Coninutul manualului pentru cursul pregtitor de matematicExemple i aplicaii din chimie pentru capitolul Elemente de geometrie 1.Elemente de geometrie.1.1. Elemente de reprezentare n planReper cartezian. Noiunea de interval pe ax, noiunea de domeniu n plan.1.2. Vectori (n spaiu)oordonatele unui punct n spaiu. Vectorul de poziie al unui punct. Vectorul determinat de doupuncte.!istanadintredoupunctecamrimeavectorului. oliniaritateaadoi vectori. "rodusscalar,vectorial, mixt. Vectorul de poziie al unei drepte. Vectorul normal al unui plan1.#. $uncii tri%onometrice$uncii tri%onometrice directe& sinus, cosinus, tan%ent, cotan%ent& periodicitate, valori importante.$uncii tri%onometrice inverse& arcsinus, arccosinus, arctan%ent,arccotan%ent, valori importante.oordonate polare1.'. ur(e plane& cerc, elipsa, para(ol, recunoa)tere )i proprietiExemple i aplicaii din chimie pentru capitolul Elemente de algebr Elemente de algebr. 1. Numere complexe& *orma al%e(ric, *orma tri%onometric. Ecuaii de %radul al doilea cu rdcinicomplexe.2. +atrici& dreptun%,iulare, ptratice, operaii cu matrici.#. !eterminani& proprieti , calcul.'. -nversa unei matrici../isteme deecuaiiliniare./criereasu(*orm matriceal.aracterizarea sistemelorcusoluieunic)i determinareaacesteia. aracterizareasistemelorcompati(il nedeterminate)ipunereaneviden a mai multor soluii.Exemple i aplicaii din chimie pentru capitolul Elemente de analiza matematica Elemente de analiz matematic1. $uncii& tipuri de corespondene, exemple )i contraexemple. $uncii in0ective, sur0ective, (i0ective. 1iruri ca *uncii. "ro%resii %eometrice (termenul %eneral, *ormula de calcul a sumei).Noiunea deconver%en pentru )iruri de tip pro%resie %eometric )i respectiv de tipul c2t de dou polinoame.E%alitatea a dou *uncii, *uncii ce di*er ntr3un punct, pe un interval.-ma%inea unei mulimi printr3o *uncie.2. 4ra*icul unei *uncii$uncii discrete. $uncii continue. $uncii deriva(ile. "roprieti ale unei *uncii& mr%inire,monotonie, simetrie, periodicitate.Noiunea de asimptot a unei *uncii/tudiu& intersecia cu axele de coordonate, mulimea ima%ine, valorile n puncte$uncii liniare, reprezentare %ra*ic. -necuaii determinate de *uncii liniare )i reprezentareamulimilor determinate de ele. $unciide%radulal--3lea,reprezentare %ra*ic. Recunoa)tereapara(olei, acercului, a elipsei, a,iper(olei. -necuaii determinate de *uncii de %radul al --3lea )i reprezentarea mulimilordeterminate de ele.$uncia exponenial& operaii, %ra*ic, valori importante. $uncia lo%aritm cu (aza e& operaii, %ra*ic,valori importante.1#. -nte%raladintr3o*unciepozitiv)i interpretareaei caarie. "rimitiveleprincipalelor *uncii.+etode de inte%rare& metoda su(stituiei, metoda sc,im(rii de varia(il. 5eorema de medie.Exemple i aplicaii dinchimie pentrucapitolul Elemente de calcul numeric i teoriaaproximrii 1. Numere reale. 6proximri ntre%i, raionale, eroarea de aproximare. "artea ntrea% a unui numr real. 6proximarea soluiilor unei ecuaii cu metode numerice (metodacoardei, metoda tan%entei)2Exemple i aplicaii din chimie pentru capitolul Elemente degeometrie1.1 Sistemul numerelor realei constante matematice uzuale Numerele pot *i clasi*icate ast*el&a) Numere care pot reprezenta cantit i *izice se numesc numerele reale1.ntre%i (7, 1, 1, 2, 2, #, #,... + + + ) 2. ra ionale ( 2 # 189, , 7.###, ,...# 9 .2)#. ira ionale ( # # '2, 2, #, ., 9,... )'. ira ionale transcedente(:, e, sin (7..#),ln 2 2 ln# + +, 22, etc.)

