Raport ştiinţific sintetic

privind implementarea proiectului

PN-II-ID-PCE-2011-3-0533

octombrie 2011 – octombrie 2016

Pe perioadă a grantului a fost studiat spaţiul suprafeţelor Alexandrov şi subspaţii semnificative ale

acestui spaţiu. Importanţa spaţiilor Alexandrov constă în primul rând în generalitatea conceptului, care

permite includerea în investigaţii atât a varietăţilor diferenţiabile, cât şi a spaţiilor nediferenţiabile. O clasă

importantă de suprafeţe Alexandrov este cea a suprafeţelor convexe. În multe aplicaţii cazul

nediferenţiabil, şi în primul rând teoria poliedrelor, inclusiv a grafurilor 3-conexe care le sunt schelete, este

cel dominant; în computer networks apar în mod esenţial asemenea grafuri, şi la acestea ne referim în

cadrul prezentului proiect.

I. Articole publicate, acceptate pentru publicare, sau preprinturi

1. K. Adiprasito, T. Zamfirescu: Large Curvature on Typical Convex Surfaces,

J. Convex Analysis 19 (2012), 385-391; ISI, FI= 0.625, SRI=0.96.

În această lucrare se arată că pe majoritatea suprafeţelor convexe există puncte cu curbura

inferioară arbitrar de mare în toate direcţiile tangente. În plus, se arată că pentru majoritatea suprafeţelor

convexe, deşi mulţimea punctelor cu curbura 0 în in toate direcţiile tangente este de masură totală, ea nu

conţine nici o pereche de puncte opuse, i.e. puncte admiţînd plane suport paralele.

2. L. Yuan, T. Zamfirescu: Acute triangulations of double planar convex bodies,

Publ. Math. Debrecen 81 (2012), 121-126; ISI, FI= 0.322, SRI=0.56.

Un corp convex (2-dimensional) dublu 2K este o suprafaţă homeomorfă cu sfera si constînd în două

corpuri convexe, compacte, plane şi izometrice, K şi K′, cu frontierele lipite în modul evident. În aceată notă

se demonstrează că, dacă K admite doua axe de simetrie perpendiculare şi bdK satisface o anume condiţie

asupra curburii, atunci 2K admite o triangulare acută cu 72 de triunghiuri. În particular, doublul oricărei

elipse admite o asemenea triangulare.

3. J. Rouyer, C. Vîlcu: Sets of tetrahedra, defined by maxima of distance functions,

An. St. Univ. Ovidius Constanta 20 (2012), 197-212; ISI, FI= 0.221, SRI=0.

http://tzamfirescu.tricube.de/TZamfirescu-186.pdfhttp://arxiv.org/find/math/1/au:+Rouyer_J/0/1/0/all/0/1http://arxiv.org/find/math/1/au:+Vilcu_C/0/1/0/all/0/1

Studiem tetraedrele şi mai ales spaţiul tuturor tetraedrelor din R3 (modulo izometrii şi omotetii) din

punctul de vedere al maximelor locale şi globale ale funcţiilor distanţă intrinsecă.

4. A. D. Jumani, T. Zamfirescu: On Longest Paths in Triangular Lattice Graphs,

Utilitas Math. 89 (2012), 269-273; ISI, FI= 0.280, SRI=0.52.

Prezentăm două grafuri scufundabile în laticea trianghiulară echilaterală, care satisfac proprietatea

lui Gallai că fiecare vârf nu face parte dintr-un cel mai lung drum.

5. Y. Bashir, T. Zamfirescu: Lattice graphs with Gallai's property,

Bull. Math. Soc. Sci. Math. Roumanie 56 (2013), 65-71;ISI, FI=0.419, SRI=0.

Studiem grafurile cu proprietatea că toate drumurile cele mai lungi, sau toţi ciclii cei mai lungi, au

intersecţie vidă şi găsim asemenea grafuri ca subgrafuri ale laticei cubice.

6. J. Rouyer: On p-tuples of the Grassmann manifolds,

J. Geometry 104 (2013), 165-200; BDI.

În această lucrare se propune un invarariant matricial pentru clasele de izometrie de p-tuples de

puncte în varietatea Grassmann Gn( Kd) (K= R sau C). Acest invariant caracterizează complet p-tuplul, şi este

folosit să clasifice p-tuplele regulate din G2( Rd), G3( R

d) şi G2( Cd) .

