Prof:Ciocotisan Radu-Carei

CONDICONDIII DEII DE PARALELISMPARALELISM, , CONDICONDIII DEII DE PERPENDICULARITATEPERPENDICULARITATEA DOU DREPTE A DOU DREPTE N PLANN PLAN

Din punct de vedere geometric, Din punct de vedere geometric, n plan, n plan, dou dreptedou drepte distincte pot fi drepte distincte pot fi drepte paraleleparalele sau drepte sau drepte concurenteconcurente..

PoziPoziia a dou drepte a fost caracterizat ia a dou drepte a fost caracterizat n clasa a IXn clasa a IX--a, prin studiul sistemelor de forma:a, prin studiul sistemelor de forma:

, sistem for, sistem format din ecuamat din ecuaiile generale ale celor dou drepteiile generale ale celor dou drepte..

Dreptele dDreptele d11, d, d22 sunt sunt concurenteconcurente dac sistemul format de ecua dac sistemul format de ecuaiile lor este compatibil determinat, iile lor este compatibil determinat, solusoluia ia sistemuluisistemului reprezentnd coordonatele reprezentnd coordonatele punctului comunpunctului comun celor dou drepte celor dou drepte;;

=++

=++

0

0

111cybxa

cbyax

Dreptele dDreptele d11, d, d22 sunt sunt paraleleparalele dac dac sistemulsistemul format cu ecuaformat cu ecuaiile lor iile lor este incompatibileste incompatibil

Prof:Ciocotisan Radu-Carei

3.1. CONDI3.1. CONDIII DE PARALELISM A DOU DREPTEII DE PARALELISM A DOU DREPTE

2

1

2

1

b

b

a

a=

1

1

2

1 =m

m

S considerm dreptele dS considerm dreptele d11 : a: a11xx + + bb11y + cy + c11 = 0 = 0 i di d22 : a: a22x + bx + b22y + cy + c22 = 0. = 0. Paralelismul dreptelor dParalelismul dreptelor d11 i di d22 este echivalent cu coliniaritatea vectorilor lor directori veste echivalent cu coliniaritatea vectorilor lor directori v11((--bb11, a, a11)) i vi v22((--bb22, a, a22), ),

condicondiie care se scrie sub forma:ie care se scrie sub forma:

Dac ecuaDac ecuaiile dreptelor diile dreptelor d11 i di d22 sunt date sub forma explicit y sunt date sub forma explicit y = m= m11x + nx + n11 i y = mi y = m22x + nx + n22, vectorii directori , vectorii directori ai acestora ai acestora

sunt : vsunt : v11 (l, m(l, m11) ) i vi v22 (l, m(l, m22), iar condi), iar condiia de paralelism a dreptelor se scrie : deia de paralelism a dreptelor se scrie : deci mci m11= m= m22..

REREINEM!INEM! Dreptele de ecuaDreptele de ecuaie aie a11x + bx + b11y + cy + c11 = 0 = 0 i ai a22x + bx + b22y + cy + c22 = 0 sunt paralele = 0 sunt paralele

Dreptele de ecuaDreptele de ecuaie y = ie y = mm11x x + + nn11 i y = i y = mm22x + nx + n22 sunt paralele dac sunt paralele dac i numai dac au pantele i numai dac au pantele egale, egale, mm11 = m= m22..

2

1

2

1

b

b

a

a=

Prof:Ciocotisan Radu-Carei

Teorema lui Teorema lui ApolloniusApollonius

Prof:Ciocotisan Radu-Carei

Prof:Ciocotisan Radu-Carei

3.2. CONDI3.2. CONDIII DE PERPENDICULARITATE A DOU DREPTEII DE PERPENDICULARITATE A DOU DREPTE

Fie dFie d11 i di d22 drepte de ecuadrepte de ecuaii generale aii generale a11xx + + bb11y + cy + c11= 0 = 0 i ai a22x + bx + b22y + cy + c22 = =0. 0.

Cele dou drepte sunt drepte perpendiculare dac Cele dou drepte sunt drepte perpendiculare dac i numai dac vectorii lor directori vi numai dac vectorii lor directori v11 ((--bb11, a, a11) ) i vi v22 ((--bb22, a, a22) sunt ) sunt perpendiculari (figura 3).perpendiculari (figura 3).

Rezult c produsul lor scalar este nulRezult c produsul lor scalar este nul, v, v11 vv11 = 0, deci a= 0, deci a11aa22 + b+ b11bb22 = 0.= 0.Dac ecuaDac ecuaiile dreptelor sunt date sub forma explicit atunci vectorii diriile dreptelor sunt date sub forma explicit atunci vectorii directori sunt vectori sunt v11(1, m(1, m11) ) i vi v22(l, m(l, m22), iar), iar

produsul lor scalar este vprodusul lor scalar este v11 vv22 = 1 + m= 1 + m11 mm22. . CondiCondiia de perpendicularitateia de perpendicularitate se scrie mse scrie m11 mm22+1 = 0 sau +1 = 0 sau mm11 mm22 = = --11..

