MIRCEA SELARIU - Matematica Atomica. METODA DETERMINARII SUCCESIVE A CIFRELORCONSECUTIVE ALE UNUI NUMAR
32
Şelariu, Mircea Eugen, METODA SUCCESIVĂ (MS) Moto: ”Nu există ştiinţă decât despre ce este ascuns” Gaston Bachelard “ Şi numai când este dezvăluit” Autorul M A T E M A T I C A A T O M I C A METODA DETERMINĂRII SUCCESIVE A CIFRELOR CONSECUTIVE ALE UNUI NUMĂR SOLUŢIE 1. INTRODUCERE Atomii sunt cunoscuţi de atunci de când Leucip şi Democrit 450 î.e.n. i-au aşezat la baza tuturor lucrurilor existente în univers, dar, de abia după peste 2000 de ani, ei, atomii, au fost aşezaţi şi în cadrul şi la baza Ştiintelor Fizice, în cadrul “FIZICII ATOMICE” şi, mai puţin, în cadrul “FIZICII NUCLEARE”. Istoria ne învaţă că nu se învaţă nimic din istorie. De aceea ea se repetă. De această dată în Matematică. Dintre toţi filozofii din occident, Pytagoras a acordat cea mai mare insemnătate conceptului de NUMĂR. Ideea sa ca “Totul este alcătuit după număr” a fost riguros verificată de Bertrand Russell: ”Cel mai uimitor lucru în ştiinţa modernă este întoarcerea sa la pitagorism” Ştiintele Matematice încă n-au sesizat importanţa atomizării sau a descompunerii în particule elementare şi a utilizării acestor particule elementare la soluţionarea problemelor ei. A sosit momentul să se poată afirma că NUMĂRUL este ATOMUL Matematicii. Fizica operează doar cu sute de atomi, de la cel de heliu la cel de uraniu şi la cele ale elementelor transuranice. Matematica este mai avantajoasă, din acest opunct de vedere, deoarece poate considera drept “atom” orice număr, iar drept particule elementare, cifrele. Nucleul acestui atom sunt cifrele arabe, cu “cifre particule din nucleu” sau “protonii numerelor” dispuşi în mai multe straturi. Cifrele arabe mai sunt denumite şi cifre indiene sau cifre arabo-indiene şi sunt doar 10 astfel de cifre fără semn / cifre neutronice: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 , ceea ce conferă / oferă un avantaj deosebit matematicii. Cifrele zecimale sunt electronii matematicii de pe diversele orbite ale “atomilor numere” din care sunt alcătuite, evident, toate numerele / atomii, inclusiv cele care sunt soluţii ale unor probleme matematice. Cifrele protonice sunt despărtite de cifrele electronice printr-o virgulă. Dacă în Fizica Atomică, protonii sunt cu sarcină pozitivă şi electronii cu sarcină negativă, în Matematică, atât unii –protonii- cât şi ceialalţi – electronii-, pot fi, în acelaşi timp, de acelaşi semn, în unele cazuri (soluţii) ambi pozitivi, în alte cazuri, ambi negativi. Ȋn matematică, cele 10 cifre (0, 1, 1
Transcript
Şelariu, Mircea Eugen, METODA SUCCESIVĂ (MS)
Moto: ”Nu există ştiinţă decât despre ce este ascuns” Gaston Bachelard “ Şi numai când este dezvăluit” Autorul
M A T E M A T I C A A T O M I C AMETODA DETERMINĂRII SUCCESIVE A CIFRELOR
CONSECUTIVE ALE UNUI NUMĂR SOLUŢIE
1. INTRODUCERE
Atomii sunt cunoscuţi de atunci de când Leucip şi Democrit 450 î.e.n. i-au aşezat la baza tuturor lucrurilorexistente în univers, dar, de abia după peste 2000 de ani, ei, atomii, au fost aşezaţi şi în cadrul şi la baza Ştiintelor Fizice, în cadrul “FIZICII ATOMICE” şi, mai puţin, în cadrul “FIZICII NUCLEARE”.
Istoria ne învaţă că nu se învaţă nimic din istorie. De aceea ea se repetă. De această dată în Matematică. Dintre toţi filozofii din occident, Pytagoras a acordat cea mai mare insemnătate conceptului de NUMĂR. Ideea sa ca “Totul este alcătuit după număr” a fost riguros verificată de Bertrand Russell: ”Cel mai uimitor lucru în ştiinţa modernă este întoarcerea sa la pitagorism”
Ştiintele Matematice încă n-au sesizat importanţa atomizării sau a descompunerii în particule elementare şi a utilizării acestor particule elementare la soluţionarea problemelor ei.
A sosit momentul să se poată afirma că NUMĂRUL este ATOMUL Matematicii.Fizica operează doar cu sute de atomi, de la cel de heliu la cel de uraniu şi la cele ale elementelor transuranice.
Matematica este mai avantajoasă, din acest opunct de vedere, deoarece poate considera drept “atom” orice număr, iar drept particule elementare, cifrele.
Nucleul acestui atom sunt cifrele arabe, cu “cifre particule din nucleu” sau “protonii numerelor” dispuşi în mai multe straturi.
Cifrele arabe mai sunt denumite şi cifre indiene sau cifre arabo-indiene şi sunt doar 10 astfel de cifre fără semn / cifre neutronice: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ceea ce conferă / oferă un avantaj deosebit matematicii.
Cifrele zecimale sunt electronii matematicii de pe diversele orbite ale “atomilor numere” din care sunt alcătuite, evident, toate numerele / atomii, inclusiv cele care sunt soluţii ale unor probleme matematice.
