezistenţa

de rupere 120590119903 constituie tensiuni limită pentru un material Pe baza acestor caracteristici

de material se alege valoarea tensiunii admisibile 120590119886 (vezi paragraful 35) pentru

calculele de rezistenţă Cea mai utilizată stare limită pentru stabilirea tensiunii admisibile

120590119886 este limita de curgere convenţională 120590119888

120590119886 =120590119897119894119898119888

=120590119888119888 119904119886119906 120590119886 =

120590119903119888 (447)

Caracteristicile mecanice ale materialului sunt influenţate de o serie de factori

temperatura viteza de solicitare factorii tehnologici iar valorile lor sunt date icircn tabele și

diagrame

Aplicaţie Pentru suprafaţa plană compusă din două dreptunghiuri avacircnd

dimensiunile din figura 49a să se calculeze

a) centrul de greutate al secțiunii compuse 119910119866 119911119866

b) momentele de inerție axiale 119868119911 119868119910 și momentul de inerție centrifugal 119868119911119910

c) razele de inerție 119894119911 119894119910

d) modulele de rezistență 119882119911119898119894119899 119882119911119898119886119909 119882119910119898119894119899 119882119910119898119886119909

e) momentele de inerție principale 1198681 1198682 și direcțiile principale de inerție 1205721

f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 119878119911

Fig 49 Aplicație

Rezolvare Pentru rezolvare vom parcurge următoarele etape

icircmpărțim suprafața compusă icircn două suprafețe simple (dreptunghiuri) notate cu

① și respectiv ② figura 49b

poziționăm centrele de greutate a celor două suprafețe simple ① și respectiv ②

notate cu 1198661 și respectiv 1198662 figura 49c

poziționăm sistemele de axe de coordonate 119911111986611199101 pentru dreptunghiul ① și

119911211986621199102 pentru dreptunghiul ② aflate la intersecția diagonalelor figura 49c

poziționăm sistemele de axe de coordonate 11991101198741199100 ales arbitrar față de care

determinăm poziția centrului de greutate 119866 figura 49c

a) calculăm poziția centrului de greutate folosind relațiile (46) icircn care

1198601 = 6119905 ∙ 119905 = 61199052 1198602 = 4119905 ∙ 119905 = 41199052 119860 = 1198601 + 1198602 = 61199052 + 41199052 = 101199052

iar centrele de greutate 1198661 și respectiv 1198662 au coordonatele (față de sistemul 11991101198741199100)

1198661 1199101 = 3119905 1199111 = 05119905

1198662 1199102 = 051199051199112 = 3119905

cu acestea obținem

119910119866 =1198601 ∙ 1199101 + 1198602 ∙ 1199102

119860=61199052 ∙ 3119905 + 41199052 ∙ 05119905

101199052=201199053

101199052= 2119905

119911119866 =1198601 ∙ 1199111 + 1198602 ∙ 1199112

119860=61199052 ∙ 05119905 + 41199052 ∙ 3119905

101199052=151199053

101199052= 15119905

Poziționăm centrul de greutate 119866 al suprafeței compuse figura 49c

Fig 49 Aplicație

b) pentru determinarea momentelor de inerție axiale 119868119911 119868119910 și a momentului de

inerție centrifugal 119868119910119911 determinăm constantele 1198881 1198882 1198891 1198892 care intervin icircn relația lui

Stainer

1198881 = 1199101 minus 119910119866 = 3119905 minus 2119905 = 119905 1198882 = minus(119910119866 minus 1199102) = minus(2119905 minus 05119905) = minus15119905

1198891 = minus(119911119866 minus 1199111) = minus(15119905 minus 05119905) = minus119905 1198892 = 1199112 minus 119911119892 = 3119905 minus 15119905 = 15119905

Folosind relațiile lui Stainer (429) (430) și (431) calculăm momentele de

inerție axiale și centrifugale față de sistemul central 119911119866119866119910119866

119868119911 =sum(119868119911119894 + 1198881198942 ∙ 119860119894) = 1198681199111 + 1198881

2 ∙ 1198601 + 1198681199112 + 11988822 ∙ 1198602

119868119910 =sum(119868119910119894 + 1198891198942 ∙ 119860119894) = 1198681199101 + 1198891

2 ∙ 1198601 + 1198681199102 + 11988922 ∙ 1198602

119868119911119910 =sum(119868119911119894119910119894 + 119888119894 ∙ 119889119894 ∙ 119860119894) = 11986811991111199101 + 1198881 ∙ 1198891 ∙ 1198601 + 11986811991121199102 + 1198882 ∙ 1198892 ∙ 1198602

1198681199111 = (119887 ∙ ℎ3

12) =

119905 ∙ (6119905)3

12= 181199054 1198681199112 = (

119887 ∙ ℎ3

12) =

4119905 ∙ 1199053

12= 031199054

1198681199101 = (1198873 ∙ ℎ

12) =

1199053 ∙ 6119905

12= 051199054 1198681199102 = (

1198873 ∙ ℎ

12) =

(4119905)3 ∙ 119905

12= 531199054

11986811991111199101 = 11986811991121199102 = 0 deoarece cele două triunghiuri au cel puțin o axă de simetrie

Cu acestea momentele de inerție axiale și momentul de inerție centrifugal devin

119868119911 = 181199054 + 1199052 ∙ 61199052 + 031199054 + (minus15119905)2 ∙ 41199052 = 3331199054

119868119910 = 051199054 + (minus119905)2 ∙ 61199052 + 531199054 + (15119905)2 ∙ 41199052 = 2081199054

119868119911119910 = 0 + 119905 ∙ (minus119905) ∙ 61199052 + 0 + (minus15119905) ∙ (15119905) ∙ 41199052 = minus151199054

c) razele de inerție sau de girație față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910

se calculează cu relațiile (411)

119894119911 = radic119868119911119860= radic

3331199054

101199052= 182119905 119894119910 = radic

119868119910

119860= radic

2081199054

101199052= 144119905

d) modulele de rezistență față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910 se

calculează cu relațiile (412) și (413)

Avacircnd icircn vedere figura 419c obținem

119910119898119886119909 = 6119905 minus 119910119866 = 6119905 minus 2119905 = 4119905 119910119898119894119899 = minus119910119866 = minus2119905

119911119898119886119909 = 5119905 minus 119911119866 = 5119905 minus 15119905 = 35119905 119911119898119894119899 = minus119911119866 = minus15119905

Se obține astfel

119882119911119898119894119899 =119868119911

|119910119898119886119909|=3331199054

4119905= 8331199053

119882119911119898119886119909 =119868119911

|119910119898119894119899|=3331199054

2119905= 16651199053

119882119910119898119894119899 =119868119910

|119911119898119886119909|=2081199054

35119905= 5941199053

119882119910119898119886119909 =119868119910

|119911119898119894119899|=2081199054

15119905= 13871199053

e) momentele de inerție principale 1198681 și respectiv 1198682 se calculează cu relațiile

(438)

11986812 =119868119911 + 119868119910

2plusmn1

2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)

2+ 4 ∙ (119868119911119910)

2=

=3331199054 + 2081199054

2plusmn1

2∙ radic(3331199054 minus 2081199054)2 + 4 ∙ (minus151199054)2 = 27051199054 plusmn 16251199054

De unde obținem

1198681 = 27051199054 + 16251199054 = 4331199054

1198682 = 27051199054 minus 16251199054 = 1081199054

Prima direcție principală de inerție 1 face cu axa centrală 119866119911 unghiul 1205721 dat de

relația (437)

1205721 =1

2∙ arctan (minus

2 ∙ 119868119911119910

119868119911 minus 119868119910) =

1

2∙ arctan [minus

2 ∙ (minus151199054)

3331199054 minus 2081199054] =33 70

Deoarece 1205721 gt 0 rotirea axelor se face acircn sens antiorar acelor de ceasornic figura

49d

Poziția axe principale 2 față de care momentul de inerție are valoarea minimă

1198682 = 119868119898119894119899 este dată de unghiul

1205722 = 1205721 + 900 = 33 70 + 900 = 123 70

f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 se determină cu relația

(45)

1198781199111198602 = 1198602 ∙ 1198882 = 41199052 ∙ (minus15119905) = minus61199053

VA + VB minus R minus FV = 0 rArr 42 + 28 minus 60 minus 10 = 0 (A5)

Ultima egalitate demonstrează că reacţiunile verticale au fost calculate corect

Din cele de mai sus rezultă ordinea firească pentru determinarea reacţiunilor icircn

cazul grinzilor simplu rezemate

sumXi = 0

(sumM)A = 0

(sumM)B = 0

(A6)

iar pentru verificarea componentelor verticale VA şi VB se folosește ecuaţia sumY = 0

b) La stabilirea funcţiilor de eforturi se parcurg icircn general etapele următoare

se notează (numeric sau literal după preferinţă) secţiunile care delimitează

domeniile (intervalele sau tronsoanele) pe care eforturile nu-şi modifică funcţiile (au legi

unice de variaţie)

pe fiecare domeniu se marchează secţiunea imaginară icircn care se stabilesc

funcţiile eforturilor

secţiunea astfel aleasă separă icircn două părţi grinda şi anume porţiunea din stacircnga

şi porţiunea din dreapta secţiunii

se va considera parcursă (şi icircndepărtată) acea parte pe care acţionează mai puţine

sarcini exterioare pentru că acestea vor interveni icircn expresiile funcţiilor de eforturi

poziţiile secţiunilor imaginare se vor determina prin variabilele x1 ⋯ xn (unde

n reprezintă numărul domeniilor de variaţie) cu originea fixată icircn capătul intervalului şi

sensul de parcurgere spre partea considerată rămasă

Grinda prezentată icircn figura 220 are trei domenii de variaţie pentru funcţiile de

eforturi după cum urmează (A-1) (2-B) şi (B-1)

Domeniul (A-1) x1 isin [0 a = 6 m] Porţiunea parcursă şi considerată icircndepărtată este cea de coordonată x1 pe care

acţionează reacţiunile HA şi VA precum şi rezultanta parţială a sarcinii distribuite R1 =p ∙ x1

Funcţia forţă axială Nx are expresia

Nx(x1) = NAminus1 = minusHA = minus173 [kN] = const

(A7)

Funcţia forţă tăietoare Ty are exspresia

Ty(x1) = TAminus1 = VA minus R1 = VA minus p ∙ x1 (A8)

care reprezintă o variaţie liniară de variabilă x1 Se calculează valorile forţei tăietoare la

limitele intervalului de variaţie

- pentru x1 = 0 Ty(x1 = 0) = TA = VA = 42 [kN]

- pentru x1 = a = 6 [m] Ty(x1 = 6) = T1 = VA minus p ∙ a = minus18 [kN]

Observaţie Aşa cum a fost stabilită secţiunea fictivă poziţionată prin coordonata

x1 sar părea că rezultanta R ar trebui luată icircn calculul lui Ty(x1) Acest lucru ar fi greşit

pentru că R = p ∙ a reprezintă rezultanta sarcinii distribuite pe toată lungimea a iar

rezultanta pe porţiunea parcursă de lungime x1 este R1 = p ∙ x1 ne R = p ∙ a

Cu valorile obţinute se trasează diagramele forţelor axială Nx = f(x) şi tăietoare

Ty = f(x) figura 220 Din diagrama forţei tăietoare şi din valorile obţinute analitic se

observă că forţa tăietoare icircşi schimbă semnul pe intervalul analizat deci se anulează pe

acest interval Poziţia secţiunii unde Ty se anulează se determină din ecuaţia

Ty(x1) = 0 rArr VA minus p ∙ x1 = 0 (A9)

cu soluţia x1lowast = ξ = 42 [m] Important de reamintit că icircn această secţiune momentul

icircncovoietor va avea un extrem local adică Miz are un extrem la Ty = 0

Funcţia moment icircncovoietor Miz are expresia

Miz(x1) = VA ∙ x1 minus R1 ∙x12= VA ∙ x1 minus (p ∙ x1) ∙

x12

(A10)

Se observă că funcţia moment icircncovoietor de variabilă x1 are o variaţie parabolică

(gradul al II-lea) Pentru reprezentarea grafică a funcţiei parabolice se calculează valorile

momentului icircncovoietor icircn trei secţiuni

- pentru x1 = 0 Miz(x1 = 0) = MA = 0 [kN ∙ m] - pentru x1 = a = 6 [m] Miz(x1 = 6) = M1 = 72 [kN ∙ m] - pentru x1

lowast = ξ = 42 [m] Miz(x1lowast = ξ = 42 [m]) = Mimax = 882 [kN ∙ m]

Cu acestea se trasează diagrama Miz = f(x) pe intervalul (A-1) figura 220

Observaţie Icircn unele cazuri pe un anumit interval forţa tăietoare nu se anulează

şi momentul icircncovoietor nu are un extrem local Icircn acest caz pentru reprezentarea

variaţiei parabolice a momentului icircncovoietor se va studia semnul derivatei a doua a

funcţiei Miz = f(x1) acesta determinacircnd convexitatea curbei momentului icircncovoietor

Domeniul (2-B) x2 isin [0 c = 4 m] Porţiunile din grindă libere (nerezemate) la un capăt se numesc console iar

stabilirea funcţiilor de eforturi devine mai simplă dacă se consideră icircndepărtată partea din

dreapta secţiunii prin schimbarea sensului pozitiv al axei x Astfel se obţin funcţiile eforturilor

Funcţia forţă axială Nx are expresia

Nx(x2) = N2minusB = minusFH = minus173 [kN] = const

(A11)

Funcţia forţă tăietoare Ty are exspresia

Ty(x2) = T2minusB = FV = 10 [kN] = const (A12)

Funcţia moment icircncovoietor Miz are expresia

Miz(x2) = minusFV ∙ x2 rArr Miz(x2 = 0) = M2 = 0 [kN ∙ m]

Miz(x2 = 4) = MB = minus40 [kN ∙ m] (A13)

variaţie liniară (gradul I)

Domeniul (B-1) x3 isin [0 b = 4 m] Pe acest domeniu se acceptă parcurgerea grinzii de la dreapta adică se consideră

icircndepărtată partea din dreapta secţiunii fictive pentru că are doar două sarcini aplicate F

şi VB faţă de partea din stacircnga secţiunii pe care sunt aplicate trei sarcini p VA şi M0

Astfel se obţin funcţiile eforturilor

Funcţia forţă axială Nx are expresia

Nx(x3) = NBminus1 = minusFH = minus173 [kN] = const

(A14)

Funcţia forţă tăietoare Ty are exspresia

Ty(x3) = TBminus1 = FV minus VB = minus18 [kN] = const (A15)

Funcţia moment icircncovoietor Miz are expresia

Miz(x3) = minusFV ∙ (x3 + c) + VB ∙ x3 rArr

rArr Miz(x3 = 0) = MB = minus40 [kN ∙ m]

Miz(x3 = 4) = M1 = 32 [kN ∙ m]

(A16)

variaţie liniară (gradul I)

Diagramele eforturilor sunt prezentate icircn figura 220

c) Relaţiile diferenţiale dintre eforturi şi sarcini se analizează pe diagramele

eforturilor după cum urmează

sarcina distribuită nu are componentă orizontală adică ph = 0 şi icircn

conformitate cu formula (211) rezultă că Nx = const pe toată lungimea grinzii fapt care

a rezultat din funcţia şi reprezentarea diagramei forţei axiale

pe intervalul (A-1) sarcina distribuită are doar componenta verticală pozitivă

pV = p gt 0 prin urmare forţa tăietoare scade (are panta negativă dTy 119889119909frasl = minusp vezi

relaţia 210) iar momentul icircncovoietor avacircnd derivata a doua negativă d2M119894119911 1198891199092frasl =minuspare convexitatea curbei orientată spre sensul pozitiv al axei momentului Miz adică icircn

jos

pe domeniile (2-B) şi (B-1) deoarece pv = 0 forţa tăietoare Ty este constantă

iar momentul icircncovoietor Miz variază liniar

referitor la relaţia (212) pe porţiunile unde Ty gt 0 momentul Miz este

monoton crescător pe porţiunile unde Ty lt 0 momentul Miz este monoton descrescător

iar icircn secţiunea icircn care Ty = 0 momentul icircncovoietor are un extrem local Mξ =

882 [kN ∙ m] icircn diagrama forţei tăietoare discontinuităţile (salturile) se produc icircn secţiunile

unde acţionează VA VB şi FV iar icircn diagrama momentului icircncovoietor se produce un

singur salt icircn secţiunea icircn care este aplicat M0

se poate scrie

Mξ = suprafața diagramei Ty |ξ0=1

2∙ 42 ∙ 42 = 882 [kN ∙ m]

sau parcurgacircnd grinda de la dreapta la stacircnga rezultă

MB = minussuprafața diagramei Ty |c0= minus10 ∙ 4 = minus40 [kN ∙ m]

Toate aspectele analizate teoretic referitoare la relaţiile diferenţiale dintre eforturi

şi sarcini se regăsesc icircn diagramele de eforturi din figura 220 ceea ce icircnseamnă că

diagramele au fost reprezentate corect

3 TENSIUNI DEPLASĂRI ŞI DEFORMAŢII SPECIFICE

31 Tensiuni

Eforturile obținute icircn urma reducerii forțelor interioare icircn centrul de greutate al

secțiunii nu pot da informații asupra solicitării fiecărui punct al secțiunii respective Este

necesar să se cunoască modul cum se distribuie forțele interioare icircn fiecare punct al

secțiunii pentru a ști care este intensitatea maximă a solicitării Această intensitate

maximă se poate compara cu o valoare critică specifică materialului stabilindu-se astfel

dacă solicitarea este periculoasă sau nu

Mărimea care caracterizează solicitarea locală punctuală o vom denumi tensiune

și o vom defini icircn cele ce urmează Să considerăm partea din dreapta a unui corp solicitat

de forțele exterioare 1198651 1198652 și 1198653 obținută prin secționarea corpului și mărginită de fața

din dreapta Ad a secțiunii Pe secțiunea Ad vom considera un element de arie infinit mic

∆119860 caracterizat de normala la elementul de arie normală care are cosinușii directori

120573 și icircn raport cu un sistem de axe considerat fix Pe elementul infinit mic ∆119860 acționează

forțele interioare care au o rezultantă oarecare figura 31

Prin definiție tensiunea totală este

= lim∆119860rarr0

∆

∆119860 (31)

Tensiunea are aceeaşi direcţie cu forţa elementară ∆ iar mărimea ei este

determinată atacirct de mărimea forţei ∆ cacirct şi de orientarea suprafeţei ∆119860 faţă de direcţia

forţei

Tensiunea 119901 poate fi descompusă icircntr-o componentă orientată după direcţia

normalei la secţiune tensiunea normală notată cu 120590119909 şi o componentă icircn planul secţiunii

tensiunea tangenţială notată cu figura 32

= 119909 + 120591 (32)

Fig 31 Tensiunea totală Fig 32 Tensiunea normală și tangențială

La racircndul ei componenta tensiunii cuprinsă icircn planul secțiunii poate fi

descompusă după direcțiile axelor y și z

120591 = 120591119909119910 + 120591119909119911 (33)

Icircntre cele trei componente ale tensiunii totale care acționează pe elementul de arie

∆119860 este valabilă relația

1199012 = 1205901199092 + 120591119909119910

2 + 1205911199091199112 (34)

După sensul pe care icircl are tensiunea normală 120590 poate avea efect de tracţiune sau

de compresiune exercitat de către partea de corp icircnlăturată asupra părţii rămase Analog

tensiunea tangenţială 120591 poate avea efect de tăiere forfecare sau alunecare Pentru

componentele tensiunii tangențiale 120591119909119910 pe direcţia 119910 respectiv 120591119909119911 pe direcţia 119911 primul

indice indică axa pe care tensiunea este normală iar cel de-al doilea indice indică axa cu

care aceasta este paralel

Tensiunea este o mărime tensorială valoarea ei depinzacircnd atacirct de poziția

punctului icircn planul secțiunii cicirct și de orientarea planului de secționare deci de normala

Operaţiile vectoriale nu pot fi aplicate tensiunilor decacirct după ce acestea au fost icircnmulţite

cu ariile respective adică au fost transformate icircn forţe

Icircn literatura de specialitate mai ales icircn manualele mai vechi pentru noţiunea de

tensiune se mai foloseşte şi denumirea de efort specific

Dacă se consideră un alt element de arie ∆119860 cu centrul icircn același punct avacircnd ca

normală axa 119910 se vor obține alte tensiuni și anume

- 120590119910 este tensiunea normală (paralelă cu axa y)

- 120591119911119909 și 120591119910119911 sunt tensiuni tangențiale paralele cu axele 119909 și respectiv 119911 aflate icircn

planul care are ca normală axa 119910

Dacă icircn jurul unui punct dintr-un corp solicitat se consider un element de volum

infinit mic de forma unui cub icircn cazul cel mai general pe fețele sale vor acționa

tensiunile normale 120590119909 120590119910 și 120590119911 și respectiv tensiunile tangențiale 120591119909119910 120591119909119911 120591119910119909 120591119910119911 120591119911119909

și respectiv 120591119911119910 figura 33 Aceste tensiuni definesc starea de tensiune a punctului

observacircnd faptul că tensorul tensiune are 9 componente Dacă se consideră elementul

de volum finit ca fiind foarte mic se poate presupune că icircn interiorul său nu apar forțe

Ca urmare el va fi icircn echilibru sub acțiunea forțelor elementare produse de tensiunile de

pe fețele sale

Din condiția ca elementul să nu se rotească icircn jurul unor axe care trec prin centrul

său și sunt paralele cu axele sistemului 119909119874119910119911 rezultă

2 ∙ 120591119909119910 ∙ (119889119910 ∙ 119889119911) ∙119889119909

2= 2 ∙ 120591119910119909 ∙ (119889119909 ∙ 119889119911) ∙

119889119910

2 rArr 120591119909119910 = 120591119910119909 (35)

2 ∙ 120591119910119911 ∙ (119889119909 ∙ 119889119911) ∙119889119910

2= 2 ∙ 120591119911119910 ∙ (119889119909 ∙ 119889119910) ∙

119889119911

2 rArr 120591119910119911 = 120591119911119910 (36)

2 ∙ 120591119909119911 ∙ (119889119910 ∙ 119889119911) ∙119889119909

2= 2 ∙ 120591119911119909 ∙ (119889119909 ∙ 119889119910) ∙

119889119911

2 rArr 120591119909119911 = 120591119911119909 (37)

Relațiile (35divide37) 120591119909119910 = 120591119910119909 120591119910119911 = 120591119911119910 120591119909119911 = 120591119911119909 exprimă principiul dualității

tensiunilor tangențiale

Fig 33 Tensiunile normale și tangențiale pe fețele unui cub

Din condiția ca elementul considerat să nu se deplaseze icircn lungul axelor de

coordonate pe fețele opuse acționează aceleași tensiuni normale 120590119909 120590119910 și respectiv 120590119911

Definirea tensorului tensiune este posibilă dacă se cunosc cele 6 componente

independente ale acestuia aflate icircn trei plane perpendicular ce trec prin punctul respectiv

=

120590119909 120591119909119910 120591119909119911120591119910119909 120590119910 120591119910119911120591119911119909 120591119911119910 120590119911

Observaţii

Tensiunile se măsoară icircn [119873 1198982frasl ] (1119873 1198982frasl = 1 119875119886) sau icircn [119872119875119886]

(1 119872119875119886 = 106119875119886 = 106 119873

1198982 1 119872119875119886 = 1

119873

1198981198982)

Starea de tensiune dintr-un punct este considerată cunoscută dacă se cunosc

tensiunile 119901 care acționează pe infinitatea de elemente de suprafață ce trec prin punctual

considerat

Starea de tensiune a unui corp se consider cunoscută dacă se cunosc stările de

tensiune de pe infinitatea de puncte ale corpului considerat

32 Deplasări Deformaţii specifice

321 Deplasări

Aceste noțiuni sunt utile icircn analiza aspectului geometric al problemelor de rezistența

materialelor Deplasările care se analizează sunt cele datorate schimbării formei și

dimensiunilor corpurilor ca urmare a acțiunii forțelor exterioare și nu cele cinematice

posibile pentru solidul rigid care se poate deplasa cu anumită viteză și accelerație

Spre exemplu icircn figura 34a și figura 34b sub acțiunea forței 119865 tronsonul de

bară AB se deformează icircn timp ce tronsonul BC deși punctele sale au deplasări rămacircne

nedeformat (fiind nesolicitat) Toate punctele de pe axele barelor cu excepția celor din

icircncastrare (secțiunile A) au deplasări liniare De cele mai multe ori deformațiile barelor

datorate acțiunii forțelor exterioare se anulează la icircndepărtarea forțelor se spune că

deformațiile sunt elastice Secțiunile transversale ale barei din figura 34a se și rotesc icircn

raport cu pozițiile lor inițiale Spre exemplu secțiunea de căpăt cu centrul icircn C se rotește

cu unghiul

Fig 34 Deformațiile unei grinzi

Oricacirct de complexă ar fi delormația unui corp ea poate fi descrisă de lungiri sau

scurtări și de modificări ale unghiurilor inițiale

Deplasările măsoară schimbarea poziției unui punct al corpului și pot fi liniare

sau unghiulare

Prin deplasare liniară a unui punct se icircnțelege drumul parcurs de acest punct icircn

decursul procesului de deformație după o dreaptă suport dreapta 1198611198611 din figura 34a

Prin deplasare unghiulară se icircnțelege rotirea dintre segmentele de dreaptă

determinate de două puncte ale corpului icircnainte și după deformarea acestuia unghiul

pe care-l fac segmentele 119861119862 și 11986111198621 din figura 34a Această rotire se măsoară prin

unghiul pe care-l fac proiecțiile dreptelor ce conțin cele două segmente icircntr-un sistem

triortogonal

Icircn cazul cel mai general vectorul deplasare liniară se poate descompune icircntr-un

sistem triortogonal icircn trei componente 119906 119907 și 119908 figura 35

Fig 35 Deplasarea liniară

Se consideră acum un corp solid raportat la un sistem de axe ortogonal 119909119874119910119911

figura 35 după deformarea corpului un punct oarecare 119870 al acestuia se deplasează icircn

poziţia 1198701 vectorul 1198701198701 poartă numele de vectorul deplasării totale

Deplasarea totală este suma deplasărilor pe cele trei direcţii ortogonale iar

aceste deplasări se notează astfel

deplasarea pe direcţia 119909 cu ∥ 119874119909

deplasarea pe direcţia 119910 cu ∥ 119874119910

deplasarea pe direcţia 119911 cu ∥ 119874119911

Componentele deplasărilor și formeză matricea deplasărilor liniare 119906119907119908

322 Deformații

Prin deformație icircn general se icircnțelege orice schimbare de formă a unui corp fără

o evaluare cantitativă Icircn Rezistența Materialelor deformația măsoară variația

dimensiunilor geometrice ale corpului considerat din vecinătatea unui punct analog

deplasărilor deformațiile pot fi liniare și unghiulare (lunecări)

Fig 36 Deplasarea liniară

Deformația liniară ∆119897 reprezintă variația lungimii 119897 a unui element liniar al

corpului deformat figura 36 Deformația liniară specifică se definește ca fiind raportul

dintre deformația liniară și lungimea inițială

휀 =∆119897

119897 (38)

unde ∆119897 este lungirea sau scurtarea care este echivalentă cu deformția liniară totală iar

este alungirea

Deformația unghiulară sau lunecarea unui punct 119860 icircn planul 119861119860119862 se definește

prin relația figura 37

120574 = lim119861119860rarr0119862119860rarr0

(119861119860 minus 119861111986011198621 ) (39)

Fig 36 Deformația unghiulară

Schimbacircnd orientarea planului care trece prin 119860 se obțin alte deformații

unghiulare Dacă elementele liniare 119861119860 și 119862119860 sunt inițial perpendiculare deformația 120574 se

numește deformație unghiulară specifică sau lunecare specifică figura 37

Un exemplu de deplasare unghiulară și de deformație unghiulară este prezentat icircn

figura 38 Unghiul este deplasarea unghiulară și măsoară rotirea relativă dintre două

secțiuni aflate la distanța 119897 Unghiul este deformația specifică unghiulară (lunecarea

specifică) din punctul 119870 Aceste deplasări și deformații se obțin icircn urma solicitării barei

de către cele două momente 1198720 egale și de sens contrar

Fig 38 Deplasarea unghiulară

Pentru a analiza starea de deformație din vecinătatea unui punct al unui corp

solicitat complex se decupează din jurul punctului un element de volum mic figura 39a

avacircnd laturile 119889119909 119889119910 și 119889119911 Ca urmare a solicitării laturile acestuia se vor lungi sau

scurta Reprezentarea elementului deformat icircn spațiu este dificilă pentru simplificare

vom analiza doar deformațiile din planul 119909119874119910 Observăm că dimensiunile 119889119909 și 119889119910 s-au

modificat cu valoarea ∆119889119909 respectiv cu ∆119889119910 analog se acceptă și pentru 119889119911 o modificare

de forma ∆119889119911 Astfel se pot defini deformațiile specifice liniare

휀119909 =∆119889119909

119889119909 휀119910 =

∆119889119910

119889119910 휀119911 =

∆119889119911

119889119911 (310)

De cele mai multe ori aceste deformații specifice liniare se pot exprima procentual

și se mai numesc alungiri

Fig 39 Starea de deformație

Icircn figura 39c se vede că unghiul inițial drept dintre muchiile 119889119909 și 119889119910 ale

elementului de volum s-a modificat Se definește deformația specifică unghiulară (sau

lunecarea specifică) mărimea cu care se modifică unghiul inițial drept

120574119909119910 = 120574119909119910prime + 120574119910119909

prime = 120574119910119909120574119910119911 = 120574119910119911

prime + 120574119911119910prime = 120574119911119910

120574119911119909 = 120574119911119909prime + 120574119909119911

prime = 120574119909119911

(311)

Deformațiile 휀119909 휀119910 휀119911 120574119909119910 120574119910119911 120574119911119909 constituie cele șase componente

independente ale tensorului deformațiilor specifice care pot fi scrise de forma

119863 =

휀119909 120574119909119910 120574119909119911120574119910119909 휀119910 120574119910119911120574119911119909 120574119911119910 휀119911

(312)

323 Contracţia transversală

Practica arată că odată cu lungirea unei bare apare o micşorare a mărimii secţiunii

transversale mărime numită contracţie transversală figura 310

Fig 310 Contracția transversală

Contracţia transversală este proporţională cu lungirea specifică coeficientul de

proporţionalitate se notează cu 120599 şi se numeşte coeficient de contracţie transversală sau

coeficientul lui Poisson

La o lungire specifică a barei contracţia transversală este dată de relația

휀119905119903 = 휀119910 = 휀119911 = minus120599 ∙ 휀119909 (313)

Semnul minus bdquo-rdquo arată că cele două mărimi sunt contrare dacă una creşte cealaltă

scade şi invers

Considerăm o bară cilindrică de lungime 119897 şi aria secţiunii transversale 119860 solicitată

la icircntindere axială La un moment dat datorită solicitării lungimea barei devine

[119897 ∙ (1 + 휀)] diametrul devine [119889 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)] iar aria secţiunii transversale devine

[119860 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)2] Dacă volumul barei icircnainte de solicitare a fost (119860 ∙ 119897) după solicitare

acesta devine

119881 + ∆119881 = 119860 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)2 ∙ 119897 ∙ (1 + 휀) =

= 119860 ∙ 119897 ∙ (1 + 휀 minus 2 ∙ 120599 ∙ 휀 minus 2 ∙ 120599 ∙ 휀2 + 1205992 ∙ 휀2 + 1205992 ∙ 휀3) (314)

Deoarece lungirile sunt foarte mici ultimii trei termeni din paranteză fiind infinit mici se pot neglija obţinacircnd

119881 + ∆119881 = 119860 ∙ 119897 + 119860 ∙ 119897 ∙ 휀 ∙ (1 minus 2 ∙ 120599) ⟺ ∆119881 = 휀 ∙ (1 minus 2 ∙ 120599) ∙ 119860 ∙ 119897 (315)

Practica arătă că o astfel de bară solicitată la icircntindere icircşi măreşte volumul deci

∆119881 gt 0 de unde rezultă că

1 minus 2 ∙ 120599 gt 0 rArr 120599 lt 05 (316)

Pentru majoritatea materialelor 120599 = 033 iar pentru materialele care-şi păstrează

volumul constant 120599 = 05

33 Relaţii de echivalenţă icircntre eforturi şi tensiuni

Considerăm un element de suprafață infinit mic 119889119860 situat pe fața de arie (119860) a

secțiunii barei din figura 311 Icircn centrul de greutate 119862 al secțiunii acționează eforturile

119873 119879119910 119879119911 119872119909 119872119894119910 și 119872119894119911 determinate prin metoda secțiunilor

Icircn raport cu un sistem de axe de referință 119909119862119910119911 coordonatele elementului 119889119860 sunt

- 119910 este ordonata elementului de arie 119889119860

- 119911 este abscisa elementului de arie 119889119860

Pe elementul de arie 119889119860 acționează tensiunile

120590119909 tensiunea normală

120591119909119910 și 120591119909119911 tensiuni tangențiale

Dacă se icircnsumează forțele elementare de tipul 120590119909 ∙ 119889119860 120591119909119910 ∙ 119889119860 și 120591119909119911 ∙ 119889119860

va trebui să obținem eforturile 119873 119879119910 și 119879119911

Fig 311 Element de suprafață mic din secțiunea unei bare

Dacă eforturile sunt privite ca forțe exterioare și se scriu ecuațiile de

echilibru ale secțiunii (119860) se vor obține șase relații de echivalență icircntre eforturi și

tensiuni

(sum119883) = 0 rArr int 120590119909 ∙ 119889119860

119860

= 119873 (317)

(sum119884) = 0 rArr int 120591119909119910 ∙ 119889119860

119860

= 119879119910 (318)

(sum119885) = 0 rArr int 120591119909119911 ∙ 119889119860

119860

= 119879119911 (319)

(sum119872)119909= 0 rArr int(120591119909119911 ∙ 119889119860) ∙ 119910

119860

minus int(120591119909119910 ∙ 119889119860) ∙ 119911

119860

= 119872119909 rArr

rArr int(119910 ∙ 120591119909119911 minus 119911 ∙ 120591119909119910) ∙ 119889119860

119860

= 119872119909

(320)

(sum119872)119910= 0 rArr int(120590119909 ∙ 119889119860) ∙ 119911

119860

= 119872119894119910 (321)

(sum119872)119911= 0 rArr int(120590119909 ∙ 119889119860) ∙ 119910

119860

= 119872119894119911 (322)

Cele șase relații de echivalență icircntre eforturi și tensiuni constituie un pas icircnainte

icircn rezolvarea unei probleme de rezistența materialelor Aceste relații vor permite

determinarea tensiunilor maxime

Pentru a rezolva cele 6 relații de echivalență trebuie să se cunoască tensiunile și

ca funcții de punct adică funcții de forma

120590119909 = 120590119909(119909 119910 119911) 120591119909119910 = 120591119909119910(119909 119910 119911) 120591119909119911 = 120591119909119911(119909 119910 119911) (32

3)

Cunoașterea acestor funcții presupune icircnsă analizarea aspectului geometric al

problemei precum și utilizarea unor ipoteze simplificatoare care să permită simplificarea

problemelor

34 Ipoteze de bază icircn rezistenţa materialelor

Depășirea dificultăților legate de interpretarea unor fenomene specifice mecanicii

solidului deformabil a impus acceptarea unor ipoteze care să simplifice fenomenele și să

contribuie la elaborarea unor modele de calcul cicirct mai generale și cacirct mai simple Aceste

ipoteze se referă la structura materialelor şi la comportarea lor sub acţiunea forţelor

exterioare Ipotezele acceptate trebuie să fie icircn deplină concordanţă cu realitatea și să

conducă la rezultate verificate icircn practică

Funcție de aspectele la care se referă ipotezele pot fi

Ipoteze fizice (de material)

Ipoteze de calcul

341 Ipoteze fizice

Se acceptă deoarece teoriile structurale au condus la rezultate care contravin

icircncercărilor experimentale

Ipoteza mediului continuu consideră că orice domeniu elementar al corpului

este ocupat de materie adică nu se acceptă existența unor goluri sau a unor crăpături

microscopice (fisuri) Deși nu corespunde realităţii poate fi acceptată deoarece

dimensiunile corpului sunt mult mai mari decacirct dimensiunile particulelor elemantare Are

avantajul că permite utilizarea proprietăților matematice ale funcțiilor continue pentru

tensiunile și deformațiile din orice punct al corpului Ea este mai apropiată de realitate la

corpurile amorfe şi mai depărtată la cele cristaline dar conduce la rezultate satisfăcătoare

icircn calculele de rezistenţă

Ipoteza nu se poate aplica la corpurile care au goluri tăieturi (multiplu conexe)

pentru unele puncte singulare icircn care tensiunile și deformațiile tind la infinit sau icircn unele

probleme de plasticitate icircn care proprietățile de material au un rol esențial

Ipoteza izotropiei conform acestei ipoteze materialul din care este confecționat

un element de rezistență are aceleași proprietăți după orice direcție un astfel de material

este considerat izotrop Din punct de vedere macroscopic metalele pot fi considerate

izotrope deși la nivel microscopic proprietățile lor diferă de la o direcție cristalografică

la alta Orice conglomerat de cristale poate fi considerat izotrop

Există cazuri cacircnd această ipoteză a izotropiei nu se acceptă

la metalele puternic deformate după o direcție (prin laminare trefilare)

la piesele confecționate din lemn lemnul este anizotrop deoarece proprietățile sale

diferă după două direcții (icircn lungul fibrelor și perpendicular pe această direcție)

Ipoteza omogenității consideră că un corp are aceleași proprietăți icircn orice

punct al său Deși majoritatea materialelor utilizate icircn tehnică sunt eterogene la scară

micro fiind constituite din mai multe faze cu proprietăți diferite la scară macro ele pot

fi considerate omogene Omogenitatea și izotropia sunt proprietăți statistice medii care

nu se condiționează una pe cealaltă Chiar și materialele monofazice pot avea la scară

micro unele segregații care le fac eterogene

Ipoteza elasticităţii perfecte presupune că atacircta timp cacirct solicitările nu

depăşesc anumite limite materialul are o comportare elastică adică icircşi recapătă forma şi

dimensiunile iniţiale odată cu icircnlăturarea sarcinilor Icircn realitate materialele nu prezintă o

elasticitate perfectă ele avacircnd deformaţii remanente mici care icircnsă pot fi neglijate icircn

calculele de rezistenţă

Acceptarea acestei ipoteze a elasticității perfecte permite

- aplicarea relației biunivoce icircntre tensiuni și deformații relație exprimată de legea

lui Hooke ( = 119864 ∙ 휀) unde E este un factor de proporţionalitate numit modul de

elasticitate longitudinal al materialului pentru oţel 119864 = 21 ∙ 105 [119872119875119886] - acceptarea valabilității afirmației bdquolucrul mecanic efectuat de forțele exterioare

ca urmare a parcurgerii deplasărilor punctelor de aplicație se icircnmagazinează integral icircn

corp sub formă de energie de deformație energie cedată la icircndepărtarea sarcinilorrdquo

- este valabilă teoria conform căreia bdquoenergia icircnmagazinată și deformațiile depind

doar de starea inițială și finală de eforturi fără a ține cont de modul icircn care s-a ajuns la

starea finalărdquo

Icircn realitate oricacirct de mici ar fi sarcinile aplicate se produc și deformații plastice

dar acestea pot fi neglijate dacă solicitarea nu depășește anumite limite

342 Ipoteze de calcul

Ipoteza micilor deplasări bdquodeplasările datorate deformării sunt mult mai mici

decacirct dimensiunile corpurilor și ca urmare pot fi neglijate produsele dintre o deplasare și

ea icircnsăşirdquo Pentru cele mai multe corpuri deformaţiile elastice sunt de mărimi mici deci

corpurile solide sub acţiunea sarcinilor icircşi modifică foarte puţin forma iniţială Această

ipoteză este cunoscută şi sub denumirea de ipoteza menţinerii dimensiunilor iniţiale Ea

permite scrierea ecuaţiilor de echilibru ale staticii pe starea nedeformată a elementului

cacircnd nu se iau icircn considerare deplasările punctelor de aplicaţie ale forţelor care se produc

ca urmare a deformării acestuia Calculul efectuat pe schema nedeformată poartă numele

de calcul de ordinul I

Ipoteza micilor deplasări nu poate fi acceptată pentru studiul problemelor de

stabilitate sau la problemele la care nu pot fi icircndeplinite condiţiile de echilibru icircn starea

nedeformată

Calculul de ordinul II admite ipoteza micilor deplasări dar ecuaţiile de echilibru

se scriu icircnsă pentru starea deformată a elementului de rezistenţă

Calculul de ordinul III nu mai acceptă ipoteza micilor deplasări el referindu-se

la cazul deformaţiilor mari cacircnd ecuaţiile de echilibru trebuie scrise pentru starea

deformată

Chiar dacă materialul satisface legea lui Hooke icircn urma calculelor de ordinul II

se obţin de obicei relaţii neliniare icircntre sarcini şi deplasări iar pentru calculul de ordinul

III rezultă ecuaţii diferenţiale neliniare

Principiul efectului local al acțiunii sarcinilor enunțat de Barre de Saint-

Venant Acest principiu destul de folosit icircn Rezistenţa Materialelor precizează că dacă

se icircnlocuiesc forţele care acţionează asupra unui element de suprafață al unui corp

elastic printr-un alt sistem de forţe echivalent din punct de vedere static cu primul noua

distribuţie a forţelor produce la locul de aplicare diferenţe semnificative faţă de prima

dar rămacircne fără efect sau cu efect neglijabil la distanţe mari de locul de aplicare al

forţelor figura 312

Ca o cosecință o sarcină uniform distribuită figura 312a poate fi icircnlocuită cu

rezultanta ei figura 312b dacă se analizează efectul sarcinii la distanță mare de locul icircn

care se aplică sarcina

Fig 312 Principiul Saint-Venant

Icircn prima variantă figura 312a forţa 119865 se aplică pe o porțiune oarecare 119897 (sarcină

uniform distribuită) iar icircn a doua figura 312b icircntru-un punct (forţă concentrată) La

locul de aplicare a sarcinii efectul asupra barei este cu totul diferit de la o variantă la

cealaltă Icircnsă la o distanţă mare de punctul de aplicaţie spre exemplu icircn secţiunea situată

la distanţa 119886 de capătul barei sau chiar icircn icircncastrare ambele bare sunt solicitate la fel

Icircn cazul din figura 312a

119872119894(119909) =119901 ∙ 1199092

2 119909 le 119897 119872119894(119909) = 119901 ∙ 119897 ∙ (119909 minus

119897

2) 119909 gt 119897 (324)

Icircn cazul din figura 312b

119872119894(119909) = 0 119909 lt119897

2 119872119894(119909) = 119901 ∙ 119897 ∙ (119909 minus

119897

2) 119909 gt

119897

2 (325)

Se vede că pentru (119909 gt 119897) adică după depășirea locului icircn care se aplică sarcina

efectul este același

Ipoteza lui Bernoulli sau ipoteza secţiunilor plane precizează că o secţiune

plană şi normală pe axa barei icircnainte de deformare rămacircne plană şi normală pe axa

barei şi după deformare figura 313

Fig 313 Ipoteza lui Bernoulli

Ipoteza stării naturale a corpului sau ipoteza absenţei tensiunilor conform

căreia pentru un corp nesolicitat starea de tensiune şi deformaţie este nulă

Perfecţionarea mijloacelor de calcul şi de investigare pot conduce la renunţarea la

unele ipoteze sau la introducerea altora noi mai aproape de stările reale De aici rezultă

caracterul de continuă perfecţionare a metodelor Rezistenţei Materialelor

35 Coeficienţi de siguranţă Tensiuni admisibile

O piesă corespunde din punct de vedere tehnic dacă tensiunile care iau naştere icircn

interiorul piesei datorită sarcinilor aplicate nu depăşesc anumite valori limită stabilite

convenţional Aceste valori limită ale tensiunii sunt corelate cu caracteristicile mecanice

ale materialelor

Tensiunea limită utilizată icircn calculele de rezistenţă este cunoscută sub denumirea

de tensiune admisibilă sau rezistenţă admisibilă Rezistenţa admisibilă reprezintă

valoarea convenţională aleasă icircn calcul pe baza practicii pentru tensiunea maximă care

poate apare icircntr-o piesă icircn condiţii date de material şi solicitare

Rezistenţa admisibilă (120590119886 sau 120591119886) poate fi definită faţă de o stare limită

periculoasă stare care trebuie evitată deoarece poate conduce distrugere

120590119886 =120590119897119894119898119888

(326)

unde

120590119897119894119898 este tensiunea corespunzătoare stării limită periculoase

119888 estesupraunitar 119888 gt 1 și reprezintă coeficientul de siguranţă faţă de starea limită

periculoasă considerată

Alegerea unor valori inferioare pentru rezistenţa admisibilă faţă de tensiunea

corespunzătoare stării limită periculoase este necesară deoarece

cunoaşterea sarcinilor este de cele mai multe ori aproximativă şi o depăşire a

acestora este foarte posibilă

caracteristicile mecanice ale materialelor variază icircn limite destul de mari ele

fiind influenţate de mulţi factori

schema aleasă pentru calcul (aplicarea sarcinilor schematizarea structurii

ipotezele de calcul etc) depărtează modelul faţă de cel real

Pentru calculele de verificare tensiunea efectivă maximă din elementul de

rezistenţă trebuie să fie mai mică sau cel mult egală cu cea admisibilă

120590119890119891119898119886119909 le 120590119886 (327)

Valoarea rezistenţei admisibile este influenţată de foarte mulţi factori natura

materialului tratamentele termice aplicate piesei durata de funcţionare a piesei modul

de acţionare icircn timp a sarcinilor felul solicitării temperatura gradul de periculozitate

icircn cazul cedării piesei etc

De asemenea valoarea coeficientului de siguranţă se alege icircn principal ţinacircnd

seama de aceiaşi factori care influenţează şi rezistenţa admisibilă

Rezistenţele admisibile pentru cacircteva materiale sunt următoarele

pentru oțelul de uz general OL37 solicitat la icircntindere compresiune sau

icircncovoiere 120590119886 = 150 [119872119875119886] pentru lemnul de brad solicitat la

- compresiune icircn lungul fibrelor şi solicitat la icircncovoiere 120590119886 = 10 [119872119875119886] - tracţiune icircn lungul fibrelor 120590119886 = 7 [119872119875119886] - compresiune perpendiculară pe fibre 120590119886 = 15 [119872119875119886] - forfecare icircn lungul fibrelor 120591119886 = 2 [119872119875119886] - forfecare perpendiculară pe fibre 120590119886 = 45 [119872119875119886]

terenuri de fundaţie din pămacircnt uscat sau umed 120590119886 = 020 divide 025 [119872119875119886]

4 CARACTERISTICI GEOMETRICE ALE SECȚIUNILOR PLANE

41 Noţiuni introductive

Icircn relaţiile de calcul ale tensiunilor şi deformaţiilor elementelor de rezistenţă

pentru unele solicitări (icircncovoierea și torsiunea) secțiunile plane intervin atacirct prin

dimensiunile lor (aria 119860) cicirct și prin forma și poziția pe care o are secțiunea icircn raport cu

planul solicitării Mărimile care caracterizează o secțiune icircn raport cu forma și poziția față

de axele unui sistem de referință sunt denumite caracteristici geometrice de ordin

superior Aria secțiunii este caracteristica geometrică ce depinde doar de dimensiunile

geometrice ale acesteia

Să considerăm o grindă solicitată de o forță exterioară 119865 aşezată icircn două poziții icircn

raport cu planul forţei figura 41 Icircn urma aplicării forței deși avem aceeași grindă

(aceeași arie a secțiunii transversale) și aceeași forță se constată că pentru varianta din

figura 41a deformațiile sunt mult mai mari adică rezistența la icircncovoiere a grinzii din

figura 41a este mai mare decacirct icircn cazul grinzii din figura 41b Comportarea diferită se

explică prin aceea că modificarea poziţiei secţiunii transversale faţă de planul forţelor

modifică caracteristicile geometrice ale secţiunii transversale a grinzii

Fig 41 Grindă solicitată de forța 119865

Pentru realizarea calculelor de rezistenţă şi rigiditate este foarte importantă

cunoaşterea caracteristicilor geometrice ale suprafeţei secţiunii transversale a elementelor

de rezistenţă

Caracteristicile geometrice ale secţiunii transversale a unui element de rezistenţă

sunt

- aria secțiunii notată cu 119860

- momentul static icircn raport cu o axă notat 119878119911 și respectiv 119878119910

- momentul de inerție care poate fi

axial notat 119868119911 și respectiv 119868119910

centrifugal notat 119868119911119910

polar notat 119868119901

- raza de inerţie (giraţie)notată 119894119911 și respectiv 119894119910

- modulul de rezistență care poate fi

axial notat 119882119911 și respectiv 119882119910

polar notat 119882119901

42 Aria și momentul static al suprafețelor plane

Fie o suprafaţă plană de arie 119860 pe care se ia un element infinit mic de arie 119889119860 şi

un sistem de axe rectangulare 119911119874119910 figura 42 Notăm cu 119862 centrul de greutate al suprafeţei

119860 Poziţia suprafeţei elementare 119889119860 faţă de acelaşi sistem de coordonate 119911119874119910 este dată

de abscisa 119911 ordonata 119910 și raza polară

Fig 42 Suprafață plană de arie 119860

Aria suprafeţei 119860 figura 42 se defineşte ca fiind

119860 ≝ int 119889119860

119860

(41)

Aria suprafeţei este icircntotdeauna pozitivă și se măsoară icircn [1198981198982] Momentul static al suprafeţei de arie 119860 icircn raport cu axele 119874119911 și respectiv 119874119910

figura 42 sunt date de relaţiile

119878119911 ≝ int 119910 ∙ 119889119860

119860

119878119910 ≝ int 119911 ∙ 119889119860

119860

(42)

Momentul static poate fi pozitiv negativ sau nul şi se măsoară icircn [1198981198983] Coordonatele centrului de greutate ale suprafeței 119860 se detrmină cu relațiile

119910119862 ≝int 119910 ∙ 119889119860119860

119860 119911119862 ≝

int 119911 ∙ 119889119860119860

119860

(43)

Cunoscacircnd coordonatele 119910119862 și 119911119862 ale centrului de greutate 119862 al secțiunii 119860 atunci

momentele statice se pot determina cu relațiile

119878119911 ≝ int 119910 ∙ 119889119860

119860

= 119910119862 ∙ 119889119860 119878119910 ≝ int 119911 ∙ 119889119860

119860

= 119911119862 ∙ 119889119860 (44)

Aceste relații arată că momentul static al unei suprafețe icircn raport cu o axă este

egal cu produsul dintre aria suprafeței și distanța de la centrul ariei la axa respectivă

Dacă suprafaţa se poate descompune icircn 119899 suprafeţe simple la care se cunosc ariile

(1198601 1198602 ⋯ 119860119894⋯ 119860119899) și poziţiile centrelor de greutate 119862119894 faţă de sistemul de referinţă

expresiile momentelor statice capătă următoarea formă

119878119911 = sum 119910119862119894 ∙ 119860119894119899119894=1 = 119910119862 ∙ 119860 119878119910 = sum 119911119862119894 ∙ 119860119894

119899119894=1 = 119911119862 ∙ 119860 (45)

Din relaţiile (45) rezultă că poziţia centrului de greutate 119862 al unei suprafeţe

compuse poate fi determinată cu relaţiile

119910119862 = (sum119910119862119894 ∙ 119860119894

119899

119894=1

) 119860frasl 119911119862 = (sum119911119862119894 ∙ 119860119894

119899

119894=1

) 119860frasl (46)

Icircn relația (45) 119910119862119894 și respectiv 119911119862119894 reprezintă coordonatele centrelor de greutate 119862119894

ale fiecărei suprafețe simple 119860119894 icircn raport sistemul de axe 119911119874119910

Se constată (relaţia 42) că dacă axele sistemului de referinţă trec prin centrul de

greutate (119910119862 = 119911119862 = 0) momentele statice sunt nule Axele icircn raport cu care momentele

statice sunt nule şi care trec prin centrul de greutate al suprafeţei se numesc axe centrale

Observație dacă secțiunea compusă are o axă de simetrie centrul secțiunii se

găsește pe acea axă iar dacă secțiunea este dublu simetrică poziția centrului secțiunii este

la intersecția axelor de simetrie

43 Momente de inerţie

Momentele de inerţie axiale ale unei suprafețe se calculează icircn raport cu axele de

coordonate 119874119911 și respectiv 119874119910 figura 42 și se determină cu relațiile

119868119911 ≝ int 1199102 ∙ 119889119860

119860

119868119910 ≝ int 1199112 ∙ 119889119860

119860

(47)

Unde 119910 și 119911 sunt distanțele de la elementul de arie 119889119860 la cele două axe de

coordonate 119874119911 și respectiv 119874119910

Momentele de inerţie axiale se măsoară icircn [1198981198984] şi sunt icircntotdeauna pozitive (aria

119889119860 este icircntotdeauna pozitivă și este multiplicată cu patratul distanței 1199102 dacă 119868119911 sau 119868119910

sunt nule icircnseamnă ca secțiunea nu există)

Momentele de inerție axiale se calculează icircndeosebi pentru axele centrale (care

trec prin centrul secțiunii) deoarece icircn raport cu acele axe 119868119911 și 119868119910 au valori minime

Momentul de inerţie centrifugal calculat faţă ambele axe ale sistemului de

referinţă 119911119874119910 este definit de relația

119868119911119910 ≝ int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860

(48)

Momentul de inerţie centrifugal se măsoară icircn [1198981198984] şi poate fi pozitiv negativ

sau nul

Momentul de ineție centrifugal este nul 119868119911119910 = 0 dacă cel puțin una din axele 119874119911

sau 119874119910 este axă de simetrie pentru secțiune

Se consideră o suprafaţă dreptunghiulară pe care faţă de axa de simetrie 119874119910 se iau

două suprafeţe elementare de arie 119889119860 simetrice faţă de axa 119874119910 figura 43

Fig 43 Suprafață dreptunghiulară cu două arii elementare 119889119860

Făcacircnd suma momentelor de inerţie centrifugale pentru cele două suprafeţe

elementare 119889119860 (din stacircnga şi din dreapta faţă de axa 119874119910) se obţine

int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860119889119903

+ int (minus119911) ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860119904119905119892

= int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860119889119903

minus int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860119904119905119892

= 0 (49)

Acelaşi raţionament se poate face și pentru icircntreaga suprafaţă de unde obținem că

momentul de inerție centrifugal este nul 119868119911119910 = 0 Deci pentru o suprafaţă plană care

are cel puţin o axă de simetrie momentul de inerţie centrifugal faţă de sistemul care

conţine acea axă de simetrie este nul

Momentul de inerţie polar al unei suprafeţei icircn raport cu un punct (pol) 119874 figura

42 este definit prin relaţia

1198680 = 119868119901 ≝ int 1205882 ∙ 119889119860

119860

= int(1199102 + 1199112) ∙ 119889119860

119860

= 119868119911 + 119868119910 (410)

unde este distanţa de la polul 119874 la elementul de arie 119889119860 Momentul de inerţie polar se

măsoară icircn [1198981198984] şi este totdeauna pozitiv

Momentul de inerţie polar este egal cu suma momentelor de inerţie faţă de două axe

perpendiculare oarecare şi care trec prin polul considerat

Razele de giraţie sau razele de inerţie sunt mărimi calculate icircn raport cu axele

secțiunii și definite de relaţiile

119894119911 ≝ radic119868119911119860 119894119910 = radic

119868119910

119860 (411)

Se exprimă icircn [119898119898] şi sunt icircntotdeauna pozitive Semnificația unei raze de inerție

este distanța la care dacă ar fi concentrată icircntreaga arie s-ar obține același moment de

inerție ca și cel calculat pentru aria reală

44 Modulul de rezistenţă

Modulul de rezistență se calculează icircn raport cu axele de referință sau icircn raport cu

un pol figura 42 și pot fi axiale (119882119911119882119910) sau polar (119882119901) și se determină numai pe baza

momentelor de inerţie cu relațiile figura 43

119882119911119898119894119899 ≝119868119911119910119898119886119909

119882119911119898119886119909 ≝119868119911119910119898119894119899

(412)

119882119910119898119894119899 ≝119868119910

119911119898119886119909 119882119910119898119886119909 ≝

119868119910

119911119898119894119899 (413)

119882119901 ≝119868119901

120588119898119886119909 (414)

unde

119910119898119886119909 119910119898119894119899 reprezintă distanţa de la axa 119874119911 la punctele extreme cele mai

depărtate respectiv cele mai apropiate ale suprafeţei de această axă

119911119898119886119909 119911119898119894119899 reprezintă distanţa de la axa 119874119910 la punctele extreme cele mai

depărtate respectiv cele mai apropiate ale suprafeţei de această axă

120588119898119886119909 reprezintă distanța maximă de la polul 119874 la punctul secțiunii cel mai

icircndepărtat de acesta

Fig 43 Suprafață dreptunghiulară cu două arii elementare 119889119860

Modulele de rezistenţă se exprimă icircn [1198981198983] şi sunt icircntotdeauna pozitive

Explicația este aceea că momentele de inerție care intră icircn relațiile de definiție sunt

pozitive iar distanțele la punctele extreme sunt pozitive (119910119898119886119909 119910119898119894119899 119911119898119886119909 119911119898119894119899 120588119898119886119909 se

iau icircn valoare absolută)

Icircn cazul suprafeţelor compuse modulul de rezistenţă nu se obţine prin icircnsumarea

algebrică a modulelor de rezistenţă ale suprafeţelor simple componente ci numai prin

intermediul momentului de inerţie axial calculat pentru icircntreaga secțiune

Ca și momentele de inerție modulele de rezistență se calculează numai pentru

sistemele de axe centrale

45 Momente de inerţie şi module de rezistenţă pentru suprafeţe simple

451 Secțiune dreptunghiulară

Fie suprafaţa dreptunghiulară din figura 44 de icircnălțime ℎ și lățime 119887 pe care se

consideră suprafaţă elementară de arie 119889119860 = 119887119889119910 la distanța 119910 de axa 119862119911 sistemul de

axe 119911119862119910 trece prin centrul secțiunii iar axele sunt axe de simetrie pentru dreptunghi

Fig 44 Suprafață dreptunghiulară

Pe baza relațiilor de definiți a momentului de inerție 119868119911 se obține

119868119911 ≝ int 1199102 ∙ 119889119860

119860

= int 1199102 ∙ 119887 ∙ 119889119910 = 2int 1199102 ∙ 119887 ∙ 119889119910 = 2 ∙ 119887 ∙1199103

3|ℎ 2frasl

0rArr

ℎ 2frasl

0

ℎ 2frasl

minusℎ 2frasl

rArr 119868119911 =119887 ∙ ℎ3

12

(415)

Analog pentru un element de arie 119889119860 = ℎ ∙ 119889119911 paralel cu axa 119862119910 situat la distanța

119911 de axa 119862119910

119868119910 ≝ int 1199112 ∙ 119889119860

119860

= int 1199112 ∙ ℎ ∙ 119889119911 = 2int 1199112 ∙ ℎ ∙ 119889119910 = 2 ∙ ℎ ∙1199113

3|119887 2frasl

0rArr

119887 2frasl

0

119887 2frasl

minus119887 2frasl

rArr 119868119910 =1198873 ∙ ℎ

12

(416)

Deoarece axele 119862119911 și 119862119910 sunt axe de simetrie momentul de inerție centrifugal este

119868119911119910 = 0 (417)

Pentru un pătrat avacircnd laturile egale (ℎ = 119887 = 119886) momentele de inerţie faţă de

axele centrale au expresia

119868119911 = 119868119910 =1198864

12 (418)

Modulele de rezistență axiale se calculează cu relațiile de definiție ținacircnd cont că

distanțele pacircnă la fibrele extreme sunt

119910119898119886119909 = 119910119898119894119899 =ℎ

2 119911119898119886119909 = 119911119898119894119899 =

119887

2 (419)

Obținem

119882119911119898119894119899 = 119882119911119898119886119909 =119868119911

119910119898119886119909119898119894119899=119887 ∙ ℎ3

12frasl

ℎ2frasl

=119887 ∙ ℎ2

6

119882119910119898119894119899 = 119882119910119898119886119909 =119868119910

119911119898119886119909119898119894119899=1198873 ∙ ℎ

12frasl

1198872frasl

=1198872 ∙ ℎ

6

(420)

452 Suprafaţă circulară

Din motive de simetrie pentru suprafeţele circulare momentele de inerţie faţă de

orice diametru (care reprezintă şi axe centrale) sunt aceleaşi

Considerăm o secțiune circulară plină cu diametrul 119889 și centrul de greutate 119862 Prin

centrul de greutate 119862 trece sistemul de axe ortogonal 119911119862119910 figura 45

Fig 45 Suprafață circulară

La distanța de centrul de greutate 119862 vom lua un element de suprafață mic de arie

(119889119860) de forma unui inel de grosime 119889 Elementul de arie 119889119860 are expresia

119889119860 = (2 ∙ 120587 ∙ 120588) ∙ (119889120588)

Pornind de la relația de definiție a momentului de inerție polar obținem

119868119901 ≝ int 1205882 ∙ 119889119860

119860

= int 1205882 ∙ (2 ∙ 120587 ∙ 120588) ∙ 119889120588

119903=119889 2frasl

0

= 2 ∙ 120587 ∙1205884

4|119889 2frasl0 rArr

rArr 119868119901 =120587 ∙ 1198894

32

(421)

Secțiunea este perfect simetrică deci sunt valabile relațiile

119868119911 = 119868119910 rArr 119868119901 = 119868119911 + 119868119910 = 2 ∙ 119868119911 = 2 ∙ 119868119910 =119868119901

2=120587 ∙ 1198894

64 (422)

Și modulele de rezistenţă faţă de orice diametru sunt egale şi se calculează cu

relaţiile

119882119911 = 119882119910 =1198681199111198892frasl=120587 ∙ 1198893

32 (423)

Modulul de rezistenţă polar este

119882119901 =1198681199011198892frasl=120587 ∙ 1198893

16 (424)

453 Secţiune inelară

Calculul momentelor de inerţie axiale pentru o secţiune inelară avacircnd diametrul

interior 119889 şi diametrul exterior 119863 se determină analog pentru suprafaţa circulară plină cu

observaţia că integrala pentru calculul momentului de inerție polar 119868119901 se face icircntre

limitele 119903 = 119889 2frasl şi R= 1198632frasl (icircntre raza interioară 119903 şi raza exterioară 119877) figura 46

Se obţin relaţiile

119868119901 =120587 ∙ 1198634

32∙ [1 minus (

119889

119863)4

] =120587 ∙ 1198634

32∙ (1 minus 1198964) (425)

119868119910 = 119868119910 =120587 ∙ 1198634

64∙ [1 minus (

119889

119863)4

] =120587 ∙ 1198633

64∙ (1 minus 1198964) (426)

Fig 46 Secțiune inelară

119882119901 =120587 ∙ 1198633

16∙ [1 minus (

119889

119863)4

] =120587 ∙ 1198633

16∙ (1 minus 1198964) (427)

119882119911 = 119882119910 =120587 ∙ 1198633

32∙ [1 minus (

119889

119863)4

] =120587 ∙ 1198633

32∙ (1 minus 1198964) (428)

unde 119896 = 119889119863frasl

46 Variaţia momentelor de inerţie faţă de axe paralele

( Relațiile lui STEINER)

Se consideră o suprafaţă oarecare de arie 119860 cu elementul de arie 119889119860 și un sistemul

de axe central 119911119862119910 faţă de care se cunosc momentele de inerţie 119868119911 119868119910 119868119911119910 şi considerăm

un sistem de axe 11991111198741199101 paralele cu sistemul central figura 47 Se pune problema

determinării momentele de inerţie 1198681199111 1198681199101 11986811991111199101 faţă de sistemul de axe paralel cu sistemul

central 11991111198741199101 axe aflate la distanţele 119910119862 = 119888 respectiv 119911119862 = 119889 de acesta

461 Momente de inerţie axiale

Pe baza relaţiilor de definire şi a notaţiilor din figura 42 pentru momentele de

inerţie faţă de axele 1198741199111 1198741199101 se poate scrie

1198681199111 = int 11991012 ∙ 119889119860

119860

= int(119910 + 119888)2 ∙ 119889119860

119860

= int 1199102 ∙ 119889119860

119860

+ 2 ∙ 119888 ∙ int 119910 ∙ 119889119860

119860

+

+1198882int 119889119860

119860

rArr 1198681199111 = 119868119911 + 2 ∙ 119888 ∙ 119878119911 + 1198882 ∙ 119860 hArr 1198681199111 = 119868119911 + 119888

2 ∙ 119860

(429)

Fig 47 Variaţia momentelor de inerţie față de axe paralele

S-a ajuns la relația (429) deoarece momentul static 119878119911 este nul deoarece axa 119862119885

este axă centrală

Pentru momentul de inerție axial icircn raport cu axa 1198741199101 se obține

1198681199101 = int 11991112 ∙ 119889119860

119860

= int(119911 + 119889)2 ∙ 119889119860

119860

= int 1199112 ∙ 119889119860

119860

+ 2 ∙ 119889 ∙ int 119911 ∙ 119889119860

119860

+

+1198892 ∙ int 119889119860

119860

rArr 1198681199101 = 119868119910 + 2 ∙ 119889 ∙ 119878119910 + 1198892 ∙ 119860 hArr 1198681199101 = 119868119910 + 119889

2 ∙ 119860

(430)

Pentru momentul de inerție centrifugal obținem

11986811991111199101 = int 1199101 ∙ 1199111 ∙ 119889119860

119860

= int(119910 + 119888) ∙ (119911 + 119889) ∙ 119889119860

119860

= int 119910 ∙ 119911 ∙ 119889119860 +

119860

+119888 ∙ int 119911 ∙ 119889119860

119860

+ 119889 ∙ int 119910 ∙ 119889119860

119860

rArr 11986811991111199101 = 119868119911119910 + 119888 ∙ 119889 ∙ 119860

(431)

Deoarece

int 119911 ∙ 119889119860

119860

= 119878119910 = 0 int 119910 ∙ 119889119860

119860

= 119878119911 = 0 int 119910 ∙ 119911 ∙ 119889119860

119860

= 119868119911119910

Relaţiile (429) şi (430) arată că momentul de inerţie faţă de o axă oarecare

este egal cu momentul de inerţie faţă de o axă paralelă cu ea trecacircnd prin centrul de

greutate la care se adaugă produsul dintre aria suprafeţei şi pătratul distanţei dintre

cele două axe

Din relaţiile (429) și (430) rezultă de asemenea că momentul de inerţie faţă de o

axă centrală (care trece prin centrul de greutate) este cel mai mic dintre infinitatea de

momente de inerţie obținute faţă de alte axe paralele cu ea

Relaţia (431) arată de asemenea că momentul de inerţie centrifugal faţă de un

sistem de axe oarecare este egal cu momentul de inerţie centrifugal faţă de un sistem

paralele cu el trecacircnd prin centrul de greutate a suprafeţei la care se adaugă produsul

dintre aria suprafeţei şi distanţele dintre axele sistemelor respective

Icircn literatura de specialitate relaţiile (429) (430) şi (431) sunt cunoscute sub

numele de relaţiile lui Steiner

47 Variaţia momentrlor de inerţie faţă de axe rotite

Direcţii principale şi momente de inerţie principale

Fie suprafaţa plană din figura 48 de arie 119860 pe care considerăm o suprafaţă

elementară de arie 119889119860 Pentru sistemul de axe 119911119874119910 se cunosc momentele de inerţie

119868119911 119868119910 119868119911119910 şi vom determina relaţiile de calcul pentru momentele de inerţie afererent unui

sistem de axe 11991111198741199101 rotit cu un unghi faţă de sistemul central

Faţă de sistemul de axe 11991111198741199101 elementul de arie 119889119860 are coordonatele

1199101 = 119875119877 = 119875119876 minus 119877119876 = 119910 ∙ cos 120572 minus 119911 ∙ sin 120572

1199111 = 119873119872 = 119873119875 minus 119875119872 = 119911 ∙ cos 120572 + 119910 ∙ sin 120572 (432)

Fig 47 Variaţia momentelor de inerţie față de axe rotite

Pe baza relaţiilor de calcul ale momentelor de inerţie şi a notaţiilor din figura 42

şi ale relaţiilor (432) momentele de inerţie faţă de sistemul de axe rotit 11991111198741199101 sunt

1198681199111 =119868119911 + 119868119910

2+119868119911 minus 119868119910

2∙ cos 2120572 minus 119868119911119910 ∙ sin 2120572 (433)

1198681199101 =119868119911 + 119868119910

2minus119868119911 minus 119868119910

2∙ cos 2120572 + 119868119911119910 ∙ sin 2120572 (434)

11986811991111199101 =119868119911 minus 119868119910

2∙ sin 2120572 + 119868119911119910 ∙ cos 2120572 (435)

Din relaţiile 433divide435 se observă că icircntre momentele de inerţie axiale şi cele

polare există relaţia

1198681199111 + 1198681199101 = 119868119911 + 119868119910 = 119868119901 (436)

adică suma momentelor de inerţie axiale icircn raport cu orice pereche de axe ortogonale

care trec printr-un pol dat este o constantă şi egală cu momentul de inerţie polar

Prin rotirea sistemului de axe din relaţiile 433divide435 rezultă că momentele de inerţie

variază icircnsă suma lor rămacircne constantă deci există o poziţie a sistemului de axe pentru

care momentele de inerţie au valori extreme maxim respectiv minim

471 Direcţii principale de inerţie

Valoarea unghiului 120572 pentru care momentele de inerţie axiale au valori extreme

este

1205721 =1

2∙ 119886119903119888119905119886119899 (minus

2 ∙ 119868119911119910

119868119911 minus 119868119910) (437)

Poziţia celeilalte direcţii este perpendiculară pe cea dată de unghiul 1205721

Din relaţia (437) se constată că faţă de aceste direcţii rotite pentru care momentele

de inerţie axiale prezintă valori extreme momentul de inerţie centrifugal 11986811991111199101este nul

Atunci se poate afirma că momentele de inerţie axiale au valori extreme icircn raport cu

direcţiile faţă de care momentul de inerţie centrifugal este nul Aceste direcţii se numesc

direcţii principale iar momentele de inerţie faţă de aceste direcţii poartă numele de

momente de inerţie principale

Icircn calculele de rezistenţă interesează icircn mod special poziţia direcţiilor principale

care trec prin centrul de greutate al suprafeţei aşa numitele direcţii principale centrale şi

evident momentele de inerţie principale centrale

Direcţiile principale de inerţie se notează cu 1 respectiv 2 Axa principală 1

corespunde direcţiei faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea maximă iar

axa principală 2 pentru direcţia faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea

minimă

472 Momente de inerţie principale

Momentele de inerţie principale se notează cu litera 119868 la care se pune indicele 1

sau 2 după cum valoarea acestuia este maximă sau minimă deci avem un moment de

inerţie principal 1 (notat 1198681) respectiv moment de inerţie principal 2 (notat 1198682)

Expresiile pentru momentele de inerţie principale sunt

11986812 =119868119911 + 119868119910

2plusmn1

2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)

2+ 4 ∙ (119868119911119910)

2 (438)

Dacă momentul de inerţie centrifugal este negativ (119868119911119910 lt 0) direcţia principală

care trece prin primul cadran (definit de sistemul 119911119862119910) este direcţia principală 120783

Pentru suprafeţele cu cel puţin o axă de simetrie direcţiile centrale 119862119911 119862119910 sunt şi

direcții principale de inerţie și evident momentele de inerţie axiale 119868119911 119868119910 sunt momente

de inerţie principale

48 Caracteristici mecanice ale metalelor

Alegerea materialului pentru confecţionarea unei anumite piese se face şi pe baza

aşa numitelor caracteristici mecanice pe care le prezintă materialul Cunoaşterea acestor

caracteristici mecanice are loc numai pe baza unor icircncercări mecanice care să scoată icircn

evidenţă comportarea materialului icircn condiţii de solicitare

Cea mai utilizată icircncercare icircn urma căreia se pun icircn evidenţă caracteristicile

mecanice ale unui material este icircncercarea la tracţiune

481 Icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general

Icircncercarea la tracţiune a oţelului ca de altfel toate icircncercările de materiale este

standardizată

Icircn cele ce urmează se va prezenta numai partea care interesează strict din punct

de vedere al caracteristicilor mecanice ale oţelului

Epruveta de diametru iniţial 1198890 pentru icircncercarea la tracţiune are o porţiune de

lungime 1198710 numită baza de măsurare pe care se măsoară lungirea acesteia sub acţiunea

solicitării

Icircn funcţie de raportul dintre baza de măsurare 1198710 şi diametrul iniţial 1198890 epruvetele

utilizate pentru icircncercări sunt

epruvete normale (scurte) cacircnd 11987101198890 = 5

epruvete lungi cacircnd 11987101198890 = 10

Icircn timpul icircncercării la diferite valori ale forţei 119865 se măsoară lungirea bazei de

măsurare

∆119871 = 120575 = 119871 minus 1198710 (439)

unde

119871 este dimensiunea bazei de măsurare la un moment dat

Curba forţă-lungire (119865 minus ) icircnregistrată icircn urma icircncercării reprezintă curba

caracteristică la tracţiune

La icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general diagrama caracteristică care se

obţine are forma din figura 48

Curba caracteristică la tracţiune depinde de lungimea bazei de măsurare Pentru

icircnlăturarea acestui neajuns curba caracteristică se reprezintă icircn coordonate şi definite

astfel

120590 =119865

1198600 휀 =

120575

1198710 (440)

unde

1198600 este aria iniţială a secţiunii transversale a epruvetei (icircnainte de solicitare) icircn

zona bazei de măsurare

1198600 =120587 ∙ 1198890

2

4

Deoarece mărimile icircn care se reprezintă curba caracteristică la tracţiune sunt

raportate la aria iniţială a secţiunii transversale (mărimi specifice) curba poartă numele

de curbă caracteristică convenţională la tracţiune

Fig 48 Curba caracteristică convenţională la tracțiune

Pe curba caracteristică convenţională la tracţiune figura 48 se pot stabili o serie

de puncte cărora le corespund mai multe mărimi importante

Ordonata punctului A pacircnă unde curba caracteristică convenţională este linie

dreaptă se numeşte limita de proporţionalitate a materialului 120590119901(1205901) Porţiunea 119874119860 este

zona de proporţionalitate a curbei caracteristice pe acest domeniu este valabilă legea lui

Hooke care exprimă o proporţionalitate icircntre tensiune şi deformaţie specifică

120590 = 119864 ∙ 휀 (441)

unde

119864 = reprezintă panta porţiunii liniare a curbei convenționale caracteristice

la tracțiune Caracteristica de material 119864 se numeşte modul de elasticitate longitudinal

(modulul lui Young)

Ordonata punctului 119861 pacircnă unde materialul se comportă perfect elastic adică

după descărcare icircşi recapătă dimensiunea iniţială 1198710 se numeşte limita de elasticitate

120590119890(119877119890) Icircn realitate nici un material nu are comportare perfect elastică sub acţiunea

solicitărilor el capătă deformaţii permanente (remanente plastice)

După punctul 119861 urmează o porţiune 119861119862119863 icircn care cu toate că icircncărcarea

continuă forţa nu mai creşte avacircnd mici oscilaţii icircn jurul unei valori Se spune că icircn

această porţiune materialul curge iar intervalul 119861119862119863 este un palier de curgere Tensiunea

corespunzătoare palierului de curgere se numeşte limită de curgere aparentă 120590119888(119877119888) Limita de curgere aparentă se calculează cu relaţia

120590119888 =1198651198881198600 (442)

unde

119865119888 reprezintă valoarea forţei icircnregistrată icircn momentul curgerii materialului

După punctul 119863 curba caracteristică are un traseu ascendent pacircnă icircn punctul 119864

Porţiunea 119863119864 este numită zonă de icircntărire (ecruisare) Icircn zona de ecruisare unde se

produc deformaţii plastice semnificative legea lui Hooke nu mai este valabilă La

descărcare relaţia dintre tensiunea şi deformaţia specifică este liniară paralelă cu

porţiunea liniară a curbei caracteristice (dreapta 119872119873)

Deformaţia totală (휀119905) are două componente una elastică (휀119890) şi una plastică (휀119901)

Ordonata punctului 119864 reprezintă rezistenţa de rupere 120590119903(119877119898) a materialului

care se poate calcula cu relaţia

120590119903 = 119877119898 =1198651198981198861199091198600

(443)

unde

119865119898119886119909 reprezintă valoarea maximă a forţei icircnregistrată icircn timpul icircncercării

La atingerea valorii 119865119898119886119909 (punctul 119864) icircntr-un anumit loc al epruvetei secţiunea

icircncepe să se micşoreze (se produce gacirctuirea) continuacircnd pacircnă cacircnd se produce ruperea

totală (punctul 119865)

Dacă după ruperea epruvetei cele două părţi rezultate se aşează cap la cap şi se

măsoară dimensiunea bazei de măsurare 119871119906 (lungimea ultimă) se determină alungirea la

rupere sau lungirea specifică la rupere 휀119903

휀119903 =119871119906 minus 11987101198710

=∆119871

1198710=120575

1198710 (444)

De obicei alungirea se exprimă icircn procente şi se notează cu 119860119899 unde 119899 reprezintă

numărul dat de raportul 11987101198890 (epruvete normale 119899 = 5 epruvete lungi 119899 = 10)

119860119899 =119871119906 minus 11987101198710

∙ 100 [] (445)

Altă mărime care se determină la icircncercarea la tracţiune este gacirctuirea la rupere

(exprimată de obicei icircn procente) şi definită de relaţia

119885 =1198600 minus 1198601199061198600

∙ 100 [] (446)

Mărimile determinate limita de proporţionalitate modulul de elasticitate

longitudinal limita de elasticitate limita de curgere aparentă rezistenţa de rupere

alungirea la rupere şi gacirctuirea la rupere sunt cunoscute ca fiind caracteristici mecanice

ale materialului

Din curba caracteristică convenţională observăm faptul că ruperea (punctul 119865 din

figura 48 se produce la o tensiune mai mică decacirct cea corespunzătoare punctului 119864 Dacă

icircnsă forţa din timpul icircncercării s-ar raporta la aria secţiunii din momentul icircnregistrării

forţei (care este mai mică decacirct cea iniţială 1198600) s-ar obţine aşa numita curbă

caracteristică reală a materialului (traseul 1198741198601198611198621198631198651 din figura 48) La curba

caracteristică reală ruperea se produce icircn punctul 1198651 la o icircncărcare mai mare decacirct cea

corespunzătoare punctului 119864 Icircnseamnă că rezistenţa reală la rupere este mai mare decacirct

rezistenţa la rupere dată de punctul 119864 din diagrama caracteristică convenţională

Dificultatea obţinerii diagramei caracteristice reale faţă de cea a diagramei caracteristice

convenţionale şi considerarea unei rezistenţe la rupere mai mică decacirct a celei reale face

icircn practică utilizarea pe scară mare a diagramei caracteristice convenţionale

Caracteristicile mecanice determinate pe baza curbei caracteristice convenţionale

sunt şi ele caracteristici mecanice convenţionale

Caracteristicile mecanice convenţionale limita de proporţionalitate convenţională

120590119901 limita de elasticitate convenţională 120590119890 limita de curgere convenţională 120590119888 şi rezistenţa

de rupere 120590119903 constituie tensiuni limită pentru un material Pe baza acestor caracteristici

de material se alege valoarea tensiunii admisibile 120590119886 (vezi paragraful 35) pentru

calculele de rezistenţă Cea mai utilizată stare limită pentru stabilirea tensiunii admisibile

120590119886 este limita de curgere convenţională 120590119888

120590119886 =120590119897119894119898119888

=120590119888119888 119904119886119906 120590119886 =

120590119903119888 (447)

Caracteristicile mecanice ale materialului sunt influenţate de o serie de factori

temperatura viteza de solicitare factorii tehnologici iar valorile lor sunt date icircn tabele și

diagrame

Aplicaţie Pentru suprafaţa plană compusă din două dreptunghiuri avacircnd

dimensiunile din figura 49a să se calculeze

a) centrul de greutate al secțiunii compuse 119910119866 119911119866

b) momentele de inerție axiale 119868119911 119868119910 și momentul de inerție centrifugal 119868119911119910

c) razele de inerție 119894119911 119894119910

d) modulele de rezistență 119882119911119898119894119899 119882119911119898119886119909 119882119910119898119894119899 119882119910119898119886119909

e) momentele de inerție principale 1198681 1198682 și direcțiile principale de inerție 1205721

f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 119878119911

Fig 49 Aplicație

Rezolvare Pentru rezolvare vom parcurge următoarele etape

icircmpărțim suprafața compusă icircn două suprafețe simple (dreptunghiuri) notate cu

① și respectiv ② figura 49b

poziționăm centrele de greutate a celor două suprafețe simple ① și respectiv ②

notate cu 1198661 și respectiv 1198662 figura 49c

poziționăm sistemele de axe de coordonate 119911111986611199101 pentru dreptunghiul ① și

119911211986621199102 pentru dreptunghiul ② aflate la intersecția diagonalelor figura 49c

poziționăm sistemele de axe de coordonate 11991101198741199100 ales arbitrar față de care

determinăm poziția centrului de greutate 119866 figura 49c

a) calculăm poziția centrului de greutate folosind relațiile (46) icircn care

1198601 = 6119905 ∙ 119905 = 61199052 1198602 = 4119905 ∙ 119905 = 41199052 119860 = 1198601 + 1198602 = 61199052 + 41199052 = 101199052

iar centrele de greutate 1198661 și respectiv 1198662 au coordonatele (față de sistemul 11991101198741199100)

1198661 1199101 = 3119905 1199111 = 05119905

1198662 1199102 = 051199051199112 = 3119905

cu acestea obținem

119910119866 =1198601 ∙ 1199101 + 1198602 ∙ 1199102

119860=61199052 ∙ 3119905 + 41199052 ∙ 05119905

101199052=201199053

101199052= 2119905

119911119866 =1198601 ∙ 1199111 + 1198602 ∙ 1199112

119860=61199052 ∙ 05119905 + 41199052 ∙ 3119905

101199052=151199053

101199052= 15119905

Poziționăm centrul de greutate 119866 al suprafeței compuse figura 49c

Fig 49 Aplicație

b) pentru determinarea momentelor de inerție axiale 119868119911 119868119910 și a momentului de

inerție centrifugal 119868119910119911 determinăm constantele 1198881 1198882 1198891 1198892 care intervin icircn relația lui

Stainer

1198881 = 1199101 minus 119910119866 = 3119905 minus 2119905 = 119905 1198882 = minus(119910119866 minus 1199102) = minus(2119905 minus 05119905) = minus15119905

1198891 = minus(119911119866 minus 1199111) = minus(15119905 minus 05119905) = minus119905 1198892 = 1199112 minus 119911119892 = 3119905 minus 15119905 = 15119905

Folosind relațiile lui Stainer (429) (430) și (431) calculăm momentele de

inerție axiale și centrifugale față de sistemul central 119911119866119866119910119866

119868119911 =sum(119868119911119894 + 1198881198942 ∙ 119860119894) = 1198681199111 + 1198881

2 ∙ 1198601 + 1198681199112 + 11988822 ∙ 1198602

119868119910 =sum(119868119910119894 + 1198891198942 ∙ 119860119894) = 1198681199101 + 1198891

2 ∙ 1198601 + 1198681199102 + 11988922 ∙ 1198602

119868119911119910 =sum(119868119911119894119910119894 + 119888119894 ∙ 119889119894 ∙ 119860119894) = 11986811991111199101 + 1198881 ∙ 1198891 ∙ 1198601 + 11986811991121199102 + 1198882 ∙ 1198892 ∙ 1198602

1198681199111 = (119887 ∙ ℎ3

12) =

119905 ∙ (6119905)3

12= 181199054 1198681199112 = (

119887 ∙ ℎ3

12) =

4119905 ∙ 1199053

12= 031199054

1198681199101 = (1198873 ∙ ℎ

12) =

1199053 ∙ 6119905

12= 051199054 1198681199102 = (

1198873 ∙ ℎ

12) =

(4119905)3 ∙ 119905

12= 531199054

11986811991111199101 = 11986811991121199102 = 0 deoarece cele două triunghiuri au cel puțin o axă de simetrie

Cu acestea momentele de inerție axiale și momentul de inerție centrifugal devin

119868119911 = 181199054 + 1199052 ∙ 61199052 + 031199054 + (minus15119905)2 ∙ 41199052 = 3331199054

119868119910 = 051199054 + (minus119905)2 ∙ 61199052 + 531199054 + (15119905)2 ∙ 41199052 = 2081199054

119868119911119910 = 0 + 119905 ∙ (minus119905) ∙ 61199052 + 0 + (minus15119905) ∙ (15119905) ∙ 41199052 = minus151199054

c) razele de inerție sau de girație față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910

se calculează cu relațiile (411)

119894119911 = radic119868119911119860= radic

3331199054

101199052= 182119905 119894119910 = radic

119868119910

119860= radic

2081199054

101199052= 144119905

d) modulele de rezistență față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910 se

calculează cu relațiile (412) și (413)

Avacircnd icircn vedere figura 419c obținem

119910119898119886119909 = 6119905 minus 119910119866 = 6119905 minus 2119905 = 4119905 119910119898119894119899 = minus119910119866 = minus2119905

119911119898119886119909 = 5119905 minus 119911119866 = 5119905 minus 15119905 = 35119905 119911119898119894119899 = minus119911119866 = minus15119905

Se obține astfel

119882119911119898119894119899 =119868119911

|119910119898119886119909|=3331199054

4119905= 8331199053

119882119911119898119886119909 =119868119911

|119910119898119894119899|=3331199054

2119905= 16651199053

119882119910119898119894119899 =119868119910

|119911119898119886119909|=2081199054

35119905= 5941199053

119882119910119898119886119909 =119868119910

|119911119898119894119899|=2081199054

15119905= 13871199053

e) momentele de inerție principale 1198681 și respectiv 1198682 se calculează cu relațiile

(438)

11986812 =119868119911 + 119868119910

2plusmn1

2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)

2+ 4 ∙ (119868119911119910)

2=

=3331199054 + 2081199054

2plusmn1

2∙ radic(3331199054 minus 2081199054)2 + 4 ∙ (minus151199054)2 = 27051199054 plusmn 16251199054

De unde obținem

1198681 = 27051199054 + 16251199054 = 4331199054

1198682 = 27051199054 minus 16251199054 = 1081199054

Prima direcție principală de inerție 1 face cu axa centrală 119866119911 unghiul 1205721 dat de

relația (437)

1205721 =1

2∙ arctan (minus

2 ∙ 119868119911119910

119868119911 minus 119868119910) =

1

2∙ arctan [minus

2 ∙ (minus151199054)

3331199054 minus 2081199054] =33 70

Deoarece 1205721 gt 0 rotirea axelor se face acircn sens antiorar acelor de ceasornic figura

49d

Poziția axe principale 2 față de care momentul de inerție are valoarea minimă

1198682 = 119868119898119894119899 este dată de unghiul

1205722 = 1205721 + 900 = 33 70 + 900 = 123 70

f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 se determină cu relația

(45)

1198781199111198602 = 1198602 ∙ 1198882 = 41199052 ∙ (minus15119905) = minus61199053

Cu valorile obţinute se trasează diagramele forţelor axială Nx = f(x) şi tăietoare

Ty = f(x) figura 220 Din diagrama forţei tăietoare şi din valorile obţinute analitic se

observă că forţa tăietoare icircşi schimbă semnul pe intervalul analizat deci se anulează pe

acest interval Poziţia secţiunii unde Ty se anulează se determină din ecuaţia

Ty(x1) = 0 rArr VA minus p ∙ x1 = 0 (A9)

cu soluţia x1lowast = ξ = 42 [m] Important de reamintit că icircn această secţiune momentul

icircncovoietor va avea un extrem local adică Miz are un extrem la Ty = 0

Funcţia moment icircncovoietor Miz are expresia

Miz(x1) = VA ∙ x1 minus R1 ∙x12= VA ∙ x1 minus (p ∙ x1) ∙

x12

(A10)

Se observă că funcţia moment icircncovoietor de variabilă x1 are o variaţie parabolică

(gradul al II-lea) Pentru reprezentarea grafică a funcţiei parabolice se calculează valorile

momentului icircncovoietor icircn trei secţiuni

- pentru x1 = 0 Miz(x1 = 0) = MA = 0 [kN ∙ m] - pentru x1 = a = 6 [m] Miz(x1 = 6) = M1 = 72 [kN ∙ m] - pentru x1

lowast = ξ = 42 [m] Miz(x1lowast = ξ = 42 [m]) = Mimax = 882 [kN ∙ m]

Cu acestea se trasează diagrama Miz = f(x) pe intervalul (A-1) figura 220

Observaţie Icircn unele cazuri pe un anumit interval forţa tăietoare nu se anulează

şi momentul icircncovoietor nu are un extrem local Icircn acest caz pentru reprezentarea

variaţiei parabolice a momentului icircncovoietor se va studia semnul derivatei a doua a

funcţiei Miz = f(x1) acesta determinacircnd convexitatea curbei momentului icircncovoietor

Domeniul (2-B) x2 isin [0 c = 4 m] Porţiunile din grindă libere (nerezemate) la un capăt se numesc console iar

stabilirea funcţiilor de eforturi devine mai simplă dacă se consideră icircndepărtată partea din

dreapta secţiunii prin schimbarea sensului pozitiv al axei x Astfel se obţin funcţiile eforturilor

Funcţia forţă axială Nx are expresia

Nx(x2) = N2minusB = minusFH = minus173 [kN] = const

(A11)

Funcţia forţă tăietoare Ty are exspresia

Ty(x2) = T2minusB = FV = 10 [kN] = const (A12)

Funcţia moment icircncovoietor Miz are expresia

Miz(x2) = minusFV ∙ x2 rArr Miz(x2 = 0) = M2 = 0 [kN ∙ m]

Miz(x2 = 4) = MB = minus40 [kN ∙ m] (A13)

variaţie liniară (gradul I)

Domeniul (B-1) x3 isin [0 b = 4 m] Pe acest domeniu se acceptă parcurgerea grinzii de la dreapta adică se consideră

icircndepărtată partea din dreapta secţiunii fictive pentru că are doar două sarcini aplicate F

şi VB faţă de partea din stacircnga secţiunii pe care sunt aplicate trei sarcini p VA şi M0

Astfel se obţin funcţiile eforturilor

Funcţia forţă axială Nx are expresia

Nx(x3) = NBminus1 = minusFH = minus173 [kN] = const

(A14)

Funcţia forţă tăietoare Ty are exspresia

Ty(x3) = TBminus1 = FV minus VB = minus18 [kN] = const (A15)

Funcţia moment icircncovoietor Miz are expresia

Miz(x3) = minusFV ∙ (x3 + c) + VB ∙ x3 rArr

rArr Miz(x3 = 0) = MB = minus40 [kN ∙ m]

Miz(x3 = 4) = M1 = 32 [kN ∙ m]

(A16)

variaţie liniară (gradul I)

Diagramele eforturilor sunt prezentate icircn figura 220

c) Relaţiile diferenţiale dintre eforturi şi sarcini se analizează pe diagramele

eforturilor după cum urmează

sarcina distribuită nu are componentă orizontală adică ph = 0 şi icircn

conformitate cu formula (211) rezultă că Nx = const pe toată lungimea grinzii fapt care

a rezultat din funcţia şi reprezentarea diagramei forţei axiale

pe intervalul (A-1) sarcina distribuită are doar componenta verticală pozitivă

pV = p gt 0 prin urmare forţa tăietoare scade (are panta negativă dTy 119889119909frasl = minusp vezi

relaţia 210) iar momentul icircncovoietor avacircnd derivata a doua negativă d2M119894119911 1198891199092frasl =minuspare convexitatea curbei orientată spre sensul pozitiv al axei momentului Miz adică icircn

jos

pe domeniile (2-B) şi (B-1) deoarece pv = 0 forţa tăietoare Ty este constantă

iar momentul icircncovoietor Miz variază liniar

referitor la relaţia (212) pe porţiunile unde Ty gt 0 momentul Miz este

monoton crescător pe porţiunile unde Ty lt 0 momentul Miz este monoton descrescător

iar icircn secţiunea icircn care Ty = 0 momentul icircncovoietor are un extrem local Mξ =

882 [kN ∙ m] icircn diagrama forţei tăietoare discontinuităţile (salturile) se produc icircn secţiunile

unde acţionează VA VB şi FV iar icircn diagrama momentului icircncovoietor se produce un

singur salt icircn secţiunea icircn care este aplicat M0

se poate scrie

Mξ = suprafața diagramei Ty |ξ0=1

2∙ 42 ∙ 42 = 882 [kN ∙ m]

sau parcurgacircnd grinda de la dreapta la stacircnga rezultă

MB = minussuprafața diagramei Ty |c0= minus10 ∙ 4 = minus40 [kN ∙ m]

Toate aspectele analizate teoretic referitoare la relaţiile diferenţiale dintre eforturi

şi sarcini se regăsesc icircn diagramele de eforturi din figura 220 ceea ce icircnseamnă că

diagramele au fost reprezentate corect

3 TENSIUNI DEPLASĂRI ŞI DEFORMAŢII SPECIFICE

31 Tensiuni

Eforturile obținute icircn urma reducerii forțelor interioare icircn centrul de greutate al

secțiunii nu pot da informații asupra solicitării fiecărui punct al secțiunii respective Este

necesar să se cunoască modul cum se distribuie forțele interioare icircn fiecare punct al

secțiunii pentru a ști care este intensitatea maximă a solicitării Această intensitate

maximă se poate compara cu o valoare critică specifică materialului stabilindu-se astfel

dacă solicitarea este periculoasă sau nu

Mărimea care caracterizează solicitarea locală punctuală o vom denumi tensiune

și o vom defini icircn cele ce urmează Să considerăm partea din dreapta a unui corp solicitat

de forțele exterioare 1198651 1198652 și 1198653 obținută prin secționarea corpului și mărginită de fața

din dreapta Ad a secțiunii Pe secțiunea Ad vom considera un element de arie infinit mic

∆119860 caracterizat de normala la elementul de arie normală care are cosinușii directori

120573 și icircn raport cu un sistem de axe considerat fix Pe elementul infinit mic ∆119860 acționează

forțele interioare care au o rezultantă oarecare figura 31

Prin definiție tensiunea totală este

= lim∆119860rarr0

∆

∆119860 (31)

Tensiunea are aceeaşi direcţie cu forţa elementară ∆ iar mărimea ei este

determinată atacirct de mărimea forţei ∆ cacirct şi de orientarea suprafeţei ∆119860 faţă de direcţia

forţei

Tensiunea 119901 poate fi descompusă icircntr-o componentă orientată după direcţia

normalei la secţiune tensiunea normală notată cu 120590119909 şi o componentă icircn planul secţiunii

tensiunea tangenţială notată cu figura 32

= 119909 + 120591 (32)

Fig 31 Tensiunea totală Fig 32 Tensiunea normală și tangențială

La racircndul ei componenta tensiunii cuprinsă icircn planul secțiunii poate fi

descompusă după direcțiile axelor y și z

120591 = 120591119909119910 + 120591119909119911 (33)

Icircntre cele trei componente ale tensiunii totale care acționează pe elementul de arie

∆119860 este valabilă relația

1199012 = 1205901199092 + 120591119909119910

2 + 1205911199091199112 (34)

După sensul pe care icircl are tensiunea normală 120590 poate avea efect de tracţiune sau

de compresiune exercitat de către partea de corp icircnlăturată asupra părţii rămase Analog

tensiunea tangenţială 120591 poate avea efect de tăiere forfecare sau alunecare Pentru

componentele tensiunii tangențiale 120591119909119910 pe direcţia 119910 respectiv 120591119909119911 pe direcţia 119911 primul

indice indică axa pe care tensiunea este normală iar cel de-al doilea indice indică axa cu

care aceasta este paralel

Tensiunea este o mărime tensorială valoarea ei depinzacircnd atacirct de poziția

punctului icircn planul secțiunii cicirct și de orientarea planului de secționare deci de normala

Operaţiile vectoriale nu pot fi aplicate tensiunilor decacirct după ce acestea au fost icircnmulţite

cu ariile respective adică au fost transformate icircn forţe

Icircn literatura de specialitate mai ales icircn manualele mai vechi pentru noţiunea de

tensiune se mai foloseşte şi denumirea de efort specific

Dacă se consideră un alt element de arie ∆119860 cu centrul icircn același punct avacircnd ca

normală axa 119910 se vor obține alte tensiuni și anume

- 120590119910 este tensiunea normală (paralelă cu axa y)

- 120591119911119909 și 120591119910119911 sunt tensiuni tangențiale paralele cu axele 119909 și respectiv 119911 aflate icircn

planul care are ca normală axa 119910

Dacă icircn jurul unui punct dintr-un corp solicitat se consider un element de volum

infinit mic de forma unui cub icircn cazul cel mai general pe fețele sale vor acționa

tensiunile normale 120590119909 120590119910 și 120590119911 și respectiv tensiunile tangențiale 120591119909119910 120591119909119911 120591119910119909 120591119910119911 120591119911119909

și respectiv 120591119911119910 figura 33 Aceste tensiuni definesc starea de tensiune a punctului

observacircnd faptul că tensorul tensiune are 9 componente Dacă se consideră elementul

de volum finit ca fiind foarte mic se poate presupune că icircn interiorul său nu apar forțe

Ca urmare el va fi icircn echilibru sub acțiunea forțelor elementare produse de tensiunile de

pe fețele sale

Din condiția ca elementul să nu se rotească icircn jurul unor axe care trec prin centrul

său și sunt paralele cu axele sistemului 119909119874119910119911 rezultă

2 ∙ 120591119909119910 ∙ (119889119910 ∙ 119889119911) ∙119889119909

2= 2 ∙ 120591119910119909 ∙ (119889119909 ∙ 119889119911) ∙

119889119910

2 rArr 120591119909119910 = 120591119910119909 (35)

2 ∙ 120591119910119911 ∙ (119889119909 ∙ 119889119911) ∙119889119910

2= 2 ∙ 120591119911119910 ∙ (119889119909 ∙ 119889119910) ∙

119889119911

2 rArr 120591119910119911 = 120591119911119910 (36)

2 ∙ 120591119909119911 ∙ (119889119910 ∙ 119889119911) ∙119889119909

2= 2 ∙ 120591119911119909 ∙ (119889119909 ∙ 119889119910) ∙

119889119911

2 rArr 120591119909119911 = 120591119911119909 (37)

Relațiile (35divide37) 120591119909119910 = 120591119910119909 120591119910119911 = 120591119911119910 120591119909119911 = 120591119911119909 exprimă principiul dualității

tensiunilor tangențiale

Fig 33 Tensiunile normale și tangențiale pe fețele unui cub

Din condiția ca elementul considerat să nu se deplaseze icircn lungul axelor de

coordonate pe fețele opuse acționează aceleași tensiuni normale 120590119909 120590119910 și respectiv 120590119911

Definirea tensorului tensiune este posibilă dacă se cunosc cele 6 componente

independente ale acestuia aflate icircn trei plane perpendicular ce trec prin punctul respectiv

=

120590119909 120591119909119910 120591119909119911120591119910119909 120590119910 120591119910119911120591119911119909 120591119911119910 120590119911

Observaţii

Tensiunile se măsoară icircn [119873 1198982frasl ] (1119873 1198982frasl = 1 119875119886) sau icircn [119872119875119886]

(1 119872119875119886 = 106119875119886 = 106 119873

1198982 1 119872119875119886 = 1

119873

1198981198982)

Starea de tensiune dintr-un punct este considerată cunoscută dacă se cunosc

tensiunile 119901 care acționează pe infinitatea de elemente de suprafață ce trec prin punctual

considerat

Starea de tensiune a unui corp se consider cunoscută dacă se cunosc stările de

tensiune de pe infinitatea de puncte ale corpului considerat

32 Deplasări Deformaţii specifice

321 Deplasări

Aceste noțiuni sunt utile icircn analiza aspectului geometric al problemelor de rezistența

materialelor Deplasările care se analizează sunt cele datorate schimbării formei și

dimensiunilor corpurilor ca urmare a acțiunii forțelor exterioare și nu cele cinematice

posibile pentru solidul rigid care se poate deplasa cu anumită viteză și accelerație

Spre exemplu icircn figura 34a și figura 34b sub acțiunea forței 119865 tronsonul de

bară AB se deformează icircn timp ce tronsonul BC deși punctele sale au deplasări rămacircne

nedeformat (fiind nesolicitat) Toate punctele de pe axele barelor cu excepția celor din

icircncastrare (secțiunile A) au deplasări liniare De cele mai multe ori deformațiile barelor

datorate acțiunii forțelor exterioare se anulează la icircndepărtarea forțelor se spune că

deformațiile sunt elastice Secțiunile transversale ale barei din figura 34a se și rotesc icircn

raport cu pozițiile lor inițiale Spre exemplu secțiunea de căpăt cu centrul icircn C se rotește

cu unghiul

Fig 34 Deformațiile unei grinzi

Oricacirct de complexă ar fi delormația unui corp ea poate fi descrisă de lungiri sau

scurtări și de modificări ale unghiurilor inițiale

Deplasările măsoară schimbarea poziției unui punct al corpului și pot fi liniare

sau unghiulare

Prin deplasare liniară a unui punct se icircnțelege drumul parcurs de acest punct icircn

decursul procesului de deformație după o dreaptă suport dreapta 1198611198611 din figura 34a

Prin deplasare unghiulară se icircnțelege rotirea dintre segmentele de dreaptă

determinate de două puncte ale corpului icircnainte și după deformarea acestuia unghiul

pe care-l fac segmentele 119861119862 și 11986111198621 din figura 34a Această rotire se măsoară prin

unghiul pe care-l fac proiecțiile dreptelor ce conțin cele două segmente icircntr-un sistem

triortogonal

Icircn cazul cel mai general vectorul deplasare liniară se poate descompune icircntr-un

sistem triortogonal icircn trei componente 119906 119907 și 119908 figura 35

Fig 35 Deplasarea liniară

Se consideră acum un corp solid raportat la un sistem de axe ortogonal 119909119874119910119911

figura 35 după deformarea corpului un punct oarecare 119870 al acestuia se deplasează icircn

poziţia 1198701 vectorul 1198701198701 poartă numele de vectorul deplasării totale

Deplasarea totală este suma deplasărilor pe cele trei direcţii ortogonale iar

aceste deplasări se notează astfel

deplasarea pe direcţia 119909 cu ∥ 119874119909

deplasarea pe direcţia 119910 cu ∥ 119874119910

deplasarea pe direcţia 119911 cu ∥ 119874119911

Componentele deplasărilor și formeză matricea deplasărilor liniare 119906119907119908

322 Deformații

Prin deformație icircn general se icircnțelege orice schimbare de formă a unui corp fără

o evaluare cantitativă Icircn Rezistența Materialelor deformația măsoară variația

dimensiunilor geometrice ale corpului considerat din vecinătatea unui punct analog

deplasărilor deformațiile pot fi liniare și unghiulare (lunecări)

Fig 36 Deplasarea liniară

Deformația liniară ∆119897 reprezintă variația lungimii 119897 a unui element liniar al

corpului deformat figura 36 Deformația liniară specifică se definește ca fiind raportul

dintre deformația liniară și lungimea inițială

휀 =∆119897

119897 (38)

unde ∆119897 este lungirea sau scurtarea care este echivalentă cu deformția liniară totală iar

este alungirea

Deformația unghiulară sau lunecarea unui punct 119860 icircn planul 119861119860119862 se definește

prin relația figura 37

120574 = lim119861119860rarr0119862119860rarr0

(119861119860 minus 119861111986011198621 ) (39)

Fig 36 Deformația unghiulară

Schimbacircnd orientarea planului care trece prin 119860 se obțin alte deformații

unghiulare Dacă elementele liniare 119861119860 și 119862119860 sunt inițial perpendiculare deformația 120574 se

numește deformație unghiulară specifică sau lunecare specifică figura 37

Un exemplu de deplasare unghiulară și de deformație unghiulară este prezentat icircn

figura 38 Unghiul este deplasarea unghiulară și măsoară rotirea relativă dintre două

secțiuni aflate la distanța 119897 Unghiul este deformația specifică unghiulară (lunecarea

specifică) din punctul 119870 Aceste deplasări și deformații se obțin icircn urma solicitării barei

de către cele două momente 1198720 egale și de sens contrar

Fig 38 Deplasarea unghiulară

Pentru a analiza starea de deformație din vecinătatea unui punct al unui corp

solicitat complex se decupează din jurul punctului un element de volum mic figura 39a

avacircnd laturile 119889119909 119889119910 și 119889119911 Ca urmare a solicitării laturile acestuia se vor lungi sau

scurta Reprezentarea elementului deformat icircn spațiu este dificilă pentru simplificare

vom analiza doar deformațiile din planul 119909119874119910 Observăm că dimensiunile 119889119909 și 119889119910 s-au

modificat cu valoarea ∆119889119909 respectiv cu ∆119889119910 analog se acceptă și pentru 119889119911 o modificare

de forma ∆119889119911 Astfel se pot defini deformațiile specifice liniare

휀119909 =∆119889119909

119889119909 휀119910 =

∆119889119910

119889119910 휀119911 =

∆119889119911

119889119911 (310)

De cele mai multe ori aceste deformații specifice liniare se pot exprima procentual

și se mai numesc alungiri

Fig 39 Starea de deformație

Icircn figura 39c se vede că unghiul inițial drept dintre muchiile 119889119909 și 119889119910 ale

elementului de volum s-a modificat Se definește deformația specifică unghiulară (sau

lunecarea specifică) mărimea cu care se modifică unghiul inițial drept

120574119909119910 = 120574119909119910prime + 120574119910119909

prime = 120574119910119909120574119910119911 = 120574119910119911

prime + 120574119911119910prime = 120574119911119910

120574119911119909 = 120574119911119909prime + 120574119909119911

prime = 120574119909119911

(311)

Deformațiile 휀119909 휀119910 휀119911 120574119909119910 120574119910119911 120574119911119909 constituie cele șase componente

independente ale tensorului deformațiilor specifice care pot fi scrise de forma

119863 =

휀119909 120574119909119910 120574119909119911120574119910119909 휀119910 120574119910119911120574119911119909 120574119911119910 휀119911

(312)

323 Contracţia transversală

Practica arată că odată cu lungirea unei bare apare o micşorare a mărimii secţiunii

transversale mărime numită contracţie transversală figura 310

Fig 310 Contracția transversală

Contracţia transversală este proporţională cu lungirea specifică coeficientul de

proporţionalitate se notează cu 120599 şi se numeşte coeficient de contracţie transversală sau

coeficientul lui Poisson

La o lungire specifică a barei contracţia transversală este dată de relația

휀119905119903 = 휀119910 = 휀119911 = minus120599 ∙ 휀119909 (313)

Semnul minus bdquo-rdquo arată că cele două mărimi sunt contrare dacă una creşte cealaltă

scade şi invers

Considerăm o bară cilindrică de lungime 119897 şi aria secţiunii transversale 119860 solicitată

la icircntindere axială La un moment dat datorită solicitării lungimea barei devine

[119897 ∙ (1 + 휀)] diametrul devine [119889 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)] iar aria secţiunii transversale devine

[119860 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)2] Dacă volumul barei icircnainte de solicitare a fost (119860 ∙ 119897) după solicitare

acesta devine

119881 + ∆119881 = 119860 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)2 ∙ 119897 ∙ (1 + 휀) =

= 119860 ∙ 119897 ∙ (1 + 휀 minus 2 ∙ 120599 ∙ 휀 minus 2 ∙ 120599 ∙ 휀2 + 1205992 ∙ 휀2 + 1205992 ∙ 휀3) (314)

Deoarece lungirile sunt foarte mici ultimii trei termeni din paranteză fiind infinit mici se pot neglija obţinacircnd

119881 + ∆119881 = 119860 ∙ 119897 + 119860 ∙ 119897 ∙ 휀 ∙ (1 minus 2 ∙ 120599) ⟺ ∆119881 = 휀 ∙ (1 minus 2 ∙ 120599) ∙ 119860 ∙ 119897 (315)

Practica arătă că o astfel de bară solicitată la icircntindere icircşi măreşte volumul deci

∆119881 gt 0 de unde rezultă că

1 minus 2 ∙ 120599 gt 0 rArr 120599 lt 05 (316)

Pentru majoritatea materialelor 120599 = 033 iar pentru materialele care-şi păstrează

volumul constant 120599 = 05

33 Relaţii de echivalenţă icircntre eforturi şi tensiuni

Considerăm un element de suprafață infinit mic 119889119860 situat pe fața de arie (119860) a

secțiunii barei din figura 311 Icircn centrul de greutate 119862 al secțiunii acționează eforturile

119873 119879119910 119879119911 119872119909 119872119894119910 și 119872119894119911 determinate prin metoda secțiunilor

Icircn raport cu un sistem de axe de referință 119909119862119910119911 coordonatele elementului 119889119860 sunt

- 119910 este ordonata elementului de arie 119889119860

- 119911 este abscisa elementului de arie 119889119860

Pe elementul de arie 119889119860 acționează tensiunile

120590119909 tensiunea normală

120591119909119910 și 120591119909119911 tensiuni tangențiale

Dacă se icircnsumează forțele elementare de tipul 120590119909 ∙ 119889119860 120591119909119910 ∙ 119889119860 și 120591119909119911 ∙ 119889119860

va trebui să obținem eforturile 119873 119879119910 și 119879119911

Fig 311 Element de suprafață mic din secțiunea unei bare

Dacă eforturile sunt privite ca forțe exterioare și se scriu ecuațiile de

echilibru ale secțiunii (119860) se vor obține șase relații de echivalență icircntre eforturi și

tensiuni

(sum119883) = 0 rArr int 120590119909 ∙ 119889119860

119860

= 119873 (317)

(sum119884) = 0 rArr int 120591119909119910 ∙ 119889119860

119860

= 119879119910 (318)

(sum119885) = 0 rArr int 120591119909119911 ∙ 119889119860

119860

= 119879119911 (319)

(sum119872)119909= 0 rArr int(120591119909119911 ∙ 119889119860) ∙ 119910

119860

minus int(120591119909119910 ∙ 119889119860) ∙ 119911

119860

= 119872119909 rArr

rArr int(119910 ∙ 120591119909119911 minus 119911 ∙ 120591119909119910) ∙ 119889119860

119860

= 119872119909

(320)

(sum119872)119910= 0 rArr int(120590119909 ∙ 119889119860) ∙ 119911

119860

= 119872119894119910 (321)

(sum119872)119911= 0 rArr int(120590119909 ∙ 119889119860) ∙ 119910

119860

= 119872119894119911 (322)

Cele șase relații de echivalență icircntre eforturi și tensiuni constituie un pas icircnainte

icircn rezolvarea unei probleme de rezistența materialelor Aceste relații vor permite

determinarea tensiunilor maxime

Pentru a rezolva cele 6 relații de echivalență trebuie să se cunoască tensiunile și

ca funcții de punct adică funcții de forma

120590119909 = 120590119909(119909 119910 119911) 120591119909119910 = 120591119909119910(119909 119910 119911) 120591119909119911 = 120591119909119911(119909 119910 119911) (32

3)

Cunoașterea acestor funcții presupune icircnsă analizarea aspectului geometric al

problemei precum și utilizarea unor ipoteze simplificatoare care să permită simplificarea

problemelor

34 Ipoteze de bază icircn rezistenţa materialelor

Depășirea dificultăților legate de interpretarea unor fenomene specifice mecanicii

solidului deformabil a impus acceptarea unor ipoteze care să simplifice fenomenele și să

contribuie la elaborarea unor modele de calcul cicirct mai generale și cacirct mai simple Aceste

ipoteze se referă la structura materialelor şi la comportarea lor sub acţiunea forţelor

exterioare Ipotezele acceptate trebuie să fie icircn deplină concordanţă cu realitatea și să

conducă la rezultate verificate icircn practică

Funcție de aspectele la care se referă ipotezele pot fi

Ipoteze fizice (de material)

Ipoteze de calcul

341 Ipoteze fizice

Se acceptă deoarece teoriile structurale au condus la rezultate care contravin

icircncercărilor experimentale

Ipoteza mediului continuu consideră că orice domeniu elementar al corpului

este ocupat de materie adică nu se acceptă existența unor goluri sau a unor crăpături

microscopice (fisuri) Deși nu corespunde realităţii poate fi acceptată deoarece

dimensiunile corpului sunt mult mai mari decacirct dimensiunile particulelor elemantare Are

avantajul că permite utilizarea proprietăților matematice ale funcțiilor continue pentru

tensiunile și deformațiile din orice punct al corpului Ea este mai apropiată de realitate la

corpurile amorfe şi mai depărtată la cele cristaline dar conduce la rezultate satisfăcătoare

icircn calculele de rezistenţă

Ipoteza nu se poate aplica la corpurile care au goluri tăieturi (multiplu conexe)

pentru unele puncte singulare icircn care tensiunile și deformațiile tind la infinit sau icircn unele

probleme de plasticitate icircn care proprietățile de material au un rol esențial

Ipoteza izotropiei conform acestei ipoteze materialul din care este confecționat

un element de rezistență are aceleași proprietăți după orice direcție un astfel de material

este considerat izotrop Din punct de vedere macroscopic metalele pot fi considerate

izotrope deși la nivel microscopic proprietățile lor diferă de la o direcție cristalografică

la alta Orice conglomerat de cristale poate fi considerat izotrop

Există cazuri cacircnd această ipoteză a izotropiei nu se acceptă

la metalele puternic deformate după o direcție (prin laminare trefilare)

la piesele confecționate din lemn lemnul este anizotrop deoarece proprietățile sale

diferă după două direcții (icircn lungul fibrelor și perpendicular pe această direcție)

Ipoteza omogenității consideră că un corp are aceleași proprietăți icircn orice

punct al său Deși majoritatea materialelor utilizate icircn tehnică sunt eterogene la scară

micro fiind constituite din mai multe faze cu proprietăți diferite la scară macro ele pot

fi considerate omogene Omogenitatea și izotropia sunt proprietăți statistice medii care

nu se condiționează una pe cealaltă Chiar și materialele monofazice pot avea la scară

micro unele segregații care le fac eterogene

Ipoteza elasticităţii perfecte presupune că atacircta timp cacirct solicitările nu

depăşesc anumite limite materialul are o comportare elastică adică icircşi recapătă forma şi

dimensiunile iniţiale odată cu icircnlăturarea sarcinilor Icircn realitate materialele nu prezintă o

elasticitate perfectă ele avacircnd deformaţii remanente mici care icircnsă pot fi neglijate icircn

calculele de rezistenţă

Acceptarea acestei ipoteze a elasticității perfecte permite

- aplicarea relației biunivoce icircntre tensiuni și deformații relație exprimată de legea

lui Hooke ( = 119864 ∙ 휀) unde E este un factor de proporţionalitate numit modul de

elasticitate longitudinal al materialului pentru oţel 119864 = 21 ∙ 105 [119872119875119886] - acceptarea valabilității afirmației bdquolucrul mecanic efectuat de forțele exterioare

ca urmare a parcurgerii deplasărilor punctelor de aplicație se icircnmagazinează integral icircn

corp sub formă de energie de deformație energie cedată la icircndepărtarea sarcinilorrdquo

- este valabilă teoria conform căreia bdquoenergia icircnmagazinată și deformațiile depind

doar de starea inițială și finală de eforturi fără a ține cont de modul icircn care s-a ajuns la

starea finalărdquo

Icircn realitate oricacirct de mici ar fi sarcinile aplicate se produc și deformații plastice

dar acestea pot fi neglijate dacă solicitarea nu depășește anumite limite

342 Ipoteze de calcul

Ipoteza micilor deplasări bdquodeplasările datorate deformării sunt mult mai mici

decacirct dimensiunile corpurilor și ca urmare pot fi neglijate produsele dintre o deplasare și

ea icircnsăşirdquo Pentru cele mai multe corpuri deformaţiile elastice sunt de mărimi mici deci

corpurile solide sub acţiunea sarcinilor icircşi modifică foarte puţin forma iniţială Această

ipoteză este cunoscută şi sub denumirea de ipoteza menţinerii dimensiunilor iniţiale Ea

permite scrierea ecuaţiilor de echilibru ale staticii pe starea nedeformată a elementului

cacircnd nu se iau icircn considerare deplasările punctelor de aplicaţie ale forţelor care se produc

ca urmare a deformării acestuia Calculul efectuat pe schema nedeformată poartă numele

de calcul de ordinul I

Ipoteza micilor deplasări nu poate fi acceptată pentru studiul problemelor de

stabilitate sau la problemele la care nu pot fi icircndeplinite condiţiile de echilibru icircn starea

nedeformată

Calculul de ordinul II admite ipoteza micilor deplasări dar ecuaţiile de echilibru

se scriu icircnsă pentru starea deformată a elementului de rezistenţă

Calculul de ordinul III nu mai acceptă ipoteza micilor deplasări el referindu-se

la cazul deformaţiilor mari cacircnd ecuaţiile de echilibru trebuie scrise pentru starea

deformată

Chiar dacă materialul satisface legea lui Hooke icircn urma calculelor de ordinul II

se obţin de obicei relaţii neliniare icircntre sarcini şi deplasări iar pentru calculul de ordinul

III rezultă ecuaţii diferenţiale neliniare

Principiul efectului local al acțiunii sarcinilor enunțat de Barre de Saint-

Venant Acest principiu destul de folosit icircn Rezistenţa Materialelor precizează că dacă

se icircnlocuiesc forţele care acţionează asupra unui element de suprafață al unui corp

elastic printr-un alt sistem de forţe echivalent din punct de vedere static cu primul noua

distribuţie a forţelor produce la locul de aplicare diferenţe semnificative faţă de prima

dar rămacircne fără efect sau cu efect neglijabil la distanţe mari de locul de aplicare al

forţelor figura 312

Ca o cosecință o sarcină uniform distribuită figura 312a poate fi icircnlocuită cu

rezultanta ei figura 312b dacă se analizează efectul sarcinii la distanță mare de locul icircn

care se aplică sarcina

Fig 312 Principiul Saint-Venant

Icircn prima variantă figura 312a forţa 119865 se aplică pe o porțiune oarecare 119897 (sarcină

uniform distribuită) iar icircn a doua figura 312b icircntru-un punct (forţă concentrată) La

locul de aplicare a sarcinii efectul asupra barei este cu totul diferit de la o variantă la

cealaltă Icircnsă la o distanţă mare de punctul de aplicaţie spre exemplu icircn secţiunea situată

la distanţa 119886 de capătul barei sau chiar icircn icircncastrare ambele bare sunt solicitate la fel

Icircn cazul din figura 312a

119872119894(119909) =119901 ∙ 1199092

2 119909 le 119897 119872119894(119909) = 119901 ∙ 119897 ∙ (119909 minus

119897

2) 119909 gt 119897 (324)

Icircn cazul din figura 312b

119872119894(119909) = 0 119909 lt119897

2 119872119894(119909) = 119901 ∙ 119897 ∙ (119909 minus

119897

2) 119909 gt

119897

2 (325)

Se vede că pentru (119909 gt 119897) adică după depășirea locului icircn care se aplică sarcina

efectul este același

Ipoteza lui Bernoulli sau ipoteza secţiunilor plane precizează că o secţiune

plană şi normală pe axa barei icircnainte de deformare rămacircne plană şi normală pe axa

barei şi după deformare figura 313

Fig 313 Ipoteza lui Bernoulli

Ipoteza stării naturale a corpului sau ipoteza absenţei tensiunilor conform

căreia pentru un corp nesolicitat starea de tensiune şi deformaţie este nulă

Perfecţionarea mijloacelor de calcul şi de investigare pot conduce la renunţarea la

unele ipoteze sau la introducerea altora noi mai aproape de stările reale De aici rezultă

caracterul de continuă perfecţionare a metodelor Rezistenţei Materialelor

35 Coeficienţi de siguranţă Tensiuni admisibile

O piesă corespunde din punct de vedere tehnic dacă tensiunile care iau naştere icircn

interiorul piesei datorită sarcinilor aplicate nu depăşesc anumite valori limită stabilite

convenţional Aceste valori limită ale tensiunii sunt corelate cu caracteristicile mecanice

ale materialelor

Tensiunea limită utilizată icircn calculele de rezistenţă este cunoscută sub denumirea

de tensiune admisibilă sau rezistenţă admisibilă Rezistenţa admisibilă reprezintă

valoarea convenţională aleasă icircn calcul pe baza practicii pentru tensiunea maximă care

poate apare icircntr-o piesă icircn condiţii date de material şi solicitare

Rezistenţa admisibilă (120590119886 sau 120591119886) poate fi definită faţă de o stare limită

periculoasă stare care trebuie evitată deoarece poate conduce distrugere

120590119886 =120590119897119894119898119888

(326)

unde

120590119897119894119898 este tensiunea corespunzătoare stării limită periculoase

119888 estesupraunitar 119888 gt 1 și reprezintă coeficientul de siguranţă faţă de starea limită

periculoasă considerată

Alegerea unor valori inferioare pentru rezistenţa admisibilă faţă de tensiunea

corespunzătoare stării limită periculoase este necesară deoarece

cunoaşterea sarcinilor este de cele mai multe ori aproximativă şi o depăşire a

acestora este foarte posibilă

caracteristicile mecanice ale materialelor variază icircn limite destul de mari ele

fiind influenţate de mulţi factori

schema aleasă pentru calcul (aplicarea sarcinilor schematizarea structurii

ipotezele de calcul etc) depărtează modelul faţă de cel real

Pentru calculele de verificare tensiunea efectivă maximă din elementul de

rezistenţă trebuie să fie mai mică sau cel mult egală cu cea admisibilă

120590119890119891119898119886119909 le 120590119886 (327)

Valoarea rezistenţei admisibile este influenţată de foarte mulţi factori natura

materialului tratamentele termice aplicate piesei durata de funcţionare a piesei modul

de acţionare icircn timp a sarcinilor felul solicitării temperatura gradul de periculozitate

icircn cazul cedării piesei etc

De asemenea valoarea coeficientului de siguranţă se alege icircn principal ţinacircnd

seama de aceiaşi factori care influenţează şi rezistenţa admisibilă

Rezistenţele admisibile pentru cacircteva materiale sunt următoarele

pentru oțelul de uz general OL37 solicitat la icircntindere compresiune sau

icircncovoiere 120590119886 = 150 [119872119875119886] pentru lemnul de brad solicitat la

- compresiune icircn lungul fibrelor şi solicitat la icircncovoiere 120590119886 = 10 [119872119875119886] - tracţiune icircn lungul fibrelor 120590119886 = 7 [119872119875119886] - compresiune perpendiculară pe fibre 120590119886 = 15 [119872119875119886] - forfecare icircn lungul fibrelor 120591119886 = 2 [119872119875119886] - forfecare perpendiculară pe fibre 120590119886 = 45 [119872119875119886]

terenuri de fundaţie din pămacircnt uscat sau umed 120590119886 = 020 divide 025 [119872119875119886]

4 CARACTERISTICI GEOMETRICE ALE SECȚIUNILOR PLANE

41 Noţiuni introductive

Icircn relaţiile de calcul ale tensiunilor şi deformaţiilor elementelor de rezistenţă

pentru unele solicitări (icircncovoierea și torsiunea) secțiunile plane intervin atacirct prin

dimensiunile lor (aria 119860) cicirct și prin forma și poziția pe care o are secțiunea icircn raport cu

planul solicitării Mărimile care caracterizează o secțiune icircn raport cu forma și poziția față

de axele unui sistem de referință sunt denumite caracteristici geometrice de ordin

superior Aria secțiunii este caracteristica geometrică ce depinde doar de dimensiunile

geometrice ale acesteia

Să considerăm o grindă solicitată de o forță exterioară 119865 aşezată icircn două poziții icircn

raport cu planul forţei figura 41 Icircn urma aplicării forței deși avem aceeași grindă

(aceeași arie a secțiunii transversale) și aceeași forță se constată că pentru varianta din

figura 41a deformațiile sunt mult mai mari adică rezistența la icircncovoiere a grinzii din

figura 41a este mai mare decacirct icircn cazul grinzii din figura 41b Comportarea diferită se

explică prin aceea că modificarea poziţiei secţiunii transversale faţă de planul forţelor

modifică caracteristicile geometrice ale secţiunii transversale a grinzii

Fig 41 Grindă solicitată de forța 119865

Pentru realizarea calculelor de rezistenţă şi rigiditate este foarte importantă

cunoaşterea caracteristicilor geometrice ale suprafeţei secţiunii transversale a elementelor

de rezistenţă

Caracteristicile geometrice ale secţiunii transversale a unui element de rezistenţă

sunt

- aria secțiunii notată cu 119860

- momentul static icircn raport cu o axă notat 119878119911 și respectiv 119878119910

- momentul de inerție care poate fi

axial notat 119868119911 și respectiv 119868119910

centrifugal notat 119868119911119910

polar notat 119868119901

- raza de inerţie (giraţie)notată 119894119911 și respectiv 119894119910

- modulul de rezistență care poate fi

axial notat 119882119911 și respectiv 119882119910

polar notat 119882119901

42 Aria și momentul static al suprafețelor plane

Fie o suprafaţă plană de arie 119860 pe care se ia un element infinit mic de arie 119889119860 şi

un sistem de axe rectangulare 119911119874119910 figura 42 Notăm cu 119862 centrul de greutate al suprafeţei

119860 Poziţia suprafeţei elementare 119889119860 faţă de acelaşi sistem de coordonate 119911119874119910 este dată

de abscisa 119911 ordonata 119910 și raza polară

Fig 42 Suprafață plană de arie 119860

Aria suprafeţei 119860 figura 42 se defineşte ca fiind

119860 ≝ int 119889119860

119860

(41)

Aria suprafeţei este icircntotdeauna pozitivă și se măsoară icircn [1198981198982] Momentul static al suprafeţei de arie 119860 icircn raport cu axele 119874119911 și respectiv 119874119910

figura 42 sunt date de relaţiile

119878119911 ≝ int 119910 ∙ 119889119860

119860

119878119910 ≝ int 119911 ∙ 119889119860

119860

(42)

Momentul static poate fi pozitiv negativ sau nul şi se măsoară icircn [1198981198983] Coordonatele centrului de greutate ale suprafeței 119860 se detrmină cu relațiile

119910119862 ≝int 119910 ∙ 119889119860119860

119860 119911119862 ≝

int 119911 ∙ 119889119860119860

119860

(43)

Cunoscacircnd coordonatele 119910119862 și 119911119862 ale centrului de greutate 119862 al secțiunii 119860 atunci

momentele statice se pot determina cu relațiile

119878119911 ≝ int 119910 ∙ 119889119860

119860

= 119910119862 ∙ 119889119860 119878119910 ≝ int 119911 ∙ 119889119860

119860

= 119911119862 ∙ 119889119860 (44)

Aceste relații arată că momentul static al unei suprafețe icircn raport cu o axă este

egal cu produsul dintre aria suprafeței și distanța de la centrul ariei la axa respectivă

Dacă suprafaţa se poate descompune icircn 119899 suprafeţe simple la care se cunosc ariile

(1198601 1198602 ⋯ 119860119894⋯ 119860119899) și poziţiile centrelor de greutate 119862119894 faţă de sistemul de referinţă

expresiile momentelor statice capătă următoarea formă

119878119911 = sum 119910119862119894 ∙ 119860119894119899119894=1 = 119910119862 ∙ 119860 119878119910 = sum 119911119862119894 ∙ 119860119894

119899119894=1 = 119911119862 ∙ 119860 (45)

Din relaţiile (45) rezultă că poziţia centrului de greutate 119862 al unei suprafeţe

compuse poate fi determinată cu relaţiile

119910119862 = (sum119910119862119894 ∙ 119860119894

119899

119894=1

) 119860frasl 119911119862 = (sum119911119862119894 ∙ 119860119894

119899

119894=1

) 119860frasl (46)

Icircn relația (45) 119910119862119894 și respectiv 119911119862119894 reprezintă coordonatele centrelor de greutate 119862119894

ale fiecărei suprafețe simple 119860119894 icircn raport sistemul de axe 119911119874119910

Se constată (relaţia 42) că dacă axele sistemului de referinţă trec prin centrul de

greutate (119910119862 = 119911119862 = 0) momentele statice sunt nule Axele icircn raport cu care momentele

statice sunt nule şi care trec prin centrul de greutate al suprafeţei se numesc axe centrale

Observație dacă secțiunea compusă are o axă de simetrie centrul secțiunii se

găsește pe acea axă iar dacă secțiunea este dublu simetrică poziția centrului secțiunii este

la intersecția axelor de simetrie

43 Momente de inerţie

Momentele de inerţie axiale ale unei suprafețe se calculează icircn raport cu axele de

coordonate 119874119911 și respectiv 119874119910 figura 42 și se determină cu relațiile

119868119911 ≝ int 1199102 ∙ 119889119860

119860

119868119910 ≝ int 1199112 ∙ 119889119860

119860

(47)

Unde 119910 și 119911 sunt distanțele de la elementul de arie 119889119860 la cele două axe de

coordonate 119874119911 și respectiv 119874119910

Momentele de inerţie axiale se măsoară icircn [1198981198984] şi sunt icircntotdeauna pozitive (aria

119889119860 este icircntotdeauna pozitivă și este multiplicată cu patratul distanței 1199102 dacă 119868119911 sau 119868119910

sunt nule icircnseamnă ca secțiunea nu există)

Momentele de inerție axiale se calculează icircndeosebi pentru axele centrale (care

trec prin centrul secțiunii) deoarece icircn raport cu acele axe 119868119911 și 119868119910 au valori minime

Momentul de inerţie centrifugal calculat faţă ambele axe ale sistemului de

referinţă 119911119874119910 este definit de relația

119868119911119910 ≝ int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860

(48)

Momentul de inerţie centrifugal se măsoară icircn [1198981198984] şi poate fi pozitiv negativ

sau nul

Momentul de ineție centrifugal este nul 119868119911119910 = 0 dacă cel puțin una din axele 119874119911

sau 119874119910 este axă de simetrie pentru secțiune

Se consideră o suprafaţă dreptunghiulară pe care faţă de axa de simetrie 119874119910 se iau

două suprafeţe elementare de arie 119889119860 simetrice faţă de axa 119874119910 figura 43

Fig 43 Suprafață dreptunghiulară cu două arii elementare 119889119860

Făcacircnd suma momentelor de inerţie centrifugale pentru cele două suprafeţe

elementare 119889119860 (din stacircnga şi din dreapta faţă de axa 119874119910) se obţine

int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860119889119903

+ int (minus119911) ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860119904119905119892

= int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860119889119903

minus int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860119904119905119892

= 0 (49)

Acelaşi raţionament se poate face și pentru icircntreaga suprafaţă de unde obținem că

momentul de inerție centrifugal este nul 119868119911119910 = 0 Deci pentru o suprafaţă plană care

are cel puţin o axă de simetrie momentul de inerţie centrifugal faţă de sistemul care

conţine acea axă de simetrie este nul

Momentul de inerţie polar al unei suprafeţei icircn raport cu un punct (pol) 119874 figura

42 este definit prin relaţia

1198680 = 119868119901 ≝ int 1205882 ∙ 119889119860

119860

= int(1199102 + 1199112) ∙ 119889119860

119860

= 119868119911 + 119868119910 (410)

unde este distanţa de la polul 119874 la elementul de arie 119889119860 Momentul de inerţie polar se

măsoară icircn [1198981198984] şi este totdeauna pozitiv

Momentul de inerţie polar este egal cu suma momentelor de inerţie faţă de două axe

perpendiculare oarecare şi care trec prin polul considerat

Razele de giraţie sau razele de inerţie sunt mărimi calculate icircn raport cu axele

secțiunii și definite de relaţiile

119894119911 ≝ radic119868119911119860 119894119910 = radic

119868119910

119860 (411)

Se exprimă icircn [119898119898] şi sunt icircntotdeauna pozitive Semnificația unei raze de inerție

este distanța la care dacă ar fi concentrată icircntreaga arie s-ar obține același moment de

inerție ca și cel calculat pentru aria reală

44 Modulul de rezistenţă

Modulul de rezistență se calculează icircn raport cu axele de referință sau icircn raport cu

un pol figura 42 și pot fi axiale (119882119911119882119910) sau polar (119882119901) și se determină numai pe baza

momentelor de inerţie cu relațiile figura 43

119882119911119898119894119899 ≝119868119911119910119898119886119909

119882119911119898119886119909 ≝119868119911119910119898119894119899

(412)

119882119910119898119894119899 ≝119868119910

119911119898119886119909 119882119910119898119886119909 ≝

119868119910

119911119898119894119899 (413)

119882119901 ≝119868119901

120588119898119886119909 (414)

unde

119910119898119886119909 119910119898119894119899 reprezintă distanţa de la axa 119874119911 la punctele extreme cele mai

depărtate respectiv cele mai apropiate ale suprafeţei de această axă

119911119898119886119909 119911119898119894119899 reprezintă distanţa de la axa 119874119910 la punctele extreme cele mai

depărtate respectiv cele mai apropiate ale suprafeţei de această axă

120588119898119886119909 reprezintă distanța maximă de la polul 119874 la punctul secțiunii cel mai

icircndepărtat de acesta

Fig 43 Suprafață dreptunghiulară cu două arii elementare 119889119860

Modulele de rezistenţă se exprimă icircn [1198981198983] şi sunt icircntotdeauna pozitive

Explicația este aceea că momentele de inerție care intră icircn relațiile de definiție sunt

pozitive iar distanțele la punctele extreme sunt pozitive (119910119898119886119909 119910119898119894119899 119911119898119886119909 119911119898119894119899 120588119898119886119909 se

iau icircn valoare absolută)

Icircn cazul suprafeţelor compuse modulul de rezistenţă nu se obţine prin icircnsumarea

algebrică a modulelor de rezistenţă ale suprafeţelor simple componente ci numai prin

intermediul momentului de inerţie axial calculat pentru icircntreaga secțiune

Ca și momentele de inerție modulele de rezistență se calculează numai pentru

sistemele de axe centrale

45 Momente de inerţie şi module de rezistenţă pentru suprafeţe simple

451 Secțiune dreptunghiulară

Fie suprafaţa dreptunghiulară din figura 44 de icircnălțime ℎ și lățime 119887 pe care se

consideră suprafaţă elementară de arie 119889119860 = 119887119889119910 la distanța 119910 de axa 119862119911 sistemul de

axe 119911119862119910 trece prin centrul secțiunii iar axele sunt axe de simetrie pentru dreptunghi

Fig 44 Suprafață dreptunghiulară

Pe baza relațiilor de definiți a momentului de inerție 119868119911 se obține

119868119911 ≝ int 1199102 ∙ 119889119860

119860

= int 1199102 ∙ 119887 ∙ 119889119910 = 2int 1199102 ∙ 119887 ∙ 119889119910 = 2 ∙ 119887 ∙1199103

3|ℎ 2frasl

0rArr

ℎ 2frasl

0

ℎ 2frasl

minusℎ 2frasl

rArr 119868119911 =119887 ∙ ℎ3

12

(415)

Analog pentru un element de arie 119889119860 = ℎ ∙ 119889119911 paralel cu axa 119862119910 situat la distanța

119911 de axa 119862119910

119868119910 ≝ int 1199112 ∙ 119889119860

119860

= int 1199112 ∙ ℎ ∙ 119889119911 = 2int 1199112 ∙ ℎ ∙ 119889119910 = 2 ∙ ℎ ∙1199113

3|119887 2frasl

0rArr

119887 2frasl

0

119887 2frasl

minus119887 2frasl

rArr 119868119910 =1198873 ∙ ℎ

12

(416)

Deoarece axele 119862119911 și 119862119910 sunt axe de simetrie momentul de inerție centrifugal este

119868119911119910 = 0 (417)

Pentru un pătrat avacircnd laturile egale (ℎ = 119887 = 119886) momentele de inerţie faţă de

axele centrale au expresia

119868119911 = 119868119910 =1198864

12 (418)

Modulele de rezistență axiale se calculează cu relațiile de definiție ținacircnd cont că

distanțele pacircnă la fibrele extreme sunt

119910119898119886119909 = 119910119898119894119899 =ℎ

2 119911119898119886119909 = 119911119898119894119899 =

119887

2 (419)

Obținem

119882119911119898119894119899 = 119882119911119898119886119909 =119868119911

119910119898119886119909119898119894119899=119887 ∙ ℎ3

12frasl

ℎ2frasl

=119887 ∙ ℎ2

6

119882119910119898119894119899 = 119882119910119898119886119909 =119868119910

119911119898119886119909119898119894119899=1198873 ∙ ℎ

12frasl

1198872frasl

=1198872 ∙ ℎ

6

(420)

452 Suprafaţă circulară

Din motive de simetrie pentru suprafeţele circulare momentele de inerţie faţă de

orice diametru (care reprezintă şi axe centrale) sunt aceleaşi

Considerăm o secțiune circulară plină cu diametrul 119889 și centrul de greutate 119862 Prin

centrul de greutate 119862 trece sistemul de axe ortogonal 119911119862119910 figura 45

Fig 45 Suprafață circulară

La distanța de centrul de greutate 119862 vom lua un element de suprafață mic de arie

(119889119860) de forma unui inel de grosime 119889 Elementul de arie 119889119860 are expresia

119889119860 = (2 ∙ 120587 ∙ 120588) ∙ (119889120588)

Pornind de la relația de definiție a momentului de inerție polar obținem

119868119901 ≝ int 1205882 ∙ 119889119860

119860

= int 1205882 ∙ (2 ∙ 120587 ∙ 120588) ∙ 119889120588

119903=119889 2frasl

0

= 2 ∙ 120587 ∙1205884

4|119889 2frasl0 rArr

rArr 119868119901 =120587 ∙ 1198894

32

(421)

Secțiunea este perfect simetrică deci sunt valabile relațiile

119868119911 = 119868119910 rArr 119868119901 = 119868119911 + 119868119910 = 2 ∙ 119868119911 = 2 ∙ 119868119910 =119868119901

2=120587 ∙ 1198894

64 (422)

Și modulele de rezistenţă faţă de orice diametru sunt egale şi se calculează cu

relaţiile

119882119911 = 119882119910 =1198681199111198892frasl=120587 ∙ 1198893

32 (423)

Modulul de rezistenţă polar este

119882119901 =1198681199011198892frasl=120587 ∙ 1198893

16 (424)

453 Secţiune inelară

Calculul momentelor de inerţie axiale pentru o secţiune inelară avacircnd diametrul

interior 119889 şi diametrul exterior 119863 se determină analog pentru suprafaţa circulară plină cu

observaţia că integrala pentru calculul momentului de inerție polar 119868119901 se face icircntre

limitele 119903 = 119889 2frasl şi R= 1198632frasl (icircntre raza interioară 119903 şi raza exterioară 119877) figura 46

Se obţin relaţiile

119868119901 =120587 ∙ 1198634

32∙ [1 minus (

119889

119863)4

] =120587 ∙ 1198634

32∙ (1 minus 1198964) (425)

119868119910 = 119868119910 =120587 ∙ 1198634

64∙ [1 minus (

119889

119863)4

] =120587 ∙ 1198633

64∙ (1 minus 1198964) (426)

Fig 46 Secțiune inelară

119882119901 =120587 ∙ 1198633

16∙ [1 minus (

119889

119863)4

] =120587 ∙ 1198633

16∙ (1 minus 1198964) (427)

119882119911 = 119882119910 =120587 ∙ 1198633

32∙ [1 minus (

119889

119863)4

] =120587 ∙ 1198633

32∙ (1 minus 1198964) (428)

unde 119896 = 119889119863frasl

46 Variaţia momentelor de inerţie faţă de axe paralele

( Relațiile lui STEINER)

Se consideră o suprafaţă oarecare de arie 119860 cu elementul de arie 119889119860 și un sistemul

de axe central 119911119862119910 faţă de care se cunosc momentele de inerţie 119868119911 119868119910 119868119911119910 şi considerăm

un sistem de axe 11991111198741199101 paralele cu sistemul central figura 47 Se pune problema

determinării momentele de inerţie 1198681199111 1198681199101 11986811991111199101 faţă de sistemul de axe paralel cu sistemul

central 11991111198741199101 axe aflate la distanţele 119910119862 = 119888 respectiv 119911119862 = 119889 de acesta

461 Momente de inerţie axiale

Pe baza relaţiilor de definire şi a notaţiilor din figura 42 pentru momentele de

inerţie faţă de axele 1198741199111 1198741199101 se poate scrie

1198681199111 = int 11991012 ∙ 119889119860

119860

= int(119910 + 119888)2 ∙ 119889119860

119860

= int 1199102 ∙ 119889119860

119860

+ 2 ∙ 119888 ∙ int 119910 ∙ 119889119860

119860

+

+1198882int 119889119860

119860

rArr 1198681199111 = 119868119911 + 2 ∙ 119888 ∙ 119878119911 + 1198882 ∙ 119860 hArr 1198681199111 = 119868119911 + 119888

2 ∙ 119860

(429)

Fig 47 Variaţia momentelor de inerţie față de axe paralele

S-a ajuns la relația (429) deoarece momentul static 119878119911 este nul deoarece axa 119862119885

este axă centrală

Pentru momentul de inerție axial icircn raport cu axa 1198741199101 se obține

1198681199101 = int 11991112 ∙ 119889119860

119860

= int(119911 + 119889)2 ∙ 119889119860

119860

= int 1199112 ∙ 119889119860

119860

+ 2 ∙ 119889 ∙ int 119911 ∙ 119889119860

119860

+

+1198892 ∙ int 119889119860

119860

rArr 1198681199101 = 119868119910 + 2 ∙ 119889 ∙ 119878119910 + 1198892 ∙ 119860 hArr 1198681199101 = 119868119910 + 119889

2 ∙ 119860

(430)

Pentru momentul de inerție centrifugal obținem

11986811991111199101 = int 1199101 ∙ 1199111 ∙ 119889119860

119860

= int(119910 + 119888) ∙ (119911 + 119889) ∙ 119889119860

119860

= int 119910 ∙ 119911 ∙ 119889119860 +

119860

+119888 ∙ int 119911 ∙ 119889119860

119860

+ 119889 ∙ int 119910 ∙ 119889119860

119860

rArr 11986811991111199101 = 119868119911119910 + 119888 ∙ 119889 ∙ 119860

(431)

Deoarece

int 119911 ∙ 119889119860

119860

= 119878119910 = 0 int 119910 ∙ 119889119860

119860

= 119878119911 = 0 int 119910 ∙ 119911 ∙ 119889119860

119860

= 119868119911119910

Relaţiile (429) şi (430) arată că momentul de inerţie faţă de o axă oarecare

este egal cu momentul de inerţie faţă de o axă paralelă cu ea trecacircnd prin centrul de

greutate la care se adaugă produsul dintre aria suprafeţei şi pătratul distanţei dintre

cele două axe

Din relaţiile (429) și (430) rezultă de asemenea că momentul de inerţie faţă de o

axă centrală (care trece prin centrul de greutate) este cel mai mic dintre infinitatea de

momente de inerţie obținute faţă de alte axe paralele cu ea

Relaţia (431) arată de asemenea că momentul de inerţie centrifugal faţă de un

sistem de axe oarecare este egal cu momentul de inerţie centrifugal faţă de un sistem

paralele cu el trecacircnd prin centrul de greutate a suprafeţei la care se adaugă produsul

dintre aria suprafeţei şi distanţele dintre axele sistemelor respective

Icircn literatura de specialitate relaţiile (429) (430) şi (431) sunt cunoscute sub

numele de relaţiile lui Steiner

47 Variaţia momentrlor de inerţie faţă de axe rotite

Direcţii principale şi momente de inerţie principale

Fie suprafaţa plană din figura 48 de arie 119860 pe care considerăm o suprafaţă

elementară de arie 119889119860 Pentru sistemul de axe 119911119874119910 se cunosc momentele de inerţie

119868119911 119868119910 119868119911119910 şi vom determina relaţiile de calcul pentru momentele de inerţie afererent unui

sistem de axe 11991111198741199101 rotit cu un unghi faţă de sistemul central

Faţă de sistemul de axe 11991111198741199101 elementul de arie 119889119860 are coordonatele

1199101 = 119875119877 = 119875119876 minus 119877119876 = 119910 ∙ cos 120572 minus 119911 ∙ sin 120572

1199111 = 119873119872 = 119873119875 minus 119875119872 = 119911 ∙ cos 120572 + 119910 ∙ sin 120572 (432)

Fig 47 Variaţia momentelor de inerţie față de axe rotite

Pe baza relaţiilor de calcul ale momentelor de inerţie şi a notaţiilor din figura 42

şi ale relaţiilor (432) momentele de inerţie faţă de sistemul de axe rotit 11991111198741199101 sunt

1198681199111 =119868119911 + 119868119910

2+119868119911 minus 119868119910

2∙ cos 2120572 minus 119868119911119910 ∙ sin 2120572 (433)

1198681199101 =119868119911 + 119868119910

2minus119868119911 minus 119868119910

2∙ cos 2120572 + 119868119911119910 ∙ sin 2120572 (434)

11986811991111199101 =119868119911 minus 119868119910

2∙ sin 2120572 + 119868119911119910 ∙ cos 2120572 (435)

Din relaţiile 433divide435 se observă că icircntre momentele de inerţie axiale şi cele

polare există relaţia

1198681199111 + 1198681199101 = 119868119911 + 119868119910 = 119868119901 (436)

adică suma momentelor de inerţie axiale icircn raport cu orice pereche de axe ortogonale

care trec printr-un pol dat este o constantă şi egală cu momentul de inerţie polar

Prin rotirea sistemului de axe din relaţiile 433divide435 rezultă că momentele de inerţie

variază icircnsă suma lor rămacircne constantă deci există o poziţie a sistemului de axe pentru

care momentele de inerţie au valori extreme maxim respectiv minim

471 Direcţii principale de inerţie

Valoarea unghiului 120572 pentru care momentele de inerţie axiale au valori extreme

este

1205721 =1

2∙ 119886119903119888119905119886119899 (minus

2 ∙ 119868119911119910

119868119911 minus 119868119910) (437)

Poziţia celeilalte direcţii este perpendiculară pe cea dată de unghiul 1205721

Din relaţia (437) se constată că faţă de aceste direcţii rotite pentru care momentele

de inerţie axiale prezintă valori extreme momentul de inerţie centrifugal 11986811991111199101este nul

Atunci se poate afirma că momentele de inerţie axiale au valori extreme icircn raport cu

direcţiile faţă de care momentul de inerţie centrifugal este nul Aceste direcţii se numesc

direcţii principale iar momentele de inerţie faţă de aceste direcţii poartă numele de

momente de inerţie principale

Icircn calculele de rezistenţă interesează icircn mod special poziţia direcţiilor principale

care trec prin centrul de greutate al suprafeţei aşa numitele direcţii principale centrale şi

evident momentele de inerţie principale centrale

Direcţiile principale de inerţie se notează cu 1 respectiv 2 Axa principală 1

corespunde direcţiei faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea maximă iar

axa principală 2 pentru direcţia faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea

minimă

472 Momente de inerţie principale

Momentele de inerţie principale se notează cu litera 119868 la care se pune indicele 1

sau 2 după cum valoarea acestuia este maximă sau minimă deci avem un moment de

inerţie principal 1 (notat 1198681) respectiv moment de inerţie principal 2 (notat 1198682)

Expresiile pentru momentele de inerţie principale sunt

11986812 =119868119911 + 119868119910

2plusmn1

2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)

2+ 4 ∙ (119868119911119910)

2 (438)

Dacă momentul de inerţie centrifugal este negativ (119868119911119910 lt 0) direcţia principală

care trece prin primul cadran (definit de sistemul 119911119862119910) este direcţia principală 120783

Pentru suprafeţele cu cel puţin o axă de simetrie direcţiile centrale 119862119911 119862119910 sunt şi

direcții principale de inerţie și evident momentele de inerţie axiale 119868119911 119868119910 sunt momente

de inerţie principale

48 Caracteristici mecanice ale metalelor

Alegerea materialului pentru confecţionarea unei anumite piese se face şi pe baza

aşa numitelor caracteristici mecanice pe care le prezintă materialul Cunoaşterea acestor

caracteristici mecanice are loc numai pe baza unor icircncercări mecanice care să scoată icircn

evidenţă comportarea materialului icircn condiţii de solicitare

Cea mai utilizată icircncercare icircn urma căreia se pun icircn evidenţă caracteristicile

mecanice ale unui material este icircncercarea la tracţiune

481 Icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general

Icircncercarea la tracţiune a oţelului ca de altfel toate icircncercările de materiale este

standardizată

Icircn cele ce urmează se va prezenta numai partea care interesează strict din punct

de vedere al caracteristicilor mecanice ale oţelului

Epruveta de diametru iniţial 1198890 pentru icircncercarea la tracţiune are o porţiune de

lungime 1198710 numită baza de măsurare pe care se măsoară lungirea acesteia sub acţiunea

solicitării

Icircn funcţie de raportul dintre baza de măsurare 1198710 şi diametrul iniţial 1198890 epruvetele

utilizate pentru icircncercări sunt

epruvete normale (scurte) cacircnd 11987101198890 = 5

epruvete lungi cacircnd 11987101198890 = 10

Icircn timpul icircncercării la diferite valori ale forţei 119865 se măsoară lungirea bazei de

măsurare

∆119871 = 120575 = 119871 minus 1198710 (439)

unde

119871 este dimensiunea bazei de măsurare la un moment dat

Curba forţă-lungire (119865 minus ) icircnregistrată icircn urma icircncercării reprezintă curba

caracteristică la tracţiune

La icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general diagrama caracteristică care se

obţine are forma din figura 48

Curba caracteristică la tracţiune depinde de lungimea bazei de măsurare Pentru

icircnlăturarea acestui neajuns curba caracteristică se reprezintă icircn coordonate şi definite

astfel

120590 =119865

1198600 휀 =

120575

1198710 (440)

unde

1198600 este aria iniţială a secţiunii transversale a epruvetei (icircnainte de solicitare) icircn

zona bazei de măsurare

1198600 =120587 ∙ 1198890

2

4

Deoarece mărimile icircn care se reprezintă curba caracteristică la tracţiune sunt

raportate la aria iniţială a secţiunii transversale (mărimi specifice) curba poartă numele

de curbă caracteristică convenţională la tracţiune

Fig 48 Curba caracteristică convenţională la tracțiune

Pe curba caracteristică convenţională la tracţiune figura 48 se pot stabili o serie

de puncte cărora le corespund mai multe mărimi importante

Ordonata punctului A pacircnă unde curba caracteristică convenţională este linie

dreaptă se numeşte limita de proporţionalitate a materialului 120590119901(1205901) Porţiunea 119874119860 este

zona de proporţionalitate a curbei caracteristice pe acest domeniu este valabilă legea lui

Hooke care exprimă o proporţionalitate icircntre tensiune şi deformaţie specifică

120590 = 119864 ∙ 휀 (441)

unde

119864 = reprezintă panta porţiunii liniare a curbei convenționale caracteristice

la tracțiune Caracteristica de material 119864 se numeşte modul de elasticitate longitudinal

(modulul lui Young)

Ordonata punctului 119861 pacircnă unde materialul se comportă perfect elastic adică

după descărcare icircşi recapătă dimensiunea iniţială 1198710 se numeşte limita de elasticitate

120590119890(119877119890) Icircn realitate nici un material nu are comportare perfect elastică sub acţiunea

solicitărilor el capătă deformaţii permanente (remanente plastice)

După punctul 119861 urmează o porţiune 119861119862119863 icircn care cu toate că icircncărcarea

continuă forţa nu mai creşte avacircnd mici oscilaţii icircn jurul unei valori Se spune că icircn

această porţiune materialul curge iar intervalul 119861119862119863 este un palier de curgere Tensiunea

corespunzătoare palierului de curgere se numeşte limită de curgere aparentă 120590119888(119877119888) Limita de curgere aparentă se calculează cu relaţia

120590119888 =1198651198881198600 (442)

unde

119865119888 reprezintă valoarea forţei icircnregistrată icircn momentul curgerii materialului

După punctul 119863 curba caracteristică are un traseu ascendent pacircnă icircn punctul 119864

Porţiunea 119863119864 este numită zonă de icircntărire (ecruisare) Icircn zona de ecruisare unde se

produc deformaţii plastice semnificative legea lui Hooke nu mai este valabilă La

descărcare relaţia dintre tensiunea şi deformaţia specifică este liniară paralelă cu

porţiunea liniară a curbei caracteristice (dreapta 119872119873)

Deformaţia totală (휀119905) are două componente una elastică (휀119890) şi una plastică (휀119901)

Ordonata punctului 119864 reprezintă rezistenţa de rupere 120590119903(119877119898) a materialului

care se poate calcula cu relaţia

120590119903 = 119877119898 =1198651198981198861199091198600

(443)

unde

119865119898119886119909 reprezintă valoarea maximă a forţei icircnregistrată icircn timpul icircncercării

La atingerea valorii 119865119898119886119909 (punctul 119864) icircntr-un anumit loc al epruvetei secţiunea

icircncepe să se micşoreze (se produce gacirctuirea) continuacircnd pacircnă cacircnd se produce ruperea

totală (punctul 119865)

Dacă după ruperea epruvetei cele două părţi rezultate se aşează cap la cap şi se

măsoară dimensiunea bazei de măsurare 119871119906 (lungimea ultimă) se determină alungirea la

rupere sau lungirea specifică la rupere 휀119903

휀119903 =119871119906 minus 11987101198710

=∆119871

1198710=120575

1198710 (444)

De obicei alungirea se exprimă icircn procente şi se notează cu 119860119899 unde 119899 reprezintă

numărul dat de raportul 11987101198890 (epruvete normale 119899 = 5 epruvete lungi 119899 = 10)

119860119899 =119871119906 minus 11987101198710

∙ 100 [] (445)

Altă mărime care se determină la icircncercarea la tracţiune este gacirctuirea la rupere

(exprimată de obicei icircn procente) şi definită de relaţia

119885 =1198600 minus 1198601199061198600

∙ 100 [] (446)

Mărimile determinate limita de proporţionalitate modulul de elasticitate

longitudinal limita de elasticitate limita de curgere aparentă rezistenţa de rupere

alungirea la rupere şi gacirctuirea la rupere sunt cunoscute ca fiind caracteristici mecanice

ale materialului

Din curba caracteristică convenţională observăm faptul că ruperea (punctul 119865 din

figura 48 se produce la o tensiune mai mică decacirct cea corespunzătoare punctului 119864 Dacă

icircnsă forţa din timpul icircncercării s-ar raporta la aria secţiunii din momentul icircnregistrării

forţei (care este mai mică decacirct cea iniţială 1198600) s-ar obţine aşa numita curbă

caracteristică reală a materialului (traseul 1198741198601198611198621198631198651 din figura 48) La curba

caracteristică reală ruperea se produce icircn punctul 1198651 la o icircncărcare mai mare decacirct cea

corespunzătoare punctului 119864 Icircnseamnă că rezistenţa reală la rupere este mai mare decacirct

rezistenţa la rupere dată de punctul 119864 din diagrama caracteristică convenţională

Dificultatea obţinerii diagramei caracteristice reale faţă de cea a diagramei caracteristice

convenţionale şi considerarea unei rezistenţe la rupere mai mică decacirct a celei reale face

icircn practică utilizarea pe scară mare a diagramei caracteristice convenţionale

Caracteristicile mecanice determinate pe baza curbei caracteristice convenţionale

sunt şi ele caracteristici mecanice convenţionale

Caracteristicile mecanice convenţionale limita de proporţionalitate convenţională

120590119901 limita de elasticitate convenţională 120590119890 limita de curgere convenţională 120590119888 şi rezistenţa

de rupere 120590119903 constituie tensiuni limită pentru un material Pe baza acestor caracteristici

de material se alege valoarea tensiunii admisibile 120590119886 (vezi paragraful 35) pentru

calculele de rezistenţă Cea mai utilizată stare limită pentru stabilirea tensiunii admisibile

120590119886 este limita de curgere convenţională 120590119888

120590119886 =120590119897119894119898119888

=120590119888119888 119904119886119906 120590119886 =

120590119903119888 (447)

Caracteristicile mecanice ale materialului sunt influenţate de o serie de factori

temperatura viteza de solicitare factorii tehnologici iar valorile lor sunt date icircn tabele și

diagrame

Aplicaţie Pentru suprafaţa plană compusă din două dreptunghiuri avacircnd

dimensiunile din figura 49a să se calculeze

a) centrul de greutate al secțiunii compuse 119910119866 119911119866

b) momentele de inerție axiale 119868119911 119868119910 și momentul de inerție centrifugal 119868119911119910

c) razele de inerție 119894119911 119894119910

d) modulele de rezistență 119882119911119898119894119899 119882119911119898119886119909 119882119910119898119894119899 119882119910119898119886119909

e) momentele de inerție principale 1198681 1198682 și direcțiile principale de inerție 1205721

f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 119878119911

Fig 49 Aplicație

Rezolvare Pentru rezolvare vom parcurge următoarele etape

icircmpărțim suprafața compusă icircn două suprafețe simple (dreptunghiuri) notate cu

① și respectiv ② figura 49b

poziționăm centrele de greutate a celor două suprafețe simple ① și respectiv ②

notate cu 1198661 și respectiv 1198662 figura 49c

poziționăm sistemele de axe de coordonate 119911111986611199101 pentru dreptunghiul ① și

119911211986621199102 pentru dreptunghiul ② aflate la intersecția diagonalelor figura 49c

poziționăm sistemele de axe de coordonate 11991101198741199100 ales arbitrar față de care

determinăm poziția centrului de greutate 119866 figura 49c

a) calculăm poziția centrului de greutate folosind relațiile (46) icircn care

1198601 = 6119905 ∙ 119905 = 61199052 1198602 = 4119905 ∙ 119905 = 41199052 119860 = 1198601 + 1198602 = 61199052 + 41199052 = 101199052

iar centrele de greutate 1198661 și respectiv 1198662 au coordonatele (față de sistemul 11991101198741199100)

1198661 1199101 = 3119905 1199111 = 05119905

1198662 1199102 = 051199051199112 = 3119905

cu acestea obținem

119910119866 =1198601 ∙ 1199101 + 1198602 ∙ 1199102

119860=61199052 ∙ 3119905 + 41199052 ∙ 05119905

101199052=201199053

101199052= 2119905

119911119866 =1198601 ∙ 1199111 + 1198602 ∙ 1199112

119860=61199052 ∙ 05119905 + 41199052 ∙ 3119905

101199052=151199053

101199052= 15119905

Poziționăm centrul de greutate 119866 al suprafeței compuse figura 49c

Fig 49 Aplicație

b) pentru determinarea momentelor de inerție axiale 119868119911 119868119910 și a momentului de

inerție centrifugal 119868119910119911 determinăm constantele 1198881 1198882 1198891 1198892 care intervin icircn relația lui

Stainer

1198881 = 1199101 minus 119910119866 = 3119905 minus 2119905 = 119905 1198882 = minus(119910119866 minus 1199102) = minus(2119905 minus 05119905) = minus15119905

1198891 = minus(119911119866 minus 1199111) = minus(15119905 minus 05119905) = minus119905 1198892 = 1199112 minus 119911119892 = 3119905 minus 15119905 = 15119905

Folosind relațiile lui Stainer (429) (430) și (431) calculăm momentele de

inerție axiale și centrifugale față de sistemul central 119911119866119866119910119866

119868119911 =sum(119868119911119894 + 1198881198942 ∙ 119860119894) = 1198681199111 + 1198881

2 ∙ 1198601 + 1198681199112 + 11988822 ∙ 1198602

119868119910 =sum(119868119910119894 + 1198891198942 ∙ 119860119894) = 1198681199101 + 1198891

2 ∙ 1198601 + 1198681199102 + 11988922 ∙ 1198602

119868119911119910 =sum(119868119911119894119910119894 + 119888119894 ∙ 119889119894 ∙ 119860119894) = 11986811991111199101 + 1198881 ∙ 1198891 ∙ 1198601 + 11986811991121199102 + 1198882 ∙ 1198892 ∙ 1198602

1198681199111 = (119887 ∙ ℎ3

12) =

119905 ∙ (6119905)3

12= 181199054 1198681199112 = (

119887 ∙ ℎ3

12) =

4119905 ∙ 1199053

12= 031199054

1198681199101 = (1198873 ∙ ℎ

12) =

1199053 ∙ 6119905

12= 051199054 1198681199102 = (

1198873 ∙ ℎ

12) =

(4119905)3 ∙ 119905

12= 531199054

11986811991111199101 = 11986811991121199102 = 0 deoarece cele două triunghiuri au cel puțin o axă de simetrie

Cu acestea momentele de inerție axiale și momentul de inerție centrifugal devin

119868119911 = 181199054 + 1199052 ∙ 61199052 + 031199054 + (minus15119905)2 ∙ 41199052 = 3331199054

119868119910 = 051199054 + (minus119905)2 ∙ 61199052 + 531199054 + (15119905)2 ∙ 41199052 = 2081199054

119868119911119910 = 0 + 119905 ∙ (minus119905) ∙ 61199052 + 0 + (minus15119905) ∙ (15119905) ∙ 41199052 = minus151199054

c) razele de inerție sau de girație față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910

se calculează cu relațiile (411)

119894119911 = radic119868119911119860= radic

3331199054

101199052= 182119905 119894119910 = radic

119868119910

119860= radic

2081199054

101199052= 144119905

d) modulele de rezistență față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910 se

calculează cu relațiile (412) și (413)

Avacircnd icircn vedere figura 419c obținem

119910119898119886119909 = 6119905 minus 119910119866 = 6119905 minus 2119905 = 4119905 119910119898119894119899 = minus119910119866 = minus2119905

119911119898119886119909 = 5119905 minus 119911119866 = 5119905 minus 15119905 = 35119905 119911119898119894119899 = minus119911119866 = minus15119905

Se obține astfel

119882119911119898119894119899 =119868119911

|119910119898119886119909|=3331199054

4119905= 8331199053

119882119911119898119886119909 =119868119911

|119910119898119894119899|=3331199054

2119905= 16651199053

119882119910119898119894119899 =119868119910

|119911119898119886119909|=2081199054

35119905= 5941199053

119882119910119898119886119909 =119868119910

|119911119898119894119899|=2081199054

15119905= 13871199053

e) momentele de inerție principale 1198681 și respectiv 1198682 se calculează cu relațiile

(438)

11986812 =119868119911 + 119868119910

2plusmn1

2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)

2+ 4 ∙ (119868119911119910)

2=

=3331199054 + 2081199054

2plusmn1

2∙ radic(3331199054 minus 2081199054)2 + 4 ∙ (minus151199054)2 = 27051199054 plusmn 16251199054

De unde obținem

1198681 = 27051199054 + 16251199054 = 4331199054

1198682 = 27051199054 minus 16251199054 = 1081199054

Prima direcție principală de inerție 1 face cu axa centrală 119866119911 unghiul 1205721 dat de

relația (437)

1205721 =1

2∙ arctan (minus

2 ∙ 119868119911119910

119868119911 minus 119868119910) =

1

2∙ arctan [minus

2 ∙ (minus151199054)

3331199054 minus 2081199054] =33 70

Deoarece 1205721 gt 0 rotirea axelor se face acircn sens antiorar acelor de ceasornic figura

49d

Poziția axe principale 2 față de care momentul de inerție are valoarea minimă

1198682 = 119868119898119894119899 este dată de unghiul

1205722 = 1205721 + 900 = 33 70 + 900 = 123 70

f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 se determină cu relația

(45)

1198781199111198602 = 1198602 ∙ 1198882 = 41199052 ∙ (minus15119905) = minus61199053

Astfel se obţin funcţiile eforturilor

Funcţia forţă axială Nx are expresia

Nx(x3) = NBminus1 = minusFH = minus173 [kN] = const

(A14)

Funcţia forţă tăietoare Ty are exspresia

Ty(x3) = TBminus1 = FV minus VB = minus18 [kN] = const (A15)

Funcţia moment icircncovoietor Miz are expresia

Miz(x3) = minusFV ∙ (x3 + c) + VB ∙ x3 rArr

rArr Miz(x3 = 0) = MB = minus40 [kN ∙ m]

Miz(x3 = 4) = M1 = 32 [kN ∙ m]

(A16)

variaţie liniară (gradul I)

Diagramele eforturilor sunt prezentate icircn figura 220

c) Relaţiile diferenţiale dintre eforturi şi sarcini se analizează pe diagramele

eforturilor după cum urmează

sarcina distribuită nu are componentă orizontală adică ph = 0 şi icircn

conformitate cu formula (211) rezultă că Nx = const pe toată lungimea grinzii fapt care

a rezultat din funcţia şi reprezentarea diagramei forţei axiale

pe intervalul (A-1) sarcina distribuită are doar componenta verticală pozitivă

pV = p gt 0 prin urmare forţa tăietoare scade (are panta negativă dTy 119889119909frasl = minusp vezi

relaţia 210) iar momentul icircncovoietor avacircnd derivata a doua negativă d2M119894119911 1198891199092frasl =minuspare convexitatea curbei orientată spre sensul pozitiv al axei momentului Miz adică icircn

jos

pe domeniile (2-B) şi (B-1) deoarece pv = 0 forţa tăietoare Ty este constantă

iar momentul icircncovoietor Miz variază liniar

referitor la relaţia (212) pe porţiunile unde Ty gt 0 momentul Miz este

monoton crescător pe porţiunile unde Ty lt 0 momentul Miz este monoton descrescător

iar icircn secţiunea icircn care Ty = 0 momentul icircncovoietor are un extrem local Mξ =

882 [kN ∙ m] icircn diagrama forţei tăietoare discontinuităţile (salturile) se produc icircn secţiunile

unde acţionează VA VB şi FV iar icircn diagrama momentului icircncovoietor se produce un

singur salt icircn secţiunea icircn care este aplicat M0

se poate scrie

Mξ = suprafața diagramei Ty |ξ0=1

2∙ 42 ∙ 42 = 882 [kN ∙ m]

sau parcurgacircnd grinda de la dreapta la stacircnga rezultă

MB = minussuprafața diagramei Ty |c0= minus10 ∙ 4 = minus40 [kN ∙ m]

Toate aspectele analizate teoretic referitoare la relaţiile diferenţiale dintre eforturi

şi sarcini se regăsesc icircn diagramele de eforturi din figura 220 ceea ce icircnseamnă că

diagramele au fost reprezentate corect

3 TENSIUNI DEPLASĂRI ŞI DEFORMAŢII SPECIFICE

31 Tensiuni

Eforturile obținute icircn urma reducerii forțelor interioare icircn centrul de greutate al

secțiunii nu pot da informații asupra solicitării fiecărui punct al secțiunii respective Este

necesar să se cunoască modul cum se distribuie forțele interioare icircn fiecare punct al

secțiunii pentru a ști care este intensitatea maximă a solicitării Această intensitate

maximă se poate compara cu o valoare critică specifică materialului stabilindu-se astfel

dacă solicitarea este periculoasă sau nu

Mărimea care caracterizează solicitarea locală punctuală o vom denumi tensiune

și o vom defini icircn cele ce urmează Să considerăm partea din dreapta a unui corp solicitat

de forțele exterioare 1198651 1198652 și 1198653 obținută prin secționarea corpului și mărginită de fața

din dreapta Ad a secțiunii Pe secțiunea Ad vom considera un element de arie infinit mic

∆119860 caracterizat de normala la elementul de arie normală care are cosinușii directori

120573 și icircn raport cu un sistem de axe considerat fix Pe elementul infinit mic ∆119860 acționează

forțele interioare care au o rezultantă oarecare figura 31

Prin definiție tensiunea totală este

= lim∆119860rarr0

∆

∆119860 (31)

Tensiunea are aceeaşi direcţie cu forţa elementară ∆ iar mărimea ei este

determinată atacirct de mărimea forţei ∆ cacirct şi de orientarea suprafeţei ∆119860 faţă de direcţia

forţei

Tensiunea 119901 poate fi descompusă icircntr-o componentă orientată după direcţia

normalei la secţiune tensiunea normală notată cu 120590119909 şi o componentă icircn planul secţiunii

tensiunea tangenţială notată cu figura 32

= 119909 + 120591 (32)

Fig 31 Tensiunea totală Fig 32 Tensiunea normală și tangențială

La racircndul ei componenta tensiunii cuprinsă icircn planul secțiunii poate fi

descompusă după direcțiile axelor y și z

120591 = 120591119909119910 + 120591119909119911 (33)

Icircntre cele trei componente ale tensiunii totale care acționează pe elementul de arie

∆119860 este valabilă relația

1199012 = 1205901199092 + 120591119909119910

2 + 1205911199091199112 (34)

După sensul pe care icircl are tensiunea normală 120590 poate avea efect de tracţiune sau

de compresiune exercitat de către partea de corp icircnlăturată asupra părţii rămase Analog

tensiunea tangenţială 120591 poate avea efect de tăiere forfecare sau alunecare Pentru

componentele tensiunii tangențiale 120591119909119910 pe direcţia 119910 respectiv 120591119909119911 pe direcţia 119911 primul

indice indică axa pe care tensiunea este normală iar cel de-al doilea indice indică axa cu

care aceasta este paralel

Tensiunea este o mărime tensorială valoarea ei depinzacircnd atacirct de poziția

punctului icircn planul secțiunii cicirct și de orientarea planului de secționare deci de normala

Operaţiile vectoriale nu pot fi aplicate tensiunilor decacirct după ce acestea au fost icircnmulţite

cu ariile respective adică au fost transformate icircn forţe

Icircn literatura de specialitate mai ales icircn manualele mai vechi pentru noţiunea de

tensiune se mai foloseşte şi denumirea de efort specific

Dacă se consideră un alt element de arie ∆119860 cu centrul icircn același punct avacircnd ca

normală axa 119910 se vor obține alte tensiuni și anume

- 120590119910 este tensiunea normală (paralelă cu axa y)

- 120591119911119909 și 120591119910119911 sunt tensiuni tangențiale paralele cu axele 119909 și respectiv 119911 aflate icircn

planul care are ca normală axa 119910

Dacă icircn jurul unui punct dintr-un corp solicitat se consider un element de volum

infinit mic de forma unui cub icircn cazul cel mai general pe fețele sale vor acționa

tensiunile normale 120590119909 120590119910 și 120590119911 și respectiv tensiunile tangențiale 120591119909119910 120591119909119911 120591119910119909 120591119910119911 120591119911119909

și respectiv 120591119911119910 figura 33 Aceste tensiuni definesc starea de tensiune a punctului

observacircnd faptul că tensorul tensiune are 9 componente Dacă se consideră elementul

de volum finit ca fiind foarte mic se poate presupune că icircn interiorul său nu apar forțe

Ca urmare el va fi icircn echilibru sub acțiunea forțelor elementare produse de tensiunile de

pe fețele sale

Din condiția ca elementul să nu se rotească icircn jurul unor axe care trec prin centrul

său și sunt paralele cu axele sistemului 119909119874119910119911 rezultă

2 ∙ 120591119909119910 ∙ (119889119910 ∙ 119889119911) ∙119889119909

2= 2 ∙ 120591119910119909 ∙ (119889119909 ∙ 119889119911) ∙

119889119910

2 rArr 120591119909119910 = 120591119910119909 (35)

2 ∙ 120591119910119911 ∙ (119889119909 ∙ 119889119911) ∙119889119910

2= 2 ∙ 120591119911119910 ∙ (119889119909 ∙ 119889119910) ∙

119889119911

2 rArr 120591119910119911 = 120591119911119910 (36)

2 ∙ 120591119909119911 ∙ (119889119910 ∙ 119889119911) ∙119889119909

2= 2 ∙ 120591119911119909 ∙ (119889119909 ∙ 119889119910) ∙

119889119911

2 rArr 120591119909119911 = 120591119911119909 (37)

Relațiile (35divide37) 120591119909119910 = 120591119910119909 120591119910119911 = 120591119911119910 120591119909119911 = 120591119911119909 exprimă principiul dualității

tensiunilor tangențiale

Fig 33 Tensiunile normale și tangențiale pe fețele unui cub

Din condiția ca elementul considerat să nu se deplaseze icircn lungul axelor de

coordonate pe fețele opuse acționează aceleași tensiuni normale 120590119909 120590119910 și respectiv 120590119911

Definirea tensorului tensiune este posibilă dacă se cunosc cele 6 componente

independente ale acestuia aflate icircn trei plane perpendicular ce trec prin punctul respectiv

=

120590119909 120591119909119910 120591119909119911120591119910119909 120590119910 120591119910119911120591119911119909 120591119911119910 120590119911

Observaţii

Tensiunile se măsoară icircn [119873 1198982frasl ] (1119873 1198982frasl = 1 119875119886) sau icircn [119872119875119886]

(1 119872119875119886 = 106119875119886 = 106 119873

1198982 1 119872119875119886 = 1

119873

1198981198982)

Starea de tensiune dintr-un punct este considerată cunoscută dacă se cunosc

tensiunile 119901 care acționează pe infinitatea de elemente de suprafață ce trec prin punctual

considerat

Starea de tensiune a unui corp se consider cunoscută dacă se cunosc stările de

tensiune de pe infinitatea de puncte ale corpului considerat

32 Deplasări Deformaţii specifice

321 Deplasări

Aceste noțiuni sunt utile icircn analiza aspectului geometric al problemelor de rezistența

materialelor Deplasările care se analizează sunt cele datorate schimbării formei și

dimensiunilor corpurilor ca urmare a acțiunii forțelor exterioare și nu cele cinematice

posibile pentru solidul rigid care se poate deplasa cu anumită viteză și accelerație

