Universitatea EcologicĂ Din BucureŞti Facultatea de Ştiinţe

8/14/2019 Universitatea Ecologic Din Bucureti Facultatea de tiine

1/74

UNIVERSITATEA ECOLOGIC DIN BUCURETI

Facultatea de tiine Economice

STATISTIC

APLICAII

I

prof.univ. dr. Maria MOLNAR

lector univ. Nicoleta CARAGEA

Bucureti

2008


2/74

2

PROIECTUL I A

a. Se cunosc urmtoarele date privind cifra de afaceri a 50 firme prestatoare de servicii din oraul M :

600 800 650 200 80 35 1000 1200 500 480 555 620 510

260 180 75 96 280 1170 900 680 850 300 645 680 1020

320 362 88 726 761 890 345 379 805 920 600 590

578 534 617 236 222 58 715 518 696 568 580 480

S se fac gruparea firmelor dup cifra de afaceri.

b. Cifra de afaceri a 10 firme de construcii din oraul M anregistrat urmtoarele niveluri:

Mil. lei lunar 600 800 650 200 80 350 1000 1200 500 480

S se calculeze:

1. ponderea cifrei de afaceri a primei i a ultimei firme n totalul cifrei de afaceri a celor 10 firme i

diferena dintre cele dou ponderi;

2. raportul dintre cifra de afaceri maximi cea minim;

3. cifra de afaceri a tuturor firmelor din ora, dac ponderea celor 10 firme n cifra total de afaceri

este de 7,2%;

4. ponderea celor 10 firme n efectivul de salariai ai oraului, dac aceasta este cu 2,6 p.p. mai mare

dect ponderea lor n cifra total de afaceri;

5. media, mediana, modul cifrei de afaceri;

6. indicatorii simpli i sintetici ai variaiei cifrei de afaceri a celor 10 firme;

7. media aritmetic, armonic, ptratici geometric a cifrei de afaceri a primelor 3 firme;

c. Distribuia tuturor celor 285 firme din ora dup cifra de afaceri este urmtoarea:

Grupe dup nivelul cifrei

de afaceri, mii lei

Pn la

2000

2000-

4000

4000

-

6000

6000

-

8000

8000-

1000

0

10000

-

15000

15000

-

30000

30000

-

50000

Peste

500000

Pondere n total firme, % 12,3 18,6 24,8 27,0 11,2 3,2 1,8 0,7 0,4

S se calculeze:

1. media cifrei de afaceri;

2. mediana i modul distribuiei firmelor dup cifra de afaceri;

3. indicatorii sintetici ai variaiei cifrei de afaceri i s se precizeze semnificaia acestora;

4. numrul firmelor cuprinse n fiecare grup;


3/74

5. ponderea firmelor din prima grup n cifra total de afaceri, dac cifra medie de afaceri a acestora

este de 1360 mii lei.

REZOLVARE

a. Gruparea firmelor dup cifra de afaceri presupune stabilirea:

i. numrului de grupe,

ii. a mrimii intervalului de grupare,

iii. a limitelor intervalelor de grupare, adic a valorilor care delimiteaz fiecare grup.

i. Numrul grupelor

Una dintre metodele utilizate pentru determinarea numrului de grupe const n aproximarea acestuia

pe baza formulei:

3

n care reprezint numrul aproximativ de grupe i n numrul firmelor observate. Numrul de grupe

va fi egal cu numrul ntreg care depete valoarea rezultat din calcul, ceea ce nseamn c numrul

de grupe se stabilete prin rotunjirea n plus a rezultatului.

Deci, numrul de grupe este g = 5.

ii. Mrimea intervalului de grupare

Mrimea intervalului de grupare ( ) poate fi aproximat mprind diferena dintre valoarea maxim

(xmax) i cea minim (xmin) la numrul grupelor (g), conform formulei:

Mrimea efectiv a intervalului (h) se stabilete prin rotunjirea n plus a rezultatului raportului.

Se rotunjete n plus: h = 250 mil.lei

iii. Limitele intervalelor

Specificarea limitelor intervalelor de grupare trebuie astfel realizat nct intervalele constituite s

acopere toate valorile rezultate din observare, iar o anumit valoare s poat fi atribuit unei singure

grupe.

Practic, limita inferioar a primului interval (intervalul corespunztor celor mai mici valori) poate fi stabilit

adoptnd o valoare arbitrar, egal sau mai mic dect valoarea minim, dar nu mult mai mic dect

aceasta. Aceast limit poate fi determinat pe baza formulei:

g~3g n2~=

.64,4502g~ 3 ==

h~

xx~ g

h minmax=

2335

351200~

=

=h


4/74

( ) )2

xhgxx minmaxmin

inf

1

x

4

Limita superioar a primului interval se calculeaz nsumnd nlimea intervalului la limita sa inferioar:

Limita inferioar a intervalului urmtor este egal cu limita superioar a primului interval, iar limita

superioar se determin adugnd la aceasta nlimea intervalului. n mod similar se stabilesc i

limitele celorlalte intervale.

Astfel:

.............................................

xinf

2

sup

2 +

x

hxx+inf

1

sup

1

Limita inferioar a primului interval poate fi stabilit pornind de la:

n acest caz limita inferioar primului interval se stabilete la 0, limita superioar a acestuia va fi

egal cu:

mil. lei

iar limitele celorlalte grupe vor fi:

n urma numrrii firmelor care au cifra de afaceri cuprins n fiecare din cele cinci intervale a

rezultat urmtoarea distribuie:

sup

1

inf

2 x x hx

sup2

inf3 x hxx +inf3sup3

sup

1k

inf

k xx = hxxinf

k

sup

k +

5,72

)351200(250535x inf1 =

=

2502500x sup =+=1

250x inf2 = x 2 500250250sup =+=

sup

3 =+=

4 =+=

500x inf3 = x 750250500

750x = supinf4 1000250750x

12502501000x sup5 =+=1000xinf

5 =


5/74

Tabelul 1.1. Distribuia firmelor dup cifra de afaceri

Grupe dup cifra de afaceri

(mil. lei lunar)

Numrul firmelor

0 250 10

250 500 10500 750 19

750 1000 8

1000 1250 4

b. Cifra de afaceri a 10 firme de construcii din oraul M anregistrat urmtoarele niveluri:

Mil. lei lunar 600 800 650 200 80 350 1000 1200 500 480

1. Ponderea cifrei de afaceri a primei i a ultimei firme n totalul cifrei de afaceri a celor 10 firme i

diferena dintre cele dou ponderi

i. cifra de afaceri total pentru cele 10 firme:

58604805001200100035080200650800600x10

1i

i =+++++++++==

ii. ponderea cifrei de afaceri a primei firme n totalul cifrei de afaceri a celor 10 firme:

%2,101005860

600100

x

xg

10

1i

i

11 ===

=

iii. ponderea cifrei de afaceri a ultimei firme n totalul cifrei de afaceri a celor 10 firme:

%2,81005860

480100

x

xg

10

1i

i

1010 ===

=

iv. diferena dintre cele dou ponderi:

0,22,82,10ggg 10110/1 === p.p.

2. Raportul dintre cifra de afaceri maximi cea minim

1580

1200

x

xk

min

max === ,

ceea ce nseamn c cifra de afaceri maxim este de 15 ori mai mare dect cea minim.

3. Cifra de afaceri a tuturor firmelor din ora, dac ponderea celor 10 firme n cifra total de afaceri este

de 7,2%

5


6/74

Ponderea celor 10 firme n cifra total de afaceri se calculeaz conform formulei:

100X

xg x

unde x este cifra de afaceri a celor 10 firme CA(10) = 5860 mil. lei

X cifra de afaceri a tuturor firmelor din ora CA(ora)

gx ponderea celor 10 firme n cifra de afaceri a oraului g10 = 7,2%

Astfel,

%2,7100)ora(CA

)10(CA)10(g == .

Conform formulei:

100g

xX

x

mil. lei

alariai ai oraului, dac aceasta este cu 2,6 p.p. mai mare

a total de afaceri

p.p.

ponderea celor 10 firme n efectivul total de salariai i n cifra total de afaceri

din ora.

Prin urmare,

4. Ponderea celor 10 firme n efectivul de s

813891002,7

5860

)10(g

)10(CA)ora(CA ===

dect ponderea lor n cifr

Se cunoate c6,2gg CAN =

unde gN i gCA reprezint

%8,96,22,7gN =+= .

5. Media, mediana i modul cifrei de afaceri

5.1. Media

58610

5860

10

4805001200100035080200650800600

10

x

x

10

1i

i

==+++++++++

==

= mil.lei

5.2. Mediana

i. se ordoneaz cresctor termenii seriei

6


7/74

80 200 350 480 500 600 650 800 1000 1200

ii. calculul medianei, conform rela

pentru

iei:

7

5502

600500

2

xxMe = 65 =

+=

+mil.lei

5.3.

6. tici ai variaiei cifrei de afaceri a celor 10 firme

6.1

6

i. amplitudinea :

Modul

Seria nu are mod, ntruct nici una dintre valori nu se repet.

Indicatorii simpli i sinte

. Indicatorii simpli

.1.1. Amplitudinea

absolut

2

xxMe 1ii +

+= 5

2

10

2

ni ===

minmaxxx =A

1120801200xxA minmax == mil. lei

. a :

6.1

tive:

=

ii mplitudinea relativ

100

x

A%A =

%1,1911001120

%A ==586

.2. Abaterile individuale

i. abaterile individuale absolute:

ii. abaterile individuale rela

;xxd ii =

d1 = 600-586 = 14 mil. lei

;100xd%d ii =

%;5,2100 =586

14%d1 =


8/74

8

T uale al

Cifra d eri,

mil. lei

xi

%

abelul 2.1.Abaterile individ e cifrei de afaceri

e cafa Abaterile absolute, mil.lei Abaterile relative,

586xd ii = 100d

%d ii =586

600 14 2,5

800 214 37,7

650 64 11,3

200 -386 -68,0

80 -506 -89,1

350 -236 -41,5

1000 414 72,9

1200 614 108,1

500 -86 -15,1

480 -106 -18,7

6.2. Indicatorii sintetici

6

uleaz pe baza relaiei:

nseamn c cifra de afaceri a firmelor se abate faa de media de 586 mil.lei n medie cu 264

Tabelul 2.2. Calculul nu edii

Firma

.2.1. Abaterea medie

Se calc

nd 1i==

xxn

i

ceea ce

leimiil

x

d ii

.2642640

58610

1 ==

=

=

1010

mil.lei.

mitorului formulei abaterii m i dispersiei

586x i 2

i )586x( ix

1 600 14 196

2 800 214 45796

3 650 64 4096

4 200 386 148996

5 80 506 256036

6 350 236 55696

7 1000 414 171396

8 1 614 37200 6996

9 500 86 7396

10 480 106 11236

Total 2640 1077840


9/74

6.2.2. Dispersia

Se calculeaz pe baza relaiei:

