CAPITOLUL 1

Spatii vectoriale

1.1. Introducere

1.1.1. De�nitie. (De�nitia spatiului vectorial) Se dau:

� multimile:�V 6= ; (elementele multimii V se numesc vectori (puncte));�K 6= ; (elementele multimii K se numesc scalari (numere));

� functiile:�+K (�; �) : K � K ! K (functia este o operatie pe multimeaK numit¼a adunarea scalarilor si va � notat¼a �+�;),

� �K (�; �) : K�K! K (functia este o operatie pe multimea Knumit¼a înmultirea scalarilor si va � notat¼a ���),

�+V (�; �) : V�V! V (functia este o operatie pe multimea Vnumit¼a adunarea vectorilor si va � notat¼a �+�;)

� � (�; �) : K � V ! V (functia este o operatie extern¼a pemultimea V numit¼a înmultirea vectorilor cu scalari si va �notat¼a ���(pentru �ecare � 2 K �xat, operatia partial¼a V 3x 7! � � x 2 V poate � numit¼a omotetie de parametru �).)

Perechea (V;K) (împreun¼a cu operatiile descrise mai sus) se numestespatiu vectorial dac¼a sunt îndeplinite urm¼atoarele conditii:

(1) (K;+K; �K) este corp comutativ;(2) (V;+V) este grup abelian;(3) 8a; b 2 K; 8x; y 2 V, au loc:

(a) (a+K b) � x = a � x +V b � x (distributivitatea la dreapta aoperatiei ���fat¼a de operatia �+K�);

(b) a � (x+V y) = a � x +V a � y (distributivitatea la stânga aoperatiei ���fat¼a de operatia �+K�);

(c) a � (b � x) = (a �K b) � x;(d) 1K � x = x. �

1

2 1. SPATII VECTORIALE

1.1.2. Observatie.

� Distinctia între diferitele operatii notate la fel se va facedin context;� Elementul 0V este elementul neutru la adunarea vectorilor si va� notat în continuare cu 0;� Elementul 0K este elementul neutru la adunarea scalarilor si va� notat în continuare cu 0;� Elementul 1K este elementul neutru la înmultirea scalarilor si va� notat în continuare cu 1;� Distinctia între diferitele elemente notate la fel se va facedin context.� Se folosesc notiuni (presupuse) cunoscute din liceu: multimile denumere (N, Z, Q, R, C) si propriet¼atile lor, notiunile Algebreide clasa a XII�a cum ar � parte stabil¼a, operatie, monoid, grup,grup abelian, inel, inel comutativ, corp, corp comutativ, elementneutru pentru �ecare structur¼a algebric¼a, elemente simetrizabile,simetricul unui element (fat¼a de o operatie sau alta, atunci cândeste cazul), propriet¼ati ale lor: unicitatea elementului neutru, u-nicitatea elementului simetric, etc.� Conventii de notatie: vectorii vor �notati cu litere latine mici (a,b, c, u, v, w, x, y, z, etc), scalarii cu litere grecesti mici (�, �, , �,etc), multimile cu litere latine mari �dublate�(A, B, C, D, K, L,M, N, R, X, V, etc) la care se vor ad¼auga eventual indici (�0, V1,etc) si/sau supraindici (U1, x3, y(2)4 , etc) în functie de context. �

1.1.3. Exercitiu. S¼a se arate c¼a într�un monoid (cu element neutru)elementul neutru este unic.

1.1.4. Exercitiu. S¼a se arate c¼a într�un grup elementul simetric alunui element este unic.

1.1.5. Exemplu. Se consider¼a multimea

Rn = f

0@ x1...xn

1A ; xi 2 R; i = 1; ng:

1.1. INTRODUCERE 3

Rn este spatiu vectorial real în raport cu operatiile:

0@ x1...xn

1A+0@ y1

...yn

1A Def=

0@ x1 + y1...

xn + yn

1A ;8

0@ x1...xn

1A ;

0@ y1...yn

1A 2 Rn

(semnul + din stânga se refer¼a la adunarea elementelor din Rn iar semnele+ din dreapta se refer¼a la adunarea elementelor din R, deci se folosesteacelasi semn pentru dou¼a operatii distincte; pe parcursul textului, distinc-tia trebuie f¼acut¼a din context) si

� �

0@ x1...xn

1A Def=

0@ � � x1...

