Trasarea graficului unei functii In studiul variatiei unei
functii si trasarea graficului se parcurg
urmatoareleetapededeterminaresuccesivaaunorelementecaracteristice
ale functiei:I. Domeniul de definitie:a) Determinarea domeniului de
definitie (in cazul expresiilor rationale numitorul trebuie sa fie
diferit de zero; incazul celor irationale cantitatea de sub radical
trebuie sa fie cel putin zero)b) Intersectia graficului cu axa Ox:
f(x)=0c) Intersectia graficului cu axa Oy:f(0)=d) Calculul
limitelor:II. Semnul functiei:a) Determinarea paritatii sau
imparitatii functiei(daca functia este para,f(x)=f(-x),atunci
graficul estesimetricfatadeaxaordonatelor; dacafunctiaeste
impara,-f(x)=f(-x), atunci graficul este simetric fata de originea
axelor).b) Determinarea periodicitatii functiei si, in cazul
functiilor periodice, a perioadei T.c) Continuitatea functiei.III.
Asimptote:a) orizontale;b) oblice;c) verticale.IV.Studiul primei
derivate:a) Se determina multimea E` inclusa in domeniul de
definitie, pe care functia f este derivabila si apoi se calculeaza
f `(x).b) Se rezolva ecuatia f `(x)=0, ale carei radacini sunt,
eventual, puncte critice ale functiei.c) Se calculeaza valoarile
functiei pe radacinile derivatei I.d) Determinarea semnului
derivatei I, care da monotonia functiei.V. Studiul derivatei a
doua:a) SedeterminamultimeaE``inclusainE`, pecarefunctiaf`este
derivabila si apoi se calculeaza f ``(x).b) Se rezolva ecuatiaf
``(x)=0,iar radacinile pot fi puncte de inflexiune.c) Se calculeaza
valoarile functiei pe radacinile derivatei II.d)
Determinareasemnului derivateiei II, carenedaconvexitateasau
concavitatea functiei.referat.clopotel.ro... ) (si ... ) (lim lim
> > x f x fx xVI.Formarea tabloului de variatie a functiei f
tablou in care setrec pentru sistematizare, rezultateleobtinute la
punctele precedente:xf `(x)f ``(x)f(x) VII.Trasareagraficului
functiei:- conformrezultatelorsistematizate in tabloul de variatie
intr-un sistem de axe carteziene.APLICATII:1. Sa se studieze
variatia functiilor si sa se reprezinte grafic:2x x x f 1 ) ( a)2x
x x fx xx xx x x fx x x fB f Oy GA x x x x x xx x f(x) Ox Gx x xx x
xx fDn nnff+ + + t ' + 1 ) ( II.0111 ) (1 ) ( d) ); 1 , 0 ( 1 ) 0 (
: c) ) 0 ,22(221 2 1 10 1 0 : b) ] 1 , 1 [ daca , 1) , 1 ( ) 1 , (
daca, 1) (); , ( a) I.222 22n2n2 2 2 2 2222lim lim limlim limx- -1
0 1+f `(x) --- -|++0- - -- - --|+ ++f (x)+ 1 10-1 0 in 1 si 1 avem
puncte de intoarcere. 3( ) ( ) ( )) 2 ,22( 2 )22(220 110 ) `(;
intoarcere de punct- ) 1 , 1 (1 ) 1 (0111) `( ) 1 ( `10111) `( ) 1
( `; intoarcere de punct- ) 1 , 1 (1 ) 1 (0111) `( ) 1 ( `10111) `(
) 1 ( `) 1 , 1 ( ,11) , 1 ( ) 1 , ( ,11) `( IV.___ : verticale
asimptote - spre oblica asimptota este 20 1 2 1 ) (2111111 ) (
n mx y : - spre oblica asimptota0spre -____ - spre - :
orizontale asimptote III.22211112111112111121111222 2222lim limlim
