+ All Categories
Home > Documents > Curs Fizica Atomica Si Mecanica Cuantica

Curs Fizica Atomica Si Mecanica Cuantica

Date post: 12-Oct-2015
Category:
Upload: eugen-ionescu
View: 265 times
Download: 18 times
Share this document with a friend
Description:
Curs Fizica Atomica Si Mecanica Cuantica 1/5

of 47

Transcript

Fizica Atomica si Mecanica Cuantica

Curs

FIZICA ATOMIC I MECANICA CUANTIC

I. Modele atomice i cuantificarea energiei

S-a dovedit c electronii sunt particule constituente ale atomilor. Deoarece atomii sunt electric neutri, n constituia lor trebuie s intre i sarcini pozitive, care s compenseze sarcinile electrice negative datorate electronilor. Masa electronilor fiind pe de alt parte foarte mic, rezult c masa atomic ar fi concentrat n alte componente ale atomilor, pe care pot fi repartizate i sarcinile pozitive corespunztoare.

Atomii, departe de a fi nite corpusculi simpli asimilabili unor sfere mici, rigide, trebuie s posede o structur, o organizare intern, caracterizat printr-o anumit aranjare a electronilor i sarcinilor electrice pozitive, a centrelor n care sunt concentrate masele lor.

Pentru cercetarea structurii atomilor, deosebit de eficace s-a dovedit metoda prin care materia se bombardeaz cu particule animate de viteze mari electroni, particule care pot patrunde astfel n interiorul atomilor. Din modificrile pe care le sufer micarea acestor particule, la trecerea prin materie, se pot trage concluzii cu privire la structura atomilor.

Spectrele optice ale atomilor i de raze X furnizeaz date preioase despre structura atomilor i fenomenele care se petrec n interiorul lor.

1. Difuzia particulelor . Modelul atomic al lui Rutherford.

Foarte bogat n rezultate s-a dovedit difuzia particulelor prin substan, metod folosit cu deplin succes de Rutherford i colaboratorii si.

Particulele sunt emise de numeroase substane radioactive, care pot servi ca surse pentru a obinerea lor. Traiectoriile lor pot fi urmrite n camera Wilson, n care se introduce aer sau alt gaz saturat cu vapori de ap. n trecerea lor particulele ionizeaz gazul, iar pe ionii formai se condenseaz vapori de ap. Traiectoriile particulelor marcate astfel, prin picturi fine de ap, pot fi fotografiate.

Particulele sunt atomi de heliu cu dou sarcini electrice pozitive , n urma pierderii celor 2 electroni disponibili. Viteza lor ajunge pna la 1/15 1/20 din viteza luminii, dup natura preparatului radioactiv din care povin.

n orientarea experientelor sale i n explicarea rezultatelor obinute, Rutherford s-a condus dup concepia c un atom trebuie s fie alctuit dintr-un nucleu ncrcat electric pozitiv, foarte mic n comparaie cu dimensiunile atomului n care este concentrat practic ntreaga mas. n jurul nucleului se mic electronii, formnd inveliul electronic, al crui numr este de terminat de condiia sa ca sum a sarcinilor electrice s fie egal cu sarcina pozitiv a nucleului.

Particulele fiind de 7320 de ori mai grele dect electronul, ele patrund n nveliul electronic fr a fi practic influenate.

Dac o astfel de particul ajunge n apropierea nucleului atomic, mult mai greu dect ea, pe care este concentrat puternic o sarcin electric pozitiv, atunci traiectoria sa sufer o deviaie sensibil.

n experimentele de difuzie efectuate de Geiger i Marsden (1909), cola boratorii lui Rutherford, folosind foie de aur au constatat c pe lng particulele nedeviate se obin i particule deviate sub unghiuri foarte mari fa de direcia incident.

