nicustus.files.wordpress.com Naţional de Matematică “Magia Numerelor”ediţia a V –a,...

MINISTERUL EDUCAŢIEI NATIONALE

UNIVERSITATEA DIN

PITEŞTI

ŞCOALA GIMNAZIALĂ

„GH. POPESCU” MĂRGINENI-OLT

INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEŢEAN

OLT

LICEUL TEORETIC „MIHAI VITEAZUL”

CARACAL

Concursul Naţional de Matematică “Magia Numerelor”ediţia a V –a, înscris în CAER, avizat de MEN, nr.24337/1/07.03.2014- poziţia 1056

7 IUNIE 2014

Clasa a III-a Subiectul 1 (10 puncte) Dacǎ 1 2 3 9 10a , 6 7 14 15b , 11 12 19 20c şi c= 11+ 12+…+19+20, atunci calculați-l pe 209 - -d c b b a .

Prof. înv. primar. Nadia GROZǍVESCU, Caracal, Olt Prof. înv. primar. Gheorghița COTEṬ, Caracal, Olt

Subiectul 2 (20 puncte) Aflaţi suma dintre descăzut, scăzător şi diferenţă/rest, dacă scăzătorul este de trei ori mai mare decȃt cȃtul numerelor 56 şi 7, iar diferenţa este cu 28 mai mare decat scăzătorul.

Prof. înv. primar Mariana BENESCU, Caracal, Olt Subiectul 3 (30 puncte) La o florărie s-au adus trandafiri, garoafe şi crizanteme. Ştiind că 505 nu sunt crizanteme, 465 nu sunt garoafe şi 870 nu sunt trandafiri, câte flori de fiecare fel s-au adus la florărie?

Prof. înv. primar Lilian CELMARE, Colonești, Olt Subiectul 4 (30 puncte) Doi fraţi împreună cu părinţii lor au suma vârstelor 56 de ani. Cu 2 ani în urmă, suma vârstelor lor era de 49 de ani. Ştiind că diferenţa de vârstă dintre cei doi părinţi este de 3 ani, ca şi diferenţa dintre cei doi fraţi, aflaţi câţi ani are fiecare membru al familiei.

Prof. înv. primar Mirela MAGU, Lugoj Prof. înv. primar Kortner TILORE, Lugoj

Notă: 10 puncte din oficiu Toate subiectele sunt obligatorii. Timp efectiv de lucru 2 ore


UNIVERSITATEA DIN

PITEŞTI

ŞCOALA GIMNAZIALĂ



OLT


CARACAL


7 IUNIE 2014

Clasa a IV-a Subiectul 1 (10 puncte) Aflați toate numerele naturale care pot înlocui pe a în relaţia: 20 14 95a .

Prof. Angela BANDEA, Comăneşti, Bacău

Subiectul 2 (20 puncte) Calculaţi suma numerelor de la 1 la 2014 care nu se împart exact la 5.

Prof. înv. primar Nadia GROZǍVESCU, Caracal, Olt

Subiectul 3 (30 puncte) Existǎ numere naturale abc astfel încȃt sǎ avem abc ab bc ca ? Justificați rǎspunsul!

Prof. înv. primar Gheorghița COTEṬ, Caracal, Olt Subiectul 4 (30 puncte)

Un comerciant vândut în prima zi 27

din cantitatea de roşii pe care o avea, a doua zi cu 17

mai mult decât în prima

zi iar a treia zi restul de 150 kg. Câte kilograme de roşii a avut la început comerciantul? Prof. înv. primar Lilian CELMARE, Colonești, Olt



UNIVERSITATEA DIN

PITEŞTI

ŞCOALA GIMNAZIALĂ



OLT


CARACAL


7 IUNIE 2014

Clasa a V-a

Subiectul 1 (10 puncte) În trei vase sunt 156 litri de apă. Dacă se răstoarnă din primul vas în al treilea 8 litri, în primul vas rămân cu 5 litri mai mult decât în al treilea, iar dacă la început se răstoarnă din al doilea vas în cel de-al treilea 4 litri, atunci în al doilea vas rămân cu 7 litri mai mult decât în al treilea. Aflaţi câţi litri sunt la început în fiecare vas.

