Matematica in Economie

Monica Alice APRODU

MATEMATICI APLICATE INECONOMIE

13 noiembrie 2005

Materialul de fata reprezinta o introducere ın aparatul matematicnecesar interpretarii fenomenelor economice tot mai complexe si estedestinat studentilor anilor ıntai din ınvatamantul economic.

Materialul este ımpartit ın sase capitole.Capitolul 1 este dedicat studiului unor proprietati de baza ale spa-

tiului liniar (vectorial). O mare parte din disciplinele matematice : Alge-bra, Analiza matematica, Programarea matematica, Cercetarile ope-rationale, etc folosesc proprietati din teoria spatiilor liniare. Majoritateaaplicatiilor din economie se plaseaza ın spatiul vectorial finit.

Capitolul 2 prezinta elemente esentiale de programare liniara. Unloc important printre disciplinele matematice care s-au impus ın op-timizarea activitatii economice ıl ocupa programarea liniara. Modelulliniar acopera o clasa larga de probleme practice : organizare, ames-tec, transport, investitii, decizii.

Capitolul 3 trateaza notiuni de Analiza matematica, instrument ma-tematic intens utilizat ın aplicatii. De exemplu, cererea unui produs pepiata concurentiala depinde de preturile sale la diversi furnizori. Deci,cantitatea ceruta este o functie de mai multe variabile reprezentate deaceste preturi. Derivatele partiale ale acestei functii determina vitezacu care se modifica cererea atunci cand pretul cerut de un furnizorvariaza.

Caopitolul 4 prezinta succint notiunile Teoriei probabilitatilor si apli-catiile ei ın analiza fenomenelor economice cu caracter aleator, urma-rind cercetarea legitatilor respective.

Capitolul 5 este o introducere ın Statistica matematica, ce adancesterealitatea desfasurarii vietii economice, in variate probleme cu caracteraleator, preluand instrumentul probabilistic,

V

Cuprins

1 ALGEBRA LINIARA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1 STRUCTURI ALGEBRICE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 SPATII VECTORIALE. SUBSPATII VECTORIALE. . . . . . . 2

1.2.1 EXERCITII. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3 LINIAR DEPENDENTA, LINIAR INDEPENDENTA,

BAZA SI DIMENSIUNE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.3.1 EXERCITII. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.4 APLICATII LINIARE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.4.1 EXERCITII. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2 PROGRAMARE LINIARA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.1 PROBLEMA DE FOLOSIRE EFICIENTA A

RESURSELOR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.2 FORME ALE MODELULUI MATEMATIC PENTRU O

PROBLEMA DE PROGRAMARE LINIARA. . . . . . . . . . . . . 242.3 PROGRAM DE BAZA, PROGRAM OPTIM, TEOREMA

FUNDAMENTALA A PROGRAMARII LINIARE. . . . . . . . . . 272.4 FORMULE DE SCHIMBARE A BAZEI PENTRU

DETERMINAREA UNEI NOI SOLUTII DE BAZA. . . . . . . . 292.4.1 METODA SIMPLEX DE REZOLVARE A

PROBLEMEI DE PROGRAMARE LINIARA.ALGORITMUL SIMPLEX. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.4.2 TEHNICI ALE BAZEI ARTIFICIALE PENTRUDETERMINAREA UNUI PROGRAM INITIAL DEBAZA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.5 DUALITATE IN PROGRAMAREA LINIARA. . . . . . . . . . . . . 472.5.1 EXERCITII. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3 ELEMENTE DE ANALIZA MATEMATICA. . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.1 SPATIUL METRIC Rn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.2 SIRURI DE PUNCTE DIN SPATIUL METRIC Rn. . . . . . . . 57

3.3 FUNCTII REALE DE n VARIABILE REALE. . . . . . . . . . . . . 573.3.1 LIMITA FUNCTIILOR REALE DE n VARIABILE

REALE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583.3.2 CONTINUITATEA FUNCTIILOR REALE DE n

VARIABILE REALE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603.4 DERIVATE PARTIALE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603.5 DIFERENTIABILITATEA FUNCTIEI REALE DE n

VARIABILE REALE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633.5.1 EXERCITII. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

3.6 EXTREME LOCALE PENTRU FUNCTIA REALA DE nVARIABILE REALE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 663.6.1 EXERCITII. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

3.7 AJUSTARI. METODA CELOR MAI MICI PATRATE. . . . . . 70

4 ELEMENTE DE TEORIA PROBABILITATILOR SISTATISTICA MATEMATICA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 754.1 CAMP DE EVENIMENTE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

4.1.1 EVENIMENTE. OPERATII CU EVENIMENTE. . . . . 754.2 DEFINITIA CLASICA A PROBABILITATII. . . . . . . . . . . . . . 774.3 CAMP DE EVENIMENTE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 784.4 CAMP DE PROBABILITATE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

4.4.1 DEFINITIA AXIOMATICA A PROBABILITATII. . . . . . 784.4.2 EVENIMENTE INDEPENDENTE.

PROBABILITATE CONDITIONATA. . . . . . . . . . . . . . . 794.5 VARIABILE ALEATOARE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

4.5.1 FUNCTIA DE REPARTITIE A UNEI VARIABILEALEATOARE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

4.5.2 TIPURI DE VARIABILE ALEATOARE. . . . . . . . . . . . . 814.6 OPERATII CU VARIABILE ALEATOARE DISCRETE. . . . . 824.7 CARACTERISTICI NUMERICE ALE VARIABILELOR

ALEATOARE DISCRETE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 834.8 FUNCTIA CARACTERISTICA A UNEI VARIABILE

ALEATOARE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 864.8.1 EXERCITII. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

5 ELEMENTE DE STATISTICA MATEMATICA. . . . . . . . . . . . . . . 895.1 NOTIUNEA DE SELECTIE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 895.2 REPARTITIA SELECTIEI. FUNCTIA DE REPARTITIE A

SELECTIEI. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

VIII

5.3 VALORI TIPICE DE SELECTIE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 935.3.1 EXERCITII. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

6 TESTE DE EVALUARE ORIENTATIVE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 976.1 TEST 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 976.2 TEST 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 976.3 TEST 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 986.4 TEST 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

Bibliografie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .101

IX

1 ALGEBRA LINIARA.

1.1 STRUCTURI ALGEBRICE.

In aceasta sectiune sunt reamintite notiunile de lege de compozitie,grup, inel, corp. Fie M o multime nevida. Cand se defineste notiuneade lege de compozitie pe M , nu este necesar sa precizam natura ele-mentelor multimii, sau modul efectiv ın care actioneaza legea pe pro-dusul cartezian M ×M . Insa, se dovedeste a fi interesant studiul legi-lor de compozitie avand anumite proprietati. Multimea M ınzestrata cuuna sau mai multe legi de compozitie care satisfac anumite proprietatispecifice se numeste structura algebrica. Structurile algebrice studiateın liceu sunt : monoidul, grupul, inelul si corpul.

Definitie. O multime nevida M este monoid ın raport cu o lege decompozitie definita pe M :

M ×M → M(x , y) 7→ x ∗ y

daca sunt satisfacute urmatoarele axiome :1) (x ∗ y) ∗ z = x ∗ (y ∗ z), ∀x, y, z ∈ M2) ∃e ∈ M astfel ıncat e ∗ x = x ∗ e, ∀x ∈ M.

Definitie. Un cuplu (G, ∗) format cu o multime nevida G si o lege decompozitie pe G :

G × G → G(x , y) 7→ x ∗ y

se numeste grup daca (G, ∗) este monoid si ın plus este satisfacutaaxioma : ∀x ∈ G,∃x′ ∈ G astfel ıncat x′ ∗ x = x ∗ x′ = e. Mai mult,daca : x∗y = y ∗x, ∀x, y ∈ G, atunci G se numeste grup comutativ sauabelian.

Definitie. O multime M ımpreuna cu doua legi de compozitie :

M ×M → M(x , y) 7→ x + y

siM ×M →M(x , y) 7→ xy

se numeste inel daca :

1)(M, +) este grup abelian ;2)(M, .) este monoid ;3)ınmultirea este distributiva fata de adunare :

x(y + z) = xy + xz, ∀x, y, z ∈ M.

Definitie. Un inel K se numeste corp daca 0 6= 1 si pentru oriceelement x ∈ K, x 6= 0 ∃x−1 ∈ K astfel ıncat x−1x = xx−1 = 1. CorpulK se numeste comutativ daca ınmultirea sa este comutativa.

1.2 SPATII VECTORIALE. SUBSPATII VECTORIALE.

Definitie. Fie V o multime nevida si K un corp comutativ. Pe multimeaV se definesc doua operatii :

- o operatie interna, numita adunare :

” + ” : V × V → V(x , y) 7→ x + y

- o operatie externa, numita ınmultire cu scalari :

”.” : K × V → V(α , y) 7→ αy.

V se numeste spatiu vectorial peste corpul K si se noteaza V/K, dacarelativ la adunare si ınmultirea cu salari din K, satisface urmatoareleconditii :

I) (V, +) este grup comutativ ;II)∀v, w ∈ V, ∀α, β ∈ K :

1. (α + β)v = αv + βv,2. α(v + w) = αv + αw,3. α(βv) = (αβ)v,

2

4. 1.v = v, 1 ∈ K.

Elementele lui V se numesc vectori iar elementele lui K se numescscalari. V se numeste spatiu vectorial real cand K = R.

Definitie. Fie V/K un spatiu vectorial si S ⊆ V o submultime nevidaın V . S se numeste subspatiu vectorial al spatiului vectorial V daca,relativ la operatiile de adunare si ınmultire cu scalari induse din V ınS, acesta devine spatiu vectorial.

Propozitia 1. Fie V/K un spatiu vectorial. Se demonstreaza ca S ⊆ Veste subspatiu vectorial daca si numai daca: ∀α ∈ K, ∀u, v ∈ S,

(1.1)

a) u + v ∈ Sb) αu ∈ S,

daca si numai daca: ∀α ∈ K, ∀u, v ∈ S,

(1.2) ∀α, β ∈ K, ∀u, v ∈ S, αu + βv ∈ S.

Solutie. Presupunem ca S este subspatiu vectorial ın V . Atunci, dindefinitia subspatiului vectorial, pe S avem definite operatiile din V ,adica relatiile (1.1) sunt verificate.

Presupunem ca relatiile (1.1) sunt verificate si demonstram (1.2).Folosind conditiile ((1.1) (b) si (a)) avem:

∀α ∈ K, ∀u ∈ S ⇒ αu ∈ S∀α ∈ K, ∀v ∈ S ⇒ βv ∈ S

⇒ αu + βv ∈ S.

Ramane de demonstrat ca relatia (1.2) implica relatiile (1.1). Pentruaceasta se observa ca pentru α = 1 si β = −1 ın (1.2), obtinem:u − v ∈ S, ∀u, v ∈ S, adica S este subgrup aditiv al grupului (V, +).Asadar (S, +) este grup abelian.

Considerand α oarecare si β = 0 ın (1.2), obtinem: αu ∈ S, ∀u ∈ S,adica operatia externa este definita pe S.

Deoarece S ⊆ V , conditiile (II) din definitia spatiului vectorial suntverificate pentru elementele lui S.

Cu aceasta, am demonstrat ca S este spatiu vectorial ın raport cuoperatiile induse din V si mai mult, S este subspatiu vectorial ın V .

Q.E.D.

3

Observatie. Fie V/K un spatiu vectorial si v1, ..., vn ∈ V , n vectori.Multimea :

L(v1, ..., vn) = v =n∑

i=1

αivi, αi ∈ K, ∀ i = 1, . . . , n

este un subspatiu vectorial ın V si se numeste subspatiul generat devectorii v1, ..., vn.

1.2.1 EXERCITII.

Exercitiu 1. Consideram multimea R2 pe care se definesc urmatoareleperechi de operatii :

a)

”+” (x1, x2) + (y1, y2) := (x1 + y1, x2 + y2),∀ (x1, x2), (y1, y2) ∈ R2

”.” α(x1, x2) := (αx1, αx2),∀ (x1, x2) ∈ R2,∀ α ∈ R ;

b)

”+” (x1, x2) + (y1, y2) := (x1, x2 + y2),∀ (x1, x2), (y1, y2) ∈ R2

”.” α(x1, x2) := (αx1, αx2),∀ (x1, x2) ∈ R2,∀ α ∈ R ;

c)

”+” (x1, x2) + (y1, y2) := (x1 + y1, 0),∀ (x1, x2), (y1, y2) ∈ R2

”.” α(x1, x2) := (αx1, αx2),∀ (x1, x2) ∈ R2,∀ α ∈ R ;

d)

”+” (x1, x2) + (y1, y2) := (x1 + y1, x2 + y2),∀ (x1, x2), (y1, y2) ∈ R2

”.” α(x1, x2) := (0, 0), ∀ (x1, x2) ∈ R2,∀ α ∈ R ;

Sa se stabileasca, dintre perechile de operatii de mai sus, care anumedefinesc pe R2 o structura de spatiu vectorial real.

Solutie.a) Verificam conditia (I) din definitia spatiului vectorial :- lege de compozitie : ∀ (x1, x2), (y1, y2) ∈ R2,(x1, x2) + (y1, y2) := (x1 + y1, x2 + y2) ∈ R2 deoarece x1 + y1 ∈ R si

x2 + y2 ∈ R.- asociativitatea : ∀ (x1, x2), (y1, y2), (z1, z2) ∈ R2,

4

((x1, x2) + (y1, y2)) + (z1, z2) = (x1 + y1, x2 + y2) + (z1, z2) = ((x1 +y1) + z1, (x2 + y2) + z2) = (x1 + (y1 + z1), x2 + (y2 + z2)) = (x1, x2) +((y1, y2) + (z1, z2))

- element neutru : ∃ (e1, e2) = (0, 0) ∈ R2 astfel ıncat (0, 0) +(x1, x2) = (x1, x2) + (0, 0) = (x1, x2), ∀(x1, x2) ∈ R2.

- element simetrizabil : ∀ (x1, x2) ∈ R2, ∃(x′1, x′2) = (−x1,−x2) ∈ R2,astfel ıncat (−x1,−x2) + (x1, x2) = (x1, x2) + (−x1,−x2) = (0, 0).

- comutativitatea : ∀ (x1, x2), (y1, y2) ∈ R2, (x1, x2) + (y1, y2) = (x1 +y1, x2 + y2) = (y1 + x1, y2 + x2) = (y1, y2) + (x1, x2)

Verificam conditiile (II) din definitia spatiului vectorial :Pentru ınceput se observa ca ∀ α ∈ R si ∀(x1, x2) ∈ R2, α(x1, x2) :=

(αx1, αx2) ∈ R2 deoarece αx1 ∈ R, αx2 ∈ R.1) ∀ (x1, x2) ∈ R2, ∀ α, β ∈ R, (α + β)(x1, x2) = ((α + β)x1, (α +

β)x2) = (αx1 + βx1, αx2 + βx2) = (αx1, αx2) + (βx1, βx2) = α(x1, x2) +β(x1, x2).

2) ∀ (x1, x2), (y1, y2) ∈ R2, ∀α ∈ R, α((x1, x2) + (y1, y2)) = α(x1 +y1, x2+y2) = (α(x1+y1), α(x2+y2)) = (αx1+αy1, αx2+αy2) = α(x1, x2)+α(y1, y2).

3) ∀ α, β ∈ R, ∀ (x1, x2) ∈ R2, α(β(x1, x2)) = α(βx1, βx2) =(α(βx1), α(βx2)) = ((αβ)x1, (αβ)x2) = (αβ)(x1, x2).

4) ∀ (x1, x2) ∈ R2, 1.(x1, x2) = (x1, x2).

Deoarece toate conditiile din definitia spatiului vectorial sunt veri-ficate, putem spune ca R2 ımpreuna cu operatiile de mai sus devinespatiu vectorial real.

b) Analog cazului precedent, se demonstreaza ca (R2, +) este grup.Verificam axioma de comutativitate : ∀(x1, x2), (y1, y2) ∈ R2, (x1, x2) +(y1, y2) = (x1, x2 +y2), (y1, y2)+(x1, x2) = (y1, y2 +x2). Asadar, aceastaaxioma ne fiind verificata, R2 ımpreuna cu operatiile de la punctul (b)nu este spatiu vectorial.

c) Nu admite element neutru fata de adunare.d) Nu este verificata conditia (II-4) din definitia spatiului vectorial.

Q.E.D.

Exercitiu 2. Verificati fata de care dintre urmatoarele perechi de operatiiR3 devine spatiu vectorial real : ∀ (x1, y1, z1), (x2, y2, z2) ∈ R3,∀α ∈ R

1. (x1, y1, z1) + (x2, y2, z2) = (0, 0, 0) si α(x, y, z) = (αx, αy, αz),2. (x1, y1, z1) + (x2, y2, z2) = (0, 0, 0) si α(x, y, z) = (0, 0, 0).

5

Exercitiu 3. Fie multimea n-uplurilor de numere reale

Rn = (x1, x2, ..., xn)/xi ∈ R

pe care se definesc doua operatii :

” + ” (x1, x2, ..., xn) + (y1, y2, ..., yn) := (x1 + y1, ..., xn + yn)”.” α(x1, x2, ..., xn) := (αx1, αx2, ..., αxn),

∀ (x1, x2, ..., xn), (y1, y2, ..., yn) ∈ Rn,∀ α ∈ R. Sa se arate ca Rn, cuaceste doua operatii, devine spatiu vectorial real.

Exercitiu 4. Consideram multimea V = x ∈ R/x > 0 pe care sedefinesc doua operatii :

? : x ? y = xy¯ : α¯ x = xα, ∀α ∈ R,∀ x, y ∈ V

Sa se verifice daca V ımpreuna cu cele doua operatii este spatiu vec-torial real.

Solutie.Verificam conditia (I) din definitia spatiului vectorial :

- lege de compozitie : consideram x, y ∈ V ⇒ x, y ∈ R, x > 0, y > 0.Atunci x ? y = xy ∈ R si xy > 0. Asadar x ? y ∈ V .

- asociativitatea : ∀ x, y, z ∈ V , (x?y)?z = (xy)z = x(yz) = x?(y?z)- element neutru : ∃ e = 1 ∈ V astfel ıncat 1 ? x = x ? 1 = x,∀x ∈ V- element simetrizabil : ∀ x ∈ V , ∃x′ = 1

x∈ V , astfel ıncat x ? 1

x=

1x

? x = 1-comutativitatea : ∀ x, y ∈ V , x ? y = xy = yx = y ? x.Deci (V, ?) este grup comutativ.

Verificam conditiile (II) din definitia spatiului vectorial :

1)∀ α, β ∈ R,∀ x ∈ V , (α + β)¯ x = xα+β = xα.xβ = α¯ x ? β ¯ x2)∀ α ∈ R,∀ x, y ∈ V , α ¯ (x ? y) = α ¯ (xy) = (xy)α = xαyα =

α¯ x ? α¯ y3)∀ α, β ∈ R,∀ x ∈ V , α¯(β¯x) = α¯(xβ) = (xβ)α = xαβ = (αβ)¯x4)∀ x ∈ V , 1¯ x = x.Asadar V ımpreuna cu cele doua operatii devine spatiu vectorial

real. Q.E.D.

6

Exercitiu 5. Pe multimea R se definesc operatiile :

? : x ? y = x + y − 2¯ : α¯ x = αx + 2(1− α), ∀ α ∈ R,∀ x, y ∈ R

Sa se verifice daca R cu cele doua operatii este spatiu vectorial real.

Exercitiu 6. Consideram grupul abelian (G, +) (diferit de grupul nul) siK un corp oarecare. Care dintre urmatoarele operatii externe :

1)α.x = x, ∀ x ∈ G,∀ α ∈ K2)α.x = 0, ∀ x ∈ G,∀ α ∈ K,confera lui G o structura de spatiu vectorial.

Solutie.Indicatie : Pentru punctul (a) se verifica toate axiomele (II) din

definitia spatiului vectorial, mai putin :(II1) : ∀ α, β ∈ K, ∀ x ∈ G, (α + β)x = x, αx + βx = x + x ⇒

(α + β)x 6= αx + βx.Pentru punctul (b) se observa ca nu se verifica axioma (II4) :∀ x ∈

G,1.x = 0 6= x.

Q.E.D.

Exercitiu 7. Sa se arate ca multimea matricilor M3×2(R) are o struc-tura de spatiu vectorial real ın raport cu operatiile de adunare a matri-cilor si ınmultire cu scalar real.

Solutie. Fie A =

a11 a12

a21 a22

a31 a32

= (aij)i=1,3;j=1,2,

B =

b11 b12

b21 b22

b31 b32

= (bij)i=1,3;j=1,2 ∈M3×2(R).

Evident, A + B =

a11 + b11 a12 + b12

a21 + b21 a22 + b22

a31 + b31 a32 + b32

= (aij + bij)i=1,3;j=1,2 ∈

M3X2(R).Asociativitatea adunarii se deduce din :A + (B + C) = (aij)ij + (bij + cij)ij = (aij + (bij + cij))ij = ((aij +

bij) + cij)ij = (aij + bij)ij + (cij)ij = (A + B) + C

7

Elementul neutru la adunare este matricea : O =

0 00 00 0

iar A+O =

(aij + 0) = (0 + aij) = O + A = A,∀A ∈M3×2(R)

∀A =

a11 a12

a21 a22

a31 a32

∈M3×2(R), elementul simetrizabil este matricea

−A =

−a11 −a12

−a21 −a22

−a31 −a32

∈M3×2(R)

A + (−A) = (aij + (−aij)) = (0)ij = O,−A + A = (−aij + aij) = (0)ij = O

Comutativitatea adunarii :∀ A,B ∈M3X2(R),A+B = (aij)ij +(bij)ij = (aij +bij)ij = (bij +aij)ij = (bij)ij +(aij)ij =

B + AAsadar, M3×2(R) fata de adunarea matricilor devine grup comuta-

tiv.Pentru operatia externa, si anume ınmultirea matricilor cu scalari :∀ A ∈M3X2(R),∀α ∈ R

αA = (αaij)ij =

αa11 αa12

αa21 αa22

αa31 αa32

∈M3×2(R),

verificam conditiile (II1-II4) :1) ∀ A ∈M3X2(R),∀ α, β ∈ R

(α + β)A = (α + β)(aij)ij = (αaij + βaij)ij = (αaij)ij + (βaij)ij =

α(aij)ij + β(aij)ij = αA + βA

2) ∀ A,B ∈M3X2(R),∀ α ∈ R

α(A + B) = α(aij + bij)ij = (αaij + αbij)ij =

(αaij)ij + (αbij)ij = αA + αB

3) ∀ A ∈M3X2(R),∀ α, β ∈ R

α(βA) = α(βaij)ij = (α(βaij))ij =

8

((αβ)aij)ij = (αβ)(aij)ij = (αβ)A

4) ∀ A ∈M3X2(R)1.A = 1.(aij)ij = (1.aij)ij = AMultimea M3×2(R) devine spatiu vectorial real. Q.E.D.

