UTILIZAREA NUMERELOR COMPLEXE N CIRCUITE ELECTRICE DE CURENT ALTERNATIV. 13-1.CURENI, TENSIUNI I IMPEDANE COMPLEXE Enunul problemei. Pentru un circuit neramificat de curent alternativ, cu reprezentarea vectorial din fig. 13-1, s i se exprime tensiunea i curentul prin numere complexe sub trei forme, algebric, trigonometric i exponenial, dac se cunosc: U 1 = 220 V, U 2 = 127 V i I = 2 A.

Fig. 13-1. Diagrama fazorial n planul complex.

1

Rezolvarea problemei. 1. Proiectarea vectorilor pe axele de coordonate real i imaginar. Adunarea vectorilor dup cum s-a artat i n paragraful 11-1, este uor de fcut dac se cunosc proieciile lor pe axele de coordonate x i y. Pentru cazul de aici, pentru tensiunile U 1 i U 2 , se obin: U 1' = U 1 cos 60 = 220 0,5 = 110 V; U 1'' = U 1 sin 60 = 220 0,866 = 190 V; U '2 = 0 (proiecia pe axa x); U '2' = U 2 = 127 V. Dac se consider axa x axa real (+1) i axa y axa imaginar (+j) atunci tensiunile U 1 i U 2 pot fi reprezentate n complex, sub form algebric U 1 i U 2 astfel : U 1 = U 1' + j U 1'' = (110 + j 190,5) V; U 2 = 0 - j U '2' = - j 127 V. Primul numr complex este reprezentat prin fazorul U 1 , iar al doilea prin fazorul U 2 . Pentru fazorul curentului I, care este reprezentat pe axa numerelor reale, proiecia pe axa numerelor imaginare este nul i fazorul curentului va fi : I = I + j 0 = 2 A. 2. Calcularea modulelor i a argumentelor. Valoarea absolut a fazorului, de exemplu U 1 , numit i modulul mrimii complexe U 1 , este determinat din triunghiul OKM din fig. 13-1. U 1 = | U 1 | = (U 1' ) 2 + (U 2'' ) 2 . Pentru cazul de fa modulele U 1 , U 2 i I sunt cunoscute din datele problemei. Faza iniial a fazorului numit i argumentul marimii complexe, este pentru U 1 = 60, pentru U 2 = -90 i pentru I = 0, ca n fig. 13-1. 3. Formele reprezentrii complexe a fazorilor. Problema referitoare la alegerea formei de reprezentare a numerelor i a mrimilor complexe ine de modul n care se poate determina n mod univoc un fazor.2

S-a artat, mai nainte, cum poate fi folosit proiecia real i imaginar, obinndu-se n acest felforma algebric a mrimii complexe. Dac fiecare din proieciile fazorului U 1 este scris prin modulul i ' argumentul su: U 1 = U 1 cos 60; U 1'' = U 1 sin 60, atunci se obine forma trigonometric a mrimii complexe U 1 = U 1 cos 60 + j U 1 sin 60 = U 1 (cos 60 + j sin 60). Dup formula lui Euler : cos + j sin = e j , rezult : U 1 = U 1 (cos 60 + j sin 60) = U 1 e j 60 = 220 e j 60 V.

Ultima expresie se numete forma exponenial a mrimii complexe. Utiliznd aceast form : U 2 = U 2 e j 90 = 127 e j 90 ;

I = I e j 0 = I = 2A. Discuii suplimentare : 1. Din ce cauz se folosesc mai multe forme de exprimare a numerelor i a mrimilor complexe? Forma exponenial este format din valoarea absolut a mrimii complexe (modul) i direcia fazorului (argument). Avantajul major al formei exponeniale const n uurina efecturii operaiilor de nmulire i mprire a numerelor i mrimilor complexe, cum ar fi, de exemplu, calcularea impedanei complexe ca raportul dintre tensiunea complex i curentul complex. Ca dezavantaj, forma exponenial nu permite adunarea sau scderea mrimilor complexe, caz n care se recurge la forma algebric. Forma trigonometric mai este utilizat i la trecerea de la forma exponenial la forma algebric i invers. Mai jos se face trecerea de la forma algebric la forma exponenial i invers : U 1 = 220 e j 60 = 220 (cos 60 + j sin 60) = 220 0,5 + j 220 0,866 = (110 + j 190,5) V.

2. Cum se determin impedana complex a unui circuit neramificat, avnd curentul I i tensiunile U 1 i U 2 , reprezentat n fig.13-1?

3

Pentru poriunea de circuit de tensiune U 1 i curentul I, impedana complex va fi : Z1 = Z1 ej1

U 220 e j 60 = 1 = = 110 e j 60 , unde : I 2

Z 1 = 110 este modulul impedanei complexe

1 = 60 este argumentul impedanei complexe.Folosind formula lui Euler se obine : Z 1 = 110 (cos 60 + j sin 60) = (55 + j 93,5) Se observ c rezistena pur ohmic a poriunii de circuit examinat este r 1 = Z 1 cos 60 = 110 cos 60 i reactana (pentru cazul de fa inductiv) X L = Z 1 sin 60 = 110 sin 60, partea real a numrului complex Z 1 este chiar rezistena ohmic r 1 = 55 , iar partea imaginar a numrului complex este reactana inductiv X L = 95,3 , adic Z 1 = r1 + j X L .1 11

Pentru poriunea de circuit cu tensiunea U 2 , impedana complex este: Z 2 = Z 2 ej 2

U 127 e j 90 = 2 = = 63,5 (cos 90 - j sin 90) = I 2

= - j 63,5 , unde Z 2 = 63,5 i

2

= - 90.

Cum era de ateptat, pe cea de a doua poriune a circuitului, n care tensiunea este defazat napoia curentului cu 90, nu exist rezisten activ (pur) i rezistena sa are un caracter capacitiv, deci Z 2 = X C = 63,5 i Z 2 = - j XC . Astfel, partea real a impedanei complexe reprezint rezistena activ a poriunii de circuit i partea imaginar a numrului complex este reactana poriunii de circuit, reactan care poate fi inductiv dac numrul imaginar este pozitiv sau capacitiv dac numrul imaginar este negativ.

4

3. Cum se determin tensiunea la bornele unui circuit? Lund n considerare c, n cazul de fa, circuitul este format din dou laturi de circuit conectate n serie, cu tensiunile U 1 i U 2 , se obine tensiunea la borne U : U = U 1 + U 2 = 110 + j 190,5 - j 127 = (110 + j 63,5) V, cu modulul U = 110 2 + 63,5 2 = 127 V. 4. Cum se obine valoarea instantanee a tensiunii, pornind de la valoarea sa complex? Dac se cunoate expresia complex a tensiunii atunci se obine uor valoarea maxim a tensiunii i faza sa iniial. Pentru tensiunea complex U 1 = 220 e j 60 , valoarea maxim (amplitudinea) este : U1m = 2 220 V i faza iniial egal cu 60.

Se obine : u 1 = 220 2 sin ( t + 60) = 345 sin ( t + 60) V. 5. Se pot considera prile real i imaginar a tensiunii complexe i a curentului complex ca fiind componentele lor active i reactive? De exemplu, pentru prima poriune de circuit componenta activ a curentului este egal cu proiecia fazorului complex I pe fazorul tensiunii complexe U 1 , ca n fig.13-1. I a = I cos 60 = 2 0,5 = 1 A, iar componenta reactiv a curentului complex este egal cu proiecia pe o perpendicular ridicat pe fazorul tensiunii complexe, adic : I r = I sin 60 = 2 0,866 = 1,72 A. Este evident c pentru cazul general I a i I r , nu au nici un fel de legtur cu partea real i cu partea imaginar a numerelor complexe. Componenta activ i componenta reactiv a tensiunii complexe U 1 , in unele cazuri particulare, cum este i problema de mai sus, coincid cu partea real i cu partea imaginar a tensiunii complexe U 1 din cauza curentului prin circuit i care este orientat dup axa mrimilor reale.5

13-2. CIRCUIT (RAMIFICAT) PARALEL CU MAI MULTE RAMURI.

