Capitolul I: Siruri de numere reale Lect. dr. Lucian Maticiuc
Facultatea de Hidrotehnica, Geodeziesi Ingineria MediuluiMatematici Superioare, Semestrul I,Lector dr. Lucian MATICIUC
CURS I, II
Capitolul I: Siruri de numere reale
1 Definitia unui sir. Siruri marginite. Siruri monotone
Definitia 1 Se numeste sir de numere reale o functie
f : N→ R,
definita pe multimea N a numerelor naturale si cu valori ın R.Se va nota
an := f (n)
iar an se va numi termenul de ordin n al sirului.Sirul ıntreg se va nota cu (an)n∈N.Valorile f (n) , n ∈ N, ale functiei f se numesc termenii sirului, adica a1, a2, . . . , an, . . . sunt terme-
nii sirului.
Remarca 2 Sirul (an)n∈N se poate scrie si sub forma
(an)n∈N = {a1, a2, . . . , an, . . .} .
Definitia 3 Spunem ca sirul (an)n∈N este minorat (sau marginit inferior) daca exista α ∈ R astfelıncat
an ≥ α, ∀n ∈ N.
Spunem ca sirul (an)n∈N este majorat (sau marginit superior) daca exista β ∈ R astfel ıncat
an ≤ β, ∀n ∈ N.
Spunem ca sirul (an)n∈N este marginit daca exista α, β ∈ R astfel ıncat
α ≤ an ≤ β, ∀n ∈ N.
Daca sirul (an)n∈N nu este marginit atunci spunem ca sirul dat este nemarginit.
Exemplul 4 1. Sirul ((−1)n)n este marginit.
2. Sirul(
(−1)nn
)n
este marginit.
3. Sirul(
nn+1
)n
este marginit.
4. Sirul(n2)n
este nemarginit superior.
Remarca 5 Se poate demonstra usor ca un sir (an)n∈N este marginit daca si numai daca exista un numarreal M > 0 astfel ıncat
|an| ≤M, ∀n ∈ N.
1
Lucia
n Mati
ciuc
Capitolul I: Siruri de numere reale Lect. dr. Lucian Maticiuc
Remarca 6 Este evident ca daca exista un numar real M > 0 si un prag N ∈ N astfel ıncat
|an| ≤M, ∀n ≥ N
atunci sirul (an)n∈N este tot marginit.
Definitia 7 Spunem ca sirul (an)n∈N este crescator daca are loc
a1 ≤ a2 ≤ · · · ≤ an−1 ≤ an ≤ an+1 ≤ · · · , ∀n ∈ N. (1)
Spunem ca sirul (an)n∈N este descrescator daca are loc
a1 ≥ a2 ≥ · · · ≥ an−1 ≥ an ≥ an+1 ≥ · · · , ∀n ∈ N. (2)
Definitia 8 Spunem ca sirul (an)n∈N este monoton daca este crescator sau descrescator.
Remarca 9 Spunem ca un sir este strict crescator daca are loc (1) cu “≤” ınlocuit cu “<”. Analog sedefinesc notiunile de strict descrescator si strict monoton.
Remarca 10 Daca sirul (an)n∈N este astfel ıncat an > 0, ∀n ∈ N, atunci (an)n∈N este crescator daca sinumai daca
an+1
an≥ 1, ∀n ∈ N.
Remarca 11 Daca sirul (an)n∈N este astfel ıncat an > 0, ∀n ∈ N, atunci (an)n∈N este descrescator dacasi numai daca
an+1
an≤ 1, ∀n ∈ N.
Exemplul 12 1. Sirul(1n
)n
este monoton descrescator.
2. Sirul(
(−1)nn
)n
nu este monoton.
3. Sirul(
nn+1
)n
este strict monoton (strict crescator).
Definitia 13 Fie (nk)k∈N un sir astfel ıncat
n1 < n2 < · · · < nk < nk+1 < · · · , k ∈ N.
Atunci sirul definit de(ank
)k∈N ={an1 , an2 , . . . , ank
, ank+1, . . .
}se numeste subsir al sirului initial (an)n∈N.
Exemplul 14 Fie sirul (an)n∈N. Atunci subsirurile (a2n)n∈N si (a2n+1)n∈N sunt date de
(a2n)n∈N = {a0, a2, a4, . . . , a2n−2, a2n, a2n+2, . . .}(a2n+1)n∈N = {a1, a3, . . . , a2n−1, a2n+1, a2n+3, . . .} .
