Mircea Eugen Selariu - Topologie cu supermatematica

Mircea Eugen elariu, TOPOLOGIE CU SUPERMATEMATIC 2013

Motto:Topolog este acela care nu face deosebirea dintre un covrig i o ceac de cafea

BANDA LUI MBIUS, STICLA LUI KLEIN

I ALTE OBIECTE SUPERMATEMATICE

INTRODUCERE

Topologia este o ramur a matematicii, mai precis o extensie a geometriei care studiaz deformrile spaiului prin transformri continue.

Termenul topologie provine din contracia substantivelor greceti topos () i logos () care semnific loc, respectiv studiu. Aadar, topologie nseamn literal "studiul locului".

Termenul topologie este introdus de Johann Benedict Listing n articolul Vorstudien zur Topologie, publicat n 1847.

Topologia se deosebete de geometria euclidian prin modul de considerare a echivalenei dintre obiecte. n geometria euclidian, dou obiecte sunt echivalente dac sa pot transforma unul n cellalt prin izometrii - transformri care pstreaz valoarea unghiurilor, lungimilor, ariilor i volumelor.

Fig.1,a Banda lui Mbius Fig.1,b Sticla lui Klein


Fig 2. Banda Mbius centric, dup : Sndor Kabai "Mbius Strip Made from a Rotating Bar" from the Wolfram Demonstrations

Project_ http://demonstrations.wolfram.com/MoebiusStripMadeFromARotatingBar/

Topologia face legtura ntre studiul spaiului i studiul schimbrilor, punnd accent pe concep-

tul continuitii. Studiul schimbrii este o necesitate, mai ales n cazul tiinelor naturale, unde msurarea i predicia modificrilor unor variabile este esenial. Ei bine, un topolog nu face distincie dintre un covrig i o can; ambele au cte un singur orificiu.

Domeniile matematice se deosebesc prin materia pe care o studiaz. n geometrie, punctul este considerat materie prim. El nu are dimensiune sau mai precis, are dimensiune zero. Ca urmare, oricte puncte ai alatura, unul lng cellalt, nu vei obine niciodat o curba sau o dreapt de dimensiune unu. Rmne un mister, prin ce jonglerii matematice geometrii au trecut de la punct la dreapt. n aritmetic, drept materie prim sunt numerele.MATEMATICA ATOMIC a scos n evident c, de fapt, cifrele care compun numerele sunt eseniale [v.Mircea elariu, MATEMATICA ATOMIC. Metoda determinrii succesive a cifrelor consecutive ale unui numr [PDF] ,www.cartiaz.ro pag.4] n

Mircea Eugen elariu, TOPOLOGIE CU SUPERMATEMATIC 2013 algebr materiile principale sunt structurile i relaiile. Rezult c problema materiei prime n matematici ramne deschis !

Pe lng Topologia proprie matematicii, a aprut i topologia cu privire la reelele de calculatoare i a altor dispozitive i, ca subiectul s nu rmna ne clarificat, expunem cteva noiuni cu privire la acest structur.

Topologia (structura) unei reele de calculatoare rezult din modul de conectare a elementelor reelei ntre ele. Ea determin i traseul concret pe care circul informaia n reea "de la A la B".

Principalele tipuri de topologii pentru reelele locale LAN (din englez de la Local Area Network) sunt : topologia Bus (nseamn magistral) - are o fiabilitate sporit i o vitez mare de transmisie; topologia Ring (inel) - permite ca toate staiile conectate s aib drepturi i funciuni egale; topologia Star (stea) - ofer o vitez mare de comunicaie, fiind destinat aplicaiilor n timp real.

Reelele mai mari prezint o topologie format dintr-o combinaie a acestor trei tipuri (Fig.3).

Fig.3 Alt topologie: Topologia unei reele de calculatoare

BENZI MBIUS CENTRICE

Banda lui Mbius fost studiat iniial de August Ferdinand Mbius i Johann Benedict Listing n 1858. August Mbius (1790-1868) este considerat descoperitorul suprafeei cu o singur fa. Aceasta band se obine, dintr-o fie de o lungime oarecare, rsucit cu 180 de grade i apoi lipit. n general, un corp are dou sau mai multe fee. Exist ns suprafee, care nu au dect o singur fa, iar banda are i o singur margine !. Dei simpl, afirmaia conduce la probleme serioase i curioase.

