Anton NEGRILAMaria NECRILA

Soluliile testelor de autoevaluarepot fi consultate la adresa:

https:i/www.ed itu rapa ralela4 5.r o Idown load/soluti i_teste_de_autoevaluare

_consolidare_clasaT_p1 _2O1 9 -2020.pdt

IIIflTGMAIIGfr

nlUGIrfl

us0mEttiG

Gla$a a Ull-t[art8a tedifia a Vlll-a, revizuitd ;i addugitd

mftG 2000 - GoltsolldrrG

Cuprins

RECArITULARE $I EvALUAnT rxrlrarATeste cu exercilii qi probleme recapitulative pentru pregdtirea testarii initiaIe.................-i

ALGEBRA

Capitolul I. MULTIMEA NUMERELOR REALERldicina p[trat5....... ....................1]1. Rdddcina pdtratd a unui numdr natural pltrat perfect.................. ............12Test de autoevctluare ....................... i 72. RddScina pdtratd a unui numdr ralional nenegativ ..............19Test de autoevaluare .......................25Mul{irnea numerelor rea1e............ ....................211. Modulul unui numSr real. Reprezentareape axd a numerelor reale.Aproximari gi rotunjiri. Ordonlri..... ............"......21Recapitulare gi sistematizare prin teste ............ .......................322. Reguli de calcul cu radicaii .........32

2.1. Produsul radicalilor. .............322.2. Cetu] radicalilor .."................332.3. Scoaterea factorilor de sub radical......... ......................342.4.Introdttcerea factorilor sub radical ...........i4

3. Operalii cu numere reale............ .....................37Test de autoevaluare .......................434.Ra\ionalizarea numitorului unei frac{ii .......... .....................455. Formule de calcul prescufiat .......546. Media geometricd a doud numere reale nenegative ............. ...................577. Probleme de matematicd,aplicatdin via{a cotidian5..... .......61Recapitulare qi sistematizare prin teste............ .......................0fTest de autoevaluare .......................65

8. Ecua{ii de lbrma12: rz, a e JR. .....,.,.,,...,,.,..,.,,6]

9. Probf eme dc maternatica aplicatl in rilr!a coli,iiianf,...... ..........................1 1

Recapitulare qi sistematizare prin tcstc. . . .........72PROBLEME PENTRU PERFORM a gr rnrcATrREA

5. Rombul... .................93Test de autoevaluar;..."......".:......................................:.....:::...........................................9s6. Pdtratul ....................97Test de autoevqluare .......................99Recapitulare gi sistematizare prin teste ............ .....................1017. Centrul de simetrie qi axe de simekie pentru poligoanele studiate........ ...................1028. Trapezul ................1049.Linia mijlocie intrapez .............107Test de autoevaluare .....................10910. Aria triunghiului gi aria patru1ateru1ui........ .....................1l lTest de autoevaluare .................. .......................I 151 l. Probieme de maternaticd, aplicatd, in viala cotidiand..... ....................... I l7Recapitulare qi sistematizare prin teste . ... ........ ........... .......... I 1 8

Capitolul II. CERCULCercul ....l 19l. Poziliile relative ale unei drepte fald de un cerc........ ........1212. Triunghi qi pahulater inscrise intr-un cerc ............. ...........1253. Poligoane reguiate inscrise intr-un cerc ............. ...............1284. Lungimea cercului qi aria discului ................ ....................130Recapitulare qi sisternatizare prin teste ............ .....................131Test de autoevaluare .....................133

capitolul III. ASEMANAREA TRTUNGHTURILOR1. Raportul a douS segmente. Teorema lui Thales ................135

1.1. Raporhrl a doud segmente..... .................1351.2. Teorema lui Thales ............138

Test de autoevalware .....................1452. Teorema fundamentald a asemdndrii. Criterii de aseminare a doud kiunghiuri .......147

2.1. Teorema fundamental5 a asemdnlrii .............. ...........147Test de autoevaluare .....................153

2.2. Criterii de asemdnare a dou6 triunghiuri... .................1553. Probleme de matematicd, aplicatd, in viala cotidiani..... ..... 159Recapitulare qi sistematizare prin teste ............ .....................159