7. A. Shabbir, C. T. Zamfirescu, T. Zamfirescu: Intersecting longest paths and longest cycles: A survey,

Electron. J. Graph Theory Appl. 1 (2013), 56-76.

Acesta este un survey al rezultatelor obţinute în ultimii 45 de ani despre comportamentul de

intersecţie pentru cele mai lungi drumuri, sau cei mai lungi cicli, în grafuri conexe.

8. S. Malik, A. M. Qureshi, T. Zamfirescu: Hamiltonicity of cubic 3-connected k-Halin graphs,

Electron. J. Combin. 20 (2013) #P66; ISI, FI=0.532, SRI=1.23.

Studiem cât de mult se poate extinde noţiunea de graf Halin păstrând hamiltonicitatea. Fie H = TᴜC

un graf Halin, cu T arbore şi C ciclul exterior. Un graf k-Halin G poate fi obţinut din H adăugând muchii cu

păstrarea planarităţii, unind vârfuri din H − C, astfel încât G − C are cel mult k cicli. Demonstrăm că, în clasa

grafurilor cubice 3-conexe, toate grafurile 14-Halin sunt hamiltoniene şi toate grafurile 7-Halin sunt 1-m

hamiltoniene. Aceste rezultate sunt optimale.

9. A. Shabbir, T. Zamfirescu: Highly non-concurrent longest cycles in lattice graphs,

Discrete Math. 313 (2013), 1908-1914; ISI, FI=0.578, SRI=0.69.

http://tzamfirescu.tricube.de/TZamfirescu-188.pdfhttp://tzamfirescu.tricube.de/TZamfirescu-193.pdfhttp://arxiv.org/find/math/1/au:+Rouyer_J/0/1/0/all/0/1http://tzamfirescu.tricube.de/TZamfirescu-194.pdf

Există grafuri planare în care oricare două vârfuri sunt ocolite de un ciclu de lungime maximă. Deşi

această ipoteză este foarte puternică, în această lucrare se arată că aceste grafuri pot apărea ca subgrafuri

in laticele pătrată şi hexagonală. Tratarea acestor latice (finite) pe tor şi pe banda lui Möbius permite să se

reduca ordinul exemplelor.

10. L. Jia, L. Yuan, C. T. Zamfirescu, T. I. Zamfirescu: Balanced triangulations,

Discrete Math. 313 (2013), 2178-2191; ISI, FI=0.578, SRI=0.69.

Având ca motivaţie aplicaţiile în analiza numerică, investigăm triangulările echilibrate (i.e.,

triangulări pentru care toate unghiurile sunt strict mai mari decât π/6 şi strict mai mici decât π/2) şi

obţinem o margine inferioară optimală pentru numărul de triunghiuri în cazul triangulărilor echilibrate ale

pătratului. Studiem şi suprafeţele platonice şi determinăm pentru fiecare respectiva margine inferioară

optimală. În particular, răspundem afirmativ problemei deschise asupra existenţei triangulărilor

ascuţitunghice cu 12 triunghiuri pentru suprafeţa dodecaedrală regulată, problemă enunţată în [Itoh şi

Zamfirescu, Europ. J. Combin. 28 (2007)].

11. R. Euler, T. Zamfirescu: On Planar Toeplitz Graphs,

Graphs Combin. 29 (2013), 1311-1327; ISI, FI=0.351, SRI=0.83.

În această lucrare sunt descrise mai multe clase de grafuri Toeplitz finite şi planare şi sunt

prezentate rezultate despre numarul lor cromatic. Sunt numărate mulţimi independente maximale în

aceste grafuri şi sunt determinate ecuaţii de recurenţă şi funcţii generatoare pentru câteva cazuri speciale.

12. F. Nadeem, A. Shabbir, T. Zamfirescu: Planar Lattice Graphs with Gallai's Property,

Graphs Combin. 29 (2013), 1523-1529; ISI, FI=0.351, SRI=0.83.

În această lucrare sunt construite grafuri homeomorfe cu schelete de poliedre convexe,

scufundabile în latici plane, şi care se bucură de proprietatea lui Gallai. Această proprietate le face utile în

realizarea de reţele de calculatoare, conferindu-le calitatea de fault-tolerance.

13. I. Bárány, T. Zamfirescu: Circles holding typical convex bodies,

Libertas Math. 33 (2013), 21-25; BDI.

Spunem că un cerc C ține un corp convex K⊂R^3 dacă K nu se poate mișca departe de poziția sa

fără a intersecta C. Arătăm că, pentru majoritatea corpurilor convexe, spațiul tuturor cercurilor care le țin

are o infinitate de componente conexe.