9

6.2.3. Abaterea standar

lcul:

mil.lei

ifra de afaceri a firmelor se abate faa de media de 586 mil.lei n medie cu 328,3 mil.lei.

ariaie

v > 35-40%, indicnd faptul c seria nu este omogen, iar media nu este reprezentativ.

nic, ptratici geometric a cifrei de afaceri a primelor 3 firme

Media aritmetic

( )

n

1i2 ==

xxn

2i

( )107784

10

1077840

10

586x10

1i

2

i2 ==

=

=

d

Formula de ca

( )

C

6.2.4. Coeficientul de v

Formula de calcul:

7. Media aritmetic, armo

7.1.

n

1i==

xxn

2

i

( )3,328107784

1010

1i ==== =1077840

586x10

2

i

100x

v =

%0,56100586

v ==3,328


10/74

Formula de calcul:

10

mil. lei

mil. lei

mil. lei

mil.lei

n

x

x

n

1i

i==

3,6833

2050

3

650800600

3

xxx 321 ==++

=++

=

x

7.2. Media armonic

Formula de calcul:

=1i ix

=nh

1

nx

Media ptratic

Formula de calcul:

3,673001538,000125,0001667,0

3

111

3

111

3x h =

++===

650800600xxx 321++++

n

x

x

n

1i

2

i

p

==

6,688333

x 321p ====14225000650800600xxx 222

222 ++++

Media geometric

Formula de calcul:

n

n

ig xx =1i=

2,678312000000650800600xxxx 33 321g ====


11/74

11

turor celor 285 firme din ora dup cifra de afaceri este urmtoarea:

faceri, la 2000 4000 6000 8000 10000 15000 30000 50000 50000

c. Distribuia tu

Grupe dup

nivelul cifrei

de a

mii lei

Pn 2000- 4000- 6000- 8000- 10000- 15000- 30000- Peste

Pondere n

total firme, % 12,3 18,6 24,8 27,0 11,2 3,2 1,8 0,7 0,4

Cifra de afaceri poate fi exprimat n milioane lei, pentru a simplifica operaiile de calcul al

astfel:

faceri, la 22-4 4-6 6-8 8-10 10-15 15-30 30-50

Peste

50

indicatorilor,

Grupe dup

nivelul cifrei

de a

P

mil. lei

n

Pondere n

total firme, % 12,3 18,6 24,8 27,0 11,2 3,2 1,8 0,7 0,4

1. Media cifrei de afaceri

=1ii

=

= k '

k

1i

'

ii

n

nx

x

Calculul mediei unei serii de distribuie pe intervale impune determinarea centrului intervalului, astfel:

2

xxx

sup

i

inf

ii

+= pentru i = 2, ...., k-1

211 , iar

hxx 1sup =

2

hxx ksup1kk += ,

e

pentru i = 2, ...., k-1,sup1i

sup

ii xxh =

21 hh =

lei.mil203050xxhh sup7sup889 ====

n condiiile n car

1kk hh =

lei.mil224xxhh sup1sup

221 ====


12/74

12

Astfel, centrele celor 9 intervale sunt:

mil.lei

32

42

2

xxx

sup

1

sup

22 =

+=

+= mil.lei

52

64

2

xxx

sup

2

sup

33 =

+=

+= mil.lei

72

86

2

xxx

sup

3

sup

44 =

+=

+= mil.lei

92

108

2

xxx

sup

4

sup

55 =

+=

+= mil.lei

5,122

1510

2

xxx

sup

5

sup

66 =

+=

+= mil.lei

5, mil.lei222

3015

2

xxx

sup6

sup7

7 =+=+=

405030xx

xsup

7

sup

88 =

+=

+= mil.lei

22

602

2050

2x 9 =+= mil.lei

Tabelul 3.1. Algoritmul de calcul al mediei

Grupe cifra

de i,

Pondere n total

firm

Mrimea

interv lor,

mil.lei

h

C l

inter lor,

mil. lei

hx sup9 += 8

dup

afacer

mil.leie, %

ale

i

entru

vale

xi

P 1n la 2 2,3 2 1,0 12,3

2 4 18,6 2 3,0 55,8

4 6 2 14,8 2 5,0 24,0

6 8 2 17,0 2 7,0 89,0

8 10 11,2 2 9,0 100,810 15 3,2 5 12,5 40,0

15 30 1,8 15 22,5 40,5

12

22

2

hxx 1sup11 ===

ix

,

in

'

i n


13/74


14/74

14

Tabelul 3. ritmul de calcul al medianei

Grupe cifra

de afaceri,

Pondere n total

firme, %

Mrimea

intervalelor,

mil.lei

h

Frecv

cumulate cresctor

2. Algo

dup

mil.lei

i

enele

P 1n la 2 2,3 2 12,3

2 4 18,6 2 30,9

4 6 24,8 2 55,7

6 8 27,0 2 82,78 10 11,2 2 93,9

10 15 3,2 5 97,1

15 30 1,8 15 98,9

30 50 0,7 20 99,6

Peste 50 4 20 100,00,

Total 100,0 - -

Locul unitii mediane:

5,502

1100

2

1n

U

k

1i

'

i

Me =+

=

+

=

=

Se compar frecvenele cumulate cu 50,5%.

5,503,12N '1 =

Astfel, prima frecven cumulat mai mare dect 50,5% corespunde celui de-al treilea interval,

indicnd faptul c acesta este intervalul median.

ii. calculul medianei

lcul al medianei seriilor de frecvene pe intervale este:Formula de ca

Me

1Me

k

1i

i

Me

sup

1Men

N2

1n

hxMe

=

+

+=

.

iN,

in


15/74

Prin urmare:

5806,55806,147903,0248,24n 3

Me 5,6 mil.lei

9,302

1100

24

N2

1n

'

2

9

1

'

i

32 =+=+=

+

+=

+=

Intervalul cu frecvena cea mai mare este intervalul al patrulea (cifra de afaceri cuprins ntre 6 i

8 milioane lei), care cuprinde 27,0% din totalul firmelor.

ii. calculul moduluiFormula de calcul este:

hxMe

i

sup +=

2.2. Modul

i. intervalul modal

1MoMo1

1MoMo1

21

1Mo

sup

1Mo

nn

nn

:unde

hxMo

+

=

=

+

+=

Astfel,

15

3. indicatorii sintetici ai variaiei cifrei de afaceri

1. abaterea medie3.

Formula de calcul:

100

nxx

d

k

1i

'

ii=

=

Prin urmare:

0,3002416,3100100

2416,300n144,6x

d

9

1i

'

ii

==

=

= mil.lei

Cifra de afaceri a firmelor se abate de la media de 6,1 mil.lei n medie cu 3,0 mil. lei.

lei.mil2,62444,62444,06

)2,110,27()8,240,27(

8,240,2726

)nn()hxMo

'

5

'

4

'

3

=+

+

+nn( '443

nn '3'

4sup +=

+=

1222,026Mo =+=


16/74

16

tmul de calcul al abaterii medii

Gru ra

de afaceri,

mil.leifirme, %

intervalelor,

mil. lei

pe dup cif

Tabelul 3.3. Algori

Centrul

xi

Pondere n total

P 2

'

ii n4,6x 14144,6x i

n la 12,3 1,0 5,144 63,2712

2 4 18,6 3,0 3,144 58,4784

4 6 24,8 5,0 1,144 28,3712

6 8 27,0 7,0 0,856 23,1120

8 10 11,2 9,0 2,856 31,9872

10 15 3,2 12,5 6,356 20,3392

15 30 1,8 22,5 16,356 29,4408

30 50 0,7 40,0 33,856 23,6992Peste 50 60, 53,8560,4 0 21,5424

Total 100,0 - - 300,2416

3.2. dispersia

Formula de calcul:

100

n)xx(

k

1i

'i2i2 = =

Prin urmare:

26276,32100

276,3226

100

n)144,6x(9

1i

'

i

2

i2 ==

=

=

3.3. abaterea standard

Formula de calcul:

100

n)xx(k

1i

'

i

2

i=

=

Prin urmare:

5,75,68003226276,32100

276,3226

100

n)144,6x(9

1i

'

i

2

i

===

=

= mil.lei

i

,n


17/74

17

Cifra de afaceri a firmelor se abate de la media de 6,1 mil.lei n medie cu 5,7 mil. lei.

be tmul d al dispersiei i abaterii standard

Grupe dup

total firme, %

intervalelor,

mil. lei

Ta

cifra de

lul 3.4. Algori e calcul

Centrul

afaceri,

mil.lei

Pondere n

xi

P 2n la 12,3 1,0 -5,144 26,46074 325,46710

2 4 18,6 3,0 -3,144 9,884736 183,85610

4 6 24,8 5,0 -1,144 1,308736 32,45665

6 8 27,0 7,0 0,856 0,732736 19,78387

8 10 11,2 9,0 2,856 8,156736 91,35544

10 15 3,2 12,5 6,356 40,39874 129,27600

15 30 1,8 22,5 16,356 267,5187 481,53370

30 50 0,7 40,0 33,856 1146,229 802,36010

Peste 50 60, 53,85 2900,460,4 0 6 9 1160,18700

Total 100,0 - - - 3226,27600

3.4. coeficientul de variaie

Formula de calcul:

100x

v

=

92,4%92,44844100144,6

68,5v ==

> 35-40% indicnd faptul c seria nu este omogen, iar media nu este reprezentativ.

Ponderea firmelor din grupa in total firme se calculeaz dup formula:

v


100n

i

nn i' =

c numrul firmelor cuprinse n grupa ise calculeaz dup formula:

i

'

i

2

i n)144,6x( 144,x i,n

6 2i )1446x( ,

de unde rezult


18/74

100

nnn

'

ii =

18

Prin urmare:

35055,35100

3,12

285n1 == firme;

5301,53100

6,18285n 2 == firme;

7168,70100

9,24285n 3 == firme;

7795,76100

0,27285n 4 == firme;

3292,31100

2,11285n 5 == firme

912,9100

2,3285n 6 == firme:

513,5100

8,1285n 7 == firme;

2995,1100

7,0285n8 == firme;

114,1100

4,0285n 9 == firm.

5 prima grup n cifra total de afaceri, dac cifra medie de afaceri a acestora

Astfel, suma cifrei de afaceri a firmelor din prima grup este:

mil.le

. ponderea firmelor din

este de 1360 mii lei

Pe baza formulei mediei:

n

x

x

n

1i

i==

se poate calcula suma valorilor:

nxxn

i =1i=

nxxn

i =1i=

6,473536,1x35

1i

i ===

i


19/74

19

iar suma cifrei de afaceri a tuturor firmelor:

mil.lei.

Ponderea primei grupe n cifra total de afaceri:

%7,2728,210004,1751

6,47g1 == .

