t.s.aplicatii Seminar

8/8/2019 t.s.aplicatii Seminar

1/21

TEORIA SISTEMELOR- APLICATII SEMINAR 1

dr. ing. Ovidiu SPATARI

TEORIA SISTEMELORAPLICATII SEMINAR

ULBS 2007


2/21


CAP.3. IDENTIFICAREA SISTEMELOR. SISTEME ABSTRACTE3.1. METODE ANALITICE DE IDENTIFICARE

Problema poate fi rezolvat parcurgnd urmtorii pai:1. Se scrie setul de ecua ii MMII ale elementelor sistemului.2. Se scrie setul rela iilor dintre mrimile diferitelor elemente ale sistemului (n funcie de

structura serie sau paralel).3. din seturile prezentate la punctele 1 i 2 se deduc rela ile dintre mrimile ce

intereseaz .Exemplul 1: Fie sistemul prezentat n fig.3.1 cu urmtoarele modele matematice ale

elementelor:

a) setul MMIIS1: 2Y1+3Y1=4U1S2: Y2+3Y2+2Y2=5U2b) setul relatilor de structuraU1=U; Y1=U2; Y2=Y

U 1Y =U1 2

Y2 =YS 1 S 2

fig.3.1

innd cont de cele dou seturi relaia de definiie S2 devine:

Y2+3Y2+2Y2=5Y1 de unde: ( )2221 235

1YYYY '" ++= , introducnd Y1 n S1 i U=U1, Y2=Y

avem:

( ) ( )

UYY''YY

UYYYYYY

''''

'"''"

45

6

5

7

5

9

5

2

4235

1323

5

12

1222222

=+++

=+++++

relaia cutat.Exemplul 2: Fie sistemul prezentat n fig.3.2 cu urmtoarele modele matematice aleelementelor:

a) setul MMIIS1: 2Y1+3Y1=4U1S2: 3Y2+2Y2=U2b) setul relatilor de structuraU1=U-Y2; Y1=U2; Y1=Y

YU

S2

S1U1 Y1=Y

U1=Y1Y2

fi .3.2


3/21


Relaia S1 devine: 2Y1+3Y1=4(U-Y2) de unde: )YYU(Y ' 112 3244

1= .

Inlocuind pe Y2 n S2 (i cu Y1=U2=Y) vom avea:

UUYYY ''" 232

5

4

13

3

2+=++

Relaia cutat.Exemplul 3 !: Fie sistemul de dou elemente serie definit de relaile S1 i S2 urmtoare:

S1: Y1+2Y1=3U1+U1S2: 2Y2+Y2=U2+3U2S se determine rela ia MMII a sistemului utiliznd metoda operatorilor formali.

3.2 METODA OPERATORILOR FORMALIconst n introducerea unui operator formal DK ce reprezint operaia ce trebuie f cut

asupra unei variabile pentru a se ob ine derivata de ordin K a acelei variabile:dt

xdxD

K K = .

innd cont de aceast semnificaie relaile S1 i S1 mai pot fi scrisei sub urmtoarea form:S1: DY1+2Y1=3DU1+U1 sau (D+2)Y1=(3D+1)U1 dar U2=Y1S2: 2DY2+Y2=DU2+3U2 (2D+1)Y2=(D+3)U2Deci S2 devine: (2D+1)Y2=(D+3)Y1

Explicitndul pe Y1 din S1 vom avea n continuare:

(2D+1)Y2=(D+3) 1213

U)D()D(

++

(2D+1)(D+2)Y2=(D+3)(3D+1)U1(2D2+5D+2)Y2=(3D2+10D+3)U1sau2D2Y2+5DY2+2Y2=3D2U1+10D U1+3U1 de unde rela ia MMII cutat este:

