Capitolul 1 Numere reale
1.1 Numere raţionale şi iraţionale. Reprezentarea numerelor reale
1.1.1. Scrieţi ca fracţie zecimală infinită următoarele numere: 15 17 3 27 123 523 201
; ; ; ; ; ;8 6 4 11 17 21 19
− − −
1.1.2. Să se scrie numărul 1
49sub formă de fracţie zecimală infinită.
1.1.3. Să se arate că oricare ar fi numărul n ∈� , fracţia 65 3
39 2
n
n
+
+este ireductibilă.
Aceeaşi problemă pentru fracţia 21 4
14 3
n
n
+
+.
(O.I.M, 1959; 3758, G.M.F.B. 8/1959) 1.1.4. Să se determine funcţiile :f →� � de gradul întîi cu proprietatea că fracţia
( )( )
5 7
8 9
f x
f x
+
+ este reductibilă, ( ) x∀ ∈� .
(Elvira şi Nicolae Crainic, 20070, G.M. 4-5/1984) 1.1.5. Scrieţi ca fracţie ordinară ireductibilă următoarele numere:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3, 6 ;1,72 32 ; 2,073 83 ; 4,3 042 ; 0,01 02 ; 0,01 023− − ; ( )0, 23 459
1.1.6. Să se determine primele trei cifre după virgulă ale numerelor: a) x y+ , unde 1,3426...x = şi 1,1243...y =
b) 7 5−
c) 0,710710071... 6− × 1.1.7. Folosind rigla şi compasul, figuraţi pe axa reală punctele de abscise:
2; 3; 5; 6; 10 1.1.8. Să se arate că următoarele numere nu sunt raţionale:
a) 3 b) 32 c) 2 3+
d) 2 3 5+ + (Doru Ştefănescu, 16922*, G.M. 11/1977)
1.1.9. Să se demonstreze că oricare ar fi n ∈� , numerele 5 2n + şi 5 3n + sunt iraţionale.
1.1.10. Să se arate că numărul 1985 18951895 1985+ nu este raţional.
(D.M. Bătineţu, 20537*, G.M. 9/1985) 1.1.11. Fie ,a b ∈� astfel încît 2 0a b+ ≠ . Este posibil ca 2 0a b− = ?
1.1.12. a) Să se demonstreze că nu există ,a b ∈� astfel încît 32 2a b= + .
b) Să se demonstreze că 34 nu poate fi scris sub forma 3
4 a b c= + , unde , ,a b c ∈� . (Vasile Tomiţă, 19292, G.M. 7/1982)
1.1.13. a) Arătaţi că nu există numerele raţionale a şi b astfel încît 3 39 3a b= + .
b) Generalizare: dacă n∗∈� nu este cub perfect, atunci nu există ,a b ∈� astfel
încît 3 2 3n a b n= + . (Petre Simion, E:7550, G.M. 2-3/1982)
1.1.14. Să se arate că numărul 3 3 2+ este iraţional.
1.1.15. Să se arate că numărul 3 332 3 4+ + este iraţional.
1.1.16. Fie numerele , ,a b c ∈� astfel încît 3 32 4 0a b c+ + = . Să se arate că
0a b c= = = . 1.1.17. Fie ,a b ∈� astfel încît numărul 3 3a b+ este raţional şi nenul. Să se arate
că numerele 3 a şi 3 b sunt raţionale. (Concurs Ungaria, 1969; 9599, G.M.B. 5/1969) 1.1.18. Să se arate că dacă , ,a b c ∈� şi 2ax bx c+ + ∈� pentru orice x ∈�atunci c ∈� şi 0a b= = . (I. Vladimirescu, 1984)
1.1.19. Fie , ,a b c ∈� astfel încît 2 3 5 0a b c+ + = . Să se arate că 0a b c= = = . 1.1.20. Să se determine mulţimea:
( ) 2 2 21, , 3 5 3 7 5 4 5 0
4A m x y x y m x y
= ∈ × × + + + − + =
� � �
(C. Rusu, 18930, G.M. 10/1981) 1.1.21. Dacă n ∈� şi , , ,a b c d ∈� , să se arate că:
( ) ( )2 34 4 44 3 4 3 4 3 0 0a b n c n d n a b c d+ + + + + + = ⇔ = = = = .
(Olimpiadă, Mongolia, 1985) 1.1.22. Fie , \ si a b r∈ ∈� � � . Care dintre următoarele numere pot fi raţionale ?
a) a b+ b) a r+ c) ab d) ar e) a f) r
g) a r+ h) a b+ i) a r+ j) r a+ 1.1.23. Fie , ,a b c trei numere iraţionale. Să se arate că dacă a b c+ + ∈� şi
2 2 2a b c+ + ∈� , atunci 3 3 3a b c+ + ∈� dacă şi numai dacă abc ∈� . (I. Nănuţi, 17429*, G.M. 10/1978) 1.1.24. Fie , ,p q r ∈� astfel încît 1pq qr rp+ + = . Să se arate că
( ) ( )( )2 2 21 1 1p q r+ + + ∈�
1.1.25. Fie , 5n n∈ ≥� .
a) Să se arate că 2 11
10n n+ < + .
b) Să se determine prima zecimală a lui 21999 1+ .
1.1.26. Pentru n∗∈� , să se determine prima zecimală a numărului 2
n n+ . (Iacob Didraga, 19332*, G.M. 8/1982) 1.1.27. a) Să se determine primele două zecimale ale numărului
23 2, , 11A n n n n= + + ∈ >� . (Al. Loga, 1984)
b) Să se determine primele două zecimale ale numărului 24 ,n n n+ ∈� .
(Rodica şi Alexandru Loga, E:8133, G.M. 9/1983) 1.1.28. Pentru care numere naturale n prima zecimală a lui 1n n+ − este 2?
1.1.29. Găsiţi n ∈�astfel încît n să aibă primele două zecimale de după virgulă egale cu 1, respectiv 2. 1.1.30. Să se determine cel mai mic n ∈�astfel încît primele trei cifre după virgulă în reprezentarea lui n să fie (în această ordine) 1,2,3.
1.1.31. Fie 0 1 2 3, ...a a a a a= . Să se determine
2004a dacă:
1 1;
7 13a a= = .
1.1.32. Să se arate că în reprezentarea zecimală a unui număr iraţional există cel puţin două cifre care se repetă de o infinitate de ori.
1.1.33. Să se demonstreze că mulţimea { }1
\ 1;1A a aa
= ∈ − + ∈
� � este inclusă
în mulţimea numerelor iraţionale. 1.1.34. Numerele reale ,x y satisfac relaţia 2
1xy x= + . a) Să se arate că dacă y este număr iraţional, atunci şi x este număr iraţional; b) Este reciproca adevărată ? Justificaţi răspunsul.
(Emil Constantinescu, Olimpiadă locală, Bucureşti, 1978) 1.1.35. Se dau n numere reale
1 2, , , nx x x… , diferite de zero. Să se demonstreze
că există un număr iraţional α astfel încît toate numerele , 1,ix i nα = să fie iraţionale. (Nicolae Ceti, Valentin Marchidan, 17824*, G.M. 7/1979) 1.1.36. Fie ,a b∈� astfel încît a b≥ . Să se arate că dacă numărul
( ) ( )222 2
1a b a b+ − + − ∈� , atunci a b= . Este reciproca adevărată ?
(Vasile Zidaru, E:7620*, G.M. 5/1982) 1.1.37. Fie numărul
0a ∈� . Definim mulţimea infinită { }0 1
, ,..., ,...nA a a a= unde
( )2
11 0i ia a i+ = + ∀ ≥ . Să se arate că \A ≠ ∅� .
1.1.38. Să se determine mulţimile:
a) { }21A n n= ∈ + ∈� �
b) { }217B n n= ∈ − ∈� �
c) { }21C n n n= ∈ + + ∈� �
1.1.39. Să se determine mulţimile:
{ }4 217 60A k k k= ∈ + + ∈� � şi { }4 24
17 60B k k k= ∈ + + ∈� � .
(Adrian Ghioca, 17044*, G.M. 2/1978)
1.1.40. Fie mulţimile: { }27A k k k= ∈ − ∈� � şi { }2
63B k k= ∈ + ∈� � . Să se
determine mulţimile , ,A B A B A B∪ ∩ − şi B A− .
(Dan Popescu, 19893, G.M. 10-11/1983) 1.1.41. a) Să se afle mulţimea:
{ }{ }225 33 , , 5,6, ,15A x x n n nα α= ∈ = + + ∈ ∈� � … .
(Valeriu Tulbă, E:8526, G.M. 3/1985) b) Să se determine mulţimea:
{ }26 12B x x x= ∈ + + ∈� �
(Nicolae Halmagiu, Concursul “Spiru Haret”, 1985) 1.1.42. Pentru numerele naturale ,a b definim mulţimea:
( ) ( ){ }2 2, ,M a b x y x ax b y= ∈ × + + =� �
a) Să se arate că dacă a este impar, atunci ( ),M a b este nevidă şi finită.
b) Rămîne adevărată această afirmaţie pentru a par ? c) Să se determine mulţimile ( ) ( ) ( )1, 4 , 2,1 , 0, 2M M M .
(Nicolae Papacu, 20538, G.M. 9/1985) 1.1.43. Să se determine mulţimea:
( ){ }2 4 3 2, 1A x y y x x x x= ∈ × = + + + +� � (20675*, G.M. 2/1986)
1.1.44. Pentru ce x ∈� , numărul ( ) ( )2
3 2 3 4 3x x+ − ∈� ?
(Liviu Pîrşan, 20763*, G.M. 5/1986)
1.1.45. Să se determine numerele ,x y ∈� pentru care 2 21 4x y y x+ + + + +
este natural. (Marcel Chiriţă, 18978*, G.M. 11/1981)
1.1.46. Să se arate că graficul funcţiei ( ) 4 2: , 3 7f f x x x→ = + +� � nu trece prin
nici un punct cu ambele coordonate întregi. Aceeaşi problemă pentru
( ) 4 2: , 5 5g g x x x→ = + +� � .
1.1.47. a) Să se demonstreze că nu există nici o pereche de numere naturale nenule ( ),m n astfel ca expresiile 2
4m n+ şi 24n m+ să fie simultan pătrate perfecte.
(Ion Cucurezeanu, 17647*, G.M. 3/1979) b) Să se determine numerele naturale nenule m şi n ştiind că 2
5m n+ şi 2
5n m+ sunt simultan pătrate perfecte. (Gh. Szollosy, 20481, G.M. 7/1985) 1.1.48. a) Dacă , ,a b c sunt numere întregi impare, să se demonstreze că ecuaţia
20ax bx c+ + = nu poate avea rădăcini raţionale.
(Olimpiadă naţională, 1980) b) Generalizare, pentru orice ecuaţie algebrică de grad par cu coeficienţii numere întregi impare. (Ştefan Alexe, 16707, G.M. 6/1977) c) Să se determine numărul prim p ∈� , ştiind că ecuaţia 2
3 0x x p− + = admite rădăcini întregi. 1.1.49. Să se demonstreze că ecuaţia 3
1 0, , 2x px p p− + = ∈ >� , nu are rădăcini raţionale.
1.1.50. Dacă numerele reale ( )1 2 1 2,x x x x≠ satisfac condiţiile:
1 2x x+ ∈� şi
1 2x x− ∈� , atunci ( )4 8 8
1 22 x x− ∈� .
(I.V. Maftei, 16925*, G.M. 11/1977)
1.2 Operaţii cu numere reale. Identităţi 1.2.1 Structura algebrică a lui � . Operaţii de bază. 1.2.1.1 Formule de calcul prescurtat
1.2.1. Numerele reale , ,x y z verifică egalitatea:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2
2 2 2x y y z z x x y z y z x z x y− + − + − = + − + + − + + − . Să se
arate că x y z= = . (3217, R.M.E.T, 1977)
1.2.2. Fie expresia ( ) ( )3 3 2 24 2E x z xyz y x z xz x z= − + + + + − .
a) Să se descompună expresia dată în factori; b) Dacă x y a+ = şi y z b− = , să se calculeze E în funcţie de a şi b .
