117
1 INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEŢEAN PRAHOVA ŞCOALA GIMNAZIALĂ „RAREŞ VODĂ” PLOIEŞTI Nr.46 August 2019
1
INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEŢEAN PRAHOVA
ŞCOALA GIMNAZIALĂ „RAREŞ VODĂ” PLOIEŞTI
Nr.46
August 2019
2
Publicaţie periodică
a lucrărilor prezentate de elevi la
CONCURSUL NAŢIONAL
„Matematică – ştiinţă şi limbă universală”
Ediţia a X-a - 2019
PLOIEŞTI
Nr.46 – August 2019
3
Prof.
Prof.
Prof.
Prof.
4
Cuprins
Aplicații practice ale derivatelor în fizică..................................................................................... 8
Vizitiu Anamaria
Lic. Tehn. „Costin Nenițescu”, Buzău
Prof. îndrumător Stan Adrian
Unde este inelul? ...................................................................................................................... 11
Podaru Ștefan Teodor
Școala Gimnazială Corbasca, Județul Bacău
Prof. Olaru Sorina
Utilizarea aplicației Geogebra în trasarea graficului unei funcții ............................................... 12
Pătrașcu Andrei Col. Tehnic "Gh.Asachi" Iași Prof. îndrumător: Anton Carmen-Daniela
Dan Barbilian – Între matematică și poezie ............................................................................... 16
Crăciun Anisia-Diana
Colegiul Naţional Pedagogic „Ştefan cel Mare”, Bacău
Profesor îndrumător Heisu Ancuța
Despre Pitagora ... ................................................................................................................... 18
Asimionesei Ciprian
Liceul Tehnologic Economic Administrativ
Prof. îndrumător: Irina Michiu Huma
Asupra unor probleme care se rezolvă folosind principiul lui Dirichlet ....................................... 22
Brânduşoiu Silvia & Paternic Eugen
Liceul Tehnologic Special Nr. 3, Bucureşti Prof. Voiculescu Carmen-Elena
Binomul lui Newton .................................................................................................................. 24
Alecu Evelin-Ioana & Buia Ioana
Colegiul Naţional „Mihai Eminescu” Bucureşti Prof. îndrumător Săvulescu Dumitru
Relația dintre matematică și celelalte științe exacte ................................................................. 30
Băeșu Ovidiu Mihai Colegiul Național „Nicolae Iorga”
Prof. Îndrumător: Petre Mariana
Demonstrarea unor inegalităţi cu ajutorul derivatelor .............................................................. 33
Ilieş Anamaria & Cardoş Maria
Colegiul Tehnic „Aurel Vlaicu” Baia Mare
Profesor îndrumător Pop Adela
Ecuația dreptei – metodă pentru stabilirea punctului static de funcționare la tranzistorul bipolar ......................................................................................................................................... 37
Stoica Bogdan
Colegiul Tehnic Costin D Nenițescu Pitești Prof. indrumator: Bostan Elena
Ortocentrul unui triunghi .......................................................................................................... 41
Gîndac Iustina
Școală Gimnazială nr.1 Băleni, jud.Galați Prof. Ginghină Oana-Mihaela
Giovanni Ceva .......................................................................................................................... 45
5
Oltean Viorel Școala Gimnazială “Aurel Vlaicu” Arad
Profesor coordonator Doble Ileana
Greșeli tipice în algebră ............................................................................................................ 47
Focșeneanu Andreea Cristina
Școala: Colegiul Tehnic Forestier Câmpina
Profesor îndrumător: Necula Elena
Teorema lui Pitagora. Reciproca teoremei lui Pitagora .......................................................... 50
Sima Mara Bianca
Școala Gimnazială ,,Înv. Ion Mateescu”
Prof. coordonator Cazacu Gabriela
Probleme alese pentru copii isteți ............................................................................................. 53
Ioan Cristian
Şcoala Gimnazială “Rareş Vodă”Ploieşti Coordonator: Prof. Daniela Badea
Ion Barbu versus Dan Barbilian ................................................................................................. 55
Eva-Ioana Petrescu-Constantin
Colegiul Tehnic de Arhitectură şi Lucrări Publice I. N. Socolescu - Bucureşti. Profesor coordonator: Elena Geanǎ
Issac Newton ............................................................................................................................ 58
Aștefanei Alicia și Duță Alexandra
Colegiul de Artă “Carmen Sylva”
Prof. Îndrumător Butac Ecatrina
Istoria și semnificația numerelor .............................................................................................. 62
Suciu David Dorin
Școala Gimnazială nr.1 Bălnaca
Prof. îndrumător: Hanza Elena-Maria
Despre gândirea matematică, şi nu numai ! .............................................................................. 64
Stoean Mario
Şcoala gimnazială ’’G. E. Palade’’, Buzău
Profesor îndrumător: Stanciu Neculai
Linii importante in triunghi ....................................................................................................... 67
Constantin Maria
Colegiul National „ Mihai Eminescu” București Prof.Indumator : Savulescu Dumitru
Maxime şi minime geometrice în plan ...................................................................................... 71
Costeleanu Bianca
Liceul Tehnologic Topoloveni Prof. Coordonator: Floarea Mariana
Magie cu numere .................................................................................................................... 73
Solomon Emilia
Școala Gimnazială Corbasca, Județul Bacău
Profesor: Olaru Sorina
Determinanți în geometrie ....................................................................................................... 74
Muraru Georgiana
Colegiul de Științe Grigore Antipa Brașov
Prof. Puiu Mihaela Loredana
6
Numărul de aur ........................................................................................................................ 78
Buș Rebeca
Școala Gimnazială Măguri-Răcătău
Profesor îndrumător : Muntean Luminița
Numere prime Mersenne și numere prime Fermat .................................................................... 80
Tătulescu Larisa Ștefania & Cîmpeanu Ana Maria
Colegiul Naţional "Alexandru Ioan Cuza" - Ploiești Profesor îndrumător: Mihalache Daniela
Leonhard Euler ......................................................................................................................... 82
Perijoc Andrei & Lungu Bianca
Colegiul Tehnic de Industrie Alimentară Suceava
Profesor îndrumător Andreea Țui
Pitagora-celebrul intelept ......................................................................................................... 85
Pruna Larisa
Scoala Gimnaziala ,,Stefan Cel Mare’’, Alexandria, Teleorman
Profesor coordonator: Mihai Ioana
Probleme de perspicacitate ...................................................................................................... 88
Lupu Alexia & Popescu Alexia
C.N. Al. I. CUZA, Ploiești Profesor îndrumător: Mihalache Daniela
Prorietăţile funcţiilor derivabile .............................................................................................. 96
Radu Alina-Florentina
Colegiul Naţional „Mihai Eminescu” Bucureşti Profesor coordonator Săvulescu Dumitru
Fascinanta viață și spectaculoasa moarte a lui Pitagora ......................................................... 102
Buşega Giorgiana
Liceul Tehnologic Virgil Madgearu
prof.Iordache Ana Maria
Sfera - formă arhitecturală sacră .......................................................................................... 104
Isvanescu Vlad
Liceul de Arte Plastice Timişoara
Prof. coordonato: Mocanu Livia
Șirul lui Fibonacci ................................................................................................................... 107
Asanache Victor & Gabor Andrei C.N. „Al. I. CUZA”, Ploiești Profesor Îndrumător: Mihalache Daniela
Suma lui Gauss ....................................................................................................................... 109
Fildan Cristian
Școala Gimnazială Mihai Eminescu Arad
Profesor îndrumător Cilibia Claudia
Teoreme de medie in calculul integral. Aplicații ...................................................................... 112
Iancu Costin& Safta Andi Colegiul ”Spiru Haret” Ploieşti, Îndrumător: Profesor Ion Badea
Thales şi teoremele lui ............................................................................................................ 115
Cotea Gabriela
Şcoala Gimnazială “Ştefan Cel Mare” Alexandria
7
Profesor Îndrumător: Mihai Ioana
8
Aplicații practice ale derivatelor în fizică
Vizitiu Anamaria
Lic. Tehn. „Costin Nenițescu”, Buzău
Prof. îndrumător Stan Adrian Acest material prezintă o serie de probleme cu relevanță în fizică în care se utilizează noțiunea matematică de derivată și proprietățile acesteia folosite în determinarea monotoniei și a punctelor de extrem. 1. O particulă materială aflată în mișcare la un moment de timp t ( exprimat în secunde)
parcurge un spațiu dat de legea ( ) ln( 2)2
ts t t
t
.
a) Să se determine formula vitezei și să se arate că ( ) 0, 0.s t t
b) Să se determine maximul vitezei și la ce moment de timp se obține acesta. Rezolvare: a) Viteza se definește ca raportul dintre spațiul parcurs pe unitatea de timp,
2 2
( ) 1 2( ) ln( 2) .
2 2 ( 2) ( 2)
Ids t t t
v t tdt t t t t
Așadar, se observă că pentru orice
0 ( ) 0.It s t Rezultă conform tabelului de valori, că ( ) 0, 2;0s t t și ( ) 0, 0;s t t .
Așadar, s(t) este crescătoare pe 0; , rezultând că ( ) (0) ln 2 0, 0;s t s t .
t -2 0
( )Is t - - - - - - 0 + + + +
s(t) S(0)
b) Maximul vitezei se poate găsi studiind monotonia derivatei vitezei:
2 2 2
2 2 4 4
4 4 2 4 ( 4)( )
( 2) 4 4 ( 2) ( 2)
I I
I t t t t t t tv t
t t t t t
t -2 0 2
( )Iv t - - - 0 + + + + + + + + 0 - - - - - - -
v(t) v(-2) v(2)
Așadar, funcția 2
( )( 2)
tv t
t
ca și funcție continuă în t are un maxim în punctul 2 egal cu
2
2 1(2) /
4 8v m s .
9
2. Un pacient care este pregătit perntru o operație este monitorizat în ceea ce privește
determinarea nivelului de anestezic din corp. La fiecare 10 minute i se ia o mostră simplă de
sânge pentru a se determina concentrația sedativului ( în mg/l) și se înregistrează într-un
tabel:
Timpul ( min) Concentrația anestezic ( mg/l)
0 20
10 10
20 5
30 2,5
40 1,25
50 0,65
60 0,3
70 0,15
a) Să se estimeze care este rata de schimbare a concentrației la 30 de minute și la 60 de minute și dacă este constantă;
b) Să se scrie ecuația concentrației sedativului ca ecuație diferențială de formadC
kCdt
pentru k
o constantă de proporționalitate iar soluțiile să satisfacă valorile C(0)= 20 și C(60)=0,3. Rezolvare: a) La momentul t=30 respectiv t= 60 minute , concentrația se definește ca o viteză medie între valorile apropiate
(40) (20) 1,25 5 3,75(30) 0,18
40 20 20 20
C CC
(70) (50) 0,15 0,65 0,5(60) 0,025
70 50 20 20
C CC
.
Se poate observa că cele două valori -0,18 și -0,025 nu sunt foarte apropiate, așadar, rata de schimbare a concentrației sedativulului nu este constantă; b) Dacă se consideră că ecuația ce dă concentrația sedativului la momentul t este de forma dC
k Cdt
, k = constantă de proporționalitate, și se ține cont de valorile C(0)= 20 și C(60)=0,3,
obținem:
( ) 20 ktC t e . Cum C(60)= 0,3 rezultă 60 600,3 20 ln(0,3) ln 20 lnk ke e
0,3ln
ln 0,015 4,19920ln(0,3) ln 20 60 0,069960 60 60
k k
.
Rezultă 0,0699( ) 20 tC t e .
3. Un satelit lansat în jurul Pământului parcurge o traiectorie dată de legea
3 1( ) : 0; 0; , ( ) mtD t D t k t e , unde k și m sunt constante strict pozitive, 0,03m .
Să se determine după cât timp satelitul ajunge la o distanță maximă de Pământ . Timpul este exprimat în minute. Rezolvare:
Cum 3 1( ) mtD t k t e este o funcție derivabilă în t pe 0; , rezultă
2 1 3 1 2 1( ) 3 ( ) 3I mt mt mtD t k t e k t e m k t e mt .
10
Din 3 3
( ) 0 3 0 1000,03
ID t mt tm
minute.
4. O minge este aruncată în sus cu o viteză 0 8 /v m s şi parcurge într-un timp t o anumită
distanţă ( ) . Să se determine după câte secunde , mingea ajunge la înălţimea maximă . Rezolvare : Considerăm un sistem de axe şi mingea în originea axelor . Ecuaţia mişcării mingii este
( )
, unde ⁄ ⁄ . Conform datelor problemei, rezultă
21( ) 8
2S t t gt . Atunci, ( ) 8IS t gt . Din
8 8( ) 0 8 0 0,81
9,8
IS t gt tg
e punct de maxim pentru ( ) deoarece 8
( ) 0IISg .
Se poate verifica şi cu tabelul de valori :
t 0
8
g
( )IS t + + + + + 0 _ _ _ _ _ _ -
S(t) M
Maximul lui ( ) este :
2
8 8 1 8 128 64 32( ) 8 3, 26
2 2S g
g g g g g
metri si se realizează pentru 0,81t .
Bibliografie:
1. Colecţia de manuale de matematică, clasa a XI-a ; 2. Mică Enciclopedie Matematică, Editura Tehnică, 1980, Bucureşti.
11
Unde este inelul?
Podaru Ștefan Teodor
Școala Gimnazială Corbasca, Județul Bacău
Prof. Olaru Sorina
O aplicație frumoasă a ,,magiei cu numere’’ este următorul joc-problemă: ghicirea
persoanei căreiai i s-a încredințat un inel, precum și a degetului și chiar a falangei în care a fost pus.
În acest scop, numerotați persoanele de față, apoi degetele mâinilor pornind de la cel mai mic al
mâinii stângi până la degetul cel mic de la mâna dreaptă și, de asemenea, falangele începând de la
vârful fiecărui deget.
Pentru exemplificare, să presupunem că inelul este la persoana a 4-a, în degetul al 9-lea, pe
falanga a 3-a.
După această pregătire, se va propune participanților la joc să efectueze următoarele
operații: la dublul numărului persoanei care poartă inelul să adune pe 1, să înmulțească rezultatul cu
5 și să adauge la produs numărul degetului cu inelul (ei vor face în taină socotelile: (4 x 2 + 1) x 5
+ 9 =54); în continuare, să dubleze iarăși numărul căpătat, apoi să adune pe 1 și rezultatul să-l
înmulțească cu 5, iar la acest produs să adauge numărul falangei pe care se află inelul (calculele lor
sunt: (54 x 2 + 1) x 5 + 3 = 548); în final, din numărul rezultat să scadă pe 55 și să anunțe diferența
obținută ( în exemplul luat, se va face cunoscut numărul: 493).
Cifrele numărului anunțat redau cele trei răspunsuri așteptate.
Bibliografie:
CALEIDOSCOP MATEMATIC . Vasile Bobancu , Editura Niculescu 2005
12
Utilizarea aplicației Geogebra în trasarea graficului
unei funcții
Pătrașcu Andrei
Col. Tehnic "Gh.Asachi" Iași
Prof. îndrumător: Anton Carmen-Daniela
Scopul acestui referat este de a realiza reprezentarea grafică a unei funcții f:IIRIR, ceea
ce vom numi, într-o formulare uzuală, trasarea graficului funcției f sau desenarea graficului funcției
într-un reper cartezian xOy ales.
Cu noţiunile discutate până acum, relativ la derivate şi la proprietăţile acestora, suntem în
măsură să realizăm reprezentarea grafică a funcţiilor, care ne ajută să înţelegem mai bine
comportarea funcţiilor respective.
Scopul nostru este studiul funcțiilor, trasarea graficului unei funcții fiind un mijloc extrem de
util pentru a ilustra proprietățile ei locale și globale. Utilizând în mod esențial noțiunea de derivată,
știm să indicăm deja anumite puncte importante ale graficelor (puncte de extrem, intersecții cu
axele etc.), intervalele de monotonie, anumite drepte remarcabile (asimptote, semitangente etc.). O
dată determinate aceste elemente, ele pot fi figurate pe sistemul fixat de axe și permit redarea
aproximativă a graficului funcției considerate.
Pentru a reprezenta mai sistematic modul de lucru în trasarea graficului unei funcții (notată
f), se obișnuiește parcurgerea unor etape în cadrul cărora se stabilesc diferite elemente utile.
Trasarea graficului unei funcții
Reprezentaţi grafic funcţia următoare f : IIR, f (x)=x3 - 3x +2
I. Domeniul de definiţie al funcţiei; paritate, imparitate, periodicitate
I = IR . Funcţia nu este nici pară, nici impară, nici periodică.
Intersecţia cu axa Oy x = 0 f(0) = 2 (2,0) punctul de intersecţie cu axa 0y
Intersecţia cu axa Ox f(x) = 0 x3 - 3x + 2 = 0 x1 = x2 = 0, x3 = - 2 (1;0) şi (-2;0)
punctele de intersecţie cu axa Ox.
)(lim
)(lim
xf
xf
x
x funcţia nu admite asimptote orizontale.
II. Derivata de ordinul întâi: f '(x) =3x2 -3 ; f '(x) = 0 3x
2 -3 =0 x1 = -1 , x2 = 1
III. Derivata de ordinul al doilea: f "(x)=6x ; f "(x)=0 6x=0 x=0
IV. Asimptote
13
Deoarece I = IR f nu are asimptote verticale. Cercetăm existenţa asimptotelor oblice.
Calculăm :
x
xx
x
xfm
xx
23lim
)(lim
3
;
x
xx
x
xfm
xx
23lim
)(lim
3
Aşadar, funcţia f nu are nici asimptote oblice.
V. Tabloul de variaţie
VI. Trasarea graficului
Rezolvarea ecuaţiilor cu metoda grafică cu ajutorul programului Geogebra
2. Să se afle numărul rădăcinilor reale ale ecuaţiei .0ln1
1
x
x
x
Rezolvare: Considerăm funcţiile f :IR\{1}IR,1
1)(
x
xxf și g:(0,)IR, g(x) =ln x.
Abscisele punctelor de intersecţie ale diagramelor graficelor celor două funcţii vor fi soluţiile
ecuaţiei date.
Alcătuim tabelul de variaţie pentru funcţia f.
Din f (x) =0 rezultă x = -1; f (0) = -1; 1)(lim
xfx
, 1)(lim
xfx
2)1(
2)('
xxf ,
)(lim
1xf
x,
)(lim
1xf
x
Prin trasarea graficului funcției cu ajutorul programului se obține:
14
Din grafic se observă că ecuaţia are 2 rădăcini reale x1, x2, cu 0<x1<1 şi x2>1.
3. Să se discute, în funcţie de parametrul real m, rădăcinile ecuaţiei x3 - m x
2 + m = 0.
Rezolvare: Separăm parametrul m şi obţinem 12
3
x
xm , x {-1, 1}. Am putut împărţi prin x
2-1
deoarece x = -1 şi x =1 nu sunt rădăcini ale ecuaţiei.
Considerăm funcţiile f :IR\{-1;1}IR,1
)(2
3
x
xxf şi g:IRIR,g(x) =m.
Abscisele punctelor de intersecţie ale diagramelor graficelor celor două funcţii sunt rădăcinile
ecuaţiei date. Diagrama graficului funcţiei g este un fascicul de drepte paralele cu axa Ox.
Alcătuim tabelul de variaţie al funcţiei f.
Din f (x) =0 rezultă x =0 .
)(lim xfx
,
)(lim xfx
, 22
22
)1(
)3()('
x
xxxf
Din f '(x) =0 rezultă x1 = 0 , 32 x și 33 x .
Avem:
)(lim1
xfx
,
)(lim1
xfx
,
)(lim1
xfx
,
)(lim1
xfx
,2
33)3( f ,
2
33)3( f .
y=x este asimptotă oblică.
15
1. Dacă
2
33;m ecuaţia are 3 rădăcini reale distincte: x1(- ;- 3 ), x2(- 3 ,-1),
x3(0,1).
2. Dacă 2
33m ecuaţia are rădăcinile x1=x2= - 3 şi x3(0,1).
3. Dacă
2
33;
2
33m ecuaţia are 1 rădăcină reală x1(-1,1).
4. Dacă 2
33m ecuaţia are rădăcinile x1=x2= 3 şi x3(-1,0).
5. Dacă
;
2
33m ecuaţia are 3 rădăcini reale distincte: x1(-1,0), x2(1, 3 ), x( 3 ,)
În urma introducerii datelor se vor obține următoarele situații cu ajutorul programului:
Bibliografie
1. C.D. Anton - "Funcții derivabile. Abordări interdisciplinare", Ed.PIM, Iași, 2016
2. G. Gavriluț - “Matematica - O Punte spre Interdisciplinaritate“, Casa de Editură Venus, Iași,
2010
3. http://www.geogebra.org/cms/
16
Dan Barbilian – Între matematică și poezie
Crăciun Anisia-Diana
Colegiul Naţional Pedagogic „Ştefan cel Mare”, Bacău
Profesor îndrumător Heisu Ancuța
Dintre personalităţile remarcabile ale culturii române, se desprinde poetul şi matematicianul
Ion Barbu, pe numele său real Dan Barbilian, născut la Câmpulung Muscel pe 18 martie 1895. Tatăl
era magistrat, iar mama fiică de procuror. Școala primară o începe în localitatea natală, o continuă
în județul Roman și o duce la capăt la Stâlpeni (Muscel-Argeș). Intră la liceu în Pitești, terminând
clasele cursului inferior la Câmpulung Muscel. Lipsa de continuitate a studiilor este legată, după
cum spunea însuși scriitorul de „soarta de judecător nomad fără cuscriri ilustre” a tatălui. Cursul
superior al liceului îl urmează la București, întâi la ”Lazăr” apoi la ”Mihai Viteazul”. Dacă până la
liceu Dan Barbilian fusese bun la toate materiile, acum se dedică total matematicii. De ce?
Profesorul Ion Banciu „A fost maestrul, omul care m-a format, de la care am învățat esențialul.
Ceilalți profesori de matematice, inclusiv cei de la Universitate, nu m-au învățat, m-au informat.
Banciu însă mi-a trecut simțul lui de rigoare, mi-a sădit afectul matematic, emoția în fața frumuseții
unei teoreme și patima cercetării, fără de care nu poți fi matematician”. În 1912, câștigă locul 1 pe
țară la un concurs al ”Gazetei Matemetice”. În vara acelui an, într-o vacanță la Giurgiu, îl cunoaște
pe Tudor Vianu, cu care avea să fie prieten toată viața.
Peste un an, Simion Bayer, cel cu care stătea în gazdă la București îl „incendiază la flacăra
versurilor”. De atunci, din clasa a opta, datează primele exerciții poetice. „Am început să scriu în
vederea unui singur cititor, Tudor Vianu, însă un Tudor Vianu adolescent și genial. Ne vedeam
destul de des și îi urmăream exercițiile literare cu admirație și deșartă invidie. Am căutat să-l imit”.
În 1914 își dă bacalaureatul, în fruntea comisiei de examinare fiind Gh. Țițeica. Din toamnă, devine
student al secției de matematică de la Facultatea de științe din București. La intrarea României în
primul război mondial își face datoria față de țară și se înscrie la școala de geniu. În 1918 se
întoarce la București și pe 18 septembrie, Alexandru Macedonski îi publică în ”Literatorul” prima
poezie: ”Ființa”. Peste una an, se duce cu versurile scrise până atunci la Eugen Lovinescu, căruia i
se recomandă sub numele de Popescu. Criticul literar este încântat de opera sa și îi dedică articolul
”Un poet nou” în revista ”Sburătorul”. În publicația lui Lovinescu Dan Barbilian își deschide
cariera sub numele de Ion Barbu.
În 1921 ia licența în matematici și este trimis în Germania la doctorat, la Goettingen. Peste
două luni se trezește cu bursa suspendată de minister. Rămâne în Germania cu subsidii primite de
acasă. „Fără nici o obligație față de cei care mă trimiseseră acolo mă las cu totul în voia demoniei
literare, călătorind prin frumoasa Niedesrachenland, dar mai ales asimilând misterioasa atmosferă,
saturată de meditațiile lui Gauss și Reimann, a acelui orășel pentru totdeauna matematic, în care
filiația cugetării nu are nevoie de o vehiculație tangibilă, ci se transferă imaterial.
Privind retrospectiv, Ion Barbu se va judeca cu severitate din punctul de vedere al
matematicianului trădat. „Am greșit desigur față de legarea mea internă. Adevăratu-mi rost era
cercetarea exactă. Credeam însă pe atunci în Poesie și aduceam în adâncirea ei o veracitate
carteziană și o ardoare de navigator”. În 1923 cunoaște la Tubingen pe Gerda Hossenfelder, fiica
unui medic de vază, pe atunci studentă în anul I la chimie în Berlin. Peste un an, Ion Barbu se
întoarce în țară fără a-și fi luat doctoratul. Pe 14 iunie 1925, se căsătorește la Giurgiu cu Gerda și
începe să-și câștige existența ca profesor suplinitor de matematică la liceul din Giurgiu. Gh. Țițeica
nu îl uită și îi oferă în 1926 un post de asistent la catedra de geometrie analitică la Facultatea de
științe din București. Peste trei ani își ia doctoratul în sfârșit.
În 1930 publică cel mai cunoscut volum de versuri ”Joc secund” care este comentat ca un
mare eveniment literar de cei mai importanți critici: Al. A. Philippide, Șerban Cioculescu, Al.
Rosetti, Perpessicius, G. Călinescu și Pompiliu Constantinescu. În anii ’30 se remarcă în domeniul
matematicii: participă la conferințe internaționale, ține prelegeri în R.F.G. și Austria. Munca poetică
17
îi este omagiată printr-o mică monografie scrisă de Tudor Vianu. În 1942 este numit profesor la
catedra de algebră, urmând să nu se mai ocupe de geometrie decât după 1958. Studiile sale în
geometrie se vor materializa în denumirea de ”spațiu Barbilian”. În 1956 i se publică ultima poezie:
”Bălcescu trăind”. Pe 11 august 1961, moare la spitalul ”Vasile Roaită” din București bolnav de
cancer la ficat.
Putem conchide prin a remarca faptul că, printre figurile emblematice de poeţi ce au marcat
prima jumătate a sec. XX în poezia română rămâne Ion Barbu, un poet „pur”, „ermetic”, „obscur”,
„balcanic” care şi-a asigurat prin strategia scrierii unei poezii fără precursori şi neimitabile o
posteritate canonică perpetuă. Calitatea sa de poet este dublată de aceea de matematician, în
consecinţă viziunea despre poezie este cu totul nouă: „pentru mine poezia este o prelungire a
geometriei’’ (ambele operează cu simboluri ale realitatii care tin de o intuitie speciala si creeaza o
lume de esente ideale). Astfel, creaţia lirică a lui Ion Barbu apare, aşa cum afirma Alexandru
Rosetti, „ca o plantă cu rădăcinile adânc înfipte în solul nostru”.
18
Despre Pitagora ...
Asimionesei Ciprian
Liceul Tehnologic Economic Administrativ
Prof. îndrumător: Irina Michiu Huma
Pitagora sau Pythagoras (în greacă: Πσθαγόρας; n. circa. 580 î.Hr. – d. circa. 495 î.Hr.) a
fost un filozof și matematician grec, originar din insula Samos, întemeietorul pitagorismului, care
punea la baza întregii realități teoria numerelor și a armoniei. A fost și conducătorul partidului
aristocratic din Crotone (sudul Italiei). Scrierile sale nu s-au păstrat. Tradiția îi atribuie descoperirea
teoremei geometrice și a tablei de înmulțire, care îi poartă numele. Ideile și descoperirile lui nu pot
fi deosebite cu certitudine de cele ale discipolilor apropiați.
Pitagora a fost un mare educator și învățător al spiritului grecesc și se spune că a fost și un
atlet puternic, așa cum stătea bine atunci poeților, filosofilor (de exemplu, Platon însuși) și
comandanților militari etc.
Pitagora era ionian, originar din insula Samos, dar a emigrat la Crotone, în Italia de sud,
unde a întemeiat școala ce-i poartă numele, cea dintîi școală italică a Greciei antice.
Pitagora pare să nu fi scris nimic. Doctrina filosofică a pitagorismului ne este totuși destul
de bine cunoscută din lucrările lui Aristotel și Sextus Empiricus, precum și din lucrări ale
pitagoricienilor de mai tîrziu. Totuși, nu se poate stabili cu precizie ce aparține lui Pitagora și ce au
adăugat pitagoricienii ulteriori. Celebrele texte „pitagoriciene” Versurile de aur ale lui
Pitagora și Legile morale și politice ale lui Pitagora, existente și în traduceri românești, aparțin
unei epoci ulterioare.
Prezentarea filosofiei lui Pitagora
Ideea filosofică principală a pitagorismului este că numerele reprezintă esența lucrurilor, iar
universul este un sistem ordonat și armonios de numere și raporturi numerice.
Aristotel ne spune că în concepția pitagoreică „numărul constituie substanța tuturor
lucrurilor” (Metafizica, 987a) și că „lucrurile constau din imitația numerelor” (ibid., 987b), adică
numărul este un fel de paradigmă a cărei imitație sînt lucrurile.
19
Doctrina despre număr
Monada
Punctul de plecare al teoriei pitagoreice despre principiul numeric al lumii
este unitatea sau monada (he monas). Monada este principiu, esență a lucrurilor, deoarece orice
lucru este unu (este o unitate). În acest sens, Unitatea nu este număr, ci generatoare a numerelor.
Proprietățile fundamentale ale numărului fiind paritatea și imparitatea, Unitatea le conține
în sine pe amîndouă. Ceea ce e impar este considerat limitat, finit, iar ceea ce e par este considerat
nelimitat, infinit. Argumentul este că, reprezentînd numerele prin puncte dispuse în plan, seria
numerelor nepereche generează un pătrat, considerat figură perfectă și finită, iar seria numerelor
pereche un dreptunghi, socotit figură imperfectă și nedefinită.
Din unitate se nasc numerele și, din ele, lucrurile; de aceea, unitatea mai este numită „mama
lucrurilor”.
Doimea nedefinită
Al doilea principiu cosmologic este doimea sau diada nedeterminată (duas aoristos). Ea
este nedeterminată fiindcă are o natură pură, deci nelimitată, nedefinită. Nici ea nu este număr,
ci principiu al numerelor.
Din aceste două principii, monada și doimea nedefinită, iau naștere numerele. Monada, ca
principiu activ, introduce determinarea în duas aoristos și asfel apare numărul doi. Celelalte
numere se nasc prin adăugarea succesivă a unității.
Generarea numerelor
În acest fel, mișcarea unității creează toate numerele, pînă se ajunge la 10, care este suma
primelor patru numere (1+2+3+4=10). Din acest motiv numărul zece este
numit tetradă sau tetraktys (forță eficientă), deoarece funcționează ca bază și odată cu el reîncepe
numărătoarea prin adăugarea succesivă a unității. Astfel, numărul zeceeste considerat numărul
perfect, iar membrii ordinului pitagoreic jurau pe acest număr.
Astfel iau naștere numerele.
Generarea universului sensibil (a lucrurilor)
Monada este asociată punctului, diada corespunde liniei, triada semnifică suprafața, iar
tetrada corpul geometric (spațialitatea). Spațialitatea este e modelul matematic al corpului sensibil
dar și condiția de posibilitate a corporalității. În acest moment, pitagoricienii gândesc condiția de
posibilitate (rațională) ca și o cauză suficientă pentru corpuri. Distincția simplă între sterea
schemata („figuri spațiale”) și aistheta schemata („figuri corporale”) reprezintă un argument
conform căruia spațialitatea precede, condiționează și asigură apariția corporalității.
20
Aceste idei vor fi împărtășite și de Platon, conform mărturiei lui Aristotel, care informează că
magistrul său ar fi susținut, la un moment dat, teoria despre eidos-arithmós, idei–numere, teorie care
își are probabil originea în doctrina pitagoreiciană despre numărul ideal, arithmós eidētikos. În
această privință, Aristotel pare să se refere la învățătura nescrisă a lui Platon, agrapha dogmata.
Armonia universală
Grație lui Pitagora și pitagoricienilor filosofia greacă își consolidează ideea de Kosmos și armonie.
Determinarea numerică armonioasă este esențială pentru înțelegerea unor fenomene universale
diverse.
Teoria despre muzică
Sunetele muzicale sunt explicate de pitagoricieni tot prin teoria armoniei numerice. Astfel,
diferențele dintre sunete le apar ca raporturi numerice, sunetele muzicale fiind astfel determinabile
matematic. Pitagora stabilește raporturi numerice pentru principalele intervale muzicale: octava 2:1;
cvinta 3:2; cvarta 4:3; ton 9:8.
Cosmologia
Numerele au o funcție explicativă și pentru corpurile cerești. Tot Aristotel este cel care
relatează că pitagoricienii considerau că zece fiind numărul perfect, corpurile cerești trebuie să fie
tot zece la număr. Dat fiind că numai nouă sînt vizibile, ei inventează un al zecelea, pe care-l
numesc Antihton (Contrapămînt).
Cele zece corpuri cerești, gândite a avea formă sferică, sînt următoarele: Mercur, Venus,
Marte, Jupiter, Saturn, Soarele, Luna, Pământul, Calea lactee (stelele fixe) și Contrapământul.