Pornind de la aceste premise, Rutherford a dezvoltat teoria cantitativ a difuziei particulelor prin substa.

n calculele pe care urmeaz s le dezvoltm, vom face o serie de aproximri. Vom presupune c att particulele ct i nucleele cu care interacioneaz sunt suficient de mici astfel ncat s poat fi considerate punctiforme. n plus vom admite c ntre particulele i nucleu acioneaz numai fore electrostatice de respingere. Nucleul, find mult mai greu dect particula , il vom presupune imobil. Deoarece fora de respingere electrostatic ce acioneaz asupra particulei este invers proporional cu ptratul distanei pna la nucleu, traiectoria urmat de particula va fi o hiperbol, n focarul careia se afl nucleul.

Atomul fiind neutru posed Z sarcini electrice pozitive. Pentru studiul micrii i deducerea deviaiei vom folosi legea conservrii energiei i a momentului cinetic.

B

A

EMBED Equation.3

a

m

b c b

M

Cnd particula se afl la o distan foarte mare de nucleu (A), energia sa se reduce la energia cinetic , fiind viteza iniial a particulei. La o distan mic de nucleu, de exemplu n punctul B, cand viteza particulei este , la energia cinetic se mai adaug energia potenial .

Legea conservrii energiei ne va conduce la ecuaia:

(1)

Legea conservrii momentului cinetic pentru aceleai poziii ale particulei se scrie sub forma:

(2)

Distana b de la nucleu la direcia iniial a traiectoriei este aa numitul parametru de ciocnire. Valoarea sa minim se produce pentru cea mai apropiat trecere a particulei n vecintatea nucleului.

Unghiul , ntre direcia particulei incidente i asimptota la traiectoria particulei difuzate se numete unghi de difuzie.

innd cont de proprietile hiperbolei i de relaiile (1) i (2) se poate stabili o relaie ntre unghiul de difuzie i parametrul de ciocnire b.

(3)

Aceast ecuaie (3) nu se poate verifica experimental deoarece nu se pot cunoate parametrii de ciocnire individuali. Pentru a ajunge la o relaie care s poat fi verificat experimental, Rutherford a fcut o serie de consideraii statistice. El a completat ipotezele precedente cu urmtoarele:

distana a, dintre 2 nuclee difuzante este mai mare dect parametrul b;

stratul mprtietor (difuzat) este destul de subire pentru ca numrul particulelor care sufer dou sau mai multe ciocniri s fie neglijabil.

dn

+d

Pentru numrul particulelor care au fost mpratiate ntre unghiul i + d obinem:

(4)

unde:- numrul de particule , dn - numrul de particule ce sunt difuzate sub un unghi

cuprins ntre unghiul i +d;

d - grosimea foiei;

c - numrul de nuclee coninut de foi n unitatea de volum.

Aceast relaie nu este nc adecvat verificrilor experimentale.

Numrul de particule mpratiate prin unitatea de unghi solid n

diferite direcii este dat de raportul dn / d, atunci:

(5)

reprezint relaia de mpratiere a lui Rutherford care a fost verificat experimental, confirmnd modelul nuclear al atomului.

Formularea lui Rutherford este n bun concordan cu experiena pentru nuclee grele i particule de energii relativ mici.

Pentru nuclee uoare formula nu mai concord cu experiena. Dac nc n acest caz se ine seama c n timpul interaciunii i nucleul sufer o deplasare, atunci trebuie s nlocuim masa cu masa redus

EMBED Equation.3 i viteza prin vitezele iniiale ale celor dou particule. Cu toate aceste modificri divergenele ntre teorie i experien se menin mai ales pentru valori mici ale parametrului de ciocnire. Putem face observaia c pentru valori ale parametrului de ciocnire (R - raza nucleului) ntre nucleu i paticulele mai apar i altfel de fore dect cele electrostatice. Aceast situaie limit ne va permite s evalum valoarea critic corespunzatoare a parametrului b i s obinem un ordin de mrime aproximativ pentru dimensiunea nucleului.

n cazul nucleului s-a gasit: , valoare care acord cu ordinul de mrime al razelor nucleelor.

Dintre mrimile care figureaz n relaia (5) o parte sunt cunoscute din nsuirile sursei radioactive i a metalului din foie folosite: , d, c, , m, altele sunt determinate experimental i .