04,1751285144,6x285

1i

i ===


20/74

20

PROIECTUL I B

a. Se cunosc m date privind produsul intern brut pe locuitor (PIB/loc.) n 50 de ri:ur toarele

ara PIB/loc(mii $ ppc1)

1 Argentina 14,32 Australia 31,8

3 Austria 33,7

4 Bahamas 18,4

5 Bahrain 21,5

6 Barbados 17,3

7 Belgia 32,1

8 Brazilia 16,1

9 Brunei 28,2

10 Canada 33,4

11 Cehia 20,5

12 Chile 12,0

13 Cipru 22,7

14 Costa Rica 10,2

15 Croatia 13,0

16 Denemarca 34,0

17 Elvetia 35,6

18 Emiratele Arabe Unite 25,5

19 Estonia 15,5

20 Finlanda 32,2

21 Frana 30,4

22 Germania 29,5

23 Grecia 23,4

24 Hong Kong 34,825 Irlanda 38,5

26 Islanda 36,5

27 Israel 25,9

28 Italia 28,5

29 Japonia 31,3

30 Korea 22,0

31 Letonia 13,6

32 Lituania 14,5

33 Mexic 10,7

34 Malta 19,2

35 Norvegia 41,436 Noua Zeeland 25,0

37 Olanda 32,7

38 Polonia 13,8

39 Portugalia 20,4

40 Qatar 27,7

41 Regatul Unit 33,2

42 Romania 26,3

43 Singapore 29,7

44 Slovacia 15,9

45 Slovenia 22,3

46 Spania 27,2

1paritatea puterii de cumprare (ppc) este o metod folosit pentru a calcula o rat de schimb alternativ ntre monedele adou ri; ppc msoar puterea de cumprare a unei monede, ntr-o unitate de masur internaional (de regul, dolari),deoarece bunurile i serviciile au preuri diferite n unele ri comparativ cu altele.


21/74

21

47 Statele Unite 50,0

48 Suedia 32,5

49 Ungaria 17,9

50 Uruguay 10,2Sursa: Raportul Dezvoltrii Umane 2007/2008 (2005 - anul de referin)

S se fac gruparea rilor dup PIB/loc.

-au nregistrat urm rele nive le p ului in rut pe itor n

R ri europene:

b. n anul 2007 s toa luri a rodus tern b locu

omnia i n alte patru

Romnia Luxemburg Cehia Slovenia Germania

PIB/locuitor (mii $ ppc ) 10,9 75,9 14,5 20,9 38,8

Numrul locuitorilor, N

(milioane persoane) 21,5 0,5 10,4 2,0 82,2

Consumul de energie primar

stibil convenional) 39,1 4,6 44,8 7,3 345,5(mil. tone combuSurs

S se calcu

i n Slovenia (R/S), n Luxemburg i n Romnia (L/R) i

ltatelor;

4. cuitor n cele cinci ri;

6. indicatorii simpli i sintetici ai variaiei PIB/locuitor n cele cinci ri i s se precizeze semnificaia

7. consumul specific de energie primar n Romnia i n celelalte ri;

turor celor 27 ri membre ale UE dup nivelul PIB/loc. este urmtoarea

Gru /loc(mii $ ppc)

Pn la 10 10-15 15-20 20-25 25-30 30-40 Peste 40

a: Baza de date a Bncii Mondiale, 2008

leze:

1. PIB n fiecare din cele cinci ri;

2. raportul dintre PIB/locuitor n Romnia

s se precizeze semnificaia rezu

3. PIB/locuitor n Uniunea European (UE-27), dac PIB din Romnia reprezint 40,6% din UE-27;

media PIB/lo

5. mediana i modul PIB/locuitor;

rezultatelor;

c. Distribuia tu :

pe dup nivelul PIB

Num ---rul rilor 1 3 6 4 7 5

S se calculeze:

8. s se calculeze numrul rilor din ultima grup, stiind c acestea reprezint 3,8% n total;

r dup nivelul PIB/loc;

11. indicatorii sintetici ai variaiei PIB/loc i s se precizeze semnificaia acestora;

a fiecrei grupe n total.

9. media PIB/loc;

10. mediana i modul distribuiei rilo

12. pondere


22/74

22

REZOL

a. Grup une stabilirea:

intervalului de grupare,

r

ilizate entru eterm area umrului de grupe const proximarea acestuia

n care reprezint numrul aproximativ de grupe i n numrul firmelor observate. Numrul de grupe

a fi egal cu num ete valoarea rezultat din calcul, ceea ce nseamn c numrul

n plus a rezultatului.

rime dintre valoarea maximmax) ) la numrul grupelor (g), conform formulei:

valului (h) se stabilete prin rotunjirea n plus

VARE

area gruparea rilor dup PIB presup

iv. numrului de grupe,

v. a mrimii

vi. a limitelor intervalelor de grupare, adic a valorilor care delimiteaz fiecare grup.

i. Numrul grupelo

Una dintre metode ut p d in n n ale

pe baza formulei:

g~

3 n2g~=

v rul ntreg care dep

de grupe se stabilete prin rotunjirea

.64,4502g~ 3 ==

Deci, numrul de grupe este g = 5.

ii. Mrimea intervalului de grupare

M a intervalului de grupare ( ) poate fi aproximat mprind diferenah~

(x i cea minim (xmin

gh minmax= xx~

M rimea efectiv a inter a rezultatului raportului.

Specificarea limitelor intervalelor de grupare trebuie astfel realizat nct intervalele constituite s

Practic, limita inferioar a primului interval (intervalul corespunztor celor mai mici valori) poate fi stabilit

doptnd o valoare arbitrar, egal sau mai mic dect valoarea minim, dar nu mult mai mic dect

80

==h150~

5

h = 10 mii $ ppc

iii. Limitele intervalelor

acopere toate valorile rezultate din observare, iar o anumit valoare s poat fi atribuit unei singure

grupe.

a

aceasta. Aceast limit poate fi determinat pe baza formulei:


23/74

( ) ( )

23

Limita inferioar a intervalului urmtor este egal cu limita superioar a primului interval, iar limita

ar se determin adugnd la aceasta nlimea intervalului. n mod similar se stabilesc i

s

......

mita inferioar a primului interval poate fi stabilit pornind de la:

i interval se poate stabili la 5, limita superioar a acestuia va fi

urma numrrii rilor care au nivelul PIB cuprins n fiecare din cele cinci intervale a rezultat

rmtoarea distribuie:

Limita superioar a primului interval se calculeaz nsumnd nlimea intervalului la limita sa inferioar:

superio

limitele celorlalte intervale.

A tfel:

.......................................

Li

n acest caz limita inferioar primulu

egal cu:

mii $ ppc

iar limitele celorlalte grupe vor fi:

n

u

2xx n

xxhg minmaxmi

inf

1

hxx

inf

1

sup

1+

sup

1

inf

2 xx = xxinf

2

sup

2 = h

hxx inf3sup

3 +

sup

1k

in

kxx hxx

inf

k

sup

k +

+

sup

2

inf

3 xx =

f =

5)1050(105

10inf1 =

=x

1510sup1 ==x 5

2

x 2 =

354 = 451035sup4 =+=x

5510455 =+=x

p3 =+=x

15inf = 15sup +=x 25102

su25inf3 =x 351025

infx

45inf5 =xsup


24/74

24

Tabelul ia rilor dup nivelul PIB

Grupe du PIB

(m

Numrul rilor

1.1. Distribu

p

ii $ ppc)

5 15 9

15 25 15

25 35 21

35 45 4

45 55 1

b.

1. PIB n fiecare din cele cinci ri se determin astfel:

NlocPIBPIB

N

PIBlocPIB == //

.$4,234..5,21$9,10/ mldpersmilppcmiiNlocPIBPIBRomania ===

.$9,37..5,0$9,75/ mldpersmilppcmiiNlocPIBPIBLuxemburg ===

.$8,150..4,10$5,14/ mldpersmilppcmiiNlocPIBPIBCehia ===

.$8,41..0,2$9,20/ mldpersmilppcmiiNlocPIBPIBSlovenia ===

.$4,3189..2,82$8,38/ mldpersmilppcmiiNlocPIBrmaniaPIBGe ===

2. Raportul dintre PIB/locuitor n Romnia i n Slovenia (R/S), n Luxemburg i n Romnia (L/R)

i s se precizeze sem

nificaia rezultatelor.

521,09,20)(/

==SlovenialocPIB

, ceea ce nseamn c ni9,10)(/ Romanialoc

velul de bunstare n Romnia

reprezint numai 52,1% n raport c

PIB

u cel atins n Slovenia.

963,69,10)(/

==RomanialocPIB

9,75)(/ Luxemburgloc, indicnd un nivel de bunstare de 7 ori mai nalt n

Luxe

PIB

mburg dect n Romnia.


25/74

25

3. PIB/locuitor n Uniunea European (UE-27), dac PIB/loc. din Romnia reprezint 40,6% din

UE-27

$8,261006,40

9,10100

)(/)27(/6,40100

) RomanialocPIBUElocPIB

Romanialoc==

6,40)27(/

(/mii

UElocPIB

PIB==

ri se determin conform relaiei:

Algoritmul de calcul al mediei este prezentat n tabelul 1.

Tabel 1. Algoritmul de calcul al mediei PIB/locuitor

4. Media PIB/locuitor n cele cinci

xi

(PIB/locuitor)

ni

(numrul locuitorilor) xini

Romnia 10,9 21,5 234,4

Luxemburg 75,9 0,5 37,9

Cehia 14,5 10,4 150,8

Slovenia 20,9 2,0 41,8

Germania 38,8 82,2 3189,4

Total 3654,3116,6

5. mediana PIB/locuitor se stabile te astfel:

se determin locul/rangul unitii mediane dup formula:

8,5816,1161 =+==22

15

+=

Me

n

i

i

U

se calculeaz frecvenele cumulate cresctor sau descresctor dup formula:

astfel:

=

=5

1i

i niN

ppcmiix i $3,316,1165

1 === =

n

nx

i

i

ii26,3654

1

5

=

5,2111 == nN9,314,105,21212 =+=+= nnN

9,330,24,105,213213 =++=++= nnnN


26/74

1,1162,820,24,105,2143215 =+++=+++= nnnnN

6,1165,02,820,24,105,2153215 4 =++++=++ nn ++= nnN

Tabel 2. Algoritmul de calcul al medianei PIB/loc

n

xi

(PIB/locuitor)

ni

(numrul locuitorilor) N

10,921,5 21,5

14,510,4 31,9

20,92,0 33,9

38,882,2 116,1

75,90,5 116,6

116,6

se compar frecvenele cumulate cresctor cu valoarea locului medianei

Prima frecven cumulat cresctor mai mare dect rangul medianei indic mediana PIB/loc. Aceasta

nde valorii 38,8 mii $ ppc, deoarece prima frecven cumulat cresctor care dep e te

=Me

de locuito

ntetici ai variaiei PIB/locuitor n cele cinci ri i s se precizeze

semnificaia rezultatelor.

6.1. Ind

corespu

8,8U este N4=116,1.

Modul

5

Seria are mod, valoarea acestuia fiind 38,8 mii $ ppc, corespunztorrii cu cel mai mare numr

ri (Germania).