Cifrele protonice sunt despărtite de cifrele electronice printr-o virgulă.Dacă în Fizica Atomică, protonii sunt cu sarcină pozitivă şi electronii cu sarcină negativă, în Matematică, atât
unii –protonii- cât şi ceialalţi –electronii-, pot fi, în acelaşi timp, de acelaşi semn, în unele cazuri (soluţii) ambi pozitivi, în alte cazuri, ambi negativi. Ȋn matematică, cele 10 cifre (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) sunt cifrele neutronice, cifrele fără semn, despre care Kroneker spunea: ” Dumnezeu a făcut numerele întregi, toate celelalte sunt opera oamenilor ”. Parafrazându- pe pe Kroneker, acum s-ar putea spune “Cu cele zece cifrele existente, oamnii au plăsmuit / făcut o infinitate de numere”.
Dacă, în Fizica Atomică, pe orbitele elementelor stabile, nu pot fi mai mult decât 2 electroni pe primul strat, cel exterior, cel mult 8 pe al doilea, cel mult 18 pe al treilea, cel mult 32 pe al patrulea, ş.a.m.d., în Matematica Atomică, pe fiecare orbită poate fi / figura oricare dintre numerele neutronice, de la 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ca cifre electronice. Şi, oricare dintre ele, pe straturile din nucleu, ca cifre protonice.
Dacă admitem existenţa antimateriei, atunci şi în fizică, ca şi în matematică, pot exista protoni negativi şi electroni pozitivi. Dar, numai în matematica, ei sunt, sau pot fi simultan, de acelaşi semn şi formează unul şi acelaşi atom: atomnumăr.
Ȋn magistrala sa lucrare “BAZELE MATEMATICII SIGNADFORASICE” (signa = semn, ad foras = afară, pus în faţă), publicată în Editura Nemira din Bucureşti, în anul 1996 [2], profesorul Octavian N. Voinoiu a fost la un pas de Matematica Atomică când a separat numărul, numit variabilă signadforasică, sau necunoscuta X, în expresia unei forme dihotomice /X/ │X│, în care, semnul grafic /X/ desemneaza semnul variabilei, iar│X│pune în evidenţă valoarea ei absolută (aritmetică), fiecare dintre cele două părţi supunându-se axiomelor specifice semnului şi, respectiv, modulului.
Semnul /X/, asociat valorii absolute, ca element, este studiat în două ipostaze: Dacă este identificabil cu unul dintre elementele (+) sau (─), el face parte din mulţimea semn “SEMASIA” S(-, +)
1
Şelariu, Mircea Eugen, METODA SUCCESIVĂ (MS)
Dacă /X/ nu aparţine acestei mulţimi, atunci el întră în componenţa mulţimii M(/X/), rânduită, după afirmaţiile autorului ei, prin intermediul unei funcţii “SIGNUM” Sg(r) de cu totul alte axiome.Axiomele specifice, atât mulţimii SEMASIA cât şi funcţiei SIGNUM, sunt strâns legate de noţiunea de
ACCEDERE, definită ca o prezenţă în vecinătate a elementelor, noţiune pusă în evidenţă prin semnul grafic //.Chiar dacă a atomizat-o doar parţial, lucrarea lui Octavian N. Voinoiu a adus mari servicii Matematicii,
eliminănd o serie de erori şi de limitări ale ei. Câteva exemple dintre cele mai importante: In Matematica Signadforasică semnul unei fracţii este dat numai de semnul numărătorului, cu implicaţii
profunde dacă amintim că
limx→0
Ax= ∕ A ∕ │∞│sau că fracţia signadforasică care defineşte tangenta centrică tanx ≡ tgx, a cărei expresie
este sinxcosx
= ∕ s /│sinx│/copsx=❑/s / tanx=¿tavx, denumită tangenta Voinoiu şi notata tavx, face ca
perioada funcţiei sinx, adică 2π, sa fie şi a funcţiei tavx, în acord deplin cu o teoremă de bază a matematicii, careafirmă că o funcţie compusă trebuie să se bucure de toate proprietăţile funcţiilor componente (sinx şi cosx). Pe de o parte. Pe de altă parte, la definirea funcţiilor centrice cosα şi sinα după Euler, ca intersecţie asemidreptei pozitive d+ cu cercul unitate CU(O,1) şi cu tangenta la cercul unitate în punctul A(1,0), în cazul
tangentei, la trecerea variabilei centrice α prin valoarile π2
şi 3π2
, intersecţia trebuia realizată cu semidreaptă
negativă d─ , ceea ce nu mai este cazul tangentei Voinoiu, care păstrează întersecţia semidreapei pozitive d+,dar consideră şi o a două tangentă la cercul unitate din punctul A’(-1,0). Ca urmare, tangenta nu mai face salturi,în punctele amintite, de la un infinit la celălalt, ci creşte continuu la infinit şi apoi scade progresiv până la celălatinfinit. Amanunte pot fi obţinute din [2] dar şi din lucrarea Şelariu Mircea Eugen “SUPERMATEMATICA.Fundamente” Vol.I, Editura Politehnica din Timişoara, 2007 Cap. 3, §3.2, pag 75 … 79, Matematica signadforasica a lui Octavian Nicole Voinoiu;
Ȋn cazul ridicării la putere se obţine egalitateaxn=❑/x /│x │n, ∀(x∈ ∕ R ∕ │ r│), egalitate care, pentru exponenţi pari şi valori negative ale variabilei
signadforasice devine, în cazul particular n = 2, ( ∕− ∕ │1│ )2= ∕ − ∕ │1│ sau √ ∕ − ∕ │1│=❑/−¿/│1│ ¿, rezultate complet diferite de cele din matematica centrică clasică.
