Didactica specialitatiiDidactica specialitatii
• NOTIUNI DE PROCESAREA NOTIUNI DE PROCESAREA SEMNALELOR SI METODE SEMNALELOR SI METODE MATEMATICE FOLOSITE IN MATEMATICE FOLOSITE IN SIMULAREA UNOR FENOMENE SIMULAREA UNOR FENOMENE DIN FIZICA (Propagarea undelor si DIN FIZICA (Propagarea undelor si pulsurilor in medii elastice)pulsurilor in medii elastice)
Seria FOURIER si aplicatii Seria FOURIER si aplicatii in simularea unor in simularea unor
fenomene ale fiziciifenomene ale fizicii• SFTSFT
( ) ( )f t f T t
0( ) ( cos sin )n n
nf t A n t B n t
00
0
0
1( )
2( ) cos , 0
2( ) sin , 0
T
T
n
T
n
A f t dtT
A f t n t dt nT
B f t n t dt nT
Seria FOURIER si aplicatii Seria FOURIER si aplicatii in simularea fenomenelor in simularea fenomenelor
fiziciifizicii• SFESFE
cos2
sin2
in t in t
in t in t
e en t
e en t
i
2 2 2 2
in t in t in t in tin t in tn n n n
n n
in t in tn n
A iB A iBe e e eA B e e
i
C e C e
( ) in tn
nf t C e
Cazul semnalelor Cazul semnalelor armonicearmonice
Seria Fourier a unui semnal Seria Fourier a unui semnal nesinusoidalnesinusoidal
• Semnal dreptunghiularSemnal dreptunghiular
parn,0
imparn,n
1B0dttncos
T
1A
............................................................................
0dtt2sinT
1B0dtt2cos
T
1A
1tsin
T
1B0dttcos.1
T
1A
2
1dt0dt1
T
1A
n
2/T
0n
2/T
02
2/T
02
2/T
01
2/T
01
T
2/T
2/T
00
...t7sin7
1t5sin
5
1t3sin
3
1tsin
1
2
1
...t5sinBt3sinBtsinB2
1)t(f 531
Spectrul obtinut pe Spectrul obtinut pe calculatorcalculator
Aplicatii in electrostaticaAplicatii in electrostatica
• Rezolvarea unor ecuatii de tip Rezolvarea unor ecuatii de tip Laplace in probleme cu valori pe Laplace in probleme cu valori pe frontierafrontiera
0
Ecuatie Poisson
Ecuatie Laplace
Problema 2D a potenţialului• IpotezaIpoteza Potentialul este independent de una din Potentialul este independent de una din
coordonate (linie de transmisie lunga si coordonate (linie de transmisie lunga si uniforma)uniforma)
y
x0 a
= 0 = 0
= 0
y/a = 0.5
y/a = 0.1
= V
2 2
2 20
( , ) ( ) ( )
( ) ( )
0, 0,
, 0, 0
0,
( , ) sin( )
sin( )
i x y
y
yn n n n
n
x y
x y X x Y y
X x Y y e e
x x a
V y x a
daca y
x y A e x
nA e x
a
x y( )
1
n
An en
y
a
sin n x
a
• AAnn se determină din condiţia se determină din condiţia =V =V pentru y=0 şi 0pentru y=0 şi 0 ≤≤ xx ≤≤ aa
An4 V
n
1 pentru n impar
0 pentru n par
x y( )4 V
n
1
ne
n ya sin
n xa
impar
Seria Fourier
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
11
0
x 0.1a( )
V
1 x 0.1 a( )
V
2 x 0.5 a( )
V
3 x 0.5 a( )
V
10 x
a
y
a0.1
y
a0.5
n 1 3 919 V 10 a 10
Calculul erorilorCalculul erorilor
NumNumăăr r termenitermeni
Eroare Eroare (%) (%)