Ecuaia permite astfel s se deduc Z. Aplicnd ecuaia (5) la foiele de cupru, argint, platin, Chadwick a gasit pentru numrul de sarcini nucleare Y valorile: 29,3; 46,3; 77,4. Cifrele concord foarte bine cu numerele de ordine ale acestor elemente, aa cum le gasim n tabelul lui Mendeleev: 29, 47, 78.

Studiul difuziei particulelor conduce deci la concluzia c numrul sarcinilor pozitive din nucleul unui atom este egal cu numrul de ordine al elementului respectiv.

Pe baza acestor rezultate, Rutherford a propus un model atomic, conform cruia atomul const dintr-un nucleu de raz de sarcin +Ze i n care este concentrat aproape ntreaga mas a atomului. n jurul nucleului se rotesc Z electroni care compenseaz sarcina pozitiv a nucleului, astfel nct atomul n totalitatea sa este neutru din punct de vedere electric.Dac electronii se rotesc n jurul nucleului pe anumite orbite, fora de atracie colombian este compensat de fora centrifug. Este suficient n acest scop sa i se atribuie electronului o vitez de rotaie convenabil.

n asemenea condiii ns sistemul nu prezint stabilitate termodinamic. Parcurgnd o traiectorie curb, electronul, posed acceleraie i dup legile electrodinamicii clasice el trebuie sa iradieze energie. Cum energia iradiat nu poate proveni dect din energia potenial a sistemului nucleu electron i din energia cinetic a electronului, prin iradiere, electronul s-ar apropia mereu de nucleu, parcurgnd un drum n spiral, pn cnd s-ar prabui pe nucleu. Deoarece viteza ar crete continuu sistemul ar trebui s iradieze un spectru continuu, de frecvene, ceea ce ar fi n total dezacord cu experiena. Neconcordana la care s-a ajuns pe baza modelului lui Rutherford, nu poate fi nlturat dect admind c legile clasice ale micrii nu sunt aplicabile la dimensiunile atomului.

2. Spectrele atomului de hidrogen. Modelul atomic al lui Bohr

Corpurile n stare condensat emit radiaii al cror spectru este continuu.

Substanele n stare gazoas aduse la incadescen, pot emite radiaii a cror spectru este discret, coninnd numai anumite lungimi de und. Spectrele atomice de emisie se obin descopunnd radiaia emis de o surs convenabil cu ajutorul unui aparat spectral (spectroscop sau spectograf). Radiaia ptrunde n aparat printr-o fant liniar ngust, iar spectrul atomic rezultant se prezint ca o succesiune de imagini liniare ale fantei, fiecare radiaie de o anumit lungime de und din radiaia incident corespuzndu-i o linie spectral. Spectrul obinut se numete spectru de linii.

S-a stabilit experimental c atomii gazelor incandescente emit spectre de linii i c aceste linii formeaz grupuri bine definite, numite serii spectrale.

n fiecare serie spectral liniile se ndesesc n partea lungimilor de und mai mici inznd ctre o limit unde ncep s se suprapun dnd un spectru continuu.

Cel mai simplu spectru este emis de atomul de hidrogen. Prima serie spectral observat n spectrul atomului de hidrogen a fost descoperit de Balmer (1885) i este cunoscut n prezent sub denumirea de seria Balmer. Ea cuprinde radiaii din vizibil i din ultravioletul apropiat. n vizibil seria Balmer prezint 4 linii, linia cu lungimea de und:

cea mai mare:; cea mai mic: .

Balmer a stabilit o formul empiric cu ajutorul creia se puteau calcula lungimile de und ale liniilor spectrale din aceast serie. Aceast formul este:

(6)

unde B este o constant iar n un numr ntreg care ncepe cu 3, .. . nlocuindn formula (6) n = 3, 4, 5 i 6 se obin cu exactitate lungimile de und pentru cele 4 linii din domeniul vizibil al spectrului hidrogenului. Dac n aceeiai formul facem n = 7, 8, 9 obinem lungimile de und din domeniul ultraviolet, apropiat al aceluiai spectru. Constanta B, numit constanta Balmer s-a determinat ca fiind egal cu B = 3645,7.

