Universitatea Dunrea de Jos, GalaiFacultatea Automatic, Calculatoare, Inginerie Electric i ElectronicSpecializarea: UEESR PROIECTModelareai Simularea Sta iilor ElectriceTEM:Regimul de func ionare deformat al re elelor electrice ndrumtor: Masterand: Dumitrescu Mariana Rclea Doru Ctlin20122CUPRINSINTRODUCERESEMNALE PERIODICE NESINUSOIDALE ...........................................................................................................5 1.1.DESCOMPUNEREA SEMNALELOR NESINUSOIDALE N SERIE FOURIER ..............................................................................5 1.1.1.Coeficienii seriei Fourier .......................................................................................................................5 1.1.2. Simetrii caracteristice semnalelor nesinusoidale .................................................................................11 1.1.3. Exemple de descompunere n serie Fourier .......................................................................................... 12 1.2. FORME SIMPLE DE SEMNALE PERIODICE NESINUSOIDALE..........................................................................................14 1.2.1. Exemple de semnale care ndeplinesc ambele condiii de simetrie .......................................................15 1.2.2. Exemplu de semnal periodic nesinusoidal simetric n raport cu axa absciselor ...................................16 1.3. ANALIZA ARMONIC A SEMNALELOR PERIODICE NESINUSOIDALE............................................................................... 17 1.4. MRIMI CARACTERISTICE SEMNALELOR PERIODICE NESINUSOIDALE ...........................................................................19 1.4.1. Valoarea efectiv a unui semnal periodic nesinusoidal ........................................................................ 19 1.4.2. Factor de form. factor de vrf. Coeficient de distorsiune ...................................................................21 2. PUTERI N CIRCUITE DIPOLARE FUNCIONND N REGIM PERMANENT NESINUSOIDAL . . .23 2.1. EVOLUIA CONCEPTELOR ...................................................................................................................................23 2.1.1. Puterea activ......................................................................................................................................23 2.1.2. Puterea reactiv ...................................................................................................................................24 2.2. CONCEPIA BUDEANU....................................................................................................................................... 25 2.2.1. Puterea deformant .............................................................................................................................. 27 2.2.2. Consideraii privind extinderea conceptelor teoriei Budeanu n cazul regimurilor periodice nesinusoidale .................................................................................................................................................29 3. SURSE ALE REGIMULUI DEFORMANT........................................................................................................32 3.1. GENERALITI.................................................................................................................................................32 3.2. CUNOATEREA CONSUMATORILOR DEFORMANI PE TIPURI DE CONSUMATORI ..............................................................39 3.2.1. Elemente neliniare de circuit................................................................................................................39 3.2.2. Originea armonicilor superioare .........................................................................................................41 3.2.3. Consumatori deformani....................................................................................................................... 43 4. EFECTE ALE REGIMULUI DEFORMANT .....................................................................................................47 4.1. FUNCIONAREA MAINILOR SINCRONE N REGIM DEFORMANT ...................................................................................49 4.2. FUNCIONAREA MAINILOR ASINCRONE N REGIM DEFORMANT .................................................................................49 4.3. FUNCIONAREA TRANSFORMATOARELOR DE PUTERE N REGIM DEFORMANT................................................................50 5.CIRCUITE ELECTRICE LINIARE N REGIM DEFORMANT.....................................................................51 5.1. CONSIDERAII GENERALE ...................................................................................................................................51 5.2. REZISTORUL IDEAL N REGIM DEFORMANT............................................................................................................53 5.3. BOBINA IDEAL N REGIM DEFORMANT................................................................................................................. 