8/3/2019 MEF 4

1/31

Metoda elementului finit(MEF)

ElementeElementeintroductiveintroductive

8/3/2019 MEF 4

2/31

Recapitulare (C1-C3) Concepte de baz n MEF - introducere Tipuri de elemente finite Discretizarea (definitie, factori ) Metoda deplasarilor

vectorul ncrcrilor nodale {F},

vectorul deplasrilor nodale {U}. Matricea de rigiditate a elementului bar articulat2D

Sistem de referinta local / global Matricea detransformare

Asamblarea matricei de rigiditate a structurii matricea de conectivitate

Impunerea condiiilor la limiti rezolvarea

8/3/2019 MEF 4

3/31

Matricea de rigiditate a elementului

grind 2D Pentru a obine matricea de rigiditate a unui element oarecare

de grind n plan (uneori numitBEAM2D), se consider unelement oarecare ecu nodurile la capete Ii Jcare face ununghi ecu axa sistemului global de referinOX.

Pentru acest element se consider c seciunea lui este constant de arie Aei moment de inerie

Iez bara este dintr-un singur material, cu modulul de

elasticitate longitudinal Ee, lungimea elementului este Le,

elementul poate prelua fore n plan i moment dencovoiere fat de axa ozi nu este ncrcat dect lacapete.

8/3/2019 MEF 4

4/31

Elementul grind 2D Se menioneaz c momentele de ncovoiere nu depend

de sistemul de referin global sau local deoarece axeleOZi ozsunt paralele.

Elementul face parte dintr-o structur n care legturiledintre elemente sunt suduri perfecte, adic spredeosebire de elemental TRUSS, elemental BEAM

transfer cupluri ntre elemente.

8/3/2019 MEF 4

5/31

Elementul grind 2D De asemenea se consider c deformaiile elementului

sunt mici, ceea ce se traduce prin faptul c ecuaiile de echilibru scrise pentru elementulnedeformat sunt aceleai i pentru elementul

deformat. Forele i momentele din nodurile elementului:

n sistemul de referin global (SRG) se noteaz culitere mari, iar n sistemul de referin local (SRL) cu litere mici,

similar deplasrile.

8/3/2019 MEF 4

6/31

Elementul grind 2D se pot defini vectorii forele {Fe} i deplasrilor {Ue} din

noduri, n sistemul de referin global

{ }

e

X ,I

e

Y ,I

e

Z ,Ie

e

X ,J

e

Y ,J

e

Z ,J

F

F

MF

F

F

M

=

{ }

X ,I

Y ,I

Z ,Ie

X ,J

Y ,J

Z ,J

U

U

RU

U

U

R

=

8/3/2019 MEF 4

7/31

Elementul grind 2D Similar se pot defini forele {fe} i deplasrile {ue} n

sistemul de referin local

{ }

e

X ,I

e

Y ,I

e

Z ,Ie

e

X ,J

e

Y ,J

e

Y ,J

f

f

mf

f

f

m

=

{ }

I

I

e I

J

J

J

u

v

uu

v

=

8/3/2019 MEF 4

8/31

Elementul grind 2D Deoarece este mult mai simplu s se obin matricea de

rigiditate a elementului n coordonate locale, i n plusefectul ncovoierii este decuplat de cel al forei axiale(care a fost abordat n cadrul elementului TRUSS2D), seconsider pentru nceput elementul n coordonate locale,numai cu ncrcrile i gradele de libertatecorespunztoare ncovoierii

Elementul BEAM2D solicitat la ncovoiere. (a) Notaii generale; (b) ncrcrile nodale; (c) gradelede libertate

8/3/2019 MEF 4

9/31

Elementul grind 2D ntre forele nodale i deplasrile nodale

trebuie s existe relaia11 12 13 14

21 22 23 24

31 32 33 34

e

Y ,I

41 42

I

e

Z ,I

4

I

e

3 44

Y ,J J

e

Z ,J J

k k k k

k k k k

f v

m

f v

m

k k k k

k k k k

=

8/3/2019 MEF 4

10/31

Elementul grind 2D Folosind semnificaia fizic a elementelor matricei de

rigiditate, anterior prezentat (C3), pentru elementulfinit se impun pe rnd cte o deplasare (rotire) unitate irestul deplasrilor nodale zero, iar reaciuniledeterminate reprezint elementele matricei de rigiditate.