Exercitiu 8. Fie k ∈ N. Consideram multimea P3[R] a polinoamelor degrad cel mult 3 cu coeficienti ın R, de forma :

p(x) = p0 + p1x + p2x2 + p3x

3,

unde p0, p1, p2, p3 ∈ R. Pentru orice doua polinoame p(x) = p0 + p1x +p2x

2 + p3x3 si q(x) = q0 + q1x + q2x

2 + q3x3 din P3 si pentru orice numar

real α, definim operatiile :- adunarea : p(x)+q(x) = (p0+q0)+(p1+q1)x+(p2+q2)x

2+(p3+q3)x3

- ınmultirea cu scalari: αp(x) = αp0 +αp1x+αp2x2 +αp3x

3 Verificatica P3 cu cele doua operatii devine spatiu vectorial real.

Solutie.- lege de compozitie : ∀ p(x), q(x) ∈ P3[R], deoarece (p0 + q0), (p1 +

q1), (p2 + q2), (p3 + q3) ∈ R, rezulta p(x) + q(x) ∈ P3[R].- asociativitate : ∀ p(x), q(x), r(x) ∈ P3[R],

p(x)+(q(x)+r(x)) = (p0+(q0+r0))+(p1+(q1+r1))x+(p2+(q2+r2))x2+

(p3 + (q3 + r3))x3 = ((p0 + q0) + r0) + ((p1 + q1) + r1)x+

((p2 + q2) + r2)x2 + ((p3 + q3) + r3)x

3 = ((p(x) + q(x)) + r(x))

- element neutru : daca consideram O polinomul cu toti coeficientiiegali cu zero, avem:

p(x) +O = O + p(x) = p(x)

- element simetrizabil : ∀ p(x) ∈ P3[R], ∃ (−p(x)) = −p0 − p1x −p2x

2 − p3x3 ∈ P3[R] astfel ıncat p(x) + (−p(x)) = O

Se observa ca: ∀ p(x) = p0 + p1x + p2x2 + p3x

3 ∈ P3[R], ∀ α ∈ R,αp0, αp1, αp2, αp3 ∈ R de unde rezulta ca αp(x) ∈ P3[R].

1) ∀ α, β ∈ R, ∀ p(x) ∈ P3[R],

(α + β)p(x) = (α + β)p0 + (α + β)p1x + (α + β)p2x2 + (α + β)p3x

3 =

(αp0 + αp1x + αp2x2 + αp3x

3) + (βp0 + βp1x + βp2x2 + βp3x

3) =

9

αp(x) + βp(x)

2)∀ α ∈ R, ∀ p(x), q(x) ∈ P3[R] ,

α(p(x) + q(x)) = α((p0 + q0) + (p1 + q1)x + (p2 + q2)x2 + (p3 + q3)x

3) =

(αp0 + αq0) + (αp1 + αq1)x + (αp2 + αq2)x2 + (αp3 + αq3)x

3 =

(αp0 + αp1x + αp2x2 + αp3x

3) + (αq0 + αq1x + αq2x2 + αq3x

3) =

αp(x) + αq(x).

3) ∀ α, β ∈ R, ∀ p(x) ∈ P3[R],

(αβ)p(x) = (αβ)p0 + (αβ)p1x + (αβ)p2x2 + (αβ)p3x

3 =

α(βp0) + α(βp1)x + α(βp2)x2 + α(βp3)x

3 =

(α(βp0 + βp1x + βp2x2 + βp3x

3)) = α(β(p(x)))

4) Evident, 1.p(x) = p(x), ∀ p(x) ∈ P3[R].Am demonstrat astfel ca P3[R] este spatiu vectorial real.

Q.E.D.

Exercitiu 9. Multimea M = f/f : R → R a tuturor functilor de o va-riabila reala, cu valori reale, este spatiu vectorial ın raport cu operatiile:

(f1 + f2)(x) := f1(x) + f2(x),∀f1, f2 ∈M,

(αf)(x) := αf(x), ∀f ∈M,∀α ∈ R.

Solutie.Indicatie: elementul neutru la adunare este functia ε : R → R,

ε(x) = 0,∀x ∈ R; elementul simetrizabil fata de adunare este functia−f(x). Q.E.D.

Exercitiu 10. Care dintre urmatoarele submultimi este subspatiu vec-torial?

1. L1 = (x, y, z, w) ∈ R4/x + y − z + w = 0 ⊆ R4;2. L2 = (x, y, z) ∈ R3/x + y + z = 1 ⊆ R3;3. L3 = (x, y, z) ∈ R3/x2 + y2 + z2 = 1 ⊆ R3;4. L4 = (x, y, z) ∈ R3/x− 2y + z = 0 ⊆ R3;5. L5 = (x, y) ∈ R2/x + 3y = 4 si 2x− y = 3 si 6x + 4y = 10 ⊆ R3.

10

Solutie. Toate cele cinci cazuri se rezolva ın mod similar. Vom trata (2):∀(x1, y1, z1), (x2, y2, z2) ∈ L2 ⇒ x1 + y1 + z1 = 1, x2 + y2 + z2 = 1(x1, y1, z1)+(x2, y2, z2) = (x1 +x2, y1 +y2, z1 +z2) iar (x1 +x2)+(y1 +

y2)+(z1 +z2) = 2, adica (x1, y1, z1)+(x2, y2, z2) nu apartine multimii L2.Asadar L2 nu este subspatiu vectorial.

Punctul 4): ∀(x1, y1, z1), (x2, y2, z2) ∈ L4 ⇒ x1 − 2y1 + z1 = 0, x2 −2y2 + z2 = 0

(x1, y1, z1)+(x2, y2, z2) = (x1+x2, y1+y2, z1+z2) iar (x1+x2)−2(y1+y2) + (z1 + z2) = 0 ⇒ (x1, y1, z1) + (x2, y2, z2) ∈ L4.∀α ∈ R, ∀(x, y, z) ∈ L4,α(x, y, z) = (αx, αy, αz). Se observa , deoarece x − 2y + z = 0, ca

αx − 2αy + αz = 0, adica α(x, y, z) ∈ L4. Am demonstrat ca L4 estesubspatiu vectorial. Q.E.D.

Urmatoarele exercitii se rezolva cu ajutorul Propozitiei 1.

Exercitiu 11. Determinati care dintre urmatoarele submultimi ale luiR3 este subspatiu vectorial:

1. (x, y, z) ∈ R3/x = 02. (x, y, z) ∈ R3/xz = 03. (x, y, z) ∈ R3/x = y = z4. (x, y, z) ∈ R3/x + y = 0

Exercitiu 12. In spatiul vectorial R2 se considera submultimea L =(x, y) ∈ R2/αx + βy = 0(L este dreapta din plan care trece prinpunctul (0, 0)). Sa se arate ca L este subspatiu vectorial.

Exercitiu 13. Consideram spatiul vectorial realM2,2(R) si submultimea :

M = (

a11 a12

a21 0

)/a11, a12, a21 ∈ R ⊆ M2,2(R)

Sa se demonstreze ca M este subspatiu vectorial.

1.3 LINIAR DEPENDENTA, LINIAR INDEPENDENTA,BAZA SI DIMENSIUNE.

Definitie. Presupunem ca v1, v2, ..., vr sunt vectori ıntr-un spatiu vec-torial V/K. Printr-o combinatie liniara cu vectorii v1, v2, ..., vr, ıntelegemo expresie de tipul:

11

α1v1 + α2v2 + ... + αrvr,

unde α1, ..., αr ∈ K.Definitie. Vom spune ca vectorii v1, v2, ..., vr genereaza spatiul V ( sauformeaza un sistem de generatori pentru spatiul V ), daca L(v1, v2, ..., vr) =V ; cu alte cuvinte orice vector din V poate fi exprimat ca o combinatieliniara cu vectorii v1, v2, ..., vr:

∀v ∈ V, v = α1v1 + α2v2 + ... + αrvr, α1, ..., αr ∈ K.

Daca ıntr-un sistem de generatori schimbam ordinea generatorilorsau ınmultim unul dintre generatori cu un scalar diferit de zero, sauınlocuim unul dintre generatori cu el ınsusi la care se adauga un altgenerator ınmultit cu un scalar diferit de zero, se obtine tot un sistemde generatori.Definitie. Presupunem ca v1, v2, ..., vr sunt vectori ıntr-un spatiu vec-torial V/K. Vom spune ca vectorii sunt:

– liniar dependenti : daca exista α1, α2, ..., αr ∈ K, nu toti zero, astfelıncat α1v1 + α2v2 + ... + αrvr = θ.

– liniar independenti : daca nu sunt liniar dependenti, adica daca sin-gurii scalari care verifica α1v1 + α2v2 + ... + αrvr = θ sunt α1 = α2 =... = αr = 0.

Observatie. Intr-un spatiu vectorial V/K ın care se considera un sis-tem de vectori z = u1, . . . , um se demonstreaza:

1. Daca θ ∈ z, atunci z este un sistem de vectori liniar dependent;2. Daca z contine un subsistem de vectori liniar dependenti, atunci z

este sistem liniar dependent;3. Dacaz este sistem liniar independent, atunci orice subsistemz1 ⊂z este liniar independent.

Ca o caracterizare a vectorilor liniar independenti respectiv dependentiavem urmatoarele doua rezultate:

1. Un sistem de vectori u1, . . . , um dintr-un spatiu vectorial V/K esteliniar independent daca si numai daca nici unul dintre vectori nu sescrie combinatie liniara de ceilalti.

2. Un sistem de vectori este liniar dependent daca si numai daca unuldintre vectori se scrie combinatie liniara de ceilalti vectori.

Definitie. Fie V/K un spatiu vectorial si v1, v2, ..., vr ∈ V . Vom spuneca v1, v2, ..., vr formeaza o baza pentru V daca urmatoarele douaconditii sunt satisfacute:

12

1. Vectorii v1, v2, ..., vr sunt liniar independenti;2. L(v1, v2, ..., vr) = V , adica orice vector u ∈ V se scrie combinatie

liniara de vectorii v1, v2, ..., vr:

(1.3) u =r∑

i=1

αivi.

Observatie. Scalarii α1, . . . , αr ∈ K din exprimarea (1.3) se numesccoordonatele vectorului u ın baza B = v1, v2, ..., vr si se noteazau = (α1, α2, ..., αr)B.

Coordonatele unui vector ıntr-o baza sunt unice.Definitie. Un spatiu vectorial se numeste finit dimensional daca are obaza finita.

Propozitia 2. Presupunem ca V/K este un spatiu vectorial finit dimen-sional. Atunci oricare doua baze ale lui V au acelasi numar de ele-mente.

Definitie. Vom spune ca spatiul vectorial finit dimensional V/K aredimensiunea n daca numarul vectorilor dintr-o baza este exact n.

Propozitia 3. Fie V un spatiu vectorial n-dimensional. Atunci oricemultime de n vectori liniar independenti din V formeaza o baza ın V .

Formulele de schimbare a bazei si a coordonatelor.Fie V/K un spatiu vectorial n-dimensional si B = u1, ..., un, B′ =

v1, ..., vn doua baze ale spatiului vectorial.

– Fie matricea C = (cij)1≤i,j≤n. Formulele de schimbare de baza dematrice tC sunt:

(1.4)

v1 = c11u1 + c21u2 + ... + cn1un

v2 = c12u1 + c22u2 + ... + cn2un

...... ...................................vn = c1nu1 + c2nu2 + ... + cnnun

(c1i, c2i, ..., cni) reprezinta coordonatele vectorului vi,∀i = 1, ..., n, ınbaza B.

13

– Fie w ∈ V un vector care are ın baza B coordonatele x1, ..., xn, iar ınbaza B′ coordonatele y1, ..., yn. Notand cu

X =

x1

x2

...xn

, Y =

y1

y2

...yn

,

atunci relatia ıntre coordonatele, ın cele doua baze, ale vectorului weste:

X = CY,

unde C este matricea de trecere de la baza B la baza B′ (formulele(1.4)).

1.3.1 EXERCITII.

Exercitiu 14. Sa se arate ca ın spatiul vectorial R4/R vectorul (1, 4,−2, 6)se poate scrie ca o combinatie de vectorii (1, 2, 0, 4) si (1, 1, 1, 3). Ceputeti spune despre vectorul (2, 6, 0, 9)?

Solutie. Vectorul (1, 4,−2, 6) este combinatie liniara de vectorii (1, 2, 0, 4)si (1, 1, 1, 3), daca exista doi scalari α, β ∈ R astfel ıncat putem scrie:

α(1, 2, 0, 4) + β(1, 1, 1, 3) = (1, 4,−2, 6) ⇔

⇔

α + β = 12α + β = 4

β = −24α + 3β = 6

Este usor de vazut ca sistemul de ecuatii anterior admite ca solutie :α = 3, β = −2. Cu alte cuvinte, vectorul (1, 4,−2, 6) este combinatieliniara de vectorii (1, 2, 0, 4) si (1, 1, 1, 3).

Pentru vectorul (2, 6, 0, 9) egalitatea :

α(1, 2, 0, 4) + β(1, 1, 1, 3) = (2, 6, 0, 9) ⇔

⇔

α + β = 22α + β = 6

β = 04α + 3β = 9

Se verifica usor ca acest sistem nu are solutii, adica vectorul (2, 6, 0, 9)nu se scrie combinatie liniara de vectorii: (1, 2, 0, 4) si (1, 1, 1, 3).

Q.E.D.

14

Exercitiu 15. Verificati care dintre urmatorii vectori din R3/R se potscrie combinatii liniare de vectorii u = (1, 0, 1), v = (2, 1, 0):

a)w = (1, 2, 3); b)w = (1, 1,−1); c)w = (3, 1, 1); d)w = (5, 2, 3).

Solutie. Pornindu-se de la combinatia liniara : αu + βv, α, β ∈ R, seobserva ca singurele cazuri ın care exista scalari α, β astfel ıncat avemegalitatea αu + βv = w, sunt (b) si (c).

Q.E.D.

Exercitiu 16. In spatiul vectorial R3/R se considera sistemul de vec-tori e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1). Sa se arate ca e1, e2, e3

sunt vectori liniar independenti.

Solutie. Pornim de la combinatia liniara cu vectorii e1, e2, e3 si scalariiα1, α2, α3 ∈ R:

α1e1 + α2e2 + α3e3 = θ ⇒α1(1, 0, 0) + α2(0, 1, 0) + α3(0, 0, 1) = (0, 0, 0) ⇒

(α1, α2, α3) = (0, 0, 0) ⇒α1 = α2 = α3 = 0,

adica vectorii sunt liniar independenti. Q.E.D.

Exercitiu 17. Sa se arate ca vectorii u1 = (2, 0, 2), u2 = (2, 3, 2), u3 =(0, 4, 0) din spatiul vectorial R3/R sunt liniar dependenti.

Solutie. Pornim de la combinatia liniara cu vectorii u1, u2, u3 si scalariiα1, α2, α3 ∈ R:

α1u1 + α2u2 + α3u3 = θ ⇒(2α1, 0, 2α1) + (2α2, 3α2, 2α2) + (0, 4α3, 0) = (0, 0, 0) ⇒

(2α1 + 2α2, 3α2 + 4α3, 2α1 + 2α2) = (0, 0, 0) ⇒

2α1 + 2α2 = 03α2 + 4α3 = 02α1 + 2α2 = 0

. Acesta este un sistem omogen de matrice:

A =

2 2 00 3 42 2 0

si det(A) = 0. Adica exista cel putin un αi 6= 0 solutie a sistemuluiomogen. Asadar vectorii sunt liniar dependenti. Q.E.D.

15

Exercitiu 18. Sa se studieze liniar dependenta urmatorilor vectori:

1. v1 = (1, 2), v2 = (3, 5), v3 = (−1, 3) ın R2/R2. v1 = (1, 1, 0), v2 = (5, 1,−3), v3 = (2, 7, 4) ın R3/R;3. v1 = (1, 2, 3), v2 = (3, 2, 1), v3 = (3, 3, 4) ın R3/R;4. v1 = (1, 2, 3), v2 = (3, 2, 1), v3 = (3, 3, 3) ın R3/R;5. v1 = (0,−1, 2, 1), v2 = (1, 1,−1, 1), v3 = (1, 1, 2,−1), v4 = (1, 0,−1,−1)

ın R4/R;6. v1 = (1, 3, 5, 7), v2 = (1, 0, 1, 0), v3 = (0, 1, 0, 1), v4 = (0, 0, 1, 1) ın

R4/R;7. v1 = (2, 5,−3, 6), v2 = (1, 0, 0, 1), v3 = (4, 0, 9, 6) ın R4/R

Solutie. Vom studia al treilea sistem de vectori: pornim de la combinatialiniara cu vectorii v1 = (1, 2, 3), v2 = (3, 2, 1), v3 = (3, 3, 4) ın R3/R siscalarii α1, α2, α3 ∈ R,

α1v1 + α2v2 + α3v3 = θ ⇒

(α1, 2α1, 3α1) + (3α2, 2α2, α2) + (3α3, 3α3, 4α3) = (0, 0, 0) ⇒

α1 + 3α2 + 3α3 = 02α1 + 2α2 + 3α3 = 03α1 + α2 + 4α3 = 0

. Matricea sistemului este

A =

1 3 32 2 33 1 4

.

det(A) = 8+6+27−18−3−24 = −4. Sistemul liniar omogen are deter-minantul matricei diferit de zero. Singura solutie a sistemului omogeneste: α1 = α2 = α3 = 0, adica vectorii sunt liniar independenti.

Q.E.D.

Exercitiu 19. In spatiul vectorial al matricelorM2X2 se considera urmatoriivectori :

M1 =

(2 15 3

), M2 =

(5 −32 1

), M3 =

(−11 α4 β

).

Sa se determine α, β ∈ R astfel ıncat matricele M1,M2,M3 sa fie liniardependente.

16

Exercitiu 20. In spatiul vectorial R3/R se dau vectorii: u1 = (1, 0, 0), u2 =(2, 1, 0), u3 = (−3, 2, 1).

a)Sa se arate ca vectorii u1, u2, u3 formeaza o baza ın R3/R;b)Sa se gaseasca matricea de trecere de la baza canonica a

spatiului vectorial R3/R la baza formata cu vectorii u1, u2, u3 si reci-proc;

c)Sa se afle coordonatele vectorului v = (3, 2,−1) ın baza u1, u2, u3;d)Cum se modifica coordonatele vectorului v cand se trece de la

baza canonica la baza u1, u2, u3.Solutie. a) Deoarece se cunoaste dimensiunea spatiului vectorial R3/R,dimR3 = 3, pentru a arata ca vectorii u1 = (1, 0, 0), u2 = (2, 1, 0), u3 =(−3, 2, 1) formeaza o baza, este suficient sa demonstram ca sunt vec-tori liniar independenti. Pentru aceasta pornim de la o combinatie li-niara cu vectorii u1, u2, u3 si scalarii α1, α2, α3 ∈ R:

α1u1 + α2u2 + α3u3 = θ ⇒

(α1, 0, 0) + (2α2, α2, 0) + (−3α3, 2α3, α3) = (0, 0, 0) ⇒

α1 + 2α2 − 3α3 = 0α2 + 2α3 = 0

α3 = 0. Matricea sistemului este

A =

1 2 −30 1 20 0 1

.

det(A) = 1. Sistemul liniar omogen are determinantul matricei diferitde zero, adica vectorii sunt liniar independenti.

b) Matricea de trecere de la baza canonica a spatiului vectorialR3/R, e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1) la baza formata dinvectorii u1 = (1, 0, 0), u2 = (2, 1, 0), u3 = (−3, 2, 1) este data de relatiile:

u1 = c11e1 + c21e2 + c31e3

u2 = c12e1 + c22e2 + c32e3

v3 = c13e1 + c23e2 + c33e3

.

Inlocuind vectorii ei, i = 1, 2, 3 si vectorii ui, i = 1, 2, 3 ın relatiileanterioare, obtinem:

17

(1, 0, 0) = (c11, c21, c31)(2, 1, 0) = (c12, c22, c32)

(−3, 2, 1) = (c13, c23, c33).

Asadar matricea de trecere de la baza canonica la baza formata cuvectorii u1 = (1, 0, 0), u2 = (2, 1, 0), u3 = (−3, 2, 1) este:

C =

1 2 −30 1 20 0 1

.

c) Coordonatele vectorului v = (3, 2,−1) ın baza u1, u2, u3 segasesc astfel: se porneste de la egalitatea

v = α1u1 + α2u2 + α3u3.

Se ınlocuiesc valorile vectorilor ui, i = 1, 2, 3 ın egalitatea anterioarasi se obtine:

(3, 2,−1) = (α1, 0, 0) + (2α2, α2, 0) + (−3α3, 2α3, α3) ⇔

α1 + 2α2 − 3α3 = 3α2 + 2α3 = 2

α3 = −1.

Din sistemul anterior obtinem coordonatele vectorului v: α1 = −8, α2 =4, α3 = −1.

d) Daca notam coordonatele vectorului v ın baza canonica cu(β1, β2, β3),

X =

β1

β2

β3

si

Y =

−84−1

,

relatia ıntre coordonatele vectorului v ın cele doua baze este:

X = CY ⇔

β1

β2

β3

=

1 2 −30 1 20 0 1

−84−1

.

Q.E.D.

18

Exercitiu 21. In spatiul vectorial R3/R se dau doua sisteme de vec-tori: B = u1 = (0, 0, 1), u2 = (0, 1, 0), u3 = (1, 0, 0) si B′ = v1 =(1,−1, 0), v2 = (0, 1, 1), v3 = (1,−1,−1).

a)Sa se arate ca B si B′ sunt doua baze ın R3/R;b)Sa se gaseasca matricea de trecere de la baza B la baza B′ si

reciproc;c)Sa se afle coordonatele vectorului v = (3, 2,−1) ın baza B;d)Gasiti coordonatele vectorului v ın baza B′.

Exercitiu 22. In spatiul vectorial R4/R se dau doua sisteme de vec-tori: B = u1 = (0,−1, 2, 1), u2 = (1, 1,−1, 1), u3 = (1, 1, 2,−1), u4 =(1, 0,−1,−1) si B′ = v1 = (1, 0, 1, 2), v2 = (2, 2, 1, 0), v3 = (2, 1, 1,−2), v4 =(2, 1, 3, 1).


reciproc;c)Sa se afle coordonatele vectorului v = (3, 0, 0, 0) ın baza B;d)Gasiti coordonatele vectorului v ın baza B′.

Exercitiu 23. In spatiul vectorial R4/R se dau doua sisteme de vectori:B = u1 = (1, 0, 0, 0), u2 = (0, 1, 0, 0), u3 = (0, 0, 1, 0), u4 = (0, 0, 0, 1) siB′ = v1 = (1, 1, 0, 0), v2 = (1, 0, 1, 0), v3 = (1, 0, 0, 1), v4 = (1, 1, 1, 1).


reciproc;c)Sa se afle coordonatele vectorului v = (1, 1, 1, 1) ın baza B;d)Gasiti coordonatele vectorului v ın baza B′.

Exercitiu 24. In spatiul vectorial R3/R se considera o baza B =u1, u2, u3 si vectorii w1 = u1 + u2 + u3, w2 = u1 + u2 − u3, w3 =u1− u2 + u3. Sa se demonstreze ca w1, w2, w3 formeaza o baza pentruR3/R si sa se calculeze coordonatele vectorului −8u1 + 4u2 − u3 ınaceasta baza.

1.4 APLICATII LINIARE.

Fie V/K si W/K doua spatii vectoriale peste corpul K.Definitie. O aplicatie f : V → W care satisface conditiile:

1. f(u + v) = f(u) + f(v), ∀u, v ∈ V

19

2. f(αu) = αf(u), ∀α ∈ K,u ∈ V

se numeste aplicatie liniara.