55 5.4. CONDENSATORUL IDEAL N REGIM DEFORMANT .....................................................................................................57 CONCLUZII.................................................................................................................................................................60 BIBLIOGRAFIE..........................................................................................................................................................61 3INTRODUCEREEnergia electric este considerat n prezent un produs, livrat de furnizor consumatorilor. Calitatea energiei electrice a preocupat specialitii din sectorul electroenergetic nc din primii ani ai utilizrii, pe scar larg, a curentului alternativ; inultimul deceniu, seconstatnsorevigorareainteresului pentruacest domeniu, datorit dezvoltrii explozive a echipamentelor i a tehnologiilor bazate pe electronica deputere. Inprezent, calitateaenergiei electriceconstituieopreocuparemajoratt pentru furnizori, ct i pentru consumatorii de energie electric.Termenul de calitate a energiei electrice (power quality) a devenit deosebit de frecvent dup anul 1980 i reprezint un generic acoperitor pentru luarea n considerareainfluenei unui marenumrdeperturbaii electromagneticecarepot s apar n sistemul electroenergetic (n special la medie i joas tensiune). De menionat insfaptul csintagmadecalitateaenergiei electricenuesteunanimacceptati utilizat peplanmondial, existndnprezent mai muli termeni fo1osii nrelaia furnizor de energie electric consumator:In prezent,utilizatorii implementeaz echipamente i tehnologii tot mai complexe, care reprezint, din punct de vedere electric, o larg clas de sarcini neliniare; furnizorii de energie electric ncurajeaz aceast tendin deoarece ea determin limitarea investiiilor n sistemele de generare, transport i distribuie a energiei electrice (inprincipal, centrale i staii de transformare i/saude distribuie), prin reducereaconsumurilor nsectoareledeutilizare(strategiileDSMDemandeSide Management aplicatenriledezvoltatereprezintunelocvent exemplunacest sens). Pe de alt parte ns, echipamentele noi, corespunztoare tehnologiilor moderne, sunt, de cele mai multe ori, puternic afectate de calitatea redus a energiei electrice; in acelai timp, aceste echipamentereprezint, nmulte cazuri, sursesuplimentare de perturbaii electromagnetice.Dei exigenele consumatorilor deenergieelectric sunt dinceincemai mari, produsul energie electric nu poate fi niciodat perfect i, n consecin, consumatorul trebuie s adopte msuri tehnologice pentru protecia propriilor instalaii n paralel cu aciunile furnizorului pentru mbuntirea calitii energiei electrice livrate.O caracteristic important din punctul de vedere al calitii energiei electrice este formasinusoidalacurbei detensiune. Inrealitate, nici osursnupoateasigurao tensiune perfect sinusoidal.StudiiIe actuale, viznd problema calitii energiei, dezbtute in cadrul unor prestigioase conferine internaionale PQ (POWER QUALITY): Paris (1992), Atlanta-SUA(1993), Ainsteixlam(1994), NewYork(1996), Stockholm(1997), New-Dehil (1998), Boston (2000) se desfoar n principal, pe trei direcii: analiza indicatorilor actuali de calitate i dezvoltare a unor programe eficiente de monitorizare, care s stea la baza unor relaii corecte furnizor consumator; evaluarea efectelor abaterilor fa de limitele recomandate de reglementrile internaionale stabilirea unor msuri eficiente tehnice,organizatorice,contractuale , juridice, care s asigure ncadrarea indicatorilor de calitate n limitele impuse de standarde.4SEMNALE PERIODICE NESINUSOIDALESemnalele electrice alternative (tensiuni, cureni), cu perioada T:( ) ( ) Z k kT t f t f + ,pot avea i forme de variaie nesinusoidale, fiind numite semnale nesinusoidale sau deformate.Studiul fenomenelor electrice n curent alternativ, studiul mainilor electrice de c.a. sau al reelelor electrice funcionnd n c.a. se face admind c undele sau curbele de tensiune sau de curent sunt perfect sinusoidale. n realitate, att unda de tensiune ct i unda de curent sunt n general departe de a fi sinusoidale i, dei, periodice, ele au o form oarecare.n practic, n multe cazuri, variaia n timp a semnalelor alternative se abate de la forma sinusoidal. Astfel, nsi tensiunea electromotoare a generatoarelor electrice poate s