MODELE DE TESTE PENTRU EVALUAREA FINALA. .,.................162

MODELE DE TEZE SEMESTRIALE............ .....................t64

PROBLEME PENTRU PERFORMANTA $COLARA $I PREGATIREAOLIMPIADELOR........ ..................167

rNDrcATrI $r RASPUNSURr.......... ................169

Algebrd & & octivit6

Capitolul IMulfimea numerelor reale

Copiali qi completati urmi

a) Scrieli toate pAtratele pb) Scrieli toate numerele

1

c) Scrieli pdtratele perfectDeterminali numerele ralia)25: b) 64; cDescompuneli in factori pa) 36; b) 64; c'

s) 28. 81; h;49.64.-<::Stabiliri care dintre urmitra) 36; 4; 1.5; 56; 169; 190:a1n2; ?9)o;38; (-7)5: l8c1 58r:76r-4: 2g,a

tr. 15.:-,

Fie A :{-4; -3; -2; -1: O:

a) Determina{i elementele

b) Determinali elementele

Stabiliii valoarea de aderd

q Ju:s;r------------:

d) ,le$2)' :432;

il lG64a1.:go''Rezolva{i ecua}iile:gf :36;il -2f : -72;s) -3f + 175: -257;j) (x + 4)' :9;

(i) in mullimea numere(ii) in mullimea numen

Folosindformula 1*a+e

a) .6+1,under:1+2q Jrx+l,undex: I +.q

^l4x+l,undex:1 +jd) "rE;+l,undex:1+l

(,I

HH

oov)C'\)rci.9.FoEo).F(,€

t2

ff!, co*peten!* speeifice

ldentificarea numerelor aparlinand diferitelor submullimi ale lui lR.

Aplicarea regulilor de calcul pentru estimarea 9i aproximarea numerelor

reale

Utilizarea unor algoritmi 9i a propriet5lilor operaliilor in efectuarea unor

calcule cu numere reale

Folosirea terminologiei aferente noliunii de numdr real (semn, modul,

opus, invers)

Elaborarea de strategii pentru rezolt area unor probleme cu numere

reale

Modelarea matematicd a unor situalii practice care implicd operatii cu

numere reale

lElg 1. Ridicina pltrati a unui numer natural pitrat perfect

Numdrrll natltral r se nLuncQte pitrat pcrfect dacd existi numdrul intreg a cu

proprietatea c'ax: a2,unde a e Z.

Num[rul la se numeqte rldicina pitrat[ a numdrului r qi se noteazd", J, .

O Dacd ;r este un numdr natural nenul, pdtrat perfect, atunci existd dou[

numere distincte al cdror pdtrat este r, qi auume Ji qi -G . Evident cd numai unul dintre

ele este num[r natural. De aceea, daci a e Z, atrrnci "!7 : |'l'

a) x: a2 implicb J; ='[7: ] a I b) Dacd a> 0, atunci ^[7 - o'

../ioo = Jrrr - lrol : 1o; ^64 :t5t: -81 - 8;

"6.'t =.,,(trr''t' :15ry'l: sy'1, l.

E{. Copiali qi completali urmitorul tabel (r e

O O O octivitdti de ?nv6!ore O O O

a) Scrie{i toate pdtratele perfecte mai mici decAt 90.

b) Scrieli toate numerele pdtrate perfecte cuprinse intre 140 gi 290'

c) Scrie{i pStratele perfecte de trei cifre, mai mari ca 300.

Determina(i numerele ra{ionale care au pdtratul egal cu:

a) 25: b) 64 c) I 2 I ; d) 129: e) 1296.

Descornpuneli in factori primi numerele utmitoare gi arita{i ci sunt pdtrate perfecte:

a) 36; b) 64; c) 1; d) 169; e) 324; D 529;

g)28 8i; h)49.64.52; i)43.5r'; j) 163 (-5)a; k) 121 '1693.

Stahiliti care dintre utmltoarele numere sunt p[trate perfecte:

a) 36;4; 15; 56; 169;190 196;225;244;256;b) 132; (-9)o;3t; (-7)5; 183; (-12)'t; (-21)'; (-28)u;

C) 5s";'76n*4; ?3""i' 15'1+n' 12." n*n,n>l,re N.

Fie,l-{-4; -3;-2;*l:0; l; 2;3;4;5} qiB:{,vly:x2,xe A}-

a) Determinati elementele mullimii B.

b) Determina{i elernentele mullimii C:{, , = Ji, y. B}"

Stabiiiti valoarea de adevir a utmdtoarelor propozilii:

o) J-o+ - s; c) ^,ltzl :123;^ l-- - )t) {(-Z)a- )- - )d-;d) \,(-432t' - 432: e) '[4sl

: 7 a, ct < o;

*; ,f-6aoy -sa'; h) JSlrYl :ea4b,b <0.