limlim limlim limlim lim limlim lim lim lim ; + ; ' + +
,_
+ + ++>> > + < < C fxxxx fMfxxx f fxxx f fMfxxx f
fxxx f fxxxxxxx fx yx x x x x mx x f nx xxxxxxxx xxx
fmyxxxxdxxxxsxxxxdxxxxsx x xx x x xVI.Tabloul de variatie:x03 +f
`(x)+ ++ ++ + +++ +f``(x)- - -- - -- - --f(x) -3 014xxx f+13) ( b)(
) ( )) Oy axa de fata sale simetriei datorita ( pe functiei al
ularpunctunghi este ) 3 . 0 () [0, pe e crescatoar stricteste 0 )
`(1413 113) `( IV.____ : verticala asimptota ___ : oblica asimptota
1 : orizontala asimptota III.) [0, sa restrictia pe functia studiem
sa suficientesteOy axa de fata simetric l aregraficu deci para,
este functia ) (13) ( II.1 ) ( d) ) 3 , 0 (3 ) 0 (: c)) 0 , 3 `(3
013
) 0 , 3 ( 3 0 3 0130 ) ( : b) ) 0 , (,13) [o,,13) (); , ( a) I.2
2`limR Bf x fx xx xxxx fyx fxxx fx fB f Ox GA xxxA x xxxx f Ox
Gxxxxxxx fDxff > +++ +
,_
+ + + + ' + + t ( )) (0, pe concava este f 0 ) ``() 1 (814))` `(
( ) ``( V.4`2 < +
,_
+ x fx xx f x f2.Se considera functia:unde Deste domeniul maxim
de definitie iarkpartine luiR. Sa se traseze graficul functiei f
stiind ca trce prin punctul (1,1).Demonstratie:5) (1 2) ( :2k x x
xx f R D f++ verticala asimptota 209) 2 (1 2) (09) 2 (1 2) (
: verticale asimptote ____ : oblice asimptote spre 2 :
orizontale asimptote III.oarecare este) 2 (1 2) 2 )( (1 2) ( II.2)
2 (1 2) ( d) ____ ) 0 ( : c) axa aza intersecte nu00 1 2 0 ) ( : b)
} 0 , 2 { : a) I.} 0 , 2 {) 2 (1 2) (; 2 1131 ) 1 ( ) 1 , 1 (
Intrucat 22 -22 -222 -22 -22 2222lim limlim limlim lim ; ++ ++ t ++
+ ++ < + ++ + > > +< < t t xx x xx fx x xx fyfx x xx
x xx fx x xx ff Oy GOx Gx x f Ox GR R fR Dx x xx fkkf G Mxxxxxxxxx
xffffV.x--2-1/20 1f `(x)+ + + |+++0 ---| - - -- 0++ +f(x)2 +|- -2
-|+ 1 6( )2 )21(; 1 ) 1 ( 21 ; 1 0 2 2 4 0 ) `(22 2 4) 2 (1 2) `(
IV. verticala asimptota este 001) 2 (1 2) (01) 2 (1 2) (2 122
22`22000020000lim limlim lim +
,_
++ ;+ ++ +++>> + + ' + r ordonateloaxa de fata simetric
este asociatgraficul deci para, este functia ) ( ) ( II. x f x f___
: verticale asimptote ___ : oblice asimptote ___ : orizontale
asimptote III.
11( ): ecuatie de dreptele la tangenteste atunci ) `( si ) `(
Deoareceunghiulare puncte sunt,0) a (- si ) a (0,adica , ) 0 ( , 0
: coordonate de punctele) `(si) `(extrem de puncte sunt` si ` 0 `)
`( incatastfel ) 0 , ( ` si ) , 0 ( ` ) ( 0 729 ) 64 ( ) ( ) 0 (729
) (64 ) 0 (64 192 192 64 729 ) ( fie0 64 192 192 64 7293 2 0 3 2 0
) `( ) 0 , ( pe oare descrescat stricteste 0 ) `( ) 0 , ( pentru-)
, 0 ( pe e crescatoar stricteste 0 ) `( ) , 0 ( pentru-0 ) `( ; 0 )
`( 0 ) `( 132) `(132) `(132) `( IV.1 lim limlim lim00002 1 12 1ei
intersecti lema 8 6866 2 4 4 2 6 86 2 4 4 2 6 86 3 2 2 3 2 212 12
22 12 2 322 2 312 2 3a x G x f x ff x f x fx x x fa x a x a a a h
ha a ha ha x a x a x x x ha x a x a x xx x x a x x x a x fa f x f a
xa f x f a xx f x f x fx axxx fx axxx fx axxx ffa xa xa xa xxxxxt +
+ < t ; t + + + + < > + >