14. I. Bárány, T. Zamfirescu: Holding Circles and Fixing Frames,

Discrete Comput. Geom. 50 (2013), 1101-1111; ISI, FI=0.606.

http://tzamfirescu.tricube.de/TZamfirescu-196.pdfhttp://tzamfirescu.tricube.de/TZamfirescu-188.pdf

Unul dintrele rezultatele demonstrate arată că există un corp convex body K⊂ R^3 astfel încât

mulțimea razelor tuturor cercurilor care îl țin pe K are o infinitate de componente conexe. Un alt rezultat

spune că cercul este unic cu această proprietate, în sensul că orice alt cadru diferit de cerc ține un corp

convex K (de fapt un tetraedru) astfel încât orice mișcare rigidă netrivială a lui K intersectează cadrul.

15. T. Zamfirescu: Right convexity,

J. Convex Analysis, 21 (2014), 253-260; ISI, FI= 0.625, SRI=0.96.

O mulţime convexă este F-convexă dacă fiecare pereche de puncte din mulţime se găseşte pe un

triunghi dreptunghic inclus în mulţime. Caracterizăm mulţimile F-convexe, găsim clase de mulţimi F-

convexe, studiem F-convexitatea pentru conuri şi cilindri şi arătăm că majoritatea corpurilor convexe sunt

F-convexe. Pentru aceasta, descriem curbura în extremităţile diametrelor majorităţii corpurilor convexe.

16. J. O'Rourke, C. Vilcu: Development of Curves on Polyhedra via Conical Existence,

Comput. Geom. Theory Appl. 47 (2014), 149-163; ISI, FI= 0.545, SRI=0.88.

Arătăm că anumite clase de curbe poligonale simple închise pe surprafaţa unui poliedru convex pot

fi desfăşurate în plan fără suprapuneri. Ideea principală de demonstraţie este de a arăta că aceste curbe

“trăiesc pe un con”, pentru ca apoi să le desfăşurăm tăind conul în lungul unei generatoare şi aşezându-l în

plan. Rezultatele de existenţă conică permit o anume desfăşurare sursă pentru surprafeţele poliedrale

convexe, care este prezentată în altă lucrare.

17. T. Zamfirescu: Typical simplicially convex bodies,

Adv. Geom. 14 (2014) 109-115; ISI, FI= 0.371, SRI=1.06.

În această notă descriem proprietăţi geometrice ale majorităţii corpurilor simplicial convexe.

Arătăm, de exemplu, că acestea formează o multime rară şi de măsură zero. În plus, acestea arată măcar

semi-dense din oricare punct al lor.

18. A. D. Jumani, C. T. Zamfirescu, T. Zamfirescu: Lattice graphs with non-concurrent longest cycles,

Rend. Sem. Mat. Univ. Padova 132 (2014), 75-82; ISI, FI= 0,265, SRI= 0,634.

Nici un graf hipohamiltonian nu poate fi scufundat în laticea planară pătrată. Această latice conţine,

însă, grafuri în care orice vârf lipseşte dintr-un cel mai lung ciclu. În acestă lucrare se prezintă grafuri cu

această proprietate, scufundabile în diverse latice, şi de ordin remarcabil de mic.

19. J. Rouyer, C. Vîlcu: The connected components of the space of Alexandrov surfaces,

în: D. Ibadula and W. Veys (eds.), Bridgind Algebra, Geometry and Topology, Springer Proc. in Math. &

Stat., vol. 96 (2014), 249-254; BDI.

http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S092577211300103Xhttp://www.degruyter.com/view/j/advg.ahead-of-print/advgeom-2013-0016/advgeom-2013-0016.xml

Fie A(κ) mulţimea tuturor suprafeţelor Alexandrov cu curbura marginită inferior de k, compacte şi

fără frontieră, înzestrată cu topologia indusă de metrica Gromov-Hausdorff. Se determină componentele

conexe ale lui A(κ) şi ale închiderii ei.

20. K. Adiprasito, B. Benedetti: The Hirsch conjecture holds for normal flag complexes,

Math. Oper. Res. 39 (2014), 1340-1348; ISI, FI= 0,924, SRI= 2,516.

Folosind intuiţia din geometria metrică, arătăm că orice complex simplicial normal de drapele

satisface conjectura de ne-revizitare. Obţinem, drept consecinţă, că diametrul grafului faţetelor-muchii

corespunzător este mai mic decât numărul de vârfuri minus dimensiunea, la fel ca în conjectura lui Hirsch.