Rezolvali ecua{ii1e:

z):

a; x2 :36;d) -2x2 =.-12;

b) x2: t600;e) x2 + 9:265;

cl) 5xz :2450r'- 14: 155;

i)(x-3)2:4;l) -144 - (, - 5)' - -22s

oI

HH

(,oV}o\):o.9{-oEq)+(,

=

g) -3r2 + 175: -257; h) -2x2 + 21 - - 101;

j)(r+ 4)2-9; k)25-(r+3)2:9;(i) in mullimea numerelor naturale;(ii) in mullimea numerelor intregi.

Folosind fbrmula 1 i a * a2 + a3 * ... * e" :t-1, un4e a + 1 qi ne N., calcul.1i:o-l

a) .,/-r+t, under - 1 + 2 + 22 + 23 + ... + 2201;

b) JZr.+1, uncler: I + 3 + 32 + 33 + ... + 32an;

c) G-"+f ,unde-r:1+ 5 +52+5r+... + 5rse;

d) .",8r+1, undex: 1 + 32 + 31+ 3o+... -r 3e8;13

x -5 -3 a 0 9 l2)x- t6 36

e) J3tr+i, under: I +62 + 64 + 66 + ...r 6i'o;

0 .,Gir+ l, under - I + 82+ 84+ 8('+... r 32013.

'f; &. ArSta[i ci.t este un numir natural pirtrat perfect.

a).r:(1 )'2+3 +...'.98)--491 b)r= 1+3 +5 +...+225;c).r= 1-r 3: 5+...+2019; d)x'2+ 4+6+... f 2018+1010;

e).r:3 + 6 + 9 + 12 +... + 864 + 41616;

fl"r=.3(1 +3+5 +J+ "..+2Al7) -1009 2018.

{ {, Calculafi -l qi ar:6ta{i cd este patratul unui num6r natural, dup[ care calculafi Ji :

a)"r: 2(1 + 2 + 3 +... + 98) + 99; b) -r - 8(1+ 2 + 3 + ... + 49) + 1225;

c),r-2-r4 *6 t 8 *... + 648 -3242; d)r- 1 +21-3 + 4+ ...1-224+ 16' 450;

e).r-.2 +4 r()+ 8+... +450-2252; 0-r:3(l +3+5+.'.+99)-5000;g)r:Z +4+6+ 8+...+ 100-25'2. h)x:1 +2+3 +...1'120+2'242.

{2- Calcula{i numirul natural ,r: qi aratali ci este pdtratul unui numdr natural, dupd care

calculati Ji:a)r -9- 8(9t 92+93 + ...+ c)" r), ii e N, r>2;b)x-25:24(25+252 r25r+... +25' \,re N,n )2;

c)r- l6: 1-5(16+ 162+ 16] -r... r 16'or), n e N;

d) -r-- 4 -- 3(4 r 42 'r 43 + ... + 4u-:), ri e N.

{ 3" Arirtati cf, numirul -r este pdtrat perfect" pentru orice n e I'1, unde:

.i- : 3l7r-3 . 42nt3 - ));r.) . 62nt3 .

{4. Se ilau mtmerele:

a:2 I 23 +25 j 21 t "..ar)0i7 + .l20regi &:1 + 22+24+26+...+22016 12?018.

Ardtati cf, numdrul x '- u 1 6 -l I este un p[trat perfect.

t S. Ar5.ta[i cf, umrbtoarele numere sunt pf,trate perfecte, dup[ care calculali Jr :

b)r:4+8+12+... f 196;

d)"r.= I + 3 + 5 + ... + 2021;

{ 8. Ar[tali c6, pentru orice r

a)r-5n l-3;e) x: 6n + 2; f) .',

i)x:8+82+83+81*..19. Ardtali cd numdrul n:r20, Arlftali cI numErul I :numdrul natsral n.