REREINEM!INEM! Dreptele de ecuaDreptele de ecuaii ii aa11x + x + bb11y + cy + c11 = 0 = 0 i i aa22x+ x+ bb22y + cy + c22 = 0 sunt = 0 sunt perpendiculareperpendiculare aa11aa22 + + bb11bb22 = 0.= 0.

Prof:Ciocotisan Radu-Carei

Prof:Ciocotisan Radu-Carei

Prof:Ciocotisan Radu-Carei

APLICAAPLICAIIIISimplitatea exprimrii pe cale analitic a condiSimplitatea exprimrii pe cale analitic a condiiei de perpendicularitate a dou drepte din plan d posibilitateiei de perpendicularitate a dou drepte din plan d posibilitatea a

studierii cu ustudierii cu uurinurin a diverselor a diverselor configuraconfiguraii geometrice ii geometrice i caracterizarea acestora prin i caracterizarea acestora prin proprietaproprietaii geometrice deduse geometrice deduse analiticanalitic.

1.1. Fie Fie A, A, B dou puncteB dou puncte distincte distincte n plan.n plan. S se determine S se determine mulmulimea punctelor Mimea punctelor M din plan din plan cu proprietateacu proprietatea c c diferendiferena a MAMA22 -- MBMB22 este constant este constant. .

SoluSoluie:ie:Alegem sistemul de coordonate astfel Alegem sistemul de coordonate astfel nctAnctA, B , B ee OxOx, iar , iar OyOy este mediatoarea segmentului [AB] (figura 4).este mediatoarea segmentului [AB] (figura 4).

Rezult A Rezult A (a, 0), B((a, 0), B(--aa, 0, 0), ), iar dac Miar dac M(x, y) se ob(x, y) se obine: MA2 ine: MA2 -- MB2 = (x MB2 = (x -- a)2 + y2 a)2 + y2 -- (x + a)2 (x + a)2 -- y2 = y2 = --

4ax4ax..

Din condiDin condiia MAia MA22 -- MBMB22 = k = k ee R, se obR, se obine c x ine c x = = --kk/4a, /4a, adic punctul M se afl pe o dreapt adic punctul M se afl pe o dreapt (d) (d)

perpendicular pe dreapta ABperpendicular pe dreapta AB..

OBSERVAOBSERVAIEIEPentru k = 0, dreapta (d) are ecuaPentru k = 0, dreapta (d) are ecuaia x = 0 ia x = 0 i este mediatoarea segmentului [AB].i este mediatoarea segmentului [AB].

M(x,y)

B(-a,0) A(a,0)o

Prof:Ciocotisan Radu-Carei

2. 2. S se arate c patrulaterul S se arate c patrulaterul ABCD ABCD este este ortodiagonal ortodiagonal ABAB22 + CD+ CD22 = BC= BC22 + DA+ DA22. . SoluSoluieie

Considerm punctele AConsiderm punctele A(a, b), B(0, c), C(d, 0), D(e, 0). Cu formula distan(a, b), B(0, c), C(d, 0), D(e, 0). Cu formula distanei relaei relaia dat devineia dat devine: a: a22 + (b + (b -- c)c)22 + (d + (d -- e)e)22 = d= d22 + c+ c22 + (a + (a -- e)e)22 + b+ b22..Dup reduceri se obDup reduceri se obine egalitatea ine egalitatea bcbc + de = + de = aeae (1).(1).Dreptele AC Dreptele AC i BD sunt perpendiculare dac produsul pantelor lor este egal cui BD sunt perpendiculare dac produsul pantelor lor este egal cu --1.1.Se obSe obine:ine:

mmACAC =b/(a=b/(a--d) , d) , mmBDBD = = --cc/e ./e .Din relaDin relaia mia m11mm2 2 = = --ll se obse obine c ine c bcbc = e(a= e(a--dd ) )

relarelaie echivalent cu relaie echivalent cu relaia (1) ia (1) i teorema este demonstrati teorema este demonstrat.

C(d,0) D(e,0)

B(0,c)

A(a,b)

Prof:Ciocotisan Radu-Carei

Prof:Ciocotisan Radu-Carei

Prof:Ciocotisan Radu-Carei

Prof:Ciocotisan Radu-Carei

Prof:Ciocotisan Radu-Carei

Prof:Ciocotisan Radu-Carei

Prof:Ciocotisan Radu-Carei

Prof:Ciocotisan Radu-Carei

Prof:Ciocotisan Radu-Carei

Prof:Ciocotisan Radu-Carei

Prof:Ciocotisan Radu-Carei

Prof:Ciocotisan Radu-Carei

Prof:Ciocotisan Radu-Carei