Distana dintre fee, de regul, se numete nalime, dar dac nu avem dect o fa, atunci avem un obiect pur bidimensional, ntr-un spaiu / univers tridimensional.

n plus diametrul real al acestei benzi este dublu fa de diametrul vizibil, iar comportarea benzii la t iere este mai mult dect ciudat. Dac este tiat pe median, pe jumatate, atunci rezult o band de lungime dubl, rsucit cu 360 de grade. Dac se continu tierea, la o treime de lateral, pe toat lungimea ei, rezult dou benzi, ntreptrunse, din care una este de dou ori mai lung dect cealalt.

Ecuaiile benzilor Mbius centrice sunt date de ecuaiile parametrice (1) i au graficele prezentate n figura 1,a i n figura 2.


(1)

BENZI MBIUS SUPERMATEMATICE

CIRCULARE, TRILOBE I QUADRILOBE

Supermatematica a fcut posibile transformrile cercului n triunghi, ptrat i alte poli- goane, astfel c banda Mbius circular (Fig.4,a) poate fi transformata n benzi Mbius trilobe (Fig. 4,b) sau quadrilobe (Fig.4,c) ca i n alte multe forme poligonale.

Fig.4,a Benzi Mbius supermatematice circulare excentrice (SM-CE)

Fig.4,b Benzi Mbius supermatematice trilobe excentrice (SM-TE)

www.SuperMathematica.org www.SuperMatematica.ro


Fig 4,c. Banzi Mbius supermatematice quadrilobe excentrice (SM-QE)

www.SuperMathematica.com www.SuperMatematica.ro

]

Fig.5,a Benzi Mbius supermatematice circulare excentrice (SM-CE) dublu rsucite

Unele benzi Mbius au fost colorate intenionet bicolor , diferit pe fa i pe dos, pentru a se releva zona de jonciune dintre fa i dos (Fig.4,a i Fig.4,b), iar altele au fost prezentate color doar pentru ameliorarea coeficientului de expresivitate.

Dac n relaiile / ecuaiile parametrice (1), x(u,v) termenul cos(u) se nlocuete cu funcia super-

matematic circular excentric (FSM-CE) cos(u)

, atunci se va obine forma trilob

din figura 4,b, n care, excentricitatea liniar numeric s s-a ales s = 0,9. Iar dac, att n x(u,v) ct i n y(u,v), funciile matematice centrice (MC) cos (u) i sin(u) se nlocuiesc cu funciile supermatematice


]

Fig.5,b Benzi Mbius supermatematice trilobe i quadrilobe excentrice (SM-CE) multiplu rsucite

quadrilobe excentric FSM-QE cos(u)

i sin(u)

, atunci se obin formele

quadrilobe (cvadrilobe) din figura 4,c.


Pentru a se obine mai multe rsuciri ale benzii Mbius , n expresia

, se

modific

u, apoi n

2u .a.m.d. cum se poate observa n figurile 5,a i 5,b.

n fine, dac n locul unei benzi, de grosime nul, se consider un ine l de o grosime oarecare atunci se pot obine inelele Mbius supermatematice circulare excentrice (SM-CE) din figura 6.

Fig. 6 Inele Mbius supermatematice circulare excentrice (SM-CE)


Prerea autorului este c oricare obiect 3D matematic gol, a crui grosime a peretelui este nul,

ca un cilindru de lungime limitat, con (Fig. 7), calot sferic, toate fr suprafeele lor plane de baz, de exemplu, admite trecerea continu de pe suprafaa exterioar pe cea interioar traversndu-se muchia care unete cele dou fee. Dac micarea unui punct are loc dup curba (elipsa) de intersecie cu un plan

nclinat ce trece print-o muchie, punct comun ntre interior i exterior, ca P de exemplu din figura 7,a,

Mircea Eugen elariu, TOPOLOGIE CU SUPERMATEMATIC 2013 prin el se poate trece de pe o fa pe alta (dos), lucru ilustrat n figura 7,a pentru un con i o calot sferic, ceea ce echivaleaza, din acest punct de vedere, cu o bend Mbius.

