Siegfried Schneider

MatematicdEcualii gifuncgii

DPII0mmmt

.

.l

Sicglii€d Schneider ene Fofesor de Mdodici Matnati.,$ auto! al nai mdlor n.nualc de m.km.lici.

N.iopdree$ipubli.rlii poak n npodNi sub dcio fomi sau

pin ond nilo&e, toldopierd sau oiice ait pioes, incluiv in $opuli €ducafional.,s.u prelucGli, duplic.ii sau distribuiti folosind snl€ne €lfttrdnicei,i, mrdul eiis ai edibnnu|

Otigiitl nc : Podet T@.het 5 t0. Mcth. atik. GIeiAuS.n und Funktionen

(97&-3-41 l-37104.9) by siegfijed S.\ft ider@ z0l3 Bibliosraphikh$ Inditut GmbH (Duden), Bdin.

6 Didactica Publishing Houe, 2019

Torte dieplurile rezrvate petru linba romtni.Ncio pin€ a ,ad€i ln .i.i nu poare 6 reprodlsi $u ltoalt liri rodul editurii.

lsBN 973 605 043 014 3

Edftdr oordonator: FlorentiM lonConsul.d ginFff.r Pot Cnstid Alemdrsctr

Corclo. Cabnela lliDcioin

Did:.lka Pubhhing HoueBdrl Splairt Unirn nr 16, Clidirea Mulenh lusinc$ Cenleretaj 5, 506, sclor 4, Bucure$iconemi ti informalij: telefon/lu +4021.410.33.14j +.1021.410.98.10

e m.il otrce@edihFdph.6;

Tiparrealizatde Tipografia Ceconii

D.*d.B cIP . Dibuotdii N.1ionrl. . Ront !i

tutr ,.d4n'l nrqn: ro.lr.r tr.hd / srsl&d s.[ndd.i

Cuprins

cuve nt-inainte

1. Multimi1.1. Notiunifundamentale

Notiunea de multirneReprezentarea mullimilorRelaliiintre multimicardinalul unei multimi

1.2. OperaliicumultimiReuniunea mullimilorDiferenta multirnilorntersectia multimilor

Produsulcartezian a doud multrimi

Multimea p;rtilor unei rnultimi1.3. Multimi de numere 5i domenii numerice

Multimi de numereMultimistructurateDomeniinumerice

1.4. Multimide puncte

Verificare

2. Ecualii - noliuni fundamentale2.1. Variabile2.2. Expresii

2.3. Ecuatii2.4. Rezolvareaecua!iilor

Notiunifundamenta e

Echivalen!a ecualiilor2.5. Tipuri de ecuatrii

Clasificare dupd structura lorClasificare dupi num;r!l de variabile

8

10

10

107\13

14

15

15

16

77

18

19

2020

21

22

23

26

27

27

28

2829

29

30

323233

:

Sisteme de ecualii2.6. lnecuat,i

Verlficare

3. Funclii3.1. Corespondente sau relalil3.2. Functii

3.3. Ap icatii a e functiilor3.4. Reprezentarea grafice a funcliilor3.5. ProprietStilefunctiilor

R;ddcinlMonotonieM; rginireSimetriePuncte de extremlnversabilltateVerificare

4. Functii liniare (functia de gradul l)

4.1. Definitii4-2. Propriet;tile unor functrli de Bradul I de tip specia

Functia Y = xFunclta Y = rnY

Functia Y=x+tFrnc\iaY=mx+n

4.3. Funclil constanie4.4. Functii modu

Verificare

5. Ecualii ti inecualii liniare5.1. Ecualli linia re

5.2. Sisteme de ecuatrii liniareMetode de rezolvare

Metoda substitulleiMetoda egaliz;riiMetoda reduceriiRezolvarea grafic;