b) umerele imaginare1. ima%inare (1i, 2i, #i,... ) 2. complexe (2 1i,1 2i, . #i,... + + ); alt clasi*icare a numerelor&a) scalare& au mrimei semn () vectori& au mrimei direc ie 2teva constante uzuale&!enumire sim(ol Reprezentare cunumere zecimale"i (raportul dintre circum*erin a si diametrul cercului : #.1'1.7, 2i ' Exerci iul $. / se calculeze coe*icientul de di*uziune al /;2 n ap la temperatura de 2. G. ( )171E# 1E#6 75! 9.9 17V V pentru apa 77.77=7.12#s 31, calcula i timpul necesarpentruscderea concentra iei reactantului cu 21J *a de valoarea ini ial (t 7>7 s).Exerci iul '. onstantadevitezpentruoreac iec,imicesteexprimatprintr3orela iedetip 6rr,enius&aER 5I 6 e unde 6esteconstanta lui 6rr,eniusKsL, Eaeste ener%ia deactivareKIMEmolL, iar R este constanta %azelor KME(molNH)L,a) !ac I>1.21x173< s31, 6>1732s31, R>=.#1 ME(molNH), ce valoare are ener%ia de activare Eala2.GO() !ac temperatura cre te la .7G, de c2te ori cre te viteza de reac ieO Exerci iul (. $luxul molar de compus 6ntr3un *ilmde %az inert se exprim cu rela ia& 6,26,1p p6 p pN H ln , unde p6,1 i p 6,2 sunt presiunile par iale ale lui 6 la intrare, respectiv la ie ire din *ilmi p e presiunea total. / se calculeze *luxul compusului 6, dac H>17 3., p >987 torr, p6,1>197torr, p6,2>7 torr.Exerci iul (. /secalculezecoe*icientul dedi*uziuneal /;2napla2.G, dacvaloareaacestuia la 27G este .27! 1..1< 17 . $ormula de calcul este &( ) ( )27! ! 1 ( 5 27 + unde #( 7.2iar>7.=1777 .1." )apoartei *ropor ii "ropor ia este e%alitatea a dou rapoarte *ropriet i d bc b d adcbaNN N + +1211' N #1 N # ' N 2'1#2+ +d bc adcbaNNN ,_

122' N #1 N 2'1#2 c bd ad cb aNNEE ,_

#=1 N #' N 2' E 1# E 2 nnnbaba ,_

18)Exerci iul !. /impli*ica i raportul 1=27 / se %seasc&1. oordonatele v2r*urilor triun%,iului 6QR2. 6ria triun%,iului 6QR#. !istana de la ori%inea sistemului de axe x;C la dreapta 6R'. Ecuaia medianei duse dinpe 6QR8.. Ecuaia nlimii duse din 6 pe QR8. oordonatele punctului ! ast*el nc2t 6Q! s *ie paralelo%ramR9. Bun%imea laturii 6QR=. oordonatele centrului de %reutate al triun%,iului 6QR 7 )i apoi *a de punctul Q(31,3').Exerci iul ,. / se determine coordonatele punctului Q, stiind ca (#,.) este mi0locul se%mentului6Q si ca 6(2.').Exerci iul 1-. / se determinem R pentru care distanta dintre punctele 6(2,m) si Q(3m,32) estee%ala cu ' 2.Exerci iul 11. -n reperul cartezian x;C se considera puncteul 6(2,#). /tiind ca punctele Q sisuntsimetricele punctului 6 *ata de axele ;x si ;C, sa se calculeze lun%imea se%mentului 6Q.Exerci iul 1!. /a se calculeze coordonatele punctului de intersectie al dreptelor de ecuatii 2xDC3'>7 si xDC3#>7.Exerci iul 1". /a se determine ecuatia dreptei care trece prin punctul 6x.Exerci iul 1#. -nreperul cartezianx;Cseconsiderapunctele 6(#,7), Q(x,C), (.,32). /asedetermine numerele reale x si C ast*el incat punctul Q sa *ie mi0locul se%mentului 6.Exerci iul 1$. /a se reprezinte in coordonate polare urmatoarele puncte& (2,2), (3#,'), (32,2 # ), (1,31).9Exerci iul 1&. /a se reprezinte in coordonate carteziene urmatoarele puncte& (2, 2 ), (1, #'), (2, # ).Exerci iul 1'. 5rans*ormati in coordonate polare ecuatia 2 2x C < + .Exerci iul 1(. 4asiti coordonatele carteziene ale cur(ei 21 cosr + .1.'. .ectori /0n spaiu)oordonatele unui punct n spaiu. Vectorul de poziie al unui punct. Vectorul determinat de doupuncte. !istana dintre dou puncte ca mrime a vectorului. oliniaritatea a doi vectori. ;rice doua puncte din spatiu determina un vector care are marimea e%ala cu distanta dintre acestedoupuncte. !aca"(a,(,c) si "V(aV,(V,cV) sunt douapuncedinspatiul tridimensional R#, atuncivectorul care trece prin cele doua puncte este u>(x,C,z) cu u (a a W, ( (W, c cW) . Vectorul u estereprezentat ca o sa%eata de la " la "V.6dunarea vectorilor( ) z u x, C, r si( ) xV. z v CV, V ru v (x x W, C CW, z zW) + + + +r r+ultiplicarea cu un scalar a