Enunul problemei : S se calculeze prin metoda numerelor complexe, toi curentii din circuitul din fig. 11-1 pentru variabile indicate n paragraful 11-1.

Rezolvarea problemei : 1. Calculul impedanelor din circuit. Cum s-a indicat mai nainte (paragraful 13-1 discuia suplimentar 2) rezistena, reactana capacitiv i reactana inductiv se scriu sub forma lor complex R, -j X C i j X L .

6

Dndu-se valorile elementelor de circuit pentru a calcula reactana capacitiv i reactana inductiv : XC1 1 1 10 6 10 4 = = 2fC = 2 50 21,2 10 6 = = = 150 . C 100 21,2 21,5

X L = L = 2 f L = 2 50 0,19 = 60 . X C = 150 ; X L = 60 ;

Impedanele complexe ale ramurilor ACB i ADB, Z 1 i Z 2 sunt : Z 1 = R 1 + j X L = (80 + j 60) = 100 e 36,86 j = 100 e j 37 .

Z 2 = R 2 - j X C = (260 - j 150) = 300,166 e j 29,98 = 300 e j 30 .

Impedana complex total Z este :Z1 Z 2 100 e j 37 300 e j 30 30000 e j 7 3000 e j 7 Z = Z +Z = = = == 80 + j 60 + 260 j 150 340 j 90 34 j 9 1 2

3000 e j 7 35,17 e

j14 ,82 '

= 85 e j 21 ,50'

Z = 85 e j 21 50 ' .

Se obine acelai rezultat ca la paragraful 11-1, discuia suplimentar 4. 2. Calculul curenilor : Considerm fazorul la borne orientat dup axa numerelor reale pozitive. Atunci fazorul tensiunii va fi : U = U = 120 V. Curentul total complex I I = Z = = 1,4 e j 21 50 85 e 21 80 '

U

120

7

Curenii compui din ramuri : I1 = Z = = 1,2 e j 37 A. 100 e j 37 1

U

120

I2 = Z = = 0,4 e j 30 A. 300 e j 30 2

U

120

3. Calculul fazorului tensiune U CD se aplic a doua teorem a lui Kirchhoff sub forma ei complex, pentru conturul ACDA I 1 Z 1 + U CD - I 2 Z 2 = 0 de unde rezult : U CD = I 2 Z 2 - I 1 Z 1 = 0,4 e j 30 260 - 1,2 e j 37 80 =

Ui =1

n

i

=

I Z =1

n

= 104 (cos 30 + j sin 30) - 96 (cos 37- j sin 37) = = 104 0,866 + j 104 0,5 - 96 0,601 = = 90,066 + j 52 - 76,669 + j 57,774 = = 13,3976 + j 109,7747 = = 13,4 + j 109,8 = = 110,6 e j 83 V.

Discuii suplimentare : 1. De ce s-a considerat fazorul tensiunii ca fiind orientat dup axa numerelor reale? Direcia fazorului U poate fi aleas n mod arbitrar. Alegerea fcut permite obinerea unei expresii simple pentru tensiunea complex U (fr parte imaginar)

fiind egal cu 0. U = U e j0 = U

8

2. Cum este ordinea calculului circuitului, dac se cunosc fie curentul dintr-o ramur oarecare, fie tensiunea? n acest caz orientm fazorul asociat mrimii cunoscute (fie curent, fie tensiune) dup axa numerelor reale (axa x, abscis) i se va exprima acest fazor printr-un numr complex care este egal cu valoarea efectiv (a curentului sau tensiunii), faza iniial considerndu-se egal cu 0. 3. Cum decurg calculele dac alegem o alt direcie iniial pentru fazorul tensiunii, U ? Dac, spre exemplu, lum U = j U, adic orientm vectorul U dup direcia pozitiv a axei y, toi curenii compleci vor fi nmulii cu j. Atunci, modulele tuturor mrimilor complexe rmn aceleai, n timp ce argumentele lor se mresc cu 90, adic toi vectorii pivoteaz cu 90 n sens pozitiv. Faptul c modulele vectorilor i defazajele rmn aceleai permit alegerea arbitrar a direciei unui vector. 4. Cum se rezolv problema folosind admitanele complexe ale ramurilor? Admitana complex a primei ramuri Y 1 va fi : Y1 = Z = R + j X = R2 + X 2 = R2 + X 2 - j R2 + X 2 1 1 L 1 L 1 L 1 L n expresia obinut se distinge uor partea activ (real) i partea reactiv (imaginar) a admitanei. Y1 = G1 - j B1 La fel se obine i admitana complex i pentru cea de-a doua ramur Y2 = G2 - j B2 Conductanele i inductanele au fost obinute n cazul acesta, n paragraful 11-2 ; avem astfel :1 1 R1 j X L R1 XL

9

Y 1 = (8 10 3 - j 6 10 3 ) 1 Y 2 = (2,9 10 3 + j 1,7 10 3 ) 1

[S] . [S] .

Admitanele complexe pot fi obinute direct i din impedanele complexe cunoscute : Y1 = Z = = 0,01 e j 37 = 0,01 cos(-37) + j 0,01 sin(-37) = 100 e j 37 1

1

1

= (8 10 3 - j 1,7 10 3 ) 1 . Y2 = Z = = 3,33 10 3 e j 30 = (2,9 10 3 + j 1,7 10 3 ) 1 . 300 e j30 2

1

1

Se observ c pentru conexiunea paralel admitana complex a circuitului este egal cu suma admitanelor complexe ale ramurilor de circuit; astfel se obine Y :

Y = Y 1 + Y 2 = 8 10 3 - j 6 10 3 + 2,9 10 3 + j 1,7 10 3 = = (10,9 10 3 - j 4,3 10 3 ) 1 . Curentul complex total din circuit va fi : I = U Y = 120 11,7 10 3 e j21 50' = 1,4 e j21 50' A.

5. Cum se verific rezultatele obinute? Aplicnd numerele complexe la calculul circuitelor de curent alternativ, este uor de verificat calculele, cu ajutorul legilor lui Kirchhoff. Verificm, de exemplu, egalitatea sumei curenilor compleci din ramurile de circuit cu curentul complex total (prima lege a lui Kirchhoff) : I 1 = 1,2 e j 37 = 1,2 (cos 37 - j sin 37) = (0,96 - j 0,72) A.

I 2 = 0,4 e j 30 = 0,4 (cos 30 + j sin 30) = (0,35 + j 0,2) A.

Efectund suma lor, se va obine :10

I 1 + I 2 = 0,96 - j 0,72 + 0,35 + j 0,2 = 1,31 - j 0,52 = 1,4 e j21 50' A.

Adic, tocmai, expresia curentului I : I = 1,4 e j21 50' A.

13-3. CIRCUIT RAMIFICAT PARALEL I SERIE.

11

Enunul problemei : S se determine valoarea i caracterul (inductiv sau capacitiv) reactanei X care trebuie conectat pe poriunea AB (fig. 13-2) pentru ca tot circuitul s se afle n rezonan la frecvena de 400 Hz. S se calculeze, n aceste condiii, tensiunea la borne, U 1 care determin un curent prin condensator I C = 0,1 A, dac L b = 50 mH ; R b = 25 ; C = 0,8 F.

Rezolvarea problemei : 1. Condiia de stabilire a rezonanei de tensiune n circuitul din fig. 13-2. Acest regim se poate stabili ntr-un circuit format dintr-o inductan i o capacitan conectate n serie dac X L = X C . Din aceat cauz nu se poate calcula valoarea necesar a reactanei care trebuie conectat pe poriunea AB dect dup ce se calculeaz reactana poriunii BC, cu aceste cuvinte a circuitului format din inductan i condensator conectate n paralel.

Impedana complex a bobinei va fi :

12

Z b = R b + j X b = R b + j L b =R b + j 2 f L b = 25 + j 2 400 0,05 = (25 + j 125) = 127,5 e j 78 40 .