Exemplul 15 Fie sirul (bn)n∈N. Atunci subsirurile (b3n)n∈N, (b3n+1)n∈N si (b3n+2)n∈N sunt date de
(b3n)n∈N = {b0, b3, b6, . . . , b3n−3, b3n, b3n+3, . . .}(b3n+1)n∈N = {b1, b4, b7, . . . , b3n−2, b3n+1, b3n+4, . . .}(b3n+2)n∈N = {b2, b5, b8, . . . , b3n−1, b3n+2, b3n+5, . . .} .
2
Lucia
n Mati
ciuc
Capitolul I: Siruri de numere reale Lect. dr. Lucian Maticiuc
Exemplul 16 Fie sirurile cu termenii generali an = sin nπ2 , bn = cos nπ2 , cn = (−1)
n si dn = (−1)nn .
Scrieti subsirurile
(a4k) , (a4k+1) , (a4k+2) , (a4k+3) ,
(b4k) , (b4k+1) , (b4k+2) , (b4k+3) ,
(c2k) , (c2k+1) , (c3k) , (c3k+1) , (c3k+2) ,
(d2k) , (d2k+1) .
Folosim sin (0) = 0 = sin (π), sin (π/2) = 1, sin (3π/2) = −1 si cos (0) = 1, cos (π/2) = 1 =cos (3π/2), cos (π) = −1 precum si periodicitatea
sin (x+ 2nπ) = sinx si cos (x+ 2nπ) = cosx, ∀n ∈ Z.
2 Siruri convergente
Definitia 17 Se numeste vecinatate a lui a ∈ R, orice multime V ⊂ R pentru care exista α, β ∈ R astfelıncat intervalul (α, β) contine pe a si intervalul (α, β) este inclus ın V , adica
a ∈ (α, β) ⊂ V
(vezi si desenul).
Definitia 18 Spunem ca numarul a este limita sirului (an)n∈N daca orice vecinatate a lui a contine totitermenii sirului, cu exceptia eventuala a unui numar finit de termeni. Spunem ın acest caz ca sirul dateste convergent la a si scriem astfel
limn→∞
an = a sau an −−−−→n→∞
a.
Definitia 19 Spunem ca sirul (an)n∈N este divergent daca nu este convergent.
Remarca 20 Deci un sir este convergent daca exista limita lui si aceasta este finita.Iar un sir este divergent daca acesta fie nu are limita fie are dar aceasta limita este infinita.
Exemplul 21 Sirurile date de an = nn+1 si bn =
(1 + 1
n
)n au urmatoarele valori estimate:
n an n bn0 0.0000 1 2.00001 0.5000 2 2.25002 0.6666 3 2.37033 0.7500 4 2.44144 0.8000 5 2.48835 0.8333 6 2.52166 0.8571 7 2.54647 0.8750 8 2.56578 0.8888 9 2.58119 0.9000 10 2.593710 0.9090 100 2.7048100 0.9900 1000 2.71691000 0.9990 10000 2.718110000 0.9999 100000 2.7182
Teorema 22 (Caracterizarea cu ε a convergentei) Numarul a este limita sirului (an)n∈N daca si nu-mai daca pentru orice ε > 0, exista pragul (numar natural) N (ε) ∈ N astfel ıncat oricare ar fi n ≥ N (ε),are loc
|an − a| < ε.
3
Lucia
n Mati
ciuc
Capitolul I: Siruri de numere reale Lect. dr. Lucian Maticiuc
Demonstratie. “⇒”Fie a = lim
n→∞an si fie ε > 0 arbitrar ales. Are loc |an − a| < ε ⇔ an ∈ (a− ε, a+ ε). Conform
definitiei avem ca ın vecinatatea (a− ε, a+ ε) avem toti termenii sirului, cu exceptia eventuala aunui numar finit de termeni. Vom nota cu N indicele cel mai mare dintre termenii sirului care nuse afla ın vecinatatea (a− ε, a+ ε) . Atunci, luand N (ε) := N + 1 obtinem ca are loc
∀n ≥ N (ε) , an ∈ (a− ε, a+ ε) .
“⇐”Fie o vecinatate a lui a de tipul (a− ε, a+ ε) cu ε > 0. Conform presupunerii avem ca exista
N (ε) ∈ N astfel ıncat∀n ≥ N (ε) , an ∈ (a− ε, a+ ε) .