Prof. Dana BADEA, Ploiești

Subiectul 2 (20 puncte) Ştiind cǎ 7 pixuri, 5 creioane și 12 cǎrți costǎ 58,50 lei, iar 7 creioane și 5 pixuri costǎ 19,50 lei, aflați cȃt costǎ 4 pixuri, 2 creioane și 9 cǎrți.

Prof. Agenna Nicoleta IONESCU, Bucureşti Subiectul 3 (30 puncte) Fie mulţimile

02014

6 1este pătrat perfect şi , 15 4

A abc b ac a bc

B mnp mnp m np

a) Verificaţi dacă numărul 891 aparţine mulţimii A b) Arataţi că media aritmetica a elementelor multimii A este un număr natural. c) Aflaţi A B

Prof. Andrei DOBRE, Ploiești Subiectul 4 (30 puncte) a) Fie mulţimile: 2 , A a a n n şi 2014 20145 b 2 si 5 b 3 B b Determinaţi .A B b) Arătaţi că numărul X care verifică relaţia de egalitate 1008 2 3 2012 20132014 2014 2013 2014 2014 2014 ... 2014 2014X este un pătrat perfect.

Prof. Iuliana TRAŞCĂ, Scorniceşti, Olt Notă: 10 puncte din oficiu Toate subiectele sunt obligatorii. Timp efectiv de lucru 3 ore


UNIVERSITATEA DIN

PITEŞTI

ŞCOALA GIMNAZIALĂ



OLT


CARACAL


7 IUNIE 2014

Clasa a VI-a Subiectul 1 (10 puncte) Arǎtați cǎ suma 2 3 20147 7 7 ... 7 se divide cu 2 .

Prof. Claudia POPA, Buzǎu Subiectul 2 (20 puncte) Ionuţ, Dan şi Mihai au depus ȋmpreunǎ o sumǎ de bani egalǎ cu cel mai mic cub perfect par de trei cifre. Ionuţ şi Dan au depus sume de bani direct proporţionale cu 3 şi 7, iar Dan şi Mihai au depus sume de bani invers proporţionale cu 0, 3 şi 0,1 6 . Sǎ se afle ce sumǎ de bani a depus fiecare.

Prof. Liliana ANTONESCU, Mioveni Subiectul 3 (30 puncte) a) Ştiind cǎ numǎrul natural 3 2 13n x x este divizibil cu 9, unde 3 2x şi 13x sunt numere scrise ȋn baza 10,

0x sǎ se arate cǎ numǎrul

106 9732 2 5 17 2a x x este pătrat perfect.

b) Stabiliţi dacǎ numǎrul 1 2 3 2014n x x x x este divizibil cu 31, ştiind cǎ x este cifrǎ ȋn sistemul de

numeraţie zecimal care verificǎ egalitatea 2, 0,5x x .

Prof. Liliana ANTONESCU, Mioveni Subiectul 4 (30 puncte) În triunghiul ABC , 2m BAC m ABC , 3 m ACB m ABC se construieşte AD

bisectoarea BAC , D BC , CE AD . Stabiliţi valoarea de adevǎr a propoziţiei:

„CD este bisectoarea ACE ”. Prof. Mariana RĂDULESCU, Mioveni



UNIVERSITATEA DIN

PITEŞTI

ŞCOALA GIMNAZIALĂ



OLT


CARACAL


7 IUNIE 2014

Clasa a VII-a Subiectul 1 (10 puncte) Demonstrați că numărul

1 2013 ori

1111...1de se divide cu 37.