Impedana complex a capacitii va fi : Z C = j X = j C = j 2 f C = 2 400 0,8 10 6 = C =-j10 6 = - j 500 = 500 e j 90 . 800 0,8 1 1 1 j

Impedana complex a poriunii BC, Z BC este :Zb Zc 127,5 e j 78 40 500 e j 90 63750 e j11 20 Z BC = Z + Z = = = 170 e j 75 10 = j 86 30 25 + j 125 j 500 b c 376 e

= (44,3 + j 164) . Astfel poriunea BC din fig. 13-2 poate fi reprezentat printr-o rezisten pur ohmic R = 44,3 (care este partea real a impedanei complexe Z BC ) i o inductan de X L = 164 (care este partea imaginar pozitiv, a impedanei complexe Z BC ) conectate n serie, ca n fig. 13-3.

Fig. 13-3. n acest mod, devine evident faptul c poriunea AB trebuie s aibe o reactan capacitiv X C egal cu X L . Deci X = 164 . Schema echivalent a circuitului iniial fiind dat n fig. 13-4.

13

2. Calculul tensiunii la bornele circuitului. Avnd n vedere faptul c din datele problemei se cunoate curentul prin condensatorul C, este indicat, ca n reprezentarea grafic, s se orienteze acest curent dup axa real ; astfel faza iniial este nul : I C = I C e j 0 = I C = 0,1 A.

Tensiunea complex a conexiunii paralele U BC este : U BC = I C Z C = 0,1 (- j 500) = - j 50 V = 50 e j 90 V.

Dup aceea se va determina curentul complex prin bobin :U BC 50 e j 90 IB = Z = = 0,39 e j16 40 = (- 0,385 j 0,077) A. j 78 40 127,5 e b

Curentul total, I, rezult prin aplicarea primei legi a lui Kirchhoff, sub forma complex, n nodul B, este :

I - Ic - Ib= 0 I = I c + I b = 0,1 - 0,385 j 0,077 = (- 0,285 - j 0,077) A.

14

Impedana echivalent a circuitului Z AC rezult din fig. 13-4, ca fiind egal cu : Z AC = R + j X L - j X C = 44,3 + j 164 - j 164 = 44,3 . Tensiunea complex la bornele circuitului U este : U = I Z AC = (- 0,285 - j 0,077) 44,3 = (- 12,6 - j 3,4) V. Avnd modulul i deci valoarea efectiv : U = | U | = 12,6 2 + 3,4 2 = 13 V. 2. n care cazuri puterea reactiv Q > 0 i n care Q < 0? n discuia precedent s-a artat c puterea efectiv a bobinei se exprim printr-un numr pozitiv iar cea a condensatorului printr-un numr negativ. Este o ntmplare? Se va arta c nu. n capitolul 10 s-a demonstrat c puterea reactiv Q = X I 2 unde reactana X este egal cu X = X L - X C . n consecin : Q = (X L - X C ) I 2 = X L I 2 - X C I 2 = Q L - Q C adic pentru inductana Q= Q L > 0 i pentru capacitate Q= Q C < 0. 3. Se pot calcula puterile aparente complexe dac se dau valorile efective ale curenilor din circuit? Da, conform datelor problemei, nu determinm dect valorile efective ale curenilor i cunoscnd parametrii circuitului putem calcula ntotdeauna puterile sub forma lor complex. Pentru aceasta se folosete forma algebric de exprimare a puterii aparente complexe S = P + j Q. n continuare se va aplica aceast metod la calculul circuitului din fig. 13-2.2 Puterea activ a bobinei : P b = R b I b = 25 (0,39) 2 = 3,85 W. 2 Puterea reactiv a bobinei : Q b = X L I b = 125 (0,39) 2 =19,2 var, de unde rezult puterea aparent complex a bobinei :

S b = P b + j Q b = (3,85 + j 19,2) VA.15

Analog, rezult i pentru condensator :2 P C = 0 ; Q C =X C I C =500 (0,1) 2 = 5 var

S C = P C - j Q C = - j 5 VA. i pentru elementul reactiv X : P X = 0 Q C = X I 2 = 164 (0,295) 2 = 14,3 var, unde I este modelul curentului complex I : I = | I | = (0,285) 2 + (0,077 ) 2 = 0,295 A. Astfel vom avea : S X = P X - j Q X = - j 14,3 VA. Rezultatele obinute coincid cu cele de la punctul 1. 4. Cum se calculeaz puterea aparent a unei puni ramificate de circuit? Expresia puterii aparente complexe S = U I* se distinge prin generalitatea sa, din cauz c se poate folosi att pentru elemente pasive ct i active ale unui circuit (a se vedea punctul 1 de la discuii suplimentare) ct i pentru o poriune de circuit compus din orice conexiune ale acestor elemente de circuit. Ca exemplu se calculeaz puterea complex a poriunii ramificate BC pentru circuitul din fig. 13-2. Se observ c impedana echivalent a poriunii BC este strbtut de curentul total al circuitului I = (- 0,285 - j 0,077) A. Puntea aparent complex a poriunii BC, S BC , este :

S BC = U I*= 50 e j 90 (-0,285 + j 0,077) = - j 50 (- 0,285 + j 0,077) = (3,85 + j 14,2) VA.

16

Comparnd rezultatul obinut aici cu cel obinut la discuia suplimentar 1 : S b + S c = 3,85 + j 19,2 - j 5 = 3,85 + j 14,2 = S BC , se confirm egalitatea. Discuii suplimentare : 1. Cum se stabilete balana puterilor complexe? n cazul calculului unui circuit prin metoda complex, se cunosc de obicei tensiunile complexe i curenii compleci. Puterea aparent complex pentru o poriune de circuit care la borne are tensiunea complex U i este strbtut de curentul complex I este : S = U I*, unde prin I*s-a notat valoarea conjugat a curentului complex care trece prin poriunea respectiv de circuit. Dac se calculeaz partea real i partea imaginar a mrimii S, se dovedete c prima parte reprezint puterea activ P i a doua puterea reactiv Q, adic : S = U I*= P + j Q. Folosind aceste relaii pentru stabilirea balanei puterilor din circuitul reprezentat n fig. 13-2 vom obine succesiv puterea aparent complex a bobinei : S b = U BC I * = 50 e j 90 0,39 e j16 40 = 19,5 e j 78 40 = b =19,5 (cos 7840' + j sin 7840') = 19,5 (0,19 + j 0,975) = =(3,85 + j 19,2) VA, de unde rezult pentru bobin puterile :

S b = | S b | = 3,85 2 + 19,2 2 = 19,5 VA. P b = 3,85 W. Q b = 19,2 var. n mod analog se calculeaz i puterile condensatorului C : S C = U BC I * = 50 e j 90 0,1 = - j 5 VA. C

S C = | S C | = 5 VA.

17

P C = 0. Q C = - 5 var. Pentru poriunea de circuit care conine reactana X se calculeaz, mai nti, cderea de tensiune complex U X : U X = j X I*= - j 164 (- 0,285 - j 0,077) = (- 12,6 + j 47) V. Apoi se calculeaz puterea aparent complex : S X = U X I*= (- 12,6 + j 47) (- 0,285 + j 0,077) = 3,6 - j 0,97 - j 13,395 3,6 = 3,6 j 0,9 j 13,4 3,6 = - j 14,3 VA. De unde rezult : S X = | S X | = 14,3 VA. P X = 0. Q X = - 14,3 var. Pentru datele problemei, puterea aparent complex total a tuturor elementelor pasive din circuit este : S p = S b + S C + S X = 3,85 + j 19,2 - j 5 - j 14,3 = 3,85 VA. Puterea reactiv a circuitului rezult nul, din cauz c circuitul este n regim de rezonan. Puterea complex a sursei de alimentare, S S este : S S = U I*= (12,6 - j 3,4) (- 0,285 + j 0,077) = 3,85 VA. n consecin, puterile complexe ale receptorilor i a sumei de energie sunt egale : S P = S S , adic are loc echilibrarea puterilor.

18

13-4. CIRCUIT RAMIFICAT CU INDUCIE MUTUAL.

Enunul problemei : n circuitul din fig. 13-5 se d tensiunea la borne U = 220 V, rezistenele i inductanele poriunilor de circuit :

L2 =

induciei mutuale X m = M = 80 . Se cere s se determine curenii i s se construiasc diagrama vectorial topografic.

