Portofoliu la Matematica

[Введите подзаголовок документа]

Marchitan Ana

Matematica – cea mai veche stiintaCuvantul “matematica” provine din grecescul “mathema”, care inseamna “cunoastere”,

“stiinta”. Din acesta a derivat adjectivul “mathematikos”, cu sensul “referitor la stiinta”. Cuvantul grecesc a fost preluat si de limba latina, in forma “mathematicus”, termen mostenit de majoritatea limbilor moderne.

Matematica este cea mai veche stiinta, istoria sa intinzandu-se pe mai multe milenii si in mai multe spatii geografice, simultan, din Orientul indepartat pana in America Centrala, si din Asia Mica si Africa pana in Europa. Pe buna dreptate, cei mai multi cercetatori ai evolutiei culturii si civilizatiei considera ca matematica a precedat scrisul, avand in vedere descoperirea unor oase cu crestaturi, care dateaza de peste 20 000 de ani i.Hr. Geologul belgian Jean de Heinzelin de Braucourt, in 1950, a gasit in cenusa vulcanica de pe malul unui lac din Marea Vale Rift, din Africa, la granita dintre Republica Congo si Uganda, ceea ce ulterior s-a numit “osul/batonul Ishango”, mai exact doua oase de aproximativ 10-14 centimetri, cu mai multe incizii si cu o bucata de cuart fixata in capatul cel mai subtire al unuia dintre cele doua oase. Crestaturile, deloc intamplatoare, sunt semnul unor sisteme de numarare, in baza 10, si al unor calcule aritmetice elementare.Istoria matematicii

Se pare, insa, ca cele mai multe cunostinte matematice ale lumii antice au pornit din Mesopotamia, din infloritoarea cultura a regiunii dintre fluviile Eufrat si Tigru (teritoriu unde astazi se afla Irakul), asa cum arata tablitele de lut conservate pana in prezent. Sistemul de numeratie mesopotamian era conceput in baza 60 si in baza 10. Cel in baza 60 a pornit de la faptul ca se puteau numara falangele de la mana, folosind degetul aratator (5X12=60). Ceea ce a lipsit mesopotamienilor din sistemul lor de numarare a fost faptul ca nu aveau niciun simbol pentru zero. Cifra zero a fost inventata in India, mai tarziu, dar se pare ca maiasii o foloseau cu o suta de ani inaintea indienilor, numai ca aceasta nu s-a raspandit in celelalte culturi, la vremea respectiva.

Matematicienii din Babilon – orasul cel mai cunoscut din Mesopotamia – stapaneau logica ecuatiilor liniare si a celor polinomiale de gradul doi, punand bazele algebrei ca stiinta. Problemele legate de stabilirea ariilor si a volumelor, in geometrie, au fost studiate, de asemenea, in aceeasi perioada, si tot la vremea respectiva este calculata si valoarea lui π (pi), cu mare exactitate.Osul Ishango

Baza babiloniana a matematicii a fost transmisa si grecilor, care incep studiul intensiv al acestei stiinte, inca din anii 450 i.Hr. “Paradoxul lui Zenon” din Eleea deschide calea unei metode matematice folosite si in ziua de astazi – “reducerea la absurd” (Reductio ad absurdum). O formulare mai precisa a acestor concepte a dus la descoperirea faptului ca numerele rationale nu erau suficiente pentru masurarea tuturor lungimilor, motiv pentru care este lansata teoria numerelor irationale. Teoria sectiunilor conice formulata de Apollonius va duce la dezvoltarea studiului matematicii pure si al trigonometriei. Teoremele geometriei plane, pe care grecii i le atribuie lui Thales, inclusiv teorema lui Thales (un unghi inscris intr-un semicerc este un unghi drept) erau cunoscute si de mesopotamieni.

In China, din secolul I d.Hr., s-a pastrat manuscrisul “Cele noua capitole despre arta matematicii”, care cuprinde metode de calcul aritmetic, fractii, radicali, calculul volumelor etc.

Matematica a inflorit si in tarile islamice, in Iran si Siria, mai ales. Incepand cu secolul al XI-lea, Adelard din Bath, un preot benedictin englez, va aduce in Europa stiinta greaca integrata cu cea islamica, marturisind ca cel mai important lucru pe care l-a invatat cat a stat in tarile arabe a fost sa se lase ghidat de ratiune. Tot el este cel care traduce in limba engleza opera lui Euclid (matematician al antichitatii grecesti, unul dintre fondatorii matematicii ca stiinta), cu titlul “Geometrica”.

Progresele majore in dezvoltarea matematicii in Europa incep din secolul al XVI-lea, cu Luca Pacioli (matematician si calugar italian), Gerolamo Cardano (personalitate multilaterala renascentista, matematician, filozof, astrolog, medic, inventator, contemporan si prieten cu Leonardo da Vinci), Niccolo Tartaglia (care a adus contributii esentiale in studiul algebrei) etc. Despre acesta din urma se spune ca isi castiga existenta predand matematica si participand la diferite concursuri. In 1535, la un astfel de concurs i s-au propus spre rezolvare 30 de ecuatii de gradul trei, pentru a caror deslusire a gasit solutia exact in noaptea de dinaintea datei limita, reusind sa duca la bun sfarsit calculele in cateva ore.

Copernicus si Galileo Galilei au revolutionat diferitele aplicatii ale matematicii, prin studiile lor legate de dezvoltarea universului. Progresul in algebra determina aparitia unui anume entuziasm in ceea ce priveste cercetarea, care cuprinde intreg spatiul european. In secolul al XVII-lea, John Napier si Henry Briggs extind studiul matematicii odata cu inventarea logaritmilor. Bonaventura Cavalieri incepe sa foloseasca diferite calcule infinitezimale, iar Descartes aduce metodele de calcul algebrice in studiul geometriei.

Progresul stiintelor matematice continua cu Fermat si Pascal, care incep studiul probabilitatilor, calcul care va deveni de o vitala importanta in secolul al XVII-lea. Isaac Newton implementeaza calculele matematice in cercetarea naturii, lucrarile sale continand un numar extrem de mare de descoperiri care vizeaza interactiunea dintre matematica, fizica si astronomie, teoria gravitatiei si a luminii, facand trecerea catre secolul al XVIII-lea.

Unul dintre cei mai importanti matematicieni ai secolului al XVIII-lea este Leonard Euler, care inventeaza doua noi domenii – calculul variatiilor si geometria diferentiata, continuand cercetarile incepute de Fermat. Catre finalul secolului al XVIII-lea, Lagrange incepe studiul unei teorii a functiilor si a mecanicii. Tot in aceasta perioada devin vizibile si studiile lui Laplace si ale lui Monge si Carnot, in ceea ce priveste geometria sintetica.

In secolul al XIX-lea, germanul Johann Carl Friedrich Gauss, considerat, de catre majoritatea istoricilor, unul dintre cei mai importanti matematicieni ai tuturor timpurilor, studiaza teoria reciprocitatii si a congruentelor, lucrarile sale ducand la o adevarata revolutie in abordarea astronomiei si a magnetismului. Contemporanii i-au recunoscut valoarea, numindu-l, fara retinere, “printul matematicienilor”.