33 46.646.6
55 12.612.6
77 3.43.4
99 0.530.53
NumNumăăr r termenitermeni
Eroare Eroare (%)(%)
33 3.793.79
55 0.190.19
77 00
99 00
y = 0.1 y = 0.1 · a· a y = 0.5 y = 0.5 · a· a
eroarea i 1 i
i
AprecieriAprecieri• Pentru valori mici ale lui y sunt necesari Pentru valori mici ale lui y sunt necesari
mulmulţţi termeni din seriei termeni din serie
• Pentru yPentru y≥≥a/a/ numai primii termeni sunt numai primii termeni sunt
semnificativi, potensemnificativi, potenţţialul se apropie de ialul se apropie de
forma asimptoticforma asimptoticăă dat datăă de primul termen de primul termen
1 x y( )4 V
e
ya
sin x
a
Ecuaţii Laplace Ecuaţii Laplace 3D3D• IpotezIpotezăă cutie dreptunghiularcutie dreptunghiulară cu feţele la potenţial ă cu feţele la potenţial
nul, exceptând suprafaţa nul, exceptând suprafaţa zz == c de potenţial c de potenţial V(x)V(x)
= 0 = 0
= 0
x = a
y = b
z = c
x
y
z = V(x,y)
Conditii pe frontiera:Conditii pe frontiera:
(x,y,z)=V(x) pentru z=c(x,y,z)=V(x) pentru z=c
(x,y,z)=0 pentru y=0,y=b(x,y,z)=0 pentru y=0,y=b
(x,y,z)=0 pentru x=0,x=a(x,y,z)=0 pentru x=0,x=a
I n m( )
0
a
xsin n( ) x( ) V x( )
d
0
b
ysin m( ) y( )
d
x y z( )
1
n 1
m
A n m( ) sin n( ) x( ) sin m( ) y( ) sinh n m( ) z( )
A n m( )4 I n m( )
a b sinh n m( ) c( )
n( )na
m( )m
a n m( )
n2
a2
m2
b2
unde:
Serie Fourier dubla:
f x y z( )
1
5
n 1
5
m
A n m( ) sin n( ) x( ) sin m( ) y( ) sinh n m( ) z( )
g x y( ) f x y 1( )
g
f x y z( )
1
3
n 1
3
m
A n m( ) sin n( ) x( ) sin m( ) y( ) sinh n m( ) z( )
g x y( ) f x y 1( )
g
f x y z( )
1
5
n 1
5
m
A n m( ) sin n( ) x( ) sin m( ) y( ) sinh n m( ) z( )
g x y( ) f x y 5( )
g
f x y z( )
1
3
n 1
3
m
A n m( ) sin n( ) x( ) sin m( ) y( ) sinh n m( ) z( )
g x y( ) f x y 5( )
g
f x y z( )
1
5
n 1
5
m
A n m( ) sin n( ) x( ) sin m( ) y( ) sinh n m( ) z( )
g x y( ) f x y 6( )
g
f x y z( )
1
3
n 1
3
m
A n m( ) sin n( ) x( ) sin m( ) y( ) sinh n m( ) z( )
g x y( ) f x y 6( )
g
f x y z( )
1
5
n 1
5
m
A n m( ) sin n( ) x( ) sin m( ) y( ) sinh n m( ) z( )
g x y( ) f x y 7( )
g
f x y z( )
1
3
n 1
3
m
A n m( ) sin n( ) x( ) sin m( ) y( ) sinh n m( ) z( )
g x y( ) f x y 7( )
g
f x y z( )
1
5
n 1
5
m
A n m( ) sin n( ) x( ) sin m( ) y( ) sinh n m( ) z( )
SIMULAREA UNOR SIMULAREA UNOR FENOMENE DIN FIZICAFENOMENE DIN FIZICA
• Metoda dezvoltarii in serie a solutiei Metoda dezvoltarii in serie a solutiei folosita in simularea propagarii undelor folosita in simularea propagarii undelor si pulsurilor in medii elastice omogene si si pulsurilor in medii elastice omogene si neomogeneneomogene
Bibliografie:Bibliografie:1.Ultrasonic pulse propagation in inhomogeneous one-1.Ultrasonic pulse propagation in inhomogeneous one-