1 = R 2 = 100 ; C2

L 1 = 80

; R 1 = 60 . Reactana

Fig. 13-5. Circuit format din dou ramuri conectate n paralel i cuplate prin inducie mutual.

19

Rezolvarea problemei : 1. Tensiunea la bornele ramurilor din circuit. (fig. 13-5) Curentul I 1 , n trecere prin ramura care conine rezistena R 1 i bobina L 1 conectate n serie, determin cderile de tensiune, care sub form complex, sunt I 1 R 1 i I 1 j L 1 . Pe de alt parte, fluxul magnetic al bobinei L 2 , determinat de curentul I 2 din cealalt ramur, traverseaz i bobina L 1 , inducnd n aceasta o tensiune electro motoare de inducie mutual E 1 2 = I 2 M = I 2 X M , care este defazat n urm cu 90 fa de curentul I 2 . Adic, sub form complex tensiunea electro motoare de inducie mutual E 1 2 = - j M I 2 este echivalent de ctre cderea de tensiune suplimentar pe bobina L 1 : U 1 2 = j M I 2 . innd cont de toate cderile de tensiune discutate mai sus, se poate scrie tensiunea la borne pentru ochiul I (AO 1 BA) astfel : U = I 1 R 1 + I 1 j L 1 + I 2 j M. (13-1)

Tensiunea U 1 2 = I 2 j M din ecuaia (13-1) este luat cu semnul plus pentru c bobinele L 1 i L 2 sunt cuplate inductiv n acord, cu alte cuvinte, curenii I 1 i I 2 au acelai sens fa de bornele nsemnate cu asterixuri. (fig. 13-5) Dac, de exemplu, pentru bobina L 1 (fig. 13-5) asterixul era pus la borna O 1 i nu la borna A, cuplajul bobinelor L 1 i L 2 era n opoziie. Atunci termenul I 2 j M din ecuaia (13-1) trebuia luat cu semnul minus. Deplasarea asterixului de la un capt la altul al unei bobine, nseamn c bornele de intrare i de sfrit ale bobinei i schimb locul. Raionnd n acelai mod i pentru ochiul II (AO 2 BA) i innd n plus, cont de condensatorul C 2 , vom avea expresia pentru tensiuni : U = I 2 R 2 - I 2 j C + I 2 j L 2 + I 1 j M. 21

(13-2)

20

2. Calculul curenilor. Se scriu, mai nti, impedanele complexe ale ramurilor, fr a ine seama de inductana mutual : Z 1 = R 1 + j L 1 ; Z 2 = R 2 + j ( L 2 - C ) i rezolvnd 2 sistemul de dou ecuaii, (13-1) i (13-2) n raport cu curenii prin cele dou ramuri, se va obine : I 1 = U Z Z + 2 M 2 (13-3) 1 2Z 2 j M 1

I 2 = U Z Z + 2 M 2 (13-4) 1 2

Z 1 j M

nlocuind datele numerice, avem succesiv : Z 2 - j M = 100 - j 80 = 128 e j 38 30 ;

Z 1 - j M = 60 + j 80 - j 80 = 60 ; Z 1 Z 2 + 2 M 2 = (60 + j 80) 100 + (80) 2 = 14750 e j 32 40 2 .

nlocuind rezultatele obinute mai sus n ecuaiile (13-3) i (13-4) vom obine expresiile curenilor I 1 i I 2 : I 1 = 220 I 2 = 220 128 e j 38 30

14750 e 60

j 32 40

= 1,91 e j 71 10 A.

14750 e j 32 40

= 0,895 e j 32 40 A.

n continuare se exprim curenii compleci obinui sub forma algebric, avnd n vedere c : sin 7110= 0,95 ; cos 7110= 0,32 ; sin 3240= 0,539 cos 3240= 0,841

21

Astfel : I 1 = 1,91 (cos 7110- j sin 7110) = 1,91 (0,32 - j 0,95) = = 0,611 j 1,815 A ; I 2 = 0,895 (cos 3240 - j sin 3240) = 0,895 (0,841 - j 0,539) = = 0,752 j 0,483 A ; I = I 1 + I 2 = 1,363 - j 2,3 = 2,65 e j 59 30 A.

a)22

b)Fig. 13-6. Diagrama fazorial a curenilor (a) i diagrama topografic a tensiunilor (b) pentru circuitul din fig. 13-5.

23

13-5. CIRCUIT COMPLEX.

Enunul problemei : Dou generatoare conectate n paralel (fig. 13-7) a cror tensiune electromotoare sunt E 1 = 118 i E 2 = 124 V i sunt n faz, alimenteaz un circuit exterior cu o impedan activ inductiv Z = (0,5 + j 0,3) . Impedanele interne ale generatoarelor sunt pur inductive i egale ntre ele. Z 01 = Z 02 = Z 0 = j 0,05 . Se cere s se determine toi curenii din circuit i curentul din circuitul exterior pentru valori ale impedanei de sarcin Z S egale cu 2Z, Z,Z Z i . 2 4

Fig. 13-7. Circuitul pentru problema din paragraful 13-5.

24

Rezolvarea problemei : 1. Alegerea metodei de calcul. Aplicarea metodei numerelor complexe permit alegerea oricrei metode de calcul a circuitelor complexe de curent continuu (vezi paragraful 3 din capitolul 4). Avnd n vedere c circuitul dat conine dou noduri se va aplica metoda celor dou noduri. Se tie c este avantajos se a determina curentul prin poriunile unui circuit complex pentru mai multe valori ale impedanei poriunii respective prin metoda generatorului echivalent, din care cauz se va aplica i aceast metod. 2. Calculul admitanelor ramurilor. Admitanele complexe ale ramurilor sunt : Y 1 = Y 2 = Z = j 0,05 = - j 20 1 ; 0 Y 3 = Z = 0,5 + j 0,3 =1 1 0,5 j 0,3 = (1,47 - j 0,88) 0,341

1

1

.

3. Calculul tensiunii ntre noduri i curenii prin ramuri. Tensiunea nodal complex este : U AB = Y + Y + Y = j 20 j 20 + 1,47 j 0,88 = 1,47 j 40,88 = 1 2 3 = (118,25 - j 4,25) V. Curenii compleci prin cele dou ramuri sunt : I 1 = (E 1 - U AB ) Y 1 = (118 - 118,25 + j 4,25) (- j 20) = = 84,8 + j 5 = 85 e j3 20 A ;

E1 Y 1 + E 2 Y 2

118 ( j 20) + 124 ( j 20)

j 4840

25

I 2 = (E 2 - U AB ) Y 2 = (124 - 118,25 + j 4,25) (- j 20) = = 84,8 - j 115 = 142 e j 53 30 A.

I = I 1 + I 2 = 84,8 + j 5 + 84,8 - j 115 = 169,6 - j 110 = = 202,5 e j 33 A.

3. Diagrama vectorial a curenilor i diagrama topografic a tensiunilor. Fazorul tensiunii U (fig. 13-6, a i b) este luat n discuia pozitiv a numerelor reale pentru c am considerat n rezolvarea problemei c : U = U = 220 V. Fazorii curenilor I 1 i I 2 sunt defazai n urma fazorului tensiune U cu unghiul

1 = 7110 respectiv 2

= 3240.