(Kiss Elemer, 5224, G.M.F.B. 4/1962)
1.2.3. Se ştie că 2 2 2 23x y z t+ = şi că ( ) ( )
4 4
48xy zt xy zt+ − − = , să se calculeze
produsul xyzt . (Paul Schneider, E:6109*, G.M. 1/1978) 1.2.4. Dacă 0a b c+ + = , să se arate că: a) 3 3 3
3a b c abc+ + = ; deduceţi că
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )3 3 3
3 , , ,x y y z z x x y y z z x x y z− + − + − = − − − ∈�
b) ( )2 2 2 2 2 2 2
ab bc ca a b b c c a+ + = + +
c) 2 2 2 2 2 2 3 3 3
a b b c c a a b c
a b b c c a bc ca ab
+ + ++ + = + +
+ + +, unde 0abc ≠
(Titu Andreescu, E:6090*, G.M. 12/1977) 1.2.5. Dacă , ,a b c ∈� , să se arate că
( ) ( ) ( ) ( )( )2 2 23 3 3 13
2a b c abc a b c b c c a a b+ + − = + + − + − + −
Deduceţi că, dacă 3 3 33a b c abc+ + = , atunci 0 sau a b c a b c+ + = = = .
1.2.6. Numerele reale , ,a b c satisfac simultan relaţiile:
3 3 3 3 2
1
3 3
a b c m
abc
a b c m m
+ + =
=
+ + = − +
, unde m∗∈� . Să se stabilească următoarele
egalităţi: a) ab bc ca a b c+ + = + + ; b) 2 2 2 2 2 2 2 2 2
a b b c c a a b c+ + = + + ; c) 3 3 3 3 3 3 3 3 3
a b b c c a a b c+ + = + + . (T. Cohal, 6344, G.M.B. 5/1964) 1.2.7. Fie , ,a b c ∈� . Arătaţi că:
( ) ( ) ( )( )( )3 3 3 3
3a b c a b c b c c a a b+ + − + + = + + + . Deduceţi că dacă
( )3 3 3 3
a b c a b c+ + = + + , atunci ( ) ( )2 1 2 1 2 1 2 1
,n n n n
a b c a b c n+ + + + ∗+ + = + + ∀ ∈�
1.2.8. Dacă , ,x y z ∈� , notăm ,k k k
ks x y z k= + + ∈� . Să se determine ,m n ∗∈�
ştiind că 1
0s = şi m n m ns s s
m n m n
+ = =+
.
1.2.9. Să se arate că:
( ) ( ) ( ) ( )3 3 3 3
24a b c b c a c a b a b c abc+ + − + − − + − − + − = .
(E:1829, G.M.F.B. 4/1962) 1.2.10. Să se descompună în factori expresia:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 3 3 3 3 3
, ,E x y z y z y z x z x z x y x y x y z= − + − + − + − + − + −
(Eliza Vasiliu, 7636, G.M.B. 7/1966) 1.2.11. Să se arate că expresia:
( ) ( ) ( ) ( )( )3 3 22 2 2 2 2 2
, , 2 3E x y z x y z xy yz zx x y z xy yz zx= + + + + + − + + + +
este un pătrat perfect. (Cezar Coşniţă, 3674, G.M.F.B. 5/1959) 1.2.12. Să se arate că:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 3 3 3 3 3 33
2 9 10 4 7 11x y x y x y x y y x y x y x y+ + + + + + + = + + + + + +
(7328, G.M.B. 1/1966) 1.2.13. Fie , 2n n∈ ≥� şi numerele reale , , 1,i ia b i n= . Să se demonstreze
identitatea (Lagrange):
( )2
22 2
1 1 1 1
n n n
i i i i i j j i
i i i i j n
a b a b a b a b= = = ≤ < ≤
⋅ = + −
∑ ∑ ∑ ∑
1.2.1.2 Expresii algebrice raţionale 1.2.14. Să se simplifice fracţiile:
a) ( )8 4
1 7 5
1
1
x xf x
x x
+ +=
+ +
b) ( )10 8
2 8 4
1
1
x xf x
x x
+ +=
+ +
c) ( )8 4
3 7 5
1
1
x xf x
x x
+ +=
+ −
(Vasile Buţă, 7438, G.M.B. 3/1966) 1.2.15. Se dau expresiile:
4 3 2
1
21
1E x x x x
x= + + + + +
− şi
4 3 2
2
21
1E x x x x
x= − + − + −
+. Să se arate că produsul
1 2E E este egal cu
produsul obţinut după suprimarea fracţiilor din cele două expresii. Generalizare. (E:2612, G.M.B. 11/1966) 1.2.16. a) Să se arate că triunghiul ale cărui laturi verifică relaţia
( )0 1c b a c b a
a b c
− − −+ + = este isoscel. (Admitere în liceu, 1985)
b) Arătaţi că dacă relaţia ( )1 este verificată, atunci are loc şi
0b c c a a b
x a x b x c
− − −+ + =
− − −, pentru orice x ∈� admisibil.
(Carol Szasz, E:1376, G.M.F.B. 8/1959)
1.2.17. Să se arate că dacă 1x y z
a b c+ + = şi 0
a b c
x y z+ + = , atunci:
0xy yz zx
ab bc ca+ + = (Ionel Atanasiu, 7552, G.M.B. 5/1966)
1.2.18. Fie numerele reale distincte două cîte două , ,a b c . Notăm
( )( ) ( ) ( ) ( )( )
k k k
k
a b cs
a b a c b a b c c a c b= + +
− − − − − −. Să se arate că:
a) 0 1 2 3
0, 1,s s s s a b c= = = = + + ;
b) 2 2 2
4s a b c ab bc ca= + + + + + .
1.2.19. Folosind eventual exerciţiul precedent, arătaţi că:
a) ( )( )
1 1
a a b a c abc=
− −∑
b) ( ) ( )2 2 2 2
1 ab bc ca
a a b a c a b c
+ +=
− −∑
1.2.20. În condiţiile exerciţiului 1.2.18. notăm
( )( )( )( )
( ) ( )( ) ( )
( )( )( )( )
m m m
m
a b a c b a b c c a c ba b c
a b a c b a b c c a c bσ
+ + + + + += + +
− − − − − −.
Să se calculeze 1 2,σ σ şi
3σ .
1.2.21. Să se simplifice fracţia ( )( ) ( ) ( )
3 3 3
2 2 2
3, ,
3
x y z xyzF x y z
x y z y z x z x y xyz
+ + −=
+ + + + + + şi
apoi să se arate că expresia ( ) ( )( ), , 3xy yz zx F x y z+ + ⋅ + reprezintă un pătrat
perfect. (Martin Mettler, 8771, G.M.B. 3/1968)
1.2.22. Se ştie că 1
x ax
+ = . Evaluaţi în funcţie de a sumele
1, 2 8
k
k kS x k
x= + ≤ ≤ .
1.2.23. Se cunoaşte că 2
31
x
x x=
+ +. Să se calculeze
3
6 31
x
x x+ +
1.2.24. Numerele reale , , ,x y a b verifică relaţiile:
1 1
, , 2, 0, 1x y a xy b a b bx y
+ = + = = ≥ ≠ ≠ . Să se determine o relaţie numai
între a şi b . (Maria Elena Panaitopol, Olimpiadă judeţeană, 1979) 1.2.25. Fie , , , , ,a b c x y z numere reale astfel încît:
1 1 1
, ,x bc y ca z aba b c
= + = + = + şi 1ax by cz+ + = . Să se deducă o relaţie numai
între , ,a b c şi o relaţie numai între , ,x y z . (Octavian Stănăşilă, Olimpiadă naţională, 1985) 1.2.26. Se dau relaţiile:
2 2 2 2 1 1 1 1, ,x y z a x y z b
x y z c+ + = + + = + + = . Să se calculeze, în funcţie
de , ,a b c suma 3 3 3x y z+ + . 1.2.27. Să se arate că:
( )( ) ( )
( )( )( )1 1 1 1 1 1
x y y z z xx y y z z x
xy yz zx xy yz zx
− − −− − −+ + =
+ + + + + +, pentru toate valorile
admisibile ale numerelor reale , ,x y z . (C. Ionescu-Ţiu, E:2449, G.M.B. 1/1966) 1.2.28. Numerele reale strict pozitive , ,x y z au produsul egal cu 1. Să se arate că
1 1 11
1 1 1x xy y yz z zx+ + =
+ + + + + +
1.2.29. Dacă 1 1 1
0a b c
+ + = , să se arate că:
a) 3b c c a a b
a b c
+ + ++ + = −
b) 3 3 3
a b c a b c
b c c a a b abc
+ ++ + = −
+ + +
1.2.30. Dacă 1 1 1
0a b c
+ + = , să se arate că:
2 2 2 2 2 2
2 2 20
a b b c c a bc ca ab
ab bc ca a b c
+ + ++ + + + + =
(E:1817, G.M.F.B. 4/1962)
1.2.31. Să se arate că dacă 1 1 1
3a b c
+ + = , atunci are loc şi relaţia:
( ) ( ) ( )( ) ( )( )
1 1 10
1 1 1 1 1 1a b c b c a c a b+ + =
− − − − − −, unde { }, , \ 0,1a b c ∈� .
(Ştefan Marica, E:2320, G.M.B, 1965) 1.2.32. Să se arate că dacă , ,a b c sunt numere complexe nenule astfel încît
0x y z+ + = şi 1 1 1
0x y z
+ + = , atunci are loc egalitatea 6 6 6 2 2 2x y z ax y z+ + = , unde
a este un număr complex convenabil determinat. (Profil electric, 1983)
1.2.33. Fie , ,a b c ∗∈� astfel încît 1 1 1 1
, 0a b ca b c a b c
+ + = + + ≠+ +
. Să se arate că:
a) printre numerele , ,a b c există două a căror sumă este nulă; (Matematică, 1988)
b) pentru orice număr natural 1n ≥ are loc egalitatea:
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
1 1 1 1n n n n n n
a b c a b c+ + + + + +
+ + =+ +
c) Fie a∗∈� . Să se determine , ,x y z ∗∈� care satisfac simultan relaţiile:
1 1 1 1
2
x y z a
x y z a
xy yz zx
+ + =
+ + = + + = −
(U.P.B, septembrie 1988)
d) Aceeaşi cerinţă pentru sistemul:
2 2 2 2
1 1 1 1
3
x y z a
x y z a
x y z a
+ + =
+ + = + + =
(Matematică, sesiune specială, 1987)
1.2.34. Dacă a b c ab bc ca+ + = + + şi 2 2 2 2 2 2 2 2 2a b c a b b c c a+ + = + + , să se arate
că n n n n n n n n na b c a b b c c a+ + = + + , oricare ar fi n
∗∈� . (5633, G.M.F.B. 2/1963) 1.2.35. Dacă numerele reale nenule , ,a b c verifică relaţia a b c abc+ + = , atunci:
1 1 1 1 1 1
3a b c ab bc cab c c a a b
+ + + + + + = + +
(Dan Seclăman, 17384, G.M. 9/1978)
1.2.36. Să se arate că dacă 0, 0, 0a b c> > > şi ( )
( )
( )
( )2 2
b a b c a a b c
b c a c
− + + − +=
+ +, atunci
a b= . (Liviu Pîrşan, 9260, G.M.B. 11/1968)
1.2.37. Să se arate că dacă 1x y z
y z x+ + = , atunci:
( ) ( ) ( )3 3 3 3 3 3
3 3 3 2 2 2
x x z y y x z z yx y z x y z
y z x xyz y z x
− − −+ ++ + + = + +
(Ştefan Ralescu, E:2922, G.M.B. 3/1968) 1.2.38. Se consideră numerele reale nenule , ,a b c , distincte două cîte două. Să
se arate că produsul b c c a a b a b c
Pa b c b c c a a b
− − − = + + + +
− − − este egal cu:
a) 9 , dacă 0a b c+ + = ; b) 1, dacă c a b= − .
1.2.39. Să se arate că dacă 1xy yz zx+ + = , atunci:
( )
( )( )
( )( )
( ) ( )( )( )
2 2 2
2 2 2 2 2 22 2 2
1 1 1 8
1 1 11 1 1
x x y y z z xyz
x y zx y z
− − −+ + =
+ + ++ + +
(C. Ionescu-Ţiu, E:2668, G.M.B. 2/1967) 1.2.40. Dacă 1ab bc ca+ + = , atunci:
( )( ) ( )
2 2 22 2 2
1 1 1 22
1 1 1 1 1 1
abc
a b c a b c+ + = +
+ + + + + +
(8166, G.M.B. 4/1967) 1.2.41. Dacă 0xy yz zx+ + = , să se arate că:
( )2 2 2 2 2 2
4x y y z z x
x y zx y y z z x
+ + ++ + = + +
+ + +
(I. Bodea, E:3324, G.M.B. 10/1969) 1.2.42. a) Fie , ,x y z ∗∈� . Să se arate că expresia:
( ), , 4x y y z z x
E x y zy x z y x z
= + + ⋅ + ⋅ +
se poate scrie ca sumă de trei
pătrate. b) Există valori ale lui , ,x y z astfel încît ( ), , 0E x y z = ?