� � xn

1A ;8� 2 R:

(R;+; �) este corp comutativ (se stie din liceu); (Rn;+) este grup abelian(adunarea pe componente este asociativ¼a, comutativ¼a, admite elementneutru si orice element este simetrizabil, datorit¼a propriet¼atilor adun¼arii

pe R), elementul neutru este 0Rn =

0@ 0...0

1A iar simetricul lui

0@ x1...xn

1A este

0@ �x1...�xn

1A. Au loc propriet¼atile de distributivitate:

(�+ �) �

0@ x1...xn

1A =

0@ (�+ �) � x1...

(�+ �) � xn

1A =

0@ � � x1 + � � x1...

� � xn + � � xn

1A =

=

0@ � � x1...

� � xn

1A+0@ � � x1

...� � xn

1A = �

0@ x1...xn

1A+ �

0@ x1...xn

1A ;

4 1. SPATII VECTORIALE

� � (

0@ x1...xn

1A+0@ y1

...yn

1A) = � �

0@ x1 + y1...

xn + yn

1A =

0@ � � (x1 + y1)...

� � (xn + yn)

1A =

=

0@ � � x1 + � � y1...

� � xn + � � yn

1A =

0@ � � x1...

� � xn

1A+0@ � � y1

...� � yn

1A =

= � �

0@ x1...xn

1A+ � �

0@ y1...yn

1A ;

(� � �) �

0@ x1...xn

1A =

0@ (� � �) � x1...

(� � �) � xn

1A =

0@ � � (� � x1)...

� � (� � xn)

1A =

= � �

0@ � � x1...

� � xn

1A = � � (� �

0@ x1...xn

1A): �1.1.6. De�nitie. (De�nitia subspatiului) Fie (V;K) spatiu vectorial si

S � V; S se numeste subspatiu vectorial al lui (V;K) dac¼a:(1) 8x; y 2 S; x+ y 2 S;(2) 8� 2 K;8x 2 S; �x 2 S: �

1.1.7. Exemplu. Multimea

S =

8<:0@ x1

x2x3

1A 2 R3;x2 = 09=;

este subspatiu vectorial al spatiului vectorial (R3;R).

Fie x; y 2 S ) x =

0@ x10x3

1A si y =

0@ y10y3

1A; au loc:

x+ y =

0@ x10x3

1A+0@ y10y3

1A =

0@ x1 + y10

x3 + y3

1A 2 S;

1.1. INTRODUCERE 5

iar pentru � 2 R, �x = �

0@ x10x3

1A =

0@ �x10�x3

1A 2 S. Din de�ntia subspa-tiului rezult¼a c¼a multimea S este subspatiu al spatiului vectorial (R3;R).�

1.1.8.De�nitie. (De�nitia operatorului liniar) Dac¼a (V1;K) si (V2;K)sunt spatii vectoriale (peste acelasi corp de scalari), o functie U (�) : V1 !V2 se numeste mor�sm de spatii vectoriale (aplicatie liniar¼a, operatorliniar , etc) dac¼a:

(1) U (x+ y) = U (x) + U (y) ; 8x; y 2 V1 ( U (�) este mor�sm degrupuri (este aditiv));

(2) U (�x) = �U (x) ; 8x 2 V1; 8� 2 K (U (�) este omogen).

Se noteaz¼a cu LK (V1;V2) multimea tuturor mor�smelor dintre (V1;K)si (V2;K). �

1.1.9. Exemplu. Fie spatiile vectoriale (R3;R) si (P2 [X] ;R) (Pn [X]este multimea tuturor polinoamelor de grad cel mult n, în nedeterminataX si cu coe�cienti reali). Functia U (�) : P2 [X]! R3 de�nit¼a prin U (P (�))= xP (�) 2 R3 (pentru un polinom P (X) = aX2 + bX + c 2 P2 [X] se

ataseaz¼a vectorul xP (�) =

0@ abc

1A) este mor�sm de spatii vectoriale.

