Marius Burtea

Georgeta Burtea

REZOLVAREA PROBLEMELOR DIN MANUALUL DE

MATEMATIC~ M2CLASA A XI-AFiliera teoretic`, profilul real, specializarea ]tiin\ele naturii (TC + CD) Filiera tehnologic`, toate calific`rile profesionale (TC). 3 ore/s`pt`m@n`.

1

Instruc\iuni de utilizare Lucrarea de fa\` a fost g@ndit` pentru a veni [n sprijinul elevilor [n rezolvarea problemelor din manual, fiind modele de rezolvare pentru orice tip de exerci\ii ]i probleme pe care ace]tia le pot [nt@lni [n culegeri sau alte manuale de clasa a XI-a, ajut@ndu-i [n preg`tirea pentru Olimpiadele de matematic` sau examenul de Bacalaureat. Materialul este format [n esen\` din dou` p`r\i distincte: Partea [nt@i, intitulat` Elemente de calcul matriceal ]i sisteme de ecua\ii liniare, ce cuprinde capitolele: Matrice, Determinan\i ]i Sisteme de ecua\ii liniare. Partea a doua, intitulat` Elemente de analiz` matematic`, este format` din urm`toarele capitole: Limite de func\ii, Func\ii continu`, Func\ii derivabile ]i Studiul func\iilor cu ajutorul derivatelor. Fi]ierul este organizat astfel: Partea I, intitulat` Elemente de calcul matriceal ]i sisteme de ecua\ii liniare Enun\uri Rezolv`ri Partea a II-a, intitulat` Elemente de analiz` matematic` Enun\uri Rezolv`ri Am conceput Cuprinsul acestei lucr`ri astfel [nc@t s` se poat` urm`ri u]or, [n paralel, cele dou` problematici tratate: Enun\uri ]i Rezolv`ri. {n cazul [n care ave\i dubii asupra unui enun\ din acest material, pentru a g`si u]or [n manual problema propus` am notat [n cadrul Cuprinsului ]i pagina din manual unde se afl` aceste exerci\ii ]i probleme (coloana scris` cu albastru). Modul de utilizare a fi]ierului Pentru a u]ura g`sirea unei anumite probleme din manual sau a rezolvarii unui anumit exerci\iu am conceput acest material [ntr-o manier` simpl` de utilizare. Astfel, dac` utilizatorul dore]te s` vizualizeze setul de exerci\ii de la o anumit` tematic`, este suficient ca, [n pagina de Cuprins (pag.3), [n coloana Enun\uri exerci\ii ]i probleme propuse [n manual, s` se pozi\ioneze deasupra capitolului sau temei care [l intereseaz` ]i s` ac\ioneze butonul din st@nga a mouseului. Automat fi]ierul sare la pagina corespunz`toare. Similar se ac\ioneaz` ]i pentru ajungerea rapid` la pagina de rezolv`ri dorit`, ac\ion@nd mouseul de data aceasta [n coloana Rezolv`ri exerci\ii ]i probleme. O dat` ajuns [n pagina dorit`, [ntoarcerea la Cuprins se face prin ap`sarea casetei cu s`geat` aflat` [n partea dreapt` sus a fiec`rei pagini ini\iale a fiec`rei sec\iuni. V` dorim mult succes la matematic`AURORII 2

CUPRINSPARTEA I. Elemente de calcul matriceal. Sisteme de ecua\ii liniareEnun\uri exerci\ii ]i probleme propuse [n manual Capitolul 1. Matrice1.1. Tabel de tip matriceal. Matrice, mul\imi de matrice . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2. Opera\ii cu matrice . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.3. {nmul\irea unei matrice cu un scalar . . 7 1.2.4. {nmul\irea matricelor . . . . . . . . . . 9 Teste de evaluare . . . . . . . . . . . . . . . . 12

pag.

pag. manual 7 14 24 24 32 34 37 52 62 64 66 70 74 90 96 97

Rezolvari exerci\ii ]i probleme Capitolul 1. Matrice1.1. Tabel de tip matriceal. Matrice, mul\imi de matrice . . . . . . . . . . . . 1.2. Opera\ii cu matrice. . . . . . . . . . . . 1.2.3. {nmul\irea unei matrice cu un scalar 1.2.4. {nmul\irea matricelor . . . . . . . . Teste de evaluare . . . . . . . . . . . . . . .

pag.

. . . . .

30 33 33 38 51

Capitolul 2. Determinan\i2.1. Determinantul unei matrice p`tratice de ordin cel mai mult trei . . . . . . . . . . 13 2.2. Aplica\ii ale determinan\ilor [n geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Teste de evaluare . . . . . . . . . . . . . . . . 17

Capitolul 2. Determinan\i2.1. Determinantul unei matrice p`tratice de ordin cel mai mult trei . . . . . . . . . . 54 2.2. Aplica\ii ale determinan\ilor [n geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 Teste de evaluare . . . . . . . . . . . . . . . . 70

Capitolul 3. Sisteme de ecua\ii liniare| 3.1. Matrice inversabile din Mn (C ) . . . . . 3.2. Ecua\ii matriceale . . . . . . . . . . . . 3.4. Metode de rezolvare a sistemelor lineare Teste de evaluare . . . . . . . . . . . . . . . Probleme recapitulative . . . . . . . . . . .

Capitolul 3. Sisteme de ecua\ii liniare| 3.1. Matrice inversabile din Mn (C ) . . . . . . 73 3.2. Ecua\ii matriceale . . . . . . . . . . . . . 80 3.4. Metode de rezolvare a sistemelor lineare . 83 Teste de evaluare . . . . . . . . . . . . . . . 102 Probleme recapitulative . . . . . . . . . . . . 106

. . . . .

19 21 22 26 27

PARTEA a II-a. Elemente de analiz` matematic`Enun\uri exerci\ii ]i probleme propuse [n manual Capitolul 1. Limite de func\ii1.1. Mul\imi de puncte pe dreapta real` . . 1.4. Calculul limitelor de func\ii . . . . . . 1.4.3. Limitele func\iilor trigonometrice . 1.5. Opera\ii cu limite de func\ii . . . . . . 1.6. Cazuri exceptate la calculul limitelor de func\ii . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.4. Limite fundamentale [n calculul limitelor de func\ii . . . . . . . . . 1.7 Asimptotele func\iilor reale . . . . . . . Teste de evaluare . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 114 116 118

pag. manual

pag. manual 103 113 134 140 151 160 167 176 177 179 183 187 191 192 194 202 209 213 220 224 229 230 235 239 246 255 256 258

Rezolvari exerci\ii ]i probleme Capitolul 1. Limite de func\ii1.1. Mul\imi de puncte pe dreapta real` . . 1.4. Calculul limitelor de func\ii . . . . . . 1.4.3. Limitele func\iilor trigonometrice . 1.5. Opera\ii cu limite de func\ii . . . . . . 1.6. Cazuri exceptate la calculul limitelor de func\ii . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.4. Limite fundamentale [n calculul limitelor de func\ii . . . . . . . . . 1.7 Asimptotele func\iilor reale . . . . . . . Teste de evaluare . . . . . . . . . . . . . .

pag.

. . . .

156 160 162 165

. 120 . 122 . 124 . 125

. 168 . 172 . 176 . 185

Capitolul 2. Func\ii continue2.1. Func\ii continue [ntr-un punct . 2.2. Opera\ii cu func\ii continue . . 2.3. Semnul unei func\ii continue pe un interval . . . . . . . . . . . . Teste de evaluare . . . . . . . . . . . . . . . 127 . . . . . 129 . . . . . 130 . . . . . 131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 135 136 138 139 141 141

Capitolul 2. Func\ii continue2.1. Func\ii continue [ntr-un punct . 2.2. Opera\ii cu func\ii continue . . 2.3. Semnul unei func\ii continue pe un interval . . . . . . . . . . . . Teste de evaluare . . . . . . . . . . . . . . . 188 . . . . . 192 . . . . . 196 . . . . . 200

Capitolul 3. Func\ii derivabile3.1. Derivata unei func\ii [ntr-un punct . 3.2. Derivatele unor func\ii elementare . 3.3. Opera\ii cu func\ii derivabile . . . . 3.3.5 Derivarea func\iilor inverse . . 3.4. Derivata de ordinul doi . . . . . . . 3.5 Regulire lui l'Hspital . . . . . . . . Teste de evaluare . . . . . . . . . . . .

Capitolul 3. Func\ii derivabile3.1. Derivata unei func\ii [ntr-un punct . . . . 203 3.3. Opera\ii cu func\ii derivabile . . 3.3.5 Derivarea func\iilor inverse 3.4. Derivata de ordinul doi . . . . . 3.5 Regulire lui l'Hspital . . . . . . Teste de evaluare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 214 219 222 226

Capitolul 4. Studiul func\iilor cu ajutorul derivatelor4.1 Rolul derivatei [nt@i [n studiul func\iilor 4.2. Rolul derivatei a doua [n studiul func\iilor . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3. Reprezentarea grafic` a func\iilor . . . Teste de evaluare . . . . . . . . . . . . . . Probleme recapitulative . . . . . . . . . . . . 143 . . . . 145 147 148 150

Capitolul 4. Studiul func\iilor cu ajutorul derivatelor4.1 Rolul derivatei [nt@i [n studiul func\iilor 4.2. Rolul derivatei a doua [n studiul func\iilor . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3. Reprezentarea grafic` a func\iilor . . . Teste de evaluare . . . . . . . . . . . . . . Probleme recapitulative . . . . . . . . . . . . 228 . . . . 237 243 260 264

3

PARTEA IELEMENTE DE CALCUL MATRICEAL SISTEME DE ECUA|II LINIARE

Capitolul 1. Matrice 1.1. Tabel de tip matriceal. Matrice, mul\imi de matrice 1.2. Opera\ii cu matrice Exerci\ii ]i probleme Teste de evaluare Capitolul 2. Determinan\i13 2.1. Determinantul unei matrice p`tratice de ordin cel mai mult trei 2.2. Aplica\ii ale determinan\ilor [n geometrie Teste de evaluare Capitolul 3. Sisteme de ecua\ii liniare | 3.1. Matrice inversabile din Mn (C ) 3.2. Ecua\ii matriceale 3.3. Sisteme de ecua\ii liniare cu cel mult trei necunoscute. Forma matriceal` Teste de evaluare Probleme recapitulative

4

PARTEA I. Elemente de calcul matriceal. Sisteme de ecua\ii liniare

Capitolul 1. Matrice1.1. Tabel de tip matriceal. Matrice, mul\imi de matrice

Enun\uri Exerci\ii ]i probleme Exersare

pag. 14 manual

| E1. S` se scrie o matrice A M3,2 (Z), B M2 ,2 (Q ), C M3,4 (R ), X M2 ,3 (C ). E2. S` se scrie:

a) o matrice coloan` cu 4 linii; c) matricea unitate de ordinul 5;

b) o matrice linie cu 4 coloane; d) matricea nul` de tipul (3, 4). 8 3 2 -1 ; D = -i 4 ; C = 5 3 1+ i

E3. Se consider` matricele: 1 -3 4 2 -3 A =-7 8 -2; B = -2 -5 0 -4 1 5 -7.

a) S` se precizeze tipul matricelor A, B, C, D. b) S` se scrie elementele matricei B ]i D preciz@nd linia ]i coloana pe care sunt a]ezate. Exemplu: b11 = 2, d13 = 5 , ... . c) S` se completeze: a23 =..., a32 =..., a22 =..., c 31 =..., c 21 =..., 1+ i =..., 3 =..., - 4 =..., b23 =..., d14 =... ]i altele. d) S` se precizeze valoarea de adev`r a afirma\iilor: a11 + a22 + a33 reprezint` diagonala principal` a matricei A. diagonala secundar` a matricei A are suma elementelor egal` cu 12. a31 + b22 + c 21 - d14 = 3 +1.2 2 a23 b13 c 31 d12U-12 . a23 = b21 = 5d11 .

1- b 2 b - b c - 12 determine a, b, c, m R.

E4. Matricea X =

3a - 6

a2 - 4 reprezint` matricea nul` de tipul (2, 3). S` se 4 - 2m

x +1 0 0 2 E5. Matricea A = 4 - y 3u 1- t reprezint` matricea unitate de ordinul 3. S` se 2 z +1 v 2 1- x 2 determine numerele complexe x, y, z, t, u, v. 5

E6. S` se determine elementele necunoscute astfel [nc@t s` aib` loc egalitatea:2x +1 -1 -y + 6 -1 ; = a) 4 - 2x + y x - y -5 5 x + y 2x - y 3 = b) 2x + y x + 2 y 4 y + 2 . 5

| | E7. Se consider` matricele A M4 , 5-n (C ) ]i B Mm2 , 2 (C ). S` se determine m, n Z astfel

[nc@t s` fie posibil` rela\ia A = B.

Sintez`S1. S` se scrie matricea A = ( aij ) 44 , ]tiind c` aij = max{i, j}, i, j = 1, 4 . S2. S` se scrie matricea B = ( bij ) 33, ]tiind c` bij = j i+1 , i, j = 1, 3. dac` i = j 2, dac` i > j . S3. S` se scrie matricea C = ( c ij ) 34 , ]tiind c` c ij = 1, i+ j i (-1) A j , dac` i < j 4 2 S4. Se dau matricele A = 3 -2x 6 5 4 x -6 4 2 1 ]i B = 0 -x 2 -10. y 2 + 6 0 2y -4

a) S` se scrie tr (A) ]i tr (B). b) Pentru ce valori ale lui y are loc egalitatea a33 + b33 = a21 - b12 ? c) Pentru ce valori ale lui x are loc egalitatea a22 + 2b22 = a32 + b23? d) S` se determine x , y R astfel ca tr ( A) - tr (B ) = a13 + b31 .

S5. Se dau matricele p`tratice y 2 -2 y 2 x-1 x x 0 lg ] i B = 3 - 9 A = 3 . 2 log 2 (a -1) 4 y - 3x 2 3!- C n a + 3bi -1 a) S` se determine x , y, a R astfel [nc@t A = I 2 . b) Pentru ce numere x , y, a, b, n R are loc egalitatea O 2 = B?

S6. S` se determine elementele necunoscute din urm`toarele egalit`\i de matrice: 2 a2 - 4 a + b 2 - a -1 C n+1 = ;b) a) z 2x -1 x - 2 3 b 2 3x (1- 2x ) 2 x 2 + 7 2C n = -3 4 4 . log 2 a

S7. S` se determine numerele reale pozitive x, y, z, m, p pentru care urm`toarele matrice suntegale: x 2 - x 2 , B =2 A = 2m 3 3 y - 3 , C = 3x - 4 2 C z +1 m2 y - 5 . p

6

1.2. Opera\ii cu matrice1.2.1. Adunarea matricelor

Enun\uri Exerci\ii ]i probleme Exersare2 -1 3 -7 + a) 5 4 -2 3 -6 2 -5 2 -2a b a -5 b + ; b) c) 1 0 -1 + 4 3x -8 y 2x 6 y 2 4 2 5 3 5 3 3 i 2 -1 4 -6 1 1 0 - - ; b) 2 E2. S` se calculeze: a) 2 -5 0 2 0 1 1

pag. 24 manual

E1. S` se calculeze:

8 5 ; 0 4 -7 3 -1 2 . 1 8 5 3 -i 4 1 2 0 i 3 +-2 0--3 2 . -1 3 4 4 6

E3. Se dau matricele:-1 2 -1 2 0 1 -3 2 B = ; C = 0 A = ; 3 . 1 -3 2 0 -1 2 -4 -5 a) S` se calculeze A + B, A - B, t A+t B, t ( A + B ), t ( A - B ). b) S` se calculeze A+t C , B-t C , t ( A - B+t C ) .