6. Indicatorii simpli i si

icatorii simpli ai variaiei

6.1.2. Amplitudinea

ii. amplitudinea absolut:

minmax xxA =

9,659,109,75minmax === xxA mii $ ppc

. amplitudinea relativ:ii

100

x

A%A =

26

%5,2101009,65

% ==A3,31


27/74

27

6.1.2. Abaterile individuale

i. abaterile individuale absolute:

abelul 2.1.Abaterile in e cifrei de afa

PIB/locuitor

(mii $ ppc)

Abaterile absolute

mii $ ppc

Abaterile relative, %

ii. abaterile individuale relative:

d1 = 10,9-31,3 = -20,4 mii $ ppc

;xxd ii =

;100

x

d%d ii =

%;2,65%1 =d 1003,31

=4,20

T dividuale al ceri

xi

10,9-20,4 -65,2

75,944,6 142,5

14,5-16,8 -53,7

20,9-10,4 -33,2

38,87,5 24,0

iei6.2. Indicatorii sintetici ai varia

6.2.

relaiei:

ceea ce nseamn c nivelul PIB/loc. al rilor se abate fa de media de 31,3 mii $, n medie cu

34,9 mii $.

1. Abaterea medie

Se calculeaz pe baza

=

=n

i

n

i

ii

n

nxx

d 1

=i 1

ppcmii

nx

d iii

$87,346,116

8,4066

6,116

3,311 ==

=

=

5

3,31= ixid 100% id 3,31=id


28/74

28

Tabelul 2.2. Calculul numitorului formulei abaterii mediii dispersiei

ara

1 10,9 21,5

20,4 1401,3 4247,9 91329,32 75,9 0,544,6 71,2 20304,0 10152,0

3 14,5 10,416,8 558,2 2880,9 29961,5

4 20,9 2,010,4 66,5 1104,0 2208,0

5 387,5 57 ,2

,8 82,21969,6 4 47196,1

Total 116,64066,8 180846,9

6.2.2. Dispersia

Se calculeaz pe baza relaiei:

6.2.3. Abaterea standard

Formula de calcul:

PIB/loc se abate fa de media de 31,3 mii $ ppc n medie cu 39,4 mii $ ppc.

( )

=ii

1

=

=n

n

i

ii

n

nxx1

2

2

( )

=

=

=n

i

i

n

i

ii

n

nxx

1

1

2

( )ppcmii

nxi

ii

$4,390,15516,116

3,315

1

2

==

=

=

( )0,1551

6,116

9,180846

6,116

3,315

1

2

2 ==

=

=iii nx

ix 3,31ix 2)3,( ix 31ii nx 31 3,in

ii nx 2

)33( ,1


29/74

6.2.4. Coeficientul de variaie

Formula de calcul:

100x

v

=

%9,1251003,31

4,39==v

v > 35-40%, indicnd faptul c seria nu este omogen, iar media nu este reprezentativ.

7. Consumul specific de energie primar n Romnia i n celelalte ri

Romnia Luxemburg Cehia Slovenia Germania

PIB (mld. $ ppc ) 234,4 37,9 150,8 41,8 3189,4Consumul de energie primar (C)

(mil. tone combustibil convenional) 39,1 4,6 44,8 7,3 345,5

Consumul specific de energie primar

(tone combustibil convenional/$ ppc)166,8 121,4 297,1 174,6 108,3

Consumul specific de energie primar se calculeaz pentru fiecare ar, pe baza formulei:

PIB

Ccs =

8,1664,234

1,39

)(

)()( ===

RomaniaPIB

RomaniaCRomaniacs tone combustibil convenional/$ ppc

c. Distribuia tuturor celor 27 ri membre ale UE dup nivelul PIB/loc. este urmtoarea:

Grupe dup nivelul PIB/loc

(mii $ ppc)

Pn la 10 10-15 15-20 20-25 25-30 30-40 Peste 40

Numrul rilor 1 3 6 4 7 5 ---

S se calculeze:

8.S se calculeze numrul rilor din ultima grup, stiind c acestea reprezint 3,8% n total.

10077 =X

xg

Unde reprezint ponderea ultimei grupe n total, este numrul rilor din ultima grup,

iar

7g 7x

X reprezint numrul total de ri din Uniunea European.

1026,1100

278,37 =

=x (o ar)

29


30/74

9.Media PIB/loc se calculeaz cu ajutorul formulei:

=

==k

i

i

k

i

ii

n

nx

x

1

1

Calculul mediei unei serii de distribuie pe intervale impune determinarea centrului intervalului, astfel:

2

xxx

sup

i

inf

ii

+= pentru i = 2, ...., k-1

2

hxx 1sup11 = , iar

2

hxx ksup1kk += ,

n condiiile n care

pentru i = 2, ...., k-1,sup1i

sup

ii xxh =

1kk

21

hh

hh

=

=

ppcmiixxhh

ppcmiixxhh

$103040

$51015

sup5

sup667

sup1

sup221

====

====

Astfel, centrele celor 7 intervale sunt:

5,72

510

2

1sup11 ===

hxx

5,122

1015

2

sup1

sup2

2 =+

=+

=xx

x

5,172

1520

2

sup2

sup3

3 =+

=+

=xx

x

5,222

2025

2

sup3

sup4

4 =+

=+

=xx

x

5,272

2530

2

sup4

sup5

5 =+

=+

=xx

x

0,352

3040

2

sup5

sup6

6 =+

=+

=xx

x

402

100,352

6sup67 =+=+= hxx

30


31/74

Tabelul 3.1. Algoritmul de calcul al mediei

Grupe dup

PIB/loc,

(mii $ ppc)

numrul de ri Mrimea intervalelor

(mii $ ppc)

hi

Centrul intervalelor

(mii $ ppc)

xi

ii nx

in

Pn la 10 15 7,5

7,510-15 3

5 12,537,5

15-20 65 17,5

105

20-25 45 22,5

90

25-30 75 27,5

192,5

30-40 510 35,0

175

Peste 40 110 40,0

40Total 27 - -

647,5

Media PIB/loc:

$0,2498,2327

5,647miix ==

10. Mediana i modul distribuiei rilor dup nivelul PIB/loc

10.1. Mediana

i. identificarea intervalului median

Se calculeaz frecvenele cumulate cresctor (Ni) i se compar cu rangul unitii mediane (UMe).

Prima frecven cumulat care depete rangul medianei este cea care indic intervalul median.

Frecvenele cumulate cresctor se calculeaz dup formula:

=

=k

i

ii nN1

,

Tabelul 3.2. Algoritmul de calcul al medianei

Grupe dup PIB/loc,

(mii $ ppc)

numrul

de ri

Mrimea

intervalelor,

mil.lei

hi

Frecvenele cumulate

cresctor

Pn la 10 15

1

10-15 35

4

15-20 65

10

20-25 (interval median) 45

14

25-30 (interval modal) 75

21

30-40 5

10

26Peste 40 1

1027

27

iN

31


32/74

Locul unitii mediane:

142

127

2

11 =

+=

+

=

=

k

i

i

Me

n

U

Se compar frecvenele cumulate cu locul medianei.

1411


33/74

ppcmiinnnn

nnhxMo $0,28

)57()47(

47525

)()( 6545

455

sup4 =

+

+=

+

+=

1MoMo1

1MoMo1

21

1Mo

sup1Mo

nn

nn

:unde

hxMo

+

=

=

+ +=

11. indicatorii sintetici ai variaiei PIB/loc.

11.1. abaterea medieFormula de calcul:

=

=

=k

i

i

k

i

ii

n

nxx

d

1

1

Prin urmare:

$1,709,727

5,19124

7

1

7

1 mii

n

nx

d

i

i

i

ii

==

=

=

=

PIB/loc se abate de la media de 24 mii $ ppc, n medie cu 7,1 mii $ ppc.

Tabelul 3.3. Algoritmul de calcul al abaterii medii

Grupe dup

PIB/loc,

(mii $ ppc)

Numrul de ri Centrul

intervalelor,

(mii $ ppc)

xi

Pn la 10 17,5

16,5 16,5

10-15 312,5

11,5 34,5

15-20 617,5

6,5 39

20-25 422,5

1,5 6

25-30 727,5

3,5 24,5

30-40 5 35,0 11 55Peste 40 1

40,016 16

Total27

- -191,5

ii nx 2424ix

in

33


34/74

11.2. dispersia

Formula de calcul:

=

=

=k

i

i

k

i

ii

n

nxx

1

1

2

2)(

Prin urmare:

6,6956,6927

3,1878

27

)24(7

1

2

2 ==

=

=iii nx

11.3. abaterea standard

Formula de calcul:

=

=

=k

i

i

k

i

ii

n

nxx

1

1

2)(

Prin urmare:

ppcmii

nxi

ii

$3,879,346,6927

)24(7

1

2

==

=

=

PIB/loc. se abate de la media de 24 mii $ ppc, n medie cu 8,3 mii $ ppc.

Tabelul 3.4. Algoritmul de calcul al dispersieii abaterii standard

Grupe dup

PIB/loc,

(mii $ ppc)

Numrul

de ri

Centrul intervalelor,

(mii $ ppc)

xi

Pn la 10 17,5

16,5 272,3 272,3

10-15 312,5

11,5 1190,3 396,8

15-20 617,5

6,5 1521,0 253,5

20-25 422,5

1,5 36,0 9,0

25-30 727,5

3,5 600,3 85,8

30-40 535,0

11 3025,0 605,0

Peste 40 1 40,0 16 256,0 256,0Total

27-

- 1878,3

2

)24(

ix ii nx 2

)24(24

ix

34


35/74

12.4. coeficientul de variaie

Formula de calcul:

100x

v

=

34,58%= 10024

3,8v

v cuprins in intervalul 35-40%, indicnd faptul c seria este omogen, iar media este reprezentativ.

12. Ponderea rilor din grupa in total se calculeaz dup formula:

100' =n

nn ii

Prin urmare:

%7,310027

1'1 ==n

%1,1110027

3'2 ==n

%2,2210027

5'3 ==n

%8,1410027

4'4 ==n

%9,2510027

7'5 ==n

%5,1810027

5'6 ==n

%8,3100271'7 ==n .