Prof. Maia POROMBRICA, Cǎușeni, Moldova Subiectul 2 (20 puncte) Determinați perechile de numere reale ,a b care îndeplinesc condiția:

25 15 5 7 5a b b b a a b Prof. Iuliana TRAŞCĂ, Scorniceşti, Olt

Subiectul 3 (30 puncte) Să se demonstreze că într-un triunghi dreptunghic cu un unghi de 15 , înălţimea corespunzătoare ipotenuzei este 14

din lungimea ipotenuzei.

Prof. Anca NEGULESCU, Bucureşti Subiectul 4 (30 puncte)

Fie ecuaţia 1 1 1 1 1 1 2015.......2014 2013 2012 3 2 1x x x x x x x

, \ 1,2,3...., 2014x .

a) Arătaţi că 2015

2n nu este soluţie a ecuaţiei date.

b) Dacă \ 1,2,3...., 2014n este soluţie a ecuaţiei date, atunci arătaţi că

1 2 3 2014..... 50291 2 3 2014n n n n

Prof. Dana BADEA, Ploiești Notă: 10 puncte din oficiu Toate subiectele sunt obligatorii. Timp efectiv de lucru 3 ore


UNIVERSITATEA DIN

PITEŞTI

ŞCOALA GIMNAZIALĂ



OLT


CARACAL


7 IUNIE 2014

Clasa a VIII-a Subiectul 1 (10 puncte)

Fie *, ,x y z , astfel încȃt 2252x y

x ,

300y 2zy

, 3752z x

z . Sǎ se arate cǎ suma x y z nu este

pǎtrat perfect. Prof. Emilian DEACONESCU, Prahova

Subiectul 2 (20 puncte) Pe planul triunghiului dreptunghic ABC de ipotenuză BC se ridică perpendiculara VO , unde O este punctul de intersecţie al bisectoarelor unghiurilor triunghiului. Calculaţi aria laterală şi volumul tetraedrului VABC , ştiind că

49 AB BC cm , 50 BC AC cm şi 10 VM cm , unde VM BC , M BC . Prof. Liliana ANTONESCU, Mioveni, Argeş

Subiectul 3 (30 puncte) a) Calculaţi 22011 2012 2013 2014 1 2012n . b) Dacă 1 2 3 2014, , ,...,a a a a şi 3 3 3 3

1 2 3 2014+ ... 2009,a a a a n arătaţi că:

3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 31 2 3 2014 2 1 3 2014 2014 1 2 3 2013 ... ... ... + ... 2014a a a a a a a a a a a a a ,

unde n este numărul determinat la punctul a). Prof. Iuliana TRAŞCĂ, Scorniceşti, Olt

Subiectul 4 (30 puncte) Pe planul pătratului ABCD , de latură 10cm , se ridică perpendiculara AO de lungime 10 2 cm . Notăm cu M şi N proiecţiile punctului A pe planele BCO şi, respectiv, CDO . Punctul P este proiecţia lui M pe planul

ADO , iar punctul R este proiecţia lui A pe MN . Să se calculeze a) lungimile segmentelor PR şi AR ; b) măsura unghiului format de planele AMN şi ABCD .

Prof. Mariana RĂDULESCU, Mioveni, Argeş Notă: 10 puncte din oficiu Toate subiectele sunt obligatorii. Timp efectiv de lucru 3 ore


UNIVERSITATEA DIN

PITEŞTI

ŞCOALA GIMNAZIALĂ



OLT


CARACAL


7 IUNIE 2014

Clasa a IX -a M1

Subiectul 1 (10 puncte)

Considerăm numerele 29 4na n n , *n .

a) Rezolvați inecuația: 2 23 0,6 9 4n n n , *n . b) Determinați partea întreagă a numerelor. c) Demonstrați că prima zecimală a numerelor na este 6 .

Prof. Violeta ZOT, Beiuş, Bihor

Subiectul 2 (20 puncte) Pe laturile AB și AC ale triunghiului ABC se consideră punctele D și respectiv E , astfel încât

0DA DB EA EC

. Fie T punctul de intersecție a dreptelor DC și BE . Să se determine , cu proprietatea că TB TC TA

.