E4. Se dau matricele p`tratice:1 3 -2 3 3z z v -4 , B =-y -v x , C =2 3 -3. t + 3 2 -x 2 y x - z 2 4 S` se determine x, y, z, u, v, t astfel ca A + B = C. 2x 4 y A = 1 u -v -2v

E5. S` se determine matricea X M2 (R ) dac`

1 2 1 -1 1- 2 1 - X + = 3 -1 4 - 5 2

. 4 1- 5 1

5 E6. Se d` matricea de ordinul trei, A = a 2 3 c, n astfel ca t A = A .

6- a b . -1 -10 S` se determine numerele reale a, b, 3c + 2 n

7

E7. Se d` matricea A = E8. S` se calculeze:

-2 5

3 S` se scrie matricea A sub forma: . 2

A = B + C , A = A1 - A2 , A = I 2 + E, A = D - I 2 . -1- 2 1 6 -8 218 -6 12 ; b) - 15 ( 2 -1) 1 a) ; c) 2 C 3 15 , 2 12 0,2 3 2 1- 2 3 ; d) i 2i 1- i . 3+ 8 4 -3i 0

E9. S` se determine matricea X ]tiind c` are loc egalitatea: -1 4 3 3 1 -1 5 + (-1) 5 0 1 - 3 2 1 . X =2 5 1 0 1 2 -5 -4 3 3

E10. S` se determine constantele x, y, z, a, b, c din egalitatea: x -2 y 4 z 13 22 + 51 -3 -2= 7 . 2 4 -1 -3 a 4b 3c -21 -2 8

Sintez`S1. Se dau matricele: A = x 2 5 , B =2 y 5 6 3 x 6 -4 . , C = 4 2 log 2 z C n 9

S` se determine elementele necunoscute ]tiind c` t A+t B = C.

S2. S` se determine x , y, z , t R pentru care are loc egalitatea: x +1 2 4+ y + 3I + x 0 1 = 9 . x 2 -1 x 2 0 z + 2 t + 4

S3. S` se determine matricea A [n fiecare caz:1 a) 2 A+ 3 -1 c) -4 0 12 4 -1 2 2 1 1 2 5 6 = ; = ; b) 3A+ 5 1 -1 3 3 1 0 0 -4 9 -3 0 0 1,5 -3 4 4 + 7A = 1 -2- 6 0 . 3 -1 6 3 12 5

S4. S` se determine matricele A, B ]tiind c`: 3 2 ]i 2 A - B = 1 -1; a) A + 2B = 2 3 -1 1 2 + i 1 ]i A + (1- i ) B =2 - i 1- i . b) (1+ i ) A + B = 2+ i 1 1- i 2 - i

S5. S` se calculeze matricea:1 a) A = 3 k k= 1n

k ; k (k +1)

1 b) A = k k= 2 1

n

2 k 3k+1 . k -k 2 3

8

Enun\uri Exerci\ii ]i probleme ExersareE1. S` se calculeze: 4 5 2 1 ; a) 6 1 3 2

pag. 32 manual

1 21 4 ; b) 4 1 2 1 1 1 cos 0 1 2 3 1 2 0 2 3 p ; c) 1 0 d)2 1 2 2 1 sin ; 1 1 4 2 1 2 3 2 i2 p 0 1 tg 4 1 1 1 1 2 4 1 2 1 2 3 1 2 e) 1 2 . 3 1 1 0 1 1 3 1 1 2 2

E2. Pentru fiecare pereche de matrice (A, B) s` se determine AB, BA, tA tB, tB tA . 1 1 1 1 3 , B = 2 a) A = b) A =2, B = (3 1 1) ; ; 1 3 1 1 3 2 1 0 0 0 0 4 2 1 1 1 sin p 6 c) A = d) A = 0 1 0, B = 3 0 0 . , B = 1 3 ; p cos 1 2 2 tg0 1 0 1 1 1 1 2 1 2 3 1 4 0 0 1 s` se verifice egalitatea E3. Pentru matricele A = , B = 3 1 0 1 0 5 2 0t

( A B) = tB tA. ]i s` se calculeze AB + tB t A. 1 0 3 5 1 2 0 2 0 A = 2 1 2 ; B = 1 1 3 ; C = 1 3 1. 1 0 1 1 1 2 4 0 2 S` se verifice egalit`\ile matriceale: a) A (B C ) = ( A B )C ; b) A (B + C ) = A B + AC ; c) ( A + B ) C = AC + B C .

E4. Se dau matricele p`tratice:

9

E5. S` se calculeze urm`toarele puteri de matrice:2 1 1 2 2 1 2 1 13 2 15 ; ; ;3 1 0 . 1 3 3 2 1 1 0 1 2 1 2 2 E6. Fie matricea A = 4 3 4 . S` se calculeze A 2 , A 3 , A 2006 ]i ( A 3 + I ) 10 . 4 4 5

E7. Se d` matricea A = A n , n N* .

1 1 Folosind metoda induc\iei matematice s` se calculeze . 0 1

E8. S` se determine X M2 (R ) care verific` egalitatea matriceal`: 1 2 5 10 = ; a) X 3 4 4 2 1 3 X =5 b) 2 1 4 7 . 0

E9. Se d` matricea E =

1 2

0 ]i f ( X ) = X 3 4 X + 2I . S` se determine matricele: 2 1 b) C = f ( A) + 2 f ( A t A).

a) B = 2 f ( A) f ( A + I 2 );

Sintez`S1. S` se determine matricea X care verific` egalitatea:1 -1 1 X = 0 3; a) 0 1 -1 3 2 1 -1 1 8 2 -1 c)2 0 3 X = 9 5 4 . 1 1 -2 -3 -1 5 -1 4 1 -3 b) 0 1 3 X = 8 ; -2 2 5 9

S2. Se dau matricele p`tratice A = matriceale: a) AX = I 2 ; b) AX = B;

1 5 B =2 1 S` se rezolve [n M (R ) ecua\iile . , 2 0 1 1 1 d) AX = XB ; e) BXB = A.

c) XA = B ;

S3. S` se determine matricea A M2 (R ), de forma -1 -1 . A 2 - 3A + 2I 2 = 1 -1

a -b care verific` egalitatea , b a

S4. S` se rezolve ecua\ia matriceal`: 2 A -

1 2 3 1 0 -3 A = + I . 2 -1 1 -1 1 4 1

10

1 -1 A = A1 -1? S5. Exist` matrice A M2 (R ) care verific` egalitatea 3 2 3 2 -1 0 2 S6. S` d` matricea A = 0 1 0 . S` se determine numerele x , y R astfel [nc@t s` fie 2 0 -1 verificat` egalitatea A 3 = xA 2 - yA .Facultatea de Inginerie economic` Tg. Mure], 2002

3 S7. S` se determine puterea n a matricei A = 2 1 2

1 2 . 3 2 Facultatea de inginerie Sibiu, 2002

2 1 0 S8. S` se determine puterea n a matricei A = 0 1 0. 0 0 2Universitatea Politehnic` Timi]oara, 2002

S9. Fie matricea A(x ) =

1- 2x x M (R ) . 2 -6x 1+ 3x

a) S` se arate c` A(x ) A( y ) = A(x + y + xy ), " x , y R . b) S` se verifice egalit`\ile: A 2 (x ) = A( (x +1) 2 -1), A 3 (x ) = A( (x +1) 3 -1). c) S` se calculeze A 2006 (1) . 1 1 2 0 1 2 S10. Fie matricele A = 0 1 1, B = 0 0 1 . 0 0 1 0 0 0 a) S` se arate c` A = I 3 + B ]i s` se calculeze A n , n N *. b) S` se calculeze suma S = A + A 2 + A 3 +...+ A 20 .

S11. Se dau matricele A =

1 1 , B = 1 2 0 1 k

k . 1

a) S` se determine matricea C (k ) = A Bt A . b) S` se calculeze suma de matrice S = C (1) + C (2) +...+C (20) .

11

pag. 32 manual

Teste de evaluareTestul 11 x x 2 Fie A M3 (R ), A = 0 1 x ]i a = 2a13 + 3a23 . Dac` a = 5, atunci: 1. 0 0 1 5 a) x =1; b) x =-2,5 ; c) x {0, 1}; d) x - , 1. 2

2. S` se determine numerele reale x, y cu proprietatea c`1 2 + 3y y 1 = 4 5 . x 2 x 1 x 5 4 1 1 1 0 1 0 M3 (R ) ] i B = A10 + A 9 . 3. Fie A = 1 0 1 a) S` se calculeze Tr (B ) ] i b31 + b22 + b13; b) S` se calculeze A n , n N*

Testul 2 1. Se consider` mul\imea de matrice M = A(x ) = x x Z. x 0 (-1) 1

a) S` se arate c` I 2 M . b) S` se arate c` dac` A, B M , atunci A B M . c) S` se calculeze A n , n N* ] i A M .

2. S` se determine numerele x , y, z , t N pentru care:3y + 9 y = 5 4 18. 9 12 5 At2 1 + 1 1 A+t A 1 1= 4 7. 3. S` se determine matricea A M2 (Z) ]tiind c`: 0 1 0 1 3 7 0 a , B = x 0 . | 4. Fie A, B M2 (C ), A = b 0 0 y S` se arate c` matricea ( AB - BA) 2 are cel pu\in dou` elemente nule. 2 x + 4 x 2 Cz

12

Capitolul 2. Determinan\i2.1. Determinantul unei matrice p`tratice de ordin cel mult trei

Enun\uri Exerci\ii ]i probleme ExersareE1. S` se calculeze urm`torii determinan\i de ordinul doi:a) -2 -5 ; 8 10 b) 2 -3 -6 ; 32 c) 15 -72 , , ; 5 8 d) 2 + i -1 . i 2 2- i 5 -1 ; 3 -1

pag. 52 manual

E2. S` se calculeze, scriind sub forma cea mai simpl`, determinan\ii:7 8 a) 5 3 ; 9 25 e) 3! 5! ; 0! 4! f) b)2 A4 1 C5

3 - 32 ; 2 - 75

c)

-1- 3 1+ 5

d)

log100 0,5 ; -8 lg 01 ,

3 A3 2 x+1 32 y (1- i ) 2 -i g) -y+1 -x ; h) ; . 3 C4 9 2 i (1+ i ) 2 2 -1 , B = 4 -5. Compara\i numerele: E3. S` dau matricele p`tratice A = 7 4 6 2 a) det ( A) + det (B ) ]i det ( A + B ) . b) det ( AB ) ] i det ( A) det (B ) ; c) det[ 3 ( A - I 2 )] ] i det ( A + 2I 2 ) .

E4. S` se rezolve ecua\iile:x -3x a) = 20; 4 -2 d) -5 3x -1 b) = 10 ; 2 -x 3x 2 c) x x +1 = 4; 2 x 2 x -1 = . 2x -x 18 x 0! 1! 2! d) 1! 2! 0! ; 2! 0! 1! -8 2 8 h) 3 7 -3 . -1 5 1

3- x 4x -1 x -i i 3 x 3x = x - 5 ; e) = ; f) x +1 x 2x x i 3 1 3 -1 2 a) 1 4 5 ; -2 -1 -1 P0 0 e) C 2 1 A3 P1 1 C2 2 A3 P2 2 C2 ; 3 A3 2 1 3 b) 3 2 1 ; 1 3 2 10 20 40 f) -1 -5 -7 ; 100 200 400

E5. S` se calculeze determinan\ii de ordinul al treilea prin cele trei reguli de calcul:1 2 -5 c) 2 -1 0 ; 4 -1 0

11 21 47 g) -1 18 7 ; 0 0 0

E6. Enun\a\i c@te o proprietate a determinan\ilor ]i da\i un exemplu de aplicare a acesteia. E7. Folosind propriet`\ile determinan\ilor s` se calculeze determinan\ii:300 400 500 a) 1 -1 4 ; 3 4 5 10 -1 3 b) 50 1 1 ; 100 2 1 13 5 11 -1 c) 15 22 -3 ; 25 44 - 5

1 a d) 1 b 1 c

m n ; p

x y e) y x y y

y y ; x

a b f) b c c a

c a . b

8 -9 10 E8. Se consider` determinantul d = 4 6 -3 . 12 5 1 a) S` se determine complemen\ii algebrici ai elementelor determinantului d. b) S` se calculeze d folosind dezvoltarea dup` coloana a doua ]i apoi dup` linia a treia. c) Folosind propriet`\ile determinan\ilor, s` se formeze dou` zerouri pe coloana [nt@i, apoi s` se calculeze determinantul ob\inut folosind dezvoltarea deter- minantului dup` coloana [nt@i.

Sintez`4 -1 2 -1 4 - 6 3 5 -1 + 2-5 . S1. S` se calculeze valoarea expresiei: 8 -25 2 1 0

S2. S` se verifice dac` urm`toarea egalitate este adev`rat`:3 4 -3 4 -1 2 5 - 5 - 2 4 - 17 + 5 0 2 1 = 7 -1 . 20 6 7 7 1 4 + 17 - 5 - 2 3 5 1 3 3 10

S3. S` se rezolve ecua\iile:a) x (x + 2) x + 3 =-14 ; 5 4 b) x 2 +x 3x i 3+ i x -2 = ; 3- i -i 2 9 2 3x = . 1 1 3x+1

x (x -1) 4 - x -5 x 2 c) = ; 5 2 x +1 x

3x+2 d) 4

S4. S` se rezolve ecua\iile:x a) 1 1 1 x 1 1 7 -1 2 -x 1 = -3 9 4 ; b) 1 2 7 -1 5 1 1 x 1 1 -1 -1 x (1+ i ) 2 1 1 - -1 x -1 = ; -2 i x x -1 -1

2x -1 2 1 1 c) 3x + 2 -1 3 = x 4 -2 2

x x +1 x + 2 x x +1 x ; d) x + 3 x + 4 x + 5 = . 3 4 5 2x 2x -1 x - 3 2 x 1 -3 = . Dac` x 1 , x 2 , x 3 sunt solu\iile ecua\iei, s` -1 5 1- x

x +1 1 S5. Se consider` ecua\ia x -1 x 0 x3 3 3 se calculeze S = x 1 + x 2 + x 3 .

14

S6. Folosind propriet`\ile determinan\ilor, s` se calculeze urm`torii determinan\i scriind rezultatulsub form` de produs: a2 a) b 2 c2 a 1 b 1; c 1 m-n n- p p-m x-y y-z ; z -x a a +1 a + 2 b) b b +1 b + 2 ; c c +1 c + 2 x e) x 2 yz y y2 xz z z2 ; xy a a 2 +1 a +1 c) b b 2 +1 b +1 ; c c 2 +1 c +1 a +1 a -1 a 2 -1 f) b +1 b -1 b 2 -1 . c +1 c -1 c 2 -1

a- b d) b - c c-a

S7. S` se verifice egalit`\ile:2a 2a a- b- c a) b - c - a 2b 2b = (a + b + c ) 3 ; 2c c - a- b 2c x+y b) x 2 + y 2 x 3+ y3 y+z y2 +z 2 y3 +z 3 z +x z 2 + x 2 = 2xyz (x - y ) (y - z ) (z - x ) . z 3 +x 3

S8. Fie A M2 (R ). S` se arate c` are loc egalitatea A 2 - tr ( A) A + det ( A) I 2 = O 2 (rela\ialui Hamilton-Cayley). 1 -2 1 S9. Se d` matricea A =1 -1 3. 0 1 4 a) S` se calculeze d = det ( A) ] i t = tr ( A). b) S` se calculeze s = d11 + d 22 + d 33, unde d ii reprezint` complementul algebric al elementului aii din matricea A, i =1, 2, 3. c) C@t este suma s1 = a13d12 + a23d 22 + a33d 32 ? d) S` se verifice egalitatea matriceal` A 3 - tA 2 + sA - d I 3 = O 3 . -2 1 -4 S10. Se dau matricele A = 1 -1 3 ] i B = (bij ) 33, unde bij = i, dac` i = j ] i bij = i - j , 1 0 2 dac` i j . a) S` se determine det ( A), det (B ) ] i det ( A B ) . b) S` se verifice dac` are loc egalitatea det ( A B ) = det ( A) det (B ) . c) C@t este suma s = b11d 31 + b12 d 32 + b13d 33 ? C`rei propriet`\i a determinan\ilor corespunde rezultatul?

S11. Aplic@nd propriet`\ile determinan\ilor, s` se arate c` urm`torii determinan\i sunt nuli:a+ b a) b + c c+a 3 c 3 a; 3 b a- b b) a 2 + b 2 -2ab 2 a- b a - b -2ab ; a- b a2 + b2 a2 c) b 2 c2 (b + c ) 2 (a + c ) 2 (a + b) 2 b+ c - a a+ c - b . a+ b- c

15

2.2. Aplica\ii ale determinan\ilor [n geometrie

Enun\uri Exerci\ii ]i probleme Exersare

pag. 62 manual

E1. Se dau punctele A (2, - 4) ] i B (-1, 3). S` se scrie ecua\ia dreptei AB ]i s` se verifice dac`punctul C(5, -11) este coliniar cu punctele A, B.