Spre exemplu icircn figura 34a și figura 34b sub acțiunea forței 119865 tronsonul de

bară AB se deformează icircn timp ce tronsonul BC deși punctele sale au deplasări rămacircne

nedeformat (fiind nesolicitat) Toate punctele de pe axele barelor cu excepția celor din

icircncastrare (secțiunile A) au deplasări liniare De cele mai multe ori deformațiile barelor

datorate acțiunii forțelor exterioare se anulează la icircndepărtarea forțelor se spune că

deformațiile sunt elastice Secțiunile transversale ale barei din figura 34a se și rotesc icircn

raport cu pozițiile lor inițiale Spre exemplu secțiunea de căpăt cu centrul icircn C se rotește

cu unghiul

Fig 34 Deformațiile unei grinzi

Oricacirct de complexă ar fi delormația unui corp ea poate fi descrisă de lungiri sau

scurtări și de modificări ale unghiurilor inițiale

Deplasările măsoară schimbarea poziției unui punct al corpului și pot fi liniare

sau unghiulare

Prin deplasare liniară a unui punct se icircnțelege drumul parcurs de acest punct icircn

decursul procesului de deformație după o dreaptă suport dreapta 1198611198611 din figura 34a

Prin deplasare unghiulară se icircnțelege rotirea dintre segmentele de dreaptă

determinate de două puncte ale corpului icircnainte și după deformarea acestuia unghiul

pe care-l fac segmentele 119861119862 și 11986111198621 din figura 34a Această rotire se măsoară prin

unghiul pe care-l fac proiecțiile dreptelor ce conțin cele două segmente icircntr-un sistem

triortogonal

Icircn cazul cel mai general vectorul deplasare liniară se poate descompune icircntr-un

sistem triortogonal icircn trei componente 119906 119907 și 119908 figura 35

Fig 35 Deplasarea liniară

Se consideră acum un corp solid raportat la un sistem de axe ortogonal 119909119874119910119911

figura 35 după deformarea corpului un punct oarecare 119870 al acestuia se deplasează icircn

poziţia 1198701 vectorul 1198701198701 poartă numele de vectorul deplasării totale

Deplasarea totală este suma deplasărilor pe cele trei direcţii ortogonale iar

aceste deplasări se notează astfel

deplasarea pe direcţia 119909 cu ∥ 119874119909

deplasarea pe direcţia 119910 cu ∥ 119874119910

deplasarea pe direcţia 119911 cu ∥ 119874119911

Componentele deplasărilor și formeză matricea deplasărilor liniare 119906119907119908

322 Deformații

Prin deformație icircn general se icircnțelege orice schimbare de formă a unui corp fără

o evaluare cantitativă Icircn Rezistența Materialelor deformația măsoară variația

dimensiunilor geometrice ale corpului considerat din vecinătatea unui punct analog

deplasărilor deformațiile pot fi liniare și unghiulare (lunecări)

Fig 36 Deplasarea liniară

Deformația liniară ∆119897 reprezintă variația lungimii 119897 a unui element liniar al

corpului deformat figura 36 Deformația liniară specifică se definește ca fiind raportul

dintre deformația liniară și lungimea inițială

휀 =∆119897

119897 (38)

unde ∆119897 este lungirea sau scurtarea care este echivalentă cu deformția liniară totală iar

este alungirea

Deformația unghiulară sau lunecarea unui punct 119860 icircn planul 119861119860119862 se definește

prin relația figura 37

120574 = lim119861119860rarr0119862119860rarr0

(119861119860 minus 119861111986011198621 ) (39)

Fig 36 Deformația unghiulară

Schimbacircnd orientarea planului care trece prin 119860 se obțin alte deformații

unghiulare Dacă elementele liniare 119861119860 și 119862119860 sunt inițial perpendiculare deformația 120574 se

numește deformație unghiulară specifică sau lunecare specifică figura 37

Un exemplu de deplasare unghiulară și de deformație unghiulară este prezentat icircn

figura 38 Unghiul este deplasarea unghiulară și măsoară rotirea relativă dintre două

secțiuni aflate la distanța 119897 Unghiul este deformația specifică unghiulară (lunecarea

specifică) din punctul 119870 Aceste deplasări și deformații se obțin icircn urma solicitării barei

de către cele două momente 1198720 egale și de sens contrar

Fig 38 Deplasarea unghiulară

Pentru a analiza starea de deformație din vecinătatea unui punct al unui corp

solicitat complex se decupează din jurul punctului un element de volum mic figura 39a

avacircnd laturile 119889119909 119889119910 și 119889119911 Ca urmare a solicitării laturile acestuia se vor lungi sau

scurta Reprezentarea elementului deformat icircn spațiu este dificilă pentru simplificare

vom analiza doar deformațiile din planul 119909119874119910 Observăm că dimensiunile 119889119909 și 119889119910 s-au

modificat cu valoarea ∆119889119909 respectiv cu ∆119889119910 analog se acceptă și pentru 119889119911 o modificare

de forma ∆119889119911 Astfel se pot defini deformațiile specifice liniare

휀119909 =∆119889119909

119889119909 휀119910 =

∆119889119910

119889119910 휀119911 =

∆119889119911

119889119911 (310)

De cele mai multe ori aceste deformații specifice liniare se pot exprima procentual

și se mai numesc alungiri

Fig 39 Starea de deformație

Icircn figura 39c se vede că unghiul inițial drept dintre muchiile 119889119909 și 119889119910 ale

elementului de volum s-a modificat Se definește deformația specifică unghiulară (sau

lunecarea specifică) mărimea cu care se modifică unghiul inițial drept

120574119909119910 = 120574119909119910prime + 120574119910119909

prime = 120574119910119909120574119910119911 = 120574119910119911

prime + 120574119911119910prime = 120574119911119910

120574119911119909 = 120574119911119909prime + 120574119909119911

prime = 120574119909119911

(311)

Deformațiile 휀119909 휀119910 휀119911 120574119909119910 120574119910119911 120574119911119909 constituie cele șase componente

independente ale tensorului deformațiilor specifice care pot fi scrise de forma

119863 =

휀119909 120574119909119910 120574119909119911120574119910119909 휀119910 120574119910119911120574119911119909 120574119911119910 휀119911

(312)

323 Contracţia transversală

Practica arată că odată cu lungirea unei bare apare o micşorare a mărimii secţiunii

transversale mărime numită contracţie transversală figura 310

Fig 310 Contracția transversală

Contracţia transversală este proporţională cu lungirea specifică coeficientul de

proporţionalitate se notează cu 120599 şi se numeşte coeficient de contracţie transversală sau

coeficientul lui Poisson

La o lungire specifică a barei contracţia transversală este dată de relația

휀119905119903 = 휀119910 = 휀119911 = minus120599 ∙ 휀119909 (313)

Semnul minus bdquo-rdquo arată că cele două mărimi sunt contrare dacă una creşte cealaltă

scade şi invers

Considerăm o bară cilindrică de lungime 119897 şi aria secţiunii transversale 119860 solicitată

la icircntindere axială La un moment dat datorită solicitării lungimea barei devine

[119897 ∙ (1 + 휀)] diametrul devine [119889 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)] iar aria secţiunii transversale devine

[119860 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)2] Dacă volumul barei icircnainte de solicitare a fost (119860 ∙ 119897) după solicitare

acesta devine

119881 + ∆119881 = 119860 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)2 ∙ 119897 ∙ (1 + 휀) =

= 119860 ∙ 119897 ∙ (1 + 휀 minus 2 ∙ 120599 ∙ 휀 minus 2 ∙ 120599 ∙ 휀2 + 1205992 ∙ 휀2 + 1205992 ∙ 휀3) (314)

Deoarece lungirile sunt foarte mici ultimii trei termeni din paranteză fiind infinit mici se pot neglija obţinacircnd

119881 + ∆119881 = 119860 ∙ 119897 + 119860 ∙ 119897 ∙ 휀 ∙ (1 minus 2 ∙ 120599) ⟺ ∆119881 = 휀 ∙ (1 minus 2 ∙ 120599) ∙ 119860 ∙ 119897 (315)

Practica arătă că o astfel de bară solicitată la icircntindere icircşi măreşte volumul deci

∆119881 gt 0 de unde rezultă că

1 minus 2 ∙ 120599 gt 0 rArr 120599 lt 05 (316)

Pentru majoritatea materialelor 120599 = 033 iar pentru materialele care-şi păstrează

volumul constant 120599 = 05

33 Relaţii de echivalenţă icircntre eforturi şi tensiuni

Considerăm un element de suprafață infinit mic 119889119860 situat pe fața de arie (119860) a

secțiunii barei din figura 311 Icircn centrul de greutate 119862 al secțiunii acționează eforturile

119873 119879119910 119879119911 119872119909 119872119894119910 și 119872119894119911 determinate prin metoda secțiunilor

Icircn raport cu un sistem de axe de referință 119909119862119910119911 coordonatele elementului 119889119860 sunt

- 119910 este ordonata elementului de arie 119889119860

- 119911 este abscisa elementului de arie 119889119860

Pe elementul de arie 119889119860 acționează tensiunile

120590119909 tensiunea normală

120591119909119910 și 120591119909119911 tensiuni tangențiale

Dacă se icircnsumează forțele elementare de tipul 120590119909 ∙ 119889119860 120591119909119910 ∙ 119889119860 și 120591119909119911 ∙ 119889119860

va trebui să obținem eforturile 119873 119879119910 și 119879119911

Fig 311 Element de suprafață mic din secțiunea unei bare

Dacă eforturile sunt privite ca forțe exterioare și se scriu ecuațiile de

echilibru ale secțiunii (119860) se vor obține șase relații de echivalență icircntre eforturi și

tensiuni

(sum119883) = 0 rArr int 120590119909 ∙ 119889119860

119860

= 119873 (317)

(sum119884) = 0 rArr int 120591119909119910 ∙ 119889119860

119860

= 119879119910 (318)

(sum119885) = 0 rArr int 120591119909119911 ∙ 119889119860

119860

= 119879119911 (319)

(sum119872)119909= 0 rArr int(120591119909119911 ∙ 119889119860) ∙ 119910

119860

minus int(120591119909119910 ∙ 119889119860) ∙ 119911

119860

= 119872119909 rArr

rArr int(119910 ∙ 120591119909119911 minus 119911 ∙ 120591119909119910) ∙ 119889119860

119860

= 119872119909

(320)

(sum119872)119910= 0 rArr int(120590119909 ∙ 119889119860) ∙ 119911

119860

= 119872119894119910 (321)

(sum119872)119911= 0 rArr int(120590119909 ∙ 119889119860) ∙ 119910

119860

= 119872119894119911 (322)

Cele șase relații de echivalență icircntre eforturi și tensiuni constituie un pas icircnainte

icircn rezolvarea unei probleme de rezistența materialelor Aceste relații vor permite

determinarea tensiunilor maxime

Pentru a rezolva cele 6 relații de echivalență trebuie să se cunoască tensiunile și

ca funcții de punct adică funcții de forma

120590119909 = 120590119909(119909 119910 119911) 120591119909119910 = 120591119909119910(119909 119910 119911) 120591119909119911 = 120591119909119911(119909 119910 119911) (32

3)

Cunoașterea acestor funcții presupune icircnsă analizarea aspectului geometric al

problemei precum și utilizarea unor ipoteze simplificatoare care să permită simplificarea

problemelor

34 Ipoteze de bază icircn rezistenţa materialelor

Depășirea dificultăților legate de interpretarea unor fenomene specifice mecanicii

solidului deformabil a impus acceptarea unor ipoteze care să simplifice fenomenele și să

contribuie la elaborarea unor modele de calcul cicirct mai generale și cacirct mai simple Aceste

ipoteze se referă la structura materialelor şi la comportarea lor sub acţiunea forţelor

exterioare Ipotezele acceptate trebuie să fie icircn deplină concordanţă cu realitatea și să

conducă la rezultate verificate icircn practică

Funcție de aspectele la care se referă ipotezele pot fi

Ipoteze fizice (de material)

Ipoteze de calcul

341 Ipoteze fizice

Se acceptă deoarece teoriile structurale au condus la rezultate care contravin

icircncercărilor experimentale

Ipoteza mediului continuu consideră că orice domeniu elementar al corpului

este ocupat de materie adică nu se acceptă existența unor goluri sau a unor crăpături

microscopice (fisuri) Deși nu corespunde realităţii poate fi acceptată deoarece

dimensiunile corpului sunt mult mai mari decacirct dimensiunile particulelor elemantare Are

avantajul că permite utilizarea proprietăților matematice ale funcțiilor continue pentru

tensiunile și deformațiile din orice punct al corpului Ea este mai apropiată de realitate la

corpurile amorfe şi mai depărtată la cele cristaline dar conduce la rezultate satisfăcătoare

icircn calculele de rezistenţă

Ipoteza nu se poate aplica la corpurile care au goluri tăieturi (multiplu conexe)

pentru unele puncte singulare icircn care tensiunile și deformațiile tind la infinit sau icircn unele

probleme de plasticitate icircn care proprietățile de material au un rol esențial

Ipoteza izotropiei conform acestei ipoteze materialul din care este confecționat

un element de rezistență are aceleași proprietăți după orice direcție un astfel de material

este considerat izotrop Din punct de vedere macroscopic metalele pot fi considerate

izotrope deși la nivel microscopic proprietățile lor diferă de la o direcție cristalografică

la alta Orice conglomerat de cristale poate fi considerat izotrop

Există cazuri cacircnd această ipoteză a izotropiei nu se acceptă

la metalele puternic deformate după o direcție (prin laminare trefilare)

la piesele confecționate din lemn lemnul este anizotrop deoarece proprietățile sale

diferă după două direcții (icircn lungul fibrelor și perpendicular pe această direcție)

Ipoteza omogenității consideră că un corp are aceleași proprietăți icircn orice

punct al său Deși majoritatea materialelor utilizate icircn tehnică sunt eterogene la scară

micro fiind constituite din mai multe faze cu proprietăți diferite la scară macro ele pot

fi considerate omogene Omogenitatea și izotropia sunt proprietăți statistice medii care

nu se condiționează una pe cealaltă Chiar și materialele monofazice pot avea la scară

micro unele segregații care le fac eterogene

Ipoteza elasticităţii perfecte presupune că atacircta timp cacirct solicitările nu

depăşesc anumite limite materialul are o comportare elastică adică icircşi recapătă forma şi

dimensiunile iniţiale odată cu icircnlăturarea sarcinilor Icircn realitate materialele nu prezintă o

elasticitate perfectă ele avacircnd deformaţii remanente mici care icircnsă pot fi neglijate icircn

calculele de rezistenţă

Acceptarea acestei ipoteze a elasticității perfecte permite

- aplicarea relației biunivoce icircntre tensiuni și deformații relație exprimată de legea

lui Hooke ( = 119864 ∙ 휀) unde E este un factor de proporţionalitate numit modul de

elasticitate longitudinal al materialului pentru oţel 119864 = 21 ∙ 105 [119872119875119886] - acceptarea valabilității afirmației bdquolucrul mecanic efectuat de forțele exterioare

ca urmare a parcurgerii deplasărilor punctelor de aplicație se icircnmagazinează integral icircn

corp sub formă de energie de deformație energie cedată la icircndepărtarea sarcinilorrdquo

- este valabilă teoria conform căreia bdquoenergia icircnmagazinată și deformațiile depind

doar de starea inițială și finală de eforturi fără a ține cont de modul icircn care s-a ajuns la

starea finalărdquo

Icircn realitate oricacirct de mici ar fi sarcinile aplicate se produc și deformații plastice

dar acestea pot fi neglijate dacă solicitarea nu depășește anumite limite

342 Ipoteze de calcul

Ipoteza micilor deplasări bdquodeplasările datorate deformării sunt mult mai mici

decacirct dimensiunile corpurilor și ca urmare pot fi neglijate produsele dintre o deplasare și

ea icircnsăşirdquo Pentru cele mai multe corpuri deformaţiile elastice sunt de mărimi mici deci

corpurile solide sub acţiunea sarcinilor icircşi modifică foarte puţin forma iniţială Această

ipoteză este cunoscută şi sub denumirea de ipoteza menţinerii dimensiunilor iniţiale Ea

permite scrierea ecuaţiilor de echilibru ale staticii pe starea nedeformată a elementului

cacircnd nu se iau icircn considerare deplasările punctelor de aplicaţie ale forţelor care se produc

ca urmare a deformării acestuia Calculul efectuat pe schema nedeformată poartă numele

de calcul de ordinul I

Ipoteza micilor deplasări nu poate fi acceptată pentru studiul problemelor de

stabilitate sau la problemele la care nu pot fi icircndeplinite condiţiile de echilibru icircn starea

nedeformată

Calculul de ordinul II admite ipoteza micilor deplasări dar ecuaţiile de echilibru

se scriu icircnsă pentru starea deformată a elementului de rezistenţă

Calculul de ordinul III nu mai acceptă ipoteza micilor deplasări el referindu-se

la cazul deformaţiilor mari cacircnd ecuaţiile de echilibru trebuie scrise pentru starea

deformată

Chiar dacă materialul satisface legea lui Hooke icircn urma calculelor de ordinul II

se obţin de obicei relaţii neliniare icircntre sarcini şi deplasări iar pentru calculul de ordinul

III rezultă ecuaţii diferenţiale neliniare

Principiul efectului local al acțiunii sarcinilor enunțat de Barre de Saint-

Venant Acest principiu destul de folosit icircn Rezistenţa Materialelor precizează că dacă

se icircnlocuiesc forţele care acţionează asupra unui element de suprafață al unui corp

elastic printr-un alt sistem de forţe echivalent din punct de vedere static cu primul noua

distribuţie a forţelor produce la locul de aplicare diferenţe semnificative faţă de prima

dar rămacircne fără efect sau cu efect neglijabil la distanţe mari de locul de aplicare al

forţelor figura 312

Ca o cosecință o sarcină uniform distribuită figura 312a poate fi icircnlocuită cu

rezultanta ei figura 312b dacă se analizează efectul sarcinii la distanță mare de locul icircn

care se aplică sarcina

Fig 312 Principiul Saint-Venant

Icircn prima variantă figura 312a forţa 119865 se aplică pe o porțiune oarecare 119897 (sarcină

uniform distribuită) iar icircn a doua figura 312b icircntru-un punct (forţă concentrată) La

locul de aplicare a sarcinii efectul asupra barei este cu totul diferit de la o variantă la

cealaltă Icircnsă la o distanţă mare de punctul de aplicaţie spre exemplu icircn secţiunea situată

la distanţa 119886 de capătul barei sau chiar icircn icircncastrare ambele bare sunt solicitate la fel

Icircn cazul din figura 312a

119872119894(119909) =119901 ∙ 1199092

2 119909 le 119897 119872119894(119909) = 119901 ∙ 119897 ∙ (119909 minus

119897

2) 119909 gt 119897 (324)

Icircn cazul din figura 312b

119872119894(119909) = 0 119909 lt119897

2 119872119894(119909) = 119901 ∙ 119897 ∙ (119909 minus

119897

2) 119909 gt

119897

2 (325)

Se vede că pentru (119909 gt 119897) adică după depășirea locului icircn care se aplică sarcina

efectul este același

Ipoteza lui Bernoulli sau ipoteza secţiunilor plane precizează că o secţiune

plană şi normală pe axa barei icircnainte de deformare rămacircne plană şi normală pe axa

barei şi după deformare figura 313

Fig 313 Ipoteza lui Bernoulli

Ipoteza stării naturale a corpului sau ipoteza absenţei tensiunilor conform

căreia pentru un corp nesolicitat starea de tensiune şi deformaţie este nulă

Perfecţionarea mijloacelor de calcul şi de investigare pot conduce la renunţarea la

unele ipoteze sau la introducerea altora noi mai aproape de stările reale De aici rezultă

caracterul de continuă perfecţionare a metodelor Rezistenţei Materialelor

35 Coeficienţi de siguranţă Tensiuni admisibile

O piesă corespunde din punct de vedere tehnic dacă tensiunile care iau naştere icircn

interiorul piesei datorită sarcinilor aplicate nu depăşesc anumite valori limită stabilite

convenţional Aceste valori limită ale tensiunii sunt corelate cu caracteristicile mecanice

ale materialelor

Tensiunea limită utilizată icircn calculele de rezistenţă este cunoscută sub denumirea

de tensiune admisibilă sau rezistenţă admisibilă Rezistenţa admisibilă reprezintă

valoarea convenţională aleasă icircn calcul pe baza practicii pentru tensiunea maximă care

poate apare icircntr-o piesă icircn condiţii date de material şi solicitare

Rezistenţa admisibilă (120590119886 sau 120591119886) poate fi definită faţă de o stare limită

periculoasă stare care trebuie evitată deoarece poate conduce distrugere

120590119886 =120590119897119894119898119888

(326)

unde

120590119897119894119898 este tensiunea corespunzătoare stării limită periculoase

119888 estesupraunitar 119888 gt 1 și reprezintă coeficientul de siguranţă faţă de starea limită

periculoasă considerată

Alegerea unor valori inferioare pentru rezistenţa admisibilă faţă de tensiunea

corespunzătoare stării limită periculoase este necesară deoarece

cunoaşterea sarcinilor este de cele mai multe ori aproximativă şi o depăşire a

acestora este foarte posibilă

caracteristicile mecanice ale materialelor variază icircn limite destul de mari ele

fiind influenţate de mulţi factori

schema aleasă pentru calcul (aplicarea sarcinilor schematizarea structurii

ipotezele de calcul etc) depărtează modelul faţă de cel real

Pentru calculele de verificare tensiunea efectivă maximă din elementul de

rezistenţă trebuie să fie mai mică sau cel mult egală cu cea admisibilă

120590119890119891119898119886119909 le 120590119886 (327)

Valoarea rezistenţei admisibile este influenţată de foarte mulţi factori natura

materialului tratamentele termice aplicate piesei durata de funcţionare a piesei modul

de acţionare icircn timp a sarcinilor felul solicitării temperatura gradul de periculozitate

icircn cazul cedării piesei etc

De asemenea valoarea coeficientului de siguranţă se alege icircn principal ţinacircnd

seama de aceiaşi factori care influenţează şi rezistenţa admisibilă

Rezistenţele admisibile pentru cacircteva materiale sunt următoarele

pentru oțelul de uz general OL37 solicitat la icircntindere compresiune sau

icircncovoiere 120590119886 = 150 [119872119875119886] pentru lemnul de brad solicitat la

- compresiune icircn lungul fibrelor şi solicitat la icircncovoiere 120590119886 = 10 [119872119875119886] - tracţiune icircn lungul fibrelor 120590119886 = 7 [119872119875119886] - compresiune perpendiculară pe fibre 120590119886 = 15 [119872119875119886] - forfecare icircn lungul fibrelor 120591119886 = 2 [119872119875119886] - forfecare perpendiculară pe fibre 120590119886 = 45 [119872119875119886]

terenuri de fundaţie din pămacircnt uscat sau umed 120590119886 = 020 divide 025 [119872119875119886]

4 CARACTERISTICI GEOMETRICE ALE SECȚIUNILOR PLANE

41 Noţiuni introductive

Icircn relaţiile de calcul ale tensiunilor şi deformaţiilor elementelor de rezistenţă

pentru unele solicitări (icircncovoierea și torsiunea) secțiunile plane intervin atacirct prin

dimensiunile lor (aria 119860) cicirct și prin forma și poziția pe care o are secțiunea icircn raport cu

planul solicitării Mărimile care caracterizează o secțiune icircn raport cu forma și poziția față

de axele unui sistem de referință sunt denumite caracteristici geometrice de ordin

superior Aria secțiunii este caracteristica geometrică ce depinde doar de dimensiunile

geometrice ale acesteia

Să considerăm o grindă solicitată de o forță exterioară 119865 aşezată icircn două poziții icircn

raport cu planul forţei figura 41 Icircn urma aplicării forței deși avem aceeași grindă

(aceeași arie a secțiunii transversale) și aceeași forță se constată că pentru varianta din

figura 41a deformațiile sunt mult mai mari adică rezistența la icircncovoiere a grinzii din

figura 41a este mai mare decacirct icircn cazul grinzii din figura 41b Comportarea diferită se

explică prin aceea că modificarea poziţiei secţiunii transversale faţă de planul forţelor

modifică caracteristicile geometrice ale secţiunii transversale a grinzii

Fig 41 Grindă solicitată de forța 119865

Pentru realizarea calculelor de rezistenţă şi rigiditate este foarte importantă

cunoaşterea caracteristicilor geometrice ale suprafeţei secţiunii transversale a elementelor

de rezistenţă

Caracteristicile geometrice ale secţiunii transversale a unui element de rezistenţă

sunt

- aria secțiunii notată cu 119860

- momentul static icircn raport cu o axă notat 119878119911 și respectiv 119878119910

- momentul de inerție care poate fi

axial notat 119868119911 și respectiv 119868119910

centrifugal notat 119868119911119910

polar notat 119868119901

- raza de inerţie (giraţie)notată 119894119911 și respectiv 119894119910

- modulul de rezistență care poate fi

axial notat 119882119911 și respectiv 119882119910

polar notat 119882119901

42 Aria și momentul static al suprafețelor plane

Fie o suprafaţă plană de arie 119860 pe care se ia un element infinit mic de arie 119889119860 şi

un sistem de axe rectangulare 119911119874119910 figura 42 Notăm cu 119862 centrul de greutate al suprafeţei

119860 Poziţia suprafeţei elementare 119889119860 faţă de acelaşi sistem de coordonate 119911119874119910 este dată

de abscisa 119911 ordonata 119910 și raza polară

Fig 42 Suprafață plană de arie 119860

Aria suprafeţei 119860 figura 42 se defineşte ca fiind

119860 ≝ int 119889119860

119860

(41)

Aria suprafeţei este icircntotdeauna pozitivă și se măsoară icircn [1198981198982] Momentul static al suprafeţei de arie 119860 icircn raport cu axele 119874119911 și respectiv 119874119910

figura 42 sunt date de relaţiile

119878119911 ≝ int 119910 ∙ 119889119860

119860

119878119910 ≝ int 119911 ∙ 119889119860

119860

(42)

Momentul static poate fi pozitiv negativ sau nul şi se măsoară icircn [1198981198983] Coordonatele centrului de greutate ale suprafeței 119860 se detrmină cu relațiile

119910119862 ≝int 119910 ∙ 119889119860119860

119860 119911119862 ≝

int 119911 ∙ 119889119860119860

119860

(43)

Cunoscacircnd coordonatele 119910119862 și 119911119862 ale centrului de greutate 119862 al secțiunii 119860 atunci

momentele statice se pot determina cu relațiile

119878119911 ≝ int 119910 ∙ 119889119860

119860

= 119910119862 ∙ 119889119860 119878119910 ≝ int 119911 ∙ 119889119860

119860

= 119911119862 ∙ 119889119860 (44)

Aceste relații arată că momentul static al unei suprafețe icircn raport cu o axă este

egal cu produsul dintre aria suprafeței și distanța de la centrul ariei la axa respectivă

Dacă suprafaţa se poate descompune icircn 119899 suprafeţe simple la care se cunosc ariile

(1198601 1198602 ⋯ 119860119894⋯ 119860119899) și poziţiile centrelor de greutate 119862119894 faţă de sistemul de referinţă

expresiile momentelor statice capătă următoarea formă

119878119911 = sum 119910119862119894 ∙ 119860119894119899119894=1 = 119910119862 ∙ 119860 119878119910 = sum 119911119862119894 ∙ 119860119894

119899119894=1 = 119911119862 ∙ 119860 (45)

Din relaţiile (45) rezultă că poziţia centrului de greutate 119862 al unei suprafeţe

compuse poate fi determinată cu relaţiile

119910119862 = (sum119910119862119894 ∙ 119860119894

119899

119894=1

) 119860frasl 119911119862 = (sum119911119862119894 ∙ 119860119894

119899

119894=1

) 119860frasl (46)

Icircn relația (45) 119910119862119894 și respectiv 119911119862119894 reprezintă coordonatele centrelor de greutate 119862119894

ale fiecărei suprafețe simple 119860119894 icircn raport sistemul de axe 119911119874119910

Se constată (relaţia 42) că dacă axele sistemului de referinţă trec prin centrul de

greutate (119910119862 = 119911119862 = 0) momentele statice sunt nule Axele icircn raport cu care momentele

statice sunt nule şi care trec prin centrul de greutate al suprafeţei se numesc axe centrale

Observație dacă secțiunea compusă are o axă de simetrie centrul secțiunii se

găsește pe acea axă iar dacă secțiunea este dublu simetrică poziția centrului secțiunii este

la intersecția axelor de simetrie

43 Momente de inerţie

Momentele de inerţie axiale ale unei suprafețe se calculează icircn raport cu axele de

coordonate 119874119911 și respectiv 119874119910 figura 42 și se determină cu relațiile

119868119911 ≝ int 1199102 ∙ 119889119860

119860

119868119910 ≝ int 1199112 ∙ 119889119860

119860

(47)

Unde 119910 și 119911 sunt distanțele de la elementul de arie 119889119860 la cele două axe de

coordonate 119874119911 și respectiv 119874119910

Momentele de inerţie axiale se măsoară icircn [1198981198984] şi sunt icircntotdeauna pozitive (aria

119889119860 este icircntotdeauna pozitivă și este multiplicată cu patratul distanței 1199102 dacă 119868119911 sau 119868119910

sunt nule icircnseamnă ca secțiunea nu există)

Momentele de inerție axiale se calculează icircndeosebi pentru axele centrale (care

trec prin centrul secțiunii) deoarece icircn raport cu acele axe 119868119911 și 119868119910 au valori minime

Momentul de inerţie centrifugal calculat faţă ambele axe ale sistemului de

referinţă 119911119874119910 este definit de relația

119868119911119910 ≝ int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860

(48)

Momentul de inerţie centrifugal se măsoară icircn [1198981198984] şi poate fi pozitiv negativ

sau nul

Momentul de ineție centrifugal este nul 119868119911119910 = 0 dacă cel puțin una din axele 119874119911

sau 119874119910 este axă de simetrie pentru secțiune

Se consideră o suprafaţă dreptunghiulară pe care faţă de axa de simetrie 119874119910 se iau

două suprafeţe elementare de arie 119889119860 simetrice faţă de axa 119874119910 figura 43

Fig 43 Suprafață dreptunghiulară cu două arii elementare 119889119860

Făcacircnd suma momentelor de inerţie centrifugale pentru cele două suprafeţe

elementare 119889119860 (din stacircnga şi din dreapta faţă de axa 119874119910) se obţine

int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860119889119903

+ int (minus119911) ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860119904119905119892

= int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860119889119903

minus int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860119904119905119892

= 0 (49)

Acelaşi raţionament se poate face și pentru icircntreaga suprafaţă de unde obținem că

momentul de inerție centrifugal este nul 119868119911119910 = 0 Deci pentru o suprafaţă plană care

are cel puţin o axă de simetrie momentul de inerţie centrifugal faţă de sistemul care

conţine acea axă de simetrie este nul

Momentul de inerţie polar al unei suprafeţei icircn raport cu un punct (pol) 119874 figura

42 este definit prin relaţia

1198680 = 119868119901 ≝ int 1205882 ∙ 119889119860

119860

= int(1199102 + 1199112) ∙ 119889119860

119860

= 119868119911 + 119868119910 (410)

unde este distanţa de la polul 119874 la elementul de arie 119889119860 Momentul de inerţie polar se

măsoară icircn [1198981198984] şi este totdeauna pozitiv

Momentul de inerţie polar este egal cu suma momentelor de inerţie faţă de două axe

perpendiculare oarecare şi care trec prin polul considerat

Razele de giraţie sau razele de inerţie sunt mărimi calculate icircn raport cu axele

secțiunii și definite de relaţiile

119894119911 ≝ radic119868119911119860 119894119910 = radic

119868119910

119860 (411)

Se exprimă icircn [119898119898] şi sunt icircntotdeauna pozitive Semnificația unei raze de inerție

este distanța la care dacă ar fi concentrată icircntreaga arie s-ar obține același moment de

inerție ca și cel calculat pentru aria reală

44 Modulul de rezistenţă

Modulul de rezistență se calculează icircn raport cu axele de referință sau icircn raport cu

un pol figura 42 și pot fi axiale (119882119911119882119910) sau polar (119882119901) și se determină numai pe baza

momentelor de inerţie cu relațiile figura 43

119882119911119898119894119899 ≝119868119911119910119898119886119909

119882119911119898119886119909 ≝119868119911119910119898119894119899

(412)

119882119910119898119894119899 ≝119868119910

119911119898119886119909 119882119910119898119886119909 ≝

119868119910

119911119898119894119899 (413)

119882119901 ≝119868119901

120588119898119886119909 (414)

unde

119910119898119886119909 119910119898119894119899 reprezintă distanţa de la axa 119874119911 la punctele extreme cele mai

depărtate respectiv cele mai apropiate ale suprafeţei de această axă

119911119898119886119909 119911119898119894119899 reprezintă distanţa de la axa 119874119910 la punctele extreme cele mai

depărtate respectiv cele mai apropiate ale suprafeţei de această axă

120588119898119886119909 reprezintă distanța maximă de la polul 119874 la punctul secțiunii cel mai

icircndepărtat de acesta

Fig 43 Suprafață dreptunghiulară cu două arii elementare 119889119860

Modulele de rezistenţă se exprimă icircn [1198981198983] şi sunt icircntotdeauna pozitive

Explicația este aceea că momentele de inerție care intră icircn relațiile de definiție sunt

pozitive iar distanțele la punctele extreme sunt pozitive (119910119898119886119909 119910119898119894119899 119911119898119886119909 119911119898119894119899 120588119898119886119909 se

iau icircn valoare absolută)

Icircn cazul suprafeţelor compuse modulul de rezistenţă nu se obţine prin icircnsumarea

algebrică a modulelor de rezistenţă ale suprafeţelor simple componente ci numai prin

intermediul momentului de inerţie axial calculat pentru icircntreaga secțiune

Ca și momentele de inerție modulele de rezistență se calculează numai pentru

sistemele de axe centrale

45 Momente de inerţie şi module de rezistenţă pentru suprafeţe simple

451 Secțiune dreptunghiulară

Fie suprafaţa dreptunghiulară din figura 44 de icircnălțime ℎ și lățime 119887 pe care se

consideră suprafaţă elementară de arie 119889119860 = 119887119889119910 la distanța 119910 de axa 119862119911 sistemul de

axe 119911119862119910 trece prin centrul secțiunii iar axele sunt axe de simetrie pentru dreptunghi

Fig 44 Suprafață dreptunghiulară

Pe baza relațiilor de definiți a momentului de inerție 119868119911 se obține

119868119911 ≝ int 1199102 ∙ 119889119860

119860

= int 1199102 ∙ 119887 ∙ 119889119910 = 2int 1199102 ∙ 119887 ∙ 119889119910 = 2 ∙ 119887 ∙1199103

3|ℎ 2frasl

0rArr

ℎ 2frasl

0

ℎ 2frasl

minusℎ 2frasl

rArr 119868119911 =119887 ∙ ℎ3

12

(415)

Analog pentru un element de arie 119889119860 = ℎ ∙ 119889119911 paralel cu axa 119862119910 situat la distanța

119911 de axa 119862119910

119868119910 ≝ int 1199112 ∙ 119889119860

119860

= int 1199112 ∙ ℎ ∙ 119889119911 = 2int 1199112 ∙ ℎ ∙ 119889119910 = 2 ∙ ℎ ∙1199113

3|119887 2frasl

0rArr

119887 2frasl

0

119887 2frasl

minus119887 2frasl

rArr 119868119910 =1198873 ∙ ℎ

12

(416)

Deoarece axele 119862119911 și 119862119910 sunt axe de simetrie momentul de inerție centrifugal este

119868119911119910 = 0 (417)

Pentru un pătrat avacircnd laturile egale (ℎ = 119887 = 119886) momentele de inerţie faţă de

axele centrale au expresia

119868119911 = 119868119910 =1198864

12 (418)

Modulele de rezistență axiale se calculează cu relațiile de definiție ținacircnd cont că

distanțele pacircnă la fibrele extreme sunt

119910119898119886119909 = 119910119898119894119899 =ℎ

2 119911119898119886119909 = 119911119898119894119899 =

119887

2 (419)

Obținem

119882119911119898119894119899 = 119882119911119898119886119909 =119868119911

119910119898119886119909119898119894119899=119887 ∙ ℎ3

12frasl

ℎ2frasl

=119887 ∙ ℎ2

6

119882119910119898119894119899 = 119882119910119898119886119909 =119868119910

119911119898119886119909119898119894119899=1198873 ∙ ℎ

12frasl

1198872frasl

=1198872 ∙ ℎ

6

(420)

452 Suprafaţă circulară

Din motive de simetrie pentru suprafeţele circulare momentele de inerţie faţă de

orice diametru (care reprezintă şi axe centrale) sunt aceleaşi

Considerăm o secțiune circulară plină cu diametrul 119889 și centrul de greutate 119862 Prin

centrul de greutate 119862 trece sistemul de axe ortogonal 119911119862119910 figura 45

Fig 45 Suprafață circulară

La distanța de centrul de greutate 119862 vom lua un element de suprafață mic de arie

(119889119860) de forma unui inel de grosime 119889 Elementul de arie 119889119860 are expresia

119889119860 = (2 ∙ 120587 ∙ 120588) ∙ (119889120588)

Pornind de la relația de definiție a momentului de inerție polar obținem

119868119901 ≝ int 1205882 ∙ 119889119860

119860

= int 1205882 ∙ (2 ∙ 120587 ∙ 120588) ∙ 119889120588

119903=119889 2frasl

0

= 2 ∙ 120587 ∙1205884

4|119889 2frasl0 rArr

rArr 119868119901 =120587 ∙ 1198894

32

(421)

Secțiunea este perfect simetrică deci sunt valabile relațiile

119868119911 = 119868119910 rArr 119868119901 = 119868119911 + 119868119910 = 2 ∙ 119868119911 = 2 ∙ 119868119910 =119868119901

2=120587 ∙ 1198894

64 (422)

Și modulele de rezistenţă faţă de orice diametru sunt egale şi se calculează cu

relaţiile

119882119911 = 119882119910 =1198681199111198892frasl=120587 ∙ 1198893

32 (423)

Modulul de rezistenţă polar este

119882119901 =1198681199011198892frasl=120587 ∙ 1198893

16 (424)

453 Secţiune inelară

Calculul momentelor de inerţie axiale pentru o secţiune inelară avacircnd diametrul

interior 119889 şi diametrul exterior 119863 se determină analog pentru suprafaţa circulară plină cu

observaţia că integrala pentru calculul momentului de inerție polar 119868119901 se face icircntre

limitele 119903 = 119889 2frasl şi R= 1198632frasl (icircntre raza interioară 119903 şi raza exterioară 119877) figura 46

Se obţin relaţiile

119868119901 =120587 ∙ 1198634

32∙ [1 minus (

119889

119863)4

] =120587 ∙ 1198634

32∙ (1 minus 1198964) (425)

119868119910 = 119868119910 =120587 ∙ 1198634

64∙ [1 minus (

119889

119863)4

] =120587 ∙ 1198633

64∙ (1 minus 1198964) (426)

Fig 46 Secțiune inelară

119882119901 =120587 ∙ 1198633

16∙ [1 minus (

119889

119863)4

] =120587 ∙ 1198633

16∙ (1 minus 1198964) (427)

119882119911 = 119882119910 =120587 ∙ 1198633

32∙ [1 minus (

119889

119863)4

] =120587 ∙ 1198633

32∙ (1 minus 1198964) (428)

unde 119896 = 119889119863frasl

46 Variaţia momentelor de inerţie faţă de axe paralele

( Relațiile lui STEINER)

Se consideră o suprafaţă oarecare de arie 119860 cu elementul de arie 119889119860 și un sistemul

de axe central 119911119862119910 faţă de care se cunosc momentele de inerţie 119868119911 119868119910 119868119911119910 şi considerăm

un sistem de axe 11991111198741199101 paralele cu sistemul central figura 47 Se pune problema

determinării momentele de inerţie 1198681199111 1198681199101 11986811991111199101 faţă de sistemul de axe paralel cu sistemul

central 11991111198741199101 axe aflate la distanţele 119910119862 = 119888 respectiv 119911119862 = 119889 de acesta

461 Momente de inerţie axiale

Pe baza relaţiilor de definire şi a notaţiilor din figura 42 pentru momentele de

inerţie faţă de axele 1198741199111 1198741199101 se poate scrie

1198681199111 = int 11991012 ∙ 119889119860

119860

= int(119910 + 119888)2 ∙ 119889119860

119860

= int 1199102 ∙ 119889119860

119860

+ 2 ∙ 119888 ∙ int 119910 ∙ 119889119860

119860

+

+1198882int 119889119860

119860

rArr 1198681199111 = 119868119911 + 2 ∙ 119888 ∙ 119878119911 + 1198882 ∙ 119860 hArr 1198681199111 = 119868119911 + 119888

2 ∙ 119860

(429)

Fig 47 Variaţia momentelor de inerţie față de axe paralele

S-a ajuns la relația (429) deoarece momentul static 119878119911 este nul deoarece axa 119862119885

este axă centrală

Pentru momentul de inerție axial icircn raport cu axa 1198741199101 se obține

1198681199101 = int 11991112 ∙ 119889119860

119860

= int(119911 + 119889)2 ∙ 119889119860

119860

= int 1199112 ∙ 119889119860

119860

+ 2 ∙ 119889 ∙ int 119911 ∙ 119889119860

119860

+

+1198892 ∙ int 119889119860

119860

rArr 1198681199101 = 119868119910 + 2 ∙ 119889 ∙ 119878119910 + 1198892 ∙ 119860 hArr 1198681199101 = 119868119910 + 119889

2 ∙ 119860

(430)

Pentru momentul de inerție centrifugal obținem

11986811991111199101 = int 1199101 ∙ 1199111 ∙ 119889119860

119860

= int(119910 + 119888) ∙ (119911 + 119889) ∙ 119889119860

119860

= int 119910 ∙ 119911 ∙ 119889119860 +

119860

+119888 ∙ int 119911 ∙ 119889119860

119860

+ 119889 ∙ int 119910 ∙ 119889119860

119860

rArr 11986811991111199101 = 119868119911119910 + 119888 ∙ 119889 ∙ 119860

(431)

Deoarece

int 119911 ∙ 119889119860

119860

= 119878119910 = 0 int 119910 ∙ 119889119860

119860

= 119878119911 = 0 int 119910 ∙ 119911 ∙ 119889119860

119860

= 119868119911119910

Relaţiile (429) şi (430) arată că momentul de inerţie faţă de o axă oarecare

este egal cu momentul de inerţie faţă de o axă paralelă cu ea trecacircnd prin centrul de

greutate la care se adaugă produsul dintre aria suprafeţei şi pătratul distanţei dintre

cele două axe

Din relaţiile (429) și (430) rezultă de asemenea că momentul de inerţie faţă de o

axă centrală (care trece prin centrul de greutate) este cel mai mic dintre infinitatea de

momente de inerţie obținute faţă de alte axe paralele cu ea

Relaţia (431) arată de asemenea că momentul de inerţie centrifugal faţă de un

sistem de axe oarecare este egal cu momentul de inerţie centrifugal faţă de un sistem

paralele cu el trecacircnd prin centrul de greutate a suprafeţei la care se adaugă produsul

dintre aria suprafeţei şi distanţele dintre axele sistemelor respective

Icircn literatura de specialitate relaţiile (429) (430) şi (431) sunt cunoscute sub

numele de relaţiile lui Steiner

47 Variaţia momentrlor de inerţie faţă de axe rotite

Direcţii principale şi momente de inerţie principale

Fie suprafaţa plană din figura 48 de arie 119860 pe care considerăm o suprafaţă

elementară de arie 119889119860 Pentru sistemul de axe 119911119874119910 se cunosc momentele de inerţie

119868119911 119868119910 119868119911119910 şi vom determina relaţiile de calcul pentru momentele de inerţie afererent unui

sistem de axe 11991111198741199101 rotit cu un unghi faţă de sistemul central

Faţă de sistemul de axe 11991111198741199101 elementul de arie 119889119860 are coordonatele

1199101 = 119875119877 = 119875119876 minus 119877119876 = 119910 ∙ cos 120572 minus 119911 ∙ sin 120572

1199111 = 119873119872 = 119873119875 minus 119875119872 = 119911 ∙ cos 120572 + 119910 ∙ sin 120572 (432)

Fig 47 Variaţia momentelor de inerţie față de axe rotite

Pe baza relaţiilor de calcul ale momentelor de inerţie şi a notaţiilor din figura 42

şi ale relaţiilor (432) momentele de inerţie faţă de sistemul de axe rotit 11991111198741199101 sunt

1198681199111 =119868119911 + 119868119910

2+119868119911 minus 119868119910

2∙ cos 2120572 minus 119868119911119910 ∙ sin 2120572 (433)

1198681199101 =119868119911 + 119868119910

2minus119868119911 minus 119868119910

2∙ cos 2120572 + 119868119911119910 ∙ sin 2120572 (434)

11986811991111199101 =119868119911 minus 119868119910

2∙ sin 2120572 + 119868119911119910 ∙ cos 2120572 (435)

Din relaţiile 433divide435 se observă că icircntre momentele de inerţie axiale şi cele

polare există relaţia

1198681199111 + 1198681199101 = 119868119911 + 119868119910 = 119868119901 (436)

adică suma momentelor de inerţie axiale icircn raport cu orice pereche de axe ortogonale

care trec printr-un pol dat este o constantă şi egală cu momentul de inerţie polar

Prin rotirea sistemului de axe din relaţiile 433divide435 rezultă că momentele de inerţie

variază icircnsă suma lor rămacircne constantă deci există o poziţie a sistemului de axe pentru

care momentele de inerţie au valori extreme maxim respectiv minim

471 Direcţii principale de inerţie

Valoarea unghiului 120572 pentru care momentele de inerţie axiale au valori extreme

este

1205721 =1

2∙ 119886119903119888119905119886119899 (minus

2 ∙ 119868119911119910

119868119911 minus 119868119910) (437)

Poziţia celeilalte direcţii este perpendiculară pe cea dată de unghiul 1205721

Din relaţia (437) se constată că faţă de aceste direcţii rotite pentru care momentele

de inerţie axiale prezintă valori extreme momentul de inerţie centrifugal 11986811991111199101este nul

Atunci se poate afirma că momentele de inerţie axiale au valori extreme icircn raport cu

direcţiile faţă de care momentul de inerţie centrifugal este nul Aceste direcţii se numesc

direcţii principale iar momentele de inerţie faţă de aceste direcţii poartă numele de

momente de inerţie principale

Icircn calculele de rezistenţă interesează icircn mod special poziţia direcţiilor principale

care trec prin centrul de greutate al suprafeţei aşa numitele direcţii principale centrale şi

evident momentele de inerţie principale centrale

Direcţiile principale de inerţie se notează cu 1 respectiv 2 Axa principală 1

corespunde direcţiei faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea maximă iar

axa principală 2 pentru direcţia faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea

minimă

472 Momente de inerţie principale

Momentele de inerţie principale se notează cu litera 119868 la care se pune indicele 1

sau 2 după cum valoarea acestuia este maximă sau minimă deci avem un moment de

inerţie principal 1 (notat 1198681) respectiv moment de inerţie principal 2 (notat 1198682)

Expresiile pentru momentele de inerţie principale sunt

11986812 =119868119911 + 119868119910

2plusmn1

2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)

2+ 4 ∙ (119868119911119910)

2 (438)

Dacă momentul de inerţie centrifugal este negativ (119868119911119910 lt 0) direcţia principală

care trece prin primul cadran (definit de sistemul 119911119862119910) este direcţia principală 120783

Pentru suprafeţele cu cel puţin o axă de simetrie direcţiile centrale 119862119911 119862119910 sunt şi

direcții principale de inerţie și evident momentele de inerţie axiale 119868119911 119868119910 sunt momente

de inerţie principale

48 Caracteristici mecanice ale metalelor

Alegerea materialului pentru confecţionarea unei anumite piese se face şi pe baza

aşa numitelor caracteristici mecanice pe care le prezintă materialul Cunoaşterea acestor

caracteristici mecanice are loc numai pe baza unor icircncercări mecanice care să scoată icircn

evidenţă comportarea materialului icircn condiţii de solicitare

Cea mai utilizată icircncercare icircn urma căreia se pun icircn evidenţă caracteristicile

mecanice ale unui material este icircncercarea la tracţiune

481 Icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general

Icircncercarea la tracţiune a oţelului ca de altfel toate icircncercările de materiale este

standardizată

Icircn cele ce urmează se va prezenta numai partea care interesează strict din punct

de vedere al caracteristicilor mecanice ale oţelului

Epruveta de diametru iniţial 1198890 pentru icircncercarea la tracţiune are o porţiune de

lungime 1198710 numită baza de măsurare pe care se măsoară lungirea acesteia sub acţiunea

solicitării

Icircn funcţie de raportul dintre baza de măsurare 1198710 şi diametrul iniţial 1198890 epruvetele

utilizate pentru icircncercări sunt

epruvete normale (scurte) cacircnd 11987101198890 = 5

epruvete lungi cacircnd 11987101198890 = 10

Icircn timpul icircncercării la diferite valori ale forţei 119865 se măsoară lungirea bazei de

măsurare

∆119871 = 120575 = 119871 minus 1198710 (439)

unde

119871 este dimensiunea bazei de măsurare la un moment dat

Curba forţă-lungire (119865 minus ) icircnregistrată icircn urma icircncercării reprezintă curba

caracteristică la tracţiune

La icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general diagrama caracteristică care se

obţine are forma din figura 48

Curba caracteristică la tracţiune depinde de lungimea bazei de măsurare Pentru

icircnlăturarea acestui neajuns curba caracteristică se reprezintă icircn coordonate şi definite

astfel

120590 =119865

1198600 휀 =

120575

1198710 (440)

unde

1198600 este aria iniţială a secţiunii transversale a epruvetei (icircnainte de solicitare) icircn

zona bazei de măsurare

1198600 =120587 ∙ 1198890

2

4

Deoarece mărimile icircn care se reprezintă curba caracteristică la tracţiune sunt

raportate la aria iniţială a secţiunii transversale (mărimi specifice) curba poartă numele

de curbă caracteristică convenţională la tracţiune

Fig 48 Curba caracteristică convenţională la tracțiune

Pe curba caracteristică convenţională la tracţiune figura 48 se pot stabili o serie

de puncte cărora le corespund mai multe mărimi importante

Ordonata punctului A pacircnă unde curba caracteristică convenţională este linie

dreaptă se numeşte limita de proporţionalitate a materialului 120590119901(1205901) Porţiunea 119874119860 este

zona de proporţionalitate a curbei caracteristice pe acest domeniu este valabilă legea lui

Hooke care exprimă o proporţionalitate icircntre tensiune şi deformaţie specifică

120590 = 119864 ∙ 휀 (441)

unde

119864 = reprezintă panta porţiunii liniare a curbei convenționale caracteristice

la tracțiune Caracteristica de material 119864 se numeşte modul de elasticitate longitudinal

(modulul lui Young)

Ordonata punctului 119861 pacircnă unde materialul se comportă perfect elastic adică

după descărcare icircşi recapătă dimensiunea iniţială 1198710 se numeşte limita de elasticitate

120590119890(119877119890) Icircn realitate nici un material nu are comportare perfect elastică sub acţiunea

solicitărilor el capătă deformaţii permanente (remanente plastice)

După punctul 119861 urmează o porţiune 119861119862119863 icircn care cu toate că icircncărcarea

continuă forţa nu mai creşte avacircnd mici oscilaţii icircn jurul unei valori Se spune că icircn

această porţiune materialul curge iar intervalul 119861119862119863 este un palier de curgere Tensiunea

corespunzătoare palierului de curgere se numeşte limită de curgere aparentă 120590119888(119877119888) Limita de curgere aparentă se calculează cu relaţia

120590119888 =1198651198881198600 (442)

unde

119865119888 reprezintă valoarea forţei icircnregistrată icircn momentul curgerii materialului

După punctul 119863 curba caracteristică are un traseu ascendent pacircnă icircn punctul 119864

Porţiunea 119863119864 este numită zonă de icircntărire (ecruisare) Icircn zona de ecruisare unde se

produc deformaţii plastice semnificative legea lui Hooke nu mai este valabilă La

descărcare relaţia dintre tensiunea şi deformaţia specifică este liniară paralelă cu

porţiunea liniară a curbei caracteristice (dreapta 119872119873)

Deformaţia totală (휀119905) are două componente una elastică (휀119890) şi una plastică (휀119901)

Ordonata punctului 119864 reprezintă rezistenţa de rupere 120590119903(119877119898) a materialului

care se poate calcula cu relaţia

120590119903 = 119877119898 =1198651198981198861199091198600

(443)

unde

119865119898119886119909 reprezintă valoarea maximă a forţei icircnregistrată icircn timpul icircncercării

La atingerea valorii 119865119898119886119909 (punctul 119864) icircntr-un anumit loc al epruvetei secţiunea

icircncepe să se micşoreze (se produce gacirctuirea) continuacircnd pacircnă cacircnd se produce ruperea

totală (punctul 119865)

Dacă după ruperea epruvetei cele două părţi rezultate se aşează cap la cap şi se

măsoară dimensiunea bazei de măsurare 119871119906 (lungimea ultimă) se determină alungirea la

rupere sau lungirea specifică la rupere 휀119903

휀119903 =119871119906 minus 11987101198710

=∆119871

1198710=120575

1198710 (444)

De obicei alungirea se exprimă icircn procente şi se notează cu 119860119899 unde 119899 reprezintă

numărul dat de raportul 11987101198890 (epruvete normale 119899 = 5 epruvete lungi 119899 = 10)

119860119899 =119871119906 minus 11987101198710

∙ 100 [] (445)

Altă mărime care se determină la icircncercarea la tracţiune este gacirctuirea la rupere

(exprimată de obicei icircn procente) şi definită de relaţia

119885 =1198600 minus 1198601199061198600

∙ 100 [] (446)

Mărimile determinate limita de proporţionalitate modulul de elasticitate

longitudinal limita de elasticitate limita de curgere aparentă rezistenţa de rupere

alungirea la rupere şi gacirctuirea la rupere sunt cunoscute ca fiind caracteristici mecanice

ale materialului

Din curba caracteristică convenţională observăm faptul că ruperea (punctul 119865 din

figura 48 se produce la o tensiune mai mică decacirct cea corespunzătoare punctului 119864 Dacă

icircnsă forţa din timpul icircncercării s-ar raporta la aria secţiunii din momentul icircnregistrării

forţei (care este mai mică decacirct cea iniţială 1198600) s-ar obţine aşa numita curbă

caracteristică reală a materialului (traseul 1198741198601198611198621198631198651 din figura 48) La curba

caracteristică reală ruperea se produce icircn punctul 1198651 la o icircncărcare mai mare decacirct cea

corespunzătoare punctului 119864 Icircnseamnă că rezistenţa reală la rupere este mai mare decacirct

rezistenţa la rupere dată de punctul 119864 din diagrama caracteristică convenţională

Dificultatea obţinerii diagramei caracteristice reale faţă de cea a diagramei caracteristice

convenţionale şi considerarea unei rezistenţe la rupere mai mică decacirct a celei reale face

icircn practică utilizarea pe scară mare a diagramei caracteristice convenţionale

Caracteristicile mecanice determinate pe baza curbei caracteristice convenţionale

sunt şi ele caracteristici mecanice convenţionale

Caracteristicile mecanice convenţionale limita de proporţionalitate convenţională

120590119901 limita de elasticitate convenţională 120590119890 limita de curgere convenţională 120590119888 şi rezistenţa

de rupere 120590119903 constituie tensiuni limită pentru un material Pe baza acestor caracteristici

de material se alege valoarea tensiunii admisibile 120590119886 (vezi paragraful 35) pentru

calculele de rezistenţă Cea mai utilizată stare limită pentru stabilirea tensiunii admisibile

120590119886 este limita de curgere convenţională 120590119888

120590119886 =120590119897119894119898119888

=120590119888119888 119904119886119906 120590119886 =

120590119903119888 (447)

Caracteristicile mecanice ale materialului sunt influenţate de o serie de factori

temperatura viteza de solicitare factorii tehnologici iar valorile lor sunt date icircn tabele și

diagrame

Aplicaţie Pentru suprafaţa plană compusă din două dreptunghiuri avacircnd

dimensiunile din figura 49a să se calculeze

a) centrul de greutate al secțiunii compuse 119910119866 119911119866

b) momentele de inerție axiale 119868119911 119868119910 și momentul de inerție centrifugal 119868119911119910

c) razele de inerție 119894119911 119894119910

d) modulele de rezistență 119882119911119898119894119899 119882119911119898119886119909 119882119910119898119894119899 119882119910119898119886119909

e) momentele de inerție principale 1198681 1198682 și direcțiile principale de inerție 1205721

f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 119878119911

Fig 49 Aplicație

Rezolvare Pentru rezolvare vom parcurge următoarele etape

icircmpărțim suprafața compusă icircn două suprafețe simple (dreptunghiuri) notate cu

① și respectiv ② figura 49b

poziționăm centrele de greutate a celor două suprafețe simple ① și respectiv ②

notate cu 1198661 și respectiv 1198662 figura 49c

poziționăm sistemele de axe de coordonate 119911111986611199101 pentru dreptunghiul ① și

119911211986621199102 pentru dreptunghiul ② aflate la intersecția diagonalelor figura 49c

poziționăm sistemele de axe de coordonate 11991101198741199100 ales arbitrar față de care

determinăm poziția centrului de greutate 119866 figura 49c

a) calculăm poziția centrului de greutate folosind relațiile (46) icircn care

1198601 = 6119905 ∙ 119905 = 61199052 1198602 = 4119905 ∙ 119905 = 41199052 119860 = 1198601 + 1198602 = 61199052 + 41199052 = 101199052

iar centrele de greutate 1198661 și respectiv 1198662 au coordonatele (față de sistemul 11991101198741199100)

1198661 1199101 = 3119905 1199111 = 05119905

1198662 1199102 = 051199051199112 = 3119905

cu acestea obținem

119910119866 =1198601 ∙ 1199101 + 1198602 ∙ 1199102

119860=61199052 ∙ 3119905 + 41199052 ∙ 05119905

101199052=201199053

101199052= 2119905

119911119866 =1198601 ∙ 1199111 + 1198602 ∙ 1199112

119860=61199052 ∙ 05119905 + 41199052 ∙ 3119905

101199052=151199053

101199052= 15119905

Poziționăm centrul de greutate 119866 al suprafeței compuse figura 49c

Fig 49 Aplicație

b) pentru determinarea momentelor de inerție axiale 119868119911 119868119910 și a momentului de

inerție centrifugal 119868119910119911 determinăm constantele 1198881 1198882 1198891 1198892 care intervin icircn relația lui

Stainer

1198881 = 1199101 minus 119910119866 = 3119905 minus 2119905 = 119905 1198882 = minus(119910119866 minus 1199102) = minus(2119905 minus 05119905) = minus15119905

1198891 = minus(119911119866 minus 1199111) = minus(15119905 minus 05119905) = minus119905 1198892 = 1199112 minus 119911119892 = 3119905 minus 15119905 = 15119905

Folosind relațiile lui Stainer (429) (430) și (431) calculăm momentele de

inerție axiale și centrifugale față de sistemul central 119911119866119866119910119866

119868119911 =sum(119868119911119894 + 1198881198942 ∙ 119860119894) = 1198681199111 + 1198881

2 ∙ 1198601 + 1198681199112 + 11988822 ∙ 1198602

119868119910 =sum(119868119910119894 + 1198891198942 ∙ 119860119894) = 1198681199101 + 1198891

2 ∙ 1198601 + 1198681199102 + 11988922 ∙ 1198602

119868119911119910 =sum(119868119911119894119910119894 + 119888119894 ∙ 119889119894 ∙ 119860119894) = 11986811991111199101 + 1198881 ∙ 1198891 ∙ 1198601 + 11986811991121199102 + 1198882 ∙ 1198892 ∙ 1198602

1198681199111 = (119887 ∙ ℎ3

12) =

119905 ∙ (6119905)3

12= 181199054 1198681199112 = (

119887 ∙ ℎ3

12) =

4119905 ∙ 1199053

12= 031199054

1198681199101 = (1198873 ∙ ℎ

12) =

1199053 ∙ 6119905

12= 051199054 1198681199102 = (

1198873 ∙ ℎ

12) =

(4119905)3 ∙ 119905

12= 531199054

11986811991111199101 = 11986811991121199102 = 0 deoarece cele două triunghiuri au cel puțin o axă de simetrie

Cu acestea momentele de inerție axiale și momentul de inerție centrifugal devin

119868119911 = 181199054 + 1199052 ∙ 61199052 + 031199054 + (minus15119905)2 ∙ 41199052 = 3331199054

119868119910 = 051199054 + (minus119905)2 ∙ 61199052 + 531199054 + (15119905)2 ∙ 41199052 = 2081199054

119868119911119910 = 0 + 119905 ∙ (minus119905) ∙ 61199052 + 0 + (minus15119905) ∙ (15119905) ∙ 41199052 = minus151199054

c) razele de inerție sau de girație față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910

se calculează cu relațiile (411)

119894119911 = radic119868119911119860= radic

3331199054

101199052= 182119905 119894119910 = radic

119868119910

119860= radic

2081199054

101199052= 144119905

d) modulele de rezistență față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910 se

calculează cu relațiile (412) și (413)

Avacircnd icircn vedere figura 419c obținem

119910119898119886119909 = 6119905 minus 119910119866 = 6119905 minus 2119905 = 4119905 119910119898119894119899 = minus119910119866 = minus2119905

119911119898119886119909 = 5119905 minus 119911119866 = 5119905 minus 15119905 = 35119905 119911119898119894119899 = minus119911119866 = minus15119905

Se obține astfel

119882119911119898119894119899 =119868119911

|119910119898119886119909|=3331199054

4119905= 8331199053

119882119911119898119886119909 =119868119911

|119910119898119894119899|=3331199054

2119905= 16651199053

119882119910119898119894119899 =119868119910

|119911119898119886119909|=2081199054

35119905= 5941199053

119882119910119898119886119909 =119868119910

|119911119898119894119899|=2081199054

15119905= 13871199053

e) momentele de inerție principale 1198681 și respectiv 1198682 se calculează cu relațiile

(438)

11986812 =119868119911 + 119868119910

2plusmn1

2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)

2+ 4 ∙ (119868119911119910)

2=

=3331199054 + 2081199054

2plusmn1

2∙ radic(3331199054 minus 2081199054)2 + 4 ∙ (minus151199054)2 = 27051199054 plusmn 16251199054

De unde obținem

1198681 = 27051199054 + 16251199054 = 4331199054

1198682 = 27051199054 minus 16251199054 = 1081199054

Prima direcție principală de inerție 1 face cu axa centrală 119866119911 unghiul 1205721 dat de

relația (437)

1205721 =1

2∙ arctan (minus

2 ∙ 119868119911119910

119868119911 minus 119868119910) =

1

2∙ arctan [minus

2 ∙ (minus151199054)

3331199054 minus 2081199054] =33 70

Deoarece 1205721 gt 0 rotirea axelor se face acircn sens antiorar acelor de ceasornic figura

49d

Poziția axe principale 2 față de care momentul de inerție are valoarea minimă

1198682 = 119868119898119894119899 este dată de unghiul

1205722 = 1205721 + 900 = 33 70 + 900 = 123 70

f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 se determină cu relația

(45)

1198781199111198602 = 1198602 ∙ 1198882 = 41199052 ∙ (minus15119905) = minus61199053

3 TENSIUNI DEPLASĂRI ŞI DEFORMAŢII SPECIFICE

31 Tensiuni

Eforturile obținute icircn urma reducerii forțelor interioare icircn centrul de greutate al

secțiunii nu pot da informații asupra solicitării fiecărui punct al secțiunii respective Este

necesar să se cunoască modul cum se distribuie forțele interioare icircn fiecare punct al

secțiunii pentru a ști care este intensitatea maximă a solicitării Această intensitate

maximă se poate compara cu o valoare critică specifică materialului stabilindu-se astfel

dacă solicitarea este periculoasă sau nu

Mărimea care caracterizează solicitarea locală punctuală o vom denumi tensiune

și o vom defini icircn cele ce urmează Să considerăm partea din dreapta a unui corp solicitat

de forțele exterioare 1198651 1198652 și 1198653 obținută prin secționarea corpului și mărginită de fața

din dreapta Ad a secțiunii Pe secțiunea Ad vom considera un element de arie infinit mic

∆119860 caracterizat de normala la elementul de arie normală care are cosinușii directori

120573 și icircn raport cu un sistem de axe considerat fix Pe elementul infinit mic ∆119860 acționează

forțele interioare care au o rezultantă oarecare figura 31

Prin definiție tensiunea totală este

= lim∆119860rarr0

∆

∆119860 (31)

Tensiunea are aceeaşi direcţie cu forţa elementară ∆ iar mărimea ei este

determinată atacirct de mărimea forţei ∆ cacirct şi de orientarea suprafeţei ∆119860 faţă de direcţia

forţei

Tensiunea 119901 poate fi descompusă icircntr-o componentă orientată după direcţia

normalei la secţiune tensiunea normală notată cu 120590119909 şi o componentă icircn planul secţiunii

tensiunea tangenţială notată cu figura 32

= 119909 + 120591 (32)

Fig 31 Tensiunea totală Fig 32 Tensiunea normală și tangențială

La racircndul ei componenta tensiunii cuprinsă icircn planul secțiunii poate fi

descompusă după direcțiile axelor y și z

120591 = 120591119909119910 + 120591119909119911 (33)

Icircntre cele trei componente ale tensiunii totale care acționează pe elementul de arie

∆119860 este valabilă relația

1199012 = 1205901199092 + 120591119909119910

2 + 1205911199091199112 (34)

După sensul pe care icircl are tensiunea normală 120590 poate avea efect de tracţiune sau

de compresiune exercitat de către partea de corp icircnlăturată asupra părţii rămase Analog

tensiunea tangenţială 120591 poate avea efect de tăiere forfecare sau alunecare Pentru

componentele tensiunii tangențiale 120591119909119910 pe direcţia 119910 respectiv 120591119909119911 pe direcţia 119911 primul

indice indică axa pe care tensiunea este normală iar cel de-al doilea indice indică axa cu

care aceasta este paralel

Tensiunea este o mărime tensorială valoarea ei depinzacircnd atacirct de poziția

punctului icircn planul secțiunii cicirct și de orientarea planului de secționare deci de normala

Operaţiile vectoriale nu pot fi aplicate tensiunilor decacirct după ce acestea au fost icircnmulţite

cu ariile respective adică au fost transformate icircn forţe

Icircn literatura de specialitate mai ales icircn manualele mai vechi pentru noţiunea de

tensiune se mai foloseşte şi denumirea de efort specific

Dacă se consideră un alt element de arie ∆119860 cu centrul icircn același punct avacircnd ca

normală axa 119910 se vor obține alte tensiuni și anume

- 120590119910 este tensiunea normală (paralelă cu axa y)

- 120591119911119909 și 120591119910119911 sunt tensiuni tangențiale paralele cu axele 119909 și respectiv 119911 aflate icircn

planul care are ca normală axa 119910

Dacă icircn jurul unui punct dintr-un corp solicitat se consider un element de volum

infinit mic de forma unui cub icircn cazul cel mai general pe fețele sale vor acționa

tensiunile normale 120590119909 120590119910 și 120590119911 și respectiv tensiunile tangențiale 120591119909119910 120591119909119911 120591119910119909 120591119910119911 120591119911119909

și respectiv 120591119911119910 figura 33 Aceste tensiuni definesc starea de tensiune a punctului

observacircnd faptul că tensorul tensiune are 9 componente Dacă se consideră elementul

de volum finit ca fiind foarte mic se poate presupune că icircn interiorul său nu apar forțe

Ca urmare el va fi icircn echilibru sub acțiunea forțelor elementare produse de tensiunile de

pe fețele sale

Din condiția ca elementul să nu se rotească icircn jurul unor axe care trec prin centrul

său și sunt paralele cu axele sistemului 119909119874119910119911 rezultă

2 ∙ 120591119909119910 ∙ (119889119910 ∙ 119889119911) ∙119889119909

2= 2 ∙ 120591119910119909 ∙ (119889119909 ∙ 119889119911) ∙

119889119910

2 rArr 120591119909119910 = 120591119910119909 (35)

2 ∙ 120591119910119911 ∙ (119889119909 ∙ 119889119911) ∙119889119910

2= 2 ∙ 120591119911119910 ∙ (119889119909 ∙ 119889119910) ∙

119889119911

2 rArr 120591119910119911 = 120591119911119910 (36)

2 ∙ 120591119909119911 ∙ (119889119910 ∙ 119889119911) ∙119889119909

2= 2 ∙ 120591119911119909 ∙ (119889119909 ∙ 119889119910) ∙

119889119911

2 rArr 120591119909119911 = 120591119911119909 (37)

Relațiile (35divide37) 120591119909119910 = 120591119910119909 120591119910119911 = 120591119911119910 120591119909119911 = 120591119911119909 exprimă principiul dualității

tensiunilor tangențiale

Fig 33 Tensiunile normale și tangențiale pe fețele unui cub

Din condiția ca elementul considerat să nu se deplaseze icircn lungul axelor de

coordonate pe fețele opuse acționează aceleași tensiuni normale 120590119909 120590119910 și respectiv 120590119911

Definirea tensorului tensiune este posibilă dacă se cunosc cele 6 componente

independente ale acestuia aflate icircn trei plane perpendicular ce trec prin punctul respectiv

=

120590119909 120591119909119910 120591119909119911120591119910119909 120590119910 120591119910119911120591119911119909 120591119911119910 120590119911

Observaţii

Tensiunile se măsoară icircn [119873 1198982frasl ] (1119873 1198982frasl = 1 119875119886) sau icircn [119872119875119886]

(1 119872119875119886 = 106119875119886 = 106 119873

1198982 1 119872119875119886 = 1

119873

1198981198982)

Starea de tensiune dintr-un punct este considerată cunoscută dacă se cunosc

tensiunile 119901 care acționează pe infinitatea de elemente de suprafață ce trec prin punctual

considerat

Starea de tensiune a unui corp se consider cunoscută dacă se cunosc stările de

tensiune de pe infinitatea de puncte ale corpului considerat

32 Deplasări Deformaţii specifice

321 Deplasări

Aceste noțiuni sunt utile icircn analiza aspectului geometric al problemelor de rezistența

materialelor Deplasările care se analizează sunt cele datorate schimbării formei și

dimensiunilor corpurilor ca urmare a acțiunii forțelor exterioare și nu cele cinematice

posibile pentru solidul rigid care se poate deplasa cu anumită viteză și accelerație

Spre exemplu icircn figura 34a și figura 34b sub acțiunea forței 119865 tronsonul de

bară AB se deformează icircn timp ce tronsonul BC deși punctele sale au deplasări rămacircne

nedeformat (fiind nesolicitat) Toate punctele de pe axele barelor cu excepția celor din

icircncastrare (secțiunile A) au deplasări liniare De cele mai multe ori deformațiile barelor

datorate acțiunii forțelor exterioare se anulează la icircndepărtarea forțelor se spune că

deformațiile sunt elastice Secțiunile transversale ale barei din figura 34a se și rotesc icircn

raport cu pozițiile lor inițiale Spre exemplu secțiunea de căpăt cu centrul icircn C se rotește

cu unghiul

Fig 34 Deformațiile unei grinzi

Oricacirct de complexă ar fi delormația unui corp ea poate fi descrisă de lungiri sau

scurtări și de modificări ale unghiurilor inițiale

Deplasările măsoară schimbarea poziției unui punct al corpului și pot fi liniare

sau unghiulare

Prin deplasare liniară a unui punct se icircnțelege drumul parcurs de acest punct icircn

decursul procesului de deformație după o dreaptă suport dreapta 1198611198611 din figura 34a

Prin deplasare unghiulară se icircnțelege rotirea dintre segmentele de dreaptă

determinate de două puncte ale corpului icircnainte și după deformarea acestuia unghiul

pe care-l fac segmentele 119861119862 și 11986111198621 din figura 34a Această rotire se măsoară prin

unghiul pe care-l fac proiecțiile dreptelor ce conțin cele două segmente icircntr-un sistem

triortogonal

Icircn cazul cel mai general vectorul deplasare liniară se poate descompune icircntr-un

sistem triortogonal icircn trei componente 119906 119907 și 119908 figura 35

Fig 35 Deplasarea liniară

Se consideră acum un corp solid raportat la un sistem de axe ortogonal 119909119874119910119911

figura 35 după deformarea corpului un punct oarecare 119870 al acestuia se deplasează icircn

poziţia 1198701 vectorul 1198701198701 poartă numele de vectorul deplasării totale

Deplasarea totală este suma deplasărilor pe cele trei direcţii ortogonale iar

aceste deplasări se notează astfel

deplasarea pe direcţia 119909 cu ∥ 119874119909

deplasarea pe direcţia 119910 cu ∥ 119874119910

deplasarea pe direcţia 119911 cu ∥ 119874119911

Componentele deplasărilor și formeză matricea deplasărilor liniare 119906119907119908

322 Deformații

Prin deformație icircn general se icircnțelege orice schimbare de formă a unui corp fără

o evaluare cantitativă Icircn Rezistența Materialelor deformația măsoară variația

dimensiunilor geometrice ale corpului considerat din vecinătatea unui punct analog

deplasărilor deformațiile pot fi liniare și unghiulare (lunecări)

Fig 36 Deplasarea liniară

Deformația liniară ∆119897 reprezintă variația lungimii 119897 a unui element liniar al

corpului deformat figura 36 Deformația liniară specifică se definește ca fiind raportul

dintre deformația liniară și lungimea inițială

휀 =∆119897

119897 (38)

unde ∆119897 este lungirea sau scurtarea care este echivalentă cu deformția liniară totală iar

este alungirea

Deformația unghiulară sau lunecarea unui punct 119860 icircn planul 119861119860119862 se definește

prin relația figura 37

120574 = lim119861119860rarr0119862119860rarr0

(119861119860 minus 119861111986011198621 ) (39)

Fig 36 Deformația unghiulară

Schimbacircnd orientarea planului care trece prin 119860 se obțin alte deformații

unghiulare Dacă elementele liniare 119861119860 și 119862119860 sunt inițial perpendiculare deformația 120574 se

numește deformație unghiulară specifică sau lunecare specifică figura 37

Un exemplu de deplasare unghiulară și de deformație unghiulară este prezentat icircn

figura 38 Unghiul este deplasarea unghiulară și măsoară rotirea relativă dintre două

secțiuni aflate la distanța 119897 Unghiul este deformația specifică unghiulară (lunecarea

specifică) din punctul 119870 Aceste deplasări și deformații se obțin icircn urma solicitării barei

de către cele două momente 1198720 egale și de sens contrar

Fig 38 Deplasarea unghiulară

Pentru a analiza starea de deformație din vecinătatea unui punct al unui corp

solicitat complex se decupează din jurul punctului un element de volum mic figura 39a

avacircnd laturile 119889119909 119889119910 și 119889119911 Ca urmare a solicitării laturile acestuia se vor lungi sau

scurta Reprezentarea elementului deformat icircn spațiu este dificilă pentru simplificare

vom analiza doar deformațiile din planul 119909119874119910 Observăm că dimensiunile 119889119909 și 119889119910 s-au

modificat cu valoarea ∆119889119909 respectiv cu ∆119889119910 analog se acceptă și pentru 119889119911 o modificare

de forma ∆119889119911 Astfel se pot defini deformațiile specifice liniare

휀119909 =∆119889119909

119889119909 휀119910 =

∆119889119910

119889119910 휀119911 =

∆119889119911

119889119911 (310)

De cele mai multe ori aceste deformații specifice liniare se pot exprima procentual

și se mai numesc alungiri

Fig 39 Starea de deformație

Icircn figura 39c se vede că unghiul inițial drept dintre muchiile 119889119909 și 119889119910 ale

elementului de volum s-a modificat Se definește deformația specifică unghiulară (sau

lunecarea specifică) mărimea cu care se modifică unghiul inițial drept

120574119909119910 = 120574119909119910prime + 120574119910119909

prime = 120574119910119909120574119910119911 = 120574119910119911

prime + 120574119911119910prime = 120574119911119910

120574119911119909 = 120574119911119909prime + 120574119909119911

prime = 120574119909119911

(311)

Deformațiile 휀119909 휀119910 휀119911 120574119909119910 120574119910119911 120574119911119909 constituie cele șase componente

independente ale tensorului deformațiilor specifice care pot fi scrise de forma

119863 =

휀119909 120574119909119910 120574119909119911120574119910119909 휀119910 120574119910119911120574119911119909 120574119911119910 휀119911

(312)

323 Contracţia transversală

Practica arată că odată cu lungirea unei bare apare o micşorare a mărimii secţiunii

transversale mărime numită contracţie transversală figura 310

Fig 310 Contracția transversală

Contracţia transversală este proporţională cu lungirea specifică coeficientul de

proporţionalitate se notează cu 120599 şi se numeşte coeficient de contracţie transversală sau

coeficientul lui Poisson

La o lungire specifică a barei contracţia transversală este dată de relația

휀119905119903 = 휀119910 = 휀119911 = minus120599 ∙ 휀119909 (313)

Semnul minus bdquo-rdquo arată că cele două mărimi sunt contrare dacă una creşte cealaltă

scade şi invers

Considerăm o bară cilindrică de lungime 119897 şi aria secţiunii transversale 119860 solicitată

la icircntindere axială La un moment dat datorită solicitării lungimea barei devine

[119897 ∙ (1 + 휀)] diametrul devine [119889 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)] iar aria secţiunii transversale devine

[119860 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)2] Dacă volumul barei icircnainte de solicitare a fost (119860 ∙ 119897) după solicitare

acesta devine

119881 + ∆119881 = 119860 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)2 ∙ 119897 ∙ (1 + 휀) =

= 119860 ∙ 119897 ∙ (1 + 휀 minus 2 ∙ 120599 ∙ 휀 minus 2 ∙ 120599 ∙ 휀2 + 1205992 ∙ 휀2 + 1205992 ∙ 휀3) (314)

Deoarece lungirile sunt foarte mici ultimii trei termeni din paranteză fiind infinit mici se pot neglija obţinacircnd

119881 + ∆119881 = 119860 ∙ 119897 + 119860 ∙ 119897 ∙ 휀 ∙ (1 minus 2 ∙ 120599) ⟺ ∆119881 = 휀 ∙ (1 minus 2 ∙ 120599) ∙ 119860 ∙ 119897 (315)

Practica arătă că o astfel de bară solicitată la icircntindere icircşi măreşte volumul deci

∆119881 gt 0 de unde rezultă că

1 minus 2 ∙ 120599 gt 0 rArr 120599 lt 05 (316)

Pentru majoritatea materialelor 120599 = 033 iar pentru materialele care-şi păstrează

volumul constant 120599 = 05

33 Relaţii de echivalenţă icircntre eforturi şi tensiuni

Considerăm un element de suprafață infinit mic 119889119860 situat pe fața de arie (119860) a

secțiunii barei din figura 311 Icircn centrul de greutate 119862 al secțiunii acționează eforturile

119873 119879119910 119879119911 119872119909 119872119894119910 și 119872119894119911 determinate prin metoda secțiunilor

Icircn raport cu un sistem de axe de referință 119909119862119910119911 coordonatele elementului 119889119860 sunt

- 119910 este ordonata elementului de arie 119889119860

- 119911 este abscisa elementului de arie 119889119860

Pe elementul de arie 119889119860 acționează tensiunile

120590119909 tensiunea normală

120591119909119910 și 120591119909119911 tensiuni tangențiale

Dacă se icircnsumează forțele elementare de tipul 120590119909 ∙ 119889119860 120591119909119910 ∙ 119889119860 și 120591119909119911 ∙ 119889119860

va trebui să obținem eforturile 119873 119879119910 și 119879119911

Fig 311 Element de suprafață mic din secțiunea unei bare

Dacă eforturile sunt privite ca forțe exterioare și se scriu ecuațiile de

echilibru ale secțiunii (119860) se vor obține șase relații de echivalență icircntre eforturi și

tensiuni

(sum119883) = 0 rArr int 120590119909 ∙ 119889119860

119860

= 119873 (317)

(sum119884) = 0 rArr int 120591119909119910 ∙ 119889119860

119860

= 119879119910 (318)

(sum119885) = 0 rArr int 120591119909119911 ∙ 119889119860

119860

= 119879119911 (319)

(sum119872)119909= 0 rArr int(120591119909119911 ∙ 119889119860) ∙ 119910

119860

minus int(120591119909119910 ∙ 119889119860) ∙ 119911

119860

= 119872119909 rArr

rArr int(119910 ∙ 120591119909119911 minus 119911 ∙ 120591119909119910) ∙ 119889119860

119860

= 119872119909

(320)

(sum119872)119910= 0 rArr int(120590119909 ∙ 119889119860) ∙ 119911

119860

= 119872119894119910 (321)

(sum119872)119911= 0 rArr int(120590119909 ∙ 119889119860) ∙ 119910

119860

= 119872119894119911 (322)

Cele șase relații de echivalență icircntre eforturi și tensiuni constituie un pas icircnainte

icircn rezolvarea unei probleme de rezistența materialelor Aceste relații vor permite

determinarea tensiunilor maxime

Pentru a rezolva cele 6 relații de echivalență trebuie să se cunoască tensiunile și

ca funcții de punct adică funcții de forma

120590119909 = 120590119909(119909 119910 119911) 120591119909119910 = 120591119909119910(119909 119910 119911) 120591119909119911 = 120591119909119911(119909 119910 119911) (32

3)

Cunoașterea acestor funcții presupune icircnsă analizarea aspectului geometric al

problemei precum și utilizarea unor ipoteze simplificatoare care să permită simplificarea

problemelor

34 Ipoteze de bază icircn rezistenţa materialelor

Depășirea dificultăților legate de interpretarea unor fenomene specifice mecanicii

solidului deformabil a impus acceptarea unor ipoteze care să simplifice fenomenele și să

contribuie la elaborarea unor modele de calcul cicirct mai generale și cacirct mai simple Aceste

ipoteze se referă la structura materialelor şi la comportarea lor sub acţiunea forţelor

exterioare Ipotezele acceptate trebuie să fie icircn deplină concordanţă cu realitatea și să

conducă la rezultate verificate icircn practică

Funcție de aspectele la care se referă ipotezele pot fi

Ipoteze fizice (de material)

Ipoteze de calcul

341 Ipoteze fizice

Se acceptă deoarece teoriile structurale au condus la rezultate care contravin

icircncercărilor experimentale

Ipoteza mediului continuu consideră că orice domeniu elementar al corpului

este ocupat de materie adică nu se acceptă existența unor goluri sau a unor crăpături

microscopice (fisuri) Deși nu corespunde realităţii poate fi acceptată deoarece

dimensiunile corpului sunt mult mai mari decacirct dimensiunile particulelor elemantare Are

avantajul că permite utilizarea proprietăților matematice ale funcțiilor continue pentru

tensiunile și deformațiile din orice punct al corpului Ea este mai apropiată de realitate la

corpurile amorfe şi mai depărtată la cele cristaline dar conduce la rezultate satisfăcătoare

icircn calculele de rezistenţă

Ipoteza nu se poate aplica la corpurile care au goluri tăieturi (multiplu conexe)

pentru unele puncte singulare icircn care tensiunile și deformațiile tind la infinit sau icircn unele

probleme de plasticitate icircn care proprietățile de material au un rol esențial

Ipoteza izotropiei conform acestei ipoteze materialul din care este confecționat

un element de rezistență are aceleași proprietăți după orice direcție un astfel de material

este considerat izotrop Din punct de vedere macroscopic metalele pot fi considerate

izotrope deși la nivel microscopic proprietățile lor diferă de la o direcție cristalografică

la alta Orice conglomerat de cristale poate fi considerat izotrop

Există cazuri cacircnd această ipoteză a izotropiei nu se acceptă

la metalele puternic deformate după o direcție (prin laminare trefilare)

la piesele confecționate din lemn lemnul este anizotrop deoarece proprietățile sale

diferă după două direcții (icircn lungul fibrelor și perpendicular pe această direcție)

Ipoteza omogenității consideră că un corp are aceleași proprietăți icircn orice

punct al său Deși majoritatea materialelor utilizate icircn tehnică sunt eterogene la scară

micro fiind constituite din mai multe faze cu proprietăți diferite la scară macro ele pot

fi considerate omogene Omogenitatea și izotropia sunt proprietăți statistice medii care

nu se condiționează una pe cealaltă Chiar și materialele monofazice pot avea la scară

micro unele segregații care le fac eterogene

Ipoteza elasticităţii perfecte presupune că atacircta timp cacirct solicitările nu

depăşesc anumite limite materialul are o comportare elastică adică icircşi recapătă forma şi

dimensiunile iniţiale odată cu icircnlăturarea sarcinilor Icircn realitate materialele nu prezintă o

elasticitate perfectă ele avacircnd deformaţii remanente mici care icircnsă pot fi neglijate icircn

calculele de rezistenţă

Acceptarea acestei ipoteze a elasticității perfecte permite

- aplicarea relației biunivoce icircntre tensiuni și deformații relație exprimată de legea

lui Hooke ( = 119864 ∙ 휀) unde E este un factor de proporţionalitate numit modul de

elasticitate longitudinal al materialului pentru oţel 119864 = 21 ∙ 105 [119872119875119886] - acceptarea valabilității afirmației bdquolucrul mecanic efectuat de forțele exterioare

ca urmare a parcurgerii deplasărilor punctelor de aplicație se icircnmagazinează integral icircn

corp sub formă de energie de deformație energie cedată la icircndepărtarea sarcinilorrdquo

- este valabilă teoria conform căreia bdquoenergia icircnmagazinată și deformațiile depind

doar de starea inițială și finală de eforturi fără a ține cont de modul icircn care s-a ajuns la

starea finalărdquo

Icircn realitate oricacirct de mici ar fi sarcinile aplicate se produc și deformații plastice

dar acestea pot fi neglijate dacă solicitarea nu depășește anumite limite

342 Ipoteze de calcul

Ipoteza micilor deplasări bdquodeplasările datorate deformării sunt mult mai mici

decacirct dimensiunile corpurilor și ca urmare pot fi neglijate produsele dintre o deplasare și

ea icircnsăşirdquo Pentru cele mai multe corpuri deformaţiile elastice sunt de mărimi mici deci

corpurile solide sub acţiunea sarcinilor icircşi modifică foarte puţin forma iniţială Această

ipoteză este cunoscută şi sub denumirea de ipoteza menţinerii dimensiunilor iniţiale Ea

permite scrierea ecuaţiilor de echilibru ale staticii pe starea nedeformată a elementului

cacircnd nu se iau icircn considerare deplasările punctelor de aplicaţie ale forţelor care se produc

ca urmare a deformării acestuia Calculul efectuat pe schema nedeformată poartă numele

de calcul de ordinul I

Ipoteza micilor deplasări nu poate fi acceptată pentru studiul problemelor de

stabilitate sau la problemele la care nu pot fi icircndeplinite condiţiile de echilibru icircn starea

nedeformată

Calculul de ordinul II admite ipoteza micilor deplasări dar ecuaţiile de echilibru

se scriu icircnsă pentru starea deformată a elementului de rezistenţă

Calculul de ordinul III nu mai acceptă ipoteza micilor deplasări el referindu-se

la cazul deformaţiilor mari cacircnd ecuaţiile de echilibru trebuie scrise pentru starea

deformată

Chiar dacă materialul satisface legea lui Hooke icircn urma calculelor de ordinul II

se obţin de obicei relaţii neliniare icircntre sarcini şi deplasări iar pentru calculul de ordinul

III rezultă ecuaţii diferenţiale neliniare

Principiul efectului local al acțiunii sarcinilor enunțat de Barre de Saint-

Venant Acest principiu destul de folosit icircn Rezistenţa Materialelor precizează că dacă

se icircnlocuiesc forţele care acţionează asupra unui element de suprafață al unui corp

elastic printr-un alt sistem de forţe echivalent din punct de vedere static cu primul noua

distribuţie a forţelor produce la locul de aplicare diferenţe semnificative faţă de prima

dar rămacircne fără efect sau cu efect neglijabil la distanţe mari de locul de aplicare al

forţelor figura 312

Ca o cosecință o sarcină uniform distribuită figura 312a poate fi icircnlocuită cu

rezultanta ei figura 312b dacă se analizează efectul sarcinii la distanță mare de locul icircn

care se aplică sarcina

Fig 312 Principiul Saint-Venant

Icircn prima variantă figura 312a forţa 119865 se aplică pe o porțiune oarecare 119897 (sarcină

uniform distribuită) iar icircn a doua figura 312b icircntru-un punct (forţă concentrată) La

locul de aplicare a sarcinii efectul asupra barei este cu totul diferit de la o variantă la

cealaltă Icircnsă la o distanţă mare de punctul de aplicaţie spre exemplu icircn secţiunea situată

la distanţa 119886 de capătul barei sau chiar icircn icircncastrare ambele bare sunt solicitate la fel

Icircn cazul din figura 312a

119872119894(119909) =119901 ∙ 1199092

2 119909 le 119897 119872119894(119909) = 119901 ∙ 119897 ∙ (119909 minus

119897

2) 119909 gt 119897 (324)

Icircn cazul din figura 312b

119872119894(119909) = 0 119909 lt119897

2 119872119894(119909) = 119901 ∙ 119897 ∙ (119909 minus

119897

2) 119909 gt

119897

2 (325)

Se vede că pentru (119909 gt 119897) adică după depășirea locului icircn care se aplică sarcina

efectul este același

Ipoteza lui Bernoulli sau ipoteza secţiunilor plane precizează că o secţiune

plană şi normală pe axa barei icircnainte de deformare rămacircne plană şi normală pe axa

barei şi după deformare figura 313

Fig 313 Ipoteza lui Bernoulli

Ipoteza stării naturale a corpului sau ipoteza absenţei tensiunilor conform

căreia pentru un corp nesolicitat starea de tensiune şi deformaţie este nulă

Perfecţionarea mijloacelor de calcul şi de investigare pot conduce la renunţarea la

unele ipoteze sau la introducerea altora noi mai aproape de stările reale De aici rezultă

caracterul de continuă perfecţionare a metodelor Rezistenţei Materialelor

35 Coeficienţi de siguranţă Tensiuni admisibile

O piesă corespunde din punct de vedere tehnic dacă tensiunile care iau naştere icircn

interiorul piesei datorită sarcinilor aplicate nu depăşesc anumite valori limită stabilite

convenţional Aceste valori limită ale tensiunii sunt corelate cu caracteristicile mecanice

ale materialelor

Tensiunea limită utilizată icircn calculele de rezistenţă este cunoscută sub denumirea

de tensiune admisibilă sau rezistenţă admisibilă Rezistenţa admisibilă reprezintă

valoarea convenţională aleasă icircn calcul pe baza practicii pentru tensiunea maximă care

poate apare icircntr-o piesă icircn condiţii date de material şi solicitare

Rezistenţa admisibilă (120590119886 sau 120591119886) poate fi definită faţă de o stare limită

periculoasă stare care trebuie evitată deoarece poate conduce distrugere

120590119886 =120590119897119894119898119888

(326)

unde

120590119897119894119898 este tensiunea corespunzătoare stării limită periculoase

119888 estesupraunitar 119888 gt 1 și reprezintă coeficientul de siguranţă faţă de starea limită

periculoasă considerată

Alegerea unor valori inferioare pentru rezistenţa admisibilă faţă de tensiunea

corespunzătoare stării limită periculoase este necesară deoarece

cunoaşterea sarcinilor este de cele mai multe ori aproximativă şi o depăşire a

acestora este foarte posibilă

caracteristicile mecanice ale materialelor variază icircn limite destul de mari ele

fiind influenţate de mulţi factori

schema aleasă pentru calcul (aplicarea sarcinilor schematizarea structurii

ipotezele de calcul etc) depărtează modelul faţă de cel real

Pentru calculele de verificare tensiunea efectivă maximă din elementul de

rezistenţă trebuie să fie mai mică sau cel mult egală cu cea admisibilă

120590119890119891119898119886119909 le 120590119886 (327)

Valoarea rezistenţei admisibile este influenţată de foarte mulţi factori natura

materialului tratamentele termice aplicate piesei durata de funcţionare a piesei modul

de acţionare icircn timp a sarcinilor felul solicitării temperatura gradul de periculozitate

icircn cazul cedării piesei etc

De asemenea valoarea coeficientului de siguranţă se alege icircn principal ţinacircnd

seama de aceiaşi factori care influenţează şi rezistenţa admisibilă

Rezistenţele admisibile pentru cacircteva materiale sunt următoarele

pentru oțelul de uz general OL37 solicitat la icircntindere compresiune sau

icircncovoiere 120590119886 = 150 [119872119875119886] pentru lemnul de brad solicitat la

- compresiune icircn lungul fibrelor şi solicitat la icircncovoiere 120590119886 = 10 [119872119875119886] - tracţiune icircn lungul fibrelor 120590119886 = 7 [119872119875119886] - compresiune perpendiculară pe fibre 120590119886 = 15 [119872119875119886] - forfecare icircn lungul fibrelor 120591119886 = 2 [119872119875119886] - forfecare perpendiculară pe fibre 120590119886 = 45 [119872119875119886]

terenuri de fundaţie din pămacircnt uscat sau umed 120590119886 = 020 divide 025 [119872119875119886]

4 CARACTERISTICI GEOMETRICE ALE SECȚIUNILOR PLANE

41 Noţiuni introductive

Icircn relaţiile de calcul ale tensiunilor şi deformaţiilor elementelor de rezistenţă

pentru unele solicitări (icircncovoierea și torsiunea) secțiunile plane intervin atacirct prin

dimensiunile lor (aria 119860) cicirct și prin forma și poziția pe care o are secțiunea icircn raport cu

planul solicitării Mărimile care caracterizează o secțiune icircn raport cu forma și poziția față

de axele unui sistem de referință sunt denumite caracteristici geometrice de ordin

superior Aria secțiunii este caracteristica geometrică ce depinde doar de dimensiunile

geometrice ale acesteia

Să considerăm o grindă solicitată de o forță exterioară 119865 aşezată icircn două poziții icircn

raport cu planul forţei figura 41 Icircn urma aplicării forței deși avem aceeași grindă

(aceeași arie a secțiunii transversale) și aceeași forță se constată că pentru varianta din

figura 41a deformațiile sunt mult mai mari adică rezistența la icircncovoiere a grinzii din

figura 41a este mai mare decacirct icircn cazul grinzii din figura 41b Comportarea diferită se

explică prin aceea că modificarea poziţiei secţiunii transversale faţă de planul forţelor

modifică caracteristicile geometrice ale secţiunii transversale a grinzii

Fig 41 Grindă solicitată de forța 119865

Pentru realizarea calculelor de rezistenţă şi rigiditate este foarte importantă

cunoaşterea caracteristicilor geometrice ale suprafeţei secţiunii transversale a elementelor

de rezistenţă

Caracteristicile geometrice ale secţiunii transversale a unui element de rezistenţă

sunt

- aria secțiunii notată cu 119860

- momentul static icircn raport cu o axă notat 119878119911 și respectiv 119878119910

- momentul de inerție care poate fi

axial notat 119868119911 și respectiv 119868119910

centrifugal notat 119868119911119910

polar notat 119868119901

- raza de inerţie (giraţie)notată 119894119911 și respectiv 119894119910

- modulul de rezistență care poate fi

axial notat 119882119911 și respectiv 119882119910

polar notat 119882119901

42 Aria și momentul static al suprafețelor plane

Fie o suprafaţă plană de arie 119860 pe care se ia un element infinit mic de arie 119889119860 şi

un sistem de axe rectangulare 119911119874119910 figura 42 Notăm cu 119862 centrul de greutate al suprafeţei

119860 Poziţia suprafeţei elementare 119889119860 faţă de acelaşi sistem de coordonate 119911119874119910 este dată

de abscisa 119911 ordonata 119910 și raza polară

Fig 42 Suprafață plană de arie 119860

Aria suprafeţei 119860 figura 42 se defineşte ca fiind

119860 ≝ int 119889119860

119860

(41)

Aria suprafeţei este icircntotdeauna pozitivă și se măsoară icircn [1198981198982] Momentul static al suprafeţei de arie 119860 icircn raport cu axele 119874119911 și respectiv 119874119910

figura 42 sunt date de relaţiile

119878119911 ≝ int 119910 ∙ 119889119860

119860

119878119910 ≝ int 119911 ∙ 119889119860

119860

(42)

Momentul static poate fi pozitiv negativ sau nul şi se măsoară icircn [1198981198983] Coordonatele centrului de greutate ale suprafeței 119860 se detrmină cu relațiile

119910119862 ≝int 119910 ∙ 119889119860119860

119860 119911119862 ≝

int 119911 ∙ 119889119860119860

119860

(43)

Cunoscacircnd coordonatele 119910119862 și 119911119862 ale centrului de greutate 119862 al secțiunii 119860 atunci

momentele statice se pot determina cu relațiile

119878119911 ≝ int 119910 ∙ 119889119860

119860

= 119910119862 ∙ 119889119860 119878119910 ≝ int 119911 ∙ 119889119860

119860

= 119911119862 ∙ 119889119860 (44)

Aceste relații arată că momentul static al unei suprafețe icircn raport cu o axă este

egal cu produsul dintre aria suprafeței și distanța de la centrul ariei la axa respectivă

Dacă suprafaţa se poate descompune icircn 119899 suprafeţe simple la care se cunosc ariile

(1198601 1198602 ⋯ 119860119894⋯ 119860119899) și poziţiile centrelor de greutate 119862119894 faţă de sistemul de referinţă

expresiile momentelor statice capătă următoarea formă

119878119911 = sum 119910119862119894 ∙ 119860119894119899119894=1 = 119910119862 ∙ 119860 119878119910 = sum 119911119862119894 ∙ 119860119894

119899119894=1 = 119911119862 ∙ 119860 (45)

Din relaţiile (45) rezultă că poziţia centrului de greutate 119862 al unei suprafeţe

compuse poate fi determinată cu relaţiile

119910119862 = (sum119910119862119894 ∙ 119860119894

119899

119894=1

) 119860frasl 119911119862 = (sum119911119862119894 ∙ 119860119894

119899

119894=1

) 119860frasl (46)

Icircn relația (45) 119910119862119894 și respectiv 119911119862119894 reprezintă coordonatele centrelor de greutate 119862119894

ale fiecărei suprafețe simple 119860119894 icircn raport sistemul de axe 119911119874119910

Se constată (relaţia 42) că dacă axele sistemului de referinţă trec prin centrul de

greutate (119910119862 = 119911119862 = 0) momentele statice sunt nule Axele icircn raport cu care momentele

statice sunt nule şi care trec prin centrul de greutate al suprafeţei se numesc axe centrale

Observație dacă secțiunea compusă are o axă de simetrie centrul secțiunii se

găsește pe acea axă iar dacă secțiunea este dublu simetrică poziția centrului secțiunii este

la intersecția axelor de simetrie

43 Momente de inerţie

Momentele de inerţie axiale ale unei suprafețe se calculează icircn raport cu axele de

coordonate 119874119911 și respectiv 119874119910 figura 42 și se determină cu relațiile

119868119911 ≝ int 1199102 ∙ 119889119860

119860

119868119910 ≝ int 1199112 ∙ 119889119860

119860

(47)

Unde 119910 și 119911 sunt distanțele de la elementul de arie 119889119860 la cele două axe de

coordonate 119874119911 și respectiv 119874119910

Momentele de inerţie axiale se măsoară icircn [1198981198984] şi sunt icircntotdeauna pozitive (aria

119889119860 este icircntotdeauna pozitivă și este multiplicată cu patratul distanței 1199102 dacă 119868119911 sau 119868119910

sunt nule icircnseamnă ca secțiunea nu există)

Momentele de inerție axiale se calculează icircndeosebi pentru axele centrale (care

trec prin centrul secțiunii) deoarece icircn raport cu acele axe 119868119911 și 119868119910 au valori minime

Momentul de inerţie centrifugal calculat faţă ambele axe ale sistemului de

referinţă 119911119874119910 este definit de relația

119868119911119910 ≝ int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860

(48)

Momentul de inerţie centrifugal se măsoară icircn [1198981198984] şi poate fi pozitiv negativ

sau nul

Momentul de ineție centrifugal este nul 119868119911119910 = 0 dacă cel puțin una din axele 119874119911

sau 119874119910 este axă de simetrie pentru secțiune

Se consideră o suprafaţă dreptunghiulară pe care faţă de axa de simetrie 119874119910 se iau

două suprafeţe elementare de arie 119889119860 simetrice faţă de axa 119874119910 figura 43

Fig 43 Suprafață dreptunghiulară cu două arii elementare 119889119860

Făcacircnd suma momentelor de inerţie centrifugale pentru cele două suprafeţe

elementare 119889119860 (din stacircnga şi din dreapta faţă de axa 119874119910) se obţine

int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860119889119903

+ int (minus119911) ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860119904119905119892

= int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860119889119903

minus int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860119904119905119892

= 0 (49)

Acelaşi raţionament se poate face și pentru icircntreaga suprafaţă de unde obținem că

momentul de inerție centrifugal este nul 119868119911119910 = 0 Deci pentru o suprafaţă plană care

are cel puţin o axă de simetrie momentul de inerţie centrifugal faţă de sistemul care

conţine acea axă de simetrie este nul

Momentul de inerţie polar al unei suprafeţei icircn raport cu un punct (pol) 119874 figura

42 este definit prin relaţia

1198680 = 119868119901 ≝ int 1205882 ∙ 119889119860

119860

= int(1199102 + 1199112) ∙ 119889119860

119860

= 119868119911 + 119868119910 (410)

unde este distanţa de la polul 119874 la elementul de arie 119889119860 Momentul de inerţie polar se

măsoară icircn [1198981198984] şi este totdeauna pozitiv

Momentul de inerţie polar este egal cu suma momentelor de inerţie faţă de două axe

perpendiculare oarecare şi care trec prin polul considerat

Razele de giraţie sau razele de inerţie sunt mărimi calculate icircn raport cu axele

secțiunii și definite de relaţiile

119894119911 ≝ radic119868119911119860 119894119910 = radic

119868119910

119860 (411)

Se exprimă icircn [119898119898] şi sunt icircntotdeauna pozitive Semnificația unei raze de inerție

este distanța la care dacă ar fi concentrată icircntreaga arie s-ar obține același moment de

inerție ca și cel calculat pentru aria reală

44 Modulul de rezistenţă

Modulul de rezistență se calculează icircn raport cu axele de referință sau icircn raport cu

un pol figura 42 și pot fi axiale (119882119911119882119910) sau polar (119882119901) și se determină numai pe baza

momentelor de inerţie cu relațiile figura 43

119882119911119898119894119899 ≝119868119911119910119898119886119909

119882119911119898119886119909 ≝119868119911119910119898119894119899

(412)

119882119910119898119894119899 ≝119868119910

119911119898119886119909 119882119910119898119886119909 ≝

119868119910

119911119898119894119899 (413)

119882119901 ≝119868119901

120588119898119886119909 (414)

unde

119910119898119886119909 119910119898119894119899 reprezintă distanţa de la axa 119874119911 la punctele extreme cele mai

depărtate respectiv cele mai apropiate ale suprafeţei de această axă

119911119898119886119909 119911119898119894119899 reprezintă distanţa de la axa 119874119910 la punctele extreme cele mai

depărtate respectiv cele mai apropiate ale suprafeţei de această axă

120588119898119886119909 reprezintă distanța maximă de la polul 119874 la punctul secțiunii cel mai

icircndepărtat de acesta

Fig 43 Suprafață dreptunghiulară cu două arii elementare 119889119860

Modulele de rezistenţă se exprimă icircn [1198981198983] şi sunt icircntotdeauna pozitive

Explicația este aceea că momentele de inerție care intră icircn relațiile de definiție sunt

pozitive iar distanțele la punctele extreme sunt pozitive (119910119898119886119909 119910119898119894119899 119911119898119886119909 119911119898119894119899 120588119898119886119909 se

iau icircn valoare absolută)

Icircn cazul suprafeţelor compuse modulul de rezistenţă nu se obţine prin icircnsumarea

algebrică a modulelor de rezistenţă ale suprafeţelor simple componente ci numai prin

intermediul momentului de inerţie axial calculat pentru icircntreaga secțiune

Ca și momentele de inerție modulele de rezistență se calculează numai pentru

sistemele de axe centrale

45 Momente de inerţie şi module de rezistenţă pentru suprafeţe simple

451 Secțiune dreptunghiulară

Fie suprafaţa dreptunghiulară din figura 44 de icircnălțime ℎ și lățime 119887 pe care se

consideră suprafaţă elementară de arie 119889119860 = 119887119889119910 la distanța 119910 de axa 119862119911 sistemul de

axe 119911119862119910 trece prin centrul secțiunii iar axele sunt axe de simetrie pentru dreptunghi

Fig 44 Suprafață dreptunghiulară

Pe baza relațiilor de definiți a momentului de inerție 119868119911 se obține

119868119911 ≝ int 1199102 ∙ 119889119860

119860

= int 1199102 ∙ 119887 ∙ 119889119910 = 2int 1199102 ∙ 119887 ∙ 119889119910 = 2 ∙ 119887 ∙1199103

3|ℎ 2frasl

0rArr

ℎ 2frasl

0

ℎ 2frasl

minusℎ 2frasl

rArr 119868119911 =119887 ∙ ℎ3

12

(415)

Analog pentru un element de arie 119889119860 = ℎ ∙ 119889119911 paralel cu axa 119862119910 situat la distanța

119911 de axa 119862119910

119868119910 ≝ int 1199112 ∙ 119889119860

119860

= int 1199112 ∙ ℎ ∙ 119889119911 = 2int 1199112 ∙ ℎ ∙ 119889119910 = 2 ∙ ℎ ∙1199113

3|119887 2frasl

0rArr

119887 2frasl

0

119887 2frasl

minus119887 2frasl

rArr 119868119910 =1198873 ∙ ℎ

12

(416)

Deoarece axele 119862119911 și 119862119910 sunt axe de simetrie momentul de inerție centrifugal este

119868119911119910 = 0 (417)

Pentru un pătrat avacircnd laturile egale (ℎ = 119887 = 119886) momentele de inerţie faţă de

axele centrale au expresia

119868119911 = 119868119910 =1198864

12 (418)

Modulele de rezistență axiale se calculează cu relațiile de definiție ținacircnd cont că

distanțele pacircnă la fibrele extreme sunt

119910119898119886119909 = 119910119898119894119899 =ℎ

2 119911119898119886119909 = 119911119898119894119899 =

119887

2 (419)

Obținem

119882119911119898119894119899 = 119882119911119898119886119909 =119868119911

119910119898119886119909119898119894119899=119887 ∙ ℎ3

12frasl

ℎ2frasl

=119887 ∙ ℎ2

6

119882119910119898119894119899 = 119882119910119898119886119909 =119868119910

119911119898119886119909119898119894119899=1198873 ∙ ℎ

12frasl

1198872frasl

=1198872 ∙ ℎ

6

(420)

452 Suprafaţă circulară

Din motive de simetrie pentru suprafeţele circulare momentele de inerţie faţă de

orice diametru (care reprezintă şi axe centrale) sunt aceleaşi

Considerăm o secțiune circulară plină cu diametrul 119889 și centrul de greutate 119862 Prin

centrul de greutate 119862 trece sistemul de axe ortogonal 119911119862119910 figura 45

Fig 45 Suprafață circulară

La distanța de centrul de greutate 119862 vom lua un element de suprafață mic de arie

(119889119860) de forma unui inel de grosime 119889 Elementul de arie 119889119860 are expresia

119889119860 = (2 ∙ 120587 ∙ 120588) ∙ (119889120588)

Pornind de la relația de definiție a momentului de inerție polar obținem

119868119901 ≝ int 1205882 ∙ 119889119860

119860

= int 1205882 ∙ (2 ∙ 120587 ∙ 120588) ∙ 119889120588

119903=119889 2frasl

0

= 2 ∙ 120587 ∙1205884

4|119889 2frasl0 rArr

rArr 119868119901 =120587 ∙ 1198894

32

(421)

Secțiunea este perfect simetrică deci sunt valabile relațiile

119868119911 = 119868119910 rArr 119868119901 = 119868119911 + 119868119910 = 2 ∙ 119868119911 = 2 ∙ 119868119910 =119868119901

2=120587 ∙ 1198894

64 (422)

Și modulele de rezistenţă faţă de orice diametru sunt egale şi se calculează cu

relaţiile

119882119911 = 119882119910 =1198681199111198892frasl=120587 ∙ 1198893

32 (423)

Modulul de rezistenţă polar este

119882119901 =1198681199011198892frasl=120587 ∙ 1198893

16 (424)

453 Secţiune inelară

Calculul momentelor de inerţie axiale pentru o secţiune inelară avacircnd diametrul

interior 119889 şi diametrul exterior 119863 se determină analog pentru suprafaţa circulară plină cu

observaţia că integrala pentru calculul momentului de inerție polar 119868119901 se face icircntre

limitele 119903 = 119889 2frasl şi R= 1198632frasl (icircntre raza interioară 119903 şi raza exterioară 119877) figura 46

Se obţin relaţiile

119868119901 =120587 ∙ 1198634

32∙ [1 minus (

119889

119863)4

] =120587 ∙ 1198634

32∙ (1 minus 1198964) (425)

119868119910 = 119868119910 =120587 ∙ 1198634

64∙ [1 minus (

119889

119863)4

] =120587 ∙ 1198633

64∙ (1 minus 1198964) (426)

Fig 46 Secțiune inelară

119882119901 =120587 ∙ 1198633

16∙ [1 minus (

119889

119863)4

] =120587 ∙ 1198633

16∙ (1 minus 1198964) (427)

119882119911 = 119882119910 =120587 ∙ 1198633

32∙ [1 minus (

119889

119863)4

] =120587 ∙ 1198633

32∙ (1 minus 1198964) (428)

unde 119896 = 119889119863frasl

46 Variaţia momentelor de inerţie faţă de axe paralele

( Relațiile lui STEINER)

Se consideră o suprafaţă oarecare de arie 119860 cu elementul de arie 119889119860 și un sistemul

de axe central 119911119862119910 faţă de care se cunosc momentele de inerţie 119868119911 119868119910 119868119911119910 şi considerăm

un sistem de axe 11991111198741199101 paralele cu sistemul central figura 47 Se pune problema

determinării momentele de inerţie 1198681199111 1198681199101 11986811991111199101 faţă de sistemul de axe paralel cu sistemul

central 11991111198741199101 axe aflate la distanţele 119910119862 = 119888 respectiv 119911119862 = 119889 de acesta

461 Momente de inerţie axiale

Pe baza relaţiilor de definire şi a notaţiilor din figura 42 pentru momentele de

inerţie faţă de axele 1198741199111 1198741199101 se poate scrie

1198681199111 = int 11991012 ∙ 119889119860

119860

= int(119910 + 119888)2 ∙ 119889119860

119860

= int 1199102 ∙ 119889119860

119860

+ 2 ∙ 119888 ∙ int 119910 ∙ 119889119860

119860

+

+1198882int 119889119860

119860

rArr 1198681199111 = 119868119911 + 2 ∙ 119888 ∙ 119878119911 + 1198882 ∙ 119860 hArr 1198681199111 = 119868119911 + 119888

2 ∙ 119860

(429)

Fig 47 Variaţia momentelor de inerţie față de axe paralele

S-a ajuns la relația (429) deoarece momentul static 119878119911 este nul deoarece axa 119862119885

este axă centrală

Pentru momentul de inerție axial icircn raport cu axa 1198741199101 se obține

1198681199101 = int 11991112 ∙ 119889119860

119860

= int(119911 + 119889)2 ∙ 119889119860

119860

= int 1199112 ∙ 119889119860

119860

+ 2 ∙ 119889 ∙ int 119911 ∙ 119889119860

119860

+

+1198892 ∙ int 119889119860

119860

rArr 1198681199101 = 119868119910 + 2 ∙ 119889 ∙ 119878119910 + 1198892 ∙ 119860 hArr 1198681199101 = 119868119910 + 119889

2 ∙ 119860

(430)

Pentru momentul de inerție centrifugal obținem

11986811991111199101 = int 1199101 ∙ 1199111 ∙ 119889119860

119860

= int(119910 + 119888) ∙ (119911 + 119889) ∙ 119889119860

119860

= int 119910 ∙ 119911 ∙ 119889119860 +

119860

+119888 ∙ int 119911 ∙ 119889119860

119860

+ 119889 ∙ int 119910 ∙ 119889119860

119860

rArr 11986811991111199101 = 119868119911119910 + 119888 ∙ 119889 ∙ 119860

(431)

Deoarece

int 119911 ∙ 119889119860

119860

= 119878119910 = 0 int 119910 ∙ 119889119860

119860

= 119878119911 = 0 int 119910 ∙ 119911 ∙ 119889119860

119860

= 119868119911119910

Relaţiile (429) şi (430) arată că momentul de inerţie faţă de o axă oarecare

este egal cu momentul de inerţie faţă de o axă paralelă cu ea trecacircnd prin centrul de

greutate la care se adaugă produsul dintre aria suprafeţei şi pătratul distanţei dintre

cele două axe

Din relaţiile (429) și (430) rezultă de asemenea că momentul de inerţie faţă de o

axă centrală (care trece prin centrul de greutate) este cel mai mic dintre infinitatea de

momente de inerţie obținute faţă de alte axe paralele cu ea

Relaţia (431) arată de asemenea că momentul de inerţie centrifugal faţă de un

sistem de axe oarecare este egal cu momentul de inerţie centrifugal faţă de un sistem

paralele cu el trecacircnd prin centrul de greutate a suprafeţei la care se adaugă produsul

dintre aria suprafeţei şi distanţele dintre axele sistemelor respective

Icircn literatura de specialitate relaţiile (429) (430) şi (431) sunt cunoscute sub

numele de relaţiile lui Steiner

47 Variaţia momentrlor de inerţie faţă de axe rotite

Direcţii principale şi momente de inerţie principale

Fie suprafaţa plană din figura 48 de arie 119860 pe care considerăm o suprafaţă

elementară de arie 119889119860 Pentru sistemul de axe 119911119874119910 se cunosc momentele de inerţie

119868119911 119868119910 119868119911119910 şi vom determina relaţiile de calcul pentru momentele de inerţie afererent unui

sistem de axe 11991111198741199101 rotit cu un unghi faţă de sistemul central

Faţă de sistemul de axe 11991111198741199101 elementul de arie 119889119860 are coordonatele

1199101 = 119875119877 = 119875119876 minus 119877119876 = 119910 ∙ cos 120572 minus 119911 ∙ sin 120572

1199111 = 119873119872 = 119873119875 minus 119875119872 = 119911 ∙ cos 120572 + 119910 ∙ sin 120572 (432)

Fig 47 Variaţia momentelor de inerţie față de axe rotite

Pe baza relaţiilor de calcul ale momentelor de inerţie şi a notaţiilor din figura 42

şi ale relaţiilor (432) momentele de inerţie faţă de sistemul de axe rotit 11991111198741199101 sunt

1198681199111 =119868119911 + 119868119910

2+119868119911 minus 119868119910

2∙ cos 2120572 minus 119868119911119910 ∙ sin 2120572 (433)

1198681199101 =119868119911 + 119868119910

2minus119868119911 minus 119868119910

2∙ cos 2120572 + 119868119911119910 ∙ sin 2120572 (434)

11986811991111199101 =119868119911 minus 119868119910

2∙ sin 2120572 + 119868119911119910 ∙ cos 2120572 (435)

Din relaţiile 433divide435 se observă că icircntre momentele de inerţie axiale şi cele

polare există relaţia

1198681199111 + 1198681199101 = 119868119911 + 119868119910 = 119868119901 (436)

adică suma momentelor de inerţie axiale icircn raport cu orice pereche de axe ortogonale

care trec printr-un pol dat este o constantă şi egală cu momentul de inerţie polar

Prin rotirea sistemului de axe din relaţiile 433divide435 rezultă că momentele de inerţie

variază icircnsă suma lor rămacircne constantă deci există o poziţie a sistemului de axe pentru

care momentele de inerţie au valori extreme maxim respectiv minim

471 Direcţii principale de inerţie

Valoarea unghiului 120572 pentru care momentele de inerţie axiale au valori extreme

este

1205721 =1

2∙ 119886119903119888119905119886119899 (minus

2 ∙ 119868119911119910

119868119911 minus 119868119910) (437)

Poziţia celeilalte direcţii este perpendiculară pe cea dată de unghiul 1205721

Din relaţia (437) se constată că faţă de aceste direcţii rotite pentru care momentele

de inerţie axiale prezintă valori extreme momentul de inerţie centrifugal 11986811991111199101este nul

Atunci se poate afirma că momentele de inerţie axiale au valori extreme icircn raport cu

direcţiile faţă de care momentul de inerţie centrifugal este nul Aceste direcţii se numesc

direcţii principale iar momentele de inerţie faţă de aceste direcţii poartă numele de

momente de inerţie principale

Icircn calculele de rezistenţă interesează icircn mod special poziţia direcţiilor principale

care trec prin centrul de greutate al suprafeţei aşa numitele direcţii principale centrale şi

evident momentele de inerţie principale centrale

Direcţiile principale de inerţie se notează cu 1 respectiv 2 Axa principală 1

corespunde direcţiei faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea maximă iar

axa principală 2 pentru direcţia faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea

minimă

472 Momente de inerţie principale

Momentele de inerţie principale se notează cu litera 119868 la care se pune indicele 1

sau 2 după cum valoarea acestuia este maximă sau minimă deci avem un moment de

inerţie principal 1 (notat 1198681) respectiv moment de inerţie principal 2 (notat 1198682)

Expresiile pentru momentele de inerţie principale sunt

11986812 =119868119911 + 119868119910

2plusmn1

2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)

2+ 4 ∙ (119868119911119910)

2 (438)

Dacă momentul de inerţie centrifugal este negativ (119868119911119910 lt 0) direcţia principală

care trece prin primul cadran (definit de sistemul 119911119862119910) este direcţia principală 120783

Pentru suprafeţele cu cel puţin o axă de simetrie direcţiile centrale 119862119911 119862119910 sunt şi

direcții principale de inerţie și evident momentele de inerţie axiale 119868119911 119868119910 sunt momente

de inerţie principale

48 Caracteristici mecanice ale metalelor

Alegerea materialului pentru confecţionarea unei anumite piese se face şi pe baza

aşa numitelor caracteristici mecanice pe care le prezintă materialul Cunoaşterea acestor

caracteristici mecanice are loc numai pe baza unor icircncercări mecanice care să scoată icircn

evidenţă comportarea materialului icircn condiţii de solicitare

Cea mai utilizată icircncercare icircn urma căreia se pun icircn evidenţă caracteristicile

mecanice ale unui material este icircncercarea la tracţiune

481 Icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general

Icircncercarea la tracţiune a oţelului ca de altfel toate icircncercările de materiale este

standardizată

Icircn cele ce urmează se va prezenta numai partea care interesează strict din punct

de vedere al caracteristicilor mecanice ale oţelului

Epruveta de diametru iniţial 1198890 pentru icircncercarea la tracţiune are o porţiune de

lungime 1198710 numită baza de măsurare pe care se măsoară lungirea acesteia sub acţiunea

solicitării

Icircn funcţie de raportul dintre baza de măsurare 1198710 şi diametrul iniţial 1198890 epruvetele

utilizate pentru icircncercări sunt

epruvete normale (scurte) cacircnd 11987101198890 = 5

epruvete lungi cacircnd 11987101198890 = 10

Icircn timpul icircncercării la diferite valori ale forţei 119865 se măsoară lungirea bazei de

măsurare

∆119871 = 120575 = 119871 minus 1198710 (439)

unde

119871 este dimensiunea bazei de măsurare la un moment dat

Curba forţă-lungire (119865 minus ) icircnregistrată icircn urma icircncercării reprezintă curba

caracteristică la tracţiune

La icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general diagrama caracteristică care se

obţine are forma din figura 48

Curba caracteristică la tracţiune depinde de lungimea bazei de măsurare Pentru

icircnlăturarea acestui neajuns curba caracteristică se reprezintă icircn coordonate şi definite

astfel

120590 =119865

1198600 휀 =

120575

1198710 (440)

unde

1198600 este aria iniţială a secţiunii transversale a epruvetei (icircnainte de solicitare) icircn

zona bazei de măsurare

1198600 =120587 ∙ 1198890

2

4

Deoarece mărimile icircn care se reprezintă curba caracteristică la tracţiune sunt

raportate la aria iniţială a secţiunii transversale (mărimi specifice) curba poartă numele

de curbă caracteristică convenţională la tracţiune

Fig 48 Curba caracteristică convenţională la tracțiune

Pe curba caracteristică convenţională la tracţiune figura 48 se pot stabili o serie

de puncte cărora le corespund mai multe mărimi importante

Ordonata punctului A pacircnă unde curba caracteristică convenţională este linie

dreaptă se numeşte limita de proporţionalitate a materialului 120590119901(1205901) Porţiunea 119874119860 este

zona de proporţionalitate a curbei caracteristice pe acest domeniu este valabilă legea lui

Hooke care exprimă o proporţionalitate icircntre tensiune şi deformaţie specifică

120590 = 119864 ∙ 휀 (441)

unde

119864 = reprezintă panta porţiunii liniare a curbei convenționale caracteristice

la tracțiune Caracteristica de material 119864 se numeşte modul de elasticitate longitudinal

(modulul lui Young)

Ordonata punctului 119861 pacircnă unde materialul se comportă perfect elastic adică

după descărcare icircşi recapătă dimensiunea iniţială 1198710 se numeşte limita de elasticitate

120590119890(119877119890) Icircn realitate nici un material nu are comportare perfect elastică sub acţiunea

solicitărilor el capătă deformaţii permanente (remanente plastice)

După punctul 119861 urmează o porţiune 119861119862119863 icircn care cu toate că icircncărcarea

continuă forţa nu mai creşte avacircnd mici oscilaţii icircn jurul unei valori Se spune că icircn

această porţiune materialul curge iar intervalul 119861119862119863 este un palier de curgere Tensiunea

corespunzătoare palierului de curgere se numeşte limită de curgere aparentă 120590119888(119877119888) Limita de curgere aparentă se calculează cu relaţia

120590119888 =1198651198881198600 (442)

unde

119865119888 reprezintă valoarea forţei icircnregistrată icircn momentul curgerii materialului

După punctul 119863 curba caracteristică are un traseu ascendent pacircnă icircn punctul 119864

Porţiunea 119863119864 este numită zonă de icircntărire (ecruisare) Icircn zona de ecruisare unde se

produc deformaţii plastice semnificative legea lui Hooke nu mai este valabilă La

descărcare relaţia dintre tensiunea şi deformaţia specifică este liniară paralelă cu

porţiunea liniară a curbei caracteristice (dreapta 119872119873)

Deformaţia totală (휀119905) are două componente una elastică (휀119890) şi una plastică (휀119901)

Ordonata punctului 119864 reprezintă rezistenţa de rupere 120590119903(119877119898) a materialului

care se poate calcula cu relaţia

120590119903 = 119877119898 =1198651198981198861199091198600

(443)

unde

119865119898119886119909 reprezintă valoarea maximă a forţei icircnregistrată icircn timpul icircncercării

La atingerea valorii 119865119898119886119909 (punctul 119864) icircntr-un anumit loc al epruvetei secţiunea

icircncepe să se micşoreze (se produce gacirctuirea) continuacircnd pacircnă cacircnd se produce ruperea

totală (punctul 119865)

Dacă după ruperea epruvetei cele două părţi rezultate se aşează cap la cap şi se

măsoară dimensiunea bazei de măsurare 119871119906 (lungimea ultimă) se determină alungirea la

rupere sau lungirea specifică la rupere 휀119903

휀119903 =119871119906 minus 11987101198710

=∆119871

1198710=120575

1198710 (444)

De obicei alungirea se exprimă icircn procente şi se notează cu 119860119899 unde 119899 reprezintă

numărul dat de raportul 11987101198890 (epruvete normale 119899 = 5 epruvete lungi 119899 = 10)

119860119899 =119871119906 minus 11987101198710

∙ 100 [] (445)

Altă mărime care se determină la icircncercarea la tracţiune este gacirctuirea la rupere

(exprimată de obicei icircn procente) şi definită de relaţia

119885 =1198600 minus 1198601199061198600

∙ 100 [] (446)

Mărimile determinate limita de proporţionalitate modulul de elasticitate

longitudinal limita de elasticitate limita de curgere aparentă rezistenţa de rupere

alungirea la rupere şi gacirctuirea la rupere sunt cunoscute ca fiind caracteristici mecanice

ale materialului

Din curba caracteristică convenţională observăm faptul că ruperea (punctul 119865 din

figura 48 se produce la o tensiune mai mică decacirct cea corespunzătoare punctului 119864 Dacă

icircnsă forţa din timpul icircncercării s-ar raporta la aria secţiunii din momentul icircnregistrării

forţei (care este mai mică decacirct cea iniţială 1198600) s-ar obţine aşa numita curbă

caracteristică reală a materialului (traseul 1198741198601198611198621198631198651 din figura 48) La curba

caracteristică reală ruperea se produce icircn punctul 1198651 la o icircncărcare mai mare decacirct cea

corespunzătoare punctului 119864 Icircnseamnă că rezistenţa reală la rupere este mai mare decacirct

rezistenţa la rupere dată de punctul 119864 din diagrama caracteristică convenţională

Dificultatea obţinerii diagramei caracteristice reale faţă de cea a diagramei caracteristice

convenţionale şi considerarea unei rezistenţe la rupere mai mică decacirct a celei reale face

icircn practică utilizarea pe scară mare a diagramei caracteristice convenţionale

Caracteristicile mecanice determinate pe baza curbei caracteristice convenţionale

sunt şi ele caracteristici mecanice convenţionale

Caracteristicile mecanice convenţionale limita de proporţionalitate convenţională

120590119901 limita de elasticitate convenţională 120590119890 limita de curgere convenţională 120590119888 şi rezistenţa

de rupere 120590119903 constituie tensiuni limită pentru un material Pe baza acestor caracteristici

de material se alege valoarea tensiunii admisibile 120590119886 (vezi paragraful 35) pentru

calculele de rezistenţă Cea mai utilizată stare limită pentru stabilirea tensiunii admisibile

120590119886 este limita de curgere convenţională 120590119888

120590119886 =120590119897119894119898119888

=120590119888119888 119904119886119906 120590119886 =

120590119903119888 (447)

Caracteristicile mecanice ale materialului sunt influenţate de o serie de factori

temperatura viteza de solicitare factorii tehnologici iar valorile lor sunt date icircn tabele și

diagrame

Aplicaţie Pentru suprafaţa plană compusă din două dreptunghiuri avacircnd

dimensiunile din figura 49a să se calculeze

a) centrul de greutate al secțiunii compuse 119910119866 119911119866

b) momentele de inerție axiale 119868119911 119868119910 și momentul de inerție centrifugal 119868119911119910

c) razele de inerție 119894119911 119894119910

d) modulele de rezistență 119882119911119898119894119899 119882119911119898119886119909 119882119910119898119894119899 119882119910119898119886119909

e) momentele de inerție principale 1198681 1198682 și direcțiile principale de inerție 1205721

f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 119878119911

Fig 49 Aplicație

Rezolvare Pentru rezolvare vom parcurge următoarele etape

icircmpărțim suprafața compusă icircn două suprafețe simple (dreptunghiuri) notate cu

① și respectiv ② figura 49b

poziționăm centrele de greutate a celor două suprafețe simple ① și respectiv ②

notate cu 1198661 și respectiv 1198662 figura 49c

poziționăm sistemele de axe de coordonate 119911111986611199101 pentru dreptunghiul ① și

119911211986621199102 pentru dreptunghiul ② aflate la intersecția diagonalelor figura 49c

poziționăm sistemele de axe de coordonate 11991101198741199100 ales arbitrar față de care

determinăm poziția centrului de greutate 119866 figura 49c

a) calculăm poziția centrului de greutate folosind relațiile (46) icircn care

1198601 = 6119905 ∙ 119905 = 61199052 1198602 = 4119905 ∙ 119905 = 41199052 119860 = 1198601 + 1198602 = 61199052 + 41199052 = 101199052

iar centrele de greutate 1198661 și respectiv 1198662 au coordonatele (față de sistemul 11991101198741199100)

1198661 1199101 = 3119905 1199111 = 05119905

1198662 1199102 = 051199051199112 = 3119905

cu acestea obținem

119910119866 =1198601 ∙ 1199101 + 1198602 ∙ 1199102

119860=61199052 ∙ 3119905 + 41199052 ∙ 05119905

101199052=201199053

101199052= 2119905

119911119866 =1198601 ∙ 1199111 + 1198602 ∙ 1199112

119860=61199052 ∙ 05119905 + 41199052 ∙ 3119905

101199052=151199053

101199052= 15119905

Poziționăm centrul de greutate 119866 al suprafeței compuse figura 49c

Fig 49 Aplicație

b) pentru determinarea momentelor de inerție axiale 119868119911 119868119910 și a momentului de

inerție centrifugal 119868119910119911 determinăm constantele 1198881 1198882 1198891 1198892 care intervin icircn relația lui

Stainer

1198881 = 1199101 minus 119910119866 = 3119905 minus 2119905 = 119905 1198882 = minus(119910119866 minus 1199102) = minus(2119905 minus 05119905) = minus15119905

1198891 = minus(119911119866 minus 1199111) = minus(15119905 minus 05119905) = minus119905 1198892 = 1199112 minus 119911119892 = 3119905 minus 15119905 = 15119905

Folosind relațiile lui Stainer (429) (430) și (431) calculăm momentele de

inerție axiale și centrifugale față de sistemul central 119911119866119866119910119866

119868119911 =sum(119868119911119894 + 1198881198942 ∙ 119860119894) = 1198681199111 + 1198881

2 ∙ 1198601 + 1198681199112 + 11988822 ∙ 1198602

119868119910 =sum(119868119910119894 + 1198891198942 ∙ 119860119894) = 1198681199101 + 1198891

2 ∙ 1198601 + 1198681199102 + 11988922 ∙ 1198602

119868119911119910 =sum(119868119911119894119910119894 + 119888119894 ∙ 119889119894 ∙ 119860119894) = 11986811991111199101 + 1198881 ∙ 1198891 ∙ 1198601 + 11986811991121199102 + 1198882 ∙ 1198892 ∙ 1198602

1198681199111 = (119887 ∙ ℎ3

12) =

119905 ∙ (6119905)3

12= 181199054 1198681199112 = (

119887 ∙ ℎ3

12) =

4119905 ∙ 1199053

12= 031199054

1198681199101 = (1198873 ∙ ℎ

12) =

1199053 ∙ 6119905

12= 051199054 1198681199102 = (

1198873 ∙ ℎ

12) =

(4119905)3 ∙ 119905

12= 531199054

11986811991111199101 = 11986811991121199102 = 0 deoarece cele două triunghiuri au cel puțin o axă de simetrie

Cu acestea momentele de inerție axiale și momentul de inerție centrifugal devin

119868119911 = 181199054 + 1199052 ∙ 61199052 + 031199054 + (minus15119905)2 ∙ 41199052 = 3331199054

119868119910 = 051199054 + (minus119905)2 ∙ 61199052 + 531199054 + (15119905)2 ∙ 41199052 = 2081199054

119868119911119910 = 0 + 119905 ∙ (minus119905) ∙ 61199052 + 0 + (minus15119905) ∙ (15119905) ∙ 41199052 = minus151199054

c) razele de inerție sau de girație față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910

se calculează cu relațiile (411)

119894119911 = radic119868119911119860= radic

3331199054

101199052= 182119905 119894119910 = radic

119868119910

119860= radic

2081199054

101199052= 144119905

d) modulele de rezistență față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910 se

calculează cu relațiile (412) și (413)

Avacircnd icircn vedere figura 419c obținem

119910119898119886119909 = 6119905 minus 119910119866 = 6119905 minus 2119905 = 4119905 119910119898119894119899 = minus119910119866 = minus2119905

119911119898119886119909 = 5119905 minus 119911119866 = 5119905 minus 15119905 = 35119905 119911119898119894119899 = minus119911119866 = minus15119905

Se obține astfel

119882119911119898119894119899 =119868119911

|119910119898119886119909|=3331199054

4119905= 8331199053

119882119911119898119886119909 =119868119911

|119910119898119894119899|=3331199054

2119905= 16651199053

119882119910119898119894119899 =119868119910

|119911119898119886119909|=2081199054

35119905= 5941199053

119882119910119898119886119909 =119868119910

|119911119898119894119899|=2081199054

15119905= 13871199053

e) momentele de inerție principale 1198681 și respectiv 1198682 se calculează cu relațiile

(438)

11986812 =119868119911 + 119868119910

2plusmn1

2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)

2+ 4 ∙ (119868119911119910)

2=

=3331199054 + 2081199054

2plusmn1

2∙ radic(3331199054 minus 2081199054)2 + 4 ∙ (minus151199054)2 = 27051199054 plusmn 16251199054

De unde obținem

1198681 = 27051199054 + 16251199054 = 4331199054

1198682 = 27051199054 minus 16251199054 = 1081199054

Prima direcție principală de inerție 1 face cu axa centrală 119866119911 unghiul 1205721 dat de

relația (437)

1205721 =1

2∙ arctan (minus

2 ∙ 119868119911119910

119868119911 minus 119868119910) =

1

2∙ arctan [minus

2 ∙ (minus151199054)

3331199054 minus 2081199054] =33 70

Deoarece 1205721 gt 0 rotirea axelor se face acircn sens antiorar acelor de ceasornic figura

49d

Poziția axe principale 2 față de care momentul de inerție are valoarea minimă

1198682 = 119868119898119894119899 este dată de unghiul

1205722 = 1205721 + 900 = 33 70 + 900 = 123 70

f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 se determină cu relația

(45)

1198781199111198602 = 1198602 ∙ 1198882 = 41199052 ∙ (minus15119905) = minus61199053

Icircntre cele trei componente ale tensiunii totale care acționează pe elementul de arie

∆119860 este valabilă relația

1199012 = 1205901199092 + 120591119909119910

2 + 1205911199091199112 (34)

După sensul pe care icircl are tensiunea normală 120590 poate avea efect de tracţiune sau

de compresiune exercitat de către partea de corp icircnlăturată asupra părţii rămase Analog

tensiunea tangenţială 120591 poate avea efect de tăiere forfecare sau alunecare Pentru

componentele tensiunii tangențiale 120591119909119910 pe direcţia 119910 respectiv 120591119909119911 pe direcţia 119911 primul

indice indică axa pe care tensiunea este normală iar cel de-al doilea indice indică axa cu

care aceasta este paralel

Tensiunea este o mărime tensorială valoarea ei depinzacircnd atacirct de poziția

punctului icircn planul secțiunii cicirct și de orientarea planului de secționare deci de normala

Operaţiile vectoriale nu pot fi aplicate tensiunilor decacirct după ce acestea au fost icircnmulţite

cu ariile respective adică au fost transformate icircn forţe

Icircn literatura de specialitate mai ales icircn manualele mai vechi pentru noţiunea de

tensiune se mai foloseşte şi denumirea de efort specific

Dacă se consideră un alt element de arie ∆119860 cu centrul icircn același punct avacircnd ca

normală axa 119910 se vor obține alte tensiuni și anume

- 120590119910 este tensiunea normală (paralelă cu axa y)

- 120591119911119909 și 120591119910119911 sunt tensiuni tangențiale paralele cu axele 119909 și respectiv 119911 aflate icircn

planul care are ca normală axa 119910

Dacă icircn jurul unui punct dintr-un corp solicitat se consider un element de volum

infinit mic de forma unui cub icircn cazul cel mai general pe fețele sale vor acționa

tensiunile normale 120590119909 120590119910 și 120590119911 și respectiv tensiunile tangențiale 120591119909119910 120591119909119911 120591119910119909 120591119910119911 120591119911119909

și respectiv 120591119911119910 figura 33 Aceste tensiuni definesc starea de tensiune a punctului

observacircnd faptul că tensorul tensiune are 9 componente Dacă se consideră elementul

de volum finit ca fiind foarte mic se poate presupune că icircn interiorul său nu apar forțe

Ca urmare el va fi icircn echilibru sub acțiunea forțelor elementare produse de tensiunile de

pe fețele sale

Din condiția ca elementul să nu se rotească icircn jurul unor axe care trec prin centrul

său și sunt paralele cu axele sistemului 119909119874119910119911 rezultă

2 ∙ 120591119909119910 ∙ (119889119910 ∙ 119889119911) ∙119889119909

2= 2 ∙ 120591119910119909 ∙ (119889119909 ∙ 119889119911) ∙

119889119910

2 rArr 120591119909119910 = 120591119910119909 (35)

2 ∙ 120591119910119911 ∙ (119889119909 ∙ 119889119911) ∙119889119910

2= 2 ∙ 120591119911119910 ∙ (119889119909 ∙ 119889119910) ∙

119889119911

2 rArr 120591119910119911 = 120591119911119910 (36)

2 ∙ 120591119909119911 ∙ (119889119910 ∙ 119889119911) ∙119889119909

2= 2 ∙ 120591119911119909 ∙ (119889119909 ∙ 119889119910) ∙

119889119911

2 rArr 120591119909119911 = 120591119911119909 (37)

Relațiile (35divide37) 120591119909119910 = 120591119910119909 120591119910119911 = 120591119911119910 120591119909119911 = 120591119911119909 exprimă principiul dualității

tensiunilor tangențiale

Fig 33 Tensiunile normale și tangențiale pe fețele unui cub

Din condiția ca elementul considerat să nu se deplaseze icircn lungul axelor de

coordonate pe fețele opuse acționează aceleași tensiuni normale 120590119909 120590119910 și respectiv 120590119911

Definirea tensorului tensiune este posibilă dacă se cunosc cele 6 componente

independente ale acestuia aflate icircn trei plane perpendicular ce trec prin punctul respectiv

=

120590119909 120591119909119910 120591119909119911120591119910119909 120590119910 120591119910119911120591119911119909 120591119911119910 120590119911

Observaţii

Tensiunile se măsoară icircn [119873 1198982frasl ] (1119873 1198982frasl = 1 119875119886) sau icircn [119872119875119886]

(1 119872119875119886 = 106119875119886 = 106 119873

1198982 1 119872119875119886 = 1

119873

1198981198982)

Starea de tensiune dintr-un punct este considerată cunoscută dacă se cunosc

tensiunile 119901 care acționează pe infinitatea de elemente de suprafață ce trec prin punctual

considerat

Starea de tensiune a unui corp se consider cunoscută dacă se cunosc stările de

tensiune de pe infinitatea de puncte ale corpului considerat

32 Deplasări Deformaţii specifice

321 Deplasări

Aceste noțiuni sunt utile icircn analiza aspectului geometric al problemelor de rezistența

materialelor Deplasările care se analizează sunt cele datorate schimbării formei și

dimensiunilor corpurilor ca urmare a acțiunii forțelor exterioare și nu cele cinematice

posibile pentru solidul rigid care se poate deplasa cu anumită viteză și accelerație

Spre exemplu icircn figura 34a și figura 34b sub acțiunea forței 119865 tronsonul de

bară AB se deformează icircn timp ce tronsonul BC deși punctele sale au deplasări rămacircne

nedeformat (fiind nesolicitat) Toate punctele de pe axele barelor cu excepția celor din

icircncastrare (secțiunile A) au deplasări liniare De cele mai multe ori deformațiile barelor

datorate acțiunii forțelor exterioare se anulează la icircndepărtarea forțelor se spune că

deformațiile sunt elastice Secțiunile transversale ale barei din figura 34a se și rotesc icircn

raport cu pozițiile lor inițiale Spre exemplu secțiunea de căpăt cu centrul icircn C se rotește

cu unghiul

Fig 34 Deformațiile unei grinzi

Oricacirct de complexă ar fi delormația unui corp ea poate fi descrisă de lungiri sau

scurtări și de modificări ale unghiurilor inițiale

Deplasările măsoară schimbarea poziției unui punct al corpului și pot fi liniare

sau unghiulare

Prin deplasare liniară a unui punct se icircnțelege drumul parcurs de acest punct icircn

decursul procesului de deformație după o dreaptă suport dreapta 1198611198611 din figura 34a

Prin deplasare unghiulară se icircnțelege rotirea dintre segmentele de dreaptă

determinate de două puncte ale corpului icircnainte și după deformarea acestuia unghiul

pe care-l fac segmentele 119861119862 și 11986111198621 din figura 34a Această rotire se măsoară prin

unghiul pe care-l fac proiecțiile dreptelor ce conțin cele două segmente icircntr-un sistem

triortogonal

Icircn cazul cel mai general vectorul deplasare liniară se poate descompune icircntr-un

sistem triortogonal icircn trei componente 119906 119907 și 119908 figura 35

Fig 35 Deplasarea liniară

Se consideră acum un corp solid raportat la un sistem de axe ortogonal 119909119874119910119911

figura 35 după deformarea corpului un punct oarecare 119870 al acestuia se deplasează icircn

poziţia 1198701 vectorul 1198701198701 poartă numele de vectorul deplasării totale

Deplasarea totală este suma deplasărilor pe cele trei direcţii ortogonale iar

aceste deplasări se notează astfel

deplasarea pe direcţia 119909 cu ∥ 119874119909

deplasarea pe direcţia 119910 cu ∥ 119874119910

deplasarea pe direcţia 119911 cu ∥ 119874119911

Componentele deplasărilor și formeză matricea deplasărilor liniare 119906119907119908

322 Deformații

Prin deformație icircn general se icircnțelege orice schimbare de formă a unui corp fără

o evaluare cantitativă Icircn Rezistența Materialelor deformația măsoară variația

dimensiunilor geometrice ale corpului considerat din vecinătatea unui punct analog

deplasărilor deformațiile pot fi liniare și unghiulare (lunecări)

Fig 36 Deplasarea liniară

Deformația liniară ∆119897 reprezintă variația lungimii 119897 a unui element liniar al

corpului deformat figura 36 Deformația liniară specifică se definește ca fiind raportul

dintre deformația liniară și lungimea inițială

휀 =∆119897

119897 (38)

unde ∆119897 este lungirea sau scurtarea care este echivalentă cu deformția liniară totală iar

este alungirea

Deformația unghiulară sau lunecarea unui punct 119860 icircn planul 119861119860119862 se definește

prin relația figura 37

120574 = lim119861119860rarr0119862119860rarr0

(119861119860 minus 119861111986011198621 ) (39)

Fig 36 Deformația unghiulară

Schimbacircnd orientarea planului care trece prin 119860 se obțin alte deformații

unghiulare Dacă elementele liniare 119861119860 și 119862119860 sunt inițial perpendiculare deformația 120574 se

numește deformație unghiulară specifică sau lunecare specifică figura 37

Un exemplu de deplasare unghiulară și de deformație unghiulară este prezentat icircn

figura 38 Unghiul este deplasarea unghiulară și măsoară rotirea relativă dintre două

secțiuni aflate la distanța 119897 Unghiul este deformația specifică unghiulară (lunecarea

specifică) din punctul 119870 Aceste deplasări și deformații se obțin icircn urma solicitării barei

de către cele două momente 1198720 egale și de sens contrar

Fig 38 Deplasarea unghiulară

Pentru a analiza starea de deformație din vecinătatea unui punct al unui corp

solicitat complex se decupează din jurul punctului un element de volum mic figura 39a

avacircnd laturile 119889119909 119889119910 și 119889119911 Ca urmare a solicitării laturile acestuia se vor lungi sau

scurta Reprezentarea elementului deformat icircn spațiu este dificilă pentru simplificare

vom analiza doar deformațiile din planul 119909119874119910 Observăm că dimensiunile 119889119909 și 119889119910 s-au

modificat cu valoarea ∆119889119909 respectiv cu ∆119889119910 analog se acceptă și pentru 119889119911 o modificare

de forma ∆119889119911 Astfel se pot defini deformațiile specifice liniare

휀119909 =∆119889119909

119889119909 휀119910 =

∆119889119910

119889119910 휀119911 =

∆119889119911

119889119911 (310)

De cele mai multe ori aceste deformații specifice liniare se pot exprima procentual

și se mai numesc alungiri

Fig 39 Starea de deformație

Icircn figura 39c se vede că unghiul inițial drept dintre muchiile 119889119909 și 119889119910 ale

elementului de volum s-a modificat Se definește deformația specifică unghiulară (sau

lunecarea specifică) mărimea cu care se modifică unghiul inițial drept

120574119909119910 = 120574119909119910prime + 120574119910119909

prime = 120574119910119909120574119910119911 = 120574119910119911

prime + 120574119911119910prime = 120574119911119910

120574119911119909 = 120574119911119909prime + 120574119909119911

prime = 120574119909119911

(311)

Deformațiile 휀119909 휀119910 휀119911 120574119909119910 120574119910119911 120574119911119909 constituie cele șase componente

independente ale tensorului deformațiilor specifice care pot fi scrise de forma

119863 =

휀119909 120574119909119910 120574119909119911120574119910119909 휀119910 120574119910119911120574119911119909 120574119911119910 휀119911

(312)

323 Contracţia transversală

Practica arată că odată cu lungirea unei bare apare o micşorare a mărimii secţiunii

transversale mărime numită contracţie transversală figura 310

Fig 310 Contracția transversală

Contracţia transversală este proporţională cu lungirea specifică coeficientul de

proporţionalitate se notează cu 120599 şi se numeşte coeficient de contracţie transversală sau

coeficientul lui Poisson

La o lungire specifică a barei contracţia transversală este dată de relația

휀119905119903 = 휀119910 = 휀119911 = minus120599 ∙ 휀119909 (313)

Semnul minus bdquo-rdquo arată că cele două mărimi sunt contrare dacă una creşte cealaltă

scade şi invers

Considerăm o bară cilindrică de lungime 119897 şi aria secţiunii transversale 119860 solicitată

la icircntindere axială La un moment dat datorită solicitării lungimea barei devine

[119897 ∙ (1 + 휀)] diametrul devine [119889 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)] iar aria secţiunii transversale devine

[119860 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)2] Dacă volumul barei icircnainte de solicitare a fost (119860 ∙ 119897) după solicitare

acesta devine

119881 + ∆119881 = 119860 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)2 ∙ 119897 ∙ (1 + 휀) =

= 119860 ∙ 119897 ∙ (1 + 휀 minus 2 ∙ 120599 ∙ 휀 minus 2 ∙ 120599 ∙ 휀2 + 1205992 ∙ 휀2 + 1205992 ∙ 휀3) (314)

Deoarece lungirile sunt foarte mici ultimii trei termeni din paranteză fiind infinit mici se pot neglija obţinacircnd

119881 + ∆119881 = 119860 ∙ 119897 + 119860 ∙ 119897 ∙ 휀 ∙ (1 minus 2 ∙ 120599) ⟺ ∆119881 = 휀 ∙ (1 minus 2 ∙ 120599) ∙ 119860 ∙ 119897 (315)

Practica arătă că o astfel de bară solicitată la icircntindere icircşi măreşte volumul deci

∆119881 gt 0 de unde rezultă că

1 minus 2 ∙ 120599 gt 0 rArr 120599 lt 05 (316)

Pentru majoritatea materialelor 120599 = 033 iar pentru materialele care-şi păstrează

volumul constant 120599 = 05

33 Relaţii de echivalenţă icircntre eforturi şi tensiuni

Considerăm un element de suprafață infinit mic 119889119860 situat pe fața de arie (119860) a

secțiunii barei din figura 311 Icircn centrul de greutate 119862 al secțiunii acționează eforturile

119873 119879119910 119879119911 119872119909 119872119894119910 și 119872119894119911 determinate prin metoda secțiunilor

Icircn raport cu un sistem de axe de referință 119909119862119910119911 coordonatele elementului 119889119860 sunt

- 119910 este ordonata elementului de arie 119889119860

- 119911 este abscisa elementului de arie 119889119860

Pe elementul de arie 119889119860 acționează tensiunile

120590119909 tensiunea normală

120591119909119910 și 120591119909119911 tensiuni tangențiale

Dacă se icircnsumează forțele elementare de tipul 120590119909 ∙ 119889119860 120591119909119910 ∙ 119889119860 și 120591119909119911 ∙ 119889119860

va trebui să obținem eforturile 119873 119879119910 și 119879119911

Fig 311 Element de suprafață mic din secțiunea unei bare

Dacă eforturile sunt privite ca forțe exterioare și se scriu ecuațiile de

echilibru ale secțiunii (119860) se vor obține șase relații de echivalență icircntre eforturi și

tensiuni

(sum119883) = 0 rArr int 120590119909 ∙ 119889119860

119860

= 119873 (317)

(sum119884) = 0 rArr int 120591119909119910 ∙ 119889119860

119860

= 119879119910 (318)

(sum119885) = 0 rArr int 120591119909119911 ∙ 119889119860

119860

= 119879119911 (319)

(sum119872)119909= 0 rArr int(120591119909119911 ∙ 119889119860) ∙ 119910

119860

minus int(120591119909119910 ∙ 119889119860) ∙ 119911

119860

= 119872119909 rArr

rArr int(119910 ∙ 120591119909119911 minus 119911 ∙ 120591119909119910) ∙ 119889119860

119860

= 119872119909

(320)

(sum119872)119910= 0 rArr int(120590119909 ∙ 119889119860) ∙ 119911

119860

= 119872119894119910 (321)

(sum119872)119911= 0 rArr int(120590119909 ∙ 119889119860) ∙ 119910

119860

= 119872119894119911 (322)

Cele șase relații de echivalență icircntre eforturi și tensiuni constituie un pas icircnainte

icircn rezolvarea unei probleme de rezistența materialelor Aceste relații vor permite

determinarea tensiunilor maxime

Pentru a rezolva cele 6 relații de echivalență trebuie să se cunoască tensiunile și

ca funcții de punct adică funcții de forma

120590119909 = 120590119909(119909 119910 119911) 120591119909119910 = 120591119909119910(119909 119910 119911) 120591119909119911 = 120591119909119911(119909 119910 119911) (32

3)

Cunoașterea acestor funcții presupune icircnsă analizarea aspectului geometric al

problemei precum și utilizarea unor ipoteze simplificatoare care să permită simplificarea

problemelor

34 Ipoteze de bază icircn rezistenţa materialelor

Depășirea dificultăților legate de interpretarea unor fenomene specifice mecanicii

solidului deformabil a impus acceptarea unor ipoteze care să simplifice fenomenele și să

contribuie la elaborarea unor modele de calcul cicirct mai generale și cacirct mai simple Aceste

ipoteze se referă la structura materialelor şi la comportarea lor sub acţiunea forţelor

exterioare Ipotezele acceptate trebuie să fie icircn deplină concordanţă cu realitatea și să

conducă la rezultate verificate icircn practică

Funcție de aspectele la care se referă ipotezele pot fi

Ipoteze fizice (de material)

Ipoteze de calcul

341 Ipoteze fizice

Se acceptă deoarece teoriile structurale au condus la rezultate care contravin

icircncercărilor experimentale

Ipoteza mediului continuu consideră că orice domeniu elementar al corpului

este ocupat de materie adică nu se acceptă existența unor goluri sau a unor crăpături

microscopice (fisuri) Deși nu corespunde realităţii poate fi acceptată deoarece

dimensiunile corpului sunt mult mai mari decacirct dimensiunile particulelor elemantare Are

avantajul că permite utilizarea proprietăților matematice ale funcțiilor continue pentru

tensiunile și deformațiile din orice punct al corpului Ea este mai apropiată de realitate la

corpurile amorfe şi mai depărtată la cele cristaline dar conduce la rezultate satisfăcătoare

icircn calculele de rezistenţă

Ipoteza nu se poate aplica la corpurile care au goluri tăieturi (multiplu conexe)

pentru unele puncte singulare icircn care tensiunile și deformațiile tind la infinit sau icircn unele

probleme de plasticitate icircn care proprietățile de material au un rol esențial

Ipoteza izotropiei conform acestei ipoteze materialul din care este confecționat

un element de rezistență are aceleași proprietăți după orice direcție un astfel de material

este considerat izotrop Din punct de vedere macroscopic metalele pot fi considerate

izotrope deși la nivel microscopic proprietățile lor diferă de la o direcție cristalografică

la alta Orice conglomerat de cristale poate fi considerat izotrop

Există cazuri cacircnd această ipoteză a izotropiei nu se acceptă

la metalele puternic deformate după o direcție (prin laminare trefilare)

la piesele confecționate din lemn lemnul este anizotrop deoarece proprietățile sale

diferă după două direcții (icircn lungul fibrelor și perpendicular pe această direcție)

Ipoteza omogenității consideră că un corp are aceleași proprietăți icircn orice

punct al său Deși majoritatea materialelor utilizate icircn tehnică sunt eterogene la scară

micro fiind constituite din mai multe faze cu proprietăți diferite la scară macro ele pot

fi considerate omogene Omogenitatea și izotropia sunt proprietăți statistice medii care

nu se condiționează una pe cealaltă Chiar și materialele monofazice pot avea la scară

micro unele segregații care le fac eterogene

Ipoteza elasticităţii perfecte presupune că atacircta timp cacirct solicitările nu

depăşesc anumite limite materialul are o comportare elastică adică icircşi recapătă forma şi

dimensiunile iniţiale odată cu icircnlăturarea sarcinilor Icircn realitate materialele nu prezintă o

elasticitate perfectă ele avacircnd deformaţii remanente mici care icircnsă pot fi neglijate icircn

calculele de rezistenţă

Acceptarea acestei ipoteze a elasticității perfecte permite

- aplicarea relației biunivoce icircntre tensiuni și deformații relație exprimată de legea

lui Hooke ( = 119864 ∙ 휀) unde E este un factor de proporţionalitate numit modul de

elasticitate longitudinal al materialului pentru oţel 119864 = 21 ∙ 105 [119872119875119886] - acceptarea valabilității afirmației bdquolucrul mecanic efectuat de forțele exterioare

ca urmare a parcurgerii deplasărilor punctelor de aplicație se icircnmagazinează integral icircn

corp sub formă de energie de deformație energie cedată la icircndepărtarea sarcinilorrdquo

- este valabilă teoria conform căreia bdquoenergia icircnmagazinată și deformațiile depind

doar de starea inițială și finală de eforturi fără a ține cont de modul icircn care s-a ajuns la

starea finalărdquo

Icircn realitate oricacirct de mici ar fi sarcinile aplicate se produc și deformații plastice

dar acestea pot fi neglijate dacă solicitarea nu depășește anumite limite

342 Ipoteze de calcul

Ipoteza micilor deplasări bdquodeplasările datorate deformării sunt mult mai mici

decacirct dimensiunile corpurilor și ca urmare pot fi neglijate produsele dintre o deplasare și

ea icircnsăşirdquo Pentru cele mai multe corpuri deformaţiile elastice sunt de mărimi mici deci

corpurile solide sub acţiunea sarcinilor icircşi modifică foarte puţin forma iniţială Această

ipoteză este cunoscută şi sub denumirea de ipoteza menţinerii dimensiunilor iniţiale Ea

permite scrierea ecuaţiilor de echilibru ale staticii pe starea nedeformată a elementului

cacircnd nu se iau icircn considerare deplasările punctelor de aplicaţie ale forţelor care se produc

ca urmare a deformării acestuia Calculul efectuat pe schema nedeformată poartă numele

de calcul de ordinul I

Ipoteza micilor deplasări nu poate fi acceptată pentru studiul problemelor de

stabilitate sau la problemele la care nu pot fi icircndeplinite condiţiile de echilibru icircn starea

nedeformată

Calculul de ordinul II admite ipoteza micilor deplasări dar ecuaţiile de echilibru

se scriu icircnsă pentru starea deformată a elementului de rezistenţă

Calculul de ordinul III nu mai acceptă ipoteza micilor deplasări el referindu-se

la cazul deformaţiilor mari cacircnd ecuaţiile de echilibru trebuie scrise pentru starea

deformată

Chiar dacă materialul satisface legea lui Hooke icircn urma calculelor de ordinul II

se obţin de obicei relaţii neliniare icircntre sarcini şi deplasări iar pentru calculul de ordinul

III rezultă ecuaţii diferenţiale neliniare

Principiul efectului local al acțiunii sarcinilor enunțat de Barre de Saint-

Venant Acest principiu destul de folosit icircn Rezistenţa Materialelor precizează că dacă

se icircnlocuiesc forţele care acţionează asupra unui element de suprafață al unui corp

elastic printr-un alt sistem de forţe echivalent din punct de vedere static cu primul noua

distribuţie a forţelor produce la locul de aplicare diferenţe semnificative faţă de prima

dar rămacircne fără efect sau cu efect neglijabil la distanţe mari de locul de aplicare al

forţelor figura 312

Ca o cosecință o sarcină uniform distribuită figura 312a poate fi icircnlocuită cu

rezultanta ei figura 312b dacă se analizează efectul sarcinii la distanță mare de locul icircn

care se aplică sarcina

Fig 312 Principiul Saint-Venant

Icircn prima variantă figura 312a forţa 119865 se aplică pe o porțiune oarecare 119897 (sarcină

uniform distribuită) iar icircn a doua figura 312b icircntru-un punct (forţă concentrată) La

locul de aplicare a sarcinii efectul asupra barei este cu totul diferit de la o variantă la

cealaltă Icircnsă la o distanţă mare de punctul de aplicaţie spre exemplu icircn secţiunea situată

la distanţa 119886 de capătul barei sau chiar icircn icircncastrare ambele bare sunt solicitate la fel

Icircn cazul din figura 312a

119872119894(119909) =119901 ∙ 1199092

2 119909 le 119897 119872119894(119909) = 119901 ∙ 119897 ∙ (119909 minus

119897

2) 119909 gt 119897 (324)

Icircn cazul din figura 312b

119872119894(119909) = 0 119909 lt119897

2 119872119894(119909) = 119901 ∙ 119897 ∙ (119909 minus

119897

2) 119909 gt

119897

2 (325)

Se vede că pentru (119909 gt 119897) adică după depășirea locului icircn care se aplică sarcina

efectul este același

Ipoteza lui Bernoulli sau ipoteza secţiunilor plane precizează că o secţiune

plană şi normală pe axa barei icircnainte de deformare rămacircne plană şi normală pe axa

barei şi după deformare figura 313

Fig 313 Ipoteza lui Bernoulli

Ipoteza stării naturale a corpului sau ipoteza absenţei tensiunilor conform

căreia pentru un corp nesolicitat starea de tensiune şi deformaţie este nulă

Perfecţionarea mijloacelor de calcul şi de investigare pot conduce la renunţarea la

unele ipoteze sau la introducerea altora noi mai aproape de stările reale De aici rezultă

caracterul de continuă perfecţionare a metodelor Rezistenţei Materialelor

35 Coeficienţi de siguranţă Tensiuni admisibile

O piesă corespunde din punct de vedere tehnic dacă tensiunile care iau naştere icircn

interiorul piesei datorită sarcinilor aplicate nu depăşesc anumite valori limită stabilite

convenţional Aceste valori limită ale tensiunii sunt corelate cu caracteristicile mecanice

ale materialelor

Tensiunea limită utilizată icircn calculele de rezistenţă este cunoscută sub denumirea

de tensiune admisibilă sau rezistenţă admisibilă Rezistenţa admisibilă reprezintă

valoarea convenţională aleasă icircn calcul pe baza practicii pentru tensiunea maximă care

poate apare icircntr-o piesă icircn condiţii date de material şi solicitare

Rezistenţa admisibilă (120590119886 sau 120591119886) poate fi definită faţă de o stare limită

periculoasă stare care trebuie evitată deoarece poate conduce distrugere

120590119886 =120590119897119894119898119888

(326)

unde

120590119897119894119898 este tensiunea corespunzătoare stării limită periculoase

119888 estesupraunitar 119888 gt 1 și reprezintă coeficientul de siguranţă faţă de starea limită

periculoasă considerată

Alegerea unor valori inferioare pentru rezistenţa admisibilă faţă de tensiunea

corespunzătoare stării limită periculoase este necesară deoarece

cunoaşterea sarcinilor este de cele mai multe ori aproximativă şi o depăşire a

acestora este foarte posibilă

caracteristicile mecanice ale materialelor variază icircn limite destul de mari ele

fiind influenţate de mulţi factori

schema aleasă pentru calcul (aplicarea sarcinilor schematizarea structurii

ipotezele de calcul etc) depărtează modelul faţă de cel real

Pentru calculele de verificare tensiunea efectivă maximă din elementul de

rezistenţă trebuie să fie mai mică sau cel mult egală cu cea admisibilă

120590119890119891119898119886119909 le 120590119886 (327)

Valoarea rezistenţei admisibile este influenţată de foarte mulţi factori natura

materialului tratamentele termice aplicate piesei durata de funcţionare a piesei modul

de acţionare icircn timp a sarcinilor felul solicitării temperatura gradul de periculozitate

icircn cazul cedării piesei etc

De asemenea valoarea coeficientului de siguranţă se alege icircn principal ţinacircnd

seama de aceiaşi factori care influenţează şi rezistenţa admisibilă

Rezistenţele admisibile pentru cacircteva materiale sunt următoarele

pentru oțelul de uz general OL37 solicitat la icircntindere compresiune sau

icircncovoiere 120590119886 = 150 [119872119875119886] pentru lemnul de brad solicitat la

- compresiune icircn lungul fibrelor şi solicitat la icircncovoiere 120590119886 = 10 [119872119875119886] - tracţiune icircn lungul fibrelor 120590119886 = 7 [119872119875119886] - compresiune perpendiculară pe fibre 120590119886 = 15 [119872119875119886] - forfecare icircn lungul fibrelor 120591119886 = 2 [119872119875119886] - forfecare perpendiculară pe fibre 120590119886 = 45 [119872119875119886]

terenuri de fundaţie din pămacircnt uscat sau umed 120590119886 = 020 divide 025 [119872119875119886]

4 CARACTERISTICI GEOMETRICE ALE SECȚIUNILOR PLANE

41 Noţiuni introductive

Icircn relaţiile de calcul ale tensiunilor şi deformaţiilor elementelor de rezistenţă

pentru unele solicitări (icircncovoierea și torsiunea) secțiunile plane intervin atacirct prin

dimensiunile lor (aria 119860) cicirct și prin forma și poziția pe care o are secțiunea icircn raport cu

planul solicitării Mărimile care caracterizează o secțiune icircn raport cu forma și poziția față

de axele unui sistem de referință sunt denumite caracteristici geometrice de ordin

superior Aria secțiunii este caracteristica geometrică ce depinde doar de dimensiunile

geometrice ale acesteia

Să considerăm o grindă solicitată de o forță exterioară 119865 aşezată icircn două poziții icircn

raport cu planul forţei figura 41 Icircn urma aplicării forței deși avem aceeași grindă

(aceeași arie a secțiunii transversale) și aceeași forță se constată că pentru varianta din

figura 41a deformațiile sunt mult mai mari adică rezistența la icircncovoiere a grinzii din

figura 41a este mai mare decacirct icircn cazul grinzii din figura 41b Comportarea diferită se

explică prin aceea că modificarea poziţiei secţiunii transversale faţă de planul forţelor

modifică caracteristicile geometrice ale secţiunii transversale a grinzii

Fig 41 Grindă solicitată de forța 119865

Pentru realizarea calculelor de rezistenţă şi rigiditate este foarte importantă

cunoaşterea caracteristicilor geometrice ale suprafeţei secţiunii transversale a elementelor

de rezistenţă

Caracteristicile geometrice ale secţiunii transversale a unui element de rezistenţă

sunt

- aria secțiunii notată cu 119860

- momentul static icircn raport cu o axă notat 119878119911 și respectiv 119878119910

- momentul de inerție care poate fi

axial notat 119868119911 și respectiv 119868119910

centrifugal notat 119868119911119910

polar notat 119868119901

- raza de inerţie (giraţie)notată 119894119911 și respectiv 119894119910

- modulul de rezistență care poate fi

axial notat 119882119911 și respectiv 119882119910

polar notat 119882119901

42 Aria și momentul static al suprafețelor plane

Fie o suprafaţă plană de arie 119860 pe care se ia un element infinit mic de arie 119889119860 şi

un sistem de axe rectangulare 119911119874119910 figura 42 Notăm cu 119862 centrul de greutate al suprafeţei

119860 Poziţia suprafeţei elementare 119889119860 faţă de acelaşi sistem de coordonate 119911119874119910 este dată

de abscisa 119911 ordonata 119910 și raza polară

Fig 42 Suprafață plană de arie 119860

Aria suprafeţei 119860 figura 42 se defineşte ca fiind

119860 ≝ int 119889119860

119860

(41)

Aria suprafeţei este icircntotdeauna pozitivă și se măsoară icircn [1198981198982] Momentul static al suprafeţei de arie 119860 icircn raport cu axele 119874119911 și respectiv 119874119910

figura 42 sunt date de relaţiile

119878119911 ≝ int 119910 ∙ 119889119860

119860

119878119910 ≝ int 119911 ∙ 119889119860

119860

(42)

Momentul static poate fi pozitiv negativ sau nul şi se măsoară icircn [1198981198983] Coordonatele centrului de greutate ale suprafeței 119860 se detrmină cu relațiile

119910119862 ≝int 119910 ∙ 119889119860119860

119860 119911119862 ≝

int 119911 ∙ 119889119860119860

119860

(43)

Cunoscacircnd coordonatele 119910119862 și 119911119862 ale centrului de greutate 119862 al secțiunii 119860 atunci

momentele statice se pot determina cu relațiile

119878119911 ≝ int 119910 ∙ 119889119860

119860

= 119910119862 ∙ 119889119860 119878119910 ≝ int 119911 ∙ 119889119860

119860

= 119911119862 ∙ 119889119860 (44)

Aceste relații arată că momentul static al unei suprafețe icircn raport cu o axă este

egal cu produsul dintre aria suprafeței și distanța de la centrul ariei la axa respectivă

Dacă suprafaţa se poate descompune icircn 119899 suprafeţe simple la care se cunosc ariile

(1198601 1198602 ⋯ 119860119894⋯ 119860119899) și poziţiile centrelor de greutate 119862119894 faţă de sistemul de referinţă

expresiile momentelor statice capătă următoarea formă

119878119911 = sum 119910119862119894 ∙ 119860119894119899119894=1 = 119910119862 ∙ 119860 119878119910 = sum 119911119862119894 ∙ 119860119894

119899119894=1 = 119911119862 ∙ 119860 (45)

Din relaţiile (45) rezultă că poziţia centrului de greutate 119862 al unei suprafeţe

compuse poate fi determinată cu relaţiile

119910119862 = (sum119910119862119894 ∙ 119860119894

119899

119894=1

) 119860frasl 119911119862 = (sum119911119862119894 ∙ 119860119894

119899

119894=1

) 119860frasl (46)

Icircn relația (45) 119910119862119894 și respectiv 119911119862119894 reprezintă coordonatele centrelor de greutate 119862119894

ale fiecărei suprafețe simple 119860119894 icircn raport sistemul de axe 119911119874119910

Se constată (relaţia 42) că dacă axele sistemului de referinţă trec prin centrul de

greutate (119910119862 = 119911119862 = 0) momentele statice sunt nule Axele icircn raport cu care momentele

statice sunt nule şi care trec prin centrul de greutate al suprafeţei se numesc axe centrale

Observație dacă secțiunea compusă are o axă de simetrie centrul secțiunii se

găsește pe acea axă iar dacă secțiunea este dublu simetrică poziția centrului secțiunii este

la intersecția axelor de simetrie

43 Momente de inerţie

Momentele de inerţie axiale ale unei suprafețe se calculează icircn raport cu axele de

coordonate 119874119911 și respectiv 119874119910 figura 42 și se determină cu relațiile

119868119911 ≝ int 1199102 ∙ 119889119860

119860

119868119910 ≝ int 1199112 ∙ 119889119860

119860

(47)

Unde 119910 și 119911 sunt distanțele de la elementul de arie 119889119860 la cele două axe de

coordonate 119874119911 și respectiv 119874119910

Momentele de inerţie axiale se măsoară icircn [1198981198984] şi sunt icircntotdeauna pozitive (aria

119889119860 este icircntotdeauna pozitivă și este multiplicată cu patratul distanței 1199102 dacă 119868119911 sau 119868119910

sunt nule icircnseamnă ca secțiunea nu există)

Momentele de inerție axiale se calculează icircndeosebi pentru axele centrale (care

trec prin centrul secțiunii) deoarece icircn raport cu acele axe 119868119911 și 119868119910 au valori minime

Momentul de inerţie centrifugal calculat faţă ambele axe ale sistemului de

referinţă 119911119874119910 este definit de relația

119868119911119910 ≝ int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860

(48)

Momentul de inerţie centrifugal se măsoară icircn [1198981198984] şi poate fi pozitiv negativ

sau nul

Momentul de ineție centrifugal este nul 119868119911119910 = 0 dacă cel puțin una din axele 119874119911

sau 119874119910 este axă de simetrie pentru secțiune

Se consideră o suprafaţă dreptunghiulară pe care faţă de axa de simetrie 119874119910 se iau

două suprafeţe elementare de arie 119889119860 simetrice faţă de axa 119874119910 figura 43

Fig 43 Suprafață dreptunghiulară cu două arii elementare 119889119860

Făcacircnd suma momentelor de inerţie centrifugale pentru cele două suprafeţe

elementare 119889119860 (din stacircnga şi din dreapta faţă de axa 119874119910) se obţine

int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860119889119903

+ int (minus119911) ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860119904119905119892

= int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860119889119903

minus int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860119904119905119892

= 0 (49)

Acelaşi raţionament se poate face și pentru icircntreaga suprafaţă de unde obținem că

momentul de inerție centrifugal este nul 119868119911119910 = 0 Deci pentru o suprafaţă plană care

are cel puţin o axă de simetrie momentul de inerţie centrifugal faţă de sistemul care

conţine acea axă de simetrie este nul

Momentul de inerţie polar al unei suprafeţei icircn raport cu un punct (pol) 119874 figura

42 este definit prin relaţia

1198680 = 119868119901 ≝ int 1205882 ∙ 119889119860

119860

= int(1199102 + 1199112) ∙ 119889119860

119860

= 119868119911 + 119868119910 (410)

unde este distanţa de la polul 119874 la elementul de arie 119889119860 Momentul de inerţie polar se

măsoară icircn [1198981198984] şi este totdeauna pozitiv

Momentul de inerţie polar este egal cu suma momentelor de inerţie faţă de două axe

perpendiculare oarecare şi care trec prin polul considerat

Razele de giraţie sau razele de inerţie sunt mărimi calculate icircn raport cu axele

secțiunii și definite de relaţiile

119894119911 ≝ radic119868119911119860 119894119910 = radic

119868119910

119860 (411)

Se exprimă icircn [119898119898] şi sunt icircntotdeauna pozitive Semnificația unei raze de inerție

este distanța la care dacă ar fi concentrată icircntreaga arie s-ar obține același moment de

inerție ca și cel calculat pentru aria reală

44 Modulul de rezistenţă

Modulul de rezistență se calculează icircn raport cu axele de referință sau icircn raport cu

un pol figura 42 și pot fi axiale (119882119911119882119910) sau polar (119882119901) și se determină numai pe baza

momentelor de inerţie cu relațiile figura 43

119882119911119898119894119899 ≝119868119911119910119898119886119909

119882119911119898119886119909 ≝119868119911119910119898119894119899

(412)

119882119910119898119894119899 ≝119868119910

119911119898119886119909 119882119910119898119886119909 ≝

119868119910

119911119898119894119899 (413)

119882119901 ≝119868119901

120588119898119886119909 (414)

unde

119910119898119886119909 119910119898119894119899 reprezintă distanţa de la axa 119874119911 la punctele extreme cele mai

depărtate respectiv cele mai apropiate ale suprafeţei de această axă

119911119898119886119909 119911119898119894119899 reprezintă distanţa de la axa 119874119910 la punctele extreme cele mai

depărtate respectiv cele mai apropiate ale suprafeţei de această axă

120588119898119886119909 reprezintă distanța maximă de la polul 119874 la punctul secțiunii cel mai

icircndepărtat de acesta

Fig 43 Suprafață dreptunghiulară cu două arii elementare 119889119860

Modulele de rezistenţă se exprimă icircn [1198981198983] şi sunt icircntotdeauna pozitive

Explicația este aceea că momentele de inerție care intră icircn relațiile de definiție sunt

pozitive iar distanțele la punctele extreme sunt pozitive (119910119898119886119909 119910119898119894119899 119911119898119886119909 119911119898119894119899 120588119898119886119909 se

iau icircn valoare absolută)

Icircn cazul suprafeţelor compuse modulul de rezistenţă nu se obţine prin icircnsumarea

algebrică a modulelor de rezistenţă ale suprafeţelor simple componente ci numai prin

intermediul momentului de inerţie axial calculat pentru icircntreaga secțiune

Ca și momentele de inerție modulele de rezistență se calculează numai pentru

sistemele de axe centrale

45 Momente de inerţie şi module de rezistenţă pentru suprafeţe simple

451 Secțiune dreptunghiulară

Fie suprafaţa dreptunghiulară din figura 44 de icircnălțime ℎ și lățime 119887 pe care se

consideră suprafaţă elementară de arie 119889119860 = 119887119889119910 la distanța 119910 de axa 119862119911 sistemul de

axe 119911119862119910 trece prin centrul secțiunii iar axele sunt axe de simetrie pentru dreptunghi

Fig 44 Suprafață dreptunghiulară

Pe baza relațiilor de definiți a momentului de inerție 119868119911 se obține

119868119911 ≝ int 1199102 ∙ 119889119860

119860

= int 1199102 ∙ 119887 ∙ 119889119910 = 2int 1199102 ∙ 119887 ∙ 119889119910 = 2 ∙ 119887 ∙1199103

3|ℎ 2frasl

0rArr

ℎ 2frasl

0

ℎ 2frasl

minusℎ 2frasl

rArr 119868119911 =119887 ∙ ℎ3

12

(415)

Analog pentru un element de arie 119889119860 = ℎ ∙ 119889119911 paralel cu axa 119862119910 situat la distanța

119911 de axa 119862119910

119868119910 ≝ int 1199112 ∙ 119889119860

119860

= int 1199112 ∙ ℎ ∙ 119889119911 = 2int 1199112 ∙ ℎ ∙ 119889119910 = 2 ∙ ℎ ∙1199113

3|119887 2frasl

0rArr

119887 2frasl

0

119887 2frasl

minus119887 2frasl

rArr 119868119910 =1198873 ∙ ℎ

12

(416)

Deoarece axele 119862119911 și 119862119910 sunt axe de simetrie momentul de inerție centrifugal este

119868119911119910 = 0 (417)

Pentru un pătrat avacircnd laturile egale (ℎ = 119887 = 119886) momentele de inerţie faţă de

axele centrale au expresia

119868119911 = 119868119910 =1198864

12 (418)

