NUMERE NATURALELecţii pentru claşa a V-a

Prof. FLORESCU NICOLAE

LECŢIA nr. 3 (2 ore)

La sfârşitul lecţiei, elevul va fi capabil:

1.3 să folosească aproximări ale numerelor naturale pentru a estima sau a verifica validitatea unor calcule

3.1 să identifice informaţiile esenţiale dintr-un enunţ matematic prezentat în diferite forme

4.1 să-şi formeze obişnuinţa de a exprima printr-un enunţ matematic anumite probleme practice

APROXIMAREA NUMERELOR NATURALE. PROBLEME DE ESTIMARE.

Tipuri de exerciţii:

1.3. - Exerciţii de aproximare prin lipsă sau prin adaos a numerelor naturale

- Identificarea pe baza estimării a rezultatelor unor calcule dintr-o lista de răspunsuri

2.2. - Deducerea unor consecinţe ce decurg dintr-un set de ipoteze sau dintr-o estimare

2.3. - Estimarea rezultatului unui calcul prin rotunjirea convenabilă a factorilor sau a termenilor

1.Aproximaţi prin : a) lipsă până la zeci ; b) adaos până la zeci ; c) lipsă până la sute ; d) adaos până la sute , numărul natural 4362.

Rezolvare:a) - cel mai mare număr natural format numai din zeci , mai

mic ca 4362 este 4360 şadar spunem că 4360 este aproximarea prin lipsă până la zeci a nr. natural 4362.

- sau: pentru a obţine obţine aproximarea prin lipsă până la zeci, din nr. dat scădem numărul reprezentat de cifra unităţilor sale: 4362 – 2 = 4360.

b) - cel mai mic număr natural format numai din zeci , mai mare decât 4362 este 4370 aşadar 4370 este aproximarea prin adaos până la zeci a numărului natural 4362.

- sau: pentru a obţine aproximarea prin adaos până la zeci, din nr. dat scădem numărul reprezentat de cifra unităţilor sale: 4362 – 2 = 4360, iar acum mărim cu 1 cifra zecilor acestui număr şi => raspunsul este 4370.

Obs.1. : putem scrie : 4360<4362<4370.

c) - cel mai mare număr natural format numai din sute , mai mic ca 4362 este 4300; aşadar spunem că 4300 este aproximarea prin lipsă până la sute a nr. natural 4362.

- sau: pentru a obţine aproximarea prin lipsă până la sute, din nr. dat scădem numărul format de cifra zecilor şi cifra unităţilor sale: 4362 – 62 = 4300.

d) - cel mai mic număr natural format numai din sute , mai mare decât 4362 este 4400; deci, 4400 este aproximarea prin adaos până la sute a numărului natural 4362.

- sau: pentru a obţine aproximarea prin adaos până la sute, din nr. dat scădem numărul format de cifra zecilor şi cifra unităţilor sale : 4362 – 62 = 4300, iar acum mărim cu 1 cifra sutelor acestui număr şi => raspunsul este 4400.

Obs.2 : putem scrie: 4300<4362<4400Obs.3 : aproximarea prin lipsă (4360) este mai aproape de 4362

decât aproximarea adaos (4370) ; spunem ca 4360 este rotunjirea până la zeci a numărului natural 4362.

aproximarea prin adaos (4400) este mai aproape de 4362 decât aproximarea prin lipsă (4300) ; spunem ca 4400 este rotunjirea până la sute a numărului natural 4362.

2.Rotunjiţi până la mii urmatoarele numere naturale: 6781; 1239 ; 45532; 100707;3456500.

Rezolvare:

Incadrăm fiecare număr între aproximările sale prin

lipsă şi adaos până la mii:

6000<6781<7000 ; 1000<1239<2000;

45000<45532<46000 ; 100000<100707<101000;

3456000<3456500<3457000

Rotunjim astfel:

6781 7000 ; 1239 1000 ; 45532 46000

şi 100707 101000 deoarece aceste aproximări sunt cele

mai apropiate de numărul respectiv iar 3456500 3457000

deorece 3456500 este egal depărtat de 3456000 şi

3457000 şi prin definitie (adică aşa e stabilită regula) în acest caz se alege aproximarea prin adaos.