Aceasta demonstrează conjectura lui Hirsch pentru toate complexele simpliciale de drapele şi, mai general,

pentru toate varietăţile (conexe) omologice de drapele.

21. K. Adiprasito: Combinatorial stratifications and minimality of 2-arrangements,

J. Topol. 7 (2014), 1200-1220; ISI, FI= 0,864, SRI= 2,630.

Demonstrăm că complementul oricărui 2-aranjament afin în este homotopic echivalent cu un

complex celular cu atât de multe i-celule cât este al i-lea număr Betti. Aceasta extinde rezultate anterioare

ale lui Falk, Dimca-Papadima, Hattori, Randell şi Salvetti-Settepanella şi alţii.

22. F. Nadeem, A. Shabbir, T. Zamfirescu: Hamiltonian connectedness of Toeplitz graphs,

în: P. Cartier et al. (eds.), Mathematics in the 21st Century, Springer Proc. in Math. & Stat., vol. 98 (2015),

135-149; BDI.

Această lucrare contribuie la studiul grafurilor Toeplitz neorientate. În ea, atenţia este concentrată

la descrierea proprietăţilor hamiltoniene, în particular a celei numite conexiune hamiltoniană, una dintre

cele mai tari noţiuni de hamiltonicitate pentru un graf.

23. K. Adiprasito, T. Zamfirescu: Few Alexandrov surfaces are Riemann,

J. Nonlinear Convex Anal. 16 (2015) 1147-1153; ISI, FI= 0,906, SRI= 0,537.

Arătăm că pe majoritatea suprafeţelor Alexandrov cu curbura marginită inferior, majoritatea

punctelor nu sunt interioare niciunei geodezice. În consecinţă, aceste suprafeţe nu sunt Riemanniene.

Aceasta contrastează într-un anume sens atât cu faptul că toate spaţiile Alexandrov ne-Riemanniene

cunoscute sunt limite de varietaţi Riemanniene, cât şi cu structura Riemanniană generalizată pusă în

evidenţă de Otsu şi Shioya pentru orice spaţiu Alexandrov.

24. J. Rouyer, C. Vîlcu: Simple closed geodesics on most Alexandrov surfaces,

Adv. Math. 278 (2015), 103-120; ISI, FI=1,294, SRI= 3,004.

http://arxiv.org/abs/1303.3598http://arxiv.org/abs/1311.4873

Studiem existenţa geodezicelor simple închise pe majoritatea suprafeţelor Alexandrov cu curbura

marginită inferior de k, compacte şi fără frontieră. Arătăm că aceasta depinde atât de k şi de topologia

suprafeţelor.

25. J. Itoh, J. Rouyer, C. Vilcu: Moderate smoothness of most Alexandrov surfaces,

Internat. J. Math. 26 (2015) 1540004 (14 pagini); ISI, FI=0,597, SRI= 1,121;

Arătăm că majoritatea (în sensul categoriilor Baire) suprafeţelor Alexandrov cu curbura marginită

inferior de k nu au puncte conice. Folosind acest rezultat demonstrăm că în majoritatea punctelor acestor

suprafeţe, curburile Gauss inferioară şi superioară sunt egale cu k şi respectiv infinit.

26. J. Itoh, J. Rouyer, C. Vîlcu: On the Theorem of the Three Perpendiculars,

Elem. Math., 70 (2015), 71-78; BDI.

Arătăm că teorema celor trei perpendiculare este valabilă în orice formă spaţială finit-dimensională.

27. L. Montejano, T. Zamfirescu: When is a Disk Trapped by Four Lines?,

Graphs Combin. 31 (2015) 467-476; ISI, FI=0,388, SRI= 0,706.

Studiem problema blocării unui corp convex plan cu patru drepte.

28. X. Feng, L. Yuan, T. Zamfirescu: Acute Triangulations of Archimedean Surfaces. The Truncated

Tetrahedron,

Bull. Math. Soc. Sci. Math. Roumanie 58 (2015) 271-282; ISI, FI=0,521, SRI= 0,5.

Arătăm că suprafața tetraedrului regular trunchiat poate fi triangulată cu 10 triunghiuri geodezice

ne-obtuze, și de asemenea în 12 triunghiuri geodezice ascuțitunghice. În plus, arătăm că ambele triangulări

sunt minimale.