În centrul universului se află o masă de foc, iar Pămîntul se mișcă în cerc în jurul focului
central (care nu este identic cu soarele ci mai degrabă funcționează ca un termen denumit Sufletul
universului).
Datorită acestei idei despre rotirea pământului, heliocentrismul copernician a fost adesea
prezentat în epoca Renașterii ca o revenire la pitagorism.
Muzica sferelor
Cele zece sfere emit sunete, ca orice corp aflat în mișcare. Fiecare sferă produce un sunet
diferit, conform mărimii și vitezei sale de mișcare. În acest fel ia naștere un sunet armonic produs
de sferele în mișcare, muzica sferelor. Noi nu percepem distinct această muzică pentru că trăim în
ea și o auzim tot timpul. Mișcarea sferelor cerești este exprimabilă prin raporturi numerice necesare.
21
Teoria despre suflet
Sub înrâurire orfică, pitagoricienii profesau credința în natura distinctă a sufletului față de
acea a trupului. Pitagora credea că sufletul este pur și nevinovat, dar se află închis în trup ca într-un
mormânt.
Pitagoreicii au încercat explicații numerice inclusiv în concepția despre suflet. Sufletul este
definit ca acordul sau armonia dintre diferitelor sale facultăți, această armonie fiind la rândul ei
exprimabilă numeric.
Etica
În etică se consideră că există zece virtuți, în acord cu numărul perfect. Fiecărei virtuți i se
asociază cîte un număr.
Pitagorismul este un mod de viață, întemeiat pe principii riguroase cu privire la hrană,
îmbrăcăminte, conduita în intimitate și în viața publică, pe care grecii îl priveau cu un respect
profund.
Bibliografie
Cosma, D., Socrate, Bruno, Galilei în fața justiției, Editura Sport-Turism, București, 1982
Bernal, J. D., Știința în istoria societății, Editura Politică, București, 1964
Pitagora - magicianul numerelor
Pitagora din Samos, 24 iulie 2012, N. Balca, CrestinOrtodox.ro
22
Asupra unor probleme care se rezolvă folosind
principiul lui Dirichlet
Brânduşoiu Silvia & Paternic Eugen
Liceul Tehnologic Special Nr. 3, Bucureşti
Prof. Voiculescu Carmen-Elena
De cele mai multe ori nu există „reţete” de rezolvare a problemelor, rezolvarea acestora putând fi
făcută în mai multe moduri ce diferă în funcţie de dificultate, de lungimea prezentării, de
capacitatea de generalizare a problemei, etc. În continuare vom prezenta metoda de rezolvare a
problemelor bazată pe un principiu matematic cunoscut sub numele de “Principiul lui Dirichlet” cât
şi unele probleme rezolvate folosind acest principiu.
Principiul lui Dirichlet: Fie A o mulţime nevidă şi o partiţie a lui A (adică ⋃ =
A si = ∅ , pentru i≠j , ≠ ∅ , 1≤i ≤n ). Dacă considerăm , n +1 elemente din
A, atunci există cel puţin o submulţime care să conţină cel puţin două elemente dintre cele n +1.
În continuare , vom prezenta câteva probleme în care se aplică acest principiu.
Problema 1: În interiorul unui triunghi echilateral cu lungimea laturii de 1, plasăm 5 puncte . Să se
demonstreze că există două puncte dintre cele 5 cu distanţa dintre ele mai mică decât
.
Rezolvare : Construind liniile mijlocii în triunghiul echilateral dat, vom obţine patru triunghiuri
echilaterale congruente, fiecare având lungimea laturii
. Cum avem de plasat cinci puncte în patru
triunghiuri, într-un triunghi vor fi cel puţin două puncte şi cel mult cinci. Maximul distanţei dintre
două puncte într-un triunghi echilateral este lungimea laturii sale, adică
. CCTD.
Problema 2: La un concurs pe teme ecologice, din cei 40 de elevi participanţi , 25 au rezolvat
problema 1, 30 au rezolvat a doua problemă, 35 au rezolvat-o pe a treia şi 33 au rezolvat problema
4. Dovediţi că cel puţin trei elevi au rezolvat toate cele 4 probleme.
Rezolvare : Dacă presupunem că niciun elev nu ar fi rezolvat cele 4 probleme, atunci fiecare elev
a rezolvat maxim 3, deci cei 40 de elevi au rezolvat cel mult 120 de probleme. Dar numărul
problemelor rezolvate de elevi a fost 25+30+35+33=123. Diferenţa de 123-120=3 probleme ne
dovedeşte că cel puţin 3 elevi au rezolvat toate cele 4 probleme.
Problema 3: Să se demonstreze că dacă avem la dispoziţie 11 cifre, se pot selecta din ele două
cifre identice.
Rezolvare : Cifrele sunt 0, 1, 2,…, 9 şi sunt în număr de 10. Cum noi avem la dispoziţie 11 cifre,
este clar că cel puţin două dintre ele vor fi identice.
Problema 4: În 500 de boluri se află bile, astfel încât în fiecare bol să fie puse cel puţin 240 de
bile. Dovediţi că există cel puţin 3 boluri care să conţină acelaşi număr de bile.
Rezolvare : Luăm în considerare cazul cel mai “fericit”, adică în primele 240 de boluri se află
număr diferit de bile astfel : o bilă în primul bol, două bile în al doilea,…., 240 de bile în al 240-lea.
Asemănător considerăm că se procedează şi cu următoarele 240 de boluri. De aici deducem că în
ultimele 20 de boluri trebuie să punem bile de la 1 la 240, adică există 3 boluri cu acelaşi număr de
bile.
Problema 5 : Arătaţi că oricum am alege 7 numere întregi, două dintre ele dau acelaşi rest la
împărţirea cu 6 .
Rezolvare : Conform teoremei împărţirii cu rest, prin împărţirea la 6 obţinem resturile 0, 1, 2, ….,
5 şi orice număr d se poate scrie sub forma d=6c+r, r * + .Cum noi trebuie să împărţim 7
numere date la 6, sigur vom avea măcar două situaţii cu resturi egale.
Problema 6 : Într-o clasă se află 6 copii. Să se arate că există 3 din aceștia care sunt toți prieteni
între ei sau care nu sunt prieteni niciunul cu altul
Rezolvare : Alegem un copil din cei 6 şi îl notăm cu . Ceilalți copii sunt sau prietenii lui sau
nu sunt prieteni cu . Cum sunt în număr de 5 cel puțin 3 se află în aceeași categorie. Să
23
presupunem că are 3 prieteni, pe care îi notăm , , . Dacă doi din aceștia sunt prieteni între
ei se formează un grup de 3 împreună cu care sunt prieteni doi câte doi. Dacă nu există doi dintre
, , care să fie prieteni atunci , , este un grup în care nu sunt prieteni niciunul cu
altul. Asemănător se rezolvă cazul când are 3 persoane pe care nu le cunoaşte.
Problema 7 : Un grup de 17 savanți corespondează între ei pe trei teme diferite. Fiecare pereche de
savanți corespondează pe o singură temă. Arătați ca există cel puțin 3 savanți care corespondează
doi câte doi pe aceeași temă
Rezolvare : Considerăm savantul A care corespondează cu ceilalți 16 pe trei teme diferite. Atunci
există 6 dintre aceștia cu care corespondează pe aceeași temă x. Dacă doi din aceștia 6
corespondează pe tema x atunci împreună cu A formează un grup de 3 care corespondează pe
aceeași temă. Să presupunem că cei 6 corespondează între ei pe celelalte două teme și fie B unul
dintre ei. Atunci B corespondează cu celalti 5 pe două teme diferite și există 3 cu care
corespondează pe aceeași temă y. Să-i notăm C, D și E. Dacă doi din aceștia 3 corespondează pe
tema y atunci împreună cu B formează un grup de 3 care corespondează pe aceeași temă. În caz
contrar C, D E corespondează pe tema z formează un grup de 3 care corespondează pe aceeași temă.
BIBLIOGRAFIE
http://math.ucv.ro/~dan/courses/didactica_carte_intreg.pdf
https://www.spiruharet-tulcea.ro/gazetamate/nr2/dirichlet.pdf
24
Binomul lui Newton
Alecu Evelin-Ioana & Buia Ioana
Colegiul Naţional „Mihai Eminescu” Bucureşti
Prof. îndrumător Săvulescu Dumitru
Prezentarea sumară: Acest referat cuprinde: cȃteva informaţii istorice, noţiuni introductive
de teorie referitoare la Teorema „Binomul lui Newton”, proprietaţi ale teoremei, metode de calcul,
urmate de modele de probleme rezolvate.
Isaac Newton (1643-1727) a fost un matematician, fizician, filozof si astronom englez. Este
considerat unul dintre cei mai mari savanţi ai omenirii. Activitatea ştiinţifica a lui Newton a cuprins
aproape toate ramurile matematicii: aritmetica, algebra, analiza, mecanica, teoria ecuaţiilor, etc.
Formula binomului a fost dată in 1664, cu doi ani înainte de a demonstra legea atracţiei universale
(1666).
Definiţie (Binomul lui Newton):
Pentru orice număr natural n şi orice numere complexe a şi b are loc următoarea formulă:
( )na b 0 0 1 1 1 2 2 2 1 1 0... ..n n n k n k k n n n n
n n n n n nC a b C a b C a b C a b C ab C a b ,
cunoscută sub numele de formula lui Newton.
Reţineţi:
a) Formula lui Newton poate fi scrisă sub formă condensată astfel:
0
( )n
n k n k k
n
k
a b C a b
.
Dacă se doreşte o formulă analogă pentru binomul diferenţă, formula devine:
( )na b 0
( 1)n
k k n k k
n
k
C a b
.
b) 0
nC , 1
nC , …, k
nC , …, 1n
nC , n
nC se numesc coeficienţii binomului.
c) Dacă n este un număr par, dezvoltarea conţine un număr impar de termeni, existând un termen
din mijloc al dezvoltării 1
2
nT
, care are coeficientul binomial cel mai mare.
d) Dacă n este impar, dezvoltarea conţine un număr par de termeni, termenii din mijloc 1
2
nT
şi
22
nT
având coeficienţii binomiali egali, cu valoare maximă.
Proprietăţile binomului lui Newton
I. Numărul termenilor din dezvoltarea binomului ( )na b este n + 1.
II. Coeficienţii binomiali ai termenilor extremi din dezvoltare sunt egali, de asemenea
coeficienţii binomiali ai termenilor egal depărtaţi de extremi, întrucât k
nC = n k
nC (formula
combinărilor complementare), k {0, 1, …, n}.
III. Termenul k n k k
nC a b este al (k + 1) – le termen al dezvoltării binomului şi se numeşte
termenul general. Se notează cu 1
k n k k
k nT C a b
, k (0, 1, …, n}.
25
IV. Între doi termeni consecutivi ai dezvoltării există relaţia: 2 11
k k
n kT T
k
.
Identităţi în calculul cu combinări
I. Particularizând a = b = 1 în formula lui Newton, avem:
0 1 1... 2n n n
n n n nC C C C .
II. Avem: a) 0 2 4 1... 2n
n n nC C C ;
b) 1 3 5 1... 2n
n n nC C C .
Metode de calcul al sumelor de combinări
1. Calculul unor sume cu combinări pornind de la identităţi
Se consideră identităţile:
1
0
2n
k n
n
k
kC n
şi 1
0
1 2 1
1 1
nnk
n
k
Ck n
.
Să se arate că au loc următoarele identităţi:
a) 2 2
0
( 1) 2n
k n
n
k
k C n n
; b) 0
2 ( 3) 2 1
1 1
nnk
n
k
k nC
k n
.
Soluţie:
a) Avem 2 1
1
!
!( )!
k k
n n
nk C k k k n C
k n k
, deci 2 1
1
0 1
n nk k
n n
k k
k C n k C
=
1 1
1 1
1 1
( 1)n n
k k
n n
k k
n k C C
2 1( 1) 2 2n nn n
1 22 ( 1 2) ( 1) 2n nn n n n .
b)
1 1
1 11 0 01
0 0 0
( 1)2 2 ! 1
( 2)1 1 !( )! 1 1
n nk k
n nn n nk k k kn n
k k k
k C Ck k n
C k Ck k k n k n n
=
2 ( 3) 1
1
n n
n
.
2. Calculul unor sume cu combinări aplicând teorema binomului lui Newton
Să se aplice teorema binomului lui Newton la determinarea valorii următoarelor sume:
a) 1 2 32 3 ... ( 1)n n
n n n nC C C nC ; b) 2 2 2
0 1 ... n
n n nC C C ;
c) 0 3 6 9 ...n n n nC C C C ; d) 1 5 9 13 ...n n n nC C C C .
Soluţie.
a) Folosind faptul că 1
1
k k
n nkC nC
obţinem: 1 2 32 3 ... ( 1)n n
n n n nC C C nC = =
0 1 2 1 1
1 1 1 1... ( 1)n n
n n n nn C C C C
1(1 1) 0nn .
SAU:
Se consideră dezvoltarea 0 1 2 2 3 3(1 ) ... ( 1)n n n n
n n n n nx C xC x C x C x C care derivată în raport cu
variabila x dă: 1 1 2 2 3 1(1 ) 2 3 ... ( 1)n n n n
n n n nn x C xC x C nx C . În această egalitate se face x = 1 şi
obţinem: 1 2 32 3 ... ( 1)n n
n n n nC C C nC = 0, care înmulţită cu 1 conduce la egalitatea propusă.
b) Expresia căutată este egală cu coeficientul lui nx în produsul următor:
26
0 1 2 2 1 2 2 0... ...n n n n n n
n n n n n n n nC xC x C x C C xC x C x C . Dar n k k
n nC C şi deci 1 2 2 0...n n n n
n n n nC C x C x C x 0 1 2 2 ... (1 )n n n
n n n nC xC x C x C x . Astfel trebuie să găsim doar
coeficientul lui nx în produsul 2(1 ) (1 ) (1 )n n nx x x . Acest coeficient este egal cu 2
n
nC . Aşadar,
2 2 2
0 1
2... n n
n n n nC C C C .
c) Deoarece 3 21 ( 1)( 1)x x x x 1 şi
2 cele două rădăcini ale ecuaţiei de
gradul al doilea 2 1 0x x . Observăm că 2
1 =2 , 2
2 =1 , 3 3
1 2 1 , 1 +1 + 2
1 =
= 1 +2 + 2
2 = 0. Conform binomului lui Newton se obţine:
(1 1)n = 0 1 2 3 ... n
n n n n nC C C C C ;
1(1 )n = 0 1 2 2 3 3
1 1 1 1... n n
n n n n nC C C C C ;
2(1 )n = 0 1 2 2 3 3
2 2 2 2... n n
n n n n nC C C C C .
Comform proprietăţilor anterioare anunţate ale numerelor 1 şi
2 suma 1 21 k k este egală
cu zero pentru k prim, şi egală cu 1 + 1 + 1 = 3 pentru k divizibil cu 3. Deci adunând cele trei
egalităţi, vom obţine:
2n +1(1 )n +
2(1 )n = 0 3 6 93 ...n n n nC C C C .
Se trece acum la forma trigonometrică a numerelor complexe 1
2 2cos sin
3 3i
,
2
4 4cos sin
3 3i
, 11 cos sin
3 3i
, 21 cos sin
3 3i
. Utilizând formula lui Moivre, se
obţin: 1(1 ) cos sin3 3
n n ni
şi 2(1 ) cos sin
3 3
n n ni
de unde 2n +
1(1 )n +2(1 )n = 2n + 2
cos3
n. Deci 0 3 6 1
... 2 2cos3 3
n
n n n
nC C C
.
d) Se scrie dezvoltarea binoamelor (1 1)n , (1 1)n , (1 )ni şi (1 )ni după teorema lui Newton:
2n = 0 1 2 3 ... n
n n n n nC C C C C
0 = 0 1 2 3 ... ( 1)n n
n n n n nC C C C C
0 1 2 2 3 3(1 ) ...n n n
n n n n ni C iC i C i C i C
0 1 2 2 3 3(1 ) ... ( 1)n n n n
n n n n ni C iC i C i C i C .
Pentru rezolvarea problemei se va considera suma:
(1 1)n (1 1)n i (1 )ni + i (1 )ni .
Se verifică: 1 ( 1) ( 1) 0k k k ki i i i pentru k care dă prin împărţirea cu 4 resturile 0, 2 sau 3 şi
1 ( 1) ( 1) 4k k k ki i i i pentru k care dă restul 1 prin împărţirea cu 4, deci (1 1)n i (1 )ni +i
(1 )ni =4 1 5 9 13 ...n n n nC C C C .
Folosind forma trigonometrică a numerelor 1 + i şi 1 i se obţine:
1 5 9 13 ...n n n nC C C C =2
2 22 2 sin4
n
n n
.
Acum vom puncta cateva probleme de numărare avȃnd în vedere formula Binomului lui Newton:
Fie A,B astfel încât A= n şi B= m cu n,m N*, unde prin M am notat numărul
elementelor mulţimii finite M.
a) Numărul submulţimilor mulţimii A ce conţin k elemente este egal cu !
( )! !
k
n
nC
n k k
(combinări de n elemente luate câte k).
b) Numărul tuturor submulţimilor mulţimii A este
27
0 1 2 ... 2n n
n n n nC C C C .
c) Numărul submulţimilor ordonate ce se pot forma cu k elemente din cele n elemente ale
mulţimii A este egal cu !
( )!
k
n
nA
n k
(aranjamente de n luate câte k).
d) Numărul mulţimilor ordonate care se pot forma cu cele n elemente ale mulţimii A este egal
cu !nP n (permutări de n).
e) Numărul funcţiilor : A B este egal cu nm .
f) Pentru m n, numărul funcţiile injective : A B este egal cu n
mA .
g) Pentru A=B, numărul funcţiilor bijective : A B este egal cu m!
k n k
n nC C , 0,k n ; 1 1
1
k k k
n n nC C C
, 0, 1k n ; 0 2 4 1... 2n
n n nC C C ; 1 3 5 1... 2n
n n nC C C .
0 1 1 2 2 2 3 3 3
0
( ) ...n
n n n n n n n k n k k
n n n n n nk
a b C a C a b C a b C a b C b C a b
;
0 1 1 2 2 2 3 3 3
0
( ) ... ( 1) ( )n
n n n n n n n n k n k k
n n n n n nk
a b C a C a b C a b C a b C b C a b
.
1
k n k k
k nT C a b
se numeşte termenul general al dezvoltării binomiale.
0 1, , ..., n
n n nC C C se numesc coeficienţi binomiali.
Probleme rezolvate:
1. Să se afle termenul al cincilea din dezvoltarea binomului 8
4
1x
x
.
Soluţie:
Ţinând seama de formula termenului general, avem n = 8 şi k + 1 = 5 sau
k = 4, deci 4
8 44
5 8 4
170T C x x
x
.
2. Să se calculeze termenul din mijloc al dezvoltării binomului 6
3 x x .
Soluţie. Puterea binomului având exponentul 6, numărul termenilor din dezvoltare este 7 şi deci
termenul din mijloc este termenul al patrulea. Folosind formula termenului
general avem: 3
3 3 434 6 20T C x x x .
3. Determinaţi termenul dezvoltării:
21
33
x y
y x
, care are pe x şi y la puteri egale.
Soluţie:
Fie T1k termenul căutat. Deoarece T
1k=
21
321 3
k k
k x yC
y x
=
= 42 3 4 21
6 621
k k
kC x y
, rezultă 42 3
6
k=
4 21
6
k , de unde k = 9. Deci termenul căutat este:
9 2 2
10 21T C x y xy .
4. Calculaţi următoarele sume:
1) 1 2 32 3 ... n
n n n nC C C nC ;
2) 0 1 2
...1 2 3 1
n
n n n nC C C C
n
;
28
3) 0 1 22 3 ... ( 1) ( 1)n n
n n n nC C C n C ;
4) 2 2 2 20 1 2 ... n
n n n nC C C C .
Soluţie. În calculul sumelor combinatorice se utilizează următoarele sume:
0 1 2 ... 2m m
m m m mC C C C ;
0 2 4 6 1... 2m
m m m mC C C C ;
1 3 5 1... 2m
m m mC C C .
Metoda de calcul a acestor sume constă în prelucrarea termenului general al fiecărei sume
astfel încât acesta să devină o combinare. Se utilizează apoi sumele prezentate mai sus.
1) 1 2 32 3 ... n
n n n nC C C nC =1 1
!
( )! !
n nk
nk k
nkC k
n k k
1
!
( )!( 1)!
n
k
n
n k k
=
1 0 1 2 1 1
1 1 1 1 11 1
( 1)!... 2
( )!( 1)!
n nk n n
n n n n nk k
nn n C n C C C C n
n k k
.
2) 0 1 2
...1 2 3 1
n
n n n nC C C C
n
=
0 0
1 !
1 1 ( )! !
kn nn
k k
C n
k k n k k
0
!
( )!( 1)!
n
k
n
n k k
=
1 1 2 1
1 1 1 10 0
( 1)! 1 1...
( 1)( )!( 1)! 1 1
n nk n
n n n nk k
nC C C C
n n k k n n
= 1
1 0
1
1 2 12
1 1
nn
nCn n
.
3) 0 1 22 3 ... ( 1) ( 1)n n
n n n nC C C n C =0 0
!( 1) ( 1) ( 1) ( 1)
( )! !
n nk k k
nk k
nk C k
n k K
=
1 0 1 0
! ! ! !( 1) ( 1) ( 1) ( 1)
( )! ! ( )! ! ( )!( 1)! ( )! !
n n n nk k k k
k k k k
n n n nk
n k k n k k n k k n k k
=
1
11 0 1 0
( 1)!( 1) ( 1) ( 1) ( 1)
( )!( 1)!
n n n nk k k k k k k
n n nk k k k
nC n C C
n k k
= 0 1 2 3 1 0 1 2 3
1 1 1 1 1... ( 1) ... ( 1)n n n n
n n n n n n n n n nn C C C C C C C C C C
=
1 1 1 1 1 12 2 2 2 0n n n nn .
4) Ne propunem să determinăm coeficientul lui kx , 0; min( , )k n m , din produsul
(1 ) (1 )n mx x 0 1 2 2 3 3 0 1 2 2... ...n n m m
n n n n n m m m mC C x C x C x C x C C x C x C x .
Obţinem coeficientul lui kx egal cu
0 1 1 2 2 1 1 0...k k k k k
n m n m n m n m n mC C C C C C C C C C .
Pe de altă parte, (1 ) (1 ) (1 )n m n mx x x , de unde obţinem coeficientul lui kx egal cu k
n mC . Am obţinut aşadar următoarea formulă:
0 1 1 2 2 0...k k k k k
n m n m n m n m n mC C C C C C C C C
. (1)
Folosim faptul că k n k
n nC C şi suma devine:
2 2 2 20 1 2 ... n
n n n nC C C C = 0 0 1 1 2 2 ... n n
n n n n n n n nC C C C C C C C
= 0 1 1 2 2 0
2...n n n n n
n n n n n n n n nC C C C C C C C C deoarece 0 1 1 2 2 0...n n n n
n n n n n n n nC C C C C C C C reprezintă coeficientul lui nx din produsul
(1 ) (1 )n nx x care poate fi scris ca 2(1 ) nx , de unde obţinem coeficientul lui nx egal cu 2
n
nC .
5. Se consideră dezvoltarea 100
1 2 . Se notează cu S şi T suma termenilor raţionali, respectiv
iraţionali ai dezvoltării.
29
a) Determinaţi numărul de termeni raţionali ai dezvoltării.
b) Determinaţi S T.
c) Aflaţi cel mai mare termen al dezvoltării.
Soluţie. Scriem termenul general al dezvoltării 21 100 1002 2
kk
k k
kT C C .
a) 1kT R 2
k k2. Dar 0,100k , rezultă că există
1001 51
2
numere divizibile cu 2
cuprinse între 0 şi 100. Prin urmare, există 51 termeni raţionali.
b) 100 2 3 100
0 1 2 3 100
100 100 100 100 1001 2 2 2 2 ... 2C C C C C
= 0 1 4 2 100 50 1 3 5 2 99 49
100 100 100 100 100 100 100 1002 2 ... 2 2 2 2 ... 2C C C C C C C C .
Rezultă 0 1 4 2 100 50
100 100 100 1002 2 ... 2S C C C C şi
1 3 5 2 99 49
100 100 100 1002 2 2 ... 2T C C C C .
0 1 4 2 100 50 1 3 5 2 99 49
100 100 100 100 100 100 100 1002 2 ... 2 2 2 2 ... 2S T C C C C C C C C =
2 100 100
0 1 2 100
100 100 100 1002 2 ... 2 1 2C C C C .
Prin urmare 100
1 2S T .
c) Presupunem că 1kT este cel mai mare termen. Prin urmare 1kT kT (1) şi 1kT 2kT (2).
Prelucrăm inegalitatea (1) şi obţinem:
1
1
100 1002 2k k
k kC C
1100! 100!
2 2(100 )! ! (101 )!( 1)!
k k
k k k k
101 2
2 1k
202 101 2k (1.1)
Prelucrăm inegalitatea (2) şi obţinem:
1
1
100 1002 2k k
k kC C
1100! 100!
2 2(100 )! ! (99 )!( 1)!
k k
k k k k
101 2 1
2 1k
201 101 2k (1.2)
Din (1.1) şi (1.2) şi din faptul că k R, k 100 obţinem k = 59.
Rezultă că termenul cel mai mare este 60T .
Bibliografie:
1. Chiteş, G Constantinescu, R Ilie, I. Marinescu, G. Streinu-Cercel, B. Singer, R. Urseanu,
Matematică, Manual pentru clasa a X-a, Editura SIGMA.
2. D. Drăcea, L. Niculescu, I. Pătraşcu, D. Seclăman, M. Moţăţeanu, EXERCIŢII ŞI
PROBLEME DE MATEMATICĂ, Clasa a X-a, Editura CARDINAL.
3. N. Dragomir, T. Deaconu, C. Dragomir, I. Pistrilă, A. Mandreşi, D. Săvulescu,
TRIGONOMETRIE.Exerciţii şi probleme pentru clasele a IX-a şi a X-a. Editura METEOR
PRESS.
4. P. Simion, V. Niculae, M. Popescu, A. Negulescu, T. Dăneţ, V. Dilimoţ-Niţă, G. Dăneţ, S.
Dilimoţ-Niţă, MATEMATICĂ. Exerciţii şi probleme. Clasa a X-a, Editura Niculescu.
5. I. V. Maftei, D. Oros, F. Vornicescu, M-G. Nicolescu, C-P. Nicolescu, Geometrie şi
trigonometrie. Exerciţii şi probleme de matematică pentru elevii claselor a IX-a şi a X-a,
Editura UNIVERSAL PAN.
6. Marius Burtea, Georgeta Burtea, Matematica, Manual pentru clasa a X-a, Editura Carminis
30
Relația dintre matematică și celelalte științe exacte
Băeșu Ovidiu Mihai
Colegiul Național „Nicolae Iorga”
Prof. Îndrumător: Petre Mariana
Interdisciplinaritatea reprezintă o cooperare între discipline diferite din aceeași arie
curriculară, privind un anumit fenomen, proces care poate fi demonstrat, explicat, rezolvat numai
prin acţiunea mai multor factori. Interdisciplinaritatea se referă la abordarea conţinuturilor
complexe având ca scop formarea unei imagini unitare asupra unei anumite teme. Ea prioritizează
relaţiile, în esenţă de metodologie care se stabilesc între materii predate și transferul tehnicilor de
predare dintr-o disciplină într-alta. De exemplu, îmbinarea dintre fizica nucleară, medicină, şi
chimie a dus la apariţia unor tratamente aplicate persoanelor bolnave de tumori maligne cum sunt
terapia prin radiologie si chimioterapie, acest eveniment arătând astfel relația dintre acele științe
exacte amintite.
Cea care stă la baza științelor exacte este matematica. Matematica este prezentată
ca știința ce studiază relațiile cantitative, modelele de structură, de schimbare și de spațiu. În sens
modern, matematica reprezintă investigarea structurilor abstracte definite în mod axiomatic
folosind logica formală(legat de acest lucru, vom reaminti de logica formală în cadrul relației
informaticii cu matematica).
FIZICĂ
Prima știință în care matematica își pune amprenta considerabil este fizica. Niciun adevăr al
fizicii nu se poate afla în afara matematicii, astfel fizica devine un capitol important al matematicii.
Fiind o ştiinţă exactă, fizica foloseşte aparatul matematic atât în enunţuri, cât şi în elaborarea şi
rezolvarea problemelor sau situaţiilor noi. Deși sunt două discipline diferite care se studiază separat,
ambele au o relație foarte importantă, cu alte cuvinte matematica nu există fără fizică, iar fizica nu
există fără matematică, deoarece matematica pornește de la lucruri abstracte în timp ce fizica
pornește de la lucruri concrete. Raportul dintre cele două discipline este ca cel teorie-practică.
Matematica nu poate fi diferită de fizică! Tot ce aparţine matematicii şi este diferit de fizică, se va
dovedi a fi fals sau se va dovedi că există fenomene fizice care pot fi modelate complet de acele
concepte matematice care păreau a nu aparţine fizicii. Legătura foarte strânsă dintre matematică şi
fizică este foarte bine ilustrată prin evoluţia mecanicii relativiste şi a electrodinamicii cuantice, care
a culminat cu elaborarea teoriei relativităţii restrânse de către Albert Einstein. Este important să
reușim să punem cunoștințele de fizică și cele de matematică în strictă legatură, iar în viata de zi cu
zi să privim dezvoltarea acestora prin prisma aplicațiilor lor în viața oamenilor.
CHIMIE
O altă știință importantă în care regăsim matematica este chimia. Chimia reprezintă una
dintre ramurile științelor naturale al cărei obiect de studiu îl constituie compoziția, structura,
proprietățile și schimbarea materiei.
O ecuație matematică poate fi o lege în chimie. În chimie întâlnim proporțiile, funcțiile
trigonometrice, ca și alte abstractizări ale matematicii. În chimie este avizată aplicarea cunoștințelor
de matematică, de exemplu: proporția, proprietățile proporției, șiruri de rapoarte, regula de trei
simplă, procente etc, pentru înțelegerea și însușirea corectă a noțiunilor de chimie (masa atomică,
moleculară, molară), a legilor fundamentale ale chimiei (legea conservării masei substanțelor,
proporțiilor definite) și a calculelor chimice (compoziția procentuală, calcule pe baza formulelor și a
ecuațiilor reacțiilor chimice, concentrația soluțiilor).
Cunoștintele despre rapoarte, proporții, procente sunt indispensabile elevilor pentru studiul
legilor gazelor, densității relative, legii echivalenților chimici și pentru rezolvarea problemelor cu
amestecuri de soluții solide(aliaje), lichide sau gazoase. Dacă pe primul loc se scrie numărul de
31
atomi de hidrogen, pe al doilea numărul de atomi de carbon și pe al treilea numărul de atomi de
oxigen, atunci formulelor indicate le corespund respectiv: (0,1, 2), (2, 0,1), (6, 2, 0).
Fiecărui element din sistemul periodic i se poate atribui un loc într-o astfel de succesiune
corespunzătoare numărului de ordine. Multe probleme de chimie conduc la sisteme de ecuații
liniare, în a căror rezolvare utilizarea matricilor este indispensabilă. Astfel, se constată că fără
matematică, chimia nu ar mai fi chimie, iar fără chimie nu am mai putea descoperi ceea ce ne
ascunde natura.
BIOLOGIE
Deşi dezvoltarea biologiei nu a fost influenţatǎ în mod esenţial de dezvoltarea matematicii,
în ultimele decenii este recunoscută importanţa completării studiului descriptiv al unor fenomene
sau mecanisme biologice cu aspecte legate de prelucrarea şi interpretarea datelor obţinute. Cea mai
avansată formă a folosirii matematicii în biologie este biologia matematică. Ea îşi propune
modelarea matematică a proceselor biologice şi studiul modelelor folosind metode specifice
matematicii.
Pentru construirea şi validarea modelelor matematice se pot folosi cercetări statistice.
Statistica dezvoltă tehnici şi proceduri de înregistrare, descriere, analiză şi interpretare a datelor
experimentale sau a rezultatelor obţinute din observarea unui proces social, economic, biologic etc.,
precum şi vizualizarea datelor folosind softuri dedicate acestui scop. Cunoaşterea unor elemente şi
principii de bază ale statisticii este importantă în momentul actual, permiţând realizarea unor analize
corecte a datelor şi evitarea erorilor de interpretare a acestora. Strâns legată de statistică este teoria
probabilităţilor, care furnizează metode şi tehnici pentru stabilirea unor previziuni referitoare la
caracteristicile unei populaţii pornind de la rezultatele obţinute din observarea unui eşantion al
acesteia. Biostatistica este aplicarea statisticii într-un număr mare de domenii ale biologiei.
Biostatistica are drept obiectiv şi fundamentarea teoretică a proiectării şi controlului experimentelor
biologice, mai ales în medicină şi agricultură, deoarece ea analizează şi interpretează date concrete
şi realizează inferenţe asupra acestora. Astfel biologia se poate desfășura și fără matematică, însă nu
va mai fi la fel de avansată fără aceasta.