Formula lui Balmer a fost scris ulterior de Rydberg sub o alt form, introducnd n locul lungimii de und marimea invers a acesteia, numit numr de und:

(7)

care arat cte lungimi de und sunt cuprinse pe unitatea de lungime. Formula lui Rydberg este deci:

(8) ; n = 3, 4, 5

Constanta R se numete de aceast dat constanta lui Rydberg i are valoarea acceptat n spectroscopia atomic

(9)

Dac se dau lui n valorile 3, 4, se obin numerele de und pentru . Pentru n se obine limita seriei Balmer n bun concordan cu valoarea determinat experimental.

n afar de seria Balmer au mai fost descoperite i alte serii spectrale ale hidrogenului. Ele corespund urmtoarelor formule:

seria Lyman: n ultraviolet;

seria Balmer: n vizibil; seria Paschen: n infrarou;

seria Brackett: n infrarou;

seria Pfundt: n infrarou;

Pentru n se obine limita seriilor atomului de .

Deci putem scrie expresia lui Rydberg sub o form general astfel:

(10)

S-a observat c modelul atomului lui Rutherford este instabil din punct de vedere al electrodinamicii clasice. Pe de alt parte experienele directe au dovedit c n realitate atomul se poate afla ntr-o serie de stri stabile (staionare) caracterizate prin valori bine determinate ale energiei. Se constat c procesele care au loc n interiorul atomului urmeaz alte legi dect cele prevzute de electrodinamica clasic. Prima ncercare de a lmuri lucrurile a fost fcut de fizicianul danez Niels Bohr (1913). Bazndu-se n parte pe modelul Rutherford, Bohr a elaborat teoria atomului de cu ajutorul creia se poate explica spectrul acestuia i se poate da o interpretare fizic a formulei Balmer. Ulterior aceast teorie a fost dezvoltat de catre Sommerfeld (1915) permind explicarea spectrelor i la alte elemente.

Pentru aceasta Bohr a presupus c electronii, care alcatuiesc nveliul nucleului, se distribuie n straturi, fiecare strat fiind caracterizat printr-o anumit valoare a energiei.

Aceast energie nu poate lua orice valoare (nu se modific n mod continuu) ci numai anumite valori discrete: .

Energia atomului este deci cuantificat.

Dup Bohr, cel mai simplu dintre atomi, atomul de hidrogen, este alctuit dintr-un nucleu care posed sarcina electric +e, n jurul cruia se rotete un electron (-e).

Nucleul atomului de hidrogen se numete proton. Masa protonului fiind de 1837 de ori mai mare decat cea a electronului, putem considera c ntreaga mas a atomului se afl concentrat n nucleu.

Teoria atomului de hidrogen se bazeaz pe urmtoarele postulate formulate de Bohr:

1) Electronul se poate roti n jurul nucleului numai pe acele orbite pentru care momentul su cinetic este un multiplu ntreg de . Acest numr poate fi considerat ca momentul cinetic elementar. Exprimm acest postulat prin relaiile:

(11)

n aceast relaie m este masa electronului, este viteza acestuia pe orbita n permis de primul postulat, este raza orbitei; n este un numr ntreg (1,2,3) denumit numr cuantic principal.

Pe astfel de orbite staionare, unde momentul cinetic orbital este cuantificat, electronul nu emite i nu absoarbe energie.

Al doilea postulat afirm c:

2) Atomul emite o radiaie numai cnd electronul trece dintr-o stare caracterizat de enrgie mare (de pe o orbit mai ndeprtat de nucleu) ntr-o alt stare caracterizat printr-o energie mai mic (pe orbit mai apropiat de nucleu). Energia cuantei emise este egal cu diferena energiilor celor dou stri:

(12)

unde n i k sunt numerele orbitelor staionare permise de primul postulat

(n>k), i energiile electronilor pe aceste orbite, iar , frecvena radiaiei emise.