Fig.7,a Schie explicative pentru trecerea din

exteriorul conului, prin punctul P , n interiorul lui

Fig.7,b Posibilitatea trecerii din exteriorul unei sfere n interiorul ei, dac sfera are unul sau mai

multe orificii de trecere


Evident c n punctul P apare i o bifurcaie , deoarece exist dou posibiliti: 1) de trecere din exterior n interior, aa cum se sugereaza n figura 7,a, sau 2) ramnerea n exteriorul sau n interiorul conului, de exemplu. Ca i benda Mbius i conul are o singur muchie, ceea ce constituie o alt asemnare. Obiectele ca sfera, de exemplu, care nu are muchii, prin intersectarea lor cu un plan, are suprafaa

sferic continu i vor rezulta cercuri continui ce nu vor prezenta nici muchii i, evident, nici puncte pe muchii (care nu sunt) de trecere din exteriorul lor n interior. Dar dac sfera are, n schimb, pe suprafaa

Mircea Eugen elariu, TOPOLOGIE CU SUPERMATEMATIC 2013 ei, unul sau mai multe orificii perforate, atunci prin muchiile acestora se poate face trecerea din exteriorul lor n interior i viceversa, aa cum sepoate observa n figura 7,b.

Fig.8,a Cuburi cu i fr acces de pe o fa pe alta (exterior interior)

Fig.8,b Transformarea continu a sferei n cub i invers

Acelai lucru se ntmpl i n cazul unui cub, cu cele 6 fee continue care, n lipsa unor orificii

de trecere, nu permite survolarea interiorului lui (Fig.8, stnga sus ). Dac cubul este considerat ca un solid rigid (plin), ca n figura 8,a din stnga , jos, atunci nici ciobit nu permite survolarea


Fig.9,a, Cub complet Fig.9,b, Cubul romnesc


Mircea Eugen elariu, TOPOLOGIE CU SUPERMATEMATIC 2013 interiorului lui, n spaiu interior gol, care, fiind plin, nu exist !. n schimb, dac cubul este interior gol, ca cel din figura 8, dreapta i suprafaa lui exterioar nu este continu, atunci trecerea de pe faa exterioar pe cea interior i viceversa devine posibil.

C sfera i cubul au comportri identice nu trebuie s mire, deoarece aceste doua obiecte 3D, att de cunoscute n matematica centric (MC) sau ordinar i considerate net diferite, n supermatematic (SM) se pot transforma continuu unul n cellalt (Fig.8,b), prin schimbarea excentriitaii liniare numerice de al s = 0 la s = 1; obiectele intermediare, s (0, 1), aparinnd matematicii excentrice (ME) i sunt obiecte matematice hibride.

Oricare ar fi forma obiectelor 3D, dac au suprafaa lor continu (Fig. 9,a,), fr discontinuiti, nu prezint posibilitatea trecerii de pe faa exterioar pe cea interioar a suprafeei lor unice, ceea ce nu mai este cazul dac suprafaa obiectului prezint unul sau mai multe orificii (Fig.9,b ) i, totodat, i muchii prin care trecerea devine posibil. Un obiect (super)matematic inedit, din mai multe puncte de vedere, este cubul romnesc.

El este cel mai uor cub din lume , format din 6 piramide cu vrfurile comune, n centrul de simetrie al cubului i fr suprafeele lor de baz ptrate, astfel c acest obiect 3D nu are interior ci numai exterior i, ca urmare, are volumul nul, ceea ce-i ofer calitatea de cel mai uor cub.

Adic, suprafaa lui are o singur fa / parte cu mai multe faete , cea exterioar, format din 4 x 6 = 24 suprafe plane ale piramidelor componente !

Dei are 12 muchii ale celor 6 fee ptrate i 4 x 6 = 24, muchii ale piramidelor, traversarea acestora conduce la trecerea de pe o suprafa plan exterioar pe o alt suprafa plan exterioar, din cele 24 de suprafee plane ale acestui cub romnesc. Pentru cele 6 piramide cu vrful comun, aceste faete / suprafete plane triunghiulare sunt suprafee lor interioare. Ca urmare, aceleai suprafee, care sunt exterioare pentru cubul romnesc, sunt interioare pentru piremidele lui componente.

Acest articol a fost scris, de fapt, n primul rnd, tocmai pentru a evidenia proprietile inedite ale acestui obiect 3D supermatematic denumit cub romnesc.

Cteva imagini ale acestui cub sunt prezentate, n diferite moduri de reprezentare, n figura 10. Ecuaiile lor parametrice (2) sunt scrise conform cerinelor programului MATHEMATICA 8 a

lui Stephan Wolfram, iar n (2) ele sunt scrise cu funcii supermatematice quqdrilobe (FSM-QE) i sunt

(2)

, (2)

,

cu valorile Pentru o excentricitate liniar numeric s u [ 0, 1] se obine o singur piramid, iar pentru s

u [ -1, +1] se obin dou piramide, cap la cap, cu vrful comun. De aceea, n (2) i n (2), sunt numai trei ecuaii parametrice, pentru cele 6 piramide cu un vrf comun n centrul de simetrie al cubului.

