TM curs 9

1

Modulaţia de amplitudine în cuadratură – MAQ (QAM) - pe lângă utilizarea sa ca atare, modulaţia de amplitudine în cuadratură (MAQ) s-a impus şi ca o metodă (tehnică) de implementare a modulării-demodulării a altor tipuri de modulaţii, de amplitudine, frecvenţă sau fază.

Modulaţia de amplitudine în cuadratură - MAQ

- ecuaţia unui semnal modulat MAQ este de forma:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2cos sinMAQ c cs t d t t d t tω ω= ⋅ − ⋅ (1)

în care d1(t), d2(t) sunt două semnale obţinute prin filtrarea a două semnale independente, d1,kuTs(t-kTS) şi d2,kuTs(t-kTS), modulate cu modulaţia PAM, având perioada de simbol TS; - semnalele d1(t) şi d2(t) sunt modulate BLD-PS pe două purtătoare ortogonale de aceeaşi frecvenţă, fc. - schema bloc de producere a semnalului MAQ este prezentată în Figura 1.

Figura 1 Schema bloc a modulatorului QAM

- semnalele modulatoare nefiltrate (semnalele PAM) pot lua 2 valori (1 bit/simb) sau mai multe valori (multibit/simb). - semnalele modulatoare trebuie filtrate cu o caracteristică RRC-TJ, pentru a asigura (după filtrarea complementară RRC de la recepţie) ISI = 0, la t = kTS, şi pentru a asigura performanţe optime în prezenţa zgomotului.

( ) ( ) ( )

( )

( )( ) ( )

( )

1; 0, 1 ;

cos 1 , 1 ;

0; 1

N

E R N N

N

N

1-= = N - ;N N

4 4

ω ω α

π απωω ω ω ω ω α ω α

α αω

ω ω α

∈ −

= ∈ − +

> +

(2)

- filtrarea, cu filtre formatoare TJ având ft = fN(1+α), furnizează semnalele modulatoare ale celor două ramuri, d1(t) şi d2(t) din (1), care sunt semnale continue. Lărgimea de bandă şi bandă de frecvenţă ale semnalului modulat QAM sunt date în (3) respectiv (4),

( ) ( )1 ; 1c N c NBF f f f fα α= − + + + (3)

( ) ( )2 1 1N sLB f fα α= ⋅ + = + (4)

- pentru descrierea principiului de demodulare vom presupune că relaţia de fază între semnalul purtător de la emisie, de pulsaţie ωp, şi un semnal purtător generat local la recepţie, cu pulsaţia ωL, este:

( ) ( )0L c ct t t t tω ω ω ω θ= + ∆ + Θ = + (5)

- schema bloc a receptorului MAQ este prezentată în Figura 2. În figură nu au fost descrise conexiunile de intrare în circuitele de recuperare a purtătorului local şi ale tactului de simbol. Aceste conexiuni vor fi precizate ulterior în acest capitol. - ecuaţiile ce descriu demodularea pentru cele două căi i(t), calea în fază, şi q(t), calea în cuadratură, sunt (6) şi (7). Prin ix(t) şi, respectiv, qx(t) s-au notat semnalele la ieşirile circuitelor multiplicatoare, iar prin i(t) şi c(t), semnalele de la ieşirile filtrelor trece-jos, de pe cele două căi. - demodularea QAM este similară cu demodularea coerentă de produs separată a celor două semnale BLD-PS.

TM curs 9

2

Figura 2 Schema bloc a receptorului MAQ

( )

( ) ( )

( )( ) ( ){ }

( )( ) ( ){ }cos cos sin sin

L

x

1 2

c c

r t Acos tt = =i

K

t tA d A dt + 2 t + t - t + 2 t + t

2K 2K

ω

θ θ θ θω ω⋅ ⋅

= −

(6)

( )

( ) ( )

( )( )( ) ( ){ }

( )( )( ) ( ){ }sin sin cos cos

L

x

1 2

c c

r t Asin tq t = =

K

t tA d A dt + 2 t + t t 2 t + t

2K 2K

ω

θ θ θ θω ω⋅ ⋅

= − −

(7)

- filtrele TJ suprimă componentele spectrale axate pe 2ωc iar semnalele la ieşirile lor sunt:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }

( ) ( )

cos sin1 2

1

Ai t = t t t td d

2K

Ai t t daca (t) 0d

2K

θ θ

θ

+

→ ⋅ →

(8)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }

( ) ( ) ( )

sin cos1 2

2

Aq t = t t t td d

2K

Aq t t daca t 0d

2K

θ θ

θ

−

→ − ⋅ →

(9)