3. Completaţi tabelul:

Numa-rul

aproximări

până la zeci Ro-tun-

jiri

aproximări

până la sute Ro-tun-

jiri

aproximări

până la mii Ro-tun-

jiriPrin

lipsă

Prin

adaos

Prin

lipsă

Prin

adaos

Prin

lipsă

Prin

adaos

7614

23528

76150

Rezolvare:

4.Completaţi spaţiile punctate după modelul de la observaţiile 1 şi 2 făcute la exerciţiul 1 cu aproximările numărului natural 53477 până la :

a) zeci: … <53477< … ; b) sute : … <53477< … ;c) mii : … <53477< … .

Rezolvare:a) deoarece 53470 este aproximarea prin lipsă iar 53480 este

aproximarea prin adaos până la zeci a numărului 53477 vom scrie : 53470<53477<53480;

b) deoarece 53400 este aproximarea prin lipsă iar 53500 este aproximarea prin adaos până la sute a numărului 53477 vom scrie : 53400<53477<53500;

c)deoarece 53000 este aproximarea prin lipsă iar 54000 este aproximarea prin adaos până la mii a numărului 53477 vom scrie : 53000<53477<54000.

Obs: Dacă numărul dat era 53000, atunci aveam: 53000≤53000<54000.

5.Estimaţi rezultatele calculelor de mai jos prin rotunjirea convenabilă a termenilor şi apoi verificaţi estimarea facută prin efectuare:

a)549+875 ; lista de rezultate: 994; 1424 ; 874 ; 1104; 1644.Rezolvare:Foloşim rotunjirile până la sute şi obţinem:549+875 500+900=1400.Alegem din listă numărul cel mai apropiatde 1400, adică

1424 şi efectuând obţinem la fel: 549+875=1424.Obs.: după cum vom observa din exerciţiile următoare

nu întotdeauna este uşor să alegem din lista de rezultate unul care să fie „aproape” de rezultatul efectiv facând doar o şingură rotunjire. Depinde de lista de rezultate precum şi de rotunjirile celor doi

( sau mai multi) termeni. Atunci când toţi termenii se aproximeaza prin lipsă sau toţi se aproximeaza prin adaos consecinţele constau într-o mai mare „îndepărtare” de rezultatul efectiv.

b)4347+2781 ;

lista de rezultate: 5838 ; 6148 ; 4898 ; 7128 ; 7288.

Rezolvare:

Foloşim mai întâi rotunjirile până la mii (cu acestea calculele sunt cele mai uşoare) :

4347+2781 4000+3000=7000.

Această estimare „elimină” de pe listă primele trei rezultate . Pentru o estimare mai „aproape” de rezultatul efectiv vom face rotunjiri până la sute:

4347+2781 4300+2800=7100.

Alegem din lista de rezultate numărul cel mai apropiat de 7100, adică 7128 şi … surpriză: efectuând obţinem: 4347+2781=7128.

c)12539+8617 ; lista de rezultate: 22065 ; 21156 ; 21846 ; 21056Rezolvare:Efectuăm folosind rotunjirile până la mii: 12539+8617 13000+9000=22000.Dupa această estimare privind lista de rezultate putem

opta pentru 22065 sau 21846 care sunt cele mai apropiate de estimarea de mai sus.

Efectuăm folosind rotunjirile până la sute : 12539+8617 12500+8600=21100.„Surprinzator” aceasta noua estimare ne „îndepărtează”

de cele două rezultate şi le aduce în atenţie pe celelalte două: 21156 şi 21056.

Efectuam folosind rotunjirile până la zeci : 12539+8617 12540+8620=21160.Dupa aceasta noua estimare alegem 21156 şi într-adevăr,

efectuând obţinem: 12539+8617=21156.

6. Estimaţi rezultatele calculelor de mai jos prin rotunjirea convenabilă a factorilor şi apoi verificaţi estimarea facută prin efectuare:

a)9427 lista de rezultate: 3248 ; 2538 ; 1978 ; 2917.

Rezolvare:Foloşim rotunjirile până la zeci şi estimăm rezultatul: 9427 9030=2700.Conform acestei estimări eliminăm din listă rezultatele

3248 şi 1978, iar pentru a alege între celelalte două adaugăm un element suplimentar: ultima cifră a rezultatului va fi ultima cifra a produsului 47 , adică ultima cifra a lui 28 , adică 8; deci alegem 2538.

Efectuam şi într-adevăr obţinem: 9427 = 2538.

b)184276 lista de rezultate: 50784 ; 59524 ; 56720 ; 54660.

