Template paper VAREHD 12 · Web view[Cr05] Creţu, Sp., Fiabilitatea contactului cu rostogolire în...

MINISTERUL EDUCAŢIEI ŞI CERCETĂRII UNIVERSITATEA “ŞTEFAN CEL MARE” SUCEAVA

DORIN GRĂDINARU

MODELĂRI NUMERICE ÎN TEORIA CONTACTULUI ELASTIC

Rezumatul tezei de doctorat

Conducător ştiinţific

Profesor doctor inginer EMANUEL DIACONESCUMembru corespondent al Academiei Române

Suceava, 2006

C U P R I N S

INTRODUCERE

1. SINTEZĂ PRIVIND TEORIA GENERALĂ A CONTACTULUI ELASTIC (p.teză)

1.1 ECUAŢII FUNDAMENTALE ALE TEORIEI ELASTICITĂŢII LINIARE 1.1.1 Noţiuni generale 11.1.2 Ecuaţii fundamentale ale teoriei elasticităţii liniare 21.1.3 Ecuaţia lui Lamé. Reprezentări generale ale soluţiei 4

1.2 PROBLEME CLASICE ALE SEMISPAŢIULUI ELASTIC 1.2.1 Prezentarea comparativă a problemelor lui Boussinesq, Cerruti Boussinesq-Cerruti şi Flamant 41.2.2 Principiul suprapunerii efectelor la semispaţiul elastic 7

1.3 ÎNCĂRCĂRI PARTICULARE ALE SEMISPAŢIULUI ELASTIC 1.3.1 Sarcini distribuite pe fâşii infinit lungi, de lăţime constantă 81.3.2 Sarcini distribuite pe aria unei conice închise 9

1.4 GENERALITĂŢI PRIVIND REZOLVAREA PROBLEMELOR DE CONTACT ELASTIC 1.4.1 Condiţia de deformaţie la un contact elastic oarecare 101.4.2 Contacte echivalente 121.4.3 Probleme la limită ale semispaţiului elastic 13

1.5 CLASIFICAREA CONTACTELOR 151.6 CONCLUZII 18

2. SOLUŢII ANALITICE ŞI SOLUŢII NUMERICE ÎN TEORIACONTACTULUI ELASTIC

2.1 CONSIDERAŢII GENERALE 192.2 ELEMENTELE CONTACTULUI HERTZIAN PUNCTUAL 202.3 ELEMENTELE CONTACTULUI HERTZIAN LINIAR 232.4 METODE NUMERICE ÎN TEORIA CONTACTULUI ELASTIC

2.4.1 Metodă de integrare directă (inversarea matricei, metoda coeficienţilorde influenţă)

24

2.4.2 Metoda diferenţelor finite 252.4.3 Metoda elementului finit 272.4.4 Metoda elementului de frontieră 302.4.5 Metoda împerecherii punctelor 312.4.6 Metode parţiale 312.4.7 Metode numerice rapide 32

2.5 CONCLUZII. DIRECŢII DE CERCETARE 2.5.1 Concluzii 332.5.2 Direcţii de cercetare 34

3. MODELAREA NUMERICĂ A CONTACTULUI ELASTIC NORMAL; METODA COEFICIENŢILOR DE INFLUENŢĂ – VARIANTA CLASICĂ; CONSIDERAŢII NUMERICE

3.1 MODEL MATEMATIC ASOCIAT UNEI PROBLEME DE CONTACT ELASTIC NORMAL 36

1

3.2 DISCRETIZAREA DOMENIULUI ESTIMAT DE CONTACT 373.3 VARIANTE DE MODEL NUMERIC 383.4 ALGORITM ASOCIAT MODELULUI NUMERIC 393.5 FUNCŢIILE PRINCIPALE ALE PROCEDURILOR AUTOMATE

3.5.1 Calculul coeficienţilor de influenţă 413.5.2 Construirea sistemului liniar în presiuni 423.5.3 Scalarea sistemului 423.5.4 Rezolvarea sistemului în presiuni, prin metode directe 433.5.5 Rezolvarea sistemului în presiuni, prin metode iterative 433.5.6 Analiza numerică a convergenţei metodelor iterative 443.5.7 Rezolvarea sistemului în presiuni, prin metode de tip gradient 44

3.6 SCHEMĂ GENERALĂ ASOCIATĂ ALGORITMULUI 453.7 CONCLUZII 46

4. VALIDAREA MODELĂRII NUMERICE PROPUSE PRIN REZULTATEANALITICE ŞI EXPERIMENTALE EXISTENTE

4.1 VALIDARE PE CONTACTE HERTZIENE 4.1.1 Contactul dintre doi paraboloizi eliptici 484.1.2 Contactul sferei de rază cu sfera de rază 544.1.3 Contactul elipsoid – semispaţiu elastic 574.1.4 Contactul dintre doi cilindri de raze şi având axele

perpendiculare 60

4.1.5 Contactul dintre două corpuri mărginite de suprafeţe toroidale 634.2 VALIDARE PE CONTACTE NEHERTZIENE

4.2.1 Contact pe vârf conic 674.2.2 Contact conform circular 784.2.3 Contactul dintre corpuri mărginite de suprafeţe omogene de gradul patru 88

4.3 VALIDARE EXPERIMENTALĂ 914.4 CONCLUZII 93

5. MODELAREA NUMERICĂ A CONTACTULUI ELASTIC NORMAL PRIN EXTINDEREA ARIEI DE CONTACT

5.1 DESCRIEREA METODEI 955.2 ORGANIGRAMA ASOCIATĂ METODEI 975.3 VALIDAREA ALGORITMULUI ŞI A CODULUI CALCULATOR ASOCIAT

5.3.1 Contactul sferei de rază cu sfera de rază 985.3.2 Contact pe vârf conic 1005.3.3 Contactul dintre corpuri mărginite de suprafeţe omogene de gradul patru 1055.3.4 Analiză numerică comparativă 108

5.4 CONCLUZII 110

6. ANALIZA NUMERICĂ A CONTACTULUI LINIAR DE LUNGIME FINITĂ; VALIDARE EXPERIMENTALĂ

6.1 BOMBARE COMPLETĂ 1126.2 BOMBARE PARŢIALĂ 1166.3 PROFILARE PRIN TREI ARCE DE CERC 1206.4 PROFILARE PRIN CINCI ARCE DE CERC 1256.5 VALIDARE EXPERIMENTALĂ 1286.6 CONCLUZII 130

2

7. DETERMINAREA NUMERICĂ A STĂRII DE TENSIUNI LA CONTACTUL ELASTIC NORMAL

7.1 STAREA DE TENSIUNI LA CONTACTUL HERTZIAN PUNCTUAL 7.1.1 Starea de tensiuni sub aria eliptică de contact 1327.1.2 Starea de tensiuni pe aria eliptică de contact 1337.1.3 Starea de tensiuni pe axa centrală a contactului 1347.1.4 Starea de tensiuni la contactul hertzian circular 135

7.2 STAREA DE TENSIUNI LA CONTACTUL HERTZIAN LINIAR 7.2.1 Starea de tensiuni sub fâşia de contact 1367.2.2 Starea de tensiuni pe planul limitrof 1377.2.3 Starea de tensiuni în planul de simetrie al contactului 137

7.3 DETERMINAREA NUMERICĂ A STĂRII DE TENSIUNI – VARIANTA I 1377.4 DETERMINAREA NUMERICĂ A STĂRII DE TENSIUNI – VARIANTA II 1437.5 SCHEMĂ GENERALĂ DE DETERMINARE NUMERICĂ A STĂRII DE TENSIUNI LA CONTACTUL ELASTIC NORMAL 1457.6 VALIDAREA STĂRII DE TENSIUNI LA CONTACTUL HERTZIAN ELIPTIC

7.6.1 Elementele contactului elastic dintre două corpuri mărginite de suprafeţe toroidale 1467.6.2 Starea de tensiuni pe aria eliptică de contact 1477.6.3 Starea de tensiuni sub aria eliptică de contact 1517.6.4 Starea de tensiuni pe axa centrală a contactului 157

7.7 VALIDAREA STĂRII DE TENSIUNI LA UN CONTACT ELASTIC NEHERTZIAN 7.7.1 Starea de tensiuni pe aria eliptică de contact 1617.7.2 Starea de tensiuni sub aria eliptică de contact 1637.7.3 Starea de tensiuni pe axa centrală a contactului 169

7.8 CONCLUZII 171

8. DETERMINAREA NUMERICĂ A STĂRII DE TENSIUNI LA CONTACTUL ELASTIC CU SARCINĂ NORMALĂ ŞI TANGENŢIALĂ

8.1 CONTACTUL ELASTIC HERTZIAN CU FRECARE 8.1.1 Generalităţi 1738.1.2 Contact hertzian liniar cu frecare 1758.1.3 Contact hertzian circular cu frecare 1798.1.4 Contact hertzian eliptic cu frecare 184

8.2 MODEL NUMERIC PRIVIND STAREA DE TENSIUNI LA CONTACTUL ELASTIC CU SARCINĂ NORMALĂ ŞI TANGENŢIALĂ 1858.3 VALIDAREA MODELULUI NUMERIC

8.3.1 Starea de tensiuni pe planul limitrof al semispaţiului elastic 1908.3.2 Starea de tensiuni în interiorul semispaţiului elastic 1998.3.3 Starea de tensiuni pe axa centrală a contactului 213

8.4 CONCLUZII 216

9. METODA GRADIENTULUI CONJUGAT ŞI TRANSFORMATA FOURIER RAPIDĂ ÎN REZOLVAREA PROBLEMELOR DE CONTACT ELASTIC (CG+DC-FFT)

9.1 INTRODUCERE 2199.2 FORMULARE ANALITICĂ 2199.3 FORMULARE DISCRETĂ 2209.4 ALGORITM PENTRU DETERMINAREA ARIEI REALE DE CONTACT ŞI A DISTRIBUŢIEI DE PRESIUNI 221

3

9.5 VALIDAREA ALGORITMULUI ŞI A CODULUI CALCULATOR ASOCIAT 9.5.1 Contactul sferei de rază cu sfera de rază 2239.5.2 Forma simplificată a profilului Lundberg 2269.5.3 Forma integrală a profilului Lundberg 228

9.6 ALTE APLICAŢII 9.6.1 Contactul dintre corpuri mărginite de suprafeţe Cassini 2309.6.2 Contactul dintre corpuri mărginite de suprafeţe Peano 232

9.7 CONCLUZII 234

10. CONCLUZII FINALE. CONTRIBUŢII ŞI DIRECŢII DE CERCETARE ULTERIOARĂ

10.1 CONCLUZII FINALE 23510.2 CONTRIBUŢII 24010.3 DIRECŢII DE CERCETARE ULTERIOARĂ 244

ANEXA 1. Reprezentări ale soluţiei ecuaţiei lui Lamé 245ANEXA 2. Repere ortonormate în prezentarea problemelor clasice ale semispaţiului elastic 246ANEXA 3. Vectorul deplasare în raport cu diverse funcţii de potenţial 247ANEXA 4. Condiţii pe contur şi relaţii integrale de echilibru 248ANEXA 5. Sarcini distribuite pe fâşii infinit lungi, de lăţime constantă 249ANEXA 6. Sarcini distribuite pe fâşii infinit lungi, de lăţime constantă 250ANEXA 7. Sarcini distribuite pe fâşii infinit lungi, de lăţime constantă. Distribuţie hertziană de presiune

251

ANEXA 8. Sarcini distribuite pe aria unei conice închise 252ANEXA 9. Sarcini distribuite pe aria unei conice închise 253ANEXA 10. Sarcini distribuite pe aria unei conice închise. Distribuţie hertziană de presiune 254ANEXA 11. Exemple de contacte elastice 255ANEXA 12. SOFT TEZĂ MATLAB 256

BIBLIOGRAFIE 302

4

INTRODUCERE

Modelele matematice care descriu diverse fenomene fizice se prezintă, în general, sub forma unor ecuaţii sau sisteme de ecuaţii diferenţiale, cel mai adesea, cu derivate parţiale, ecuaţii integrale sau integro-diferenţiale. Problemele concrete conduc la necesitatea determinării unei soluţii particulare care să verifice anumite condiţii iniţiale şi la limită, date astfel încât să asigure existenţa şi unicitatea soluţiei căutate. Integrarea problemelor la limită prin metode analitice este aplicabilă unor probleme simple; ca urmare, la probleme complexe, se impune cu necesitate alternativa modelării numerice. În esenţă, modelul matematic care descrie fenomenul studiat este discretizat şi, în locul soluţiei exacte, se determină parametrii modelului în anumite puncte prestabilite. Problema contactului dintre două corpuri elastice este un domeniu de cercetare foarte important pentru tribologie. Ca urmare, teza îşi propune să realizeze o sinteză privind conceptele teoretice, tehnicile şi metodele utilizate în rezolvarea problemelor contactului elastic şi să aducă noi contribuţii în acest domeniu.

Teza este structurată pe zece capitole, fiind completată cu douăsprezece anexe şi referinţe bibliografice din literatura de specialitate.

Primul capitol pune în evidenţă cadrul teoretic general în care se înscrie tema tezei, prezentându-se ipotezele şi ecuaţiile fundamentale ale Teoriei Elasticităţii liniare. Având în vedere importanţa pe care o are conceptul de semispaţiu elastic în teoria contactului, în continuare sunt tratate unitar problemele clasice ale acestui corp: problema lui Boussinesq, problema lui Cerruti, problema combinată Boussinesq-Cerruti, problema lui Flamant şi principiul suprapunerii efectelor la semispaţiul elastic. Se evaluează efectele distribuţiilor continue de sarcini pe unele regiuni ale planului limitrof: fâşii infinit lungi, de lăţime constantă şi aria unor conice închise. Cu privire la rezolvarea problemelor de contact elastic, sunt evidenţiate: condiţia de deformaţie la un contact oarecare, contactul echivalent, probleme la limită ale semispaţiului elastic şi metode specifice de rezolvare. În finalul capitolului se realizează o sinteză a clasificării contactelor întâlnite în literatura de specialitate, funcţie de criteriile avute în vedere de diverşi autori.

Al doilea capitol debutează cu precizarea metodelor (directă, inversă şi semi-inversă) de rezolvare a problemelor de elastostatică. În continuare sunt prezentate condiţiile definitorii şi relaţiile analitice care exprimă elementele contactului hertzian punctual, respectiv liniar, precum şi o sinteză cronologică privind alte abordări analitice ale problemelor de contact. În partea a doua a capitolului, se prezintă stadiul actual al modelării numerice în teoria contactului elastic, punându-se în evidenţă clasele de metode numerice utilizate: metoda de integrare directă, metoda diferenţelor finite, metoda elementului finit, metoda elementului de frontieră, metoda împerecherii punctelor, metode parţiale, metode şi tehnici rapide.

Cel de-al treilea capitol este destinat modelării numerice a contactului elastic normal, pe baza metodei coeficienţilor de influenţă – varianta clasică. Se pun în evidenţă contribuţii proprii privind: discretizarea domeniului estimat de contact, variante ale modelului numeric, algoritmi şi proceduri automate pentru determinarea elementelor contactului elastic.