35


36/74

36

PROIECTUL IC

a. Se cunosc urmtoarele date privind producia a 42 firme productoare de carne i produse din carne

din judeul Tulcea (tone):

3000 4000 3250 1000 400 175 5000 6000 2500 2400 3100

1300 900 375 480 1400 5850 4500 3400 4250 1500 2775

1600 1810 440 3630 3805 4450 1725 1895 4025 4600

2890 2670 3085 1180 1110 290 3575 2590 3480 2840

S se fac gruparea firmelor dup producie.

b. Producia de produse din carne a 10 firme din municipiul Tulcea a fost urmtoarea:

tone 130 90 375 48 140 585 450 340 425 450

S se calculeze:

1. ponderea produciei primei i a ultimei firme i diferena dintre cele dou ponderi ;

2. raportul dintre producia maximi cea minim ;

3. producia tuturor firmelor productoare de produse din carne din Dobrogea, dac ponderea celor 10

firme n producia total este de 6,8% ;

4. ponderea celor 10 firme n efectivul de salariai ai unitilor productoare de carne din Dobrogea,

dac aceasta este cu 3,2 p.p. mai mare dect ponderea lor n producia total;

5. productivitatea muncii pe ansamblul celor 10 firme i n industria produselor din carne din Dobrogea,

dac efectivul de salariai al celor 10 firme este de 85;

6. media, mediana, modul produciei celor 10 firme;

7. indicatorii simpli i sintetici ai variaiei produciei celor 10 firme ;

8. media aritmetic, armonic, ptratici geometric a cifrei de afaceri a ultimelor 3 firme ;

c. Distribuia firmelor productoare de carne din Dobrogea dup nivelul produciei este urmtoarea :

Grupe dup nivelul

produciei, tone

Pn la

100

101-

200

201-

400

401-

800

801-

1200

1201-

1600

1601-

2000

Peste

2000

Pondere n total

firme, % 6,7 9,8 17,0 33,9 20,1 8,0 3,6 0,9


37/74

37

S se calculeze:

1. media produciei ;

2. mediana i modul distribuiei firmelor dup nivelul produciei;

3. indicatorii sintetici ai variaiei i s se precizeze semnificaia acestora.

4. numrul firmelor cuprinse n fiecare grup, dac n Dobrogea sunt n total 224 firme;

5. producia totali cea medie a firmelor din prima grup, dac producia acestora reprezint 2,7% din

producia total realizat n Dobrogea;

PROIECTUL ID

a. Se cunosc urmtoarele date privind salariile a 48 salariai din oraul M (mii lei):

3000 4000 3250 1000 4100 1750 5000 6000 2500 2400 2900 2400

1300 900 1375 1480 1400 5850 4500 3400 4250 1500 3000 2950

1600 1810 2440 3630 3805 4450 1725 1895 4025 4600 3225 3400

2890 2670 3085 1180 1110 1290 3575 2590 3480 2840 2775 3100

S se fac gruparea salariailor dup nivelul salariului.

b. Salariaii din departamentul de marketing al ntreprinderii CRINUL au realizat urmtoarele niveluri ale

salariilor neten octombrie 2001:

Mii lei lunar 3000 4000 3250 2500 4100 10750 5000 6000 7630 8170 2500 3800

S se calculeze:

1. media, mediana, modul celor 12 salarii;

2. indicatorii simpli i sintetici ai variaiei celor 12 salarii;

3. raportul dintre salariul maxim i cel minim ;

4. ponderea salariului maxim i a celui minim n suma salariilori diferena dintre cele dou ponderi ;

5. suma salariilor tuturor salariailor din ntreprinderea CRINUL, dac ponderea sumei salariilor celor

12 salariai n totalul salariilor din ntreprindere este de 4,8% ;

6. numrul total de salariai din ntreprindere, dac salariul mediu la nivelul ntreprinderii este de

4790 mii lei;

7. diferena dintre ponderea deinut de cei 12 salariai n suma salariilori n efectivul de salariai din

ntreprindere;


38/74

38

8. media aritmetic, armonic, ptratici geometric a celor mai mici 3 salarii;

c. n luna octombrie 2002, distribuia salariailor ntreprinderii dup nivelul salariului a fost urmtoarea:

Grupe dup nivelul

salariului, mii lei

Pn la

3000

3001-

4000

4001-

5000

5001-

6000

6001-

7000

7001-

8000

8001-

10000

Peste

10000

Total

Numrul salariailor 18 26 45 90 53 21 9 2 264

S se calculeze:

1. salariul mediu;

2. mediana i modul distribuiei salariailor dup nivelul salariului;

3. indicatorii sintetici ai variaiei i s se precizeze semnificaia acestora;

4. ponderea fiecrei grupe n numrul total al salariailor;

5. suma salariilori salariul mediu la nivelul ntreprinderii, dac salariul mediu al salariailor din cea de-a

doua grup a fost de 3584 mii lei, iar ponderea sumei salariilor realizate de acetia n totalul

salariilor pltite de ntreprindere a fost de 6,5%.

PROIECTUL I E

a. Se cunosc urmtoarele date privind economiile a 64 gospodrii din localitatea M (mii lei):

30000 4000 32250 12000 14100 17500 25000 73225

21300 9500 13750 14800 2400 5850 24500 22448

15600 31810 22440 32630 13805 44500 7250 33100

22890 32670 28085 19180 16110 14290 23575 12775

26000 12500 28400 86328 25100 52400 8874 15820

23400 45250 31500 76856 50712 37092 32636 13815

8950 24025 24600 28987 32550 12400 89250 290009590 23480 8840 58601 4833 14822 43400 103000

S se fac gruparea gospodriilor dup nivelul economiilor.

b. Au fost nregistrate cheltuielile de consum a 12 gospodrii din localitatea M:

Mii lei lunar 2130 9500 3750 4800 2400 5850 7450 6340 ... ... 4525 11500

S se calculeze:

1. cheltuielile de consum ale celei de-a noua i ale celei de-a zecea gospodrii, dac raportul dintre

cheltuielile celei de-a noua i cele ale primei gospodrii este de 280%, iar media cheltuielilor celor

12 gospodrii este de 5852 mii lei


39/74

39

2. ponderea cheltuielilor primei i ale ultimei gospodrii n cheltuielile totale ale celor 12 gospodrii i

diferena dintre cele dou ponderi ;

3. mediana cheltuielilor celor 12 gospodrii;

4. ponderea gospodriilor care efectueaz cheltuieli mai mari dect cele mediane i a sumei

cheltuielilor efectuate de acestea n totalul cheltuielilor celor 12 gospodrii;

5. indicatorii simpli i sintetici ai variaiei cheltuielilor celor 12 gospodrii;

6. media aritmetic, armonic, ptratici geometric a cheltuielilor ultimelor 3 gospodrii ;

7. cheltuielile medii ale celor 860 gospodrii din localitate, dac cheltulelilor realizate n total de cele

12 gospodrii reprezint 1,4% din cheltuielile tuturor gospodriilor din localitate.

c. Se cunoate, de asemenea, distribuia celor 860 de gospodrii dup nivelul veniturilor:

Grupe dup nivelul

veniturilor, mii lei

lunar

Pn la

3000

3001-

4000

4001-

5000

5001-

6000

6001-

8000

8001-

10000

10001-

15000

Peste

15000

Total

Numrul

gospodriilor 58 84 146 292 173 69 31 8 860

S se calculeze:

1. veniturile medii;

2. mediana i modul distribuiei gospodriilor dup nivelul veniturilor;

3. indicatorii sintetici ai variaiei i s se precizeze semnificaia acestora;

4. ponderea fiecrei grupe n numrul total al gospodriilor.

5. veniturile realizate de gospodrii din salarii, dac acestea reprezint 35% din totalul veniturilor.

PROIECTUL I F

a. Se cunosc urmtoarele date privind cantitatea zilnic de bere vndut de un magazin n august i

septembrie 2004 (litri):

600 800 650 1220 800 740 1000 1200 1560 880 955 1620 1510 1824 2086 1263

1260 1180 775 1196 1394 1170 950 680 850 1300 645 680 1020 1624 1336

720 1362 988 726 761 890 345 379 805 920 600 590 960 775 820

578 534 617 236 222 558 715 518 696 568 580 480 1020 630 415

S se grupeze zilele perioadei dup cantitile de bere vndute.


40/74

40

b. Cantitile vndute n 21 august din 10 sortimente de bere i preurile acestor sortimente au fost

urmtoarele:

Cantiti (litri) 90 130 110 40 220 310 180 158 80 76

Preuri (mii lei/litru) 48 44 52 85 30 16 35 36 52 50

S se calculeze:

1. ponderea celui mai scump sortiment n volumul i n valoarea vnzrilori diferena dintre cele dou

ponderi;

2. raportul valoarea maximi cea minim a vnzrilor;

3. valoarea vnzrilor realizate la cele 10 sortimente de bere n luna august, dac ponderea vnzrilor

din 21 august n vnzrile totale de bere din luna respectiv este de 5,2% ;

4. valoarea vnzrilor de bere realizate de magazinul respectiv n 14 august, dac ponderea acesteian valoarea vnzrilor lunii august este cu 2,6 p.p. mai mare dect ponderea valorii vnzrilor din 21

august;

5. preul mediu la care s-a vndut berea n 21 august, preul median i cel modal;

6. ponderea sortimentelor cu preul mai mic dect cel median n volumul total i n valoarea total a

vnzrilor din 21 august;

7. indicatorii sintetici ai variaiei preului i s se precizeze semnificaia acestora;

8. media aritmetic, armonic, ptratici geometric a cantitilor vndute din cele mai ieftine trei

sortimente;

c. Distribuia a 340 de firme (magazine, restaurante i alte puncte de desfacere) din ora dup valoarea

vnzrilor zilnice de bere este urmtoarea:

Grupe dup

valoarea

vnzrilor, mii lei

Pn la

1000

1000-

2000

2000-

3000

3000-

4000

4000-

5000

5000-

7500

7500-

15000

15000

-

25000

Peste

25000

Pondere nnumrul total de

firme, %

11,8 17,9 24,1 26,5 10,6 4,4 2,9 1,2 0,6

S se calculeze:

1. media, mediana i modul distribuiei firmelor dup valoarea vnzrilor;

2. indicatorii sintetici ai variaiei valorii vnzrilori s se precizeze semnificaia acestora;


4. ponderea firmelor din prima grup n vnzrile totale de bere, dac nivelul mediu al vnzrilor

realizate de acestea este de 680 mii lei, iar valoarea total a vnzrilor este de 1150 milioane lei.