- dacă circuitul de recuperare a purtătorului asigură un defazaj θ(t) → 0, atunci la ieşirile filtrelor formatoare se vor obţine semnale ce au, în momentele de sondare, valori proporţionale cu semnalele de date modulatoare. - efectele recuperării incorecte a purtătorului pot fi deduse din relaţiile (8), (9) şi constau în apariţia unei modulaţii "parazite" de amplitudine a semnalului util demodulat şi sumarea, peste acesta, a semnalului modulator al canalului în cuadratură (o interferenţă interpurtătoare), având şi el o modulaţie de amplitudine. De aceea, se impune ca θ(t) → 0. - circuitul de recuperare al semnalului de tact de simbol are rolul de a sincroniza semnalele generat local, pentru canalele în fază şi în cuadratură, fsi, fsc, cu semnalele de date demodulate. - folosind tactul de simbol sincronizat, semnalele d1(t) şi d2(t) sunt “citite” în momentele de sondare, momente în care nu sunt afectate de ISI, obţinându-se nivelele d1k şi respectiv d2k, - apoi, nivelele sunt introduse în circuitele de decizie, care comparându-le cu nivele permise, decid care din nivele permise a fost recepţionat, furnizând nivele estimate d1k* şi d2k

Utilizarea modulaţiei (tehnicii) MAQ pentru modularea-demodularea semnalelor

DPSK

- expresia semnalului DPSK în cea de a k-a perioadă de simbol este dată de, vezi cursul de DPSK,:

( ) ( )cos kcPSK Ts Ss A t + u t kT ;ω= −Φ (10)

- dacă prelucrăm expresia (10) obţinem expresia (11), care este reprezentarea unui semnal MAQ, dar cele două semnale modulatoare nu mai sunt semnale independente, ci satisfac condiţia (12) .

TM curs 9

3

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

cos

cos cos sin sin

cos sin

cos

sin

kcPSK Ts S

k kc cTs S Ts S

c cS S

kS k Ts S

kS k Ts S

s A t + u t kT

A u t kT t A u t kT t

I kT t Q kT t

I kT I A u t kT

Q kT Q A u t kT

ω

ω ω

ω ω

= − =Φ

= − − − =Φ Φ

= −

= = −Φ

= = −Φ

(11)

( )2 2 1k k Ts SI Q u t kT+ = ⋅ − (12)

Modularea DPSK utilizând tehnica MAQ - ca exemplu, vom prezenta generarea constelaţiei A4, reprezentată în Figura 3. În Tabel 1 sunt prezentate salturile de fază corespunzătoare dibitului de intrare ∆Φk, valorile semnalelor modulatoare Ik şi Qk, valorile dibitului de intrare a1a0 şi ale dibitului după conversia Gray-natural (CGN), b1b0, dibit care se obţine cu relaţia:

0 0 1 1 1; ;b a a b a= ⊕ = (13)

-1

0

-1

0

1

4-PSK Constelatia A4

00

01

11

10

1

1

1

Q

I

00

90°

180°

270°

0°

a1a0

Figura 3 Constelaţia de semnale A4

- Utilizând metoda QAM se generează o modulaţie absolută de fază, deoarece faza purtătorului se va modifica în raport cu faza purtătorului nemodulat. - De cele mai multe ori în literatură modulaţia APSK cu patru fazori (variantă A sau B) este denumită modulaţie QPSK.

a1a0 b1b0 Ik Qk ∆Φk

00 00 +1 0 0º 01 01 0 +1 90º 11 10 -1 0 180º 10 11 0 -1 270º

Tabel 1 Valorile semnalelor în punctele principale ale codorului DPSK-A4 pentru c1k-1

c0k-1

= 00

- pentru transformarea acestei modulaţii într-una diferenţială de fază, este necesară modificarea fazei absolute a semnalului modulat conform relaţiei (14),

( )1 mod360k k k− °Φ = Φ + ∆Φ (14)

- deoarece toate ∆Φk sunt multiplii de 90 º, (14) poate fi pusă sub forma:

( )1 1 mod 4mod 360

90

90 90 ( )k k

k k k k k k

N

N N N N N− −°

Φ = ⋅ °⇒

Φ = ⋅ ° + ∆ ⋅ ° ⇔ = + ∆ (15)

- presupunând că numerele Nk şi ∆Nk sunt reprezentate sub formă binară de către dibiţii c1kc0

k şi respectiv b1

kb0k, rezultă că ecuaţia (15) se poate rescrie sub forma :

( )1 1 1 11 0 1 0 1 0k k k k k k

c c c c b b− − − −= + (16)

- (15) şi (16) arată că pentru a obţine o modulaţie DPSK, dibitul cu care se comandă circuitul de calcul al coordonatelor Ik şi Qk se obţine prin precodarea diferenţială a dibitului modulator de date, după conversia Gray - Natural. - schema bloc a modulatorului DPSK, realizat prin tehnica MAQ, este prezentată în Figura 4.

TM curs 9

4

Figura 4 Schema bloc a modulatorului DPSK realizat prin tehnica MAQ -DQPSK

- nivele Ik şi Qk pot fi obţinute în mai multe feluri, de exemplu: • prin citirea lor dintr-un tabel (memorie), în funcţie de dibitul de date, caz în care şi conversia Gray-

natural este inclusă în această adresare; • prin utilizarea unui convertor D/A şi a unui circuit de calcul al biţilor cu care acesta este comandat.