E2. Care din urm`toarele triplete de puncte sunt formate din puncte coliniare:a) A (-1, - 9); B (2, - 3); C (4, 1) . b) M (2, - 3); N (1, -1) ; P (1, 5) . c) E (-4, - 2) ; F (2, 1) ; G (6, 3). d) T (2, -1) ; U (3, 1) ; V (m, 2m - 5). E3. Se dau punctele A(2, - 3) , B (m +1, 2m ) , C (1, 5). a) S` se determine ecua\ia dreptei AC. b) Pentru ce valori ale parametrului m, punctele A, B, C sunt coliniare. c) S` se determine triunghiul ABC cu aria 22,5.

E4. Se dau punctele A (-3, - 2), B (5, - 4) , C (-1, - 3) .a) S` se scrie ecua\iile laturilor triunghiului ABC. b) S` se determine lungimile [n`l\imilor triunghiului ABC. c) S` se determine A ( ABC ) .

E5. Patrulaterul ABCD are v@rfurile A (1, 2) , B (8, 2) , C (6, 4) , D (3, 4) .a) S` se scrie ecua\iile laturilor patrulaterului. b) S` se scrie ecua\iile diagonalelor patrulaterului. c) S` se compare distan\ele punctelor A ]i C la diagonala [ BD] . d) S` se calculeze aria suprafe\ei (ABCD).

Sintez`S1. Se dau punctele A (1, 0), B (-2, 4) , C (-1, 4) ] i D (3, 5).a) S` se reprezinte punctele [n plan ]i s` se scrie ecua\iile dreptelor AB, BC, CA, CD. b) S` se determine distan\ele de la v@rfurile B ]i D la dreapta AC. c) S` se compare ariile suprafe\elor (ABD), (BCD) ]i (COD). d) Dac` punctul M (m, m +2) este coliniar cu B ]i C, calcula\i aria suprafe\ei (MAD).

S2. S` se determine x R astfel [nc@t punctele A (1, 1), B (2 x , 2 x+1 - 2), C (2 x+1 - 2, 2 x ) s` fiecoliniare.

S3. Se dau punctele A (sin 2 a, cos 2 a), B (sin 2 b, cos 2 b), C (sin 2 c, cos 2 c ).1 a) S` se verifice dac` A ( OAB ) = sin(a - b) sin(a + b)) . 2 b) S` se arate c` pentru oricare a, b, c R, punctele A, B, C sunt pe o dreapt`. 16

S4. Se dau punctele distincte A (2, m ), B (m +1, m ), C (1, 2) .a) S` se determine m R astfel [nc@t punctele s` fie coliniare. b) S` se determine m R astfel ca aria suprafe\ei (ABC) s` fie 1. S5. Se consider` punctele A (m, 2m -1), B (m +1, - m + 2) . Pentru ce valori ale lui m are loc 23 egalitatea A ( OAB ) = . 2

S6. S` se determine m, n R astfel ca punctele A, B, C s` fie coliniare [n cazurile:a) A (m -1, 3), B (2m, - m ), C (2m - 3, 1+ m ) . b) A (m - n, 1+ m ) , B (2m - n, 1) , C (m, n +1) .

S7. S` se determine m R astfel ca punctul A (1, 1) s` fie la distan\a 3 fa\` de dreapta BC, unde 2 - 6m 7m -1 , C1, . B 0, 1- m m -1

S8. Se consider` punctele A (3, 2), B (2, 4). S` se determine punctele M situate pe dreaptax - y - 3 = 0 pentru care A ( OAM ) = A ( OBM ) .

S9. Exist` puncte A (m, 1) , B (1, m ), C (m, m ) astfel [nc@t A (ABC ) = 2 ? pag. 64 manual

Teste de evaluareTestul 11 0 2 1 4 -5 2 - 5-1 1 5 - (-1) 3 -6 . 1. Se d` expresia E = 22 3 3 -2 1 Valoarea expresiei este: a) 2; b) 2; c) 20; d) 36.

2 -1 3 2. Se d` matricea A =-1 4 -5. S` se calculeze det ( A) utiliz@nd: 4 -2 6 a) regula lui Sarrus; b) regula triunghiului; c) dezvoltarea dup` linia a doua; d) dezvoltarea dup` coloana a doua; e) dezvoltarea dup` coloana [nt@i dup` ce s-au ob\inut dou` zerouri pe aceasta. f) o proprietate a determinan\ilor nuli. x -2 , B = 3 2x +1, C = x 1. Suma solu\iilor ecua\iei 3. Se dau matricele A = x -1 1 5 x -1 2 3 det ( A + B ) = det (C 2 ) este ... .

4. Punctele A (2m +1, 3), B (1, m ) ] i C (-4, 2) sunt coliniare dac` m =... .17

Testul 2 1. Fie S1, respectiv S2 mul\imile solu\iilor ecua\iilor:a) x - 4 1- 3x 2 8 -2 3 5 1, (6) = ; 32 7 2 3 -1 5 -3 y +1 2 y +1 -1 3 = . 1 2y y

y + 4 -y - 5 b) 1 y -1 y +2 -1

S` se determine S1 , S 2 , S1 S 2 , S1 S 2 . 1 -e e 2 -e e 2 1 , unde e este solu\ie a ecua\iei x 2 + x +1 = 0. Atunci 2. Se d` matricea A = 2 e 1 -e 1 det( A) + det A 2 = ... . 2 x y 3. Se dau matricele A = a 0 -c -z x 0 b x b z , B = a y z , C = a 0 -c b 0 -c n = x det ( A) + a det (B ) + c det (C ) . Atunci n =... . 0 y y 0 ]i b -z

2m 1 4. Se consider` triunghiul ABC, cu A- , 1 B 3- m, - ] i C (1, 2). Valoarea lui m Z 3 4 pentru care d (C , AB ) = 3 este ... .

18

Capitolul 3. Sisteme de ecua\ii liniare| 3.1. Matrice inversabile din M n (C )

Enun\uri Exerci\ii ]i probleme ExersareE1. S` se determine care din urm`toarele matrice sunt inversabile:-2 5 ; a) 4 3 2 -5 ; b) 3 -7 5 -2 c) 2 3 ; 9 4 2 -1 d) 2 . 1 2

pag. 70 manual

E2. S` se determine inversa matricei:2 -1 ; a) 8 -5 1 1 1 e)1 1 0; 2 1 1 -8 6 1 ; b) 2 3 4 2 1 3 f) 0 -1 4 ; 0 0 -5 -1 0 ; c) 0 1 3 -2 0 g) 0 2 2 ; 1 -2 -3 3 d) 2 2 2 ; 3 3

1 3 2 h)2 0 1. 1 2 1

| E3. S` se determine m C pentru care matricea este inversabil`:

m 2 - 3m m ; d) 1 m-3 3m +1 -1 7 2 m m +1 2 m 2 + m 2 4 3 1 1 m - 7 e) 1 1 -3; f) 2 -1 0; g) m m -1 1; h) 4 9 . 2 2 2 m 1 m 11 9 m 1 0 1 -1 7 -1 2 ]i B = 7 5 . E4. Se dau matricele A = -4 10 3 2 a) S` se arate c` matricele A, B, AB ]i BA sunt inversabile ]i s` se calculeze inversele lor. b) Este adev`rat` egalitatea ( AB ) -1 = B -1 A-1 ? 2 m ; a) 3 -6 m 5 ; b) -20 m m - 3 7 ; c) m + 2 2 c) S` se verifice egalit`\ile ( A 2 ) -1 = ( A-1 ) 2 ]i (B 2 ) -1 = (B -1 ) 2 .

E5. S` se determine matricea A a c`rei invers` este:a) A-1

-5 8 = 3 1 ; 2 2

-1 0 ; b) A-1 = 4 2 1 11 7 - 5 5 5 d) A-1 = 0 -2 1 . 4 3 1 5 5 5 19

-2 -1 1 c) A-1 = 0 4 -1; 1 -2 0

Sintez`S1. Care din urm`toarele matrice sunt inversabile:2 x a) x 4 5x ; x 10 lg1 2 ; b) -2 lg 5 0! 3 ; c) 8 4! C 2 A 2 3 d) 4 ? -1 1

S2. S` se determine inversa matricei: 2 1 -1 C m C m i -i cos x 1- i ; c) sin x ; b) 2 + 3 ; a) d) 4 -3 5 . - cos x sin x 3- 2 3 -4 i 1+ i - 1 3 2 2 S3. S` se determine valorile parametrului real m pentru care matricea A este inversabil`, oricare ar fi x R. 1 x 2 1 3 x 1 2 x 2 -1 x ; 1 x -1; m -1 3. a) A = b) A = c) A = m x 3 m 2 x 2 1 22

S4. S` se determine m R astfel [nc@t A* = A-1 dac`:2 0 1 a) A = 3 m + 3 1 ; -3 m - 4 -3 2m -1 -1 4 c) A = m -1 1 ; 3m - 2 2 3 m - 3 m 1 b) A = 3 5 2 ; 1 m 0 4 m -1 0 d) A = 3 1 -3. m 2 -1 1

| S5. Fie A, B Mn (C ), n {1, 2, 3} , dou` matrice inversabile astfel [nc@t AB = BA . S` se

arate c`: a) AB -1 = B -1 A ; b) A-1B = BA-1 ; c) A-1B -1 = B -1 A-1 .

1 1 -1 S6. Se d` matricea A =2 2 -2. 3 3 -3 a) S` se determine produsul (I 3 - A) (I 3 + A) . b) S` se arate c` I 3 - A este matrice inversabil` ]i s` se calculeze (I 3 - A) -1 .

20

3.2. Ecua\ii matriceale Enun\uri Exerci\ii ]i probleme ExersareE1. S` se rezolve ecua\iile matriceale:1 2 2 1 = ; a) X 3 5 3 1 2 3 X =-1 1 ; c) 3 4 1 0 E2. S` se rezolve ecua\ia matriceal`: 3 2 X 4 1=1 0; a) 4 3 5 1 0 1 2 1 1 2 = 3 1; b) X 3 5 0 1 2 1 3i 1 = X . d) -1 -1 -5 2i

pag. 74 manual

-1 2 2 -1 1 4 Y = 2 ; b) 3 1 0 3 4 -5

1 0 X -2 1 - 3 2 1 0= 2-1 1 - 3I . c) 2 2 1 2 0 0 1 1 2 3 0

E3. S` se determine matricea necunoscut` din egalit`\ile:-2 3 -1 1 a) 3 -4 2 X = 0 ; 1 -1 -2 -2 1 -1 2 1 -2 1 ; b) X 1 0 -1= 0 -1 3 1 -1 1

2 1 2 -3 0 -1 -1 2 3 c) 1 -1 0 X 0 1 2 = 0 1 1 . 1 -1 2 1 0 0 1 0 0 1 -1 1 2 1 2 3 , C =1 0. E4. Se dau matricele A =1 1 1, B = 3 4 0 0 1 0 1 S` se determine matricea X care verific` rela\ia: a) AXB = C ; b) BXA=t C .

21

3.3. Sisteme de ecua\ii liniare cu cel mult trei necunoscute. Forma matriceal`Enun\uri Exerci\ii ]i probleme pag. 90 manual

ExersareE1. S` se scrie matricele asociate urm`toarelor sisteme de ecua\ii:x - 2 y = 3 x - 2 y + z = 1 b) 2x - 4 y = 1 ; c) 4x + y + 3z = 0 ; 5x - 6 y =-8 9x - 2 y - z = 4 3x + 2 y - z =-x + y +1 3(x -1) + 4(2 - y ) = 3(z - 2) a + b - c = 6 d) ; e) x - y + 3z = ix - 2 ; f) 2(1+ x ) + 3(z - y ) = 5(x - y ) . 3a - 2b + c = 11 ix - iy + z = 2(x -1) 3(x - y ) + 4( y - z ) = 2(x + y - z ) 3x + 5 y = 7 a) ; 8x - y = 2

E2. Care din sistemele de numere (-3, - 2) ; (-2 , - 4) ; (-6, 2) ; (i , 1) sunt solu\ii alesistemelor de ecua\ii: 2x + y =-8 x + y =-4 a) b) ; ; 3x - 4 y = 10 2x + 5 y =-2 (2 - i ) x - 4 y =-3+ 2i 3(x - i ) + i ( y -1) = 0 c) d) ; . 2ix + iy =-2 + i (1+ i ) (x +1) + (1- i ) ( y +1) = 2 (a + 3) x - 3y = 8 , a, b R . S` se determine a ]i b astfel [nc@t E3. Se d` sistemul de ecua\ii 4x - (2b + 3) y = 18 solu\ia sistemului s` fie: 7 a) (1, - 2); b)- , - 5. 4 E4. S` se scrie sub form` matriceal` ]i s` se rezolve sistemele de ecua\ii: 3x - 4 y = 7 2x - 3y = 1 3(x + y ) - 2(x + 2 y ) = 5 a) b) c) ; ; ; 2x - 3y = 5 5x - 7y = 3 4(x - y ) - y + 2x = 2 2x + y - 3z =-6 2(3x - y ) + 5z = 3+ y x + y + z = a d) 4x + y + z = 10 e) 4(x + y - z ) + 2 y = 3+ z ; f) 2x + 5 y - 3z = b . ; -3x + y + 2z =-1 2x - 3y +10z = 2 x + 3y - 2z = c

E5. S` se determine care din urm`toarele sisteme sunt de tip Cramer ]i s` se rezolve prin regulalui Cramer: x - 8 y = 5 a) ; 3x + 9 y = 11 3x - 4 y + 2z = 3 c) 5x + y + 3z = 6 ; x - 6 y + z =-4 x + 2 y = 4 a) ; 2x + 5 y = 9 2(x - y ) - 3(x + y ) = 1 b) ; 8x - 5(x - 3y ) = 4 x - 2 y + 2z = 10 d) 2x - y - z = 2 . x + y - z = 4 -2x + 5 y =-1 b) ; 3x - 7y = 2 22 4x + 3y = 17 c) ; 6x + 5 y =-3

E6. S` se rezolve sistemele de ecua\ii prin regula lui Cramer:

x + y + z = 2 d) 2x + 3y - z = 5 ; 3x + y + 3z = 4

x + 2 y - 4z =-2 e) -3x + 4 y + z = 13 ; 2x - y + 3z = 9

-2x + y + 3z =-1 f) x + y + 2( y + z ) = 4 . 2(x + z ) - (3y + x ) = 10

E7. Se consider` sistemul de ecua\ii A X = B , unde-3 2 1 x 4 A = 4 -1 2 X = y , B =8 . , -5 2 3 z 8 a) S` se rezolve sistemul de ecua\ii prin metoda matriceal`. b) S` se scrie ecua\iile sistemului. c) S` se rezolve sistemul de ecua\ii prin regula lui Cramer.

E8. S` se rezolve prin metoda lui Gauss sistemele de ecua\ii:x + y = 4 a) ; 2x + 3y = 9 x + y + z = 1 c) x + 2 y + 2z =-1; x - y + 2z = 2 x + y - 3z =-1 2x + y - 2z = 1 e) ; 2x + 3y - 2z = 4 x + 2 y - 3z = 1 2x - 3y + z =-1 x + 2 y - 3z = 0 g) ; 2x -10 y + 8z =-1 4x -15 y + 9z = 0 a - 2b + c = 10 i) ; 3a - 2b - c = 7 2x + y = 3 b) ; x + 2 y = 0 2x + 5 y + 3z = 17 4x - 6 y - 3z = 0 d) ; 6x +10 y -10z = 8 x + y + z = 6 x + y + 2z = 4 x + 2 y - z = 2 f) ; 2x + 3y + z = 6 3x + 4 y + 3z = 10 2x - 3y - z = 1 h) ; x - y - 2z =-3 x + y + z = 1 j) 2x - y + z = 2 . x + 3y - z = 1

Sintez`S1. S` se determine m R astfel [nc@t sistemul s` fie de tip Cramer ]i s` se rezolve [n acest caz:x - my + z = 2m a) x - 2 y + z =-1 ; mx + m 2 y - 2z = 2 x + (m +1) y + z = 2 a) mx + y - z = 0 ; x - 2 y - mz = 3 x + my - z = 8 b) 2x - y - 2z = 6 . mx + 2 y + z = 4 2x + 3y + (m + 2) z = 0 b) 3x + y + mz = 4 . 3x - y + z = 6

S2. Pentru ce valori ale parametrului m sistemul de ecua\ii nu este de tip Cramer?