Rezultă că semiaxa negativă ( ∕− ∕ │R│) se transformă în sediul unei structuri de grup abelian în care convenţiile clasice sunt total înlăturate, dezvăluind, după afirmaţiile autorului, o alta lume, bazată pe cu totul alte reguli, într-un univers eminamente real în care:
☼ Logaritmii cu bază negativă au aceeaşi legitimitate ca şi cei cu bază pozitivă; ☼ Funcţiile cu grad par nu mai sunt obligate sa-si schimbe curbura când variabila trece prin valori negative; ☼ Semnele infinitilor sunt impuse de alte reguli; ☼ Ecuaţiile de grad par nu mai fac “notă discordantă” şi, ca o consecinţă, între umărul rădăcinilor şi gradul ecuaţiilor apar alte legi; ☼ Derivatele signadforasice sunt mult mai generalizatoare şi capătă alte interpretări.
2 Principiul metodei succesive (MS)
Cu siguranţă, chiar şi cei care nu sunt impătimiţi ai jocurilor de noroc şi nici chiar jucători, au urmărit,involuntar, emisiunile de TV cu tragerile la LOTO 6 din 49. Ȋntr-o urnă se întroduc bilele cu numere de la 1 la 49, apoi, un curent de aer le amestecă violent biolele şi tot datorita lui o bilă este evacuată din urnă sau extrasă. Sunt extrase succesiv cele 6 numere câştigătoare. După care, în urnă, se întroduc numai 10 bile, gravate cu CIFRE de la 0 la 9 (NEUTRONICE pentru ca nu au semn + sau -) şi sunt extrase succesiv cele 8 cifre care formeaza numărul NOROC sau norocos. Ca de exemplu 00270238.
Metoda succesivă (MS), care va fi prezentată în continuare, seamănă foarte mult cu “tragerea” numărului “NOROC” de la LOTO, cu deosebirea că cifrele nu apar aleator din urnă, ci pe baza verificării celor
2
Şelariu, Mircea Eugen, METODA SUCCESIVĂ (MS)
0 cifre neutronice, “introduse într-un calculator cu un program de matematică” şi considerate în ordine de al 0 la 9 ca soluţii ale problemei de matematică şi afişarea erorilor pentru fiecare cifră neutronică în parte.
Dacă, printre cele 10 erori afişate pe ecranul calculatorului apare cifra zero, am avut norocul să găsim o soluţie exactă a problemei de matematică, una dintre cele mai multe posibile, cum este cazul unor rădăcini ale unor ecuaţii sau a unor puncte de intersecţie ale unor curbe plane (Fig.1).
Dacă nu apare nicio eroare zero, însemnă că unele cifre neutronice sunt prea mici şi vor da erori negative, iar altele sunt prea mari şi vor da erori pozitive. Unde va fi soluţia problemei ?
Intre erorile negative cele mai mici şi cele pozitive cele mai mici, adică între cele două cifre consecutive, limitrofe, cu erori de semne diferite.
Dar dacă toate erorile afişate sunt de acelaşi semn ? Atunci trebuie cercetate cele două cifre neutronice extreme 0 şi 9, care pot fi şi, mai precis, în acest caz, cel puţin una este, cifre protonice ale soluţiei dar nu s-au “evidenţiat”, deoarece intervalele dintre cifrele -1 … 0 şi 9 …10 au rămas necercetate sau “neacoperite” prin testare, aşa cum se poate constata în figura 1.
Intr-un exemplu, prezentat în continuare, de determinare a intersecţiei funcţiei supermatematice circulare excentrice (FSM-CE) sinus excentric sexθ, de variabilă excentrică θ ≡ x, cu o dreaptă ce trece prin origine
(1) {y=sexx=sin [ x−arcsin [s . sinx] ]y=0,3 x
,
sau de soluţionare a ecuaţiei neliniare (2) sin[x-arcsin[s.sin(x - z)]] – m. x = 0, ceea ce este echivalent, apar încă din prima iteraţie, cazurileamintite, aşa cum se poate deduce din figura 1, pentru un excentru S(0,8; 0), adică de excentricitate numerică s = 0,8, excentricitate unghiulară ε = 0 şi o pantă a dreptei, sau coeficient unghiular, m =tanα = 0,3.
Graficele funcţiilorCONCLUZII: Soluţiile sau rădăcinile ecuaţiei sunt:x1= 0 - soluţie exactă cu o singură cifră protonică 0;x2 = 1, …….. şi x3 = 2,……….
Fig. 1 Antamarea metodei succesive (MS) de determinare succesivă a cifrelor consecutive ale soluţiei unei probleme de matematică (ecuaţie sau intersecţie de curbe)
Fie P o problemă matematică ca, de exemplu, o ecuaţie oarecare, considerată deocamdată cu o singurănecunoscuta, liniară sau neliniară, de un grad oarecare; o intersecţie de curbe, cu unul sau mai multe puncte de intersecţie; o operaţie matematică; etc., cu una sau mai multe soluţiile numerice posibile, care sunt numerele atomice A1, A2, …, Ai , A ⊂R şi i⊂Z .
Ai fiind o soluţie numerică, din cele i posibile, este un număr atomic şi, în cel mai general caz, va fi deforma (3) Ai = (/Ni/│Ni│) (,)i (Ei) ,
3
Şelariu, Mircea Eugen, METODA SUCCESIVĂ (MS)
în care (4) /Ni/ este mulţimea “semasia” S{+; ─}, formată din cele două semne posibile + şi ─, │Ni│ estenucleul atomului-număr, format din m cifre-protoni pim Ni = pi1pi2pi3 …pim, m [0, ∞]; (,)i este virgula, sau mulţimea {∅ ; ,} care delimitează straturile nucleului de mulţimea cifrelor electronice consecutive eij ale zecimalelor - electronice (Ei), care formează şi partea electronică a unui număr-atom, exprimată prin(5) Ei = ei1ei2ei3ei4 … …ein de pe orbitele Oin, n [0, ∞], ale atomului-număr.
Fie C mulţimea cifrelor neutronice (6) C {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}≡ {C0, …Ci,… C9},din care sunt alcătuite toate numerele posibile.