- pentru limitarea benzii semnalului modulator şi eliminarea ISI în momentele de sondare, semnalele Ik şi Qk vor fi filtrate TJ cu o caracteristică RRC cu factor de exces de bandă α, filtru numit Filtru Formator de la

Emisie - FFE. - după filtrare se obţin semnalele nodulatoare continue I(t) şi Q(t). - expresia semnalului modulat transmis în linie este:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )cos ( )sin

cos

sin

S

S

DPSK c c

k T S filtrat

k T S filtrat

s t = I t t - Q t t

I t = A t - kT ;u

Q t = A t - kT ;u

ω ω

⋅Φ

⋅Φ

(17)

- la implementarea pe procesor de semnal, o perioadă de simbol este împărţită în N perioade de eşantionare. - operaţiile de codare, înmulţire cu purtătoarele şi sumare, trebuie executate pentru fiecare eşantion. În acest caz, la ieşire este necesar un filtru trece-jos analog pentru refacerea semnalului continuu din semnalul eşantionat, acest filtru trece jos trebuie să aibă o caracteristică de atenuare constantă şi o caracteristică de fază liniar variabilă în banda semnalului modulat, altfel nu se va putea asigura caracteristica Nyquist în receptor. - filtrarea TJ cu caracteristica RRC se efectuează cu o structură digitală FIR, în care se va introduce doar un eşantion având valoarea semnalului Ik, celelalte eşantioane corespunzătoare perioadei de simbol respective fiind egale cu zero, vezi cursul de PNS.

Filtrarea semnalului modulat QAM

- deoarece semnalul QAM este un semnal ML modulat cu semnale modulatoare rectangulare, limitarea benzii trebuie realizată cu cu o caracteristică RRC. Principial, aceasta poate fi implementată în două variante: • filtrare trece-bandă, plasată pe ambele ramuri după înmulţirea cu semnalele purtătoare sau după sumatorul

de ieşire; • filtrare trece-jos, aplicată semnalelor rectangulare Ik, Qk la ieşirea din codor. Această metodă este preferată

în majoritatea aplicaţiilor.

Demodularea semnalelor DPSK utilizând tehnica MAQ - demodularea semnalelor DPSK uilizând metoda MAQ se poate realiza în două variante: • variantă care utilizează filtre TJ pentru suprimarea componentelor spectrale de înaltă frecvenţă; • variantă care utilizează transformata Hilbert a semnalului recepţionat pentru a elimina componentele de

înaltă frecvenţă.

Demodulator DPSK-QAM cu filtre TJ

- utilizând (11), expresia semnalului DPSK recepţionat devine (18), în care prin I’(t) şi Q’(t) s-au notat semnalele modulatoare afectate de perturbaţiile şi distorsiunile canalului:

( ) ( ) ( )' '( )rPSK p p = I t cos t - Q t sin t ;s ω ω⋅ ⋅ (18)

- demodularea semnalelor DPSK poate fi realizată folosind demodularea QAM descrisă de relaţiile (6)…(9),

TM curs 9

5

adică o demodulare coerentă BLD-PS, prezentată în figura 5. - rescriind aceste ecuaţii pentru semnalul DPSK avem:

( )

( ) ( )

[ ] ( ){ }( )

( ) ( ){ }''

cos cos sin sin

L

x

c c

r t Acos tt =i

K

AQ tAI (t)= (t) + 2 t + t - t + 2 t + t

2K 2K

ω

θ θ θ θω ω

=

−

(19)

( )

( ) ( )

( )( ) ( ){ }

( )( ) ( ){ }

' 'sin sin cos cos

L

x

c c

r t Asin tq t =

K

AI t AQ t= t + 2 t + t t - 2 t + t

2K 2K

ω

θ θ θ θω ω

=

−

(20)

- prin suprimarea componentelor axate pe 2ωp de către filtrele TJ, semnalele de la ieşirile acestora au expresiile:

' cos ' sin ' . ;A A

i(t)= (I (t) (t) Q (t) (t)) I (t) pt (t) 02K 2K

θ θ θ+ → ⋅ → (21)

' sin ' cos ' . ;A A

q(t)= (I (t) (t) Q (t) (t)) Q (t) pt (t) 02K 2K

θ θ θ− → − ⋅ → (22)