Epoca moderna a stiintelor matematice a cunoscut o dinamica extraordinara, imposibil de cuprins intr-o prezentare, fie ea chiar si numai statistica sau sintetica. Aplicatiile matematicii s-au extins in toate domeniile. Prin calcule (confirmate ulterior de realitate) s-au descoperit noi planete, s-a explicat originea sistemului solar, s-au fundamentat principiile electricitatii, ale magnetismului, ale mecanicii fluidelor, rezistenta materialelor etc. Domeniul informaticii, ca matematica aplicata, este o zona de explorare, care, cel putin la momentul actual, pare inepuizabila.Ramurile matematicii

Cine crede ca studiul matematicii tine de o epoca mai apropiata de cea contemporana ar trebui sa se gandeasca la faptul ca, inainte de a scrie, omul a invatat (obligat de realitatea vietii) sa socoteasca si ca, de exemplu, Napier, Briggs si altii au introdus conceptul de logaritmi acum aproximativ 400 de ani, iar acestia au fost folositi, pentru o perioada de 350 de ani, ca unealta principala in efectuarea calculelor aritmetice, prin care s-a economisit timp si fara de care calculele elaborate si necesare nu ar fi putut fi niciodata facute.

La un moment dat lumea s-a schimbat brusc, a aparut calculatorul de buzunar, logaritmii au ramas doar o importanta functie matematica, iar rolul lor in efectuarea calculelor a fost pierdut. Este o adevarata provocare sa ne imaginam, la momentul actual, viitorul matematicii. Teoretic, s-ar parea ca toate aspectele importante ale acestei stiinte au fost deja descoperite. Aplicatiile matematicii deschid insa drumuri din ce in ce mai largi. Calculatorul de buzunar – ne putem intreba – cine/ce il va inlocui? Oricine ar putea spune ca este o intrebare cu raspuns evident (“Este de neinlocuit!), dar Napier (inventatorul logaritmilor) a formulat conceptele de baza ale calculatorului mecanic in aceeasi perioada cu logaritmii si a trebuit sa mai treaca vreo cinci secole pana cand tehnologia le-a gasit o aplicatie. Ideile de baza necesare inlocuirii calculatorului de buzunar cu altceva mult mai performant sau mai neasteptat sunt, cu siguranta, in jurul nostru. Fiecare se poate gandi la calculatoare mai rapide, mai mici sau mai eficiente, dar, oare, acesta sa fie raspunsul?

Importanta matematicii vine din insasi definitia sa, aceasta fiind o stiinta care se ocupa cu studierea tiparelor si a structurilor abstracte, apeland la analiza logica, la deductie si calcul. In momentul in care aceste tipare sunt descoperite, in arii foarte diverse ale realitatii, stiintei si tehnologiei, ele pot fi folosite pentru explicarea si controlarea situatiilor si a evenimentelor naturale. Altfel, separata de realitate, matematica ar ramane la fel de sterila, precum opera poetului din “turnul de fildes”.

Matematicieni care au schimbat lumea

Inainte ca noi medicamente sa fie create de oameni de stiinta sau ca noi tehnologii sa fie dezvoltate de ingineri, acestia se folosesc in studiile si calculele lor de numeroase notiuni puse la punct de unii matematicieni, uneori cu secole mai devreme.

Niciun domeniu de studiu nu a jucat un rol atat de important in istoria omenirii ca matematica, insa, din nefericire, multi dintre matematicieni au parte de putina recunoastere pentru contributiile lor la dezvoltare.

1. James Maxwell, primul om care a realizat o fotografie color2.

James Maxwell a fost un matematician scotian, care a elaborat teoria electromagnetica clasica, ce a combinat secole de cercetari in magnetism, electricitate si optica. Maxwell este primul care a demonstrat ca electricitatea calatoreste prin spatiucu viteza luminii si este primul care a realizat o fotografie color. Einstein tinea pe birou o poza cu el, inramata, alaturi de una cu Michael Faraday si alta cu Issac Newton.

Legarea luminii de electromagnetism este considerata a fi una dintre cele mai mari realizari ale fizicii moderne.

2. Alan Turing, spargator de coduri in Al Doilea Razboi Mondial

Turing este un matematician britanic, care este considerat unul dintre cei mai importanti oameni in stabilirea tehnicilor necesare spargerii cifrului german Enigma, prin care Aliatii au reusit sa descifreze comunicatiile germane. Turing este unul dintre fondatorii criptanalizei moderne si a jucat un rol crucial in castigarea Bataliei Atlanticului de catre Aliati.

3. Pierre-Simon Laplace, pionier in statistica

Marchizul de Laplace a avut o contributie esentiala in dezvoltarea astronomiei matematice si a statisticii. El a fost unul dintre primii oameni care au vorbit despre existenta gaurilor negre si a jucat de asemenea un rol important in sistematizarea teoriei probabilitatilor, creand bazele pentru statistica bayesiana. In plus, este unul dintre primii oameni care au studiat viteza sunetului.

4. Charles Babbage, "parintele computerului"

Charles Babbage, matematician englez si inventator, este considerat "parintele computerului", pentru propunerea de a inventa prima masinarie de calcul mecanica. Mai tarziu, a proiectat un motor analitic care, teoretic, putea fi programat.

5. Ada Lovelace, prima programatoare de computere

Contesa Ada Lovelace, care a lucrat cu Charles Babbage, este considerata adesea prima programatoare de computere. Era fiica poetului Lord Byron si se considera un analist, iar Babbage spunea despre ea ca este o "mestera a numerelor". A murit la 36 de ani, dar notele ei servesc drept marturie a cercetarilor lui Babbage si a unora dintre primele discutii despre programare.

6. Euclid din Alexandria, autorul primului manual de matematica

Acest matematician grec, care a trait in timpul domniei lui Ptolomeu I (intre 323 si 283 i.Hr.), este autorul "Elementelor", care este practic primul manual de matematica. De asemenea, a pus bazele geometriei euclidiene.

7. Isaac Newton, inventatorul calculului diferential si integral

Englezul Isaac Newton a elaborat teorii care au revolutionat optica, matematica si mecanica. Este autorul teoriei gravitatiei si al calculului diferential si integral. Legile lui Newton sunt astazi cunoscute chiar si de oameni care nu fac parte din comunitatea stiintifica, contributia lui la fizica moderna fiind remarcabila.

8. Blaise Pascal, inventatorul primului calculator

Blaise Pascal, matematician si fizician din secolul al XVII-lea, a ramas in istorie prin mai multe realizari, printre acestea numarandu-se inventarea presei hidraulice, a rotii de ruleta, a seringii si a primului calculator mecanic.