T1: Dacă primul proton este (7) pi1 = C0 = 0, în mod evident, nucleul nu va conţine şi alţi protoni, astfel că (8) pi2 = pi3 = pi4 =… =pim { ∅}
Altfel spus, dacă o soluţie numerică este, de exemplu, de forma 1e
= + 0 ,36787944117144233… . . ,
singura cifră din nucleu nu poate fi alta decât pi1 = 0 şi nu se cunosc, pentru că nu sunt posibile, (încă) formele 0036…; 036,787…; 03060,787…; etc., decât la LOTO şi, poate, la Bacalaureat.
T2: Dacă, soluţia exactă a unei probleme P este un număr întreg, format dintr-o singură cifră, ca deexemplu(9) p1 = C2 = 2,adică, un atom cu un singur proton şi fără electroni, ca şi exemplul din figura 2
Fig. 2 Soluţiile ecuaţiilor 3x + 6 = 0 A = x = ─ 2 şi 3x ─ 6 = 0 A = x = + 2www.SuperMathematica.com www.eng.upt.ro/~mselariu www.SuperMathematica.com
atunci, întroducând soluţia exactă / cifra neutronică C2 = 2 în problemă (ecuaţie) eroarea Ə rezultă, evident, nulă. Oricare altă cifră neutronică, va da erori diferite de zero. Cifrele neutronice limitrofe cifrei soluţie C2, adică C1 = 1 = C2 ─ 1 sau C3 = 3 = C2 + 1, vor da erori diferite de zero şi de semne contrare / diferite.
T3: Neştiind sau necunoscându-se apriori care dintre cele 10 cifre neutronice Ci este soluţia posibilă, se încearcă succesiv, (într-un program de matematică, aparent simultan) toate cifrele neutronice.
Ȋn exemplul considerat, a determina soluţiile ecuaţiilor (10) nu înseamna alt ceva decât intersectarea funcţiilor (dreptelor) y = 3x ∓ 6 cu axa Ox, sau cu dreapta y = 0, adică de a rezolva sistemul de ecuaţii (12)
4
Şelariu, Mircea Eugen, METODA SUCCESIVĂ (MS)
(12) {y=3 x∓6y=0
, a căror intersecţii sunt punctele de abscisă x = ∓2 şi de ordonate y = 0.
Se cunoaşte că, la trecerea curbelor y = y(x) prin punctele de intersecţie cu axa Ox, ordonatele y schimbă de semn. Ȋn cazul din figura 2,a, în care coeficientii unghiulari ai dreptelor sunt m = tanα = +3, la stânga punctelor de intersecţie erorile sunt negative (Ə < 0), iar la dreapta acestor puncte sunt pozitive (Ə > 0).
Ȋn caz contrar, adică pentru o pantă negativă, m = tanα < 0, situaţia se inversează: la stânga punctelor (soluţie) de intersecţie erorile sunt pozitive şi la dreapta acestora sunt negative.
T4: La verificarea, în problema P, a unei cifre-neutronice, aceea este considerată soluţie, care dă / are eroarea negatvă în zona de schimbare a semnului erorilor.
Pentru înţelegerea şi mai facilă a metodei, pentru că ea este extraordinar de simplă, universală şiinfailibilă, se va prezenta, în primul rând, determinarea soluţiei unei împărţiri sau, ceea ce este acelaşi lucru, determinarea soluţiei unei ecuaţii algebrice de ordinul unu cu o singură necunoscută(13) 3x -77 = 0 , a cărei soluţie, cu 15 zecimale exacte, dată de programul MATHEMATICA 8 a lui Stephan Wolfram este
(14) x=773
=x=25,666666666666668 ' .
Evident că, în acest scop nu mai era nevoie de nicio metodă nouă, dar ea este prezentată pentru a evidenţia anumitele trasături / particularităţi ale metodei, evidenţiate în tabelul 1, metodă care, apoi, va fi aplicată la ecuaţii neliniare mult mai complexe.
A găsi, sau a determina, o soluţie numerică a unei probleme oarecare de matematică “atomică”, prin metoda determinării succesive a cifrelor întregi (sau a “pozitronilor”), cifre pe care le vom numi în continuare cifre pozitronice şi a cifrelor zecimale (sau a “electronilor”), cifre pe care le vom denumi în continuare cifre electronice, ce alcătuiesc numărul soluţie (sau “atomul”) se rezumă la a completa succesiv cu cifre arabe corespunzătoare, în sensul de cifre consecutive exacte, matricea liniară
1 2 3 . . N , 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 . . n
în care, cifrele 1, 2, 3, …, N sunt straturile în care se vor introduce succesiv cifrele întregi sau cifre pozitronice: de la 0 la 9 dacă N = 1, de la 10 la 19, de la 20 la 29, s.a.m.d. până de la 90 la 99 dacă N = 2, de la 100 la 109, pănă de la 990 la 999 dacă N = 3, ş.a.m.d. pentru N = 4, N = 5 etc) ale numărului, adică protonii atomului.
Cifrele 1, 2, 3, … , n sunt orbitele cifrelor electonice, pe fiecare orbită (în fiecare căsuţă) urmând a fi introduse cifrele zecimale sau cifre electronice câte una singură din cele posibile de la 0 la 9. Protonii din starturi şi electronii de pe orbite alcătuiesc numărul soluţie, adică “atomuluinumăr”.
A găsi soluţia se reduce, deci, la a completa succesiv, cu cifre exacte, de la 0 la 9, consecutive, care satisfac datele problemei, pătrăţelele matricii anterioare, determinând astfel alcătuirea “atomului matematic”. Adică, de a stabili care sunt “cifrele protoni / protonoce” şi care sunt “cifrele electroni / electronice” care, introduse în casuţele matricii, ca şi în ecuaţie, satisfac sau soluţionează problema matematică dată.