- demodularea furnizează semnalele modulatoare filtrate I'(t) şi Q'(t) afectate de perturbaţiile canalului. - semnalele I’(t) şi Q’(t) sunt sondate cu tactul de simbol recuperat, obţinându-se nivelele modulatoare Ik’ şi Qk’ corespunzătoare celei de k-a perioadă de simbol; - aceste semnale sunt introduse în blocurile de decizie, care livrează valorile estimate I*k şi Q*k, ale nivelelor modulatoare; I*k şi Q*k aparţin alfabetului sursei. - nivelele decise I*k şi Q*k trebuie să fie coordonatele fazorului din constelaţie cel mai apropiat de fazorul recepţionat (care e cel mai probabil) şi de aceea blocul de decizie va calcula distanţele euclidiene dintre fazorul recepţionat şi fazorii constelaţiei şi va păstra coordonatele fazorului care se află la dE minim de fazorul recepţionat - nivele decise sunt introduse în decodor (demapper) pentru extragerea multibitului corespunzător; acesta execută operaţiile inverse celor trei operaţii executate de codorul din emiţător: • decodificarea biţilor sau demaparea, în urma căreia se obţine dibitul c1

kc0k estimat; această operaţie poate

fi realizată şi tabelar. • decodarea diferenţială, inversa lui (16), în urma căreia rezultă dibitul b1

kb0k estimat, reprezentat în cod

binar natural:

( )1 11 0 1 0 1 0 mod 4

k k k k k kb b c c c c

− −= − (23)

• conversia natural-Gray, obţinându-se astfel dibitul de date decodat, a1ka0

k. - schema bloc a demodulării semnalului DPSK cu un demodulator de tip QAM care foloseşte filtrarea TJ este prezentată în Figura 5.

Figura 5 Schema bloc a demodulatorului 4-DPSK realizat prin metoda QAM;

- dacă codarea şi decodarea sunt realizate pe DSP, conversia G-N nu este necesară, aceasta şi maparea fiind realizate tabelar.

- Demodulator DPSK-QAM cu transformată Hilbert – se va studia în anul IV la cursul de TD

Recuperarea şi sincronizarea purtătorului local

- pentru recuperarea purtătorului local, în locul variantei clasice de circuit PLL care determină eroarea de fază în funcţie de un semnal exterior de referinţă şi de semnalul generat local, este folosită o altă metodă de

TM curs 9

6

determinare a erorii de fază, dată de relaţia:

( ) ( )( ) ( )( )' * ' * * 2 * 2k k k k k k k

A Ae t I Q Q I Q I sin t sin t

2K 2K = ⋅ + = + θ = θ (24)

- relaţia (24) poate fi dedusă folosind (21),(22); prin I'(t), Q'(t) s-au notat semnalele de la ieşirea blocului de sondare, iar prin I*k, Q*k, cele de la ieşirea circuitului de decizie. Metoda utilizează nivele decise şi de aceea se numeşte „Decision Directed Carrier Recovery – DDCR”.

Figura 6 Schema bloc a receptorului DPSK cu metoda QAM

- schema bloc a circuitului care funcţionează pe acest principiu este prezentată în fig. 6 şi arată că bucla PLL se închide prin demodulator şi blocul de decizie. - pentru valori ale defazajului, θ(t) ∈ [-π/2, π/2], datorită legii de variaţie a funcţiei sinus, tensiunea de eroare nu mai este direct proporţională cu valoarea defazajului, doar semnul acesteia rămânând acelaşi cu semnul defazajului. - de aceea, folosirea unei bucle analogice PLL cu comandă proporţională a fazei pentru sinfazarea purtătorului local introduce erori deoarece, la defazaje mari, tensiunea de eroare nu mai este proporţională cu valoarea defazajului. - este recomandabilă folosirea unui PLL digital cu pas de fază constant, vezi cursul de BB, care este comandat numai de semnul tensiunii de eroare, aceasta având semnul defazajului pentru defazaje aparţinând gamei (-π/2, +π/2). - dacă însă valoarea defazajului iniţial aparţine intervalelor (-π, -π/2) sau (+π/2, +π), atunci circuitul PLL va modifica faza purtătorului local astfel încât să minimizeze tensiunea de eroare, ceea ce va conduce la apariţia unui defazaj constant de -/+ π. - deoarece unele circuite PLL introduc un defazaj de π/2 între semnalul local sinfazat şi cel recepţionat (de referinţă), rezultă că, în general, purtătorul poate fi sincronizat cu un defazaj de k·π/2, care, pentru k ≠ 0, nu poate fi eliminat de către circuitul de recuperare a purtătorului. Acest defazaj este denumit „nedeterminare de k·π/2”.

