74

Cap.5.Transformata Z-Breviar

5.1. Transformata Z

Fie 0, kyk un şir de numere. Aceste numere pot fi valorile unei funcţii de timp pentru t=kT,

deci vom nota kTyyk ; T – perioada de eşantionare.

Transformata Z reprezintă o corespondenţă între mulţimea de numere 0kky şi planul

complex, numit „planul z”. Rezultatul îl reprezintă funcţia complexă Y(z). Transformarea in z

poate fi considerata o generalizare a transformarii Fourier a semnalelor discrete. Ea joaca in

analiza si sinteza semnalelor si sistemelor in timp discret rolul transformarii Laplace in analiza si

sinteza sistemelor in timp continuu.

Numim această transformare „transformarea Z directă”, şi se notează:

0

kkyZzY . (5.1)

În acelaşi mod se defineşte „transformarea Z inversă” şi se notează:

zYZykk

1

0

. (5.2)

Legătura între cele 2 transformări este reprezentată în fig.5.1

Formula fundamentală de definire a transformatei Z directe:

0

)(

k

kkk zyyZkTyZzY (5.3)

Seria de puteri (5.3) care defineste transformata z este o serie Laurent. Zona din planul variabilei

complexe z, determinata de ansamblul valorilor acesteia pentru care seria converge, se numeste

domeniu de convergenta. Pentru determinarea domeniului de convergenta, se utilizeaza criteriul

Cauchy referitor la convergenta seriilor, criteriu ce afirma ca o serie de tipul:

...........210

0

n

n

n aaaaa (5.4)

este convergenta daca si numai daca este indeplinita conditia:

1lim1

nnn

a (5.5)

Aplicarea acestui criteriu pentru seria (5.3) conduce la inegalitatea:

1limlim 111

zyzy kk

k

kkk

k (5.6)

Prin introducerea notatiei kkk

c yR1

lim

vom avea ca:

0)( kky )(ty )(zy

ESANTIONARE

t=kT

(univoc)

INVELITOARE

(neunivoc)

Z{…}

(univoc)

Z-1

{…}

(univoc)

Sir de

numere

Fct. de

timp

Planul

complex

Fig.5.1

75

cc Rz

z

R1 (5.7)

Astfel, seria

0k

kk zyzY (din relatia 5.3)reprezinta transformata Z a unui semnala cauzal, care este

convergenta in exteriorul cercului de raza Rc: cRz , adica se poate spune ca transformata Z a

semnalului discret cauzal are convergenta de exterior. Functia de variabila complexa Y(z), definita

prin seria Laurent (5.3) este o functie analitica in domeniul de convergenta, adica transformata Y(z)

si derivatele acesteia sunt continue. Astfel rezulta ca Y(z) nu are singularitati (poli) in domeniul de

convergenta, iar zerourile pot fi plasate oriunde in planul complex.

Astfel daca p1 este un pol al semnalului Y(z), si el este plasat in exteriorul cercului de raza

Rc care reprezinta si domeniul de convergenta, acest lucru semnifica faptul ca p1 este o singularitate

a functiei Y(z) adica o nedeterminare de forma 0

1, ceea ce inseamna ca Y(z) nu este o functie

continua(convergenta la o valoare finita). Daca p2 este in afara domeniului de convergenta rezulta

ca in acest fel aproximarea Y(z) converge catre o valoare finita.

Putem considera că transformata Z poate fi aplicată si unei funcţii de timp original y(t).

ZkRzzkTytyZzY c

k

k ;;0

(5.7)

unde şirul de numere 0kky căruia i se aplică transformata Z este reprezentat de valorile obtinute

prin relatia kTyyk .

Acest proces de obţinere a şirului de numere ky , din valorile funcţiei de timp y(t) pentru t=kT,

se numeşte proces de eşantionare, având variabila T ca perioadă de eşantionare.

Transformarea Z inversa

Aceasta transformare are ca obiectiv determinarea secventei y(k)=y(kT) in domeniul timp

t=kT, atunci cand se cunosc transformata Y(z) si domeniul de convergenta al acesteia. Suportul

teoretic pentru aceasta transformare inversa il reprezinta teorema integralei Cauchy(cunoscuta din

teoria functiilor de variabila complexa), referitoare la integrarea de-a lungul unui contur ce

inconjoara originea planului complex in sensul acelor de ceasornic. Aceasta teorema afirma ca:

0,0

0,1

2

1 1

kpt

kptdzz

jI k

(5.8)

Intr-adevar, considerand conturul un cerc in planul z, ca in fig.5.3 si exprimand variabila z in

coordonate polare:

Rc

Re{z}

Im{z}

Fig.5.2 p1

p2

76

djedzcuez jj )2,0[, integrala (5.8) devine:

0,1

}0{,0)(sin

)1(222

1 2

0

2)1(1

kpt

Zkptkce

ejkjk

edeje

jI

jkk

kjkjkk

jkjk

(5.9)

Prin schimbarea variabilei de sumare k cu n si multiplicarea relatiei (5.3), care defineste

transformata Y(z) cu termenul 1kz , se obtine :

0

11 )(

n

nn

kk zyzzYz (5.10)

Iar prin integrarea relatiei (5.10) de-a lungul unui contur inchis-cerc prin domeniul de

convergenta, vom avea :

dzzj

ydzzzyj

dzzzYj

nk

n

nk

n

nn

k 1)(

0

1

0

1

2

1

2

1)(

2

1

(5.11)

In conformitate cu rezultatul (5.8), integrala din ultima paranteza a relatiei (5.11)este nula pentru

0 nk si unitara pt. 0 nk , adica pentru k=n. Astfel suma

0n

ny se reduce doar la termenul yk,

adica : ][)(2

1 1 kyydzzzYj

k

k

Prin revenirea la variabila n pentru variabila discreta k, se obtine formula ce defineste transformata z

inversa, notata conventional cu 1Z {} :

dzzzYj

zYZyny nn

11 )(2

1)}({][

(5.12)

Conturul , de-a lungul caruia se calculeaza integrala de inversiune trebuie sa apartina domeniului

de convergenta al transformatei Y(z), si trebuie parcurs in sens trigonometric, adica in sens invers

acelor de ceasornic.