INFORMATICĂ
Daca studiem cuvantul ''informatică'', acesta provine din alcatuirea cuvintelor ''informație'' și
''matematică”. Pentru a profesa bine trebuie să le cunoști pe amândouă. Aceste două discipline sunt
pe picior de egalitate fiind o legatură comună. Calculatorul poate face calcule matematice și chiar
poate rezolva probleme matematice. Informatica ne învață să programăm calculatorul astfel încât
acesta să rezolve probleme matematice, dar pentru un programator îi sunt necesare formulele și
algoritmii de rezolvare a problemelor. În general algoritmii din informatică se bazează pe noțiuni
matematice. Deși la informatică am învățat bazele de numerație, sistemul binar, hexadecimal,
acestea țin de matematică.
Așa cum la matematică rezolvăm probleme și ecuații, așa și la informatică există diverse
aplicații pe cazuri generale unde folosim matematica. Cu siguranţă este nevoie de o logică un pic
peste medie pentru a naviga printre şiruri de cifre binare sau printre blocuri de text neinteligibile
unui neiniţiat. Logica folosită la informatică este aceeași ca și cea folosită la situațiile matematice și
anume logica formală. Legătura dintre limbajul de programare şi matematică, fără îndoială, există,
iar noţiunile elementare deprinse în liceu uşurează considerabil munca oricărui pasionat de tehnica
informatică.
Concluzie. Matematica ne ajută în rezolvarea problemelor, fiind indispensabilă în
rezolvarea lor. Prin prisma ei putem găsi cel mai scurt și mai sigur drum pentru atingerea oricărui
scop. Cu timpul, matematica este cea care ne modelează modul de a gândi, de a reacționa,de a
aprecia o situație, de a ne rezolva problemele, care în zilele noastre se ivesc din ce în ce mai des.
După părerea mea, toate problemele au în comun un principiu simplu: acela de a te obliga să
gândești cât mai mult, cu timpul să capeți experiența pentru a fi din ce în ce mai bun. Majoritatea
32
problemelor pot fi rezolvate prin diferite metode, însă rămâne la aprecierea fiecăruia care este
metoda optimă. Conform celor relatate mai sus, se pare că matematica este responsabilă pentru cele
mai importante științe exacte care stau la baza existenței noastre și a înțelegerii elementelor ce
alcătuiesc viața.
BIBLIOGRAFIE:
Elemente de matematică aplicate în biologie- Conf. Univ.Dr. Dana Constantinescu
Studiu de caz – aplicații practice ale chimiei prin abordări interdisciplinare
https://www.jademy.ro/blog/trebuie-sa-stii-matematica-pentru-programare/
https://eduscoala.ro/noutati/utilizarea-matematicii-in-fizica-chimie-biologie-si-in-stiintele-tehnice
http://www.astronomy.ro/ce-legatura-este-intre-fizica-si-matematica_14.html
33
Demonstrarea unor inegalităţi cu ajutorul derivatelor
Ilieş Anamaria & Cardoş Maria
Colegiul Tehnic „Aurel Vlaicu” Baia Mare
Profesor îndrumător Pop Adela
Rolul primei derivate în studiul variaţiei funcţiilor
Fie RIf : o funcţie derivabilǎ pe intervalul I. Atunci:
a) Funcţia f este monoton crescǎtoare pe intervalul I, dacǎ şi numai dacǎ Ixxf ,0 .
b) Funcţia f este monoton descrescǎtoare pe intervalul I, dacǎ şi numai dacǎ Ixxf ,0 .
Problema 1.
Să se determine parametrul real m pentru care funcţia mxxxff )4ln()(,: 2RR
este monoton crescătoare pe R.
Rezolvare:
Funcţia f este monoton crescătoare pe R R xxf ,0)( .
Dar 4
42
4
2)(
2
2
2
x
mxxmm
x
xxf .
Condiţia R xxf ,0)( R
x
x
mxxm,0
4
422
2
0164
0
2m
m
4
1
0
2m
m
2
1,m .
Problema 2.
Să se arate că 0,1 2
xarctgxx
x
Rezolvare: 0,1 2
xarctgxx
x 0,0
1 2
xarctgx
x
x.
Considerăm funcţia arctgxx
xxff
21)(,: RR .
Din studiul monotoniei acestei funcţii vom deduce inegalitatea cerută.
22
2
21
2
1)(
x
xarctgx
x
xxf
.
Alcătuim un tabel cu semnul primei derivate:
x - ∞ 0 + ∞
)(xf --------------- 0 ---------------------
)(xf
34
Din acest tabel f este strict descrescătoare pe R 0),0()( xfxf 0,0)( xxf
0,01 2
xarctgxx
x 0,
1 2
xarctgx
x
x.
Problema 3.
Să se demonstreze inegalitatea ),0(,1
1
ln
ln
x
e
e
xx
xx.
Rezolvare :
Considerăm funcţia xxxgg ln)(,),0(: R .
x
xxg
1)( .
Ataşăm ecuaţia ),0(101
0)(
xx
xxg
x 0 1 + ∞
)(xg / +++++++++++ 0 --------------------
)(xg g(1)
/
Din acest tabel 0),1()( xgxg 0,1ln xxx şi prin urmare funcţia
xx
xxxff
ln
ln)(,),0(: R este bine definită.
Calculăm prima derivată a funcţiei f:
22ln
2ln2
ln
lnlnlnln
ln
ln)(
xx
x
xx
xxxxxxxx
xx
xxxf
.
Ataşăm ecuaţia
exxxx
xxf
1ln0
ln
2ln20)(
2
Tabelul cu monotonia şi punctele de extrem ale funcţiei f este:
x 0 e + ∞
)(xf ------------------------ 0 ++++++++++++
)(xf
f(e)
Din tabelul de mai sus e este punct de minim global al funcţiei f 0),()( xefxf
),0(,1
1
ln
ln
x
e
e
xx
xx.
35
Problema 4.
Se consideră funcţia x
xxfRf
ln)(,,0:
a) Să se determine intervalele de monotonie ale funcţiei f.
b) Să se compare numerele şi .
Rezolvare:
a) Calculăm derivata funcţiei f ,
22
ln1lnln)(
x
x
x
xxxxxf
Ataşăm ecuaţia exxx
xxf
1ln0
ln10)(
2
Alcătuim un tabel cu semnul primei derivate şi cu monotonia funcţiei f
x 0 e + ∞
)(xf +++++++++++++++ 0 ------------------------
)(xf
f(e)
Deducem că f este strict crescătoare pe (0,e] şi strict descrescătoare pe ,e iar e este punct de
maxim absolut.
b) Din e este punct de maxim absolut
eeee
e
efef ee lnlnlnln
lnln)()(
Problema 5.
Se consideră funcţia 3
ln)(,,0:
x
xxfRf
a)Să se determine intervalele de monotonie si punctele de extrem ale funcţiei f.
b) Să se demonstreze că 33 57 75 şi
33 20172018 20182017 .
Rezolvare :
Calculăm derivata functiei f,
33 2
33
3 3
ln3lnlnln)(
xx
x
x
xxxx
x
xxf
Ataşăm ecuaţia 3
33ln0
3
ln30)( exx
xx
xxf
Alcătuim un tabel cu semnul primei derivate şi cu monotonia funcţiei f
36
x 0 3e + ∞
)(xf +++++++++++++++ 0 ------------------------
)(xf
)( 3ef
Deducem că f este strict crescătoare pe 3,0 e şi strict descrescătoare pe ,3e iar 3e este punct de
maxim absolut.
b) Din f este strict crescătoare pe 3,0 e şi )7()5(75,,07,5 3 ffe
3333 575733
33757ln5ln7ln55ln7
7
7ln
5
5ln
Din f este strict descrescătoare pe ,3e şi 20182017,,2018 ,2017 3e
3333 2017201820182017
33
33
201820172017ln2018ln
2017ln20182018ln20172017
2017ln
2018
2018ln)2018()2017(
ff
Bibliografie
[1] Schneider Gh. , Culegere de probleme de analiză matematică, Editura Hyperion, Craiova
2000.
[2] Duca D. , Duca E. , Culegere de probleme de analiză matematică Vol.I , Editura Gil, Zalău
1996.
[3] Andrica D. , Duca D. , Purdea I. , Agratini O. , Manual pentru clasa a XI-a , Editura Gil,
Zalău 2001.
[4] Ganga M. , Nedelcu I. , Simion R. , Subiectele de la bacalaureat şi admitere la
facultate, Editura Mathpress, Ploieşti 2003
37
Ecuația dreptei – metodă pentru stabilirea punctului
static de funcționare la tranzistorul bipolar
Stoica Bogdan
Colegiul Tehnic Costin D Nenițescu Pitești
Prof. indrumator: Bostan Elena
Tranzistorul a fost inventat în laboratoarele Bell Telephone din New Jersey la data de16
decembrie 1947 de către John Bardeen, Walter Houser Brattain şi William Bradford Shockley de la
Bell telephone Laboratories, care au încercat să creeze un dizpozitiv electronic capabil să
înlocuiască tuburile electronice cu catod încălzit. Acesta urma să fie utilizat în amplificatoarele
folosite în telefonia la mare distanţă, încercările au durat aproape 8 ani, iar noul dispozitiv era
format dintr-o plăcuţă de germaniu de tip n şi două firişoare metalice care făceau câte un contact
punctiform cu plăcuţa.
Acest dispozitiv a căpătat numele de trazistor prin unirea a două cuvinte: transfer şi
resistor. Primul tranzistor avea o amplificare egală cu 40 la o frecvenţă de1000 hz.
Faţă de diodă, tranzistorul prezintă avantajul că având trei electrozi, emitorul, baza şi colectorul,
el poate oferi o “intrare” şi o “ieşire” cu cel puţin câte o bornă separată. Se spune că tranzistorul
poate fi asimilat cu un cuadripol.
Un cuadripol este un circuit ce are patru borne de acces, dintre care două sunt conectate la o
sursă de semnal numite borne de ieşire şi două sunt conectate la o sarcină, numite borne de ieşire.
Principala proprietate a unui tranzistor este cea de amplificare. Amplificarea constă în aceea că
un semnal de anumită formă şi frecvenţă aplicat la intrare, se obţine la ieşire de aceeaşi formă şi
frecvenţă, dar de amplitudine diferită.
Fig. 1 Tranzistorul ca amplificator
Punctul de funcţionare este deosebit de important, deoarece el caractertizează starea electrică a
circuitului în repaus, adică în lipsa vreunui semnal aplicat la intrare. Poziţia lui în planul
caracteristicii se adoptă în funcţie de scopul urmărit.
O schemă simplă de amplificare cu tranzistor npn în montaj EC este reprezentată în figura 1.
Sursele EB şi EC asigură polarizarea joncţiunilor determinând puctul static de funcţionare al
tranzistorului, în absenţa semnalului de intrare. Între colectorul tranzistorului şi polul negativ al
sursei de polarizare inversă se introduce o rezistenţă RC numită rezistenţă de sarcină, care are un
rol esenţial în procesul de amplificare. În circuitul de intrare, între bază şi emitor în serie cu sursa
de polarizare directă se leagă un generator de tensiune sinusoidală.
38
Fig.2. Amplificator cu tranzistor npn în montaj EC
Aplicând teorema a doua a lui Kirchhoff în circuitul de colector al tranzistorului se obţine:
EC = uCE + RCiC
În care prin uCE s-a notat tensiunea între colectorul şi emitorul tranzistorului.
Dacă se scrie această relaţie punând în evidenţă valoarea funcţiei iC dependentă de variabila uC
sub forma:
iC = - CR
1uCE +
C
C
R
E
se obţine ecuaţia unei drepte: y = kx + c, în care :
y = iC ; x = uCE ; k = -CR
1; c =
c
c
R
E.
Dacă se reprezintă dreapta prin tăieturi, adică prin unirea valorilor corespunzătoare intersecţiilor
cu axele de coordonate x= 0 şi y= 0 se obţin valorile:
Pentru uC = 0; iC = Rc
Ec;
Pentru iC = 0; uCE = EC;
Unind cele două valori se obţine dreapta statică de funcţionare a tranzistorului. Pentru un
montaj dat, punctul de funcţionare trebuie să se menţină pe această dreaptă, în limit ele extreme date
de cele două tăieturi.
Pentru majoritatea amplificatoarelor de tensiune, ce lucrează cu semnal la intrare, punctul static
de funcţionare se fixează aproximativ la jumătatea dreptei statice de funcţionare corespunzătoare cu
o anumită valoare a curentului de bază.
Fig.3 Dreapta de sarcina statică
Exemplu de calul:
Se dă circuitul din figura 4 pentru care se cunosc valorile următoarelor mărimi: E =
12 V; R1 = 47 kΩ; R2 = 12 kΩ; RC = 1 kΩ; RE = 0,560 kΩ; UBE = 0,7 V; β = 100, ICB0 = 0. Se
cere:
a) Calculaţi coordonatele punctului static de funcţionare.
b) Scrieţi ecuaţia dreptei de sarcină, calculaţi coordonatele punctelor de intersecţie ale dreptei de
sarcină cu axele de coordonate şi reprezentaţi grafic dreapta de sarcină.
39
c) Dacă se întrerupe rezistorul RE, calculaţi potenţialele VM, VN, VP în punctele M, N şi P.
Fig. 4
Rezolvare
Circuitul se transformă ca în figura 5:
Fig. 5 circuit echivalent
55,9
1247
1247
21
21
RR
RRRB
VRE
REEB 4,2
4712
1212
2
2
BC II
Scriind teorema a doua a lui Kirchoff pe circuitul bază-emitor rezultă:
EEBEBBB IRUIRE
C
B
II
CC
CBCE II
IIII
1
Obţinem:
CEBEC
BB IRUI
RE
1
sau
CEC
BBEB IRI
RUE
1
Rezultă coordonatele P.S.F.
mARR
UEI
EB
BEBC 5,2
56,010155,9
)7,04,2(100
)1(
)(
AI
I CB
25
100
5,2
36,514,45,212 EECCCE IRIREU
40
)( BCECECC IIRUIRE
Intersecţia dreptei de sarcină cu axele de coordonate are loc în punctele de coordonate : (0,
ICmax) si (UCemax, 0)
UCE = 0 rezultă
mARR
IREI
EC
EE
xCma 67,71056,1
98,113
IC = 0 rezulta UCE = E
Fig. 6 dreapta de sarcină statică
VRR
ERVM 4,2
1247
1212
21
2
VUVV BEMP 7,1074,2
IC = 0 rezulta
VN = E = 12V
Bibliografie 1. Daniela Condei, Circuite cu componente electronice analogice, material de predare – partea I, domeniul:
Electronică automatizări,calificarea: Tehnician în automatizări, Nivel 3, 2009 ;
2. Popa Virgil, A u x i l i a r c u r r i c u l a r , c l a s a a X , domeniul: tehnician în automatizări, calificarea:
electronist în automatizări, Modulul: Utilizarea componentelor şi circuitelor electronice, 2006;
3. http://facultate.regielive.ro/cursuri/electronica/dispozitive_si_circuite_electronice_1-28686.html;
4. http://facultate.regielive.ro/seminarii/electronica/dispozitive_si_circuite_electronice-23496.html
41
Ortocentrul unui triunghi
Gîndac Iustina
Școală Gimnazială nr.1 Băleni, jud.Galați
Prof. Ginghină Oana-Mihaela Teoremă. Înălțimile unui triunghi sunt concurente. Punctul lor de intersecție, se notează cu
H, și se numește ortocentru1.
Observații:
1. Dacă triunghiul este ascuțitunghic ortocentrul se află în interiorul triunghiului(fig.1.a)) 2. Dacă triunghiul este dreptunghic ortocentrul triunghiului coincide cu vârful unghiului drept.
(fig.1.b)) 3. Dacă triunghiul este obtuzunghic ortocentrul se află înexteriorul triunghiului.(fig.1.c))
fig.1a) fig.1b) fig.1c)
Demostrație: Fie triunghiul ABC și A”, B”, C” - picioarele perpendicularelor vârfurilor pe
laturile opuse.
Prin vârfurile ABC ducem paralele la laturile opuse care se intersectează în punctele A', B', și C'.
Din costrucție ABCB' și ACBC' sunt paralelograme și conform definiției rezultă că [BC] [C'A] și
[BC] [AB'] de unde rezultă că [C'A] [AB'] punctul A este mijlocul segmentului [C'B'].
Dar BC ║B'C' și AA'' BC AA'' B'C' AA'' este mediatoarea segmnetului [C'B'].
Analog atătăm că BB'' și CC'' sunt mediatoarele segmentelor [A'C'] și [A'B'].
Conform teoremei de concurență a mediatoarelor unui triunghi, rezultă că înălțimile ABC sunt
concurente.
În ABC notăm cu Ha, Hb și Hc picioarele înălțimilor duse din vârfurile A, B respectiv C pe
laturile triunghiului ABC.
1 Zaharia D., Zaharia M., „Culegere de matematic:. Algebră, Geometrie, clasa a VI-a, – partea I și a II-a”, Editura
Paralela 45, 2013, Pitești, pag 115 ( partea a II-a).
42
Definiție. Triunghiul HaHbHc se numește triunghiul ortic2 al triunghiului ABC.
Consecințe:
1. În ABC notăm cu: Ha, Hb, Hc – picioarele înălțimilor, Ma, Mb, Mc – mijloacele laturilor BC, CA, respectiv AB, A', B', C' – mijloacele segementelor - AH, BH, respectiv CH.
Punctele Ha, Hb, Hc, Ma, Mb, Mc, A', B', C'
sunt conciclice .
2. Centrul de greutate al triunghiului se
află pe dreapta lui Euler a triunghiului și avem
relația: GH=2OG.
Aplicații:
1. Fie ABCD un dreptunghi cu centrul O, AB BC. Perpendiculara în O pe BD
intersectează dreptele AB și BC în punctele E, respective F. Fie M și N mijloacele segmentelor CD
, respectiv AD . Arătați că FM EN.3
Rezolvare: Din ipoteză avem : FO BD
Știm că M CD astfel încât MCDM ,
N AD astfel încât NDAN .
Fie PCBPBCP și EFDCQ
M CD astfel încât MCDM ,
MPPCBP
BCP
MCDMCDMlinie mijlocie în DCB
MP DB
MP = 2
1BD FE MP
Dar EF BD Q FE FQ MP
MC FP
FQ MP Q ortocentrul triunghiului MPF PQ MF (1)
2 Nicolescu L., Boskoff V., „Probleme practice de geometrie”, Ed. Tehnică, București 1979, pag. 44. 3 ONM 2008
43
Comparăm:
...
( . int).
defC UEOB
OB DOQOD EOB QOD OE OQ
OBE BDC altdr
(2)
Comparăm:
. ..2
( )
(2)
L U Ldef
ABOP ON
POQ
QOP NOE opuse la vârf POQ NOE QPO PNE
NOE OE OQ din
(3)
Considerăm dreptele QP și NE
Secanta NP QP EN
Din (3) avem MF EN
Dar din (1) MF PQ
2. Fie CD înălțime în triunghiul ascuțitunghic ABC cu m( ) = 60o. Dacă P este un
punct pe segmentul CD astfel ca BC = AP 3 , atunci P este ortocentrul triunghiului ABC. 4
Rezolvare : Construim CD AB
Construim BE AC Din ipoteză avem CD AB CD ∩ BE = {H} ortocentrul ABC În triunghiul ADC, m( ) = 90o
tg( ) = AD
DC
AD
DC3 3 =
ADDC
2
2
(1)
4 „Concursul Gh. Lazăr” 2011.
44
m( ) = 30o
În triunghiul EHC , m( ) = 90o m( ) = 60o
Dar (opuse la vârf) m( ) = 60o
În triunghiul DHB, m( ) = 90o
tg( ) = DH
DB
DH
DB3 3 =
DHDB
2
2
(2)
Din (1) și (2) 3 =
ADDC
2
2
=
DHDB
2
2
=
AHBC
DHADBDDC
2
2
22
22
3
2
2
AH
BC
Dar BC = AP 3
33
2
2
AHAP 3 AH2 = 3 AP2
3
1 AP2 = AH2
Dar P, H (CD) P H P este ortocentrul ABC. CD catetă în triunghiul dreptunghic ACD
Bibiografie: 1. „Concursul Gh. Lazăr” 2011.
2. Nicolescu L., Boskoff V., „Probleme practice de geometrie”, Ed. Tehnică, București 1979. 3. ONM 2008
4. Zaharia D., Zaharia M., „Culegere de matematic:. Algebră, Geometrie, clasa a VI-a, – partea I și
a II-a”, Editura Paralela 45, 2013, Pitești, pag 115 ( partea a II-a).
45
Giovanni Ceva
Oltean Viorel
Școala Gimnazială “Aurel Vlaicu” Arad
Profesor coordonator Doble Ileana
Giovanni Ceva s-a născut la Milano, în data de 7
decembrie 1647, și a decedat la data de 15 iunie 1734. El a
fost un matematician, cunoscut pentru teorema din geometrie
care îi poartă numele.
El a urmat colegiul iezuit din Milano, iar studiile și
le-a continuat la Universitatea din Pisa, iar după terminarea
studiilor obține în 1686 un post de profesor la Universitatea
din Mantova, unde rămâne până la sfârșitul vieții.
Domeniul în care s-a implicat cu predilecție a fost
geometria, însă acesta a studiat și unele chestiuni de
mecanică, cum ar fi oscilația pendulului, hidraulica, dar și
aplicații ale matematicii în economie.
Teorema lui Ceva
A fost descoperită, formulată și demonstrată în lucrarea “De lineis rectis se invicem
secantibus statica constructio”, semnată de Givanni Ceva în anul 1678.
Fie triunghiul ABC şi punctele D, E şi F situate pe dreptele BC, CA, respectiv AB, diferite de
vârfurile A, B şi C. Dacă dreptele AD, BE şi CF sunt concurente, atunci are loc relația:
46
APLICAȚII
1. Fie M mijlocul unui segment AB, MABC \ şi un punct D nesituat pe AB. Dacă N este
mijlocul lui (CD), P este mijlocul lui (BD), Q este mijlocul lui (MN) şi R mijlocul lui (AC),
demonstraţi că:
a) punctele P, Q şi R sunt coliniare;
b) ,DTCRCTBR unde .PRCDT
(GMB – 2/2012)
Soluţie. a) În MPABD : este l.m. ADMP || şi 2
ADMP ; în NRACD : este l.m.
ADNR || şi 2
ADNR , deci MPNR este paralelogram. MN şi PR sunt diagonale,
Q este mijlocul lui (MN), deci Q este mijloc şi pentru (PR), rezultă că P, Q şi R sunt coliniare.
b) BCD şi transversală R-T-P, rezultă din teorema lui Menelaus: 1PB
DP
DT
CT
CR
BR,dar
11
DT
CT
CR
BR
PB
DP, deci .DTCRCTBR
2. În triunghiul ABC se consideră un punct M pe latura (BC). Bisectoarea unghiului AMC
intersectează pe (AC) în E, iar bisectoarea unghiului AMB intersectează pe (AB) în F. Dacă BE şi
CF se intersectează în P, demonstraţi că dreptele AM, BE şi CF sunt concurente ( sau A, M şi P
coliniare).
Soluţie. Aplicăm teorema bisectoarei în triunghiurile AMC, respectiv AMB şi obţinem: AM
MC
AE
EC
şi MB
AM
FB
AF .
Deoarece 1FB
AF
AE
EC
MC
MB )1(
MB
AM
AM
MC
MC
MB, rezultă, din reciproca teoremei lui Ceva, că
dreptele AM, BE şi CF sunt concurente.
BIBLIOGRAFIE
1.www.wikipedia.org, 2. GM 2012
47
Greșeli tipice în algebră
Focșeneanu Andreea Cristina
Școala: Colegiul Tehnic Forestier Câmpina
Profesor îndrumător: Necula Elena
Matematica studiată în școală deschide drumuri spre diverse domenii care edifică o știință ce se
aplică la rândul ei în alte științe, în tehnică și în practică. Matematica oferă tehnici specifice de
studiu și investigare în multe domenii aplicative, dar oferă și o importantă dezvoltare și disciplinare
a gândirii, acestea subzistând în straturile tuturor celorlalte discipline studiate.
Profesorul de matematică are sarcina să găsească pe cât posibil argumentarea la nivelul de
cunoștiințe al elevului la acel moment a noțiunilor și rezultatelor predate și să facă acele conexiuni
care se impun cu celelalte lucruri învățate la matematică dar și la alte discipline.
Prin acest eseu doresc să accentuez cât de importantă este prezența unui profesor de matematică în
viața elevilor și cât de mult ar trebui apreciat pentru munca pe care o depune. Cu ajutorul acestuia
putem desluși cu o mai mare ușurință tainele matematicii evitând totodată micile greșeli efectuate în
orice tip de problemă. Frecvent din cauza unor banale erori de calcul putem să ajungem la un alt
rezultat decât cel corect, dar dacă se pune accent încă de la bun început pe reguliel de bază, orice
greșeală poate fi evitată.
Mai jos sunt prezentate câteva greșeli tipice întâlnite frecvent în rezolvarea inecuațiilor și
ecuațiilor algebrice, dar și în câteva probleme ce necesită puțină atenție.
1. Eliminarea greșită a numitorilor în rezolvarea inecuațiilor în care necunoscuta apare la numitorul
fracțiilor.
Exemplul 1. Rezolvați în mulțimea numerelor reale inecuația
.
Rezolvare greșită. Din
, rezultă că , ceea ce implică , adică
și ( -.
Rezolvare corectă. Inecuația este echivalentă cu
adică cu
Observăm că
ecuațiile și au soluțiile x=-1, respectiv x=3. Vom pune aceste valori pe prima
linie a următorului tabel.
- -1 3 +
- - - - - - - - - - - - - - 0 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + 0 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - 0 + + + + + + + + + I - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Analizând ultima linie a tabelului, deducem că S= , - ( ).
Exemplul 2. Rezolvați în inecuația
.
Rezolvare greșită. Din
, vom avea că , de unde iar S=, ).
Elevii neglijează faptul că eliminarea numitorilor revine la înmulțirea inecuației cu un număr
negativ, iar această operație schimbă sensul inecuației.
Rezolvare corectă. Inecuația este echivalentă cu
, care se rescrie .
Obținem deci S=( -. 2. Ignorarea anumitor particularități ale rezolvării ecuațiilor iraționale și obținerea, prin urmare, a
unor soluții eronate.
Exemplul 3. Rezolvați în mulțimea nuerelor reale ecuația √ .
Rezolvare greșită. Prin ridicare la pătrat, ecuația este echivalentă cu , de unde și * + .
48
Eroarea din rezolvarea de mai sus este dată de semnul de echivalență dintre prima și a doua formă
a ecuației. Ridicarea la pătrat a amibilor membri ai ecuației nu se face, în lipsa unor condiții
suplimentare, decât cu implicație, ceea ce înseamnă că la final va trebui să verificăm dacă valorile
obținute sunt soluții ale ecuației inițiale.
Rezolvare corectă. Ecuația √ implică , de unde și atunci
* +. Dintre aceste valori numai 2 verfică ecuația inițială. Așadar, S=* +.
O altă manieră de a evita obținerea de soluții eronate este aceea de a impune condițiile de
existență a radicalilor și de compatibilitate a celor doi membri ai ecuației.
Așadar, rezolvarea ecuațiilor iraționale de tipul √ , poate fi realizată pe baza unui plan ce
cuprinde următoarele etape:
1) Punerea condițiilor de existență a radicalului .
2) Constatarea faptului că orice soluție a ecuației va verifica și condiția .
3) Rezolvarea ecuației ce se obține prin rodicarea la pătrat a ambilor membri ai ecuației
inițiale.
4) Selectarea acelor valori obținute la punctul 3) care verifică condițiile de la 1) ți 2).
5) Scrierea corectă a mulțimii soluțiilor ecuației propuse.
O altă rezolvare corectă a ecuației din exemplul 3. Condiția de existență a radicalului este
, adică . Condiția de compatibilitate a celor doi membri ai ecuației este . În
aceste condiții, ecuația din enunț este echivalentă cu , de unde iar
* +. Ținânând cont de condițiile impuse avem , S=* +. O altă rezolvare corectă a ecuației din exemplul 3. Condiția de existență a radicalului este
, adică . Condiția de compatibilitate a celor doi membri ai ecuației este . În
aceste condiții, ecuația din enunț este echivalentă cu , de unde iar
* +. Ținânând cont de condițiile impuse avem , S=* +. Alte câteva exemple de greșeli frecvent întâlnite:
1. Care dintre numerele de mai jos este zece milioane douăzeci de mii treizeci?
a) 102 030
b) 10 020 030
c) 10 200 030
d) 102 000 030
Greșeli tipice
Greșeli conceptuale:
Numere naturale: ordinul de mărime al unei cifre în scrierea pozițională a unui număr
natural.
Greșeli procedurale:
Observarea doar a unui grup de cifre ( de la începutul sau de la sfârșitul numărului), pentru
identificarea numărului;
Ignorarea ordinului de mărime al cifrelor unui număr.
2. Care dintre următoarele variante este egală cu ( ) ( )?
a) 3y
b) y
c)
d)
Greșeli tipice
Greșeli conceptuale:
Calcule cu numere reale reprezentate prin litere: distributivitatea înmulțirii față de adunare:
opusul unei sume.
Greșeli procedurale:
49
La înmulțirea unui număr cu o paranteză, se înmulțește doar primul termen cu acel număr;
În calculul opusului se schimbă semnele doar la o parte din termenii sumei.
3. Efectuați: =?
a) 5
b) 5
c) 6
d) 6
Greșeli tipice
Greșeli conceptuale:
Operații cu numere reale reprezentate prin litere: convenția despre exponentul implicit;
produsul monoamelor.
Greșeli procedurale:
Ignorarea exponentului 1 (este considerat 0);
Transferarea eronată a unor reguli ( de exemplu: “când înmulțim două monoame, adună
coeficienții”- regulă valabilă pentru exponenți sau pentru suma monoamelor asemenea).
4. Într-o cutie mică există 20 de bilete numerotate de la 1 la 20. În cutia mai mare se află 100 de
bilete numerotate de la 1 la 100. Fără a te uita în ele, poți alege un bilet dintr-o cutie. Care cutie ți-ar
da cea mai mare șansă de extragere a unui bilet cu numărul 17 înscris pe el?
a) Cutia cu 20 de bilete
b) Cutia cu 100 de bilete
c) Ambele cutii oferă aceeași șansă
d) Este imposibil de spus
Greșeli tipice
Greșeli conceptuale:
Probabilități: semnificație; eveniment; experiment.
Greșeli procedurale:
Identificarea tipului de formulă probabilistică care caracterizează situația practică descrisă;
Interpreatrea soluției matematice în termenii ceruți de situația practică descrisă;
Interpretarea eronată a unor evenimente similare ca fiind identice, deși se obțin în
experimente diferite.
Rutine didactice:
Lipsa antrenamentului în înțelegerea semnificației șanselor de producere a unui eveniment.
Bibliografie:
Elena Mihuț, Didactica matematică, nr. 2, anul 2011, paginile 41-42
https://www.ise.ro/wp-content/uploads/2014/02/greseli-mate.pdf
50
Teorema lui Pitagora. Reciproca teoremei lui
Pitagora
Sima Mara Bianca
Școala Gimnazială ,,Înv. Ion Mateescu”
Prof. coordonator Cazacu Gabriela ,,Matematica este limba cu care Dumnezeu a scris Universul.”
Galileo Galilei.
Pitagora
A fost destul de talentat,
Astfel că pe a vieţii rută
Ca filozof a demonstrat
O teoremă cunoscută!
Pitagora a fost unul
dintre primii deschizători de
drumuri în matematica elenă,
el arătând cum relațiile dintre
mărimile unei figuri
geometrice se exprimă prin
relații între numere. Lui
Pitagora și pitagoreicilor li se
atribuie și descoperirea
numerelor iraționale, studiul
proporțiilor, utilizarea conceptului de infinit, tabla înmulțirii, toate acestea făcând să ne dăm seama
de saltul calitativ făcut de matematicienii greci.
Despre viața lui Pitagora, multă vreme informațiile au fost contradictorii, fiind considerat
când un personaj legendar, când omul istoric.
