MOODLE ROMÂNIAMOODLE ROMÂNIAELEARNING - EDUCAŢIE - EVALUAREELEARNING - EDUCAŢIE - EVALUARE
Workshop - Clasa virtualăWorkshop - Clasa virtuală 23 februarie 201123 februarie 2011
http://edu.moodle.ro http://edu.moodle.ro
Workshop - Clasa virtualăWorkshop - Clasa virtualăRoman - SuceavaRoman - Suceava
Participanţi:Participanţi:
elevii clasei a IX – A elevii clasei a IX – A matematică- informatică prof. Adriana Petrovici
GRUPUL ŞCOLAR “VASILE SAV” – RomanGRUPUL ŞCOLAR “VASILE SAV” – Roman
elevii clasei a IX – B elevii clasei a IX – B matematică- informatică prof. Maria Guzu
COLEGIUL NAŢIONAL “MIHAI EMINESCU “– SuceavaCOLEGIUL NAŢIONAL “MIHAI EMINESCU “– Suceava
ECUAŢIA DE GRADUL ECUAŢIA DE GRADUL DOIDOI
2 0, , , ; 0ax bx c a b c R a
CE AM ÎNVĂŢAT ?CE AM ÎNVĂŢAT ?
Forma generală a ecuaţiei de gradul doi. Rezolvarea ecuaţiei de gradul al doilea (forme particulare şi
formă generală). Natura soluţiilor ecuaţiei de gradul doi. Relaţiile lui Viète. Formarea ecuaţiei de gradul doi când se cunosc soluţiile. Descompunerea trinomului de gradul al II-lea în factori
liniari.
Forma generalForma generalăă
2 0, , , ; 0ax bx c a b c R a
20 0, , ; 0b ax c a c R a 20 0, , ; 0c ax bx a b R a
20 0, ; 0b c ax a R a
Forme particulareForme particulare
Natura soluţiilor ecuaţiei de gradul Natura soluţiilor ecuaţiei de gradul doidoi depinde de semnul numaruluidepinde de semnul numarului ΔΔNatura soluţiilor ecuaţiei de gradul Natura soluţiilor ecuaţiei de gradul doidoi depinde de semnul numaruluidepinde de semnul numarului ΔΔ
Relaţiile lui Viète Relaţiile lui Viète
2 0, , , ; 0ax bx c a b c R a
1 2
1 2
bx x
ac
x xa
bS
ac
Pa
22 21 2 1 2 1 2
23 31 2 1 2 1 2 1 2
24 4 2 2 2 21 2 1 2 1 2
2 21 2 1 2 1 2
2
3
2
( ) ( ) 4
x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x
FORMULE UTILE !FORMULE UTILE !2 2 21 2
3 3 31 2
4 4 2 2 21 2
21 2
21 2
2
3
( 2 ) 2
4
4
x x S P
x x S PS
x x S P P
x x S P
x x S P
François VièteFrançois Viète (1540 – 1608) (1540 – 1608) François VièteFrançois Viète (1540 – 1608) (1540 – 1608)
François VièteFrançois Viète diplomat şi matematician francez, a fost unul dintre creatorii algebrei
mederne.
François VièteFrançois Viète diplomat şi matematician francez, a fost unul dintre creatorii algebrei
mederne.
Date numerele reale x1 şi x2 calculăm
este ecuaţia care are ca soluţii numerele date.
1 2 1 2,S x x P x x
02 PSxx
Formarea ecuaţiei de gradul doi Formarea ecuaţiei de gradul doi când se cunosc soluţiilecând se cunosc soluţiile Formarea ecuaţiei de gradul doi Formarea ecuaţiei de gradul doi când se cunosc soluţiilecând se cunosc soluţiile
unde x1 si x2 sunt soluţiile ecuaţiei
Descompunerea trinomului în factori liniariDescompunerea trinomului în factori liniari
212 xxxxacbxax
02 cbxax
15 minute de concentrare15 minute de concentrarepentru rezolvarea testului, pentru rezolvarea testului, feedbeak – ul la sfârsitul feedbeak – ul la sfârsitul
activitactivităţăţiiii !!! !!!