9. Daniel Bernoulli a pus bazele aerodinamicii

Daniel Bernoulli, matematician elvetian, este renumit pentru contributiile lui la mecanica fluidelor si pentru cercetarile in statistica si probabilitate. De asemenea, acesta este considerat si un pionier in medicina, el aplicand statistici pentru a descrie o izbucnire a variolei, in 1766. In familia Bernoulli au fost si alti membri care au avut contributii semnificative in matematica.

10. Joseph Fourier a descoperit efectul de sera

Joseph Fourier a ramas orfan la varsta de opt ani, iar mai tarziu a participat la Revolutia Franceza si i s-a alaturat lui Napoleon in expeditia sa in Egipt. A avut contributii in termodinamica si analiza dimensionala, iar in anul 1824 a descoperit existenta efectului de sera.

11. Theodore von Karman a proiectat un elicopter primitiv

Nascut intr-o familie de evrei in Budapesta, Theodore von Karman a parasit Europa in 1930. A ramas in istorie pentru faptul ca a proiectat un elicopter primitiv si pentru ca a fost unul dintre cei care au pus bazele conceptului de zbor supersonic, facand cercetari in turbulenta si aerodinamica supersonica.

\

Formule AlgebraMedia aritmetica si geometrica, puteri, Ecuatia de gradul I si al II-lea

Media aritmetică

Media geometrică (proporțională):

Media aritmetică ponderată:

 , unde a1, a2, ..., anreprezinta numerele, cu ponderile p1, p2, ..., pn.

Puteri:

                

                    

                             

Formule de calcul prescurtat:

Ecuatia de gradul I:

    O ecuatie de gradul I are forma: ax+b=0. Solutia acestei ecuatii este x=-b/a, cu a diferit de 0. Daca a=0 si b diferit de 0, solutia este multimea vida. Altfel, adica daca a=0 si b=0, solutia este intreaga multime de definitie.

Ecuatia de gradul al II-lea:

    Forma canonica a unei ecuatii de gradul al II-lea este: ax2+bx+c=0. Etapele rezolvarii acestei ecuatii sunt:

o Calcularea discriminantului:

o Evaluarea discriminantului:daca discriminantul este egative, ecuatia nu are solutii reale; daca discriminantul este nul, ecuatia are o singura solutie (x1=x2); daca discriminantul este strict pozitiv, ecuatia are doua solutii, care se calculeaza dupa cum urmeaza:

Calcularea solutiilor:

 

Relaţii între  rădăcinile ecuaţiei  de gradul al doilea

Formule GeometrieGeometrie plană (triunghi, paralelogram, drpetunghi, patrat, trapez), geometrie în spațiu

(formule suprafețe corpuri)

Geometrie plană

Triunghiul

Perimetrul= suma tuturor laturilor, adica:P=AB+BC+CA

Aria triunghiului=(inaltimea x baza)/2, adica:Atriunghi=(b x h)/2.In cazul nostru, b=BC, iar h=AD. Deci,AABC=(BCxAD)/2

Paralelogramul

Perimetrul= suma tuturor laturilor, adica:P=AB + BC + CD + DA. Deoarece laturile opuse ale paralelogramului sunt congruente (egale), perimetrul poate fi calculat astfel P=2(AB + BC).

Aria paralelogramului = baza x inaltimea, adica Aparalelogram=b x h, iar in cazul nostru,AABCD=DC x AM, pentru caDC=b (baza) si AM=h (inaltime).

Dreptunghiul

Dreptunghiul are lungime( not L=AB) si latime (not l=BC).Perimetrul= suma tuturor laturilor, adica:P=AB+BC+CD+DA sau P=2(L+l)

Aria dreptunghiului = lungimea x latimeaAdreptunghi=L x l. In cazul nostru, AABCD=AB x BC.

Patratul

Patratul este un dreptunghi care are toate laturile egale (congruente), sau lungimea egala cu latimea.Perimetrul= suma tuturor laturilor, adica:P=AB+BC+CD+DA sau P=4 L, unde L este latura patratului (AB=BC=CD=DA=L).Aria patratului=latura x latura = latura2, adica, Apatrat=L2.In cazul nostru, AABCD=AB2.

Trapezul

Perimetrul= suma tuturor laturilor, adica:P=AB + BC + CD + DA.

Aria trapezului = (baza mare + baza mica)xinaltimea/2, adica Atrapez=(B + b) x h/2, iar in cazul nostruAABCD=(DC + AB) x AM/2, pentru caDC=B (baza mare)AB=b (baza mica), iarAM=h (inaltimea).

Cercul

Avem OA - raza (not. r) Lungimea cercului (circumferinta cercului): 

      Aria cercului (corect ar fi aria discului): 

    

Geometrie în spaţiu

Corpuri - Poliedre

Piramida

Vom discuta decat de corpuri regulate, deci si piramida este regulatã. Avem: AB - muchia bazei(not. m)VA - muchia laterala(not. l)VO - inaltimea piramidei (not. h)VM - apotema laterala sau apotema piramidei (not. ap)OM - apotema bazei (not. ab).Aria laterala = suma ariilor fetelor laterale     Alat=(Pb x ap)/2.Aria bazei     Ab=(Pb x ab)/2, unde Pb este perimetrul bazei.Aria totala = aria bazei + aria laterala

Volumul     Vpir=(Ab x h)/3.Tetraedrul poate fi considerat o piramida care are ca baza un triunghi, aria si volumul calculandu-se analog.

Paralelipipedul dreptunghic, cubul, prisma

Avem: AB - lungime(not. L)BC - latime(not. l)AE - inaltimea sau muchia laterala (not. h)     Aria laterala = suma ariilor fetelor laterale     Alat=Pb x h, unde Pb este perimetrul bazei,sau      Alat=2(L + l) x hAria bazei     Ab=L x l.Aria totala = aria bazei + aria laterala

Volumul     Vparalelipiped=Ab x hsau Vparalelipiped=L x l x h.

Paralelipipedul dreptunghic este un caz particular de prisma, iar cubul este un caz particular de paralelipiped dreptunghic, in sensul ca este un paralelipiped cu toate laturile congruente. De aceea nu amintim nimic despre ele aici.

