1

1

UNIVERSITATEA DIN CRAIOVA FACULTATEA DE MECANICĂ Laborator de Mecanisme Specializarea: TCM

Lucrarea: MECANISME CU CAME– SINTEZĂ: TRASAREA SPIRALEI LUI ARHIMEDE

1. Scopul lucrării

a) Cunoaşterea unor profiluri uzuale utilizate la came: spirala lui Arhimede (cama cardioidă) şi arcele de cerc (cama armonică). b) Trasarea spiralei lui Arhimede, teoretic şi experimental, pentru o supraînălţare pe diviziune impusă. c) Determinarea analitică a centrului de curbură şi a razei de curbură pentru un punct dat al spiralei lui Arhimede şi verificarea lor experimentală. d) Realizarea mecanismului înlocuitor al unui mecanism axial cu camă rotativă cu profil spirala lui Arhimede şi tachet translant (cu vârf, rolă, sau taler) prin substituirea cuplei cinematice de clasa a IV-a (înlocuirea se efectuează în punctul de pe spirală impus anterior).

2. Consideraţii teoretice Spirala lui Arhimede reprezintă locul geometric al unui punct (A) care se deplasează cu o viteză

liniară constantă, pe o dreaptă care se roteşte cu viteză unghiulară constantă (Fig. 1).

t

v=ct

ct

a

a

A

O

x

y

Fig. 1

Ecuaţia spiralei lui Arhimede în coordonate polare este: atρ , unde ρ este raza polară a unui punct curent de pe curbă, t este unghiul razei punctului curent - în radiani - iar a este o constantă care determină pasul spiralei lui Arhimede. Pasul spiralei reprezintă distanţa dintre două profiluri consecutive ale spiralei (după o rotire a spiralei cu unghiul 2 ) şi este egal cu a2 (Fig.1).

Pentru a trasa spirala lui Arhimede pe un unghi al camei, cu o supraînălţare totală pe acest unghi egală cu s, se procedează astfel: se împarte unghiul într-un număr de părţi egale, şi supraînălţarea s se împarte în acelaşi număr de părţi egale. De exemplu, în Fig. 2 unghiul ( 12 ) s-a împărţit în 6 părţi egale şi supraînălţarea s (s=R2-R1) de asemenea s-a împărţit în 6 părţi egale. Se construiesc

2

2

prin diviziunile obţinute arce de cerc cu centrul în vârful unghiului, respectiv raze; prin intersectarea acestora se obţin patrulatere curbilinii. Se unesc diagonalele patrulaterelor curbilinii, ca în Fig. 2, obţinându-se o curbă care aproximează spirala lui Arhimede. Cu cât numărul de părţi în care se împarte unghiul (precum şi supraînălţarea totală) este mai mare, cu atât spirala lui Arhimede este mai bine aproximată.

R1

R2

S

S/6

/6

1

2

Fig. 2

Raza de curbură într-un punct curent de pe spirală se determină cu formula:

2322

2221/)'ρ(ρ

''ρρ'ρρR

.

Coordonatele centrului de curbură verifică ecuaţiile parametrice ale desfăşuratei spiralei lui Arhimede pentru un unghi t impus:

'''

''

'''

''

))(tsintcos(tsiny

))(tcostsin(tcosx

22

22

22

22

2

2

De exemplu, în punctul A de pe spirala lui Arhimede, centrul de curbură este în punctul B(xB, yB), iar raza de curbură este AB (Fig. 3).

Fig. 3

A

B

x

y

3

3

Dispozitive utilizate Dispozitivul existent în Laboratorul de Mecanisme (Fig. 4), realizat de firma SKODA, permite prelucrarea/trasarea spiralei lui Arhimede cu o supraînălţare pe diviziune între 0…3 mm. Circumferinţa unei came se împarte în 100 diviziuni.

Fig. 4

Schema cinematică a dispozitivului se prezintă în Fig. 5.

5

8

9

101112

13

17

1

2

34

6

7

14

15

16

18

1919

13

Fig. 5

Pentru prelucrarea profilului unei came de forma spiralei lui Arhimede, dispozitivul se montează pe masa unei maşinii de frezat verticale. Mişcarea se transmite de la melcul 1 la roata melcată 2, la melcul 3, la roata melcată 4, pe care este fixată cama 5, ce urmează a fi frezată. Roata dinţată 7 - solidară cu roata dinţată 4 -, transmite mişcarea la roata dinţată 8.