vectorului( ) z u x, C, rcu (cx, cC, cz) Produs scalar, vectorial, mixt. Vectorul de poziie al unei drepte. Vectorul normal al unui plan."rodusul mixt al trei vectori numiti produsul triplu se de*ineste ca produsul scalar dintre unul din vectori si produsul vectorial al celorlal i doi. Sn consecin produsul mixt este un scalar. "rodusul mixt are semni*ca ia %eometric urmtoare & volumul determinat de cei trei vectori.Exemplu&( )a ( x c rr rExerci iul 1. / se determine produsul scalar al vectorilor !i ". omenta i rezultatul o( inut & 1 22 .si17 ' #i #i # k + + v v v v v 10Exerci iul !. / se determine produsul vectorial al vectorilor !i ". omenta i rezultatul o( inut & 1 2# 2si. #i ## k + v v v vExerci iul ". / se determine produsul mixt al vectorilor !, "i $. omenta i rezultatul o( inut & 1 2 #' #R2 8 2si2 2i #i # ki k + + + v v v v v v vExercitiul #. /a se calculeze produsele mixte a trei vectori ( )1 2 #F F xF r r r,( )2 # 1F Fx F r r r si( )# 1 2F Fx F r r r daca 1F #i 20 r rr,2F .i #I r rr, #F 8i 2I +r rr. /a se demonstreze caprin permutari circulare rezulta&( ) ( ) ( )1 2 # 2 # 1 # 1 2F F xF F Fx F F Fx F r r r r r r r r r.1.( .ectori in plan$ie ;xC un sCstem de axe orto%onale. $ie ir si 0r versorii axelor ;x si ;C. !e*inirea vectorului u din planu i x 0 C + r rr!e*inirea vectorului 6QQ 6 Q 66Q i (x x ) 0 (C C ) + r r+odulul unui vector u 2 2u i x 0 C u x C + +r rr r/uma a doi vectori u si v1 12 21 2 1 2u i x 0 Cv i x 0 Cu v (x x ) i (C C ) 0 + + + + + + r rrr rrr rr ronditia de paralelism 1 12, 22 2x Cu vpt x C 7x C rronditia de perpendicularitate1 2 1 2u v x x DC C >7 r r11"rodus scalar, intre doi vectori care *ormeaz un%,iulu v u v cos r r"rodus scalar a doi vectori perpendiculari u v 7 r rExercitiul 1. /a se determine numarul real a stiind ca vectorii u i 2 0 a + r rr si v i # 0 (a 2) + r rr sunt coliniari.Exercitiul !. -n reperulcartezian (;, ir,0r) se considera vectorii u # i 2 0 + r rr si v . i 0 r rr. /se determine coordonatele vectorului . u # v + r r.Exercitiul ". !aca u ' i < 0 + r rr siv # i 2 0 +r rr atunci calculati&u v r r,v u r r,u u r r,v v r rExercitiul #. /a se %aseasca produsul scalar al vectorilor. isi = 0 r r.1., 1unctii trigonometriceRadianulRadianul este masura un%,iului opus arcului de cerc de lun%ime e%ala cu raza cercului.#87 21=7 $unctii tri%onometrice12ercul tri%onometricsin 7 7 cos7 7 1 #sin#7cos#72 22 2sin '.cos'.2 2# 1sin 87cos872 2sin7..si x$Q>7..intr3undistilat cucompozitiex!6>7.7.1.min !6 $6min !6 $6$6$6$6R x Ct%R 1 x x2.. xC1 1.. x + + /a se a*le un%,iul .Exercitiul !. /a se calculeze&. 1# . 1#cos cos sin sin9 2= 9 2= +si . 1# . 1#sin cos sin sin9 2= 9 2= + . omparati valorile o(tinute.Exercitiul ".!aca #sin x , x 7,' 2 _ ,atunci sa se calculezesin 2x cos 2x +Exercitiul #./a se calculezesin cos= = sicos cos= = Exercitiul $.alculati valoarea expresieit% ct%Et% ct%+ Exercitiul &./a se reduca expresia cos#x cos.xEcos#x cos x+la o *orma mai simpl1.1- Curbe plane3 cerc4 elipsa4 hiperbola4 parabolEcuaiacercului decentru(a,()si razaR, ncoordonate carteziene( ) ( )2 22x a C ( R 7 + Ecuaiacercului decentru(a,()si razaR, ncoordonate polarex a R cos( )C ( R sin( ) + + Ecuaia elipsei cu semiaxele a si (, centrat nori%ine, n coordonate carteziene2 22 2x C1 7a (+ 15Excentricitatea elipsei22(e 1a Ecuaia ,iper(olei cu axele a si (, ncoordonate carteziene2 22 2x C1 7a ( Ecuaia para(olei, n coordonate carteziene2C 2px Exercitiul 1./a se scrie ecuatia cercului care are centrul in punctul (1,7) si este tan%ent axei ;C.Exercitiul !./a se scrie ecuatia cercului care are centrul in punctul (a,() si este tan%ent axei ;C siaxei ;x.Exercitiul "./asescrieecuatiacercului carearecentrul inpunctul (1,32)sicaretreceprinpunctul ;(7,7).Exercitiul #./a se scrie ecuatia cercului care are centrul in punctul ;(7,7) si care are R>1.Exercitiul $./a se determine pozitia punctului Q(2,2) *ata de cercul descris de ecuatia&( ) ( )2 2x # C 1 2. 