30
SCOALA GENERALA CU CLASESE I-VIII Marimi direct si invers proportionale Regula de trei simpla Elevi: Profesor:
SCOALA GENERALA CU CLASESE I-VIII
Marimi direct si invers proportionale
Regula de trei simpla
Elevi: Profesor:
RAPORTULDefinitie: Fiind date doua marimi a si b exprimate in aceeasi unitate de masura, vom spune ca raportul dintre marimea a si marimea b este numarul . Marimile a si b se numesc termenii raportului.
Notiuni introductiveRapoarte si Proportii
Exemple: Un elev face intr-o zi 12 exercitii si in alta zi 17 exercitii. Vom spune ca raportul exercitiilor facute este
Un automobilist parcurge intr-o zi 235 km si in alta zi 237 km. Raportul dintre numarul distantelor parcurse este
Un elev invata intr-o zi 4 ore si in alta 5 ore. Raportul dintre numarul orelor invatate este
Observatie: Raportul este un numar, adica raportul a doua marimi nu are unitate de masura, in timp ce marimile care intervin in raport au.
Notiuni introductiveRapoarte si Proportii
PROPORTIIDefinitie: Egalitatea a doua rapoarte se numeste proportie.
a si d se numesc extremi b si c se numesc meziExemplu: ; ;
Proprietatea fundamentala a proportiilorIntr-o proportie, produsul extremilor este egal cu produsul mezilor.
De retinut!Daca avem un sir de rapoarte egale atunci aceste rapoarte sunt egale si cu suma numaratorilor supra suma numitorilor.
Notiuni introductiveRapoarte si Proportii
MARIMI DIRECT PROPORTIONALE
MARIMI INVERS PROPORTIONALE
REGULA DE TREI SIMPLA
Definitie: Doua marimi sunt direct proportionale daca depind una de alta, astfel incat daca una creste de un numar de ori, atunci si cealalta creste de acelasi numar de ori.
Spunem ca numerele x si y sunt direct proportionale (sau proportionale) cu numerele a si b, daca (a≠0,b≠0)
•Marimi direct proportionale•Regula de trei simpla
In general: numerele sunt direct proportionale cu numerele daca formeaza sirul de rapoarte egale :
==...=
∙Retineti!!
Un iepure consuma zilnic cate doi morcovi. Cati morcovi consuma in 2 zile? Dar in 3 zile? Dar in 5 zile?
Figuram pe un grafic datele de mai sus ( pe o axa numarul de zile, iar pe cealalta numarul de morcovi) si obtinem:
Exercitiu rezolvat
Grafice:
Daca numarul de zile este de 3 ori mai mare, respectiv de 5 ori, atunci numarul morcovilor consumati este de 3 ori mai mare, respectiv de 5 ori mai mare.
Cele doua marimi (numarul de zile si numarul de morcovi) sunt dependente una de alta (sau depind una de alta) astfel: daca numarul de zile este de n ori mai mare, atunci numarul de morcovi consumati creste de n ori (n≠0).
Ce observati?
Se pot forma rapoarte cu marimile: numar de zile si numar de morcovi, adica: Cu aceste rapoarte se pot forma proportii:
Putem forma si un sir de rapoarte egale:
Daca marimile a si b sunt direct proportionale:
a .......................... b c .......................... X
Regula de trei simpla
Cinci caiete costa 500 lei. Cat costa 6 caiete?5 caiete ............. 500 lei
6 caiete ............. x leiNumarul de caiete este direct proportional cu pretul lor (mai multe caiete costa mai mult).
x==600 lei
Raspuns: 600 lei
Regula de trei simplaProblema rezolvata
Definitie: Doua marimi sunt invers proportionale daca depind una de alta, astfel incat: daca una creste de un numar de ori, atunci cealalta se micsoreaza de acelasi numar de ori. Numerele x si y sunt invers proportionale cu numerele a si b daca sunt direct proportionale cu inversele lor. Spunem ca numerele x si y sunt invers proportionale cu numerele a si b, daca: =
•Marimi invers proportionale•Regula de trei simpla
Numerele sunt invers proportionale cu numerele
daca sau adica sunt direct proportionale cu inversele lor.
•Retineti!
Daca impartim 30 de banane la 5 copii, cate primeste fiecare? Dar daca impartim la 10 copii?
Completam datele problemei pe un grafic:
Daca numarul de copii se mareste de 2 ori, atunci numarul de banane pentru fiecare copil se micsoreaza de 2 ori.
Problema rezolvata
Introducem datele problemei intr-un tabel:
Daca numarul bananelor creste de 2 ori, atunci numarul copiilor scade de 2 ori.Numarul de banane ramane acelasi, doar numarul de copii care primesc 3, respectiv 6 banane se modifica, adica:
Nr.de copii 10 5Nr.de banane 3 6
Daca marimile a si b sunt invers proportionale: a ................................ b c ................................ X (primul raport este egal cu inversul celui de-al doilea raport)
Regula de trei simpla
Cinci robinete cu acelasi debit pot umple un bazin cu apa in 15 ore. In cate ore pot umple bazinul numai trei robinete?
(Debitul unui robinet = volumul de lichid / unitatea de timp)
Analizam felul dependentei dintre marimile: numar de robinete – timp. Sunt marimi invers proportionale.