Operatiile în (P2 [X] ;R) sunt (de�nitiile sunt cunoscute din liceu):

P (�) +Q (�) Def= (P +Q) (�) ; unde: (P +Q) (X) = P (X) +Q (X) ;

� � P (�) Def= ((� � P ) (�)) ; unde: (� � P ) (X) = � � P (X) :

P (X) = aX2 + bX + c 2 P2 [X]) U (P (�)) =

0@ abc

1A 2 R3;Q (X) = a1X

2 + b1X + c1 2 P2 [X]) U (Q (�)) =

0@ a1b1c1

1A 2 R3:

6 1. SPATII VECTORIALE

(P +Q) (�) este de�nit de:(P +Q) (X) = (a+ a1)X

2 + (b+ b1)X + (c+ c1) 2 P2 [X])

) U ((P +Q) (�)) =

0@ a+ a1b+ b1c+ c1

1A =

0@ abc

1A+0@ a1

b1c1

1A= U (P (�)) + U (Q (�))

(�P ) (�) este de�nit de:(�P ) (X) = �aX2 + �bX + �c)

) U ((�P ) (�)) =

0@ �a�b�c

1A = �

0@ abc

1A = �U (P (�)) : �

1.1.10. De�nitie. (Spatii izomorfe) Spatiile vectoriale între care exist¼aun mor�sm bijectiv (izomor�sm) se numesc izomorfe. Se va nota (V1;K) �=(V2;K). �1.1.11. Exercitiu. S¼a se arate c¼a mor�smul din exemplul anterior este

functie bijectiv¼a.

1.1.12.De�nitie. (Functional¼a liniar¼a) Se numeste functional¼a liniar¼ape (V;K) orice operator liniar între (V;K) si (K;K) (orice element almultimii LK (V;K)). Multimea tuturor functionalelor liniare pe (V;K) senoteaz¼a cu V0(= LK (V;K)) si se numeste dualul algebric al lui (V;K). �1.1.13. Exercitiu. S¼a se arate c¼a U (�) : P2 [X] ! R, de�nit prin

U (P (�)) = P (1) este o functional¼a liniar¼a.

1.1.14. De�nitie. (Combinatie liniar¼a) Pentru n 2 N, i = 1; n; xi 2V si �i 2 K, elementul x =

nPi=1

�ixi se numeste combinatie liniar¼a a

elementelor xi cu scalarii �i. (scalarii care particip¼a la sum¼a se mai numescponderi iar combinatia liniar¼a se mai numeste sum¼a ponderat¼a). �

1.1.15. Exemplu. 2

0@ 100

1A+30@ 010

1A este o combinatie liniar¼a în R3;

valoarea ei este

0@ 230

1A.

1.1. INTRODUCERE 7

1.1.16. De�nitie. (Acoperirea liniar¼a) Dac¼a A � V este o multimeoarecare de vectori, multimea

spanK (A)Def=

(nXi=1

�ixi; n 2 N; �i 2 K; xi 2 A; i = 1; n)

este multimea tuturor combinatiilor liniare cu elemente din A. �1.1.17. Exemplu. În spatiul vectorial (P2 [X] ;R), pentru A = f1; Xg,

spanRA = fa � 1 + b �X; a; b 2 Rg este multimea tuturor combinatiilor li-niare cu polinoamele 1 si X si este multimea tuturor polinoamelor de gradcel mult 1 în X (inclusiv constantele, privite ca polinoame).

1.1.18. Observatie. spanK (A) se modi�c¼a la modi�carea corpului descalari: R3 este spatiu vectorial atât peste corpul R cât si peste corpulQ, dar structura lor de spatii vectoriale este diferit¼a: aceeasi multime devectori genereaz¼a alte multimi de combinatii liniare24 p31

0

35 2 spanR0@8<:

24 100

35 ;24 010

359=;1A24 p31

0

35 =2 spanQ

0@8<:24 100

35 ;24 010

359=;1A

1.1.19. De�nitie. (Dependent¼a si independent¼a liniar¼a) Multimea devectori

�xi; i = 1; n

se numeste liniar dependent¼a dac¼a cel putin unul

dintre vectori se poate scrie ca o combinatie liniar¼a a celorlalti vectori.Dac¼a nici unul nu poate � scris ca o combinatie liniar¼a a celorlalti vectori,atunci multimea de vectori se numeste liniar independent¼a. �

1.1.20. Exemplu. Multimea de vectori din R48>><>>:0BB@1221

1CCA ;

0BB@13�40

1CCA ;

