STUDIUL TEHNOLOGIEI
FIRMEI
FUNCŢII DE PRODUCŢIE
Capitolul
1
Cibernetică microeconomică. Optimizarea comportamentului producătorului
1.1 Noţiuni introductive
Alături de consumator, firma reprezintă al doilea factor sau actor al procesului economic.
O firmă reprezintă o entitate creată de oameni în vederea atingerii unor anumite obiective. Această entitate va achiziţiona inputuri (factori de producţie) şi îi va combina în vederea obţinerii producţiei, a outputului.
Inputurile sunt achiziţionate de pe pieţele factorilor de producţie şi contravaloarea acestora reprezintă în mod uzual costurile firmei. Producţia va fi vândută pe pieţele bunurilor şi serviciilor, iar în schimbul acesteia firma va încasa contravaloarea acesteia – veniturile.
Cel mai important motiv care stă la baza deciziei de a înfiinţa şi conduce o firmă îl reprezintă obţinerea de către proprietarii firmei a unui profit cât mai mare, profit care în mod uzual este definit ca diferenţa dintre veniturile obţinute în urma vânzării bunurilor şi serviciilor produse şi cheltuielile efectuate pentru cumpărarea inputurilor folosite în procesul de producţie şi cele tehnologic induse de realizarea produsului finit.
Totuşi, maximizarea profitului nu constituie singurul motiv al funcţionării firmei. Alte scopuri ar putea fi maximizarea cotei pe piaţă deţinute, a prestigiului sau a vânzărilor.
Chiar şi în aceste condiţii ipoteza maximizării profitului rămâne cea mai credibilă şi mai robustă în vederea previzionării comportamentului firmei.
Funcţii de producţie
Producţia este procesul transformării inputurilor în outputuri. Cea mai importantă condiţie ce trebuie îndeplinită în cadrul acestui proces este aceea a fezabilităţii tehnologice, respectiv a capacităţii firmei de a produce un anumit bun sau serviciu pornind de la inputurile avute la dispoziţie.
Astfel, firma are la dispoziţie o mulţime de inputuri pe care o vom nota cu X (mulţimea inputurilor, a factorilor de producţie). Un vector
( ) nn xxxxx ℜ⊂∈= ,,, 21 K reprezintă o combinaţie de n - inputuri folosite
în procesul de producţie. Evident, fiecare input va fi exprimat ca fiind o cantitate nenegativă x ≥ 0.
Prin intermediul acestor inputuri firma va produce bunul (sau bunurile) dorite şi fezabile tehnologic. Mulţimea posibilităţilor de producţie va fi notată prin Y, şi y ∈ Y, cu ( )myyyy ,,, 21 K= reprezentând un vector al outputurilor produse de firmă, cu y ≥ 0 1)
1) Un alt mod de a defini mulţimea posibilităţilor de producţie este următorul:
mulţimea Y reprezentând mulţimea tuturor bunurilor din economie. Prin componentele yi negative (yi < 0) ale vectorului Y vom defini inputurile, iar prin componentele pozitive (yi > 0)
Capitolul 1. Studiul tehnologiei firmei. Funcţii de producţie
Tehnologia pe care o are la dispoziţie firma va fi descrisă prin intermediul funcţiei de producţie, care va indica modul în care se pot combina inputurile în vederea obţinerii outputului (sau outputurilor) considerate.
Astfel, vom considera funcţia de producţie f ca fiind o corespondenţă dintre mulţimea inputurilor şi mulţimea outputurilor.
Astfel:
YXf →: , ( )xfy =
cu: X - mulţimea inputurilor, nx +ℜ⊂ Y - mulţimea outputurilor, my +ℜ⊂
Observaţie
Dacă +ℜ∈Y (spaţiul unidimensional) atunci funcţia de producţie se numeşte monooutput sau monoproduct, iar dacă 1 , >ℜ⊂ + my m , atunci funcţia de producţie este numită multioutput.
1.2. Proprietăţi ale funcţiilor de producţie
1.2.1 Cadrul axiomatic
Pentru început vom analiza funcţiile de producţie monooutput. Fie ++ ℜ⊂ℜ⊂→ yxYXf n , ,: , o funcţie de producţie monooutput.
Atunci aceasta are următoarele proprietăţi:
Ipoteza 1
Funcţia de producţie f(x) este: a) continuă; b) de două ori diferenţiabilă 2). Continuitatea funcţiei de producţie f indică faptul că existenţa unor
modificări mici ale inputurilor va conduce la modificări mici ale outputului produs.
vom defini outputurile.
2) Cum funcţiile de producţie sunt de două ori diferenţiabile, atunci derivatele parţiale ( )
nix
xf
i
,1, =∀∂
∂, sunt productivităţile marginale ale factorilor. Aceste derivate vor arăta cu
câte unităţi creşte outputul pentru fiecare unitate suplimentară de input adăugată faţă de cel deja existent.
Cibernetică microeconomică. Optimizarea comportamentului producătorului
Diferenţiabilitatea funcţiei f este impusă din raţiuni de simplificare a analizei.
Ipoteza 2
Funcţia de producţie f este strict crescătoare în raport cu fiecare argument: Dacă: ( )ni xxxxx ,,,,, 21 KK= şi ( )ni xxxxx ,,,,,' 21 KK ′= iar ii xx >' atunci ( ) ( ) ( ) nixfxf ,1,' =∀>
Această proprietate arată că orice creştere a unuia dintre inputuri (factori de producţie) va conduce la creşterea outputului.
Ipoteza 3
Mulţimea factorilor de producţie, X, este o mulţime nevidă, compactă şi convexă. Ipoteza 3 este una simplificatoare care arată că nu pot exista restricţii
asupra factorilor de producţie achiziţionaţi de firmă, deci aceasta se poate dota cu cantitatea dorită în orice moment. În realitate, această ipoteză este infirmată deseori în practică, dar pentru zonele pe care le vom analiza, ipoteza este adevărată.
Ipoteza 4
Funcţia de producţie f este concavă (cvasi-concavă) pe mulţimea X , sau:
( )( ) ( ) ( ) (( )101010 11,) xfxfxxfXxx αααα −+≥−+⇒∈∀
pentru orice [ ]1,0∈α .
Ipoteza de concavitate arată faptul că orice combinaţie convexă de inputuri (respectiv alegerea, din doi vectori diferiţi de inputuri, a unui al treilea format din anumite proporţii ale primelor două) va conduce la un output care va fi mai mare decât outputul format din aceleaşi proporţii ale outputurilor determinate de factorii de producţie (inputurile) iniţiali 0x şi 1x .
O altă interpretare a proprietăţii ale cvasi-concavitate este aceea dată de alegerea randamentelor marginale descrescătoare, care afirmă faptul că orice creştere a inputurilor va conduce la creşterea outputurilor, dar cu o proporţie mai mică decât majorarea inputurilor.
Observaţie: Dacă f este de clasă C1 atunci f ’(x) > 0 (∀) x ∈ X.
Ipoteza 5
a) 0)0( =nf , b) ( ) ( ) jinixxxxxxf injj ≠=∀=+− ,,1,,0,,,0,,, 1121 KK .
Capitolul 1. Studiul tehnologiei firmei. Funcţii de producţie
Această ipoteză indică faptul că dacă nu există inputuri (sau cel puţin unul dintre ele) atunci producţia nu poate fi realizată (outputul este nul).
Ipoteza 6
Funcţia de producţie ( )xf este finită Xx ∈∀)( 3).
Ipoteza 6 ne arată faptul că pentru un vector al inputurilor (resurselor, factorilor de producţie) dat, producţia ce poate fi obţinută pe baza acestuia este finită (respectiv există un output maxim ce poate fi obţinut cu un input dat).
1.2.2 Exemple
Exemplul 1.1. Funcţia de producţie Leontief
( ) ( )nn xxxxf βββ ,,,min 2211 K= ,
cu nii ,1, =β parametri pozitivi, ℜ⊂ℜ⊂→ + yxYXf n ,,: ,
Dacă 2=n (există doar două inputuri) atunci în figura 1.1 este reprezentată această funcţie de producţie de tip Leontief: ( ) ( )221121 ,min, xxxxf ββ= .
Observaţie
Frontierele de producţie ale mulţimii sunt date de ( ) 1/ β⋅f dacă
3 Pentru orice nivel fixat al outputului, y , vom numi y-izocuantă combinaţiile
posibile de inputuri ce poate conduce la outputul y .
x2
( )2β.f
( )1β.f
x1
X
Fig. 1.1. Mulţimea X de producţie pentru o funcţie de producţie Leontief
Cibernetică microeconomică. Optimizarea comportamentului producătorului
valoarea funcţiei este ( ) 11xxf β= şi ( ) 2/ β⋅f dacă este dată de ( ) 22 xxf β= . Această funcţie respectă ipotezele prezentate anterior. Dacă x1 = 0 ⇒ f = 0.
Exemplul 1.2.
Funcţia de producţie Cobb-Douglas generalizată
( ) nixAxf
yxYXf
ii
n
i
n
i ,1,0,
,,,:
1
=⟩=
ℜ⊂ℜ⊂→
∏=
++
αα
Funcţia de producţie Cobb-Douglas respectă toate ipotezele anterioare.
Exemplul 1.3.
Funcţia de producţie C.E.S. (Constant Elasticity of Substitution)
( ) .0,
,,,:/1
1
>
=
ℜ⊂ℜ⊂→−
=
−
++
∑ ραρ
ρn
iii
n
xAxf
yxYXf
Acest tip de funcţie de producţie nu respectă ipoteza 5 b) (deoarece dacă unul dintre inputuri este nul, sau chiar toţi) atunci funcţia de producţie nu este nulă (nu este definită pentru ( ) nixi ,1,0 =∀= ).
1.2.3 Izocuante
Pentru un nivel fixat al producţiei, y , mulţimea inputurilor x ce pot conduce la obţinerea acestui output se numeşte izocuantă (sau y-izocuantă). Vom nota această mulţime prin ( )yQ , şi are următoarea expresie:
( ) ( ) yxfxyQ =≥= /0
Pentru o funcţie de producţie Cobb-Douglas cu două inputuri şi parametrii ( )2,1=iiα subunitari ( )( )21
21αα xxAxf ⋅= , în figura 1.2 sunt
reprezentate diverse y-izocuante. Notă: Izocuanta este locul geometric al factorilor care verifică f(x) = y.
Astfel, pentru exemplul din figura 1.2, ecuaţia izocuantei este:
x2 = 1
2
1
1
1α
α
xAy
⋅
=
11αx
C (C – constantă),
adică o hiperbolă: când x1 → 0 ⇒ x2 → 0; când x1 → ∞ ⇒ x2 → ∞, deci având asimptotele: verticală x1 = 0 şi orizontală x2 = 0.
Temă: Determinaţi ecuaţia izocuantei pentru funcţia cu 2 factori şi
Capitolul 1. Studiul tehnologiei firmei. Funcţii de producţie
trasaţi izocuantele y1, y2, y3, ....
1.2.4 Rate marginale de substituţie tehnică (RMST)
Rata marginală de substituţie tehnică (RMST) arată care sunt proporţiile în care pot fi înlocuite inputurile între ele astfel încât să se obţină acelaşi nivel al outputului.
Astfel, dacă vom considera inputurile ix şi jx , atunci rata marginală de
substituţie tehnică între inputurile i şi j va fi notată cu:
( ) ( )( ) j
iij xxf
xxfxRMST∂∂∂∂
−=//
.4
4 Dacă vom folosi notaţia ( ) ( )
ii x
xfxf∂∂
= , obţinem ( ) ( )( ) .xfxf
xRMSTj
iij −=
x1
x2
Q(y1)
Q(y3)Q(y2)
Figura 1.2. Izocuante ale producţiei
pentru 123 yyy >> , nivele fixate ale outputurilor
x2* x*
α
x1*
x2
x1
Figura 1.3. Reprezentarea geometrică a RMST
( )( )( ) ( )
( ) 2*
1*
*12
2*
1*
//
//
xxfxxftgxRMST
xxfxxftg
∂∂∂∂
−==
∂∂∂∂−
=
α
α
Cibernetică microeconomică. Optimizarea comportamentului producătorului
Valoarea indicată de ( )xRMSTij , în valoare absolută, arată câte unităţi din inputul i pot înlocui o unitate din inputul j astfel încât producţia să rămână la acelaşi nivel.
