MATEMATICA UTILĂ Volumul 3 Anul 1webserv.lgrcat.ro/2015-2016/Catedre/Mate/03.pdf · 2016-01-19 ·...

Liceul Greco-Catolic „Timotei Cipariu”

Catedra de Matematică

MATEMATICA UTILĂ

Volumul 3 Anul 1

OLIMPIADA

8 ianuarie 2011

MATEMATICA UTILĂ - LGRCAT-CATMAT-Anul 1- Volumul 3 Olimpiada 8 ianuarie 2011

2

Cuprins ENUNŢURI .................................................................................................... 3

Clasa a V-a ................................................................................................ 3 Clasa a VI-a ............................................................................................... 3 Clasa a VII-a .............................................................................................. 4 Clasa a VIII-a ............................................................................................. 4 Clasa a IX-a ............................................................................................... 5 Clasa a X-a ................................................................................................ 6 Clasa a XII-a .............................................................................................. 7

SOLUŢII ......................................................................................................... 8 Clasa a V-a ................................................................................................ 8 Clasa a VI-a ............................................................................................... 9 Clasa a VII-a ............................................................................................ 11 Clasa a VIII-a ........................................................................................... 13 Clasa a IX-a ............................................................................................. 16 Clasa a X-a .............................................................................................. 18 Clasa a XII-a ............................................................................................ 21

REZULTATE ................................................................................................. 25 Clasa a V-a .............................................................................................. 25 Clasa a VI-a ............................................................................................. 25 Clasa a VII-a ............................................................................................ 26 Clasa a VIII-a ........................................................................................... 26 Clasa a IX-a ............................................................................................. 26 Clasa a X-a .............................................................................................. 27 Clasa a XII-a ............................................................................................ 27

NOTA EDITORULUI ..................................................................................... 28


3

ENUNŢURI

Clasa a V-a 1. a) Ştiind că 𝑎 + 𝑏 = 25 şi 𝑏 + 𝑐 = 29, calculaţi 3𝑎 + 7𝑏 + 4𝑐.

b) Câte numere naturale de forma 2𝑎𝑏𝑐 divizibile cu 5 există ?

Justificaţi răspunsul.

2. a) Calculaţi (45 ∙ 213): 87 + (274 ∙ 95): 320. b) Ordonaţi crescător puterile : 340, 530, 720.

3. La împărţirea a două numere naturale câtul a fost 31 şi restul 17. Suma dintre deîmpărţit şi împărţitor este 2065. Aflaţi numerele.

4. Fie mulţimile : 𝐴 = {𝑥 ∈ 𝑵∗|𝑥 ≤ 2002} şi 𝐵 = {1918; 1920; 1922;… ; 2022}.

a. Câte elemente are 𝐴 ∪ 𝐵 ? Dar 𝐴 ∩ 𝐵 ? b. Calculaţi suma elementelor mulţimii A.

Clasa a VI-a 1. Calculaţi :

a. (2010 + 20102): (20100 + 20101).

b. [1 + 0, (6)] ∙ [(1

150−

0,1

20) :

1

300+

14

25∙ (

1

42+

5

36+

1

63)].

2. Demonstraţi că 82n+1 − 43n se divide cu 7 oricare ar fi n ∈ 𝐍. 3. Fie punctele coliniare A, B, C astfel încât AB = 5cm, AC = 8cm,

iar BC = 13cm. Aflaţi OB dacă O ∈ AB, OM = 3cm, unde M este mijlocul segmentului [AC].

4. Fie unghiurile XOY şi XOZ neadiacente şi suplementare şi (OA şi

(OB bisectoarele lor. Ştiind că m(AOB) = 41° aflaţi m(XOY) şi

m(XOZ).


4

Clasa a VII-a

1. a) Dacă a =2+4+6+⋯+2010

3+6+9+⋯+3015, calculaţi a−2.

b) Comparaţi numărul 0 cu numărul : n = (2010 − 12) ∙ (2010 − 22) ∙ (2010 − 32) ∙ … ∙ (2010 − 992).

2. Arătaţi că fracţia 49n+43

41n+36 este ireductibilă, n ∈ 𝐍.

3. Fie ABCD un trapez, m(A) = 90°, AB ∥ CD şi CD < 𝐴𝐷 < 𝐵𝐶 < 𝐴𝐵.

Ştiind că lungimile laturilor trapezului sunt numere naturale consecutive şi că perimetrul trapezului este 18, aflaţi :

a. Aria trapezului. b. Lungimea segmentului [AF], unde AF ⊥ BC, F ∈ BC.

4. Fie ABCD un romb şi M mijlocul laturii AD. Notăm : BM ∩ CD = {P}. a. Arătaţi că ABDP este paralelogram. b. Demonstraţi că 2 ∙ 𝐴∆𝑃𝑀𝐷 = 𝐴∆𝐵𝑀𝐶.

Clasa a VIII-a

1. Fie numărul a =1+√2+√5+√10−√3−√15

1+√2−√3.

a. Arătaţi că a = 1 + √5. b. Calculaţi a−1. c. Demonstraţi că a ∈ (3; 4).

2. a) Arătaţi că a2 +1

a2 ≥ 2, pentru orice a ∈ 𝐑∗.

b) Demonstraţi că pentru orice x ∈ 𝐑 expresia (3x − x2)(3x − x2 + 6) + 9 reprezintă pătratul unui număr real.

3. Dreptunghiurile ABCD şi ABEF sunt situate în plane diferite, EB = 6cm, BC = 8 cm, FD = 10cm.

a. Demonstraţi că EFDC este un paralelogram. b. Calculaţi măsura unghiului format de dreptele EB şi DC. c. Demonstrați că EB ⊥ (ABC).

4. Fie 𝐴𝐵𝐶𝐷 un tetraedru şi 𝑀 ∈ (𝐴𝐷),𝑁 ∈ (𝐵𝐷) şi 𝑃 ∈ (𝐶𝐷) astfel

încât 𝑀𝐴

𝑀𝐷=

3

2,𝑁𝐵

𝐵𝐷=

3

5 şi

𝑃𝐷

𝐷𝐶=

2

5. Arătaţi că (𝑀𝑁𝑃) ∥ (𝐴𝐵𝐶).


5

Clasa a IX-a 1. Se consideră numerele raţionale a = 0,2(567) şi b = 1 − a.

Pentru numerele reale x, y notăm predicatul p(x, y): x + y ∉ 𝐐. a. Să se găsească a patra zecimală a lui a. b. Să se găsească a cincea zecimală a lui b. c. Să se găsească a 2011-a zecimală a lui a. d. Să se demonstreze că (a + b)2 = 1.

e. Să se demonstreze că 1

2< a2 + b2 < 1.

f. Să se determine un număr real x astfel ca p(x, a) să fie adevărată.

g. Să se determine valoarea de adevăr a propoziţiei : (∀x)p(x, b).

2. Se consideră progresia geometrică (tn)n≥1 în care suma primilor n termeni este Sn = 3(4n − 1). Pentru fiecare n ≥ 1 considerăm punctul Pn(n, tn).

a. Să se determine S2. b. Să se determine t1. c. Să se determine t2. d. Să se determine tn, n ≥ 3. e. Să se calculeze {tn|n ≥ 1} ∩ (2𝐍). f. Să se demonstreze prin inducţie că Sn este divizibil cu 9

pentru orice n ≥ 1.

g. Să se scrie vectorul P1Pn cu n ≥ 2 în funcţie de vectorii bazei canonice i , j .

h. Să se arate că oricare vector 𝑃1𝑃𝑛 cu 𝑛 ≥ 2 este necoliniar

cu 𝑃2𝑃3 .


6

Clasa a X-a 1. Pentru fiecare număr real α şi fiecare număr natural nenul n se

consideră numărul complex z(α, n) = (1 + cos α + i sinα)n. a. Să se găsească partea reală şi partea imaginară a lui

z(0,1). b. Să se găsească partea reală şi partea imaginară a lui

z (π

4, 2).

c. Folosind formulele 2 cos2 x

2= 1 + cos x şi 2 sin

x

2cos

x

2=

sin x, să se calculeze modulul lui z (π

22, n) , n ≥ 1.

d. Să se scrie forma trigonometrică a conjugatului lui z(α, n). e. Să se demonstreze că |z(α, n)| ≤ 2n pentru orice număr

real α şi orice număr natural nenul n.

f. Să se rezolve în numere complexe ecuaţia x2 = z (π

5, 5).

g. Să se rezolve în numere complexe ecuaţia |x|2 =

|z (π

5, 5)|.