Fazorul tensiunii O 1 A (fig. 13-5) este format din doi termeni : fazorul O 1 K 1 i K 1 A (fig. 13-6, b); fazorul O 1 K 1 este defazat naintea fazorului curentului I 1 cu 90 iar fazorul K 1 A naintea fazorului curentului I 2 cu 90. Unghiurile de defazaj indicate de fazorii O 1 K 1 i K 1 A au sensul fizic c tensiunea peste o bobin este defazat cu 90 naintea curentului iar din punct de vedere matematic nmulirea unui fazor cu j rotete fazorul n sens pozitiv cu 90, astfel de exemplu fazorul j M I 2 este defazat naintea curentului I 2 cu 90. n acelai mod se discut i ramura cealalt (BOO 2 A din fig. 13-5) cu ajutorul ecuaiei (13-2) i se construiesc fazorii tuturor cderilor de tensiune, n fig.13-6, b; se observ c punctele A i B coincid i pe diagrama fazorial chiar dac parcurgem diferit circuitul dintre ele. 4. Calculul curentului din circuitul exterior pentru valori diferite ale impedanei de sarcin. Utiliznd metoda generatorului echivalent, curentul este dat de relaia: I = Z +Z eEe

(13-5),

26

unde : E e - este fazorul tensiunii electromotoare complex a generatorului echivalent. Z e - este impedana intern complex a generatorului echivalent. Z = Z S - este impedana de sarcin variabil. Tensiunea electromotoare E e este n cazul nostru tensiunea dintre punctele A i B (fig. 13-7) atunci cnd circuitul exterior este ntrerupt, adic Z S = i I = 0. Atunci cnd poriunea de impedan Z = Z S (fig. 13-7) este decuplat n circuit nu rmne dect ochiul de circuit format din cele dou tensiuni electromotoare E 1 i E 2 . Considernd pentru circuitul nou obinut curentul I' se va determina tensiunea ntre punctele A i B, egal cu tensiunea electromotoare a generatorului echivalent : U' AB = E e = E 1 - I Z 01 = E 1 - Z + Z Z 01 . 01 02 De unde rezult c : E e =E1 + E 2 din cauz c Z 01 = Z 02 = Z 0 . 2 E1 E 2

Impedana intern a generatorului echivalent Z e este format din dou impedane identice Z 01 = Z 02 conectate n paralel fa de punctele A i B (fig. 13-7) astfel c : Z e =Z0 . 2

nlocuind valorile obinute pentru E e i Z e n relaia (13-5) vom obine expresia impedanei de sarcin, pentru oricare ar fi impedana de sarcin : I = Z + 2 Z = j 0,05 + 2 Z = j 0,05 + 2 Z 0 S S S Particulariznd, pentru Z S = Z, avem :E1 + E 2 118 + 124 242

(13-6).

27

I (z) = j 0,05 + 2 (0,5 + j 0,3) = = 202,5 e j 33 A. 193 e j 33

242

242

Valoarea obinut pentru I coincide cu valoarea gsit mai nainte ceea ce demonstreaz valabilitatea rezultatelor obinute. nlocuind n relaia (13-6) Z S = 2 Z, Z S = 0,5 Z i Z S = 0,25 Z avem succesiv : I (2z) = j 0,05 + 2 2 (0,5 + j 0,3) = 2 + j 1,25 = = 102,97 e j 32 A. 2,35 e j 32

242

242

242

242 242 242 Z I = j 0,05 + 2 1 (0,5 + j 0,3) = 0,5 + j 0,35 = 0,61 e j 35 = 396,72e j 35 A. 2 2 242 242 242 Z j 39 I = j 0,05 + 2 1 (0,5 + j 0,3) = 0,25 + j 0,2 = A. j 39 = 756,25 e 0,32 e 4 4

Discuii suplimentare : Cum se pot verifica, prin intermediul balanei puterilor, calculele efectuate? Puterea aparent complex a primului generator este :* S 1 = E 1 I 1 = 118 85 e j 3 20 = 10020 (cos 320- j sin 320) =

= (10000 - j 580) VA = (10 - j 0,58) kVA. De unde obinem pentru primul generator : S 1 = | S 1 | = 10,02 kVA ; P 1 = 10 kW ; Q 1 = - 58 kvar. La fel avem pentru cel de-al doilea generator : S 2 = E 2 I * = 124 142 e j 53 30 = 17600 e j 53 30 = 2

=(10500 + j 14200) VA = (10,5 + j 14,2) kVA.

28

De unde rezult : S 2 = | S 2 | = 17,6 kVA ; P 2 = 10,5 kW ; Q 2 = 14,2 kvar. Puntea activ a celor dou generatoare : P 1 + P 2 = (10 + 10,5) kW = 20,5 kW.

29

13-6. CIRCUIT COMPLEX CU INDUCIE MUTUAL.

Enunul problemei : Pentru circuitul din fig. 13-8 se cunosc rezistenele i reactanele : R 1 = 80 ; R 2 = R 3 = 40 ; L 1 = 60 ; L 2 = L 3 = 80 ;1 = 40 ; inducia mutual C2

M = 40

. Tensiunile electromotoare

complexe ale surselor de energie sunt : E 1 = E 2 = 100 V i E 3 = 200 e j120 V. S se determine curenii, tensiunile i potenialele punctelor din circuit; s se construiasc diagrama potenialelor; s se verifice rezultatele obinute cu ajutorul ecuaiei de echilibru a puterilor.

30

Fig. 13-8

Circuit complex cu inducie mutual.

Soluia problemei : 1. Alegerea metodei de calcul. n problema precedent pentru un circuit cu dou moduri s-a aplicat metoda celor dou noduri. Pentru aceast problem, cu toate c circuitul conine dou noduri, aceast metod se aplic mai greu, pentru c metoda celor dou noduri presupune calculul admitanelor ramurilor funcie de valorile pe care le iau parametrii circuitului; dar, n prezena unei inducii mutuale, apar inductane determinate de cuplajul inductiv dintre bobine, care, conform problemei sunt necunoscute, pe de alt parte determinarea lor este destul de complicat. Aceast dificultate intervine i n cazul n care se aplic alt metod cunoscut dar care impune calculul impedanei totale sau echivalente a ramurilor sau poriunilor de circuit (metoda superpoziiei, metoda metoda generatorului echivalent). Iat de ce, n acest caz, de rezolvarea unui circuit de curent alternativ cu inducie mutual se utilizeaz, cel mai des, ecuaiile lui Kirchhoff sau metoda curenilor de contur; aplicnd ultima metod se va obine rezultatul mai rapid. 2. Aplicarea metodei curenilor de contur. Se aleg sensurile curenilor de contur I I i I II n sensul de micare a acelor de ceasornic (fig. 13-8). Se stabilete ecuaia conturului AFKMBNC i inem seama c, (vezi paragraful 3-3), dac sensurile curenilor de contur sunt identice i coincid cu sensul de parcurgere, n ecuaia de contur produsul curentului I I din primul contur prin propria sa impedan se ia cu semnul plus, adic :+ R2 i cu semnul minus produsul I I R1 + j L1 + j L2 j C2 curentului I II nvecinat prin impedana comun celor dou contururi : 1 - I II j L2 j + R2 . C2 1

31

Fig. 13-9. Diagrama vectorial a curenilor (a) i diagrama potenialelor (b) pentru circuitul din fig. 13-8.

32

Cunoscnd curenii de contur I I i I II putem afla curenii prin ramuri astfel : I 1 = I I = 0,3 - j 0,05 = 0,34 e j 9 45 A.

I 2 = I II - I I = 1,035 + j 0,6 - 0,3 + j 0,05 = 0,735 + j 0,65 = = 0,965 e j 41 30 A.

I 3 = I II = 1,035 + j 0,6 = 1,19 e j 30 A.

Se construiete diagrama vectorial n planul complex a curenilor compleci (fig. 13-9). Pe de alt parte, trebuie inut cont i de cuplajul inductiv dintre contururi, care provoac n primul contur o cdere de tensiune I II j M, echilibrnd tensiunea electromotoare numeric egal i de sens opus induciei mutuale I II j M (vezi fig. 13-4). Tensiunea I II j M trebuie s fie inclus n ecuaia de contur cu semnul plus, pentru c sensul de parcurgere al conturului i curenii de contur prin bobinele L 1 i L 2 sunt orientai n acelai mod fa de bornele cu acelai nume marcate printr-un asterix. Dac se modific sensul de parcurgere cu sensul curentului I II n sens invers, tensiunea I II j M trebuie s fie luat, n ecuaia de contur, cu semnul minus. Obinem, astfel, ecuaia primului contur : 1 1 - I II R2 + j L2 j + I I R1 + j L1 + R2 + j L2 j

C2

C2

+ I II j M = E 1 - E 2

(13-7).

Raionnd la fel, se obine ecuaia i pentru cel de-al doilea contur :

33

-

1 + I I j M + +I II I I R 2 + j L2 j

C2

1 R 2 + j L2 j + j L3 + R3 = E 2 + E 3 C2

(13-8).