Altfel spus, o funcţie de timp tyty inv poate fi obţinută dintr-un şir de numere 0, kyk

înlocuind, de exemplu k=t/T. Aceasta este numai una din funcţiile învelitoare, o funcţie continuă

care trece prin punctele kyk, . Acest proces se numeşte „proces de acoperire uniformă”:

Ttkkinv ytyty

De exemplu : Presupunem 0;12

kk

kyk .

Re{z}

Im{z}

Fig.5.3

77

Putem crea o funcţie de timp

1

2

T

t

T

t

tyty inv

Prin acest proces de acoperire, valorile şirului sunt forţate să fie considerate distribuite egal în

timp, chiar dacă şirul, posibil, nu are nimic de-aface cu variabila timp.

Relatia dintre transformata Laplace si transformata Z

Fie y(t) un semnal analogic cauzal si ye(t) semnalul rezultat prin esentionarea sa ideala, modelat

matematic prin relatia :

0

)()()()()(

n

Te nTtnTyttyty (5.13)

Transformata Laplace a acestuia este:

00

)()}({)()}({

n

snT

n

e enTynTtLnTytyL (5.14)

Dar semnalului esantionat i se poate asocia semnalul discret:

)(][ nTynyyn , (5.15)

caruia ii corespunde transformata Z:

0

][)(]}[{

n

nznyzYnyZ (5.16)

Cu notatia (5.15) transformata Laplace a semnalului esantionat se mai poate scrie:

0

][)}({

n

snTe enytyL (5.17)

Comparand formulele (5.16) si (5.17) se pot stabili relatiile de trecere de la transformata Laplace a

semnalului esantionat la transformata z si invers:

ze

tyLnyZzY sTe

)}({]}[{)( (5.18)

sTeez

nyZtyL

]}[{)}({ (5.19)

Corespondenta dintre planele s si z

Schimbarea de variabila utilizata in relatiile (5.18) si (5.19): sTez , realizeaza o aplicatie a

planului complex s pe planul z si invers. Exprimand variabila s in forma algebrica si variabila z in

forma polara, schimbarea de variabila devine:

jTjTjTjsT eeeeee ;)( (5.20)

Rezolvarea sistemului cu necunoscutele si conduce la solutia:

lnln 1T

T (5.21)

kT

kkT 00 22

; (5.22)

cu TT

2;0

Concluzia este ca unui punct 000

jez din planul z ii corespunde in planul s, o infinitate de puncte

echidistanta, situate pe o paralela la axa imaginara( 0 ):

78

jksjkjkjjsk 00000 )()( (5.23)

Aceasta corespondenta este ilustrata in fig.5.4.

Se pot face urmatoarele observatii importante:

>>1.Fiecarui punct din planul z ii corespunde in planul s cate un punct in fiecare fasie de latime ,

adica:

2,

22,

2],( 000 kkkk (5.24)

Astfel corespondenta nu este biunivoca.

>>2.Considerand transformarea de la planul s la planul z, sunt valabile relatiile :

10

100

10

T

T

T

e

e

e

(5.25)

Aceasta arata ca axa j din planul s trece in conturul cercului de raza unitate din planul z,

semiplanul stang din planul s trece in interiorul cercului unitate, iar semiplanul drept in exteriorul

cercului unitate.

Tinand cont de observatiile 1. si 2., se poate afirma ca daca punctul z0 baleiaza intreg planul

z, atunci punctul s0 acopera o fasie de latime din planul s, situata in intervalul

2,

2 , iar

punctele sk cu Zk , vor acoperi de asemenea cate o fasie de latime din planul s, situata in

intervalul

2,

2kk .

Prin urmare, fiecare fasie din orizontala de latime din planul s se transforma in intreg

planul z, conforma corespondentei din Fig.5.5

0

Re{z}

Im{z}

Fig.5.4

0

0z

2/

Re{z}

Im{z}

00 ln1

T

0

2/

2/3

2/3

0s

jss 01

jss 01

202 jss

Plan “s” Plan “z”

79

Concluzie : cu alte cuvinte, transformata Laplace a semnalului esantionat este repetarea periodica a

functiei Y(z) in fiecare dintre aceste fasii.

Formula cu reziduuri de calcul a transformatei Z directe.

Această formulă foloseşte transformata Laplace a unei funcţii pure de timp y(t), când

transformata Z se aplică unei funcţii de timp sau unei funcţii învelitoare tyty inv , în timp ce

transformata Z se aplică unui şir pur de numere 0, kyk .

Y lui 11

1Re

poliiTez

YztyZzY (5.26)

Pentru cazul polului avem următoarea formulă de calcul al reziduului: ( polul este punctul 0z şi are

ordinul de multiplicitate m)

1

000

lim!1

1,Re

mmf

mfz

(5.27)

În această formulă Y(s) este transformata Laplace a lui y(t) sau tyinv şi expresia Y se obţine

prin simpla înlocuire a lui „s‟ prin „ ‟, adică

s

sYY .

Exemple :

1.Fie 1ky ; 0k ; Acest şir poate fi obţinut din y(t)=1(t) sau din 0pentru t ;1

T

tkkyty .