0BB@25�21

1CCA9>>=>>;

este liniar dependent¼a pentru c¼a0BB@1221

1CCA+0BB@

13�40

1CCA =

0BB@25�21

1CCA :

8 1. SPATII VECTORIALE

Multimea de vectori din R48>><>>:0BB@1221

1CCA ;

0BB@13�40

1CCA ;

0BB@35�21

1CCA9>>=>>;

este liniar independent¼a pentru c¼a (de exemplu) rangul matricii care aredrept coloane vectorii multimii este egal cu num¼arul vectorilor (justi�carea

rationamentului va �dat¼a în continuare) (rangul matricii

0BB@1 1 32 3 52 �4 �21 0 1

1CCAeste 3). �1.1.21. Observatie. (De�nitii echivalente ale independentei li-

niare) Familia (xi)i�=1;n este liniar independent¼a dac¼a si numai dac¼a areloc una dintre a�rmatiile:

(1) 8�i 2 K; i = 1; n;nPi=1

�ixi = 0 ) �1 = � � � = �n = 0 (unic).

(relatianPi=1

�ixi = 0 are loc numai pentru scalari nuli);

(2) 8�i 2 K; i = 1; n; (9i 2 f1; � � � ; ng ; �i 6= 0) )nPi=1

�ixi 6= 0.

(dac¼a m¼acar un scalar este nenul, atunci combinatia liniar¼a estenenul¼a) �

Demonstratie. Cele dou¼a a�rmatii se obtin una din cealalt¼a dinrelatia logic¼a (p! q) � (eq !ep) (se recomand¼a recapitularea capitoluluide Logic¼a) ; echivalenta cu de�nitia are loc pentru c¼a, dac¼a m¼acar unvector este combinatie liniar¼a de ceilalti vectori, atunci exist¼a scalarii

�i 2 K; i = 1; n; nu toti nuli, astfel încâtnPi=1

�ixi = 0. �

1.1.22. Algoritm. (Studiul dependentei liniare a unei familii de vec-tori) Fie o multime de vectori

�xi; i = 1; n

în spatiul vectorial (V;K).

Pasul 1. Se consider¼a relatia:nXi=1

�ixi = 0;

care este privit¼a ca o ecuatie vectorial¼a în necunoscutele �1,� � � ,�n.

1.1. INTRODUCERE 9

Pasul 2. Se rezolv¼a ecuatia de la Pasul 1, în sensul c¼a se a�¼a toate solutiileecuatiei (de fapt, pentru stabilirea naturii familiei de vectori estesu�cient s¼a se r¼aspund¼a la întrebarea: �Exist¼a si alte solutii înafar¼a de solutia identic nul¼a (�i = 0, i = 1; n)?�. De obicei acestpas înseamn¼a rezolvarea (eventual cu discutie dup¼a parametrii,dac¼a familia de vectori depinde de parametri) unui sistem liniarde ecuatii folosind tehnicile de liceu sau Metoda pivotului.

Pasul 3. În functie de rezultatele obtinute la Pasul 2, se �nalizeaz¼a studiulcu concluzia adecvat¼a:� dac¼a solutia nul¼a este unic¼a, multimea este liniar independent¼a� dac¼a solutia nul¼a nu este unic¼a, multimea este liniar dependent¼asi eventual se scoate în evident¼a si o dependent¼a (se înlocuieste osolutie nenul¼a în ecuatia de la Pasul 1).

(solutia nul¼a veri�c¼a întotdeauna sistemul de pasul 1; în situ-atia de independent¼a liniar¼a, esential este s¼a se justi�ce faptul c¼anu exist¼a alte solutii) �

1.1.23. Exemplu. S¼a se studieze natura multimii de vectori:

v1 (m) =

0@m11

1A ; v2 (m) =

0@ 1m1

1A ; v3 (m) =

0@ 11m

1A ;m 2 R

în spatiul (R3;R).Se consider¼a ecuatia (vectorial¼a)

�1v1 (m) + �2v2 (m) + �3v3 (m) = 0;

cu necunoscutele �1, �2, �3 care prin înlocuire devine:

�1

0@m11

1A+ �2

0@ 1m1

1A+ �3

0@ 11m

1A =

0@ 000

1A ;

adic¼a 0@�2 + �3 +m�1�1 +m�2 + �3�1 + �2 +m�3

1A =

0@ 000

1A :