Geometric, pentru o funcţie de producţie cu două inputuri, ( )xRMSTij reprezintă panta tangentei la y-izocuantă într-un punct fixat x . (vezi figura 1.3).
1.2.5 Funcţii de producţie separabile
Fie nN ,,2,1 K= mulţimea tuturor inputurilor, iar această mulţime o vom împărţi în p submulţimi, pNNN ,,, 21 K în raport cu tipul de inputuri (de exemplu într-o categorie de inputuri pot intra cele legate de forţa de muncă şi utilizarea acesteia, în altă categorie între inputurile ce conţin materiile prime (exclusiv energia, sau o altă categorie ar putea fi cea a bunurilor de capital).
Definiţia 1.1
a) Funcţia de producţie f este slab separabilă dacă rata marginală de substituţie tehnică dintre două inputuri din aceeaşi mulţime de inputuri este independentă de inputurile din alte grupe:
( ) ( )( )
( ) sk
ji Njix
xfxf∈∀=
∂
∂,,0
/ şi p,,,s,Nk s K21=∉
b) Funcţia de producţie f se numeşte puternic separabilă dacă rata
marginală de substituţie tehnică dintre două inputuri din grupuri diferite este independentă de orice input care aparţine acelor grupuri:
( )
( ) tsk
ji NjNix
xfxf∈∈∀=
∂
∂ , 0
)(/)(, şi tsNNk ts ≠∉ ,U
O concluzie ce derivă din separabilitatea factorilor de producţie (a
inputurilor) pe grupe este aceea că procesul de producţie al unei firme poate fi împărţit pe stadii de producţie, în fiecare stadiu utilizându-se doar anumite inputuri şi obţinându-se outputuri (posibil) intermediare.
Capitolul 1. Studiul tehnologiei firmei. Funcţii de producţie
Astfel, dacă prin ( )ii xf 1 vom nota funcţiile de producţie pe stadii (pe etape) de fabricaţie, atunci separabilitatea slabă a funcţiei de producţie permite scrierea acesteia ca fiind:
( ) ( ) ( ) ( )( )pp xfxfxfFxf ,,, 2211 K= ,
cu ( )⋅F strict crescătoare şi qvasi-concavă iar ( )ii xf - funcţii de producţie parţiale ce satisfac toate proprietăţile necesare.
În prima etapă a agregării vor fi folosiţi factorii ix pentru producerea inputurilor intermediare ( )ii xf , pentru ca în cea de-a doua etapă să se obţină outputul final ( )y pe baza funcţiei de producţie ( )⋅F .
Observaţie
Dacă o funcţie de producţie este separabilă tare, atunci ea este şi slab separabilă.
Exemplul 1.4.
Funcţia de producţie Cobb-Douglas este separabilă în factori
Fie ( ) ( ) ( )[ ] ii iin
ii
n
i
xfAxAxf αα ∏∏==
⋅=⋅=11
(dacă vom defini funcţia
Cobb-Douglas în termen de inputuri agregate). Atunci productivitatea marginală a unui input i dintr-o clasă sN va fi:
( )( )
( ) ( ) iiin
ii
ss
sss
i
xfAxxf
xfxxf αα ∏
=
⋅⋅∂
∂⋅=
∂∂
1
De aici rezultă că norma diferenţială de substituire între si Nix ∈, şi
tj Njx ∈, este:
( )( )
( )( ) j
tti
ss
ss
tt
t
s
i
j
xxfxxf
xfxf
xx
∂∂∂∂
⋅⋅=∂
∂ /αα
Acest termen depinde doar de tx şi de sx , prin urmare derivata în raport cu oricare alt input din altă grupă este nulă. Deci, funcţia de producţie Cobb-Douglas este separabilă.
1.3. Indicatorii funcţiilor de producţie
Pentru a se putea utiliza şi analiza corespunzător activitatea unei firme (ce este descrisă prin intermediul unei funcţii de producţie) vom determina indicatorii specifici asociaţi.
Cibernetică microeconomică. Optimizarea comportamentului producătorului
Astfel vom avea cinci categorii de indicatori. 1.3.1 Tipologia şi calculul indicatorilor
a) indicatori medii
Dată fiind funcţia de producţie +ℜ⊂→ YXf : , indicatorii medii arată modul în care se obţine outputul pe baza fiecărui input, sau cu cât poate fi modificat în medie outputul prin modificarea unui anumit input cu o unitate:
( ) ( )ix
ixi w
xxf
xf ==
unde: ( )
ixxi wxf , - productivitatea medie a inputului ix ; ( )xf - outputul obţinut ix - cantitatea din inputul i utilizată pentru producerea outputului
( )xf .
b) indicatori marginali
Indicatorii marginali vor arăta modul în care se modifică outputul în raport cu modificările marginale ale inputurilor, sau cu alte cuvinte, cu câte unităţi se va modifica outputul dacă vom creşte cu o unitate, faţă de nivelul dat, un anumit input:
( ) ( )ii x
ix x
xfxf η=∂∂
=′
unde: ( )
ii xx xf η=′ - reprezintă productivitatea marginală a inputului i ; ( ) ixxf ∂∂ / - derivata parţială a funcţiei de producţie f în raport cu
factorul ix ;
c) indicatori procentuali (elasticităţi)
Indicatorii procentuali (sau elasticităţile) vor arăta modificările procentuale ale outputului în raport cu modificările procentuale ale inputurilor, sau altfel spus, cu câte procente se va modifica outputul la modificarea cu un procent a unui anumit input:
( ) ( )ii
xi xxf
xxf
E :∂∂
=
sau: ( )( )
i
i
i
i
x
x
x
xxi
wxfxf
Eη
== .
Capitolul 1. Studiul tehnologiei firmei. Funcţii de producţie
Elasticitatea factorilor mai poate fi determinată ca raport între productivitatea marginală şi productivitatea medie a factorului considerat.
d) Rate marginale tehnice de substituţie (RMST)
O rată marginală de substituţie va arăta care este cantitatea necesară dintr-un anumit input ce poate fi utilizată pentru a înlocui o unitate din alt input astfel încât producţia obţinută să rămână la acelaşi nivel. Astfel, de-a lungul izocuantei y = f (x), y – fixat, diferenţiind, obţinem:
∑=
==∂∂n
ii
i
dydxxf
10 .
Considerând numai modificările a doi factori, respectiv i şi j, cu dxi ≠ 0,
dxj ≠ 0, şi respectiv dxk = 0 pentru orice k ≠ i,j, obţinem:
- ( ) ( )jx
ix
jijxix
j
i
xxf
xxfRMST
dxdx
ηη
=∂∂
∂∂
== :/
Rata marginală de substituţie tehnică mai poate fi determinată ca raport între productivităţile marginale ale factorilor.
e) coeficientul elasticităţii ratei marginale de substituire (sau
elasticitatea substituirii) este inversul elasticităţii RMST:
=
jxix
ij
RMSTE
1σ , unde elasticitatea RMST se calculează în raport
cu nivelul relativ xi /xj de consum al celor doi factori, adică:
j
i
j
i
jxix
jxix
jxix
xxxx
d
RMST
RMSTdRMSTE
÷
=
.
Cibernetică microeconomică. Optimizarea comportamentului producătorului
Deci, coeficientul elasticităţii RMST va fi:
( ) ( ) ( )( )( ) ( )
( )( ) ( )( )
( ) ( )
( )( ) ( )( )xfxfd
xxdxx
xfxfxfxfd
xxdxfxfxfxfd
xxxxd
ji
ji
ji
ji
ji
ji
ji
ji
ji
jiij
lnln
:
=
=⋅=
==σ
Acest indicator arată cât de uşor pot fi înlocuit un input cu un alt input. Astfel, pentru funcţiile de producţie qvasi-concave, ijσ este pozitiv
( )0≥ijσ . Cu cât valoarea acestuia se apropie de zero cu atât inputurile pot fi substituite mai greu (iar la limită, dacă 0=ijσ , atunci inputurile i şi j nu pot fi substituite), iar dacă ijσ este mare, atunci poate fi realizată o substituire „uşoară” a inputurilor.
În figura 1.4 sunt reprezentate trei situaţii posibile. Astfel în figura 1.4 a) izocuanta funcţiei de producţie este liniară şi atunci ∞→
12 xxσ , adică avem o substituibilitate perfectă între inputuri. În figura 1.4 c) 0
12=xxσ , adică cele
două inputuri nu pot fi substituite, pentru ca în figura 1.4 b) să avem o elasticitate a substituirii intermediară )0( ∞<< σ , deci să poată efectua substituirea doar în anumite proporţii:
σ → ∞ σ = 0
x2 x2 x2
Figura 1.4. Tipuri de funcţii de producţie în raport cu elasticitatea substituirii
0 < σ < ∞
f(x)f(x’)f(x’)
f(x)f(x’)
f(x) x1
a) c)x1x1
b)
Capitolul 1. Studiul tehnologiei firmei. Funcţii de producţie
1.3.2 Exemple
Exemplul 1.5. Se consideră funcţie de producţie de tip Cobb-Douglas cu doi factori de producţie, respectiv capitalul, K , şi forţa de muncă, L .
Pentru funcţia de producţie ( ) βα LKALKf ⋅⋅=, vom determina indicatorii asociaţi:
a) indicatorii medii:
- productivitatea (sau eficienţa) medie a capitalului:
( ) βα
βα
LKAK
LKAK
LKfwf KK ⋅⋅=⋅⋅
=== −1,
- productivitatea (eficienţa) medie a muncii:
( ) 1−⋅⋅=⋅⋅
=== βαβα
LKAL
LKAL
L,Kfwf LL
unde: - KK wf = , productivitatea medie a capitalului, arată câte unităţi de
producţie se produc, în medie, prin intermediul unei unităţi de capital - LL wf = , productivitatea medie a muncii, arată câte unităţi de
producţie se obţin, în medie, prin intermediul unei unităţi de forţă de muncă
Observaţie
Dacă vom nota prin LKk = (înzestrarea tehnică a muncii, respectiv
câte unităţi de capital revin la o unitate de forţă de muncă) şi 1=+ βα , atunci obţinem următoarele relaţii:
( ) LkALLKALKf
kALKAw
kA
KLAw
L
K
⋅⋅=⋅⋅=
⋅=⋅=
⋅=⋅=
αα
α
αα
α
ββ
β
,
1
b) indicatorii marginali:
- productivitatea (eficienţa) marginală a capitalului:
( )KKK wLKA
KLKff ⋅=⋅⋅⋅=
∂∂
== − ααη βα 1,
Cibernetică microeconomică. Optimizarea comportamentului producătorului
- productivitatea (eficienţa) marginală a muncii:
( )LLL wLKA
LLKff ⋅=⋅⋅⋅=
∂∂
== − ββη βα 1,
Observaţie
În raport cu înzestrarea tehnică a muncii, k , şi pentru 1=+ βα obţinem:
α
β
βη
αη
kAk
A
L
K
⋅⋅=
⋅=
- productivitatea marginală a capitalului, Kη , arată cu câte unităţi poate fi majorată producţia în condiţiile în care nivelul capitalului va fi majorat cu o unitate faţă de nivelul existent;
- productivitatea marginală a muncii, Lη , arată cu câte unităţi poate fi mărită producţia în condiţiile în care nivelul muncii este mărit cu o unitate faţă de nivelul existent.
c) indicatorii procentuali (elasticităţile):
( ) ( )
( ) ( )β
η
αη
==∂
∂=
==∂
∂=
L
LL
K
KK
wLLKf
LLKf
E
wKLKf
KLKf
E
,:
,
,:
,
- elasticitatea capitalului, α=KE , arată cu câte procente se va modifica nivelul producţiei dacă nivelul capitalului se modifică cu un procent (de creştere sau scădere);
- elasticitatea forţei de muncă, β=LE , arată cu câte procente se va modifica nivelul producţiei dacă nivelul forţei de muncă utilizat se modifică cu un procent (creştere sau scădere).
d) Rata marginală tehnică de substituţie:
( ) ( )α
β
βα
βα
βα
βα
ηη
KL
LKALKA
LLKf
KLKfRMST
L
KLK ⋅=
⋅⋅⋅⋅⋅⋅
==∂
∂∂
∂= −
−
1
1
/,:,
Dacă 1=+ βα şi în raport cu înzestrarea tehnică a muncii obţinem:
kkRMST LK
1/ ⋅=⋅= −
βα
βα βα
Capitolul 1. Studiul tehnologiei firmei. Funcţii de producţie
- rata marginală tehnică de substituţie indică, în acest caz, câte unităţi de capital pot înlocui o unitate de forţă de muncă astfel încât producţia să rămână constantă.