Teorema 1. O aplicatie f : V → W este liniara daca si numai daca∀α, β ∈ K, ∀u, v ∈ V, f(αu + βv) = αf(u) + βf(v).

Solutie.” ⇒ ” Presupunem ca f este liniara. Atunci ∀α, β ∈ K, ∀u, v ∈

V, αu ∈ V, βv ∈ V, f(αu + βv) = f(αu) + f(βv) = αf(u) + βf(v).” ⇐ ” Presupunem ca ∀α, β ∈ K, ∀u, v ∈ V, f(αu + βv) = αf(u) +

βf(v).Pentru α = β = 1 ⇒ f(u + v) = f(u) + f(v);Pentru ∀α, β = 0 ⇒ f(αu) = αf(u). Q.E.D.

MATRICEA UNEI APLICATII LINIARE.Fie V/K un spatiu vectorial de dimensiune n si B = u1, . . . , un

o baza ın V ; fie W/K un spatiu vectorial de dimensiune m si B′ =v1, . . . , vm o baza ın W ; fie f : V → W o aplicatie liniara si x ∈ V un

vector. Atunci x =n∑

k=1

xkuk, iar y = f(x) ∈ W, f(x) =m∑

k=1

ykvk.

Deoarece f(ui) ∈ W, ∀i = 1, . . . , n, acesti vectori pot fi exprimati cuajutorul vectorilor bazei B′ astfel:

(1.5)

f(u1) = a11v1 + a21v2 + ... + am1vm

f(u2) = a12v1 + a22v2 + ... + am2vm

.... ....................................f(un) = a1nv1 + a2nv2 + ... + amnvm

Notam cu A = (aij)i=1,...,m;j=1,...,n transpusa matricei cu ajutorul careiase exprima vectorii f(ui), i = 1, . . . , n. Aceasta matrice se numestematricea aplicatiei liniare relativ la bazele B si B′.

Vom gasi ın continuare ecuatiile aplicatiei liniare relativ la bazele Bsi B′:

Calculam

f(x) = f(n∑

k=1

xkuk) =n∑

k=1

xkf(uk) =n∑

k=1

xk

m∑i=1

aikvi =m∑

i=1

(n∑

k=1

aikxk)vi

Luand ın considerare si f(x) =m∑

k=1

ykvk, obtinem ecuatiile aplicatiei

liniare:

20

(1.6) yi =n∑

k=1

aikxk, ∀i = 1, . . . , m.

Daca notam cu

X =

x1

x2

...xn

si Y =

y1

y2

...ym

,

relatiile (1.6) se scriu: Y = AX.

1.4.1 EXERCITII.

Exercitiu 25. Sa se studieze care dintre urmatoarele aplicatii sunt li-niare. Sa se gaseasca matricea aplicatiilor ın baza canonica:

1. f : R2 → R2, f(x) = (x1 + 2x2, 2x1 + x2), ∀x = (x1, x2) ∈ R2;2. f : R3 → R3, f(x) = (3x1 + x2, 12x1 − x2, 4x1 − 8x2 − 2x3), ∀x =

(x1, x2, x3) ∈ R3;3. f : R3 → R3, f(x) = (x1−2x3, 2x1+2x2−2x3, 0), ∀x = (x1, x2, x3) ∈

R3;4. f : R4 → R4, f(x) = (x1 + x2, x2 − 2x3, x3 + x4, 3x4), ∀x =

(x1, x2, x3, x4) ∈ R4;5. f : R3 → R3, f(x) = (0, x1, x1 + x2), ∀x = (x1, x2, x3) ∈ R3;

Solutie. Vom rezolva punctul (5); celelalte se trateaza ın mod similar.Pentru a demonstra ca f este aplicatie liniara avem de verificat:

f(x + y) = f(x) + f(y), ∀x = (x1, x2, x3), y = (y1, y2, x3) ∈ R3

Calculam f(x + y) = (0, x1 + y1, x1 + y1 + x2 + y2). Pe de alta partef(x)+f(y) = (0, x1, x1+x2)+(0, y1, y1+y2) = (0, x1+y1, x1+y1+x2+y2).Asadar egalitatea este verificata.

Ramane de aratat f(αx) = αf(x), ∀α ∈ R,∀x = (x1, x2, x3) ∈ R3.f(αx) = (0, αx1, αx1+αx2); αf(x) = α(0, x1, x1+x2) = (0, αx1, αx1+

αx2). Cum si a doua conditie din definitia aplicatiei liniare este verifi-cata obtinem ca f este aplicatie liniara.

Pentru a gasi matricea aplicatiei liniare ın baza canonica a spatiuluivectorial R3, reamintim ca vectorii bazei canonice sunt:

e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1)

21

si calculam:

f(e1) = (0, 1, 1); f(e2) = (0, 0, 1); f(e3) = (0, 0, 0).

In relatiile (1.5) ınlocuim valorile vectorilor bazei canonice si ale vec-torilor f(e1), f(e2), f(e3) si obtinem:

(1.7)

(0, 1, 1) = a11(1, 0, 0) + a21(0, 1, 0) + a31(0, 0, 1)(0, 0, 1) = a12(1, 0, 0) + a22(0, 1, 0) + a32(0, 0, 1)(0, 0, 0) = a13(1, 0, 0) + a23(0, 1, 0) + a33(0, 0, 1)

Asadar matricea aplicatiei liniare este:

A =

0 0 01 0 01 1 0

.

Q.E.D.

22

2 PROGRAMARE LINIARA

Printre metodele matematice utilizate ın economie un rol important ılare programarea liniara, care ofera posibilitatea obtinerii solutiei op-time la o gama larga de probleme. Acest fapt conduce la crestereaeficientei economice.

Exemple de probleme de programare liniara

1. probleme de planificare a productiei (folosirea eficienta a resurselorlimitate);

2. probleme de transport;3. probleme de amestec;4. utilizarea optima a capacitatii masinilor;5. probleme de investitii;6. reducerea pierderilor la taierea materialelor.

2.1 PROBLEMA DE FOLOSIRE EFICIENTA ARESURSELOR.

O intreprindere dispune de R1, R2, ..., Rm resurse (materii prime, fortade munca, masini-unelte) ın cantitatile b1, b2, ..., bm, numite si disponibilde resursa sau capacitate de resursa.

Rezultatul productiei consta ın n tipuri de produse P1, ..., Pn.Vom nota cu: cj-beneficiul obtinut pentru o unitate din produsul Pj;

aij-cantitatea din resursa Ri folosita ın fabricarea unei unitati din produ-sul Pj (cantitate numita si consum specific sau coeficient tehnologic).

Se pune problema ce cantitati x1, ..., xn trebuiesc produse din P1, ..., Pn

astfel ıncat beneficiul total:

Z =n∑

j=1

cjxj

sa fie maxim ; se tine seama de restrictiile impuse de disponibilul limi-tat.

Datele problemei se pot prezenta, ın tabelul de mai jos, dupa cumurmeaza :

P1 P2 . . . Pj . . . Pn

R1 a11 a12 . . . a1j . . . a1n b1

R2 a21 a22 . . . a2j . . . a2n b2...

...... . . .

... . . ....

...Ri ai1 ai2 . . . aij . . . ain bi...

...... . . .

... . . ....

...Rm am1 am2 . . . amj . . . amn bm

c1 c2 . . . cj . . . cn

Modelul matematic al problemei este:

(2.1) max [Z =n∑

j=1

cjxj]

cu conditiile:

(2.2)

a11x1+ a12x2+ ... a1nxn ≤ b1

a21x1+ a22x2+ ... a2nxn ≤ b2

... ... ... ...am1x1+ am2x2+ ... amnxn ≤ bm

Functia Z este numita functie obiectiv iar inegalitatile (2.2) se nu-mesc restrictii.

Problema se numeste de programare liniara deoarece toate functiilece intervin ın relatiile (2.1) si (2.2) sunt functii liniare.

2.2 FORME ALE MODELULUI MATEMATIC PENTRU OPROBLEMA DE PROGRAMARE LINIARA.

Restrictiile unei probleme de programare liniara pot fi ecuatii si inecuatii.Variabile care apar sunt supuse conditiei de negativitate iar functiaobiectiv poate fi maximizata sau minimizata.

24

1. Forma generala

max/min [Z =n∑

j=1

cjxj]

n∑j=1

aijxj ≤ bi; 1 ≤ i ≤ p

n∑j=1

aijxj = bk; p + 1 ≤ k < s

n∑j=1

aijxj ≥ bl; s + 1 ≤ l ≤ m

xj ≥ 0; j = 1, ..., n2. Spunem ca o restrictie a unei probleme de programare liniara este

concordanta daca este o inegalitate ”≥” cand functia obiectiv tre-buie minimizata sau o inegalitate ”≤” cand functia obiectiv trebuiemaximizata.Intelegem prin forma canonica modelul ın care toate restrictiile suntconcordante iar variabilele nenegative, adica:

min[Z =n∑

j=1

cjxj] max[Z =n∑

j=1

cjxj]

n∑j=1

aijxj ≥ bi; i = 1, ..., m saun∑

j=1

aijxj ≤ bi; i = 1, ...,m

xj ≥ 0; j = 1, ..., m xj ≥ 0; j = 1, ...,m3. Modelul are forma standard cand toate restrictiile sunt egalitati:

max/min [Z =n∑

j=1

cjxj]

n∑j=1

aijxj = bi; 1 ≤ i ≤ m

xj ≥ 0; j = 1, ..., n

Observatie. O problema de programare liniara sub forma gene-rala poate fi adusa la forma standard sau forma canonica folosindurmatoarele transformari echivalente:

– sensul unei inegalitati se schimba prin ınmultire cu −1,– inegalitatile se transforma ın egalitati prin adaugarea sau scaderea

unor variabile pozitive numite variabile ecart sau variabile de com-pensare; variabilele ecart nu apar ın functia obiectiv (adica apar cucoeficienti nuli),

– o egalitate poate fi ınlocuita cu doua inegalitati de sens contrar,– deoarce max Z = −min(−Z), orice problema de maximizare se

poate transforma ın una de minimizare.

25

Observatie. Deoarece un sistem de inegalitati se transforma cuajutorul variabilelor ecart ın sistem de egalitati, conform observatieiurmatoare, prin rezolvarea acestuia din urma cunoastem si solutia sis-temului de inegalitati.Observatie. Se cunoaste din algebra urmatorul rezultat :Fie sistemul de inegalitati:

(2.3)

a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn ≤ b1

a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn ≤ b2

............................. ..... ...am1x1 + am2x2 + ... + amnxn ≤ bm

Oricare ar fi (x01, x

02, ..., x

0n) solutie a sistemului (2.3) exista constan-

tele nenegative x0n+1, x

0n+2, ..., x

0n+m astfel ıncat

(x01, x

02, ..., x

0n, x0

n+1, x0n+2, ..., x

0n+m)

sa fie solutie a sistemului de egalitati:

(2.4)

a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn + xn+1 = b1

a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn + xn+2 = b2

............................. ..... ...am1x1 + am2x2 + ... + amnxn + xn+m = bm,

si reciproc.Un rezultat asemanator obtinem si ın cazul unui sistem de inegalitati

de forma:n∑

j=1

aijxj ≥ bi, i = 1, ..., m.

Concluzie. Conform celor spuse anterior ne vom ocupa numai demodelul sub forma standard:

(2.5)

min [Z =n∑

j=1

cjxj]

n∑j=1


xj ≥ 0; j = 1, ..., n

care se poate scrie sub forma matriceala:

26

(2.6)min [Z = CT X]

AX = bX ≥ 0,

unde A = (aij)i=1,...,m;j=1,...,n, bT = (b1, ..., bm) ; cT = (c1, ..., cn).Daca notam cu a1, ..., an coloanele matricei A, atunci modelul se

poate prezenta si sub forma:

(2.7)min[Z = CT X]

a1x1 + ... + anxn = bX ≥ 0,

Observatie. Deoarece modelul este al unei probleme practice, trebuiesa aiba cel putin o solutie.

Sistemul are solutii cand rangA = m < n. Daca m = n, problemaare o singura solutie admisibila si optimizarea este banala.

2.3 PROGRAM DE BAZA, PROGRAM OPTIM,TEOREMA FUNDAMENTALA A PROGRAMARIILINIARE.

Fie problema de programare liniara sub forma standard:

min[Z =n∑

j=1

cjxj]

n∑j=1


xj ≥ 0; j = 1, ..., n

(2.8)

sau matricial,

(2.9)min [Z = CT X]

AX = bX ≥ 0

sau

(2.10)min[Z = CT X]a1x1 + ... + anxn = bxj ≥ 0; j = 1, ..., n.

27

Presupunem ca rangul matricei A este egal cu m, m < n. Rezultaca exista un minor de ordin m cu determinantul diferit de zero. Fara arestrange generalitatea, putem presupune ca este format din primelem coloane ale matricei A. In aceste conditii, vectorii coloane: a1, ..., am

sunt liniar independenti.Notam cu L(a1, ..., am) spatiul liniar generat de vectorii ai, 1 ≤ i ≤ m.

B = a1, ..., am constituie o baza a acestui spatiu. Atunci dimensiuneasa este egala cu m.

Necunoscutele x1, ..., xm corespunzatoare, se numesc variabile debaza.

Matricea A a restrictiilor si vectorul X se pot partitiona astfel:

A = (B, R); X =

(XB

XR

).

unde

R = am+1, . . . , an, XB =

x1...

xm

., XR =

xm+1...

xn

..

Atunci sistemul de restrictii (2.8) se scrie:

(2.11) (B,R)

(XB

XR

)= b ⇔ BXB + RXR = b.

Deoarece matricea B este inversabila putem determina XB:

(2.12) XB = B−1b−B−1RXR

Definitie. O solutie a sistemului de restrictii AX = b, ce satisfaceconditia X ≥ 0, se numeste solutie admisibila sau program.

Multimea P = X ∈ Rn/AX = b,X ≥ 0 se numeste multimeaprogramelor.Definitie. Un program X∗ ∈ P pentru care obtinem valoarea minimaa functiei Z se numeste program optim.Observatie.

– deoarece Z∗ = minCT X/X ∈ P = CT X∗, avem CT X∗ ≤CT X, ∀X ∈ P .

– daca P = ∅, convenim sa punem Z∗ = ∞.

28

– daca Z∗ = −∞, spunem ca problema (2.8) are minim infinit.

Definitie. O solutie a sistemului de restrictii (2.8) se numeste solutiede baza daca toate componentele sale diferite de zero corespund co-loanelor liniar independente ale matricei A.Observatie. O solutie de baza se poate obtine din (2.12) pentru XR =0 si aceasta este XB = B−1b.Definitie. O solutie de baza XB = B−1b si XR = 0 a sistemului AX =b care satisface conditia X ≥ 0 se numeste program de baza ( sausolutie admisibila de baza ).Definitie. Un program de baza cu exact m componente pozitive senumeste program de baza nedegenerat. In caz contrar se numesteprogram de baza degenerat.

Teorema 2 (Teorema fundamentala a programarii liniare).

1. Daca problema (2.8) are un program atunci are un program debaza.

2. Daca problema (2.8) are un program optim atunci are un programde baza optim.

Observatie. Din teorema rezulta ca din punct de vedere teoretic de-terminarea programului optim se realizeaza astfel:

– se demonstreaza ca problema are program optim;– se determina toate programele de baza;– se cauta printre acestea acela care este optim.

In 1951 matematicianul Dantzig a dat un algoritm ce permite explo-rarea ın mod sistematic a multimii programelor de baza prin trecereade la un program la altul care este cel putin tot atat de bun ca cel pre-cedent. Deci problema care se pune este: cum se trece de la o bazala o alta baza care ne va furniza un alt program de baza.

2.4 FORMULE DE SCHIMBARE A BAZEI PENTRUDETERMINAREA UNEI NOI SOLUTII DE BAZA.

Presupunem ca se cunoaste o baza B = a1, ..., am pentru caresolutia corespunzatoare de baza este:

(2.13) (XB = B−1b; XR = 0).

29

Aceasta solutie o presupunem nedegenerata.Consideram cunoscute si coordonatele vectorilor am+1, am+2, ..., an, b

ın aceasta baza.Ne propunem sa construim o noua baza B′ care sa difere de baza

B printr-un singur vector si sa aflam coordonatele ın aceasta baza avectorilor care nu fac parte din ea.

Solutia de baza verifica sistemul de restrictii:

(2.14) AXB = b ⇔ a1x1 + ... + amxm = b,

unde XB = (x1, ..., xm)T .Consideram vectorul am+1 care ın baza B are scrierea:

(2.15) am+1 = a1m+1a1 + ... + amm+1a

m.

Presupunem ca cel putin o coordonata aim+1 > 0. Inmultim (2.15)cu un numar θ real si scadem din (2.14). Obtinem:(2.16)a1(x1− θa1m+1) + a2(x2− θa2m+1) + ... + am(xm− θamm+1) + θam+1 = b.

Din relatia (2.16) rezulta ca vectorul

X ′ = (x1 − θa1m+1, ..., xm − θamm+1, θ)

este solutie a sistemului de conditii al problemei. Pentru a fi solutie ad-misibila, coordonatele sale: x′i = xi − θaim+1,∀i = 1, ..., m si x′m+1 = θtrebuie sa fie pozitive. Deci se alege θ > 0 astfel ıncat x′i ≥ 0. Coordo-natele x′i, pentru care aim+1 < 0, ındeplinesc conditia de pozitivitate.

Se cauta asadar θ pozitiv, astfel ıncat coordonatele xi − θaim+1, cuaim+1 > 0, sa fie pozitive.

Din conditia

xi − θaim+1 ≥ 0aim+1 > 0

⇒ 0 < θ ≤ xi

aim+1

.

Solutia X ′ devine solutie de baza daca va avea exact m componentenenegative.

Alegand θ0 = mini

aim+1 > 0

xi

aim+1, o coordonata a vectorului X ′ se va

anula. De exemplu, presupunem a1m+1 > 0 si θ0 = x1

a1m+1; ın acest

caz avem x1 − θa1m+1 = 0. Rezulta :

30

X ′ = (0, x2 − θ0a2m+1, ..., xm − θ0amm+1, θ0).

Pentru a declara X ′ solutie de baza, trebuie sa aratam ca B′ =a2, a3, ..., am, am+1 formeaza un sistem de vectori liniar independenti.Pentru aceasta presupunem prin absurd contrariul, si anume, ca existacombinatia liniara :

(2.17) α2a2 + α3a

3 + ... + αmam + αm+1am+1 = θ,

cu cel putin un scalar nenul. Acest scalar este αm+1 (deoarece, con-form primei observatii din Sectiunea 1.3, vectorii a2, . . . , am sunt liniarindependenti. Atunci din relatia (2.17) obtinem:

(2.18) am+1 = β2a2 + ... + βmam cu βi = − αi

αm+1

, ∀ i = 2,m.

Scadem relatia (2.18) din (2.15) si obtinem:

(2.19) a1m+1a1 + (a2m+1 − β2)a

2 + ... + (amm+1 − βm)am = θ

Deoarece a1, ..., am sunt liniar independenti rezulta a1m+1 = 0,FALS.

In concluzie, B′ = a2, ..., am, am+1 este o noua baza si X ′ estesolutia corespunzatoare acestei baze.

Se pune problema exprimarii celorlalti vectori ın noua baza.Deoarece X ′ verifica sistemul de restrictii, avem:

(2.20) (x2− x1

a1m+1

a2m+1)a2+...+(xm− x1

a1m+1

amm+1)am+

x1

a1m+1

am+1 = b

de unde rezulta ca ın noua baza coordonatele vectorului b sunt:

(2.21)

b′1 = x1

a1m+1

b′i = (xi − x1

a1m+1aim+1) =

˛˛˛

xi x1

aim+1 a1m+1

˛˛˛

a1m+1

Consideram aj /∈ B′. Acest vector ın vechea baza B are scrierea

31

(2.22) aj = a1ja1 + a2ja

2 + ... + amjam.

Tinand seama ca a1m+1 > 0, din relatia (2.15), a1 se expliciteaza:

(2.23) a1 =1

a1m+1

(am+1 − a2m+1a2 − ...− amm+1a

m).

Aceasta expresie o ınlocuim ın relatia (2.22) si obtinem:

(2.24) aj = (a2j− a1ja2m+1

a1m+1

)a2 + ...+(amj− a1jamm+1

a1m+1

)am +a1j

a1m+1

am+1.

Asadar noile coordonate sunt:

(2.25) a′1j =a1j

a1m+1

, a′ij =

∣∣∣∣aij a1j

aim+1 a1m+1

∣∣∣∣a1m+1

.

2.4.1 METODA SIMPLEX DE REZOLVARE A PROBLEMEI DEPROGRAMARE LINIARA. ALGORITMUL SIMPLEX.

Metoda simplex consta ın construirea succesiva a unor solutii de bazadin ce ın ce mai bune pana se obtine solutia optima.

Fie problema de programare liniara:

(2.26)min[Z = CT X]

AX = bX ≥ 0

Notam cu B = a1, a2, ..., am si R = am+1, ..., an. Atunci A = (B, R),unde B formeaza o baza. Sistemul de restrictii devine:

(2.27) BXB + RXR = b

cu solutia:

(2.28) XB = B−1b−B−1RXR.

32

Fie JB = i/1 ≤ i ≤ m si JR = i/m + 1 ≤ i ≤ n.Solutia corespunzatoare bazei B este:

XB

= B−1b, XR

= 0.

Notam cu XB

= (xBi )1≤i≤m coordonatele vectorului B−1b ın baza

B, cu XB = (xBi )1≤i≤n coordonatele vectorului XB ın baza B si cu

aBij coordonatele vectorului aj, ∀j ∈ JR ın baza B. Atunci sistemul de

restrictii (2.28) se scrie:

(2.29) xBi = xB

i −∑j∈JR

aBijxj, i ∈ JB.

Functia obiectiv a problemei este: Z = CT X = CBXB +CRXR, carepe componente se scrie:

(2.30) Z =∑j∈JB

cixBi +

∑j∈JR

cjxj.

Folosind relatia (2.29), expresia functiei obiectiv devine:

(2.31)Z =

∑j∈JB

ci(xBi −

∑j∈JR

aBijxj) +

∑j∈JR

cjxj

=∑

j∈JB

cixBi − ∑

j∈JR

(∑

j∈JB

ciaBij − cj)xj

Se noteaza cu:

(2.32) ZB

=∑j∈JB

cixBi si cu zj =

∑j∈JB

ciaBij

Functia obiectiv se scrie :

(2.33) Z = ZB −

∑j∈JR

(zj − cj)xj

ın care ZB

reprezinta valoarea functiei obiectiv pentru solutia de baza:X

B= B−1b.

Se noteaza cu :

33

(2.34) ∆j = zj − cj

si se observa ca pentru ∆j ≤ 0,∀j ∈ JR, din relatia (2.33) obtinem:Z > Z

B. Cu alte cuvinte valoarea functiei obiectiv pentru un program

oarecare este mai mare decat valoarea pentru un program de baza.

Teorema 3 (Criteriul de optim). Daca pentru o baza B avem ∆j =zj − cj ≤ 0,∀j ∈ JR, atunci programul de baza corespunzator bazei Beste program optim pentru problema de programare liniara.