Modulele de rezistență axiale se calculează cu relațiile de definiție ținacircnd cont că

distanțele pacircnă la fibrele extreme sunt

119910119898119886119909 = 119910119898119894119899 =ℎ

2 119911119898119886119909 = 119911119898119894119899 =

119887

2 (419)

Obținem

119882119911119898119894119899 = 119882119911119898119886119909 =119868119911

119910119898119886119909119898119894119899=119887 ∙ ℎ3

12frasl

ℎ2frasl

=119887 ∙ ℎ2

6

119882119910119898119894119899 = 119882119910119898119886119909 =119868119910

119911119898119886119909119898119894119899=1198873 ∙ ℎ

12frasl

1198872frasl

=1198872 ∙ ℎ

6

(420)

452 Suprafaţă circulară

Din motive de simetrie pentru suprafeţele circulare momentele de inerţie faţă de

orice diametru (care reprezintă şi axe centrale) sunt aceleaşi

Considerăm o secțiune circulară plină cu diametrul 119889 și centrul de greutate 119862 Prin

centrul de greutate 119862 trece sistemul de axe ortogonal 119911119862119910 figura 45

Fig 45 Suprafață circulară

La distanța de centrul de greutate 119862 vom lua un element de suprafață mic de arie

(119889119860) de forma unui inel de grosime 119889 Elementul de arie 119889119860 are expresia

119889119860 = (2 ∙ 120587 ∙ 120588) ∙ (119889120588)

Pornind de la relația de definiție a momentului de inerție polar obținem

119868119901 ≝ int 1205882 ∙ 119889119860

119860

= int 1205882 ∙ (2 ∙ 120587 ∙ 120588) ∙ 119889120588

119903=119889 2frasl

0

= 2 ∙ 120587 ∙1205884

4|119889 2frasl0 rArr

rArr 119868119901 =120587 ∙ 1198894

32

(421)

Secțiunea este perfect simetrică deci sunt valabile relațiile

119868119911 = 119868119910 rArr 119868119901 = 119868119911 + 119868119910 = 2 ∙ 119868119911 = 2 ∙ 119868119910 =119868119901

2=120587 ∙ 1198894

64 (422)

Și modulele de rezistenţă faţă de orice diametru sunt egale şi se calculează cu

relaţiile

119882119911 = 119882119910 =1198681199111198892frasl=120587 ∙ 1198893

32 (423)

Modulul de rezistenţă polar este

119882119901 =1198681199011198892frasl=120587 ∙ 1198893

16 (424)

453 Secţiune inelară

Calculul momentelor de inerţie axiale pentru o secţiune inelară avacircnd diametrul

interior 119889 şi diametrul exterior 119863 se determină analog pentru suprafaţa circulară plină cu

observaţia că integrala pentru calculul momentului de inerție polar 119868119901 se face icircntre

limitele 119903 = 119889 2frasl şi R= 1198632frasl (icircntre raza interioară 119903 şi raza exterioară 119877) figura 46

Se obţin relaţiile

119868119901 =120587 ∙ 1198634

32∙ [1 minus (

119889

119863)4

] =120587 ∙ 1198634

32∙ (1 minus 1198964) (425)

119868119910 = 119868119910 =120587 ∙ 1198634

64∙ [1 minus (

119889

119863)4

] =120587 ∙ 1198633

64∙ (1 minus 1198964) (426)

Fig 46 Secțiune inelară

119882119901 =120587 ∙ 1198633

16∙ [1 minus (

119889

119863)4

] =120587 ∙ 1198633

16∙ (1 minus 1198964) (427)

119882119911 = 119882119910 =120587 ∙ 1198633

32∙ [1 minus (

119889

119863)4

] =120587 ∙ 1198633

32∙ (1 minus 1198964) (428)

unde 119896 = 119889119863frasl

46 Variaţia momentelor de inerţie faţă de axe paralele

( Relațiile lui STEINER)

Se consideră o suprafaţă oarecare de arie 119860 cu elementul de arie 119889119860 și un sistemul

de axe central 119911119862119910 faţă de care se cunosc momentele de inerţie 119868119911 119868119910 119868119911119910 şi considerăm

un sistem de axe 11991111198741199101 paralele cu sistemul central figura 47 Se pune problema

determinării momentele de inerţie 1198681199111 1198681199101 11986811991111199101 faţă de sistemul de axe paralel cu sistemul

central 11991111198741199101 axe aflate la distanţele 119910119862 = 119888 respectiv 119911119862 = 119889 de acesta

461 Momente de inerţie axiale

Pe baza relaţiilor de definire şi a notaţiilor din figura 42 pentru momentele de

inerţie faţă de axele 1198741199111 1198741199101 se poate scrie

1198681199111 = int 11991012 ∙ 119889119860

119860

= int(119910 + 119888)2 ∙ 119889119860

119860

= int 1199102 ∙ 119889119860

119860

+ 2 ∙ 119888 ∙ int 119910 ∙ 119889119860

119860

+

+1198882int 119889119860

119860

rArr 1198681199111 = 119868119911 + 2 ∙ 119888 ∙ 119878119911 + 1198882 ∙ 119860 hArr 1198681199111 = 119868119911 + 119888

2 ∙ 119860

(429)

Fig 47 Variaţia momentelor de inerţie față de axe paralele

S-a ajuns la relația (429) deoarece momentul static 119878119911 este nul deoarece axa 119862119885

este axă centrală

Pentru momentul de inerție axial icircn raport cu axa 1198741199101 se obține

1198681199101 = int 11991112 ∙ 119889119860

119860

= int(119911 + 119889)2 ∙ 119889119860

119860

= int 1199112 ∙ 119889119860

119860

+ 2 ∙ 119889 ∙ int 119911 ∙ 119889119860

119860

+

+1198892 ∙ int 119889119860

119860

rArr 1198681199101 = 119868119910 + 2 ∙ 119889 ∙ 119878119910 + 1198892 ∙ 119860 hArr 1198681199101 = 119868119910 + 119889

2 ∙ 119860

(430)

Pentru momentul de inerție centrifugal obținem

11986811991111199101 = int 1199101 ∙ 1199111 ∙ 119889119860

119860

= int(119910 + 119888) ∙ (119911 + 119889) ∙ 119889119860

119860

= int 119910 ∙ 119911 ∙ 119889119860 +

119860

+119888 ∙ int 119911 ∙ 119889119860

119860

+ 119889 ∙ int 119910 ∙ 119889119860

119860

rArr 11986811991111199101 = 119868119911119910 + 119888 ∙ 119889 ∙ 119860

(431)

Deoarece

int 119911 ∙ 119889119860

119860

= 119878119910 = 0 int 119910 ∙ 119889119860

119860

= 119878119911 = 0 int 119910 ∙ 119911 ∙ 119889119860

119860

= 119868119911119910

Relaţiile (429) şi (430) arată că momentul de inerţie faţă de o axă oarecare

este egal cu momentul de inerţie faţă de o axă paralelă cu ea trecacircnd prin centrul de

greutate la care se adaugă produsul dintre aria suprafeţei şi pătratul distanţei dintre

cele două axe

Din relaţiile (429) și (430) rezultă de asemenea că momentul de inerţie faţă de o

axă centrală (care trece prin centrul de greutate) este cel mai mic dintre infinitatea de

momente de inerţie obținute faţă de alte axe paralele cu ea

Relaţia (431) arată de asemenea că momentul de inerţie centrifugal faţă de un

sistem de axe oarecare este egal cu momentul de inerţie centrifugal faţă de un sistem

paralele cu el trecacircnd prin centrul de greutate a suprafeţei la care se adaugă produsul

dintre aria suprafeţei şi distanţele dintre axele sistemelor respective

Icircn literatura de specialitate relaţiile (429) (430) şi (431) sunt cunoscute sub

numele de relaţiile lui Steiner

47 Variaţia momentrlor de inerţie faţă de axe rotite

Direcţii principale şi momente de inerţie principale

Fie suprafaţa plană din figura 48 de arie 119860 pe care considerăm o suprafaţă

elementară de arie 119889119860 Pentru sistemul de axe 119911119874119910 se cunosc momentele de inerţie

119868119911 119868119910 119868119911119910 şi vom determina relaţiile de calcul pentru momentele de inerţie afererent unui

sistem de axe 11991111198741199101 rotit cu un unghi faţă de sistemul central

Faţă de sistemul de axe 11991111198741199101 elementul de arie 119889119860 are coordonatele

1199101 = 119875119877 = 119875119876 minus 119877119876 = 119910 ∙ cos 120572 minus 119911 ∙ sin 120572

1199111 = 119873119872 = 119873119875 minus 119875119872 = 119911 ∙ cos 120572 + 119910 ∙ sin 120572 (432)

Fig 47 Variaţia momentelor de inerţie față de axe rotite

Pe baza relaţiilor de calcul ale momentelor de inerţie şi a notaţiilor din figura 42

şi ale relaţiilor (432) momentele de inerţie faţă de sistemul de axe rotit 11991111198741199101 sunt

1198681199111 =119868119911 + 119868119910

2+119868119911 minus 119868119910

2∙ cos 2120572 minus 119868119911119910 ∙ sin 2120572 (433)

1198681199101 =119868119911 + 119868119910

2minus119868119911 minus 119868119910

2∙ cos 2120572 + 119868119911119910 ∙ sin 2120572 (434)

11986811991111199101 =119868119911 minus 119868119910

2∙ sin 2120572 + 119868119911119910 ∙ cos 2120572 (435)

Din relaţiile 433divide435 se observă că icircntre momentele de inerţie axiale şi cele

polare există relaţia

1198681199111 + 1198681199101 = 119868119911 + 119868119910 = 119868119901 (436)

adică suma momentelor de inerţie axiale icircn raport cu orice pereche de axe ortogonale

care trec printr-un pol dat este o constantă şi egală cu momentul de inerţie polar

Prin rotirea sistemului de axe din relaţiile 433divide435 rezultă că momentele de inerţie

variază icircnsă suma lor rămacircne constantă deci există o poziţie a sistemului de axe pentru

care momentele de inerţie au valori extreme maxim respectiv minim

471 Direcţii principale de inerţie

Valoarea unghiului 120572 pentru care momentele de inerţie axiale au valori extreme

este

1205721 =1

2∙ 119886119903119888119905119886119899 (minus

2 ∙ 119868119911119910

119868119911 minus 119868119910) (437)

Poziţia celeilalte direcţii este perpendiculară pe cea dată de unghiul 1205721

Din relaţia (437) se constată că faţă de aceste direcţii rotite pentru care momentele

de inerţie axiale prezintă valori extreme momentul de inerţie centrifugal 11986811991111199101este nul

Atunci se poate afirma că momentele de inerţie axiale au valori extreme icircn raport cu

direcţiile faţă de care momentul de inerţie centrifugal este nul Aceste direcţii se numesc

direcţii principale iar momentele de inerţie faţă de aceste direcţii poartă numele de

momente de inerţie principale

Icircn calculele de rezistenţă interesează icircn mod special poziţia direcţiilor principale

care trec prin centrul de greutate al suprafeţei aşa numitele direcţii principale centrale şi

evident momentele de inerţie principale centrale

Direcţiile principale de inerţie se notează cu 1 respectiv 2 Axa principală 1

corespunde direcţiei faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea maximă iar

axa principală 2 pentru direcţia faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea

minimă

472 Momente de inerţie principale

Momentele de inerţie principale se notează cu litera 119868 la care se pune indicele 1

sau 2 după cum valoarea acestuia este maximă sau minimă deci avem un moment de

inerţie principal 1 (notat 1198681) respectiv moment de inerţie principal 2 (notat 1198682)

Expresiile pentru momentele de inerţie principale sunt

11986812 =119868119911 + 119868119910

2plusmn1

2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)

2+ 4 ∙ (119868119911119910)

2 (438)

Dacă momentul de inerţie centrifugal este negativ (119868119911119910 lt 0) direcţia principală

care trece prin primul cadran (definit de sistemul 119911119862119910) este direcţia principală 120783

Pentru suprafeţele cu cel puţin o axă de simetrie direcţiile centrale 119862119911 119862119910 sunt şi

direcții principale de inerţie și evident momentele de inerţie axiale 119868119911 119868119910 sunt momente

de inerţie principale

48 Caracteristici mecanice ale metalelor

Alegerea materialului pentru confecţionarea unei anumite piese se face şi pe baza

aşa numitelor caracteristici mecanice pe care le prezintă materialul Cunoaşterea acestor

caracteristici mecanice are loc numai pe baza unor icircncercări mecanice care să scoată icircn

evidenţă comportarea materialului icircn condiţii de solicitare

Cea mai utilizată icircncercare icircn urma căreia se pun icircn evidenţă caracteristicile

mecanice ale unui material este icircncercarea la tracţiune

481 Icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general

Icircncercarea la tracţiune a oţelului ca de altfel toate icircncercările de materiale este

standardizată

Icircn cele ce urmează se va prezenta numai partea care interesează strict din punct

de vedere al caracteristicilor mecanice ale oţelului

Epruveta de diametru iniţial 1198890 pentru icircncercarea la tracţiune are o porţiune de

lungime 1198710 numită baza de măsurare pe care se măsoară lungirea acesteia sub acţiunea

solicitării

Icircn funcţie de raportul dintre baza de măsurare 1198710 şi diametrul iniţial 1198890 epruvetele

utilizate pentru icircncercări sunt

epruvete normale (scurte) cacircnd 11987101198890 = 5

epruvete lungi cacircnd 11987101198890 = 10

Icircn timpul icircncercării la diferite valori ale forţei 119865 se măsoară lungirea bazei de

măsurare

∆119871 = 120575 = 119871 minus 1198710 (439)

unde

119871 este dimensiunea bazei de măsurare la un moment dat

Curba forţă-lungire (119865 minus ) icircnregistrată icircn urma icircncercării reprezintă curba

caracteristică la tracţiune

La icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general diagrama caracteristică care se

obţine are forma din figura 48

Curba caracteristică la tracţiune depinde de lungimea bazei de măsurare Pentru

icircnlăturarea acestui neajuns curba caracteristică se reprezintă icircn coordonate şi definite

astfel

120590 =119865

1198600 휀 =

120575

1198710 (440)

unde

1198600 este aria iniţială a secţiunii transversale a epruvetei (icircnainte de solicitare) icircn

zona bazei de măsurare

1198600 =120587 ∙ 1198890

2

4

Deoarece mărimile icircn care se reprezintă curba caracteristică la tracţiune sunt

raportate la aria iniţială a secţiunii transversale (mărimi specifice) curba poartă numele

de curbă caracteristică convenţională la tracţiune

Fig 48 Curba caracteristică convenţională la tracțiune

Pe curba caracteristică convenţională la tracţiune figura 48 se pot stabili o serie

de puncte cărora le corespund mai multe mărimi importante

Ordonata punctului A pacircnă unde curba caracteristică convenţională este linie

dreaptă se numeşte limita de proporţionalitate a materialului 120590119901(1205901) Porţiunea 119874119860 este

zona de proporţionalitate a curbei caracteristice pe acest domeniu este valabilă legea lui

Hooke care exprimă o proporţionalitate icircntre tensiune şi deformaţie specifică

120590 = 119864 ∙ 휀 (441)

unde

119864 = reprezintă panta porţiunii liniare a curbei convenționale caracteristice

la tracțiune Caracteristica de material 119864 se numeşte modul de elasticitate longitudinal

(modulul lui Young)

Ordonata punctului 119861 pacircnă unde materialul se comportă perfect elastic adică

după descărcare icircşi recapătă dimensiunea iniţială 1198710 se numeşte limita de elasticitate

120590119890(119877119890) Icircn realitate nici un material nu are comportare perfect elastică sub acţiunea

solicitărilor el capătă deformaţii permanente (remanente plastice)

După punctul 119861 urmează o porţiune 119861119862119863 icircn care cu toate că icircncărcarea

continuă forţa nu mai creşte avacircnd mici oscilaţii icircn jurul unei valori Se spune că icircn

această porţiune materialul curge iar intervalul 119861119862119863 este un palier de curgere Tensiunea

corespunzătoare palierului de curgere se numeşte limită de curgere aparentă 120590119888(119877119888) Limita de curgere aparentă se calculează cu relaţia

120590119888 =1198651198881198600 (442)

unde

119865119888 reprezintă valoarea forţei icircnregistrată icircn momentul curgerii materialului

După punctul 119863 curba caracteristică are un traseu ascendent pacircnă icircn punctul 119864

Porţiunea 119863119864 este numită zonă de icircntărire (ecruisare) Icircn zona de ecruisare unde se

produc deformaţii plastice semnificative legea lui Hooke nu mai este valabilă La

descărcare relaţia dintre tensiunea şi deformaţia specifică este liniară paralelă cu

porţiunea liniară a curbei caracteristice (dreapta 119872119873)

Deformaţia totală (휀119905) are două componente una elastică (휀119890) şi una plastică (휀119901)

Ordonata punctului 119864 reprezintă rezistenţa de rupere 120590119903(119877119898) a materialului

care se poate calcula cu relaţia

120590119903 = 119877119898 =1198651198981198861199091198600

(443)

unde

119865119898119886119909 reprezintă valoarea maximă a forţei icircnregistrată icircn timpul icircncercării

La atingerea valorii 119865119898119886119909 (punctul 119864) icircntr-un anumit loc al epruvetei secţiunea

icircncepe să se micşoreze (se produce gacirctuirea) continuacircnd pacircnă cacircnd se produce ruperea

totală (punctul 119865)

Dacă după ruperea epruvetei cele două părţi rezultate se aşează cap la cap şi se

măsoară dimensiunea bazei de măsurare 119871119906 (lungimea ultimă) se determină alungirea la

rupere sau lungirea specifică la rupere 휀119903

휀119903 =119871119906 minus 11987101198710

=∆119871

1198710=120575

1198710 (444)

De obicei alungirea se exprimă icircn procente şi se notează cu 119860119899 unde 119899 reprezintă

numărul dat de raportul 11987101198890 (epruvete normale 119899 = 5 epruvete lungi 119899 = 10)

119860119899 =119871119906 minus 11987101198710

∙ 100 [] (445)

Altă mărime care se determină la icircncercarea la tracţiune este gacirctuirea la rupere

(exprimată de obicei icircn procente) şi definită de relaţia

119885 =1198600 minus 1198601199061198600

∙ 100 [] (446)

Mărimile determinate limita de proporţionalitate modulul de elasticitate

longitudinal limita de elasticitate limita de curgere aparentă rezistenţa de rupere

alungirea la rupere şi gacirctuirea la rupere sunt cunoscute ca fiind caracteristici mecanice

ale materialului

Din curba caracteristică convenţională observăm faptul că ruperea (punctul 119865 din

figura 48 se produce la o tensiune mai mică decacirct cea corespunzătoare punctului 119864 Dacă

icircnsă forţa din timpul icircncercării s-ar raporta la aria secţiunii din momentul icircnregistrării

forţei (care este mai mică decacirct cea iniţială 1198600) s-ar obţine aşa numita curbă

caracteristică reală a materialului (traseul 1198741198601198611198621198631198651 din figura 48) La curba

caracteristică reală ruperea se produce icircn punctul 1198651 la o icircncărcare mai mare decacirct cea

corespunzătoare punctului 119864 Icircnseamnă că rezistenţa reală la rupere este mai mare decacirct

rezistenţa la rupere dată de punctul 119864 din diagrama caracteristică convenţională

Dificultatea obţinerii diagramei caracteristice reale faţă de cea a diagramei caracteristice

convenţionale şi considerarea unei rezistenţe la rupere mai mică decacirct a celei reale face

icircn practică utilizarea pe scară mare a diagramei caracteristice convenţionale

Caracteristicile mecanice determinate pe baza curbei caracteristice convenţionale

sunt şi ele caracteristici mecanice convenţionale

Caracteristicile mecanice convenţionale limita de proporţionalitate convenţională

120590119901 limita de elasticitate convenţională 120590119890 limita de curgere convenţională 120590119888 şi rezistenţa

de rupere 120590119903 constituie tensiuni limită pentru un material Pe baza acestor caracteristici

de material se alege valoarea tensiunii admisibile 120590119886 (vezi paragraful 35) pentru

calculele de rezistenţă Cea mai utilizată stare limită pentru stabilirea tensiunii admisibile

120590119886 este limita de curgere convenţională 120590119888

120590119886 =120590119897119894119898119888

=120590119888119888 119904119886119906 120590119886 =

120590119903119888 (447)

Caracteristicile mecanice ale materialului sunt influenţate de o serie de factori

temperatura viteza de solicitare factorii tehnologici iar valorile lor sunt date icircn tabele și

diagrame

Aplicaţie Pentru suprafaţa plană compusă din două dreptunghiuri avacircnd

dimensiunile din figura 49a să se calculeze

a) centrul de greutate al secțiunii compuse 119910119866 119911119866

b) momentele de inerție axiale 119868119911 119868119910 și momentul de inerție centrifugal 119868119911119910

c) razele de inerție 119894119911 119894119910

d) modulele de rezistență 119882119911119898119894119899 119882119911119898119886119909 119882119910119898119894119899 119882119910119898119886119909

e) momentele de inerție principale 1198681 1198682 și direcțiile principale de inerție 1205721

f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 119878119911

Fig 49 Aplicație

Rezolvare Pentru rezolvare vom parcurge următoarele etape

icircmpărțim suprafața compusă icircn două suprafețe simple (dreptunghiuri) notate cu

① și respectiv ② figura 49b

poziționăm centrele de greutate a celor două suprafețe simple ① și respectiv ②

notate cu 1198661 și respectiv 1198662 figura 49c

poziționăm sistemele de axe de coordonate 119911111986611199101 pentru dreptunghiul ① și

119911211986621199102 pentru dreptunghiul ② aflate la intersecția diagonalelor figura 49c

poziționăm sistemele de axe de coordonate 11991101198741199100 ales arbitrar față de care

determinăm poziția centrului de greutate 119866 figura 49c

a) calculăm poziția centrului de greutate folosind relațiile (46) icircn care

1198601 = 6119905 ∙ 119905 = 61199052 1198602 = 4119905 ∙ 119905 = 41199052 119860 = 1198601 + 1198602 = 61199052 + 41199052 = 101199052

iar centrele de greutate 1198661 și respectiv 1198662 au coordonatele (față de sistemul 11991101198741199100)

1198661 1199101 = 3119905 1199111 = 05119905

1198662 1199102 = 051199051199112 = 3119905

cu acestea obținem

119910119866 =1198601 ∙ 1199101 + 1198602 ∙ 1199102

119860=61199052 ∙ 3119905 + 41199052 ∙ 05119905

101199052=201199053

101199052= 2119905

119911119866 =1198601 ∙ 1199111 + 1198602 ∙ 1199112

119860=61199052 ∙ 05119905 + 41199052 ∙ 3119905

101199052=151199053

101199052= 15119905

Poziționăm centrul de greutate 119866 al suprafeței compuse figura 49c

Fig 49 Aplicație

b) pentru determinarea momentelor de inerție axiale 119868119911 119868119910 și a momentului de

inerție centrifugal 119868119910119911 determinăm constantele 1198881 1198882 1198891 1198892 care intervin icircn relația lui

Stainer

1198881 = 1199101 minus 119910119866 = 3119905 minus 2119905 = 119905 1198882 = minus(119910119866 minus 1199102) = minus(2119905 minus 05119905) = minus15119905

1198891 = minus(119911119866 minus 1199111) = minus(15119905 minus 05119905) = minus119905 1198892 = 1199112 minus 119911119892 = 3119905 minus 15119905 = 15119905

Folosind relațiile lui Stainer (429) (430) și (431) calculăm momentele de

inerție axiale și centrifugale față de sistemul central 119911119866119866119910119866

119868119911 =sum(119868119911119894 + 1198881198942 ∙ 119860119894) = 1198681199111 + 1198881

2 ∙ 1198601 + 1198681199112 + 11988822 ∙ 1198602

119868119910 =sum(119868119910119894 + 1198891198942 ∙ 119860119894) = 1198681199101 + 1198891

2 ∙ 1198601 + 1198681199102 + 11988922 ∙ 1198602

119868119911119910 =sum(119868119911119894119910119894 + 119888119894 ∙ 119889119894 ∙ 119860119894) = 11986811991111199101 + 1198881 ∙ 1198891 ∙ 1198601 + 11986811991121199102 + 1198882 ∙ 1198892 ∙ 1198602

1198681199111 = (119887 ∙ ℎ3

12) =

119905 ∙ (6119905)3

12= 181199054 1198681199112 = (

119887 ∙ ℎ3

12) =

4119905 ∙ 1199053

12= 031199054

1198681199101 = (1198873 ∙ ℎ

12) =

1199053 ∙ 6119905

12= 051199054 1198681199102 = (

1198873 ∙ ℎ

12) =

(4119905)3 ∙ 119905

12= 531199054

11986811991111199101 = 11986811991121199102 = 0 deoarece cele două triunghiuri au cel puțin o axă de simetrie

Cu acestea momentele de inerție axiale și momentul de inerție centrifugal devin

119868119911 = 181199054 + 1199052 ∙ 61199052 + 031199054 + (minus15119905)2 ∙ 41199052 = 3331199054

119868119910 = 051199054 + (minus119905)2 ∙ 61199052 + 531199054 + (15119905)2 ∙ 41199052 = 2081199054

119868119911119910 = 0 + 119905 ∙ (minus119905) ∙ 61199052 + 0 + (minus15119905) ∙ (15119905) ∙ 41199052 = minus151199054

c) razele de inerție sau de girație față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910

se calculează cu relațiile (411)

119894119911 = radic119868119911119860= radic

3331199054

101199052= 182119905 119894119910 = radic

119868119910

119860= radic

2081199054

101199052= 144119905

d) modulele de rezistență față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910 se

calculează cu relațiile (412) și (413)

Avacircnd icircn vedere figura 419c obținem

119910119898119886119909 = 6119905 minus 119910119866 = 6119905 minus 2119905 = 4119905 119910119898119894119899 = minus119910119866 = minus2119905

119911119898119886119909 = 5119905 minus 119911119866 = 5119905 minus 15119905 = 35119905 119911119898119894119899 = minus119911119866 = minus15119905

Se obține astfel

119882119911119898119894119899 =119868119911

|119910119898119886119909|=3331199054

4119905= 8331199053

119882119911119898119886119909 =119868119911

|119910119898119894119899|=3331199054

2119905= 16651199053

119882119910119898119894119899 =119868119910

|119911119898119886119909|=2081199054

35119905= 5941199053

119882119910119898119886119909 =119868119910

|119911119898119894119899|=2081199054

15119905= 13871199053

e) momentele de inerție principale 1198681 și respectiv 1198682 se calculează cu relațiile

(438)

11986812 =119868119911 + 119868119910

2plusmn1

2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)

2+ 4 ∙ (119868119911119910)

2=

=3331199054 + 2081199054

2plusmn1

2∙ radic(3331199054 minus 2081199054)2 + 4 ∙ (minus151199054)2 = 27051199054 plusmn 16251199054

De unde obținem

1198681 = 27051199054 + 16251199054 = 4331199054

1198682 = 27051199054 minus 16251199054 = 1081199054

Prima direcție principală de inerție 1 face cu axa centrală 119866119911 unghiul 1205721 dat de

relația (437)

1205721 =1

2∙ arctan (minus

2 ∙ 119868119911119910

119868119911 minus 119868119910) =

1

2∙ arctan [minus

2 ∙ (minus151199054)

3331199054 minus 2081199054] =33 70

Deoarece 1205721 gt 0 rotirea axelor se face acircn sens antiorar acelor de ceasornic figura

49d

Poziția axe principale 2 față de care momentul de inerție are valoarea minimă

1198682 = 119868119898119894119899 este dată de unghiul

1205722 = 1205721 + 900 = 33 70 + 900 = 123 70

f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 se determină cu relația

(45)

1198781199111198602 = 1198602 ∙ 1198882 = 41199052 ∙ (minus15119905) = minus61199053

Fig 33 Tensiunile normale și tangențiale pe fețele unui cub

Din condiția ca elementul considerat să nu se deplaseze icircn lungul axelor de

coordonate pe fețele opuse acționează aceleași tensiuni normale 120590119909 120590119910 și respectiv 120590119911

Definirea tensorului tensiune este posibilă dacă se cunosc cele 6 componente

independente ale acestuia aflate icircn trei plane perpendicular ce trec prin punctul respectiv

=

120590119909 120591119909119910 120591119909119911120591119910119909 120590119910 120591119910119911120591119911119909 120591119911119910 120590119911

Observaţii

Tensiunile se măsoară icircn [119873 1198982frasl ] (1119873 1198982frasl = 1 119875119886) sau icircn [119872119875119886]

(1 119872119875119886 = 106119875119886 = 106 119873

1198982 1 119872119875119886 = 1

119873

1198981198982)

Starea de tensiune dintr-un punct este considerată cunoscută dacă se cunosc

tensiunile 119901 care acționează pe infinitatea de elemente de suprafață ce trec prin punctual

considerat

Starea de tensiune a unui corp se consider cunoscută dacă se cunosc stările de

tensiune de pe infinitatea de puncte ale corpului considerat

32 Deplasări Deformaţii specifice

321 Deplasări

Aceste noțiuni sunt utile icircn analiza aspectului geometric al problemelor de rezistența

materialelor Deplasările care se analizează sunt cele datorate schimbării formei și

dimensiunilor corpurilor ca urmare a acțiunii forțelor exterioare și nu cele cinematice

posibile pentru solidul rigid care se poate deplasa cu anumită viteză și accelerație

Spre exemplu icircn figura 34a și figura 34b sub acțiunea forței 119865 tronsonul de

bară AB se deformează icircn timp ce tronsonul BC deși punctele sale au deplasări rămacircne

nedeformat (fiind nesolicitat) Toate punctele de pe axele barelor cu excepția celor din

icircncastrare (secțiunile A) au deplasări liniare De cele mai multe ori deformațiile barelor

datorate acțiunii forțelor exterioare se anulează la icircndepărtarea forțelor se spune că

deformațiile sunt elastice Secțiunile transversale ale barei din figura 34a se și rotesc icircn

raport cu pozițiile lor inițiale Spre exemplu secțiunea de căpăt cu centrul icircn C se rotește

cu unghiul

Fig 34 Deformațiile unei grinzi

Oricacirct de complexă ar fi delormația unui corp ea poate fi descrisă de lungiri sau

scurtări și de modificări ale unghiurilor inițiale

Deplasările măsoară schimbarea poziției unui punct al corpului și pot fi liniare

sau unghiulare

Prin deplasare liniară a unui punct se icircnțelege drumul parcurs de acest punct icircn

decursul procesului de deformație după o dreaptă suport dreapta 1198611198611 din figura 34a

Prin deplasare unghiulară se icircnțelege rotirea dintre segmentele de dreaptă

determinate de două puncte ale corpului icircnainte și după deformarea acestuia unghiul

pe care-l fac segmentele 119861119862 și 11986111198621 din figura 34a Această rotire se măsoară prin

unghiul pe care-l fac proiecțiile dreptelor ce conțin cele două segmente icircntr-un sistem

triortogonal

Icircn cazul cel mai general vectorul deplasare liniară se poate descompune icircntr-un

sistem triortogonal icircn trei componente 119906 119907 și 119908 figura 35

Fig 35 Deplasarea liniară

Se consideră acum un corp solid raportat la un sistem de axe ortogonal 119909119874119910119911

figura 35 după deformarea corpului un punct oarecare 119870 al acestuia se deplasează icircn

poziţia 1198701 vectorul 1198701198701 poartă numele de vectorul deplasării totale

Deplasarea totală este suma deplasărilor pe cele trei direcţii ortogonale iar

aceste deplasări se notează astfel

deplasarea pe direcţia 119909 cu ∥ 119874119909

deplasarea pe direcţia 119910 cu ∥ 119874119910

deplasarea pe direcţia 119911 cu ∥ 119874119911

Componentele deplasărilor și formeză matricea deplasărilor liniare 119906119907119908

322 Deformații

Prin deformație icircn general se icircnțelege orice schimbare de formă a unui corp fără

o evaluare cantitativă Icircn Rezistența Materialelor deformația măsoară variația

dimensiunilor geometrice ale corpului considerat din vecinătatea unui punct analog

deplasărilor deformațiile pot fi liniare și unghiulare (lunecări)

Fig 36 Deplasarea liniară

Deformația liniară ∆119897 reprezintă variația lungimii 119897 a unui element liniar al

corpului deformat figura 36 Deformația liniară specifică se definește ca fiind raportul

dintre deformația liniară și lungimea inițială

휀 =∆119897

119897 (38)

unde ∆119897 este lungirea sau scurtarea care este echivalentă cu deformția liniară totală iar

este alungirea

Deformația unghiulară sau lunecarea unui punct 119860 icircn planul 119861119860119862 se definește

prin relația figura 37

120574 = lim119861119860rarr0119862119860rarr0

(119861119860 minus 119861111986011198621 ) (39)

Fig 36 Deformația unghiulară

Schimbacircnd orientarea planului care trece prin 119860 se obțin alte deformații

unghiulare Dacă elementele liniare 119861119860 și 119862119860 sunt inițial perpendiculare deformația 120574 se

numește deformație unghiulară specifică sau lunecare specifică figura 37

Un exemplu de deplasare unghiulară și de deformație unghiulară este prezentat icircn

figura 38 Unghiul este deplasarea unghiulară și măsoară rotirea relativă dintre două

secțiuni aflate la distanța 119897 Unghiul este deformația specifică unghiulară (lunecarea

specifică) din punctul 119870 Aceste deplasări și deformații se obțin icircn urma solicitării barei

de către cele două momente 1198720 egale și de sens contrar

Fig 38 Deplasarea unghiulară

Pentru a analiza starea de deformație din vecinătatea unui punct al unui corp

solicitat complex se decupează din jurul punctului un element de volum mic figura 39a

avacircnd laturile 119889119909 119889119910 și 119889119911 Ca urmare a solicitării laturile acestuia se vor lungi sau

scurta Reprezentarea elementului deformat icircn spațiu este dificilă pentru simplificare

vom analiza doar deformațiile din planul 119909119874119910 Observăm că dimensiunile 119889119909 și 119889119910 s-au

modificat cu valoarea ∆119889119909 respectiv cu ∆119889119910 analog se acceptă și pentru 119889119911 o modificare

de forma ∆119889119911 Astfel se pot defini deformațiile specifice liniare

휀119909 =∆119889119909

119889119909 휀119910 =

∆119889119910

119889119910 휀119911 =

∆119889119911

119889119911 (310)

De cele mai multe ori aceste deformații specifice liniare se pot exprima procentual

și se mai numesc alungiri

Fig 39 Starea de deformație

Icircn figura 39c se vede că unghiul inițial drept dintre muchiile 119889119909 și 119889119910 ale

elementului de volum s-a modificat Se definește deformația specifică unghiulară (sau

lunecarea specifică) mărimea cu care se modifică unghiul inițial drept

120574119909119910 = 120574119909119910prime + 120574119910119909

prime = 120574119910119909120574119910119911 = 120574119910119911

prime + 120574119911119910prime = 120574119911119910

120574119911119909 = 120574119911119909prime + 120574119909119911

prime = 120574119909119911

(311)

Deformațiile 휀119909 휀119910 휀119911 120574119909119910 120574119910119911 120574119911119909 constituie cele șase componente

independente ale tensorului deformațiilor specifice care pot fi scrise de forma

119863 =

휀119909 120574119909119910 120574119909119911120574119910119909 휀119910 120574119910119911120574119911119909 120574119911119910 휀119911

(312)

323 Contracţia transversală

Practica arată că odată cu lungirea unei bare apare o micşorare a mărimii secţiunii

transversale mărime numită contracţie transversală figura 310

Fig 310 Contracția transversală

Contracţia transversală este proporţională cu lungirea specifică coeficientul de

proporţionalitate se notează cu 120599 şi se numeşte coeficient de contracţie transversală sau

coeficientul lui Poisson

La o lungire specifică a barei contracţia transversală este dată de relația

휀119905119903 = 휀119910 = 휀119911 = minus120599 ∙ 휀119909 (313)

Semnul minus bdquo-rdquo arată că cele două mărimi sunt contrare dacă una creşte cealaltă

scade şi invers

Considerăm o bară cilindrică de lungime 119897 şi aria secţiunii transversale 119860 solicitată

la icircntindere axială La un moment dat datorită solicitării lungimea barei devine

[119897 ∙ (1 + 휀)] diametrul devine [119889 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)] iar aria secţiunii transversale devine

[119860 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)2] Dacă volumul barei icircnainte de solicitare a fost (119860 ∙ 119897) după solicitare

acesta devine

119881 + ∆119881 = 119860 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)2 ∙ 119897 ∙ (1 + 휀) =

= 119860 ∙ 119897 ∙ (1 + 휀 minus 2 ∙ 120599 ∙ 휀 minus 2 ∙ 120599 ∙ 휀2 + 1205992 ∙ 휀2 + 1205992 ∙ 휀3) (314)

Deoarece lungirile sunt foarte mici ultimii trei termeni din paranteză fiind infinit mici se pot neglija obţinacircnd

119881 + ∆119881 = 119860 ∙ 119897 + 119860 ∙ 119897 ∙ 휀 ∙ (1 minus 2 ∙ 120599) ⟺ ∆119881 = 휀 ∙ (1 minus 2 ∙ 120599) ∙ 119860 ∙ 119897 (315)

Practica arătă că o astfel de bară solicitată la icircntindere icircşi măreşte volumul deci

∆119881 gt 0 de unde rezultă că

1 minus 2 ∙ 120599 gt 0 rArr 120599 lt 05 (316)

Pentru majoritatea materialelor 120599 = 033 iar pentru materialele care-şi păstrează

volumul constant 120599 = 05

33 Relaţii de echivalenţă icircntre eforturi şi tensiuni

Considerăm un element de suprafață infinit mic 119889119860 situat pe fața de arie (119860) a

secțiunii barei din figura 311 Icircn centrul de greutate 119862 al secțiunii acționează eforturile

119873 119879119910 119879119911 119872119909 119872119894119910 și 119872119894119911 determinate prin metoda secțiunilor

Icircn raport cu un sistem de axe de referință 119909119862119910119911 coordonatele elementului 119889119860 sunt

- 119910 este ordonata elementului de arie 119889119860

- 119911 este abscisa elementului de arie 119889119860

Pe elementul de arie 119889119860 acționează tensiunile

120590119909 tensiunea normală

120591119909119910 și 120591119909119911 tensiuni tangențiale

Dacă se icircnsumează forțele elementare de tipul 120590119909 ∙ 119889119860 120591119909119910 ∙ 119889119860 și 120591119909119911 ∙ 119889119860

va trebui să obținem eforturile 119873 119879119910 și 119879119911

Fig 311 Element de suprafață mic din secțiunea unei bare

Dacă eforturile sunt privite ca forțe exterioare și se scriu ecuațiile de

echilibru ale secțiunii (119860) se vor obține șase relații de echivalență icircntre eforturi și

tensiuni

(sum119883) = 0 rArr int 120590119909 ∙ 119889119860

119860

= 119873 (317)

(sum119884) = 0 rArr int 120591119909119910 ∙ 119889119860

119860

= 119879119910 (318)

(sum119885) = 0 rArr int 120591119909119911 ∙ 119889119860

119860

= 119879119911 (319)

(sum119872)119909= 0 rArr int(120591119909119911 ∙ 119889119860) ∙ 119910

119860

minus int(120591119909119910 ∙ 119889119860) ∙ 119911

119860

= 119872119909 rArr

rArr int(119910 ∙ 120591119909119911 minus 119911 ∙ 120591119909119910) ∙ 119889119860

119860

= 119872119909

(320)

(sum119872)119910= 0 rArr int(120590119909 ∙ 119889119860) ∙ 119911

119860

= 119872119894119910 (321)

(sum119872)119911= 0 rArr int(120590119909 ∙ 119889119860) ∙ 119910

119860

= 119872119894119911 (322)

Cele șase relații de echivalență icircntre eforturi și tensiuni constituie un pas icircnainte

icircn rezolvarea unei probleme de rezistența materialelor Aceste relații vor permite

determinarea tensiunilor maxime

Pentru a rezolva cele 6 relații de echivalență trebuie să se cunoască tensiunile și

ca funcții de punct adică funcții de forma

120590119909 = 120590119909(119909 119910 119911) 120591119909119910 = 120591119909119910(119909 119910 119911) 120591119909119911 = 120591119909119911(119909 119910 119911) (32

3)

Cunoașterea acestor funcții presupune icircnsă analizarea aspectului geometric al

problemei precum și utilizarea unor ipoteze simplificatoare care să permită simplificarea

problemelor

34 Ipoteze de bază icircn rezistenţa materialelor

Depășirea dificultăților legate de interpretarea unor fenomene specifice mecanicii

solidului deformabil a impus acceptarea unor ipoteze care să simplifice fenomenele și să

contribuie la elaborarea unor modele de calcul cicirct mai generale și cacirct mai simple Aceste

ipoteze se referă la structura materialelor şi la comportarea lor sub acţiunea forţelor

exterioare Ipotezele acceptate trebuie să fie icircn deplină concordanţă cu realitatea și să

conducă la rezultate verificate icircn practică

Funcție de aspectele la care se referă ipotezele pot fi

Ipoteze fizice (de material)

Ipoteze de calcul

341 Ipoteze fizice

Se acceptă deoarece teoriile structurale au condus la rezultate care contravin

icircncercărilor experimentale

Ipoteza mediului continuu consideră că orice domeniu elementar al corpului

este ocupat de materie adică nu se acceptă existența unor goluri sau a unor crăpături

microscopice (fisuri) Deși nu corespunde realităţii poate fi acceptată deoarece

dimensiunile corpului sunt mult mai mari decacirct dimensiunile particulelor elemantare Are

avantajul că permite utilizarea proprietăților matematice ale funcțiilor continue pentru

tensiunile și deformațiile din orice punct al corpului Ea este mai apropiată de realitate la

corpurile amorfe şi mai depărtată la cele cristaline dar conduce la rezultate satisfăcătoare

icircn calculele de rezistenţă

Ipoteza nu se poate aplica la corpurile care au goluri tăieturi (multiplu conexe)

pentru unele puncte singulare icircn care tensiunile și deformațiile tind la infinit sau icircn unele

probleme de plasticitate icircn care proprietățile de material au un rol esențial

Ipoteza izotropiei conform acestei ipoteze materialul din care este confecționat

un element de rezistență are aceleași proprietăți după orice direcție un astfel de material

este considerat izotrop Din punct de vedere macroscopic metalele pot fi considerate

izotrope deși la nivel microscopic proprietățile lor diferă de la o direcție cristalografică

la alta Orice conglomerat de cristale poate fi considerat izotrop

Există cazuri cacircnd această ipoteză a izotropiei nu se acceptă

la metalele puternic deformate după o direcție (prin laminare trefilare)

la piesele confecționate din lemn lemnul este anizotrop deoarece proprietățile sale

diferă după două direcții (icircn lungul fibrelor și perpendicular pe această direcție)

Ipoteza omogenității consideră că un corp are aceleași proprietăți icircn orice

punct al său Deși majoritatea materialelor utilizate icircn tehnică sunt eterogene la scară

micro fiind constituite din mai multe faze cu proprietăți diferite la scară macro ele pot

fi considerate omogene Omogenitatea și izotropia sunt proprietăți statistice medii care

nu se condiționează una pe cealaltă Chiar și materialele monofazice pot avea la scară

micro unele segregații care le fac eterogene

Ipoteza elasticităţii perfecte presupune că atacircta timp cacirct solicitările nu

depăşesc anumite limite materialul are o comportare elastică adică icircşi recapătă forma şi

dimensiunile iniţiale odată cu icircnlăturarea sarcinilor Icircn realitate materialele nu prezintă o

elasticitate perfectă ele avacircnd deformaţii remanente mici care icircnsă pot fi neglijate icircn

calculele de rezistenţă

Acceptarea acestei ipoteze a elasticității perfecte permite

- aplicarea relației biunivoce icircntre tensiuni și deformații relație exprimată de legea

lui Hooke ( = 119864 ∙ 휀) unde E este un factor de proporţionalitate numit modul de

elasticitate longitudinal al materialului pentru oţel 119864 = 21 ∙ 105 [119872119875119886] - acceptarea valabilității afirmației bdquolucrul mecanic efectuat de forțele exterioare

ca urmare a parcurgerii deplasărilor punctelor de aplicație se icircnmagazinează integral icircn

corp sub formă de energie de deformație energie cedată la icircndepărtarea sarcinilorrdquo

- este valabilă teoria conform căreia bdquoenergia icircnmagazinată și deformațiile depind

doar de starea inițială și finală de eforturi fără a ține cont de modul icircn care s-a ajuns la

starea finalărdquo

Icircn realitate oricacirct de mici ar fi sarcinile aplicate se produc și deformații plastice

dar acestea pot fi neglijate dacă solicitarea nu depășește anumite limite

342 Ipoteze de calcul

Ipoteza micilor deplasări bdquodeplasările datorate deformării sunt mult mai mici

decacirct dimensiunile corpurilor și ca urmare pot fi neglijate produsele dintre o deplasare și

ea icircnsăşirdquo Pentru cele mai multe corpuri deformaţiile elastice sunt de mărimi mici deci

corpurile solide sub acţiunea sarcinilor icircşi modifică foarte puţin forma iniţială Această

ipoteză este cunoscută şi sub denumirea de ipoteza menţinerii dimensiunilor iniţiale Ea

permite scrierea ecuaţiilor de echilibru ale staticii pe starea nedeformată a elementului

cacircnd nu se iau icircn considerare deplasările punctelor de aplicaţie ale forţelor care se produc

ca urmare a deformării acestuia Calculul efectuat pe schema nedeformată poartă numele

de calcul de ordinul I

Ipoteza micilor deplasări nu poate fi acceptată pentru studiul problemelor de

stabilitate sau la problemele la care nu pot fi icircndeplinite condiţiile de echilibru icircn starea

nedeformată

Calculul de ordinul II admite ipoteza micilor deplasări dar ecuaţiile de echilibru

se scriu icircnsă pentru starea deformată a elementului de rezistenţă

Calculul de ordinul III nu mai acceptă ipoteza micilor deplasări el referindu-se

la cazul deformaţiilor mari cacircnd ecuaţiile de echilibru trebuie scrise pentru starea

deformată

Chiar dacă materialul satisface legea lui Hooke icircn urma calculelor de ordinul II

se obţin de obicei relaţii neliniare icircntre sarcini şi deplasări iar pentru calculul de ordinul

III rezultă ecuaţii diferenţiale neliniare

Principiul efectului local al acțiunii sarcinilor enunțat de Barre de Saint-

Venant Acest principiu destul de folosit icircn Rezistenţa Materialelor precizează că dacă

se icircnlocuiesc forţele care acţionează asupra unui element de suprafață al unui corp

elastic printr-un alt sistem de forţe echivalent din punct de vedere static cu primul noua

distribuţie a forţelor produce la locul de aplicare diferenţe semnificative faţă de prima

dar rămacircne fără efect sau cu efect neglijabil la distanţe mari de locul de aplicare al

forţelor figura 312

Ca o cosecință o sarcină uniform distribuită figura 312a poate fi icircnlocuită cu

rezultanta ei figura 312b dacă se analizează efectul sarcinii la distanță mare de locul icircn

care se aplică sarcina

Fig 312 Principiul Saint-Venant

Icircn prima variantă figura 312a forţa 119865 se aplică pe o porțiune oarecare 119897 (sarcină

uniform distribuită) iar icircn a doua figura 312b icircntru-un punct (forţă concentrată) La

locul de aplicare a sarcinii efectul asupra barei este cu totul diferit de la o variantă la

cealaltă Icircnsă la o distanţă mare de punctul de aplicaţie spre exemplu icircn secţiunea situată

la distanţa 119886 de capătul barei sau chiar icircn icircncastrare ambele bare sunt solicitate la fel

Icircn cazul din figura 312a

119872119894(119909) =119901 ∙ 1199092

2 119909 le 119897 119872119894(119909) = 119901 ∙ 119897 ∙ (119909 minus

119897

2) 119909 gt 119897 (324)

Icircn cazul din figura 312b

119872119894(119909) = 0 119909 lt119897

2 119872119894(119909) = 119901 ∙ 119897 ∙ (119909 minus

119897

2) 119909 gt

119897

2 (325)

Se vede că pentru (119909 gt 119897) adică după depășirea locului icircn care se aplică sarcina

efectul este același

Ipoteza lui Bernoulli sau ipoteza secţiunilor plane precizează că o secţiune

plană şi normală pe axa barei icircnainte de deformare rămacircne plană şi normală pe axa

barei şi după deformare figura 313

Fig 313 Ipoteza lui Bernoulli

Ipoteza stării naturale a corpului sau ipoteza absenţei tensiunilor conform

căreia pentru un corp nesolicitat starea de tensiune şi deformaţie este nulă

Perfecţionarea mijloacelor de calcul şi de investigare pot conduce la renunţarea la

unele ipoteze sau la introducerea altora noi mai aproape de stările reale De aici rezultă

caracterul de continuă perfecţionare a metodelor Rezistenţei Materialelor

35 Coeficienţi de siguranţă Tensiuni admisibile

O piesă corespunde din punct de vedere tehnic dacă tensiunile care iau naştere icircn

interiorul piesei datorită sarcinilor aplicate nu depăşesc anumite valori limită stabilite

convenţional Aceste valori limită ale tensiunii sunt corelate cu caracteristicile mecanice

ale materialelor

Tensiunea limită utilizată icircn calculele de rezistenţă este cunoscută sub denumirea

de tensiune admisibilă sau rezistenţă admisibilă Rezistenţa admisibilă reprezintă

valoarea convenţională aleasă icircn calcul pe baza practicii pentru tensiunea maximă care

poate apare icircntr-o piesă icircn condiţii date de material şi solicitare

Rezistenţa admisibilă (120590119886 sau 120591119886) poate fi definită faţă de o stare limită

periculoasă stare care trebuie evitată deoarece poate conduce distrugere

120590119886 =120590119897119894119898119888

(326)

unde

120590119897119894119898 este tensiunea corespunzătoare stării limită periculoase

119888 estesupraunitar 119888 gt 1 și reprezintă coeficientul de siguranţă faţă de starea limită

periculoasă considerată

Alegerea unor valori inferioare pentru rezistenţa admisibilă faţă de tensiunea

corespunzătoare stării limită periculoase este necesară deoarece

cunoaşterea sarcinilor este de cele mai multe ori aproximativă şi o depăşire a

acestora este foarte posibilă

caracteristicile mecanice ale materialelor variază icircn limite destul de mari ele

fiind influenţate de mulţi factori

schema aleasă pentru calcul (aplicarea sarcinilor schematizarea structurii

ipotezele de calcul etc) depărtează modelul faţă de cel real

Pentru calculele de verificare tensiunea efectivă maximă din elementul de

rezistenţă trebuie să fie mai mică sau cel mult egală cu cea admisibilă

120590119890119891119898119886119909 le 120590119886 (327)

Valoarea rezistenţei admisibile este influenţată de foarte mulţi factori natura

materialului tratamentele termice aplicate piesei durata de funcţionare a piesei modul

de acţionare icircn timp a sarcinilor felul solicitării temperatura gradul de periculozitate

icircn cazul cedării piesei etc

De asemenea valoarea coeficientului de siguranţă se alege icircn principal ţinacircnd

seama de aceiaşi factori care influenţează şi rezistenţa admisibilă

Rezistenţele admisibile pentru cacircteva materiale sunt următoarele

pentru oțelul de uz general OL37 solicitat la icircntindere compresiune sau

icircncovoiere 120590119886 = 150 [119872119875119886] pentru lemnul de brad solicitat la

- compresiune icircn lungul fibrelor şi solicitat la icircncovoiere 120590119886 = 10 [119872119875119886] - tracţiune icircn lungul fibrelor 120590119886 = 7 [119872119875119886] - compresiune perpendiculară pe fibre 120590119886 = 15 [119872119875119886] - forfecare icircn lungul fibrelor 120591119886 = 2 [119872119875119886] - forfecare perpendiculară pe fibre 120590119886 = 45 [119872119875119886]

terenuri de fundaţie din pămacircnt uscat sau umed 120590119886 = 020 divide 025 [119872119875119886]

4 CARACTERISTICI GEOMETRICE ALE SECȚIUNILOR PLANE

41 Noţiuni introductive

Icircn relaţiile de calcul ale tensiunilor şi deformaţiilor elementelor de rezistenţă

pentru unele solicitări (icircncovoierea și torsiunea) secțiunile plane intervin atacirct prin

dimensiunile lor (aria 119860) cicirct și prin forma și poziția pe care o are secțiunea icircn raport cu

planul solicitării Mărimile care caracterizează o secțiune icircn raport cu forma și poziția față

de axele unui sistem de referință sunt denumite caracteristici geometrice de ordin

superior Aria secțiunii este caracteristica geometrică ce depinde doar de dimensiunile

geometrice ale acesteia

Să considerăm o grindă solicitată de o forță exterioară 119865 aşezată icircn două poziții icircn

raport cu planul forţei figura 41 Icircn urma aplicării forței deși avem aceeași grindă

(aceeași arie a secțiunii transversale) și aceeași forță se constată că pentru varianta din

figura 41a deformațiile sunt mult mai mari adică rezistența la icircncovoiere a grinzii din

figura 41a este mai mare decacirct icircn cazul grinzii din figura 41b Comportarea diferită se

explică prin aceea că modificarea poziţiei secţiunii transversale faţă de planul forţelor

modifică caracteristicile geometrice ale secţiunii transversale a grinzii

Fig 41 Grindă solicitată de forța 119865

Pentru realizarea calculelor de rezistenţă şi rigiditate este foarte importantă

cunoaşterea caracteristicilor geometrice ale suprafeţei secţiunii transversale a elementelor

de rezistenţă

Caracteristicile geometrice ale secţiunii transversale a unui element de rezistenţă

sunt

- aria secțiunii notată cu 119860

- momentul static icircn raport cu o axă notat 119878119911 și respectiv 119878119910

- momentul de inerție care poate fi

axial notat 119868119911 și respectiv 119868119910

centrifugal notat 119868119911119910

polar notat 119868119901

- raza de inerţie (giraţie)notată 119894119911 și respectiv 119894119910

- modulul de rezistență care poate fi

axial notat 119882119911 și respectiv 119882119910

polar notat 119882119901

42 Aria și momentul static al suprafețelor plane

Fie o suprafaţă plană de arie 119860 pe care se ia un element infinit mic de arie 119889119860 şi

un sistem de axe rectangulare 119911119874119910 figura 42 Notăm cu 119862 centrul de greutate al suprafeţei

119860 Poziţia suprafeţei elementare 119889119860 faţă de acelaşi sistem de coordonate 119911119874119910 este dată

de abscisa 119911 ordonata 119910 și raza polară

Fig 42 Suprafață plană de arie 119860

Aria suprafeţei 119860 figura 42 se defineşte ca fiind

119860 ≝ int 119889119860

119860

(41)

Aria suprafeţei este icircntotdeauna pozitivă și se măsoară icircn [1198981198982] Momentul static al suprafeţei de arie 119860 icircn raport cu axele 119874119911 și respectiv 119874119910

figura 42 sunt date de relaţiile

119878119911 ≝ int 119910 ∙ 119889119860

119860

119878119910 ≝ int 119911 ∙ 119889119860

119860

(42)

Momentul static poate fi pozitiv negativ sau nul şi se măsoară icircn [1198981198983] Coordonatele centrului de greutate ale suprafeței 119860 se detrmină cu relațiile

119910119862 ≝int 119910 ∙ 119889119860119860

119860 119911119862 ≝

int 119911 ∙ 119889119860119860

119860

(43)

Cunoscacircnd coordonatele 119910119862 și 119911119862 ale centrului de greutate 119862 al secțiunii 119860 atunci

momentele statice se pot determina cu relațiile

119878119911 ≝ int 119910 ∙ 119889119860

119860

= 119910119862 ∙ 119889119860 119878119910 ≝ int 119911 ∙ 119889119860

119860

= 119911119862 ∙ 119889119860 (44)

Aceste relații arată că momentul static al unei suprafețe icircn raport cu o axă este

egal cu produsul dintre aria suprafeței și distanța de la centrul ariei la axa respectivă

Dacă suprafaţa se poate descompune icircn 119899 suprafeţe simple la care se cunosc ariile

(1198601 1198602 ⋯ 119860119894⋯ 119860119899) și poziţiile centrelor de greutate 119862119894 faţă de sistemul de referinţă

expresiile momentelor statice capătă următoarea formă

119878119911 = sum 119910119862119894 ∙ 119860119894119899119894=1 = 119910119862 ∙ 119860 119878119910 = sum 119911119862119894 ∙ 119860119894

119899119894=1 = 119911119862 ∙ 119860 (45)

Din relaţiile (45) rezultă că poziţia centrului de greutate 119862 al unei suprafeţe

compuse poate fi determinată cu relaţiile

119910119862 = (sum119910119862119894 ∙ 119860119894

119899

119894=1

) 119860frasl 119911119862 = (sum119911119862119894 ∙ 119860119894

119899

119894=1

) 119860frasl (46)

Icircn relația (45) 119910119862119894 și respectiv 119911119862119894 reprezintă coordonatele centrelor de greutate 119862119894

ale fiecărei suprafețe simple 119860119894 icircn raport sistemul de axe 119911119874119910

Se constată (relaţia 42) că dacă axele sistemului de referinţă trec prin centrul de

greutate (119910119862 = 119911119862 = 0) momentele statice sunt nule Axele icircn raport cu care momentele

statice sunt nule şi care trec prin centrul de greutate al suprafeţei se numesc axe centrale

Observație dacă secțiunea compusă are o axă de simetrie centrul secțiunii se

găsește pe acea axă iar dacă secțiunea este dublu simetrică poziția centrului secțiunii este

la intersecția axelor de simetrie

43 Momente de inerţie

Momentele de inerţie axiale ale unei suprafețe se calculează icircn raport cu axele de

coordonate 119874119911 și respectiv 119874119910 figura 42 și se determină cu relațiile

119868119911 ≝ int 1199102 ∙ 119889119860

119860

119868119910 ≝ int 1199112 ∙ 119889119860

119860

(47)

Unde 119910 și 119911 sunt distanțele de la elementul de arie 119889119860 la cele două axe de

coordonate 119874119911 și respectiv 119874119910

Momentele de inerţie axiale se măsoară icircn [1198981198984] şi sunt icircntotdeauna pozitive (aria

119889119860 este icircntotdeauna pozitivă și este multiplicată cu patratul distanței 1199102 dacă 119868119911 sau 119868119910

sunt nule icircnseamnă ca secțiunea nu există)

Momentele de inerție axiale se calculează icircndeosebi pentru axele centrale (care

trec prin centrul secțiunii) deoarece icircn raport cu acele axe 119868119911 și 119868119910 au valori minime

Momentul de inerţie centrifugal calculat faţă ambele axe ale sistemului de

referinţă 119911119874119910 este definit de relația

119868119911119910 ≝ int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860

(48)

Momentul de inerţie centrifugal se măsoară icircn [1198981198984] şi poate fi pozitiv negativ

sau nul

Momentul de ineție centrifugal este nul 119868119911119910 = 0 dacă cel puțin una din axele 119874119911

sau 119874119910 este axă de simetrie pentru secțiune

Se consideră o suprafaţă dreptunghiulară pe care faţă de axa de simetrie 119874119910 se iau

două suprafeţe elementare de arie 119889119860 simetrice faţă de axa 119874119910 figura 43

Fig 43 Suprafață dreptunghiulară cu două arii elementare 119889119860

Făcacircnd suma momentelor de inerţie centrifugale pentru cele două suprafeţe

elementare 119889119860 (din stacircnga şi din dreapta faţă de axa 119874119910) se obţine

int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860119889119903

+ int (minus119911) ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860119904119905119892

= int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860119889119903

minus int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860119904119905119892

= 0 (49)

Acelaşi raţionament se poate face și pentru icircntreaga suprafaţă de unde obținem că

momentul de inerție centrifugal este nul 119868119911119910 = 0 Deci pentru o suprafaţă plană care

are cel puţin o axă de simetrie momentul de inerţie centrifugal faţă de sistemul care

conţine acea axă de simetrie este nul

Momentul de inerţie polar al unei suprafeţei icircn raport cu un punct (pol) 119874 figura

42 este definit prin relaţia

1198680 = 119868119901 ≝ int 1205882 ∙ 119889119860

119860

= int(1199102 + 1199112) ∙ 119889119860

119860

= 119868119911 + 119868119910 (410)

unde este distanţa de la polul 119874 la elementul de arie 119889119860 Momentul de inerţie polar se

măsoară icircn [1198981198984] şi este totdeauna pozitiv

Momentul de inerţie polar este egal cu suma momentelor de inerţie faţă de două axe

perpendiculare oarecare şi care trec prin polul considerat

Razele de giraţie sau razele de inerţie sunt mărimi calculate icircn raport cu axele

secțiunii și definite de relaţiile

119894119911 ≝ radic119868119911119860 119894119910 = radic

119868119910

119860 (411)

Se exprimă icircn [119898119898] şi sunt icircntotdeauna pozitive Semnificația unei raze de inerție

este distanța la care dacă ar fi concentrată icircntreaga arie s-ar obține același moment de

inerție ca și cel calculat pentru aria reală

44 Modulul de rezistenţă

Modulul de rezistență se calculează icircn raport cu axele de referință sau icircn raport cu

un pol figura 42 și pot fi axiale (119882119911119882119910) sau polar (119882119901) și se determină numai pe baza

momentelor de inerţie cu relațiile figura 43

119882119911119898119894119899 ≝119868119911119910119898119886119909

119882119911119898119886119909 ≝119868119911119910119898119894119899

(412)

119882119910119898119894119899 ≝119868119910

119911119898119886119909 119882119910119898119886119909 ≝

119868119910

119911119898119894119899 (413)

119882119901 ≝119868119901

120588119898119886119909 (414)

unde

119910119898119886119909 119910119898119894119899 reprezintă distanţa de la axa 119874119911 la punctele extreme cele mai

depărtate respectiv cele mai apropiate ale suprafeţei de această axă

119911119898119886119909 119911119898119894119899 reprezintă distanţa de la axa 119874119910 la punctele extreme cele mai

depărtate respectiv cele mai apropiate ale suprafeţei de această axă

120588119898119886119909 reprezintă distanța maximă de la polul 119874 la punctul secțiunii cel mai

icircndepărtat de acesta

Fig 43 Suprafață dreptunghiulară cu două arii elementare 119889119860

Modulele de rezistenţă se exprimă icircn [1198981198983] şi sunt icircntotdeauna pozitive

Explicația este aceea că momentele de inerție care intră icircn relațiile de definiție sunt

pozitive iar distanțele la punctele extreme sunt pozitive (119910119898119886119909 119910119898119894119899 119911119898119886119909 119911119898119894119899 120588119898119886119909 se

iau icircn valoare absolută)

Icircn cazul suprafeţelor compuse modulul de rezistenţă nu se obţine prin icircnsumarea

algebrică a modulelor de rezistenţă ale suprafeţelor simple componente ci numai prin

intermediul momentului de inerţie axial calculat pentru icircntreaga secțiune

Ca și momentele de inerție modulele de rezistență se calculează numai pentru

sistemele de axe centrale

45 Momente de inerţie şi module de rezistenţă pentru suprafeţe simple

451 Secțiune dreptunghiulară

Fie suprafaţa dreptunghiulară din figura 44 de icircnălțime ℎ și lățime 119887 pe care se

consideră suprafaţă elementară de arie 119889119860 = 119887119889119910 la distanța 119910 de axa 119862119911 sistemul de

axe 119911119862119910 trece prin centrul secțiunii iar axele sunt axe de simetrie pentru dreptunghi

Fig 44 Suprafață dreptunghiulară

Pe baza relațiilor de definiți a momentului de inerție 119868119911 se obține

119868119911 ≝ int 1199102 ∙ 119889119860

119860

= int 1199102 ∙ 119887 ∙ 119889119910 = 2int 1199102 ∙ 119887 ∙ 119889119910 = 2 ∙ 119887 ∙1199103

3|ℎ 2frasl

0rArr

ℎ 2frasl

0

ℎ 2frasl

minusℎ 2frasl

rArr 119868119911 =119887 ∙ ℎ3

12

(415)

Analog pentru un element de arie 119889119860 = ℎ ∙ 119889119911 paralel cu axa 119862119910 situat la distanța

119911 de axa 119862119910

119868119910 ≝ int 1199112 ∙ 119889119860

119860

= int 1199112 ∙ ℎ ∙ 119889119911 = 2int 1199112 ∙ ℎ ∙ 119889119910 = 2 ∙ ℎ ∙1199113

3|119887 2frasl

0rArr

119887 2frasl

0

119887 2frasl

minus119887 2frasl

rArr 119868119910 =1198873 ∙ ℎ

12

(416)

Deoarece axele 119862119911 și 119862119910 sunt axe de simetrie momentul de inerție centrifugal este

119868119911119910 = 0 (417)

Pentru un pătrat avacircnd laturile egale (ℎ = 119887 = 119886) momentele de inerţie faţă de

axele centrale au expresia

119868119911 = 119868119910 =1198864

12 (418)

Modulele de rezistență axiale se calculează cu relațiile de definiție ținacircnd cont că

distanțele pacircnă la fibrele extreme sunt

119910119898119886119909 = 119910119898119894119899 =ℎ

2 119911119898119886119909 = 119911119898119894119899 =

119887

2 (419)

Obținem

119882119911119898119894119899 = 119882119911119898119886119909 =119868119911

119910119898119886119909119898119894119899=119887 ∙ ℎ3

12frasl

ℎ2frasl

=119887 ∙ ℎ2

6

119882119910119898119894119899 = 119882119910119898119886119909 =119868119910

119911119898119886119909119898119894119899=1198873 ∙ ℎ

12frasl

1198872frasl

=1198872 ∙ ℎ

6

(420)

452 Suprafaţă circulară

Din motive de simetrie pentru suprafeţele circulare momentele de inerţie faţă de

orice diametru (care reprezintă şi axe centrale) sunt aceleaşi

Considerăm o secțiune circulară plină cu diametrul 119889 și centrul de greutate 119862 Prin

centrul de greutate 119862 trece sistemul de axe ortogonal 119911119862119910 figura 45

Fig 45 Suprafață circulară

La distanța de centrul de greutate 119862 vom lua un element de suprafață mic de arie

(119889119860) de forma unui inel de grosime 119889 Elementul de arie 119889119860 are expresia

119889119860 = (2 ∙ 120587 ∙ 120588) ∙ (119889120588)

Pornind de la relația de definiție a momentului de inerție polar obținem

119868119901 ≝ int 1205882 ∙ 119889119860

119860

= int 1205882 ∙ (2 ∙ 120587 ∙ 120588) ∙ 119889120588

119903=119889 2frasl

0

= 2 ∙ 120587 ∙1205884

4|119889 2frasl0 rArr

rArr 119868119901 =120587 ∙ 1198894

32

(421)

Secțiunea este perfect simetrică deci sunt valabile relațiile

119868119911 = 119868119910 rArr 119868119901 = 119868119911 + 119868119910 = 2 ∙ 119868119911 = 2 ∙ 119868119910 =119868119901

2=120587 ∙ 1198894

64 (422)

Și modulele de rezistenţă faţă de orice diametru sunt egale şi se calculează cu

relaţiile

119882119911 = 119882119910 =1198681199111198892frasl=120587 ∙ 1198893

32 (423)

Modulul de rezistenţă polar este

119882119901 =1198681199011198892frasl=120587 ∙ 1198893

16 (424)

453 Secţiune inelară

Calculul momentelor de inerţie axiale pentru o secţiune inelară avacircnd diametrul

interior 119889 şi diametrul exterior 119863 se determină analog pentru suprafaţa circulară plină cu

observaţia că integrala pentru calculul momentului de inerție polar 119868119901 se face icircntre

limitele 119903 = 119889 2frasl şi R= 1198632frasl (icircntre raza interioară 119903 şi raza exterioară 119877) figura 46

Se obţin relaţiile

119868119901 =120587 ∙ 1198634

32∙ [1 minus (

119889

119863)4

] =120587 ∙ 1198634

32∙ (1 minus 1198964) (425)

119868119910 = 119868119910 =120587 ∙ 1198634

64∙ [1 minus (

119889

119863)4

] =120587 ∙ 1198633

64∙ (1 minus 1198964) (426)

Fig 46 Secțiune inelară

119882119901 =120587 ∙ 1198633

16∙ [1 minus (

119889

119863)4

] =120587 ∙ 1198633

16∙ (1 minus 1198964) (427)

119882119911 = 119882119910 =120587 ∙ 1198633

32∙ [1 minus (

119889

119863)4

] =120587 ∙ 1198633

32∙ (1 minus 1198964) (428)

unde 119896 = 119889119863frasl

46 Variaţia momentelor de inerţie faţă de axe paralele

( Relațiile lui STEINER)

Se consideră o suprafaţă oarecare de arie 119860 cu elementul de arie 119889119860 și un sistemul

de axe central 119911119862119910 faţă de care se cunosc momentele de inerţie 119868119911 119868119910 119868119911119910 şi considerăm

un sistem de axe 11991111198741199101 paralele cu sistemul central figura 47 Se pune problema

determinării momentele de inerţie 1198681199111 1198681199101 11986811991111199101 faţă de sistemul de axe paralel cu sistemul

central 11991111198741199101 axe aflate la distanţele 119910119862 = 119888 respectiv 119911119862 = 119889 de acesta

461 Momente de inerţie axiale

Pe baza relaţiilor de definire şi a notaţiilor din figura 42 pentru momentele de

inerţie faţă de axele 1198741199111 1198741199101 se poate scrie

1198681199111 = int 11991012 ∙ 119889119860

119860

= int(119910 + 119888)2 ∙ 119889119860

119860

= int 1199102 ∙ 119889119860

119860

+ 2 ∙ 119888 ∙ int 119910 ∙ 119889119860

119860

+

+1198882int 119889119860

119860

rArr 1198681199111 = 119868119911 + 2 ∙ 119888 ∙ 119878119911 + 1198882 ∙ 119860 hArr 1198681199111 = 119868119911 + 119888

2 ∙ 119860

(429)

Fig 47 Variaţia momentelor de inerţie față de axe paralele

S-a ajuns la relația (429) deoarece momentul static 119878119911 este nul deoarece axa 119862119885

este axă centrală

Pentru momentul de inerție axial icircn raport cu axa 1198741199101 se obține

1198681199101 = int 11991112 ∙ 119889119860

119860

= int(119911 + 119889)2 ∙ 119889119860

119860

= int 1199112 ∙ 119889119860

119860

+ 2 ∙ 119889 ∙ int 119911 ∙ 119889119860

119860

+

+1198892 ∙ int 119889119860

119860

rArr 1198681199101 = 119868119910 + 2 ∙ 119889 ∙ 119878119910 + 1198892 ∙ 119860 hArr 1198681199101 = 119868119910 + 119889

2 ∙ 119860

(430)

Pentru momentul de inerție centrifugal obținem

11986811991111199101 = int 1199101 ∙ 1199111 ∙ 119889119860

119860

= int(119910 + 119888) ∙ (119911 + 119889) ∙ 119889119860

119860

= int 119910 ∙ 119911 ∙ 119889119860 +

119860

+119888 ∙ int 119911 ∙ 119889119860

119860

+ 119889 ∙ int 119910 ∙ 119889119860

119860

rArr 11986811991111199101 = 119868119911119910 + 119888 ∙ 119889 ∙ 119860

(431)

Deoarece

int 119911 ∙ 119889119860

119860

= 119878119910 = 0 int 119910 ∙ 119889119860

119860

= 119878119911 = 0 int 119910 ∙ 119911 ∙ 119889119860

119860

= 119868119911119910

Relaţiile (429) şi (430) arată că momentul de inerţie faţă de o axă oarecare

este egal cu momentul de inerţie faţă de o axă paralelă cu ea trecacircnd prin centrul de

greutate la care se adaugă produsul dintre aria suprafeţei şi pătratul distanţei dintre

cele două axe

Din relaţiile (429) și (430) rezultă de asemenea că momentul de inerţie faţă de o

axă centrală (care trece prin centrul de greutate) este cel mai mic dintre infinitatea de

momente de inerţie obținute faţă de alte axe paralele cu ea

Relaţia (431) arată de asemenea că momentul de inerţie centrifugal faţă de un

sistem de axe oarecare este egal cu momentul de inerţie centrifugal faţă de un sistem

paralele cu el trecacircnd prin centrul de greutate a suprafeţei la care se adaugă produsul

dintre aria suprafeţei şi distanţele dintre axele sistemelor respective

Icircn literatura de specialitate relaţiile (429) (430) şi (431) sunt cunoscute sub

numele de relaţiile lui Steiner

47 Variaţia momentrlor de inerţie faţă de axe rotite

Direcţii principale şi momente de inerţie principale

Fie suprafaţa plană din figura 48 de arie 119860 pe care considerăm o suprafaţă

elementară de arie 119889119860 Pentru sistemul de axe 119911119874119910 se cunosc momentele de inerţie

119868119911 119868119910 119868119911119910 şi vom determina relaţiile de calcul pentru momentele de inerţie afererent unui

sistem de axe 11991111198741199101 rotit cu un unghi faţă de sistemul central

Faţă de sistemul de axe 11991111198741199101 elementul de arie 119889119860 are coordonatele

1199101 = 119875119877 = 119875119876 minus 119877119876 = 119910 ∙ cos 120572 minus 119911 ∙ sin 120572

1199111 = 119873119872 = 119873119875 minus 119875119872 = 119911 ∙ cos 120572 + 119910 ∙ sin 120572 (432)

Fig 47 Variaţia momentelor de inerţie față de axe rotite

Pe baza relaţiilor de calcul ale momentelor de inerţie şi a notaţiilor din figura 42

şi ale relaţiilor (432) momentele de inerţie faţă de sistemul de axe rotit 11991111198741199101 sunt

1198681199111 =119868119911 + 119868119910

2+119868119911 minus 119868119910

2∙ cos 2120572 minus 119868119911119910 ∙ sin 2120572 (433)

1198681199101 =119868119911 + 119868119910

2minus119868119911 minus 119868119910

2∙ cos 2120572 + 119868119911119910 ∙ sin 2120572 (434)

11986811991111199101 =119868119911 minus 119868119910

2∙ sin 2120572 + 119868119911119910 ∙ cos 2120572 (435)

Din relaţiile 433divide435 se observă că icircntre momentele de inerţie axiale şi cele

polare există relaţia

1198681199111 + 1198681199101 = 119868119911 + 119868119910 = 119868119901 (436)

adică suma momentelor de inerţie axiale icircn raport cu orice pereche de axe ortogonale

care trec printr-un pol dat este o constantă şi egală cu momentul de inerţie polar

Prin rotirea sistemului de axe din relaţiile 433divide435 rezultă că momentele de inerţie

variază icircnsă suma lor rămacircne constantă deci există o poziţie a sistemului de axe pentru

care momentele de inerţie au valori extreme maxim respectiv minim

471 Direcţii principale de inerţie

Valoarea unghiului 120572 pentru care momentele de inerţie axiale au valori extreme

este

1205721 =1

2∙ 119886119903119888119905119886119899 (minus

2 ∙ 119868119911119910

119868119911 minus 119868119910) (437)

Poziţia celeilalte direcţii este perpendiculară pe cea dată de unghiul 1205721

Din relaţia (437) se constată că faţă de aceste direcţii rotite pentru care momentele

de inerţie axiale prezintă valori extreme momentul de inerţie centrifugal 11986811991111199101este nul

Atunci se poate afirma că momentele de inerţie axiale au valori extreme icircn raport cu

direcţiile faţă de care momentul de inerţie centrifugal este nul Aceste direcţii se numesc

direcţii principale iar momentele de inerţie faţă de aceste direcţii poartă numele de

momente de inerţie principale

Icircn calculele de rezistenţă interesează icircn mod special poziţia direcţiilor principale

care trec prin centrul de greutate al suprafeţei aşa numitele direcţii principale centrale şi

evident momentele de inerţie principale centrale

Direcţiile principale de inerţie se notează cu 1 respectiv 2 Axa principală 1

corespunde direcţiei faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea maximă iar

axa principală 2 pentru direcţia faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea

minimă

472 Momente de inerţie principale

Momentele de inerţie principale se notează cu litera 119868 la care se pune indicele 1

sau 2 după cum valoarea acestuia este maximă sau minimă deci avem un moment de

inerţie principal 1 (notat 1198681) respectiv moment de inerţie principal 2 (notat 1198682)

Expresiile pentru momentele de inerţie principale sunt

11986812 =119868119911 + 119868119910

2plusmn1

2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)

2+ 4 ∙ (119868119911119910)

2 (438)

Dacă momentul de inerţie centrifugal este negativ (119868119911119910 lt 0) direcţia principală

care trece prin primul cadran (definit de sistemul 119911119862119910) este direcţia principală 120783

Pentru suprafeţele cu cel puţin o axă de simetrie direcţiile centrale 119862119911 119862119910 sunt şi

direcții principale de inerţie și evident momentele de inerţie axiale 119868119911 119868119910 sunt momente

de inerţie principale

48 Caracteristici mecanice ale metalelor

Alegerea materialului pentru confecţionarea unei anumite piese se face şi pe baza

aşa numitelor caracteristici mecanice pe care le prezintă materialul Cunoaşterea acestor

caracteristici mecanice are loc numai pe baza unor icircncercări mecanice care să scoată icircn

evidenţă comportarea materialului icircn condiţii de solicitare

Cea mai utilizată icircncercare icircn urma căreia se pun icircn evidenţă caracteristicile

mecanice ale unui material este icircncercarea la tracţiune

481 Icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general

Icircncercarea la tracţiune a oţelului ca de altfel toate icircncercările de materiale este

standardizată

Icircn cele ce urmează se va prezenta numai partea care interesează strict din punct

de vedere al caracteristicilor mecanice ale oţelului

Epruveta de diametru iniţial 1198890 pentru icircncercarea la tracţiune are o porţiune de

lungime 1198710 numită baza de măsurare pe care se măsoară lungirea acesteia sub acţiunea

solicitării

Icircn funcţie de raportul dintre baza de măsurare 1198710 şi diametrul iniţial 1198890 epruvetele

utilizate pentru icircncercări sunt

epruvete normale (scurte) cacircnd 11987101198890 = 5

epruvete lungi cacircnd 11987101198890 = 10

Icircn timpul icircncercării la diferite valori ale forţei 119865 se măsoară lungirea bazei de

măsurare

∆119871 = 120575 = 119871 minus 1198710 (439)

unde

119871 este dimensiunea bazei de măsurare la un moment dat

Curba forţă-lungire (119865 minus ) icircnregistrată icircn urma icircncercării reprezintă curba

caracteristică la tracţiune

La icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general diagrama caracteristică care se

obţine are forma din figura 48

Curba caracteristică la tracţiune depinde de lungimea bazei de măsurare Pentru

icircnlăturarea acestui neajuns curba caracteristică se reprezintă icircn coordonate şi definite

astfel

120590 =119865

1198600 휀 =

120575

1198710 (440)

unde

1198600 este aria iniţială a secţiunii transversale a epruvetei (icircnainte de solicitare) icircn

zona bazei de măsurare

1198600 =120587 ∙ 1198890

2

4

Deoarece mărimile icircn care se reprezintă curba caracteristică la tracţiune sunt

raportate la aria iniţială a secţiunii transversale (mărimi specifice) curba poartă numele

de curbă caracteristică convenţională la tracţiune

Fig 48 Curba caracteristică convenţională la tracțiune

Pe curba caracteristică convenţională la tracţiune figura 48 se pot stabili o serie

de puncte cărora le corespund mai multe mărimi importante

Ordonata punctului A pacircnă unde curba caracteristică convenţională este linie

dreaptă se numeşte limita de proporţionalitate a materialului 120590119901(1205901) Porţiunea 119874119860 este

zona de proporţionalitate a curbei caracteristice pe acest domeniu este valabilă legea lui

Hooke care exprimă o proporţionalitate icircntre tensiune şi deformaţie specifică

120590 = 119864 ∙ 휀 (441)

unde

119864 = reprezintă panta porţiunii liniare a curbei convenționale caracteristice

la tracțiune Caracteristica de material 119864 se numeşte modul de elasticitate longitudinal

(modulul lui Young)

Ordonata punctului 119861 pacircnă unde materialul se comportă perfect elastic adică

după descărcare icircşi recapătă dimensiunea iniţială 1198710 se numeşte limita de elasticitate

120590119890(119877119890) Icircn realitate nici un material nu are comportare perfect elastică sub acţiunea

solicitărilor el capătă deformaţii permanente (remanente plastice)

După punctul 119861 urmează o porţiune 119861119862119863 icircn care cu toate că icircncărcarea

continuă forţa nu mai creşte avacircnd mici oscilaţii icircn jurul unei valori Se spune că icircn

această porţiune materialul curge iar intervalul 119861119862119863 este un palier de curgere Tensiunea

corespunzătoare palierului de curgere se numeşte limită de curgere aparentă 120590119888(119877119888) Limita de curgere aparentă se calculează cu relaţia

120590119888 =1198651198881198600 (442)

unde

119865119888 reprezintă valoarea forţei icircnregistrată icircn momentul curgerii materialului

După punctul 119863 curba caracteristică are un traseu ascendent pacircnă icircn punctul 119864

Porţiunea 119863119864 este numită zonă de icircntărire (ecruisare) Icircn zona de ecruisare unde se

produc deformaţii plastice semnificative legea lui Hooke nu mai este valabilă La

descărcare relaţia dintre tensiunea şi deformaţia specifică este liniară paralelă cu

porţiunea liniară a curbei caracteristice (dreapta 119872119873)

Deformaţia totală (휀119905) are două componente una elastică (휀119890) şi una plastică (휀119901)

Ordonata punctului 119864 reprezintă rezistenţa de rupere 120590119903(119877119898) a materialului

care se poate calcula cu relaţia

120590119903 = 119877119898 =1198651198981198861199091198600

(443)

unde

119865119898119886119909 reprezintă valoarea maximă a forţei icircnregistrată icircn timpul icircncercării

La atingerea valorii 119865119898119886119909 (punctul 119864) icircntr-un anumit loc al epruvetei secţiunea

icircncepe să se micşoreze (se produce gacirctuirea) continuacircnd pacircnă cacircnd se produce ruperea

totală (punctul 119865)

Dacă după ruperea epruvetei cele două părţi rezultate se aşează cap la cap şi se

măsoară dimensiunea bazei de măsurare 119871119906 (lungimea ultimă) se determină alungirea la

rupere sau lungirea specifică la rupere 휀119903

휀119903 =119871119906 minus 11987101198710

=∆119871

1198710=120575

1198710 (444)

De obicei alungirea se exprimă icircn procente şi se notează cu 119860119899 unde 119899 reprezintă

numărul dat de raportul 11987101198890 (epruvete normale 119899 = 5 epruvete lungi 119899 = 10)

119860119899 =119871119906 minus 11987101198710

∙ 100 [] (445)

Altă mărime care se determină la icircncercarea la tracţiune este gacirctuirea la rupere

(exprimată de obicei icircn procente) şi definită de relaţia

119885 =1198600 minus 1198601199061198600

∙ 100 [] (446)

Mărimile determinate limita de proporţionalitate modulul de elasticitate

longitudinal limita de elasticitate limita de curgere aparentă rezistenţa de rupere

alungirea la rupere şi gacirctuirea la rupere sunt cunoscute ca fiind caracteristici mecanice

ale materialului

Din curba caracteristică convenţională observăm faptul că ruperea (punctul 119865 din

figura 48 se produce la o tensiune mai mică decacirct cea corespunzătoare punctului 119864 Dacă

icircnsă forţa din timpul icircncercării s-ar raporta la aria secţiunii din momentul icircnregistrării

forţei (care este mai mică decacirct cea iniţială 1198600) s-ar obţine aşa numita curbă

caracteristică reală a materialului (traseul 1198741198601198611198621198631198651 din figura 48) La curba

caracteristică reală ruperea se produce icircn punctul 1198651 la o icircncărcare mai mare decacirct cea

corespunzătoare punctului 119864 Icircnseamnă că rezistenţa reală la rupere este mai mare decacirct

rezistenţa la rupere dată de punctul 119864 din diagrama caracteristică convenţională

Dificultatea obţinerii diagramei caracteristice reale faţă de cea a diagramei caracteristice

convenţionale şi considerarea unei rezistenţe la rupere mai mică decacirct a celei reale face

icircn practică utilizarea pe scară mare a diagramei caracteristice convenţionale

Caracteristicile mecanice determinate pe baza curbei caracteristice convenţionale

sunt şi ele caracteristici mecanice convenţionale

Caracteristicile mecanice convenţionale limita de proporţionalitate convenţională

120590119901 limita de elasticitate convenţională 120590119890 limita de curgere convenţională 120590119888 şi rezistenţa

de rupere 120590119903 constituie tensiuni limită pentru un material Pe baza acestor caracteristici

de material se alege valoarea tensiunii admisibile 120590119886 (vezi paragraful 35) pentru

calculele de rezistenţă Cea mai utilizată stare limită pentru stabilirea tensiunii admisibile

120590119886 este limita de curgere convenţională 120590119888

120590119886 =120590119897119894119898119888

=120590119888119888 119904119886119906 120590119886 =

120590119903119888 (447)

Caracteristicile mecanice ale materialului sunt influenţate de o serie de factori

temperatura viteza de solicitare factorii tehnologici iar valorile lor sunt date icircn tabele și

diagrame

Aplicaţie Pentru suprafaţa plană compusă din două dreptunghiuri avacircnd

dimensiunile din figura 49a să se calculeze

a) centrul de greutate al secțiunii compuse 119910119866 119911119866

b) momentele de inerție axiale 119868119911 119868119910 și momentul de inerție centrifugal 119868119911119910

c) razele de inerție 119894119911 119894119910

d) modulele de rezistență 119882119911119898119894119899 119882119911119898119886119909 119882119910119898119894119899 119882119910119898119886119909

e) momentele de inerție principale 1198681 1198682 și direcțiile principale de inerție 1205721

f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 119878119911

Fig 49 Aplicație

Rezolvare Pentru rezolvare vom parcurge următoarele etape

icircmpărțim suprafața compusă icircn două suprafețe simple (dreptunghiuri) notate cu

① și respectiv ② figura 49b

poziționăm centrele de greutate a celor două suprafețe simple ① și respectiv ②

notate cu 1198661 și respectiv 1198662 figura 49c

poziționăm sistemele de axe de coordonate 119911111986611199101 pentru dreptunghiul ① și

119911211986621199102 pentru dreptunghiul ② aflate la intersecția diagonalelor figura 49c

poziționăm sistemele de axe de coordonate 11991101198741199100 ales arbitrar față de care

determinăm poziția centrului de greutate 119866 figura 49c

a) calculăm poziția centrului de greutate folosind relațiile (46) icircn care

1198601 = 6119905 ∙ 119905 = 61199052 1198602 = 4119905 ∙ 119905 = 41199052 119860 = 1198601 + 1198602 = 61199052 + 41199052 = 101199052

iar centrele de greutate 1198661 și respectiv 1198662 au coordonatele (față de sistemul 11991101198741199100)

1198661 1199101 = 3119905 1199111 = 05119905

1198662 1199102 = 051199051199112 = 3119905

cu acestea obținem

119910119866 =1198601 ∙ 1199101 + 1198602 ∙ 1199102

119860=61199052 ∙ 3119905 + 41199052 ∙ 05119905

101199052=201199053

101199052= 2119905

119911119866 =1198601 ∙ 1199111 + 1198602 ∙ 1199112

119860=61199052 ∙ 05119905 + 41199052 ∙ 3119905

101199052=151199053

101199052= 15119905

Poziționăm centrul de greutate 119866 al suprafeței compuse figura 49c

Fig 49 Aplicație

b) pentru determinarea momentelor de inerție axiale 119868119911 119868119910 și a momentului de

inerție centrifugal 119868119910119911 determinăm constantele 1198881 1198882 1198891 1198892 care intervin icircn relația lui

Stainer

1198881 = 1199101 minus 119910119866 = 3119905 minus 2119905 = 119905 1198882 = minus(119910119866 minus 1199102) = minus(2119905 minus 05119905) = minus15119905

1198891 = minus(119911119866 minus 1199111) = minus(15119905 minus 05119905) = minus119905 1198892 = 1199112 minus 119911119892 = 3119905 minus 15119905 = 15119905

Folosind relațiile lui Stainer (429) (430) și (431) calculăm momentele de

inerție axiale și centrifugale față de sistemul central 119911119866119866119910119866

119868119911 =sum(119868119911119894 + 1198881198942 ∙ 119860119894) = 1198681199111 + 1198881

2 ∙ 1198601 + 1198681199112 + 11988822 ∙ 1198602

119868119910 =sum(119868119910119894 + 1198891198942 ∙ 119860119894) = 1198681199101 + 1198891

2 ∙ 1198601 + 1198681199102 + 11988922 ∙ 1198602

119868119911119910 =sum(119868119911119894119910119894 + 119888119894 ∙ 119889119894 ∙ 119860119894) = 11986811991111199101 + 1198881 ∙ 1198891 ∙ 1198601 + 11986811991121199102 + 1198882 ∙ 1198892 ∙ 1198602

1198681199111 = (119887 ∙ ℎ3

12) =

119905 ∙ (6119905)3

12= 181199054 1198681199112 = (

119887 ∙ ℎ3

12) =

4119905 ∙ 1199053

12= 031199054

1198681199101 = (1198873 ∙ ℎ

12) =

1199053 ∙ 6119905

12= 051199054 1198681199102 = (

1198873 ∙ ℎ

12) =

(4119905)3 ∙ 119905

12= 531199054

11986811991111199101 = 11986811991121199102 = 0 deoarece cele două triunghiuri au cel puțin o axă de simetrie

Cu acestea momentele de inerție axiale și momentul de inerție centrifugal devin

119868119911 = 181199054 + 1199052 ∙ 61199052 + 031199054 + (minus15119905)2 ∙ 41199052 = 3331199054

119868119910 = 051199054 + (minus119905)2 ∙ 61199052 + 531199054 + (15119905)2 ∙ 41199052 = 2081199054

119868119911119910 = 0 + 119905 ∙ (minus119905) ∙ 61199052 + 0 + (minus15119905) ∙ (15119905) ∙ 41199052 = minus151199054

c) razele de inerție sau de girație față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910

se calculează cu relațiile (411)

119894119911 = radic119868119911119860= radic

3331199054

101199052= 182119905 119894119910 = radic

119868119910

119860= radic

2081199054

101199052= 144119905

d) modulele de rezistență față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910 se

calculează cu relațiile (412) și (413)

Avacircnd icircn vedere figura 419c obținem

119910119898119886119909 = 6119905 minus 119910119866 = 6119905 minus 2119905 = 4119905 119910119898119894119899 = minus119910119866 = minus2119905

119911119898119886119909 = 5119905 minus 119911119866 = 5119905 minus 15119905 = 35119905 119911119898119894119899 = minus119911119866 = minus15119905

Se obține astfel

119882119911119898119894119899 =119868119911

|119910119898119886119909|=3331199054

4119905= 8331199053

119882119911119898119886119909 =119868119911

|119910119898119894119899|=3331199054

2119905= 16651199053

119882119910119898119894119899 =119868119910

|119911119898119886119909|=2081199054

35119905= 5941199053

119882119910119898119886119909 =119868119910

|119911119898119894119899|=2081199054

15119905= 13871199053

e) momentele de inerție principale 1198681 și respectiv 1198682 se calculează cu relațiile

(438)

11986812 =119868119911 + 119868119910

2plusmn1

2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)

2+ 4 ∙ (119868119911119910)

2=

=3331199054 + 2081199054

2plusmn1

2∙ radic(3331199054 minus 2081199054)2 + 4 ∙ (minus151199054)2 = 27051199054 plusmn 16251199054

De unde obținem

1198681 = 27051199054 + 16251199054 = 4331199054

1198682 = 27051199054 minus 16251199054 = 1081199054

Prima direcție principală de inerție 1 face cu axa centrală 119866119911 unghiul 1205721 dat de

relația (437)

1205721 =1

2∙ arctan (minus

2 ∙ 119868119911119910

119868119911 minus 119868119910) =

1

2∙ arctan [minus

2 ∙ (minus151199054)

3331199054 minus 2081199054] =33 70

Deoarece 1205721 gt 0 rotirea axelor se face acircn sens antiorar acelor de ceasornic figura

49d

Poziția axe principale 2 față de care momentul de inerție are valoarea minimă

1198682 = 119868119898119894119899 este dată de unghiul

1205722 = 1205721 + 900 = 33 70 + 900 = 123 70

f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 se determină cu relația

(45)

1198781199111198602 = 1198602 ∙ 1198882 = 41199052 ∙ (minus15119905) = minus61199053

dimensiunilor corpurilor ca urmare a acțiunii forțelor exterioare și nu cele cinematice

posibile pentru solidul rigid care se poate deplasa cu anumită viteză și accelerație

Spre exemplu icircn figura 34a și figura 34b sub acțiunea forței 119865 tronsonul de

bară AB se deformează icircn timp ce tronsonul BC deși punctele sale au deplasări rămacircne

nedeformat (fiind nesolicitat) Toate punctele de pe axele barelor cu excepția celor din

icircncastrare (secțiunile A) au deplasări liniare De cele mai multe ori deformațiile barelor

datorate acțiunii forțelor exterioare se anulează la icircndepărtarea forțelor se spune că

deformațiile sunt elastice Secțiunile transversale ale barei din figura 34a se și rotesc icircn

raport cu pozițiile lor inițiale Spre exemplu secțiunea de căpăt cu centrul icircn C se rotește

cu unghiul

Fig 34 Deformațiile unei grinzi

Oricacirct de complexă ar fi delormația unui corp ea poate fi descrisă de lungiri sau

scurtări și de modificări ale unghiurilor inițiale

Deplasările măsoară schimbarea poziției unui punct al corpului și pot fi liniare

sau unghiulare

Prin deplasare liniară a unui punct se icircnțelege drumul parcurs de acest punct icircn

decursul procesului de deformație după o dreaptă suport dreapta 1198611198611 din figura 34a

Prin deplasare unghiulară se icircnțelege rotirea dintre segmentele de dreaptă

determinate de două puncte ale corpului icircnainte și după deformarea acestuia unghiul

pe care-l fac segmentele 119861119862 și 11986111198621 din figura 34a Această rotire se măsoară prin

unghiul pe care-l fac proiecțiile dreptelor ce conțin cele două segmente icircntr-un sistem

triortogonal

Icircn cazul cel mai general vectorul deplasare liniară se poate descompune icircntr-un

sistem triortogonal icircn trei componente 119906 119907 și 119908 figura 35

Fig 35 Deplasarea liniară

Se consideră acum un corp solid raportat la un sistem de axe ortogonal 119909119874119910119911

figura 35 după deformarea corpului un punct oarecare 119870 al acestuia se deplasează icircn

poziţia 1198701 vectorul 1198701198701 poartă numele de vectorul deplasării totale

Deplasarea totală este suma deplasărilor pe cele trei direcţii ortogonale iar

aceste deplasări se notează astfel

deplasarea pe direcţia 119909 cu ∥ 119874119909

deplasarea pe direcţia 119910 cu ∥ 119874119910

deplasarea pe direcţia 119911 cu ∥ 119874119911

Componentele deplasărilor și formeză matricea deplasărilor liniare 119906119907119908

322 Deformații

Prin deformație icircn general se icircnțelege orice schimbare de formă a unui corp fără

o evaluare cantitativă Icircn Rezistența Materialelor deformația măsoară variația

dimensiunilor geometrice ale corpului considerat din vecinătatea unui punct analog

deplasărilor deformațiile pot fi liniare și unghiulare (lunecări)

Fig 36 Deplasarea liniară

Deformația liniară ∆119897 reprezintă variația lungimii 119897 a unui element liniar al

corpului deformat figura 36 Deformația liniară specifică se definește ca fiind raportul

dintre deformația liniară și lungimea inițială

휀 =∆119897

119897 (38)

unde ∆119897 este lungirea sau scurtarea care este echivalentă cu deformția liniară totală iar

este alungirea

Deformația unghiulară sau lunecarea unui punct 119860 icircn planul 119861119860119862 se definește

prin relația figura 37

120574 = lim119861119860rarr0119862119860rarr0

(119861119860 minus 119861111986011198621 ) (39)

Fig 36 Deformația unghiulară

Schimbacircnd orientarea planului care trece prin 119860 se obțin alte deformații

unghiulare Dacă elementele liniare 119861119860 și 119862119860 sunt inițial perpendiculare deformația 120574 se

numește deformație unghiulară specifică sau lunecare specifică figura 37

Un exemplu de deplasare unghiulară și de deformație unghiulară este prezentat icircn

figura 38 Unghiul este deplasarea unghiulară și măsoară rotirea relativă dintre două

secțiuni aflate la distanța 119897 Unghiul este deformația specifică unghiulară (lunecarea

specifică) din punctul 119870 Aceste deplasări și deformații se obțin icircn urma solicitării barei

de către cele două momente 1198720 egale și de sens contrar

Fig 38 Deplasarea unghiulară

Pentru a analiza starea de deformație din vecinătatea unui punct al unui corp

solicitat complex se decupează din jurul punctului un element de volum mic figura 39a

avacircnd laturile 119889119909 119889119910 și 119889119911 Ca urmare a solicitării laturile acestuia se vor lungi sau

scurta Reprezentarea elementului deformat icircn spațiu este dificilă pentru simplificare

vom analiza doar deformațiile din planul 119909119874119910 Observăm că dimensiunile 119889119909 și 119889119910 s-au

modificat cu valoarea ∆119889119909 respectiv cu ∆119889119910 analog se acceptă și pentru 119889119911 o modificare

de forma ∆119889119911 Astfel se pot defini deformațiile specifice liniare

휀119909 =∆119889119909

119889119909 휀119910 =

∆119889119910

119889119910 휀119911 =

∆119889119911

119889119911 (310)

De cele mai multe ori aceste deformații specifice liniare se pot exprima procentual

și se mai numesc alungiri

Fig 39 Starea de deformație

Icircn figura 39c se vede că unghiul inițial drept dintre muchiile 119889119909 și 119889119910 ale

elementului de volum s-a modificat Se definește deformația specifică unghiulară (sau

lunecarea specifică) mărimea cu care se modifică unghiul inițial drept

120574119909119910 = 120574119909119910prime + 120574119910119909

prime = 120574119910119909120574119910119911 = 120574119910119911

prime + 120574119911119910prime = 120574119911119910

120574119911119909 = 120574119911119909prime + 120574119909119911

prime = 120574119909119911

(311)

Deformațiile 휀119909 휀119910 휀119911 120574119909119910 120574119910119911 120574119911119909 constituie cele șase componente

independente ale tensorului deformațiilor specifice care pot fi scrise de forma

119863 =

휀119909 120574119909119910 120574119909119911120574119910119909 휀119910 120574119910119911120574119911119909 120574119911119910 휀119911

(312)

323 Contracţia transversală

Practica arată că odată cu lungirea unei bare apare o micşorare a mărimii secţiunii

transversale mărime numită contracţie transversală figura 310

Fig 310 Contracția transversală

Contracţia transversală este proporţională cu lungirea specifică coeficientul de

proporţionalitate se notează cu 120599 şi se numeşte coeficient de contracţie transversală sau

coeficientul lui Poisson

La o lungire specifică a barei contracţia transversală este dată de relația

휀119905119903 = 휀119910 = 휀119911 = minus120599 ∙ 휀119909 (313)

Semnul minus bdquo-rdquo arată că cele două mărimi sunt contrare dacă una creşte cealaltă

scade şi invers

Considerăm o bară cilindrică de lungime 119897 şi aria secţiunii transversale 119860 solicitată

la icircntindere axială La un moment dat datorită solicitării lungimea barei devine

[119897 ∙ (1 + 휀)] diametrul devine [119889 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)] iar aria secţiunii transversale devine

[119860 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)2] Dacă volumul barei icircnainte de solicitare a fost (119860 ∙ 119897) după solicitare

acesta devine

119881 + ∆119881 = 119860 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)2 ∙ 119897 ∙ (1 + 휀) =

= 119860 ∙ 119897 ∙ (1 + 휀 minus 2 ∙ 120599 ∙ 휀 minus 2 ∙ 120599 ∙ 휀2 + 1205992 ∙ 휀2 + 1205992 ∙ 휀3) (314)

Deoarece lungirile sunt foarte mici ultimii trei termeni din paranteză fiind infinit mici se pot neglija obţinacircnd

119881 + ∆119881 = 119860 ∙ 119897 + 119860 ∙ 119897 ∙ 휀 ∙ (1 minus 2 ∙ 120599) ⟺ ∆119881 = 휀 ∙ (1 minus 2 ∙ 120599) ∙ 119860 ∙ 119897 (315)

Practica arătă că o astfel de bară solicitată la icircntindere icircşi măreşte volumul deci

∆119881 gt 0 de unde rezultă că

1 minus 2 ∙ 120599 gt 0 rArr 120599 lt 05 (316)

Pentru majoritatea materialelor 120599 = 033 iar pentru materialele care-şi păstrează

volumul constant 120599 = 05

33 Relaţii de echivalenţă icircntre eforturi şi tensiuni

Considerăm un element de suprafață infinit mic 119889119860 situat pe fața de arie (119860) a

secțiunii barei din figura 311 Icircn centrul de greutate 119862 al secțiunii acționează eforturile

119873 119879119910 119879119911 119872119909 119872119894119910 și 119872119894119911 determinate prin metoda secțiunilor

Icircn raport cu un sistem de axe de referință 119909119862119910119911 coordonatele elementului 119889119860 sunt

- 119910 este ordonata elementului de arie 119889119860

- 119911 este abscisa elementului de arie 119889119860

Pe elementul de arie 119889119860 acționează tensiunile

120590119909 tensiunea normală

120591119909119910 și 120591119909119911 tensiuni tangențiale

Dacă se icircnsumează forțele elementare de tipul 120590119909 ∙ 119889119860 120591119909119910 ∙ 119889119860 și 120591119909119911 ∙ 119889119860

va trebui să obținem eforturile 119873 119879119910 și 119879119911

Fig 311 Element de suprafață mic din secțiunea unei bare

Dacă eforturile sunt privite ca forțe exterioare și se scriu ecuațiile de

echilibru ale secțiunii (119860) se vor obține șase relații de echivalență icircntre eforturi și

tensiuni

(sum119883) = 0 rArr int 120590119909 ∙ 119889119860

119860

= 119873 (317)

(sum119884) = 0 rArr int 120591119909119910 ∙ 119889119860

119860

= 119879119910 (318)

(sum119885) = 0 rArr int 120591119909119911 ∙ 119889119860

119860

= 119879119911 (319)

(sum119872)119909= 0 rArr int(120591119909119911 ∙ 119889119860) ∙ 119910

119860

minus int(120591119909119910 ∙ 119889119860) ∙ 119911

119860

= 119872119909 rArr

rArr int(119910 ∙ 120591119909119911 minus 119911 ∙ 120591119909119910) ∙ 119889119860

119860

= 119872119909

(320)

(sum119872)119910= 0 rArr int(120590119909 ∙ 119889119860) ∙ 119911

119860

= 119872119894119910 (321)

(sum119872)119911= 0 rArr int(120590119909 ∙ 119889119860) ∙ 119910

119860

= 119872119894119911 (322)

Cele șase relații de echivalență icircntre eforturi și tensiuni constituie un pas icircnainte

icircn rezolvarea unei probleme de rezistența materialelor Aceste relații vor permite

determinarea tensiunilor maxime

Pentru a rezolva cele 6 relații de echivalență trebuie să se cunoască tensiunile și

ca funcții de punct adică funcții de forma

120590119909 = 120590119909(119909 119910 119911) 120591119909119910 = 120591119909119910(119909 119910 119911) 120591119909119911 = 120591119909119911(119909 119910 119911) (32

3)

Cunoașterea acestor funcții presupune icircnsă analizarea aspectului geometric al

problemei precum și utilizarea unor ipoteze simplificatoare care să permită simplificarea

problemelor

34 Ipoteze de bază icircn rezistenţa materialelor

Depășirea dificultăților legate de interpretarea unor fenomene specifice mecanicii

solidului deformabil a impus acceptarea unor ipoteze care să simplifice fenomenele și să

contribuie la elaborarea unor modele de calcul cicirct mai generale și cacirct mai simple Aceste

ipoteze se referă la structura materialelor şi la comportarea lor sub acţiunea forţelor

exterioare Ipotezele acceptate trebuie să fie icircn deplină concordanţă cu realitatea și să

conducă la rezultate verificate icircn practică

Funcție de aspectele la care se referă ipotezele pot fi

Ipoteze fizice (de material)

Ipoteze de calcul

341 Ipoteze fizice

Se acceptă deoarece teoriile structurale au condus la rezultate care contravin

icircncercărilor experimentale

Ipoteza mediului continuu consideră că orice domeniu elementar al corpului

este ocupat de materie adică nu se acceptă existența unor goluri sau a unor crăpături

microscopice (fisuri) Deși nu corespunde realităţii poate fi acceptată deoarece

dimensiunile corpului sunt mult mai mari decacirct dimensiunile particulelor elemantare Are

avantajul că permite utilizarea proprietăților matematice ale funcțiilor continue pentru

tensiunile și deformațiile din orice punct al corpului Ea este mai apropiată de realitate la

corpurile amorfe şi mai depărtată la cele cristaline dar conduce la rezultate satisfăcătoare

icircn calculele de rezistenţă

Ipoteza nu se poate aplica la corpurile care au goluri tăieturi (multiplu conexe)

pentru unele puncte singulare icircn care tensiunile și deformațiile tind la infinit sau icircn unele

probleme de plasticitate icircn care proprietățile de material au un rol esențial

Ipoteza izotropiei conform acestei ipoteze materialul din care este confecționat

un element de rezistență are aceleași proprietăți după orice direcție un astfel de material

este considerat izotrop Din punct de vedere macroscopic metalele pot fi considerate

izotrope deși la nivel microscopic proprietățile lor diferă de la o direcție cristalografică

la alta Orice conglomerat de cristale poate fi considerat izotrop

Există cazuri cacircnd această ipoteză a izotropiei nu se acceptă

la metalele puternic deformate după o direcție (prin laminare trefilare)

la piesele confecționate din lemn lemnul este anizotrop deoarece proprietățile sale

diferă după două direcții (icircn lungul fibrelor și perpendicular pe această direcție)

Ipoteza omogenității consideră că un corp are aceleași proprietăți icircn orice

punct al său Deși majoritatea materialelor utilizate icircn tehnică sunt eterogene la scară

micro fiind constituite din mai multe faze cu proprietăți diferite la scară macro ele pot

fi considerate omogene Omogenitatea și izotropia sunt proprietăți statistice medii care

nu se condiționează una pe cealaltă Chiar și materialele monofazice pot avea la scară

micro unele segregații care le fac eterogene

Ipoteza elasticităţii perfecte presupune că atacircta timp cacirct solicitările nu

depăşesc anumite limite materialul are o comportare elastică adică icircşi recapătă forma şi

dimensiunile iniţiale odată cu icircnlăturarea sarcinilor Icircn realitate materialele nu prezintă o

elasticitate perfectă ele avacircnd deformaţii remanente mici care icircnsă pot fi neglijate icircn

calculele de rezistenţă

Acceptarea acestei ipoteze a elasticității perfecte permite

- aplicarea relației biunivoce icircntre tensiuni și deformații relație exprimată de legea

lui Hooke ( = 119864 ∙ 휀) unde E este un factor de proporţionalitate numit modul de

elasticitate longitudinal al materialului pentru oţel 119864 = 21 ∙ 105 [119872119875119886] - acceptarea valabilității afirmației bdquolucrul mecanic efectuat de forțele exterioare

ca urmare a parcurgerii deplasărilor punctelor de aplicație se icircnmagazinează integral icircn

corp sub formă de energie de deformație energie cedată la icircndepărtarea sarcinilorrdquo

- este valabilă teoria conform căreia bdquoenergia icircnmagazinată și deformațiile depind

doar de starea inițială și finală de eforturi fără a ține cont de modul icircn care s-a ajuns la

starea finalărdquo

Icircn realitate oricacirct de mici ar fi sarcinile aplicate se produc și deformații plastice

dar acestea pot fi neglijate dacă solicitarea nu depășește anumite limite

342 Ipoteze de calcul

Ipoteza micilor deplasări bdquodeplasările datorate deformării sunt mult mai mici

decacirct dimensiunile corpurilor și ca urmare pot fi neglijate produsele dintre o deplasare și

ea icircnsăşirdquo Pentru cele mai multe corpuri deformaţiile elastice sunt de mărimi mici deci

corpurile solide sub acţiunea sarcinilor icircşi modifică foarte puţin forma iniţială Această

ipoteză este cunoscută şi sub denumirea de ipoteza menţinerii dimensiunilor iniţiale Ea

permite scrierea ecuaţiilor de echilibru ale staticii pe starea nedeformată a elementului

cacircnd nu se iau icircn considerare deplasările punctelor de aplicaţie ale forţelor care se produc

ca urmare a deformării acestuia Calculul efectuat pe schema nedeformată poartă numele

de calcul de ordinul I

Ipoteza micilor deplasări nu poate fi acceptată pentru studiul problemelor de

stabilitate sau la problemele la care nu pot fi icircndeplinite condiţiile de echilibru icircn starea

nedeformată

Calculul de ordinul II admite ipoteza micilor deplasări dar ecuaţiile de echilibru

se scriu icircnsă pentru starea deformată a elementului de rezistenţă

Calculul de ordinul III nu mai acceptă ipoteza micilor deplasări el referindu-se

la cazul deformaţiilor mari cacircnd ecuaţiile de echilibru trebuie scrise pentru starea

deformată

Chiar dacă materialul satisface legea lui Hooke icircn urma calculelor de ordinul II

se obţin de obicei relaţii neliniare icircntre sarcini şi deplasări iar pentru calculul de ordinul

III rezultă ecuaţii diferenţiale neliniare

Principiul efectului local al acțiunii sarcinilor enunțat de Barre de Saint-

Venant Acest principiu destul de folosit icircn Rezistenţa Materialelor precizează că dacă

se icircnlocuiesc forţele care acţionează asupra unui element de suprafață al unui corp

elastic printr-un alt sistem de forţe echivalent din punct de vedere static cu primul noua

distribuţie a forţelor produce la locul de aplicare diferenţe semnificative faţă de prima

dar rămacircne fără efect sau cu efect neglijabil la distanţe mari de locul de aplicare al

forţelor figura 312

Ca o cosecință o sarcină uniform distribuită figura 312a poate fi icircnlocuită cu

rezultanta ei figura 312b dacă se analizează efectul sarcinii la distanță mare de locul icircn

care se aplică sarcina

Fig 312 Principiul Saint-Venant

Icircn prima variantă figura 312a forţa 119865 se aplică pe o porțiune oarecare 119897 (sarcină

uniform distribuită) iar icircn a doua figura 312b icircntru-un punct (forţă concentrată) La

locul de aplicare a sarcinii efectul asupra barei este cu totul diferit de la o variantă la

cealaltă Icircnsă la o distanţă mare de punctul de aplicaţie spre exemplu icircn secţiunea situată

la distanţa 119886 de capătul barei sau chiar icircn icircncastrare ambele bare sunt solicitate la fel

Icircn cazul din figura 312a

119872119894(119909) =119901 ∙ 1199092

2 119909 le 119897 119872119894(119909) = 119901 ∙ 119897 ∙ (119909 minus

119897

2) 119909 gt 119897 (324)

Icircn cazul din figura 312b

119872119894(119909) = 0 119909 lt119897

2 119872119894(119909) = 119901 ∙ 119897 ∙ (119909 minus

119897

2) 119909 gt

119897

2 (325)

Se vede că pentru (119909 gt 119897) adică după depășirea locului icircn care se aplică sarcina

efectul este același

Ipoteza lui Bernoulli sau ipoteza secţiunilor plane precizează că o secţiune

plană şi normală pe axa barei icircnainte de deformare rămacircne plană şi normală pe axa

barei şi după deformare figura 313

Fig 313 Ipoteza lui Bernoulli

Ipoteza stării naturale a corpului sau ipoteza absenţei tensiunilor conform

căreia pentru un corp nesolicitat starea de tensiune şi deformaţie este nulă

Perfecţionarea mijloacelor de calcul şi de investigare pot conduce la renunţarea la

unele ipoteze sau la introducerea altora noi mai aproape de stările reale De aici rezultă

caracterul de continuă perfecţionare a metodelor Rezistenţei Materialelor

35 Coeficienţi de siguranţă Tensiuni admisibile

O piesă corespunde din punct de vedere tehnic dacă tensiunile care iau naştere icircn

interiorul piesei datorită sarcinilor aplicate nu depăşesc anumite valori limită stabilite

convenţional Aceste valori limită ale tensiunii sunt corelate cu caracteristicile mecanice

ale materialelor

Tensiunea limită utilizată icircn calculele de rezistenţă este cunoscută sub denumirea

de tensiune admisibilă sau rezistenţă admisibilă Rezistenţa admisibilă reprezintă

valoarea convenţională aleasă icircn calcul pe baza practicii pentru tensiunea maximă care

poate apare icircntr-o piesă icircn condiţii date de material şi solicitare

Rezistenţa admisibilă (120590119886 sau 120591119886) poate fi definită faţă de o stare limită

periculoasă stare care trebuie evitată deoarece poate conduce distrugere

120590119886 =120590119897119894119898119888

(326)

unde

120590119897119894119898 este tensiunea corespunzătoare stării limită periculoase

119888 estesupraunitar 119888 gt 1 și reprezintă coeficientul de siguranţă faţă de starea limită

periculoasă considerată

Alegerea unor valori inferioare pentru rezistenţa admisibilă faţă de tensiunea

corespunzătoare stării limită periculoase este necesară deoarece

cunoaşterea sarcinilor este de cele mai multe ori aproximativă şi o depăşire a

acestora este foarte posibilă

caracteristicile mecanice ale materialelor variază icircn limite destul de mari ele

fiind influenţate de mulţi factori

schema aleasă pentru calcul (aplicarea sarcinilor schematizarea structurii

ipotezele de calcul etc) depărtează modelul faţă de cel real

Pentru calculele de verificare tensiunea efectivă maximă din elementul de

rezistenţă trebuie să fie mai mică sau cel mult egală cu cea admisibilă

120590119890119891119898119886119909 le 120590119886 (327)

Valoarea rezistenţei admisibile este influenţată de foarte mulţi factori natura

materialului tratamentele termice aplicate piesei durata de funcţionare a piesei modul

de acţionare icircn timp a sarcinilor felul solicitării temperatura gradul de periculozitate

icircn cazul cedării piesei etc

De asemenea valoarea coeficientului de siguranţă se alege icircn principal ţinacircnd

seama de aceiaşi factori care influenţează şi rezistenţa admisibilă

Rezistenţele admisibile pentru cacircteva materiale sunt următoarele

pentru oțelul de uz general OL37 solicitat la icircntindere compresiune sau

icircncovoiere 120590119886 = 150 [119872119875119886] pentru lemnul de brad solicitat la

- compresiune icircn lungul fibrelor şi solicitat la icircncovoiere 120590119886 = 10 [119872119875119886] - tracţiune icircn lungul fibrelor 120590119886 = 7 [119872119875119886] - compresiune perpendiculară pe fibre 120590119886 = 15 [119872119875119886] - forfecare icircn lungul fibrelor 120591119886 = 2 [119872119875119886] - forfecare perpendiculară pe fibre 120590119886 = 45 [119872119875119886]

terenuri de fundaţie din pămacircnt uscat sau umed 120590119886 = 020 divide 025 [119872119875119886]

4 CARACTERISTICI GEOMETRICE ALE SECȚIUNILOR PLANE

41 Noţiuni introductive

Icircn relaţiile de calcul ale tensiunilor şi deformaţiilor elementelor de rezistenţă

pentru unele solicitări (icircncovoierea și torsiunea) secțiunile plane intervin atacirct prin

dimensiunile lor (aria 119860) cicirct și prin forma și poziția pe care o are secțiunea icircn raport cu

planul solicitării Mărimile care caracterizează o secțiune icircn raport cu forma și poziția față

de axele unui sistem de referință sunt denumite caracteristici geometrice de ordin

superior Aria secțiunii este caracteristica geometrică ce depinde doar de dimensiunile

geometrice ale acesteia

Să considerăm o grindă solicitată de o forță exterioară 119865 aşezată icircn două poziții icircn

raport cu planul forţei figura 41 Icircn urma aplicării forței deși avem aceeași grindă

(aceeași arie a secțiunii transversale) și aceeași forță se constată că pentru varianta din

figura 41a deformațiile sunt mult mai mari adică rezistența la icircncovoiere a grinzii din

figura 41a este mai mare decacirct icircn cazul grinzii din figura 41b Comportarea diferită se

explică prin aceea că modificarea poziţiei secţiunii transversale faţă de planul forţelor

modifică caracteristicile geometrice ale secţiunii transversale a grinzii

Fig 41 Grindă solicitată de forța 119865

Pentru realizarea calculelor de rezistenţă şi rigiditate este foarte importantă

cunoaşterea caracteristicilor geometrice ale suprafeţei secţiunii transversale a elementelor

de rezistenţă

Caracteristicile geometrice ale secţiunii transversale a unui element de rezistenţă

sunt

- aria secțiunii notată cu 119860

- momentul static icircn raport cu o axă notat 119878119911 și respectiv 119878119910

- momentul de inerție care poate fi

axial notat 119868119911 și respectiv 119868119910

centrifugal notat 119868119911119910

polar notat 119868119901

- raza de inerţie (giraţie)notată 119894119911 și respectiv 119894119910

- modulul de rezistență care poate fi

axial notat 119882119911 și respectiv 119882119910

polar notat 119882119901

42 Aria și momentul static al suprafețelor plane

Fie o suprafaţă plană de arie 119860 pe care se ia un element infinit mic de arie 119889119860 şi

un sistem de axe rectangulare 119911119874119910 figura 42 Notăm cu 119862 centrul de greutate al suprafeţei

119860 Poziţia suprafeţei elementare 119889119860 faţă de acelaşi sistem de coordonate 119911119874119910 este dată

de abscisa 119911 ordonata 119910 și raza polară

Fig 42 Suprafață plană de arie 119860

Aria suprafeţei 119860 figura 42 se defineşte ca fiind

119860 ≝ int 119889119860

119860

(41)

Aria suprafeţei este icircntotdeauna pozitivă și se măsoară icircn [1198981198982] Momentul static al suprafeţei de arie 119860 icircn raport cu axele 119874119911 și respectiv 119874119910

figura 42 sunt date de relaţiile

119878119911 ≝ int 119910 ∙ 119889119860

119860

119878119910 ≝ int 119911 ∙ 119889119860

119860

(42)

Momentul static poate fi pozitiv negativ sau nul şi se măsoară icircn [1198981198983] Coordonatele centrului de greutate ale suprafeței 119860 se detrmină cu relațiile

119910119862 ≝int 119910 ∙ 119889119860119860

119860 119911119862 ≝

int 119911 ∙ 119889119860119860

119860

(43)

Cunoscacircnd coordonatele 119910119862 și 119911119862 ale centrului de greutate 119862 al secțiunii 119860 atunci

momentele statice se pot determina cu relațiile

119878119911 ≝ int 119910 ∙ 119889119860

119860

= 119910119862 ∙ 119889119860 119878119910 ≝ int 119911 ∙ 119889119860

119860

= 119911119862 ∙ 119889119860 (44)

Aceste relații arată că momentul static al unei suprafețe icircn raport cu o axă este

egal cu produsul dintre aria suprafeței și distanța de la centrul ariei la axa respectivă

Dacă suprafaţa se poate descompune icircn 119899 suprafeţe simple la care se cunosc ariile

(1198601 1198602 ⋯ 119860119894⋯ 119860119899) și poziţiile centrelor de greutate 119862119894 faţă de sistemul de referinţă

expresiile momentelor statice capătă următoarea formă

119878119911 = sum 119910119862119894 ∙ 119860119894119899119894=1 = 119910119862 ∙ 119860 119878119910 = sum 119911119862119894 ∙ 119860119894

119899119894=1 = 119911119862 ∙ 119860 (45)

Din relaţiile (45) rezultă că poziţia centrului de greutate 119862 al unei suprafeţe

compuse poate fi determinată cu relaţiile

119910119862 = (sum119910119862119894 ∙ 119860119894

119899

119894=1

) 119860frasl 119911119862 = (sum119911119862119894 ∙ 119860119894

119899

119894=1

) 119860frasl (46)

Icircn relația (45) 119910119862119894 și respectiv 119911119862119894 reprezintă coordonatele centrelor de greutate 119862119894

ale fiecărei suprafețe simple 119860119894 icircn raport sistemul de axe 119911119874119910

Se constată (relaţia 42) că dacă axele sistemului de referinţă trec prin centrul de

greutate (119910119862 = 119911119862 = 0) momentele statice sunt nule Axele icircn raport cu care momentele

statice sunt nule şi care trec prin centrul de greutate al suprafeţei se numesc axe centrale

Observație dacă secțiunea compusă are o axă de simetrie centrul secțiunii se

găsește pe acea axă iar dacă secțiunea este dublu simetrică poziția centrului secțiunii este

la intersecția axelor de simetrie

43 Momente de inerţie

Momentele de inerţie axiale ale unei suprafețe se calculează icircn raport cu axele de

coordonate 119874119911 și respectiv 119874119910 figura 42 și se determină cu relațiile

119868119911 ≝ int 1199102 ∙ 119889119860

119860

119868119910 ≝ int 1199112 ∙ 119889119860

119860

(47)

Unde 119910 și 119911 sunt distanțele de la elementul de arie 119889119860 la cele două axe de

coordonate 119874119911 și respectiv 119874119910

Momentele de inerţie axiale se măsoară icircn [1198981198984] şi sunt icircntotdeauna pozitive (aria

119889119860 este icircntotdeauna pozitivă și este multiplicată cu patratul distanței 1199102 dacă 119868119911 sau 119868119910

sunt nule icircnseamnă ca secțiunea nu există)

Momentele de inerție axiale se calculează icircndeosebi pentru axele centrale (care

trec prin centrul secțiunii) deoarece icircn raport cu acele axe 119868119911 și 119868119910 au valori minime

Momentul de inerţie centrifugal calculat faţă ambele axe ale sistemului de

referinţă 119911119874119910 este definit de relația

119868119911119910 ≝ int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860

(48)

Momentul de inerţie centrifugal se măsoară icircn [1198981198984] şi poate fi pozitiv negativ

sau nul

Momentul de ineție centrifugal este nul 119868119911119910 = 0 dacă cel puțin una din axele 119874119911

sau 119874119910 este axă de simetrie pentru secțiune

Se consideră o suprafaţă dreptunghiulară pe care faţă de axa de simetrie 119874119910 se iau

două suprafeţe elementare de arie 119889119860 simetrice faţă de axa 119874119910 figura 43

Fig 43 Suprafață dreptunghiulară cu două arii elementare 119889119860

Făcacircnd suma momentelor de inerţie centrifugale pentru cele două suprafeţe

elementare 119889119860 (din stacircnga şi din dreapta faţă de axa 119874119910) se obţine

int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860119889119903

+ int (minus119911) ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860119904119905119892

= int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860119889119903

minus int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860119904119905119892

= 0 (49)

Acelaşi raţionament se poate face și pentru icircntreaga suprafaţă de unde obținem că

momentul de inerție centrifugal este nul 119868119911119910 = 0 Deci pentru o suprafaţă plană care

are cel puţin o axă de simetrie momentul de inerţie centrifugal faţă de sistemul care

conţine acea axă de simetrie este nul

Momentul de inerţie polar al unei suprafeţei icircn raport cu un punct (pol) 119874 figura

42 este definit prin relaţia

1198680 = 119868119901 ≝ int 1205882 ∙ 119889119860

119860

= int(1199102 + 1199112) ∙ 119889119860

119860

= 119868119911 + 119868119910 (410)

unde este distanţa de la polul 119874 la elementul de arie 119889119860 Momentul de inerţie polar se

măsoară icircn [1198981198984] şi este totdeauna pozitiv

Momentul de inerţie polar este egal cu suma momentelor de inerţie faţă de două axe

perpendiculare oarecare şi care trec prin polul considerat

Razele de giraţie sau razele de inerţie sunt mărimi calculate icircn raport cu axele

secțiunii și definite de relaţiile

119894119911 ≝ radic119868119911119860 119894119910 = radic

119868119910

119860 (411)

Se exprimă icircn [119898119898] şi sunt icircntotdeauna pozitive Semnificația unei raze de inerție

este distanța la care dacă ar fi concentrată icircntreaga arie s-ar obține același moment de

inerție ca și cel calculat pentru aria reală

44 Modulul de rezistenţă

Modulul de rezistență se calculează icircn raport cu axele de referință sau icircn raport cu

un pol figura 42 și pot fi axiale (119882119911119882119910) sau polar (119882119901) și se determină numai pe baza

momentelor de inerţie cu relațiile figura 43

119882119911119898119894119899 ≝119868119911119910119898119886119909

119882119911119898119886119909 ≝119868119911119910119898119894119899

(412)

119882119910119898119894119899 ≝119868119910

119911119898119886119909 119882119910119898119886119909 ≝

119868119910

119911119898119894119899 (413)

119882119901 ≝119868119901

120588119898119886119909 (414)

unde

119910119898119886119909 119910119898119894119899 reprezintă distanţa de la axa 119874119911 la punctele extreme cele mai

depărtate respectiv cele mai apropiate ale suprafeţei de această axă

119911119898119886119909 119911119898119894119899 reprezintă distanţa de la axa 119874119910 la punctele extreme cele mai

depărtate respectiv cele mai apropiate ale suprafeţei de această axă

120588119898119886119909 reprezintă distanța maximă de la polul 119874 la punctul secțiunii cel mai

icircndepărtat de acesta

Fig 43 Suprafață dreptunghiulară cu două arii elementare 119889119860

Modulele de rezistenţă se exprimă icircn [1198981198983] şi sunt icircntotdeauna pozitive

Explicația este aceea că momentele de inerție care intră icircn relațiile de definiție sunt

pozitive iar distanțele la punctele extreme sunt pozitive (119910119898119886119909 119910119898119894119899 119911119898119886119909 119911119898119894119899 120588119898119886119909 se

iau icircn valoare absolută)

Icircn cazul suprafeţelor compuse modulul de rezistenţă nu se obţine prin icircnsumarea

algebrică a modulelor de rezistenţă ale suprafeţelor simple componente ci numai prin

intermediul momentului de inerţie axial calculat pentru icircntreaga secțiune

Ca și momentele de inerție modulele de rezistență se calculează numai pentru

sistemele de axe centrale

45 Momente de inerţie şi module de rezistenţă pentru suprafeţe simple

451 Secțiune dreptunghiulară

Fie suprafaţa dreptunghiulară din figura 44 de icircnălțime ℎ și lățime 119887 pe care se

consideră suprafaţă elementară de arie 119889119860 = 119887119889119910 la distanța 119910 de axa 119862119911 sistemul de

axe 119911119862119910 trece prin centrul secțiunii iar axele sunt axe de simetrie pentru dreptunghi

Fig 44 Suprafață dreptunghiulară

Pe baza relațiilor de definiți a momentului de inerție 119868119911 se obține

119868119911 ≝ int 1199102 ∙ 119889119860

119860

= int 1199102 ∙ 119887 ∙ 119889119910 = 2int 1199102 ∙ 119887 ∙ 119889119910 = 2 ∙ 119887 ∙1199103

3|ℎ 2frasl

0rArr

ℎ 2frasl

0

ℎ 2frasl

minusℎ 2frasl

rArr 119868119911 =119887 ∙ ℎ3

12

(415)

Analog pentru un element de arie 119889119860 = ℎ ∙ 119889119911 paralel cu axa 119862119910 situat la distanța

119911 de axa 119862119910

119868119910 ≝ int 1199112 ∙ 119889119860

119860

= int 1199112 ∙ ℎ ∙ 119889119911 = 2int 1199112 ∙ ℎ ∙ 119889119910 = 2 ∙ ℎ ∙1199113

3|119887 2frasl

0rArr

119887 2frasl

0

119887 2frasl

minus119887 2frasl

rArr 119868119910 =1198873 ∙ ℎ

12

(416)

Deoarece axele 119862119911 și 119862119910 sunt axe de simetrie momentul de inerție centrifugal este

119868119911119910 = 0 (417)

Pentru un pătrat avacircnd laturile egale (ℎ = 119887 = 119886) momentele de inerţie faţă de

axele centrale au expresia

119868119911 = 119868119910 =1198864

12 (418)

Modulele de rezistență axiale se calculează cu relațiile de definiție ținacircnd cont că

distanțele pacircnă la fibrele extreme sunt

119910119898119886119909 = 119910119898119894119899 =ℎ

2 119911119898119886119909 = 119911119898119894119899 =

119887

2 (419)

Obținem

119882119911119898119894119899 = 119882119911119898119886119909 =119868119911

119910119898119886119909119898119894119899=119887 ∙ ℎ3

12frasl

ℎ2frasl

=119887 ∙ ℎ2

6

119882119910119898119894119899 = 119882119910119898119886119909 =119868119910

119911119898119886119909119898119894119899=1198873 ∙ ℎ

12frasl

1198872frasl

=1198872 ∙ ℎ

6

(420)

452 Suprafaţă circulară

Din motive de simetrie pentru suprafeţele circulare momentele de inerţie faţă de

orice diametru (care reprezintă şi axe centrale) sunt aceleaşi

Considerăm o secțiune circulară plină cu diametrul 119889 și centrul de greutate 119862 Prin

centrul de greutate 119862 trece sistemul de axe ortogonal 119911119862119910 figura 45

Fig 45 Suprafață circulară

La distanța de centrul de greutate 119862 vom lua un element de suprafață mic de arie

(119889119860) de forma unui inel de grosime 119889 Elementul de arie 119889119860 are expresia

119889119860 = (2 ∙ 120587 ∙ 120588) ∙ (119889120588)

Pornind de la relația de definiție a momentului de inerție polar obținem

119868119901 ≝ int 1205882 ∙ 119889119860

119860

= int 1205882 ∙ (2 ∙ 120587 ∙ 120588) ∙ 119889120588

119903=119889 2frasl

0

= 2 ∙ 120587 ∙1205884

4|119889 2frasl0 rArr

rArr 119868119901 =120587 ∙ 1198894

32

(421)

Secțiunea este perfect simetrică deci sunt valabile relațiile

119868119911 = 119868119910 rArr 119868119901 = 119868119911 + 119868119910 = 2 ∙ 119868119911 = 2 ∙ 119868119910 =119868119901

2=120587 ∙ 1198894

64 (422)

Și modulele de rezistenţă faţă de orice diametru sunt egale şi se calculează cu

relaţiile

119882119911 = 119882119910 =1198681199111198892frasl=120587 ∙ 1198893

32 (423)

Modulul de rezistenţă polar este

119882119901 =1198681199011198892frasl=120587 ∙ 1198893

16 (424)

453 Secţiune inelară

Calculul momentelor de inerţie axiale pentru o secţiune inelară avacircnd diametrul

interior 119889 şi diametrul exterior 119863 se determină analog pentru suprafaţa circulară plină cu

observaţia că integrala pentru calculul momentului de inerție polar 119868119901 se face icircntre

limitele 119903 = 119889 2frasl şi R= 1198632frasl (icircntre raza interioară 119903 şi raza exterioară 119877) figura 46

Se obţin relaţiile

119868119901 =120587 ∙ 1198634

32∙ [1 minus (

119889

119863)4

] =120587 ∙ 1198634

32∙ (1 minus 1198964) (425)

119868119910 = 119868119910 =120587 ∙ 1198634

64∙ [1 minus (

119889

119863)4

] =120587 ∙ 1198633

64∙ (1 minus 1198964) (426)

Fig 46 Secțiune inelară

119882119901 =120587 ∙ 1198633

16∙ [1 minus (

119889

119863)4

] =120587 ∙ 1198633

16∙ (1 minus 1198964) (427)

119882119911 = 119882119910 =120587 ∙ 1198633

32∙ [1 minus (

119889

119863)4

] =120587 ∙ 1198633

32∙ (1 minus 1198964) (428)

unde 119896 = 119889119863frasl

46 Variaţia momentelor de inerţie faţă de axe paralele

( Relațiile lui STEINER)

Se consideră o suprafaţă oarecare de arie 119860 cu elementul de arie 119889119860 și un sistemul

de axe central 119911119862119910 faţă de care se cunosc momentele de inerţie 119868119911 119868119910 119868119911119910 şi considerăm

un sistem de axe 11991111198741199101 paralele cu sistemul central figura 47 Se pune problema

determinării momentele de inerţie 1198681199111 1198681199101 11986811991111199101 faţă de sistemul de axe paralel cu sistemul

central 11991111198741199101 axe aflate la distanţele 119910119862 = 119888 respectiv 119911119862 = 119889 de acesta

461 Momente de inerţie axiale

Pe baza relaţiilor de definire şi a notaţiilor din figura 42 pentru momentele de

inerţie faţă de axele 1198741199111 1198741199101 se poate scrie

1198681199111 = int 11991012 ∙ 119889119860

119860

= int(119910 + 119888)2 ∙ 119889119860

119860

= int 1199102 ∙ 119889119860

119860

+ 2 ∙ 119888 ∙ int 119910 ∙ 119889119860

119860

+

+1198882int 119889119860

119860

rArr 1198681199111 = 119868119911 + 2 ∙ 119888 ∙ 119878119911 + 1198882 ∙ 119860 hArr 1198681199111 = 119868119911 + 119888

2 ∙ 119860

(429)

Fig 47 Variaţia momentelor de inerţie față de axe paralele

S-a ajuns la relația (429) deoarece momentul static 119878119911 este nul deoarece axa 119862119885

este axă centrală

Pentru momentul de inerție axial icircn raport cu axa 1198741199101 se obține

1198681199101 = int 11991112 ∙ 119889119860

119860

= int(119911 + 119889)2 ∙ 119889119860

119860

= int 1199112 ∙ 119889119860

119860

+ 2 ∙ 119889 ∙ int 119911 ∙ 119889119860

119860

+

+1198892 ∙ int 119889119860

119860

rArr 1198681199101 = 119868119910 + 2 ∙ 119889 ∙ 119878119910 + 1198892 ∙ 119860 hArr 1198681199101 = 119868119910 + 119889

2 ∙ 119860

(430)

Pentru momentul de inerție centrifugal obținem

11986811991111199101 = int 1199101 ∙ 1199111 ∙ 119889119860

119860

= int(119910 + 119888) ∙ (119911 + 119889) ∙ 119889119860

119860

= int 119910 ∙ 119911 ∙ 119889119860 +

119860

+119888 ∙ int 119911 ∙ 119889119860

119860

+ 119889 ∙ int 119910 ∙ 119889119860

119860

rArr 11986811991111199101 = 119868119911119910 + 119888 ∙ 119889 ∙ 119860

(431)

Deoarece

int 119911 ∙ 119889119860

119860

= 119878119910 = 0 int 119910 ∙ 119889119860

119860

= 119878119911 = 0 int 119910 ∙ 119911 ∙ 119889119860

119860

= 119868119911119910

Relaţiile (429) şi (430) arată că momentul de inerţie faţă de o axă oarecare

este egal cu momentul de inerţie faţă de o axă paralelă cu ea trecacircnd prin centrul de

greutate la care se adaugă produsul dintre aria suprafeţei şi pătratul distanţei dintre

cele două axe

Din relaţiile (429) și (430) rezultă de asemenea că momentul de inerţie faţă de o

axă centrală (care trece prin centrul de greutate) este cel mai mic dintre infinitatea de

momente de inerţie obținute faţă de alte axe paralele cu ea

Relaţia (431) arată de asemenea că momentul de inerţie centrifugal faţă de un

sistem de axe oarecare este egal cu momentul de inerţie centrifugal faţă de un sistem

paralele cu el trecacircnd prin centrul de greutate a suprafeţei la care se adaugă produsul

dintre aria suprafeţei şi distanţele dintre axele sistemelor respective

Icircn literatura de specialitate relaţiile (429) (430) şi (431) sunt cunoscute sub

numele de relaţiile lui Steiner

47 Variaţia momentrlor de inerţie faţă de axe rotite

Direcţii principale şi momente de inerţie principale

Fie suprafaţa plană din figura 48 de arie 119860 pe care considerăm o suprafaţă

elementară de arie 119889119860 Pentru sistemul de axe 119911119874119910 se cunosc momentele de inerţie

119868119911 119868119910 119868119911119910 şi vom determina relaţiile de calcul pentru momentele de inerţie afererent unui

sistem de axe 11991111198741199101 rotit cu un unghi faţă de sistemul central

Faţă de sistemul de axe 11991111198741199101 elementul de arie 119889119860 are coordonatele

1199101 = 119875119877 = 119875119876 minus 119877119876 = 119910 ∙ cos 120572 minus 119911 ∙ sin 120572

1199111 = 119873119872 = 119873119875 minus 119875119872 = 119911 ∙ cos 120572 + 119910 ∙ sin 120572 (432)

Fig 47 Variaţia momentelor de inerţie față de axe rotite

Pe baza relaţiilor de calcul ale momentelor de inerţie şi a notaţiilor din figura 42

şi ale relaţiilor (432) momentele de inerţie faţă de sistemul de axe rotit 11991111198741199101 sunt

1198681199111 =119868119911 + 119868119910

2+119868119911 minus 119868119910

2∙ cos 2120572 minus 119868119911119910 ∙ sin 2120572 (433)

1198681199101 =119868119911 + 119868119910

2minus119868119911 minus 119868119910

2∙ cos 2120572 + 119868119911119910 ∙ sin 2120572 (434)

11986811991111199101 =119868119911 minus 119868119910

2∙ sin 2120572 + 119868119911119910 ∙ cos 2120572 (435)

Din relaţiile 433divide435 se observă că icircntre momentele de inerţie axiale şi cele

polare există relaţia

1198681199111 + 1198681199101 = 119868119911 + 119868119910 = 119868119901 (436)

adică suma momentelor de inerţie axiale icircn raport cu orice pereche de axe ortogonale

care trec printr-un pol dat este o constantă şi egală cu momentul de inerţie polar

Prin rotirea sistemului de axe din relaţiile 433divide435 rezultă că momentele de inerţie

variază icircnsă suma lor rămacircne constantă deci există o poziţie a sistemului de axe pentru

care momentele de inerţie au valori extreme maxim respectiv minim

471 Direcţii principale de inerţie

Valoarea unghiului 120572 pentru care momentele de inerţie axiale au valori extreme

este

1205721 =1

2∙ 119886119903119888119905119886119899 (minus

2 ∙ 119868119911119910

119868119911 minus 119868119910) (437)

Poziţia celeilalte direcţii este perpendiculară pe cea dată de unghiul 1205721

Din relaţia (437) se constată că faţă de aceste direcţii rotite pentru care momentele

de inerţie axiale prezintă valori extreme momentul de inerţie centrifugal 11986811991111199101este nul

Atunci se poate afirma că momentele de inerţie axiale au valori extreme icircn raport cu

direcţiile faţă de care momentul de inerţie centrifugal este nul Aceste direcţii se numesc

direcţii principale iar momentele de inerţie faţă de aceste direcţii poartă numele de

momente de inerţie principale

Icircn calculele de rezistenţă interesează icircn mod special poziţia direcţiilor principale

care trec prin centrul de greutate al suprafeţei aşa numitele direcţii principale centrale şi

evident momentele de inerţie principale centrale

Direcţiile principale de inerţie se notează cu 1 respectiv 2 Axa principală 1

corespunde direcţiei faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea maximă iar

axa principală 2 pentru direcţia faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea

minimă

472 Momente de inerţie principale

Momentele de inerţie principale se notează cu litera 119868 la care se pune indicele 1

sau 2 după cum valoarea acestuia este maximă sau minimă deci avem un moment de

inerţie principal 1 (notat 1198681) respectiv moment de inerţie principal 2 (notat 1198682)

Expresiile pentru momentele de inerţie principale sunt

11986812 =119868119911 + 119868119910

2plusmn1

2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)

2+ 4 ∙ (119868119911119910)

2 (438)

Dacă momentul de inerţie centrifugal este negativ (119868119911119910 lt 0) direcţia principală

care trece prin primul cadran (definit de sistemul 119911119862119910) este direcţia principală 120783

Pentru suprafeţele cu cel puţin o axă de simetrie direcţiile centrale 119862119911 119862119910 sunt şi

direcții principale de inerţie și evident momentele de inerţie axiale 119868119911 119868119910 sunt momente

de inerţie principale

48 Caracteristici mecanice ale metalelor

Alegerea materialului pentru confecţionarea unei anumite piese se face şi pe baza

aşa numitelor caracteristici mecanice pe care le prezintă materialul Cunoaşterea acestor

caracteristici mecanice are loc numai pe baza unor icircncercări mecanice care să scoată icircn

evidenţă comportarea materialului icircn condiţii de solicitare

Cea mai utilizată icircncercare icircn urma căreia se pun icircn evidenţă caracteristicile

mecanice ale unui material este icircncercarea la tracţiune

481 Icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general

Icircncercarea la tracţiune a oţelului ca de altfel toate icircncercările de materiale este

standardizată

Icircn cele ce urmează se va prezenta numai partea care interesează strict din punct

de vedere al caracteristicilor mecanice ale oţelului

Epruveta de diametru iniţial 1198890 pentru icircncercarea la tracţiune are o porţiune de

lungime 1198710 numită baza de măsurare pe care se măsoară lungirea acesteia sub acţiunea

solicitării

Icircn funcţie de raportul dintre baza de măsurare 1198710 şi diametrul iniţial 1198890 epruvetele

utilizate pentru icircncercări sunt

epruvete normale (scurte) cacircnd 11987101198890 = 5

epruvete lungi cacircnd 11987101198890 = 10

Icircn timpul icircncercării la diferite valori ale forţei 119865 se măsoară lungirea bazei de

măsurare

∆119871 = 120575 = 119871 minus 1198710 (439)

unde

119871 este dimensiunea bazei de măsurare la un moment dat

Curba forţă-lungire (119865 minus ) icircnregistrată icircn urma icircncercării reprezintă curba

caracteristică la tracţiune

La icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general diagrama caracteristică care se

obţine are forma din figura 48

Curba caracteristică la tracţiune depinde de lungimea bazei de măsurare Pentru

icircnlăturarea acestui neajuns curba caracteristică se reprezintă icircn coordonate şi definite

astfel

120590 =119865

1198600 휀 =

120575

1198710 (440)

unde

1198600 este aria iniţială a secţiunii transversale a epruvetei (icircnainte de solicitare) icircn

zona bazei de măsurare

1198600 =120587 ∙ 1198890

2

4

Deoarece mărimile icircn care se reprezintă curba caracteristică la tracţiune sunt

raportate la aria iniţială a secţiunii transversale (mărimi specifice) curba poartă numele

de curbă caracteristică convenţională la tracţiune

Fig 48 Curba caracteristică convenţională la tracțiune

Pe curba caracteristică convenţională la tracţiune figura 48 se pot stabili o serie

de puncte cărora le corespund mai multe mărimi importante

Ordonata punctului A pacircnă unde curba caracteristică convenţională este linie

dreaptă se numeşte limita de proporţionalitate a materialului 120590119901(1205901) Porţiunea 119874119860 este

zona de proporţionalitate a curbei caracteristice pe acest domeniu este valabilă legea lui

Hooke care exprimă o proporţionalitate icircntre tensiune şi deformaţie specifică

120590 = 119864 ∙ 휀 (441)

unde

119864 = reprezintă panta porţiunii liniare a curbei convenționale caracteristice

la tracțiune Caracteristica de material 119864 se numeşte modul de elasticitate longitudinal

(modulul lui Young)

Ordonata punctului 119861 pacircnă unde materialul se comportă perfect elastic adică

după descărcare icircşi recapătă dimensiunea iniţială 1198710 se numeşte limita de elasticitate

120590119890(119877119890) Icircn realitate nici un material nu are comportare perfect elastică sub acţiunea

solicitărilor el capătă deformaţii permanente (remanente plastice)

După punctul 119861 urmează o porţiune 119861119862119863 icircn care cu toate că icircncărcarea

continuă forţa nu mai creşte avacircnd mici oscilaţii icircn jurul unei valori Se spune că icircn

această porţiune materialul curge iar intervalul 119861119862119863 este un palier de curgere Tensiunea

corespunzătoare palierului de curgere se numeşte limită de curgere aparentă 120590119888(119877119888) Limita de curgere aparentă se calculează cu relaţia

120590119888 =1198651198881198600 (442)

unde

119865119888 reprezintă valoarea forţei icircnregistrată icircn momentul curgerii materialului

După punctul 119863 curba caracteristică are un traseu ascendent pacircnă icircn punctul 119864

Porţiunea 119863119864 este numită zonă de icircntărire (ecruisare) Icircn zona de ecruisare unde se

produc deformaţii plastice semnificative legea lui Hooke nu mai este valabilă La

descărcare relaţia dintre tensiunea şi deformaţia specifică este liniară paralelă cu

porţiunea liniară a curbei caracteristice (dreapta 119872119873)

Deformaţia totală (휀119905) are două componente una elastică (휀119890) şi una plastică (휀119901)

Ordonata punctului 119864 reprezintă rezistenţa de rupere 120590119903(119877119898) a materialului

care se poate calcula cu relaţia

120590119903 = 119877119898 =1198651198981198861199091198600

(443)

unde

119865119898119886119909 reprezintă valoarea maximă a forţei icircnregistrată icircn timpul icircncercării

La atingerea valorii 119865119898119886119909 (punctul 119864) icircntr-un anumit loc al epruvetei secţiunea

icircncepe să se micşoreze (se produce gacirctuirea) continuacircnd pacircnă cacircnd se produce ruperea

totală (punctul 119865)

Dacă după ruperea epruvetei cele două părţi rezultate se aşează cap la cap şi se

măsoară dimensiunea bazei de măsurare 119871119906 (lungimea ultimă) se determină alungirea la

rupere sau lungirea specifică la rupere 휀119903

휀119903 =119871119906 minus 11987101198710

=∆119871

1198710=120575

1198710 (444)

De obicei alungirea se exprimă icircn procente şi se notează cu 119860119899 unde 119899 reprezintă

numărul dat de raportul 11987101198890 (epruvete normale 119899 = 5 epruvete lungi 119899 = 10)

119860119899 =119871119906 minus 11987101198710

∙ 100 [] (445)

Altă mărime care se determină la icircncercarea la tracţiune este gacirctuirea la rupere

(exprimată de obicei icircn procente) şi definită de relaţia

119885 =1198600 minus 1198601199061198600

∙ 100 [] (446)

Mărimile determinate limita de proporţionalitate modulul de elasticitate

longitudinal limita de elasticitate limita de curgere aparentă rezistenţa de rupere

alungirea la rupere şi gacirctuirea la rupere sunt cunoscute ca fiind caracteristici mecanice

ale materialului

Din curba caracteristică convenţională observăm faptul că ruperea (punctul 119865 din

figura 48 se produce la o tensiune mai mică decacirct cea corespunzătoare punctului 119864 Dacă

icircnsă forţa din timpul icircncercării s-ar raporta la aria secţiunii din momentul icircnregistrării

forţei (care este mai mică decacirct cea iniţială 1198600) s-ar obţine aşa numita curbă

caracteristică reală a materialului (traseul 1198741198601198611198621198631198651 din figura 48) La curba

caracteristică reală ruperea se produce icircn punctul 1198651 la o icircncărcare mai mare decacirct cea

corespunzătoare punctului 119864 Icircnseamnă că rezistenţa reală la rupere este mai mare decacirct

rezistenţa la rupere dată de punctul 119864 din diagrama caracteristică convenţională

Dificultatea obţinerii diagramei caracteristice reale faţă de cea a diagramei caracteristice

convenţionale şi considerarea unei rezistenţe la rupere mai mică decacirct a celei reale face

icircn practică utilizarea pe scară mare a diagramei caracteristice convenţionale

Caracteristicile mecanice determinate pe baza curbei caracteristice convenţionale

sunt şi ele caracteristici mecanice convenţionale

Caracteristicile mecanice convenţionale limita de proporţionalitate convenţională

120590119901 limita de elasticitate convenţională 120590119890 limita de curgere convenţională 120590119888 şi rezistenţa

de rupere 120590119903 constituie tensiuni limită pentru un material Pe baza acestor caracteristici

de material se alege valoarea tensiunii admisibile 120590119886 (vezi paragraful 35) pentru

calculele de rezistenţă Cea mai utilizată stare limită pentru stabilirea tensiunii admisibile

120590119886 este limita de curgere convenţională 120590119888

120590119886 =120590119897119894119898119888

=120590119888119888 119904119886119906 120590119886 =

120590119903119888 (447)

Caracteristicile mecanice ale materialului sunt influenţate de o serie de factori

temperatura viteza de solicitare factorii tehnologici iar valorile lor sunt date icircn tabele și

diagrame

Aplicaţie Pentru suprafaţa plană compusă din două dreptunghiuri avacircnd

dimensiunile din figura 49a să se calculeze

a) centrul de greutate al secțiunii compuse 119910119866 119911119866

b) momentele de inerție axiale 119868119911 119868119910 și momentul de inerție centrifugal 119868119911119910

c) razele de inerție 119894119911 119894119910

d) modulele de rezistență 119882119911119898119894119899 119882119911119898119886119909 119882119910119898119894119899 119882119910119898119886119909

e) momentele de inerție principale 1198681 1198682 și direcțiile principale de inerție 1205721

f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 119878119911

Fig 49 Aplicație

Rezolvare Pentru rezolvare vom parcurge următoarele etape

icircmpărțim suprafața compusă icircn două suprafețe simple (dreptunghiuri) notate cu

① și respectiv ② figura 49b

poziționăm centrele de greutate a celor două suprafețe simple ① și respectiv ②

notate cu 1198661 și respectiv 1198662 figura 49c

poziționăm sistemele de axe de coordonate 119911111986611199101 pentru dreptunghiul ① și

119911211986621199102 pentru dreptunghiul ② aflate la intersecția diagonalelor figura 49c

poziționăm sistemele de axe de coordonate 11991101198741199100 ales arbitrar față de care

determinăm poziția centrului de greutate 119866 figura 49c

a) calculăm poziția centrului de greutate folosind relațiile (46) icircn care

1198601 = 6119905 ∙ 119905 = 61199052 1198602 = 4119905 ∙ 119905 = 41199052 119860 = 1198601 + 1198602 = 61199052 + 41199052 = 101199052

iar centrele de greutate 1198661 și respectiv 1198662 au coordonatele (față de sistemul 11991101198741199100)

1198661 1199101 = 3119905 1199111 = 05119905

1198662 1199102 = 051199051199112 = 3119905

cu acestea obținem

119910119866 =1198601 ∙ 1199101 + 1198602 ∙ 1199102

119860=61199052 ∙ 3119905 + 41199052 ∙ 05119905

101199052=201199053

101199052= 2119905

119911119866 =1198601 ∙ 1199111 + 1198602 ∙ 1199112

119860=61199052 ∙ 05119905 + 41199052 ∙ 3119905

101199052=151199053

101199052= 15119905

Poziționăm centrul de greutate 119866 al suprafeței compuse figura 49c

Fig 49 Aplicație

b) pentru determinarea momentelor de inerție axiale 119868119911 119868119910 și a momentului de

inerție centrifugal 119868119910119911 determinăm constantele 1198881 1198882 1198891 1198892 care intervin icircn relația lui

Stainer

1198881 = 1199101 minus 119910119866 = 3119905 minus 2119905 = 119905 1198882 = minus(119910119866 minus 1199102) = minus(2119905 minus 05119905) = minus15119905

1198891 = minus(119911119866 minus 1199111) = minus(15119905 minus 05119905) = minus119905 1198892 = 1199112 minus 119911119892 = 3119905 minus 15119905 = 15119905

Folosind relațiile lui Stainer (429) (430) și (431) calculăm momentele de

inerție axiale și centrifugale față de sistemul central 119911119866119866119910119866

119868119911 =sum(119868119911119894 + 1198881198942 ∙ 119860119894) = 1198681199111 + 1198881

2 ∙ 1198601 + 1198681199112 + 11988822 ∙ 1198602

119868119910 =sum(119868119910119894 + 1198891198942 ∙ 119860119894) = 1198681199101 + 1198891

2 ∙ 1198601 + 1198681199102 + 11988922 ∙ 1198602

119868119911119910 =sum(119868119911119894119910119894 + 119888119894 ∙ 119889119894 ∙ 119860119894) = 11986811991111199101 + 1198881 ∙ 1198891 ∙ 1198601 + 11986811991121199102 + 1198882 ∙ 1198892 ∙ 1198602

1198681199111 = (119887 ∙ ℎ3

12) =

119905 ∙ (6119905)3

12= 181199054 1198681199112 = (

119887 ∙ ℎ3

12) =

4119905 ∙ 1199053

12= 031199054

1198681199101 = (1198873 ∙ ℎ

12) =

1199053 ∙ 6119905

12= 051199054 1198681199102 = (

1198873 ∙ ℎ

12) =

(4119905)3 ∙ 119905

12= 531199054

11986811991111199101 = 11986811991121199102 = 0 deoarece cele două triunghiuri au cel puțin o axă de simetrie

Cu acestea momentele de inerție axiale și momentul de inerție centrifugal devin

119868119911 = 181199054 + 1199052 ∙ 61199052 + 031199054 + (minus15119905)2 ∙ 41199052 = 3331199054

119868119910 = 051199054 + (minus119905)2 ∙ 61199052 + 531199054 + (15119905)2 ∙ 41199052 = 2081199054

119868119911119910 = 0 + 119905 ∙ (minus119905) ∙ 61199052 + 0 + (minus15119905) ∙ (15119905) ∙ 41199052 = minus151199054

c) razele de inerție sau de girație față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910

se calculează cu relațiile (411)

119894119911 = radic119868119911119860= radic

3331199054

101199052= 182119905 119894119910 = radic

119868119910

119860= radic

2081199054

101199052= 144119905

d) modulele de rezistență față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910 se

calculează cu relațiile (412) și (413)

Avacircnd icircn vedere figura 419c obținem

119910119898119886119909 = 6119905 minus 119910119866 = 6119905 minus 2119905 = 4119905 119910119898119894119899 = minus119910119866 = minus2119905

119911119898119886119909 = 5119905 minus 119911119866 = 5119905 minus 15119905 = 35119905 119911119898119894119899 = minus119911119866 = minus15119905

Se obține astfel

119882119911119898119894119899 =119868119911

|119910119898119886119909|=3331199054

4119905= 8331199053

119882119911119898119886119909 =119868119911

|119910119898119894119899|=3331199054

2119905= 16651199053

119882119910119898119894119899 =119868119910

|119911119898119886119909|=2081199054

35119905= 5941199053

119882119910119898119886119909 =119868119910

|119911119898119894119899|=2081199054

15119905= 13871199053

e) momentele de inerție principale 1198681 și respectiv 1198682 se calculează cu relațiile

(438)

11986812 =119868119911 + 119868119910

2plusmn1

2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)

2+ 4 ∙ (119868119911119910)

2=

=3331199054 + 2081199054

2plusmn1

2∙ radic(3331199054 minus 2081199054)2 + 4 ∙ (minus151199054)2 = 27051199054 plusmn 16251199054

De unde obținem

1198681 = 27051199054 + 16251199054 = 4331199054

1198682 = 27051199054 minus 16251199054 = 1081199054

Prima direcție principală de inerție 1 face cu axa centrală 119866119911 unghiul 1205721 dat de

relația (437)

1205721 =1

2∙ arctan (minus

2 ∙ 119868119911119910

119868119911 minus 119868119910) =

1

2∙ arctan [minus

2 ∙ (minus151199054)

3331199054 minus 2081199054] =33 70

Deoarece 1205721 gt 0 rotirea axelor se face acircn sens antiorar acelor de ceasornic figura

49d

Poziția axe principale 2 față de care momentul de inerție are valoarea minimă

1198682 = 119868119898119894119899 este dată de unghiul

1205722 = 1205721 + 900 = 33 70 + 900 = 123 70

f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 se determină cu relația

(45)

1198781199111198602 = 1198602 ∙ 1198882 = 41199052 ∙ (minus15119905) = minus61199053

deplasarea pe direcţia 119909 cu ∥ 119874119909

deplasarea pe direcţia 119910 cu ∥ 119874119910

deplasarea pe direcţia 119911 cu ∥ 119874119911

Componentele deplasărilor și formeză matricea deplasărilor liniare 119906119907119908

322 Deformații

Prin deformație icircn general se icircnțelege orice schimbare de formă a unui corp fără

o evaluare cantitativă Icircn Rezistența Materialelor deformația măsoară variația

dimensiunilor geometrice ale corpului considerat din vecinătatea unui punct analog

deplasărilor deformațiile pot fi liniare și unghiulare (lunecări)

Fig 36 Deplasarea liniară

Deformația liniară ∆119897 reprezintă variația lungimii 119897 a unui element liniar al

corpului deformat figura 36 Deformația liniară specifică se definește ca fiind raportul

dintre deformația liniară și lungimea inițială

휀 =∆119897

119897 (38)

unde ∆119897 este lungirea sau scurtarea care este echivalentă cu deformția liniară totală iar

este alungirea

Deformația unghiulară sau lunecarea unui punct 119860 icircn planul 119861119860119862 se definește

prin relația figura 37

120574 = lim119861119860rarr0119862119860rarr0

(119861119860 minus 119861111986011198621 ) (39)

Fig 36 Deformația unghiulară

Schimbacircnd orientarea planului care trece prin 119860 se obțin alte deformații

unghiulare Dacă elementele liniare 119861119860 și 119862119860 sunt inițial perpendiculare deformația 120574 se

numește deformație unghiulară specifică sau lunecare specifică figura 37

Un exemplu de deplasare unghiulară și de deformație unghiulară este prezentat icircn

figura 38 Unghiul este deplasarea unghiulară și măsoară rotirea relativă dintre două

secțiuni aflate la distanța 119897 Unghiul este deformația specifică unghiulară (lunecarea

specifică) din punctul 119870 Aceste deplasări și deformații se obțin icircn urma solicitării barei

de către cele două momente 1198720 egale și de sens contrar

Fig 38 Deplasarea unghiulară

Pentru a analiza starea de deformație din vecinătatea unui punct al unui corp

solicitat complex se decupează din jurul punctului un element de volum mic figura 39a

avacircnd laturile 119889119909 119889119910 și 119889119911 Ca urmare a solicitării laturile acestuia se vor lungi sau

scurta Reprezentarea elementului deformat icircn spațiu este dificilă pentru simplificare

vom analiza doar deformațiile din planul 119909119874119910 Observăm că dimensiunile 119889119909 și 119889119910 s-au

modificat cu valoarea ∆119889119909 respectiv cu ∆119889119910 analog se acceptă și pentru 119889119911 o modificare

de forma ∆119889119911 Astfel se pot defini deformațiile specifice liniare

휀119909 =∆119889119909

119889119909 휀119910 =

∆119889119910

119889119910 휀119911 =

∆119889119911

119889119911 (310)

De cele mai multe ori aceste deformații specifice liniare se pot exprima procentual

și se mai numesc alungiri

Fig 39 Starea de deformație

Icircn figura 39c se vede că unghiul inițial drept dintre muchiile 119889119909 și 119889119910 ale

elementului de volum s-a modificat Se definește deformația specifică unghiulară (sau

lunecarea specifică) mărimea cu care se modifică unghiul inițial drept

120574119909119910 = 120574119909119910prime + 120574119910119909

prime = 120574119910119909120574119910119911 = 120574119910119911

prime + 120574119911119910prime = 120574119911119910

120574119911119909 = 120574119911119909prime + 120574119909119911

prime = 120574119909119911

(311)

Deformațiile 휀119909 휀119910 휀119911 120574119909119910 120574119910119911 120574119911119909 constituie cele șase componente

independente ale tensorului deformațiilor specifice care pot fi scrise de forma

119863 =

휀119909 120574119909119910 120574119909119911120574119910119909 휀119910 120574119910119911120574119911119909 120574119911119910 휀119911

(312)

323 Contracţia transversală

Practica arată că odată cu lungirea unei bare apare o micşorare a mărimii secţiunii

transversale mărime numită contracţie transversală figura 310

Fig 310 Contracția transversală

Contracţia transversală este proporţională cu lungirea specifică coeficientul de

proporţionalitate se notează cu 120599 şi se numeşte coeficient de contracţie transversală sau

coeficientul lui Poisson

La o lungire specifică a barei contracţia transversală este dată de relația

휀119905119903 = 휀119910 = 휀119911 = minus120599 ∙ 휀119909 (313)

Semnul minus bdquo-rdquo arată că cele două mărimi sunt contrare dacă una creşte cealaltă

scade şi invers

Considerăm o bară cilindrică de lungime 119897 şi aria secţiunii transversale 119860 solicitată

la icircntindere axială La un moment dat datorită solicitării lungimea barei devine

[119897 ∙ (1 + 휀)] diametrul devine [119889 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)] iar aria secţiunii transversale devine

[119860 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)2] Dacă volumul barei icircnainte de solicitare a fost (119860 ∙ 119897) după solicitare

acesta devine

119881 + ∆119881 = 119860 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)2 ∙ 119897 ∙ (1 + 휀) =

= 119860 ∙ 119897 ∙ (1 + 휀 minus 2 ∙ 120599 ∙ 휀 minus 2 ∙ 120599 ∙ 휀2 + 1205992 ∙ 휀2 + 1205992 ∙ 휀3) (314)

Deoarece lungirile sunt foarte mici ultimii trei termeni din paranteză fiind infinit mici se pot neglija obţinacircnd

119881 + ∆119881 = 119860 ∙ 119897 + 119860 ∙ 119897 ∙ 휀 ∙ (1 minus 2 ∙ 120599) ⟺ ∆119881 = 휀 ∙ (1 minus 2 ∙ 120599) ∙ 119860 ∙ 119897 (315)

Practica arătă că o astfel de bară solicitată la icircntindere icircşi măreşte volumul deci

∆119881 gt 0 de unde rezultă că

1 minus 2 ∙ 120599 gt 0 rArr 120599 lt 05 (316)

Pentru majoritatea materialelor 120599 = 033 iar pentru materialele care-şi păstrează

volumul constant 120599 = 05

33 Relaţii de echivalenţă icircntre eforturi şi tensiuni

Considerăm un element de suprafață infinit mic 119889119860 situat pe fața de arie (119860) a

secțiunii barei din figura 311 Icircn centrul de greutate 119862 al secțiunii acționează eforturile

119873 119879119910 119879119911 119872119909 119872119894119910 și 119872119894119911 determinate prin metoda secțiunilor

Icircn raport cu un sistem de axe de referință 119909119862119910119911 coordonatele elementului 119889119860 sunt

- 119910 este ordonata elementului de arie 119889119860

- 119911 este abscisa elementului de arie 119889119860

Pe elementul de arie 119889119860 acționează tensiunile

120590119909 tensiunea normală

120591119909119910 și 120591119909119911 tensiuni tangențiale

Dacă se icircnsumează forțele elementare de tipul 120590119909 ∙ 119889119860 120591119909119910 ∙ 119889119860 și 120591119909119911 ∙ 119889119860

va trebui să obținem eforturile 119873 119879119910 și 119879119911

Fig 311 Element de suprafață mic din secțiunea unei bare

Dacă eforturile sunt privite ca forțe exterioare și se scriu ecuațiile de

echilibru ale secțiunii (119860) se vor obține șase relații de echivalență icircntre eforturi și

tensiuni

(sum119883) = 0 rArr int 120590119909 ∙ 119889119860

119860

= 119873 (317)

(sum119884) = 0 rArr int 120591119909119910 ∙ 119889119860

119860

= 119879119910 (318)

(sum119885) = 0 rArr int 120591119909119911 ∙ 119889119860

119860

= 119879119911 (319)

(sum119872)119909= 0 rArr int(120591119909119911 ∙ 119889119860) ∙ 119910

119860

minus int(120591119909119910 ∙ 119889119860) ∙ 119911

119860

= 119872119909 rArr

rArr int(119910 ∙ 120591119909119911 minus 119911 ∙ 120591119909119910) ∙ 119889119860

119860

= 119872119909

(320)

(sum119872)119910= 0 rArr int(120590119909 ∙ 119889119860) ∙ 119911

119860

= 119872119894119910 (321)

(sum119872)119911= 0 rArr int(120590119909 ∙ 119889119860) ∙ 119910

119860

= 119872119894119911 (322)

Cele șase relații de echivalență icircntre eforturi și tensiuni constituie un pas icircnainte

icircn rezolvarea unei probleme de rezistența materialelor Aceste relații vor permite

determinarea tensiunilor maxime

Pentru a rezolva cele 6 relații de echivalență trebuie să se cunoască tensiunile și

ca funcții de punct adică funcții de forma

120590119909 = 120590119909(119909 119910 119911) 120591119909119910 = 120591119909119910(119909 119910 119911) 120591119909119911 = 120591119909119911(119909 119910 119911) (32

3)

Cunoașterea acestor funcții presupune icircnsă analizarea aspectului geometric al

problemei precum și utilizarea unor ipoteze simplificatoare care să permită simplificarea

problemelor

34 Ipoteze de bază icircn rezistenţa materialelor

Depășirea dificultăților legate de interpretarea unor fenomene specifice mecanicii

solidului deformabil a impus acceptarea unor ipoteze care să simplifice fenomenele și să

contribuie la elaborarea unor modele de calcul cicirct mai generale și cacirct mai simple Aceste

ipoteze se referă la structura materialelor şi la comportarea lor sub acţiunea forţelor

exterioare Ipotezele acceptate trebuie să fie icircn deplină concordanţă cu realitatea și să

conducă la rezultate verificate icircn practică

Funcție de aspectele la care se referă ipotezele pot fi

Ipoteze fizice (de material)

Ipoteze de calcul

341 Ipoteze fizice

Se acceptă deoarece teoriile structurale au condus la rezultate care contravin

icircncercărilor experimentale

Ipoteza mediului continuu consideră că orice domeniu elementar al corpului

este ocupat de materie adică nu se acceptă existența unor goluri sau a unor crăpături

microscopice (fisuri) Deși nu corespunde realităţii poate fi acceptată deoarece

dimensiunile corpului sunt mult mai mari decacirct dimensiunile particulelor elemantare Are

avantajul că permite utilizarea proprietăților matematice ale funcțiilor continue pentru

tensiunile și deformațiile din orice punct al corpului Ea este mai apropiată de realitate la

corpurile amorfe şi mai depărtată la cele cristaline dar conduce la rezultate satisfăcătoare

icircn calculele de rezistenţă

Ipoteza nu se poate aplica la corpurile care au goluri tăieturi (multiplu conexe)

pentru unele puncte singulare icircn care tensiunile și deformațiile tind la infinit sau icircn unele

probleme de plasticitate icircn care proprietățile de material au un rol esențial

Ipoteza izotropiei conform acestei ipoteze materialul din care este confecționat

un element de rezistență are aceleași proprietăți după orice direcție un astfel de material

este considerat izotrop Din punct de vedere macroscopic metalele pot fi considerate

izotrope deși la nivel microscopic proprietățile lor diferă de la o direcție cristalografică

la alta Orice conglomerat de cristale poate fi considerat izotrop

Există cazuri cacircnd această ipoteză a izotropiei nu se acceptă

la metalele puternic deformate după o direcție (prin laminare trefilare)

la piesele confecționate din lemn lemnul este anizotrop deoarece proprietățile sale

diferă după două direcții (icircn lungul fibrelor și perpendicular pe această direcție)

Ipoteza omogenității consideră că un corp are aceleași proprietăți icircn orice

punct al său Deși majoritatea materialelor utilizate icircn tehnică sunt eterogene la scară

micro fiind constituite din mai multe faze cu proprietăți diferite la scară macro ele pot

fi considerate omogene Omogenitatea și izotropia sunt proprietăți statistice medii care

nu se condiționează una pe cealaltă Chiar și materialele monofazice pot avea la scară

micro unele segregații care le fac eterogene

Ipoteza elasticităţii perfecte presupune că atacircta timp cacirct solicitările nu

depăşesc anumite limite materialul are o comportare elastică adică icircşi recapătă forma şi

dimensiunile iniţiale odată cu icircnlăturarea sarcinilor Icircn realitate materialele nu prezintă o

elasticitate perfectă ele avacircnd deformaţii remanente mici care icircnsă pot fi neglijate icircn

calculele de rezistenţă

Acceptarea acestei ipoteze a elasticității perfecte permite

- aplicarea relației biunivoce icircntre tensiuni și deformații relație exprimată de legea

lui Hooke ( = 119864 ∙ 휀) unde E este un factor de proporţionalitate numit modul de

elasticitate longitudinal al materialului pentru oţel 119864 = 21 ∙ 105 [119872119875119886] - acceptarea valabilității afirmației bdquolucrul mecanic efectuat de forțele exterioare

ca urmare a parcurgerii deplasărilor punctelor de aplicație se icircnmagazinează integral icircn

corp sub formă de energie de deformație energie cedată la icircndepărtarea sarcinilorrdquo

- este valabilă teoria conform căreia bdquoenergia icircnmagazinată și deformațiile depind

doar de starea inițială și finală de eforturi fără a ține cont de modul icircn care s-a ajuns la

starea finalărdquo

Icircn realitate oricacirct de mici ar fi sarcinile aplicate se produc și deformații plastice

dar acestea pot fi neglijate dacă solicitarea nu depășește anumite limite

342 Ipoteze de calcul

Ipoteza micilor deplasări bdquodeplasările datorate deformării sunt mult mai mici

decacirct dimensiunile corpurilor și ca urmare pot fi neglijate produsele dintre o deplasare și

ea icircnsăşirdquo Pentru cele mai multe corpuri deformaţiile elastice sunt de mărimi mici deci

corpurile solide sub acţiunea sarcinilor icircşi modifică foarte puţin forma iniţială Această

ipoteză este cunoscută şi sub denumirea de ipoteza menţinerii dimensiunilor iniţiale Ea

permite scrierea ecuaţiilor de echilibru ale staticii pe starea nedeformată a elementului

cacircnd nu se iau icircn considerare deplasările punctelor de aplicaţie ale forţelor care se produc

ca urmare a deformării acestuia Calculul efectuat pe schema nedeformată poartă numele

de calcul de ordinul I

Ipoteza micilor deplasări nu poate fi acceptată pentru studiul problemelor de

stabilitate sau la problemele la care nu pot fi icircndeplinite condiţiile de echilibru icircn starea

nedeformată

Calculul de ordinul II admite ipoteza micilor deplasări dar ecuaţiile de echilibru

se scriu icircnsă pentru starea deformată a elementului de rezistenţă

Calculul de ordinul III nu mai acceptă ipoteza micilor deplasări el referindu-se

la cazul deformaţiilor mari cacircnd ecuaţiile de echilibru trebuie scrise pentru starea

deformată

Chiar dacă materialul satisface legea lui Hooke icircn urma calculelor de ordinul II

se obţin de obicei relaţii neliniare icircntre sarcini şi deplasări iar pentru calculul de ordinul

III rezultă ecuaţii diferenţiale neliniare

Principiul efectului local al acțiunii sarcinilor enunțat de Barre de Saint-

Venant Acest principiu destul de folosit icircn Rezistenţa Materialelor precizează că dacă

se icircnlocuiesc forţele care acţionează asupra unui element de suprafață al unui corp

elastic printr-un alt sistem de forţe echivalent din punct de vedere static cu primul noua

distribuţie a forţelor produce la locul de aplicare diferenţe semnificative faţă de prima

dar rămacircne fără efect sau cu efect neglijabil la distanţe mari de locul de aplicare al

forţelor figura 312

Ca o cosecință o sarcină uniform distribuită figura 312a poate fi icircnlocuită cu

rezultanta ei figura 312b dacă se analizează efectul sarcinii la distanță mare de locul icircn

care se aplică sarcina

Fig 312 Principiul Saint-Venant

Icircn prima variantă figura 312a forţa 119865 se aplică pe o porțiune oarecare 119897 (sarcină

uniform distribuită) iar icircn a doua figura 312b icircntru-un punct (forţă concentrată) La

locul de aplicare a sarcinii efectul asupra barei este cu totul diferit de la o variantă la

cealaltă Icircnsă la o distanţă mare de punctul de aplicaţie spre exemplu icircn secţiunea situată

la distanţa 119886 de capătul barei sau chiar icircn icircncastrare ambele bare sunt solicitate la fel

Icircn cazul din figura 312a

119872119894(119909) =119901 ∙ 1199092

2 119909 le 119897 119872119894(119909) = 119901 ∙ 119897 ∙ (119909 minus

119897

2) 119909 gt 119897 (324)

Icircn cazul din figura 312b

119872119894(119909) = 0 119909 lt119897

2 119872119894(119909) = 119901 ∙ 119897 ∙ (119909 minus

119897

2) 119909 gt

119897

2 (325)

Se vede că pentru (119909 gt 119897) adică după depășirea locului icircn care se aplică sarcina

efectul este același

Ipoteza lui Bernoulli sau ipoteza secţiunilor plane precizează că o secţiune

plană şi normală pe axa barei icircnainte de deformare rămacircne plană şi normală pe axa

barei şi după deformare figura 313

Fig 313 Ipoteza lui Bernoulli

Ipoteza stării naturale a corpului sau ipoteza absenţei tensiunilor conform

căreia pentru un corp nesolicitat starea de tensiune şi deformaţie este nulă

Perfecţionarea mijloacelor de calcul şi de investigare pot conduce la renunţarea la

unele ipoteze sau la introducerea altora noi mai aproape de stările reale De aici rezultă

caracterul de continuă perfecţionare a metodelor Rezistenţei Materialelor

35 Coeficienţi de siguranţă Tensiuni admisibile

O piesă corespunde din punct de vedere tehnic dacă tensiunile care iau naştere icircn

interiorul piesei datorită sarcinilor aplicate nu depăşesc anumite valori limită stabilite

convenţional Aceste valori limită ale tensiunii sunt corelate cu caracteristicile mecanice

ale materialelor

Tensiunea limită utilizată icircn calculele de rezistenţă este cunoscută sub denumirea

de tensiune admisibilă sau rezistenţă admisibilă Rezistenţa admisibilă reprezintă

valoarea convenţională aleasă icircn calcul pe baza practicii pentru tensiunea maximă care

poate apare icircntr-o piesă icircn condiţii date de material şi solicitare

Rezistenţa admisibilă (120590119886 sau 120591119886) poate fi definită faţă de o stare limită

periculoasă stare care trebuie evitată deoarece poate conduce distrugere

120590119886 =120590119897119894119898119888

(326)

unde

120590119897119894119898 este tensiunea corespunzătoare stării limită periculoase