41/74

41

PROIECTUL I G

a. Se cunosc urmtoarele date privind consumul de energie electric a 56 de firme din oraul M (mii

kwh):

685 885 735 285 165 120 1085 1285 585 565 640 705 595 485

345 265 160 181 365 1255 985 765 935 385 730 765 1105 685

405 447 173 811 846 975 430 464 890 1005 685 675 865 270

663 619 702 321 307 143 800 603 781 653 665 565 835 705

S se fac gruparea firmelor dup consumul de energie electric.

b. Consumul de energie electrici cifra de afaceri a 10 firme de construcii din oraul M aunregistrat

urmtoarele niveluri :

Consumul de energie

electric, mii kwh685 885 735 285 165 120 1085 1285 585 565

Cifra de afaceri,

milioane lei lunar580 720 720 638 950 480 875 960 850 870

S se calculeze:

1. media, mediana, modul cifrei de afaceri i ale consumului de energie electric;

2. indicatorii simpli i sintetici ai variaiei cifrei de afaceri i a consumului de energie electric a celor 10

firme i s se compare gradul de omogenitate a celor dou serii;

3. media aritmetic, armonic, ptratici geometric a cifrei de afaceri a primelor 3 firme;

4. ponderea primei firme n consumul de energie electrici n cifra de afaceri a celor 10 firme i

diferena dintre cele dou ponderi;

5. raportul dintre cifra de afaceri maximi cea minim ;

6. cifra de afaceri a tuturor firmelor din ora, dac ponderea celor 10 firme n cifra total de afaceri este

de 3,2% ;

7. ponderea celor 10 firme n efectivul de salariai ai oraului, dac aceasta este cu 3,6 p.p. mai mare

dect ponderea lor n cifra total de afaceri;

8. consumul specific de energie electric.

c. Distribuia tuturor celor 250 firme din ora dup cifra de afaceri este urmtoarea:

Grupe dup nivelul

cifrei de afaceri, mii

lei

Pn

la 500

500-

1000

1000-

1500

1500-

2000

2000-

2500

2500-

5000

5000-

10000

10000-

20000

Peste

20000

Pondere n total

firme, %12,0 16,8 26,0 28,0 10,4 3,6 2,0 0,8 0,4


42/74

42

S se calculeze:


2. media, mediana i modul distribuiei firmelor dup cifra de afaceri;

3. indicatorii sintetici ai variaiei cifrei de afaceri i s se precizeze semnificaia acestora;

4. ponderea firmelor din cea de-a treia grup n cifra total de afaceri, dac cifra medie de afaceri a

acestora este de 1360 mii lei, iar cifra medie de afaceri a tuturor celor 250 firme este de 2 miliarde

lei.


43/74

43

PROIECTUL IIA

a. Se cunosc urmtoarele date privind veniturile a 16 gospodrii i cheltuielile efectuate de acestea

pentru ntreinerea i echiparea locuinei:

mii lei lunar

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

Venituri 1400 2400 4400 1600 3000 6000 1800 2200 3600 7200 8400 4800 2000 1600 1700 8400

Cheltuieli

pentru

ntreinerea i

echiparea

locuinei

200 800

1600 500 1000

2400

400

600

1200

1400

2800 1800 560 600

480

3000

1. S se analizeze posibilitatea existenei unei relaii ntre nivelul veniturilor i cheltuielile pentru

ntreinerea i echiparea locuinei. Care este variabila factoriali care este cea rezultativ ? Care ar

fi ceilali factori cu aciune sistematic asupra variabilei rezultative ? Dar cei cu aciune aleatoare?

2. S se reprezinte grafic relaia dintre cele dou variabile i s se aprecieze sensul i forma legturii.

3. S se estimeze parametrii funciei de regresie care exprim relaia dintre variabile i s se precizeze

semnificaia acestora.

4. S se calculeze valorile ajustate/teoretice ale variabilei rezultative i s se reprezinte pe graficul de

mai sus (de la punctul 2).

5. S se determine nivelul probabil al cheltuielilor pentru ntreinerea i echiparea locuinei la un nivel al

veniturilor de 15 milioane lei.

6. S se estimeze intensitatea legturii dintre cele dou variabile pe baza coeficientului i a raportului de

corelaie. S se precizeze semnificaia rezultatelor.

7. S se calculeze coeficientul Spearman de corelaie a rangurilor.

b. Funcia de regresie care exprim dependena ponderii consumului alimentar (exprimat n %) de

nivelul

veniturilor (exprimate n milioane lei lunar) este:

y = 80,6 4,2 x.

1. S se precizeze semnificaia coeficientului de regresie.

2. S se calculeze coeficientul de corelaie, dac abaterea standard a ponderii consumului alimentareste de 18 p.p., iar cea a veniturilor este de 1256 mii lei.


44/74

44

3. S se calculeze ponderea consumului alimentar al familiei Popescu, dac veniturile acesteia sunt de

10,4 milioane lei, iar abaterea ponderii consumului su alimentar fa de valoarea ajustat a acesteia

este de 7,3 p.p.

REZOLVARE

a. 1.

i. Evident, exist o legtur ntre veniturile gospodriilor i cheltuielile efectuate de acestea pentru

ntreinerea i echiparea locuinei, avnd n vedere c gospodriile pot face cheltuieli mari legate de

locuin numai dac dispun de venituri suficient de mari pentru a putea acoperi aceste cheltuieli, precum

i alte cheltuieli de consum (pentru alimente, mbrcminte, servicii medicale i medicamente, transport

etc.). Mrimea locuinei depinde de veniturile de care dispune gospodria, iar o parte din cheltuieli

(pentru mobilier, nclzire sau curenie, de exemplu) sunt determinate de mrimea locuinei. Deasemenea, gospodriile care dispun de venituri mai mari i permit o dotare mai bun cu bunuri de

folosin ndelungat (frigider, main de splat, cuptor cu microunde, aparat de aer condiionat etc.),

implicit achiziionarea unor aparate mai scumpe, precum i plata unui consum mai mare de energie

electrici a unor servicii de ntreinere (curenie, spltorie).

ii. n relaia dintre venituri i cheltuielile legate de locuin, veniturile gospodriei reprezint variabila

factorial (x), iar cheltuielile variabila rezultativ (y), avnd n vedere faptul c veniturile constituie

factorul determinant al cheltuielilor.

iii. Cheltuielile pentru ntreinerea i echiparea locuinei sunt determinate i de ali factori: mrimea i

structura gospodriei (numrul persoanelor care compun gospodria, sexul, vrsta i statutul

ocupaional al acestora); mediul de reziden (urban sau rural); oferta local de utiliti publice (reea de

ap potabil i canalizare, termoficare, salubritate); statutul de ocupare a locuinei (proprietate a

gospodriei sau nchiriat); rata dobnzii la creditele pentru cumprarea de echipamente electrocasnice,

apariia unor noi servicii (internet, cablu TV) etc.

iv. Cheltuielile pentru ntreinerea i echiparea locuinei pot fi influenate i de factori ntmpltori:

cheltuielile cresc dac se produc evenimente neprevzute (inundaii, incendii, accidente).


45/74

2. Reprezentarea grafic a relaiei dintre venituri i cheltuieli confirm existena unei legturi directe

ntre cele dou variabile. Se poate aprecia, de asemenea, c legtura este de form liniar, dei ar

putea s se aib n vedere i aplicarea unui model neliniar (de tip semilogaritmic, de exemplu).

Fig. 1. Veniturile gospodriilori cheltuielile pentru locuin

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

0 2000 4000 6000 8000 10000

veniturile (mii lei/gospodrie)

cheltuielile(miilei/gospodrie

3. Estimarea parametrilorai b ai ecuaiei de regresie

iii bxay ++=

pe baza sistemului de ecuaii

===

==

=+

=+

n

1i

ii

n

1i

2

i

n

1i

i

n

1i

i

n

1i

i

yxxbxa

yxbna

ale crui elemente sunt calculate n tabelul urmtor. Pentru simplificarea calculelor, veniturile i

cheltuielile (prezentate n tabelul de mai sus n mii lei) au fost recalculate n milioane lei.

Tabelul 1. Algoritmul de calcul al parametrilor ecuaiei de regresie

Gospodria

1 1,4 0,20 1,96 0,280

2 2,4 0,80 5,76 1,920

3 4,4 1,60 19,36 7,040

4 1,6 0,50 2,56 0,800

5 3,0 1,00 9,00 3,000

6 6,0 2,40 36,00 14,400

7 1,8 0,40 3,24 0,720

ix iy ii yx 2

ix

45


46/74

8 2,2 0,60 4,84 1,320

9 3,6 1,20 12,96 4,320

10 7,2 1,40 51,84 10,080

11 8,4 2,80 70,56 23,520

12 4,8 1,80 23,04 8,640

13 2,0 0,56 4,00 1,12014 1,6 0,60 2,56 0,960

15 1,7 0,48 2,89 0,816

16 8,4 3,00 70,56 25,200

Total 60,5 19,34 321,13 104,136

Astfel, sistemul de ecuaii devine:

16 a + 60,5 b = 19,34

60,5 a + 321,13 b = 104,136Dac se rezolv sistemul prin metoda substituiei,

16

b5,6034,19a

=

0606,00606156,016

3357,05,6034,19a

3357,0335699,0b

106,496b83,1477

176,1666b08,5138b25,366007,1170

136,10416b13,32116b5,605,6034,195,60

136,104b13,32116

b5,6034,195,60

=

=

=

=

=+

=+

=+

Parametrii pot fi calculai i pe baza formulelor

= =

= = =

=n

i

n

i

ii

n

i

n

i

n

i

iiii

xxn

yxyxn

b

1 1

22

1 1 1

)(

))((

in

x

bn

y

a

n

1i

i

n

1i

i == = .

Astfel,

46


47/74

3357,0335699,083,1477

106,496

5,6013,32116

34,195,60136,10416b

2==

=

0606,00606156,016

5,60

3357,016

34,19

a==

Parametrul b = 0,3357 arat c dac venitul gospodriei crete cu un milion de lei, cheltuielile pentru

ntreinerea i echiparea locuinei cresc n medie cu 0,3357 mil. lei (335700 lei). Semnul pozitiv al

parametrului b (b > 0) indic o legtur direct, ceea ce nseamn o cretere a cheltuielilor direct

proporional cu creterea veniturilor.

4. Valorile ajustate ale cheltuielilor se calculeaz pe baza formulei:

Astfel,

mil.lei

mil. lei

mil.lei

.........................................................................................

mil.lei

Tabelul 2. Valorile ajustate ale cheltuielilor

Gos ria

i

'

i bxay +=

adic:

47

i

'

i x3357,00606,0y +=

40938,0=

00606,0 +=41648,14,43357,00606,0y3 =+=

75928,24,83357,00606,0y16

=+=

4,13357,00606,0y '1 +=

74508,04,23357, ='

'

(mil.lei)

pod

1 1,4 0,20 0,40938

2 2,4 0,80 0,74508

3 4,4 1,60 1,41648

4 1,6 0,50 0,47652

5 3,0 1,00 0,94650

6 6,0 2,40 1,95360

7 1,8 0,40 0,54366

ix iy'

iy


48/74

8 2,2 0,60 0,67794

9 3,6 1,20 1,14792

10 7,2 1,40 2,35644

11 8,4 2,80 2,75928

12 4,8 1,80 1,55076

13 2,0 0,56 0,6108014 1,6 0,60 0,47652

15 1,7 0,48 0,51009

16 8,4 3,00 2,75928

Total 60,5 19,34 19,34030

chiparea locuinei la un nivel al veniturilor de 15

milioane lei se determin pe baza ecuaiei de regresie

pentru xi = 15

mil.lei

6. Coeficientul i raportul de corelaie

i. Coeficientul de corelatie se calculeaz pe baza formulei

Fig.2. Veniturile gospodriilori cheltuielile pentru locuin

(modelul liniar)

y = - 0,0606 + 0,3357x

R2

= 0,8838

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

0 1 2 3 4 5 6 7 8

cheltuielile(mil.lei/gospodrie

9

veniturile (mil.lei /gospodrie)

5. Nivelul probabil al cheltuielilor pentru ntreinerea i e

i

' x3357,00606, +

0,59749,4153357,00606,0y i =+=

i 0y =

'

48


49/74

=

====

===

2n

1i

i

n

1i

2

i

2n

1i

i

n

1i

2

i

n

1i

i

n

1i

i

n

1i

ii

yynxxn

yxyxn

r

ale crei elemente sunt calculate n tabelul 3, astfel:

( )( )94,09401288,0

70,527

106,496

4284,18883,1477

106,496

34,19154,35165,6013,32116

34,195,60136,10416r

22==

=

=

Coeficientul de corelaie indic o legtur direct puternic ntre veniturile gospodriilori cheltuielile

pentru ntreinerea i echiparea locuinei.