Energia pe care o posed atomul, cnd electronul se mic pe o orbit staionar reprezint energia de legtur ntre nucleu i electron.

Nivelele energetice ale atomului se prezint prin linii orizontale. Nivelul celui mai jos i corespunde prima orbit permis cu numrul cuantic principal n = 1. Acest nivel va avea energia cea mai mic. Nivelele energetice reprezint strile staionare ale atomului. Atomul aflat n una

din aceste stri nu emite i nu absoarbe radiaii.

n=4

n=3

n=2

n=1

n mod normal atomul se gsete pe nivelul energetic cel mai jos. Dac atomul absoarbe energie din exterior el poate trece pe unul din nivelele energetice superioare. Un astfel de atom este excitat. Procesul poate decurge i n sens invers. Atomul excitat poate trece pe nivelul energetic inferior, emind n acest timp, conform celui de-al doilea postulat al lui Bohr, o cuant de energie.

3) Experiena lui Franck i Hertz

Concepia lui Bohr despre existena n atom a unor nivele discrete de energie a fost verificate experimental pentru prima oar de Franck i Hertz.

Aparatul este format dintr-un tub de sticl n care se introduce elementul de studiat, aflat fie n stare gazoas, fie n stare de vapori. Electronii emii de filamentul F sunt accelerai de ctre grila C, de ctre o diferen de potenial V, care poate fi variat ntre anumite limite. Anoda A este negativ fa grila C, deci electronii sunt frnai ntre gril i anod. Cei care posed suficient energie ajung la anod, iar galvanometrul G indic un anumit curent. Pe msur ce potenialul accelator V crete, numrul electronilor care ajung la anod este mai mare, deci intensitatea curentului prin G crete. Determinrile experimentale au artat ns c, pentru anumite valori ale potenialului V, intensitatea curentului anodic scade brusc.

ntre filament i gril electronii se ciocnesc cu atomii gazului din tub. n timpul acestor ciocniri electronii comunic atomului o parte din energia lor, determinnd trecerea atomului ntr-o stare excitat. Dar, electronii atomului pot asorbi numai cantiti bine determinate de energie , corespunztoare trecerii ntre diferite nivele energetice.

C

F

A

+

-

G

- + + -

V

I

0 4,9 2x4,9 3x4,9 V Dac energia electronului proiectil, care ciocnete un electron orbital, este insuficient pentru a determina trecerea acestuia pe o alt orbit, atunci electronul orbital nu va absorbi aceast energie. n acest caz ciocnirea este elastic i energia electronului nu se modific. Dac ns energia electronului proiectil este suficient de mare, atunci electronul orbital absorbind o parte din ea, poate trece pe un nivel energetic superior. O astfel de ciocnire se numete neelastic, deoarece dup ciocnire energia electronului proiectil scade.

S presupunem c mrim progresiv diferena de potenial V, deci i energia cinetic a electronilor. Att timp ct energia lor este mai mic dect cea necesar trecerii atomului de pe un nivel energetic pe altul, ciocnirile sunt elastice, fra absorbie de energie, curentul anodic crete.

Experiena arat c n momentul n care V atinge o anumit valoare , curentul anodic ncepe s scad. n acest caz au loc ciocniri neelastice ntre electronii proiectili i atomi, energia electronilor proiectil scade i ca atare ei nu mai pot ajunge la anod; intensitatea curentului anodic scade. Dac se mrete tensiunea V n continuare, curentul anodic crete, deoarece ciocnirile devin din nou elastice. n momentul n care V = 2 curentul anodic se micoreaz din nou, ceea ce arat c s-au produs din nou ciocniri neelastice.

Experiena confirm deci existena nivelelor energetice discrete n interiorul atomului.

4) Spectrele atomilor hidrogenoizi dup teoria lui Bohr

Prin atom hidrogenoid se ntelege un sistem format dintr-un nucleu cu sarcina Ze (Z fiind numr ntreg) i un electron.