- datorită faptului că defazajul de k·π/2 este constant pe durata unei transmisii, el este eliminat de către operaţiile de precodare-decodare diferenţială utilizate pentru a obţine modulaţia diferenţială de fază. - în esenţă, sincronizarea purtătorului local se realizează în două etape: • extragerea semnalului de referinţă de fază, „recuperare”, care în figura 6 este realizată de blocul de calcul al tensiunii de eroare de fază şi filtrul TJ; • sincronizarea unui semnal generat local (sau a două semnale în cuadratură), sincronizarea propriu-zisă, care în figura 6 este reprezentată prin oscilatorul comandat în tensiune, OCT. De fapt această operaţie poate fi realizată prin circuitul PLL digital descris în cursul de BB, dacă se doreşte comanda fazei cu pas constant în funcţie de semnul tensiunii de eroare, sau cu un OCT analogic, dacă se doreşte comanda proporţională a fazei. - cu toate performanţele sale bune, acest circuit de recuperare a purtătoarei presupune o sincronizare corectă a tactului de simbol, pentru citirea corectă a valorilor Ik

’ şi Qk’ şi necesită valori ale SNR medii sau mari pentru

o probabilitate redusă de eronare a nivelelor decise Ik*, Qk*. - dacă tactul de simbol nu e corect recuperat (şi sincronizat) → valorile Ik* şi Qk* pot fi eronate → o

e k

A s i n ( ω l t )

I k

Q k

C i rc u i t re c u p e r a r e t a c t s i m b o l

E Q .

d e m o d

S O N D A R E

D E C I Z I E

D C D

C P S

C o m p . fa z ă

F T J

O C T

O C T

F T J

C o m p . f a z ă

C i rc u i t re c u p e r a r e p u r t ă t o r

I *k

r ( t ) I ’

Q ’

Q *k

k0a

k1a

d k

A c o s (ω l t )

e k

f s

TM curs 9

7

tensiune de eroare greşită, dată de (24) → o demodulare incorectă (datorită sincronizării incorecte a

purtătorului local) →recuperarea tactului de simbol este afectată; deci receptorul intră într-un „cerc

vicios”, având atât purtătorul local cât şi tactul de simbol sincronizate eronat. - această metodă de recuperare a purtătorului local poate fi utilizată doar dacă metoda folosită pentru

recuperarea tactului de simbol nu depinde de calitatea recuperării purtătorului.

Recuperarea şi sincronizarea tactului de simbol

- metode de recuperare a tactului de simbol vor fi studiate la cursul de A+PSK şi la materia Transmisiuni de Date.

Producerea celorlalte constelaţii DPSK cu ajutorul tehnicii QAM

Constelaţiile A2 şi B2

- deoarece aceste constelaţii implică salturi de fază ∆Φk=0º sau 180º şi respectiv, ∆Φk=+/-90º, care le definesc fazorii, expresiile semnalului 2-PSK, devin:

( ) ( )

( ) ( )

0

0

( ) cos

( ) sin

S

S

PSK -A2 p T S

k=

PSK -B2 p T S

k=

t = A t t - kT ; s u

t = A t t - kT ;s u

ω

ω

∞

∞

±

±

∑

∑ (25)

- valorile nivelelor modulatoare Ik şi Qk ale lui A2 şi B2 sunt prezentate în Tabel 2.

Constelaţie Bit Ik Qk

A2 0 +1 0

A2 1 -1 0

B2 0 0 +1

B2 1 0 -1

Tabel 2 Valorile lui Ik şi Qk pentru constelaţiile A2 şi B2

- modularea, demodularea şi schemele bloc ale tuturor prelucrărilor rămân aceleaşi cu cele din paragraful anterior, cu excepţia precodării diferenţiale, unde sumarea se face modulo 2 pe un bit. - eliminarea nedeterminării de k·90º este asigurată şi în acest caz de precodarea-decodarea diferenţială

Constelaţia B4

- generarea constelaţiei B4 implică efectuarea unei precodări diferenţiale modulo 8 pe trei biţi. - dibitul b1b0 rezultat după conversia Gray-natural este convertit în tribitul c2c1c0, în care:

2 1

1 0

0 "1"

k k

k k

k

c b

c b

c

=

=

=

(26)

- setarea bitului c0=„1” este echivalentă cu rotaţia de 45º, impusă de această constelaţie. - Tribitul c2c1c0 este utilizat pentru generarea nivelelor ce trebuie atribuite semnalelor Ik şi Qk, care sunt date în Tabel 3.

Dibit→ 00 01 10 11 Ik +√2 -√2 -√2 +√2 Qk +√2 +√2 -√2 -√2

Tabel 3 Valorile Ik şi Qk pentru constelaţia B4

- restul operaţiilor necesare modulării-demodulării acestei constelaţii cu ajutorul tehnicii MAQ, sunt identice cu cele ale constelaţiei A4 (QPSK), cu menţiunea că şi decodarea diferenţială trebuie efectuată modulo 8, pe trei biţi. - după demapare şi decodarea diferenţială, doar cei mai semnificativi doi biţi, care corespund salturilor de k·90º, vor fi utilizaţi pentru operaţiile ulterioare.

Constelaţia A8

- modularea-demodularea lui A8 sunt implementate similar cu cele ale lui A4 cu următoarele diferenţe:

TM curs 9

8

- valorile semnalelor Ik şi Qk, în funcţie de valorile tribitului de date c2c1c0 sunt date în Tabel 4 - sumarea din cadrul precodării-decodării diferenţiale se face modulo 8 pe trei biţi.

c2c1c0 → 000 001 010 011 100 101 110 111

Ik +√2 +1 -√2 0 -√2 -1 +√2 0

Qk +√2 0 +√2 +1 -√2 0 -√2 -1

Tabel 4 Valorile nivelelor Ik şi Qk pentru constelaţia A8.