2 OBSERVA Ţ II DE BUN - SIM Ţ :
1) Ȋn fiecare căsuţă poate figura doar una dintre cele 10 cifre, pentru că altele nu există.Ca urmare, nu pot exista două cifre diferite care să satisfacă problema în acelaşi loc, (pătrăţel al stratului sau al orbitei) al matricii (atomului) şi în acelaşi timp;
2) Cifra potrivită, care corespunde soluţiei este cuprinsă între cifra care, considerată soluţie a problemei, dă o eroare negativa şi următoarea cifră care dă o valoare pozitivă a erorii, sau invers, cunoscându-se faptul că soluţiile sunt, de exemplu, unul sau mai multe puncte pe axa x şi, în stânga şi în dreapta acestui punct, adică la trecerea funcţiei prin punctul soluţie, funcţia schimba de semn (sens) pentru că traversează / taie axa x;
3) Există, în fiecare etapă de determinare a unei cifre, din cele 10, adică pentru fiecare pătrăţel ( strat sau orbită) o singură schimbare posibilă de semn a erorii, dacă nu exista două soluţii exterem de apropiate între ele ale problemei, asa cum s-a vazut in primul exemplu;
5
Şelariu, Mircea Eugen, METODA SUCCESIVĂ (MS)
2. DETERMINAREA SUCCESIVA A CIFRELOR CONSECUTIVEALE NUMARULUI π
4) Dacă, pentru determinarea protonilor din primul strat, prin introducerea succesivă a cele 10 cifre ( 0, …, 9), considerate ca soluţie a problemei, erorile sunt de semne diferite, atunci nucleul este format dintr-un singur strat (N = 1) sau cifră (de exemplu 3,…ca cifră protonică al numărul π, “atom” cu o infinitate de orbite (n ∞), dintre care, primele 25 de orbite, câte a reuşit, în decursul anilor, să memoreze autorul sunt prezentate în continuare π = 3,141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944, cifra (3) fiind cea mai mică dintre cele două cifre protonice consecutive (3, 4) care dau erori de semne diferite (Tab. 1);
Tabelul 1DETERMINAREA SUCCESIVA A CIFRELOR CONSECUTIVE ALE NUMARULUI π
PRIN INTERSECTAREA FUNCŢIEI SINUS CENTRIC sinx CU AXA Ox DREAPTA y = 0 CIFRE PROTONICE , CIFRE ELECTRONICE
5) Dacă toate erorile sunt de acelaşi semn, însemnă că soluţia nu se gaseşte în domeniul 0 … 9, ci este mai mare vecât 9 şi se trece la două straturi 10, 11, 12, ş.a.m.d..până la 19. Dacă, din nou, toate erorile sunt de acelaşi semn, înseamnă că soluţia este mai mare decât 19 şi se trece la 21, 22,…, 29 ş.a.m.d.Dacă seria cu două straturi 91, 92, …, 99 dă tot erori de acelaşi semn, însemnă că protonii sunt pe trei straturi şi se trece la 101, 102, 103, .., 109 ş.a.m.d., până când apar erori de semne diferite. De exemplu, pentru 124 eroarea este negativă şi pentru 125 eroarea este pozitivă. Ȋnseamnă că soluţia este cuprinsă în intervalul x =124 şi x = 125. Se admite valoarea nucleului de 124, pentru că, în continuare, se vor adăuga cifrele electronice/(lor), care ne vor (con)duce spre valoarea 125 pe care însă n-o va atinge.
6) Pentru a testa şi a nu pierde schimbarile de semn la trecerea de la o grupa de cifre la grupa următoare, ca de exemplu, din intervalele 9-10, 19-20, …, 99-100, 109-110, ş.a.m.d., se urmăreşte dacă nu cumva a apărut o schimbare de semn la trecerea testării din grupa 0-9 la grupa 10-19, sau de la 90-99 la 100-109 ş.a.m.d. S-au, mai practic, la fiecare grupa se adaugă la extremitaţi cifrele din grupele adiacente. Astfel, de exemplu, în locul primei grupe de cifre 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 se va considera, o singură dată, grupa -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. În locul celei de a doua grupe 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19 se va lua în considerare grupa 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20 ş.a.m.d.; schimbarea de semn posibilă dintre cifrele 9, 10 fiind testată în grupa anterioară.
7) Se poate forma o grupă specială de cifre pentru testarea semnului cifrei protonice şi, totodată, a semnului atomului matematic astfel, de exemplu, considerând că nucleul nu va depăşi 3 cifre protonice grupă specială va putea fi: -9999, -999, -99, -9, 0, 9, 99, 999, 9999.Dacă aceste cifre sunt considerate ca soluţii posibile şi sunt introduse în problema / ecuaţia matematică şi dacă apare o schimbare de semn între două dintre cifrele consecutive ale grupei speciale, atunci se testează în continuare doar în interiorul acelui interval. De exemplu, dacă acel interval este 99 - 999, atunci se testeaza în continuare intervalele 99 - 500 şi 500 - 999.
6
Şelariu, Mircea Eugen, METODA SUCCESIVĂ (MS)
Dacă schimbarea de semn a erorii apare în intervalul 99-500, atunci se injumătăţeşte / imparte din nou intervalul în alte două intervale. De exemplu 99-250 şi 250-500 ş.a.m.d. până când schimbarea de semn apare într-o grupă cu acelaşi număr de cifre. Acest număr de cifre va fi şi numărul de straturilor cifre protonice ale nucleului şi se va şti şi semnul lui. Operaţiile par şi sunt laborioase, dar numai pentru programatorul care realizeaza un program de matematica atomică adecvat, nu şi pentru computer.