Trunchiul de piramida

Avem: AB - Muchia bazei mariA'B' - Muchia bazei miciOO' - Inaltime (not. h)AA' - Muchia lateralaOM - Apotema bazei mari (not. aB)O'M' - Apotema bazei mici (not. ab)MM' - Apotema trunchiului de piramida (not. at)     Aria laterala = suma ariilor fetelor laterale     Alat=(PB+Pb)at/2, unde Pb este perimetrul bazei mici, iar PB este perimetrul bazei mari. Ariile bazelor se calculeaza in functie de natura bazelor (triunghi, patrulater etc.), iar la piramida regulata se mai pot calcula si cu ajutorul formulelor:     Ab=Pb x ab.     AB=PB x aB.Aria totala = aria bazei mari + aria bazei mici + aria laterala

Volumul

     Vtrunchi de piramida=

Corpuri - Corpuri rotunde

Cilindrul

Avem: AA' - generatoare (not. g)OO' - inaltimea cilindrului (not. h; in cazul nostru, la cilidrul circular drept, avemg=h) AO - raza bazei (not. r) Aria bazei = aria cercului de la baza, adica: 

     Aria laterala: 

       Aria totalã: 

       Volumul cilindrului: 

     

Conul

Avem: VA - generatoare (not. g)VO - inaltimea conului (not. h) AO - raza bazei (not. r) Aria bazei = aria cercului de la baza, adica: 

     Aria laterala: 

       Aria totala: 

       Volumul conului: 

     

Trunchiul de con

Avem: A'A - generatoare (not. G)OO' - inaltimea trunchiului de con (not. I) AO - raza bazei mari(not. R) A'O' - raza bazei mici(not. r) Aria laterala:

 Aria totala:

Volumul:

Sfera

Formule trigonometriceDefiniții

Într-un triunghi dreptunghic, considerând măsura unui unghi ascuțit numim:

sinusul = cateta opusă / ipotenuzăcosinusul = cateta alaturată / ipotenuzătangenta = cateta opusă / cateta alaturatăcotangenta = cateta alaturată / cateta opusă

Sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta se numesc funcții trigonometrice și se notează cu sin, cos, tg, si ctg.

În triunghiul ABC de mai sus avem:

           

                           

                    

Simple formule trigonometrice

Fiind dat un triunghi ABC dreptunghic in A, sunt adevarate urmatoarele relatii:

      formula fundamentala a trigonometriei

                                   

                 

Tabele trigonometrice

 

u 00 300 450 600 900

 sin u 0 1

cos u 1 0

tg u 0 1 ∞

ctg u ∞ 1 0

Analiza matematica Formule de derivare - tabel al derivatelor unor funcţii elementare

       

       

        

Reguli de derivare

 Formule integrale - tabel primitive uzuale

 

       

    

    

 

Reguli de derivare

Probabilitati. Elemente generaleEvenimente

1. Proba. Eveniment

Consideram ca aruncam un zar. Este evident o experienta aleatoare*adica o experienta al carei rezultat variaza la întâmplare. * Cuvantul aleator provine de la latinescul alea, care inseamna zar. Daca notam cu {1} aparitia fetei cu un singur punct, cu {2} aparitia fetei cu doua puncte etc. in urma unei aruncari cu zarul avem unul din rezultatele

{1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6}

Acestea sunt singurele rezultate posibile si unul dintre ele se produce neaparat. Acestea sunt probele experientei.Rezultatul unei experiente aleatoare se numeste proba.

Evenimentul care poate fi realizat de o proba si numai de una se numeste eveniment elementar. Celelalte evenimente se numesc compuse.

 2. Eveniment sigur. Eveniment imposibil

Fiecarei experiente i se ataseaza doua evenimente cu caracter special: evenimentul sigur si evenimentul imposibil. Evenimentul sigur este un eveniment sigur care se realizeaza cu certitudine la fiecare efectuare a experientei. De exemplu, la aruncarea unui zar, aparitia uneia din fetele 1, 2, 3, 4, 5, 6 este evenimentul sigur al experientei.

Evenimentul imposibil nu se realizeaza la nici-o efectuare a experientei. De exemplu, la aruncarea unui zar, aparitia altei fete decât fetele 1, 2, 3, 4, 5, 6 este un eveniment imposibil. Sau extragerea unei bile albe dintr-o urna care contine numai bile negre.

3. Operatii cu evenimente

Fiind date doua evenimente A si B, se numeste reuniunea lor si se noteaza prin A U B, evenimentul a carui realizare consta in realizarea a cel putin unuia din cele doua evenimente. Se mai citeste "A sau B".

La aruncarea zarului consideram evenimentele

A = {1, 2, 3} si B = {2, 3, 6}

Evenimentul A se realizeaza daca se realizeaza unul din evenimentele {1}, {2}, {3}, iar evenimentul B se realizeaza daca se realizeaza unul din evenimentele {2}, {3} sau {6}. Deci, pentru a realiza cel putin unul din evenimentele A, B trebuie sa obtinem una din probele {1}, {2}, {3}, {6} si avem

A U B = {1, 2, 3, 6}

Intersectia evenimentelor A si B este evenimentul A  B a carui realizare consta in realizarea simultana a evenimentelor A,B. Putem citi A si B in loc de A intersectat cu B. In cazul de mai sus avem

A   B = {2, 3}

Multimea tuturor evenimentelor legate de o experienta (inclusiv evenimentul sigur si evenimentul imposibil) formeaza un camp de evenimente.

Probabilitate

1. Frecventa

Daca repetam o experienta de n ori in conditii identice, si obtinem de a ori evenimentul A, atunci numarul

fn=a/n

poarta numele de frecventa. Numarul a poate varia de la 0 la n inclusiv.

Evenimente egal posibile. Fie A si B doua evenimente referitoare la aceeasi experienta. Daca din motive de perfecta simetrie, putem afirma ca ambele evenimente au aceeasi sansa de a fi realizate, spunem ca evenimentele sunt egal posibile.

2. Probabilitate

Definitie. Pobabilitatea unui eveniment este egala cu raportul dintre numarul cazurilor egal posibile care realizeaza evenimentul si numarul cazurilor egal posibile.

Asadar, vom spune ca probabilitatea evenimentului A este egala cu raportul dintre numarul m al cazurilor favorabile realizarii evenimentului A si numarul n al cazurilor egal posibile. Vom scrie

Exemplu. Avem o urna care contine 20 de bile numerotate cu 1, 2, 3, ... , 19, 20. Care este probabilitatea ca printr-o extractie sa obtinem o bila numerotata cu un nr. mai mic decât 6? Notam cu A evenimentul caruia dorim sa-i calculam probabilitatea. Numarul cazurilor egal posibile este 20. Numarul cazurilor favorabile realizarii evenimentului A este 5. Aceste cazuri sunt: extragerea bilei 1, extragerea bilei 2, extragerea bilei 3, extragerea bilei 4 sau extragerea bilei 5. Atunci avem

Proprietati ale probabilitatilor

Probabilitatea unui eveniment A, pe care o notam prin P(A), are urmatoarele proprietati: 

Regula de adunare a probabilitatilor

Fie A si B doua evenimente incompatibile intre ele avand respectiv probabilitatile p si q. Probabilitatea ca să se întâmple cel puţin unul dintre ele este p + q.

Evenimente independente

Fie A şi B două evenimente. Dacă

evenimentele A si B sunt, prin definitie, independente.

Exemplu. Consideram ca avem două zaruri: unul roşu si celalalt albastru.Fie A evenimentul ca zarul roşu să apară cu faţa 1 şi celălalt cu faţa 4. Sunt evenimentele A si B independente?