2{. Fie numlrul natural a =

Ja este natural par, (V) n e

22. Fie num5rul natural a =

Ja este natural par, (V) n e

23. Efectua{i:

a) [a':67'il+sf ,

D ,b 4 ;.[o' .s'' ,!24. Calcula[i:

al J* a'V ;

s) b;'? ;

I .l?-tr t^ ;

25. Calculali:

il Je3f ; b) .fu; s) il--{

k) s,',,; l).[526. Folosind descompunerea

a1 ffi: Jtm; Jox,,c) J6oo; Jt2%; "lnA

27. Folosind algoritmul de e

il J37T; "'h%6; J46lO J2tr6; \8481; J38+

28. Calcula\i:

a) Jiu+o +J28s156 -.cl Jngqat +J:or+or -

c,IHHoov)o\)rci.9{-gEq).Fo

=74

a) r :f + 12 + 18 +... +2tJ8;

clx,=. l+-l r 5 r"..+ 1001.

e).r- 1203 )' 2 + 4 | 6 + ... + 2444.

'16. Aritali cd numerele de mai jos nu pot fi pdtrate perfecte:

a) "r :2 + 2) + 2:\ t 2a +" ... I ,ro('ii^ b).r .I + 32 t 3t - 3l - ... + 32ool.*7,a),{rita{i cinurrrdrulx--1010+2'+4+6+8-f...+20lSestepdtratperfectqicalculati Ji.

b)Arata{icdnumirul q:13)..289+ lt2+ 3 1'...+288estepdtratperfectqicalcula{i

J;c)Aritatic6nurndrul n-3612 -2(l + 2+3+... F360)estepitratperfectqicalculafi

J;d)Aritalicinttmirntl n:{itf20+21 +22t...+3lestepdtratperfectgirezolva{i

ecuatia x2 : n.

e) Ararali ch numirul n - 24:l - 12402 + 3 . 240) este pdtrat perfect si calculali ",6 .

ffir"r.

Geometrie

Capitolul IPatrulatere

';,,: : .::l;i,'' 1:'. 'r:' -.i,::'"i': '

tt ldentificarea patrulaterelor particulare in configuralii geometrice date

,i , Descrierea patrulaterelor utilizAnd definilii gi proprietili ale acestora,

in configuratii geometrice date

" , Utilizarea proprietElilor patrulaterelor in rezolvarea unor probleme

; Exprimarea in limbaj geometric a noliunilor legate de patrulatere

' Alegerea reprezentdrilor geometrice adecvate in vederea optimizeriicalcul5rii unor lungimi de segmente, a unor mdsuri de unghiuri gi

a unor aril

, Modelarea unor situafii date prin reprezentiri geometrice cu patrulatere

f!@ '1. Patrulatere convexe

Definille, Poligonul cu patru laturi se numegte patrulater.Deflnilie, Un patrulater se nume$te convex daci dreapta suport a oriclreia dintre laturi

nu separd celelalte vdrfuri ale poligonului care nu se aflI pe latura dati.Definilie" Un patrulater se nume$te concav dac6 existi o dreapt6 suport a unei laturi

care separd celelalte vdrfuri ale poligonului care nu se afld pe latura dat6.Teoremi. Suma mlsurilor unghiurilor unui patrulater convex este egal6 cu 360".

O O O octivit6ti de ?nvdtore O O O

{ . Mdsurile unghiurilor I , B qi C ale triunghiulti ABC sunt propodionale cu numerele 4, 5

qi 3 . Perpendiculara in C pe -BC intersecte azd paralela prir, A la B C in punctul D. Calculatimdsurile unghiurilor patrulaterului ABCD.2. in patrulaterul convex ABCD se gtie ce m(<B) : 2 . m(<A); m({C) : 3 . m(<l) qi

m(<D) :2.m(<B).a) Calculati misurile unghiurilor patrulaterului.b) Aretatri cI diagonala AC nu poate fi congruentl culat.xa AB.

oIHHc,<,vloG:<i.()+(,Eq)+C'

=T7

*PE

(,Il{H(,(,ttoG)ci.9+oEq).t-o

=78

3. Determinali mdsurile unghiurilor unui patrulater convex, qtiind c[ acestea sunt propor-

lionale crt3,4,5 qi, respectiv, 6.4. Suma mdsurilor a doul dintre unghiurile unui patrulater convex este 170". $tiind c5patrulaterul are trei unghiuri congruente, calculali mdsurile unghiurilor patrulaterului.5. Determinati mdsurile unghiurilor unui patrulater convex ABCD qtiind cd sumamdsurilor unghiurilor B gi D este 150o, suma misurilor unghiurilor A, B qi C este 295' gidiferenta mdsurilor unghiurilorl gi C este 20'.6. Determinati misurile unghiurilor unui patrulater convex, qtiind ci acestea sunt directproporfionale cu 3, 5,7 qi9.7. Determinati mdsurile unghiurilor unui patrulater convex, qtiind cd acestea sunt directpropor[ionale cu 1, 2,3,4.8. Calculatri mdsurile unghiurilor unui patrulater convex ABCD ale c5rui unghiuri verificd

egalititrile: m(<C) :1 *r*rrm(<D) : * *,*r' m(<A):, i .foq.