Prof. Simona CAP, Beiuş, Bihor Subiectul 3 (30 puncte) Să se rezolve inecuația: 3 22 3 6 3x x x x x , unde x reprezintă partea întreagă a numărului real x .

Prof. Valentin SMARANDACHE, Rm. Vâlcea Subiectul 4 (30 puncte)

Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale sistemul de ecuaţii

2

2

2

3,1,

1.

a bcb acc ab

Prof. Adrian STAN, Buzău



UNIVERSITATEA DIN

PITEŞTI

ŞCOALA GIMNAZIALĂ



OLT


CARACAL


7 IUNIE 2014

Clasa a IX -a M2

Subiectul 1 (10 puncte) În progresia aritmetică 1n na

de rație r se știe că 25 26 27 47 40a a a a . Să se calculeze suma primilor 30

de termeni ai progresiei date. Prof. Neculai STANCIU, Buzău

Subiectul 2 (20 puncte) Fie funcţia :f , cu proprietatea 4 10f f x x , x . Să se determine m astfel încât

8 ,f f f x x m x . Prof. Adrian STAN, Buzău

Subiectul 3 (30 puncte) Se consideră în plan punctele 1;2 , 3;6 , 5; 2A B C .

a) Să se determine coordonatele punctului E AC , astfel încât punctele B , G și E să fie coliniare, unde G este centrul de greutate al triunghiului ABC . b) Să se arate că vectorii AB

și AC

formează un unghi obtuz. c) Să se calculeze tg A .

Prof. DȂRSTARU Gheorghe, Buzău Subiectul 4 (30 puncte) a) Sǎ se afle minimul sumei a b c , știind cǎ:

90 99 110 2014, , ,ab bc ac a b c .

b) Rezolvați ecuația în mulțimea numerelor reale: 2 1 23 sinx x .

Prof. Iuliana TRAŞCĂ, Scorniceşti, Olt Prof. Daniela BURTOIU, Pitești



UNIVERSITATEA DIN

PITEŞTI

ŞCOALA GIMNAZIALĂ



OLT


CARACAL


7 IUNIE 2014

Clasa a X -a M1

Subiectul 1(10 puncte) a) Rezolvaţi în mulţimea numerelor complexe ecuația 2 2cos 1z t z , 0, 2t .

b) Dacă *z , astfel încât 1 2zz

, calculaţi 44

1zz

şi 88

1zz

.

c) Calculații 20482048

1zz

ştiind că 1 2zz

.

Prof. Nicolae ILE, Beiuş, Bihor Subiectul 2 (20 puncte)

Fie *, ,a b c şi a b c r . Dacă a b cdb c a

, să se arate că următoarea echivalenţă este adevărată

3 02

Re d a b c .

Prof. Costel ANGHEL, Negreni, Olt

Subiectul 3 (30 puncte) Fie ,a b astfel încât 5 11 17a b a şi 7 23 29a b b . Demonstraţi că 0a b .

Prof. Mihai DUMITRESCU, Potcoava, Olt Subiectul 4 (30 puncte) Fie , ,a b c numere reale strict pozitive. Să se arate că

33 3 3 2 2 2

3

a b ca b c a c b a c b c b a

a b c a b c

.

Gazeta matematica nr 3/2014 Notă: 10 puncte din oficiu Toate subiectele sunt obligatorii. Timp efectiv de lucru 3 ore


UNIVERSITATEA DIN

PITEŞTI

ŞCOALA GIMNAZIALĂ



OLT


CARACAL


7 IUNIE 2014

Clasa a X -a M2 Subiectul 1 (10 puncte) Există funcţii injective :f , cu proprietatea că 2 2 22 1 4 4 3 4 0f x x f x x ?

Prof. Daniel Alexandru ION, Craiova, Dolj Subiectul 2 (20 puncte) Sǎ se compare numerele: 3a , 3 2b , 2log 3c , 3log 2d .