Aplicăm formula fundamentală :

0

10,11

k

kzkZtZzY

Folosind dezvoltarea în serie Laurent, in caz general :

zzzz

1

1............1 32 cu raza de convergenţă Rc=1 (vezi Breviar 2)

Deci c

k

k Rz

z

zzzY

1zcu 11

11

01

. Acelaşi rezultat se obţine prin cea de-a doua

metodă.

0

Re{z}

Im{z}

Fig.5.4

0

0z

2/

Re{z}=

Im{z}= j

2/

2/3

2/3

jss 01

Plan “s” Plan “z”

M

B

A L

80

Y

11

11Re1

111

luipolii

TezztZzY

YsYs

tL

Pentru cazul polului avem următoarea formulă de calcul al reziduului: ( polul este punctul 0 şi

are ordinul de multiplicitate k)

1

000

lim!1

1,Re

kkf

kfz

În cazul nostru avem polul 00 , de ordin de multiplicitate 1.

Aplicând formula şi considerăm s

1z ;11

1

1

1

1

11

!0

1

1

11Rez

110

s Y

10

1

lim

lim

cT

luipolii

TT

Rz

z

zezzY

ezezzY

2.Considerăm 0; kkTyk . Putem crea o funcţie de timp (învelitoare):

0

2

............

1

k

kkTzkTZzY

ssYtty

Fiind mai dificil de evaluat dezvoltarea în serie de mai sus, vom folosi a doua metodă:

21lui

122 1

11Re

1

polii

TezzzY

ssY

Aplicând formula cu reziduuri pentru polii de mai sus, avem polul 0 cu ordin de

multiplicitate k=2.

2

21

1

21

1

0

)1(

10

12

12

2

0

1

111

1

1

11

!12

1

limlim

lim

z

TzzY

z

Tz

ez

Tez

ezzY

ezzY

T

T

T

T

Formula fundamentală de calcul al Transformatei Z inversă

Având o funcţie complexă Y(z) care este analitică într-un domeniu 21 RzR şi este orice

curbă simplă ce separă 1R şi 2R , atunci

dzzzYj

y k

k

1

2

1

Mai simplu, putem spune că este orice curbă închisă din planul z care include toţi polii finiţi

ai lui 1kzzY .

81

Dacă funcţia Y(z) este raţională şi cauzală, atunci integrala de mai sus se poate calcula simplu

folosind teorema reziduurilor(vezi Breviar).

1

11 Re)(2

1][

kzzY

polii

kk zzYzdzzzYj

ky

(5.28)

Daca z0 este polul de ordin de multiplicitate m, vom avea:

101

1

0 )(lim!1

1,Re

0

km

m

m

zzzzYzz

dz

d

mzfz (5.29)

Şirul rezultat ky poate fi interpretat ca fiind valorile unei funcţii de timp: kTtk tykTyy

Exemplu:

Fie

1

1

1

1

1

1Re

1

1

kzz

polii

k

k zz

zyz

zY

Trebuie să verificăm dacă numărul de poli este diferit pentru diferite valori ale lui k.

zz

polii zzpt

1

1

1

0

1

1

1y0k ; deci vom avea 2 poli: 0, 1.

Conform formulei 1 vom avea:

0111

1

11

!0

11

1

10

!0

1limlim

100

zzz

zzzy

zz

1

1

1

1

k1

1Rey1k .

kzz

polii

kzz

zpt ;

Avem un singur pol în z=1, cu ordin de multiplicitate 1

11

11

!0

1 1

1lim

k

zk z

zzy

Teoremele transformării Z

Aceste teoreme expun câteva proprietăţi utile pentru calculul rapid al transformatei Z:

>>Teorema liniarităţii: Dacă 0k

a

ky sau tya şi 0k

b

ky sau tyb admit transformata Z:

tyZyZzY

tyZyZzY

bb

k

b

aa

k

a

atunci, pentru orice , reale sau complexe, semnalele sunt liniare daca:

zYzYyyZ bab

k

a

k (5.30)

>>Teorema deplasarii în real (domeniul timp)

Daca exista corespondenta:

cRzaconvergentdedomcuzYny )(],[ atunci deplasarea in timp, de tip intarziere sau de

tip avans, conduce la multiplicarea transformatei cu factotul noz respectiv noz :

)(][;)(][ zYzpnyzYzpny pp (5.31)

82

Obs: 1.Intarzierea cu p=1, respectiv avansul cu p=1, conduc la multiplicarea transformatei cu Y(z) cu z

-1

respectiv cu z.Acest fapt determina atribuirea denumirilor de operator de intarziere unitar(z-1

)

respectiv de operator de avans unitar(z).

2. In cazul transformatei z unilaterale(cazul semnalelor cauzale), proprietatea referitoare la

transformata z a secventei y[n+p] are o forma mai speciala, deoarece avansul cu p unitati poate

transforma semnalul cauzal in semnal necauzal.

k

p

k

pk

k

p

pk yZzyzYzpTtyZyZ

z Yunde ;)(1

0

)( (5.32)

unde termenul care se scade reprezinta exact transformata z aportiunii de semnal devenita

anticauzala in urma deplasarii. Evident acest termen poate fi nul daca suportul semnalului y[k] este

pt k>k1 iar avansul s-a realizat in numar de pasi p<k1

>>Scalarea in z:

a

zYnyaZ n ][ (5.33)

Aceasta proprietate de scalare, evidentiaza faptul ca printr-o multiplicare a semnalului cu o

functie exponentiala an se poate modifica pozitia polilor si a zerourilor transformatei z, in sensul

apropierii sau departarii de origine.

>>Teorema valorii iniţiale:Asa cum indica si numele, teorema este valabila numai pentru semnale

cauzale, si permite calculul esantionului y[0] direct din transformata Y(z), fara evaluarea expresiei

y[n]. Exprimarea transformatei z a unui astfel de semnal:

0

2...

][....