2Y2+5Y2+2Y2=3U1+10U1+3U1 sau2Y+5Y+2Y=3U+10U+3U


4/21


3.3. PROBLEME CAP.3.TEST A:

1. Pentru un sistem format din doua elemente serie S1 i S2 determinai MMIIintrare ieire prin metoda analitica.a) S1: 3Y1+2Y1=2U1 b) S1: Y+Y1+2Y1=3U1

S2: Y2+3Y2=3U2 S2: 2Y2+Y2=2U22. Pentru un sistem format din doua elemente cu reactie pe iesire S1 i S2

determinai MMII intrare ieire prin metoda analitica.a) S1: 4Y1+Y1=U1 b) S1: Y+Y1+Y1=3U1S2: 3Y2+Y2=2U2 S2: Y2+3Y2=5U2

3. Pentru un sistem format din doua elemente serie S1 i S2 determinai MMIIintrare ieire prin metoda operatorilor formali D.a) S1: 5Y1+Y1=2U1 b) S1: 4Y+3Y1+2Y1=U1

S2: 5Y2+Y2=U2 S2: Y2+Y2=U24. Pentru un sistem format din doua elemente cu reactie pe iesire S1 i S2

determina i MMII intrare ie ire rin metoda o eratorilor formali D.

TEST B:1. Pentru un sistem format din doua elemente serie S1 i S2 determinai MMII

intrare ieire prin metoda analitica.a) S1: 2Y1+2Y1=2U1 b) S1: 2Y+Y1+2Y1=4U1

S2: 3Y2+3Y2=U2 S2: 2Y2+Y2=U22. Pentru un sistem format din doua elemente cu reactie pe iesire S1 i S2

determinai MMII intrare ieire prin metoda analitica.a) S1: 5Y1+Y1=5U1 b) S1: 3Y+Y1+Y1=U1

S2: 5Y2+Y2=4U2 S2: 2Y2+3Y2=2U23. Pentru un sistem format din doua elemente serie S1 i S2 determinai MMII

intrare ieire prin metoda operatorilor formali D.a) S1: 2Y1+3Y1=2U1 b) S1: 4Y+3Y1+2Y1=U1

S2: 3Y2+Y2=3U2 S2: 2Y2+Y2=4U24. Pentru un sistem format din doua elemente cu reactie pe iesire S1 i S2

determina i MMII intrare ie ire rin metoda o eratorilor formali D.


5/21


CAP.4. MODELAREA ANALOGICA A SISTEMELOR.

4.1. SCHEME BLOC ABSTRACTE ECHIVALENTE Operaiile care descriu funcionarea abstract a unui sistem pot fi grupate n diferite feluri

rezultnd scheme echivalente.Exemplul1: S se reprezinte schemele bloc echivalente ale

relaiei: ++= dtdXK XdtK XK Y DI p (fig.4.1).

K XP

X Xdt Ki

KDX

Y

Ki Xdt

KDXX Y

Ki Xdt+KDX

X Y

Schema 1

Schema 2

Schema 3

fig.4.14.2. EXEMPLUL (3) DE MODELARE ANALOGIC A UNUI SISTEM CU ELEMENTE TIPICE

ELECTRONICE AVND LA BAZAMPLIFICATORUL OPERAIONAL.Consider m un sistem cu urmtorul model matematic: Y+KY=MU. Se parcurg obligatoriuurmtoarele etape :1. - prin transformri corespunztoare a modelului matematic, se caut un alt model

echivalent ce poate fi construit cu elemente de modelare disponibile. Dac n exemplu

integr m modelul matematic iniial obinem: Y+ sau:

Y=

= UdtMYdtK

+ UdtMYdtK de unde: Y= [ ] + dtY)K (MU , relaie se este reprezentat inschema bloc din fig. 4.2.


6/21


UM

(-K)

Y

Y(-K)

UMU+M Y(-K)

U+[M Y]dt(-K)

fig.4.22. conform paragrafului 4.2.1 se asociaz fiecrui element din schema bloc un model

electronic cu amplificator operaional rezultnd schema electronic a modeluluienunat (fig.4.6).