Solutie. Daca pentru o baza B avem ∆j ≤ 0, ∀j ∈ JR, atunci oricare arfi solutia admisibila X a problemei (2.33), rezulta : Z > Z

Bdeoarece

xj ≥ 0, ∆j ≤ 0 si (zj − cj)xj ≥ 0. Q.E.D.

Teorema 4. Daca pentru o baza exista un indice k ∈ JR pentru care∆k = zk − ck > 0, atunci programul de baza corespunzator nu esteoptim.

Solutie. Fie XB

solutia de baza corespunzatoare bazei B pentru careexista k ∈ JR cu ∆k = zk − ck > 0. Consideram o alta solutie a proble-mei (2.26) ale carei componente coincid cu cele ale lui X

Bcu exceptia

celei de rang k, notata cu x0k. Aceasta solutie X0 nu este ın general de

baza. Deci X0 = (x01, ..., x

0m, 0, ..., 0, x0

k, ...0)T . Daca notam cu Z0 valoa-rea functiei obiectiv pentru solutia X0, atunci: Z0 = Z

B− (zk− ck)X0k <

ZB

. Cu alte cuvinte, solutia de baza corespunzatoare bazei B nu esteoptima. Q.E.D.

Teorema 5. Daca pentru o baza B exista un indice k ∈ JR pentru care∆k = zk − ck > 0 iar coordonatele vectorului ak ın baza B, aB

ij ≤ 0,pentru orice i ∈ JB, atunci problema (2.26) are optim infinit.

Solutie. Fie X(α) = (x1(α), . . . , xn(α)) ∈ Rn definit astfel: pentru α ≥ 0,

xi(α) =

xBi − αaB

ik daca i ∈ JB

α daca i = k0 daca i ∈ JR\k.

Se verifica usor ca X(α) este solutie a problemei (2.26) pentru oriceα ≥ 0 (se verifica ecuatiile sistemului de conditii).

Valoarea functiei obiectiv este: Z(α) = ZB − (zk − ck)α. Rezulta

limα→∞

Z(α) = −∞. Q.E.D.

34

Observatie. Vom arata cum putem obtine o noua baza si o solutie debaza corespunzatoare ın conditiile teoremei (4), cand exista un indicek ∈ JR cu ∆k > 0 si coordonatele vectorului ak nu sunt toate mai micisau egale cu zero.

Teorema 6. Fie o baza B pentru care ∃k ∈ JR astfel ıncat ∆k > 0 sivectorul ak are si componente strict pozitive, adica exista aB

ik > 0, 1 ≤i ≤ m. Daca indicele l ∈ JB este acela pentru care se obtine θ0 =

mini xB

i

aBik

/aBik > 0 =

xBl

aBlk

, atunci baza B ce difera de baza B printr-un

singur vector (vectorul al s-a ınlocuit cu ak) este o baza admisibila sisolutia de baza corespunzatoare XB este tot atat de buna ca si X

B,

adica ZB ≤ ZB.

Solutie. Pentru solutia de baza XB

= (xB1 , ..., xB

m, 0, ..., 0) avem:

(2.35) xB1 a1 + ... + xB

mam = b (verifica sistemul de conditii)

Daca vectorul ak are ın baza B scrierea:

(2.36) ak = aB1ka

1 + aB2ka

2 + ... + aBmka

m,

ınmultim relatia (2.36) cu θ0 si scadem din (2.35). Obtinem astfel:(2.37)(xB

1 − θ0aB1k)a

1 + ...+ (xBl − θ0a

Blk)︸︷︷︸ al +... + (xB

m − θ0aBmk)a

m + θ0ak = b

= 0

din care rezulta ca solutia X = (xB1 − θ0a

B1k, ..., 0, ..., x

Bm − θ0a

Bmk, θ0)

este o noua solutie de baza.Daca Z

B= c1x

B1 +c2x

B2 + ...+cmxB

m si zk = aB1kc1 +aB

2kc2 + ...+aBmkcm,

ınmultind zk cu θ0 si scazand din ZB

, obtinem:

(2.38) (xB1 − θ0a

B1k)c

1 + ... + (xBm − θ0a

Bmk)c

m + θ0ck = Z

B − θ0(zk − ck)

adunand ın fiecare membru θ0ck.Din relatia (2.38) rezulta ca

(2.39) Z = ZB − θ0(zk − ck).

Deoarece θ0 > 0, zk − ck > 0, rezulta Z ≤ ZB

.Observatie.

35

1. Daca exista mai multi indici j ∈ JR pentru care ∆j = zj − cj > 0conform relatiei (2.39) rezulta ca este convenabil de ales diferenta∆j cea mai mare pentru care Z are cea mai mica valoare.Criteriul de intrare ın baza: operatia de a alege dintre diferentele∆j > 0 pe ∆k = max

j(zj − cj) = zk − ck arata ca vectorul ak va intra

ın noua baza.2. Criteriul de iesire din baza: valoarea θ0 = min

i xB

i

aBik cu aB

ik > 0, indicavectorul care paraseste baza.

3. Trecerea de la baza B la baza B se numeste iteratie a algoritmuluisimplex.

4. In metoda simplex ne intereseaza la pornire o baza lesnicioasa.Aceasta este baza unitara. Daca matricea A contine aceasta baza,vectorii aj care nu se gasesc ın baza vor avea ın baza unitara coor-donatele asa cum apar ele ın matrice. Daca matricea A nu continebaza unitara, exista procedee prin care se obtine aceasta baza laprimul pas.

ALGORITMUL SIMPLEX.

– Pasul 0: se scrie matricea A si se identifica baza unitara (presu-punand ca exista). Se determina solutia initiala de baza XB, im-punand ın sistemul de restrictii XR = 0.Deoarece ın baza unitara aB

ij = aij se ıntocmeste tabelul:

B CB XBc1

a1

c2

a2 ....cn

an

ak1 ak2 akn

∆j ∆1 ∆2 ... ∆n

– Pasul 1: Pentru fiecare j ∈ JR = m + 1,m + 2, ..., n se calculeazadiferentele ∆j:

∆j =

zj − cj ın cazul problemei de minimcj − zj ın cazul problemei de maxim ,

unde zj =m∑

i=1

ciaij, m + 1 ≤ j ≤ n. Diferentele ∆j cu 1 ≤ j ≤ m (cele

corespunzatoare vectorilor bazei) sunt egale cu zero.1. Daca ∆j ≤ 0,∀j ∈ JR, STOP; XB este conform criteriului de optim,

solutia optima.

36

2. Daca exista indici j ∈ JR pentru care ∆j > 0 se aplica criteriulde intrare ın baza alegandu-se diferenta ∆k = max

j∈JR

∆j care indica

vectorul ak ce intra ın noua baza.3. Daca toate componentele vectorului ak sunt mai mici sau egale cu

zero, STOP, problema are optim infinit.Daca vectorul ak are si componente pozitive, pentru acestea secalculeaza rapoartele xB

i

aiksi se alege θ0 = min xB

i

aik =

xBl

alk; con-

form criteriului de iesire din baza, vectorul al paraseste baza fiindınlocuit cu ak. Se obtine o noua baza. Elementul de la intersectialiniei l cu coloana k se numeste pivot.

– Pasul 2: Se reface tabelul simplex:* se scrie noua baza;* se completeaza coloana c corespunzatoare;* ıncepand cu coloana lui XB, linia l a pivotului se scrie ımpartita la

pivot;* se completeaza vectorii unitari ai noii baze;* celelalte elemente ale tabelului se calculeaza conform formulelor

de schimbare a bazei cu regula ”dreptunghiului”;* se calculeaza diferentele ∆j si se reia Pasul 1 si 2.

Exemplul 1. Consideram problema de programare liniara:

max[Z = 500x1 + 600x2 + 400x3]

2x1 + x3 ≤ 20012x1 + x2 + x3 ≤ 100x1 + 3x2 ≤ 400

x1, x2, x3 ≥ 0.

Solutie. Se aduce la forma standard adaugand ecarturile xe4, x

e5, x

e6 ≥ 0.

max[Z = 500x1 + 600x2 + 400x3]

2x1 + x3 + xe4 = 200

12x1 + x2 + x3 + xe

5 = 100x1 + 3x2 + xe

6 = 400

Matricea sistemului de restrictii este:

A =

2 0 1 1 0 012

1 1 0 1 01 3 0 0 0 1

37

Coloanele matricei A vor fi notate cu: a1, a2, a3, a4, a5, a6; de exemplu

a3 =

110

.

Baza este:B = a4, a5, a6.

Pentru determinarea solutiei initiale de baza XB, ın sistemul de conditiise fac toate variabilele ne bazice, adica x1, x2, x3, egale cu zero. Re-zulta XB = (0, 0, 0, 200, 100, 400).

B CB XBc1 = 500

a1

c2 = 600

a2

c3 = 400

a3

c4 = 0

a4

c5 = 0

a5

c6 = 0

a6

a4 0 200 2 0 1 1 0 0a5 0 100 1

21 1 0 1 0 θ2 = 100

1

a6 0 400 1 3 0 0 0 1 θ3 = 4003

∆j = cj − zj ∆1 = 500 ∆2 = 600 ∆3 = 400 0 0 0

Se observa ca cea mai mare valoare ∆j, j = 1, 2, 3, 4, 5, 6 este∆2 = 600, deci vectorul a2 va intra ın baza. Se calculeaza si rapoar-

tele θi =xB

i

aik, i = 1, 2, 3; k = 2 corespunzatoare coloanei a2, adica :

θ2 = 1001

, θ3 = 4003

si se alege dintre ele cea mai mica valoare: θ2.Asadar vectorul a5 va parasi baza. Pivotul este elementul 1 din co-loana lui a2. In noul tabel c-ul corespunzator vectorului a5 din baza seva ınlocui cu c-ul corespunzator vectorului a2 care intra ın baza, adicac2 = 600. Linia pivotului, ın noul tabel, se va trece ımpartita la pivot.Coloana pivotului, ın noul tabel, se va completa cu zerouri. Restul ele-mentelor se calculeaza cu regula ”dreptunghiului”.

Tabelul se continua astfel :

B CB XBc1 = 500

a1

c2 = 600

a2

c3 = 400

a3

c4 = 0

a4

c5 = 0

a5

c6 = 0

a6

a4 0 200 2 0 1 1 0 0 θ1 = 2002

a2 600 100 12

1 1 0 1 0 θ2 = 10012

a6 0 100 − 12

0 -3 0 -3 1∆j = cj − zj ∆1 = 200 ∆2 = 0 ∆3 = −200 0 ∆5 = −600 0

38

Se observa ca cea mai mare valoare ∆j, j = 1, 2, 3, 4, 5, 6 este∆1 = 200, deci vectorul a1 va intra ın baza. Se calculeaza si rapoar-

tele θi =xB

i

aik, i = 1, 2, 3; k = 1 corespunzatoare coloanei a1, adica :

θ1 = 2002

, θ2 = 10012

si se alege dintre ele cea mai mica valoare: θ1.Asadar vectorul a4 va parasi baza. Pivotul este elementul 2 din co-loana lui a1. In noul tabel c-ul corespunzator vectorului a4 din baza seva ınlocui cu c-ul corespunzator vectorului a1 care intra ın baza, adicac1 = 500. Linia pivotului, ın noul tabel, se va trece ımpartita la pivot.Coloana pivotului, ın noul tabel, se va completa cu zerouri. Restul ele-mentelor se calculeaza cu regula ”dreptunghiului”.

Tabelul se continua astfel:

B CB XBc1 = 500

a1

c2 = 600

a2

c3 = 400

a3

c4 = 0

a4

c5 = 0

a5

c6 = 0

a6

a1 500 100 1 0 12

12

0 0a2 600 50 0 1 3

4− 1

41 0

a6 0 150 0 0 - 114

− 14

-3 1∆j = cj − zj 0 0 ∆3 = −300 ∆4 = −100 ∆5 = −600 0

Algoritmul se opreste.Solutia optima este: X = (100, 50, 0, 0, 0, 0). Deci Zmax = 80000.

Q.E.D.

2.4.2 TEHNICI ALE BAZEI ARTIFICIALE PENTRUDETERMINAREA UNUI PROGRAM INITIAL DE BAZA.

In aplicarea algoritmului simplex este necesara existenta unei bazeinitiale unitare. In cazul ın care aceasta baza nu figureaza printre co-loanele matricei A si nu apare nici dupa efectuarea compensarilor prinadaugarea variabilelor ecart este necesar sa folosim tehnici prin caresa obtinem acest lucru.

Fie problema de programare liniara :

(2.40)min[Z = CT X]

AX = bX ≥ 0

39

pentru care matricea A a sistemului de restrictii (2.40) nu contine bazaunitara. Adaugand cate o variabila artificiala xa

i ≥ 0, i = 1, ..., m, ınfiecare restrictie a problemei (2.40), obtinem sistemul:

(2.41) AX + IXa = b ⇔n∑

j=1

aijxj + xai = bi, i = 1, . . . , m.

O solutie a sistemului (2.41) este solutie si pentru sistemul (2.40),daca ın aceasta solutie elementele xa

i , i = 1, . . . , m sunt toate zero(numai ın acest caz solutia sistemului (2.41) verifica si sistemul (2.40).

Asociem problemei (2.40) o problema extinsa al carui sistem derestrictii este (2.41). Vom urmari sa gasim o solutie de baza a mode-lului extins ın care variabilele artificiale sa fie variabile nebazice (adicasa aiba valori nule). O astfel de solutie de baza a problemei extinseva reprezenta ın anumite conditii o solutie de baza initiala pentru pro-blema (2.40) cu care se poate ıncepe algoritmul simplex.

Metoda folosita se numete metoda celor doua faze.

METODA CELOR DOUA FAZE. In prima faza se rezolva problema:

(2.42)min[xa

1 + xa2 + · · ·+ xa

m]AX + IXa = b

X,Xa ≥ 0

Problema (2.42) are baza admisibila unitara careia ıi corespundeprogramul de baza (X = 0, Xa = b) cu care se ıncepe algoritmul sim-plex.

Analizand ultimul tabel simplex pentru problema (2.42) pot apareaurmatoarele cazuri:

1. min(xa1+xa

2+· · ·+xam) = 0; deci ın solutia optima a problemei (2.42)

toate variabilele artificiale sunt nule.In acest caz baza care ne da aceasta solutie optima este formatanumai cu vectori coloana ai matricei A si va constitui o baza initialaa problemei (2.40).Urmeaza faza a doua ın care problemei (2.40) i se aplica algoritmulsimplex plecand de la baza optima si solutia optima a problemei(2.42).

40

2. min(xa1+xa

2+· · ·+xam) > 0; ın acest caz problema (2.40) nu are pro-

grame. Intr-adevar, presupunand prin absurd ca problema (2.40)are un program X atunci (X,Xa = 0) este program pentru pro-blema (2.42). In acest caz min(xa

1 + xa2 + · · · + xa

m) = 0 ceea cecontrazice ipoteza ca minimul este strict pozitiv.

Observatie.

1. Este posibil sa obtinem la prima faza min(xa1 + xa

2 + · · ·+ xam) = 0 si

ın acelasi timp sa mai ramana ın baza optima vectori artificiali pen-tru care variabilele bazice corespunzatoare sa aiba valoarea zero.Aceasta are loc daca rangA < m sau rangA = m daca problema(2.40) este degenerata.Trebuie precizat ca prima faza se considera ıncheiata ın momentulın care vectorii artificiali sunt eliminati din baza.Daca rangA = m, dar problema (2.40) este degenerata, variabi-lele artificiale care au valoarea zero pot fi ınlocuite cu variabile aleproblemei initiale care vor lua deasemenea valoarea zero.Daca rangA < m, nu este posibila eliminarea tuturor variabilelorartificiale. In acest caz, liniile matricei A corespunzatoare acestorvariabile sunt combinatii ale celorlalte si pot fi neglijate; deci liniilerespective se vor sterge din tabelul simplex.

2. Daca ın problema initiala exista ın matricea A cativa vectori unitari,atunci se vor adauga atatea variabile artificiale cat este necesarpentru completarea bazei , iar prima faza minimizeaza doar acestevariabile artificiale.

Exemplul 2. Fie problema

max[Z = 3x1 + 2x2 + x3 + 2x4]

2x1 + x2 + x3 + 2x4 = 12x1 + 2x2 + x3 + 3x4 = 14x1, x2, x3, x4 ≥ 0.

Solutie.

A =

(2 1 1 21 2 1 3

)nu contine baza unitara.

Construim sistemul extins :

41

2x1 + x2 + x3 + 2x4 + xa5 = 12

x1 + 2x2 + x3 + 3x4 + xa6 = 14

x1, x2, x3, x4, xa5, x

a6 ≥ 0.

unde

A =

(2 1 1 2 1 01 2 1 3 0 1

)

Coloanele matricei A vor fi notate cu: a1, a2, a3, a4, a5, a6; de exemplu

a3 =

(11

).

Prima faza rezolva problema:

min[xa5 + xa

6]

2x1 + x2 + x3 + 2x4 + xa5 = 12

x1 + 2x2 + x3 + 3x4 + xa6 = 14

x1, x2, x3, x4, xa5, x

a6 ≥ 0.

cu baza initiala B = a5, a6 si XB = (12, 14).

B CB XBc1 = 0

a1

c2 = 0

a2

c3 = 0

a3

c4 = 0

a4

c5 = 1

a5

c6 = 1

a6

a5 1 12 2 1 1 2 1 0 θ1 = 122

a6 1 14 1 2 1 3 0 1 θ2 = 143

∆j = zj − cj 3 3 2 5 0 0

Se observa ca cea mai mare valoare ∆j, j = 1, 2, 3, 4, 5, 6 este∆4 = 5, deci vectorul a4 va intra ın baza. Se calculeaza θ1 = 12

2, θ2 = 14

3

si se alege dintre ele cea mai mica valoare: θ2. Asadar vectorul a6 vaparasi baza. Pivotul este elementul 3 din coloana lui a4. In noul tabelc-ul corespunzator vectorului a6 din baza se va ınlocui cu c-ul cores-punzator vectorului a4 care intra ın baza, adica c4 = 0. Linia pivotului,ın noul tabel, se va trece ımpartita la pivot. Coloana pivotului, ın noultabel, se va completa cu zerouri. Restul elementelor se calculeaza curegula ”dreptunghiului”.


42

B CB XBc1 = 0

a1

c2 = 0

a2

c3 = 0

a3

c4 = 0

a4

c5 = 1

a5

c6 = 1

a6

a5 1 83

43

− 13

13

0 1 − 23

θ1 = 84

a4 0 143

13

23

13

1 0 13

θ2 = 141

∆j = zj − cj43

− 13

13

0 0 − 53

Se observa ca cea mai mare valoare ∆j, j = 1, 2, 3, 4, 5 este ∆1 = 43,

deci vectorul a1 va intra ın baza. Se calculeaza θ1 = 84, θ2 = 14 si se

alege dintre ele cea mai mica valoare: θ1. Asadar vectorul a5 va parasibaza. Pivotul este elementul 4

3din coloana lui a1. In noul tabel c-ul co-

respunzator vectorului a5 din baza se va ınlocui cu c-ul corespunzatorvectorului a1 care intra ın baza, adica c1 = 0. Linia pivotului, ın noultabel, se va trece ımpartita la pivot. Coloana pivotului, ın noul tabel,se va completa cu zerouri. Restul elementelor se calculeaza cu regula”dreptunghiului”.


B CB XBc1 = 0

a1

c2 = 0

a2

c3 = 0

a3

c4 = 0

a4

c5 = 1

a5

c6 = 1

a6

a1 0 2 1 − 14

14

0a4 0 4 0 3

414

1∆j = zj − cj 0 0 0 0

Faza ıntai s-a ıncheiat cu baza optima a1, a4 si solutia de baza(2, 0, 0, 4) si min(xa

1 + xa2) = 0.

Faza a doua ıncepe cu baza initiala a1, a4 si solutia de baza(2, 0, 0, 4) obtinuta ın ultimul tabel simplex al primei faze.

B CB XBc1 = 3

a1

c2 = 2

a2

c3 = 1

a3

c4 = 2

a4

a1 3 2 1 − 14

14

0a4 2 4 0 3

414

1 θ2 = 434

∆j = zj − cj 0 54

− 14

0

Avem o singura diferenta pozitiva ∆2 = 54, deci vectorul a2 intra ın

noua baza. Deoarece pe coloana a2 avem un singur element pozitiv,rezulta ca a4 paraseste baza. Pivotul este elementul 3

4din coloana lui

a2. In noul tabel c-ul corespunzator vectorului a4 din baza se va ınlocuicu c-ul corespunzator vectorului a2 care intra ın baza, adica c1 = 2.Linia pivotului, ın noul tabel, se va trece ımpartita la pivot. Coloana

43

pivotului, ın noul tabel, se va completa cu zerouri. Restul elementelorse calculeaza cu regula ”dreptunghiului”.

Tabelul se continua astfel :

B CB XBc1 = 3

a1

c2 = 2

a2

c3 = 1

a3

c4 = 2

a4

a1 3 103

1 0 13

13

a2 2 163

0 1 13

43

∆j = zj − cj 0 0 − 23

− 53

Algoritmul se opreste. Xoptim = (103, 16

3, 0, 0), −Zmin = −10 − 32

3de

unde rezulta Zmax = 623. Q.E.D.

METODA PENALIZARII. Fie problema de programare liniara :

(2.43)min[Z = CT X]

AX = bX ≥ 0

pentru care matricea A a sistemului de restrictii (2.43) nu contine bazaunitara. Se asociaza problemei (2.43) o problema extinsa:

(2.44)min[Z = CT X + ΛT Xa]

AX + IXa = bX,Xa ≥ 0

obtinuta prin adaugarea la fiecare restrictie a cate unei variabileartificiale xa

i . Aceste variabile artificiale vor crea ın matricea A bazaunitara. In functia obiectiv variabilele artificiale apar cu coeficienti egalicu M , un numar foarte mare pozitiv care nu va permite functiei obiectivsa ısi atinga valoarea minima decat atunci cand ın solutia optima nuvor mai fi variabile artificiale.Observatie. In cazul problemei de max coeficientii variabilelor arti-ficiale din functia obiectiv sunt −M iar ın cazul problemei de mincoeficientii variabilelor artificiale din functia obiectiv sunt M . Coeficien-tul M se numeste coeficient de penalizare.

Problema (2.44) se rezolva cu ajutorul algoritmului simplex.Pe parcursul aplicarii algoritmului simplex se pot ıntalni urmatoarele

situatii:

44

– la un anumit moment al algoritmului toti vectorii artificiali au parasitbaza; se continua algoritmul pana se obtine solutia optima.

– algoritmul simplex s-a ıncheiat, dar ın solutia optima au ramas varia-bile artificiale. In acest caz:a)daca variabilele artificiale ramase ın solutia optima au toate valoa-

rea zero, problema initiala admite solutie.b)daca variabilele artifciale ramase ın solutia optima nu au toate va-

loarea zero, problema initiala nu are solutie.

Observatie. Pe parcursul algoritmului, cand un vector artificial parasestebaza, ın general el nu va mai reveni ın baza, deci ın etapele urmatoareel nu se mai ia ın considerare.

Exemplul 3. Consideram problema de programare liniara:

min[Z = 6x1 + x2]

x1 + 2x2 ≥ 33x1 + x2 ≥ 4

x1, x2 ≥ 0.