]2[]1[]0[][)(

nn

n

z

ny

z

y

z

yyznyzY

ceea ce conduce imediat la relatia pentru determinarea valorii initiale:

zYy

zlim]0[

(5.34)

>>Teorema valorii finale:Teorema este valabila de asemenea pentru semnale cauzale. Se considera

semnalul auxiliar: ][][]1[][ nunynynx

Transformata z poate fi exprimata in 2 moduri:

a).prin utilizarea proprietatii de deplasare (5.32)

]0[)()1()(]0[)()( zyzYzzYyzYzzX

b).Prin utilizarea definitiei:

....])[]1[(.....]1[]2[(])0[]1[(][)( 1

0

n

n

n znynyzyyyyznxzX

Egalarea limitelor functiei X(z) pentru z1, obtinute cu cele 2 exprimari, conduce la relatia de

calcul a valorii finale direct din Y(z)

zYzy

z

1][ lim1

(5.35)

Dacă limita în domeniul timp există , atunci funcţia zYz 1 nu are poli pe sau în exteriorul

cercului unitar din planul z.

83

Sistem pur discret

Fig.5.5

0kky

0kku

Sir de numere

(vector)

Sir de numere

(vector)

>>Teorema deplasării în complex.

kk

k yZzYyZ zY unde ;1 (5.36)

Demonstraţie:

0 0

1

1

1

1k k

k

z

k

k

k

k

w

k

k zYzYzyzyyZ

k

>>Teorema sumei de convoluţie reale

Fie tya şi tyb două funcţii original, având:

zYtyZ aa şi zYtyZ bb

Această teoremă, una dintre cele mai importante din Teoria Sistemelor, afirmă că transformata Z a

aşa – numitei „sume de convoluţie a 2 şiruri” este chiar produsul algebric al transformatelor Z

corespunzătoare:

zYzYTikyiTyZ bak

i

ba

0

(5.37)

Invers, transformata Z inversă a produsului a 2 transformate Z este suma de convoluţie:

k

i

k

i

bababa iTyTikyTikyiTyzYzYZ0 0

1 (5.38)

5.2 Sisteme pur discrete în domeniul timp

Un sistem pur discret în timp este un sistem orientat, ale cărui intrări sunt şiruri de numere şi

ieşirile sunt şiruri de numere de asemenea. Relaţia intrare-ieşire pentru un sistem cu o intrare şi o

ieşire este o ecuaţie cu diferenţe.

>>Implementarea de ordinul I a unui sistem pur discret

Vom considera o ecuaţie cu diferenţe de ordinul I:

1k ;1 kkk buayy

Această relaţie poate fi materializată printr-un program ce rulează pe un calculator şi în afara

coeficienţilor a, b care sunt parametrii structurali, trebuie să mai cunoaştem condiţia

iniţială 011 yykk .

Se poate înlocui k prin k+1 şi relaţia anterioara poate deveni echivalentă cu urmatoarea relaţie:

0k ;11 kkk buayy

Prima relaţie este mai potrivită pe o implementare pe computer, adică este o relaţie pur

recursivă, rezultatul actual este dependent de rezultatele anterioare şi de intrarea actuală şi de cele

84

anterioare. Relaţia 2 este mai potrivită pentru o tratare analitică deoarece totul este definit pentru

0k .

Abordarea analitică: Aplicând transformata Z relaţiei a 2-a şi folosind Teorema anticipării în real

se obţine:

liber

00

fortat

00

termenul

termenul

zH

buyaz

zzU

az

zbzY

uzUzbzaYyzYz

Observăm că ieşirea este suma a 2 termeni:

zYzuzHzY l

zY f

zY f - termenul forţat care este dependent numai de intrare (mai precis nu depinde de condiţia

iniţială)

az

zbzUzHzY f

z Hunde ;

Operatorul

nule initiale .condzU

zYzH ; este funcţia de transfer în z.

Def: Funcţia de transfer în z este raportul dintre transformata z a mărimii de ieşire şi transformata z

a mărimii de intrare, în condiţii iniţiale nule, dacă şi numai dacă el este acelaşi pentru orice variabilă

de intrare.

zYl - termenul liber şi este dependent numai de condiţiile iniţiale (mai precis nu depinde de

variabila de intrare).

00 buyaz

zzYl

Aici, termenul liber pare că depinde de 2 condiţii iniţiale 00 u si y deşi ecuaţia cu diferenţe, de la

care am pornit şi care este echivalentă cu prima, este de ordinul întâi şi trebuie să depindă de o

singură condiţie iniţială.

Totuşi se poate porni execuţia programului pe baza primei relaţii cu o singură condiţie iniţială,

deoarece punând k=-1, vom avea 100 aybuy . Astfel rezultă termenul liber 1

ayaz

zzYl ;

dependent deci de o singură condiţie iniţială.

Răspunsul general în timp (forţat şi liber), poate fi uşor calculat aplicând transformata Z inversă.

k

i

likik kyuhzYZy

0

1

unde zHZhk

1 - reprezintă funcţia pondere discretă ca transformată Z inversă a unei

funcţii de transfer în z.

În cazul exemplului considerat,

)(

0000

1

00

Re

zfluipolii

k

l

k

l

l

buyaybuyzaz

zzy

buyaz

zzY

kk

(conform formulei de calcul a transformatei Z inverse)

85

5.3Descrierea intrare-ieşire a sistemelor pur discrete în timp.

Pentru sistemele liniare invariante în timp discret, relaţia intrare-ieşire este o ecuaţie cu diferenţe

ordinară cu coeficienţii constanţi:

0a ; n

00

m

i

iki

n

i

iki ubya (5.39)

Vom avea situaţiile:

m<n – sistem strict propriu (strict causal)

m=n – sistem propriu (cauzal)

m>n – sistem impropriu (ne-cauzal)

Aplicând transformata Z sistemului (5.39), obţinem:

m

i

i

ik

kik

ii

i

ik

kik

in

i

i zuzuzbzyzYza

0

1

0,0

1

0,00

Vom avea:

zL

zM

zL

zIzuzHzY

zY

zY

l

f

zH unde ;

H(z) – funcţia de transfer în z.