119888 estesupraunitar 119888 gt 1 și reprezintă coeficientul de siguranţă faţă de starea limită

periculoasă considerată

Alegerea unor valori inferioare pentru rezistenţa admisibilă faţă de tensiunea

corespunzătoare stării limită periculoase este necesară deoarece

cunoaşterea sarcinilor este de cele mai multe ori aproximativă şi o depăşire a

acestora este foarte posibilă

caracteristicile mecanice ale materialelor variază icircn limite destul de mari ele

fiind influenţate de mulţi factori

schema aleasă pentru calcul (aplicarea sarcinilor schematizarea structurii

ipotezele de calcul etc) depărtează modelul faţă de cel real

Pentru calculele de verificare tensiunea efectivă maximă din elementul de

rezistenţă trebuie să fie mai mică sau cel mult egală cu cea admisibilă

120590119890119891119898119886119909 le 120590119886 (327)

Valoarea rezistenţei admisibile este influenţată de foarte mulţi factori natura

materialului tratamentele termice aplicate piesei durata de funcţionare a piesei modul

de acţionare icircn timp a sarcinilor felul solicitării temperatura gradul de periculozitate

icircn cazul cedării piesei etc

De asemenea valoarea coeficientului de siguranţă se alege icircn principal ţinacircnd

seama de aceiaşi factori care influenţează şi rezistenţa admisibilă

Rezistenţele admisibile pentru cacircteva materiale sunt următoarele

pentru oțelul de uz general OL37 solicitat la icircntindere compresiune sau

icircncovoiere 120590119886 = 150 [119872119875119886] pentru lemnul de brad solicitat la

- compresiune icircn lungul fibrelor şi solicitat la icircncovoiere 120590119886 = 10 [119872119875119886] - tracţiune icircn lungul fibrelor 120590119886 = 7 [119872119875119886] - compresiune perpendiculară pe fibre 120590119886 = 15 [119872119875119886] - forfecare icircn lungul fibrelor 120591119886 = 2 [119872119875119886] - forfecare perpendiculară pe fibre 120590119886 = 45 [119872119875119886]

terenuri de fundaţie din pămacircnt uscat sau umed 120590119886 = 020 divide 025 [119872119875119886]

4 CARACTERISTICI GEOMETRICE ALE SECȚIUNILOR PLANE

41 Noţiuni introductive

Icircn relaţiile de calcul ale tensiunilor şi deformaţiilor elementelor de rezistenţă

pentru unele solicitări (icircncovoierea și torsiunea) secțiunile plane intervin atacirct prin

dimensiunile lor (aria 119860) cicirct și prin forma și poziția pe care o are secțiunea icircn raport cu

planul solicitării Mărimile care caracterizează o secțiune icircn raport cu forma și poziția față

de axele unui sistem de referință sunt denumite caracteristici geometrice de ordin

superior Aria secțiunii este caracteristica geometrică ce depinde doar de dimensiunile

geometrice ale acesteia

Să considerăm o grindă solicitată de o forță exterioară 119865 aşezată icircn două poziții icircn

raport cu planul forţei figura 41 Icircn urma aplicării forței deși avem aceeași grindă

(aceeași arie a secțiunii transversale) și aceeași forță se constată că pentru varianta din

figura 41a deformațiile sunt mult mai mari adică rezistența la icircncovoiere a grinzii din

figura 41a este mai mare decacirct icircn cazul grinzii din figura 41b Comportarea diferită se

explică prin aceea că modificarea poziţiei secţiunii transversale faţă de planul forţelor

modifică caracteristicile geometrice ale secţiunii transversale a grinzii

Fig 41 Grindă solicitată de forța 119865

Pentru realizarea calculelor de rezistenţă şi rigiditate este foarte importantă

cunoaşterea caracteristicilor geometrice ale suprafeţei secţiunii transversale a elementelor

de rezistenţă

Caracteristicile geometrice ale secţiunii transversale a unui element de rezistenţă

sunt

- aria secțiunii notată cu 119860

- momentul static icircn raport cu o axă notat 119878119911 și respectiv 119878119910

- momentul de inerție care poate fi

axial notat 119868119911 și respectiv 119868119910

centrifugal notat 119868119911119910

polar notat 119868119901

- raza de inerţie (giraţie)notată 119894119911 și respectiv 119894119910

- modulul de rezistență care poate fi

axial notat 119882119911 și respectiv 119882119910

polar notat 119882119901

42 Aria și momentul static al suprafețelor plane

Fie o suprafaţă plană de arie 119860 pe care se ia un element infinit mic de arie 119889119860 şi

un sistem de axe rectangulare 119911119874119910 figura 42 Notăm cu 119862 centrul de greutate al suprafeţei

119860 Poziţia suprafeţei elementare 119889119860 faţă de acelaşi sistem de coordonate 119911119874119910 este dată

de abscisa 119911 ordonata 119910 și raza polară

Fig 42 Suprafață plană de arie 119860

Aria suprafeţei 119860 figura 42 se defineşte ca fiind

119860 ≝ int 119889119860

119860

(41)

Aria suprafeţei este icircntotdeauna pozitivă și se măsoară icircn [1198981198982] Momentul static al suprafeţei de arie 119860 icircn raport cu axele 119874119911 și respectiv 119874119910

figura 42 sunt date de relaţiile

119878119911 ≝ int 119910 ∙ 119889119860

119860

119878119910 ≝ int 119911 ∙ 119889119860

119860

(42)

Momentul static poate fi pozitiv negativ sau nul şi se măsoară icircn [1198981198983] Coordonatele centrului de greutate ale suprafeței 119860 se detrmină cu relațiile

119910119862 ≝int 119910 ∙ 119889119860119860

119860 119911119862 ≝

int 119911 ∙ 119889119860119860

119860

(43)

Cunoscacircnd coordonatele 119910119862 și 119911119862 ale centrului de greutate 119862 al secțiunii 119860 atunci

momentele statice se pot determina cu relațiile

119878119911 ≝ int 119910 ∙ 119889119860

119860

= 119910119862 ∙ 119889119860 119878119910 ≝ int 119911 ∙ 119889119860

119860

= 119911119862 ∙ 119889119860 (44)

Aceste relații arată că momentul static al unei suprafețe icircn raport cu o axă este

egal cu produsul dintre aria suprafeței și distanța de la centrul ariei la axa respectivă

Dacă suprafaţa se poate descompune icircn 119899 suprafeţe simple la care se cunosc ariile

(1198601 1198602 ⋯ 119860119894⋯ 119860119899) și poziţiile centrelor de greutate 119862119894 faţă de sistemul de referinţă

expresiile momentelor statice capătă următoarea formă

119878119911 = sum 119910119862119894 ∙ 119860119894119899119894=1 = 119910119862 ∙ 119860 119878119910 = sum 119911119862119894 ∙ 119860119894

119899119894=1 = 119911119862 ∙ 119860 (45)

Din relaţiile (45) rezultă că poziţia centrului de greutate 119862 al unei suprafeţe

compuse poate fi determinată cu relaţiile

119910119862 = (sum119910119862119894 ∙ 119860119894

119899

119894=1

) 119860frasl 119911119862 = (sum119911119862119894 ∙ 119860119894

119899

119894=1

) 119860frasl (46)

Icircn relația (45) 119910119862119894 și respectiv 119911119862119894 reprezintă coordonatele centrelor de greutate 119862119894

ale fiecărei suprafețe simple 119860119894 icircn raport sistemul de axe 119911119874119910

Se constată (relaţia 42) că dacă axele sistemului de referinţă trec prin centrul de

greutate (119910119862 = 119911119862 = 0) momentele statice sunt nule Axele icircn raport cu care momentele

statice sunt nule şi care trec prin centrul de greutate al suprafeţei se numesc axe centrale

Observație dacă secțiunea compusă are o axă de simetrie centrul secțiunii se

găsește pe acea axă iar dacă secțiunea este dublu simetrică poziția centrului secțiunii este

la intersecția axelor de simetrie

43 Momente de inerţie

Momentele de inerţie axiale ale unei suprafețe se calculează icircn raport cu axele de

coordonate 119874119911 și respectiv 119874119910 figura 42 și se determină cu relațiile

119868119911 ≝ int 1199102 ∙ 119889119860

119860

119868119910 ≝ int 1199112 ∙ 119889119860

119860

(47)

Unde 119910 și 119911 sunt distanțele de la elementul de arie 119889119860 la cele două axe de

coordonate 119874119911 și respectiv 119874119910

Momentele de inerţie axiale se măsoară icircn [1198981198984] şi sunt icircntotdeauna pozitive (aria

119889119860 este icircntotdeauna pozitivă și este multiplicată cu patratul distanței 1199102 dacă 119868119911 sau 119868119910

sunt nule icircnseamnă ca secțiunea nu există)

Momentele de inerție axiale se calculează icircndeosebi pentru axele centrale (care

trec prin centrul secțiunii) deoarece icircn raport cu acele axe 119868119911 și 119868119910 au valori minime

Momentul de inerţie centrifugal calculat faţă ambele axe ale sistemului de

referinţă 119911119874119910 este definit de relația

119868119911119910 ≝ int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860

(48)

Momentul de inerţie centrifugal se măsoară icircn [1198981198984] şi poate fi pozitiv negativ

sau nul

Momentul de ineție centrifugal este nul 119868119911119910 = 0 dacă cel puțin una din axele 119874119911

sau 119874119910 este axă de simetrie pentru secțiune

Se consideră o suprafaţă dreptunghiulară pe care faţă de axa de simetrie 119874119910 se iau

două suprafeţe elementare de arie 119889119860 simetrice faţă de axa 119874119910 figura 43

Fig 43 Suprafață dreptunghiulară cu două arii elementare 119889119860

Făcacircnd suma momentelor de inerţie centrifugale pentru cele două suprafeţe

elementare 119889119860 (din stacircnga şi din dreapta faţă de axa 119874119910) se obţine

int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860119889119903

+ int (minus119911) ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860119904119905119892

= int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860119889119903

minus int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860119904119905119892

= 0 (49)

Acelaşi raţionament se poate face și pentru icircntreaga suprafaţă de unde obținem că

momentul de inerție centrifugal este nul 119868119911119910 = 0 Deci pentru o suprafaţă plană care

are cel puţin o axă de simetrie momentul de inerţie centrifugal faţă de sistemul care

conţine acea axă de simetrie este nul

Momentul de inerţie polar al unei suprafeţei icircn raport cu un punct (pol) 119874 figura

42 este definit prin relaţia

1198680 = 119868119901 ≝ int 1205882 ∙ 119889119860

119860

= int(1199102 + 1199112) ∙ 119889119860

119860

= 119868119911 + 119868119910 (410)

unde este distanţa de la polul 119874 la elementul de arie 119889119860 Momentul de inerţie polar se

măsoară icircn [1198981198984] şi este totdeauna pozitiv

Momentul de inerţie polar este egal cu suma momentelor de inerţie faţă de două axe

perpendiculare oarecare şi care trec prin polul considerat

Razele de giraţie sau razele de inerţie sunt mărimi calculate icircn raport cu axele

secțiunii și definite de relaţiile

119894119911 ≝ radic119868119911119860 119894119910 = radic

119868119910

119860 (411)

Se exprimă icircn [119898119898] şi sunt icircntotdeauna pozitive Semnificația unei raze de inerție

este distanța la care dacă ar fi concentrată icircntreaga arie s-ar obține același moment de

inerție ca și cel calculat pentru aria reală

44 Modulul de rezistenţă

Modulul de rezistență se calculează icircn raport cu axele de referință sau icircn raport cu

un pol figura 42 și pot fi axiale (119882119911119882119910) sau polar (119882119901) și se determină numai pe baza

momentelor de inerţie cu relațiile figura 43

119882119911119898119894119899 ≝119868119911119910119898119886119909

119882119911119898119886119909 ≝119868119911119910119898119894119899

(412)

119882119910119898119894119899 ≝119868119910

119911119898119886119909 119882119910119898119886119909 ≝

119868119910

119911119898119894119899 (413)

119882119901 ≝119868119901

120588119898119886119909 (414)

unde

119910119898119886119909 119910119898119894119899 reprezintă distanţa de la axa 119874119911 la punctele extreme cele mai

depărtate respectiv cele mai apropiate ale suprafeţei de această axă

119911119898119886119909 119911119898119894119899 reprezintă distanţa de la axa 119874119910 la punctele extreme cele mai

depărtate respectiv cele mai apropiate ale suprafeţei de această axă

120588119898119886119909 reprezintă distanța maximă de la polul 119874 la punctul secțiunii cel mai

icircndepărtat de acesta

Fig 43 Suprafață dreptunghiulară cu două arii elementare 119889119860

Modulele de rezistenţă se exprimă icircn [1198981198983] şi sunt icircntotdeauna pozitive

Explicația este aceea că momentele de inerție care intră icircn relațiile de definiție sunt

pozitive iar distanțele la punctele extreme sunt pozitive (119910119898119886119909 119910119898119894119899 119911119898119886119909 119911119898119894119899 120588119898119886119909 se

iau icircn valoare absolută)

Icircn cazul suprafeţelor compuse modulul de rezistenţă nu se obţine prin icircnsumarea

algebrică a modulelor de rezistenţă ale suprafeţelor simple componente ci numai prin

intermediul momentului de inerţie axial calculat pentru icircntreaga secțiune

Ca și momentele de inerție modulele de rezistență se calculează numai pentru

sistemele de axe centrale

45 Momente de inerţie şi module de rezistenţă pentru suprafeţe simple

451 Secțiune dreptunghiulară

Fie suprafaţa dreptunghiulară din figura 44 de icircnălțime ℎ și lățime 119887 pe care se

consideră suprafaţă elementară de arie 119889119860 = 119887119889119910 la distanța 119910 de axa 119862119911 sistemul de

axe 119911119862119910 trece prin centrul secțiunii iar axele sunt axe de simetrie pentru dreptunghi

Fig 44 Suprafață dreptunghiulară

Pe baza relațiilor de definiți a momentului de inerție 119868119911 se obține

119868119911 ≝ int 1199102 ∙ 119889119860

119860

= int 1199102 ∙ 119887 ∙ 119889119910 = 2int 1199102 ∙ 119887 ∙ 119889119910 = 2 ∙ 119887 ∙1199103

3|ℎ 2frasl

0rArr

ℎ 2frasl

0

ℎ 2frasl

minusℎ 2frasl

rArr 119868119911 =119887 ∙ ℎ3

12

(415)

Analog pentru un element de arie 119889119860 = ℎ ∙ 119889119911 paralel cu axa 119862119910 situat la distanța

119911 de axa 119862119910

119868119910 ≝ int 1199112 ∙ 119889119860

119860

= int 1199112 ∙ ℎ ∙ 119889119911 = 2int 1199112 ∙ ℎ ∙ 119889119910 = 2 ∙ ℎ ∙1199113

3|119887 2frasl

0rArr

119887 2frasl

0

119887 2frasl

minus119887 2frasl

rArr 119868119910 =1198873 ∙ ℎ

12

(416)

Deoarece axele 119862119911 și 119862119910 sunt axe de simetrie momentul de inerție centrifugal este

119868119911119910 = 0 (417)

Pentru un pătrat avacircnd laturile egale (ℎ = 119887 = 119886) momentele de inerţie faţă de

axele centrale au expresia

119868119911 = 119868119910 =1198864

12 (418)

Modulele de rezistență axiale se calculează cu relațiile de definiție ținacircnd cont că

distanțele pacircnă la fibrele extreme sunt

119910119898119886119909 = 119910119898119894119899 =ℎ

2 119911119898119886119909 = 119911119898119894119899 =

119887

2 (419)

Obținem

119882119911119898119894119899 = 119882119911119898119886119909 =119868119911

119910119898119886119909119898119894119899=119887 ∙ ℎ3

12frasl

ℎ2frasl

=119887 ∙ ℎ2

6

119882119910119898119894119899 = 119882119910119898119886119909 =119868119910

119911119898119886119909119898119894119899=1198873 ∙ ℎ

12frasl

1198872frasl

=1198872 ∙ ℎ

6

(420)

452 Suprafaţă circulară

Din motive de simetrie pentru suprafeţele circulare momentele de inerţie faţă de

orice diametru (care reprezintă şi axe centrale) sunt aceleaşi

Considerăm o secțiune circulară plină cu diametrul 119889 și centrul de greutate 119862 Prin

centrul de greutate 119862 trece sistemul de axe ortogonal 119911119862119910 figura 45

Fig 45 Suprafață circulară

La distanța de centrul de greutate 119862 vom lua un element de suprafață mic de arie

(119889119860) de forma unui inel de grosime 119889 Elementul de arie 119889119860 are expresia

119889119860 = (2 ∙ 120587 ∙ 120588) ∙ (119889120588)

Pornind de la relația de definiție a momentului de inerție polar obținem

119868119901 ≝ int 1205882 ∙ 119889119860

119860

= int 1205882 ∙ (2 ∙ 120587 ∙ 120588) ∙ 119889120588

119903=119889 2frasl

0

= 2 ∙ 120587 ∙1205884

4|119889 2frasl0 rArr

rArr 119868119901 =120587 ∙ 1198894

32

(421)

Secțiunea este perfect simetrică deci sunt valabile relațiile

119868119911 = 119868119910 rArr 119868119901 = 119868119911 + 119868119910 = 2 ∙ 119868119911 = 2 ∙ 119868119910 =119868119901

2=120587 ∙ 1198894

64 (422)

Și modulele de rezistenţă faţă de orice diametru sunt egale şi se calculează cu

relaţiile

119882119911 = 119882119910 =1198681199111198892frasl=120587 ∙ 1198893

32 (423)

Modulul de rezistenţă polar este

119882119901 =1198681199011198892frasl=120587 ∙ 1198893

16 (424)

453 Secţiune inelară

Calculul momentelor de inerţie axiale pentru o secţiune inelară avacircnd diametrul

interior 119889 şi diametrul exterior 119863 se determină analog pentru suprafaţa circulară plină cu

observaţia că integrala pentru calculul momentului de inerție polar 119868119901 se face icircntre

limitele 119903 = 119889 2frasl şi R= 1198632frasl (icircntre raza interioară 119903 şi raza exterioară 119877) figura 46

Se obţin relaţiile

119868119901 =120587 ∙ 1198634

32∙ [1 minus (

119889

119863)4

] =120587 ∙ 1198634

32∙ (1 minus 1198964) (425)

119868119910 = 119868119910 =120587 ∙ 1198634

64∙ [1 minus (

119889

119863)4

] =120587 ∙ 1198633

64∙ (1 minus 1198964) (426)

Fig 46 Secțiune inelară

119882119901 =120587 ∙ 1198633

16∙ [1 minus (

119889

119863)4

] =120587 ∙ 1198633

16∙ (1 minus 1198964) (427)

119882119911 = 119882119910 =120587 ∙ 1198633

32∙ [1 minus (

119889

119863)4

] =120587 ∙ 1198633

32∙ (1 minus 1198964) (428)

unde 119896 = 119889119863frasl

46 Variaţia momentelor de inerţie faţă de axe paralele

( Relațiile lui STEINER)

Se consideră o suprafaţă oarecare de arie 119860 cu elementul de arie 119889119860 și un sistemul

de axe central 119911119862119910 faţă de care se cunosc momentele de inerţie 119868119911 119868119910 119868119911119910 şi considerăm

un sistem de axe 11991111198741199101 paralele cu sistemul central figura 47 Se pune problema

determinării momentele de inerţie 1198681199111 1198681199101 11986811991111199101 faţă de sistemul de axe paralel cu sistemul

central 11991111198741199101 axe aflate la distanţele 119910119862 = 119888 respectiv 119911119862 = 119889 de acesta

461 Momente de inerţie axiale

Pe baza relaţiilor de definire şi a notaţiilor din figura 42 pentru momentele de

inerţie faţă de axele 1198741199111 1198741199101 se poate scrie

1198681199111 = int 11991012 ∙ 119889119860

119860

= int(119910 + 119888)2 ∙ 119889119860

119860

= int 1199102 ∙ 119889119860

119860

+ 2 ∙ 119888 ∙ int 119910 ∙ 119889119860

119860

+

+1198882int 119889119860

119860

rArr 1198681199111 = 119868119911 + 2 ∙ 119888 ∙ 119878119911 + 1198882 ∙ 119860 hArr 1198681199111 = 119868119911 + 119888

2 ∙ 119860

(429)

Fig 47 Variaţia momentelor de inerţie față de axe paralele

S-a ajuns la relația (429) deoarece momentul static 119878119911 este nul deoarece axa 119862119885

este axă centrală

Pentru momentul de inerție axial icircn raport cu axa 1198741199101 se obține

1198681199101 = int 11991112 ∙ 119889119860

119860

= int(119911 + 119889)2 ∙ 119889119860

119860

= int 1199112 ∙ 119889119860

119860

+ 2 ∙ 119889 ∙ int 119911 ∙ 119889119860

119860

+

+1198892 ∙ int 119889119860

119860

rArr 1198681199101 = 119868119910 + 2 ∙ 119889 ∙ 119878119910 + 1198892 ∙ 119860 hArr 1198681199101 = 119868119910 + 119889

2 ∙ 119860

(430)

Pentru momentul de inerție centrifugal obținem

11986811991111199101 = int 1199101 ∙ 1199111 ∙ 119889119860

119860

= int(119910 + 119888) ∙ (119911 + 119889) ∙ 119889119860

119860

= int 119910 ∙ 119911 ∙ 119889119860 +

119860

+119888 ∙ int 119911 ∙ 119889119860

119860

+ 119889 ∙ int 119910 ∙ 119889119860

119860

rArr 11986811991111199101 = 119868119911119910 + 119888 ∙ 119889 ∙ 119860

(431)

Deoarece

int 119911 ∙ 119889119860

119860

= 119878119910 = 0 int 119910 ∙ 119889119860

119860

= 119878119911 = 0 int 119910 ∙ 119911 ∙ 119889119860

119860

= 119868119911119910

Relaţiile (429) şi (430) arată că momentul de inerţie faţă de o axă oarecare

este egal cu momentul de inerţie faţă de o axă paralelă cu ea trecacircnd prin centrul de

greutate la care se adaugă produsul dintre aria suprafeţei şi pătratul distanţei dintre

cele două axe

Din relaţiile (429) și (430) rezultă de asemenea că momentul de inerţie faţă de o

axă centrală (care trece prin centrul de greutate) este cel mai mic dintre infinitatea de

momente de inerţie obținute faţă de alte axe paralele cu ea

Relaţia (431) arată de asemenea că momentul de inerţie centrifugal faţă de un

sistem de axe oarecare este egal cu momentul de inerţie centrifugal faţă de un sistem

paralele cu el trecacircnd prin centrul de greutate a suprafeţei la care se adaugă produsul

dintre aria suprafeţei şi distanţele dintre axele sistemelor respective

Icircn literatura de specialitate relaţiile (429) (430) şi (431) sunt cunoscute sub

numele de relaţiile lui Steiner

47 Variaţia momentrlor de inerţie faţă de axe rotite

Direcţii principale şi momente de inerţie principale

Fie suprafaţa plană din figura 48 de arie 119860 pe care considerăm o suprafaţă

elementară de arie 119889119860 Pentru sistemul de axe 119911119874119910 se cunosc momentele de inerţie

119868119911 119868119910 119868119911119910 şi vom determina relaţiile de calcul pentru momentele de inerţie afererent unui

sistem de axe 11991111198741199101 rotit cu un unghi faţă de sistemul central

Faţă de sistemul de axe 11991111198741199101 elementul de arie 119889119860 are coordonatele

1199101 = 119875119877 = 119875119876 minus 119877119876 = 119910 ∙ cos 120572 minus 119911 ∙ sin 120572

1199111 = 119873119872 = 119873119875 minus 119875119872 = 119911 ∙ cos 120572 + 119910 ∙ sin 120572 (432)

Fig 47 Variaţia momentelor de inerţie față de axe rotite

Pe baza relaţiilor de calcul ale momentelor de inerţie şi a notaţiilor din figura 42

şi ale relaţiilor (432) momentele de inerţie faţă de sistemul de axe rotit 11991111198741199101 sunt

1198681199111 =119868119911 + 119868119910

2+119868119911 minus 119868119910

2∙ cos 2120572 minus 119868119911119910 ∙ sin 2120572 (433)

1198681199101 =119868119911 + 119868119910

2minus119868119911 minus 119868119910

2∙ cos 2120572 + 119868119911119910 ∙ sin 2120572 (434)

11986811991111199101 =119868119911 minus 119868119910

2∙ sin 2120572 + 119868119911119910 ∙ cos 2120572 (435)

Din relaţiile 433divide435 se observă că icircntre momentele de inerţie axiale şi cele

polare există relaţia

1198681199111 + 1198681199101 = 119868119911 + 119868119910 = 119868119901 (436)

adică suma momentelor de inerţie axiale icircn raport cu orice pereche de axe ortogonale

care trec printr-un pol dat este o constantă şi egală cu momentul de inerţie polar

Prin rotirea sistemului de axe din relaţiile 433divide435 rezultă că momentele de inerţie

variază icircnsă suma lor rămacircne constantă deci există o poziţie a sistemului de axe pentru

care momentele de inerţie au valori extreme maxim respectiv minim

471 Direcţii principale de inerţie

Valoarea unghiului 120572 pentru care momentele de inerţie axiale au valori extreme

este

1205721 =1

2∙ 119886119903119888119905119886119899 (minus

2 ∙ 119868119911119910

119868119911 minus 119868119910) (437)

Poziţia celeilalte direcţii este perpendiculară pe cea dată de unghiul 1205721

Din relaţia (437) se constată că faţă de aceste direcţii rotite pentru care momentele

de inerţie axiale prezintă valori extreme momentul de inerţie centrifugal 11986811991111199101este nul

Atunci se poate afirma că momentele de inerţie axiale au valori extreme icircn raport cu

direcţiile faţă de care momentul de inerţie centrifugal este nul Aceste direcţii se numesc

direcţii principale iar momentele de inerţie faţă de aceste direcţii poartă numele de

momente de inerţie principale

Icircn calculele de rezistenţă interesează icircn mod special poziţia direcţiilor principale

care trec prin centrul de greutate al suprafeţei aşa numitele direcţii principale centrale şi

evident momentele de inerţie principale centrale

Direcţiile principale de inerţie se notează cu 1 respectiv 2 Axa principală 1

corespunde direcţiei faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea maximă iar

axa principală 2 pentru direcţia faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea

minimă

472 Momente de inerţie principale

Momentele de inerţie principale se notează cu litera 119868 la care se pune indicele 1

sau 2 după cum valoarea acestuia este maximă sau minimă deci avem un moment de

inerţie principal 1 (notat 1198681) respectiv moment de inerţie principal 2 (notat 1198682)

Expresiile pentru momentele de inerţie principale sunt

11986812 =119868119911 + 119868119910

2plusmn1

2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)

2+ 4 ∙ (119868119911119910)

2 (438)

Dacă momentul de inerţie centrifugal este negativ (119868119911119910 lt 0) direcţia principală

care trece prin primul cadran (definit de sistemul 119911119862119910) este direcţia principală 120783

Pentru suprafeţele cu cel puţin o axă de simetrie direcţiile centrale 119862119911 119862119910 sunt şi

direcții principale de inerţie și evident momentele de inerţie axiale 119868119911 119868119910 sunt momente

de inerţie principale

48 Caracteristici mecanice ale metalelor

Alegerea materialului pentru confecţionarea unei anumite piese se face şi pe baza

aşa numitelor caracteristici mecanice pe care le prezintă materialul Cunoaşterea acestor

caracteristici mecanice are loc numai pe baza unor icircncercări mecanice care să scoată icircn

evidenţă comportarea materialului icircn condiţii de solicitare

Cea mai utilizată icircncercare icircn urma căreia se pun icircn evidenţă caracteristicile

mecanice ale unui material este icircncercarea la tracţiune

481 Icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general

Icircncercarea la tracţiune a oţelului ca de altfel toate icircncercările de materiale este

standardizată

Icircn cele ce urmează se va prezenta numai partea care interesează strict din punct

de vedere al caracteristicilor mecanice ale oţelului

Epruveta de diametru iniţial 1198890 pentru icircncercarea la tracţiune are o porţiune de

lungime 1198710 numită baza de măsurare pe care se măsoară lungirea acesteia sub acţiunea

solicitării

Icircn funcţie de raportul dintre baza de măsurare 1198710 şi diametrul iniţial 1198890 epruvetele

utilizate pentru icircncercări sunt

epruvete normale (scurte) cacircnd 11987101198890 = 5

epruvete lungi cacircnd 11987101198890 = 10

Icircn timpul icircncercării la diferite valori ale forţei 119865 se măsoară lungirea bazei de

măsurare

∆119871 = 120575 = 119871 minus 1198710 (439)

unde

119871 este dimensiunea bazei de măsurare la un moment dat

Curba forţă-lungire (119865 minus ) icircnregistrată icircn urma icircncercării reprezintă curba

caracteristică la tracţiune

La icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general diagrama caracteristică care se

obţine are forma din figura 48

Curba caracteristică la tracţiune depinde de lungimea bazei de măsurare Pentru

icircnlăturarea acestui neajuns curba caracteristică se reprezintă icircn coordonate şi definite

astfel

120590 =119865

1198600 휀 =

120575

1198710 (440)

unde

1198600 este aria iniţială a secţiunii transversale a epruvetei (icircnainte de solicitare) icircn

zona bazei de măsurare

1198600 =120587 ∙ 1198890

2

4

Deoarece mărimile icircn care se reprezintă curba caracteristică la tracţiune sunt

raportate la aria iniţială a secţiunii transversale (mărimi specifice) curba poartă numele

de curbă caracteristică convenţională la tracţiune

Fig 48 Curba caracteristică convenţională la tracțiune

Pe curba caracteristică convenţională la tracţiune figura 48 se pot stabili o serie

de puncte cărora le corespund mai multe mărimi importante

Ordonata punctului A pacircnă unde curba caracteristică convenţională este linie

dreaptă se numeşte limita de proporţionalitate a materialului 120590119901(1205901) Porţiunea 119874119860 este

zona de proporţionalitate a curbei caracteristice pe acest domeniu este valabilă legea lui

Hooke care exprimă o proporţionalitate icircntre tensiune şi deformaţie specifică

120590 = 119864 ∙ 휀 (441)

unde

119864 = reprezintă panta porţiunii liniare a curbei convenționale caracteristice

la tracțiune Caracteristica de material 119864 se numeşte modul de elasticitate longitudinal

(modulul lui Young)

Ordonata punctului 119861 pacircnă unde materialul se comportă perfect elastic adică

după descărcare icircşi recapătă dimensiunea iniţială 1198710 se numeşte limita de elasticitate

120590119890(119877119890) Icircn realitate nici un material nu are comportare perfect elastică sub acţiunea

solicitărilor el capătă deformaţii permanente (remanente plastice)

După punctul 119861 urmează o porţiune 119861119862119863 icircn care cu toate că icircncărcarea

continuă forţa nu mai creşte avacircnd mici oscilaţii icircn jurul unei valori Se spune că icircn

această porţiune materialul curge iar intervalul 119861119862119863 este un palier de curgere Tensiunea

corespunzătoare palierului de curgere se numeşte limită de curgere aparentă 120590119888(119877119888) Limita de curgere aparentă se calculează cu relaţia

120590119888 =1198651198881198600 (442)

unde

119865119888 reprezintă valoarea forţei icircnregistrată icircn momentul curgerii materialului

După punctul 119863 curba caracteristică are un traseu ascendent pacircnă icircn punctul 119864

Porţiunea 119863119864 este numită zonă de icircntărire (ecruisare) Icircn zona de ecruisare unde se

produc deformaţii plastice semnificative legea lui Hooke nu mai este valabilă La

descărcare relaţia dintre tensiunea şi deformaţia specifică este liniară paralelă cu

porţiunea liniară a curbei caracteristice (dreapta 119872119873)

Deformaţia totală (휀119905) are două componente una elastică (휀119890) şi una plastică (휀119901)

Ordonata punctului 119864 reprezintă rezistenţa de rupere 120590119903(119877119898) a materialului

care se poate calcula cu relaţia

120590119903 = 119877119898 =1198651198981198861199091198600

(443)

unde

119865119898119886119909 reprezintă valoarea maximă a forţei icircnregistrată icircn timpul icircncercării

La atingerea valorii 119865119898119886119909 (punctul 119864) icircntr-un anumit loc al epruvetei secţiunea

icircncepe să se micşoreze (se produce gacirctuirea) continuacircnd pacircnă cacircnd se produce ruperea

totală (punctul 119865)

Dacă după ruperea epruvetei cele două părţi rezultate se aşează cap la cap şi se

măsoară dimensiunea bazei de măsurare 119871119906 (lungimea ultimă) se determină alungirea la

rupere sau lungirea specifică la rupere 휀119903

휀119903 =119871119906 minus 11987101198710

=∆119871

1198710=120575

1198710 (444)

De obicei alungirea se exprimă icircn procente şi se notează cu 119860119899 unde 119899 reprezintă

numărul dat de raportul 11987101198890 (epruvete normale 119899 = 5 epruvete lungi 119899 = 10)

119860119899 =119871119906 minus 11987101198710

∙ 100 [] (445)

Altă mărime care se determină la icircncercarea la tracţiune este gacirctuirea la rupere

(exprimată de obicei icircn procente) şi definită de relaţia

119885 =1198600 minus 1198601199061198600

∙ 100 [] (446)

Mărimile determinate limita de proporţionalitate modulul de elasticitate

longitudinal limita de elasticitate limita de curgere aparentă rezistenţa de rupere

alungirea la rupere şi gacirctuirea la rupere sunt cunoscute ca fiind caracteristici mecanice

ale materialului

Din curba caracteristică convenţională observăm faptul că ruperea (punctul 119865 din

figura 48 se produce la o tensiune mai mică decacirct cea corespunzătoare punctului 119864 Dacă

icircnsă forţa din timpul icircncercării s-ar raporta la aria secţiunii din momentul icircnregistrării

forţei (care este mai mică decacirct cea iniţială 1198600) s-ar obţine aşa numita curbă

caracteristică reală a materialului (traseul 1198741198601198611198621198631198651 din figura 48) La curba

caracteristică reală ruperea se produce icircn punctul 1198651 la o icircncărcare mai mare decacirct cea

corespunzătoare punctului 119864 Icircnseamnă că rezistenţa reală la rupere este mai mare decacirct

rezistenţa la rupere dată de punctul 119864 din diagrama caracteristică convenţională

Dificultatea obţinerii diagramei caracteristice reale faţă de cea a diagramei caracteristice

convenţionale şi considerarea unei rezistenţe la rupere mai mică decacirct a celei reale face

icircn practică utilizarea pe scară mare a diagramei caracteristice convenţionale

Caracteristicile mecanice determinate pe baza curbei caracteristice convenţionale

sunt şi ele caracteristici mecanice convenţionale

Caracteristicile mecanice convenţionale limita de proporţionalitate convenţională

120590119901 limita de elasticitate convenţională 120590119890 limita de curgere convenţională 120590119888 şi rezistenţa

de rupere 120590119903 constituie tensiuni limită pentru un material Pe baza acestor caracteristici

de material se alege valoarea tensiunii admisibile 120590119886 (vezi paragraful 35) pentru

calculele de rezistenţă Cea mai utilizată stare limită pentru stabilirea tensiunii admisibile

120590119886 este limita de curgere convenţională 120590119888

120590119886 =120590119897119894119898119888

=120590119888119888 119904119886119906 120590119886 =

120590119903119888 (447)

Caracteristicile mecanice ale materialului sunt influenţate de o serie de factori

temperatura viteza de solicitare factorii tehnologici iar valorile lor sunt date icircn tabele și

diagrame

Aplicaţie Pentru suprafaţa plană compusă din două dreptunghiuri avacircnd

dimensiunile din figura 49a să se calculeze

a) centrul de greutate al secțiunii compuse 119910119866 119911119866

b) momentele de inerție axiale 119868119911 119868119910 și momentul de inerție centrifugal 119868119911119910

c) razele de inerție 119894119911 119894119910

d) modulele de rezistență 119882119911119898119894119899 119882119911119898119886119909 119882119910119898119894119899 119882119910119898119886119909

e) momentele de inerție principale 1198681 1198682 și direcțiile principale de inerție 1205721

f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 119878119911

Fig 49 Aplicație

Rezolvare Pentru rezolvare vom parcurge următoarele etape

icircmpărțim suprafața compusă icircn două suprafețe simple (dreptunghiuri) notate cu

① și respectiv ② figura 49b

poziționăm centrele de greutate a celor două suprafețe simple ① și respectiv ②

notate cu 1198661 și respectiv 1198662 figura 49c

poziționăm sistemele de axe de coordonate 119911111986611199101 pentru dreptunghiul ① și

119911211986621199102 pentru dreptunghiul ② aflate la intersecția diagonalelor figura 49c

poziționăm sistemele de axe de coordonate 11991101198741199100 ales arbitrar față de care

determinăm poziția centrului de greutate 119866 figura 49c

a) calculăm poziția centrului de greutate folosind relațiile (46) icircn care

1198601 = 6119905 ∙ 119905 = 61199052 1198602 = 4119905 ∙ 119905 = 41199052 119860 = 1198601 + 1198602 = 61199052 + 41199052 = 101199052

iar centrele de greutate 1198661 și respectiv 1198662 au coordonatele (față de sistemul 11991101198741199100)

1198661 1199101 = 3119905 1199111 = 05119905

1198662 1199102 = 051199051199112 = 3119905

cu acestea obținem

119910119866 =1198601 ∙ 1199101 + 1198602 ∙ 1199102

119860=61199052 ∙ 3119905 + 41199052 ∙ 05119905

101199052=201199053

101199052= 2119905

119911119866 =1198601 ∙ 1199111 + 1198602 ∙ 1199112

119860=61199052 ∙ 05119905 + 41199052 ∙ 3119905

101199052=151199053

101199052= 15119905

Poziționăm centrul de greutate 119866 al suprafeței compuse figura 49c

Fig 49 Aplicație

b) pentru determinarea momentelor de inerție axiale 119868119911 119868119910 și a momentului de

inerție centrifugal 119868119910119911 determinăm constantele 1198881 1198882 1198891 1198892 care intervin icircn relația lui

Stainer

1198881 = 1199101 minus 119910119866 = 3119905 minus 2119905 = 119905 1198882 = minus(119910119866 minus 1199102) = minus(2119905 minus 05119905) = minus15119905

1198891 = minus(119911119866 minus 1199111) = minus(15119905 minus 05119905) = minus119905 1198892 = 1199112 minus 119911119892 = 3119905 minus 15119905 = 15119905

Folosind relațiile lui Stainer (429) (430) și (431) calculăm momentele de

inerție axiale și centrifugale față de sistemul central 119911119866119866119910119866

119868119911 =sum(119868119911119894 + 1198881198942 ∙ 119860119894) = 1198681199111 + 1198881

2 ∙ 1198601 + 1198681199112 + 11988822 ∙ 1198602

119868119910 =sum(119868119910119894 + 1198891198942 ∙ 119860119894) = 1198681199101 + 1198891

2 ∙ 1198601 + 1198681199102 + 11988922 ∙ 1198602

119868119911119910 =sum(119868119911119894119910119894 + 119888119894 ∙ 119889119894 ∙ 119860119894) = 11986811991111199101 + 1198881 ∙ 1198891 ∙ 1198601 + 11986811991121199102 + 1198882 ∙ 1198892 ∙ 1198602

1198681199111 = (119887 ∙ ℎ3

12) =

119905 ∙ (6119905)3

12= 181199054 1198681199112 = (

119887 ∙ ℎ3

12) =

4119905 ∙ 1199053

12= 031199054

1198681199101 = (1198873 ∙ ℎ

12) =

1199053 ∙ 6119905

12= 051199054 1198681199102 = (

1198873 ∙ ℎ

12) =

(4119905)3 ∙ 119905

12= 531199054

11986811991111199101 = 11986811991121199102 = 0 deoarece cele două triunghiuri au cel puțin o axă de simetrie

Cu acestea momentele de inerție axiale și momentul de inerție centrifugal devin

119868119911 = 181199054 + 1199052 ∙ 61199052 + 031199054 + (minus15119905)2 ∙ 41199052 = 3331199054

119868119910 = 051199054 + (minus119905)2 ∙ 61199052 + 531199054 + (15119905)2 ∙ 41199052 = 2081199054

119868119911119910 = 0 + 119905 ∙ (minus119905) ∙ 61199052 + 0 + (minus15119905) ∙ (15119905) ∙ 41199052 = minus151199054

c) razele de inerție sau de girație față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910

se calculează cu relațiile (411)

119894119911 = radic119868119911119860= radic

3331199054

101199052= 182119905 119894119910 = radic

119868119910

119860= radic

2081199054

101199052= 144119905

d) modulele de rezistență față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910 se

calculează cu relațiile (412) și (413)

Avacircnd icircn vedere figura 419c obținem

119910119898119886119909 = 6119905 minus 119910119866 = 6119905 minus 2119905 = 4119905 119910119898119894119899 = minus119910119866 = minus2119905

119911119898119886119909 = 5119905 minus 119911119866 = 5119905 minus 15119905 = 35119905 119911119898119894119899 = minus119911119866 = minus15119905

Se obține astfel

119882119911119898119894119899 =119868119911

|119910119898119886119909|=3331199054

4119905= 8331199053

119882119911119898119886119909 =119868119911

|119910119898119894119899|=3331199054

2119905= 16651199053

119882119910119898119894119899 =119868119910

|119911119898119886119909|=2081199054

35119905= 5941199053

119882119910119898119886119909 =119868119910

|119911119898119894119899|=2081199054

15119905= 13871199053

e) momentele de inerție principale 1198681 și respectiv 1198682 se calculează cu relațiile

(438)

11986812 =119868119911 + 119868119910

2plusmn1

2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)

2+ 4 ∙ (119868119911119910)

2=

=3331199054 + 2081199054

2plusmn1

2∙ radic(3331199054 minus 2081199054)2 + 4 ∙ (minus151199054)2 = 27051199054 plusmn 16251199054

De unde obținem

1198681 = 27051199054 + 16251199054 = 4331199054

1198682 = 27051199054 minus 16251199054 = 1081199054

Prima direcție principală de inerție 1 face cu axa centrală 119866119911 unghiul 1205721 dat de

relația (437)

1205721 =1

2∙ arctan (minus

2 ∙ 119868119911119910

119868119911 minus 119868119910) =

1

2∙ arctan [minus

2 ∙ (minus151199054)

3331199054 minus 2081199054] =33 70

Deoarece 1205721 gt 0 rotirea axelor se face acircn sens antiorar acelor de ceasornic figura

49d

Poziția axe principale 2 față de care momentul de inerție are valoarea minimă

1198682 = 119868119898119894119899 este dată de unghiul

1205722 = 1205721 + 900 = 33 70 + 900 = 123 70

f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 se determină cu relația

(45)

1198781199111198602 = 1198602 ∙ 1198882 = 41199052 ∙ (minus15119905) = minus61199053

Schimbacircnd orientarea planului care trece prin 119860 se obțin alte deformații

unghiulare Dacă elementele liniare 119861119860 și 119862119860 sunt inițial perpendiculare deformația 120574 se

numește deformație unghiulară specifică sau lunecare specifică figura 37

Un exemplu de deplasare unghiulară și de deformație unghiulară este prezentat icircn

figura 38 Unghiul este deplasarea unghiulară și măsoară rotirea relativă dintre două

secțiuni aflate la distanța 119897 Unghiul este deformația specifică unghiulară (lunecarea

specifică) din punctul 119870 Aceste deplasări și deformații se obțin icircn urma solicitării barei

de către cele două momente 1198720 egale și de sens contrar

Fig 38 Deplasarea unghiulară

Pentru a analiza starea de deformație din vecinătatea unui punct al unui corp

solicitat complex se decupează din jurul punctului un element de volum mic figura 39a

avacircnd laturile 119889119909 119889119910 și 119889119911 Ca urmare a solicitării laturile acestuia se vor lungi sau

scurta Reprezentarea elementului deformat icircn spațiu este dificilă pentru simplificare

vom analiza doar deformațiile din planul 119909119874119910 Observăm că dimensiunile 119889119909 și 119889119910 s-au

modificat cu valoarea ∆119889119909 respectiv cu ∆119889119910 analog se acceptă și pentru 119889119911 o modificare

de forma ∆119889119911 Astfel se pot defini deformațiile specifice liniare

휀119909 =∆119889119909

119889119909 휀119910 =

∆119889119910

119889119910 휀119911 =

∆119889119911

119889119911 (310)

De cele mai multe ori aceste deformații specifice liniare se pot exprima procentual

și se mai numesc alungiri

Fig 39 Starea de deformație

Icircn figura 39c se vede că unghiul inițial drept dintre muchiile 119889119909 și 119889119910 ale

elementului de volum s-a modificat Se definește deformația specifică unghiulară (sau

lunecarea specifică) mărimea cu care se modifică unghiul inițial drept

120574119909119910 = 120574119909119910prime + 120574119910119909

prime = 120574119910119909120574119910119911 = 120574119910119911

prime + 120574119911119910prime = 120574119911119910

120574119911119909 = 120574119911119909prime + 120574119909119911

prime = 120574119909119911

(311)

Deformațiile 휀119909 휀119910 휀119911 120574119909119910 120574119910119911 120574119911119909 constituie cele șase componente

independente ale tensorului deformațiilor specifice care pot fi scrise de forma

119863 =

휀119909 120574119909119910 120574119909119911120574119910119909 휀119910 120574119910119911120574119911119909 120574119911119910 휀119911

(312)

323 Contracţia transversală

Practica arată că odată cu lungirea unei bare apare o micşorare a mărimii secţiunii

transversale mărime numită contracţie transversală figura 310

Fig 310 Contracția transversală

Contracţia transversală este proporţională cu lungirea specifică coeficientul de

proporţionalitate se notează cu 120599 şi se numeşte coeficient de contracţie transversală sau

coeficientul lui Poisson

La o lungire specifică a barei contracţia transversală este dată de relația

휀119905119903 = 휀119910 = 휀119911 = minus120599 ∙ 휀119909 (313)

Semnul minus bdquo-rdquo arată că cele două mărimi sunt contrare dacă una creşte cealaltă

scade şi invers

Considerăm o bară cilindrică de lungime 119897 şi aria secţiunii transversale 119860 solicitată

la icircntindere axială La un moment dat datorită solicitării lungimea barei devine

[119897 ∙ (1 + 휀)] diametrul devine [119889 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)] iar aria secţiunii transversale devine

[119860 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)2] Dacă volumul barei icircnainte de solicitare a fost (119860 ∙ 119897) după solicitare

acesta devine

119881 + ∆119881 = 119860 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)2 ∙ 119897 ∙ (1 + 휀) =

= 119860 ∙ 119897 ∙ (1 + 휀 minus 2 ∙ 120599 ∙ 휀 minus 2 ∙ 120599 ∙ 휀2 + 1205992 ∙ 휀2 + 1205992 ∙ 휀3) (314)

Deoarece lungirile sunt foarte mici ultimii trei termeni din paranteză fiind infinit mici se pot neglija obţinacircnd

119881 + ∆119881 = 119860 ∙ 119897 + 119860 ∙ 119897 ∙ 휀 ∙ (1 minus 2 ∙ 120599) ⟺ ∆119881 = 휀 ∙ (1 minus 2 ∙ 120599) ∙ 119860 ∙ 119897 (315)

Practica arătă că o astfel de bară solicitată la icircntindere icircşi măreşte volumul deci

∆119881 gt 0 de unde rezultă că

1 minus 2 ∙ 120599 gt 0 rArr 120599 lt 05 (316)

Pentru majoritatea materialelor 120599 = 033 iar pentru materialele care-şi păstrează

volumul constant 120599 = 05

33 Relaţii de echivalenţă icircntre eforturi şi tensiuni

Considerăm un element de suprafață infinit mic 119889119860 situat pe fața de arie (119860) a

secțiunii barei din figura 311 Icircn centrul de greutate 119862 al secțiunii acționează eforturile

119873 119879119910 119879119911 119872119909 119872119894119910 și 119872119894119911 determinate prin metoda secțiunilor

Icircn raport cu un sistem de axe de referință 119909119862119910119911 coordonatele elementului 119889119860 sunt

- 119910 este ordonata elementului de arie 119889119860

- 119911 este abscisa elementului de arie 119889119860

Pe elementul de arie 119889119860 acționează tensiunile

120590119909 tensiunea normală

120591119909119910 și 120591119909119911 tensiuni tangențiale

Dacă se icircnsumează forțele elementare de tipul 120590119909 ∙ 119889119860 120591119909119910 ∙ 119889119860 și 120591119909119911 ∙ 119889119860

va trebui să obținem eforturile 119873 119879119910 și 119879119911

Fig 311 Element de suprafață mic din secțiunea unei bare

Dacă eforturile sunt privite ca forțe exterioare și se scriu ecuațiile de

echilibru ale secțiunii (119860) se vor obține șase relații de echivalență icircntre eforturi și

tensiuni

(sum119883) = 0 rArr int 120590119909 ∙ 119889119860

119860

= 119873 (317)

(sum119884) = 0 rArr int 120591119909119910 ∙ 119889119860

119860

= 119879119910 (318)

(sum119885) = 0 rArr int 120591119909119911 ∙ 119889119860

119860

= 119879119911 (319)

(sum119872)119909= 0 rArr int(120591119909119911 ∙ 119889119860) ∙ 119910

119860

minus int(120591119909119910 ∙ 119889119860) ∙ 119911

119860

= 119872119909 rArr

rArr int(119910 ∙ 120591119909119911 minus 119911 ∙ 120591119909119910) ∙ 119889119860

119860

= 119872119909

(320)

(sum119872)119910= 0 rArr int(120590119909 ∙ 119889119860) ∙ 119911

119860

= 119872119894119910 (321)

(sum119872)119911= 0 rArr int(120590119909 ∙ 119889119860) ∙ 119910

119860

= 119872119894119911 (322)

Cele șase relații de echivalență icircntre eforturi și tensiuni constituie un pas icircnainte

icircn rezolvarea unei probleme de rezistența materialelor Aceste relații vor permite

determinarea tensiunilor maxime

Pentru a rezolva cele 6 relații de echivalență trebuie să se cunoască tensiunile și

ca funcții de punct adică funcții de forma

120590119909 = 120590119909(119909 119910 119911) 120591119909119910 = 120591119909119910(119909 119910 119911) 120591119909119911 = 120591119909119911(119909 119910 119911) (32

3)

Cunoașterea acestor funcții presupune icircnsă analizarea aspectului geometric al

problemei precum și utilizarea unor ipoteze simplificatoare care să permită simplificarea

problemelor

34 Ipoteze de bază icircn rezistenţa materialelor

Depășirea dificultăților legate de interpretarea unor fenomene specifice mecanicii

solidului deformabil a impus acceptarea unor ipoteze care să simplifice fenomenele și să

contribuie la elaborarea unor modele de calcul cicirct mai generale și cacirct mai simple Aceste

ipoteze se referă la structura materialelor şi la comportarea lor sub acţiunea forţelor

exterioare Ipotezele acceptate trebuie să fie icircn deplină concordanţă cu realitatea și să

conducă la rezultate verificate icircn practică

Funcție de aspectele la care se referă ipotezele pot fi

Ipoteze fizice (de material)

Ipoteze de calcul

341 Ipoteze fizice

Se acceptă deoarece teoriile structurale au condus la rezultate care contravin

icircncercărilor experimentale

Ipoteza mediului continuu consideră că orice domeniu elementar al corpului

este ocupat de materie adică nu se acceptă existența unor goluri sau a unor crăpături

microscopice (fisuri) Deși nu corespunde realităţii poate fi acceptată deoarece

dimensiunile corpului sunt mult mai mari decacirct dimensiunile particulelor elemantare Are

avantajul că permite utilizarea proprietăților matematice ale funcțiilor continue pentru

tensiunile și deformațiile din orice punct al corpului Ea este mai apropiată de realitate la

corpurile amorfe şi mai depărtată la cele cristaline dar conduce la rezultate satisfăcătoare

icircn calculele de rezistenţă

Ipoteza nu se poate aplica la corpurile care au goluri tăieturi (multiplu conexe)

pentru unele puncte singulare icircn care tensiunile și deformațiile tind la infinit sau icircn unele

probleme de plasticitate icircn care proprietățile de material au un rol esențial

Ipoteza izotropiei conform acestei ipoteze materialul din care este confecționat

un element de rezistență are aceleași proprietăți după orice direcție un astfel de material

este considerat izotrop Din punct de vedere macroscopic metalele pot fi considerate

izotrope deși la nivel microscopic proprietățile lor diferă de la o direcție cristalografică

la alta Orice conglomerat de cristale poate fi considerat izotrop

Există cazuri cacircnd această ipoteză a izotropiei nu se acceptă

la metalele puternic deformate după o direcție (prin laminare trefilare)

la piesele confecționate din lemn lemnul este anizotrop deoarece proprietățile sale

diferă după două direcții (icircn lungul fibrelor și perpendicular pe această direcție)

Ipoteza omogenității consideră că un corp are aceleași proprietăți icircn orice

punct al său Deși majoritatea materialelor utilizate icircn tehnică sunt eterogene la scară

micro fiind constituite din mai multe faze cu proprietăți diferite la scară macro ele pot

fi considerate omogene Omogenitatea și izotropia sunt proprietăți statistice medii care

nu se condiționează una pe cealaltă Chiar și materialele monofazice pot avea la scară

micro unele segregații care le fac eterogene

Ipoteza elasticităţii perfecte presupune că atacircta timp cacirct solicitările nu

depăşesc anumite limite materialul are o comportare elastică adică icircşi recapătă forma şi

dimensiunile iniţiale odată cu icircnlăturarea sarcinilor Icircn realitate materialele nu prezintă o

elasticitate perfectă ele avacircnd deformaţii remanente mici care icircnsă pot fi neglijate icircn

calculele de rezistenţă

Acceptarea acestei ipoteze a elasticității perfecte permite

- aplicarea relației biunivoce icircntre tensiuni și deformații relație exprimată de legea

lui Hooke ( = 119864 ∙ 휀) unde E este un factor de proporţionalitate numit modul de

elasticitate longitudinal al materialului pentru oţel 119864 = 21 ∙ 105 [119872119875119886] - acceptarea valabilității afirmației bdquolucrul mecanic efectuat de forțele exterioare

ca urmare a parcurgerii deplasărilor punctelor de aplicație se icircnmagazinează integral icircn

corp sub formă de energie de deformație energie cedată la icircndepărtarea sarcinilorrdquo

- este valabilă teoria conform căreia bdquoenergia icircnmagazinată și deformațiile depind

doar de starea inițială și finală de eforturi fără a ține cont de modul icircn care s-a ajuns la

starea finalărdquo

Icircn realitate oricacirct de mici ar fi sarcinile aplicate se produc și deformații plastice

dar acestea pot fi neglijate dacă solicitarea nu depășește anumite limite

342 Ipoteze de calcul

Ipoteza micilor deplasări bdquodeplasările datorate deformării sunt mult mai mici

decacirct dimensiunile corpurilor și ca urmare pot fi neglijate produsele dintre o deplasare și

ea icircnsăşirdquo Pentru cele mai multe corpuri deformaţiile elastice sunt de mărimi mici deci

corpurile solide sub acţiunea sarcinilor icircşi modifică foarte puţin forma iniţială Această

ipoteză este cunoscută şi sub denumirea de ipoteza menţinerii dimensiunilor iniţiale Ea

permite scrierea ecuaţiilor de echilibru ale staticii pe starea nedeformată a elementului

cacircnd nu se iau icircn considerare deplasările punctelor de aplicaţie ale forţelor care se produc

ca urmare a deformării acestuia Calculul efectuat pe schema nedeformată poartă numele

de calcul de ordinul I

Ipoteza micilor deplasări nu poate fi acceptată pentru studiul problemelor de

stabilitate sau la problemele la care nu pot fi icircndeplinite condiţiile de echilibru icircn starea

nedeformată

Calculul de ordinul II admite ipoteza micilor deplasări dar ecuaţiile de echilibru

se scriu icircnsă pentru starea deformată a elementului de rezistenţă

Calculul de ordinul III nu mai acceptă ipoteza micilor deplasări el referindu-se

la cazul deformaţiilor mari cacircnd ecuaţiile de echilibru trebuie scrise pentru starea

deformată

Chiar dacă materialul satisface legea lui Hooke icircn urma calculelor de ordinul II

se obţin de obicei relaţii neliniare icircntre sarcini şi deplasări iar pentru calculul de ordinul

III rezultă ecuaţii diferenţiale neliniare

Principiul efectului local al acțiunii sarcinilor enunțat de Barre de Saint-

Venant Acest principiu destul de folosit icircn Rezistenţa Materialelor precizează că dacă

se icircnlocuiesc forţele care acţionează asupra unui element de suprafață al unui corp

elastic printr-un alt sistem de forţe echivalent din punct de vedere static cu primul noua

distribuţie a forţelor produce la locul de aplicare diferenţe semnificative faţă de prima

dar rămacircne fără efect sau cu efect neglijabil la distanţe mari de locul de aplicare al

forţelor figura 312

Ca o cosecință o sarcină uniform distribuită figura 312a poate fi icircnlocuită cu

rezultanta ei figura 312b dacă se analizează efectul sarcinii la distanță mare de locul icircn

care se aplică sarcina

Fig 312 Principiul Saint-Venant

Icircn prima variantă figura 312a forţa 119865 se aplică pe o porțiune oarecare 119897 (sarcină

uniform distribuită) iar icircn a doua figura 312b icircntru-un punct (forţă concentrată) La

locul de aplicare a sarcinii efectul asupra barei este cu totul diferit de la o variantă la

cealaltă Icircnsă la o distanţă mare de punctul de aplicaţie spre exemplu icircn secţiunea situată

la distanţa 119886 de capătul barei sau chiar icircn icircncastrare ambele bare sunt solicitate la fel

Icircn cazul din figura 312a

119872119894(119909) =119901 ∙ 1199092

2 119909 le 119897 119872119894(119909) = 119901 ∙ 119897 ∙ (119909 minus

119897

2) 119909 gt 119897 (324)

Icircn cazul din figura 312b

119872119894(119909) = 0 119909 lt119897

2 119872119894(119909) = 119901 ∙ 119897 ∙ (119909 minus

119897

2) 119909 gt

119897

2 (325)

Se vede că pentru (119909 gt 119897) adică după depășirea locului icircn care se aplică sarcina

efectul este același

Ipoteza lui Bernoulli sau ipoteza secţiunilor plane precizează că o secţiune

plană şi normală pe axa barei icircnainte de deformare rămacircne plană şi normală pe axa

barei şi după deformare figura 313

Fig 313 Ipoteza lui Bernoulli

Ipoteza stării naturale a corpului sau ipoteza absenţei tensiunilor conform

căreia pentru un corp nesolicitat starea de tensiune şi deformaţie este nulă

Perfecţionarea mijloacelor de calcul şi de investigare pot conduce la renunţarea la

unele ipoteze sau la introducerea altora noi mai aproape de stările reale De aici rezultă

caracterul de continuă perfecţionare a metodelor Rezistenţei Materialelor

35 Coeficienţi de siguranţă Tensiuni admisibile

O piesă corespunde din punct de vedere tehnic dacă tensiunile care iau naştere icircn

interiorul piesei datorită sarcinilor aplicate nu depăşesc anumite valori limită stabilite

convenţional Aceste valori limită ale tensiunii sunt corelate cu caracteristicile mecanice

ale materialelor

Tensiunea limită utilizată icircn calculele de rezistenţă este cunoscută sub denumirea

de tensiune admisibilă sau rezistenţă admisibilă Rezistenţa admisibilă reprezintă

valoarea convenţională aleasă icircn calcul pe baza practicii pentru tensiunea maximă care

poate apare icircntr-o piesă icircn condiţii date de material şi solicitare

Rezistenţa admisibilă (120590119886 sau 120591119886) poate fi definită faţă de o stare limită

periculoasă stare care trebuie evitată deoarece poate conduce distrugere

120590119886 =120590119897119894119898119888

(326)

unde

120590119897119894119898 este tensiunea corespunzătoare stării limită periculoase

119888 estesupraunitar 119888 gt 1 și reprezintă coeficientul de siguranţă faţă de starea limită

periculoasă considerată

Alegerea unor valori inferioare pentru rezistenţa admisibilă faţă de tensiunea

corespunzătoare stării limită periculoase este necesară deoarece

cunoaşterea sarcinilor este de cele mai multe ori aproximativă şi o depăşire a

acestora este foarte posibilă

caracteristicile mecanice ale materialelor variază icircn limite destul de mari ele

fiind influenţate de mulţi factori

schema aleasă pentru calcul (aplicarea sarcinilor schematizarea structurii

ipotezele de calcul etc) depărtează modelul faţă de cel real

Pentru calculele de verificare tensiunea efectivă maximă din elementul de

rezistenţă trebuie să fie mai mică sau cel mult egală cu cea admisibilă

120590119890119891119898119886119909 le 120590119886 (327)

Valoarea rezistenţei admisibile este influenţată de foarte mulţi factori natura

materialului tratamentele termice aplicate piesei durata de funcţionare a piesei modul

de acţionare icircn timp a sarcinilor felul solicitării temperatura gradul de periculozitate

icircn cazul cedării piesei etc

De asemenea valoarea coeficientului de siguranţă se alege icircn principal ţinacircnd

seama de aceiaşi factori care influenţează şi rezistenţa admisibilă

Rezistenţele admisibile pentru cacircteva materiale sunt următoarele

pentru oțelul de uz general OL37 solicitat la icircntindere compresiune sau

icircncovoiere 120590119886 = 150 [119872119875119886] pentru lemnul de brad solicitat la

- compresiune icircn lungul fibrelor şi solicitat la icircncovoiere 120590119886 = 10 [119872119875119886] - tracţiune icircn lungul fibrelor 120590119886 = 7 [119872119875119886] - compresiune perpendiculară pe fibre 120590119886 = 15 [119872119875119886] - forfecare icircn lungul fibrelor 120591119886 = 2 [119872119875119886] - forfecare perpendiculară pe fibre 120590119886 = 45 [119872119875119886]

terenuri de fundaţie din pămacircnt uscat sau umed 120590119886 = 020 divide 025 [119872119875119886]

4 CARACTERISTICI GEOMETRICE ALE SECȚIUNILOR PLANE

41 Noţiuni introductive

Icircn relaţiile de calcul ale tensiunilor şi deformaţiilor elementelor de rezistenţă

pentru unele solicitări (icircncovoierea și torsiunea) secțiunile plane intervin atacirct prin

dimensiunile lor (aria 119860) cicirct și prin forma și poziția pe care o are secțiunea icircn raport cu

planul solicitării Mărimile care caracterizează o secțiune icircn raport cu forma și poziția față

de axele unui sistem de referință sunt denumite caracteristici geometrice de ordin

superior Aria secțiunii este caracteristica geometrică ce depinde doar de dimensiunile

geometrice ale acesteia

Să considerăm o grindă solicitată de o forță exterioară 119865 aşezată icircn două poziții icircn

raport cu planul forţei figura 41 Icircn urma aplicării forței deși avem aceeași grindă

(aceeași arie a secțiunii transversale) și aceeași forță se constată că pentru varianta din

figura 41a deformațiile sunt mult mai mari adică rezistența la icircncovoiere a grinzii din

figura 41a este mai mare decacirct icircn cazul grinzii din figura 41b Comportarea diferită se

explică prin aceea că modificarea poziţiei secţiunii transversale faţă de planul forţelor

modifică caracteristicile geometrice ale secţiunii transversale a grinzii

Fig 41 Grindă solicitată de forța 119865

Pentru realizarea calculelor de rezistenţă şi rigiditate este foarte importantă

cunoaşterea caracteristicilor geometrice ale suprafeţei secţiunii transversale a elementelor

de rezistenţă

Caracteristicile geometrice ale secţiunii transversale a unui element de rezistenţă

sunt

- aria secțiunii notată cu 119860

- momentul static icircn raport cu o axă notat 119878119911 și respectiv 119878119910

- momentul de inerție care poate fi

axial notat 119868119911 și respectiv 119868119910

centrifugal notat 119868119911119910

polar notat 119868119901

- raza de inerţie (giraţie)notată 119894119911 și respectiv 119894119910

- modulul de rezistență care poate fi

axial notat 119882119911 și respectiv 119882119910

polar notat 119882119901

42 Aria și momentul static al suprafețelor plane

Fie o suprafaţă plană de arie 119860 pe care se ia un element infinit mic de arie 119889119860 şi

un sistem de axe rectangulare 119911119874119910 figura 42 Notăm cu 119862 centrul de greutate al suprafeţei

119860 Poziţia suprafeţei elementare 119889119860 faţă de acelaşi sistem de coordonate 119911119874119910 este dată

de abscisa 119911 ordonata 119910 și raza polară

Fig 42 Suprafață plană de arie 119860

Aria suprafeţei 119860 figura 42 se defineşte ca fiind

119860 ≝ int 119889119860

119860

(41)

Aria suprafeţei este icircntotdeauna pozitivă și se măsoară icircn [1198981198982] Momentul static al suprafeţei de arie 119860 icircn raport cu axele 119874119911 și respectiv 119874119910

figura 42 sunt date de relaţiile

119878119911 ≝ int 119910 ∙ 119889119860

119860

119878119910 ≝ int 119911 ∙ 119889119860

119860

(42)

Momentul static poate fi pozitiv negativ sau nul şi se măsoară icircn [1198981198983] Coordonatele centrului de greutate ale suprafeței 119860 se detrmină cu relațiile

119910119862 ≝int 119910 ∙ 119889119860119860

119860 119911119862 ≝

int 119911 ∙ 119889119860119860

119860

(43)

Cunoscacircnd coordonatele 119910119862 și 119911119862 ale centrului de greutate 119862 al secțiunii 119860 atunci

momentele statice se pot determina cu relațiile

119878119911 ≝ int 119910 ∙ 119889119860

119860

= 119910119862 ∙ 119889119860 119878119910 ≝ int 119911 ∙ 119889119860

119860

= 119911119862 ∙ 119889119860 (44)

Aceste relații arată că momentul static al unei suprafețe icircn raport cu o axă este

egal cu produsul dintre aria suprafeței și distanța de la centrul ariei la axa respectivă

Dacă suprafaţa se poate descompune icircn 119899 suprafeţe simple la care se cunosc ariile

(1198601 1198602 ⋯ 119860119894⋯ 119860119899) și poziţiile centrelor de greutate 119862119894 faţă de sistemul de referinţă

expresiile momentelor statice capătă următoarea formă

119878119911 = sum 119910119862119894 ∙ 119860119894119899119894=1 = 119910119862 ∙ 119860 119878119910 = sum 119911119862119894 ∙ 119860119894

119899119894=1 = 119911119862 ∙ 119860 (45)

Din relaţiile (45) rezultă că poziţia centrului de greutate 119862 al unei suprafeţe

compuse poate fi determinată cu relaţiile

119910119862 = (sum119910119862119894 ∙ 119860119894

119899

119894=1

) 119860frasl 119911119862 = (sum119911119862119894 ∙ 119860119894

119899

119894=1

) 119860frasl (46)

Icircn relația (45) 119910119862119894 și respectiv 119911119862119894 reprezintă coordonatele centrelor de greutate 119862119894

ale fiecărei suprafețe simple 119860119894 icircn raport sistemul de axe 119911119874119910

Se constată (relaţia 42) că dacă axele sistemului de referinţă trec prin centrul de

greutate (119910119862 = 119911119862 = 0) momentele statice sunt nule Axele icircn raport cu care momentele

statice sunt nule şi care trec prin centrul de greutate al suprafeţei se numesc axe centrale

Observație dacă secțiunea compusă are o axă de simetrie centrul secțiunii se

găsește pe acea axă iar dacă secțiunea este dublu simetrică poziția centrului secțiunii este

la intersecția axelor de simetrie

43 Momente de inerţie

Momentele de inerţie axiale ale unei suprafețe se calculează icircn raport cu axele de

coordonate 119874119911 și respectiv 119874119910 figura 42 și se determină cu relațiile

119868119911 ≝ int 1199102 ∙ 119889119860

119860

119868119910 ≝ int 1199112 ∙ 119889119860

119860

(47)

Unde 119910 și 119911 sunt distanțele de la elementul de arie 119889119860 la cele două axe de

coordonate 119874119911 și respectiv 119874119910

Momentele de inerţie axiale se măsoară icircn [1198981198984] şi sunt icircntotdeauna pozitive (aria

119889119860 este icircntotdeauna pozitivă și este multiplicată cu patratul distanței 1199102 dacă 119868119911 sau 119868119910

sunt nule icircnseamnă ca secțiunea nu există)

Momentele de inerție axiale se calculează icircndeosebi pentru axele centrale (care

trec prin centrul secțiunii) deoarece icircn raport cu acele axe 119868119911 și 119868119910 au valori minime

Momentul de inerţie centrifugal calculat faţă ambele axe ale sistemului de

referinţă 119911119874119910 este definit de relația

119868119911119910 ≝ int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860

(48)

Momentul de inerţie centrifugal se măsoară icircn [1198981198984] şi poate fi pozitiv negativ

sau nul

Momentul de ineție centrifugal este nul 119868119911119910 = 0 dacă cel puțin una din axele 119874119911

sau 119874119910 este axă de simetrie pentru secțiune

Se consideră o suprafaţă dreptunghiulară pe care faţă de axa de simetrie 119874119910 se iau

două suprafeţe elementare de arie 119889119860 simetrice faţă de axa 119874119910 figura 43

Fig 43 Suprafață dreptunghiulară cu două arii elementare 119889119860

Făcacircnd suma momentelor de inerţie centrifugale pentru cele două suprafeţe

elementare 119889119860 (din stacircnga şi din dreapta faţă de axa 119874119910) se obţine

int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860119889119903

+ int (minus119911) ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860119904119905119892

= int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860119889119903

minus int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860119904119905119892

= 0 (49)

Acelaşi raţionament se poate face și pentru icircntreaga suprafaţă de unde obținem că

momentul de inerție centrifugal este nul 119868119911119910 = 0 Deci pentru o suprafaţă plană care

are cel puţin o axă de simetrie momentul de inerţie centrifugal faţă de sistemul care

conţine acea axă de simetrie este nul

Momentul de inerţie polar al unei suprafeţei icircn raport cu un punct (pol) 119874 figura

42 este definit prin relaţia

1198680 = 119868119901 ≝ int 1205882 ∙ 119889119860

119860

= int(1199102 + 1199112) ∙ 119889119860

119860

= 119868119911 + 119868119910 (410)

unde este distanţa de la polul 119874 la elementul de arie 119889119860 Momentul de inerţie polar se

măsoară icircn [1198981198984] şi este totdeauna pozitiv

Momentul de inerţie polar este egal cu suma momentelor de inerţie faţă de două axe

perpendiculare oarecare şi care trec prin polul considerat

Razele de giraţie sau razele de inerţie sunt mărimi calculate icircn raport cu axele

secțiunii și definite de relaţiile

119894119911 ≝ radic119868119911119860 119894119910 = radic

119868119910

119860 (411)

Se exprimă icircn [119898119898] şi sunt icircntotdeauna pozitive Semnificația unei raze de inerție

este distanța la care dacă ar fi concentrată icircntreaga arie s-ar obține același moment de

inerție ca și cel calculat pentru aria reală

44 Modulul de rezistenţă

Modulul de rezistență se calculează icircn raport cu axele de referință sau icircn raport cu

un pol figura 42 și pot fi axiale (119882119911119882119910) sau polar (119882119901) și se determină numai pe baza

momentelor de inerţie cu relațiile figura 43

119882119911119898119894119899 ≝119868119911119910119898119886119909

119882119911119898119886119909 ≝119868119911119910119898119894119899

(412)

119882119910119898119894119899 ≝119868119910

119911119898119886119909 119882119910119898119886119909 ≝

119868119910

119911119898119894119899 (413)

119882119901 ≝119868119901

120588119898119886119909 (414)

unde

119910119898119886119909 119910119898119894119899 reprezintă distanţa de la axa 119874119911 la punctele extreme cele mai

depărtate respectiv cele mai apropiate ale suprafeţei de această axă

119911119898119886119909 119911119898119894119899 reprezintă distanţa de la axa 119874119910 la punctele extreme cele mai

depărtate respectiv cele mai apropiate ale suprafeţei de această axă

120588119898119886119909 reprezintă distanța maximă de la polul 119874 la punctul secțiunii cel mai

icircndepărtat de acesta

Fig 43 Suprafață dreptunghiulară cu două arii elementare 119889119860

Modulele de rezistenţă se exprimă icircn [1198981198983] şi sunt icircntotdeauna pozitive

Explicația este aceea că momentele de inerție care intră icircn relațiile de definiție sunt

pozitive iar distanțele la punctele extreme sunt pozitive (119910119898119886119909 119910119898119894119899 119911119898119886119909 119911119898119894119899 120588119898119886119909 se

iau icircn valoare absolută)

Icircn cazul suprafeţelor compuse modulul de rezistenţă nu se obţine prin icircnsumarea

algebrică a modulelor de rezistenţă ale suprafeţelor simple componente ci numai prin

intermediul momentului de inerţie axial calculat pentru icircntreaga secțiune

Ca și momentele de inerție modulele de rezistență se calculează numai pentru

sistemele de axe centrale

45 Momente de inerţie şi module de rezistenţă pentru suprafeţe simple

451 Secțiune dreptunghiulară

Fie suprafaţa dreptunghiulară din figura 44 de icircnălțime ℎ și lățime 119887 pe care se

consideră suprafaţă elementară de arie 119889119860 = 119887119889119910 la distanța 119910 de axa 119862119911 sistemul de

axe 119911119862119910 trece prin centrul secțiunii iar axele sunt axe de simetrie pentru dreptunghi

Fig 44 Suprafață dreptunghiulară

Pe baza relațiilor de definiți a momentului de inerție 119868119911 se obține

119868119911 ≝ int 1199102 ∙ 119889119860

119860

= int 1199102 ∙ 119887 ∙ 119889119910 = 2int 1199102 ∙ 119887 ∙ 119889119910 = 2 ∙ 119887 ∙1199103

3|ℎ 2frasl

0rArr

ℎ 2frasl

0

ℎ 2frasl

minusℎ 2frasl

rArr 119868119911 =119887 ∙ ℎ3

12

(415)

Analog pentru un element de arie 119889119860 = ℎ ∙ 119889119911 paralel cu axa 119862119910 situat la distanța

119911 de axa 119862119910

119868119910 ≝ int 1199112 ∙ 119889119860

119860

= int 1199112 ∙ ℎ ∙ 119889119911 = 2int 1199112 ∙ ℎ ∙ 119889119910 = 2 ∙ ℎ ∙1199113

3|119887 2frasl

0rArr

119887 2frasl

0

119887 2frasl

minus119887 2frasl

rArr 119868119910 =1198873 ∙ ℎ

12

(416)

Deoarece axele 119862119911 și 119862119910 sunt axe de simetrie momentul de inerție centrifugal este

119868119911119910 = 0 (417)

Pentru un pătrat avacircnd laturile egale (ℎ = 119887 = 119886) momentele de inerţie faţă de

axele centrale au expresia

119868119911 = 119868119910 =1198864

12 (418)

Modulele de rezistență axiale se calculează cu relațiile de definiție ținacircnd cont că

distanțele pacircnă la fibrele extreme sunt

119910119898119886119909 = 119910119898119894119899 =ℎ

2 119911119898119886119909 = 119911119898119894119899 =

119887

2 (419)

Obținem

119882119911119898119894119899 = 119882119911119898119886119909 =119868119911

119910119898119886119909119898119894119899=119887 ∙ ℎ3

12frasl

ℎ2frasl

=119887 ∙ ℎ2

6

119882119910119898119894119899 = 119882119910119898119886119909 =119868119910

119911119898119886119909119898119894119899=1198873 ∙ ℎ

12frasl

1198872frasl

=1198872 ∙ ℎ

6

(420)

452 Suprafaţă circulară

Din motive de simetrie pentru suprafeţele circulare momentele de inerţie faţă de

orice diametru (care reprezintă şi axe centrale) sunt aceleaşi

Considerăm o secțiune circulară plină cu diametrul 119889 și centrul de greutate 119862 Prin

centrul de greutate 119862 trece sistemul de axe ortogonal 119911119862119910 figura 45

Fig 45 Suprafață circulară

La distanța de centrul de greutate 119862 vom lua un element de suprafață mic de arie

(119889119860) de forma unui inel de grosime 119889 Elementul de arie 119889119860 are expresia

119889119860 = (2 ∙ 120587 ∙ 120588) ∙ (119889120588)

Pornind de la relația de definiție a momentului de inerție polar obținem

119868119901 ≝ int 1205882 ∙ 119889119860

119860

= int 1205882 ∙ (2 ∙ 120587 ∙ 120588) ∙ 119889120588

119903=119889 2frasl

0

= 2 ∙ 120587 ∙1205884

4|119889 2frasl0 rArr

rArr 119868119901 =120587 ∙ 1198894

32

(421)

Secțiunea este perfect simetrică deci sunt valabile relațiile

119868119911 = 119868119910 rArr 119868119901 = 119868119911 + 119868119910 = 2 ∙ 119868119911 = 2 ∙ 119868119910 =119868119901

2=120587 ∙ 1198894

64 (422)

Și modulele de rezistenţă faţă de orice diametru sunt egale şi se calculează cu

relaţiile

119882119911 = 119882119910 =1198681199111198892frasl=120587 ∙ 1198893

32 (423)

Modulul de rezistenţă polar este

119882119901 =1198681199011198892frasl=120587 ∙ 1198893

16 (424)

453 Secţiune inelară

Calculul momentelor de inerţie axiale pentru o secţiune inelară avacircnd diametrul

interior 119889 şi diametrul exterior 119863 se determină analog pentru suprafaţa circulară plină cu

observaţia că integrala pentru calculul momentului de inerție polar 119868119901 se face icircntre

limitele 119903 = 119889 2frasl şi R= 1198632frasl (icircntre raza interioară 119903 şi raza exterioară 119877) figura 46

Se obţin relaţiile

119868119901 =120587 ∙ 1198634

32∙ [1 minus (

119889

119863)4

] =120587 ∙ 1198634

32∙ (1 minus 1198964) (425)

119868119910 = 119868119910 =120587 ∙ 1198634

64∙ [1 minus (

119889

119863)4

] =120587 ∙ 1198633

64∙ (1 minus 1198964) (426)

Fig 46 Secțiune inelară

119882119901 =120587 ∙ 1198633

16∙ [1 minus (

119889

119863)4

] =120587 ∙ 1198633

16∙ (1 minus 1198964) (427)

119882119911 = 119882119910 =120587 ∙ 1198633

32∙ [1 minus (

119889

119863)4

] =120587 ∙ 1198633

32∙ (1 minus 1198964) (428)

unde 119896 = 119889119863frasl

46 Variaţia momentelor de inerţie faţă de axe paralele

( Relațiile lui STEINER)

Se consideră o suprafaţă oarecare de arie 119860 cu elementul de arie 119889119860 și un sistemul

de axe central 119911119862119910 faţă de care se cunosc momentele de inerţie 119868119911 119868119910 119868119911119910 şi considerăm

un sistem de axe 11991111198741199101 paralele cu sistemul central figura 47 Se pune problema

determinării momentele de inerţie 1198681199111 1198681199101 11986811991111199101 faţă de sistemul de axe paralel cu sistemul

central 11991111198741199101 axe aflate la distanţele 119910119862 = 119888 respectiv 119911119862 = 119889 de acesta

461 Momente de inerţie axiale

Pe baza relaţiilor de definire şi a notaţiilor din figura 42 pentru momentele de

inerţie faţă de axele 1198741199111 1198741199101 se poate scrie

1198681199111 = int 11991012 ∙ 119889119860

119860

= int(119910 + 119888)2 ∙ 119889119860

119860

= int 1199102 ∙ 119889119860

119860

+ 2 ∙ 119888 ∙ int 119910 ∙ 119889119860

119860

+

+1198882int 119889119860

119860

rArr 1198681199111 = 119868119911 + 2 ∙ 119888 ∙ 119878119911 + 1198882 ∙ 119860 hArr 1198681199111 = 119868119911 + 119888

2 ∙ 119860

(429)

Fig 47 Variaţia momentelor de inerţie față de axe paralele

S-a ajuns la relația (429) deoarece momentul static 119878119911 este nul deoarece axa 119862119885

este axă centrală

Pentru momentul de inerție axial icircn raport cu axa 1198741199101 se obține

1198681199101 = int 11991112 ∙ 119889119860

119860

= int(119911 + 119889)2 ∙ 119889119860

119860

= int 1199112 ∙ 119889119860

119860

+ 2 ∙ 119889 ∙ int 119911 ∙ 119889119860

119860

+

+1198892 ∙ int 119889119860

119860

rArr 1198681199101 = 119868119910 + 2 ∙ 119889 ∙ 119878119910 + 1198892 ∙ 119860 hArr 1198681199101 = 119868119910 + 119889

2 ∙ 119860

(430)

Pentru momentul de inerție centrifugal obținem

11986811991111199101 = int 1199101 ∙ 1199111 ∙ 119889119860

119860

= int(119910 + 119888) ∙ (119911 + 119889) ∙ 119889119860

119860

= int 119910 ∙ 119911 ∙ 119889119860 +

119860

+119888 ∙ int 119911 ∙ 119889119860

119860

+ 119889 ∙ int 119910 ∙ 119889119860

119860

rArr 11986811991111199101 = 119868119911119910 + 119888 ∙ 119889 ∙ 119860

(431)

Deoarece

int 119911 ∙ 119889119860

119860

= 119878119910 = 0 int 119910 ∙ 119889119860

119860

= 119878119911 = 0 int 119910 ∙ 119911 ∙ 119889119860

119860

= 119868119911119910

Relaţiile (429) şi (430) arată că momentul de inerţie faţă de o axă oarecare

este egal cu momentul de inerţie faţă de o axă paralelă cu ea trecacircnd prin centrul de

greutate la care se adaugă produsul dintre aria suprafeţei şi pătratul distanţei dintre

cele două axe

Din relaţiile (429) și (430) rezultă de asemenea că momentul de inerţie faţă de o

axă centrală (care trece prin centrul de greutate) este cel mai mic dintre infinitatea de

momente de inerţie obținute faţă de alte axe paralele cu ea

Relaţia (431) arată de asemenea că momentul de inerţie centrifugal faţă de un

sistem de axe oarecare este egal cu momentul de inerţie centrifugal faţă de un sistem

paralele cu el trecacircnd prin centrul de greutate a suprafeţei la care se adaugă produsul

dintre aria suprafeţei şi distanţele dintre axele sistemelor respective

Icircn literatura de specialitate relaţiile (429) (430) şi (431) sunt cunoscute sub

numele de relaţiile lui Steiner

47 Variaţia momentrlor de inerţie faţă de axe rotite

Direcţii principale şi momente de inerţie principale

Fie suprafaţa plană din figura 48 de arie 119860 pe care considerăm o suprafaţă

elementară de arie 119889119860 Pentru sistemul de axe 119911119874119910 se cunosc momentele de inerţie

119868119911 119868119910 119868119911119910 şi vom determina relaţiile de calcul pentru momentele de inerţie afererent unui

sistem de axe 11991111198741199101 rotit cu un unghi faţă de sistemul central

Faţă de sistemul de axe 11991111198741199101 elementul de arie 119889119860 are coordonatele

1199101 = 119875119877 = 119875119876 minus 119877119876 = 119910 ∙ cos 120572 minus 119911 ∙ sin 120572

1199111 = 119873119872 = 119873119875 minus 119875119872 = 119911 ∙ cos 120572 + 119910 ∙ sin 120572 (432)

Fig 47 Variaţia momentelor de inerţie față de axe rotite

Pe baza relaţiilor de calcul ale momentelor de inerţie şi a notaţiilor din figura 42

şi ale relaţiilor (432) momentele de inerţie faţă de sistemul de axe rotit 11991111198741199101 sunt

1198681199111 =119868119911 + 119868119910

2+119868119911 minus 119868119910

2∙ cos 2120572 minus 119868119911119910 ∙ sin 2120572 (433)

1198681199101 =119868119911 + 119868119910

2minus119868119911 minus 119868119910

2∙ cos 2120572 + 119868119911119910 ∙ sin 2120572 (434)

11986811991111199101 =119868119911 minus 119868119910

2∙ sin 2120572 + 119868119911119910 ∙ cos 2120572 (435)

Din relaţiile 433divide435 se observă că icircntre momentele de inerţie axiale şi cele

polare există relaţia

1198681199111 + 1198681199101 = 119868119911 + 119868119910 = 119868119901 (436)

adică suma momentelor de inerţie axiale icircn raport cu orice pereche de axe ortogonale

care trec printr-un pol dat este o constantă şi egală cu momentul de inerţie polar

Prin rotirea sistemului de axe din relaţiile 433divide435 rezultă că momentele de inerţie

variază icircnsă suma lor rămacircne constantă deci există o poziţie a sistemului de axe pentru

care momentele de inerţie au valori extreme maxim respectiv minim

471 Direcţii principale de inerţie

Valoarea unghiului 120572 pentru care momentele de inerţie axiale au valori extreme

este

1205721 =1

2∙ 119886119903119888119905119886119899 (minus

2 ∙ 119868119911119910

119868119911 minus 119868119910) (437)

Poziţia celeilalte direcţii este perpendiculară pe cea dată de unghiul 1205721

Din relaţia (437) se constată că faţă de aceste direcţii rotite pentru care momentele

de inerţie axiale prezintă valori extreme momentul de inerţie centrifugal 11986811991111199101este nul

Atunci se poate afirma că momentele de inerţie axiale au valori extreme icircn raport cu

direcţiile faţă de care momentul de inerţie centrifugal este nul Aceste direcţii se numesc

direcţii principale iar momentele de inerţie faţă de aceste direcţii poartă numele de

momente de inerţie principale

Icircn calculele de rezistenţă interesează icircn mod special poziţia direcţiilor principale

care trec prin centrul de greutate al suprafeţei aşa numitele direcţii principale centrale şi

evident momentele de inerţie principale centrale

Direcţiile principale de inerţie se notează cu 1 respectiv 2 Axa principală 1

corespunde direcţiei faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea maximă iar

axa principală 2 pentru direcţia faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea

minimă

472 Momente de inerţie principale

Momentele de inerţie principale se notează cu litera 119868 la care se pune indicele 1

sau 2 după cum valoarea acestuia este maximă sau minimă deci avem un moment de

inerţie principal 1 (notat 1198681) respectiv moment de inerţie principal 2 (notat 1198682)

Expresiile pentru momentele de inerţie principale sunt

11986812 =119868119911 + 119868119910

2plusmn1

2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)

2+ 4 ∙ (119868119911119910)

2 (438)

Dacă momentul de inerţie centrifugal este negativ (119868119911119910 lt 0) direcţia principală

care trece prin primul cadran (definit de sistemul 119911119862119910) este direcţia principală 120783

Pentru suprafeţele cu cel puţin o axă de simetrie direcţiile centrale 119862119911 119862119910 sunt şi

direcții principale de inerţie și evident momentele de inerţie axiale 119868119911 119868119910 sunt momente

de inerţie principale

48 Caracteristici mecanice ale metalelor

Alegerea materialului pentru confecţionarea unei anumite piese se face şi pe baza

aşa numitelor caracteristici mecanice pe care le prezintă materialul Cunoaşterea acestor

caracteristici mecanice are loc numai pe baza unor icircncercări mecanice care să scoată icircn

evidenţă comportarea materialului icircn condiţii de solicitare

Cea mai utilizată icircncercare icircn urma căreia se pun icircn evidenţă caracteristicile

mecanice ale unui material este icircncercarea la tracţiune

481 Icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general

Icircncercarea la tracţiune a oţelului ca de altfel toate icircncercările de materiale este

standardizată

Icircn cele ce urmează se va prezenta numai partea care interesează strict din punct

de vedere al caracteristicilor mecanice ale oţelului

Epruveta de diametru iniţial 1198890 pentru icircncercarea la tracţiune are o porţiune de

lungime 1198710 numită baza de măsurare pe care se măsoară lungirea acesteia sub acţiunea

solicitării

Icircn funcţie de raportul dintre baza de măsurare 1198710 şi diametrul iniţial 1198890 epruvetele

utilizate pentru icircncercări sunt

epruvete normale (scurte) cacircnd 11987101198890 = 5

epruvete lungi cacircnd 11987101198890 = 10

Icircn timpul icircncercării la diferite valori ale forţei 119865 se măsoară lungirea bazei de

măsurare

∆119871 = 120575 = 119871 minus 1198710 (439)

unde

119871 este dimensiunea bazei de măsurare la un moment dat

Curba forţă-lungire (119865 minus ) icircnregistrată icircn urma icircncercării reprezintă curba

caracteristică la tracţiune

La icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general diagrama caracteristică care se

obţine are forma din figura 48

Curba caracteristică la tracţiune depinde de lungimea bazei de măsurare Pentru

icircnlăturarea acestui neajuns curba caracteristică se reprezintă icircn coordonate şi definite

astfel

120590 =119865

1198600 휀 =

120575

1198710 (440)

unde

1198600 este aria iniţială a secţiunii transversale a epruvetei (icircnainte de solicitare) icircn

zona bazei de măsurare

1198600 =120587 ∙ 1198890

2

4

Deoarece mărimile icircn care se reprezintă curba caracteristică la tracţiune sunt

raportate la aria iniţială a secţiunii transversale (mărimi specifice) curba poartă numele

de curbă caracteristică convenţională la tracţiune

Fig 48 Curba caracteristică convenţională la tracțiune

Pe curba caracteristică convenţională la tracţiune figura 48 se pot stabili o serie

de puncte cărora le corespund mai multe mărimi importante

Ordonata punctului A pacircnă unde curba caracteristică convenţională este linie

dreaptă se numeşte limita de proporţionalitate a materialului 120590119901(1205901) Porţiunea 119874119860 este

zona de proporţionalitate a curbei caracteristice pe acest domeniu este valabilă legea lui

Hooke care exprimă o proporţionalitate icircntre tensiune şi deformaţie specifică

120590 = 119864 ∙ 휀 (441)

unde

119864 = reprezintă panta porţiunii liniare a curbei convenționale caracteristice

la tracțiune Caracteristica de material 119864 se numeşte modul de elasticitate longitudinal

(modulul lui Young)

Ordonata punctului 119861 pacircnă unde materialul se comportă perfect elastic adică

după descărcare icircşi recapătă dimensiunea iniţială 1198710 se numeşte limita de elasticitate

120590119890(119877119890) Icircn realitate nici un material nu are comportare perfect elastică sub acţiunea

solicitărilor el capătă deformaţii permanente (remanente plastice)

După punctul 119861 urmează o porţiune 119861119862119863 icircn care cu toate că icircncărcarea

continuă forţa nu mai creşte avacircnd mici oscilaţii icircn jurul unei valori Se spune că icircn

această porţiune materialul curge iar intervalul 119861119862119863 este un palier de curgere Tensiunea

corespunzătoare palierului de curgere se numeşte limită de curgere aparentă 120590119888(119877119888) Limita de curgere aparentă se calculează cu relaţia

120590119888 =1198651198881198600 (442)

unde

119865119888 reprezintă valoarea forţei icircnregistrată icircn momentul curgerii materialului

După punctul 119863 curba caracteristică are un traseu ascendent pacircnă icircn punctul 119864

Porţiunea 119863119864 este numită zonă de icircntărire (ecruisare) Icircn zona de ecruisare unde se

produc deformaţii plastice semnificative legea lui Hooke nu mai este valabilă La

descărcare relaţia dintre tensiunea şi deformaţia specifică este liniară paralelă cu

porţiunea liniară a curbei caracteristice (dreapta 119872119873)

Deformaţia totală (휀119905) are două componente una elastică (휀119890) şi una plastică (휀119901)

Ordonata punctului 119864 reprezintă rezistenţa de rupere 120590119903(119877119898) a materialului

care se poate calcula cu relaţia

120590119903 = 119877119898 =1198651198981198861199091198600

(443)

unde

119865119898119886119909 reprezintă valoarea maximă a forţei icircnregistrată icircn timpul icircncercării

La atingerea valorii 119865119898119886119909 (punctul 119864) icircntr-un anumit loc al epruvetei secţiunea

icircncepe să se micşoreze (se produce gacirctuirea) continuacircnd pacircnă cacircnd se produce ruperea

totală (punctul 119865)

Dacă după ruperea epruvetei cele două părţi rezultate se aşează cap la cap şi se

măsoară dimensiunea bazei de măsurare 119871119906 (lungimea ultimă) se determină alungirea la

rupere sau lungirea specifică la rupere 휀119903

휀119903 =119871119906 minus 11987101198710

=∆119871

1198710=120575

1198710 (444)

De obicei alungirea se exprimă icircn procente şi se notează cu 119860119899 unde 119899 reprezintă

numărul dat de raportul 11987101198890 (epruvete normale 119899 = 5 epruvete lungi 119899 = 10)

119860119899 =119871119906 minus 11987101198710

∙ 100 [] (445)

Altă mărime care se determină la icircncercarea la tracţiune este gacirctuirea la rupere

(exprimată de obicei icircn procente) şi definită de relaţia

119885 =1198600 minus 1198601199061198600

∙ 100 [] (446)

Mărimile determinate limita de proporţionalitate modulul de elasticitate

longitudinal limita de elasticitate limita de curgere aparentă rezistenţa de rupere

alungirea la rupere şi gacirctuirea la rupere sunt cunoscute ca fiind caracteristici mecanice

ale materialului

Din curba caracteristică convenţională observăm faptul că ruperea (punctul 119865 din

figura 48 se produce la o tensiune mai mică decacirct cea corespunzătoare punctului 119864 Dacă

icircnsă forţa din timpul icircncercării s-ar raporta la aria secţiunii din momentul icircnregistrării

forţei (care este mai mică decacirct cea iniţială 1198600) s-ar obţine aşa numita curbă

caracteristică reală a materialului (traseul 1198741198601198611198621198631198651 din figura 48) La curba

caracteristică reală ruperea se produce icircn punctul 1198651 la o icircncărcare mai mare decacirct cea

corespunzătoare punctului 119864 Icircnseamnă că rezistenţa reală la rupere este mai mare decacirct

rezistenţa la rupere dată de punctul 119864 din diagrama caracteristică convenţională

Dificultatea obţinerii diagramei caracteristice reale faţă de cea a diagramei caracteristice

convenţionale şi considerarea unei rezistenţe la rupere mai mică decacirct a celei reale face

icircn practică utilizarea pe scară mare a diagramei caracteristice convenţionale

Caracteristicile mecanice determinate pe baza curbei caracteristice convenţionale

sunt şi ele caracteristici mecanice convenţionale

Caracteristicile mecanice convenţionale limita de proporţionalitate convenţională

120590119901 limita de elasticitate convenţională 120590119890 limita de curgere convenţională 120590119888 şi rezistenţa

de rupere 120590119903 constituie tensiuni limită pentru un material Pe baza acestor caracteristici

de material se alege valoarea tensiunii admisibile 120590119886 (vezi paragraful 35) pentru

calculele de rezistenţă Cea mai utilizată stare limită pentru stabilirea tensiunii admisibile

120590119886 este limita de curgere convenţională 120590119888

120590119886 =120590119897119894119898119888

=120590119888119888 119904119886119906 120590119886 =

120590119903119888 (447)

Caracteristicile mecanice ale materialului sunt influenţate de o serie de factori

temperatura viteza de solicitare factorii tehnologici iar valorile lor sunt date icircn tabele și

diagrame

Aplicaţie Pentru suprafaţa plană compusă din două dreptunghiuri avacircnd

dimensiunile din figura 49a să se calculeze

a) centrul de greutate al secțiunii compuse 119910119866 119911119866

b) momentele de inerție axiale 119868119911 119868119910 și momentul de inerție centrifugal 119868119911119910

c) razele de inerție 119894119911 119894119910

d) modulele de rezistență 119882119911119898119894119899 119882119911119898119886119909 119882119910119898119894119899 119882119910119898119886119909

e) momentele de inerție principale 1198681 1198682 și direcțiile principale de inerție 1205721

f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 119878119911

Fig 49 Aplicație

Rezolvare Pentru rezolvare vom parcurge următoarele etape

icircmpărțim suprafața compusă icircn două suprafețe simple (dreptunghiuri) notate cu

① și respectiv ② figura 49b

poziționăm centrele de greutate a celor două suprafețe simple ① și respectiv ②

notate cu 1198661 și respectiv 1198662 figura 49c

poziționăm sistemele de axe de coordonate 119911111986611199101 pentru dreptunghiul ① și

119911211986621199102 pentru dreptunghiul ② aflate la intersecția diagonalelor figura 49c

poziționăm sistemele de axe de coordonate 11991101198741199100 ales arbitrar față de care

determinăm poziția centrului de greutate 119866 figura 49c

a) calculăm poziția centrului de greutate folosind relațiile (46) icircn care

1198601 = 6119905 ∙ 119905 = 61199052 1198602 = 4119905 ∙ 119905 = 41199052 119860 = 1198601 + 1198602 = 61199052 + 41199052 = 101199052

iar centrele de greutate 1198661 și respectiv 1198662 au coordonatele (față de sistemul 11991101198741199100)

1198661 1199101 = 3119905 1199111 = 05119905

1198662 1199102 = 051199051199112 = 3119905

cu acestea obținem

119910119866 =1198601 ∙ 1199101 + 1198602 ∙ 1199102

119860=61199052 ∙ 3119905 + 41199052 ∙ 05119905

101199052=201199053

101199052= 2119905

119911119866 =1198601 ∙ 1199111 + 1198602 ∙ 1199112

119860=61199052 ∙ 05119905 + 41199052 ∙ 3119905

101199052=151199053

101199052= 15119905

Poziționăm centrul de greutate 119866 al suprafeței compuse figura 49c

Fig 49 Aplicație

b) pentru determinarea momentelor de inerție axiale 119868119911 119868119910 și a momentului de

inerție centrifugal 119868119910119911 determinăm constantele 1198881 1198882 1198891 1198892 care intervin icircn relația lui

Stainer

1198881 = 1199101 minus 119910119866 = 3119905 minus 2119905 = 119905 1198882 = minus(119910119866 minus 1199102) = minus(2119905 minus 05119905) = minus15119905

1198891 = minus(119911119866 minus 1199111) = minus(15119905 minus 05119905) = minus119905 1198892 = 1199112 minus 119911119892 = 3119905 minus 15119905 = 15119905

Folosind relațiile lui Stainer (429) (430) și (431) calculăm momentele de

inerție axiale și centrifugale față de sistemul central 119911119866119866119910119866

119868119911 =sum(119868119911119894 + 1198881198942 ∙ 119860119894) = 1198681199111 + 1198881

2 ∙ 1198601 + 1198681199112 + 11988822 ∙ 1198602

119868119910 =sum(119868119910119894 + 1198891198942 ∙ 119860119894) = 1198681199101 + 1198891

2 ∙ 1198601 + 1198681199102 + 11988922 ∙ 1198602

119868119911119910 =sum(119868119911119894119910119894 + 119888119894 ∙ 119889119894 ∙ 119860119894) = 11986811991111199101 + 1198881 ∙ 1198891 ∙ 1198601 + 11986811991121199102 + 1198882 ∙ 1198892 ∙ 1198602

1198681199111 = (119887 ∙ ℎ3

12) =

119905 ∙ (6119905)3

12= 181199054 1198681199112 = (

119887 ∙ ℎ3

12) =

4119905 ∙ 1199053

12= 031199054

1198681199101 = (1198873 ∙ ℎ

12) =

1199053 ∙ 6119905

12= 051199054 1198681199102 = (

1198873 ∙ ℎ

12) =

(4119905)3 ∙ 119905

12= 531199054

11986811991111199101 = 11986811991121199102 = 0 deoarece cele două triunghiuri au cel puțin o axă de simetrie

Cu acestea momentele de inerție axiale și momentul de inerție centrifugal devin

119868119911 = 181199054 + 1199052 ∙ 61199052 + 031199054 + (minus15119905)2 ∙ 41199052 = 3331199054

119868119910 = 051199054 + (minus119905)2 ∙ 61199052 + 531199054 + (15119905)2 ∙ 41199052 = 2081199054

119868119911119910 = 0 + 119905 ∙ (minus119905) ∙ 61199052 + 0 + (minus15119905) ∙ (15119905) ∙ 41199052 = minus151199054

c) razele de inerție sau de girație față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910

se calculează cu relațiile (411)

119894119911 = radic119868119911119860= radic

3331199054

101199052= 182119905 119894119910 = radic

119868119910

119860= radic

2081199054

101199052= 144119905

d) modulele de rezistență față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910 se

calculează cu relațiile (412) și (413)

Avacircnd icircn vedere figura 419c obținem

119910119898119886119909 = 6119905 minus 119910119866 = 6119905 minus 2119905 = 4119905 119910119898119894119899 = minus119910119866 = minus2119905

119911119898119886119909 = 5119905 minus 119911119866 = 5119905 minus 15119905 = 35119905 119911119898119894119899 = minus119911119866 = minus15119905

Se obține astfel

119882119911119898119894119899 =119868119911

|119910119898119886119909|=3331199054

4119905= 8331199053

119882119911119898119886119909 =119868119911

|119910119898119894119899|=3331199054

2119905= 16651199053

119882119910119898119894119899 =119868119910

|119911119898119886119909|=2081199054

35119905= 5941199053

119882119910119898119886119909 =119868119910

|119911119898119894119899|=2081199054

15119905= 13871199053

e) momentele de inerție principale 1198681 și respectiv 1198682 se calculează cu relațiile

(438)

11986812 =119868119911 + 119868119910

2plusmn1

2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)

2+ 4 ∙ (119868119911119910)

2=

=3331199054 + 2081199054

2plusmn1

2∙ radic(3331199054 minus 2081199054)2 + 4 ∙ (minus151199054)2 = 27051199054 plusmn 16251199054

De unde obținem

1198681 = 27051199054 + 16251199054 = 4331199054

1198682 = 27051199054 minus 16251199054 = 1081199054

Prima direcție principală de inerție 1 face cu axa centrală 119866119911 unghiul 1205721 dat de

relația (437)

1205721 =1

2∙ arctan (minus

2 ∙ 119868119911119910

119868119911 minus 119868119910) =

1

2∙ arctan [minus

2 ∙ (minus151199054)

3331199054 minus 2081199054] =33 70

Deoarece 1205721 gt 0 rotirea axelor se face acircn sens antiorar acelor de ceasornic figura

49d

Poziția axe principale 2 față de care momentul de inerție are valoarea minimă

1198682 = 119868119898119894119899 este dată de unghiul

1205722 = 1205721 + 900 = 33 70 + 900 = 123 70

f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 se determină cu relația

(45)

1198781199111198602 = 1198602 ∙ 1198882 = 41199052 ∙ (minus15119905) = minus61199053

120574119909119910 = 120574119909119910prime + 120574119910119909

prime = 120574119910119909120574119910119911 = 120574119910119911

prime + 120574119911119910prime = 120574119911119910

120574119911119909 = 120574119911119909prime + 120574119909119911

prime = 120574119909119911

(311)

Deformațiile 휀119909 휀119910 휀119911 120574119909119910 120574119910119911 120574119911119909 constituie cele șase componente

independente ale tensorului deformațiilor specifice care pot fi scrise de forma

119863 =

휀119909 120574119909119910 120574119909119911120574119910119909 휀119910 120574119910119911120574119911119909 120574119911119910 휀119911

(312)

323 Contracţia transversală

Practica arată că odată cu lungirea unei bare apare o micşorare a mărimii secţiunii

transversale mărime numită contracţie transversală figura 310

Fig 310 Contracția transversală

Contracţia transversală este proporţională cu lungirea specifică coeficientul de

proporţionalitate se notează cu 120599 şi se numeşte coeficient de contracţie transversală sau

coeficientul lui Poisson

La o lungire specifică a barei contracţia transversală este dată de relația

휀119905119903 = 휀119910 = 휀119911 = minus120599 ∙ 휀119909 (313)

Semnul minus bdquo-rdquo arată că cele două mărimi sunt contrare dacă una creşte cealaltă

scade şi invers

Considerăm o bară cilindrică de lungime 119897 şi aria secţiunii transversale 119860 solicitată

la icircntindere axială La un moment dat datorită solicitării lungimea barei devine

[119897 ∙ (1 + 휀)] diametrul devine [119889 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)] iar aria secţiunii transversale devine

[119860 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)2] Dacă volumul barei icircnainte de solicitare a fost (119860 ∙ 119897) după solicitare

acesta devine

119881 + ∆119881 = 119860 ∙ (1 minus 120599 ∙ 휀)2 ∙ 119897 ∙ (1 + 휀) =

= 119860 ∙ 119897 ∙ (1 + 휀 minus 2 ∙ 120599 ∙ 휀 minus 2 ∙ 120599 ∙ 휀2 + 1205992 ∙ 휀2 + 1205992 ∙ 휀3) (314)

Deoarece lungirile sunt foarte mici ultimii trei termeni din paranteză fiind infinit mici se pot neglija obţinacircnd

119881 + ∆119881 = 119860 ∙ 119897 + 119860 ∙ 119897 ∙ 휀 ∙ (1 minus 2 ∙ 120599) ⟺ ∆119881 = 휀 ∙ (1 minus 2 ∙ 120599) ∙ 119860 ∙ 119897 (315)

Practica arătă că o astfel de bară solicitată la icircntindere icircşi măreşte volumul deci

∆119881 gt 0 de unde rezultă că

1 minus 2 ∙ 120599 gt 0 rArr 120599 lt 05 (316)

Pentru majoritatea materialelor 120599 = 033 iar pentru materialele care-şi păstrează

volumul constant 120599 = 05

33 Relaţii de echivalenţă icircntre eforturi şi tensiuni

Considerăm un element de suprafață infinit mic 119889119860 situat pe fața de arie (119860) a

secțiunii barei din figura 311 Icircn centrul de greutate 119862 al secțiunii acționează eforturile

119873 119879119910 119879119911 119872119909 119872119894119910 și 119872119894119911 determinate prin metoda secțiunilor

Icircn raport cu un sistem de axe de referință 119909119862119910119911 coordonatele elementului 119889119860 sunt

- 119910 este ordonata elementului de arie 119889119860

- 119911 este abscisa elementului de arie 119889119860

Pe elementul de arie 119889119860 acționează tensiunile

120590119909 tensiunea normală

120591119909119910 și 120591119909119911 tensiuni tangențiale

Dacă se icircnsumează forțele elementare de tipul 120590119909 ∙ 119889119860 120591119909119910 ∙ 119889119860 și 120591119909119911 ∙ 119889119860

va trebui să obținem eforturile 119873 119879119910 și 119879119911

Fig 311 Element de suprafață mic din secțiunea unei bare

Dacă eforturile sunt privite ca forțe exterioare și se scriu ecuațiile de

echilibru ale secțiunii (119860) se vor obține șase relații de echivalență icircntre eforturi și

tensiuni

(sum119883) = 0 rArr int 120590119909 ∙ 119889119860

119860

= 119873 (317)

(sum119884) = 0 rArr int 120591119909119910 ∙ 119889119860

119860

= 119879119910 (318)

(sum119885) = 0 rArr int 120591119909119911 ∙ 119889119860

119860

= 119879119911 (319)

(sum119872)119909= 0 rArr int(120591119909119911 ∙ 119889119860) ∙ 119910

119860

minus int(120591119909119910 ∙ 119889119860) ∙ 119911

119860

= 119872119909 rArr

rArr int(119910 ∙ 120591119909119911 minus 119911 ∙ 120591119909119910) ∙ 119889119860

119860

= 119872119909

(320)

(sum119872)119910= 0 rArr int(120590119909 ∙ 119889119860) ∙ 119911

119860

= 119872119894119910 (321)

(sum119872)119911= 0 rArr int(120590119909 ∙ 119889119860) ∙ 119910

119860

= 119872119894119911 (322)

Cele șase relații de echivalență icircntre eforturi și tensiuni constituie un pas icircnainte

icircn rezolvarea unei probleme de rezistența materialelor Aceste relații vor permite

determinarea tensiunilor maxime

Pentru a rezolva cele 6 relații de echivalență trebuie să se cunoască tensiunile și

ca funcții de punct adică funcții de forma

120590119909 = 120590119909(119909 119910 119911) 120591119909119910 = 120591119909119910(119909 119910 119911) 120591119909119911 = 120591119909119911(119909 119910 119911) (32

3)

Cunoașterea acestor funcții presupune icircnsă analizarea aspectului geometric al

problemei precum și utilizarea unor ipoteze simplificatoare care să permită simplificarea

problemelor

34 Ipoteze de bază icircn rezistenţa materialelor

Depășirea dificultăților legate de interpretarea unor fenomene specifice mecanicii

solidului deformabil a impus acceptarea unor ipoteze care să simplifice fenomenele și să

contribuie la elaborarea unor modele de calcul cicirct mai generale și cacirct mai simple Aceste

ipoteze se referă la structura materialelor şi la comportarea lor sub acţiunea forţelor

exterioare Ipotezele acceptate trebuie să fie icircn deplină concordanţă cu realitatea și să

conducă la rezultate verificate icircn practică

Funcție de aspectele la care se referă ipotezele pot fi

Ipoteze fizice (de material)

Ipoteze de calcul

341 Ipoteze fizice

Se acceptă deoarece teoriile structurale au condus la rezultate care contravin

icircncercărilor experimentale

Ipoteza mediului continuu consideră că orice domeniu elementar al corpului

este ocupat de materie adică nu se acceptă existența unor goluri sau a unor crăpături

microscopice (fisuri) Deși nu corespunde realităţii poate fi acceptată deoarece

dimensiunile corpului sunt mult mai mari decacirct dimensiunile particulelor elemantare Are

avantajul că permite utilizarea proprietăților matematice ale funcțiilor continue pentru

tensiunile și deformațiile din orice punct al corpului Ea este mai apropiată de realitate la

corpurile amorfe şi mai depărtată la cele cristaline dar conduce la rezultate satisfăcătoare

icircn calculele de rezistenţă

Ipoteza nu se poate aplica la corpurile care au goluri tăieturi (multiplu conexe)

pentru unele puncte singulare icircn care tensiunile și deformațiile tind la infinit sau icircn unele

probleme de plasticitate icircn care proprietățile de material au un rol esențial

Ipoteza izotropiei conform acestei ipoteze materialul din care este confecționat

un element de rezistență are aceleași proprietăți după orice direcție un astfel de material

este considerat izotrop Din punct de vedere macroscopic metalele pot fi considerate

izotrope deși la nivel microscopic proprietățile lor diferă de la o direcție cristalografică

la alta Orice conglomerat de cristale poate fi considerat izotrop

Există cazuri cacircnd această ipoteză a izotropiei nu se acceptă

la metalele puternic deformate după o direcție (prin laminare trefilare)

la piesele confecționate din lemn lemnul este anizotrop deoarece proprietățile sale

diferă după două direcții (icircn lungul fibrelor și perpendicular pe această direcție)

Ipoteza omogenității consideră că un corp are aceleași proprietăți icircn orice

punct al său Deși majoritatea materialelor utilizate icircn tehnică sunt eterogene la scară

micro fiind constituite din mai multe faze cu proprietăți diferite la scară macro ele pot

fi considerate omogene Omogenitatea și izotropia sunt proprietăți statistice medii care

nu se condiționează una pe cealaltă Chiar și materialele monofazice pot avea la scară

micro unele segregații care le fac eterogene

Ipoteza elasticităţii perfecte presupune că atacircta timp cacirct solicitările nu

depăşesc anumite limite materialul are o comportare elastică adică icircşi recapătă forma şi

dimensiunile iniţiale odată cu icircnlăturarea sarcinilor Icircn realitate materialele nu prezintă o

elasticitate perfectă ele avacircnd deformaţii remanente mici care icircnsă pot fi neglijate icircn

calculele de rezistenţă

Acceptarea acestei ipoteze a elasticității perfecte permite

- aplicarea relației biunivoce icircntre tensiuni și deformații relație exprimată de legea

lui Hooke ( = 119864 ∙ 휀) unde E este un factor de proporţionalitate numit modul de

elasticitate longitudinal al materialului pentru oţel 119864 = 21 ∙ 105 [119872119875119886] - acceptarea valabilității afirmației bdquolucrul mecanic efectuat de forțele exterioare

ca urmare a parcurgerii deplasărilor punctelor de aplicație se icircnmagazinează integral icircn

corp sub formă de energie de deformație energie cedată la icircndepărtarea sarcinilorrdquo

- este valabilă teoria conform căreia bdquoenergia icircnmagazinată și deformațiile depind

doar de starea inițială și finală de eforturi fără a ține cont de modul icircn care s-a ajuns la

starea finalărdquo

Icircn realitate oricacirct de mici ar fi sarcinile aplicate se produc și deformații plastice

dar acestea pot fi neglijate dacă solicitarea nu depășește anumite limite

342 Ipoteze de calcul

Ipoteza micilor deplasări bdquodeplasările datorate deformării sunt mult mai mici

decacirct dimensiunile corpurilor și ca urmare pot fi neglijate produsele dintre o deplasare și

ea icircnsăşirdquo Pentru cele mai multe corpuri deformaţiile elastice sunt de mărimi mici deci

corpurile solide sub acţiunea sarcinilor icircşi modifică foarte puţin forma iniţială Această

ipoteză este cunoscută şi sub denumirea de ipoteza menţinerii dimensiunilor iniţiale Ea

permite scrierea ecuaţiilor de echilibru ale staticii pe starea nedeformată a elementului

cacircnd nu se iau icircn considerare deplasările punctelor de aplicaţie ale forţelor care se produc

ca urmare a deformării acestuia Calculul efectuat pe schema nedeformată poartă numele

de calcul de ordinul I

Ipoteza micilor deplasări nu poate fi acceptată pentru studiul problemelor de

stabilitate sau la problemele la care nu pot fi icircndeplinite condiţiile de echilibru icircn starea

nedeformată

Calculul de ordinul II admite ipoteza micilor deplasări dar ecuaţiile de echilibru

se scriu icircnsă pentru starea deformată a elementului de rezistenţă

Calculul de ordinul III nu mai acceptă ipoteza micilor deplasări el referindu-se

la cazul deformaţiilor mari cacircnd ecuaţiile de echilibru trebuie scrise pentru starea

deformată

Chiar dacă materialul satisface legea lui Hooke icircn urma calculelor de ordinul II

se obţin de obicei relaţii neliniare icircntre sarcini şi deplasări iar pentru calculul de ordinul

III rezultă ecuaţii diferenţiale neliniare

Principiul efectului local al acțiunii sarcinilor enunțat de Barre de Saint-

Venant Acest principiu destul de folosit icircn Rezistenţa Materialelor precizează că dacă

se icircnlocuiesc forţele care acţionează asupra unui element de suprafață al unui corp

elastic printr-un alt sistem de forţe echivalent din punct de vedere static cu primul noua

distribuţie a forţelor produce la locul de aplicare diferenţe semnificative faţă de prima

dar rămacircne fără efect sau cu efect neglijabil la distanţe mari de locul de aplicare al

forţelor figura 312

Ca o cosecință o sarcină uniform distribuită figura 312a poate fi icircnlocuită cu

rezultanta ei figura 312b dacă se analizează efectul sarcinii la distanță mare de locul icircn

care se aplică sarcina

Fig 312 Principiul Saint-Venant

Icircn prima variantă figura 312a forţa 119865 se aplică pe o porțiune oarecare 119897 (sarcină

uniform distribuită) iar icircn a doua figura 312b icircntru-un punct (forţă concentrată) La

locul de aplicare a sarcinii efectul asupra barei este cu totul diferit de la o variantă la

cealaltă Icircnsă la o distanţă mare de punctul de aplicaţie spre exemplu icircn secţiunea situată

la distanţa 119886 de capătul barei sau chiar icircn icircncastrare ambele bare sunt solicitate la fel

Icircn cazul din figura 312a

119872119894(119909) =119901 ∙ 1199092

2 119909 le 119897 119872119894(119909) = 119901 ∙ 119897 ∙ (119909 minus

119897

2) 119909 gt 119897 (324)

Icircn cazul din figura 312b

119872119894(119909) = 0 119909 lt119897

2 119872119894(119909) = 119901 ∙ 119897 ∙ (119909 minus

119897

2) 119909 gt

119897

2 (325)

Se vede că pentru (119909 gt 119897) adică după depășirea locului icircn care se aplică sarcina

efectul este același

Ipoteza lui Bernoulli sau ipoteza secţiunilor plane precizează că o secţiune

plană şi normală pe axa barei icircnainte de deformare rămacircne plană şi normală pe axa

barei şi după deformare figura 313

Fig 313 Ipoteza lui Bernoulli

Ipoteza stării naturale a corpului sau ipoteza absenţei tensiunilor conform

căreia pentru un corp nesolicitat starea de tensiune şi deformaţie este nulă

Perfecţionarea mijloacelor de calcul şi de investigare pot conduce la renunţarea la

unele ipoteze sau la introducerea altora noi mai aproape de stările reale De aici rezultă

caracterul de continuă perfecţionare a metodelor Rezistenţei Materialelor

35 Coeficienţi de siguranţă Tensiuni admisibile

O piesă corespunde din punct de vedere tehnic dacă tensiunile care iau naştere icircn

interiorul piesei datorită sarcinilor aplicate nu depăşesc anumite valori limită stabilite

convenţional Aceste valori limită ale tensiunii sunt corelate cu caracteristicile mecanice

ale materialelor

Tensiunea limită utilizată icircn calculele de rezistenţă este cunoscută sub denumirea

de tensiune admisibilă sau rezistenţă admisibilă Rezistenţa admisibilă reprezintă

valoarea convenţională aleasă icircn calcul pe baza practicii pentru tensiunea maximă care

poate apare icircntr-o piesă icircn condiţii date de material şi solicitare

Rezistenţa admisibilă (120590119886 sau 120591119886) poate fi definită faţă de o stare limită

periculoasă stare care trebuie evitată deoarece poate conduce distrugere

120590119886 =120590119897119894119898119888

(326)

unde

120590119897119894119898 este tensiunea corespunzătoare stării limită periculoase

119888 estesupraunitar 119888 gt 1 și reprezintă coeficientul de siguranţă faţă de starea limită

periculoasă considerată

Alegerea unor valori inferioare pentru rezistenţa admisibilă faţă de tensiunea

corespunzătoare stării limită periculoase este necesară deoarece

cunoaşterea sarcinilor este de cele mai multe ori aproximativă şi o depăşire a

acestora este foarte posibilă

caracteristicile mecanice ale materialelor variază icircn limite destul de mari ele

fiind influenţate de mulţi factori

schema aleasă pentru calcul (aplicarea sarcinilor schematizarea structurii

ipotezele de calcul etc) depărtează modelul faţă de cel real

Pentru calculele de verificare tensiunea efectivă maximă din elementul de

rezistenţă trebuie să fie mai mică sau cel mult egală cu cea admisibilă

120590119890119891119898119886119909 le 120590119886 (327)

Valoarea rezistenţei admisibile este influenţată de foarte mulţi factori natura

materialului tratamentele termice aplicate piesei durata de funcţionare a piesei modul

de acţionare icircn timp a sarcinilor felul solicitării temperatura gradul de periculozitate

icircn cazul cedării piesei etc

De asemenea valoarea coeficientului de siguranţă se alege icircn principal ţinacircnd

seama de aceiaşi factori care influenţează şi rezistenţa admisibilă

Rezistenţele admisibile pentru cacircteva materiale sunt următoarele

pentru oțelul de uz general OL37 solicitat la icircntindere compresiune sau

icircncovoiere 120590119886 = 150 [119872119875119886] pentru lemnul de brad solicitat la

- compresiune icircn lungul fibrelor şi solicitat la icircncovoiere 120590119886 = 10 [119872119875119886] - tracţiune icircn lungul fibrelor 120590119886 = 7 [119872119875119886] - compresiune perpendiculară pe fibre 120590119886 = 15 [119872119875119886] - forfecare icircn lungul fibrelor 120591119886 = 2 [119872119875119886] - forfecare perpendiculară pe fibre 120590119886 = 45 [119872119875119886]

terenuri de fundaţie din pămacircnt uscat sau umed 120590119886 = 020 divide 025 [119872119875119886]

4 CARACTERISTICI GEOMETRICE ALE SECȚIUNILOR PLANE

41 Noţiuni introductive

Icircn relaţiile de calcul ale tensiunilor şi deformaţiilor elementelor de rezistenţă

pentru unele solicitări (icircncovoierea și torsiunea) secțiunile plane intervin atacirct prin

dimensiunile lor (aria 119860) cicirct și prin forma și poziția pe care o are secțiunea icircn raport cu

planul solicitării Mărimile care caracterizează o secțiune icircn raport cu forma și poziția față

de axele unui sistem de referință sunt denumite caracteristici geometrice de ordin

superior Aria secțiunii este caracteristica geometrică ce depinde doar de dimensiunile

geometrice ale acesteia

Să considerăm o grindă solicitată de o forță exterioară 119865 aşezată icircn două poziții icircn

raport cu planul forţei figura 41 Icircn urma aplicării forței deși avem aceeași grindă

(aceeași arie a secțiunii transversale) și aceeași forță se constată că pentru varianta din

figura 41a deformațiile sunt mult mai mari adică rezistența la icircncovoiere a grinzii din

figura 41a este mai mare decacirct icircn cazul grinzii din figura 41b Comportarea diferită se

explică prin aceea că modificarea poziţiei secţiunii transversale faţă de planul forţelor

modifică caracteristicile geometrice ale secţiunii transversale a grinzii

Fig 41 Grindă solicitată de forța 119865

Pentru realizarea calculelor de rezistenţă şi rigiditate este foarte importantă

cunoaşterea caracteristicilor geometrice ale suprafeţei secţiunii transversale a elementelor

de rezistenţă

Caracteristicile geometrice ale secţiunii transversale a unui element de rezistenţă

sunt

- aria secțiunii notată cu 119860

- momentul static icircn raport cu o axă notat 119878119911 și respectiv 119878119910

- momentul de inerție care poate fi

axial notat 119868119911 și respectiv 119868119910

centrifugal notat 119868119911119910

polar notat 119868119901

- raza de inerţie (giraţie)notată 119894119911 și respectiv 119894119910

- modulul de rezistență care poate fi

axial notat 119882119911 și respectiv 119882119910

polar notat 119882119901

42 Aria și momentul static al suprafețelor plane

Fie o suprafaţă plană de arie 119860 pe care se ia un element infinit mic de arie 119889119860 şi

un sistem de axe rectangulare 119911119874119910 figura 42 Notăm cu 119862 centrul de greutate al suprafeţei

119860 Poziţia suprafeţei elementare 119889119860 faţă de acelaşi sistem de coordonate 119911119874119910 este dată

de abscisa 119911 ordonata 119910 și raza polară

Fig 42 Suprafață plană de arie 119860

Aria suprafeţei 119860 figura 42 se defineşte ca fiind

119860 ≝ int 119889119860

119860

(41)

Aria suprafeţei este icircntotdeauna pozitivă și se măsoară icircn [1198981198982] Momentul static al suprafeţei de arie 119860 icircn raport cu axele 119874119911 și respectiv 119874119910

figura 42 sunt date de relaţiile

119878119911 ≝ int 119910 ∙ 119889119860

119860

119878119910 ≝ int 119911 ∙ 119889119860

119860

(42)

Momentul static poate fi pozitiv negativ sau nul şi se măsoară icircn [1198981198983] Coordonatele centrului de greutate ale suprafeței 119860 se detrmină cu relațiile

119910119862 ≝int 119910 ∙ 119889119860119860

119860 119911119862 ≝

int 119911 ∙ 119889119860119860

119860

(43)

Cunoscacircnd coordonatele 119910119862 și 119911119862 ale centrului de greutate 119862 al secțiunii 119860 atunci

momentele statice se pot determina cu relațiile

119878119911 ≝ int 119910 ∙ 119889119860

119860

= 119910119862 ∙ 119889119860 119878119910 ≝ int 119911 ∙ 119889119860

119860

= 119911119862 ∙ 119889119860 (44)

Aceste relații arată că momentul static al unei suprafețe icircn raport cu o axă este

egal cu produsul dintre aria suprafeței și distanța de la centrul ariei la axa respectivă

Dacă suprafaţa se poate descompune icircn 119899 suprafeţe simple la care se cunosc ariile

(1198601 1198602 ⋯ 119860119894⋯ 119860119899) și poziţiile centrelor de greutate 119862119894 faţă de sistemul de referinţă

expresiile momentelor statice capătă următoarea formă

119878119911 = sum 119910119862119894 ∙ 119860119894119899119894=1 = 119910119862 ∙ 119860 119878119910 = sum 119911119862119894 ∙ 119860119894

119899119894=1 = 119911119862 ∙ 119860 (45)

Din relaţiile (45) rezultă că poziţia centrului de greutate 119862 al unei suprafeţe

compuse poate fi determinată cu relaţiile

119910119862 = (sum119910119862119894 ∙ 119860119894

119899

119894=1

) 119860frasl 119911119862 = (sum119911119862119894 ∙ 119860119894

119899

119894=1

) 119860frasl (46)

Icircn relația (45) 119910119862119894 și respectiv 119911119862119894 reprezintă coordonatele centrelor de greutate 119862119894

ale fiecărei suprafețe simple 119860119894 icircn raport sistemul de axe 119911119874119910

Se constată (relaţia 42) că dacă axele sistemului de referinţă trec prin centrul de

greutate (119910119862 = 119911119862 = 0) momentele statice sunt nule Axele icircn raport cu care momentele

statice sunt nule şi care trec prin centrul de greutate al suprafeţei se numesc axe centrale

Observație dacă secțiunea compusă are o axă de simetrie centrul secțiunii se

găsește pe acea axă iar dacă secțiunea este dublu simetrică poziția centrului secțiunii este

la intersecția axelor de simetrie

43 Momente de inerţie

Momentele de inerţie axiale ale unei suprafețe se calculează icircn raport cu axele de

coordonate 119874119911 și respectiv 119874119910 figura 42 și se determină cu relațiile

119868119911 ≝ int 1199102 ∙ 119889119860

119860

119868119910 ≝ int 1199112 ∙ 119889119860

119860

(47)

Unde 119910 și 119911 sunt distanțele de la elementul de arie 119889119860 la cele două axe de

coordonate 119874119911 și respectiv 119874119910

Momentele de inerţie axiale se măsoară icircn [1198981198984] şi sunt icircntotdeauna pozitive (aria

119889119860 este icircntotdeauna pozitivă și este multiplicată cu patratul distanței 1199102 dacă 119868119911 sau 119868119910

sunt nule icircnseamnă ca secțiunea nu există)

Momentele de inerție axiale se calculează icircndeosebi pentru axele centrale (care

trec prin centrul secțiunii) deoarece icircn raport cu acele axe 119868119911 și 119868119910 au valori minime

Momentul de inerţie centrifugal calculat faţă ambele axe ale sistemului de

referinţă 119911119874119910 este definit de relația

119868119911119910 ≝ int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860

(48)

Momentul de inerţie centrifugal se măsoară icircn [1198981198984] şi poate fi pozitiv negativ

sau nul

Momentul de ineție centrifugal este nul 119868119911119910 = 0 dacă cel puțin una din axele 119874119911

sau 119874119910 este axă de simetrie pentru secțiune

Se consideră o suprafaţă dreptunghiulară pe care faţă de axa de simetrie 119874119910 se iau

două suprafeţe elementare de arie 119889119860 simetrice faţă de axa 119874119910 figura 43

Fig 43 Suprafață dreptunghiulară cu două arii elementare 119889119860

Făcacircnd suma momentelor de inerţie centrifugale pentru cele două suprafeţe

elementare 119889119860 (din stacircnga şi din dreapta faţă de axa 119874119910) se obţine

int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860119889119903

+ int (minus119911) ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860119904119905119892

= int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860119889119903

minus int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860119904119905119892

= 0 (49)

Acelaşi raţionament se poate face și pentru icircntreaga suprafaţă de unde obținem că

momentul de inerție centrifugal este nul 119868119911119910 = 0 Deci pentru o suprafaţă plană care

are cel puţin o axă de simetrie momentul de inerţie centrifugal faţă de sistemul care

conţine acea axă de simetrie este nul

Momentul de inerţie polar al unei suprafeţei icircn raport cu un punct (pol) 119874 figura

42 este definit prin relaţia

1198680 = 119868119901 ≝ int 1205882 ∙ 119889119860

119860

= int(1199102 + 1199112) ∙ 119889119860

119860

= 119868119911 + 119868119910 (410)

unde este distanţa de la polul 119874 la elementul de arie 119889119860 Momentul de inerţie polar se

măsoară icircn [1198981198984] şi este totdeauna pozitiv

Momentul de inerţie polar este egal cu suma momentelor de inerţie faţă de două axe

perpendiculare oarecare şi care trec prin polul considerat

Razele de giraţie sau razele de inerţie sunt mărimi calculate icircn raport cu axele

secțiunii și definite de relaţiile

119894119911 ≝ radic119868119911119860 119894119910 = radic

119868119910

119860 (411)

Se exprimă icircn [119898119898] şi sunt icircntotdeauna pozitive Semnificația unei raze de inerție

este distanța la care dacă ar fi concentrată icircntreaga arie s-ar obține același moment de

inerție ca și cel calculat pentru aria reală

44 Modulul de rezistenţă

Modulul de rezistență se calculează icircn raport cu axele de referință sau icircn raport cu

un pol figura 42 și pot fi axiale (119882119911119882119910) sau polar (119882119901) și se determină numai pe baza

momentelor de inerţie cu relațiile figura 43

119882119911119898119894119899 ≝119868119911119910119898119886119909

119882119911119898119886119909 ≝119868119911119910119898119894119899

(412)

119882119910119898119894119899 ≝119868119910

119911119898119886119909 119882119910119898119886119909 ≝

119868119910

119911119898119894119899 (413)

119882119901 ≝119868119901

120588119898119886119909 (414)

unde

119910119898119886119909 119910119898119894119899 reprezintă distanţa de la axa 119874119911 la punctele extreme cele mai

depărtate respectiv cele mai apropiate ale suprafeţei de această axă

119911119898119886119909 119911119898119894119899 reprezintă distanţa de la axa 119874119910 la punctele extreme cele mai

depărtate respectiv cele mai apropiate ale suprafeţei de această axă

120588119898119886119909 reprezintă distanța maximă de la polul 119874 la punctul secțiunii cel mai

icircndepărtat de acesta

Fig 43 Suprafață dreptunghiulară cu două arii elementare 119889119860

Modulele de rezistenţă se exprimă icircn [1198981198983] şi sunt icircntotdeauna pozitive

Explicația este aceea că momentele de inerție care intră icircn relațiile de definiție sunt

pozitive iar distanțele la punctele extreme sunt pozitive (119910119898119886119909 119910119898119894119899 119911119898119886119909 119911119898119894119899 120588119898119886119909 se

iau icircn valoare absolută)

Icircn cazul suprafeţelor compuse modulul de rezistenţă nu se obţine prin icircnsumarea

algebrică a modulelor de rezistenţă ale suprafeţelor simple componente ci numai prin

intermediul momentului de inerţie axial calculat pentru icircntreaga secțiune

Ca și momentele de inerție modulele de rezistență se calculează numai pentru

sistemele de axe centrale

45 Momente de inerţie şi module de rezistenţă pentru suprafeţe simple

451 Secțiune dreptunghiulară

Fie suprafaţa dreptunghiulară din figura 44 de icircnălțime ℎ și lățime 119887 pe care se

consideră suprafaţă elementară de arie 119889119860 = 119887119889119910 la distanța 119910 de axa 119862119911 sistemul de

axe 119911119862119910 trece prin centrul secțiunii iar axele sunt axe de simetrie pentru dreptunghi

Fig 44 Suprafață dreptunghiulară

Pe baza relațiilor de definiți a momentului de inerție 119868119911 se obține

119868119911 ≝ int 1199102 ∙ 119889119860

119860

= int 1199102 ∙ 119887 ∙ 119889119910 = 2int 1199102 ∙ 119887 ∙ 119889119910 = 2 ∙ 119887 ∙1199103

3|ℎ 2frasl

0rArr

ℎ 2frasl

0

ℎ 2frasl

minusℎ 2frasl

rArr 119868119911 =119887 ∙ ℎ3

12

(415)

Analog pentru un element de arie 119889119860 = ℎ ∙ 119889119911 paralel cu axa 119862119910 situat la distanța

119911 de axa 119862119910

119868119910 ≝ int 1199112 ∙ 119889119860

119860

= int 1199112 ∙ ℎ ∙ 119889119911 = 2int 1199112 ∙ ℎ ∙ 119889119910 = 2 ∙ ℎ ∙1199113

3|119887 2frasl

0rArr

119887 2frasl

0

119887 2frasl

minus119887 2frasl

rArr 119868119910 =1198873 ∙ ℎ

12

(416)

Deoarece axele 119862119911 și 119862119910 sunt axe de simetrie momentul de inerție centrifugal este

119868119911119910 = 0 (417)

Pentru un pătrat avacircnd laturile egale (ℎ = 119887 = 119886) momentele de inerţie faţă de

axele centrale au expresia

119868119911 = 119868119910 =1198864

12 (418)

Modulele de rezistență axiale se calculează cu relațiile de definiție ținacircnd cont că

distanțele pacircnă la fibrele extreme sunt

119910119898119886119909 = 119910119898119894119899 =ℎ

2 119911119898119886119909 = 119911119898119894119899 =

119887

2 (419)

Obținem

119882119911119898119894119899 = 119882119911119898119886119909 =119868119911

119910119898119886119909119898119894119899=119887 ∙ ℎ3

12frasl

ℎ2frasl

=119887 ∙ ℎ2

6

119882119910119898119894119899 = 119882119910119898119886119909 =119868119910

119911119898119886119909119898119894119899=1198873 ∙ ℎ

12frasl

1198872frasl

=1198872 ∙ ℎ

6

(420)

452 Suprafaţă circulară

Din motive de simetrie pentru suprafeţele circulare momentele de inerţie faţă de

orice diametru (care reprezintă şi axe centrale) sunt aceleaşi

Considerăm o secțiune circulară plină cu diametrul 119889 și centrul de greutate 119862 Prin

centrul de greutate 119862 trece sistemul de axe ortogonal 119911119862119910 figura 45

Fig 45 Suprafață circulară

La distanța de centrul de greutate 119862 vom lua un element de suprafață mic de arie

(119889119860) de forma unui inel de grosime 119889 Elementul de arie 119889119860 are expresia

119889119860 = (2 ∙ 120587 ∙ 120588) ∙ (119889120588)

Pornind de la relația de definiție a momentului de inerție polar obținem

119868119901 ≝ int 1205882 ∙ 119889119860

119860

= int 1205882 ∙ (2 ∙ 120587 ∙ 120588) ∙ 119889120588

119903=119889 2frasl

0

= 2 ∙ 120587 ∙1205884

4|119889 2frasl0 rArr

rArr 119868119901 =120587 ∙ 1198894

32

(421)

Secțiunea este perfect simetrică deci sunt valabile relațiile

119868119911 = 119868119910 rArr 119868119901 = 119868119911 + 119868119910 = 2 ∙ 119868119911 = 2 ∙ 119868119910 =119868119901

2=120587 ∙ 1198894

64 (422)

Și modulele de rezistenţă faţă de orice diametru sunt egale şi se calculează cu

relaţiile

119882119911 = 119882119910 =1198681199111198892frasl=120587 ∙ 1198893

32 (423)

Modulul de rezistenţă polar este

119882119901 =1198681199011198892frasl=120587 ∙ 1198893

16 (424)

453 Secţiune inelară

Calculul momentelor de inerţie axiale pentru o secţiune inelară avacircnd diametrul

interior 119889 şi diametrul exterior 119863 se determină analog pentru suprafaţa circulară plină cu

observaţia că integrala pentru calculul momentului de inerție polar 119868119901 se face icircntre

limitele 119903 = 119889 2frasl şi R= 1198632frasl (icircntre raza interioară 119903 şi raza exterioară 119877) figura 46

Se obţin relaţiile

119868119901 =120587 ∙ 1198634

32∙ [1 minus (

119889

119863)4

] =120587 ∙ 1198634

32∙ (1 minus 1198964) (425)

119868119910 = 119868119910 =120587 ∙ 1198634

64∙ [1 minus (

119889

119863)4

] =120587 ∙ 1198633

64∙ (1 minus 1198964) (426)

Fig 46 Secțiune inelară

119882119901 =120587 ∙ 1198633

16∙ [1 minus (

119889

119863)4

] =120587 ∙ 1198633

16∙ (1 minus 1198964) (427)

119882119911 = 119882119910 =120587 ∙ 1198633

32∙ [1 minus (

119889

119863)4

] =120587 ∙ 1198633

32∙ (1 minus 1198964) (428)

unde 119896 = 119889119863frasl

46 Variaţia momentelor de inerţie faţă de axe paralele

( Relațiile lui STEINER)

Se consideră o suprafaţă oarecare de arie 119860 cu elementul de arie 119889119860 și un sistemul

de axe central 119911119862119910 faţă de care se cunosc momentele de inerţie 119868119911 119868119910 119868119911119910 şi considerăm

un sistem de axe 11991111198741199101 paralele cu sistemul central figura 47 Se pune problema

determinării momentele de inerţie 1198681199111 1198681199101 11986811991111199101 faţă de sistemul de axe paralel cu sistemul

central 11991111198741199101 axe aflate la distanţele 119910119862 = 119888 respectiv 119911119862 = 119889 de acesta

461 Momente de inerţie axiale

Pe baza relaţiilor de definire şi a notaţiilor din figura 42 pentru momentele de

inerţie faţă de axele 1198741199111 1198741199101 se poate scrie

1198681199111 = int 11991012 ∙ 119889119860

119860

= int(119910 + 119888)2 ∙ 119889119860

119860

= int 1199102 ∙ 119889119860

119860

+ 2 ∙ 119888 ∙ int 119910 ∙ 119889119860

119860

+

+1198882int 119889119860

119860

rArr 1198681199111 = 119868119911 + 2 ∙ 119888 ∙ 119878119911 + 1198882 ∙ 119860 hArr 1198681199111 = 119868119911 + 119888

2 ∙ 119860

(429)

Fig 47 Variaţia momentelor de inerţie față de axe paralele

S-a ajuns la relația (429) deoarece momentul static 119878119911 este nul deoarece axa 119862119885

este axă centrală

Pentru momentul de inerție axial icircn raport cu axa 1198741199101 se obține

1198681199101 = int 11991112 ∙ 119889119860

119860

= int(119911 + 119889)2 ∙ 119889119860

119860

= int 1199112 ∙ 119889119860

119860

+ 2 ∙ 119889 ∙ int 119911 ∙ 119889119860

119860

+

+1198892 ∙ int 119889119860

119860

rArr 1198681199101 = 119868119910 + 2 ∙ 119889 ∙ 119878119910 + 1198892 ∙ 119860 hArr 1198681199101 = 119868119910 + 119889

2 ∙ 119860

(430)

Pentru momentul de inerție centrifugal obținem

11986811991111199101 = int 1199101 ∙ 1199111 ∙ 119889119860

119860

= int(119910 + 119888) ∙ (119911 + 119889) ∙ 119889119860

119860

= int 119910 ∙ 119911 ∙ 119889119860 +

119860

+119888 ∙ int 119911 ∙ 119889119860

119860

+ 119889 ∙ int 119910 ∙ 119889119860

119860

rArr 11986811991111199101 = 119868119911119910 + 119888 ∙ 119889 ∙ 119860

(431)

Deoarece

int 119911 ∙ 119889119860

119860

= 119878119910 = 0 int 119910 ∙ 119889119860

119860

= 119878119911 = 0 int 119910 ∙ 119911 ∙ 119889119860

119860

= 119868119911119910

Relaţiile (429) şi (430) arată că momentul de inerţie faţă de o axă oarecare

este egal cu momentul de inerţie faţă de o axă paralelă cu ea trecacircnd prin centrul de

greutate la care se adaugă produsul dintre aria suprafeţei şi pătratul distanţei dintre

cele două axe

Din relaţiile (429) și (430) rezultă de asemenea că momentul de inerţie faţă de o

axă centrală (care trece prin centrul de greutate) este cel mai mic dintre infinitatea de

momente de inerţie obținute faţă de alte axe paralele cu ea

Relaţia (431) arată de asemenea că momentul de inerţie centrifugal faţă de un

sistem de axe oarecare este egal cu momentul de inerţie centrifugal faţă de un sistem

paralele cu el trecacircnd prin centrul de greutate a suprafeţei la care se adaugă produsul

dintre aria suprafeţei şi distanţele dintre axele sistemelor respective

Icircn literatura de specialitate relaţiile (429) (430) şi (431) sunt cunoscute sub

numele de relaţiile lui Steiner

47 Variaţia momentrlor de inerţie faţă de axe rotite

Direcţii principale şi momente de inerţie principale

Fie suprafaţa plană din figura 48 de arie 119860 pe care considerăm o suprafaţă

elementară de arie 119889119860 Pentru sistemul de axe 119911119874119910 se cunosc momentele de inerţie

119868119911 119868119910 119868119911119910 şi vom determina relaţiile de calcul pentru momentele de inerţie afererent unui

sistem de axe 11991111198741199101 rotit cu un unghi faţă de sistemul central

Faţă de sistemul de axe 11991111198741199101 elementul de arie 119889119860 are coordonatele

1199101 = 119875119877 = 119875119876 minus 119877119876 = 119910 ∙ cos 120572 minus 119911 ∙ sin 120572

1199111 = 119873119872 = 119873119875 minus 119875119872 = 119911 ∙ cos 120572 + 119910 ∙ sin 120572 (432)

Fig 47 Variaţia momentelor de inerţie față de axe rotite

Pe baza relaţiilor de calcul ale momentelor de inerţie şi a notaţiilor din figura 42

şi ale relaţiilor (432) momentele de inerţie faţă de sistemul de axe rotit 11991111198741199101 sunt

1198681199111 =119868119911 + 119868119910

2+119868119911 minus 119868119910

2∙ cos 2120572 minus 119868119911119910 ∙ sin 2120572 (433)

1198681199101 =119868119911 + 119868119910

2minus119868119911 minus 119868119910

2∙ cos 2120572 + 119868119911119910 ∙ sin 2120572 (434)

11986811991111199101 =119868119911 minus 119868119910

2∙ sin 2120572 + 119868119911119910 ∙ cos 2120572 (435)

Din relaţiile 433divide435 se observă că icircntre momentele de inerţie axiale şi cele

polare există relaţia

1198681199111 + 1198681199101 = 119868119911 + 119868119910 = 119868119901 (436)

adică suma momentelor de inerţie axiale icircn raport cu orice pereche de axe ortogonale

care trec printr-un pol dat este o constantă şi egală cu momentul de inerţie polar

Prin rotirea sistemului de axe din relaţiile 433divide435 rezultă că momentele de inerţie

variază icircnsă suma lor rămacircne constantă deci există o poziţie a sistemului de axe pentru

care momentele de inerţie au valori extreme maxim respectiv minim

471 Direcţii principale de inerţie

Valoarea unghiului 120572 pentru care momentele de inerţie axiale au valori extreme

este

1205721 =1

2∙ 119886119903119888119905119886119899 (minus

2 ∙ 119868119911119910

119868119911 minus 119868119910) (437)

Poziţia celeilalte direcţii este perpendiculară pe cea dată de unghiul 1205721

Din relaţia (437) se constată că faţă de aceste direcţii rotite pentru care momentele

de inerţie axiale prezintă valori extreme momentul de inerţie centrifugal 11986811991111199101este nul

Atunci se poate afirma că momentele de inerţie axiale au valori extreme icircn raport cu

direcţiile faţă de care momentul de inerţie centrifugal este nul Aceste direcţii se numesc

direcţii principale iar momentele de inerţie faţă de aceste direcţii poartă numele de

momente de inerţie principale

Icircn calculele de rezistenţă interesează icircn mod special poziţia direcţiilor principale

care trec prin centrul de greutate al suprafeţei aşa numitele direcţii principale centrale şi

evident momentele de inerţie principale centrale

Direcţiile principale de inerţie se notează cu 1 respectiv 2 Axa principală 1

corespunde direcţiei faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea maximă iar

axa principală 2 pentru direcţia faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea

minimă

472 Momente de inerţie principale

Momentele de inerţie principale se notează cu litera 119868 la care se pune indicele 1

sau 2 după cum valoarea acestuia este maximă sau minimă deci avem un moment de

inerţie principal 1 (notat 1198681) respectiv moment de inerţie principal 2 (notat 1198682)

Expresiile pentru momentele de inerţie principale sunt

11986812 =119868119911 + 119868119910

2plusmn1

2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)

2+ 4 ∙ (119868119911119910)

2 (438)

Dacă momentul de inerţie centrifugal este negativ (119868119911119910 lt 0) direcţia principală

care trece prin primul cadran (definit de sistemul 119911119862119910) este direcţia principală 120783

Pentru suprafeţele cu cel puţin o axă de simetrie direcţiile centrale 119862119911 119862119910 sunt şi

direcții principale de inerţie și evident momentele de inerţie axiale 119868119911 119868119910 sunt momente

de inerţie principale

48 Caracteristici mecanice ale metalelor

Alegerea materialului pentru confecţionarea unei anumite piese se face şi pe baza

aşa numitelor caracteristici mecanice pe care le prezintă materialul Cunoaşterea acestor

caracteristici mecanice are loc numai pe baza unor icircncercări mecanice care să scoată icircn

evidenţă comportarea materialului icircn condiţii de solicitare

Cea mai utilizată icircncercare icircn urma căreia se pun icircn evidenţă caracteristicile

mecanice ale unui material este icircncercarea la tracţiune

481 Icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general

Icircncercarea la tracţiune a oţelului ca de altfel toate icircncercările de materiale este

standardizată

Icircn cele ce urmează se va prezenta numai partea care interesează strict din punct

de vedere al caracteristicilor mecanice ale oţelului

Epruveta de diametru iniţial 1198890 pentru icircncercarea la tracţiune are o porţiune de

lungime 1198710 numită baza de măsurare pe care se măsoară lungirea acesteia sub acţiunea

solicitării

Icircn funcţie de raportul dintre baza de măsurare 1198710 şi diametrul iniţial 1198890 epruvetele

utilizate pentru icircncercări sunt

epruvete normale (scurte) cacircnd 11987101198890 = 5

epruvete lungi cacircnd 11987101198890 = 10

Icircn timpul icircncercării la diferite valori ale forţei 119865 se măsoară lungirea bazei de

măsurare

∆119871 = 120575 = 119871 minus 1198710 (439)

unde

119871 este dimensiunea bazei de măsurare la un moment dat

Curba forţă-lungire (119865 minus ) icircnregistrată icircn urma icircncercării reprezintă curba

caracteristică la tracţiune

La icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general diagrama caracteristică care se

obţine are forma din figura 48

Curba caracteristică la tracţiune depinde de lungimea bazei de măsurare Pentru

icircnlăturarea acestui neajuns curba caracteristică se reprezintă icircn coordonate şi definite

astfel

120590 =119865

1198600 휀 =

120575

1198710 (440)

unde

1198600 este aria iniţială a secţiunii transversale a epruvetei (icircnainte de solicitare) icircn

zona bazei de măsurare

1198600 =120587 ∙ 1198890

2

4

Deoarece mărimile icircn care se reprezintă curba caracteristică la tracţiune sunt

raportate la aria iniţială a secţiunii transversale (mărimi specifice) curba poartă numele

de curbă caracteristică convenţională la tracţiune

Fig 48 Curba caracteristică convenţională la tracțiune

Pe curba caracteristică convenţională la tracţiune figura 48 se pot stabili o serie

de puncte cărora le corespund mai multe mărimi importante

Ordonata punctului A pacircnă unde curba caracteristică convenţională este linie

dreaptă se numeşte limita de proporţionalitate a materialului 120590119901(1205901) Porţiunea 119874119860 este

zona de proporţionalitate a curbei caracteristice pe acest domeniu este valabilă legea lui

Hooke care exprimă o proporţionalitate icircntre tensiune şi deformaţie specifică

120590 = 119864 ∙ 휀 (441)

unde

119864 = reprezintă panta porţiunii liniare a curbei convenționale caracteristice

la tracțiune Caracteristica de material 119864 se numeşte modul de elasticitate longitudinal

(modulul lui Young)

Ordonata punctului 119861 pacircnă unde materialul se comportă perfect elastic adică

după descărcare icircşi recapătă dimensiunea iniţială 1198710 se numeşte limita de elasticitate

120590119890(119877119890) Icircn realitate nici un material nu are comportare perfect elastică sub acţiunea

solicitărilor el capătă deformaţii permanente (remanente plastice)

După punctul 119861 urmează o porţiune 119861119862119863 icircn care cu toate că icircncărcarea

continuă forţa nu mai creşte avacircnd mici oscilaţii icircn jurul unei valori Se spune că icircn

această porţiune materialul curge iar intervalul 119861119862119863 este un palier de curgere Tensiunea

corespunzătoare palierului de curgere se numeşte limită de curgere aparentă 120590119888(119877119888) Limita de curgere aparentă se calculează cu relaţia

120590119888 =1198651198881198600 (442)

unde

119865119888 reprezintă valoarea forţei icircnregistrată icircn momentul curgerii materialului

După punctul 119863 curba caracteristică are un traseu ascendent pacircnă icircn punctul 119864

Porţiunea 119863119864 este numită zonă de icircntărire (ecruisare) Icircn zona de ecruisare unde se

produc deformaţii plastice semnificative legea lui Hooke nu mai este valabilă La

descărcare relaţia dintre tensiunea şi deformaţia specifică este liniară paralelă cu

porţiunea liniară a curbei caracteristice (dreapta 119872119873)

Deformaţia totală (휀119905) are două componente una elastică (휀119890) şi una plastică (휀119901)

Ordonata punctului 119864 reprezintă rezistenţa de rupere 120590119903(119877119898) a materialului

care se poate calcula cu relaţia

120590119903 = 119877119898 =1198651198981198861199091198600

(443)

unde

119865119898119886119909 reprezintă valoarea maximă a forţei icircnregistrată icircn timpul icircncercării

La atingerea valorii 119865119898119886119909 (punctul 119864) icircntr-un anumit loc al epruvetei secţiunea

icircncepe să se micşoreze (se produce gacirctuirea) continuacircnd pacircnă cacircnd se produce ruperea

totală (punctul 119865)

Dacă după ruperea epruvetei cele două părţi rezultate se aşează cap la cap şi se

măsoară dimensiunea bazei de măsurare 119871119906 (lungimea ultimă) se determină alungirea la

rupere sau lungirea specifică la rupere 휀119903

휀119903 =119871119906 minus 11987101198710

=∆119871

1198710=120575

1198710 (444)

De obicei alungirea se exprimă icircn procente şi se notează cu 119860119899 unde 119899 reprezintă

numărul dat de raportul 11987101198890 (epruvete normale 119899 = 5 epruvete lungi 119899 = 10)

119860119899 =119871119906 minus 11987101198710

∙ 100 [] (445)

Altă mărime care se determină la icircncercarea la tracţiune este gacirctuirea la rupere

(exprimată de obicei icircn procente) şi definită de relaţia

119885 =1198600 minus 1198601199061198600

∙ 100 [] (446)

Mărimile determinate limita de proporţionalitate modulul de elasticitate

longitudinal limita de elasticitate limita de curgere aparentă rezistenţa de rupere

alungirea la rupere şi gacirctuirea la rupere sunt cunoscute ca fiind caracteristici mecanice

ale materialului

Din curba caracteristică convenţională observăm faptul că ruperea (punctul 119865 din

figura 48 se produce la o tensiune mai mică decacirct cea corespunzătoare punctului 119864 Dacă

icircnsă forţa din timpul icircncercării s-ar raporta la aria secţiunii din momentul icircnregistrării

forţei (care este mai mică decacirct cea iniţială 1198600) s-ar obţine aşa numita curbă

caracteristică reală a materialului (traseul 1198741198601198611198621198631198651 din figura 48) La curba

caracteristică reală ruperea se produce icircn punctul 1198651 la o icircncărcare mai mare decacirct cea

corespunzătoare punctului 119864 Icircnseamnă că rezistenţa reală la rupere este mai mare decacirct

rezistenţa la rupere dată de punctul 119864 din diagrama caracteristică convenţională

Dificultatea obţinerii diagramei caracteristice reale faţă de cea a diagramei caracteristice

convenţionale şi considerarea unei rezistenţe la rupere mai mică decacirct a celei reale face

icircn practică utilizarea pe scară mare a diagramei caracteristice convenţionale

Caracteristicile mecanice determinate pe baza curbei caracteristice convenţionale

sunt şi ele caracteristici mecanice convenţionale

Caracteristicile mecanice convenţionale limita de proporţionalitate convenţională

120590119901 limita de elasticitate convenţională 120590119890 limita de curgere convenţională 120590119888 şi rezistenţa

de rupere 120590119903 constituie tensiuni limită pentru un material Pe baza acestor caracteristici

de material se alege valoarea tensiunii admisibile 120590119886 (vezi paragraful 35) pentru

calculele de rezistenţă Cea mai utilizată stare limită pentru stabilirea tensiunii admisibile

120590119886 este limita de curgere convenţională 120590119888

120590119886 =120590119897119894119898119888

=120590119888119888 119904119886119906 120590119886 =

120590119903119888 (447)

Caracteristicile mecanice ale materialului sunt influenţate de o serie de factori

temperatura viteza de solicitare factorii tehnologici iar valorile lor sunt date icircn tabele și

diagrame

Aplicaţie Pentru suprafaţa plană compusă din două dreptunghiuri avacircnd

dimensiunile din figura 49a să se calculeze

a) centrul de greutate al secțiunii compuse 119910119866 119911119866

b) momentele de inerție axiale 119868119911 119868119910 și momentul de inerție centrifugal 119868119911119910

c) razele de inerție 119894119911 119894119910

d) modulele de rezistență 119882119911119898119894119899 119882119911119898119886119909 119882119910119898119894119899 119882119910119898119886119909

e) momentele de inerție principale 1198681 1198682 și direcțiile principale de inerție 1205721

f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 119878119911

Fig 49 Aplicație

Rezolvare Pentru rezolvare vom parcurge următoarele etape

icircmpărțim suprafața compusă icircn două suprafețe simple (dreptunghiuri) notate cu

① și respectiv ② figura 49b

poziționăm centrele de greutate a celor două suprafețe simple ① și respectiv ②

notate cu 1198661 și respectiv 1198662 figura 49c

poziționăm sistemele de axe de coordonate 119911111986611199101 pentru dreptunghiul ① și

119911211986621199102 pentru dreptunghiul ② aflate la intersecția diagonalelor figura 49c

poziționăm sistemele de axe de coordonate 11991101198741199100 ales arbitrar față de care

determinăm poziția centrului de greutate 119866 figura 49c

a) calculăm poziția centrului de greutate folosind relațiile (46) icircn care

1198601 = 6119905 ∙ 119905 = 61199052 1198602 = 4119905 ∙ 119905 = 41199052 119860 = 1198601 + 1198602 = 61199052 + 41199052 = 101199052

iar centrele de greutate 1198661 și respectiv 1198662 au coordonatele (față de sistemul 11991101198741199100)

1198661 1199101 = 3119905 1199111 = 05119905

1198662 1199102 = 051199051199112 = 3119905

cu acestea obținem

119910119866 =1198601 ∙ 1199101 + 1198602 ∙ 1199102

119860=61199052 ∙ 3119905 + 41199052 ∙ 05119905

101199052=201199053

101199052= 2119905

119911119866 =1198601 ∙ 1199111 + 1198602 ∙ 1199112

119860=61199052 ∙ 05119905 + 41199052 ∙ 3119905

101199052=151199053

101199052= 15119905

Poziționăm centrul de greutate 119866 al suprafeței compuse figura 49c

Fig 49 Aplicație

b) pentru determinarea momentelor de inerție axiale 119868119911 119868119910 și a momentului de

inerție centrifugal 119868119910119911 determinăm constantele 1198881 1198882 1198891 1198892 care intervin icircn relația lui

Stainer

1198881 = 1199101 minus 119910119866 = 3119905 minus 2119905 = 119905 1198882 = minus(119910119866 minus 1199102) = minus(2119905 minus 05119905) = minus15119905

1198891 = minus(119911119866 minus 1199111) = minus(15119905 minus 05119905) = minus119905 1198892 = 1199112 minus 119911119892 = 3119905 minus 15119905 = 15119905

Folosind relațiile lui Stainer (429) (430) și (431) calculăm momentele de

inerție axiale și centrifugale față de sistemul central 119911119866119866119910119866

119868119911 =sum(119868119911119894 + 1198881198942 ∙ 119860119894) = 1198681199111 + 1198881

2 ∙ 1198601 + 1198681199112 + 11988822 ∙ 1198602

119868119910 =sum(119868119910119894 + 1198891198942 ∙ 119860119894) = 1198681199101 + 1198891

2 ∙ 1198601 + 1198681199102 + 11988922 ∙ 1198602

119868119911119910 =sum(119868119911119894119910119894 + 119888119894 ∙ 119889119894 ∙ 119860119894) = 11986811991111199101 + 1198881 ∙ 1198891 ∙ 1198601 + 11986811991121199102 + 1198882 ∙ 1198892 ∙ 1198602

1198681199111 = (119887 ∙ ℎ3

12) =

119905 ∙ (6119905)3

12= 181199054 1198681199112 = (

119887 ∙ ℎ3

12) =

4119905 ∙ 1199053

12= 031199054

1198681199101 = (1198873 ∙ ℎ

12) =

1199053 ∙ 6119905

12= 051199054 1198681199102 = (

1198873 ∙ ℎ

12) =

(4119905)3 ∙ 119905

12= 531199054

11986811991111199101 = 11986811991121199102 = 0 deoarece cele două triunghiuri au cel puțin o axă de simetrie

Cu acestea momentele de inerție axiale și momentul de inerție centrifugal devin

119868119911 = 181199054 + 1199052 ∙ 61199052 + 031199054 + (minus15119905)2 ∙ 41199052 = 3331199054

119868119910 = 051199054 + (minus119905)2 ∙ 61199052 + 531199054 + (15119905)2 ∙ 41199052 = 2081199054

119868119911119910 = 0 + 119905 ∙ (minus119905) ∙ 61199052 + 0 + (minus15119905) ∙ (15119905) ∙ 41199052 = minus151199054

c) razele de inerție sau de girație față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910

se calculează cu relațiile (411)

119894119911 = radic119868119911119860= radic

3331199054

101199052= 182119905 119894119910 = radic

119868119910

119860= radic

2081199054

101199052= 144119905

d) modulele de rezistență față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910 se

calculează cu relațiile (412) și (413)

Avacircnd icircn vedere figura 419c obținem

119910119898119886119909 = 6119905 minus 119910119866 = 6119905 minus 2119905 = 4119905 119910119898119894119899 = minus119910119866 = minus2119905

119911119898119886119909 = 5119905 minus 119911119866 = 5119905 minus 15119905 = 35119905 119911119898119894119899 = minus119911119866 = minus15119905

Se obține astfel

119882119911119898119894119899 =119868119911

|119910119898119886119909|=3331199054

4119905= 8331199053

119882119911119898119886119909 =119868119911

|119910119898119894119899|=3331199054

2119905= 16651199053

119882119910119898119894119899 =119868119910

|119911119898119886119909|=2081199054

35119905= 5941199053

119882119910119898119886119909 =119868119910

|119911119898119894119899|=2081199054

15119905= 13871199053

e) momentele de inerție principale 1198681 și respectiv 1198682 se calculează cu relațiile

(438)

11986812 =119868119911 + 119868119910

2plusmn1

2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)

2+ 4 ∙ (119868119911119910)

2=

=3331199054 + 2081199054

2plusmn1

2∙ radic(3331199054 minus 2081199054)2 + 4 ∙ (minus151199054)2 = 27051199054 plusmn 16251199054

De unde obținem

1198681 = 27051199054 + 16251199054 = 4331199054

1198682 = 27051199054 minus 16251199054 = 1081199054

Prima direcție principală de inerție 1 face cu axa centrală 119866119911 unghiul 1205721 dat de

relația (437)

1205721 =1

2∙ arctan (minus

2 ∙ 119868119911119910

119868119911 minus 119868119910) =

1

2∙ arctan [minus

2 ∙ (minus151199054)

3331199054 minus 2081199054] =33 70

Deoarece 1205721 gt 0 rotirea axelor se face acircn sens antiorar acelor de ceasornic figura

49d

Poziția axe principale 2 față de care momentul de inerție are valoarea minimă

1198682 = 119868119898119894119899 este dată de unghiul

1205722 = 1205721 + 900 = 33 70 + 900 = 123 70

f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 se determină cu relația

(45)

1198781199111198602 = 1198602 ∙ 1198882 = 41199052 ∙ (minus15119905) = minus61199053

Pentru majoritatea materialelor 120599 = 033 iar pentru materialele care-şi păstrează

volumul constant 120599 = 05

33 Relaţii de echivalenţă icircntre eforturi şi tensiuni

Considerăm un element de suprafață infinit mic 119889119860 situat pe fața de arie (119860) a

secțiunii barei din figura 311 Icircn centrul de greutate 119862 al secțiunii acționează eforturile

119873 119879119910 119879119911 119872119909 119872119894119910 și 119872119894119911 determinate prin metoda secțiunilor

Icircn raport cu un sistem de axe de referință 119909119862119910119911 coordonatele elementului 119889119860 sunt

- 119910 este ordonata elementului de arie 119889119860

- 119911 este abscisa elementului de arie 119889119860

Pe elementul de arie 119889119860 acționează tensiunile

120590119909 tensiunea normală

120591119909119910 și 120591119909119911 tensiuni tangențiale

Dacă se icircnsumează forțele elementare de tipul 120590119909 ∙ 119889119860 120591119909119910 ∙ 119889119860 și 120591119909119911 ∙ 119889119860

va trebui să obținem eforturile 119873 119879119910 și 119879119911

Fig 311 Element de suprafață mic din secțiunea unei bare

Dacă eforturile sunt privite ca forțe exterioare și se scriu ecuațiile de

echilibru ale secțiunii (119860) se vor obține șase relații de echivalență icircntre eforturi și

tensiuni

(sum119883) = 0 rArr int 120590119909 ∙ 119889119860

119860

= 119873 (317)

(sum119884) = 0 rArr int 120591119909119910 ∙ 119889119860

119860

= 119879119910 (318)

(sum119885) = 0 rArr int 120591119909119911 ∙ 119889119860

119860

= 119879119911 (319)

(sum119872)119909= 0 rArr int(120591119909119911 ∙ 119889119860) ∙ 119910

119860

minus int(120591119909119910 ∙ 119889119860) ∙ 119911

119860

= 119872119909 rArr

rArr int(119910 ∙ 120591119909119911 minus 119911 ∙ 120591119909119910) ∙ 119889119860

119860

= 119872119909

(320)

(sum119872)119910= 0 rArr int(120590119909 ∙ 119889119860) ∙ 119911

119860

= 119872119894119910 (321)

(sum119872)119911= 0 rArr int(120590119909 ∙ 119889119860) ∙ 119910

119860

= 119872119894119911 (322)

Cele șase relații de echivalență icircntre eforturi și tensiuni constituie un pas icircnainte

icircn rezolvarea unei probleme de rezistența materialelor Aceste relații vor permite

determinarea tensiunilor maxime

Pentru a rezolva cele 6 relații de echivalență trebuie să se cunoască tensiunile și

ca funcții de punct adică funcții de forma

120590119909 = 120590119909(119909 119910 119911) 120591119909119910 = 120591119909119910(119909 119910 119911) 120591119909119911 = 120591119909119911(119909 119910 119911) (32

3)

Cunoașterea acestor funcții presupune icircnsă analizarea aspectului geometric al

problemei precum și utilizarea unor ipoteze simplificatoare care să permită simplificarea

problemelor

34 Ipoteze de bază icircn rezistenţa materialelor

Depășirea dificultăților legate de interpretarea unor fenomene specifice mecanicii

solidului deformabil a impus acceptarea unor ipoteze care să simplifice fenomenele și să

contribuie la elaborarea unor modele de calcul cicirct mai generale și cacirct mai simple Aceste

ipoteze se referă la structura materialelor şi la comportarea lor sub acţiunea forţelor

exterioare Ipotezele acceptate trebuie să fie icircn deplină concordanţă cu realitatea și să

conducă la rezultate verificate icircn practică

Funcție de aspectele la care se referă ipotezele pot fi

Ipoteze fizice (de material)

Ipoteze de calcul

341 Ipoteze fizice

Se acceptă deoarece teoriile structurale au condus la rezultate care contravin

icircncercărilor experimentale

Ipoteza mediului continuu consideră că orice domeniu elementar al corpului

este ocupat de materie adică nu se acceptă existența unor goluri sau a unor crăpături

microscopice (fisuri) Deși nu corespunde realităţii poate fi acceptată deoarece

dimensiunile corpului sunt mult mai mari decacirct dimensiunile particulelor elemantare Are

avantajul că permite utilizarea proprietăților matematice ale funcțiilor continue pentru

tensiunile și deformațiile din orice punct al corpului Ea este mai apropiată de realitate la

corpurile amorfe şi mai depărtată la cele cristaline dar conduce la rezultate satisfăcătoare

icircn calculele de rezistenţă

Ipoteza nu se poate aplica la corpurile care au goluri tăieturi (multiplu conexe)

pentru unele puncte singulare icircn care tensiunile și deformațiile tind la infinit sau icircn unele

probleme de plasticitate icircn care proprietățile de material au un rol esențial

Ipoteza izotropiei conform acestei ipoteze materialul din care este confecționat

un element de rezistență are aceleași proprietăți după orice direcție un astfel de material

este considerat izotrop Din punct de vedere macroscopic metalele pot fi considerate

izotrope deși la nivel microscopic proprietățile lor diferă de la o direcție cristalografică

la alta Orice conglomerat de cristale poate fi considerat izotrop

Există cazuri cacircnd această ipoteză a izotropiei nu se acceptă

la metalele puternic deformate după o direcție (prin laminare trefilare)

la piesele confecționate din lemn lemnul este anizotrop deoarece proprietățile sale

diferă după două direcții (icircn lungul fibrelor și perpendicular pe această direcție)

Ipoteza omogenității consideră că un corp are aceleași proprietăți icircn orice

punct al său Deși majoritatea materialelor utilizate icircn tehnică sunt eterogene la scară

micro fiind constituite din mai multe faze cu proprietăți diferite la scară macro ele pot

fi considerate omogene Omogenitatea și izotropia sunt proprietăți statistice medii care

nu se condiționează una pe cealaltă Chiar și materialele monofazice pot avea la scară

micro unele segregații care le fac eterogene

Ipoteza elasticităţii perfecte presupune că atacircta timp cacirct solicitările nu

depăşesc anumite limite materialul are o comportare elastică adică icircşi recapătă forma şi

dimensiunile iniţiale odată cu icircnlăturarea sarcinilor Icircn realitate materialele nu prezintă o

elasticitate perfectă ele avacircnd deformaţii remanente mici care icircnsă pot fi neglijate icircn

calculele de rezistenţă

Acceptarea acestei ipoteze a elasticității perfecte permite

- aplicarea relației biunivoce icircntre tensiuni și deformații relație exprimată de legea

lui Hooke ( = 119864 ∙ 휀) unde E este un factor de proporţionalitate numit modul de

elasticitate longitudinal al materialului pentru oţel 119864 = 21 ∙ 105 [119872119875119886] - acceptarea valabilității afirmației bdquolucrul mecanic efectuat de forțele exterioare

ca urmare a parcurgerii deplasărilor punctelor de aplicație se icircnmagazinează integral icircn

corp sub formă de energie de deformație energie cedată la icircndepărtarea sarcinilorrdquo

- este valabilă teoria conform căreia bdquoenergia icircnmagazinată și deformațiile depind

doar de starea inițială și finală de eforturi fără a ține cont de modul icircn care s-a ajuns la

starea finalărdquo

Icircn realitate oricacirct de mici ar fi sarcinile aplicate se produc și deformații plastice

dar acestea pot fi neglijate dacă solicitarea nu depășește anumite limite

342 Ipoteze de calcul

Ipoteza micilor deplasări bdquodeplasările datorate deformării sunt mult mai mici

decacirct dimensiunile corpurilor și ca urmare pot fi neglijate produsele dintre o deplasare și

ea icircnsăşirdquo Pentru cele mai multe corpuri deformaţiile elastice sunt de mărimi mici deci

corpurile solide sub acţiunea sarcinilor icircşi modifică foarte puţin forma iniţială Această

ipoteză este cunoscută şi sub denumirea de ipoteza menţinerii dimensiunilor iniţiale Ea

permite scrierea ecuaţiilor de echilibru ale staticii pe starea nedeformată a elementului

cacircnd nu se iau icircn considerare deplasările punctelor de aplicaţie ale forţelor care se produc

ca urmare a deformării acestuia Calculul efectuat pe schema nedeformată poartă numele

de calcul de ordinul I

Ipoteza micilor deplasări nu poate fi acceptată pentru studiul problemelor de

stabilitate sau la problemele la care nu pot fi icircndeplinite condiţiile de echilibru icircn starea

nedeformată

Calculul de ordinul II admite ipoteza micilor deplasări dar ecuaţiile de echilibru

se scriu icircnsă pentru starea deformată a elementului de rezistenţă

Calculul de ordinul III nu mai acceptă ipoteza micilor deplasări el referindu-se

la cazul deformaţiilor mari cacircnd ecuaţiile de echilibru trebuie scrise pentru starea

deformată

Chiar dacă materialul satisface legea lui Hooke icircn urma calculelor de ordinul II

se obţin de obicei relaţii neliniare icircntre sarcini şi deplasări iar pentru calculul de ordinul

III rezultă ecuaţii diferenţiale neliniare

Principiul efectului local al acțiunii sarcinilor enunțat de Barre de Saint-

Venant Acest principiu destul de folosit icircn Rezistenţa Materialelor precizează că dacă

se icircnlocuiesc forţele care acţionează asupra unui element de suprafață al unui corp

elastic printr-un alt sistem de forţe echivalent din punct de vedere static cu primul noua

distribuţie a forţelor produce la locul de aplicare diferenţe semnificative faţă de prima

dar rămacircne fără efect sau cu efect neglijabil la distanţe mari de locul de aplicare al

forţelor figura 312

Ca o cosecință o sarcină uniform distribuită figura 312a poate fi icircnlocuită cu

rezultanta ei figura 312b dacă se analizează efectul sarcinii la distanță mare de locul icircn

care se aplică sarcina

Fig 312 Principiul Saint-Venant

Icircn prima variantă figura 312a forţa 119865 se aplică pe o porțiune oarecare 119897 (sarcină

uniform distribuită) iar icircn a doua figura 312b icircntru-un punct (forţă concentrată) La

locul de aplicare a sarcinii efectul asupra barei este cu totul diferit de la o variantă la

cealaltă Icircnsă la o distanţă mare de punctul de aplicaţie spre exemplu icircn secţiunea situată

la distanţa 119886 de capătul barei sau chiar icircn icircncastrare ambele bare sunt solicitate la fel

Icircn cazul din figura 312a

119872119894(119909) =119901 ∙ 1199092

2 119909 le 119897 119872119894(119909) = 119901 ∙ 119897 ∙ (119909 minus

119897

2) 119909 gt 119897 (324)

Icircn cazul din figura 312b

119872119894(119909) = 0 119909 lt119897

2 119872119894(119909) = 119901 ∙ 119897 ∙ (119909 minus

119897

2) 119909 gt

119897

2 (325)

Se vede că pentru (119909 gt 119897) adică după depășirea locului icircn care se aplică sarcina

efectul este același

Ipoteza lui Bernoulli sau ipoteza secţiunilor plane precizează că o secţiune

plană şi normală pe axa barei icircnainte de deformare rămacircne plană şi normală pe axa

barei şi după deformare figura 313

Fig 313 Ipoteza lui Bernoulli

Ipoteza stării naturale a corpului sau ipoteza absenţei tensiunilor conform

căreia pentru un corp nesolicitat starea de tensiune şi deformaţie este nulă

Perfecţionarea mijloacelor de calcul şi de investigare pot conduce la renunţarea la

unele ipoteze sau la introducerea altora noi mai aproape de stările reale De aici rezultă

caracterul de continuă perfecţionare a metodelor Rezistenţei Materialelor

35 Coeficienţi de siguranţă Tensiuni admisibile

O piesă corespunde din punct de vedere tehnic dacă tensiunile care iau naştere icircn

interiorul piesei datorită sarcinilor aplicate nu depăşesc anumite valori limită stabilite

convenţional Aceste valori limită ale tensiunii sunt corelate cu caracteristicile mecanice

ale materialelor

Tensiunea limită utilizată icircn calculele de rezistenţă este cunoscută sub denumirea

de tensiune admisibilă sau rezistenţă admisibilă Rezistenţa admisibilă reprezintă

valoarea convenţională aleasă icircn calcul pe baza practicii pentru tensiunea maximă care

poate apare icircntr-o piesă icircn condiţii date de material şi solicitare

Rezistenţa admisibilă (120590119886 sau 120591119886) poate fi definită faţă de o stare limită

periculoasă stare care trebuie evitată deoarece poate conduce distrugere

120590119886 =120590119897119894119898119888

(326)

unde

120590119897119894119898 este tensiunea corespunzătoare stării limită periculoase

119888 estesupraunitar 119888 gt 1 și reprezintă coeficientul de siguranţă faţă de starea limită

periculoasă considerată

Alegerea unor valori inferioare pentru rezistenţa admisibilă faţă de tensiunea

corespunzătoare stării limită periculoase este necesară deoarece

cunoaşterea sarcinilor este de cele mai multe ori aproximativă şi o depăşire a

acestora este foarte posibilă

caracteristicile mecanice ale materialelor variază icircn limite destul de mari ele

fiind influenţate de mulţi factori

schema aleasă pentru calcul (aplicarea sarcinilor schematizarea structurii

ipotezele de calcul etc) depărtează modelul faţă de cel real

Pentru calculele de verificare tensiunea efectivă maximă din elementul de

rezistenţă trebuie să fie mai mică sau cel mult egală cu cea admisibilă

120590119890119891119898119886119909 le 120590119886 (327)