Validarea modelării numerice propuse, prin rezultate analitice şi experimentale existente, este realizată în capitolul al patrulea al tezei. S-au avut în vedere atât contacte hertziene (paraboloid eliptic - paraboloid eliptic, sferă – sferă, elipsoid – semispaţiu elastic, cilindri de raze distincte şi axele perpendiculare, corpuri mărginite de suprafeţe toroidale), cât şi nehertziene (contact pe vârf conic, contact conform circular, contactul dintre corpuri mărginite de suprafeţe omogene de gradul patru). Rezultatele modelării numerice sunt concordante cu cele analitice deduse de Hertz, Shtaerman, Ciavarella, Diaconescu, respectiv, experimentale obţinute de Glovnea şi Diaconescu.

5

În capitolul al cincilea, se propune extinderea ariei de contact, pentru determinarea elementelor contactului elastic, ca variantă a metodei coeficienţilor de influenţă. Deosebirea principală faţă de metoda clasică constă în aceea că aria reală de contact se construieşte din puncte aflate cu siguranţă în contact, iar extinderea ei se face treptat prin adăugarea de noi puncte care îndeplinesc anumite condiţii. Pentru validarea algoritmului şi a codului calculator, asociate extinderii ariei de contact, se consideră atât contacte hertziene, cât şi nehertziene. În finalul capitolului se realizează o analiză a rezultatelor obţinute pe baza aplicării celor două metode, comparativ cu cele analitice.

Capitolul al şaselea al tezei aduce contribuţii privind analiza numerică a contactului liniar de lungime finită. Se studiază efectul profilului longitudinal asupra elementelor contactului elastic. Au fost modelate următoarele soluţii de atenuare a efectului de capăt: bombarea completă, bombarea parţială, profilarea prin trei arce de cerc, profilarea prin cinci arce de cerc. Validarea s-a realizat pe baza rezultatelor numerice obţinute de către Hartnett şi J. de Mul. Pentru contactul liniar de lungime finită, Glovnea şi Diaconescu studiază, experimental, pe baza tehnicii de profilometrie cu laser, efectul racordării asupra ariei de contact. Concordanţa dintre rezultatele modelării numerice propusă în teză şi măsurătorile experimentale arată că metoda de investigare experimentală prin profilometrie cu laser poate fi aplicată cu succes acestui tip de contact şi, în acelaşi timp, validează codul calculator asociat.

Determinarea numerică a stării de tensiuni la contactul elastic normal este subiectul celui de-al şaptelea capitol. În debutul capitolului sunt prezentate expresiile analitice ale componentelor stării de tensiuni la contactele de tip hertzian (eliptic, circular, liniar), în puncte aflate pe aria de contact, în adâncime sau pe axa centrală a contactului. Au fost elaborate coduri calculator în mediul de programare Matlab, iar rezultatele numerice sunt comparate cu cele determinate pe cale analitică. În cazul contactului dintre două corpuri mărginite de suprafeţe omogene de gradul patru, în lipsa unor soluţii analitice, validarea rezultatelor s-a realizat pe baza a două tipuri de determinări numerice. Particularităţile stării de tensiuni sunt cele cunoscute din literatura de specialitate.

Al optulea capitol este destinat determinării numerice a stării de tensiuni la contactul elastic cu sarcină normală şi tangenţială. Validarea rezultatelor se face în cadrul contactului sferic cu alunecare. Solicitarea tangenţială orientată după axa x este uniform distribuită pe celulă şi direct proporţională cu sarcina normală, printr-un coeficient de frecare constant, fixat. Modelarea propusă are în vedere: calculul componentelor tensorului tensiune pe planul limitrof, în adâncime şi pe axa centrală a contactului; starea de tensiuni datorată sarcinii normale, forţei tangenţiale orientată pe direcţia axei x şi efectul cumulat al celor două solicitări; analiza comparativă a rezultatelor obţinute în procesul modelării; concordanţe grafice ale modelării.

În capitolul nouă se prezintă metoda gradientului conjugat şi transformata Fourier rapidă în rezolvarea problemelor de contact elastic. În teză au fost analizate următoarele probleme de contact: sferă – sferă, forma simplificată şi forma integrală a profilului Lundberg, alte aplicaţii precum contactul dintre corpuri mărginite de suprafeţe Cassini sau suprafeţe Peano. Se evidenţiază avantajul utilizării unui număr mare de noduri, ceea ce face ca metoda să fie aplicabilă şi la contactul suprafeţelor rugoase.

Capitolul al zecelea prezintă concluziile finale, contribuţiile proprii asupra temei abordate şi sugerează noi direcţii de cercetare în domeniu.

Anexele 1 – 11 completează conţinutul tezei, iar Anexa 12 prezintă versiuni ale codului calculator utilizat în procesul modelării.

Bibliografia cuprinde un număr de 131 referinţe, clasice şi moderne, care acoperă întreaga problematică a tezei.

6

CAPITOLUL 1SINTEZĂ PRIVIND TEORIA GENERALĂ A

CONTACTULUI ELASTIC

Capitol introductiv al tezei, pune în evidenţă cadrul teoretic general în care au sens şi pot fi rezolvate problemele întâlnite în mecanică, inclusiv cele legate direct de tema tezei.

Sunt puse în evidenţă noţiunile de bază, ipotezele şi ecuaţiile fundamentale ale teoriei Elasticităţii Liniare, precum şi reprezentări generale ale soluţiilor ecuaţiei lui Lamé. Având în vedere importanţa pe care o are conceptul de semispaţiu elastic în teoria contactului, sunt prezentate, într-o formă unitară, problemele clasice ale acestui corp (Boussinesq, Cerruti, Boussinesq-Cerruti, Flamant) şi principiul suprapunerii efectelor. Soluţiile obţinute în cazul acestor încărcări simple, permit să se abordeze probleme de contact mai complexe. Un subcapitol distinct este dedicat analizei efectelor distribuţiilor continue de sarcină aplicate pe unele regiuni ale planului limitrof (fâşii infinit lungi de lăţime constantă, arii eliptice şi, în particular, circulare). Sunt puse în evidenţă aspecte generale ale rezolvării problemelor de contact (condiţia de deformaţie la un contact oarecare, contactul echivalent, probleme la limită ale semispaţiului elastic) şi metode specifice de rezolvare. Abordarea teoretică şi / sau numerică riguroasă a contactelor între corpuri necesită, mai întâi, o clasificare a acestora. Ca urmare, se realizează o sinteză a diverselor clasificări întâlnite în literatura de specialitate, funcţie de criteriile avute în vedere de diverşi autori. Un număr de unsprezece anexe completează sinteza privind teoria generală a contactului elastic.

CAPITOLUL 2SOLUŢII ANALITICE ŞI SOLUŢII NUMERICE ÎN

TEORIA CONTACTULUI ELASTIC

Rezolvarea unei probleme de contact elastic solicită precizarea următoarelor elemente: date iniţiale: ecuaţiile celor două suprafeţe limitrofe ale corpurilor în contact;

proprietăţile elastice ale celor două materiale; legea de variaţie a coeficientului de frecare pe aria de contact; reacţiunile globale Q, S, T, normale şi tangenţiale, transmise prin contact;

ecuaţii disponibile: ecuaţiile de echilibru pe direcţiile reacţiunilor globale; relaţiile de legătură prin frecare dintre tracţiunile tangenţiale şi cea normală; condiţia de deformaţie a contactului; condiţiile pe contur ale problemei;

date finale: forma şi dimensiunile ariei de contact; distribuţiile de tracţiuni p, s, t, pe aria de contact; apropierea δ, dintre corpurile în contact; starea de tensiuni şi deformaţii din fiecare corp.

Rezolvări analitice ale ecuaţiei integrale din condiţia de deformaţie sunt relativ rare, un exemplu clasic de tratare analitică fiind contactul hertzian. Problema contactului normal a corpurilor elastice neconforme izotrope a fost rezolvată de Hertz în 1882, iar rezultatele stabilite reprezintă baza dezvoltării ulterioare a mecanicii contactului. Soluţia ecuaţiei integrale din condiţia de deformaţie furnizează simultan elementele contactului. Sunt prezentate condiţiile definitorii ale contactului hertzian şi relaţiile analitice care exprimă elementele contactului.

Fenomenele fizice din ştiinţă şi tehnică pot fi modelate prin ecuaţii diferenţiale, ecuaţii integrale sau integro-diferenţiale. Soluţiile analitice fiind limitate la un număr redus de cazuri concrete, se apelează la metode numerice, care permit determinarea parametrilor modelului în anumite puncte prestabilite.

7

Se prezintă stadiul actual al modelării numerice în teoria contactului elastic, punându-se în evidenţă clase de metode numerice utilizate: metode de integrare directă, metoda diferenţelor finite, metoda elementului finit, metoda elementului de frontieră, metoda împerecherii punctelor, metode parţiale, metode şi tehnici rapide.

Sunt vizate următoarele direcţii de cercetare:

Prezentarea cadrului teoretic general în care au sens şi pot fi rezolvate, pe cale analitică sau / şi numerică, probleme de contact elastic.

Modelarea numerică a contactului elastic tridimensional prin metoda clasică a coeficienţilor de influenţă, punându-se în evidenţă: diverse tipuri de discretizare a domeniului estimat de contact; variante de model numeric asociate modelului teoretic care descrie problema; descrierea algoritmilor de rezolvare a modelelor numerice propuse; variante de calcul a coeficienţilor de influenţă; determinarea distribuţiei de presiuni pe aria de contact, prin metode directe, iterative şi

de tip gradient; analiza numerică a convergenţei metodelor iterative; coduri calculator de implementare a algoritmilor asociaţi modelării numerice.

Validarea rezultatelor modelării numerice pe baza contactelor de tip hertzian şi influenţa diverselor aspecte de modelare asupra elementelor contactului elastic.

Validarea rezultatelor modelării numerice pe baza contactelor nehertziene, cu accent pe atenuarea efectelor de vârf sau muchie.

Analiza numerică a contactului liniar de lungime finită şi soluţii de atenuare a efectelor de capăt.

Validarea modelării numerice pe baza datelor experimentale. Rezolvarea problemelor de contact elastic tridimensional prin metoda clasică a

coeficienţilor de influenţă – varianta restrîngerii ariei de contact, cu punerea în evidenţă a unor aspecte, precum: descrierea metodei şi a algoritmului asociat; cod calculator de implementare; validarea variantei propuse pe baza contactelor de tip hertzian, de tip nehertzian sau a

altor abordări din literatura de specialitate; analiza numerică comparativă între rezultatele modelării oferite de cele două variante

ale metodei coeficienţilor de influenţă. Determinarea numerică a stării de tensiuni la contactul elastic normal, cu accent pe

următoarele aspecte: variante de calcul numeric a stării de tensiuni pe aria de contact, în adâncime şi pe axa

centrală a contactului; validarea stării de tensiuni la contactul hertzian punctual; analiza numerică a stării de tensiuni la contactul elastic nehertzian.

Determinarea numerică a stării de tensiuni la contactul elastic cu sarcină normală şi tangenţială, cu punerea în evidenţă a unor aspecte, precum: prezentarea contactului hertzian cu frecare; determinarea numerică a stării de tensiuni pe aria de contact, în adâncime şi pe axa

centrală a contactului; validarea stării de tensiuni la contactul sferic cu alunecare.

Utilizarea tehnicii CG+DC-FFT în rezolvarea problemelor de contact elastic. Modelarea numerică a altor tipuri de contacte elastice.

CAPITOLUL 3

8

MODELAREA NUMERICĂ A CONTACTULUI ELASTIC NORMAL; METODA COEFICIENŢILOR DE INFLUENŢĂ

VARIANTA CLASICĂ; CONSIDERAŢII NUMERICE

3.1 MODEL MATEMATIC ASOCIAT UNEI PROBLEME DE CONTACT ELASTIC NORMALModelul matematic asociat unei probleme de contact elastic normal cuprinde: ecuaţia

integrală a contactului, ecuaţia de echilibru static şi condiţiile de continuitate:

; (3.1)

; (3.2)

; (3.3)

unde: . (3.4)

În definirea modelului matematic, s-au folosit următoarele notaţii: Q - sarcina normală aplicată, - distribuţia presiunii normale, – geometria locală de contact, A – aria de contact, - rigiditatea contactului.

3.2 DISCRETIZAREA DOMENIULUI ESTIMAT DE CONTACTDomeniul estimat de contact (include aria reală de contact, de formă şi dimensiuni

neprecizate) este un domeniu dreptunghiular discretizat într-un număr de arii elementare (celule), pe fiecare dintre ele presiunea fiind considerată uniform distribuită. Se propune un model de discretizare cu pas variabil, în care dimensiunile axiale ale celulelor sunt în progresie aritmetică descrescătoare către zona cu gradienţi mari de presiune. Elementele discretizării sunt definite de relaţiile:

; ; (3.7)

; ; (3.8)

; , (3.9)

unde: L1, L2 - dimensiunile ariei estimate de contact; M, N - numărul celulelor pe direcţii axiale (numere impare); - celula iniţială de contact; - dimensiunile celulei iniţiale de contact; , - coeficienţi de multiplicare; - raţiile progresiilor aritmetice, pe direcţii axiale. Discretizarea uniformă corespunde valorilor . În cazul contactului hertzian punctual, pe baza valorilor teoretice ale semiaxelor elipsei de contact, se pot restrânge dimensiunile ariei estimate, propunând pentru L1 şi L2 expresiile:

. (3.10)

3.3 VARIANTE DE MODEL NUMERICPrin discretizarea modelului matematic descris anterior, se pot pune în evidenţă

următoarele două variante ale modelului numeric: varianta I – ecuaţia de echilibru inclusă în sistem

9

(3.11)

varianta II – ecuaţia de echilibru în afara sistemului

(3.12)

, (3.13)

unde: - coeficienţi de influenţă; sunt dimensiunile celulei (j); este o mulţime de indici care pune în evidenţă domeniile elementare componente ale ariei reale de contact. S-a obţinut un sistem pătrat de ecuaţii liniare, ale cărui necunoscute sunt valorile presiunilor în centrele celulelor de discretizare.