7 + + Exercitiul &. / se %seasc ecuaia cercului determinat de punctele +(31,1), N(2,31) si "(1,#). Exercitiul './a se scrie ecuatia elipsei care are semiaxele ' si 2.Exercitiul (./a se scrie ecuatia elipsei care contine punctul 6(2,31) si axa mare e%ala cu a>=.Exercitiul ,./a se scrie ecuatia ,iper(olei care are axele 2a>17 si 2(>=.Exercitiul 1-./a se scrie ecuatia ,iper(olei care are axa mare2a>1= si excentricitatea e>'E#.Exercitiul11./a se scrieecuatia para(olei dispusasimetric *ata de axa;C,care arevar*ul inpunctul ;(7,7) si care trece prin punctul !(1,32).Exercitiul 11.e puncte de intersectie are dreapta C>mx si cercul care are ecuatia( ) ( )2 2x 2 C 2 1 7 + . Reprezentati %ra*ic.16Exemple i aplicaii din chimie pentru capitolul Elemente dealgebr!.1 umere complexeNumerele de *orma z>xDiNC unde x, C sunt numere reale, iar i2>31, se numesc numere complexe.Numrul complex Z>x3iNC reprezint numrul complex con0u%at al numrului complex z.Exerciiul 1.oordonatele polare ale unui numar complex z>xDiNC sunt Carct% ,K7, 2 )x _ ,, 2 2r z x Csi r 7 + Reprezentai punctul corespunztor numrului complex z> #D2Ni. are este *orma polar a acestuinumr complex. /criei acest numr n*orma polar. alculai modulul )i numrul complexcon0u%at ale acestui numr complex.Exerciiul !.6plic2ndrelaiiledemai susssecalculezeprodusul)iraportul adounumerecomplexe z1> x1DC1Ni )i respectiv z2> x2DC2Ni.Exerciiul "./ se arate c dacn este numr ntre% & i'n[1 )i i2n[ 31.Exerciiul #.$olosind *orma polar a numerelor complexe z(r,\)>rNei\ s se calculeze z1Nz2 )i z1Ez2.!e asemenea s se calculeze zn )i z1En. Exerciiul $./secalculezerdcinacu(icanumrului 3=*olosind*ormatri%onometricanumerelor complexe. !.! 5atrici i operaii cu matriciRelaii importante ntre matrici&(6Q)31> Q31631(6Q)5 > Q565(631)5> (65)31 (6Q)31 > 31Q31631 c6> (cai0)6d7uncta unei matrice ptrate 6 & *ie 6i0 complementul al%e(ric al elementului ai0 al matricei 6./e consider matricea Q > (6i0). +atricea Q5 este ad0uncta matricei 6. Elementele matricei Q, (i0, secalculeaz elimin2nd randul i )i coloana 0 a matricei 6 )i calcul2nd determinantul matricei rmasenmulit cu (31)iD0. +atricea ad0unct se noteaz ad0(6)>Q5. 6poi se poate calcula 631 > ad0(6)Edet(6)6)adar, aceast *ormulare permite calculul inversei matricei 6. "entru matrice mari acest calcul este*oarte la(orious. !e aceea se utilizeaz metode numerice pentru calculul inverse matricelor mari. $orma matriceal a unui sistem de ecuaii liniare. ;rice sistem de ecuaii liniare neomo%ene cu n necunoscute &a11Nx1Da12Nx2Da1#Nx#D......Da1nNxn>(1 a21Nx1Da22Nx2Da2#Nx#D......Da2nNxn>(2 ...17an1Nx1Dan2Nx2Dan#Nx#D......DannNxn>(n se poate scrie n *orma matriceal ast*el & 6]>Q, unde 6>(ai0), ]5>(x1, x2, .... xn) )i Q5>( (1, (2,....,(n), iar soluia este ]>631Q.'atrice p(tratice speciale 'atrice triun)hiular(este o matrice care are toate elementele de deasupra dia%onalei sau de su(dia%onal nule. Sn acest caz se nume)te in*erior dia%onal respectiv superior dia%onal. Elementelede pe dia%onal nu sunt nule. Sn acest caz, det(6)>a11Na22N...Nann.'atrice dia)onal(este o matrice care are toate elementele de deasupra )i de su( dia%onal nule,adic ai0>7, i # 0. !ac 6>(aii) este matrice dia%onal, atunci 631>(1Eai0).'atrice simetric( este o matrice pentru care ai0>a0i pentru toi i )i 0, adic 6>65.'atrice orto)onal( este o matrice pentru care are loc relaia 65>631'atricehermitian(transpus(amatricei Aestematricea6^ transpusamatricei *ormatedinnumerele complex con0u%ate ale elementelor ai0 ale matricei 6, adic 6^ >(_i0)5. +atrice involut & 6>631+atrice ,ermitian 6>6^Exercitiul 1. !aca 1 26' #11 ] si 1 'Q8 211 ], care este valoarea expresiei 5 526 2Q Exercitiul !. 1ie2 #6' 211 ] si 1 .Q# 2 11 ]. alculati 6DQ si 6Q3Q.Exercitiul ". 1ie1 2 #6. ' 211 ] si 2 8 'Q1 2 #11 ] alculati 26D.Q..Exercitiul #. alculati determinantul matricii 2 # 16 ' 2 1. # 21 1 1 1 ] .Exercitiul $. !aca 1 x62 # 11 ] si 1 1Q1 2 11 ] si daca 6Q>Q6, care este valoarea lui xOExercitiul &. !aca 2 7 16 # . 2' 2 '1 1 1 1 ] si. 1 2Q 1 7 '2 # #1 1 1 1 ] atunci care este valoarea matricei Q6OExercitiul '. E%alati reactia c,imica # 2 # 2 2aPN; (u ; cu(N; ) dN; eP ; + + +. /e *ormeaza sistemul P& a 2eN& a 2c d;& #a ( 8c d eu & 2( ce 1 ++ + + si se rezolva.18Exercitiul (. E%alati reactia c,imica2 29 88 # ' 1 .2 32 7 1