9. Determina{i mdsurile unghiurilor unui patrulater convex, gtiind c[ sunt invers propor-

tionale cu numerele 0,(3);0,25;0,125 gi, respectiv, 0,(1).

E'lo. Triunghiul ABC isoscel are m(<l) : 36o qi lABl = [Aq.gtiind c[ [BD estebisectoarea <ABC, D e (,4Q, qi E este mijlocul laturii AB, calculali mbsurile unghiurilorpatrulaterului convex BCDE.'l {. in triunghiul ABC, AD L BC, D e (BQ qi m(<C) : 40" . Se gtie cd 11 este mijloculsegmentului lADl qi c5, M este mijlocul segmentului lDq, BH L AM. Calculati m6surileunghiurilor patrulaterului AC MN, unde MH n AB : {1V} .

'12. inpatrulaterul conyex ABCD, m(<A):4}o,misura unghiului B este de Zl ori mai5

mare decdt mdsura unghiului l, iar mdsura unghiului C este egal6 cu media aritmetic[a primelor doul unghiuri. AflaJi mdsurile unghiurilor patrulaterului.13. Calculatri misurile unghiurilor unui patrulater convex ABCD, gtiind cd mdsura

unghiului -B este dublul mdsurii unghiului l, mdsura unghiului C este egald cu 1 airt"8mdsura unghiului B, iar <D = <C.{4. Determina}i mlsurile unghiurilor unui patrulater convex ABCD, gtiind cd mdsurileunghiurilor A, B, C sunt proporfionale cu 4, 5 gi 6, iar mdsurile lui C gi D sunt inversproporfionale cu 0,5 qi 0,(3).'15. gslsuhtri mSsurile unghiurilor unui patrulater convex care are toate unghiurile congruente.'f 6. Aflatr mdsurile unghiurilor rinui patrulater convex ABCD in care mdsura unghiului Ieste media aritmeticd a celorlalte trei mdsuri, mdsura unghiului B este media aritmeticda m6surilor unghiurilor C qi D, iar mlsura unghiului C este jumdtate din mlsura unghiului D.

@17 , gs1su,1atri mdsurile unghiurilor patrulaterulu i convex ABCD, gtiind c5:

m(<A) : 1,25. m(<C); m(<O : 0,(6) . m(<B) 9i m(<D) : 0,1(6) . m(<B).

'. Mdsurile unghiurilor -...11 I

numerele -;- si -. Para.:..3 2' 4in punctul M. Calculali ma.u:

in patrulaterul conver .j-

invers proporfionale cu nur.-.

patrulaterului ABCD.in patrulaterul conr er i j

: 29" $i n(<BDC): 56'. C:.;in patrulaterul conr er '.

triunghiul MlrlP este dreprur -_

unghiurifor QMhl: M\P >i.::.Fie MNPQ un parrulat::

perimetrul triunghiului 0\., ,

ci perimetrul patrulatemlui ,.-1

' Patrulaterul conver l.f,perimetrul egal cu 82 cm ::..VQP.' Afla1i mSsurile unghru-. -

cste media aritmetica a n..:_aritmetici a unghiurilor -\' s:

misura unghiului P.

EDin patrulaterul conver ,\1.,

se iau punctele Z gi R, astfel in,

a) l,MQl=tPQl;in patrulaterul conr.er ,,I

tW:- [/P] ei l.PQl:-Le\t. Ia) INQ] este bisectoarea ur..Observalie. Un patrulater 1I

2. Paralelograr

Paralelogramul e-.te

dou5.

Un patrulater convex este pcondiliile urmdtoare:

are laturile opuse congr*are doud laturi opuse pa:unghiurile opuse sunt c.,oricare doul unghiun a.,diagonalele sale se tarc ,:

exersare **

rai

ce

te

lr

u1

tc

.l -1

tlcaiD,

25. in patrulaterul convex MNPQ, unghiurile M qi P sunt drepte. Pe laturile tMQl Si lpQlse iau punctele 7 qi R, astfel incdt lMIl= [PR] qi <MTN = <NRP. Ar[ta{i c6:

a) lMQl=lPQl; b) [QNeste bisectoarea unghh,ilui MQP.