3.4 ALGORITM ASOCIAT MODELULUI NUMERIC Determinarea elementelor contactului elastic normal, pe baza variantei clasice a metodei

coeficienţilor de influenţă, presupune parcurgerea următoarelor etape: precizarea datelor iniţiale: tipul suprafeţelor în contact; numărul celulelor de discretizare

pe direcţii axiale; dimensiunile ariei estimate de contact; varianta de discretizare; valorile factorilor de multiplicare; modul de calcul al coeficienţilor de influenţă; varianta de model numeric; metoda de rezolvare a sistemului; elementele geometrice ale suprafeţelor în contact; constantele elastice ale materialelor; sarcina normală aplicată;

elementele contactului elastic, determinări analitice: în scopul validării modelului numeric, sunt stocate, într-un fişier pe disc, rezultate analitice din literatura de specialitate;

discretizarea domeniului estimat de contact: se generează automat, după caz, o reţea de noduri uniformă, neuniformă sau impusă;

geometria locală de contact: se calculează expresiile suprafeţelor în punctele care reprezintă centrele de greutate ale celulelor de discretizare; după caz, se generează, mai întâi, suprafeţele cilindrice, conice sau de rotaţie corespunzătoare; se are în vedere geometria nominală a suprafeţelor în contact;

calculul coeficienţilor de influenţă: pentru o discretizare dată, coeficienţii de influenţă (determinaţi în două variante) se calculează o singură dată, conform formulelor date de Love (1929), reluate în [Cr02];

matricea iniţială a sistemului în presiuni: în funcţie de varianta de modelare numerică dorită (I, II), se generează matricea extinsă a sistemului în presiuni, corespunzătoare tipului de discretizare ales;

testul de redimensionare a domeniului estimat de contact: se realizează un test de depistare a celulelor care ar putea fi excluse din aria estimată de contact, iar matricea sistemului se redimensionează automat, înainte de a se lansa rezolvarea acestuia;

condiţionarea şi scalarea sistemului în presiuni: numărul de condiţionare a matricei sistemului, , furnizează informaţii asupra acurateţei soluţiei; dacă acest indicator este relativ mic, rezultă o bună condiţionare a sistemului, adică o sensibilitate redusă a soluţiei în raport cu perturbaţiile inerente ale datelor de intrare, [Du98]; prin scalarea sistemului, se poate obţine o îmbunătăţire a preciziei soluţiei;

rezolvarea sistemului liniar în presiuni: s-au utilizat metode directe (Gauss, Onicescu, Choleski), metode iterative (Jacobi, Gauss-Seidel, relaxare), respectiv, metode de tip gradient; pe parcursul aplicării algoritmului, sistemul de ecuaţii se redimensionează automat, funcţie de modificarea ariei de contact; această secvenţă se repetă până când sistemul nu mai oferă nici o presiune strict negativă; pentru cea de-a doua variantă a modelului numeric, se verifică îndeplinirea ecuaţiei de echilibru, comparând suma forţelor

10

elementare cu sarcina aplicată, şi, după caz, se majorează apropierea normală cu un pas adecvat, iar algoritmul se reia până când ecuaţia de echilibru este aproximativ verificată;

elementele contactului elastic, determinări numerice: rezultatele aplicaţiei sunt salvate în fişiere pe disc şi vizualizate, la cerere, într-un număr de liste şi grafice.

3.5 FUNCŢIILE PRINCIPALE ALE PROCEDURILOR AUTOMATEPe baza algoritmului general descris anterior au fost realizate subprograme funcţii în

mediul de programare Matlab, cu ajutorul cărora se rezolvă numeric diverse probleme de contact elastic. Pentru prezentarea rezultatelor modelării numerice şi vizualizarea graficelor au fost realizate mai multe proceduri distincte, privind: calculul coeficienţilor de influenţă, construirea sistemului liniar în presiuni, scalarea sistemului, rezolvarea sistemului în presiuni prin metode directe, iterative şi de tip gradient, analiza convergenţei metodelor iterative.

3.6 SCHEMĂ GENERALĂ ASOCIATĂ ALGORITMULUI Se prezintă schema logică asociată algoritmului de rezolvare a problemelor de contact

elastic, pe baza metodei coeficienţilor de influenţă – varianta clasică.

3.7 CONCLUZII Pe baza metodei clasice a coeficienţilor de influenţă, se propune un studiu extins privind

modelarea numerică a contactului elastic. Au fost realizate mai multe proceduri automate în mediul de programare Matlab, ale căror funcţiuni sunt prezentate, succint, în continuare.

procedura date: în dialog cu utilizatorul aplicaţiei, se solicită elemente de identificare a problemei de contact;

procedura discret: realizează discretizarea automată a domeniului estimat de contact, în variantele: cu pas variabil, uniformă sau impusă);

procedura analit: în scopul validării modelului numeric, sunt stocate, într-un fişier pe disc, rezultate analitice din literatura de specialitate;

procedura geoin: descrie geometria iniţială a suprafeţelor în contact; procedura cinf: realizează calculul coeficienţilor de influenţă, în variantele: analitic

(Love) şi combinat (analitic pe diagonala principală şi aproximativ, în rest); procedura initial: stabileşte matricea iniţială a sistemului în presiuni, în raport de

varianta de modelare numerică dorită; procedura scalare: analizează condiţionarea sistemului în presiuni şi, după caz,

scalarea sistemului; procedura rezsist: rezolvă sistemul liniar în presiuni pe baza metodelor prezentate

anterior; procedura reznum: determină numeric elementele contactului elastic; rezultatele

aplicaţiei sunt salvate în fişiere pe disc şi vizualizate la cerere.CAPITOLUL 4

VALIDAREA MODELĂRII NUMERICE PROPUSE PRIN REZULTATE ANALITICE ŞI EXPERIMENTALE EXISTENTE

4.1 VALIDARE PE CONTACTE HERTZIENE

Pentru câteva exemple clasice de contacte elastice se pun în evidenţă aspectele urmărite prin modelare, iar rezultatele numerice şi concordanţa acestora cu cele hertziene sunt prezentate, pentru exemplificare, numai pentru contactul dintre două corpuri mărginite de suprafeţe toroidale.

4.1.1 Contactul dintre doi paraboloizi eliptici

11

Se consideră contactul dintre doi paraboloizi eliptici, încărcat normal cu sarcina N. Se pun în evidenţă următoarele aspecte:

concordanţa între modelul numeric şi modelul analitic hertzian; efectul dimensionării ariei estimate de contact asupra rezultatelor modelării; scalarea matricei sistemului în presiuni. 4.1.2 Contactul sferei de rază cu sfera de rază Se consideră contactul dintre două sfere de raze diferite, încărcat normal cu sarcina

N. Sunt cercetate: concordanţa între modelul numeric şi modelul analitic hertzian; efectul modului de calcul al coeficienţilor de influenţă (analitic sau variantă

combinată) asupra rezultatelor modelării. 4.1.3 Contactul elipsoid - semispaţiu elastic Se consideră contactul elipsoid - semispaţiu elastic, încărcat normal cu sarcina

N. Se analizează: concordanţa între modelul numeric (varianta în care ecuaţia de echilibru este

inclusă în sistem) şi modelul analitic hertzian; concordanţa între modelul numeric (varianta în care ecuaţia de echilibru este în

afara sistemului) şi modelul analitic hertzian; analiza comparativă a rezultatelor.4.1.4 Contactul dintre doi cilindri de raze şi având axele perpendiculareSe consideră contactul dintre doi cilindri de raze şi , având axele perpendiculare,

încărcat normal cu sarcina 2000 N. În cadrul acestei probleme, se pun în evidenţă: concordanţa între modelul numeric rezolvat cu metoda iterativă Gauss-Seidel şi

modelul analitic hertzian; analiza comparativă a modelărilor realizate cu metoda iterativă Gauss-Seidel,

respectiv metoda directă Gauss.În toate problemele de contact prezentate mai sus s-a obţinut o foarte bună concordanţă

între rezultatele modelării numerice şi cele date de teoria hertziană.4.1.5 Contactul dintre corpuri mărginite de suprafeţe toroidaleÎn cadrul acestei probleme de contact elastic, se analizează: concordanţa între modelul numeric rezolvat cu metoda gradientului conjugat şi

modelul analitic hertzian. Torul este suprafaţa generată prin rotirea unui cerc în jurul unei axe conţinută în planul

cercului şi exterioară lui. Sunt determinate reprezentările analitice ale suprafeţelor nominale în contact şi curburile principale, în punctul iniţial de contact. Modelarea numerică a problemei se face în următoarele condiţii: ecuaţia de echilibru este în afara sistemului, reţeaua de discretizare este uniformă cu 47x23 noduri, se utilizează o dimensionare optimă a ariei estimate de contact, coeficienţii de influenţă sunt calculaţi analitic şi sistemul în presiuni se rezolvă cu metoda gradientului conjugat. Elementele contactului elastic (analitic, numeric şi eroarea relativă) sunt prezentate în Tab. 4.15.

Tabel 4.15 Elementele contactului elastic

Tip rezultatePresiunea

hertziană de contact, [GPa]

Apropierea normală,

[m]

Semiaxa mare a

elipsei, [m]

Semiaxa mică a elipsei,

[m]analiticnumeric

3,913123,91406

5,25891 e-065,25775 e-06

2,19377 e-042,19377 e-04

5,56059 e-055,56059 e-05

er. relativă 0,02414 % 0,02209 % 7,41 e-14 % 2,44 e-14 %

12

Din analiza datelor conţinute în tabel, se constată o foarte bună concordanţă între cele două modele. În cazul presiunii maxime de contact şi a apropierii normale, se înregistrează erori relative cu valori mai mici de 0.25 ‰. În continuare, sunt prezentate rezultatele grafice ale validării.

Fig. 4.26 (4.27) Geometria iniţială de contact şi geometria contactului echivalent

Fig. 4.28 (4.29) Distribuţia spaţială de presiuni: model numeric şi analitic (Hertz)

Fig. 4.30 (4.31) Distribuţia presiunii în lungul axei mari, respectiv axei mici a elipsei de contact

4.2 VALIDARE PE CONTACTE NEHERTZIENE

Admitem că, pentru contacte concentrate punctuale, geometria iniţială de contact este nehertziană, adică separarea dintre suprafeţe nu se poate reduce la o formă pătratică, [Cr03].

4.2.1 Contact pe vârf conic Contactul con circular - semispaţiu elastic este un contact neconform punctual cu

discontinuităţi de suprafaţă de ordinul unu. Abordări analitice ale problemei lui Boussinesq, privind penetrarea semispaţiului elastic de către un con circular rigid, au realizat Love, citat de Johnson, [Jo85], Sneddon, [Sn48], Shtaerman, [Sh49]. Modelarea numerică propusă se face în următoarele condiţii: ecuaţia de echilibru este inclusă în sistem, reţeaua de discretizare este uniformă cu 35x35 noduri, coeficienţii de influenţă sunt calculaţi analitic, sistemul în

13

presiuni se rezolvă cu metoda Gauss, unghiul exterior al conului este grade, iar raza exterioară a ariei circulare de contact este m. Rezultatele numerice, analitice şi eroarea relativă sunt prezentate în Tab. 4.17, iar graficele modelării, în Fig. 4.32 - Fig 4.33.

Tabel 4.17 Rezultatele modelării contactului pe vârf conicTip rezultate Presiunea

maximă, [GPa]Presiunea

medie, [GPa]Apropierea

normală, [m]analiticnumeric 3,73077

0,692310,69231

9,42478 e-059,42443 e-05

er. relativă ……… 1,2 e-13 % 0,00373 %

a) b)Figura 4.32 a) Geometria iniţială de contact b) Distribuţii diametrale ale presiunii

a) b)Figura 4.33 Distribuţia spaţială de presiuni: a) model numeric b) model analiticÎn vecinătatea vârfului conului apar concentrări puternice în distribuţia presiunii de

contact. Pentru atenuarea acestor efecte, se utilizează, de regulă, racordări locale ale suprafeţelor în contact prin suprafeţe convenabil alese. Pentru o problemă generală de contact normal axisimetric, Shtaerman, [Sh49], a stabilit expresii analitice ale elementelor contactului elastic, reluate în [Ci99]. În cazul contactului pe vârf conic, Ciavarella, [Ci99], realizează racordarea generatoarelor conului, în secţiune radială, prin arce de cerc, (Fig. 4.34), şi analizează efectul razei de racordare asupra distribuţiei de presiuni. Variaţia razei de curbură a profilului de racordare este dată de valorile raportului

În Tab. 4.22 se dau elementele contactului elastic, analitic şi numeric, pentru o valoare intermediară ale raportului , iar Fig. 4.39 pune în evidenţă rezultatele grafice ale modelării realizată în teză.

Tabel 4.22 Rezultatele modelării contactului pentru Tip rezultate Presiunea

maximă, [GPa]Presiunea

medie, [GPa]Apropierea

normală, [m]Forţa

normală, [KN]analiticnumeric

1,382841,38359

0,682610,68248

7,89088 e-057,89058 e-05

214,449 214,449

er. relativă 0,05401 % 0,02000 % 0,00386 % 0

14

Erorile relative înregistrate arată o bună concordanţă între rezultatele numerice şi cele analitice, ceea ce implică validarea modelului numeric şi a codului calculator aferent.

Efectul creşterii razei de curbură a profilului de racordare asupra distribuţiei de presiuni este vizualizat în Fig. 4.45.

Figura 4.34 Poanson conic cu vârf racordat, [Ci99]

a) b) c) d)Figura 4.39 Rezultatele modelării pentru

a) geometria iniţială de contact b) distribuţia diametrală a presiunii c) distribuţia spaţială de presiuni, numeric d) distribuţia spaţială de presiuni, analitic

Figura 4.45 Distribuţii radiale ale presiunii de contact (numeric şi analitic), în funcţie de raza profilului de racordare

În Fig.4.45 sunt trasate şi graficele corespunzătoare cazurilor limită şi , care reprezintă contactul pe vârf conic ascuţit, respectiv, contactul pe vârf conic cu racordare completă (contact hertzian). Este evident că, simultan cu creşterea razei de racordare, se înregistrează o diminuare semnificativă a presiunii maxime atinsă în centrul ariei de contact.

4.2.2 Contact conform circularContactul dintre un cilindru circular drept, cu bază plană şi semispaţiul elastic este un

contact conform cu discontinuităţi de suprafaţă de ordinul zero la limita contactului. Prima soluţie a problemei a fost furnizată, în 1885 de Boussinesq, [Bo69]. Pentru un poanson rigid de secţiune circulară şi suprafaţă frontală plană, având raza , se realizează modelarea numerică, iar rezultatele obţinute sunt comparate cu cele oferite de modelul analitic.

Tabel 4.29 Rezultatele modelăriiTip

rezultatePresiunea

maximă, [GPa] Presiunea

medie, [GPa]Presiunea în

centrul contactului, [GPa]

Apropierea normală, [m]

analiticnumeric

inf5,85007

1,273241,28302

0,648680,63662

8,66667 e-068,74863 e-06

15

er. relativă ------ 0,76807 % 1,89397 % 0,94573 %Erorile relative înregistrate conduc la o bună concordanţă între modele. La limita ariei

de contact, unde apar discontinuităţi de ordonată ale poansonului, modelul analitic înregistrează presiuni infinite. Rezultatele modelării sunt sugerate în reprezentarea adimensională a distribuţiei axiale de presiuni:

Figura 4.48 Distribuţia diametrală a presiunii de contact

Cea mai simplă soluţie, pentru diminuarea concentrării de presiuni maxime la limita ariei de contact, constă în racordarea suprafeţei frontale plane a poansonului echivalent cu suprafaţa laterală prin suprafeţe care au profilul transversal format din arce de cerc, după cum se reprezintă în Fig. 4.49. Expresii analitice ale elementelor contactului conform circular racordat a oferit Shtaerman, [Sh49]. Efectul razei de racordare asupra distribuţiei de presiuni a fost studiat de Shtaerman, [Sh49] şi Ciavarella, [Ci99].