Se obtine sistemul algebric liniar omogen:

10 1. SPATII VECTORIALE

8<: m�1 + �2 + �3 = 0�1 +m�2 + �3 = 0�1 + �2 +m�3 = 0

a c¼arui multime de solutii este dependent¼a de parametrul m si este:

S (m) =

8>>>>>>>>>>>><>>>>>>>>>>>>:

8<:0@ 000

1A9=; ; m 2 Rn f�2; 1g8<:0@ �a� ba

b

1A ; a; b 2 R9=; ; m = 18<:

0@ aaa

1A ; a 2 R9=; ; m = �2

În concluzie:

� pentru m 2 Rn f�2; 1g multimea de vectori este liniar indepen-dent¼a.� pentru m = �2 multimea de vectori este liniar dependent¼a iar odependent¼a liniar¼a este v1 (�2) + v2 (�2) + v3 (�2) = 0.� pentru m = 1 multimea de vectori este liniar dependent¼a iar odependent¼a liniar¼a este �2v1 (1) + v2 (1) + v3 (1) = 0.

Se observ¼a c¼a se obtin informatii de dou¼a tipuri:

� de tip calitativ (despre natura multimii de vectori)� de tip cantitativ (în cazul dependentei liniare se obtine o relatiede dependent¼a între vectori). �

1.1.24. De�nitie. (Sistem de generatori) Fiind dat¼a multimea X �V, se spune c¼a multimea de vectori

�xi; i = 1; n

genereaz¼a multimea X

dac¼a X � span�(xi)i=1;n

�. Multimea de vectori

�xi; i = 1; n

se mai

numeste sistem de generatori pentru multimea X. Dac¼a multimea X nueste speci�cat¼a, se subîntelege c¼a X = V. �

1.1.25. Exemplu. În spatiul vectorial (P2 [X] ;R), pentru A = f1; Xg,spanRA = fa � 1 + b �X; a; b 2 Rg este multimea tuturor combinatiilor li-niare cu polinoamele 1 si X si deci A genereaz¼a multimea tuturor polinoa-melor de grad cel mult 1 în X.

1.2. PROPRIET¼ATI 11

1.2. Propriet¼ati

1.2.1. Propozitie. (Reguli de calcul într-un spatiu vectorial)(1) 8�; � 2 K; 8x; y 2 V, au loc relatiile:

� � (x� y) = � � x� � � y, (�� �) � x = � � x� � � x;(2) 8� 2 K; � � 0V = 0V;(3) 8x 2 V; 0K � x = 0V;(4) 8x 2 V; (�1K) � x = �x;(5) � � x = 0V ) � = 0K sau x = 0V.

Demonstratie. Fie �; � 2 K; x; y 2 V alesi arbitrar;(1) ��x = ��((x� y) + y) = ��(x� y)+��y) ��(x� y) = ��x���y;

�x = ((�� �) + �)x = (�� �)x+ �x ) �x� �x = (�� �)x;(2) � � 0V = � � (x� x) = � � x� � � x = 0V:(3) 0K � x = (�� �) � x = � � x� � � x = 0V:(4) 0V = 0K � x = (1K � 1K) � x = (1K + (�1K)) � x = 1K � x+(�1K) � x) � (1K � x) = (�1K) � x:

(5) � � x = 0V si � 6= 0 ) 9��1 2 K si ��1�x = ��10V ) x = 0:

�1.2.2. Propozitie. (Propriet¼ati ale operatorilor liniari) Fie U (�) :

V1 ! V2 Atunci au loc:(1) U (�) liniar, 8�; � 2 K, 8x1; x2 2 V1, U (�x1 + �x2) = �U (x1)+

�U (x2)(2) U (�) liniar )

(a) U (0V1) = 0V2;(b) 8 subspatiuV01 � V1, U (V01) = fU (v) ; v 2 V01g este subspatiu

în V2;(c) 8 subspatiu V02 � V2, U�1 (V02) = fv 2 V1; U (v) 2 V02g este

subspatiu în V1.