Evenimentele elementare sunt (j, k ) , (j =1, 2, 3, 4, 5, 6; k =1, 2, 3, 4, 5, 6), unde j sunt nr. de puncte de pe faţa zarului roşu, iar k de pe faţa zarului albastru. Toate aceste evenimente sunt egal posibile. Deci, avem 36 de cazuri posibile.Avem un singur caz posibil pentru A  B, adica (1,4). Deci

=1/36.

Pentru A avem 6 cazuri posibile (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6). Deci P(A) = 6/36 = 1/6.Pentru B avem 6 cazuri favorabile: (1,5), (2,5), .... Deci P(B) = 6/36 = 1/6.

Relatia   este indeplinită. Atunci evenimentele A si B sunt independente.

Câmp de probabilitate

Mulţimea tuturor evenimentelor legate de o experienţă împreună cu probabilităţile respective formeaya un câmp de probabilitate.

Formule pentru calcularea unor probabilităţi

1. 

2. 

MatematicA recreativAMatematica recreativă include o multitudine de jocuri matematice și poate fi extinsă ca noțiune și pentru puzzle-urile și problemele de logică sau deducție. Nici chiar unele dintre cele mai interesante probleme din această arie nu necesită cunoștințe de matematică avansată.

Tot în această categorie sunt incluse și subiecte precum estetica matematicii dar și povestioare amuzante sau coincidențe despre matematică în general sau despre matematicieni. Cea mai importantă contribuție pe care o aduce acest domeniu este faptul că stimulează curiozitatea și inspiră dorința de aprofundare în studii ulterioare.

Cele mai cunoscute exemple din matematica recreativă sunt careurile magice sau pătratele magice. În general, matematica recreativă poate fi împarțită în două mari categorii: jocuri și puzzle-uri. Pe scurt, puzzle-urile nu au decât un jucător pe când jocurile au doi sau mai mulți jucători.

Pătratele magice

Un pătrat magic de ordinul n este un aranjament de n2 numere, de obicei numere naturale sau întregi, distincte, astfel încât numerele de pe linie, de pe coloană și pe diagonală, însumate dau același număr. Un pătrat magic normal conține toate numerele de la 1 la n2, iar careuri magice de acest gen există pentru n≥1, exceptând n=2. Cazul n=1 este banal, careul având doar o căsuță în care este înscrisă cifra 1. Cel mai mic ordin "interesant" al unui careu magic este 3, un exemplu fiind careul de mai jos.

Suma constantă de pe fiecare linie, coloană sau diagonală se numește sumă magică și

depinde numai de valoarea n, ea putând fi calculată astfel:   Careurile magice au o istorie îndelungată, fiind prezente într-o multitudine de variante, pe toate continentele Terrei. De aceea sunt considerate cele mai cunoscute elemente de matematică recreativă.

Mai jos, exemple de careuri magice din timpul romanilor, asociate fiecărei planete.

Saturn=15

4 9 2

3 5 7

Jupiter=34

4 14 15 1

9 7 6 12

Marte=65

11 24 7 20 3

4 12 25 8 16

Soare=111

6 32 3 34 35 1

7 11 27 28 8 30

8 1 6

5 11 10 8

16 2 3 13

17 5 13 21 9

10 18 1 14 22

23 6 19 2 15

19 14 16 15 23 24

18 20 22 21 17 13

25 29 10 9 26 12

36 5 33 4 2 31

Venus=175

22 47 16 41 10 35

5 23 48 17 42 11

30 6 24 49 18 36

13 31 7 25 43 19

38 14 32 1 26 44

21 39 8 33 2 27

46 15 40 9 34 3

Mercur=260

8 58 59 5 4 62 63

49 15 14 52 53 11 10

41 23 22 44 45 19 18

32 34 35 29 28 38 39

40 26 27 37 36 30 31

17 47 46 20 21 43 42

9 55 54 12 13 51 50

64 2 3 61 60 6 7

Luna=369

37 78 29 70 21 62 13

6 38 79 30 71 22 63

47 7 39 80 31 72 23

16 48 8 40 81 32 64

57 17 49 9 41 73 33

26 58 18 50 1 42 74

67 27 59 10 51 2 43

36 68 19 60 11 52 3

77 28 69 20 61 12 53

Jocurile matematice se diferențiază de puzzle-uri prin faptul că există doi sau mai mulți jucători. În ceea ce privește jocurile cu doi adversari, acestea sunt diferite de jocurile obișnuite prin simplul fapt că jocul în sine este reprezentat mai mult de analiza posibilităților etc. Jocurile care utilizează numere nu intră în această categorie și de aceea sunt denumite puzzle-uri.

Matematica jocului

Deși sunt numite jocuri și nu necesită un grad mare de cunoștințe matematice, nu sunt și o joacă de copil. Tehnici de strategie avansate și explicații teoretizate intens transformă jocurile matematice într-un domeniu important din punct de vedere științific. Fiecare joc prezentat mai jos are aplicații în diverse teorii sau teoreme.

Printre acestea se numără:

1. Teoria jocurilor

2. Teoria combinatorică

3. Teoria grafurilor

4. Teoria grupurilor

5. Teoria lui Ramsey

6. Teorema Sprague-Grundy

Tabla de şah

Se poate afirma astfel că jocurile au un substrat foarte serios și o bază teoretică de obicei bine pusă la punct.

Exemple

Șah

Jocul se desfășoară pe tabla de șah; aceasta are o formă pătrată și este împărțită în 8 linii, numite orizontale și 8 coloane, numite verticale ce formează 64 de pătrate cu suprafețe egale, numite câmpuri colorate alternativ în alb și negru. La început fiecare jucător are 16 piese: 8 pioni, 2 turnuri, 2 cai, 2 nebuni, un rege și o regină. Un jucător controlează piesele albe iar celălalt piesele negre. Jucătorii mută pe rând, respectând anumite reguli. Scopul jocului este obținerea matului. Acesta survine atunci când un rege este atacat și nu poate fi mutat nicăieri spre a evita capturarea.

Sigla jocului Pacman, inspirat de Chomp

Chomp

Cei mai mulți își aduc aminte de PacMan Chomper. Chomp este un joc care are ca bază o tablă cu mai multe elemente și fiecare jucător trebuie să "mănânce" elemente pe linie sau pe coloana, până când nu mai ramane nimic. Cine "mănâncă" ultima piesa pierde.

Etapele jocului Dots pe o grilă de 2x2

Dots

Tabla de joc este formată dintr-o grilă dreptunghiulară de puncte. Fiecare jucător trebuie să unească cu o linie orizontală sau verticală două dintre punctele pe grilă. Scopul este să formeze pătrățele cu latura de o unitate. Jucătorul care trasează a patra latură a unui astfel de pătrat primește un punct și trebuie să mai facă o mutare.

Jocul se termină atunci când toate mișcările s-au epuizat și nu mai pot fi unite puncte de pe tabla de joc. Câștigător este cel care a acumulat cele mai multe puncte.