26. in patrulaterul convex Iufr,{PQ avem doud perechi de laturi consecutive congruente:

lI,INl= [NP] qi IPQ)=lQl[).Demonstra{i c6:

a) lNQl este bisectoarea unghiurilor MNP qi MQP; b) <M= <P; c) MP L NQ.

Observalie. Unpafrulater MrIPQ ca cel dinproblema26 se nume$te zmeu.

Ira

lin

ilears @ 2. Paralelogramul

{8, Masurile unghiurilor A, B gi C ale triunghiului ABC sunt invers proporfionale cu

numerele 1, I ui 1 . Paralela pirn Ala latura BC intersecteazi perpendiculara in C pe BC3'2'4

in punctul M. Calcdalimdsurile unghiurilor patrulaterului convex ABCM-

{9. in patrulaterul convex ABCD, m(<l) :75", iar misurile unghiurilor B, C Si D sunt

invers proporfionale cu numerele: 0,1(6); ] ti O,(1). Calculali mdsurile unghiurilor4

patrulaterului ABCD.2O. inpatrulaterul convex ABCD se dau: n(<BAD): 110o, n(<ABQ: ll0o, n(<ADB)::29" qim(<BDQ: 56o. Calculati mlsurile unghiurilor DBC, ABD, ADC, C'

21. in patrulaterul convex fufr,{PQ se qtie cL NP : 2MN, triunghiul MQP este isoscel,

triunghiul MNP este dreptunghic, n(<MQP): 100o 9i m(<PlAf :90o. Calculafi mlsurile

unghiurilor QMN; MNP gi, respectiv, QPN.22. pie lvfr,{PQ un patrulater convex. Perimetrul triunghiului MNQ este egal cu 72 cm qi

perimetrul triunghiului QNP este egal cu 56 cm. Aflati lungimea diagonalei [NQ], qtiind

cI perimetrul patrulaterului MNPQ este de 64 cm.23. Patrulaterul convex M fPQ are perimetrul egal cu 120 cm. Triunghiul MNP arc

perimetrul egal cu 82 cm. $tiind ce diagonala MP : 24 cm, aflali perimetrul triunghiuluiMQP.24. Aflalimdsurile unghiurilor unui patrulater convex IvfrrfPO in care mdsura unghiului Neste media aritmetici a mdsurilor unghiurilor M qi P, misura unghiului P este media

aritmetic[ a unghiurilor N qi Q, iar mdsura unghiului N este egal6 cu patru cincimi din

misura unghiului P.

Defini[ie. Paralelogramul este patrulaterul convex cu laturile opuse paralele dou6 cdte

doui.Un patrulater convex este paralelogram dacd gi numai dacd indeplinegte una dintre

condiliile urmitoare:

' are laturile opuse congruente doud cdte dou[;

' are dou6 laturi opuse paralele gi congruente;

' unghiurile opuse sunt congruente;. oricare doui unghiuri aldturate sunt suplementare;

' diagonalele sale se taie in segmente congruente.

tI

l{Hgolno\))o.9{-oEq){-o€

79

t@ ,rr.**

lndlt

-RECAPTTULARE $r EVAIUARE lNlTlAtA

Testul1.1.a -h - l8;c + d:-3};undea:-24;b:-42;c:30:-d--60.2. a) 3;b) 8: c)7:d)3.3. a) -9; b) 8.4. a)x e {1,2.3,4,s,6,7}; b)x e {-4, -3,-2, --1, l}. 5. a) r e {-4. -1. 1.2. -s}.

bt re {-16^-5. -1.1"2.6. l7}.6.a)-l:Ul I z.a 6:h-l{:c- 12.8.a) LBDC=LCEB92

(L.U.L.) > lBDl = [CE]; b) Se arat6 cd <FAE = <B $i <GAD : <C =.> n(<FAG) - 1 80' > F. A. Gsunt coliniare; c) Din [) = IAF]: tBCl $i kcl = [BC) = FG '- ZBC; d) Din A'AHB : MHC(t-.t..L.) = <BAH = <CAH =+ pFlbisectoarea <BAC.9. a) A'BQC: LCPB (L.U"L") => lBQl = [CP];b) Din a) LMIIC isoscel, pentru cA <QBC = <PCB = [MBl = [h[C) => IMP] = tMgh c) MBM == LACM (L.L.L.) .> <BAM= <CAM = H.4,/bisectoarea <BAC ,> Atul L BC.