2. Se consideră funcţia f: Z → Z, f(x) = {x + 5, x parx − 5, x impar

.

a. Să se determine f(2010). b. Să se arate că |f(n) − f(n + 1)| ≠ 10, ∀n ∈ 𝐙. c. Să se arate că funcţia f este injectivă. d. Să se arate că funcţia f este surjectivă. e. Să se determine inversa funcţiei f. f. Să se stabilească monotonia funcţiei f.

g. Să se arate că mulţimea {√𝑓(𝑛)3 |𝑛 ∈ 𝒁} ∩ 𝒁 conţine o infinitate de elemente.

h. Dacă 𝑝 = ln 𝑓(2) şi 𝑞 = ln 𝑓(0), să se scrie în funcţie de p şi q ln 𝑓(170).


7

Clasa a XII-a

1. Pe mulţimea M = [0;∞) definim a ∗ b = ln(ea + eb − 1).

a. Să se arate că „*” este lege de compoziţie pe M. b. Să se arate că legea „*” este comutativă. c. Să se arate că legea „*” este asociativă. d. Să se arate că legea „*” are element neutru. e. Să se arate că (M,*) nu este grup abelian. f. Să se arate că mulţimea numerelor naturale nu este parte

stabilă a lui M în raport cu „*”. g. Să se rezolve ecuaţia x ∗ x ∗ x = x .

2. Se consideră funcţia f: [1; 9] → 𝐑, f(x) = 2x +1

x.

a. Să se argumenteze continuitatea funcţiei f. b. Să se demonstreze că funcţia f este strict crescătoare. c. Să se determine minimul şi maximul funcţiei f. d. Să se calculeze suma Riemann asociată funcţiei f, diviziunii

∆3= (1,4,9) şi sistemului de puncte intermediare ξ =(2,8).

e. Să se argumenteze existenţa lui c ∈ [1; 9] astfel încât

f(c) =753

64.

f. Să se calculeze limita sumei Riemann asociată funcţiei f,

diviziunii ∆n= (1,1 +8

n, 1 +

16

n, … , 1 +

8n

n= 9) şi

sistemului de puncte intermediare ξ = (1 +8i

n)i=1,n

.

g. Să se arate că orice sumă Riemann asociată funcţiei f se

află în intervalul [24;1304

9].

h. Să se arate că pentru orice sumă Riemann S asociată funcţiei f există c ∈ [1; 9] astfel încât S = 8f(c).


8

SOLUŢII

Clasa a V-a 1. a) Ştiind că 𝑎 + 𝑏 = 25 şi 𝑏 + 𝑐 = 29, calculaţi 3𝑎 + 7𝑏 + 4𝑐.

3𝑎 + 7𝑏 + 4𝑐 = 3𝑎 + 3𝑏 + 4𝑏 + 4𝑐 = 3(𝑎 + 𝑏) + 4(𝑏 + 𝑐) = 3 ∙ 25 +

4 ∙ 29 = 75 + 116 = 191.

b) Câte numere naturale de forma 2𝑎𝑏𝑐 divizibile cu 5 există ?

Justificaţi răspunsul.

Deoarece 2𝑎𝑏𝑐 ⋮ 5 ⇔ 𝑐 ∈ {0; 5}, avem : |{2𝑎𝑏𝑐 |2𝑎𝑏𝑐 ⋮ 5}| =

|{2𝑎𝑏𝑐 |𝑎 = 0,9 , 𝑏 = 0,9 , 𝑐 ∈ {0; 5}}| = |{0,9 } × {0,9 } × {0; 5}| = |{0,9 }| ∙

|{0,9 }| ∙ |{0; 5}| = 10 ∙ 10 ∙ 2 = 200.

2. a) Calculaţi (45 ∙ 213): 87 + (274 ∙ 95): 320. (45 ∙ 213): 87 + (274 ∙ 95): 320 = ((22)5 ∙ 213): (23)7 + ((33)4 ∙

(32)5): 320 = (210 ∙ 213): 221 + (312 ∙ 310): 320 = 223: 221 + 322: 320 =

22 + 32 = 4 + 9 = 13.

b) Ordonaţi crescător puterile : 340, 530, 720.

Deoarece :

340 = 34∙10 = (34)10 = 8110,

530 = 53∙10 = (53)10 = 12510,

720 = 72∙10 = (72)10 = 4910, şi 49 < 81 < 125 rezultă că 4910 <

8110 < 12510, deci : 720 < 340 < 530.

3. La împărţirea a două numere naturale câtul a fost 31 şi restul 17. Suma dintre deîmpărţit şi împărţitor este 2065. Aflaţi numerele.

Fie 𝑎, 𝑏 cele două numere naturale. Din enunţ avem :

𝑎 = 31𝑏 + 17,17 < 𝑏 şi 𝑎 + 𝑏 = 2065. Înlocuind prima relaţie în

ultima obţinem : 31𝑏 + 17 + 𝑏 = 2065 ⇔ 32𝑏 = 2048 ⇔ 𝑏 = 64 >

17, atunci 𝑎 = 2065 − 64 = 2001. Deci cele două numere sunt : 2001

şi 64.


9

4. Fie mulţimile : 𝐴 = {𝑥 ∈ 𝑵∗|𝑥 ≤ 2002} şi 𝐵 = {1918; 1920; 1922;… ; 2022}.

a. Câte elemente are 𝐴 ∪ 𝐵 ? Dar 𝐴 ∩ 𝐵 ? 𝐴 ∪ 𝐵 = {𝑥 ∈ 𝑵∗|𝑥 ≤ 2002} ∪ {1918; 1920; 1922;… ; 2022} =

{1; 2; 3;… ; 2002} ∪ {1918; 1920; 1922;… ; 2022} = {1; 2; 3;… ; 2002} ∪

{2004; 2006; 2008;… ; 2022}, ultimele două fiind disjuncte, rezultă că |𝐴 ∪ 𝐵| = |{1; 2; 3;… ; 2002}| + |{2004; 2006; 2008;… ; 2022}| =

2002 − 1 + 1 + |{2 ∙ 1002; 2 ∙ 1003; 2 ∙ 1004;… ; 2 ∙ 1011}| = 2002 +

|{1002; 1003; 1004;… ; 1011}| = 2002 + 1011 − 1002 + 1 = 2002 +

10 = 2012 |𝐴 ∩ 𝐵| = |{1; 2; 3;… ; 2002} ∩ {1918; 1920; 1922;… ; 2022}|

= |{1918; 1920; 1922;… ; 2002}|

= |{2 ∙ 959; 2 ∙ 960; 2 ∙ 961;… ; 2 ∙ 1001}|

= |{959; 960; 961;… ; 1001}| = 1001 − 959 + 1 = 43

b. Calculaţi suma elementelor mulţimii A. 𝑆 = 1 + 2 + 3 + ⋯+ 2002 = (2002 ∙ 2003): 2 = 1001 ∙ 2003 =

= 2005003.

Clasa a VI-a 1. Calculaţi :

a. (2010 + 20102): (20100 + 20101).

b. [1 + 0, (6)] ∙ [(1

150−

0,1

20) :

1

300+

14

25∙ (

1

42+

5

36+

1

63)].

a. (2010 + 20102): (20100 + 20101) = 2010(1 + 2010): (1 +2010) = 2010.

b. [1 + 0, (6)] ∙ [(1

150−

0,1

20) :

1

300+

14

25∙ (

1

42+

5

36+

1

63)] = (1 +

6

9) ∙

[(1

150−

1

10

20) :

1

300+

14

25∙ (

1

2∙3∙7+

5

22∙32 +1

32∙7)] = (1 +

2

3) ∙

[(1

150−

1

200) ∙ 300 +

14

25∙6+35+4

22∙32∙7] =

5

3∙ (

4−3

600∙ 300 +

1

25∙

45

2∙32) =5

3∙

(1

2+

1

10) =

5

3∙5+1

10= 1.


10

2. Demonstraţi că 82𝑛+1 − 43𝑛 se divide cu 7 oricare ar fi 𝑛 ∈ 𝑵.

82𝑛+1 − 43𝑛 = (23)2𝑛+1 − (22)3𝑛 = 23(2𝑛+1) − 22∙3𝑛 = 26𝑛+3 − 26𝑛 =

26𝑛(23 − 1) = 26𝑛 ∙ 7 ⋮ 7.