Valoarea rezistenţei admisibile este influenţată de foarte mulţi factori natura

materialului tratamentele termice aplicate piesei durata de funcţionare a piesei modul

de acţionare icircn timp a sarcinilor felul solicitării temperatura gradul de periculozitate

icircn cazul cedării piesei etc

De asemenea valoarea coeficientului de siguranţă se alege icircn principal ţinacircnd

seama de aceiaşi factori care influenţează şi rezistenţa admisibilă

Rezistenţele admisibile pentru cacircteva materiale sunt următoarele

pentru oțelul de uz general OL37 solicitat la icircntindere compresiune sau

icircncovoiere 120590119886 = 150 [119872119875119886] pentru lemnul de brad solicitat la

- compresiune icircn lungul fibrelor şi solicitat la icircncovoiere 120590119886 = 10 [119872119875119886] - tracţiune icircn lungul fibrelor 120590119886 = 7 [119872119875119886] - compresiune perpendiculară pe fibre 120590119886 = 15 [119872119875119886] - forfecare icircn lungul fibrelor 120591119886 = 2 [119872119875119886] - forfecare perpendiculară pe fibre 120590119886 = 45 [119872119875119886]

terenuri de fundaţie din pămacircnt uscat sau umed 120590119886 = 020 divide 025 [119872119875119886]

4 CARACTERISTICI GEOMETRICE ALE SECȚIUNILOR PLANE

41 Noţiuni introductive

Icircn relaţiile de calcul ale tensiunilor şi deformaţiilor elementelor de rezistenţă

pentru unele solicitări (icircncovoierea și torsiunea) secțiunile plane intervin atacirct prin

dimensiunile lor (aria 119860) cicirct și prin forma și poziția pe care o are secțiunea icircn raport cu

planul solicitării Mărimile care caracterizează o secțiune icircn raport cu forma și poziția față

de axele unui sistem de referință sunt denumite caracteristici geometrice de ordin

superior Aria secțiunii este caracteristica geometrică ce depinde doar de dimensiunile

geometrice ale acesteia

Să considerăm o grindă solicitată de o forță exterioară 119865 aşezată icircn două poziții icircn

raport cu planul forţei figura 41 Icircn urma aplicării forței deși avem aceeași grindă

(aceeași arie a secțiunii transversale) și aceeași forță se constată că pentru varianta din

figura 41a deformațiile sunt mult mai mari adică rezistența la icircncovoiere a grinzii din

figura 41a este mai mare decacirct icircn cazul grinzii din figura 41b Comportarea diferită se

explică prin aceea că modificarea poziţiei secţiunii transversale faţă de planul forţelor

modifică caracteristicile geometrice ale secţiunii transversale a grinzii

Fig 41 Grindă solicitată de forța 119865

Pentru realizarea calculelor de rezistenţă şi rigiditate este foarte importantă

cunoaşterea caracteristicilor geometrice ale suprafeţei secţiunii transversale a elementelor

de rezistenţă

Caracteristicile geometrice ale secţiunii transversale a unui element de rezistenţă

sunt

- aria secțiunii notată cu 119860

- momentul static icircn raport cu o axă notat 119878119911 și respectiv 119878119910

- momentul de inerție care poate fi

axial notat 119868119911 și respectiv 119868119910

centrifugal notat 119868119911119910

polar notat 119868119901

- raza de inerţie (giraţie)notată 119894119911 și respectiv 119894119910

- modulul de rezistență care poate fi

axial notat 119882119911 și respectiv 119882119910

polar notat 119882119901

42 Aria și momentul static al suprafețelor plane

Fie o suprafaţă plană de arie 119860 pe care se ia un element infinit mic de arie 119889119860 şi

un sistem de axe rectangulare 119911119874119910 figura 42 Notăm cu 119862 centrul de greutate al suprafeţei

119860 Poziţia suprafeţei elementare 119889119860 faţă de acelaşi sistem de coordonate 119911119874119910 este dată

de abscisa 119911 ordonata 119910 și raza polară

Fig 42 Suprafață plană de arie 119860

Aria suprafeţei 119860 figura 42 se defineşte ca fiind

119860 ≝ int 119889119860

119860

(41)

Aria suprafeţei este icircntotdeauna pozitivă și se măsoară icircn [1198981198982] Momentul static al suprafeţei de arie 119860 icircn raport cu axele 119874119911 și respectiv 119874119910

figura 42 sunt date de relaţiile

119878119911 ≝ int 119910 ∙ 119889119860

119860

119878119910 ≝ int 119911 ∙ 119889119860

119860

(42)

Momentul static poate fi pozitiv negativ sau nul şi se măsoară icircn [1198981198983] Coordonatele centrului de greutate ale suprafeței 119860 se detrmină cu relațiile

119910119862 ≝int 119910 ∙ 119889119860119860

119860 119911119862 ≝

int 119911 ∙ 119889119860119860

119860

(43)

Cunoscacircnd coordonatele 119910119862 și 119911119862 ale centrului de greutate 119862 al secțiunii 119860 atunci

momentele statice se pot determina cu relațiile

119878119911 ≝ int 119910 ∙ 119889119860

119860

= 119910119862 ∙ 119889119860 119878119910 ≝ int 119911 ∙ 119889119860

119860

= 119911119862 ∙ 119889119860 (44)

Aceste relații arată că momentul static al unei suprafețe icircn raport cu o axă este

egal cu produsul dintre aria suprafeței și distanța de la centrul ariei la axa respectivă

Dacă suprafaţa se poate descompune icircn 119899 suprafeţe simple la care se cunosc ariile

(1198601 1198602 ⋯ 119860119894⋯ 119860119899) și poziţiile centrelor de greutate 119862119894 faţă de sistemul de referinţă

expresiile momentelor statice capătă următoarea formă

119878119911 = sum 119910119862119894 ∙ 119860119894119899119894=1 = 119910119862 ∙ 119860 119878119910 = sum 119911119862119894 ∙ 119860119894

119899119894=1 = 119911119862 ∙ 119860 (45)

Din relaţiile (45) rezultă că poziţia centrului de greutate 119862 al unei suprafeţe

compuse poate fi determinată cu relaţiile

119910119862 = (sum119910119862119894 ∙ 119860119894

119899

119894=1

) 119860frasl 119911119862 = (sum119911119862119894 ∙ 119860119894

119899

119894=1

) 119860frasl (46)

Icircn relația (45) 119910119862119894 și respectiv 119911119862119894 reprezintă coordonatele centrelor de greutate 119862119894

ale fiecărei suprafețe simple 119860119894 icircn raport sistemul de axe 119911119874119910

Se constată (relaţia 42) că dacă axele sistemului de referinţă trec prin centrul de

greutate (119910119862 = 119911119862 = 0) momentele statice sunt nule Axele icircn raport cu care momentele

statice sunt nule şi care trec prin centrul de greutate al suprafeţei se numesc axe centrale

Observație dacă secțiunea compusă are o axă de simetrie centrul secțiunii se

găsește pe acea axă iar dacă secțiunea este dublu simetrică poziția centrului secțiunii este

la intersecția axelor de simetrie

43 Momente de inerţie

Momentele de inerţie axiale ale unei suprafețe se calculează icircn raport cu axele de

coordonate 119874119911 și respectiv 119874119910 figura 42 și se determină cu relațiile

119868119911 ≝ int 1199102 ∙ 119889119860

119860

119868119910 ≝ int 1199112 ∙ 119889119860

119860

(47)

Unde 119910 și 119911 sunt distanțele de la elementul de arie 119889119860 la cele două axe de

coordonate 119874119911 și respectiv 119874119910

Momentele de inerţie axiale se măsoară icircn [1198981198984] şi sunt icircntotdeauna pozitive (aria

119889119860 este icircntotdeauna pozitivă și este multiplicată cu patratul distanței 1199102 dacă 119868119911 sau 119868119910

sunt nule icircnseamnă ca secțiunea nu există)

Momentele de inerție axiale se calculează icircndeosebi pentru axele centrale (care

trec prin centrul secțiunii) deoarece icircn raport cu acele axe 119868119911 și 119868119910 au valori minime

Momentul de inerţie centrifugal calculat faţă ambele axe ale sistemului de

referinţă 119911119874119910 este definit de relația

119868119911119910 ≝ int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860

(48)

Momentul de inerţie centrifugal se măsoară icircn [1198981198984] şi poate fi pozitiv negativ

sau nul

Momentul de ineție centrifugal este nul 119868119911119910 = 0 dacă cel puțin una din axele 119874119911

sau 119874119910 este axă de simetrie pentru secțiune

Se consideră o suprafaţă dreptunghiulară pe care faţă de axa de simetrie 119874119910 se iau

două suprafeţe elementare de arie 119889119860 simetrice faţă de axa 119874119910 figura 43

Fig 43 Suprafață dreptunghiulară cu două arii elementare 119889119860

Făcacircnd suma momentelor de inerţie centrifugale pentru cele două suprafeţe

elementare 119889119860 (din stacircnga şi din dreapta faţă de axa 119874119910) se obţine

int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860119889119903

+ int (minus119911) ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860119904119905119892

= int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860119889119903

minus int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860119904119905119892

= 0 (49)

Acelaşi raţionament se poate face și pentru icircntreaga suprafaţă de unde obținem că

momentul de inerție centrifugal este nul 119868119911119910 = 0 Deci pentru o suprafaţă plană care

are cel puţin o axă de simetrie momentul de inerţie centrifugal faţă de sistemul care

conţine acea axă de simetrie este nul

Momentul de inerţie polar al unei suprafeţei icircn raport cu un punct (pol) 119874 figura

42 este definit prin relaţia

1198680 = 119868119901 ≝ int 1205882 ∙ 119889119860

119860

= int(1199102 + 1199112) ∙ 119889119860

119860

= 119868119911 + 119868119910 (410)

unde este distanţa de la polul 119874 la elementul de arie 119889119860 Momentul de inerţie polar se

măsoară icircn [1198981198984] şi este totdeauna pozitiv

Momentul de inerţie polar este egal cu suma momentelor de inerţie faţă de două axe

perpendiculare oarecare şi care trec prin polul considerat

Razele de giraţie sau razele de inerţie sunt mărimi calculate icircn raport cu axele

secțiunii și definite de relaţiile

119894119911 ≝ radic119868119911119860 119894119910 = radic

119868119910

119860 (411)

Se exprimă icircn [119898119898] şi sunt icircntotdeauna pozitive Semnificația unei raze de inerție

este distanța la care dacă ar fi concentrată icircntreaga arie s-ar obține același moment de

inerție ca și cel calculat pentru aria reală

44 Modulul de rezistenţă

Modulul de rezistență se calculează icircn raport cu axele de referință sau icircn raport cu

un pol figura 42 și pot fi axiale (119882119911119882119910) sau polar (119882119901) și se determină numai pe baza

momentelor de inerţie cu relațiile figura 43

119882119911119898119894119899 ≝119868119911119910119898119886119909

119882119911119898119886119909 ≝119868119911119910119898119894119899

(412)

119882119910119898119894119899 ≝119868119910

119911119898119886119909 119882119910119898119886119909 ≝

119868119910

119911119898119894119899 (413)

119882119901 ≝119868119901

120588119898119886119909 (414)

unde

119910119898119886119909 119910119898119894119899 reprezintă distanţa de la axa 119874119911 la punctele extreme cele mai

depărtate respectiv cele mai apropiate ale suprafeţei de această axă

119911119898119886119909 119911119898119894119899 reprezintă distanţa de la axa 119874119910 la punctele extreme cele mai

depărtate respectiv cele mai apropiate ale suprafeţei de această axă

120588119898119886119909 reprezintă distanța maximă de la polul 119874 la punctul secțiunii cel mai

icircndepărtat de acesta

Fig 43 Suprafață dreptunghiulară cu două arii elementare 119889119860

Modulele de rezistenţă se exprimă icircn [1198981198983] şi sunt icircntotdeauna pozitive

Explicația este aceea că momentele de inerție care intră icircn relațiile de definiție sunt

pozitive iar distanțele la punctele extreme sunt pozitive (119910119898119886119909 119910119898119894119899 119911119898119886119909 119911119898119894119899 120588119898119886119909 se

iau icircn valoare absolută)

Icircn cazul suprafeţelor compuse modulul de rezistenţă nu se obţine prin icircnsumarea

algebrică a modulelor de rezistenţă ale suprafeţelor simple componente ci numai prin

intermediul momentului de inerţie axial calculat pentru icircntreaga secțiune

Ca și momentele de inerție modulele de rezistență se calculează numai pentru

sistemele de axe centrale

45 Momente de inerţie şi module de rezistenţă pentru suprafeţe simple

451 Secțiune dreptunghiulară

Fie suprafaţa dreptunghiulară din figura 44 de icircnălțime ℎ și lățime 119887 pe care se

consideră suprafaţă elementară de arie 119889119860 = 119887119889119910 la distanța 119910 de axa 119862119911 sistemul de

axe 119911119862119910 trece prin centrul secțiunii iar axele sunt axe de simetrie pentru dreptunghi

Fig 44 Suprafață dreptunghiulară

Pe baza relațiilor de definiți a momentului de inerție 119868119911 se obține

119868119911 ≝ int 1199102 ∙ 119889119860

119860

= int 1199102 ∙ 119887 ∙ 119889119910 = 2int 1199102 ∙ 119887 ∙ 119889119910 = 2 ∙ 119887 ∙1199103

3|ℎ 2frasl

0rArr

ℎ 2frasl

0

ℎ 2frasl

minusℎ 2frasl

rArr 119868119911 =119887 ∙ ℎ3

12

(415)

Analog pentru un element de arie 119889119860 = ℎ ∙ 119889119911 paralel cu axa 119862119910 situat la distanța

119911 de axa 119862119910

119868119910 ≝ int 1199112 ∙ 119889119860

119860

= int 1199112 ∙ ℎ ∙ 119889119911 = 2int 1199112 ∙ ℎ ∙ 119889119910 = 2 ∙ ℎ ∙1199113

3|119887 2frasl

0rArr

119887 2frasl

0

119887 2frasl

minus119887 2frasl

rArr 119868119910 =1198873 ∙ ℎ

12

(416)

Deoarece axele 119862119911 și 119862119910 sunt axe de simetrie momentul de inerție centrifugal este

119868119911119910 = 0 (417)

Pentru un pătrat avacircnd laturile egale (ℎ = 119887 = 119886) momentele de inerţie faţă de

axele centrale au expresia

119868119911 = 119868119910 =1198864

12 (418)

Modulele de rezistență axiale se calculează cu relațiile de definiție ținacircnd cont că

distanțele pacircnă la fibrele extreme sunt

119910119898119886119909 = 119910119898119894119899 =ℎ

2 119911119898119886119909 = 119911119898119894119899 =

119887

2 (419)

Obținem

119882119911119898119894119899 = 119882119911119898119886119909 =119868119911

119910119898119886119909119898119894119899=119887 ∙ ℎ3

12frasl

ℎ2frasl

=119887 ∙ ℎ2

6

119882119910119898119894119899 = 119882119910119898119886119909 =119868119910

119911119898119886119909119898119894119899=1198873 ∙ ℎ

12frasl

1198872frasl

=1198872 ∙ ℎ

6

(420)

452 Suprafaţă circulară

Din motive de simetrie pentru suprafeţele circulare momentele de inerţie faţă de

orice diametru (care reprezintă şi axe centrale) sunt aceleaşi

Considerăm o secțiune circulară plină cu diametrul 119889 și centrul de greutate 119862 Prin

centrul de greutate 119862 trece sistemul de axe ortogonal 119911119862119910 figura 45

Fig 45 Suprafață circulară

La distanța de centrul de greutate 119862 vom lua un element de suprafață mic de arie

(119889119860) de forma unui inel de grosime 119889 Elementul de arie 119889119860 are expresia

119889119860 = (2 ∙ 120587 ∙ 120588) ∙ (119889120588)

Pornind de la relația de definiție a momentului de inerție polar obținem

119868119901 ≝ int 1205882 ∙ 119889119860

119860

= int 1205882 ∙ (2 ∙ 120587 ∙ 120588) ∙ 119889120588

119903=119889 2frasl

0

= 2 ∙ 120587 ∙1205884

4|119889 2frasl0 rArr

rArr 119868119901 =120587 ∙ 1198894

32

(421)

Secțiunea este perfect simetrică deci sunt valabile relațiile

119868119911 = 119868119910 rArr 119868119901 = 119868119911 + 119868119910 = 2 ∙ 119868119911 = 2 ∙ 119868119910 =119868119901

2=120587 ∙ 1198894

64 (422)

Și modulele de rezistenţă faţă de orice diametru sunt egale şi se calculează cu

relaţiile

119882119911 = 119882119910 =1198681199111198892frasl=120587 ∙ 1198893

32 (423)

Modulul de rezistenţă polar este

119882119901 =1198681199011198892frasl=120587 ∙ 1198893

16 (424)

453 Secţiune inelară

Calculul momentelor de inerţie axiale pentru o secţiune inelară avacircnd diametrul

interior 119889 şi diametrul exterior 119863 se determină analog pentru suprafaţa circulară plină cu

observaţia că integrala pentru calculul momentului de inerție polar 119868119901 se face icircntre

limitele 119903 = 119889 2frasl şi R= 1198632frasl (icircntre raza interioară 119903 şi raza exterioară 119877) figura 46

Se obţin relaţiile

119868119901 =120587 ∙ 1198634

32∙ [1 minus (

119889

119863)4

] =120587 ∙ 1198634

32∙ (1 minus 1198964) (425)

119868119910 = 119868119910 =120587 ∙ 1198634

64∙ [1 minus (

119889

119863)4

] =120587 ∙ 1198633

64∙ (1 minus 1198964) (426)

Fig 46 Secțiune inelară

119882119901 =120587 ∙ 1198633

16∙ [1 minus (

119889

119863)4

] =120587 ∙ 1198633

16∙ (1 minus 1198964) (427)

119882119911 = 119882119910 =120587 ∙ 1198633

32∙ [1 minus (

119889

119863)4

] =120587 ∙ 1198633

32∙ (1 minus 1198964) (428)

unde 119896 = 119889119863frasl

46 Variaţia momentelor de inerţie faţă de axe paralele

( Relațiile lui STEINER)

Se consideră o suprafaţă oarecare de arie 119860 cu elementul de arie 119889119860 și un sistemul

de axe central 119911119862119910 faţă de care se cunosc momentele de inerţie 119868119911 119868119910 119868119911119910 şi considerăm

un sistem de axe 11991111198741199101 paralele cu sistemul central figura 47 Se pune problema

determinării momentele de inerţie 1198681199111 1198681199101 11986811991111199101 faţă de sistemul de axe paralel cu sistemul

central 11991111198741199101 axe aflate la distanţele 119910119862 = 119888 respectiv 119911119862 = 119889 de acesta

461 Momente de inerţie axiale

Pe baza relaţiilor de definire şi a notaţiilor din figura 42 pentru momentele de

inerţie faţă de axele 1198741199111 1198741199101 se poate scrie

1198681199111 = int 11991012 ∙ 119889119860

119860

= int(119910 + 119888)2 ∙ 119889119860

119860

= int 1199102 ∙ 119889119860

119860

+ 2 ∙ 119888 ∙ int 119910 ∙ 119889119860

119860

+

+1198882int 119889119860

119860

rArr 1198681199111 = 119868119911 + 2 ∙ 119888 ∙ 119878119911 + 1198882 ∙ 119860 hArr 1198681199111 = 119868119911 + 119888

2 ∙ 119860

(429)

Fig 47 Variaţia momentelor de inerţie față de axe paralele

S-a ajuns la relația (429) deoarece momentul static 119878119911 este nul deoarece axa 119862119885

este axă centrală

Pentru momentul de inerție axial icircn raport cu axa 1198741199101 se obține

1198681199101 = int 11991112 ∙ 119889119860

119860

= int(119911 + 119889)2 ∙ 119889119860

119860

= int 1199112 ∙ 119889119860

119860

+ 2 ∙ 119889 ∙ int 119911 ∙ 119889119860

119860

+

+1198892 ∙ int 119889119860

119860

rArr 1198681199101 = 119868119910 + 2 ∙ 119889 ∙ 119878119910 + 1198892 ∙ 119860 hArr 1198681199101 = 119868119910 + 119889

2 ∙ 119860

(430)

Pentru momentul de inerție centrifugal obținem

11986811991111199101 = int 1199101 ∙ 1199111 ∙ 119889119860

119860

= int(119910 + 119888) ∙ (119911 + 119889) ∙ 119889119860

119860

= int 119910 ∙ 119911 ∙ 119889119860 +

119860

+119888 ∙ int 119911 ∙ 119889119860

119860

+ 119889 ∙ int 119910 ∙ 119889119860

119860

rArr 11986811991111199101 = 119868119911119910 + 119888 ∙ 119889 ∙ 119860

(431)

Deoarece

int 119911 ∙ 119889119860

119860

= 119878119910 = 0 int 119910 ∙ 119889119860

119860

= 119878119911 = 0 int 119910 ∙ 119911 ∙ 119889119860

119860

= 119868119911119910

Relaţiile (429) şi (430) arată că momentul de inerţie faţă de o axă oarecare

este egal cu momentul de inerţie faţă de o axă paralelă cu ea trecacircnd prin centrul de

greutate la care se adaugă produsul dintre aria suprafeţei şi pătratul distanţei dintre

cele două axe

Din relaţiile (429) și (430) rezultă de asemenea că momentul de inerţie faţă de o

axă centrală (care trece prin centrul de greutate) este cel mai mic dintre infinitatea de

momente de inerţie obținute faţă de alte axe paralele cu ea

Relaţia (431) arată de asemenea că momentul de inerţie centrifugal faţă de un

sistem de axe oarecare este egal cu momentul de inerţie centrifugal faţă de un sistem

paralele cu el trecacircnd prin centrul de greutate a suprafeţei la care se adaugă produsul

dintre aria suprafeţei şi distanţele dintre axele sistemelor respective

Icircn literatura de specialitate relaţiile (429) (430) şi (431) sunt cunoscute sub

numele de relaţiile lui Steiner

47 Variaţia momentrlor de inerţie faţă de axe rotite

Direcţii principale şi momente de inerţie principale

Fie suprafaţa plană din figura 48 de arie 119860 pe care considerăm o suprafaţă

elementară de arie 119889119860 Pentru sistemul de axe 119911119874119910 se cunosc momentele de inerţie

119868119911 119868119910 119868119911119910 şi vom determina relaţiile de calcul pentru momentele de inerţie afererent unui

sistem de axe 11991111198741199101 rotit cu un unghi faţă de sistemul central

Faţă de sistemul de axe 11991111198741199101 elementul de arie 119889119860 are coordonatele

1199101 = 119875119877 = 119875119876 minus 119877119876 = 119910 ∙ cos 120572 minus 119911 ∙ sin 120572

1199111 = 119873119872 = 119873119875 minus 119875119872 = 119911 ∙ cos 120572 + 119910 ∙ sin 120572 (432)

Fig 47 Variaţia momentelor de inerţie față de axe rotite

Pe baza relaţiilor de calcul ale momentelor de inerţie şi a notaţiilor din figura 42

şi ale relaţiilor (432) momentele de inerţie faţă de sistemul de axe rotit 11991111198741199101 sunt

1198681199111 =119868119911 + 119868119910

2+119868119911 minus 119868119910

2∙ cos 2120572 minus 119868119911119910 ∙ sin 2120572 (433)

1198681199101 =119868119911 + 119868119910

2minus119868119911 minus 119868119910

2∙ cos 2120572 + 119868119911119910 ∙ sin 2120572 (434)

11986811991111199101 =119868119911 minus 119868119910

2∙ sin 2120572 + 119868119911119910 ∙ cos 2120572 (435)

Din relaţiile 433divide435 se observă că icircntre momentele de inerţie axiale şi cele

polare există relaţia

1198681199111 + 1198681199101 = 119868119911 + 119868119910 = 119868119901 (436)

adică suma momentelor de inerţie axiale icircn raport cu orice pereche de axe ortogonale

care trec printr-un pol dat este o constantă şi egală cu momentul de inerţie polar

Prin rotirea sistemului de axe din relaţiile 433divide435 rezultă că momentele de inerţie

variază icircnsă suma lor rămacircne constantă deci există o poziţie a sistemului de axe pentru

care momentele de inerţie au valori extreme maxim respectiv minim

471 Direcţii principale de inerţie

Valoarea unghiului 120572 pentru care momentele de inerţie axiale au valori extreme

este

1205721 =1

2∙ 119886119903119888119905119886119899 (minus

2 ∙ 119868119911119910

119868119911 minus 119868119910) (437)

Poziţia celeilalte direcţii este perpendiculară pe cea dată de unghiul 1205721

Din relaţia (437) se constată că faţă de aceste direcţii rotite pentru care momentele

de inerţie axiale prezintă valori extreme momentul de inerţie centrifugal 11986811991111199101este nul

Atunci se poate afirma că momentele de inerţie axiale au valori extreme icircn raport cu

direcţiile faţă de care momentul de inerţie centrifugal este nul Aceste direcţii se numesc

direcţii principale iar momentele de inerţie faţă de aceste direcţii poartă numele de

momente de inerţie principale

Icircn calculele de rezistenţă interesează icircn mod special poziţia direcţiilor principale

care trec prin centrul de greutate al suprafeţei aşa numitele direcţii principale centrale şi

evident momentele de inerţie principale centrale

Direcţiile principale de inerţie se notează cu 1 respectiv 2 Axa principală 1

corespunde direcţiei faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea maximă iar

axa principală 2 pentru direcţia faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea

minimă

472 Momente de inerţie principale

Momentele de inerţie principale se notează cu litera 119868 la care se pune indicele 1

sau 2 după cum valoarea acestuia este maximă sau minimă deci avem un moment de

inerţie principal 1 (notat 1198681) respectiv moment de inerţie principal 2 (notat 1198682)

Expresiile pentru momentele de inerţie principale sunt

11986812 =119868119911 + 119868119910

2plusmn1

2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)

2+ 4 ∙ (119868119911119910)

2 (438)

Dacă momentul de inerţie centrifugal este negativ (119868119911119910 lt 0) direcţia principală

care trece prin primul cadran (definit de sistemul 119911119862119910) este direcţia principală 120783

Pentru suprafeţele cu cel puţin o axă de simetrie direcţiile centrale 119862119911 119862119910 sunt şi

direcții principale de inerţie și evident momentele de inerţie axiale 119868119911 119868119910 sunt momente

de inerţie principale

48 Caracteristici mecanice ale metalelor

Alegerea materialului pentru confecţionarea unei anumite piese se face şi pe baza

aşa numitelor caracteristici mecanice pe care le prezintă materialul Cunoaşterea acestor

caracteristici mecanice are loc numai pe baza unor icircncercări mecanice care să scoată icircn

evidenţă comportarea materialului icircn condiţii de solicitare

Cea mai utilizată icircncercare icircn urma căreia se pun icircn evidenţă caracteristicile

mecanice ale unui material este icircncercarea la tracţiune

481 Icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general

Icircncercarea la tracţiune a oţelului ca de altfel toate icircncercările de materiale este

standardizată

Icircn cele ce urmează se va prezenta numai partea care interesează strict din punct

de vedere al caracteristicilor mecanice ale oţelului

Epruveta de diametru iniţial 1198890 pentru icircncercarea la tracţiune are o porţiune de

lungime 1198710 numită baza de măsurare pe care se măsoară lungirea acesteia sub acţiunea

solicitării

Icircn funcţie de raportul dintre baza de măsurare 1198710 şi diametrul iniţial 1198890 epruvetele

utilizate pentru icircncercări sunt

epruvete normale (scurte) cacircnd 11987101198890 = 5

epruvete lungi cacircnd 11987101198890 = 10

Icircn timpul icircncercării la diferite valori ale forţei 119865 se măsoară lungirea bazei de

măsurare

∆119871 = 120575 = 119871 minus 1198710 (439)

unde

119871 este dimensiunea bazei de măsurare la un moment dat

Curba forţă-lungire (119865 minus ) icircnregistrată icircn urma icircncercării reprezintă curba

caracteristică la tracţiune

La icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general diagrama caracteristică care se

obţine are forma din figura 48

Curba caracteristică la tracţiune depinde de lungimea bazei de măsurare Pentru

icircnlăturarea acestui neajuns curba caracteristică se reprezintă icircn coordonate şi definite

astfel

120590 =119865

1198600 휀 =

120575

1198710 (440)

unde

1198600 este aria iniţială a secţiunii transversale a epruvetei (icircnainte de solicitare) icircn

zona bazei de măsurare

1198600 =120587 ∙ 1198890

2

4

Deoarece mărimile icircn care se reprezintă curba caracteristică la tracţiune sunt

raportate la aria iniţială a secţiunii transversale (mărimi specifice) curba poartă numele

de curbă caracteristică convenţională la tracţiune

Fig 48 Curba caracteristică convenţională la tracțiune

Pe curba caracteristică convenţională la tracţiune figura 48 se pot stabili o serie

de puncte cărora le corespund mai multe mărimi importante

Ordonata punctului A pacircnă unde curba caracteristică convenţională este linie

dreaptă se numeşte limita de proporţionalitate a materialului 120590119901(1205901) Porţiunea 119874119860 este

zona de proporţionalitate a curbei caracteristice pe acest domeniu este valabilă legea lui

Hooke care exprimă o proporţionalitate icircntre tensiune şi deformaţie specifică

120590 = 119864 ∙ 휀 (441)

unde

119864 = reprezintă panta porţiunii liniare a curbei convenționale caracteristice

la tracțiune Caracteristica de material 119864 se numeşte modul de elasticitate longitudinal

(modulul lui Young)

Ordonata punctului 119861 pacircnă unde materialul se comportă perfect elastic adică

după descărcare icircşi recapătă dimensiunea iniţială 1198710 se numeşte limita de elasticitate

120590119890(119877119890) Icircn realitate nici un material nu are comportare perfect elastică sub acţiunea

solicitărilor el capătă deformaţii permanente (remanente plastice)

După punctul 119861 urmează o porţiune 119861119862119863 icircn care cu toate că icircncărcarea

continuă forţa nu mai creşte avacircnd mici oscilaţii icircn jurul unei valori Se spune că icircn

această porţiune materialul curge iar intervalul 119861119862119863 este un palier de curgere Tensiunea

corespunzătoare palierului de curgere se numeşte limită de curgere aparentă 120590119888(119877119888) Limita de curgere aparentă se calculează cu relaţia

120590119888 =1198651198881198600 (442)

unde

119865119888 reprezintă valoarea forţei icircnregistrată icircn momentul curgerii materialului

După punctul 119863 curba caracteristică are un traseu ascendent pacircnă icircn punctul 119864

Porţiunea 119863119864 este numită zonă de icircntărire (ecruisare) Icircn zona de ecruisare unde se

produc deformaţii plastice semnificative legea lui Hooke nu mai este valabilă La

descărcare relaţia dintre tensiunea şi deformaţia specifică este liniară paralelă cu

porţiunea liniară a curbei caracteristice (dreapta 119872119873)

Deformaţia totală (휀119905) are două componente una elastică (휀119890) şi una plastică (휀119901)

Ordonata punctului 119864 reprezintă rezistenţa de rupere 120590119903(119877119898) a materialului

care se poate calcula cu relaţia

120590119903 = 119877119898 =1198651198981198861199091198600

(443)

unde

119865119898119886119909 reprezintă valoarea maximă a forţei icircnregistrată icircn timpul icircncercării

La atingerea valorii 119865119898119886119909 (punctul 119864) icircntr-un anumit loc al epruvetei secţiunea

icircncepe să se micşoreze (se produce gacirctuirea) continuacircnd pacircnă cacircnd se produce ruperea

totală (punctul 119865)

Dacă după ruperea epruvetei cele două părţi rezultate se aşează cap la cap şi se

măsoară dimensiunea bazei de măsurare 119871119906 (lungimea ultimă) se determină alungirea la

rupere sau lungirea specifică la rupere 휀119903

휀119903 =119871119906 minus 11987101198710

=∆119871

1198710=120575

1198710 (444)

De obicei alungirea se exprimă icircn procente şi se notează cu 119860119899 unde 119899 reprezintă

numărul dat de raportul 11987101198890 (epruvete normale 119899 = 5 epruvete lungi 119899 = 10)

119860119899 =119871119906 minus 11987101198710

∙ 100 [] (445)

Altă mărime care se determină la icircncercarea la tracţiune este gacirctuirea la rupere

(exprimată de obicei icircn procente) şi definită de relaţia

119885 =1198600 minus 1198601199061198600

∙ 100 [] (446)

Mărimile determinate limita de proporţionalitate modulul de elasticitate

longitudinal limita de elasticitate limita de curgere aparentă rezistenţa de rupere

alungirea la rupere şi gacirctuirea la rupere sunt cunoscute ca fiind caracteristici mecanice

ale materialului

Din curba caracteristică convenţională observăm faptul că ruperea (punctul 119865 din

figura 48 se produce la o tensiune mai mică decacirct cea corespunzătoare punctului 119864 Dacă

icircnsă forţa din timpul icircncercării s-ar raporta la aria secţiunii din momentul icircnregistrării

forţei (care este mai mică decacirct cea iniţială 1198600) s-ar obţine aşa numita curbă

caracteristică reală a materialului (traseul 1198741198601198611198621198631198651 din figura 48) La curba

caracteristică reală ruperea se produce icircn punctul 1198651 la o icircncărcare mai mare decacirct cea

corespunzătoare punctului 119864 Icircnseamnă că rezistenţa reală la rupere este mai mare decacirct

rezistenţa la rupere dată de punctul 119864 din diagrama caracteristică convenţională

Dificultatea obţinerii diagramei caracteristice reale faţă de cea a diagramei caracteristice

convenţionale şi considerarea unei rezistenţe la rupere mai mică decacirct a celei reale face

icircn practică utilizarea pe scară mare a diagramei caracteristice convenţionale

Caracteristicile mecanice determinate pe baza curbei caracteristice convenţionale

sunt şi ele caracteristici mecanice convenţionale

Caracteristicile mecanice convenţionale limita de proporţionalitate convenţională

120590119901 limita de elasticitate convenţională 120590119890 limita de curgere convenţională 120590119888 şi rezistenţa

de rupere 120590119903 constituie tensiuni limită pentru un material Pe baza acestor caracteristici

de material se alege valoarea tensiunii admisibile 120590119886 (vezi paragraful 35) pentru

calculele de rezistenţă Cea mai utilizată stare limită pentru stabilirea tensiunii admisibile

120590119886 este limita de curgere convenţională 120590119888

120590119886 =120590119897119894119898119888

=120590119888119888 119904119886119906 120590119886 =

120590119903119888 (447)

Caracteristicile mecanice ale materialului sunt influenţate de o serie de factori

temperatura viteza de solicitare factorii tehnologici iar valorile lor sunt date icircn tabele și

diagrame

Aplicaţie Pentru suprafaţa plană compusă din două dreptunghiuri avacircnd

dimensiunile din figura 49a să se calculeze

a) centrul de greutate al secțiunii compuse 119910119866 119911119866

b) momentele de inerție axiale 119868119911 119868119910 și momentul de inerție centrifugal 119868119911119910

c) razele de inerție 119894119911 119894119910

d) modulele de rezistență 119882119911119898119894119899 119882119911119898119886119909 119882119910119898119894119899 119882119910119898119886119909

e) momentele de inerție principale 1198681 1198682 și direcțiile principale de inerție 1205721

f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 119878119911

Fig 49 Aplicație

Rezolvare Pentru rezolvare vom parcurge următoarele etape

icircmpărțim suprafața compusă icircn două suprafețe simple (dreptunghiuri) notate cu

① și respectiv ② figura 49b

poziționăm centrele de greutate a celor două suprafețe simple ① și respectiv ②

notate cu 1198661 și respectiv 1198662 figura 49c

poziționăm sistemele de axe de coordonate 119911111986611199101 pentru dreptunghiul ① și

119911211986621199102 pentru dreptunghiul ② aflate la intersecția diagonalelor figura 49c

poziționăm sistemele de axe de coordonate 11991101198741199100 ales arbitrar față de care

determinăm poziția centrului de greutate 119866 figura 49c

a) calculăm poziția centrului de greutate folosind relațiile (46) icircn care

1198601 = 6119905 ∙ 119905 = 61199052 1198602 = 4119905 ∙ 119905 = 41199052 119860 = 1198601 + 1198602 = 61199052 + 41199052 = 101199052

iar centrele de greutate 1198661 și respectiv 1198662 au coordonatele (față de sistemul 11991101198741199100)

1198661 1199101 = 3119905 1199111 = 05119905

1198662 1199102 = 051199051199112 = 3119905

cu acestea obținem

119910119866 =1198601 ∙ 1199101 + 1198602 ∙ 1199102

119860=61199052 ∙ 3119905 + 41199052 ∙ 05119905

101199052=201199053

101199052= 2119905

119911119866 =1198601 ∙ 1199111 + 1198602 ∙ 1199112

119860=61199052 ∙ 05119905 + 41199052 ∙ 3119905

101199052=151199053

101199052= 15119905

Poziționăm centrul de greutate 119866 al suprafeței compuse figura 49c

Fig 49 Aplicație

b) pentru determinarea momentelor de inerție axiale 119868119911 119868119910 și a momentului de

inerție centrifugal 119868119910119911 determinăm constantele 1198881 1198882 1198891 1198892 care intervin icircn relația lui

Stainer

1198881 = 1199101 minus 119910119866 = 3119905 minus 2119905 = 119905 1198882 = minus(119910119866 minus 1199102) = minus(2119905 minus 05119905) = minus15119905

1198891 = minus(119911119866 minus 1199111) = minus(15119905 minus 05119905) = minus119905 1198892 = 1199112 minus 119911119892 = 3119905 minus 15119905 = 15119905

Folosind relațiile lui Stainer (429) (430) și (431) calculăm momentele de

inerție axiale și centrifugale față de sistemul central 119911119866119866119910119866

119868119911 =sum(119868119911119894 + 1198881198942 ∙ 119860119894) = 1198681199111 + 1198881

2 ∙ 1198601 + 1198681199112 + 11988822 ∙ 1198602

119868119910 =sum(119868119910119894 + 1198891198942 ∙ 119860119894) = 1198681199101 + 1198891

2 ∙ 1198601 + 1198681199102 + 11988922 ∙ 1198602

119868119911119910 =sum(119868119911119894119910119894 + 119888119894 ∙ 119889119894 ∙ 119860119894) = 11986811991111199101 + 1198881 ∙ 1198891 ∙ 1198601 + 11986811991121199102 + 1198882 ∙ 1198892 ∙ 1198602

1198681199111 = (119887 ∙ ℎ3

12) =

119905 ∙ (6119905)3

12= 181199054 1198681199112 = (

119887 ∙ ℎ3

12) =

4119905 ∙ 1199053

12= 031199054

1198681199101 = (1198873 ∙ ℎ

12) =

1199053 ∙ 6119905

12= 051199054 1198681199102 = (

1198873 ∙ ℎ

12) =

(4119905)3 ∙ 119905

12= 531199054

11986811991111199101 = 11986811991121199102 = 0 deoarece cele două triunghiuri au cel puțin o axă de simetrie

Cu acestea momentele de inerție axiale și momentul de inerție centrifugal devin

119868119911 = 181199054 + 1199052 ∙ 61199052 + 031199054 + (minus15119905)2 ∙ 41199052 = 3331199054

119868119910 = 051199054 + (minus119905)2 ∙ 61199052 + 531199054 + (15119905)2 ∙ 41199052 = 2081199054

119868119911119910 = 0 + 119905 ∙ (minus119905) ∙ 61199052 + 0 + (minus15119905) ∙ (15119905) ∙ 41199052 = minus151199054

c) razele de inerție sau de girație față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910

se calculează cu relațiile (411)

119894119911 = radic119868119911119860= radic

3331199054

101199052= 182119905 119894119910 = radic

119868119910

119860= radic

2081199054

101199052= 144119905

d) modulele de rezistență față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910 se

calculează cu relațiile (412) și (413)

Avacircnd icircn vedere figura 419c obținem

119910119898119886119909 = 6119905 minus 119910119866 = 6119905 minus 2119905 = 4119905 119910119898119894119899 = minus119910119866 = minus2119905

119911119898119886119909 = 5119905 minus 119911119866 = 5119905 minus 15119905 = 35119905 119911119898119894119899 = minus119911119866 = minus15119905

Se obține astfel

119882119911119898119894119899 =119868119911

|119910119898119886119909|=3331199054

4119905= 8331199053

119882119911119898119886119909 =119868119911

|119910119898119894119899|=3331199054

2119905= 16651199053

119882119910119898119894119899 =119868119910

|119911119898119886119909|=2081199054

35119905= 5941199053

119882119910119898119886119909 =119868119910

|119911119898119894119899|=2081199054

15119905= 13871199053

e) momentele de inerție principale 1198681 și respectiv 1198682 se calculează cu relațiile

(438)

11986812 =119868119911 + 119868119910

2plusmn1

2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)

2+ 4 ∙ (119868119911119910)

2=

=3331199054 + 2081199054

2plusmn1

2∙ radic(3331199054 minus 2081199054)2 + 4 ∙ (minus151199054)2 = 27051199054 plusmn 16251199054

De unde obținem

1198681 = 27051199054 + 16251199054 = 4331199054

1198682 = 27051199054 minus 16251199054 = 1081199054

Prima direcție principală de inerție 1 face cu axa centrală 119866119911 unghiul 1205721 dat de

relația (437)

1205721 =1

2∙ arctan (minus

2 ∙ 119868119911119910

119868119911 minus 119868119910) =

1

2∙ arctan [minus

2 ∙ (minus151199054)

3331199054 minus 2081199054] =33 70

Deoarece 1205721 gt 0 rotirea axelor se face acircn sens antiorar acelor de ceasornic figura

49d

Poziția axe principale 2 față de care momentul de inerție are valoarea minimă

1198682 = 119868119898119894119899 este dată de unghiul

1205722 = 1205721 + 900 = 33 70 + 900 = 123 70

f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 se determină cu relația

(45)

1198781199111198602 = 1198602 ∙ 1198882 = 41199052 ∙ (minus15119905) = minus61199053

(sum119885) = 0 rArr int 120591119909119911 ∙ 119889119860

119860

= 119879119911 (319)

(sum119872)119909= 0 rArr int(120591119909119911 ∙ 119889119860) ∙ 119910

119860

minus int(120591119909119910 ∙ 119889119860) ∙ 119911

119860

= 119872119909 rArr

rArr int(119910 ∙ 120591119909119911 minus 119911 ∙ 120591119909119910) ∙ 119889119860

119860

= 119872119909

(320)

(sum119872)119910= 0 rArr int(120590119909 ∙ 119889119860) ∙ 119911

119860

= 119872119894119910 (321)

(sum119872)119911= 0 rArr int(120590119909 ∙ 119889119860) ∙ 119910

119860

= 119872119894119911 (322)

Cele șase relații de echivalență icircntre eforturi și tensiuni constituie un pas icircnainte

icircn rezolvarea unei probleme de rezistența materialelor Aceste relații vor permite

determinarea tensiunilor maxime

Pentru a rezolva cele 6 relații de echivalență trebuie să se cunoască tensiunile și

ca funcții de punct adică funcții de forma

120590119909 = 120590119909(119909 119910 119911) 120591119909119910 = 120591119909119910(119909 119910 119911) 120591119909119911 = 120591119909119911(119909 119910 119911) (32

3)

Cunoașterea acestor funcții presupune icircnsă analizarea aspectului geometric al

problemei precum și utilizarea unor ipoteze simplificatoare care să permită simplificarea

problemelor

34 Ipoteze de bază icircn rezistenţa materialelor

Depășirea dificultăților legate de interpretarea unor fenomene specifice mecanicii

solidului deformabil a impus acceptarea unor ipoteze care să simplifice fenomenele și să

contribuie la elaborarea unor modele de calcul cicirct mai generale și cacirct mai simple Aceste

ipoteze se referă la structura materialelor şi la comportarea lor sub acţiunea forţelor

exterioare Ipotezele acceptate trebuie să fie icircn deplină concordanţă cu realitatea și să

conducă la rezultate verificate icircn practică

Funcție de aspectele la care se referă ipotezele pot fi

Ipoteze fizice (de material)

Ipoteze de calcul

341 Ipoteze fizice

Se acceptă deoarece teoriile structurale au condus la rezultate care contravin

icircncercărilor experimentale

Ipoteza mediului continuu consideră că orice domeniu elementar al corpului

este ocupat de materie adică nu se acceptă existența unor goluri sau a unor crăpături

microscopice (fisuri) Deși nu corespunde realităţii poate fi acceptată deoarece

dimensiunile corpului sunt mult mai mari decacirct dimensiunile particulelor elemantare Are

avantajul că permite utilizarea proprietăților matematice ale funcțiilor continue pentru

tensiunile și deformațiile din orice punct al corpului Ea este mai apropiată de realitate la

corpurile amorfe şi mai depărtată la cele cristaline dar conduce la rezultate satisfăcătoare

icircn calculele de rezistenţă

Ipoteza nu se poate aplica la corpurile care au goluri tăieturi (multiplu conexe)

pentru unele puncte singulare icircn care tensiunile și deformațiile tind la infinit sau icircn unele

probleme de plasticitate icircn care proprietățile de material au un rol esențial

Ipoteza izotropiei conform acestei ipoteze materialul din care este confecționat

un element de rezistență are aceleași proprietăți după orice direcție un astfel de material

este considerat izotrop Din punct de vedere macroscopic metalele pot fi considerate

izotrope deși la nivel microscopic proprietățile lor diferă de la o direcție cristalografică

la alta Orice conglomerat de cristale poate fi considerat izotrop

Există cazuri cacircnd această ipoteză a izotropiei nu se acceptă

la metalele puternic deformate după o direcție (prin laminare trefilare)

la piesele confecționate din lemn lemnul este anizotrop deoarece proprietățile sale

diferă după două direcții (icircn lungul fibrelor și perpendicular pe această direcție)

Ipoteza omogenității consideră că un corp are aceleași proprietăți icircn orice

punct al său Deși majoritatea materialelor utilizate icircn tehnică sunt eterogene la scară

micro fiind constituite din mai multe faze cu proprietăți diferite la scară macro ele pot

fi considerate omogene Omogenitatea și izotropia sunt proprietăți statistice medii care

nu se condiționează una pe cealaltă Chiar și materialele monofazice pot avea la scară

micro unele segregații care le fac eterogene

Ipoteza elasticităţii perfecte presupune că atacircta timp cacirct solicitările nu

depăşesc anumite limite materialul are o comportare elastică adică icircşi recapătă forma şi

dimensiunile iniţiale odată cu icircnlăturarea sarcinilor Icircn realitate materialele nu prezintă o

elasticitate perfectă ele avacircnd deformaţii remanente mici care icircnsă pot fi neglijate icircn

calculele de rezistenţă

Acceptarea acestei ipoteze a elasticității perfecte permite

- aplicarea relației biunivoce icircntre tensiuni și deformații relație exprimată de legea

lui Hooke ( = 119864 ∙ 휀) unde E este un factor de proporţionalitate numit modul de

elasticitate longitudinal al materialului pentru oţel 119864 = 21 ∙ 105 [119872119875119886] - acceptarea valabilității afirmației bdquolucrul mecanic efectuat de forțele exterioare

ca urmare a parcurgerii deplasărilor punctelor de aplicație se icircnmagazinează integral icircn

corp sub formă de energie de deformație energie cedată la icircndepărtarea sarcinilorrdquo

- este valabilă teoria conform căreia bdquoenergia icircnmagazinată și deformațiile depind

doar de starea inițială și finală de eforturi fără a ține cont de modul icircn care s-a ajuns la

starea finalărdquo

Icircn realitate oricacirct de mici ar fi sarcinile aplicate se produc și deformații plastice

dar acestea pot fi neglijate dacă solicitarea nu depășește anumite limite

342 Ipoteze de calcul

Ipoteza micilor deplasări bdquodeplasările datorate deformării sunt mult mai mici

decacirct dimensiunile corpurilor și ca urmare pot fi neglijate produsele dintre o deplasare și

ea icircnsăşirdquo Pentru cele mai multe corpuri deformaţiile elastice sunt de mărimi mici deci

corpurile solide sub acţiunea sarcinilor icircşi modifică foarte puţin forma iniţială Această

ipoteză este cunoscută şi sub denumirea de ipoteza menţinerii dimensiunilor iniţiale Ea

permite scrierea ecuaţiilor de echilibru ale staticii pe starea nedeformată a elementului

cacircnd nu se iau icircn considerare deplasările punctelor de aplicaţie ale forţelor care se produc

ca urmare a deformării acestuia Calculul efectuat pe schema nedeformată poartă numele

de calcul de ordinul I

Ipoteza micilor deplasări nu poate fi acceptată pentru studiul problemelor de

stabilitate sau la problemele la care nu pot fi icircndeplinite condiţiile de echilibru icircn starea

nedeformată

Calculul de ordinul II admite ipoteza micilor deplasări dar ecuaţiile de echilibru

se scriu icircnsă pentru starea deformată a elementului de rezistenţă

Calculul de ordinul III nu mai acceptă ipoteza micilor deplasări el referindu-se

la cazul deformaţiilor mari cacircnd ecuaţiile de echilibru trebuie scrise pentru starea

deformată

Chiar dacă materialul satisface legea lui Hooke icircn urma calculelor de ordinul II

se obţin de obicei relaţii neliniare icircntre sarcini şi deplasări iar pentru calculul de ordinul

III rezultă ecuaţii diferenţiale neliniare

Principiul efectului local al acțiunii sarcinilor enunțat de Barre de Saint-

Venant Acest principiu destul de folosit icircn Rezistenţa Materialelor precizează că dacă

se icircnlocuiesc forţele care acţionează asupra unui element de suprafață al unui corp

elastic printr-un alt sistem de forţe echivalent din punct de vedere static cu primul noua

distribuţie a forţelor produce la locul de aplicare diferenţe semnificative faţă de prima

dar rămacircne fără efect sau cu efect neglijabil la distanţe mari de locul de aplicare al

forţelor figura 312

Ca o cosecință o sarcină uniform distribuită figura 312a poate fi icircnlocuită cu

rezultanta ei figura 312b dacă se analizează efectul sarcinii la distanță mare de locul icircn

care se aplică sarcina

Fig 312 Principiul Saint-Venant

Icircn prima variantă figura 312a forţa 119865 se aplică pe o porțiune oarecare 119897 (sarcină

uniform distribuită) iar icircn a doua figura 312b icircntru-un punct (forţă concentrată) La

locul de aplicare a sarcinii efectul asupra barei este cu totul diferit de la o variantă la

cealaltă Icircnsă la o distanţă mare de punctul de aplicaţie spre exemplu icircn secţiunea situată

la distanţa 119886 de capătul barei sau chiar icircn icircncastrare ambele bare sunt solicitate la fel

Icircn cazul din figura 312a

119872119894(119909) =119901 ∙ 1199092

2 119909 le 119897 119872119894(119909) = 119901 ∙ 119897 ∙ (119909 minus

119897

2) 119909 gt 119897 (324)

Icircn cazul din figura 312b

119872119894(119909) = 0 119909 lt119897

2 119872119894(119909) = 119901 ∙ 119897 ∙ (119909 minus

119897

2) 119909 gt

119897

2 (325)

Se vede că pentru (119909 gt 119897) adică după depășirea locului icircn care se aplică sarcina

efectul este același

Ipoteza lui Bernoulli sau ipoteza secţiunilor plane precizează că o secţiune

plană şi normală pe axa barei icircnainte de deformare rămacircne plană şi normală pe axa

barei şi după deformare figura 313

Fig 313 Ipoteza lui Bernoulli

Ipoteza stării naturale a corpului sau ipoteza absenţei tensiunilor conform

căreia pentru un corp nesolicitat starea de tensiune şi deformaţie este nulă

Perfecţionarea mijloacelor de calcul şi de investigare pot conduce la renunţarea la

unele ipoteze sau la introducerea altora noi mai aproape de stările reale De aici rezultă

caracterul de continuă perfecţionare a metodelor Rezistenţei Materialelor

35 Coeficienţi de siguranţă Tensiuni admisibile

O piesă corespunde din punct de vedere tehnic dacă tensiunile care iau naştere icircn

interiorul piesei datorită sarcinilor aplicate nu depăşesc anumite valori limită stabilite

convenţional Aceste valori limită ale tensiunii sunt corelate cu caracteristicile mecanice

ale materialelor

Tensiunea limită utilizată icircn calculele de rezistenţă este cunoscută sub denumirea

de tensiune admisibilă sau rezistenţă admisibilă Rezistenţa admisibilă reprezintă

valoarea convenţională aleasă icircn calcul pe baza practicii pentru tensiunea maximă care

poate apare icircntr-o piesă icircn condiţii date de material şi solicitare

Rezistenţa admisibilă (120590119886 sau 120591119886) poate fi definită faţă de o stare limită

periculoasă stare care trebuie evitată deoarece poate conduce distrugere

120590119886 =120590119897119894119898119888

(326)

unde

120590119897119894119898 este tensiunea corespunzătoare stării limită periculoase

119888 estesupraunitar 119888 gt 1 și reprezintă coeficientul de siguranţă faţă de starea limită

periculoasă considerată

Alegerea unor valori inferioare pentru rezistenţa admisibilă faţă de tensiunea

corespunzătoare stării limită periculoase este necesară deoarece

cunoaşterea sarcinilor este de cele mai multe ori aproximativă şi o depăşire a

acestora este foarte posibilă

caracteristicile mecanice ale materialelor variază icircn limite destul de mari ele

fiind influenţate de mulţi factori

schema aleasă pentru calcul (aplicarea sarcinilor schematizarea structurii

ipotezele de calcul etc) depărtează modelul faţă de cel real

Pentru calculele de verificare tensiunea efectivă maximă din elementul de

rezistenţă trebuie să fie mai mică sau cel mult egală cu cea admisibilă

120590119890119891119898119886119909 le 120590119886 (327)

Valoarea rezistenţei admisibile este influenţată de foarte mulţi factori natura

materialului tratamentele termice aplicate piesei durata de funcţionare a piesei modul

de acţionare icircn timp a sarcinilor felul solicitării temperatura gradul de periculozitate

icircn cazul cedării piesei etc

De asemenea valoarea coeficientului de siguranţă se alege icircn principal ţinacircnd

seama de aceiaşi factori care influenţează şi rezistenţa admisibilă

Rezistenţele admisibile pentru cacircteva materiale sunt următoarele

pentru oțelul de uz general OL37 solicitat la icircntindere compresiune sau

icircncovoiere 120590119886 = 150 [119872119875119886] pentru lemnul de brad solicitat la

- compresiune icircn lungul fibrelor şi solicitat la icircncovoiere 120590119886 = 10 [119872119875119886] - tracţiune icircn lungul fibrelor 120590119886 = 7 [119872119875119886] - compresiune perpendiculară pe fibre 120590119886 = 15 [119872119875119886] - forfecare icircn lungul fibrelor 120591119886 = 2 [119872119875119886] - forfecare perpendiculară pe fibre 120590119886 = 45 [119872119875119886]

terenuri de fundaţie din pămacircnt uscat sau umed 120590119886 = 020 divide 025 [119872119875119886]

4 CARACTERISTICI GEOMETRICE ALE SECȚIUNILOR PLANE

41 Noţiuni introductive

Icircn relaţiile de calcul ale tensiunilor şi deformaţiilor elementelor de rezistenţă

pentru unele solicitări (icircncovoierea și torsiunea) secțiunile plane intervin atacirct prin

dimensiunile lor (aria 119860) cicirct și prin forma și poziția pe care o are secțiunea icircn raport cu

planul solicitării Mărimile care caracterizează o secțiune icircn raport cu forma și poziția față

de axele unui sistem de referință sunt denumite caracteristici geometrice de ordin

superior Aria secțiunii este caracteristica geometrică ce depinde doar de dimensiunile

geometrice ale acesteia

Să considerăm o grindă solicitată de o forță exterioară 119865 aşezată icircn două poziții icircn

raport cu planul forţei figura 41 Icircn urma aplicării forței deși avem aceeași grindă

(aceeași arie a secțiunii transversale) și aceeași forță se constată că pentru varianta din

figura 41a deformațiile sunt mult mai mari adică rezistența la icircncovoiere a grinzii din

figura 41a este mai mare decacirct icircn cazul grinzii din figura 41b Comportarea diferită se

explică prin aceea că modificarea poziţiei secţiunii transversale faţă de planul forţelor

modifică caracteristicile geometrice ale secţiunii transversale a grinzii

Fig 41 Grindă solicitată de forța 119865

Pentru realizarea calculelor de rezistenţă şi rigiditate este foarte importantă

cunoaşterea caracteristicilor geometrice ale suprafeţei secţiunii transversale a elementelor

de rezistenţă

Caracteristicile geometrice ale secţiunii transversale a unui element de rezistenţă

sunt

- aria secțiunii notată cu 119860

- momentul static icircn raport cu o axă notat 119878119911 și respectiv 119878119910

- momentul de inerție care poate fi

axial notat 119868119911 și respectiv 119868119910

centrifugal notat 119868119911119910

polar notat 119868119901

- raza de inerţie (giraţie)notată 119894119911 și respectiv 119894119910

- modulul de rezistență care poate fi

axial notat 119882119911 și respectiv 119882119910

polar notat 119882119901

42 Aria și momentul static al suprafețelor plane

Fie o suprafaţă plană de arie 119860 pe care se ia un element infinit mic de arie 119889119860 şi

un sistem de axe rectangulare 119911119874119910 figura 42 Notăm cu 119862 centrul de greutate al suprafeţei

119860 Poziţia suprafeţei elementare 119889119860 faţă de acelaşi sistem de coordonate 119911119874119910 este dată

de abscisa 119911 ordonata 119910 și raza polară

Fig 42 Suprafață plană de arie 119860

Aria suprafeţei 119860 figura 42 se defineşte ca fiind

119860 ≝ int 119889119860

119860

(41)

Aria suprafeţei este icircntotdeauna pozitivă și se măsoară icircn [1198981198982] Momentul static al suprafeţei de arie 119860 icircn raport cu axele 119874119911 și respectiv 119874119910

figura 42 sunt date de relaţiile

119878119911 ≝ int 119910 ∙ 119889119860

119860

119878119910 ≝ int 119911 ∙ 119889119860

119860

(42)

Momentul static poate fi pozitiv negativ sau nul şi se măsoară icircn [1198981198983] Coordonatele centrului de greutate ale suprafeței 119860 se detrmină cu relațiile

119910119862 ≝int 119910 ∙ 119889119860119860

119860 119911119862 ≝

int 119911 ∙ 119889119860119860

119860

(43)

Cunoscacircnd coordonatele 119910119862 și 119911119862 ale centrului de greutate 119862 al secțiunii 119860 atunci

momentele statice se pot determina cu relațiile

119878119911 ≝ int 119910 ∙ 119889119860

119860

= 119910119862 ∙ 119889119860 119878119910 ≝ int 119911 ∙ 119889119860

119860

= 119911119862 ∙ 119889119860 (44)

Aceste relații arată că momentul static al unei suprafețe icircn raport cu o axă este

egal cu produsul dintre aria suprafeței și distanța de la centrul ariei la axa respectivă

Dacă suprafaţa se poate descompune icircn 119899 suprafeţe simple la care se cunosc ariile

(1198601 1198602 ⋯ 119860119894⋯ 119860119899) și poziţiile centrelor de greutate 119862119894 faţă de sistemul de referinţă

expresiile momentelor statice capătă următoarea formă

119878119911 = sum 119910119862119894 ∙ 119860119894119899119894=1 = 119910119862 ∙ 119860 119878119910 = sum 119911119862119894 ∙ 119860119894

119899119894=1 = 119911119862 ∙ 119860 (45)

Din relaţiile (45) rezultă că poziţia centrului de greutate 119862 al unei suprafeţe

compuse poate fi determinată cu relaţiile

119910119862 = (sum119910119862119894 ∙ 119860119894

119899

119894=1

) 119860frasl 119911119862 = (sum119911119862119894 ∙ 119860119894

119899

119894=1

) 119860frasl (46)

Icircn relația (45) 119910119862119894 și respectiv 119911119862119894 reprezintă coordonatele centrelor de greutate 119862119894

ale fiecărei suprafețe simple 119860119894 icircn raport sistemul de axe 119911119874119910

Se constată (relaţia 42) că dacă axele sistemului de referinţă trec prin centrul de

greutate (119910119862 = 119911119862 = 0) momentele statice sunt nule Axele icircn raport cu care momentele

statice sunt nule şi care trec prin centrul de greutate al suprafeţei se numesc axe centrale

Observație dacă secțiunea compusă are o axă de simetrie centrul secțiunii se

găsește pe acea axă iar dacă secțiunea este dublu simetrică poziția centrului secțiunii este

la intersecția axelor de simetrie

43 Momente de inerţie

Momentele de inerţie axiale ale unei suprafețe se calculează icircn raport cu axele de

coordonate 119874119911 și respectiv 119874119910 figura 42 și se determină cu relațiile

119868119911 ≝ int 1199102 ∙ 119889119860

119860

119868119910 ≝ int 1199112 ∙ 119889119860

119860

(47)

Unde 119910 și 119911 sunt distanțele de la elementul de arie 119889119860 la cele două axe de

coordonate 119874119911 și respectiv 119874119910

Momentele de inerţie axiale se măsoară icircn [1198981198984] şi sunt icircntotdeauna pozitive (aria

119889119860 este icircntotdeauna pozitivă și este multiplicată cu patratul distanței 1199102 dacă 119868119911 sau 119868119910

sunt nule icircnseamnă ca secțiunea nu există)

Momentele de inerție axiale se calculează icircndeosebi pentru axele centrale (care

trec prin centrul secțiunii) deoarece icircn raport cu acele axe 119868119911 și 119868119910 au valori minime

Momentul de inerţie centrifugal calculat faţă ambele axe ale sistemului de

referinţă 119911119874119910 este definit de relația

119868119911119910 ≝ int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860

(48)

Momentul de inerţie centrifugal se măsoară icircn [1198981198984] şi poate fi pozitiv negativ

sau nul

Momentul de ineție centrifugal este nul 119868119911119910 = 0 dacă cel puțin una din axele 119874119911

sau 119874119910 este axă de simetrie pentru secțiune

Se consideră o suprafaţă dreptunghiulară pe care faţă de axa de simetrie 119874119910 se iau

două suprafeţe elementare de arie 119889119860 simetrice faţă de axa 119874119910 figura 43

Fig 43 Suprafață dreptunghiulară cu două arii elementare 119889119860

Făcacircnd suma momentelor de inerţie centrifugale pentru cele două suprafeţe

elementare 119889119860 (din stacircnga şi din dreapta faţă de axa 119874119910) se obţine

int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860119889119903

+ int (minus119911) ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860119904119905119892

= int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860119889119903

minus int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860119904119905119892

= 0 (49)

Acelaşi raţionament se poate face și pentru icircntreaga suprafaţă de unde obținem că

momentul de inerție centrifugal este nul 119868119911119910 = 0 Deci pentru o suprafaţă plană care

are cel puţin o axă de simetrie momentul de inerţie centrifugal faţă de sistemul care

conţine acea axă de simetrie este nul

Momentul de inerţie polar al unei suprafeţei icircn raport cu un punct (pol) 119874 figura

42 este definit prin relaţia

1198680 = 119868119901 ≝ int 1205882 ∙ 119889119860

119860

= int(1199102 + 1199112) ∙ 119889119860

119860

= 119868119911 + 119868119910 (410)

unde este distanţa de la polul 119874 la elementul de arie 119889119860 Momentul de inerţie polar se

măsoară icircn [1198981198984] şi este totdeauna pozitiv

Momentul de inerţie polar este egal cu suma momentelor de inerţie faţă de două axe

perpendiculare oarecare şi care trec prin polul considerat

Razele de giraţie sau razele de inerţie sunt mărimi calculate icircn raport cu axele

secțiunii și definite de relaţiile

119894119911 ≝ radic119868119911119860 119894119910 = radic

119868119910

119860 (411)

Se exprimă icircn [119898119898] şi sunt icircntotdeauna pozitive Semnificația unei raze de inerție

este distanța la care dacă ar fi concentrată icircntreaga arie s-ar obține același moment de

inerție ca și cel calculat pentru aria reală

44 Modulul de rezistenţă

Modulul de rezistență se calculează icircn raport cu axele de referință sau icircn raport cu

un pol figura 42 și pot fi axiale (119882119911119882119910) sau polar (119882119901) și se determină numai pe baza

momentelor de inerţie cu relațiile figura 43

119882119911119898119894119899 ≝119868119911119910119898119886119909

119882119911119898119886119909 ≝119868119911119910119898119894119899

(412)

119882119910119898119894119899 ≝119868119910

119911119898119886119909 119882119910119898119886119909 ≝

119868119910

119911119898119894119899 (413)

119882119901 ≝119868119901

120588119898119886119909 (414)

unde

119910119898119886119909 119910119898119894119899 reprezintă distanţa de la axa 119874119911 la punctele extreme cele mai

depărtate respectiv cele mai apropiate ale suprafeţei de această axă

119911119898119886119909 119911119898119894119899 reprezintă distanţa de la axa 119874119910 la punctele extreme cele mai

depărtate respectiv cele mai apropiate ale suprafeţei de această axă

120588119898119886119909 reprezintă distanța maximă de la polul 119874 la punctul secțiunii cel mai

icircndepărtat de acesta

Fig 43 Suprafață dreptunghiulară cu două arii elementare 119889119860

Modulele de rezistenţă se exprimă icircn [1198981198983] şi sunt icircntotdeauna pozitive

Explicația este aceea că momentele de inerție care intră icircn relațiile de definiție sunt

pozitive iar distanțele la punctele extreme sunt pozitive (119910119898119886119909 119910119898119894119899 119911119898119886119909 119911119898119894119899 120588119898119886119909 se

iau icircn valoare absolută)

Icircn cazul suprafeţelor compuse modulul de rezistenţă nu se obţine prin icircnsumarea

algebrică a modulelor de rezistenţă ale suprafeţelor simple componente ci numai prin

intermediul momentului de inerţie axial calculat pentru icircntreaga secțiune

Ca și momentele de inerție modulele de rezistență se calculează numai pentru

sistemele de axe centrale

45 Momente de inerţie şi module de rezistenţă pentru suprafeţe simple

451 Secțiune dreptunghiulară

Fie suprafaţa dreptunghiulară din figura 44 de icircnălțime ℎ și lățime 119887 pe care se

consideră suprafaţă elementară de arie 119889119860 = 119887119889119910 la distanța 119910 de axa 119862119911 sistemul de

axe 119911119862119910 trece prin centrul secțiunii iar axele sunt axe de simetrie pentru dreptunghi

Fig 44 Suprafață dreptunghiulară

Pe baza relațiilor de definiți a momentului de inerție 119868119911 se obține

119868119911 ≝ int 1199102 ∙ 119889119860

119860

= int 1199102 ∙ 119887 ∙ 119889119910 = 2int 1199102 ∙ 119887 ∙ 119889119910 = 2 ∙ 119887 ∙1199103

3|ℎ 2frasl

0rArr

ℎ 2frasl

0

ℎ 2frasl

minusℎ 2frasl

rArr 119868119911 =119887 ∙ ℎ3

12

(415)

Analog pentru un element de arie 119889119860 = ℎ ∙ 119889119911 paralel cu axa 119862119910 situat la distanța

119911 de axa 119862119910

119868119910 ≝ int 1199112 ∙ 119889119860

119860

= int 1199112 ∙ ℎ ∙ 119889119911 = 2int 1199112 ∙ ℎ ∙ 119889119910 = 2 ∙ ℎ ∙1199113

3|119887 2frasl

0rArr

119887 2frasl

0

119887 2frasl

minus119887 2frasl

rArr 119868119910 =1198873 ∙ ℎ

12

(416)

Deoarece axele 119862119911 și 119862119910 sunt axe de simetrie momentul de inerție centrifugal este

119868119911119910 = 0 (417)

Pentru un pătrat avacircnd laturile egale (ℎ = 119887 = 119886) momentele de inerţie faţă de

axele centrale au expresia

119868119911 = 119868119910 =1198864

12 (418)

Modulele de rezistență axiale se calculează cu relațiile de definiție ținacircnd cont că

distanțele pacircnă la fibrele extreme sunt

119910119898119886119909 = 119910119898119894119899 =ℎ

2 119911119898119886119909 = 119911119898119894119899 =

119887

2 (419)

Obținem

119882119911119898119894119899 = 119882119911119898119886119909 =119868119911

119910119898119886119909119898119894119899=119887 ∙ ℎ3

12frasl

ℎ2frasl

=119887 ∙ ℎ2

6

119882119910119898119894119899 = 119882119910119898119886119909 =119868119910

119911119898119886119909119898119894119899=1198873 ∙ ℎ

12frasl

1198872frasl

=1198872 ∙ ℎ

6

(420)

452 Suprafaţă circulară

Din motive de simetrie pentru suprafeţele circulare momentele de inerţie faţă de

orice diametru (care reprezintă şi axe centrale) sunt aceleaşi

Considerăm o secțiune circulară plină cu diametrul 119889 și centrul de greutate 119862 Prin

centrul de greutate 119862 trece sistemul de axe ortogonal 119911119862119910 figura 45

Fig 45 Suprafață circulară

La distanța de centrul de greutate 119862 vom lua un element de suprafață mic de arie

(119889119860) de forma unui inel de grosime 119889 Elementul de arie 119889119860 are expresia

119889119860 = (2 ∙ 120587 ∙ 120588) ∙ (119889120588)

Pornind de la relația de definiție a momentului de inerție polar obținem

119868119901 ≝ int 1205882 ∙ 119889119860

119860

= int 1205882 ∙ (2 ∙ 120587 ∙ 120588) ∙ 119889120588

119903=119889 2frasl

0

= 2 ∙ 120587 ∙1205884

4|119889 2frasl0 rArr

rArr 119868119901 =120587 ∙ 1198894

32

(421)

Secțiunea este perfect simetrică deci sunt valabile relațiile

119868119911 = 119868119910 rArr 119868119901 = 119868119911 + 119868119910 = 2 ∙ 119868119911 = 2 ∙ 119868119910 =119868119901

2=120587 ∙ 1198894

64 (422)

Și modulele de rezistenţă faţă de orice diametru sunt egale şi se calculează cu

relaţiile

119882119911 = 119882119910 =1198681199111198892frasl=120587 ∙ 1198893

32 (423)

Modulul de rezistenţă polar este

119882119901 =1198681199011198892frasl=120587 ∙ 1198893

16 (424)

453 Secţiune inelară

Calculul momentelor de inerţie axiale pentru o secţiune inelară avacircnd diametrul

interior 119889 şi diametrul exterior 119863 se determină analog pentru suprafaţa circulară plină cu

observaţia că integrala pentru calculul momentului de inerție polar 119868119901 se face icircntre

limitele 119903 = 119889 2frasl şi R= 1198632frasl (icircntre raza interioară 119903 şi raza exterioară 119877) figura 46

Se obţin relaţiile

119868119901 =120587 ∙ 1198634

32∙ [1 minus (

119889

119863)4

] =120587 ∙ 1198634

32∙ (1 minus 1198964) (425)

119868119910 = 119868119910 =120587 ∙ 1198634

64∙ [1 minus (

119889

119863)4

] =120587 ∙ 1198633

64∙ (1 minus 1198964) (426)

Fig 46 Secțiune inelară

119882119901 =120587 ∙ 1198633

16∙ [1 minus (

119889

119863)4

] =120587 ∙ 1198633

16∙ (1 minus 1198964) (427)

119882119911 = 119882119910 =120587 ∙ 1198633

32∙ [1 minus (

119889

119863)4

] =120587 ∙ 1198633

32∙ (1 minus 1198964) (428)

unde 119896 = 119889119863frasl

46 Variaţia momentelor de inerţie faţă de axe paralele

( Relațiile lui STEINER)

Se consideră o suprafaţă oarecare de arie 119860 cu elementul de arie 119889119860 și un sistemul

de axe central 119911119862119910 faţă de care se cunosc momentele de inerţie 119868119911 119868119910 119868119911119910 şi considerăm

un sistem de axe 11991111198741199101 paralele cu sistemul central figura 47 Se pune problema

determinării momentele de inerţie 1198681199111 1198681199101 11986811991111199101 faţă de sistemul de axe paralel cu sistemul

central 11991111198741199101 axe aflate la distanţele 119910119862 = 119888 respectiv 119911119862 = 119889 de acesta

461 Momente de inerţie axiale

Pe baza relaţiilor de definire şi a notaţiilor din figura 42 pentru momentele de

inerţie faţă de axele 1198741199111 1198741199101 se poate scrie

1198681199111 = int 11991012 ∙ 119889119860

119860

= int(119910 + 119888)2 ∙ 119889119860

119860

= int 1199102 ∙ 119889119860

119860

+ 2 ∙ 119888 ∙ int 119910 ∙ 119889119860

119860

+

+1198882int 119889119860

119860

rArr 1198681199111 = 119868119911 + 2 ∙ 119888 ∙ 119878119911 + 1198882 ∙ 119860 hArr 1198681199111 = 119868119911 + 119888

2 ∙ 119860

(429)

Fig 47 Variaţia momentelor de inerţie față de axe paralele

S-a ajuns la relația (429) deoarece momentul static 119878119911 este nul deoarece axa 119862119885

este axă centrală

Pentru momentul de inerție axial icircn raport cu axa 1198741199101 se obține

1198681199101 = int 11991112 ∙ 119889119860

119860

= int(119911 + 119889)2 ∙ 119889119860

119860

= int 1199112 ∙ 119889119860

119860

+ 2 ∙ 119889 ∙ int 119911 ∙ 119889119860

119860

+

+1198892 ∙ int 119889119860

119860

rArr 1198681199101 = 119868119910 + 2 ∙ 119889 ∙ 119878119910 + 1198892 ∙ 119860 hArr 1198681199101 = 119868119910 + 119889

2 ∙ 119860

(430)

Pentru momentul de inerție centrifugal obținem

11986811991111199101 = int 1199101 ∙ 1199111 ∙ 119889119860

119860

= int(119910 + 119888) ∙ (119911 + 119889) ∙ 119889119860

119860

= int 119910 ∙ 119911 ∙ 119889119860 +

119860

+119888 ∙ int 119911 ∙ 119889119860

119860

+ 119889 ∙ int 119910 ∙ 119889119860

119860

rArr 11986811991111199101 = 119868119911119910 + 119888 ∙ 119889 ∙ 119860

(431)

Deoarece

int 119911 ∙ 119889119860

119860

= 119878119910 = 0 int 119910 ∙ 119889119860

119860

= 119878119911 = 0 int 119910 ∙ 119911 ∙ 119889119860

119860

= 119868119911119910

Relaţiile (429) şi (430) arată că momentul de inerţie faţă de o axă oarecare

este egal cu momentul de inerţie faţă de o axă paralelă cu ea trecacircnd prin centrul de

greutate la care se adaugă produsul dintre aria suprafeţei şi pătratul distanţei dintre

cele două axe

Din relaţiile (429) și (430) rezultă de asemenea că momentul de inerţie faţă de o

axă centrală (care trece prin centrul de greutate) este cel mai mic dintre infinitatea de

momente de inerţie obținute faţă de alte axe paralele cu ea

Relaţia (431) arată de asemenea că momentul de inerţie centrifugal faţă de un

sistem de axe oarecare este egal cu momentul de inerţie centrifugal faţă de un sistem

paralele cu el trecacircnd prin centrul de greutate a suprafeţei la care se adaugă produsul

dintre aria suprafeţei şi distanţele dintre axele sistemelor respective

Icircn literatura de specialitate relaţiile (429) (430) şi (431) sunt cunoscute sub

numele de relaţiile lui Steiner

47 Variaţia momentrlor de inerţie faţă de axe rotite

Direcţii principale şi momente de inerţie principale

Fie suprafaţa plană din figura 48 de arie 119860 pe care considerăm o suprafaţă

elementară de arie 119889119860 Pentru sistemul de axe 119911119874119910 se cunosc momentele de inerţie

119868119911 119868119910 119868119911119910 şi vom determina relaţiile de calcul pentru momentele de inerţie afererent unui

sistem de axe 11991111198741199101 rotit cu un unghi faţă de sistemul central

Faţă de sistemul de axe 11991111198741199101 elementul de arie 119889119860 are coordonatele

1199101 = 119875119877 = 119875119876 minus 119877119876 = 119910 ∙ cos 120572 minus 119911 ∙ sin 120572

1199111 = 119873119872 = 119873119875 minus 119875119872 = 119911 ∙ cos 120572 + 119910 ∙ sin 120572 (432)

Fig 47 Variaţia momentelor de inerţie față de axe rotite

Pe baza relaţiilor de calcul ale momentelor de inerţie şi a notaţiilor din figura 42

şi ale relaţiilor (432) momentele de inerţie faţă de sistemul de axe rotit 11991111198741199101 sunt

1198681199111 =119868119911 + 119868119910

2+119868119911 minus 119868119910

2∙ cos 2120572 minus 119868119911119910 ∙ sin 2120572 (433)

1198681199101 =119868119911 + 119868119910

2minus119868119911 minus 119868119910

2∙ cos 2120572 + 119868119911119910 ∙ sin 2120572 (434)

11986811991111199101 =119868119911 minus 119868119910

2∙ sin 2120572 + 119868119911119910 ∙ cos 2120572 (435)

Din relaţiile 433divide435 se observă că icircntre momentele de inerţie axiale şi cele

polare există relaţia

1198681199111 + 1198681199101 = 119868119911 + 119868119910 = 119868119901 (436)

adică suma momentelor de inerţie axiale icircn raport cu orice pereche de axe ortogonale

care trec printr-un pol dat este o constantă şi egală cu momentul de inerţie polar

Prin rotirea sistemului de axe din relaţiile 433divide435 rezultă că momentele de inerţie

variază icircnsă suma lor rămacircne constantă deci există o poziţie a sistemului de axe pentru

care momentele de inerţie au valori extreme maxim respectiv minim

471 Direcţii principale de inerţie

Valoarea unghiului 120572 pentru care momentele de inerţie axiale au valori extreme

este

1205721 =1

2∙ 119886119903119888119905119886119899 (minus

2 ∙ 119868119911119910

119868119911 minus 119868119910) (437)

Poziţia celeilalte direcţii este perpendiculară pe cea dată de unghiul 1205721

Din relaţia (437) se constată că faţă de aceste direcţii rotite pentru care momentele

de inerţie axiale prezintă valori extreme momentul de inerţie centrifugal 11986811991111199101este nul

Atunci se poate afirma că momentele de inerţie axiale au valori extreme icircn raport cu

direcţiile faţă de care momentul de inerţie centrifugal este nul Aceste direcţii se numesc

direcţii principale iar momentele de inerţie faţă de aceste direcţii poartă numele de

momente de inerţie principale

Icircn calculele de rezistenţă interesează icircn mod special poziţia direcţiilor principale

care trec prin centrul de greutate al suprafeţei aşa numitele direcţii principale centrale şi

evident momentele de inerţie principale centrale

Direcţiile principale de inerţie se notează cu 1 respectiv 2 Axa principală 1

corespunde direcţiei faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea maximă iar

axa principală 2 pentru direcţia faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea

minimă

472 Momente de inerţie principale

Momentele de inerţie principale se notează cu litera 119868 la care se pune indicele 1

sau 2 după cum valoarea acestuia este maximă sau minimă deci avem un moment de

inerţie principal 1 (notat 1198681) respectiv moment de inerţie principal 2 (notat 1198682)

Expresiile pentru momentele de inerţie principale sunt

11986812 =119868119911 + 119868119910

2plusmn1

2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)

2+ 4 ∙ (119868119911119910)

2 (438)

Dacă momentul de inerţie centrifugal este negativ (119868119911119910 lt 0) direcţia principală

care trece prin primul cadran (definit de sistemul 119911119862119910) este direcţia principală 120783

Pentru suprafeţele cu cel puţin o axă de simetrie direcţiile centrale 119862119911 119862119910 sunt şi

direcții principale de inerţie și evident momentele de inerţie axiale 119868119911 119868119910 sunt momente

de inerţie principale

48 Caracteristici mecanice ale metalelor

Alegerea materialului pentru confecţionarea unei anumite piese se face şi pe baza

aşa numitelor caracteristici mecanice pe care le prezintă materialul Cunoaşterea acestor

caracteristici mecanice are loc numai pe baza unor icircncercări mecanice care să scoată icircn

evidenţă comportarea materialului icircn condiţii de solicitare

Cea mai utilizată icircncercare icircn urma căreia se pun icircn evidenţă caracteristicile

mecanice ale unui material este icircncercarea la tracţiune

481 Icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general

Icircncercarea la tracţiune a oţelului ca de altfel toate icircncercările de materiale este

standardizată

Icircn cele ce urmează se va prezenta numai partea care interesează strict din punct

de vedere al caracteristicilor mecanice ale oţelului

Epruveta de diametru iniţial 1198890 pentru icircncercarea la tracţiune are o porţiune de

lungime 1198710 numită baza de măsurare pe care se măsoară lungirea acesteia sub acţiunea

solicitării

Icircn funcţie de raportul dintre baza de măsurare 1198710 şi diametrul iniţial 1198890 epruvetele

utilizate pentru icircncercări sunt

epruvete normale (scurte) cacircnd 11987101198890 = 5

epruvete lungi cacircnd 11987101198890 = 10

Icircn timpul icircncercării la diferite valori ale forţei 119865 se măsoară lungirea bazei de

măsurare

∆119871 = 120575 = 119871 minus 1198710 (439)

unde

119871 este dimensiunea bazei de măsurare la un moment dat

Curba forţă-lungire (119865 minus ) icircnregistrată icircn urma icircncercării reprezintă curba

caracteristică la tracţiune

La icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general diagrama caracteristică care se

obţine are forma din figura 48

Curba caracteristică la tracţiune depinde de lungimea bazei de măsurare Pentru

icircnlăturarea acestui neajuns curba caracteristică se reprezintă icircn coordonate şi definite

astfel

120590 =119865

1198600 휀 =

120575

1198710 (440)

unde

1198600 este aria iniţială a secţiunii transversale a epruvetei (icircnainte de solicitare) icircn

zona bazei de măsurare

1198600 =120587 ∙ 1198890

2

4

Deoarece mărimile icircn care se reprezintă curba caracteristică la tracţiune sunt

raportate la aria iniţială a secţiunii transversale (mărimi specifice) curba poartă numele

de curbă caracteristică convenţională la tracţiune

Fig 48 Curba caracteristică convenţională la tracțiune

Pe curba caracteristică convenţională la tracţiune figura 48 se pot stabili o serie

de puncte cărora le corespund mai multe mărimi importante

Ordonata punctului A pacircnă unde curba caracteristică convenţională este linie

dreaptă se numeşte limita de proporţionalitate a materialului 120590119901(1205901) Porţiunea 119874119860 este

zona de proporţionalitate a curbei caracteristice pe acest domeniu este valabilă legea lui

Hooke care exprimă o proporţionalitate icircntre tensiune şi deformaţie specifică

120590 = 119864 ∙ 휀 (441)

unde

119864 = reprezintă panta porţiunii liniare a curbei convenționale caracteristice

la tracțiune Caracteristica de material 119864 se numeşte modul de elasticitate longitudinal

(modulul lui Young)

Ordonata punctului 119861 pacircnă unde materialul se comportă perfect elastic adică

după descărcare icircşi recapătă dimensiunea iniţială 1198710 se numeşte limita de elasticitate

120590119890(119877119890) Icircn realitate nici un material nu are comportare perfect elastică sub acţiunea

solicitărilor el capătă deformaţii permanente (remanente plastice)

După punctul 119861 urmează o porţiune 119861119862119863 icircn care cu toate că icircncărcarea

continuă forţa nu mai creşte avacircnd mici oscilaţii icircn jurul unei valori Se spune că icircn

această porţiune materialul curge iar intervalul 119861119862119863 este un palier de curgere Tensiunea

corespunzătoare palierului de curgere se numeşte limită de curgere aparentă 120590119888(119877119888) Limita de curgere aparentă se calculează cu relaţia

120590119888 =1198651198881198600 (442)

unde

119865119888 reprezintă valoarea forţei icircnregistrată icircn momentul curgerii materialului

După punctul 119863 curba caracteristică are un traseu ascendent pacircnă icircn punctul 119864

Porţiunea 119863119864 este numită zonă de icircntărire (ecruisare) Icircn zona de ecruisare unde se

produc deformaţii plastice semnificative legea lui Hooke nu mai este valabilă La

descărcare relaţia dintre tensiunea şi deformaţia specifică este liniară paralelă cu

porţiunea liniară a curbei caracteristice (dreapta 119872119873)

Deformaţia totală (휀119905) are două componente una elastică (휀119890) şi una plastică (휀119901)

Ordonata punctului 119864 reprezintă rezistenţa de rupere 120590119903(119877119898) a materialului

care se poate calcula cu relaţia

120590119903 = 119877119898 =1198651198981198861199091198600

(443)

unde

119865119898119886119909 reprezintă valoarea maximă a forţei icircnregistrată icircn timpul icircncercării

La atingerea valorii 119865119898119886119909 (punctul 119864) icircntr-un anumit loc al epruvetei secţiunea

icircncepe să se micşoreze (se produce gacirctuirea) continuacircnd pacircnă cacircnd se produce ruperea

totală (punctul 119865)

Dacă după ruperea epruvetei cele două părţi rezultate se aşează cap la cap şi se

măsoară dimensiunea bazei de măsurare 119871119906 (lungimea ultimă) se determină alungirea la

rupere sau lungirea specifică la rupere 휀119903

휀119903 =119871119906 minus 11987101198710

=∆119871

1198710=120575

1198710 (444)

De obicei alungirea se exprimă icircn procente şi se notează cu 119860119899 unde 119899 reprezintă

numărul dat de raportul 11987101198890 (epruvete normale 119899 = 5 epruvete lungi 119899 = 10)

119860119899 =119871119906 minus 11987101198710

∙ 100 [] (445)

Altă mărime care se determină la icircncercarea la tracţiune este gacirctuirea la rupere

(exprimată de obicei icircn procente) şi definită de relaţia

119885 =1198600 minus 1198601199061198600

∙ 100 [] (446)

Mărimile determinate limita de proporţionalitate modulul de elasticitate

longitudinal limita de elasticitate limita de curgere aparentă rezistenţa de rupere

alungirea la rupere şi gacirctuirea la rupere sunt cunoscute ca fiind caracteristici mecanice

ale materialului

Din curba caracteristică convenţională observăm faptul că ruperea (punctul 119865 din

figura 48 se produce la o tensiune mai mică decacirct cea corespunzătoare punctului 119864 Dacă

icircnsă forţa din timpul icircncercării s-ar raporta la aria secţiunii din momentul icircnregistrării

forţei (care este mai mică decacirct cea iniţială 1198600) s-ar obţine aşa numita curbă

caracteristică reală a materialului (traseul 1198741198601198611198621198631198651 din figura 48) La curba

caracteristică reală ruperea se produce icircn punctul 1198651 la o icircncărcare mai mare decacirct cea

corespunzătoare punctului 119864 Icircnseamnă că rezistenţa reală la rupere este mai mare decacirct

rezistenţa la rupere dată de punctul 119864 din diagrama caracteristică convenţională

Dificultatea obţinerii diagramei caracteristice reale faţă de cea a diagramei caracteristice

convenţionale şi considerarea unei rezistenţe la rupere mai mică decacirct a celei reale face

icircn practică utilizarea pe scară mare a diagramei caracteristice convenţionale

Caracteristicile mecanice determinate pe baza curbei caracteristice convenţionale

sunt şi ele caracteristici mecanice convenţionale

Caracteristicile mecanice convenţionale limita de proporţionalitate convenţională

120590119901 limita de elasticitate convenţională 120590119890 limita de curgere convenţională 120590119888 şi rezistenţa

de rupere 120590119903 constituie tensiuni limită pentru un material Pe baza acestor caracteristici

de material se alege valoarea tensiunii admisibile 120590119886 (vezi paragraful 35) pentru

calculele de rezistenţă Cea mai utilizată stare limită pentru stabilirea tensiunii admisibile

120590119886 este limita de curgere convenţională 120590119888

120590119886 =120590119897119894119898119888

=120590119888119888 119904119886119906 120590119886 =

120590119903119888 (447)

Caracteristicile mecanice ale materialului sunt influenţate de o serie de factori

temperatura viteza de solicitare factorii tehnologici iar valorile lor sunt date icircn tabele și

diagrame

Aplicaţie Pentru suprafaţa plană compusă din două dreptunghiuri avacircnd

dimensiunile din figura 49a să se calculeze

a) centrul de greutate al secțiunii compuse 119910119866 119911119866

b) momentele de inerție axiale 119868119911 119868119910 și momentul de inerție centrifugal 119868119911119910

c) razele de inerție 119894119911 119894119910

d) modulele de rezistență 119882119911119898119894119899 119882119911119898119886119909 119882119910119898119894119899 119882119910119898119886119909

e) momentele de inerție principale 1198681 1198682 și direcțiile principale de inerție 1205721

f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 119878119911

Fig 49 Aplicație

Rezolvare Pentru rezolvare vom parcurge următoarele etape

icircmpărțim suprafața compusă icircn două suprafețe simple (dreptunghiuri) notate cu

① și respectiv ② figura 49b

poziționăm centrele de greutate a celor două suprafețe simple ① și respectiv ②

notate cu 1198661 și respectiv 1198662 figura 49c

poziționăm sistemele de axe de coordonate 119911111986611199101 pentru dreptunghiul ① și

119911211986621199102 pentru dreptunghiul ② aflate la intersecția diagonalelor figura 49c

poziționăm sistemele de axe de coordonate 11991101198741199100 ales arbitrar față de care

determinăm poziția centrului de greutate 119866 figura 49c

a) calculăm poziția centrului de greutate folosind relațiile (46) icircn care

1198601 = 6119905 ∙ 119905 = 61199052 1198602 = 4119905 ∙ 119905 = 41199052 119860 = 1198601 + 1198602 = 61199052 + 41199052 = 101199052

iar centrele de greutate 1198661 și respectiv 1198662 au coordonatele (față de sistemul 11991101198741199100)

1198661 1199101 = 3119905 1199111 = 05119905

1198662 1199102 = 051199051199112 = 3119905

cu acestea obținem

119910119866 =1198601 ∙ 1199101 + 1198602 ∙ 1199102

119860=61199052 ∙ 3119905 + 41199052 ∙ 05119905

101199052=201199053

101199052= 2119905

119911119866 =1198601 ∙ 1199111 + 1198602 ∙ 1199112

119860=61199052 ∙ 05119905 + 41199052 ∙ 3119905

101199052=151199053

101199052= 15119905

Poziționăm centrul de greutate 119866 al suprafeței compuse figura 49c

Fig 49 Aplicație

b) pentru determinarea momentelor de inerție axiale 119868119911 119868119910 și a momentului de

inerție centrifugal 119868119910119911 determinăm constantele 1198881 1198882 1198891 1198892 care intervin icircn relația lui

Stainer

1198881 = 1199101 minus 119910119866 = 3119905 minus 2119905 = 119905 1198882 = minus(119910119866 minus 1199102) = minus(2119905 minus 05119905) = minus15119905

1198891 = minus(119911119866 minus 1199111) = minus(15119905 minus 05119905) = minus119905 1198892 = 1199112 minus 119911119892 = 3119905 minus 15119905 = 15119905

Folosind relațiile lui Stainer (429) (430) și (431) calculăm momentele de

inerție axiale și centrifugale față de sistemul central 119911119866119866119910119866

119868119911 =sum(119868119911119894 + 1198881198942 ∙ 119860119894) = 1198681199111 + 1198881

2 ∙ 1198601 + 1198681199112 + 11988822 ∙ 1198602

119868119910 =sum(119868119910119894 + 1198891198942 ∙ 119860119894) = 1198681199101 + 1198891

2 ∙ 1198601 + 1198681199102 + 11988922 ∙ 1198602

119868119911119910 =sum(119868119911119894119910119894 + 119888119894 ∙ 119889119894 ∙ 119860119894) = 11986811991111199101 + 1198881 ∙ 1198891 ∙ 1198601 + 11986811991121199102 + 1198882 ∙ 1198892 ∙ 1198602

1198681199111 = (119887 ∙ ℎ3

12) =

119905 ∙ (6119905)3

12= 181199054 1198681199112 = (

119887 ∙ ℎ3

12) =

4119905 ∙ 1199053

12= 031199054

1198681199101 = (1198873 ∙ ℎ

12) =

1199053 ∙ 6119905

12= 051199054 1198681199102 = (

1198873 ∙ ℎ

12) =

(4119905)3 ∙ 119905

12= 531199054

11986811991111199101 = 11986811991121199102 = 0 deoarece cele două triunghiuri au cel puțin o axă de simetrie

Cu acestea momentele de inerție axiale și momentul de inerție centrifugal devin

119868119911 = 181199054 + 1199052 ∙ 61199052 + 031199054 + (minus15119905)2 ∙ 41199052 = 3331199054

119868119910 = 051199054 + (minus119905)2 ∙ 61199052 + 531199054 + (15119905)2 ∙ 41199052 = 2081199054

119868119911119910 = 0 + 119905 ∙ (minus119905) ∙ 61199052 + 0 + (minus15119905) ∙ (15119905) ∙ 41199052 = minus151199054

c) razele de inerție sau de girație față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910

se calculează cu relațiile (411)

119894119911 = radic119868119911119860= radic

3331199054

101199052= 182119905 119894119910 = radic

119868119910

119860= radic

2081199054

101199052= 144119905

d) modulele de rezistență față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910 se

calculează cu relațiile (412) și (413)

Avacircnd icircn vedere figura 419c obținem

119910119898119886119909 = 6119905 minus 119910119866 = 6119905 minus 2119905 = 4119905 119910119898119894119899 = minus119910119866 = minus2119905

119911119898119886119909 = 5119905 minus 119911119866 = 5119905 minus 15119905 = 35119905 119911119898119894119899 = minus119911119866 = minus15119905

Se obține astfel

119882119911119898119894119899 =119868119911

|119910119898119886119909|=3331199054

4119905= 8331199053

119882119911119898119886119909 =119868119911

|119910119898119894119899|=3331199054

2119905= 16651199053

119882119910119898119894119899 =119868119910

|119911119898119886119909|=2081199054

35119905= 5941199053

119882119910119898119886119909 =119868119910

|119911119898119894119899|=2081199054

15119905= 13871199053

e) momentele de inerție principale 1198681 și respectiv 1198682 se calculează cu relațiile

(438)

11986812 =119868119911 + 119868119910

2plusmn1

2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)

2+ 4 ∙ (119868119911119910)

2=

=3331199054 + 2081199054

2plusmn1

2∙ radic(3331199054 minus 2081199054)2 + 4 ∙ (minus151199054)2 = 27051199054 plusmn 16251199054

De unde obținem

1198681 = 27051199054 + 16251199054 = 4331199054

1198682 = 27051199054 minus 16251199054 = 1081199054

Prima direcție principală de inerție 1 face cu axa centrală 119866119911 unghiul 1205721 dat de

relația (437)

1205721 =1

2∙ arctan (minus

2 ∙ 119868119911119910

119868119911 minus 119868119910) =

1

2∙ arctan [minus

2 ∙ (minus151199054)

3331199054 minus 2081199054] =33 70

Deoarece 1205721 gt 0 rotirea axelor se face acircn sens antiorar acelor de ceasornic figura

49d

Poziția axe principale 2 față de care momentul de inerție are valoarea minimă

1198682 = 119868119898119894119899 este dată de unghiul

1205722 = 1205721 + 900 = 33 70 + 900 = 123 70

f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 se determină cu relația

(45)

1198781199111198602 = 1198602 ∙ 1198882 = 41199052 ∙ (minus15119905) = minus61199053

tensiunile și deformațiile din orice punct al corpului Ea este mai apropiată de realitate la

corpurile amorfe şi mai depărtată la cele cristaline dar conduce la rezultate satisfăcătoare

icircn calculele de rezistenţă

Ipoteza nu se poate aplica la corpurile care au goluri tăieturi (multiplu conexe)

pentru unele puncte singulare icircn care tensiunile și deformațiile tind la infinit sau icircn unele

probleme de plasticitate icircn care proprietățile de material au un rol esențial

Ipoteza izotropiei conform acestei ipoteze materialul din care este confecționat

un element de rezistență are aceleași proprietăți după orice direcție un astfel de material

este considerat izotrop Din punct de vedere macroscopic metalele pot fi considerate

izotrope deși la nivel microscopic proprietățile lor diferă de la o direcție cristalografică

la alta Orice conglomerat de cristale poate fi considerat izotrop

Există cazuri cacircnd această ipoteză a izotropiei nu se acceptă

la metalele puternic deformate după o direcție (prin laminare trefilare)

la piesele confecționate din lemn lemnul este anizotrop deoarece proprietățile sale

diferă după două direcții (icircn lungul fibrelor și perpendicular pe această direcție)

Ipoteza omogenității consideră că un corp are aceleași proprietăți icircn orice

punct al său Deși majoritatea materialelor utilizate icircn tehnică sunt eterogene la scară

micro fiind constituite din mai multe faze cu proprietăți diferite la scară macro ele pot

fi considerate omogene Omogenitatea și izotropia sunt proprietăți statistice medii care

nu se condiționează una pe cealaltă Chiar și materialele monofazice pot avea la scară

micro unele segregații care le fac eterogene

Ipoteza elasticităţii perfecte presupune că atacircta timp cacirct solicitările nu

depăşesc anumite limite materialul are o comportare elastică adică icircşi recapătă forma şi

dimensiunile iniţiale odată cu icircnlăturarea sarcinilor Icircn realitate materialele nu prezintă o

elasticitate perfectă ele avacircnd deformaţii remanente mici care icircnsă pot fi neglijate icircn

calculele de rezistenţă

Acceptarea acestei ipoteze a elasticității perfecte permite

- aplicarea relației biunivoce icircntre tensiuni și deformații relație exprimată de legea

lui Hooke ( = 119864 ∙ 휀) unde E este un factor de proporţionalitate numit modul de

elasticitate longitudinal al materialului pentru oţel 119864 = 21 ∙ 105 [119872119875119886] - acceptarea valabilității afirmației bdquolucrul mecanic efectuat de forțele exterioare

ca urmare a parcurgerii deplasărilor punctelor de aplicație se icircnmagazinează integral icircn

corp sub formă de energie de deformație energie cedată la icircndepărtarea sarcinilorrdquo

- este valabilă teoria conform căreia bdquoenergia icircnmagazinată și deformațiile depind

doar de starea inițială și finală de eforturi fără a ține cont de modul icircn care s-a ajuns la

starea finalărdquo

Icircn realitate oricacirct de mici ar fi sarcinile aplicate se produc și deformații plastice

dar acestea pot fi neglijate dacă solicitarea nu depășește anumite limite

342 Ipoteze de calcul

Ipoteza micilor deplasări bdquodeplasările datorate deformării sunt mult mai mici

decacirct dimensiunile corpurilor și ca urmare pot fi neglijate produsele dintre o deplasare și

ea icircnsăşirdquo Pentru cele mai multe corpuri deformaţiile elastice sunt de mărimi mici deci

corpurile solide sub acţiunea sarcinilor icircşi modifică foarte puţin forma iniţială Această

ipoteză este cunoscută şi sub denumirea de ipoteza menţinerii dimensiunilor iniţiale Ea

permite scrierea ecuaţiilor de echilibru ale staticii pe starea nedeformată a elementului

cacircnd nu se iau icircn considerare deplasările punctelor de aplicaţie ale forţelor care se produc

ca urmare a deformării acestuia Calculul efectuat pe schema nedeformată poartă numele

de calcul de ordinul I

Ipoteza micilor deplasări nu poate fi acceptată pentru studiul problemelor de

stabilitate sau la problemele la care nu pot fi icircndeplinite condiţiile de echilibru icircn starea

nedeformată

Calculul de ordinul II admite ipoteza micilor deplasări dar ecuaţiile de echilibru

se scriu icircnsă pentru starea deformată a elementului de rezistenţă

Calculul de ordinul III nu mai acceptă ipoteza micilor deplasări el referindu-se

la cazul deformaţiilor mari cacircnd ecuaţiile de echilibru trebuie scrise pentru starea

deformată

Chiar dacă materialul satisface legea lui Hooke icircn urma calculelor de ordinul II

se obţin de obicei relaţii neliniare icircntre sarcini şi deplasări iar pentru calculul de ordinul

III rezultă ecuaţii diferenţiale neliniare

Principiul efectului local al acțiunii sarcinilor enunțat de Barre de Saint-

Venant Acest principiu destul de folosit icircn Rezistenţa Materialelor precizează că dacă

se icircnlocuiesc forţele care acţionează asupra unui element de suprafață al unui corp

elastic printr-un alt sistem de forţe echivalent din punct de vedere static cu primul noua

distribuţie a forţelor produce la locul de aplicare diferenţe semnificative faţă de prima

dar rămacircne fără efect sau cu efect neglijabil la distanţe mari de locul de aplicare al

forţelor figura 312

Ca o cosecință o sarcină uniform distribuită figura 312a poate fi icircnlocuită cu

rezultanta ei figura 312b dacă se analizează efectul sarcinii la distanță mare de locul icircn

care se aplică sarcina

Fig 312 Principiul Saint-Venant

Icircn prima variantă figura 312a forţa 119865 se aplică pe o porțiune oarecare 119897 (sarcină

uniform distribuită) iar icircn a doua figura 312b icircntru-un punct (forţă concentrată) La

locul de aplicare a sarcinii efectul asupra barei este cu totul diferit de la o variantă la

cealaltă Icircnsă la o distanţă mare de punctul de aplicaţie spre exemplu icircn secţiunea situată

la distanţa 119886 de capătul barei sau chiar icircn icircncastrare ambele bare sunt solicitate la fel

Icircn cazul din figura 312a

119872119894(119909) =119901 ∙ 1199092

2 119909 le 119897 119872119894(119909) = 119901 ∙ 119897 ∙ (119909 minus

119897

2) 119909 gt 119897 (324)

Icircn cazul din figura 312b

119872119894(119909) = 0 119909 lt119897

2 119872119894(119909) = 119901 ∙ 119897 ∙ (119909 minus

119897

2) 119909 gt

119897

2 (325)

Se vede că pentru (119909 gt 119897) adică după depășirea locului icircn care se aplică sarcina

efectul este același

Ipoteza lui Bernoulli sau ipoteza secţiunilor plane precizează că o secţiune

plană şi normală pe axa barei icircnainte de deformare rămacircne plană şi normală pe axa

barei şi după deformare figura 313

Fig 313 Ipoteza lui Bernoulli

Ipoteza stării naturale a corpului sau ipoteza absenţei tensiunilor conform

căreia pentru un corp nesolicitat starea de tensiune şi deformaţie este nulă

Perfecţionarea mijloacelor de calcul şi de investigare pot conduce la renunţarea la

unele ipoteze sau la introducerea altora noi mai aproape de stările reale De aici rezultă

caracterul de continuă perfecţionare a metodelor Rezistenţei Materialelor

35 Coeficienţi de siguranţă Tensiuni admisibile

O piesă corespunde din punct de vedere tehnic dacă tensiunile care iau naştere icircn

interiorul piesei datorită sarcinilor aplicate nu depăşesc anumite valori limită stabilite

convenţional Aceste valori limită ale tensiunii sunt corelate cu caracteristicile mecanice

ale materialelor

Tensiunea limită utilizată icircn calculele de rezistenţă este cunoscută sub denumirea

de tensiune admisibilă sau rezistenţă admisibilă Rezistenţa admisibilă reprezintă

valoarea convenţională aleasă icircn calcul pe baza practicii pentru tensiunea maximă care

poate apare icircntr-o piesă icircn condiţii date de material şi solicitare

Rezistenţa admisibilă (120590119886 sau 120591119886) poate fi definită faţă de o stare limită

periculoasă stare care trebuie evitată deoarece poate conduce distrugere

120590119886 =120590119897119894119898119888

(326)

unde

120590119897119894119898 este tensiunea corespunzătoare stării limită periculoase

119888 estesupraunitar 119888 gt 1 și reprezintă coeficientul de siguranţă faţă de starea limită

periculoasă considerată

Alegerea unor valori inferioare pentru rezistenţa admisibilă faţă de tensiunea

corespunzătoare stării limită periculoase este necesară deoarece

cunoaşterea sarcinilor este de cele mai multe ori aproximativă şi o depăşire a

acestora este foarte posibilă

caracteristicile mecanice ale materialelor variază icircn limite destul de mari ele

fiind influenţate de mulţi factori

schema aleasă pentru calcul (aplicarea sarcinilor schematizarea structurii

ipotezele de calcul etc) depărtează modelul faţă de cel real

Pentru calculele de verificare tensiunea efectivă maximă din elementul de

rezistenţă trebuie să fie mai mică sau cel mult egală cu cea admisibilă

120590119890119891119898119886119909 le 120590119886 (327)

Valoarea rezistenţei admisibile este influenţată de foarte mulţi factori natura

materialului tratamentele termice aplicate piesei durata de funcţionare a piesei modul

de acţionare icircn timp a sarcinilor felul solicitării temperatura gradul de periculozitate

icircn cazul cedării piesei etc

De asemenea valoarea coeficientului de siguranţă se alege icircn principal ţinacircnd

seama de aceiaşi factori care influenţează şi rezistenţa admisibilă

Rezistenţele admisibile pentru cacircteva materiale sunt următoarele

pentru oțelul de uz general OL37 solicitat la icircntindere compresiune sau

icircncovoiere 120590119886 = 150 [119872119875119886] pentru lemnul de brad solicitat la

- compresiune icircn lungul fibrelor şi solicitat la icircncovoiere 120590119886 = 10 [119872119875119886] - tracţiune icircn lungul fibrelor 120590119886 = 7 [119872119875119886] - compresiune perpendiculară pe fibre 120590119886 = 15 [119872119875119886] - forfecare icircn lungul fibrelor 120591119886 = 2 [119872119875119886] - forfecare perpendiculară pe fibre 120590119886 = 45 [119872119875119886]

terenuri de fundaţie din pămacircnt uscat sau umed 120590119886 = 020 divide 025 [119872119875119886]

4 CARACTERISTICI GEOMETRICE ALE SECȚIUNILOR PLANE

41 Noţiuni introductive

Icircn relaţiile de calcul ale tensiunilor şi deformaţiilor elementelor de rezistenţă

pentru unele solicitări (icircncovoierea și torsiunea) secțiunile plane intervin atacirct prin

dimensiunile lor (aria 119860) cicirct și prin forma și poziția pe care o are secțiunea icircn raport cu

planul solicitării Mărimile care caracterizează o secțiune icircn raport cu forma și poziția față

de axele unui sistem de referință sunt denumite caracteristici geometrice de ordin

superior Aria secțiunii este caracteristica geometrică ce depinde doar de dimensiunile

geometrice ale acesteia

Să considerăm o grindă solicitată de o forță exterioară 119865 aşezată icircn două poziții icircn

raport cu planul forţei figura 41 Icircn urma aplicării forței deși avem aceeași grindă

(aceeași arie a secțiunii transversale) și aceeași forță se constată că pentru varianta din

figura 41a deformațiile sunt mult mai mari adică rezistența la icircncovoiere a grinzii din

figura 41a este mai mare decacirct icircn cazul grinzii din figura 41b Comportarea diferită se

explică prin aceea că modificarea poziţiei secţiunii transversale faţă de planul forţelor

modifică caracteristicile geometrice ale secţiunii transversale a grinzii

Fig 41 Grindă solicitată de forța 119865

Pentru realizarea calculelor de rezistenţă şi rigiditate este foarte importantă

cunoaşterea caracteristicilor geometrice ale suprafeţei secţiunii transversale a elementelor

de rezistenţă

Caracteristicile geometrice ale secţiunii transversale a unui element de rezistenţă

sunt

- aria secțiunii notată cu 119860

- momentul static icircn raport cu o axă notat 119878119911 și respectiv 119878119910

- momentul de inerție care poate fi

axial notat 119868119911 și respectiv 119868119910

centrifugal notat 119868119911119910

polar notat 119868119901

- raza de inerţie (giraţie)notată 119894119911 și respectiv 119894119910

- modulul de rezistență care poate fi

axial notat 119882119911 și respectiv 119882119910

polar notat 119882119901

42 Aria și momentul static al suprafețelor plane

Fie o suprafaţă plană de arie 119860 pe care se ia un element infinit mic de arie 119889119860 şi

un sistem de axe rectangulare 119911119874119910 figura 42 Notăm cu 119862 centrul de greutate al suprafeţei

119860 Poziţia suprafeţei elementare 119889119860 faţă de acelaşi sistem de coordonate 119911119874119910 este dată

de abscisa 119911 ordonata 119910 și raza polară

Fig 42 Suprafață plană de arie 119860

Aria suprafeţei 119860 figura 42 se defineşte ca fiind

119860 ≝ int 119889119860

119860

(41)

Aria suprafeţei este icircntotdeauna pozitivă și se măsoară icircn [1198981198982] Momentul static al suprafeţei de arie 119860 icircn raport cu axele 119874119911 și respectiv 119874119910

figura 42 sunt date de relaţiile

119878119911 ≝ int 119910 ∙ 119889119860

119860

119878119910 ≝ int 119911 ∙ 119889119860

119860

(42)

Momentul static poate fi pozitiv negativ sau nul şi se măsoară icircn [1198981198983] Coordonatele centrului de greutate ale suprafeței 119860 se detrmină cu relațiile

119910119862 ≝int 119910 ∙ 119889119860119860

119860 119911119862 ≝

int 119911 ∙ 119889119860119860

119860

(43)

Cunoscacircnd coordonatele 119910119862 și 119911119862 ale centrului de greutate 119862 al secțiunii 119860 atunci

momentele statice se pot determina cu relațiile

119878119911 ≝ int 119910 ∙ 119889119860

119860

= 119910119862 ∙ 119889119860 119878119910 ≝ int 119911 ∙ 119889119860

119860

= 119911119862 ∙ 119889119860 (44)

Aceste relații arată că momentul static al unei suprafețe icircn raport cu o axă este

egal cu produsul dintre aria suprafeței și distanța de la centrul ariei la axa respectivă

Dacă suprafaţa se poate descompune icircn 119899 suprafeţe simple la care se cunosc ariile

(1198601 1198602 ⋯ 119860119894⋯ 119860119899) și poziţiile centrelor de greutate 119862119894 faţă de sistemul de referinţă

expresiile momentelor statice capătă următoarea formă

119878119911 = sum 119910119862119894 ∙ 119860119894119899119894=1 = 119910119862 ∙ 119860 119878119910 = sum 119911119862119894 ∙ 119860119894

119899119894=1 = 119911119862 ∙ 119860 (45)

Din relaţiile (45) rezultă că poziţia centrului de greutate 119862 al unei suprafeţe

compuse poate fi determinată cu relaţiile

119910119862 = (sum119910119862119894 ∙ 119860119894

119899

119894=1

) 119860frasl 119911119862 = (sum119911119862119894 ∙ 119860119894

119899

119894=1

) 119860frasl (46)

Icircn relația (45) 119910119862119894 și respectiv 119911119862119894 reprezintă coordonatele centrelor de greutate 119862119894

ale fiecărei suprafețe simple 119860119894 icircn raport sistemul de axe 119911119874119910

Se constată (relaţia 42) că dacă axele sistemului de referinţă trec prin centrul de

greutate (119910119862 = 119911119862 = 0) momentele statice sunt nule Axele icircn raport cu care momentele

statice sunt nule şi care trec prin centrul de greutate al suprafeţei se numesc axe centrale

Observație dacă secțiunea compusă are o axă de simetrie centrul secțiunii se

găsește pe acea axă iar dacă secțiunea este dublu simetrică poziția centrului secțiunii este

la intersecția axelor de simetrie

43 Momente de inerţie

Momentele de inerţie axiale ale unei suprafețe se calculează icircn raport cu axele de

coordonate 119874119911 și respectiv 119874119910 figura 42 și se determină cu relațiile

119868119911 ≝ int 1199102 ∙ 119889119860

119860

119868119910 ≝ int 1199112 ∙ 119889119860

119860

(47)

Unde 119910 și 119911 sunt distanțele de la elementul de arie 119889119860 la cele două axe de

coordonate 119874119911 și respectiv 119874119910

Momentele de inerţie axiale se măsoară icircn [1198981198984] şi sunt icircntotdeauna pozitive (aria

119889119860 este icircntotdeauna pozitivă și este multiplicată cu patratul distanței 1199102 dacă 119868119911 sau 119868119910

sunt nule icircnseamnă ca secțiunea nu există)

Momentele de inerție axiale se calculează icircndeosebi pentru axele centrale (care

trec prin centrul secțiunii) deoarece icircn raport cu acele axe 119868119911 și 119868119910 au valori minime

Momentul de inerţie centrifugal calculat faţă ambele axe ale sistemului de

referinţă 119911119874119910 este definit de relația

119868119911119910 ≝ int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860

(48)

Momentul de inerţie centrifugal se măsoară icircn [1198981198984] şi poate fi pozitiv negativ

sau nul

Momentul de ineție centrifugal este nul 119868119911119910 = 0 dacă cel puțin una din axele 119874119911

sau 119874119910 este axă de simetrie pentru secțiune

Se consideră o suprafaţă dreptunghiulară pe care faţă de axa de simetrie 119874119910 se iau

două suprafeţe elementare de arie 119889119860 simetrice faţă de axa 119874119910 figura 43

Fig 43 Suprafață dreptunghiulară cu două arii elementare 119889119860

Făcacircnd suma momentelor de inerţie centrifugale pentru cele două suprafeţe

elementare 119889119860 (din stacircnga şi din dreapta faţă de axa 119874119910) se obţine

int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860119889119903

+ int (minus119911) ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860119904119905119892

= int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860119889119903

minus int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860119904119905119892

= 0 (49)

Acelaşi raţionament se poate face și pentru icircntreaga suprafaţă de unde obținem că

momentul de inerție centrifugal este nul 119868119911119910 = 0 Deci pentru o suprafaţă plană care

are cel puţin o axă de simetrie momentul de inerţie centrifugal faţă de sistemul care

conţine acea axă de simetrie este nul

Momentul de inerţie polar al unei suprafeţei icircn raport cu un punct (pol) 119874 figura

42 este definit prin relaţia

1198680 = 119868119901 ≝ int 1205882 ∙ 119889119860

119860

= int(1199102 + 1199112) ∙ 119889119860

119860

= 119868119911 + 119868119910 (410)

unde este distanţa de la polul 119874 la elementul de arie 119889119860 Momentul de inerţie polar se

măsoară icircn [1198981198984] şi este totdeauna pozitiv

Momentul de inerţie polar este egal cu suma momentelor de inerţie faţă de două axe

perpendiculare oarecare şi care trec prin polul considerat

Razele de giraţie sau razele de inerţie sunt mărimi calculate icircn raport cu axele

secțiunii și definite de relaţiile

119894119911 ≝ radic119868119911119860 119894119910 = radic

119868119910

119860 (411)

Se exprimă icircn [119898119898] şi sunt icircntotdeauna pozitive Semnificația unei raze de inerție

este distanța la care dacă ar fi concentrată icircntreaga arie s-ar obține același moment de

inerție ca și cel calculat pentru aria reală

44 Modulul de rezistenţă

Modulul de rezistență se calculează icircn raport cu axele de referință sau icircn raport cu

un pol figura 42 și pot fi axiale (119882119911119882119910) sau polar (119882119901) și se determină numai pe baza

momentelor de inerţie cu relațiile figura 43

119882119911119898119894119899 ≝119868119911119910119898119886119909

119882119911119898119886119909 ≝119868119911119910119898119894119899

(412)

119882119910119898119894119899 ≝119868119910

119911119898119886119909 119882119910119898119886119909 ≝

119868119910

119911119898119894119899 (413)

119882119901 ≝119868119901

120588119898119886119909 (414)

unde

119910119898119886119909 119910119898119894119899 reprezintă distanţa de la axa 119874119911 la punctele extreme cele mai

depărtate respectiv cele mai apropiate ale suprafeţei de această axă

119911119898119886119909 119911119898119894119899 reprezintă distanţa de la axa 119874119910 la punctele extreme cele mai

depărtate respectiv cele mai apropiate ale suprafeţei de această axă

120588119898119886119909 reprezintă distanța maximă de la polul 119874 la punctul secțiunii cel mai

icircndepărtat de acesta

Fig 43 Suprafață dreptunghiulară cu două arii elementare 119889119860

Modulele de rezistenţă se exprimă icircn [1198981198983] şi sunt icircntotdeauna pozitive

Explicația este aceea că momentele de inerție care intră icircn relațiile de definiție sunt

pozitive iar distanțele la punctele extreme sunt pozitive (119910119898119886119909 119910119898119894119899 119911119898119886119909 119911119898119894119899 120588119898119886119909 se

iau icircn valoare absolută)

Icircn cazul suprafeţelor compuse modulul de rezistenţă nu se obţine prin icircnsumarea

algebrică a modulelor de rezistenţă ale suprafeţelor simple componente ci numai prin

intermediul momentului de inerţie axial calculat pentru icircntreaga secțiune

Ca și momentele de inerție modulele de rezistență se calculează numai pentru

sistemele de axe centrale

45 Momente de inerţie şi module de rezistenţă pentru suprafeţe simple

451 Secțiune dreptunghiulară

Fie suprafaţa dreptunghiulară din figura 44 de icircnălțime ℎ și lățime 119887 pe care se

consideră suprafaţă elementară de arie 119889119860 = 119887119889119910 la distanța 119910 de axa 119862119911 sistemul de

axe 119911119862119910 trece prin centrul secțiunii iar axele sunt axe de simetrie pentru dreptunghi

Fig 44 Suprafață dreptunghiulară

Pe baza relațiilor de definiți a momentului de inerție 119868119911 se obține

119868119911 ≝ int 1199102 ∙ 119889119860

119860

= int 1199102 ∙ 119887 ∙ 119889119910 = 2int 1199102 ∙ 119887 ∙ 119889119910 = 2 ∙ 119887 ∙1199103

3|ℎ 2frasl

0rArr

ℎ 2frasl

0

ℎ 2frasl

minusℎ 2frasl

rArr 119868119911 =119887 ∙ ℎ3

12

(415)

Analog pentru un element de arie 119889119860 = ℎ ∙ 119889119911 paralel cu axa 119862119910 situat la distanța

119911 de axa 119862119910

119868119910 ≝ int 1199112 ∙ 119889119860

119860

= int 1199112 ∙ ℎ ∙ 119889119911 = 2int 1199112 ∙ ℎ ∙ 119889119910 = 2 ∙ ℎ ∙1199113

3|119887 2frasl

0rArr

119887 2frasl

0

119887 2frasl

minus119887 2frasl

rArr 119868119910 =1198873 ∙ ℎ

12

(416)

Deoarece axele 119862119911 și 119862119910 sunt axe de simetrie momentul de inerție centrifugal este

119868119911119910 = 0 (417)

Pentru un pătrat avacircnd laturile egale (ℎ = 119887 = 119886) momentele de inerţie faţă de

axele centrale au expresia

119868119911 = 119868119910 =1198864

12 (418)

Modulele de rezistență axiale se calculează cu relațiile de definiție ținacircnd cont că

distanțele pacircnă la fibrele extreme sunt

119910119898119886119909 = 119910119898119894119899 =ℎ

2 119911119898119886119909 = 119911119898119894119899 =

119887

2 (419)

Obținem

119882119911119898119894119899 = 119882119911119898119886119909 =119868119911

119910119898119886119909119898119894119899=119887 ∙ ℎ3

12frasl

ℎ2frasl

=119887 ∙ ℎ2

6

119882119910119898119894119899 = 119882119910119898119886119909 =119868119910

119911119898119886119909119898119894119899=1198873 ∙ ℎ

12frasl

1198872frasl

=1198872 ∙ ℎ

6

(420)

452 Suprafaţă circulară

Din motive de simetrie pentru suprafeţele circulare momentele de inerţie faţă de

orice diametru (care reprezintă şi axe centrale) sunt aceleaşi

Considerăm o secțiune circulară plină cu diametrul 119889 și centrul de greutate 119862 Prin

centrul de greutate 119862 trece sistemul de axe ortogonal 119911119862119910 figura 45

Fig 45 Suprafață circulară

La distanța de centrul de greutate 119862 vom lua un element de suprafață mic de arie

(119889119860) de forma unui inel de grosime 119889 Elementul de arie 119889119860 are expresia

119889119860 = (2 ∙ 120587 ∙ 120588) ∙ (119889120588)

Pornind de la relația de definiție a momentului de inerție polar obținem

119868119901 ≝ int 1205882 ∙ 119889119860

119860

= int 1205882 ∙ (2 ∙ 120587 ∙ 120588) ∙ 119889120588

119903=119889 2frasl

0

= 2 ∙ 120587 ∙1205884

4|119889 2frasl0 rArr

rArr 119868119901 =120587 ∙ 1198894

32

(421)

Secțiunea este perfect simetrică deci sunt valabile relațiile

119868119911 = 119868119910 rArr 119868119901 = 119868119911 + 119868119910 = 2 ∙ 119868119911 = 2 ∙ 119868119910 =119868119901

2=120587 ∙ 1198894

64 (422)

Și modulele de rezistenţă faţă de orice diametru sunt egale şi se calculează cu

relaţiile

119882119911 = 119882119910 =1198681199111198892frasl=120587 ∙ 1198893

32 (423)

Modulul de rezistenţă polar este

119882119901 =1198681199011198892frasl=120587 ∙ 1198893

16 (424)

453 Secţiune inelară

Calculul momentelor de inerţie axiale pentru o secţiune inelară avacircnd diametrul

interior 119889 şi diametrul exterior 119863 se determină analog pentru suprafaţa circulară plină cu

observaţia că integrala pentru calculul momentului de inerție polar 119868119901 se face icircntre

limitele 119903 = 119889 2frasl şi R= 1198632frasl (icircntre raza interioară 119903 şi raza exterioară 119877) figura 46

Se obţin relaţiile

119868119901 =120587 ∙ 1198634

32∙ [1 minus (

119889

119863)4

] =120587 ∙ 1198634

32∙ (1 minus 1198964) (425)

119868119910 = 119868119910 =120587 ∙ 1198634

64∙ [1 minus (

119889

119863)4

] =120587 ∙ 1198633

64∙ (1 minus 1198964) (426)

Fig 46 Secțiune inelară

119882119901 =120587 ∙ 1198633

16∙ [1 minus (

119889

119863)4

] =120587 ∙ 1198633

16∙ (1 minus 1198964) (427)

119882119911 = 119882119910 =120587 ∙ 1198633

32∙ [1 minus (

119889

119863)4

] =120587 ∙ 1198633

32∙ (1 minus 1198964) (428)

unde 119896 = 119889119863frasl

46 Variaţia momentelor de inerţie faţă de axe paralele

( Relațiile lui STEINER)

Se consideră o suprafaţă oarecare de arie 119860 cu elementul de arie 119889119860 și un sistemul

de axe central 119911119862119910 faţă de care se cunosc momentele de inerţie 119868119911 119868119910 119868119911119910 şi considerăm

un sistem de axe 11991111198741199101 paralele cu sistemul central figura 47 Se pune problema

determinării momentele de inerţie 1198681199111 1198681199101 11986811991111199101 faţă de sistemul de axe paralel cu sistemul

central 11991111198741199101 axe aflate la distanţele 119910119862 = 119888 respectiv 119911119862 = 119889 de acesta

461 Momente de inerţie axiale

Pe baza relaţiilor de definire şi a notaţiilor din figura 42 pentru momentele de

inerţie faţă de axele 1198741199111 1198741199101 se poate scrie

1198681199111 = int 11991012 ∙ 119889119860

119860

= int(119910 + 119888)2 ∙ 119889119860

119860

= int 1199102 ∙ 119889119860

119860

+ 2 ∙ 119888 ∙ int 119910 ∙ 119889119860

119860

+

+1198882int 119889119860

119860

rArr 1198681199111 = 119868119911 + 2 ∙ 119888 ∙ 119878119911 + 1198882 ∙ 119860 hArr 1198681199111 = 119868119911 + 119888

2 ∙ 119860

(429)

Fig 47 Variaţia momentelor de inerţie față de axe paralele

S-a ajuns la relația (429) deoarece momentul static 119878119911 este nul deoarece axa 119862119885

este axă centrală

Pentru momentul de inerție axial icircn raport cu axa 1198741199101 se obține

1198681199101 = int 11991112 ∙ 119889119860

119860

= int(119911 + 119889)2 ∙ 119889119860

119860

= int 1199112 ∙ 119889119860

119860

+ 2 ∙ 119889 ∙ int 119911 ∙ 119889119860

119860

+

+1198892 ∙ int 119889119860

119860

rArr 1198681199101 = 119868119910 + 2 ∙ 119889 ∙ 119878119910 + 1198892 ∙ 119860 hArr 1198681199101 = 119868119910 + 119889

2 ∙ 119860

(430)

Pentru momentul de inerție centrifugal obținem

11986811991111199101 = int 1199101 ∙ 1199111 ∙ 119889119860

119860

= int(119910 + 119888) ∙ (119911 + 119889) ∙ 119889119860

119860

= int 119910 ∙ 119911 ∙ 119889119860 +

119860

+119888 ∙ int 119911 ∙ 119889119860

119860

+ 119889 ∙ int 119910 ∙ 119889119860

119860

rArr 11986811991111199101 = 119868119911119910 + 119888 ∙ 119889 ∙ 119860

(431)

Deoarece

int 119911 ∙ 119889119860

119860

= 119878119910 = 0 int 119910 ∙ 119889119860

119860

= 119878119911 = 0 int 119910 ∙ 119911 ∙ 119889119860

119860

= 119868119911119910

Relaţiile (429) şi (430) arată că momentul de inerţie faţă de o axă oarecare

este egal cu momentul de inerţie faţă de o axă paralelă cu ea trecacircnd prin centrul de

greutate la care se adaugă produsul dintre aria suprafeţei şi pătratul distanţei dintre

cele două axe

Din relaţiile (429) și (430) rezultă de asemenea că momentul de inerţie faţă de o

axă centrală (care trece prin centrul de greutate) este cel mai mic dintre infinitatea de

momente de inerţie obținute faţă de alte axe paralele cu ea

Relaţia (431) arată de asemenea că momentul de inerţie centrifugal faţă de un

sistem de axe oarecare este egal cu momentul de inerţie centrifugal faţă de un sistem

paralele cu el trecacircnd prin centrul de greutate a suprafeţei la care se adaugă produsul

dintre aria suprafeţei şi distanţele dintre axele sistemelor respective

Icircn literatura de specialitate relaţiile (429) (430) şi (431) sunt cunoscute sub

numele de relaţiile lui Steiner

47 Variaţia momentrlor de inerţie faţă de axe rotite

Direcţii principale şi momente de inerţie principale

Fie suprafaţa plană din figura 48 de arie 119860 pe care considerăm o suprafaţă

elementară de arie 119889119860 Pentru sistemul de axe 119911119874119910 se cunosc momentele de inerţie

119868119911 119868119910 119868119911119910 şi vom determina relaţiile de calcul pentru momentele de inerţie afererent unui

sistem de axe 11991111198741199101 rotit cu un unghi faţă de sistemul central

Faţă de sistemul de axe 11991111198741199101 elementul de arie 119889119860 are coordonatele

1199101 = 119875119877 = 119875119876 minus 119877119876 = 119910 ∙ cos 120572 minus 119911 ∙ sin 120572

1199111 = 119873119872 = 119873119875 minus 119875119872 = 119911 ∙ cos 120572 + 119910 ∙ sin 120572 (432)

Fig 47 Variaţia momentelor de inerţie față de axe rotite

Pe baza relaţiilor de calcul ale momentelor de inerţie şi a notaţiilor din figura 42

şi ale relaţiilor (432) momentele de inerţie faţă de sistemul de axe rotit 11991111198741199101 sunt

1198681199111 =119868119911 + 119868119910

2+119868119911 minus 119868119910

2∙ cos 2120572 minus 119868119911119910 ∙ sin 2120572 (433)

1198681199101 =119868119911 + 119868119910

2minus119868119911 minus 119868119910

2∙ cos 2120572 + 119868119911119910 ∙ sin 2120572 (434)

11986811991111199101 =119868119911 minus 119868119910

2∙ sin 2120572 + 119868119911119910 ∙ cos 2120572 (435)

Din relaţiile 433divide435 se observă că icircntre momentele de inerţie axiale şi cele

polare există relaţia

1198681199111 + 1198681199101 = 119868119911 + 119868119910 = 119868119901 (436)

adică suma momentelor de inerţie axiale icircn raport cu orice pereche de axe ortogonale

care trec printr-un pol dat este o constantă şi egală cu momentul de inerţie polar

Prin rotirea sistemului de axe din relaţiile 433divide435 rezultă că momentele de inerţie

variază icircnsă suma lor rămacircne constantă deci există o poziţie a sistemului de axe pentru

care momentele de inerţie au valori extreme maxim respectiv minim

471 Direcţii principale de inerţie

Valoarea unghiului 120572 pentru care momentele de inerţie axiale au valori extreme

este

1205721 =1

2∙ 119886119903119888119905119886119899 (minus

2 ∙ 119868119911119910

119868119911 minus 119868119910) (437)

Poziţia celeilalte direcţii este perpendiculară pe cea dată de unghiul 1205721

Din relaţia (437) se constată că faţă de aceste direcţii rotite pentru care momentele

de inerţie axiale prezintă valori extreme momentul de inerţie centrifugal 11986811991111199101este nul

Atunci se poate afirma că momentele de inerţie axiale au valori extreme icircn raport cu

direcţiile faţă de care momentul de inerţie centrifugal este nul Aceste direcţii se numesc

direcţii principale iar momentele de inerţie faţă de aceste direcţii poartă numele de

momente de inerţie principale

Icircn calculele de rezistenţă interesează icircn mod special poziţia direcţiilor principale

care trec prin centrul de greutate al suprafeţei aşa numitele direcţii principale centrale şi

evident momentele de inerţie principale centrale

Direcţiile principale de inerţie se notează cu 1 respectiv 2 Axa principală 1

corespunde direcţiei faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea maximă iar

axa principală 2 pentru direcţia faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea

minimă

472 Momente de inerţie principale

Momentele de inerţie principale se notează cu litera 119868 la care se pune indicele 1

sau 2 după cum valoarea acestuia este maximă sau minimă deci avem un moment de

inerţie principal 1 (notat 1198681) respectiv moment de inerţie principal 2 (notat 1198682)

Expresiile pentru momentele de inerţie principale sunt

11986812 =119868119911 + 119868119910

2plusmn1

2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)

2+ 4 ∙ (119868119911119910)

2 (438)

Dacă momentul de inerţie centrifugal este negativ (119868119911119910 lt 0) direcţia principală

care trece prin primul cadran (definit de sistemul 119911119862119910) este direcţia principală 120783

Pentru suprafeţele cu cel puţin o axă de simetrie direcţiile centrale 119862119911 119862119910 sunt şi

direcții principale de inerţie și evident momentele de inerţie axiale 119868119911 119868119910 sunt momente

de inerţie principale

48 Caracteristici mecanice ale metalelor

Alegerea materialului pentru confecţionarea unei anumite piese se face şi pe baza

aşa numitelor caracteristici mecanice pe care le prezintă materialul Cunoaşterea acestor

caracteristici mecanice are loc numai pe baza unor icircncercări mecanice care să scoată icircn

evidenţă comportarea materialului icircn condiţii de solicitare

Cea mai utilizată icircncercare icircn urma căreia se pun icircn evidenţă caracteristicile

mecanice ale unui material este icircncercarea la tracţiune

481 Icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general

Icircncercarea la tracţiune a oţelului ca de altfel toate icircncercările de materiale este

standardizată

Icircn cele ce urmează se va prezenta numai partea care interesează strict din punct

de vedere al caracteristicilor mecanice ale oţelului

Epruveta de diametru iniţial 1198890 pentru icircncercarea la tracţiune are o porţiune de

lungime 1198710 numită baza de măsurare pe care se măsoară lungirea acesteia sub acţiunea

solicitării

Icircn funcţie de raportul dintre baza de măsurare 1198710 şi diametrul iniţial 1198890 epruvetele

utilizate pentru icircncercări sunt

epruvete normale (scurte) cacircnd 11987101198890 = 5

epruvete lungi cacircnd 11987101198890 = 10

Icircn timpul icircncercării la diferite valori ale forţei 119865 se măsoară lungirea bazei de

măsurare

∆119871 = 120575 = 119871 minus 1198710 (439)

unde

119871 este dimensiunea bazei de măsurare la un moment dat

Curba forţă-lungire (119865 minus ) icircnregistrată icircn urma icircncercării reprezintă curba

caracteristică la tracţiune

La icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general diagrama caracteristică care se

obţine are forma din figura 48

Curba caracteristică la tracţiune depinde de lungimea bazei de măsurare Pentru

icircnlăturarea acestui neajuns curba caracteristică se reprezintă icircn coordonate şi definite

astfel

120590 =119865

1198600 휀 =

120575

1198710 (440)

unde

1198600 este aria iniţială a secţiunii transversale a epruvetei (icircnainte de solicitare) icircn

zona bazei de măsurare

1198600 =120587 ∙ 1198890

2

4

Deoarece mărimile icircn care se reprezintă curba caracteristică la tracţiune sunt

raportate la aria iniţială a secţiunii transversale (mărimi specifice) curba poartă numele

de curbă caracteristică convenţională la tracţiune

Fig 48 Curba caracteristică convenţională la tracțiune

Pe curba caracteristică convenţională la tracţiune figura 48 se pot stabili o serie

de puncte cărora le corespund mai multe mărimi importante

Ordonata punctului A pacircnă unde curba caracteristică convenţională este linie

dreaptă se numeşte limita de proporţionalitate a materialului 120590119901(1205901) Porţiunea 119874119860 este

zona de proporţionalitate a curbei caracteristice pe acest domeniu este valabilă legea lui

Hooke care exprimă o proporţionalitate icircntre tensiune şi deformaţie specifică

120590 = 119864 ∙ 휀 (441)

unde

119864 = reprezintă panta porţiunii liniare a curbei convenționale caracteristice

la tracțiune Caracteristica de material 119864 se numeşte modul de elasticitate longitudinal

(modulul lui Young)

Ordonata punctului 119861 pacircnă unde materialul se comportă perfect elastic adică

după descărcare icircşi recapătă dimensiunea iniţială 1198710 se numeşte limita de elasticitate

120590119890(119877119890) Icircn realitate nici un material nu are comportare perfect elastică sub acţiunea

solicitărilor el capătă deformaţii permanente (remanente plastice)

După punctul 119861 urmează o porţiune 119861119862119863 icircn care cu toate că icircncărcarea

continuă forţa nu mai creşte avacircnd mici oscilaţii icircn jurul unei valori Se spune că icircn

această porţiune materialul curge iar intervalul 119861119862119863 este un palier de curgere Tensiunea

corespunzătoare palierului de curgere se numeşte limită de curgere aparentă 120590119888(119877119888) Limita de curgere aparentă se calculează cu relaţia

120590119888 =1198651198881198600 (442)

unde

119865119888 reprezintă valoarea forţei icircnregistrată icircn momentul curgerii materialului

După punctul 119863 curba caracteristică are un traseu ascendent pacircnă icircn punctul 119864

Porţiunea 119863119864 este numită zonă de icircntărire (ecruisare) Icircn zona de ecruisare unde se

produc deformaţii plastice semnificative legea lui Hooke nu mai este valabilă La

descărcare relaţia dintre tensiunea şi deformaţia specifică este liniară paralelă cu

porţiunea liniară a curbei caracteristice (dreapta 119872119873)

Deformaţia totală (휀119905) are două componente una elastică (휀119890) şi una plastică (휀119901)

Ordonata punctului 119864 reprezintă rezistenţa de rupere 120590119903(119877119898) a materialului

care se poate calcula cu relaţia

120590119903 = 119877119898 =1198651198981198861199091198600

(443)

unde

119865119898119886119909 reprezintă valoarea maximă a forţei icircnregistrată icircn timpul icircncercării

La atingerea valorii 119865119898119886119909 (punctul 119864) icircntr-un anumit loc al epruvetei secţiunea

icircncepe să se micşoreze (se produce gacirctuirea) continuacircnd pacircnă cacircnd se produce ruperea

totală (punctul 119865)

Dacă după ruperea epruvetei cele două părţi rezultate se aşează cap la cap şi se

măsoară dimensiunea bazei de măsurare 119871119906 (lungimea ultimă) se determină alungirea la

rupere sau lungirea specifică la rupere 휀119903

휀119903 =119871119906 minus 11987101198710

=∆119871

1198710=120575

1198710 (444)

De obicei alungirea se exprimă icircn procente şi se notează cu 119860119899 unde 119899 reprezintă

numărul dat de raportul 11987101198890 (epruvete normale 119899 = 5 epruvete lungi 119899 = 10)

119860119899 =119871119906 minus 11987101198710

∙ 100 [] (445)

Altă mărime care se determină la icircncercarea la tracţiune este gacirctuirea la rupere

(exprimată de obicei icircn procente) şi definită de relaţia

119885 =1198600 minus 1198601199061198600

∙ 100 [] (446)

Mărimile determinate limita de proporţionalitate modulul de elasticitate

longitudinal limita de elasticitate limita de curgere aparentă rezistenţa de rupere

alungirea la rupere şi gacirctuirea la rupere sunt cunoscute ca fiind caracteristici mecanice

ale materialului

Din curba caracteristică convenţională observăm faptul că ruperea (punctul 119865 din

figura 48 se produce la o tensiune mai mică decacirct cea corespunzătoare punctului 119864 Dacă

icircnsă forţa din timpul icircncercării s-ar raporta la aria secţiunii din momentul icircnregistrării

forţei (care este mai mică decacirct cea iniţială 1198600) s-ar obţine aşa numita curbă

caracteristică reală a materialului (traseul 1198741198601198611198621198631198651 din figura 48) La curba

caracteristică reală ruperea se produce icircn punctul 1198651 la o icircncărcare mai mare decacirct cea

corespunzătoare punctului 119864 Icircnseamnă că rezistenţa reală la rupere este mai mare decacirct

rezistenţa la rupere dată de punctul 119864 din diagrama caracteristică convenţională

Dificultatea obţinerii diagramei caracteristice reale faţă de cea a diagramei caracteristice

convenţionale şi considerarea unei rezistenţe la rupere mai mică decacirct a celei reale face

icircn practică utilizarea pe scară mare a diagramei caracteristice convenţionale

Caracteristicile mecanice determinate pe baza curbei caracteristice convenţionale

sunt şi ele caracteristici mecanice convenţionale

Caracteristicile mecanice convenţionale limita de proporţionalitate convenţională

120590119901 limita de elasticitate convenţională 120590119890 limita de curgere convenţională 120590119888 şi rezistenţa

de rupere 120590119903 constituie tensiuni limită pentru un material Pe baza acestor caracteristici

de material se alege valoarea tensiunii admisibile 120590119886 (vezi paragraful 35) pentru

calculele de rezistenţă Cea mai utilizată stare limită pentru stabilirea tensiunii admisibile

120590119886 este limita de curgere convenţională 120590119888

120590119886 =120590119897119894119898119888

=120590119888119888 119904119886119906 120590119886 =

120590119903119888 (447)

Caracteristicile mecanice ale materialului sunt influenţate de o serie de factori

temperatura viteza de solicitare factorii tehnologici iar valorile lor sunt date icircn tabele și

diagrame

Aplicaţie Pentru suprafaţa plană compusă din două dreptunghiuri avacircnd

dimensiunile din figura 49a să se calculeze

a) centrul de greutate al secțiunii compuse 119910119866 119911119866

b) momentele de inerție axiale 119868119911 119868119910 și momentul de inerție centrifugal 119868119911119910

c) razele de inerție 119894119911 119894119910

d) modulele de rezistență 119882119911119898119894119899 119882119911119898119886119909 119882119910119898119894119899 119882119910119898119886119909

e) momentele de inerție principale 1198681 1198682 și direcțiile principale de inerție 1205721

f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 119878119911

Fig 49 Aplicație

Rezolvare Pentru rezolvare vom parcurge următoarele etape

icircmpărțim suprafața compusă icircn două suprafețe simple (dreptunghiuri) notate cu

① și respectiv ② figura 49b

poziționăm centrele de greutate a celor două suprafețe simple ① și respectiv ②

notate cu 1198661 și respectiv 1198662 figura 49c

poziționăm sistemele de axe de coordonate 119911111986611199101 pentru dreptunghiul ① și

119911211986621199102 pentru dreptunghiul ② aflate la intersecția diagonalelor figura 49c

poziționăm sistemele de axe de coordonate 11991101198741199100 ales arbitrar față de care

determinăm poziția centrului de greutate 119866 figura 49c

a) calculăm poziția centrului de greutate folosind relațiile (46) icircn care

1198601 = 6119905 ∙ 119905 = 61199052 1198602 = 4119905 ∙ 119905 = 41199052 119860 = 1198601 + 1198602 = 61199052 + 41199052 = 101199052

iar centrele de greutate 1198661 și respectiv 1198662 au coordonatele (față de sistemul 11991101198741199100)

1198661 1199101 = 3119905 1199111 = 05119905

1198662 1199102 = 051199051199112 = 3119905

cu acestea obținem

119910119866 =1198601 ∙ 1199101 + 1198602 ∙ 1199102

119860=61199052 ∙ 3119905 + 41199052 ∙ 05119905

101199052=201199053

101199052= 2119905

119911119866 =1198601 ∙ 1199111 + 1198602 ∙ 1199112

119860=61199052 ∙ 05119905 + 41199052 ∙ 3119905

101199052=151199053

101199052= 15119905

Poziționăm centrul de greutate 119866 al suprafeței compuse figura 49c

Fig 49 Aplicație

b) pentru determinarea momentelor de inerție axiale 119868119911 119868119910 și a momentului de

inerție centrifugal 119868119910119911 determinăm constantele 1198881 1198882 1198891 1198892 care intervin icircn relația lui

Stainer

1198881 = 1199101 minus 119910119866 = 3119905 minus 2119905 = 119905 1198882 = minus(119910119866 minus 1199102) = minus(2119905 minus 05119905) = minus15119905

1198891 = minus(119911119866 minus 1199111) = minus(15119905 minus 05119905) = minus119905 1198892 = 1199112 minus 119911119892 = 3119905 minus 15119905 = 15119905

Folosind relațiile lui Stainer (429) (430) și (431) calculăm momentele de

inerție axiale și centrifugale față de sistemul central 119911119866119866119910119866

119868119911 =sum(119868119911119894 + 1198881198942 ∙ 119860119894) = 1198681199111 + 1198881

2 ∙ 1198601 + 1198681199112 + 11988822 ∙ 1198602

119868119910 =sum(119868119910119894 + 1198891198942 ∙ 119860119894) = 1198681199101 + 1198891

2 ∙ 1198601 + 1198681199102 + 11988922 ∙ 1198602

119868119911119910 =sum(119868119911119894119910119894 + 119888119894 ∙ 119889119894 ∙ 119860119894) = 11986811991111199101 + 1198881 ∙ 1198891 ∙ 1198601 + 11986811991121199102 + 1198882 ∙ 1198892 ∙ 1198602

1198681199111 = (119887 ∙ ℎ3

12) =

119905 ∙ (6119905)3

12= 181199054 1198681199112 = (

119887 ∙ ℎ3

12) =

4119905 ∙ 1199053

12= 031199054

1198681199101 = (1198873 ∙ ℎ

12) =

1199053 ∙ 6119905

12= 051199054 1198681199102 = (

1198873 ∙ ℎ

12) =

(4119905)3 ∙ 119905

12= 531199054

11986811991111199101 = 11986811991121199102 = 0 deoarece cele două triunghiuri au cel puțin o axă de simetrie

Cu acestea momentele de inerție axiale și momentul de inerție centrifugal devin

119868119911 = 181199054 + 1199052 ∙ 61199052 + 031199054 + (minus15119905)2 ∙ 41199052 = 3331199054

119868119910 = 051199054 + (minus119905)2 ∙ 61199052 + 531199054 + (15119905)2 ∙ 41199052 = 2081199054

119868119911119910 = 0 + 119905 ∙ (minus119905) ∙ 61199052 + 0 + (minus15119905) ∙ (15119905) ∙ 41199052 = minus151199054

c) razele de inerție sau de girație față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910

se calculează cu relațiile (411)

119894119911 = radic119868119911119860= radic

3331199054

101199052= 182119905 119894119910 = radic

119868119910

119860= radic

2081199054

101199052= 144119905

d) modulele de rezistență față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910 se

calculează cu relațiile (412) și (413)

Avacircnd icircn vedere figura 419c obținem

119910119898119886119909 = 6119905 minus 119910119866 = 6119905 minus 2119905 = 4119905 119910119898119894119899 = minus119910119866 = minus2119905

119911119898119886119909 = 5119905 minus 119911119866 = 5119905 minus 15119905 = 35119905 119911119898119894119899 = minus119911119866 = minus15119905

Se obține astfel

119882119911119898119894119899 =119868119911

|119910119898119886119909|=3331199054

4119905= 8331199053

119882119911119898119886119909 =119868119911

|119910119898119894119899|=3331199054

2119905= 16651199053

119882119910119898119894119899 =119868119910

|119911119898119886119909|=2081199054

35119905= 5941199053

119882119910119898119886119909 =119868119910

|119911119898119894119899|=2081199054

15119905= 13871199053

e) momentele de inerție principale 1198681 și respectiv 1198682 se calculează cu relațiile

(438)

11986812 =119868119911 + 119868119910

2plusmn1

2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)

2+ 4 ∙ (119868119911119910)

2=

=3331199054 + 2081199054

2plusmn1

2∙ radic(3331199054 minus 2081199054)2 + 4 ∙ (minus151199054)2 = 27051199054 plusmn 16251199054

De unde obținem

1198681 = 27051199054 + 16251199054 = 4331199054

1198682 = 27051199054 minus 16251199054 = 1081199054

Prima direcție principală de inerție 1 face cu axa centrală 119866119911 unghiul 1205721 dat de

relația (437)

1205721 =1

2∙ arctan (minus

2 ∙ 119868119911119910

119868119911 minus 119868119910) =

1

2∙ arctan [minus

2 ∙ (minus151199054)

3331199054 minus 2081199054] =33 70

Deoarece 1205721 gt 0 rotirea axelor se face acircn sens antiorar acelor de ceasornic figura

49d

Poziția axe principale 2 față de care momentul de inerție are valoarea minimă

1198682 = 119868119898119894119899 este dată de unghiul

1205722 = 1205721 + 900 = 33 70 + 900 = 123 70

f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 se determină cu relația

(45)

1198781199111198602 = 1198602 ∙ 1198882 = 41199052 ∙ (minus15119905) = minus61199053

Ipoteza micilor deplasări nu poate fi acceptată pentru studiul problemelor de

stabilitate sau la problemele la care nu pot fi icircndeplinite condiţiile de echilibru icircn starea

nedeformată

Calculul de ordinul II admite ipoteza micilor deplasări dar ecuaţiile de echilibru

se scriu icircnsă pentru starea deformată a elementului de rezistenţă

Calculul de ordinul III nu mai acceptă ipoteza micilor deplasări el referindu-se

la cazul deformaţiilor mari cacircnd ecuaţiile de echilibru trebuie scrise pentru starea

deformată

Chiar dacă materialul satisface legea lui Hooke icircn urma calculelor de ordinul II

se obţin de obicei relaţii neliniare icircntre sarcini şi deplasări iar pentru calculul de ordinul

III rezultă ecuaţii diferenţiale neliniare

Principiul efectului local al acțiunii sarcinilor enunțat de Barre de Saint-

Venant Acest principiu destul de folosit icircn Rezistenţa Materialelor precizează că dacă

se icircnlocuiesc forţele care acţionează asupra unui element de suprafață al unui corp

elastic printr-un alt sistem de forţe echivalent din punct de vedere static cu primul noua

distribuţie a forţelor produce la locul de aplicare diferenţe semnificative faţă de prima

dar rămacircne fără efect sau cu efect neglijabil la distanţe mari de locul de aplicare al

forţelor figura 312

Ca o cosecință o sarcină uniform distribuită figura 312a poate fi icircnlocuită cu

rezultanta ei figura 312b dacă se analizează efectul sarcinii la distanță mare de locul icircn

care se aplică sarcina

Fig 312 Principiul Saint-Venant

Icircn prima variantă figura 312a forţa 119865 se aplică pe o porțiune oarecare 119897 (sarcină

uniform distribuită) iar icircn a doua figura 312b icircntru-un punct (forţă concentrată) La

locul de aplicare a sarcinii efectul asupra barei este cu totul diferit de la o variantă la

cealaltă Icircnsă la o distanţă mare de punctul de aplicaţie spre exemplu icircn secţiunea situată

la distanţa 119886 de capătul barei sau chiar icircn icircncastrare ambele bare sunt solicitate la fel

Icircn cazul din figura 312a

119872119894(119909) =119901 ∙ 1199092

2 119909 le 119897 119872119894(119909) = 119901 ∙ 119897 ∙ (119909 minus

119897

2) 119909 gt 119897 (324)

Icircn cazul din figura 312b

119872119894(119909) = 0 119909 lt119897

2 119872119894(119909) = 119901 ∙ 119897 ∙ (119909 minus

119897

2) 119909 gt

119897

2 (325)

Se vede că pentru (119909 gt 119897) adică după depășirea locului icircn care se aplică sarcina

efectul este același

Ipoteza lui Bernoulli sau ipoteza secţiunilor plane precizează că o secţiune

plană şi normală pe axa barei icircnainte de deformare rămacircne plană şi normală pe axa

barei şi după deformare figura 313

Fig 313 Ipoteza lui Bernoulli

Ipoteza stării naturale a corpului sau ipoteza absenţei tensiunilor conform

căreia pentru un corp nesolicitat starea de tensiune şi deformaţie este nulă

Perfecţionarea mijloacelor de calcul şi de investigare pot conduce la renunţarea la

unele ipoteze sau la introducerea altora noi mai aproape de stările reale De aici rezultă

caracterul de continuă perfecţionare a metodelor Rezistenţei Materialelor

35 Coeficienţi de siguranţă Tensiuni admisibile

O piesă corespunde din punct de vedere tehnic dacă tensiunile care iau naştere icircn

interiorul piesei datorită sarcinilor aplicate nu depăşesc anumite valori limită stabilite

convenţional Aceste valori limită ale tensiunii sunt corelate cu caracteristicile mecanice

ale materialelor

Tensiunea limită utilizată icircn calculele de rezistenţă este cunoscută sub denumirea

de tensiune admisibilă sau rezistenţă admisibilă Rezistenţa admisibilă reprezintă

valoarea convenţională aleasă icircn calcul pe baza practicii pentru tensiunea maximă care

poate apare icircntr-o piesă icircn condiţii date de material şi solicitare

Rezistenţa admisibilă (120590119886 sau 120591119886) poate fi definită faţă de o stare limită

periculoasă stare care trebuie evitată deoarece poate conduce distrugere

120590119886 =120590119897119894119898119888

(326)

unde

120590119897119894119898 este tensiunea corespunzătoare stării limită periculoase

119888 estesupraunitar 119888 gt 1 și reprezintă coeficientul de siguranţă faţă de starea limită

periculoasă considerată

Alegerea unor valori inferioare pentru rezistenţa admisibilă faţă de tensiunea

corespunzătoare stării limită periculoase este necesară deoarece

cunoaşterea sarcinilor este de cele mai multe ori aproximativă şi o depăşire a

acestora este foarte posibilă

caracteristicile mecanice ale materialelor variază icircn limite destul de mari ele

fiind influenţate de mulţi factori

schema aleasă pentru calcul (aplicarea sarcinilor schematizarea structurii

ipotezele de calcul etc) depărtează modelul faţă de cel real

Pentru calculele de verificare tensiunea efectivă maximă din elementul de

rezistenţă trebuie să fie mai mică sau cel mult egală cu cea admisibilă

120590119890119891119898119886119909 le 120590119886 (327)

Valoarea rezistenţei admisibile este influenţată de foarte mulţi factori natura

materialului tratamentele termice aplicate piesei durata de funcţionare a piesei modul

de acţionare icircn timp a sarcinilor felul solicitării temperatura gradul de periculozitate

icircn cazul cedării piesei etc

De asemenea valoarea coeficientului de siguranţă se alege icircn principal ţinacircnd

seama de aceiaşi factori care influenţează şi rezistenţa admisibilă

Rezistenţele admisibile pentru cacircteva materiale sunt următoarele

pentru oțelul de uz general OL37 solicitat la icircntindere compresiune sau

icircncovoiere 120590119886 = 150 [119872119875119886] pentru lemnul de brad solicitat la

- compresiune icircn lungul fibrelor şi solicitat la icircncovoiere 120590119886 = 10 [119872119875119886] - tracţiune icircn lungul fibrelor 120590119886 = 7 [119872119875119886] - compresiune perpendiculară pe fibre 120590119886 = 15 [119872119875119886] - forfecare icircn lungul fibrelor 120591119886 = 2 [119872119875119886] - forfecare perpendiculară pe fibre 120590119886 = 45 [119872119875119886]

terenuri de fundaţie din pămacircnt uscat sau umed 120590119886 = 020 divide 025 [119872119875119886]

4 CARACTERISTICI GEOMETRICE ALE SECȚIUNILOR PLANE

41 Noţiuni introductive

Icircn relaţiile de calcul ale tensiunilor şi deformaţiilor elementelor de rezistenţă

pentru unele solicitări (icircncovoierea și torsiunea) secțiunile plane intervin atacirct prin

dimensiunile lor (aria 119860) cicirct și prin forma și poziția pe care o are secțiunea icircn raport cu

planul solicitării Mărimile care caracterizează o secțiune icircn raport cu forma și poziția față

de axele unui sistem de referință sunt denumite caracteristici geometrice de ordin

superior Aria secțiunii este caracteristica geometrică ce depinde doar de dimensiunile

geometrice ale acesteia

Să considerăm o grindă solicitată de o forță exterioară 119865 aşezată icircn două poziții icircn

raport cu planul forţei figura 41 Icircn urma aplicării forței deși avem aceeași grindă

(aceeași arie a secțiunii transversale) și aceeași forță se constată că pentru varianta din

figura 41a deformațiile sunt mult mai mari adică rezistența la icircncovoiere a grinzii din

figura 41a este mai mare decacirct icircn cazul grinzii din figura 41b Comportarea diferită se

explică prin aceea că modificarea poziţiei secţiunii transversale faţă de planul forţelor

modifică caracteristicile geometrice ale secţiunii transversale a grinzii

Fig 41 Grindă solicitată de forța 119865

Pentru realizarea calculelor de rezistenţă şi rigiditate este foarte importantă

cunoaşterea caracteristicilor geometrice ale suprafeţei secţiunii transversale a elementelor

de rezistenţă

Caracteristicile geometrice ale secţiunii transversale a unui element de rezistenţă

sunt

- aria secțiunii notată cu 119860

- momentul static icircn raport cu o axă notat 119878119911 și respectiv 119878119910

- momentul de inerție care poate fi

axial notat 119868119911 și respectiv 119868119910

centrifugal notat 119868119911119910

polar notat 119868119901

- raza de inerţie (giraţie)notată 119894119911 și respectiv 119894119910

- modulul de rezistență care poate fi

axial notat 119882119911 și respectiv 119882119910

polar notat 119882119901

42 Aria și momentul static al suprafețelor plane

Fie o suprafaţă plană de arie 119860 pe care se ia un element infinit mic de arie 119889119860 şi

un sistem de axe rectangulare 119911119874119910 figura 42 Notăm cu 119862 centrul de greutate al suprafeţei

119860 Poziţia suprafeţei elementare 119889119860 faţă de acelaşi sistem de coordonate 119911119874119910 este dată

de abscisa 119911 ordonata 119910 și raza polară

Fig 42 Suprafață plană de arie 119860

Aria suprafeţei 119860 figura 42 se defineşte ca fiind

119860 ≝ int 119889119860

119860

(41)

Aria suprafeţei este icircntotdeauna pozitivă și se măsoară icircn [1198981198982] Momentul static al suprafeţei de arie 119860 icircn raport cu axele 119874119911 și respectiv 119874119910

figura 42 sunt date de relaţiile

119878119911 ≝ int 119910 ∙ 119889119860

119860

119878119910 ≝ int 119911 ∙ 119889119860

119860

(42)

Momentul static poate fi pozitiv negativ sau nul şi se măsoară icircn [1198981198983] Coordonatele centrului de greutate ale suprafeței 119860 se detrmină cu relațiile

119910119862 ≝int 119910 ∙ 119889119860119860

119860 119911119862 ≝

int 119911 ∙ 119889119860119860

119860

(43)

Cunoscacircnd coordonatele 119910119862 și 119911119862 ale centrului de greutate 119862 al secțiunii 119860 atunci

momentele statice se pot determina cu relațiile

119878119911 ≝ int 119910 ∙ 119889119860

119860

= 119910119862 ∙ 119889119860 119878119910 ≝ int 119911 ∙ 119889119860

119860

= 119911119862 ∙ 119889119860 (44)

Aceste relații arată că momentul static al unei suprafețe icircn raport cu o axă este

egal cu produsul dintre aria suprafeței și distanța de la centrul ariei la axa respectivă

Dacă suprafaţa se poate descompune icircn 119899 suprafeţe simple la care se cunosc ariile

(1198601 1198602 ⋯ 119860119894⋯ 119860119899) și poziţiile centrelor de greutate 119862119894 faţă de sistemul de referinţă

expresiile momentelor statice capătă următoarea formă

119878119911 = sum 119910119862119894 ∙ 119860119894119899119894=1 = 119910119862 ∙ 119860 119878119910 = sum 119911119862119894 ∙ 119860119894

119899119894=1 = 119911119862 ∙ 119860 (45)

Din relaţiile (45) rezultă că poziţia centrului de greutate 119862 al unei suprafeţe

compuse poate fi determinată cu relaţiile

119910119862 = (sum119910119862119894 ∙ 119860119894

119899

119894=1

) 119860frasl 119911119862 = (sum119911119862119894 ∙ 119860119894

119899

119894=1

) 119860frasl (46)

Icircn relația (45) 119910119862119894 și respectiv 119911119862119894 reprezintă coordonatele centrelor de greutate 119862119894

ale fiecărei suprafețe simple 119860119894 icircn raport sistemul de axe 119911119874119910

Se constată (relaţia 42) că dacă axele sistemului de referinţă trec prin centrul de

greutate (119910119862 = 119911119862 = 0) momentele statice sunt nule Axele icircn raport cu care momentele

statice sunt nule şi care trec prin centrul de greutate al suprafeţei se numesc axe centrale

Observație dacă secțiunea compusă are o axă de simetrie centrul secțiunii se

găsește pe acea axă iar dacă secțiunea este dublu simetrică poziția centrului secțiunii este

la intersecția axelor de simetrie

43 Momente de inerţie

Momentele de inerţie axiale ale unei suprafețe se calculează icircn raport cu axele de

coordonate 119874119911 și respectiv 119874119910 figura 42 și se determină cu relațiile

119868119911 ≝ int 1199102 ∙ 119889119860

119860

119868119910 ≝ int 1199112 ∙ 119889119860

119860

(47)

Unde 119910 și 119911 sunt distanțele de la elementul de arie 119889119860 la cele două axe de

coordonate 119874119911 și respectiv 119874119910

Momentele de inerţie axiale se măsoară icircn [1198981198984] şi sunt icircntotdeauna pozitive (aria

119889119860 este icircntotdeauna pozitivă și este multiplicată cu patratul distanței 1199102 dacă 119868119911 sau 119868119910

sunt nule icircnseamnă ca secțiunea nu există)

Momentele de inerție axiale se calculează icircndeosebi pentru axele centrale (care

trec prin centrul secțiunii) deoarece icircn raport cu acele axe 119868119911 și 119868119910 au valori minime

Momentul de inerţie centrifugal calculat faţă ambele axe ale sistemului de

referinţă 119911119874119910 este definit de relația

119868119911119910 ≝ int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860

(48)

Momentul de inerţie centrifugal se măsoară icircn [1198981198984] şi poate fi pozitiv negativ

sau nul

Momentul de ineție centrifugal este nul 119868119911119910 = 0 dacă cel puțin una din axele 119874119911

sau 119874119910 este axă de simetrie pentru secțiune

Se consideră o suprafaţă dreptunghiulară pe care faţă de axa de simetrie 119874119910 se iau

două suprafeţe elementare de arie 119889119860 simetrice faţă de axa 119874119910 figura 43

Fig 43 Suprafață dreptunghiulară cu două arii elementare 119889119860

Făcacircnd suma momentelor de inerţie centrifugale pentru cele două suprafeţe

elementare 119889119860 (din stacircnga şi din dreapta faţă de axa 119874119910) se obţine

int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860119889119903

+ int (minus119911) ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860119904119905119892

= int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860119889119903

minus int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860119904119905119892

= 0 (49)

Acelaşi raţionament se poate face și pentru icircntreaga suprafaţă de unde obținem că

momentul de inerție centrifugal este nul 119868119911119910 = 0 Deci pentru o suprafaţă plană care

are cel puţin o axă de simetrie momentul de inerţie centrifugal faţă de sistemul care

conţine acea axă de simetrie este nul

Momentul de inerţie polar al unei suprafeţei icircn raport cu un punct (pol) 119874 figura

42 este definit prin relaţia

1198680 = 119868119901 ≝ int 1205882 ∙ 119889119860

119860

= int(1199102 + 1199112) ∙ 119889119860

119860

= 119868119911 + 119868119910 (410)

unde este distanţa de la polul 119874 la elementul de arie 119889119860 Momentul de inerţie polar se

măsoară icircn [1198981198984] şi este totdeauna pozitiv

Momentul de inerţie polar este egal cu suma momentelor de inerţie faţă de două axe

perpendiculare oarecare şi care trec prin polul considerat

Razele de giraţie sau razele de inerţie sunt mărimi calculate icircn raport cu axele

secțiunii și definite de relaţiile

119894119911 ≝ radic119868119911119860 119894119910 = radic

119868119910

119860 (411)

Se exprimă icircn [119898119898] şi sunt icircntotdeauna pozitive Semnificația unei raze de inerție

este distanța la care dacă ar fi concentrată icircntreaga arie s-ar obține același moment de

inerție ca și cel calculat pentru aria reală

44 Modulul de rezistenţă

Modulul de rezistență se calculează icircn raport cu axele de referință sau icircn raport cu

un pol figura 42 și pot fi axiale (119882119911119882119910) sau polar (119882119901) și se determină numai pe baza

momentelor de inerţie cu relațiile figura 43

119882119911119898119894119899 ≝119868119911119910119898119886119909

119882119911119898119886119909 ≝119868119911119910119898119894119899

(412)

119882119910119898119894119899 ≝119868119910

119911119898119886119909 119882119910119898119886119909 ≝

119868119910

119911119898119894119899 (413)

119882119901 ≝119868119901

120588119898119886119909 (414)

unde

119910119898119886119909 119910119898119894119899 reprezintă distanţa de la axa 119874119911 la punctele extreme cele mai

depărtate respectiv cele mai apropiate ale suprafeţei de această axă

119911119898119886119909 119911119898119894119899 reprezintă distanţa de la axa 119874119910 la punctele extreme cele mai

depărtate respectiv cele mai apropiate ale suprafeţei de această axă

120588119898119886119909 reprezintă distanța maximă de la polul 119874 la punctul secțiunii cel mai

icircndepărtat de acesta

Fig 43 Suprafață dreptunghiulară cu două arii elementare 119889119860

Modulele de rezistenţă se exprimă icircn [1198981198983] şi sunt icircntotdeauna pozitive

Explicația este aceea că momentele de inerție care intră icircn relațiile de definiție sunt

pozitive iar distanțele la punctele extreme sunt pozitive (119910119898119886119909 119910119898119894119899 119911119898119886119909 119911119898119894119899 120588119898119886119909 se

iau icircn valoare absolută)

Icircn cazul suprafeţelor compuse modulul de rezistenţă nu se obţine prin icircnsumarea

algebrică a modulelor de rezistenţă ale suprafeţelor simple componente ci numai prin

intermediul momentului de inerţie axial calculat pentru icircntreaga secțiune

Ca și momentele de inerție modulele de rezistență se calculează numai pentru

sistemele de axe centrale

45 Momente de inerţie şi module de rezistenţă pentru suprafeţe simple

451 Secțiune dreptunghiulară

Fie suprafaţa dreptunghiulară din figura 44 de icircnălțime ℎ și lățime 119887 pe care se

consideră suprafaţă elementară de arie 119889119860 = 119887119889119910 la distanța 119910 de axa 119862119911 sistemul de

axe 119911119862119910 trece prin centrul secțiunii iar axele sunt axe de simetrie pentru dreptunghi

Fig 44 Suprafață dreptunghiulară

Pe baza relațiilor de definiți a momentului de inerție 119868119911 se obține

119868119911 ≝ int 1199102 ∙ 119889119860

119860

= int 1199102 ∙ 119887 ∙ 119889119910 = 2int 1199102 ∙ 119887 ∙ 119889119910 = 2 ∙ 119887 ∙1199103

3|ℎ 2frasl

0rArr

ℎ 2frasl

0

ℎ 2frasl

minusℎ 2frasl

rArr 119868119911 =119887 ∙ ℎ3

12

(415)

Analog pentru un element de arie 119889119860 = ℎ ∙ 119889119911 paralel cu axa 119862119910 situat la distanța

119911 de axa 119862119910

119868119910 ≝ int 1199112 ∙ 119889119860

119860

= int 1199112 ∙ ℎ ∙ 119889119911 = 2int 1199112 ∙ ℎ ∙ 119889119910 = 2 ∙ ℎ ∙1199113

3|119887 2frasl

0rArr

119887 2frasl

0

119887 2frasl

minus119887 2frasl

rArr 119868119910 =1198873 ∙ ℎ

12

(416)

Deoarece axele 119862119911 și 119862119910 sunt axe de simetrie momentul de inerție centrifugal este

119868119911119910 = 0 (417)

Pentru un pătrat avacircnd laturile egale (ℎ = 119887 = 119886) momentele de inerţie faţă de

axele centrale au expresia

119868119911 = 119868119910 =1198864

12 (418)

Modulele de rezistență axiale se calculează cu relațiile de definiție ținacircnd cont că

distanțele pacircnă la fibrele extreme sunt

119910119898119886119909 = 119910119898119894119899 =ℎ

2 119911119898119886119909 = 119911119898119894119899 =

119887

2 (419)

Obținem

119882119911119898119894119899 = 119882119911119898119886119909 =119868119911

119910119898119886119909119898119894119899=119887 ∙ ℎ3

12frasl

ℎ2frasl

=119887 ∙ ℎ2

6

119882119910119898119894119899 = 119882119910119898119886119909 =119868119910

119911119898119886119909119898119894119899=1198873 ∙ ℎ

12frasl

1198872frasl

=1198872 ∙ ℎ

6

(420)

452 Suprafaţă circulară

Din motive de simetrie pentru suprafeţele circulare momentele de inerţie faţă de

orice diametru (care reprezintă şi axe centrale) sunt aceleaşi

Considerăm o secțiune circulară plină cu diametrul 119889 și centrul de greutate 119862 Prin

centrul de greutate 119862 trece sistemul de axe ortogonal 119911119862119910 figura 45

Fig 45 Suprafață circulară

La distanța de centrul de greutate 119862 vom lua un element de suprafață mic de arie

(119889119860) de forma unui inel de grosime 119889 Elementul de arie 119889119860 are expresia

119889119860 = (2 ∙ 120587 ∙ 120588) ∙ (119889120588)

Pornind de la relația de definiție a momentului de inerție polar obținem

119868119901 ≝ int 1205882 ∙ 119889119860

119860

= int 1205882 ∙ (2 ∙ 120587 ∙ 120588) ∙ 119889120588

119903=119889 2frasl

0

= 2 ∙ 120587 ∙1205884

4|119889 2frasl0 rArr

rArr 119868119901 =120587 ∙ 1198894

32

(421)

Secțiunea este perfect simetrică deci sunt valabile relațiile

119868119911 = 119868119910 rArr 119868119901 = 119868119911 + 119868119910 = 2 ∙ 119868119911 = 2 ∙ 119868119910 =119868119901

2=120587 ∙ 1198894

64 (422)

Și modulele de rezistenţă faţă de orice diametru sunt egale şi se calculează cu

relaţiile

119882119911 = 119882119910 =1198681199111198892frasl=120587 ∙ 1198893

32 (423)

Modulul de rezistenţă polar este

119882119901 =1198681199011198892frasl=120587 ∙ 1198893

16 (424)

453 Secţiune inelară

Calculul momentelor de inerţie axiale pentru o secţiune inelară avacircnd diametrul

interior 119889 şi diametrul exterior 119863 se determină analog pentru suprafaţa circulară plină cu

observaţia că integrala pentru calculul momentului de inerție polar 119868119901 se face icircntre

limitele 119903 = 119889 2frasl şi R= 1198632frasl (icircntre raza interioară 119903 şi raza exterioară 119877) figura 46

Se obţin relaţiile

119868119901 =120587 ∙ 1198634

32∙ [1 minus (

119889

119863)4

] =120587 ∙ 1198634

32∙ (1 minus 1198964) (425)

119868119910 = 119868119910 =120587 ∙ 1198634

64∙ [1 minus (

119889

119863)4

] =120587 ∙ 1198633

64∙ (1 minus 1198964) (426)

Fig 46 Secțiune inelară

119882119901 =120587 ∙ 1198633

16∙ [1 minus (

119889

119863)4

] =120587 ∙ 1198633

16∙ (1 minus 1198964) (427)

119882119911 = 119882119910 =120587 ∙ 1198633

32∙ [1 minus (

119889

119863)4

] =120587 ∙ 1198633

32∙ (1 minus 1198964) (428)

unde 119896 = 119889119863frasl

46 Variaţia momentelor de inerţie faţă de axe paralele

( Relațiile lui STEINER)

Se consideră o suprafaţă oarecare de arie 119860 cu elementul de arie 119889119860 și un sistemul

de axe central 119911119862119910 faţă de care se cunosc momentele de inerţie 119868119911 119868119910 119868119911119910 şi considerăm

un sistem de axe 11991111198741199101 paralele cu sistemul central figura 47 Se pune problema

determinării momentele de inerţie 1198681199111 1198681199101 11986811991111199101 faţă de sistemul de axe paralel cu sistemul

central 11991111198741199101 axe aflate la distanţele 119910119862 = 119888 respectiv 119911119862 = 119889 de acesta

461 Momente de inerţie axiale

Pe baza relaţiilor de definire şi a notaţiilor din figura 42 pentru momentele de

inerţie faţă de axele 1198741199111 1198741199101 se poate scrie

1198681199111 = int 11991012 ∙ 119889119860

119860

= int(119910 + 119888)2 ∙ 119889119860

119860

= int 1199102 ∙ 119889119860

119860

+ 2 ∙ 119888 ∙ int 119910 ∙ 119889119860

119860

+

+1198882int 119889119860

119860

rArr 1198681199111 = 119868119911 + 2 ∙ 119888 ∙ 119878119911 + 1198882 ∙ 119860 hArr 1198681199111 = 119868119911 + 119888

2 ∙ 119860

(429)

Fig 47 Variaţia momentelor de inerţie față de axe paralele

S-a ajuns la relația (429) deoarece momentul static 119878119911 este nul deoarece axa 119862119885

este axă centrală

Pentru momentul de inerție axial icircn raport cu axa 1198741199101 se obține

1198681199101 = int 11991112 ∙ 119889119860

119860

= int(119911 + 119889)2 ∙ 119889119860

119860

= int 1199112 ∙ 119889119860

119860

+ 2 ∙ 119889 ∙ int 119911 ∙ 119889119860

119860

+

+1198892 ∙ int 119889119860

119860

rArr 1198681199101 = 119868119910 + 2 ∙ 119889 ∙ 119878119910 + 1198892 ∙ 119860 hArr 1198681199101 = 119868119910 + 119889

2 ∙ 119860

(430)

Pentru momentul de inerție centrifugal obținem

11986811991111199101 = int 1199101 ∙ 1199111 ∙ 119889119860

119860

= int(119910 + 119888) ∙ (119911 + 119889) ∙ 119889119860

119860

= int 119910 ∙ 119911 ∙ 119889119860 +

119860

+119888 ∙ int 119911 ∙ 119889119860

119860

+ 119889 ∙ int 119910 ∙ 119889119860

119860

rArr 11986811991111199101 = 119868119911119910 + 119888 ∙ 119889 ∙ 119860

(431)

Deoarece

int 119911 ∙ 119889119860

119860

= 119878119910 = 0 int 119910 ∙ 119889119860

119860

= 119878119911 = 0 int 119910 ∙ 119911 ∙ 119889119860

119860

= 119868119911119910

Relaţiile (429) şi (430) arată că momentul de inerţie faţă de o axă oarecare

este egal cu momentul de inerţie faţă de o axă paralelă cu ea trecacircnd prin centrul de

greutate la care se adaugă produsul dintre aria suprafeţei şi pătratul distanţei dintre

cele două axe

Din relaţiile (429) și (430) rezultă de asemenea că momentul de inerţie faţă de o

axă centrală (care trece prin centrul de greutate) este cel mai mic dintre infinitatea de

momente de inerţie obținute faţă de alte axe paralele cu ea

Relaţia (431) arată de asemenea că momentul de inerţie centrifugal faţă de un

sistem de axe oarecare este egal cu momentul de inerţie centrifugal faţă de un sistem

paralele cu el trecacircnd prin centrul de greutate a suprafeţei la care se adaugă produsul

dintre aria suprafeţei şi distanţele dintre axele sistemelor respective

Icircn literatura de specialitate relaţiile (429) (430) şi (431) sunt cunoscute sub

numele de relaţiile lui Steiner

47 Variaţia momentrlor de inerţie faţă de axe rotite

Direcţii principale şi momente de inerţie principale

Fie suprafaţa plană din figura 48 de arie 119860 pe care considerăm o suprafaţă

elementară de arie 119889119860 Pentru sistemul de axe 119911119874119910 se cunosc momentele de inerţie