Solutie. Se aduce problema la forma standard prin scaderea catei uneivariabile ecart din fiecare restrictie:

min[Z = 6x1 + x2]

x1 + 2x2 − xe3 = 3

3x1 + x2 − xe4 = 4

x1, x2, xe3, x

e4 ≥ 0.

Matricea sistemului de restrictii:

A =

(1 2 −1 03 1 0 −1

)

nu admite baza unitara. Se rezolva problema folosind metoda pena-litatii. Asociem problema:

min[Z = 6x1 + x2 + Mxa5 + Mxa

6]

x1 + 2x2 − xe3 + xa

5 = 33x1 + x2 − xe

4 + xa6 = 4

x1, x2, xe3, x

e4, x

a5, x

a6 ≥ 0.

45

Matricea sistemului de restrictii

A =

(1 2 −1 0 1 03 1 0 −1 0 1

)

contine baza unitara B = a5, a6, unde cu a1, . . . , a6 am notat coloa-nele matricei A. In continuare se aplica algoritmul simplex.

B CB XBc1 = 6

a1

c2 = 1

a2

c3 = 0

a3

c4 = 0

a4

c5 = M

a5

c6 = M

a6

a5 M 3 1 2 -1 0 1 0 θ1 = 31

a6 M 4 3 1 0 -1 0 1 θ2 = 43

∆j = zj − cj 4M − 6 3M − 1 −M −M 0 0

Se observa ca cea mai mare valoare ∆j, j = 1, 2, 3, 4, 5, 6 este∆1 = 4M − 6, deci vectorul a1 va intra ın baza. Se calculeaza si ra-

poartele θi =xB

i

aik, i = 1, 2; k = 1 corespunzatoare coloanei a1, adica:

θ1 = 31, θ2 = 4

3si se alege dintre ele cea mai mica valoare: θ2. Asadar

vectorul a6 va parasi baza. Pivotul este elementul 3 din coloana lui a1.In noul tabel c-ul corespunzator vectorului a6 din baza se va ınlocui cuc-ul corespunzator vectorului a1 care intra ın baza, adica c1 = 6. Liniapivotului, ın noul tabel, se va trece ımpartita la pivot. Coloana pivo-tului, ın noul tabel, se va completa cu zerouri. Restul elementelor secalculeaza cu regula ”dreptunghiului”. Noul tabel arata astfel:

B CB XBc1 = 6

a1

c2 = 1

a2

c3 = 0

a3

c4 = 0

a4

c5 = M

a5

c6 = M

a6

a5 M 53

0 53

-1 13

1 − 13

θ1 = 1

a1 6 43

1 13

0 − 13

0 13

θ2 = 4

∆j = zj − cj 0 5M3

+ 1 −M M3− 2 0 − 4M

3+ 2

Se observa ca cea mai mare valoare ∆j, j = 1, 2, 3, 4, 5, 6 este∆2 = 5M

3+ 1, deci vectorul a2 va intra ın baza. Se calculeaza si ra-

poartele θi =xB

i

aik, i = 1, 2; k = 2 corespunzatoare coloanei a2, adica:

θ1 = 1, θ2 = 4 si se alege dintre ele cea mai mica valoare: θ1. Asadarvectorul a5 va parasi baza. Pivotul este elementul 5

3din coloana lui a2.

In noul tabel c-ul corespunzator vectorului a5 din baza se va ınlocui cu

46

c-ul corespunzator vectorului a2 care intra ın baza, adica c2 = 1. Liniapivotului, ın noul tabel, se va trece ımpartita la pivot. Coloana pivo-tului, ın noul tabel, se va completa cu zerouri. Restul elementelor secalculeaza cu regula ”dreptunghiului”.

B CB XBc1 = 6

a1

c2 = 1

a2

c3 = 0

a3

c4 = 0

a4

c5 = M

a5

c6 = M

a6

a2 1 1 0 1 − 35

15

35

− 15

θ1 = 5

a1 6 1 1 0 15

25

− 15

25

θ2 = 52

∆j = zj − cj 0 0 35

135

− 35−M 11

5−M

Se observa ca cea mai mare valoare ∆j, j = 1, 2, 3, 4, 5, 6 este∆4 = 13

5, deci vectorul a4 va intra ın baza. Se calculeaza si rapoar-

tele θi =xB

i

aik, i = 1, 2; k = 4 corespunzatoare coloanei a4, adica: θ1 = 5,

θ2 = 52

si se alege dintre ele cea mai mica valoare: θ2. Asadar vecto-rul a1 va parasi baza. Pivotul este elementul 2

5din coloana lui a4. In

noul tabel c-ul corespunzator vectorului a1 din baza se va ınlocui cuc-ul corespunzator vectorului a4 care intra ın baza, adica c4 = 0. Liniapivotului, ın noul tabel, se va trece ımpartita la pivot. Coloana pivo-tului, ın noul tabel, se va completa cu zerouri. Restul elementelor secalculeaza cu regula ”dreptunghiului”.

B CB XBc1 = 6

a1

c2 = 1

a2

c3 = 0

a3

c4 = 0

a4

c5 = M

a5

c6 = M

a6

a2 1 12

− 12

1 − 72

0 72

− 25

a4 0 52

52

0 12

1 − 12

1∆j = zj − cj − 1

2− 6 0 − 7

20 7

2−M − 2

5−M

Algoritmul se opreste. Xoptim = (0, 12, 0, 5

2), Zmin = 1

2. Q.E.D.

2.5 DUALITATE IN PROGRAMAREA LINIARA.

Ca si ın multe alte domenii matematice, dualitatea are ın programarealiniara un rol cheie atat ın teorie cat si ın practica.

Pornim de la o problema de programare liniara sub forma generala:

min[Z =3∑

j=1

cjxj]

47

(2.45)

3∑j=1

a1jxj ≥ b1

3∑j=1

a2jxj = b2

3∑j=1

a3jxj ≤ b3

x1 ≥ 0, x2 oarecare, x3 ≤ 0

Problema duala a problemei (2.45) este urmatoarea problema deprogramare liniara:

max[Z =3∑

j=1

b′jxj]

(2.46)

3∑j=1

a′1juj ≥ b1

3∑j=1

a′2juj = b2

3∑j=1

a′3juj ≤ b3

u1 ≥ 0, u2 oarecare, u3 ≤ 0

Problema (2.45) se numeste problema primala. Duala problemeiduale este problema primala, iar problemele (2.45) si (2.46) se numescun cuplu de probleme duale. Din punct de vedere practic, problemaduala se obtine din problema primala astfel:

1)Termenii liberi din problema primala devin coeficienti ai functiei obiec-tiv ın problema duala.

2)Coeficienti functiei obiectiv din problema primala devin termeni liberiın problema duala.

3)Minimizarea se transforma ın maximizare si reciproc.4)Matricea coeficientilor din problema duala este transpusa matriceicoeficientilor din problema primala.

5)Variabilele duale corespunzatoare unor restrictii concordante dinproblema primala sunt nenegative, iar cele corespunzatoare unorrestrictii primale neconcordante sunt nepozitive.

6)Variabilele duale corespunzatoare restrictiilor primale care sunt ecuatiipot fi de semn oarecare.

48

7)Variabilelor primale negative le corespund ın duala restrictii con-cordante, iar variabilelor primale nepozitive le corespund ın dualarestrictii neconcordante.

8)Variabilelor primale oarecari le corespund restrictii duale care suntecuatii.

Prezentam cateva cazuri particulare de probleme duale.

(2.47)min[CT X] max[bT U ]AX ≥ b AT U ≤ CX ≥ 0 U ≥ 0.

(2.48)min[CT X] max[bT U ]AX = b AT U ≤ CX ≥ 0 U oarecare.

Ca si ın cazul problemei primale, pentru problema duala, prin trans-formari echivalente se poate trece de la forma generala la forma cano-nica si standard. Din acest motiv, pentru studiul proprietatilor de duali-tate se considera numai cupluri de probleme duale de tipul (2.47) caredatoria simetriei se numesc si probleme duale simetrice.

Exemplul 4. (Exemplu de constructie a problemei duale). Fie problema deprogramare liniara

max[3x1 − 6x2 + x4]

(2.49)

2x1 + 5x2 − x3 + 2x4 ≥ 3−x1 + 2x2 + x3 = 52x1 − x2 + x4 ≤ −2x1, x2 ≥ 0, x3 oarecare, x4 ≤ 0

– Problema data are 3 restrictii si 4 variabile.– Fiecarei restrictii i se ataseaza cate o variabile duala: u1, u2, u3, res-

pectiv.– Fiecarei variabile primale ıi corespunde o restrictie ın problema

duala. Vom avea deci 3 variabile si 4 restrictii ın problema duala.– Variabila u1 trebuie sa fie nepozitiva corespunzand unei restrictii ne-

concordante. Variabila u2 este oarecare deoarece corespunde uneiegalitati, iar variabila u3 trebuie sa fie nenegativa deoarece cores-punde unei restrictii concordante.

49

– Deoarece variabila primala x1 este nenegativa, restrictia duala co-respunzatoare trebuie sa fie concordanta, adica

2u1 − u2 + 2u3 ≥ 3,

coeficientii care apar ın aceasta restrictie fiind coeficientii lui x1, adicaprima coloana a matricei sistemului, iar termenul liber fiind coeficien-tul lui x1 din functia obiectiv.

– Analog, variabilei x2 ıi corespunde restrictia concordanta

5u1 + 2u2 − u3 ≥ 0,

termenul liber 0 explicandu-se prin faptul ca ın functia obiectiv nuapare variabila x2.

– Variabilei x3, care este oarecare, ıi corespunde o ecuatie ın duala

−u1 + u2 = −6.

– Variabilei nepozitive x4 ıi corespunde ın duala o restrictie neconcor-danta

2u1 + u3 ≤ 1.

In concluzie, problema duala este

(2.50)

min[3u1 + 5u2 − 2u3]2u1 − u2 + 2u3 ≥ 35u1 + 2u2 − u3 ≥ 0−u1 + u2 = −62u1 + u3 ≤ 1u1 ≤ 0, u2 oarecare, u3 ≥ 0

Urmatorul rezultat-cheie va fi prezentat fara demonstratie:

Teorema 7 (Teorema Fundamentala a Dualitatii). Pentru orice cuplude probleme duale, una si numai una dintre urmatoarele situatii esteposibila:

1)Ambele probleme au programe: ın acest caz ambele probleme auprograme optime pentru care valorile funtiilor obiectiv coincid.

2)Una din probleme are programe, iar cealalta nu. In acest caz, ceacare are programe are optim infinit.

3)Nici una dintre probleme nu are programe.

50

Se considera cuplul de probleme (2.48). Teorema urmatoare pre-cizeaza conditiile ın care o baza B extrasa din matricea A este bazaoptima pentru problema primala.

Teorema 8. Daca baza B extrasa din matricea A verifica conditiile

(2.51) B−1b ≥ 0

(2.52) CTBB−1A− CT ≤ 0.

Atunci programul optim al problemei primale este XB = B−1b, XR = 0,iar programul optim al problemei duale este UT

B = CTBB−1.

Observatie. Relatiile (2.51) si (2.52) sunt suficiente pentru ca baza B sa fieoptima. Aceste conditii sunt si necesare daca problema este nedegenerata.Observatie. Relatia (2.52) se scrie si sub forma

CTBB−1aj − cj ≤ 0, 1 ≤ j ≤ n

sau inca zBj − cj ≤ 0 tinand seama de definitia cantitatii zB

j .Observatie. O baza B care verifica relatia (2.52) se numeste dual ad-misibila deoarece ıi corespunde un program al problemei duale, si anume,UT

B = CTBB−1.

Observatie. Daca matricea A a problemei primale (2.48) contine matriceaunitate I , atunci la fiecare iteratie a algoritmului simplex se gaseste ın coloa-nele corespunzatoare lui I inversa bazei corespunzatoare tabelului, adica B−1.Deci, ın ultimul tabel simplex, vom avea inversa bazei optime si deci vom aveazj = CT

BB−1ej care reprezinta componenta j a vectorului UTB = CT

BB−1. Cualte cuvinte, cu cantitatile zj − cj care se afla ın ultimul tabel simplex ındreptul coloanelor corespunzatoare matricii unitate I , putem determina usorcomponentele solutiei optime pentru problema duala.

2.5.1 EXERCITII.

Sa se rezolve urmatoarele probleme de programare liniara:

1.max[Z = 3x1 + 7x2 + 5x3]

3x1 + 4x2 + 4x3 ≤ 1002x1 + 5x2 + 4x3 ≤ 90x1, x2, x3 ≥ 0.

51

2.min[Z = x2 − 3x3 + 2x5]

x1 + 3x2 − x3 + 2x5 = 7−2x2 + 4x3 + x4 = 12

−4x2 + 3x3 + 8x5 + x6 = 10x1, x2, x3, x4, x5, x6 ≥ 0.

3.max[Z = x1 + 2x2 + 2x3 + x4]

x1 − x3 + 12x4 = 1

x2 + x3 − x4 = 1x1, x2, x3, x4 ≥ 0.

4.min[Z = 6x1 + x2 − 2x3]

5x1 − x2 + x3 ≥ 62x1 + x2 + 3x3 ≤ 7−3x1 + x2 + 2x3 ≥ 2x1, x2, x3 ≥ 0.

5.max[Z = x1 + 2x2 + x3]

3x1 + 2x2 + x3 = 15x1 ≤ 10x2 ≤ 5x3 ≤ 3

x1, x2, x3 ≥ 0.

6.min[Z = x1 + 2x2]

5x1 + 2x2 ≥ 10−2x1 + 3x2 ≤ 63x1 + 4x2 ≤ 12

3x1 ≤ 2x1, x2 ≥ 0.

7.min[Z = x1 − x2 + x3 + x4 + x5 − x6]

52

x1 + x4 − x6 = 93x1 + x2 − 4x3 + 2x6 = 2x1 + 2x3 + x5 + 2x6 = 4

x1, x2, x3, x4, x5, x6 ≥ 0.

8.max[Z = x1 + 2x2 + 3x3 − x4]

x1 + 2x2 + x3 + x4 = 102x1 + x2 + 5x3 = 20x1 + 2x2 + 3x3 = 15x1, x2, x3 ≥ 0.

9.min[Z = 12x1 + 15x2 + 13x3]

x1 + x2 + 2x3 ≥ 50x2 + x3 ≥ 100

x1, x2, x3 ≥ 0.

53

3 ELEMENTE DE ANALIZA MATEMATICA.

3.1 SPATIUL METRIC Rn.

Fie spatiul vectorial Rn. Pe langa structura de spatiu vectorial introdusaın primul capitol, pe Rn se poate introduce si o alta structura, de spatiumetric, necesara pentru definirea conceptelor de limita si continuitate.Pentru definirea acestei structuri este necesara notiunea de distanta.

Distanta pe Rn este ın legatura directa cu functia:

||.|| : Rn → R, x 7→√√√√

n∑i=1

x2i ,

numita norma euclidiana. Spatiul vectorial Rn devine un spatiu metricdefinind distanta

d : Rn ×Rn → R, d(x, y) = ||x− y||, ∀ x, y ∈ Rn.

Propozitia 4. Functia distanta definita mai sus are urmatoarele pro-prietati:

1.∀ x, y ∈ Rn, d(x, y) ≥ 0 si d(x, y) = 0 daca si numai daca x = y.2.∀ x, y ∈ Rn, d(x, y) = d(y, x).3.∀ x, y, z ∈ Rn, d(x, y) + d(y, z) ≥ d(x, z).

Observatie.

– Perechea (Rn, d) se mai numeste si spatiu metric euclidian, iar ele-mentele lui se mai numesc puncte.

– Daca n = 1, pe multimea R distanta euclidiana coincide cu functiamodul: d(x, y) = |x− y|, ∀x, y ∈ R.

– Pentru n = 2, pe multimea R2 distanta euclidiana este definita prin:d(x, y) = ||x − y|| =

√(x1 − y1)2 + (x2 − y2)2, ∀x = (x1, x2), y =

(y1, y2) ∈ R2.

Definitie. Fie punctul a ∈ Rn. Pentru orice numar real r pozitiv, senumeste bila deschisa de centru a si raza r, multimea notata Br(a)definita prin

Br(a) = x ∈ Rn, ||x− a|| < r.Se numeste bila ınchisa de centru a si raza r, multimea:

Br[a] = x ∈ Rn, ||x− a|| ≤ r.Observatie. In spatiul metric euclidian R, avem Br(a) = (a− r, a + r),adica un interval deschis simetric centrat ın a, iar Br[a] va fi intervalulınchis de forma [a− r, a + r].Observatie. In spatiul metric euclidian R2, o bila deschisa de centrua = (a1, a2) si raza r este

Br(a) = x ∈ Rn, ||x− a|| < rsi reprezinta multimea punctelor din interiorul unui cerc cu centrul ın asi raza r, numita si disc deschis. Bila ınchisa este multimea punctelorinterioare cercului la care se adauga si punctele de pe circumferintaacestuia.Definitie. Se numeste vecinatate a unui punct a ∈ Rn orice submultimeV a lui Rn pentru care exista r > 0 astfel ıncat Br(a) ⊂ V .Definitie. O submultime D a lui Rn se numeste deschisa daca estevecinatate a oricarui punct al sau.Observatie. In spatiul metric euclidian R, intervalele de forma (a, b),(a,∞), (−∞, a) sunt multimi deschise. In spatiul metric euclidian R2,discurile deschise sunt multimi deschise.Definitie. Fie A ⊂ Rn. Se numeste punct interior al lui A orice punctx ∈ A cu proprietatea ca exista r > 0 astfel ıncat Br(x) ⊂ A. Multimeapunctelor interioare se numeste interiorul lui A si se noteaza cu

A.

Observatie. Orice multime deschisa este formata numai din puncteinterioare.Definitie. Fie A ⊂ Rn. Se numeste punct aderent al lui A orice punctx ∈ Rn cu proprietatea ca oricare ar fi r > 0, Br(x) ∩ A 6= ∅. Multimeapunctelor aderente se numeste ınchiderea lui A.Observatie. Orice punct interior este un punct aderent.Definitie. Fie A ⊂ Rn. Un punct aderent al lui A cu proprietatea caın orice vecinatate a sa exista o infinitate de puncte din A se numestepunct de acumulare.Definitie. Fie A ⊂ Rn. Un punct izolat al lui A este un punct x ∈ Rn

pentru care exista r > 0 astfel ıncat Br(x) ∩ A = x.

56

3.2 SIRURI DE PUNCTE DIN SPATIUL METRIC Rn.

Definitie. Se numeste sir de puncte ın Rn o functie de la N la Rn

care asociaza lui m ∈ N, punctul xm. Un sir se noteaza cu (xm)m∈N;xm se numeste termen general al sirului.Definitie. Un punct x0 ∈ Rn se numeste limita sirului (xm)m∈N dacapentru orice vecinatate V a lui x0, exista un rang m0 astfel ıncat pentruorice rang m > m0 sa avem xm ∈ V . Se noteaza ın acest caz

x0 = limm→∞

xm.

Un sir care are limita se numeste sir convergent. In caz contrar, senumeste sir divergent.

Teorema 9. Fie sirul (xm)m∈N din Rn si x0 ∈ Rn. Atunci x0 = limm→∞

xm

daca si numai daca pentru orice ε > 0 exista m(ε) ∈ N astfel ıncat∀m > m(ε), ||xm − x0|| < ε.

3.3 FUNCTII REALE DE n VARIABILE REALE.

Definitie. O functie f definita pe A ⊂ Rn cu valori ın R care asociazaunui punct x = (x1, . . . , xn) numarul real f(x1, . . . , xn) se numestefunctie reala de n variabile reale.Observatie. Sunt nenumarate exemple de probleme economice ıncare intervine functia reala de n variabile reale :

1.O sectie a unei societati comerciale fabrica patru produse realizandbeneficiile unitare bi, cu i = 1, . . . , 4. Se pune problema sa se ex-prime beneficiul total daca din fiecare produs sunt fabricate can-titatile xi, cu i = 1, . . . , 4. Notam cu f functia care reprezinta be-neficiul total. Functia f depinde de cantitatile fabricate si se exprimaprin f(x1, . . . , x4) =

∑4i=1 bixi. Deci f : A ⊂ R4 → R este o funtia

reala de 4 variabile reale.2.Se noteaza cu V venitul national, cu x1 orele de munca produc-

tiva cheltuite si x2 fondurile fixe angajate ın produtie. Atunci funtiaV : A ⊂ R2 → R, definita prin V (x1, x2) = k(xα

1xβ2 ) unde k, α, β

sunt constante, este o functie reala de doua variabile reale ce esti-meaza legatura dintre factorii si rezultatul productiei la nivelul eco-nomiei nationale. Functia V se numeste functia de productie Cobb-Douglas. Funtia de productie se poate prezenta si mai general subforma V (x1, . . . , xn) = k

∏ni=1 xαi

i .

57

3.3.1 LIMITA FUNCTIILOR REALE DE n VARIABILE REALE.

Fie functia reala de n variabile reale f : A ⊂ Rn → R si a ∈ Rn unpunct de acumulare pentru multimea A.Definitie. Numarul ` ∈ R se numeste limita functiei f ın punctul a ∈Rn si se noteaza

` = limx→a

f(x)

daca pentru orice vecinatate U a lui `, exista o vecinatate V a lui aastfel ıncat pentru orice x ∈ (V \ a) ∩ A sa avem f(x) ∈ U .

Teorema 10 (Teorema de caracterizare a limitei). Fie f : A ⊂ Rn →R, a ∈ Rn un punct de acumulare pentru multimea A si ` ∈ R.Urmatoarele afirmatii sunt echivalente :

1.Numarul ` este limita functiei f ın punctul a.2.Pentru orice ε > 0, exista δ > 0 astfel ıncat pentru orice x ∈ A, x 6= a,

cu proprietatea ca ||x− a|| < δ sa avem |f(x)− `| < ε.3.Pentru orice sir (xn)n∈N de puncte din A, xn 6= a si lim

n→∞xn = a, avem

limn→∞

f(xn) = `,

Solutie. ”1. ⇒ 2.” Pentru orice ε > 0, bilele Bε(`) reprezinta vecinatatiale punctului ` si ın conformitate cu afirmatia 1, exista o vecinatateV a punctului a astfel ıncat pentru orice x ∈ (V \ a) ∩ A sa avemf(x) ∈ Bε(`), adica |f(x)− `| < ε.

Deoarece V este vecinatate pentru punctul a, exista δ > 0 astfelıncat Bδ(a) ⊂ V . Atunci pentru orice x 6= a cu x ∈ Bδ(a) ⊂ V , deci cu||x− a|| < δ, avem |f(x)− `| < ε.

”2. ⇒ 3.” Fie (xn)n∈N un sir arbitrar din A cu xn 6= a oricare ar fin ∈ N si lim

n→∞xn = a. Exista ın acest caz un rang n0 astfel ıncat pen-

tru orice n > n0 sa avem ||xn − a|| < δ. Conform afirmatiei 2 avem si|f(xn)− `| < ε adica lim

n→∞f(xn) = `.

”3. ⇒ 1.” Presupunem prin absurd ca afirmatia 1 nu este adevarata.Exista atunci o vecinatate U0 a lui ` astfel ıncat pentru orice vecinatateV a lui a, sa avem x ∈ (V \ a) ∩ A; dar f(x) 6= U0.