dimensional media; dimensional media; N.CretuN.Cretu,P.P.Delsanto,G.Nita,C.Rosca,M.Scalerandi,I.,P.P.Delsanto,G.Nita,C.Rosca,M.Scalerandi,I.SturzuSturzu
J.Acoust.Soc.AmJ.Acoust.Soc.Am; 104 (1),July 1998,pag 57-63 ; 104 (1),July 1998,pag 57-63 2.Pulse propagation in finite elastic inhomogeneous 2.Pulse propagation in finite elastic inhomogeneous
media; media; N.CretuN.Cretu, G.Nita; , G.Nita; Computational Materials Computational Materials ScienceScience, Elsevier, Elsevier, , 31(2004), pag.329-336 31(2004), pag.329-336
Transformata Fourier a Transformata Fourier a unei functiiunei functii
( , ) ( , )
1( , ) ( , )
2i t
U x t transformataFourier U x
U x U x t e dt
1.Metoda dezvoltarii in serie a solutieiEcuatia undelor:
elongatia)t,x(u,0t
u
v
1
x
u2
2
22
2
Transformata Fourier a lui
)t,x(unotata cu:
),x(u~
dte)t,x(u),x(u~ ti
Dacã introducem (2) in (1) vom avea o ecuatie pentru transformata Fourier:
0u~vx
u~
2
2
2
2
(2)
(1)
(3)
0n
nn x)(c),x(u~
n
0n2n
2n
2nn2
21n
1nn
xc)2n)(1n(
xcn)1n(x
u~
xcnx
u~
n2
2
2n
n
0nn2
2
2n
c)2n)(1n(
1
vc
deci
0xcv
c)2n)(1n(
Relatie de recurenta pentru coeficienti
.......4
12
2
3
02
2
2
c2n
cv6
c1n
cv2
c0n
Unde:
Conditiile initialeConditiile initiale
• Puls GaussianPuls Gaussian u t( ) A ea t
2
u1 t( ) A e0.1 a t
2
u2 t( ) A e0.01 a t
2
100 60 20 20 60 1000
0.2
0.4
0.6
0.8
1
u t( )
u1 t( )
u2 t( )
t
Puls gaussian in timp2ateA)t,0(u
a4
2
a4
22)
a2
it(a)t
a
i2t(a
ti2atti
ea
A),0(u~
dteeAdteA
dteeAdte)t,0(u),0(u~
a4
2
0
0
ea
Ac
c),0(u~
deci
Dar c1?
Tinem cont de dezvoltarea in serie si prin urmare:
0x1 x
u~c
( / )2
2
( , )
( , ) ( , )
(0, )
at i t x v
i x ati t v
i xv
u x t Ae e
Ae dtu x u x t e dt e
e u
01 cv
ic
Discretizarea mediului, Discretizarea mediului, iteratii succesiveiteratii succesive
)1k(1
nk
)k(1n
1N
0n
N
1n
1nk
)k(nk
)k(0
)1k(0
N
0n
nk
)k(nk
)k(0
c)(c)1n(
)(nc)x('u~
c)(c)x(u~
Pentru stratul k:
Imaginea unui puls Imaginea unui puls Gaussian in timpGaussian in timp
• Imaginea unui puls Gaussian in timp Imaginea unui puls Gaussian in timp obtinuta prin metoda iteratiilor succesive obtinuta prin metoda iteratiilor succesive si metoda dezvoltarii in serie a solutiei.si metoda dezvoltarii in serie a solutiei.
Alte metode matematice Alte metode matematice folosite in simularifolosite in simulari
•Metoda diferentelor finiteMetoda diferentelor finite
•Metoda elementului finitMetoda elementului finit- In final se ajunge tot la - In final se ajunge tot la recurente si iteratii recurente si iteratii succesive datorita succesive datorita discretizarii mediuluidiscretizarii mediului