SĂ VERIFICĂM CE ŞTIM?SĂ VERIFICĂM CE ŞTIM?
CE VREM SĂ ÎNVĂŢĂM AZI ?CE VREM SĂ ÎNVĂŢĂM AZI ?
Cum aflăm, fară a rezolva ecuaţia de gradul doi, care sunt semnele soluţiilor ?
De cine depind semnele soluţiilor ecuaţiei de gradul doi ?
Cum analizăm natura şi semnele soluţiilor ecuaţiei de gradul doi atunci când coeficienţii sunt dependenţi de un parametru real ?
TITLUL LECŢIEITITLUL LECŢIEI Discuţia naturii şi semnelor soluţiilor ecuaţiei de gradul doi cu coeficienţi
reali
TITLUL LECŢIEITITLUL LECŢIEI Discuţia naturii şi semnelor soluţiilor ecuaţiei de gradul doi cu coeficienţi
reali
Semnul soluţiilor ecuaţiei de Semnul soluţiilor ecuaţiei de gradul doigradul doiSemnul soluţiilor ecuaţiei de Semnul soluţiilor ecuaţiei de gradul doigradul doi
0
0
0
0
0
0
0
0
Ştim din proprietăţile algebrice a numerelorreale că dacă:
0
0
0
Dată ecuaţia
Având in vedere proprietăţile amintite, cu ajtorul Având in vedere proprietăţile amintite, cu ajtorul cui putem stabili farcui putem stabili farăă a rezolva ecuaţia dacă soluţiile a rezolva ecuaţia dacă soluţiile xx11 şi x şi x22 au acelaşi semn sau semne contrare ? au acelaşi semn sau semne contrare ?
ÎNTREBARE ?ÎNTREBARE ?
2 0, , , ; 0ax bx c a b c R a
Semnul numSemnul număărulruluui i
Semnul numSemnul număărulruluui i
RĂSPUNS CORECT !RĂSPUNS CORECT !
PP
SS
Semnele soluţiilor ecuaţiei de gradul doi Semnele soluţiilor ecuaţiei de gradul doi depind de semnul numarelor P şi depind de semnul numarelor P şi SSSemnele soluţiilor ecuaţiei de gradul doi Semnele soluţiilor ecuaţiei de gradul doi depind de semnul numarelor P şi depind de semnul numarelor P şi SS
!!! !!! NATURA ŞI SEMNUL soluţiilor NATURA ŞI SEMNUL soluţiilor ecuaţiei de gradul doi depind de ecuaţiei de gradul doi depind de semnele numerelor semnele numerelor Δ, P, SΔ, P, S
!!! !!! NATURA ŞI SEMNUL soluţiilor NATURA ŞI SEMNUL soluţiilor ecuaţiei de gradul doi depind de ecuaţiei de gradul doi depind de semnele numerelor semnele numerelor Δ, P, SΔ, P, S
ΔΔ > 0 > 0 ( ( + + ))
P < 0P < 0 ( ( – – ))
S > 0S > 0 ++
S = 0 S = 0 00
S < 0S < 0 – –
P = 0P = 0S > 0S > 0 ++
S < 0S < 0 – –
P > 0P > 0 ( ( + + ))
S > 0S > 0 ++
S < 0S < 0 – –
ΔΔ = 0 = 0P > 0P > 0( ( + + ))
S > 0S > 0 ++
S < 0S < 0 – –
P = 0P = 0 S = 0S = 0 00
ΔΔ < 0 < 0 -- --
1 2 1 2 1 2 1 2, , , 0, 0,x x R x x x x x x 1 2 1 2 1 2 1 2, , , 0, 0,x x R x x x x x x
1 2 1 2 1 2 1 2, , , 0, 0,x x R x x x x x x
1 2 1 2 1 2, , , 0, 0x x R x x x x
1 2 1 2 1 2, , , 0, 0x x R x x x x
1 2 1 2 1 2, , , 0, 0x x R x x x x
1 2 1 2 1 2, , , 0, 0x x R x x x x
1 2 1 2 1 2, , , 0, 0x x R x x x x
1 2 1 2 1 2, , , 0, 0x x R x x x x
1 2 1 2, , 0x x R x x
1 2,x x R
Natura şi semnul soluţiilor ecuaţiei de gradul doiNatura şi semnul soluţiilor ecuaţiei de gradul doiNatura şi semnul soluţiilor ecuaţiei de gradul doiNatura şi semnul soluţiilor ecuaţiei de gradul doi
EXERCITIIEXERCITII
1. 1. Stabiliţi semnul soluţiilor fară a rezolva ecuaţiile:
2 5 0x x
2 7 3 0x x
23 7 2 0x x
23 5 2 0x x
ecuaţia are soluţii de semne opuse
ecuaţia are soluţii de acelaşi semn
ecuaţia are soluţii de semne opuse
ecuaţia are soluţii de acelaşi semn
1 1 20 ,x x x
1 20 , 0x x
1 1 20 ,x x x
1 20 , 0x x
SOLUŢIE CORECTĂ ?!SOLUŢIE CORECTĂ ?!