29. K. Adiprasito, R. Sanyal: An Alexander-type duality for valuations,

Proc. Amer. Math. Soc. 143 (2015), 833-843; ISI, FI= 0,627, SRI= 1,310.

Demonstrăm o dualitate de tip Alexander pentru valuări ale anumitor subcomplexe în frontiera

poliedrelor. Aceasta întăreşte şi simplifică rezultate ale lui Stanley (1974) şi Miller- Reiner (2005). Dăm o

generalizare a teoremei lui Brion pentru această situaţie şi discutăm topologia posibilelor subcomplexe

pentru care relaţia de dualitate e valabilă.

30. K. Adiprasito, B. Benedetti: Tight complexes in 3-space admit perfect discrete Morse functions,

Eur. J. Comb. 45 (2015), 71-84; ISI, FI=0,653, SRI= 1,23.

http://arxiv.org/abs/1308.3862http://arxiv.org/abs/1303.1708

În 1967, Chillingworth a demonstrat că toate 3-bilele simpliciale convexe sunt colapsabile. Utilizînd

noțiunea clasică de "etanșeitate", generalizăm acest rezultat la varietăți arbitrare. Arătăm că toate 3-

varietățile simpliciale etanșe admit o funcție Morse perfectă și discretă. În plus, întărim teorema lui

Chillingworth, arătînd că toate 3-bilele simpliciale convexe sunt ne-evazive. În contrast, arătăm și că multe

3-bile ne-evazive nu sunt convexe.

31. L. Yuan, T. Zamfirescu: Right triple convex completion,

J. Convex Analysis 22 (2015), 291-301; ISI, FI= 0,592, SRI= 0,850.

O mulţime M într-un spaţiu Hilbert este rt-convexă dacă fiecare pereche de puncte este inclusă

într-o submulţime de trei puncte {x,y,z} a lui M, formând un unghi drept xyz. Aici determinăm, pentru

diferite familii de mulţimi, numărul minim de puncte ce trebuie adăugate mulţimii, pentru a deveni rt-

convexă. De exemplu, pentru corpuri convexe acest number este cel mult 2. În plus, este tratat şi cazul

mulţimilor 2-conexe poligonal conexe, respectiv al mulţimilor plane 3-conexe.

32. T. Zamfirescu: Escaping from a cage,

Libertas Math. 35 (2015), 43-49; BDI.

Arătăm cum poate scăpa un corp convex dintr-o cușcă.

33. L. Yuan, C. T. Zamfirescu, T. Zamfirescu: Dissecting the square into five congruent parts,

Discrete Math. 339 (2016), 288-298; ISI, FI=0,557, SRI= 0,765.

Răspundem afirmativ unei vechi conjecturi a lui Ludwig Danzer: există o unică disecție a pătratului

în cinci corpuri convexe congruente.

34. A. Shabbir, T. Zamfirescu: Gallai's property for graphs in lattices on the torus and the Moebius strip,

Period. Math. Hungarica 72 (2016), 1-11; ISI, FI= 0.261, SRI=0.

Demonstrăm existența grafurilor cu intersecție vidă a celor mai lungi drumuri sau ciclica subgrafuri

ale laticilor pe tor și pe banda lui Moebius.

35. A. Shabbir, T. Zamfirescu: Hamiltonicity in k-tree-Halin graphs,

în K. Adiprasito et al. (eds.), Convexity and Discrete Geometry Including Graph Theory, Springer Proc. in

Math. & Stat., vol. 148 (2016), 59-68; BDI.

Investigăm hamiltonicitatea și trasabilitatea pentru o grafuri Halin generalizate.

36. J. Rouyer: Steinhaus conditions for convex polyhedra,

http://www.sms.edu.pk/Journals/Preprint/Pre_312.pdf

în K. Adiprasito et al. (eds.), Convexity and Discrete Geometry Including Graph Theory, Springer Proc. in

Math. & Stat., vol. 148 (2016), 77-84; BDI.

Arătăm că orice poliedru convex conține o submulțime deschisă și densă de puncte p care admit un

unic antipod Fp, care la rândul lui admite un unic antipod FFp diferit de p.

37. N. Chevallier, A. Fruchard, C. Vîlcu: Envelopes of α-sections,

în K. Adiprasito et al. (eds.), Convexity and Discrete Geometry Including Graph Theory, Springer Proc. in

Math. & Stat., vol. 148 (2016), 193-218; BDI.