Se cunoaște că s-a născut în prima perioadă a secolului al VI-lea(aproximativ 580 Î.Hr.) și că
a trăit până în anul 500Î.Hr.Se zice că ar fi fost de ,,neam berber,, ,etrusc din Italia, născut pe Insula
Samos. Fiul lui Mnesarchos,un gravor de pietre prețioase și comerciant din Tyr, Pitagora și-a
petrecut primii ani în Samos, călătorind adesea împreună cu tatăl său, existând puține date despre
copilăria lui, cu excepția semnului său din naștere pe care îl avea pe coapsă. Se știe însă cu
siguranță că a fost bine instruit, învățând să cânte la liră, să recite din Homer, având printre
profesori câțiva filozofi ce își vor lăsa amprenta asupra gândirii sale de mai târziu. Printre cei care
s-au ocupat de pregătirea acestuia a fost și Thales din Milet. Se spune că atunci când l-a vizitat
pentru prima oară pe Thales, Pitagora avea 18 sau 20 de ani, dar Thales nu l-a putut instrui o
perioadă prea lungă, fiind destul de în vârstă. Pitagora a cunoscut îndeaproape cultura grecească a
timpului său.22 de ani a călătorit în Egipt (unde ar fi aflat că sufletul este nemuritor).12 ani s-a
ocupat cu științe în Mesopotamia. Reîntorcându-se la Samos, Pitagora a înființat o școală, mai exact
a strâns în jurul lui oameni care îi împărtășeau ideile. Școala lui Pitagora a devenit un ,,ordin,, cu
cicluri de inițiere, reguli și norme de comportare. Cursurile școlii durau 5 ani. Erau trei reguli forte
ale acestui, ordin -ascultarea, tăcerea și supunerea. Abia după ce învățau lucrurile cele mai grele-
tăcerea și ascultarea-atunci puteau să întrebe și să-și spună părerile. O altă regulă a școlii era
păstrarea secretului. Această regulă era cu mult mai aspră decât cele de dinainte. Nerespectarea
acestei reguli se putea penaliza, în anumite cazuri, chiar cu pierderea vieții. Pitagoreicii se trezeau
împreună cu răsăritul, cântau poeziile, apoi făceau gimnastică, se ocupau de teoria muzicii,
filozofie, matematică, astronomie și alte științe. Aici, practica calculelor nu se considera un lucru
demn pentru școlile filosofice, ci o chestiune zilnică a oamenilor de rând. De aceea, pitagoreicii
studiau numai proprietățile numerelor, dar nu calculul practic.
51
Pitagora a fost primul care a prescris un regim fără carne atleților în timpul antrenamentelor,
consumând numai smochine uscate, brânză moale sau numai făină de grâu, pentru a se deprinde cu
o viață simplă, a trăi cu lucruri ușor de gătit, considerând că aceasta era modalitatea de a avea un
trup sănătos și o minte ascuțită. Perceptele lui simbolice erau:
- Să nu ațâți focul cu un cuțit(să nu atragi mânia și supărarea celor mari)
- Să nu pășești peste cumpăna unei balanțe(să nu treci peste îndatoririle echității și dreptății)
- Să nu te așezi pe o baniță de grâu(să te îngrijești de ziua de azi ca și de cea de mâine)
- Să nu mănânci inima(să nu îți irosești viața în tulburări și chinuri)
- Să nu ajuți pe om cu o sarcină la punerea ei, ci la ridicarea ei
- Totdeauna să-ți strângi sul așternutul de pe pat(să nu lași pe pat amprenta trupului)
- Să nu treci câmpul cu bob
- Să nu porți inel sau chipul unui Zeu gravat pe el
- Să nu ștergi urmele cratiței pe cenușă
- Să nu ștergi locul unde ai șezut cu facla
- Să nu mergi pe drumul mare
- Să nu dai mâna dreaptă cu ușurință
- Să nu ai rândunici sub acoperiș
- Să nu ții păsări cu gheare
- Să pui deoparte ascuțișul cuțitului
- Să nu îți întorci capul spre frontieră când pleci în țări străine(îi sfătuia pe cei care se despart de
această viață să nu fie prea atașați de ea și conduși de plăcerile lumești).
Pentru noi, Pitagora este un matematician, dar în Antichitate nu a fost la fel. Herodot îl
numește pe Pitagora ”învățătorul înțelepciunii,,. Pentru contemporanii săi, Pitagora a fost în primul
rând un profet religios despre care spuneau că are o coastă de aur sau apare simultan în două locații
diferite. Unele texte îl prezintă ca Semizeu, așa cum însuși s-ar fi imaginat-fiul lui Hermes.
1.Teorema lui Pitagora(TP)
Probabil însă, nu există o altă teoremă care ar avea atâtea comparații. În Franța și unele
regiuni ale Germaniei, în Evul Mediu, Teorema lui Pitagora se numea ,,puntea măgarilor,,.
Matematicienii Orientului o cunoșteau drept, teorema miresei,,. În unele texte, această teoremă se
numea ,,teorema nimfei,, pentru asemănarea desenului cu albină sau fluture, ceea ce în limba greacă
se traducea ,,nimfa,,. Unele zeițe și în general femeile tinere erau numite de greci cu același cuvânt.
La traducerea din limba greacă în cea arabă însă, nu s-a atras atenția la desen și ,,nimfa,, s-a
transformat din ,,fluture,, în ,,mireasă,,.
Se spune, desigur, fiind numai legendă, că Pitagora, după ce a demonstrat celebra teoremă, a
mulțumit zeilor sacrificând 100 de boi. Dar această povestire nu seamănă cu adevărul, deoarece
Pitagora a fost vegetarian și împotriva tăierii animalelor.
Teorema lui Pitagora este o teoremă din geometria elementară, conform căreia într-un triunghi
dreptunghic, pătratul lungimii ipotenuzei este egal cu suma pătratelor lungimilor catetelor. Teorema
a fost cunoscută până la Pitagora, pentru cazuri particulare în China Antică, Babilonia, Egipt. Însă
demonstrarea în forma generală i se atribuie filozofului. Acest subiect implică trei aspecte:
cunoașterea tripletelor pitagoreice (seturi de câte trei numere întregi care reprezintă lungimile
laturilor unui triunghi dreptunghic), cunoașterea teoremei propriu-zise și cunoașterea unor
demonstrații.
Teoremei i se atribuie și câteva poezii:
,,E o teoremă minunată,
De multe ori aplicată,
E cea mai tare dintre teoreme
Cu ea rezolvi orice probleme:
Ipotenuza la pătrat
Este o sumă neapărat
Dintr-o catetă la pătrat
Și cea de-a doua la pătrat.”
52
Autor-Dragoș Constantinescu,profesor matematică.
Teorema lui Pitagora are întrebuințări nu doar în matematică,ci și în viața noastră de zi cu zi.
De exemplu, pompierii trebuie să calculeze câți metri trebuie să măsoare scara pentru a ajunge, de
exemplu, la fereastra unui bloc de înălțimea 5m și unde să o amplaseze.
Se cunosc peste 400 de metode prin care se poate demonstra teorema.
În aceasta problemă, se cere diagonala ,,d,, a pătratului. Pentru a o afla, aplicăm Teorema
lui Pitagora astfel:
1.Notăm pătratul ,,ABCD,, , astfel încât AC să fie diagonala.
2.În ΔADC dreptunghic în D aplicăm Teorema lui Pitagora: = .
3.Triunghiul ADC, fiind dreptunghic și isoscel, teorema se aplică astfel: 2 = . De aici
rezultă că d= √ .
Alt tip de problemă, cea mai comună, este următoarea:
În ΔABC dreptunghic (isoscel) în A, de latură ,,a”, se cere ipotenuza ,,d’’
Etape de rezolvare :
1.ΔABC dreptunghic în A .
2. Înlocuim astfel : 2 = .
3.Rezultă că d=2√ .
2.Reciproca Teoremei lui Pitagora(RTP)
Enunțul teoremei :
Dacă într-un triunghi suma pătratelor a două laturi este egală cu pătratul celei de-a treia
laturi, atunci triunghiul este dreptunghic.
Un exemplu de problemă rezolvată cu Reciproca Teoremei lui Pitagora este:
Un triunghi ABC, are măsurile laturilor AB=36cm,AC=27cm și BC=45cm.Să se determine
măsura celui mai mare unghi al triunghiului.
Rezolvare:
Aplicăm Reciproca Teoremei lui Pitagora :alegem latura cu lungimea cea mai mare.
= =2025; + ; + 2025=2025,ΔABC dreptunghic în B.
53
Probleme alese pentru copii isteți
Ioan Cristian
Şcoala Gimnazială “Rareş Vodă”Ploieşti
Coordonator: Prof. Daniela Badea Motto: „Matematica este ştiinţa care trage
concluzii necesare.” Benjamin Peirce
1. La un concurs de matematică testul conţine 20 de probleme. Pentru fiecare problemă rezolvată
corect se acordă 5 puncte, pentru fiecare problemă rezolvată greşit de scad 2 puncte, iar pentru
problemele omise ( neabordate) nu se acordă punctaj. Dacă un elev a obţinut 69 de puncte aflaţi
câte probleme a omis.
Soluție:
a) Notăm c = nr. probleme rezolvate corect; g = nr. probleme rezolvate greşit; o = nr. probleme
omise
Avem c g o 20 c,g,o 5c 2g 69 5c 2g 2 c g o 69 2 20 7c 2o 109 c impar Dacă 109 7 15 4 c 15,o 2, 3g
Pentru c 13 o 9 deoarece 13+9 20F
Analog pentru c şi c+o F nr. probleme omise o = 2.
2.O sumă de bani a fost dată ca premiu lui Alex, Dan şi Radu , în părţi invers proporţionale cu
numerele 2, 3 respectiv 5. Altă dată, Alex, Dan şi Radu au primit aceeaşi sumă de bani ca premiu,
dar împărţită în părţi direct proporţionale cu 2, 3 respectiv 5. S-a constatat că după cele două
premieri, Radu a câştigat cu 66 lei mai mult decât Dan.
a) Calculaţi suma totală de bani care a fost oferită la cele două premieri.
b) Stabiliţi care dintre copii a încasat suma cea mare în urma celor două premieri şi care este
diferenţa de bani faţă de următorul clasat.
a)Soluție: S = suma oferită la fiecare dintre premieri
1 1 1 1 1 1
1 1 11 1 1 1 1
, , sumele încasate de Alex,Dan şi Radu la prima premiere S
30 10 62 3 5 ,
1 1 1 31 31 31 31
2 3 5 30
a b c a b c
a b c S S S Sa b c b c
2 2 2 2 2 2
2 2 22 2
, , sumele încasate de Alex,Dan şi Radu la a doua premiere S
3 5,
2 3 5 10 10 10
a b c a b c
a b c S S Sb c
1 2 1 2
466 66
5 31
S Sc c b b
930leiS
2S=1860lei
b) 1 1 1
15 10 6450lei, 300lei, 180lei
31 31 31
S S Sa b c
2 2 2
2 3 5186lei, =279lei, =465lei
10 10 10
S S Sa b c
54
1 2
1 2
1 2
636lei
579lei
645lei
a a
b b
c c
Radu a încasat suma cea mai mare, cu 9 lei mai mult ca Alex
3. În ABC 0 *C 15 , A B , B C cu , .m m x m m y m x y Dacă D este piciorul
înălţimii duse din vârful C arătaţi că AB=2 CD.
Soluție:
B 15 , A 15y m xy
0 0 0A B C 180 15 1 180m m m xy x
1 12 1 11 1, 10xy x x y x y
0 0B C 15 , A 150 ABC isoscelm m m
În 0 0ADC, D 90 , DAC 30m m AC 2DC AB 2DC.
5. Se consideră ABC şi I punctul de intersecţie al bisectoarelor. Prin I se duce MN paralelă la BC, M AB, N AC.
a) Arătaţi că MN=BM+NC;
b) Arătaţi că MI NI dacă şi numai dacă ABC este isoscel;
c) Prin I se duce PQ paralelă la AB, P BC, Q AC. Dacă ABC este echilateral să se arate că
MN PQ .
Soluție:
a)
BIM IBC(alt.int)
MBI isoscel MB=MIIBC MBI
Analog NI=NC
MN=MI+NI=MB+NC
b) " "
AMN, AI bisectoare şi mediană AMN isoscel
MN BC AMN B, AMN C(coresp.)
B C ABC isoscel
" "
ABI ACI (LUL) BI=CI
B C
MBI MCI2 2
m mm m
MBI NCI MI=NI
c)
Conform b) ABC isocel MI=NI MN=2MI
Conform b) ABC isocel PI=QI PQ=2PI
MBI PBI MI=PI
MN=2MI=2PI=PQ .
Bibliografie:
Năchilă P și colaboratorii, „Ora de Matematică” culegere de matematică pentru clasa a VI-a,
ed.Nominatrix, 2017
55
Ion Barbu versus Dan Barbilian
Eva-Ioana Petrescu-Constantin
Colegiul Tehnic de Arhitectură şi Lucrări Publice I. N. Socolescu - Bucureşti.
Profesor coordonator: Elena Geanǎ
sursa foto www.liceulteoreticdanbarbilian.ro
Există poezie în matematică? Dar matematică în poezie? La aceste întrebări ne-ar putea răspunde
cel mai bine savantul în ştiinţe matematice şi literatul Dan Barbilian/Ion Barbu. Alegem să vorbim
despre el la prezent, căci opera sa literară este obiect de studiu în manualele şcolare, prin urmare,
Ion Barbu este contemporan cu noi.
Pasionat deopotrivă de cifre şi versuri, Dan Barbilian a compus poezii cu o simbolistică greu
accesibilă neiniţiaţilor, criptate, cu puternice influenţe matematice.
Spaţiul barbilian din matematică este completat cu universul poeziei pe care critica literară a epocii
au numit-o barbistă. După orele de predare la catedra de matematică, cifrele sunt transformate în
litere. La o primă citire, versurile sale par dacă nu haotice, cel puţin cifrate.
De unde această pasiune a matematicianului pentru poezie? Pesemne anii copilăriei, aventurile
iniţiatice, universul naturii ce se lasă descoperit în ochii şi mintea fragedă a viitorului poet sunt tot
atâtea motive, alături de, mai târziu, sfaturile şi încurajările de a scrie primite de la Tudor Vianu şi
Simion Bayer.
Dan Barbilian şi-a dezvoltat pasiunea pentru poezie afirmând că poezia şi geometria sunt
complementare iar acolo unde geometria devine rigidă, poezia îi oferă orizont spre cunoaştere şi
imaginaţie.
Totuşi, destinul îi rezervă o carieră în domeniul matematicii. După susţinerea doctoratului cu teza
Reprezentarea canonică a adunării funcţiunilor ipereliptice şi publicarea volumului Joc secund,
activitatea sa literară se încheie în anul 1930.
Revenind la opera literară, volumul Joc secund cuprinde versuri pe tematică teologică. Tocmai de
aceea sunt dificil de înţeles. Pe acest considerent, într-un cadru mai larg dar asemănător temei de
faţă, un teolog şi filosof contemporan a postulat că un text scris poate fi interpretat în trei moduri, în
funcţie de autor şi de lector. Astfel:
- în situaţia în care textul este înţeles atât de autor cât şi de cititor, atunci textul are un
caracter literar;
- dacă textul este înţeles numai de autor iar cititorul nu îi pătrunde esenţa, avem de-a face
un un text filosofic;
56
- în fine, atunci când textul scris rămâne nedescifrat atât de autor cât şi de cititor, atunci
textul are caracter teologic.
Apreciem că versurile lui Ion Barbu se încadrează în categoria de mijloc, cu amendamentul că şi
filosofia are o logică matematică pe care autorul a camuflat-o cu severitatea impusă de formaţia sa
ştiinţifică.
Opera poetică barbistă, aşa cum spuneam, la o primă lectură pare cifrată. Întocmai ca o problemă de
matematică. Însă recitind textul, lectorul va descoperi înţelesuri aparent ascunse, formule de
interpretare aidoma unor formule de calcul ce trebuie aplicate pentru rezolvarea problemei. Să luăm
ca exemplu poezia Lemnul sfânt:
În văile Ierusalimului, la unul,
Păios de raze, pământiu la piele:
Un spic de-argint, în stânga lui, Crăciunul,
Rusalii ard în dreapta-i cu inele.
Pe acest lemn ce-aş vrea să curăţ, nu e
Unghi ocolit de praf, icoană veche!
Văd praful - rouă, rănile - tămâie?
- Sfânt alterat, neutru, nepereche.
La prima lectură, cuvinte haotice, aparent fără legătură între ele....Mai citim o dată. O rază de
lumină traversează versurile, ca şi cum ne-ar arăta calea spre cunoaşterea sensului. Ne ajută mult să
ne transpunem în mintea poetului, să conştienzăm că Ion Barbu e matematician iar creaţiile sale în
versuri sunt cifrate. Mergând pe această ipoteză, descoperim adevăratul sens al versurilor: cine
putea fi din Ierusalim, atât om (pământiu la piele - a se vedea creaţia omului din lut) cât şi neom
(păios de raze), născut de Crăciun şi coborât de Rusalii...decât Dumnezeu Fiul şi Dumnezeu Duhul
Sfânt!? Argintul din stânga reprezintă noaptea, luna (a se vedea calendarul iudaic bazat pe sistemul
lunisolar), iudaismul care apune (rămâne în stânga). În dreapta e lumina, e creştinismul cu
revalorizarea sărbătorii Rusaliilor, întemeierea bisericii. Pe crucea răstingirii praful nu e aducător de
murdărie, ci dimpotrivă, e rouă dătătoare de viaţă. Rănile omului Isus sunt purificate prin
intermediului tămâii, omul Isus acceptă crucificarea. Dumnezeu s-a dăruit încă odată omenirii, prin
Fiul Său, pentru iertarea păcatelor.
Opera sa reprezintă diagrama trecerii de la romantism la poezia modernă, o ruptură faţă de tradiţia
poetică românească şi universală. Limbajul nou, sintetic, jocul simbolurilor din poemele sale
constituie o cheie de iniţiere, poetul cantonându-se într-o specie aparte de ermetism.
Putem spune că viaţa şi întreaga activitate literară şi ştiinţifică a omului Dan Barbilian este
străbătută în ansamblul ei de o subtilă dar trainică unitate de gândire în care matematicianul Dan
Barbilian se regăseşte în textele poetice, iar poetul Ion Barbu în textele matematice.
Chiar autorul, în profilul autobiografic recunoaşte că cercetarea matematică primeşte o organizare
şi orientare învecinate cu aceea a functiunii poetice, care, apropiind prin metaforă elemente
disjuncte, desfăşoară structura identică a universului sensibil [...] matematicele[...] participînd la
desăvârşirea figurii armonioase a lumii, devin umanismul cel nou.
Lăsând în urmă creaţia literară, autorul se dedică cercetării matematicilor. Este unul fondatorii
Institutului de Ştiinţe Matematice alături de alte somităţi în domeniu precum Dionisie Ghermani,
Octav Onicescu, Grigore Moisil, Dimitrie Pompeiu, actualmente Institutul de Matematică Simion
Stoilow aparţinând de Academia Română.
57
sursa foto www.imar.ro
Nu ne propunem în studiul de faţă să aprofundăm spaţiul barbilian (nici nu am fi capabili!), ci să
spunem prin cuvintele autorului că geometria este o formă de reprezentare a existenţei fără de care
nu putem trăi. Mai mult, putem afirma că nu putem trăi fără matematică la fel cum nu putem trăi
fără poezie. Pendularea omului între raţional şi emoţional face parte din ADN-ul nostru identitar.
Iar Dan Barbilian/Ion Barbu reprezintă personajul care a îmbinat aproape perfect această pendulare.
Feţe aparent opuse, “poetul” în antiteză cu “matematicianul”, conexate fiind, ne permit să înţelegem
şi faţetele ce rezultă din această conexare “boemul”, “profesorul”, “filosoful”.
acuarelă, compoziţie personală
Bibliografie:
Dancă Wilhelm, Fascinaţia adevărului de la Toma de Aquino la Anton Durcovici, Editura
Sapientia, Iasi, 2005
www.agerpres.ro
www.caietesilvane.ro
www.depmath.ulbsibiu.ro
www.imar.ro
www.liceulteoreticdanbarbilian.ro
www.viatasiopera.ro
58
Issac Newton
Aștefanei Alicia și Duță Alexandra
Colegiul de Artă “Carmen Sylva”
Prof. Îndrumător Butac Ecatrina
Isaac Newton s-a nascut la 4 ianuarie 1643, in localitatea Woolsthorpe, pe coasta de rasarit
a Angliei. Tatal lui a murit la scurt timp dupa nasterea copilului, care a fost luat spre a fi crescut de
catre bunica sa. A frecventat scoala madie din Grantham, nu departe de casa. Baiatului ii facea
placere sa mestereasca fel de fel de jocuri mecanice , machete, slefuia oglinzi si lentile, se interesa
de chimie si ii placea sa deseneze . La varsta de 18 ani fu admis la Trinity College din Cambridge ,
unde, in afara orelor de studiu, lucra la universitate pentru a castiga ceva bani. Studia matemaatica ,
fizica, teologia si limbile clasice. In anul 1665a obtinut titlul de bacalaureat si trei ani mai tarziu a
devenit magistru.Printre primele lui lucrari de cercetare se numara metoda seriilor infinite ,
calcularea suprafetei hiperbolei si metoda fluxiunilor, adica a calcului infinitezimal. In anul1669
tanarul Newton a devenit profesor de matematica si fizica si a predat aproximativ 20 de ani. Functia
de profesor nu-i cerea un efort prea mare si ii lasa suficient timp ca sa se dedice cercetarii.In primii
ani ai activitatii sale stiintifice, Newton s-a interesat de optica, domeniu in care a facut numeroase
descoperii. Prin descompunerea lumini albe el a demonstrat ca aceasta nu este omogena , ci se
compune din culorile spectrul, a explicat modul incare obiectele apar colorate si aconstruit cu
propria sa mana primul telescop cu oglinda. In continuare a descoperit fenomenul interferentei
luminii cunoscut astazi sub numele de inelele lui Newton si a elaborat teoria corpusculara, dupa
care lumina reprezinta un flux de corpusculi forte mici. Si-a grupat rezultatele tutror cercetarilor
din acest domeniu in lucrarea Optica aparuta in anul 1704, in trei volume.Din anul 1676 a inceput
sa se ocupe de mecanica. Descoperirile fundamentale din acest domeniu sunt cuprinse in lucrarea
monumentala Principiile matematice ale filosofiei naturale In primele doua volume se ocupa de
mecanica teoretica ,iar cel de-al treilea de mecanica cereasca. Newton si-a formulat aici vestitele lui
axiome ale miscarii, insa scopul fundamental al lucrarii este sa demonstreze legea gravitaiei, care
deriva din aplicarea axiomelor macanicii la miscarea corpurilor ceresti.Teoriile lui Newton cu
privire la spatiu, timp, masa si forta au avut o influenta covarsitoare asupra dezvoltarii fizicii si abia
in secolul al-XX-lea , descoperirile lui Planck si Einstein au aratat limitele legilor pe care era
construita mecanica lui Newton. Cu toate acestea mecanica clasica si-a pastrat importanta deosebita
mai ales in domeniul descoperirilor cu caracter practic.NewtonIn ultimii ani ai vietii a inceput din
nou sa-si redacteze lucrarile si a elaborat lucrarea istorico-teologica Chronologia.In pofida
renumelui pe care si-l castigase, Newton a ramas toata viata un om modest si simplu. Amurit la 31
martie1727si a fost inmormantat la Westminster Abbey. Sir Isaac Newton, fizician si matematician
englez este considerat unul dintre cei mai mari oameni de stiinta intrat in istorie prin contributiile
sale in diferite stiinte. Descoperirile si teoriile lui au pus bazele stiintei din timpul lui pana in zilele
noastre. Newton a fost unul dintre inventatorii unei ramuri a matematicii numita aritmetica (celalalt
a fost matematicianul german Gottfried Wilhelm Leibniz). El, de asemenea, a rezolvat misterele
luminii si opticii, a formulat cele trei principii ale mecanicii si plecand de la acestea a formulat
legea atractiei universale. In sfarsit mama sa, a doua oara vaduva (sotul a murit cand Newton avea
11 ani), era convinsa sa-l trimita la scoala secundara din Grantham. Mai tarziu in vara anului 1661,
a fost trimis la scoala superioara Trinity din universitatea Cambridge. Aici profesorul de matematica
Isaac Barrow l-a incurajat. Newton si-a primit licenta in 1665. Scola a fost inchisa doi ani, timp in
care Newton a studiat natura luminii si constructia telescoaopelor. Dupa o varietate de experimente
pe lumina soarelui refractata printr-o prisma, el a ajuns la concluzia ca razele de lumina care difera
in culoare difera de asemenea in refractabilitate - aceasta descoperire i-a sugerat ca imaginile pot fi
deformate daca razele de lumina trec prin mai multe lentile departate, si a construit telescopul cu
oglinzi reflectorizante. In acelasi timp el a studiat si miscarea planetelor. La intoarcerea la
Cambridge (1667), Newton a devenit membru al colegiului Trinity si in 1668 si luat masteratul. In
59
anii urmatori, Isaac Barrow a abandonat postul in favoarea tanarului sau elev. Isaac Newton este
renumit pentru descoperirea legii atractiei universale (pornind de la principiile miscarii orbitale ale
lui Johanes Keppler), inspirat de un mar care i-a cazut in cap. Acest mar l-a pus pe Newton sa se
gandeasca la forta care atrage marul spre Pamant. Aceasta forta este aceasi cu cea care mentine
Luna in orbita sa in jurul Pamantului. Dar in 1684, dupa un schimb de scrisori cu Robert Hooke si o
vizita a lui Edmund Halley (astronom si matematician) a descoperit ca si Soarele actioneaza cu
aceasi forta asupra planetelor si a dedus si formula matematica. Intre Newton si Hooke a existat o
disputa pentru creditul descoperirii legii. Halley l-a convins pe Newton sa scrie o carte, si acesta a
scris-o in 1687, numele ei fiind Philosophiae naturalis principia mathematica. Aceasta lucrare l-a
facut pe Newton sa fie cel mai mare fizician al acelor vremuri. Isaac Newton a descoperit si scris
toata dinamica corpurilor. Cele "trei principii ale dinamicii" au reprezentat bazele viitoarelor
descoperiri ale lui. Intre anii 1689 - 1701Isaac Newton a ocupat functii de conducere in parlament si
la universitate. In acest timp s-a aratat un bun administrator. In 1704 Newton a publicat Optics in
engleza, carte pe care a refuzat sa o publice pana la moartea lui Hooke, vechiul sau inamic. Mare
parte din viata lui Newton a avut conflicte cu alti oameni de stiinta: Hooke, Leibniz si Flamsteed.In
acest timp, a pus bazele faimosului sau tratat: ,,Philosophiae Naturalis Principia Mathematica ”
(Principiile matematice ale filozofiei naturale), care a fost publicat in cele din urma in 1687.
Opunandu-se ferm incercarilor regelui James al II-lea de a transforma universitatile in
institutii catolice, Newton a fost cales membru al Parlamentului, pana in 1689, pozitie pe care o va
recapata in parioada 1701-1702. Intre timp, in 1696, s-a mutat la Londra, devenind vistier al
monetariei regale, pentru ca mai apoi sa ajunga Lord Trezorier al Regatului, in 1699, pozitie pe care
a detinut-o pana la moartea sa. In 1671 a fost ales membru al Societatii Regale din Londra, fiind
ales in 1703, presedintele acesteia. Una dintre principalele sale lucrari, ,,Optica”, revolutionand
practic tot ce se credea pina in acel moment.
In anul 1705, a fost inobilat cu titlul de ,,Sir” ( Lord ) de catre regina Anne, la Cambridge. Pe
masura ce teoriile si tratatele sale incepeau a fi acceptate pe continent si in special dupa 1714,
Newton a devenit unul dintre cei mai respectabili oameni de stinta din Europa. Newton si-a petrecut
ultimul deceniu perfectionandu-si tratatele sale anterioare, si aparandu-se de critici. Acesta era un
om modest si cu gusturi simple, detestand criticile, fiind dur cu dusmanii, si generos cu prietenii. In
guvern si in Societatea Regala si-a demonstrat calitatile de administrator. Nu s-a insurat niciodata, si
a trait o viata modesta, stingandu-se din viata in 1727, la varsta de 85 de ani, a fost ingropat cu
onoruri la Abatia Westminster.Newton este considerat parintele fizicii modene, realizarile sale in
domeniul invesigatiei experimentale, fiind o inovatie, ca si cele din domeniul matematicii. Cu
acelasi interes si cu aceeasi originalitate, Newton s-a implicat si in chimie, istorie, si chiar
teolLucrarile lui Isaac Newton.
1. Optica
In 1664, cat timp era student, Newton a citit lucrarile englezilor Robert Boyle si Robert Hooke
legate de optica, studiind de asemenea si lucrarile filozofului francez Rene Descartes, despre
matematica si fizica.Astfel a investigat refractia luminii prin prisma de sticla, realizand dupa cativa
ani experimente extrem de exacte si elaborate, prin care Newton a descoperit un tipar matematic in
fenomenul culorilor. El a descoperit ca lumina este formata dintr-o infinitate de raze de culoare (ce
se pot observa si la curcubeu ), fiecare raza putand fi definita cu ajutorul unghiului pe care il face la
intrarea sau la iesirea dintr-un mediu transparent.Newton a corelat aceasta notiune cu studiul despre
interferenta cu o pelicula subtire, folosind o metoda simpla si de mare precizie pentru a masura
grosimea acestei pelicule. Astfel, el a considerat lumina ca fiind alcatuita din o multitudine de
particule minuscule. Prin acest experiment, el putea modifica magnitudinea corpusculilor
transparenti, astfel incat suprafetele unor corpuri , in functie de dimensiunile lor, sa interactioneze
cu lumina, incat sa reflecte , selectiv, diferite culori. O mare descoperire al lui Newton, ce tine in
egala masura de optica dar si de astrologie este inventarea telescopului cu reflexie.
2.Matematica
Și in matematica, geniul lui Newton s-a manifestat devreme, fapt vizibil din lucrarile acestuia.
Desi a invatat geometrie la scoala, intotdeauna s-a considerat auto-didact. Newton a contribuit in
60
toate ramurile matematicii, dar in special in geometria analitica, , si definind spatiul determinat de .
Astfel Newton a aflat si metodele generale de a rezolva problemele de ; prin metoda calcului
integral, si prin metoda calculului diferential.
Aceste metode au fost principalul motiv al faimoasei dispute dintre Gottfried Wilhelm Leibniz si
Newton, fiecare atribuindu-si intaietatea descoperiri acestor metode. Pe langa acestea Newton a
descoperit si teorema binomului, folosita des in matematica moderna.
3.Mecanica si gravitatie
Se spune ca, intr-o zi, in timp ce Newton se odihnea in gradina sa, a vazut un mar cazand din copac,
astfel a capatat ideea gravitatiei. Astfel ca intre 1665 si 1666, Newton a conceput ca aceeasi forta
care guverneaza atractia marului de catre Pamant, guverneaza si atractia Lunii de Pamant.A calculat
forta necesara de a mentine Luna pe orbita, si a comparat-o cu forta cu care un obiect este atras de
catre Pamant. De asemenea a calculat si relatia dintre lungimea unui pendul si timpul care ii este
necesar de a face o miscare.Aceste experimente nu au fost exploatate imediat de Newton.
Majoritatea acestor experimente sunt enuntate in faimosul sau tratat : ,,Principia“ La fel de faimoase
sunt si arhicunoscutele legi ale dinamicii. Lucrarile lui Newon in domeniul mecanicii au fost
acceptate imediat in Marea Britanie, iar dupa aproape jumatate de secol au fost acceptate in intreaga
lume. De atunci, aceste lucrari au fost catalogate ca unele dintre cele mai mari descoperiri ale
omenirii.
4. Chimie si alchimie
Newton a lasat un numar impresionant de manunscrise, avand ca subiect chimia si alchimia.
Majoritatea acestora sunt extrase din carti si dictionare, dar cateva sunt si originale.In 1669, la
Cambridge incepe a experimenta in acest domeniu, cautand a dezvalui secretele care, credea el ca se
afla in secretele alchimiei.Astfel, Newton credea ca materia este alcatuita din perticule minuscule,
solide si mobile, create de Dumnezeu. Aceste opinii au fost publicate in lucrarea ,,Aplicatii”, lucrare
afiliata tratatului ,,Optica”.
5.Istorie
Newton a detinut mai multe carti despre educatia umana, decat despre matematica sau fizica, carti
pe care le-a studiat profund. Lucrarea sa nepublicata, “Scoala clasica”, in care dezvaluie
cunostintele sale despre filozofia pre-Socratica. Pentru aceasta lucrare, Newton a consultat
mitologia antica, tinand cont si de Biblie, deoarece aceasta era considerata la vremea aceea,
autoritatea suprema. In aceasta lucrare, Newton a comparat cronologia grecilor cu datele evreilor si
chiar ale paganilor. Astfel, a plasat caderea Troiei in anul 904 i.Hr., la aproape 500 de ani mai tarziu
decat alti cercetatori. Aceasta cercetare nu a fost primita bine in lume.