19Exemple i aplicaii din chimie pentru capitolul Elemente de analizmatematic ".1. 1uncii3 tipuri de corespondene4 exemple i contraexemple$ie multimile 6 si Q 5ipuri de corespondenta+ultimea 6& +ultimeaproprietarilor+ultimea Q& multimeamasinilorExistaurmatoareletipuri decorespondente&131& un proprietar poate aveadoar o masina132& un proprietar poate aveadoua masini231& doi proprietari pot aveao sin%ura masina737& un proprietar nu are niciomasina sauomasina nuare nici un proprietar!e*inire *unctie *(x)& sunt necesare trei elemente&1. !omeniu de variatie a lui x > multimea valorilor lui x2. odomeniu >multimea valorilor lui *(x)#. "rocedura > realatie de corespondenta intre valorile lui x sivalorile lui *(x)az special decorespondenta& pentru osin%ura valoare a lui xcorespunde o sin%uravaloarea a *unctiei *(x)Exemplu de*inire *unctie* &* (x) sin xR RfExemplu non *unctie* &Ka, (L Kc, dL "entruorice valoarea a luix1 exista o valoare *(x1)"entru orice valoare a lui x2exista mai multe ima%ini ale*unctiei *20Exemplu de *unctie* &Ka, (L Kc, dL "entruorice valoarea a luix1 exista doar o valoare*(x1)"entruorice valoarea a luix2 exista doar o valoare*(x2)Exercitiul nr.1 /a se reprezinte %ra*ic si sa se demonstreze ca * & * (x) sin x R Re feste *unctie.Exercitiul nr.! /a se demonstreze ca 2* & * (x) x R Re feste *unctie.Exercitiul nr." /a se arate ca *unctia # 22 2x C daca(x, C) (7, 7) *(x)> x C7 daca(x, C) (7, 7) ++' este continua pe 2R./a se arate ca * nu este continua in punctul (7,7).Exercitiul nr.#/asedemonstreze ca* & * (x) ln x R Re fnueste*unctie. /asede*ineascadomeniul pe care *(x) este de*inite ca *unctie.21".!.1uncii in7ecti+e4 sur7ecti+e4 bi7ecti+e8e2initie2unctie in7ecti+a3daca oricarei ima%ini dincodomeniu ii corespunde unori%inal din domeniul dede*initieExemplu 2unctie in7ecti+a$ie *unctia * &Ka, (L Kc, dL , cu procedura din $i%ura-ma%inii *unctiei *(x1) ii corespunde ori%inalul x1-ma%inii *unctiei *(x2) ii corespunde ori%inalul x2-ma%inii *unctiei *(x#) ii corespunde ori%inalul x#*ezulta ca %unctia %+x,este in#ectivaExemplu 2unctie care nu este in7ecti+a$ie *unctia * &Ka, (L Kc, dL , cu procedura din $i%ura-ma%inii *unctiei *(x1) ii corespundeori%inalul x1-ma%inii *unctiei *(x2) ii corespunde ori%inalul x2a si x2(*ezulta ca %unctia %+x, nu este in#ectiva22Exemplu 2unctie nonin7ecti+a1ie 2unctia * &* (x) sin xR Re f. /ase demonstreze ca nu estein0ectiva-ma%inii *unctiei *(x1) ii corespunde ori%inalul x1a si x1( deci nueste in0ectiva*ezulta ca %unctia %+x, nu este in#ectivaExemplu 2unctie 1ie 2unctia#% & ,2 2%(x) sin x 1 1 ]Re f. /a sedemonstreze ca estein0ectiva-ma%inii *unctiei %(x1) ii corespunde ii corespunde ori%inalul numaix1,deci *unctia %(x) este in0ectiva*ezulta ca %unctia )+x, este in#ectiva8e2initie 2unctiesur7ecti+a3daca oricareiima%ini din codomeniu iicorespunde macar unori%inal din domeniul dede*initieExemplu 2unctie sur7ecti+a$ie *unctia * &Ka, (L Kc1, dL , cu procedura din $i%ura-ma%inii *unctiei *(x2) ii corespunde ori%inalul x223*ezulta ca %unctia %+x, este sur#ectivaExemplu 2unctie care nu este sur7ecti+a$ie *unctia * &Ka, (L Kc, dL , cu procedura din $i%ura-ma%inii *unctiei *(x1) nu ii corespunde nici un ori%inal-ma%inii *unctiei *(x2) ii corespunde ori%inalul x2a si x2(*ezulta ca %unctia %+x, nu este sur#ectivaExemplu 2unctie nonsu7ecti+a1ie 2unctia * &* (x) sin xR Re f. /a se demonstreze ca nu estesur0ectiva-ma%inii *unctiei *(x1) ii corespunde ori%inalul x1a si x1( -ma%inii *unctiei *(x2) plasat in a*ara intervalului K31,1L nu iicorespunde nici un ori%inal *ezulta ca %unctia %+x, nu este sur#ectiva24Exemplu 2unctie 1ie 2unctia [ ]#% & , 1,12 2%(x) sin x 1 1 ]