119868119911 119868119910 119868119911119910 şi vom determina relaţiile de calcul pentru momentele de inerţie afererent unui

sistem de axe 11991111198741199101 rotit cu un unghi faţă de sistemul central

Faţă de sistemul de axe 11991111198741199101 elementul de arie 119889119860 are coordonatele

1199101 = 119875119877 = 119875119876 minus 119877119876 = 119910 ∙ cos 120572 minus 119911 ∙ sin 120572

1199111 = 119873119872 = 119873119875 minus 119875119872 = 119911 ∙ cos 120572 + 119910 ∙ sin 120572 (432)

Fig 47 Variaţia momentelor de inerţie față de axe rotite

Pe baza relaţiilor de calcul ale momentelor de inerţie şi a notaţiilor din figura 42

şi ale relaţiilor (432) momentele de inerţie faţă de sistemul de axe rotit 11991111198741199101 sunt

1198681199111 =119868119911 + 119868119910

2+119868119911 minus 119868119910

2∙ cos 2120572 minus 119868119911119910 ∙ sin 2120572 (433)

1198681199101 =119868119911 + 119868119910

2minus119868119911 minus 119868119910

2∙ cos 2120572 + 119868119911119910 ∙ sin 2120572 (434)

11986811991111199101 =119868119911 minus 119868119910

2∙ sin 2120572 + 119868119911119910 ∙ cos 2120572 (435)

Din relaţiile 433divide435 se observă că icircntre momentele de inerţie axiale şi cele

polare există relaţia

1198681199111 + 1198681199101 = 119868119911 + 119868119910 = 119868119901 (436)

adică suma momentelor de inerţie axiale icircn raport cu orice pereche de axe ortogonale

care trec printr-un pol dat este o constantă şi egală cu momentul de inerţie polar

Prin rotirea sistemului de axe din relaţiile 433divide435 rezultă că momentele de inerţie

variază icircnsă suma lor rămacircne constantă deci există o poziţie a sistemului de axe pentru

care momentele de inerţie au valori extreme maxim respectiv minim

471 Direcţii principale de inerţie

Valoarea unghiului 120572 pentru care momentele de inerţie axiale au valori extreme

este

1205721 =1

2∙ 119886119903119888119905119886119899 (minus

2 ∙ 119868119911119910

119868119911 minus 119868119910) (437)

Poziţia celeilalte direcţii este perpendiculară pe cea dată de unghiul 1205721

Din relaţia (437) se constată că faţă de aceste direcţii rotite pentru care momentele

de inerţie axiale prezintă valori extreme momentul de inerţie centrifugal 11986811991111199101este nul

Atunci se poate afirma că momentele de inerţie axiale au valori extreme icircn raport cu

direcţiile faţă de care momentul de inerţie centrifugal este nul Aceste direcţii se numesc

direcţii principale iar momentele de inerţie faţă de aceste direcţii poartă numele de

momente de inerţie principale

Icircn calculele de rezistenţă interesează icircn mod special poziţia direcţiilor principale

care trec prin centrul de greutate al suprafeţei aşa numitele direcţii principale centrale şi

evident momentele de inerţie principale centrale

Direcţiile principale de inerţie se notează cu 1 respectiv 2 Axa principală 1

corespunde direcţiei faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea maximă iar

axa principală 2 pentru direcţia faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea

minimă

472 Momente de inerţie principale

Momentele de inerţie principale se notează cu litera 119868 la care se pune indicele 1

sau 2 după cum valoarea acestuia este maximă sau minimă deci avem un moment de

inerţie principal 1 (notat 1198681) respectiv moment de inerţie principal 2 (notat 1198682)

Expresiile pentru momentele de inerţie principale sunt

11986812 =119868119911 + 119868119910

2plusmn1

2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)

2+ 4 ∙ (119868119911119910)

2 (438)

Dacă momentul de inerţie centrifugal este negativ (119868119911119910 lt 0) direcţia principală

care trece prin primul cadran (definit de sistemul 119911119862119910) este direcţia principală 120783

Pentru suprafeţele cu cel puţin o axă de simetrie direcţiile centrale 119862119911 119862119910 sunt şi

direcții principale de inerţie și evident momentele de inerţie axiale 119868119911 119868119910 sunt momente

de inerţie principale

48 Caracteristici mecanice ale metalelor

Alegerea materialului pentru confecţionarea unei anumite piese se face şi pe baza

aşa numitelor caracteristici mecanice pe care le prezintă materialul Cunoaşterea acestor

caracteristici mecanice are loc numai pe baza unor icircncercări mecanice care să scoată icircn

evidenţă comportarea materialului icircn condiţii de solicitare

Cea mai utilizată icircncercare icircn urma căreia se pun icircn evidenţă caracteristicile

mecanice ale unui material este icircncercarea la tracţiune

481 Icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general

Icircncercarea la tracţiune a oţelului ca de altfel toate icircncercările de materiale este

standardizată

Icircn cele ce urmează se va prezenta numai partea care interesează strict din punct

de vedere al caracteristicilor mecanice ale oţelului

Epruveta de diametru iniţial 1198890 pentru icircncercarea la tracţiune are o porţiune de

lungime 1198710 numită baza de măsurare pe care se măsoară lungirea acesteia sub acţiunea

solicitării

Icircn funcţie de raportul dintre baza de măsurare 1198710 şi diametrul iniţial 1198890 epruvetele

utilizate pentru icircncercări sunt

epruvete normale (scurte) cacircnd 11987101198890 = 5

epruvete lungi cacircnd 11987101198890 = 10

Icircn timpul icircncercării la diferite valori ale forţei 119865 se măsoară lungirea bazei de

măsurare

∆119871 = 120575 = 119871 minus 1198710 (439)

unde

119871 este dimensiunea bazei de măsurare la un moment dat

Curba forţă-lungire (119865 minus ) icircnregistrată icircn urma icircncercării reprezintă curba

caracteristică la tracţiune

La icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general diagrama caracteristică care se

obţine are forma din figura 48

Curba caracteristică la tracţiune depinde de lungimea bazei de măsurare Pentru

icircnlăturarea acestui neajuns curba caracteristică se reprezintă icircn coordonate şi definite

astfel

120590 =119865

1198600 휀 =

120575

1198710 (440)

unde

1198600 este aria iniţială a secţiunii transversale a epruvetei (icircnainte de solicitare) icircn

zona bazei de măsurare

1198600 =120587 ∙ 1198890

2

4

Deoarece mărimile icircn care se reprezintă curba caracteristică la tracţiune sunt

raportate la aria iniţială a secţiunii transversale (mărimi specifice) curba poartă numele

de curbă caracteristică convenţională la tracţiune

Fig 48 Curba caracteristică convenţională la tracțiune

Pe curba caracteristică convenţională la tracţiune figura 48 se pot stabili o serie

de puncte cărora le corespund mai multe mărimi importante

Ordonata punctului A pacircnă unde curba caracteristică convenţională este linie

dreaptă se numeşte limita de proporţionalitate a materialului 120590119901(1205901) Porţiunea 119874119860 este

zona de proporţionalitate a curbei caracteristice pe acest domeniu este valabilă legea lui

Hooke care exprimă o proporţionalitate icircntre tensiune şi deformaţie specifică

120590 = 119864 ∙ 휀 (441)

unde

119864 = reprezintă panta porţiunii liniare a curbei convenționale caracteristice

la tracțiune Caracteristica de material 119864 se numeşte modul de elasticitate longitudinal

(modulul lui Young)

Ordonata punctului 119861 pacircnă unde materialul se comportă perfect elastic adică

după descărcare icircşi recapătă dimensiunea iniţială 1198710 se numeşte limita de elasticitate

120590119890(119877119890) Icircn realitate nici un material nu are comportare perfect elastică sub acţiunea

solicitărilor el capătă deformaţii permanente (remanente plastice)

După punctul 119861 urmează o porţiune 119861119862119863 icircn care cu toate că icircncărcarea

continuă forţa nu mai creşte avacircnd mici oscilaţii icircn jurul unei valori Se spune că icircn

această porţiune materialul curge iar intervalul 119861119862119863 este un palier de curgere Tensiunea

corespunzătoare palierului de curgere se numeşte limită de curgere aparentă 120590119888(119877119888) Limita de curgere aparentă se calculează cu relaţia

120590119888 =1198651198881198600 (442)

unde

119865119888 reprezintă valoarea forţei icircnregistrată icircn momentul curgerii materialului

După punctul 119863 curba caracteristică are un traseu ascendent pacircnă icircn punctul 119864

Porţiunea 119863119864 este numită zonă de icircntărire (ecruisare) Icircn zona de ecruisare unde se

produc deformaţii plastice semnificative legea lui Hooke nu mai este valabilă La

descărcare relaţia dintre tensiunea şi deformaţia specifică este liniară paralelă cu

porţiunea liniară a curbei caracteristice (dreapta 119872119873)

Deformaţia totală (휀119905) are două componente una elastică (휀119890) şi una plastică (휀119901)

Ordonata punctului 119864 reprezintă rezistenţa de rupere 120590119903(119877119898) a materialului

care se poate calcula cu relaţia

120590119903 = 119877119898 =1198651198981198861199091198600

(443)

unde

119865119898119886119909 reprezintă valoarea maximă a forţei icircnregistrată icircn timpul icircncercării

La atingerea valorii 119865119898119886119909 (punctul 119864) icircntr-un anumit loc al epruvetei secţiunea

icircncepe să se micşoreze (se produce gacirctuirea) continuacircnd pacircnă cacircnd se produce ruperea

totală (punctul 119865)

Dacă după ruperea epruvetei cele două părţi rezultate se aşează cap la cap şi se

măsoară dimensiunea bazei de măsurare 119871119906 (lungimea ultimă) se determină alungirea la

rupere sau lungirea specifică la rupere 휀119903

휀119903 =119871119906 minus 11987101198710

=∆119871

1198710=120575

1198710 (444)

De obicei alungirea se exprimă icircn procente şi se notează cu 119860119899 unde 119899 reprezintă

numărul dat de raportul 11987101198890 (epruvete normale 119899 = 5 epruvete lungi 119899 = 10)

119860119899 =119871119906 minus 11987101198710

∙ 100 [] (445)

Altă mărime care se determină la icircncercarea la tracţiune este gacirctuirea la rupere

(exprimată de obicei icircn procente) şi definită de relaţia

119885 =1198600 minus 1198601199061198600

∙ 100 [] (446)

Mărimile determinate limita de proporţionalitate modulul de elasticitate

longitudinal limita de elasticitate limita de curgere aparentă rezistenţa de rupere

alungirea la rupere şi gacirctuirea la rupere sunt cunoscute ca fiind caracteristici mecanice

ale materialului

Din curba caracteristică convenţională observăm faptul că ruperea (punctul 119865 din

figura 48 se produce la o tensiune mai mică decacirct cea corespunzătoare punctului 119864 Dacă

icircnsă forţa din timpul icircncercării s-ar raporta la aria secţiunii din momentul icircnregistrării

forţei (care este mai mică decacirct cea iniţială 1198600) s-ar obţine aşa numita curbă

caracteristică reală a materialului (traseul 1198741198601198611198621198631198651 din figura 48) La curba

caracteristică reală ruperea se produce icircn punctul 1198651 la o icircncărcare mai mare decacirct cea

corespunzătoare punctului 119864 Icircnseamnă că rezistenţa reală la rupere este mai mare decacirct

rezistenţa la rupere dată de punctul 119864 din diagrama caracteristică convenţională

Dificultatea obţinerii diagramei caracteristice reale faţă de cea a diagramei caracteristice

convenţionale şi considerarea unei rezistenţe la rupere mai mică decacirct a celei reale face

icircn practică utilizarea pe scară mare a diagramei caracteristice convenţionale

Caracteristicile mecanice determinate pe baza curbei caracteristice convenţionale

sunt şi ele caracteristici mecanice convenţionale

Caracteristicile mecanice convenţionale limita de proporţionalitate convenţională

120590119901 limita de elasticitate convenţională 120590119890 limita de curgere convenţională 120590119888 şi rezistenţa

de rupere 120590119903 constituie tensiuni limită pentru un material Pe baza acestor caracteristici

de material se alege valoarea tensiunii admisibile 120590119886 (vezi paragraful 35) pentru

calculele de rezistenţă Cea mai utilizată stare limită pentru stabilirea tensiunii admisibile

120590119886 este limita de curgere convenţională 120590119888

120590119886 =120590119897119894119898119888

=120590119888119888 119904119886119906 120590119886 =

120590119903119888 (447)

Caracteristicile mecanice ale materialului sunt influenţate de o serie de factori

temperatura viteza de solicitare factorii tehnologici iar valorile lor sunt date icircn tabele și

diagrame

Aplicaţie Pentru suprafaţa plană compusă din două dreptunghiuri avacircnd

dimensiunile din figura 49a să se calculeze

a) centrul de greutate al secțiunii compuse 119910119866 119911119866

b) momentele de inerție axiale 119868119911 119868119910 și momentul de inerție centrifugal 119868119911119910

c) razele de inerție 119894119911 119894119910

d) modulele de rezistență 119882119911119898119894119899 119882119911119898119886119909 119882119910119898119894119899 119882119910119898119886119909

e) momentele de inerție principale 1198681 1198682 și direcțiile principale de inerție 1205721

f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 119878119911

Fig 49 Aplicație

Rezolvare Pentru rezolvare vom parcurge următoarele etape

icircmpărțim suprafața compusă icircn două suprafețe simple (dreptunghiuri) notate cu

① și respectiv ② figura 49b

poziționăm centrele de greutate a celor două suprafețe simple ① și respectiv ②

notate cu 1198661 și respectiv 1198662 figura 49c

poziționăm sistemele de axe de coordonate 119911111986611199101 pentru dreptunghiul ① și

119911211986621199102 pentru dreptunghiul ② aflate la intersecția diagonalelor figura 49c

poziționăm sistemele de axe de coordonate 11991101198741199100 ales arbitrar față de care

determinăm poziția centrului de greutate 119866 figura 49c

a) calculăm poziția centrului de greutate folosind relațiile (46) icircn care

1198601 = 6119905 ∙ 119905 = 61199052 1198602 = 4119905 ∙ 119905 = 41199052 119860 = 1198601 + 1198602 = 61199052 + 41199052 = 101199052

iar centrele de greutate 1198661 și respectiv 1198662 au coordonatele (față de sistemul 11991101198741199100)

1198661 1199101 = 3119905 1199111 = 05119905

1198662 1199102 = 051199051199112 = 3119905

cu acestea obținem

119910119866 =1198601 ∙ 1199101 + 1198602 ∙ 1199102

119860=61199052 ∙ 3119905 + 41199052 ∙ 05119905

101199052=201199053

101199052= 2119905

119911119866 =1198601 ∙ 1199111 + 1198602 ∙ 1199112

119860=61199052 ∙ 05119905 + 41199052 ∙ 3119905

101199052=151199053

101199052= 15119905

Poziționăm centrul de greutate 119866 al suprafeței compuse figura 49c

Fig 49 Aplicație

b) pentru determinarea momentelor de inerție axiale 119868119911 119868119910 și a momentului de

inerție centrifugal 119868119910119911 determinăm constantele 1198881 1198882 1198891 1198892 care intervin icircn relația lui

Stainer

1198881 = 1199101 minus 119910119866 = 3119905 minus 2119905 = 119905 1198882 = minus(119910119866 minus 1199102) = minus(2119905 minus 05119905) = minus15119905

1198891 = minus(119911119866 minus 1199111) = minus(15119905 minus 05119905) = minus119905 1198892 = 1199112 minus 119911119892 = 3119905 minus 15119905 = 15119905

Folosind relațiile lui Stainer (429) (430) și (431) calculăm momentele de

inerție axiale și centrifugale față de sistemul central 119911119866119866119910119866

119868119911 =sum(119868119911119894 + 1198881198942 ∙ 119860119894) = 1198681199111 + 1198881

2 ∙ 1198601 + 1198681199112 + 11988822 ∙ 1198602

119868119910 =sum(119868119910119894 + 1198891198942 ∙ 119860119894) = 1198681199101 + 1198891

2 ∙ 1198601 + 1198681199102 + 11988922 ∙ 1198602

119868119911119910 =sum(119868119911119894119910119894 + 119888119894 ∙ 119889119894 ∙ 119860119894) = 11986811991111199101 + 1198881 ∙ 1198891 ∙ 1198601 + 11986811991121199102 + 1198882 ∙ 1198892 ∙ 1198602

1198681199111 = (119887 ∙ ℎ3

12) =

119905 ∙ (6119905)3

12= 181199054 1198681199112 = (

119887 ∙ ℎ3

12) =

4119905 ∙ 1199053

12= 031199054

1198681199101 = (1198873 ∙ ℎ

12) =

1199053 ∙ 6119905

12= 051199054 1198681199102 = (

1198873 ∙ ℎ

12) =

(4119905)3 ∙ 119905

12= 531199054

11986811991111199101 = 11986811991121199102 = 0 deoarece cele două triunghiuri au cel puțin o axă de simetrie

Cu acestea momentele de inerție axiale și momentul de inerție centrifugal devin

119868119911 = 181199054 + 1199052 ∙ 61199052 + 031199054 + (minus15119905)2 ∙ 41199052 = 3331199054

119868119910 = 051199054 + (minus119905)2 ∙ 61199052 + 531199054 + (15119905)2 ∙ 41199052 = 2081199054

119868119911119910 = 0 + 119905 ∙ (minus119905) ∙ 61199052 + 0 + (minus15119905) ∙ (15119905) ∙ 41199052 = minus151199054

c) razele de inerție sau de girație față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910

se calculează cu relațiile (411)

119894119911 = radic119868119911119860= radic

3331199054

101199052= 182119905 119894119910 = radic

119868119910

119860= radic

2081199054

101199052= 144119905

d) modulele de rezistență față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910 se

calculează cu relațiile (412) și (413)

Avacircnd icircn vedere figura 419c obținem

119910119898119886119909 = 6119905 minus 119910119866 = 6119905 minus 2119905 = 4119905 119910119898119894119899 = minus119910119866 = minus2119905

119911119898119886119909 = 5119905 minus 119911119866 = 5119905 minus 15119905 = 35119905 119911119898119894119899 = minus119911119866 = minus15119905

Se obține astfel

119882119911119898119894119899 =119868119911

|119910119898119886119909|=3331199054

4119905= 8331199053

119882119911119898119886119909 =119868119911

|119910119898119894119899|=3331199054

2119905= 16651199053

119882119910119898119894119899 =119868119910

|119911119898119886119909|=2081199054

35119905= 5941199053

119882119910119898119886119909 =119868119910

|119911119898119894119899|=2081199054

15119905= 13871199053

e) momentele de inerție principale 1198681 și respectiv 1198682 se calculează cu relațiile

(438)

11986812 =119868119911 + 119868119910

2plusmn1

2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)

2+ 4 ∙ (119868119911119910)

2=

=3331199054 + 2081199054

2plusmn1

2∙ radic(3331199054 minus 2081199054)2 + 4 ∙ (minus151199054)2 = 27051199054 plusmn 16251199054

De unde obținem

1198681 = 27051199054 + 16251199054 = 4331199054

1198682 = 27051199054 minus 16251199054 = 1081199054

Prima direcție principală de inerție 1 face cu axa centrală 119866119911 unghiul 1205721 dat de

relația (437)

1205721 =1

2∙ arctan (minus

2 ∙ 119868119911119910

119868119911 minus 119868119910) =

1

2∙ arctan [minus

2 ∙ (minus151199054)

3331199054 minus 2081199054] =33 70

Deoarece 1205721 gt 0 rotirea axelor se face acircn sens antiorar acelor de ceasornic figura

49d

Poziția axe principale 2 față de care momentul de inerție are valoarea minimă

1198682 = 119868119898119894119899 este dată de unghiul

1205722 = 1205721 + 900 = 33 70 + 900 = 123 70

f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 se determină cu relația

(45)

1198781199111198602 = 1198602 ∙ 1198882 = 41199052 ∙ (minus15119905) = minus61199053

Ipoteza lui Bernoulli sau ipoteza secţiunilor plane precizează că o secţiune

plană şi normală pe axa barei icircnainte de deformare rămacircne plană şi normală pe axa

barei şi după deformare figura 313

Fig 313 Ipoteza lui Bernoulli

Ipoteza stării naturale a corpului sau ipoteza absenţei tensiunilor conform

căreia pentru un corp nesolicitat starea de tensiune şi deformaţie este nulă

Perfecţionarea mijloacelor de calcul şi de investigare pot conduce la renunţarea la

unele ipoteze sau la introducerea altora noi mai aproape de stările reale De aici rezultă

caracterul de continuă perfecţionare a metodelor Rezistenţei Materialelor

35 Coeficienţi de siguranţă Tensiuni admisibile

O piesă corespunde din punct de vedere tehnic dacă tensiunile care iau naştere icircn

interiorul piesei datorită sarcinilor aplicate nu depăşesc anumite valori limită stabilite

convenţional Aceste valori limită ale tensiunii sunt corelate cu caracteristicile mecanice

ale materialelor

Tensiunea limită utilizată icircn calculele de rezistenţă este cunoscută sub denumirea

de tensiune admisibilă sau rezistenţă admisibilă Rezistenţa admisibilă reprezintă

valoarea convenţională aleasă icircn calcul pe baza practicii pentru tensiunea maximă care

poate apare icircntr-o piesă icircn condiţii date de material şi solicitare

Rezistenţa admisibilă (120590119886 sau 120591119886) poate fi definită faţă de o stare limită

periculoasă stare care trebuie evitată deoarece poate conduce distrugere

120590119886 =120590119897119894119898119888

(326)

unde

120590119897119894119898 este tensiunea corespunzătoare stării limită periculoase

119888 estesupraunitar 119888 gt 1 și reprezintă coeficientul de siguranţă faţă de starea limită

periculoasă considerată

Alegerea unor valori inferioare pentru rezistenţa admisibilă faţă de tensiunea

corespunzătoare stării limită periculoase este necesară deoarece

cunoaşterea sarcinilor este de cele mai multe ori aproximativă şi o depăşire a

acestora este foarte posibilă

caracteristicile mecanice ale materialelor variază icircn limite destul de mari ele

fiind influenţate de mulţi factori

schema aleasă pentru calcul (aplicarea sarcinilor schematizarea structurii

ipotezele de calcul etc) depărtează modelul faţă de cel real

Pentru calculele de verificare tensiunea efectivă maximă din elementul de

rezistenţă trebuie să fie mai mică sau cel mult egală cu cea admisibilă

120590119890119891119898119886119909 le 120590119886 (327)

Valoarea rezistenţei admisibile este influenţată de foarte mulţi factori natura

materialului tratamentele termice aplicate piesei durata de funcţionare a piesei modul

de acţionare icircn timp a sarcinilor felul solicitării temperatura gradul de periculozitate

icircn cazul cedării piesei etc

De asemenea valoarea coeficientului de siguranţă se alege icircn principal ţinacircnd

seama de aceiaşi factori care influenţează şi rezistenţa admisibilă

Rezistenţele admisibile pentru cacircteva materiale sunt următoarele

pentru oțelul de uz general OL37 solicitat la icircntindere compresiune sau

icircncovoiere 120590119886 = 150 [119872119875119886] pentru lemnul de brad solicitat la

- compresiune icircn lungul fibrelor şi solicitat la icircncovoiere 120590119886 = 10 [119872119875119886] - tracţiune icircn lungul fibrelor 120590119886 = 7 [119872119875119886] - compresiune perpendiculară pe fibre 120590119886 = 15 [119872119875119886] - forfecare icircn lungul fibrelor 120591119886 = 2 [119872119875119886] - forfecare perpendiculară pe fibre 120590119886 = 45 [119872119875119886]

terenuri de fundaţie din pămacircnt uscat sau umed 120590119886 = 020 divide 025 [119872119875119886]

4 CARACTERISTICI GEOMETRICE ALE SECȚIUNILOR PLANE

41 Noţiuni introductive

Icircn relaţiile de calcul ale tensiunilor şi deformaţiilor elementelor de rezistenţă

pentru unele solicitări (icircncovoierea și torsiunea) secțiunile plane intervin atacirct prin

dimensiunile lor (aria 119860) cicirct și prin forma și poziția pe care o are secțiunea icircn raport cu

planul solicitării Mărimile care caracterizează o secțiune icircn raport cu forma și poziția față

de axele unui sistem de referință sunt denumite caracteristici geometrice de ordin

superior Aria secțiunii este caracteristica geometrică ce depinde doar de dimensiunile

geometrice ale acesteia

Să considerăm o grindă solicitată de o forță exterioară 119865 aşezată icircn două poziții icircn

raport cu planul forţei figura 41 Icircn urma aplicării forței deși avem aceeași grindă

(aceeași arie a secțiunii transversale) și aceeași forță se constată că pentru varianta din

figura 41a deformațiile sunt mult mai mari adică rezistența la icircncovoiere a grinzii din

figura 41a este mai mare decacirct icircn cazul grinzii din figura 41b Comportarea diferită se

explică prin aceea că modificarea poziţiei secţiunii transversale faţă de planul forţelor

modifică caracteristicile geometrice ale secţiunii transversale a grinzii

Fig 41 Grindă solicitată de forța 119865

Pentru realizarea calculelor de rezistenţă şi rigiditate este foarte importantă

cunoaşterea caracteristicilor geometrice ale suprafeţei secţiunii transversale a elementelor

de rezistenţă

Caracteristicile geometrice ale secţiunii transversale a unui element de rezistenţă

sunt

- aria secțiunii notată cu 119860

- momentul static icircn raport cu o axă notat 119878119911 și respectiv 119878119910

- momentul de inerție care poate fi

axial notat 119868119911 și respectiv 119868119910

centrifugal notat 119868119911119910

polar notat 119868119901

- raza de inerţie (giraţie)notată 119894119911 și respectiv 119894119910

- modulul de rezistență care poate fi

axial notat 119882119911 și respectiv 119882119910

polar notat 119882119901

42 Aria și momentul static al suprafețelor plane

Fie o suprafaţă plană de arie 119860 pe care se ia un element infinit mic de arie 119889119860 şi

un sistem de axe rectangulare 119911119874119910 figura 42 Notăm cu 119862 centrul de greutate al suprafeţei

119860 Poziţia suprafeţei elementare 119889119860 faţă de acelaşi sistem de coordonate 119911119874119910 este dată

de abscisa 119911 ordonata 119910 și raza polară

Fig 42 Suprafață plană de arie 119860

Aria suprafeţei 119860 figura 42 se defineşte ca fiind

119860 ≝ int 119889119860

119860

(41)

Aria suprafeţei este icircntotdeauna pozitivă și se măsoară icircn [1198981198982] Momentul static al suprafeţei de arie 119860 icircn raport cu axele 119874119911 și respectiv 119874119910

figura 42 sunt date de relaţiile

119878119911 ≝ int 119910 ∙ 119889119860

119860

119878119910 ≝ int 119911 ∙ 119889119860

119860

(42)

Momentul static poate fi pozitiv negativ sau nul şi se măsoară icircn [1198981198983] Coordonatele centrului de greutate ale suprafeței 119860 se detrmină cu relațiile

119910119862 ≝int 119910 ∙ 119889119860119860

119860 119911119862 ≝

int 119911 ∙ 119889119860119860

119860

(43)

Cunoscacircnd coordonatele 119910119862 și 119911119862 ale centrului de greutate 119862 al secțiunii 119860 atunci

momentele statice se pot determina cu relațiile

119878119911 ≝ int 119910 ∙ 119889119860

119860

= 119910119862 ∙ 119889119860 119878119910 ≝ int 119911 ∙ 119889119860

119860

= 119911119862 ∙ 119889119860 (44)

Aceste relații arată că momentul static al unei suprafețe icircn raport cu o axă este

egal cu produsul dintre aria suprafeței și distanța de la centrul ariei la axa respectivă

Dacă suprafaţa se poate descompune icircn 119899 suprafeţe simple la care se cunosc ariile

(1198601 1198602 ⋯ 119860119894⋯ 119860119899) și poziţiile centrelor de greutate 119862119894 faţă de sistemul de referinţă

expresiile momentelor statice capătă următoarea formă

119878119911 = sum 119910119862119894 ∙ 119860119894119899119894=1 = 119910119862 ∙ 119860 119878119910 = sum 119911119862119894 ∙ 119860119894

119899119894=1 = 119911119862 ∙ 119860 (45)

Din relaţiile (45) rezultă că poziţia centrului de greutate 119862 al unei suprafeţe

compuse poate fi determinată cu relaţiile

119910119862 = (sum119910119862119894 ∙ 119860119894

119899

119894=1

) 119860frasl 119911119862 = (sum119911119862119894 ∙ 119860119894

119899

119894=1

) 119860frasl (46)

Icircn relația (45) 119910119862119894 și respectiv 119911119862119894 reprezintă coordonatele centrelor de greutate 119862119894

ale fiecărei suprafețe simple 119860119894 icircn raport sistemul de axe 119911119874119910

Se constată (relaţia 42) că dacă axele sistemului de referinţă trec prin centrul de

greutate (119910119862 = 119911119862 = 0) momentele statice sunt nule Axele icircn raport cu care momentele

statice sunt nule şi care trec prin centrul de greutate al suprafeţei se numesc axe centrale

Observație dacă secțiunea compusă are o axă de simetrie centrul secțiunii se

găsește pe acea axă iar dacă secțiunea este dublu simetrică poziția centrului secțiunii este

la intersecția axelor de simetrie

43 Momente de inerţie

Momentele de inerţie axiale ale unei suprafețe se calculează icircn raport cu axele de

coordonate 119874119911 și respectiv 119874119910 figura 42 și se determină cu relațiile

119868119911 ≝ int 1199102 ∙ 119889119860

119860

119868119910 ≝ int 1199112 ∙ 119889119860

119860

(47)

Unde 119910 și 119911 sunt distanțele de la elementul de arie 119889119860 la cele două axe de

coordonate 119874119911 și respectiv 119874119910

Momentele de inerţie axiale se măsoară icircn [1198981198984] şi sunt icircntotdeauna pozitive (aria

119889119860 este icircntotdeauna pozitivă și este multiplicată cu patratul distanței 1199102 dacă 119868119911 sau 119868119910

sunt nule icircnseamnă ca secțiunea nu există)

Momentele de inerție axiale se calculează icircndeosebi pentru axele centrale (care

trec prin centrul secțiunii) deoarece icircn raport cu acele axe 119868119911 și 119868119910 au valori minime

Momentul de inerţie centrifugal calculat faţă ambele axe ale sistemului de

referinţă 119911119874119910 este definit de relația

119868119911119910 ≝ int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860

(48)

Momentul de inerţie centrifugal se măsoară icircn [1198981198984] şi poate fi pozitiv negativ

sau nul

Momentul de ineție centrifugal este nul 119868119911119910 = 0 dacă cel puțin una din axele 119874119911

sau 119874119910 este axă de simetrie pentru secțiune

Se consideră o suprafaţă dreptunghiulară pe care faţă de axa de simetrie 119874119910 se iau

două suprafeţe elementare de arie 119889119860 simetrice faţă de axa 119874119910 figura 43

Fig 43 Suprafață dreptunghiulară cu două arii elementare 119889119860

Făcacircnd suma momentelor de inerţie centrifugale pentru cele două suprafeţe

elementare 119889119860 (din stacircnga şi din dreapta faţă de axa 119874119910) se obţine

int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860119889119903

+ int (minus119911) ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860119904119905119892

= int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860119889119903

minus int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860119904119905119892

= 0 (49)

Acelaşi raţionament se poate face și pentru icircntreaga suprafaţă de unde obținem că

momentul de inerție centrifugal este nul 119868119911119910 = 0 Deci pentru o suprafaţă plană care

are cel puţin o axă de simetrie momentul de inerţie centrifugal faţă de sistemul care

conţine acea axă de simetrie este nul

Momentul de inerţie polar al unei suprafeţei icircn raport cu un punct (pol) 119874 figura

42 este definit prin relaţia

1198680 = 119868119901 ≝ int 1205882 ∙ 119889119860

119860

= int(1199102 + 1199112) ∙ 119889119860

119860

= 119868119911 + 119868119910 (410)

unde este distanţa de la polul 119874 la elementul de arie 119889119860 Momentul de inerţie polar se

măsoară icircn [1198981198984] şi este totdeauna pozitiv

Momentul de inerţie polar este egal cu suma momentelor de inerţie faţă de două axe

perpendiculare oarecare şi care trec prin polul considerat

Razele de giraţie sau razele de inerţie sunt mărimi calculate icircn raport cu axele

secțiunii și definite de relaţiile

119894119911 ≝ radic119868119911119860 119894119910 = radic

119868119910

119860 (411)

Se exprimă icircn [119898119898] şi sunt icircntotdeauna pozitive Semnificația unei raze de inerție

este distanța la care dacă ar fi concentrată icircntreaga arie s-ar obține același moment de

inerție ca și cel calculat pentru aria reală

44 Modulul de rezistenţă

Modulul de rezistență se calculează icircn raport cu axele de referință sau icircn raport cu

un pol figura 42 și pot fi axiale (119882119911119882119910) sau polar (119882119901) și se determină numai pe baza

momentelor de inerţie cu relațiile figura 43

119882119911119898119894119899 ≝119868119911119910119898119886119909

119882119911119898119886119909 ≝119868119911119910119898119894119899

(412)

119882119910119898119894119899 ≝119868119910

119911119898119886119909 119882119910119898119886119909 ≝

119868119910

119911119898119894119899 (413)

119882119901 ≝119868119901

120588119898119886119909 (414)

unde

119910119898119886119909 119910119898119894119899 reprezintă distanţa de la axa 119874119911 la punctele extreme cele mai

depărtate respectiv cele mai apropiate ale suprafeţei de această axă

119911119898119886119909 119911119898119894119899 reprezintă distanţa de la axa 119874119910 la punctele extreme cele mai

depărtate respectiv cele mai apropiate ale suprafeţei de această axă

120588119898119886119909 reprezintă distanța maximă de la polul 119874 la punctul secțiunii cel mai

icircndepărtat de acesta

Fig 43 Suprafață dreptunghiulară cu două arii elementare 119889119860

Modulele de rezistenţă se exprimă icircn [1198981198983] şi sunt icircntotdeauna pozitive

Explicația este aceea că momentele de inerție care intră icircn relațiile de definiție sunt

pozitive iar distanțele la punctele extreme sunt pozitive (119910119898119886119909 119910119898119894119899 119911119898119886119909 119911119898119894119899 120588119898119886119909 se

iau icircn valoare absolută)

Icircn cazul suprafeţelor compuse modulul de rezistenţă nu se obţine prin icircnsumarea

algebrică a modulelor de rezistenţă ale suprafeţelor simple componente ci numai prin

intermediul momentului de inerţie axial calculat pentru icircntreaga secțiune

Ca și momentele de inerție modulele de rezistență se calculează numai pentru

sistemele de axe centrale

45 Momente de inerţie şi module de rezistenţă pentru suprafeţe simple

451 Secțiune dreptunghiulară

Fie suprafaţa dreptunghiulară din figura 44 de icircnălțime ℎ și lățime 119887 pe care se

consideră suprafaţă elementară de arie 119889119860 = 119887119889119910 la distanța 119910 de axa 119862119911 sistemul de

axe 119911119862119910 trece prin centrul secțiunii iar axele sunt axe de simetrie pentru dreptunghi

Fig 44 Suprafață dreptunghiulară

Pe baza relațiilor de definiți a momentului de inerție 119868119911 se obține

119868119911 ≝ int 1199102 ∙ 119889119860

119860

= int 1199102 ∙ 119887 ∙ 119889119910 = 2int 1199102 ∙ 119887 ∙ 119889119910 = 2 ∙ 119887 ∙1199103

3|ℎ 2frasl

0rArr

ℎ 2frasl

0

ℎ 2frasl

minusℎ 2frasl

rArr 119868119911 =119887 ∙ ℎ3

12

(415)

Analog pentru un element de arie 119889119860 = ℎ ∙ 119889119911 paralel cu axa 119862119910 situat la distanța

119911 de axa 119862119910

119868119910 ≝ int 1199112 ∙ 119889119860

119860

= int 1199112 ∙ ℎ ∙ 119889119911 = 2int 1199112 ∙ ℎ ∙ 119889119910 = 2 ∙ ℎ ∙1199113

3|119887 2frasl

0rArr

119887 2frasl

0

119887 2frasl

minus119887 2frasl

rArr 119868119910 =1198873 ∙ ℎ

12

(416)

Deoarece axele 119862119911 și 119862119910 sunt axe de simetrie momentul de inerție centrifugal este

119868119911119910 = 0 (417)

Pentru un pătrat avacircnd laturile egale (ℎ = 119887 = 119886) momentele de inerţie faţă de

axele centrale au expresia

119868119911 = 119868119910 =1198864

12 (418)

Modulele de rezistență axiale se calculează cu relațiile de definiție ținacircnd cont că

distanțele pacircnă la fibrele extreme sunt

119910119898119886119909 = 119910119898119894119899 =ℎ

2 119911119898119886119909 = 119911119898119894119899 =

119887

2 (419)

Obținem

119882119911119898119894119899 = 119882119911119898119886119909 =119868119911

119910119898119886119909119898119894119899=119887 ∙ ℎ3

12frasl

ℎ2frasl

=119887 ∙ ℎ2

6

119882119910119898119894119899 = 119882119910119898119886119909 =119868119910

119911119898119886119909119898119894119899=1198873 ∙ ℎ

12frasl

1198872frasl

=1198872 ∙ ℎ

6

(420)

452 Suprafaţă circulară

Din motive de simetrie pentru suprafeţele circulare momentele de inerţie faţă de

orice diametru (care reprezintă şi axe centrale) sunt aceleaşi

Considerăm o secțiune circulară plină cu diametrul 119889 și centrul de greutate 119862 Prin

centrul de greutate 119862 trece sistemul de axe ortogonal 119911119862119910 figura 45

Fig 45 Suprafață circulară

La distanța de centrul de greutate 119862 vom lua un element de suprafață mic de arie

(119889119860) de forma unui inel de grosime 119889 Elementul de arie 119889119860 are expresia

119889119860 = (2 ∙ 120587 ∙ 120588) ∙ (119889120588)

Pornind de la relația de definiție a momentului de inerție polar obținem

119868119901 ≝ int 1205882 ∙ 119889119860

119860

= int 1205882 ∙ (2 ∙ 120587 ∙ 120588) ∙ 119889120588

119903=119889 2frasl

0

= 2 ∙ 120587 ∙1205884

4|119889 2frasl0 rArr

rArr 119868119901 =120587 ∙ 1198894

32

(421)

Secțiunea este perfect simetrică deci sunt valabile relațiile

119868119911 = 119868119910 rArr 119868119901 = 119868119911 + 119868119910 = 2 ∙ 119868119911 = 2 ∙ 119868119910 =119868119901

2=120587 ∙ 1198894

64 (422)

Și modulele de rezistenţă faţă de orice diametru sunt egale şi se calculează cu

relaţiile

119882119911 = 119882119910 =1198681199111198892frasl=120587 ∙ 1198893

32 (423)

Modulul de rezistenţă polar este

119882119901 =1198681199011198892frasl=120587 ∙ 1198893

16 (424)

453 Secţiune inelară

Calculul momentelor de inerţie axiale pentru o secţiune inelară avacircnd diametrul

interior 119889 şi diametrul exterior 119863 se determină analog pentru suprafaţa circulară plină cu

observaţia că integrala pentru calculul momentului de inerție polar 119868119901 se face icircntre

limitele 119903 = 119889 2frasl şi R= 1198632frasl (icircntre raza interioară 119903 şi raza exterioară 119877) figura 46

Se obţin relaţiile

119868119901 =120587 ∙ 1198634

32∙ [1 minus (

119889

119863)4

] =120587 ∙ 1198634

32∙ (1 minus 1198964) (425)

119868119910 = 119868119910 =120587 ∙ 1198634

64∙ [1 minus (

119889

119863)4

] =120587 ∙ 1198633

64∙ (1 minus 1198964) (426)

Fig 46 Secțiune inelară

119882119901 =120587 ∙ 1198633

16∙ [1 minus (

119889

119863)4

] =120587 ∙ 1198633

16∙ (1 minus 1198964) (427)

119882119911 = 119882119910 =120587 ∙ 1198633

32∙ [1 minus (

119889

119863)4

] =120587 ∙ 1198633

32∙ (1 minus 1198964) (428)

unde 119896 = 119889119863frasl

46 Variaţia momentelor de inerţie faţă de axe paralele

( Relațiile lui STEINER)

Se consideră o suprafaţă oarecare de arie 119860 cu elementul de arie 119889119860 și un sistemul

de axe central 119911119862119910 faţă de care se cunosc momentele de inerţie 119868119911 119868119910 119868119911119910 şi considerăm

un sistem de axe 11991111198741199101 paralele cu sistemul central figura 47 Se pune problema

determinării momentele de inerţie 1198681199111 1198681199101 11986811991111199101 faţă de sistemul de axe paralel cu sistemul

central 11991111198741199101 axe aflate la distanţele 119910119862 = 119888 respectiv 119911119862 = 119889 de acesta

461 Momente de inerţie axiale

Pe baza relaţiilor de definire şi a notaţiilor din figura 42 pentru momentele de

inerţie faţă de axele 1198741199111 1198741199101 se poate scrie

1198681199111 = int 11991012 ∙ 119889119860

119860

= int(119910 + 119888)2 ∙ 119889119860

119860

= int 1199102 ∙ 119889119860

119860

+ 2 ∙ 119888 ∙ int 119910 ∙ 119889119860

119860

+

+1198882int 119889119860

119860

rArr 1198681199111 = 119868119911 + 2 ∙ 119888 ∙ 119878119911 + 1198882 ∙ 119860 hArr 1198681199111 = 119868119911 + 119888

2 ∙ 119860

(429)

Fig 47 Variaţia momentelor de inerţie față de axe paralele

S-a ajuns la relația (429) deoarece momentul static 119878119911 este nul deoarece axa 119862119885

este axă centrală

Pentru momentul de inerție axial icircn raport cu axa 1198741199101 se obține

1198681199101 = int 11991112 ∙ 119889119860

119860

= int(119911 + 119889)2 ∙ 119889119860

119860

= int 1199112 ∙ 119889119860

119860

+ 2 ∙ 119889 ∙ int 119911 ∙ 119889119860

119860

+

+1198892 ∙ int 119889119860

119860

rArr 1198681199101 = 119868119910 + 2 ∙ 119889 ∙ 119878119910 + 1198892 ∙ 119860 hArr 1198681199101 = 119868119910 + 119889

2 ∙ 119860

(430)

Pentru momentul de inerție centrifugal obținem

11986811991111199101 = int 1199101 ∙ 1199111 ∙ 119889119860

119860

= int(119910 + 119888) ∙ (119911 + 119889) ∙ 119889119860

119860

= int 119910 ∙ 119911 ∙ 119889119860 +

119860

+119888 ∙ int 119911 ∙ 119889119860

119860

+ 119889 ∙ int 119910 ∙ 119889119860

119860

rArr 11986811991111199101 = 119868119911119910 + 119888 ∙ 119889 ∙ 119860

(431)

Deoarece

int 119911 ∙ 119889119860

119860

= 119878119910 = 0 int 119910 ∙ 119889119860

119860

= 119878119911 = 0 int 119910 ∙ 119911 ∙ 119889119860

119860

= 119868119911119910

Relaţiile (429) şi (430) arată că momentul de inerţie faţă de o axă oarecare

este egal cu momentul de inerţie faţă de o axă paralelă cu ea trecacircnd prin centrul de

greutate la care se adaugă produsul dintre aria suprafeţei şi pătratul distanţei dintre

cele două axe

Din relaţiile (429) și (430) rezultă de asemenea că momentul de inerţie faţă de o

axă centrală (care trece prin centrul de greutate) este cel mai mic dintre infinitatea de

momente de inerţie obținute faţă de alte axe paralele cu ea

Relaţia (431) arată de asemenea că momentul de inerţie centrifugal faţă de un

sistem de axe oarecare este egal cu momentul de inerţie centrifugal faţă de un sistem

paralele cu el trecacircnd prin centrul de greutate a suprafeţei la care se adaugă produsul

dintre aria suprafeţei şi distanţele dintre axele sistemelor respective

Icircn literatura de specialitate relaţiile (429) (430) şi (431) sunt cunoscute sub

numele de relaţiile lui Steiner

47 Variaţia momentrlor de inerţie faţă de axe rotite

Direcţii principale şi momente de inerţie principale

Fie suprafaţa plană din figura 48 de arie 119860 pe care considerăm o suprafaţă

elementară de arie 119889119860 Pentru sistemul de axe 119911119874119910 se cunosc momentele de inerţie

119868119911 119868119910 119868119911119910 şi vom determina relaţiile de calcul pentru momentele de inerţie afererent unui

sistem de axe 11991111198741199101 rotit cu un unghi faţă de sistemul central

Faţă de sistemul de axe 11991111198741199101 elementul de arie 119889119860 are coordonatele

1199101 = 119875119877 = 119875119876 minus 119877119876 = 119910 ∙ cos 120572 minus 119911 ∙ sin 120572

1199111 = 119873119872 = 119873119875 minus 119875119872 = 119911 ∙ cos 120572 + 119910 ∙ sin 120572 (432)

Fig 47 Variaţia momentelor de inerţie față de axe rotite

Pe baza relaţiilor de calcul ale momentelor de inerţie şi a notaţiilor din figura 42

şi ale relaţiilor (432) momentele de inerţie faţă de sistemul de axe rotit 11991111198741199101 sunt

1198681199111 =119868119911 + 119868119910

2+119868119911 minus 119868119910

2∙ cos 2120572 minus 119868119911119910 ∙ sin 2120572 (433)

1198681199101 =119868119911 + 119868119910

2minus119868119911 minus 119868119910

2∙ cos 2120572 + 119868119911119910 ∙ sin 2120572 (434)

11986811991111199101 =119868119911 minus 119868119910

2∙ sin 2120572 + 119868119911119910 ∙ cos 2120572 (435)

Din relaţiile 433divide435 se observă că icircntre momentele de inerţie axiale şi cele

polare există relaţia

1198681199111 + 1198681199101 = 119868119911 + 119868119910 = 119868119901 (436)

adică suma momentelor de inerţie axiale icircn raport cu orice pereche de axe ortogonale

care trec printr-un pol dat este o constantă şi egală cu momentul de inerţie polar

Prin rotirea sistemului de axe din relaţiile 433divide435 rezultă că momentele de inerţie

variază icircnsă suma lor rămacircne constantă deci există o poziţie a sistemului de axe pentru

care momentele de inerţie au valori extreme maxim respectiv minim

471 Direcţii principale de inerţie

Valoarea unghiului 120572 pentru care momentele de inerţie axiale au valori extreme

este

1205721 =1

2∙ 119886119903119888119905119886119899 (minus

2 ∙ 119868119911119910

119868119911 minus 119868119910) (437)

Poziţia celeilalte direcţii este perpendiculară pe cea dată de unghiul 1205721

Din relaţia (437) se constată că faţă de aceste direcţii rotite pentru care momentele

de inerţie axiale prezintă valori extreme momentul de inerţie centrifugal 11986811991111199101este nul

Atunci se poate afirma că momentele de inerţie axiale au valori extreme icircn raport cu

direcţiile faţă de care momentul de inerţie centrifugal este nul Aceste direcţii se numesc

direcţii principale iar momentele de inerţie faţă de aceste direcţii poartă numele de

momente de inerţie principale

Icircn calculele de rezistenţă interesează icircn mod special poziţia direcţiilor principale

care trec prin centrul de greutate al suprafeţei aşa numitele direcţii principale centrale şi

evident momentele de inerţie principale centrale

Direcţiile principale de inerţie se notează cu 1 respectiv 2 Axa principală 1

corespunde direcţiei faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea maximă iar

axa principală 2 pentru direcţia faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea

minimă

472 Momente de inerţie principale

Momentele de inerţie principale se notează cu litera 119868 la care se pune indicele 1

sau 2 după cum valoarea acestuia este maximă sau minimă deci avem un moment de

inerţie principal 1 (notat 1198681) respectiv moment de inerţie principal 2 (notat 1198682)

Expresiile pentru momentele de inerţie principale sunt

11986812 =119868119911 + 119868119910

2plusmn1

2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)

2+ 4 ∙ (119868119911119910)

2 (438)

Dacă momentul de inerţie centrifugal este negativ (119868119911119910 lt 0) direcţia principală

care trece prin primul cadran (definit de sistemul 119911119862119910) este direcţia principală 120783

Pentru suprafeţele cu cel puţin o axă de simetrie direcţiile centrale 119862119911 119862119910 sunt şi

direcții principale de inerţie și evident momentele de inerţie axiale 119868119911 119868119910 sunt momente

de inerţie principale

48 Caracteristici mecanice ale metalelor

Alegerea materialului pentru confecţionarea unei anumite piese se face şi pe baza

aşa numitelor caracteristici mecanice pe care le prezintă materialul Cunoaşterea acestor

caracteristici mecanice are loc numai pe baza unor icircncercări mecanice care să scoată icircn

evidenţă comportarea materialului icircn condiţii de solicitare

Cea mai utilizată icircncercare icircn urma căreia se pun icircn evidenţă caracteristicile

mecanice ale unui material este icircncercarea la tracţiune

481 Icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general

Icircncercarea la tracţiune a oţelului ca de altfel toate icircncercările de materiale este

standardizată

Icircn cele ce urmează se va prezenta numai partea care interesează strict din punct

de vedere al caracteristicilor mecanice ale oţelului

Epruveta de diametru iniţial 1198890 pentru icircncercarea la tracţiune are o porţiune de

lungime 1198710 numită baza de măsurare pe care se măsoară lungirea acesteia sub acţiunea

solicitării

Icircn funcţie de raportul dintre baza de măsurare 1198710 şi diametrul iniţial 1198890 epruvetele

utilizate pentru icircncercări sunt

epruvete normale (scurte) cacircnd 11987101198890 = 5

epruvete lungi cacircnd 11987101198890 = 10

Icircn timpul icircncercării la diferite valori ale forţei 119865 se măsoară lungirea bazei de

măsurare

∆119871 = 120575 = 119871 minus 1198710 (439)

unde

119871 este dimensiunea bazei de măsurare la un moment dat

Curba forţă-lungire (119865 minus ) icircnregistrată icircn urma icircncercării reprezintă curba

caracteristică la tracţiune

La icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general diagrama caracteristică care se

obţine are forma din figura 48

Curba caracteristică la tracţiune depinde de lungimea bazei de măsurare Pentru

icircnlăturarea acestui neajuns curba caracteristică se reprezintă icircn coordonate şi definite

astfel

120590 =119865

1198600 휀 =

120575

1198710 (440)

unde

1198600 este aria iniţială a secţiunii transversale a epruvetei (icircnainte de solicitare) icircn

zona bazei de măsurare

1198600 =120587 ∙ 1198890

2

4

Deoarece mărimile icircn care se reprezintă curba caracteristică la tracţiune sunt

raportate la aria iniţială a secţiunii transversale (mărimi specifice) curba poartă numele

de curbă caracteristică convenţională la tracţiune

Fig 48 Curba caracteristică convenţională la tracțiune

Pe curba caracteristică convenţională la tracţiune figura 48 se pot stabili o serie

de puncte cărora le corespund mai multe mărimi importante

Ordonata punctului A pacircnă unde curba caracteristică convenţională este linie

dreaptă se numeşte limita de proporţionalitate a materialului 120590119901(1205901) Porţiunea 119874119860 este

zona de proporţionalitate a curbei caracteristice pe acest domeniu este valabilă legea lui

Hooke care exprimă o proporţionalitate icircntre tensiune şi deformaţie specifică

120590 = 119864 ∙ 휀 (441)

unde

119864 = reprezintă panta porţiunii liniare a curbei convenționale caracteristice

la tracțiune Caracteristica de material 119864 se numeşte modul de elasticitate longitudinal

(modulul lui Young)

Ordonata punctului 119861 pacircnă unde materialul se comportă perfect elastic adică

după descărcare icircşi recapătă dimensiunea iniţială 1198710 se numeşte limita de elasticitate

120590119890(119877119890) Icircn realitate nici un material nu are comportare perfect elastică sub acţiunea

solicitărilor el capătă deformaţii permanente (remanente plastice)

După punctul 119861 urmează o porţiune 119861119862119863 icircn care cu toate că icircncărcarea

continuă forţa nu mai creşte avacircnd mici oscilaţii icircn jurul unei valori Se spune că icircn

această porţiune materialul curge iar intervalul 119861119862119863 este un palier de curgere Tensiunea

corespunzătoare palierului de curgere se numeşte limită de curgere aparentă 120590119888(119877119888) Limita de curgere aparentă se calculează cu relaţia

120590119888 =1198651198881198600 (442)

unde

119865119888 reprezintă valoarea forţei icircnregistrată icircn momentul curgerii materialului

După punctul 119863 curba caracteristică are un traseu ascendent pacircnă icircn punctul 119864

Porţiunea 119863119864 este numită zonă de icircntărire (ecruisare) Icircn zona de ecruisare unde se

produc deformaţii plastice semnificative legea lui Hooke nu mai este valabilă La

descărcare relaţia dintre tensiunea şi deformaţia specifică este liniară paralelă cu

porţiunea liniară a curbei caracteristice (dreapta 119872119873)

Deformaţia totală (휀119905) are două componente una elastică (휀119890) şi una plastică (휀119901)

Ordonata punctului 119864 reprezintă rezistenţa de rupere 120590119903(119877119898) a materialului

care se poate calcula cu relaţia

120590119903 = 119877119898 =1198651198981198861199091198600

(443)

unde

119865119898119886119909 reprezintă valoarea maximă a forţei icircnregistrată icircn timpul icircncercării

La atingerea valorii 119865119898119886119909 (punctul 119864) icircntr-un anumit loc al epruvetei secţiunea

icircncepe să se micşoreze (se produce gacirctuirea) continuacircnd pacircnă cacircnd se produce ruperea

totală (punctul 119865)

Dacă după ruperea epruvetei cele două părţi rezultate se aşează cap la cap şi se

măsoară dimensiunea bazei de măsurare 119871119906 (lungimea ultimă) se determină alungirea la

rupere sau lungirea specifică la rupere 휀119903

휀119903 =119871119906 minus 11987101198710

=∆119871

1198710=120575

1198710 (444)

De obicei alungirea se exprimă icircn procente şi se notează cu 119860119899 unde 119899 reprezintă

numărul dat de raportul 11987101198890 (epruvete normale 119899 = 5 epruvete lungi 119899 = 10)

119860119899 =119871119906 minus 11987101198710

∙ 100 [] (445)

Altă mărime care se determină la icircncercarea la tracţiune este gacirctuirea la rupere

(exprimată de obicei icircn procente) şi definită de relaţia

119885 =1198600 minus 1198601199061198600

∙ 100 [] (446)

Mărimile determinate limita de proporţionalitate modulul de elasticitate

longitudinal limita de elasticitate limita de curgere aparentă rezistenţa de rupere

alungirea la rupere şi gacirctuirea la rupere sunt cunoscute ca fiind caracteristici mecanice

ale materialului

Din curba caracteristică convenţională observăm faptul că ruperea (punctul 119865 din

figura 48 se produce la o tensiune mai mică decacirct cea corespunzătoare punctului 119864 Dacă

icircnsă forţa din timpul icircncercării s-ar raporta la aria secţiunii din momentul icircnregistrării

forţei (care este mai mică decacirct cea iniţială 1198600) s-ar obţine aşa numita curbă

caracteristică reală a materialului (traseul 1198741198601198611198621198631198651 din figura 48) La curba

caracteristică reală ruperea se produce icircn punctul 1198651 la o icircncărcare mai mare decacirct cea

corespunzătoare punctului 119864 Icircnseamnă că rezistenţa reală la rupere este mai mare decacirct

rezistenţa la rupere dată de punctul 119864 din diagrama caracteristică convenţională

Dificultatea obţinerii diagramei caracteristice reale faţă de cea a diagramei caracteristice

convenţionale şi considerarea unei rezistenţe la rupere mai mică decacirct a celei reale face

icircn practică utilizarea pe scară mare a diagramei caracteristice convenţionale

Caracteristicile mecanice determinate pe baza curbei caracteristice convenţionale

sunt şi ele caracteristici mecanice convenţionale

Caracteristicile mecanice convenţionale limita de proporţionalitate convenţională

120590119901 limita de elasticitate convenţională 120590119890 limita de curgere convenţională 120590119888 şi rezistenţa

de rupere 120590119903 constituie tensiuni limită pentru un material Pe baza acestor caracteristici

de material se alege valoarea tensiunii admisibile 120590119886 (vezi paragraful 35) pentru

calculele de rezistenţă Cea mai utilizată stare limită pentru stabilirea tensiunii admisibile

120590119886 este limita de curgere convenţională 120590119888

120590119886 =120590119897119894119898119888

=120590119888119888 119904119886119906 120590119886 =

120590119903119888 (447)

Caracteristicile mecanice ale materialului sunt influenţate de o serie de factori

temperatura viteza de solicitare factorii tehnologici iar valorile lor sunt date icircn tabele și

diagrame

Aplicaţie Pentru suprafaţa plană compusă din două dreptunghiuri avacircnd

dimensiunile din figura 49a să se calculeze

a) centrul de greutate al secțiunii compuse 119910119866 119911119866

b) momentele de inerție axiale 119868119911 119868119910 și momentul de inerție centrifugal 119868119911119910

c) razele de inerție 119894119911 119894119910

d) modulele de rezistență 119882119911119898119894119899 119882119911119898119886119909 119882119910119898119894119899 119882119910119898119886119909

e) momentele de inerție principale 1198681 1198682 și direcțiile principale de inerție 1205721

f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 119878119911

Fig 49 Aplicație

Rezolvare Pentru rezolvare vom parcurge următoarele etape

icircmpărțim suprafața compusă icircn două suprafețe simple (dreptunghiuri) notate cu

① și respectiv ② figura 49b

poziționăm centrele de greutate a celor două suprafețe simple ① și respectiv ②

notate cu 1198661 și respectiv 1198662 figura 49c

poziționăm sistemele de axe de coordonate 119911111986611199101 pentru dreptunghiul ① și

119911211986621199102 pentru dreptunghiul ② aflate la intersecția diagonalelor figura 49c

poziționăm sistemele de axe de coordonate 11991101198741199100 ales arbitrar față de care

determinăm poziția centrului de greutate 119866 figura 49c

a) calculăm poziția centrului de greutate folosind relațiile (46) icircn care

1198601 = 6119905 ∙ 119905 = 61199052 1198602 = 4119905 ∙ 119905 = 41199052 119860 = 1198601 + 1198602 = 61199052 + 41199052 = 101199052

iar centrele de greutate 1198661 și respectiv 1198662 au coordonatele (față de sistemul 11991101198741199100)

1198661 1199101 = 3119905 1199111 = 05119905

1198662 1199102 = 051199051199112 = 3119905

cu acestea obținem

119910119866 =1198601 ∙ 1199101 + 1198602 ∙ 1199102

119860=61199052 ∙ 3119905 + 41199052 ∙ 05119905

101199052=201199053

101199052= 2119905

119911119866 =1198601 ∙ 1199111 + 1198602 ∙ 1199112

119860=61199052 ∙ 05119905 + 41199052 ∙ 3119905

101199052=151199053

101199052= 15119905

Poziționăm centrul de greutate 119866 al suprafeței compuse figura 49c

Fig 49 Aplicație

b) pentru determinarea momentelor de inerție axiale 119868119911 119868119910 și a momentului de

inerție centrifugal 119868119910119911 determinăm constantele 1198881 1198882 1198891 1198892 care intervin icircn relația lui

Stainer

1198881 = 1199101 minus 119910119866 = 3119905 minus 2119905 = 119905 1198882 = minus(119910119866 minus 1199102) = minus(2119905 minus 05119905) = minus15119905

1198891 = minus(119911119866 minus 1199111) = minus(15119905 minus 05119905) = minus119905 1198892 = 1199112 minus 119911119892 = 3119905 minus 15119905 = 15119905

Folosind relațiile lui Stainer (429) (430) și (431) calculăm momentele de

inerție axiale și centrifugale față de sistemul central 119911119866119866119910119866

119868119911 =sum(119868119911119894 + 1198881198942 ∙ 119860119894) = 1198681199111 + 1198881

2 ∙ 1198601 + 1198681199112 + 11988822 ∙ 1198602

119868119910 =sum(119868119910119894 + 1198891198942 ∙ 119860119894) = 1198681199101 + 1198891

2 ∙ 1198601 + 1198681199102 + 11988922 ∙ 1198602

119868119911119910 =sum(119868119911119894119910119894 + 119888119894 ∙ 119889119894 ∙ 119860119894) = 11986811991111199101 + 1198881 ∙ 1198891 ∙ 1198601 + 11986811991121199102 + 1198882 ∙ 1198892 ∙ 1198602

1198681199111 = (119887 ∙ ℎ3

12) =

119905 ∙ (6119905)3

12= 181199054 1198681199112 = (

119887 ∙ ℎ3

12) =

4119905 ∙ 1199053

12= 031199054

1198681199101 = (1198873 ∙ ℎ

12) =

1199053 ∙ 6119905

12= 051199054 1198681199102 = (

1198873 ∙ ℎ

12) =

(4119905)3 ∙ 119905

12= 531199054

11986811991111199101 = 11986811991121199102 = 0 deoarece cele două triunghiuri au cel puțin o axă de simetrie

Cu acestea momentele de inerție axiale și momentul de inerție centrifugal devin

119868119911 = 181199054 + 1199052 ∙ 61199052 + 031199054 + (minus15119905)2 ∙ 41199052 = 3331199054

119868119910 = 051199054 + (minus119905)2 ∙ 61199052 + 531199054 + (15119905)2 ∙ 41199052 = 2081199054

119868119911119910 = 0 + 119905 ∙ (minus119905) ∙ 61199052 + 0 + (minus15119905) ∙ (15119905) ∙ 41199052 = minus151199054

c) razele de inerție sau de girație față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910

se calculează cu relațiile (411)

119894119911 = radic119868119911119860= radic

3331199054

101199052= 182119905 119894119910 = radic

119868119910

119860= radic

2081199054

101199052= 144119905

d) modulele de rezistență față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910 se

calculează cu relațiile (412) și (413)

Avacircnd icircn vedere figura 419c obținem

119910119898119886119909 = 6119905 minus 119910119866 = 6119905 minus 2119905 = 4119905 119910119898119894119899 = minus119910119866 = minus2119905

119911119898119886119909 = 5119905 minus 119911119866 = 5119905 minus 15119905 = 35119905 119911119898119894119899 = minus119911119866 = minus15119905

Se obține astfel

119882119911119898119894119899 =119868119911

|119910119898119886119909|=3331199054

4119905= 8331199053

119882119911119898119886119909 =119868119911

|119910119898119894119899|=3331199054

2119905= 16651199053

119882119910119898119894119899 =119868119910

|119911119898119886119909|=2081199054

35119905= 5941199053

119882119910119898119886119909 =119868119910

|119911119898119894119899|=2081199054

15119905= 13871199053

e) momentele de inerție principale 1198681 și respectiv 1198682 se calculează cu relațiile

(438)

11986812 =119868119911 + 119868119910

2plusmn1

2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)

2+ 4 ∙ (119868119911119910)

2=

=3331199054 + 2081199054

2plusmn1

2∙ radic(3331199054 minus 2081199054)2 + 4 ∙ (minus151199054)2 = 27051199054 plusmn 16251199054

De unde obținem

1198681 = 27051199054 + 16251199054 = 4331199054

1198682 = 27051199054 minus 16251199054 = 1081199054

Prima direcție principală de inerție 1 face cu axa centrală 119866119911 unghiul 1205721 dat de

relația (437)

1205721 =1

2∙ arctan (minus

2 ∙ 119868119911119910

119868119911 minus 119868119910) =

1

2∙ arctan [minus

2 ∙ (minus151199054)

3331199054 minus 2081199054] =33 70

Deoarece 1205721 gt 0 rotirea axelor se face acircn sens antiorar acelor de ceasornic figura

49d

Poziția axe principale 2 față de care momentul de inerție are valoarea minimă

1198682 = 119868119898119894119899 este dată de unghiul

1205722 = 1205721 + 900 = 33 70 + 900 = 123 70

f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 se determină cu relația

(45)

1198781199111198602 = 1198602 ∙ 1198882 = 41199052 ∙ (minus15119905) = minus61199053

120590119890119891119898119886119909 le 120590119886 (327)

Valoarea rezistenţei admisibile este influenţată de foarte mulţi factori natura

materialului tratamentele termice aplicate piesei durata de funcţionare a piesei modul

de acţionare icircn timp a sarcinilor felul solicitării temperatura gradul de periculozitate

icircn cazul cedării piesei etc

De asemenea valoarea coeficientului de siguranţă se alege icircn principal ţinacircnd

seama de aceiaşi factori care influenţează şi rezistenţa admisibilă

Rezistenţele admisibile pentru cacircteva materiale sunt următoarele

pentru oțelul de uz general OL37 solicitat la icircntindere compresiune sau

icircncovoiere 120590119886 = 150 [119872119875119886] pentru lemnul de brad solicitat la

- compresiune icircn lungul fibrelor şi solicitat la icircncovoiere 120590119886 = 10 [119872119875119886] - tracţiune icircn lungul fibrelor 120590119886 = 7 [119872119875119886] - compresiune perpendiculară pe fibre 120590119886 = 15 [119872119875119886] - forfecare icircn lungul fibrelor 120591119886 = 2 [119872119875119886] - forfecare perpendiculară pe fibre 120590119886 = 45 [119872119875119886]

terenuri de fundaţie din pămacircnt uscat sau umed 120590119886 = 020 divide 025 [119872119875119886]

4 CARACTERISTICI GEOMETRICE ALE SECȚIUNILOR PLANE

41 Noţiuni introductive

Icircn relaţiile de calcul ale tensiunilor şi deformaţiilor elementelor de rezistenţă

pentru unele solicitări (icircncovoierea și torsiunea) secțiunile plane intervin atacirct prin

dimensiunile lor (aria 119860) cicirct și prin forma și poziția pe care o are secțiunea icircn raport cu

planul solicitării Mărimile care caracterizează o secțiune icircn raport cu forma și poziția față

de axele unui sistem de referință sunt denumite caracteristici geometrice de ordin

superior Aria secțiunii este caracteristica geometrică ce depinde doar de dimensiunile

geometrice ale acesteia

Să considerăm o grindă solicitată de o forță exterioară 119865 aşezată icircn două poziții icircn

raport cu planul forţei figura 41 Icircn urma aplicării forței deși avem aceeași grindă

(aceeași arie a secțiunii transversale) și aceeași forță se constată că pentru varianta din

figura 41a deformațiile sunt mult mai mari adică rezistența la icircncovoiere a grinzii din

figura 41a este mai mare decacirct icircn cazul grinzii din figura 41b Comportarea diferită se

explică prin aceea că modificarea poziţiei secţiunii transversale faţă de planul forţelor

modifică caracteristicile geometrice ale secţiunii transversale a grinzii

Fig 41 Grindă solicitată de forța 119865

Pentru realizarea calculelor de rezistenţă şi rigiditate este foarte importantă

cunoaşterea caracteristicilor geometrice ale suprafeţei secţiunii transversale a elementelor

de rezistenţă

Caracteristicile geometrice ale secţiunii transversale a unui element de rezistenţă

sunt

- aria secțiunii notată cu 119860

- momentul static icircn raport cu o axă notat 119878119911 și respectiv 119878119910

- momentul de inerție care poate fi

axial notat 119868119911 și respectiv 119868119910

centrifugal notat 119868119911119910

polar notat 119868119901

- raza de inerţie (giraţie)notată 119894119911 și respectiv 119894119910

- modulul de rezistență care poate fi

axial notat 119882119911 și respectiv 119882119910

polar notat 119882119901

42 Aria și momentul static al suprafețelor plane

Fie o suprafaţă plană de arie 119860 pe care se ia un element infinit mic de arie 119889119860 şi

un sistem de axe rectangulare 119911119874119910 figura 42 Notăm cu 119862 centrul de greutate al suprafeţei

119860 Poziţia suprafeţei elementare 119889119860 faţă de acelaşi sistem de coordonate 119911119874119910 este dată

de abscisa 119911 ordonata 119910 și raza polară

Fig 42 Suprafață plană de arie 119860

Aria suprafeţei 119860 figura 42 se defineşte ca fiind

119860 ≝ int 119889119860

119860

(41)

Aria suprafeţei este icircntotdeauna pozitivă și se măsoară icircn [1198981198982] Momentul static al suprafeţei de arie 119860 icircn raport cu axele 119874119911 și respectiv 119874119910

figura 42 sunt date de relaţiile

119878119911 ≝ int 119910 ∙ 119889119860

119860

119878119910 ≝ int 119911 ∙ 119889119860

119860

(42)

Momentul static poate fi pozitiv negativ sau nul şi se măsoară icircn [1198981198983] Coordonatele centrului de greutate ale suprafeței 119860 se detrmină cu relațiile

119910119862 ≝int 119910 ∙ 119889119860119860

119860 119911119862 ≝

int 119911 ∙ 119889119860119860

119860

(43)

Cunoscacircnd coordonatele 119910119862 și 119911119862 ale centrului de greutate 119862 al secțiunii 119860 atunci

momentele statice se pot determina cu relațiile

119878119911 ≝ int 119910 ∙ 119889119860

119860

= 119910119862 ∙ 119889119860 119878119910 ≝ int 119911 ∙ 119889119860

119860

= 119911119862 ∙ 119889119860 (44)

Aceste relații arată că momentul static al unei suprafețe icircn raport cu o axă este

egal cu produsul dintre aria suprafeței și distanța de la centrul ariei la axa respectivă

Dacă suprafaţa se poate descompune icircn 119899 suprafeţe simple la care se cunosc ariile

(1198601 1198602 ⋯ 119860119894⋯ 119860119899) și poziţiile centrelor de greutate 119862119894 faţă de sistemul de referinţă

expresiile momentelor statice capătă următoarea formă

119878119911 = sum 119910119862119894 ∙ 119860119894119899119894=1 = 119910119862 ∙ 119860 119878119910 = sum 119911119862119894 ∙ 119860119894

119899119894=1 = 119911119862 ∙ 119860 (45)

Din relaţiile (45) rezultă că poziţia centrului de greutate 119862 al unei suprafeţe

compuse poate fi determinată cu relaţiile

119910119862 = (sum119910119862119894 ∙ 119860119894

119899

119894=1

) 119860frasl 119911119862 = (sum119911119862119894 ∙ 119860119894

119899

119894=1

) 119860frasl (46)

Icircn relația (45) 119910119862119894 și respectiv 119911119862119894 reprezintă coordonatele centrelor de greutate 119862119894

ale fiecărei suprafețe simple 119860119894 icircn raport sistemul de axe 119911119874119910

Se constată (relaţia 42) că dacă axele sistemului de referinţă trec prin centrul de

greutate (119910119862 = 119911119862 = 0) momentele statice sunt nule Axele icircn raport cu care momentele

statice sunt nule şi care trec prin centrul de greutate al suprafeţei se numesc axe centrale

Observație dacă secțiunea compusă are o axă de simetrie centrul secțiunii se

găsește pe acea axă iar dacă secțiunea este dublu simetrică poziția centrului secțiunii este

la intersecția axelor de simetrie

43 Momente de inerţie

Momentele de inerţie axiale ale unei suprafețe se calculează icircn raport cu axele de

coordonate 119874119911 și respectiv 119874119910 figura 42 și se determină cu relațiile

119868119911 ≝ int 1199102 ∙ 119889119860

119860

119868119910 ≝ int 1199112 ∙ 119889119860

119860

(47)

Unde 119910 și 119911 sunt distanțele de la elementul de arie 119889119860 la cele două axe de

coordonate 119874119911 și respectiv 119874119910

Momentele de inerţie axiale se măsoară icircn [1198981198984] şi sunt icircntotdeauna pozitive (aria

119889119860 este icircntotdeauna pozitivă și este multiplicată cu patratul distanței 1199102 dacă 119868119911 sau 119868119910

sunt nule icircnseamnă ca secțiunea nu există)

Momentele de inerție axiale se calculează icircndeosebi pentru axele centrale (care

trec prin centrul secțiunii) deoarece icircn raport cu acele axe 119868119911 și 119868119910 au valori minime

Momentul de inerţie centrifugal calculat faţă ambele axe ale sistemului de

referinţă 119911119874119910 este definit de relația

119868119911119910 ≝ int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860

(48)

Momentul de inerţie centrifugal se măsoară icircn [1198981198984] şi poate fi pozitiv negativ

sau nul

Momentul de ineție centrifugal este nul 119868119911119910 = 0 dacă cel puțin una din axele 119874119911

sau 119874119910 este axă de simetrie pentru secțiune

Se consideră o suprafaţă dreptunghiulară pe care faţă de axa de simetrie 119874119910 se iau

două suprafeţe elementare de arie 119889119860 simetrice faţă de axa 119874119910 figura 43

Fig 43 Suprafață dreptunghiulară cu două arii elementare 119889119860

Făcacircnd suma momentelor de inerţie centrifugale pentru cele două suprafeţe

elementare 119889119860 (din stacircnga şi din dreapta faţă de axa 119874119910) se obţine

int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860119889119903

+ int (minus119911) ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860119904119905119892

= int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860119889119903

minus int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860119904119905119892

= 0 (49)

Acelaşi raţionament se poate face și pentru icircntreaga suprafaţă de unde obținem că

momentul de inerție centrifugal este nul 119868119911119910 = 0 Deci pentru o suprafaţă plană care

are cel puţin o axă de simetrie momentul de inerţie centrifugal faţă de sistemul care

conţine acea axă de simetrie este nul

Momentul de inerţie polar al unei suprafeţei icircn raport cu un punct (pol) 119874 figura

42 este definit prin relaţia

1198680 = 119868119901 ≝ int 1205882 ∙ 119889119860

119860

= int(1199102 + 1199112) ∙ 119889119860

119860

= 119868119911 + 119868119910 (410)

unde este distanţa de la polul 119874 la elementul de arie 119889119860 Momentul de inerţie polar se

măsoară icircn [1198981198984] şi este totdeauna pozitiv

Momentul de inerţie polar este egal cu suma momentelor de inerţie faţă de două axe

perpendiculare oarecare şi care trec prin polul considerat

Razele de giraţie sau razele de inerţie sunt mărimi calculate icircn raport cu axele

secțiunii și definite de relaţiile

119894119911 ≝ radic119868119911119860 119894119910 = radic

119868119910

119860 (411)

Se exprimă icircn [119898119898] şi sunt icircntotdeauna pozitive Semnificația unei raze de inerție

este distanța la care dacă ar fi concentrată icircntreaga arie s-ar obține același moment de

inerție ca și cel calculat pentru aria reală

44 Modulul de rezistenţă

Modulul de rezistență se calculează icircn raport cu axele de referință sau icircn raport cu

un pol figura 42 și pot fi axiale (119882119911119882119910) sau polar (119882119901) și se determină numai pe baza

momentelor de inerţie cu relațiile figura 43

119882119911119898119894119899 ≝119868119911119910119898119886119909

119882119911119898119886119909 ≝119868119911119910119898119894119899

(412)

119882119910119898119894119899 ≝119868119910

119911119898119886119909 119882119910119898119886119909 ≝

119868119910

119911119898119894119899 (413)

119882119901 ≝119868119901

120588119898119886119909 (414)

unde

119910119898119886119909 119910119898119894119899 reprezintă distanţa de la axa 119874119911 la punctele extreme cele mai

depărtate respectiv cele mai apropiate ale suprafeţei de această axă

119911119898119886119909 119911119898119894119899 reprezintă distanţa de la axa 119874119910 la punctele extreme cele mai

depărtate respectiv cele mai apropiate ale suprafeţei de această axă

120588119898119886119909 reprezintă distanța maximă de la polul 119874 la punctul secțiunii cel mai

icircndepărtat de acesta

Fig 43 Suprafață dreptunghiulară cu două arii elementare 119889119860

Modulele de rezistenţă se exprimă icircn [1198981198983] şi sunt icircntotdeauna pozitive

Explicația este aceea că momentele de inerție care intră icircn relațiile de definiție sunt

pozitive iar distanțele la punctele extreme sunt pozitive (119910119898119886119909 119910119898119894119899 119911119898119886119909 119911119898119894119899 120588119898119886119909 se

iau icircn valoare absolută)

Icircn cazul suprafeţelor compuse modulul de rezistenţă nu se obţine prin icircnsumarea

algebrică a modulelor de rezistenţă ale suprafeţelor simple componente ci numai prin

intermediul momentului de inerţie axial calculat pentru icircntreaga secțiune

Ca și momentele de inerție modulele de rezistență se calculează numai pentru

sistemele de axe centrale

45 Momente de inerţie şi module de rezistenţă pentru suprafeţe simple

451 Secțiune dreptunghiulară

Fie suprafaţa dreptunghiulară din figura 44 de icircnălțime ℎ și lățime 119887 pe care se

consideră suprafaţă elementară de arie 119889119860 = 119887119889119910 la distanța 119910 de axa 119862119911 sistemul de

axe 119911119862119910 trece prin centrul secțiunii iar axele sunt axe de simetrie pentru dreptunghi

Fig 44 Suprafață dreptunghiulară

Pe baza relațiilor de definiți a momentului de inerție 119868119911 se obține

119868119911 ≝ int 1199102 ∙ 119889119860

119860

= int 1199102 ∙ 119887 ∙ 119889119910 = 2int 1199102 ∙ 119887 ∙ 119889119910 = 2 ∙ 119887 ∙1199103

3|ℎ 2frasl

0rArr

ℎ 2frasl

0

ℎ 2frasl

minusℎ 2frasl

rArr 119868119911 =119887 ∙ ℎ3

12

(415)

Analog pentru un element de arie 119889119860 = ℎ ∙ 119889119911 paralel cu axa 119862119910 situat la distanța

119911 de axa 119862119910

119868119910 ≝ int 1199112 ∙ 119889119860

119860

= int 1199112 ∙ ℎ ∙ 119889119911 = 2int 1199112 ∙ ℎ ∙ 119889119910 = 2 ∙ ℎ ∙1199113

3|119887 2frasl

0rArr

119887 2frasl

0

119887 2frasl

minus119887 2frasl

rArr 119868119910 =1198873 ∙ ℎ

12

(416)

Deoarece axele 119862119911 și 119862119910 sunt axe de simetrie momentul de inerție centrifugal este

119868119911119910 = 0 (417)

Pentru un pătrat avacircnd laturile egale (ℎ = 119887 = 119886) momentele de inerţie faţă de

axele centrale au expresia

119868119911 = 119868119910 =1198864

12 (418)

Modulele de rezistență axiale se calculează cu relațiile de definiție ținacircnd cont că

distanțele pacircnă la fibrele extreme sunt

119910119898119886119909 = 119910119898119894119899 =ℎ

2 119911119898119886119909 = 119911119898119894119899 =

119887

2 (419)

Obținem

119882119911119898119894119899 = 119882119911119898119886119909 =119868119911

119910119898119886119909119898119894119899=119887 ∙ ℎ3

12frasl

ℎ2frasl

=119887 ∙ ℎ2

6

119882119910119898119894119899 = 119882119910119898119886119909 =119868119910

119911119898119886119909119898119894119899=1198873 ∙ ℎ

12frasl

1198872frasl

=1198872 ∙ ℎ

6

(420)

452 Suprafaţă circulară

Din motive de simetrie pentru suprafeţele circulare momentele de inerţie faţă de

orice diametru (care reprezintă şi axe centrale) sunt aceleaşi

Considerăm o secțiune circulară plină cu diametrul 119889 și centrul de greutate 119862 Prin

centrul de greutate 119862 trece sistemul de axe ortogonal 119911119862119910 figura 45

Fig 45 Suprafață circulară

La distanța de centrul de greutate 119862 vom lua un element de suprafață mic de arie

(119889119860) de forma unui inel de grosime 119889 Elementul de arie 119889119860 are expresia

119889119860 = (2 ∙ 120587 ∙ 120588) ∙ (119889120588)

Pornind de la relația de definiție a momentului de inerție polar obținem

119868119901 ≝ int 1205882 ∙ 119889119860

119860

= int 1205882 ∙ (2 ∙ 120587 ∙ 120588) ∙ 119889120588

119903=119889 2frasl

0

= 2 ∙ 120587 ∙1205884

4|119889 2frasl0 rArr

rArr 119868119901 =120587 ∙ 1198894

32

(421)

Secțiunea este perfect simetrică deci sunt valabile relațiile

119868119911 = 119868119910 rArr 119868119901 = 119868119911 + 119868119910 = 2 ∙ 119868119911 = 2 ∙ 119868119910 =119868119901

2=120587 ∙ 1198894

64 (422)

Și modulele de rezistenţă faţă de orice diametru sunt egale şi se calculează cu

relaţiile

119882119911 = 119882119910 =1198681199111198892frasl=120587 ∙ 1198893

32 (423)

Modulul de rezistenţă polar este

119882119901 =1198681199011198892frasl=120587 ∙ 1198893

16 (424)

453 Secţiune inelară

Calculul momentelor de inerţie axiale pentru o secţiune inelară avacircnd diametrul

interior 119889 şi diametrul exterior 119863 se determină analog pentru suprafaţa circulară plină cu

observaţia că integrala pentru calculul momentului de inerție polar 119868119901 se face icircntre

limitele 119903 = 119889 2frasl şi R= 1198632frasl (icircntre raza interioară 119903 şi raza exterioară 119877) figura 46

Se obţin relaţiile

119868119901 =120587 ∙ 1198634

32∙ [1 minus (

119889

119863)4

] =120587 ∙ 1198634

32∙ (1 minus 1198964) (425)

119868119910 = 119868119910 =120587 ∙ 1198634

64∙ [1 minus (

119889

119863)4

] =120587 ∙ 1198633

64∙ (1 minus 1198964) (426)

Fig 46 Secțiune inelară

119882119901 =120587 ∙ 1198633

16∙ [1 minus (

119889

119863)4

] =120587 ∙ 1198633

16∙ (1 minus 1198964) (427)

119882119911 = 119882119910 =120587 ∙ 1198633

32∙ [1 minus (

119889

119863)4

] =120587 ∙ 1198633

32∙ (1 minus 1198964) (428)

unde 119896 = 119889119863frasl

46 Variaţia momentelor de inerţie faţă de axe paralele

( Relațiile lui STEINER)

Se consideră o suprafaţă oarecare de arie 119860 cu elementul de arie 119889119860 și un sistemul

de axe central 119911119862119910 faţă de care se cunosc momentele de inerţie 119868119911 119868119910 119868119911119910 şi considerăm

un sistem de axe 11991111198741199101 paralele cu sistemul central figura 47 Se pune problema

determinării momentele de inerţie 1198681199111 1198681199101 11986811991111199101 faţă de sistemul de axe paralel cu sistemul

central 11991111198741199101 axe aflate la distanţele 119910119862 = 119888 respectiv 119911119862 = 119889 de acesta

461 Momente de inerţie axiale

Pe baza relaţiilor de definire şi a notaţiilor din figura 42 pentru momentele de

inerţie faţă de axele 1198741199111 1198741199101 se poate scrie

1198681199111 = int 11991012 ∙ 119889119860

119860

= int(119910 + 119888)2 ∙ 119889119860

119860

= int 1199102 ∙ 119889119860

119860

+ 2 ∙ 119888 ∙ int 119910 ∙ 119889119860

119860

+

+1198882int 119889119860

119860

rArr 1198681199111 = 119868119911 + 2 ∙ 119888 ∙ 119878119911 + 1198882 ∙ 119860 hArr 1198681199111 = 119868119911 + 119888

2 ∙ 119860

(429)

Fig 47 Variaţia momentelor de inerţie față de axe paralele

S-a ajuns la relația (429) deoarece momentul static 119878119911 este nul deoarece axa 119862119885

este axă centrală

Pentru momentul de inerție axial icircn raport cu axa 1198741199101 se obține

1198681199101 = int 11991112 ∙ 119889119860

119860

= int(119911 + 119889)2 ∙ 119889119860

119860

= int 1199112 ∙ 119889119860

119860

+ 2 ∙ 119889 ∙ int 119911 ∙ 119889119860

119860

+

+1198892 ∙ int 119889119860

119860

rArr 1198681199101 = 119868119910 + 2 ∙ 119889 ∙ 119878119910 + 1198892 ∙ 119860 hArr 1198681199101 = 119868119910 + 119889

2 ∙ 119860

(430)

Pentru momentul de inerție centrifugal obținem

11986811991111199101 = int 1199101 ∙ 1199111 ∙ 119889119860

119860

= int(119910 + 119888) ∙ (119911 + 119889) ∙ 119889119860

119860

= int 119910 ∙ 119911 ∙ 119889119860 +

119860

+119888 ∙ int 119911 ∙ 119889119860

119860

+ 119889 ∙ int 119910 ∙ 119889119860

119860

rArr 11986811991111199101 = 119868119911119910 + 119888 ∙ 119889 ∙ 119860

(431)

Deoarece

int 119911 ∙ 119889119860

119860

= 119878119910 = 0 int 119910 ∙ 119889119860

119860

= 119878119911 = 0 int 119910 ∙ 119911 ∙ 119889119860

119860

= 119868119911119910

Relaţiile (429) şi (430) arată că momentul de inerţie faţă de o axă oarecare

este egal cu momentul de inerţie faţă de o axă paralelă cu ea trecacircnd prin centrul de

greutate la care se adaugă produsul dintre aria suprafeţei şi pătratul distanţei dintre

cele două axe

Din relaţiile (429) și (430) rezultă de asemenea că momentul de inerţie faţă de o

axă centrală (care trece prin centrul de greutate) este cel mai mic dintre infinitatea de

momente de inerţie obținute faţă de alte axe paralele cu ea

Relaţia (431) arată de asemenea că momentul de inerţie centrifugal faţă de un

sistem de axe oarecare este egal cu momentul de inerţie centrifugal faţă de un sistem

paralele cu el trecacircnd prin centrul de greutate a suprafeţei la care se adaugă produsul

dintre aria suprafeţei şi distanţele dintre axele sistemelor respective

Icircn literatura de specialitate relaţiile (429) (430) şi (431) sunt cunoscute sub

numele de relaţiile lui Steiner

47 Variaţia momentrlor de inerţie faţă de axe rotite

Direcţii principale şi momente de inerţie principale

Fie suprafaţa plană din figura 48 de arie 119860 pe care considerăm o suprafaţă

elementară de arie 119889119860 Pentru sistemul de axe 119911119874119910 se cunosc momentele de inerţie

119868119911 119868119910 119868119911119910 şi vom determina relaţiile de calcul pentru momentele de inerţie afererent unui

sistem de axe 11991111198741199101 rotit cu un unghi faţă de sistemul central

Faţă de sistemul de axe 11991111198741199101 elementul de arie 119889119860 are coordonatele

1199101 = 119875119877 = 119875119876 minus 119877119876 = 119910 ∙ cos 120572 minus 119911 ∙ sin 120572

1199111 = 119873119872 = 119873119875 minus 119875119872 = 119911 ∙ cos 120572 + 119910 ∙ sin 120572 (432)

Fig 47 Variaţia momentelor de inerţie față de axe rotite

Pe baza relaţiilor de calcul ale momentelor de inerţie şi a notaţiilor din figura 42

şi ale relaţiilor (432) momentele de inerţie faţă de sistemul de axe rotit 11991111198741199101 sunt

1198681199111 =119868119911 + 119868119910

2+119868119911 minus 119868119910

2∙ cos 2120572 minus 119868119911119910 ∙ sin 2120572 (433)

1198681199101 =119868119911 + 119868119910

2minus119868119911 minus 119868119910

2∙ cos 2120572 + 119868119911119910 ∙ sin 2120572 (434)

11986811991111199101 =119868119911 minus 119868119910

2∙ sin 2120572 + 119868119911119910 ∙ cos 2120572 (435)

Din relaţiile 433divide435 se observă că icircntre momentele de inerţie axiale şi cele

polare există relaţia

1198681199111 + 1198681199101 = 119868119911 + 119868119910 = 119868119901 (436)

adică suma momentelor de inerţie axiale icircn raport cu orice pereche de axe ortogonale

care trec printr-un pol dat este o constantă şi egală cu momentul de inerţie polar

Prin rotirea sistemului de axe din relaţiile 433divide435 rezultă că momentele de inerţie

variază icircnsă suma lor rămacircne constantă deci există o poziţie a sistemului de axe pentru

care momentele de inerţie au valori extreme maxim respectiv minim

471 Direcţii principale de inerţie

Valoarea unghiului 120572 pentru care momentele de inerţie axiale au valori extreme

este

1205721 =1

2∙ 119886119903119888119905119886119899 (minus

2 ∙ 119868119911119910

119868119911 minus 119868119910) (437)

Poziţia celeilalte direcţii este perpendiculară pe cea dată de unghiul 1205721

Din relaţia (437) se constată că faţă de aceste direcţii rotite pentru care momentele

de inerţie axiale prezintă valori extreme momentul de inerţie centrifugal 11986811991111199101este nul

Atunci se poate afirma că momentele de inerţie axiale au valori extreme icircn raport cu

direcţiile faţă de care momentul de inerţie centrifugal este nul Aceste direcţii se numesc

direcţii principale iar momentele de inerţie faţă de aceste direcţii poartă numele de

momente de inerţie principale

Icircn calculele de rezistenţă interesează icircn mod special poziţia direcţiilor principale

care trec prin centrul de greutate al suprafeţei aşa numitele direcţii principale centrale şi

evident momentele de inerţie principale centrale

Direcţiile principale de inerţie se notează cu 1 respectiv 2 Axa principală 1

corespunde direcţiei faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea maximă iar

axa principală 2 pentru direcţia faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea

minimă

472 Momente de inerţie principale

Momentele de inerţie principale se notează cu litera 119868 la care se pune indicele 1

sau 2 după cum valoarea acestuia este maximă sau minimă deci avem un moment de

inerţie principal 1 (notat 1198681) respectiv moment de inerţie principal 2 (notat 1198682)

Expresiile pentru momentele de inerţie principale sunt

11986812 =119868119911 + 119868119910

2plusmn1

2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)

2+ 4 ∙ (119868119911119910)

2 (438)

Dacă momentul de inerţie centrifugal este negativ (119868119911119910 lt 0) direcţia principală

care trece prin primul cadran (definit de sistemul 119911119862119910) este direcţia principală 120783

Pentru suprafeţele cu cel puţin o axă de simetrie direcţiile centrale 119862119911 119862119910 sunt şi

direcții principale de inerţie și evident momentele de inerţie axiale 119868119911 119868119910 sunt momente

de inerţie principale

48 Caracteristici mecanice ale metalelor

Alegerea materialului pentru confecţionarea unei anumite piese se face şi pe baza

aşa numitelor caracteristici mecanice pe care le prezintă materialul Cunoaşterea acestor

caracteristici mecanice are loc numai pe baza unor icircncercări mecanice care să scoată icircn

evidenţă comportarea materialului icircn condiţii de solicitare

Cea mai utilizată icircncercare icircn urma căreia se pun icircn evidenţă caracteristicile

mecanice ale unui material este icircncercarea la tracţiune

481 Icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general

Icircncercarea la tracţiune a oţelului ca de altfel toate icircncercările de materiale este

standardizată

Icircn cele ce urmează se va prezenta numai partea care interesează strict din punct

de vedere al caracteristicilor mecanice ale oţelului

Epruveta de diametru iniţial 1198890 pentru icircncercarea la tracţiune are o porţiune de

lungime 1198710 numită baza de măsurare pe care se măsoară lungirea acesteia sub acţiunea

solicitării

Icircn funcţie de raportul dintre baza de măsurare 1198710 şi diametrul iniţial 1198890 epruvetele

utilizate pentru icircncercări sunt

epruvete normale (scurte) cacircnd 11987101198890 = 5

epruvete lungi cacircnd 11987101198890 = 10

Icircn timpul icircncercării la diferite valori ale forţei 119865 se măsoară lungirea bazei de

măsurare

∆119871 = 120575 = 119871 minus 1198710 (439)

unde

119871 este dimensiunea bazei de măsurare la un moment dat

Curba forţă-lungire (119865 minus ) icircnregistrată icircn urma icircncercării reprezintă curba

caracteristică la tracţiune

La icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general diagrama caracteristică care se

obţine are forma din figura 48

Curba caracteristică la tracţiune depinde de lungimea bazei de măsurare Pentru

icircnlăturarea acestui neajuns curba caracteristică se reprezintă icircn coordonate şi definite

astfel

120590 =119865

1198600 휀 =

120575

1198710 (440)

unde

1198600 este aria iniţială a secţiunii transversale a epruvetei (icircnainte de solicitare) icircn

zona bazei de măsurare

1198600 =120587 ∙ 1198890

2

4

Deoarece mărimile icircn care se reprezintă curba caracteristică la tracţiune sunt

raportate la aria iniţială a secţiunii transversale (mărimi specifice) curba poartă numele

de curbă caracteristică convenţională la tracţiune

Fig 48 Curba caracteristică convenţională la tracțiune

Pe curba caracteristică convenţională la tracţiune figura 48 se pot stabili o serie

de puncte cărora le corespund mai multe mărimi importante

Ordonata punctului A pacircnă unde curba caracteristică convenţională este linie

dreaptă se numeşte limita de proporţionalitate a materialului 120590119901(1205901) Porţiunea 119874119860 este

zona de proporţionalitate a curbei caracteristice pe acest domeniu este valabilă legea lui

Hooke care exprimă o proporţionalitate icircntre tensiune şi deformaţie specifică

120590 = 119864 ∙ 휀 (441)

unde

119864 = reprezintă panta porţiunii liniare a curbei convenționale caracteristice

la tracțiune Caracteristica de material 119864 se numeşte modul de elasticitate longitudinal

(modulul lui Young)

Ordonata punctului 119861 pacircnă unde materialul se comportă perfect elastic adică

după descărcare icircşi recapătă dimensiunea iniţială 1198710 se numeşte limita de elasticitate

120590119890(119877119890) Icircn realitate nici un material nu are comportare perfect elastică sub acţiunea

solicitărilor el capătă deformaţii permanente (remanente plastice)

După punctul 119861 urmează o porţiune 119861119862119863 icircn care cu toate că icircncărcarea

continuă forţa nu mai creşte avacircnd mici oscilaţii icircn jurul unei valori Se spune că icircn

această porţiune materialul curge iar intervalul 119861119862119863 este un palier de curgere Tensiunea

corespunzătoare palierului de curgere se numeşte limită de curgere aparentă 120590119888(119877119888) Limita de curgere aparentă se calculează cu relaţia

120590119888 =1198651198881198600 (442)

unde

119865119888 reprezintă valoarea forţei icircnregistrată icircn momentul curgerii materialului

După punctul 119863 curba caracteristică are un traseu ascendent pacircnă icircn punctul 119864

Porţiunea 119863119864 este numită zonă de icircntărire (ecruisare) Icircn zona de ecruisare unde se

produc deformaţii plastice semnificative legea lui Hooke nu mai este valabilă La

descărcare relaţia dintre tensiunea şi deformaţia specifică este liniară paralelă cu

porţiunea liniară a curbei caracteristice (dreapta 119872119873)

Deformaţia totală (휀119905) are două componente una elastică (휀119890) şi una plastică (휀119901)

Ordonata punctului 119864 reprezintă rezistenţa de rupere 120590119903(119877119898) a materialului

care se poate calcula cu relaţia

120590119903 = 119877119898 =1198651198981198861199091198600

(443)

unde

119865119898119886119909 reprezintă valoarea maximă a forţei icircnregistrată icircn timpul icircncercării

La atingerea valorii 119865119898119886119909 (punctul 119864) icircntr-un anumit loc al epruvetei secţiunea

icircncepe să se micşoreze (se produce gacirctuirea) continuacircnd pacircnă cacircnd se produce ruperea

totală (punctul 119865)

Dacă după ruperea epruvetei cele două părţi rezultate se aşează cap la cap şi se

măsoară dimensiunea bazei de măsurare 119871119906 (lungimea ultimă) se determină alungirea la

rupere sau lungirea specifică la rupere 휀119903

휀119903 =119871119906 minus 11987101198710

=∆119871

1198710=120575

1198710 (444)

De obicei alungirea se exprimă icircn procente şi se notează cu 119860119899 unde 119899 reprezintă

numărul dat de raportul 11987101198890 (epruvete normale 119899 = 5 epruvete lungi 119899 = 10)

119860119899 =119871119906 minus 11987101198710

∙ 100 [] (445)

Altă mărime care se determină la icircncercarea la tracţiune este gacirctuirea la rupere

(exprimată de obicei icircn procente) şi definită de relaţia

119885 =1198600 minus 1198601199061198600

∙ 100 [] (446)

Mărimile determinate limita de proporţionalitate modulul de elasticitate

longitudinal limita de elasticitate limita de curgere aparentă rezistenţa de rupere

alungirea la rupere şi gacirctuirea la rupere sunt cunoscute ca fiind caracteristici mecanice

ale materialului

Din curba caracteristică convenţională observăm faptul că ruperea (punctul 119865 din

figura 48 se produce la o tensiune mai mică decacirct cea corespunzătoare punctului 119864 Dacă

icircnsă forţa din timpul icircncercării s-ar raporta la aria secţiunii din momentul icircnregistrării

forţei (care este mai mică decacirct cea iniţială 1198600) s-ar obţine aşa numita curbă

caracteristică reală a materialului (traseul 1198741198601198611198621198631198651 din figura 48) La curba

caracteristică reală ruperea se produce icircn punctul 1198651 la o icircncărcare mai mare decacirct cea

corespunzătoare punctului 119864 Icircnseamnă că rezistenţa reală la rupere este mai mare decacirct

rezistenţa la rupere dată de punctul 119864 din diagrama caracteristică convenţională

Dificultatea obţinerii diagramei caracteristice reale faţă de cea a diagramei caracteristice

convenţionale şi considerarea unei rezistenţe la rupere mai mică decacirct a celei reale face

icircn practică utilizarea pe scară mare a diagramei caracteristice convenţionale

Caracteristicile mecanice determinate pe baza curbei caracteristice convenţionale

sunt şi ele caracteristici mecanice convenţionale

Caracteristicile mecanice convenţionale limita de proporţionalitate convenţională

120590119901 limita de elasticitate convenţională 120590119890 limita de curgere convenţională 120590119888 şi rezistenţa

de rupere 120590119903 constituie tensiuni limită pentru un material Pe baza acestor caracteristici

de material se alege valoarea tensiunii admisibile 120590119886 (vezi paragraful 35) pentru

calculele de rezistenţă Cea mai utilizată stare limită pentru stabilirea tensiunii admisibile

120590119886 este limita de curgere convenţională 120590119888

120590119886 =120590119897119894119898119888

=120590119888119888 119904119886119906 120590119886 =

120590119903119888 (447)

Caracteristicile mecanice ale materialului sunt influenţate de o serie de factori

temperatura viteza de solicitare factorii tehnologici iar valorile lor sunt date icircn tabele și

diagrame

Aplicaţie Pentru suprafaţa plană compusă din două dreptunghiuri avacircnd

dimensiunile din figura 49a să se calculeze

a) centrul de greutate al secțiunii compuse 119910119866 119911119866

b) momentele de inerție axiale 119868119911 119868119910 și momentul de inerție centrifugal 119868119911119910

c) razele de inerție 119894119911 119894119910

d) modulele de rezistență 119882119911119898119894119899 119882119911119898119886119909 119882119910119898119894119899 119882119910119898119886119909

e) momentele de inerție principale 1198681 1198682 și direcțiile principale de inerție 1205721

f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 119878119911

Fig 49 Aplicație

Rezolvare Pentru rezolvare vom parcurge următoarele etape

icircmpărțim suprafața compusă icircn două suprafețe simple (dreptunghiuri) notate cu

① și respectiv ② figura 49b

poziționăm centrele de greutate a celor două suprafețe simple ① și respectiv ②

notate cu 1198661 și respectiv 1198662 figura 49c

poziționăm sistemele de axe de coordonate 119911111986611199101 pentru dreptunghiul ① și

119911211986621199102 pentru dreptunghiul ② aflate la intersecția diagonalelor figura 49c

poziționăm sistemele de axe de coordonate 11991101198741199100 ales arbitrar față de care

determinăm poziția centrului de greutate 119866 figura 49c

a) calculăm poziția centrului de greutate folosind relațiile (46) icircn care

1198601 = 6119905 ∙ 119905 = 61199052 1198602 = 4119905 ∙ 119905 = 41199052 119860 = 1198601 + 1198602 = 61199052 + 41199052 = 101199052

iar centrele de greutate 1198661 și respectiv 1198662 au coordonatele (față de sistemul 11991101198741199100)

1198661 1199101 = 3119905 1199111 = 05119905

1198662 1199102 = 051199051199112 = 3119905

cu acestea obținem

119910119866 =1198601 ∙ 1199101 + 1198602 ∙ 1199102

119860=61199052 ∙ 3119905 + 41199052 ∙ 05119905

101199052=201199053

101199052= 2119905

119911119866 =1198601 ∙ 1199111 + 1198602 ∙ 1199112

119860=61199052 ∙ 05119905 + 41199052 ∙ 3119905

101199052=151199053

101199052= 15119905

Poziționăm centrul de greutate 119866 al suprafeței compuse figura 49c

Fig 49 Aplicație

b) pentru determinarea momentelor de inerție axiale 119868119911 119868119910 și a momentului de

inerție centrifugal 119868119910119911 determinăm constantele 1198881 1198882 1198891 1198892 care intervin icircn relația lui

Stainer

1198881 = 1199101 minus 119910119866 = 3119905 minus 2119905 = 119905 1198882 = minus(119910119866 minus 1199102) = minus(2119905 minus 05119905) = minus15119905

1198891 = minus(119911119866 minus 1199111) = minus(15119905 minus 05119905) = minus119905 1198892 = 1199112 minus 119911119892 = 3119905 minus 15119905 = 15119905

Folosind relațiile lui Stainer (429) (430) și (431) calculăm momentele de

inerție axiale și centrifugale față de sistemul central 119911119866119866119910119866

119868119911 =sum(119868119911119894 + 1198881198942 ∙ 119860119894) = 1198681199111 + 1198881

2 ∙ 1198601 + 1198681199112 + 11988822 ∙ 1198602

119868119910 =sum(119868119910119894 + 1198891198942 ∙ 119860119894) = 1198681199101 + 1198891

2 ∙ 1198601 + 1198681199102 + 11988922 ∙ 1198602

119868119911119910 =sum(119868119911119894119910119894 + 119888119894 ∙ 119889119894 ∙ 119860119894) = 11986811991111199101 + 1198881 ∙ 1198891 ∙ 1198601 + 11986811991121199102 + 1198882 ∙ 1198892 ∙ 1198602

1198681199111 = (119887 ∙ ℎ3

12) =

119905 ∙ (6119905)3

12= 181199054 1198681199112 = (

119887 ∙ ℎ3

12) =

4119905 ∙ 1199053

12= 031199054

1198681199101 = (1198873 ∙ ℎ

12) =

1199053 ∙ 6119905

12= 051199054 1198681199102 = (

1198873 ∙ ℎ

12) =

(4119905)3 ∙ 119905

12= 531199054

11986811991111199101 = 11986811991121199102 = 0 deoarece cele două triunghiuri au cel puțin o axă de simetrie

Cu acestea momentele de inerție axiale și momentul de inerție centrifugal devin

119868119911 = 181199054 + 1199052 ∙ 61199052 + 031199054 + (minus15119905)2 ∙ 41199052 = 3331199054

119868119910 = 051199054 + (minus119905)2 ∙ 61199052 + 531199054 + (15119905)2 ∙ 41199052 = 2081199054

119868119911119910 = 0 + 119905 ∙ (minus119905) ∙ 61199052 + 0 + (minus15119905) ∙ (15119905) ∙ 41199052 = minus151199054

c) razele de inerție sau de girație față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910

se calculează cu relațiile (411)

119894119911 = radic119868119911119860= radic

3331199054

101199052= 182119905 119894119910 = radic

119868119910

119860= radic

2081199054

101199052= 144119905

d) modulele de rezistență față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910 se

calculează cu relațiile (412) și (413)

Avacircnd icircn vedere figura 419c obținem

119910119898119886119909 = 6119905 minus 119910119866 = 6119905 minus 2119905 = 4119905 119910119898119894119899 = minus119910119866 = minus2119905

119911119898119886119909 = 5119905 minus 119911119866 = 5119905 minus 15119905 = 35119905 119911119898119894119899 = minus119911119866 = minus15119905

Se obține astfel

119882119911119898119894119899 =119868119911

|119910119898119886119909|=3331199054

4119905= 8331199053

119882119911119898119886119909 =119868119911

|119910119898119894119899|=3331199054

2119905= 16651199053

119882119910119898119894119899 =119868119910

|119911119898119886119909|=2081199054

35119905= 5941199053

119882119910119898119886119909 =119868119910

|119911119898119894119899|=2081199054

15119905= 13871199053

e) momentele de inerție principale 1198681 și respectiv 1198682 se calculează cu relațiile

(438)

11986812 =119868119911 + 119868119910

2plusmn1

2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)

2+ 4 ∙ (119868119911119910)

2=

=3331199054 + 2081199054

2plusmn1

2∙ radic(3331199054 minus 2081199054)2 + 4 ∙ (minus151199054)2 = 27051199054 plusmn 16251199054

De unde obținem

1198681 = 27051199054 + 16251199054 = 4331199054

1198682 = 27051199054 minus 16251199054 = 1081199054

Prima direcție principală de inerție 1 face cu axa centrală 119866119911 unghiul 1205721 dat de

relația (437)

1205721 =1

2∙ arctan (minus

2 ∙ 119868119911119910

119868119911 minus 119868119910) =

1

2∙ arctan [minus

2 ∙ (minus151199054)

3331199054 minus 2081199054] =33 70

Deoarece 1205721 gt 0 rotirea axelor se face acircn sens antiorar acelor de ceasornic figura

49d

Poziția axe principale 2 față de care momentul de inerție are valoarea minimă

1198682 = 119868119898119894119899 este dată de unghiul

1205722 = 1205721 + 900 = 33 70 + 900 = 123 70

f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 se determină cu relația

(45)

1198781199111198602 = 1198602 ∙ 1198882 = 41199052 ∙ (minus15119905) = minus61199053

4 CARACTERISTICI GEOMETRICE ALE SECȚIUNILOR PLANE

41 Noţiuni introductive

Icircn relaţiile de calcul ale tensiunilor şi deformaţiilor elementelor de rezistenţă

pentru unele solicitări (icircncovoierea și torsiunea) secțiunile plane intervin atacirct prin

dimensiunile lor (aria 119860) cicirct și prin forma și poziția pe care o are secțiunea icircn raport cu

planul solicitării Mărimile care caracterizează o secțiune icircn raport cu forma și poziția față

de axele unui sistem de referință sunt denumite caracteristici geometrice de ordin

superior Aria secțiunii este caracteristica geometrică ce depinde doar de dimensiunile

geometrice ale acesteia

Să considerăm o grindă solicitată de o forță exterioară 119865 aşezată icircn două poziții icircn

raport cu planul forţei figura 41 Icircn urma aplicării forței deși avem aceeași grindă

(aceeași arie a secțiunii transversale) și aceeași forță se constată că pentru varianta din

figura 41a deformațiile sunt mult mai mari adică rezistența la icircncovoiere a grinzii din

figura 41a este mai mare decacirct icircn cazul grinzii din figura 41b Comportarea diferită se

explică prin aceea că modificarea poziţiei secţiunii transversale faţă de planul forţelor

modifică caracteristicile geometrice ale secţiunii transversale a grinzii

Fig 41 Grindă solicitată de forța 119865

Pentru realizarea calculelor de rezistenţă şi rigiditate este foarte importantă

cunoaşterea caracteristicilor geometrice ale suprafeţei secţiunii transversale a elementelor

de rezistenţă

Caracteristicile geometrice ale secţiunii transversale a unui element de rezistenţă

sunt

- aria secțiunii notată cu 119860

- momentul static icircn raport cu o axă notat 119878119911 și respectiv 119878119910

- momentul de inerție care poate fi

axial notat 119868119911 și respectiv 119868119910

centrifugal notat 119868119911119910

polar notat 119868119901

- raza de inerţie (giraţie)notată 119894119911 și respectiv 119894119910

- modulul de rezistență care poate fi

axial notat 119882119911 și respectiv 119882119910

polar notat 119882119901

42 Aria și momentul static al suprafețelor plane

Fie o suprafaţă plană de arie 119860 pe care se ia un element infinit mic de arie 119889119860 şi

un sistem de axe rectangulare 119911119874119910 figura 42 Notăm cu 119862 centrul de greutate al suprafeţei

119860 Poziţia suprafeţei elementare 119889119860 faţă de acelaşi sistem de coordonate 119911119874119910 este dată

de abscisa 119911 ordonata 119910 și raza polară

Fig 42 Suprafață plană de arie 119860

Aria suprafeţei 119860 figura 42 se defineşte ca fiind

119860 ≝ int 119889119860

119860

(41)

Aria suprafeţei este icircntotdeauna pozitivă și se măsoară icircn [1198981198982] Momentul static al suprafeţei de arie 119860 icircn raport cu axele 119874119911 și respectiv 119874119910

figura 42 sunt date de relaţiile

119878119911 ≝ int 119910 ∙ 119889119860

119860

119878119910 ≝ int 119911 ∙ 119889119860

119860

(42)

Momentul static poate fi pozitiv negativ sau nul şi se măsoară icircn [1198981198983] Coordonatele centrului de greutate ale suprafeței 119860 se detrmină cu relațiile

119910119862 ≝int 119910 ∙ 119889119860119860

119860 119911119862 ≝

int 119911 ∙ 119889119860119860

119860

(43)

Cunoscacircnd coordonatele 119910119862 și 119911119862 ale centrului de greutate 119862 al secțiunii 119860 atunci

momentele statice se pot determina cu relațiile

119878119911 ≝ int 119910 ∙ 119889119860

119860

= 119910119862 ∙ 119889119860 119878119910 ≝ int 119911 ∙ 119889119860

119860

= 119911119862 ∙ 119889119860 (44)

Aceste relații arată că momentul static al unei suprafețe icircn raport cu o axă este

egal cu produsul dintre aria suprafeței și distanța de la centrul ariei la axa respectivă

Dacă suprafaţa se poate descompune icircn 119899 suprafeţe simple la care se cunosc ariile

(1198601 1198602 ⋯ 119860119894⋯ 119860119899) și poziţiile centrelor de greutate 119862119894 faţă de sistemul de referinţă

expresiile momentelor statice capătă următoarea formă

119878119911 = sum 119910119862119894 ∙ 119860119894119899119894=1 = 119910119862 ∙ 119860 119878119910 = sum 119911119862119894 ∙ 119860119894

119899119894=1 = 119911119862 ∙ 119860 (45)

Din relaţiile (45) rezultă că poziţia centrului de greutate 119862 al unei suprafeţe

compuse poate fi determinată cu relaţiile

119910119862 = (sum119910119862119894 ∙ 119860119894

119899

119894=1

) 119860frasl 119911119862 = (sum119911119862119894 ∙ 119860119894

119899

119894=1

) 119860frasl (46)

Icircn relația (45) 119910119862119894 și respectiv 119911119862119894 reprezintă coordonatele centrelor de greutate 119862119894

ale fiecărei suprafețe simple 119860119894 icircn raport sistemul de axe 119911119874119910

Se constată (relaţia 42) că dacă axele sistemului de referinţă trec prin centrul de

greutate (119910119862 = 119911119862 = 0) momentele statice sunt nule Axele icircn raport cu care momentele

statice sunt nule şi care trec prin centrul de greutate al suprafeţei se numesc axe centrale

Observație dacă secțiunea compusă are o axă de simetrie centrul secțiunii se

găsește pe acea axă iar dacă secțiunea este dublu simetrică poziția centrului secțiunii este

la intersecția axelor de simetrie

43 Momente de inerţie

Momentele de inerţie axiale ale unei suprafețe se calculează icircn raport cu axele de

coordonate 119874119911 și respectiv 119874119910 figura 42 și se determină cu relațiile

119868119911 ≝ int 1199102 ∙ 119889119860

119860

119868119910 ≝ int 1199112 ∙ 119889119860

119860

(47)

Unde 119910 și 119911 sunt distanțele de la elementul de arie 119889119860 la cele două axe de

coordonate 119874119911 și respectiv 119874119910

Momentele de inerţie axiale se măsoară icircn [1198981198984] şi sunt icircntotdeauna pozitive (aria

119889119860 este icircntotdeauna pozitivă și este multiplicată cu patratul distanței 1199102 dacă 119868119911 sau 119868119910

sunt nule icircnseamnă ca secțiunea nu există)

Momentele de inerție axiale se calculează icircndeosebi pentru axele centrale (care

trec prin centrul secțiunii) deoarece icircn raport cu acele axe 119868119911 și 119868119910 au valori minime

Momentul de inerţie centrifugal calculat faţă ambele axe ale sistemului de

referinţă 119911119874119910 este definit de relația

119868119911119910 ≝ int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860

(48)

Momentul de inerţie centrifugal se măsoară icircn [1198981198984] şi poate fi pozitiv negativ

sau nul

Momentul de ineție centrifugal este nul 119868119911119910 = 0 dacă cel puțin una din axele 119874119911

sau 119874119910 este axă de simetrie pentru secțiune

Se consideră o suprafaţă dreptunghiulară pe care faţă de axa de simetrie 119874119910 se iau

două suprafeţe elementare de arie 119889119860 simetrice faţă de axa 119874119910 figura 43

Fig 43 Suprafață dreptunghiulară cu două arii elementare 119889119860

Făcacircnd suma momentelor de inerţie centrifugale pentru cele două suprafeţe

elementare 119889119860 (din stacircnga şi din dreapta faţă de axa 119874119910) se obţine

int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860119889119903

+ int (minus119911) ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860119904119905119892

= int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860119889119903

minus int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860119904119905119892

= 0 (49)

Acelaşi raţionament se poate face și pentru icircntreaga suprafaţă de unde obținem că

momentul de inerție centrifugal este nul 119868119911119910 = 0 Deci pentru o suprafaţă plană care

are cel puţin o axă de simetrie momentul de inerţie centrifugal faţă de sistemul care

conţine acea axă de simetrie este nul

Momentul de inerţie polar al unei suprafeţei icircn raport cu un punct (pol) 119874 figura

42 este definit prin relaţia

1198680 = 119868119901 ≝ int 1205882 ∙ 119889119860

119860

= int(1199102 + 1199112) ∙ 119889119860

119860

= 119868119911 + 119868119910 (410)

unde este distanţa de la polul 119874 la elementul de arie 119889119860 Momentul de inerţie polar se

măsoară icircn [1198981198984] şi este totdeauna pozitiv

Momentul de inerţie polar este egal cu suma momentelor de inerţie faţă de două axe

perpendiculare oarecare şi care trec prin polul considerat

Razele de giraţie sau razele de inerţie sunt mărimi calculate icircn raport cu axele

secțiunii și definite de relaţiile

119894119911 ≝ radic119868119911119860 119894119910 = radic

119868119910

119860 (411)

Se exprimă icircn [119898119898] şi sunt icircntotdeauna pozitive Semnificația unei raze de inerție

este distanța la care dacă ar fi concentrată icircntreaga arie s-ar obține același moment de

inerție ca și cel calculat pentru aria reală

44 Modulul de rezistenţă

Modulul de rezistență se calculează icircn raport cu axele de referință sau icircn raport cu

un pol figura 42 și pot fi axiale (119882119911119882119910) sau polar (119882119901) și se determină numai pe baza

momentelor de inerţie cu relațiile figura 43

119882119911119898119894119899 ≝119868119911119910119898119886119909

119882119911119898119886119909 ≝119868119911119910119898119894119899

(412)

119882119910119898119894119899 ≝119868119910

119911119898119886119909 119882119910119898119886119909 ≝

119868119910

119911119898119894119899 (413)

119882119901 ≝119868119901

120588119898119886119909 (414)

unde

119910119898119886119909 119910119898119894119899 reprezintă distanţa de la axa 119874119911 la punctele extreme cele mai

depărtate respectiv cele mai apropiate ale suprafeţei de această axă

119911119898119886119909 119911119898119894119899 reprezintă distanţa de la axa 119874119910 la punctele extreme cele mai

depărtate respectiv cele mai apropiate ale suprafeţei de această axă

120588119898119886119909 reprezintă distanța maximă de la polul 119874 la punctul secțiunii cel mai

icircndepărtat de acesta

Fig 43 Suprafață dreptunghiulară cu două arii elementare 119889119860

Modulele de rezistenţă se exprimă icircn [1198981198983] şi sunt icircntotdeauna pozitive

Explicația este aceea că momentele de inerție care intră icircn relațiile de definiție sunt

pozitive iar distanțele la punctele extreme sunt pozitive (119910119898119886119909 119910119898119894119899 119911119898119886119909 119911119898119894119899 120588119898119886119909 se

iau icircn valoare absolută)

Icircn cazul suprafeţelor compuse modulul de rezistenţă nu se obţine prin icircnsumarea

algebrică a modulelor de rezistenţă ale suprafeţelor simple componente ci numai prin

intermediul momentului de inerţie axial calculat pentru icircntreaga secțiune

Ca și momentele de inerție modulele de rezistență se calculează numai pentru

sistemele de axe centrale

45 Momente de inerţie şi module de rezistenţă pentru suprafeţe simple

451 Secțiune dreptunghiulară

Fie suprafaţa dreptunghiulară din figura 44 de icircnălțime ℎ și lățime 119887 pe care se

consideră suprafaţă elementară de arie 119889119860 = 119887119889119910 la distanța 119910 de axa 119862119911 sistemul de

axe 119911119862119910 trece prin centrul secțiunii iar axele sunt axe de simetrie pentru dreptunghi

Fig 44 Suprafață dreptunghiulară

Pe baza relațiilor de definiți a momentului de inerție 119868119911 se obține

119868119911 ≝ int 1199102 ∙ 119889119860

119860

= int 1199102 ∙ 119887 ∙ 119889119910 = 2int 1199102 ∙ 119887 ∙ 119889119910 = 2 ∙ 119887 ∙1199103

3|ℎ 2frasl

0rArr

ℎ 2frasl

0

ℎ 2frasl

minusℎ 2frasl

rArr 119868119911 =119887 ∙ ℎ3

12

(415)

Analog pentru un element de arie 119889119860 = ℎ ∙ 119889119911 paralel cu axa 119862119910 situat la distanța

119911 de axa 119862119910

119868119910 ≝ int 1199112 ∙ 119889119860

119860

= int 1199112 ∙ ℎ ∙ 119889119911 = 2int 1199112 ∙ ℎ ∙ 119889119910 = 2 ∙ ℎ ∙1199113

3|119887 2frasl

0rArr

119887 2frasl

0

119887 2frasl

minus119887 2frasl

rArr 119868119910 =1198873 ∙ ℎ

12

(416)

Deoarece axele 119862119911 și 119862119910 sunt axe de simetrie momentul de inerție centrifugal este

119868119911119910 = 0 (417)

Pentru un pătrat avacircnd laturile egale (ℎ = 119887 = 119886) momentele de inerţie faţă de

axele centrale au expresia

119868119911 = 119868119910 =1198864

12 (418)

Modulele de rezistență axiale se calculează cu relațiile de definiție ținacircnd cont că

distanțele pacircnă la fibrele extreme sunt

119910119898119886119909 = 119910119898119894119899 =ℎ

2 119911119898119886119909 = 119911119898119894119899 =

119887

2 (419)

Obținem

119882119911119898119894119899 = 119882119911119898119886119909 =119868119911

119910119898119886119909119898119894119899=119887 ∙ ℎ3

12frasl

ℎ2frasl

=119887 ∙ ℎ2

6

119882119910119898119894119899 = 119882119910119898119886119909 =119868119910

119911119898119886119909119898119894119899=1198873 ∙ ℎ

12frasl

1198872frasl

=1198872 ∙ ℎ

6

(420)

452 Suprafaţă circulară

Din motive de simetrie pentru suprafeţele circulare momentele de inerţie faţă de

orice diametru (care reprezintă şi axe centrale) sunt aceleaşi

Considerăm o secțiune circulară plină cu diametrul 119889 și centrul de greutate 119862 Prin

centrul de greutate 119862 trece sistemul de axe ortogonal 119911119862119910 figura 45

Fig 45 Suprafață circulară

La distanța de centrul de greutate 119862 vom lua un element de suprafață mic de arie

(119889119860) de forma unui inel de grosime 119889 Elementul de arie 119889119860 are expresia

119889119860 = (2 ∙ 120587 ∙ 120588) ∙ (119889120588)

Pornind de la relația de definiție a momentului de inerție polar obținem

119868119901 ≝ int 1205882 ∙ 119889119860

119860

= int 1205882 ∙ (2 ∙ 120587 ∙ 120588) ∙ 119889120588

119903=119889 2frasl

0

= 2 ∙ 120587 ∙1205884

4|119889 2frasl0 rArr

rArr 119868119901 =120587 ∙ 1198894

32

(421)

Secțiunea este perfect simetrică deci sunt valabile relațiile

119868119911 = 119868119910 rArr 119868119901 = 119868119911 + 119868119910 = 2 ∙ 119868119911 = 2 ∙ 119868119910 =119868119901

2=120587 ∙ 1198894

64 (422)

Și modulele de rezistenţă faţă de orice diametru sunt egale şi se calculează cu

relaţiile

119882119911 = 119882119910 =1198681199111198892frasl=120587 ∙ 1198893

32 (423)

Modulul de rezistenţă polar este

119882119901 =1198681199011198892frasl=120587 ∙ 1198893

16 (424)

453 Secţiune inelară

Calculul momentelor de inerţie axiale pentru o secţiune inelară avacircnd diametrul

interior 119889 şi diametrul exterior 119863 se determină analog pentru suprafaţa circulară plină cu

observaţia că integrala pentru calculul momentului de inerție polar 119868119901 se face icircntre

limitele 119903 = 119889 2frasl şi R= 1198632frasl (icircntre raza interioară 119903 şi raza exterioară 119877) figura 46

Se obţin relaţiile

119868119901 =120587 ∙ 1198634

32∙ [1 minus (

119889

119863)4

] =120587 ∙ 1198634

32∙ (1 minus 1198964) (425)

119868119910 = 119868119910 =120587 ∙ 1198634

64∙ [1 minus (

119889

119863)4

] =120587 ∙ 1198633

64∙ (1 minus 1198964) (426)

Fig 46 Secțiune inelară

119882119901 =120587 ∙ 1198633

16∙ [1 minus (

119889

119863)4

] =120587 ∙ 1198633

16∙ (1 minus 1198964) (427)

119882119911 = 119882119910 =120587 ∙ 1198633

32∙ [1 minus (

119889

119863)4

] =120587 ∙ 1198633

32∙ (1 minus 1198964) (428)

unde 119896 = 119889119863frasl

46 Variaţia momentelor de inerţie faţă de axe paralele

( Relațiile lui STEINER)

Se consideră o suprafaţă oarecare de arie 119860 cu elementul de arie 119889119860 și un sistemul

de axe central 119911119862119910 faţă de care se cunosc momentele de inerţie 119868119911 119868119910 119868119911119910 şi considerăm

un sistem de axe 11991111198741199101 paralele cu sistemul central figura 47 Se pune problema

determinării momentele de inerţie 1198681199111 1198681199101 11986811991111199101 faţă de sistemul de axe paralel cu sistemul

central 11991111198741199101 axe aflate la distanţele 119910119862 = 119888 respectiv 119911119862 = 119889 de acesta

461 Momente de inerţie axiale

Pe baza relaţiilor de definire şi a notaţiilor din figura 42 pentru momentele de

inerţie faţă de axele 1198741199111 1198741199101 se poate scrie

1198681199111 = int 11991012 ∙ 119889119860

119860

= int(119910 + 119888)2 ∙ 119889119860

119860

= int 1199102 ∙ 119889119860

119860

+ 2 ∙ 119888 ∙ int 119910 ∙ 119889119860

119860

+

+1198882int 119889119860

119860

rArr 1198681199111 = 119868119911 + 2 ∙ 119888 ∙ 119878119911 + 1198882 ∙ 119860 hArr 1198681199111 = 119868119911 + 119888

2 ∙ 119860

(429)

Fig 47 Variaţia momentelor de inerţie față de axe paralele

S-a ajuns la relația (429) deoarece momentul static 119878119911 este nul deoarece axa 119862119885

este axă centrală

Pentru momentul de inerție axial icircn raport cu axa 1198741199101 se obține

1198681199101 = int 11991112 ∙ 119889119860

119860

= int(119911 + 119889)2 ∙ 119889119860

119860

= int 1199112 ∙ 119889119860

119860

+ 2 ∙ 119889 ∙ int 119911 ∙ 119889119860

119860

+

+1198892 ∙ int 119889119860

119860

rArr 1198681199101 = 119868119910 + 2 ∙ 119889 ∙ 119878119910 + 1198892 ∙ 119860 hArr 1198681199101 = 119868119910 + 119889

2 ∙ 119860

(430)

Pentru momentul de inerție centrifugal obținem

11986811991111199101 = int 1199101 ∙ 1199111 ∙ 119889119860

119860

= int(119910 + 119888) ∙ (119911 + 119889) ∙ 119889119860

119860

= int 119910 ∙ 119911 ∙ 119889119860 +

119860

+119888 ∙ int 119911 ∙ 119889119860

119860

+ 119889 ∙ int 119910 ∙ 119889119860

119860

rArr 11986811991111199101 = 119868119911119910 + 119888 ∙ 119889 ∙ 119860

(431)

Deoarece

int 119911 ∙ 119889119860

119860

= 119878119910 = 0 int 119910 ∙ 119889119860

119860

= 119878119911 = 0 int 119910 ∙ 119911 ∙ 119889119860

119860

= 119868119911119910

Relaţiile (429) şi (430) arată că momentul de inerţie faţă de o axă oarecare

este egal cu momentul de inerţie faţă de o axă paralelă cu ea trecacircnd prin centrul de

greutate la care se adaugă produsul dintre aria suprafeţei şi pătratul distanţei dintre

cele două axe

Din relaţiile (429) și (430) rezultă de asemenea că momentul de inerţie faţă de o

axă centrală (care trece prin centrul de greutate) este cel mai mic dintre infinitatea de

momente de inerţie obținute faţă de alte axe paralele cu ea

Relaţia (431) arată de asemenea că momentul de inerţie centrifugal faţă de un

sistem de axe oarecare este egal cu momentul de inerţie centrifugal faţă de un sistem

paralele cu el trecacircnd prin centrul de greutate a suprafeţei la care se adaugă produsul

dintre aria suprafeţei şi distanţele dintre axele sistemelor respective

Icircn literatura de specialitate relaţiile (429) (430) şi (431) sunt cunoscute sub

numele de relaţiile lui Steiner

47 Variaţia momentrlor de inerţie faţă de axe rotite

Direcţii principale şi momente de inerţie principale

Fie suprafaţa plană din figura 48 de arie 119860 pe care considerăm o suprafaţă

elementară de arie 119889119860 Pentru sistemul de axe 119911119874119910 se cunosc momentele de inerţie

119868119911 119868119910 119868119911119910 şi vom determina relaţiile de calcul pentru momentele de inerţie afererent unui

sistem de axe 11991111198741199101 rotit cu un unghi faţă de sistemul central

Faţă de sistemul de axe 11991111198741199101 elementul de arie 119889119860 are coordonatele

1199101 = 119875119877 = 119875119876 minus 119877119876 = 119910 ∙ cos 120572 minus 119911 ∙ sin 120572

1199111 = 119873119872 = 119873119875 minus 119875119872 = 119911 ∙ cos 120572 + 119910 ∙ sin 120572 (432)

Fig 47 Variaţia momentelor de inerţie față de axe rotite

Pe baza relaţiilor de calcul ale momentelor de inerţie şi a notaţiilor din figura 42

şi ale relaţiilor (432) momentele de inerţie faţă de sistemul de axe rotit 11991111198741199101 sunt

1198681199111 =119868119911 + 119868119910

2+119868119911 minus 119868119910

2∙ cos 2120572 minus 119868119911119910 ∙ sin 2120572 (433)

1198681199101 =119868119911 + 119868119910

2minus119868119911 minus 119868119910

2∙ cos 2120572 + 119868119911119910 ∙ sin 2120572 (434)

11986811991111199101 =119868119911 minus 119868119910

2∙ sin 2120572 + 119868119911119910 ∙ cos 2120572 (435)

Din relaţiile 433divide435 se observă că icircntre momentele de inerţie axiale şi cele

polare există relaţia

1198681199111 + 1198681199101 = 119868119911 + 119868119910 = 119868119901 (436)

adică suma momentelor de inerţie axiale icircn raport cu orice pereche de axe ortogonale

care trec printr-un pol dat este o constantă şi egală cu momentul de inerţie polar

Prin rotirea sistemului de axe din relaţiile 433divide435 rezultă că momentele de inerţie

variază icircnsă suma lor rămacircne constantă deci există o poziţie a sistemului de axe pentru

care momentele de inerţie au valori extreme maxim respectiv minim

471 Direcţii principale de inerţie

Valoarea unghiului 120572 pentru care momentele de inerţie axiale au valori extreme

este

1205721 =1

2∙ 119886119903119888119905119886119899 (minus

2 ∙ 119868119911119910

119868119911 minus 119868119910) (437)

Poziţia celeilalte direcţii este perpendiculară pe cea dată de unghiul 1205721

Din relaţia (437) se constată că faţă de aceste direcţii rotite pentru care momentele

de inerţie axiale prezintă valori extreme momentul de inerţie centrifugal 11986811991111199101este nul

Atunci se poate afirma că momentele de inerţie axiale au valori extreme icircn raport cu

direcţiile faţă de care momentul de inerţie centrifugal este nul Aceste direcţii se numesc

direcţii principale iar momentele de inerţie faţă de aceste direcţii poartă numele de

momente de inerţie principale

Icircn calculele de rezistenţă interesează icircn mod special poziţia direcţiilor principale

care trec prin centrul de greutate al suprafeţei aşa numitele direcţii principale centrale şi

evident momentele de inerţie principale centrale

Direcţiile principale de inerţie se notează cu 1 respectiv 2 Axa principală 1

corespunde direcţiei faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea maximă iar

axa principală 2 pentru direcţia faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea

minimă

472 Momente de inerţie principale

Momentele de inerţie principale se notează cu litera 119868 la care se pune indicele 1

sau 2 după cum valoarea acestuia este maximă sau minimă deci avem un moment de

inerţie principal 1 (notat 1198681) respectiv moment de inerţie principal 2 (notat 1198682)

Expresiile pentru momentele de inerţie principale sunt

11986812 =119868119911 + 119868119910

2plusmn1

2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)

2+ 4 ∙ (119868119911119910)

2 (438)

Dacă momentul de inerţie centrifugal este negativ (119868119911119910 lt 0) direcţia principală

care trece prin primul cadran (definit de sistemul 119911119862119910) este direcţia principală 120783

Pentru suprafeţele cu cel puţin o axă de simetrie direcţiile centrale 119862119911 119862119910 sunt şi

direcții principale de inerţie și evident momentele de inerţie axiale 119868119911 119868119910 sunt momente

de inerţie principale

48 Caracteristici mecanice ale metalelor

Alegerea materialului pentru confecţionarea unei anumite piese se face şi pe baza

aşa numitelor caracteristici mecanice pe care le prezintă materialul Cunoaşterea acestor

caracteristici mecanice are loc numai pe baza unor icircncercări mecanice care să scoată icircn

evidenţă comportarea materialului icircn condiţii de solicitare

Cea mai utilizată icircncercare icircn urma căreia se pun icircn evidenţă caracteristicile

mecanice ale unui material este icircncercarea la tracţiune

481 Icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general

Icircncercarea la tracţiune a oţelului ca de altfel toate icircncercările de materiale este

standardizată

Icircn cele ce urmează se va prezenta numai partea care interesează strict din punct

de vedere al caracteristicilor mecanice ale oţelului

Epruveta de diametru iniţial 1198890 pentru icircncercarea la tracţiune are o porţiune de

lungime 1198710 numită baza de măsurare pe care se măsoară lungirea acesteia sub acţiunea

solicitării

Icircn funcţie de raportul dintre baza de măsurare 1198710 şi diametrul iniţial 1198890 epruvetele

utilizate pentru icircncercări sunt

epruvete normale (scurte) cacircnd 11987101198890 = 5

epruvete lungi cacircnd 11987101198890 = 10

Icircn timpul icircncercării la diferite valori ale forţei 119865 se măsoară lungirea bazei de

măsurare

∆119871 = 120575 = 119871 minus 1198710 (439)

unde

119871 este dimensiunea bazei de măsurare la un moment dat

Curba forţă-lungire (119865 minus ) icircnregistrată icircn urma icircncercării reprezintă curba

caracteristică la tracţiune

La icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general diagrama caracteristică care se

obţine are forma din figura 48

Curba caracteristică la tracţiune depinde de lungimea bazei de măsurare Pentru

icircnlăturarea acestui neajuns curba caracteristică se reprezintă icircn coordonate şi definite

astfel

120590 =119865

1198600 휀 =

120575

1198710 (440)

unde

1198600 este aria iniţială a secţiunii transversale a epruvetei (icircnainte de solicitare) icircn

zona bazei de măsurare

1198600 =120587 ∙ 1198890

2

4

Deoarece mărimile icircn care se reprezintă curba caracteristică la tracţiune sunt

raportate la aria iniţială a secţiunii transversale (mărimi specifice) curba poartă numele

de curbă caracteristică convenţională la tracţiune

Fig 48 Curba caracteristică convenţională la tracțiune

Pe curba caracteristică convenţională la tracţiune figura 48 se pot stabili o serie

de puncte cărora le corespund mai multe mărimi importante

Ordonata punctului A pacircnă unde curba caracteristică convenţională este linie

dreaptă se numeşte limita de proporţionalitate a materialului 120590119901(1205901) Porţiunea 119874119860 este

zona de proporţionalitate a curbei caracteristice pe acest domeniu este valabilă legea lui

Hooke care exprimă o proporţionalitate icircntre tensiune şi deformaţie specifică

120590 = 119864 ∙ 휀 (441)

unde

119864 = reprezintă panta porţiunii liniare a curbei convenționale caracteristice

la tracțiune Caracteristica de material 119864 se numeşte modul de elasticitate longitudinal

(modulul lui Young)

Ordonata punctului 119861 pacircnă unde materialul se comportă perfect elastic adică

după descărcare icircşi recapătă dimensiunea iniţială 1198710 se numeşte limita de elasticitate

120590119890(119877119890) Icircn realitate nici un material nu are comportare perfect elastică sub acţiunea

solicitărilor el capătă deformaţii permanente (remanente plastice)

După punctul 119861 urmează o porţiune 119861119862119863 icircn care cu toate că icircncărcarea

continuă forţa nu mai creşte avacircnd mici oscilaţii icircn jurul unei valori Se spune că icircn

această porţiune materialul curge iar intervalul 119861119862119863 este un palier de curgere Tensiunea

corespunzătoare palierului de curgere se numeşte limită de curgere aparentă 120590119888(119877119888) Limita de curgere aparentă se calculează cu relaţia

120590119888 =1198651198881198600 (442)

unde

119865119888 reprezintă valoarea forţei icircnregistrată icircn momentul curgerii materialului

După punctul 119863 curba caracteristică are un traseu ascendent pacircnă icircn punctul 119864

Porţiunea 119863119864 este numită zonă de icircntărire (ecruisare) Icircn zona de ecruisare unde se

produc deformaţii plastice semnificative legea lui Hooke nu mai este valabilă La

descărcare relaţia dintre tensiunea şi deformaţia specifică este liniară paralelă cu

porţiunea liniară a curbei caracteristice (dreapta 119872119873)

Deformaţia totală (휀119905) are două componente una elastică (휀119890) şi una plastică (휀119901)

Ordonata punctului 119864 reprezintă rezistenţa de rupere 120590119903(119877119898) a materialului

care se poate calcula cu relaţia

120590119903 = 119877119898 =1198651198981198861199091198600

(443)

unde

119865119898119886119909 reprezintă valoarea maximă a forţei icircnregistrată icircn timpul icircncercării

La atingerea valorii 119865119898119886119909 (punctul 119864) icircntr-un anumit loc al epruvetei secţiunea

icircncepe să se micşoreze (se produce gacirctuirea) continuacircnd pacircnă cacircnd se produce ruperea

totală (punctul 119865)

Dacă după ruperea epruvetei cele două părţi rezultate se aşează cap la cap şi se

măsoară dimensiunea bazei de măsurare 119871119906 (lungimea ultimă) se determină alungirea la

rupere sau lungirea specifică la rupere 휀119903

휀119903 =119871119906 minus 11987101198710

=∆119871

1198710=120575

1198710 (444)

De obicei alungirea se exprimă icircn procente şi se notează cu 119860119899 unde 119899 reprezintă

numărul dat de raportul 11987101198890 (epruvete normale 119899 = 5 epruvete lungi 119899 = 10)

119860119899 =119871119906 minus 11987101198710

∙ 100 [] (445)

Altă mărime care se determină la icircncercarea la tracţiune este gacirctuirea la rupere

(exprimată de obicei icircn procente) şi definită de relaţia

119885 =1198600 minus 1198601199061198600

∙ 100 [] (446)

Mărimile determinate limita de proporţionalitate modulul de elasticitate

longitudinal limita de elasticitate limita de curgere aparentă rezistenţa de rupere

alungirea la rupere şi gacirctuirea la rupere sunt cunoscute ca fiind caracteristici mecanice

ale materialului

Din curba caracteristică convenţională observăm faptul că ruperea (punctul 119865 din

figura 48 se produce la o tensiune mai mică decacirct cea corespunzătoare punctului 119864 Dacă

icircnsă forţa din timpul icircncercării s-ar raporta la aria secţiunii din momentul icircnregistrării

forţei (care este mai mică decacirct cea iniţială 1198600) s-ar obţine aşa numita curbă

caracteristică reală a materialului (traseul 1198741198601198611198621198631198651 din figura 48) La curba

caracteristică reală ruperea se produce icircn punctul 1198651 la o icircncărcare mai mare decacirct cea

corespunzătoare punctului 119864 Icircnseamnă că rezistenţa reală la rupere este mai mare decacirct

rezistenţa la rupere dată de punctul 119864 din diagrama caracteristică convenţională

Dificultatea obţinerii diagramei caracteristice reale faţă de cea a diagramei caracteristice

convenţionale şi considerarea unei rezistenţe la rupere mai mică decacirct a celei reale face

icircn practică utilizarea pe scară mare a diagramei caracteristice convenţionale

Caracteristicile mecanice determinate pe baza curbei caracteristice convenţionale

sunt şi ele caracteristici mecanice convenţionale

Caracteristicile mecanice convenţionale limita de proporţionalitate convenţională

120590119901 limita de elasticitate convenţională 120590119890 limita de curgere convenţională 120590119888 şi rezistenţa

de rupere 120590119903 constituie tensiuni limită pentru un material Pe baza acestor caracteristici

de material se alege valoarea tensiunii admisibile 120590119886 (vezi paragraful 35) pentru

calculele de rezistenţă Cea mai utilizată stare limită pentru stabilirea tensiunii admisibile

120590119886 este limita de curgere convenţională 120590119888

120590119886 =120590119897119894119898119888

=120590119888119888 119904119886119906 120590119886 =

120590119903119888 (447)

Caracteristicile mecanice ale materialului sunt influenţate de o serie de factori

temperatura viteza de solicitare factorii tehnologici iar valorile lor sunt date icircn tabele și

diagrame

Aplicaţie Pentru suprafaţa plană compusă din două dreptunghiuri avacircnd

dimensiunile din figura 49a să se calculeze

a) centrul de greutate al secțiunii compuse 119910119866 119911119866

b) momentele de inerție axiale 119868119911 119868119910 și momentul de inerție centrifugal 119868119911119910

c) razele de inerție 119894119911 119894119910

d) modulele de rezistență 119882119911119898119894119899 119882119911119898119886119909 119882119910119898119894119899 119882119910119898119886119909

e) momentele de inerție principale 1198681 1198682 și direcțiile principale de inerție 1205721

f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 119878119911

Fig 49 Aplicație

Rezolvare Pentru rezolvare vom parcurge următoarele etape

icircmpărțim suprafața compusă icircn două suprafețe simple (dreptunghiuri) notate cu

① și respectiv ② figura 49b

poziționăm centrele de greutate a celor două suprafețe simple ① și respectiv ②

notate cu 1198661 și respectiv 1198662 figura 49c

poziționăm sistemele de axe de coordonate 119911111986611199101 pentru dreptunghiul ① și

119911211986621199102 pentru dreptunghiul ② aflate la intersecția diagonalelor figura 49c

poziționăm sistemele de axe de coordonate 11991101198741199100 ales arbitrar față de care

determinăm poziția centrului de greutate 119866 figura 49c

a) calculăm poziția centrului de greutate folosind relațiile (46) icircn care

1198601 = 6119905 ∙ 119905 = 61199052 1198602 = 4119905 ∙ 119905 = 41199052 119860 = 1198601 + 1198602 = 61199052 + 41199052 = 101199052

iar centrele de greutate 1198661 și respectiv 1198662 au coordonatele (față de sistemul 11991101198741199100)

1198661 1199101 = 3119905 1199111 = 05119905

1198662 1199102 = 051199051199112 = 3119905

cu acestea obținem

119910119866 =1198601 ∙ 1199101 + 1198602 ∙ 1199102

119860=61199052 ∙ 3119905 + 41199052 ∙ 05119905

101199052=201199053

101199052= 2119905

119911119866 =1198601 ∙ 1199111 + 1198602 ∙ 1199112

119860=61199052 ∙ 05119905 + 41199052 ∙ 3119905

101199052=151199053

101199052= 15119905

Poziționăm centrul de greutate 119866 al suprafeței compuse figura 49c

Fig 49 Aplicație

b) pentru determinarea momentelor de inerție axiale 119868119911 119868119910 și a momentului de

inerție centrifugal 119868119910119911 determinăm constantele 1198881 1198882 1198891 1198892 care intervin icircn relația lui

Stainer

1198881 = 1199101 minus 119910119866 = 3119905 minus 2119905 = 119905 1198882 = minus(119910119866 minus 1199102) = minus(2119905 minus 05119905) = minus15119905

1198891 = minus(119911119866 minus 1199111) = minus(15119905 minus 05119905) = minus119905 1198892 = 1199112 minus 119911119892 = 3119905 minus 15119905 = 15119905

Folosind relațiile lui Stainer (429) (430) și (431) calculăm momentele de

inerție axiale și centrifugale față de sistemul central 119911119866119866119910119866

119868119911 =sum(119868119911119894 + 1198881198942 ∙ 119860119894) = 1198681199111 + 1198881

2 ∙ 1198601 + 1198681199112 + 11988822 ∙ 1198602

119868119910 =sum(119868119910119894 + 1198891198942 ∙ 119860119894) = 1198681199101 + 1198891

2 ∙ 1198601 + 1198681199102 + 11988922 ∙ 1198602

119868119911119910 =sum(119868119911119894119910119894 + 119888119894 ∙ 119889119894 ∙ 119860119894) = 11986811991111199101 + 1198881 ∙ 1198891 ∙ 1198601 + 11986811991121199102 + 1198882 ∙ 1198892 ∙ 1198602

1198681199111 = (119887 ∙ ℎ3

12) =

119905 ∙ (6119905)3

12= 181199054 1198681199112 = (

119887 ∙ ℎ3

12) =

4119905 ∙ 1199053

12= 031199054

1198681199101 = (1198873 ∙ ℎ

12) =

1199053 ∙ 6119905

12= 051199054 1198681199102 = (

1198873 ∙ ℎ

12) =

(4119905)3 ∙ 119905

12= 531199054

11986811991111199101 = 11986811991121199102 = 0 deoarece cele două triunghiuri au cel puțin o axă de simetrie

Cu acestea momentele de inerție axiale și momentul de inerție centrifugal devin

119868119911 = 181199054 + 1199052 ∙ 61199052 + 031199054 + (minus15119905)2 ∙ 41199052 = 3331199054

119868119910 = 051199054 + (minus119905)2 ∙ 61199052 + 531199054 + (15119905)2 ∙ 41199052 = 2081199054

119868119911119910 = 0 + 119905 ∙ (minus119905) ∙ 61199052 + 0 + (minus15119905) ∙ (15119905) ∙ 41199052 = minus151199054

c) razele de inerție sau de girație față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910

se calculează cu relațiile (411)

119894119911 = radic119868119911119860= radic

3331199054

101199052= 182119905 119894119910 = radic

119868119910

119860= radic

2081199054

101199052= 144119905

d) modulele de rezistență față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910 se

calculează cu relațiile (412) și (413)

Avacircnd icircn vedere figura 419c obținem

119910119898119886119909 = 6119905 minus 119910119866 = 6119905 minus 2119905 = 4119905 119910119898119894119899 = minus119910119866 = minus2119905

119911119898119886119909 = 5119905 minus 119911119866 = 5119905 minus 15119905 = 35119905 119911119898119894119899 = minus119911119866 = minus15119905

Se obține astfel

119882119911119898119894119899 =119868119911

|119910119898119886119909|=3331199054

4119905= 8331199053

119882119911119898119886119909 =119868119911

|119910119898119894119899|=3331199054

2119905= 16651199053

119882119910119898119894119899 =119868119910

|119911119898119886119909|=2081199054

35119905= 5941199053

119882119910119898119886119909 =119868119910

|119911119898119894119899|=2081199054

15119905= 13871199053

e) momentele de inerție principale 1198681 și respectiv 1198682 se calculează cu relațiile

(438)

11986812 =119868119911 + 119868119910

2plusmn1

2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)

2+ 4 ∙ (119868119911119910)

2=

=3331199054 + 2081199054

2plusmn1

2∙ radic(3331199054 minus 2081199054)2 + 4 ∙ (minus151199054)2 = 27051199054 plusmn 16251199054

De unde obținem

1198681 = 27051199054 + 16251199054 = 4331199054

1198682 = 27051199054 minus 16251199054 = 1081199054

Prima direcție principală de inerție 1 face cu axa centrală 119866119911 unghiul 1205721 dat de

relația (437)

1205721 =1

2∙ arctan (minus

2 ∙ 119868119911119910

119868119911 minus 119868119910) =

1

2∙ arctan [minus

2 ∙ (minus151199054)

3331199054 minus 2081199054] =33 70

Deoarece 1205721 gt 0 rotirea axelor se face acircn sens antiorar acelor de ceasornic figura

49d

Poziția axe principale 2 față de care momentul de inerție are valoarea minimă

1198682 = 119868119898119894119899 este dată de unghiul

1205722 = 1205721 + 900 = 33 70 + 900 = 123 70

f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 se determină cu relația

(45)

1198781199111198602 = 1198602 ∙ 1198882 = 41199052 ∙ (minus15119905) = minus61199053

42 Aria și momentul static al suprafețelor plane

Fie o suprafaţă plană de arie 119860 pe care se ia un element infinit mic de arie 119889119860 şi

un sistem de axe rectangulare 119911119874119910 figura 42 Notăm cu 119862 centrul de greutate al suprafeţei

119860 Poziţia suprafeţei elementare 119889119860 faţă de acelaşi sistem de coordonate 119911119874119910 este dată

de abscisa 119911 ordonata 119910 și raza polară

Fig 42 Suprafață plană de arie 119860

Aria suprafeţei 119860 figura 42 se defineşte ca fiind

119860 ≝ int 119889119860

119860

(41)

Aria suprafeţei este icircntotdeauna pozitivă și se măsoară icircn [1198981198982] Momentul static al suprafeţei de arie 119860 icircn raport cu axele 119874119911 și respectiv 119874119910

figura 42 sunt date de relaţiile

119878119911 ≝ int 119910 ∙ 119889119860

119860

119878119910 ≝ int 119911 ∙ 119889119860

119860

(42)

Momentul static poate fi pozitiv negativ sau nul şi se măsoară icircn [1198981198983] Coordonatele centrului de greutate ale suprafeței 119860 se detrmină cu relațiile

119910119862 ≝int 119910 ∙ 119889119860119860

119860 119911119862 ≝

int 119911 ∙ 119889119860119860

119860

(43)

Cunoscacircnd coordonatele 119910119862 și 119911119862 ale centrului de greutate 119862 al secțiunii 119860 atunci

momentele statice se pot determina cu relațiile

119878119911 ≝ int 119910 ∙ 119889119860

119860

= 119910119862 ∙ 119889119860 119878119910 ≝ int 119911 ∙ 119889119860

119860

= 119911119862 ∙ 119889119860 (44)

Aceste relații arată că momentul static al unei suprafețe icircn raport cu o axă este

egal cu produsul dintre aria suprafeței și distanța de la centrul ariei la axa respectivă

Dacă suprafaţa se poate descompune icircn 119899 suprafeţe simple la care se cunosc ariile

(1198601 1198602 ⋯ 119860119894⋯ 119860119899) și poziţiile centrelor de greutate 119862119894 faţă de sistemul de referinţă

expresiile momentelor statice capătă următoarea formă

119878119911 = sum 119910119862119894 ∙ 119860119894119899119894=1 = 119910119862 ∙ 119860 119878119910 = sum 119911119862119894 ∙ 119860119894

119899119894=1 = 119911119862 ∙ 119860 (45)

Din relaţiile (45) rezultă că poziţia centrului de greutate 119862 al unei suprafeţe

compuse poate fi determinată cu relaţiile

119910119862 = (sum119910119862119894 ∙ 119860119894

119899

119894=1

) 119860frasl 119911119862 = (sum119911119862119894 ∙ 119860119894

119899

119894=1

) 119860frasl (46)

Icircn relația (45) 119910119862119894 și respectiv 119911119862119894 reprezintă coordonatele centrelor de greutate 119862119894

ale fiecărei suprafețe simple 119860119894 icircn raport sistemul de axe 119911119874119910

Se constată (relaţia 42) că dacă axele sistemului de referinţă trec prin centrul de

greutate (119910119862 = 119911119862 = 0) momentele statice sunt nule Axele icircn raport cu care momentele

statice sunt nule şi care trec prin centrul de greutate al suprafeţei se numesc axe centrale

Observație dacă secțiunea compusă are o axă de simetrie centrul secțiunii se

găsește pe acea axă iar dacă secțiunea este dublu simetrică poziția centrului secțiunii este

la intersecția axelor de simetrie

43 Momente de inerţie

Momentele de inerţie axiale ale unei suprafețe se calculează icircn raport cu axele de

coordonate 119874119911 și respectiv 119874119910 figura 42 și se determină cu relațiile

119868119911 ≝ int 1199102 ∙ 119889119860

119860

119868119910 ≝ int 1199112 ∙ 119889119860

119860

(47)

Unde 119910 și 119911 sunt distanțele de la elementul de arie 119889119860 la cele două axe de

coordonate 119874119911 și respectiv 119874119910

Momentele de inerţie axiale se măsoară icircn [1198981198984] şi sunt icircntotdeauna pozitive (aria

119889119860 este icircntotdeauna pozitivă și este multiplicată cu patratul distanței 1199102 dacă 119868119911 sau 119868119910

sunt nule icircnseamnă ca secțiunea nu există)

Momentele de inerție axiale se calculează icircndeosebi pentru axele centrale (care

trec prin centrul secțiunii) deoarece icircn raport cu acele axe 119868119911 și 119868119910 au valori minime

Momentul de inerţie centrifugal calculat faţă ambele axe ale sistemului de

referinţă 119911119874119910 este definit de relația

119868119911119910 ≝ int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860

(48)

Momentul de inerţie centrifugal se măsoară icircn [1198981198984] şi poate fi pozitiv negativ

sau nul

Momentul de ineție centrifugal este nul 119868119911119910 = 0 dacă cel puțin una din axele 119874119911

sau 119874119910 este axă de simetrie pentru secțiune

Se consideră o suprafaţă dreptunghiulară pe care faţă de axa de simetrie 119874119910 se iau

două suprafeţe elementare de arie 119889119860 simetrice faţă de axa 119874119910 figura 43

Fig 43 Suprafață dreptunghiulară cu două arii elementare 119889119860

Făcacircnd suma momentelor de inerţie centrifugale pentru cele două suprafeţe

elementare 119889119860 (din stacircnga şi din dreapta faţă de axa 119874119910) se obţine

int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860119889119903

+ int (minus119911) ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860119904119905119892

= int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860119889119903

minus int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860119904119905119892

= 0 (49)

Acelaşi raţionament se poate face și pentru icircntreaga suprafaţă de unde obținem că

momentul de inerție centrifugal este nul 119868119911119910 = 0 Deci pentru o suprafaţă plană care

are cel puţin o axă de simetrie momentul de inerţie centrifugal faţă de sistemul care

conţine acea axă de simetrie este nul

Momentul de inerţie polar al unei suprafeţei icircn raport cu un punct (pol) 119874 figura

42 este definit prin relaţia

1198680 = 119868119901 ≝ int 1205882 ∙ 119889119860

119860

= int(1199102 + 1199112) ∙ 119889119860

119860

= 119868119911 + 119868119910 (410)

unde este distanţa de la polul 119874 la elementul de arie 119889119860 Momentul de inerţie polar se

măsoară icircn [1198981198984] şi este totdeauna pozitiv

Momentul de inerţie polar este egal cu suma momentelor de inerţie faţă de două axe

perpendiculare oarecare şi care trec prin polul considerat

Razele de giraţie sau razele de inerţie sunt mărimi calculate icircn raport cu axele

secțiunii și definite de relaţiile

119894119911 ≝ radic119868119911119860 119894119910 = radic

119868119910

119860 (411)

Se exprimă icircn [119898119898] şi sunt icircntotdeauna pozitive Semnificația unei raze de inerție

este distanța la care dacă ar fi concentrată icircntreaga arie s-ar obține același moment de

inerție ca și cel calculat pentru aria reală

44 Modulul de rezistenţă

Modulul de rezistență se calculează icircn raport cu axele de referință sau icircn raport cu

un pol figura 42 și pot fi axiale (119882119911119882119910) sau polar (119882119901) și se determină numai pe baza

momentelor de inerţie cu relațiile figura 43

119882119911119898119894119899 ≝119868119911119910119898119886119909

119882119911119898119886119909 ≝119868119911119910119898119894119899

(412)

119882119910119898119894119899 ≝119868119910

119911119898119886119909 119882119910119898119886119909 ≝

119868119910

119911119898119894119899 (413)

119882119901 ≝119868119901

120588119898119886119909 (414)

unde

119910119898119886119909 119910119898119894119899 reprezintă distanţa de la axa 119874119911 la punctele extreme cele mai

depărtate respectiv cele mai apropiate ale suprafeţei de această axă

119911119898119886119909 119911119898119894119899 reprezintă distanţa de la axa 119874119910 la punctele extreme cele mai

depărtate respectiv cele mai apropiate ale suprafeţei de această axă

120588119898119886119909 reprezintă distanța maximă de la polul 119874 la punctul secțiunii cel mai

icircndepărtat de acesta

Fig 43 Suprafață dreptunghiulară cu două arii elementare 119889119860

Modulele de rezistenţă se exprimă icircn [1198981198983] şi sunt icircntotdeauna pozitive

Explicația este aceea că momentele de inerție care intră icircn relațiile de definiție sunt

pozitive iar distanțele la punctele extreme sunt pozitive (119910119898119886119909 119910119898119894119899 119911119898119886119909 119911119898119894119899 120588119898119886119909 se

iau icircn valoare absolută)

Icircn cazul suprafeţelor compuse modulul de rezistenţă nu se obţine prin icircnsumarea

algebrică a modulelor de rezistenţă ale suprafeţelor simple componente ci numai prin

intermediul momentului de inerţie axial calculat pentru icircntreaga secțiune

Ca și momentele de inerție modulele de rezistență se calculează numai pentru

sistemele de axe centrale

45 Momente de inerţie şi module de rezistenţă pentru suprafeţe simple

451 Secțiune dreptunghiulară

Fie suprafaţa dreptunghiulară din figura 44 de icircnălțime ℎ și lățime 119887 pe care se

consideră suprafaţă elementară de arie 119889119860 = 119887119889119910 la distanța 119910 de axa 119862119911 sistemul de

axe 119911119862119910 trece prin centrul secțiunii iar axele sunt axe de simetrie pentru dreptunghi

Fig 44 Suprafață dreptunghiulară

Pe baza relațiilor de definiți a momentului de inerție 119868119911 se obține

119868119911 ≝ int 1199102 ∙ 119889119860

119860

= int 1199102 ∙ 119887 ∙ 119889119910 = 2int 1199102 ∙ 119887 ∙ 119889119910 = 2 ∙ 119887 ∙1199103

3|ℎ 2frasl

0rArr

ℎ 2frasl

0

ℎ 2frasl

minusℎ 2frasl

rArr 119868119911 =119887 ∙ ℎ3

12

(415)

Analog pentru un element de arie 119889119860 = ℎ ∙ 119889119911 paralel cu axa 119862119910 situat la distanța

119911 de axa 119862119910

119868119910 ≝ int 1199112 ∙ 119889119860

119860

= int 1199112 ∙ ℎ ∙ 119889119911 = 2int 1199112 ∙ ℎ ∙ 119889119910 = 2 ∙ ℎ ∙1199113

3|119887 2frasl

0rArr

119887 2frasl

0

119887 2frasl

minus119887 2frasl

rArr 119868119910 =1198873 ∙ ℎ

12

(416)

Deoarece axele 119862119911 și 119862119910 sunt axe de simetrie momentul de inerție centrifugal este

119868119911119910 = 0 (417)

Pentru un pătrat avacircnd laturile egale (ℎ = 119887 = 119886) momentele de inerţie faţă de

axele centrale au expresia

119868119911 = 119868119910 =1198864

12 (418)

Modulele de rezistență axiale se calculează cu relațiile de definiție ținacircnd cont că

distanțele pacircnă la fibrele extreme sunt

119910119898119886119909 = 119910119898119894119899 =ℎ

2 119911119898119886119909 = 119911119898119894119899 =

119887

2 (419)

Obținem

119882119911119898119894119899 = 119882119911119898119886119909 =119868119911

119910119898119886119909119898119894119899=119887 ∙ ℎ3

12frasl

ℎ2frasl

=119887 ∙ ℎ2

6

119882119910119898119894119899 = 119882119910119898119886119909 =119868119910

119911119898119886119909119898119894119899=1198873 ∙ ℎ

12frasl

1198872frasl

=1198872 ∙ ℎ

6

(420)

452 Suprafaţă circulară

Din motive de simetrie pentru suprafeţele circulare momentele de inerţie faţă de

orice diametru (care reprezintă şi axe centrale) sunt aceleaşi

Considerăm o secțiune circulară plină cu diametrul 119889 și centrul de greutate 119862 Prin

centrul de greutate 119862 trece sistemul de axe ortogonal 119911119862119910 figura 45

Fig 45 Suprafață circulară

La distanța de centrul de greutate 119862 vom lua un element de suprafață mic de arie

(119889119860) de forma unui inel de grosime 119889 Elementul de arie 119889119860 are expresia

119889119860 = (2 ∙ 120587 ∙ 120588) ∙ (119889120588)

Pornind de la relația de definiție a momentului de inerție polar obținem

119868119901 ≝ int 1205882 ∙ 119889119860

119860

= int 1205882 ∙ (2 ∙ 120587 ∙ 120588) ∙ 119889120588

119903=119889 2frasl

0

= 2 ∙ 120587 ∙1205884

4|119889 2frasl0 rArr

rArr 119868119901 =120587 ∙ 1198894

32

(421)

Secțiunea este perfect simetrică deci sunt valabile relațiile

119868119911 = 119868119910 rArr 119868119901 = 119868119911 + 119868119910 = 2 ∙ 119868119911 = 2 ∙ 119868119910 =119868119901

2=120587 ∙ 1198894

64 (422)

Și modulele de rezistenţă faţă de orice diametru sunt egale şi se calculează cu

relaţiile

119882119911 = 119882119910 =1198681199111198892frasl=120587 ∙ 1198893

32 (423)

Modulul de rezistenţă polar este

119882119901 =1198681199011198892frasl=120587 ∙ 1198893

16 (424)

453 Secţiune inelară

Calculul momentelor de inerţie axiale pentru o secţiune inelară avacircnd diametrul

interior 119889 şi diametrul exterior 119863 se determină analog pentru suprafaţa circulară plină cu

observaţia că integrala pentru calculul momentului de inerție polar 119868119901 se face icircntre

limitele 119903 = 119889 2frasl şi R= 1198632frasl (icircntre raza interioară 119903 şi raza exterioară 119877) figura 46

Se obţin relaţiile

119868119901 =120587 ∙ 1198634

32∙ [1 minus (

119889

119863)4

] =120587 ∙ 1198634

32∙ (1 minus 1198964) (425)

119868119910 = 119868119910 =120587 ∙ 1198634

64∙ [1 minus (

119889

119863)4

] =120587 ∙ 1198633

64∙ (1 minus 1198964) (426)

Fig 46 Secțiune inelară

119882119901 =120587 ∙ 1198633

16∙ [1 minus (

119889

119863)4

] =120587 ∙ 1198633

16∙ (1 minus 1198964) (427)

119882119911 = 119882119910 =120587 ∙ 1198633

32∙ [1 minus (

119889

119863)4

] =120587 ∙ 1198633

32∙ (1 minus 1198964) (428)

unde 119896 = 119889119863frasl

46 Variaţia momentelor de inerţie faţă de axe paralele

( Relațiile lui STEINER)

Se consideră o suprafaţă oarecare de arie 119860 cu elementul de arie 119889119860 și un sistemul

de axe central 119911119862119910 faţă de care se cunosc momentele de inerţie 119868119911 119868119910 119868119911119910 şi considerăm

un sistem de axe 11991111198741199101 paralele cu sistemul central figura 47 Se pune problema

determinării momentele de inerţie 1198681199111 1198681199101 11986811991111199101 faţă de sistemul de axe paralel cu sistemul

central 11991111198741199101 axe aflate la distanţele 119910119862 = 119888 respectiv 119911119862 = 119889 de acesta

461 Momente de inerţie axiale

Pe baza relaţiilor de definire şi a notaţiilor din figura 42 pentru momentele de

inerţie faţă de axele 1198741199111 1198741199101 se poate scrie

1198681199111 = int 11991012 ∙ 119889119860

119860

= int(119910 + 119888)2 ∙ 119889119860

119860

= int 1199102 ∙ 119889119860

119860

+ 2 ∙ 119888 ∙ int 119910 ∙ 119889119860

119860

+

+1198882int 119889119860

119860

rArr 1198681199111 = 119868119911 + 2 ∙ 119888 ∙ 119878119911 + 1198882 ∙ 119860 hArr 1198681199111 = 119868119911 + 119888

2 ∙ 119860

(429)

Fig 47 Variaţia momentelor de inerţie față de axe paralele

S-a ajuns la relația (429) deoarece momentul static 119878119911 este nul deoarece axa 119862119885

este axă centrală

Pentru momentul de inerție axial icircn raport cu axa 1198741199101 se obține

1198681199101 = int 11991112 ∙ 119889119860

119860

= int(119911 + 119889)2 ∙ 119889119860

119860

= int 1199112 ∙ 119889119860

119860

+ 2 ∙ 119889 ∙ int 119911 ∙ 119889119860

119860

+

+1198892 ∙ int 119889119860

119860

rArr 1198681199101 = 119868119910 + 2 ∙ 119889 ∙ 119878119910 + 1198892 ∙ 119860 hArr 1198681199101 = 119868119910 + 119889

2 ∙ 119860

(430)

Pentru momentul de inerție centrifugal obținem

11986811991111199101 = int 1199101 ∙ 1199111 ∙ 119889119860

119860

= int(119910 + 119888) ∙ (119911 + 119889) ∙ 119889119860

119860

= int 119910 ∙ 119911 ∙ 119889119860 +

119860

+119888 ∙ int 119911 ∙ 119889119860

119860

+ 119889 ∙ int 119910 ∙ 119889119860

119860

rArr 11986811991111199101 = 119868119911119910 + 119888 ∙ 119889 ∙ 119860

(431)

Deoarece

int 119911 ∙ 119889119860

119860

= 119878119910 = 0 int 119910 ∙ 119889119860

119860

= 119878119911 = 0 int 119910 ∙ 119911 ∙ 119889119860

119860

= 119868119911119910

Relaţiile (429) şi (430) arată că momentul de inerţie faţă de o axă oarecare

este egal cu momentul de inerţie faţă de o axă paralelă cu ea trecacircnd prin centrul de

greutate la care se adaugă produsul dintre aria suprafeţei şi pătratul distanţei dintre

cele două axe

Din relaţiile (429) și (430) rezultă de asemenea că momentul de inerţie faţă de o

axă centrală (care trece prin centrul de greutate) este cel mai mic dintre infinitatea de

momente de inerţie obținute faţă de alte axe paralele cu ea

Relaţia (431) arată de asemenea că momentul de inerţie centrifugal faţă de un

sistem de axe oarecare este egal cu momentul de inerţie centrifugal faţă de un sistem

paralele cu el trecacircnd prin centrul de greutate a suprafeţei la care se adaugă produsul

dintre aria suprafeţei şi distanţele dintre axele sistemelor respective

Icircn literatura de specialitate relaţiile (429) (430) şi (431) sunt cunoscute sub

numele de relaţiile lui Steiner

47 Variaţia momentrlor de inerţie faţă de axe rotite

Direcţii principale şi momente de inerţie principale

Fie suprafaţa plană din figura 48 de arie 119860 pe care considerăm o suprafaţă

elementară de arie 119889119860 Pentru sistemul de axe 119911119874119910 se cunosc momentele de inerţie

119868119911 119868119910 119868119911119910 şi vom determina relaţiile de calcul pentru momentele de inerţie afererent unui

sistem de axe 11991111198741199101 rotit cu un unghi faţă de sistemul central

Faţă de sistemul de axe 11991111198741199101 elementul de arie 119889119860 are coordonatele

1199101 = 119875119877 = 119875119876 minus 119877119876 = 119910 ∙ cos 120572 minus 119911 ∙ sin 120572

1199111 = 119873119872 = 119873119875 minus 119875119872 = 119911 ∙ cos 120572 + 119910 ∙ sin 120572 (432)

Fig 47 Variaţia momentelor de inerţie față de axe rotite

Pe baza relaţiilor de calcul ale momentelor de inerţie şi a notaţiilor din figura 42

şi ale relaţiilor (432) momentele de inerţie faţă de sistemul de axe rotit 11991111198741199101 sunt

1198681199111 =119868119911 + 119868119910

2+119868119911 minus 119868119910

2∙ cos 2120572 minus 119868119911119910 ∙ sin 2120572 (433)

1198681199101 =119868119911 + 119868119910

2minus119868119911 minus 119868119910

2∙ cos 2120572 + 119868119911119910 ∙ sin 2120572 (434)

11986811991111199101 =119868119911 minus 119868119910

2∙ sin 2120572 + 119868119911119910 ∙ cos 2120572 (435)

Din relaţiile 433divide435 se observă că icircntre momentele de inerţie axiale şi cele

polare există relaţia

1198681199111 + 1198681199101 = 119868119911 + 119868119910 = 119868119901 (436)

adică suma momentelor de inerţie axiale icircn raport cu orice pereche de axe ortogonale

care trec printr-un pol dat este o constantă şi egală cu momentul de inerţie polar

Prin rotirea sistemului de axe din relaţiile 433divide435 rezultă că momentele de inerţie

variază icircnsă suma lor rămacircne constantă deci există o poziţie a sistemului de axe pentru

care momentele de inerţie au valori extreme maxim respectiv minim

471 Direcţii principale de inerţie

Valoarea unghiului 120572 pentru care momentele de inerţie axiale au valori extreme

este

1205721 =1

2∙ 119886119903119888119905119886119899 (minus

2 ∙ 119868119911119910

119868119911 minus 119868119910) (437)

Poziţia celeilalte direcţii este perpendiculară pe cea dată de unghiul 1205721

Din relaţia (437) se constată că faţă de aceste direcţii rotite pentru care momentele

de inerţie axiale prezintă valori extreme momentul de inerţie centrifugal 11986811991111199101este nul

Atunci se poate afirma că momentele de inerţie axiale au valori extreme icircn raport cu

direcţiile faţă de care momentul de inerţie centrifugal este nul Aceste direcţii se numesc

direcţii principale iar momentele de inerţie faţă de aceste direcţii poartă numele de

momente de inerţie principale

Icircn calculele de rezistenţă interesează icircn mod special poziţia direcţiilor principale

care trec prin centrul de greutate al suprafeţei aşa numitele direcţii principale centrale şi

evident momentele de inerţie principale centrale

Direcţiile principale de inerţie se notează cu 1 respectiv 2 Axa principală 1

corespunde direcţiei faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea maximă iar

axa principală 2 pentru direcţia faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea

minimă

472 Momente de inerţie principale

Momentele de inerţie principale se notează cu litera 119868 la care se pune indicele 1

sau 2 după cum valoarea acestuia este maximă sau minimă deci avem un moment de

inerţie principal 1 (notat 1198681) respectiv moment de inerţie principal 2 (notat 1198682)

Expresiile pentru momentele de inerţie principale sunt

11986812 =119868119911 + 119868119910

2plusmn1

2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)

2+ 4 ∙ (119868119911119910)

2 (438)

Dacă momentul de inerţie centrifugal este negativ (119868119911119910 lt 0) direcţia principală

care trece prin primul cadran (definit de sistemul 119911119862119910) este direcţia principală 120783

Pentru suprafeţele cu cel puţin o axă de simetrie direcţiile centrale 119862119911 119862119910 sunt şi

direcții principale de inerţie și evident momentele de inerţie axiale 119868119911 119868119910 sunt momente

de inerţie principale

48 Caracteristici mecanice ale metalelor

Alegerea materialului pentru confecţionarea unei anumite piese se face şi pe baza

aşa numitelor caracteristici mecanice pe care le prezintă materialul Cunoaşterea acestor

caracteristici mecanice are loc numai pe baza unor icircncercări mecanice care să scoată icircn

evidenţă comportarea materialului icircn condiţii de solicitare

Cea mai utilizată icircncercare icircn urma căreia se pun icircn evidenţă caracteristicile

mecanice ale unui material este icircncercarea la tracţiune

481 Icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general

Icircncercarea la tracţiune a oţelului ca de altfel toate icircncercările de materiale este

standardizată

Icircn cele ce urmează se va prezenta numai partea care interesează strict din punct

de vedere al caracteristicilor mecanice ale oţelului

Epruveta de diametru iniţial 1198890 pentru icircncercarea la tracţiune are o porţiune de

lungime 1198710 numită baza de măsurare pe care se măsoară lungirea acesteia sub acţiunea

solicitării

Icircn funcţie de raportul dintre baza de măsurare 1198710 şi diametrul iniţial 1198890 epruvetele

utilizate pentru icircncercări sunt

epruvete normale (scurte) cacircnd 11987101198890 = 5

epruvete lungi cacircnd 11987101198890 = 10

Icircn timpul icircncercării la diferite valori ale forţei 119865 se măsoară lungirea bazei de

măsurare

∆119871 = 120575 = 119871 minus 1198710 (439)

unde

119871 este dimensiunea bazei de măsurare la un moment dat

Curba forţă-lungire (119865 minus ) icircnregistrată icircn urma icircncercării reprezintă curba

caracteristică la tracţiune

La icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general diagrama caracteristică care se

obţine are forma din figura 48

Curba caracteristică la tracţiune depinde de lungimea bazei de măsurare Pentru

icircnlăturarea acestui neajuns curba caracteristică se reprezintă icircn coordonate şi definite

astfel

120590 =119865

1198600 휀 =

120575

1198710 (440)

unde

1198600 este aria iniţială a secţiunii transversale a epruvetei (icircnainte de solicitare) icircn

zona bazei de măsurare

1198600 =120587 ∙ 1198890

2

4

Deoarece mărimile icircn care se reprezintă curba caracteristică la tracţiune sunt

raportate la aria iniţială a secţiunii transversale (mărimi specifice) curba poartă numele

de curbă caracteristică convenţională la tracţiune

Fig 48 Curba caracteristică convenţională la tracțiune

Pe curba caracteristică convenţională la tracţiune figura 48 se pot stabili o serie

de puncte cărora le corespund mai multe mărimi importante

Ordonata punctului A pacircnă unde curba caracteristică convenţională este linie

dreaptă se numeşte limita de proporţionalitate a materialului 120590119901(1205901) Porţiunea 119874119860 este

zona de proporţionalitate a curbei caracteristice pe acest domeniu este valabilă legea lui

Hooke care exprimă o proporţionalitate icircntre tensiune şi deformaţie specifică

120590 = 119864 ∙ 휀 (441)

unde

119864 = reprezintă panta porţiunii liniare a curbei convenționale caracteristice

la tracțiune Caracteristica de material 119864 se numeşte modul de elasticitate longitudinal

(modulul lui Young)

Ordonata punctului 119861 pacircnă unde materialul se comportă perfect elastic adică

după descărcare icircşi recapătă dimensiunea iniţială 1198710 se numeşte limita de elasticitate

120590119890(119877119890) Icircn realitate nici un material nu are comportare perfect elastică sub acţiunea

solicitărilor el capătă deformaţii permanente (remanente plastice)

După punctul 119861 urmează o porţiune 119861119862119863 icircn care cu toate că icircncărcarea

continuă forţa nu mai creşte avacircnd mici oscilaţii icircn jurul unei valori Se spune că icircn

această porţiune materialul curge iar intervalul 119861119862119863 este un palier de curgere Tensiunea

corespunzătoare palierului de curgere se numeşte limită de curgere aparentă 120590119888(119877119888) Limita de curgere aparentă se calculează cu relaţia

120590119888 =1198651198881198600 (442)

unde

119865119888 reprezintă valoarea forţei icircnregistrată icircn momentul curgerii materialului

După punctul 119863 curba caracteristică are un traseu ascendent pacircnă icircn punctul 119864