Deci are loc afirmatia a = limn→∞
an, avand ın vedere ca ın afara vecinatii se afla primii N (ε) − 1
termeni, adica un numar finit de termeni.
Exemplul 23 Are loc
limn→∞
1
n= 0.
Intr-adevar, fie ε > 0 arbitrar ales. Vom lua N (ε) :=[1ε
](partea ıntreaga1 a lui 1/ε). Atunci are loc
evident ∣∣∣∣ 1n − 0
∣∣∣∣ =1
n< ε, ∀n ≥ N (ε) + 1
Avem urmatorul tabel de valori
ε Pragul N (ε)0.3 N (ε) = [3.33] = 30.2 N (ε) = [5.00] = 50.1 N (ε) = [10.00] = 10
0.09 N (ε) = [11.11] = 110.08 N (ε) = [12.50] = 120.07 N (ε) = [14.28] = 140.01 N (ε) = [100.00] = 100
0.001 N (ε) = [1000.00] = 1000
Exemplul 24 Are loclimn→∞
n
n+ 1= 1.
Intr-adevar, fie ε > 0 arbitrar ales. Vom lua N (ε) :=[1ε
]. Atunci are loc evident∣∣∣∣ n
n+ 1− 1
∣∣∣∣ =1
n+ 1< ε, ∀n ≥ N (ε) .
Exemplul 25 Are loc
limn→∞
(1 +
(−1)n
n
)= 1.
Intr-adevar, fie ε > 0 arbitrar ales. Vom lua N (ε) :=[1ε
]. Atunci are loc evident∣∣∣∣1 +
(−1)n
n− 1
∣∣∣∣ =1
n< ε, ∀n ≥ N (ε) + 1
1Partea ıntreaga a numarului real x este notat cu [x] si este cel mai mare numar ıntreg din stanga lui x, adica este acelunic numar ıntreg care verifica inegalitatea [x] ≤ x < [x] + 1.
4
Lucia
n Mati
ciuc
Capitolul I: Siruri de numere reale Lect. dr. Lucian Maticiuc
Exemplul 26 Are loc
limn→∞
sinn
n= 0.
Intr-adevar, fie ε > 0 arbitrar ales. Vom lua N (ε) :=[1ε
]. Atunci are loc evident∣∣∣∣ sinnn − 0
∣∣∣∣ =|sinn|n≤ 1
n< ε, ∀n ≥ N (ε) + 1
Exemplul 27 Are loc
limn→∞
1
qn= 0, ∀ |q| > 1.
Intr-adevar, fie ε > 0 arbitrar ales. Vom lua N (ε) :=[− ln εln|q|
]. Atunci are loc evident∣∣∣∣ 1
qn− 0
∣∣∣∣ =1
|q|n< ε, ∀n ≥ N (ε) + 1
Remarca 28 Vom scrie pe scurt
limn→∞
an = a⇔ ∀ε > 0, ∃N (ε) ∈ N : ∀n ≥ N (ε) , |an − a| < ε.
Teorema 29 (Criteriul majorarii) Fie sirul (an)n∈N. Daca exista a ∈ R si sirul (αn)n∈N convergent la0, astfel ıncat
|an − a| ≤ αn, ∀n ∈ N,
atuncian −−−−→
n→∞a.
Exemplul 30 Are loc
limn→∞
sinn
n= 0.
Intr-adevar, ∣∣∣∣ sinnn − 0
∣∣∣∣ =|sinn|n≤ 1
n−−−−→n→∞
0.
Exemplul 31 Are locn√n→ 1 , n→∞.
Intr-adevar, sa notam cu an = n√n− 1, si vom arata ca an → 0. Avem ca
n√n = 1 + an ⇔ n = (1 + an)
n= 1 + C1
nan + C2na
2n + C3
na3n + · · · · · ·
≥ (imediat deoarece an ≥ 0 ) ≥ C2na
2n = n(n−1)
2 a2n.
Deci a2n ≤ 2n−1 ⇔ |an| ≤
√2
n−1 = αn iar αn converge la 0 deci an → 0.
Remarca 32 Se poate demonstra usor ca daca un sir este convergent atunci limita sa este unica.
Teorema 33 Orice sir convergent este si marginit
Demonstratie. Fie sirul (an)n∈N convergent la a ∈ R. Fie numarul real M > 0 ales astfel ıncat(−M,M) sa fie o vecinatate a lui a (de exemplu se poate lua M := |a|+ 1). Atunci ın vecinatatea(−M,M) se afla un numar finit de termeni, cu exceptia eventuala a unui numar finit de ter-meni. Vom nota cu N indicele cel mai mare dintre termenii sirului care nu se afla ın vecinatatea(−M,M) , deci are loc ca
an ∈ (−M,M) , ∀n ≥ N + 1⇔ |an| < M, ∀n ≥ N + 1,
adica sirul dat este marginit.