e f. /a se demonstreze ca estesur0ectiva-ma%inii *unctiei %(x1) ii corespunde ii corespunde ori%inalul numaix1,deci *unctia %(x) este in0ective*ezulta ca %unctia )+x, este sur#ectivaExercitiul nr.1 /a se demonstreze ca *unctia * &K7, ) K#, ),*(x)>2xD# este in0ectiva.Exercitiul nr.! /a se demonstreze daca *unctia 2* & ,*(x)>x R R este in0ectiva si sur0ectiva. Exercitiul nr." /a se demonstreze daca *unctia 2* & ,*(x)>x # R R este in0ectiva si sur0ectiva.Exercitiul nr.# /e da %ra*icul unei *unctii* & R R. /a se determine procedura, si sa se determine daca aceasta *unctie este in0ectiva si sur0ectiva.Exercitiul nr.$ /e da %ra*icul unei *unctii* & R R. /a se determine procedura, si sa se determine daca aceasta *unctie este in0ectiva si sur0ectiva.25Exercitiul nr.& /e da %ra*icul unei *unctii* & R R. /a se determine procedura, si sa se determine daca aceasta *unctie este in0ectiva, sur0ectiva, (i0ectiva.Exercitiul nr.' /e da %ra*icul unei *unctii* & R R. /a se determine procedura, si sa se determine daca aceasta *unctie este in0ectiva, sur0ectiva, (i0ectiva.Exercitiul nr.( /e da *unctia x* & * (x) , A11 ( 1)x +R R. !eterminati domeniul maximde de*initie, reprezentati %ra*ic aceasta *unctie si determinati daca acesta *unctie este sur0ectiva peacest domeniu.Exercitiul nr., /e da *unctia x* &K7,1L * (x) , A11 ( 1)x +R. Reprezentati %ra*ic aceasta*unctie si determinati daca acesta *unctie este sur0ectiva pe acest domeniu.Exercitiul nr.1- 6nalizati daca *unciile elementare cunoscute sunt in0ective si sur0ective. $uncia polinomial $uncia raional $uncia radical $uncia putere $uncia exponenial $uncia lo%aritmic26 $unciile tri%onometrice directe sin, cos, t%, ct% $unciile tri%onometrice inverse arcsin, arccos, arct%, arcct%Exercitiul nr.11 /a se determine inversa *unctie *(x) de*inita la exercitiul ..Exercitiul nr.1! /a se determine inversa *unctie *(x) de*inita la exercitiul 8."." 9iruri ca 2unciiExercitiul nr.1. $ie * & ` a7b K 1,1L R o *unctie de*inita ast*el 1* (x) cosx . !aca K 1,1L atunci exista( )nn 1x un sir dinR conver%ent a.i.nnlim* (x ) .Exercitiul nr.! /a se determine si a.i. *unctia# # 2 # 2 2#* (x) x x 1 x x sin x 1,x + + + + R are limita la+si este e%ala cu 1.Exercitiul nr."$ie *unctia 2* (x) ax (x cx 1,unde a, ( 7 + + >. /a se a*le a,(,c a.i. * sa ai(a asimptota la+ o paralela la dreapta C 2x 1 + si asimptota la e%ala cu 31.Exercitiul nr.#/a se determine a.i. *unctia ln(x 2) xA7* (x)xx@7 + 'sa ai(a limita in punctul 7.Exercitiul nr.$/a se determine a, (R a.i. *unctia sin x x 7* (x)ax ( x@7 '+sa ai(a limita in punctul 7.".#.1uncii continue. 1uncii deri+abileExercitiul nr.1 /a se arate ca *unctia # 22 2x C daca(x, C) (7, 7) *(x)> x C7 daca(x, C) (7, 7) ++' este continua pe 2R./a se arate ca * nu este continua in punctul (7,7)Exercitiul nr.!/asearateca*unctia* & (1, ) R 2x 1 *(x)>x 1+nuesteuni*ormcontinuape(1, ) .Exercitiul nr." /a se arate ca *unctia x22 x 1 *(x)>x 3'xD' x 1 , n Nn* (x)11daca x , n Nn ' . 6tunci * este continua si deriva(ila in 7.Exercitiul nr.' $ie * &K 1,1L Ro *unctie de*inita ast*el22sin x cos xdaca x 7* (x)ax D(xDcdaca x 7, a,(,c+ '< R./a se determine a,(,c, a.i. sa *ie de doua ori deriva(ila peR.".$. *roprieti ale unei 2uncii3 mrginire4 monotonie4 simetrie4 peridicitateExercitiul nr. 1 / se determine *unciile nenule* & R R care satis*ac condiia& xN*(C)DzN*(x) > (xDz)N*(x)N*(C) pentru orice x,CR. Exercitiul nr. ! $ie* & R R o *uncie de*init ast*el & *(7)>1 )i *(x)>7, pentru orice x#7. / se arate c nu exist 1 2* , * & R Rdou *uncii (i0ective a.. *>*1D*2.Exercitiul nr. "$ie * & R Ro *uncie ar(itrar. 