Roata dinţată 8 este solidară cu roata dinţată 9; sistemul mecanic 8-9 poate fi translatat pe verticală, prin rotirea unei pârghii oscilante din poziţia notată 1:1 în poziţia 1:2, astfel încât să angreneze roata

4

4

dinţată 8 cu cremaliera 10, respectiv roata dinţată 9 cu cremaliera 11. Roata dinţată 7 are o dantură mai lată, astfel încât ea să transmită mişcarea sistemului balador 8-9, indiferent de poziţia pârghiei oscilante (1:1 sau 1:2).

Cremalierele 10 şi 11 sunt solidare, distanţa dintre ele fiind mai mare decât distanţa dintre roata dinţată 8 şi roata dinţată 9, astfel încât, atunci când roata dinţată 8 este în angrenare cu cremaliera 10, angrenajul 9-11 este decuplat, şi invers.

Cele două cremaliere sunt solidare cu sania transversală 12 a dispozitivului şi pot asigura acesteia o mişcare de translaţie în ghidajele 13, cu două viteze diferite, în funcţie de poziţia pârghiei oscilante (1:1 sau 1:2).

Pe sania 12 se află montată prisma 14, care poate fi înclinată la un unghi impus, , prin rotirea unei rozete. După obţinerea unghiului de înclinare dorit, prisma se fixează pe sanie prin intermediul şuruburilor 15 şi 16.

Pe suportul 17, solidar cu masa maşinii de frezat, se află o rolă, care se păstrează în contact cu prisma prin intermediul forţei unui arc. Forţa transmisă rolei de către prismă provoacă o reacţiune asupra prismei, pe direcţia normalei la suprafaţa înclinată a prismei. Componenta orizontală a reacţiunii care acţionează asupra prismei se transmite ghidajelor 13, şi produce deplasarea longitudinală a saniei 18 în ghidajele 19.

Arborele roţii 4 are lagărul fixat în sania longitudinală 18, deci peste mişcarea iniţială de rotaţie a camei 5 se suprapune mişcarea de translaţie longitudinală a saniei 18, adică mişcarea de translaţie a camei de prelucrat în lungul razei curente (raza curentă = distanţa de la centrul camei la centrul frezei).

Spre deosebire de descrierea teoretică a trasării spiralei lui Arhimede, prezentată anterior (o dreaptă se roteşte în jurul unui punct cu o viteză constantă, în timp ce un punct se deplasează cu o viteză liniară constantă pe această dreaptă), în prelucrarea/desenarea propriu-zisă a profilului camei, mişcarea de translaţie nu este a punctului trasor pe dreaptă, ci a dreptei către punctul trasor, care este fix (principiul inversării mişcării).

În continuare se determină cele două viteze diferite de deplasare ale saniei 12, la cuplarea cremalierei 10 cu roata 8, respectiv a cremalierei 11 cu roata 9 (Fig. 6).

89

s100div=80 tg(1:1)

s100div=80 tg(1:2)

freza degetrb

14

16

15

17

101112

Larc8= 8R8

Larc9= 8R9

cama7

Fig. 6

7

8

7

8

8

7

8

7

8

778 R

Rzz

nni

La o rotaţie completă a roţii 7, roata 8 se va roti cu 8 radiani, unghi care se determină cu relaţia:

7878

78

2ii

5

5

Cuplarea pârghiei oscilante pe poziţia 1:1, pentru angrenarea roţii 8 cu cremaliera 10. La o rotaţie completă a camei ( 2 radiani, corespunzător la 100 diviziuni), deci la o rotaţie a roţii 8

cu 8 radiani, cremaliera 10 se va deplasa pe o distanţă egală ca mărime cu lungimea arcului cercului de rostogolire descris de roata 8 la rotirea cu 8 radiani:

881 RLarc

Din sistemul

7

878

87

RRi

dRRse determină 7R şi 8R

Se cunosc: 40=7z dinţi, 168 z dinţi, 56d mm (distanţa dintre axele de rotaţie ale roţilor 7 şi 8).

4040162

878 ,i

540

28 ,

Din sistemul de două ecuaţii cu două necunoscute

7

8

87

40

56

RR,

RR rezultă: 407 R mm şi 168 R mm.

80165881 RLarc Din triunghiul dreptunghic prezentat în Fig. 6 se determină supraînălţarea camei pentru 100

diviziuni:

80100divstg

tgs div 80100 Relaţia pentru calculul supraînălțării pe o diviziune, pentru raportul 1:1, pentru 1,5mm<divs<0 ,

este următoarea:

Cuplarea pârghiei oscilante pe poziţia 1:2, pentru angrenarea roţii 9 cu cremaliera 11. Pentru cuplarea roţii 9 cu cremaliera 11 (raportul 1:2), cunoscând 32=9z dinţi, 2m mm, se

calculează 322

99

mzR mm şi în continuare se procedează în mod similar cazului anterior.