5
Lucia
n Mati
ciuc
Capitolul I: Siruri de numere reale Lect. dr. Lucian Maticiuc
Remarca 34 Orice sir nemarginit este deci divergent.
Teorema 35 Orice subsir al unui sir convergent este tot convergent.
Demonstratie. Imediata (se bazeaza pe Definitia 18).
Corolarul 36 Daca un subsir al unui sir este divergent atunci sirul ıntreg este divergent.
Corolarul 37 Daca doua subsiruri ale unui sir sunt convergente dar la limite diferite, atunci sirul ıntregeste divergent.
Exemplul 38 Sirul dat de termenul general an = (−1)n, n ∈ N, este divergent.
Intr-adevar, subsirul a2n = +1 −−−−→n→∞
+1 iar a2n = −1 −−−−→n→∞
−1 si +1 6= −1.
Teorema 39 (Teorema lui Weierstrass de convergenta a sirurilor monotone)Orice sir monoton si marginit este convergent.(Fara demonstratie).
Exemplul 40 Are loclimn→∞
n
qn= 0, ∀q > 1.
Intr-adevar: sa notam cu an := nqn . Avem ca
an+1
an=
n+1qn+1
nqn
=n+ 1
n
1
q=
(1 +
1
n
)1
q−−−−→n→∞
(1 + 0)1
q=
1
q< 1. (3)
Deci exista un rang N ∈ N astfel ıncat an+1
an< 1, ∀n ≥ N . Pe de alta parte sirul este cu termeni pozitivi
deci este marginit inferior.Deci sirul dat este convergent, adica
∃ limn→∞
an = `.
Daca ` 6= 0 atunci putem trece la limita ın raport
limn→∞
an+1
an=
limn→∞
an+1
limn→∞
an=`
`= 1.
Pe de alta parte putem trece la limita ın relatia (3) si obtinem
limn→∞
an+1
an=
1
q< 1,
adica1 = lim
n→∞
an+1
an= limn→∞
n+ 1
n
1
q=
1
q< 1
ceea ce reprezinta o contradictie. Deci ` trebuie sa fie 0.
Exemplul 41 (Consecinta) (vezi si Exemplul 31) Are loc
limn→∞
n√n = 1.
Intr-adevar, s-a aratat ın exemplul precedent ca, dat un ε > 0 arbitrar ales, exista un prag N ∈ N astfelıncat pentru orice n ≥ N ,
n
(1 + ε)n < 1, pentru q := 1 + ε.
6
Lucia
n Mati
ciuc
Capitolul I: Siruri de numere reale Lect. dr. Lucian Maticiuc
Deci1 ≤ n ≤ (1 + ε)
n, ∀n ≥ N ⇔ 1 ≤ n
√n ≤ 1 + ε , ∀n ≥ N.
Trecand la limita obtinem ca ∀ε > 01 ≤ lim
n→∞n√n ≤ 1 + ε.
Avand ın vedere ca ε > 0 este arbitrar ales (oricat de mic), deducem ca limn→∞n√n = 1.
Exemplul 42 Are loc
limn→∞
qn
n!= 0, ∀q ≥ 0 .
Intr-adevar: sa consideram mai ıntai q = 0. Atunci afirmatia este imediata.Sa consideram acum cazul q > 0. Vom nota cu an := qn
n! . Avem ca
an+1
an=
qn+1
(n+1)!qn
n!
=1
n+ 1q −−−−→
n→∞
q
∞= 0.
Deci exista un rang N ∈ N astfel ıncat an+1
an< 1, ∀n ≥ N . Pe de alta parte sirul este cu termeni pozitivi
deci marginit inferior.Deci sirul dat este convergent, adica
∃ limn→∞
an = `.
Daca ` 6= 0 atunci putem trece la limita ın relatia de mai sus si obtinem
limn→∞
an+1
an= limn→∞
1
n+ 1q = 0
care este o contradictie cu faptul ca
limn→∞
an+1
an=
limn→∞
an+1
limn→∞
an=`
`= 1.
Deci ` trebuie sa fie 0.