Distribuţia spectrală a semnalelor QPSK

- distribuţia spectrală a semnalelor de tip QPSK, şi a tuturor celorlalte constelaţii DPSK generate cu QAM depinde de frecvenţa de simbol şi şi este exprimată de (27) pentru nivele modulatoare nefiltrate.

( )

( )

( )

2

2 2sin

; ;

p

sn

s p

s

f f

fA VS f

f Hzf f

f

π

π

−

= ⋅ −

(27)

- spectrul, reprezentat în Figura 7, prezintă un lob central, axat pe frecvenţa purtătoare (k = 0), a cărui lărgime de bandă este 2·fs şi a cărui valoare maximă este SM0, şi lobi laterali, a căror maxime SM,k apar la frecvenţele fM,k şi sunt date de relaţiile (28) Loburile sunt delimitate de nuluri spectale care apar la frecvenţele fm,k. Se observă că amplitudinile lobilor laterali scad destul de încet odată cu creşterea numărului lor de ordine.

( )

,

,

2

,0

, ,0 2

; 0;

; 0;2

4

2 1

m k c s

sM k c s

M

s

M k M

f f k f k

ff f k f k

AS

f

S Sk π

= ± ⋅ ≠

= ± ⋅ + ≠

=

= ⋅+

(28)

fc-3fs fc-2fs fc-fs fc fc+fs fc+2fs fc+3fs-50

-40

-30

-18

-13

0

f

10lo

g 10(S

n(f))

fM,-2fM ,1

fM,0 fM,1fM ,2

SM ,2

SM,1

SM,0

SM,-1

SM ,-2

a)Spectru DPSK teoretic

b) Spectru măsurat, nefiltrată(rosu) şi filtrată cu RRC(albastru)

α=0.5

Figura 7 Distribuţia densităţii spectrale de putere a semnalelor QPSK;

- pentru încadrarea în banda canalului, semnalul se filtrează cu o caracteristică RRC(α), care atenuează lobii laterali ai spectrului; semnalul filtrat (vezi Figura 7) are banda dată de (3).

Variante ale modulaţiei QPSK

- din cele arătate în cursul de DPSK şi mai sus, rezultă că faza absolută a semnalelor (D)QPSK prezintă variaţii de fază de 180º.

TM curs 9

9

- filtrarea acestor semnale cu o caracteristică (R)RC introduce o modulaţie de amplitudine, vezi cursul de DPSK. Amplitudinea semnalului modulat şi filtrat A(t) prezintă minime ale căror valori depind de saltul de fază ∆Φk:

min

2 2

( ) cos ;2

;

k

k k

A t A

A I Q

∆Φ=

= +

(29)

- pentru ∆Φk = 180º amplitudinea va avea pentru scurt timp valoarea nulă, iar într-o jumătate de perioadă de simbol va face excursia de amplitudine maxim posibilă, de la 0 la A. - dar în transmisiile radio care utilizează amplificatoare RF neliniare, caracteristicile AM-AM şi AM-PM, ale acestor amplificatoare produc “împrăştierea” spectrului de frecvenţe ale semnalului modulat. - aceasta are ca efect refacerea lobilor spectrali laterali, exteriori benzii de frecvenţă permise, care au fost filtraţi înainte de amplificarea RF, fenomen numit “refacere spectrală - spectral regrowth”. În plus, mai apare şi distorsionarea componentelor spectrale din banda utilă. - de aceea se recomandă utilizarea semnalelor DPSK sau QPSK numai pe canale ce utilizează amplificatoare liniare. - pentru canalele de radio şi/sau satelit, amplificatoarele liniare de radiofrecvenţă nu sunt eficiente în putere şi de aceea se folosesc amplificatoare în clasă C, care sunt mai eficiente în putere, dar nu prezintă o caracteristică de amplificare liniară. - pentru aceste canale au fost elaborate variante ale QPSK care să aibă lobi laterali cât mai mici posibil şi să prezinte variaţii reduse ale anvelopei semnalului filtrat. - aceste cerinţe pot fi satisfăcute dacă faza absolută a semnalului modulat nu va prezenta salturi de 180º pe o

perioadă de simbol, şi astfel amplitudinea semnalului modulat nu va varia între 0 şi A într-o perioadă de

simbol T.

- un alt parametru important al unui semnal modulat, care influenţează comportarea semnalului la trecerea prin amplificatoare RF neliniare, este PAPR, raportul între puterea de vârf şi puterea medie (“Peak-to-Average Power Ratio”) pe perioada unui simbol. - pentru ca fenomenul de refacere spectrală să fie cât mai redus trebuie ca acest raport să fie cât mai apropiat de 1 (0 dB). - cele mai folosite variante ale modulaţiei QPSK care satisfac aceste cerinţe sunt modulaţia QPSK deplasată (Offset QPSK – OQPSK) şi modulaţia π/4-QPSK.

