CAPITOLUL 12. INTEGRALE MULTIPLE 158

12.3 Integrala de suprafata de primul tip

12.43 Sa se calculeze integralele de suprafata de primul tip:1) I =

∫∫S (x+ y + z) dS, unde S este suprafata cubului ale carui fete apartin

planelor de coordonate si planelor x = 1, y = 1, z = 1.2) I =

∫∫S(x2 + y2

)dS, unde S este sfera x2 + y2 + z2 = a2.

3) I =∫∫S√x2 + y2 dS, unde S este suprafata laterala a conului x2

a2 + y2

a2 − z2

b2 = 0,0 ≤ z ≤ b.

R: 1) Scriem integrala ca suma integralelor pe cele sase fete ale cubului. I = 9.2) O reprezentare parametrica a sferei este: x = a cosu cos v, y = a sinu cos v, z =

a sin v, cu (u, v) ∈ ∆ = [0, 2π]× [−π2 , π2], iar ‖ru × rv‖ = a2 cos v. Deci:

I = a4

∫ ∫

∆

cos3 u dudv =83πa4.

3) O reprezentare parametrica a conului este: x = av cosu, y = av sinu, z = bv, cu(u, v) ∈ ∆ = [0, 2π]× [0, 1], iar ‖ru × rv‖ = av

√a2 + b2. Deci:

I = a2√a2 + b2

∫ ∫

∆

v2dudv =23πa2

√a2 + b2.

12.44 Sa se calculeze integralele de suprafata de primul tip:1) I =

∫∫S(y2z2 + z2x2 + x2y2

)dS, unde S este portiunea din conul z =

√x2 + y2,

situata ın interiorul cilindrului x2 + y2 − 2x = 0.2) I =

∫∫S

z dS√x2+y2+a2

, unde S este portiunea din paraboloidul 2az = x2 + y2, situata

ıntre planele z = 0 si z = h (a > 0, h > 0).3) I =

∫∫S

dS√x2+y2+4z2

, unde: S ={

(x, y, z) , x2 + y2 + z2 = a2, z ≥ 0}

.

4) I =∫∫S z dS, unde: S = {(x, y, z) , x = u cos v, y = u sin v, z = v, (u, v) ∈ ∆}, cu

∆ = [0, a]× [0, 2π].5) I =

∫∫S(x2 + y2

)dS, unde S este suprafata conica z2 = x2 + y2, cuprinsa ıntre

planele z = 0 si z = 1.

R: 1) I = 298 π√

2. 2) I = πh2. 3) I = 23πa√

3 ln(2 +√

3).

4) I = π2[a√a2 + 1 + ln

(a+√a2 + 1

)]. 5) I = 1

2π√

2.

12.45 Sa se determine masa suprafetei omogene (ρ = ρ0): (S) z = 1h

(x2 + y2

), 0 ≤

z ≤ h, h > 0.

R: M = ρ0

∫∫S dS = ρ0

∫∫D

√1 + 4

h2 (x2 + y2) dxdy = 16ρ0πh

2(5√

5− 1), unde D ={

(x, y) , x2 + y2 ≤ h2}.

12.46 Sa se determine masa suprafetei (S) z = 12

(x2 + y2

), 0 ≤ z ≤ 1, avand densi-

tatea superficiala ρ (x, y, z) = z.

R: M =∫∫S zdS = 1

2

∫∫D

(x2 + y2

)√1 + x2 + y2 dxdy = 2

15π(6√

3 + 1), unde D ={

(x, y) , x2 + y2 ≤ 2}

.

1

ONL

Y FO

R ST

UDEN

TS

CAPITOLUL 12. INTEGRALE MULTIPLE 159

12.47 Sa se determine masa suprafetei cubului 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 1, avanddensitatea superficiala ρ (x, y, z) = xyz.

R: M = 34 .

12.48 Sa se gaseasca coordonatele centrului de greutate al suprafetei omogene z = x2 +y2, situata ın interiorul cilindrului x2 + y2 − x = 0.

R: G(0, 0, 16

19

).

12.49 Sa se determine masa si coordonatele centrului de greutate ale suprafetei omogene(ρ = 1): (S) z =

√1− x2 − y2, x ≥ 0, y ≥ 0, x+ y ≤ 1.

R: M = 12π(√

2− 1)

si G(

14

√2, 1

4

√2, 1

π

(√2 + 1

)).

12.50 Sa se calculeze momentul de inertie ın raport cu axa Oz al suprafetei omogene(ρ = ρ0): (S) x2 + y2 + z2 = a2, z ≥ 0.

R: Iz = 43πa

4ρ0.

12.51 Sa se calculeze momentul de inertie ın raport cu axa Oz al suprafetei omogene(ρ = ρ0): (S) z =

√x2 + y2, 0 ≤ z ≤ h, h > 0.

R: Iz = 12πh

4√2.

12.4 Integrale de suprafata de tipul al doilea

12.52 Sa se calculeze integralele de suprafata de tipul al doilea:1) I =

∫∫S yz dydz + zx dzdx + xy dxdy, unde S este fata exterioara a tetraedrului

marginit de planele de coordonate si de planul x+ y + z = a (a > 0).2) I =

∫∫S z dxdy, unde S este fata exterioara a elipsoidului x2

2

ONL

Y FO

R ST

UDEN

TS