Teorema 43 (Lema lui Stolz–Cesaro) Fie doua siruri (an)n∈N si (bn)n∈N astfel ıncat (bn)n este strictmonoton si nemarginit. Daca exista limita
limn→∞
an+1 − anbn+1 − bn
= A,
cu A finit sau infinit, atunci exista si limita limn→∞
anbn
si ea este egala tot cu A, adica
limn→∞
anbn
= A.
(Fara demonstratie).
Exemplul 44 Are loc
limn→∞
lnn
n= 0.
Intr-adevar, vom lua an := lnn si bn := n care evident este strict monoton si nemarginit (n → ∞).Calculam mai ıntai
limn→∞
an+1 − anbn+1 − bn
= limn→∞
ln (n+ 1)− lnn
(n+ 1)− n= limn→∞
ln
(n+ 1
n
)= ln
(limn→∞
n+ 1
n
)= ln 1 = 0.
Deci∃ limn→∞
lnn
n= limn→∞
anbn
= 0.
7
Lucia
n Mati
ciuc
Capitolul I: Siruri de numere reale Lect. dr. Lucian Maticiuc
Exemplul 45 Fie sirul (xn)n pentru care exista limita sa notata cu a. Atunci
limn→∞
x1 + x2 + · · ·+ xnn
= a.
Intr-adevar, vom lua an := x1 + x2 + · · ·+ xn si bn := n care evident este strict monoton si nemarginit(n→∞). Calculam mai ıntai
limn→∞
an+1 − anbn+1 − bn
= limn→∞
xn+1
(n+ 1)− n= limn→∞
xn+1 = (evident) = limn→∞
xn = a .
Deci obtinem conlcuzia.
Exemplul 46 Fie sirul cu termeni pozitivi (xn)n pentru care exista limita sa notata cu a. Atunci
limn→∞
n√x1x2 · · ·xn = a.
Intr-adevar, sa logaritmam n√x1x2 · · ·xn si sa aplicam exemplul precedent:
limn→∞
ln n√x1x2 · · ·xn = lim
n→∞ln (x1x2 · · ·xn)
1/n= limn→∞
ln (x1x2 · · ·xn)
n
= limn→∞
ln (x1) + ln (x2) + · · ·+ ln (xn)
n= limn→∞
ln (xn) = ln a.
3 Operatii cu siruri convergente
Propositia 47 (Operatii cu siruri convergente) Fie doua siruri convergente (an)n∈N si (bn)n∈N. Atuncisirurile
(an + bn)n∈N , (αan)n∈N , (anbn)n∈N
sunt de asemenea convergente si au loc relatiile
limn→∞
(an + bn) = limn→∞
an + limn→∞
bn
limn→∞
(αan) = α limn→∞
an
limn→∞
(an · bn) = limn→∞
an · limn→∞
bn.
Propositia 48 Fie doua siruri (an)n∈N si (bn)n∈N astfel ıncat an −−−−→n→∞
0 si (bn)n∈N este marginit.Atunci
anbn −−−−→n→∞
0.
Exemplul 49 Este usor de aratat ca
limn→∞
qn = 0, ∀q ∈ (0, 1) ,
deci rezulta (luand r = −q) ca are loc si
limn→∞
rn = limn→∞
(−q)n = limn→∞
(−1)nqn = 0, ∀r ∈ (−1, 0) ,
Obtinem atunci calimn→∞
qn = 0, ∀ |q| < 1⇔ q ∈ (−1, 1) ,
8
Lucia
n Mati
ciuc
Capitolul I: Siruri de numere reale Lect. dr. Lucian Maticiuc
Exemplul 50 (vezi Exemplul 42) Deoarece
limn→∞
qn
n!= 0, ∀q ≥ 0
rezulta (luand r = −q) ca are loc si
limn→∞
rn
n!= 0, ∀r < 0
Exemplul 51 Are loc
limn→∞
sinn
n= 0.
Propositia 52 Fie doua siruri convergente (an)n∈N si (bn)n∈N astfel ıncat limn→∞
bn 6= 0. Atunci sirul anbneste tot convergent si
limn→∞
anbn
=limn→∞
an
limn→∞
bn.
Remarca 53 Daca sirul (bn)n∈N este astfel ıncat limn→∞
bn = 0 si bn 6= 0, ∀n ∈ N, atunci sirul(
1bn
)n∈N
este nemarginit.
Propositia 54 Fie doua siruri convergente (an)n∈N si (bn)n∈N astfel ıncat
an ≤ bn, ∀n ∈ N.