Offset QPSK – OQPSK

- pentru a evita salturile de fază de 180º, de la un simbol la altul, ce apar la modulaţia QPSK, în cazul modulaţiei OQPSK (“Offset QPSK”) valorile semnalelor modulatoare Ik şi Qk nu se modifică în acelaşi moment de timp, la începutul perioadei de simbol. - momentele de schimbare ale valorilor semnalelor modulatoare sunt decalate unul faţă de altul cu o jumătate de perioadă de simbol, aşa cum se arată în Figura 8. - aceasta face ca salturile de 180º ale fazei absolute să fie realizate în doi paşi, aşa cum este exemplificat în figura 8 pentru saltul de la faza absolută 45º la faza absolută 225º - în prima jumătate a perioadei de simbol se emite fazorul de coordonate (-√2;+ √2), ceea ce produce un salt de fază de 90º; - în a doua jumătate a perioadei de simbol se emite fazorul de coordonate (-√2;- √2), ceea ce produce un al doilea salt de fază de 90º; - deoarece nu mai are loc un salt de fază de 180º, amplitudinea semnalului filtrat nu mai atinge valoarea zero, iar variaţia amplitudinii pe o perioadă de simbol scade semnificativ. Parametrul PAPR scade semnificativ faţă de cel asigurat de modulaţia QPSK.

TM curs 9

10

4Ts3Ts2TsTs

7Ts/25Ts/23Ts/2Ts/2

Ik

Qk

t

t

+√2

-√2

+√2

-√2

QPSK şi OQPSK

QPSK OQPSK

4Ts3Ts2TsTs

7Ts/25Ts/23Ts/2Ts/2

Ik

Qk

t

t

+√2

-√2

+√2

-√2

QPSK şi OQPSK

QPSK OQPSK

Ik

Qk

-√2

-√2

ΔΦ=180º

+√2

+√2

Ik

Qk

-√2

-√2

ΔΦ=180º

+√2

+√2

Figura 8 OQPSK, variţiile în timp a semnalelor Ik şi Qk, respectiv traiectoria de fază pentru saltul de la la faza

absolută 45º la faza absolută 225º

QPSK

OQPS

Figura 9 Traiectoria de fază pentru QPSK şi OQPSK

Figura 10 Semnalul modulat cu QPSK(verde) şi OQPSK (rosu)

- schema bloc a modulatorului OQPSK este identică cu cea a modulatorului QPSK, cu diferenţa că nivele Ik şi Qk sunt livrate circuitelor de înmulţire în ritmul unor semnale de tact de simbol inversate unul faţă de celălalt. - demodularea se poate realiza similar cu cea a semnalelor QPSK, dar semnale de sondare sunt decalate cu 180º, prin inversarea tactului de sondare pe ramura în cuadratură. - sondarea la momente diferite de simbol complică recuperarea tactului de simbol - banda de frecvenţă ocupată de semnalul OQPSK este aceeaşi cu cea a semnalului QPSK, iar forma spectrului de frecvenţe este similară, dar amplitudinile lobilor laterali scad semnificativ. Aceasta face ca în cazul refacerii spectrale datorate amplificatorului RF, amplitudinile lobilor laterali exteriori benzii utile să fie mult mai mici.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

0

0

0

0.5pi

pi

1.5pi

-1 0 1

-1

0

1

-1 0 1

-1

0

1

TM curs 9

11

- acest fapt constituie singurul avantaj al modulaţiei OQPSK, avantaj ce o face atractivă pentru transmisiile pe canalele radio care utilizează amplificatoare neliniare de putere.

Modulaţia π/4-QPSK

- o altă metodă de evitare a salturilor de 180º ale fazei absolute într-o perioadă de simbol, constă în utilizarea celor patru salturi de fază de tipul (2p + 1)·45º posibile, în mod similar cu constelaţia B4, vezi cursul de PSK. - faza absolută a semnalului purtător va trece, în fiecare perioadă de simbol, de pe constelaţia A4 pe constelaţia B4 sau invers, aşa cum se arată în Figura 11. - fazorul curent nu mai trece prin zero, ceea ce face ca amplitudinea să nu atingă valoarea nulă în nici un moment. Traiectoriile de fază posibile sunt prezentate în Figura 12

Figura 11 Constelaţiile utilizate pe diferite perioade de simbol

Figura 12 Traiectoriile posibile ale fazei absolute a semnalului π/4-QPSK

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

0

pi/2

pi

3pi/2

QPSK

OQPSK

π/4-DQPSK

θ(t)