Observaţie
Rata marginală tehnică de substituţie se poate calcula şi invers, respectiv prin a determina câte unităţi de forţă de muncă pot înlocui o unitate de capital, păstrând nemodificat nivelul producţiei:
( ) ( )LK
KL RMSTk
LK
KLKf
LLKfRMST
//
1,:,=⋅=⋅=
∂∂
∂∂
=αβ
αβ
β
α
e) Coeficientul elasticităţii ratei marginale de substituţie (elasticitatea substituţiei)
( ) ( )( )( ) ( )
1:
:,/,ln
ln
=⋅=⋅
∂
⋅∂
=
=∂
∂=
=
βα
αβα
βα
β
σ
k
k
k
k
kkRMST
kkRMST
LKfLKfdLKd
LKKL
Observaţie: Tragem concluzia că pentru orice funcţie Cobb-Douglas şi, în particular, pentru o funcţie de producţie de tip Cobb-Douglas în care
1=+ βα (randamente constante la scală), elasticitatea ratei marginale de substituţie este întotdeauna unitară (1).
Exemplul 1.6.
Considerăm funcţia de producţie de tip C.E.S. (Constant Elasticity of Substitution) exprimate în raport cu doi factori de producţie (să presupunem tot capital şi muncă, K respectiv L ) pentru simplificarea calculelor reluăm cazul din exemplul 1.3, cu αi = 1 şi în loc de -ρ luăm ρ:
( ) ( )ρρρ1
, LKLKf += , cu ( )1,0∈ρ 5
5 Faţă de forma clasică a funcţiei C.E.S. s-a făcut înlocuirea lui - ρ cu ρ, pentru –1< ρ< 0.
Cibernetică microeconomică. Optimizarea comportamentului producătorului
indicatorii medii:
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ρρρρρ
ρρρρρ
ρ
ρρρρ
/1/1
/1/1/1
1,
111,
kLLK
LLKfw
kKL
KLK
KLK
KLKfw
L
K
+=+
==
+=
+=
+=
+==
indicatorii marginali:
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ρ
ρρρρρρ
ρρ
ρρρ
ρ
ρρρρρρ
ρρ
η
ρρ
η
−−−
−−
−
−−
+=⋅⋅+=∂
∂=
+=
+=⋅⋅+=
∂∂
=
111/1
11
11/1
11,
11,
kLLKL
LKf
kK
LKKLKK
LKf
L
K
indicatorii procentuali (elasticităţile):
( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( )( ) ρρρ
ρρ
ρ
ρρρ
ρρ
ρ
η
η
−−
−−
−−
−−
+=
+
+==
∂∂
=
+=
+
+==
∂∂
=
kkk
wLLKf
LLKfE
kkk
wKLKf
KLKfE
L
LL
K
KK
11
11,
:,
11
11,
:,
/1
1
/1
1
rata marginală de substituţie tehnică:
( ) ( ) 11
/,:, −
−
=
==
∂∂
∂∂
= ρρ
ηη k
LK
LLKf
KLKfRMST
L
KLK
e) elasticitatea ratei marginale de substituţie:
( ) ( ) 1: −=∂
∂= ρσ
kkRMST
kkRMST
Observaţie
Denumirea funcţiei (C.E.S. – Constant Elasticity of Substitution) provine din faptul că σ este constant, respectiv are valoarea 1−ρ . Propunem ca studiu de caz determinarea indicatorilor funcţiei CES cu doi factori în cazul general:
Y = A⋅ ( ) ρρρ βα1
−−− + LK
Capitolul 1. Studiul tehnologiei firmei. Funcţii de producţie
1.4. Proprietăţi speciale
1.4.1 LEMA SHEPARD (pentru funcţii de producţie)
Funcţiile de producţie liniar omogene (omogene de gradul I) sunt concave.
Fie ( )xf o funcţie de producţie, ℜ→ℜ+nf : , continuă, strict
crescătoare şi strict cvasiconcavă pe n+ℜ , iar ( ) 00 =f şi omogenă de gradul 1.
Atunci ( )xf este o funcţie concavă în x .
Demonstraţie.
Fie 0,0,, 2121 ⟩⟩⟩⟩ℜ∈ ++ xxxx n şi ( ) ( )2211 , xyyxfy == . Atunci 0, 21 >yy (deoarece ( ) 00 =f şi f este strict crescătoare). Cum f este omogenă de grad 1 (adică ( ) ( )xfxf λλ = ):
12
2
1
1
=
=
yxf
yxf
Cum f este (strict) cvasiconcavă, avem:
( ) ( ) [ ] ( )∗∈∀≥
−+ 1,0,11 2
2
1
1
tyxt
ytxf
Alegem un 21
1*
yyyt+
= (şi
+
=− 21
2*1
yyy
t
Atunci din ( )∗ rezultă:
121
2
21
1
≥
++
+ yyx
yyx
f ( )∗∗
Din omogenitatea liniară a lui ( )xf şi din ( )∗∗ rezultă că:
( ) ( ) ( )212121 xfxfyyxxf +=+≥+ ( )∗∗∗
Relaţia ( )∗∗∗ este adevărată pentru orice 1x şi 02 ⟩⟩x . Dar, din conti-nuitatea funcţiei ( )xf , rezultă că este adevărată pentru orice 1x şi 02 ≥x .
Pentru a completa demonstraţia, vom considera 01 ≥x şi 02 ≥x , şi [ ]1,0∈t . Vom avea:
−=−⋅=⋅
)()1())1(()()(
22
11
xftxtfxftxtf
(din omogenitatea liniară a funcţiei f )
Cibernetică microeconomică. Optimizarea comportamentului producătorului
De aici, conform ( )∗∗∗ rezultă că:
( )( ) ( ) ( ) ( )2121 11 xftxtfxttxf −+≥−+ q.e.d.
Observaţie
Interpretarea Lemei Shepard este următoarea: producţia (optimală) a unei firme ce utilizează cantitatea de factori de producţie 21 xx + este mai mare (cel mult egală) cu suma producţiilor ce sunt realizate de două firme ce utilizează cantităţile 1x , respectiv 2x de inputuri.
Astfel spus, agregarea inputurilor conduce la un output mai mare decât din utilizarea unor inputuri de acelaşi nivel dar pe părţi componente.
1.4.2 Randamentele la scală ale funcţiilor de producţie În multe analize timpul este unul din factorii esenţiali. Astfel, atât
analizele microeconomice cât şi cele macroeconomice consideră timpul la două nivele distincte: pe termen scurt (short run) şi respectiv pe termen lung (long run).
Analizele pe termen scurt presupun (în termenii teoriei producătorului) că cel puţin unul dintre inputuri este fixat în acea perioadă, iar outputul poate fi modificat doar prin variaţia celorlalte inputuri.
Pe termen lung firma îşi poate varia toate inputurile. Randamentul la scală al unei firme (pe o anumită perioadă) va arăta
modul în care variază outputul ca răspuns la variaţia inputurilor. Astfel, pe termen scurt vor varia doar inputurile nefixate, iar rezultatul
variaţiei acestora se va concretiza în variaţia outputului. Pe termen lung se vor varia toate inputurile cu aceeaşi proporţie şi de
aici va rezulta variaţia outputului. În raport cu această variaţie a outputului există trei tipuri de funcţii de
producţie, respectiv cele cu randamente descrescătoare la scală, cu randamente constante la scală şi cu randamente crescătoare la scală.
De asemenea, analizele pot fi efectuate atât la nivel global (pentru întreg domeniul de definiţie), cât şi local, în anumite puncte). Astfel, vom avea:
Definiţia 1.2. Randamente globale la scală:
O funcţie de producţie ( )xf poate avea următoarele tipuri de randamente (globale):
- randamente constante la scală dacă ( ) ( ),xtftxf = ( ) ,0⟩∀ t şi ( ) nx +ℜ∈∀ ;
- randamente crescătoare la scală dacă ( ) ( ),xtftxf ⟩ ( ) ,1⟩∀ t şi ( ) nx +ℜ∈∀ ;
Capitolul 1. Studiul tehnologiei firmei. Funcţii de producţie
- randamente descrescătoare la scală dacă ( ) ( ),xtftxf ⟨ ( ) ,0⟩∀ t şi ( ) nx +ℜ∈∀ .
Observaţii
1. O funcţie de producţie va avea randamente constante la scală doar dacă este o funcţie omogenă de grad I.
2. Alte interpretări ale tipurilor de randamente la scală sunt următoarele:
a) pentru o funcţie cu randamente constante la scală o creştere cu un procent a tuturor inputurilor va conduce la creşterea tot cu un procent a outputurilor.
b) în cazul unei funcţii cu randamente crescătoare la scală, creşterea cu un procent a inputurilor va conduce la o creştere mai mare de un procent a outputului
c) pentru funcţiile cu randamente descrescătoare la scală, creşterea cu un procent a inputurilor va conduce la creşterea outputului dar cu mai puţin de un procent a outputului.
Multe dintre funcţiile de producţie ce satisfac Ipoteza 4 (de cvasiconcavitate) nu pot fi separate în cele trei categorii descrise anterior deoarece au comportamente diferite (constante, crescătoare sau descrescătoare) în raport cu nivele diferite ale outputurilor. Astfel, pentru a putea descrie aceste funcţii avem nevoie de o măsură locală a randamentelor la scală.
Această măsură se mai numeşte şi elasticitatea scalei sau elasticitatea generală a outputului:
Definiţia 1.3. Randamente locale la scală:
Elasticitatea scalei de fabricaţie în punctul nx +ℜ∈ este:
( ) ( )[ ] ( )
( ) ( )∑∑
=
=
→=
⋅==
n
iix
n
iii
txE
xf
xxf
tdtxfdxE
1
1
1 lnlnlim
Astfel: a) dacă ( ) 1=xE atunci funcţia de producţie are randamente (locale)
constante la scală; b) dacă ( ) 1⟩xE atunci avem randamente crescătoare la scală; c) dacă ( ) 1⟨xE atunci avem randamente descrescătoare la scală. Astfel, funcţia de producţie reprezentată în figura 1.5 are toate cele trei
Cibernetică microeconomică. Optimizarea comportamentului producătorului
tipuri de randamente la scală:
Astfel, dacă [ ]*,0 xx i ∈ atunci funcţia de producţie are randamente crescătoare la scală, dacă *xx i = atunci avem randamente constante (local) la scală iar dacă *xx i ⟩ atunci funcţia de producţie are randamente descrescătoare la scală.