4

44

4

444

5.3. lnecuatrii lin iare

Verificare

6. Funclii pdtratice (functia de gradul ll)b. L l o rrd BeneralS a u^pi urclr p;trarce6.2. Func\ia y = |6.3. Functia y=x'z+ c

6.4. Funclia y= (x+ d)'z

6.5. Func\iay=x'1+px+qForrna canonlc; y = (x + d)? + e

Propriet:tl e functiei y =x'z+ PX + q

Rezumat

6.6. FunctiaY=ox'Propriet6tri

Rezumat

6./. F]nc\ia y = ox'1+ bx + c

craficulfunctleiVerificare

7. Ecuatii petratic€ (ecuatia de gradul ll)7.1. Forma general; Si forma normal;7.2. Rezolvarea graficE a ecualiei de gradu ll

7.3. Ecuatil pdtratice particulare

Ecuatiax:+q=0Ecuatria x':+ Px = 0

7.4. Formula de rezolvare a ecuatiei sub forrna normal;7.5. Relatiile uiVidte

Verificare

8. Ridicarea la putere, extragerea Edicalului,logaritmarea

8. L R dicarea la pule e ) operolia invers; ei

8.2. Extinderea noliuniide putere

8.3. Regull de calculcu puteri

8.4. Radicali, extragerea radicalilorNoliLrnea de radlca

Regull de calcu cu radica i

64

66

616l6B

lo71

12

72

7374

7575

16

77

ll80

81

81

82

83

a4

85

8890

919T

92

9395

95

91

r:l

Cuprins

8.5. LogaritrnareaNoliunea de logaritm 9i regulile de calcul

cu logaritmiicalcululcu logaritmiVerificare

9. Functii putere, exponentiale, logaritmice9.1. Definitii

9.2. Funcliile de tipul y = xn; n e ZFunctia y = x', cu /? numdr natural par

Funclia Y = x', cu n imPar PozitivFunctia Y = xn, cu |r numer Par negatjv

Functia y =xi, cu, num5r impar negativ9.3. Radicalii ca functi; putere partjculare

9.4. Functiaexponen\ial59.5. ProprietbtilefunctiiiorexponeI]tiale

FunctiaY=cl,cuo>1FuncliaY=4',696ioa1Relatrii lntre funcliile y = d (o > 1)

siv=o'(0<o<1)9.6. Funclialogaritmic;

Defi nilii Si proprietEtri

9.7. Scala logaritmicdConstructia scaleiSistern de coordonate logaritmiceVerificare

10. FunctiiletriBonometrice10.1. Definitii

AplicatiiGeneralizarea notiunii de unghi: grade $i radianiDefi nirea functiilor trigonometrice

10.2. Functia sinusFunctia sinus pe cercul unitateFunclia sinusoidal; pentru unghiurile arbitrareFunclia y = o sin (bx+ c) + d

FunctriaY=osinxFunctiay=sin(bx)Functria Y = sin (x+ c)

Funcliay=sinx+dFunctia y = o sin (bx+ c)+ d

10.3. Funclia cosinus

Functia cosinus pe cercul unitateFunctia cosinus pentru un unghi oarecare

10.4. Functia taneenti10.5. Functia cotangentS

10.6. Relatii intre funciiile triSonometriceVerificare

11. Aplicatii ale funcliilor t.igonometrice11.1. Aplicaliiin fizicd $i tehnic;

Calcule intr-un triunghi11.2. Reguli de bad pentru constructia 5i

rezolvarea triunghiurilorCalcule intr-un triunghi dreptunghicPr ncrpii gere'rle oe ca cJl ;1lri-ngh urTeoreme trigonometrice pentru calcululin triunghiuriFunctii trigonometrice in triunghiurile

cosinusuluiFormule pentnr calculul ariei

Raza cercului circumscris

Verificare

12. calcule cu lormuleVerificare

lndice alfobetic

dreptunghice 744

Rezolvarea unui triunghi ascutitunghic - teorema

sinusului L49

Rezolvarea unui triunghi ascutitunghic - teorema

cuprins

124124125125725126126126727't 29131

133

134134136

L37

138L41

744

151

754155

156

757162

163

Multimi

1.1. Notiunifundamentale

Notiunea de fiultimeln viala de toate zilele folosim mereu aceasta no une:r La piali este o mullime de oameni