Figura 4.49 Geometria de contact: poanson echivalent – semispaţiu elastic, [Ci99]

Variaţia razei de curbură a profilului de racordare este dată de valorile raportului Sunt puse în evidenţă presiunea maximă, medie şi în centrul

secţiunii, precum şi apropierea normală dintre corpurile în contact, (analitic şi numeric) pentru valori intermediare ale raportului . Pentru rezumatul de faţă se selectează cazul particular

: Tabel 4.35 Rezultatele modelării contactului pentru

Tip rezultate Presiunea maximă, [GPa]

Presiuneamedie, [GPa]

Presiunea în centrul contactului,

[GPa]

Apropierea normală,

[m]analiticnumeric

1,626061,63923

1,273241,28048

0,982080,98141

1,06191 e-051,06179 e-05

er. relativă 0,80943 % 0,56844 % 0,06816 % 0,01172 %

16

Erorile relative, în procente, înregistrate arată o bună concordanţă între rezultatele numerice şi cele analitice. Efectul razei profilului de racordare asupra distribuţiei de presiuni este vizualizat, în unităţi adimensionale, în Fig. 4.55.

a) b) c)Figura 4.55 Rezultatele modelării pentru

a) distribuţia de presiuni, numeric b) geometria de contact c) distribuţia de presiuni, analitic Valoarea presiunii din centrul contactului variază între 0.5 şi 1.5 din presiunea medie.

Este evidentă tendinţa crescătoare a presiunii la frontiera ariei de contact, odată cu reducerea razei de racordare. Cazul limită corespunde unei racordări complete, iar contactul echivalent are loc între un paraboloid şi semispaţiul elastic (contact hertzian).

Figura 4.60 Distribuţii radiale de presiuni (numeric şi analitic), în funcţie de raza profilului de racordare

4.2.3 Contactul dintre corpuri mărginite de suprafeţe omogene de gradul patruContactul echivalent are loc între un poanson cu suprafaţa descrisă de o funcţie

omogenă de gradul patru şi semispaţiul elastic:; . (4.42)

În cadrul unei extensii a teoriei lui Hertz, Diaconescu, [Di03], determină analitic elementele contactului elastic. Constantele elastice ale materialelor care compun corpurile în contact sunt: Pa, iar sarcina aplicată este . În Tab. 4.41 se dau elementele contactului elastic (numeric şi analitic) şi concordanţa dintre cele două modele, pentru .

Tabel 4.41 Rezultatele modelării numerice

17

model analitic model numeric eroare relativă

presiunea maximă, [MPa] 1,77142 1,77411 0,1518 %presiunea în centrulcontactului, [MPa]

1,26603 1,26368 0,1859 %

semiaxa mare a elipsei (a), [m] 2,02078 e-02 2,02078 e-02 0 %semiaxa mică a elipsei (b), [m] 1,04795 e-02 1,04795 e-02 0 %

apropierea normală, [m] 3,62432 e-07 3,62323 e-07 0,0300 %Din analiza erorilor relative, rezultă o bună concordanţă între elementele contactului,

determinate analitic şi numeric. Aşadar, se validează atât modelarea problemei de contact, cât şi codul calculator aferent. Reprezentările grafice următoare pun în evidenţă distribuţiile spaţiale, respectiv axiale, ale presiunii (numeric şi analitic).

Figura 4.62 (4.63) Distribuţia spaţială a presiunii de contact, model numeric, respectiv analitic

a) b)Figura 4.64 Distribuţii axiale ale presiunii de contact, numeric şi analitic:

a) în lungul axei mari a elipsei de contact b) în lungul axei mici a elipsei de contact4.3 VALIDARE EXPERIMENTALĂ

Recent, Glovnea, [Gl99], Glovnea şi Diaconescu, [Gl04], au propus o nouă tehnică experimentală de investigare a modelelor de contact prin profilometrie cu laser. Pentru a studia dependenţa ariei de contact de sarcină, autorii menţionaţi anterior au utilizat o rolă de rulment cu diametrul de 6,5 mm, având raza nominală de racordare de 0,4 mm. Rola a fost apăsată axial pe o placă plană de safir la cinci nivele de sarcină, şi anume: 40,15 N; 292 N; 894 N; 1154 N; 1560 N. Se analizează concordanţa dintre măsurătorile experimentale şi rezultatele modelării numerice propusă în teză. Valorile raportului supraunitar , dintre raza exterioară a domeniului de contact şi raza exterioară a porţiunii frontale plane, pentru nivelele de sarcină precizate anterior, sunt prezentate sintetic în Tab. 4.42.

18

Tabel 4.42 Variaţia raportului în funcţie de sarcina aplicatăRaportul

b/a Sarcina Q [N]

0 40,15 292 894 1154 1560experimental 1 1,00017 1,000613 1,001188 1,0017 1,0021

numeric 1 1,000175 1,000702 1,001403 1,001754 1,001930Se constată o bună concordanţă între cele două seturi de date. Rezultatele grafice ale

modelării numerice, pentru sarcina , sunt prezentate în Fig. 4.65 – 4.66, iar variaţia raportului de majorare a ariei de contact este dată în Fig. 4.68.

Figura 4.65 (4.66) Geometria contactului echivalent şi distribuţia spaţială a presiunii de contact, model numeric

Figura 4.68 Variaţia raportului de majorare a ariei de contact, numeric şi experimental

CAPITOLUL 5MODELAREA NUMERICĂ A CONTACTULUI ELASTIC

NORMAL PRIN EXTINDEREA ARIEI DE CONTACT

5.1 DESCRIEREA METODEIPentru determinarea elementelor contactului elastic, se propune extinderea ariei de

contact, ca alternativă la varianta clasică a metodei coeficienţilor de influenţă (MCI_2). Deosebirea principală faţă de metoda clasică constă în aceea că aria reală de contact se construieşte din puncte aflate cu siguranţă în contact, iar extinderea ei se face treptat prin adăugarea de noi puncte care îndeplinesc anumite condiţii. În continuare sunt prezentate ideile de bază ale metodei:

19

datele iniţiale ale problemei de contact elastic sunt stocate pe suport magnetic sau preluate interactiv, în dialog cu utilizatorul aplicaţiei;

pentru validare, se determină elementele contactului elastic pe baza abordărilor analitice existente în literatura de specialitate;

se acceptă ca arie estimată de contact un domeniu dreptunghiular, discretizat în arii elementare (celule), pe fiecare dintre ele presiunea fiind considerată uniform distribuită; solicitarea de contact este o încărcare pur normală;

se pun în evidenţă reprezentările explicite ale geometriei iniţiale de contact şi matricea coeficienţilor de influenţă;

se asociază fiecărei celule următoarele elemente de identificare: număr, dimensiuni (lungime, lăţime), coordonatele vârfurilor şi ale centrului faţă de sistemul de coordonate ataşat;

în centrele celulelor, de coordonate , se calculează distanţele dintre cele două corpuri în stare nedeformată, ; elementele de arie pentru care vor constitui aria iniţială de contact;

separaţiile sunt sortate în ordine strict crescătoare, cu menţionarea celulelor corespunzătoare;

mulţimea valorilor , obţinută anterior, se descompune în clase de valori egale; ecuaţia discretizată a contactului conduce la un sistem nedeterminat de ecuaţii

liniare în presiuni; compatibilizarea sistemului anterior se face pe baza observaţiei că valoarea

apropierii normale se poate deduce din pasul anterior al algoritmului; se adaugă noi puncte la aria reală de contact (cu valoarea separaţiei imediat

următoare), până când suma forţelor elementare este caracterizată de o valoare care se află în imediata vecinătate superioară a sarcinii aplicate; dimensiunea sistemului creşte, pe măsură ce noi celule sunt acceptate ca aparţinând ariei reale de contact;

ecuaţia de echilibru discretizată, necuprinsă în modelul numeric, este utilizată ca o condiţie de oprire a algoritmului;

algoritmul se opreşte atunci când suma forţelor elementare S depăşeşte, pentru prima dată, valoarea sarcinii aplicate; diferenţa , raportată la aria reală de contact, reprezintă o cantitate elementară de presiune care va corecta distribuţia de presiuni şi deplasarea rigidă obţinute în finalul modelării;

modelarea numerică reţine trei seturi de rezultate: aproximarea superioară, aproximarea inferioară şi soluţia corectată..

În &5.2 sunt reprezentate grafic etapele de bază ale extinderii ariei de contact, ca alternativă la varianta clasică a metodei coeficienţilor de influenţă.

5.3 VALIDAREA ALGORITMULUI ŞI A CODULUI CALCULATOR ASOCIAT

Validarea se realizează atât pe baza contactelor hertziene, cât şi a contactelor nehertziene. În teză sunt prezentate modelările numerice ale următoarelor probleme: contactul sferei de rază cu sfera de rază (&5.3.1), contactul pe vârf conic ascuţit, contactul pe vârf conic racordat (&5.3.2), şi contactul dintre corpuri mărginite de suprafeţe omogene de gradul patru (&5.3.3). În rezumatul de faţă se dau, spre exemplificare, rezultatele numerice şi grafice complete ale modelării din cazul contactului pe vârf conic racordat.5.3.2 Contact pe vârf conic racordat,

Rezultatele modelării, pentru cele trei variante, sunt precizate în Tab. 5.3 - 5.5. Tabel 5.3 Rezultatele modelării pentru (MCI_2 - aprox. inferioară)

Tip rezultate presiunea suma forţelor apropierea

20

maximă, [GPa] elementare, [kN] normală, [m]analiticnumeric

1,382841,38040

214,449212,797

7,8909 e-057,8521 e-05

er. relativă 0,1763 % 0,7706 % 0,4910 %Tabel 5.4 Rezultatele modelării pentru (MCI_2 - aprox. superioară)

Tip rezultate presiunea maximă, [GPa]

suma forţelor elementare, [kN]

apropiereanormală, [m]

analiticnumeric

1,382841,38361

214,449214,683

7,8909 e-057,8940 e-05

er. relativă 0,0557 % 0,1091 % 0,0040 %Tabel 5.5 Rezultatele modelării pentru (MCI_2 - soluţie corectată)

Tip rezultate presiunea maximă, [GPa]

suma forţelor elementare, [kN]

apropiereanormală, [m]

analiticnumeric

1,382841,38287

214,449214,449

7,8909 e-057,8876 e-05

er. relativă 0,0018 % 6,8 e-14 % 0,0042 %Erorile relative înregistrate în ultimul tabel conduc la concluzia unei bune concordanţe

între rezultatele numerice şi cele analitice, ceea ce implică validarea modelului numeric şi a codului calculator aferent. Aceeaşi concluzie se deduce şi din graficele din Fig. 5.14-5.15.

Figura 5.14 (5.15) Distribuţia diametrală a presiunii de contact - aproximaţia inferioară (numeric), aproximaţia superioară (numeric) şi soluţia analitică, respectiv distribuţia

diametrală a presiunii de contact – soluţia corectată şi soluţia analitică

5.3.4 Analiză numerică comparativă Pentru problemele de contact elastic modelate anterior, se realizează o analiză a

rezultatelor obţinute pe baza metodei clasice a coeficienţilor de influenţă (MCI_1) şi a variantei de extindere a ariei de contact (MCI_2), comparativ cu cele analitice.

Contact pe vârf conic racordatPentru exemplificare, se dau în Tab. 5.10 presiunea maximă şi apropierea normală dintre

corpuri, determinate analitic şi numeric, pentru un contact pe vârf conic racordat corespunzător valorii .

Tabel 5.10 Elementele contactului elastic - analiză comparativă

MCI_1 presiunea maximă,

[GPa] apropierea

normală, [m]analiticnumeric

1,382841,38359

7,8909 e-057,8906 e-05

21

er. relativă 0.0540 % 0.0039 %

MCI_2 presiunea maximă,

[GPa] apropierea

normală, [m]analiticnumeric

1,382841,38287

7,8909 e-057,8876 e-05

er. relativă 0,0018 % 0,0042 %Analizând datele cuprinse în tabel, rezultă o bună concordanţă între rezultatele oferite

de cele două modelări numerice şi cele ale demersului analitic.Varianta clasică a metodei oferă rezultate mai apropiate de cele analitice, în toate cazurile analizate. Determinarea elementelor contactului elastic prin varianta extinderii ariei de contact poate fi considerată o alternativă utilă în rezolvarea problemelor de contact elastic.

CAPITOLUL 6ANALIZA NUMERICĂ A CONTACTULUI LINIAR DE LUNGIME

FINITĂ; VALIDARE EXPERIMENTALĂ

În zonele extreme ale contactului liniar de lungime finită apare fenomenul de intensificare a presiunii maxime (efect de capăt), cu consecinţe directe asupra capacităţii de încărcare a contactului. În zona centrală, tensiunile şi deformaţiile pot fi calculate pe baza teoriei lui Hertz. Modificarea profilului longitudinal al rolelor în contact reprezintă una dintre soluţiile constructive de atenuare a efectelor de capăt. O analiză numerică a soluţiilor de atenuare a efectelor de capăt este prezentată în teză.

6.1 BOMBARE COMPLETĂBombarea completă presupune înlocuirea generatoarei iniţial rectilinie a unuia dintre

cilindrii în contact printr-un arc de cerc cu rază mare de curbură şi centrul în planul median al rolei. Pentru validarea rezultatelor modelării, se are în vedere problema de contact propusă de Hartnett, [Ha79]. La sarcini mici, contactul este hertzian punctual şi ocupă parţial lungimea rolei. La sarcina prescrisă, kN, axa mare a elipsei de contact devine egală cu lungimea activă a rolei. Pentru sarcini mai mari, încep să se manifeste efecte de capăt, simultan cu majorarea presiunii maxime din centrul contactului. La sarcina nominală kN şi raza de curbură a arcului generator mm, dacă rola nu ar fi întreruptă de plane frontale, rezultă condiţia , unde a este semiaxa mare a elipsei de contact, iar Lc1 lungimea activă a rolei, [Lu52]. În plus, presiunile din zona de capăt egalează presiunea centrală. Aceste concluzii se deduc pe baza modelării numerice realizată în teză şi sunt în concordanţă cu rezultatele din literatura de specialitate.