AOR

R

AO

R1

R2

AOUiR

AOUi

R

AO

R3

AO

C

RR

AO

R

R

R

R4

R5

Y

MU [MU+(-)KY] [MU+(-)KY]dt

(-)KY

fig. 4.34.3. SCHEME BLOC DE MODELARE A UNOR SISTEME UZUALE.


7/21


(M1)

(-K1)

(M2)

(-K2)

(M3)

Y

U

Y+K Y+K Y=M U+M U+M U2 1 3 2 1

Y+K Y=M U+M U1 2 1

(-K1)

(M2) YU

M1M2 K1

fig.4.44.4. STABILIREA FACTORILOR DE SCAR A MRIMILOR VARIABILELOR MODELULUIANALOGIC.

Exemplul 4: S se gseasc modelul matematic n vederea simulrii, considernd:a) modelul matematic al sistemului real: 0,1Y+Y=30Ub) vaoarea maxim de intrare n procesul dinamic modelat: Umax=110 unitic) valoarea maxim de ieire: Ymax=3300 unitid) valoarea maxim a semnalelor de intrare i ieire la model: (UU)max=10V i

(UY)max=10VRezolvare:

Aplicnd relaile de la 4.3. vom avea:

100

10

033

10099

100

100333300

10

10099110

10

3

2

3

2

Tt

.

U

m

UY

.U

mU

U

tT

m

.maxY

max)U(m

.maxU

max)U(m

Y

Y

Y

U

U

U

t

YY

UU

=

==

==

==

===

===

rezultnd:


8/21


UYY U

,U

.dTdU

..

=+099

1030

033

10

033

1001010 23

relaia modelului analogic.4.5. PROBLEME

TEST A:5. Pentru sistemele date mai jos, construi i schema bloc abstract

a) S1: 3Y1+2Y1=2U1 b) S1: Y1+2Y1=3U1

2. Pentru sistemele definite la punctele a) i b) construii schema bloc abstract ischema electronic a modelului cu A.O.

a) S1: 3Y1+2Y1=5U1+U1 b) S1: Y1=3U1+2U1

S2: Y2=2U2+3U2 S2: 3Y2+2Y2=U2+5U2U2=Y1 S3: Y3=2U3+3U3

Y2=U3; U2=Y1-Y33. Pentru cele dou sisteme reale de mai jos construi i relaia modelului matematic.

a) S1: 0.5Y+Y=2U b) S1: 0.4Y+3Y1+0.2Y1=U1 Umax=150 unit. Umax=100 unit.

Ymax=2250 unit. Ymax=3250 unit(U)Umax= 5V (U)Umax= 15V

TEST B:1. Pentru sistemele date mai jos, construi i schema bloc abstract

a) S1: Y1+5Y1=3U1 b) S1: 2Y1+3Y1=U1

2. Pentru sistemele definite la punctele a) i b) construii schema bloc abstract i

schema electronic a modelului cu A.O.a) S1: 3Y1+Y1=U1+5U1 b) S1: 2Y1=3U1+U1

S2: Y2=4U2+3U2 S2: 3Y2+Y2=5U2+U2U2=Y1 S3: Y3=U3+2U3

Y2=U3; U2=Y1-Y33. Pentru cele dou sisteme reale de mai jos construi i relaia modelului matematic.

a) S1: 0.5Y+0.8Y=U b) S1: 0.9Y+Y1+0.2Y1=0.7U1

Umax=150 unit. Umax=250 unit.Ymax=2250 unit. Ymax=3250 unit(U)Umax= 5V (U)Umax= 10V


9/21


CAP.6. RSPUNSUL SISTEMELOR CONTINUE LINIAREINVARIANTE UTILIZND ECUAILE DIFERENIALE6.1. DETERMINAREA ANALITICA RSPUNSULUI LIBER