Demonstratie. Fie U (�) : V1 ! V2(1) evident.(2) Dac¼a U (�) este liniar, atunci:

(a) U (0V1) = U (x� x) = U (x)� U (x) = 0V2(b) Fie �; � 2 K, y1; y2 2 U (V01) ) 9x1; x2 2 V01 astfel încât

U (xi) = yi;V01 subspatiu) �x1 + �x2 2 V01

U (�) operator liniar

�)

) U (�x1 + �x2) = �U (x1)+�U (x2) = �y1+�y2 2 U (V 01) :

12 1. SPATII VECTORIALE

(c) Fie �; � 2 K, x1; x2 2 U�1 (V02) ) U (x1), U (x2) 2 V02 )U (�x1 + �x2) = �U (x1) + �U (x2) 2 V02 ) �x1 + �x2 2U�1 (V02).

�

1.2.3. De�nitie. Subspatiul U (V1) (al codomeniului) se numeste i-maginea operatorului si se noteaz¼a ImU (�); subspatiul U�1 (f0g) (al do-meniului) se numeste nucleul operatorului si se noteaz¼a kerU (�).

Urm¼atoarele dou¼a propozitii arat¼a c¼a inversarea si compunerea func-tiilor p¼astreaz¼a calitatea de mor�sm de spatii vectoriale.

1.2.4. Propozitie. Fie (V1;K), (V2;K) dou¼a spatii vectoriale pesteacelasi corp si �e U (�) : V1 ! V2 mor�sm bijectiv. Atunci U�1 (�) :V2 ! V1 este mor�sm bijectiv (inversa unui mor�sm inversabil estemor�sm)(inversa unui operator liniar inversabil este operator liniar).

Demonstratie. Se stie c¼a au loc

U (u+ v) = U (u) + U (v) ; U (�u) = �U (u) :

Fie x; y 2 V2 ) pentru U�1 (x) = u; U�1 (y) = v; are loc U (u) =x, U (v) = y si U (u+ v) = U (u) + U (v) ) U (u+ v) = x + y )U�1 (x+ y) = u + v ) U�1 (x+ y) = U�1 (x) + U�1 (y) deci operatorulinvers este aditiv. Fie � 2 K, x 2 V2, U�1 (x) = v ) U (v) = x siare loc U (�v) = �U (v) ) U (�v) = �x ) �v = U�1 (�x) )�U�1 (x) = U�1 (�x). �

1.2.5. Propozitie. Fie U1 (�) : V1 ! V2, U2 (�) : V2 ! V3 mor�smepeste spatii vectoriale cu acelasi corp K de scalari. Atunci U (�) : V1 ! V3de�nit prin U (v) = U2 (U1 (v)), 8v 2 V1 este mor�sm de spatii vectoriale(calitatea de mor�sm se p¼astreaz¼a prin operatia de compunere).

Demonstratie. Fie v1; v2 2 V1; are loc U (v1 + v2) = U2 (U1 (v1 + v2))aditivitatea=

lui U1(:)U2 (U1 (v1) + U1 (v2))

aditivitatea=

lui U2(:)U2 (U1 (v1)) + U2 (U1 (v2))

= U (v1) + U (v2). Omogenitatea se demonstreaz¼a analog. �

1.2.6.Observatie. Relatia ��= �( De�nitia (1.1.10)) este o relatie de e-chivalent¼a între spatii vectoriale peste acelasi corp (este re�exiv¼a, simetric¼asi tranzitiv¼a) (aceast¼a relatie este de�nit¼a pe o multime de spatii vectorialesi cu ajutorul ei se pot stabili clase de echivalent¼a).

1.2. PROPRIET¼ATI 13

Demonstratie. Re�exivitatea rezult¼a din faptul c¼a operatorul iden-titate U (�) : V1 ! V1, U (v) = v este liniar si bijectiv, deci V1 �= V1.Simetria rezult¼a din Propozitia (1.2.4), pentru c¼a dac¼a V1 �= V2, atunci9 U (�) : V1 ! V2 mor�sm bijectiv ) U�1 (�) : V2 ! V1 mor�sm bijectiv) V2 �= V1. Tranzitivitatea rezult¼a din Propozitia (1.2.5) pentru c¼a, dac¼aV1 �= V2 si V2 �= V3 atunci exist¼a izomor�smele U (�) : V1 ! V2 siV (�) : V2 ! V3 iar noua functia (V � U) (�) : V1 ! V3 p¼astreaz¼a princompunere si proprietatea de liniaritate si pe cea de bijectivitate, deciV1 �= V3. �

1.2.7. Observatie. Multimea LK (V1;V2) admite împreun¼a cu opera-tiile obisnuite între functii

(U1 (�) + U2 (�)) (x)Def= U1 (x) + U2 (x) ;

(�U1 (�)) (x)Def= �U1 (x) ;

o structur¼a de spatiu vectorial peste corpul K (Deci în particular si dualulalgebric (1.1.12) este spatiu vectorial peste corpul K).