Porţiunea 119863119864 este numită zonă de icircntărire (ecruisare) Icircn zona de ecruisare unde se

produc deformaţii plastice semnificative legea lui Hooke nu mai este valabilă La

descărcare relaţia dintre tensiunea şi deformaţia specifică este liniară paralelă cu

porţiunea liniară a curbei caracteristice (dreapta 119872119873)

Deformaţia totală (휀119905) are două componente una elastică (휀119890) şi una plastică (휀119901)

Ordonata punctului 119864 reprezintă rezistenţa de rupere 120590119903(119877119898) a materialului

care se poate calcula cu relaţia

120590119903 = 119877119898 =1198651198981198861199091198600

(443)

unde

119865119898119886119909 reprezintă valoarea maximă a forţei icircnregistrată icircn timpul icircncercării

La atingerea valorii 119865119898119886119909 (punctul 119864) icircntr-un anumit loc al epruvetei secţiunea

icircncepe să se micşoreze (se produce gacirctuirea) continuacircnd pacircnă cacircnd se produce ruperea

totală (punctul 119865)

Dacă după ruperea epruvetei cele două părţi rezultate se aşează cap la cap şi se

măsoară dimensiunea bazei de măsurare 119871119906 (lungimea ultimă) se determină alungirea la

rupere sau lungirea specifică la rupere 휀119903

휀119903 =119871119906 minus 11987101198710

=∆119871

1198710=120575

1198710 (444)

De obicei alungirea se exprimă icircn procente şi se notează cu 119860119899 unde 119899 reprezintă

numărul dat de raportul 11987101198890 (epruvete normale 119899 = 5 epruvete lungi 119899 = 10)

119860119899 =119871119906 minus 11987101198710

∙ 100 [] (445)

Altă mărime care se determină la icircncercarea la tracţiune este gacirctuirea la rupere

(exprimată de obicei icircn procente) şi definită de relaţia

119885 =1198600 minus 1198601199061198600

∙ 100 [] (446)

Mărimile determinate limita de proporţionalitate modulul de elasticitate

longitudinal limita de elasticitate limita de curgere aparentă rezistenţa de rupere

alungirea la rupere şi gacirctuirea la rupere sunt cunoscute ca fiind caracteristici mecanice

ale materialului

Din curba caracteristică convenţională observăm faptul că ruperea (punctul 119865 din

figura 48 se produce la o tensiune mai mică decacirct cea corespunzătoare punctului 119864 Dacă

icircnsă forţa din timpul icircncercării s-ar raporta la aria secţiunii din momentul icircnregistrării

forţei (care este mai mică decacirct cea iniţială 1198600) s-ar obţine aşa numita curbă

caracteristică reală a materialului (traseul 1198741198601198611198621198631198651 din figura 48) La curba

caracteristică reală ruperea se produce icircn punctul 1198651 la o icircncărcare mai mare decacirct cea

corespunzătoare punctului 119864 Icircnseamnă că rezistenţa reală la rupere este mai mare decacirct

rezistenţa la rupere dată de punctul 119864 din diagrama caracteristică convenţională

Dificultatea obţinerii diagramei caracteristice reale faţă de cea a diagramei caracteristice

convenţionale şi considerarea unei rezistenţe la rupere mai mică decacirct a celei reale face

icircn practică utilizarea pe scară mare a diagramei caracteristice convenţionale

Caracteristicile mecanice determinate pe baza curbei caracteristice convenţionale

sunt şi ele caracteristici mecanice convenţionale

Caracteristicile mecanice convenţionale limita de proporţionalitate convenţională

120590119901 limita de elasticitate convenţională 120590119890 limita de curgere convenţională 120590119888 şi rezistenţa

de rupere 120590119903 constituie tensiuni limită pentru un material Pe baza acestor caracteristici

de material se alege valoarea tensiunii admisibile 120590119886 (vezi paragraful 35) pentru

calculele de rezistenţă Cea mai utilizată stare limită pentru stabilirea tensiunii admisibile

120590119886 este limita de curgere convenţională 120590119888

120590119886 =120590119897119894119898119888

=120590119888119888 119904119886119906 120590119886 =

120590119903119888 (447)

Caracteristicile mecanice ale materialului sunt influenţate de o serie de factori

temperatura viteza de solicitare factorii tehnologici iar valorile lor sunt date icircn tabele și

diagrame

Aplicaţie Pentru suprafaţa plană compusă din două dreptunghiuri avacircnd

dimensiunile din figura 49a să se calculeze

a) centrul de greutate al secțiunii compuse 119910119866 119911119866

b) momentele de inerție axiale 119868119911 119868119910 și momentul de inerție centrifugal 119868119911119910

c) razele de inerție 119894119911 119894119910

d) modulele de rezistență 119882119911119898119894119899 119882119911119898119886119909 119882119910119898119894119899 119882119910119898119886119909

e) momentele de inerție principale 1198681 1198682 și direcțiile principale de inerție 1205721

f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 119878119911

Fig 49 Aplicație

Rezolvare Pentru rezolvare vom parcurge următoarele etape

icircmpărțim suprafața compusă icircn două suprafețe simple (dreptunghiuri) notate cu

① și respectiv ② figura 49b

poziționăm centrele de greutate a celor două suprafețe simple ① și respectiv ②

notate cu 1198661 și respectiv 1198662 figura 49c

poziționăm sistemele de axe de coordonate 119911111986611199101 pentru dreptunghiul ① și

119911211986621199102 pentru dreptunghiul ② aflate la intersecția diagonalelor figura 49c

poziționăm sistemele de axe de coordonate 11991101198741199100 ales arbitrar față de care

determinăm poziția centrului de greutate 119866 figura 49c

a) calculăm poziția centrului de greutate folosind relațiile (46) icircn care

1198601 = 6119905 ∙ 119905 = 61199052 1198602 = 4119905 ∙ 119905 = 41199052 119860 = 1198601 + 1198602 = 61199052 + 41199052 = 101199052

iar centrele de greutate 1198661 și respectiv 1198662 au coordonatele (față de sistemul 11991101198741199100)

1198661 1199101 = 3119905 1199111 = 05119905

1198662 1199102 = 051199051199112 = 3119905

cu acestea obținem

119910119866 =1198601 ∙ 1199101 + 1198602 ∙ 1199102

119860=61199052 ∙ 3119905 + 41199052 ∙ 05119905

101199052=201199053

101199052= 2119905

119911119866 =1198601 ∙ 1199111 + 1198602 ∙ 1199112

119860=61199052 ∙ 05119905 + 41199052 ∙ 3119905

101199052=151199053

101199052= 15119905

Poziționăm centrul de greutate 119866 al suprafeței compuse figura 49c

Fig 49 Aplicație

b) pentru determinarea momentelor de inerție axiale 119868119911 119868119910 și a momentului de

inerție centrifugal 119868119910119911 determinăm constantele 1198881 1198882 1198891 1198892 care intervin icircn relația lui

Stainer

1198881 = 1199101 minus 119910119866 = 3119905 minus 2119905 = 119905 1198882 = minus(119910119866 minus 1199102) = minus(2119905 minus 05119905) = minus15119905

1198891 = minus(119911119866 minus 1199111) = minus(15119905 minus 05119905) = minus119905 1198892 = 1199112 minus 119911119892 = 3119905 minus 15119905 = 15119905

Folosind relațiile lui Stainer (429) (430) și (431) calculăm momentele de

inerție axiale și centrifugale față de sistemul central 119911119866119866119910119866

119868119911 =sum(119868119911119894 + 1198881198942 ∙ 119860119894) = 1198681199111 + 1198881

2 ∙ 1198601 + 1198681199112 + 11988822 ∙ 1198602

119868119910 =sum(119868119910119894 + 1198891198942 ∙ 119860119894) = 1198681199101 + 1198891

2 ∙ 1198601 + 1198681199102 + 11988922 ∙ 1198602

119868119911119910 =sum(119868119911119894119910119894 + 119888119894 ∙ 119889119894 ∙ 119860119894) = 11986811991111199101 + 1198881 ∙ 1198891 ∙ 1198601 + 11986811991121199102 + 1198882 ∙ 1198892 ∙ 1198602

1198681199111 = (119887 ∙ ℎ3

12) =

119905 ∙ (6119905)3

12= 181199054 1198681199112 = (

119887 ∙ ℎ3

12) =

4119905 ∙ 1199053

12= 031199054

1198681199101 = (1198873 ∙ ℎ

12) =

1199053 ∙ 6119905

12= 051199054 1198681199102 = (

1198873 ∙ ℎ

12) =

(4119905)3 ∙ 119905

12= 531199054

11986811991111199101 = 11986811991121199102 = 0 deoarece cele două triunghiuri au cel puțin o axă de simetrie

Cu acestea momentele de inerție axiale și momentul de inerție centrifugal devin

119868119911 = 181199054 + 1199052 ∙ 61199052 + 031199054 + (minus15119905)2 ∙ 41199052 = 3331199054

119868119910 = 051199054 + (minus119905)2 ∙ 61199052 + 531199054 + (15119905)2 ∙ 41199052 = 2081199054

119868119911119910 = 0 + 119905 ∙ (minus119905) ∙ 61199052 + 0 + (minus15119905) ∙ (15119905) ∙ 41199052 = minus151199054

c) razele de inerție sau de girație față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910

se calculează cu relațiile (411)

119894119911 = radic119868119911119860= radic

3331199054

101199052= 182119905 119894119910 = radic

119868119910

119860= radic

2081199054

101199052= 144119905

d) modulele de rezistență față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910 se

calculează cu relațiile (412) și (413)

Avacircnd icircn vedere figura 419c obținem

119910119898119886119909 = 6119905 minus 119910119866 = 6119905 minus 2119905 = 4119905 119910119898119894119899 = minus119910119866 = minus2119905

119911119898119886119909 = 5119905 minus 119911119866 = 5119905 minus 15119905 = 35119905 119911119898119894119899 = minus119911119866 = minus15119905

Se obține astfel

119882119911119898119894119899 =119868119911

|119910119898119886119909|=3331199054

4119905= 8331199053

119882119911119898119886119909 =119868119911

|119910119898119894119899|=3331199054

2119905= 16651199053

119882119910119898119894119899 =119868119910

|119911119898119886119909|=2081199054

35119905= 5941199053

119882119910119898119886119909 =119868119910

|119911119898119894119899|=2081199054

15119905= 13871199053

e) momentele de inerție principale 1198681 și respectiv 1198682 se calculează cu relațiile

(438)

11986812 =119868119911 + 119868119910

2plusmn1

2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)

2+ 4 ∙ (119868119911119910)

2=

=3331199054 + 2081199054

2plusmn1

2∙ radic(3331199054 minus 2081199054)2 + 4 ∙ (minus151199054)2 = 27051199054 plusmn 16251199054

De unde obținem

1198681 = 27051199054 + 16251199054 = 4331199054

1198682 = 27051199054 minus 16251199054 = 1081199054

Prima direcție principală de inerție 1 face cu axa centrală 119866119911 unghiul 1205721 dat de

relația (437)

1205721 =1

2∙ arctan (minus

2 ∙ 119868119911119910

119868119911 minus 119868119910) =

1

2∙ arctan [minus

2 ∙ (minus151199054)

3331199054 minus 2081199054] =33 70

Deoarece 1205721 gt 0 rotirea axelor se face acircn sens antiorar acelor de ceasornic figura

49d

Poziția axe principale 2 față de care momentul de inerție are valoarea minimă

1198682 = 119868119898119894119899 este dată de unghiul

1205722 = 1205721 + 900 = 33 70 + 900 = 123 70

f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 se determină cu relația

(45)

1198781199111198602 = 1198602 ∙ 1198882 = 41199052 ∙ (minus15119905) = minus61199053

Dacă suprafaţa se poate descompune icircn 119899 suprafeţe simple la care se cunosc ariile

(1198601 1198602 ⋯ 119860119894⋯ 119860119899) și poziţiile centrelor de greutate 119862119894 faţă de sistemul de referinţă

expresiile momentelor statice capătă următoarea formă

119878119911 = sum 119910119862119894 ∙ 119860119894119899119894=1 = 119910119862 ∙ 119860 119878119910 = sum 119911119862119894 ∙ 119860119894

119899119894=1 = 119911119862 ∙ 119860 (45)

Din relaţiile (45) rezultă că poziţia centrului de greutate 119862 al unei suprafeţe

compuse poate fi determinată cu relaţiile

119910119862 = (sum119910119862119894 ∙ 119860119894

119899

119894=1

) 119860frasl 119911119862 = (sum119911119862119894 ∙ 119860119894

119899

119894=1

) 119860frasl (46)

Icircn relația (45) 119910119862119894 și respectiv 119911119862119894 reprezintă coordonatele centrelor de greutate 119862119894

ale fiecărei suprafețe simple 119860119894 icircn raport sistemul de axe 119911119874119910

Se constată (relaţia 42) că dacă axele sistemului de referinţă trec prin centrul de

greutate (119910119862 = 119911119862 = 0) momentele statice sunt nule Axele icircn raport cu care momentele

statice sunt nule şi care trec prin centrul de greutate al suprafeţei se numesc axe centrale

Observație dacă secțiunea compusă are o axă de simetrie centrul secțiunii se

găsește pe acea axă iar dacă secțiunea este dublu simetrică poziția centrului secțiunii este

la intersecția axelor de simetrie

43 Momente de inerţie

Momentele de inerţie axiale ale unei suprafețe se calculează icircn raport cu axele de

coordonate 119874119911 și respectiv 119874119910 figura 42 și se determină cu relațiile

119868119911 ≝ int 1199102 ∙ 119889119860

119860

119868119910 ≝ int 1199112 ∙ 119889119860

119860

(47)

Unde 119910 și 119911 sunt distanțele de la elementul de arie 119889119860 la cele două axe de

coordonate 119874119911 și respectiv 119874119910

Momentele de inerţie axiale se măsoară icircn [1198981198984] şi sunt icircntotdeauna pozitive (aria

119889119860 este icircntotdeauna pozitivă și este multiplicată cu patratul distanței 1199102 dacă 119868119911 sau 119868119910

sunt nule icircnseamnă ca secțiunea nu există)

Momentele de inerție axiale se calculează icircndeosebi pentru axele centrale (care

trec prin centrul secțiunii) deoarece icircn raport cu acele axe 119868119911 și 119868119910 au valori minime

Momentul de inerţie centrifugal calculat faţă ambele axe ale sistemului de

referinţă 119911119874119910 este definit de relația

119868119911119910 ≝ int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860

(48)

Momentul de inerţie centrifugal se măsoară icircn [1198981198984] şi poate fi pozitiv negativ

sau nul

Momentul de ineție centrifugal este nul 119868119911119910 = 0 dacă cel puțin una din axele 119874119911

sau 119874119910 este axă de simetrie pentru secțiune

Se consideră o suprafaţă dreptunghiulară pe care faţă de axa de simetrie 119874119910 se iau

două suprafeţe elementare de arie 119889119860 simetrice faţă de axa 119874119910 figura 43

Fig 43 Suprafață dreptunghiulară cu două arii elementare 119889119860

Făcacircnd suma momentelor de inerţie centrifugale pentru cele două suprafeţe

elementare 119889119860 (din stacircnga şi din dreapta faţă de axa 119874119910) se obţine

int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860119889119903

+ int (minus119911) ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860119904119905119892

= int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860119889119903

minus int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860119904119905119892

= 0 (49)

Acelaşi raţionament se poate face și pentru icircntreaga suprafaţă de unde obținem că

momentul de inerție centrifugal este nul 119868119911119910 = 0 Deci pentru o suprafaţă plană care

are cel puţin o axă de simetrie momentul de inerţie centrifugal faţă de sistemul care

conţine acea axă de simetrie este nul

Momentul de inerţie polar al unei suprafeţei icircn raport cu un punct (pol) 119874 figura

42 este definit prin relaţia

1198680 = 119868119901 ≝ int 1205882 ∙ 119889119860

119860

= int(1199102 + 1199112) ∙ 119889119860

119860

= 119868119911 + 119868119910 (410)

unde este distanţa de la polul 119874 la elementul de arie 119889119860 Momentul de inerţie polar se

măsoară icircn [1198981198984] şi este totdeauna pozitiv

Momentul de inerţie polar este egal cu suma momentelor de inerţie faţă de două axe

perpendiculare oarecare şi care trec prin polul considerat

Razele de giraţie sau razele de inerţie sunt mărimi calculate icircn raport cu axele

secțiunii și definite de relaţiile

119894119911 ≝ radic119868119911119860 119894119910 = radic

119868119910

119860 (411)

Se exprimă icircn [119898119898] şi sunt icircntotdeauna pozitive Semnificația unei raze de inerție

este distanța la care dacă ar fi concentrată icircntreaga arie s-ar obține același moment de

inerție ca și cel calculat pentru aria reală

44 Modulul de rezistenţă

Modulul de rezistență se calculează icircn raport cu axele de referință sau icircn raport cu

un pol figura 42 și pot fi axiale (119882119911119882119910) sau polar (119882119901) și se determină numai pe baza

momentelor de inerţie cu relațiile figura 43

119882119911119898119894119899 ≝119868119911119910119898119886119909

119882119911119898119886119909 ≝119868119911119910119898119894119899

(412)

119882119910119898119894119899 ≝119868119910

119911119898119886119909 119882119910119898119886119909 ≝

119868119910

119911119898119894119899 (413)

119882119901 ≝119868119901

120588119898119886119909 (414)

unde

119910119898119886119909 119910119898119894119899 reprezintă distanţa de la axa 119874119911 la punctele extreme cele mai

depărtate respectiv cele mai apropiate ale suprafeţei de această axă

119911119898119886119909 119911119898119894119899 reprezintă distanţa de la axa 119874119910 la punctele extreme cele mai

depărtate respectiv cele mai apropiate ale suprafeţei de această axă

120588119898119886119909 reprezintă distanța maximă de la polul 119874 la punctul secțiunii cel mai

icircndepărtat de acesta

Fig 43 Suprafață dreptunghiulară cu două arii elementare 119889119860

Modulele de rezistenţă se exprimă icircn [1198981198983] şi sunt icircntotdeauna pozitive

Explicația este aceea că momentele de inerție care intră icircn relațiile de definiție sunt

pozitive iar distanțele la punctele extreme sunt pozitive (119910119898119886119909 119910119898119894119899 119911119898119886119909 119911119898119894119899 120588119898119886119909 se

iau icircn valoare absolută)

Icircn cazul suprafeţelor compuse modulul de rezistenţă nu se obţine prin icircnsumarea

algebrică a modulelor de rezistenţă ale suprafeţelor simple componente ci numai prin

intermediul momentului de inerţie axial calculat pentru icircntreaga secțiune

Ca și momentele de inerție modulele de rezistență se calculează numai pentru

sistemele de axe centrale

45 Momente de inerţie şi module de rezistenţă pentru suprafeţe simple

451 Secțiune dreptunghiulară

Fie suprafaţa dreptunghiulară din figura 44 de icircnălțime ℎ și lățime 119887 pe care se

consideră suprafaţă elementară de arie 119889119860 = 119887119889119910 la distanța 119910 de axa 119862119911 sistemul de

axe 119911119862119910 trece prin centrul secțiunii iar axele sunt axe de simetrie pentru dreptunghi

Fig 44 Suprafață dreptunghiulară

Pe baza relațiilor de definiți a momentului de inerție 119868119911 se obține

119868119911 ≝ int 1199102 ∙ 119889119860

119860

= int 1199102 ∙ 119887 ∙ 119889119910 = 2int 1199102 ∙ 119887 ∙ 119889119910 = 2 ∙ 119887 ∙1199103

3|ℎ 2frasl

0rArr

ℎ 2frasl

0

ℎ 2frasl

minusℎ 2frasl

rArr 119868119911 =119887 ∙ ℎ3

12

(415)

Analog pentru un element de arie 119889119860 = ℎ ∙ 119889119911 paralel cu axa 119862119910 situat la distanța

119911 de axa 119862119910

119868119910 ≝ int 1199112 ∙ 119889119860

119860

= int 1199112 ∙ ℎ ∙ 119889119911 = 2int 1199112 ∙ ℎ ∙ 119889119910 = 2 ∙ ℎ ∙1199113

3|119887 2frasl

0rArr

119887 2frasl

0

119887 2frasl

minus119887 2frasl

rArr 119868119910 =1198873 ∙ ℎ

12

(416)

Deoarece axele 119862119911 și 119862119910 sunt axe de simetrie momentul de inerție centrifugal este

119868119911119910 = 0 (417)

Pentru un pătrat avacircnd laturile egale (ℎ = 119887 = 119886) momentele de inerţie faţă de

axele centrale au expresia

119868119911 = 119868119910 =1198864

12 (418)

Modulele de rezistență axiale se calculează cu relațiile de definiție ținacircnd cont că

distanțele pacircnă la fibrele extreme sunt

119910119898119886119909 = 119910119898119894119899 =ℎ

2 119911119898119886119909 = 119911119898119894119899 =

119887

2 (419)

Obținem

119882119911119898119894119899 = 119882119911119898119886119909 =119868119911

119910119898119886119909119898119894119899=119887 ∙ ℎ3

12frasl

ℎ2frasl

=119887 ∙ ℎ2

6

119882119910119898119894119899 = 119882119910119898119886119909 =119868119910

119911119898119886119909119898119894119899=1198873 ∙ ℎ

12frasl

1198872frasl

=1198872 ∙ ℎ

6

(420)

452 Suprafaţă circulară

Din motive de simetrie pentru suprafeţele circulare momentele de inerţie faţă de

orice diametru (care reprezintă şi axe centrale) sunt aceleaşi

Considerăm o secțiune circulară plină cu diametrul 119889 și centrul de greutate 119862 Prin

centrul de greutate 119862 trece sistemul de axe ortogonal 119911119862119910 figura 45

Fig 45 Suprafață circulară

La distanța de centrul de greutate 119862 vom lua un element de suprafață mic de arie

(119889119860) de forma unui inel de grosime 119889 Elementul de arie 119889119860 are expresia

119889119860 = (2 ∙ 120587 ∙ 120588) ∙ (119889120588)

Pornind de la relația de definiție a momentului de inerție polar obținem

119868119901 ≝ int 1205882 ∙ 119889119860

119860

= int 1205882 ∙ (2 ∙ 120587 ∙ 120588) ∙ 119889120588

119903=119889 2frasl

0

= 2 ∙ 120587 ∙1205884

4|119889 2frasl0 rArr

rArr 119868119901 =120587 ∙ 1198894

32

(421)

Secțiunea este perfect simetrică deci sunt valabile relațiile

119868119911 = 119868119910 rArr 119868119901 = 119868119911 + 119868119910 = 2 ∙ 119868119911 = 2 ∙ 119868119910 =119868119901

2=120587 ∙ 1198894

64 (422)

Și modulele de rezistenţă faţă de orice diametru sunt egale şi se calculează cu

relaţiile

119882119911 = 119882119910 =1198681199111198892frasl=120587 ∙ 1198893

32 (423)

Modulul de rezistenţă polar este

119882119901 =1198681199011198892frasl=120587 ∙ 1198893

16 (424)

453 Secţiune inelară

Calculul momentelor de inerţie axiale pentru o secţiune inelară avacircnd diametrul

interior 119889 şi diametrul exterior 119863 se determină analog pentru suprafaţa circulară plină cu

observaţia că integrala pentru calculul momentului de inerție polar 119868119901 se face icircntre

limitele 119903 = 119889 2frasl şi R= 1198632frasl (icircntre raza interioară 119903 şi raza exterioară 119877) figura 46

Se obţin relaţiile

119868119901 =120587 ∙ 1198634

32∙ [1 minus (

119889

119863)4

] =120587 ∙ 1198634

32∙ (1 minus 1198964) (425)

119868119910 = 119868119910 =120587 ∙ 1198634

64∙ [1 minus (

119889

119863)4

] =120587 ∙ 1198633

64∙ (1 minus 1198964) (426)

Fig 46 Secțiune inelară

119882119901 =120587 ∙ 1198633

16∙ [1 minus (

119889

119863)4

] =120587 ∙ 1198633

16∙ (1 minus 1198964) (427)

119882119911 = 119882119910 =120587 ∙ 1198633

32∙ [1 minus (

119889

119863)4

] =120587 ∙ 1198633

32∙ (1 minus 1198964) (428)

unde 119896 = 119889119863frasl

46 Variaţia momentelor de inerţie faţă de axe paralele

( Relațiile lui STEINER)

Se consideră o suprafaţă oarecare de arie 119860 cu elementul de arie 119889119860 și un sistemul

de axe central 119911119862119910 faţă de care se cunosc momentele de inerţie 119868119911 119868119910 119868119911119910 şi considerăm

un sistem de axe 11991111198741199101 paralele cu sistemul central figura 47 Se pune problema

determinării momentele de inerţie 1198681199111 1198681199101 11986811991111199101 faţă de sistemul de axe paralel cu sistemul

central 11991111198741199101 axe aflate la distanţele 119910119862 = 119888 respectiv 119911119862 = 119889 de acesta

461 Momente de inerţie axiale

Pe baza relaţiilor de definire şi a notaţiilor din figura 42 pentru momentele de

inerţie faţă de axele 1198741199111 1198741199101 se poate scrie

1198681199111 = int 11991012 ∙ 119889119860

119860

= int(119910 + 119888)2 ∙ 119889119860

119860

= int 1199102 ∙ 119889119860

119860

+ 2 ∙ 119888 ∙ int 119910 ∙ 119889119860

119860

+

+1198882int 119889119860

119860

rArr 1198681199111 = 119868119911 + 2 ∙ 119888 ∙ 119878119911 + 1198882 ∙ 119860 hArr 1198681199111 = 119868119911 + 119888

2 ∙ 119860

(429)

Fig 47 Variaţia momentelor de inerţie față de axe paralele

S-a ajuns la relația (429) deoarece momentul static 119878119911 este nul deoarece axa 119862119885

este axă centrală

Pentru momentul de inerție axial icircn raport cu axa 1198741199101 se obține

1198681199101 = int 11991112 ∙ 119889119860

119860

= int(119911 + 119889)2 ∙ 119889119860

119860

= int 1199112 ∙ 119889119860

119860

+ 2 ∙ 119889 ∙ int 119911 ∙ 119889119860

119860

+

+1198892 ∙ int 119889119860

119860

rArr 1198681199101 = 119868119910 + 2 ∙ 119889 ∙ 119878119910 + 1198892 ∙ 119860 hArr 1198681199101 = 119868119910 + 119889

2 ∙ 119860

(430)

Pentru momentul de inerție centrifugal obținem

11986811991111199101 = int 1199101 ∙ 1199111 ∙ 119889119860

119860

= int(119910 + 119888) ∙ (119911 + 119889) ∙ 119889119860

119860

= int 119910 ∙ 119911 ∙ 119889119860 +

119860

+119888 ∙ int 119911 ∙ 119889119860

119860

+ 119889 ∙ int 119910 ∙ 119889119860

119860

rArr 11986811991111199101 = 119868119911119910 + 119888 ∙ 119889 ∙ 119860

(431)

Deoarece

int 119911 ∙ 119889119860

119860

= 119878119910 = 0 int 119910 ∙ 119889119860

119860

= 119878119911 = 0 int 119910 ∙ 119911 ∙ 119889119860

119860

= 119868119911119910

Relaţiile (429) şi (430) arată că momentul de inerţie faţă de o axă oarecare

este egal cu momentul de inerţie faţă de o axă paralelă cu ea trecacircnd prin centrul de

greutate la care se adaugă produsul dintre aria suprafeţei şi pătratul distanţei dintre

cele două axe

Din relaţiile (429) și (430) rezultă de asemenea că momentul de inerţie faţă de o

axă centrală (care trece prin centrul de greutate) este cel mai mic dintre infinitatea de

momente de inerţie obținute faţă de alte axe paralele cu ea

Relaţia (431) arată de asemenea că momentul de inerţie centrifugal faţă de un

sistem de axe oarecare este egal cu momentul de inerţie centrifugal faţă de un sistem

paralele cu el trecacircnd prin centrul de greutate a suprafeţei la care se adaugă produsul

dintre aria suprafeţei şi distanţele dintre axele sistemelor respective

Icircn literatura de specialitate relaţiile (429) (430) şi (431) sunt cunoscute sub

numele de relaţiile lui Steiner

47 Variaţia momentrlor de inerţie faţă de axe rotite

Direcţii principale şi momente de inerţie principale

Fie suprafaţa plană din figura 48 de arie 119860 pe care considerăm o suprafaţă

elementară de arie 119889119860 Pentru sistemul de axe 119911119874119910 se cunosc momentele de inerţie

119868119911 119868119910 119868119911119910 şi vom determina relaţiile de calcul pentru momentele de inerţie afererent unui

sistem de axe 11991111198741199101 rotit cu un unghi faţă de sistemul central

Faţă de sistemul de axe 11991111198741199101 elementul de arie 119889119860 are coordonatele

1199101 = 119875119877 = 119875119876 minus 119877119876 = 119910 ∙ cos 120572 minus 119911 ∙ sin 120572

1199111 = 119873119872 = 119873119875 minus 119875119872 = 119911 ∙ cos 120572 + 119910 ∙ sin 120572 (432)

Fig 47 Variaţia momentelor de inerţie față de axe rotite

Pe baza relaţiilor de calcul ale momentelor de inerţie şi a notaţiilor din figura 42

şi ale relaţiilor (432) momentele de inerţie faţă de sistemul de axe rotit 11991111198741199101 sunt

1198681199111 =119868119911 + 119868119910

2+119868119911 minus 119868119910

2∙ cos 2120572 minus 119868119911119910 ∙ sin 2120572 (433)

1198681199101 =119868119911 + 119868119910

2minus119868119911 minus 119868119910

2∙ cos 2120572 + 119868119911119910 ∙ sin 2120572 (434)

11986811991111199101 =119868119911 minus 119868119910

2∙ sin 2120572 + 119868119911119910 ∙ cos 2120572 (435)

Din relaţiile 433divide435 se observă că icircntre momentele de inerţie axiale şi cele

polare există relaţia

1198681199111 + 1198681199101 = 119868119911 + 119868119910 = 119868119901 (436)

adică suma momentelor de inerţie axiale icircn raport cu orice pereche de axe ortogonale

care trec printr-un pol dat este o constantă şi egală cu momentul de inerţie polar

Prin rotirea sistemului de axe din relaţiile 433divide435 rezultă că momentele de inerţie

variază icircnsă suma lor rămacircne constantă deci există o poziţie a sistemului de axe pentru

care momentele de inerţie au valori extreme maxim respectiv minim

471 Direcţii principale de inerţie

Valoarea unghiului 120572 pentru care momentele de inerţie axiale au valori extreme

este

1205721 =1

2∙ 119886119903119888119905119886119899 (minus

2 ∙ 119868119911119910

119868119911 minus 119868119910) (437)

Poziţia celeilalte direcţii este perpendiculară pe cea dată de unghiul 1205721

Din relaţia (437) se constată că faţă de aceste direcţii rotite pentru care momentele

de inerţie axiale prezintă valori extreme momentul de inerţie centrifugal 11986811991111199101este nul

Atunci se poate afirma că momentele de inerţie axiale au valori extreme icircn raport cu

direcţiile faţă de care momentul de inerţie centrifugal este nul Aceste direcţii se numesc

direcţii principale iar momentele de inerţie faţă de aceste direcţii poartă numele de

momente de inerţie principale

Icircn calculele de rezistenţă interesează icircn mod special poziţia direcţiilor principale

care trec prin centrul de greutate al suprafeţei aşa numitele direcţii principale centrale şi

evident momentele de inerţie principale centrale

Direcţiile principale de inerţie se notează cu 1 respectiv 2 Axa principală 1

corespunde direcţiei faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea maximă iar

axa principală 2 pentru direcţia faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea

minimă

472 Momente de inerţie principale

Momentele de inerţie principale se notează cu litera 119868 la care se pune indicele 1

sau 2 după cum valoarea acestuia este maximă sau minimă deci avem un moment de

inerţie principal 1 (notat 1198681) respectiv moment de inerţie principal 2 (notat 1198682)

Expresiile pentru momentele de inerţie principale sunt

11986812 =119868119911 + 119868119910

2plusmn1

2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)

2+ 4 ∙ (119868119911119910)

2 (438)

Dacă momentul de inerţie centrifugal este negativ (119868119911119910 lt 0) direcţia principală

care trece prin primul cadran (definit de sistemul 119911119862119910) este direcţia principală 120783

Pentru suprafeţele cu cel puţin o axă de simetrie direcţiile centrale 119862119911 119862119910 sunt şi

direcții principale de inerţie și evident momentele de inerţie axiale 119868119911 119868119910 sunt momente

de inerţie principale

48 Caracteristici mecanice ale metalelor

Alegerea materialului pentru confecţionarea unei anumite piese se face şi pe baza

aşa numitelor caracteristici mecanice pe care le prezintă materialul Cunoaşterea acestor

caracteristici mecanice are loc numai pe baza unor icircncercări mecanice care să scoată icircn

evidenţă comportarea materialului icircn condiţii de solicitare

Cea mai utilizată icircncercare icircn urma căreia se pun icircn evidenţă caracteristicile

mecanice ale unui material este icircncercarea la tracţiune

481 Icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general

Icircncercarea la tracţiune a oţelului ca de altfel toate icircncercările de materiale este

standardizată

Icircn cele ce urmează se va prezenta numai partea care interesează strict din punct

de vedere al caracteristicilor mecanice ale oţelului

Epruveta de diametru iniţial 1198890 pentru icircncercarea la tracţiune are o porţiune de

lungime 1198710 numită baza de măsurare pe care se măsoară lungirea acesteia sub acţiunea

solicitării

Icircn funcţie de raportul dintre baza de măsurare 1198710 şi diametrul iniţial 1198890 epruvetele

utilizate pentru icircncercări sunt

epruvete normale (scurte) cacircnd 11987101198890 = 5

epruvete lungi cacircnd 11987101198890 = 10

Icircn timpul icircncercării la diferite valori ale forţei 119865 se măsoară lungirea bazei de

măsurare

∆119871 = 120575 = 119871 minus 1198710 (439)

unde

119871 este dimensiunea bazei de măsurare la un moment dat

Curba forţă-lungire (119865 minus ) icircnregistrată icircn urma icircncercării reprezintă curba

caracteristică la tracţiune

La icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general diagrama caracteristică care se

obţine are forma din figura 48

Curba caracteristică la tracţiune depinde de lungimea bazei de măsurare Pentru

icircnlăturarea acestui neajuns curba caracteristică se reprezintă icircn coordonate şi definite

astfel

120590 =119865

1198600 휀 =

120575

1198710 (440)

unde

1198600 este aria iniţială a secţiunii transversale a epruvetei (icircnainte de solicitare) icircn

zona bazei de măsurare

1198600 =120587 ∙ 1198890

2

4

Deoarece mărimile icircn care se reprezintă curba caracteristică la tracţiune sunt

raportate la aria iniţială a secţiunii transversale (mărimi specifice) curba poartă numele

de curbă caracteristică convenţională la tracţiune

Fig 48 Curba caracteristică convenţională la tracțiune

Pe curba caracteristică convenţională la tracţiune figura 48 se pot stabili o serie

de puncte cărora le corespund mai multe mărimi importante

Ordonata punctului A pacircnă unde curba caracteristică convenţională este linie

dreaptă se numeşte limita de proporţionalitate a materialului 120590119901(1205901) Porţiunea 119874119860 este

zona de proporţionalitate a curbei caracteristice pe acest domeniu este valabilă legea lui

Hooke care exprimă o proporţionalitate icircntre tensiune şi deformaţie specifică

120590 = 119864 ∙ 휀 (441)

unde

119864 = reprezintă panta porţiunii liniare a curbei convenționale caracteristice

la tracțiune Caracteristica de material 119864 se numeşte modul de elasticitate longitudinal

(modulul lui Young)

Ordonata punctului 119861 pacircnă unde materialul se comportă perfect elastic adică

după descărcare icircşi recapătă dimensiunea iniţială 1198710 se numeşte limita de elasticitate

120590119890(119877119890) Icircn realitate nici un material nu are comportare perfect elastică sub acţiunea

solicitărilor el capătă deformaţii permanente (remanente plastice)

După punctul 119861 urmează o porţiune 119861119862119863 icircn care cu toate că icircncărcarea

continuă forţa nu mai creşte avacircnd mici oscilaţii icircn jurul unei valori Se spune că icircn

această porţiune materialul curge iar intervalul 119861119862119863 este un palier de curgere Tensiunea

corespunzătoare palierului de curgere se numeşte limită de curgere aparentă 120590119888(119877119888) Limita de curgere aparentă se calculează cu relaţia

120590119888 =1198651198881198600 (442)

unde

119865119888 reprezintă valoarea forţei icircnregistrată icircn momentul curgerii materialului

După punctul 119863 curba caracteristică are un traseu ascendent pacircnă icircn punctul 119864

Porţiunea 119863119864 este numită zonă de icircntărire (ecruisare) Icircn zona de ecruisare unde se

produc deformaţii plastice semnificative legea lui Hooke nu mai este valabilă La

descărcare relaţia dintre tensiunea şi deformaţia specifică este liniară paralelă cu

porţiunea liniară a curbei caracteristice (dreapta 119872119873)

Deformaţia totală (휀119905) are două componente una elastică (휀119890) şi una plastică (휀119901)

Ordonata punctului 119864 reprezintă rezistenţa de rupere 120590119903(119877119898) a materialului

care se poate calcula cu relaţia

120590119903 = 119877119898 =1198651198981198861199091198600

(443)

unde

119865119898119886119909 reprezintă valoarea maximă a forţei icircnregistrată icircn timpul icircncercării

La atingerea valorii 119865119898119886119909 (punctul 119864) icircntr-un anumit loc al epruvetei secţiunea

icircncepe să se micşoreze (se produce gacirctuirea) continuacircnd pacircnă cacircnd se produce ruperea

totală (punctul 119865)

Dacă după ruperea epruvetei cele două părţi rezultate se aşează cap la cap şi se

măsoară dimensiunea bazei de măsurare 119871119906 (lungimea ultimă) se determină alungirea la

rupere sau lungirea specifică la rupere 휀119903

휀119903 =119871119906 minus 11987101198710

=∆119871

1198710=120575

1198710 (444)

De obicei alungirea se exprimă icircn procente şi se notează cu 119860119899 unde 119899 reprezintă

numărul dat de raportul 11987101198890 (epruvete normale 119899 = 5 epruvete lungi 119899 = 10)

119860119899 =119871119906 minus 11987101198710

∙ 100 [] (445)

Altă mărime care se determină la icircncercarea la tracţiune este gacirctuirea la rupere

(exprimată de obicei icircn procente) şi definită de relaţia

119885 =1198600 minus 1198601199061198600

∙ 100 [] (446)

Mărimile determinate limita de proporţionalitate modulul de elasticitate

longitudinal limita de elasticitate limita de curgere aparentă rezistenţa de rupere

alungirea la rupere şi gacirctuirea la rupere sunt cunoscute ca fiind caracteristici mecanice

ale materialului

Din curba caracteristică convenţională observăm faptul că ruperea (punctul 119865 din

figura 48 se produce la o tensiune mai mică decacirct cea corespunzătoare punctului 119864 Dacă

icircnsă forţa din timpul icircncercării s-ar raporta la aria secţiunii din momentul icircnregistrării

forţei (care este mai mică decacirct cea iniţială 1198600) s-ar obţine aşa numita curbă

caracteristică reală a materialului (traseul 1198741198601198611198621198631198651 din figura 48) La curba

caracteristică reală ruperea se produce icircn punctul 1198651 la o icircncărcare mai mare decacirct cea

corespunzătoare punctului 119864 Icircnseamnă că rezistenţa reală la rupere este mai mare decacirct

rezistenţa la rupere dată de punctul 119864 din diagrama caracteristică convenţională

Dificultatea obţinerii diagramei caracteristice reale faţă de cea a diagramei caracteristice

convenţionale şi considerarea unei rezistenţe la rupere mai mică decacirct a celei reale face

icircn practică utilizarea pe scară mare a diagramei caracteristice convenţionale

Caracteristicile mecanice determinate pe baza curbei caracteristice convenţionale

sunt şi ele caracteristici mecanice convenţionale

Caracteristicile mecanice convenţionale limita de proporţionalitate convenţională

120590119901 limita de elasticitate convenţională 120590119890 limita de curgere convenţională 120590119888 şi rezistenţa

de rupere 120590119903 constituie tensiuni limită pentru un material Pe baza acestor caracteristici

de material se alege valoarea tensiunii admisibile 120590119886 (vezi paragraful 35) pentru

calculele de rezistenţă Cea mai utilizată stare limită pentru stabilirea tensiunii admisibile

120590119886 este limita de curgere convenţională 120590119888

120590119886 =120590119897119894119898119888

=120590119888119888 119904119886119906 120590119886 =

120590119903119888 (447)

Caracteristicile mecanice ale materialului sunt influenţate de o serie de factori

temperatura viteza de solicitare factorii tehnologici iar valorile lor sunt date icircn tabele și

diagrame

Aplicaţie Pentru suprafaţa plană compusă din două dreptunghiuri avacircnd

dimensiunile din figura 49a să se calculeze

a) centrul de greutate al secțiunii compuse 119910119866 119911119866

b) momentele de inerție axiale 119868119911 119868119910 și momentul de inerție centrifugal 119868119911119910

c) razele de inerție 119894119911 119894119910

d) modulele de rezistență 119882119911119898119894119899 119882119911119898119886119909 119882119910119898119894119899 119882119910119898119886119909

e) momentele de inerție principale 1198681 1198682 și direcțiile principale de inerție 1205721

f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 119878119911

Fig 49 Aplicație

Rezolvare Pentru rezolvare vom parcurge următoarele etape

icircmpărțim suprafața compusă icircn două suprafețe simple (dreptunghiuri) notate cu

① și respectiv ② figura 49b

poziționăm centrele de greutate a celor două suprafețe simple ① și respectiv ②

notate cu 1198661 și respectiv 1198662 figura 49c

poziționăm sistemele de axe de coordonate 119911111986611199101 pentru dreptunghiul ① și

119911211986621199102 pentru dreptunghiul ② aflate la intersecția diagonalelor figura 49c

poziționăm sistemele de axe de coordonate 11991101198741199100 ales arbitrar față de care

determinăm poziția centrului de greutate 119866 figura 49c

a) calculăm poziția centrului de greutate folosind relațiile (46) icircn care

1198601 = 6119905 ∙ 119905 = 61199052 1198602 = 4119905 ∙ 119905 = 41199052 119860 = 1198601 + 1198602 = 61199052 + 41199052 = 101199052

iar centrele de greutate 1198661 și respectiv 1198662 au coordonatele (față de sistemul 11991101198741199100)

1198661 1199101 = 3119905 1199111 = 05119905

1198662 1199102 = 051199051199112 = 3119905

cu acestea obținem

119910119866 =1198601 ∙ 1199101 + 1198602 ∙ 1199102

119860=61199052 ∙ 3119905 + 41199052 ∙ 05119905

101199052=201199053

101199052= 2119905

119911119866 =1198601 ∙ 1199111 + 1198602 ∙ 1199112

119860=61199052 ∙ 05119905 + 41199052 ∙ 3119905

101199052=151199053

101199052= 15119905

Poziționăm centrul de greutate 119866 al suprafeței compuse figura 49c

Fig 49 Aplicație

b) pentru determinarea momentelor de inerție axiale 119868119911 119868119910 și a momentului de

inerție centrifugal 119868119910119911 determinăm constantele 1198881 1198882 1198891 1198892 care intervin icircn relația lui

Stainer

1198881 = 1199101 minus 119910119866 = 3119905 minus 2119905 = 119905 1198882 = minus(119910119866 minus 1199102) = minus(2119905 minus 05119905) = minus15119905

1198891 = minus(119911119866 minus 1199111) = minus(15119905 minus 05119905) = minus119905 1198892 = 1199112 minus 119911119892 = 3119905 minus 15119905 = 15119905

Folosind relațiile lui Stainer (429) (430) și (431) calculăm momentele de

inerție axiale și centrifugale față de sistemul central 119911119866119866119910119866

119868119911 =sum(119868119911119894 + 1198881198942 ∙ 119860119894) = 1198681199111 + 1198881

2 ∙ 1198601 + 1198681199112 + 11988822 ∙ 1198602

119868119910 =sum(119868119910119894 + 1198891198942 ∙ 119860119894) = 1198681199101 + 1198891

2 ∙ 1198601 + 1198681199102 + 11988922 ∙ 1198602

119868119911119910 =sum(119868119911119894119910119894 + 119888119894 ∙ 119889119894 ∙ 119860119894) = 11986811991111199101 + 1198881 ∙ 1198891 ∙ 1198601 + 11986811991121199102 + 1198882 ∙ 1198892 ∙ 1198602

1198681199111 = (119887 ∙ ℎ3

12) =

119905 ∙ (6119905)3

12= 181199054 1198681199112 = (

119887 ∙ ℎ3

12) =

4119905 ∙ 1199053

12= 031199054

1198681199101 = (1198873 ∙ ℎ

12) =

1199053 ∙ 6119905

12= 051199054 1198681199102 = (

1198873 ∙ ℎ

12) =

(4119905)3 ∙ 119905

12= 531199054

11986811991111199101 = 11986811991121199102 = 0 deoarece cele două triunghiuri au cel puțin o axă de simetrie

Cu acestea momentele de inerție axiale și momentul de inerție centrifugal devin

119868119911 = 181199054 + 1199052 ∙ 61199052 + 031199054 + (minus15119905)2 ∙ 41199052 = 3331199054

119868119910 = 051199054 + (minus119905)2 ∙ 61199052 + 531199054 + (15119905)2 ∙ 41199052 = 2081199054

119868119911119910 = 0 + 119905 ∙ (minus119905) ∙ 61199052 + 0 + (minus15119905) ∙ (15119905) ∙ 41199052 = minus151199054

c) razele de inerție sau de girație față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910

se calculează cu relațiile (411)

119894119911 = radic119868119911119860= radic

3331199054

101199052= 182119905 119894119910 = radic

119868119910

119860= radic

2081199054

101199052= 144119905

d) modulele de rezistență față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910 se

calculează cu relațiile (412) și (413)

Avacircnd icircn vedere figura 419c obținem

119910119898119886119909 = 6119905 minus 119910119866 = 6119905 minus 2119905 = 4119905 119910119898119894119899 = minus119910119866 = minus2119905

119911119898119886119909 = 5119905 minus 119911119866 = 5119905 minus 15119905 = 35119905 119911119898119894119899 = minus119911119866 = minus15119905

Se obține astfel

119882119911119898119894119899 =119868119911

|119910119898119886119909|=3331199054

4119905= 8331199053

119882119911119898119886119909 =119868119911

|119910119898119894119899|=3331199054

2119905= 16651199053

119882119910119898119894119899 =119868119910

|119911119898119886119909|=2081199054

35119905= 5941199053

119882119910119898119886119909 =119868119910

|119911119898119894119899|=2081199054

15119905= 13871199053

e) momentele de inerție principale 1198681 și respectiv 1198682 se calculează cu relațiile

(438)

11986812 =119868119911 + 119868119910

2plusmn1

2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)

2+ 4 ∙ (119868119911119910)

2=

=3331199054 + 2081199054

2plusmn1

2∙ radic(3331199054 minus 2081199054)2 + 4 ∙ (minus151199054)2 = 27051199054 plusmn 16251199054

De unde obținem

1198681 = 27051199054 + 16251199054 = 4331199054

1198682 = 27051199054 minus 16251199054 = 1081199054

Prima direcție principală de inerție 1 face cu axa centrală 119866119911 unghiul 1205721 dat de

relația (437)

1205721 =1

2∙ arctan (minus

2 ∙ 119868119911119910

119868119911 minus 119868119910) =

1

2∙ arctan [minus

2 ∙ (minus151199054)

3331199054 minus 2081199054] =33 70

Deoarece 1205721 gt 0 rotirea axelor se face acircn sens antiorar acelor de ceasornic figura

49d

Poziția axe principale 2 față de care momentul de inerție are valoarea minimă

1198682 = 119868119898119894119899 este dată de unghiul

1205722 = 1205721 + 900 = 33 70 + 900 = 123 70

f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 se determină cu relația

(45)

1198781199111198602 = 1198602 ∙ 1198882 = 41199052 ∙ (minus15119905) = minus61199053

Momentul de ineție centrifugal este nul 119868119911119910 = 0 dacă cel puțin una din axele 119874119911

sau 119874119910 este axă de simetrie pentru secțiune

Se consideră o suprafaţă dreptunghiulară pe care faţă de axa de simetrie 119874119910 se iau

două suprafeţe elementare de arie 119889119860 simetrice faţă de axa 119874119910 figura 43

Fig 43 Suprafață dreptunghiulară cu două arii elementare 119889119860

Făcacircnd suma momentelor de inerţie centrifugale pentru cele două suprafeţe

elementare 119889119860 (din stacircnga şi din dreapta faţă de axa 119874119910) se obţine

int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860119889119903

+ int (minus119911) ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860119904119905119892

= int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860119889119903

minus int 119911 ∙ 119910 ∙ 119889119860

119860119904119905119892

= 0 (49)

Acelaşi raţionament se poate face și pentru icircntreaga suprafaţă de unde obținem că

momentul de inerție centrifugal este nul 119868119911119910 = 0 Deci pentru o suprafaţă plană care

are cel puţin o axă de simetrie momentul de inerţie centrifugal faţă de sistemul care

conţine acea axă de simetrie este nul

Momentul de inerţie polar al unei suprafeţei icircn raport cu un punct (pol) 119874 figura

42 este definit prin relaţia

1198680 = 119868119901 ≝ int 1205882 ∙ 119889119860

119860

= int(1199102 + 1199112) ∙ 119889119860

119860

= 119868119911 + 119868119910 (410)

unde este distanţa de la polul 119874 la elementul de arie 119889119860 Momentul de inerţie polar se

măsoară icircn [1198981198984] şi este totdeauna pozitiv

Momentul de inerţie polar este egal cu suma momentelor de inerţie faţă de două axe

perpendiculare oarecare şi care trec prin polul considerat

Razele de giraţie sau razele de inerţie sunt mărimi calculate icircn raport cu axele

secțiunii și definite de relaţiile

119894119911 ≝ radic119868119911119860 119894119910 = radic

119868119910

119860 (411)

Se exprimă icircn [119898119898] şi sunt icircntotdeauna pozitive Semnificația unei raze de inerție

este distanța la care dacă ar fi concentrată icircntreaga arie s-ar obține același moment de

inerție ca și cel calculat pentru aria reală

44 Modulul de rezistenţă

Modulul de rezistență se calculează icircn raport cu axele de referință sau icircn raport cu

un pol figura 42 și pot fi axiale (119882119911119882119910) sau polar (119882119901) și se determină numai pe baza

momentelor de inerţie cu relațiile figura 43

119882119911119898119894119899 ≝119868119911119910119898119886119909

119882119911119898119886119909 ≝119868119911119910119898119894119899

(412)

119882119910119898119894119899 ≝119868119910

119911119898119886119909 119882119910119898119886119909 ≝

119868119910

119911119898119894119899 (413)

119882119901 ≝119868119901

120588119898119886119909 (414)

unde

119910119898119886119909 119910119898119894119899 reprezintă distanţa de la axa 119874119911 la punctele extreme cele mai

depărtate respectiv cele mai apropiate ale suprafeţei de această axă

119911119898119886119909 119911119898119894119899 reprezintă distanţa de la axa 119874119910 la punctele extreme cele mai

depărtate respectiv cele mai apropiate ale suprafeţei de această axă

120588119898119886119909 reprezintă distanța maximă de la polul 119874 la punctul secțiunii cel mai

icircndepărtat de acesta

Fig 43 Suprafață dreptunghiulară cu două arii elementare 119889119860

Modulele de rezistenţă se exprimă icircn [1198981198983] şi sunt icircntotdeauna pozitive

Explicația este aceea că momentele de inerție care intră icircn relațiile de definiție sunt

pozitive iar distanțele la punctele extreme sunt pozitive (119910119898119886119909 119910119898119894119899 119911119898119886119909 119911119898119894119899 120588119898119886119909 se

iau icircn valoare absolută)

Icircn cazul suprafeţelor compuse modulul de rezistenţă nu se obţine prin icircnsumarea

algebrică a modulelor de rezistenţă ale suprafeţelor simple componente ci numai prin

intermediul momentului de inerţie axial calculat pentru icircntreaga secțiune

Ca și momentele de inerție modulele de rezistență se calculează numai pentru

sistemele de axe centrale

45 Momente de inerţie şi module de rezistenţă pentru suprafeţe simple

451 Secțiune dreptunghiulară

Fie suprafaţa dreptunghiulară din figura 44 de icircnălțime ℎ și lățime 119887 pe care se

consideră suprafaţă elementară de arie 119889119860 = 119887119889119910 la distanța 119910 de axa 119862119911 sistemul de

axe 119911119862119910 trece prin centrul secțiunii iar axele sunt axe de simetrie pentru dreptunghi

Fig 44 Suprafață dreptunghiulară

Pe baza relațiilor de definiți a momentului de inerție 119868119911 se obține

119868119911 ≝ int 1199102 ∙ 119889119860

119860

= int 1199102 ∙ 119887 ∙ 119889119910 = 2int 1199102 ∙ 119887 ∙ 119889119910 = 2 ∙ 119887 ∙1199103

3|ℎ 2frasl

0rArr

ℎ 2frasl

0

ℎ 2frasl

minusℎ 2frasl

rArr 119868119911 =119887 ∙ ℎ3

12

(415)

Analog pentru un element de arie 119889119860 = ℎ ∙ 119889119911 paralel cu axa 119862119910 situat la distanța

119911 de axa 119862119910

119868119910 ≝ int 1199112 ∙ 119889119860

119860

= int 1199112 ∙ ℎ ∙ 119889119911 = 2int 1199112 ∙ ℎ ∙ 119889119910 = 2 ∙ ℎ ∙1199113

3|119887 2frasl

0rArr

119887 2frasl

0

119887 2frasl

minus119887 2frasl

rArr 119868119910 =1198873 ∙ ℎ

12

(416)

Deoarece axele 119862119911 și 119862119910 sunt axe de simetrie momentul de inerție centrifugal este

119868119911119910 = 0 (417)

Pentru un pătrat avacircnd laturile egale (ℎ = 119887 = 119886) momentele de inerţie faţă de

axele centrale au expresia

119868119911 = 119868119910 =1198864

12 (418)

Modulele de rezistență axiale se calculează cu relațiile de definiție ținacircnd cont că

distanțele pacircnă la fibrele extreme sunt

119910119898119886119909 = 119910119898119894119899 =ℎ

2 119911119898119886119909 = 119911119898119894119899 =

119887

2 (419)

Obținem

119882119911119898119894119899 = 119882119911119898119886119909 =119868119911

119910119898119886119909119898119894119899=119887 ∙ ℎ3

12frasl

ℎ2frasl

=119887 ∙ ℎ2

6

119882119910119898119894119899 = 119882119910119898119886119909 =119868119910

119911119898119886119909119898119894119899=1198873 ∙ ℎ

12frasl

1198872frasl

=1198872 ∙ ℎ

6

(420)

452 Suprafaţă circulară

Din motive de simetrie pentru suprafeţele circulare momentele de inerţie faţă de

orice diametru (care reprezintă şi axe centrale) sunt aceleaşi

Considerăm o secțiune circulară plină cu diametrul 119889 și centrul de greutate 119862 Prin

centrul de greutate 119862 trece sistemul de axe ortogonal 119911119862119910 figura 45

Fig 45 Suprafață circulară

La distanța de centrul de greutate 119862 vom lua un element de suprafață mic de arie

(119889119860) de forma unui inel de grosime 119889 Elementul de arie 119889119860 are expresia

119889119860 = (2 ∙ 120587 ∙ 120588) ∙ (119889120588)

Pornind de la relația de definiție a momentului de inerție polar obținem

119868119901 ≝ int 1205882 ∙ 119889119860

119860

= int 1205882 ∙ (2 ∙ 120587 ∙ 120588) ∙ 119889120588

119903=119889 2frasl

0

= 2 ∙ 120587 ∙1205884

4|119889 2frasl0 rArr

rArr 119868119901 =120587 ∙ 1198894

32

(421)

Secțiunea este perfect simetrică deci sunt valabile relațiile

119868119911 = 119868119910 rArr 119868119901 = 119868119911 + 119868119910 = 2 ∙ 119868119911 = 2 ∙ 119868119910 =119868119901

2=120587 ∙ 1198894

64 (422)

Și modulele de rezistenţă faţă de orice diametru sunt egale şi se calculează cu

relaţiile

119882119911 = 119882119910 =1198681199111198892frasl=120587 ∙ 1198893

32 (423)

Modulul de rezistenţă polar este

119882119901 =1198681199011198892frasl=120587 ∙ 1198893

16 (424)

453 Secţiune inelară

Calculul momentelor de inerţie axiale pentru o secţiune inelară avacircnd diametrul

interior 119889 şi diametrul exterior 119863 se determină analog pentru suprafaţa circulară plină cu

observaţia că integrala pentru calculul momentului de inerție polar 119868119901 se face icircntre

limitele 119903 = 119889 2frasl şi R= 1198632frasl (icircntre raza interioară 119903 şi raza exterioară 119877) figura 46

Se obţin relaţiile

119868119901 =120587 ∙ 1198634

32∙ [1 minus (

119889

119863)4

] =120587 ∙ 1198634

32∙ (1 minus 1198964) (425)

119868119910 = 119868119910 =120587 ∙ 1198634

64∙ [1 minus (

119889

119863)4

] =120587 ∙ 1198633

64∙ (1 minus 1198964) (426)

Fig 46 Secțiune inelară

119882119901 =120587 ∙ 1198633

16∙ [1 minus (

119889

119863)4

] =120587 ∙ 1198633

16∙ (1 minus 1198964) (427)

119882119911 = 119882119910 =120587 ∙ 1198633

32∙ [1 minus (

119889

119863)4

] =120587 ∙ 1198633

32∙ (1 minus 1198964) (428)

unde 119896 = 119889119863frasl

46 Variaţia momentelor de inerţie faţă de axe paralele

( Relațiile lui STEINER)

Se consideră o suprafaţă oarecare de arie 119860 cu elementul de arie 119889119860 și un sistemul

de axe central 119911119862119910 faţă de care se cunosc momentele de inerţie 119868119911 119868119910 119868119911119910 şi considerăm

un sistem de axe 11991111198741199101 paralele cu sistemul central figura 47 Se pune problema

determinării momentele de inerţie 1198681199111 1198681199101 11986811991111199101 faţă de sistemul de axe paralel cu sistemul

central 11991111198741199101 axe aflate la distanţele 119910119862 = 119888 respectiv 119911119862 = 119889 de acesta

461 Momente de inerţie axiale

Pe baza relaţiilor de definire şi a notaţiilor din figura 42 pentru momentele de

inerţie faţă de axele 1198741199111 1198741199101 se poate scrie

1198681199111 = int 11991012 ∙ 119889119860

119860

= int(119910 + 119888)2 ∙ 119889119860

119860

= int 1199102 ∙ 119889119860

119860

+ 2 ∙ 119888 ∙ int 119910 ∙ 119889119860

119860

+

+1198882int 119889119860

119860

rArr 1198681199111 = 119868119911 + 2 ∙ 119888 ∙ 119878119911 + 1198882 ∙ 119860 hArr 1198681199111 = 119868119911 + 119888

2 ∙ 119860

(429)

Fig 47 Variaţia momentelor de inerţie față de axe paralele

S-a ajuns la relația (429) deoarece momentul static 119878119911 este nul deoarece axa 119862119885

este axă centrală

Pentru momentul de inerție axial icircn raport cu axa 1198741199101 se obține

1198681199101 = int 11991112 ∙ 119889119860

119860

= int(119911 + 119889)2 ∙ 119889119860

119860

= int 1199112 ∙ 119889119860

119860

+ 2 ∙ 119889 ∙ int 119911 ∙ 119889119860

119860

+

+1198892 ∙ int 119889119860

119860

rArr 1198681199101 = 119868119910 + 2 ∙ 119889 ∙ 119878119910 + 1198892 ∙ 119860 hArr 1198681199101 = 119868119910 + 119889

2 ∙ 119860

(430)

Pentru momentul de inerție centrifugal obținem

11986811991111199101 = int 1199101 ∙ 1199111 ∙ 119889119860

119860

= int(119910 + 119888) ∙ (119911 + 119889) ∙ 119889119860

119860

= int 119910 ∙ 119911 ∙ 119889119860 +

119860

+119888 ∙ int 119911 ∙ 119889119860

119860

+ 119889 ∙ int 119910 ∙ 119889119860

119860

rArr 11986811991111199101 = 119868119911119910 + 119888 ∙ 119889 ∙ 119860

(431)

Deoarece

int 119911 ∙ 119889119860

119860

= 119878119910 = 0 int 119910 ∙ 119889119860

119860

= 119878119911 = 0 int 119910 ∙ 119911 ∙ 119889119860

119860

= 119868119911119910

Relaţiile (429) şi (430) arată că momentul de inerţie faţă de o axă oarecare

este egal cu momentul de inerţie faţă de o axă paralelă cu ea trecacircnd prin centrul de

greutate la care se adaugă produsul dintre aria suprafeţei şi pătratul distanţei dintre

cele două axe

Din relaţiile (429) și (430) rezultă de asemenea că momentul de inerţie faţă de o

axă centrală (care trece prin centrul de greutate) este cel mai mic dintre infinitatea de

momente de inerţie obținute faţă de alte axe paralele cu ea

Relaţia (431) arată de asemenea că momentul de inerţie centrifugal faţă de un

sistem de axe oarecare este egal cu momentul de inerţie centrifugal faţă de un sistem

paralele cu el trecacircnd prin centrul de greutate a suprafeţei la care se adaugă produsul

dintre aria suprafeţei şi distanţele dintre axele sistemelor respective

Icircn literatura de specialitate relaţiile (429) (430) şi (431) sunt cunoscute sub

numele de relaţiile lui Steiner

47 Variaţia momentrlor de inerţie faţă de axe rotite

Direcţii principale şi momente de inerţie principale

Fie suprafaţa plană din figura 48 de arie 119860 pe care considerăm o suprafaţă

elementară de arie 119889119860 Pentru sistemul de axe 119911119874119910 se cunosc momentele de inerţie

119868119911 119868119910 119868119911119910 şi vom determina relaţiile de calcul pentru momentele de inerţie afererent unui

sistem de axe 11991111198741199101 rotit cu un unghi faţă de sistemul central

Faţă de sistemul de axe 11991111198741199101 elementul de arie 119889119860 are coordonatele

1199101 = 119875119877 = 119875119876 minus 119877119876 = 119910 ∙ cos 120572 minus 119911 ∙ sin 120572

1199111 = 119873119872 = 119873119875 minus 119875119872 = 119911 ∙ cos 120572 + 119910 ∙ sin 120572 (432)

Fig 47 Variaţia momentelor de inerţie față de axe rotite

Pe baza relaţiilor de calcul ale momentelor de inerţie şi a notaţiilor din figura 42

şi ale relaţiilor (432) momentele de inerţie faţă de sistemul de axe rotit 11991111198741199101 sunt

1198681199111 =119868119911 + 119868119910

2+119868119911 minus 119868119910

2∙ cos 2120572 minus 119868119911119910 ∙ sin 2120572 (433)

1198681199101 =119868119911 + 119868119910

2minus119868119911 minus 119868119910

2∙ cos 2120572 + 119868119911119910 ∙ sin 2120572 (434)

11986811991111199101 =119868119911 minus 119868119910

2∙ sin 2120572 + 119868119911119910 ∙ cos 2120572 (435)

Din relaţiile 433divide435 se observă că icircntre momentele de inerţie axiale şi cele

polare există relaţia

1198681199111 + 1198681199101 = 119868119911 + 119868119910 = 119868119901 (436)

adică suma momentelor de inerţie axiale icircn raport cu orice pereche de axe ortogonale

care trec printr-un pol dat este o constantă şi egală cu momentul de inerţie polar

Prin rotirea sistemului de axe din relaţiile 433divide435 rezultă că momentele de inerţie

variază icircnsă suma lor rămacircne constantă deci există o poziţie a sistemului de axe pentru

care momentele de inerţie au valori extreme maxim respectiv minim

471 Direcţii principale de inerţie

Valoarea unghiului 120572 pentru care momentele de inerţie axiale au valori extreme

este

1205721 =1

2∙ 119886119903119888119905119886119899 (minus

2 ∙ 119868119911119910

119868119911 minus 119868119910) (437)

Poziţia celeilalte direcţii este perpendiculară pe cea dată de unghiul 1205721

Din relaţia (437) se constată că faţă de aceste direcţii rotite pentru care momentele

de inerţie axiale prezintă valori extreme momentul de inerţie centrifugal 11986811991111199101este nul

Atunci se poate afirma că momentele de inerţie axiale au valori extreme icircn raport cu

direcţiile faţă de care momentul de inerţie centrifugal este nul Aceste direcţii se numesc

direcţii principale iar momentele de inerţie faţă de aceste direcţii poartă numele de

momente de inerţie principale

Icircn calculele de rezistenţă interesează icircn mod special poziţia direcţiilor principale

care trec prin centrul de greutate al suprafeţei aşa numitele direcţii principale centrale şi

evident momentele de inerţie principale centrale

Direcţiile principale de inerţie se notează cu 1 respectiv 2 Axa principală 1

corespunde direcţiei faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea maximă iar

axa principală 2 pentru direcţia faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea

minimă

472 Momente de inerţie principale

Momentele de inerţie principale se notează cu litera 119868 la care se pune indicele 1

sau 2 după cum valoarea acestuia este maximă sau minimă deci avem un moment de

inerţie principal 1 (notat 1198681) respectiv moment de inerţie principal 2 (notat 1198682)

Expresiile pentru momentele de inerţie principale sunt

11986812 =119868119911 + 119868119910

2plusmn1

2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)

2+ 4 ∙ (119868119911119910)

2 (438)

Dacă momentul de inerţie centrifugal este negativ (119868119911119910 lt 0) direcţia principală

care trece prin primul cadran (definit de sistemul 119911119862119910) este direcţia principală 120783

Pentru suprafeţele cu cel puţin o axă de simetrie direcţiile centrale 119862119911 119862119910 sunt şi

direcții principale de inerţie și evident momentele de inerţie axiale 119868119911 119868119910 sunt momente

de inerţie principale

48 Caracteristici mecanice ale metalelor

Alegerea materialului pentru confecţionarea unei anumite piese se face şi pe baza

aşa numitelor caracteristici mecanice pe care le prezintă materialul Cunoaşterea acestor

caracteristici mecanice are loc numai pe baza unor icircncercări mecanice care să scoată icircn

evidenţă comportarea materialului icircn condiţii de solicitare

Cea mai utilizată icircncercare icircn urma căreia se pun icircn evidenţă caracteristicile

mecanice ale unui material este icircncercarea la tracţiune

481 Icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general

Icircncercarea la tracţiune a oţelului ca de altfel toate icircncercările de materiale este

standardizată

Icircn cele ce urmează se va prezenta numai partea care interesează strict din punct

de vedere al caracteristicilor mecanice ale oţelului

Epruveta de diametru iniţial 1198890 pentru icircncercarea la tracţiune are o porţiune de

lungime 1198710 numită baza de măsurare pe care se măsoară lungirea acesteia sub acţiunea

solicitării

Icircn funcţie de raportul dintre baza de măsurare 1198710 şi diametrul iniţial 1198890 epruvetele

utilizate pentru icircncercări sunt

epruvete normale (scurte) cacircnd 11987101198890 = 5

epruvete lungi cacircnd 11987101198890 = 10

Icircn timpul icircncercării la diferite valori ale forţei 119865 se măsoară lungirea bazei de

măsurare

∆119871 = 120575 = 119871 minus 1198710 (439)

unde

119871 este dimensiunea bazei de măsurare la un moment dat

Curba forţă-lungire (119865 minus ) icircnregistrată icircn urma icircncercării reprezintă curba

caracteristică la tracţiune

La icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general diagrama caracteristică care se

obţine are forma din figura 48

Curba caracteristică la tracţiune depinde de lungimea bazei de măsurare Pentru

icircnlăturarea acestui neajuns curba caracteristică se reprezintă icircn coordonate şi definite

astfel

120590 =119865

1198600 휀 =

120575

1198710 (440)

unde

1198600 este aria iniţială a secţiunii transversale a epruvetei (icircnainte de solicitare) icircn

zona bazei de măsurare

1198600 =120587 ∙ 1198890

2

4

Deoarece mărimile icircn care se reprezintă curba caracteristică la tracţiune sunt

raportate la aria iniţială a secţiunii transversale (mărimi specifice) curba poartă numele

de curbă caracteristică convenţională la tracţiune

Fig 48 Curba caracteristică convenţională la tracțiune

Pe curba caracteristică convenţională la tracţiune figura 48 se pot stabili o serie

de puncte cărora le corespund mai multe mărimi importante

Ordonata punctului A pacircnă unde curba caracteristică convenţională este linie

dreaptă se numeşte limita de proporţionalitate a materialului 120590119901(1205901) Porţiunea 119874119860 este

zona de proporţionalitate a curbei caracteristice pe acest domeniu este valabilă legea lui

Hooke care exprimă o proporţionalitate icircntre tensiune şi deformaţie specifică

120590 = 119864 ∙ 휀 (441)

unde

119864 = reprezintă panta porţiunii liniare a curbei convenționale caracteristice

la tracțiune Caracteristica de material 119864 se numeşte modul de elasticitate longitudinal

(modulul lui Young)

Ordonata punctului 119861 pacircnă unde materialul se comportă perfect elastic adică

după descărcare icircşi recapătă dimensiunea iniţială 1198710 se numeşte limita de elasticitate

120590119890(119877119890) Icircn realitate nici un material nu are comportare perfect elastică sub acţiunea

solicitărilor el capătă deformaţii permanente (remanente plastice)

După punctul 119861 urmează o porţiune 119861119862119863 icircn care cu toate că icircncărcarea

continuă forţa nu mai creşte avacircnd mici oscilaţii icircn jurul unei valori Se spune că icircn

această porţiune materialul curge iar intervalul 119861119862119863 este un palier de curgere Tensiunea

corespunzătoare palierului de curgere se numeşte limită de curgere aparentă 120590119888(119877119888) Limita de curgere aparentă se calculează cu relaţia

120590119888 =1198651198881198600 (442)

unde

119865119888 reprezintă valoarea forţei icircnregistrată icircn momentul curgerii materialului

După punctul 119863 curba caracteristică are un traseu ascendent pacircnă icircn punctul 119864

Porţiunea 119863119864 este numită zonă de icircntărire (ecruisare) Icircn zona de ecruisare unde se

produc deformaţii plastice semnificative legea lui Hooke nu mai este valabilă La

descărcare relaţia dintre tensiunea şi deformaţia specifică este liniară paralelă cu

porţiunea liniară a curbei caracteristice (dreapta 119872119873)

Deformaţia totală (휀119905) are două componente una elastică (휀119890) şi una plastică (휀119901)

Ordonata punctului 119864 reprezintă rezistenţa de rupere 120590119903(119877119898) a materialului

care se poate calcula cu relaţia

120590119903 = 119877119898 =1198651198981198861199091198600

(443)

unde

119865119898119886119909 reprezintă valoarea maximă a forţei icircnregistrată icircn timpul icircncercării

La atingerea valorii 119865119898119886119909 (punctul 119864) icircntr-un anumit loc al epruvetei secţiunea

icircncepe să se micşoreze (se produce gacirctuirea) continuacircnd pacircnă cacircnd se produce ruperea

totală (punctul 119865)

Dacă după ruperea epruvetei cele două părţi rezultate se aşează cap la cap şi se

măsoară dimensiunea bazei de măsurare 119871119906 (lungimea ultimă) se determină alungirea la

rupere sau lungirea specifică la rupere 휀119903

휀119903 =119871119906 minus 11987101198710

=∆119871

1198710=120575

1198710 (444)

De obicei alungirea se exprimă icircn procente şi se notează cu 119860119899 unde 119899 reprezintă

numărul dat de raportul 11987101198890 (epruvete normale 119899 = 5 epruvete lungi 119899 = 10)

119860119899 =119871119906 minus 11987101198710

∙ 100 [] (445)

Altă mărime care se determină la icircncercarea la tracţiune este gacirctuirea la rupere

(exprimată de obicei icircn procente) şi definită de relaţia

119885 =1198600 minus 1198601199061198600

∙ 100 [] (446)

Mărimile determinate limita de proporţionalitate modulul de elasticitate

longitudinal limita de elasticitate limita de curgere aparentă rezistenţa de rupere

alungirea la rupere şi gacirctuirea la rupere sunt cunoscute ca fiind caracteristici mecanice

ale materialului

Din curba caracteristică convenţională observăm faptul că ruperea (punctul 119865 din

figura 48 se produce la o tensiune mai mică decacirct cea corespunzătoare punctului 119864 Dacă

icircnsă forţa din timpul icircncercării s-ar raporta la aria secţiunii din momentul icircnregistrării

forţei (care este mai mică decacirct cea iniţială 1198600) s-ar obţine aşa numita curbă

caracteristică reală a materialului (traseul 1198741198601198611198621198631198651 din figura 48) La curba

caracteristică reală ruperea se produce icircn punctul 1198651 la o icircncărcare mai mare decacirct cea

corespunzătoare punctului 119864 Icircnseamnă că rezistenţa reală la rupere este mai mare decacirct

rezistenţa la rupere dată de punctul 119864 din diagrama caracteristică convenţională

Dificultatea obţinerii diagramei caracteristice reale faţă de cea a diagramei caracteristice

convenţionale şi considerarea unei rezistenţe la rupere mai mică decacirct a celei reale face

icircn practică utilizarea pe scară mare a diagramei caracteristice convenţionale

Caracteristicile mecanice determinate pe baza curbei caracteristice convenţionale

sunt şi ele caracteristici mecanice convenţionale

Caracteristicile mecanice convenţionale limita de proporţionalitate convenţională

120590119901 limita de elasticitate convenţională 120590119890 limita de curgere convenţională 120590119888 şi rezistenţa

de rupere 120590119903 constituie tensiuni limită pentru un material Pe baza acestor caracteristici

de material se alege valoarea tensiunii admisibile 120590119886 (vezi paragraful 35) pentru

calculele de rezistenţă Cea mai utilizată stare limită pentru stabilirea tensiunii admisibile

120590119886 este limita de curgere convenţională 120590119888

120590119886 =120590119897119894119898119888

=120590119888119888 119904119886119906 120590119886 =

120590119903119888 (447)

Caracteristicile mecanice ale materialului sunt influenţate de o serie de factori

temperatura viteza de solicitare factorii tehnologici iar valorile lor sunt date icircn tabele și

diagrame

Aplicaţie Pentru suprafaţa plană compusă din două dreptunghiuri avacircnd

dimensiunile din figura 49a să se calculeze

a) centrul de greutate al secțiunii compuse 119910119866 119911119866

b) momentele de inerție axiale 119868119911 119868119910 și momentul de inerție centrifugal 119868119911119910

c) razele de inerție 119894119911 119894119910

d) modulele de rezistență 119882119911119898119894119899 119882119911119898119886119909 119882119910119898119894119899 119882119910119898119886119909

e) momentele de inerție principale 1198681 1198682 și direcțiile principale de inerție 1205721

f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 119878119911

Fig 49 Aplicație

Rezolvare Pentru rezolvare vom parcurge următoarele etape

icircmpărțim suprafața compusă icircn două suprafețe simple (dreptunghiuri) notate cu

① și respectiv ② figura 49b

poziționăm centrele de greutate a celor două suprafețe simple ① și respectiv ②

notate cu 1198661 și respectiv 1198662 figura 49c

poziționăm sistemele de axe de coordonate 119911111986611199101 pentru dreptunghiul ① și

119911211986621199102 pentru dreptunghiul ② aflate la intersecția diagonalelor figura 49c

poziționăm sistemele de axe de coordonate 11991101198741199100 ales arbitrar față de care

determinăm poziția centrului de greutate 119866 figura 49c

a) calculăm poziția centrului de greutate folosind relațiile (46) icircn care

1198601 = 6119905 ∙ 119905 = 61199052 1198602 = 4119905 ∙ 119905 = 41199052 119860 = 1198601 + 1198602 = 61199052 + 41199052 = 101199052

iar centrele de greutate 1198661 și respectiv 1198662 au coordonatele (față de sistemul 11991101198741199100)

1198661 1199101 = 3119905 1199111 = 05119905

1198662 1199102 = 051199051199112 = 3119905

cu acestea obținem

119910119866 =1198601 ∙ 1199101 + 1198602 ∙ 1199102

119860=61199052 ∙ 3119905 + 41199052 ∙ 05119905

101199052=201199053

101199052= 2119905

119911119866 =1198601 ∙ 1199111 + 1198602 ∙ 1199112

119860=61199052 ∙ 05119905 + 41199052 ∙ 3119905

101199052=151199053

101199052= 15119905

Poziționăm centrul de greutate 119866 al suprafeței compuse figura 49c

Fig 49 Aplicație

b) pentru determinarea momentelor de inerție axiale 119868119911 119868119910 și a momentului de

inerție centrifugal 119868119910119911 determinăm constantele 1198881 1198882 1198891 1198892 care intervin icircn relația lui

Stainer

1198881 = 1199101 minus 119910119866 = 3119905 minus 2119905 = 119905 1198882 = minus(119910119866 minus 1199102) = minus(2119905 minus 05119905) = minus15119905

1198891 = minus(119911119866 minus 1199111) = minus(15119905 minus 05119905) = minus119905 1198892 = 1199112 minus 119911119892 = 3119905 minus 15119905 = 15119905

Folosind relațiile lui Stainer (429) (430) și (431) calculăm momentele de

inerție axiale și centrifugale față de sistemul central 119911119866119866119910119866

119868119911 =sum(119868119911119894 + 1198881198942 ∙ 119860119894) = 1198681199111 + 1198881

2 ∙ 1198601 + 1198681199112 + 11988822 ∙ 1198602

119868119910 =sum(119868119910119894 + 1198891198942 ∙ 119860119894) = 1198681199101 + 1198891

2 ∙ 1198601 + 1198681199102 + 11988922 ∙ 1198602

119868119911119910 =sum(119868119911119894119910119894 + 119888119894 ∙ 119889119894 ∙ 119860119894) = 11986811991111199101 + 1198881 ∙ 1198891 ∙ 1198601 + 11986811991121199102 + 1198882 ∙ 1198892 ∙ 1198602

1198681199111 = (119887 ∙ ℎ3

12) =

119905 ∙ (6119905)3

12= 181199054 1198681199112 = (

119887 ∙ ℎ3

12) =

4119905 ∙ 1199053

12= 031199054

1198681199101 = (1198873 ∙ ℎ

12) =

1199053 ∙ 6119905

12= 051199054 1198681199102 = (

1198873 ∙ ℎ

12) =

(4119905)3 ∙ 119905

12= 531199054

11986811991111199101 = 11986811991121199102 = 0 deoarece cele două triunghiuri au cel puțin o axă de simetrie

Cu acestea momentele de inerție axiale și momentul de inerție centrifugal devin

119868119911 = 181199054 + 1199052 ∙ 61199052 + 031199054 + (minus15119905)2 ∙ 41199052 = 3331199054

119868119910 = 051199054 + (minus119905)2 ∙ 61199052 + 531199054 + (15119905)2 ∙ 41199052 = 2081199054

119868119911119910 = 0 + 119905 ∙ (minus119905) ∙ 61199052 + 0 + (minus15119905) ∙ (15119905) ∙ 41199052 = minus151199054

c) razele de inerție sau de girație față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910

se calculează cu relațiile (411)

119894119911 = radic119868119911119860= radic

3331199054

101199052= 182119905 119894119910 = radic

119868119910

119860= radic

2081199054

101199052= 144119905

d) modulele de rezistență față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910 se

calculează cu relațiile (412) și (413)

Avacircnd icircn vedere figura 419c obținem

119910119898119886119909 = 6119905 minus 119910119866 = 6119905 minus 2119905 = 4119905 119910119898119894119899 = minus119910119866 = minus2119905

119911119898119886119909 = 5119905 minus 119911119866 = 5119905 minus 15119905 = 35119905 119911119898119894119899 = minus119911119866 = minus15119905

Se obține astfel

119882119911119898119894119899 =119868119911

|119910119898119886119909|=3331199054

4119905= 8331199053

119882119911119898119886119909 =119868119911

|119910119898119894119899|=3331199054

2119905= 16651199053

119882119910119898119894119899 =119868119910

|119911119898119886119909|=2081199054

35119905= 5941199053

119882119910119898119886119909 =119868119910

|119911119898119894119899|=2081199054

15119905= 13871199053

e) momentele de inerție principale 1198681 și respectiv 1198682 se calculează cu relațiile

(438)

11986812 =119868119911 + 119868119910

2plusmn1

2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)

2+ 4 ∙ (119868119911119910)

2=

=3331199054 + 2081199054

2plusmn1

2∙ radic(3331199054 minus 2081199054)2 + 4 ∙ (minus151199054)2 = 27051199054 plusmn 16251199054

De unde obținem

1198681 = 27051199054 + 16251199054 = 4331199054

1198682 = 27051199054 minus 16251199054 = 1081199054

Prima direcție principală de inerție 1 face cu axa centrală 119866119911 unghiul 1205721 dat de

relația (437)

1205721 =1

2∙ arctan (minus

2 ∙ 119868119911119910

119868119911 minus 119868119910) =

1

2∙ arctan [minus

2 ∙ (minus151199054)

3331199054 minus 2081199054] =33 70

Deoarece 1205721 gt 0 rotirea axelor se face acircn sens antiorar acelor de ceasornic figura

49d

Poziția axe principale 2 față de care momentul de inerție are valoarea minimă

1198682 = 119868119898119894119899 este dată de unghiul

1205722 = 1205721 + 900 = 33 70 + 900 = 123 70

f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 se determină cu relația

(45)

1198781199111198602 = 1198602 ∙ 1198882 = 41199052 ∙ (minus15119905) = minus61199053

Se exprimă icircn [119898119898] şi sunt icircntotdeauna pozitive Semnificația unei raze de inerție

este distanța la care dacă ar fi concentrată icircntreaga arie s-ar obține același moment de

inerție ca și cel calculat pentru aria reală

44 Modulul de rezistenţă

Modulul de rezistență se calculează icircn raport cu axele de referință sau icircn raport cu

un pol figura 42 și pot fi axiale (119882119911119882119910) sau polar (119882119901) și se determină numai pe baza

momentelor de inerţie cu relațiile figura 43

119882119911119898119894119899 ≝119868119911119910119898119886119909

119882119911119898119886119909 ≝119868119911119910119898119894119899

(412)

119882119910119898119894119899 ≝119868119910

119911119898119886119909 119882119910119898119886119909 ≝

119868119910

119911119898119894119899 (413)

119882119901 ≝119868119901

120588119898119886119909 (414)

unde

119910119898119886119909 119910119898119894119899 reprezintă distanţa de la axa 119874119911 la punctele extreme cele mai

depărtate respectiv cele mai apropiate ale suprafeţei de această axă

119911119898119886119909 119911119898119894119899 reprezintă distanţa de la axa 119874119910 la punctele extreme cele mai

depărtate respectiv cele mai apropiate ale suprafeţei de această axă

120588119898119886119909 reprezintă distanța maximă de la polul 119874 la punctul secțiunii cel mai

icircndepărtat de acesta

Fig 43 Suprafață dreptunghiulară cu două arii elementare 119889119860

Modulele de rezistenţă se exprimă icircn [1198981198983] şi sunt icircntotdeauna pozitive

Explicația este aceea că momentele de inerție care intră icircn relațiile de definiție sunt

pozitive iar distanțele la punctele extreme sunt pozitive (119910119898119886119909 119910119898119894119899 119911119898119886119909 119911119898119894119899 120588119898119886119909 se

iau icircn valoare absolută)

Icircn cazul suprafeţelor compuse modulul de rezistenţă nu se obţine prin icircnsumarea

algebrică a modulelor de rezistenţă ale suprafeţelor simple componente ci numai prin

intermediul momentului de inerţie axial calculat pentru icircntreaga secțiune

Ca și momentele de inerție modulele de rezistență se calculează numai pentru

sistemele de axe centrale

45 Momente de inerţie şi module de rezistenţă pentru suprafeţe simple

451 Secțiune dreptunghiulară

Fie suprafaţa dreptunghiulară din figura 44 de icircnălțime ℎ și lățime 119887 pe care se

consideră suprafaţă elementară de arie 119889119860 = 119887119889119910 la distanța 119910 de axa 119862119911 sistemul de

axe 119911119862119910 trece prin centrul secțiunii iar axele sunt axe de simetrie pentru dreptunghi

Fig 44 Suprafață dreptunghiulară

Pe baza relațiilor de definiți a momentului de inerție 119868119911 se obține

119868119911 ≝ int 1199102 ∙ 119889119860

119860

= int 1199102 ∙ 119887 ∙ 119889119910 = 2int 1199102 ∙ 119887 ∙ 119889119910 = 2 ∙ 119887 ∙1199103

3|ℎ 2frasl

0rArr

ℎ 2frasl

0

ℎ 2frasl

minusℎ 2frasl

rArr 119868119911 =119887 ∙ ℎ3

12

(415)

Analog pentru un element de arie 119889119860 = ℎ ∙ 119889119911 paralel cu axa 119862119910 situat la distanța

119911 de axa 119862119910

119868119910 ≝ int 1199112 ∙ 119889119860

119860

= int 1199112 ∙ ℎ ∙ 119889119911 = 2int 1199112 ∙ ℎ ∙ 119889119910 = 2 ∙ ℎ ∙1199113

3|119887 2frasl

0rArr

119887 2frasl

0

119887 2frasl

minus119887 2frasl

rArr 119868119910 =1198873 ∙ ℎ

12

(416)

Deoarece axele 119862119911 și 119862119910 sunt axe de simetrie momentul de inerție centrifugal este

119868119911119910 = 0 (417)

Pentru un pătrat avacircnd laturile egale (ℎ = 119887 = 119886) momentele de inerţie faţă de

axele centrale au expresia

119868119911 = 119868119910 =1198864

12 (418)

Modulele de rezistență axiale se calculează cu relațiile de definiție ținacircnd cont că

distanțele pacircnă la fibrele extreme sunt

119910119898119886119909 = 119910119898119894119899 =ℎ

2 119911119898119886119909 = 119911119898119894119899 =

119887

2 (419)

Obținem

119882119911119898119894119899 = 119882119911119898119886119909 =119868119911

119910119898119886119909119898119894119899=119887 ∙ ℎ3

12frasl

ℎ2frasl

=119887 ∙ ℎ2

6

119882119910119898119894119899 = 119882119910119898119886119909 =119868119910

119911119898119886119909119898119894119899=1198873 ∙ ℎ

12frasl

1198872frasl

=1198872 ∙ ℎ

6

(420)

452 Suprafaţă circulară

Din motive de simetrie pentru suprafeţele circulare momentele de inerţie faţă de

orice diametru (care reprezintă şi axe centrale) sunt aceleaşi

Considerăm o secțiune circulară plină cu diametrul 119889 și centrul de greutate 119862 Prin

centrul de greutate 119862 trece sistemul de axe ortogonal 119911119862119910 figura 45

Fig 45 Suprafață circulară

La distanța de centrul de greutate 119862 vom lua un element de suprafață mic de arie

(119889119860) de forma unui inel de grosime 119889 Elementul de arie 119889119860 are expresia

119889119860 = (2 ∙ 120587 ∙ 120588) ∙ (119889120588)

Pornind de la relația de definiție a momentului de inerție polar obținem

119868119901 ≝ int 1205882 ∙ 119889119860

119860

= int 1205882 ∙ (2 ∙ 120587 ∙ 120588) ∙ 119889120588

119903=119889 2frasl

0

= 2 ∙ 120587 ∙1205884

4|119889 2frasl0 rArr

rArr 119868119901 =120587 ∙ 1198894

32

(421)

Secțiunea este perfect simetrică deci sunt valabile relațiile

119868119911 = 119868119910 rArr 119868119901 = 119868119911 + 119868119910 = 2 ∙ 119868119911 = 2 ∙ 119868119910 =119868119901

2=120587 ∙ 1198894

64 (422)

Și modulele de rezistenţă faţă de orice diametru sunt egale şi se calculează cu

relaţiile

119882119911 = 119882119910 =1198681199111198892frasl=120587 ∙ 1198893

32 (423)

Modulul de rezistenţă polar este

119882119901 =1198681199011198892frasl=120587 ∙ 1198893

16 (424)

453 Secţiune inelară

Calculul momentelor de inerţie axiale pentru o secţiune inelară avacircnd diametrul

interior 119889 şi diametrul exterior 119863 se determină analog pentru suprafaţa circulară plină cu

observaţia că integrala pentru calculul momentului de inerție polar 119868119901 se face icircntre

limitele 119903 = 119889 2frasl şi R= 1198632frasl (icircntre raza interioară 119903 şi raza exterioară 119877) figura 46

Se obţin relaţiile

119868119901 =120587 ∙ 1198634

32∙ [1 minus (

119889

119863)4

] =120587 ∙ 1198634

32∙ (1 minus 1198964) (425)

119868119910 = 119868119910 =120587 ∙ 1198634

64∙ [1 minus (

119889

119863)4

] =120587 ∙ 1198633

64∙ (1 minus 1198964) (426)

Fig 46 Secțiune inelară

119882119901 =120587 ∙ 1198633

16∙ [1 minus (

119889

119863)4

] =120587 ∙ 1198633

16∙ (1 minus 1198964) (427)

119882119911 = 119882119910 =120587 ∙ 1198633

32∙ [1 minus (

119889

119863)4

] =120587 ∙ 1198633

32∙ (1 minus 1198964) (428)

unde 119896 = 119889119863frasl

46 Variaţia momentelor de inerţie faţă de axe paralele

( Relațiile lui STEINER)

Se consideră o suprafaţă oarecare de arie 119860 cu elementul de arie 119889119860 și un sistemul

de axe central 119911119862119910 faţă de care se cunosc momentele de inerţie 119868119911 119868119910 119868119911119910 şi considerăm

un sistem de axe 11991111198741199101 paralele cu sistemul central figura 47 Se pune problema

determinării momentele de inerţie 1198681199111 1198681199101 11986811991111199101 faţă de sistemul de axe paralel cu sistemul

central 11991111198741199101 axe aflate la distanţele 119910119862 = 119888 respectiv 119911119862 = 119889 de acesta

461 Momente de inerţie axiale

Pe baza relaţiilor de definire şi a notaţiilor din figura 42 pentru momentele de

inerţie faţă de axele 1198741199111 1198741199101 se poate scrie

1198681199111 = int 11991012 ∙ 119889119860

119860

= int(119910 + 119888)2 ∙ 119889119860

119860

= int 1199102 ∙ 119889119860

119860

+ 2 ∙ 119888 ∙ int 119910 ∙ 119889119860

119860

+

+1198882int 119889119860

119860

rArr 1198681199111 = 119868119911 + 2 ∙ 119888 ∙ 119878119911 + 1198882 ∙ 119860 hArr 1198681199111 = 119868119911 + 119888

2 ∙ 119860

(429)

Fig 47 Variaţia momentelor de inerţie față de axe paralele

S-a ajuns la relația (429) deoarece momentul static 119878119911 este nul deoarece axa 119862119885

este axă centrală

Pentru momentul de inerție axial icircn raport cu axa 1198741199101 se obține

1198681199101 = int 11991112 ∙ 119889119860

119860

= int(119911 + 119889)2 ∙ 119889119860

119860

= int 1199112 ∙ 119889119860

119860

+ 2 ∙ 119889 ∙ int 119911 ∙ 119889119860

119860

+

+1198892 ∙ int 119889119860

119860

rArr 1198681199101 = 119868119910 + 2 ∙ 119889 ∙ 119878119910 + 1198892 ∙ 119860 hArr 1198681199101 = 119868119910 + 119889

2 ∙ 119860

(430)

Pentru momentul de inerție centrifugal obținem

11986811991111199101 = int 1199101 ∙ 1199111 ∙ 119889119860

119860

= int(119910 + 119888) ∙ (119911 + 119889) ∙ 119889119860

119860

= int 119910 ∙ 119911 ∙ 119889119860 +

119860

+119888 ∙ int 119911 ∙ 119889119860

119860

+ 119889 ∙ int 119910 ∙ 119889119860

119860

rArr 11986811991111199101 = 119868119911119910 + 119888 ∙ 119889 ∙ 119860

(431)

Deoarece

int 119911 ∙ 119889119860

119860

= 119878119910 = 0 int 119910 ∙ 119889119860

119860

= 119878119911 = 0 int 119910 ∙ 119911 ∙ 119889119860

119860

= 119868119911119910

Relaţiile (429) şi (430) arată că momentul de inerţie faţă de o axă oarecare

este egal cu momentul de inerţie faţă de o axă paralelă cu ea trecacircnd prin centrul de

greutate la care se adaugă produsul dintre aria suprafeţei şi pătratul distanţei dintre

cele două axe

Din relaţiile (429) și (430) rezultă de asemenea că momentul de inerţie faţă de o

axă centrală (care trece prin centrul de greutate) este cel mai mic dintre infinitatea de

momente de inerţie obținute faţă de alte axe paralele cu ea

Relaţia (431) arată de asemenea că momentul de inerţie centrifugal faţă de un

sistem de axe oarecare este egal cu momentul de inerţie centrifugal faţă de un sistem

paralele cu el trecacircnd prin centrul de greutate a suprafeţei la care se adaugă produsul

dintre aria suprafeţei şi distanţele dintre axele sistemelor respective

Icircn literatura de specialitate relaţiile (429) (430) şi (431) sunt cunoscute sub

numele de relaţiile lui Steiner

47 Variaţia momentrlor de inerţie faţă de axe rotite

Direcţii principale şi momente de inerţie principale

Fie suprafaţa plană din figura 48 de arie 119860 pe care considerăm o suprafaţă

elementară de arie 119889119860 Pentru sistemul de axe 119911119874119910 se cunosc momentele de inerţie

119868119911 119868119910 119868119911119910 şi vom determina relaţiile de calcul pentru momentele de inerţie afererent unui

sistem de axe 11991111198741199101 rotit cu un unghi faţă de sistemul central

Faţă de sistemul de axe 11991111198741199101 elementul de arie 119889119860 are coordonatele

1199101 = 119875119877 = 119875119876 minus 119877119876 = 119910 ∙ cos 120572 minus 119911 ∙ sin 120572

1199111 = 119873119872 = 119873119875 minus 119875119872 = 119911 ∙ cos 120572 + 119910 ∙ sin 120572 (432)

Fig 47 Variaţia momentelor de inerţie față de axe rotite

Pe baza relaţiilor de calcul ale momentelor de inerţie şi a notaţiilor din figura 42

şi ale relaţiilor (432) momentele de inerţie faţă de sistemul de axe rotit 11991111198741199101 sunt

1198681199111 =119868119911 + 119868119910

2+119868119911 minus 119868119910

2∙ cos 2120572 minus 119868119911119910 ∙ sin 2120572 (433)

1198681199101 =119868119911 + 119868119910

2minus119868119911 minus 119868119910

2∙ cos 2120572 + 119868119911119910 ∙ sin 2120572 (434)

11986811991111199101 =119868119911 minus 119868119910

2∙ sin 2120572 + 119868119911119910 ∙ cos 2120572 (435)

Din relaţiile 433divide435 se observă că icircntre momentele de inerţie axiale şi cele

polare există relaţia

1198681199111 + 1198681199101 = 119868119911 + 119868119910 = 119868119901 (436)

adică suma momentelor de inerţie axiale icircn raport cu orice pereche de axe ortogonale

care trec printr-un pol dat este o constantă şi egală cu momentul de inerţie polar

Prin rotirea sistemului de axe din relaţiile 433divide435 rezultă că momentele de inerţie

variază icircnsă suma lor rămacircne constantă deci există o poziţie a sistemului de axe pentru

care momentele de inerţie au valori extreme maxim respectiv minim

471 Direcţii principale de inerţie

Valoarea unghiului 120572 pentru care momentele de inerţie axiale au valori extreme

este

1205721 =1

2∙ 119886119903119888119905119886119899 (minus

2 ∙ 119868119911119910

119868119911 minus 119868119910) (437)

Poziţia celeilalte direcţii este perpendiculară pe cea dată de unghiul 1205721

Din relaţia (437) se constată că faţă de aceste direcţii rotite pentru care momentele

de inerţie axiale prezintă valori extreme momentul de inerţie centrifugal 11986811991111199101este nul

Atunci se poate afirma că momentele de inerţie axiale au valori extreme icircn raport cu

direcţiile faţă de care momentul de inerţie centrifugal este nul Aceste direcţii se numesc

direcţii principale iar momentele de inerţie faţă de aceste direcţii poartă numele de

momente de inerţie principale

Icircn calculele de rezistenţă interesează icircn mod special poziţia direcţiilor principale

care trec prin centrul de greutate al suprafeţei aşa numitele direcţii principale centrale şi

evident momentele de inerţie principale centrale

Direcţiile principale de inerţie se notează cu 1 respectiv 2 Axa principală 1

corespunde direcţiei faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea maximă iar

axa principală 2 pentru direcţia faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea

minimă

472 Momente de inerţie principale

Momentele de inerţie principale se notează cu litera 119868 la care se pune indicele 1

sau 2 după cum valoarea acestuia este maximă sau minimă deci avem un moment de

inerţie principal 1 (notat 1198681) respectiv moment de inerţie principal 2 (notat 1198682)

Expresiile pentru momentele de inerţie principale sunt

11986812 =119868119911 + 119868119910

2plusmn1

2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)

2+ 4 ∙ (119868119911119910)

2 (438)

Dacă momentul de inerţie centrifugal este negativ (119868119911119910 lt 0) direcţia principală

care trece prin primul cadran (definit de sistemul 119911119862119910) este direcţia principală 120783

Pentru suprafeţele cu cel puţin o axă de simetrie direcţiile centrale 119862119911 119862119910 sunt şi

direcții principale de inerţie și evident momentele de inerţie axiale 119868119911 119868119910 sunt momente

de inerţie principale

48 Caracteristici mecanice ale metalelor

Alegerea materialului pentru confecţionarea unei anumite piese se face şi pe baza

aşa numitelor caracteristici mecanice pe care le prezintă materialul Cunoaşterea acestor

caracteristici mecanice are loc numai pe baza unor icircncercări mecanice care să scoată icircn

evidenţă comportarea materialului icircn condiţii de solicitare

Cea mai utilizată icircncercare icircn urma căreia se pun icircn evidenţă caracteristicile

mecanice ale unui material este icircncercarea la tracţiune

481 Icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general

Icircncercarea la tracţiune a oţelului ca de altfel toate icircncercările de materiale este

standardizată

Icircn cele ce urmează se va prezenta numai partea care interesează strict din punct

de vedere al caracteristicilor mecanice ale oţelului

Epruveta de diametru iniţial 1198890 pentru icircncercarea la tracţiune are o porţiune de

lungime 1198710 numită baza de măsurare pe care se măsoară lungirea acesteia sub acţiunea

solicitării

Icircn funcţie de raportul dintre baza de măsurare 1198710 şi diametrul iniţial 1198890 epruvetele

utilizate pentru icircncercări sunt

epruvete normale (scurte) cacircnd 11987101198890 = 5

epruvete lungi cacircnd 11987101198890 = 10

Icircn timpul icircncercării la diferite valori ale forţei 119865 se măsoară lungirea bazei de

măsurare

∆119871 = 120575 = 119871 minus 1198710 (439)

unde

119871 este dimensiunea bazei de măsurare la un moment dat

Curba forţă-lungire (119865 minus ) icircnregistrată icircn urma icircncercării reprezintă curba

caracteristică la tracţiune

La icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general diagrama caracteristică care se

obţine are forma din figura 48

Curba caracteristică la tracţiune depinde de lungimea bazei de măsurare Pentru

icircnlăturarea acestui neajuns curba caracteristică se reprezintă icircn coordonate şi definite

astfel

120590 =119865

1198600 휀 =

120575

1198710 (440)

unde

1198600 este aria iniţială a secţiunii transversale a epruvetei (icircnainte de solicitare) icircn

zona bazei de măsurare

1198600 =120587 ∙ 1198890

2

4

Deoarece mărimile icircn care se reprezintă curba caracteristică la tracţiune sunt

raportate la aria iniţială a secţiunii transversale (mărimi specifice) curba poartă numele

de curbă caracteristică convenţională la tracţiune

Fig 48 Curba caracteristică convenţională la tracțiune

Pe curba caracteristică convenţională la tracţiune figura 48 se pot stabili o serie

de puncte cărora le corespund mai multe mărimi importante

Ordonata punctului A pacircnă unde curba caracteristică convenţională este linie

dreaptă se numeşte limita de proporţionalitate a materialului 120590119901(1205901) Porţiunea 119874119860 este

zona de proporţionalitate a curbei caracteristice pe acest domeniu este valabilă legea lui

Hooke care exprimă o proporţionalitate icircntre tensiune şi deformaţie specifică

120590 = 119864 ∙ 휀 (441)

unde

119864 = reprezintă panta porţiunii liniare a curbei convenționale caracteristice

la tracțiune Caracteristica de material 119864 se numeşte modul de elasticitate longitudinal

(modulul lui Young)

Ordonata punctului 119861 pacircnă unde materialul se comportă perfect elastic adică

după descărcare icircşi recapătă dimensiunea iniţială 1198710 se numeşte limita de elasticitate

120590119890(119877119890) Icircn realitate nici un material nu are comportare perfect elastică sub acţiunea

solicitărilor el capătă deformaţii permanente (remanente plastice)

După punctul 119861 urmează o porţiune 119861119862119863 icircn care cu toate că icircncărcarea

continuă forţa nu mai creşte avacircnd mici oscilaţii icircn jurul unei valori Se spune că icircn

această porţiune materialul curge iar intervalul 119861119862119863 este un palier de curgere Tensiunea

corespunzătoare palierului de curgere se numeşte limită de curgere aparentă 120590119888(119877119888) Limita de curgere aparentă se calculează cu relaţia

120590119888 =1198651198881198600 (442)

unde

119865119888 reprezintă valoarea forţei icircnregistrată icircn momentul curgerii materialului

După punctul 119863 curba caracteristică are un traseu ascendent pacircnă icircn punctul 119864

Porţiunea 119863119864 este numită zonă de icircntărire (ecruisare) Icircn zona de ecruisare unde se

produc deformaţii plastice semnificative legea lui Hooke nu mai este valabilă La

descărcare relaţia dintre tensiunea şi deformaţia specifică este liniară paralelă cu

porţiunea liniară a curbei caracteristice (dreapta 119872119873)

Deformaţia totală (휀119905) are două componente una elastică (휀119890) şi una plastică (휀119901)

Ordonata punctului 119864 reprezintă rezistenţa de rupere 120590119903(119877119898) a materialului

care se poate calcula cu relaţia

120590119903 = 119877119898 =1198651198981198861199091198600

(443)

unde

119865119898119886119909 reprezintă valoarea maximă a forţei icircnregistrată icircn timpul icircncercării

La atingerea valorii 119865119898119886119909 (punctul 119864) icircntr-un anumit loc al epruvetei secţiunea

icircncepe să se micşoreze (se produce gacirctuirea) continuacircnd pacircnă cacircnd se produce ruperea

totală (punctul 119865)

Dacă după ruperea epruvetei cele două părţi rezultate se aşează cap la cap şi se

măsoară dimensiunea bazei de măsurare 119871119906 (lungimea ultimă) se determină alungirea la

rupere sau lungirea specifică la rupere 휀119903

휀119903 =119871119906 minus 11987101198710

=∆119871

1198710=120575

1198710 (444)

De obicei alungirea se exprimă icircn procente şi se notează cu 119860119899 unde 119899 reprezintă

numărul dat de raportul 11987101198890 (epruvete normale 119899 = 5 epruvete lungi 119899 = 10)

119860119899 =119871119906 minus 11987101198710

∙ 100 [] (445)

Altă mărime care se determină la icircncercarea la tracţiune este gacirctuirea la rupere

(exprimată de obicei icircn procente) şi definită de relaţia

119885 =1198600 minus 1198601199061198600

∙ 100 [] (446)

Mărimile determinate limita de proporţionalitate modulul de elasticitate

longitudinal limita de elasticitate limita de curgere aparentă rezistenţa de rupere

alungirea la rupere şi gacirctuirea la rupere sunt cunoscute ca fiind caracteristici mecanice

ale materialului

Din curba caracteristică convenţională observăm faptul că ruperea (punctul 119865 din

figura 48 se produce la o tensiune mai mică decacirct cea corespunzătoare punctului 119864 Dacă

icircnsă forţa din timpul icircncercării s-ar raporta la aria secţiunii din momentul icircnregistrării

forţei (care este mai mică decacirct cea iniţială 1198600) s-ar obţine aşa numita curbă

caracteristică reală a materialului (traseul 1198741198601198611198621198631198651 din figura 48) La curba

caracteristică reală ruperea se produce icircn punctul 1198651 la o icircncărcare mai mare decacirct cea

corespunzătoare punctului 119864 Icircnseamnă că rezistenţa reală la rupere este mai mare decacirct

rezistenţa la rupere dată de punctul 119864 din diagrama caracteristică convenţională

Dificultatea obţinerii diagramei caracteristice reale faţă de cea a diagramei caracteristice

convenţionale şi considerarea unei rezistenţe la rupere mai mică decacirct a celei reale face

icircn practică utilizarea pe scară mare a diagramei caracteristice convenţionale

Caracteristicile mecanice determinate pe baza curbei caracteristice convenţionale

sunt şi ele caracteristici mecanice convenţionale

Caracteristicile mecanice convenţionale limita de proporţionalitate convenţională

120590119901 limita de elasticitate convenţională 120590119890 limita de curgere convenţională 120590119888 şi rezistenţa

de rupere 120590119903 constituie tensiuni limită pentru un material Pe baza acestor caracteristici

de material se alege valoarea tensiunii admisibile 120590119886 (vezi paragraful 35) pentru

calculele de rezistenţă Cea mai utilizată stare limită pentru stabilirea tensiunii admisibile

120590119886 este limita de curgere convenţională 120590119888

120590119886 =120590119897119894119898119888

=120590119888119888 119904119886119906 120590119886 =

120590119903119888 (447)

Caracteristicile mecanice ale materialului sunt influenţate de o serie de factori

temperatura viteza de solicitare factorii tehnologici iar valorile lor sunt date icircn tabele și

diagrame

Aplicaţie Pentru suprafaţa plană compusă din două dreptunghiuri avacircnd

dimensiunile din figura 49a să se calculeze

a) centrul de greutate al secțiunii compuse 119910119866 119911119866

b) momentele de inerție axiale 119868119911 119868119910 și momentul de inerție centrifugal 119868119911119910

c) razele de inerție 119894119911 119894119910

d) modulele de rezistență 119882119911119898119894119899 119882119911119898119886119909 119882119910119898119894119899 119882119910119898119886119909

e) momentele de inerție principale 1198681 1198682 și direcțiile principale de inerție 1205721

f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 119878119911

Fig 49 Aplicație

Rezolvare Pentru rezolvare vom parcurge următoarele etape

icircmpărțim suprafața compusă icircn două suprafețe simple (dreptunghiuri) notate cu

① și respectiv ② figura 49b

poziționăm centrele de greutate a celor două suprafețe simple ① și respectiv ②

notate cu 1198661 și respectiv 1198662 figura 49c

poziționăm sistemele de axe de coordonate 119911111986611199101 pentru dreptunghiul ① și

119911211986621199102 pentru dreptunghiul ② aflate la intersecția diagonalelor figura 49c

poziționăm sistemele de axe de coordonate 11991101198741199100 ales arbitrar față de care

determinăm poziția centrului de greutate 119866 figura 49c

a) calculăm poziția centrului de greutate folosind relațiile (46) icircn care

1198601 = 6119905 ∙ 119905 = 61199052 1198602 = 4119905 ∙ 119905 = 41199052 119860 = 1198601 + 1198602 = 61199052 + 41199052 = 101199052

iar centrele de greutate 1198661 și respectiv 1198662 au coordonatele (față de sistemul 11991101198741199100)

1198661 1199101 = 3119905 1199111 = 05119905

1198662 1199102 = 051199051199112 = 3119905

cu acestea obținem

119910119866 =1198601 ∙ 1199101 + 1198602 ∙ 1199102

119860=61199052 ∙ 3119905 + 41199052 ∙ 05119905

101199052=201199053

101199052= 2119905

119911119866 =1198601 ∙ 1199111 + 1198602 ∙ 1199112

119860=61199052 ∙ 05119905 + 41199052 ∙ 3119905

101199052=151199053

101199052= 15119905

Poziționăm centrul de greutate 119866 al suprafeței compuse figura 49c

Fig 49 Aplicație

b) pentru determinarea momentelor de inerție axiale 119868119911 119868119910 și a momentului de

inerție centrifugal 119868119910119911 determinăm constantele 1198881 1198882 1198891 1198892 care intervin icircn relația lui

Stainer

1198881 = 1199101 minus 119910119866 = 3119905 minus 2119905 = 119905 1198882 = minus(119910119866 minus 1199102) = minus(2119905 minus 05119905) = minus15119905

1198891 = minus(119911119866 minus 1199111) = minus(15119905 minus 05119905) = minus119905 1198892 = 1199112 minus 119911119892 = 3119905 minus 15119905 = 15119905

Folosind relațiile lui Stainer (429) (430) și (431) calculăm momentele de

inerție axiale și centrifugale față de sistemul central 119911119866119866119910119866

119868119911 =sum(119868119911119894 + 1198881198942 ∙ 119860119894) = 1198681199111 + 1198881

2 ∙ 1198601 + 1198681199112 + 11988822 ∙ 1198602

119868119910 =sum(119868119910119894 + 1198891198942 ∙ 119860119894) = 1198681199101 + 1198891

2 ∙ 1198601 + 1198681199102 + 11988922 ∙ 1198602

119868119911119910 =sum(119868119911119894119910119894 + 119888119894 ∙ 119889119894 ∙ 119860119894) = 11986811991111199101 + 1198881 ∙ 1198891 ∙ 1198601 + 11986811991121199102 + 1198882 ∙ 1198892 ∙ 1198602

1198681199111 = (119887 ∙ ℎ3

12) =

119905 ∙ (6119905)3

12= 181199054 1198681199112 = (

119887 ∙ ℎ3

12) =

4119905 ∙ 1199053

12= 031199054

1198681199101 = (1198873 ∙ ℎ

12) =

1199053 ∙ 6119905

12= 051199054 1198681199102 = (

1198873 ∙ ℎ

12) =

(4119905)3 ∙ 119905

12= 531199054

11986811991111199101 = 11986811991121199102 = 0 deoarece cele două triunghiuri au cel puțin o axă de simetrie

Cu acestea momentele de inerție axiale și momentul de inerție centrifugal devin

119868119911 = 181199054 + 1199052 ∙ 61199052 + 031199054 + (minus15119905)2 ∙ 41199052 = 3331199054

119868119910 = 051199054 + (minus119905)2 ∙ 61199052 + 531199054 + (15119905)2 ∙ 41199052 = 2081199054

119868119911119910 = 0 + 119905 ∙ (minus119905) ∙ 61199052 + 0 + (minus15119905) ∙ (15119905) ∙ 41199052 = minus151199054

c) razele de inerție sau de girație față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910

se calculează cu relațiile (411)

119894119911 = radic119868119911119860= radic

3331199054

101199052= 182119905 119894119910 = radic

119868119910

119860= radic

2081199054

101199052= 144119905

d) modulele de rezistență față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910 se

calculează cu relațiile (412) și (413)

Avacircnd icircn vedere figura 419c obținem

119910119898119886119909 = 6119905 minus 119910119866 = 6119905 minus 2119905 = 4119905 119910119898119894119899 = minus119910119866 = minus2119905

119911119898119886119909 = 5119905 minus 119911119866 = 5119905 minus 15119905 = 35119905 119911119898119894119899 = minus119911119866 = minus15119905

Se obține astfel

119882119911119898119894119899 =119868119911

|119910119898119886119909|=3331199054

4119905= 8331199053

119882119911119898119886119909 =119868119911

|119910119898119894119899|=3331199054

2119905= 16651199053

119882119910119898119894119899 =119868119910

|119911119898119886119909|=2081199054

35119905= 5941199053

119882119910119898119886119909 =119868119910

|119911119898119894119899|=2081199054

15119905= 13871199053

e) momentele de inerție principale 1198681 și respectiv 1198682 se calculează cu relațiile

(438)

11986812 =119868119911 + 119868119910

2plusmn1

2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)

2+ 4 ∙ (119868119911119910)

2=

=3331199054 + 2081199054

2plusmn1

2∙ radic(3331199054 minus 2081199054)2 + 4 ∙ (minus151199054)2 = 27051199054 plusmn 16251199054

De unde obținem

1198681 = 27051199054 + 16251199054 = 4331199054

1198682 = 27051199054 minus 16251199054 = 1081199054

Prima direcție principală de inerție 1 face cu axa centrală 119866119911 unghiul 1205721 dat de

relația (437)

1205721 =1

2∙ arctan (minus

2 ∙ 119868119911119910

119868119911 minus 119868119910) =

1

2∙ arctan [minus

2 ∙ (minus151199054)

3331199054 minus 2081199054] =33 70

Deoarece 1205721 gt 0 rotirea axelor se face acircn sens antiorar acelor de ceasornic figura

49d

Poziția axe principale 2 față de care momentul de inerție are valoarea minimă

1198682 = 119868119898119894119899 este dată de unghiul

1205722 = 1205721 + 900 = 33 70 + 900 = 123 70

f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 se determină cu relația

(45)

1198781199111198602 = 1198602 ∙ 1198882 = 41199052 ∙ (minus15119905) = minus61199053

pozitive iar distanțele la punctele extreme sunt pozitive (119910119898119886119909 119910119898119894119899 119911119898119886119909 119911119898119894119899 120588119898119886119909 se

iau icircn valoare absolută)

Icircn cazul suprafeţelor compuse modulul de rezistenţă nu se obţine prin icircnsumarea

algebrică a modulelor de rezistenţă ale suprafeţelor simple componente ci numai prin

intermediul momentului de inerţie axial calculat pentru icircntreaga secțiune

Ca și momentele de inerție modulele de rezistență se calculează numai pentru

sistemele de axe centrale

45 Momente de inerţie şi module de rezistenţă pentru suprafeţe simple

451 Secțiune dreptunghiulară

Fie suprafaţa dreptunghiulară din figura 44 de icircnălțime ℎ și lățime 119887 pe care se

consideră suprafaţă elementară de arie 119889119860 = 119887119889119910 la distanța 119910 de axa 119862119911 sistemul de

axe 119911119862119910 trece prin centrul secțiunii iar axele sunt axe de simetrie pentru dreptunghi

Fig 44 Suprafață dreptunghiulară

Pe baza relațiilor de definiți a momentului de inerție 119868119911 se obține

119868119911 ≝ int 1199102 ∙ 119889119860

119860

= int 1199102 ∙ 119887 ∙ 119889119910 = 2int 1199102 ∙ 119887 ∙ 119889119910 = 2 ∙ 119887 ∙1199103

3|ℎ 2frasl

0rArr

ℎ 2frasl

0

ℎ 2frasl

minusℎ 2frasl

rArr 119868119911 =119887 ∙ ℎ3

12

(415)

Analog pentru un element de arie 119889119860 = ℎ ∙ 119889119911 paralel cu axa 119862119910 situat la distanța

119911 de axa 119862119910

119868119910 ≝ int 1199112 ∙ 119889119860

119860

= int 1199112 ∙ ℎ ∙ 119889119911 = 2int 1199112 ∙ ℎ ∙ 119889119910 = 2 ∙ ℎ ∙1199113

3|119887 2frasl

0rArr

119887 2frasl

0

119887 2frasl

minus119887 2frasl

rArr 119868119910 =1198873 ∙ ℎ

12

(416)

Deoarece axele 119862119911 și 119862119910 sunt axe de simetrie momentul de inerție centrifugal este

119868119911119910 = 0 (417)

Pentru un pătrat avacircnd laturile egale (ℎ = 119887 = 119886) momentele de inerţie faţă de

axele centrale au expresia

119868119911 = 119868119910 =1198864

12 (418)

Modulele de rezistență axiale se calculează cu relațiile de definiție ținacircnd cont că

distanțele pacircnă la fibrele extreme sunt

119910119898119886119909 = 119910119898119894119899 =ℎ

2 119911119898119886119909 = 119911119898119894119899 =

119887

2 (419)

Obținem

119882119911119898119894119899 = 119882119911119898119886119909 =119868119911

119910119898119886119909119898119894119899=119887 ∙ ℎ3

12frasl

ℎ2frasl

=119887 ∙ ℎ2

6

119882119910119898119894119899 = 119882119910119898119886119909 =119868119910

119911119898119886119909119898119894119899=1198873 ∙ ℎ

12frasl

1198872frasl

=1198872 ∙ ℎ

6

(420)

452 Suprafaţă circulară

Din motive de simetrie pentru suprafeţele circulare momentele de inerţie faţă de

orice diametru (care reprezintă şi axe centrale) sunt aceleaşi

Considerăm o secțiune circulară plină cu diametrul 119889 și centrul de greutate 119862 Prin

centrul de greutate 119862 trece sistemul de axe ortogonal 119911119862119910 figura 45

Fig 45 Suprafață circulară

La distanța de centrul de greutate 119862 vom lua un element de suprafață mic de arie

(119889119860) de forma unui inel de grosime 119889 Elementul de arie 119889119860 are expresia

119889119860 = (2 ∙ 120587 ∙ 120588) ∙ (119889120588)

Pornind de la relația de definiție a momentului de inerție polar obținem

119868119901 ≝ int 1205882 ∙ 119889119860

119860

= int 1205882 ∙ (2 ∙ 120587 ∙ 120588) ∙ 119889120588

119903=119889 2frasl

0

= 2 ∙ 120587 ∙1205884

4|119889 2frasl0 rArr

rArr 119868119901 =120587 ∙ 1198894

32

(421)

Secțiunea este perfect simetrică deci sunt valabile relațiile

119868119911 = 119868119910 rArr 119868119901 = 119868119911 + 119868119910 = 2 ∙ 119868119911 = 2 ∙ 119868119910 =119868119901

2=120587 ∙ 1198894

64 (422)

Și modulele de rezistenţă faţă de orice diametru sunt egale şi se calculează cu

relaţiile

119882119911 = 119882119910 =1198681199111198892frasl=120587 ∙ 1198893

32 (423)

Modulul de rezistenţă polar este

119882119901 =1198681199011198892frasl=120587 ∙ 1198893

16 (424)

453 Secţiune inelară

Calculul momentelor de inerţie axiale pentru o secţiune inelară avacircnd diametrul

interior 119889 şi diametrul exterior 119863 se determină analog pentru suprafaţa circulară plină cu

observaţia că integrala pentru calculul momentului de inerție polar 119868119901 se face icircntre

limitele 119903 = 119889 2frasl şi R= 1198632frasl (icircntre raza interioară 119903 şi raza exterioară 119877) figura 46

Se obţin relaţiile

119868119901 =120587 ∙ 1198634

32∙ [1 minus (

119889

119863)4

] =120587 ∙ 1198634

32∙ (1 minus 1198964) (425)

119868119910 = 119868119910 =120587 ∙ 1198634

64∙ [1 minus (

119889

119863)4

] =120587 ∙ 1198633

64∙ (1 minus 1198964) (426)

Fig 46 Secțiune inelară

119882119901 =120587 ∙ 1198633

16∙ [1 minus (

119889

119863)4

] =120587 ∙ 1198633

16∙ (1 minus 1198964) (427)

119882119911 = 119882119910 =120587 ∙ 1198633

32∙ [1 minus (

119889

119863)4

] =120587 ∙ 1198633

32∙ (1 minus 1198964) (428)

unde 119896 = 119889119863frasl

46 Variaţia momentelor de inerţie faţă de axe paralele

( Relațiile lui STEINER)

Se consideră o suprafaţă oarecare de arie 119860 cu elementul de arie 119889119860 și un sistemul

de axe central 119911119862119910 faţă de care se cunosc momentele de inerţie 119868119911 119868119910 119868119911119910 şi considerăm

un sistem de axe 11991111198741199101 paralele cu sistemul central figura 47 Se pune problema

determinării momentele de inerţie 1198681199111 1198681199101 11986811991111199101 faţă de sistemul de axe paralel cu sistemul

central 11991111198741199101 axe aflate la distanţele 119910119862 = 119888 respectiv 119911119862 = 119889 de acesta

461 Momente de inerţie axiale

Pe baza relaţiilor de definire şi a notaţiilor din figura 42 pentru momentele de

inerţie faţă de axele 1198741199111 1198741199101 se poate scrie

1198681199111 = int 11991012 ∙ 119889119860

119860

= int(119910 + 119888)2 ∙ 119889119860

119860

= int 1199102 ∙ 119889119860

119860

+ 2 ∙ 119888 ∙ int 119910 ∙ 119889119860

119860

+

+1198882int 119889119860

119860

rArr 1198681199111 = 119868119911 + 2 ∙ 119888 ∙ 119878119911 + 1198882 ∙ 119860 hArr 1198681199111 = 119868119911 + 119888

2 ∙ 119860

(429)

Fig 47 Variaţia momentelor de inerţie față de axe paralele

S-a ajuns la relația (429) deoarece momentul static 119878119911 este nul deoarece axa 119862119885

este axă centrală

Pentru momentul de inerție axial icircn raport cu axa 1198741199101 se obține

1198681199101 = int 11991112 ∙ 119889119860

119860

= int(119911 + 119889)2 ∙ 119889119860

119860

= int 1199112 ∙ 119889119860

119860

+ 2 ∙ 119889 ∙ int 119911 ∙ 119889119860

119860

+

+1198892 ∙ int 119889119860

119860

rArr 1198681199101 = 119868119910 + 2 ∙ 119889 ∙ 119878119910 + 1198892 ∙ 119860 hArr 1198681199101 = 119868119910 + 119889

2 ∙ 119860

(430)

Pentru momentul de inerție centrifugal obținem

11986811991111199101 = int 1199101 ∙ 1199111 ∙ 119889119860

119860

= int(119910 + 119888) ∙ (119911 + 119889) ∙ 119889119860

119860

= int 119910 ∙ 119911 ∙ 119889119860 +

119860

+119888 ∙ int 119911 ∙ 119889119860

119860

+ 119889 ∙ int 119910 ∙ 119889119860

119860

rArr 11986811991111199101 = 119868119911119910 + 119888 ∙ 119889 ∙ 119860

(431)

Deoarece

int 119911 ∙ 119889119860

119860

= 119878119910 = 0 int 119910 ∙ 119889119860

119860

= 119878119911 = 0 int 119910 ∙ 119911 ∙ 119889119860

119860

= 119868119911119910

Relaţiile (429) şi (430) arată că momentul de inerţie faţă de o axă oarecare

este egal cu momentul de inerţie faţă de o axă paralelă cu ea trecacircnd prin centrul de

greutate la care se adaugă produsul dintre aria suprafeţei şi pătratul distanţei dintre

cele două axe

Din relaţiile (429) și (430) rezultă de asemenea că momentul de inerţie faţă de o

axă centrală (care trece prin centrul de greutate) este cel mai mic dintre infinitatea de

momente de inerţie obținute faţă de alte axe paralele cu ea

Relaţia (431) arată de asemenea că momentul de inerţie centrifugal faţă de un

sistem de axe oarecare este egal cu momentul de inerţie centrifugal faţă de un sistem

paralele cu el trecacircnd prin centrul de greutate a suprafeţei la care se adaugă produsul

dintre aria suprafeţei şi distanţele dintre axele sistemelor respective

Icircn literatura de specialitate relaţiile (429) (430) şi (431) sunt cunoscute sub

numele de relaţiile lui Steiner

47 Variaţia momentrlor de inerţie faţă de axe rotite

Direcţii principale şi momente de inerţie principale

Fie suprafaţa plană din figura 48 de arie 119860 pe care considerăm o suprafaţă

elementară de arie 119889119860 Pentru sistemul de axe 119911119874119910 se cunosc momentele de inerţie

119868119911 119868119910 119868119911119910 şi vom determina relaţiile de calcul pentru momentele de inerţie afererent unui

sistem de axe 11991111198741199101 rotit cu un unghi faţă de sistemul central

Faţă de sistemul de axe 11991111198741199101 elementul de arie 119889119860 are coordonatele

1199101 = 119875119877 = 119875119876 minus 119877119876 = 119910 ∙ cos 120572 minus 119911 ∙ sin 120572

1199111 = 119873119872 = 119873119875 minus 119875119872 = 119911 ∙ cos 120572 + 119910 ∙ sin 120572 (432)

Fig 47 Variaţia momentelor de inerţie față de axe rotite

Pe baza relaţiilor de calcul ale momentelor de inerţie şi a notaţiilor din figura 42

şi ale relaţiilor (432) momentele de inerţie faţă de sistemul de axe rotit 11991111198741199101 sunt

1198681199111 =119868119911 + 119868119910

2+119868119911 minus 119868119910

2∙ cos 2120572 minus 119868119911119910 ∙ sin 2120572 (433)

1198681199101 =119868119911 + 119868119910

2minus119868119911 minus 119868119910

2∙ cos 2120572 + 119868119911119910 ∙ sin 2120572 (434)

11986811991111199101 =119868119911 minus 119868119910

2∙ sin 2120572 + 119868119911119910 ∙ cos 2120572 (435)

Din relaţiile 433divide435 se observă că icircntre momentele de inerţie axiale şi cele

polare există relaţia

1198681199111 + 1198681199101 = 119868119911 + 119868119910 = 119868119901 (436)

adică suma momentelor de inerţie axiale icircn raport cu orice pereche de axe ortogonale

care trec printr-un pol dat este o constantă şi egală cu momentul de inerţie polar

Prin rotirea sistemului de axe din relaţiile 433divide435 rezultă că momentele de inerţie

variază icircnsă suma lor rămacircne constantă deci există o poziţie a sistemului de axe pentru

care momentele de inerţie au valori extreme maxim respectiv minim

471 Direcţii principale de inerţie

Valoarea unghiului 120572 pentru care momentele de inerţie axiale au valori extreme

este

1205721 =1

2∙ 119886119903119888119905119886119899 (minus

2 ∙ 119868119911119910

119868119911 minus 119868119910) (437)

Poziţia celeilalte direcţii este perpendiculară pe cea dată de unghiul 1205721

Din relaţia (437) se constată că faţă de aceste direcţii rotite pentru care momentele

de inerţie axiale prezintă valori extreme momentul de inerţie centrifugal 11986811991111199101este nul

Atunci se poate afirma că momentele de inerţie axiale au valori extreme icircn raport cu

direcţiile faţă de care momentul de inerţie centrifugal este nul Aceste direcţii se numesc

direcţii principale iar momentele de inerţie faţă de aceste direcţii poartă numele de

momente de inerţie principale

Icircn calculele de rezistenţă interesează icircn mod special poziţia direcţiilor principale

care trec prin centrul de greutate al suprafeţei aşa numitele direcţii principale centrale şi

evident momentele de inerţie principale centrale

Direcţiile principale de inerţie se notează cu 1 respectiv 2 Axa principală 1

corespunde direcţiei faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea maximă iar

axa principală 2 pentru direcţia faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea

minimă

472 Momente de inerţie principale

Momentele de inerţie principale se notează cu litera 119868 la care se pune indicele 1

sau 2 după cum valoarea acestuia este maximă sau minimă deci avem un moment de

inerţie principal 1 (notat 1198681) respectiv moment de inerţie principal 2 (notat 1198682)

Expresiile pentru momentele de inerţie principale sunt

11986812 =119868119911 + 119868119910

2plusmn1

2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)

2+ 4 ∙ (119868119911119910)

2 (438)

Dacă momentul de inerţie centrifugal este negativ (119868119911119910 lt 0) direcţia principală

care trece prin primul cadran (definit de sistemul 119911119862119910) este direcţia principală 120783

Pentru suprafeţele cu cel puţin o axă de simetrie direcţiile centrale 119862119911 119862119910 sunt şi

direcții principale de inerţie și evident momentele de inerţie axiale 119868119911 119868119910 sunt momente

de inerţie principale

48 Caracteristici mecanice ale metalelor

Alegerea materialului pentru confecţionarea unei anumite piese se face şi pe baza

aşa numitelor caracteristici mecanice pe care le prezintă materialul Cunoaşterea acestor

caracteristici mecanice are loc numai pe baza unor icircncercări mecanice care să scoată icircn

evidenţă comportarea materialului icircn condiţii de solicitare

Cea mai utilizată icircncercare icircn urma căreia se pun icircn evidenţă caracteristicile

mecanice ale unui material este icircncercarea la tracţiune

481 Icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general

Icircncercarea la tracţiune a oţelului ca de altfel toate icircncercările de materiale este

standardizată

Icircn cele ce urmează se va prezenta numai partea care interesează strict din punct

de vedere al caracteristicilor mecanice ale oţelului

Epruveta de diametru iniţial 1198890 pentru icircncercarea la tracţiune are o porţiune de

lungime 1198710 numită baza de măsurare pe care se măsoară lungirea acesteia sub acţiunea

solicitării

Icircn funcţie de raportul dintre baza de măsurare 1198710 şi diametrul iniţial 1198890 epruvetele

utilizate pentru icircncercări sunt

epruvete normale (scurte) cacircnd 11987101198890 = 5

epruvete lungi cacircnd 11987101198890 = 10

Icircn timpul icircncercării la diferite valori ale forţei 119865 se măsoară lungirea bazei de

măsurare

∆119871 = 120575 = 119871 minus 1198710 (439)

unde

119871 este dimensiunea bazei de măsurare la un moment dat

Curba forţă-lungire (119865 minus ) icircnregistrată icircn urma icircncercării reprezintă curba

caracteristică la tracţiune

La icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general diagrama caracteristică care se

obţine are forma din figura 48

Curba caracteristică la tracţiune depinde de lungimea bazei de măsurare Pentru

icircnlăturarea acestui neajuns curba caracteristică se reprezintă icircn coordonate şi definite

astfel

120590 =119865

1198600 휀 =

120575

1198710 (440)

unde

1198600 este aria iniţială a secţiunii transversale a epruvetei (icircnainte de solicitare) icircn

zona bazei de măsurare

1198600 =120587 ∙ 1198890

2

4

Deoarece mărimile icircn care se reprezintă curba caracteristică la tracţiune sunt

raportate la aria iniţială a secţiunii transversale (mărimi specifice) curba poartă numele

de curbă caracteristică convenţională la tracţiune

Fig 48 Curba caracteristică convenţională la tracțiune

Pe curba caracteristică convenţională la tracţiune figura 48 se pot stabili o serie

de puncte cărora le corespund mai multe mărimi importante

Ordonata punctului A pacircnă unde curba caracteristică convenţională este linie

dreaptă se numeşte limita de proporţionalitate a materialului 120590119901(1205901) Porţiunea 119874119860 este

zona de proporţionalitate a curbei caracteristice pe acest domeniu este valabilă legea lui

Hooke care exprimă o proporţionalitate icircntre tensiune şi deformaţie specifică

120590 = 119864 ∙ 휀 (441)

unde

119864 = reprezintă panta porţiunii liniare a curbei convenționale caracteristice

la tracțiune Caracteristica de material 119864 se numeşte modul de elasticitate longitudinal

(modulul lui Young)

Ordonata punctului 119861 pacircnă unde materialul se comportă perfect elastic adică

după descărcare icircşi recapătă dimensiunea iniţială 1198710 se numeşte limita de elasticitate

120590119890(119877119890) Icircn realitate nici un material nu are comportare perfect elastică sub acţiunea

solicitărilor el capătă deformaţii permanente (remanente plastice)

După punctul 119861 urmează o porţiune 119861119862119863 icircn care cu toate că icircncărcarea

continuă forţa nu mai creşte avacircnd mici oscilaţii icircn jurul unei valori Se spune că icircn

această porţiune materialul curge iar intervalul 119861119862119863 este un palier de curgere Tensiunea

corespunzătoare palierului de curgere se numeşte limită de curgere aparentă 120590119888(119877119888) Limita de curgere aparentă se calculează cu relaţia

120590119888 =1198651198881198600 (442)

unde

119865119888 reprezintă valoarea forţei icircnregistrată icircn momentul curgerii materialului

După punctul 119863 curba caracteristică are un traseu ascendent pacircnă icircn punctul 119864

Porţiunea 119863119864 este numită zonă de icircntărire (ecruisare) Icircn zona de ecruisare unde se

produc deformaţii plastice semnificative legea lui Hooke nu mai este valabilă La

descărcare relaţia dintre tensiunea şi deformaţia specifică este liniară paralelă cu

porţiunea liniară a curbei caracteristice (dreapta 119872119873)

Deformaţia totală (휀119905) are două componente una elastică (휀119890) şi una plastică (휀119901)

Ordonata punctului 119864 reprezintă rezistenţa de rupere 120590119903(119877119898) a materialului

care se poate calcula cu relaţia

120590119903 = 119877119898 =1198651198981198861199091198600

(443)

unde

119865119898119886119909 reprezintă valoarea maximă a forţei icircnregistrată icircn timpul icircncercării

La atingerea valorii 119865119898119886119909 (punctul 119864) icircntr-un anumit loc al epruvetei secţiunea

icircncepe să se micşoreze (se produce gacirctuirea) continuacircnd pacircnă cacircnd se produce ruperea

totală (punctul 119865)

Dacă după ruperea epruvetei cele două părţi rezultate se aşează cap la cap şi se

măsoară dimensiunea bazei de măsurare 119871119906 (lungimea ultimă) se determină alungirea la

rupere sau lungirea specifică la rupere 휀119903

휀119903 =119871119906 minus 11987101198710

=∆119871

1198710=120575

1198710 (444)

De obicei alungirea se exprimă icircn procente şi se notează cu 119860119899 unde 119899 reprezintă

numărul dat de raportul 11987101198890 (epruvete normale 119899 = 5 epruvete lungi 119899 = 10)

119860119899 =119871119906 minus 11987101198710

∙ 100 [] (445)

Altă mărime care se determină la icircncercarea la tracţiune este gacirctuirea la rupere

(exprimată de obicei icircn procente) şi definită de relaţia

119885 =1198600 minus 1198601199061198600

∙ 100 [] (446)

Mărimile determinate limita de proporţionalitate modulul de elasticitate

longitudinal limita de elasticitate limita de curgere aparentă rezistenţa de rupere

alungirea la rupere şi gacirctuirea la rupere sunt cunoscute ca fiind caracteristici mecanice

ale materialului

Din curba caracteristică convenţională observăm faptul că ruperea (punctul 119865 din

figura 48 se produce la o tensiune mai mică decacirct cea corespunzătoare punctului 119864 Dacă

icircnsă forţa din timpul icircncercării s-ar raporta la aria secţiunii din momentul icircnregistrării

forţei (care este mai mică decacirct cea iniţială 1198600) s-ar obţine aşa numita curbă

caracteristică reală a materialului (traseul 1198741198601198611198621198631198651 din figura 48) La curba

caracteristică reală ruperea se produce icircn punctul 1198651 la o icircncărcare mai mare decacirct cea

corespunzătoare punctului 119864 Icircnseamnă că rezistenţa reală la rupere este mai mare decacirct

rezistenţa la rupere dată de punctul 119864 din diagrama caracteristică convenţională

Dificultatea obţinerii diagramei caracteristice reale faţă de cea a diagramei caracteristice

convenţionale şi considerarea unei rezistenţe la rupere mai mică decacirct a celei reale face

icircn practică utilizarea pe scară mare a diagramei caracteristice convenţionale

Caracteristicile mecanice determinate pe baza curbei caracteristice convenţionale

sunt şi ele caracteristici mecanice convenţionale

Caracteristicile mecanice convenţionale limita de proporţionalitate convenţională

120590119901 limita de elasticitate convenţională 120590119890 limita de curgere convenţională 120590119888 şi rezistenţa

de rupere 120590119903 constituie tensiuni limită pentru un material Pe baza acestor caracteristici

de material se alege valoarea tensiunii admisibile 120590119886 (vezi paragraful 35) pentru

calculele de rezistenţă Cea mai utilizată stare limită pentru stabilirea tensiunii admisibile

120590119886 este limita de curgere convenţională 120590119888

120590119886 =120590119897119894119898119888

=120590119888119888 119904119886119906 120590119886 =

120590119903119888 (447)

Caracteristicile mecanice ale materialului sunt influenţate de o serie de factori

temperatura viteza de solicitare factorii tehnologici iar valorile lor sunt date icircn tabele și

diagrame

Aplicaţie Pentru suprafaţa plană compusă din două dreptunghiuri avacircnd

dimensiunile din figura 49a să se calculeze

a) centrul de greutate al secțiunii compuse 119910119866 119911119866

b) momentele de inerție axiale 119868119911 119868119910 și momentul de inerție centrifugal 119868119911119910

c) razele de inerție 119894119911 119894119910

d) modulele de rezistență 119882119911119898119894119899 119882119911119898119886119909 119882119910119898119894119899 119882119910119898119886119909

e) momentele de inerție principale 1198681 1198682 și direcțiile principale de inerție 1205721

f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 119878119911

Fig 49 Aplicație

Rezolvare Pentru rezolvare vom parcurge următoarele etape

icircmpărțim suprafața compusă icircn două suprafețe simple (dreptunghiuri) notate cu

① și respectiv ② figura 49b

poziționăm centrele de greutate a celor două suprafețe simple ① și respectiv ②

notate cu 1198661 și respectiv 1198662 figura 49c

poziționăm sistemele de axe de coordonate 119911111986611199101 pentru dreptunghiul ① și

119911211986621199102 pentru dreptunghiul ② aflate la intersecția diagonalelor figura 49c

poziționăm sistemele de axe de coordonate 11991101198741199100 ales arbitrar față de care

determinăm poziția centrului de greutate 119866 figura 49c

a) calculăm poziția centrului de greutate folosind relațiile (46) icircn care

1198601 = 6119905 ∙ 119905 = 61199052 1198602 = 4119905 ∙ 119905 = 41199052 119860 = 1198601 + 1198602 = 61199052 + 41199052 = 101199052

iar centrele de greutate 1198661 și respectiv 1198662 au coordonatele (față de sistemul 11991101198741199100)

1198661 1199101 = 3119905 1199111 = 05119905

1198662 1199102 = 051199051199112 = 3119905

cu acestea obținem

119910119866 =1198601 ∙ 1199101 + 1198602 ∙ 1199102

119860=61199052 ∙ 3119905 + 41199052 ∙ 05119905

101199052=201199053

101199052= 2119905

119911119866 =1198601 ∙ 1199111 + 1198602 ∙ 1199112

119860=61199052 ∙ 05119905 + 41199052 ∙ 3119905

101199052=151199053

101199052= 15119905

Poziționăm centrul de greutate 119866 al suprafeței compuse figura 49c

Fig 49 Aplicație

b) pentru determinarea momentelor de inerție axiale 119868119911 119868119910 și a momentului de

inerție centrifugal 119868119910119911 determinăm constantele 1198881 1198882 1198891 1198892 care intervin icircn relația lui

Stainer

1198881 = 1199101 minus 119910119866 = 3119905 minus 2119905 = 119905 1198882 = minus(119910119866 minus 1199102) = minus(2119905 minus 05119905) = minus15119905

1198891 = minus(119911119866 minus 1199111) = minus(15119905 minus 05119905) = minus119905 1198892 = 1199112 minus 119911119892 = 3119905 minus 15119905 = 15119905

Folosind relațiile lui Stainer (429) (430) și (431) calculăm momentele de

inerție axiale și centrifugale față de sistemul central 119911119866119866119910119866

119868119911 =sum(119868119911119894 + 1198881198942 ∙ 119860119894) = 1198681199111 + 1198881

2 ∙ 1198601 + 1198681199112 + 11988822 ∙ 1198602

119868119910 =sum(119868119910119894 + 1198891198942 ∙ 119860119894) = 1198681199101 + 1198891

2 ∙ 1198601 + 1198681199102 + 11988922 ∙ 1198602

119868119911119910 =sum(119868119911119894119910119894 + 119888119894 ∙ 119889119894 ∙ 119860119894) = 11986811991111199101 + 1198881 ∙ 1198891 ∙ 1198601 + 11986811991121199102 + 1198882 ∙ 1198892 ∙ 1198602

1198681199111 = (119887 ∙ ℎ3

12) =

119905 ∙ (6119905)3

12= 181199054 1198681199112 = (

119887 ∙ ℎ3

12) =

4119905 ∙ 1199053

12= 031199054

1198681199101 = (1198873 ∙ ℎ

12) =

1199053 ∙ 6119905

12= 051199054 1198681199102 = (

1198873 ∙ ℎ

12) =

(4119905)3 ∙ 119905

12= 531199054

11986811991111199101 = 11986811991121199102 = 0 deoarece cele două triunghiuri au cel puțin o axă de simetrie

Cu acestea momentele de inerție axiale și momentul de inerție centrifugal devin

119868119911 = 181199054 + 1199052 ∙ 61199052 + 031199054 + (minus15119905)2 ∙ 41199052 = 3331199054

119868119910 = 051199054 + (minus119905)2 ∙ 61199052 + 531199054 + (15119905)2 ∙ 41199052 = 2081199054

119868119911119910 = 0 + 119905 ∙ (minus119905) ∙ 61199052 + 0 + (minus15119905) ∙ (15119905) ∙ 41199052 = minus151199054

c) razele de inerție sau de girație față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910

se calculează cu relațiile (411)

119894119911 = radic119868119911119860= radic

3331199054

101199052= 182119905 119894119910 = radic

119868119910

119860= radic

2081199054

101199052= 144119905

d) modulele de rezistență față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910 se

calculează cu relațiile (412) și (413)

Avacircnd icircn vedere figura 419c obținem

119910119898119886119909 = 6119905 minus 119910119866 = 6119905 minus 2119905 = 4119905 119910119898119894119899 = minus119910119866 = minus2119905

119911119898119886119909 = 5119905 minus 119911119866 = 5119905 minus 15119905 = 35119905 119911119898119894119899 = minus119911119866 = minus15119905

Se obține astfel

119882119911119898119894119899 =119868119911

|119910119898119886119909|=3331199054

4119905= 8331199053

119882119911119898119886119909 =119868119911

|119910119898119894119899|=3331199054

2119905= 16651199053

119882119910119898119894119899 =119868119910

|119911119898119886119909|=2081199054

35119905= 5941199053

119882119910119898119886119909 =119868119910

|119911119898119894119899|=2081199054

15119905= 13871199053

e) momentele de inerție principale 1198681 și respectiv 1198682 se calculează cu relațiile

(438)

11986812 =119868119911 + 119868119910

2plusmn1

2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)

2+ 4 ∙ (119868119911119910)

2=

=3331199054 + 2081199054

2plusmn1

2∙ radic(3331199054 minus 2081199054)2 + 4 ∙ (minus151199054)2 = 27051199054 plusmn 16251199054

De unde obținem

1198681 = 27051199054 + 16251199054 = 4331199054

1198682 = 27051199054 minus 16251199054 = 1081199054

Prima direcție principală de inerție 1 face cu axa centrală 119866119911 unghiul 1205721 dat de

relația (437)

1205721 =1

2∙ arctan (minus

2 ∙ 119868119911119910

119868119911 minus 119868119910) =

1

2∙ arctan [minus

2 ∙ (minus151199054)

3331199054 minus 2081199054] =33 70

Deoarece 1205721 gt 0 rotirea axelor se face acircn sens antiorar acelor de ceasornic figura

49d

Poziția axe principale 2 față de care momentul de inerție are valoarea minimă

1198682 = 119868119898119894119899 este dată de unghiul

1205722 = 1205721 + 900 = 33 70 + 900 = 123 70

f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 se determină cu relația

(45)

1198781199111198602 = 1198602 ∙ 1198882 = 41199052 ∙ (minus15119905) = minus61199053

119868119911119910 = 0 (417)

Pentru un pătrat avacircnd laturile egale (ℎ = 119887 = 119886) momentele de inerţie faţă de

axele centrale au expresia

119868119911 = 119868119910 =1198864

12 (418)

Modulele de rezistență axiale se calculează cu relațiile de definiție ținacircnd cont că

distanțele pacircnă la fibrele extreme sunt

119910119898119886119909 = 119910119898119894119899 =ℎ

2 119911119898119886119909 = 119911119898119894119899 =

119887

2 (419)

Obținem

119882119911119898119894119899 = 119882119911119898119886119909 =119868119911

119910119898119886119909119898119894119899=119887 ∙ ℎ3

12frasl

ℎ2frasl

=119887 ∙ ℎ2

6

119882119910119898119894119899 = 119882119910119898119886119909 =119868119910

119911119898119886119909119898119894119899=1198873 ∙ ℎ

12frasl

1198872frasl

=1198872 ∙ ℎ

6

(420)

452 Suprafaţă circulară

Din motive de simetrie pentru suprafeţele circulare momentele de inerţie faţă de

orice diametru (care reprezintă şi axe centrale) sunt aceleaşi

Considerăm o secțiune circulară plină cu diametrul 119889 și centrul de greutate 119862 Prin

centrul de greutate 119862 trece sistemul de axe ortogonal 119911119862119910 figura 45

Fig 45 Suprafață circulară

La distanța de centrul de greutate 119862 vom lua un element de suprafață mic de arie

(119889119860) de forma unui inel de grosime 119889 Elementul de arie 119889119860 are expresia

119889119860 = (2 ∙ 120587 ∙ 120588) ∙ (119889120588)

Pornind de la relația de definiție a momentului de inerție polar obținem

119868119901 ≝ int 1205882 ∙ 119889119860

119860

= int 1205882 ∙ (2 ∙ 120587 ∙ 120588) ∙ 119889120588

119903=119889 2frasl

0

= 2 ∙ 120587 ∙1205884

4|119889 2frasl0 rArr

rArr 119868119901 =120587 ∙ 1198894

32

(421)

Secțiunea este perfect simetrică deci sunt valabile relațiile

119868119911 = 119868119910 rArr 119868119901 = 119868119911 + 119868119910 = 2 ∙ 119868119911 = 2 ∙ 119868119910 =119868119901

2=120587 ∙ 1198894

64 (422)

Și modulele de rezistenţă faţă de orice diametru sunt egale şi se calculează cu

relaţiile

119882119911 = 119882119910 =1198681199111198892frasl=120587 ∙ 1198893

32 (423)

Modulul de rezistenţă polar este

119882119901 =1198681199011198892frasl=120587 ∙ 1198893

16 (424)

453 Secţiune inelară

Calculul momentelor de inerţie axiale pentru o secţiune inelară avacircnd diametrul

interior 119889 şi diametrul exterior 119863 se determină analog pentru suprafaţa circulară plină cu

observaţia că integrala pentru calculul momentului de inerție polar 119868119901 se face icircntre

limitele 119903 = 119889 2frasl şi R= 1198632frasl (icircntre raza interioară 119903 şi raza exterioară 119877) figura 46

Se obţin relaţiile

119868119901 =120587 ∙ 1198634

32∙ [1 minus (

119889

119863)4

] =120587 ∙ 1198634

32∙ (1 minus 1198964) (425)

119868119910 = 119868119910 =120587 ∙ 1198634

64∙ [1 minus (

119889

119863)4

] =120587 ∙ 1198633

64∙ (1 minus 1198964) (426)

Fig 46 Secțiune inelară

119882119901 =120587 ∙ 1198633

16∙ [1 minus (

119889

119863)4

] =120587 ∙ 1198633

16∙ (1 minus 1198964) (427)

119882119911 = 119882119910 =120587 ∙ 1198633

32∙ [1 minus (

119889

119863)4

] =120587 ∙ 1198633

32∙ (1 minus 1198964) (428)

unde 119896 = 119889119863frasl

46 Variaţia momentelor de inerţie faţă de axe paralele

( Relațiile lui STEINER)

Se consideră o suprafaţă oarecare de arie 119860 cu elementul de arie 119889119860 și un sistemul

de axe central 119911119862119910 faţă de care se cunosc momentele de inerţie 119868119911 119868119910 119868119911119910 şi considerăm

un sistem de axe 11991111198741199101 paralele cu sistemul central figura 47 Se pune problema

determinării momentele de inerţie 1198681199111 1198681199101 11986811991111199101 faţă de sistemul de axe paralel cu sistemul

central 11991111198741199101 axe aflate la distanţele 119910119862 = 119888 respectiv 119911119862 = 119889 de acesta

461 Momente de inerţie axiale

Pe baza relaţiilor de definire şi a notaţiilor din figura 42 pentru momentele de

inerţie faţă de axele 1198741199111 1198741199101 se poate scrie

1198681199111 = int 11991012 ∙ 119889119860

119860

= int(119910 + 119888)2 ∙ 119889119860

119860

= int 1199102 ∙ 119889119860

119860

+ 2 ∙ 119888 ∙ int 119910 ∙ 119889119860

119860

+

+1198882int 119889119860

119860

rArr 1198681199111 = 119868119911 + 2 ∙ 119888 ∙ 119878119911 + 1198882 ∙ 119860 hArr 1198681199111 = 119868119911 + 119888

2 ∙ 119860

(429)

Fig 47 Variaţia momentelor de inerţie față de axe paralele

S-a ajuns la relația (429) deoarece momentul static 119878119911 este nul deoarece axa 119862119885

este axă centrală

Pentru momentul de inerție axial icircn raport cu axa 1198741199101 se obține

1198681199101 = int 11991112 ∙ 119889119860

119860

= int(119911 + 119889)2 ∙ 119889119860

119860

= int 1199112 ∙ 119889119860

119860

+ 2 ∙ 119889 ∙ int 119911 ∙ 119889119860

119860

+

+1198892 ∙ int 119889119860

119860

rArr 1198681199101 = 119868119910 + 2 ∙ 119889 ∙ 119878119910 + 1198892 ∙ 119860 hArr 1198681199101 = 119868119910 + 119889

2 ∙ 119860

(430)

Pentru momentul de inerție centrifugal obținem

11986811991111199101 = int 1199101 ∙ 1199111 ∙ 119889119860

119860

= int(119910 + 119888) ∙ (119911 + 119889) ∙ 119889119860

119860

= int 119910 ∙ 119911 ∙ 119889119860 +

119860

+119888 ∙ int 119911 ∙ 119889119860

119860

+ 119889 ∙ int 119910 ∙ 119889119860

119860

rArr 11986811991111199101 = 119868119911119910 + 119888 ∙ 119889 ∙ 119860

(431)

Deoarece

int 119911 ∙ 119889119860

119860

= 119878119910 = 0 int 119910 ∙ 119889119860

119860

= 119878119911 = 0 int 119910 ∙ 119911 ∙ 119889119860

119860

= 119868119911119910

Relaţiile (429) şi (430) arată că momentul de inerţie faţă de o axă oarecare

este egal cu momentul de inerţie faţă de o axă paralelă cu ea trecacircnd prin centrul de

greutate la care se adaugă produsul dintre aria suprafeţei şi pătratul distanţei dintre

cele două axe

Din relaţiile (429) și (430) rezultă de asemenea că momentul de inerţie faţă de o

axă centrală (care trece prin centrul de greutate) este cel mai mic dintre infinitatea de

momente de inerţie obținute faţă de alte axe paralele cu ea

Relaţia (431) arată de asemenea că momentul de inerţie centrifugal faţă de un

sistem de axe oarecare este egal cu momentul de inerţie centrifugal faţă de un sistem

paralele cu el trecacircnd prin centrul de greutate a suprafeţei la care se adaugă produsul

dintre aria suprafeţei şi distanţele dintre axele sistemelor respective

Icircn literatura de specialitate relaţiile (429) (430) şi (431) sunt cunoscute sub

numele de relaţiile lui Steiner

47 Variaţia momentrlor de inerţie faţă de axe rotite

Direcţii principale şi momente de inerţie principale

Fie suprafaţa plană din figura 48 de arie 119860 pe care considerăm o suprafaţă

elementară de arie 119889119860 Pentru sistemul de axe 119911119874119910 se cunosc momentele de inerţie

119868119911 119868119910 119868119911119910 şi vom determina relaţiile de calcul pentru momentele de inerţie afererent unui

sistem de axe 11991111198741199101 rotit cu un unghi faţă de sistemul central

Faţă de sistemul de axe 11991111198741199101 elementul de arie 119889119860 are coordonatele

1199101 = 119875119877 = 119875119876 minus 119877119876 = 119910 ∙ cos 120572 minus 119911 ∙ sin 120572

1199111 = 119873119872 = 119873119875 minus 119875119872 = 119911 ∙ cos 120572 + 119910 ∙ sin 120572 (432)

Fig 47 Variaţia momentelor de inerţie față de axe rotite

Pe baza relaţiilor de calcul ale momentelor de inerţie şi a notaţiilor din figura 42

şi ale relaţiilor (432) momentele de inerţie faţă de sistemul de axe rotit 11991111198741199101 sunt

1198681199111 =119868119911 + 119868119910

2+119868119911 minus 119868119910

2∙ cos 2120572 minus 119868119911119910 ∙ sin 2120572 (433)

1198681199101 =119868119911 + 119868119910

2minus119868119911 minus 119868119910

2∙ cos 2120572 + 119868119911119910 ∙ sin 2120572 (434)

11986811991111199101 =119868119911 minus 119868119910

2∙ sin 2120572 + 119868119911119910 ∙ cos 2120572 (435)

Din relaţiile 433divide435 se observă că icircntre momentele de inerţie axiale şi cele

polare există relaţia

1198681199111 + 1198681199101 = 119868119911 + 119868119910 = 119868119901 (436)

adică suma momentelor de inerţie axiale icircn raport cu orice pereche de axe ortogonale

care trec printr-un pol dat este o constantă şi egală cu momentul de inerţie polar

Prin rotirea sistemului de axe din relaţiile 433divide435 rezultă că momentele de inerţie

variază icircnsă suma lor rămacircne constantă deci există o poziţie a sistemului de axe pentru

care momentele de inerţie au valori extreme maxim respectiv minim

471 Direcţii principale de inerţie

Valoarea unghiului 120572 pentru care momentele de inerţie axiale au valori extreme

este

1205721 =1

2∙ 119886119903119888119905119886119899 (minus

2 ∙ 119868119911119910

119868119911 minus 119868119910) (437)

Poziţia celeilalte direcţii este perpendiculară pe cea dată de unghiul 1205721

Din relaţia (437) se constată că faţă de aceste direcţii rotite pentru care momentele

de inerţie axiale prezintă valori extreme momentul de inerţie centrifugal 11986811991111199101este nul

Atunci se poate afirma că momentele de inerţie axiale au valori extreme icircn raport cu

direcţiile faţă de care momentul de inerţie centrifugal este nul Aceste direcţii se numesc

direcţii principale iar momentele de inerţie faţă de aceste direcţii poartă numele de

momente de inerţie principale

Icircn calculele de rezistenţă interesează icircn mod special poziţia direcţiilor principale

care trec prin centrul de greutate al suprafeţei aşa numitele direcţii principale centrale şi

evident momentele de inerţie principale centrale

Direcţiile principale de inerţie se notează cu 1 respectiv 2 Axa principală 1

corespunde direcţiei faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea maximă iar

axa principală 2 pentru direcţia faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea

minimă

472 Momente de inerţie principale

Momentele de inerţie principale se notează cu litera 119868 la care se pune indicele 1

sau 2 după cum valoarea acestuia este maximă sau minimă deci avem un moment de

inerţie principal 1 (notat 1198681) respectiv moment de inerţie principal 2 (notat 1198682)

Expresiile pentru momentele de inerţie principale sunt

11986812 =119868119911 + 119868119910

2plusmn1

2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)

2+ 4 ∙ (119868119911119910)

2 (438)

Dacă momentul de inerţie centrifugal este negativ (119868119911119910 lt 0) direcţia principală

care trece prin primul cadran (definit de sistemul 119911119862119910) este direcţia principală 120783

Pentru suprafeţele cu cel puţin o axă de simetrie direcţiile centrale 119862119911 119862119910 sunt şi

direcții principale de inerţie și evident momentele de inerţie axiale 119868119911 119868119910 sunt momente

de inerţie principale

48 Caracteristici mecanice ale metalelor

Alegerea materialului pentru confecţionarea unei anumite piese se face şi pe baza

aşa numitelor caracteristici mecanice pe care le prezintă materialul Cunoaşterea acestor

caracteristici mecanice are loc numai pe baza unor icircncercări mecanice care să scoată icircn

evidenţă comportarea materialului icircn condiţii de solicitare

Cea mai utilizată icircncercare icircn urma căreia se pun icircn evidenţă caracteristicile

mecanice ale unui material este icircncercarea la tracţiune

481 Icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general

Icircncercarea la tracţiune a oţelului ca de altfel toate icircncercările de materiale este

standardizată

Icircn cele ce urmează se va prezenta numai partea care interesează strict din punct

de vedere al caracteristicilor mecanice ale oţelului

Epruveta de diametru iniţial 1198890 pentru icircncercarea la tracţiune are o porţiune de

lungime 1198710 numită baza de măsurare pe care se măsoară lungirea acesteia sub acţiunea

solicitării

Icircn funcţie de raportul dintre baza de măsurare 1198710 şi diametrul iniţial 1198890 epruvetele

utilizate pentru icircncercări sunt

epruvete normale (scurte) cacircnd 11987101198890 = 5

epruvete lungi cacircnd 11987101198890 = 10

Icircn timpul icircncercării la diferite valori ale forţei 119865 se măsoară lungirea bazei de

măsurare

∆119871 = 120575 = 119871 minus 1198710 (439)

unde

119871 este dimensiunea bazei de măsurare la un moment dat

Curba forţă-lungire (119865 minus ) icircnregistrată icircn urma icircncercării reprezintă curba

caracteristică la tracţiune

La icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general diagrama caracteristică care se

obţine are forma din figura 48

Curba caracteristică la tracţiune depinde de lungimea bazei de măsurare Pentru

icircnlăturarea acestui neajuns curba caracteristică se reprezintă icircn coordonate şi definite

astfel

120590 =119865

1198600 휀 =

120575

1198710 (440)

unde

1198600 este aria iniţială a secţiunii transversale a epruvetei (icircnainte de solicitare) icircn

zona bazei de măsurare

1198600 =120587 ∙ 1198890

2

4

Deoarece mărimile icircn care se reprezintă curba caracteristică la tracţiune sunt

raportate la aria iniţială a secţiunii transversale (mărimi specifice) curba poartă numele

de curbă caracteristică convenţională la tracţiune

Fig 48 Curba caracteristică convenţională la tracțiune

Pe curba caracteristică convenţională la tracţiune figura 48 se pot stabili o serie

de puncte cărora le corespund mai multe mărimi importante

Ordonata punctului A pacircnă unde curba caracteristică convenţională este linie

dreaptă se numeşte limita de proporţionalitate a materialului 120590119901(1205901) Porţiunea 119874119860 este

zona de proporţionalitate a curbei caracteristice pe acest domeniu este valabilă legea lui

Hooke care exprimă o proporţionalitate icircntre tensiune şi deformaţie specifică

120590 = 119864 ∙ 휀 (441)

unde

119864 = reprezintă panta porţiunii liniare a curbei convenționale caracteristice

la tracțiune Caracteristica de material 119864 se numeşte modul de elasticitate longitudinal

(modulul lui Young)

Ordonata punctului 119861 pacircnă unde materialul se comportă perfect elastic adică

după descărcare icircşi recapătă dimensiunea iniţială 1198710 se numeşte limita de elasticitate

120590119890(119877119890) Icircn realitate nici un material nu are comportare perfect elastică sub acţiunea

solicitărilor el capătă deformaţii permanente (remanente plastice)

După punctul 119861 urmează o porţiune 119861119862119863 icircn care cu toate că icircncărcarea

continuă forţa nu mai creşte avacircnd mici oscilaţii icircn jurul unei valori Se spune că icircn

această porţiune materialul curge iar intervalul 119861119862119863 este un palier de curgere Tensiunea

corespunzătoare palierului de curgere se numeşte limită de curgere aparentă 120590119888(119877119888) Limita de curgere aparentă se calculează cu relaţia

120590119888 =1198651198881198600 (442)

unde

119865119888 reprezintă valoarea forţei icircnregistrată icircn momentul curgerii materialului

După punctul 119863 curba caracteristică are un traseu ascendent pacircnă icircn punctul 119864

Porţiunea 119863119864 este numită zonă de icircntărire (ecruisare) Icircn zona de ecruisare unde se

produc deformaţii plastice semnificative legea lui Hooke nu mai este valabilă La

descărcare relaţia dintre tensiunea şi deformaţia specifică este liniară paralelă cu

porţiunea liniară a curbei caracteristice (dreapta 119872119873)

Deformaţia totală (휀119905) are două componente una elastică (휀119890) şi una plastică (휀119901)

Ordonata punctului 119864 reprezintă rezistenţa de rupere 120590119903(119877119898) a materialului

care se poate calcula cu relaţia

120590119903 = 119877119898 =1198651198981198861199091198600

(443)

unde

119865119898119886119909 reprezintă valoarea maximă a forţei icircnregistrată icircn timpul icircncercării

La atingerea valorii 119865119898119886119909 (punctul 119864) icircntr-un anumit loc al epruvetei secţiunea

icircncepe să se micşoreze (se produce gacirctuirea) continuacircnd pacircnă cacircnd se produce ruperea

totală (punctul 119865)

Dacă după ruperea epruvetei cele două părţi rezultate se aşează cap la cap şi se

măsoară dimensiunea bazei de măsurare 119871119906 (lungimea ultimă) se determină alungirea la

rupere sau lungirea specifică la rupere 휀119903

휀119903 =119871119906 minus 11987101198710

=∆119871

1198710=120575

1198710 (444)

De obicei alungirea se exprimă icircn procente şi se notează cu 119860119899 unde 119899 reprezintă

numărul dat de raportul 11987101198890 (epruvete normale 119899 = 5 epruvete lungi 119899 = 10)

119860119899 =119871119906 minus 11987101198710

∙ 100 [] (445)

Altă mărime care se determină la icircncercarea la tracţiune este gacirctuirea la rupere

(exprimată de obicei icircn procente) şi definită de relaţia

119885 =1198600 minus 1198601199061198600

∙ 100 [] (446)

Mărimile determinate limita de proporţionalitate modulul de elasticitate

longitudinal limita de elasticitate limita de curgere aparentă rezistenţa de rupere

alungirea la rupere şi gacirctuirea la rupere sunt cunoscute ca fiind caracteristici mecanice

ale materialului

Din curba caracteristică convenţională observăm faptul că ruperea (punctul 119865 din

figura 48 se produce la o tensiune mai mică decacirct cea corespunzătoare punctului 119864 Dacă

icircnsă forţa din timpul icircncercării s-ar raporta la aria secţiunii din momentul icircnregistrării

forţei (care este mai mică decacirct cea iniţială 1198600) s-ar obţine aşa numita curbă

caracteristică reală a materialului (traseul 1198741198601198611198621198631198651 din figura 48) La curba

caracteristică reală ruperea se produce icircn punctul 1198651 la o icircncărcare mai mare decacirct cea

corespunzătoare punctului 119864 Icircnseamnă că rezistenţa reală la rupere este mai mare decacirct

rezistenţa la rupere dată de punctul 119864 din diagrama caracteristică convenţională

Dificultatea obţinerii diagramei caracteristice reale faţă de cea a diagramei caracteristice

convenţionale şi considerarea unei rezistenţe la rupere mai mică decacirct a celei reale face

icircn practică utilizarea pe scară mare a diagramei caracteristice convenţionale

Caracteristicile mecanice determinate pe baza curbei caracteristice convenţionale

sunt şi ele caracteristici mecanice convenţionale

Caracteristicile mecanice convenţionale limita de proporţionalitate convenţională

120590119901 limita de elasticitate convenţională 120590119890 limita de curgere convenţională 120590119888 şi rezistenţa

de rupere 120590119903 constituie tensiuni limită pentru un material Pe baza acestor caracteristici

de material se alege valoarea tensiunii admisibile 120590119886 (vezi paragraful 35) pentru

calculele de rezistenţă Cea mai utilizată stare limită pentru stabilirea tensiunii admisibile

120590119886 este limita de curgere convenţională 120590119888

120590119886 =120590119897119894119898119888

=120590119888119888 119904119886119906 120590119886 =

120590119903119888 (447)

Caracteristicile mecanice ale materialului sunt influenţate de o serie de factori

temperatura viteza de solicitare factorii tehnologici iar valorile lor sunt date icircn tabele și

diagrame

Aplicaţie Pentru suprafaţa plană compusă din două dreptunghiuri avacircnd

dimensiunile din figura 49a să se calculeze

a) centrul de greutate al secțiunii compuse 119910119866 119911119866

b) momentele de inerție axiale 119868119911 119868119910 și momentul de inerție centrifugal 119868119911119910

c) razele de inerție 119894119911 119894119910

d) modulele de rezistență 119882119911119898119894119899 119882119911119898119886119909 119882119910119898119894119899 119882119910119898119886119909

e) momentele de inerție principale 1198681 1198682 și direcțiile principale de inerție 1205721

f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 119878119911

Fig 49 Aplicație

Rezolvare Pentru rezolvare vom parcurge următoarele etape

icircmpărțim suprafața compusă icircn două suprafețe simple (dreptunghiuri) notate cu

① și respectiv ② figura 49b

poziționăm centrele de greutate a celor două suprafețe simple ① și respectiv ②

notate cu 1198661 și respectiv 1198662 figura 49c

poziționăm sistemele de axe de coordonate 119911111986611199101 pentru dreptunghiul ① și

119911211986621199102 pentru dreptunghiul ② aflate la intersecția diagonalelor figura 49c

poziționăm sistemele de axe de coordonate 11991101198741199100 ales arbitrar față de care

determinăm poziția centrului de greutate 119866 figura 49c

a) calculăm poziția centrului de greutate folosind relațiile (46) icircn care

1198601 = 6119905 ∙ 119905 = 61199052 1198602 = 4119905 ∙ 119905 = 41199052 119860 = 1198601 + 1198602 = 61199052 + 41199052 = 101199052

iar centrele de greutate 1198661 și respectiv 1198662 au coordonatele (față de sistemul 11991101198741199100)

1198661 1199101 = 3119905 1199111 = 05119905

1198662 1199102 = 051199051199112 = 3119905

cu acestea obținem

119910119866 =1198601 ∙ 1199101 + 1198602 ∙ 1199102

119860=61199052 ∙ 3119905 + 41199052 ∙ 05119905

101199052=201199053

101199052= 2119905

119911119866 =1198601 ∙ 1199111 + 1198602 ∙ 1199112

119860=61199052 ∙ 05119905 + 41199052 ∙ 3119905

101199052=151199053

101199052= 15119905

Poziționăm centrul de greutate 119866 al suprafeței compuse figura 49c

Fig 49 Aplicație

b) pentru determinarea momentelor de inerție axiale 119868119911 119868119910 și a momentului de

inerție centrifugal 119868119910119911 determinăm constantele 1198881 1198882 1198891 1198892 care intervin icircn relația lui

Stainer

1198881 = 1199101 minus 119910119866 = 3119905 minus 2119905 = 119905 1198882 = minus(119910119866 minus 1199102) = minus(2119905 minus 05119905) = minus15119905

1198891 = minus(119911119866 minus 1199111) = minus(15119905 minus 05119905) = minus119905 1198892 = 1199112 minus 119911119892 = 3119905 minus 15119905 = 15119905

Folosind relațiile lui Stainer (429) (430) și (431) calculăm momentele de

inerție axiale și centrifugale față de sistemul central 119911119866119866119910119866

119868119911 =sum(119868119911119894 + 1198881198942 ∙ 119860119894) = 1198681199111 + 1198881

2 ∙ 1198601 + 1198681199112 + 11988822 ∙ 1198602

119868119910 =sum(119868119910119894 + 1198891198942 ∙ 119860119894) = 1198681199101 + 1198891

2 ∙ 1198601 + 1198681199102 + 11988922 ∙ 1198602

119868119911119910 =sum(119868119911119894119910119894 + 119888119894 ∙ 119889119894 ∙ 119860119894) = 11986811991111199101 + 1198881 ∙ 1198891 ∙ 1198601 + 11986811991121199102 + 1198882 ∙ 1198892 ∙ 1198602

1198681199111 = (119887 ∙ ℎ3

12) =

119905 ∙ (6119905)3

12= 181199054 1198681199112 = (

119887 ∙ ℎ3

12) =

4119905 ∙ 1199053

12= 031199054

1198681199101 = (1198873 ∙ ℎ

12) =

1199053 ∙ 6119905

12= 051199054 1198681199102 = (

1198873 ∙ ℎ

12) =

(4119905)3 ∙ 119905

12= 531199054

11986811991111199101 = 11986811991121199102 = 0 deoarece cele două triunghiuri au cel puțin o axă de simetrie

Cu acestea momentele de inerție axiale și momentul de inerție centrifugal devin

119868119911 = 181199054 + 1199052 ∙ 61199052 + 031199054 + (minus15119905)2 ∙ 41199052 = 3331199054

119868119910 = 051199054 + (minus119905)2 ∙ 61199052 + 531199054 + (15119905)2 ∙ 41199052 = 2081199054

119868119911119910 = 0 + 119905 ∙ (minus119905) ∙ 61199052 + 0 + (minus15119905) ∙ (15119905) ∙ 41199052 = minus151199054

c) razele de inerție sau de girație față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910

se calculează cu relațiile (411)

119894119911 = radic119868119911119860= radic

3331199054

101199052= 182119905 119894119910 = radic

119868119910

119860= radic

2081199054

101199052= 144119905

d) modulele de rezistență față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910 se

calculează cu relațiile (412) și (413)

Avacircnd icircn vedere figura 419c obținem

119910119898119886119909 = 6119905 minus 119910119866 = 6119905 minus 2119905 = 4119905 119910119898119894119899 = minus119910119866 = minus2119905

119911119898119886119909 = 5119905 minus 119911119866 = 5119905 minus 15119905 = 35119905 119911119898119894119899 = minus119911119866 = minus15119905

Se obține astfel

119882119911119898119894119899 =119868119911

|119910119898119886119909|=3331199054

4119905= 8331199053

119882119911119898119886119909 =119868119911

|119910119898119894119899|=3331199054

2119905= 16651199053

119882119910119898119894119899 =119868119910

|119911119898119886119909|=2081199054

35119905= 5941199053

119882119910119898119886119909 =119868119910

|119911119898119894119899|=2081199054

15119905= 13871199053

e) momentele de inerție principale 1198681 și respectiv 1198682 se calculează cu relațiile

(438)

11986812 =119868119911 + 119868119910

2plusmn1

2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)

2+ 4 ∙ (119868119911119910)

2=

=3331199054 + 2081199054

2plusmn1

2∙ radic(3331199054 minus 2081199054)2 + 4 ∙ (minus151199054)2 = 27051199054 plusmn 16251199054

De unde obținem

1198681 = 27051199054 + 16251199054 = 4331199054

1198682 = 27051199054 minus 16251199054 = 1081199054

Prima direcție principală de inerție 1 face cu axa centrală 119866119911 unghiul 1205721 dat de

relația (437)

1205721 =1

2∙ arctan (minus

2 ∙ 119868119911119910

119868119911 minus 119868119910) =

1

2∙ arctan [minus

2 ∙ (minus151199054)

3331199054 minus 2081199054] =33 70

Deoarece 1205721 gt 0 rotirea axelor se face acircn sens antiorar acelor de ceasornic figura

49d

Poziția axe principale 2 față de care momentul de inerție are valoarea minimă

1198682 = 119868119898119894119899 este dată de unghiul

1205722 = 1205721 + 900 = 33 70 + 900 = 123 70

f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 se determină cu relația

(45)

1198781199111198602 = 1198602 ∙ 1198882 = 41199052 ∙ (minus15119905) = minus61199053

119889119860 = (2 ∙ 120587 ∙ 120588) ∙ (119889120588)

Pornind de la relația de definiție a momentului de inerție polar obținem

119868119901 ≝ int 1205882 ∙ 119889119860

119860

= int 1205882 ∙ (2 ∙ 120587 ∙ 120588) ∙ 119889120588

119903=119889 2frasl

0

= 2 ∙ 120587 ∙1205884

4|119889 2frasl0 rArr

rArr 119868119901 =120587 ∙ 1198894

32

(421)

Secțiunea este perfect simetrică deci sunt valabile relațiile

119868119911 = 119868119910 rArr 119868119901 = 119868119911 + 119868119910 = 2 ∙ 119868119911 = 2 ∙ 119868119910 =119868119901

2=120587 ∙ 1198894

64 (422)

Și modulele de rezistenţă faţă de orice diametru sunt egale şi se calculează cu

relaţiile

119882119911 = 119882119910 =1198681199111198892frasl=120587 ∙ 1198893

32 (423)

Modulul de rezistenţă polar este

119882119901 =1198681199011198892frasl=120587 ∙ 1198893

16 (424)

453 Secţiune inelară

Calculul momentelor de inerţie axiale pentru o secţiune inelară avacircnd diametrul

interior 119889 şi diametrul exterior 119863 se determină analog pentru suprafaţa circulară plină cu

observaţia că integrala pentru calculul momentului de inerție polar 119868119901 se face icircntre

limitele 119903 = 119889 2frasl şi R= 1198632frasl (icircntre raza interioară 119903 şi raza exterioară 119877) figura 46

Se obţin relaţiile

119868119901 =120587 ∙ 1198634

32∙ [1 minus (

119889

119863)4

] =120587 ∙ 1198634

32∙ (1 minus 1198964) (425)

119868119910 = 119868119910 =120587 ∙ 1198634

64∙ [1 minus (

119889

119863)4

] =120587 ∙ 1198633

64∙ (1 minus 1198964) (426)

Fig 46 Secțiune inelară

119882119901 =120587 ∙ 1198633

16∙ [1 minus (

119889

119863)4

] =120587 ∙ 1198633

16∙ (1 minus 1198964) (427)

119882119911 = 119882119910 =120587 ∙ 1198633

32∙ [1 minus (

119889

119863)4

] =120587 ∙ 1198633

32∙ (1 minus 1198964) (428)

unde 119896 = 119889119863frasl

46 Variaţia momentelor de inerţie faţă de axe paralele

( Relațiile lui STEINER)