Cu funcii supermatematice quadrilobe / cvadrilobe excentrice (FSM-QE) ecuaiile (2) devin (2), n care coq este cosinusul quadrilob i siq este sinusul quadrilob, ambele FSM-QE fiind de excentricitate numeric s = 1, ele avnd ecuaiile generale

(3)

n care este excentricitatea unghiular.


Fig.10, Cubul romnesc, de volum nul, cel mai uor cub din lume



Fig. 11,a Sticla / butelia lui Klein are orificiu de trecere obturat .

Sticla/butelia lui Klein din Muzeul de tiin din Londra

Klein bottle in the Science Museum in London Reprezentarea n 2D a sticlei/buteliei lui Klein din 3D

A two-dimensional representation of the Klein bottle immersed in three -dimensional space

Fig. 11,b Sticla lui Klein



Fig 12,a Obiecte supermatematice 3D cu suprafee autontreptrunse



Fig 12,b Obiecte supermatematice 3D cu suprafee autontreptrunse


Suprafaa cu o singur fa a sticlei lui Klein (Fig.11,a, stnga ) ar permite trecerea de pe faa

exterioar pe cea interioara dac orificiul de trecere n-ar fi obturat (Fig.11,a, dreapta ), aa cum se

Mircea Eugen elariu, TOPOLOGIE CU SUPERMATEMATIC 2013 poate constata i n figura 11,a din mijloc, realizat cu ecuaii parametrice i prezentat pe Internet la

adresa http://en.wikipedia.org/wiki/File:KleinBottle-02.png. Evident c, n realitate, aceast sticl sau butelie poate s existe i exist, din moment ce machete

ale ai au fost realizate artistic, aa ca cele prezentate n figura 11,b i n figura 1. De aceea, sticla / butelia lui Klein, reprezentat cu ecuaiile din literatura de specialitate (v.

Mathematica 8) este doar un obiect matematic cu suprafaa autontreptruns. Sau, mai precis, ecuaiile parametrice din literatur nu modeleaz sticla / butelia lui Klein cu o suprafa cu o singur fa, ci un obiect cu suprafaa autontreptruns i autontrestrpuns.

Astfel de obiecte supermatematice cu suprafaa autontreptruns i autontrestrpuns sunt vizibile n figura 12, n mai multe moduri diverse de prezentare.

Funciile supermatematice circulare excentrice (FSM-CE) ofer i alte multe posibiliti de reprezentare, cum ar fi un cub inclus n interiorul altui cub mai mare (Fig.13,a), reprezentare posibil graie produsului funciilor supermatematice circulare excentrice cosinus excentric (cex) de variabil excentric , de excentricitate liniar numeric s = 1 i excentricitate unghiular = 0, adic de un excentru S(1,0). Sau un cub cu un col cubic extras / lipsa (ciobit) i cu proieciile cubului mic pe suprafeele exterioare ale cubului mai mare (Fig.13,b), gratie acelorai FSM-CE dar modificate.

]

cex[x]* cex[y]* cex[z], de sx = sy = sz = 1i = 0

Fig.13,a Cub inclus n cub Fig.13,b Cub exclus din cub cu proieciile suprafeelor cubului exclus

Pentru ca aceste obiecte s poat fi verificate, reproduse i modificate, n figurile anterior amintite au fost prezentate i ecuaiile lor de definiie precum i modul lor de exprimare n programul de matematic Mathematica 8 a lui Stephan Wolfram.

Alte posibiliti inedite de reprezentare a unor obiecte 3D sunt etalate n figura 14, sus . Astfel, n figura 14,a este prezentat un cub cu anumite prelucrri cum ar fi orificii infundate i prelucrari de suprafee exterioare plane cu racordri. Materialul eliminat din acest cub cu formele corespunztoare, sunt redate n figura 14,b. n acest fel, sau altfel spus, cu ajutorul FSM-CE, pot fi reprezentate obiectele 3D (Fig.14,a) precum i negativele lor (Fig.14,b).