6tunci exist dou *uncii sur0ective1 2* , * & R Ra.. *>*1D*2Exercitiul nr.#$iea7)i* & - (a, ) Ro*unciea.. *unciax c 1x * (x) x -x a estemonoton descresctoare. 6tunci & *(xDC) d*(x)D*(C), pentru orice x, C - Exercitiul nr. $ $ie * & (7,1) Ro *uncie de*init ast*elx* (x)1 x+. /se arate c * este strictcresctoare, sur0ectiv )i s se determine apoi * 31.Exercitiul nr. & / se arate c *unciile sin, t%, ct%, s%n sunt *uncii impare,iar *uncia cos este*uncie par. Exercitiul nr. ' $ie6 Ro mulime simetric )i* & 6 Ro *uncie. / se arate c atunci exist dou *uncii 1 2* , * & 6 Ra.. *1 este par, *2 este impar )i *>*1D*2.Exercitiul nr.(/searatec*unciiletri%onometricesunt periodice. /searatec*uncia*(x)>sin(x2) nu este periodic.28Exercitiul nr. ,/ se arate c *unciile & * & R R, *(x)> arcsin(sin(x)) )i% & R R,%(x)>arccos(cos(x)) sunt periodice )i au perioada minim 2N:.Exercitiul nr. 1- $ie* & R Ro *uncie periodic )i monoton. 6tunci * este constant.Exercitiul nr.11$ie1 2* , * & R Rdou*uncii periodice. !ac*1posedoperiod51)i *2operioad52, a..51E52estenumrraional, atunci *1D*2, *13*2, *1N*2)i*1E*2(c2t estede*init)sunt*uncii periodice. !ai exemple.".& oiunea de asimptot a unei 2uncii 6simptote & !reapta verticala, orizontala, o(lica *ata de care %ra*icul unei *unctii se apropie oricatde mult. 6simptota +erticala3 $ie* &Ea R R R Rdreapta asimptota x>a &Ba stan%a& x ax alim* (x)< + saux ax alim* (x)< Ba dreapta& x ax alim* (x)> saux ax alim* (x)> + 6simptota orizontala3 dreapta C>n este asimptota spre+ daca& xlim* (x) n, unde n este *initdreapta C>nV este asimptota spre daca& xlim * (x) nW, unde nW este *init 6simptota oblica3$ie dreapta* &E(a,()a E R R E Rdreapta C mx n +esteasimptota spre +daca& xlimK* (x) mx nL 7 $ie dreapta * &E(a,()a E R R E Rdreapta C mW x nW +este asimptota spre daca&xlimK* (x) mW x nWL 7 unde x x x x* (x) * (x)m limn>limK* (x) mxL mW lim nW>limK* (x) mW xLmW 7 x x Exercitiul nr. 1 $ie *uncia* & R R de*init ast*el &1E x,pentru x 7* (x).,pentru x7> ' s se traseze %ra*icul *unciei su(liniind natura asimptotelor, dac exist.Exercitiul nr.!$ie*uncia * & R Rde*initast*el21* (x)x 1+. /asedetermineasimptotaorizontala.Exercitiul nr. "$ie *uncia * & R Rde*init ast*el22x 2* (x)x 1+. /a se determine asimptotaorizontala.Exercitiul nr. #/a se determine asimptotele verticale ale *unctiei * & ! Rde*init ast*el22x 1* (x)x 1+ . 29Exercitiul nr. $/a se determine asimptotele orizontale si o(lice ale *unctiei * & ! Rde*initast*el 22x 1* (x)x 1+ . ".'. Studiu3 intersecia cu axele de coordonate4 mulimea imagine4 +alorile 0n puncte Exemplul 1.$ie dreapta C>.NxD9... /sedetermine intersecia cuaxa a(sciselor )i cuaxaordonatelorExemplul !. Ecuaia dreaptei de operare a unui proces de distilare continu este C > 7. 7.# m )i conductivitatea termic g2 > 7.7' hE(mNH). /e )tie c *aaextern a plcii 1 are temperatura t1> 2.7 G, iar *aa extern a plcii 2 are temperatura t2> .7 G.ondiia de conducie a cldurii n re%im staionar este &(t1 Utx) N g1Ef1 > (tx Ut2) N g2Ef2 / se reprezinte %ra*ic pro*ilul de temperatur n cele 2 plci ce *ormeaz peretele solid. Exemplul ". / se determine domeniul de *eza(ilitate din plan pentru punctele de coordonate (x, C),x e K7, .L )i C e K7, #L, dac sunt impuse urmtoarele condiii &.NC U x i 7, C D 7..N x U '.. d 7 )i respectiv C U x U 1 d 7/ se reprezinte %ra*ic acest domeniu.Exemplul #. / se reprezinte %ra*ic mulimea punctelor din plan de coordonate (x, C), x e K7, 2L )i Ce K31, 1L dac sunt impuse condiiile &302NC D x U 2d 7, C U x D 1 i 7 )i x d 1C D 2Nx U 1 i 7 )i x i 1Exemplul $. / se reprezinte %ra*ic mulimea punctelor din plan de coordonate (x, C), x e K7, 2L )i Ce K7, 2L, dac sunt impuse condiiile &C U x U 1d 7, C U x D 1 i 7, C D x D 1 i 7 )i C D x U # i 7Exercitiul &./asereprezinte%ra*ic*unctia * & R R,1 2 ) ( + x x %. aresunt coordonatelepunctelor de intersectie ale %ra*icului *unctie * cu axele de coordonate ;x si ;C. /ta(iliti care dinurmatoarele puncte apartin %ra*icului *unctiei& 6(1,1) si Q(7,2).".,. 