1.4.3 Exemple
Exemplul 1.7. Fie funcţia de producţie de tip Cobb-Douglas:
( ) nini
n
ixxxAxAxf αααα ⋅⋅⋅=Π⋅=
=K21
211
Pentru funcţia Cobb-Douglas am văzut că elasticităţile sunt iα , respectiv:
( ) ( ) ( ) ( )
∂∂
==ii
iii xxf
xxf
xExE :α
deoarece ( ) ( )∑ ∑= =
==n
i
n
iiixExE
1 1
α .
Astfel, din punct de vedere local vom avea următoarele tipuri de randamente la scală:
a) Dacă ∑=
⇒=n
ii
1
1α randamente constante la scală.
b) Dacă ∑=
⇒⟩n
ii
1
1α randamente crescătoare la scală.
c) Dacă ∑=
⇒⟨n
ii
1
1α randamente descrescătoare la scală.
A
xiη
( )xfixxi =η
*x 0 ix
Figura 1.5
Capitolul 1. Studiul tehnologiei firmei. Funcţii de producţie
Pentru funcţia Cobb-Douglas randamentele globale şi cele locale coincid.
Astfel:
( ) ( ) ( )xftxAttxAtxf
n
ii
n
ii
in
ii
n
i
⋅∑
=Π⋅⋅∑
=⋅= ==
==∏ 111
111
αα
αα
Deci, dacă ∑=
=n
ii
1
1α avem randamente globale constante la scală, iar
dacă ∑=
⟩n
ii
1
1α avem randamente crescătoare la scală, respectiv dacă ∑=
⟨n
ii
1
1α
rezultă randamente descrescătoare la scală. Exemplul 1.8.
Funcţia C.E.S. are randamente globale constante la scală:
( )
( ) ( ) ( )xftxtxttxtxf
xxf
n
ii
n
ii
n
ii
n
ii
⋅=
=
=
=
=
−
=
−−
=
−−−
=
−
−
=
−
∑∑∑
∑ρ
ρρ
ρρρ
ρ
ρρ
/1
1
/1
1
/1
1
/1
1
Exemplul 1.9.
Fie funcţia de producţie:
( ) ( ) 1211 −−−+= βα xxkxf , cu 0, ⟩βα ,
iar k nivelul superior al outputului ce poate fi obţinut, adică ( ) kxf ≤≤0 . Vom determina nivelul local al randamentelor la scală pentru funcţia de
producţie dată: Elasticităţile celor două inputuri sunt:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) βαβα
βαβα
β
α
−−−−
−−−−
+=∂∂
=
+=∂∂
=
212122
2
212111
1
1:
1:
xxxxx
xfxxf
xE
xxxxx
xfxxf
xE
De aici:
( ) ( ) ( ) ( )( ) βαβαβα −−−− ⋅++=+= 212121 1 xxxxxExExE ,
care variază în raport cu ( )21 , xxX = , deci vom avea randamente la scală diferite în raport cu nivelul inputurilor (deci şi al outputului). Observăm că
Cibernetică microeconomică. Optimizarea comportamentului producătorului
( )121 −=−−
xfkxx βα , şi dacă notăm ( ) 121 −=⇒= −−
ykxxyxf βα
deci:
( )
−=
kyxE 11 α
( )
−=
kyxE 12 β
De aici:
( ) ( )
−+=
ky
xE 1βα
Este evident că atât în raport cu fiecare input, cât şi pentru întreaga funcţie de producţie, randamentele la scală descresc pe măsură ce inputul creşte.
Pentru ( ) ( ) 0,0 ⟩+== βαyEy Pentru ( ) 0, →→ yEky Dacă 1>+ βα atunci avem: randamente crescătoare la scală pentru
+
−∈βα
11,0 ky .
- randamente constante la scală pentru
+
−=βα
11ky
- randamente descrescătoare la scală pentru
+
−∈ kky ,11βα
.
1.4.4 Legea proporţiilor variabile Legea proporţiilor variabile este în esenţă o reglementare a legii
productivităţii marginale descrescătoare, dar pentru un caz mai general. Interpretarea acesteia este următoarea: dacă vom creşte succesiv un input (cu cantităţi constante), păstrând celelalte inputuri fixate, atunci în prima fază vom înregistra o creştere a producţiei mai mare decât creşterea inputului, iar după aceea creşterile outputului vor fi mai mici decât creşterea inputului.
Legea proporţiilor variabile.
Fie ( )xf o funcţie de producţie. Atunci pentru fiecare input ix există un nivel ix astfel încât:
a) dacă ii xx ⟨≤0 atunci ( ) 1⟩ixE
Capitolul 1. Studiul tehnologiei firmei. Funcţii de producţie
b) dacă ii xx = atunci ( ) 1=ixE
c) dacă ii xx ⟩ atunci ( ) 1⟨ixE
În figura 1.6. este reprezentată grafic o asemenea funcţie de producţie: Productivitatea medie reprezintă panta razei ce uneşte originea cu
punctul ( )*ix xf
i. Productivitatea medie este maximă atunci când este egală cu
productivitatea marginală, (raza este tangentă la curba f (xi)). Condiţia de maxim pentru productivitatea medie este:
( )
( ) ( )( ) ( )
⇒=
−=
−⋅
⟩=⟨=∂
∂
01
0
12
1
ix
ii
ix
i
i
xxf
xfxx
xfxxf
xx
xf
i
i
( ) ( )xfx
xfix
i
1=
(productivitatea medie este egală cu productivitatea marginală - punctul B din figura 1.6 ).
ixw ( )*
ix xwi
ixη
ixη
ix *ix
ix
Figura 1.6. Legea proporţiilor variabile
B
A
Cibernetică microeconomică. Optimizarea comportamentului producătorului
Până în punctul A avem o productivitate marginală crescătoare în
raport cu ix (avem ( )
02
2
≥∂
∂
ixxf
), iar după punctul A avem o productivitate
marginală descrescătoare ( )
⟨
∂∂
02
2
ixxf
.
Unii economişti denumesc zona de utilizare a inputurilor dintre 0 şi B – “primul stadiu al producţiei”, iar zona care urmează “al doilea stadiu al producţiei”. Punctul B mai este denumit “marginea extensivă” a producţiei.
1.4.5 Măsurarea gradului de substituire a factorilor Proprietatea de substituţie a factorilor este fundamentală în analiza
neoclasică dar nu poate fi considerată o lege economică. Există şi funcţii de producţie cu factori complementari, în care outputul nu poate fi obţinut decât dacă există toate inputurile (funcţia de producţie Leontief). Totuşi, pentru funcţiile de producţie neoclasice, gradul în care inputurile pot fi substituite este un indicator important pentru decidenţi.
Definiţia 1.4.
Vom numi input limitativ acel input a cărui creştere reprezintă o condiţie necesară (dar nu şi suficientă) pentru ca outputul să crească.
În termenii descrişi de funcţia Leontief:
( ) ( )( )nn xxxxf βββ ,,,min 2211 K=
toţi factorii pot fi consideraţi limitativi. Fie ( ) ( ) yxfxyV == mulţimea care descrie limita inferioară a
outputului. Dacă funcţia de producţie ( )xf este strict monotonă şi derivatele parţiale de ordinul i nu se anulează atunci se pot rezolva ecuaţia ( ) yxf = şi să se obţină soluţia *x .
( ) ( ) nixxxxxgx niiii ,1,,,, 11141* =∀−−= +− de aici rezultă ea.
( ) ( ) nixxxxfy ni ,1,,,,,, *21 =∀= KK (1)
Pentru a determina modificarea inputului ix în raport cu modificarea inputului jx (dacă outputul şi celelalte inputuri rămân nemodificate) atunci vom deriva ( )f în raport cu jx , şi vom obţine:
( ) ( )0=
∂∂
+∂∂⋅
∂∂
jj
i
i xxf
xx
xxf
Capitolul 1. Studiul tehnologiei firmei. Funcţii de producţie
De aici rezultă că:
( )( ) i
j
j
i
xxfxxf
xx
∂∂
∂∂−=
∂∂
,
care reprezintă tocmai rata marginală de substituţie tehnică. Elasticitatea ratei marginale de substituţie tehnică (directă) a fost
introdusă pentru prima dată de Hicks (1963). Aceasta este:
( )( )
( ) ( )ij
ji
ji
ij
xxxfxf
ffxxd
⋅∂
=σ ( ) ( )
∂∂
=i
i xxf
xfcu
În figura 1.7 este descrisă elasticitatea substituirii din punct de vedere geometric:
În punctul iniţial, raportul dintre inputuri se situează în punctul C, iar RMST este dată de panta tangentei la izocuanta ce trece prin punctele C şi B (respectiv dreapta CB). Dacă raportul dintre inputuri se va modifica, ajungând în punctul D, atunci RMST va fi panta tangentei la izocuanta ( ) yxf = în punctul D, respectiv AD. Elasticitatea substituirii σ este o măsură a curburii
( ) yxf = , iar ( )( ) ( )( )xfxfd
xxd
21
12 este dat de raportul ∆∆k .
Nu există un consens în ceea ce priveşte indicatorul ce poate măsura gradul de substituire între inputuri.
x2
C
x1
∆k ∆
B
A
Dy1
Figura 1.8. Elasticitatea substituirii
Cibernetică microeconomică. Optimizarea comportamentului producătorului
Cea mai frecventă utilizată definiţie este cea a elasticităţii directe a substituirii (care a fost dată anterior).
Mai există însă şi alte definiţii din care amintim:
Elasticitatea parţială a substituirii a lui Allen:
( )
FF
xx
xfxij
ji
n
iii
Aij ⋅=
∑=1σ ,
unde - F este determinantul matricei Hessiene asociat funcţiei de producţie
f , bordate cu derivatele parţiale de ordinul I.
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
=
xfxfxf
xfxfxfxfxfxfxf
F
nnnn
n
n
KK
MM
K
K
1
112111
210
,
Atât elasticitatea directă a substituirii cât şi elasticitatea Allen a substituirii sunt măsuri simetrice ale gradului de substituire între două inputuri.
Pentru o funcţie de producţie cu doar două inputuri, cele două măsuri sunt egale.
Observaţii.
1. Dacă elasticităţile substituţiei sunt negative, atunci inputurile sunt complementare, iar dacă sunt pozitive, atunci inputurile sunt substituibile.
2. În practică, cel puţin una dintre elasticităţi trebuie să fie pozitive, adică un factor de producţie nu poate fi complementar cu toţi ceilalţi.
Elasticitatea substituirii factorilor Morishima:
( ) ( )FF
xxf
FF
xxf ij
j
jij
i
iMij ⋅−⋅=σ
Legătura dintre elasticităţile Morishima şi Allen este dată de:
( )( )
( )jjAij
ii
jjMij xxf
xxfσσσ −
⋅
⋅=
Observaţii:
- Mijσ nu este simetrică;
cu ( ) ( )i
i xxf
xf∂∂
= şi
( ) ( )ji
ij xxxfxf
∂∂∂
=2
Capitolul 1. Studiul tehnologiei firmei. Funcţii de producţie
- o pereche de inputuri ( )ji xx , ar putea fi complementare dacă sunt definite prin intermediul măsurii Allen, iar prin cel al măsurii Morishima - substituibile ( 0⟨A
ijσ dar 0⟩Miσ );
- dacă două inputuri sunt substituibile conform măsurii Allen ( 0⟩Miσ )
atunci întotdeauna ele vor fi substituibile şi conform măsurii Morishima dar ( 0⟨M
ijσ ). 1.5. Identificarea funcţiilor de producţie şi a progresului
tehnic 1.5.1. Cadrul conceptual Specificul activităţilor fiecărei firme sau calitatea managementului, a
structurii tehnice pe categorii şi vârste de utilaje, calitatea forţei de muncă angajate şi capacitatea de reacţie la factorii de mediu ne conduc la ideea că există o mare diversitate de funcţii de producţie, practic fiecare firmă având o funcţie proprie de producţie. Aceasta, nu atât în privinţa parametrilor diverselor tipuri de funcţii – parametrii a căror valoare se estimează prin metoda celor mai mici pătrate, cât a formei acestor funcţii, care poate fi specificată prin diferite metode. În practică, cel mai adesea se utilizează funcţia Cobb-Douglas, deşi alegerea ei nu are nici un fundament legat de specificul activităţilor cercetate. De aceea, ne propunem să găsim, în funcţie de particularităţile acestor activităţi forma funcţiei de producţie prin care pot fi specificate, formă care permite aprecierea că aparţine unei anumite clase de funcţii elementare: funcţia Cobb-Douglas, funcţia CES, funcţia VES, etc.