2 05 0
0
Px x
S
2 07 3 0
0
Px x
S
2 03 7 2 0
0
Px x
S
2 03 5 2 0
0
Px x
S
22. . Să se determine parametrul m pentru care soluţiile ecuaţiei sunt:
ambele pozitive de semne opuse ambele negative egale
EXERCIŢIIEXERCIŢII
2 2 3 0,x x m m R
m - ∞ 3 4 + ∞ΔΔ + + + + + + + + + + 0 - - - - - - - - - -
-
PP - - - - - - - - 0 + + + + + + + + + + + +
SS - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
SOLUŢIESOLUŢIE
ambele pozitive ΔΔ > 0 , P > 0 , S > 0 > 0 , P > 0 , S > 0 m
de semne opuse ΔΔ > 0 , P < 0 > 0 , P < 0 m ( - ∞. 3)
ambele negative ΔΔ > 0 , P < 0 , S < 0 > 0 , P < 0 , S < 0 m ( 3, 4)
egale negative ΔΔ = 0 , P > 0 , S < 0 = 0 , P > 0 , S < 0 m = 4
33. . Să discute natura şi semnele soluţiilor ecuaţiei
după valorile parametrul real m.
Algoritm de lucru:Algoritm de lucru:calculăm ΔΔ, SS şi PPstabilim semnele acestor numere într-un tablou comunanalizând semnele pe intrevalele rezultate din tabloul de semn stabilim natura şi semnele soluţiilor ecuaţiei
EXERCITIIEXERCITII
2 3 2 1 0,x x m m R
Aveţi timp de lucru 10 minute pentru exercitiul propus !
Rezultatele obţinute vor fi discutate şi prezentate
SĂ VERIFICĂM CE AM SĂ VERIFICĂM CE AM ÎNVĂŢAT?ÎNVĂŢAT?
Fie ecuaţia
determinaţi parametrul m aşa încât ecuaţia să aibă: soluţii reale pozitivesoluţii reale de semne opuse
Test de autoevaluareTest de autoevaluare
2 2 0,x x m m R
ECUAŢIA DE GRADUL DOI - ECUAŢIA DE GRADUL DOI - noţiuni de reţinut noţiuni de reţinut
Forma generală a ecuaţiei de gradul doi. Rezolvarea ecuaţiei de gradul al doilea (forme
particulare şi formă generală). Natura soluţiilor ecuaţiei de gradul doi. Relaţiile lui Viète. Formarea ecuaţiei de gradul doi când se cunosc soluţiile. Descompunerea trinomului de gradul al II-lea în factori. Discuţia naturii şi semnelor soluţiilor ecuaţiei de gradul
doi cu coeficienţii sunt dependenţi de un parametru real.
PREMIEREA CELOR MAI BUNI !PREMIEREA CELOR MAI BUNI !PREMIEREA CELOR MAI BUNI !PREMIEREA CELOR MAI BUNI !
FELICITARIFELICITARI ! ! FELICITARIFELICITARI ! ! FELICITARIFELICITARI ! !
http://edu.moodle.ro/
MULTUMIM MULTUMIM MOODLE ROMANIAMOODLE ROMANIA
şi şi colaborări de succes !colaborări de succes !