5 robinete ................................. 15 ore 3 robinete ................................. X ore Raspuns: 25 ore
Regula de trei simpla Problema rezolvata
1. Completati spatiile libere pentru a obtine propozitii adevarate:a) Daca a, b, c, d sunt termenii unei proportii, atunci ....
si ..... se numesc extremi, iar .... si ..... se numesc mezi.b) Intr-un sir de rapoarte egale suma .... supra suma ....
determina un raport egal in valoare cu rapoartele date.c) Marimile sunt de .... feluri: marimi .... proportionale si
marimi .... proportionale.d) Marimile direct proportionale sunt marimile care depind
una de cealalta astfel incat, daca una ... de un numar de ori, atunci si cealalta ... de acelasi numar de ori.
e) Marimile invers proportionale sunt marimile care depind una de cealalta astfel incat, daca una ... de un numar de ori, atunci cealalta ... de acelasi numar de ori, si invers.
Aplicare si exersare
REZOLVARE:a) Daca a, b, c, d sunt termenii unei proportii, atunci a si d se
numesc extremi, iar b si c se numesc mezi.b) Intr-un sir de rapoarte egale suma numaratorilor supra
suma numitorilor determina un raport egal in valoare cu rapoartele date.
c) Marimile sunt de doua feluri: marimi direct proportionale si marimi invers proportionale.
d) Marimile direct proportionale sunt marimile care depind una de cealalta astfel incat, daca una creste de un numar de ori, atunci si cealalta creste de acelasi numar de ori.
e) Marimile invers proportionale sunt marimile care depind una de cealalta astfel incat, daca una creste de un numar de ori, atunci cealalta scade de acelasi numar de ori, si invers.
Aplicare si exersare
2. Suma a trei numere naturale este 60. Aflati numerele stiind ca sunt direct proportionale cu 9, 18, 81.REZOLVARE: a+b+c = 60{a,b,c} d.p. cu 9, 18, 8Stim ca daca avem un sir de rapoarte egale, atunci aceste rapoarte sunt egale si cu suma numaratorilor supra suma numitorilor.
Egalam fiecare raport:
Raspuns: a=5, b=10, c=45
Aplicare si exersare
3. Aflati x din proportia:
REZOLVARE:
8x +8 = 5x +20 8x-5x = 20-8 3x = 12 x = 4 Raspuns: x=4
Aplicare si exersare
4. Din 200 kg de grau se obtin 160 kg de faina. Din cate kg de grau se obtin 420 kg de faina?REZOLVARE:Folosim regula de trei simpla: 200 kg grau ..................160 kg faina x kg grau .....................420 kg faina
Raspuns: 525 kg grau
Aplicare si exersare
5. Doi muncitori termina o lucrare in 40 de zile. In cate zile vor termina lucrarea 10 muncitori?
REZOLVARE:Folosim regula de trei simpla: 2 muncitori .................. 40 zile 10 muncitori.................. x zile
Numarul muncitorilor este invers proportional cu numarul zilelor (mai multi muncitori, mai putine zile)
Raspuns: x=8 zile
Aplicare si exersare
1. Sa se afle numerele x, y , z stiind ca x+y=15 si x, y, z sunt direct proportionale cu 8, 24, 32.
2. Stabiliti daca numerele 4, 36 si 72 sunt direct proportionale cu numerele 6, 54 si 108.
3. Stabiliti daca numerele 10, 14 si 20 sunt invers proportionale cu numerele 280, 200 si 140.
4. Trei muncitori au primit impreuna pentru o lucrare suma de 620 euro. Cat a primit fiecare muncitor, stiind ca sumele lor sunt invers proportionale cu numerele 2, 3 si 5.
5. Un bazin este umplut de 3 robinete, cu acelasi debit in 24 ore. Aflati in cat timp umplu bazinul 8 robinete cu acelasi debit?
Test pentru verificarea cunostintelor
6. Sa se imparta numarul 120 in parti direct proportionale cu numerele 3, 5 si 7.
7. Un parinte imparte 340 lei invers proportional cu varstele copiilor de 7, 9 si 12 ani. Ce suma va primi fiecare?
8. Daca numerele a si b sunt direct proportionale cu numerele 4 si 9, atunci calculati valoarea raportului .
9. Aflati numerele a, b, c stiind ca sunt direct proportionale cu 2, 5 si 8, iar 3a+5b-2c = 45.
10.Sa se afle numerele x si y stiind ca sunt invers proportionale cu 2 si 3, iar 4x+9y = 60.
Test pentru verificarea cunostintelor
11.Determinati numerele a si b stiind ca si a+b = 60.
12.Din 30 m de stofa se confectioneaza 12 costume. Cate costume se confectioneaza din 20 m de stofa?
13.Numerele a si b sunt invers proportionale cu 9 si 12. cat la suta din a reprezinta b?
14.Daca x si y sunt direct proportionale cu numerele 2 si 3, calculati:
15.Daca numerele x si y sunt invers proportionale cu 3 si 4, aflati valoarea rapoartelor:
Test pentru verificarea cunostintelor
Efectuarea calculelor cu numere rationale; Identificarea rapoartelor, proportiilor si a
marimilor direct sau invers proportionale in enunturi diverse;
Descrierea marimilor care apar in rezolvarea unor probleme;
Aplicarea notiunilor invatate in rezolvarea exercitiilor si problemelor;
Rezolvarea problemelor cu regula de trei simpla.
Competente obtinute
Multumim doamnei profesor pentru ca:
ne-a indrumat spre folosirea unei tehnici creative pentru acumularea de noi cunostinte in matematica;
ne-a inlesnit stimularea curiozitatii in vederea cautarii, expunerii si rezolvarii obiectivelor proiectului, precum si dezvoltarea spiritului de observatie si a concentrarii in rezolvare;
ne-a oferit oportunitatea de a lucra in echipa.