Dacă uităm să punem virgula, la incheierea cifrelor întregi, sau a nucleului, atunci, în intervalul x = 1240…lax = 1249, erorile vor fi din nou toate de acelaşi semn şi vor creşte brusc (Tab.2,a ▼►-jos-dreapta).
8) De aceea, următoarele soluţii încercate, pentru determinarea cifrei electronice de pe prima orbită, vor fi x = 124,0…până la x = 124,9 sau x [124,0; 124,9].
9) Ȋn continuare, cifrele electronice pot fi determinate succesiv numai una câte una.10) Acum e musai să apară o schimbare de semn, pentru fiecare orbită în parte, aşa cum se poate observa în
toate coloanele din tabelul 2,b. Dacă, totuşi, nu apare într-o grupă, însemnă că schimbarea a apărut la interstiţiul / trecerea (zona adiacentă) dintre două grupe consecutive, aşa cum s-a descris anterior la punctul 7, între 9 şi 10. Ca urmare, într-un astfel de caz, cifra electronică de pe această orbită va fi 9.
11) Ȋncercările succesive ale cifrelor consecutive se vor continua fie până la obţinerea unei erori nule (Ə = 0), când, continuarea nu mai are sens, fie până la obţinerea numărului de zecimale exacte propus / impus / cerut. Ȋn exemplul care va urama, determinarea soluţiei unei ecuaţii a lui Iohannes Kepler este posibilă până la 17-a zecimală exactă, când eroarea depistată devine nulă, aşa cu se poate constata din tabelul 3. Sau, până când programul de matematică este depăşit de situaţie.
12) Problema se simplifică foarte mult, dacă se reprezintă computerizat funcţia şi se determină primele cifre, care mai sunt lizibile pe garafic, ale intersecţiei cu axa x. Astfel, pentru exemplul anterior, graficele intersecţiei dreptei y = 3x-77 cu axa x, y = 0, sunt prezentate în figura3, prin restrângerea sucesiva a domeniului din jurul punctului de intersecţie. Pentru ultima secvenţă fiind încă lizibile valoarile de 25,6666 şi 25, 6667, cifre între care trebuie căutată soluţia. Ca urmare, pe a 4-a orbită se alege cifra 6, de unde se antamează procesul.
13) Dacă, în cazul anterior au fost necesari 19 paşi, acum vor mai fi necesari doar 10 paşi.
4 UN EXEMPLU SIMPLU DE APLICARE A METODEI SUCCESIVE (MS)
Tabelul 2,aREZOLVARE ANALITICĂ COMPUTERIZATĂ, CU METODA DETERMINĂRII SUCCESIVE (MS)A CIFRELOR CONSECUTIVE ALE NUMĂRULUI SOLUŢIE (atomului matematic) AL ECUAŢIEI
ALGEBRICE SIMPLE DE ORDINUL UNU CU O SINGURĂ NECUNOSCUTĂ 3x -77 = 0DETERMINARE CIFRELOR PROTONICE. ELE SUNT 25,…. 2 pe primul strat şi 5 pe al doilea strat
Concluzia: Erorile Ə de semne diferite Rădăcina/soluţia este între cele două valori25,666666666666666 şi 25,666666666666667Sau capacitatea programului MATHEMATICA 8 s-a epuizat
www. Super Mate matica . ro
ECUAŢIA 3x -77 = 0 1) Rezolvare grafică
25.2 25.4 25.6 25.8 26.0
2.0
1.5
1.0
0.5
0.5
1.0
25.65 25.70 25.75 25.80
0.2
0.1
0.1
0.2
0.3
0.4
25.662 25.664 25.666 25.668 25.670
0.020
0.015
0.010
0.005
0.005
0.010
www. Super Mate matica . ro
25.6662 25.6664 25.6666 25.6668 25.6670
0.0020
0.0015
0.0010
0.0005
0.0005
0.0010
25.6666 25.6666 25.6667 25.6667 25.6667
0.00020
0.00015
0.00010
0.00005
0.00005
0.00010
Fig. 3 SOLUŢIA : x = 25.666666666666668www. Super Mate matica . ro
Fie, de exemplu, problema determinării soluţiilor, sau a rădăcinilor unei ecuaţie algebrice / trigonometrice neliniare cum este ecuaţia germanului Iohannes Kepler (1571 – 1630) (15) E – e.sinE = M, în scrierea ei originară, în care E este anomalia excentrică, a.e este excentricitatea reală şi e este excentricitatea numerică a orbitei eliptice (Fig. 2 ▼►) sau
(15’) x – e.sinx = M x – M = – e.sinx F1[x] = F2[x] F1[x]: y1 = x – M; F2[x] : y2 = e.sinx
3.1 OBSERVAŢII MATEMATICE LOGICE
1) Deoarece, domniul funcţiei sinus este sinx [-1, +1], rezultă că termenul e.sinx [– e, + e];2) Pentru ca elipsa să fie o curbă continuă, e necesar ca excentricitatea numerică e ≤ 1, astfel că
1 2 3 4 5 6
6
4
2
2
4
6 ParametricPlot ¿{1.862 , t /2}}, {t ,0,2 }¿¿
x = θ = E = 1 ,86208668687453216x [0, 2]; y [ –1, + 1]
Fig. 6,a Soluţiile (ca intersecţii) ale ecuaţiilor Kepler extinse, la e [0, 2] şi M [0, 6]
Fig.6,b Soluţia ecuaţiei Kepler (3’), ca punct de intersecţie al dreptei y1 = x – M cu sinusoida y2 = e.sinx
11
O(0, 0)
Sy = Eb(s = e = 0,4714; 0)
Sx =E = Ea(e= 0,771; ε = 0)
B(1, 0)
B’(0, 1)
A(1,5; 0)
Ma[1,5cos(π/5),1,5sin(π/5)] =
MxMb[cos(π/
5),sin(π/5)] = My
x
y
a = 1,5; b = 1 Elipsã unitate pe direcția y