fie, mai mult sau mai puin, diferit de forma sinusoidal din motive de ordin constructiv.Dup cumrezult dinanalizafunciilor periodice(Fourier), oricesemnal periodic nesinusoidal poate fi descompus ntr-o serie de semnale sinusoidale.1.1.Descompunerea semnalelor nesinusoidale n serie Fourier1.1.1.Coeficienii seriei FourierVariaiantimpasemnalelor electriceestedescrisdefuncii matematiceavndca variabil timpul. Semnalele periodice nesinusoidale sunt descrise prin funcii periodice nesinusoidale. Ofuncienesinusoidal periodicn timpdeperioadaf1 2T sepoate dezvolta n serie trigonometric sub forma :( ) ( ) + + 1 kkm km 0t k cos B t k sin A C t f(1.1)cunoscut ca dezvoltarea n serie Fourier.Aceast dezvoltare este posibil dac funcia f(t) este neted pe poriuni n intervalul de o perioad (condiiile lui Dirichlet), condiii satisfcute obinuit de funciile ce descriu semnalele electrice ce intervin n practic.Primul termen,C0reprezintvaloareamediesaucomponentacontinuasemnalului periodic m(t):5( ) T000 t d t fT1C. (1.2)Termenii de pulsaie k din expresia (1.1) se numesc armonici de rang (ordin) k n sinus, respectiv n cosinus. Coeficienii acestorase determin cu relaiile:( ) ,... 3 , 2 , 1 k t d k sin t fT2AT0km (1.3)( ) ,... 3 , 2 , 1 k t d k cos t fT2BT0km (1.4)Mrimile |Akm|, respectiv |Bkm|, sunt amplitudinile armonicilor de rangkn sinus respectiv n cosinus.Valorile efective ale armonicilor de rang k se determin cu relaiile:2AAkmk(1.5)2BBkmk(1.6)O alt form a seriei Fourier utilizat n electrotehnic este cea n form restrns :( ) ( ) ( ) + + + + + k1 kk 0k1 kkm1 k0 k 0t k sin C 2 C t k sin C C (t) f C t f (1.7)n aceast relaie:- C0 este componenta continu,- fk(t) este valoarea instantanee a armonicii de rang k,- f1(t) este valoarea instantanee a armonicii fundamentale, (pentru k=1),- Ckm este amplitudinea armonicii de ordin k,- k este faza iniial a armonicii de ordin k.ntrecoeficieniiCkmi coeficienii primei forme a dezvoltrii n serie Fourierexist relaiile:2km2km kmB A C + (1.8)2km2kmkm2km2kmkmkmkmkB AAarccosB ABarcsinABarctg++ .(1.9)6Pentru determinarea coeficienilor seriei Fourier exist diferite metode bine cunoscute din literatura de specialitate. Dac semnalul este dat prin graficul lui, fiind de exemplu ridicat pe cale experimental, se aplic metode aproximative grafo-analitice.Reprezentarea grafic a amplitudinilor i fazelor armonicilor n funcie de frecven se numetecaracteristic amplitudine-frecven(sau spectrul amplitudinilor), respectiv caracteristic faz-frecven (sau spectrul fazelor).Deoarece seria Fourier are un spectru discret de frecvene, constituit din multiplii ntregi ai frecvenei fundamentalevarezultaci caracteristicilemenionatesunt discrete. Pentru exemplificare, n fig.1.1 este reprezentat caracteristica amplitudine frecven pentru o funcie periodic dreptunghiular de amplitudine A i perioad T, dezvoltat n serie Fourier (a se vedea relaia 1.29). Fig. 1.1 Caracteristic amplitudine frecvenSeriaFouriersepoatescrieinformcomplex, respectivcutermeni compleci. innd seama de identitatea lui Euler,( )t k j - t k je ej 21t k sin ,( )t k j - t k je e21t k cos + ,astfel c termenul general al seriei Fourier devine:( ) ( )t k j -k kt k jk k k ke A j B21e A j B21t k cos B t k sin A + + + .Introducnd notaiile:( )k k kA j B21C i( )k k kA j B21C + , (1.10)rezult:t k jkt k jk k ke C e C t k cos B t k sin A + + ,7putndu-se observ c CkiC-ksunt mrimi complex conjugate( )*k kC C , iar modululkC reprezint jumtate dinamplitudinea armonicii respective,k kA21C .SeriaFourier cu termeni compleci se scrie deci sub forma:( ) ( ) + + 1 kt k jkt k jk 0e C e C C t f(1.11)Valorilor negative ale luikn aceast expresie le corespund formal pulsaii negative. Dac se cunoate funcia expresia algebric a lui f(t), se arat c coeficienii Ck se pot calcula pe baza relaiei:( ) T0t jkt d e t fT1C. (1.12)innd seama de aceast expresie, n care variabila de integrare o notm cu n loc de t, seria Fourier cu termeni compleci (1.11) se scrie i sub forma:( ) ( )( ) kT0t k jd e fT1t f. (1.13)Se pune problema extinderii analizei armonice (Fourier) pentru funcii de timp neperiodice. Considernd seria Fourier cu termeni compleci (rel.1.24), n care se noteaz cu 1 pulsaiafundamentali seconsiderpentruefectuareaintegralei intervalul deoperioad cuprins ntre 2Ti 2T+ , se obine expresia:( ) ( )( ) k2T2Tt k jd e fT1t f1. (1.14)Considerareaunor funcii neperiodicenseamnapresupuneperioadatinzndctre infinit, T . Notndnacest caz 1k , 1i 2 2 T11 relaia(1.14) devine( ) ( )( ) 2T2Tt k jd e f 21t f. (1.15)Pentru T , respectiv0 , rezult la limit expresia:8( ) ( )( ) d e f d 21t ft k j, (1.16)reprezentnd integrala Fourier n form complex. Separnd prile real i imaginar n relaia (1.16) se obine( ) ( ) ( ) ( ) ( )1]1