3. Fie punctele coliniare 𝐴, 𝐵, 𝐶 astfel încât 𝐴𝐵 = 5𝑐𝑚, 𝐴𝐶 = 8𝑐𝑚, iar 𝐵𝐶 = 13𝑐𝑚. Aflaţi 𝑂𝐵 dacă 𝑂 ∈ 𝐴𝐵,𝑂𝑀 = 3𝑐𝑚, unde 𝑀 este mijlocul segmentului [𝐴𝐶].

Deoarece 𝑀 = 𝑚𝑖𝑗[𝐴𝐶] rezultă că 𝐴𝑀 = 𝑀𝐶 = 4𝑐𝑚.

𝐵𝑀 = 𝐵𝐴 + 𝐴𝑀 = 9𝑐𝑚.

Dacă 𝑂 ∈ [𝑀𝐶] atunci 𝑂𝐵 = 𝐵𝑀 + 𝑀𝑂 = 12𝑐𝑚.

Dacă 𝑂 ∈ [𝐴𝑀] atunci 𝑂𝐵 = 𝐵𝑀 − 𝑀𝑂 = 6𝑐𝑚.

4. Fie unghiurile 𝑋𝑂�� şi 𝑋𝑂�� neadiacente şi suplementare şi (𝑂𝐴 şi

(𝑂𝐵 bisectoarele lor. Ştiind că 𝑚(𝐴𝑂��) = 41° aflaţi 𝑚(𝑋𝑂��) şi

𝑚(𝑋𝑂��).

Notând 𝑚(𝐴𝑂��) = 𝑚(𝐴𝑂��) = 𝑎 şi 𝑚(𝐵𝑂��) = 𝑚(𝐵𝑂��) = 𝑏 avem

𝑚(𝐴𝑂��) = 𝑏 − 𝑎 = 41° şi 2𝑎 + 2𝑏 = 180°. Atunci 𝑚(𝑋𝑂��) = 2𝑎 =

49° şi 𝑚(𝑋𝑂��) = 2𝑏 = 131°.

A C B M O’ O

A Z

X

B

Y

O


11

Clasa a VII-a

1. a) Dacă 𝑎 =2+4+6+⋯+2010

3+6+9+⋯+3015, calculaţi 𝑎−2.

b) Comparaţi numărul 0 cu numărul :

𝑛 = (2010 − 12) ∙ (2010 − 22) ∙ (2010 − 32) ∙ … ∙ (2010 − 992).

a. 𝑎 =2+4+6+⋯+2010

3+6+9+⋯+3015=

2∙1+2∙2+2∙3+⋯+2∙1005

3∙1+3∙2+3∙3+⋯+3∙1005=

2∙(1+2+3+⋯+1005)

3∙(1+2+3+⋯+1005)=

2

3.

𝑎−2 = (3

2)2=

9

4.

b. Deoarece 442 = 1936 < 2010 < 2025 = 452, rezultă că 𝑛 are factori negativi numai pe (2010 − 452), (2010 − 462), (2010 −472), … , (2010 − 992), adică are exact 99 − 45 + 1 = 55 (număr impar) factori negativi, deci 𝑛 < 0.

2. Arătaţi că fracţia 49𝑛+43

41𝑛+36 este ireductibilă, 𝑛 ∈ 𝑵.

Fie 𝑛 ∈ 𝑵 şi fie 𝑑 = (49𝑛 + 43; 41𝑛 + 36). Atunci 𝑑|(49𝑛 + 43) şi

𝑑|(41𝑛 + 36), de unde rezultă 𝑑|(49 ∙ (41𝑛 + 36) − 41 ∙ (49𝑛 + 43)),

adică 𝑑|(1764 − 1763), deci 𝑑|1 prin urmare (49𝑛 + 43; 41𝑛 + 36)=1 şi

fracţia din enunţ este ireductibilă.

3. Fie 𝐴𝐵𝐶𝐷 un trapez, 𝑚(��) = 90°, 𝐴𝐵 ∥ 𝐶𝐷 şi 𝐶𝐷 < 𝐴𝐷 < 𝐵𝐶 <

𝐴𝐵. Ştiind că lungimile laturilor trapezului sunt numere naturale consecutive şi că perimetrul trapezului este 18, aflaţi :

a. Aria trapezului. b. Lungimea segmentului [𝐴𝐹], unde 𝐴𝐹 ⊥ 𝐵𝐶, 𝐹 ∈ 𝐵𝐶.

a. Fie 𝐶𝐷 = 𝑥 ∈ 𝑁. Atunci 𝐴𝐷 = 𝑥 + 1, 𝐵𝐶 = 𝑥 + 2, 𝐴𝐵 = 𝑥 + 3. Dacă facem abstracţie de perimetrul trapezului atunci : Construind 𝐶𝐸 ⊥

𝐴𝐵, 𝐸 ∈ 𝐴𝐵 obţinem dreptunghiul 𝐴𝐸𝐶𝐷. Prin urmare 𝐶𝐸 = 𝐴𝐷 = 𝑥 + 1,

iar 𝐵𝐸 = 𝐴𝐵 − 𝐴𝐸 = 𝐴𝐵 − 𝐶𝐷 = 𝑥 + 3 − 𝑥 = 3.

Aplicând teorema lui Pitagora în triunghiul 𝐵𝐶𝐸 dreptunghic în 𝐸, rezultă

că : 𝐶𝐸2 + 𝐵𝐸2 = 𝐵𝐶2 ⇒ (𝑥 + 1)2 + 32 = (𝑥 + 2)2 ⇒ 𝑥2 + 2𝑥 + 1 +

9 = 𝑥2 + 4𝑥 + 4 ⇒ 2𝑥 = 6 ⇒ 𝑥 = 3.


12

Dacă însă considerăm şi perimetrul trapezului atunci avem că : 𝑥 + 𝑥 +

1 + 𝑥 + 2 + 𝑥 + 3 = 18 ⇒ 4𝑥 + 6 = 18 ⇒ 4𝑥 = 12 ⇒ 𝑥 = 3.

Astfel 𝐴𝐴𝐵𝐶𝐷 =(𝐴𝐵+𝐶𝐷)∙𝐴𝐷

2=

(6+3)∙4

2= 18.

b. În triunghiul 𝐴𝐵𝐶 avem 𝐴𝐹 ∙ 𝐵𝐶 = 𝐶𝐸 ∙ 𝐴𝐵, de unde rezultă că 𝐴𝐹 =4∙6

5= 4,8.

4. Fie 𝐴𝐵𝐶𝐷 un romb şi 𝑀 mijlocul laturii 𝐴𝐷. Notăm : 𝐵𝑀 ∩ 𝐶𝐷 = {𝑃}. a. Arătaţi că 𝐴𝐵𝐷𝑃 este paralelogram. b. Demonstraţi că 2 ∙ 𝐴∆𝑃𝑀𝐷 = 𝐴∆𝐵𝑀𝐶.

a. Deoarece 𝑀𝐷 ∥ 𝐵𝐶, conform Teoremei Fundamentale a Asemănării,

∆𝑃𝑀𝐷~∆𝑃𝐵𝐶. În consecinţă 𝑃𝑀

𝑃𝐵=

𝑀𝐷

𝐵𝐶=

1

2, deci 𝑀 = 𝑚𝑖𝑗[𝐵𝑃]. Cum

𝑀 = 𝑚𝑖𝑗[𝐴𝐷], rezultă că 𝐴𝐵𝐷𝑃 este paralelogram, căci diagonalele de înjumătăţesc.

b. [𝑃𝑀] fiind mediană în triunghiul 𝐴𝑃𝐷, rezultă că 𝐴∆𝑃𝑀𝐷 = 𝐴∆𝑃𝑀𝐴 =

1

2𝐴∆𝐴𝐷𝑃. 𝐴𝐵𝐷𝑃 fiind paralelogram, rezultă că 𝐴∆𝐴𝐷𝑃 = 𝐴∆𝐴𝐵𝐷. Cum

𝐴∆𝐴𝐵𝐷 =1

2𝐴𝐴𝐵𝐶𝐷(triunghiurile 𝐴𝐵𝐷 şi 𝐶𝐵𝐷 fiind congruente) şi

deoarece 𝐴∆𝐵𝑀𝐶 =1

2𝐴𝐴𝐵𝐶𝐷 (ca de altfel orice arie de triunghi cu o

latură egală cu latura unui paralelogram şi vârful opus situat pe latura paralelă), rezultă că :

A

F

C

B

D

E


13

𝐴∆𝐵𝑀𝐶 =1

2𝐴𝐴𝐵𝐶𝐷 = 𝐴∆𝐴𝐵𝐷 = 𝐴∆𝐴𝐷𝑃 = 2𝐴∆𝑃𝑀𝐷.