3. Calculul curenilor. Introducnd datele problemei n ecuaiile (13-7) i (13-8) vom obine : I I - (80 + j 60 + 40 + j 80 - j 40) - I II (40 + j 80 - j 40 - j 40) = 0 - I I (40 + j 80 - j 40 - j 40) + I II (40 + j 80 - j 40 + j 80 + 40) = = 100 + 200 e j120 .

34

Fig. 13-9., b) 4. Calculul tensiunilor complexe a tuturor poriunilor din circuit. Pentru poriunea NC (fig. 13-8) cu rezisten ohmic R 1 , tensiunea complex este : U NC = R 1 I 1 = 80 0,34 e j 9 45 = 27,2 e j 9 45 = (24 j 4) V.

Tensiunea poriunii CA (fig. 13-8) este compus din tensiunea pe bobina L 1 i tensiunea care echilibreaz tensiunea electromotoare de inducie mutual. U CA = I 1 j L 1 + I 3 j M = (0,3 - j 0,05) j 60 +

35

+ (1,035 + j 0,6) j 40 = - 21 + j 59,4 = 63 e j131 30 V.

La fel se obin tensiunile celorlaltor poriuni de circuit : U FA = I 2 j L 2 = 0,965 e j 41 30 j 80 = 77,6 e j131 30 =

= (- 52 + j 58,8) V ; 1 = 0,965 e j 41 30 (- j 40) = 38,8 e j 48 30 = U KF = I 2 j

C2

= (26 j 29,4) V; U MK = I 2 R 2 = 40 0,965 e j 41 30 = 38,8 e j 41 30 = (29 + j 26) V;

U AD = I 3 j L 3 + I 1 j M = (1,035 + j 0,6) j 80 + + (0,3 - j 0,05) j 40 = - 46 + j 94,8 = 105,5 e j115 40 V ;

U DP = R 3 I 3 = 40 1,19 e j 30 = 47,8 e j 30 = (41,5 + j 24) V;

U NC = 27,2 e j 9 45 ;

U CA = 63 e j109 10 ;

U FA = 77,6 e j131 30 ;

U KF =38,8 e j 48 30 ;

U MK = 38,8 e j 41 30 ;

U AD = 105,5 e j115 40 ;

U DP = 47,8 e j 30 .

5. Calculul potenialelor complexe ale punctelor din circuit. Asociem punctului B din circuit (fig. 13-8) potenialul zero, V B = 0. Acest punct reprezint pentru prima i a doua surs borna cu potenialul inferior (innd seama de sensul tensiunii electromotoare E 1 i E 236

reprezentate n schem). Astfel, punctele N i M (fig. 13-8) reprezint borne cu un potenial mai mare dect potenialul punctului B. Din datele problemei E 1 = E 2 = 100 V, n care caz potenialele complexe ale punctelor N i M sunt : V N = V M = 100 V. Parcurgnd prima ramur a circuitului (fig. 13-8) dup sensul curentului I 1 (n sensul micorrii potenialului) i folosind rezultatele obinute pentru tensiunile poriunilor de circuit, vom avea pentru punctele C i A potenialele complexe : V C = V N - U NC = 100 - 24 + j 4 = 76 + j 4 = 76,1 e j 3 V.

V A = V C - U CA = 76 + j 4 + 21 - j 59,4 = 97 - j 55,4 = 111,7 e j 29 50 V.

Pentru a determina potenialele complexe ale punctelor din ramura a doua, vom considera punctul A n sens opus curentului I 2 (sensul creterii potenialului). V F = V N - U FA = 97 - j 55,4 - 52 + j 58,8 = 45 + j 3,4 = 45,1 e j 4 20 V.

V K = V F + U KF = 45 + j 3,4 + 26 - j 29,4 = 71 - j 26 = 75,6 e j 20 10 V.

Pentru verificare, se poate determina potenialul punctului M (calculat mai nainte V M = 100 V) : V M = V K + U MK = 71 - j 26 + 29 + j 26 = 100 V. La fel se obin potenialele punctelor D i P din cea de-a treia ramur a circuitului : V D = V A - U AD = 97 - j 55,4 + 46 - j 94,8 = 143 - j 150,2 = = 207,3 e j 46 20 V.

V P = V D - U DP = 143 - j 150,2 - 41,5 - j 24 = 101,5 - j 174,2 = = 201,6 e j 60 V.

37

13-6. REZOLVAREA PROBLEMEI.

38

R 1 = 80

+ R2 I I R1 + j L1 + j L2 + j C2

1

- I II R2 +

1 + j L2 + I II j j C2

M= R 2 = R 3 = 40 = E1 - E 2 - I I R2 +

L 1 = 60

1 + j L2 + j C2 1 + j L2 + j L3 + R3 + j C2

L 2 = L 3 = 801 = 40 C2

+ I II R2 +

+ I I j M = E 2 + E 3

M = 40

39

E 1 = E 2 = 100 V E 3 = 200 e j120 V

I I (80 + j 60 + j 80 - j 40 + 40) - I II (40 - j 40 + j 80 - j 40) = 100 - 100 - I I (40 - j 40 + j 80 j 40) + I II (40 - j 40 + j 80 + j 80 + 40) = 100 + 200 e j120

I1 = ? I2 = ? I3= ?

I 1 = I II = 0,3002472 - j 0,053524412 = = 0,30498072 e j10

I 2 = I II - I I = 0,7343054 + j 0,64356917 = = 0,97641471 e j 41 30

I 3 = I II = 1,0345526 + j 0,59004476 = = 1,1909877 e j 30

40

Ecuaia echilibrului punilor :

U NC = 24,39783 e j10 ;

S 1 = 100 (0,30024 + j 0,05352) = = 30,02472 + j 5,352 = 30,49728 e j10 .

U CA = 62,79775 e j109 ;

U FA = 78,111165 e j131 30 ;

S 2 = 100 (0,73428 - j 0,64356) = = 73,43054 - j 64,356 = 97,63895 e j 41 30 .

U KF = 39,05558 e j 48 30 ;

U MK = 39,05558 e j 41 30 ;

S 3 = 200 e j120 (1,03452 - j 0,59004) =

U AD = 104,93902 e 115 40 ;

= 200 e j120 1,19095 e j 30 =

U DP = 47,63828 e j 30 ;

= 238, 1914 e j 90 = j 238,1914.

P S = 103,452 w ;

Q S = 179,1874 var.

P 1 = R 1 I 12 = 80 I 12 = 7,4410591 w. P 2 = R 2 I 2 = 40 I 2 = 38,135428 w. 2 22 2 P 3 = R 3 I 3 = 40 I 3 = 56,738068 w.

P C = 102,30913 w.

41

Valorile complexe ale potenialelor sunt reprezentate n diagrama potenialelor (fig. 13-9, b) prin raze-vectoare din originea coordonatelor, unde se afl situat punctul B, pentru c V B = 0. La cealalt extremitate a razei-vectoare s-au notat punctele din circuit al crei potenial l reprezint. Tensiunile tuturor poriunilor de circuit care alctuiesc ochiul exterior de circuit (fig. 13-7) reprezentate pe diagrama potenialelor permite verificarea celei de-a doua legi a lui Kirchhoff pentru acest contur nchis. n adevr, dup fig. 13-9, putem scrie c : U DP + U AD + U CA + U NC = E 1 + E 3 . 6. Ecuaia echilibrului puterilor. Puterile aparente complexe ale surselor de energie sunt :* S 1 = E 1 I 1 = 100 (0,3 + j 0,05) = (30 + j 5) VA.

S 2 = E 2 I * = 100 (0,735 - j 0,65) = (73,5 - j 65) VA. 2 S 3 = E 3 I * = 200 e j120 (1,035 - j 0,6) = 200 e j120 1,19 e j 30 = 3

= 240 e j 90 = 240 (cos 90 + j sin 90) = 240 (0 + j) = j 240 VA.

Suma puterilor active este : PS =

P1

3

Si

= 30 + 73,5 = 103,5 W,

iar suma puterilor reactive este : QS =

Q1

3

Si

= 5 - 65 + 240 = 180 var.