c =(a2 - b2)0,5 = 1,11803 Є = c/a= 0,745356
ey = sy =c/a = 0,4714; ex = s =c/a = 0,771; εx = εy = 0
e.sinx [–1, +1];3) Deoarece, din ecuaţia (3) rezultă x = M + e.sinx x = M∓ 1 sau x [ M – 1, M + 1];4) Considerând M = 1 şi e = 0,9, rezultă domeniul posibil al rădăcinii / soluţiei ecuaţiei lui Kepler :5) x [0, 2]; Putem anticipa soluţia: x = θ = E = 1 ,86208668687453216 cu 17 zecimale exacte.6) Aşa cum rezultă din (15’), soluţionarea ecuaţiei lui Kepler poate fi privită şi ca determinarea punctului de intersecţie dintre dreapta y1 = x – M şi o curbă sinusoidală y2 = e.sinx de amplitudine egală cu e (Fig.6).7) Determinarea punctului de intersecţie poate fi realizat, până la o anumită valoare, sau până la un anuit grad de precizie sau, altfel spus, până la o anumită zecimală, prin reprezentarea grafică a celor două funcţii (dreapta şi sinusoida), ca în figura 6,c, reducând progresiv domeniul lui x, din jurul punctului de intersecţie. Ȋn ultima secvenţă, pentru x [1 ,862085 ;1 ,86208 7¿, apar unele neclarităţi cu privire la amplasarea
coordonate x a punctului de intersectie, în acest domeniu, de aceea, acest proces, care ajută la determinarea primelor 6cifre consecutive, dintre care una (1) ca cifră protonică şi 5 cifre electronice (86208¿, de pe 5 orbite (8 ,6 ,2 ,0 ,8 , pentru n=5), trebuie abandonat şi se trece la metoda descrisă anterior, a determinării succesive a cifrelor electronice consecutive, plecând, în continuare, de la a 5-a orbită.
Rezolvarea grafică a ecuaţiei lui Kepler, pentru e = 0,9 şi M = 1 este prezentată în figura 4, în care segmentul TM este chiar soluţia / abscisa căutată │TM│ = x ≡ θ, deoarece punctul M este pe o evolventă a cercului unitate CU(O, R =1), iat T este punctul de tangenţă cu CU. Segmentul │TP│ = e.sinθ şi, pentru R = 1, este unul dintre termenii ecuaţiei, astfel că │TM│ – │TP│ = R = 1.
Aplicarea metodei succesive (MS) este indicată în tabelul 3.
5. REZOLVAREA cu ms a ECUATIEI LUI KEPLER modificate
Ȋnlocuind în ecuaţia (3) excentricitatea e cu abscisa ex, se va obţine o nouă ecuaţie, denumiţa ecuaţia lui Kepler modificată, care va fi o ecuaţie cu excentricitate numerică variabilă. Pentru e = 1 şi M = 2, ecuaţia va fi(16) x - x.sinx = 2 sau x - x.sinx - 2 = 0
Ecuaţia (4) se poate oricând descompune în doi termeni, astfel (16’) F1(x) = x – 2; F2(x) = x.sinx
ParametricPlot ¿{t , t−t sin [ t ]−2 }, {2.841 , t−3 }, {8.6 , t−4 }}, {t ,−Pi ,4 Pi }¿
ParametricPlot ¿{2.841,0 .5 t−2 }},{t ,0,2 Pi}¿
15
Şelariu, Mircea Eugen, METODA SUCCESIVĂ (MS)
5 10
10
5
5
10
15
20
1 2 3 4 5 6
4
2
2
4
a) Cele trei radacini b) Prima rădăcinăFig.7,a Ecuaţia lui Iohannes Kepler de excentricitate variabilă
www.SuperMatematica.ro
Acum, soluţionarea problemei determinării rădăcinii x sau a rădacinilor xi ale ecuaţiei se reduce fie la determi-narea punctelor de nul, adică a intersectiei funcţie y = x - x.sinx - 2 cu axa Ox, adica y = 0, fie la determinarea punctelorde intersecţie x sau xi ale celor două curbe între ele F1(x) şi – F2(x). Ȋn ambele cazuri, trebue rezolvat sitemul de ecuaţii neliniare de ordinul unu cu o singura necunoscută
(17) {y=x−x sinx−2y=0
, sau a sitemului de ecuaţii { y=x−2y=x sinx
Funcţiile din aceste ecuaţii sunt reprezentate grafic în figura 4, atât pentru intersecţia cu axa Ox cât şi ca intersecţie ale celor două funcţii între ele. Se constată ca ecuaţia are o infinitate de radăcini, dintre care, primele 3 rădăcini se gasesc în intervalele / jurul cifrelor de
(18) { x1=2,8…3,0x2=7−ε…7+ε
x3=8…9
5 10
10
5
5
10
15
20
1 2 3 4 5 6 7
4
2
2
4
6
8
16
Şelariu, Mircea Eugen, METODA SUCCESIVĂ (MS)
1 2 3 4 5 6
4
2
2
4
2.8405 2.8410 2.8415 2.8420
0.842
0.841
0.840
0.839
2.84104 2.84105 2.84105 2.84106
0.84107
0.84106
0.84105
0.84104
2.84105 2.84105 2.84105 2.84105 2.84105 2.84106
0.841058
0.841056
0.841054
0.841052
0.841050
0.841048
0.841046
Fig.4,b Ecuaţia lui Iohannes Kepler, de excentricitate variabilă, în jurul primei rădăcini x1 = 2,8 … 2,9
Tabelul 4 Soluţionarea exactă a ecuaţiei lui Iohannes Kepler de excentricitate numerică variabilă e = E = θ
E – E sinE = M ◄─► θ - θ.sinθ = CM = C = 2; e = 1; E = θ θ = 2 ,84105304518….cu eroarea de -9.1549×10-12
Procesul, determinării primei rădăcini, poate fi antamat, adică, să înceapă de la x1 = 2 , 84105…., cu neutronii 0 .. …. 9 pe orbita a 6-a, aşa cum este cazul prezentat în tabelul 4.