+ d t sin f d j d t cos f d 21t f. (1.17)Funcia( ) t sinfiind o funcie impar de , partea imaginar din relaia (3.28) se anuleaz obinndu-se( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0d t cos f d1d t cos f d 21t f, (1.18)n care s-a inut seam c( ) t coseste o funcie par de , astfel c integrarea n raport cu se poate limita la intervalul ( ) , 0, expresia fiind nmulit n acest caz cu 2. Relaia (1.29) reprezint integrala Fourier n form real. Aceast relaie se poate obine i direct plecnd de la seria Fourier cu termeni reali.Este important de relevat faptul c, pentru ca funcia f(t) s poat fi dezvoltat n integral Fourier eatrebuiessatisfaccondiiilelui Dirichlet i seasemeneafunciatrebuiesfie absolut integrabil n intervalul( ) , , cu alte cuvinte integrala:( ) < t d t f , (1.19)s fie convergent, ceea ce presupune anularea funciei pentrut t . n practic este vorba de funcii (cureni i tensiuni) care se anuleaz suficient de repede pentru t .Transformata FourierIntroducnd funcia complex:( ) ( ) d e f j Fj, respectiv( ) ( ) t d e t f j Ft j(1.20)integrala Fourier (1.16) devine( ) ( ) d e j F 21t ft j. (1.21)Funcia F(j) se numete transformata Fourier sau imagine Fourier. Se poate considera c ea corespunde unei reprezentri a funciei f(t) n domeniul frecvenelor.9Pe baza integralei Fourier (1.21) o funcie de timp f(t) neperiodic se poate interpreta ca sumaunuiirdefuncii (componente) armoniceelementare, reprezentatencomplexsub forma( )t je d j F 21 , avnd frecvene infinit apropiate. Modulul transformatei Fourier ( ) j F reprezint ctul dintre amplitudinea spectral elementar( ) d j F 21 i intervalul de frecven 2df dla care se refer, cu alte cuvinte densitatea spectral a amplitudinilor. Datorit acestui fapt transformata Fourier se numete n literatur i densitate spectral complex a funciei f(t), iar uneori funcie (caracteristic) spectral.Transformata Fourier reprezint un interes mai general n electrotehnic. Reprezentnd graficmodulul transformatei Fourier,( ) j Fseobinespectrelefuncieif(t). Unastfel de spectru este continuu spre deosebire de spectrele discrete corespunztoare seriei Fourier.O relaie important n care intervine densitatea spectral este teorema lui Parseval:( ) ( ) d j F 21t d t f2 2(1.22)n care( )2j F se numete i densitate spectral de energie sau spectru de energie al funciei f(t).nanumiteproblemeesteutil ssecaracterizezeofunciedetimpprinfunciade autocorelaie, definit sub forma( ) ( ) ( ) + t d t f t f . Aceast funcie se pune n legtur cu densitatea spectral de energie pe baza relaiei( ) ( ) d e j F 21j2,care relev faptul c densitatea spectral de energie( )2j F reprezint transformata Fourier a funciei de autocorelaie. Funcia de autocorelaie, care se poate determina i pe cale experimental, reprezint un interes deosebit mai ales n analiza semnalelor aleatoare.101.1.2. Simetrii caracteristice semnalelor nesinusoidalePentru orientare privind forma semnalelor periodice nesinusoidale n funcie de armonicile pe care le conin, n fig.1.2 se prezint cteva exemple, n care pe lng fundamental (n sinus) se consider numai o singur armonic i anume de ordinul 2 (fig.1.2.a i fig.1.2.b) i de ordinul 3 (fig.1.2.c i fig.1.2.d) n sinus i cosinus. n aceste exemple (fig.1.2), se pot urmri i unele simetrii caracteristice ale funciilor periodice nesinusoidale.Fig. 1.2 Simetrii caracteristice ale funciilor periodice nesinusoidalen scop de calcul este util s se releve faptul c dezvoltarea n serie Fourier se simplific dac semnalele periodice considerate prezint anumite simetrii.Posibilitatea de a echivala un semnal periodic printr-o sum de semnale sinusoidale cu amplitudini i faze bine determinate este de un deosebit interes n calculul circuitelor electrice liniare n regim nesinusoidal. Aceast descompunere presupune desigur cunoaterea principalelor armonice ce intervin, att ca amplitudine ct i ca faz. Dezvoltarea aproximeaz cuatt mai binefunciaf(t)cuct numrul armonicilorconsiderateestemai mare, ideal infinit. npracticseconsiderunnumr finit determeni ai seriei Fourier, nfunciede problema analizat. NumrulNal armonicilor considerate reprezint rangul ultimei armonici considerate semnificative (armonicile de rang mai mare se neglijeaz). n general20 < N .npracticacureniloralternativi semnaleleperiodicentlniteconinnmodobinuit armonica fundamental i una sau dou armonici de ordin superior ale cror amplitudini sunt maiaccentuate; restul armonicilor suntpracticneglijabile datorit amplitudinilor lormicin raport cu aceea a fundamentalei.111.1.3. Exemple de descompunere n serie Fouriernelectrotehnicsentlnescdeobicei semnaleperiodicenesinusoidaledeformemai simple.n continuare vor fi prezentate cteva exemple de descompunere n serie Fourier pentru funciile matematice ce descriu semnale uzuale:Fig. 1.3 Semnale electrice nesinusoidale n form de:a trapez isoscel; b dreptunghi; c tringhi isoscel;d triunghi dreptunghic;e semisinusoid; f dubl semisinusoidDe exemplu, pentru forma de variaie trapez (fig.1.3.a) se poate scrie:( )[ ] [ ][ ][ ][ ] ' + + . 2 , t pentru , M , t pentru , M , t pentru , tM 2 , 2 , 0 t pentru , tMt f(1.23)12Utiliznd relaiile (1.2), (1.3), (1.4), n care se poate utiliza substituia: 2 T i1 2 2T 2 (1.24)se obine:0 t dtt d t dtt d t dt2MM 2 2 2001]1