(Laurenţiu N. Gaiu, E:6199, G.M. 4/1978)
1.2.43. Ştiind că 2 2 2 2 2
3a b c d+ = şi că ( ) ( )
6 6
0ab cd ab cd+ − − = , să se calculeze
produsul abcd . (Nicuşor I. Zlota, E:8164, G.M. 10-11/1983) 1.2.44. Fie numerele reale
1 2, , , na a a… astfel încît:
1 2
2 3 1 3 1 2 1
0n
n n n
aa a
a a a a a a a a a −
+ + + =+ + + + + + + + +
…… … …
Să se arate că 2 3 1 3 1 2 1
1
1 1 1n
n n ni
i
n
a a a a a a a a aa−
=
+ + + =+ + + + + + + + +
∑…
… … ….
(Ovidiu Popescu, E:2592, G.M.B. 10/1966) 1.2.45. Să se arate că:
( ) ( ) ( )1 1 2 2 2 3 1
2 3 1 3 1 2 1
1 2
2 3 11 2
2 3 1 3 1 2 1
n n
n n nn
n
n n n
a a a a a a a a a
a a a a a a a a aa a a
a a a aa a
a a a a a a a a a
−
−
− − −+ + +
+ + + + + + + + += + + +
− −−+ + +
+ + + + + + + + +
…… … …
…
…… … …
pentru toate valorile admisibile ale numerelor reale 1 2, , , na a a… .
(Liviu Pîrşan, 7330, G.M.B. 1/1966)
1.2.46. Să se arate că dacă { }\ 0,1 , 1,ia i n∈ =� astfel încît 1
1n
i i
na=
=∑ , atunci:
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 1 2 3 1 2 1
1 1 10
1 1 1 1 1 1 1 1 1n n n na a a a a a a a a a a a−
+ + + =− − − − − − − − −
…… … …
(I. Cojocaru, I. Atanasiu, 8227, G.M.B. 5/1967)
1.2.3 Radicali 1.2.3.1 Definiţie. Puteri cu exponent raţional
1.2.47. Calculaţi 2 3 2 2 3 2 2 2 3 2 2 2 3+ ⋅ + + ⋅ + + + ⋅ − + + .
1.2.48. Să se arate că 10 24 40 60 2 3 5+ + + = + + .
1.2.49. Să se arate că expresia 33 10 2 12 5 6 10E = + + + se poate pune sub forma unei sume de rădăcini pătrate a patru numere întregi pozitive.
1.2.50. Să se determine ,a b ∈� astfel încît 39 3 11 2 2 3a b− = +
1.2.51. a) Fie ( ) 3 23 3 1P x x x x= − − − şi 3 3
01 2 4x = + + . Calculaţi ( )0
P x .
(E. Vişa, Olimpiadă regională, 1958)
b) Considerăm ( ) ( ) ( )23 2
3 3 1 1P x x x a x a= − − − − − şi 3 23
01 ,x a a a= + + ∈� .
Calculaţi ( )0P x . (Liviu Pîrşan, 7885, G.M.B. 12/1966)
1.2.52. Să se determine numerele naturale , 1, ,ia i n n∗= ∈� pentru care este
definit radicalul:
2 2 2
1 2 2 3 11 2 1 2 1 2
1 2n
a a a a a ana a a
+ − + − + − + + +… … (2489, R.M.E.T 2/1976)
1.2.53. Calculaţi, scriind ca puteri raţionale:
a) 5 5
5 33035 54
3 2, 0
a a aa a
a aa⋅ ⋅ ⋅ >
b) 3 2 2 11
83 42 33 2
, 0a a a a a
aa aa a a
⋅ ⋅ ⋅ >
1.2.54. Se consideră expresia n
a b a bE
b a b a
=…
…
, numărul radicalilor suprapuşi
fiind 2n ≥ , atît la numărător, cît şi la numitor. Să se pună expresia sub forma x
n
aE
b
=
. (I. Teodorescu, 8279, G.M.B. 6/1967, enunţ parţial)
1.2.3.2 Formula radicalilor compuşi. Radicali compuşi de ordin superior 1.2.55. Utilizînd formula radicalilor compuşi, să se aducă la o formă mai simplă:
a) 28 16 3−
b) 17 4 9 4 5− +
c) 2 3 5 13 48+ − +
d) 2 9 4 2+ +
e) 4 25 96+ +
f) 13 4 8 2 6 20+ − +
g) 13 30 2 9 4 2+ + +
1.2.56. Diferenţa 40 2 57 40 2 57− − + este un număr întreg. Să se
determine acest număr. (Admitere, U.R.S.S, 1977) 1.2.57. Să se arate că numărul:
26 6 13 4 8 2 6 2 5 26 6 13 4 8 2 6 2 5x = + − + − + − + − + este raţional.
1.2.58. Calculaţi 2 3 2 3
2 2 3 2 2 3
+ −+
+ + − − (Olimpiadă, 1950)
1.2.59. Pentru ce valori a ∈� avem 14 14a a+ − − ∈�? (G.M., 1991)
1.2.60. Dacă ( )1;2x ∈ , calculaţi ( )1 1
2 1 2 1
E xx x x x
= ++ − − −
1.2.61. Să se arate că numărul ( )21 2 1 2
aN a a a a
a= − + + + + este natural
şi pătrat perfect, oricare ar fi , 1a a∈ ≥� . (Gheorghe Giurgiu, E:8193*, G.M. 12/1983) 1.2.62. Să se arate că dacă ( )1;3a ∈ , avem:
1 1 1 1
24 2 4 2
a a a a+ − + −+ + − =
(C. Ionescu-Ţiu, 7527, G.M.B. 4/1966) 1.2.63. Determinaţi intervalul cel mai mare al valorilor lui x pentru care expresia
( ) 1 24 10 1f x x x x= − + + − − are o valoare constantă.
(Olimpiadă, Anglia, 1966; 7912, G.M.B. 1/1967) 1.2.64. Determinaţi un interval [ ];a b ⊂ � pe care expresia
( ) 2 19 8 2 3 2 7 4 2 3E x x x x x= + − + + + − + este constantă.
1.2.65. Să se aducă la o formă mai simplă expresia
( )2 2 22 2E x a x a x ax a= + + + + +
1.2.66. Dacă 2 24a b+ < , să se demonstreze egalitatea:
2 22 2 2 2
2 2 2 2
4 41 1
2 2 2 2
a b a b a b a bb
a b a b
− − − −− + + − − = + +
(Ilie Stănescu, 7947, G.M.B. 1/1967) 1.2.67. Să se arate că:
a) 26 15 3 26 15 3 3 6+ + − =
b) 3 326 15 3 26 15 3 4+ + − = .
1.2.68. a) Să se arate că numărul 3 3
07 4 3 7 4 3x = + + − este rădăcină a
ecuaţiei 33 14 0x x− − = .
b) Notînd ( )3 3
0 3
114 2 47 14 2 47
2y = + + − , arătaţi că
0 0y x= .
(Dan Seclăman, 18576*, G.M. 1/1981)
1.2.69. Arătaţi că numărul 3 23
0x a a= + este rădăcină a ecuaţiei
( )33 1 0x ax a a− − + = (G.M., 1982)
1.2.70. Să se calculeze numerele:
a) 3 3
07 5 2 7 5 2x = + − −
b) 3 3
15 2 13 5 2 13x = + + −
(Mircea Costeniuc, E:8214, G.M. 1/1984, enunţ modificat)
1.2.71. Să se arate că 3 32 5 2 5+ + − ∈� şi 3 3
2 3 2 3+ + − ∉� .
1.2.72. Fiind date numerele reale 3 317 18 5 17 18 5x = + + − şi
3 323 8 61 23 8 61y = + + − , să se arate că ( ) ( )
1
0n n
x y+
− + − = , oricare ar
fi n ∈� . (E:8887*, G.M. 6/1986)
1.2.73. Să se arate că numărul 3 30
19 2 19 2
27 3 27 3x = + + − este raţional. Aceeaşi
cerinţă pentru 3 3
145 29 2 45 29 2x = + + − .
1.2.74. Să se arate că:
3 3 33 2 3 2 3 34 3 8 4 2 1 3 8 4 2 1 2 1 2 1a a a a a a a a a+ + − − + − − + = + + − , unde a ∈� . (Mihai Bogza, 6609, G.M.B. 11/1964)
1.2.75. Să se arate că numărul 5 5
041 29 2 41 29 2x = + + − este raţional.
(2513, R.M.E.T. 2/1976)
1.2.76. Să se arate că 3 63 5 1 5 7 3 5 2 0+ ⋅ − ⋅ − + = .
(G.R. Tudor, 6685, G.M.B. 1/1965)
1.2.77. Să se arate că 5 53 33 5 2 5 3 5 2 5 1+ + + + − = .
(Ion I. Cristea, 7233, G.M.B. 11/1965)
1.2.3.3 Expresii algebrice iraţionale. Raţionalizări 1.2.78. Fie 1k > . Să se calculeze valoarea expresiei
( )( ) ( )
1 1
1 12 22 22 21 1 1 1
2 2
x xE x
− −− −
− + − − = +
pentru 2
1
kx
k=
+.
1.2.79. Se consideră expresia ( )4 4
4 4
1 1
1 1
x xE x
x x
+ + −=
+ − −. Fie
( )( ) ( )
2 2
0 2 22 2
4
2
ab a bx
a b ab
+=
+ +,
unde numerele reale nenule ,a b au acelaşi semn. Calculaţi ( )0E x .
(Liviu Pîrşan, 9077, G.M.B. 8/1968)
1.2.80. Să se calculeze valoarea expresiei ( )1 1
,1 1
x yE x y
x y
− − +=
− + +pentru
2
2
2 2 3
2
a ax
a
− +=
+ şi
2
4 2,
2
ay a
a
− += ∈
+� .
(Lucia Ţene, Olimpiadă judeţeană, 1968) 1.2.81. Fie 0a b> > . Calculaţi valoarea expresiei:
( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
21 1 1 1
2 2 2 2
1 1 1 1
2 2 2 2
a x x b a x x bE x
a x x b a x x b
−− − − −
− − − −
+ + + − − =
+ + − − −
pentru x ab= .
1.2.82. Calculaţi valoarea expresiei 1 3 1
1 3 1
x axE
x ax
− +=
+ − pentru
1 6
3
ax
a
−= , unde
( )0;6a ∈ .
1.2.83. Să se scrie sub o formă mai simplă expresiile:
a) ( )( )2 2x xy x xy xy y xy y+ + − + − +
b) 2
1 11 : 1
1 1a
a a
− + +
+ −
c) 1 1 1 1ab ab
a ba b a b a b a b
− + ⋅ − + + +
d) 2xy y y xyx
xx yx y x y x y
+− ⋅ + + −+ + −
e) 3 32 23
3
3 3 3 3 2 3
8 2 4: 2
2 2 2 2
x x x xx
x x x x x
− −+ + + ⋅ + + − +
f) 2 2
2 2
2a b a a b b ab a a ab a ab b b b
a b a b b a a a ab a ab b b b
+ + + + + − −+
− + − − − +
(Florica Ionescu, Olimpiadă regională, 1964)
1.2.84. Să se simplifice fracţia:
5 2 2 3 23 6
5103 2 2 5 2 2 5 36 3 15
2
2 2 2
x z y x y
x x y y x z z y z
− + −
− + − + −
(Al. Bîldea, 8488, G.M.B. 9/1967) 1.2.85. Se dă expresia:
( )( )
3 3 3 32 2a b ab ab a b ab ab ab
Ea a b b aba b a b ab
+ − + − −= −
− +− + +
a) Să se aducă expresia la forma cea mai simplă; b) Să se afle valoarea numerică a expresiei pentru 2 3a = + şi 2 3b = − .
(Ştefan Musta, Olimpiadă regională, 1959; 3648, G.M.F.B. 5/1959)
1.2.86. Se dau fracţiile 1
2a ab a b bF
a ab b
+ + −=
+ + şi ( )2
2, , 0;
b ab b a aF a b
a ab b
+ + −= ∈ ∞
+ +.
a) Să se simplifice fracţiile; b) Dacă 6a b+ = şi 1ab = , să se calculeze valoarea produsului
1 2F F ;
c) Să se arate că dacă a şi 1
F (sau 2
F ) sunt raţionale, atunci b este tot raţional;
d) Să se arate că dacă ,a b sunt raţionale şi ( )1F a ab b⋅ + + este tot
raţional, atunci b este de asemenea raţional. Să se stabilească o
proprietate analogă şi pentru a . (Ion I. Ciobanu, E:7434, G.M. 11/1981)
1.2.87. a) Să se aducă la forma cea mai simplă expresia:
( )3 3 3 32 2 2 23 3
3 3
3 3 3 32 2 2 23
2 3 2
2
a ab b a ab bE a b
a ab b a b
+ − − += − ⋅ + − + −
b) Să se calculeze valoarea expresiei pentru ( )
1
20,75
1
181
25
0,5a
−
−
+ = şi b a= .