01

01

...........

.........

azazazL

bzbzbzM

n

n

m

m

Funcţia de transfer în z determină numai răspunsul forţat, care va avea în domeniul timp

expresia:

k

i

ikik uhy0

(5.40)

zHZhk

1 - funcţie pondere şi reprezintă răspunsul sistemului la un răspuns unitar în

condiţii iniţiale nule. Din această cauză funcţia pondere se mai numeşte „răspuns la impuls”

5.4 Descrierea în spaţiul stărilor a sistemelor discrete în timp

Un sistem discret în timp poate fi exprimat printr-o ecuaţie cu diferenţe de ordinul I în formă

matricială:

kkk

kkk

DuCxy

BuAxx 1 (5.41)

unde matricile pxrDnxrCpxnBnxnA ; ; ;

pentru p=1 avem Bb

pentru r=1 avem C Tc

Având o funcţie de transfer în z, descrierea în spaţiul stărilor poate fi obţinută ca la sistemele

continue în timp, folosind aceleaşi metode. Orice formă canonică de la sistemele continue în timp

poate fi obţinută de asemenea pentru sistemele discrete în timp, cu aceleaşi formule, considerând

variabila z în locul variabilei s.

De exemplu, polinomul 0..... bsbsM mm , va deveni prin mm zs polinomul

01...... bzbzbzM m

m .

Folosind transformata Z, ecuaţiile de stare devin:

86

zBuzAXXzXz 0

Reamintim că transformata Z a unui vector este vectorul transformatelor Z. Deci:

zX

z

zX

zX

x

x

x

x

n

k

k

k

k

n

2

1

2

1

X

.

.

.

.

.

.

Prelucrând ecuaţia, vom avea:

zBuAzIXAzIzzX

zBuzXzAXzzX

z

1

0

1

0

unde vom nota cu z transformata Z a matricei de tranziţie k

kZAzIAzIzz 111

Vom avea: zBuzz

XzzX 1

0 (5.42)

Răspunsul general în timp (adică în momente kT) în raport cu vectorul de stare, este:

1

0

0 1k

i

ik BuikXkx (folosind pentru ultimul termen, teorema produsului de

convoluţie a 2 şiruri de numere)

Transformata Z a ieşirii se obţine prin simpla aplicare a transformatei Z celei de-a doua ecuaţii

din sistemul (5.41) şi prin substituirea lui X(z) .

Vom avea:

zUDBzCz

XzCzY

zDUzCXzY

zH

10

unde DBzCz

zH 1

este matricea de transfer în z.

Pentru sisteme cu o intrare şi o ieşire, matricea de transfer în z este chiar funcţia de transfer în z.

5.5 Structura sistemelor de reglare numerică monovariabilă

Conducerea proceselor bazată pe algoritmi de reglare implementate pe echipamente numerice

(sisteme bazate pe „microprocesor”) este referită curent drept „conducere numerică” sau „reglare

numerică”.

În fig.5.6 se prezintă schema-bloc a structurii utilizate în reglarea numerică monovariabilă.

87

Se remarcă următoarele aspecte fundamentale în funcţionarea sistemului în circuit închis:

>>Procesul este un sistem continuu, având drept mărime de intrare semnalul continuu cuantificat

u(t) şi mărime de ieşire semnalul continuu analogic y(t). CAN-convertorul analog/numeric

converteşte semnalul continuu y(t) în semnalul numeric y(k). Regulatorul numeric elaborează, pe

baza unui algoritm numeric ce prelucrează semnalul r(k) şi y(k), semnalul numeric de comandă u(k).

Semnalul y(k) achiziţionat de regulatorul numeric, cât şi u(k) elaborat de regulatorul numeric sunt

semnale numerice codificate binar, corespunzător unei reprezentări de tip întreg.

>>Algoritmul numeric implementat pe RN poate necesita operaţii în virgulă mobilă, caz în care se

fac conversiile aferente. Referinţa Ref(k) poate fi livrată în reprezentare de tip întreg sau virgulă

mobilă, în funcţie de particularităţile algoritmului de reglare. Semnalul u(k) este convertit de CNA-

convertor numeric/analogic în semnalul continuu cuantificat u(t). Blocul CLK permite sincronizarea

temporală a blocurilor CAN, RN şi CNA şi perioada acestui ceas se numeşte perioadă de

eşantionare.

>>Software-ul dedicat conducerii numerice realizează o gestionare în timp real a resurselor

sistemului de calcul, corelată cu evoluţia temporală a procesului reglat. De aceea, blocul CLK este

de fapt un ceas de timp real pentru procesul supus automatizării.

>>Este evident că blocul RN, având drept intrare şi ieşire semnale numerice şi executând un

algoritm de tip iterativ este un sistem automat numeric sau un sistem pur discret. Ca principiu

general de funcţionare, ceasul de timp real activează citirea CAN, execuţia unei iteraţii a

algoritmului de reglare implementat pe RN şi scrierea CNA la intervale de timp echidistante,

intervalul de timp între 2 activări consecutive numindu-se perioadă de eşantionare.

Din punct de vedere a naturii semnalelor din structura de reglare din fig.5.6, toate semnalele sunt

electrice (în general în game standardizate de tensiuni şi curenţi). După cum se ştie de la studiul

sistemelor continue, în interiorul părţii fixe se procesează semnale continue de naturi diferite.