Fie K un corp convex planar de arie |K| și fie 0 < α < 1. O α-secțiune a lui K este o dreaptă orientată

ce taie K în două părți, partea din dreapta având aria α|K|. Studiem înfășurătoarea α-secțiunilor lui K și

dependența acesteia de α.

38. K. Adiprasito, A. Padrol: A universality theorem for projectively unique polytopes and a conjecture of

Shephard,

Isr. J. Math. 211 (2016), 239-255; ISI, FI= 0,659, SRI= 1,469.

Demonstrăm că orice politop rational este faţă a unui politop unic proiectiv. Drept corolar, obţinem

un politop unic proiectiv care nu este sub-politop al niciunui politop etajat. Aceasta arată că o conjectură

clasică în teoria politoapelor, formulată de Shephard în anii ’70, nu este adevărată.

39. L. Yuan, T. Zamfirescu: Right Triple Convexity,

J. Convex Analysis 23 (2016), on-line; ISI, FI=0,786, SRI= 0,850.

Caracterizăm mulțimile rt-convexe și investigăm rt-convexitatea pentru mulțimi polygonale conexe,

2-conexe sau 3- conexe, pentru grafuri geometrice și pentru mulțimi finite.

40. L. Yuan, T. Zamfirescu, Y. Zhang: Isosceles Triple Convexity,

Carpathian J. Math. (2016), on-line; ISI, FI=0,610.

O mulțime S din R^d se numește it-convexă dacă, pentru orice două puncte distincte din S, există un

al treilea punct din S astfel încât să se formeze un triunghi isoscel. În această lucrare întâi studiem

mulțimile it-convexe, apoi discutăm despre it-convexitatea celor unsprezece pavaje Archimedeene și

tratămapoi submulțimi finite ale laticei pătrate. În final obținem o margine inferioară pentru numărul de

triplete isoscele conținute într-o mulțime cu n puncte it-convexă.

41. K. Adiprasito, B. Benedetti: Subdivisions, shellability, and collapsibility of products,

Combinatorica (2016) on-line; ISI, FI=0,696, SRI= 2,16.

http://arxiv.org/abs/1301.2960http://arxiv.org/abs/1301.2960

Arătăm că, pentru orice politop convex, a doua subdiviziune derivată a oricărei triangulări

rectiliniare a acestuia este "shellable". Arătăm același lucru, în cazul 3-politoapelor, și pentru prima

subdiviziune. Aceasta completează exemplul clasic al lui Mary Ellen, de triangulare rectiliniară ne-

"shellable" a unui tetraedru. Drept consecință, obținem o nouă caracterizare aproprietății PL in termeni de

"shellability": O triangulare a sferei sau a bilei este PL dacă și numai dacă admite o subdiviziune derivată de

ordin sufient de mare care este "shellable". Aceasta îmbunătățește rezultate ale lui Whitehead, Zeeman și

Glaser, și răspunde unei întrebări a lui Billera și Swartz. În plus, arătăm că orice complex contractibil poate

fi făcut "collapsible" prin produse repetate cu un interval. Aceasta întărește rezultate ale lui Dierker și

Lickorish, și rezolvă o conjectură a lui Oliver. La final dăm un exemplu care arată că acest comportament se

extinde la ne-"evasiveness", răspunzând astfel unei întrebări a lui Welker.

42. K. Adiprasito, R. Sanyal: Relative Stanley-Reisner theory and Upper Bound Theorems for Minkowski

sums,

Publications Mathématiques de l'IHÉS (2016) on-line; ISI, FI=3,5.

În acestă lucrare se răspunde unor bine cunoscute probleme deschise ce privesc complexitatea

combinatorială a sumei Minkowski de politoape. Se dă o margine superioară pentru numărul de feţe ale

sumei Minkowski, incluzând o caracterizare a cazului de egalitate. Se dă şi o margine superioară pentru

numărul de feţe mixte ale sumei Minkowski. Aceasta generalizează teorema clasică de margine superioară

a lui Stanley şi McMullen şi are o multitudine de aplicaţii.

Principalul instrument de lucru este o teorie Stanley-Reisner relativă, o generalizare a teoriei

algebrice a complexelor simpliciale inaugurată de Hochster, Reisner, şi Stanley, pe care o dezvoltăm aici.

Particularitatea cheie a acestei construcţii este abilitatea de a studia complexe simpliciale cu restricţii

topologice şi combinatorial-geometrice. Pentru ilustrare, se obţin mai multe inegalităţi simpliciale

izoperimetrice şi invers izoperimetrice.