Clasa a VIII-a

1. Fie numărul 𝑎 =1+√2+√5+√10−√3−√15

1+√2−√3.

a. Arătaţi că 𝑎 = 1 + √5.

𝑎 =1+√2+√5+√10−√3−√15

1+√2−√3=

1+√2−√3+√5+√10−√15

1+√2−√3=

(1+√2−√3)+√5(1+√2−√3)

1+√2−√3=

(1+√2−√3)(1+√5)

1+√2−√3= 1 + √5.

b. Calculaţi 𝑎−1.

𝑎−1 =1

𝑎=

1

1+√5=

√5−1

4.

c. Demonstraţi că 𝑎 ∈ (3; 4).

4 < 5 < 9 ⇒ √4 < √5 < √9 ⇒ 2 < √5 < 3 ⇒ 3 < 1 + √5 < 4 ⇒

𝑎 ∈ (3; 4).

A

M

C

B D

P


14

2. a) Arătaţi că 𝑎2 +1

𝑎2 ≥ 2, pentru orice 𝑎 ∈ 𝑹∗.

Fie 𝑎 ∈ 𝑹∗.

𝑎2 +1

𝑎2 ≥ 2 ⇔ 𝑎2 +1

𝑎2 − 2 ≥ 0 ⇔𝑎4−2𝑎2+1

𝑎2 ≥ 0 ⇔(𝑎2−1)

2

𝑎2 ≥ 0 (A)

b) Demonstraţi că pentru orice 𝑥 ∈ 𝑹 expresia

(3𝑥 − 𝑥2)(3𝑥 − 𝑥2 + 6) + 9 reprezintă pătratul unui număr real.

Fie 𝑥 ∈ 𝑹. Notăm 3𝑥 − 𝑥2 = 𝑦 ∈ 𝑹. Prin înlocuire obţinem :

(3𝑥 − 𝑥2)(3𝑥 − 𝑥2 + 6) + 9 = 𝑦(𝑦 + 6) + 9 = 𝑦2 + 6𝑦 + 9 =

(𝑦 + 3)2 = (3𝑥 − 𝑥2 + 3)2.

3. Dreptunghiurile ABCD şi ABEF sunt situate în plane diferite, 𝐸𝐵 = 6𝑐𝑚, 𝐵𝐶 = 8 𝑐𝑚, 𝐹𝐷 = 10𝑐𝑚.

a. Demonstraţi că 𝐸𝐹𝐷𝐶 este un paralelogram. b. Calculaţi măsura unghiului format de dreptele 𝐸𝐵 şi 𝐷𝐶. c. Demonstrați că 𝐸𝐵 ⊥ (𝐴𝐵𝐶).

a. 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝑑𝑟𝑒𝑝𝑡𝑢𝑛𝑔ℎ𝑖 ⇒ 𝐴𝐵 ∥ 𝐶𝐷, [𝐴𝐵] ≡ [𝐶𝐷]

𝐴𝐵𝐸𝐹 𝑑𝑟𝑒𝑝𝑡𝑢𝑛𝑔ℎ𝑖 ⇒ 𝐴𝐵 ∥ 𝐸𝐹, [𝐴𝐵] ≡ [𝐸𝐹]} ⇒ 𝐶𝐷 ∥ 𝐸𝐹,

[𝐶𝐷] ≡ [𝐸𝐹] ⇒ 𝐸𝐹𝐷𝐶 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑜𝑔𝑟𝑎𝑚.

b. AB ∥ CD ⇒ m(EB;DC ) = m(AB; EB ) = 90°.

c. 𝐸𝐹𝐷𝐶 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑜𝑔𝑟𝑎𝑚 ⇒ 𝐸𝐶 = 𝐹𝐷 = 10𝑐𝑚. În triunghiul EBC : 𝐸𝐶2 = 𝐸𝐵2 + 𝐵𝐶2

(𝑝𝑒𝑛𝑡𝑟𝑢 𝑐ă 102 = 62 + 82) şi atunci, conform reciprocei

teoremei lui Pitagora, rezultă că 𝑚(𝐸𝐵��) = 90° ⇒ 𝐸𝐵 ⊥ 𝐵𝐶. 𝐸𝐵 ⊥ 𝐵𝐶𝐸𝐵 ⊥ 𝐴𝐵𝐵𝐶, 𝐴𝐵 ⊂ (𝐴𝐵𝐶)

𝐵𝐶 ∩ 𝐴𝐵 = {𝐵}

} ⇒ 𝐸𝐵 ⊥ (𝐴𝐵𝐶).


15

4. Fie 𝐴𝐵𝐶𝐷 un tetraedru şi 𝑀 ∈ (𝐴𝐷),𝑁 ∈ (𝐵𝐷) şi 𝑃 ∈ (𝐶𝐷) astfel

încât 𝑀𝐴

𝑀𝐷=

3

2,𝑁𝐵

𝐵𝐷=

3

5 şi

𝑃𝐷

𝐷𝐶=

2

5. Arătaţi că (𝑀𝑁𝑃) ∥ (𝐴𝐵𝐶).

𝑀𝐴

𝑀𝐷=

3

2⇒

𝑀𝐴

𝑀𝐴+𝑀𝐷=

3

3+2⇒

𝑀𝐴

𝐴𝐷=

3

5.

Cum 𝑁𝐵

𝐵𝐷=

3

5, rezultă

𝑁𝐵

𝐵𝐷=

𝑀𝐴

𝐴𝐷 şi conform reciprocei teoremei lui Tales,

rezultă că 𝑀𝑁 ∥ 𝐴𝐵. Analog se arată că 𝑀𝑃 ∥ 𝐴𝐶 (sau 𝑁𝑃 ∥ 𝐵𝐶).

Din 𝑀𝑁 ∥ 𝐴𝐵, 𝑀𝑃 ∥ 𝐴𝐶, 𝑀𝑁 ∩ 𝑀𝑃 = {𝑀}, 𝑀𝑁,𝑀𝑃 ⊂ (𝑀𝑁𝑃),

𝐴𝐵, 𝐴𝐶 ⊂ (𝐴𝐵𝐶), rezultă că (𝑀𝑁𝑃) ∥ (𝐴𝐵𝐶).

C

E F

B A

D

C

P M

B

A

D

N


16

Clasa a IX-a I. Se consideră numerele raţionale 𝑎 = 0,2(567) şi 𝑏 = 1 − 𝑎. Pentru

numerele reale 𝑥, 𝑦 notăm predicatul 𝑝(𝑥, 𝑦): 𝑥 + 𝑦 ∉ 𝑸. a. Să se găsească a patra zecimală a lui a.

A patra zecimală a lui a este 7, deoarece a = 0,2567567567…

b. Să se găsească a cincea zecimală a lui b.

Deoarece 𝑏 = 1 − 𝑎 = 1 −2567−2

9990= 1 −

2565

9990= 1 −

19

74=

55

74=

= 0,7(432) = 0,74324324… rezultă că a cincea zecimală a lui b este 4.

c. Să se găsească a 2011-a zecimală a lui a. Notând 𝑎 = 0, 𝑎1𝑎2 …𝑎𝑛 … avem 𝑎1 = 2, 𝑎3𝑘+2 = 5, 𝑎3𝑘+3 = 6, 𝑘 ≥

0, 𝑎3𝑘+1 = 7, 𝑘 ≥ 1. Cum 2011=3.670+1, rezultă că 𝑎2011 = 7.

d. Să se demonstreze că (𝑎 + 𝑏)2 = 1. 𝑏 = 1 − 𝑎 ⇒ 𝑎 + 𝑏 = 1 ⇒ (𝑎 + 𝑏)2 = 1.

e. Să se demonstreze că 1

2< 𝑎2 + 𝑏2 < 1.

𝑎2 + 𝑏2 −1

2= 𝑎2 + 𝑏2 −

(𝑎+𝑏)2

2=

2𝑎2+2𝑏2−𝑎2−𝑏2−2𝑎𝑏

2=

𝑎2+𝑏2−2𝑎𝑏

2=

(𝑎−𝑏)2

2> 0 pentru că 𝑎 ≠ 𝑏. Deci 𝑎2 + 𝑏2 >

1

2.