Exemplul 1: s se gseasc r spunsul liber al sistemului definit de MMII urmtor:Y+3Y+2Y=5U+4U cu starea iniial Y(0)=7i Y(0)=8

Rezolvare !:

- Rezult ecua ia caracteristic: r+3r+2r=0 cu r dcinile r 1=-1 i r 2=-2- r spunsul liber va fi o combinaie liniar a setului fundamental e-t i e-2t

- YL(t)=c1 e-t+c2 e-2t

- YL(t)=-c1 e-t

-2c2 e-2t

- unde f cnd: t=0, YL(0)=Y(0)=7i YL(0)=Y(0)=8 rezult sistemul:

7=c1+c28=-c1-2c2 de unde rezult c1=22 i c2=-15

- expresia r spunsului liber al sistemului dat este: YL(t)= 22 e-t-15 e-2t

6.2. FUNCII PONDEREExemplul 2: S

se g

seasc

func

ile pondere de baz

pentru sistemul: Y+3Y+2Y=5U+4U

i

s se exprime cu ajutorul lor r spunsul liber i derivata de ordin 1 a acestuia pentru condi ileiniiale Y(0)=7i Y(0)=8.

Rezolvare:

a) funcia pondere de baz de ordinul 1 reprezint r spunsul liber pentru condiile iniiale:condiile Y(0)=1, Y(0)=0i innd cont de r dcinile r 1 i r 2 ale ecua iei caracteristice vomavea: h1(t)=c1e-t+c2e-2t. Considernd derivata acestei rela ii la t=0 vom avea:

1=c1+c20=-c1-2c2 de unde:c1=2 i c2=-1 deci

h1(t)=2e-t-e-2t

b) pentru funcia pondere de baz de ordin 2 de procedeaz la fel considernd: Y(0)=0, Y(0)=1,obinndu-se:

h2(t)=c3e-t+c4e-2t

h2(t)=-c3e-t-2c4e-2t de unde la t=0 vom avea:0=c3+c41=-c3-2c4 de unde:


10/21


c3=1 i c4=-1r spunsul liber al sistemului este: YL= Y(0)h1(t)+Y(0)h2(t)=7(2e-t-e-2t)+8(e-t-e-2t)= 22e-t-15e-2t

derivata r spunsului liber : YL= Y(0)h1(t)+Y(0)h2(t)=7(-2e-t+2e-2t)+8(-e-t+2e-2t)= -22e-t-+30e-2t

6.3. RASPUNSUL FORAT AL SISTEMELOR6.3.1. FUNCIA PONDERE STRUCTURAL(GREEN)hS(t) reprezint r spunsul liber al sistemului din condiile n care ajunge sistemul la t=0+

pornind, la t=0-, din condiii nule, considernd partea dreapt a ecua iei difereniale a sistemuluiegal cu funcia Dirac ((t)).

an Y(n)+an-1 Y(n-1)++a1 Y+a0 Y=(t)Starea sistemului abstract descris mai sus la t=0 + se determin integrnd ecua ia simplu.

Dublu, etc., pn la integrala de ordin n ntre t=0- i t=0+. Rezult un sistem de ecua ii cu nnecunoscute Y(0+), Y(0+),.,Y(n-1)(0+), care odat rezolvat d starea sistemului la t=0+:

Y(0+)=0, Y(0+)=0,.,Y(n-1)(0+)=1/an,Funcia pondere structural : hS(t)=YL(t) cu cond.: Y(0)=0, Y(0)=0,.,Y(n-1)(0)=1/an,Exemplul 3: S se g seasc funcia pondere structural pentru sistemul:

Y+3Y+2Y=5U+4U. Se determin n mod cunoscut r spunsul liber al sistemului pentru condiile

iniiale Y(0)=0, Y(0)=1/an=1. Rezult (vezi exemplul 3):

tt

)(' Y )o( Y LS ee)t( Y )t(h

2

10

0

== ==

Exemplul 4: S se determine r spunsul for at al sistemului: Y+3Y+2Y=5U+4U la

semnalul de intrare U(t)=t

Rezolvare:

Inlocuind U(t)=t n relaia MMII (partea dreapt a ecua iei) a sistemului vom avea: f(t)=5+4tFuncia pondere structural pentru sistemul descris mai sus este: hS(t)=e-t-e-2t

Integrala Duhamel va fi:


11/21


( ) ( ) ++=+= t

tt

tt

ttt

t)t()t( deedeedeedeedee)t( Y 0

2

00

22

00

2 445545

Unde:

2

3422

2

5

4

1

4

1

2

1

2

1

2

1

110

12

1

02

1

10

2

22

0

22

0

2

00

22

0

2

0

++=

+==

+===

==

==

tteee)t( Y

etedetede

ete)e(tet

deede

)e(t

ede

)e(t

ede

ttt

ttt

tt

ttttt

tt

tt

t

6.4. PROBLEME:

TEST A:1. S se g seasc r spunsul liber al sistemului caracterizat de MMII: Y+2Y+Y=2U+U i avnd

condi ia ini ial: y(0)=3 i y(0)=8.2. S se g seasc func iile pondere de baz ale sistemului caracterizat de MMII: Y+2Y+Y=2U+U i

avnd condi ia ini ial: y(0)=3 i y(0)=8. S se exprime cu ajutorul lor r spunsul liber i derivata deordin 1.

3. Pentru acela i sistem stabilii funcia pondere generalizat .4. Gsii r spunsul for at al sistemului Y+2Y+Y=2U+Ula semnalul de intrare U(t)=t.

TEST B:1. S se g seasc r spunsul liber al sistemului caracterizat de MMII: 3 Y+Y+Y=5U+3U i avnd

condi ia ini ial: y(0)=4 i y(0)=6.2. S se g seasc func iile pondere de baz ale sistemului caracterizat de MMII: 3 Y+Y+Y=5U+3U

i avnd condi ia ini ial: y(0)=4 i y(0)=6. S se exprime cu ajutorul lor r spunsul liber i derivatade ordin 1.

3. Pentru acela i sistem stabilii funcia pondere generalizat .4. Gs i i r s unsul for at al sistemului 3Y+Y+Y=5U+3Ula semnalul de intrare U t =t.


12/21


CAP.7.IDENTIFICAREA SISTEMELOR CU AJUTORULVARIABILELOR DE STARE

7.1. FORMA NORMAL

A ECUA

ILOR DE STARE ALE SISTEMELOR LINIARE

Exemplul 1: s se determine forma normal a ecua ilor de stare ale sistemului:Y+3Y+2Y=UConform celor prezentate mai sus vom avea: q1=y i q2=y=q1 de unde i : y=q2innd cont de acest lucru sistemul devine:q2+3q2+2q1=U sau: q2=-3q2-2q1+U de unde vom avea urmtorul sistem de ec. dif. de stare.:q1=q2

q2=-3q2-2q1+Uvarianta matricial a acestui sistem va fi:

tare-ieire q1=y reprezint cazul particular al formei matriciale Y=CQ+DU cu:

.2. DETERMINAREA ECUAILOR DE STARE ALE SISTEMELOR PRIN METODA

Y+2Y+3Y+4Y+5Y+6Y=12U+11U+10U+9U+8U+7Uchema de simulare

Uqq

'q'q

+

=

1

0

3

1

2

0

2

1

2

1

sau Q=AQ+BU ecua ia intrare-sC=[1 0]i D=[0].