Atunci putem trece la limita ın inegalitatea de mai sus, adica are loc
limn→∞
an ≤ limn→∞
bn .
Propositia 55 (Criteriul clestelui) Fie trei siruri (an)n∈N, (bn)n∈N si (xn)n∈N astfel ıncat
an ≤ xn ≤ bn, ∀n ∈ N.
Daca sirurile (an)n∈N, (bn)n∈N sunt convergente la aceasi limita, atunci sirul (xn)n∈N este convergent siare aceesi limita ca celelalte doua siruri.
Exemplul 56 Aplicam criteriul pentru sirul dat de
xn =1
n2 + 1+
2
n2 + 2+
3
n2 + 3+ · · ·+ n
n2 + n.
Avem inegalitatile imediaten2 + 1 ≤ n2 + 1 ≤ n2 + n ,
n2 + 1 ≤ n2 + 2 ≤ n2 + n ,
n2 + 1 ≤ n2 + 3 ≤ n2 + n ,
. . . . . .n2 + 1 ≤ n2 + n ≤ n2 + n.
Deci1
n2 + n≤ 1
n2 + 1≤ 1
n2 + 1,
2
n2 + n≤ 2
n2 + 2≤ 2
n2 + 1,
3
n2 + n≤ 3
n2 + 3≤ 3
n2 + 1, . . . . . . ,
n
n2 + n≤ n
n2 + n≤ n
n2 + 1,
9
Lucia
n Mati
ciuc
Capitolul I: Siruri de numere reale Lect. dr. Lucian Maticiuc
adica avem ıncadrarea
1
n2 + n+
2
n2 + n+ · · ·+ n
n2 + n≤ xn ≤
1
n2 + 1+
2
n2 + 1+ · · ·+ n
n2 + 1
deci1
n2 + n(1 + 2 + 3 + · · ·+ n) ≤ xn ≤
1
n2 + 1(1 + 2 + 3 + · · ·+ n)
sau1
n2 + n
n (n+ 1)
2≤ xn ≤
1
n2 + 1
n (n+ 1)
2⇔
n2 + 1
2n2 + 2n≤ xn ≤
n2 + 1
2n2 + 2
Avem ca an =n2 + 1
2n2 + 2n→ 1
2, bn =
n2 + 1
2n2 + 2→ 1
2deci xn →
1
2.
4 Siruri cu limita infinita si operatii cu siruri cu limita (finita saunu)
Definitia 57 Se numeste vecinatate a lui +∞ orice multime V ⊂ R pentru care exista α ∈ R astfelıncat
(α,∞) ⊂ V.
Se numeste vecinatate a lui −∞ orice multime V ⊂ R pentru care exista α ∈ R astfel ıncat
(−∞, α) ⊂ V
(vezi si desenul).
Definitia 58 Spunem ca +∞ este limita sirului (an)n∈N daca orice vecinatate a lui +∞ contine totitermenii sirului, cu exceptia eventuala a unui numar finit de termeni. Scriem ın acest caz ca
limn→∞
an = +∞ sau an −−−−→n→∞
+∞.
Exemplul 59 Sirul dat de an = n2 are urmatoarele valori:
n an0 01 12 43 94 165 2510 100100 100001000 1000000
Teorema 60 (Caracterizarea cu ε a limitei infinite) Sirul (an)n∈N are limita +∞ daca si numai dacapentru orice α > 0, exista numarul natural N (α) ∈ N astfel ıncat oricare ar fi n ≥ N (α), are loc
an > α .
Remarca 61 Similar se poate defini ca limn→∞
an = −∞.
10
Lucia
n Mati
ciuc
Capitolul I: Siruri de numere reale Lect. dr. Lucian Maticiuc
Remarca 62 Sirurile care au limita infinita (±∞) sunt nemarginite deci divergente.
Propositia 63 Daca limn→∞
an = +∞ si an ≤ bn, ∀n ∈ N, atunci
limn→∞
bn = +∞.
Daca limn→∞
an = −∞ si bn ≤ an, ∀n ∈ N, atunci
limn→∞
bn = −∞.
Exemplul 64 1. Sirul dat de an = 1 + 2 + · · ·+ n este divergent. Se va calcula an = n(n+1)2 > n2
2 si seva gasi N (α).
Propositia 65 Orice sir crescator si nemarginit (superior) are limita +∞.Orice sir descrescator si nemarginit (inferior) are limita −∞.Orice sir monoton are limita. Aceasta este finita daca sirul este nemarginit si infinita daca sirul este
nemarginit.