Metoda identificării funcţiei de producţie pentru un anumit producător (sau agregat, la nivelul ramurii sau economiei naţionale) se fundamentează pe cercetarea fenomenologică: determinarea statistică a celor mai stabile corelaţii între indicatorii (medii, marginali, de substituţie şi elasticităţi) activităţii şi pe această bază, deducerea funcţiei de producţie, prin algoritmul:
- pasul 1: determinăm o corelaţie stabilă între indicatori. Această core-laţie se exprimă printr-o ecuaţie diferenţială, în care variabila este, de regulă, productivitatea muncii. Această corelaţie este o ecuaţie diferenţială.
- pasul 2: integrăm această ecuaţie şi obţinem funcţia de producţie cu sau fără progres tehnic.
Prin metoda identificării avem posibilitatea deducerii diverselor clase de
funcţii de producţie. Pe această bază, în practică, putem folosi două metode
Cibernetică microeconomică. Optimizarea comportamentului producătorului
pentru specificarea funcţiei de producţie: Metoda I: rezultă direct din algoritmul de identificare a funcţiei de
producţie, bazat pe cercetarea fenomenologică a corelaţiilor fundamentale. Metoda II: Se utilizează N clase de funcţii de producţie cunoscute, cu
sau fără progres tehnic (Cobb-Douglas, Cobb-Douglas generalizată, CES, VES, Sato, etc.) şi pe bază datelor statistice se alege cea mai bună sub aspectul indicatorilor de testare statistică şi a respectării legităţilor economice fundamentale.
Evident, a doua metodă este mai restrictivă faţă de prima, întrucât aplicând prima metodă putem obţine o funcţie de producţie ce nu aparţine nici uneia din clasele de funcţii prestabilite în metoda a doua.
Pentru aplicarea metodei I sintetizăm indicatorii funcţiei de producţie ).( LKFY = în varianta că este cu randamente constante la scală, adică gradul
de omogenitate este 1=ρ , deci verifică cerinţa:
1),,(),( ≥∀= λλλλ ρ LKFLKF .
Luând L1
=λ şi notând )1,()(LKFkf = unde
LKk = este înzestrarea
tehnică a muncii, deducem că LYkf =)( - este productivitatea medie a muncii,
)(kfwL = . Consecinţă: funcţia de producţie se determină imediat cunoscând funcţia
f(k), din )(),( kfLLKFy ⋅== . Ceilalţi indicatori se deduc din această relaţie, conform definiţiei lor din
1.3.
- Randamentul mediu al capitalului: kkfwK
)(=
- Indicatori marginali:
- productivitatea marginală L
kfLLF
L ∂⋅∂
=∂∂
=))((η
Găsim: )()( kfkkfL ⋅−=η
- randamentul marginal al capitalului: K
kfLKF
K ∂⋅∂
=∂∂
=))((η ⇒
)(' kfK =η Cum ceilalţi indicatori (elasticităţi, RMST, coeficientul elasticităţii
Capitolul 1. Studiul tehnologiei firmei. Funcţii de producţie
RMST) se deduc din indicatori medii şi marginali, obţinem tabelul indicatorilor: Tabelul 1.
Factori Indicatori tL tK
Medii )(kfwL = kkfwK
)(=
Marginali )(')( tttL kfkkf ⋅−=η )(' kfK =η
Elasticităţi* )()('1
kfkfk
wE
L
LL ⋅−==
η)()('
kfkfk
wE
K
KK ⋅==
η
RMST dLdKrk
kfkfr
K
L −=−== ,)(')(
ηη
Coeficientul elasticităţii ')(
1rk
rrE ⋅
==σ
*Considerăm r – valoarea absolută, dLdkr = , când evident de-a lungul
izocuantei Y = fixat, dK > 0, dL<0.
Observaţii: 1) În cazul general când gradul de omogenitate este ρ deducem simi-
lar, că funcţia de producţie este )(kfLY ⋅= ρ . În consecinţă:
- indicatorii medii sunt: kkfLwkfLw KL
)(),( 11 ⋅=⋅= −− ρρ
- indicatorii marginali:
)(')],(')([ 11 kfLkkfkfL KL ⋅=−= −− ρρ ηρη
Elasticităţile: )()(',
)()('
kfkfkE
kfkfkE KL =−= ρ
RMST: kkfkfr −⋅=
)(')(ρ şi coeficientul elasticităţii
'krr
=σ având
aceeaşi expresie, dar valoarea dependentă de ρ . 2) Se constată că faţă de cazul particular al funcţiei omotetice ( 1=ρ ),
Cibernetică microeconomică. Optimizarea comportamentului producătorului
în cazul general, indicatorii medii şi marginali se obţin din cei corespunzători acestui caz, prin multiplicarea cu 1−ρL . Este modificată expresia elasticităţii
producţiei în raport cu munca, în loc de )()('1
kfkfkEL ⋅−= avem
)()('
kfkfkEL ⋅−= ρ şi de asemenea RMST este k
kfkf
−⋅)(')(ρ în loc de
kkfkf
−)(')( .
Ca o consecinţă, suma elasticităţilor este ρ=+ KL EE atât în cazul general cât şi în cel particular când 1=ρ .
1.5.2. Identificarea funcţiilor de producţie fără progres tehnic Obiectivul este determinarea expresiei funcţiei:
ttt YLKFRRF =→ ),(,: 2
Considerăm cazul particular când F este cu randamente constante la scală ( 1=ρ ). Cazul general nu prezintă dificultăţi de abordare, fiind posibil studiul în mod similar, conform rezultatelor din observaţia 1) de mai sus.
Cercetăm câteva variante privind specificarea statistică a corelaţiei stabile posibile între indicatori.
A. Funcţii induse de forma elasticităţilor Datele statistice evidenţiază o expresie statistică stabilă a elasticităţii în
raport cu munca )( tL khE = , unde RRh →: este o funcţie elementară – liniară, parabolică, hiperbolică, logaritmică, exponenţială, etc., conform metodologiei statistice de specificare, estimare şi testare parametrică şi de concordanţă. Alegerea expresiei h(k) se face în primul rând pe baza distribuţiei ansamblului de puncte (k, EL) de-a lungul orizontului statistic (figura 9.a, b).
EL
k
h(k) = const.
a)
EL
k
h(k)
b)
Figura 9
Capitolul 1. Studiul tehnologiei firmei. Funcţii de producţie
Conform tabelului, folosind expresia elasticităţii, deducem ecuaţia diferenţială:
kkh
kfkf )(1)()(' −= (1.5.1)
Prin integrare, obţinem:
∫ ∫−
= dkk
khdkkfkf )(1)()('
adică:
CkHkkf +−= )(ln)(ln (1.5.1’)
unde H(k) este primitiva ∫= dkkkhH )( şi C = constanta de integrare.
Deducem expresia productivităţii muncii:
)()( kHeAkkf −⋅=
şi în consecinţă, forma funcţiei de producţie ⇒⋅= )(kfLY
)(
),( lKH
eAKLKF−
⋅= (1.5.1”)
Situaţii concret posibile:
A1) kkh βα +=)( - deci o dependenţă liniară (care cuprinde şi cazul h(k) = constant, când 0=β ).
Primitiva ∫ ∫ +=+
== kkdkk
kdkkkhkH βαβα ln)()(
deci
⇒⋅= +− )ln(),( kkeAKLKF βα keLAKLKF βαα −− ⋅= 1),( (1.5.1.a)
care este funcţia Cobb-Douglas generalizată. Se constată că atunci când 0=β (deci elasticitatea ==αLE constant, 0>α ), se obţine funcţia Cobb-Douglas clasică.
Aşadar, se delimitează deja o condiţie suficientă de aplicare a funcţiei Cobb-Douglas şi anume când elasticitatea în raport cu unul din factori este constantă. Dacă elasticitatea este liniară cu panta β , în raport cu dotarea tehnică per capita, specificarea prin funcţia Cobb-Douglas nu este corectă, adevărata funcţie fiind (1.5.1.a).
Cibernetică microeconomică. Optimizarea comportamentului producătorului
A2) Dependenţe neliniare: cazurile când:
i) 1,)( ≠+= βγα βkkh ii) kkh ln)( = şi
iii) βγα
+−
=kkkh )()(
Indicaţie: În cazul i) deducem funcţia de producţie β
βα
γαk
eLKALKF−
− ⋅⋅= 1),( (1.5.1.b)
adică o funcţie cvasi-Cobb-Douglas când 0≠γ şi
ββα
αk
eLKALKF−
⋅⋅⋅=),( - când 0=γ .
ii) Găsim primitiva kH 2ln21
= şi ecuaţia (1.5.1’) ne conduce la funcţia
de producţie: kk LAKLKF lnln1),( −= (1.5.1.c)
care este funcţia Cobb-Douglas cu elaticităţi variabile.
iii) Găsim primitiva ββ
αγβα+
−+=k
kkH ln)ln( şi funcţia de
producţie
)1(1
)(),( βγ
ααβ
αγ
β+−+
+⋅⋅⋅= LKLKALKF (1.5.1.d)
o funcţie de tip cvasi-Cobb-Douglas.
Observaţii: 1. Aceeaşi metodologie se aplică şi în cazul general când nu pornim cu
ipoteza apriori că funcţia de producţie este cu randamente constante la scală, ci are gradul de omogenitate ρ . Ecuaţia (1.5.1) devine:
k
khkfkf )()()(' −=ρ (1.5.1.g)
care se integrează. Studii de caz: reluaţi situaţiile concrete de mai sus privind forma
funcţiei h(k) şi refaceţi calculele în cazul general, folosind (1.5.1.g). Interpretaţi rezultatele găsite.
Capitolul 1. Studiul tehnologiei firmei. Funcţii de producţie
2. Există o mare diversitate de forme de funcţii de producţie rezultate din forma funcţiei h(k).
3. Similar se procedează dacă folosim elasticitatea capitalului )(khEK = . Reluaţi şi în această variantă cercetarea când h(k) este de tip A1)
sau A2), liniară sau neliniară.
B. Funcţii induse de forma randamentelor marginale
Datele statistice evidenţiază dependenţa productivităţii marginale de productivitatea medie, ++ →= RRhkwhk LL :)),(()(η . Această dependenţă are la bază ideea că în condiţiile deciziei optime (privind maximizarea profitului sau minimizarea costurilor) la firmă, găsim*) LL c⋅= λη (unde cL = salariul nominal – reprezintă costul muncii şi λ multiplicatorul Lagrange). Ori, este binecunoscută legitatea economică a concordanţei între salariu şi productivitatea muncii; în consecinţă funcţia h este monoton crescătoare şi concavă.
În concluzie, deducem ecuaţia diferenţială:
))(()(')( kfhkkfkf =− (1.5.2)
cu variabile separabile, care prin integrare devine:
∫ ∫=− kdkdk
kfhkfkf
))(()()(' (1.5.2’)
Notăm G(f(k)) primitiva din stânga şi obţinem:
G(f(k)) = ln Ak unde A – constantă de integrare.