Testul2. l,a:-78; h:90; c:6;d =.-80;a -d:2;b:c:75.2.a)ne {-7,7}; b)-7;c)-9.3.a)-4;b) -2.4.A:{-28,-7,-1,0,2,3,4,5,7,8,14,35};B:{-27,-6,1,3,4,5,6,8,9,15,36};,4,lB-{3,4.5,8}.5.a),re{-1,0, 1,2,3,4hb).re{-2.-1,1,2,3.4,5,6,7,8,9};c)"te{-4,-3,

t5-2.-1.0. II.6.a)-^.;b) --.7.a:4:1,:J:r'-3.8.a.)A81"c'=ACEB(l-.U.L.)=lB.trl:lCEl:908b) LAEI,I : MEC (L.U.L.) => lAAtrt = LBCI; t\1FN = ACIB (L.U.L.) - kM = [BC] = IAM := HNI; c) Din b) =,> <lVlAE = <B $i {NAF = <C => m(<lt[A,1 : 180" = M, A,.N sunt coliniare.

9. a) LEAF : LEAC = LBAF (L.U.L.) + [EF] : LEC) = lBFf; b) Din AEIF = A.BAF (L.U.L.) == {-4FE =

q:^AFB .s IFA bisectoarea <EFB.Testul3. l. a: -7;b:5;c':-1',d:1;a + b--2;d- c:2.2.a)2;b) 4; c) 5.3. a)x e {-3,-2,-1,1.?,,3,4,5,6,7,8];b)xe{*7,-6,-s,-4,*3,-2,-t,1,2}.4.A:{-r1,-6,-2,-1,1,5,16};B: {--13,-4,-1,0. 1,2,5, 1a}; AnB: {-1,1,5}.5. a) Fiede N- astfel incdtd'-(a;h)= dla9i dlb => d l\n+7 qidl6n r 5 -.> dl30n + 21 9i dl30n+25 => d]4. Cuma gi b suntnumere

irnpare, deci d * 4, d * 2 = d - 1 = (a; b) - 1 . Deci numerele sunt prime intre ele; b) Fie r/ e fd-

astfbl incit d - kt; b) = d ct qi d I tt => d | 18n + 11 Ei d 14n + 9 => d 126n + 7l Ei d 126n + 81 == dl4. Cum numerelea gi b sunt impare. dec,,d*4.d*2-.> d'1=(tt; b) = l. Deci nurnereier.r

;i b suntprimeintre ele. 6. a) -1 ;Al ! l. a: 72; b - 6, c : 18.I 216

8" a) L,4PM isoscel (lE inal{irne Ei median[) = <PAE: <,l4AE l _ , _.MM1y'isoscel (ll- in6t{ime qi mediana) = ottii : oinr | = m(<Pl'Af : 180o = P' A' N

coliniare; b) Mlt ll AB - <-FMC: <B; ME ) AC = <BME =<C > <PM I=<BAC = APMNdreptunghic.

9. a) LApC isoscel (tNindi{ime qi mertiana) -=> Vr)= 11fl } = LApl = [AT);MIB isoscel (l,4,1inaltime Ei mediand) = [An = [AB) )b) LPBC isoscel (.BNin[llime 9i mediand) = [PB1= [BC] I _ rDDr _ r

AzcB isoscel (Cvinillime qi rnediani) = I;ci=i1a J - [PBl : LTC);

c) A4,VR : N4tuIR (I.C.) = <NAR = <MAR = pR bisectoarea <BAC = AR L BC.

Testul 4. 1" a - 3: b:1; c: -1; d: -2; a + b:4; c -d:1.2. a) i5; b) 7; c) 20; d) 7; e) 11.

3.a)a:2;b:3;c:7;b')o:2;b-3;c- 5;c)a:2;b:3:c-5.4. a)(;r;-y) e {(4;-7), (5;-.1).i6; -3), (9; -2), (1;2), (2;5)h b) (.u i e {(-2; -3), (-8; -2), (10; *1), (2; 3)}. s. a) x e {-2; 7}:

.:

t::

!HH

o(,v)

o:otr(,Eq){-

=169