6.Teologie
Newton a scris de asemenea o profetie crestino-iudaica, al carei discernamant era esential, credea el,
in a-l intelege pe Dumnezeu. Lucrarea care a fost publicata cu acest subiect, reprezinta rezultatul
unui studiu desavarsit. Mesajul pe care Newton l-a transmis prin aceasta lucare este acela ca in
secolul al IV-lea, crestinismul a deviat de la credinta de baza, odata cu doctrinele eronate despre
originile lui Hristos, promovate la prima adunare de la Nicaea. Desi pare ciudat, acest mesaj a fost
receptat si acceptat de crestini, care credeau ca cele spuse de Newton contin un puternic sens ascuns
in substrat, parere ce s-a schimbat doar ultimul secol. De asemenea, in editii tarzii ale lucrarii sale
stiintifice, Newton a subliniat principalul rol providential al lui Dumnezeu in natura
7. Publicatii
Principala sa lucrare este ,,Philosophiae Naturalis Principia Mathematica”, publicată în 1687,
alcatuită în trei volume. În acest tratat, Newton și-a expus principalele idei, din domenii cum ar fi
matematica, mecanica si gravitatie, aceasta fiind cea mai pretioasa lucrare a sa.In 1704, a fost
publicata ,,Optica”, o alta lucrare de o valuare mensa, continand numeroase idei din domeniul
opticii, iei revolutionare care i-au readus lui Newton faima meritata.Post-mortem au fost publicate
lucrari, cum ar fi : ,,Cronologia regatelor antice”, ,,Sistemul lumii ”, si ,,Observații asupra
profețiilor lui Daniel și apocalipsa de sfântul John”
61
În încheiere, o idee despre geniul acestui mare om pot oferi urmatorul citat din scrierile sale: ,,Pare
că am fost doar un copil jucându-se pe malul marii și distrându-mă mai întâi, am fost atras apoi de o
pietricică mai netedă sau o scoică mai frumoasă decât una obișnuită, lângă marele ocean al
adevarului care se întindea nedescoperit și misterios în fața mea.”
62
Istoria și semnificația numerelor
Suciu David Dorin
Școala Gimnazială nr.1 Bălnaca
Prof. îndrumător: Hanza Elena-Maria
Numerele ne sunt de mare folos în viața de zi cu zi , chiar în ciuda faptului că nu le dăm prea
multă atenție numerelor, viața noastră ar fi mai grea de imaginat fără numere , fără ele fiind
imposibilă determinarea exactă a unei valori , astfel nu am mai ști câți bani am făcut, cât timp a
trecut și lista poate continua.
Termenul “număr” este o noțiune abstractă folosită pentru a exprima cantitatea. Numerele
pot fi folosite pentru a comunica sau înregistra atât rezultatul unei numărări , cât și cel al unei
măsurări.
În istorie există o vastă categorie de numere , de la numere japoneze și numere rusești până
la numere indiene. În mileniul III î.e.n. egiptenii foloseau 7 hieroglife cu care numărau până la un
milion. În zona Americii Centrale cel mai vechi sistem de numerație aztec folosea patru cifre
(simboluri), numerația aztecă evoluând în strânsă legătură cu dezvoltarea calendarului. În sistemul
acrofonic grecesc numerele erau notate cu prima literă a cuvântului care le desemna.
În ciuda diversității de tipuri de numere , în ziua de astăzi se folosesc în cea mai mare parte
doar numere arabe și într-o proporție mică se folosesc și numere romane.
Cifrele şi numerele romane sunt simboluri grafice, mai exact litere, care au fost folosite în
civilizaţia antică romană şi apoi în Europa, până în momentul în care s-au impus cifrele arabe, în
jurul anilor 1300 d.Hr.. Vreme de aproximativ 2000 de ani, aceasta a fost modalitatea în care s-au
scris cifrele şi numerele în Imperiul Roman şi în Europa!
Numerele romane nu sunt nici pe departe atât de folosite în zilele noastre față de vremurile
din istorie , dispariția lor fiind cauzată de 2 factori: destrămarea imperiului roman și faptul că nu
erau atât de practice ca și numerele arabe , sistemul lor de formare fiind mai greu de priceput , acest
lucru fiind demonstrat și de faptul că numerele arabe se învață încă de la grădiniță , în timp ce
numerele romane se învață în clasele terminale din școala primară.
Cifrele arabe ( 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ) , folosite astăzi în întreaga lume, pentru scrierea
numerelor, au provenit, inițial, nu din Arabia, așa cum sugerează denumirea, ci din India. Cu 3000
de ani i.Hr., locuitorii din Valea Indului foloseau un sistem zecimal bazat pe aceste cifre. In Europa
au ajuns abia in secolul al IX-lea d.Hr., prin intermediul scrierilor arabe și al musulmanilor care au
ocupat Spania, și au prins tot mai mult teren odată cu inventarea tiparului, in secolul al XV-lea.
Se presupune că numerele arabe au fost aduse în Europa prin Spania deoarece ea fusese
cucerită de arabi și introdusă în Marele Califat. Numerele călătoriseră până acolo aduse de
matematicienii și comercianții arabi ce intrau în contact cu europenii. Este foarte posibil ca
numerele arabe să fi intrat în Europa și prin intermediul comercianților italieni ce navigau frecvent
în nordul Africii , ce era parte tot a Marelui Califat. Numerele arabe s-au dovedit a fi mai ușor de
folosit decât cele romane , atât la scrierea cifrelor și numerelor dar mai ales la efectuarea calculelor.
Importanța numerelor în viață este argumentată și de faptul că indiferent de zona geografică,
cultura și civilizația sau perioada istorică în care au apărut/ au fost folosite, numerele au dobândit, li
s-au atribuit o anumită forță, o anumită simbolistică. Astfel cifrele arabe au următoarele
semnificații:
0 - Este sinonimul noțiunilor ''nimic'' , ''gol'' , ''vid'' , toate mulțimile notate cu această cifră
sunt mulțimi vide, dar totodată este cifra de la care cresc toate numerele. Deoarece forma lui
seamănă cu un cerc , zero simbolizează eternitatea.
1 - Este începutul, este Dumnezeu, numărul din care derivă toate celelalte, ca parte a
Unității, este principiul activ, energia, acțiunea, conducătorul, afirmarea prin forte proprii.
2 - Este prima cifră pară, feminină, pasivă, opusul lui 1, primul număr Yin, împotriva
primului număr Yang
63
3 - Este simbolul creației, al divinității, al armoniei, al forței vitale, al energiei procreative
masculine. În majoritatea tradițiilor reprezintă nașterea, viața, moartea, sau trecutul, prezentul,
viitorul.
4 - Este simbolul crucii și al sacrificiului, numărul solidarității și al materiei (cele 4
elemente), reprezintă forța morală, memoria, norocul stabil, prietenia durabila
5 - Reprezintă senzualitatea, simțurile (cele 5 simțuri), capacitatea de a trăi din plin plăcerile
vieții, omul natural. Este simbolul chintesenței (chintesența era considerată în antichitate al cincilea
element) care acționează asupra materiei transformând-o.
6 - Este un număr armonios și echilibrat, și chiar dacă este pozitiv, este un număr norocos.
Este egal cu suma divizorilor săi (1+2+3), este în același timp produsul dintre primul număr feminin
(2) și primul număr masculin (3), reprezintă iubirea conjugală, familia, casa, este simbolul
echilibrului și armoniei, al împlinirii după trudă.
7 - Este un număr misterios și magic, număr prim, număr care nu se formează prin
înmulțirea altor numere. Este simbolul înțelepciunii, al virtuții, al interesului pentru religie și
filozofie, al căutării adevărului absolut. În Biblie reprezintă totalitatea și guvernează timpul și
spațiul. Este ambivalent semnificând virtuțile cardinale, dar și răzbunarea. În Egiptul antic era
simbolul vieții veșnice, iar musulmanii cred că există șapte ceruri și șapte iaduri.
8 - Este numărul echilibrului (4+4=8). Reprezintă interesul pentru lucrurile pământești și
succesul material și social. Este și numărul luptei dintre materie și spirit, este simbolul regenerării și
trecerii din vremelnic în eternitate, al infinitului (8 culcat = ∞). În Japonia este numărul măreției, iar
în credința chinezească opt este cifra perfecțiunii.
9 - Este numărul iubirii universale, de 3 ori sacru (3x3=9), numărul fanteziei și libertății.
Reprezintă imaginea completă a 3 lumi: materială, spirituală și sufletească. Reprezintă realizările
mentale și spirituale, este simbolul adevărului absolut (9 înmulțit cu orice alt număr dă un număr ale
cărui cifre adunate dau tot 9). Este omul (5) și crucea cosmica (4).
Bibliografie:
1. Hill, Martin, Hun, Sara, Semne și simboluri, Editura Aquila 93, Oradea, 1998
2. Marinescu, G., Lecții integrate, Editura Sigma, 2018
3. Roman, Eliza, Arina în Țara Numerelor, Editura Scripta, București, 2008
4. http://www.numere-romane.ro/istoric_cifre_numere_romane.php?lang=ro 5. https://ro.wikipedia.org/wiki/Num%C4%83r 6. http://numerologiavip.blogspot.com/p/semnificatia-cifrelor.html
64
Despre gândirea matematică, şi nu numai !
Spargerea gheţii este semn de venire a primăverii !
Stoean Mario
Şcoala gimnazială ’’G. E. Palade’’, Buzău
Profesor îndrumător: Stanciu Neculai
Ce este matematica ?
Matematica este regina ştiinţelor (Karl Friedrich Gauss (1777-1855)).
Matematica este muzica raţiunii (James Joseph Sylvester (1814-1897)).
Matematica este o limbă şi o ştiinţă (Lucian Blaga (1895-1961)).
Matematica este un joc care se joacă după anumite reguli simple cu semne fără înţeles pe hârtie
(David Hilbert (1862-1943)).
Matematica este nici mai mult, nici mai puţin, decât partea exacta a gândirii noastre
(Luitzen Egbertus Jan Brouwer (1881-1966)).
Matematica este un joc cu cele mai simple legi ale judecăţii omeneşti (Mihai Eminescu (1850-
1889)).
Matematica este un mod de exprimare a legilor naturale, este cel mai simplu şi
cel mai potrivit chip de a înfăţişa o lege generală sau curgerea unui fenomen, este cea mai
perfectă limbă în care se poate povesti un fenomen natural (Gheorghe Ţiţeica (1873-1939)).
Matematica este ceea ce începe, ca şi Nilul, în modestie şi se termină în magnific
(Calvin Colton (1789-1857)).
Matematica este limbajul universului. Aşa că cu cât ştii să rezolvi mai multe
ecuaţii, cu atât poţi conversa mai mult cu cosmosul (Neil deGrasse Tyson (1958-)).
Matematica este la fel de mult un aspect al culturii ca şi o colecţie de algoritmi
(Carl Benjamin Boyer (1906-1976)).
Matematica este limba cu care Dumnezeu a scris universul (Galileo Galilei
(1564-1642)). Matematica este arta de a da acelaşi nume la diferite lucruri (Henri Poincaré
(1854-1912)). Matematica este singura metafizică bună ( Lord Kelvin (1824-1907)).
Matematica constă în a dovedi ceea ce este evident în cel mai puţin evident mod
(George Pólya (1887-1985)).
Matematica este o formă de poezie care transcende poezia prin aceea că
proclamă adevărul; o formă de raţionament care transcende raţionamentul prin aceea că vrea
să înfăptuiască adevărul pe care îl proclamă; o formă de acţiune, un comportament ritual,
care nu găseşte împlinire în faptă, ci trebuie să proclame şi să elaboreze o formă poetică a
adevărului ( Salomon Bochne (1899-1982)).
Matematica este ştiinţa care trage concluzii necesare ( Benjamin Peirce (1809-
1880)). Matematica poate fi definită ca materia în care nu ştim niciodată despre ce
vorbim, nici dacă ceea ce spunem este adevărat (Bertrand Russell (1872-1970)).
Matematica, în sensul cel mai larg, este dezvoltarea tuturor tipurilor de
raţionament formal, necesar şi deductiv ( Alfred North Whitehead (1861-1947)).
Matematica este judecătorul suprem; nu există recurs faţă de deciziile sale
( Tobias Dantzig (1884-1956)).
65
Matematica este tăcerea care mângâie lumea în sensul religios ( Dima Zainea ).
Matematica este unealta în mod special adaptată pentru a avea de a face cu
concepte abstracte de orice fel şi nu există o limită a puterii sale în acest domeniu ( Paul
Dirac (1902-1984)).
Matematica este ştiinţa operaţiilor abile cu concepte şi reguli inventate în acest
scop (Eugene Paul Wigner (1902-1995)).
Matematica este ştiinţa tiparelor (Lynn Steen (1941-2015)).
Matematica nu este un limbaj, este o aventură (Paul Lockhart (1956-)).
Matematica e un mod de viaţă. Acela de a trăi în siguranţă (David Boia ).
Matematica este o colecţie de trucuri ieftine şi glume murdare ( Lipman Bers
(1914-1993)).
Eseul ’’Scuza matematicianului’’ al lui Godfrey Harold Hardy (1877-1947), dezvăluie (printre
alte lucruri strălucite):
O ştiinţă sau artă pot fi socotite utile dacă dezvoltarea lor contribuie la bunăstarea materială
şi confortul oamenilor, dacă promovează fericirea.
Gloria matematicienilor se măsoară în inutilitatea operei lor.
Matematica lui Fermat, Euler, Gauss, Abel şi Riemann este aproape în întregime
nefolositoare.
’’Eseul lui Hardy rămâne în istoria matematicii şi a culturii ca o pledoarie pasionată pentru
valorile estetice ale raţionamentului matematic, comparate de autor cu cele ale limbajului poetic’’
Viorel Barbu (1941-)
În şcoala românească structura matematicii este corect reprezentată. Bineînţeles, există opinii
care ar dori:
’’mai mult’’ - dorinţa de a face mai multă logică formală care să o aproprie de formalizările
acesteia: calculul propoziţional şi calculul cu predicate; din alt unghi de vedere se doreşte
dezvoltarea unor domenii ale matematicii şcolare, de exemplu geometria - într-o structură
de sistem deductiv semiformalizat sau
’’mai puţin’’ - reduceri drastice de demonstraţii şi chiar din riogoarea prezentării unor
concept) în programele şi implicit în manualele şcolare. Actuala selectare a conţinutului
matematicii în şcoală reprezintă o poziţie de echilibru.
Creşterea rigorii limbajului profesorului poate avea efecte negative asupra accesibilităţii.
“Mintea intuitivă este un dar sacru și mintea rațională este un servitor credincios. Am creat o
societate care valorifică servitorul și a uitat darul.” Albert Einstein
Există două feluri de gândire în matematică: gândirea logică (raţiunea) şi gândirea intuitivă
(intuiţia).
Matematica nu se reduce la logică, iar gândirea matematică are o importantă componentă
intuitivă, care este, de fapt, adevărata forţă a raţionamentului matematic. În descoperirea
matematică trebuie să existe un echilibru subtil între intuiţie şi rigoare logică.
Logicismul a fost creat de Gottlob Frege (1848-1925), Bertrand Russel (1872-1970), Alonzo
Church (1903-1995), Rudolf Carnap (1891-1970), Richard Dedekind (1831-1916), Georg Cantor
(1845-1918), Giuseppe Peano (1858-1932), Karl Weierstrass (1815-1897) ş.a. Formalismul a fost
creat de David Hilbert. Programul hilbertian prevede elaborarea unor teorii axiomatice formalizate
necontradictorii şi complete. Acest deziderat este dovedit irealizabil de Kurt Gődel (1906-1978).
Intuiţionismul a fost întemeiat de L.E.J. Brouwer pe baza ideilor lui Émile Borel (1871-1956),
Henri Lebesgue (1875-1941), Henri Poincaré (1854-1912), Bernhard Riemann (1826-1866) ş.a.
Matematica adevărată, pură, autentică este o realitate independentă, echivalentă cu acele construcţii
mentale intuitive, ireductibile. Logica intervine la un stadiu ulterior al metamorfozei suferite de
realitatea matematică. Limbajul şi logica intervin în creaţia matematică doar pentru comunicare.
Bibliografie:
66
1. Michael Atiyah, The Princeton Companion to Mathematics, Princeton University Press, 2008.
2. Viorel Barbu, Matematica şi cunoaşterea ştiinţifică, Editura Institutul European Iaşi, 2011.
3. Dan Brânzei, Roxana Brânzei, Metodica predării matematicii, Editura Paralela 45, 2008.
4. G.H. Hardy, A Mathematician’s Apology, Cambridge University Pres, Cambridge, 1940,
secţiunile 22-4.
5. G. Polya, A few words to the teacher, Vol. Mathematics and plausible reasoning, Vol. I,
Princeton University Press, 1973.
6. G. Polya, A few words to the teacher, Vol. Mathematics and plausible reasoning, Vol. II,
Princeton University Press, 1973.
7. Paul R. Halmos, What is teaching ?, The American Mathematical Monthly, Vol. 101, No. 9,
November 1994, 848-854.
8. H. Poincaré, Science et méthode, Flammarion, Paris, 1908.
9. H. Poincaré, La valeur de la science, Flammarion, Paris, 1923.
10. Cristian Presură, Curiozitatea, poveste şi ecuaţiile, Contributors.ro, 29 septembrie, 2018.
11. Marian Staş, Integritate = Caracter x Competenţă. Micul decalog MARE, adevarul.ro, 24
februarie, 2017.
Webografie:
1.https://ioncoja.ro/talmudul-luat-la-intrebari/
2.https://adevarul.ro/educatie/scoala/integritate--caracter-x-competenta-micul-decalog-mare-
1_58b08f655ab6550cb8c7d511/index.html
67
Linii importante in triunghi
Constantin Maria
Colegiul National „ Mihai Eminescu” București
Prof.Indumator : Savulescu Dumitru
Mediana (la triunghi)
Def. Mediana uneste un varf al triunghiului cu mijlocul laturii opuse.
Proprietati:
1. Orice triunghi are trei mediane.
2. Ele sunt concurente.
3. Punctul lor de concurenta se noteaza cu G si se numeste centrul de greutate.
4. Centrul de greutate se afla la o treime de baza si doua treimi de varf.
5. In orice triunghi G este un punct interior triunghiului.
Mediatoarea (la segment si triunghi)
Def. Locul geometric al punctelor egal departate de capetele unui segment se
numeste mediatoare.
Proprietati la segment:
1. Mediatoarea unui segment este perpendiculara pe segmentul fata de care a
fost construita si trece prin mijlocul acestuia.
2. Orice punct de pe mediatoare este egal departat de capetele segmentului.
Proprietati la triunghi:
1. Orice triunghi are trei mediatoare.
2. Ele sunt concurente.
3. Punctul lor de concurenta se noteaza cu O si reprezinta centrul cercului
circumscris.
4. Centrul cercului circumscris se afla in:
a) interiorul triunghiului, daca triunghiul este ascutit-unghic
b) la mijlocul ipotenuzei, daca triunghiul este dreptunghic
c) in exteriorul triunghiului, daca triunghiul este obtuz-unghic
Inaltimea (la triunghi)
Def. Perpendiculara din varful unui triunghi pe latura opusa, se numeste inaltime.
Proprietati :
1. Orice triunghi are trei inaltimi.
2. Ele sunt concurente.
3. Punctul lor de concurenta se noteaza cu H si se numeste ortocentrul
triunghiului.
4. Ortocentrul se afla in:
Observatii:
68
Intr-un triunghi isoscel bisectoarea unghiului cu laturile congruente este si
mediana, mediatoare, inaltime.
Intr-un triunghi echilateral mediana, mediatoarea, inaltimea si bisectoarea
coincid.
Bisectoarea (la unghi si triunghi)
Def. Semidreapta cu originea in varful unghiului situata la egala distanta de
laturile unghiului, se numeste bisectoare.
Proprietati (la unghi):
1. Bisectoarea imparte unghiul in doua unghiuri mai mici congruente.
2. Orice punct de pe bisectoare se afla situat la egala distanta de laturile
unghiului.
Proprietati (la triunghi)
1. Orice triunghi are trei bisectoare.
2. Ele sunt concurente.
3. Punctul lor de concurenta se noteaza cu I si reprezinta centrul cercului
inscris.
4. In orice triunghi centrul cercului inscris se afla in interiorul triunghiului.
5. Pentru a determina raza cercului inscris se duce o perpendiculara din I pe una
din laturi.
Linia mijlocie
Def. Segmentul care uneste mijloacele a doua laturi ale unui triunghi se numeste
linie mijlocie.
Proprietati:
1. Uneste mijloacele a doua laturi ale unui triunghi.
2. Este paralela cu cea de a treia latura a triunghiului.
3. Este jumatate din latura fata de care este paralela.
4. Orice triunghi are trei linii mijlocii.
RETINETI:
medianelor se noteaza cu G si se numeste centrul de greutate.
mediatoarelor se noteaza cu O si reprezinta centrul cercului circumscris.
inaltimilor se noteaza cu H si se numeste ortocentrul triunghiului..
bisectoarelor se noteaza cu I si reprezinta centrul cercului inscris.
69
Probleme rezolvate
mediana:
Inaltimea
70
Probleme propuse
71
Maxime şi minime geometrice în plan
Costeleanu Bianca
Liceul Tehnologic Topoloveni
Prof. Coordonator: Floarea Mariana
Pentru rezolvarea problemelor de maxim şi minim se folosesc deseori proprietăţi geometrice
elementare, care stabilesc inegalităţi între elementele figurilor geometrice.
Vom reaminti câteva din enunţurile acestor teoreme.
T1. Lungimea unei laturi oarecare a unui triunghi este mai mică decât suma
lungimilor celorlalte două.
T2. Măsura unui unghi exterior unul triunghi este mai mare decât fiecare
dintre măsurile unghiurilor triunghiului neadiacente cu acel unghi.
T3. Într-un triunghi cu două laturi necongruente, laturii cu lungimea mai
mare i se opune unghiul cu măsura mai mare.
T4. Într-un triunghi cu două unghiuri necongruente, unghiului cu măsura mai
mare i se opune latura cu lungimea mai mare.
T5. Distanţele maxime şi minime de la un punct al unui cerc la un punct al
altui cerc sunt pe dreapta care uneşte centrele celor două cecuri, dacă cercurile nu
sunt secante. Pentru rezolvarea acestor probleme se pot utiliza metodele:
M1. Metoda simetriei Această metodă constă în a lua simetricul unuia din punctele date faţă de un anumit punct
sau de o anumită dreaptă. Cu ajutorul noului punct problema iniţială se înlocuieşte prin alta, în
general mai simplă. Se rezolvă această problemă și se revine apoi la datele iniţiale, dacă nu am
obţinut chiar rezolvarea problemei.
P 1 . Dacă A1 și A2 sunt simetricele lui A faţă de B şi respectiv față de C în triunghiul ABC,
să se determine pe latura [BC] un punct M , astfel încât suma MA1 + MA2 să fie minimă.
Soluţie. Fie M ,BC] astfel încât
MA1 + MA2 să fie minimă.
Dacă A'1 este simetricul lui A1 față de
BC, atunci MA1= MA'1 oricare ar fi M ,BC]
și deci, MA1 + MA2 = MA'1 + MA2.
Cum punctele A'1 şi A2 sunt de o parte şi
de alta a dreptei BC, rezultă că suma este
minimă când punctele A'1, M, A2 sunt coliniare,
unde M = A'1A2 BC. M2. Metoda perpendicularelor şi
oblicelor Pentru rezolvarea problemelor de
extrem, de multe ori se încearcă a se reduce
problema la căutarea distanţei de la un punct la
o dreaptă sau la căutarea oblicei celei mai mici.
În acest scop ne folosim de următoarele teoreme:
T1. Perpendiculara dintr-un punct exterior unei drepte este mai scurtă decât
orice oblică din acelaşi punct pe aceeaşi dreaptă.
72
Consecinţa 1 Într-un triunghi dreptunghic ipotenuza este mai mare decât fiecare dintre
catete.
Consecinţa 2 Dintre două oblice lungimea mai mare o are aceea al cărei picior este mai
îndepărtat de piciorul perpendicularei.
T2. Distanţa cea mai scurtă între două puncte luate pe două drepte paralele,
este lungimea perpendicularei între ele.
T3. Dacă avem două drepte necoplanare atunci există o dreaptă
perpendiculară pe ambele drepte.
T4. Dacă ABC şi A' B'C' sunt două triunghiuri în care AB = A'B' , AC = A'C' și
m(∢ A) > m(∢A'), atunci BC > B'C'.
P1. Să se arate că în orice triunghi lungimea bisectoarei dintr-un vârf este mai mică sau
egală decât lungimea medianei dusă din acelaşi vârf.
Soluţie. Fără a restrânge generalitatea putem presupune AC > AB (dacă AC = AB atunci
triunghiul ABC este isoscel şi în acest caz bisectoarea şi mediana din vârful A coincid).
Fie H, D, M astfel încât AH BC, m(∢ BAD) = m(∢DAC), BM = MC . Vom
deosebi două cazuri:
1) Unghiul B este ascuțit. Din faptul
că AC > AB rezultă că m(∢ B) > m(∢C)
deci m(∢ BAH)= 90° m(∢ B)< 90° m(∢ C), de unde rezultă că H [BD].
Conform teoremei bisectoarei avem
AC
AB
DC
BD dar AC>AB rezultă DC > BD,
deci D [BM].
Din triunghiul AHD conform
teoremei lui Pitagora avem
AD2=AH
2+HD
2<AH
2+HM
2=AM
2 ceea ce
este echivalent cu pătratul bisectoarei este mai mic decât pătratul medianei deci rezultă
lungimea bisectoarei este mai mică decât lungimea medianei.
1) Unghiul B este obtuz sau drept.
În acest caz B [HD] sau respectiv B
coincide cu piciorul înălţimii, adică cu H.
Se demonstrează ca și în cazul
precedent că D [BM] și deci
AD2=AH
2+HD
2<AH
2+HM
2=AM
2 rezultă
lungimea bisectoarei este mai mică decât
lungimea medianei.
În concluzie, în orice triunghi lungimea
bisectoarei dintr-un vârf este mai mică sau
egală cu lungimea medianei dusă din acelaşi
vârf.
73
Magie cu numere
Solomon Emiliaâ
Școala Gimnazială Corbasca, Județul Bacău
Profesor: Olaru Sorina
Un profesor , făcând o digresiune de la lecție, a anunțat pe elevi că îi va învăța să ghicească
mai multe numere naturale deodată.
- Pentru un început , am să dovedesc cu acest lucru! Zise profesorul.
- Cum, dacă fiecare dintre noi își va alege câte un număr natural, dumneavoastră veți ghici
numărul ales? Întrebă mirat unul dintre elevi.
- Desigur , însă cu o singură condiție: dacă primul număr poate avea oricâte cifre,
celelalte să fie numai dintr-o singură cifră. Procedeul este următorul: cine și-a ales
primul număr , să-l dubleze, apoi să adauge pe 1 și numărul obținut să-l înmulțească cu
5; următorul preia rezultatul anterior la care adună –pe ascuns, firește-numărul ales de el
și apoi procedează la fel: dublează, adaugă pe 1 și numărul obținut îl înmulțete cu 5 și
așa mai departe până la ultimul care, la rezultatul ce i s-a transmis direct , adună
numărul la care s-a gândit și îmi comunică suma calculată de el. Atunci eu voi spune
numerele alese.
- Să probăm deocamdată cu patru elevi, hotărâ profesorul.
Rând pe rând, elevii Andrei, Bogsan, Corina, și dragoș s-au avântat calcule menționate
cu numerele preferate.
- 36249 este ultima noastră sumă, preciză Dragoș.
- Exact! Confirmă cu uimire elevii .
- Acum , continuă profesorul, vă prppun să justificați faptul că , dacă din numărul anunțat
(36249) se scade 555 , diferența obținută (35694) redă prin cifra unităților, a zecilor și a
sutelor ultimile trei numere alese ( de Dragoș, Corina și Bogdan), iar prin restul cifrelor-
primul număr care trebuie ghicit (numărul lui Andrei)
BIBLIOGRAFIE
CALEIDOSCOP MATEMATIC . Vasile Bobancu , Editura Niculescu 2005
74
Determinanți în geometrie
Muraru Georgiana
Colegiul de Științe Grigore Antipa Brașov
Prof. Puiu Mihaela Loredana
Noțiuni introductive.
Definiția determinantului. Determinantul este un număr asociat unei matrice pătratice.
Notație: det A=| | sau | |
. Elementele matricei A vor fi elementele determinantului | |.
Determinanți de ordin doi
Fie A = .
/ ϵ (₵). Determinantul matricei A sau determinantul de ordinul doi este
numărul definit astfel: det(A)=|
| . Mai exact det(A)= diferența dintre
produsul elementelor de pe diagonala principală și produsul elementelor de pe diagonala
secundară.
Ex: A= .
/ (A)=|
| (https://matrixcalc.org/ro/det.html)
Determinanți de ordin trei
Fie A=(
)ϵ ( ) Numărul det(A)=
( ), se numește determinantul matricei A sau determinant de
ordin trei.
Ex: A=(
)=1·5·4+3·2·1+0·1·0 (3·5·0+0·2·4+1·1·1)=20+6+0 0 0 1=25
1. Regula lui Sarrus (Pierre Frédéric Sarrus (1798-1861) a fost un matematician francez,
profesor la Universitatea din Strasbourg, Franța (1826-1856) și membru al Academiei Franceze
de Științe din Paris(1842). Este autorul mai multor tratate și descoperitorul unei reguli
matematice, care îi poartă numele, cu ajutorul căreia se poate calcula determinantul unei matrice
pătratice de gradul 3)
Fie determinantul de ordin 3, d=| | . Pentru a găsi expresia lui d se scriu sub ultima
linie din d primele două linii ale determinantului.
|
| = ( )
Ex: |
| ( ) ( ) ,( ) ( )
- =56
Rezultatul poate fi verificat pe https://matrixcalc.org/ro/det.html
2. Regula triunghiului
75
|
|= (
)
Ex: |
| (
(se poate verifica cu ajutorul https://matrixcalc.org/ro/det.html)
Probleme de coliniaritate
Fie A( ) , B( ) , C( ). Punctele A,B,C sunt coliniare dacă și numai dacă
|
|
Aplicații
1. Să se verifice dacă punctele sunt coliniare.
a) A(1,2) ; B(-5,-2) ; C(-2,0)
|
| ( )
b)A(1,2) ; B(4,2) ; C(-3,-2)
|
| ( )
2.Să se determine parametrul real , știind că punctele A( ,3) , B(1, ) și C( ,3) sunt
coliniare.
|
| = = ⇔ ( )
I. II.
Programul C++ care verifică dacă trei puncta A,B,C pentru care se cunosc coordonatele
sunt coliniare.
76
Determinarea ariei unui triunghi
Fie punctele A( ) ( , ) ( ) necoliniare. Notăm cu Δ determinantul format
cu coordonatele celor 3 puncte Δ=|
|
=
‖
‖=
| |
Ex. Să se determine aria triunghiului format cu ajutorul
coordonatelor punctelor date.
a) A(2,3) , B(1,-4) , C(0,3).
Δ=|
| Aria=
| |
| |
b) M(3,-1) , N(4,-3) ,P(-4,3)
Δ=|
| Aria=
| |
| |
Determinarea ecuației dreptei
Fie ( ) , B( ). Ecuația dreptei AB data sub formă de determinant este:
(AB): |
|
Ex: Se dau punctele A(2,3) și B(-1,5). Să se scrie ecuația dreptei care trece prin aceste puncte.
(AB):|
| ⇔ ⇔
Condiția de concurența a trei drepte
Fie dreptele ; ; ,
distincte și neparalele. Pentru ca cele 3 drepte să fie concurente trebuie să existe un punct
( ) care să verifice cele trei ecuații cu două necunoscute. Pentru aceasta condițiile necesare
și suficiente sunt:
|
| și |
| sau |
| sau |
|
Ex: Să se cerceteze dacă dreptele sunt
concurente.
Avem |
| și |
| dreptele date sunt concurente
77
Programul C++ care verifică dacă trei drepte introduce cu ajutorul coeficienților săi sunt concurente
este următorul:
Ex. Să se demonstreze că medianele unui triunghi sunt concurente. Fie vârfurile triunghiului
A( ) ( ), C( ) Fie mijlocul laturii , - mijlocul laturii [AC] si
mijlocul laturii [AB].
(
) ( )
|
|
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
Se verifică : |
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
|
Și |
| |
|
|
|
Bibliografie:
Manual de matematică pentru clasa a XI-a Mircea Ganga Ed. Mathpress 2006
http://onlinemschool.com/math/assistance/matrix/determinant/
https://matrixcalc.org/ro/det.html; https://ro.wikipedia.org/wiki/Regula_lui_Sarrus
78
Numărul de aur
Buș Rebeca
Școala Gimnazială Măguri-Răcătău
Profesor îndrumător : Muntean Luminița
Numărul de Aur, notat cu litera greacă Φ (phi), este primul număr iraţional descoperit şi
definit în istorie. El este aproximativ egal cu 1,618033 şi poate fi întâlnit în cele mai surprinzătoare
împrejurări.
Numărul Φ a fost cunoscut încă din antichitate; primii care l-au folosit au fost egiptenii, dar
grecii au fost însă cei care l-au definit astfel, folosindu-l atât în arhitectură cât și pictură și sculptură.
Prima definiţie clară a numărului a fost datată prin jurul anului 300 î.Hr. de către Euclid din
Alexandria.