Modul de obinere aelementelor matriceide rigiditate aelementului grind

2D folosind deplasrinodale impusecontrolatireaciunilecorespunztoare

8/3/2019 MEF 4

11/31

Elementul grind 2D De exemplu, pentru primul caz de ncrcare din cele

patru, folosind metoda eforturilor (prezentat la static),forele nodale se obin rezolvnd sistemul dublu staticnedeterminat, care conduce la sistemul de ecuaii

11 1 12 2

21 1 22 2

X X 1

X X 0

+ =

+ =

8/3/2019 MEF 4

12/31

Elementul grind 2D Coeficienii ijse calculeaz folosind metoda Mohr-

Maxwell, adic

iar reaciunile din dreapta se obin din condiiile deechilibru. n mod similar se obin i restul coloanelor dinmatricea inclus n relaia.

( )

( )

e

e e

z1 3

e

ij i je e e eLz z

2 2e

1 2 E I X

L1m m dx

E I 6 E IX

L

=

=

=

8/3/2019 MEF 4

13/31

Elementul grind 2D Dac se renun la indicele e, matricea corespunztoare

ncovoierii se poate scrie n sistemul de referin localastfel:

e

X ,I I

e

Y ,I I

e 2 2

Z ,I Iz

3e

JX ,J

e

JY ,J2 2

eJY ,J

f u0 0 0 0 0 0

f 0 12 6 L 0 12 6 L v

m 0 6 L 4L 0 6 L 2LE I

0 0 0 0 0 0L uf

0 12 6 L 0 12 6 L vf

0 6 L 2L 0 6 L 4 Lm

=

8/3/2019 MEF 4

14/31

Elementul grind 2D iar matricea corespunztoare solicitrii axiale (curs 3)se scrie

e

X ,I I

e

Y ,II

e

Z ,I I

e

JX ,J

eJY ,J

eJY ,J

f u1 0 0 1 0 0

f 0 0 0 0 0 0 v

m 0 0 0 0 0 0E A

1 0 0 1 0 0L uf

0 0 0 0 0 0 vf

0 0 0 0 0 0m

=

8/3/2019 MEF 4

15/31

Elementul grind 2D Prin suprapunerea efectelor, din relaiile rezult matricea

de rigiditate a elementului BEAM2D n coordonate locale(SRL)

2 2

z z

2 2

e z

3 2 2

z z

2 2

AL AL0 0 0 0

I I

0 12 6 L 0 12 6 L

0 6 L 4L 0 6 L 2LE Ik

L AL AL

0 0 0 0I I

0 12 6 L 0 12 6 L

0 6 L 2L 0 6 L 4L

=

8/3/2019 MEF 4

16/31

Elementul grind 2D Deoarece relaia de legtur dintre gradele de libertate

n coordonate locale i globale se poate scrie (curs 3)

X ,II

Y ,II

Z ,I eI

J X ,J

J Y ,J

J Z ,J

Uu c s 0 0 0 0 c s 0 0 0 0

Us c 0 0 0 0 s c 0 0 0 0v

R0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0T

0 0 0 c s 0 0 0 0 c s 0u U

0 0 0 s c 0 0 0 0 s c 0v U

0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1R

= =

c cos ; s sin

= =

8/3/2019 MEF 4

17/31

Elementul grind 2D Matricea de rigiditate a elementului BEAM2D n

coodonate globale rezult

Te e e e

6x6 6x6 6x6 6x6

K T k T =

8/3/2019 MEF 4

18/31

Influena numerotrii nodurilor Influena numerotrii nodurilor asupra formei matricei de

rigiditate globale a structurii

Asamblarea matricei de rigiditate a structurii const nadunarea matricelor de rigiditate expandate aleelementelor.

Deoarece asamblarea implic introducerea tuturorelementelor finite n procesul de asamblare, rezultatulfinal al asamblriinu este influenat de ordinea denumerotare a elementelor.

Totui modul de numerotare al nodurilor poate influnaforma matricei de rigiditate a structurii.