În continuare, se prezintă modelarea numerică corespunzătoare bombării printr-un singur arc de cerc, ( kN). Deoarece contactul analizat este de tip hertzian punctual, pe baza valorilor teoretice ale semiaxelor elipsei de contact, se pot restrânge dimensiunile ariei estimate de contact, conform relaţiei propuse în &3.2. S-a utilizat o discretizare uniformă a domeniului estimat de contact în elemente dreptunghiulare. Se pun în evidenţă ecuaţiile poansonului în aproximare hertziană (în zona contactului, suprafeţele sunt aproximate prin cuadrice, caracterizate complet prin razele principale de curbură calculate în punctul iniţial de contact), respectiv formă geometrică nominală. În teză se propun patru variante de modelare, în funcţie de geometria contactului şi dimensionarea ariei estimate de contact. Se constată o bună concordanţă a rezultatelor numerice cu cele prognozate de Hertz, oricare ar fi varianta de modelare aleasă. Cea mai bună concordanţă, în privinţa presiunii maxime de contact este oferită de varianta în care geometria iniţială de contact este dată de

22

aproximarea hertziană, iar aria estimată de contact este dimensionată conform relaţiilor propuse în teză. Sunt prezentate, selectiv, rezultatele grafice ale modelării.

a) b) c)Figura 6.4 Distribuţii spaţiale ale presiunii de contact

a) model numeric b) model numeric, Hartnett, [Ha79] c) model analitic (Hertz)

a) b)Figura 6.5 Distribuţii axiale ale presiunii

a) în lungul axei mari a elipsei de contact b) în lungul axei mici a elipsei de contact

6.2 BOMBARE PARŢIALĂ

O altă soluţie constructivă de atenuare a efectului de capăt la contactul liniar de lungime finită este racordarea la capăt sau bombarea parţială. Acest procedeu presupune ca, în zona centrală, generatoarea rolei să rămână rectilinie, într-o anumită proporţie din lungimea ei activă, iar la extremităţile contactului să se realizeze racordarea prin arce de cerc. Modelarea problemei de contact elastic se realizează în două variante, după cum se consideră forma geometrică nominală a suprafeţelor în contact, (varianta I), sau aproximarea hertziană a acestora , (varianta II). Se impune condiţia de tangentă continuă în punctele de racordare. În Fig. 6.10 este reprezentată grafic geometria contactului echivalent. Concordanţa grafică a distribuţiilor spaţiale ale presiunii de contact determinate numeric, în cele două variante, comparativ cu cea obţinută numeric de Hartnett, [Ha79], este sugerată în Fig. 6.11.

23

Figura 6.10 Geometria contactului echivalent, bombare parţială

a)

a) b) c)

Figura 6.11 Distribuţii spaţiale ale presiunii de contacta) numeric, varianta I b) numeric, Hartnett, [Ha79] c) numeric, varianta II

Din datele iniţiale ale problemei de contact rezultă că rola are generatoarea rectilinie, în zona centrală, pe o porţiune de aproximativ 53 %. Lungimea şi lăţimea centrală a ariei de contact, determinate numeric, sunt: mm, mm (identice în cele două variante). Presiunea din centrul contactului este 2090 MPa, comparativ cu 2138 MPa. Distribuţia de presiuni pe direcţie transversală este conformă cu teoria hertziană a contactului elastic, [Di93]. Fenomenul de concentrare a presiunii apare, în lungul axei de contact x, în zona de racordare. Graficul liniilor de nivel constant pune în evidenţă, în aceeaşi zonă, o uşoară creştere a lăţimii ariei de contact. Comparativ cu soluţia de bombare completă, unde presiunea maximă are valoarea 2777 MPa, bombarea parţială conduce la atenuarea efectului de capăt, presiunea maximă, înregistrată în zona de racordare, fiind 2138 MPa.

6.3 PROFILARE PRIN TREI ARCE DE CERCGeneratoarea rolei profilate este construită dintr-un arc de bombare în zona centrală şi

două arce de racordare la capete. Pentru validare, sunt modelate problemele de contact elastic propuse de J. de Mul, [Mu86] (profilul CIR - 10000 N şi profilul CIR - 33800 N). Modelarea problemei de contact elastic este realizată în două variante, după cum se consideră forma geometrică nominală a suprafeţelor în contact, (varianta I), sau aproximarea hertziană a acestora, (varianta II). Se impune condiţia de tangentă continuă în punctele de racordare.

O parte dintre rezultatele grafice ale modelării , pentru profilul CIR – 10000 N, sunt prezentate in Fig. 6.17.

24

a) b)Figura 6.17 Distribuţia presiunii în lungul semiaxei x şi semilăţimea de contact

a) J. de Mul, [Mu86] b) model numeric propus (varianta I)

La sarcina prescrisă, N, contactul se comportă hertzian punctual. Rezultatele modelării numerice, pentru profilul CIR 10000, sunt sintetizate în Tab. 6.2.

Tabel 6.2 Profilare prin trei arce de cerc - CIR 10000 N

Variantă modelJ. de MUL,

[Mu86]geometrie

nominală a suprafeţelor

aproximare hertziană a suprafeţelor

Model analitic (Hertz)

pmax [Mpa] ---- 2547,32 2547,10 2546,32a [mm] ---- 6,99 6,99 7b [mm] ---- 0,264 0,264 0,268

delta [mm] 2,8 e-02 2,8005 e-02 2,8004 e-02 2,8004 e-02

Se constată o foarte bună concordanţă a rezultatelor modelării. Presiunea este maximă în centrul contactului şi scade către zero, la frontiera ariei eliptice de contact.

În continuare se modelează numeric profilul CIR 33800, J. de Mul, [Mu86], rezultatele grafice parţiale fiind prezentate în Fig. 6.20. Majorând sarcina normală, este evident efectul de capăt.

25

a) b)Figura 6.20 Distribuţia presiunii în lungul semiaxei x şi semilăţimea de contact a) J. de Mul, [Mu86] b) model numeric propus (varianta I), discretizare neuniformă

Se obţine un maxim al presiunii egal cu 5464 MPa, în zona racordării, iar pe direcţie transversală distribuţia de presiune este semieliptică. Presiunea centrală este 4000 MPa. S-a

26

utilizat o discretizare neuniformă în 37x37 noduri, caracterizată prin factorii de multiplicare .

6.4 PROFILARE PRIN CINCI ARCE DE CERCGeneratoarea rolei profilate este construită dintr-un arc de bombare în zona centrală şi

patru arce de racordare la capete. Pentru validare, se modelează problema de contact elastic propusă de J. de Mul, [Mu86], (profilul B-TAN 11400 N). Se impune condiţia de tangentă continuă în punctele de racordare. Rezultatele grafice parţiale ale modelării sunt prezentate în Fig. 6.24 – 6.26.

a) b)Figura 6.24 Distribuţia spaţială a presiunii şi aria de contact, model numeric propus

a) b)Figura 6.25 Distribuţia presiunii în lungul semiaxei x

a) J. de Mul, [Mu86] b) model numeric propus

27

a) b)Figura 6.26 Semilăţimea de contact

a) J. de Mul, [Mu86] b) model numeric propusModelarea numerică propusă conduce la rezultate concordante cu cele obţinute de J. de

Mul, [Mu86]. Domeniul estimat de contact a fost discretizat în 1525 celule dreptunghiulare. La sarcina fixată, Q=11400 N, presiunea maximă calculată de 2535 MPa se înregistreză în zona racordării, iar în centrul contactului valoarea presiunii este 2267 MPa. Distribuţia de presiuni este relativ uniformă în lungul contactului şi semieliptică pe direcţie transversală. Profilarea prin cinci arce menţine, în continuare, prezenţa concentratorilor locali de presiune, simultan cu o majorare a ariei de contact în zonele de racordare.

6.5 VALIDARE EXPERIMENTALĂSe analizează concordanţa dintre măsurătorile experimentale, obţinute prin

profilometrie cu laser, [Gl99], [Gl04], şi rezultatele modelării numerice propusă în teză. Pentru evaluarea efectului racordării la capete a rolei asupra parametrilor contactului, în special a ariei de contact, Glovnea şi Diaconescu utilizează ca poanson o rolă cilindrică RHP, având lungimea şi diametrul de 4,5 mm şi raza de racordare de 0,3 mm, rezultând o lungime rectilinie activă de 3,90 mm. Rola a fost apăsată radial pe o placă plană de safir la şase nivele de sarcină, şi anume: I. 40,15 N; II. 292 N; III. 894 N; IV. 1086 N; V. 1660 N; VI. 2339 N.

Aria de contact prezintă o lăţime aproape constantă în zona centrală şi o lăţire apreciabilă spre capete, în zona creşterilor de presiuni. Valorile raportului supraunitar k dintre lăţimea maximă a ariei de contact şi cea centrală, pentru nivelele de sarcină precizate anterior, sunt date sintetic în Tab. 6.3. Rezultatele grafice ale modelării numerice, pentru sarcina

, sunt reprezentate în Fig. 6.28.Tabel 6.3 Variaţia raportului k în funcţie de sarcina aplicată

Raporul kSarcina Q [N]

0 40,15 292 894 1086 1660 2339experimental 1 1,2 1,286 1,318 1,33 1,33 1,316

numeric 1 1,184 1,269 1,323 1,335 1,34 1,37

28

Figura 6.28 Distribuţia spaţială a presiunii de contact (numeric) şi coeficientul de lăţire(numeric şi experimental)

Se constată o bună concordanţă între cele două seturi de date până la sarcina normală de 1660 N. La încărcarea maximă, lăţirea măsurată este mai mică decât cea dedusă pe cale numerică. Această deviaţie poate fi atribuită deformaţiilor plastice ce apar la capetele contactului, [Gl04].

CAPITOLUL 7DETERMINAREA NUMERICĂ A STĂRII DE TENSIUNI

LA CONTACTUL ELASTIC NORMAL

7.1 STAREA DE TENSIUNI LA CONTACTUL HERTZIAN PUNCTUALStarea de tensiuni din corpurile supuse la contact hertzian punctual se poate determina

prin aplicarea principiului suprapunerii efectelor la soluţiile problemei lui Boussinesq. Corpurile în contact sunt asimilate cu semispaţii elastice, sarcina normală este distribuită semielipsoidal, iar domeniul de contact este eliptic, de semiaxe a şi b. Distribuţia presiunii de contact a fost precizată de Hertz în 1882. Prima soluţie generală privind starea de tensiuni, în formă integrală, a fost stabilită de Beleaev, [Be24]. Formule explicite pentru componentele tensorului tensiune a oferit Jones, citat în [Gl99]. Demonstraţii pentru expresiile tensiunilor au fost realizate de Popinceanu ş.a., [Po85], Foulon ş.a., [Fo91] şi Diaconescu, [Di93]. Alte contribuţii la obţinerea soluţiilor care definesc starea elastică la contactul hertzian eliptic au adus Tomas şi Hoersch, Lundberg şi Palmgren, Fessler şi Ollerton, Ponomarev, Diaconescu, Johnson, Tripp, citaţi în [Gl99]. Sunt prezentate în teză expresiile analitice de calcul al componentelor tensorului tensiune, în formă adimensională, în variantele: sub aria eliptică de contact, la o adâncime precizată, pe aria eliptică de contact şi pe axa centrală a contactului, [Di93].

Starea de tensiuni la contactul hertzian liniar, în variantele: sub fâşia de contact, pe planul limitrof şi în planul de simetrie al contactului este prezentată în & 7.2.

7.3 DETERMINAREA NUMERICĂ A STĂRII DE TENSIUNI – VARIANTA I Pentru calculul stării de tensiuni în punctele semispaţiului elastic s-a utilizat metoda

potenţialelor lui Hertz. Se definesc funcţiile generale de potenţial de simplu strat, respectiv logaritmic, [Lo29], [Cr02]. Folosind o reprezentare Papkovici-Boussinesq, se exprimă componentele vectorului deplasare cu ajutorul derivatelor funcţiilor de potenţial. Componentele tensorului tensiune se găsesc pe baza legii generalizate a lui Hooke. Funcţiile de potenţial şi derivatele acestora, determinate analitic de Love, [Lo29], sunt prezentate şi de alţi autori, Hills, Noaell, Sackfield , citaţi de Creţu, [Cr02]. Formulele de calcul corespunzătoare sunt adaptate şi corelate cu algoritmul specific implementat în mediul de

29

programare Matlab, ţinându-se cont de tipul de discretizare a domeniului estimat de contact şi de rezultatele obţinute în determinarea elementelor contactului elastic normal.

7.4 DETERMINAREA NUMERICĂ A STĂRII DE TENSIUNI – VARIANTA II Această variantă de determinare a stării de tensiuni produse în corpurile aflate în

contact, presupune următoarele etape: se scriu expresiile tensiunilor produse de o sarcină concentrată, aplicată normal pe

planul limitrof al semispaţiului elastic (problema lui Boussinesq); se determină tensiunile produse în semispaţiul elastic de o sarcină distribuită pe o arie D

din planul limitrof (prin aplicarea principiului suprapunerii efectelor); se aplică proprietatea de aditivitate a integralei duble în raport cu domeniul de

integrare; integralele care apar în expresiile anterioare se aproximează prin sumele integrale

corespunzătoare.În & 7.5 se prezintă o schemă grafică generală privind determinarea numerică a stării de

tensiuni la contactul elastic normal.

7.6 VALIDAREA STĂRII DE TENSIUNI LA CONTACTUL HERTZIAN ELIPTICPe baza algoritmului general, au fost realizate trei proceduri automate:

tensa1 – calculul analitic al componentelor tensorului tensiune; tensn1 – determinarea numerică a stării de tensiuni, varianta I (calcul analitic al

integralelor care intervin în expresiile funcţiilor de potenţial); tensn2 – determinarea numerică a stării de tensiuni, varianta II (aproximarea

integralelor care intervin în expresiile funcţiilor de potenţial prin sumele integrale corespunzătoare).

Au fost determinate, pe cale numerică, tensiunile din corpurile în contact, în următoarele variante: pe aria eliptică, sub aria de contact, la o anumită distanţă de planul limitrof al semispaţiului elastic, şi pe axa centrală a contactului.

Pentru validarea stării de tensiuni la contactul hertzian eliptic, se consideră contactul elastic dintre două corpuri mărginite de suprafeţe toroidale, încărcat normal cu sarcina

7.6.2 Starea de tensiuni pe aria eliptică de contactPrin rularea programelor de calcul tensn1.m ( în programul de determinare a

tensiunilor sub aria eliptică de contact) şi tensa1.m, se obţin rezultatele comparative prezentate în Tab. 7.2. Modelul numeric propus şi codul calculator asociat conduc la valori ale componentelor tensorului tensiune care se găsesc în bună concordanţă cu cele oferite de teoria hertziană.

Tabel 7.2 Tensiuni pe aria eliptică de contact - adimensionalValori maxime analitic 0,68089 0,91911 1 0,07147 0,28730numeric (varianta I) 0,68092 0,91908 1 0,07121 0,28730eroarea relativă 0,0046 % 0,0034 % 0 % 0,3638 % 0,0137 %

Concordanţa determinărilor numerice şi analitice a componentelor tensorului tensiune pe aria eliptică de contact este sugerată, pentru exemplificare, în câteva reprezentări grafice, în care s-a trasat mărimea tensiunilor (fără semn).

30

Figura 7.9 Tensiunea tangenţială - analitic, respectiv numeric

a) b)Figura 7.11 Tensiunea echivalentă

a) în lungul axei mari a elipsei de contact b) în lungul axei mici a elipsei de contact

Figura 7.12 (7.13) Tensiuni normale în lungul axei mari, respectiv axei mici a elipsei de contact, analitic şi numeric

7.6.3 Starea de tensiuni sub aria eliptică de contactSe determină componentele tensorului tensiune şi tensiunea echivalentă Huber-Missis-

Hencky, pentru puncte aflate într-un plan paralel cu planul limitrof al semispaţiului elastic, aflat la distanţa m, unde b este semiaxa mică a elipsei de contact. Câteva concordanţe grafice ale modelării sunt prezentate în continuare.