Prof. Eduard BUZDUGAN, Slatina, Olt Subiectul 3 (30 puncte) a) Să se determine relaţia de ordine dintre numerele 226ln 3 şi 336ln 2 . b) Fie 1 2, , 1,1nx x x cu proprietatea că 1 2 1nx x x . Să se arate că:

2

2 2 21 2

1 1 11 1 1 2n

nx x x

.

Prof. Ionuţ IVĂNESCU, Craiova, Dolj Prof. Mihaela Mioara MIREA, Segarcea, Dolj

Subiectul 4 (30 puncte) a) Demonstrați următoarea egalitate: 0 1 1 0k k k k

n m n m n m m nC C C C C C C .

b) Calculați 2 2 20 12

n nn n n nC C C C .

Prof. Gheorghe CAP, Beiuş, Bihor Notă: 10 puncte din oficiu Toate subiectele sunt obligatorii. Timp efectiv de lucru 3 ore


UNIVERSITATEA DIN

PITEŞTI

ŞCOALA GIMNAZIALĂ



OLT


CARACAL


7 IUNIE 2014

Clasa a XI -a M1

Subiectul 1 (10 puncte) Fie funcţia :f , 2 cos3xf x e x .

a) Verificaţi relaţia: 4 13 0f x f x f x .

b) Scrieţi ecuaţia tangentei la graficul funcţiei f în punctul de abscisă 0 0x . Prof. Monica NASTE, Oradea, Bihor

Subiectul 2 (20 puncte) Considerăm matricea 3

10 10 0 1

a bA a

M .

a) Arătaţi că 1n , 10 10 0 0

n nn

n

a bA a

, determinând câte o relaţie de recurenţă şi condiţiile iniţiale pentru

şirurile 1n na şi 1n nb .

b) Folosind recurenţele determinaţi termenii generali na şi nb ai acestor şiruri şi precizaţi apoi pe nA . Prof. Marian VOINEA, București

Subiectul 3 (30 puncte) a) Calculaţi suma 2 11 2 3 ... n

nS x x nx , unde \ 1x .

b) Determinaţi 2 3 12 3 4lim 1 ...3 3 3 3nn

n

.

Prof. Dumitru SǍVULESCU, București Subiectul 4 (30 puncte)

Fie 1 2, , ..., 0,na a a astfel încât

11 2

1 2

...

...

x x xxn

xn

a a an

a a a

, x . Arătaţi că 1 2 ... na a a .

Prof. Florentin VIŞESCU, București Notă: 10 puncte din oficiu Toate subiectele sunt obligatorii. Timp efectiv de lucru 3 ore


UNIVERSITATEA DIN

PITEŞTI

ŞCOALA GIMNAZIALĂ



OLT


CARACAL


7 IUNIE 2014

Clasa a XI -a M2 Subiectul 1 (10 puncte)

Se consideră sistemul de ecuații2

12 14 1

x y zx y azx y a z

, cu a , și matricea 32

1 1 11 2 .1 4

A a a Ma

a) Să se determine a pentru care matricea A a este inversabilă.

b) Pentru \ 1,2a , să se rezolve sistemul dat. Prof. Angelica MIHAI, Caracal, Olt

Subiectul 2 (20 puncte) Se consideră funcția :f , 1xf x e x . a) Să se calculeze derivata funcției f . b) Să se determine intervalele de monotonie ale functiei f .

c) Să se arate că 2 2 2x xe e x x , pentru x .

Prof. Delia NAIDIN BASCH, Caracal, Olt Subiectul 3 (30 puncte) Se consideră numerele reale , ,a b c , funcția 3 2 3f x x x și determinanții

3 3 3

1 1 1A a b c

a b c ,

1 1 1B a b c

f a f b f c .

a) Să se arate ca - - -A a b b c c a a b c . b) Să se arate că A B . c) Să se arate că, pentru orice trei puncte distincte, cu coordonatele de pe graficul funcției f , aria triunghiului cu vârfurile în aceste puncte este un număr natural divizibil cu 3.