+ + + + + (1.25)0 t dkt cos tt d kt cos t dkt cos tt d kt cos t dkt cos t MA 2 2 20k1]1+ +

+ + + (1.26).k k sin U 4t dkt sin tt d kt sin t dkt sin tt d kt sin t dkt sin t MB2 2 2 20k1]1+ +

+ + +

(1.27)Se obine seria Fourier:( )( )( )( )1]1

++ +0 k2t 1 k 2 sin1 k 21 k 2 sinM 4t fsau:( )

,_

+ + + ... t 5 sin55 sint 3 sin33 sint sin1sinM 4t f2 2 2(1.28)Dac n(1.28) seintroduce 0 ,_

1kk sincuseobineseriaFourier pentru variaia dreptunghi (fig.1.3. b):( )( )+ +0 k1 k 2t 1 k 2 sinM 4t fsau, n forma dezvoltat:( )

,_

+++ ...5t 5 sin3t 3 sin1t sinM 4t f(1.29)iar pentru 2 se obine seria Fourier pentru variaia triunghi isoscel (fig.1.3.c)( )( )( )+ +0 k2 21 k 21 k 2 sinM 8t fsau, n forma dezvoltat13( )

,_

+++ ...5t 5 sin3t 3 sin1t sinM 8t f2 2 2 2. (1.30)n mod similar se obin i alte serii Fourier:- pentru forma de variaie triunghi dreptunghic (fig.1.3.d) seria Fourier este:( )( )+1]1

1 k1 kt k sink1M 2t fsau, n form dezvoltat:( )

,_

++ ...3t 3 sin2t 2 sin1t sinM 2t f. (1.31)- pentru semisinusoid (und de redresare monoalternan) (fig.1.3.e) seria Fourier este:( )( )1]1

+ 1 k21 k 2t k 2 cos22t sin1M t fsau, n form dezvoltat:( )

,_

+ ... 5 3t 4 cos 2 3 1t 2 cos 22t sin1M t f. (1.32)- pentru dubl semisinusoid (und de redresare dubl alternan) (fig.1.3.f) seria Fourier este( )( )1]1