Notația Φ provine de la prima literă din numele celebrului sculptor Phidias, care a trăit
aproximativ între 490-430 î.Hr. Cele mai mari realizări ale lui Phidias au fost statuile "Athena
Partenos" din Atena şi Statuia lui Zeus din Olympia. La începutul secolului XX matematicianul
american Mark Barr a decis să-l onoreze cu acest gest, deoarece mulţi istorici ai artei au susţinut că
acesta a folosit de multe ori secţiunea de aur în lucrările sale. În literatura dedicată matematicii
distractive cele mai folosite nume sunt: Secţiunea de Aur, Raportul de Aur, Numărul de Aur şi
Φ. Asemenea numere nesfârşite i-au intrigat pe oameni încă din antichitate. Se spune că atunci
când Hispassus din Metapontum a descoperit, în secolul V î.Hr., că Φ este un număr care nu este
nici întreg (ex:1;2;...), nici măcar raportul dintre două numere întregi (precum
fracţiile:1/2,7/6,45/90,etc., care sunt cunoscute în ansamblu drept numere raţionale), adepţii
faimosului matematician grec Pitagora şi anume pitagoreicii au fost extrem de şocaţi. Concepţia
pitagoreică despre lume se baza pe o extremă faţă de arithmos - adică proprietăţile intrinseci ale
numerelor întregi şi ale fracţiilor lor - şi presupusul lor rol în cosmos. Înţelegerea faptului că există
numere care precum Φ se repetă la infinit fără a prezenta nici o repetiţie sau regularitate a pricinuit
o adevărată criză. filozofică. Pitagoreicii erau neîndoielnic convinşi că existenţa unor numere
precum Φ era atât de înfricoşătoare încât ea trebuia să reprezinte un fel de eroare cosmică, o
informaţie care ar trebui suprimată şi ţinută secret. Faptul că există numere iraţionale a implicat şi
descoperirea incomensurabilităţii. În lucrarea sa "Despre viaţa lui Pitagora" (cca. 300 î.Hr.)
filozoful şi istoricul Iambilichos, descendent al unei familii de nobili sirieni, descrie reacţia violentă
cu privire la această descoperire: "Ei spun că primul om care le-a dezvăluit natura
incomensurabilităţii celor nedemni de a o cunoaşte a fost atât de detestat, încât nu numai că a fost
exclus din asociaţia si modul de viaţă al pitagoreicilor, ci i s-a construit şi mormântul, ca şi cum
fostul lor coleg ar fi plecat dintre cei vii."
Euclid l-a denumit pe Φ ca fiind simpla împărţire a unui segment de dreaptă în ceea ce el a
numit "medie" şi "extremă raţie". Iată cuvintele lui: "Spunem că un segment de dreaptă a fost
împărţit în medie şi extremă raţie atunci când segmentul întreg se raportează la segmentul mai mare
precum se raportează segmentul cel mare la cel mai mic".
Cu alte cuvinte, în imaginea de mai jos, dacă (a + b) / a = a / b, atunci segmentul a+b a fost
împărţit intr-o secţiune de aur cu simbolul Φ, unde a este "extremă rație" și b este "medie".
Raportul de aur este un număr iraţional, şi poate fi calculat din ecuaţia:
79
Care conduce la:
De aici considerând numai rădăcina pozitivă avem:
√
În matematică acest raport are proprietăţi interesante, şi mai poate fi exprimat ca:
√ √ √ √
Numărul nostru Φ este strâns legat de șirul lui Fibonacci. Șirul lui Fibonacci este definit prin
: f0=0; f1=1; fn= f0+ f1 (oricare n).
Avem relația și de aici înmulțim succesiv cu , , … obținem o progresie
geometrică de rația ; mai mult orice termen al progresiei e egal cu suma celor doi termeni
precedenți; termenii șirului 1, , , … au proprietăți aditive și totodată multiplicative. De aici
asemănarea cu șirul lui Fibonacci. Pe măsură ce șirul continuă, raportul dintre termenul n și cel
precedent lui (termenul n-1) se apropie de 1.618033989…
Numărul de Aur se regăsește :
În natură : flori (dispunerea petalelor, a frunzelor și a semințelor), insecte (de pildă furnica
are corpul împărțit în trei segmente, după diviziunea de aur), cochilia melcului (spirala de
aur), spirala generată de apă (vârtejurile), mișcarea curenților de aer în spirală. Botaniștii au
găsit că pe o tulpină, distanțele dintre nodurile de unde se dezvoltă frunzele sunt repartizate
aproximativ după această legea lui Φ. Chipul (și chiar întreg corpul) omului are la bază acest
principiu. De exemplu, raportul dintre distanța de la linia surâsului (unde se unesc buzele)
până la vârful nasului și de la vârful nasului până la baza sa este aproximativ raportul de aur.
În construcții : primii care l-au folosit au fost egiptenii, majoritatea piramidelor fiind
construite ținând cont de numărul de aur. Alte construcții care au la bază numărul Φ :
Parthenonul, catedrala Notre-Dame
În pictură : a fost folosit mai ales în Renaștere, probabil cea mai discutată utilizare a acestui
concept fiind în tabloul lui Leonardo da Vinci, "Mona Lisa". Capul, ca și restul corpului e
compus utilizând raportul de aur-raportul divin, cum ii spunea da Vinci.
În alte domenii : în muzică apare acest raport, se presupune că Bach sau Beethoven au ținut
cont de el în compozițiile lor; când scrieți, duceți instinctiv linia din mijloc a literei E
aproximativ la 2/3 de bază=raportul de aur. La fel și cu A,F,B,R...
Numărul de Aur reprezintă cea mai armonioasă împărțire, proporția perfectă arătând că în
întreaga creație se manifestă armonia și perfecțiunea divină reprezentată prin această proporție.
Aceasta demonstrează existența unui sfere de conștiință a armoniei și frumuseții existente în
întregul univers și care îl ghidează.
Bibliografie :
1. http://ro.wikipedia.org/wiki/Sectiunea_de_Aur
2.http://www.pss.ro/science_fun_club_romania/SN_2iuni2007/Lucrari_SN2007_TV/Materi
ale_S1/Salidim_Numarul_de_aur%5B1%5D.pdf
3. http://www.cursuridefotografie.ro/numarul.htm
4. http://www.pruteanu.ro/7merita/fi.html
80
Numere prime Mersenne și numere prime Fermat
Tătulescu Larisa Ștefania & Cîmpeanu Ana Maria
Colegiul Naţional "Alexandru Ioan Cuza" - Ploiești
Profesor îndrumător: Mihalache Daniela
Propoziție. Fie a și n, numere naturale, , astfel încât este număr prim. Atunci
și n este număr prim.
Demonstrație. Avem
( )( ) și, în ipoteza că este număr prim rezultă sau , deci sau
; prin urmare . Dacă m este un divizor al lui n, avem , astfel că ( ) ( )(( ) ( ) ) și rezultă , deci
, , , sau , deci , . Aceasta demonstrează că n este
număr prim.
Suma divizorilor unui număr natural. Pentru fiecare număr întreg pozitiv n, notăm cu ( ) suma
divizorilor lui n. Dacă descompunerea primă a lui n este
,
atunci, orice divizor a lui n este de forma
cu pentru orice
* +. Deci
( ) (∑
)(∑
) .∑
/
.
Numere perfecte și numere prime Mersenne. Un număr întreg pozitiv n se numește număr perfect
dacă ( ) . De exemplu, 6 și 28 sunt numere perfecte: ( ) , ( ) . În general, dacă presupunem că este un număr prim,
atunci numărul
( ) este perfect. Într-adevăr, avem:
( )
( )
( ) ( )(( ) ) ( )
( )
Se cunoaște că orice număr perfect par este de forma ( ) unde este un număr
prim. Numerele prime de forma (de forma , cu p număr prim) se numesc numere
prime Mersenne. Nu se cunoaște dacă există o infinitate de numere pare perfecte sau nu (echivalent,
dacă există o infinitate de numere prime Mersenne sau nu). Nu se cunoaște de asemenea, dacă
există sau nu un număr perfect impar.
Propoziție. Dacă n este un număr natural și este număr prim atunci n este o putere a lui 2.
Demonstrație. Dacă n nu este o putere a lui 2, atunci n este de forma unde m este un
număr impar. Deci
( ) (
)((
) (
)
)
și, deoarece este număr prim, rezultă ceea ce nu se poate, sau
, ceea ce implică .
Numere prime Fermat. Pentru fiecare număr natural n, notăm . Avem
81
Matematicianul francez Pierre Fermat a observat că sunt numere prime și a
presupus că este număr prim pentru orice număr natural n. S-a demonstrat însă că nu este
număr prim și anume Euler a demonstrat că se divide cu 641. O demonstrație simplă a faptului
că se divide cu 641 este următoarea :
( ) .
Notăm 27
= a, 5 = b și avem a - b3
= 128 – 125 = 3, deci,
= ( )
= ( )
( ( – ) )
( – ) ( ) ( – )
( ) ( )( – )( ) =( ), ( )( )-
și, prin urmare, divide pe .
Numerele prime de forma se numesc numere prime Fermat. În momentul de față nu se cunoaște
dacă există o infinitate de numere prime Fermat sau nu.
Numerele prime Fermat au căpătat importanță în matematică și prin faptul că s-a dovedit că dat un
număr prim p, poligonul regulat cu p laturi poate fi construit cu rigla și compasul dacă și numai
dacă p este număr prim Fermat.
Propoziție. Pentru orice două numere naturale distincte m și n, numerele și sunt prime între
ele:
( )
Demonstrație. Să presupunem și fie , . Luăm și avem :
( )( )( )( )... .
/
astfel că | . Dacă d este un divizor comun al lui și , faptul că |
implică d | și deci sau . Deoarece este impar, rezultă neapărat , astfel că
( ) O demonstrație a faptului că există o infinitate de numere prime. Fiecare dintre numerele
... ... se divide cu un număr prim și fie, pentru fiecare număr natural n, un număr
prim care divide pe . Atunci, pentru , deoarece și sunt prime între ele , avem că
. Deci mulțimea { | } este infinită deci și mulțimea tuturor numerelor prime este
infinită.
Bibliografie
I. Cucurezeanu – Probleme de aritmetică și teoria numerelor, Editura Tehnică, București,
1976
C. Năstăsescu, C. Niță, C. Vraciu – Bazele algebrei, Volumul 1, Editura Academiei, 1986
C. Coșniță, F. Turtoiu – Probleme de algebră, Editura Tehnică, 1989
82
Leonhard Euler
Perijoc Andrei & Lungu Bianca
Colegiul Tehnic de Industrie Alimentară Suceava
Profesor îndrumător Andreea Țui
Leonhard Euler a fost un matematician și un fizician elvețian. Euler este considerat a fi
forța dominantă a matematicii secolului al XVIII-lea si unul dintre cei mai remarcabili
matematicieni și savanți multilaterali ai omenirii, Alături de influența considerabilă pe care a
exercitat-o asupra matematicii și matematizării științelor stau atât calitatea și profunzimea, cât și
prolificitatea extraordinară a scrierilor sale, opera sa exhaustivă putând umple cu ușurință 70 – 80
de volume de dimensiuni standard (dacă ar fi publicat vreodată integral).
Euler s-a născut la Basel ca fiu al lui Paul Euler și Marguerite Brucker. La puțin timp după
nașterea sa familia s-a mutat la Riehen, Elveția , unde Euler și-a petrecut cea mai mare parte a
copilăriei. Tatăl său era un prieten al familiei lui Johann Bernoulli, unul dintre cei mai faimoși
matematicieni ai acelei perioade.
În 1720, la numai 13 ani, Euler intră la Universitatea din Basel, unde a studiat filosofia.
Curios este faptul că această universitate i-a refuzat mai târziu postul de profesor. În această
perioadă primește lecții de matematică de la Johann Bernoulli, care îi descoperise talentul
remarcabil și il convinsese pe tatăl său să îl orienteze către cariera matematică.
În 1726 Euler și-a luat doctoratul cu o teză referitoare la propagarea sunetului. În 1727 I s-a
acordat Marele Premiu al Academiei Franceze de Științe pentru dezvoltarea unei probleme
referitoare la dispunerea optimă a catargelor unei nave.
În această perioadă, cei doi fii ai lui Johann Bernoulli, Daniel și Nicolas, își desfățurau
activitatea la Academia Imperială de Științe din Sankt Petersburg. În 1726, la moartea lui Nicolas,
Daniel a preluat catedra de matematică si fizică, lăsând liberă catedra de medicină. În acea perioadă
această Academie, abia înființată, recruta savanți din toată lumea pentru a lucra acolo, și pentru a
forma o școală de cercetare. Euler a fost propus pentru acest post și s-a mutat în capitala Rusă
(1727). La scurt timp a trecut de la catedra de medicină la cea de matematică, fiind numit șeful
Comisiei de matematică a Academiei.
Grație memoriei sale remarcabile Euler a învățat repede limba Rusă. În această perioadă a
publicat lucrări științifice în ,,Memoriile Academiei din Petersburg”. Academia a devenit pentru el
și un cadru generos în care el își putea desfășura cu succes activitatea de cercetare matematică,
stimulat fiind și de colaborarea cu Daniel Bernoulli. În plus, țarul Petru cel Mare a creat o
admosferă favorabilă pentru apropierea cultural-științifică a Rusiei față de Occident. După moartea
lui Petru cel Mare și a succesoarei acestuia Ecaterina I a venit la putere Petru al II-lea.
Mediul politico-social nefavorabil îl obligă pe Euler să părăsească Rusia. În 1741 acceptă
propunerea lui Frederic cel mare al Prusiei de a veni la Academia din Berlin . Aici a locuit următorii
25 de ani din viață, perioadă foarte prolifică, în care a scris peste 380 de articole și 200 de scrisori
pe teme științifice și a publicat două din cărțile sale de analiză matematică.
O mare nenorocire îl lovește în anul 1735: își pierde complet vederea la un ochi. În 1766 s-a
reîntors în Rusia, dar orbește complet. Totuși, chiar și în această situație el continuă să creeze
lucrări de o excepțională valoare științifică. După întoarcerea în Rusia în 1766 lucrează și mai
îndârjit. Revistele Academiei din Petersburg nu-i mai puteau satisface productivitatea. Chiar Euler
glumea, spunând că după moartea sa lucrările îi vor continua să apară în „Memoriile Academiei din
Petersburg” încă 20 de ani.
A murit la 18 septembrie 1783, fiind înmormântat în cimitirul luteran din Sankt Petersburg.
Contribuțiile lui Euler în matematică
Euler a lucrat în aproape toate ramurile matematicii, printre care geometrie, calcul
infinitesimal, trigonometrie, algebră și teoria numerelor. El este o figură reprezentativă în istoria
83
matematicii, iar operele sale, multe dintre ele de interes fundamental, dacă ar fi tipărite integral ar
umple între 60 și 80 volume. Numele lui Euler este asociat cu numeroase subiecte. Printre altele, a
cercetat și a adus în atenția lumii științifice opera matematicianului și enciclopedistului
arab Muhammed lbn Ahmed Al Biruni.
Notații matematice
În numeroasele sale manuale Euler a introdus și a popularizat câteva convenții de notare. El
a introdus noțiunea de funcție și a fost primul care a notat f(x) pentru aplicarea funcției f
elementului x. De asemenea, el a introdus notația modernă pentru funcțiile trigonometrice, litera e
pentru baza logaritmului natural (cunoscut în prezent drept numărul lui Euler), litera grecească ∑
(sigma) pentru sumă și litera i pentru unitatea imaginară. Folosirea literei grecești π (pi) pentru
raportul dintre circumferința unui cerc si diametrul său a fost de asemenea popularizată de Euler,
chiar dacă ideea nu a pornit de la el
Analiză matematică
Dezvoltarea calculului infinitesimal a impulsionat cercetarea în matematică în secolul al
XVIII-lea, iar matematicienii din familia Bernoulli, prieteni de familie ai lui Euler, au fost printre
cei responsabili pentru progresul în acest domeniu. Datorită influenței lor, calculul infinitesimal a
devenit obiectul de studiu principal al lui Euler. Chiar dacă unele teorii ale lui Euler nu sunt
acceptate de standardele moderne ale matematicii, ideile sale au condus la mari progrese. Astfel, el
a rămas foarte cunoscut în analiza matematică pentru utilizarea frecventă a seriilor de puteri -
exprimarea unor funcții cu ajutorul unor sume cu un număr infinit de termeni
Formula lui Euler
Formula lui Euler spune că, pentru orice număr x unde
-e este baza logaritmului natural
-i este unitatea imaginară
Exemplu:
Constanta Euler-Mascheroni:
Dar Euler a avut și alte formule celebre precum:
84
Cercul lui Euler În geometrie, cercul celor nouă puncte pentru un anumit triunghi este cercul care unește
următoarele puncte importante ale triunghiului: mijloacele laturilor acestuia; picioarele înălțimilor;
mijloacele segmentelor formate din ortocentrul triunghiului și vârfurile acestuia. acestuia.
Dreapta lui Euler
O proprietate foarte frumoasă a triunghiului ortic: mediatoarele laturile sale înjumătățesc atât
segmentele care unesc ortocentrul cu vârfurile triunghiului cât și segmentul care unește ortocentrul
cu centrul cercului circumscris cât și laturile triunghiului.
Bibliografie:
„Introductio in analysin infinitorum”, Bosquet, Lausanne, 1748. Available at www.EulerSociety.org
English translation by John Blanton, Springer, New York, 1988 and 1990.
Rețea internet, Wikipedia // https://ro.wikipedia.org/wiki/Leonhard_Euler
85
Pitagora-celebrul intelept
Pruna Larisa
Scoala Gimnaziala ,,Stefan Cel Mare’’, Alexandria, Teleorman
Profesor coordonator: Mihai Ioana
,,Învăţând matematică,
înveţi să gândeşti’’.
Pitagora-filosof și matematician grec din antichitate(sec al VI-lea i.Hr.)contemporan cu
Thales. Familia sa era de origine tireniană.Tatăl,Mnesarchos,de origine gravor de pietre prețioase
sau artist tăietor în piatră, era etrusc, originar din insula Lemnos,acolo unde se presupune că s-a
născut. Școala organizată de el avea un caracter elitist,elevii ei(pitagoricienii) fiind în prealabil
selecționați cu mare atenție. Pitagora a fost primul care a introdus în Elada învățarea științelor. Se
presupune că fetei lui, Damo ,i-ar fi încredințat comentariile sale.Nu s-a păstrat nimic scris de
Pitagora însuși.
În astronomie, ideea că Pământul se învârte în jurul unui ”foc central” apare pentru prima
dată în cadrul şcolii pitagoriene. Pitagora nu a lăsat nimic scris, de aceea este greu de delimitat
concepţiile şi contribuţiile ştiinţifice şi filozofice de ale discipolilor săi, mai ales că prima descriere
a operei şi a şcolii sale a fost întocmită cu 13 decenii mai târziu.
Cu toate că poate ar fi fost mai corect că alături de teorema catetei şi a înălţimii să se
numească eventual teorema ipotenuzei, Pitagora a rămas cunoscut în mod special datorită teoremei
sale, deşi a fost descoperită cu mult înaintea lui Pitagora şi se presupune că doar a extins-o la
triunghiuri dreptunghice ale căror laturi sunt exprimate prin orice număr pozitiv (iniţial erau numai
numere naturale).
Vechii constructori egipteni foloseau pentru construcţia unghiului drept o funie cu 12 noduri
echidistante, legată sub formă de inel şi fixată cu 3 ţăruşi şi obţineau un triunghi dreptunghic cu
laturile de (3; 4; 5), utilizând astfel reciproca teoremei lui Pitagora.
86
Teorema aceasta face parte din categoria teoremelor la
care s-au înregistrat în decursul timpului recordul
demonstraţiilor (se presupune între 350 – 500 de
demonstraţii).
Teorema lui Pitagora:
Într-un triunghi dreptunghic, pătratul lungimii
ipotenuzei este egal cu suma pătratelor lungimilor catetelor.
El a fost primul care a
descoperit că există o
corespondență,o relație între numerele întregi și lumea(realitatea
fizică)care ne înconjoară. Această descoperire i-a încurajat pe
pitagoricieni să cerceteze proprietățile numerelor întregi, numerele
perfecte, numerele prietene, numerele pitagorice: a,b,c legate între ele
prin relația a2+b2=c2 și mediile aritmetice, geometrice si armonice.
Numerele perfete sunt numerele egale cu suma divizorilor lor,cele
prietene sunt cupluri de numere întregi, fiecare dintre ele fiind egal cu
suma divizorilor celuilalt.
Cea mai importantă descoperire atribuită lui Pitagora este
celebra teoremă care-i poartă numele:"Pătratul lungimii ipotenuzei unui triunghi dreptunghic este
egal cu suma pătratelor lungimilor catetelor". Teorema a condus la descoperirea că nu există o
măsură comună pentru diagonala si latura unui pătrat(acestea sunt măsuri incomensurabile).
Diagonala pătratului fiind ipotenuza triunghiului dreptunghic ale cărui laturi sunt laturile pătratului,
raportul lor este numărul care nu se poate exprima printr-un raport de două numere întregi, din care
cauză a fost numit număr irațional .
Demonstrație
Teorema lui Pitagora a fost cunoscută mult timp înainte de Pitagora, dar el a fost primul care
a demonstrat-o. În orice mod, demonstrația atribuită lui este foarte simplă, și apelează la o
rearanjare a figurilor.
Cele două pătrate mari reprezentate în figură conțin fiecare patru triunghiuri identice, iar
singura diferență dintre cele două pătrate mari este faptul că triunghiurile sunt aranjate într-un mod
diferit. Astfel, spațiul alb din interiorului fiecărui pătrat mare trebuie să aibă aceeași suprafață.
Egalând suprafețele spațiilor albe reiese teorema lui Pitagora, c.c.t.d.
Faptul că această demonstrație foarte simplă îi aparține lui Pitagora este dedus din scrierile
filozofului și matematicianului grec Proclus.
Este posibil ca aceasta să fie teorema cu cele mai multe demonstrații; cartea ”The
Pythagorean Proposition” (în traducere directă ”Propoziția Pitagorică”) conține 370 de demonstrații.
Această descoperire a produs o adevarată criză în rândurile pitagoricienilor, provocându-le
un adevărat șoc, deoarece devenea evident că nu toate lucrurile sunt numere întregi, contrar teoriei
lor conform căreia totul se poate exprima prin numere întregi sau prin rapoartele lor(numere
raționale sau fracții).
Numărul 1 era esența, unitatea(în greceste monás), căreia din punct de vedere geometric, îi
corespundea punctul socotit indivizibil, un fel de atom matematic.
Numărul 2 reprezenta dualitatea, opoziția, din punct de vedere geometric îi corespunde elementul
de linie format din două puncte alăturate.
Numărul 3 reprezenta triada și corespunde celor 3 dimensiuni spațiale și din punct de vedere
geometric este format din trei puncte alăturate care alcătuiesc un plan,elementul de suprafață.
Numărul 4-tetrada-corespunde celor 4 elemente fundamentale care pentru pitagoricieni,erau focul,
pământul, apa și aerul, iar din punct de vedere geometric corespunde corpului solid, mai exact
87
elementului de volum format din patru puncte alăturate, dintre care numai trei sunt situate în același
plan. O semnificație aparte era atribuită numărului 10-decada-considerat a fi numărul perfect, dat
fiind că el conține în sine(ca sumă)pe primele patru:10=1+2+3+4.
ÎNCHEIERE
Nu departe, la nord de antica Crotona, unde profesa Pitagora, ( cunoscută astăzi sub numele
de Cortona), pe drumul ce duce spre Metapont (astăzi Taranto), unde legenda spune că ar fi murit
Pitagora, există o regiune mică cunoscută sub numele ei latin de Terra Imaginalionis. În această
regiune, nu departe de autostrada care şerpuieşte de-a lungul coastei calabreze, se află micul cătun
San Mathesis.
Aici, în afara satului, se găseşte o capelă gotică cunoscută sub numele de Capela Pitagora. În
această capelă, pe podea, în faţa altarului, se află o lespede de marmură albă ştearsă de veacuri şi de
miile de pelerini ce au trecut pe aici. Din inscripţia de pe ea numai câteva litere mai pot fi desluşite:
HI…C. T…OS…T…G…S…S care arată cu siguranţă că în timpurile de demult, legenda
spunea că: “ AICI SE ODIHNESC OASELE LUI PITAGORA DIN SAMOS”
Singurul locuitor al capelei este un preot cu o sutană lungă, care ţine aprinse, zi şi noapte,
cinci candele aşezate în cinci firide în jurul altarului, ca o dovadă că Pentagrama (pentagonul stelat)
era semnul de unire al pitagoreicilor. Acest preot povesteşte oricărui călător care vizitează capela –
semnificaţia acestor cinci candele.
PRIMA din aceste candele este Lampas Utilitatis. Ea ne arată că nu putem împărtăşi
matematica marii mulţimi a poporului, decât dacă ne oprim mai întâi asupra utilităţii ei şi ne putem
imagina uşor ce i s-ar întâmpla omenirii, dacă ar înceta să existe orice urmă de ştiinţă matematică.
A DOUA candelă este Lampas decoris, candela frumuseţii. Adevăratul succes în predarea
matematicii este posibil, numai dacă ştim că această disciplină este tot atât de frumoasă pe cât de
utilă.
A TREIA este Lampas Imaginationis - un nume care pare întotdeauna potrivit cu o capelă
medievală în care ard candele sfinte, căci ce-ar fi matematica fără imaginaţia devotaţilor ei, uriaşilor
şi învăţăceilor ei.
A PATRA candelă este Lampas poesis, candela poeziei. Ea ne arată că acei care n-au simţit
poezia matematicii, ar fi mai bine să înceteze a mai profesa această ştiinţă, căci altfel eforturile lor
sunt zadarnice.
A CINCEA este Lampas misteri – pentru că ea descoperă lumii unul din marile farmece ale
ştiinţei, fiind – nu de puţine ori – misterioasă şi provocatoare.
“Nu ce spun zeii, regii e adevăr curat,
Ci doar ceea ce poate să fie demonstrat,
Când scoatem adevărul, ce nu-i un simplu joc,
Demagogie, mituri, nu-şi au aicea loc.
Cu-aceste-nvăţăminte, ce stau ca ideal
Valabil peste secoli, rămâi universal,
Sporit-ai patrimoniul întregii omeniri,
Asigurându-ţi nimbul supremei Nemuriri”
Ion Grigore
S-au folosit ca resurse bibliografice: surse din informație web
88
Probleme de perspicacitate
Lupu Alexia & Popescu Alexia
C.N. Al. I. CUZA, Ploiești
Profesor îndrumător: Mihalache Daniela
1. Petrecerea lui Tudor
Tudor a invitat la petrecerea lui 5 prieteni și le-a spus că fiecare poate invita înca 4
prieteni,fiecare din cei 4 câte 3 prieteni,fiecare din cei 3 câte 2 prieteni,iar fiecare din cei doi câte un
prieten.
a)Câti prieteni a invitat Tudor la ziua lui?
b)Care ar putea fi numărul maxim de participanți la pentrecerea lui Tudor?
Rezolvare:
a) Tudor a invitat la ziua lui 5 prieteni. Restul au fost invitați de prietenii lui.
b) Fiecare dintre cei 5 prieteni ai lui Tudor invită 4 alți prieteni,care la rândul lor invită 43=12
prieteni,care la rândul lor invită 122=24 prieteni,care în final mai pot invita încă alți 24 prieteni.
Adunând,obținem că fiecare dintre cei 5 prieteni ai lui Tudor poate invita 4+43+122+241=64
persoane.
Numărul maxim de invitați la petrecerea lui Tudor poate ajunge la 564=320.
2. Buzunarele lui Gheorghe
Gheorghe are o haină cu 10 buzunare și mai are 44 monede de câte un euro. El vrea să țina un
buzunar gol și apoi să pună toate monedele în celelalte buzunare astfel încat în fiecare buzunar să
fie un număr diferit de monede. Poate el oare să facă asta?
Rezolvare:
Nu este posibil acest lucru,deoarece cel mai mic număr de monede care se poate aranja în buzunare
în condițiile problemei este 0+1+2+3+4+5+6+7+8+9=(910)÷2=45; luând o monedă din oricare
buzunar am avea două buzunare cu același număr de monede,iar dacă mărim numărul de monede
din orice buzunar am avea un număr mai mare decât 44.
3. Studenții și autocamionul
Făcând o plimbare prin oraș 3 studenți au observat că șoferul unui autocamion a încălcat regulile de
circulație. Niciunul dintre ei nu a memorat numărul mașinii,număr format din 4 cifre,însă fiecare
dintre ei au observat câte o particularitate a acestui număr. Unul și-a amintit că primele 2 cifre erau
identice, al doilea că ultimele 2 cifre sunt identice,iar al treilea student afirma că numărul dat este
pătrat perfect. Se poate afla numărul mașinii după aceste indicii?
89
Rezolvare:
În conformitate cu enunțul,numărul mașinii are forma .
=1000a+100a+10b+b=1100a+11b=11(100a+b)
Fiind pătrat perfect și deja divizibil cu 11,numărul trebuie să fie divizibil cu 121, deci
( )
Ultima cifră b a unui pătrat perfect poate avea numai următoarele valori: 0,1,4,5,6,9.
Atunci a =11-b și obținem următoarele perechi de cifre pentru a si b :
(a,b)€{(7,4),(6,5),(5,6),(2,9)}
Numărul autocamionului trebuie căutat printre următoarele 4 numere: 2299, 5566,6655,7744.
2299=12119=11219 nu e pătrat perfect
,
5566 se divide cu 2 și 5566 nu se divide cu 4,deci 5566 nu este pătrat perfect,
6655 se divide cu 5 și 6655 nu se divide cu 25, deci 6655 nu este pătrat perfect,
7744=882 este pătrat perfect
Am aflat numărul autocamionului:7744
4.Cuburile arată ziua
Avem 2 cuburi la dispoziție.Pe fiecare față a fiecărui cub trebuie să scriem câte o cifră arabă astfel
încât fețele superioare ale cuburilor să indice data din ziua respectivă.Ce cifre trebuie să scriem pe
cele doua cuburi astfel încât fiecare zi din fiecare lună să se poată afișa prin două cifre (data de 5 va
trebui scrisă 05)?
Rezolvare:
Sunt 12 numere care trebuie scrise pe cele 12 fețe ale celor două cuburi și avem nevoie de 10 cifre
pentru a putea afișa data,deci unele cifre se folosesc de două ori .
Sesizăm că sunt două posibilități în care zilele au cifre identice 11 și 22,deci cele două cifre 1 și 2
apar pe fiecare cub.
Mai sunt 8 fețe pe care trebuie să scriem restul de 8 cifre,deci ...foarte simplu.
Analizând mai atent sesizăm că trebuie să afișăm 9 numere de forma , 10 numere de forma
,10 numere de forma și două numere de forma .
Cifra 0 fiind pe un singur cub,iar celălat cub având disponibile doar 6 fețe ,face imposibilă scrierea
datelor 01,02,03,...09.
Atunci și cifra 0 trebuie scrisă pe ambele cuburi.
Avem deja scrise 6 fețe din cele 12 ocupate și alte 6 fețe nescrise,dar de scris mai avem ...7 cifre.
Salvarea vine de la cifra 6 care intoarsă devine 9.
Așadar, pe fețele unui cub scriem 0,1,2,3,4,5,iar pe fețele celuilalt cub 0,1,2,6,7,8.
90
5.Cutii cu fructe
Avem trei cutii în care sunt fructe:mere și portocale.Una este etichetată “Mere” ,alta ”Portocale”,iar
cea de-a treia “Mere și portocale”,dar etichetarea este incorectă ,fiecare cutie conținând altceva
decât ce scrie pe ea.
Doi copii inventează un joc prin care unul dintre ei,să zicem A,trebuie să eticheteze corect cutiile,iar
celălat,B,încearca să-l încurce.A nu are voie să se uite în cutii,dar are voie să ceară ca B să-i arate
un singur fruct din cutia pe care o alege A.
Elaborați o strategie prin care A să poată eticheta corect cutiile.
Rezolvare:
În cutia etichetată “Mere”avem portocale sau mere și portocale,în cutia etichetată “Portocale”avem
mere sau mere și portocale,iar în cutia etichetată “Mere și portocale”avem mere sau portocale.
Atunci, fiind etichetată greșit ne ajută aceasta din urmă cutie,cea etichetată “Mere si portocale”
Iată strategia:
A va cere un fruct din cutia etichetată “Mere și portocale”.Fiind etichetată greșit,ea va conține
fructul care va fi arăt de B.
1)Dacă B arată mar,atunci A etichetează cutia “Mere” și își îndreaptă atenția spre celelalte două
cutii.Deoarece cutia etichetată “Portocale” nu poate conține portocale și nici mere (merele sunt în
cutia deja etichetată),concurentul A va schimba eticheta “Portocale”cu “Mere și
portocale”.Astfel,mai ramâne o singură cutie,pe care o va eticheta “Portocale”.
2)Dacă B arată portocala,atunci A etichetează cutia “Portocale”și își îndreaptă atenția spre celelalte
două cutii.Deoarece cutia”Mere” nu poate conține mere și nici portocale (portocale sunt în cutia
deja etichetată),concurentul A va schimba eticheta “Mere”cu “Mere și portocale”.Astfel mai ramâne
o singură cutie,pe care o va eticheta “Mere”.