Pentru Z = 1 acest sistem reprezint atomul de hidrogen; pentru Z = 2, un atom de heliu, odat ionizat, ; pentru Z = 3, un atom de litiu dublu ionizat . Masa nucleului fiind foarte mare n comparaie cu a electronului,acesta se poate considera imobil. Dimensiunile nucleului () i ale electronului () fiind foarte mici n comparaie cu cea a atomului() le putem considera pe ambele drept sarcini punctuale. Pe baza acestor considerente Bohr a determinat razele orbitelor staionare i energiile posibile ale electronului atomilor de hidrogenoizi.

-e

+Ze

Electronul se va roti n jurul nucleului pe o orbit circular de raza ,daca forta centrifuga, ce actioneaza asupra sa, devine egala cu fora culombian de atractie dintre electron i nucleu, astfel nct s se asigure stabilitatea dinamic a sistemului.

(13)

Pe baza primului postulat, micarea electronului se poate face numai pe orbitele pentru care:

(14)

Din aceste relaii deducem:

(15) i (16)

Se observ c razele orbitelor permise . Pentru atomul ,

Z = 1, raza primei orbitei Bohr are valoarea:

(17)

Energia total, a unui atom de hidrogen, aflat ntr-o anumit stare staionar, va fi egal cu suma dintre energia cinetic i cea potenial. Deci:

(18)

dar:

Deci energia total este :

(19)

Ca i la oscilatorul armonic, energia ionului hidrogenoid nu poate lua dect un ir discret de valori.

Energia hidrogenoidului are valoarea cea mai mare n starea fundamental, deci n aceast stare posed cea mai mare stabilitate.

n conformitate cu cel de-al doilea postulat al lui Bohr, electronul, trecnd de pe orbita n pe orbita k, va radia o cuant de energie de valoare:

(20)

Deci frecvena radiaiei emise este:

(21)

Numrul de unde corespunztor pentru atomul de hidrogen este:

(22) , unde

Introducnd valorile corespunztoare se obine pentru :(23)

Valoarea obinut este apropiat de cea experimental i diferena mai mic dintre acestea a fost explicat de Bohr, datorit faptului c nucleul s-a presupus n repaos n timpul micrii electronului n jurul su. Dac se raporteaz micarea la sistemul centrului de mas, nlocuindu-se masa a electronului cu masa redus a sistemului, se obine pentru o valoare n corcondan cu cea experimental.

5. Insuficienele teoriei lui Bohr

Teroria lui Bohr a fost dezvoltat n continuare de Sommerfeld care a postulat c, electronii se pot mica i pe orbite eliptice n jurul nucleului, care pot avea diferite orientri n spaiu.

n astfel de condiii, relaiile lui Bohr, care exprim primul postulat, au fost generalizate la forma:(24)

unde s este numrul gradelor de libertate ale sistemului considerat, iar sunt numere ntregi numite numere cuantice. n particular, dac micarea are loc pe o orbit circular drept coordonat generalizat se alege unghiul la centru . Relaia (24) devine:

sau

care este chiar condiia lui Bohr pentru cazul orbitelor circulare.

r -e

Teoria lui Bohr-Sommerfeld se lovete ns de o serie de dificulti de principiu. n primul rnd regulile de cuantificare care stau la baza teoriei sunt introduse artificial i sunt ntr-o total contradicie cu legile din fizica clasic. Deasemenea nu se poate explica de ce atomul nu radiaz energie ntr-o stare staionar. Nu pot fi corect explicate spectrele atomilor cu mai muli electroni.

Insuccesul teoriei lui Bohr-Sommerfeld n explicarea unor date experimentale se datoreaz n principiu faptului c ea nu este consecvent clasic. Aceast teorie a dovedit inaplicabilitatea fizicii clasice n explicarea structurii atomului i necesitatea introducerii unor legi cuantice n studiul sistemelor microscopice.

Toate aceste dificulti sunt nlturate n mod firesc n cadrul mecanicii cuantice.