23

S3. S` se rezolve prin metoda matriceal`, metoda lui Cramer ]i metoda lui Gauss sistemul de ecua\ii: 7 x + 3y = (5x +12z ) 9 9 y + 20z = 6(x - 48 y ) . b) 2x + 3y + 4z = 128 S4. S` se rezolve prin regula lui Cramer sistemele de ecua\ii: C 1x - C 2 y + 4C 3z = 2 x + y - (2 - i ) z =-2 + 2i 3 3 3 1 0 2 a) x + iy - (1+ i ) z =-1 b) 2C 5 x - 4C 5 y + C 5 z = 6 . ; 2 ix - iz =-1- i A x - 2 A1 y + A 3 z = 0 1 1 (5x - 2 y ) +1 = x - ( y + 2) 4 5 a) ; 1 1 7 (5x + 3y ) + 14 (9 y -11) = x + y 3 3 3

S5. S` se rezolve prin metoda lui Gauss sistemele de ecua\ii:2(x + 2 y ) = 3z +11 2x + y = 2 - z 5x - 3y = 6 - 5z - 2x x + 3y = 5 - z a) ; b) ; 3(x - z ) = 15 - y + 5z x + y =-7- 5z 6(x - y ) +11z =-4 - y 2x + 3y = 14 + 3z 3x + 4z =-2(2 + y ) 2x + 7y - 4z = 0 d) 5 y + 7z = 4(x + 2) e) 5x - 2 y - 8z = 0 ; ; 11x - 31y - 47z =-68 12x + 3y - 20z = 0 2x + y + (m +1) z = m S6. Se d` sistemul de ecua\ii x + (m -1) y + mz = 2m . 5x + 4 y + 3(m +1) z = 3 x + y = 3z -1 2x + y = 2z +1 c) ; x + y + z - 3 = 0 x + 2 y - 3z -1 = 0 x - 4 y + (2m + 3) z = 0 f) x - my - z = 0 . 2x + y = 8, m R

a) Pentru ce valori ale parametrului m R sistemul este compatibil determinat? b) S` se rezolve sistemul de ecua\ii ob\inut pentru m = 0, m =-1, m = 2 . x + y + z = 1 . }tiind c` a, b, c sunt numere reale diferite, S7. Se d` sistemul de ecua\ii ax + by + cz = 2 2 a x + b 2 y + c 2 z = 4 s` se rezolve sistemul. (2m -1) x + 3y - mz = 1 S8. Se consider` sistemul de ecua\ii 3x + (2m -1) y + (m -1) = 3. (m - 2) x + (m - 2) y + z = 2 a) S` se scrie matricea A a sistemului ]i s` se rezolve ecua\ia det ( A) = 0 . b) Pentru ce valori ale parametrului m sistemul nu este de tip Cramer? c) Dac` sistemul este de tip Cramer s` se determine solu\ia sistemului notat` (x m , y m , z m ) . d) S` se determine m R astfel [nc@t s` aib` loc rela\ia x m + 2 y m - z m > 1. 2x + y + z = 1 S9. Se consider` sistemul de ecua\ii x + y + z = 2 a , a R . x + y + 2z = 4 a a) S` se determine solu\ia (x (a), y (a), z (a)) a sistemului de ecua\ii. b) S` se determine mul\imea A = {a R y (a) > 1}.ASE Bucure]ti, 1998

24

ax + y + z = 4 S10. Sistemul de ecua\ii (a +1) x + ( b +1) y + 2z = 7, a, b R este compatibil determinat x + 2 by + z = 4 pentru: 1 a) a = 1, b 0; b) a 1, b 0 ; c) a, b R ; d) a = 1, b = . 2Universitatea Gala\i, 2004

2x + y + 3z = 1 S11. S` se discute dup` m R ]i s` se rezolve sistemul: x - y + z =-1 . x + 2 y + mz = m mx + y + z = 0 S12. Sistemul de ecua\ii x + my + 2z = 0 are numai solu\ia nul` (0, 0, 0) dac`: x - y - z = 0 a) m -1, m 2 ; b) m = 0; c) m = 2; d) m R.Politehnic` Bucure]ti, 2004

S13. Pentru golirea unui bazin cu ap` se utilizeaz` trei robinete. Timpul de func\ionare afiec`rui robinet ]i cantitatea de ap` evacuat` exprimat` [n hectolitri sunt date [n tabelul matriceal al`turat. Tabelul 3.3. Robinetul I (nr. de ore) 2 ore 3 ore 2 ore Robinetul II (nr. de ore) 3 ore 2 ore 2 ore Robinetul III (nr. de ore) 6 ore 6 ore 3 ore Cantitatea de ap` evacuat` ([n hl) 220 hl 210 hl 145 hl

S` se determine debitul fiec`rui robinet.

S14. Dac` tat`l ar avea cu 7 ani mai mult dec@t are, atunci v@rsta actual` a fiului mai mic ar fidin v@rsta tat`lui. Peste 15 ani v@rsta fiului mai mare va fi

1 6

1 din v@rsta tat`lui. S` se determine 2 v@rsta fiec`ruia, dac` peste 18 ani cei doi copii vor avea [mpreun` c@t v@rsta tat`lui lor. x + my - 2z = 2 S15. Se consider` sistemul de ecua\ii: 2x + (2m -1) y + z = n , m, n R . x + 2 y + 3z = 1 a) S` se rezolve sistemul pentru m = 1 ] i n = 5 . b) S` se discute dup` valorile lui m, n R ]i s` se rezolve sistemul.Universitatea Bra]ov, 2002

25

pag. 96 manual

Teste de evaluareTestul 1 2 0 1 3- x x M3 (R ) . 1. Se d` matricea A = 5 x + 6 -2 8 a) S` se determine x R astfel ca matricea A s` nu fie inversabil`. b) S` se calculeze A-1 dac` x = 2. x + 2 y + z = 1 . 2. Fie sistemul de ecua\ii: x - y + 2z = 2 2mx + m 2 y + 3z = 3m a) S` se determine m R pentru care sistemul are solu\ie unic`. b) S` se rezolve sistemul ob\inut dac` m = 3.Universitatea Construc\ii Bucure]ti, 2004

3. Pentru 3 creioane, o gum` ]i 7 caiete un elev pl`te]te 45 lei. Dac` ar cump`ra 5 creioane, 3gume ]i dou` caiete ar pl`ti 28 lei. }tiind c` 4 creioane, 5 gume ]i 5 caiete cost` [mpreun` 42 lei, s` se afle pre\ul fiec`rui obiect.

Testul 2 1. S` se calculeze inversele matricelor: 2 3 1 3 ; B =-1 2 0; C = 3 2 -2 1 . 4 3 3 -1 2 1 2 2 C i , i > j -4 2i 2. Se dau matricele A = (aij ) 33 , unde aij = i, i = j ]i B = 2 45 -i, i < j 2 A = 1 S` se rezolve ecua\ia matriceal` AX = B . (1+ m ) x + y + z = 1 3. Se d` sistemul de ecua\ii: x + (1+ m ) y + z = m , m 2 R x + y + (1+ m ) z = m 2 a) S` se calculeze determinantul sistemului. b) Pentru ce valori ale lui m sistemul este compatibil determinat? c) S` se rezolve sistemul pentru m = 2. d) S` se rezolve sistemul pentru m = 0.Universitatea Baia Mare, 2005

26

pag. 97 manual Probleme recapitulative 1. Fie A = 1 3 M (R ) . S` se determine a, b R pentru care A 3 + aA 2 + bA = O . 2 2 2 4 x y M (R ) ]tiind c` A 2 + 4I = 4 A , ]i apoi s` se afle 2 2 y x}tiin\e economice Cluj, 1996

2. S` se determine matricea A = A n , nU1.

1 0 0 3. Se consider` matricea A = a 1 0 M3 (R ) . b c 1 a) S` se calculeze A 2 ]i A 3 . b) S` se determine a, b R cu proprietatea c` A 3 = aA 2 + bA + I 3 .Universitatea Bac`u, 1997

0 a 0 4. Fie E ( X ) = X 2 - 4 X + 4I 3 . Dac` A =1 0 1 , s` se determine a R pentru care 1 0 1 3 4 -1 E ( A) =-3 3 -3. -3 -1 1 Universitatea Craiova, 2003

0 1 -1 5. Fie A = 0 0 1 . S` se calculeze (I 3 + A) n , nU1. 0 0 0 Universitatea Politehnic`, 1994

1 0 -1 0 1 1 . S` se calculeze S = A + A 2 + A 3 +...+ A10 . 6. Fie A = 0 0 1 a 0 b 0 c 0 M3 (R ) , cu proprietatea c` ae = bd . 7. Se consider` matricea A = d 0 e 0 0 0 a) S` se demonstreze c` exist` x , y R astfel [nc@t A 2 = xA + yE , unde E = 0 1 0. 0 0 0 b) S` se arate c` pentru oricare nU1, exist` an , bn R , cu proprietatea c` A n = x n A + y n E .Facultatea de Sociologie, 1997

27

1 8. Fie A = 1 M3, 1 (R ), B = (1 2 -1) M1, 3 (R ) . Dac` C = AB , s` se calculeze C 101 . -1

9. S` se rezolve sistemele de ecua\ii:A + B = I 2 1 1; a) 2 A + 3B = -1 1 1 A + 3B = -2 b) 0 3A + 4B =1 1 1 1 A a 2 1 . 1 0

a M (R ) ]tiind c` 2 1 1 1 1 + A = 4 4. 1 a 1 4 4 | 11. S` se determine A M2 (C ) , ]tiind c`:

10. S` se determine matricea A =

1 i 1 i + A =2 4i . A 0 1 0 1 0 2

12. S` se rezolve [n R ecua\iile:x x 1 a) 1 x 1 = 0 ; 4 -5 4 x 1 2 b) -1 x 1 = 5 ; 1 -2 x x c) 1 1 1 x 1 1 1 = 0. x2

13. S` se rezolve ecua\iile:1 x ab a) 1 a bx = 0, dac` a b . 1 b ax 1 1 1 c) a + b x + b x + a = 0 , dac` a b . x2 a2 b2 2x +1 x +1 x + 2 b) 2x + 7 x + 4 x + 5 = 0 ; 2x +13 x + 7 x + 8

14. S` se determine a R pentru ca matricea A s` fie inversabil`:1 1 1 a) A =1 a +1 1 ; 1 a 2 +1 1 1+ a 1 1 b) A = 1 1+ a 2 1 . 1 1+ a 3 1

15. S` se rezolve ecua\iile:1 1 1 2 = ; a) X 1 2 1 1 1 2 3 -1 5 3 0 1 2= 2 1 -1. b) X -1 2 1 -3 4 5 Universitatea Bac`u, 1998

28

16. Fie A M2 (R ), A = inversabil` " x R.

x + m 1- m

m . S` se determine m R pentru care matricea A este x + 2m

17. Fie A = 18. Fie A =

1 1 M (R ) . S` se calculeze inversa matricei A 4 . 2 1 2 1 2 ]i B = A-1 3 2. S` se calculeze B -1 . 1 1 2 1

19. S` se rezolve sistemele:x + 3y - z = 3 a) 2x + y - 4z =-1; x + y - 2z = 0 x + y + z = 1 b) 2x + y - 3z = 1 ; 4x + y - 5z = 1 x + y + z = 2 2x + y + 2z = 3 c) . 3x + y + 4z = 1 x - y + 3z = 1

2x + y + 3z = 1 . Dac` 20. Se consider` sistemul mx + y - 2z = 1 (2m - 1)x + 2 y + z = n A = {(m, n) R R sistemul este compatibil nedeterminat} ]i a=

(m 2 + n 2 ) , atunci:( m, n )A

a) a =18;

b) a = 26;

c) a = 32;

d) a =13;

e) a = 25.

x - my + z = 0 x - 2 y + z = m - 2 21. Se consider` sistemul 2 2 . mx + m y - z = 2m 2mx + (m +1) z = 2m 2 Dac` A = {m R sistemul este incompatibil a) A = {-1, 0, 2} ; d) A = {-1, 0} ; b) A = {0, 2} ; e) A = {-1, 2} .ASE Bucure]ti, 2003

}, atunci:

c) A = ;

29

REZOLVRIPartea I. Elemente de calcul matriceal. Sisteme de ecuaii liniare Capitolul I. Matrice 1.1. Tabel de tip matriceal. Matrice, mulimi de matriceExersareE1. Rezolvare: 2 0 0 1 0 1 7 ; C = 2 5 A =1 3 ; B = 3 5 2 2 4 4 1 4 -5 3 9 2 1 0 2 + i 1 5 . ; X = 4 3i 2 3

E2. Rezolvare:2 1 a) A = ; b) B = 1 4 1 + i 5 3 0

(

1 0 2 ; c) C = 0 5 0 0

)

0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 ; d) D = 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1

0 0 0 0 0 0 . 0 0 0 0 0 0

E3. Rezolvare: a) A i M3(m); B i M2,3(Z); C i M3,1(

); D i M1,4(

);

b) b11 = 2; b12 = 3, b13 = 3 ; b21 = 2; b22 = 5; b23 = 4 ; d11 = 2 ; d12 = i ; d13 = 5; d14 = 7 . 3 5 c) a23 = 2; a32 = 4; a22 = 8; c31 = 1 + i; c21 = 1; 1 + i = c31;3 = b13 ; 4 = a32 ; b23 = 4 ; d14 = 7 . 3

d) Suma a11 + a22 + a33 reprezint urma matricei A i nu diagonala principal. Suma elementelor diagonalei secundare a matricei A este 12. a31 + b22 + c21 d14 = 0 + (5) + (1) (7) = 1 3 + 1 . 2 2 a23 b13 c31 d12 = 2 ( 3)2 (1 + i)2 (i) = 2 3 2i (i) = 12 U 12 . a23 = b21 = 2 i 5d11 = 2. Aadar 2 @ 2 i a23 = b21 @ 5d11. E4. Rezolvare: Se egaleaz fiecare elemente cu zero i se obine: 3a 6 = 0 i a2 4 = 0. Se obine a = 2. 1 b = 0 i b2 b = 0. Se obine b = 1. c 12 = 0 , cu soluia c = 2 3 . 4 2m = 0 , cu soluia m = 4 = 2 2 .2

E5. Rezolvare: Se pune condiia ca s aib loc egalitatea de matrice A = I3. Se obin succesiv egalitile: x + 1 = 1; 4 y2 = 0; 3u = 1; 1 t = 0; z2 + 1 = 0; v2 = 0; 1 x2 = 1. Rezolvnd ecuaiile se obine: x = 0, y i {2, 2}, u = 1 ; t = 1; z i {i, i}, v = 0.3

30

E6. Rezolvare: Se aplic egalitatea a dou matrice. Se obin urmtoarele egaliti: a) 2x + 1 = y + 6 i x y = 4 2x + y. Avem sistemul de ecuaii: 2x + y = 5 cu soluia x = 2, y = 1. 3x 2 y = 4

b) x + y = 3; 2x y = y + 2; 4 = x + 2y; 2x + y = 5. Se obine soluia x = 2, y = 1.

E7. Rezolvare: Se pune condiia ca matricele s fie de acelai tip. Rezult c 4 = m2 i 5 n = 2. Se obine m i {2, 2}, n = 3.