Vecinatatile V fiind arbitrare, le putem alege bile de raza 1n

si centrua. Pentru orice n ∈ N∗, exista xn cu ||xn − a|| < 1

n, dar f(xn) 6∈ U0.

58

Conform afirmatiei 3, pentru ||xn − a|| < 1n

avem f(xn) ∈ U0. S-a ajunsastfel la o contradictie care arata ca ipoteza de lucru este falsa.

Q.E.D.

Observatie.1.Cele trei afirmatii ale Teoremei 10 fiind logic echivalente, oricare din-

tre ele poate fi considerata ca definitie a limitei. Afirmatia 3 se mainumeste si definitia limitei cu ajutorul sirurilor.

2.Daca limita ` exista, atunci conform afirmatiei 3 din Teorema 10,aceasta este unica, ca limita de sir.In consecinta, daca se poate arata ca exista doua siruri (xn)n∈N si(x′n)n∈N cu acceasi limita a pentru care sirurile de valori (f(xn))n∈N

si (f(x′n))n∈N au limte distincte sau cel putin unul dintre siruri nu esteconvergent, functia f nu are limita ın punctul a.

Exemplul 5. Sa se arate ca functia definita prin

f(x, y) =y2 + 4x

y2 − 4x, ∀ (x, y) ∈ R2, y2 6= 4x,

nu are limita ın a = (0, 0).

Solutie. Se aleg sirurile cu termeni generali

zn =

(1

n,

2√n

)

si

z′n =

(1

n,

5√n

)

care au aceeasi limita a = (0, 0). Pentru aceste siruri avem f(zn) = 53

si f(z′n) = 2624

. Deci sirurile de valori nu au aceeasi limita. Rezulta cafunctia f nu are limita ın a = (0, 0). Q.E.D.

Exemplul 6. Sa se calculeze lim(x,y)→(0,0)

(x+y) tan(x2+y2)

(x2+y2)12

.

Solutie. Se aplica definitia limitei cu siruri. Pentru orice sir (zn)n∈N,zn = (xn, yn) ∈ R2 cu limita a = (0, 0), avem:

limn→∞

(xn + yn) tan(x2n + y2

n)

(x2n + y2

n)12

= limn→∞

tan(x2n + y2

n)

(x2n + y2

n)(x2

n + y2n)

12 (x2

n + y2n) = 0

Deci limn→∞

f(zn) = 0 si lim(x,y)→(0,0)

(x+y) tan(x2+y2)

(x2+y2)12

= 0. Q.E.D.

59

3.3.2 CONTINUITATEA FUNCTIILOR REALE DE n VARIABILEREALE.

Definitie. Fie functia f : A ⊂ Rn → R si a ∈ A. Functia f se numestecontinua ın punctul a daca pentru orice vecinatate U a punctului f(a)exista o vecinatate V a lui a astfel ıncat pentru orice x ∈ V ∩A sa avemf(x) ∈ U.Observatie. Definitia anterioara se numeste definitia cu vecinatati acontinuitatii functiei ıntr-un punct.Definitie. Functia f : A ⊂ Rn → R se numeste continua pe multimeaA daca este continua ın orice punct x ∈ A.Observatie. Un punct x ∈ A ın care functia f nu este continua senumeste punct de discontinuitate.

Teorema 11 (Teorema de caracterizare a continuitatii). Fie functiaf : A ⊂ Rn → R si a ∈ A. Urmatoarele afirmatii sunt echivalente:

1. Functia f este continua ın a ∈ A.2. Pentru orice ε > 0, exista δ > 0 astfel ıncat pentru orice a ∈ A cu

proprietatea ||x− a|| < δ sa avem |f(x)− f(a)| < ε.3. Oricare ar fi sirul de puncte (xn)n∈N din A, xn 6= a si convergent cu

limita a, sirul de valori (f(xn))n∈N este convergent si are limita f(a).

Solutie. Teorema se demonstreaza ın mod analog cu Teorema 10, cuobservatia ca ın acest caz ın locul punctului ` se considera valoareafunctiei ın punctul a ∈ A. Q.E.D.

Observatie. Oricare dintre afirmatiile Teoremei 11 poate fi luata dreptdefinitie a continuitatii functiei ıntr-un punct.

Daca ın plus punctul a ∈ A este un punct de acumulare pentrumultimea A, definitiile continuitatii si a limitei ıntr-un punct, coincid sideci f este continua ın a ∈ A daca lim

x→af(x) = f(a).

Observatie. O functie este continua ın orice punct izolat al domeniuluide definitie.

3.4 DERIVATE PARTIALE.

Fie f : A ⊂ Rn → R, A multime deschisa a = (a1, . . . , an) ∈ A.Definitie. Functia f se numeste derivabila partial ın raport cu variabilaxi ın punctul a daca exista si este finita limita

60

(3.1)

limxi→ai

f(a1, . . . , ai−1, xi, ai+1, . . . , an)− f(a1, . . . , ai−1, ai, ai+1, . . . , an)

xi − ai

Limita (3.1) se noteaza ∂f∂xi

(a1, . . . , an) si se numeste derivata partialade ordinul 1 a functiei f ın raport cu variabila xi. Deoarece f depindede n variabile, rezulta ca poate avea n derivate partiale de ordinul 1.De exemplu, fie functia reala de doua variabile reale f : A ⊂ R2 → R,(x, y) 7→ f(x, y) si a = (a1, a2) ∈ A punct interior.

∂f

∂x(a1, a2) = lim

x→a1

f(x, a2)− f(a1, a2)

x− a1

∂f

∂y(a1, a2) = lim

y→a2

f(a1, y)− f(a1, a2)

y − a2

Derivata ∂f∂x

se obtine considerand pe f numai ın functie de variabila x,iar varibila y se considera constanta. Analog, ∂f

∂yse obtine considerand

pe f numai ın functie de variabila y, iar variabila x se considera con-stanta. In concluzie, rezulta ca derivata partiala ın raport cu o variabilaxi este derivata lui f privita ca functie de o singura variabila xi, celelalteconsiderandu-se constante.

Practic, pentru obtinerea unei derivate partiale ın raport cu o varia-bila, se deriveaza functia f ın raport cu acea variabila conform regulilorde derivare de la functia reala de o variabila reala, celelalte variabileconsiderandu-se constante.

Exemplul 7. Fie functia definita prin legea:

f(x, y, z) = x2y+y sin(x+z)+xz+ln(y2+z2), (x, y, z) ∈ R3, y2+z2 6= 0

Derivatele partiale ale functiei f sunt:∂f∂x

(x, y, z) = 2xy + y cos(x + z) + z

∂f∂y

(x, y, z) = x2 + sin(x + z) + 2yy2+z2

∂f∂z

(x, y, z) = y cos(x + z) + x + 2zy2+z2

Definitie. Fie f : A ⊂ Rn → R, A multime deschisa. Functia f senumeste derivabila partial pe multimea A, daca ∀x ∈ A si ∀i = 1, . . . , n,exista ∂f

∂xi(x). In acest caz se pot defini n functii ∂f

∂xi: A ⊂ Rn → R

numite derivatele partiale ale functiei f pe multimea A.

61

Definitie. Fie f : A ⊂ Rn → R, A multime deschisa, o functie de-rivabila partial pe multimea A si ∂f

∂xi: A ⊂ Rn → R functiile derivate

partiale, ∀i = 1, . . . , n. Daca functiile ∂f∂xi

, ∀i = 1, . . . , n admit la randullor derivate partiale ın orice punct a ∈ A, functia f se numeste de douaori derivabila partial pe multimea A.

Derivatele

∂

∂xj

(∂f

∂xi

) =

∂2f∂xj∂xi

; i 6= j

∂2f∂x2

i; i = j

se numesc derivatele partiale de ordinul doi ale functiei f .Observatie.

1. Derivatele partiale ∂2f∂xj∂xi

cui 6= j, se numesc derivate partiale mixtede ordinul doi.

2. In mod asemanator , daca exista, se definesc derivatele partiale deordin mai mare ca doi.

Exemplul 8. Fie functia definita prin legea:

f(x, y) = x3y3 − x2y2

Derivatele partiale de ordinul ıntai, doi si derivatele partiale mixte deordinul doi sunt:

∂f∂x

(x, y) = 3x2y3 − 2xy2; ∂f∂y

(x, y) = 3x3y2 − 2x2y

∂2f∂x2 (x, y) = 6xy3 − 2y2; ∂2f

∂y2 (x, y) = 6x3y − 2x2

∂2f∂y∂x

(x, y) = 9x2y2 − 4xy; ∂2f∂x∂y

(x, y) = 9x2y2 − 4xy

Observatie. Se observa ın exemplul de mai sus ca derivatele mixtesunt egale. In general, acest lucru nu se ıntampla.

Urmatoarea teorema stabileste conditii suficiente de egalitate aderivatelor partiale mixte cu posibilitatea de extindere la derivatelepartiale mixte de ordin mai mare.

Teorema 12. Daca functia f : A ⊂ Rn → R, A multime deschisa,admite derivate partiale de ordinul doi pe multimea A si aceste derivatesunt functii continue, atunci

∂2f

∂xi∂xj

(a) =∂2f

∂xj∂xi

(a),

oricare ar fi a ∈ A, i 6= j, i, j = 1, . . . , n.

62

Interpretari economice ale derivatelor partiale. Consideram functia

f : A ⊂ Rn → R

care admite derivate partiale de ordinul ıntai continue.

i) Se numeste viteza de variatie a lui f ın raport cu variabila xi expre-sia:

∂f

∂xi

(x1, . . . , xn).

ii) Se numeste ritm de variatie a lui f ın raport cu variabila xi expresia:

Rf ;xi=

1

f(x1, . . . , xn)

∂f

∂xi

(x1, . . . , xn).

iii) Se numeste elasticitatea lui f ın raport cu variabila xi expresia:

Ef ;xi=

xi

f(x1, . . . , xn)

∂f

∂xi

(x1, . . . , xn).

Viteza de variatie, ritmul de variatie si elasticitatea sunt indicatorieconomici.

3.5 DIFERENTIABILITATEA FUNCTIEI REALE DE n

VARIABILE REALE.

Fie A ⊂ Rn o multime deschisa , a ∈ A si f : A → R o functie.Definitie. Functia f este diferentiabila ın a daca exista aplicatia liniaraL : Rn → R cu proprietatea :

limx→a

f(x)− f(a)− L(x− a)

||x− a|| = 0.

Functia se numeste diferentiabila pe multimea A daca este diferentiabilaın orice punct din A.Observatie. Aplicatia liniara L ce satisface Definitia 3.5., se numestediferentiala functiei f asociata punctului a si se noteaza df(a).Observatie. Se demontreaza ca:

1. Daca f este diferentiabila ın a ∈ A, atunci diferentiala df(a) esteunica.

2. Functia f este continua in a ∈ A.

63

3. Exista derivatele partiale de ordinul ıntai ale functiei f ın punctula ∈ A.

Observatie. Se demonstreaza ca orice aplicatie liniara L : Rn →R este diferentiabilna si diferentiala ei coincide cu aplicatia, adicadL(a) = L, ∀a ∈ Rn. In particular, functiile proiectie pri : Rn → R,pri(x1, . . . , xn) = xi, i = 1, . . . , n, sunt liniare, deci d(pri)(a) = pri. Senoteaza d(pri)(a) = xi.

Teorema 13 (Expresia diferentialei). Fie f : A → R, A ⊂ Rn, o functiediferentiabila pe multimea deschisa A. Pentru orice punct a ∈ A, areloc egalitatea de aplicatii liniare:

df(a) =∂f

∂x1

(a)dx1 +∂f

∂x2

(a)dx2 + · · ·+ ∂f

∂xn

(a)dxn

Exemplul 9. Fie f(x, y) = ln(1 + xy), ∀x, y ∈ R2, 1 + xy > 0

∂f

∂x(x, y) =

y

1 + xysi

∂f

∂y(x, y) =

x

1 + xy.

df(x, y) =y

1 + xydx +

x

1 + xydy.

Daca (x,y)=(1,2), atunci

df(1, 2) =2

3dx +

1

3dy.

Definitie. Fie f : A → R unde A ⊂ Rn este o multime deschisa sia ∈ A un punct. f admite diferentiala de ordinul 2 ın a daca toatederivatele partiale de ordin ıntai exista ıntr-o vecinatate a punctului a sisunt diferentiabile ın a.Observatie. Analog cazului diferentialei de ordin ıntai, diferentiala deordinul doi se poate exprima prin:

(3.2) d2f(a) =n∑

i,j=1

∂2f

∂xi∂xj

(a)dxidxj.

Daca f : A ⊂ R2 → R, formula (3.2) devine:

(3.3) d2f(x, y) =∂2f

∂x2(x, y)dx2 + 2

∂2f

∂x∂y(x, y)dxdy +

∂2f

∂y2(x, y)dy2

64

Daca f : A ⊂ R3 → R, formula (3.2) devine:

(3.4)

d2f(x, y, z) = ∂2f∂x2 (x, y, z)dx2 + 2 ∂2f

∂x∂y(x, y, z)dxdy+

+2 ∂2f∂x∂z

(x, y, z)dxdz + 2 ∂2f∂y∂z

(x, y, z)dydz+

+∂2f∂y2 (x, y, z)dy2 + ∂2f

∂z2 (x, y, z)dz2.

Diferentialei de ordin doi (3.2), i se asociaza o matrice H, numitamatrice Hessiana, definita prin:

H =

(∂2f

∂xi∂xj

(a)

)

i,j=1,n

.

Hessiana asociata diferentialei (3.3) este:

H =

∂2f∂x2 (x, y) ∂2f

∂x∂y(x, y)

∂2f∂y∂x

(x, y) ∂2f∂y2 (x, y)

Hessiana asociata diferentialei (3.4) este:

H =

∂2f∂x2 (x, y, z) ∂2f

∂x∂y(x, y, z) ∂2f

∂x∂z(x, y, z)

∂2f∂y∂x

(x, y, z) ∂2f∂y2 (x, y, z) ∂2f

∂y∂z(x, y, z)

∂2f∂z∂x

(x, y, z) ∂2f∂z∂y

(x, y, z) ∂2f∂z2 (x, y, z)

Exemplul 10. Consideram functia f(x, y) = exy, ∀(x, y) ∈ R2. Atunciderivatele partiale de ordinul ıntai si doi sunt:

∂f∂x

= yexy; ∂f∂y

= xexy

∂2f∂x2 = y2exy; ∂2f

∂y2 = x2exy

∂2f∂x∂y

= xyexy

d2f(x, y) = y2exydx2 + 2xyexydxdy + x2exydy2.

In punctul particular (x, y) = (1, 2),

65

d2f(1, 2) = 4e2dx2 + 4e2dxdy + e2dy2

iar matricea Hessiana este:

H =

∂2f∂x2 (1, 2) ∂2f

∂x∂y(1, 2)

∂2f∂y∂x

(1, 2) ∂2f∂y2 (1, 2)

=

(4e2 4e2

4e2 e2

)

3.5.1 EXERCITII.

Exercitiu 26. Pentru urmatoarele functii, sa se calculeze derivatelepartiale de ordinul ıntai si doi. In plus sa se scrie si expresiile diferentialelorde ordinul ıntai si doi:

1. f(x, y) = x−yx+y

, ∀(x, y) ∈ R2, x 6= −y

2. f(x, y) = x√x2+y2

, ∀(x, y) ∈ R2, x, y 6= 0

3. f(x, y) = ln(x +√

x2 + y2), ∀(x, y) ∈ R2, x > 04. f(x, y, z) = x3y2z, ∀(x, y, z) ∈ R3

5. f(x, y, z) = yx

+ zy

+ xz, ∀(x, y, z) ∈ R3, x 6= 0, y 6= 0, z 6= 0

3.6 EXTREME LOCALE PENTRU FUNCTIA REALA DEn VARIABILE REALE.

Fie A ⊂ Rn o multime deschisa , a ∈ A si f : A → R o functie.Definitie. Punctul a se numeste punct de maxim local al functiei fdaca exista o bila Br(a) ⊂ A astfel ıncat

f(x)− f(a) ≤ 0, ∀x ∈ Br(a).

Punctul a se numeste punct de minim local daca

f(x)− f(a) ≥ 0, ∀x ∈ Br(a).

Observatie. Un punct de maxim sau minim local se numeste punctde extrem local.

Conform Definitiei 3.6, punctul a este un extrem local pentru functiaf daca exista o bila deschisa centrata ın a, pe care diferenta: f(x) −f(a) pastreaza un semn constant.Definitie. Daca functia f este diferentiabila ın punctul a si diferentialadf(a) = 0, punctul a se numeste stationar sau critic pentru functia f.

66

Teorema 14 (Fermat). Daca functia f este diferentiabila ın punctul a siacesta este un punct de extrem local, atunci a este si punct stationar.

Observatie. Oricare ar fi un punct x = (x1, . . . , xn) ∈ A, df(x) = 0 esteechivalent cu sistemul:

(3.5)

∂f∂x1

(x1, . . . , xn) = 0

∂f∂x2

(x1, . . . , xn) = 0

.... ....

∂f∂xn

(x1, . . . , xn) = 0

In consecinta, conform Teoremei lui Fermat, extremele locale se gasescprintre solutiile sistemului (3.5).Observatie. Teorema lui Fermat este conditie necesara de extrem.

Teorema 15 (Conditie suficienta de extrem). Daca diferentiala d2f(a) >0 (respectiv d2f(a) < 0), atunci punctul a este un punct de minim (res-pectiv punct de maxim) local al functiei f .

Observatie. Fie

H =

(∂2f

∂xi∂xj

(a)

)

i,j=1,n

.

Notam cu aij = ∂2f∂xi∂xj

(a), ∀i, j = 1, . . . , n. Din matricea H consideramminorii principali:

∆1 = a11, ∆2 =

∣∣∣∣a11 a12

a21 a22

∣∣∣∣ , ∆3 =

∣∣∣∣∣∣

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣, ..., ∆n =

∣∣∣∣∣∣∣∣

a11 a12 ... a1n

a21 a22 ... a2n

... ... ...an1 an2 ... ann

∣∣∣∣∣∣∣∣.

Se demonstreaza:

1. Daca ∆1 > 0, ∆2 > 0, ..., ∆n > 0, atunci d2f(a) > 0 si a este punctde minim.

2. Daca ∆1 < 0, ∆2 > 0, ∆3 < 0..., (−1)n∆n > 0, atunci d2f(a) < 0 si aeste punct de maxim.

67

Exemplul 11. Sa se studieze extremele functiei definita prin:

f(x, y) = x3 + y3 + 3xy + 2

Solutie.Sistemul

∂f∂x

(x, y) = 0

∂f∂y

(x, y) = 0⇔

3x2 + 3y = 03y2 + 3x = 0

⇔ x = 0, y = 0 sau x = −1, y = −1.

Derivatele partiale de ordinul doi sunt:

∂2f

∂x2(x, y) = 6x,

∂2f

∂y2(x, y) = 6y

∂2f

∂x∂y(x, y) =

∂2f

∂y∂x(x, y) = 3.

In punctul particular (0,0), derivatele de ordinul doi sunt:

∂2f

∂x2(0, 0) = 0,

∂2f

∂y2(0, 0) = 0

∂2f

∂x∂y(0, 0) = 3

Matricea Hassiana:

H =

(0 33 0

),

iar ∆1 = 0, ∆2 = −9. Se observa ca punctul (0, 0) nu este punct deextrem.

In punctul (−1,−1),

∂2f

∂x2(−1,−1) = −6,

∂2f

∂y2(−1,−1) = −6

∂2f

∂x∂y(−1,−1) = 3

iar Hessiana este:

H =

(−6 33 −6

).

Deoarece ∆1 = −6 < 0, ∆2 = 27 > 0, rezulta d2f(−1,−1) ≤ 0, adica(−1,−1) este punct de maxim. Q.E.D.

68

Exemplul 12. Sa se studieze extremele functiei definita prin:

f(x, y, z) = −x2 − y2 − z2 + 2x− 4y + 6z + 7, ∀(x, y, z) ∈ R3.

Solutie.Consideram sistemul:

∂f∂x

(x, y, z) = 0

∂f∂y

(x, y, z) = 0

∂f∂z

(x, y, z) = 0

⇔−2x + 2 = 0−2y − 4 = 0−2z + 6 = 0

Solutia acestui sistem este: x = 1, y = −2, z = 3.Calculam derivatele partiale de ordinul doi:

∂2f

∂x2(x, y, z) = −2,

∂2f

∂y2(x, y, z) = −2,

∂2f

∂z2(x, y, z) = −2

∂2f

∂x∂y(x, y, z) =

∂2f

∂x∂z(x, y, z) =

∂2f

∂y∂z(x, y, z) = 0.

Matricea Hessiana este:

H =

−2 0 00 −2 00 0 −2

,

iar∆1 = −2 < 0, ∆2 = 4 > 0, ∆3 = −8 < 0.

Asadar d2f(x, y, z) ≤ 0 ⇒ (1,−2, 3) este punct de maxim. Q.E.D.

3.6.1 EXERCITII.

Sa se determine extremele locale ale functiilor definite prin:

1. f(x, y) = x3 + y3 + 3xy + 2, ∀(x, y) ∈ R2

2. f(x, y) = (x + y)e−(x2+y2), ∀(x, y) ∈ R2

3. f(x, y, z) = x2 + y2 + z2 − xy + x− 2z, ∀(x, y, z) ∈ R3

69

3.7 AJUSTARI. METODA CELOR MAI MICI PATRATE.

Un proces economic, ıntr-un interval de timp, poate fi modelat mate-matic printr-o functie f a carei expresie analitica nu este cunoscuta.Se cunosc doar anumite valori yi ale functiei f , ıntr-un numar finit demomente de timp ti, i = 1, . . . , n.

Pentru a afla evolutia ın viitor a procesului economic, se impunedeterminarea unei functii g care sa aproximeze suficient de bine com-portarea procesului si sa satisfaca conditia g(ti) = yi sau eroarea cucare g(ti) aproximeaza valoarea yi sa fie foarte mica.

Teoria matematica a ajustarii urmareste determinarea unor astfelde functii care de cele mai multe ori sunt functii polinomiale.

O functie de ajustare g se mai numeste si trend-ul (tendinta) evolutieiprocesului studiat, iar metoda de determinare a acesteia este metodacelor mai mici patrate.

Fie functia g(t) = antn + an−1t

n−1 + ... + a1t + a0.Vom determina coeficientii necunoscuti ai punand conditia ca eroa-

rea totala de aproximare

εt =n∑

i=1

(g(ti)− yi)

sa fie minima. Acesta abordare este simpla dar prezinta inconvenientulca nu admite solutie unica.

O alta posibilitate ar fi de a cauta minimuln∑

i=1

|(g(ti)− yi)|. Insa si ın

acest caz apare apare dificultatea neexistentei derivatei functiei modulın originea reperului.

Pentru a evita dificultatile amintite mai sus, se minimizeaza sumapatratelor erorilor.