II. Mecanic cuantic

O serie de fenomene legate de emisia i absorbia radiaiilor pun n eviden caracterul discret al radiaiei electromagnetice, acest fapt neputnd fi explicat pe baza legilor electrodinamicii clasice. i alte fenomene legate de comportarea microparticulelor nu i gsesc explicaia n cadrul electrodinamicii clasice. Explicarea acestor fenomene este posibil numai admind dualitatea und corpuscul.

Particulele ca i radiaia prezint proprieti corpusculare i ondulatorii. Aceste proprieti sunt complementare: n unele fenomene apare pregnant caracterul de und n tip ce n altele se manifest caracterul corpuscular.

Pentru explicarea fenomenelor atomice era necesar o teorie mai general care sia n considerare att caracterul corpuscular ct i cel ondulatoriu al materiei.

Pornind de la ideea dualitii und-corpuscul emis de Louis de Broglie n 1924, noua teorie a fost dezvoltat n continuare de mari fizicieni ca Schdinger, Heisenberg, Dirac i alii, i se numete mecanic cuantic.

n cadrul mecanicii cuantice, starea unui sistem fizic este descris prin funcia de und a sistemului. Prin urmare aa cum n mecanica cuantic problema fundamental este determinarea funciei de und, n mecanica clasic este determinarea poziiei i vitezei unui sistem fizic.

n 1926 Schdinger propune o ecuaie diferenial cu derivate pariale pentru funcia de und asociat particulelor n micarea relativist.

1. Ecuaia lui Schrdinger

n cele ce urmeaz se va expune cel mai simplu mod de a obine ecuaia lui Schrdinger. Trebuie s se precizeze c nu va fi vorba de o deducere a ei, deoarece orice teorie nou nu poate fi construit numai pe baza vechiilor teorii. Ecuaia lui Schrdinger poate fi de exemplu postulat, iar dovedirea valabilitii ei se poate face prin compararea datelor experimentale cu rezultatele care se aduc cu ajutorul acestei ecuaii.

Ecuaia poate fi generalizat i n cazul propagarii undelor de Broglie:

(1)

Dac se consider o und monocromatic, atunci soluia ecuaiei (1) se poate cuta de forma:

(2)

unde reprezint partea spaial a funciei de und. Dac se deriveaz (2) n raport cu spaiul i timpul, i se introduc aceste derivate n relaia (1), atunci:(3)

(4)

sau deoarece , ecuaia (4)devine:

(5)

Pentru ca aceast ecuaie s descrie, de exemplu, micarea unui electron, se nlocuiete , cu expresia lungimii de und de Broglie corespunztoare:(6)

Avnd n vedere i legea conservrii energiei:

(7)

se poate scrie:

(8)

Deoarece sistemul este conservativ, U este funcie numai de coordonate

nlocuind relaia (8) n relaia (5) se obine:

(9)

Determinnd din relaia (9) partea spaial a funciei de und se poate obine pe baza relaiei (2) funcia de und complet, ce depinde att de coordonatele spaiale ct i de timp. nlocuind pe , relaia (2) devine:(10)

Relaia (9) poart denumirea de ecuaie atemporal sau de amplitudine a lui Schrdinger. Ea nu descrie evoluia sistemelor n timp ci numai proprietile acestora n stri staionare.

Prin rezolvarea ei se obin energiile corespunztoare strilor staionare ale sistemului ct i funciile de und corespunztoare strilor respective. Rezolvarea ecuaiei lui Schrdinger, pentru anumit particul, duce la obinerea unui ir discret de energii: , ,............. , ceea ce demonstreaz cuantificarea energiei.

n cazul n care sistemul nu se afl n stari staionare, ci variaz n timp trebuie folosit alt ecuaie, ecuaia lui Schrdinger dependent de timp. Pentru a obine aceast ecuatie, este necesar ca n ecuaia (9) s se elimine energia W care joac rolul unui parametru constant. n acest scop scriem ecuaia atemporal a lui Schrdinger sub forma:(11)

Din (10) se obine :

Deci: (12)

rezult: (13)

nlocuind (13) n (11) se obine:

(14)

Relaia (14) reprezint ecuaia lui Schrdinger dependent de timp. Aceast ecuaie are un caracter mai general i este util pentru descrierea proceselor n care energia potenial U este o funcie, nu numai de coordonate dar i de timp.