Demonstratie. (LK (V1;V2) ;+) este evident grup (din propriet¼atileadun¼arii pe V2) si are ca element neutru operatorul identic nul O (�) :V1 ! V2, O (v) � 0. Celelalte axiome sunt satisf¼acute evident. �

1.2.8. Observatie. span�(xi)i=1;n

�este subspatiu liniar.

Demonstratie. Fie v1; v2 2 span�(xi)i=1;n

�si � 2 K ) 9�1i ; �2i 2

K, i = 1; n, astfel încât vj =nPi=1

�jixi; j = 1; 2; atunci v1 + v2 =

nPi=1

(�1i + �2i )xi 2 span�(xi)i=1;n

�iar ��v1 =

nPi=1

(��1i )xi 2 span�(xi)i=1;n

��

1.2.9. Observatie. Fie V0 un subspatiu vectorial al spatiului (V;K).Atunci,

8n 2 N; 8xi 2 V0; 8�i 2 K; i = 1; n;nXi=1

�ixi 2 V0:

(orice subspatiu contine toate combinatiile liniare ale elementelor lui)

14 1. SPATII VECTORIALE

Demonstratie. Prin inductie dup¼a n 2 N: pentru n = 1, din axioma2 a subspatiului vectorial rezult¼a c¼a pentru orice x1 2 V0 si pentru oricescalar �1 2 K, are loc �1x1 2 V0. S¼a presupunem c¼a proprietatea are locpentru n 2 N si �e n + 1 vectori si scalari alesi arbitrar xi 2 V0, �i 2K; i = 1; n+ 1. Atunci are loc:

n+1Pi=1

�ixi =nPi=1

�ixi + �n+1xn+1

n+1Pi=1

�ixi 2 V0 (proprietatea pentru n)

�n+1xn+1 2 V0 (proprietatea pentru n = 1)

9>>>>=>>>>;)n+1Xi=1

�ixi 2 V0:

�

1.2.10. Observatie. span�(xi)i=1;n

�=

TV0 subspatiuV0�(xi)i=1;n

V0 (este cel mai mic

subspatiu liniar care contine familia (xi)i=1;n).

Demonstratie. span�(xi)i=1;n

��

TV0 subspatiuV0�(xi)i=1;n

V0 pentru c¼a orice sub-

spatiu care contine familia (xi)i=1;n contine si toate combinatiile liniare aleacestei familii (Propozitia (1.2.9)); incluziunea invers¼a rezult¼a din Propozitia

(1.2.8): span�(xi)i=1;n

�este subspatiu vectorial si cum contine familia

(xi)i=1;n urmeaz¼a c¼a face parte dintre subspatiile care particip¼a la intersectie,

asa c¼a are loc span�(xi)i=1;n

��

TV0 subspatiuV0�(xi)i=1;n

V0 pentru c¼a intersectia este

inclus¼a în orice multime care particip¼a la intersectie. �

1.3. Exemple de spatii vectoriale

1.3.1. Exemplu. Spatiul Kn de siruri ordonate de n elemente din

corpul K. Vectorii sunt elemente de forma

24 x1...xn

35, adunarea si înmultireacu un scalar se face pe componente. Exemple importante sunt pentruK = R, K = C si pentru K = Q.

1.3. EXEMPLE DE SPATII VECTORIALE 15

1.3.2. Exemplu. Spatiul vectorial al matricilor dem linii si n coloane,cu coe�cienti peste un corp �xat. Spatiul este Mm�n (K), vectorii suntmatrice, adunarea vectorilor este adunarea matricilor, înmultirea unuivector cu un scalar este înmultirea matricilor cu un scalar.