(A. Matei, Olimpiadă naţională, 1966) 1.2.88. Se dă expresia:
( )( ) ( )
( ) ( )( )( )
2 2 3 2
2 3 2 2
2 1 1 2 1
, 0;1
1 1 2 1 2 1 1
x x x x x xf x x
x x x x x x
− − + − −= ∈
− − − + − + + −
a) Să se aducă expresia la forma cea mai simplă;
b) Să se calculeze 2 ab
fa b
+
, unde 0a b> > .
(Al. Ţigănoiu, 7441, G.M.B. 3/1966)
1.2.89. Se dă expresia ( )( ) ( )
( ) ( )
3 3
3 32 2
1 1
1 1 1 1
a aE a
a a
− −
− −
+ + −=
+ − + − −
, unde ( )1;1a ∈ − . Să
se aducă expresia la forma cea mai simplă şi să se calculeze 4
1
3E
.
(C. Ionescu-Ţiu, 7610, G.M.B. 6/1966) 1.2.90. Dacă , ,a b c sunt numere reale astfel încît 0a > şi b a c≠ , atunci:
( )
( )
3 3
2 2
3 2
1
ac b a ac b aa a
b a c b a c a b a ac
b aac b a ac b a
a ab a c b a c
− − + + ⋅ − − − + =
− − − + + ⋅ − −
(D.M. Bătineţu, 8584, G.M.B. 11/1967)
1.2.91. Se dă expresia ( )3 2 3 2
3 2 3 2
3 4 1
3 3 1 5 8 4
a a a a aE a
a a a a a a
− + + − − +=
+ + + − + + +. Să se arate
că ( )E a este constantă, ( ) ( )1;2a∀ ∈ .
(Liviu Pîrşan, 9762, G.M.B. 8/1969) 1.2.92. Să se simplifice fracţiile:
a) ( )( )
3 2 2
3 2 2
3 1 4 2
3 1 4 2
x x x x
x x x x
− + − − −
− + − − +
b) ( )( )
3 2 2
3 2 2
12 4 16 16
12 4 16 16
x x x x
x x x x
− + − − +
− + − − −
c) ( )( )
3 2 2
3 2 2
27 9 36 54
27 9 36 54
x x x x
x x x x
− + − − −
− + − − + (Mihai N. Ionescu, 7692, G.M.B. 8/1966)
d) ( )( )
3 2 2
3 2 2
48 16 64 128
48 16 64 128
x x x x
x x x x
− + − − +
− + − − − (8523, G.M.B. 10/1967)
e) ( ) ( )( ) ( )
2 2 2 2 2 2 3
2 2 2 2 2 2 3
3 4 2, 0
3 4 2
x x a x a x a aa
x x a x a x a a
− + − − +>
− + − − −.
(C. Manole, 8775, G.M.B. 3/1968) 1.2.93. Să se simplifice fracţiile:
a) ( )( )
3 2 2 2
3 2 2 2
3 4 1 4
3 4 1 4
x x x x
x x x x
− + − − +
− + − − −
b) ( )( )
3 2 2 2 2 2 3
3 2 2 2 2 2 3
9 36 9 108
9 36 9 108
x ax x a x a a
x ax x a x a a
− + − − +
− + − − −
(Ştefan Porcsalmi, 9306, G.M.B. 12/1968) 1.2.94. Să se arate că:
a) dacă 0x > , atunci 2
2 24 0
2 2
x x x x
x x x x
+ + + − + − =
+ + ;
b) dacă 0x < , atunci 2
2 24 0
2 2
x x x x
x x x x
+ + + + + − =
+ + .
(C. Ionescu-Ţiu, 7418, G.M.B. 2/1966) 1.2.95. Să se raţionalizeze numitorii fracţiilor:
a) 2
2 2 2+ +
b) 1
6 3 2 1− + −
c) 2
2 3 5− +
1.2.96. Să se raţionalizeze numitorii fracţiilor:
a) 3 3
1
1 2 4− +
b) 3 3
1
4 3 2 1+ −
c) 3 3
3 3
2 4 2 1
4 2 2
+ +
− +
d) 3 33
1
2 9 12+ +
e) 3 3
1
1 2 3+ + (Marius Constantinescu, 19524, G.M. 12/1982)
f) 3
1
3 3−
1.2.97. Să se raţionalizeze numitorii fracţiilor:
a) 3
1
3 5+
b) 3 23
1, k
a b k c k
∗∈+ +
�
c) ( ) 3 23
1
1 1x x x x+ + +. Aplicaţie: 2x = .
(Dan Seclăman, E:7653, G.M. 6/1982)
d) 3 3 3
1
a b c+ +
e) 1
na b−
1.2.98. Să se raţionalizeze numitorul fracţiei 10
1
1
k
k=
∑. (Florin Vulpescu-Jalea)
1.2.99. Raţionalizaţi numitorul fracţiei 5 5
1
4 2 1F =
− +.
(Constantin Cobîrzan, 18841*, G.M. 7/1981)
1.2.100. Să se raţionalizeze numitorul fracţiei 1
, , 26 4 11 2 3
n nn n∈ ≥
− +� .
1.2.101. Să se arate că 2 2
3 4
2 2 2
−< <
− +
(Ionel Atanasiu, E:6384, G.M. 11/1978)
1.3 Inegalităţi
1.3.1 Structura de ordine pe � . Intervale. Minimul şi maximul unei mulţimi de numere reale. 1.3.1. Să se determine mulţimile:
a) 1
10;
n n≥
∩
b) 1
10;
n
n
n≥
− ∪
1.3.2. Se dă mulţimea 1 2 3 99
, , , ,2 3 4 100
A
=
…
a) Să se definească mulţimea A în mod analitic;
b) Să se arate că oricare ar fi a A∈ , există b A∈ astfel încît 1
5b a− < .
(9496, G.M.B. 3/1969)
1.3.3. a) Fie ( ),p
p qq
∗∈� o aproximantă raţională a lui 2 . Să se arate că
numărul raţional 2p q
p q
+
+aproximează mai bine pe 2 .
b) Generalizare: Fie a ∈� astfel încît \a ∈� � şi ( ),p
p qq
∗∈� o aproximantă
raţională a lui a astfel încît 1p
aq
− < . Să se arate că p aq
p q
+
+ aproximează
mai bine pe a . (Andrei Marinescu, 20423*, G.M. 5/1985)
1.3.4. Dacă r este un număr raţional pozitiv care aproximează pe 5 , atunci
numărul 2
2
2 5
2
r
r
+
+aproximează mai bine pe 5 decît r . (17915, G.M. 9/1979)
1.3.5. Dacă si m n sunt numere naturale nenule astfel încît 7 0m
n− > , să se
arate că 1
7m
n mn− > . (Radu Gologan, Olimpiadă naţională, 1978)
1.3.6. Fie , ,a b c ∈� . Să se arate că:
a) ( )max ,2
a b a ba b
+ + −=
b) ( )min ,2
a b a ba b
+ − −=
c) ( )( ) ( ) ( )( )max , min , min max , , max ,a b c a b a c=
(Matematică, septembrie 1986)
d) ( )( ) ( ) ( )( )min , max , max min , , min ,a b c a b a c=
e) ( ) ( )( )2 max , , min , ,a b b c c a a b c a b c− + − + − = −
f) ( )2 2 2 2max , ,a b c c a b b c a a b b c c a+ − + + − + + − ≥ − − −
1.3.7. Să se arate că oricare ar fi , , ,a b c d ∈� are loc relaţia:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
max , max , min , max , min ,
max , max ,
a b a b c d c d a b a b c d c d
a c b d
+ + − + + − ≤ − + − +
+ +
(Gh. Ciobanu, 17966*, G.M. 10/1979) 1.3.8. Fie , 2n n∈ ≥� şi numerele reale , , 1,i ia b i n= . Să se arate că:
( )1 1 1
max , max ,
n n n
i i i i
i i i
a b a b= = =
≤
∑ ∑ ∑
1.3.2 Inegalităţi în care intervin două numere reale
1.3.9. Presupunem că , , 0x y x y∈ < <� . Să se arate că 1 1
x y> . Reciproca este
adevărată ? 1.3.10. Să se afle toate perechile de numere întregi ( ),x y cu proprietăţile
2, 2x y> > şi 1 1 1
2x y+ > . (Olimpiadă, R.D.G, 1964, 6780, G.M.B. 3/1965)
1.3.11. Fie ( ) ( ): , , 6 42f f x y xy x y× → = − + +� � � . Să se arate că dacă
( ), 5; 7x y ∈ , atunci ( ) ( ), 5; 7f x y ∈ .
(C. Joiţa, N. Joiţa, 20617, G.M. 12/1985) 1.3.12. Fie numerele reale 0α β> > . Să se afle care dintre numerele
2
1
1A
α
α α
+=
+ + şi
2
1
1B
β
β β
+=
+ +este mai mare.
1.3.13. Fie ,x y numere reale strict pozitive astfel încît 3 3x y x y− = + . Să se arate
că ( )( )2 21 0x y x y+ − − < şi că 2 2
1x y+ < . (Concurs treapta a II-a, 1986)
1.3.14. Fie ,a b ∈� . Să se arate că 1 1 1
a b a b
a b a b
+≤ +
+ + + +.
1.3.15. Să se arate că dacă ,x y sunt numere reale şi 1, 1x y< < , atunci
11
x y
xy
−<
−. (Matematică, septembrie 1983)
1.3.16. a) Dacă , 0a b > , să se arate că 2a b
b a+ ≥
b) Dacă 0 si 0a b> < , să se arate că 2a b
b a+ ≤ − .
1.3.17. Se consideră numerele reale , 0a b > şi se definesc numerele:
2a
a bm
+= (media aritmetică)
gm ab= (media geometrică)
2
1 1hm
a b
=
+
(media armonică)
Să se arate că: a) a g g hm m m m− ≥ − ; b) ( )
2
8a g
b am m
a
−− ≤ c)
( )2
4a h
b am m
a
−− ≤
1.3.18. Să se arate că oricare ar fi numerele reale a şi b avem
( ) ( )4 4 48a b a b+ ≤ + .
(Olimpiadă, Olanda, 1965, 8444, G.M.B. 8/1967) 1.3.19. Fie ,a b ∈� astfel încît a b ab+ = . Să se arate că dacă 0ab > , atunci
4ab ≥ . (Concurs Oţelu Roşu, 1984) 1.3.20. Se consideră numerele , 0a b > astfel încît 1a b+ = . Să se arate că:
a) 1
04
ab< ≤ şi 2 211
2a b≤ + ≤ (F. Kacso, 8103, G.M.B. 3/1967)
b) 2 2
1 1 25
2a b
a b
+ + + ≥
(I.V. Maftei, 7877, G.M.B. 12/1966)
1.3.21. Fiind date două numere reale ,a b astfel încît 1a b+ = , să se arate că
3 3 1
4a b+ ≥ .
(Concurs treapta a II-a, 1979; E:9604, G.M. 11-12/1988) 1.3.22. Fie ,a b ∈� astfel încît 2 2
1a b+ = . Să se demonstreze că:
1
2; 2;2
a b a b ab+ ≤ − ≤ ≤ . (17176*, G.M. 5/1978)
1.3.23. Fie ,a b ∈� . Să se arate că:
a) dacă 10a b+ = , atunci ( ) ( )4 41 1 45a b+ + ≥ ;
b) dacă 30a b+ = , atunci ( )( )4 41 1 640a b+ + ≥ .
(V. Cîrtoaje, 8840, G.M.B. 4/1968)
1.3.24. Fie ,x y ∈� astfel încît 1
4x y+ ≤ − . Atunci 2x y≥ şi 2y x≥ .
(Carmen şi Costel Dumitrescu, 20069*, G.M. 4-5/1984) 1.3.25. Dacă 3 2
4x y+ > şi 3 24y x+ > , să se arate că 1x y+ > .
(L. Panaitopol, 20813*, G.M. 7/1986)
1.3.26. Numerele reale ,x y verifică egalitatea 2 2 1
4x y x y xy+ + + + = . Să se arate
că ( )3
34
xy x y+ + < − . (Dan Seclăman, Olimpiadă locală, Dolj, 1985)
1.3.27. Dacă 1
, 0;2
a b
∈ , atunci
( )
( )( )
( )2 2
1 1
2
a bab
a b a b
− −≤
+ − −
1.3.28. Fie [ ], 1,1a b ∈ − . Să se arate că 2
2 21 1 2 1
2
a ba b
+ − + − ≤ −
. În ce
condiţii are loc egalitatea ? (Concursul anual G.M, 1980)
1.3.29. Dacă ( ), 0; 2a b∈ , atunci ( ) ( )
2 2
2
2 21
4
a a b b
a b a b
− + −≤
+ − +
(V. Ţifui, 18569*, G.M. 1/1981)
1.3.30. Dacă 1
2a ≥ şi
1
2b ≥ , atunci:
22 2 2 2
2 2 2
a b a b a b − + +≥ −
.