1uncii de gradul al ::;lea4 reprezentare gra2ic. )ecunoaterea parabolei4 a cercului4a elipsei4 a hiperbolei. :necuaii determinate de 2uncii de gradul al ::;lea ireprezentarea mulimilor determinate de ele.Exemplul 1./ se reprezinte %ra*ic *uncia de %radul -- *& K7, 2L j K7,1L, *(x) > x2 U x. ?nde aremaximul O are sunt valorile minime ale *unciei OExemplul !. / se determine punctele de intersecie ale cercului x2DC2 U 1 > 7 cu para(ola C>aNx2, unde a este numr real. !iscuie. Exemplul ". / se determine punctele de intersecie ale elipsei x2 D 2NC2 U 1 > 7 cu ,iper(ola C>aEx,unde a este un numr real. / se reprezinte %ra*ic pentru a>1. !iscuie.Exercitiul #. /a se reprezinte %ra*ic *unctia* & R R, '< < + 1 x 131 x 1 3 131 x 1) (2x x %".1-. 1uncia exponenial3 operaii4 gra2ic4 +alori importante. 1uncia logaritm cu bazae3 operaii4 gra2ic4 +alori importante. Exemplul 1. / se reprezinte %ra*ic *uncia *&K7,2LjK1, k), *(x) > ex. / se determine *(7), *(1), )i*(ln(x))Exemplul !. / se reprezinte *uncia *&K29#, #9#LjR, *(5)>1717Nexp(317E5)Exemplul ". / se reprezinte *uncia *&K29#, #9#LjR, *(5)>.3277E(2.735)Exemplul #. / se reprezinte *uncia *&K.7, 2.7LjR, *(t)> (t3.7)Eln(tE.7) ;(s. 6ceasta reprezint media lo%aritmic.Exercitiul $. $ie *uncia *&K7,1L) , x x x xb a b a +1 1> *(x), unde a,(A7,1 .a. / se arate c * este descresctoare pe 1]1

21, 7)i cresctoare pe 1]1

1 ,21.31(. / se arate c pentru orice xK7,1L avem b abababa abx x+ ,_

+ ,_

2.Exercitiul &.$ie *uncia ( ) ( ) ]m x m x m x %a# # 9 1 . lo% ) (2+ + + + , undeR m , 1 7, A a ./ sedetermine m, ast*el ca domeniul de de*iniie al *unciei * s *ie R. / se determine minimul saumaximul lui *(x).Exercitiul '. /tudiati monotonia *unctiei&* & R Rx x1 1* (x). 2._ _ +, ,.Exercitiul (. /tudiati monotonia *unctiei&* & R Rx x x* (x) 17 177 1777 + + .Exercitiul ,./e considera *unctia&* & R Rx1* (x)2 _ ,. /a se calculeze * (7) * (1) ... * (') + + +.Exercitiul 1-./a se determine domeniul maxim de de*initie al *unctiei * & ! R,( )#* (x) lo% #x . .Exercitiul 11.$ie *unctia( ) * & 7, +R, 2* (x) . lo% x . /a se calculeze .* (1) * (2) .Exercitiul 1!./a se determine domeniul maxim de de*initie al *unctiei * & !R,( )12* (x) lo% x # +.".11:ntegraladintr;o2unciepoziti+i interpretareaei caarie. *rimiti+eleprincipalelor2uncii. 5etode de integrare3 metoda substituiei4 metoda schimbrii de +ariabil. (. Exemplul #. / se %seasc partea ntrea% )i prima zecimal a urmtoarelor numere& 2 2 2 m, < 1, < ' , + + + a n n b n c n n n Exemplul $. $ie x R )i expresia 1]1

+ 21x L x K L x 2 K ) x ( ", unde s3a notat cu KxL partea ntrea%a numrului real x.a) / se calculeze) 2 ( " )i) # ( " .() / se demonstreze c "(x) > 7, pentru orice valoarea real a numrului x1K7,2_,.c) / se arate c 1" x "(x)2 _+ , )i )i s se deduc c "(x)>7pentru orice x3real.d) / se calculeze valoarea sumei 1]1

++ +1]1

++1]1

+27112717222 2717...22 271721 2717/.#.". 6proximarea soluiilor unei ecuaii cu metode numerice /metoda coardei4 metodatangentei)Exemplul1./se%seascsoluii aleecuaiei x#U#NxD1>7cumetodacoardei )icumetodatan%entei.Exemplul !./se%seascsoluii aleecuaiei e3xUx2>7cumetodacoardei )i cumetodatan%entei. !iscuii. Exemplul "./serezolveecuaialui +annin%, caredescriede(itul nal unui *luidcarearead2ncimea , ntr3un canal. Ecuaia se poate pune su( *orma &*(,) > n U ((N,).E#N/1E2E((D2N,)2E#En > 7!2ndu3se valorile parametrilor&(>#7, n>1777, />7.772, n>7.722, s de determine ad2ncimea ,alic,idului n canal, utiliz2nd metoda coardei )i apoi metoda tan%entei. !iscuie. Exemplul #./ se %seasc soluii alte ecuaiei x'D #Nx U ' > 7 cu metoda coardei )i cu metodatan%entei. !iscuie. Exemplul $. !iscutai aplica(ilitatea metodei tan%entei pentru rezolvarea ecuaiei &*(x) > x.311Nx'D'8Nx#3 73536