1 − 𝑎2 − 𝑏2 = (𝑎 + 𝑏)2 − 𝑎2 − 𝑏2 = 2𝑎𝑏 > 0. Deci 𝑎2 + 𝑏2 < 1.

f. Să se determine un număr real 𝑥 astfel ca 𝑝(𝑥, 𝑎) să fie adevărată. Deoarece a este raţional, pentru ca x+a să fie iraţional este necesar şi

suficient ca x să fie iraţional. De exemplu 𝑝(√2, 𝑎) este adevărată.

g. Să se determine valoarea de adevăr a propoziţiei : (∀𝑥)𝑝(𝑥, 𝑏). b fiind număr raţional, p(x,b) adevărată înseamnă că x+b este iraţional,

adică x este iraţional. Cum în R există şi numere raţionale, rezultă că

valoarea de adevăr a propoziţiei (∀𝑥)𝑝(𝑥, 𝑏) este fals, de exemplu

pentru că p(0,b) este falsă.

II. Se consideră progresia geometrică (tn)n≥1 în care suma primilor n termeni este Sn = 3(4n − 1). Pentru fiecare 𝑛 ≥ 1 considerăm punctul 𝑃𝑛(𝑛, 𝑡𝑛).


17

a. Să se determine 𝑆2. 𝑆2 = 3(42 − 1) = 3 ∙ 15 = 45.

b. Să se determine 𝑡1. 𝑡1 = 𝑆1 = 3(4 − 1) = 9.

c. Să se determine 𝑡2. 𝑡2 = 𝑆2 − 𝑆1 = 45 − 3(4 − 1) = 45 − 9 = 36.

d. Să se determine 𝑡𝑛, 𝑛 ≥ 3. (𝑡𝑛)𝑛≥1 fiind progresie geometrică cu primul termen 𝑡1 = 9 şi raţia

𝑞 =𝑡2

𝑡1=

36

9= 4, rezultă că termenul general este 𝑡𝑛 = 𝑡1 ∙ 𝑞𝑛−1 =

= 9 ∙ 4𝑛−1.

e. Să se calculeze {𝑡𝑛|𝑛 ≥ 1} ∩ (2𝑵). Primul termen 𝑡1 = 9 ∉ 2𝑵, iar pentru 𝑛 ≥ 2 ⇒ 𝑛 − 1 ≥ 1 ⇒

4𝑛−1 ⋮ 2 ⇒ 9 ∙ 4𝑛−1 ∈ 2𝑵 ⇒ 𝑡𝑛 ∈ 2𝑵, avem {𝑡𝑛|𝑛 ≥ 1} ∩ (2𝑵) = {𝑡𝑛|𝑛 ≥ 2}.

f. Să se demonstreze prin inducţie că Sn este divizibil cu 9 pentru orice 𝑛 ≥ 1.

Notăm 𝑃(𝑛): 9|𝑆𝑛.

𝑃(1): 9|𝑆1 ⇔ 9|9 Adevărat.

Presupunem 𝑃(ℎ) adevărată pentru un ℎ ≥ 1. Rezultă că 9|𝑆ℎ. 𝑆ℎ+1 =

3(4ℎ+1 − 1) = 3(4ℎ ∙ 4 − 1) = 12 ∙ 4ℎ − 3 =

= 3 ∙ 4ℎ − 3 + 9 ∙ 4ℎ = 𝑆ℎ + 9 ∙ 4ℎ şi cum 9|𝑆ℎ şi 9|(9 ∙ 4ℎ) rezultă că

9|𝑆ℎ+1, deci 𝑃(ℎ + 1) este adevărată.

În consecinţă 𝑃(𝑛) este adevărată pentru orice 𝑛 ≥ 1.

g. Să se scrie vectorul 𝑃1𝑃𝑛 cu 𝑛 ≥ 2 în funcţie de vectorii bazei canonice 𝑖 , 𝑗 .

𝑃1𝑃𝑛 = 𝑂𝑃𝑛 − 𝑂𝑃1 = 𝑛𝑖 + 𝑡𝑛𝑗 − 𝑖 − 9𝑗 =

= (𝑛 − 1)𝑖 + (9 ∙ 4𝑛−1 − 9)𝑗 = (𝑛 − 1)𝑖 + 9(4𝑛−1 − 1)𝑗 .

h. Să se arate că oricare vector 𝑃1𝑃𝑛 cu 𝑛 ≥ 2 este necoliniar cu

𝑃2𝑃3 .

𝑃2𝑃3 = 𝑂𝑃3

− 𝑂𝑃2 = 3𝑖 + 𝑡3𝑗 − 2𝑖 − 𝑡2𝑗 = 𝑖 + 108𝑗 .


18

Dacă ar exista 𝑛 ≥ 2 astfel încât 𝑃1𝑃𝑛 şi 𝑃2𝑃3 să fie coliniare, ar exista

𝛼 ∈ 𝑹 astfel încât 𝑃1𝑃𝑛 = 𝛼 ∙ 𝑃2𝑃3 adică (𝑛 − 1)𝑖 + 9(4𝑛−1 − 1)𝑗 =

𝛼𝑖 + 108𝛼𝑗 ⇔ {𝑛 − 1 = 𝛼9(4𝑛−1 − 1) = 108𝛼

⇔ {𝑛 − 1 = 𝛼4𝑛−1 − 1 = 12𝛼

⇔

{𝑛 − 1 = 𝛼4𝑛−1 − 1 = 12𝑛 − 12

⇔ {𝑛 − 1 = 𝛼4𝑛−1 = 12𝑛 − 11

. Ultima relaţie fiind falsă

deoarece în membrul stâng avem un număr par, iar în membrul drept

un număr impar rezultă că presupunerea este falsă, deci oricare

vector 𝑃1𝑃𝑛 cu 𝑛 ≥ 2 este necoliniar cu 𝑃2𝑃3 .

Clasa a X-a I. Pentru fiecare număr real 𝛼 şi fiecare număr natural nenul 𝑛 se

consideră numărul complex 𝑧(𝛼, 𝑛) = (1 + cos𝛼 + 𝑖 sin𝛼)𝑛. a. Să se găsească partea reală şi partea imaginară a lui 𝑧(0,1). 𝑧(0,1) = (1 + 𝑐𝑜𝑠 0 + 𝑖 𝑠𝑖𝑛 0)1 = 1 + 1 = 2, prin urmare

𝑅𝑒(𝑧(0,1)) = 2, 𝐼𝑚(𝑧(0,1)) = 0.

b. Să se găsească partea reală şi partea imaginară a lui 𝑧 (𝜋

4, 2).

𝑧 (𝜋

4, 2) = (1 + 𝑐𝑜𝑠

𝜋

4+ 𝑖 𝑠𝑖𝑛

𝜋

4)2

= (1 +√2

2+ 𝑖

√2

2)

2

=

= (1 +√2

2)2

+ 2(1 +√2

2)1

(𝑖√2

2)1

+ (𝑖√2

2)2

= 1 + √2 +1

2+

+(√2 + 1)𝑖 −1

2= √2 + 1 + (√2 + 1)𝑖, prin urmare 𝑅𝑒 (𝑧 (

𝜋

4, 2)) =

√2 + 1, 𝐼𝑚 (𝑧 (𝜋

4, 2)) = √2 + 1.

c. Folosind formulele 2 cos2 𝑥

2= 1 + cos 𝑥 şi 2 sin

𝑥

2cos

𝑥

2= sin𝑥 să se

calculeze modulul lui 𝑧 (𝜋

22, 𝑛) , 𝑛 ≥ 1.


19

𝑧 (𝜋

22, 𝑛) = (1 + 𝑐𝑜𝑠

𝜋


𝜋

22)𝑛

= (2 𝑐𝑜𝑠2 𝜋

44+ 2𝑖 𝑠𝑖𝑛

𝜋

44𝑐𝑜𝑠

𝜋

44)𝑛

=

[2 𝑐𝑜𝑠𝜋

44(𝑐𝑜𝑠

𝜋


𝜋

44)]

𝑛= 2𝑛 𝑐𝑜𝑠𝑛 𝜋

44(𝑐𝑜𝑠

𝜋𝑛


𝜋𝑛

44) şi

deoarece 𝑐𝑜𝑠𝑛 𝜋

44> 0, rezultă că |𝑧 (

𝜋

22, 𝑛)| = 2𝑛 𝑐𝑜𝑠𝑛 𝜋

44.

d. Să se scrie forma trigonometrică a conjugatului lui 𝑧(𝛼, 𝑛).