1 k21 k 2t k 2 cos42M t fsau n forma dezvoltat( )

,_

...7 5t 6 cos 25 3t 4 cos 23 1t 2 cos 21M 2t f(1.33)1.2. Forme simple de semnale periodice nesinusoidalencelece urmeazsevor considera cteva semnale periodice nesinusoidale maides ntlnite n practic, ceconin numai armonica fundamental i armonica de ordinul trei. n 14toate cazurile se vaadmitec fundamentala este originea de faz iar armonica de ordin trei poate fi defazat n raport cu originea de faz. Dup cumse va vedea, forma curbei reprezentative semnalului periodic nesinusoidal depinde mult de faza iniial a armonicilor ei. Se vor examina mai nti dou exemple de funcii periodice nesinusoidale care satisfac ambele condiii de simetrie i apoi un exemplu de funcie periodic nesinusoidal care satisface numai condiia de simetrie n raport cu axa absciselor.1.2.1. Exemple de semnale care ndeplinesc ambele condiii de simetrieForma aplatizat (turtit) este ntlnit n cazul bobinelor cu miez feromagnetic: cnd bobina este strbtut de un curent sinusoidal tensiunea la borne este periodic nesinusoidal, avnd forma indicat n fig.1.4.a sau fig.1.4.b. Dup cum se observ i pe figurile respective, curba u(t) se poate descompune n armonica fundamental u1(t) i armonica de ordinul trei u3(t). Prin urmare semnalul respectiv se scrie:( ) t 3 sin U t sin U t u3 m 1 m + (1.34)n fig.1.4.b se observ c dac amplitudinea armonicii trei depete o anumit valoare, semnalul periodicnesinusoidal prezint dou valori maximentimpul unei semiperioade, situate simetric fa de ordonata corespunztoare jumti de semiperioad.Fig. 1.4.Forma ascuit este ntlnit tot n studiul bobinei cu miez feromagnetic. n cazul cnd tensiunea aplicat este sinusoidal bobina este strbtut de un curent periodic nesinusoidal de form ascuit, a crei curb de variaie n timp este reprezentat n fig.1.5.15Fig. 1.5.Curentul i(t) se descompune n fundamentala i1(t) i armonica de ordinul trei i3(t).innd seama de faza iniial a armonicii de ordinul trei, semnalul i(t) se poate exprima prin:( ) ( ) 3 sin sin3 1+ + t I t I t im msau( ) t I t I t im m 3 sin sin3 1(1.35)1.2.2. Exemplu de semnal periodic nesinusoidal simetric n raport cu axa absciselorn fig.1.6 este reprezentat un semnal periodic nesinusoidal care se poate exprima prin relaia:( ) t 3 cos I t sin I t i3 m 1 m + (1.36)Prinurmaresemnalulconine: fundamentalai oarmonic deordinul trei. Deoarece descompunerea conine termeni n sinus i cosinus, curba reprezentativ prezint simetrie fa deaxaabsciselor, fiindlipsit desimetrie nraport cuaxa corespunztoare sfertului de perioad. Fig.1.6.Nesimetria curbei n raport cu ordonata corespunztoare sfertului de perioad se datoretefazei iniialeaarmonicii deordintrei. ntr-adevr, fazainiialaacesteiaiesen eviden scriind relaia de mai sus sub forma:( ) ( ) + + 30 t 3 sin I t sin I t i3 m 1 m(1.37)16O curb de aceast form se va ntlni n studiul curentului de magnetizare al circuitelor cu miez feromagnetic cnd se ine seama de fenomenul de histerezis.1.3. Analiza armonic a semnalelor periodice nesinusoidalenstudiul fenomenelor electrice, curbele semnalelor periodiceobinute cuajutorul aparatelor nregistratoare (oscilografe, reografe etc.) i care reprezint curbe periodice nesinusoidale, sunt curbeperiodiceoarecareacror ecuaie analitic nusecunoate. De asemenea, estepracticimposibil canacestecurbessepoatnscrieunconturpoligonal oarecare, numrul de laturi corespunztor trebuind s fie foarte mare. n consecin, metodele de analiz armonic indicate n paragraful anterior nu se mai pot aplica.Exist numeroase metode pentru determinarea armonicilor unui semnal periodic nesinusoidal a crui curb a fost ridicat experimental (fig.1.7). Descompunerea n serie Fourier a acestui semnal necesit calculul coeficienilor lui Fourier dai de relaiile (1.2), (1.3) i (1.4). Pentrua-iputeacalcula, expresiile lor trebuie transformate n sume finite; aceasta nseamn descompunerea ariei nchis de curba respectiv i axa absciselor ntr-o sum de arii dreptunghiulare elementare nscrise n aceast arie.Figura 1.7 Semnal periodic nesinusoidalPentruaceastasemparteperioadasemnalului ntr-unnumrpardepri egale2p. Fiecare din aceste diviziuni este deci egal cup2p 2 .Se duc ordonatele la curba corespunztoare acestor diviziuni i se numeroteaz, atribuindu-se primei ordonate cifra 0; ultima