Se consideră o suprafaţă oarecare de arie 119860 cu elementul de arie 119889119860 și un sistemul

de axe central 119911119862119910 faţă de care se cunosc momentele de inerţie 119868119911 119868119910 119868119911119910 şi considerăm

un sistem de axe 11991111198741199101 paralele cu sistemul central figura 47 Se pune problema

determinării momentele de inerţie 1198681199111 1198681199101 11986811991111199101 faţă de sistemul de axe paralel cu sistemul

central 11991111198741199101 axe aflate la distanţele 119910119862 = 119888 respectiv 119911119862 = 119889 de acesta

461 Momente de inerţie axiale

Pe baza relaţiilor de definire şi a notaţiilor din figura 42 pentru momentele de

inerţie faţă de axele 1198741199111 1198741199101 se poate scrie

1198681199111 = int 11991012 ∙ 119889119860

119860

= int(119910 + 119888)2 ∙ 119889119860

119860

= int 1199102 ∙ 119889119860

119860

+ 2 ∙ 119888 ∙ int 119910 ∙ 119889119860

119860

+

+1198882int 119889119860

119860

rArr 1198681199111 = 119868119911 + 2 ∙ 119888 ∙ 119878119911 + 1198882 ∙ 119860 hArr 1198681199111 = 119868119911 + 119888

2 ∙ 119860

(429)

Fig 47 Variaţia momentelor de inerţie față de axe paralele

S-a ajuns la relația (429) deoarece momentul static 119878119911 este nul deoarece axa 119862119885

este axă centrală

Pentru momentul de inerție axial icircn raport cu axa 1198741199101 se obține

1198681199101 = int 11991112 ∙ 119889119860

119860

= int(119911 + 119889)2 ∙ 119889119860

119860

= int 1199112 ∙ 119889119860

119860

+ 2 ∙ 119889 ∙ int 119911 ∙ 119889119860

119860

+

+1198892 ∙ int 119889119860

119860

rArr 1198681199101 = 119868119910 + 2 ∙ 119889 ∙ 119878119910 + 1198892 ∙ 119860 hArr 1198681199101 = 119868119910 + 119889

2 ∙ 119860

(430)

Pentru momentul de inerție centrifugal obținem

11986811991111199101 = int 1199101 ∙ 1199111 ∙ 119889119860

119860

= int(119910 + 119888) ∙ (119911 + 119889) ∙ 119889119860

119860

= int 119910 ∙ 119911 ∙ 119889119860 +

119860

+119888 ∙ int 119911 ∙ 119889119860

119860

+ 119889 ∙ int 119910 ∙ 119889119860

119860

rArr 11986811991111199101 = 119868119911119910 + 119888 ∙ 119889 ∙ 119860

(431)

Deoarece

int 119911 ∙ 119889119860

119860

= 119878119910 = 0 int 119910 ∙ 119889119860

119860

= 119878119911 = 0 int 119910 ∙ 119911 ∙ 119889119860

119860

= 119868119911119910

Relaţiile (429) şi (430) arată că momentul de inerţie faţă de o axă oarecare

este egal cu momentul de inerţie faţă de o axă paralelă cu ea trecacircnd prin centrul de

greutate la care se adaugă produsul dintre aria suprafeţei şi pătratul distanţei dintre

cele două axe

Din relaţiile (429) și (430) rezultă de asemenea că momentul de inerţie faţă de o

axă centrală (care trece prin centrul de greutate) este cel mai mic dintre infinitatea de

momente de inerţie obținute faţă de alte axe paralele cu ea

Relaţia (431) arată de asemenea că momentul de inerţie centrifugal faţă de un

sistem de axe oarecare este egal cu momentul de inerţie centrifugal faţă de un sistem

paralele cu el trecacircnd prin centrul de greutate a suprafeţei la care se adaugă produsul

dintre aria suprafeţei şi distanţele dintre axele sistemelor respective

Icircn literatura de specialitate relaţiile (429) (430) şi (431) sunt cunoscute sub

numele de relaţiile lui Steiner

47 Variaţia momentrlor de inerţie faţă de axe rotite

Direcţii principale şi momente de inerţie principale

Fie suprafaţa plană din figura 48 de arie 119860 pe care considerăm o suprafaţă

elementară de arie 119889119860 Pentru sistemul de axe 119911119874119910 se cunosc momentele de inerţie

119868119911 119868119910 119868119911119910 şi vom determina relaţiile de calcul pentru momentele de inerţie afererent unui

sistem de axe 11991111198741199101 rotit cu un unghi faţă de sistemul central

Faţă de sistemul de axe 11991111198741199101 elementul de arie 119889119860 are coordonatele

1199101 = 119875119877 = 119875119876 minus 119877119876 = 119910 ∙ cos 120572 minus 119911 ∙ sin 120572

1199111 = 119873119872 = 119873119875 minus 119875119872 = 119911 ∙ cos 120572 + 119910 ∙ sin 120572 (432)

Fig 47 Variaţia momentelor de inerţie față de axe rotite

Pe baza relaţiilor de calcul ale momentelor de inerţie şi a notaţiilor din figura 42

şi ale relaţiilor (432) momentele de inerţie faţă de sistemul de axe rotit 11991111198741199101 sunt

1198681199111 =119868119911 + 119868119910

2+119868119911 minus 119868119910

2∙ cos 2120572 minus 119868119911119910 ∙ sin 2120572 (433)

1198681199101 =119868119911 + 119868119910

2minus119868119911 minus 119868119910

2∙ cos 2120572 + 119868119911119910 ∙ sin 2120572 (434)

11986811991111199101 =119868119911 minus 119868119910

2∙ sin 2120572 + 119868119911119910 ∙ cos 2120572 (435)

Din relaţiile 433divide435 se observă că icircntre momentele de inerţie axiale şi cele

polare există relaţia

1198681199111 + 1198681199101 = 119868119911 + 119868119910 = 119868119901 (436)

adică suma momentelor de inerţie axiale icircn raport cu orice pereche de axe ortogonale

care trec printr-un pol dat este o constantă şi egală cu momentul de inerţie polar

Prin rotirea sistemului de axe din relaţiile 433divide435 rezultă că momentele de inerţie

variază icircnsă suma lor rămacircne constantă deci există o poziţie a sistemului de axe pentru

care momentele de inerţie au valori extreme maxim respectiv minim

471 Direcţii principale de inerţie

Valoarea unghiului 120572 pentru care momentele de inerţie axiale au valori extreme

este

1205721 =1

2∙ 119886119903119888119905119886119899 (minus

2 ∙ 119868119911119910

119868119911 minus 119868119910) (437)

Poziţia celeilalte direcţii este perpendiculară pe cea dată de unghiul 1205721

Din relaţia (437) se constată că faţă de aceste direcţii rotite pentru care momentele

de inerţie axiale prezintă valori extreme momentul de inerţie centrifugal 11986811991111199101este nul

Atunci se poate afirma că momentele de inerţie axiale au valori extreme icircn raport cu

direcţiile faţă de care momentul de inerţie centrifugal este nul Aceste direcţii se numesc

direcţii principale iar momentele de inerţie faţă de aceste direcţii poartă numele de

momente de inerţie principale

Icircn calculele de rezistenţă interesează icircn mod special poziţia direcţiilor principale

care trec prin centrul de greutate al suprafeţei aşa numitele direcţii principale centrale şi

evident momentele de inerţie principale centrale

Direcţiile principale de inerţie se notează cu 1 respectiv 2 Axa principală 1

corespunde direcţiei faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea maximă iar

axa principală 2 pentru direcţia faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea

minimă

472 Momente de inerţie principale

Momentele de inerţie principale se notează cu litera 119868 la care se pune indicele 1

sau 2 după cum valoarea acestuia este maximă sau minimă deci avem un moment de

inerţie principal 1 (notat 1198681) respectiv moment de inerţie principal 2 (notat 1198682)

Expresiile pentru momentele de inerţie principale sunt

11986812 =119868119911 + 119868119910

2plusmn1

2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)

2+ 4 ∙ (119868119911119910)

2 (438)

Dacă momentul de inerţie centrifugal este negativ (119868119911119910 lt 0) direcţia principală

care trece prin primul cadran (definit de sistemul 119911119862119910) este direcţia principală 120783

Pentru suprafeţele cu cel puţin o axă de simetrie direcţiile centrale 119862119911 119862119910 sunt şi

direcții principale de inerţie și evident momentele de inerţie axiale 119868119911 119868119910 sunt momente

de inerţie principale

48 Caracteristici mecanice ale metalelor

Alegerea materialului pentru confecţionarea unei anumite piese se face şi pe baza

aşa numitelor caracteristici mecanice pe care le prezintă materialul Cunoaşterea acestor

caracteristici mecanice are loc numai pe baza unor icircncercări mecanice care să scoată icircn

evidenţă comportarea materialului icircn condiţii de solicitare

Cea mai utilizată icircncercare icircn urma căreia se pun icircn evidenţă caracteristicile

mecanice ale unui material este icircncercarea la tracţiune

481 Icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general

Icircncercarea la tracţiune a oţelului ca de altfel toate icircncercările de materiale este

standardizată

Icircn cele ce urmează se va prezenta numai partea care interesează strict din punct

de vedere al caracteristicilor mecanice ale oţelului

Epruveta de diametru iniţial 1198890 pentru icircncercarea la tracţiune are o porţiune de

lungime 1198710 numită baza de măsurare pe care se măsoară lungirea acesteia sub acţiunea

solicitării

Icircn funcţie de raportul dintre baza de măsurare 1198710 şi diametrul iniţial 1198890 epruvetele

utilizate pentru icircncercări sunt

epruvete normale (scurte) cacircnd 11987101198890 = 5

epruvete lungi cacircnd 11987101198890 = 10

Icircn timpul icircncercării la diferite valori ale forţei 119865 se măsoară lungirea bazei de

măsurare

∆119871 = 120575 = 119871 minus 1198710 (439)

unde

119871 este dimensiunea bazei de măsurare la un moment dat

Curba forţă-lungire (119865 minus ) icircnregistrată icircn urma icircncercării reprezintă curba

caracteristică la tracţiune

La icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general diagrama caracteristică care se

obţine are forma din figura 48

Curba caracteristică la tracţiune depinde de lungimea bazei de măsurare Pentru

icircnlăturarea acestui neajuns curba caracteristică se reprezintă icircn coordonate şi definite

astfel

120590 =119865

1198600 휀 =

120575

1198710 (440)

unde

1198600 este aria iniţială a secţiunii transversale a epruvetei (icircnainte de solicitare) icircn

zona bazei de măsurare

1198600 =120587 ∙ 1198890

2

4

Deoarece mărimile icircn care se reprezintă curba caracteristică la tracţiune sunt

raportate la aria iniţială a secţiunii transversale (mărimi specifice) curba poartă numele

de curbă caracteristică convenţională la tracţiune

Fig 48 Curba caracteristică convenţională la tracțiune

Pe curba caracteristică convenţională la tracţiune figura 48 se pot stabili o serie

de puncte cărora le corespund mai multe mărimi importante

Ordonata punctului A pacircnă unde curba caracteristică convenţională este linie

dreaptă se numeşte limita de proporţionalitate a materialului 120590119901(1205901) Porţiunea 119874119860 este

zona de proporţionalitate a curbei caracteristice pe acest domeniu este valabilă legea lui

Hooke care exprimă o proporţionalitate icircntre tensiune şi deformaţie specifică

120590 = 119864 ∙ 휀 (441)

unde

119864 = reprezintă panta porţiunii liniare a curbei convenționale caracteristice

la tracțiune Caracteristica de material 119864 se numeşte modul de elasticitate longitudinal

(modulul lui Young)

Ordonata punctului 119861 pacircnă unde materialul se comportă perfect elastic adică

după descărcare icircşi recapătă dimensiunea iniţială 1198710 se numeşte limita de elasticitate

120590119890(119877119890) Icircn realitate nici un material nu are comportare perfect elastică sub acţiunea

solicitărilor el capătă deformaţii permanente (remanente plastice)

După punctul 119861 urmează o porţiune 119861119862119863 icircn care cu toate că icircncărcarea

continuă forţa nu mai creşte avacircnd mici oscilaţii icircn jurul unei valori Se spune că icircn

această porţiune materialul curge iar intervalul 119861119862119863 este un palier de curgere Tensiunea

corespunzătoare palierului de curgere se numeşte limită de curgere aparentă 120590119888(119877119888) Limita de curgere aparentă se calculează cu relaţia

120590119888 =1198651198881198600 (442)

unde

119865119888 reprezintă valoarea forţei icircnregistrată icircn momentul curgerii materialului

După punctul 119863 curba caracteristică are un traseu ascendent pacircnă icircn punctul 119864

Porţiunea 119863119864 este numită zonă de icircntărire (ecruisare) Icircn zona de ecruisare unde se

produc deformaţii plastice semnificative legea lui Hooke nu mai este valabilă La

descărcare relaţia dintre tensiunea şi deformaţia specifică este liniară paralelă cu

porţiunea liniară a curbei caracteristice (dreapta 119872119873)

Deformaţia totală (휀119905) are două componente una elastică (휀119890) şi una plastică (휀119901)

Ordonata punctului 119864 reprezintă rezistenţa de rupere 120590119903(119877119898) a materialului

care se poate calcula cu relaţia

120590119903 = 119877119898 =1198651198981198861199091198600

(443)

unde

119865119898119886119909 reprezintă valoarea maximă a forţei icircnregistrată icircn timpul icircncercării

La atingerea valorii 119865119898119886119909 (punctul 119864) icircntr-un anumit loc al epruvetei secţiunea

icircncepe să se micşoreze (se produce gacirctuirea) continuacircnd pacircnă cacircnd se produce ruperea

totală (punctul 119865)

Dacă după ruperea epruvetei cele două părţi rezultate se aşează cap la cap şi se

măsoară dimensiunea bazei de măsurare 119871119906 (lungimea ultimă) se determină alungirea la

rupere sau lungirea specifică la rupere 휀119903

휀119903 =119871119906 minus 11987101198710

=∆119871

1198710=120575

1198710 (444)

De obicei alungirea se exprimă icircn procente şi se notează cu 119860119899 unde 119899 reprezintă

numărul dat de raportul 11987101198890 (epruvete normale 119899 = 5 epruvete lungi 119899 = 10)

119860119899 =119871119906 minus 11987101198710

∙ 100 [] (445)

Altă mărime care se determină la icircncercarea la tracţiune este gacirctuirea la rupere

(exprimată de obicei icircn procente) şi definită de relaţia

119885 =1198600 minus 1198601199061198600

∙ 100 [] (446)

Mărimile determinate limita de proporţionalitate modulul de elasticitate

longitudinal limita de elasticitate limita de curgere aparentă rezistenţa de rupere

alungirea la rupere şi gacirctuirea la rupere sunt cunoscute ca fiind caracteristici mecanice

ale materialului

Din curba caracteristică convenţională observăm faptul că ruperea (punctul 119865 din

figura 48 se produce la o tensiune mai mică decacirct cea corespunzătoare punctului 119864 Dacă

icircnsă forţa din timpul icircncercării s-ar raporta la aria secţiunii din momentul icircnregistrării

forţei (care este mai mică decacirct cea iniţială 1198600) s-ar obţine aşa numita curbă

caracteristică reală a materialului (traseul 1198741198601198611198621198631198651 din figura 48) La curba

caracteristică reală ruperea se produce icircn punctul 1198651 la o icircncărcare mai mare decacirct cea

corespunzătoare punctului 119864 Icircnseamnă că rezistenţa reală la rupere este mai mare decacirct

rezistenţa la rupere dată de punctul 119864 din diagrama caracteristică convenţională

Dificultatea obţinerii diagramei caracteristice reale faţă de cea a diagramei caracteristice

convenţionale şi considerarea unei rezistenţe la rupere mai mică decacirct a celei reale face

icircn practică utilizarea pe scară mare a diagramei caracteristice convenţionale

Caracteristicile mecanice determinate pe baza curbei caracteristice convenţionale

sunt şi ele caracteristici mecanice convenţionale

Caracteristicile mecanice convenţionale limita de proporţionalitate convenţională

120590119901 limita de elasticitate convenţională 120590119890 limita de curgere convenţională 120590119888 şi rezistenţa

de rupere 120590119903 constituie tensiuni limită pentru un material Pe baza acestor caracteristici

de material se alege valoarea tensiunii admisibile 120590119886 (vezi paragraful 35) pentru

calculele de rezistenţă Cea mai utilizată stare limită pentru stabilirea tensiunii admisibile

120590119886 este limita de curgere convenţională 120590119888

120590119886 =120590119897119894119898119888

=120590119888119888 119904119886119906 120590119886 =

120590119903119888 (447)

Caracteristicile mecanice ale materialului sunt influenţate de o serie de factori

temperatura viteza de solicitare factorii tehnologici iar valorile lor sunt date icircn tabele și

diagrame

Aplicaţie Pentru suprafaţa plană compusă din două dreptunghiuri avacircnd

dimensiunile din figura 49a să se calculeze

a) centrul de greutate al secțiunii compuse 119910119866 119911119866

b) momentele de inerție axiale 119868119911 119868119910 și momentul de inerție centrifugal 119868119911119910

c) razele de inerție 119894119911 119894119910

d) modulele de rezistență 119882119911119898119894119899 119882119911119898119886119909 119882119910119898119894119899 119882119910119898119886119909

e) momentele de inerție principale 1198681 1198682 și direcțiile principale de inerție 1205721

f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 119878119911

Fig 49 Aplicație

Rezolvare Pentru rezolvare vom parcurge următoarele etape

icircmpărțim suprafața compusă icircn două suprafețe simple (dreptunghiuri) notate cu

① și respectiv ② figura 49b

poziționăm centrele de greutate a celor două suprafețe simple ① și respectiv ②

notate cu 1198661 și respectiv 1198662 figura 49c

poziționăm sistemele de axe de coordonate 119911111986611199101 pentru dreptunghiul ① și

119911211986621199102 pentru dreptunghiul ② aflate la intersecția diagonalelor figura 49c

poziționăm sistemele de axe de coordonate 11991101198741199100 ales arbitrar față de care

determinăm poziția centrului de greutate 119866 figura 49c

a) calculăm poziția centrului de greutate folosind relațiile (46) icircn care

1198601 = 6119905 ∙ 119905 = 61199052 1198602 = 4119905 ∙ 119905 = 41199052 119860 = 1198601 + 1198602 = 61199052 + 41199052 = 101199052

iar centrele de greutate 1198661 și respectiv 1198662 au coordonatele (față de sistemul 11991101198741199100)

1198661 1199101 = 3119905 1199111 = 05119905

1198662 1199102 = 051199051199112 = 3119905

cu acestea obținem

119910119866 =1198601 ∙ 1199101 + 1198602 ∙ 1199102

119860=61199052 ∙ 3119905 + 41199052 ∙ 05119905

101199052=201199053

101199052= 2119905

119911119866 =1198601 ∙ 1199111 + 1198602 ∙ 1199112

119860=61199052 ∙ 05119905 + 41199052 ∙ 3119905

101199052=151199053

101199052= 15119905

Poziționăm centrul de greutate 119866 al suprafeței compuse figura 49c

Fig 49 Aplicație

b) pentru determinarea momentelor de inerție axiale 119868119911 119868119910 și a momentului de

inerție centrifugal 119868119910119911 determinăm constantele 1198881 1198882 1198891 1198892 care intervin icircn relația lui

Stainer

1198881 = 1199101 minus 119910119866 = 3119905 minus 2119905 = 119905 1198882 = minus(119910119866 minus 1199102) = minus(2119905 minus 05119905) = minus15119905

1198891 = minus(119911119866 minus 1199111) = minus(15119905 minus 05119905) = minus119905 1198892 = 1199112 minus 119911119892 = 3119905 minus 15119905 = 15119905

Folosind relațiile lui Stainer (429) (430) și (431) calculăm momentele de

inerție axiale și centrifugale față de sistemul central 119911119866119866119910119866

119868119911 =sum(119868119911119894 + 1198881198942 ∙ 119860119894) = 1198681199111 + 1198881

2 ∙ 1198601 + 1198681199112 + 11988822 ∙ 1198602

119868119910 =sum(119868119910119894 + 1198891198942 ∙ 119860119894) = 1198681199101 + 1198891

2 ∙ 1198601 + 1198681199102 + 11988922 ∙ 1198602

119868119911119910 =sum(119868119911119894119910119894 + 119888119894 ∙ 119889119894 ∙ 119860119894) = 11986811991111199101 + 1198881 ∙ 1198891 ∙ 1198601 + 11986811991121199102 + 1198882 ∙ 1198892 ∙ 1198602

1198681199111 = (119887 ∙ ℎ3

12) =

119905 ∙ (6119905)3

12= 181199054 1198681199112 = (

119887 ∙ ℎ3

12) =

4119905 ∙ 1199053

12= 031199054

1198681199101 = (1198873 ∙ ℎ

12) =

1199053 ∙ 6119905

12= 051199054 1198681199102 = (

1198873 ∙ ℎ

12) =

(4119905)3 ∙ 119905

12= 531199054

11986811991111199101 = 11986811991121199102 = 0 deoarece cele două triunghiuri au cel puțin o axă de simetrie

Cu acestea momentele de inerție axiale și momentul de inerție centrifugal devin

119868119911 = 181199054 + 1199052 ∙ 61199052 + 031199054 + (minus15119905)2 ∙ 41199052 = 3331199054

119868119910 = 051199054 + (minus119905)2 ∙ 61199052 + 531199054 + (15119905)2 ∙ 41199052 = 2081199054

119868119911119910 = 0 + 119905 ∙ (minus119905) ∙ 61199052 + 0 + (minus15119905) ∙ (15119905) ∙ 41199052 = minus151199054

c) razele de inerție sau de girație față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910

se calculează cu relațiile (411)

119894119911 = radic119868119911119860= radic

3331199054

101199052= 182119905 119894119910 = radic

119868119910

119860= radic

2081199054

101199052= 144119905

d) modulele de rezistență față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910 se

calculează cu relațiile (412) și (413)

Avacircnd icircn vedere figura 419c obținem

119910119898119886119909 = 6119905 minus 119910119866 = 6119905 minus 2119905 = 4119905 119910119898119894119899 = minus119910119866 = minus2119905

119911119898119886119909 = 5119905 minus 119911119866 = 5119905 minus 15119905 = 35119905 119911119898119894119899 = minus119911119866 = minus15119905

Se obține astfel

119882119911119898119894119899 =119868119911

|119910119898119886119909|=3331199054

4119905= 8331199053

119882119911119898119886119909 =119868119911

|119910119898119894119899|=3331199054

2119905= 16651199053

119882119910119898119894119899 =119868119910

|119911119898119886119909|=2081199054

35119905= 5941199053

119882119910119898119886119909 =119868119910

|119911119898119894119899|=2081199054

15119905= 13871199053

e) momentele de inerție principale 1198681 și respectiv 1198682 se calculează cu relațiile

(438)

11986812 =119868119911 + 119868119910

2plusmn1

2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)

2+ 4 ∙ (119868119911119910)

2=

=3331199054 + 2081199054

2plusmn1

2∙ radic(3331199054 minus 2081199054)2 + 4 ∙ (minus151199054)2 = 27051199054 plusmn 16251199054

De unde obținem

1198681 = 27051199054 + 16251199054 = 4331199054

1198682 = 27051199054 minus 16251199054 = 1081199054

Prima direcție principală de inerție 1 face cu axa centrală 119866119911 unghiul 1205721 dat de

relația (437)

1205721 =1

2∙ arctan (minus

2 ∙ 119868119911119910

119868119911 minus 119868119910) =

1

2∙ arctan [minus

2 ∙ (minus151199054)

3331199054 minus 2081199054] =33 70

Deoarece 1205721 gt 0 rotirea axelor se face acircn sens antiorar acelor de ceasornic figura

49d

Poziția axe principale 2 față de care momentul de inerție are valoarea minimă

1198682 = 119868119898119894119899 este dată de unghiul

1205722 = 1205721 + 900 = 33 70 + 900 = 123 70

f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 se determină cu relația

(45)

1198781199111198602 = 1198602 ∙ 1198882 = 41199052 ∙ (minus15119905) = minus61199053

Fig 46 Secțiune inelară

119882119901 =120587 ∙ 1198633

16∙ [1 minus (

119889

119863)4

] =120587 ∙ 1198633

16∙ (1 minus 1198964) (427)

119882119911 = 119882119910 =120587 ∙ 1198633

32∙ [1 minus (

119889

119863)4

] =120587 ∙ 1198633

32∙ (1 minus 1198964) (428)

unde 119896 = 119889119863frasl

46 Variaţia momentelor de inerţie faţă de axe paralele

( Relațiile lui STEINER)

Se consideră o suprafaţă oarecare de arie 119860 cu elementul de arie 119889119860 și un sistemul

de axe central 119911119862119910 faţă de care se cunosc momentele de inerţie 119868119911 119868119910 119868119911119910 şi considerăm

un sistem de axe 11991111198741199101 paralele cu sistemul central figura 47 Se pune problema

determinării momentele de inerţie 1198681199111 1198681199101 11986811991111199101 faţă de sistemul de axe paralel cu sistemul

central 11991111198741199101 axe aflate la distanţele 119910119862 = 119888 respectiv 119911119862 = 119889 de acesta

461 Momente de inerţie axiale

Pe baza relaţiilor de definire şi a notaţiilor din figura 42 pentru momentele de

inerţie faţă de axele 1198741199111 1198741199101 se poate scrie

1198681199111 = int 11991012 ∙ 119889119860

119860

= int(119910 + 119888)2 ∙ 119889119860

119860

= int 1199102 ∙ 119889119860

119860

+ 2 ∙ 119888 ∙ int 119910 ∙ 119889119860

119860

+

+1198882int 119889119860

119860

rArr 1198681199111 = 119868119911 + 2 ∙ 119888 ∙ 119878119911 + 1198882 ∙ 119860 hArr 1198681199111 = 119868119911 + 119888

2 ∙ 119860

(429)

Fig 47 Variaţia momentelor de inerţie față de axe paralele

S-a ajuns la relația (429) deoarece momentul static 119878119911 este nul deoarece axa 119862119885

este axă centrală

Pentru momentul de inerție axial icircn raport cu axa 1198741199101 se obține

1198681199101 = int 11991112 ∙ 119889119860

119860

= int(119911 + 119889)2 ∙ 119889119860

119860

= int 1199112 ∙ 119889119860

119860

+ 2 ∙ 119889 ∙ int 119911 ∙ 119889119860

119860

+

+1198892 ∙ int 119889119860

119860

rArr 1198681199101 = 119868119910 + 2 ∙ 119889 ∙ 119878119910 + 1198892 ∙ 119860 hArr 1198681199101 = 119868119910 + 119889

2 ∙ 119860

(430)

Pentru momentul de inerție centrifugal obținem

11986811991111199101 = int 1199101 ∙ 1199111 ∙ 119889119860

119860

= int(119910 + 119888) ∙ (119911 + 119889) ∙ 119889119860

119860

= int 119910 ∙ 119911 ∙ 119889119860 +

119860

+119888 ∙ int 119911 ∙ 119889119860

119860

+ 119889 ∙ int 119910 ∙ 119889119860

119860

rArr 11986811991111199101 = 119868119911119910 + 119888 ∙ 119889 ∙ 119860

(431)

Deoarece

int 119911 ∙ 119889119860

119860

= 119878119910 = 0 int 119910 ∙ 119889119860

119860

= 119878119911 = 0 int 119910 ∙ 119911 ∙ 119889119860

119860

= 119868119911119910

Relaţiile (429) şi (430) arată că momentul de inerţie faţă de o axă oarecare

este egal cu momentul de inerţie faţă de o axă paralelă cu ea trecacircnd prin centrul de

greutate la care se adaugă produsul dintre aria suprafeţei şi pătratul distanţei dintre

cele două axe

Din relaţiile (429) și (430) rezultă de asemenea că momentul de inerţie faţă de o

axă centrală (care trece prin centrul de greutate) este cel mai mic dintre infinitatea de

momente de inerţie obținute faţă de alte axe paralele cu ea

Relaţia (431) arată de asemenea că momentul de inerţie centrifugal faţă de un

sistem de axe oarecare este egal cu momentul de inerţie centrifugal faţă de un sistem

paralele cu el trecacircnd prin centrul de greutate a suprafeţei la care se adaugă produsul

dintre aria suprafeţei şi distanţele dintre axele sistemelor respective

Icircn literatura de specialitate relaţiile (429) (430) şi (431) sunt cunoscute sub

numele de relaţiile lui Steiner

47 Variaţia momentrlor de inerţie faţă de axe rotite

Direcţii principale şi momente de inerţie principale

Fie suprafaţa plană din figura 48 de arie 119860 pe care considerăm o suprafaţă

elementară de arie 119889119860 Pentru sistemul de axe 119911119874119910 se cunosc momentele de inerţie

119868119911 119868119910 119868119911119910 şi vom determina relaţiile de calcul pentru momentele de inerţie afererent unui

sistem de axe 11991111198741199101 rotit cu un unghi faţă de sistemul central

Faţă de sistemul de axe 11991111198741199101 elementul de arie 119889119860 are coordonatele

1199101 = 119875119877 = 119875119876 minus 119877119876 = 119910 ∙ cos 120572 minus 119911 ∙ sin 120572

1199111 = 119873119872 = 119873119875 minus 119875119872 = 119911 ∙ cos 120572 + 119910 ∙ sin 120572 (432)

Fig 47 Variaţia momentelor de inerţie față de axe rotite

Pe baza relaţiilor de calcul ale momentelor de inerţie şi a notaţiilor din figura 42

şi ale relaţiilor (432) momentele de inerţie faţă de sistemul de axe rotit 11991111198741199101 sunt

1198681199111 =119868119911 + 119868119910

2+119868119911 minus 119868119910

2∙ cos 2120572 minus 119868119911119910 ∙ sin 2120572 (433)

1198681199101 =119868119911 + 119868119910

2minus119868119911 minus 119868119910

2∙ cos 2120572 + 119868119911119910 ∙ sin 2120572 (434)

11986811991111199101 =119868119911 minus 119868119910

2∙ sin 2120572 + 119868119911119910 ∙ cos 2120572 (435)

Din relaţiile 433divide435 se observă că icircntre momentele de inerţie axiale şi cele

polare există relaţia

1198681199111 + 1198681199101 = 119868119911 + 119868119910 = 119868119901 (436)

adică suma momentelor de inerţie axiale icircn raport cu orice pereche de axe ortogonale

care trec printr-un pol dat este o constantă şi egală cu momentul de inerţie polar

Prin rotirea sistemului de axe din relaţiile 433divide435 rezultă că momentele de inerţie

variază icircnsă suma lor rămacircne constantă deci există o poziţie a sistemului de axe pentru

care momentele de inerţie au valori extreme maxim respectiv minim

471 Direcţii principale de inerţie

Valoarea unghiului 120572 pentru care momentele de inerţie axiale au valori extreme

este

1205721 =1

2∙ 119886119903119888119905119886119899 (minus

2 ∙ 119868119911119910

119868119911 minus 119868119910) (437)

Poziţia celeilalte direcţii este perpendiculară pe cea dată de unghiul 1205721

Din relaţia (437) se constată că faţă de aceste direcţii rotite pentru care momentele

de inerţie axiale prezintă valori extreme momentul de inerţie centrifugal 11986811991111199101este nul

Atunci se poate afirma că momentele de inerţie axiale au valori extreme icircn raport cu

direcţiile faţă de care momentul de inerţie centrifugal este nul Aceste direcţii se numesc

direcţii principale iar momentele de inerţie faţă de aceste direcţii poartă numele de

momente de inerţie principale

Icircn calculele de rezistenţă interesează icircn mod special poziţia direcţiilor principale

care trec prin centrul de greutate al suprafeţei aşa numitele direcţii principale centrale şi

evident momentele de inerţie principale centrale

Direcţiile principale de inerţie se notează cu 1 respectiv 2 Axa principală 1

corespunde direcţiei faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea maximă iar

axa principală 2 pentru direcţia faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea

minimă

472 Momente de inerţie principale

Momentele de inerţie principale se notează cu litera 119868 la care se pune indicele 1

sau 2 după cum valoarea acestuia este maximă sau minimă deci avem un moment de

inerţie principal 1 (notat 1198681) respectiv moment de inerţie principal 2 (notat 1198682)

Expresiile pentru momentele de inerţie principale sunt

11986812 =119868119911 + 119868119910

2plusmn1

2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)

2+ 4 ∙ (119868119911119910)

2 (438)

Dacă momentul de inerţie centrifugal este negativ (119868119911119910 lt 0) direcţia principală

care trece prin primul cadran (definit de sistemul 119911119862119910) este direcţia principală 120783

Pentru suprafeţele cu cel puţin o axă de simetrie direcţiile centrale 119862119911 119862119910 sunt şi

direcții principale de inerţie și evident momentele de inerţie axiale 119868119911 119868119910 sunt momente

de inerţie principale

48 Caracteristici mecanice ale metalelor

Alegerea materialului pentru confecţionarea unei anumite piese se face şi pe baza

aşa numitelor caracteristici mecanice pe care le prezintă materialul Cunoaşterea acestor

caracteristici mecanice are loc numai pe baza unor icircncercări mecanice care să scoată icircn

evidenţă comportarea materialului icircn condiţii de solicitare

Cea mai utilizată icircncercare icircn urma căreia se pun icircn evidenţă caracteristicile

mecanice ale unui material este icircncercarea la tracţiune

481 Icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general

Icircncercarea la tracţiune a oţelului ca de altfel toate icircncercările de materiale este

standardizată

Icircn cele ce urmează se va prezenta numai partea care interesează strict din punct

de vedere al caracteristicilor mecanice ale oţelului

Epruveta de diametru iniţial 1198890 pentru icircncercarea la tracţiune are o porţiune de

lungime 1198710 numită baza de măsurare pe care se măsoară lungirea acesteia sub acţiunea

solicitării

Icircn funcţie de raportul dintre baza de măsurare 1198710 şi diametrul iniţial 1198890 epruvetele

utilizate pentru icircncercări sunt

epruvete normale (scurte) cacircnd 11987101198890 = 5

epruvete lungi cacircnd 11987101198890 = 10

Icircn timpul icircncercării la diferite valori ale forţei 119865 se măsoară lungirea bazei de

măsurare

∆119871 = 120575 = 119871 minus 1198710 (439)

unde

119871 este dimensiunea bazei de măsurare la un moment dat

Curba forţă-lungire (119865 minus ) icircnregistrată icircn urma icircncercării reprezintă curba

caracteristică la tracţiune

La icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general diagrama caracteristică care se

obţine are forma din figura 48

Curba caracteristică la tracţiune depinde de lungimea bazei de măsurare Pentru

icircnlăturarea acestui neajuns curba caracteristică se reprezintă icircn coordonate şi definite

astfel

120590 =119865

1198600 휀 =

120575

1198710 (440)

unde

1198600 este aria iniţială a secţiunii transversale a epruvetei (icircnainte de solicitare) icircn

zona bazei de măsurare

1198600 =120587 ∙ 1198890

2

4

Deoarece mărimile icircn care se reprezintă curba caracteristică la tracţiune sunt

raportate la aria iniţială a secţiunii transversale (mărimi specifice) curba poartă numele

de curbă caracteristică convenţională la tracţiune

Fig 48 Curba caracteristică convenţională la tracțiune

Pe curba caracteristică convenţională la tracţiune figura 48 se pot stabili o serie

de puncte cărora le corespund mai multe mărimi importante

Ordonata punctului A pacircnă unde curba caracteristică convenţională este linie

dreaptă se numeşte limita de proporţionalitate a materialului 120590119901(1205901) Porţiunea 119874119860 este

zona de proporţionalitate a curbei caracteristice pe acest domeniu este valabilă legea lui

Hooke care exprimă o proporţionalitate icircntre tensiune şi deformaţie specifică

120590 = 119864 ∙ 휀 (441)

unde

119864 = reprezintă panta porţiunii liniare a curbei convenționale caracteristice

la tracțiune Caracteristica de material 119864 se numeşte modul de elasticitate longitudinal

(modulul lui Young)

Ordonata punctului 119861 pacircnă unde materialul se comportă perfect elastic adică

după descărcare icircşi recapătă dimensiunea iniţială 1198710 se numeşte limita de elasticitate

120590119890(119877119890) Icircn realitate nici un material nu are comportare perfect elastică sub acţiunea

solicitărilor el capătă deformaţii permanente (remanente plastice)

După punctul 119861 urmează o porţiune 119861119862119863 icircn care cu toate că icircncărcarea

continuă forţa nu mai creşte avacircnd mici oscilaţii icircn jurul unei valori Se spune că icircn

această porţiune materialul curge iar intervalul 119861119862119863 este un palier de curgere Tensiunea

corespunzătoare palierului de curgere se numeşte limită de curgere aparentă 120590119888(119877119888) Limita de curgere aparentă se calculează cu relaţia

120590119888 =1198651198881198600 (442)

unde

119865119888 reprezintă valoarea forţei icircnregistrată icircn momentul curgerii materialului

După punctul 119863 curba caracteristică are un traseu ascendent pacircnă icircn punctul 119864

Porţiunea 119863119864 este numită zonă de icircntărire (ecruisare) Icircn zona de ecruisare unde se

produc deformaţii plastice semnificative legea lui Hooke nu mai este valabilă La

descărcare relaţia dintre tensiunea şi deformaţia specifică este liniară paralelă cu

porţiunea liniară a curbei caracteristice (dreapta 119872119873)

Deformaţia totală (휀119905) are două componente una elastică (휀119890) şi una plastică (휀119901)

Ordonata punctului 119864 reprezintă rezistenţa de rupere 120590119903(119877119898) a materialului

care se poate calcula cu relaţia

120590119903 = 119877119898 =1198651198981198861199091198600

(443)

unde

119865119898119886119909 reprezintă valoarea maximă a forţei icircnregistrată icircn timpul icircncercării

La atingerea valorii 119865119898119886119909 (punctul 119864) icircntr-un anumit loc al epruvetei secţiunea

icircncepe să se micşoreze (se produce gacirctuirea) continuacircnd pacircnă cacircnd se produce ruperea

totală (punctul 119865)

Dacă după ruperea epruvetei cele două părţi rezultate se aşează cap la cap şi se

măsoară dimensiunea bazei de măsurare 119871119906 (lungimea ultimă) se determină alungirea la

rupere sau lungirea specifică la rupere 휀119903

휀119903 =119871119906 minus 11987101198710

=∆119871

1198710=120575

1198710 (444)

De obicei alungirea se exprimă icircn procente şi se notează cu 119860119899 unde 119899 reprezintă

numărul dat de raportul 11987101198890 (epruvete normale 119899 = 5 epruvete lungi 119899 = 10)

119860119899 =119871119906 minus 11987101198710

∙ 100 [] (445)

Altă mărime care se determină la icircncercarea la tracţiune este gacirctuirea la rupere

(exprimată de obicei icircn procente) şi definită de relaţia

119885 =1198600 minus 1198601199061198600

∙ 100 [] (446)

Mărimile determinate limita de proporţionalitate modulul de elasticitate

longitudinal limita de elasticitate limita de curgere aparentă rezistenţa de rupere

alungirea la rupere şi gacirctuirea la rupere sunt cunoscute ca fiind caracteristici mecanice

ale materialului

Din curba caracteristică convenţională observăm faptul că ruperea (punctul 119865 din

figura 48 se produce la o tensiune mai mică decacirct cea corespunzătoare punctului 119864 Dacă

icircnsă forţa din timpul icircncercării s-ar raporta la aria secţiunii din momentul icircnregistrării

forţei (care este mai mică decacirct cea iniţială 1198600) s-ar obţine aşa numita curbă

caracteristică reală a materialului (traseul 1198741198601198611198621198631198651 din figura 48) La curba

caracteristică reală ruperea se produce icircn punctul 1198651 la o icircncărcare mai mare decacirct cea

corespunzătoare punctului 119864 Icircnseamnă că rezistenţa reală la rupere este mai mare decacirct

rezistenţa la rupere dată de punctul 119864 din diagrama caracteristică convenţională

Dificultatea obţinerii diagramei caracteristice reale faţă de cea a diagramei caracteristice

convenţionale şi considerarea unei rezistenţe la rupere mai mică decacirct a celei reale face

icircn practică utilizarea pe scară mare a diagramei caracteristice convenţionale

Caracteristicile mecanice determinate pe baza curbei caracteristice convenţionale

sunt şi ele caracteristici mecanice convenţionale

Caracteristicile mecanice convenţionale limita de proporţionalitate convenţională

120590119901 limita de elasticitate convenţională 120590119890 limita de curgere convenţională 120590119888 şi rezistenţa

de rupere 120590119903 constituie tensiuni limită pentru un material Pe baza acestor caracteristici

de material se alege valoarea tensiunii admisibile 120590119886 (vezi paragraful 35) pentru

calculele de rezistenţă Cea mai utilizată stare limită pentru stabilirea tensiunii admisibile

120590119886 este limita de curgere convenţională 120590119888

120590119886 =120590119897119894119898119888

=120590119888119888 119904119886119906 120590119886 =

120590119903119888 (447)

Caracteristicile mecanice ale materialului sunt influenţate de o serie de factori

temperatura viteza de solicitare factorii tehnologici iar valorile lor sunt date icircn tabele și

diagrame

Aplicaţie Pentru suprafaţa plană compusă din două dreptunghiuri avacircnd

dimensiunile din figura 49a să se calculeze

a) centrul de greutate al secțiunii compuse 119910119866 119911119866

b) momentele de inerție axiale 119868119911 119868119910 și momentul de inerție centrifugal 119868119911119910

c) razele de inerție 119894119911 119894119910

d) modulele de rezistență 119882119911119898119894119899 119882119911119898119886119909 119882119910119898119894119899 119882119910119898119886119909

e) momentele de inerție principale 1198681 1198682 și direcțiile principale de inerție 1205721

f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 119878119911

Fig 49 Aplicație

Rezolvare Pentru rezolvare vom parcurge următoarele etape

icircmpărțim suprafața compusă icircn două suprafețe simple (dreptunghiuri) notate cu

① și respectiv ② figura 49b

poziționăm centrele de greutate a celor două suprafețe simple ① și respectiv ②

notate cu 1198661 și respectiv 1198662 figura 49c

poziționăm sistemele de axe de coordonate 119911111986611199101 pentru dreptunghiul ① și

119911211986621199102 pentru dreptunghiul ② aflate la intersecția diagonalelor figura 49c

poziționăm sistemele de axe de coordonate 11991101198741199100 ales arbitrar față de care

determinăm poziția centrului de greutate 119866 figura 49c

a) calculăm poziția centrului de greutate folosind relațiile (46) icircn care

1198601 = 6119905 ∙ 119905 = 61199052 1198602 = 4119905 ∙ 119905 = 41199052 119860 = 1198601 + 1198602 = 61199052 + 41199052 = 101199052

iar centrele de greutate 1198661 și respectiv 1198662 au coordonatele (față de sistemul 11991101198741199100)

1198661 1199101 = 3119905 1199111 = 05119905

1198662 1199102 = 051199051199112 = 3119905

cu acestea obținem

119910119866 =1198601 ∙ 1199101 + 1198602 ∙ 1199102

119860=61199052 ∙ 3119905 + 41199052 ∙ 05119905

101199052=201199053

101199052= 2119905

119911119866 =1198601 ∙ 1199111 + 1198602 ∙ 1199112

119860=61199052 ∙ 05119905 + 41199052 ∙ 3119905

101199052=151199053

101199052= 15119905

Poziționăm centrul de greutate 119866 al suprafeței compuse figura 49c

Fig 49 Aplicație

b) pentru determinarea momentelor de inerție axiale 119868119911 119868119910 și a momentului de

inerție centrifugal 119868119910119911 determinăm constantele 1198881 1198882 1198891 1198892 care intervin icircn relația lui

Stainer

1198881 = 1199101 minus 119910119866 = 3119905 minus 2119905 = 119905 1198882 = minus(119910119866 minus 1199102) = minus(2119905 minus 05119905) = minus15119905

1198891 = minus(119911119866 minus 1199111) = minus(15119905 minus 05119905) = minus119905 1198892 = 1199112 minus 119911119892 = 3119905 minus 15119905 = 15119905

Folosind relațiile lui Stainer (429) (430) și (431) calculăm momentele de

inerție axiale și centrifugale față de sistemul central 119911119866119866119910119866

119868119911 =sum(119868119911119894 + 1198881198942 ∙ 119860119894) = 1198681199111 + 1198881

2 ∙ 1198601 + 1198681199112 + 11988822 ∙ 1198602

119868119910 =sum(119868119910119894 + 1198891198942 ∙ 119860119894) = 1198681199101 + 1198891

2 ∙ 1198601 + 1198681199102 + 11988922 ∙ 1198602

119868119911119910 =sum(119868119911119894119910119894 + 119888119894 ∙ 119889119894 ∙ 119860119894) = 11986811991111199101 + 1198881 ∙ 1198891 ∙ 1198601 + 11986811991121199102 + 1198882 ∙ 1198892 ∙ 1198602

1198681199111 = (119887 ∙ ℎ3

12) =

119905 ∙ (6119905)3

12= 181199054 1198681199112 = (

119887 ∙ ℎ3

12) =

4119905 ∙ 1199053

12= 031199054

1198681199101 = (1198873 ∙ ℎ

12) =

1199053 ∙ 6119905

12= 051199054 1198681199102 = (

1198873 ∙ ℎ

12) =

(4119905)3 ∙ 119905

12= 531199054

11986811991111199101 = 11986811991121199102 = 0 deoarece cele două triunghiuri au cel puțin o axă de simetrie

Cu acestea momentele de inerție axiale și momentul de inerție centrifugal devin

119868119911 = 181199054 + 1199052 ∙ 61199052 + 031199054 + (minus15119905)2 ∙ 41199052 = 3331199054

119868119910 = 051199054 + (minus119905)2 ∙ 61199052 + 531199054 + (15119905)2 ∙ 41199052 = 2081199054

119868119911119910 = 0 + 119905 ∙ (minus119905) ∙ 61199052 + 0 + (minus15119905) ∙ (15119905) ∙ 41199052 = minus151199054

c) razele de inerție sau de girație față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910

se calculează cu relațiile (411)

119894119911 = radic119868119911119860= radic

3331199054

101199052= 182119905 119894119910 = radic

119868119910

119860= radic

2081199054

101199052= 144119905

d) modulele de rezistență față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910 se

calculează cu relațiile (412) și (413)

Avacircnd icircn vedere figura 419c obținem

119910119898119886119909 = 6119905 minus 119910119866 = 6119905 minus 2119905 = 4119905 119910119898119894119899 = minus119910119866 = minus2119905

119911119898119886119909 = 5119905 minus 119911119866 = 5119905 minus 15119905 = 35119905 119911119898119894119899 = minus119911119866 = minus15119905

Se obține astfel

119882119911119898119894119899 =119868119911

|119910119898119886119909|=3331199054

4119905= 8331199053

119882119911119898119886119909 =119868119911

|119910119898119894119899|=3331199054

2119905= 16651199053

119882119910119898119894119899 =119868119910

|119911119898119886119909|=2081199054

35119905= 5941199053

119882119910119898119886119909 =119868119910

|119911119898119894119899|=2081199054

15119905= 13871199053

e) momentele de inerție principale 1198681 și respectiv 1198682 se calculează cu relațiile

(438)

11986812 =119868119911 + 119868119910

2plusmn1

2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)

2+ 4 ∙ (119868119911119910)

2=

=3331199054 + 2081199054

2plusmn1

2∙ radic(3331199054 minus 2081199054)2 + 4 ∙ (minus151199054)2 = 27051199054 plusmn 16251199054

De unde obținem

1198681 = 27051199054 + 16251199054 = 4331199054

1198682 = 27051199054 minus 16251199054 = 1081199054

Prima direcție principală de inerție 1 face cu axa centrală 119866119911 unghiul 1205721 dat de

relația (437)

1205721 =1

2∙ arctan (minus

2 ∙ 119868119911119910

119868119911 minus 119868119910) =

1

2∙ arctan [minus

2 ∙ (minus151199054)

3331199054 minus 2081199054] =33 70

Deoarece 1205721 gt 0 rotirea axelor se face acircn sens antiorar acelor de ceasornic figura

49d

Poziția axe principale 2 față de care momentul de inerție are valoarea minimă

1198682 = 119868119898119894119899 este dată de unghiul

1205722 = 1205721 + 900 = 33 70 + 900 = 123 70

f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 se determină cu relația

(45)

1198781199111198602 = 1198602 ∙ 1198882 = 41199052 ∙ (minus15119905) = minus61199053

Fig 47 Variaţia momentelor de inerţie față de axe paralele

S-a ajuns la relația (429) deoarece momentul static 119878119911 este nul deoarece axa 119862119885

este axă centrală

Pentru momentul de inerție axial icircn raport cu axa 1198741199101 se obține

1198681199101 = int 11991112 ∙ 119889119860

119860

= int(119911 + 119889)2 ∙ 119889119860

119860

= int 1199112 ∙ 119889119860

119860

+ 2 ∙ 119889 ∙ int 119911 ∙ 119889119860

119860

+

+1198892 ∙ int 119889119860

119860

rArr 1198681199101 = 119868119910 + 2 ∙ 119889 ∙ 119878119910 + 1198892 ∙ 119860 hArr 1198681199101 = 119868119910 + 119889

2 ∙ 119860

(430)

Pentru momentul de inerție centrifugal obținem

11986811991111199101 = int 1199101 ∙ 1199111 ∙ 119889119860

119860

= int(119910 + 119888) ∙ (119911 + 119889) ∙ 119889119860

119860

= int 119910 ∙ 119911 ∙ 119889119860 +

119860

+119888 ∙ int 119911 ∙ 119889119860

119860

+ 119889 ∙ int 119910 ∙ 119889119860

119860

rArr 11986811991111199101 = 119868119911119910 + 119888 ∙ 119889 ∙ 119860

(431)

Deoarece

int 119911 ∙ 119889119860

119860

= 119878119910 = 0 int 119910 ∙ 119889119860

119860

= 119878119911 = 0 int 119910 ∙ 119911 ∙ 119889119860

119860

= 119868119911119910

Relaţiile (429) şi (430) arată că momentul de inerţie faţă de o axă oarecare

este egal cu momentul de inerţie faţă de o axă paralelă cu ea trecacircnd prin centrul de

greutate la care se adaugă produsul dintre aria suprafeţei şi pătratul distanţei dintre

cele două axe

Din relaţiile (429) și (430) rezultă de asemenea că momentul de inerţie faţă de o

axă centrală (care trece prin centrul de greutate) este cel mai mic dintre infinitatea de

momente de inerţie obținute faţă de alte axe paralele cu ea

Relaţia (431) arată de asemenea că momentul de inerţie centrifugal faţă de un

sistem de axe oarecare este egal cu momentul de inerţie centrifugal faţă de un sistem

paralele cu el trecacircnd prin centrul de greutate a suprafeţei la care se adaugă produsul

dintre aria suprafeţei şi distanţele dintre axele sistemelor respective

Icircn literatura de specialitate relaţiile (429) (430) şi (431) sunt cunoscute sub

numele de relaţiile lui Steiner

47 Variaţia momentrlor de inerţie faţă de axe rotite

Direcţii principale şi momente de inerţie principale

Fie suprafaţa plană din figura 48 de arie 119860 pe care considerăm o suprafaţă

elementară de arie 119889119860 Pentru sistemul de axe 119911119874119910 se cunosc momentele de inerţie

119868119911 119868119910 119868119911119910 şi vom determina relaţiile de calcul pentru momentele de inerţie afererent unui

sistem de axe 11991111198741199101 rotit cu un unghi faţă de sistemul central

Faţă de sistemul de axe 11991111198741199101 elementul de arie 119889119860 are coordonatele

1199101 = 119875119877 = 119875119876 minus 119877119876 = 119910 ∙ cos 120572 minus 119911 ∙ sin 120572

1199111 = 119873119872 = 119873119875 minus 119875119872 = 119911 ∙ cos 120572 + 119910 ∙ sin 120572 (432)

Fig 47 Variaţia momentelor de inerţie față de axe rotite

Pe baza relaţiilor de calcul ale momentelor de inerţie şi a notaţiilor din figura 42

şi ale relaţiilor (432) momentele de inerţie faţă de sistemul de axe rotit 11991111198741199101 sunt

1198681199111 =119868119911 + 119868119910

2+119868119911 minus 119868119910

2∙ cos 2120572 minus 119868119911119910 ∙ sin 2120572 (433)

1198681199101 =119868119911 + 119868119910

2minus119868119911 minus 119868119910

2∙ cos 2120572 + 119868119911119910 ∙ sin 2120572 (434)

11986811991111199101 =119868119911 minus 119868119910

2∙ sin 2120572 + 119868119911119910 ∙ cos 2120572 (435)

Din relaţiile 433divide435 se observă că icircntre momentele de inerţie axiale şi cele

polare există relaţia

1198681199111 + 1198681199101 = 119868119911 + 119868119910 = 119868119901 (436)

adică suma momentelor de inerţie axiale icircn raport cu orice pereche de axe ortogonale

care trec printr-un pol dat este o constantă şi egală cu momentul de inerţie polar

Prin rotirea sistemului de axe din relaţiile 433divide435 rezultă că momentele de inerţie

variază icircnsă suma lor rămacircne constantă deci există o poziţie a sistemului de axe pentru

care momentele de inerţie au valori extreme maxim respectiv minim

471 Direcţii principale de inerţie

Valoarea unghiului 120572 pentru care momentele de inerţie axiale au valori extreme

este

1205721 =1

2∙ 119886119903119888119905119886119899 (minus

2 ∙ 119868119911119910

119868119911 minus 119868119910) (437)

Poziţia celeilalte direcţii este perpendiculară pe cea dată de unghiul 1205721

Din relaţia (437) se constată că faţă de aceste direcţii rotite pentru care momentele

de inerţie axiale prezintă valori extreme momentul de inerţie centrifugal 11986811991111199101este nul

Atunci se poate afirma că momentele de inerţie axiale au valori extreme icircn raport cu

direcţiile faţă de care momentul de inerţie centrifugal este nul Aceste direcţii se numesc

direcţii principale iar momentele de inerţie faţă de aceste direcţii poartă numele de

momente de inerţie principale

Icircn calculele de rezistenţă interesează icircn mod special poziţia direcţiilor principale

care trec prin centrul de greutate al suprafeţei aşa numitele direcţii principale centrale şi

evident momentele de inerţie principale centrale

Direcţiile principale de inerţie se notează cu 1 respectiv 2 Axa principală 1

corespunde direcţiei faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea maximă iar

axa principală 2 pentru direcţia faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea

minimă

472 Momente de inerţie principale

Momentele de inerţie principale se notează cu litera 119868 la care se pune indicele 1

sau 2 după cum valoarea acestuia este maximă sau minimă deci avem un moment de

inerţie principal 1 (notat 1198681) respectiv moment de inerţie principal 2 (notat 1198682)

Expresiile pentru momentele de inerţie principale sunt

11986812 =119868119911 + 119868119910

2plusmn1

2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)

2+ 4 ∙ (119868119911119910)

2 (438)

Dacă momentul de inerţie centrifugal este negativ (119868119911119910 lt 0) direcţia principală

care trece prin primul cadran (definit de sistemul 119911119862119910) este direcţia principală 120783

Pentru suprafeţele cu cel puţin o axă de simetrie direcţiile centrale 119862119911 119862119910 sunt şi

direcții principale de inerţie și evident momentele de inerţie axiale 119868119911 119868119910 sunt momente

de inerţie principale

48 Caracteristici mecanice ale metalelor

Alegerea materialului pentru confecţionarea unei anumite piese se face şi pe baza

aşa numitelor caracteristici mecanice pe care le prezintă materialul Cunoaşterea acestor

caracteristici mecanice are loc numai pe baza unor icircncercări mecanice care să scoată icircn

evidenţă comportarea materialului icircn condiţii de solicitare

Cea mai utilizată icircncercare icircn urma căreia se pun icircn evidenţă caracteristicile

mecanice ale unui material este icircncercarea la tracţiune

481 Icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general

Icircncercarea la tracţiune a oţelului ca de altfel toate icircncercările de materiale este

standardizată

Icircn cele ce urmează se va prezenta numai partea care interesează strict din punct

de vedere al caracteristicilor mecanice ale oţelului

Epruveta de diametru iniţial 1198890 pentru icircncercarea la tracţiune are o porţiune de

lungime 1198710 numită baza de măsurare pe care se măsoară lungirea acesteia sub acţiunea

solicitării

Icircn funcţie de raportul dintre baza de măsurare 1198710 şi diametrul iniţial 1198890 epruvetele

utilizate pentru icircncercări sunt

epruvete normale (scurte) cacircnd 11987101198890 = 5

epruvete lungi cacircnd 11987101198890 = 10

Icircn timpul icircncercării la diferite valori ale forţei 119865 se măsoară lungirea bazei de

măsurare

∆119871 = 120575 = 119871 minus 1198710 (439)

unde

119871 este dimensiunea bazei de măsurare la un moment dat

Curba forţă-lungire (119865 minus ) icircnregistrată icircn urma icircncercării reprezintă curba

caracteristică la tracţiune

La icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general diagrama caracteristică care se

obţine are forma din figura 48

Curba caracteristică la tracţiune depinde de lungimea bazei de măsurare Pentru

icircnlăturarea acestui neajuns curba caracteristică se reprezintă icircn coordonate şi definite

astfel

120590 =119865

1198600 휀 =

120575

1198710 (440)

unde

1198600 este aria iniţială a secţiunii transversale a epruvetei (icircnainte de solicitare) icircn

zona bazei de măsurare

1198600 =120587 ∙ 1198890

2

4

Deoarece mărimile icircn care se reprezintă curba caracteristică la tracţiune sunt

raportate la aria iniţială a secţiunii transversale (mărimi specifice) curba poartă numele

de curbă caracteristică convenţională la tracţiune

Fig 48 Curba caracteristică convenţională la tracțiune

Pe curba caracteristică convenţională la tracţiune figura 48 se pot stabili o serie

de puncte cărora le corespund mai multe mărimi importante

Ordonata punctului A pacircnă unde curba caracteristică convenţională este linie

dreaptă se numeşte limita de proporţionalitate a materialului 120590119901(1205901) Porţiunea 119874119860 este

zona de proporţionalitate a curbei caracteristice pe acest domeniu este valabilă legea lui

Hooke care exprimă o proporţionalitate icircntre tensiune şi deformaţie specifică

120590 = 119864 ∙ 휀 (441)

unde

119864 = reprezintă panta porţiunii liniare a curbei convenționale caracteristice

la tracțiune Caracteristica de material 119864 se numeşte modul de elasticitate longitudinal

(modulul lui Young)

Ordonata punctului 119861 pacircnă unde materialul se comportă perfect elastic adică

după descărcare icircşi recapătă dimensiunea iniţială 1198710 se numeşte limita de elasticitate

120590119890(119877119890) Icircn realitate nici un material nu are comportare perfect elastică sub acţiunea

solicitărilor el capătă deformaţii permanente (remanente plastice)

După punctul 119861 urmează o porţiune 119861119862119863 icircn care cu toate că icircncărcarea

continuă forţa nu mai creşte avacircnd mici oscilaţii icircn jurul unei valori Se spune că icircn

această porţiune materialul curge iar intervalul 119861119862119863 este un palier de curgere Tensiunea

corespunzătoare palierului de curgere se numeşte limită de curgere aparentă 120590119888(119877119888) Limita de curgere aparentă se calculează cu relaţia

120590119888 =1198651198881198600 (442)

unde

119865119888 reprezintă valoarea forţei icircnregistrată icircn momentul curgerii materialului

După punctul 119863 curba caracteristică are un traseu ascendent pacircnă icircn punctul 119864

Porţiunea 119863119864 este numită zonă de icircntărire (ecruisare) Icircn zona de ecruisare unde se

produc deformaţii plastice semnificative legea lui Hooke nu mai este valabilă La

descărcare relaţia dintre tensiunea şi deformaţia specifică este liniară paralelă cu

porţiunea liniară a curbei caracteristice (dreapta 119872119873)

Deformaţia totală (휀119905) are două componente una elastică (휀119890) şi una plastică (휀119901)

Ordonata punctului 119864 reprezintă rezistenţa de rupere 120590119903(119877119898) a materialului

care se poate calcula cu relaţia

120590119903 = 119877119898 =1198651198981198861199091198600

(443)

unde

119865119898119886119909 reprezintă valoarea maximă a forţei icircnregistrată icircn timpul icircncercării

La atingerea valorii 119865119898119886119909 (punctul 119864) icircntr-un anumit loc al epruvetei secţiunea

icircncepe să se micşoreze (se produce gacirctuirea) continuacircnd pacircnă cacircnd se produce ruperea

totală (punctul 119865)

Dacă după ruperea epruvetei cele două părţi rezultate se aşează cap la cap şi se

măsoară dimensiunea bazei de măsurare 119871119906 (lungimea ultimă) se determină alungirea la

rupere sau lungirea specifică la rupere 휀119903

휀119903 =119871119906 minus 11987101198710

=∆119871

1198710=120575

1198710 (444)

De obicei alungirea se exprimă icircn procente şi se notează cu 119860119899 unde 119899 reprezintă

numărul dat de raportul 11987101198890 (epruvete normale 119899 = 5 epruvete lungi 119899 = 10)

119860119899 =119871119906 minus 11987101198710

∙ 100 [] (445)

Altă mărime care se determină la icircncercarea la tracţiune este gacirctuirea la rupere

(exprimată de obicei icircn procente) şi definită de relaţia

119885 =1198600 minus 1198601199061198600

∙ 100 [] (446)

Mărimile determinate limita de proporţionalitate modulul de elasticitate

longitudinal limita de elasticitate limita de curgere aparentă rezistenţa de rupere

alungirea la rupere şi gacirctuirea la rupere sunt cunoscute ca fiind caracteristici mecanice

ale materialului

Din curba caracteristică convenţională observăm faptul că ruperea (punctul 119865 din

figura 48 se produce la o tensiune mai mică decacirct cea corespunzătoare punctului 119864 Dacă

icircnsă forţa din timpul icircncercării s-ar raporta la aria secţiunii din momentul icircnregistrării

forţei (care este mai mică decacirct cea iniţială 1198600) s-ar obţine aşa numita curbă

caracteristică reală a materialului (traseul 1198741198601198611198621198631198651 din figura 48) La curba

caracteristică reală ruperea se produce icircn punctul 1198651 la o icircncărcare mai mare decacirct cea

corespunzătoare punctului 119864 Icircnseamnă că rezistenţa reală la rupere este mai mare decacirct

rezistenţa la rupere dată de punctul 119864 din diagrama caracteristică convenţională

Dificultatea obţinerii diagramei caracteristice reale faţă de cea a diagramei caracteristice

convenţionale şi considerarea unei rezistenţe la rupere mai mică decacirct a celei reale face

icircn practică utilizarea pe scară mare a diagramei caracteristice convenţionale

Caracteristicile mecanice determinate pe baza curbei caracteristice convenţionale

sunt şi ele caracteristici mecanice convenţionale

Caracteristicile mecanice convenţionale limita de proporţionalitate convenţională

120590119901 limita de elasticitate convenţională 120590119890 limita de curgere convenţională 120590119888 şi rezistenţa

de rupere 120590119903 constituie tensiuni limită pentru un material Pe baza acestor caracteristici

de material se alege valoarea tensiunii admisibile 120590119886 (vezi paragraful 35) pentru

calculele de rezistenţă Cea mai utilizată stare limită pentru stabilirea tensiunii admisibile

120590119886 este limita de curgere convenţională 120590119888

120590119886 =120590119897119894119898119888

=120590119888119888 119904119886119906 120590119886 =

120590119903119888 (447)

Caracteristicile mecanice ale materialului sunt influenţate de o serie de factori

temperatura viteza de solicitare factorii tehnologici iar valorile lor sunt date icircn tabele și

diagrame

Aplicaţie Pentru suprafaţa plană compusă din două dreptunghiuri avacircnd

dimensiunile din figura 49a să se calculeze

a) centrul de greutate al secțiunii compuse 119910119866 119911119866

b) momentele de inerție axiale 119868119911 119868119910 și momentul de inerție centrifugal 119868119911119910

c) razele de inerție 119894119911 119894119910

d) modulele de rezistență 119882119911119898119894119899 119882119911119898119886119909 119882119910119898119894119899 119882119910119898119886119909

e) momentele de inerție principale 1198681 1198682 și direcțiile principale de inerție 1205721

f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 119878119911

Fig 49 Aplicație

Rezolvare Pentru rezolvare vom parcurge următoarele etape

icircmpărțim suprafața compusă icircn două suprafețe simple (dreptunghiuri) notate cu

① și respectiv ② figura 49b

poziționăm centrele de greutate a celor două suprafețe simple ① și respectiv ②

notate cu 1198661 și respectiv 1198662 figura 49c

poziționăm sistemele de axe de coordonate 119911111986611199101 pentru dreptunghiul ① și

119911211986621199102 pentru dreptunghiul ② aflate la intersecția diagonalelor figura 49c

poziționăm sistemele de axe de coordonate 11991101198741199100 ales arbitrar față de care

determinăm poziția centrului de greutate 119866 figura 49c

a) calculăm poziția centrului de greutate folosind relațiile (46) icircn care

1198601 = 6119905 ∙ 119905 = 61199052 1198602 = 4119905 ∙ 119905 = 41199052 119860 = 1198601 + 1198602 = 61199052 + 41199052 = 101199052

iar centrele de greutate 1198661 și respectiv 1198662 au coordonatele (față de sistemul 11991101198741199100)

1198661 1199101 = 3119905 1199111 = 05119905

1198662 1199102 = 051199051199112 = 3119905

cu acestea obținem

119910119866 =1198601 ∙ 1199101 + 1198602 ∙ 1199102

119860=61199052 ∙ 3119905 + 41199052 ∙ 05119905

101199052=201199053

101199052= 2119905

119911119866 =1198601 ∙ 1199111 + 1198602 ∙ 1199112

119860=61199052 ∙ 05119905 + 41199052 ∙ 3119905

101199052=151199053

101199052= 15119905

Poziționăm centrul de greutate 119866 al suprafeței compuse figura 49c

Fig 49 Aplicație

b) pentru determinarea momentelor de inerție axiale 119868119911 119868119910 și a momentului de

inerție centrifugal 119868119910119911 determinăm constantele 1198881 1198882 1198891 1198892 care intervin icircn relația lui

Stainer

1198881 = 1199101 minus 119910119866 = 3119905 minus 2119905 = 119905 1198882 = minus(119910119866 minus 1199102) = minus(2119905 minus 05119905) = minus15119905

1198891 = minus(119911119866 minus 1199111) = minus(15119905 minus 05119905) = minus119905 1198892 = 1199112 minus 119911119892 = 3119905 minus 15119905 = 15119905

Folosind relațiile lui Stainer (429) (430) și (431) calculăm momentele de

inerție axiale și centrifugale față de sistemul central 119911119866119866119910119866

119868119911 =sum(119868119911119894 + 1198881198942 ∙ 119860119894) = 1198681199111 + 1198881

2 ∙ 1198601 + 1198681199112 + 11988822 ∙ 1198602

119868119910 =sum(119868119910119894 + 1198891198942 ∙ 119860119894) = 1198681199101 + 1198891

2 ∙ 1198601 + 1198681199102 + 11988922 ∙ 1198602

119868119911119910 =sum(119868119911119894119910119894 + 119888119894 ∙ 119889119894 ∙ 119860119894) = 11986811991111199101 + 1198881 ∙ 1198891 ∙ 1198601 + 11986811991121199102 + 1198882 ∙ 1198892 ∙ 1198602

1198681199111 = (119887 ∙ ℎ3

12) =

119905 ∙ (6119905)3

12= 181199054 1198681199112 = (

119887 ∙ ℎ3

12) =

4119905 ∙ 1199053

12= 031199054

1198681199101 = (1198873 ∙ ℎ

12) =

1199053 ∙ 6119905

12= 051199054 1198681199102 = (

1198873 ∙ ℎ

12) =

(4119905)3 ∙ 119905

12= 531199054

11986811991111199101 = 11986811991121199102 = 0 deoarece cele două triunghiuri au cel puțin o axă de simetrie

Cu acestea momentele de inerție axiale și momentul de inerție centrifugal devin

119868119911 = 181199054 + 1199052 ∙ 61199052 + 031199054 + (minus15119905)2 ∙ 41199052 = 3331199054

119868119910 = 051199054 + (minus119905)2 ∙ 61199052 + 531199054 + (15119905)2 ∙ 41199052 = 2081199054

119868119911119910 = 0 + 119905 ∙ (minus119905) ∙ 61199052 + 0 + (minus15119905) ∙ (15119905) ∙ 41199052 = minus151199054

c) razele de inerție sau de girație față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910

se calculează cu relațiile (411)

119894119911 = radic119868119911119860= radic

3331199054

101199052= 182119905 119894119910 = radic

119868119910

119860= radic

2081199054

101199052= 144119905

d) modulele de rezistență față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910 se

calculează cu relațiile (412) și (413)

Avacircnd icircn vedere figura 419c obținem

119910119898119886119909 = 6119905 minus 119910119866 = 6119905 minus 2119905 = 4119905 119910119898119894119899 = minus119910119866 = minus2119905

119911119898119886119909 = 5119905 minus 119911119866 = 5119905 minus 15119905 = 35119905 119911119898119894119899 = minus119911119866 = minus15119905

Se obține astfel

119882119911119898119894119899 =119868119911

|119910119898119886119909|=3331199054

4119905= 8331199053

119882119911119898119886119909 =119868119911

|119910119898119894119899|=3331199054

2119905= 16651199053

119882119910119898119894119899 =119868119910

|119911119898119886119909|=2081199054

35119905= 5941199053

119882119910119898119886119909 =119868119910

|119911119898119894119899|=2081199054

15119905= 13871199053

e) momentele de inerție principale 1198681 și respectiv 1198682 se calculează cu relațiile

(438)

11986812 =119868119911 + 119868119910

2plusmn1

2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)

2+ 4 ∙ (119868119911119910)

2=

=3331199054 + 2081199054

2plusmn1

2∙ radic(3331199054 minus 2081199054)2 + 4 ∙ (minus151199054)2 = 27051199054 plusmn 16251199054

De unde obținem

1198681 = 27051199054 + 16251199054 = 4331199054

1198682 = 27051199054 minus 16251199054 = 1081199054

Prima direcție principală de inerție 1 face cu axa centrală 119866119911 unghiul 1205721 dat de

relația (437)

1205721 =1

2∙ arctan (minus

2 ∙ 119868119911119910

119868119911 minus 119868119910) =

1

2∙ arctan [minus

2 ∙ (minus151199054)

3331199054 minus 2081199054] =33 70

Deoarece 1205721 gt 0 rotirea axelor se face acircn sens antiorar acelor de ceasornic figura

49d

Poziția axe principale 2 față de care momentul de inerție are valoarea minimă

1198682 = 119868119898119894119899 este dată de unghiul

1205722 = 1205721 + 900 = 33 70 + 900 = 123 70

f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 se determină cu relația

(45)

1198781199111198602 = 1198602 ∙ 1198882 = 41199052 ∙ (minus15119905) = minus61199053

Din relaţiile (429) și (430) rezultă de asemenea că momentul de inerţie faţă de o

axă centrală (care trece prin centrul de greutate) este cel mai mic dintre infinitatea de

momente de inerţie obținute faţă de alte axe paralele cu ea

Relaţia (431) arată de asemenea că momentul de inerţie centrifugal faţă de un

sistem de axe oarecare este egal cu momentul de inerţie centrifugal faţă de un sistem

paralele cu el trecacircnd prin centrul de greutate a suprafeţei la care se adaugă produsul

dintre aria suprafeţei şi distanţele dintre axele sistemelor respective

Icircn literatura de specialitate relaţiile (429) (430) şi (431) sunt cunoscute sub

numele de relaţiile lui Steiner

47 Variaţia momentrlor de inerţie faţă de axe rotite

Direcţii principale şi momente de inerţie principale

Fie suprafaţa plană din figura 48 de arie 119860 pe care considerăm o suprafaţă

elementară de arie 119889119860 Pentru sistemul de axe 119911119874119910 se cunosc momentele de inerţie

119868119911 119868119910 119868119911119910 şi vom determina relaţiile de calcul pentru momentele de inerţie afererent unui

sistem de axe 11991111198741199101 rotit cu un unghi faţă de sistemul central

Faţă de sistemul de axe 11991111198741199101 elementul de arie 119889119860 are coordonatele

1199101 = 119875119877 = 119875119876 minus 119877119876 = 119910 ∙ cos 120572 minus 119911 ∙ sin 120572

1199111 = 119873119872 = 119873119875 minus 119875119872 = 119911 ∙ cos 120572 + 119910 ∙ sin 120572 (432)

Fig 47 Variaţia momentelor de inerţie față de axe rotite

Pe baza relaţiilor de calcul ale momentelor de inerţie şi a notaţiilor din figura 42

şi ale relaţiilor (432) momentele de inerţie faţă de sistemul de axe rotit 11991111198741199101 sunt

1198681199111 =119868119911 + 119868119910

2+119868119911 minus 119868119910

2∙ cos 2120572 minus 119868119911119910 ∙ sin 2120572 (433)

1198681199101 =119868119911 + 119868119910

2minus119868119911 minus 119868119910

2∙ cos 2120572 + 119868119911119910 ∙ sin 2120572 (434)

11986811991111199101 =119868119911 minus 119868119910

2∙ sin 2120572 + 119868119911119910 ∙ cos 2120572 (435)

Din relaţiile 433divide435 se observă că icircntre momentele de inerţie axiale şi cele

polare există relaţia

1198681199111 + 1198681199101 = 119868119911 + 119868119910 = 119868119901 (436)

adică suma momentelor de inerţie axiale icircn raport cu orice pereche de axe ortogonale

care trec printr-un pol dat este o constantă şi egală cu momentul de inerţie polar

Prin rotirea sistemului de axe din relaţiile 433divide435 rezultă că momentele de inerţie

variază icircnsă suma lor rămacircne constantă deci există o poziţie a sistemului de axe pentru

care momentele de inerţie au valori extreme maxim respectiv minim

471 Direcţii principale de inerţie

Valoarea unghiului 120572 pentru care momentele de inerţie axiale au valori extreme

este

1205721 =1

2∙ 119886119903119888119905119886119899 (minus

2 ∙ 119868119911119910

119868119911 minus 119868119910) (437)

Poziţia celeilalte direcţii este perpendiculară pe cea dată de unghiul 1205721

Din relaţia (437) se constată că faţă de aceste direcţii rotite pentru care momentele

de inerţie axiale prezintă valori extreme momentul de inerţie centrifugal 11986811991111199101este nul

Atunci se poate afirma că momentele de inerţie axiale au valori extreme icircn raport cu

direcţiile faţă de care momentul de inerţie centrifugal este nul Aceste direcţii se numesc

direcţii principale iar momentele de inerţie faţă de aceste direcţii poartă numele de

momente de inerţie principale

Icircn calculele de rezistenţă interesează icircn mod special poziţia direcţiilor principale

care trec prin centrul de greutate al suprafeţei aşa numitele direcţii principale centrale şi

evident momentele de inerţie principale centrale

Direcţiile principale de inerţie se notează cu 1 respectiv 2 Axa principală 1

corespunde direcţiei faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea maximă iar

axa principală 2 pentru direcţia faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea

minimă

472 Momente de inerţie principale

Momentele de inerţie principale se notează cu litera 119868 la care se pune indicele 1

sau 2 după cum valoarea acestuia este maximă sau minimă deci avem un moment de

inerţie principal 1 (notat 1198681) respectiv moment de inerţie principal 2 (notat 1198682)

Expresiile pentru momentele de inerţie principale sunt

11986812 =119868119911 + 119868119910

2plusmn1

2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)

2+ 4 ∙ (119868119911119910)

2 (438)

Dacă momentul de inerţie centrifugal este negativ (119868119911119910 lt 0) direcţia principală

care trece prin primul cadran (definit de sistemul 119911119862119910) este direcţia principală 120783

Pentru suprafeţele cu cel puţin o axă de simetrie direcţiile centrale 119862119911 119862119910 sunt şi

direcții principale de inerţie și evident momentele de inerţie axiale 119868119911 119868119910 sunt momente

de inerţie principale

48 Caracteristici mecanice ale metalelor

Alegerea materialului pentru confecţionarea unei anumite piese se face şi pe baza

aşa numitelor caracteristici mecanice pe care le prezintă materialul Cunoaşterea acestor

caracteristici mecanice are loc numai pe baza unor icircncercări mecanice care să scoată icircn

evidenţă comportarea materialului icircn condiţii de solicitare

Cea mai utilizată icircncercare icircn urma căreia se pun icircn evidenţă caracteristicile

mecanice ale unui material este icircncercarea la tracţiune

481 Icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general

Icircncercarea la tracţiune a oţelului ca de altfel toate icircncercările de materiale este

standardizată

Icircn cele ce urmează se va prezenta numai partea care interesează strict din punct

de vedere al caracteristicilor mecanice ale oţelului

Epruveta de diametru iniţial 1198890 pentru icircncercarea la tracţiune are o porţiune de

lungime 1198710 numită baza de măsurare pe care se măsoară lungirea acesteia sub acţiunea

solicitării

Icircn funcţie de raportul dintre baza de măsurare 1198710 şi diametrul iniţial 1198890 epruvetele

utilizate pentru icircncercări sunt

epruvete normale (scurte) cacircnd 11987101198890 = 5

epruvete lungi cacircnd 11987101198890 = 10

Icircn timpul icircncercării la diferite valori ale forţei 119865 se măsoară lungirea bazei de

măsurare

∆119871 = 120575 = 119871 minus 1198710 (439)

unde

119871 este dimensiunea bazei de măsurare la un moment dat

Curba forţă-lungire (119865 minus ) icircnregistrată icircn urma icircncercării reprezintă curba

caracteristică la tracţiune

La icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general diagrama caracteristică care se

obţine are forma din figura 48

Curba caracteristică la tracţiune depinde de lungimea bazei de măsurare Pentru

icircnlăturarea acestui neajuns curba caracteristică se reprezintă icircn coordonate şi definite

astfel

120590 =119865

1198600 휀 =

120575

1198710 (440)

unde

1198600 este aria iniţială a secţiunii transversale a epruvetei (icircnainte de solicitare) icircn

zona bazei de măsurare

1198600 =120587 ∙ 1198890

2

4

Deoarece mărimile icircn care se reprezintă curba caracteristică la tracţiune sunt

raportate la aria iniţială a secţiunii transversale (mărimi specifice) curba poartă numele

de curbă caracteristică convenţională la tracţiune

Fig 48 Curba caracteristică convenţională la tracțiune

Pe curba caracteristică convenţională la tracţiune figura 48 se pot stabili o serie

de puncte cărora le corespund mai multe mărimi importante

Ordonata punctului A pacircnă unde curba caracteristică convenţională este linie

dreaptă se numeşte limita de proporţionalitate a materialului 120590119901(1205901) Porţiunea 119874119860 este

zona de proporţionalitate a curbei caracteristice pe acest domeniu este valabilă legea lui

Hooke care exprimă o proporţionalitate icircntre tensiune şi deformaţie specifică

120590 = 119864 ∙ 휀 (441)

unde

119864 = reprezintă panta porţiunii liniare a curbei convenționale caracteristice

la tracțiune Caracteristica de material 119864 se numeşte modul de elasticitate longitudinal

(modulul lui Young)

Ordonata punctului 119861 pacircnă unde materialul se comportă perfect elastic adică

după descărcare icircşi recapătă dimensiunea iniţială 1198710 se numeşte limita de elasticitate

120590119890(119877119890) Icircn realitate nici un material nu are comportare perfect elastică sub acţiunea

solicitărilor el capătă deformaţii permanente (remanente plastice)

După punctul 119861 urmează o porţiune 119861119862119863 icircn care cu toate că icircncărcarea

continuă forţa nu mai creşte avacircnd mici oscilaţii icircn jurul unei valori Se spune că icircn

această porţiune materialul curge iar intervalul 119861119862119863 este un palier de curgere Tensiunea

corespunzătoare palierului de curgere se numeşte limită de curgere aparentă 120590119888(119877119888) Limita de curgere aparentă se calculează cu relaţia

120590119888 =1198651198881198600 (442)

unde

119865119888 reprezintă valoarea forţei icircnregistrată icircn momentul curgerii materialului

După punctul 119863 curba caracteristică are un traseu ascendent pacircnă icircn punctul 119864

Porţiunea 119863119864 este numită zonă de icircntărire (ecruisare) Icircn zona de ecruisare unde se

produc deformaţii plastice semnificative legea lui Hooke nu mai este valabilă La

descărcare relaţia dintre tensiunea şi deformaţia specifică este liniară paralelă cu

porţiunea liniară a curbei caracteristice (dreapta 119872119873)

Deformaţia totală (휀119905) are două componente una elastică (휀119890) şi una plastică (휀119901)

Ordonata punctului 119864 reprezintă rezistenţa de rupere 120590119903(119877119898) a materialului

care se poate calcula cu relaţia

120590119903 = 119877119898 =1198651198981198861199091198600

(443)

unde

119865119898119886119909 reprezintă valoarea maximă a forţei icircnregistrată icircn timpul icircncercării

La atingerea valorii 119865119898119886119909 (punctul 119864) icircntr-un anumit loc al epruvetei secţiunea

icircncepe să se micşoreze (se produce gacirctuirea) continuacircnd pacircnă cacircnd se produce ruperea

totală (punctul 119865)

Dacă după ruperea epruvetei cele două părţi rezultate se aşează cap la cap şi se

măsoară dimensiunea bazei de măsurare 119871119906 (lungimea ultimă) se determină alungirea la

rupere sau lungirea specifică la rupere 휀119903

휀119903 =119871119906 minus 11987101198710

=∆119871

1198710=120575

1198710 (444)

De obicei alungirea se exprimă icircn procente şi se notează cu 119860119899 unde 119899 reprezintă

numărul dat de raportul 11987101198890 (epruvete normale 119899 = 5 epruvete lungi 119899 = 10)

119860119899 =119871119906 minus 11987101198710

∙ 100 [] (445)

Altă mărime care se determină la icircncercarea la tracţiune este gacirctuirea la rupere

(exprimată de obicei icircn procente) şi definită de relaţia

119885 =1198600 minus 1198601199061198600

∙ 100 [] (446)

Mărimile determinate limita de proporţionalitate modulul de elasticitate

longitudinal limita de elasticitate limita de curgere aparentă rezistenţa de rupere

alungirea la rupere şi gacirctuirea la rupere sunt cunoscute ca fiind caracteristici mecanice

ale materialului

Din curba caracteristică convenţională observăm faptul că ruperea (punctul 119865 din

figura 48 se produce la o tensiune mai mică decacirct cea corespunzătoare punctului 119864 Dacă

icircnsă forţa din timpul icircncercării s-ar raporta la aria secţiunii din momentul icircnregistrării

forţei (care este mai mică decacirct cea iniţială 1198600) s-ar obţine aşa numita curbă

caracteristică reală a materialului (traseul 1198741198601198611198621198631198651 din figura 48) La curba

caracteristică reală ruperea se produce icircn punctul 1198651 la o icircncărcare mai mare decacirct cea

corespunzătoare punctului 119864 Icircnseamnă că rezistenţa reală la rupere este mai mare decacirct

rezistenţa la rupere dată de punctul 119864 din diagrama caracteristică convenţională

Dificultatea obţinerii diagramei caracteristice reale faţă de cea a diagramei caracteristice

convenţionale şi considerarea unei rezistenţe la rupere mai mică decacirct a celei reale face

icircn practică utilizarea pe scară mare a diagramei caracteristice convenţionale

Caracteristicile mecanice determinate pe baza curbei caracteristice convenţionale

sunt şi ele caracteristici mecanice convenţionale

Caracteristicile mecanice convenţionale limita de proporţionalitate convenţională

120590119901 limita de elasticitate convenţională 120590119890 limita de curgere convenţională 120590119888 şi rezistenţa

de rupere 120590119903 constituie tensiuni limită pentru un material Pe baza acestor caracteristici

de material se alege valoarea tensiunii admisibile 120590119886 (vezi paragraful 35) pentru

calculele de rezistenţă Cea mai utilizată stare limită pentru stabilirea tensiunii admisibile

120590119886 este limita de curgere convenţională 120590119888

120590119886 =120590119897119894119898119888

=120590119888119888 119904119886119906 120590119886 =

120590119903119888 (447)

Caracteristicile mecanice ale materialului sunt influenţate de o serie de factori

temperatura viteza de solicitare factorii tehnologici iar valorile lor sunt date icircn tabele și

diagrame

Aplicaţie Pentru suprafaţa plană compusă din două dreptunghiuri avacircnd

dimensiunile din figura 49a să se calculeze

a) centrul de greutate al secțiunii compuse 119910119866 119911119866

b) momentele de inerție axiale 119868119911 119868119910 și momentul de inerție centrifugal 119868119911119910

c) razele de inerție 119894119911 119894119910

d) modulele de rezistență 119882119911119898119894119899 119882119911119898119886119909 119882119910119898119894119899 119882119910119898119886119909

e) momentele de inerție principale 1198681 1198682 și direcțiile principale de inerție 1205721

f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 119878119911

Fig 49 Aplicație

Rezolvare Pentru rezolvare vom parcurge următoarele etape

icircmpărțim suprafața compusă icircn două suprafețe simple (dreptunghiuri) notate cu

① și respectiv ② figura 49b

poziționăm centrele de greutate a celor două suprafețe simple ① și respectiv ②

notate cu 1198661 și respectiv 1198662 figura 49c

poziționăm sistemele de axe de coordonate 119911111986611199101 pentru dreptunghiul ① și

119911211986621199102 pentru dreptunghiul ② aflate la intersecția diagonalelor figura 49c

poziționăm sistemele de axe de coordonate 11991101198741199100 ales arbitrar față de care

determinăm poziția centrului de greutate 119866 figura 49c

a) calculăm poziția centrului de greutate folosind relațiile (46) icircn care

1198601 = 6119905 ∙ 119905 = 61199052 1198602 = 4119905 ∙ 119905 = 41199052 119860 = 1198601 + 1198602 = 61199052 + 41199052 = 101199052

iar centrele de greutate 1198661 și respectiv 1198662 au coordonatele (față de sistemul 11991101198741199100)

1198661 1199101 = 3119905 1199111 = 05119905

1198662 1199102 = 051199051199112 = 3119905

cu acestea obținem

119910119866 =1198601 ∙ 1199101 + 1198602 ∙ 1199102

119860=61199052 ∙ 3119905 + 41199052 ∙ 05119905

101199052=201199053

101199052= 2119905

119911119866 =1198601 ∙ 1199111 + 1198602 ∙ 1199112

119860=61199052 ∙ 05119905 + 41199052 ∙ 3119905

101199052=151199053

101199052= 15119905

Poziționăm centrul de greutate 119866 al suprafeței compuse figura 49c

Fig 49 Aplicație

b) pentru determinarea momentelor de inerție axiale 119868119911 119868119910 și a momentului de

inerție centrifugal 119868119910119911 determinăm constantele 1198881 1198882 1198891 1198892 care intervin icircn relația lui

Stainer

1198881 = 1199101 minus 119910119866 = 3119905 minus 2119905 = 119905 1198882 = minus(119910119866 minus 1199102) = minus(2119905 minus 05119905) = minus15119905

1198891 = minus(119911119866 minus 1199111) = minus(15119905 minus 05119905) = minus119905 1198892 = 1199112 minus 119911119892 = 3119905 minus 15119905 = 15119905

Folosind relațiile lui Stainer (429) (430) și (431) calculăm momentele de

inerție axiale și centrifugale față de sistemul central 119911119866119866119910119866

119868119911 =sum(119868119911119894 + 1198881198942 ∙ 119860119894) = 1198681199111 + 1198881

2 ∙ 1198601 + 1198681199112 + 11988822 ∙ 1198602

119868119910 =sum(119868119910119894 + 1198891198942 ∙ 119860119894) = 1198681199101 + 1198891

2 ∙ 1198601 + 1198681199102 + 11988922 ∙ 1198602

119868119911119910 =sum(119868119911119894119910119894 + 119888119894 ∙ 119889119894 ∙ 119860119894) = 11986811991111199101 + 1198881 ∙ 1198891 ∙ 1198601 + 11986811991121199102 + 1198882 ∙ 1198892 ∙ 1198602

1198681199111 = (119887 ∙ ℎ3

12) =

119905 ∙ (6119905)3

12= 181199054 1198681199112 = (

119887 ∙ ℎ3

12) =

4119905 ∙ 1199053

12= 031199054

1198681199101 = (1198873 ∙ ℎ

12) =

1199053 ∙ 6119905

12= 051199054 1198681199102 = (

1198873 ∙ ℎ

12) =

(4119905)3 ∙ 119905

12= 531199054

11986811991111199101 = 11986811991121199102 = 0 deoarece cele două triunghiuri au cel puțin o axă de simetrie

Cu acestea momentele de inerție axiale și momentul de inerție centrifugal devin

119868119911 = 181199054 + 1199052 ∙ 61199052 + 031199054 + (minus15119905)2 ∙ 41199052 = 3331199054

119868119910 = 051199054 + (minus119905)2 ∙ 61199052 + 531199054 + (15119905)2 ∙ 41199052 = 2081199054

119868119911119910 = 0 + 119905 ∙ (minus119905) ∙ 61199052 + 0 + (minus15119905) ∙ (15119905) ∙ 41199052 = minus151199054

c) razele de inerție sau de girație față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910

se calculează cu relațiile (411)

119894119911 = radic119868119911119860= radic

3331199054

101199052= 182119905 119894119910 = radic

119868119910

119860= radic

2081199054

101199052= 144119905

d) modulele de rezistență față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910 se

calculează cu relațiile (412) și (413)

Avacircnd icircn vedere figura 419c obținem

119910119898119886119909 = 6119905 minus 119910119866 = 6119905 minus 2119905 = 4119905 119910119898119894119899 = minus119910119866 = minus2119905

119911119898119886119909 = 5119905 minus 119911119866 = 5119905 minus 15119905 = 35119905 119911119898119894119899 = minus119911119866 = minus15119905

Se obține astfel

119882119911119898119894119899 =119868119911

|119910119898119886119909|=3331199054

4119905= 8331199053

119882119911119898119886119909 =119868119911

|119910119898119894119899|=3331199054

2119905= 16651199053

119882119910119898119894119899 =119868119910

|119911119898119886119909|=2081199054

35119905= 5941199053

119882119910119898119886119909 =119868119910

|119911119898119894119899|=2081199054

15119905= 13871199053

e) momentele de inerție principale 1198681 și respectiv 1198682 se calculează cu relațiile

(438)

11986812 =119868119911 + 119868119910

2plusmn1

2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)

2+ 4 ∙ (119868119911119910)

2=

=3331199054 + 2081199054

2plusmn1

2∙ radic(3331199054 minus 2081199054)2 + 4 ∙ (minus151199054)2 = 27051199054 plusmn 16251199054

De unde obținem

1198681 = 27051199054 + 16251199054 = 4331199054

1198682 = 27051199054 minus 16251199054 = 1081199054

Prima direcție principală de inerție 1 face cu axa centrală 119866119911 unghiul 1205721 dat de

relația (437)

1205721 =1

2∙ arctan (minus

2 ∙ 119868119911119910

119868119911 minus 119868119910) =

1

2∙ arctan [minus

2 ∙ (minus151199054)

3331199054 minus 2081199054] =33 70

Deoarece 1205721 gt 0 rotirea axelor se face acircn sens antiorar acelor de ceasornic figura

49d

Poziția axe principale 2 față de care momentul de inerție are valoarea minimă

1198682 = 119868119898119894119899 este dată de unghiul

1205722 = 1205721 + 900 = 33 70 + 900 = 123 70

f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 se determină cu relația

(45)

1198781199111198602 = 1198602 ∙ 1198882 = 41199052 ∙ (minus15119905) = minus61199053

11986811991111199101 =119868119911 minus 119868119910

2∙ sin 2120572 + 119868119911119910 ∙ cos 2120572 (435)

Din relaţiile 433divide435 se observă că icircntre momentele de inerţie axiale şi cele

polare există relaţia

1198681199111 + 1198681199101 = 119868119911 + 119868119910 = 119868119901 (436)

adică suma momentelor de inerţie axiale icircn raport cu orice pereche de axe ortogonale

care trec printr-un pol dat este o constantă şi egală cu momentul de inerţie polar

Prin rotirea sistemului de axe din relaţiile 433divide435 rezultă că momentele de inerţie

variază icircnsă suma lor rămacircne constantă deci există o poziţie a sistemului de axe pentru

care momentele de inerţie au valori extreme maxim respectiv minim

471 Direcţii principale de inerţie

Valoarea unghiului 120572 pentru care momentele de inerţie axiale au valori extreme

este

1205721 =1

2∙ 119886119903119888119905119886119899 (minus

2 ∙ 119868119911119910

119868119911 minus 119868119910) (437)

Poziţia celeilalte direcţii este perpendiculară pe cea dată de unghiul 1205721

Din relaţia (437) se constată că faţă de aceste direcţii rotite pentru care momentele

de inerţie axiale prezintă valori extreme momentul de inerţie centrifugal 11986811991111199101este nul

Atunci se poate afirma că momentele de inerţie axiale au valori extreme icircn raport cu

direcţiile faţă de care momentul de inerţie centrifugal este nul Aceste direcţii se numesc

direcţii principale iar momentele de inerţie faţă de aceste direcţii poartă numele de

momente de inerţie principale

Icircn calculele de rezistenţă interesează icircn mod special poziţia direcţiilor principale

care trec prin centrul de greutate al suprafeţei aşa numitele direcţii principale centrale şi

evident momentele de inerţie principale centrale

Direcţiile principale de inerţie se notează cu 1 respectiv 2 Axa principală 1

corespunde direcţiei faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea maximă iar

axa principală 2 pentru direcţia faţă de care momentul de inerţie principal are valoarea

minimă

472 Momente de inerţie principale

Momentele de inerţie principale se notează cu litera 119868 la care se pune indicele 1

sau 2 după cum valoarea acestuia este maximă sau minimă deci avem un moment de

inerţie principal 1 (notat 1198681) respectiv moment de inerţie principal 2 (notat 1198682)

Expresiile pentru momentele de inerţie principale sunt

11986812 =119868119911 + 119868119910

2plusmn1

2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)

2+ 4 ∙ (119868119911119910)

2 (438)

Dacă momentul de inerţie centrifugal este negativ (119868119911119910 lt 0) direcţia principală

care trece prin primul cadran (definit de sistemul 119911119862119910) este direcţia principală 120783

Pentru suprafeţele cu cel puţin o axă de simetrie direcţiile centrale 119862119911 119862119910 sunt şi

direcții principale de inerţie și evident momentele de inerţie axiale 119868119911 119868119910 sunt momente

de inerţie principale

48 Caracteristici mecanice ale metalelor

Alegerea materialului pentru confecţionarea unei anumite piese se face şi pe baza

aşa numitelor caracteristici mecanice pe care le prezintă materialul Cunoaşterea acestor

caracteristici mecanice are loc numai pe baza unor icircncercări mecanice care să scoată icircn

evidenţă comportarea materialului icircn condiţii de solicitare

Cea mai utilizată icircncercare icircn urma căreia se pun icircn evidenţă caracteristicile

mecanice ale unui material este icircncercarea la tracţiune

481 Icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general

Icircncercarea la tracţiune a oţelului ca de altfel toate icircncercările de materiale este

standardizată

Icircn cele ce urmează se va prezenta numai partea care interesează strict din punct

de vedere al caracteristicilor mecanice ale oţelului

Epruveta de diametru iniţial 1198890 pentru icircncercarea la tracţiune are o porţiune de

lungime 1198710 numită baza de măsurare pe care se măsoară lungirea acesteia sub acţiunea

solicitării

Icircn funcţie de raportul dintre baza de măsurare 1198710 şi diametrul iniţial 1198890 epruvetele

utilizate pentru icircncercări sunt

epruvete normale (scurte) cacircnd 11987101198890 = 5

epruvete lungi cacircnd 11987101198890 = 10

Icircn timpul icircncercării la diferite valori ale forţei 119865 se măsoară lungirea bazei de

măsurare

∆119871 = 120575 = 119871 minus 1198710 (439)

unde

119871 este dimensiunea bazei de măsurare la un moment dat

Curba forţă-lungire (119865 minus ) icircnregistrată icircn urma icircncercării reprezintă curba

caracteristică la tracţiune

La icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general diagrama caracteristică care se

obţine are forma din figura 48

Curba caracteristică la tracţiune depinde de lungimea bazei de măsurare Pentru

icircnlăturarea acestui neajuns curba caracteristică se reprezintă icircn coordonate şi definite

astfel

120590 =119865

1198600 휀 =

120575

1198710 (440)

unde

1198600 este aria iniţială a secţiunii transversale a epruvetei (icircnainte de solicitare) icircn

zona bazei de măsurare

1198600 =120587 ∙ 1198890

2

4

Deoarece mărimile icircn care se reprezintă curba caracteristică la tracţiune sunt

raportate la aria iniţială a secţiunii transversale (mărimi specifice) curba poartă numele

de curbă caracteristică convenţională la tracţiune

Fig 48 Curba caracteristică convenţională la tracțiune

Pe curba caracteristică convenţională la tracţiune figura 48 se pot stabili o serie

de puncte cărora le corespund mai multe mărimi importante

Ordonata punctului A pacircnă unde curba caracteristică convenţională este linie

dreaptă se numeşte limita de proporţionalitate a materialului 120590119901(1205901) Porţiunea 119874119860 este

zona de proporţionalitate a curbei caracteristice pe acest domeniu este valabilă legea lui

Hooke care exprimă o proporţionalitate icircntre tensiune şi deformaţie specifică

120590 = 119864 ∙ 휀 (441)

unde

119864 = reprezintă panta porţiunii liniare a curbei convenționale caracteristice

la tracțiune Caracteristica de material 119864 se numeşte modul de elasticitate longitudinal

(modulul lui Young)

Ordonata punctului 119861 pacircnă unde materialul se comportă perfect elastic adică

după descărcare icircşi recapătă dimensiunea iniţială 1198710 se numeşte limita de elasticitate

120590119890(119877119890) Icircn realitate nici un material nu are comportare perfect elastică sub acţiunea

solicitărilor el capătă deformaţii permanente (remanente plastice)

După punctul 119861 urmează o porţiune 119861119862119863 icircn care cu toate că icircncărcarea

continuă forţa nu mai creşte avacircnd mici oscilaţii icircn jurul unei valori Se spune că icircn

această porţiune materialul curge iar intervalul 119861119862119863 este un palier de curgere Tensiunea

corespunzătoare palierului de curgere se numeşte limită de curgere aparentă 120590119888(119877119888) Limita de curgere aparentă se calculează cu relaţia

120590119888 =1198651198881198600 (442)

unde

119865119888 reprezintă valoarea forţei icircnregistrată icircn momentul curgerii materialului

După punctul 119863 curba caracteristică are un traseu ascendent pacircnă icircn punctul 119864

Porţiunea 119863119864 este numită zonă de icircntărire (ecruisare) Icircn zona de ecruisare unde se

produc deformaţii plastice semnificative legea lui Hooke nu mai este valabilă La

descărcare relaţia dintre tensiunea şi deformaţia specifică este liniară paralelă cu

porţiunea liniară a curbei caracteristice (dreapta 119872119873)

Deformaţia totală (휀119905) are două componente una elastică (휀119890) şi una plastică (휀119901)

Ordonata punctului 119864 reprezintă rezistenţa de rupere 120590119903(119877119898) a materialului

care se poate calcula cu relaţia

120590119903 = 119877119898 =1198651198981198861199091198600

(443)

unde

119865119898119886119909 reprezintă valoarea maximă a forţei icircnregistrată icircn timpul icircncercării

La atingerea valorii 119865119898119886119909 (punctul 119864) icircntr-un anumit loc al epruvetei secţiunea

icircncepe să se micşoreze (se produce gacirctuirea) continuacircnd pacircnă cacircnd se produce ruperea

totală (punctul 119865)

Dacă după ruperea epruvetei cele două părţi rezultate se aşează cap la cap şi se

măsoară dimensiunea bazei de măsurare 119871119906 (lungimea ultimă) se determină alungirea la

rupere sau lungirea specifică la rupere 휀119903

휀119903 =119871119906 minus 11987101198710

=∆119871

1198710=120575

1198710 (444)

De obicei alungirea se exprimă icircn procente şi se notează cu 119860119899 unde 119899 reprezintă

numărul dat de raportul 11987101198890 (epruvete normale 119899 = 5 epruvete lungi 119899 = 10)

119860119899 =119871119906 minus 11987101198710

∙ 100 [] (445)

Altă mărime care se determină la icircncercarea la tracţiune este gacirctuirea la rupere

(exprimată de obicei icircn procente) şi definită de relaţia

119885 =1198600 minus 1198601199061198600

∙ 100 [] (446)

Mărimile determinate limita de proporţionalitate modulul de elasticitate

longitudinal limita de elasticitate limita de curgere aparentă rezistenţa de rupere

alungirea la rupere şi gacirctuirea la rupere sunt cunoscute ca fiind caracteristici mecanice

ale materialului

Din curba caracteristică convenţională observăm faptul că ruperea (punctul 119865 din

figura 48 se produce la o tensiune mai mică decacirct cea corespunzătoare punctului 119864 Dacă

icircnsă forţa din timpul icircncercării s-ar raporta la aria secţiunii din momentul icircnregistrării

forţei (care este mai mică decacirct cea iniţială 1198600) s-ar obţine aşa numita curbă

caracteristică reală a materialului (traseul 1198741198601198611198621198631198651 din figura 48) La curba

caracteristică reală ruperea se produce icircn punctul 1198651 la o icircncărcare mai mare decacirct cea

corespunzătoare punctului 119864 Icircnseamnă că rezistenţa reală la rupere este mai mare decacirct

rezistenţa la rupere dată de punctul 119864 din diagrama caracteristică convenţională

Dificultatea obţinerii diagramei caracteristice reale faţă de cea a diagramei caracteristice

convenţionale şi considerarea unei rezistenţe la rupere mai mică decacirct a celei reale face

icircn practică utilizarea pe scară mare a diagramei caracteristice convenţionale

Caracteristicile mecanice determinate pe baza curbei caracteristice convenţionale

sunt şi ele caracteristici mecanice convenţionale

Caracteristicile mecanice convenţionale limita de proporţionalitate convenţională

120590119901 limita de elasticitate convenţională 120590119890 limita de curgere convenţională 120590119888 şi rezistenţa

de rupere 120590119903 constituie tensiuni limită pentru un material Pe baza acestor caracteristici

de material se alege valoarea tensiunii admisibile 120590119886 (vezi paragraful 35) pentru

calculele de rezistenţă Cea mai utilizată stare limită pentru stabilirea tensiunii admisibile

120590119886 este limita de curgere convenţională 120590119888

120590119886 =120590119897119894119898119888

=120590119888119888 119904119886119906 120590119886 =

120590119903119888 (447)

Caracteristicile mecanice ale materialului sunt influenţate de o serie de factori

temperatura viteza de solicitare factorii tehnologici iar valorile lor sunt date icircn tabele și

diagrame

Aplicaţie Pentru suprafaţa plană compusă din două dreptunghiuri avacircnd

dimensiunile din figura 49a să se calculeze

a) centrul de greutate al secțiunii compuse 119910119866 119911119866

b) momentele de inerție axiale 119868119911 119868119910 și momentul de inerție centrifugal 119868119911119910

c) razele de inerție 119894119911 119894119910

d) modulele de rezistență 119882119911119898119894119899 119882119911119898119886119909 119882119910119898119894119899 119882119910119898119886119909

e) momentele de inerție principale 1198681 1198682 și direcțiile principale de inerție 1205721

f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 119878119911

Fig 49 Aplicație

Rezolvare Pentru rezolvare vom parcurge următoarele etape

icircmpărțim suprafața compusă icircn două suprafețe simple (dreptunghiuri) notate cu

① și respectiv ② figura 49b

poziționăm centrele de greutate a celor două suprafețe simple ① și respectiv ②

notate cu 1198661 și respectiv 1198662 figura 49c

poziționăm sistemele de axe de coordonate 119911111986611199101 pentru dreptunghiul ① și

119911211986621199102 pentru dreptunghiul ② aflate la intersecția diagonalelor figura 49c

poziționăm sistemele de axe de coordonate 11991101198741199100 ales arbitrar față de care

determinăm poziția centrului de greutate 119866 figura 49c

a) calculăm poziția centrului de greutate folosind relațiile (46) icircn care

1198601 = 6119905 ∙ 119905 = 61199052 1198602 = 4119905 ∙ 119905 = 41199052 119860 = 1198601 + 1198602 = 61199052 + 41199052 = 101199052

iar centrele de greutate 1198661 și respectiv 1198662 au coordonatele (față de sistemul 11991101198741199100)

1198661 1199101 = 3119905 1199111 = 05119905

1198662 1199102 = 051199051199112 = 3119905

cu acestea obținem

119910119866 =1198601 ∙ 1199101 + 1198602 ∙ 1199102

119860=61199052 ∙ 3119905 + 41199052 ∙ 05119905

101199052=201199053

101199052= 2119905

119911119866 =1198601 ∙ 1199111 + 1198602 ∙ 1199112

119860=61199052 ∙ 05119905 + 41199052 ∙ 3119905

101199052=151199053

101199052= 15119905

Poziționăm centrul de greutate 119866 al suprafeței compuse figura 49c

Fig 49 Aplicație

b) pentru determinarea momentelor de inerție axiale 119868119911 119868119910 și a momentului de

inerție centrifugal 119868119910119911 determinăm constantele 1198881 1198882 1198891 1198892 care intervin icircn relația lui

Stainer

1198881 = 1199101 minus 119910119866 = 3119905 minus 2119905 = 119905 1198882 = minus(119910119866 minus 1199102) = minus(2119905 minus 05119905) = minus15119905

1198891 = minus(119911119866 minus 1199111) = minus(15119905 minus 05119905) = minus119905 1198892 = 1199112 minus 119911119892 = 3119905 minus 15119905 = 15119905

Folosind relațiile lui Stainer (429) (430) și (431) calculăm momentele de

inerție axiale și centrifugale față de sistemul central 119911119866119866119910119866

119868119911 =sum(119868119911119894 + 1198881198942 ∙ 119860119894) = 1198681199111 + 1198881

2 ∙ 1198601 + 1198681199112 + 11988822 ∙ 1198602

119868119910 =sum(119868119910119894 + 1198891198942 ∙ 119860119894) = 1198681199101 + 1198891

2 ∙ 1198601 + 1198681199102 + 11988922 ∙ 1198602

119868119911119910 =sum(119868119911119894119910119894 + 119888119894 ∙ 119889119894 ∙ 119860119894) = 11986811991111199101 + 1198881 ∙ 1198891 ∙ 1198601 + 11986811991121199102 + 1198882 ∙ 1198892 ∙ 1198602

1198681199111 = (119887 ∙ ℎ3

12) =

119905 ∙ (6119905)3

12= 181199054 1198681199112 = (

119887 ∙ ℎ3

12) =

4119905 ∙ 1199053

12= 031199054

1198681199101 = (1198873 ∙ ℎ

12) =

1199053 ∙ 6119905

12= 051199054 1198681199102 = (

1198873 ∙ ℎ

12) =

(4119905)3 ∙ 119905

12= 531199054

11986811991111199101 = 11986811991121199102 = 0 deoarece cele două triunghiuri au cel puțin o axă de simetrie

Cu acestea momentele de inerție axiale și momentul de inerție centrifugal devin

119868119911 = 181199054 + 1199052 ∙ 61199052 + 031199054 + (minus15119905)2 ∙ 41199052 = 3331199054

119868119910 = 051199054 + (minus119905)2 ∙ 61199052 + 531199054 + (15119905)2 ∙ 41199052 = 2081199054

119868119911119910 = 0 + 119905 ∙ (minus119905) ∙ 61199052 + 0 + (minus15119905) ∙ (15119905) ∙ 41199052 = minus151199054

c) razele de inerție sau de girație față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910

se calculează cu relațiile (411)

119894119911 = radic119868119911119860= radic

3331199054

101199052= 182119905 119894119910 = radic

119868119910

119860= radic

2081199054

101199052= 144119905

d) modulele de rezistență față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910 se

calculează cu relațiile (412) și (413)

Avacircnd icircn vedere figura 419c obținem

119910119898119886119909 = 6119905 minus 119910119866 = 6119905 minus 2119905 = 4119905 119910119898119894119899 = minus119910119866 = minus2119905

119911119898119886119909 = 5119905 minus 119911119866 = 5119905 minus 15119905 = 35119905 119911119898119894119899 = minus119911119866 = minus15119905

Se obține astfel

119882119911119898119894119899 =119868119911

|119910119898119886119909|=3331199054

4119905= 8331199053

119882119911119898119886119909 =119868119911

|119910119898119894119899|=3331199054

2119905= 16651199053

119882119910119898119894119899 =119868119910

|119911119898119886119909|=2081199054

35119905= 5941199053

119882119910119898119886119909 =119868119910

|119911119898119894119899|=2081199054

15119905= 13871199053

e) momentele de inerție principale 1198681 și respectiv 1198682 se calculează cu relațiile

(438)

11986812 =119868119911 + 119868119910

2plusmn1

2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)

2+ 4 ∙ (119868119911119910)

2=

=3331199054 + 2081199054

2plusmn1

2∙ radic(3331199054 minus 2081199054)2 + 4 ∙ (minus151199054)2 = 27051199054 plusmn 16251199054

De unde obținem

1198681 = 27051199054 + 16251199054 = 4331199054

1198682 = 27051199054 minus 16251199054 = 1081199054

Prima direcție principală de inerție 1 face cu axa centrală 119866119911 unghiul 1205721 dat de

relația (437)

1205721 =1

2∙ arctan (minus

2 ∙ 119868119911119910

119868119911 minus 119868119910) =

1

2∙ arctan [minus

2 ∙ (minus151199054)

3331199054 minus 2081199054] =33 70

Deoarece 1205721 gt 0 rotirea axelor se face acircn sens antiorar acelor de ceasornic figura

49d

Poziția axe principale 2 față de care momentul de inerție are valoarea minimă

1198682 = 119868119898119894119899 este dată de unghiul

1205722 = 1205721 + 900 = 33 70 + 900 = 123 70

f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 se determină cu relația

(45)

1198781199111198602 = 1198602 ∙ 1198882 = 41199052 ∙ (minus15119905) = minus61199053

Pentru suprafeţele cu cel puţin o axă de simetrie direcţiile centrale 119862119911 119862119910 sunt şi

direcții principale de inerţie și evident momentele de inerţie axiale 119868119911 119868119910 sunt momente

de inerţie principale

48 Caracteristici mecanice ale metalelor

Alegerea materialului pentru confecţionarea unei anumite piese se face şi pe baza

aşa numitelor caracteristici mecanice pe care le prezintă materialul Cunoaşterea acestor

caracteristici mecanice are loc numai pe baza unor icircncercări mecanice care să scoată icircn

evidenţă comportarea materialului icircn condiţii de solicitare

Cea mai utilizată icircncercare icircn urma căreia se pun icircn evidenţă caracteristicile

mecanice ale unui material este icircncercarea la tracţiune

481 Icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general

Icircncercarea la tracţiune a oţelului ca de altfel toate icircncercările de materiale este

standardizată

Icircn cele ce urmează se va prezenta numai partea care interesează strict din punct

de vedere al caracteristicilor mecanice ale oţelului

Epruveta de diametru iniţial 1198890 pentru icircncercarea la tracţiune are o porţiune de

lungime 1198710 numită baza de măsurare pe care se măsoară lungirea acesteia sub acţiunea

solicitării

Icircn funcţie de raportul dintre baza de măsurare 1198710 şi diametrul iniţial 1198890 epruvetele

utilizate pentru icircncercări sunt

epruvete normale (scurte) cacircnd 11987101198890 = 5

epruvete lungi cacircnd 11987101198890 = 10

Icircn timpul icircncercării la diferite valori ale forţei 119865 se măsoară lungirea bazei de

măsurare

∆119871 = 120575 = 119871 minus 1198710 (439)

unde

119871 este dimensiunea bazei de măsurare la un moment dat

Curba forţă-lungire (119865 minus ) icircnregistrată icircn urma icircncercării reprezintă curba

caracteristică la tracţiune

La icircncercarea la tracţiune a oţelului de uz general diagrama caracteristică care se

obţine are forma din figura 48

Curba caracteristică la tracţiune depinde de lungimea bazei de măsurare Pentru

icircnlăturarea acestui neajuns curba caracteristică se reprezintă icircn coordonate şi definite

astfel

120590 =119865

1198600 휀 =

120575

1198710 (440)

unde

1198600 este aria iniţială a secţiunii transversale a epruvetei (icircnainte de solicitare) icircn

zona bazei de măsurare

1198600 =120587 ∙ 1198890

2

4

Deoarece mărimile icircn care se reprezintă curba caracteristică la tracţiune sunt

raportate la aria iniţială a secţiunii transversale (mărimi specifice) curba poartă numele

de curbă caracteristică convenţională la tracţiune

Fig 48 Curba caracteristică convenţională la tracțiune

Pe curba caracteristică convenţională la tracţiune figura 48 se pot stabili o serie

de puncte cărora le corespund mai multe mărimi importante

Ordonata punctului A pacircnă unde curba caracteristică convenţională este linie

dreaptă se numeşte limita de proporţionalitate a materialului 120590119901(1205901) Porţiunea 119874119860 este

zona de proporţionalitate a curbei caracteristice pe acest domeniu este valabilă legea lui

Hooke care exprimă o proporţionalitate icircntre tensiune şi deformaţie specifică

120590 = 119864 ∙ 휀 (441)

unde

119864 = reprezintă panta porţiunii liniare a curbei convenționale caracteristice

la tracțiune Caracteristica de material 119864 se numeşte modul de elasticitate longitudinal

(modulul lui Young)

Ordonata punctului 119861 pacircnă unde materialul se comportă perfect elastic adică

după descărcare icircşi recapătă dimensiunea iniţială 1198710 se numeşte limita de elasticitate

120590119890(119877119890) Icircn realitate nici un material nu are comportare perfect elastică sub acţiunea

solicitărilor el capătă deformaţii permanente (remanente plastice)

După punctul 119861 urmează o porţiune 119861119862119863 icircn care cu toate că icircncărcarea

continuă forţa nu mai creşte avacircnd mici oscilaţii icircn jurul unei valori Se spune că icircn

această porţiune materialul curge iar intervalul 119861119862119863 este un palier de curgere Tensiunea

corespunzătoare palierului de curgere se numeşte limită de curgere aparentă 120590119888(119877119888) Limita de curgere aparentă se calculează cu relaţia

120590119888 =1198651198881198600 (442)

unde

119865119888 reprezintă valoarea forţei icircnregistrată icircn momentul curgerii materialului

După punctul 119863 curba caracteristică are un traseu ascendent pacircnă icircn punctul 119864

Porţiunea 119863119864 este numită zonă de icircntărire (ecruisare) Icircn zona de ecruisare unde se

produc deformaţii plastice semnificative legea lui Hooke nu mai este valabilă La

descărcare relaţia dintre tensiunea şi deformaţia specifică este liniară paralelă cu

porţiunea liniară a curbei caracteristice (dreapta 119872119873)

Deformaţia totală (휀119905) are două componente una elastică (휀119890) şi una plastică (휀119901)

Ordonata punctului 119864 reprezintă rezistenţa de rupere 120590119903(119877119898) a materialului

care se poate calcula cu relaţia

120590119903 = 119877119898 =1198651198981198861199091198600

(443)

unde

119865119898119886119909 reprezintă valoarea maximă a forţei icircnregistrată icircn timpul icircncercării

La atingerea valorii 119865119898119886119909 (punctul 119864) icircntr-un anumit loc al epruvetei secţiunea

icircncepe să se micşoreze (se produce gacirctuirea) continuacircnd pacircnă cacircnd se produce ruperea

totală (punctul 119865)

Dacă după ruperea epruvetei cele două părţi rezultate se aşează cap la cap şi se

măsoară dimensiunea bazei de măsurare 119871119906 (lungimea ultimă) se determină alungirea la

rupere sau lungirea specifică la rupere 휀119903

휀119903 =119871119906 minus 11987101198710

=∆119871

1198710=120575

1198710 (444)

De obicei alungirea se exprimă icircn procente şi se notează cu 119860119899 unde 119899 reprezintă

numărul dat de raportul 11987101198890 (epruvete normale 119899 = 5 epruvete lungi 119899 = 10)

119860119899 =119871119906 minus 11987101198710

∙ 100 [] (445)

Altă mărime care se determină la icircncercarea la tracţiune este gacirctuirea la rupere

(exprimată de obicei icircn procente) şi definită de relaţia

119885 =1198600 minus 1198601199061198600

∙ 100 [] (446)

Mărimile determinate limita de proporţionalitate modulul de elasticitate

longitudinal limita de elasticitate limita de curgere aparentă rezistenţa de rupere

alungirea la rupere şi gacirctuirea la rupere sunt cunoscute ca fiind caracteristici mecanice

ale materialului

Din curba caracteristică convenţională observăm faptul că ruperea (punctul 119865 din

figura 48 se produce la o tensiune mai mică decacirct cea corespunzătoare punctului 119864 Dacă

icircnsă forţa din timpul icircncercării s-ar raporta la aria secţiunii din momentul icircnregistrării

forţei (care este mai mică decacirct cea iniţială 1198600) s-ar obţine aşa numita curbă

caracteristică reală a materialului (traseul 1198741198601198611198621198631198651 din figura 48) La curba

caracteristică reală ruperea se produce icircn punctul 1198651 la o icircncărcare mai mare decacirct cea

corespunzătoare punctului 119864 Icircnseamnă că rezistenţa reală la rupere este mai mare decacirct

rezistenţa la rupere dată de punctul 119864 din diagrama caracteristică convenţională

Dificultatea obţinerii diagramei caracteristice reale faţă de cea a diagramei caracteristice

convenţionale şi considerarea unei rezistenţe la rupere mai mică decacirct a celei reale face

icircn practică utilizarea pe scară mare a diagramei caracteristice convenţionale

Caracteristicile mecanice determinate pe baza curbei caracteristice convenţionale

sunt şi ele caracteristici mecanice convenţionale

Caracteristicile mecanice convenţionale limita de proporţionalitate convenţională

120590119901 limita de elasticitate convenţională 120590119890 limita de curgere convenţională 120590119888 şi rezistenţa

de rupere 120590119903 constituie tensiuni limită pentru un material Pe baza acestor caracteristici

de material se alege valoarea tensiunii admisibile 120590119886 (vezi paragraful 35) pentru

calculele de rezistenţă Cea mai utilizată stare limită pentru stabilirea tensiunii admisibile

120590119886 este limita de curgere convenţională 120590119888

120590119886 =120590119897119894119898119888

=120590119888119888 119904119886119906 120590119886 =

120590119903119888 (447)

Caracteristicile mecanice ale materialului sunt influenţate de o serie de factori

temperatura viteza de solicitare factorii tehnologici iar valorile lor sunt date icircn tabele și

diagrame

Aplicaţie Pentru suprafaţa plană compusă din două dreptunghiuri avacircnd

dimensiunile din figura 49a să se calculeze

a) centrul de greutate al secțiunii compuse 119910119866 119911119866

b) momentele de inerție axiale 119868119911 119868119910 și momentul de inerție centrifugal 119868119911119910

c) razele de inerție 119894119911 119894119910

d) modulele de rezistență 119882119911119898119894119899 119882119911119898119886119909 119882119910119898119894119899 119882119910119898119886119909

e) momentele de inerție principale 1198681 1198682 și direcțiile principale de inerție 1205721

f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 119878119911

Fig 49 Aplicație

Rezolvare Pentru rezolvare vom parcurge următoarele etape

icircmpărțim suprafața compusă icircn două suprafețe simple (dreptunghiuri) notate cu

① și respectiv ② figura 49b

poziționăm centrele de greutate a celor două suprafețe simple ① și respectiv ②

notate cu 1198661 și respectiv 1198662 figura 49c

poziționăm sistemele de axe de coordonate 119911111986611199101 pentru dreptunghiul ① și

119911211986621199102 pentru dreptunghiul ② aflate la intersecția diagonalelor figura 49c

poziționăm sistemele de axe de coordonate 11991101198741199100 ales arbitrar față de care

determinăm poziția centrului de greutate 119866 figura 49c

a) calculăm poziția centrului de greutate folosind relațiile (46) icircn care

1198601 = 6119905 ∙ 119905 = 61199052 1198602 = 4119905 ∙ 119905 = 41199052 119860 = 1198601 + 1198602 = 61199052 + 41199052 = 101199052

iar centrele de greutate 1198661 și respectiv 1198662 au coordonatele (față de sistemul 11991101198741199100)

1198661 1199101 = 3119905 1199111 = 05119905

1198662 1199102 = 051199051199112 = 3119905

cu acestea obținem

119910119866 =1198601 ∙ 1199101 + 1198602 ∙ 1199102

119860=61199052 ∙ 3119905 + 41199052 ∙ 05119905

101199052=201199053

101199052= 2119905

119911119866 =1198601 ∙ 1199111 + 1198602 ∙ 1199112

119860=61199052 ∙ 05119905 + 41199052 ∙ 3119905

101199052=151199053

101199052= 15119905

Poziționăm centrul de greutate 119866 al suprafeței compuse figura 49c

Fig 49 Aplicație

b) pentru determinarea momentelor de inerție axiale 119868119911 119868119910 și a momentului de

inerție centrifugal 119868119910119911 determinăm constantele 1198881 1198882 1198891 1198892 care intervin icircn relația lui

Stainer

1198881 = 1199101 minus 119910119866 = 3119905 minus 2119905 = 119905 1198882 = minus(119910119866 minus 1199102) = minus(2119905 minus 05119905) = minus15119905

1198891 = minus(119911119866 minus 1199111) = minus(15119905 minus 05119905) = minus119905 1198892 = 1199112 minus 119911119892 = 3119905 minus 15119905 = 15119905

Folosind relațiile lui Stainer (429) (430) și (431) calculăm momentele de

inerție axiale și centrifugale față de sistemul central 119911119866119866119910119866

119868119911 =sum(119868119911119894 + 1198881198942 ∙ 119860119894) = 1198681199111 + 1198881

2 ∙ 1198601 + 1198681199112 + 11988822 ∙ 1198602

119868119910 =sum(119868119910119894 + 1198891198942 ∙ 119860119894) = 1198681199101 + 1198891

2 ∙ 1198601 + 1198681199102 + 11988922 ∙ 1198602

119868119911119910 =sum(119868119911119894119910119894 + 119888119894 ∙ 119889119894 ∙ 119860119894) = 11986811991111199101 + 1198881 ∙ 1198891 ∙ 1198601 + 11986811991121199102 + 1198882 ∙ 1198892 ∙ 1198602

1198681199111 = (119887 ∙ ℎ3

12) =

119905 ∙ (6119905)3

12= 181199054 1198681199112 = (

119887 ∙ ℎ3

12) =

4119905 ∙ 1199053

12= 031199054

1198681199101 = (1198873 ∙ ℎ

12) =

1199053 ∙ 6119905

12= 051199054 1198681199102 = (

1198873 ∙ ℎ

12) =

(4119905)3 ∙ 119905

12= 531199054

11986811991111199101 = 11986811991121199102 = 0 deoarece cele două triunghiuri au cel puțin o axă de simetrie

Cu acestea momentele de inerție axiale și momentul de inerție centrifugal devin

119868119911 = 181199054 + 1199052 ∙ 61199052 + 031199054 + (minus15119905)2 ∙ 41199052 = 3331199054

119868119910 = 051199054 + (minus119905)2 ∙ 61199052 + 531199054 + (15119905)2 ∙ 41199052 = 2081199054

119868119911119910 = 0 + 119905 ∙ (minus119905) ∙ 61199052 + 0 + (minus15119905) ∙ (15119905) ∙ 41199052 = minus151199054

c) razele de inerție sau de girație față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910

se calculează cu relațiile (411)

119894119911 = radic119868119911119860= radic

3331199054

101199052= 182119905 119894119910 = radic

119868119910

119860= radic

2081199054

101199052= 144119905

d) modulele de rezistență față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910 se

calculează cu relațiile (412) și (413)

Avacircnd icircn vedere figura 419c obținem

119910119898119886119909 = 6119905 minus 119910119866 = 6119905 minus 2119905 = 4119905 119910119898119894119899 = minus119910119866 = minus2119905

119911119898119886119909 = 5119905 minus 119911119866 = 5119905 minus 15119905 = 35119905 119911119898119894119899 = minus119911119866 = minus15119905

Se obține astfel

119882119911119898119894119899 =119868119911

|119910119898119886119909|=3331199054

4119905= 8331199053

119882119911119898119886119909 =119868119911

|119910119898119894119899|=3331199054

2119905= 16651199053

119882119910119898119894119899 =119868119910

|119911119898119886119909|=2081199054

35119905= 5941199053

119882119910119898119886119909 =119868119910

|119911119898119894119899|=2081199054

15119905= 13871199053

e) momentele de inerție principale 1198681 și respectiv 1198682 se calculează cu relațiile

(438)

11986812 =119868119911 + 119868119910

2plusmn1

2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)

2+ 4 ∙ (119868119911119910)

2=

=3331199054 + 2081199054

2plusmn1

2∙ radic(3331199054 minus 2081199054)2 + 4 ∙ (minus151199054)2 = 27051199054 plusmn 16251199054

De unde obținem

1198681 = 27051199054 + 16251199054 = 4331199054

1198682 = 27051199054 minus 16251199054 = 1081199054

Prima direcție principală de inerție 1 face cu axa centrală 119866119911 unghiul 1205721 dat de

relația (437)

1205721 =1

2∙ arctan (minus

2 ∙ 119868119911119910

119868119911 minus 119868119910) =

1

2∙ arctan [minus

2 ∙ (minus151199054)

3331199054 minus 2081199054] =33 70

Deoarece 1205721 gt 0 rotirea axelor se face acircn sens antiorar acelor de ceasornic figura

49d

Poziția axe principale 2 față de care momentul de inerție are valoarea minimă

1198682 = 119868119898119894119899 este dată de unghiul

1205722 = 1205721 + 900 = 33 70 + 900 = 123 70

f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 se determină cu relația

(45)

1198781199111198602 = 1198602 ∙ 1198882 = 41199052 ∙ (minus15119905) = minus61199053

Deoarece mărimile icircn care se reprezintă curba caracteristică la tracţiune sunt

raportate la aria iniţială a secţiunii transversale (mărimi specifice) curba poartă numele

de curbă caracteristică convenţională la tracţiune

Fig 48 Curba caracteristică convenţională la tracțiune

Pe curba caracteristică convenţională la tracţiune figura 48 se pot stabili o serie

de puncte cărora le corespund mai multe mărimi importante

Ordonata punctului A pacircnă unde curba caracteristică convenţională este linie

dreaptă se numeşte limita de proporţionalitate a materialului 120590119901(1205901) Porţiunea 119874119860 este

zona de proporţionalitate a curbei caracteristice pe acest domeniu este valabilă legea lui

Hooke care exprimă o proporţionalitate icircntre tensiune şi deformaţie specifică

120590 = 119864 ∙ 휀 (441)

unde

119864 = reprezintă panta porţiunii liniare a curbei convenționale caracteristice

la tracțiune Caracteristica de material 119864 se numeşte modul de elasticitate longitudinal

(modulul lui Young)

Ordonata punctului 119861 pacircnă unde materialul se comportă perfect elastic adică

după descărcare icircşi recapătă dimensiunea iniţială 1198710 se numeşte limita de elasticitate

120590119890(119877119890) Icircn realitate nici un material nu are comportare perfect elastică sub acţiunea

solicitărilor el capătă deformaţii permanente (remanente plastice)

După punctul 119861 urmează o porţiune 119861119862119863 icircn care cu toate că icircncărcarea

continuă forţa nu mai creşte avacircnd mici oscilaţii icircn jurul unei valori Se spune că icircn

această porţiune materialul curge iar intervalul 119861119862119863 este un palier de curgere Tensiunea

corespunzătoare palierului de curgere se numeşte limită de curgere aparentă 120590119888(119877119888) Limita de curgere aparentă se calculează cu relaţia

120590119888 =1198651198881198600 (442)

unde

119865119888 reprezintă valoarea forţei icircnregistrată icircn momentul curgerii materialului

După punctul 119863 curba caracteristică are un traseu ascendent pacircnă icircn punctul 119864

Porţiunea 119863119864 este numită zonă de icircntărire (ecruisare) Icircn zona de ecruisare unde se

produc deformaţii plastice semnificative legea lui Hooke nu mai este valabilă La

descărcare relaţia dintre tensiunea şi deformaţia specifică este liniară paralelă cu

porţiunea liniară a curbei caracteristice (dreapta 119872119873)

Deformaţia totală (휀119905) are două componente una elastică (휀119890) şi una plastică (휀119901)

Ordonata punctului 119864 reprezintă rezistenţa de rupere 120590119903(119877119898) a materialului

care se poate calcula cu relaţia

120590119903 = 119877119898 =1198651198981198861199091198600

(443)

unde

119865119898119886119909 reprezintă valoarea maximă a forţei icircnregistrată icircn timpul icircncercării

La atingerea valorii 119865119898119886119909 (punctul 119864) icircntr-un anumit loc al epruvetei secţiunea

icircncepe să se micşoreze (se produce gacirctuirea) continuacircnd pacircnă cacircnd se produce ruperea

totală (punctul 119865)

Dacă după ruperea epruvetei cele două părţi rezultate se aşează cap la cap şi se

măsoară dimensiunea bazei de măsurare 119871119906 (lungimea ultimă) se determină alungirea la

rupere sau lungirea specifică la rupere 휀119903

휀119903 =119871119906 minus 11987101198710

=∆119871

1198710=120575

1198710 (444)

De obicei alungirea se exprimă icircn procente şi se notează cu 119860119899 unde 119899 reprezintă

numărul dat de raportul 11987101198890 (epruvete normale 119899 = 5 epruvete lungi 119899 = 10)

119860119899 =119871119906 minus 11987101198710

∙ 100 [] (445)

Altă mărime care se determină la icircncercarea la tracţiune este gacirctuirea la rupere

(exprimată de obicei icircn procente) şi definită de relaţia

119885 =1198600 minus 1198601199061198600

∙ 100 [] (446)

Mărimile determinate limita de proporţionalitate modulul de elasticitate

longitudinal limita de elasticitate limita de curgere aparentă rezistenţa de rupere

alungirea la rupere şi gacirctuirea la rupere sunt cunoscute ca fiind caracteristici mecanice

ale materialului

Din curba caracteristică convenţională observăm faptul că ruperea (punctul 119865 din

figura 48 se produce la o tensiune mai mică decacirct cea corespunzătoare punctului 119864 Dacă

icircnsă forţa din timpul icircncercării s-ar raporta la aria secţiunii din momentul icircnregistrării

forţei (care este mai mică decacirct cea iniţială 1198600) s-ar obţine aşa numita curbă

caracteristică reală a materialului (traseul 1198741198601198611198621198631198651 din figura 48) La curba

caracteristică reală ruperea se produce icircn punctul 1198651 la o icircncărcare mai mare decacirct cea

corespunzătoare punctului 119864 Icircnseamnă că rezistenţa reală la rupere este mai mare decacirct

rezistenţa la rupere dată de punctul 119864 din diagrama caracteristică convenţională

Dificultatea obţinerii diagramei caracteristice reale faţă de cea a diagramei caracteristice

convenţionale şi considerarea unei rezistenţe la rupere mai mică decacirct a celei reale face

icircn practică utilizarea pe scară mare a diagramei caracteristice convenţionale

Caracteristicile mecanice determinate pe baza curbei caracteristice convenţionale

sunt şi ele caracteristici mecanice convenţionale

Caracteristicile mecanice convenţionale limita de proporţionalitate convenţională

120590119901 limita de elasticitate convenţională 120590119890 limita de curgere convenţională 120590119888 şi rezistenţa

de rupere 120590119903 constituie tensiuni limită pentru un material Pe baza acestor caracteristici

de material se alege valoarea tensiunii admisibile 120590119886 (vezi paragraful 35) pentru

calculele de rezistenţă Cea mai utilizată stare limită pentru stabilirea tensiunii admisibile

120590119886 este limita de curgere convenţională 120590119888

120590119886 =120590119897119894119898119888

=120590119888119888 119904119886119906 120590119886 =

120590119903119888 (447)

Caracteristicile mecanice ale materialului sunt influenţate de o serie de factori

temperatura viteza de solicitare factorii tehnologici iar valorile lor sunt date icircn tabele și

diagrame

Aplicaţie Pentru suprafaţa plană compusă din două dreptunghiuri avacircnd

dimensiunile din figura 49a să se calculeze

a) centrul de greutate al secțiunii compuse 119910119866 119911119866

b) momentele de inerție axiale 119868119911 119868119910 și momentul de inerție centrifugal 119868119911119910

c) razele de inerție 119894119911 119894119910

d) modulele de rezistență 119882119911119898119894119899 119882119911119898119886119909 119882119910119898119894119899 119882119910119898119886119909

e) momentele de inerție principale 1198681 1198682 și direcțiile principale de inerție 1205721

f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 119878119911

Fig 49 Aplicație

Rezolvare Pentru rezolvare vom parcurge următoarele etape

icircmpărțim suprafața compusă icircn două suprafețe simple (dreptunghiuri) notate cu

① și respectiv ② figura 49b

poziționăm centrele de greutate a celor două suprafețe simple ① și respectiv ②

notate cu 1198661 și respectiv 1198662 figura 49c

poziționăm sistemele de axe de coordonate 119911111986611199101 pentru dreptunghiul ① și

119911211986621199102 pentru dreptunghiul ② aflate la intersecția diagonalelor figura 49c

poziționăm sistemele de axe de coordonate 11991101198741199100 ales arbitrar față de care

determinăm poziția centrului de greutate 119866 figura 49c

a) calculăm poziția centrului de greutate folosind relațiile (46) icircn care

1198601 = 6119905 ∙ 119905 = 61199052 1198602 = 4119905 ∙ 119905 = 41199052 119860 = 1198601 + 1198602 = 61199052 + 41199052 = 101199052

iar centrele de greutate 1198661 și respectiv 1198662 au coordonatele (față de sistemul 11991101198741199100)

1198661 1199101 = 3119905 1199111 = 05119905

1198662 1199102 = 051199051199112 = 3119905

cu acestea obținem

119910119866 =1198601 ∙ 1199101 + 1198602 ∙ 1199102

119860=61199052 ∙ 3119905 + 41199052 ∙ 05119905

101199052=201199053

101199052= 2119905

119911119866 =1198601 ∙ 1199111 + 1198602 ∙ 1199112

119860=61199052 ∙ 05119905 + 41199052 ∙ 3119905

101199052=151199053

101199052= 15119905

Poziționăm centrul de greutate 119866 al suprafeței compuse figura 49c

Fig 49 Aplicație

b) pentru determinarea momentelor de inerție axiale 119868119911 119868119910 și a momentului de

inerție centrifugal 119868119910119911 determinăm constantele 1198881 1198882 1198891 1198892 care intervin icircn relația lui

Stainer

1198881 = 1199101 minus 119910119866 = 3119905 minus 2119905 = 119905 1198882 = minus(119910119866 minus 1199102) = minus(2119905 minus 05119905) = minus15119905

1198891 = minus(119911119866 minus 1199111) = minus(15119905 minus 05119905) = minus119905 1198892 = 1199112 minus 119911119892 = 3119905 minus 15119905 = 15119905

Folosind relațiile lui Stainer (429) (430) și (431) calculăm momentele de

inerție axiale și centrifugale față de sistemul central 119911119866119866119910119866

119868119911 =sum(119868119911119894 + 1198881198942 ∙ 119860119894) = 1198681199111 + 1198881

2 ∙ 1198601 + 1198681199112 + 11988822 ∙ 1198602

119868119910 =sum(119868119910119894 + 1198891198942 ∙ 119860119894) = 1198681199101 + 1198891

2 ∙ 1198601 + 1198681199102 + 11988922 ∙ 1198602

119868119911119910 =sum(119868119911119894119910119894 + 119888119894 ∙ 119889119894 ∙ 119860119894) = 11986811991111199101 + 1198881 ∙ 1198891 ∙ 1198601 + 11986811991121199102 + 1198882 ∙ 1198892 ∙ 1198602

1198681199111 = (119887 ∙ ℎ3

12) =

119905 ∙ (6119905)3

12= 181199054 1198681199112 = (

119887 ∙ ℎ3

12) =

4119905 ∙ 1199053

12= 031199054

1198681199101 = (1198873 ∙ ℎ

12) =

1199053 ∙ 6119905

12= 051199054 1198681199102 = (

1198873 ∙ ℎ

12) =

(4119905)3 ∙ 119905

12= 531199054

11986811991111199101 = 11986811991121199102 = 0 deoarece cele două triunghiuri au cel puțin o axă de simetrie

Cu acestea momentele de inerție axiale și momentul de inerție centrifugal devin

119868119911 = 181199054 + 1199052 ∙ 61199052 + 031199054 + (minus15119905)2 ∙ 41199052 = 3331199054

119868119910 = 051199054 + (minus119905)2 ∙ 61199052 + 531199054 + (15119905)2 ∙ 41199052 = 2081199054

119868119911119910 = 0 + 119905 ∙ (minus119905) ∙ 61199052 + 0 + (minus15119905) ∙ (15119905) ∙ 41199052 = minus151199054

c) razele de inerție sau de girație față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910

se calculează cu relațiile (411)

119894119911 = radic119868119911119860= radic

3331199054

101199052= 182119905 119894119910 = radic

119868119910

119860= radic

2081199054

101199052= 144119905

d) modulele de rezistență față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910 se

calculează cu relațiile (412) și (413)

Avacircnd icircn vedere figura 419c obținem

119910119898119886119909 = 6119905 minus 119910119866 = 6119905 minus 2119905 = 4119905 119910119898119894119899 = minus119910119866 = minus2119905

119911119898119886119909 = 5119905 minus 119911119866 = 5119905 minus 15119905 = 35119905 119911119898119894119899 = minus119911119866 = minus15119905

Se obține astfel

119882119911119898119894119899 =119868119911

|119910119898119886119909|=3331199054

4119905= 8331199053

119882119911119898119886119909 =119868119911

|119910119898119894119899|=3331199054

2119905= 16651199053

119882119910119898119894119899 =119868119910

|119911119898119886119909|=2081199054

35119905= 5941199053

119882119910119898119886119909 =119868119910

|119911119898119894119899|=2081199054

15119905= 13871199053

e) momentele de inerție principale 1198681 și respectiv 1198682 se calculează cu relațiile

(438)

11986812 =119868119911 + 119868119910

2plusmn1

2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)

2+ 4 ∙ (119868119911119910)

2=

=3331199054 + 2081199054

2plusmn1

2∙ radic(3331199054 minus 2081199054)2 + 4 ∙ (minus151199054)2 = 27051199054 plusmn 16251199054

De unde obținem

1198681 = 27051199054 + 16251199054 = 4331199054

1198682 = 27051199054 minus 16251199054 = 1081199054

Prima direcție principală de inerție 1 face cu axa centrală 119866119911 unghiul 1205721 dat de

relația (437)

1205721 =1

2∙ arctan (minus

2 ∙ 119868119911119910

119868119911 minus 119868119910) =

1

2∙ arctan [minus

2 ∙ (minus151199054)

3331199054 minus 2081199054] =33 70

Deoarece 1205721 gt 0 rotirea axelor se face acircn sens antiorar acelor de ceasornic figura

49d

Poziția axe principale 2 față de care momentul de inerție are valoarea minimă

1198682 = 119868119898119894119899 este dată de unghiul

1205722 = 1205721 + 900 = 33 70 + 900 = 123 70

f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 se determină cu relația

(45)

1198781199111198602 = 1198602 ∙ 1198882 = 41199052 ∙ (minus15119905) = minus61199053

unde

119865119888 reprezintă valoarea forţei icircnregistrată icircn momentul curgerii materialului

După punctul 119863 curba caracteristică are un traseu ascendent pacircnă icircn punctul 119864

Porţiunea 119863119864 este numită zonă de icircntărire (ecruisare) Icircn zona de ecruisare unde se

produc deformaţii plastice semnificative legea lui Hooke nu mai este valabilă La

descărcare relaţia dintre tensiunea şi deformaţia specifică este liniară paralelă cu

porţiunea liniară a curbei caracteristice (dreapta 119872119873)

Deformaţia totală (휀119905) are două componente una elastică (휀119890) şi una plastică (휀119901)

Ordonata punctului 119864 reprezintă rezistenţa de rupere 120590119903(119877119898) a materialului

care se poate calcula cu relaţia

120590119903 = 119877119898 =1198651198981198861199091198600

(443)

unde

119865119898119886119909 reprezintă valoarea maximă a forţei icircnregistrată icircn timpul icircncercării

La atingerea valorii 119865119898119886119909 (punctul 119864) icircntr-un anumit loc al epruvetei secţiunea

icircncepe să se micşoreze (se produce gacirctuirea) continuacircnd pacircnă cacircnd se produce ruperea

totală (punctul 119865)

Dacă după ruperea epruvetei cele două părţi rezultate se aşează cap la cap şi se

măsoară dimensiunea bazei de măsurare 119871119906 (lungimea ultimă) se determină alungirea la

rupere sau lungirea specifică la rupere 휀119903

휀119903 =119871119906 minus 11987101198710

=∆119871

1198710=120575

1198710 (444)

De obicei alungirea se exprimă icircn procente şi se notează cu 119860119899 unde 119899 reprezintă

numărul dat de raportul 11987101198890 (epruvete normale 119899 = 5 epruvete lungi 119899 = 10)

119860119899 =119871119906 minus 11987101198710

∙ 100 [] (445)

Altă mărime care se determină la icircncercarea la tracţiune este gacirctuirea la rupere

(exprimată de obicei icircn procente) şi definită de relaţia

119885 =1198600 minus 1198601199061198600

∙ 100 [] (446)

Mărimile determinate limita de proporţionalitate modulul de elasticitate

longitudinal limita de elasticitate limita de curgere aparentă rezistenţa de rupere

alungirea la rupere şi gacirctuirea la rupere sunt cunoscute ca fiind caracteristici mecanice

ale materialului

Din curba caracteristică convenţională observăm faptul că ruperea (punctul 119865 din

figura 48 se produce la o tensiune mai mică decacirct cea corespunzătoare punctului 119864 Dacă

icircnsă forţa din timpul icircncercării s-ar raporta la aria secţiunii din momentul icircnregistrării

forţei (care este mai mică decacirct cea iniţială 1198600) s-ar obţine aşa numita curbă

caracteristică reală a materialului (traseul 1198741198601198611198621198631198651 din figura 48) La curba

caracteristică reală ruperea se produce icircn punctul 1198651 la o icircncărcare mai mare decacirct cea

corespunzătoare punctului 119864 Icircnseamnă că rezistenţa reală la rupere este mai mare decacirct

rezistenţa la rupere dată de punctul 119864 din diagrama caracteristică convenţională

Dificultatea obţinerii diagramei caracteristice reale faţă de cea a diagramei caracteristice

convenţionale şi considerarea unei rezistenţe la rupere mai mică decacirct a celei reale face

icircn practică utilizarea pe scară mare a diagramei caracteristice convenţionale

Caracteristicile mecanice determinate pe baza curbei caracteristice convenţionale

sunt şi ele caracteristici mecanice convenţionale

Caracteristicile mecanice convenţionale limita de proporţionalitate convenţională

120590119901 limita de elasticitate convenţională 120590119890 limita de curgere convenţională 120590119888 şi rezistenţa

de rupere 120590119903 constituie tensiuni limită pentru un material Pe baza acestor caracteristici

de material se alege valoarea tensiunii admisibile 120590119886 (vezi paragraful 35) pentru

calculele de rezistenţă Cea mai utilizată stare limită pentru stabilirea tensiunii admisibile

120590119886 este limita de curgere convenţională 120590119888

120590119886 =120590119897119894119898119888

=120590119888119888 119904119886119906 120590119886 =

120590119903119888 (447)

Caracteristicile mecanice ale materialului sunt influenţate de o serie de factori

temperatura viteza de solicitare factorii tehnologici iar valorile lor sunt date icircn tabele și

diagrame

Aplicaţie Pentru suprafaţa plană compusă din două dreptunghiuri avacircnd

dimensiunile din figura 49a să se calculeze

a) centrul de greutate al secțiunii compuse 119910119866 119911119866

b) momentele de inerție axiale 119868119911 119868119910 și momentul de inerție centrifugal 119868119911119910

c) razele de inerție 119894119911 119894119910

d) modulele de rezistență 119882119911119898119894119899 119882119911119898119886119909 119882119910119898119894119899 119882119910119898119886119909

e) momentele de inerție principale 1198681 1198682 și direcțiile principale de inerție 1205721

f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 119878119911

Fig 49 Aplicație

Rezolvare Pentru rezolvare vom parcurge următoarele etape

icircmpărțim suprafața compusă icircn două suprafețe simple (dreptunghiuri) notate cu

① și respectiv ② figura 49b

poziționăm centrele de greutate a celor două suprafețe simple ① și respectiv ②

notate cu 1198661 și respectiv 1198662 figura 49c

poziționăm sistemele de axe de coordonate 119911111986611199101 pentru dreptunghiul ① și

119911211986621199102 pentru dreptunghiul ② aflate la intersecția diagonalelor figura 49c

poziționăm sistemele de axe de coordonate 11991101198741199100 ales arbitrar față de care

determinăm poziția centrului de greutate 119866 figura 49c

a) calculăm poziția centrului de greutate folosind relațiile (46) icircn care

1198601 = 6119905 ∙ 119905 = 61199052 1198602 = 4119905 ∙ 119905 = 41199052 119860 = 1198601 + 1198602 = 61199052 + 41199052 = 101199052

iar centrele de greutate 1198661 și respectiv 1198662 au coordonatele (față de sistemul 11991101198741199100)

1198661 1199101 = 3119905 1199111 = 05119905

1198662 1199102 = 051199051199112 = 3119905

cu acestea obținem

119910119866 =1198601 ∙ 1199101 + 1198602 ∙ 1199102

119860=61199052 ∙ 3119905 + 41199052 ∙ 05119905

101199052=201199053

101199052= 2119905

119911119866 =1198601 ∙ 1199111 + 1198602 ∙ 1199112

119860=61199052 ∙ 05119905 + 41199052 ∙ 3119905

101199052=151199053

101199052= 15119905

Poziționăm centrul de greutate 119866 al suprafeței compuse figura 49c

Fig 49 Aplicație

b) pentru determinarea momentelor de inerție axiale 119868119911 119868119910 și a momentului de

inerție centrifugal 119868119910119911 determinăm constantele 1198881 1198882 1198891 1198892 care intervin icircn relația lui

Stainer

1198881 = 1199101 minus 119910119866 = 3119905 minus 2119905 = 119905 1198882 = minus(119910119866 minus 1199102) = minus(2119905 minus 05119905) = minus15119905

1198891 = minus(119911119866 minus 1199111) = minus(15119905 minus 05119905) = minus119905 1198892 = 1199112 minus 119911119892 = 3119905 minus 15119905 = 15119905

Folosind relațiile lui Stainer (429) (430) și (431) calculăm momentele de

inerție axiale și centrifugale față de sistemul central 119911119866119866119910119866

119868119911 =sum(119868119911119894 + 1198881198942 ∙ 119860119894) = 1198681199111 + 1198881

2 ∙ 1198601 + 1198681199112 + 11988822 ∙ 1198602

119868119910 =sum(119868119910119894 + 1198891198942 ∙ 119860119894) = 1198681199101 + 1198891

2 ∙ 1198601 + 1198681199102 + 11988922 ∙ 1198602

119868119911119910 =sum(119868119911119894119910119894 + 119888119894 ∙ 119889119894 ∙ 119860119894) = 11986811991111199101 + 1198881 ∙ 1198891 ∙ 1198601 + 11986811991121199102 + 1198882 ∙ 1198892 ∙ 1198602

1198681199111 = (119887 ∙ ℎ3

12) =

119905 ∙ (6119905)3

12= 181199054 1198681199112 = (

119887 ∙ ℎ3

12) =

4119905 ∙ 1199053

12= 031199054

1198681199101 = (1198873 ∙ ℎ

12) =

1199053 ∙ 6119905

12= 051199054 1198681199102 = (

1198873 ∙ ℎ

12) =

(4119905)3 ∙ 119905

12= 531199054

11986811991111199101 = 11986811991121199102 = 0 deoarece cele două triunghiuri au cel puțin o axă de simetrie

Cu acestea momentele de inerție axiale și momentul de inerție centrifugal devin

119868119911 = 181199054 + 1199052 ∙ 61199052 + 031199054 + (minus15119905)2 ∙ 41199052 = 3331199054

119868119910 = 051199054 + (minus119905)2 ∙ 61199052 + 531199054 + (15119905)2 ∙ 41199052 = 2081199054

119868119911119910 = 0 + 119905 ∙ (minus119905) ∙ 61199052 + 0 + (minus15119905) ∙ (15119905) ∙ 41199052 = minus151199054

c) razele de inerție sau de girație față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910

se calculează cu relațiile (411)

119894119911 = radic119868119911119860= radic

3331199054

101199052= 182119905 119894119910 = radic

119868119910

119860= radic

2081199054

101199052= 144119905

d) modulele de rezistență față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910 se

calculează cu relațiile (412) și (413)

Avacircnd icircn vedere figura 419c obținem

119910119898119886119909 = 6119905 minus 119910119866 = 6119905 minus 2119905 = 4119905 119910119898119894119899 = minus119910119866 = minus2119905

119911119898119886119909 = 5119905 minus 119911119866 = 5119905 minus 15119905 = 35119905 119911119898119894119899 = minus119911119866 = minus15119905

Se obține astfel

119882119911119898119894119899 =119868119911

|119910119898119886119909|=3331199054

4119905= 8331199053

119882119911119898119886119909 =119868119911

|119910119898119894119899|=3331199054

2119905= 16651199053

119882119910119898119894119899 =119868119910

|119911119898119886119909|=2081199054

35119905= 5941199053

119882119910119898119886119909 =119868119910

|119911119898119894119899|=2081199054

15119905= 13871199053

e) momentele de inerție principale 1198681 și respectiv 1198682 se calculează cu relațiile

(438)

11986812 =119868119911 + 119868119910

2plusmn1

2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)

2+ 4 ∙ (119868119911119910)

2=

=3331199054 + 2081199054

2plusmn1

2∙ radic(3331199054 minus 2081199054)2 + 4 ∙ (minus151199054)2 = 27051199054 plusmn 16251199054

De unde obținem

1198681 = 27051199054 + 16251199054 = 4331199054

1198682 = 27051199054 minus 16251199054 = 1081199054

Prima direcție principală de inerție 1 face cu axa centrală 119866119911 unghiul 1205721 dat de

relația (437)

1205721 =1

2∙ arctan (minus

2 ∙ 119868119911119910

119868119911 minus 119868119910) =

1

2∙ arctan [minus

2 ∙ (minus151199054)

3331199054 minus 2081199054] =33 70

Deoarece 1205721 gt 0 rotirea axelor se face acircn sens antiorar acelor de ceasornic figura

49d

Poziția axe principale 2 față de care momentul de inerție are valoarea minimă

1198682 = 119868119898119894119899 este dată de unghiul

1205722 = 1205721 + 900 = 33 70 + 900 = 123 70

f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 se determină cu relația

(45)

1198781199111198602 = 1198602 ∙ 1198882 = 41199052 ∙ (minus15119905) = minus61199053

corespunzătoare punctului 119864 Icircnseamnă că rezistenţa reală la rupere este mai mare decacirct

rezistenţa la rupere dată de punctul 119864 din diagrama caracteristică convenţională

Dificultatea obţinerii diagramei caracteristice reale faţă de cea a diagramei caracteristice

convenţionale şi considerarea unei rezistenţe la rupere mai mică decacirct a celei reale face

icircn practică utilizarea pe scară mare a diagramei caracteristice convenţionale

Caracteristicile mecanice determinate pe baza curbei caracteristice convenţionale

sunt şi ele caracteristici mecanice convenţionale

Caracteristicile mecanice convenţionale limita de proporţionalitate convenţională

120590119901 limita de elasticitate convenţională 120590119890 limita de curgere convenţională 120590119888 şi rezistenţa

de rupere 120590119903 constituie tensiuni limită pentru un material Pe baza acestor caracteristici

de material se alege valoarea tensiunii admisibile 120590119886 (vezi paragraful 35) pentru

calculele de rezistenţă Cea mai utilizată stare limită pentru stabilirea tensiunii admisibile

120590119886 este limita de curgere convenţională 120590119888

120590119886 =120590119897119894119898119888

=120590119888119888 119904119886119906 120590119886 =

120590119903119888 (447)

Caracteristicile mecanice ale materialului sunt influenţate de o serie de factori

temperatura viteza de solicitare factorii tehnologici iar valorile lor sunt date icircn tabele și

diagrame

Aplicaţie Pentru suprafaţa plană compusă din două dreptunghiuri avacircnd

dimensiunile din figura 49a să se calculeze

a) centrul de greutate al secțiunii compuse 119910119866 119911119866

b) momentele de inerție axiale 119868119911 119868119910 și momentul de inerție centrifugal 119868119911119910

c) razele de inerție 119894119911 119894119910

d) modulele de rezistență 119882119911119898119894119899 119882119911119898119886119909 119882119910119898119894119899 119882119910119898119886119909

e) momentele de inerție principale 1198681 1198682 și direcțiile principale de inerție 1205721

f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 119878119911

Fig 49 Aplicație

Rezolvare Pentru rezolvare vom parcurge următoarele etape

icircmpărțim suprafața compusă icircn două suprafețe simple (dreptunghiuri) notate cu

① și respectiv ② figura 49b

poziționăm centrele de greutate a celor două suprafețe simple ① și respectiv ②

notate cu 1198661 și respectiv 1198662 figura 49c

poziționăm sistemele de axe de coordonate 119911111986611199101 pentru dreptunghiul ① și

119911211986621199102 pentru dreptunghiul ② aflate la intersecția diagonalelor figura 49c

poziționăm sistemele de axe de coordonate 11991101198741199100 ales arbitrar față de care

determinăm poziția centrului de greutate 119866 figura 49c

a) calculăm poziția centrului de greutate folosind relațiile (46) icircn care

1198601 = 6119905 ∙ 119905 = 61199052 1198602 = 4119905 ∙ 119905 = 41199052 119860 = 1198601 + 1198602 = 61199052 + 41199052 = 101199052

iar centrele de greutate 1198661 și respectiv 1198662 au coordonatele (față de sistemul 11991101198741199100)

1198661 1199101 = 3119905 1199111 = 05119905

1198662 1199102 = 051199051199112 = 3119905

cu acestea obținem

119910119866 =1198601 ∙ 1199101 + 1198602 ∙ 1199102

119860=61199052 ∙ 3119905 + 41199052 ∙ 05119905

101199052=201199053

101199052= 2119905

119911119866 =1198601 ∙ 1199111 + 1198602 ∙ 1199112

119860=61199052 ∙ 05119905 + 41199052 ∙ 3119905

101199052=151199053

101199052= 15119905

Poziționăm centrul de greutate 119866 al suprafeței compuse figura 49c

Fig 49 Aplicație

b) pentru determinarea momentelor de inerție axiale 119868119911 119868119910 și a momentului de

inerție centrifugal 119868119910119911 determinăm constantele 1198881 1198882 1198891 1198892 care intervin icircn relația lui

Stainer

1198881 = 1199101 minus 119910119866 = 3119905 minus 2119905 = 119905 1198882 = minus(119910119866 minus 1199102) = minus(2119905 minus 05119905) = minus15119905

1198891 = minus(119911119866 minus 1199111) = minus(15119905 minus 05119905) = minus119905 1198892 = 1199112 minus 119911119892 = 3119905 minus 15119905 = 15119905

Folosind relațiile lui Stainer (429) (430) și (431) calculăm momentele de

inerție axiale și centrifugale față de sistemul central 119911119866119866119910119866

119868119911 =sum(119868119911119894 + 1198881198942 ∙ 119860119894) = 1198681199111 + 1198881

2 ∙ 1198601 + 1198681199112 + 11988822 ∙ 1198602

119868119910 =sum(119868119910119894 + 1198891198942 ∙ 119860119894) = 1198681199101 + 1198891

2 ∙ 1198601 + 1198681199102 + 11988922 ∙ 1198602

119868119911119910 =sum(119868119911119894119910119894 + 119888119894 ∙ 119889119894 ∙ 119860119894) = 11986811991111199101 + 1198881 ∙ 1198891 ∙ 1198601 + 11986811991121199102 + 1198882 ∙ 1198892 ∙ 1198602

1198681199111 = (119887 ∙ ℎ3

12) =

119905 ∙ (6119905)3

12= 181199054 1198681199112 = (

119887 ∙ ℎ3

12) =

4119905 ∙ 1199053

12= 031199054

1198681199101 = (1198873 ∙ ℎ

12) =

1199053 ∙ 6119905

12= 051199054 1198681199102 = (

1198873 ∙ ℎ

12) =

(4119905)3 ∙ 119905

12= 531199054

11986811991111199101 = 11986811991121199102 = 0 deoarece cele două triunghiuri au cel puțin o axă de simetrie

Cu acestea momentele de inerție axiale și momentul de inerție centrifugal devin

119868119911 = 181199054 + 1199052 ∙ 61199052 + 031199054 + (minus15119905)2 ∙ 41199052 = 3331199054

119868119910 = 051199054 + (minus119905)2 ∙ 61199052 + 531199054 + (15119905)2 ∙ 41199052 = 2081199054

119868119911119910 = 0 + 119905 ∙ (minus119905) ∙ 61199052 + 0 + (minus15119905) ∙ (15119905) ∙ 41199052 = minus151199054

c) razele de inerție sau de girație față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910

se calculează cu relațiile (411)

119894119911 = radic119868119911119860= radic

3331199054

101199052= 182119905 119894119910 = radic

119868119910

119860= radic

2081199054

101199052= 144119905

d) modulele de rezistență față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910 se

calculează cu relațiile (412) și (413)

Avacircnd icircn vedere figura 419c obținem

119910119898119886119909 = 6119905 minus 119910119866 = 6119905 minus 2119905 = 4119905 119910119898119894119899 = minus119910119866 = minus2119905

119911119898119886119909 = 5119905 minus 119911119866 = 5119905 minus 15119905 = 35119905 119911119898119894119899 = minus119911119866 = minus15119905

Se obține astfel

119882119911119898119894119899 =119868119911

|119910119898119886119909|=3331199054

4119905= 8331199053

119882119911119898119886119909 =119868119911

|119910119898119894119899|=3331199054

2119905= 16651199053

119882119910119898119894119899 =119868119910

|119911119898119886119909|=2081199054

35119905= 5941199053

119882119910119898119886119909 =119868119910

|119911119898119894119899|=2081199054

15119905= 13871199053

e) momentele de inerție principale 1198681 și respectiv 1198682 se calculează cu relațiile

(438)

11986812 =119868119911 + 119868119910

2plusmn1

2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)

2+ 4 ∙ (119868119911119910)

2=

=3331199054 + 2081199054

2plusmn1

2∙ radic(3331199054 minus 2081199054)2 + 4 ∙ (minus151199054)2 = 27051199054 plusmn 16251199054

De unde obținem

1198681 = 27051199054 + 16251199054 = 4331199054

1198682 = 27051199054 minus 16251199054 = 1081199054

Prima direcție principală de inerție 1 face cu axa centrală 119866119911 unghiul 1205721 dat de

relația (437)

1205721 =1

2∙ arctan (minus

2 ∙ 119868119911119910

119868119911 minus 119868119910) =

1

2∙ arctan [minus

2 ∙ (minus151199054)

3331199054 minus 2081199054] =33 70

Deoarece 1205721 gt 0 rotirea axelor se face acircn sens antiorar acelor de ceasornic figura

49d

Poziția axe principale 2 față de care momentul de inerție are valoarea minimă

1198682 = 119868119898119894119899 este dată de unghiul

1205722 = 1205721 + 900 = 33 70 + 900 = 123 70

f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 se determină cu relația

(45)

1198781199111198602 = 1198602 ∙ 1198882 = 41199052 ∙ (minus15119905) = minus61199053

Rezolvare Pentru rezolvare vom parcurge următoarele etape

icircmpărțim suprafața compusă icircn două suprafețe simple (dreptunghiuri) notate cu

① și respectiv ② figura 49b

poziționăm centrele de greutate a celor două suprafețe simple ① și respectiv ②

notate cu 1198661 și respectiv 1198662 figura 49c

poziționăm sistemele de axe de coordonate 119911111986611199101 pentru dreptunghiul ① și

119911211986621199102 pentru dreptunghiul ② aflate la intersecția diagonalelor figura 49c

poziționăm sistemele de axe de coordonate 11991101198741199100 ales arbitrar față de care

determinăm poziția centrului de greutate 119866 figura 49c

a) calculăm poziția centrului de greutate folosind relațiile (46) icircn care

1198601 = 6119905 ∙ 119905 = 61199052 1198602 = 4119905 ∙ 119905 = 41199052 119860 = 1198601 + 1198602 = 61199052 + 41199052 = 101199052

iar centrele de greutate 1198661 și respectiv 1198662 au coordonatele (față de sistemul 11991101198741199100)

1198661 1199101 = 3119905 1199111 = 05119905

1198662 1199102 = 051199051199112 = 3119905

cu acestea obținem

119910119866 =1198601 ∙ 1199101 + 1198602 ∙ 1199102

119860=61199052 ∙ 3119905 + 41199052 ∙ 05119905

101199052=201199053

101199052= 2119905

119911119866 =1198601 ∙ 1199111 + 1198602 ∙ 1199112

119860=61199052 ∙ 05119905 + 41199052 ∙ 3119905

101199052=151199053

101199052= 15119905

Poziționăm centrul de greutate 119866 al suprafeței compuse figura 49c

Fig 49 Aplicație

b) pentru determinarea momentelor de inerție axiale 119868119911 119868119910 și a momentului de

inerție centrifugal 119868119910119911 determinăm constantele 1198881 1198882 1198891 1198892 care intervin icircn relația lui

Stainer

1198881 = 1199101 minus 119910119866 = 3119905 minus 2119905 = 119905 1198882 = minus(119910119866 minus 1199102) = minus(2119905 minus 05119905) = minus15119905

1198891 = minus(119911119866 minus 1199111) = minus(15119905 minus 05119905) = minus119905 1198892 = 1199112 minus 119911119892 = 3119905 minus 15119905 = 15119905

Folosind relațiile lui Stainer (429) (430) și (431) calculăm momentele de

inerție axiale și centrifugale față de sistemul central 119911119866119866119910119866

119868119911 =sum(119868119911119894 + 1198881198942 ∙ 119860119894) = 1198681199111 + 1198881

2 ∙ 1198601 + 1198681199112 + 11988822 ∙ 1198602

119868119910 =sum(119868119910119894 + 1198891198942 ∙ 119860119894) = 1198681199101 + 1198891

2 ∙ 1198601 + 1198681199102 + 11988922 ∙ 1198602

119868119911119910 =sum(119868119911119894119910119894 + 119888119894 ∙ 119889119894 ∙ 119860119894) = 11986811991111199101 + 1198881 ∙ 1198891 ∙ 1198601 + 11986811991121199102 + 1198882 ∙ 1198892 ∙ 1198602

1198681199111 = (119887 ∙ ℎ3

12) =

119905 ∙ (6119905)3

12= 181199054 1198681199112 = (

119887 ∙ ℎ3

12) =

4119905 ∙ 1199053

12= 031199054

1198681199101 = (1198873 ∙ ℎ

12) =

1199053 ∙ 6119905

12= 051199054 1198681199102 = (

1198873 ∙ ℎ

12) =

(4119905)3 ∙ 119905

12= 531199054

11986811991111199101 = 11986811991121199102 = 0 deoarece cele două triunghiuri au cel puțin o axă de simetrie

Cu acestea momentele de inerție axiale și momentul de inerție centrifugal devin

119868119911 = 181199054 + 1199052 ∙ 61199052 + 031199054 + (minus15119905)2 ∙ 41199052 = 3331199054

119868119910 = 051199054 + (minus119905)2 ∙ 61199052 + 531199054 + (15119905)2 ∙ 41199052 = 2081199054

119868119911119910 = 0 + 119905 ∙ (minus119905) ∙ 61199052 + 0 + (minus15119905) ∙ (15119905) ∙ 41199052 = minus151199054

c) razele de inerție sau de girație față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910

se calculează cu relațiile (411)

119894119911 = radic119868119911119860= radic

3331199054

101199052= 182119905 119894119910 = radic

119868119910

119860= radic

2081199054

101199052= 144119905

d) modulele de rezistență față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910 se

calculează cu relațiile (412) și (413)

Avacircnd icircn vedere figura 419c obținem

119910119898119886119909 = 6119905 minus 119910119866 = 6119905 minus 2119905 = 4119905 119910119898119894119899 = minus119910119866 = minus2119905

119911119898119886119909 = 5119905 minus 119911119866 = 5119905 minus 15119905 = 35119905 119911119898119894119899 = minus119911119866 = minus15119905

Se obține astfel

119882119911119898119894119899 =119868119911

|119910119898119886119909|=3331199054

4119905= 8331199053

119882119911119898119886119909 =119868119911

|119910119898119894119899|=3331199054

2119905= 16651199053

119882119910119898119894119899 =119868119910

|119911119898119886119909|=2081199054

35119905= 5941199053

119882119910119898119886119909 =119868119910

|119911119898119894119899|=2081199054

15119905= 13871199053

e) momentele de inerție principale 1198681 și respectiv 1198682 se calculează cu relațiile

(438)

11986812 =119868119911 + 119868119910

2plusmn1

2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)

2+ 4 ∙ (119868119911119910)

2=

=3331199054 + 2081199054

2plusmn1

2∙ radic(3331199054 minus 2081199054)2 + 4 ∙ (minus151199054)2 = 27051199054 plusmn 16251199054

De unde obținem

1198681 = 27051199054 + 16251199054 = 4331199054

1198682 = 27051199054 minus 16251199054 = 1081199054

Prima direcție principală de inerție 1 face cu axa centrală 119866119911 unghiul 1205721 dat de

relația (437)

1205721 =1

2∙ arctan (minus

2 ∙ 119868119911119910

119868119911 minus 119868119910) =

1

2∙ arctan [minus

2 ∙ (minus151199054)

3331199054 minus 2081199054] =33 70

Deoarece 1205721 gt 0 rotirea axelor se face acircn sens antiorar acelor de ceasornic figura

49d

Poziția axe principale 2 față de care momentul de inerție are valoarea minimă

1198682 = 119868119898119894119899 este dată de unghiul

1205722 = 1205721 + 900 = 33 70 + 900 = 123 70

f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 se determină cu relația

(45)

1198781199111198602 = 1198602 ∙ 1198882 = 41199052 ∙ (minus15119905) = minus61199053

b) pentru determinarea momentelor de inerție axiale 119868119911 119868119910 și a momentului de

inerție centrifugal 119868119910119911 determinăm constantele 1198881 1198882 1198891 1198892 care intervin icircn relația lui

Stainer

1198881 = 1199101 minus 119910119866 = 3119905 minus 2119905 = 119905 1198882 = minus(119910119866 minus 1199102) = minus(2119905 minus 05119905) = minus15119905

1198891 = minus(119911119866 minus 1199111) = minus(15119905 minus 05119905) = minus119905 1198892 = 1199112 minus 119911119892 = 3119905 minus 15119905 = 15119905

Folosind relațiile lui Stainer (429) (430) și (431) calculăm momentele de

inerție axiale și centrifugale față de sistemul central 119911119866119866119910119866

119868119911 =sum(119868119911119894 + 1198881198942 ∙ 119860119894) = 1198681199111 + 1198881

2 ∙ 1198601 + 1198681199112 + 11988822 ∙ 1198602

119868119910 =sum(119868119910119894 + 1198891198942 ∙ 119860119894) = 1198681199101 + 1198891

2 ∙ 1198601 + 1198681199102 + 11988922 ∙ 1198602

119868119911119910 =sum(119868119911119894119910119894 + 119888119894 ∙ 119889119894 ∙ 119860119894) = 11986811991111199101 + 1198881 ∙ 1198891 ∙ 1198601 + 11986811991121199102 + 1198882 ∙ 1198892 ∙ 1198602

1198681199111 = (119887 ∙ ℎ3

12) =

119905 ∙ (6119905)3

12= 181199054 1198681199112 = (

119887 ∙ ℎ3

12) =

4119905 ∙ 1199053

12= 031199054

1198681199101 = (1198873 ∙ ℎ

12) =

1199053 ∙ 6119905

12= 051199054 1198681199102 = (

1198873 ∙ ℎ

12) =

(4119905)3 ∙ 119905

12= 531199054

11986811991111199101 = 11986811991121199102 = 0 deoarece cele două triunghiuri au cel puțin o axă de simetrie

Cu acestea momentele de inerție axiale și momentul de inerție centrifugal devin

119868119911 = 181199054 + 1199052 ∙ 61199052 + 031199054 + (minus15119905)2 ∙ 41199052 = 3331199054

119868119910 = 051199054 + (minus119905)2 ∙ 61199052 + 531199054 + (15119905)2 ∙ 41199052 = 2081199054

119868119911119910 = 0 + 119905 ∙ (minus119905) ∙ 61199052 + 0 + (minus15119905) ∙ (15119905) ∙ 41199052 = minus151199054

c) razele de inerție sau de girație față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910

se calculează cu relațiile (411)

119894119911 = radic119868119911119860= radic

3331199054

101199052= 182119905 119894119910 = radic

119868119910

119860= radic

2081199054

101199052= 144119905

d) modulele de rezistență față de cele două axe centrale 119866119911 și respectiv 119866119910 se

calculează cu relațiile (412) și (413)

Avacircnd icircn vedere figura 419c obținem

119910119898119886119909 = 6119905 minus 119910119866 = 6119905 minus 2119905 = 4119905 119910119898119894119899 = minus119910119866 = minus2119905

119911119898119886119909 = 5119905 minus 119911119866 = 5119905 minus 15119905 = 35119905 119911119898119894119899 = minus119911119866 = minus15119905

Se obține astfel

119882119911119898119894119899 =119868119911

|119910119898119886119909|=3331199054

4119905= 8331199053

119882119911119898119886119909 =119868119911

|119910119898119894119899|=3331199054

2119905= 16651199053

119882119910119898119894119899 =119868119910

|119911119898119886119909|=2081199054

35119905= 5941199053

119882119910119898119886119909 =119868119910

|119911119898119894119899|=2081199054

15119905= 13871199053

e) momentele de inerție principale 1198681 și respectiv 1198682 se calculează cu relațiile

(438)

11986812 =119868119911 + 119868119910

2plusmn1

2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)

2+ 4 ∙ (119868119911119910)

2=

=3331199054 + 2081199054

2plusmn1

2∙ radic(3331199054 minus 2081199054)2 + 4 ∙ (minus151199054)2 = 27051199054 plusmn 16251199054

De unde obținem

1198681 = 27051199054 + 16251199054 = 4331199054

1198682 = 27051199054 minus 16251199054 = 1081199054

Prima direcție principală de inerție 1 face cu axa centrală 119866119911 unghiul 1205721 dat de

relația (437)

1205721 =1

2∙ arctan (minus

2 ∙ 119868119911119910

119868119911 minus 119868119910) =

1

2∙ arctan [minus

2 ∙ (minus151199054)

3331199054 minus 2081199054] =33 70

Deoarece 1205721 gt 0 rotirea axelor se face acircn sens antiorar acelor de ceasornic figura

49d

Poziția axe principale 2 față de care momentul de inerție are valoarea minimă

1198682 = 119868119898119894119899 este dată de unghiul

1205722 = 1205721 + 900 = 33 70 + 900 = 123 70

f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 se determină cu relația

(45)

1198781199111198602 = 1198602 ∙ 1198882 = 41199052 ∙ (minus15119905) = minus61199053

119910119898119886119909 = 6119905 minus 119910119866 = 6119905 minus 2119905 = 4119905 119910119898119894119899 = minus119910119866 = minus2119905

119911119898119886119909 = 5119905 minus 119911119866 = 5119905 minus 15119905 = 35119905 119911119898119894119899 = minus119911119866 = minus15119905

Se obține astfel

119882119911119898119894119899 =119868119911

|119910119898119886119909|=3331199054

4119905= 8331199053

119882119911119898119886119909 =119868119911

|119910119898119894119899|=3331199054

2119905= 16651199053

119882119910119898119894119899 =119868119910

|119911119898119886119909|=2081199054

35119905= 5941199053

119882119910119898119886119909 =119868119910

|119911119898119894119899|=2081199054

15119905= 13871199053

e) momentele de inerție principale 1198681 și respectiv 1198682 se calculează cu relațiile

(438)

11986812 =119868119911 + 119868119910

2plusmn1

2∙ radic(119868119911 minus 119868119910)

2+ 4 ∙ (119868119911119910)

2=

=3331199054 + 2081199054

2plusmn1

2∙ radic(3331199054 minus 2081199054)2 + 4 ∙ (minus151199054)2 = 27051199054 plusmn 16251199054

De unde obținem

1198681 = 27051199054 + 16251199054 = 4331199054

1198682 = 27051199054 minus 16251199054 = 1081199054

Prima direcție principală de inerție 1 face cu axa centrală 119866119911 unghiul 1205721 dat de

relația (437)

1205721 =1

2∙ arctan (minus

2 ∙ 119868119911119910

119868119911 minus 119868119910) =

1

2∙ arctan [minus

2 ∙ (minus151199054)

3331199054 minus 2081199054] =33 70

Deoarece 1205721 gt 0 rotirea axelor se face acircn sens antiorar acelor de ceasornic figura

49d

Poziția axe principale 2 față de care momentul de inerție are valoarea minimă

1198682 = 119868119898119894119899 este dată de unghiul

1205722 = 1205721 + 900 = 33 70 + 900 = 123 70

f) momentul static al tălpii de sus față de axa centrală 119866119911 se determină cu relația

(45)

1198781199111198602 = 1198602 ∙ 1198882 = 41199052 ∙ (minus15119905) = minus61199053