Deoarece f(k) > h(f(k)) din conţinutul economic (productivitatea>salariul) rezultă că G este monoton crescătoare, deci inversabilă (pe codoemniul său), deci
)(ln)( 1 AkGkf −= (1.5.2”)
de unde, funcţia de producţie este:
)(ln),( 1 cLKGLLKF +⋅= − (1.5.2”’)
în care c = lnA.
Expresii concrete:
b1) Funcţia h este liniară: βα += )())(( kfkfh , cu )1,0(∈α , adică
*) vezi Capitolul II
Cibernetică microeconomică. Optimizarea comportamentului producătorului
salariul creşte proporţional cu productivitatea. Găsim:
∫ −−−
=−−
= ])()1ln[(1
1)()1(
)('))(( βααβα
kfdkkf
kfkfG .
Deci ecuaţia (1.5.2’) devine:
ckkf +−=−− ln)1(])()1ln[( αβα (c = constantă)
adică αβα −⋅=−− 1)()1( kAkf (A = constantă)
Găsim:
)(1
1)( 1 αβα
−+−
= Akkf ,
deci funcţia de producţie este:
αα
ααβ LKALLKF −
−+⋅
−= 1
11),( (1.5.2.a)
adică un tip nou, o combinaţie liniară între Cobb-Douglas şi o funcţie liniară în L. Dacă 0=β se regăseşte Cobb-Douglas.
b2) Funcţia h este neliniară: 0,10),( ><<= αβα β kfh , concavă. Corespunde ipotezei că salariul creşte o dată cu creşterea productivităţii, dar cu un ritm mai mic.
De exemplu, )()( kffh α= . În acest caz primitiva G va fi:
∫ −=−
= )ln(2')( αα
fdkff
ffG .
Deci ecuaţia (1.5.2’) devine:
kAfq ln)ln( =−α (A = constantă)
Expresia productivităţii muncii este în acest caz:
2)()( αν += kkf cu 2A
=ν
deci funcţia de producţie va fi: 21 )(),( ννν αLKLLKF q +⋅= − (1.5.2.b)
o formă cu totul neaşteptată, provenită dintr-o ipoteză foarte realistă.
Capitolul 1. Studiul tehnologiei firmei. Funcţii de producţie
Propunem ca exerciţiu rezolvarea în cazul general*) )1,0(∈β şi particularizarea când 3/2=β şi 4/3=β .
Observaţii: 1. Similar se poate formula abordarea în cazul genaral când 1≠ρ .
Propunem ca studiu de caz analiza în cele două situaţii b1) şi b2). Indicaţie: În cazul când dependenţa este liniară, obţinem ecuaţia
diferenţială:
1)()(')( −+=− ρ
βαρL
kfkkfkf
şi după integrare, funcţia de producţie:
ααρ
αρβ LaKLLKF −+⋅−
=),( (1.5.2.a’)
2. O abordare similară se aplică atunci când se analizează corelaţia între randamentul marginal şi randamentul mediu al capitalului, )( KK wh=η , din care deducem ecuaţia diferenţială (EDVS)*) când 1=ρ :
))(()('kkfhkf =
Propunem ca studiu de caz detalierea calculelor şi deducerea funcţiei de producţie când h(wK) este liniară, respectiv neliniară, de aceleaşi forme ca mai sus. Aceeaşi procedură, când 1≠ρ .
C. Funcţii induse de forma RMST
O a treia categorie vizează analiza statistică a RMST prin care se evidenţiază dependenţa de înzestrarea tehnică:
)()(')()( khk
kfkfkhr =−⋅⇒= ρ (1.5.3)
unde, pentru 1=ρ , regăsim cazul particular al funcţiei cu randamente constante la scală. Obţinem:
)()()('
khkkfkf
+=
ρ (1.5.3’)
*) Se obţine o integrală de tip Cebâşev şi se face schimbarea de variabilă uf =−β1 , etc. *) EDVS – ecuaţie diferenţială cu variabile separabile.
Cibernetică microeconomică. Optimizarea comportamentului producătorului
şi integrând, rezultă: )()( kHAekf = (1.5.3”)
unde A = constantă şi ∫ += dk
khkkH
)()( ρ
Funcţia de producţie va fi: )(),( kHeLALKF ⋅⋅= ρ (1.5.3”’)
Studiem cazul concret când:
c1) funcţia h este liniară: βα += kkh )(
Deducem:
]1
ln[1)1(
)(αβ
αρ
βαρ
++
+=
++= ∫ kdk
kkH
Deci, conform (1.5.3”), obţinem:
αρ
αρ
βααβ ++ ++=+
+= 11
1 ])1[(]1
[)( kAkAkf
şi funcţia de producţie:
αρ
ααρ
βα ++ ++⋅⋅= 11 ])1[(),( LKLALKF (1.5.3.a)
Dacă 0=α , situaţie ce corespunde ipotezei că RMST = β =constant,
care reflectă conţinutul economic că la optim ===K
L
K
L
ccr
ηη
constant
(indexarea perfectă*) a costurilor factorilor cu rata inflaţiei), obţinem:
0,][),( >+⋅= ρβ ρLKALKF .
Pentru 1=ρ , aceasta este o funcţie liniară de producţie, iar 1≠ρ , este o funcţie particulară CES.
c2) Studiu de caz propus: analizaţi cazul când kekh k γα β +=)( .
*) În realitate, salariile nu sunt indexate perfect cu rata inflaţiei, ceea ce face ca
K
L
cc
să fie
funcţie de timp, deci ),( tkhr = , situaţie ce va fi studiată la identificarea progresului tehnic.
Capitolul 1. Studiul tehnologiei firmei. Funcţii de producţie
D. Funcţii induse de expresia elasticităţii de substituţie A patra categorie vizează cercetarea pe date statistice a dependenţei
între coeficientul elasticităţii de substituţie şi înzestrarea tehnică per capita:
)(kg=σ , adică )()('
)( kgkrk
kr=
⋅ (1.5.4)
Deducem EDVS:
kkgrr
⋅=
)(1'
care prin integrare conduce la o expresie a RMST: )()( kGAekr = (1.5.4’)
unde ∫= dkkkg
G)(
1 .
În continuare, intrăm în tipologia problemei de la punctul anterior c). d1) Astfel, în cazul când =σ constant (adică de tip CES), obţinem:
kdkk
kG ln11)(σσ
== ∫ , deci σ1
)( Akkr = .
Notăm νσ
=1 şi conform (1.5.3’) deducem EDVS:
ν
ρAkkkf
kf+
=)()(' (1.5.4.a)
Calculăm primitiva
∫∫∫ +=
+=
+= −
−
−
−
− dkAk
kdkAkk
kdkAkk
H ν
ν
ν
ν
ν ρρρ11
1
1 ][]1[
]ln[1
1 Ak +−
= −ν
νρ , 1≠ν .
Deci (1.5.4.a) 11 ]ln[
1)(ln BAkkf ++
−=⇒ −ν
νρ , B1 = constantă de
integrare. Obţinem:
νρ
ν −− += 11 ][)( AkBkf , unde 1BeB = şi funcţia de producţie:
Cibernetică microeconomică. Optimizarea comportamentului producătorului
νρ
ν
ννρ −
−
−− +⋅⋅= 1
1
11
][),(L
ALKLBLKF
adică
νρ
νν −−− += 111 ][),( ALKBLKF
deci binecunoscuta funcţie CES, dacă luăm γν −=−1 :
0,][),( ≠+=−
−− γβα γρ
γγ LKLKF (1.5.4.b)
unde α şi β sunt constante (ale căror expresii pot fi obţinute din A şi B, dar nu ne interesează).
Cazul când 1=ν se deduce direct din (1.5.4.a):
1ln1
)(ln)1(
' BkA
kfAf
fk +
+=⇒
+=
ρρ
adică :
αραρ
−+ =⇒= LBKLKFBkkf A ),()( 1
deci o funcţie Cobb-Douglas (unde A+
=1ρα - constantă).
Deducem concomitent şi următoarea legitate:
Dacă elasticitatea RMST, 1→σ , funcţia CES devine o funcţie Cobb-Douglas. Deci funcţia Cobb-Douglas este un caz particular al funcţiei CES.
d2) Dacă ≠σ constant, obţinem funcţii de producţie de tip VES (Variable Elasticity of Substitution).
Astfel, funcţiile de producţie de tip Allen şi Sato sunt de tip VES. Într-adevăr, pentru funcţia Allen, avem:
kkkkA ⋅−
−−==
)())(()( 2 αβγ
βγαγσσ
iar pentru funcţia Sato:
233
33
)(5)2)(2(
21)(
βααβαββασσ
−−−−
==kk
kkkS ,
variabile în raport cu dotarea tehnică k, deci de tip VES.
Capitolul 1. Studiul tehnologiei firmei. Funcţii de producţie
Prin procedura de la punctul b) găsim funcţia Sato:
0,;),( 33
22
>+
= βαβα LK
LKALKF
şi funcţia Allen:
0,,2),( 22 >−−= βαβαγ KLKLLKF şi αβγ >2 .
Invers, pornind de la aceste funcţii obţinem imediat Aσ şi Sσ . 1.5.3. Specificarea progresului tehnic şi identificarea
funcţiilor de producţie cu progres tehnic neîncorporat
1.5.3.1. Indicatorii progresului tehnic
Problema definirii, a specificării şi cuantificării progresului tehnic este deosebit de complexă şi a generat o bogată literatură de specialitate, începând cu conceptul de progres tehnic neutral (Hicks-1932), extins la progres tehnic neîncorporat (de tip Harrod sau Solow), progres tehnic încorporat (de tip Solow sau Weiszacker), progres tehnic indus (de calitatea factorilor: Nelson sau Denison şi de experienţă: Arrow).
Într-o primă abordare, progresul tehnic poate fi considerat ca un factor care generează creşterea outputului în timp, chiar dacă volumul factorilor fizici (inputurilor) rămâne constant pe termen scurt. În consecinţă, putem folosi teoria funcţiilor de producţie, introducând ca factor de sine stătător, timpul t. Fie ),...,( 21
nn Rxxx +∈=Ω funcţia şi R×Ω=Ω ; specificăm funcţia de
producţie (monoutput) prin:
),,...,(,: 1 txxFYRF nt =→Ω + (1.5.5)
De exemplu, funcţia neoclasică cu progres tehnic va fi:
),,( tLKFY ttt = (1.5.5’)
unde F are proprietăţile cunoscute pe ),...( 1 nxx=Ω - adică pozitivitate, randamente marginale descrescătoare şi matricea hessiană negativ
(semi)definită, iar în raport cu t are proprietatea 0)(>
∂⋅∂
tF .
În consecinţă, pe lângă indicatorii prezentaţi în tabelul 1, paragraful anterior şi care aici vor fi de forma:
t
tKtt k
tkfwtkfw
),();,( ==
Cibernetică microeconomică. Optimizarea comportamentului producătorului
),(')();,('),()( tkfttkfktkft tKtttL =⋅−= ηη , etc.
deci conţin explicit variabila timp, se introduc şi doi indicatori specifici pentru a caracteriza efectul direct al celei de-a treia variabile, timpul t, deci a progresului tehnic:
- ritmul progresului tehnic:
tt
tttt Y
tY
tLKFt
tLKFT /),,(:
),,(∂∂
=∂
∂= (1.5.6)
- direcţia progresului tehnic:
),(),(
tkrtkr
Dt
t&= (1.5.7)
adică ritmul modificării în timp a coeficientului de substituire a factorilor (concret a muncii – forţa de muncă) cu cea materializată (stocul de bunuri de capital). Conţinutul economic al coeficientului D rezultă din ideea că în
condiţiile unui management optimal, avem K
L
K
L
cc
r ==ηη
, adică acţiunea
internă a firmei de substituire a muncii prin capital (dLdKr −= ), este indusă de
pieţele factorilor prin preţul relativ al acestor factori ( KL cc / ), deci D comensurează dinamica modificării la firmă a ratei de substituire ( r& ) în funcţie de variaţia preţului relativ al factorilor de producţie, preţuri fixate exogen*) pe pieţele acestor factori.