Consideram functia:

F (a0, a1, ..., an) =n∑

i=1

(antni + an−1t

n−1i + ... + a1ti + a0 − yi)

2

Conditiile de minim impuse acestei functii sunt:

∂F

∂a0

= 0,∂F

∂a1

= 0, ....,∂F

∂an

= 0

Inlocuind derivatele partiale, se ajunge la un sistem liniar de (n + 1)ecuatii cu (n + 1) necunoscute, numit sistemul de ecuatii normale ale

70

lui Gauss care are determinantul diferit de zero, deci admite solutieunica.

Cele mai frecvent utilizate curbe de ajustare sunt:

1. dreapta: g(t) = a1t + a0

2. parabola: g(t) = a2t2 + a1t + a0

3. hiperbola: g(t) = a1

t

4. exponentiala: g(t) = kbt.

Pentru a se alege cat mai corect functia de ajustare, se reprezintagrafic punctele ti, yi si se apreciaza tipul curbei, dupa care acestepuncte se ımprastie.

1. Ajustare liniara. Fie g(t) = a1t + a0, F (a1, a0) =n∑

i=1

(a1ti + a0 − yi)2.

Sistemul lui Gauss este:

a1

n∑i=1

t2i + a0

n∑i=1

ti =n∑

i=1

tiyi

a1

n∑i=1

ti + na0 =n∑

i=1

yi

2. Ajustare parabolica . Fie g(t) = a2t2 + a1t + a0, F (a0, a1, a2) =

n∑i=1

(a2t2i + a1ti + a0 − yi)

2.

Sistemul lui Gauss este:

a2

n∑i=1

t4i + a1

n∑i=1

t3i + a0

n∑i=1

t2i =n∑

i=1

t2i yi

a2

n∑i=1

t3i + a1

n∑i=1

t2i + a0

n∑i=1

ti =n∑

i=1

tiyi

a2

n∑i=1

t2i + a1

n∑i=1

ti + a0n =n∑

i=1

yi

3. Ajustare hiperbolica. Se alege g(t) = a1

t+ a0. Notand 1

t= z se

obtine h(z) = a1z + a0 care este o functie de ajustare liniara.4. Ajustare dupa o functie exponentiala. Fie g(t) = kbt, k > 0, b > 0, b 6=

1. Prin logaritmare se obtine: ln(g(t)) = ln k + t ln b, o functie deajustare liniara.

Exemplul 13. Volumul vanzarilor, ın primele cinci luni ale anului, laun produs, a ınregistrat valorile exprimate ın unitati monetare date deurmatorul tabel:

71

luna ti 1 2 3 4 5volumul vanzarilor yi 1 5 10 14 16

In ipoteza ca evolutia vanzarilor are acelasi caracter, sa se estimezevaloarea acestora ın urmatoarele doua luni, ın vederea determinariistocurilor lunare.

Solutie.Se reprezinta grafic puntele (ti, yi) si se observa ca tendinta este

liniara. Se alege g(t) = a1t + a0 si se determina coeficientii a0, a1 re-zolvand sistemul lui Gauss corespunzator. Vom folosi tabelul:

ti yi tiyi t2i1 1 1 12 5 10 43 10 30 94 14 56 165 16 80 25∑

ti = 15∑

yi = 46∑

tiyi = 177∑

t2i = 55

Sistemul lui Gauss este :

a1

5∑i=1

t2i + a0

5∑i=1

ti =n∑

i=1

tiyi

a1

5∑i=1

ti + 5a0 =5∑

i=1

yi

⇔

55a1 + 15a0 = 17715a1 + 5a0 = 46

Solutia sistemului este: a1 = 3, 9; a0 = 1, 4 iar g(t) = 3, 9t + 1, 4 pentrucare g(6) = 24, 8 si g(7) = 28, 7. Q.E.D.

Exercitiu 27. Consumul de energie al unei ıntreprinderi exprimat ınunitati conventionale a evoluat ın timp de 6 ani astfel:

ani ti 1 2 3 4 5 6consum yi 32 23 17 14 12 11

Sa se stabileasca functia de ajustare si sa se faca prognoza pentruurmatorii doi ani.

Exercitiu 28. Productia unui bun material, exprimata ın unitati conventionalea evoluat timp de 9 ani astfel:

72

ani ti 1 2 3 4 5 6 7 8 9productie yi 7 8 10 13 19 29 47 60 82

Sa se stabileasca functia de ajustare si sa se faca prognoza productieipentru urmatorii trei ani.

73

4 ELEMENTE DE TEORIAPROBABILITATILOR SI STATISTICAMATEMATICA.

4.1 CAMP DE EVENIMENTE.

4.1.1 EVENIMENTE. OPERATII CU EVENIMENTE.

Teoria probabilitatilor este ramura matematicii care studiaza fenome-nele aleatoare de masa si legile carora li se supun aceste fenomene.

Prin fenomen aleator se ıntelege un fenomen care reprodus de maimulte ori ın aceleasi conditii se desfasoara de fiecare data mai multsau mai putin diferit.

Exemple de fenomene aleatoare din sfera economica: aparitia derebuturi la un strung, defectarea masinilor unelte ıntr-o zi de lucru,numarul apelurilor telefonice ıntr-un schimb la o centrala telefonica,etc.

Fie Ω o multime nevida. O proprietate luata ın consideratie fata deelementele multimii Ω se numeste criteriu de cercetate. Realizareapractica a complexului de conditii corespunzator criteriului de cerce-tare se numeste experienta. Orice reluare a experientei se numesteproba. O situatie ce se poate realiza prin una sau mai multe probe, senumeste eveniment.

Exemplul 14. Se considera urmatoarea experienta: dintr-o urna ıncare se ga sesc bile identice ca marime forma si greutate, numerotatede la 1 la 6 se extrage la ıntamplare o bila. Se pot considera evenimen-tele:

1) aparitia bilei cu cifra k, ∀k = 1, . . . , 6;2) aparitia bilei cu cifra k sau j, k 6= j, k, j = 1, . . . , 6;3) aparitia unei bile;4) aparitia unei bile cu numar par;5) aparitia unei bile cu numar mai mic sau egal cu 4.

Din exemplul de mai sus rezulta urmatoarele observatii:

– un eveniment este precizat printr-o propozitie logica si se realizeazasau nu dupa cum afirmatia din propozitia logica este adevarata saufalsa;

– considerand multimea Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6 numita si multimea tutu-ror rezultatelor posibile ale experientei, se observa ca fiecarui eveni-ment ıi corespunde o submultime a lui Ω care se va numi multimeacazurilor favorabile ale lui Ω. Deci, evenimentele asociate experienteise indentifica cu submultimi ale lui Ω, adica sunt elemente a multimiipartilor lui Ω, notata P(Ω).

– elementele multimii Ω corespund evenimentelor ce se pot realiza lao singura proba si numai una. Ele se mai numesc si evenimenteelementare care se identifica cu submultimile formate cu un singurelement. Un eveniment care nu este elementar se realizeaza ıntr-oproba daca ın acea proba s-a realizat unul din evenimentele elemen-tare ce intra ın componenta sa.

– unei experiente ıi corespund doua evenimente speciale : evenimen-tul sigur caruia ıi corespunde multimea Ω si se va nota cu Ω si eveni-mentul imposibil, caruia ıi corespunde multime a vida si se noteazacu ∅. Evenimentul sigur se realizeaza ıntotdeauna ; evenimentul im-posibil nu se realizeaza la nici o efectuare a experientei.

– datorita identificarii evenimentelor cu submultimile cazurilor favora-bile lor, aceastea se vor nota cu aceeasi litera cu care se noteazamultimea corespunzatoare, iar relatiile ce se pot stabili ıntre eveni-mente se vor exprima utilizand teoria multimilor.

Vom ıntelege prin sistem de evenimente asociat unei experiente,multimea evenimentelor ce pot apare ın acea experienta.

Fie M sistemul de evenimente asociat unei experiente si A,B ∈ M .In cazul ın care multimea Ω este finita, M = P(Ω), ın general ınsaputem avea M ( P(Ω).Definitie. Evenimentul A implica evenimentul B daca realizarea lui Aatrage dupa sine realizarea lui B. Se noteaza implicatia A ⊂ B.Observatie. Din definitie rezulta ca orice caz care realizeaza pe A,realizeaza si pe B, adica multimea cazurilor favorabile lui A este in-clusa ın multimea cazurilor favorabile lui B. Daca A ⊂ B si B ⊂ A,evenimentele A si B se numesc echivalente si se noteaza aceastaprin A = B. Evenimentele echivalente nu sunt considerate distincte.

Pe multimea M se introduc urmatoarele operatii :

76

– Reuniunea evenimentelor A si B este evenimentul care se realizeazadaca cel putin unul din evenimentele A sau B se realizeaza si senoteaza A ∪B.

– Intersectia evenimentelor A si B este evenimentul care se realizeazaatunci cand evenimentele A si B se realizeaza simultan si se noteazaA ∩B.

– Diferenta evenimentelor A, B, ın aceasta ordine este evenimentulcare se realizeaza cand se realizeaza A si nu se realizeaza B ; senoteaza A \B.

– Evenimentul contrar unui eveniment A este evenimentul care se rea-lizeaza atunci cand evenimentul A nu se realizeaza ; se noteaza Asau CA.

Definitie. Doua evenimente A si B se numesc compatibile daca elese pot realiza simultan si incompatibile daca nu se pot realiza simultan.Observatie. Pentru doua evenimente compatibile A si B avem A∩B 6=∅, iar pentru doua evenimente incompatibile A si B avem A ∩B = ∅.

4.2 DEFINITIA CLASICA A PROBABILITATII.

Fie M multimea evenimentelor atasate unei experiente cu un numarfinit de rezultate posibile. Evenimentele din M se deosebesc ıntre eleprin posibilitatea de aparitie sau grad de realizare. Pentru a masuragradul de realizare a unui eveniment se defineste notiunea de pro-babilitate ın sens clasic. In definitia clasica a probabilitatii se presu-pune ca orice eveniment asociat experientei este ori elementar, ori seexprima ca o reuniune de evenimente elementare. Evenimentele ele-mentare sunt considerate egal posibile (au acelasi grad de realizare).Reamintim ca evenimentele elementare care intra ın componenta unuieveniment A se numesc cazuri favorabile, iar toate evenimentele ele-mentare se numesc cazuri posibile.Definitie. Se ıntelege prin probabilitate ın sens clasic al unui eveni-ment A si se noteaza cu P (A) raportul dintre numarul cazurilor favora-bile si numarul cazurilor posibile.

Se considera n probe ale unei experiente cu un numar finit de eve-nimente elementare echiprobabile (cu aceeasi probabilitate)Definitie. Se numeste frecventa relativa a unui eveniment A numarulfn(A) egal cu raportul dintre numarul k al probelor ın care s-a realizatevenimentul A si numarul total de probe, adica fn(A) = k

n.

77

Observatie. Intre frecventa relativa si probabilitatea unui evenimentexista urmatoarea legatura : daca se efectueaza un numar din ce ınce mai mare de probe, frecventa relativa corepsunzatoare oscileazaın jurul probabilitatii, apropiindu-se din ce ın ce mai mult de aceasta.Frecventa relativa are un caracter experimental. Legatura de mai susjustifica aproximarea probabilitatii unui eveniment prin frecventa sa re-lativa.

4.3 CAMP DE EVENIMENTE.

Definitie. Fie Ω o multime nevida. Se numeste corp de parti a lui Ω ofamilie nevida de multimi K ⊂ P(Ω) cu proprietatile :

– Pentru orice A ∈ K, avem CA ∈ K.– Pentru orice A, B ∈ K, avem A ∪B ∈ K.

Definitia ne conduce direct la urmatoarele consecinte :

1.Ω ∈ K si ∅ ∈ K.2.Pentru orice A,B ∈ K, avem A ∩B ∈ K.3.Pentru orice A,B ∈ K, avem A \B ∈ K.

Un exemplu elementar de corp de parti este P(Ω).Definitie. Ω ımpreuna cu un corp K de evenimente se numeste campde evenimente si se noteaza (Ω,K).

4.4 CAMP DE PROBABILITATE.

4.4.1 DEFINITIA AXIOMATICA A PROBABILITATII.

Definitie. Fie (Ω, K) un camp finit de evenimente. Se numeste proba-bilitate pe acest camp o funtie P : K → R care stisface axiomele :

1.P (A) ≥ 0, pentru orice A ∈ K.2.P (Ω) = 1.3.Pentru orice A,B ∈ K cu A∩B = ∅, avem P (A∪B) = P (A)+P (B).

Observatie. Axioma 3. din definitie se poate extinde prin inductie laorice reuniune finita de evenimente incompatibile doua cate doua. Searata ca probabilitatea clasica este un caz particular de probabilitateaxiomatica.

78

Definitie. Un camp finit de evenimente (Ω,K) ımpreuna cu o proba-bilitate P pe acest camp se numeste camp finit de probabilitate si senoteaza (Ω,K, P ).

Direct din definitie rezulta urmatoarele proprietati ale probabilitatii.

Propozitia 5. Fie (Ω,K, P ) un camp de probabilitate. Atunci :

1.Orice ar fi A ∈ K, P (A) = 1− P (A).2.P (∅) = 0.3.0 ≤ P (A) ≤ 1, pentru orice A ∈ K.4.P (A \B) = P (A)− P (A ∩B), pentru orice A,B ∈ K.5.Daca B ⊂ A, atunci P (A \B) = P (A)− P (B) si P (A) ≥ P (B).6.P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B) si P (A ∪ B) ≤ P (A) + P (B),

pentru orice A,B ∈ K.

4.4.2 EVENIMENTE INDEPENDENTE. PROBABILITATECONDITIONATA.

Definitie. Fie (Ω,K, P ) un camp de probabilitate. Evenimentele A si Bapatinand lui K se numesc independente daca P (A∩B) = P (A)P (B).Observatie. Daca P (A ∩ B) 6= P (A)P (B), evenimentele se numescdependente.Definitie. Fie (Ω, K, P ) un camp de probabilitate, A ∈ K si P (A) > 0.Se numeste probabilitate a unui eveniment B conditionata de eveni-mentul A, notata cu P (B/A) sau PA(B), numarul

PA(B) =P (A ∩B)

P (A).

Observatie. Se demonstreaza ca functia PA : K → R satisface axio-mele din definitie probabilitatii.Observatie. Daca P (B) > 0, se poate defini si PB(A) = P (A∩B)

P (B).

Observatie. Daca P (A) > 0 si P (B) > 0, atunci avem P (A ∩ B) =PA(B)P (A) = PB(A)P (B).Observatie. Evenimentele A si B sunt dependente, ın cazul P (A) > 0,daca PA(B) 6= P (B).

4.5 VARIABILE ALEATOARE.

Definitie. Se ıntelege prin marime aleatoare o marime ale carei valorise schimba sub influenta unor factori aleatori. Pentru astfel de marime,

79

faptul ca atinge o valoare reprezinta un eveniment ce se realizeaza cuo anumita probabilitate.

De exemplu, ın experienta aruncarii zarului, marimea aleatoare co-respunzatoare este numarul de puncte. Notand aceasta marime cuX, realizarea evenimentului ”apare fata cu trei puncte” ınseamna camarimea ia valoarea 3. Vom numi marimile aleatoare ”variabile alea-toare”.Definitie. Fie (Ω,K, P ) un camp de probabilitate. O aplicatie X : Ω →R, data de ω 7→ X(ω) se numeste variabila aleatoare K daca pentruorice x ∈ R multimea

ω ∈ Ω, X(ω) < x

este un element din K.Observatie. ω ∈ Ω, X(ω) < x reprezinta reuniunea evenimentelorelementare ω care au proprietatea X(ω) < x. Deci ω ∈ Ω, X(ω) < xeste un eveniment si X este variabila aleatoare ın raport cu camplu Kdaca acest eveniment apartine campului K. Vom nota acest evenimentcu (X < x).Observatie. Se pot considera si urmatoarele evenimente :

ω ∈ Ω, X(ω) ≤ x = (X ≤ x)

ω ∈ Ω, X(ω) = x = (X = x)

ω ∈ Ω, X(ω) ≥ x = (X ≥ x)

ω ∈ Ω, X(ω) > x = (X > x)

ω ∈ Ω, a < X(ω) ≤ b = (a < X ≤ b)

ω ∈ Ω, a ≤ X(ω) ≤ b = (a ≤ X ≤ b)

ω ∈ Ω, a ≤ X(ω) < b = (a ≤ X < b)

ω ∈ Ω, a < X(ω) < b = (a < X < b)

Se poate demonstra ca evenimentele de mai sus apartin campului K.

80

4.5.1 FUNCTIA DE REPARTITIE A UNEI VARIABILE ALEATOARE.

Fie (Ω,K, P ) un camp de probabilitate si X : Ω → R o variabila alea-toare ın raport cu campul K.Definitie. Se numeste functie de repartitie a variabilei aleatoare X, ofunctie F : R → R definita prin

F (x) = P (ω ∈ Ω, X(ω) < x)

Teorema 16 (Proprietati ale functiei de repartitie).

1. Functia F este monoton crescatoare pe R.2. Functia F este continua la stanga ın orice punct x ∈ R, i.e. F (x −

o) = F (x).3. lim

x→−∞F (x) = 0, lim

x→∞F (x) = 1.

4. F (x + o) = F (x) + P (X = x).

Cu ajutorul functiei de repartitie se pot exprima probabilitatile ca ovariabila aleatoare X sa ia valori ıntr-un interval si anume se poatearata ca

1. P (a ≤ X < b) = F (b)− F (a).2. P (a < X < b) = F (b)− F (a)− P (X = a).3. P (a < X ≤ b) = F (b)− F (a)− P (X = a) + P (X = b).4. P (a ≤ X ≤ b) = F (b)− F (a) + P (X = b).

Observatie. Daca functia de repartitie F este o functie continua, toateprobabilitatile de mai sus devin egale cu F (b)− F (a).

4.5.2 TIPURI DE VARIABILE ALEATOARE.

Definitie. Fie (Ω,K, P ) un camp de probabilitate. O variabila alea-toare X : Ω → R care ia un numar finit de valori se numeste variabilaaleatoare simpla.Observatie. Multimea valorilor variabilei simple X este X(Ω) =x1, . . . , xn. Evenimentul din campul (Ω,K) care consta ın faptul cavariabila aleatoare X ia valoarea xi este ω, X(ω) = xi, adica(X = xi). Fie pi = P (X = xi) ce inseamna ca X ia valoarea xi. Atuncifunctia de repartitie F este data de relatia

F (x) =∑

i, xi<xpi.

81

Definitie. Fie (Ω,K, P ) un camp de probabilitate. O variabila alea-toare X : Ω → R pentru care X(Ω) este cel mult numarabila senumeste variabila aleatoare discreta.Observatie. Orice variabila aleatoare simpla este si variabila alea-toare discreta.

Teorema 17. Functia de repartitie F a unei variabile aleatoare discreteeste o functie scara definita prin F (x) =

∑pi.

Exemplul 15. Fie

X =

(0 1 2 3

0, 20 0, 45 0, 20 0, 15

)

Sa se determine functia de repartitie si sa se calculeze F (−2), F (2, 3),P (1, 5 ≤ X < 3), P (1 < X ≤ 2, 6).

Solutie.

F (x) =

0 x ∈ (−∞, 0]0, 20 x ∈ (0, 1]0, 65 x ∈ (1, 2]0, 85 x ∈ (2, 3]

1 x ∈ (1,∞).

F (−2) = 0 ; (2, 3) = 0, 85 ; P (1, 5 ≤ X < 3) = F (3) − F (1, 5) =0, 85 − 0, 65 = 0, 20 ; P (1 < X ≤ 2, 6) = F (2, 6) − F (1) − P (X =1) + P (X = 2, 6) = 0, 85− 0, 20− 0, 45 + 0 = 0, 20.

Un alt tip de variabila aleatoare este variabila aleatoare continuacare se defineste cu ajutorul functiei de repartitie.

4.6 OPERATII CU VARIABILE ALEATOARE DISCRETE.

Fie (Ω,K, P ) un camp de probabilitate si X, Y variabile aleatoare ınraport cu campul K.

Teorema 18. Functiile X + a, aX, |X|, Xn, 1X

, X + Y , XY , X − Y , XY

sunt variabile aleatoare ın raport cu campul K.

Observatie.

1. Orice constanta poate fi considerata ca o variabila aleatoare dis-

creta cu repartitia(

a1

).

82

2. Daca X este variabila aleatoare discreta cu repartitia(

xi

pi

)

i∈I

atunci repartitiile variabilelor aleatoare X + a, aX, |X|, Xn, 1X

sunt(xi + a

pi

)

i∈I

,(

axi

pi

)

i∈I

,( |xi|

pi

)

i∈I

,(

xni

pi

)

i∈I

si, respectiv,(

1xi

pi

)

i∈Icu xi 6= 0.

4.7 CARACTERISTICI NUMERICE ALEVARIABILELOR ALEATOARE DISCRETE.

In aplicatiile concrete de folosesc diversi indicatori sau caracteristicinumerice ale unei variabile aleatoare care permit o imagine a modu-lui de repartizare a valorilor sale. Acesti caracteristici pun ın evidentatendinta de grupare a acestor valori, ımprasierea lor, forma graficelorde repartitie.

Fie (Ω, K, P ) un camp de probabilitate si X o variabila aleatoare ınraport cu campul K.Definitie. Se numeste media variabilei aleatoare X un unmar notatM(X) si egal cu

M(X) =∑i∈I

xipi daca X =

(xi

pi

)

i∈I

Observatie. Media variabilei este un indicator numeric al tendinteicentrale de grupare. Valoarea medie a unei variabile aleatoare estecuprinsa ıntre cea mai mica si cea mai mare dintre valorile posibile alevariabilei.

Propozitia 6 (Proprietati ale mediei). Fie X, Y variabile aleatoare ınraport cu campul K, a ∈ R.

1. M(X + Y ) = M(X) + M(Y ).2. M(XY ) = M(X)M(Y ), daca variabilele aleatoare sunt indepen-

dente.3. M(a) = a, adica media unei constante privita ca o variabila alea-

toare cu repartitia(

a1

)este egala cu acea constanta.

4. M(a + X) = a + M(X).5. M(aX) = aM(X).

83

6. Se noteaza cu Y = X − M(X) si se numeste variabila aleatoareabatere de la medie. Atunci M(Y ) = M(X)−M(X) = 0.

Definitie. Se numeste moment de ordin r al variabilei aleatoare X,media variabilei Xr. Vom nota momentul de ordin r cu mr si avem

mr(X) =∑i∈I

xri pi daca X =

(xi

pi

)

i∈I

Observatie. Pentru r = 1 se obtine expresia mediei m1 = M .Definitie. Se numeste moment absolut de ordin r al variabilei alea-toare X, media variabilei |X|r. Vom nota momentul absolut de ordin rcu mr si avem

mr(X) =∑i∈I

|xi|rpi daca X =

(xi

pi

)

i∈I

Definitie. Se numeste moment centrat de ordin r al variabilei alea-toare X, media variabilei abatere de la medie. Se noteaza cu µr siavem

µr(X) = M((X −M(X))r) =∑i∈I

(xi −m)rpi daca X =

(xi

pi

)

i∈I

,

unde m = M(X) este media variabilei X.Observatie. µr arata cat de mult se abat valorile variabilei de la va-loarea medie, cu alte cuvinte cum se ımprastie ele ın jurul mediei.Definitie. Se numeste dispersia variabilei aleatoare X si se noteazacu D2(X) momentul centrat de ordin doi

D2(X) =∑i∈I

(xi −m)2pi daca X =

(xi

pi

)

i∈I

,

unde m = M(X) este media variabilei X. σ(X) =√

D2(X) senumeste abatere medie patratica.Observatie. Dispersia este cel mai comod moment centrat pentrucalcule, deoarece masoara ımprastierea valorilor variabilei aleatoarefata de media sa.Observatie. Dispersia si abaterea medie patratica se micsoreazasau se maresc dupa cum ımprastierea valorilor se micsoreaza sause mareste. Cu cat intervalul pe care se afla valorile este mai mic, sidispersia este mai mica.