Grila poate fi de orice dimensiune, de la foarte mici (ca cea din imaginea alăturată) până la foarte mari (de exemplu, 50x50). Începătorii de obicei fac mutări la nimereală până când în grilă mai sunt numai "lanțuri", o succesiune de spații care au punctele de pe laterală unite, lățimea de o casuță iar la un capăt sunt închise, ceea ce determină o completare în lanț a pătrățelelor.

Lanţuri şi strategii

Un jucător avansat însă dacă va fi pus în fața unui lanț pe care completându-l, ar trebui sa deschidă un alt lanț de dimensiuni mai mari pe care astfel l-ar completa adversarul său, va adopta o altă strategie și anume nu va completa lanțul ci va "ceda" ultimele două puncte adversarului, trasând linia cu o casuță după celula de început, obligându-și partenerul să deschidă el următorul lanț (așa cum este prezentat în figură).

Prin prisma teoriei combinatorice a jocurilor, acest joc poate fi analizat folosind teorema Sprague-Grundy.

Tabla de joc la Go şi câteva mutări în cadrul unui joc

Joc pur de inteligență, mai complex și se spune adesea, mai interesant decât toate celelalte jocuri, Go-ul este în același timp unul dintre cele mai vechi sporturi ale minții practicate de om. Istoria sa începe cu aproximativ două milenii înaintea erei noastre, în China, fiind inventat, după unele cronici, de împăratul Shun, ca mijloc de accelerare a dezvoltării minții nu tocmai strălucite a fiului său, după alte cronici, mai credibile, de un vasal al împăratului Kich Kwei, pe nume Wu, același care a inventat și cărțile de joc. La începutul erei noastre, jocul cunoștea o mare dezvoltare în China, apoi, in jurul anului 735 e.n., a trecut în Japonia unde în câteva secole a fost adus la perfecțiune. Ținut la mare cinste la curțile nobiliare, cu numeroși jucători faimoși, de numele cărora sunt legate partide istorice, cu miză uriașă (se pare că, uneori, conflicte militare propriu-zise erau decise în urma unor întâlniri mai puțin sângeroase, dar nu mai puțin înverșunate, în jurul tablei de GO), nelipsit din echipamentul războinicilor vremii, cu o Academie de GO protejată de shogun și beneficiind de cei mai buni profesori, de la introducerea în Japonia și până la jumătatea secolului trecut cunoaște o continuă evoluție ascendenta a jocului (atât în conținut cât și ca prestigiu).

Calitățile GO-ului sunt incontestabile și cel mai pregnant mod de a le scoate in evidență este comparația cu șahul, alt joc care face cinste inteligenței umane, dar care, deși mult mai răspândit astăzi decât GO-ul, este depășit de acesta din urmă din mai multe puncte de vedere.

Se spune adesea despre GO ca regulamentul poate fi învățat în 5 minute, tactica și strategia sa în 30 de ani".

Au fost susținute teze de doctorat în economie bazate pe analogia cu GO-ul.Încercările de abordare din punctul de vedere al programatorilor s-au lovit de mari dificultăți,începând chiar de la studiul pe table 3x3,atunci când s-a încercat examinarea arborelui complet al jocului contând pe "forța brută" a computerului (aceasta se întâmpla prin anii 1963-1964).Complexitatea este subliniată,de exemplu,prin estimarea numărului total de configurații posibile pe tabla de GO:acesta este aproximativ 3361 (deoarece avem 19x19=361 de intersecții,iar fiecare intersecție se poate afla în 3 stări:liberă,ocupată de o piesă albă sau ocupată de o piesă neagră).În anul 1986,compania Multitech Industrial Corporation a lansat un premiu de 1 milion de dolari pentru primul program pe computer care să fie capabil să joace GO la nivel "dan";oferta urma să rămână deschisă până în anul 2000.

Go-ul se joacă pe o tablă caroiată prin 19 linii orizontale și 19 linii verticale cu piese albe și negre de formă lenticulară identică numite pietre(181 negre și 180 albe). Ca și la șah, liniile verticale se notează cu literele A,B,C,D,E,F,G,H,J,K,L,M,N,O,P,Q,R,S,T (lipsește I din cauza asemănării cu cifra 1) iar cele orizontale cu numere de la 1 la 19. Punctele D4, D10, D16, K4,K16,Q4,Q16 sunt îngroșate fiind folosite pentru plasarea pieselor handicap.

Cei doi jucători plasează pe rând câte o piesă pe tablă, într-un punct de intersecție a două linii. Piesele nu-și schimbă niciodată locul. Jucătorul cu piesele negre mută primul. Dacă diferența de tărie între jucători este mare, atunci jucătorul mai slab poate primi între 2 și 9 piese handicap, piese care se așază în acele puncte de handicap.

Punctele adiacente unei piese se numesc libertăți. O piesă izolată are 4,3 sau 2 libertăți,dupa cum ea este plasată în centrul tablei, pe o linie de margine sau la un colț de tablă. O piesă sau un grup de piese încercuit de adversar astfel încât mai are o singură libertate se numeșteatari . Dacă nu mai are nicio libertate este capturat iar piesele se ridică de pe tablă.

Hex

Hex este un joc popular jucat pe o suprafață grilată hexagonală, teoretic de orice mărime sau formă, însă în mod tradițional, Hex se joacă pe o tablă romboidă de dimensiuni 11 x 11. Alte dimensiuni populare sunt 13 x 13 și 19 x 19, ceea ce duce cu gândul la jocul GO. Conform cărții ‘’A beautiful mind’’ , John Nash, inventatorul jocului, considera că dimensiunea 14 x 14 era optimă

Hex a fost inventat de matematicianul danez Piet Hein care a prezentat jocul în 1942 la Institutul Niels Bohr. În mod independent a fost inventat și de John Nash in 1947 la Universitatea Princeton. În Danemarca a devenit cunoscut sub numele de ‘’Polygon’’ (deși Hein îl numise CON-TAC-TIX). Colegii de joc ai lui Nash au denumit simplu jocul după inventatorul lui iar in 1952 Parker Brothers au scos pe piață o versiune a jocului numind-o HEX iar numele a rămas așa.

Joc de strategie, face parte din seria jocurilor de conexiune, tot in această categorie intrând și Omni, Y, Havannah, toate acestea fiind în relație strânsa cu Go. Versiunea lui Nash a jocului era concepută ca o continuare firească a celebrului joc asiatic.

Poziţia de început a jocului L

Fiecare jucător are o culoare, roșu sau albastru fiind convenționale. Jucătorii plasează pe rând câte o piatra de culoarea aleasă pe o singură celulă de pe tabla de joc. Scopul este să formeze un drum între două fețe opuse ale tablei de joc, alăturând piese de aceeași culoare. Primul care unește cele doua laturi este cel care caștigă. Primul jucător are în general un avantaj clar prin faptul că poate să-și aleagă punctul de început, de aceea regulamentul spune că al doilea jucător poate să aleagă să facă schimb de poziții cu primul după ce acesta a făcut prima mutare.