Rezolvare:Foloşim rotunjirile până la sute şi estimăm rezultatul:

184276 200300=60000.Tinand cont de această estimare rezultatul din listă cel

mai apropiat este 59524. De notat însă că rotunjirea ambilor factori s-a facut prin adaos ceea ce poate „îndepărta” conşiderabil de rezultatul efectiv.

Foloşim rotunjirile până la zeci şi estimăm rezultatul : 184276180280=50400

Aceasta noua estimare mai „senşibilă” indică faptul că 59520 nu poate fi rezultatul corect. Tinând cont de ea alegem din listă 50784.

Efectuăm: 184276 =50784.

7. Fiecare „duzină” de cutii de chibrituri conţine 10 cutii. Câte „duzini” trebuie cumpărate pentru a avea:

a) 44 cutii ; b) 156 cutii ; c) 7 cutii ; d) 2350 cutii ?

Rezolvare:a)Deoarece o duzină conţine un număr fix de cutii, (10)

şi am aproxima 44 prin lipsă (4440), estimând rezultatul la 4 duzini ar fi o estimare care conduce spre un raspuns greşit (4 duzini conţin 40 cutii iar noi dorim să avem 44) de aceea aproximam 44 prin adaos, iar raspunsul corect este: avem nevoie de 5 duzini pentru a avea 44 cutii de chibrituri.

Asemănător avem:b) 16 ( 156160 – rotunjire prin adaos , 16x10=160) ; c) 1 ; d) 235 (235x10=2350; 2350 este un număr format

numai din zeci deci nu neceşită rotunjire).

8. Câte bancnote de

a) 10 lei; b) 100 lei; c) 1000 lei

sunt necesare pentru a plăti suma de 27543 lei? Ce reprezintă suma plătita numai în bancnotele menţionate pentru suma care era de plată? Ce rest se va primi de fiecare dată?

Rezolvare:

a) Aflăm numărul de zeci din care este compusă suma de 27543 lei. => 27543 : 10 = 2754 rest 3 => 2754 de bancnote de 10 lei. Pentru a plăti şi cei 3 lei ramaşi rest vom mai adauga o bancnotă de 10 lei. => In total sunt necesare 2754 + 1 = 2755 bancnote. Astfel, suma plătită numai cu bancnote de 10 lei va fi de 275510 = 27550 lei şi reprezintă aproximarea la zeci prin adaos a numărului 27543. In acest caz va trebui să primim un rest de: 27550 – 27543 = 7 lei.

b) Aflăm numărul de sute din care este compusă suma de 27543 lei. => 27543 : 100 = 275 rest 43 => 275 de bancnote de 100 lei. Pentru a plăti şi cei 43 lei rămaşi rest vom mai adăuga o bancnotă de 100 lei. => In total sunt necesare 275 + 1 = 276 bancnote. Astfel, suma plătită numai cu bancnote de 100 lei va fi de 276100 = 27600 lei şi reprezintă aproximarea la sute prin adaos a numărului 27543. In acest caz va trebui să primim un rest de: 27600 – 27543 = 57 lei.

c) Aflăm numărul de mii din care este compusă suma de 27543 lei. => 27543 : 1000 = 27 rest 543 => 27 de bancnote de 1000 lei. Pentru a plati şi cei 543 lei ramaşi rest vom mai adăuga o bancnota de 1000 lei. => In total sunt necesare 27 + 1 = 28 bancnote. Astfel, suma plătită numai cu bancnote de 1000 lei va fi de 281000 = 28000 lei şi reprezintă aproximarea la mii prin adaos a numărului 27543. In acest caz va trebui să primim un rest de: 28000 – 27543 = 457 lei.

9.Priviţi figura de mai jos şi notaţi:

B C

20 40 55 71 98

a) Cu Q punctul cel mai apropiat de C;

b) Cu Y punctul cel mai apropiat de B;

c) Cu Z punctul corespunzător numărului 71;

d) Cu X punctul corespunzător numărului 98.

30 60 80

Rezolvare:

APROXIMAREA NUMERELOR NATURALE. PROBLEME DE ESTIMARE.

Acum vreau să vă văd şi pe voi rezolvând asemănător astfel de exerciţii.

Dacă nu aţi reţinut suficient de bine modul de lucru, puteţi reveni asupra acestei prezentări pentru a o studia mai cu atenţie.