(Kvant, 1980; C:113, G.M. 5/1981) 1.3.31. Dacă , 0a b > şi 1a b+ = , arătaţi că:
3 34 4
1 111 11 6
a b+ + + ≥ . (G. Manole, 19544*, G.M. 1/1983)
1.3.32. Să se demonstreze inegalităţile: a) 2 2
0 ,a ab b a b− + ≥ ∈�
b) 33 3
, 02 2
a b a ba b
+ + ≥ ≥
c) ( ) ( )2 2
2 2
1 1 1 1, 0a b a b a b
a b a b
+ + ≥ + + >
d) 3 3
2 2, 0
a ba b a b
b a+ ≥ + >
e) , 0a b
a b a bb a
+ ≥ + >
f) ( ) ( )( )2 28 1 1 1 ,ab ab a b a b− ≤ + + ∈�
g) ( )3 32 6 , 0a b ab a b a b+ ≥ − ≥ (C. Ionescu-Ţiu, 17003, G.M. 1/1978)
h) ( )( ) ( ) ( )2 21 1 2 1 ,a b a b ab a b+ + ≥ + − ∈�
(C. Ionescu-Ţiu, 16897, G.M. 10/1977)
i) ( )
( )
2
22
1 1
41
a aa
a
−≤ ∈
+�
1.3.33. Să se demonstreze că oricare ar fi { }, \ 1,1a b ∈ −� , avem:
( )( )( )( ) ( )( )
2 2
2 2 2 2
1 1 41 1
1 1 1 1
a b ab
a b a b
− − ⋅ + ≤ + + − −
.
(Dragomir Costea, 18651*, G.M. 3/1981)
1.3.34. Dacă ( ), 0;a b ∈ ∞ , să se arate că:
( )( )
1 1 23
1 1 1 1 1
a b a b abab
ab a b a b ab
+ + + + + + ≥
+ + + + +
(C. Ionescu-Ţiu, 17699, G.M. 4/1979)
1.3.35. Să se afle valoarea minimă a expresiei ( ) 2 2, , ,E x y x y x y= + ∈� ştiind
că mx ny p+ = şi 0p > , iar ,m n ∈� . (Gabriela Kadar, 16404, G.M. 2/1977) 1.3.3 Inegalităţi în care intervin trei numere reale 1.3.36. Trei numere reale , ,a b c satisfac simultan relaţiile 2 ; 2 ; 2a b c b c a c a b≥ + ≥ + ≥ + . Să se arate că a b c= = . Analog, dacă , , 0a b c >
şi 2 2 2; ;a bc b ca c ab≥ ≥ ≥ , să se demonstreze că a b c= = .
1.3.37. Să se arate că dacă există relaţiile: , , 0a c b c ab≥ ≥ > şi 2ab
ca b
=+
, atunci
a b c= = . (C. Ionescu-Ţiu, 16222*, G.M. 1976) 1.3.38. Fie ( ), , 0,1x y z ∈ . Demonstraţi inegalitatea x yz xy xz+ > +
(Rev. Arhimede, 9-10/2003)
1.3.39. Să se demonstreze inegalitatea 1 1 1
0a b b c c a
+ + >− − −
ştiind că
a b c> > . 1.3.40. Fie numerele reale , ,a b c astfel încît 0a b c> > > . Să se arate că
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2a c b c
b a a b+ > + . (Nicolae Păuna, E:8571*, G.M. 5/1985)
1.3.41. Dacă , ,x y z sunt numere pozitive, avem:
( )( ) ( )y z x z x y x y z xyz+ − + − + − ≤
(Math. Gazette, 1963, 6322, G.M.B. 5/1964)
1.3.42. Dacă 0,a b c a b c≥ ≥ > < + şi ( ) ( )( )2 2
4b c a b c a c b a bc+ + − + − ≥ , atunci
b c= . (V. Ţifui, 18368*, G.M. 8/1980) 1.3.43. Arătaţi că dacă 3 3
3 0a b abx+ + < şi x a b≤ + , atunci 0x < . (Iancu David, E:8791*, G.M. 2/1986) 1.3.44. Să se demonstreze că dacă 0a b c≥ ≥ > , atunci
( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 23 2b a c a b c c a b abc+ ≥ + + + + .
(Dan Seclăman, C:52, G.M. 9/1980) 1.3.45. Fie ( ), , 0;1a b c ∈ . Să se demonstreze că cel puţin unul dintre numerele
( ) ( )1 , 1a b b c− − şi ( )1c a− este mai mic sau egal cu 1
4.
(Olimpiadă, Anglia, 1985)
1.3.46. Fie [ ], , 0;1a b c ∈ . Să se demonstreze că:
( ) ( ) ( )1 1 1 11 1 1
a b ca b c
b c c a a b+ + + − − − ≤
+ + + + + +
(Olimpiadă, Marea Britanie, 1980) 1.3.47. Dacă [ ), , 0;a b c ∈ ∞ , atunci există inegalitatea:
11 1 1
a b c
ab a bc b ca c+ + ≤
+ + + + + +.
(Marian Dincă, O:471, G.M. 3/1986)
1.3.48. Fie [ ], , 1; 2x y z ∈ . Arătaţi că ( )1 1 1
10x y zx y z
+ + + + ≤
.
(Gh. Stoica, O:491, G.M. 10/1986) 1.3.49. Numerele strict pozitive
1 2 3, ,x x x satisfac inegalităţile:
1 2 3
1x x x > şi 1 2 3
1 2 3
1 1 1x x x
x x x+ + > + + . Să se demonstreze că:
a) Nici unul dintre aceste numere nu este egal cu 1; b) Exact unul din cele trei numere este mai mic decît 1.
(Concurs, Oţelu Roşu, 1984) 1.3.50. Să se determine numerele reale strict pozitive
1 2 3, ,a a a ştiind că:
31 2
1 2 3
2 3 3 1 1 2
1max , max , max ,
2
aa aa a a
a a a a a a
= = =
+ + + .
(Vasile Zidaru, 19331*, G.M. 8/1982) 1.3.51. Fie numerele reale pozitive , ,x y z astfel încît 3xy yz zx+ + = . Să se
demonstreze inegalitatea: 4 4 41 1 1 3 2x y z+ + + + + ≥ .
(Ştefan Smarandache, E:9560, G.M. 10/1988) 1.3.52. Dacă 1xy yz zx+ + = , să se demonstreze inegalitatea:
( )
( )( )
( )( )
( )
2 2 2
2 2 2 2 2 22 2 2
2 1 2 1 2 1
1 1 11 1 1
x x y y z z x y z
x y zx y z
− − −+ + ≤ + +
+ + ++ + +
(C. Ionescu-Ţiu, 8030, G.M.B. 2/1967)
1.3.53. a) Fie , , 0x y z ≥ . Să se arate că 3
3
x y zxyz
+ +≥ .
b) Dacă , 0x y > , să se deducă inegalitatea 1
3x yxy
+ + ≥ . Cînd are loc
egalitatea? 1.3.54. a) Date fiind numerele reale , ,a b c , să se arate că
2 2 2a b c ab bc ca+ + ≥ + + . Deduceţi că ( ) ( )2 2 2 2
3a b c a b c+ + ≤ + + .
b) Un paralelipiped dreptunghic are lungimea diagonalei d . Să se determine în funcţie de d valoarea maximă a ariei paralelipipedului.
(E:9457*, G.M. 5-6/1988)
1.3.55. Să se demonstreze că dacă , ,x y z sunt numere reale astfel încît
3 3 30x y z+ + ≠ , atunci fracţia
( )3 3 3
2xyz x y zF
x y z
− + +=
+ + ia valoarea
2
3dacă şi numai
dacă 0x y z+ + = . (Titu Andreescu, 17386*, G.M. 9/1978) 1.3.56. Fie , ,x y z ∈� cu 0xyz ≥ şi 0x y z+ + ≠ . Dovediţi că dacă:
3 3 3
31
x y z xyz
x y z
+ + +=
+ +, atunci ( ) ( ) ( )
2 2 2
2x y y z z x− + − + − ≤ .
(Lucian Tuţescu, 19529*, G.M. 1/1983) 1.3.57. Numerele reale strict pozitive , ,a b c au suma 1. Să se arate că:
a) 1 1 1
9a b c
+ + ≥
b) 1 1 1 27
4a bc b ca c ab+ + ≥
+ + +
(Vasile Peiţa, 2517, R.M.E.T. 2/1976)
c) 1 1 1 1
18abc a b c
≥ + + + (Doru Firu, 9478, G.M.B. 3/1969)
d) ( )( )( )1
64abc a b b c c a+ + + ≤ (V. Cazan, 9710, G.M.B. 7/1969)
e) ( ) ( ) ( )1 1 1
6b b c c a a
ac ab bc
− − −+ + ≥
(Anca-Maria Dumitru, 19730, G.M. 6/1983)
f) 1
1 1 1 4
ab bc ca
c a b+ + ≤
+ + + (N. Vîjîitu, A. Zaharescu, 20366*, G.M. 3/1985)
g) 3 3 3 2 2 26a b c abc a b c+ + + ≤ + +
(Dan Seclăman, 16963, G.M. 12/1977)
h) 23
n nn n nbc ca ab−+ + ≤ (Liviu Pîrşan, 9400, G.M.B. 1/1969)
1.3.58. Dacă , ,a b c ∈� şi 2 2 21a b c+ + = , să se arate că
11
2ab bc ca− ≤ + + ≤ .
(Concurs, Ungaria, 1910) 1.3.59. Se consideră numerele reale , ,a b c cu proprietăţile 0a b c+ + = ,
2 2 21a b c+ + = . Să se demonstreze că:
a) dacă a b c≤ ≤ , atunci 2 1
6b ≤ ;
b) ( ) ( ) ( )( )2 2 2
1 max , , 2a b b c c a≤ − − − ≤ .
(Dorel Miheţ, Olimpiadă naţională, 1981)
1.3.60. Dacă , , 0a b c > astfel încît 2 2 2 5
3a b c+ + = , să se arate că
1 1 1 1
a b c abc+ − < .
1.3.61. Să se arate că dacă , ,a b c sunt trei numere strict pozitive astfel încît
1ab bc ca+ + = , atunci are loc inegalitatea ( )1 1 1
3 a b ca b c
+ + ≥ + +
(D. Acu, 8412, G.M.B. 8/1967, Olimpiadă locală, Bucureşti, 2004) 1.3.62. Fie , , 0a b c > astfel încît 1ab bc ca+ + = . Să se arate că
1 1 13
ab bc ca
a b b c c a a b b c c a+ + ≥ + + +
+ + + + + +
(Olimpiadă naţională, 2002) 1.3.63. Fie numerele strict pozitive , ,a b c astfel încît 1a b c+ + = . Să se arate
că ( )( ) ( ) ( )32
3 3 3 83
a b c a b c a b c ab bc ca abc abc+ + + + + + + + + + ≥ .
(Dan Seclăman, 17649, G.M. 3/1979) 1.3.64. Dacă numerele reale , ,a b c verifică egalitatea abc a b c= + + , atunci
0ab bc ca+ + ≤ sau 2ab bc ca+ + > . (I. Safta, 19016, G.M. 12/1981) 1.3.65. Numerele reale strict pozitive , ,a b c verifică egalitatea a b c abc+ + = . Să
se demonstreze dubla inegalitate 2 2 2
99
4
a b cab bc ca
+≤ + + ≤ .
(Ion Chiţescu, 7137, G.M.B, 1965) 1.3.66. Fie numerele , ,a b c ∗∈� . Dacă a b c abc+ + = şi 2
a bc= , să se demonstreze inegalităţile: a) 2
3a ≥ ; b) ( )2 2 2 1
3 ,n n n n
a b c n++ + ≥ ∀ ∈�
(Ion Ursu, 18119, G.M. 2/1980; Mircea Mureşan, 20227*, G.M. 10/1984)
1.3.67. Fie , , 0a b c ≥ astfel încît a b c abc+ + ≥ . Să se arate că 2 2 2
3a b c abc+ + ≥ ⋅ . (O.B.M, 2001) 1.3.68. Să se arate că dacă , ,a b c sunt numere reale pozitive astfel încît
2 2 24a b c abc+ + = , atunci 2a b c abc+ + ≥ .