84

Propozitia 7 (Proprietati ale dispersiei).

1. D2(X) ≥ 0 si D2(X) = 0 daca X este variabila aleatoare constanta.2. D2(X) = M(X2)− (M(X))2.3. D2(aX) = a2D2(X).4. D2(a + X) = D2(X).5. D2(X + Y ) = D2(X) + D2(Y ), daca X si Y sunt independente.

Definitie. Fie X si Y variabile aleatoare ın raport cu campul K, M(X),M(Y ) mediile lor si X−M(X), Y −M(Y ) variabilele abatere de la me-die. Se numeste covarianta sau corelatie a variabilelor X si Y mediaprodusului

cov(X,Y ) = M((X −M(X))(Y −M(Y ))).

Propozitia 8 (Proprietati ale covariantei).

1. cov(X,Y ) = M(XY )−M(X)M(Y ).2. Daca X si Y sunt independente, atunci cov(X, Y ) ; reciproca nu

este adevarata.3. cov(aX, bY ) = ab cov(X,Y )4. cov(X + Z, Y ) = cov(X,Y ) + cov(Z, Y ).

Observatie.

1. Daca cov(X,Y ) 6= 0 atunci X si Y sunt dependente.2. ρX,Y = cov(X,Y )√

D2(X)D2(Y )se numeste coeficient de corelatie ; se demon-

streaza ca ρ ∈ [−1, 1] ; daca ρ = ±1, atunci ıntre variabile exista odependenta liniara de forma Y = aX + b cu a > 0 pentru ρ = 1 sia < 0 pentru ρ = −1.

3. Se numesc drepte de regresie ale variabilelor X si Y dreptele

X −M(X)

D2(X)= cov(X, Y )

Y −M(Y )

D2(Y )

Y −M(Y )

D2(Y )= cov(X, Y )

X −M(X)

D2(X).

85

4.8 FUNCTIA CARACTERISTICA A UNEI VARIABILEALEATOARE.

Este tot o o functie ce caracterizeaza o variabila aleatoare si cu aju-torul careia se pot determina momentele de orice ordin si functia derepartitie.

Fie X o variabila aleatoare reala cu functia de repartitie F . eitX =cos(tX) + i sin(tX), unde t ∈ R se numeste variabila aleatoare com-plexa.Definitie. Functia CX : R → C, CX(t) = M(eitX) se numeste functiecaracteristica a variabilei aleatoare X.Observatie. Rezulta din definitie ca CX(t) =

∑i∈I eitxi, daca X =(

xi

pi

)

i∈I

.

Propozitia 9. 1. CX(0) = 1 si |CX(t)| ≤ 1 pentru orice t ∈ R.2. CX(−t) = CX(t).3. Daca X1, . . . , Xn sunt variabile independente cu CX1,...,CXn functiile

caracteristice, atunci pentru variabila aleatoare X =∑n

i=1 Xi avemfunctia caracteristica:

CX(t) =n∏

j=1

CXj(t)

4.8.1 EXERCITII.

Exercitiu 29. Fie variabilele aleatoare independente :

X :

(1 2 3

0, 2 0, 5 0, 3

)

si

Y :

(1 4 6

0, 6 0, 2 0, 2

)

Se cere :a)repartitiile variabilelor X + Y,XY, X3;b)media si dispersia variabilelor X si 2X + 3Y ;c)functia de repartitie a variabilei X.

86

Exercitiu 30. Fie variabila aleatoare independenta :

X :

(1 2 3 4α2 7

4α 1

316

)

Sa se determine valoarea parametrului α ∈ R si sa se calculezeP (X ≤ 3)

Exercitiu 31. O variabila aleatoare X ia valorile 1, 2, 3 avand mediaM(X) = 7

4si dispersia

D2(X) = 1116

. Sa se determine repartitia variabilei.

87

5 ELEMENTE DE STATISTICA MATEMATICA.

5.1 NOTIUNEA DE SELECTIE.

Statistica matematica se fundamenteaza cu ajutorul teoriei probabilitatilor, avand ca obiect sistematizarea, prelucrarea, si utilizarea datelorstatistice (de observatie) ın vederea studierii pe cale inductiva a feno-menelor de masa.

Datele care se culeg se refera la una sau mai multe caracteristicicomune unei multimi.

Multimea a carei elemente au cel putin o caracteristica comuna sieste supusa unei prelucrari statistice, se numeste populatie statistica.Elementele ei se numesc unitati, iar numarul lor va reprezenta volumulpopulatiei, care poate fi finit sau infinit.

Caracteristica luata ın considerare poate fi cantitativa (se poatemasura), sau calitativa si se asimileaza cu o variabila aleatoare. Aceastavariabila aleatoare se numete variabila aleatoare asociata populatieisau caracteristica sub cercetare. Informatiile privind valorile caracte-risticii, practic, nu se pot culege de la ıntreaga populatie ci se exami-neaza numai un numar limitat de unitati, sperand ca informatia primitape aceasta cale sa spuna cu suficienta precizie ce dorim sa cunoastemdespre ıntreaga populatie.

Cercetarea partiala, asupra unei submultimi finite luata la ıntamplare,se numete sondaj.

Submultimea finita considerata ımpreuna cu valorile observate senumete esantion sau selectie. Numarul de elemente continut de oselectie se numeste volumul selectiei.

Presupunem ca selectia se face luand cate un element din populatiesi masurand acest element din punct de vedere al caracteristicii no-tata X. Repetand de n ori ın mod independent acest experiment, seobtine un sir de valori x1, . . . , xn. Selectia poate fi cu ıntoarcere sifara ıntoarcere. In primul caz, elementul extras din populatie este rein-trodus ın aceasta ınainte de a se extrage urmatorul. In al doilea caz,

el nu mai revine ın populatie. Daca populatia este infinita, deosebireaıntre cele doua tipuri de selectie nu exista. Ea se impune atunci candpopulatia are un numar finit de elemente.

In cazul populatiei infinite, metoda selectiei este singura metoda decercetare a populatiei dupa caracteristica X. Prin aceasta metoda decercetare, pe baza analizei unei colectivitati partiale, se trag concluziiasupra ıntregii colectivitati. Din acest motiv este necesar ca selectia safie reprezentativa , adica toate valorile de selectie, x1, . . . , xn, sa aibaaceeasi probabilitate de a intra ın componenta ei.

Conceptul de selectie poate fi examinat si sub urmatorul aspect:considerand un experiment aleator caruia i se asociaza caracteris-tica X si efectuand un sir de n repetari ale experimentului, obtinemun sistem de n variabile aleatoare, X1, . . . , Xn, unde Xi este rezul-tatul aleator care corespunde celei de a i-a repetari a experimentu-lui. Se obtine astfel o variabila aleatoare n- dimensionala (X1, . . . , Xn)ın care componentele Xi sunt variabile aleatoare independente, iden-tic repartizate, adica avand fiecare aceeasi functie de repartitie ca sivariabila X asociata populatiei. In acest caz se spune ca variabileleX1, . . . , Xn, constituie o selectie aleatoare de volum n asupra variabileialeatoare X. Notiunea de selectie realizata asupra variabilei aleatoareX din populatia cercetata si definita de ansamblul valorilor x1, . . . , xn,reprezinta realizarea prin selectie a variabilei aleatoare n- dimensio-nale (X1, . . . , Xn) ın sensul ca X1 ia valoarea x1, X2 ia valoarea x2,etc.

In concluzie, ınaintea efectuarii experimentului, rezultatele alea-toare Xi sunt privite ca variabile aleatoare independente identic repar-tizate ca variabila X, iar dupa efectuarea experimentului ele sunt nistevalori concrete xi care se folosesc ca informatie asupra caracteristiciiX.

Se numeste statistica si se noteaza Tn(X1, . . . , Xn), o functie cedepinde de variabilele X1, . . . , Xn ale unei selectii de volum n. Dato-rita caracterului aleator al variabilelor, orice statistica este o variabilaaleatoare.

5.2 REPARTITIA SELECTIEI. FUNCTIA DEREPARTITIE A SELECTIEI.Descrierea si sistematizarea datelor de selectie se face cu ajutorulrepartitiei selectie. Intelegem prin repartitia selectiei, sau repartitia em-

90

pirica, repartitia probabilitatilor variabilei discrete X∗, numita variabilade selectie sau variabila empirica, care se noteaza :

(5.1) X∗ :

(x1 x2 ... xn1n

1n

... 1n

)

Din relatiile (5.1) se observa ca variabila X∗ ia fiecare din valorile xi cuaceeasi probabilitate P (X∗ = xi) = 1

n.

Daca valorile xi, i = 1, . . . , n nu sunt toate diferite ıntre ele si avemdoar m < n valori distincte, le vom renota x1, . . . , xm, asezate ın ordinecrescatoare, toate distincte ıntre ele.

Fie nk numarul de aparitii a valorii xk. Acest numar se numestefrecventa absoluta a valorii xk.

Raportul

(5.2) fk =nk

n,

k = 1, . . . , m, se numeste frecventa relativa a valorii xk ın selectia rea-lizata de volum n. In acest caz, repartitia selectiei este :

(5.3) X∗ :

(x1 x2 ... xm

f1 f2 ... fm

∣∣∣∣ n

)

undem∑

k=1

fk = 1n

m∑k=1

nk = 1.

In cazul ın care volumul de selectie este mare, nu se consideravalori individuale xi ci numai numarul valorilor observate care cad ıntr-o anumita clasa specificata de interval. De exemplu se considera uninterval ınchis [a, b] ın care se gasesc toate valorile xi si se ımparteacest interval ın r subintervale egale Ik = [ak−1, ak). Se noteaza cuµk numarul valorilor xi din selectie care apartin intervalului Ik si senumeste frecventa absoluta a intervalului. Raportul ϕk = µk

nse numete

frecventa relativa a intervalului. In acest caz repartitia variabilei deselectie este

X∗ :

((ak−1, ak)

µk

)

k=1,2,...,r

Daca ıntr-un reper se figureaza pe axa ox subintervalele [ak−1, ak] sipe fiecare subinterval luat ca baza se construieste cate un dreptunghicu ınaltimea µk

nh, unde h este lungime unui interval si µk este numarul

de valori de selectie care cad ın acest interval, figura astfel obtinuta se

91

numeste histograma selectiei. Aria fiecarui dreptunghi al histogrameieste egala cu frecventa corespunzatoare ϕk = µk

n. Pentru un volum de

selectie suficient de mare, aceasta frecventa este aproximativ egalacu probabilitatea ca o valoare observata sa apartina intervalului cores-punzator.

Analog cazului teoretic se defineste pentru o repartitie empiricafunctia de repartitie a selectiei.

Pe o populatie statistica, se considera variabila X avand functia derepartitie teoretica F = P (X < x), ∀x ∈ R. Daca x1, . . . , xn esteo selectie realizata de volum n din populatie si x este un numar realoarecare, se noteaza cu nx numarul de valori xi din selectie care suntmai mici decat x. Raportul nx

nreprezinta frecventa relativa a valorilor xi

care cad la stanga punctului x, adica frecventa relativa a evenimentuluiX < x.Definitie. Se numeste functie de repartitie de selectie functia

F ∗n : R → [0, 1],

definita prin F ∗n = nx

n.

In cazul ın care repartitia variabilei X∗ este data de formula (5.1),functia de repartitie F ∗

n(x) este : F ∗n(x) = nx

n=

∑xi<x

fi, adica este egala

cu suma frecventelor relative corespunzatoare tuturor valorilor xi pen-tru care xi < x. Avem asadar :

F ∗n(x) =

0 ; x ≤ x1

f1 ; x1 < x ≤ x2

f1 + f2 ; x2 < x ≤ x3

... ...m−1∑i=1

fi ; xm−1 < x ≤ xm

1 ; x > xm

Exemplul 16. Intr-un laborator se fac n = 100 de masuratori asupraunui reper obtinandu-se rezultatele :

rezultatul masuratorii 1 5 9 12numar de aparitii 30 15 10 45

Se cere repartitia variabilei de selectie si functia de repartitie a selectiei.

92

Solutie. Frecventele relative sunt, respectiv :

f1 =30

100= 0.3, f2 =

15

100= 0.15, f3 =

10

100= 0.1, f4 =

45

100= 0.45.

X∗ :

(1 5 9 12

0.3 0.15 0.1 0.45

∣∣∣∣n

)

F ∗100 =

0 ; x ≤ 10.3 ; 1 < x ≤ 5

0.3 + 0.15 = 0.45 ; 5 < x ≤ 90.3 + 0.15 + 0.1 = 0.55 ; 9 < x ≤ 12

0.3 + 0.15 + 0.1 + 0.45 = 1 ; x > 12

5.3 VALORI TIPICE DE SELECTIE.

Se numeste moment de selectie de ordin r statistica

m∗r =

1

n

n∑i=1

Xri .

In particular pentru r = 1, momentul de selectie de ordinul ıntai, m∗1 se

numeste si media de selectie si se noteaza m∗. Asadar avem :

m∗ =1

n

n∑i=1

Xi.

Daca ın selectia realizata exista m < n valori distincte, cu frecventeleabsolute ni, atunci

m∗ =1

n

n∑i=1

niXi.

Se numeste moment centrat de ordin r, statistica

ν∗r =1

n

n∑i=1

(Xi −m∗)r.

Se numeste dispersie de selectie si se noteaza S2, momentul cen-trat de selectie de ordin doi. Avem :

S2 =1

n

n∑i=1

(Xi −m∗)2.

Alte formule folosite pentru dispersia de selectie, sunt :

93

– cand se cunoaste media teoretica m, se foloseste expresia dispersiei

S2 =1

n

n∑i=1

(Xi −m)2.

– cand volumul de selectie este mic se foloseste

S2 =1

n− 1

n∑i=1

(Xi −m∗)2.

Tot valori tipice de selectie sunt considerate si asimetria si excesul,definite prin :

– (asimetria)

A∗ =1

nS3

n∑i=1

(Xi −m∗)3.

– (excesul)

E∗ =1

2S2

n∑i=1

(Xi −m∗)4 − 3.

Exemplul 17. Se fac n = 5 masuratori asupra lungimii unei bare si segasesc rezultatele : 92mm, 94mm, 103mm, 105mm, 106mm. Sa sedetermine valoarea medie a lungimii si dispersia de selectie.

Solutie.

m∗ =1

n

n∑i=1

xi;

S2 =1

n− 1

n∑i=1

(Xi −m∗)2(deoarece volumul de selectie este mic)

In cazul particular al ipotezei, m∗ = 15(92+94+103+105+106) = 100;

S2 =1

4[(92− 100)2 + (94− 100)2 + (103− 100)2+

+(105− 100)2 + (106− 100)2] = 42.5

Q.E.D.

94

Exemplul 18. Intr-un laborator se fac n = 24 masuratori asupra unuireper, obtinandu-se urmatoarele rezultate :

rezultatul masuratorii 30.2 30.3 30.5 30.6 30.7numar de aparitii 1 4 10 7 2

Se cere :a) sa se scrie repartitia variabilei de selectie X∗;b) sa se determine functia derepartitie a selectiei;c) sa se calculeze media de selectie;d) sa se calculeze probabilitatea evenimentului |X∗ − 30.5| < 0.2,

adica P (|X∗ − 30.5| < 0.2).

Solutie. a) Tinand seama de formula (5.2), frecventele relative suntrespectiv :

1

24,

4

24,10

24,

7

24,

2

24.

Atunci:

X∗ :

(30.2 30.3 30.5 30.6 30.7

124

424

1024

724

224

)

b) Functia de repartitie este :

F ∗24 =

0 ; x ≤ 30.2124

; 30.2 < x ≤ 30.3

524

; 30.3 < x ≤ 30.5

1524

; 30.5 < x ≤ 30.6

2224

; 30.6 < x ≤ 30.7

1 ; x > 30.7

c) m∗ = 124

(1× 30.2 + 4× 30.3 + 10× 30.5 + 7× 30.6 + 2× 30.7) = 30.5d) conform sectiunii (4.5.1), P (|X∗ − 30.5| < 0.2) se calculeaza ast-

fel :

|X∗ − 30.5| < 0.2 ⇔ −0.2 < X∗ − 30.5 < 0.2 ⇔ 30.3 < X∗ < 30.7.

P (30.3 < X∗ < 30.7) = F ∗24(30.7)− F ∗

24(30.3)− P (X∗ = 30.3) =

95

=22

24− 1

24− 4

24= 0.7.

Q.E.D.

5.3.1 EXERCITII.

Exercitiu 32. Dintr-o selectie ordonata de 20 de piese a caror caracte-ristica este grosimea ın mm s-au obtinut urmatoarele date:

xi 10.3 10.4 10.5 10.6 10.7 10.8 10.9 11 11.2 11.3ni 1 1 2 2 2 4 4 2 1 1

Se cere :a) sa se calculeze F ∗

20(10), F ∗20(10, 6), F ∗

20(11).b) sa se calculeze momentele centrate de ordin 1 si 2.

Exercitiu 33. Repartitia valorilor unei variabile observate pe baza an = 50 de observatii este data de tabelul :

xi 0 1 2 3 4 5 6 7ni 3 8 5 10 8 6 7 3

Se cere :a)valoarea medie a marimii observate si dispersia;b)sa se scrie functia de repartitie a selecctiei.

Exercitiu 34. Se face o selectie de volum n = 100 asupra unei varia-bile aleatoare X care a furnizat valorile 1, 3, 7, 10 respectiv cu frecvente20, 15, 40, 25. Se cere : repartitia selectiei,functia de repartitie a selectiei,media si dispersia variabilei de selectie.

96

6 TESTE DE EVALUARE ORIENTATIVE.

6.1 TEST 1.

Exercitiu 35. Verificati daca, ın raport cu urmatoarele operatii, R3 de-vine spatiu vectorial real : ∀ (x1, y1, z1), (x2, y2, z2) ∈ R3,∀α ∈ R

(x1, y1, z1) + (x2, y2, z2) = (0, 0, 0) si α(x, y, z) = (αx, αy, αz),

Exemplul 19. Sa se rezolve problema de programare liniara :

max[Z = 3x1 + 2x2 + x3 + 2x4]

2x1 + x2 + x3 + 2x4 = 12x1 + 2x2 + x3 + 3x4 = 14x1, x2, x3, x4 ≥ 0.

Exercitiu 36. Sa se determine extremele locale ale functiei definiteprin

f(x, y) = (x + y)e−(x2+y2), ∀(x, y) ∈ R2

6.2 TEST 2.

Exercitiu 37. Decideti daca submultimea (x, y, z) ∈ R3/x = 0 estesubspatiu vectorial ın spatiul vectorial R3/R .

Exercitiu 38. Sa se rezolve problema de programare liniara :

min[Z = 12x1 + 15x2 + 13x3]

x1 + x2 + 2x3 ≥ 50x2 + x3 ≥ 100

x1, x2, x3 ≥ 0.

Exercitiu 39. Dintr-o selectie ordonata de 20 de piese a caror caracte-ristica este grosimea ın mm s-au obtinut urmatoarele date:

xi 10.3 10.4 10.5 10.6 10.7 10.8 10.9 11 11.2 11.3ni 1 1 2 2 2 4 4 2 1 1

Se cere :a) sa se calculeze F ∗

20(10, 6).b) sa se calculeze momentele centrate de ordin 1 si 2.

6.3 TEST 3.

Exercitiu 40. In spatiul vectorial R4/R se dau doua sisteme de vectori:

B = u1 = (0,−1, 2, 1), u2 = (1, 1,−1, 1), u3 = (1, 1, 2,−1),

u4 = (1, 0,−1,−1)si

B′ = v1 = (1, 0, 1, 2), v2 = (2, 2, 1, 0), v3 = (2, 1, 1,−2),

v4 = (2, 1, 3, 1).a)Sa se arate ca B si B′ sunt doua baze ın R4/R;b)Sa se gaseasca matricea de trecere de la baza B la baza B′ si

reciproc;


max[Z = x1 + 2x2 + 3x3 − x4]

x1 + 2x2 + x3 + x4 = 102x1 + x2 + 5x3 = 20x1 + 2x2 + 3x3 = 15x1, x2, x3 ≥ 0.

Exercitiu 42. Fie variabila aleatoare independenta :

X :

(1 2 3 4α2 7

4α 1

316

)

Sa se determine valoarea parametrului α ∈ R si sa se calculezeP (X ≤ 3)

98

6.4 TEST 4.

Exercitiu 43. Sa se studieze daca urmatoarea aplicatie este liniara.Sa se gaseasca matricea aplicatiei ın baza canonica: f : R2 →R2, f(x) = (x1 + 2x2, 2x1 + x2), ∀x = (x1, x2) ∈ R2;


max[Z = 3x1 + 7x2 + 5x3]

3x1 + 4x2 + 4x3 ≤ 1002x1 + 5x2 + 4x3 ≤ 90x1, x2, x3 ≥ 0.

Exercitiu 45. Consumul de energie al unei ıntreprinderi exprimat ınunitati conventionale a evoluat ın timp de 6 ani astfel:

ani ti 1 2 3 4 5 6consum yi 32 23 17 14 12 11

Sa se stabileasca functia de ajustare si sa se faca prognoza pentruurmatorii doi ani.

99

Bibliografie

1. S. Antohe, N. Codau, T. Buhaescu, Algebra liniara, geometrie analitica si geometriediferentiala, Galati 1986.

2. T. Buhaescu, G. Dutu, Matematici aplicate ın economie. Editura Fundatiei Universitare”Dunarea de Jos” Galati 1999.

3. G. Boldur-Latescu, G. Sacuiu, E. Tiganescu, Cercetare operationala cu aplicatii ın eco-nomie, EDP, Bucuresti 1979.

4. W.W.L. Chen, Note de curs.5. M. Donciu, D. Flondor, Algebra si analiza matematica, EDP Bucuresti 1979.6. J. Hefferon, Linear Algebra.7. C.Mihoc, Micu, Teoria probabilitatilor si statistica matematica, EDP, Bucursti 1980.8. V. Obadeanu, Elemente de algebra liniara si geom etrie analitica, Editura Facla, Timisoara

1981.9. O. Popescu, D. Baz, A. Popescu, V. Butescu, N. Stremtan, P. Vasiliu,Matematici aplicate

ın economie. Bucuresti 1987.10. O. Popescu, C. Raischi, V. Badin, V. Butescu, O. Firica, M. Toma, S. Woinaroski, Mate-

matici aplicate ın economie. Vol. 1, Ed. did. si ped. Bucuresti 1993.11. R. Trandafir, Introducere ın teoria probabilitatilor, Editura Albatros 1979.12. C. Zidaroiu, Programare Liniara, Editura Tehnica, Bucuresti.

Date post:	20-Jan-2016
Category:	Documents
Upload:	matei5home
View:	98 times
Download:	2 times

Matematica in Economie

Documents