(sunt cateva persoane, putem numera cate).r in cadi s-a strans o cantitate de apa

(este multe api in cade, nu putem numira cati).Cel care a introdus nofiunea de mullime in matematici a

GEoRG CANToR (1845 1918):

I o lnrt,na" ".,"

o "o,"4ie

de obipcte determinate ate s;ndirii

I noastre caracterizate p;in anumite propriet:tj comune.

I Aceste obiecte formeazit elenentele mul\ii)r'ii.

EXEMPLE:. Muuimea paginilor acestei cerf' Mulfimea literelor alfabetului. Mullimea numerelor prime

' Mulimea punctelor unui segment de dreaptA

Iolosirea nofiunii de mullime definite de Cantor poate ducecontradicfii. De aceea, ln matematica actuale no uneat1u$ime este considetatd o noliune fundamentali care nutrebuie definiti. Ceea ce putem face este sA dim uneleprivind modul de construcfie a unoi mulfimi. Cuno{iunii fundamentale de mullime se definesc toateobiecte matematice.

rlr{rrrimr ffir.x E M P LU: Bisectoarea unui unghi este folmati din mullimealuturor punctelor situate la egali distanlh de laturile unghiului.

Reprezentarea multimilorNotalii

' Multifiile se vor nota de obicei cu literele mari ale alfabehrlui:

A, B, MP Mretc. il' Elementele m,Jl|imtlor se vor nota cu literc mici:

a,b,xpx2etc.' Dace elementul r aparfi[e mullimii A, vom scriei .r € ,4.

Cititi: ,J apa4ine multimii A" sau "t este un element al

mu$rnii A'i' Daci elementul / nu apa4ine mu4imii A, vom sctie y 4 A.

Citili: ,,/ nu apa4ine mutimii A" sau ,,,y nu este un element

al mullmii A':

Descrierea prin cuvinter xEMPLU: Multimea tuturor pitntelor Perfecte mai mici decat

100. Cand definim o mullime prin cuvinte trebuie se fim aterfiLa sensul cuvintelor si fie foa e clar, adici si nu se poate inter-preta in mai multe feluri. Acesta este un lucru mult mai greu decet

pare la primavedere.I]XEM PLE:

' Mullimea tuturor tinerilor din satul A.(Exprimare imprecisd: Ce inseamni "tinir"?)

' Mullimea tuturcr persoanelor din satul A cu varsta cuprinsiintrc 15 $i 25 de ani.(Exprimare precisi: Poate ce ,,taner" nu inseamnd ,,lntle15 9i 25 de anll dar cel pulin mutimea este bine definitd.)

Desarierea pdn enumeralesc scriu intre acolade elementele mullimii.

I XEMPLU:

Mr= !1;2; 3; 4; 5;6;7; 8;91

l)ace nu putem scrie toate elementele gi nu este niciun pericol de

confuzie, punem ,,..i1

M"rri,"r mMultimi

EXEMPI.E:r M, = {1;3; 5; ...;999}

ln cuvinte: mullimea nlrmerelor naturale impare maidecat 1000.

0351,-i--)--\(t r1 re)\1r-l

. M6={r\r€R; 3<r<+3\ (V pag.24)

#

Sensul punctelor de suspensie (...) este cA se continudenumerarea numerelor impare pani h 999. Pentru cadupi care se formeazi elementele mulf imii si 6e clad, se

mande a se scrie mecar patru elemente inainte de a se

punctele de suspensie. Altfel s-ar putea si apari confuzii.. M. = {3; 5;7; ...; 19\

Nu este clar cine este M3?