Se observ c trecerea de la ecuaia staionar (9) la ecuaia nestaionar (13) este echivalent n fapt cu nlocuirea simpl a energiei W prin mrimea , numit n mecanica cuantic operatorul energie i notat .

(15)

Un alt operator important, n mecanica cuantic, este i operatorul impuls:

(16)

Cercetrile legate de interpretrile funciei de und au condus la acceptarea interpretrii statistice a lui Max Born. Pentru a ntelege acast interpretare s considerm un exemplu: fie un electron punctiform care se mic n jurul nucleului. S fixm n anumite momente succesive (t = constant), poziia electronului n apropierea nucleului. Se obin n spaiu o serie de puncte care indic poziia electronului. Repetnd aceste operaii de multe ori, putem s ne nchipuim c ele formeaz un nor electronic care nconjoar nucleul.

Cu ct densitatea norului este mai mare ntr-o regiune, cu att mai des se va afla electronul in acea regiune.

Deci densitatea norului electronic ne d probabilitatea ca electronul s fie n domeniul respectiv.

Functia de und este n legtur cu aceast probabilitate. Probabilitatea ca electronul s se afle ntr-un anumit domeniu de volumul dV din spaiu, din jurul unui punct P(x, z, y) este dat de ptratul valorii absolute a lui n punctul respectiv:

(17)

Cum este n general complex: . Probabilitatea ca electronul s se afle n spaiu se gasete prin integrarea relaiei (17) pentreg spaiu. ntruct, undeva n spaiu, electronul trebuie s fie n orice moment, aceast valoare devine certitudinea i valoarea ei este 1.

(18)

Prin urmare, mecania cuantic este o teorie statistic. Ea ne d densitatea de repartiie a norului electronic, adic probabilitatea ca o particul s se gaseasc ntr-un anumit domeniu din spatiu.

2. Aplicaii ale mecanicii cuantice

a) Particula n groapa de potenial

Presupunem o microparticul aflat ntr-o groap de potenial unidimensional de largime l, caz n care energia potenial ia urmtoarele valori:

(19)

De exemplu, un electron dintr-un atom, poate fi considerat ca o particul ntr-o groap de potenial de acest gen, sau n cazul clasic o particul nchis intr-o cutie plat.

U(x)

I

II W III

x

0

l

Particula care se afl n groapa de potenial are energia W < . pentru domeniul II ecuaia lui Schrdinger se scrie:

(20)

Soluia ecuaiei difereniale de gradul II cu coeficieni constani se exprim sub forma:(21)

sau:

(22)

deci:

EMBED Equation.3

n domeniile II i III ecuatia lui Schrdinger se va scrie:

(23)

iar soluiile ei sunt de forma:(24)

unde:

Din relaia (24) se observ c funcia de und conine doi termeni exponeniali: unul cresctor, altul descresctor. Din acest motiv trebuie s se aleag numai astfel de valori pentru W, pentru care termenul cresctor n interiorul barierei de potenial (I, II) s lipseasc.

n acest scop se impune ca n domeniul I (x < o), coeficientul = 0, iar domeniul III ( x > l), coeficientul . Ca urmare soluiile n aceste domenii se vor scrie:

(25)

(x)

Soluia cresctoare

I

Soluia descresctoare

II W III

WU W ), particula trece peste barier, ntocmai cum o particul cu energia cinetic

Dac W , exist o probabilitate diferit de 0 ca particula s fie reflectat. n al doilea rnd pentru W l.

O astfel de comportare a microparticulelor, imposibil de explicat din punct de vedere clasic, rezult direct din ecuaia lui Schrdinger.

Se consider cazul W


Recommended