O importantă consecinţă a folosirii funcţiilor de producţie cu progres tehnic este aceea că putem cuantifica ritmul creşterii outputului:
)()(
)()(
)()(
tLtLE
tKtKET
tYtY
LK
&&&⋅+⋅+= (1.5.8)
adică LLKKY rErETr ⋅+⋅+= - ritmul creşterii producţiei este dedus ca o
combinaţie liniară (convexă – când funcţia este cu randamente constante la scală: 1=+ LK EE ) a ritmurilor de creştere a factorilor, la care se adaugă direct ritmul creşterii prin progresul tehnic.
Demonstraţia este imediată şi se deduce din derivata totală a funcţiei
*) Dacă wcL = = salariul nominal plătit de firmă, indicator clar formulat, pentru costul capitalului, vom face detalierea în capitolul 2, întrucât are o determinare complexă, având ca bază “costul de oportunitate al capitalului”.
Capitolul 1. Studiul tehnologiei firmei. Funcţii de producţie
),,( tLKF tt , ţinând seama de definiţia elasticităţilor. În aceste condiţii, ritmul progresului tehnic are o determinaţie
endogenă prin:
L
LL
K
KK EET
ηη
ηη &&
⋅+⋅= (1.5.6’)
deci este o combinaţie liniară între ritmurile de variaţie a randamentelor marginale, coeficienţii fiind elasticităţile celor doi factori. În consecinţă, ritmul de creştere a producţiei are o determinare complexă:
)()(LK
rrErrEr LLKKY ηη +++= (1.5.8’)
în care, pe lângă ritmul creşterii factorilor, o contribuţie importantă o are ritmul de variaţie al randamentelor marginale a factorilor, iar ponderile contribuţiilor acestora sunt elasticităţile producţiei în raport cu factorii respectivi. Însă, cum în condiţiile unui management optimal Lη şi Kη trebuie să răspundă cerinţelor induse de preţurile factorilor fixate exogen pe pieţele respective, ritmul producţiei (care este o decizie endogenă firmei) este influenţat în mare măsură de dinamica acestor preţuri, ceea ce reflectă un mecanism adaptiv al deciziilor la firmă în funcţie de influenţele exogene ale pieţelor factorilor.
1.5.2.2. Identificarea tipului de progres tehnic neîncorporat
În literatura de specialitate s-au conturat mai multe direcţii de cuantificare a progresului tehnic, după diverse criterii:
- dacă factorii de producţie sunt comensuraţi agregat, în sensul că nu ţinem seama de diversele generaţii din care provin, progresul tehnic este de tip neîncorporat pe generaţii de factori; în caz contrar, spunem că specificarea este de tip progres tehnic încorporat (vezi mai jos, modelele de tip Solow, respectiv Weizacker);
- dacă progresul tehnic acţionează în mod egal asupra factorilor de producţie, lăsând neschimbat (invariant) raportul randamentelor marginale ale factorilor, adică RMST – este invariantă în timp, avem de a face cu un progres tehnic neutral (în sens Hicks);
- dacă progresul tehnic acţionează în principal prin capital, efectul este creşterea randamentului marginal al acestuia, în detrimentul productivităţii muncii şi în consecinţă acest tip de PT este generator de economie de muncă vie (este tip progres tehnic neîncorporat – PTN de tip Solow);
- dacă acţiunea este inversă, când PT este generator de economie de capital, avem PTN de tip Harrod.
În consecinţă, identificarea progresului tehnic de tip neîncorporat sau neutral se fundamentează pe ideea că anumiţi indicatori sunt invarianţi în timp,
Cibernetică microeconomică. Optimizarea comportamentului producătorului
o idee foarte importantă pentru că introduce şi în problematica economică un mecanism specific ştiinţelor exacte, acela al identificării unor invarianţi.
A. Progres tehnic neutral de tip Hicks
Se fundamentează pe ipoteza că RMST este invariantă în timp şi depinde numai de dotarea tehnică per capita:
)(),( tt khtkr = (1.5.9)
Obţinem ecuaţia diferenţială:
)(1
),(),('
ttt
t
khktkftkf
+= (1.5.9’)
care prin integrare, dă:
)()(),(ln tckHtkf tt += (1.5.9”)
unde ∫ += t
ttt dk
khkkH
)(1)( - este o primitivă a membrului din dreapta al
ecuaţiei (1.5.9’) şi constanta de integrare este în acest caz o funcţie de timp c(t) şi constantă în raport cu variabila de integrare kt. Obţinem expresia productivităţii:
)()(),( tkHt etAtkf ⋅=
şi funcţia de producţie:
),()(),,( tttt LKGtAtLKF ⋅= (1.5.9”’)
unde )()( tcetA = şi )/(),( tLtKHttt eLLKG ⋅= , deci ritmul progresului tehnic
este )()(
tAtAT
&= şi în consecinţă funcţia de producţie cu PTN Hicks este:
),(),,( ttTt
tt LKGeAtLKF ⋅⋅= (1.5.9”’.a)
Aşadar, PTN Hicks acţionează concomitent prin cei doi factori şi nu potenţează doar unul dintre ei.
B. Progres tehnic neîncorporat de tip Solow
Are la bază ideea că randamentul marginal al muncii este invariant în timp, dar depinde de productivitatea medie a muncii:
)),((),( tkwhtk tLtL =η (1.5.10)
Capitolul 1. Studiul tehnologiei firmei. Funcţii de producţie
Economic, această cerinţă reflectă un comportament raţional al angajatorului privind negocierea salariului, în funcţie de productivitatea realizată de angajat, indiferent de momentul de timp (în ianuarie sau în decembrie, în anul acesta sau în anii următori). Aici trebuie observat că efectul inflaţiei în comensurarea indicatorilor se transmite prin nivelul nominal al productivităţii muncii, tLw , .
Înlocuind indicatorii din (1.5.10) cu expresiile lor, deducem EDVS:
ttt
t
ktkfhtkftkf 1
)],([),(),('
=−
(1.5.10’)
care prin integrare conduce la:
)],([)( tkfGktA tt =⋅
unde A(t) este constanta de integrare (faţă de variabila kt) şi
])],([),(
),('exp[)( ∫ −
=⋅ ttt
t dktkfhtkf
tkfG .
Din (1.5.10’) deducem expresia productivităţii muncii:
])([),( 1tt ktAGtkf ⋅= − (1.5.10”)
deci funcţia de producţie cu PTN de tip Solow este:
],)([])([),,( 1tt
t
tttt LKtAQ
LK
tAGLtLKF ⋅=⋅⋅= − (1.5.10”’)
care evidenţiază clar că PT acţionează prin intermediul capitalului, deci este generator de muncă vie.
C. Progres tehnic neutral de tip Harrod Are la bază ipoteza invarianţei în timp a randamentului marginal al
capitalului, dar depinde numai de randamentul mediu al acestuia:
)),((),( tkwhtk tKtK =η (1.5.11)
Se obţine ecuaţia diferenţială:
]),(
[),('t
tt k
tkfhtkf = (1.5.11’)
care prin integrare conduce la funcţia de producţie:
],)([),( ttt KLtAGtKF ⋅= (1.5.11”)
Cibernetică microeconomică. Optimizarea comportamentului producătorului
şi evidenţiază că PT acţionează prin intermediul muncii, fiind generator de capital. Acesta este PTN de tip Harrod.
Acestea sunt variantele devenite clasice ale progresului tehnic neîncorporat factorilor. Însă, pe acelaşi raţionament al invarianţei în timp al unor indicatori şi dependenţa acestora de alţi indicatori se deduc o multitudine de funcţii de producţie cu progres tehnic, de exemplu:
)],([),()],,([),( tkfhtktkfhtk ttttK == ση etc.
D. Studii de caz Identificaţi funcţia de producţie şi tipul progresului tehnic când:
a) RMST este invariantă în timp, dar dependentă liniar de înzestrarea tehnică: βα += tt ktkr ),( .
b) Aceeaşi problemă când αtt aktkr =),( .
c) Productivitatea marginală este invariantă în timp, dar depinde liniar de productivitatea muncii: βαη += ),(),( tkftk ttL .
d) Aceeaşi problemă, dar dependenţa este neliniară:
)),(),( tkftk ttLβαη =
şi concret,
)),(),( tkftk ttL αη =
e) Randamentul marginal al capitalului este invariant în timp şi este dependent liniar de randamentul mediu:
βαη += ),(),( tkwtk tKtK
f) Aceeaşi problemă, dar dependenţa este neliniară: βαη )],([),( tkwtk tKtK =
g) Coeficientul elasticităţii de substituţie este invariant în timp, dar depinde liniar de dotarea tehnică per capita:
βασ += tt ktk ),(
h) Elasticitatea în raport cu munca este invariantă în timp, dar este dependentă de dotarea tehnică per capita, dependenţa fiind:
)(),( ttL khtkE =
unde h(kt) sunt specificate prin expresiile i), ii), iii) de la punctul a2) din paragraful 1.5.2.
Capitolul 1. Studiul tehnologiei firmei. Funcţii de producţie
Indicaţie: a) βα += tt ktkr ),( conduce la EDVS (1.5.9’) care prin integrare dă:
∫ +++
= )()1(1),(ln tcdkk
tkf tt
t βα
adică:
αα βααβ ++ ++=+
+⋅= 11
1/11 ])1)[((]
1[)(),( ttt ktAktAtkf
unde αα ++
⋅=1
1)(
)1(
1)( tcetA .
Funcţia de producţie va fi:
),()(),,( tttt LKGtAtLKF ⋅=
unde:
ααα
βα ++ ++⋅= 11
1 ])1[(),( tttt LKLtKG
deci progresul tehnic este neutral, de tip Hicks.
b) Deducem ecuaţia ∫ ∫ ++
= − )(]1[),(
),('1 tc
akkdk
dktkftkf
tt
tt
t
tα primitiva
din membrul drept este o integrală binomă de tip Cebâşev, deci facem schimbarea de variabilă uk =−α1 şi după calculele elementare găsim:
1,][)(),( 1/11 ≠+⋅= −− ααα aktAtkf tt
deci funcţia de producţie este:
ααα −−− +⋅= 11
11 ][)(),,( tttt aLKtAtLKF
adică de tip CES, cu PTN de tip Hicks.
Observaţie: Pentru 1=α , regăsim cazul de la a).
c) Procedând ca la punctul b1) din paragraful 1.5.2, cu observaţia că vom lua constanta de integrare c(t), deducem funcţia de producţie:
ααδγ ttttt LKtALtLKF ⋅+= −1])([),,( (1.5.2.a’)
Cibernetică microeconomică. Optimizarea comportamentului producătorului
unde δγ , - constante )1
1,1
(α
δαβγ
−=
−= , deci progresul tehnic este de tip
Solow (potenţează numai capitalul). d) Obţinem ecuaţia diferenţială (1.5.10’) şi integrând, în membrul din
stânga avem o integrală de tip Cebâşev, ca la punctul b) de mai sus şi facem schimbarea de variabilă uf =−α1 . Se continuă calculele ca mai sus.
Procedând similar, propunem rezolvarea celorlalte puncte; vom mai zăbovi asupra cazului f) care conduce la ecuaţia:
1,),(
),(' ≠
⋅= βα
β
t
tt k
tkftkf
adică:
∫ ∫ += )(),(),('
tAkdk
dktkftkf
t
tt
t
tββ α
adică:
ββα −− += 11
1 )]([),( tAktkf tt ,
deci funcţia de producţie este:
βββα −−− ⋅+= 11
11 ])([),,( tttt LtAKtLKF , de tip CES, cu PTN Harrod.