Jocul L (BONOL)

Mutări în cadrul jocului L

În 1969 apărea la editura londoneză Pelican cartea ‘’Cursul de gândire în cinci zile’’ de Edward de Bono, în care printre altele era introdus și un joc logic inedit și atrăgător. Autorul îl numea ‘’’jocul L’’’.

Jocul se practică pe o tablă pătrată caroiată 4 x 4. Fiecare dintre cei doi jucători are câte o literă L (de culori diferite, una neagră și una albă, de exemplu) formată din patru pătrățele. Există, de asemenea, două piese mici neutre (de culoare gri). Inițial, cele patru piese sunt așezate ca în figura alăturată. Apoi, jucătorii mută pe rând, o mutare constând în ridicarea L-ului propriu de pe tablă și plasarea lui în altă poziție, într-un loc liber, desigur (este permisă și întoarcerea cu cealaltă față in sus), urmată eventual și de mutarea unui pătrat gri. Câștigator este jucătorul care îl aduce pe adversar în situația de a nu mai putea muta.

Există în total 2 296 de configurații distincte ale celor patru piese. Dintre acestea, considerând că negrul este la mutare, 15 sunt poziții în care partida este deja încheiată în favoarea albului; din alte 14 poziții, albul bate sigur (dacă joacă perfect bineînțeles) în 2, 4, 6 sau cel mult 8 mutări. În schimb, jucând corect și fiind la mutare, negrul poate învinge în 1006 poziții. Restul de 1261 de configurații conduc la remiză prin ciclare.

Nim

Nim este un joc matematic de strategie în care jucătorii îndepărtează pe rând obiecte din grămezi diferite. La fiecare mutare, un jucător trebuie să îndeparteze măcar un obiect putând îndepărta oricâte obiecte atât timp cât fac parte din aceeași grămada.

Variante ale jocului au fost jucate înca din Antichitate. Se spune că țara sa de origine este China (seamănă foarte mult cu jocul chinezesc Jiashizi) dar originea sa rămâne incertă. Cele mai noi referiri europene la Nim datează de la începutul secolului XVI, iar numele său a fost dat de către Charles L. Bouton de la Universitatea Harvard (cel care a finalizat și teoria jocurilor în 1901), însă numelui nu i s-a atribuit nicio explicație. Cel mai probabil numele derivă din termenul german “nimm!” care înseamnă “ia!” . Unii atrag atenția asupra faptului că rotind NIM la 180° spre stânga, se obține WIN.

De obicei, la Nim, jucătorul care ia ultimul obiect pierde, dar mai poate fi jucat și ca un joc normal, ceea ce înseamnă că persoana care face ultima mutare (cel care ridica ultimul obiect) câștiga partida. Cele mai multe jocuri urmează această convenție de joc ‘’normal’’ deși de obicei Nim reprezintă o excepție de la regulă.

Jucat în mod normal, Nim aparține teoremei Sprague-Grundy. O versiune a jocului Nim are o importanță simbolică în filmul “Last Year at Mariebad”(1961)

Sim

Sim se joacă în doi, un jucător roșu și un jucător albastru pe o tabla de joc ce constă în 6 puncte, fiecare punct fiind unit cu celelalte printr-o linie.

Cei doi jucători colorează pe rând orice linie necolorată. Un jucător colorează în roșu si celălalt colorează în albastru, fiecare încercând să evite crearea de triunghiuri formate exclusiv din culoarea lor. Jucătorul care completează un astfel de triunghi pierde.

Teoria lui Ramses ne arată ca niciun joc de Sim nu se poate termina la egalitate.

Căutarile computerizate au verificat faptul că al doilea jucător poate câștiga dacă are un joc perfect însă găsirea unei strategii fără greșeală pe care mintea umană să o poată memora reprezintă încă o problema.

Puzzle-uri matematice

Sau jocuri de o singură persoană, vezi și puzzle. Printre cele mai cunoscute se numără:

Tangram

Cele şapte tanuri

Printre jocurile logice fascinante ale căror origini trebuie căutate in China Antică, Tangramul ocupă o poziție specială. Joc-jucărie, conceput pentru a fi practicat de o singură persoană, Tangramul este ilustrarea perfectă a aforismului "Maeștrii se dovedesc în lipsa mijloacelor". Într-adevăr, resursele inițiale ale jocului sunt extrem de reduse: șapte figuri geometrice (5 triunghiuri (de diferite mărimi), un pătrat și unparalelogram).

Jocul constă în așezarea celor 7 figuri (toate și numai ele - prima regulă), una lângă alta, fără suprapuneri (a doua regulă), în plan (regulă implicită), pentru a forma anumite figuri date, figuri cu valoare estetică sau imagini stilizate de obiecte reale.

Cele 7 figuri inițiale - se mai numesc și tanuri - provin din decuparea într-un anume fel a unui pătrat, ca în figură. Ele erau confecționate în mod tradițional din piatră, os, lut sau alte materiale "clasice", însă azi pot fi din plastic, lemn, sau alte materiale "moderne".

Legat de Tangram s-a pus întrebarea: Câte figuri convexe pot fi realizate cu ajutorul celor 7 piese? Una este pătratul de plecare, alte 12 sunt prezentate în figura alăturată. Abia în 1942 s-a demonstrat că numai aceste figuri convexe pot fi realizate folosind regulile menționate mai sus, demonstrația fiind făcută de matematicienii Fu Traing Wang și Chuan Chih Hsing, de la Universitatea Națională din Chekiang, China.

Cubul SOMA

Tangramul este inepuizabil nu numai la nivelul combinațiilor posibile cu cele șapte tanuri ci și în ceea ce privește mulțimea jocurilor în care pot fi descoperite trăsături ale sale. Cubul SOMA, inventat de fizicianul și scriitorul danez Piet Hein (autorul și al jocului HEX).

Avem la dispoziție 7 piese formate din câte 3 sau 4 cubușoare unitare, nu orice fel de piese ci toate cele care pot fi formate astfel încât rezultatul să nu fie convex. Exista 7 piese care se pot obține astfel, una singură cu 3 cuburi și șase cu câte 4. Deși piesele sunt obținute în acest mod , fără a fi dinainte "aranjate" astfel încât lucrurile să iasă bine, cu ele poate fi rezolvată următoarea problemă naturala: realizarea unui cub de dimensiuni 3x3x3.

Există exact 240 de soluții diferite ale problemei și au fost obținute de către Conway in 1981. O încercare mult mai dificilă este realizarea unui cub 5x5x5, folosind un cub 2x2x2 um paralelipiped 2x2x1, trei paralelipipede 2x4x1.

Cubul SOMA este folosit nu numai în sensul problemei anterioare, a realizării unui cub 3x3x3 ci și în sensul Tangramului, pentru a realiza dierite construcții cu cele 7 piese.