(Nistor Budescu, E:9601*, G.M. 11-12/1988) 1.3.69. Dacă ( ), , 0;a b c ∈ ∞ astfel încît 1abc = , să se arate că:
a) ( ) ( ) ( )
1 1 1 3
1 1 1 2c b a c b a+ + ≥
+ + +
(Ioan V. Maftei, 7507, G.M.B. 4/1966)
b) 1 1 1
2a b c
a b cb c a a b c
+ + ≥ + + + + +
(V. Popa, 19052, G.M. 1/1982) 1.3.70. Numerele strict pozitive , ,a b c au produsul 1. Să se găsească numărul
pozitiv q astfel încît inegalitatea ( ) ( ) ( )6
a b ca b b c c a
q
+ ++ + + ≤
să fie verificată
pentru toate valorile lui , ,a b c , existînd şi posibilitatea de egalitate.
(C:1263, G.M. 5/1992, enunţ modificat) 1.3.71. Numerele reale pozitive , ,x y z au suma 1. Să se demonstreze că:
70 2
27xy yz zx xyz≤ + + − ≤ . (O.I.M, 1984)
1.3.72. Fie numerele , , 0a b c > astfel încît 1abc = . Să se demonstreze inegalitatea:
( ) ( ) ( )3 3 3
1 1 1 3
2a b c b c a c a b+ + ≥
+ + + (O.I.M, 1995)
1.3.73. Să se demonstreze că dacă ( ), 0; ,a b a b∈ ∞ < şi ( )1 2 3, , ;x x x a b∈ , atunci
există inegalitatea ( )( )( )
1 2 3
1 2 3
2 21 1 1 a b b ax x x
x x x ab
+ + + + + + ≤
(Mircea Lascu, 20287, G.M. 12/1984)
1.3.74. Să se demonstreze inegalitatea 2 2 2 30
8x y z xy yz zx x y z+ + + + + + + + + ≥ ,
pentru orice , ,x y z ∈� . (V. Popa, 19053, G.M. 1/1982) 1.3.75. Să se determine cea mai mică valoare a numărului natural n , astfel încît
( ) ( ) ( )2
2 2 2 4 4 4, , ,x y z n x y z x y z+ + ≤ + + ∀ ∈� .
1.3.76. Să se demonstreze că dacă 2 2 2x y z a+ + = , atunci 2
4 4 4
3
ax y z+ + ≥ .
1.3.77. Să se arate că oricare ar fi , , ,x y z k ∈� are loc inegalitatea:
( ) ( ) ( )( )2 2 2 22 2 1 2 1k k x y z k xy yz zxα β γ+ + + + ≥ + + + unde [ ], , 1;1α β γ ∈ − .
(Birant Ramazan, 19253, G.M. 6/1982) 1.3.78. Dacă , ,a b c ∈� , să se arate că:
a) ( ) ( ) ( )( ) ( )2 2 2 2 2 21min , ,
2a b b c c a a b c− − − ≤ + +
b) ( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2 23 3 3
max , ,4 4 4
c a a b b ca b c ab bc ca
− − −+ + − − − ≥
(Aurel Giol, 18929*, G.M. 10/1981) 1.3.79. Dacă ,x y z a xy yz zx b+ + = + + = , să se arate că:
( ) ( ) 22 3max , , min , , 3
3x y z x y z a b− ≤ −
1.3.80. a) Fie , 0x y > . Arătaţi că 2 2
1 1x y
y x x y+ ≥ + .
b) Fie , , 0a b c > . Să se arate că 2 2 2
1 1 12
a b b c c a
c a b a b c
+ + + + + ≥ + +
.
(Olimpiadă judeţeană, 2005)
1.3.81. Fie , ,x y z ∗∈� . Să se arate că 2 2 2
2 2 2
x y z x y z
y z x y z x+ + ≥ + + şi să se determine
cînd are loc egalitatea. (Dorin Andrica, 1983) 1.3.82. Să se demonstreze că dacă ( ), , 0;x y z ∈ ∞ , atunci:
3
2 2 2 4
x y z
x y z y z x z x y+ + ≥
+ + + + + +
(Gh. Eckstein, 1986) 1.3.83. Fie ( ), , 0;a b c ∈ ∞ . Să se arate că:
1 1 1
2
a b c
a b b c c a abc
+ ++ + ≤
+ + +
(Grigore Ciocanea, E:6200, G.M. 4/1978) 1.3.84. Să se arate că oricare ar fi numerele ( ), , 0;x y z ∈ ∞ , are loc inegalitatea:
( )( ) ( )( ) ( )( )
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
x y z x y z
xyzx y x z y x y z z x z y
+ ++ + ≤
+ + + + + +
(Constantin Caragea, Olimpiadă locală, Constanţa, 1988) 1.3.85. Dacă , , 0a b c > , stabiliţi inegalităţile:
a) ( ) ( ) ( ) 8 , , 0a b b c c a abc a b c+ + + ≥ >
b) ( ) ( )( ) , , , 0a b c a b c a b c abc a b c− + + − + + − ≤ >
(6322, G.M.B, 1964) c) ( ) ( ) ( ) 6ab a b bc b c ca c a abc+ + + + + ≥
d) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 26a b c b c a c b a abc+ + + + + ≥
e) 8b c a
a b cac ba cb
+ + + ≥
f) 2 2 2 2 2 2
2
3
b c c a a babc
b c c a a b
+ + ≥
+ + +
g) ( )( )
43 33
abc a b cab bc caa b c ab bc ca
c a b
+ ++ + ≥ + + ≥ + + ≥
(f), g) � C. Ionescu-Ţiu, 8629, G.M.B. 12/1967)
h) 1 1 1 1 1 1
2 2 2a b c a b b c c a+ + ≥ + +
+ + + (Dorin Andrica, G.M. 1977)
i) 3 3 3 2 2 2a b c a bc b ca c ab+ + ≥ + +
1.3.86. Se consideră funcţia ( ) ( )( ) ( )( )3
: , , ,x y y z z x
f f x y zxyz
∗ ∗+ +
+ + +→ =� � . Să
se demonstreze că ( ) ( ) ( )3 3 3, , , , , , ,f x y z f x y z x y z ∗
+≥ ∀ ∈� .
(22742, G.M. 1/1993, enunţ parţial)
1.3.87. Să se arate că dacă , , 0a b c > , atunci 3
2
a b c
b c c a a b+ + ≥
+ + +
1.3.88. Dacă , , 0a b c > , atunci:
( ) ( ) ( )3 3 3 2 2 22 2 2a b c a c b b a c c b a+ + ≥ − + − + −
(A.V. Mihai, 17658, G.M. 3/1979) 1.3.89. Fie , , 0a b c > . Să se arate că
1 1 1 1 1 1
a b c a b ca b c b c a
+ + + ≥ + + +
.
(Olimpiadă locală, Olt, 1978) 1.3.90. Fie , ,x y z ∗∈� . Să se demonstreze inegalitatea:
2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
x y y z z x x y y z z x
y x z y x z y x z y x z
+ + + + + ≥ + + + + +
(I. Safta, 18734*, G.M. 5/1981) 1.3.91. Dacă , , 0a b c > , dovediţi inegalitatea:
2
ab bc ca a b c
a b b c c a
+ ++ + ≤
+ + +
Deduceţi inegalitatea: 2 2 2
2 2 2
ab bc ca a ab bc ca b ab bc ca ca b c
b c a c a b a b c
+ + + + + + + + ++ + ≤ + +
+ + + + + +
(Mihai Boloş, Laurenţiu Năstase, E:8575, G.M. 5/1985) 1.3.92. Să se arate că pentru orice ( ), , 0;a b c ∈ ∞ avem inegalitatea:
3
2 2 2 2
b c a c a b
a b c a b c a b c
+ + ++ + ≥
+ + + + + +. (17228, G.M. 6/1978)
1.3.93. Dacă , , 0a b c > , atunci 4 4 4
a b ca b c
abc
+ ++ + ≤
1.3.94. Dacă 0xy yz zx+ + ≥ , să se arate că:
a) ( ) ( )3 3 3 4 4 4x y z x y z xyz x y z+ + + + + ≥ + +
(Ioan Tomescu, E:2149, G.M.B, 1964) b) 3 3 3 3 3 3 2 2 2
3x y y z z x x y z+ + ≥ (Ioan Tomescu, 8691, G.M.B. 1/1968) 1.3.95. Fie , ,a b c numere reale. a) Dacă suma oricăror două dintre cele trei numere este nenulă, să se demonstreze inegalitatea:
( )
( )( )
55 5 52
33 3 3
10
9
a b c a b ca b c
a b c a b c
+ + − + +≥ + +
+ + − + +
(Titu Andreescu, 19450, G.M. 11/1982)
b) Să se arate că expresiile ( )55 5 5
A a b c a b c= + + − + + şi
( )33 3 3
B a b c a b c= + + − + + au acelaşi semn.
(Gh. Stoica, 19823*, G.M. 8/1983) 1.3.96. Să se arate că oricare ar fi numerele reale , ,a b c avem
( ) ( )2 3
3 3 3 2 2 23a b c abc a b c+ + − ≤ + + .
1.3.97. Dacă [ ), , 0;a b c ∈ ∞ , să se demonstreze că:
( )( ) ( )2 2 2 3 3 3 5 5 52 4a b c a b c abc a b c abc ab bc ca+ + + + + ≥ + + + + +
(Ioan Tomescu, 8164, G.M.B. 4/1967) 1.3.98. Dacă ( ), , 0;a b c ∈ ∞ , atunci are loc inegalitatea:
( )1 1 1 1
1ab bc ca ab bc caabc c a b
+ + ⋅ − ≤ − + − + −
(E. Dobre, G. Dobre, E:7532, G.M. 2-3/1982) 1.3.99. Să se demonstreze că dacă ( ), , 0;a b c ∈ ∞ şi ,a c b c> > , atunci
( ) ( )c a c c b c ab− + − ≤ .
1.3.100. Să se arate că dacă , ,a b c ∈� , atunci:
( ) ( )2 22 2 2 2
2a b c a b c b c+ + + − + ≥ + . Cînd are loc egalitatea ?
(C. Ionescu-Ţiu, 16402, G.M. 2/1977)
1.3.101. Fie 1
, ,2
x y z ≥ − astfel încît 1x y z+ + = . Să se arate că
2 1 2 1 2 1 15x y z+ + + + + ≤ .
1.3.102. Fie , , 0x y z > . Demonstraţi inegalitatea 33
2
x y z
y z x+ + > . (MvŞ)
1.3.103. Fie trei numere reale 1 2 3
1, , ,1
2x x x
∈
. Să se arate că pentru orice
permutare 3
Sσ ∈ are loc inegalitatea:
( ) ( ) ( )
3
1 2 3
1 2 3
1 1 1 5
2x x x
x x xσ σ σ
+ + + <
(U.P.B, 1989)
1.3.104. Să se arate că dacă , ,a b c ∈�astfel încît 2 3 14a b c+ + ≥ , atunci 2 2 2
14a b c+ + ≥ . (Ştefan Ţifui, 17385, G.M. 9/1978) 1.3.3.1 Inegalităţi cu laturile unui triunghi 1.3.105. Dacă , ,a b c sunt lungimile laturilor unui triunghi, să se demonstreze inegalităţile:
a) 8 9a b c a b c a b c
a b c ab ca bc a b c
+ − − + − + +< + + ≤
+ + + +
b) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
3 4a b c a b c a b c a b c a b c a b c
ab ca bc
− + + − + − + + + − − + + −≤ + + <
c) 3a b c
a b c a b c a b c+ + ≥
− + + − + + −
(V. Boghiu, 7797, G.M.B. 10/1966) 1.3.106. Dacă , ,a b c sunt lungimile laturilor unui triunghi, atunci avem:
( )( ) ( )
0 12
a b c a c b b c a
abc
+ − + − + −< <
(Mihai Catană, 18492, G.M. 11/1980) 1.3.107. Dacă , ,a b c sunt lungimile laturilor unui triunghi, să se demonstreze inegalităţile:
a) 1 1 1 1 1 1
a b c a b c a b c a b c+ + ≥ + +
− + + − + + −
(Gh. Marghescu, E:6293, G.M. 8/1978)
b) 2 2 2
a b ca b c
a b c a b c a b c+ + ≥ + +
− + + − + + −
(G.G. Niculescu, 7298, G.M.B. 12/1965)
c) 3 3 3 3 3 3 3 3 3
a b c a b c a b cab bc ca
a b c a b c a b c
− + + − + + −+ + ≤ + +
− + + − + + −
(Gh. Marghescu, E:8769*, G.M. 1/1986) 1.3.108. Dacă , ,a b c reprezintă lungimile laturilor unui triunghi, să se arate că
( )2 2 22a b c ab bc ca+ + < + + .