1.3.3. Exemplu. Spatiul vectorial al sirurilor oarecare de numere reale.Spatiul este notat RN, un vector este un sir de numere reale înteles casuccesiunea ordonat¼a si in�nit¼a a elementelor sirului. Adunarea vectoriloreste adunarea termen cu termen a sirurilor

(an)n2N + (bn)n2N = (an + bn)n2N

(este un nou sir al c¼arui termen general se obtine prin adunarea termenilorgenerali ai celor dou¼a siruri date) iar înmultirea unui vector cu un scalareste înmultirea sirului cu un scalar

� (an)n2N = (�an)n2N :

1.3.4. Exemplu. Spatiul vectorial al sirurilor Cauchy de numere ratio-nale (un sir (an)n2N � Q este Cauchy dac¼a 8" > 0, 9n" 2 N, 8n;m � n",jan � amj < "), cu operatiile de�nite ca la exemplul anterior.

1.3.5. Exemplu. Spatiul polinoamelor în nedeterminata t cu coe�cientireali, notat R [t]. Dac¼a p(t) = a0+a1t+� � �+antn si q(t) = b0+b1t+� � �+bntnsunt dou¼a polinoame din R [t], de�nitiile

p(t) + q(t) = (a0 + b0) + (a1 + b1)t+ � � �+ (an + bn)tn

�p(t) = �a0 + �a1t+ � � �+ �antn

0 = 0

dau o structur¼a de spatiu vectorial.

1.3.6. Exemplu. Spatiul vectorial al polinoamelor în nedeterminatat, cu coe�cienti reali, de grad cel mult n, notat Rn [t].

1.3.7. Exemplu. Spatiul vectorial al tuturor functiilor f (�) : R ! Rde clas¼a C1 si care satisfac ecuatia diferential¼a f 0 (t) + af (t) = 0, 8t 2 R.

1.3.8. Exemplu. Spatiul vectorial real al tuturor functiilor inde�nitderivabile D1 (R;R).

1.3.9. Exemplu. Spatiul vectorial real al tuturor functiilor care audomeniul [a; b] si codomeniul R, notat F ([a; b] ;R).

16 1. SPATII VECTORIALE

1.3.10. Exemplu. Spatiul vectorial real al functiilor din F ([a; b] ;R)care sunt lipschitziene (functii f (�) : [a; b]! R pentru care exist¼a kf > 0astfel încât jf (x)� f (y)j 6 kf jx� yj, 8x; y 2 [a; b]), notat L ([a; b] ;R).

1.4. Exercitii

1.4.1. Exemplu. Familia de vectori

0@ 111

1A ;

0@ 123

1A ;

0@ 321

1A genereaz¼aspatiul R3.

1.4.2. Exercitiu. Fie (V;R) un spatiu vectorial real oarecare. Se de�nescoperatiile:

+ : (V� V)� (V� V)! V� Vde�nit¼a prin

(x1; y1) + (x2; y2) = (x1 + x2; y1 + y2)

si� : C� (V� V)! (V� V)

de�nit¼a prin(�+ i�) � (x; y) = (�x� �y; �x+ �y) :

S¼a se arate c¼a (V� V;C) cu operatiile de mai sus este un spatiu vectorialcomplex (acest spatiu se numeste complexi�catul spatiului real (V;R) )

1.4.3. Exercitiu. S¼a se arate c¼a multimea functiilor nederivabile pe[a; b] nu este spatiu vectorial.

1.4.4. Exercitiu. S¼a se arate c¼a reuniunea a dou¼a subspatii vectorialenu este neap¼arat un subspatiu vectorial.

1.4.5. Exercitiu. S¼a se arate c¼a multimea V0 = fx 2 Rn; Ax = 0geste un subspatiu vectorial, unde A 2Mm�n (R).

1.4.6. Exercitiu. Fie subspatiile A =

8>><>>:0BB@0ab0

1CCA ; a; b 2 R9>>=>>;, B =

8>><>>:0BB@00ab

1CCA ; a; b 2 R9>>=>>;. S¼a se determine A+B.

1.4. EXERCITII 17

1.4.7. Exercitiu. Dac¼a operatorul liniar U (�) : Rn ! Rn are proprietateac¼a U2 (�) + U (�) + I (�) = O (�), atunci operatorul este bijectiv.