43. K. Adiprasito, B. Benedetti: Metric geometry and collapsibility, arXiv:1107.5789 [math.MG] (26 pagini).

Colapsabilitatea este o notiune clasică, introdusă de Whitehead ca parte a teoriei sale de omotopie

simplă. Obținem mai multe rezultate despre legăturile dintre acesteia cu geometria metrică și

convexitatea. (1) Orice complex care e CAT(0) cu o metrică pentru care toate "vertex-star"urile sunt

convexe este colapsabil. (2) Orice subdiviziune lineară a unui politop este simplicial colapsabilă după o

subdivizione baricentrică. Aceasta rezolvă până la o subdiviziune derivată o problemă clasică a lui

Lickorish. (3) Orice subdiviziune lineară a unui polihedru stelat din R^s este simplicial colapsabilă dupăcel

mult d-2 subdiviziuni baricentrice. Aceasta este un progres în rezolvarea unei vechi probleme a lui

Goodrick. În plus, obținem următoarele aplicații: (1) Un complex simplicial admite o metrică CAT(0) facă și

numai dacă admite triangulări colapsabile. (2) Orice varietate contractibilă (cu excepția unora 4-

https://arxiv.org/abs/1107.5789

dimensionale) admite triangulări CAT(0) colapsabile. Acesta este o versiune poliedrală a unui rezultat clasic

al lui Ancel și Guilbault. (3) Există exponențial de multe triangulări geometrice ale S^d. Aceasta

interpolează între bine cunoscutul rezultat că sunt exponențial de multe frontierele (d+1)-politopurilor

simpliciale, și conjectura că sunt mai mult decât exponențial de multe d-sfere. (4) În termeni de număr de

fațete, există doar exponential de multe triangulări geometrice ale formelor spațiale cu geometrie

mărginită. Aceasta stabilește o versiune discretă a teoremei de finitudine a lui Cheeger.

44. K. Adiprasito, A. Bjorner: Filtered geometric lattices and Lefschetz Section Theorems over the tropical

semiring, arXiv:1401.7301 [math.AT] (37 pagini).

Scopul acestei lucrări este de a stabili rezultate analoage teoreme clasice a lui Lefschetz de secţiune,

pentru varietăţi netede tropicale. Mai precis, se demonstrează rezultate “tropicale” analoage teoremelor

de sectiune ale lui Lefschetz, Andreotti-Frankel, Bott-Milnor-Thom, Hamm-Lê şi Kodaira-Spencer, şi pentru

teoremele de anulare ale lui Andreotti-Frankel şi Akizuki-Kodaira-Nakano.

În prima parte a lucrării se demonstrează o conjectură a lui Mikhalkin şi Ziegler (2008) privitoare la

omotopia Cohen-Macaulay a anumitor filtrări de latice geometrice, generalizând rezultate anterioare

despre latice geometrice pline ale lui Folkman şi alţii. Aceasta se traduce la o estimare a indexului crucial

pentru date stratificate Morse în puncte critice ale varietăţii tropicale, care poate fi interpretată ea însăşi

ca o teoremă de tip Lefschetz pentru matroizi.

45. J. Rouyer, C. Vîlcu: Farthest points on most Alexandrov surfaces, arXiv:1412.1465 [math.MG] (16

pagini).

Studiem maxime globale ale funcţiilor distanţă pe majoritatea suprafeţelor Alexandrov cu curbura

marginită inferior, unde "majoritatea" este folosit în sensul categoriilor Baire.

II. Prezentări la conferinţe și workshopuri internaţionale

1. T. Zamfirescu, Moderation of convex bodies,

Convexity, Topology, Combinatorics and Beyond. Workshop in honour of Luis Montejano's 60th birthday,

Puerto Vallarta, Mexic, octombrie 2011.

2. T. Zamfirescu, The fight between the circle and the square,

5th International Conference on Research and Education in Mathematics, Bandung, Indonesia, octombrie

2011.

3. T. Zamfirescu, Against the Extremism in Convex Spaces,

http://dino.matem.unam.mx/Luis60th/Welcome.html

An Encounter of Algebra and Geometry: A Sharing and Learning Conference; dedicated to Barbu Berceanu

for his 60th birthday, Lahore, Pakistan, noiembrie 2011.

4. T. Zamfirescu, Acute Triangulations,

Spring Workshop on Recent Advances in Graph Theory and Combinatorics, Lahore, Pakistan, februarie

2012.