42

Puterile active ale consumatorilor sunt : P 1 = R 1 I 12 = 80 (0,304) 2 = 9,5 W ; P 2 = R 2 I 2 = 40 (0,965) 2 = 37,5 W ; 22 P 3 = R 3 I 3 = 40 (1,19) 2 = 56,5 W.

Suma puterilor active ale consumatorilor este : PC =

P = 9,5 + 37,5 + 56,5 = 103,5 w.i

Se observ echilibrul puterilor active : PS = PC . Puterile reactive ale consumatorilor sunt : Q 1 = L 1 I 12 = 60 (0,304) 2 = 7 var ; Q 2 = L2 1 C2 2 I 2 = 40 (0,965) 2 = 37 var ;

2 Q 3 = L 3 I 3 = 80 (1,19) 2 = 112 var.

Pe de alt parte, se poate calcula puterea transportat de ctre cuplajul magnetic al bobinelor L 1 i L 2 (vezi paragraful 13-4, discuia suplimentar 2) : I 1 j M I * = 0,304 e j 9 45 40 e j 90 1,19 e j 30 = 16,2 e j 50 15 = 3

= (10,3 + j 12) VA i* I 3 j M I 1 = 1,19 e j 30 40 e j 90 0,304 e j 9 45 = 16,2 e j129 45 =

= (- 10,3 + j 12) VA.

43

Puterea activ global transportat : P t = 10,3 - 10,3 = 0. Puterea reactiv transportat : Q t = 12 + 12 = 24 var. Astfel, suma puterilor reactive ale tuturor consumatorilor, inclusiv puterile transportate, este egal cu : QC =

Q

= Q 1 + Q 2 + Q 3 + Q t = 7 + 31 + 112 + 24 = 180 var.

Se observ i realizarea ecuaiei de echilibru a puterilor active i reactive : Q S = Q C . OBS. ndeplinirea ecuaiei de echilibru a puterilor active i reactive confirm corectitudinea calculelor.

44

13.7. PROBLEME PROPUSE PENTRU REZOLVARE.

Probleme pentru paragraful 13-1. 255. S se scrie expresiile curenilor i a tensiunilor complexe, dup fig. 13-10, dac se dau valorile lor efective ca fiind egale cu 2A i 127 V?

Fig. 13-10.

256. ntr-un circuit curentul este exprimat prin valoarea sa complex -j30 mA. Tensiunea complex la bornele circuitului are modulul egal cu 120V i argumentul -. S se scrie valorile instantanee ale curentului i tensiunii; s se construiasc diagrama vectorial. 257. S se nmuleasc valorile complexe ale curentului i tensiunii din problema 256 cu j i -j. S se construiasc diagrama vectorial a noilor mrimi complexe. 258. S se construiasc fazorii tensiunilor pentru care U 1 = (110 + j 190) V, U 2 = - 220 V i U 3 = (110 - j 190) V. S se calculeze defazajele dintre tensiuni.

45

259. Se dau valorile instantanee ale curenilor din dou ramuri de circuit : i 1 = 12 sin ( t - 30) i i 2 = 8 sin ( t + 30). S se scrie cele trei forme (algebric, trigonometric i exponenial) ale curentului total complex al celor dou ramuri; s se construiasc diagrama vectorial. 260. Pentru un circuit neramificat care este compus din trei poriuni de circuit conectate n serie se dau tensiunile U 1 = 100 V, U 2 = 80 V i U 3 = 120 V (ca n fig. 13-11); s se exprime valorile complexe ale tensiunilor U 1 , U 2 i U 3 dac 1 = 60 i 2 = 50; s se scrie valoarea instantanee a tensiunii la borne, u i s se construiasc fazorul U pe diagrama vectorial.

Fig. 13-11.

261. Cu ct trebuie s fie egal tensiunea U 2 , n condiiile problemei 260, astfel nct s avem ndeplinit egalitatea U 3 = U 1 + U 2 ?

46

262. ntr-un circuit elementele active i reactive ale curentului sunt identice i egale cu 14,1 A. Tensiunea la bornele circuitului este defazat n urma curentului i se exprim n complex U = U e j 45 . S se stabileasc expresia curentului complex.

263. Tensiunea la bornele unui circuit are componenta activ egal cu 63,5 V i componenta reactiv 109,2 V. Faza iniial a curentului prin circuit este egal cu 120. S se stabileasc expresia tensiunii complexe, dac tensiunea este defazat naintea curentului. 264. Cum trebuie s se modifice faza iniial a curentului din problema 263, astfel nct componentele activ i reactiv ale tensiunii s exprime prile real i imaginar ale tensiunii complexe? 265. Curentul printr-un circuit este (0,684 + j 1,88) A, tensiunea la borne (60 + j 103,4) V. S se calculeze valorile efective ale curentului i tensiunii, rezistena i inductana circuitului. S se exprime impedana circuitului sub forma complex. 266. S se calculeze rezistena i inductana unei bobine la frecvena de 50 Hz, dac impedana sa complex este Z b = 240,8 e j 51 30 .

267. Impedana complex a unui circuit este Z =

5 + j 2 . 4 + j 3

S se stabileasc schema echivalent a circuitului la frecvena de 100 kHz. 268. Impedana unui circuit este egal cu (5 - j 6) . Ce rezisten trebuie conectat n circuit astfel nct rezistena s fie numeric egal cu reactana sa? 269. ntr-un circuit, cu rezistena R = 10 i reactanele X L = 25 , X C = 15 , conectate toate n serie, curentul complex este I = - 12 A. S se calculeze valorile complexe ale tensiunilor la bornele fiecrui element de circuit precum i tensiunea complex la bornele circuitului; s se construiasc diagrama vectorial.

47

270. S se calculeze, pentru problema 269, puterea aparent complex. 271. Trei impedane, egal fiecare cu 100 , sunt conectate n serie. Tensiunile peste aceste impedane sunt defazate naintea curentului cu 10, 40 i 70. S se calculeze impedana total a circuitului i factorul de putere? 272. ntr-un circuit format din dou bobine identice conectate n serie i un condensator, curentul I = 8 A, tensiunea la borne 110 V i puterea activ P = 530 W. S se stabileasc expresia complex a impedanelor bobinei i condensatorului i a puterii aparente totale, dac inductana fiecrei bobine este egal cu capacitana? 273. S se stabileasc expresiile complexe ale impedanelor poriunilor de circuit precum i a ntregului circuit dup diagrama topografic (fig. 13-12), unde, se d : U = 220 V; U 1 = 80 V; U 3 = 62 V; U 4 = 25 V; U 5 = 18 V i I = 1 A.

Fig. 13-12.

48

274. S se stabileasc valoarea complex a impedanei, pentru circuitul din problema 273, care trebuie conectat n serie, astfel nct pentru acest circuit s se stabileasc un regim de rezonan a tensiunilor. Probleme pentru paragraful 13-2.

275. O rezisten R = 30 , o inductan cu reactan inductiv XL = 40 i un condensator cu reactana capacitiv X C = 25 sunt conectate n paralel. S se calculeze rezistena i reactana circuitului serie echivalent? 276. S se calculeze, n condiiile problemei 275, curenii prin ramuri i curentul total, dac tensiunea la borne este U = 120 e j 30 V. S se stabileasc diagrama fazorial.

277. O rezisten, o bobin i un condensator, fiecare avnd valoarea de 200 , sunt conectate n paralel la bornele unei surse de 120 V. S se calculeze curentul sursei. 278. Un grup de receptoare cu sarcin activ-inductiv este conectat la reeaua de curent alternativ cu tensiunea de 220 V. Curentul total absorbit de receptoare este egal cu 66 A i au puterea activ de 9 kW. n scopul creterii factorului de putere pn la 0,95 se conecteaz, n paralel cu receptoarele, o baterie de condensatoare. S se determine reactana capacitiv a bateriei de condensatoare i s se stabileasc expresiile complexe ale curenilor prin receptoare, prin bateria de condensatoare precum i curentul total al reelei, considernd c tensiunea reelei este o mrime real i pozitiv. 279. Trei impedane, Z 1 = (100 + j 60) , Z 2 = (40 - j 60) i Z 3 = 120 sunt conectate n paralel. Tensiunea la bornele circuitului este U = 120 V. S se determine curenii compleci prin ramuri, curentul total al circuitului precum i puterea aparent complex. S se stabileasc diagrama vectorial a tuturor curenilor i tensiunilor. 280. Ce impedan trebuie conectat pe o poriune neramificat, pentru circuitul din problema 279, astfel nct s se obin un regim de rezonan?