Din scurta prezentare făcută în paragrafele 1.5.2 şi 1.5.3 se deduce că există o mare varietate de funcţii de producţie pe care se implantează cele trei forme de progres tehnic neîncorporat:
- de tip Hics: ),()(),,( tttt LKGtAtLKF ⋅= - de tip Solow: ),)((),,( tttt LKtAGtLKF = - de tip Harrod: ))(,(),,( tttt LtAKGtLKF = ,
oricare ar fi forma funcţiei identificată ca în 1.5.2. Trebuie însă observat că singura funcţie de producţie pentru care tipul
de progres tehnic poate fi atât de tip Hicks, de tip Solow sau de tip Harrod este funcţia Cobb-Douglas:
ββαβααβα ])([])([)(11
ttttttt LtAKLKtALKtAY ⋅=⋅=⋅= .
Efectele acţiunii celor trei tipuri de progres asupra dinamicii productivităţii muncii )(twL şi a randamentului marginal al capitalului
Capitolul 1. Studiul tehnologiei firmei. Funcţii de producţie
)(tKη sunt ilustrate în figura 10, într-o reprezentare paralelă – pentru funcţii de producţie cu factori substituibili, respectiv cu factori complementari, pentru două momente de timp t0 şi t1, t0<t1. Punctele în care sunt calculaţi indicatorii la cele două momente de timp sunt P0 şi P1.
1.5.3.3. Specificarea progresului tehnic încorporat
Modelele prezentate anterior ale PTN evidenţiază efectele acţiunii PT prin volumul agregat al factorilor Kt sau Lt. În realitate, acţiunea PT este diferită pe generaţii de factori; de exemplu, capitalul corporal din generaţii mai noi încorporează progresul tehnologic al ultimelor descoperiri în cercetarea ştiinţifică şi tehnologică, deci îşi aduce un aport mai ridicat în creşterea productivităţii faţă de acelaşi volum al capitalului din generaţii mai vechi. Similar, pentru generaţiile mai noi de forţă de muncă care aplică cunoştinţele (teoretice şi practice) cele mai recente în domeniul de specializare în care au fost formaţi, în special capacitatea de utilizare a noilor tehnologii informatizate şi o mai mare adaptabilitate la fluxul informaţional foarte dinamic al prezentului şi viitorului. Progresul tehnic încorporat capitalului. Modelul Solow al PTI
Pentru un sistem economic (firmă, ramură, economie naţională) notăm
kt
P0
P1 w1
w0
k0
ηk1
ηk0
k1
wt
kt
P0
P1 w0 = w1
k0
ηk0 = ηk1
k1
wt
kt
P0
P1 w1
w0
k0
ηk1
ηk0
wt
kt
P0
P1
w1
w0
k0 k1
wt
kt
P0
P1 w0 = w1
k0 k1
wt
kt
P0
w1
w0
k0
wt
P1
a) PNT - Hicks b) PNT - Solow c) PNT - Harrod
Figura 10
Cibernetică microeconomică. Optimizarea comportamentului producătorului
tKτ - volumul capitalului deţinut la momentul curent t şi pus în funcţiune la momentul τ şi tLτ - forţa de muncă care îşi desfăşoară activitatea pe utilaje din generaţia τ . Volumul producţiei realizate va fi cuantificat prin funcţia de producţie cu PTN de tip Solow, ),)(( ttt LKAFY τττ τ= - după metodologia de mai sus.
Volumul producţiei (outputul) creat la momentul t este suma producţiilor realizate cu capitalul fix din diverse generaţii, θθτ ],,[ tt −∈ fiind vârsta celei mai vechi generaţii de bunuri de capital deţinut de firmă (ramură, etc.). Deci în ipoteza utilizării unui model continuu în timp,
∫ ∫− −
==t
t
t
tttttt dLKAFdYY
θ θτττ τττ ),)(( (1.5.12)
şi în cazul modelului discret, Ztt ∩−∈ ],[ θτ avem:
∑∑−=−=
==t
tttt
t
ttt LKAFYY
θτττ
θττ τ ],)([ (1.5.13)
Funcţia de producţie )(⋅F poate fi oricare din formele specificate în paragrafele anterioare, dar pentru simplificarea abordării vom folosi funcţia
Cobb-Douglas cu ritmul progresului tehnic )()(
ττλ
AA&
= – constant, deci
AeA ⋅= λττ )( , A=constantă. Ţinând cont de rata deprecierii capitalului fix, volumul tKτ existent la
momentul curent din total capital pus în funcţiune la momentul τ )( ττK este:
τττδ
τ KeK tt ⋅= −− )( , unde τττ IK = - investiţiile făcute la momentul trecut τ .
În aceste condiţii, volumul outputului tYτ va fi:
βτ
ατ
τδαλ
βτ
ατ
ταλ
τ t
t
ttt LIeALKeAY ⋅⋅=⋅⋅=−−
][][)(
şi în consecinţă, volumul producţiei realizat la momentul curent este:
τα
θτ
τδαλ
β dIeLAYt
t
t
tt ][)(
∫−
−−⋅⋅⋅= (1.5.12’)
unde Lt este volumul forţei de muncă utilizat la momentul t. În consecinţă, în model nu este necesar să determinăm efectiv forţa de muncă utilizată pe diverse generaţii de capital, operaţie care practic poate fi deosebit de dificilă.
În modelul discret, abordarea este similară, dar ritmurile (progresului
Capitolul 1. Studiul tehnologiei firmei. Funcţii de producţie
tehnic respectiv deprecierii capitalului) vor fi utilizate conform modelării
discrete, de tip xxr ∆
= deci 0)1( xrx tt += . În consecinţă, progresul tehnic va
fi AA ⋅+= ττ λ)1( , A – constantă şi efectul deprecierii capitalului este
cuantificat prin ττ
τ δ IK tt
−−= )1( , deci funcţia de producţie este:
ατ
τ
ττ
ατ
β δλ ])1()1([ ILAY tt
ttt ⋅−+⋅⋅= −
−=∑ (1.5.13’)
În concluzie, modelul Solow cu progres tehnic încorporat pe generaţii de capital pune în evidenţă rolul investiţiilor ca purtătoare ale progresului tehnic precum şi influenţa deprecierii capitalului fix.
Trebuie însă observat că pe lângă progresul tehnic încorporat pe generaţii de capital, pe care în model l-am introdus prin ritmul λ , acţionează şi un progres tehnic autonom, neîncorporat, generat la momentul curent de managementul întregului sistem (organizarea producţiei, a muncii, activitatea de marketing, financiară, etc). Introducem acest PTN prin ritmul constant µ şi acţionează în modelele anterioare (1.5.12’), (1.5.13’) prin expresia A(t) în loc de A cu CetA t ⋅= µ)( respectiv Ct ⋅+ )1( µ .
Se obţine modelul Solow cu două trenduri ale PT:
τα
ττ
τδαµ
ταλ
β dIeLAYt
t
tt
tt ][)(
∫−
−−+⋅⋅⋅= (1.5.12”)
în cazul continuu, respectiv:
ατ
τα
θτ
ατ
β δµλ ])1()1()1([ / ILAY ttt
ttt
−
−=
−⋅++⋅⋅= ∑ (1.5.13”)
B. Progresul tehnic încorporat forţei de muncă. Modelul Weiszacker Se fundamentează printr-o abordare similară cu PTI capitalului, de data
aceasta pornind de la ideea că fiecare generaţie de forţă de muncă îşi aduce contribuţia în mod diferenţiat la creşterea producţiei. Fie tNτ – numărul persoanelor în activitate la momentul curent t având vechimea τ de la angajare (considerată imediat după terminarea studiilor de formare în specialitatea dorită) şi tτΨ indicele de eficienţă a unui angajat din categoria tNτ . În consecinţă, la momentul t, volumul forţei de muncă va fi:
∫−
Ψ=t
tttt
L
dNLθ
ττ τ , respectiv ∑−=
Ψ=t
tttt
L
NLθτ
ττ (1.5.14)
Cibernetică microeconomică. Optimizarea comportamentului producătorului
Există mai multe metode de cuantificare a indicelui tτΨ (metode statistice, metoda punctajului ş.a.), dar Weiszacker propune specificarea acestor indici în funcţie de nivelul de calificare exprimat în ani de studii tnτ (cuprinzând inclusiv durata studiilor suplimentare de perfecţionare), de gradul de depreciere a cunoştinţelor o dată cu trecerea timpului, faţă de momentul formării şi de experienţa căpătată prin muncă şi în formarea permanentă („learning by doing”- după Arrow). În aceste condiţii putem scrie
)()( tt gtB ττ η⋅=Ψ cu 0)(<
−∂∂τt
g – prin care se reflectă gradul de depreciere şi
BetB tγ=)( sau BtB t)1()( γ+= sau după cum abordarea se face în timp continuu respectiv discret.
Combinând aceste rezultate cu modelele de la punctul A) deducem modelul (continuu sau discret) cu trei trenduri ale progresului tehnic:
β
θττ
θ
ατ
τδταλ
γµ ττ
⋅
⋅⋅⋅= ∫∫
−−
−−+t
ttt
t
t
ttt
LK
dngNdIeeBY )()()()( (1.5.14’)
respectiv: β
θτττ
α
θττ
τατ
δλγµ
⋅⋅
⋅−⋅+⋅++⋅= ∑∑
−=−=
−
LK ttt
t
t
ttt ngNIBY )()1()1()]1)(1[( (1.5.14”)
unde B – constantă, Kθ - vârsta celei mai vechi generaţii de bunuri de capital,
Lθ - vârsta celei mai vechi generaţii de forţă de muncă.
C. Progresul tehnic încorporat prin calitatea factorilor (Denison - Nelson)
Funcţia de producţie este specificată prin:
),()( tttt LKFtAY ⋅= (1.5.15)
unde tt LK , este volumul potenţial al capitalului, respectiv al forţei de muncă. Denison face ipoteza că variaţia volumului potenţial al capitalului are
loc sub influenţa a trei factori, deci:
)1( aKK
KK
Kt
t
t
t ∆−+∆
=∆
λ (1.5.16)
unde primul termen reprezintă ritmul de creştere al capitalului Kt; al doilea conţine prima componentă Kλ - reprezentând ritmul progresului tehnic
Capitolul 1. Studiul tehnologiei firmei. Funcţii de producţie
încorporat capitalului şi a doua aK ∆⋅− λ – care reflectă efectul modificării structurii capitalului şi a duratei medii de funcţionare, a∆ (reducerea duratei medii de amortizare).
Similar, pentru forţa de muncă, Nelson porneşte de la constatarea că variaţia potenţialului de muncă este:
Lt
t
t
t
LL
LL
λ+∆
=∆
(1.5.17)
- primul termen reprezentând factorul cantitativ, prin ritmul creşterii volumului fizic de muncă;
- al doilea este factorul calitativ, reflectând ritmul progresului tehnic încorporat forţei de muncă prin creşterea nivelului de pregătire în specialitate, prin experienţa în muncă şi informatizarea activităţilor desfăşurate.
În concluzie, ritmul de creştere a producţiei va fi (conform 1.5.8):
t
tL
t
tK
t
t
LL
EKK
ETYY ∆
⋅+∆⋅+=
∆ (1.5.8’)
unde ritmul progresului tehnic este:
LK atAtAT λλ +∆−+
∆= )1(
)()( (1.5.16’)
în care )()(
tAtA∆ - este ritmul progresului tehnic autonom.
Această scurtă prezentare a modalităţilor de specificare a progresului tehnic are, în opinia noastră, obiectivul de a deschide pentru cititor căile de dezvoltare mai aprofundată asupra acestei problematici deosebit de complexă, dar şi foarte importantă.