5. T. Zamfirescu, Simplicial convexity,

Szeged Workshop in Convex and Discrete Geometry, Szeged, Ungaria, mai 2012.

6. T. Zamfirescu, Non-concurrent longest cycles in lattice graphs, International Conference on the

Mathematics of Distances and Applications, Varna, Bulgaria, iulie 2012.

7. T. Zamfirescu, Non-expanding mappings and fixed points in graph theory,

Fixed Point Theory and its Applications, Cluj-Napoca, România, iulie 2012.

8. T. Zamfirescu, Few Alexandrov surfaces are Riemann,

The Fourth Geometry Meeting, dedicated to the centenary of A. D. Alexandrov, Saint-Petersburg, Rusia,

august 2012.

9. J. Rouyer, Triangulations et approximations polyédriques des surfaces d'Alexandrov,

10. C. Vîlcu, Critical points for distance functions on surfaces,

11. T. Zamfirescu, Sur les chances de l'ordre allemand dans la réalité russe: Combien d'espaces

d'Alexandrov sont-ils riemanniens?,

Colloque de géométries, Mulhouse, Franţa, septembrie 2012.

12. T. Zamfirescu, How many Alexandrov surfaces are Riemannian?,

6th World Conference on 21st Century Mathematics 2013, Lahore, Pakistan, martie 2013.

13. C. Vîlcu, Baire categories for Alexandrov surfaces,

International Conference. Experimental and Theoretical Methods in Algebra, Geometry and Topology,

Eforie Nord, România, 21-24 iunie 2013.

14. T. Zamfirescu, Cut locus and critical points,

15. C. Vîlcu, Two results concerning cut loci on surfaces,

http://arxiv.org/find/math/1/au:+Rouyer_J/0/1/0/all/0/1http://unica2.unica.it/~piu/resumes/rouyer.pdfhttp://arxiv.org/find/math/1/au:+Vilcu_C/0/1/0/all/0/1http://wc2013.sms.edu.pk/doku.phphttp://arxiv.org/find/math/1/au:+Vilcu_C/0/1/0/all/0/1http://math.univ-ovidius.ro/Conference/ETMAGT60/http://arxiv.org/find/math/1/au:+Vilcu_C/0/1/0/all/0/1

Anniversary Conference Faculty of Sciences - 150 years, Bucureşti, România, august - septembrie 2013.

16. K. Adiprasito, Combinatorial theory of “smooth” polytopes,

17. J. Rouyer, Moderate smoothness of most Alexandrov surfaces,

18. C. Vîlcu, Simple closed geodesics on Alexandrov surfaces,

12th International Conference on Discrete Mathematics: Discrete Geometry and Alexandrov surfaces,

Bucureşti, România, 7-11 septembrie 2013.

19. J. Rouyer, Geometry of most Alexandrov surfaces,

20. C. Vîlcu, Farthest points on most Alexandrov surfaces,

4th Workshop for Young Researchers in Mathematics, Constanța, România, mai 2014.

21. J. Rouyer, Geometry of most Alexandrov surfaces,

Geometry Conference, Mulhouse, Franța, septembrie 2014.

22. T. Zamfirescu, Discs and other miscreants held in cages,

Fifth International Conference on Combinatorics, Graph Theory, and Applications, Elgersburg, Germania,

martie 2015.

23. C. Vîlcu, On the envelope of α-sections of a convex body,

5th Workshop for Young Researchers in Mathematics, Constanța, mai 2015.

24. C. Vîlcu, Baire categories for Alexandrov surfaces,

The Eighth Congress of Romanian Mathematicians, Iași, iunie 2015.

25. J. Rouyer, Simple closed geodesics on most Alexandrov Surfaces,

Geodesics and related topics, Kumamoto, Japonia, ianuarie 2016.

26. J. Rouyer, Antipodes on convex polyhedra,

Intuitive geometry, Kumamoto, Japonia, februarie 2016.

Director de proiect: Tudor Zamfirescu

http://fmi.unibuc.ro/FMI-150/files/program-geometrie.pdfhttp://arxiv.org/find/math/1/au:+Rouyer_J/0/1/0/all/0/1http://arxiv.org/find/math/1/au:+Vilcu_C/0/1/0/all/0/1http://tzamfirescu.tricube.de/conference12.htmlhttp://math.univ-ovidius.ro/Workshop/2014/WYRM/http://www.math.uha.fr/chevallier/TZ70/TZAng.htmhttp://math.univ-ovidius.ro/Workshop/2014/WYRM/