49

281. n circuitul din fig. 13-13 se cunosc curenii prin ramuri I1 = 0,8 A; I 2 = 0,6 A. Curentul I 1 este defazat n urma curentului I 2 cu un unghi de 50. S se calculeze tensiunile U i U CD , dac R 1 = 25 i XL = 15 ?

282. S se stabileasc, pentru circuitul din fig. 13-14, expresia general a impedanei dac X L = X C = X.

50

Fig. 13-14. Probleme pentru paragrafele 13-4 i 13-5.

283. S se calculeze toi curenii din circuitul reprezentat n fig. 13-14, precum i tensiunile ntre punctele AB i BC, dac = X L = 500 ; X C = 1000 ; R 1 = 200 i U = 120 V?

R2

284. S se calculeze tensiunile ntre punctele AB i BC (fig. 13-15) precum i tensiunea la bornele circuitului, U AC , dac rezistena R 1 este strbtut de un curent egal cu 1,4 A. Parametrii circuitului : C = 3 F ; L = 0,2 H; R 1 = 100 ; R = 20 i f = 160 Hz?

Fig. 13-15.

51

285. Considernd, pentru problema 284, cunoscut curentul total egal cu 1,46 A, s se calculeze tensiunea la borne. 286. S se determine forma general a rezistenei R 2 , pentru circuitul dat de fig. 13-16, care determin ntre tensiunea U i curentul I 3 , la frecvena unghiular , un unghi egal cu 90.

287. S se calculeze curentul prin circuitul din fig. 13-17 cnd cuplajul bobinelor de inducie este n acord i n opoziie dac R = 30 ; L 1 = 0,1 H; L 2 = 0,03 H; M = 0,053 H; U = 220 V i f = 50 Hz?

52

288. Pentru circuitul din fig. 13-18 s se calculeze toi curenii dac : U = 220 V; f = 50 Hz; L 1 = 0,2 H; L 2 = 0,4 H; M = 0,1 H; R 1 = 20 i R 2 = 30 ?

289. Cu ajutorul unui montaj BOUCHEROT (fig. 13-19) se poate asigura un curent I 1 constant, pentru un numr diferit de lmpi. S se determine, cu ajutorul legilor lui Kirchhoff, relaia necesar ntre , L i C?

53

290. Dou generatoare cuplate n paralel avnd impedanele interne Z 01 = Z 02 = j 0,2 i tensiunea electromotoare E 1 = 120 V; E 2 = 126 V au o sarcin comun de impedan Z = (2 + j) . S se calculeze curenii compleci ai receptorului i a generatoarelor? 291. S se determine curenii complei n condiiile problemei 290, dac se schimb tensiunea electromotoare astfel nct E 2 = j E 1 .

13-8. RSPUNSURI LA PROBLEMELE PROPUSE PENTRU REZOLVARE N CAPITOLUL 13.

255. 2 e j135 A; 127 e j 90 V. 256. 30 2 sin ( t - 90) mA; 120 2 sin ( t - 180) V.

54

257. 30 mA; 120 V. 258. 120. 259. 12,3 e j 6 30 = 12,3 [cos ( 6 30) + j sin ( 6 30) ] = 12,25 - j 1,4. 260. (-86,6 + j 50) V; (-61,2 - j 51,5) V; -120 V; 376 sin ( t - 180) V. 261. 60 e j124 V. 262. 20 A. 263. -127 V. 264. S se reduc pn la zero. 265. 2 A; 120 V; 38,3 ; -46 ; 60 e j 50 . 266. 150 ; 0,6 H. 267. 0,8 ; 2,23 H . 268. Activ sau inductiv de 1 sau inductiv de 11 . 269. -120 V; -j 300 V; j 180 V; (-120 - j 120) V. 270. (1440 + j 1440) VA. 271. 285 ; 0,72. 272. (4,14 + j 11) ; -j 11 ; (530 + j 700) VA. 273. -j 80 ; (165 + j 110) ; j 62 ; 25 ; j 18 ; (190 + j 110) . 274. -j 110 . 275. 24,8 ; -11,5 . 276. 4 A; 3 e j 60 A; 4,8 e j120 A; 4,4 e j 24 10 A. 277. 0,6 A. 278. -5,8 ; 66 e j 51 40 A; j 37,9 A; 43 e j18 10 A. 279. (0,883 - j 0,53) A; (0,924 + j 1,38) A; 1 A; (2,8 + j 0,85) A; (336 + j 102) VA. 280. Inductiv de 11,9 . 281. 23 V; 12,8 V;

282.

R x R1 x R1 R2 x 2 +j 2 . R1 + R2 R1 + R2

283. 0,1 A; 0,14 A; 0,1 A; 20 V; 100 V. 284. 140 V; 290 V; 300 V. 285. 310 V.286. R 2 =

2 L1 L3 R1 R3 . R1 + R3

287. 2,7 V; 7 A. 288. 2,83 A; 1,07 A; 3,87 A. 289. 2 L C = 1. 290. 53 e j 28 A; 23,7 e j 6 A; 36,2 e j 49 15 A.

55

291. 37 e j14 35 A; 418 e j135 A; 453 e j 42 A.

BIBLIOGRAFIE 1. Ioan de Sabata Bazele electrotehnici, litografia IPTVT, Timioara, 1974; 2. Rdule, R Bazele electrotehnicii, Editura didactic i pedagogic, Bucureti, 1981; 3. Timotin, A i Hortopan, V. Lecii de bazele electrotehnicii, Editura didactic i pedagogic, Bucureti, 1964; 4. Zaitchik, M.Y. Problmes et exercises dlectrotechnique gnrale, Editions Mir, Moscou, 1980.

CUPRINS UTILIZAREA NUMERELOR COMPLEXE N CIRCUITE ELECTRICE DE CURENT ALTERNATIV 13-1. CURENI, TENSIUNI I IMPEDANE COMPLEXE..................1 Enunul problemei...................................................................................... 1 Rezolvarea problemei................................................................................ 2 Discuii suplimentare.................................................................................. 3 13-2. CIRCUIT (RAMIFICAT) PARALEL CU MAI MULTE RAMURI.......................................................................6 Enunul problemei....................................................................................... 6 Rezolvarea problemei.................................................................................. 6 Discuii suplimentare................................................................................... 8 13-3. CIRCUIT RAMIFICAT PARALEL I SERIE................................ 12 Enunul problemei...................................................................................... 1256

Rezolvarea problemei................................................................................. 12 Discuii suplimentare.................................................................................. 17 13-4. CIRCUIT RAMIFICAT CU INDUCIE MUTUAL..................... 19 Enunul problemei....................................................................................... 19 Rezolvarea problemei.................................................................................. 20 13-5. CIRCUIT COMPLEX........................................................................ 24 Enunul problemei........................................................................................ 24 Rezolvarea problemei................................................................................... 25 Discuii suplimentare.................................................................................... 28 13-6. CIRCUIT COMPLEX CU INDUCIE MUTUAL......................... 30 Enunul problemei........................................................................................ 30 Soluia problemei......................................................................................... 31 13-6. REZOLVAREA PROBLEMEI.......................................................... 38 13-7. PROBLEME PROPUSE PENTRU REZOLVARE........................... 44 Probleme pentru paragraful 13-1.................................................................. 44 Probleme pentru paragraful 13-2.................................................................. 48 Probleme pentru paragrafele 13-4 i 13-5.................................................... 50 13-8. RSPUNSURI LA PROBLEMELE PROPUSE PENTRU REZOLVARE N CAPITOLUL 13............................................ 54 BIBLIOGRAFIE..56 CUPRINS .57

57