S-au prezentat doar neutronii din jurul punctului de schimbare a semnului erorilorS-a considerat că procesul poate fi întrerupt pe orbita a 11-a, deoarece principiul MS este deja clar.
BIBLIOGRAFIE
17
Şelariu, Mircea Eugen, METODA SUCCESIVĂ (MS)
1 Matila C. Ghica FILOZOFIA ŞI MISTICA NUMĂRULUI UNIVERS ENCICLOPEDIC, Buc., 1998
2 Voinoiu Octavian INTRODUCERE IN MATEMATICA SIGNADFORASICA
Editura NEMIRA, Buc.,
3 Şelariu Mircea Eugen FUNCŢII CIRCULARE EXCENTRICE Com. I Conferinţă Naţională de Vibraţii în Construcţia de Maşini, Timişoara , 1978,
pag.101…108.
4 Şelariu Mircea Eugen FUNCŢII CIRCULARE EXCENTRICE şi EXTENSIA LOR.
Bul .St.şi Tehn. al I.P. ”TV” Timişoara, Seria Mecanică, Tomul 25(39), Fasc. 1-1980, pag.
189...196
5 Şelariu Mircea Eugen STUDIUL VIBRAŢIILOR LIBERE ale UNUI SISTEM NELINIAR, CONSERVATIV cu AJUTORUL FUNCŢIILOR CIRCULARE
EXCENTRICE
Com. I Conf. Naţ. Vibr.în C.M. Timişoara,1978, pag. 95...100
6 Şelariu Mircea Eugen APLICAŢII TEHNICE ale FUNCŢIILOR CIRCULARE EXCENTRICE
7 Şelariu Mircea Eugen THE DEFINITION of the ELLIPTIC ECCENTRIC with FIXED ECCENTER
A V-a Conf. Naţ. de Vibr. în Constr. de Maşini,Timişoara, 1985, pag. 175...182
8 Şelariu Mircea Eugen ELLIPTIC ECCENTRICS with MOBILE ECCENTER
IDEM pag. 183...188
9 Şelariu Mircea Eugen CIRCULAR ECCENTRICS and HYPERBOLICS ECCENTRICS
Com. a V-a Conf. Naţ. V. C. M. Timişoara, 1985, pag. 189...194.
10 Şelariu Mircea Eugen ECCENTRIC LISSAJOUS FIGURES IDEM, pag. 195...202
11 Şelariu Mircea Eugen FUNCŢIILE SUPERMATEMATICE CEX şi SEX- SOLUŢIILE UNOR SISTEME
MECANICE NELINIARE
Com. a VII-a Conf.Naţ. V.C.M., Timişoara,1993, pag. 275...284.
12 Şelariu Mircea Eugen SUPERMATEMATICA Com.VII Conf. Internaţ. de Ing. Manag. şi Tehn.,TEHNO’95 Timişoara, 1995, Vol. 9:
Matematica Aplicată,. pag.41...64
13 Şelariu Mircea Eugen FORMA TRIGONOMETRICĂ a SUMEI şi a DIFERENŢEI NUMERELOR COMPLEXE
Com.VII Conf. Internaţ. de Ing. Manag. şi Tehn., TEHNO’95 Timişoara, 1995, Vol. 9:
Matematică Aplicată, pag. 65...72
14 Şelariu Mircea Eugen MIŞCAREA CIRCULARĂ EXCENTRICĂ Com.VII Conf. Internaţ. de Ing. Manag. şi Tehn. TEHNO’95., Timişoara, 1995 Vol.7: Mecatronică, Dispozitive şi Rob.Ind.,pag.
85...102
15 Şelariu Mircea Eugen RIGIDITATEA DINAMICĂ EXPRIMATĂCU FUNCŢII SUPERMATEMATICE
Com.VII Conf. Internaţ. de Ing. Manag. şi Tehn., TEHNO’95 Timişoara, 1995 Vol.7:
Mecatronică, Dispoz. şi Rob.Ind.,pag. 185...194
16 Şelariu Mircea Eugen DETERMINAREA ORICÂT DE EXACTĂ A RELAŢIEI DE CALCUL A INTEGRALEI
ELIPTICE COMPLETE DE SPETA
Bul. VIII-a Conf. de Vibr. Mec., Timişoara,1996, Vol III,
pag.15 ... 24.
18
Şelariu, Mircea Eugen, METODA SUCCESIVĂ (MS)
INTAIA K(k)17 Şelariu Mircea Eugen FUNCŢII SUPERMATEMATICE
CIRCULARE EXCENTRICE DE VARIABILĂ CENTRICĂ
TEHNO ’ 98. A VIII-a Conferinţa de Inginerie Menagerială şi Tehnologică,
Timişoara 1998,pag 531..548
18 Şelariu Mircea Eugen FUNCŢII DE TRANZIŢIE INFORMAŢIONALĂ
TEHNO ’ 98. A VIII-a Conferinţa de Inginerie Managerială şi Tehnologică,
Timişoara 1998,pag 549… 556
19 Şelariu Mircea Eugen FUNCŢIILE SUPERMATEMATICE CIRCULARE EXCENTRICE DE VARIABILĂ
CENTRICĂ CA SOLUŢII ALE UNOR SISTEME OSCILANTE NELINIARE
TEHNO ’ 98. A VIII-a Conferinţa de Inginerie Managerială şi Tehnologică,
Timişoara 1998,pag 557…572
20 Şelariu Mircea Eugen INTRODUCEREA STRÂMBEI ÎN MATEMATICĂ