Prof. Adrian STROE, Caracal, Olt Subiectul 4 (30 puncte)

Fie functia : 0,f , 1f xx

și șirul 1n na

, cu

1

n

nk

f ka

k

.

a) Sǎ se demonstreze că funcția f este strict crescatoare pe intervalul 0, .

b) Să se demonstreze că

1 1 1 12 1 1 1 2k k k k k k

, *k .

c) Să se demonstreze că sirul 1n na

este mărginit.

Prof. Elena CHIṬU, Caracal, Olt Notă: 10 puncte din oficiu; Toate subiectele sunt obligatorii. Timp efectiv de lucru 3 ore


UNIVERSITATEA DIN

PITEŞTI

ŞCOALA GIMNAZIALĂ



OLT


CARACAL


7 IUNIE 2014

Clasa a XII -a M1 Subiectul 1 (10 puncte)

Fie :f , continuă. Demonstrați că 20 0

sin sinxf x dx f x dx

.

Prof. Daniela TACLIT, Slatina, Olt Subiectul 2 (20 puncte)

Se consideră : 0,1f derivabilǎ și 0 0f . Calculați 1

0

limn

xx f dxn

Prof. Daniela BURTOIU, Pitești Subiectul 3 (30 puncte) a) Fie , ,a b c , 0c şi : , 1 ,f a a c d o funcție continuă. Demonstrați că

1 1 1a a

a a

c df x dx dxd f x c

.

b) Calculați. 1

20142015lim

1

n

nn

xdxnx

.

Prof. Crina-Aurelia BERCOVICI, Beiuş, Bihor Subiectul 4 (30 puncte)

Se consideră matricea 1 10 1

A

și mulțimea kG A k .

a) Demonstrați că 10 1

k kA

, k .

b) Arătați că ,G este grup comutativ.

c) Demonstrați că grupul ,G este izomorf cu grupul , .

Prof. Maria NAGY, Dobresti, Bihor Notă: 10 puncte din oficiu Toate subiectele sunt obligatorii. Timp efectiv de lucru 3 ore


UNIVERSITATEA DIN

PITEŞTI

ŞCOALA GIMNAZIALĂ



OLT


CARACAL


7 IUNIE 2014

Clasa a XII -a M2

Subiectul 1 (10 puncte)

Se consideră șirul 2n nI

definit prin 3 1 1 3

1n n n

nI x x dx . Calculați lim ( 1)nn

n I

.

Prof. Daniela BURTOIU, Pitești Subiectul 2 (20 puncte)

a) Calculați primitiva funcției 15 9 6

5 3 2

1: 0; , ( )1

x x xf f xx x x

care se anulează în origine.

b) Calculați 1 4 2

01 4 4x x dx .

Prof. Valentin SMARANDACHE, Rm. Vȃlcea Subiectul 3 (30 puncte)

Fie 1007 sinsin cos 2014

xI dxx x

și ln ln 27

ln

3 ,81

x

x

xJ dx 0x .

a) Calculați integrala 1007 cossin cos 2014

xK dxx x

.

b) Calculați valoarea lui I . c) Găsiți valoarea lui J .

Prof. Cristina SMARANDACHE, Rm. Vȃlcea Subiectul 4 (30 puncte) Pe se consideră legea de compoziție 2014x y x y xy .

a) Arătați că mulțimea 1 ,2014

H

este o parte stabilă a lui în raport cu legea de compoziție

dată. b) Demonstrați că ,H este grup abelian.

c) Verificați că grupul ,H este izomorf cu grupul , . Prof. Nicoleta BORCEA, Rm Vȃlcea


Date post:	14-Mar-2018
Category:	Documents
Upload:	hoangtu
View:	222 times
Download:	3 times

nicustus.files.wordpress.com Naţional de Matematică “Magia Numerelor”ediţia a V –a,...

Documents