SintezS1. Rezolvare: Au loc egalitile: a11 = 1, a12 = 2, a13 = 3, a14 = 4 a21 = 2, a22 = 2, a23 = 3, a24 = 4 a31 = 3, a32 = 3, a33 = 3, a34 = 4 a41 = 4, a42 = 4, a43 = 4, a44 = 4. S2. Rezolvare: Au loc egalitile: b11 = 11+1 = 1; b12 = 21+1 = 4; b13 = 31+1 = 9 b21 = 12+1 = 1; b22 = 22+1 = 8; b23 = 32+1 = 27 b31 = 13+1 = 1; b32 = 23+1 = 16; b33 = 33+1 = 81. S3. Rezolvare: Se obin urmtoarele elemente: 1 1 1 c11 = c22 = c33 = 2; c21 = c31 = c32 = 1; c12 = (1)1+ 2 A2 = 2; c13 = (1)1+3 A3 = 3; c14 = (1)1+ 4 A4 = 4; 2 3 c23 = (1)2+ 3 A32 = 6; c24 = (1)2 + 4 A4 = 12; c34 = (1)3+ 4 A4 = 24 . S4. Rezolvare: a) tr(A) = 4 + (2x) + y2 + 6 = 10 2x + y2 tr(B) = 4x + (x2) + 2y = 4x x2 + 2y b) Relaia din enun se scrie sub forma: (y2 + 6) + 2y = 3 (6). Se obine ecuaia de gradul doi: y2 + 2y 3 = 0 cu soluiile y1 = 3; y2 = 1. c) Se obine ecuaia de gradul doi: x2 + x 2 = 0 cu soluiile x1 = 2, x2 = 1. d) Se obine relaia 10 2x + y2 4x + x2 2y = 4 4 care se scrie sub forma: (y 1)2 + (x 3)2 = 0, x, y i Z. Rezult c y 1 = 0 i x 3 = 0. Aadar, x = 3, y = 1. S5. Rezolvare: a) Din egalitatea matriceal A = I2 se obin egalitile: 2x1 = 1, log2(a 1) = 0 i 4y2 3x = 1. Din egalitatea 2x1 = 1, rezult x 1 = 0, deci x = 1. nlocuind x = 1 n ecuaia 4y2 3x = 1 se obine 4y2 = 4, deci y i {1, 1}. 31

Ecuaia log2(a 1) = 0 conduce la ecuaia a 1 = 20 cu soluia a = 2. b) Deoarece O2 = B se obin ecuaiile: 3x 9x = 0, lg Ecuaia 3x 9x = 0 este echivalent cu 3x(1 3x) = 0, adic 3x = 0 sau 1 3x = 0. Se obine soluia x = 0. Ecuaia lgy2 2 y y2 2 y = 0 este echivalent cu = 1 cu soluia y i {1, 3}. 3 3n(n 1) = 0 , n i Z, n U 2, ecuaia cu soluia n = 4. 2

y2 2 y 2 = 0 , a + 3bi 1 = 0 i 3! Cn = 0 . 3

Din egalitatea a + 3bi 1 = 0, a, b i Z se obine a 1 = 0 i 3b = 0, adic a = 1 i b = 0. Din egalitatea 3! Cn2 = 0 se obine 6 S6. Rezolvare: a2 4 = 2 a a + b = 1 a) Aplicnd egalitatea matricelor se obine urmtorul sistem de ecuaii: 3x(1 2x) = 2x 1 z = x 2

Din ecuaia a2 4 = 2 a se obine a2 + a 6 = 0 cu soluia a i {3, 2}. Din ecuaia a + b = 1 se obine b = a 1. Pentru a = 3, se obine b = 2 i pentru a = 2, se obine b = 3. Ecuaia 3x(1 2x) = 2x 1 se scrie sub forma echivalent 6x2 x 1 = 0 i se obinex 1, 1 . 2 3 Pentru x = 1 se obine z = 3 i pentru x = 1 se obine z = 7 . 2 2 3 3

{

}

b) Se obin succesiv ecuaiile: Cn2+1 = 2Cn2 , n i q, n U 2, echivalent cu (n + 1) n n(n 1) = 2 cu soluia n i {3}. 2 2 x2 + 7 = 4 x2 + 7 = 16 , cu soluia x {3, 3} .

3 b2 = 4 b2 = 64 , cu soluia b i {8, 8}. log2 a =3 log2 a = log2 23 , a > 0 cu soluia a = 1 . 8 S7. Rezolvare: Din egalitatea matriceal A = B = C se obin urmtoarele egaliti care dau valorile necunoscutelor din problem: x2 x = 2 = 3x 4 y 3 = 2 = y 5

Cz2+1 = 3 2m = m2 = p

Se obine: x = 2, y = 7, z = 2; m = 2 i p = 4 sau m = 4 i p = 16.

32

1.2. Operaii cu matrice 1.2.3. nmulirea unei matrice cu un scalarExersareE1. Rezolvare: Se aplic regula de adunare a dou matrice i se obine succesiv:

a) 5+3

3 + 5 5 7 8 2 + (7) (1) + 8 ; = 4 + 0 (2) + 4 8 4 2

b) = ; 3x + 2x 8 y + 6 y 5x 2 y

2a + a

b 5b a

4b

6 + 2 2 7 c) 1 + 4 0 1 25 4+1 3 3 5 5

5 + 3 4 5 2 1 + 2 = 5 1 1 . 2 2 + 8 1 1 3 3

E2. Rezolvare: Se obine succesiv:

a) 200

1 (6) 1

4 1 0 4 3 = 5 2 1 2 8

i2 + 1 0 i4 + 2 i i2 + 1 i4 + 2 i 1 + 1 1 + 2 i 0 1 i = 3 1 . 1 1 b) 2 2 (3) 3 + 0 2 = 3 = 3 1+ 3 4 1 + 4 6 0 3 0 3 0 3

E3. Rezolvare: 1 + 1 2 3 0 + 2 0 1 2 A+ B = = 1 + 0 3 1 2 + 2 1 4 4 1 1 2 (3) 0 2 2 5 2 A B = = 1 0 3 (1) 2 2 1 2 0 1 1 1 0 1+1 1+ 0 0 1 t t A + B = 2 3+3 1= 2 3 3 1=1 4 2 2 2 0+2 2+2 2 4 0 0 2 1 1 t t 0 1 2 2 5 2 t t ( A + B) = ( A B) = =1 4; = 5 2; 1 4 4 1 2 0 4 2 2 0

b) A + t C =

1 2 0 1 + 1 3 2 2 1 3 2 1 B tC = 0 1 2 2t t

0 4 2 = 3 5 3 0 4 2 = 3 5 2

2 4 0 3 3 6 4 7

t

t 1 2 0 1 3 2 1 0 4 111 2 + 3 + 0 0 2 4 ( A B + C) = + = = 1 3 2 0 1 2 2 3 5 1 0 + 2 3 +1+ 3 2 2 5

3 3 3 5 6 = 1 . = 5 3 1 5 6 5t

33

E4. Rezolvare: Egalitatea A + B + C este echivalent cu urmtoarea egalitate de matrice:3z + v 3 2 3 2x + 1 4 y + z 1 y u v 4 + x = 2 3 3 v x 2v + 2 y t + x z + 3 2 4 2

Aplicnd egalitatea a dou matrice se obine c: x = 1, y = 1, z = 2, v = 3, u = 0, t = 0.E5. Rezolvare: Folosind operaiile cu matrice egalitatea din enun conduce la:0 1 2 +1 1 2 X = , 5 1 1 5 7 2

egalitate din care se obine X = Rezult c X = 2 + 2 2 1 . 0 5

0 1 2 1 2 +1 . 5 1 2 1 5 7

E6. Rezolvare: Egalitatea tA = A se scrie sub forma echivalent: 5 a2 3 5 6a b 2 1 10 6 a 1 3c + 2 = a b 10 n 3 3c + 2 n

Se obin ecuaiile: a2 = 6 a; 3 = b , 3c + 2 = 10; n = n cu soluiile: a i {3, 2}, b = 9, c = 4, n i Z.E7. Rezolvare:0 1 3 sau + 2 3 0 3 5 1 2 A= 2 6 2 2 1 1

Avem: A = 2

S se dea i alte scrieri pentru A ca sum, respectiv diferen de dou matrice.3 A = I2 + 5 1 3 ; A = 2 1 53 I . 2 +1 2

E8. Rezolvare: Se nmulete fiecare element al matricei cu numrul real 6 8 2 2 3 4 a) ; = 12 0, 2 3 0,1 2 2 12 36 24 12 4 8 3 3 3 b) = 5 2 1 . 30 2 3 3 6 3 3

c) Se va folosi c 3 + 8 = 3 + 2 2 = ( 2 + 1)2 = 2 + 1 . 34

d) Se folosete faptul c i2 = 1 din care se deduce c i3 = i, i4 = 1. Se obine: 2i4 i i2 2 i + 1 2 = . 4i 3 4i 3i

0 ( 2 1)( 2 + 1) 1 0 = Se obine: 1 1 . 2 1 ( 2 1)( 2 + 1) 1 2

E9. Rezolvare. Se obine succesiv: 2 8 6 0 1 3 3 3 15 X = + + 2 0 2 2 5 4 2 15 1 2 + 0 3 8 1 + 3 6 3 15 5 10 12 X = = . 2 2 2 0 + 5 15 2 + 4 + 1 2 10 7 5 10 12 Aadar, X = . 2 10 7

E10. Rezolvare: Se efectueaz nmulirea cu un numr real a unei matrice i operaia de adunare a dou matrice i se obine egalitatea matriceal: 2 x + 5 4 y + (15) 8z + (10) 7 13 22 = . 2 +15c 21 2 8 8 + 20b 6 + 5a Din egalitatea acestor dou matrice rezult urmtoarele ecuaii de gradul nti: 2x + 5 = 7, 4y 15 = 13, 8z 10 = 22, 6 + 5a = 21, 8 + 20b = 2, 2 + 15c = 8 cu soluiile

x = 1, y = 7; z = 4, a = 3; b = 1 ; c = 2 .2 3

SintezS1. Rezolvare: Egalitatea matriceal din enun se scrie sub forma echivalent astfel:6 2 5 2 x 3y 4 x . = 5 6 + 2 4 9 log2 z Cn

Efectund adunarea matricelor se obine egalitatea matriceal

2 + 2x 1

din care se obin ecuaiile: 2 + 2x = 4x, 5 + 3y = 6, log2z = 1, Cn2 = 15 . Ecuaia 2 + 2x = 4x se scrie sub forma 4x 2x 2 = 0. Cu notaia 2x = m se obine ecuaia de gradul doi m2 m 2 = 0, m > 0 cu soluia pozitiv m = 2. Se obine x = 1. Din 5 + 3y = 6, rezult 3y = 1 i y = 0. Ecuaia log2z = 1 are soluia z = 2, iar ecuaia Cn2 = 15 se scrie sub forma echivalentn(n 1) = 15 , n i q, n U 2. Se obine n = 6. 2

6 5 + 3y 4x = 2 15 log2 z Cn

Aadar, x = 1, y = 0, z = 2, n = 6.

35

S2. Rezolvare: Egalitatea matriceal din enun se scrie succesiv4 + y x2 + x + 3 4 + y x2 + x 2 x 3 0 0 x 9 3x 9 + + = = 2x 0 . 2 2 x 0 3 x x + 3 z + 2 t + 4 z+2 t +4 x

Aplicnd egalitatea a dou matrice se obin ecuaiile: x2 + x + 3 = 9, 3x = 4 + y, x = z + 2, x2 + 3 = t + 4. Ecuaia x2 + x + 3 = 9 are soluiile x1 = 3, x2 = 2. Pentru x1 = 3 se obine: y = 13, z1 = 5, t1 = 8 Pentru x2 = 2 se obine: y = 2, z2 = 0, t2 = 3.S3. Rezolvare: 5 6 1 2 4 4 3 1 , adic 2 A = 4 2 . 1 3

a) Din egalitatea dat rezult c 2 A = Se obine A = . 2 1 2 2

2 1 1 20 5 10 18 6 9 15 5 0 , deci 3A = 15 9 9 . 0 4 9 6 2 3 Se obine A = . 5 3 3 3 0 0 2 4 12 c) 7 A = 1 2 + 8 0 + 0 16 , egalitate din care se obine: 5 6 4 16 48 4

b) 3A =

7 14 1 2 7 14 . Rezult c A = 1 2 . 7A = 7 2 49 14

S4. Rezolvare: a) nmulim prima ecuaie cu 2 i adunm ecuaia obinut cu cealalt ecuaie. Se obine: 6 4 1 1 5 5 5B = + 1 1 5B = 5 5 . 4 6

Rezult c B = . nlocuind pe B n prima ecuaie din enun i efectund operaiile cu 1 1 matrice se obine: 3 2 2 2 A= . Aadar, A = I2. 2 3 2 2

1 1

b) nmulim prima ecuaie cu (1 i) i adunm ecuaia obinut cu a doua ecuaie din enun. Se obine egalitatea matriceal: 2 + i 1 2 i 1 i (1 + i)(1 i) A + A = (1 i) + 2i 1 i 2 i 1

care se scrie sub forma:

Rezult c A = I2.

3 + i 1 + i 2 i 1 i 1 0 2 A + A = + 1 i 2 i , sau A = 0 1 . 1 + i 3 + i

36

Pentru determinarea matricei B se nlocuie, de exemplu, matricea A n prima ecuaie a enunului i efectund calculele se obine B = . 1 1S5. Soluie: a) Se scrie sub forma:1 1 1 A= 3 + 3 1 1 2 2

1 1

2 1 3 1 + 33 3 4 + ... + n3 2 3

1 + 2 + 3 + ... + n 1 + 1 + 1 + ... + 1 = 13 + 23 + 33 + ... + n3 1 2 + 2 3 + ... + n(n + 1) = n(n + 1) n

n = n k3 k =1

. n k (k + 1) k =1k =1

k

n

Vom calcula suma urmtoare:

n n(n + 1) n 2 n(n + 1)(2n + 1) n(n + 1) , k = Se tie c k = i k 3 = 2 . 2 6 k =1 k =1 k =1n

2

k =1 n

k (k + 1) = (k 2 + k ) = k 2 + k .k =1 k =1 k =1

n

n

n

n

Folosind formulele scrise mai nainte se obine ck =1

k (k + 1) =

n(n + 1)(2n + 1) n(n + 1) n(n + 1)(n + 2) . + = 6 2 3

n Aadar, A = 2 2 n (n + 1) 4

n(n + 1) 2 , n i q*. n(n + 1)(n + 2) 3

b) Scriem mai nti c: 2k 3k+1 = 2k 3k 3 = 6k 3 i 2k 3k = 2 . Cu acestea matricea A se scrie sub forma: n1 k =1 A= n 2k k =1n 3 6k k =1 . k n 2 k =1 3

(3)

k

()

Reamintim c suma a n termeni aflai n progresie geometric cu raia q @ 1 i primul termen notat a1 este: S = Rezult c: 6k = 6 + 62 + ... + 6n = = 6 (6n 1) 6 1 5 k =12 1 2 = 2 + 2 + ... + 2 = 2 ( 3 ) ( ) = 2 ( 2 ) 1 = 2 1 ( 2 ) . () ()n n n 2 n n n k =1 n

a1(qn 1) . q 16(6n 1)

2k = 2 + 22 + ... + 2n = = 2(2n 1) 2 1 k =13 3 3 3 3 2 1 3

n

2(2n 1)

3

3

18 (6n 1) n 5 Rezult c A = n . 2(2n 1) 2 1 2 3

()

37

1.2.4. nmulirea matricelorExersareE1. Rezolvare:4 5 2 1 4 2 + 5 (3) 4 1 + 5 (2) 7 6 8

a) = = 6 1 3 2 6 2 + (1) (3) 6 1 + (1) (2) 15 b) 4

1 2 1 4 1 1 + (2) 2 1 4 + (2) 1 3 2 = = 1 2 1 4 1 + 1 2 4 4 + 1 1 6 17 0 11 1 2 1 0 + 2 1 1 (2) + 2(1) 1 3 + 2(4) 2 1 0 0 2 3 = 1 0 + 0 1 1 (2) + 0 (1) 1 3 + 0 (4) = 0 c) 2 3 = 1 1 4 2 2 2 2 2 2 2 2 i 2 0 + i 1 2 (2) + i (1) 2 3 + i (4) i (4 i ) 6 4i 2 0 11 = 0 2 3 . 1 3 10 = 1, tg = 1 i avem de efectuat urmtoarea nmulire de matrice: d) Se nlocuie cos0 = 1, sin 2 4 3 1 2 1 1 1 3 (1) + 1 2 + 2 0 3 (1) + 1 (1) + 2 1 3 1 + 1 1 + 2 1 1 2 6 2 1 2 2 1 1 = 2 (1) + 1 2 + 2 0 2 (1) + 1 (1) + 2 1 2 1 + 1 1 + 2 1 = 0 1 5 1 2 3 0 1 1 1 (1) + 2 2 + 3 0 1 (1) + 2 (1) + 3 1 1 1 + 2 1 + 3 1 3 0 6 1 1 1 2 4 1 2 3 1 3 1 1 1 2 1 2 0 1 3 1 1 2 1 2 = 1 2 1 2 = 1 2 41 . 21

e) Se aplic proprietatea de asociativitate a nmulirii matricelor:

1 1 (1) + 2 2 + 3 3 1 2 + 2 1 + 3 (1) 1 4 + 2 2 + 3 (1) 1 1 1 + 2 1 + 3 1 = 3 1 + (1) 1 + 1 1 3 (1) + (1) 2 + 1 3 3 2 + (1) 1 + 1 (1) 3 4 + (1) 2 + 1 (1) 0 2 1 1 6 1 + 12 2 + 1 1 + 5 2 16 6 12 1 5 1 2 6 1 + 12 (1) + 1 0 + 5 (2) = 0 1 = 3 1 + (2)(1) + 4 0 + 9 (2) 3 1 + (2) 2 + 4 1 + 9 2 = 13 3 2 4 9 2 2

E2. Rezolvare:

1 1 1 + 3 1 1 1 + 3 1 5 1 1 3 2 1 2 2 2 2 a) AB = = = 3 1 1 1 3 1 + 1 1 3 1 + 1 1 1 5 2 2 2 2 2 1 1 + 1 3 1 1 1 3 + 1 1 5 1 2 2 2 1 3 2 2 BA = = 1 5 3 1 = 1 1 + 1 3 1 3 + 1 1 1 1 2 2 2 2 2

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )38

1 1 3 2 A B = 3 1 1 1 1 2 1 t t B A= 1 1 3 2 1 b) A B = 2 ( 3 1 3 t t

5 1 1 2 2 = A B = 1 1 5 2 2 2 3 = B A = AB 1

1 (3) 1 1 1 (1) 3 1 1 1) = 2 (3) 2 1 2 (1) = 6 2 2 3 (3) 3 1 3 (1) 9 3 3 1 B A = ( 3 1 1) 2 = (3 1 + 1 2 + (1) 3) = (4) M1(Z) 3 t

3 A B = (1 2 3) 1 = (1 (3) + 2 1 + 3 (1)) = (4) M1(Z) 1 3 3 1 3 2 3 3 3 6 9 1 1 2 3 = 1 1 1 2 t t B A= ( 1 3 = 1 2 3 ) 1 1 1 2 1 3 1 2 3 1 t

d) A B = I3 B = B B A = B I3 = B t A tB = I 3 tB = tB t B tA = t B I 3 = tB

1 1 1 2 1 1 (2) + 1 1 + 1 2 1 1 + 1 3 + 1 0 4 2 2 1 3 = 2 2 = c) A B = . 0 1 2 0 1 + 1 3 + 2 0 5 3 2 0 0 (2) + 1 1 + 2 2 2 (1) + 1 0 2 1 + 1 1 2 1 + 1 2 2 1 1 2 2 1 1 1 3 1 1 2 = 1 (1) + 3 0 1 1 + 3 1 1 + 3 2 = 1 4 6,5 BA = 1 2 2 0 0 1 2 2 2 1 2 (1) + 0 0 2 1 + 0 1 2 1 + 0 2 2 1 0 1 (2) + 0 1 1 1 + 0 3 1 2 + 0 0 2 1 2 2 1 2 t A tB = 1 1 1 1 + 1 3 1 2 + 1 0 = 1 4 2 = t (BA) = 1 (2) + 1 1 1 3 0 1 2 1 (2) + 2 1 1 1 + 2 3 1 2 + 2 0 1 6,5 1 2 2 2 2 1 0 2 (1) + 1 1 + 2 1 2 0 + 1 1 + 2 2 2 1 2 4 5 t 2 t B tA = 1 1 = = ( AB) = 1 3 0 1 (1) + 3 1 + 0 1 1 0 + 3 1 + 0 2 2 3 1 2 2 2

39

E3. Rezolvare: Calculm1 0 AB = 3 2 13 + 20 11+ 21 1(4) + 20 10 + 25 2 1 3 1 4 0 03 +10 01+11 0(4) +10 00 +15 = = 1 0 1 0 5 33 +10 31+11 3(4) +10 30 +15 0 21+ 01 2(4) + 00 20 + 05 2 3 + 0 0

3 1 4 10 0 1 0 5 . = 9 2 12 5 6 2 8 0 3 0 9 6 1 1 2 2 . Rezult c t ( AB) = 4 0 12 8 10 5 5 0 3 0 + 0 1 3 0 3 (1) + 0 2 1 1 1 0 3 2 1 (1) + 1 2 1 0 + 1 1 t B tA = 2 1 1 0 = 4 (1) + 0 2 4 0 + 0 1 4 0 0 0 + 5 1 0 5 0 (1) + 5 2 3 0 9 6 1 1 2 2 . = 4 0 12 8 10 5 5 0

3 (3) + 0 1 3 2 + 0 0 1 (3) + 1 1 1 2 + 1 0 = 4(3) + 0 1 4 2 + 0 0 0 (3) + 5 1 0 2 + 5 0

Se observ c t(AB) = tB tA.

6 1 1 2 Avem de asemenea: AB + t B t A = 5 2 16 7

5 16 2 7 . 24 3 3 0

E4. Rezolvare:5 2 + 1 3 + (2) 0 5 0 + 1 (1) + (2)(2) 5 0 + 1 (1) + (2)(4) 1 0 + 1 (1) + 3 (4) A (B C ) = A 1 2 + 1 3 + 3 0 1 0 + 1 (1) + 3 (2) = 1 0 + 1 (1) + (2) (4) (1) 2 + 1 3 + (2) 0 (1) 0 + 1 (1) + (2)(2) 1 0 3 7 13 3 1 7 + 0 (13) + 3 7 1 13 + 0 5 + 3 1 1 3 + 0 (7) + 3 3 = 2 1 2 13 5 7 = 2 7 + (1)(13) + 2 7 2 13 + (1) 5 + 2 1 2 3 + (1)(7) + 2 3 = 1 1 0 7 1 3 1 7 + 1 (13) + 0 7 1 13 + 1 5 + 0 1 1 3 + 1 (7) + 0 3 14 10 6 = 41 23 19 . 6 18 4 15 + 01+ 3(1) 11+ 01+ 31 1(2) + 03 + 3(2) 8 2 4 ( A B)C = 25 + (1)1+ 2(1) 21+ (1)1+ 21 2(2) + (1)3 + 2(2) C = 7 3 11 11+11+ 01 1(2) +13 + 0(2) 15 +11+ 0(1) 6 2 1

40

Aadar, A (B C) = (A B) C. 1 b) A (B + C ) = 2 1 1 0 AB + AC = 2 1 1 1

0 2 0 0 2 + 16 16 + 6 + 0 0 2 + 8 14 10 6 1 3 1 = 0 3 + 44 14 + 9 + 0 0 3 + 22 = 41 23 19 . 4 0 2 0 2 4 12 + 6 + 0 0 2 2 6 18 4

0 3 5 3 2 5 + 0 15 3 + 0 + 3 2 + 0 12 20 1 2 0 4 2 = 10 + 0 10 6 4 + 2 4 2 8 = 0 1 0 5 1 4 5 + 0 + 0 3 + 4 + 0 2 + 2 + 0 5 3 5 1 2 1 0 3 0 2 0 5 + 0 3 1 + 0 + 3 2 1 1 3 + 2 1 2 1 3 1 = 10 1 2 2 1 + 2 0 1 1 2 1 1 0 4 0 2 5 + 1 + 0 1+1+ 0

0 10 4 14 7 0 2+06 4 3 4 + 2 + 3 + 0

Aadar A (B + C) = AB + AC. c)

0 + 0 12 2 + 0 + 0 0 + 0 6 8 2 4 12 2 6 20 0 10 + 0 +1 8 4 3 + 0 0 + 1 4 = 7 3 11 + 7 1 3 = 0 4 14 . 0 1+ 0 2 + 3 + 0 0 1 0 6 2 1 1 5 1 5 7 0

Pentru calculul expresiei A C + B C vom folosi calculul lui A C fcut la punctul b) i al lui B C fcut la a). 12 2 6 7 13 3 5 11 3 Avem: A C + B C = 7 1 3 + 13 5 7 = 20 6 10 . 1 5 1 7 1 3 6 6 2

4 1 1 0 2 0 0 1 4 8 + 3 + 0 0 1 2 5 11 3 ( A + B) C = 3 0 5 1 3 1 = 0 + 0 20 6 + 0 + 0 0 + 0 10 = 20 6 10 . 0 2 2 4 0 2 0 2 + 8 0 + 6 + 0 0 2 + 4 6 6 2

Aadar, (A + B) C = A C + B C.E5. Rezolvare:2

2 1 2 1 2 1 4 + 1 2 3 5 1 1 3 = 1 3 1 3 = 2 3 1 + 9 = 1 10 ; 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 1 2 1 1 2 3 1 1 3 2 = 3 2 3 2 3 2 = 3 + 6 3 + 4 3 2 = 9 1 3 2 = 2 9 2 6 11 4 = = . 9 + 3 9 + 2 12 7 2 1 2 1 2 1 4 + 1 2 1 5 3 Avem: = = = 1 1 1 1 1 1 2 1 1 + 1 3 2 2 1 2 1 2 1 5 3 5 3 25 + 9 15 6 34 21 1 1 = 1 1 1 1 = 3 2 3 2 = 15 6 9 + 4 = 21 13 . 2 1 2 1 2 1 34 21 2 1 68 + 21 34 21 89 55 1 1 = 1 1 1 1 = 21 13 1 1 = 42 13 21 + 13 = 55 34 . 5 4 4 2 2 2 3

E6. Rezolvare:1 2 2 1 2 2 1+ 8 8 2 6 + 8 2 + 8 10 A = 4 3 4 4 3 4 =4 12 +16 8 + 9 16 8 12 + 20= I3 4 4 5 4 4 5 4 16 + 20 8 +12 20 8 16 + 25 2

41

Aadar

A2 = I3. A3 = A2 A = I3 A = AA2006 = ( A2 )1003 = I32003 = I3 ( A3 + I )10 = ( A + I3 )10

0 1 1 not Dar A + I3 = 2 2 1 2 = 2 B i B2 = B. 2 2 3 Rezult c ( A + I3 )10 = (2B)10 = 210 B10 = 210 B .

E7. Rezolvare: Calculm cteva puteri consecutive ale lui A1 A2 = A A = 1 1 A3 = A2 A = 2 1 A4 = A3 A = 3

0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1

0 1 = 1 2 0 1 = 1 3 0 1 = 1 4

0 1 0 1 0 . 1 1 0 , formul care o n 1

Din forma de scriere a matricelor A, A2, A3, A4 se deduce c An = demonstrm prin inducie matematic dup n i q, n U 1. Pentru n = 1, rezult c A1 =

1 0 = A , ceea ce este evident adevrat. 1 1 0 1 0 1 k +1 Presupunem c Ak = i demonstrm c A = k + 1 1 . k 0 0 1 0 1 0 1 Avem c Ak +1 = Ak A = 1 1 = k + 1 1 , ceea ce trebuia demonstrat. k 1 1 0 , n i q*. n 1

Aadar, An =

E8. Rezolvare:

Lum matricea X de forma: X = , a, b, x, y i Z. x y nlocuind n relaia de la a) avem: x y 3 relaie echivalent cu

a b

a b 1 2 5 10 , = 4 4 2 a + 3b 2a + 4b 5 10 x + 3 y 2x + 4 y = 4 2 . a + 3b = 5 x + 3 y = 4 i 2a + 4b = 10 2x + 4 y = 2

Se obin sistemele de ecuaii:

cu soluiile a = 1, b = 2, respectiv x = 1, y = 1. Aadar, X = . 1 1 421

2

nlocuind n relaia de la punctul b) se obine: 2

1 3 a b 5 7 , = 1 x y 4 0 a + 3x b + 3 y 5 7 relaie echivalent cu: = . 2b + y 4 0 2a + x a + 3x = 5 b + 3 y = 7 i 2a + x = 4 2b + y = 0

Din aceast egalitate de matrice se obin sistemele de ecuaii:

care au soluiile a = 1, x = 2, respectiv b = 1, y = 2. Aadar, X = 2E9. Rezolvare: a) B = 2f(A) f(A + I2). Avem: f(A) = A3 4A + 2I2

1 1 . 2

1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 = = 2 1 2 1 2 1 4 1 2 1 6 1 1 0 1 0 1 0 1 0 4 0 2 0 5 0 Rezult c f ( A) = 4 2 1 + 2 0 1 = 6 1 + 8 4 + 0 2 = 2 5 . 6 1

Dar A3 = A2 A =

f(A + I2) = (A + I2)3 4(A + I2) + 2I2.

Dar A + I2 =

0 0 0 0 0 0 0 0 2 , ( A + I2 ) = 2 0 2 0 = 0 0 = O2 2 0 3 2 i ( A + I2 ) = ( A + I2 ) ( A + I2 ) = O2 .

Rezult c f ( A + I2 ) = O2 4

nlocuind n expresia matricei B se obine:

0 0 1 0 0 0 0 0 2 0 2 0 + 2 0 1 = 0 0 + 8 0 + 0 2 = 8 2 . 2 0 5 0 2 0 8 0 B = 2 = . 2 5 8 2 4 8

b) Calculm A t A =

1 0 1 2 0 2 = 2 1 0 1 2 0 5 0 2 5

Din punctul a) avem c f ( A) =

f(A tA) = (A tA)3 4(A tA) + 2I2. Dar ( A t A)3 = 0 2 0 2 0 2 0 2 4 0 0 2 0 8 = = = . 2 0 2 0 2 0 2 0 0 4 2 0 8 0 0 8 0 8 2 0 2 16 + + = . 8 0 8 0 0 2 16 2 3

Rezult c f ( A t A) =

nlocuind n expresia matricei C se obine: 5 0 2 16 5 0 4 32 9 32 C = + 2 16 2 = 2 5 + 32 4 = 34 9 . 2 5

43

SintezS1. Rezolvare: a) Matricea X trebuie s fie de tipul (3, 2) pentru a avea loc egalitatea de matrice din enun.a 1 1 1 nlocuind pe X avem: b 0 1 1 c

Efectund nmulirea de matrice se obine urmtoarea egalitate de matrice: a b + c x y + z 0 3 , = bc y z 3 2 a b + c = 0 b c = 3 din care se obine sistemul de ecuaii: x y + z = 3 y z = 2

x 0 3 y = 3 2 . z

Din primele dou ecuaii se obine a = b c = 3, b = 3 + c i c i Z. Din urmtoarele dou ecuaii se obine x = 5, y = 2 + z i z i Z.5 3 3 + c 2 + z , c, z i Z. Aadar X = c z

b) n egalitatea aceasta se impune condiia ca X i M3,1(Z). Avem: 1 4 1 a 3 0 1 3 b = 8 , egalitate care se scrie sub forma: 2 2 5 c 9 a + 4b + c = 3 b + 3c = 8 2a + 2b + 5c = 9 a + 4b + c 3 b + 3c = 8 2a + 2b + 5c 9

Identificnd elementele corespunztoare ale acestor matrice se obine sistemul de ecuaii:

nmulind prima ecuaie cu 2 i adunnd-o la ecuaia a treia se obine un sistem de dou ecuaii cu necunoscutele b i c:6b + 3c = 15 cu soluia: b = 1, c = 3. b + 3c = 8

nlocuind b i c n una din ecuaiile care conin a se obine a = 2.2 Aadar, X = 1 3

c) n aceast relaie matriceal matricea X este ptratic de ordinul 3:x m 8 2 1 y n= 9 5 4 z p 3 1 5

1 1 1 a Avem: 2 0 3 b 1 1 2 c

Efectund nmulirea de matrice se obine egalitatea matriceal: ab+c 2a + 3c a + b 2c x y + z m n + p 8 2 1 2 x + 3z 2m + 3 p = 9 5 4 x + y 2z m + n 2 p 3 1 5

44

Punnd condiia egalitii celor dou matrice se structureaz trei sisteme de ecuaii cu cte trei necunoscute de forma:a b + c = 8 x y + z = 2 m n + p = 1 , 2 x + 3z = 5 , 2m + 3 p = 4 2a + 3c = 9 a + b 2c = 3 x + y 2z = 1 m + n 2 p = 5