𝑧(𝛼, 𝑛) = (1 + 𝑐𝑜𝑠 𝛼 + 𝑖 𝑠𝑖𝑛 𝛼)𝑛 = (2 𝑐𝑜𝑠2 𝛼

2+ 2𝑖 𝑠𝑖𝑛

𝛼

2𝑐𝑜𝑠

𝛼

2)𝑛

=

[2 𝑐𝑜𝑠𝛼

2(𝑐𝑜𝑠

𝛼


𝛼

2)]

𝑛 = 2𝑛 𝑐𝑜𝑠𝑛 𝛼

2(𝑐𝑜𝑠

𝑛𝛼


𝑛𝛼

2)

=

2𝑛 𝑐𝑜𝑠𝑛 𝛼

2(𝑐𝑜𝑠

𝑛𝛼

2− 𝑖 𝑠𝑖𝑛

𝑛𝛼

2) = 2𝑛 𝑐𝑜𝑠𝑛 𝛼

2(𝑐𝑜𝑠 (−

𝑛𝛼

2) + 𝑖 𝑠𝑖𝑛 (−

𝑛𝛼

2)).

e. Să se demonstreze că |𝑧(𝛼, 𝑛)| ≤ 2𝑛 pentru orice număr real 𝛼 şi orice număr natural nenul 𝑛.

|𝑧(𝛼, 𝑛)| = |2𝑛 𝑐𝑜𝑠𝑛 𝛼

2(𝑐𝑜𝑠

𝑛𝛼


𝑛𝛼

2)| = |2𝑛 𝑐𝑜𝑠𝑛 𝛼

2| =

2𝑛 |𝑐𝑜𝑠𝑛 𝛼

2| = 2𝑛 |𝑐𝑜𝑠

𝛼

2|𝑛

≤ 2𝑛 pentru că |𝑐𝑜𝑠𝛼

2| ≤ 1.

f. Să se rezolve în numere complexe ecuaţia 𝑥2 = 𝑧 (𝜋

5, 5).

Deoarece 𝑧 (𝜋

5, 5) = 25 𝑐𝑜𝑠5 𝜋

10(𝑐𝑜𝑠

𝜋


𝜋

2) ecuaţia are două

soluţii 𝑥𝑘 = √25 𝑐𝑜𝑠5 𝜋

10(𝑐𝑜𝑠

𝜋

2+2𝑘𝜋


𝜋

2+2𝑘𝜋

2) , 𝑘 = 0,1 şi anume

𝑥0 = 2√2 𝑐𝑜𝑠2 𝜋

10√2𝑐𝑜𝑠

𝜋

10(1 + 𝑖) şi

𝑥1 = −2√2𝑐𝑜𝑠2 𝜋

10√2𝑐𝑜𝑠

𝜋

10(1 + 𝑖).

g. Să se rezolve în numere complexe ecuaţia |𝑥|2 = |𝑧 (𝜋

5, 5)|.

Deoarece |𝑧 (𝜋

5, 5)| = 25 𝑐𝑜𝑠5 𝜋

10 ecuaţia este |𝑥| = 4√2 𝑐𝑜𝑠2 𝜋

10 care

are 𝑆 = {4√2 𝑐𝑜𝑠2 𝜋

10(cos 𝑡 + 𝑖 sin 𝑡)|𝑡 ∈ [0; 2𝜋)}.


20

II. Se consideră funcţia 𝑓: 𝒁 → 𝒁, 𝑓(𝑥) = {𝑥 + 5, 𝑥 𝑝𝑎𝑟𝑥 − 5, 𝑥 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟

.

a. Să se determine 𝑓(2010). 𝑓(2010) = 2010 + 5 = 2015.

b. Să se arate că |𝑓(𝑛) − 𝑓(𝑛 + 1)| ≠ 10, ∀𝑛 ∈ 𝒁. Fie 𝑛 ∈ 2𝒁. Atunci 𝑛 + 1 ∈ 2𝒁 + 1 şi deci 𝑓(𝑛) − 𝑓(𝑛 + 1) = 𝑛 + 5 −

𝑛 − 1 + 5 = 9.

Fie 𝑛 ∈ 2𝒁 + 1. Atunci 𝑛 + 1 ∈ 2𝒁 şi deci

𝑓(𝑛) − 𝑓(𝑛 + 1) = 𝑛 − 5 − 𝑛 − 1 − 5 = −11.

Deci |𝑓(𝑛) − 𝑓(𝑛 + 1)| ∈ {9,11}, ∀𝑛 ∈ 𝒁 prin urmare

|𝑓(𝑛) − 𝑓(𝑛 + 1)| ≠ 10, ∀𝑛 ∈ 𝒁.

c. Să se arate că funcţia 𝑓 este injectivă. Fie 𝑥, 𝑦 ∈ 𝒁 astfel încât 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑦).

Dacă 𝑥, 𝑦 ∈ 2𝒁 obţinem 𝑥 + 5 = 𝑦 + 5 de unde 𝑥 = 𝑦.

Dacă 𝑥, 𝑦 ∈ 2𝒁 + 1 obţinem 𝑥 − 5 = 𝑦 − 5 de unde 𝑥 = 𝑦.

Dacă 𝑥 ∈ 2𝒁 şi 𝑦 ∈ 2𝒁 + 1 obţinem 𝑥 + 5 = 𝑦 − 5 de unde 𝑥 − 𝑦 =

−10. Absurd căci x şi y au parităţi diferite.

Dacă 𝑦 ∈ 2𝒁 şi 𝑥 ∈ 2𝒁 + 1 obţinem 𝑥 − 5 = 𝑦 + 5 de unde

𝑥 − 𝑦 = 10. Absurd căci x şi y au parităţi diferite.

Deci 𝑥 = 𝑦, adică f este injectivă.

d. Să se arate că funcţia 𝑓 este surjectivă. Fie 𝑦 ∈ 𝒁.

Dacă 𝑦 ∈ 2𝒁 alegem 𝑥 = 𝑦 + 5 ∈ 2𝒁 + 1 şi atunci 𝑓(𝑥) = 𝑥 − 5 =

= 𝑦 + 5 − 5 = 𝑦.

Dacă 𝑦 ∈ 2𝒁 + 1 alegem 𝑥 = 𝑦 − 5 ∈ 2𝒁 şi atunci 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 5 =

= 𝑦 − 5 + 5 = 𝑦.

Deci 𝑦 ∈ 𝒁 ⇒ ∃𝑥 ∈ 𝒁, 𝑓(𝑥) = 𝑦 prin urmare f este surjectivă.

e. Să se determine inversa funcţiei 𝑓. Fie 𝑥 ∈ 𝒁.

(𝑓 ∘ 𝑓)(𝑥) = 𝑓(𝑓(𝑥)) = {𝑓(𝑥) + 5, 𝑓(𝑥) 𝑝𝑎𝑟

𝑓(𝑥) − 5, 𝑓(𝑥) 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟=


21

= {

𝑥 + 5 + 5, 𝑥 + 5 𝑝𝑎𝑟 ş𝑖 𝑥 𝑝𝑎𝑟𝑥 + 5 − 5, 𝑥 + 5 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟 ş𝑖 𝑥 𝑝𝑎𝑟𝑥 − 5 + 5, 𝑥 − 5 𝑝𝑎𝑟 ş𝑖 𝑥 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟𝑥 − 5 − 5, 𝑥 − 5 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟 ş𝑖 𝑥 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟

=

= {

𝑥 + 10, 𝑥 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟 ş𝑖 𝑥 𝑝𝑎𝑟𝑥, 𝑥 𝑝𝑎𝑟 ş𝑖 𝑥 𝑝𝑎𝑟𝑥, 𝑥 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟 ş𝑖 𝑥 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟𝑥 − 10, 𝑥 𝑝𝑎𝑟 ş𝑖 𝑥 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟

= {𝑥, 𝑥 𝑝𝑎𝑟𝑥, 𝑥 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟 = 𝑥 = 1𝒁(𝑥).

Prin urmare 𝑓−1 = 𝑓.

f. Să se stabilească monotonia funcţiei 𝑓. Deoarece, deşi 2𝑛 < 2𝑛 + 1 < 2𝑛 + 2, totuşi

𝑓(2𝑛) = 2𝑛 + 5 > 2𝑛 − 4 = 𝑓(2𝑛 + 1) < 2𝑛 + 7 = 𝑓(2𝑛 + 2) rezultă

că funcţia nu este monotonă.

g. Să se arate că mulţimea {√𝑓(𝑛)3 |𝑛 ∈ 𝒁} ∩ 𝒁 conţine o infinitate de

elemente.

Deoarece √𝑓(8𝑛3 + 5)3

= √8𝑛33= 2𝑛 ∈ 𝒁 rezultă că 2𝒁 ⊆

{√𝑓(𝑛)3

|𝑛 ∈ 𝒁} ∩ 𝒁 şi prin urmare {√𝑓(𝑛)3

|𝑛 ∈ 𝒁} ∩ 𝒁 conţine o

infinitate de elemente.

h. Dacă 𝑝 = ln 𝑓(2) şi 𝑞 = ln 𝑓(0) să se scrie în funcţie de p şi q ln 𝑓(170).