Se obţine relaţia pentru calculul supraînălțării pe o diviziune pentru raportul 1:2, pentru 3mm<divs<1,5mm :

.

Mersul lucrării, programe utilizate

Se trasează, teoretic şi experimental, profilul unei came de forma spiralei lui Arhimede ce asigură o supraînălţare pe diviziune impusă de temă ...=divs mm .

Se determină teoretic, şi se verifică experimental, raza de curbură a spiralei şi centrul de curbură pentru un punct dat de pe spirală, care are unghiul polar t=...

Determinarea teoretică

Ecuaţia este verificată pentru punctul de coordonate polare ( [rad]180

π3,6=t

; [mm]divs=ρ ):

180

π3,6a=divs • . Se determină a: a=....

tg,sdiv •80=

tgα1,6π=sdiv •

6

6

Ecuaţia spiralei lui Arhimede at= asigură supraînălţarea pe diviziune impusă.

Se calculează a='ρ şi 0=''ρ . Pentru unghiul t impus se calculează:

- raza polară ρ , - raza de curbură R, - coordonatele carteziene ale centrului de curbură în punctul dat de pe spirală, cu formulele prezentate anterior. S-a realizat un program cu MAPLE V pentru trasarea spiralei lui Arhimede, a desfăşuratei acesteia, precum şi pentru calculul centrului de curbură şi a razei de curbură pentru un punct dat de pe spirală. S-a trasat şi raza de curbură pe direcţia normalei, pentru punctul impus de pe spirală (Fig. 7). Se prezintă în continuare programul. > restart; a:=31.8309;unghiul:=108*Pi/180; ro(t):=a*t; > x(t):=ro(t)*cos(t)-((a*sin(t)+ro(t)*cos(t))*((a*t)**2+a**2)/(ro(t)**2+2*a**2)); > y(t):=ro(t)*sin(t)+((a*cos(t)-ro(t)*sin(t))*(ro(t)**2+a**2)/(ro(t)**2+2*a**2)); > z(t):=ro(t)*cos(t); > w(t):=ro(t)*sin(t); > rm(t):=sqrt((ro(t)**2+a**2)**3)/(ro(t)**2+2*a**2); > b:=subs(t=unghiul,x(t));c:=subs(t=unghiul,y(t)); > d:=subs(t=unghiul,z(t));e:=subs(t=unghiul,w(t)); > r:=subs(t=unghiul,rm(t)); > evalf(b);evalf(c);evalf(d);evalf(e);evalf(r); >plot([[x(t),y(t),t=0..2*Pi],[z(t),w(t),t=0..2*Pi],[d+t*(b-d),e+t*(c-e),t=0..1]], scaling=constrained,color=[black],thickness=2);

Fig. 7 Determinarea experimentală Experimental se determină spirala lui Arhimede cu ajutorul dispozitivului existent în Laboratorul de Mecanisme.

Se consideră suma unghiurilor în jurul unui punct (360 ) ca fiind formată din 100 de diviziuni. Pentru 1,5mm<divs<0 se reglează pârghia dispozitivului pentru raportul 1:1; se determină unghiul

de înclinare a riglei dispozitivului cu relaţia: tg0,8=divs • . Pentru 3mm<divs<1,5mm se reglează pârghia dispozitivului pentru raportul 1:2; se determină

unghiul de înclinare a riglei dispozitivului cu relaţia: tg1,6=divs • . Se reglează rigla la unghiul calculat şi pârghia se roteşte pe poziţia corespunzătoare raportului respectiv. Se trasează spirala lui Arhimede cu ajutorul dispozitivului. Pentru verificarea experimentală a centrului de curbură şi a razei de curbură pentru unghiul impus se

procedează astfel: - se determină sistemul de axe în care s-a trasat spirala lui Arhimede cunoscând originea sistemului şi

având trasată spirala; se identifică o rază polară oarecare, şi se determină direcţia şi sensul pozitiv al axei Ox, măsurând în sens invers trigonometric unghiul corespunzător acestei raze faţă de axa Ox;

- se identifică, în sistemul de axe determinat, punctul indicat de pe spirala lui Arhimede şi centrul de curbură al spiralei în acest punct;

- se măsoară raza de curbură între punctul dat de pe spirală şi centrul de curbură corespunzător de pe desfăşurată; se compară valoarea măsurată cu valoarea teoretică.