Se obin soluiile: a = 3, b = 4; c = 1 x = 1; y = 0; z = 1 m = 2; n = 3; p = 0 3 1 2 Aadar, X = 4 0 3 . 1 1 0

S2. Rezolvare:

a) Avem egalitatea: = , 0 1 x y 0 1 care este echivalent cu:

1 5 a b 1 0

Se obin egalitile de elemente: a + 5x = 1 b + 5y = 0 x=0

a + 5x b + 5 y 1 0 = y 0 1 x

Rezult c: a = 1, b = 5 i X = , 0 1 b) nlocuind A, X i B se obine egalitatea: a + 5x = 2 b + 5 y = 1 1 5 a b 2 1 = . Procednd ca la a) se obine sistemul de ecuaii: 0 1 x y 1 1 x =1 y =1

1 5

cu soluiile a = 3; b = 4, x = 1, y = 1. Aadar, X = 1

3 4 . 1 a b 1 5 2 1 c) Dup nlocuirea matricelor X, A i B se obine egalitatea = , care este x y 0 1 1 1 a 5a + b 2 1 echivalent cu: = . x 5 x + y 1 1

Rezult c: a = 2, x = 1, 5a + b = 1, 5x + y = 1. 2 9

Se obine c X = . 1 4 d) AX = XB

Se obine sistemul de ecuaii:

1 5 a b a b 2 1 a + 5x b + 5 y 2a + b = = y 2x + y 0 1 x y x y 1 1 x

a + b . x + y

a + 5x = 2a + b a + b 5x = 0 b + 5 y = a + b a 5 y = 0 , cu soluia x = y = a = b = 0. Rezult c X = O2. x = 2x + y x + y = 0 y = x + y x = 0

45

e) Egalitatea BXB = A este echivalent cu: = . 1 1 x y 1 1 0 1 Efectund nmulirea de matrice se obine succesiv: 2a + x 2b + y 2 1 1 5 4a + 2x + 2b + y 2a + x + 2b + y 1 5 = a + x b + y 1 1 = 0 1 2a + 2 x + b + y a + x + b + y 0 1 4a + 2x + 2b + y = 1 2a + x + 2b + y = 5 2a + 2x + b + y = 0 a + x + b + y = 1

2 1 a b 2 1 1 5

Identificnd elementele celor dou matrice egale se obine sistemul de ecuaii:

Scdem primele dou ecuaii ntre ele i ultimele dou ecuaii ntre ele. Se obine un nou sistem de ecuaii: 2a + x = 4 , cu soluia: a = 3; x = 2 a + x = 1

nlocuim pe a i x n prima i a treia ecuaie a sistemului iniial i se obine un sistem cu dou ecuaii cu necunoscutele b i y: Aadar X = 2S3. Rezolvare: a b a b a2 b2 A2 = A A = = b a b a 2ab a 2 b2 2ab 2ab a 2 b2 3 7 . 5 2b + y = 9 , cu soluia b = 7, y = 5. b + y = 2

nlocuind n egalitatea din enun se obine egalitatea matriceal:2ab 3a 3b 2 0 1 1 + + = a2 b2 3b 3a 0 2 1 1

echivalent cu: a2 b2 3a + 2 2ab + 3b 1 1 = . 2 a b2 3a + 2 1 1 2ab 3b

Din aceast egalitate matriceal se obine sistemul de ecuaii:a2 b2 3a + 2 = 1 a2 b2 3a = 3 2ab 3b = 1 2ab 3b = 1 b2 = a2 3a + 3 Sistemul de ecuaii se aduce la forma: b(2a 3) = 1

Se ridic la ptrat a doua ecuaie i se substituie b2 obinndu-se ecuaia: (a2 3a + 3)(2a 3)2 = 1, Se noteaz a2 3a = y i se obine ecuaia (y + 3)(4y + 9) = 1 cu soluiile y1 = 2, y2 = 13 .4

sau

(a2 3a + 3)[4(a2 3a) + 9] = 1.

Revenind la notaia fcut se obine: a2 3a = 2, cu soluia a i {1, 2}, respectiv a2 3a = 13 care nu are soluii reale.4

Pentru a = 1 se obine b = 1, iar pentru a = 2 se obine b = 1. Aadar, A = sau A = 1 1 1 1 1 2 1 . 2

46

S4. Rezolvare:

Fie A =

echivalent cu:

a b M2 (Z) . Ecuaia matriceal devine: x y 2a 2b 1 2 a b 3 1 1 3 2 x 2 y 1 1 x y 1 1 = 4 2

sau nc:

2a 2b a + 2x b + 2 y 3 1 1 3 2 x 2 y a + x b + y 1 1 = 4 2 2a 2b 3a + 6 x b 2 y a + 2x + b + 2 y 1 3 2 x 2 y 3a + 3x + b y a + x b + y = 4 2

Efectund scderea de matrice i respectnd egalitatea de matrice se obine sistemul de ecuaii cu necunoscutele a, b, x, y.a 6x + b + 2 y = 1 a 2 x + b 2 y = 3 3a x b + y = 4 a x + b + y = 2 2a 7 x + 3 y = 5 2a 7 x + 3 y = 5 2a 3x y =1 2a 3x y =1 4a 2x + 2 y = 6 2a x + y = 3

(1)

Adunm ecuaia a treia la toate celelalte ecuaii ale sistemului (1) i se obine: (2)4x + 4 y = 4 x + y = 1 . 6x + 2 y = 2 3x + y = 1

Scdem prima ecuaie din celelalte dou ecuaii i se obine:

Se obine x = 0 i y = 1. nlocuind x i y n una din ecuaiile sistemului (2) se obine a = 1. nlocuind a, x i y ntr-o ecuaie a sistemului (1) se obine b = 0. Aadar, A = . 0 1S5. Rezolvare: 1 0

a b A= M 2 (Z) . Egalitatea din enun se scrie sub forma urmtoare: x y 1 1 a b a b 1 1 3 2 x y = x y3 2 .

Efectund nmulirea de matrice se obine egalitatea matriceal:b y a + 3b a + 2b ax 3a + 2x 3b + 2 y = x + 3 y x + 2 y a x = a + 3b x = 3b b y = a + 2b din care se obine sistemul de ecuaii: y = a b . 3a + 2 x = x + 3 y a , b Z 3b + 2 y = x + 2 y b a Aadar A = , a, b i Z. 3b a b

47

S6. Rezolvare: S calculm mai nti A2 i A3. Avem: 1 A = A A = 0 2 5 3 2 A = A A= 0 42

nlocuind A2 i A3 n relaia din enun se obine:

0 2 1 1 0 0 0 1 2 0 4 1 1 0 0 0 5 2

0 2 5 1 0 = 0 0 1 4 0 2 13 1 0 = 0 0 1 14

0 4 1 0 0 5 0 14 1 0 0 13

sau nc:

13 0 14 5 0 4 1 0 2 0 1 0 = x 0 1 0 y 0 1 0 14 0 13 4 0 5 2 0 1 13 0 14 5x + y 0 1 0 = 0 14 0 13 4x 2 y 0 4x 2 y . x y 0 0 5x + y

Identificnd elementele omoloage ale acestor matrice egale se obine sistemul de ecuaii:5x + y = 13 4x 2 y = 14 cu soluia: x = 2, y = 3. x y = 1

S7. Rezolvare: cos sin 6 6 Matricea A se poate scrie sub forma: A = . cos sin 6 6 Pentru uurina scrierii vom nota x = . Calculm cteva puteri ale matricei A i obinem: 6 cos x sin x cos x sin x cos2 x sin 2 x 2sin x cos x cos 2 x sin 2x = A2 = A A = = 2 2 sin x cos x sin x cos x 2sin x cos x cos x sin x sin 2x cos 2 x cos2x sin 2x cos x sin x cos2x cos x sin 2x sin x cos2x sin x + sin 2x cos x A3 = A2 A = = = sin 2x cos2x sin x cos x sin 2x cos x cos2x sin x sin x sin 2x + cos2x cos x cos(2x + x) sin( x + 2 x) cos3x sin 3x = = . sin( x + 2x) cos(2x + x) sin 3x cos3x

Din forma de scriere a matricelor A, A2, A3 se poate generaliza c cos nx sin nx An = , n i q*. sin nx cos nx

Demonstrm aceast relaie prin inducie matematic dup n i q*. Pentru n = 1 se obine A1 = cos x sin x , ceea ce este evident adevrat. sin x cos x cos k x sin k x cos(k + 1) x sin(k + 1) x k +1 Presupunem c Ak = i demonstrm c A = . sin k x cos k x sin(k + 1) x cos(k + 1) x cos kx sin kx cos x sin x cos kx cos x sin kx sin x cos kx sin x + sin kx cos x Ak +1 = Ak A = = = sin kx cos kx sin x cos x sin kx cos x cos kx sin x sin kx sin x + cos kx cos x

Avem c

48

cos(kx + x) sin(kx + x) cos(k + 1) x sin(k + 1) x = = , ceea ce trebuia artat. sin(kx + x) cos(kx + x) sin(k + 1) x cos(k + 1) x cos nx sin nx Aadar, A n = , n i q*, unde x = . 6 sin nx cos nx

S8. Rezolvare:

Avem:

2 A = 0 0 4 3 2 A = A A = 0 0 2 4 3

1 0 2 1 1 0 0 1 0 2 0 0 3 0 2 1 1 0 0 1 0 4 0 0

0 4 3 0 0 = 0 1 0 2 0 0 4 0 8 7 0 0 = 0 1 0 2 0 0 8

Analiznd forma de scriere a matricelor A, A2, A3, A4 se observ c An se poate scrie sub 2n forma: An = 0 0 2n 1 0 1 0 , n i q*. 0 2n

8 7 0 2 1 0 16 15 0 A = A A = 0 1 0 0 1 0 = 0 1 0 0 0 8 0 0 2 0 0 16

Demonstrm aceast formul prin inducie matematic dup n i q*. Pentru n = 1 se obine A1 = A. 2k Presupunem c Ak = 0 0 2k +1 2k +1 1 0 2k 1 0 1 0 i demonstrm c Ak +1 = 0 1 0 . 0 0 2k 0 2k +1

Avem c

ceea ce trebuia demonstrat. 2n Aadar An = 0 0

2k Ak +1 = Ak A = 0 0

2k 1 0 2 1 0 2k +1 2k + 2k 1 0 2k +1 2k +1 1 0 1 0 0 1 0 = 0 1 0 = 0 1 0 , 0 2k 0 0 2 0 0 2k +1 0 0 2k +1

2n 1 0 1 0 , n i q*. 0 2n

S9. Rezolvare:

a) A(x) A( y) =

x 1 2 y y (1 2x)(1 2 y) + x(6 y) (1 2x) y + x(1 + 3 y) 1 2x 6 y 1 + 3y = 6x(1 2 y) 6 y(1 + 3x) 6xy + (1 + 3x)(1 + 3 y) = 6x 1 + 3x y 2 xy + x + 3xy 1 2( x + y + xy) x + y + xy 1 2x 2 y + 4 xy 6xy = = 6( x + y + xy) 1 + 3( x + y + xy) = 6x + 12xy 6 y 18xy 6xy + 1 + 3x + 3 y + 9 xy

= A( x + y + xy) , x, y i Z.

Aadar, A(x), A(y) = A(x + y + xy), x, y i Z.

49

b) Vom respecta regula de nmulire a dou matrice A(x), A(y) dat de punctul a). Avem: A2 ( x) = A( x) A( x) = A( x + x + x x) = A(2x + x2 ) A((x + 1)2 1) = A(x2 + 2x + 1 1) = A(x2 + 2x) Aadar A2 ( x) = A(( x + 1)2 1) , x i Z.A3 ( x) = A2 ( x) A( x) = A( x2 + 2 x) A( x) = A( x2 + 2 x + x + x( x2 + 2 x)) = A( x3 + 3x2 + 3x) = A(( x + 1)3 1) .a)

a)

Aadar A3(x) = A((x + 1)3 1), x i Z. c) Folosind punctul b) se poate generaliza c: A(nx) = A(( x +1)n 1) , n i q*, x i Z. Vom demonstra aceast formul prin inducie matematic dup n i q*. Pentru n = 1, formula devine: A1( x) = A( x + 1 1) A( x) = A( x) Presupunem c Ak ( x) = A(( x + 1)k 1) i demonstrm c Ak+1(x) = A((x + 1)k+1 1) Dar Ak +1( x) = Ak ( x) A( x) = A(( x + 1)k 1) A( x) = A (( x + 1)k 1 + x + x( x + 1)k x ) == A(( x + 1)k (1 + x) 1) = A(( x + 1)k +1 1) , ceea ce trebuia demonstrat.a)

Aadar An(x) = A((x + 1)n 1), n i q*, x i Z. Rezult c pentru n = 2006 i x = 1 se obine 1 2(22006 1) 22006 1 A2006 (1) = A((1 + 1)206 1) = A(22006 1) = . 2006 2006 6(2 1) 1 + 3(2 1)

S10. Rezolvare: 1 0 0 0 1 2 1 1 2 a) I3 + B = 0 1 0 + 0 0 1 = 0 1 1 = A . 0 0 1 0 0 0 0 0 1

Aadar I3 + B = A. Pentru calculul lui An folosim c A = I3 + B i aplicm formula binomului lui Newton: 0 1 2 3 n An = (I3 + B)n = Cn I3 + Cn B + Cn B2 + Cn B3 + ... + Cn Bn . 0 0 1 Dar B = B B = 0 0 0 i B3 = O3, deci Bn = O3, n U 3. 0 0 0 n(n 1) 2 n Rezult c A = I3 + n B + (1) B . 22

Pentru calculul sumei S se folosete formula 1 dnd lui n valori de la 1 la 20 i nsumnd. Se obine: S = I3 + B +I3 + 2B + 2 1 B 2 + 2 I3 + 3B + 3 2 B2 + 2

...........................I3 + 20B + 20 19 B2 = 2 20 = 20I3 + (1+ 2 + 3 + ... + 20)B + 1 (21+ 3 2 +... +19 20)B2 = 20I3 + 20 21 B + 1 k (k 1) B2 = 2 2 2 k=1

= 20I3 + 210B + 1 20 21 41 20 21 B2 = 20I3 + 210B + 2660B2 . 2 6 2

50

S11. Rezolvare:

a) C (k ) =

Calculm separat fiecare termen al matricei S.

k 1 0 1 + k 2 k + 1 1 0 k 2 + k + 2 k + 1 = = 1 1 1 k 2 1 1 1 k 2 + 1 1 20 (k 2 + k + 2) 20 (k + 1) k =1 20 k =1 b) S = C (k ) = 20 . 20 k =1 (k 2 + 1) 1 k =1 k =1 1 1 1 2 0 1 k

(k 2 + k + 2) = k 2 + k + 2 =k=1 k=1 k=1 k=1

20

20

20

20

n(n +1)(2n +1) 6

n=20

+

n(n +1) 2

n=20

+ 20 2 =

= 20 21 41 + 20 21 + 40 = 2870 + 210 + 40 = 3120 . 6 2 20 20 20 (k + 1) = k + 1 = 202 21 + 20 = 210 + 20 = 230 . k =1 k =1 k =1k =1

(k 2 + 1) = k 2 + 1 = 20 21 41 + 20 = 2870 + 20 = 2890 . 6k =1 k =1

20

20

20

3120 230 Aadar, S = . 2890 20

TESTE DE EVALUARE TESTUL 11. Rezolvare: Relaia = 5 este echivalent cu 2x2 + 3x 5 = 0.