]

]

Fig 14,a Cub supermatematic n 3D cu suprafee prelucrate i cu orificii nestrpunse

Fig 14,b Obiecte supermatematice 3D care au fost prelucrate /extrase din cub


O alt posibilitate (Fig.14 jos) consist n evidenierea celor 4 corpuri 3D (Fig.14,b, jos )

cubice, incluse ntr-un cub perfect (Fig. 14, a, jos ) De remarcat este faptul ca trecerea de la un aspect la cellalt este deosebit de simpl. n ultimele

cazuri a fost suficient s se modifice / inverseze semnul mai mic dect (), la fel ca


Fig.15 Cuburi cu obiecte paralelipipedice extrase din el i prezentate n partea drept


Mircea Eugen elariu, TOPOLOGIE CU SUPERMATEMATIC 2013 i n cazul urmtor, de reprezentare a unor obiecte complexe, prezentat n figura 15. Urmrii cu atenie: n dreapta figurii 15 sunt prezentate corpurile extrase din cubul din stnga (negativul) figurii 15.

Fig.16 Cub mare cu cub mic inclus i cu obiecte paralelipipedice extrase din el



Fig.17 Cub cu cub inclus i cu obiecte paralelipipedice extrase din el



sau> 0.5 {

sau > 0.5

sau < 1

Fig.18 Cub cu obiecte paralelipipedice extrase din el i prezentate n partea drept



ncheiem acest articol prezentnd complexitatea obiectelor ce pot fi realizate cu FSM-CE, aa cum este cel prezentat n figura 16 , n 6 vederi pentru a ntregi aspectul lui, i figura 18, cu sperana c utilizarea FSM-CE n matematica i tehnic, dar nu numai, se va extinde mai mult dect pna acum.

B I B L I O G R A F I E

Extras din www.cartiAz.ro

Aplicarea metodei separarii momentelor (MSM) la mecanisme si sisteme in ansamblul lor [PDF]

Autori: Mirc ea Eugen Selari u

168 Stiinta si Tehnica 0.66MB

Aplicatii ale metodei separarii momentelor (MSM) la sisteme industriale concrete [PDF]



Aproximarea functiilor: Un sistem supermatematic cu baza continua de aproximare a functiilor [PDF]



Bucla centrica si versierele excentrice [PDF]



Cardinal functions and integral functions [PDF] Autori: Mirc ea Eugen Selari u, Fl orentin Smarandache, Mari an Nit u

55 Stiinta si Tehnica 1. 23MB

Cercurile lui Apollonius din Perga [PDF]



Cercurile lui Apollonius si cercurile olimpice [PDF]



Cifrele, particulele elementare ale Matematicii [PDF]



De la rezolvarea triunghiurilor la functii supermatematice [PDF]



Definirea FSM-CE hipoelementare de variabila excentrica theta si centrica alpha [PDF]

Autori: Mirc ea Eugen Selari u 139 Stiinta si Tehnica 3.94MB

Derivatele si integralele unor functii supermatematice circulare excentrice (FSM-CE) [PDF]



Despre lobe si cvazilobe: Lobe exterioare si cvazilobe interioare cercului unitate [PDF]



Determinarea oricat de exacta a relatiei de calcul a integralei eliptice complete de speta I (Rom) [PDF]



Determinarea oricat de exacta a relatiei de calcul a integralei eliptice complete de speta intaia [PDF]



Determinarea punctelor de intersectie din Teorema Liniilor Concurente a lui Florentin Smarandache [PDF]



Dezlegarea misterului numarului PI [PDF]


2085 Stiinta si Tehnic a 1.85MB

Dispozitive de acumulare si de transport (dat) prin vibratii [PDF]



Elemente neliniare legate in serie [PDF]



Elliptic eccentrics with mobile eccenter [PDF]



Esantionarea semnalelor [PDF]



Functia gamma centrica si functii gamma excentrice [PDF]



Functia supermatematica (FSM) radial excentrica cvadriloba [PDF]



Functii cardinale si functii integrale circulare excentrice [PDF] Autori: Mirc ea Eugen Selari u, Fl orentin Smarandache, Mari an Nit u


Mircea Eugen elariu, TOPOLOGIE CU SUPERMATEMATIC 2013 Functii hiperbolice excentrice [PDF]



Functii in trepte Smarandache [PDF]



Functii signadforasice Voinoiu [PDF]



Functii supermatematice (FSM) inverse (FSM-I) rex, Rex, dex i Dex [PDF]



Functii supermatematice circulare excentrice inverse (FSM-CEI) [PDF]