Sistem de

achizitie

(CAN)

0000

0001

0010 Regulator

numeric Sistem de

comanda

(CNA)

0000

0001

0010 Sistem

partea fixa y(t) u(t) u(k) y(k)

Ref(k)

CLK

Fig.5.6

88

Breviar: Fie xC inelul seriilor formale cu coeficienţii complecşi. O serie formală

0n

n

n XCS se

numeşte serie de puteri convergentă dacă *Cz încât seria numerică 0

nz n

nC să fie convergentă.

Se spune că seria S este absolut convergentă în punctul *Cz dacă seria numerică reală

0n

n

n zC este convergentă.

Fie CA o mulţime nevidă; se spune că seria S este uniform convergentă pe A dacă şirul de

funcţii

m

n

n

nm zCzS0

este uniform convergent pe A.

Fie Cz 0 un punct fixat; seria de puteri

0

0

n

n

n zzC se numeşte serie de puteri centrată în

punctul 0z definită de seria S.

Teoria seriilor de puteri în corpul complex C este analogă teoriei în corpul real R.

Fie

0n

n

n xCXCS şi Cz 0 - fixat.

Presupunem că seria S este convergentă în punctul 01 zz (deci este convergentă) şi fie

001 zz . Atunci seria de puteri centrată în 0z este absolut convergentă în orice punct z din

discul 0zz şi uniform convergentă în discul compact rzz 0 , pentru orice r cu r0 .

Fie acum:

0n

n0aconvergent C seria sup n

rrRrR

evident R0 şi R se numeşte raza de convergenţă a seriei S, iar discul

RCzRzB 00 z-z , se numeşte discul de convergenţă al seriei S.

Propoziţie: Fie CA o mulţime deschisă şi CAf : o funcţie analitică pe A. Atunci există

derivatele complexe de orice ordin ale lui f în A şi într-o vecinătate a oricărui punct Az 0 avem:

0

0!n

nn

zzn

zfzf

Definiţie: Se numeşte serie Laurent centrată în punctul Cz 0 orice serie de funcţii de forma:

Zn

n

n CzzC n0 C ;

Seria de mai sus se numeşte convergentă dacă seriile

0

0

n

n zzC şi

1

0

n

n

n zzC sunt

simultan convergente şi în acest caz suma seriei este următoarea:

0

00

1

0

n

n

n

n

n n

n

n

n zzCzzCzzC

Seria

1

0

n

n

n zzC partea principală a seriei Laurent iar

0

0

n

n

n zzC partea Taylor a

seriei Laurent

89

Exemple de dezvoltări în serie, cu razele de convergenţă corespunzătoare, care sunt utilizate

frecvent:

1....;..........11

1

R ..;..........!2

1.......!4!2

1

R ..;..........!12

1.............!3!1

R ...;..........!

............!2!1

1

32

c

242

c

121

3

c

2

c

nn

nn

nz

Rzzzz

n

zzzz

n

zzzz

n

zzze

1.;..........11

1 32

cRzzzz

Reziduuri.Teorema reziduurilor.

Definiţie: Fie

n

n

n zzCzf 0 dezvoltarea în serie Laurent a funcţiei f în coroana

circulara coroana,0;0 rzB .

Coeficientul 1C se numeşte reziduul funcţiei f în punctul singular 0z şi se notează 0,Re zfz .

Propoziţie: Fie CrzBf ,0;: 0 o funcţie olomorfă pe coroana rzB ,0;0 ; cu 0r şi fie

Cz 0 un pol de ordinul 0k pentru f. Atunci:

1

00 lim0

!1

1,Re

kk

zz

zfzzk

zfz

Teorema lui Cauchy a reziduurilor: Fie CD un domeniu şi CaaaDf k ,.....,,\: 21 o

funcţie olomorfă pentru care kaaa ,...., 21 sunt puncte singulare izolate. Fie k D un compact cu

frontiera Frk curbă de clasă C1 pe porţiuni orientată pozitiv astfel încât: k1,2,.....,j , ka j .

Atunci:

k

j

jafzidzzf1

,Re2

Sfârşit breviar

90

5.6 Sisteme automate cu eşantionare

Sistemele automate cu eşantionare sunt acele sisteme în care informaţia este transmisă numai la

anumite momente de timp, numite momente de eşantionare. Un sistem cu eşantioane poate cuprinde

o parte continuă (între elementele căreia informaţia se transmite în mod continuu) şi o parte cu

eşantionare. Semnalul eşantionat se poate prezenta sub forma unor impulsuri de o anumită

amplitudine şi o anumită durată (semnale modulate în amplitudine şi semnale modulate în durată). O

altă categorie de sisteme cu eşantionare o constituie sistemele numerice în care semnalele

eşantionate se prezintă sub forma unui cod numeric.

În fig.5.7 se prezintă un sistem liniar cu eşantionare:

DE – dispozitiv de eşantionare

SCN – sistem de conducere numeric

EX – extrapolator – reconstituie semnalul analogic din cel eşantionat.

Semnalele ce se transmit unui sistem cu eşantionare nu sunt continue în timp, ci sub forma unor

impulsuri aplicate la anumite perioade de timp, între 2 impulsuri semnalul este nul. Operaţia de

eşantionare poate fi realizată cu ajutorul unui element fictiv denumit eşantionator (DE), semnalul

te* având forma unui tren de impulsuri de durată p. Dacă durata p a impulsului este mică în raport

cu perioada T atunci eşantionarea este uniformă.

În acest caz, din semnalul e(t) continuu, aplicat la intrarea eşantionatorului rezultă semnalul

discret tep constând dintr-o succesiune de impulsuri de perioadă T, durată p şi amplitudine e(kT).