Toate numerele impare peni la 19? Toate numerele primela 3la 19?

Toate numerele pe care le-am scris sunt prime.Pentru a evita asemenea confuzii, este bine ca in acoladescriem Si proprietel e de definilie ale elementelor mullimiicare incercim sA o descriem.Aceasta se poate face in mai multe moduri.

EXEMPLE:. Ma= Ix\ x = 2n + lt, € N;0 < n < l0l. Ms= Ix\xe P;2<x <20); P este multimea numerelor

Reprezentarea grafici a multimllorAdesea multimile se reprezinti prin curbe inchiseEuLER-VENN). Reprezentarea aceasta este deosebit de utiHavem de a face cu operalii cu mul mi sau cu relalii intresau mai multe mullimi, (V pag. l3).EXEMP!E:. Ms = {3t 5;7; 1l; 13: 17; l9l

-30+3Relatii intre mullimitgalitatea multimilor

I sounem c: douri multimi suni eoale dad si numar dacii ele aLr

I ".4*.i"r"."n,". s.riem c5'c = a.

I Citirn, "vu4i."u,l "tie egalii cu mullimea 4".

I XEMPLU:11,17 = {x\ x = 211 - lt ne N; 1 < tt < 5ilv'|s= {x\, < P;2 < x < 8}; P este multimea numerelor prime.

Relalia de incluziune

Daci toate element€le uneimullimiA sunt gielemente ale altei

mullimiB, atuncispunem d multimea A este ihcluseTn mullimea 8.

' Maispunem tidA este o submultime a multimii B AaB,. sau d 8 este o supramultine alui A. 8)A

Elementele mullimii8 care nu apatin 9i mullimii A formeaz;

nultined dikrentd B\A. DacE A c B, Inullim€a s \A se mai

num.f? ti complementoro multimii,4 fa15 de 8.

IXEMPLU: Cu mullimile noastre de pini acum:

rcprezentarea printr o

I I iigrame VENN

I hce A C B li A + 4 spunem ci,4 este o subrnubine Ptoptie a

IIi B sau ci B este o suptorfluvble prcptie alui A

r x F M P L E: Cu mullimile noastre de panir acum:. M5 este o submullime proprie a lui Ma. Ml este o supramulfime proprie a lui M,

il

M5

M5

M4

l',I 13

D agrama Euler-Ven n

11 19

M'rllimi

Dace wem si scdem cA,{ este o submullime r1u neapirat proprielui B (deci poate se $i coincide cu B), atunci folosim notalia A gDacit A este submullime a lui B, atunci B este srp nrflultjrne a\ti

txtMPLU: Cu mullimile noastredepane acum:A se vedea Mr gi M, de pe pagina 13.

M- c M^.in oltts: M- c M-.

Cardinalul unei multimiNumirul de elenente ale mullimilor M| Mn sau Ms este finit.

I Daci o rnurttme are un num;rfinit de elemente, atuncrea se

| ^"."5," t"iu.

Numirul de elemente ale unei multimi 6nite se

cardinalul mvllimli. Se mai nume$te |i putetea niluI|tfili gi

noteazi lAl sau card A. Citim l,4l = numerul de elementemutimii,4 = cardinalul mullimii A = puterea mullimii /.A are a elemente, atunci cardinalul siu este n.ExEMPLUI Ms = {3; 5; 7} are cardinalul 3.

I Dou: nuf,mi finiLe A ri B se numesc echiporenrp dac5 au acelati

| ;:'il",I;:'-T -"1"; iuTarde e emenre kr em 4 - I

€XEMPLU:tttt 1\i z, ..., tJMn= {3;5;7;9; llj 13; 15;17; 19}

Mr- Mn

L EEI M\ - Ma, d.at M | + Ma: Echipotenla ,j.mutimilor sunt lucruri diferite!