7FORMAL A SCHEMELOR DE SIMULARE PLECND DE LA ECUAILE DIFERENIALE.Exemplul 2: S se determine prin metoda formal a schemelor de simulare, ecua iile de stareale urmtorului sistem:

Prin integr ri repetate i conform ultimelor relaii de la 7.2.2 rezult sdin fig. 7.4. Se aleg variabilele de ieire ale integratoarelor de la dreapta la stnga, ca variabile

de stare i apoi se scriu ecua ile de stare:U

7

-6

8

-5

9

-4

10

-3

11

-2

12

Yq 1q 2q2q 3q3q 4q4q 5q5 q1

fig.7.4


13/21


q1=-2q1+1q2+0q3+0q4+0q5+(11-212)u

q2=-3q1+0q2+1q3+0q4+0q5+(10-312)u

q3=-4q1+0q2+0q3+1q4+0q5+(9-412)u

q4=-5q1+0q2+0q3+0q4+1q5+(8-512)u

q5=-6q1+0q2+0q3+0q4+0q5+(7-612)uy=1q1+0q2+0q3+0q4+0q5+12usau matricial:

7.3. PROBLEME

2600103 UQ'Q 3901004 +=

5210005 650000

13

6

00012

Y=[1 0 0 0 0]Q+12U

TEST A:1. Stabilii forma normal a ecua ilor de stare ale sistemului: 2Y+5Y+3Y=U

2. Construii pe baza formei normale a ecua ilor de stare ale sistemului de la pct 1., schema blocabstract.

3. S se determine utiliznd metoda formal a schemelor de simulare ecua ile de stare i schemabloc abstract ale sistemului: 2Y+3Y+5Y+Y+2Y=U+6U+11U+10U+7U

TEST B:

1. Stabilii forma normal a ecua ilor de stare ale sistemului: 11Y+3Y+Y=Uct 1., schema bloc

3. rmine utiliznd metoda formal a schemelor de simulare ecua ile de stare i schema

2. Construii pe baza formei normale a ecua ilor de stare ale sistemului de la pabstract.S se detebloc abstract ale sistemului: 11Y+8Y+Y+3Y+7Y=10U+7U+8U+2U+U


14/21


CAP.8 TRANSFORMATA LAPLACE A FUNCILOR DE VARIABIL

EAL

.1. CARACTERIZAREA SISTEMELOR LINIARE SI INVARIANTE N DOMENIUL COMPLEExemplul 1:Sa se gaseasca functia imagine pentru urmatoarele functii: functia treapta unitara

(t)=1(t)si f 2(t)=et1(t).

.2. CA NCTILOR ORIGINAL

al funciei imagine F2(S)

Se calculeaz polii (r dcinile) numitorului funciei S2+S+1=0,

R 8

f 1

=

==

=

===

SSdtedte)t(

edtedte)t()S(

)S(Stt

StStSt

0

1

1111

0 0

1

=

ee)S(F

SS)S( 1

0

2

0 0

F

8 LCULUL FUExemplul 2: S se determine originalul f(t) al funciei imagine F1(S)

21 )S(F

+1

)S( =

tS

StS

Stmp

pSt tetee

)S()S(

dSd

)!()t(f e

)S(B)S( A sRe ==

==

+

+

==21

1

112

1

Exemplul 3: S se determine originalul f(t)

)S(B)S( A =

SS)S(F

++=

22

1

2

3

2 j

121S , =

Vom avea:


15/21


8.4. PROPRIETATILE TRANSFORMATEI LAPLACE8.4.1. TRANSFORMATA (IMAGINEA LAPLACE) A FUNC IILOR CU DISC

Cunoscnd expresila funciei n intervalele de continuitate:

ONTINUIT I.

=

+11

212

11 0

nn t.pt),t(f

...

t.pt),t(f t.pt),t(f

)t(f

funcia imagine poate fi gsit cu relaia: L[f(t)]=110 +n

22

11

++

n ]f [L...]f [L]f [L

Exemplul 4: S se determine imaginea funciei definite grafic n fig. 8.2.

din formula de calcul vom avea:

Expresia analitic a funciei considerate este:

Date post:	10-Apr-2018
Category:	Documents
Upload:	dacusorul
View:	223 times
Download:	0 times

t.s.aplicatii Seminar

Documents