8/3/2019 MEF 4

19/31

Matricea de rigiditate element Conform regulii de asamblare direct, elementele

matricei de rigiditate ale unui element finit tip bar cunodurile de identificare Ii J

[ ] [ ] [ ][ ] [ ]

II IJ

JI JJ

K KK

K K

=

I J

I

J

8/3/2019 MEF 4

20/31

Matricea de rigiditate globala asamblat n matricea de rigiditate global a structurii

(care are NNnoduri) se regsete n poziiile

[ ][ ] [ ]

[ ] [ ] II IJ

JI JJ

K KK

K K

=

8/3/2019 MEF 4

21/31

Trebuie menionat csubmatricele componenteale uneimatrice de rigiditate pot reprezenta un numr oarecare degrade de libertate ale nodului, de exemplu dou pentru obar articulat 2D i ase pentru o grind 3D.

2 2

z z

2 2

e z

3 2 2

z z

2 2

AL AL

0 0 0 0I I

0 12 6 L 0 12 6 L

0 6 L 4L 0 6 L 2LE Ik

L AL AL

0 0 0 0I I

0 12 6 L 0 12 6 L

0 6 L 2L 0 6 L 4L

=

1 2

1 0 1 0

0 0 0 0E AK K

1 0 1 0L

0 0 0 0

= =

8/3/2019 MEF 4

22/31

Dac elementul finit care se asambleaz estetriunghiular, atunci regula de asamblare este similar,adic pentru elementul triunghiular cu trei noduri I, JiKpentru care matricea de rigiditate se poate partiionaastfel

[ ]

[ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]

II IJ JJ

JI JJ JK

KI KJ KK

K K K

K K K K

K K K

=

I

I

J

J K

K

8/3/2019 MEF 4

23/31

elementele matricei se regsesc n poziiile

[ ]

[ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ]

II IJ JJ

JI JJ JK

KI KJ KK

K K K

K K K K

K K K

=

8/3/2019 MEF 4

24/31

Matricele de rigiditate ale structurilor de mari dimensiunisunt matrice rare, adic cu puini termeni nenuli.

De aceea, memorarea acestor matrice slab populate ioperaiile la care acestea sunt supuse, devin maieficiente dac se memoreaz i respectiv se opereaznumai cu elementele nenule (sparse technique).

8/3/2019 MEF 4

25/31

Pentru structura plan de bare articulate s-au folosit treimoduri diferite de numerotare a nodurilor, a), b), c)pentru care se obin matricele de rigiditate globale cuelementele nenule marcate prin puncte.

8/3/2019 MEF 4

26/31

Se observ c toate variantele de numerotare conduc laelemente nenule n vecintatea diagonalei principale.

8/3/2019 MEF 4

27/31

Varianta de numerotare c, prezint matricea de rigiditateglobal cu toi termenii nenuli grupai n vecintarea

diagonalei principale. Se spune c aceast matrice este de tip band, limea

de band a matricei reprezint numrul maxim deelemente nenule pe orizontal.

Deoarece, de regul, matricele de rigiditate suntsimetrice, se poate lucra cu o matrice dreptunghiularcare are un numr de coloane egal cu semibandamatricei de rigiditate i este aproape total populat.

8/3/2019 MEF 4

28/31

Aceast reprezentare n memorie conduce laeconomisirea resurselor calculatorului i a fost intens

folositn special la nceputul dezvoltrii MEF cndresursele de calcul erau modeste.

8/3/2019 MEF 4

29/31

Pentru a obine o matrice band, programele cuelemente finite prezint proceduri speciale de

renumerotare a nodurilor astfel nct s se obin olime minim a benzii.

Se observ c limea benzii este definit de diferenamaxim a nodurilor de identificare care definesc fiecareelement. Astfel n varianta de numerotare a) diferena maxim este 9-1=8; n varianta b) 5

iar n varianta c) 2.

8/3/2019 MEF 4

30/31

Limea de semiband LB, se obine din relaia:

n care GLNreprezint numrul de grade de libertate penod

iar NDIFeste diferena maximn valoare absolut anumerelor nodurilor de identificare pentru toateelementele definite, adic

LB 1 GLN NDIF = +

e

NDIF max I J =

8/3/2019 MEF 4

31/31

Dac se consider structuri oarecare din bare, o serie dereguli de numerotare a nodurilor care conduc la o lime

minim de band