Multimile M6 (7 pag. l3), N, P = {r€N : r este prim} con}ininfinitate de elemente. Nu existi niciun numir natural

'1 in

fel incat se putem spune ci ele au ,? elemente. Totu$i,anumite mutimi infinite este posibil sd le punem indente cu mullimea mrmerelor naturale $i deci si le enumerim.

Multimi

IXTMPLUI

l' =12: 3: 5; 7i llt 13; I7i l9t 23i...1JJJJ.].J,'JJ

Asemenea mullimi se numesc mullimi inlinite numirabile.

Orice mullime infini€ num;rabili este echipotent6 cu N. ill(czulte ceP - N;Este intercsantce Peste o submultime prcprie

lui N $i cu toate acestea cele doui mullimi sunt echipotente.

Acest lucru caracterizeazi mullimile infinite: pot fi echipotentesubmullimi prop i ale lor ln cazul mullimilor linite acest

este imposibil. De aceea este bine de relinut ci nu toate

r oprezentirile pe care le avem noi despre mul$mi 6nite se aptce,I tomat, gi la mullimi infnite.ln plus, existi mullimi itfinite care nu pot fr enumerate. Aseme-

rrca mullimi se numesc nenumd.rabile.r x EM p LU: M6 (V pag.l3) 9i lR (mul1imea numerelor reale)

rrrr sunt numdrabile. Acestea sunt mullimi ,enumdrabile.

Dac; o mullime nu are niciu, element, o numim multimea v/dd.Mullimea vidS se notead cu 0.Prin conventie, toate multimile conlin mullimea vid::0 C M,

1.2. Operalii cu multimicu mullimile se pot face operalii. Sunt cunoscute opelaliile cu

rrumere, cum ar fi adunarea, sciderea, inmullirea $i impfufirea.ir multimile se pot face urmatoarcle operafii: reuniune, dife-

r (.r)(i, inte$ectie, produs cartezian.

Rcuniunea multimilor

M ultimi

EXEMPTU:

6 = [r;2;313 = {4;5:61AU B = \t;2;3;4;5:61

Daca A )i B nu au niciun element (omun. spuoem ca ,4 ii B

l)nci A ti B sunt disjuncte, atunci A\B = A.IXEMPLIJ:

t\ - Il;3;5;7; ...1: (numerele impare)lt .l0;2;4:6t ...\; (numerele pare)

rl\ll = {1; 3; 5; 7; ...}o /i-\ ' /i-;\ o 'a7;;\\1--/ \j__/ v_j--J-l ^QOB II

disjuncte. DacA ele nu sunt disjuncte, atunci candA\B

kltersectia multimilor

I Pnn inrersect,o a doub mul!imi/ tia se inlelege acea multime care

I ' ontine roatF elementele comune murtimilor 4 !i 8. lnterseclia se

I noreaz; cuA n 8. Crtim.-A intersectat cu 4". Pe scurtrxe A n A -tI r€ Asixe L

elementele mullimii A U B se avem griii ca elementele

mu\imilor A 9i B si fie scrise o singure date.

EXEMPLUI

C = {l;2:3;4;51; cardinalul: 5

D = 13;4;5;6;7;8;9\; cardinalul: 7

CU D = {l;2;3;4;5;6;7;8;9}; cardinalul:9

EXEMPLU:,\ = ll; 2; 3; 4; 5lB = {4:5;6:71A\B = {t;2; 3}

ct)D

Diferenla mullimilor

I crin a4".en1o "

aou: .ultim' 4 ri I se rnlelese mult;med ace'o,I elemente din A care nu sunl elementp ale lui 8. NotSm diterenla

I dintre mullimea n ri I cu / \ I sau / - 8. cirim ,,4 m,nLs 8".