Tabelul 3. Algoritmul de calcul al coeficientului de corelaie

Gospodria

1 1,4 0,20 1,96 0,280 0,0400

2

iyix iy ii yx 2

ix

2 2,4 0,80 5,76 1,920 0,6400

3 4,4 1,60 19,36 7,040 2,5600

4 1,6 0,50 2,56 0,800 0,2500

5 3,0 1,00 9,00 3,000 1,0000

6 6,0 2,40 36,00 14,400 5,7600

7 1,8 0,40 3,24 0,720 0,1600

8 2,2 0,60 4,84 1,320 0,3600

9 3,6 1,20 12,96 4,320 1,4400

10 7,2 1,40 51,84 10,080 1,9600

11 8,4 2,80 70,56 23,520 7,8400

12 4,8 1,80 23,04 8,640 3,2400

13 2,0 0,56 4,00 1,120 0,3136

14 1,6 0,60 2,56 0,960 0,3600

15 1,7 0,48 2,89 0,816 0,2304

16 8,4 3,00 70,56 25,200 9,0000

Total 60,5 19,34 321,13 104,136 35,1540

ii. Raportul de corelaie se calculeaz pe baza formulelor

49


50/74

( )

( )2n

1i

i

n

1i

2'

i

yy

yy

R

=

=

= sau

( )

( )2n

1i

i

n

1i

2'

ii

yy

yy

1R

=

=

= ,

ale cror elemente sunt calculate n tabelul 4.

Tabelul 4. Algoritmul de calcul al raportului de corelaie

Gospodria yy i 2

i )yy( yy'

i 2'

i )yy( '

ii yy 2'

ii )yy(

1 0,20 0,40938 -1,00875 1,01758 -0,7994 0,6390 -0,2094 0,0438

2 0,80 0,74508 -0,40875 0,16708 -0,4637 0,2150 0,0549 0,0030

3 1,60 1,41648 0,39125 0,15308 0,2077 0,0432 0,1835 0,0337

4 0,50 0,47652 -0,70875 0,50233 -0,7322 0,5362 0,0235 0,00065 1,00 0,94650 -0,20875 0,04358 -0,2623 0,0688 0,0535 0,0029

6 2,40 1,95360 1,19125 1,41908 0,7449 0,5548 0,4464 0,1993

7 0,40 0,54366 -0,80875 0,65408 -0,6651 0,4423 -0,1437 0,0206

8 0,60 0,67794 -0,60875 0,37058 -0,5308 0,2818 -0,0779 0,0061

9 1,20 1,14792 -0,00875 0,00008 -0,0608 0,0037 0,0521 0,0027

10 1,40 2,35644 0,19125 0,03658 1,1477 1,3172 -0,9564 0,9148

11 2,80 2,75928 1,59125 2,53208 1,5505 2,4041 0,0407 0,0017

12 1,80 1,55076 0,59125 0,34958 0,3420 0,1170 0,2492 0,062113 0,56 0,61080 -0,64875 0,42088 -0,5980 0,3575 -0,0508 0,0026

14 0,60 0,47652 -0,60875 0,37058 -0,7322 0,5362 0,1235 0,0152

15 0,48 0,51009 -0,72875 0,53108 -0,6987 0,4881 -0,0301 0,0009

16 3,00 2,75928 1,79125 3,20858 1,5505 2,4041 0,2407 0,0579

Total 19,34 19,34030 0,00000 11,77678 0,00025 10,40896 -0,00025 1,36788

'

iyiy

94,09401354,088385455,077678,1140896,10R ===

sau

94,0940132,0883849,0116151,0177678,11

36788,11R ====

Raportul de corelaie indic o legtur puternic ntre venituri i cheltuielile pentru locuin.

50


51/74

7. Coeficientul Spearman de corelaie a rangurilor se calculeaz pe baza formulei

( ).

1nn

d6

1r2

n

1i

2

i

s

=

=

Calculul presupune stabilirea prealabil a rangului fiecrei uniti dup caracteristica factorial, astfel:

gospodriei cu cele mai mici venituri (prima gospodrie, 1,4 mil.lei) i se atribuie rangul k1(x) = 1. Celor

dou gospodrii care urmeaz n ordinea cresctoare dup nivelul veniturilor (a 4-a i a 14-a, 1,6mil.lei )

li se atribuie rangul (2+3)/2 = 2,5 (k4(x) = 2,5 i k14(x) = 2,5. Rangul 4 se atribuie celei de-a 15-a

gospodrii, rangul 5 celei de-a 7-a gospodrii s.a.m.d. n mod similar se determini rangurile dup

variabila rezultativ (cheltuielile).

Tabelul 5. Algoritmul de calcul al coeficientului de corelaie a rangurilor

Gospodri

a

ki(x) ki(y) di di2

1 1,4 0,20 1 1 0 0

2 2,4 0,80 8 8 0 0

3 4,4 1,60 11 12 -1 1

4 1,6 0,50 2,5 4 -1,5 2,25

5 3,0 1,00 9 9 0 0

6 6,0 2,40 13 14 -1 1

7 1,8 0,40 5 2 3 9

8 2,2 0,60 7 6,5 0,5 0,25

9 3,6 1,20 10 10 0 0

10 7,2 1,40 14 11 3 9

11 8,4 2,80 15,5 15 0,5 0,25

12 4,8 1,80 12 13 -1 1

13 2,0 0,56 6 5 1 1

14 1,6 0,60 2,5 6,5 -4 16

15 1,7 0,48 4 3 1 1

16 8,4 3,00 15,5 16 -0,5 0,25

Total 60,5 19,34 136 136 0 42

ix iy

Prin urmare,

94,0938235,0061765,0140802521

)116(164261r2S ===

=

51

indicnd o legtur puternic ntre cele dou variabile.


52/74

b.

1. Coeficientul de regresie b = - 4,2 arat c, la creterea veniturilor cu un milion de lei, ponderea

consumului alimentar scade cu 4,2 puncte procentuale.

2. n acest caz, coeficientul de corelaie se calculeaz dup formula

y

xbr

=

unde b = - 4,2 este coeficientul de regresie,

x = 1,256 mil.lei este abaterea standard a veniturilor,

y = 18 p.p. este abaterea standard a ponderii consumului alimentar.

Prin urmare,

29307,0069778,02,418

256,12,4r ==

ceea ce arat o legtur invers slab.

3. Ponderea consumului alimentar al familiei Popescu se poate calcula pe baza formulei

iii bxay ++=

unde xi = 10,4 mil.lei este venitul familiei Popescu

i = - 7,3 p.p.

Astfel, ponderea consumului alimentar al familiei Popescu este:

yPopescu = 80,6 + 4,2 10,4 7,3 = 29,6%.

52


53/74

53

ROIECTUL II B

. Se cunosc urmtoarele date privind producia zilnic (productivitatea muncii) i ctigurile salariale

P

a

realizate de 16 muncitori care formeaz o echip:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16Producia

30 34 28 32 36 29 31 40 46 50 38 35 44 48 22 27zilnic,

buci

Ctigul

ar

3000 3360 3240 3240 3600 3000 3120 3840 4200 4400 3600 4320 4000 6000 2800 3280salarial,

mii lei lun

1. S se analizeze posibilitatea existenei unei relaii ntre productivitatea muncii i ctigul salarial.

2. sensul i forma legturii.

e

4. tate/teoretice ale variabilei rezultative i s se reprezinte pe graficul de

5. robabil al ctigului salarial pe care l-ar putea obine un muncitor la o

6. tatea legturii dintre cele dou variabile pe baza coeficientului i a raportului

7. ngurilor.

. Funcia de regresie care exprim dependena salariului (exprimat n mii lei lunar) de vechimea n

1. mnificaia coeficientului de regresie.

standard a salariilor este de 1568 mii lei, iar

3. ghe Popescu, dac vechimea acestuia este de 35 ani, iar abaterea

Care este variabila factorial i care este cea rezultativ ? Care ar fi ceilali factori cu aciune

sistematic asupra variabilei rezultative ? Dar cei cu aciune aleatoare ?

S se reprezinte grafic relaia dintre cele dou variabile i s se aprecieze

3. S se estimeze parametrii funciei de regresie care exprim relaia dintre variabile i s se precizez

semnificaia parametrului b.

S se calculeze valorile ajus


S se determine nivelul p

producie de 60 piese.

S se estimeze intensi

de corelaie. S se precizeze semnificaia rezultatelor.

S se calculeze coeficientul Spearman de corelaie a ra

b

activitate (exprimat ani) este:

y = 2500 + 275 x.

S se precizeze se

2. S se calculeze coeficientul de corelaie, dac abaterea

cea a vechimii este de 12,7 ani.

S se calculeze salariul lui Gheorsalariului realizat de el fa de valoarea ajustat a acestuia este de 1,2 milioane lei.


54/74

54

ROIECTUL II C

. Se cunosc urmtoarele date privind veniturile i consumul de carne a 16 gospodrii:

14 15 16

P

a

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

Venituri,r

2100 3600 6600 2400 4500 9000 2700 3300 5400 1080 1260 7200 2540 2700 1200 7500mii lei luna 0 0 0

Consum de

carne,

kg lunar3,0 3,2

4,5 1,8 2,8

5,0

2,5

3,5

4,0

7,0

7,5 3,6 2,0 2,0

6,0

5,0

1. S se analizeze posibilitatea existenei unei relaii ntre nivelul veniturilor i consumul de carne al

2. i forma legturii.

e


5. babil al consumului de carne la un nivel al veniturilor de 16,9 milioane lei.

7. ngurilor

. Funcia de regresie care exprim dependena consumului de zahr (exprimat n kg) de nivelul

1. emnificaia coeficientului de regresie.

standard a consumului de zahr este de 8,6

3. iliei Popescu, dac veniturile acesteia sunt de 10,4

gospodriilor. Care este variabila factoriali care este cea rezultativ ? Care ar fi ceilali factori cu

aciune sistematic asupra variabilei rezultative ? Dar cei cu aciune aleatoare ?

S se reprezinte grafic relaia dintre cele dou variabile i s se aprecieze sensul





S se determine nivelul pro

6. S se estimeze intensitatea legturii dintre cele dou variabile pe baza coeficientului i a raportului



b

veniturilor (exprimate n milioane lei lunar) este:

y = 10,6 + 1,2 x.