6.Pantofii de două culori
Avem trei perechi de pantofi maro și patru perechi de pantofi negri .Trebuie să alegem pe întuneric
o pereche.Care este numărul minim de pantofi ce trebuie luați pentru a fi siguri că am obținut o
pereche de pantofi de aceeași culoare?
Rezolvare:
Între pantofii pentru piciorul stâng și cei pentru piciorul drept putem distinge pe întuneric ,dar între
culori nu.Dacă am lua 7 pantofi,s-ar putea să nimerim,de exemplu,3 pantofi stângi maro și 4 pantofi
drepți negri sau 3 pantofi drepți maro și 4 pantofi stângi negri.
Un pantof în plus ne asigură că se formează măcar o pereche.Într-adevăr,dacă luăm 8 pantofi,atunci
dintr-o culoare am lua cel puțin 4 pantofi,iar din cealaltă culoare cel mult 4 pantofi.
91
Dacă am luat 4 pantofi maro,fiind doar 3 perechi de pantofi maro,avem deja o pereche de pantofi
maro.
Dacă am luat mai mult de 4 pantofi maro ,din aceleași considerente avem între aceștia o pereche de
pantofi maro.
Dacă am luat mai puțin de 4 pantofi maro,atunci din cei negri am luat cel puțin 5 pantofi.Fiind în
total doar 4 perechi de pantofi negri,din cei 5 pantofi vor fi 2 din aceeași pereche.
Numărul minim de pantofi care trebuie luați pentru a fi siguri că am obținut o pereche de pantofi de
aceeași culoare este 8.
7.Avioane și pasageri
În timp ce zburau cu avionul de la New York la Londra ,John și tatăl său au avut următoarea
conversație:
John:”Dacă numărul tuturor avioanelor civile care zboară acum este mai mare decât cel al
persoanelor aflate la bordul oricăruia dintre ele atunci cel puțin două dintre aceste avioane au
același număr de persoane la bord!”
Tatăl lui John:”Ai dreptate,John,așa este-răspunde tatăl după un moment de gândire.”
Prin ce raționamet au ajuns John și tatăl său la această concluzie?
Rezolvare:
Într-adevăr,John avea dreptate.
Presupunem că în timpul conversației zboară n avioane civile și nu există printre acestea două
avioane cu același număr de persoane la bord Mai avem o informație care ajută la rezolvarea
problemei:numărul persoanelor aflate la bordul oricăruia dintre avioane este mai mic decât numărul
avioanelor aflate în zbor.
Dar asta ar însemna că există n numere nenule mai mici decât n.Contradicție,mulțimea{1,2,3,....,n-
1} nu conține decât n-1 elemente.
Contradicția arată că presupunerea facută este falsă și prin urmare,cel puțin două avioane au
același număr de persoane la bord.
8.Trenul
Doi prieteni,Ionel și Darius.călătoresc cu trenul.Ionel urcă în vagonul al șaptelea din față ,iar Darius
urcă în vagonul al trielea din spate.După ce urcă, își dau seama că Darius se află cu un vagon în
fața lui Ionel.Câte vagoane are trenul?
Rezolvare:
92
Dacă Darius ar fi urcat în al doilea vagon din spate,atunci cei doi ar fi ajuns în același vagon,iar
dacă Darius ar fi urcat în ultimul vagon,atunci ar fi cu un vagon în urma lui Ionel.În concluzie
,trenul are opt vagoane.
9.Mincinosul
Ionică e cam mincinos,însă mama sa îl prinde mereu cu mâța în sac.
-Ionică,ai făcut ce ți-am spus?
-Daaa!Am făcut curat în cameră,mi-am făcut temele și chiar am citit câteva pagini,dacă nu mă
crezi,poți să verifici,cartea e deschisă chiar la paginile 125-126.
-Ionică.iar mă minți!
Cum și-a dat seama mama că Ionică minte?
Rezolvare:
Cartea nu poate fi deschisă la paginile indicate.Pagina cu număr par este prima(în stânga),iar pagina
cu număr impar este a doua(în dreapta),deci Ionică minte din nou.
10.Șirul indian
Un grup de 31 de elevi merg în șir indian.Ana îl observă pe Dan in fața ei și îi spune:”Numărul
elevilor dintre mine și Dan este egal cu o doime din numărul elevilor din fața lui Dan și o pătrime
din numărul elevilor din spatele meu”.Câti elevi sunt în fața Anei?
Rezolvare:
Considerăm a locul ocupat de Dan în șir și b locul Anei în șir,
Conform enunțului: ( ) ( ) ()( ) (
) ( )
Din() deducem că (31-b) se împarte exact la 4 si b>a.
Dacă .Atunci între Dan și Ana sunt 23 copii și 23 nu se împarte la 2.
Dacă ,atunci între Dan și Ana sunt 16 copii,în fața lui Dan sunt 4 copii,in spatele
Anei sunt 8 copii.Nu convine.
Dacă ,atunci între Dan și Ana sunt 11 copii și numărul nu e par.
Dacă atunci între Dan și Ana sunt 4 copii,în fața lui Dan sunt 8 copii,în spatele
Anei sunt 16 copii,valori care verifică cerințele.
Dacă nu mai sunt soluții.
Răspuns: În fața Anei sunt 18 copii.
93
11.Cele două bidoane
Cum se poate obține cantitatea de 6 litri ?Vrem să ducem 6l de apă de la râu și dispunem numai de
două vase:unul de 4 l și unul de 9 l.Cum procedăm?
Rezolvare:
Umplem vasul de 9 l și turnăm din el în vasul de 4 l(care este gol) până il umplem.
Golim vasul de 4 l și îl umplem din nou din vasul de 9 l(în care mai sunt 5 l ).
Golim din nou vasul de 4 l și turnăm în el litrul de apă rămas în vasul de 9 l.
Umplem din nou vasul de 9l și turnăm în vasul de 4 l până îl umplem.
Am turnat 3 l și atunci în vasul mare au ramas 6 l.
12.Problema cu răspuns știut
Scrieți un număr de 3 cifre și răsturnatul său .Scadeți din numărul mai mare numărul mai
mic.Adunați la rezultat răsturnatul său.
Arătați că suma nu depinde de alegerea numărului.
Rezolvare:
Fie și numărul,repectiv răsturnatul său.Alegem a>c.
=100a+10b+c-(100c+10b+a)
=99a-99c
=99(a-c)
Realizăm următoarea scriere:
=100(a-c)-(a-c)
= ( ) -(a-c)
=( ) ( )
cifra sutelor fiind a-c-1,cifra zecilor 9 si cifra unităților 10-a+c.
( ) ( ) +( ) ( ) =100(a-c-1)+90+10-a+c+100(10-
a+c)+90+a-c-1=100(a-c-1+10-a+c)+189=900+189=1089,care nu depinde de
13.Scriem și socotim la tablă
Pe o tablă sunt scrise numerele de la 1 la 20.Se șterg două numere și se scrie pe tablă suma lor.Este
posibil ca prin repetarea acestui procedeu,la un moment dat,suma numerelor de pe tablă să fie 365?
Justificați!
Soluție:
Scriind suma lor în locul celor două,suma numerelor de pe tablă rămâne aceeași și cum ea este
S=2021/2=210,ea nu va putea fi niciodată 365.
94
14.Bile în cutii
În 48 de cutii sunt așezate 102 bile astfel încât în fiecare sunt una ,două sau trei bile.Se știe că
numărul cutiilor cu o bilă este mai mare decăt 14,iar numărul total de bile din cutiile cu două sau
trei bile este mai mare decât 86.Găsiți numărul cutiilor cu o bilă,două bile și trei bile.
Rezolvare:
Fie , numărul cutiilor cu o bilă, numărul cutiilor cu două bile și numărul cutiilor cu trei
bile.
Atunci, avem relațiile:
Ultimele două inegalități sunt de fapt ,de unde, cum
,găsim și și cum ,deducem că
și
15 .Povestea celor 10 bile
Într-o urnă sunt 10 bile,numerotate de la 1 la 10.Se scoate câte o bilă din urnă și se asează pe
masă,pe un singur rând,după următoarea regulă:
-dacă pe masă se află un număr par de bile,noua bilă extrasă se așează la mijloc;
-dacă pe masă se află un număr impar de bile,noua bila extrasă se așează la capătul șirului din
dreapta.
După ce au fost scoase toate bilele din urnă, pe masă,de la stânga la dreapta,erau dispuse cele 10
bile cu numerele 5,9,2,4,10,7,6,1,8,3.În ce ordine au fost scoase bilele?
Soluție:
Folosim metode mersului invers,astfel:înaintea scoaterii celei de-a zecea bile,pe masă erau 9
bile,număr impar de bile.A zecea bilă extrasă a fost pusă,conform regulii jocului,în dreapta
șirului.Această bilă este numerotată”3”.
La scoaterea celei de-a noua bile,pe masă erau 8 bile,număr par de bile.Atunci a noua bilă a fost
pusă în mijloc și ea era numerotată “10”.
Procedând astfel,deducem ordinea scoaterii tuturor bilelor.Ordinea este dată în tabelul următor:
Număr de extragere Numărul bilei extrase Configurația
10 3 5 9 2 4 10 7 6 1 8 3
9 10 5 9 2 4 10 7 6 1 8
8 8 5 9 2 4 7 6 1 8
7 4 5 9 2 4 7 6 1
6 1 5 9 2 7 6 1
95
5 2 5 9 2 7 6
4 6 5 9 76
3 9 5 9 7
2 7 5 7
1 5 5
Prima bilă extrasă a fost 5 și apoi:7,9,6,2,1,4,8,10,3.
16.Din nou la tablă
Pe o tablă sunt scrise numerele :2,4,6,...,2012.Pentru început,se șterg de pe tablă oricare două dintre
numere,scriindu-se în loc produsul lor.Se continuă aceasta operație,până când pe tablă rămân numai
două numere.Este posibil ca ultimele două numere rămase să fie ambele pătrate
perfecte?Justificați!
Soluție:
Produsul tuturor acestor numere este 21006
1006! care nu este pătrat perfect (De ce?Pentru că cel mai
mare număr prim mai mic ca 1006 apare în descompunerea acestuia o singură dată).
De remarcat că la fiecare operațiune produsul numerelor de pe tablă este același.Dacă ar rămâne pe
tablă doua pătrate perfecte,produsul lor ar fi pătrat perfect egal cu 21006
1006! ceea ce este fals.
BIBLIOGRAFIE:
Ghioca A.,”TENTATIA ALGORITMULUI-NR.1 ȘI NR.2”(Editura Crepuscul)
Polya G.,”MATEMATICA ȘI RAȚIONAMENTE PLAUZIBILE”(Editura
Științifică,București,1962)
Adrian P.Ghioca și Luana A.Cojocaru “MATEMATICA GIMNAZIALĂ DINCOLO DE
MANUAL-Biblioteca Olimpiadelor de Matematică” Editura Gil
96
Prorietăţile funcţiilor derivabile
Radu Alina-Florentina
Colegiul Naţional „Mihai Eminescu” Bucureşti
Profesor coordonator Săvulescu Dumitru
În această intervenţie vorbim despre Puncte de extrem, Puncte critice, teorema Fermat,
teorema lui Lagrange, teorema lui Cauchy şi teorema lui Rolle. Problemele rezolvate ilustrează
elementele teoretice, iar problemele propuse dau posibilitatea aprofundării proprietăţile funcţiilor
derivabile.
Definiţia 1. Un punct 0x E este un punct de maxim (minim) local al funcţiei : E R dacă
există o vecinătate U a punctului 0x astfel ca pentru orice xU E să avem (x) ( 0x ) ((x) (
0x )) şi în acest caz punctul P( 0x , ( 0x ))G se numeşte punct de extrem (local) pentru G.
Definiţia 2. Un punct 0x E este punct de maxim (minim) global al funcţie : E R dacă pentru
orice xE, (x) ( 0x ) ((x) ( 0x )) şi în acest caz P( 0x , ( 0x ))G se numeşte punct de extrem
global pentru G.
Definiţia 3. Un punct 0x D pentru care ( 0x ) = 0 se numeşte punct critic al funcţiei : E R.
Teorema 1. (Fermat). Fie I interval deschis, funcţia : I R şi 0x fD . În acest caz, dacă 0x
este un punct de extrem (local) pentru funcţia , atunci 0x este punct critic (( 0x ) = 0).
Interpretarea geometrică: Dacă graficul funcţiei : I R, I interval deschis, admite tangentă
într-un punct de extrem 0x I, atunci tangenta în punctul P( 0x , ( 0x )) fG este paralelă cu axa Ox.
Definiţia 4. O funcţie : [a, b] R se numeşte funcţie Rolle dacă este continuă în punctele a şi b
şi este derivabilă pe (a, b).
Teorema 2. (Rolle). Fie : [a, b] R o funcţie Rolle pentru care (a) =
=(b). Atunci există un punct c(a, b) pentru care (c) = 0 (c punct critic).
Interpretarea geometrică: Din (c) = 0 rezultă că tangenta la graficul funcţiei în punctul P(c,
(c)) este paralelă cu axa Ox.
Teorema 3. (Lagrange). Fie : [a, b] R o funcţie Rolle. Atunci există un punct c(a, b) astfel
încât (b) (a) = (b a)(c), (teorema creşterilor finite).
Interpretare geometrică: Formula lui Lagrange scrisă sub forma )()()(
cfab
afbf
exprimă
faptul că există pe graficul funcţiei cel puţin un punct P(c, (c)), diferit de extremităţi, în care
panta tangentei ((c)) să fie egală cu panta coardei determinată de punctele A(a, (a)) şi B(b, (b)),
adică această tangentă este paralelă cu coarda AB.
97
Observaţia 1. Dacă o funcţie are derivata nulă pe un interval, atunci ea este constantă pe acest
interval.
Observaţia 2. Dacă două funcţii au derivatele egale pe un interval, atunci ele diferă printr-o
constantă pe acel interval.
Observaţia 3. (Rolul derivatei întâi. Intervale de monotonie. Puncte de extrem). Fie : I R, I
interval, o funcţie derivabilă.
1) Dacă (x) 0, ()xI, atunci este crescătoare pe I;
2) Dacă (x) 0, ()xI, atunci este descrescătoare pe I; sau
1) Dacă (x) > 0, ()xI, atunci este strict crescătoare pe I;
2) Dacă (x) < 0, ()xI, atunci este strict descrescătoare pe I.
Observaţia 4. (Derivata unei funcţii într-un punct). Fie : I R, I interval şi 0x I. Dacă:
1) este continuă în 0x ; 2) este derivabilă pe I { 0x }; 3) există 0
limxx(x) = R ;
atunci are derivată în 0x şi ( 0x ) = . Dacă R, atunci este derivabilă în 0x şi ( 0x ) = .
Teorema 4. (Formula lui Taylor pentru polinoame). Fie nP R[X] un polinom de grad n şi 0x R
un punct fixat. Atunci are loc egalitatea:
nP (x) = nP ( 0x ) +!1
)( 0xnP(x + 0x ) +
!2
)( 0xnP (x 0x )
2 +…+
!
)()(
0
n
P xnn
(x 0x )n.
Teorema 5. (Cauchy). Fie funcţiile Rolle ,g : [a, b] R şi pentru orice x(a, b), g(x) 0. Atunci
g(a) g(b) şi există c(a, b) astfel încât: )('
)(
)()(
)()(
cg
cf
agbg
afbf
.
Exerciţii rezolvate
1. Să se precizeze punctele de extrem şi să se analizeze valabilitatea teoremei lui Fermat pentru
funcţia (x) = 432 xx în următoarele cazuri:
a) x[5, 2] ; b) x(2, 6).
Rezolvare.
Dacă reprezentăm grafic funcţia : R R, (x) = 432 xx . Se observă că:
a) este strict descrescătoare pe [5, 2] şi atunci are un minim (global) în punctul (2, 6) şi un
punct de maxim (global) în punctul (5, 36). Cum punctele 5x şi 2x nu sunt puncte
interioare intervalului [5, 2]. Condiţiile teoremei lui Fermat nu sunt satisfăcute.
b) Punctele A(1, 0), B(4, 0) sunt puncte de minim şi punctul C
4
25,
2
3 este un punct de maxim. În
punctele A şi B funcţia nu este derivabilă, deci nu sunt verificate condiţiile teoremei lui Fermat. În
punctul C
4
25,
2
3,
2
3(2, 6), funcţia este derivabilă, deci sunt verificate condiţiile teoremei lui
Fermat şi (2
3) = 0. Prin urmare, punctul 0x =
2
3 este un punct de maxim relativ al lui .
98
2. Dacă a,b,c,d > 0, xxxx dcba > n, ()xR, atunci: a b c d = 1.
Rezolvare.
Considerăm funcţia : R R, (x) = xxxx dcba pentru care (0) = 4. Din ipoteză
avem: (x) (0), ()xR, de unde rezultă că 0x = 0 este un punct de minim pentru şi 0R.
Conform teoremei lui Fermat rezultă (0) = 0. Dar (x) = xa ln a + xb ln b + xc ln c + xd ln d prin
urmare, ln a + ln b + ln c + ln d = 0 sau ln(a b c d) = ln 1 a b c d = 1.
3. Să se arate că există cel puţin un număr real a > 0 cu proprietatea că xa 3x + 1, ()xR.
Rezolvare.
Să considerăm funcţia : R R, (x) = 13 xa x . Din ipoteză (x) 0, rezultă că 0x = 0
este un punct de minim pentru . Aplicând teorema lui Fermat rezultă (x) = 0. Cum (x) = xa ln a
3 şi lna 3 = 0 3ea . Deci 3ea este numărul căutat.
4. Fie 1a , 2a R, 1b , 2b R \ {1} astfel încât 1a xb1 + 2a xb2 1a + 2a , ()xR. Arătaţi că 1
1a
b 22a
b = 1.
Rezolvare.
Fie : R R, (x) = 1a xb1 + 2a xb2 derivabilă pe R şi (0) = = 1a + 2a . Din ipoteză (x)
(0), ()xR, adică x = 0 este un punct de minim pentru . Conform teorema lui Fermat va
rezulta că (0) = 0. Cum (x) = 1a xb1 ln 1b + 2a xb2 ln 2b rezultă 1a ln 1b + 2a ln 1b = (0) = 0, deci
11a
b 22a
b = 1.
5. Determinaţi parametrul a > 0, astfel încât să fie valabilă inegalitatea: xx a3 x4 + x9 , ()xR.
Rezolvare.
Fie : R R, (x) = xx a3 x4 x9 . Conform (0) = 0 şi
(x) (0), ()xR, rezultă că 0x = 0 este punct de minim, deci (0) = 0, Cum (x) = x3 ln 3 + xa
ln a x4 ln 4 x9 ln 9 ln 3 + ln a ln 4 ln 9 = 0 ln 3a = ln 36 a = 12. Aşadar, pentru a =
12 are loc inegalitatea xx a3 x4 + x9 .
Inegalitatea se mai scrie: x3 + x12 x4 x9 =(9 x3 )( x3 x4 ) 0 care este adevărată deoarece dacă x
0 atunci 1 x3 0 şi x3 x4 0, iar pentru x <0 avem 1 x3 > 0 şi x3 x4 > 0.
6. Fie funcţia : [1, 1] R, (x) =
]1,0[,66
)0,1[,2
2
xxcx
xbaxx, unde a,b,cR. Aflaţi parametrii a, b,
c astfel încât funcţia dată să satisfacă condiţiile teoremei lui Rolle.
Rezolvare.
Funcţia fiind elementară (funcţia polinom) este continuă pe
[1, 0) (0, 1]. Se impune condiţia ca să fie continuă şi în punctul x = 0. Funcţia este continuă
în x = 0
00
lim
xx
(x) =
00
lim
xx
(x) = (0) b = 6.
Deci pentru b = 6 funcţia este continuă pe [1, 1]. Funcţia este derivabilă pe (1, 0) (0, 1).
Pentru ca să fie derivabilă pe (1, 1) trebuie ca să fie derivabilă în x = 0. Funcţia este
99
derivabilă în x = 0
00
lim
xx x
fxf )0()( =
00
lim
xx x
fxf )0()( R a = 6. Deci pentru a = 6 funcţia
este derivabilă pe [1, 1]. Din (1) = (1) se obţine c = 11. Deci (x) =
]1,0[,6611
)0,1[,662
2
xxx
xxx
Prin urmare, cele trei condiţii din teorema lui Rolle se verifică dacă a = 6, b = 6, c = 11. Atunci
există x0(1, 1) pentru care (x0) = 0, unde (x) =
]1,0[,622
)0,1[,62
xx
xx
Se egalează fiecare formă a lui cu zero şi rezultă: din 062 x 3x [1, 0); iar din
0622 x 11
3x (0, 1]. Deci punctul căutat este
11
30 x .
7. Să se arate că derivata funcţiei : R R, (x) = (x 2)(x + 2)(x 3) are numai rădăcini reale.
Rezolvare.
Se observă că (2) = (2) = (3). Deci putem aplica pe fiecare interval [2, 2], [2, 3]
teorema lui Rolle, prin urmare există 1c (2, 2), 2c (2, 3) astfel încât ( 1c ) = ( 2c ) = 0. Cum
(x) = 0463 2 xx are soluţiile 1x =3
213, 2x =
3
213. Deci putem lua 1c =
3
213, 2c =
3
213. Rezultă că rădăcinile ecuaţiei (x) = 0 sunt reale.
8. Aplicând teorema lui Rolle funcţiei , dată prin (x) = nm xx )93()42( , m > 1, n > 1, xR. Să se
arate că expresia nm
nmE
23 este cuprinsă între 2 şi 3.
Rezolvare.
Funcţia este continuă şi derivabilă pe R,
(x) = m 1)42( mx 2 nx )93( + 3n 1)93( nx mx )42( . Din (x) = 0 rezultă
1)42( mx 1)93( nx nmxnm 1218)(6 = 0. Deci 1x = 2, 2x = 3, 3x = nm
nm
23. Deoarece (
1x ) = ( 2x ) = 0 rezultă conform teoremei lui Rolle, că (x) are o rădăcină c( 1x , 2x ). Întrucât
rădăcinile ecuaţiei (x) = 0 sunt 1x , 2x , 3x , rezultă c = 3x , deci 3x (3,2) şi 2 <nm
nm
23< 3.
9. Aplicând teorema lui Lagrange funcţiei (x) = ln x în intervalul [n, n + 1], nN*, Să se
demonstreze că şirul cu termenul general na = 1 + nn
ln1
...3
1
2
1 este convergent.
Rezolvare.
Funcţia (x) = ln x este continuă pe intervalul [n, n + 1], nN*, iar pe intervalul (n, n + 1)
este derivabilă. Prin urmare funcţia îndeplineşte condiţiile teoremei lui Lagrange pe intervalul [n, n
+ 1] şi avem:
ln(n + 1) ln n = (n + 1 n)(c), c(n, n + 1) ln(n + 1) ln n = c
1.
Dar n < c < n + 1 1
1
n<
c
1<
n
1, deci
1
1
n< ln(n + 1) ln n <
n
1;
n
1< ln n ln(n 1) <
1
1
n; …………… ;
2
1<ln 2 ln 1 < 1.
Adunând aceste inegalităţi membru cu membru, obţinem:
100
1
2
1n
k k< ln(n + 1) <
n
k k1
1. Putem scrie:
1
2
1n
k k< ln(n + 1)
1
1
1n
k k< ln(n + 1) + 1 1na < 1 şi
ln(n + 1) <
n
k k1
1 ln(n + 1) ln n < na ln(1 +
n
1) < na na > 0, deci şirul ( na ) este mărginit.
1na = na +1
1
n+ ln nln(n + 1) 1na na =
1
1
nln(1 +
n
1). Dar
11
1
n
n> e ln(1 +
n
1) >
1
1
n. Aşadar 1na na < 0 1na < na , adică şirul
*Nnna este strict descrescător. Rezultă că şirul (
na ) este convergent şi limita sa este cuprinsă între 0 şi 1.
10. Să se arate că b
ab2sin
< ctg a ctg b <
a
ab2sin
, [a, b]
2,0 , a < b.
Rezolvare
. Funcţia ctg x este continuă şi derivabilă pe orice interval [a, b]
2,0 , deci i se poate
aplica teorema lui Lagrange: ctg b ctg a = (b a)
c2sin
1, c(a, b), a < b.
Dar a2sin < c2sin < b2sin , deci b2sin
1<
c2sin
1<
a2sin
1. Rezultă:
b
ab2sin
< ctg a ctg b <
a
ab2sin
.
Exerciţii propuse
1. Pentru fiecare din funcţiile de mai jos precizaţi punctele de extrem şi analizaţi valabilitatea
teoremei lui Fermat:
1) : [0,5] R, (x) = 74 x ; 2) : R R, (x) = 42 x .
2. Să se determine punctele de extrem local ale funcţiei: (x) =
0,
0,2 xex
xxx .
3. Dacă 1a , 2a , …, na > 0, naaa xn
xx ...21 , ()xR, atunci: 1a 2a … na = 1.
4. Fie ii , R \ {1}, unde ni ,1 astfel încât nn
xn
xx ...tg...tgtg 212211 ,
()xR. Să se arate că: .1tg...tgtg 2121
n
xn
5. Verificaţi aplicabilitatea teoremei lui Rolle (pe intervalul dat) pentru funcţiile:
1) : R R, (x) = 452 xx , x[1, 4] ; 2) : R R, (x) = xx 93 , x[0, 3] ;
3) : R R, (x) =
0,22
0,232
23
xxx
xxx, x[3, 2] ; 4) : R R, (x) =sin x, x[0, ] .
6. Să se determine parametrii reali a, b, c astfel încât funcţia: (x) =
]1,0[,12
)0,1[,32
2
xbxx
xcxax să
satisfacă condiţiile teoremei lui Rolle pe intervalul [1, 1] şi apoi să se aplice efectiv această
teoremă.
7. Să se verifice teorema lui Rolle pentru funcţiile următoare:
a) (x) = nm xx )2()1( ; b) g(x) = nm xx )2()1( px )3( , unde m,n,pN*.
101
8. Fie : [0, 1] R, continuă pe [0, 1], derivabilă pe (0, 1), (0) = (1) şi g(x) = xe (x) pentru
x[0, 1]. Să se arate că teorema lui Rolle se poate aplica funcţiei g(x) şi să se arate că există
c(0, 1) cu (c) = (c).
BIBLIOGRAFIE
1. M. Burtea, G. Burtea, MATEMATICĂ, clasa a XI-a, Exerciţii şi probleme, Editura CARMINIS, Piteşti, 2006.
2. M. Ganga, MATEMATICĂ, Manual pentru clasa a XI-a, Editura Matpres,Ploieti 2006.
3. D. Drăcea, L. Niculescu, I. Pătraşcu, D. Seclăman, MATEMATICĂ, Manalul de clasa a XI-a, Editura CARDINAL, Craiova, 2006.
4. Colecţia GAZETA MATEMATICĂ, 2010-2017.
5. N. Dragomir, C. Dragomir, T. Deaconu, D. Săvulescu. ANALIZĂ – Exerciţii şi probleme pentru clasa a XI-a, Editura Meteor Press, Bucureşti, 2003.
102
Fascinanta viață și spectaculoasa moarte a lui Pitagora
Buşega Giorgiana
Liceul Tehnologic Virgil Madgearu
prof.Iordache Ana Maria
Pitagora s-a născut prin anul 580 î.Hr. în insula Samos. Încă de tânăr a călătorit mult,
vizitând Orientul Apropiat până în India. Când s-a întors în Samos, a dat peste Polycrates care a fost
tiran al Samosului în perioada 538-522 î.Hr. Pitagora, el însuși un mic dictator, s-a mutat la
Crotona, azi Crotone în Italia, unde a întemeiat cel mai ”totalitar” colegiu posibil.
Puteau intra în el și bărbații și femeile, dar trebuiau să depună înainte un jurământ de
castitate și să se oblige la un regim alimentar care excludea vinul, carnea, ouăle și bobul. Ce-a avut
el cu bobul, nimeni nu a înțeles. Toți trebuiau să se îmbrace cât mai simplu și decent.
Râsul era interzis și la sfârșitul fiecărui an de școală, toți elevii erau obligați să-și facă
public autocritica. Seminariștii erau împărțiți în externi, cei care după cursuri se întorceau acasă
și interni, cei ce rămâneau noaptea în această ”mănăstire”. Pe cei dintâi îi încredința în grija unor
asistenți și doar de ceilalți, esotericii, care constituiau cercul restrâns al adevăraților inițiați, se
ocupa personal.
Chiar și aceștia îl vedeau pe Pitagora doar după patru ani de ucenicie. În acea perioadă el le
trimitea cursurile scrise și autentificate cu formula ”authos epha”, adică ”el însuși a spus-o”. Abia
după această așteptare Pitagora binevoia să-și facă apariția în fața discipolilor.
Începea cu matematica. Dar nu așa cum o înțelegeau grosolanii și interesații egipteni, care
o inventaseră doar din scopuri practice.
Pitagora vedea matematica ca o teorie abstractă, dedicată antrenării minții cu deducții
logice, cu exactitatea proporțiilor și cu demonstrațiile. Doar după ce îi aducea la un astfel de nivel
pe elevi trecea la geometrie care pentru el se compunea din elemente clasice: axioma, teorema și
demonstrația.
Fără să-l cunoscă pe Thales din Milet, a stabilit o serie de teoreme: suma unghiurilor dintr-
un triunghi este egală cu două unghiuri drepte și pătratul ipotenuzei într-un triunghi dreptunghic
este egal cu suma pătratelor celorlalte două laturi. Poate ar mai fi spus și alte adevăruri, dar el
disprețuia astfel de ”aplicații”, considerându-le prea mici pentru geniul său. Apollodor povestește că
atunci când a descoperit teorema cu ipotenuza, Pitagora a sacrificat 100 de animale ca să le
muțumească zeilor.
Știrea trebuie să fie falsă deoarece Pitagora s-a mândrit cu faptul că nu făcea rău animalelor,
impunându-le același lucru și discipolilor. Singurul exercițiu care îi aducea bucurie nu era
fomularea în sine a teoremelor, ci speculațiile înalte și abstracte ale teoriei.
Chiar și artimetica el nu o vedea ca pe un instrument de contabilitate, ci ca pe un studiu al
proporțiilor. Așa a descoperit legătura dintre număr și muzică. Trecând într-o zi prin fața atelierului
unui fierar, a fost surprins de ritmicitatea loviturilor de ciocan pe nicovală. Întors acasă a început să
facă experimente punând să vibreze corzi de aceeași grosime și la fel de tensionate, dar de lungimi
diferite. A ajuns la concuzia că sunetele depind de numărul de vibrații. Le-a calculat și a stabilit că
muzica nu este altceva decât o relație numerică între aceste vibrații, măsurată după intervalul dintre
103
ele. Chiar și tăcerea spunea el nu este decât o muzică pe care urechea omenească nu o percepe,
fiincă e continuă, deci nu are intervale.
Planetele, ca toate celelalte corpuri aflate în mișcare produc o ”muzică a sferelor”. Pământul
este o sferă, afirma Pitagora cu 2000 de ani înaintea lui Copernic și Galilei și învârte în jurul axei
sale de la est la vest având cinci zone: arctică, antarctică, hibernală, estivală și ecuatorială. Împreună
cu celalate planete forma cosmosul.
O parte din ideile sale erau inspirate din filosofia Orientului. Astfel, sufletul, fiind nemuritor,
migrează de la un corp la altul, părăsindu-l pe cel mort, purificându-se un timp în Hades apoi
reîncarnându-se. Pitagora își amintea că fusese cândva o curtezană celebră, apoi eroul aheu
Euforbiu din războiul troian. Ba chiar mergând odată la Argos, își recunoaște acolo o armă din
timpul expediției. Toate aceste aspecte îl fac pe Pitagora un personaj aproape fantastic.
Timon din Atena ni l-a înfățișat din punct de vedere intelectual ca pe un ”histrion(bufon) cu
aere solemne care tot dându-și singur importanță a reușit să și-o capete”. Pitagora nu se mărginea să
practice virtutea, ducând o viață castă, păstrând un regim alimentar riguros și având o purtare
demnă și înțeleaptă, ci a făcut un instrument de publicitate pentru sine. Devenise o figură semi-
divină: învățăceii așteptau patru ani până să-l vadă.
Închistat în orgoliul său de castă și tot mai convins că cercul pitagoricienilor constituie o
grupare aleasă și predestinată de zei să pună ordine în rândul oamenilor, s-a hotărât să ia puterea în
stat și să întemeieze la Crotona republica ideală, bazată pe filosofia elaborată de el însuși. Ca toate
republicile ideale, ea urma să fie o ”tiranie luminată”. Pitagora dorea să interzică tuturor vinul,
carnea, ouăle, bobul, amorul și râsul. La un moment dat crotonezii au constatat că toate demnitățile
din stat erau deținute de adepții lui Pitagora, oameni austeri, foarte serioși, plicticoși, comepetenți și
îngâmfați care doreau să facă din Crotona o închisoare-mănăstire. Înainte de a fi prea târziu, au
înconjurat seminarul, i-au scos pe chiriași și i-au ucis.