Considerând funcţia p(t) de forma unui tren de impulsuri unitare de perioadă T şi durată p ca în

fig.5.8 atunci semnalul eşantionat devine:

tetptep * (5.43)

Semnalul periodic p(t) poate fi descompus în serie Fourier exponenţială:

k

tjk

kseCtp

(5.44)

p(t)

0 p T T+p 2T+p 3T+p -T+p -T+p 2T -T -2T

t

Fig.5.8

SCN EX Instalatie

y(t)

u(t)

y(k)

V(t)

Fig.5.7

DE DE

e(t) +

_

e*(t)

91

unde Ts

2 - frecvenţa de eşantionare iar kC sunt coeficienţii Fourier al dezvoltării.

Tjk

eC

dteT

dtetpT

C

s

pjk

k

T ptjktjk

k

s

ss

1

110 0

Pentru simplificarea metodelor de analiză şi sinteză, eşantionatorul real se înlocuieşte cu

eşantionatorul ideal pentru care trenul de impulsuri p(t) se înlocuieşte cu un tren de impulsuri Dirac.

n

n

T

nTttete

tnTttp

*

Dacă presupunem că pentru 0,0 tet

0

*

n

nTtnTete

Aplicând transformata Laplace în relaţiei anterioare avem:

0 0

*

n n

nTsenTenTtLnTesE

Relaţia anterioară indică posibilitatea de calcul a transformatei Laplace a semnalelor eşantionate.

Exemple:

1.Considerăm semnalul continuu treaptă unitară

0 0

** 1

1;1

n n

nTsnTs eenTsEteL

ssEtte

Membrul drept al relaţiei de mai sus este suma unei progresii geometrice cu raţia Tse şi va avea

valoarea:

q

qesE

nTs

1

1a geometrica progresia ;11 1

*

2.Considerăm un semnal de tip rampă:

20

**

2

1

1s E;1

Ts

Ts

n

nTs

e

TenTesEteL

sttte

(prin evaluarea seriei)

3.Considerăm

sete t 1sE ;

0 0

**

1

1

n nsT

snTnTsTn

eeeesEteL

92

Din cele prezentate în exemple rezultă expresii în funcţie de variabila Tse .Dacă se face

schimbarea de variabilă Tsez :

TT

t

ez

z

zezEepentru

z

TzzEttpentru

z

z

zzEtpentru

1

21

1

1

1

1te

11te

11

11te

Schimbarea de variabilă propusă aduce transformatele E(z) la expresii polinomiale în z sau z-1

la

fel ca şi transformata Laplace pentru funcţii continue.

Eşantionatoarele ideale nu pot fi realizate practic datorită faptului că nu se pot realiza impulsuri

de amplitudine infinită aşa cum s-a presupus la eşantionatorul ideal.

Impulsurile reale de amplitudine finită nu pot conţine întreaga informaţie deoarece aria lor tinde

către zero dacă durata tinde către zero. În acest caz, semnalul eşantionat înainte de a fi aplicat părţii

continue a sistemului, trebuie prelucrat de către un dispozitiv, ce se va defini dispozitiv de

reconstituire, având rolul de a reconsitui informaţia constituită de semnalul neeşantionat.

Eşantionatorul ideal permite o analiză matematică mai simplă a sistemelor cu eşantionare, dar

această substituire a eşantionatorului real cu cel ideal trebuie completată cu dispozitivul de

reconstituire, astfel încât ansamblul dispozitiv de eşantionare real plus dispozitivul de reconstituire

să corespundă situaţiei reale din sistem.

Dispozitivul de reconstituire asigură o valoare u(t) diferită de zero pe tot intervalul dintre

momentele de eşantionare.Dacă pe tot intervalul (kT,(k-1)T) semnalul u(t)=u(kT) dispozitivul de

reconstituire poartă denumirea de extrapolator de ordin zero, care transformă deci un impuls Dirac

de arie u(kT) într-un impuls de durată T şi amplitudine u(kT).

Conform celor exprimate în cuvinte vom avea:

s

e

s

Tse

skTutL

TttkTuLsH

Ts

e

1111

5.7 Răspunsul în timp al sistemelor cu eşantionare

Sistemele de conducere numerică a căror schemă de principiu este prezentată în fig.5.9 sunt

sisteme hibride din punct de vedere al informaţiei transmise cuprinzând o parte continuă formată din

elementul de execuţie EE, instalaţia tehnologică IT şi traductorul T şi o poartă numerică care

prelucrează semnale eşantionate constând din dispozitivul de eşantionare DE, regulatorul numeric

RN şi dispozitivul de reconstituire DR.

EE Instalatie

y(t)

u(t)

Yp(kT)

V(kt)

Fig.5.9

Up(kT) w(t)

DR RN

DE T YT(t)

93

Dispozitivul de eşantionare DE transformă semnalul continuu tyT în semnal eşantionat

kTyp şi este format dintr-un element de eşantionare şi un element de cuantizare( convertor

analog-numeric). Cel mai adesea se poate exprima ca fiind un extrapolator de ordin zero având

funcţia de transfer: s

eH Ts

e

11

0

Se va considera partea liniară descrisă printr-o funcţie de transfer

su

sYsH T

pF

Se poate include în partea fixă DE şi DR, în felul acesta sistemul devine un sistem cu

eşantionare cu intrarea kTup şi ieşirea kTyp căruia i se poate aplica ecuaţia:

zuzHzY ppFp

unde zH pF se poate interpreta ca transformata Z a funcţiei pondere a sistemului cu eşantionare.