31

a) b)Figura 7.15 Tensiunea normală în planul

a) pe direcţia axei mari a elipsei de contact b) pe direcţia axei mici a elipsei de contact





32

a) b)Figura 7.20 Tensiunea tangenţială - distribuţii spaţiale în planul

a) analitic b) numeric, varianta I





33

a) b)Figura 7.26 Tensiunea echivalentă - în planul


Prin rularea programelor de calcul tensn2.m şi tensa1.m, asociate determinării componentelor tensorului tensiune şi a tensiunii echivalente Huber-Missis-Hencky, pe cale numerică varianta II (aproximarea integralelor prin sume integrale), respectiv analitic, se obţin rezultatele concordante.

7.6.4 Starea de tensiuni pe axa centrală a contactuluiÎn puncte aflate pe axa z (axa centrală a contactului), tensiunile normale sunt tensiuni

normale principale, deoarece tensiunile tangenţiale , , se anulează în punctele acesteia. Codurile calculator tensn1.m şi tensa1.m, cu ajutorul cărora se determină tensiunile pe axa centrală a contactului, utilizează un şir de valori cu pas constant din intervalul al axei z, unde b este semiaxa mică a elipsei de contact. În Fig. 7.29 se ilustrează grafic evoluţia în adâncime a tensiunilor normale principale şi a tensiunii echivalente Huber-Mises-Hencky, determinate analitic şi numeric.

Figura 7.29 Variaţia pe axa z a tensiunilor normale principale şi a tensiunii echivalente HMH, numeric [o, *, +, x] şi analitic [---]

34

În Fig. 7.30 – 7.34 sunt reprezentate grafic tensiunile tangenţiale principale, tensiunile normale corespunzătoare şi tensiunile octaedrice, numeric şi analitic.

Figura 7.30 (7.31) Variaţia pe axa z a tensiunii tangenţiale principale , respectiv

numeric [o, *, +] şi analitic [---]

Figura 7.32 Variaţia pe axa z a tensiunii tangenţiale principalenumeric [o, *, +] şi analitic [---]

Figura 7.33 (7.34) Variaţia pe axa z a tensiunilor normale respectiv a tensiunilor octaedrice, numeric [o, *, +] şi analitic [---]

35

7.7 VALIDAREA STĂRII DE TENSIUNI LA UN CONTACT ELASTIC NEHERTZIAN

Se determină componentele tensorului tensiune în cazul contactului elastic dintre două corpuri mărginite de suprafeţe omogene de gradul patru, încărcat normal cu sarcina N. În lipsa unei abordări analitice, se determină componentele tensorului tensiune pe baza celor două variante de calcul numeric.

Se impune precizarea că, pe aria de contact nu poate fi utilizată varianta de calcul a tensiunilor cu ajutorul sumelor integrale, datorită cazurilor de nedeterminare care apar în calcule. Rezultatele modelării sunt date adimensional, sub forma , unde este presiunea centrală de contact, iar tensiunile sunt date în [MPa].

Pentru exemplificare, se prezintă câteva concordanţe grafice privind determinarea numerică, prin cele două variante, a componentelor tensorului tensiune pentru puncte aflate într-un plan paralel cu planul limitrof al semispaţiului elastic, aflat la distanţa

m, unde b este semiaxa mică a elipsei de contact.

a) b)

Figura 7.46 Distribuţia spaţială a tensiunii , la adâncimea a) numeric, varianta I b) numeric, varianta II

a) b)


36

a) b)


Figura 7.52 Tensiunile normale , , , pe direcţia axei mari, respectiv axei mici, a elipsei de contact: numeric I (—), numeric II (*, o, +)

a) b)Figura 7.53 Tensiunea echivalentă , în planul


37

CAPITOLUL 8DETERMINAREA NUMERICĂ A STĂRII DE TENSIUNILA CONTACTUL ELASTIC CU SARCINĂ NORMALĂ ŞI

TANGENŢIALĂ

Efectul unei tracţiuni tangenţiale pe o arie circulară de contact asupra stării de tensiuni, a fost abordată teoretic de Hamilton şi Goodman, [Ha66], Hill şi Ashelby, [Hi82], Diaconescu, [Di75], şi numeric de Vergne, Slevoacă ş.a., [Ve92], Glovnea ş.a, [Gl92], Iacobescu ş.a., [Ia92], Frunză, [Fr96]. În formă explicită, expresiile tensiunilor interne la contactul sferic cu alunecare sunt date de către Hamilton, [Ha83] şi Hill, D.A., Nowell, D., Sackfield, [Hi93]. Goodman şi Hamilton propun ca deplasările u, v, w datorate sarcinii normale, respectiv forţei tangenţiale să se exprime cu ajutorul derivatelor a patru funcţii de tensiuni. Expresiile tensiunilor se obţin din deplasări cu ajutorul legii generalizate a lui Hooke. În teză sunt prezentate expresiile analitice ale componentelor tensorului tensiune, datorate atât sarcinii normale, cât şi forţei tangenţiale orientată dupa axa Ox, deduse de Hamilton, reluate de Hill, [Hi93], utile în validarea modelului numeric asociat analizei stării de tensiuni la contactul elastic cu sarcină normală şi tangenţială.

Determinarea numerică a stării de tensiuni în punctele semispaţiului elastic are la bază utilizarea succesivă a principiului suprapunerii efectelor şi rezultatele obţinute la încărcarea semispaţiului elastic cu sarcină normală distribuită pe un domeniu dreptunghiular, respectiv, încărcarea cu sarcină tangenţială distribuită, [Cr02]. Solicitarea tangenţială, uniform distribuită pe celulă, este direct proporţională cu sarcina normală, prin coeficientul de frecare

. Modelarea propusă are în vedere: calculul componentelor tensorului tensiune pe planul limitrof, în adâncime şi pe axa centrală a contactului; starea de tensiuni datorată sarcinii normale, forţei tangenţiale orientată pe direcţia axei x şi efectul cumulat al celor două solicitări; analiza comparativă a rezultatelor obţinute în procesul modelării. Se pun în evidenţă următoarele etape: se introduc noi funcţii de potenţial, specifice prezenţei solicitării tangenţiale orientată

după axa x; condiţiile la limită se scriu pentru puncte aflate pe planul limitrof al semispaţiului elastic

şi se referă la inexistenţa încărcării normale, inexistenţa încărcării tangenţiale orientată după axa y, existenţa încărcării tangenţiale după axa x şi distribuită pe un domeniu D;

se determină relaţiile de legătură între noile funcţii de potenţial şi funcţiile de potenţial introduse la solicitarea normală;

se scriu componentele vectorului deplasare, datorate încărcării tangenţiale (formulele lui Cerruti), în raport cu derivatele funcţiilor de potenţial specifice încărcării normale;

se determină componentele tensorului tensiune, datorate încărcării tangenţiale (legea lui Hooke);

se determină tensiunea echivalentă Huber-Missis-Hencky.Pentru validarea modelului numeric se consideră contactul hertzian circular cu

alunecare dintre două corpuri sferice, de raze , respectiv , caracterizate prin constantele elastice , . Sarcina de apăsare este , iar forţa tangenţială orientată după direcţia x este proporţională cu sarcina normală, prin coeficientul de frecare . Aria estimată de contact este dată de un pătrat cu latura , divizat în 1225 domenii elementare. Sunt realizate codurile calculator tensa2.m şi tensn3.m, în mediul de programare Matlab, pentru analiza stării de tensiuni la contactul sferic cu alunecare.

38

Reprezentările grafice date în Fig. 8.25, Fig. 8.27, Fig. 8.29 pun în evidenţă variaţia tensiunii echivalente , în punctele planului limitrof şi concordanţa rezultatelor modelării.

a) analitic b) numericFigura 8.25 Tensiunea echivalentă produsă în planul limitrof de

sarcina normală, distribuţii spaţiale

a) analitic b) numericFigura 8.27 Tensiunea echivalentă produsă în planul limitrof de forţa

tangenţială, , distribuţii spaţiale

a) analitic b) numericFigura 8.29 Tensiunea echivalentă produsă în planul limitrof de sarcina

normală şi forţa tangenţială, , distribuţii spaţiale

39

În teză sunt puse în evidenţă valorile maxime, repectiv minime ale componentelor tensorului tensiune, datorate sarcinii normale, forţei tangenţiale şi efectului cumulat al celor două solicitări, într-un plan paralel cu planul limitrof al semispaţiului elastic, aflat la distanţa

. S-a constatat o bună concordanţă între rezultatele determinate pe cale analitică,

respectiv numerică. Dintre reprezentările grafice care pun în evidenţă variaţia tensiunilor şi concordanţa rezultatelor modelării, se selectează cele care fac referire la tensiunea echivalentă:

Figura 8.64 Tensiunea echivalentă produsă de sarcina normală la adâncimea m, pe direcţiile axelor

Figura 8.66 Tensiunea echivalentă produsă de forţa tangenţială, la adâncimea m, pe direcţiile axelor

Pe baza codurilor calculator tensa2.m şi tensn3.m, asociate celor două modalităţi de determinare a stării de tensiuni, se calculează tensiunile pe axa centrală a contactului, utilizând un şir de valori cu pas constant din intervalul , adică , al axei z, unde r este raza cercului de contact. Sunt tabelate valorile maxime şi minime ale tensiunilor pe intervalul considerat, numeric şi analitic, constatându-se o bună concordanţă între rezultate.

Câteva reprezentări grafice ale modelării sunt puse în evidenţă în Fig.8.70, Fig.8.74, Fig.8.76 şi Fig.8.77.

40

Figura 8.70 Variaţia tensiunilor normale principale şi a tensiunii echivalente pe axa z, produse de încărcarea normală: numeric [o, *, +] şi analitic [---]

Figura 8.74 Variaţia tensiunilor normale , respectiv, octaedrice, pe axa z produse de încărcarea normală: numeric [o, *] şi analitic [---]

Figura 8.76 (8.77) Tensiunea tangenţială produsă de forţa tangenţială şi tensiunea echivalentă pe axa z, produsă de sarcina normală, forţa tangenţială şi efectul

cumulat al celor două solicitări, CAPITOLUL 9

41

METODA GRADIENTULUI CONJUGAT ŞI TRANSFORMATA FOURIER RAPIDĂ ÎN REZOLVAREA PROBLEMELOR DE

CONTACT ELASTIC (CG+DC-FFT)

Utilizarea unor reţele de discretizare cu un mare număr de noduri face ca soluţionarea problemelor de contact elastic prin metode convenţionale să fie prohibitivă datorită efortului de calcul necesar. În scopul depăşirii acestui incovenient, au fost dezvoltate tehnici numerice rapide, precum multiintegrare multinivel (MLMS ) şi transformata Fourier rapidă (FFT).

Tehnica transformatei Fourier, combinată cu o schemă iterativă bazată pe metoda gradientului conjugat, a fost studiată de Nogi şi Kato (1977), Polonsky şi Keer [Po00b], Creţu, [Cr03].

În teză sunt prezentate: formularea analitică şi formularea discretă a problemei contactului elastic normal; algoritmul pentru determinarea ariei reale de contact şi a distribuţiei de presiuni, adaptare după [Po99]; validarea codului calculator asociat. Au fost realizate subprograme funcţii în mediul de programare Matlab, cu ajutorul cărora se rezolvă numeric probleme generale de contact elastic.

Contactul sferei de rază cu sfera de rază În Fig. 9.1-9.2 sunt reprezentate grafic geometria corpurilor şi distribuţia presiunii de

contact dată de modelul numeric, respectiv analitic (Hertz).

Figura 9.1 Geometria corpurilor în contact şi distribuţia axială a presiunii de contact (numeric şi analitic), 256x256

Figura 9.2 Distribuţia spaţială a presiunii de contact, model numeric, respectiv analitic (Hertz), 256x256

Concordanţa dintre modelul numeric şi modelul analitic hertzian este foarte bună.

42

În Tab. 9.1 se prezintă, selectiv, comparaţii între diferite metode de calcul, cu privire la timpul şi precizia soluţiei în funcţie de numărul de noduri ale reţelei de discretizare. Codul calculator a fost rulat pe un computer cu memorie 512 MB şi procesor 3.2 GHz.

Tabel 9.1 Comparaţii între metodele de calcul

MetodaNumăr de puncte al

reţeleiTimp de calcul

[sec]Eroare

Gauss 35x35 (1089) 17,14Cholesky 35x35 (1089) 6,00

Gauss-Seidel 25x25 (625) 536,9Gradient Conjugat (CG) 32x32 (1024) 3,13

Gradient Conjugat şi Transformata Fourier Rapidă

(CG+DC-FFT)

128x128 (16384)256x256 (65536)512x512 (262144)

9,5544,32214,87

Forma simplificată a profilului LundbergProblema înlocuirii generatoarei rectilinii a unuia dintre cilindrii în contact printr-o

generatoare curbilinie, care să asigure o repartiţie uniformă a presiunii maxime în lungul contactului constitue o temă mult studiată în literatura de specialitate. Profilul logaritmic propus de Lundberg, [Lu39], reprezintă prima abordare teoretică a problemei. Pentru modelarea numerică a profilului Lundberg, se consideră problema de contact elastic propusă de Hartnett, [Ha79]. Forma simplificată a profilului logaritmic propus de Lundberg se obţine în cazul unor ipoteze simplificatoare, problema restrângându-se la zona centrală a contactului.

În Fig. 9.5 sunt prezentate grafic rezultate ale modelării în cazul profilului Lundberg, forma simplificată.

Figura 9.5 Distribuţia spaţială şi în lungul axei x a presiunii de contact,model numeric, CG+DC-FFT, 512x32

Forma integrală a profilului LundbergRenunţând la ipotezele simplificatoare din cazul anterior, se determină profilul Lundberg

sub formă integrală care asigură (teoretic) o repartiţie uniformă a presiunii maxime în lungul contactului. Modelarea numerică propusă în teză realizează calculul integralelor din expresiile geometriei de contact cu metoda adaptiv-recursivă Newton Cotes de ordinul 8, ţinând seama şi de faptul că funcţiile prezintă singularităţi. Forma integrală a profilului Lundberg, prelucrată numeric, menţine concentrarea presiunilor la extremităţile contactului, dar efectul de capăt este mai puţin pronunţat, în comparaţie cu corecţia profilului iniţial, varianta simplificată propusă de Lundberg ( – forma integrală, respectiv 2639 MPa în varianta simplificată). Ecuaţia integrală a contactului elastic şi condiţia de echilibru, rezolvate numeric, conduc la rezultatele grafice prezentate în Fig. 9.8 – 9.10.

43

Figura 9.8 Distribuţia spaţială şi în lungul axei x a presiunii de contact,model numeric, CG+DC-FFT, 512x32

Contactul dintre corpuri mărginite de suprafeţe CASSINIReprezentările grafice din Fig. 9.13 – 9.14, pun în evidenţă geometria iniţială de contact şi

distribuţia spaţială a presiunii de contact. Se constată că punctele care reprezintă focarele ovalelor lui Cassini se comportă ca puternici concentratori de presiune.