ordonat va avea indicele 2p. Este evident cp 2 0Y Y.17Elementului diferenial din integral i va corespunde baza dreptunghiurilor elementare n care a fost descompus curba, adic tocmai mrimea a diviziunilor efectuate. Rezult deci cpx d .Elementului f(t)dt din integral i corespunde aria dreptunghiului elementar de ordonat Yk i bazapY x d yk;abscisa corespunztoare ordonatei Yk fiindpk xk integrala care d coeficientul lui Fourier se transform ntr-o serie de 2p termeni de formapnk sinpYk,respectivpnk cospYk,astfel nct coeficienii lui Fourier vor fi dai de relaiilep 21 kk kmpnk sin Yp1A ip 21 kk kmpnk cos Yp1B(1.38)Valoarea termenului constant se deduce n acelai mod, gsindu-se: p 21 kkp 21 kk 0Yp 21pY 21C(1.39)Aceste formule sunt suficiente pentru a calcula coeficienii dezvoltrii n serie Fourier. nainte ns de a vedea modul cum se pot calcula aceste expresii n mod practic, trebuie spus c metoda comport o eroare sistematic datorit faptului c se calculeaz numai un numr finit de armonici i anume numai armonicile de ordin 1 pn la p, adicA1, A2, ... , ApB1, B2, ... , Bp.ntr-adevr, metodafiindbazat petransformarea integralelor (3.2 3.4) caredau coeficienii serieFourier nsumefinite, comportdelanceput, oeroare, datoritaceste aproximaii. De asemenea, prin faptul c n calculul coeficienilor prin aceast metod nu s-a inut seama dect de cele 2p ordonate, s-a comis o nou eroare prin neglijarea celorlalte puncte ale curbei: este ca i cum curba nu ar conine punctele corespunztoare acestor ordonate. De 18aici, rezult c toate undele periodice nesinusoidale reprezentate prin curbe care trec prin aceste puncte vor avea aceeai descompunere n armonici. n aceste condiii unda( )+ + p1 kk k 0kx cos B kx sin A C ycare s-a obinut prin descompunerea undei date cu ajutorul acestei metode nu va reprezenta n general unda real( )+ + 1 kk k 0kx cos b kx sin a c yn care ak i bk sunt coeficienii lui Fourier.Metoda comport deci o eroare sistematic, care se calculeaz exprimndu-se valoarea coeficienilor determinai cu relaia (1.38) n funcie de coeficienii reali ai seriei Fourier.Calculul coeficienilor dezvoltrii nserieaunei curbereprezentativeasemnalului nesinusoidal respectiv,obinut pe cale experimental, utiliznd relaiile (1.38) i (1.39) este destul de laborios. Pentru simplificarea calculului exist numeroase metode analitice sau grafice. Metodele grafice i n special calculatoarele electronice dau metode mult mai expeditive pentru obinerea analizei armonice a unei unde nesinusoidale.1.4. Mrimi caracteristice semnalelor periodice nesinusoidale1.4.1. Valoarea efectiv a unui semnal periodic nesinusoidalUn semnal periodic nesinusoidal, m(t), dezvoltat n serie Fourier se scrie sub forma:( ) ( ) ( ) k1 kk 0k1 kkm 0t k sin M 2 M t k sin M M t m + + + + n care k kmM M 2 este amplitudinea, iarkfaza iniial a armonicii de ordinulk. innd seama de relaia de definiie a valorii efective, se poate scrie:( ) ( ) ( ) [ ] + + + + + T02k km 1 m 1 0T02 2t d t k sin M ... t sin M MT1t d t mT1M(1.40)Considernd dou armonici de ordinul p i q, expresia valorii medii a produsului lor pe o perioad a fundamentalei este19( ) ( ) ( ) ( ) [ ]( ) ( ) [ ] + + + + + + T0q p q pT0q p q pT0q qm p pmt d t q p cosT1M Mt d t q p cosT1M M t d t q sin M t p sin MT1(1.41)Deoarece valoarea medie a unei funcii armonice pe un numr ntreg de perioade este nul, ambii termeni ai relaiei (1.41) sunt nuli i se poate observa c, dac q p aceast valoare medie este egal cu zero. Dac q p pentru valoarea medie a produsului a dou armonici de acelai ordin, se obine expresia ( )q p q pcos M M ; n situaia c se mai consider q pM M iq p , se obine valoarea medie pe o perioad a ptratului unei armonici, egal cu 2pM . innd seama corespunztor de aceste rezultate, relaia (1.40) devine:... M M ... M M M M2q2p2221202+ + + + + + astfel nct valoarea efectiv a unui semnale nesinusoidal va rezulta, prin definiie:( )+ N1 k2k20T02U U t d t mT1M . (1.42)Deci valoareaefectiv aunui semnal periodicnesinusoidal esteegal curdcina ptrat a sumei ptratului componentei continue i a ptratelor valorilor efective ale armonicilor. Valoarea efectiv a unui semnal periodic nesinusoidal se poate determina i pe cale grafic.n fig.1.8, a, se consider, de exemplu, o mrime periodic nesinusoidal, satisfcnd condiia ( )