Pitagora a apucat să fugă în chiloți, dar un destin răzbunător i-a condus pașii într-un lan cu
bob. Din scârba pe care o avea față de această legumă a refuzat să se ascundă acolo. A fost prins și
omorât cândva în jurul anului 495 î.Hr. Avea deja peste 80 de ani și își pusese la adăpost
”Comentariile”, încredințându-le fiicei sale Damona, cea mai fidelă discipola a sa, ca să le
răspândească în lume.
Bibliografie: Istoria universală-revistă online,Wikipedia
104
Sfera - formă arhitecturală sacră
Isvanescu Vlad
Liceul de Arte Plastice Timişoara
Prof. coordonato: Mocanu Livia
1.Forme curbe in natură.
În natură sunt numeroase exemple în care rezistenţa unor structuri de natură organică se bazează pe
efectul spaţial al plăcilor curbe subţiri: cochiliile de melci, chiurasa insectelor, a scoicilor, a coajei
de ou. Natura n-a ajuns la aceste forme prin rezolvări de ecuaţii diferenţiale de ordin superior, ci
printr-un proces istoric de evoluţie care conduce spre formele cele mai apte să suporte forţe şi
încărcări. Astfel, natura nu recurge în multe cazuri la sistemele de bare, ci la forme curbe mult mai
rezistente şi mai frumoase. Desigur că raţiunile de utilizare şi scările de mărime sunt diferite, dar
unele principii, atât în ceea ce priveşte geometria formei, cât şi calculul de rezistenţă, rămân
valabile.(Fig.1)
Fig.1
2.Plăci cu curbură pozitivă.
Sfera are razele de curbură constante pe întreaga suprafaţă şi se obţine prin rotirea unui cerc în jurul
unei axe de rotaţie. Sferele complete sunt mai puţin utilizate în arhitectură faţă de calotele sferice
simple sau de cele la care conturul acoperit este de formă poligonală, fiind secţionate cu plane
verticale sau înclinate.
Sfera este locul geometric al punctelor din spaţiu egal depărtate de un punct fix care este centrul
sferei.Alături de caracteristicile sale geometrice sfera are şi o multime de conotaţii simbolice
reprezentând cercul în ordinea volumelor. Epoca noastră reia şi resimte la dimensiunea şi
posibilităţile tehnice actuale aceeaşi fascinaţie pentru formele sferice prin lucrări insolite, ce
urmăresc fie integrarea dimensiunii umane în spaţierea şi sacralitatea acestor forme, fie puritatea
geometrică şi cromatică a lor.(Fig.2)
Fig.2
Elipsoidul este o suprafaţă obţinută prin rotaţia unei elipse în jurul uneia din axele sale. Dacă se
roteşte o elipsă în jurul unui ax vertical, intersecţiile cu plane verticale dau elipse, iar cele cu plane
orizontale, cercuri, iar când rotaţia se efectuează în jurul unei axe fronto-orizontală, secţiunile prin
axă sunt elipse. Prin aceste secţionări se obţin cupole elipsoidale pe contur circular, eliptic,
poligonal.(Fig.3)
Fig.3
Paraboloidul eliptic (sau elparul) este suprafaţa pe care planele verticale o intersectează după
parabole, iar cele orizontale după elipse. O formă particulară a paraboloidului eliptic o reprezintă
paraboloidul de rotaţie, obţinut prin rotaţia unei parabole în jurul axei sale verticale(Fig.4)
105
Fig.4
Toroidul este suprafaţa obţinută din porţiunea cu curbură pozitivă a unui tor, secţiunile cu plane
care conţin axa de rotaţie formând pe suprafaţă segmente de cercuri într-o poziţie de capăt(Fig.5).
Fig.5
Suprafeţele de translaţie se obţin prin deplasarea paralelă cu un plan dat a unei curbe generatoare (
cerc, elipsă, parabolă, cicloidă) pe două curbe directoare de acelaşi tip(Fig.6).
Fig.6
3.Aplicabilitate în geometria formelor arhitecturale.
Multiplele variante ale unei calote sferice sau din combinaţiile mai multor calote pe acelea în care
placa curbă a acoperişului nu se sprijină pe întreg conturul perimetral, ci în puncte, pentru a crea
astfel impresia de uşurinţă şi elansare, dând în acelaşi timp posibilitatea unei ventilări şi luminări
corespunzătoare a volumului rezultat. Astfel este prezentată în epură şi axonometrie dimetrică
ortogonală o singură calotă secţionată oblic cu trei plane de aceeaşi pantă care conţin laturile
triunghiluui care uneşte cele trei puncte de sprijin.
Fără a ne da seama noi suntem foarte profund afectaţi de ceea ce se află în jurul nostru cum
ar fi obiecte, clădiri, oameni iar construcţiile arhitecturale au o foarte mare infulenţă în viaţa noastră
de zi cu zi de aceea aş dori să vă prezint noul oraş plutitor care vă va uimi cu delicateţea şi puritatea
lui fiind un oraş ecologic şi în acelaşi timp un oraş plin de viaţă şi prospeţime. Toată lumea caută
ceva pur, ceva plin de prospeţime şi naturaleţe prin simplul fapt al formei care te îndeamnă la fapte
bune, pentru că fără să ştim sau să fim conştienţi formele îşi lasă o mare amprentă în viaţa noastră a
fiecăruia.Acest oraş plutitor ne va da speranţa de a vedea lucrurile într-un alt mod si de a ne dori un
trai mai bun .
Noi trăim într-o epocă în care majoritatea lucrurilor evoluează foarte repede printre care este şi
modul prin care noi ne gândim la viitorul nostru si al planetei noastre.Ar trebui să ne gândim mai
des la felul în care noi protejăm planeta pentru că astfel ne protejăm pe noi.Un mod foarte bun
pentru a proteja tot ce este în jurul nostru este să clădim construcţii ecologice care să ajute mediul
înconjurător să se refacă sau cel puţin să mai păstrăm ce a rămas din el.Am dorit sa creez acest oraş
sferic care poate demonstra lumii întregi cum poţi îmbina plăcutul cu utilul şi cu protejarea
mediului în acelaşi timp.(Fig.10)
Ar mai trebui să ştim că sfera este corpul perfect , această construcţie fiind un miracol arhitectural
deoarece poate găzdui până la 60 de mii de locuitori aceştia putând să aibă o viaţă frumoasă, plină
de noi descoperiri şi avantaje.
Domul geodezic este o structură aproape sferică asemănătoare unui solid platonic multifaţetat, ale cărui elemente sunt reprezentate de o reţea de diferite poligoane care aproximează suprafața unei sfere.
Reţeaua se intersectează în numeroase puncte care sunt, în esenţă, pentagoane regulate,
formate din triunghiuri echilaterale plane sau curbilinii, care sunt aproape tangente la suprafaţa
sferei circumscrise sau la cea a celei înscrise. Aceste puncte preiau greutatea ansamblului
106
redistribuind-o omogen întregii structuri. Când structura este foarte aproape de a constitui o sferă,
domul geodezic devine o sferă geodezică. (Fig.8,9)
(Fig.10)
BIBLIOGRAFIE:
1.Tănăsescu, Aurelian – Geometrie descriptivă, perspectivă, axonometrie, Ed. Didactică si
pedagogică, 1975
2.Dumitrescu, Cristian – Culegere de probleme si aplicații de geometrie descriptivă,
Ed Politehnica Timișoara, 2009
3.Dumitrescu, Cristian – Geometria formelor arhitecturale, Ed. Politehnica, 2008
Fig.8 Fig.9 - Domul Bisercii Sfântul Petru din Roma
107
Șirul lui Fibonacci
Asanache Victor & Gabor Andrei
C.N. „Al. I. CUZA”, Ploiești
Profesor Îndrumător: Mihalache Daniela
Motto: Matematicile pun în joc puteri sufletești care nu sunt cu mult diferite de cele solicitate de
poezie și de arte. – Ion Barbu
În a doua jumătate a secolului al XII-lea, un italian din Pisa, poreclit il Bonaccio (prostănacul), de
meserie funcționar vamal, pleca în interes de serviciu în nordul Africii, unde statele italiene aveau
interese comerciale. Într-una din aceste călătorii l-a luat cu el și pe fiul său Leonardo, care avea
vocație pentru matematici.
În nordul Africii a venit în contact cu fel de fel de tradiții matematice antice, mai mult sau mai puțin
ezoterice, de proveniență orientală, vehiculate de Islam din India până la coloanele lui Hercule.
Rezultatul a fost că Leonardo, ajuns înapoi în Italia, a scris mai multe tratate de matematici.
Domeniul lui de predicție era ceea ce numim noi astăzi “Teoria numerelor”. De la el ne-a rămas,
printre altele, un șir recurent, devenit mai târziu celebru sub numele de “Șirul lui Leonardo din
Pisa”, sau după numele care i-a fost dat în secolul al XIV-lea (prin contracția numelui său latinesc):
Șirul lui Fibonacci.
Șirul lui Fibonacci începe cu numerele 0 și 1, iar fiecare număr ulterior este egal cu suma celor două
numere care îl preced. Șirul are deci următoarea înfățișare:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233…
Șirul lui Fibonacci posedă următoarele proprietăți interesante:
a) ∑ , adică: suma primilor n termeni este cu o unitate mai mică decât
termenul post-următor;
b) ( ) , adică: pătratul oricărui termen difera cu o unitate de produsul
termenilor vecini;
c) ( ) ( ) , adică: produsul a doi termeni consecutive diferă cu
o unitate de produsul termenilor vecini;
d) ;
e) ;
f) ( ) ( ) ;
g)
;
h) ;
i)
√ [.
√
/
. √
/
] (formula lui Binet).
Șirul lui Fibonacci mai prezintă o particularitate neobișnuita. Când coborâm în sens invers, sub 0, în
zona negativă, păstrând tot timpul între toți termenii aceeași relație de recurență, ce constatăm?
Numerele din zona negativă le repetă pe cele din zona pozitivă, în mod simetric față de 0, care are
rol de axă de simetrie. Interesant și neașteptat este faptul că numerele din zona negativă alternează
în semn. Iată cum arată șirul clasic al lui Fibonacci împreuna cu prelungirea lui din zona negativă:
…13, (-8), 5, (-3), 2, (-1), 1, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13…
Aplicații practice
1. Să se demonstreze următoarele identități pentru :
a) ;
108
b) ( )
.
Soluție: a) Utilizând formulele lui Binet, rezultă
√ ( )( )
√ ( )
b) Analog rezultă
( )
( )( )
, ( ) ( )-
*( ) ( ) ,( ) -+
,( ) ( ) ( ) -
( ) ( )
( )
2. Să se arate că
∑
√ ,( √ ) ( √ ) -
pentru n = 0, 1, 2,…, unde este cel de al k-lea
număr Fibonacci.
Soluție: Efectuând calculele, folosind formula binomului lui Newton și formula lui Binet, rezultă
∑
√
∑( √
)
√ ∑(
√
)
√ [ (
√
)
( √
)
]
√ 0( √ )
( √ )
1
3. Pentru si √
rezultă
.
Soluție: Deoarece
, este suficient să se arate că
. √
√
/
Se consideră deci:
( )
Similar rezultă .
Bibliografie:
Recreații matematice, H. R. Radian și T. J. Radian, Editura Albatros
Probleme de teoria elementară a numerelor, Editura Tehnică, București – 1986
Algebră pentru concursurile de admitere și olimpiade școlare, Gh. Andrei, C. Caragea,
Gheorghe Bordea, Editura Didactică și Pedagogică, București – 1993
Exerciții și probleme de algebră, Năstăsescu G, Niță C., Brandiburu M., Joița D., Editura
Didactică și Pedagogică, București – 1983
Analiză matematică, volumul 1, Nicolescu M., Miculeanu N., Marcu S., Editura Didactică și
Pedagogică – 1971
109
Suma lui Gauss
Fildan Cristian
Școala Gimnazială Mihai Eminescu Arad
Profesor îndrumător Cilibia Claudia
Karl Friedrich Gauss a fost un matematician, fizician și astronom german, celebru pentru
lucrările despre integralele multiple, magnetism și sistemul de unități care îi poartă numele.Este
considerat unul dintre cei mai mari oameni de știință germani.El a inventat suma cu numele
lui,Suma lui Gaus.
Încă de mic s-a remarcat ca un geniu al matematicii și mai apoi al fizicii. Pe lângă sumele
care îi poartă numele el a mai descoperit cum să construiești un poligon cu 17 laturi folosind doar
rigla și compasul, legea numerelor prime si altele.
Un adevărat geniu în matematică, Gauss ştia să adune încă de la vârsta de trei ani, când a
început să corecteze socotelile tatălui său. La şapte ani a fost trimis la o şcoală de provincie, iar doi
ani mai târziu a luat primele lecţii de matematică. Legenda spune că profesorul a dat clasei de
rezolvat o problemă: să adune primele o sută de numere întregi. Gauss a înţeles imediat cum trebuie
să procedeze , a scris rezultatul şi, în vreme ce profesorul termina adunările, şi-a azvârlit tăbliţa pe
jos spunând: „Ligget se” („Iată rezultatul!").
Am strâns aici câteva probleme în care se întâlnesc sumele lui Gauss.
1.Să se calculeze sumele:
a) 1+2+3+……..+47+48
Numerele sunt consecutive, pornesc din 1 și putem aplica formula pentru Suma Gauss, care este [n
(n+1)] / 2
Deci S = (48 49) / 2
b) 0+1+2+3+……..+94+95 Și aici avem numere consecutive, care pornesc din 0, deci putem spune că suma este
S = 0 + (95 96)/2 = (95 96)/2
c) 70+69+68+…..+3+2+1 Aceasta este tot o sumă tip Gauss, numerele pleacă din 1 și sunt consecutive, doar că sunt trecute în
ordine descrescatoare, deci vom avea suma
S = (70 71)/2
d) 2+4+6+……..+58+60
Această sumă nu este una Gauss, pentru că numerele nu sunt consecutive și nici nu pleacă din 1.
Observăm însă că îl putem da factor comun pe 2 si rezultă că suma va fi
S = 2 (1 + 2 + 3 + ... + 29 + 30). In paranteză avem o sumă Gauss, deci
S = 2 [(30 31) / 2] = 30 31 = 930
e) 840+833+826+…..+14+7 Aceasta sumă nu este una Gauss, pentru ca numerele nu sunt consecutive și nici nu pleaca din 1.
Observăm însă că îl putem da factor comun pe 7 si rezultă că suma va fi
S = 7 (120 + 119 + 118 + ... + 2 + 1). In paranteză avem o suma Gauss, deci
S = 7 [(120 121) / 2] = 7 (60 121) = 7 7260 = 50820
f) 7+8+9+………+45+46
110
Această sumă nu este una Gauss, pentru că numerele nu sunt consecutive și nici nu pleacă din 1. De
asemenea, nici nu putem da vreun factor comun. Observăm însă că numerele sunt consecutive și
dacă ar porni din 1 am putea aplica suma Gauss. Prin urmare, vom adauga și vom scădea numerele
de la 1 la 6, utile pentru a forma o suma Gauss și rezultă ca suma va fi
S = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 ... + 45 + 46) – 1 – 2 – 3 – 4 – 5 - 6.
S = (46 47) / 2 – (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6)
S = 23 47 – (6 7)/2
S = 1081 – 42 : 2 = 1081 – 21 = 1060
g) 24+27+30+……….+111+114
Aceasta sumă nu este una Gauss, pentru că numerele nu sunt consecutive și nici nu pleacă din 1.
Observăm însă că îl putem da factor comun pe 3 si obținem suma:
S = 3 (8 + 9 + 10 + .... + 37 + 38)
In paranteză am avea o sumă Gauss, dacă am porni din 1, prin urmare adunăm numerele de la 1 la 7
și le și scădem, pentru a nu modifica ecuația. Rezultă
S = 3 [(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+... +37+38) – 1-2-3-4-5-6-7]
S = 3 [(38 39):2 – (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7)]
S = 3 [(19 39) – (7 8):2]
S = 3 (741 – 56:2)
S = 3 (741 – 28)
S = 3 713
S = 2139
h) 111+113+115+…….+413+415 Aceasta sumă nu este una Gauss, pentru că numerele nu sunt consecutive și nici nu pleacă din 1. De
asemenea, observăm ca nu putem da niciun factor comun. Prin urmare vom aplica metoda
contorului. Pentru aceasta trebuie să observăm din cât în cât cresc numerele. In cazul de față cresc
din 2 in 2. Vom scrie fiecare număr din cadrul sumei ca fiind un produs de 2 y + 1, unde y va
diferi de la un numar la altul, iar 2, care este contorul, stă pe loc. Prin urmare vom avea:
111 = 2 55 + 1
113 = 2 56 + 1
115 = 2 57 + 1
.
.
.
415 = 2 207 + 1
S = (2 55 + 1) + (2 56 + 1) + (2 57 + 1) + .... + (2 207 + 1)
Desfacem parantezele și regrupăm termenii adunării astfel:
S = 2 55 + 2 56 + 2 57 + .... + 2 207 + 1 + 1 + 1 + ... + 1
1 se adună de (207 – 55 + 1) ori, pentru că nu pleacă din 1, se ia valoarea de la ultimul termen, se
scade valoarea primului termen și se adună 1 pentru a-l lua în calcul și pe acela, deci 1 se adună de
153 ori.
Dăm factor comun pe 2:
S = 2 (55 + 56 + 57 + ... + 207) + 153
În paranteză putem obține o sumă Gauss, dacă pornim din 1, deci vom aduna și vom scădea
numerele de la 1 la 54 pentru a obține această sumă Gauss.
S = 2 [(1 + 2 + 3 + .... + 54 + 55 + ... + 207) – (1 + 2 + 3 + ... + 54)] + 153
S = 2 [(207 208) : 2 – (54 55) : 2] + 153
S = 2 (21528 – 1485) + 153
S = 40086 + 153
111
S = 40239
2.Se dă șirul de numere naturale 2,6,10,14,18,……..
a) Care este al 38-lea termen ?
b)Al câtelea termen este 102?
c) Calculați suma primilor 38 termeni.
a) Pentru a afla al 38-lea termen, trebuie să vedem care este modul de creștere al numerelor.
Observăm că numerele cresc din 4 in 4, deci contorul este 4. Scriem fiecare număr astfel:.
2 = 4 0 + 2
6 = 4 1 + 2
10 = 4 2 + 2
14 = 4 3 + 2
...
Observăm că numărul 14, care este al 4-lea număr, este format din 4 3 + 2.
Prin urmare, al 38-lea număr va fi 4 37 + 2 = 150
b) Numărul 102 se va scrie
102= 4 x + 2, de unde x=25
Deci 102 este al 26-lea termen.
c ) Suma primilor 38 de termeni va fi
S = 2 + 6 + 10 + .... + 150
Contorul este 4, așa cum s-a văzut mai sus, deci suma S va fi:
S = (4 0 + 2) + (4 1 + 2) + (4 2 + 2) + ... + (4 37 + 2)
S = 4 0 + 4 1 + 4 2 + ... + 4 37 + 2 + 2 + 2 + ... + 2
2 se adună de (37 + 1) ori, pentru că nu pleacă din 1, se ia valoarea de la ultimul termen și se adaugă
1, deci 2 se adună de 38 ori
Dăm factor comun pe 4:
S = 4 (1 + 2 + 3 + ... + 37) + 2 38
S = 4 [(37 38) : 2] + 76
S = 4 703 + 76
S = 2888
112
Teoreme de medie in calculul integral. Aplicații
Iancu Costin& Safta Andi
Colegiul ”Spiru Haret” Ploieşti,
Îndrumător: Profesor Ion Badea
T1: f, g : [a,b] → R integrabile si g(x)≥0 ( ) x [a,b] =>(∃) μ [m,M] a.i. ∫ ( ) ( )
= μ
∫ ( )
dx unde m=inf f(x), M=sup f(x)
x [a,b] x [a,b]
DEM: f integrabila => f marginita => (∃) m,M R a.i. m ≤ f(x) ≤ M / ( )
x [a,b]; g ≥ 0 => mg(x) ≤ f(x)g(x) ≤ Mg(x) => m∫ ( )
≤ ∫ ( ) ( )
≤ M∫ ( )
a) Daca ∫ ( )
= 0 => μ arbitrar - oricare din [m,M]
b) Daca ∫ ( )
> 0 => m ≤
∫ ( ) ( )
∫ ( )
≤ M => μ = ∫ ( ) ( )
∫ ( )
g(x)≠0
C1: f,g:[a,b] → R , f continua pe [a,b] , g integrabila pe [a,b] si
g(x) ≥ 0 ( ) x [a,b] => (∃) c (a,b) a.i. ∫ ( ) ( )
= f(c)∫ ( )
Dem: f continua => (∃) u,v [a,b] a.i. f(u) = m, f(v)=M (m,M marginite)
a) Daca ∫ ( )
= 0 => c – orice numar
b) Daca ∫ ( )
> 0 => (∃) c [a,b] a.i. f(c) = μ =
∫ ( ) ( )
∫ ( )
C2: f:[a,b]→R integrabila => (∃)μ [m,M] a.i. ∫ ( )
=μ(b-a) (g=1)
C3: f:[a,b] → R continua => (∃) c (a,b) a.i. ∫ ( )
= f(c)(b-a)
T2: f,g : [a,b] → R , f continua, g(x) ≥ 0, g descrescatoare pe [a,b] => (∃) c [a,b] a.i.
∫ ( ) ( )
= g(a)∫ ( )
T3 (Weierstrass): f,g : [a,b] → R , f continua, g monotona => (∃)
c [a,b] a.i. ∫ ( ) ( )
= g(a)∫ ( )
+ g(b)∫ ( )
Dem: g - descrescatoare, h(x)=g(x)-g(b) – descrescatoare i h(x) ≥ 0 ( ) x [a,b] => c [a,b] a.i.
∫ ( ) ( )
= h(a)∫ ( )
<=> ∫ ( ), ( ) ( )-
= [g(a)-g(b)]∫ ( )
<=>
∫ ( ) ( )
= g(a)∫ ( )
+ g(b)∫ ( )
APLICATII
1: f : [0,1] → R continuă și 2∫ ( )
= 1. Aratati ca (∃) x0 (0,1) a.i. f(x0) = x0
S: h : [0,1] → R; h(x) = f(x) - x => ∫ ( )
= 0 (1)
TM => (∃) x0 (0,1) a.i. ∫ ( )
= h(x0) (2)
Din (1) si (2) => f(x0) = x0
2: f : [0,1] → R continua și 2015∫ ( )
= 1 => (∃) c (0,1) a.i.
f(c) =
S: h(x) = f(x) - continua si ∫ ( )
= 0 (1)
TM => (∃) c (0,1) a.i. ∫ ( )
= h(c) (2)
113
Din (1) si (2) => h(c)=0 f(c) =
3: p : R → R , p(x)=∑
(∃) c (0,1) a.i. a0+
+
+...+
=p(c)
S: ∫ ( )
a0 +
+
+...+
(1)
TM => (∃) c (0,1) a.i. ∫ ( )
= p(c) (2)
Din (1) si (2) => a0+
+
+...+
=p(c)
4: f : [0,1] → R continua a.i. ∫ ( )
=
=> (∃) x0 (0,1) a.i.
f(x0) = sin x0
S: g(x) = f(x) –sin x continua si ∫ ( )
= 0 (1)
TM => (∃) x0 (0,1) a.i. ∫ ( )
= g(x0) (2)
Din (1) si (2) => f(x0) = sin x0
5: f : [0,1] → R s ∫ ( )
2a+3b+6c. Aratati ca (∃) x0 (0,1) a.i.
f(x0) =a +b +c
S: g( )=6[f(x)-(a +bx+c) => ∫ ( )
0 (1)
TM => (∃) x0 (0,1) a.i. ∫ ( )
= g(x0) (2)
Din (1) si (2) => g(x0) = 0 <=> f(x0) =a +b +c
6: Care din integralele ∫
∫
a>1 este mai mare ?
S: TM => ∫
= c* ∫
c [0,
] ; f(x)=x s.c. =>
f(c)<
<1
7: f : [0,1] → R derivabila cu derivata continua => (∃) c (0,1) a.i. ∫ ( )
= f(0)+
f’(c)
S: ∫ ( )
= (x-1)f(x)|
- ∫ ( ) ( )
TM => (∃) c (0,1) a.i. ∫ ( ) ( )
=f’(c)∫ ( )
= -
f’(c)
8: f : [0,1] → R d f’’ continua pe [0,1] => (∃)
c (0,1) a.i. ∫ ( )
= f(0)+
f’(0)+
f’’(0)
S: ∫ ( )
= (x-1)f(x)|
- ∫ ( ) ( )
( ) -
( )
f’(x)|
+ ∫ ( )
( )
= f(0) +
( )
+
( )
TM => (∃) c [0,1] a.i. ∫
( )
( )
=f’’(c)∫ ( )
=
( )
9: f : [a,b] → R crescatoare pe [a,b]. Aratati ca ( ) x (a,b) are loc :
∫ ( )
≤
∫ ( )
≤
∫ ( )
g(x)=
∫ ( )
; x (a,b] h(x)=
∫ ( )
; x [a,b)
S: g’(x)= ( )( ) ∫ ( )
( ) h’(x)=
( )( ) ∫ ( )
( )
TM => g’(x)≥0, h’(x)≥0 => g,h crescatoare
114
Daca x (a,b) =>g(x) ≤ g(b), h(a) ≤ h(x), cu h(a)=g(b)
10: f : [0,1] → R derivabila cu derivata continua, f’(x) ≠0 ( ) x [0,1] s ∫ ( )
=0. Aratati ca
exista c [0,1] a.i. c*f(0)=(c-1)f(1)
S: f’(x)≠0, f’ are D => f’ are semn constant pe [0,1] => f strict monotona
T3 (W) => (∃) c [0,1] a.i. ∫ ( )
=f(0)∫
+ f(1)∫
f(0)*c + f(1)(1-c) = 0 => c*f(0)
= (c-1)f(1)
Bibliografie:
• Mircea Ganga - Teme și probleme de matematică – culegeri de probleme de matematica si
fizica serie, Editura Didactică și Pedagogică , București 1991
• D.M. Batinetu – Exercitii si probleme de analiza matematica , Editura Didactică și
Pedagogică București 1981
• Nicolae Musuroia, Gheorghe Boroica – Matematică de excelență, Editura Didactică și
Pedagogică București 1991
115
Thales şi teoremele lui
Cotea Gabriela
Şcoala Gimnazială “Ştefan Cel Mare” Alexandria
Profesor Îndrumător: Mihai Ioana
Când a apărut matematica? Oare e posibil să răspundem la această întrebare? În orice
cultură, există semne că matematica a fost folosită de oameni încă din cele mai vechi timpuri pentru
a face calendare, pentru a construi piramide, pentru a diviza parcelele de pământ, şi, să nu uităm,
aveau nevoie de matematică pentru a număra diverse lucruri. Aşadar, sunt o mulţime de dovezi
evidente că oamenii de oriunde foloseau matematica, dar e greu de spus cât de adânci erau studiile
teoretice despre matematică.
Prima persoană care şi-a pus întrebări despre natura universului şi a dat răspunsuri care nu
luau în considerare zeii şi demonii a fost un filozof grec, pe nume Thales. El a trăit între anii 624 –
546 î.e.n., cam în vremea când Nebuchadnezzar era rege în Babilon. S-a născut în Grecia Antică, în
oraşul Milet, care astăzi este localizat pe coasta Turciei. Deşi nici una dintre scrierile lui nu a fost
găsită, cunoaştem munca sa din scrierile altora. A fost considerat unul din Cei Şapte Înţelepţi –
şapte oameni care au trăit între anii 620 – 550 î.e.n., şi care, prin înţelepciunea lor, s-au distins ca
legislatori, conducători, sfetnici sau autori de maxime. Era renumit nu numai pentru studiile în
domeniul matematicii, dar şi în alte domenii. De fapt, mulţi îl consideră ca fiind primul filozof. În
fine, Thales este considerat părintele ştiinţelor în Grecia.
Ca astronom, Thales este primul care a afirmat că Luna primeşte lumina de la Soare.
Diogenius Laertius, în cartea „Vieţile şi opiniile marilor filozofi” ne spune că „Thales a fost primul
care a determinat cursa soarelui de la un solstiţiu la celălalt şi a declarat că mărimea soarelui ar fi a
720–a parte din cercul solar, şi mărimea lunii ar fi aceeaşi fracţie din cercul lunar. Se spune că el a
descoperit cele patru anotimpuri ale anului şi l-a împărţit în 365 de zile”.
Dar, faima lui Thales ca astronom s-a păstrat de-a lungul veacurilor mai ales prin prezicerea
eclipsei de Soare din anul 585 î.e.n, despre care ne povesteşte Herodot: Thales i-a sfătuit pe
conducătorii grecilor să lanseze atacul asupra perşilor în ziua când eclipsa se va produce. Atunci,
oştirile vrăjmaşe, înspăimântate de acest fenomen (de care nu avuseseră cum să ia cunoştinţa), au
părăsit în grabă câmpul de luptă.
Această îndeletnicire a lui Thales are legătură şi cu următoarea anecdotă ce apare în una din
scrisorile lui Platon (sec. 4 î.e.n.): într-o noapte, Thales se plimba privind stelele şi, absorbit de
gânduri, a căzut într-o groapă. O bătrânică, văzându-l, i s-a adresat atunci cu dojana: „Cum poţi să
ştii ce se află în cer dacă nu ştii ce se află la picioarele tale?”
Thales este fondatorul uneia din cele mai vechi şcoli filosofice ale Antichităţii, numită
Şcoala ionică din Milet, sau Şcoala milesiană, de orientare fizicalistă, deci aplecată asupra naturii
(phisis), bazată pe un materialism spontan. Începând cu şcoala ionică, filosofia greacă va căuta să
stabilească elementul fundamental (generator) al lumii – arhón (arché). Thales a fost primul filozof
grec care a introdus noţiunea de element material primar al tuturor lucrurilor şi fenomenelor
cosmice şi pe care l-a identificat ca fiind apa. Importanţa apei în viaţă şi în natură a fost, probabil,
principalul motiv care l-a condus pe Thales la această concluzie. Cei mai deosebiţi elevi ai săi au
fost Anaximander, Anaximenes, Anaxagoras. Cu totul, Şcoala ionică a durat peste o sută de ani.
Hieronymus din Rhodos ne povesteşte cum a măsurat Thales piramidele din Egipt folosind
umbrele (a determinat momentul zilei în care umbra noastră este egală cu înălţimea). Călătoriile în
Egipt l-au determinat să aprofundeze studiul geometriei. Teoremele geometrice elaborate de el au
constituit temelia matematicii greceşti.
Thales a demonstrat că:
un cerc este împărțit în două părți egale de diametru;
unghiurile bazei unui triunghi isoscel sunt congruente;
unghiurile opuse la vârf sunt congruente;
116
un triunghi este determinat dacă sunt date o latură și unghiurile adiacente ei;
unghiul înscris într-un semicerc este unghi drept;
paralela dusă la una dintre laturile unui triunghi formează segmente proporționale pe
celelalte două laturi ale triunghiului dat.
Noi am făcut cunoştinţă cu aceste noţiuni demonstrate de Thales în clasele a VI-a şi a VII-a. Iată
câteva figuri geometrice evidenţatoare realizate în orele de matematică la clasă:
=
Aceste cunoştinţe ne ajută nu numai pentru a fi pregătiţi la şcoală, pentru diverse examene, dar
şi în viaţa de zi cu zi.
De exemplu, măsurarea înălţimii unui copac, notat cu AB, de lungime x:
Într-o zi cu soare, luăm un băţ de o lungime cunoscută, notată a, de exemplu, 30 cm. Îl notăm
MN. Îl aşezăm perpendicular pe sol, vertical, astfel încât umbra vârfului copacului să coincidă cu
umbra vârfului băţului nostru. Acest punct îl notăm cu P. Măsurăm distanţele de la acest punct la
baza băţului, respectiv baza copacului, adică lungimea segmentelor notate cu PN, PB. Valorile le
notăm cu b, respectiv c. Eu am obţinut 210 cm, respectiv 240 cm. Am obţinut astfel două
triunghiuri asemenea: ABP şi MNP, unde AB II MN. Aplicăm Teorema lui Thales şi, de aici, e
foarte simplu, nu?
117
X
a {
b
Thales a fost unul dintre cei mai importanţi oameni ai timpului său, atât ca filozof şi om de
ştiinţă cât şi ca om de stat şi legiuitor prin maximele şi zicerile sale. A murit la o vârstă înaintată în
timpul unor manifestări sportive datorită căldurii excesive. Pe mormântul său este o inscripţie care
spune: „Aici, într-un mormânt strâmt zace marele Thales; totuşi renumita sa înţelepciune a ajuns la
ceruri”.
Probabil că nu a fost primul matematician care a trăit vreodată, dar ideile sale au fost suficient
de puternice încât numele şi descoperirile sale au supravieţuit timpului.
Bibliografie:
https://www.youtube.com/ (Thales: Biography of a Great Thinker)
https://www.wikipedia.com (Thales din Milet)
Lumea antică si mathematică / Toma, Marina –Bucureşti, Matrix Rom, 2010
c