Figura 9.13 (9.14) Geometria contactului echivalent şi distribuţia spaţială a presiunii de contact, 128x128

Contactul dintre corpuri mărginite de suprafeţe PEANOSe modelează numeric contactul echivalent dintre un corp mărginit de o suprafaţă Peano

şi semispaţiul elastic. Reprezentările grafice din Fig. 9.16 – 9.17, pun în evidenţă geometria iniţială de contact şi distribuţia spaţială a presiunii de contact. Rezultă că punctele contactului iniţial se comportă ca puternici concentratori de presiune.

Figura 9.16 (9.17) Geometria contactului echivalent şi distribuţia spaţială a presiunii de contact, 128x128

44

CAPITOLUL 10CONCLUZII FINALE, CONTRIBUŢII ŞI DIRECŢII DE

CERCETARE ULTERIOARĂ

10.1 CONCLUZII FINALEDin analiza tezei, se deduc, structurate pe capitole, următoarele concluzii generale.

Capitolul 1Sinteză privind teoria generală a contactului elastic Se pune în evidenţă cadrul teoretic general în care au sens şi pot fi rezolvate

problemele întâlnite în mecanică, inclusiv cele legate direct de tema tezei. Sunt prezentate noţiunile de bază, ipotezele şi ecuaţiile fundamentale ale teoriei

Elasticităţii Liniare, reprezentări generale ale soluţiilor ecuaţiei lui Lamé, problemele clasice ale semispaţiului elastic (Boussinesq, Cerruti, Boussinesq-Cerruti, Flamant) şi principiul suprapunerii efectelor.

Se determină deplasările punctelor planului limitrof pe direcţie normală, generate de încărcări particulare ale semispaţiului elastic (sarcini distribuite pe fâşii infinit lungi de lăţime constantă, distribuţii de sarcini pe arii eliptice şi, în particular, circulare).

Sunt puse în evidenţă aspecte generale ale rezolvării problemelor de contact (condiţia de deformaţie la un contact oarecare, contactul echivalent, probleme la limită ale semispaţiului elastic), metode specifice de rezolvare şi o sinteză a diverselor clasificări ale contactelor întâlnite în literatura de specialitate, funcţie de criteriile avute în vedere.

Capitolul 2Soluţii analitice şi soluţii numerice utilizate în teoria contactului elastic Sunt prezentate condiţiile definitorii ale contactului hertzian şi relaţiile analitice care

exprimă elementele contactului; de asemenea, se prezintă o sinteză cronologică privind abordările analitice ale problemelor de contact.

Fenomenele fizice din ştiinţă şi tehnică pot fi modelate prin ecuaţii diferenţiale, ecuaţii integrale sau integro-diferenţiale; soluţiile analitice fiind limitate la un număr redus de cazuri concrete, se apelează la metode numerice, care permit determinarea parametrilor modelului în anumite puncte prestabilite.

Se prezintă stadiul actual al modelării numerice în teoria contactului elastic, punându-se în evidenţă clase de metode numerice utilizate: metode de integrare directă, metoda diferenţelor finite, metoda elementului finit, metoda elementului de frontieră, metoda împerecherii punctelor, metode parţiale, metode şi tehnici rapide.

Capitolul se încheie cu precizarea direcţiilor de cercetare ale tezei.Capitolul 3Modelarea numerică a contactului elastic normal pe baza metodei coeficienţilor de influenţă, varianta clasică Se prezintă, mai întâi, modelul matematic asociat unei probleme de contact elastic

normal (ecuaţia integrală a contactului, de echilibru static, condiţii de continuitate). În vederea definirii modelelor numerice, se propun variante de discretizare automată a

ariei estimate de contact (cu pas variabil, uniformă sau impusă). Se propun două variante de modelare numerică, după cum ecuaţia de echilibru static

este inclusă în sistemul presiunilor sau se află în afara acestui sistem; Se evidenţiază etapele algoritmilor de rezolvare a modelelor numerice propuse. Ultimul subcapitol prezintă funcţiile procedurilor automate, componente ale codului

calculator scris în Matlab.Capitolul 4

45

Validarea modelării numerice propuse prin rezultate analitice şi experimentale existente Modelarea numerică a oricărui proces sau fenomen este acceptată numai în cazul în

care rezultatele ei sunt validate prin alte abordări analitice, numerice sau experimentale.

Validarea modelării numerice a problemelor de contact elastic este realizată atât pe baza contactelor hertziene, cât şi a altor contacte elastice pentru care există soluţii analitice în literatura de specialitate.

Modelarea numerică a contactului conform circular este validată şi pe baza rezultatelor experimentale din literatura de specialitate.

Capitolul 5Modelarea numerică a contactului elastic normal prin extinderea ariei de contact Pentru determinarea elementelor contactului elastic, se propune extinderea ariei de

contact, ca alternativă la varianta clasică a metodei coeficienţilor de influenţă. Validarea metodei şi a codului calculator asociat se realizează pe baza contactelor

hertziene şi a altor contacte pentru care există soluţii analitice. Din analiza numerică comparativă rezultă că varianta clasică a metodei oferă rezultate

mai apropiate de cele analitice, în toate cazurile analizate; varianta extinderii ariei de contact oferă soluţii acceptate în tehnică şi poate reprezenta o alternativă în rezolvarea problemelor de contact elastic.

Capitolul 6Analiza numerică a contactului liniar de lungime finită; Validare experimentală În cazul contactului liniar de lungime finită apare fenomenul de intensificare a

presiunii la capete (efect de capăt), cu diminuarea capacităţii de încărcare a contactului.

Se analizează efectul profilului longitudinal asupra elementelor contactului elastic. Au fost modelate următoarele soluţii de atenuare a efectului de capăt: bombarea completă, bombarea parţială, profilarea prin trei arce de cerc, profilarea prin cinci arce de cerc.

Validarea modelării propuse este realizată pe baza rezultatelor numerice obţinute de Hartnett, [Ha79] şi J. de Mul, [Mu86].

Modelarea numerică are în vedere geometria nominală a suprafeţelor în contact, definită pe subdomenii, cu respectarea condiţiilor de tangentă continuă în toate punctele de racordare.

Concordanţa între predicţiile numerice şi măsurătorile experimentale, arată că metoda de investigare experimentală prin profilometrie cu laser, (Glovnea, [Gl99], Glovnea şi Diaconescu, [Gl04]) poate fi aplicată contactului liniar de lungime finită.

Capitolul 7Determinarea numerică a stării de tensiuni la contactul elastic normal Starea elastică din fiecare corp este o problemă de semispaţiu elastic, ambele corpuri

fiind asimilate prin semispaţii elastice. Pe baza algoritmului general, au fost realizate proceduri automate privind calculul

componentelor tensorului tensiune, în două variante: calcul analitic al integralelor din expresiile funcţiilor de potenţial; aproximarea integralelor din expresiile funcţiilor de potenţial prin sumele integrale corespunzătoare.

În cazul contactului hertzian rezultă o bună concordanţă între rezultatele determinate pe cale numerică şi cele analitice.

În cazul contactului nehertzian studiat, din lipsa unei soluţii analitice, validarea rezultatelor s-a realizat pe cale numerică, pe baza a două coduri calculator asociate celor două modalităţi de determinare a componentelor tensorului tensiune.

46

Au fost determinate, pe cale numerică, tensiunile din corpurile în contact în următoarele variante: pe aria eliptică, sub aria de contact, la o anumită distanţă de planul limitrof al semispaţiului elastic şi pe axa centrală a contactului.

Capitolul 8Determinarea numerică a stării de tensiuni la contactul elastic cu sarcină normală şi tangenţială Se prezintă expresiile analitice ale componentelor tensorului tensiune, datorate atât

sarcinii normale, cât şi forţei tangenţiale orientată după axa Ox, [Hi93], utile în validarea modelului numeric. Solicitarea tangenţială este uniform distribuită pe celulă şi direct proporţională cu sarcina normală, prin coeficientul de frecare .

Determinarea numerică a stării de tensiuni în punctele semispaţiului elastic are la bază utilizarea succesivă a principiului suprapunerii efectelor şi rezultatele obţinute la încărcarea semispaţiului elastic cu sarcină normală distribuită pe un domeniu dreptunghiular, respectiv, încărcarea cu forţă tangenţială distribuită.

Modelarea propusă are în vedere: calculul componentelor tensorului tensiune pe planul limitrof, în adâncime şi pe axa centrală a contactului; starea de tensiuni datorată sarcinii normale, forţei tangenţiale orientată pe direcţia axei x şi efectul cumulat al celor două solicitări; analiza comparativă a rezultatelor obţinute în procesul modelării;

Capitolul 9CG+DC-FFT în rezolvarea problemelor de contact elastic Soluţia unui sistem cu un număr mare de ecuaţii prin algoritmi convenţionali necesită

un timp de lucru prohibitiv, chiar pe calculatoare moderne. Algoritmul CG+DC-FFT este suficient de rapid chiar pentru discretizări fine ale

domeniului estimat de contact. Metoda gradientului conjugat dispune de o demonstraţie matematică riguroasă a

convergenţei. Validarea algoritmului şi a codului calculator aferent au fost realizate pe contactul

sferă – sferă şi pentru profilul Lundberg (forma simplificată, forma integrală). Tabelul comparativ al metodelor utilizate pune în evidentă superioritate tehnica

CG+DC-FFT cu privire la timpul calculator necesar rezolvării problemelor de contact elastic.

Codul calculator aferent modelării numerice este aplicat şi altor tipuri de contacte (corpuri mărginite de suprafeţe Cassini sau suprafeţe Peano).

Metoda CG+DC-FFT prezintă avantajul că poate fi utilizat un număr mare de noduri, ceea ce o face aplicabilă la contactul suprafeţelor rugoase.

10.2 CONTRIBUŢII

Prin elaborarea prezentei teze s-au adus o serie de contribuţii teoretice, la modelarea numerică şi cu caracter aplicativ, după cum urmează.

Contribuţii teoretice

Realizarea unor sinteze bibliografice privind: Reprezentările generale pentru soluţia ecuaţiei vectoriale a lui Lamé; Problemele la limită ale semispaţiului elastic; Clasificarea contactelor; Teoria clasică a contactului elastic între suprafeţe netede; Metodele numerice în teoria contactului elastic; Starea de tensiuni la contactul elastic normal;

47

Starea de tensiuni la contactul elastic cu sarcină normală şi tangenţială; Metodele şi tehnicile rapide în teoria contactului elastic.

Sistematizarea şi prezentarea într-o formă unitară a problemelor clasice asociate semispaţiului elastic.

Formularea modelului matematic general asociat unei probleme de contact elastic normal.

Propunerea unei discretizări cu pas variabil, cu dimensiunile celulelor în progresie aritmetică descrescătoare către zone cu gradienţi mari de presiune.

Precizarea unor formule de dimensionare optimă a ariei estimate de contact. Determinarea tuturor reprezentărilor analitice explicite ale suprafeţelor nominale care

intervin în problemele de contact analizate în teză. Formularea a două variante de model numeric asociate metodei coeficienţilor de

influenţă – varianta clasică, după cum ecuaţia de echilibru este inclusă sau nu în sistemul liniar în presiuni.

Studiul sensibilităţii soluţiei sistemului în presiuni, prin analiza numărului de condiţionare ataşat.

Propunerea extinderii ariei de contact la rezolvarea problemelor de contact elastic, ca variantă a metodei clasice a coeficienţilor de influenţă.

Ridicarea unor nedeterminări, din formulele date de Hills, [Hi93], la calculul analitic al tensiunilor din interiorul semispaţiului elastic, datorate forţei tangenţiale.

Contribuţii la modelarea numerică

Evidenţierea fazelor importante ale unui demers numeric: analiză, programare, implementare, validare.

Realizarea unui program de calcul principal, asociat metodei coeficienţilor de influenţă – varianta clasică, interactiv, având în componenţă proceduri automate cu următoarele funcţii:

precizarea datelor iniţiale ale problemei de contact elastic: tipul suprafeţelor în contact; numărul celulelor de discretizare pe direcţii axiale; dimensiunile ariei estimate de contact; varianta de discretizare; modul de calcul al coeficienţilor de influenţă; varianta de model numeric; metoda de rezolvare a sistemului; elementele geometrice ale suprafeţelor în contact, constantele elastice ale materialelor componente şi sarcina normală aplicată;

discretizarea automată a domeniului estimat de contact, în variantele: cu pas variabil, uniform sau impus (elementele de arie au dimensiuni prestabilite);

stocarea în fişiere pe disc a rezultatelor analitice, numerice sau experimentale din literatura de specialitate, în scopul validării modelării numerice propuse;

precizarea geometriei iniţiale a suprafeţelor în contact; se calculează cotele punctelor de pe suprafeţe ale căror proiecţii pe planul limitrof sunt centrele de greutate ale celulelor de discretizare; după caz, se generează suprafeţele cilindrice, conice sau de rotaţie corespunzătoare, având în vedere geometria nominală a suprafeţelor în contact;

calculul coeficienţilor de influenţă, în variantele: analitic (Love) şi combinat (analitic pe diagonala principală şi aproximativ, în rest);

definirea matricei iniţiale a sistemului în presiuni, în raport cu varianta de modelare numerică dorită;

analiza condiţionării sistemului în presiuni şi, după caz, aplicarea procedeului numeric de scalare;

48

rezolvarea sistemului liniar în presiuni prin metode clasice: directe (Gauss, Onicescu, Choleski), iterative (Jacobi, Gauss-Seidel, relaxare), respectiv, metode de tip gradient;

redimensionarea automată a sistemelor de ecuaţii liniare funcţie de numărul celulelor eliminate din aria estimată de contact (metoda coeficienţilor de influenţă – varianta clasică) sau incluse în aria reală de contact (metoda coeficienţilor de influenţă – varianta extinderii ariei de contact);

rezolvarea ecuaţiilor transcendente pentru determinarea excentricităţii elipsei de contact, la contactele hertziene eliptice şi la contactul nehertzian dintre corpuri mărginite de suprafeţe omogene de gradul patru, prin aplicarea metodei aproximaţiilor succesive;

Elaborarea unui program principal de calcul asociat metodei coeficienţilor de influenţă – varianta extinderii ariei de contact, interactiv, care, pe lângă subrutinele proprii, apelează şi o parte din procedurile proiectate la varianta clasică.

Pentru determinarea numerică a stării de tensiuni la contactul elastic normal, au fost realizate proceduri automate, având următoarele funcţii:

implementarea formulelor cardanice de rezolvare exactă a ecuaţiilor algebrice de gradul trei şi calculul numeric al integralelor eliptice incomplete, necesare determinării stării de tensiuni la contactul hertzian punctual;

calculul analitic al componentelor tensorului tensiune; determinarea numerică a stării de tensiuni, varianta I (calcul analitic al

integralelor care intervin în expresiile funcţiilor de potenţial, [Lo29]); determinarea numerică a stării de tensiuni, varianta II (aproximarea

integralelor care intervin prin sumele integrale corespunzătoare); determinarea, pe cale numerică, a tensiunilor din corpurile în contact, în

următoarele variante: pe aria eliptică, sub aria de contact, la o anumită distanţă de planul limitrof al semispaţiului elastic, şi pe axa centrală a contactului.