,_

+ 2Tt m t m. Fig. 1.8.Aceast curb (trasat numai pentru o jumtate de perioad, din cauza simetriei pe care oprezint)sereprezintncoordonatepolare(fig.1.8, b). SuprafaaSnchisdecurb, n coordonate polare, este:20( )( )( )( )2T022T02 02M2t d t mTt d2t mT 2t d2t mS ,de unde, pentru valoarea efectiv rezult expresia S 2M . Notnd cu R raza cercului avnd aceeai suprafa S, se mai poate scrie R 2 M .PrezintimportanvaloareaefectivIaunuicurent nesinusoidal careintervine, de exemplu, n expresia puterii dezvoltate prin efect Joule ntr-un rezistor R pe care l strbate. Pe baza relaiei (1.36), se poate scrie:... RI ... RI RI RI RI2k2221202+ + + + + relevnd faptul c aceast putere( )2RIeste egal cu suma puterilor armonicilor.1.4.2. Factor de form. factor de vrf. Coeficient de distorsiunePentrucaracterizareasemnalelor periodicenesinusoidalesefolosesc i anumii factori, respectiv coeficieni, cum sunt: factorul de form, factorul de vrf i factorul (coeficientul) de distorsiune.Factorul de form, kf, este raportul dintre valoarea efectiv M a semnalului nesinusoidal i valoarea medie Mmed pe o perioad a modulului semnalului m(t) considerat:medfMMk , (1.43)unde:( )+T t0med0t d t mT1M, iart0este momentul n carem(t) trece prin zero cu valori cresctoare.Pentru o variaie periodic dreptunghiular, innd seama c mM M im medM M , se obine1 kf .Dac seconsider ovariaietriunghiular, la caremM31M im medM21M , rezult 15 , 132kf .Factorul de vrf,kv, este raportul dintre valoarea maxim Mmi valoarea efectiv Ma mrimei periodice:MMkmv . (1.44)21n cazul unei variaii periodice dreptunghiulare rezult 1 kv.Pentru o variaie triunghiular rezult3 kv .Cunoaterea factorului de vrf prezint importan, de exemplu, n tehnica ncercrilor materialelor electrotehnice.n cazul semnalelor periodice nesinusoidale valorile factorilor de form i de vrf sunt diferite de valorile corespunztoare semnalelor alternative sinusoidale (1,11 respectiv 1,41).Astfel, n cazul semnalelor alternative periodice a cror curb de variaie n timp prezint o form mai ascuit dect sinusoida, ambii factori, de form i de amplitudine, au valori maimari dect cele corespunztoare semnalelor sinusoidale (respectiv11 , 1 kf>i 41 , 1 ka >), iar n cazul semnalelor a cror curb prezint o form mai platdect sinusoida, ambii factori, de form i de amplitudine, au valori mai mici (respectiv11 , 1 kf