𝑝 = 𝑙𝑛 𝑓(2) = 𝑙𝑛 7, 𝑞 = 𝑙𝑛 𝑓(0) = 𝑙𝑛 5 obţinem 𝑙𝑛 𝑓(170) = 𝑙𝑛 175 =

𝑙𝑛 7 ∙ 52 = 𝑙𝑛 7 + 2 𝑙𝑛 5 = 𝑝 + 2𝑞.

Clasa a XII-a

I. Pe mulţimea 𝑀 = [0;∞) definim 𝑎 ∗ 𝑏 = ln(𝑒𝑎 + 𝑒𝑏 − 1).

a. Să se arate că „*” este lege de compoziţie pe M. Fie 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑀.

Atunci 𝑎 ≥ 0, 𝑏 ≥ 0 ⇒ 𝑒𝑎 ≥ 1, 𝑒𝑏 ≥ 1 ⇒ 𝑒𝑎 + 𝑒𝑏 − 1 ≥ 0 ⇒

𝑎 ∗ 𝑏 ≥ 0 ⇒ 𝑎 ∗ 𝑏 ∈ 𝑀.

Deci, 𝑎 ∗ 𝑏 ∈ 𝑀, ∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝑀, prin urmare „*” este lege de compoziţie

pe M.


22

b. Să se arate că legea „*” este comutativă. Fie 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑀.

Folosind comutativitatea adunării numerelor reale avem succesiv :

𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑙𝑛(𝑒𝑎 + 𝑒𝑏 − 1) = 𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑙𝑛(𝑒𝑏 + 𝑒𝑎 − 1) = 𝑏 ∗ 𝑎.

Deci 𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑏 ∗ 𝑎, ∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝑀, prin urmare „*” este comutativă.

c. Să se arate că legea „*” este asociativă. Fie 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑀.

Avem succesiv :

(𝑎 ∗ 𝑏) ∗ 𝑐 = 𝑙𝑛(𝑒𝑎 + 𝑒𝑏 − 1) ∗ 𝑐 = 𝑙𝑛 (𝑒𝑙𝑛(𝑒𝑎+𝑒𝑏−1) + 𝑒𝑐 − 1)

= 𝑙𝑛(𝑒𝑎 + 𝑒𝑏 − 1 + 𝑒𝑐 − 1) = 𝑙𝑛(𝑒𝑎 + 𝑒𝑏 + 𝑒𝑐 − 2)

𝑎 ∗ (𝑏 ∗ 𝑐) = 𝑎 ∗ 𝑙𝑛(𝑒𝑏 + 𝑒𝑐 − 1) = 𝑙𝑛 (𝑒𝑎 + 𝑒𝑙𝑛(𝑒𝑏+𝑒𝑐−1) − 1)

= 𝑙𝑛(𝑒𝑎 + 𝑒𝑏 + 𝑒𝑐 − 1 − 1) = 𝑙𝑛(𝑒𝑎 + 𝑒𝑏 + 𝑒𝑐 − 2)

Deci (𝑎 ∗ 𝑏) ∗ 𝑐 = 𝑎 ∗ (𝑏 ∗ 𝑐), ∀𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑀, prin urmare „*” este

asociativă.

d. Să se arate că legea „*” are element neutru. Fie 𝑎 ∈ 𝑀.

Cum 0 ∈ 𝑀 avem succesiv :

𝑎 ∗ 0 = 𝑙𝑛(𝑒𝑎 + 𝑒0 − 1) = 𝑙𝑛(𝑒𝑎 + 1 − 1) = 𝑙𝑛(𝑒𝑎) = 𝑎

Folosind punctul b. obţinem că 𝑎 ∗ 0 = 0 ∗ 𝑎 = 𝑎, ∀𝑎 ∈ 𝑀, prin

urmare „*” are pe 0 element neutru.

e. Să se arate că (M,*) nu este grup abelian. Arătăm că există în M elemente nesimetrizabile, de exemplu 1.

Dacă 1 ar fi simetrizabil, atunci ar exista 𝑎 ∈ 𝑀 astfel încât 1 ∗ 𝑎 = 0,

adică 𝑙𝑛(𝑒 + 𝑒𝑎 − 1) = 0, dar 𝑒 > 2 ⇒ 𝑒 − 1 > 1 ⇒ 𝑒 + 𝑒𝑎 − 1 > 1 ⇒

𝑙𝑛(𝑒 + 𝑒𝑎 − 1) > 0, contradicţie !

f. Să se arate că mulţimea numerelor naturale nu este parte stabilă a lui M în raport cu „*”.

Arătăm că 1 ∗ 1 ∉ 𝑵. Într-adevăr, dacă există 𝑎 ∈ 𝑀 astfel ca 1 ∗ 1 =

𝑎 ⇒ 𝑙𝑛(2𝑒 − 1) = 𝑎 ⇒ 2𝑒 − 1 = 𝑒𝑎, dar


23

𝑒 < 3 ⇒ 2𝑒 − 1 < 5 < 𝑒2 şi cum 2𝑒 − 1 ≠ 1 şi 2𝑒 − 1 ≠ 𝑒, rezultă că

egalitatea 2𝑒 − 1 = 𝑒𝑎 este imposibilă.

g. Să se rezolve ecuaţia 𝑥 ∗ 𝑥 ∗ 𝑥 = 𝑥 . 𝑥 ∗ 𝑥 ∗ 𝑥 = 𝑥 ⇔ 𝑙𝑛(3𝑒𝑥 − 2) = 𝑥 ⇔ 3𝑒𝑥 − 2 = 𝑒𝑥 ⇔ 2𝑒𝑥 = 2 ⇔

𝑒𝑥 = 1 ⇔ 𝑥 = 0. Deci 𝑆 = {0}.

II. Se consideră funcţia 𝑓: [1; 9] → 𝑹, 𝑓(𝑥) = 2𝑥 +1

𝑥.

a. Să se argumenteze continuitatea funcţiei f. f este continuă pe domeniul de definiţie fiind suma dintre o funcţie

polinomială (continuă pe orice interval) şi o funcţie raţională

(continuă pe orice interval pe care e definită).

b. Să se demonstreze că funcţia f este strict crescătoare. f este derivabilă pe tot domeniul de definiţie fiind suma dintre o

funcţie polinomială (derivabilă pe orice interval) şi o funcţie raţională

(derivabilă pe orice interval pe care e definită).

𝑓′(𝑥) = 2 −1

𝑥2

𝑥 ∈ [1; 9] ⇒ 𝑥2 ∈ [1; 81] ⇒1

𝑥2 ∈ [1

81; 1] ⇒ −

1

𝑥2 ∈ [−1;−1

81] ⇒ 2 −

1

𝑥2 ∈

[1;161

81] ⇒ 𝑓′(𝑥) > 0, prin urmare f este strict crescătoare.

c. Să se determine minimul şi maximul funcţiei f. Folosind punctul b., rezultă că 𝑚𝑖𝑛

𝑥∈[1;9]𝑓(𝑥) = 𝑓(1) = 3, iar 𝑚𝑎𝑥

𝑥∈[1;9]𝑓(𝑥) =

𝑓(9) =163

9.

d. Să se calculeze suma Riemann asociată funcţiei f, diviziunii ∆3=(1,4,9) şi sistemului de puncte intermediare 𝜉 = (2,8).

𝜎∆3(𝑓; 𝜉) = 𝑓(2)(4 − 1) + 𝑓(8)(9 − 4) = 3 ∙

9

2+ 5 ∙

129

8=

27

2+

645

8=

=753

8.

e. Să se argumenteze existenţa lui 𝑐 ∈ [1; 9] astfel încât 𝑓(𝑐) =753

64.


24

Din continuitatea lui f şi din punctele b şi c deducem că 𝐼𝑚(𝑓) =

[3;163

9]. Astfel, 𝑓: [1; 9] → 𝐼𝑚(𝑓) este surjectivă şi cum

753

64∈ [3;

163

9]

deducem că există 𝑐 ∈ [1; 9] astfel încât 𝑓(𝑐) =753

64.

f. Să se calculeze limita sumei Riemann asociată funcţiei f, diviziunii

∆𝑛= (1,1 +8

𝑛, 1 +

16

𝑛, … , 1 +

8𝑛

𝑛= 9) şi sistemului de puncte

intermediare 𝜉 = (1 +8𝑖

𝑛)𝑖=1,𝑛

.