IXfMPLU:.\ 11;2;3;4;51tt \1;5;6;71.lrtB={4;5}

AiB

l)rr.i A Si B sunt disiuncte, atunci interseclia A n B este vida.Nloli\,.ul este ce niciun element nu aparfine fi multimii A, Ei

rllLrl{imii B.IXI:MPLTJ:

1 , {l;3;5;7;...}; (numerele impare)lt 10;2i 4;6;...l; (numerele pare)

Muliimi

Produsulcartezian a doui multimi

I Prin produsulcarteTian almullimilorA ti8 se intelege mullimeaI Dere.hilor ld- bl cu r eA sib e B. Produsulse noteaz5 cuA r B.

I i;l; *,,tfi::"*zian cu E" Perechea {d' b) se mai noteazit ti

EXEMpLU: A= {1;2;31 B=14;51,4 x B = {( 1; 4), ( I ; 5), Q; a\, (2; s), G: a), (3: s)l

EXEMPIU:M = {ti2:3;4t51tvP = I1r: I\, (1; 2), . . .

... (s;4), (s; 5)l

Multimea produs se poate

reprezenta intr-un sistemplan de coordonate; puncteleei formeazi un dreptunghi.

) tr':otc11te, Funcliile (ZaleplanuluiRxR.

cardinalul lui,4:cardinalul lui B:

cardinalulluiAxB:

4

2

1

3

2

3.2=6

Cardinalul produsului cartezian A x B este intotdeauna egal

produsul cardinalelor celor doue mulfimi.4 li B.

iiiEtrllf Nu confirndali perechea (a; b) cu

{c; b}! Sunt lucruri cu totul diferite!in cazul perechii (a; b)

nea conteaze, iar in cazul mullimii {a; ,} ordinea nu conteaze.

ExEMPLU: (l; 4) * (4; 1), dar 9i {1; 4l = {4; l\Se poate face produsul dintre o mulfime M $i ea insi$i.acesta se noteazi cu M x M = lvP salu ct M .

(1,3)

(1,2)(2,2)

(1.1)Q.',t)G.1J

123 45

pag. 36) sunt submultimi

Mrltlr, ffiIt rechile (a, b) pot fi prMte $i ca multimi ordonate (V pag.2l\.I )rci vom gendi aia, atunci mul;imea produs cartezian devine o

m lime de nullimi, un sistem de m llimi, adici o mullime ale

, ilrci elemente sunt din nou mullimi.

Mtrltimea petilor unei mullimi( ) irlti mullime importanta este multimea pirlilor unei multimi.

I Prin multimea p:4ilor unei multimi A se inlelege mullimea tuturor

I submultimilor sale. Se noteazd cu Pa. Pe scurtr Pr = {8 :8 ( 4}. Se

I mainumette rin .rifrmeo pd4ilot lui A.

I '(EMPTtJ:1 = {l;2; 3}

I'

^ = {o, 1rl, I2l, {31, lr; 2\ , 11; 31 , {2; 31 , {t: 2: 3ll

lilcmentele acestei mullimi nu s[r't elemente ale lui A, ci s\ntrrbmul$mi ale lui A: submutimi cu un sirigur element {1}, {2},r rr doui elernente {1; 2}, {t;:i etc.

I)c remarcat ci mulfimea vide trebuie sa aparlini oricereirrru\imi P, deoarece ea este submullime a oricarei msltimi. De,rscmenea, mullimea totald A trebuie se aparlin; mullimii

|itrfilor deoarece A este propria ei submul$me (este adevirat cirru proprie).

( ) mullime cu n elemerlte are intotdeauna 2' submulfimi. De,rLcea lP,l = Zl!1.

I XIMPLE:. ln cele exemplificate mai sus: multimea putere P,4 are puterea

2 3

= 8, deoarece A ale exact 3 elemente, deci.4 are 8 submullimi.- 1,4 = {a; bl

Cum IMI = 2, numirul de elemente din PM este 22 = 4.

CalculXnd, vedem ci P , = {@, {al, {bl, la; bl}.