Se obine x1 = 1, x2 = 5 . Aadar, rspunsul este d).2

2. Rezolvare:

Avem: + 2 2x x 3 y

x

2x 3 y

2

3y 4 5 x + 3y = 3xy 5 4 2 x + 3 y2

Din prima ecuaie se obine x = 4 3y2.

x + 3y2 = 4 2x + 3 y 4 5 = 2x + 3 y = 5 2 x + 3xy 5 4 2 x + 3xy = 4

(1)

Substituind n a doua ecuaie se obine ecuaia 2y2 y 1 = 0 cu soluiile y1 = 1, y2 = 1 .2

Pentru y = 1 se obine x = 1, valori care satisfac i ecuaia a treia a sistemului (1) Pentru y = 1 se obine x = 13 , valori care nu satisfac ecuaia a treia a sistemului (1).2 4

Aadar, x = y = 1.3. Rezolvare: a) S determinm A9, respectiv A10. 1 1 1 1 1 1 2 2 2 A = 0 1 0 0 1 0 = 0 1 0 . 1 0 1 1 0 1 2 1 2 2

4 4 4 A = A A = 0 1 0, 4 3 43 2

8 8 8 A = A A = 0 1 0. 8 7 84 3

51

Pentru n = 9, respectiv n = 10 se determin A9, A10 i 28 B = A9 + A10 = 0 28 28 29 0 + 0 28 1 28 29 28 1

2n 1 2n 1 2n 1 1 0 , n i q*. Se demonstreaz prin inducie c An = 0 2n 1 2n 1 1 2n 1 29 640 640 640 0 = 0 2 0 . 29 1 29 640 638 640 29 1

Rezult c tr(B) = 640 + 2 + 640 = 1282 i b31 + b22 + b13 = 1282. 2n 1 2n 1 2n 1 b) Demonstrm prin inducie matematic faptul c An = 0 1 0 , n i q*. 2n 1 2n 1 1 2n 1

Pentru n = 1, egalitatea este evident.

2k 1 2k 2k 1 2k 1 Presupunem c Ak = 0 1 0 i demonstrm c Ak +1 = 0 2k 1 2k 1 1 2k 1 2k

Dar

2k 2k 1 0 . 2k 1 2k 2k 0 , 2k 1 2k 2k 1

ceea ce trebuia demonstrat.

2k 1 2k 1 2k 1 1 1 1 2 2k 1 2 2k 1 2 2k 1 2k Ak +1 = Ak A = 0 1 0 0 1 0 = 0 1 0 = 0 k 1 2k 1 1 2k 1 1 0 1 2 2k 1 2 2k 1 1 2 2k 1 2k 2

2n 1 2n 1 2n 1 Aadar, An = 0 1 0 , n i q*. 2n 1 2n 1 1 2n 1

Testul 21. Rezolvare:1

a) Lund x = 0 se obine A(0) =

0 1 0 = = I 2 I2 M . 0 (1)0 0 1

b) Fie A, B i M. Rezult c exist x, y i m astfel nct A = A(x) i B = A(y). n acest caz,x 1 y 1 1 A B = A( x) A( y) = = x y 0 (1) 0 (1) 0 y + (1) y x . (1) x + y

Deoarece (1) y + (1) x = (1) y (1)(1) x = (1) y (1)(1) c) Fie A = A(x), x i m. Pentru x = 2k, A( x) =

y

y

(

y

)

x

= (1) y (1)x = (1)x + y , rezult c A B i M.

1 x 2 1 2x 3 1 3x , A ( x) = 0 1 A ( x) = 0 1 . 0 1 1 nx Prin inducie se arat c An ( x) = , n i q*. 0 1

52

Pentru x = 2k + 1, A( x) =

1 x 2 , A ( x) = I2 . 0 1 I2 , n = par . A , n = impar

A3(x) = A(x). n general, se obine c An ( x) = 2. Rezolvare: Se obin ecuaiile:

2x + 4x = 20, 3y + 9y = 90,

Cz2 = 45, 5 At2 1 = 60 . +

Ecuaia 2x + 4x = 20 se scrie sub forma 4x + 2x 20 = 0. Notnd 2x = m > 0 se obine ecuaia m2 + m 20 = 0 cu soluiile m1 = 4 i m2 = 5, de unde se obine x = 2. Notnd 3y = a se obine ecuaia de gradul doi a2 + a 90 = 0 cu soluiile a1 = 9, a2 = 10 din care se obine y = 2. Ecuaia Cz2 = 45 este echivalent cu z = 10. Din 5 At2+1 = 60 se obine (t + 1)t = 12, adic t2 + t 12 = 0, cu soluia natural t = 3. Aadar, x = 2, y = 2, z = 10, t = 3.3. Rezolvare: 1 1 a b az( z 1) 2 = 45 sau nc z z 90 = 0 cu soluia natural 2

nlocuind A i M2(m) se obine ecuaia + = , a, b, x, y i m, 0 1 x y b y 0 1 3 7 care se scrie sub forme echivalente astfel: a + x b + y a a + x 4 7 2a + x b + a + y + x 4 7 + = = x y b b + y 3 7 x + b b + 2y 3 7 2a + x = 4 x + b = 3 Rezult c: b + a + y + x = 7 b + 2 y = 7

x 1 1 4 7

Se obine: a = 4 y; b = 7 2y, x = 2y 4, y i m. Aadar A = 4 y 7 2y , y i m. y 2y 4

4. Rezolvare: 0 a x 0 x 0 0 a 0 ay 0 AB BA = = b 0 0 y 0 y b 0 bx 0 by

xa 0 ay ax = 0 bx by 0

0 ay ax 0 ay ax (ay ax)(bx by) 0 ( AB BA)2 = = . 0 bx by 0 0 (bx by)(ay ax) bx by

Aadar (AB BA)2 are cel puin dou elemente nule.

53

Capitolul II. Determinani 2.1. Determinantul unei matrice ptratice de ordin cel mult treiExersareE1. Rezolvare 2 5 = (2) 10 8(5) = 20 ; a) 8 10 b) c)2 3 6 32 = 2 32 (3)(6) = 64 18 = 46

1,5 7, 2 = 1,5 8 5 (7, 2) = 12 + 36 = 48 ; 5 8 2 + i 1 d) 2 = (2 + i)(2 i) i2 (1) = 4 i2 (1) = 4 i2 + i 2 = 4 . i 2i E2. Rezolvare. 7 8 a) 5 3 = 7 25 9 8 = 35 24 = 11 ; 5 3 9 25

b) c)

3 32 2 75

= 3 ( 75) 2 ( 32) = 225 + 64 = 15 + 8 = 7 ;

1 3 5 1 =(1+ 3)( 3 1) (1+ 5)( 5 1) = 2 4 =6 ; 1+ 5 3 1 lg100 0,5 d) = lg100 lg 0,1 + 8 0,5 = 2 (1) + 4 = 2 ; lg 0,1 8 3! 5! = 3!4! 0!5! = 6 24 1120 = 24 ; e) 0! 4! f) g) h)2 A4 3 A3

C

1 5

C

3 4

2 3 1 3 = A4 C4 C5 A3 = 12 4 5 6 = 18 ;

2x +1 9 y +1 2

32 y 2x

= 2x +1 2 x 9 y +1 32 y = 2 9 = 7 ; i = (1 i)2 (1 + i)2 i(i) = (1 i2 )2 + i 2 = 4 1 = 3 .

(1 i) i

(1 + i)

2

E3. Rezolvare

2 1 4 5 + = (8 + 7) + (8 + 30) = 53 7 4 6 2 6 6 det( A + B) = = 48 + 78 = 126 . 13 8 Rezult c det(A) + det(B) < det(A + B), pentru matricele date. a) det( A) + det( B) =54

b) det( AB) =

2 12 = 54 + 624 = 570 52 27

det(A) det(B) = 15 38 = 570 Aadar, det(AB) = det(A) det(B);3 3 1 1 = 9 + 21 = 30 . c) det[ 3( A I 2 )] = det 3 = 7 3 7 3 3 3 4 1 4 1 det( A + 2I 2 ) = det = 24 + 7 = 31 . = 7 6 7 6

Rezult c det[ 3( A I 2 )] < det( A + 2I2 ) .E4. Rezolvare a) Ecuaia se scrie sub forma: 2x + 12x = 20 10x = 20 x = 2. b) Se obine: 5x 6x + 2 = 10 x = 8. c) Se obine: 6 x2 x2 x = 4 5x2 x 4 = 0 cu soluiile: x1 = 1, x2 = 4 ; 5 2 2 d) Ecuaia este: 3x x 4x + x 4x + 1 = x 5 5x2 + x 6 = 0 cu soluiile: x1 = 1, x2 = 6 ; 5 e) Avem: x2 xi 2xi = 9 xi x2 2xi 9 = 0 cu soluiile:x1,2 = 1 2 2 ;

f) Se obine succesiv:

6 x x = 36 x x 30 36x 6x 30 = 0. y1 = 6, y2 = 5.

Notnd 6x = y se obine ecuaia y2 y 30 = 0 cu soluiile: Se obine soluia x = 1.E5. Rezolvare: Regula lui Sarrus

3 1 2 1 4 5 2 1 1 = 34(1) +1(1)2 + (2)(1)5 24(2) 5(1)3 (1)(1)1= 26 . 3 1 1 4 2 5

Regula triunghiului

3

1

2

1 4 5 = 34(1) +1(1)2 +(2)(1)5(2)24(2)(1)1(1)(1)53 = 2 1 1 = 26 55

Regula minorilor 3 1 2 4 5 1 5 + (1)(1)1+2 + 1 4 5 = 311 + (1)12 + 213 = 3 1 1 2 1 2 1 11 4 = 3(4 + 5) + (1 + 10) + 2(1 + 8) = 26 . 2 1 Se procedeaz analog pentru ceilali determinani i se obin rezultatele: b) 18; c) 10; d) 4; e) 3; f) 0; g) 0; h) 0.+2 (1)1+3E7. Rezolvare: a) Se observ c elementele liniilor unu i trei sunt proporionale. Rezult c determinantul este nul.

b) Se d factor comun 10 de pe coloana I i se obine: 1 1 3 10 5 1 1 =10(1+ 30 10 30 + 5 2) =60 ; 10 2 1 c) Se observ c determinantul are prima i a treia coloan proporionale, factorul de proporionalitate fiind k = 5. Rezult c determinantul este nul.d) Se formeaz dou zerouri scznd prima linie din celelalte. Avem: 1 a m ba nm = (b a)( p m) (n m)(c a) ; 0 ba nm = ca pm 0 ca pm e) Se adun coloana a doua i a treia la prima coloan, se d factor comun de pe aceast coloan i se obine: x + 2y y y 1 y y x + 2 y x y = ( x + 2 y) 1 x y . x + 2y y x 1 y x Se formeaz zerouri pe prima coloan scznd prima linie din celelalte linii. 1 y y 0 x y 0 = ( x + 2 y) = ( x + 2 y)( x y)2 ; Se obine: ( x + 2 y) 0 x y 0 x y 0 0 x y f) Se adun toate coloanele la prima coloan i se d factor comun pe coloana nti. Se obine: a+b+c b c 1 b c a + b + c c a = (a + b + c) 1 c a . a+b+c a b 1 a b Se formeaz zerouri pe coloana nti scznd prima linie din celelalte linii. Se obine: 1 b c c b a c = (a + b + c) 0 c b a c = (a + b + c) a b b c 0 a b b c= (a + b + c)[(c b)2 (a b)(a c)] = (a + b + c)(ab + bc + ca a2 b2 c2 ) .

56

E8. Rezolvare:

a) 11 = (1)1+1d11 =

6 3 5 1

= 21

12 = (1)1+2 d12 =13 = (1)1+3 d13 =

4 3 =40 12 1

4 6 =52 12 5 9 10 5 1 = 59

21 = (1)2+1d21 = 22 = (1)2+2 d22 =

8 10 = 8120 =112 12 1 8 9 =148 12 5 3 =33

23 = (1)2+3 d23 = 31 = (1)3+1d31 =

9 10 6

32 = (1)3+2 d32 = 33 = (1)3+3 d33 =

8 10 = 64 4 3

8 9 = 84 4 6

b) d = 9 12 + 622 + 532 = 9(40) + 6(112) + 5 64 = 8 d = 12 31 + 5 32 + 1 33 = 12(33) + 5 64 + 84 = 8 . c) nmulim linia a doua cu 2 i o adunm la prima linie, apoi o nmulim cu 3 i o adunm la a treia linie. Se obine: 0 21 16 21 16 4 6 3 = 0 + 4 + 0 = 4 = 4(1)2+1d =4 = 11 21 31 21 21 13 10 0 13 10 = 4(210 + 208) = 4 (2) = 8 .

SintezS1. Rezolvare: Calculm cei trei determinani i obinem:

(25 32) 6(6 + 2 20 + 4) 10 = 31.S2. Rezolvare: Calculm determinanii i obinem: 20 21 24 (3 + 1) + 5 (18 + 20 + 10 + 3) = 14 16 = 14 ; fals. 20 15 3

(

)

57

S3. Rezolvare: a) Ecuaia se scrie sub forma echivalent:

4x2 + 8x 5x 15 = 14 4x2 + 3x 1 = 0, cu soluiile x1 = 1, x2 = 1 ; 4 b) Ecuaia este echivalent cu: 2x2 + 2x 3x2 + 6x = i2 (9 i2) x2 8x 9 = 0 cu soluiile x1 = 1, x2 = 9. c) Se obine ecuaia: 2x2 2x 20 + 5x = 5x2 2x 2 7x2 + 5x 18 = 0 cu soluiile x1 = 9 ; x2 = 2 ; 7 d) Se obine succesiv: 3x+2 36 = 2 3x+1 3x 3x(9 6 + 1) = 36 3x = 9 x = 2.S4. Rezolvare: a) Calculnd determinanii se obine: 2x2 + 1 + 1 x 2 x = 315 + 6 28 126 15 + 28 x2 x 90 = 0 cu soluiile x1 = 10, x2 = 9;

b) Calculnd determinanii se obine: x3 + 2 x (3x x3 + 2) = 0 4x = 0 x = 0; c) Ecuaia este echivalent cu: 2(2x 1) 2(3x + 2) + 24 + 4 + 6(2x 1) 4(3x + 2) = 3 x2 x2 10x + 9 = 0, cu soluiile x1 = 1, x2 = 9; d) Pentru calcule mai restrnse aplicm de cteva ori proprieti ale determinanilor pentru determinantul de ordin 3. De exemplu: Scdem coloana nti din celelalte i se obine ecuaia: x 1 2 2 = 5( x +1) 4 x x +3 1 2x1 x 3

Scdem linia nti din a doua i o adunm la a treia i se obine: x 1 2 3 0 0 = x + 5 3x + 3 = x + 5 , 3x 0 x 1 cu soluia x = 1.S5. Rezolvare: Calculnd determinanii se obine ecuaia: x3 6x2 + 5x = 0 x(x2 6x + 5) = 0, cu soluiile x1 = 0, x2 = 1, x3 = 5.

Rezult c S = 126.S6. Rezolvare:

a2 a 1 2 2 a) Se scade succesiv linia nti din a doua i a treia, obinndu-se: d = b a b a 0 . c2 a2 c a 058

Se d factor comun (b a) i (c a) de pe linia a doua, respectiv linia a treia i se obine: a2 a 1 b+a 1 d = (b a)(c a) b + a 1 0 = (b a)(c a) = (b a)(c a)(b c) ; c+a 1 c+a 1 0 b) Se scade coloana nti din celelalte i se obine: a 1 2 a 1 1 d = b 1 2 = 2 b 1 1 = 0 (dou coloane sunt identice, deci d = 0); c 1 2 c 1 1 c) Se scade linia nti din celelalte apoi se d factor comun pe linia a doua i a treia. Se obine succesiv: a a2 + 1 a + 1 a a2 + 1 a + 1d = b a b2 a2 b a = (b a)(c a) 1 c a c2 a2 c a 1 b+a c+a 1 . 1

Se scade coloana nti din a treia i se obin dou zerouri pe coloana a treia: a a2 + 1 1 1 b+a d = (b a)(c a) 1 b + a 0 = (b a)(c a) = (b a)(c a)(c b) ; 1 c+a 1 c+a 0 d) Se adun la prima linie celelalte linii obinndu-se: 0 0 0 d = b c n p y z = 0 (o linie are toate elementele nule); ca pm zx e) Se scade coloana nti din celelalte coloane, apoi se d factor comun pe coloana a doua i a treia i se obine: x yx zx x 1 1 2 2 2 2 2 2 d = x y x z x = ( y x)( z x) x y + x z + x . yz xz yz xy yz yz z y Se scade coloana a doua din a treia i se d factor comun pe coloana a treia obinndu-se: x 1 0 x 1 0 2 2 d = ( y x)( z x) x y + x z y = ( y x)( z x)( z y) x y + x 1 = yz z zy yz z 1 x 1 0 2 y+x 1= = ( y x)( z x)( z y) x 2 yz x x y z 0

= ( y x)( z x)( z y)(1)

x

1

yz x2 x y z = ( x y)( x z)( z y)( xy + xz + yz) ;

= ( x y)( z x)( z y)(xy xz yz) =

f)