0n

n

pF ZnThkThZzH

Dacă se consideră tu p - aplicat la intrare ca fiind un tren de impulsuri Dirac atunci mărimea de

ieşire eşantionată rezultă din funcţia pondere h(t):

0n

p nTtnThty (1)

Aplicăm transformata Laplace relaţiei 1 vom avea funcţia de transfer eşantionată:

0

*

n

nTs

pF enThsH (2)

Dacă la intrarea unui sistem liniar cu funcţia de transfer H(s) se aplică un impuls unitar,

semnalul de ieşire eşantionat constă dintr-o succesiune de impulsuri, aria fiecărui impuls fiind egală

cu valoarea funcţiei pondere h(t) în momentul de eşantionare corespunzător. Succesiunea acestor

funcţii impuls este denumită funcţia pondere eşantionată a sistemului.Transformata Laplace a

funcţiei pondere eşantionată este denumită funcţia de transfer eşantionată sH * .

Deoarece se consideră partea fixă a sistemului ca fiind liniară, aplicând principiul superpoziţiei,

se obţine răspunsul sistemului typ pentru orice semnal eşantionat aplicat la intrare având în vedere

faptul că semnalul de intrare este eşantionat şi constă din impulsurile nTu p , semnalul de ieşire

nTyp va fi suma impulsurilor de intrare 0.......... pp unTu .

0k

pp TknhkTunTy (3)

Prin transformări simple, relaţia 3 { înmulţire cu nTse şi însumare după n} vom avea:

0 0 0n n k

nTs

p

nTs

p eTknhkTuenTy

În conformitate cu relaţia 2 vom avea:

94

0 0

*

***

0

**

0 0

*

(4) k j

jTskTs

pp

pp

n

Tskn

pp

n k

TsknkTs

pp

ejThekTusY

sau

sHsusY

eTknhsusY

eTknhekTusY

Aplicând transformata z în ambii membrii ai relaţiei (4) zHzuzY pp în care H(z)

poartă denumirea de funcţie de transfer în z a sistemului cu eşantionare. Funcţia de transfer H(z)

caracterizează în mod similar sistemele automat cu regulatoare numerice aşa cum H(s)

caracterizează sistemele continue.

Funcţia de transfer H(z) se poate obţine din transformata z a produsului:

sHsHZzH pFe

sHe - funcţia de transfer a extrapolatorului şi vom considera extrapolatorul de ordin zero:

s

sHZzsH

s

eZzH

s

esH

pF

pF

Ts

Ts

e

1

0

11

1

Exemplu: Descompunem în funcţiie simple:

n

npF

as

c

as

c

s

c

s

sH

....

1

10

aT

Ta

n

Ta

ez

czpentru

ez

C

ez

c

z

czzzH

n

as

c Zca

...........1

11

101

Observaţie: În general, răspunsul unui sistem continuu şi al aceluiaşi sistem cu eşantionare nu sunt

identice (se va testa la laborator). De obicei se reduce timpul de creştere şi durata de regim

tranzitoriu faţă de sistemul continuu, în schimb creşte suprareglajul în înrăutăţind stabilitatea

sistemului.

5.8 Metode aproximative de discretizare:

1.Aproximarea operatorului de derivare:

>>Aproximarea înapoi:

Pentru o funcţie de timp x(t), căreia îi notăm valorile eşantionate prin kTXX k ,

aproximarea înapoi a derivatei de ordinul I este:

T

XX

dt

tdX kk

kTt

1

>>Aproximarea înainte:

Pentru acelaşi X(t), aproximarea înainte a derivatei de ordinul I este:

95

T

XX

dt

tdx kk

kTt

1

Exemplu:

Considerăm un sistem descris prin ecuaţiile de stare:

BuAxx

Aproximarea înapoi conduce la:

BTAITGGuFXX

BuTAITXTAIX

BuAXT

XX

kkk

k

G

k

F

k

kkkk

11

1

1

1

1

1

;TA-IF unde

Aproximarea înainte conduce la:

kkkk BuAX

T

XX

1

TBG ;TAIF unde X

1-kk

11k

1

1

kk

kkk

k

G

k

F

k

GuFX

punand

GuFXX

uTBXTAIX

2.Aproximarea operatorului de integrae

Considerăm că operatorul de integrare se aplică unei funcţii u(t) obţinându-se:

t

tdutxtx

00

Pentru că există ,k ; 000 tTZk astfel încât:

t

Tk

t

Tk

k duxduTkxtx

0 0

00

Integrala este aproximată prin suma înainte sau înapoi de dreptunghiuri sau trapeze.

>>Aproximarea integralei prin dreptunghiuri înapoi:

k

ki

ikk uTXX10

0

>>Aproximarea integralei prin trapeze înapoi:

k

ki

iikk

uuTXX

1

1

0

0 2

3.Substituţia Tustin:

Bazat pe aproximarea operatorului de integrare, reprezentat în domeniul complex ca în

fig.5.10, printr-o sumă de trapeze, se obţine un algoritm echivalent pentru operatorul „s”. Substituţia

Tustin este o procedură de discretizare a funcţiei de transfer continue.

96

Folosind:

k

ki

k

ki

iikkiikk uuT

XXuuT

XX

1

1

1

111

0 0

00 22

Făcând diferenţa între cele 2 relaţii vom avea:

112

kkkk uuT

XX

Aplicând transformata Z relaţiei de mai sus, vom avea:

1

1

2zH :zin transfer de

12

1 11

z

zT

zu

zXfunctia

zuzT

zXz

care ne permite să realizăm o corespondenţă între operatorul „s” şi operatorul „z”.

1

12

1

1

2

1

z

z

Ts

z

zT

s

Pentru o funcţie de transfer H(s) putem obţine funcţia de transfer în z: H(z) prin simpla

substituţie:

1

12

z

z

Ts

sHzH

Relaţia de mai sus este numită şi transformarea biliniară. Ea realizează o corespondenţă între

planul s şi planul z care transformă întreaga axă j din planul s într-o parcurgere completă a

cercului de rază unitară din planul z.

1

12

z

z

T

U(z

)

Fig.5.10

U(t)

s

1

X(t) X(z)