Figura 13 Semnalul modulat cu QPSK şi OQPSK şi π/4-QPSK

- salturile de fază de acest tip se pot implementa cu modulator QAM de fază absolută, prin utilizarea alternativă, în fiecare perioadă de simbol, a tabelelor de corespondenţă dibit-fazor ale constelaţiilor A4 şi B4; adică prin adresarea pe trei biţi, în care cel LSB (auxiliar) ia alternativ valorile „0” sau „1”. Astfel, precodarea diferenţială nu mai este necesară pentru generarea DPSK. - spectrul de frecvenţe al π/4-QPSK este similar cu cele ale QPSK şi OQPSK, dar amplitudinile lobilor

-1 0 1-1

0

1

00

01

10

11

Ts

-1 0 1-1

0

1

00 01

10 11

Ts

-1 0 1-1

0

1

00

01

10

11

Ts

-1 0 1-1

0

1

00 01

10 11

Ts

-1 0 1-1

0

1

00

01

10

11

Ts

-1 0 1-1

0

1

00 01

10 11

Ts

-1 0 1

-1

0

1

B4

TM curs 9

12

laterali sunt mai mici decât cele ale lobilor QPSK şi mai mari decât cele ale lobilor OQPSK. Lărgimea de bandă a lobului principal este egală cu cea semnalului QPSK. - valoarea PAPR al π/4-QPSK, scade la 3,2 dB faţă de 4 dB pentru QPSK.

Probabilitatea de eroare a modulaţiei QPSK

- probabilitatea de eroare de simbol a QPSK are aceleaşi valori ca şi cea a 4-PSK. - probabilităţile de eroare de simbol ale 2-PSK şi 8-PSK generate prin tehnica QAM sunt similare cu cele ale acestor modulaţii generate prin metoda directă. - consideraţiile privind valorile probabilităţilor de eroare de bit ale diverselor constelaţii APSK, prezentate în cursul de PSK rămân valabile şi pentru constelaţiile corespunzătoare generate prin MAQ. - probabilităţile de eroare de simbol şi de bit ale DQPSK, adică modulaţiile DPSK obţinute prin metoda QAM, sunt aceleaşi cu cele ale modulaţiilor DPSK. - modulaţia OQPSK are o probabilitate de eroare de simbol mai mare decât cea a QPSK. Creşterea este cu atât mai accentuată cu cât factorul de exces de bandă al filtrului formator în cosinus ridicat este mai scăzut. De exemplu, pentru un factor de exces de bandă α = 0,6, raportul semnal/zgomot necesar pentru o anumită probabilitate de eroare, este mai mare cu aproximativ 2 dB, decât cel necesar modulaţiei QPSK. Ea reprezintă “preţul” plătit pentru comportarea mai bună din punct de vedere al refacerii spectrale. - modulaţia π/4-QPSK are aproximativ aceeaşi probabilitate de eroare de simbol ca şi modulaţia QPSK. Aplicaţii ale modulaţiei QPSK

- QPSK este una din modulaţiile cele mai utilizate în transmisiunile digitale, datorită imunităţii sale ridicate la zgomot şi distorsiuni. - în modemurile destinate canalelor de satelit şi radio care include amplificatoare RF neliniare, QPSK este adesea înlocuită de variantele sale OQPSK sau π/4-QPSK.

Consideraţii privitoare la definirea raportului semnal-zgomot

- probabilitatea de eroare este exprimată în funcţie de raportul semnal/zgomot la intrarea în demodulator. - în acest raport, puterea zgomotului este calculată prin înmulţirea densităţii spectrale de putere a zgomotului, constanta N0 [V2/(RHz)] (sau N0[dBm/kHz] în reprezentare logaritmică), pentru zgomotul gaussian cu lărgimea de bandă a filtrului de intrare. - considerând cele două lărgimi de bandă folosite de obicei pentru semnalele filtrate RC, puterea zgomotului poate fi exprimată de (31) (R fiind rezistenţa de referinţă), care utilizează şi dispersia σ a zgomotului.

( )1Zg sLB f α= + (30)

( )2

0 1S

z

N fP

R R

ασ ⋅ += = (31)

- aceste expresii ale puterii zgomotului şi ale SNR depind de lărgimea de bandă a semnalului modulat. - pentru a elimina această dependenţă, raportul semnal/zgomot poate fi exprimat prin raportul între energia/bit şi densitatea spectrală de putere a zgomotului, notat prin Eb/N0. Relaţia dintre cele două rapoarte este dedusă în (32). Cu Es şi Eb s-au notat energiile medii per simbol şi per bit, ale semnalului modulat; A este amplitudinea purtătorului, iar p numărul de biţi/simbol.

2

2 20 0

0

;2 (1 ) (1 )

[ ] [ ] 10lg [ ];(1 )

s s s s b

z s

b

P P T E p EA R

P R T N N

E pSNR dB dB dB

N

ρσ σ α α

α

⋅ ⋅⋅= = = = =

⋅ ⋅ + +

= ++

(32)

- în (32), ρ reprezintă raportul semnal/zgomot în valori liniare, iar SNR, raportul semnal/zgomot în valori logaritmice, adică în dB.