Propositia 66 Daca un sir are limita +∞ atunci orice subsir al sau are tot limita +∞.
Utilizand acum Teorema 35 se poate deci arata ca
Propositia 67 Daca un sir are limita atunci orice subsir al sau are aceeasi limita.
Corolarul 68 Daca un subsir al unui sir nu are limita atunci sirul ıntreg nu are limita.
Corolarul 69 Daca doua subsiruri ale unui sir au limita dar ele sunt diferite ıntre ele atunci sirul ıntregnu are limita.
Exemplul 70 Sirul dat de termenul general an = n(−1)n
, n ∈ N nu are limita.Intr-adevar, subsirul
a2k = (2k)(−1)2k
= 2k −−−−→k→∞
+∞
iara2k+1 = (2k + 1)
(−1)2k+1
= (2k + 1)−1 −−−−→
k→∞0
si +∞ 6= 0.
Propositia 71 (Operatii cu siruri cu limita) Fie doua siruri (an)n∈N si (bn)n∈N astfel ıncat
limn→∞
an = a si limn→∞
bn = b,
cu a si b finite sau nu. Fie si α ∈ R.1. Daca suma a+ b are sens atunci sirul suma are limita si
limn→∞
(an + bn) = limn→∞
an + limn→∞
bn .
2. Daca produsul α a are sens atunci
limn→∞
(αan) = α limn→∞
an .
3. Daca produsul a · b are sens atunci sirul produs are limita si
limn→∞
(an · bn) = limn→∞
an · limn→∞
bn .
11
Lucia
n Mati
ciuc
Capitolul I: Siruri de numere reale Lect. dr. Lucian Maticiuc
4. Daca raportul ab are sens atunci sirul cat are limita si
limn→∞
anbn
=limn→∞
an
limn→∞
bn.
5. Daca puterea ab are sens atunci
limn→∞
(an)bn =
(limn→∞
an
) limn→∞
bn.
Remarca 72 Suma limitelor nu are sens ın cazul∞−∞.
Produsul limitelor nu are sens ın cazul 0 · ∞.
Raportul limitelor nu are sens ın cazul ∞∞ si 00 .
Puterea limitelor nu are sens ın cazul 1∞,∞0 si 00.
Expresiile de mai sus sunt nedeterminari; Aceasta ınseamna, de exemplu ın cazul 00 , ca exista doua
siruri (xn)n si (yn)n astfel ıncat xn → 0, yn → 0 si sirul(xn
yn
)n
fie nu are limita fie limita sa exista dar
poate fi orice element ` ∈ R.
5 Limite fundamentale
1.
limn→∞
qn =
0, daca |q| < 1⇔ q ∈ (−1, 1) ,
1, daca q = 1,
∞, daca q > 1,
nu exista, daca q ≤ −1.
2.
limn→∞
(1 + q + q2 + · · ·+ qn−1 + qn
)=
(limn→∞
1− qn+1
1− q
)=
1
1− q, ∀ |q| < 1.
3.
limn→∞
(a1n
p + a2np−1 + a3n
p−2 + · · · apn+ ap+1
)= a1·∞ =
{∞ , daca a1 > 0,
−∞ , daca a1 < 0, p ∈ N∗.
(limita dintr-un polinom de grad p ın variabila n).
4.
limn→∞
a1np + a2n
p−1 + a3np−2 + · · · apn+ ap+1
b1nq + b2nq−1 + b3nq−2 + · · · bqn+ bq+1=
∞ a1
b1, daca p > q,
a1b1
, daca p = q,
0 , daca p < q
, p, q ∈ N
(limita dintr-o fractie de polinoame ın variabila n).
5.
limn→∞
(1 +
1
n
)n= e,
unde e este un numarul irational, e ∈ R r Q, numit constanta lui Euler iar e ' 2.71828182845905.
12
Lucia
n Mati
ciuc
Capitolul I: Siruri de numere reale Lect. dr. Lucian Maticiuc
Propositia 73 Sirul (an)n∈N definit de an :=
(1 +
1
n
)neste un sir strict crescator si marginit,
cu an ∈ (2, 3).
6.
limn→∞
(1 +
1
xn
)xn
= e, unde xn →∞
si
limn→∞
(1 + xn)
1
xn = e, unde xn → 0.
7.limn→∞
sinxnxn
= 1, unde xn → 0
si
limn→∞
tgxnxn
= 1, unde xn → 0.