1.3.109. a) Să se demonstreze că segmentele de lungimi , ,a b c pot reprezenta lungimile laturilor unui triunghi dacă şi numai dacă
( )2 2 2 2 2 2 4 4 41
2a b b c c a a b c+ + > + + .
b) Să se arate că inegalitatea ( )8 8 8 4 4 4 4 4 42a b c b c c a a b+ + < + + este o condiţie
necesară şi suficientă ca triunghiul de laturi , ,a b c să fie ascuţitunghic. (Şerban Gheorghiu, 17693, G.M. 4/1979) 1.3.110. Dacă , ,a b c sunt laturile unui triunghi, să se arate că:
( ) ( ) ( )3
8 4a b c abc a b c ab bc ca+ + + < + + + +
(Marin Toloşi, 17046, G.M. 2/1978) 1.3.111. Dacă , ,a b c sunt laturile unui triunghi, să se arate că:
( )2
1b c
a a b cc b
+ + > − +
(Dincă Marian, E:3182, G.M.B. 3/1969)
1.3.112. Să se arate că laturile , ,a b c ale unui triunghi verifică inegalitatea:
( ) ( )33 3 3
4 a b c a b c+ + < + + (Gh. Marghescu, E:6347, G.M. 10/1978)
1.3.113. Să se arate că, dacă , ,a b c sunt lungimile laturilor unui triunghi, atunci
, ,a b c pot fi de asemenea lungimile laturilor altui triunghi. 1.3.114. Dacă , ,a b c sunt lungimile laturilor unui triunghi, să se demonstreze că:
( ) ( )( ) 2b c a a b c a b c abc+ − − + + − ≤
(Math. Gazette, 1963, 6322, G.M.B. 5/1964) 1.3.115. Dacă , ,a b c sunt lungimile laturilor unui triunghi, avem:
15 9
4 2
p a p b p c
b c c a a b
+ + +≤ + + <
+ + +
unde 2 p a b c= + + este perimetrul triunghiului. (N. Ciorănescu, 7112, G.M.B. 8/1965) 1.3.116. Triunghiurile ABC şi A B C′ ′ ′ au lungimile laturilor , ,a b c respectiv , ,a b c′ ′ ′ . Cum sunt cele două triunghiuri dacă are loc egalitatea:
2aa bb cc pp′ ′ ′ ′+ + = , unde 2
a b cp
+ += reprezintă semiperimetrul
triunghiului ABC ? (G.M. 1/1975) 1.3.117. Dacă , ,a b c sunt laturile unui triunghi şi 2 p a b c= + + , să se arate că:
2 2 2 2 2 2p ab ac p bc ab p ac bc a b c− + + − + + − + ≤ + + (Marcel Chiriţă, 18200, G.M.B. 4/1980) 1.3.118. Dacă , ,a b c sunt lungimile laturilor unui triunghi, să se demonstreze că
( ) ( ) ( )2 2 20a b a b b c b c c a c a− + − + − ≥ , precizînd cazurile de egalitate.
(O.I.M, 1983)
1.3.4 Inegalităţi cu patru sau mai multe numere reale 1.3.119. Să se determine numerele , , ,a b c d ∈� care satisfac simultan inegalităţile:
6
5
4
3
0
a b c
a b d
a c d
b c d
d
+ + ≥ + + ≤
+ + ≤ + + ≤
≥
(Liviu Pîrşan, O.G:32, G.M. 9/1986)
1.3.120. Fie 1 2 1 2, , ,a a b b ∈� astfel încît
1 2 1 2,a a b b≥ ≥ . Să se arate că
1 1 2 2 1 2 2 1a b a b a b a b+ ≥ + . Cînd are loc egalitatea ?
1.3.121. Se dau numerele 0, 0, 0, ,a m n p q> < < ∈� . Să se arate că dacă
1
2
xa mp
x≥ + , 2
1
xa nq
x≥ + şi 0p q+ < , atunci
1x şi
2x au acelaşi semn.
(I.M. Stancu-Minasian, 9139, G.M.B. 9/1968) 1.3.122. Să se arate că nu există patru numere reale , , ,a b c d care satisfac simultan relaţiile:
0
0
0
0
a b
a b c d
ab ac ad bc bd cd
ab cd
+ < + + + >
+ + + + + > − ≥
(Liviu Pîrşan, 16564*, G.M. 4/1977)
1.3.123. Dacă , 1,6ia i∗∈ =� sunt numere distincte şi
6
1
11
i ia=
=∑ , atunci
( )1 2 6min , , , 3a a a ≤… . (Vasile Berinde, 20175, G.M. 8/1984)
1.3.124. Dacă , , ,a b c d ∈� cu 2 21a b+ ≤ şi 2 2
1c d+ ≤ , atunci
( ) ( ) ( )2 2 2
a c b d ad bc− + − ≥ − . (I. Ursu, 18622, G.M. 2/1981)
1.3.125. Dacă , , ,a b c d ∈� astfel încît 4a b+ = şi 6c d+ = , atunci avem
inegalitatea ( ) ( )2 2
144ac bd ad bc+ + − ≥ .
(Mircea L. Rusu, 19062, G.M. 1/1982) 1.3.126. Fie , , ,a b c d ∈� astfel încît 2 2 2 2
2a b c d+ = + = şi 2a c+ ≥ . Să se arate că: a) b d a c+ ≤ + ; b) 2 2
0c b− ≥ . (Vasile Zidaru, E:7765*, G.M. 9-10/1982)
1.3.127. Să se arate că oricare ar fi numerele naturale prime distincte , , ,a b c d ,
avem: ( )15 1 31abc abd acd bcd abcd+ + + + ≤ .
(C. Ionescu-Ţiu, E:3100, G.M.B. 11/1968) 1.3.128. Se condideră numerele reale strict pozitive şi diferite între ele , , ,a b c d .
Se consideră toate expresiile numerice de forma ( ) 31
1 2 3 4
2 4
, , ,xx
E x x x xx x
= + . Să se
determine cea mai mică şi cea mai mare dintre expresiile E şi să se arate că ( ) ( )min max 4E E⋅ > . (Eugen Onofraş, C:313, G.M. 6/1983)
1.3.129. a) Fie , , ,a b c d +∈� . Să se demonstreze că ( )( )a c b d ab cd+ + ≥ + .
În ce condiţii are loc egalitatea ? b) Fie numerele ( ) ( )0;1 , 0; 2a b∈ ∈ şi ( )0; 3c ∈ . Să se arate că:
( ) ( )22 2 2
2 3 6a a b b c c a b c a b c− + − + − ≤ + + − + +
(Daniel Marius Codeci, 18897, G.M. 9/1981) 1.3.130. Numerele pozitive , , , , ,a b c d e f verifică inegalităţile a b e+ ≤ şi c d f+ ≤ .
Să se arate că ac bd ef+ ≤ .
1.3.131. Fie 1 2 3 4, , ,a a a a patru numere strict pozitive astfel încît
1 2 3 41a a a a+ + + = .
Să se arate că:
( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 4 2 3 4 1 3 4 1 2 4 1 2 32a a a a a a a a a a a a a a a a+ + + + + + + + + + + ≤
Generalizare. (Gh. Moraru, E:7108, G.M. 1/1981) 1.3.132. Fie , , ,a b x y numere reale strict pozitive. Să se arate că:
( )2 2
2
2x y
a b a b a by x
+ + + ≥ +
(Gh. Marghescu, E:5721)
1.3.133. Fie , ,x y z trei numere pozitive nenule, legate prin relaţia 1x y z+ + = . Dacă ,a b sunt numere pozitive, atunci avem:
a) ( )3
3b b b
a a a a bx y z
+ + + ≥ +
(I.V. Maftei, 8420, G.M.B. 8/1967)
b) ( )44 4
4
3 3b b b
a a a a bx y z
+ + + + + ≥ +
(I.V. Maftei, 18420*, G.M. 9/1980) 1.3.134. Dacă , , , 0a b c d > , să se arate că
8a b c d a b c d a b c d a b c d
d c b a
+ + − + − + − + + − + + ++ + + ≥
1.3.135. Să se arate că dacă , , ,a b c d sunt numere reale pozitive, atunci:
a) ( ) ( )( ) ( )
( )( )( ) ( )
a b c d b c d a c d a b d a b c
a b b c c d d a
+ + − + + − + + − + + − ≤
≤ + + + +
(Dorinel Anca, 17871*, G.M. 8/1979) b) ( ) ( )( ) ( ) ( )2 2 2 2
8a b c d b c d a c d a b d a b c a d b c+ + − + + − + + − + + − ≤ +
(Florin Pîrvănescu, 17947, G.M. 10/1979) 1.3.136. Dacă , , ,a b c d ∈� şi 1abcd = , atunci :
2 2 2 210a b c d ab ac ad bc bd cd+ + + + + + + + + ≥
1.3.137. Dacă , 1,10ia i∈ =� şi 10
2
1
1i
i
a=
=∑ , să se arate că 10
1
10i
i
a=
≤∑ .
1.3.138. Să se arate că dacă , , ,x y z t ∈� , atunci:
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 2 2
2
1
2
y z t x z t x y t x y z
x y z t x y z t
+ + + − + + + − + + + − +
+ + + − ≥ + + +
(Mihaela Banyai, 18851, G.M. 8/1981) 1.3.139. Fie numerele reale
1 2 3 4 5, , , ,a a a a a care verifică inegalitatea:
( ) ( )2 2 2 2 2 2
1 2 3 4 5 1 2 3 4 53a a a a a a a a a a+ + + − ≥ + + + − . Să se demonstreze că
oricare ar fi ,x y ∈� are loc inegalitatea:
( )2 2 2 2 2 2 2 2
1 2 3 4 5 1 2 3 4 5a a a a a x y a a a a a x y+ + + − − − ≥ + + + − − − .
(Dorin Andrica, Olimpiadă naţională, 1983) 1.3.140. Dacă , , ,a b c d sunt patru numere reale strict pozitive, atunci avem inegalitatea:
12 1
a b c d a b≤
+ + + +∑ (suma din membrul drept avînd şase
termeni). (Iudith Mentzel, 17992, G.M. 11/1979) 1.3.141. Fie , , , 0a b c d ≥ . Să se arate că:
4 9 16a b c d b c d c d d a b c d+ + + + + + + + + ≥ + + + (Mihaela Predescu, 21164*, G.M. 7-8/1987)
1.3.142. Fie numerele reale , , ,a b c d , a căror sumă este 0. Fie 1
s ab bc cd= + + şi
2s ac bd ad= + + . Să se arate că
1 25 8 0s s+ ≤ şi că
1 28 5 0s s+ ≤ .
(Titu Andreescu, 1985) 1.3.143. Dacă 2 2
1 2 1 1 1 2 2 2, 0, 0, 0x x x y z x y z> − > − > , să se demonstreze că
( ) ( ) ( )2 2 2
1 1 1 2 2 21 2 1 2 1 2
8 1 1
x y z x y zx x y y z z≤ +
− −+ + − +.
Să se determine condiţiile necesare şi suficiente pentru ca egalitatea să aibă loc. (O.I.M, 1969; 9865, G.M.B. 9/1969). 1.3.5 Inegalităţi generice cu 2n ≥ numere reale
1.3.144. Fie 1 2, ,..., 0nx x x > . Să se arate că 1 2
2 3 3 4 1 2
... 1nxx x
x x x x x x+ + + >
+ + +.
1.3.145. Fie numerele reale 1 2
... na a a> > > şi 1 2
... nb b b> > > . Să se arate că
1 1 2 2 1 2 1 1... ...n n n n na b a b a b a b a b a b−+ + + > + + + (Olimpiadă, U.R.S.S, 1961)
1.3.146. Fie un şir 0 1, , , na a a… , unde 2n ≥ , astfel încît
1 12 k k ka a a− +≤ + pentru orice
{ }1,2, , 1k n∈ −… . Atunci avem: ( ) ( ) { }0 0, 1,2, , 1k n
ka a a a k n
n≤ − + ∀ ∈ −… .
(Martin Weiss, 19060*, G.M. 1/1982)
1.3.147. Fie 2 2 2
1 1 1...
10 11 1000S = + + + . Să se arate că 0,105 0,007S − < .
1.3.148. Dacă 0 , 1,ia a b i n< ≤ ≤ = , atunci:
a) ( ) 2
1 2
1 2
1 1 1... ...n
n
ba a a n
a a a a
+ + + + + + ≤
.
b) ( )( )
2 2
1 2
1 2
1 1 1... ...