Pentru determinarea numerică a stării de tensiuni la contactul elastic cu sarcină normală şi tangenţială, au fost realizate proceduri automate, având următoarele funcţii:

calculul analitic al componentelor tensorului tensiune, conform formulelor date de Hamilton, reluate în [Hi93]);

determinarea numerică a stării de tensiuni, utilizând principiul suprapunerii efectelor şi rezultatele obţinute la încărcările normală şi tangenţială;

calculul componentelor tensorului tensiune pe planul limitrof, în adâncime şi pe axa centrală a contactului;

determinarea stării de tensiuni datorată sarcinii normale, tangenţiale pe direcţia x şi cumulate.

Realizarea unui cod calculator pentru determinarea numerică a elementelor contactului elastic prin metoda CG+DC-FFT, avându-se în vedere:

valorificarea unor subrutine deja realizate; rezolvarea sistemelor de ecuaţii liniare prin metoda gradientului conjugat; calculul deplasărilor după direcţia z pe baza transformatei Fourier rapidă.

Validarea modelărilor numerice propuse în teză prin rezultate analitice, numerice şi experimentale din literatura de specialitate.

49

Validare prin rezultate analitice

Analiza concordanţei rezultatelor privind elementele contactului elastic la tipuri clasice de contacte hertziene, modelate pe baza metodei coeficienţilor de influenţă – varianta clasică, simultan cu studiul influenţei unor factori, după cum urmează:

− contactul între doi paraboloizi eliptici: efectul dimensionării ariei estimate de contact, condiţionarea şi scalarea matricei sistemului în presiuni;− contactul între două sfere: modul de calcul al coeficienţilor de influenţă;− contactul elipsoid / semispaţiu elastic: varianta de modelare numerică utilizată;− contactul între doi cilindri de raze diferite, având axele perpendiculare: metoda de rezolvare a sistemului în presiuni;− contactul între corpuri mărginite de suprafeţe toroidale: utilizarea metodelor de rezolvare de tip gradient. Analiza concordanţei rezultatelor privind elementele contactului elastic la

tipuri de contacte nehertziene, modelate pe baza metodei coeficienţilor de influenţă – varianta clasică, după cum urmează:

− contact pe vârf conic ascuţit;− contact pe vârf conic racordat prin arce de cerc;− contact conform circular cu faţă frontală plană cu muchie;− contact conform circular cu faţă frontală plană cu racordare prin arce de cerc;− contact între corpuri mărginite de suprafeţe omogene de gradul patru. Analiza concordanţei rezultatelor privind elementele contactului elastic la

contacte modelate pe baza metodei coeficienţilor de influenţă – varianta extinderii ariei de contact, după cum urmează:

− contactul între două sfere;− contact pe vârf conic ascuţit;− contact pe vârf conic racordat prin arce de cerc;− contact între corpuri mărginite de suprafeţe omogene de gradul patru. Studiul concordanţei rezultatelor privind starea de tensiuni la contactul elastic

normal, având în vedere:− contactul între două corpuri mărginite de suprafeţe toroidale;− componentele tensorului tensiune pe aria eliptică de contact, la o anumită adâncime în interiorul semispaţiului elastic şi pe axa centrală a contactului. Studiul concordanţei rezultatelor privind starea de tensiuni la contactul elastic

cu sarcină normală şi tangenţială, având în vedere:− contactul sferic cu alunecare;− componentele tensorului tensiune pe aria eliptică de contact, la o anumită adâncime în interiorul semispaţiului elastic şi pe axa centrală a contactului;− starea de tensiuni datorată sarcinii normale, tangenţiale orientată pe direcţia x şi cumulate. Concordanţa rezultatelor privind elementele contactului elastic la contacte

modelate pe baza metodei CG+DC-FFT, după cum urmează:− contactul între două sfere;− contactul cvasihertzian de lungime finită cu profil Lundberg în formă integrală,respectiv, simplificată.

Validare prin rezultate numerice

50

Analiza concordanţei rezultatelor privind efectul profilului longitudinal asupra elementelor contactului elastic, pe baza abordărilor din literatura de specialitate, cu privire la următoarele soluţii: bombarea completă, bombarea parţială, profilarea prin trei arce de cerc, profilarea prin cinci arce de cerc.

Starea de tensiuni la contactul elastic nehertzian între două corpuri mărginite de suprafeţe omogene de gradul patru, prin două variante numerice de calcul.

Validare prin rezultate experimentale

Analiza concordanţei dintre rezultatele numerice şi cele experimentale, obţinute prin profilometrie cu laser, [Gl99], [Gl04], în cazul contactului conform circular cu faţă frontală plană cu muchie racordată, privind diametrul ariei de contact.

Analiza concordanţei dintre rezultatele numerice şi cele experimentale obţinute prin profilometrie cu laser, [Gl99], [Gl04], în cazul contactului cvasihertzian de lungime finită, avându-se în vedere variaţia raportului supraunitar dintre lăţimea maximă a ariei de contact şi lăţimea centrală, în funcţie de sarcina aplicată.

Analize numerice comparative

Compararea elementelor contactului elastic obţinute pe baza celor două variante ale metodei coeficienţilor de influenţă.

Realizarea unui studiu comparativ al metodelor utilizate în teză, care relevă superioritatea tehnicii CG+DC-FFT cu privire la timpul calculator.

Concordanţe grafice ale modelării.

Contribuţii cu caracter aplicativ

Elaborarea unor noi programe de calcul pentru rezolvarea problemelor de contact elastic.

Aplicabilitatea programelor elaborate la proiectarea unor organe de maşini care funcţionează cu contact liniar de lungime finită sau cu alte noi tipuri de contacte.

Extinderea programelor de calcul la noi tipuri de contacte elastice (corpuri mărginite de suprafeţe Cassini sau suprafeţe Peano).

10.3 DIRECŢII DE CERCETARE ULTERIOARĂ

Pe baza rezultatelor obţinute se evidenţiază următoarele direcţii de continuare a cercetărilor: modelarea numerică a contactului elastic tridimensional încărcat normal şi tangenţial; analiza comportării contactului cvasihertzian de lungime finită la aplicarea excentrică

a sarcinii normale sau la înclinarea rolelor; aplicarea tehnicii CG+DC-FFT la atenuarea efectelor de capăt sau muchie; implementarea modelelor numerice pentru alte tipuri de contacte elastice, precum aria

de contact multiplu conexă; evaluarea distribuţiei de presiuni şi a stării de tensiuni pentru contacte între suprafeţe

rugoase reale.BIBLIOGRAFIE SELECTIVĂ

(teza conţine 131 referinţe)

51

1. [Ch89] Chang, L., An Efficient and Accurate Formulation ofthe Surface-Deflection Matrix in Elastohydrodynamic Point Contacts, ASME, Joumal of Tribology, vol. 111, 4, 1989, 642-647.

2. [Ci99] Ciavarella, M., Indentation by nominally flat or conical indenters with rounded corners, PERGAMON International Journal of Solids and Structures 36 (1999), 4149-4181.

3. [Cr80] Creţu, 0., Diaconescu, E.N., O metodă simplă de deducere a soluţiilor generale pentru contactul elastic cu frecare, VAREHDl, Suceava, 1980, 128-143.

4. [Cr02] Creţu, Sp., Mecanica contactului, Volumul I, Editura “Gh.Asachi” Iaşi.5. [Cr03] Creţu, Sp., Un algoritm rapid, conjugat gradient + transformare Fourier rapidă

discretă, pentru a obţine starea elastică în contacte concentrate nehertziene, VAREHD1l, Suceava, 2003.

6. [Cr05] Creţu, Sp., Fiabilitatea contactului cu rostogolire în prezenţa alunecărilor şi regimului termic variabil, cu aplicaţii la rulmenţi şi angrenaje, Raport de Cercetare, Iaşi, 2005.

7. [Di93] Diaconescu, E.N., Decisive Stresses for Rolling Contact Fatigue, Scientific Report for EEC,ERB-CIPA-3510-PL-92-4085, 1993.

8. [Di94] Diaconescu, E.N., Glovnea, M.L., Uniform Contact Pressure Between a Rigid Punch and an Elastic Half-Space, Acta Tribologica, vol. 2, 1, 1994, 7-16.

9. [Di96] Diaconescu, E.N., Considerations upon Lundberg Profile, VAREHD 8, 6-8 iunie 1996, Suceava.

10. [Di03] Diaconescu, E.N., Hertz Theory Revisited, Private communication, Opening Plenary Session of Romanian Tribology Conference, Galaţi, 25-27 September, 2003

11. [Do76] Dowson, D., Hamrock, B.J., Numerical Evaluation of the Surface Deformation of Elastic Solids Subjected to a Hertzian Contact Stress, ASLE Trans., vol. 19, 4, 1976, 279-286.

12. [Du98] Dumitrescu, B., ş.a., Metode de calcul numeric matricial. Algoritmi fundamentali, Editura ALL, Bucureşti, 1998.

13. [Fo91] Foulon, M., Rey, A., Blanc, M., Gaignard, Y., Lebert, P., Sur les etats contraints dans les contacts ponctuels, Mech. Mat. Electr., no. 440, 1991, 4-10.

14. [Ga81] Gatina, J.C., Modelisation du probleme de contact dans le demi espace elastique, These de Docteur Ingenieur, INSA de Lyon-Lyon 1, 1981, 272p.

15. [Ga87] Gatina, J.C., Contacts des corps elastiques - Effets tangentiels et normaux. Formulation et resolution des problems inverse et direct, These de Docteur d'Etat Es Sciences, INSA de Lyon-Lyon I, 1987.

16. [G193] Glovnea, M.L., Efecte de muchie la contactul elastic, Referat admitere doctorat, Universitatea Suceava, 1993.

17. [G195] Glovnea, M.L., Efectul discontinuităţilor geometrice de suprafaţă asupra contactului elastic - Stadiul actual al cercetărilor teoretice, Referat nr. 1 în cadrul stagiului de doctorat, Suceava, 1995.

18. [G196b] Glovnea, M.L., Teoria clasică a contactului elastic, Referat în cadrul stagiului de doctorat, Suceava, 1996.

19. [Gl99] Glovnea, M., Efectul discontinuităţilor geometrice de suprafaţă asupra contactului elastic, Teză de doctorat, Suceava, 1999.

20. [Gl04] Glovnea, M., Diaconescu, E.N., New Investigations of Finite Length Line Contact, Proceedings of TRIB 2004 ASME/STLE International Joint Tribology Conference Long Beach, California USA, October 24 – 27, 2004

21. [Gr03b] Grădinaru, D., Determinarea elementelor contactului elastic prin metoda clasică a coeficienţilor de influenţă, VAREHD1l, Suceava, 2003.

22. [Gr03c] Grădinaru, D., Determinarea elementelor contactului elastic prin metoda

52

extinderii ariei de contact, VAREHD1l, Suceava, 2003.23. [Gr04a] Grădinaru, D.,– Numerical considerations upon calculus of elements of normal

elastic contact, VAREHD 12, Suceava, 2004. 24. [Gr04b]Grădinaru, D.,– Numerical analysis of finite length line elastic contacts,

VAREHD 12, Suceava, 2004. 25. [Ha79] Hartnett, M.J., The Analysis of Contact Stresses in Rolling Element Bearings,

ASME, Journal of Lubrication Technology, vol. 101, 1, 1979, 105-109.26. [Hi92] Hill, J.M., Tordesillas, A.A., The Symmetrical Adhesive Contact Problem for

Circular Elastic Cylinders, Journal of Elasticity, 27, 1992, 1-36. 27. [Hi93] Hill, D.A., Nowell, D., Sackfield, A., Mechanics of Elastic Contacts, Oxford,

Butterworth Heinemann Ltd., 1993. 28. [Jo85] Johnson, K.L., Contact Mechanics, Cambridge University Press, 1985. 29. [Jo90] Johnson, K.L., Classical Versus Numerical Methods of Elastic Contact Stress

Analysis, Proc. ofMeet. Stress Analysis and Trib. Groups oflnst. Phys., 1990, 1-10. 30. [Ka90] Kalker, J.J., Three-Dimensional Elastic Bodies in Rolling Contact, Kluwer Acad.

Publ., 1990.31. [Ka93] Kakoi, K., A Numerical Method for Counterfbrmal Rolling Contact Problems

Using Special Boundary Element Methods, Bull. JSME, A36, 1, 1993, 57-62. 32. [La89] Larionescu, D., Metode numerice, Editura Tehnică, Bucureşti, 1989.33. [Li94] Liu, G.R., Achenbach, J.D., A Strip Element Method for Stress Analysis of

Anisotropic Linearly Elastic Solids, ASME, Jnl. of App. Mechanics, vol. 61. 34. [Lo29] Love, A.E.H., The Stress Produced in a Semi-Infinite Solid by Pressure on Part

ofthe Boundary, Phil. Trans. Roy. Soc., vol. A228, 1929, 377-420. 35. [Lu39] Lundberg, G., Elastiche Beruhrung zweier Halbraume, Forch Geb. Ingen., Bd.

10, 1939,201-211.36. [Lu91] Lubrecht, A.A., loannides, E., A Fast Solution ofthe Dry Contact Problem and

the Associated Sub-Surface Stress Field, Using Multilevel Techniques, ASME, Joumal of Tribology, vol. 113, 1, 1991, 120-133.

37. [Mu86] de Mul, J.M., Kalker, J.J., Fredriksson, B., The Contact Between Arbitrary Curved Bodies of Finite Dimensions, ASME, Journal of Tribology.vol. 108, 1, 1986, 140-148.

38. [Na79] Nayak, L., Johnson, L.M., Pressure Between Elastic Bodies Having a Slender Area of Contact and Arbitrary Profiles, Int. Joum. Mech. Science, vol. 21, 1979, 237-247.

39. [Po99] Polonsky, I.A., Keer, L.M., A numerical method for solving rough contact problems based on the multi-level multi-summation and conjugate gradient techniques, Wear 231, 1999.

40. [Po00a] Polonsky, I.A., Keer, L.M., Fast Methods for Solving Rough Contact Problems: A Comparative Study, ASME, 2000.

41. [Po00b] Polonsky, I.A., Keer, L.M., A Fast and Accurate Method for Numerical Analysis of Elastic Layered Contacts, ASME, 2000.

42. [Po63] Ponomarev, S.D. et al., Strength Calculus inn Machine Design, vol. II, in Romanian, Editura Tehnică, Bucharest, 1963.

43. [Po98] Popescu, G., Cercetări teoretice şi experimentale privind comportarea în domeniul elasto-plastic a contactelor hertziene fără frecare, Teză de doctorat, Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" laşi, 1998.

44. [Sh49] Shtaerman, L, Contact Problems in the Theory of Elasticity, in Russian, Gostehizdat, Moscow, 1949.

53

Date post:	17-Feb-2020
Category:	Documents
Upload:	others
View:	1 times
Download:	0 times

Template paper VAREHD 12 · Web view[Cr05] Creţu, Sp., Fiabilitatea contactului cu rostogolire în...

Documents