CAPITOLUL 12. INTEGRALE MULTIPLE 158
12.3 Integrala de suprafata de primul tip
12.43 Sa se calculeze integralele de suprafata de primul tip:1) I =
∫∫S (x+ y + z) dS, unde S este suprafata cubului ale carui fete apartin
planelor de coordonate si planelor x = 1, y = 1, z = 1.2) I =
∫∫S(x2 + y2
)dS, unde S este sfera x2 + y2 + z2 = a2.
3) I =∫∫S√x2 + y2 dS, unde S este suprafata laterala a conului x2
a2 + y2
a2 − z2
b2 = 0,0 ≤ z ≤ b.
R: 1) Scriem integrala ca suma integralelor pe cele sase fete ale cubului. I = 9.2) O reprezentare parametrica a sferei este: x = a cosu cos v, y = a sinu cos v, z =
a sin v, cu (u, v) ∈ ∆ = [0, 2π]× [−π2 , π2], iar ‖ru × rv‖ = a2 cos v. Deci:
I = a4
∫ ∫
∆
cos3 u dudv =83πa4.
3) O reprezentare parametrica a conului este: x = av cosu, y = av sinu, z = bv, cu(u, v) ∈ ∆ = [0, 2π]× [0, 1], iar ‖ru × rv‖ = av
√a2 + b2. Deci:
I = a2√a2 + b2
∫ ∫
∆
v2dudv =23πa2
√a2 + b2.
12.44 Sa se calculeze integralele de suprafata de primul tip:1) I =
∫∫S(y2z2 + z2x2 + x2y2
)dS, unde S este portiunea din conul z =
√x2 + y2,
situata ın interiorul cilindrului x2 + y2 − 2x = 0.2) I =
∫∫S
z dS√x2+y2+a2
, unde S este portiunea din paraboloidul 2az = x2 + y2, situata
ıntre planele z = 0 si z = h (a > 0, h > 0).3) I =
∫∫S
dS√x2+y2+4z2
, unde: S ={
(x, y, z) , x2 + y2 + z2 = a2, z ≥ 0}
.
4) I =∫∫S z dS, unde: S = {(x, y, z) , x = u cos v, y = u sin v, z = v, (u, v) ∈ ∆}, cu
∆ = [0, a]× [0, 2π].5) I =
∫∫S(x2 + y2
)dS, unde S este suprafata conica z2 = x2 + y2, cuprinsa ıntre
planele z = 0 si z = 1.
R: 1) I = 298 π√
2. 2) I = πh2. 3) I = 23πa√
3 ln(2 +√
3).
4) I = π2[a√a2 + 1 + ln
(a+√a2 + 1
)]. 5) I = 1
2π√
2.
12.45 Sa se determine masa suprafetei omogene (ρ = ρ0): (S) z = 1h
(x2 + y2
), 0 ≤
z ≤ h, h > 0.
R: M = ρ0
∫∫S dS = ρ0
∫∫D
√1 + 4
h2 (x2 + y2) dxdy = 16ρ0πh
2(5√
5− 1), unde D ={
(x, y) , x2 + y2 ≤ h2}.
12.46 Sa se determine masa suprafetei (S) z = 12
(x2 + y2
), 0 ≤ z ≤ 1, avand densi-
tatea superficiala ρ (x, y, z) = z.
R: M =∫∫S zdS = 1
2
∫∫D
(x2 + y2
)√1 + x2 + y2 dxdy = 2
15π(6√
3 + 1), unde D ={
(x, y) , x2 + y2 ≤ 2}
.
1
ONL
Y FO
R ST
UDEN
TS
CAPITOLUL 12. INTEGRALE MULTIPLE 159
12.47 Sa se determine masa suprafetei cubului 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 1, avanddensitatea superficiala ρ (x, y, z) = xyz.
R: M = 34 .
12.48 Sa se gaseasca coordonatele centrului de greutate al suprafetei omogene z = x2 +y2, situata ın interiorul cilindrului x2 + y2 − x = 0.
R: G(0, 0, 16
19
).
12.49 Sa se determine masa si coordonatele centrului de greutate ale suprafetei omogene(ρ = 1): (S) z =
√1− x2 − y2, x ≥ 0, y ≥ 0, x+ y ≤ 1.
R: M = 12π(√
2− 1)
si G(
14
√2, 1
4
√2, 1
π
(√2 + 1
)).
12.50 Sa se calculeze momentul de inertie ın raport cu axa Oz al suprafetei omogene(ρ = ρ0): (S) x2 + y2 + z2 = a2, z ≥ 0.
R: Iz = 43πa
4ρ0.
12.51 Sa se calculeze momentul de inertie ın raport cu axa Oz al suprafetei omogene(ρ = ρ0): (S) z =
√x2 + y2, 0 ≤ z ≤ h, h > 0.
R: Iz = 12πh
4√2.
12.4 Integrale de suprafata de tipul al doilea
12.52 Sa se calculeze integralele de suprafata de tipul al doilea:1) I =
∫∫S yz dydz + zx dzdx + xy dxdy, unde S este fata exterioara a tetraedrului
marginit de planele de coordonate si de planul x+ y + z = a (a > 0).2) I =
∫∫S z dxdy, unde S este fata exterioara a elipsoidului x2
2
ONL
Y FO
R ST
UDEN
TS