Functii supermatematice circulare excentrice inverse (FSM-CEI) [PDF]



Functii supermatematice integrale excentrice si integralele unor functii supermatematice (FSM) [PDF]



Functiile supermatematice circulare cosinus si sinus excentrice. Derivatele si integralele lor. [PDF]



Intamplarea in matematica: Jocul dragostei fata de matematica si al intamplarii [PDF]



Integrale si functii eliptice excentrice [PDF]



Integrale si functii eliptice excentrice [PDF]



Intersectii in plan [PDF]


138 Stiinta si Tehnica 0.98MB (Cart e donat a de autor )

Introducerea strambei in matematica [PDF]



Liniile concurente si punctele lor de intersectie intr-un triunghi [PDF]



Lobele - curbe matematice noi [DOC]



Matematica atomica. Metoda determinarii succesive a cifrelor consecutive ale unui numar [PDF]



Mecanismul motor culisa-biela-manivela [PDF]



Metoda pentru determinarea relatiei exacte de calcul a pulsatiei proprii a unui sistem oscilant liber, conservativ, cu caract eristica elastica

neliniara [PDF]



Metoda separarii momentelor (partea I ) [PDF]



Metoda separarii momentelor (partea II-a) [PDF]



Miscarea circulara excentrica de excentru punct fix [PDF]



Miscarea circulara excentrica de excentru punct mobil [PDF]



Miscarea oscilanta excentrica: Pendulul Supermatematic [PDF]



Multiplicarea dimensionala a spatiilor [PDF]



New plane curves: The definition of the elliptic eccentric with fixed eccenter [PDF]



Noi posibilitati de generare a suprafetelor complexe [PPT]



O metoda noua de integrare: Metoda de integrare prin divizarea diferentialei [PDF]



Mircea Eugen elariu, TOPOLOGIE CU SUPERMATEMATIC 2013 Obiecte geometrice supermatematice [PDF]



Optimizarea conceptiei sistemelor tehnologice utilizand metoda separarii momentelor (MSM) [PDF]



Optimizarea transportului vibrational cu ajutorul FSM-CE [PDF]



Optimization of workholding design using moments separation method (MSM) [PDF] Autori: Mirc ea Eugen Selari u, Ion Grozav


Optimization of workholding design using moments separation method (MSM) - lb. maghiara [PDF] Autori: Mirc ea Eugen Selari u, Kravecz Robert


Parabole & paraboloizi [PDF]



Polinoame ortogonale excentrice [PDF]



Punctul, liniile, triunghiurile si cercurile [PDF]



Rigiditatea dinamica exprimata cu functii supermatematice [PDF]



Sisteme vibrante cuadrilobe [PDF]



Smarandache stepped functions [PDF]



Solutia simbolica exacta a unei ecuatii trigonometrice neliniare [PDF]



Spatiul matematicii centrice si spatiul matematicii excentrice [PDF]



Super-mathematics functions [PDF]



Supermatematica (vol. I ) [PDF]


4350 Stiinta si Tehnic a 10. 52MB

Supermatematica (vol. II, partea a II-a) [PDF]



Supermatematica (vol. II, partea a III-a) [PDF]



Supermatematica (vol. II, partea I) [PDF]



Techno-Art of Selariu SuperMathematics Functions [PDF]

Autori: Fl orentin Smarandache


Teorema S a bisectoarelor unui patrulater inscriptibil si teoremele S ale triunghiului [PDF]



Teoremele poligoanelor. Patrate, dreptunghiuri si trapeze isoscele [PDF]



Transformarea riguroasa in cerc a diagramei polare a compilantei [PDF]



Trilobe [PDF]



Un discurs cu tema impusa, tinut absolventilor despre ... Supermatematica [PDF]



Un discurs despre Supermatematica [PDF]



Vibratii [PDF]



Vibratiile sistemelor trilobe [PDF]


84 Stiinta si Tehnica 4. 46MB (Carte donata de aut or)


Alte lucrri pot fi accesate pe

www.supermatematica.ro

www.supermathematica.com

www.supermathematica.org

www.eng.upt.ro/~mselariu

Timioara 1 iunie 2013

INSIGNA SUPERMATEMATICII

CU FUNCTII CIRCULARE EXCENTRICE


Date post:	02-Mar-2016
Category:	Documents
Upload:	stroie-claudiu-cristian
View:	178 times
Download:	9 times

Mircea Eugen Selariu - Topologie cu supermatematica

Documents