S se precizeze s

2. S se calculeze coeficientul de corelaie, dac abaterea

kg., iar cea a veniturilor este de 2256 mii lei.

S se calculeze consumul de zahr al fam

milioane lei, iar abaterea consumului su de zahr fa de valoarea ajustat a acestuia este de +3

kg.


55/74

55

ROIECTUL II D

arele date privind veniturile i cheltuielile de consum alimentar a 16 gospodrii:

-

P

Se cunosc urmto

- lei lunar

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

Venituri 2 360066002400450090002700330054001 1 7 1 2400 25501100 0800 2600 200 2000 4400Cheltuieli de consum

24003600165030004800180024003300 5100 5400 4500 6600 144001500 6500alimentar 1500

1. S se analizeze posibilitatea existenei unei relaii ntre nivelul veniturilori cheltuielile de consum

2. i.

e


5. robabil al cheltuielilor de consum alimentar la un nivel al veniturilor de

6. tensitatea legturii dintre cele dou variabile pe baza coeficientului i a raportului

7. ngurilor.

zahr (exprimat n kg) de nivelul

1. ia coeficienilor de regresie.

, format din patru persoane, dac veniturile

3. ul de zahr al Elenei Zaharia, care locuiete singur, dac pensia acesteia

4. raportul de corelaie, dac cele dou variabile (veniturile i numrul de persoane din

alimentar ale gospodriilor. Care este variabila factorial i care este cea rezultativ ? Care ar fi

ceilali factori cu aciune sistematic asupra variabilei rezultative ? Dar cei cu aciune aleatoare ?

S se reprezinte grafic relaia dintre cele dou variabile i s se aprecieze sensul i forma legturi





S se determine nivelul p

15,2 milioane lei.

S se estimeze inde corelaie. S se precizeze semnificaia rezultatelor.


b. Funcia de regresie care exprim dependena consumului de

veniturilor (exprimate n milioane lei lunar) i de numrul de persoane din familie este:

y = 10,6 + 0,7 x1 + 9,6 x2.

S se precizeze semnifica

2. S se calculeze consumul de zahr al familiei Popescu

acesteia sunt de 12,4 milioane lei, iar abaterea consumului su de zahr fa de valoarea ajustat a

acestuia este de -3 kg.

S se calculeze consum

este de 1,4 milioane lei, iar abaterea consumului su de zahr fa de valoarea ajustat a acestuia

este de +5 kg.

S se calculeze

gospodrie) explic 64% din variaia consumului de zahr.


56/74

56

ROIECTUL II E

e cunosc urmtoarele date privind produsul intern brut pe locuitori durata medie a vieii n n 16 ri:

P

S

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

PIB/locuito 1478 2117 2697 9930 3100 2617 2554 1483 2191 4431 2935 4531 9775 3776 1839 7320r, dolari 9 6 7 6

Durata

medie a

vieii, ani

77,7 78,7 76,4 75,1 75,7 60,5 51,2 40,5 79,1 69,6 69,2 65,5 72,4 54,5 47,4 70,9

1. S se analizeze posibilitatea existenei unei relaii ntre nivelul PIB i durata medie a vieii. Care este

2. ze sensul i forma legturii.

e


5. babil al duratei medii a vieii la niveluri ale PIB de 500 i 30000 dolari.

lui

7. ngurilor.

. Funcia de regresie care exprim dependena duratei medii a vieii (exprimat n ani) de nivelul PIB

ficaia coeficienilor de regresie.

i PIB este de 16855 dolari/locuitori care

3. Romnia, al crei PIB este de 6855 dolari/locuitori

variabila factorial i care este cea rezultativ ? Care ar fi ceilali factori cu aciune sistematic

asupra variabilei rezultative ? Dar cei cu aciune aleatoare ?

S se reprezinte grafic relaia dintre cele dou variabile i s se aprecie





S se determine nivelul pro

6. S se estimeze intensitatea legturii dintre cele dou variabile pe baza coeficientului i a raportu



b

(exprimat n mii dolari/locuitor) i ponderea cheltuielilor pentru sntate n PIB (exprimat n %) este:

y = 40,6 + 1,7 x1 + 0,6 x2.

1. S se precizeze semni

2. S se calculeze durata medie a vieii din Olanda, al cre

cheltuiete pentru sntate 8,8% din PIB, dac durata medie a vieii din Olanda se abate fa de

valoarea ajustat a acesteia cu 0,9 ani.

S se calculeze durata medie a vieii din

care cheltuiete pentru sntate 3,8% din PIB, dac abaterea duratei medii a vieii din Romnia

fa de valoarea ajustat a acesteia este de +16 ani.


57/74

57

4. S se calculeze raportul de corelaie, dac cele dou variabile (PIB i ponderea cheltuielilor

pentru sntate) explic 64% din variaia duratei medii a vieii.

PROIECTUL II F

Se cunosc urmtoarele date produsul intern brut pe locuitor i rata mortalitii infantile (exprimat n

numrul copiilor sub un an decedai ce revin la 1000 nscui vii) n 16 ri:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

PIB/locuitor,

dolari

1478

9

2117

6

2697

79930 3100 2617 2554 1483

2191

64431 2935 4531 9775 3776 1839 7320

Rata

mortalitii

infantile,

5 5 5 11 10 71 81 88 6 21 38 20 6 87 170 10

1) S se analizeze posibilitatea existenei unei relaii ntre nivelul PIB i rata mortalitii infantile. Care

este variabila factoriali care este cea rezultativ ? Care ar fi ceilali factori cu aciune sistematic

asupra variabilei rezultative ? Dar cei cu aciune aleatoare ?

2) S se reprezinte grafic relaia dintre cele dou variabile i s se aprecieze sensul i forma legturii.

3) S se estimeze parametrii funciei de regresie care exprim relaia dintre variabile i s se precizeze


4) S se calculeze valorile ajustate/teoretice ale variabilei rezultative i s se reprezinte pe graficul de


5) S se determine nivelul probabil al rata mortalitii infantile la niveluri ale PIB de 500 i 30000 dolari.

6) S se estimeze intensitatea legturii dintre cele dou variabile pe baza coeficientului i a raportului


7) S se calculeze coeficientul Spearman de corelaie a rangurilor.

b. Funcia de regresie care exprim dependena mortalitii infantile (exprimat n numr de copii sub un

an decedai ce revin la 1000 nscui vii) de nivelul PIB (exprimat n mii dolari/locuitor) i rata srciei

(exprimat n %) este:

y = 60,8 2,8 x1 + 0,2 x2.

1. S se precizeze semnificaia coeficienilor de regresie.


58/74

58

2. S se calculeze rata mortalitii infantile din Spania, al crei PIB este de 12855 dolari/locuitori care

nregistreaz o rat a srciei de 18%, dac rata mortalitii infantile din Spania se abate fa de

valoarea ajustat a acesteia cu 5 .

3. S se calculeze rata mortalitii infantile din Romnia, al crei PIB este de 6855 dolari/locuitori care

nregistreaz o rat a srciei de 25%, dac abaterea rata mortalitii infantile din Romnia fa devaloarea ajustat a acesteia este de - 12 .

4. S se calculeze raportul de corelaie, dac cele dou variabile (PIB i rata srciei) explic 36% din

variaia duratei medii a vieii.


59/74

59

PROBLEME

Problema 1

n cazul a 8 ntreprinderi industriale din oraul M s-au nregistrat urmtoarele date privind volumul

produciei i numrul de salariai:

Producia lunar (milioane lei) 20 40 30 26 70 80 50 65

Numr de salariai 10 18 15 23 25 32 20

S se calculeze:

1. numrul de salariai ai celei de-a patra ntreprinderi , dac acesta reprezint 5% din numrul total de

salariai ai celor 8 firme (1p);

2. diferena dintre ponderile primei ntreprinderi n producia totali n numrul total de salariai(1p);

3. media i mediana produciei (1p.);

4. abaterea medie i standard a produciei i sse precizeze semnificaia acestora (1p);

5. coeficientul de variaie a produciei i a numrului de salariai i s se compare gradul de

omogenitate a celor dou serii (1p.);

6. parametrii ecuaiei de regresie y = a + bx, care exprim dependena produciei de numrul de

salariai i s se precizeze semnificaia parametrului b (2p);

7. valorile ajustate ale variabilei rezultative (1p);

8. raportul de corelaie i s se aprecieze intensitatea legturii dintre cele dou variabile (1p.)

Problema 2

n cazul a 8 ntreprinderi industriale din oraul R s-au nregistrat urmtoarele date privind volumul



Numr de salariai 25 32 21 8 50 28 10 18

S se calculeze:

1. producia industrial a oraului R, tiind c suma produciei celor 8 ntreprinderi reprezint 40% dinproducia total a oraului (1p);


60/74

60

2. diferena dintre ponderile deinute de cele 8 ntreprinderi luate mpreun n producia industriali n

efectivul de salariai din oraul R, dac acesta din urm se ridic la 1000 salariai (1p);

3. media i mediana numrului de salariai (1p.);

4. amplitudinea absoluti relativ a variaiei numrului de salariai (1p);

5. indicatorii sintetici ai variaiei numrului de salariai i ai variaiei produciei, s se precizeze

semnificaia acestora i s se compare gradul de variaie a celor doi indicatori (3p.);


salariai i s se precizeze semnificaia parametrului b (2p);

Problema 3

n cazul a 8 ntreprinderi industriale din oraul C s-au nregistrat urmtoarele date privind volumul



Numr de salariai 70 18 12 6 23 20 40 20

S se calculeze:

1. producia industrial a oraului, tiind c producia primei ntreprinderi reprezint 2,5% din produciatotal (1p);

2. productivitatea muncii nregistrat n cea de-a treia ntreprindere i pe ansamblul celor 8 ntreprinderi

(1p);

3. media i mediana produciei i a numrului de salariai (1p.);

4. indicatorii sintetici ai variaiei produciei i s se precizeze semnificaia acestora (2p.);


salariai, i s se precizeze semnificaia parametrului b (2p);

6. valorile ajustate ale variabilei rezultative (1p);

7. raportul de corelaie i s se aprecieze intensitatea legturii dintre cele dou variabile (1p.);


61/74

61

Problema 4

n cazul a 8 ntreprinderi din oraul M s-au nregistrat urmtoarele date privind volumul produciei i

numrul de salariai:


Numr de salariai 80 28 80 70 12 6 25 20

S se calculeze:

1. ponderea ansamblului celor 8 ntreprinderi n producia industrial i n efectivul de salariai ai

oraului M, tiind c numrul total de salariai este de 3000, iar ponderea n producia industrial este

cu 5 p.p. mai mare dect pondere

Date post:	30-May-2018
Category:	Documents
Upload:	georgi-neacsa
View:	216 times
Download:	0 times

Universitatea EcologicĂ Din BucureŞti Facultatea de Ştiinţe

Documents