4n
n
a b na a a
a a a ab
+ + + + + + + ≤
(P. Schweitzer, 1914; Olimpiadă, U.R.S.S, 1978; O:19, G.M. 3/1979)
c) ( )
2 2
1 1 14
n n ni
i i i
i i ii
a btt a t
a ab= = =
+ ⋅ ≤ ⋅
∑ ∑ ∑ , unde 0, 1,it i n≥ =
(Inegalitatea lui Kantorovici)
c) ( )( )
2
2
1 2
1 2
11 1 1... ...
2n
n
n n b aa a a n
a a a a b
− + + + + + + ≤ + −
(C. Caragea, 17929*, G.M. 9/1979) 1.3.149. Fie numerele pozitive , 1, , , 2ia i n n n= ∈ ≥� şi 0α ≥ . Să se arate că:
( ) ( ) ( )2
1 1 1
1 1
n n nn
i i i
i i i
a a aα α α= = =
+ ⋅ + ≥ + ⋅∏ ∏ ∏
(C.C. Florea, Olimpiadă locală, 1978)
1.3.150. Dacă 1 2, ,..., na a a ∈� , să se arate că
1 1
n n
i i
i i
a a= =
≤∑ ∑ .
1.3.151. Să se arate că 2 2 2
1 2 1 2 2 3 1 1... ...n n n na a a a a a a a a a a−+ + + ≥ + + + + , unde
, 1,ia i n∈ =� .
1.3.152. Fie 1
a ∗∈� şi 2 3, , , na a a ∈… � . Se consideră inegalitatea
( )2 2 2
1 2 1 2 3n na a a a a a a+ + + ≥ + + +… … . Să se arate că dacă { }2,3,4,5n ∈
inegalitatea este adevărată, iar dacă 6n ≥ este falsă. (Liviu Pîrşan, 18494, G.M. 11/1980) 1.3.153. Să se arate că dacă numerele reale , , 1,i ia b i n= sunt alese astfel încît
1 1 2 21n na b a b a b+ = + = = + =… , atunci:
( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2
1 1 2 2 1 2 1 2n n n na b a b a b a a a b b b n+ + + ≥ + + + + + + −… … …
(Radu Popovici, 17991, G.M. 11/1979) 1.3.154. Să se demonstreze că oricare ar fi numerele pozitive
1 2, , , nx x x… are loc
inegalitatea: 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 3 1 3 1 2 1
1 2
2 3 1 3 1 2 1
n n nn
n n n
x x x x x x x x xx x x
x x x x x x x x x
−
−
+ + + + + + + + ++ + + ≥ + + +
+ + + + + + + + +
… … …… …
… … …
(M.I. Ştefănescu, 7742, G.M.B. 9/1966) 1.3.155. Fie numerele strict pozitive
1 2, , , na a a… . Să se arate că:
a) 2 3 11 2
2 2 2 2 2 2
1 2 2 3 1 1 2
1 1 1n
n n
a a a aa a
a a a a a a a a a
+ +++ + + ≤ + + +
+ + +… …
(I. Atanasiu, 9703, G.M.B. 7/1969)
b) 1 2 2 3 1 1 2
1 1 1 1 1 1 1
2n na a a a a a a a a
+ + + ≤ + + +
+ + + … …
(I. Atanasiu, 9801, G.M.B. 8/1969) 1.3.156. Fie , 2n n∈ ≥� şi numerele pozitive
1 2, , , na a a… astfel încît
1 21na a a+ + + =… . Să se demonstreze că:
1 2
2 3 1 3 1 2 11 1 1 2 1
n
n n n
aa a n
a a a a a a a a a n−
+ + + ≥+ + + + + + + + + + + + −
…… … …
(O.B.M, 1984) 1.3.157. Fie
1 2, ,..., na a a
∗+∈� , unde , 2n n∈ ≥� , astfel încît
1 2... 1na a a = . Să se
arate că: a) ( )( ) ( )1 2
1 1 ... 1 2n
na a a+ + + ≥ , (Olimpiadă R.D.G, 1971)
b) ( )( ) ( ) ( )1 21
n
na k a k a k k+ + + ≥ +… , unde k∗∈� .
(Serghei Popescu, 18415, G.M. 9/1980)
c) ( )( )2
1
2 !1
2
nn n
i i
i
na ia
=
++ + ≥∏ (Gh. Tutulan, 17710, G.M. 4/1979)
d) ( )( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 21 2 1 1 3 4 5 1 2n na a a a a n a n n+ + + + + + ≥ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ +… …
(C. Ursu, 18457, G.M. 10/1980)
1.3.158. a) Să se arate că pentru orice numere reale pozitive , , , , ,a b c a b c′ ′ ′ are
loc inegalitatea ( ) ( ) ( ) 3 33 a a b b c c abc a b c′ ′ ′ ′ ′ ′+ + + ≥ +
b) Generalizare: fie numerele pozitive , , 1,i ia b i n= unde 2n ≥ . Să se
demonstreze inegalitatea ( )1 1 1
n n n
n n ni i i i
i i i
a b a b= = =
+ ≥ +∏ ∏ ∏
(Olimpiadă, U.R.S.S, 1961; 4678, G.M.F.B. 5/1961) 1.3.159. Fie numerele reale strict pozitive
1 2, ,..., na a a . Să se arate că:
a) 11 2
2 3 1
... n n
n
a aa an
a a a a
−+ + + + ≥ .
b) ( )( ) ( )2 2 2
1 1 2 2
1 2
1 1 ... 13
...
n n n
n
a a a a a a
a a a
+ + + + + +≥
c) 2 22 2
1 11 1 2 2
2 2 2 2
2 2 3 3 1 1
1 1 ... 1 1 3nn n n n
n n
a a a aa a a a
a a a a a a a a
− −
+ + + + + + + + ≥
1.3.160. Dacă 1 2, , , nx x x… sunt numere reale strict pozitive, atunci:
22 2
1 2
2 3 1
1 1 1 4nxx xn
x x x
+ + + + + + ≥
… .
(Gh. Ciobanu, 17537, G.M. 12/1978) 1.3.161. Fie n
∗∈� . Să se arate că: a) ( )1 3 5 ... 2 1
nn n> ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ −
b) 12 1 2
n nn
−− > c) 2 ! 1, 2n n n n< + ≥ (Gh. Motelică, 8544, G.M.B. 10/1967)
1.3.162. Fie numerele reale pozitive 1 2, ,..., , 2na a a n ≥ . Notăm cu
1 2... na a a
An
+ + += şi
1 2...n
nG a a a= media aritmetică, respectiv media
geometrică, a celor n numere. Să se demonstreze că:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 21 1 1 ... 1 1
n n
nG a a a A+ ≤ + + + ≤ +
1.3.163. Fie numerele pozitive 1 2, , , , , 2nx x x n n∈ ≥… � . Să se demonstreze
inegalitatea:
2 22 2
11 2
2 2 2 2
1 2 3 2 3 4 1 1 1 2
1n n
n n n
x xx xn
x x x x x x x x x x x x
−
−
+ + + + ≤ −+ + + +
…
(Propusă de Canada pentru O.I.M, 1985)
1.3.164. Să se demonstreze inegalitatea 2
1 1
1
2
n
i j i
i j n i
na a a
≤ < ≤ =
−≤∑ ∑ , unde
, 1,ia i n∈ =� . În ce caz are loc egalitatea ?
1.3.165. Se consideră numerele reale pozitive 1 2, ,..., na a a . Să se demonstreze
inegalitatea 2
2
1 1
1 1n n
i i
i i
a an n= =
≤
∑ ∑
1.3.166. Dacă , , 1,i ia b i n∈ =� , atunci 2 2
1 1 1
n n n
i i i i
i i i
a b a b= = =
− ≤ −∑ ∑ ∑ .
1.3.167. Fie numerele reale strict pozitive 1 2, ,..., na a a astfel încît
1
1
n
i
i
a=
=∑ . Să se
arate că:
a) 1
10
n
i ni
an=
< ≤∏ b) 2
1
11
n
i
i
an =
≤ <∑
1.3.168. Numerele 0, 1, , 2ia i n n> = ≥ au proprietatea că 1
n
i
i
a k=
=∑ . Să se arate
că:
a) 2 2 2
1
1ni
i i
a n k
a k=
− −≥∑ b)
2 2 2 2
1
2 2ni i
i i
a na n k n k
a k=
− + + −≥∑
(I. Burghină, 16974, G.M. 12/1977)
1.3.169. Fie numerele 0, 0, 1,i ia b i n≥ > = astfel încît 1 1
1
n n
i i
i i
a b= =
= =∑ ∑ . Să se arate
că 2
1
1
ni
i i
a
b=
≥∑ . (17923*, G.M. 9/1979)
1.3.170. a) Se consideră numerele pozitive 1 2, ,..., na a a astfel încît
1
1
n
i
i
a=
=∑ . Să se
demonstreze că ( )1
4 1 4
n
i
i
a n n=
+ ≤ +∑ .
b) Generalizare: fie 0,a b≥ ∈� şi 1 2, ,..., n
bx x x
a≥ − astfel încît
1
n
i
i
x c=
=∑ . Să se
demonstreze că 2
1
n
i
i
ax b n b nac=
+ ≤ +∑ . Pentru ce valori , 1,ix i n= are loc
egalitatea ? 1.3.171. Fie numerele reale
1 2, ,..., 0na a a > , unde , 2n n∈ ≥� . Să se arate că
avem inegalitatea:
( ) 2
1 2
1 2
1 1 1... ...n
n
a a a na a a
+ + + + + + ≥
. Deduceţi că dacă
1 21na a a+ + + ≤… ,
atunci 2
1 2
1 1 1
n
na a a
+ + + ≥… .
1.3.172. Să se arate că dacă 2
1 1
n n
k
k k
kx k= =
≥∑ ∑ , atunci 2 2
1 1
n n
k
k k
x k= =
≥∑ ∑ . În ce caz se
obţine egalitatea ? (Ştefan Ilisiea, 18502*, G.M. 11/1980) 1.3.173. Dacă
1 20nx x x≥ ≥ ≥ ≥… , să se arate că:
( ) ( )22 2 2 2
1 2 3 1 23 5 2 1 n nx x x n x x x x+ + + + − ≤ + + +… …
(Maria Elena Panaitopol, 19109*, G.M. 2-3/1982)
1.3.174. Fie 0, 1,ix i n> = cu proprietatea 1
1
n
i
i
x=
=∑ . Să se arate că există un
{ }1, 2, ,k n∈ … astfel încît 1 1
k
k
x nx n
+ ≥ + . (Nicolae Burcea, C:169, G.M. 12/1981)
1.3.175. Să se arate că dacă 1 2, , , na a a… sunt numere reale nenule, atunci există
inegalitatea: 2
2
1 1 1 1
1 1n n n n
i i
i i i ii i
a aa a= = = =
⋅ ≥ ⋅∑ ∑ ∑ ∑ .
(V. Cîrtoaje, 9497, G.M.B. 3/1969)
1.3.176. Fie numerele 0, 1, , 2ia i n n> = ≥ şi 1
n
n i
i
s a=
=∑ . Să se arate că
2 2
1
1nn
i
i i n
s na n
a n s=
+ ≥ ⋅ +
∑ .
1.3.177. Fie 0, 1,ia i n> = astfel încît 1
1
n
i
i
a=
=∑ . Să se demonstreze că
2
1
1
1 1
n
i i
n
a n=
≥− −
∑ . (Gh. Szöllösy, 8990, G.M.B. 6/1968)
1.3.178. Fie , 1, 2ka k n∗∈ =� . Folosind inegalitatea mediilor, să se demonstreze
că 2
1 1 2 1 2
1 14
n n
k kk k ka a a= = −
≥+
∑ ∑ . (N. Bebea, 18493*, G.M. 11/1980)
1.3.179. Dacă 0, 1,ia i n> = şi 1
1
n
i
i
a=
=∑ , să se arate că ( )( )
2
1
11
nn
i i ni
na a
n=
−− ≤∏ . Cînd
are loc egalitatea ? 1.3.180. Fie 0ia ≥ astfel încît
12 0, 1,i ia a i n+− ≥ = , cu convenţia
1 1na a+ = . Să se
arate că ( )( ) ( )1 2 2 3 1 1 22 2 2 n na a a a a a a a a− − − ≤… … .
(Gh. Marghescu, 18503, G.M. 11/1980) 1.3.181. Să se arate că dacă { }1 2 1
, , , , 1n na a a a a+⊂ = =… � şi
( ) { }2
1 1, 2,3, , 1k k ka a a k n− +⋅ ≥ ∀ ∈ −… , atunci { } [ ]1 2
, , , 0;1na a a ⊂… .
(Dorinel Anca, 19335, G.M. 8/1982) 1.3.182. Fiind date numerele reale , , 1,i ia b i n+∈ =� , să se demonstreze că
1 1 1
n n n
i i i i
i i i
a b a b= = =
≤ ⋅∑ ∑ ∑ .