8.limn→∞
axn − 1
xn= ln a, unde xn → 0
si
limn→∞
ln (1 + xn)
xn= 1, unde xn → 0.
9.limn→∞
en
np=∞ , p ∈ N
si
limn→∞
lnn
np= 0 , p ∈ N∗.
10.limn→∞
n√n = 1.
Propositia 74 Sirul (an)n∈N definit de an := n√n este un sir descrescator si marginit.
Teorema 75 (Criteriul lui Cauchy-D’Alembert pentru siruri) Fie sirul (an)n∈N cu termenii an >0, ∀n ∈ N. Presupunem ca exista limita
limn→∞
an+1
an= ` .
Atunci exista si limita limn7→∞
n√an si este egala tot cu `.
Exemplul 76 Are loclimn→∞
n√n = 1.
13
Lucia
n Mati
ciuc
Capitolul I: Siruri de numere reale Lect. dr. Lucian Maticiuc
6 Puncte limita ale unui sir
Definitia 77 Fie a ∈ R∪{−∞,+∞}. Spunem ca a este punct limita al unui sir daca orice vecinatate alui a contine o infinitate de termeni ai sirului.
Teorema 78 (Teorema de caracterizare a unui punct limita) Valoarea a este punct limita a unui sirdaca si numai daca exista un subsir al acestuia care tinde catre a.
Demonstratie. Vom demonstra doar reciproca: presupunem ca exista subsirul (ank)k∈N astfel
ıncat limk→∞
ank= a. Evident (ank
)k∈N ⊂ (an)n∈N, adica subsirul dat reprezinta o infinitate de
termeni ai sirului initial. Prin definitie, ın orice vecinatate a lui a exista o infinitate de valori alesubsirului (cu exceptia eventuala a unui numar finit de termeni), adica o infinitate de termeni aisirului. Deci a este un punct limita.
Definitia 79 Fie (an)n∈N un sir. Cel mai mic punct limita al sirului se numeste limita inferioara asirului si se noteaza cu lim inf
n→∞an . Cel mai mare punct limita al sirului se numeste limita superioara a
sirului si se noteaza cu lim supn→∞
an .
Teorema 80 Un sir are limita daca si numai daca limita inferioara este egala cu limita superioara, adica
∃ limn→∞
an = a⇔ lim infn→∞
an = lim supn→∞
an = a.
Exemplul 81 a) Fie an = (−1)n. Atunci
lim infn→∞
an = −1, lim supn→∞
an = +1.
b) Fie an = n(−1)n
. Atunci
lim infn→∞
an = 0, lim supn→∞
an = +∞.
c) Fie an = n. Atuncilim infn→∞
an = lim supn→∞
an = +∞.
d) Fie an = −n2. Atuncilim infn→∞
an = lim supn→∞
an = −∞.
e) Fie an = (−1)nn . Atunci
lim infn→∞
an = 0 = lim supn→∞
a .
Exemplul 82 (vezi si Exemplul 16) Calculati limita inferioara si limita superioara pentru sirurile datede an = sin nπ
2 si bn = cos nπ2 .Avem ca
a4k = sin4kπ
2= sin 2kπ = sin 0, ∀k ∈ Z,
a4k+1 = sin(4k + 1)π
2= sin (2kπ + π/2) = sin (π/2) = 1, ∀k ∈ Z,
a4k+2 = sin(4k + 2)π
2= sin (2kπ + π) = sin (π) = 0, ∀k ∈ Z,
a4k+3 = sin(4k + 3)π
2= sin (2kπ + 3π/2) = sin (3π/2) = −1, ∀k ∈ Z.
Deci multimea punctelor limita ale sirului este {−1, 0,+1} si, conform definitiei, lim infn→∞
an = −1 silim supn→∞
an = +1.
14
Lucia
n Mati
ciuc
Capitolul I: Siruri de numere reale Lect. dr. Lucian Maticiuc
Remarca 83 Se poate demonstra ca
lim infn→∞
an = limn→∞
infk≥n
ak,
lim supn→∞
an = limn→∞
supk≥n
ak.
Are loc si
lim infn→∞
an = supn∈N
infk≥n
ak,
lim supn→∞
an = infn∈N
supk≥n
ak.
Exemplul 84 Fie sirurile date ın Exemplul 81. Calculati lim infn→∞
an si lim supn→∞
an folosind observatia de
mai sus.
15
Lucia
n Mati
ciuc