Funcţia f fiind continuă este integrabilă, iar limita oricărei sume

Riemann este :

∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥

9

1

= ∫(2𝑥 +1

𝑥)𝑑𝑥

9

1

= 𝑥2|19 + 𝑙𝑛 𝑥|1

9 = 80 + 2 𝑙𝑛 3

g. Să se arate că orice sumă Riemann asociată funcţiei f se află în

intervalul [24;1304

9].

Fie ∆= (1 = 𝑥0 < 𝑥1 < ⋯ < 𝑥𝑛 = 9) o diviziune a intervalului [1; 9] şi

𝜉 = (𝜉𝑖)𝑖=1,𝑛 un sistem de puncte intermediare asociat diviziunii ∆. Din

punctul c. deducem că :

3 ≤ 𝑓(𝑥) ≤163

9, ∀𝑥 ∈ [1; 9], prin urmare 3 ≤ 𝑓(𝜉𝑖) ≤

163

9, 𝑖 = 1, 𝑛 .

Atunci 3(𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1) ≤ 𝑓(𝜉𝑖)(𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1) ≤163

9(𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1), 𝑖 = 1, 𝑛 şi prin

urmare :

∑3(𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1)

𝑛

𝑖=1

≤ ∑𝑓(𝜉𝑖)(𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1)

𝑛

𝑖=1

≤ ∑163

9(𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1)

𝑛

𝑖=1

⇒

3∑(𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1)

𝑛

𝑖=1

≤ 𝜎∆(𝑓; 𝜉) ≤163

9∑(𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1)

𝑛

𝑖=1

⇒

3(𝑥𝑛 − 𝑥0) ≤ 𝜎∆(𝑓; 𝜉) ≤163

9(𝑥𝑛 − 𝑥0) ⇒

3 ∙ 8 ≤ 𝜎∆(𝑓; 𝜉) ≤163

9∙ 8 ⇒ 𝜎∆(𝑓; 𝜉) ∈ [24;

1304

9].


25

h. Să se arate că pentru orice sumă Riemann S asociată funcţiei f există 𝑐 ∈ [1; 9] astfel încât 𝑆 = 8𝑓(𝑐).

Fie S o sumă Riemann asociată funcţiei f.

Din punctul g. rezultă că 𝑆 ∈ [24;1304

9]. Din punctul e. avem că 𝐼𝑚(𝑓) =

[3;163

9] de unde 𝐼𝑚(8𝑓) = [24;

1304

9]. În sfârşit, din surjectivitatea

funcţiei 8f deducem că există 𝑐 ∈ [1; 9] astfel încât 𝑆 = 8𝑓(𝑐).

REZULTATE

Clasa a V-a Nr. crt.

Numele şi prenumele Clasa Punctaj din 100

Calificat la Faza pe sector

1 Al Ugeily Nadia 5A 65 DA

2 Titi Alexandru-Constantin 5A 51 nu

3 Ilie Andra-Maria 5A 47 nu

4 Mirea Alexandru-George 5A 21 nu 5 Micu Andreea-Mihaela 5A 0 nu

6 Stanciu Marinela-Daniela 5A 0 nu

Clasa a VI-a Nr. crt.



1 Dincă Alexandra-Maria 6A 85 DA

2 Houleihel Sarah-Amanda 6A 80 DA

3 Constantin Georgiana-Elena 6A 44 nu

4 Eremia Alexandra-Mariana 6A 38 nu

5 Turculeţ Ana-Maria 6A 33 nu

6 Maftei Ioana 6A 32 nu


26

Clasa a VII-a Nr. crt.



1 Stamate-Accibaş Camelia 7A 42 nu

2 Ilie Georgiana-Tatiana 7A 25 nu

3 Fiţă Cristian-Anton 7A 20 nu

4 Ghiurcuţă Ciprian-Ionuţ 7A 20 nu

5 Stan Marco-Antonio 7A 20 nu

Clasa a VIII-a Nr. crt.



1 Tudor Alina-Gabriela 8B 84 DA

2 Nicolae Matei 8B 71 DA

3 Iftime-Paşparan Cosmin-Ilie 8A 65 DA

4 Niţu Adriana-Iulia 8B 55 nu

5 Voichici Gabriel 8A 51 nu

6 Niţu Elena-Maria 8B 51 nu

7 Ilie Andrei-Ioan 8A 40 nu

8 Mihuţescu Alexandru-Tudor 8C 29 nu

9 Niţu Alexandra 8B 19 nu 10 Maxim Valentin-Gabriel 8A 0 nu

11 Teodorescu Claudia-Ioana 8B 0 nu

12 Didu Adelina-Cătălina 8C 0 nu

Clasa a IX-a Nr. crt.



1 Dascălul Iulian-Marian 9A 75 DA

2 Coporan Alexandru 9A 46 nu

3 Pîrlogea Mihnea-Răzvan 9A 16 nu

4 Gavrilenco Gabriel 9A 10 nu 5 Radu Nicolae-Lucian 9A 0 nu


27

Clasa a X-a Nr. crt.



1 Dinu Alexandru 10A 50 nu

2 Grigore Ana-Maria-Jeni 10A 46 nu

3 Amariei Ion-Cosmin 10A 39 nu

4 Olteanu Marius 10A 37 nu

5 Adam Valentin-Mihai 10A 34 nu

6 Radu Cristian 10A 24 nu

7 Cazacu Andreea-Monica 10A 23 nu

8 Vidale Dragoş 10A 16 nu 9 Ivaşcu Ioana-Georgeta 10A 0 nu

10 Turcu Dragoş-Iulian 10A 0 nu

Clasa a XII-a Nr. crt.



1 Nesterovski Victor 12A 44 nu

2 Nandrea Alexandru-Cristian 12A 41 nu

3 Dobrică Cătălin-Alexandru 12A 34 nu

4 Preda Gabriela-Alexandra 12A 26 nu

5 Breazu Mihai-Cristian 12A 25 nu

6 Chiriac Ioan-Mihai 12A 24 nu

7 Corlătescu Tudor-Ştefan 12A 22 nu

8 Gheorghe Cosmin-Gabriel 12A 20 nu

9 Constantinescu Ana-Maria-Cristina

12A 15 nu

10 Păpăleaţă Cosmin-Nicolae 12A 15 nu 11 Oancea Constantin-Bogdan 12A 0 nu


28

NOTA EDITORULUI „Citius, Altius, Fortius” (“Mai repede , mai înalt , mai puternic”)

Prezentul număr al revistei „Matematica Utilă” a fost realizat pe baza subiectelor fazei pe liceu a Olimpiadei de Matematică 2010-2011, din Liceul Greco-Catolic „Timotei Cipariu”, organizată de către Catedra de Matematică cu concursul Catedrei de Informatică şi a Comisiei de Organizare a Concursurilor Şcolare.

Subiectele au fost propuse după cum urmează :

- Clasa a V-a – prof. Carmen-Emanuela MANOLEA - Clasa a VI-a – prof. Dan-Cătălin BĂDIŢĂ - Clasa a VII-a – prof. Dan-Cătălin BĂDIŢĂ - Clasa a VIII-a – prof. Carmen-Emanuela MANOLEA - Clasa a IX-a – prof. Vicenţiu RUSU - Clasa a X-a – prof. Vicenţiu RUSU - Clasa a XII-a – prof. Vicenţiu RUSU

Felicităm toţi concurenţii prezenţi pentru efortul deosebit de a susţine preocupările Catedrei de Matematică în domeniul performanţei şi întrecerii şi le dorim mult succes la etapele sau examenele viitoare.

Mulţumim tuturor celor care au făcut posibilă organizarea Olimpiadei şi apariţia prezentului număr al revistei şi în mod deosebit : Consiliului de Administraţie al Liceului Greco-Catolic „Timotei Cipariu” şi Administraţiei Unităţilor de Învăţământ Preuniversitar şi Unităţilor Sanitare Publice.

„Cel mai important lucru nu este să câştigi, ci să participi !”

Apărut : ianuarie 2011

Multiplicare : 60 exemplare

Revista „Matematica Utilă” se distribuie în mod gratuit, costurile de orice fel

fiind suportate în întregime de către Catedra de Matematică şi Prietenii Ei.

Date post:	02-Jan-2020
Category:	Documents
Upload:	others
View:	15 times
Download:	2 times

MATEMATICA UTILĂ Volumul 3 Anul 1webserv.lgrcat.ro/2015-2016/Catedre/Mate/03.pdf · 2016-01-19 ·...

Documents