Cubul lui Rubik care a făcut înconjurul lumii

Este, poate, cel mai faimos puzzle. Un cub de plastic de câțiva centimetri, secționat pe fiecare direcție în câte trei "felii" astfel încât să se obțină 27 cuburi mai mici, dintre care numai 26 sunt vizibile. Fiecare față este colorată altfel decât celelalte și se poate roti în jurul axului ei central. Rotind de câteva ori la întâmplare feliile cubului, culorile "difuzează" rapid, pierzându-se într-un mozaic aparent incontrolabil în care numai cuburile din centrul fețelor mai amintesc de culoarea inițială.

Revenirea la ordinea inițială pare o speranță irealizabilă: există peste 43 miliarde de miliarde de configurații. Epidemia a fost pregatită în 1975 când un tânăr arhitect maghiar, Erno Rubik, a brevetat o jucărioară multicoloră, menită să-i folosească drept material didactic pentru întărirea intuiției spațiale a studenților săi. În 1978, un amic a lui Rubik ia cubul cu el la Congresul de matematică de la Helsinkiși astfel cubul ajunge pe mâna matematicienilor. Cubul a trecut din mână în mână, s-a făcut legătura cu teoria grupurilor (depermutări)

Virusul s-a răspândit cu repeziciune în Franța și Marea Britanie, a trecut apoi oceanul spre America și Japonia, a intrat în atenția unor coloși ai industriei și comerțului cu jucării astfel încât în 1980, grupul Ideal-Toy comanda Ungariei 6 milioane de cuburi.

Dominoul lui Rubik

Inventat tot de Erno Rubik, domino-ul magic este format din 9 cubușoare negre si 9 albe, marcate de la 1 la 9 cu puncte ca piesele de domino și legate pentru a forma doua etaje dintr-un cub. Orice felie poate fi rotită, cea de sus și cea de jos . Problema? Refacerea ordinii de la 1 la 9 punctelor inscrise pe cubușoare atât pe fața albă cât și pe cea neagra, după amestecarea arbitrara a acestor cuburi. Încercarea este mai ușoară decât în cazul cubului (există "numai" 406 125 600 de configurații posibile). Faptul ca feliile laterale nu pot fi rotite decât cu multipli de 180° face inaplicabile majoritatea formulelor cunoscute de la cub.

Exista mai multe metode de rezolvare, unele mai simple altele mai complicate, un algoritm simplu urmand 3 etape:

separarea cubușoarelor de colț (cele marcate cu 1,3,7 sau 9 puncte) albe de cele negre (centrele fețelor fiind fixe, ele precizează culoarea fețelor)

punerea cubușoarelor de colț la locul lor, în cadrul fiecărei fețe (1 la nord-vest, 3 la nord-est etc.)

ducerea cubușoarelor de mijloc la locul lor

Solitarul (peg solitaire

De fapt, sub acest nume sunt cunoscute o serie întreagă de probleme inventate, se spune în secolul XVIII-lea de un conte francez, în timpul unei îndelungi detenții (așa cum consemnează R.C. Bell în Board and table games from many civilizations ) . Toate aceste probleme au ca suport tabla jocului medieval Vulpea și gâștele, pe car sunt așezați pioni identici, în fiecare căsuță câte unul, lăsând una sau mai multe căsuțe libere. Fiecare pion poate sări peste un pion vecin, orizontal sau vertical (nu și pe diagonală, deci), cu condiția ca în spatele acestuia să existe o căsuță liberă. Pionul peste care se sare este eliminat.

Problema "standard" pleacă de la aranjamentul principal și cere ca prin mutări adecvate, să fie eliminați toți pionii, mai puțin unul care să ajungă în final exact în centrul tablei, acolo unde inițial aveam o căsuță libera. Deoarece avem de eliminat 31 de piese, iar la fiecare săritura se elimină una dintre ele, problema poate fi rezolvată în exact 31 de mutări elementare. Numerotând de la 1 la 33 de la stânga spre dreapta, de sus în jos, pe linii, o soluție a problemei este:

Apare ca naturală întrebarea: care este numărul minim de mutări prin care poate fi rezolvată problema inițială a solitarului?

Încă din 1908, H.E. Dudeney a dat o soluție în numai 19 mutări, ilustrată mai sus. Patru ani mai târziu a fost obținută o soluție mai economicoasă, pentru ca exact o jumătate de secol problema să rămână în acest stadiu. În 1962 J.D. Bearey publică în revista "Eureka" Some notes on Solitaire, în car edemonstrează că soluția din 1912 este optimă: nu există nicio posibilitate de rezolvare a problemei solitarului care să folosească mai puțin de 18 mutări.

Poliminouri

Următoarea problemă este aproape nelipsită din cărțile de amuzamente matematice: se ia o tablă de șah și i se elimină două colțuri opuse. Se iau apoi 31 de piese de domino, fiecare egală cu două pătrate ale tablei. Întrebare: pot fi așezate aceste piese (fără suprapuneri) pe tabla astfel trunchiată?

Răspunsul este nu , cu o justificare pe cât de simplă, pe atât de inteligentă:orice domino acoperă un pătrat alb și unul negru, 31 de dominouri acoperă 31 pătrate albe și 31 negre, dar tabla trunchiată conține 30 de pătrate de o culoare și 32 de cealaltă culoare.

Această problemă i-a inspirat matematicianului american Samuel Golomb o foarte interesantă generalizare, expusă pentru prima dată într-un articol apărut în 1954, în revista The American Mathematical Monthly : Checkers board and polyminoes. Pornind de la faptul că un domino este format din 2 pătrate, deci două mino-uri, el considera și monominouri, trominouri, tetrominouri, pentominouri , în general poliminouri. Terminologia lui Golomb este atractivă însă nu are legătură cu etimologia cuvântului domino, car vine se pare de la latinescul dominus și nu de la do-mino.

Hexomino-uri Pentomino-uri Tetromino-uri

Un polimino este o figură convexă formată din pătrate vecine pe câte o latură, astfel încât o tură le poate parcurge în întregime.

Problema principală a articolului lui Golomb este acoperirea tablei de șah cu poliminouri de anumite tipuri. Evident este imposibil să acoperim tabla cu trominouri, indiferent de care formă

deoarece 64 (numărul pătratelor tablei) nu este divizibil cu 3 (numarul de pătrate dintr-un tromino). Putem însă acoperi tabla de șah cu 21 de trominouri drepte sau în formă de L și un monomino, cu condiția ca în cazul trominourilor drepte, monominoul să acupe anumite poziții bine precizate. Considerând tetraminourile, tabla de șah poate fi ușor acoperită cu câte 16 piese de tip I, L, T sau O, deoarece și pătratul 4x4 (un sfert de tablă) poate fi acoperit cu asemenea tetrominouri. Referindu-ne la pentaminouri, exista 12 piese distincte si este evident că ele nu pot acoperi complet tabla de șah, dar o pot acoperi împreună cu un tetromino.

Jocurile lui Golomb au fost predecesoarele ultra-cunoscutului Tetris, care nu mai ar nevoie de nicio descriere prealabilă.

Sudoku

Joc la modă, Sudoku se joacă pe o grilă 9x9, împărțită în 9 pătrate cu latura de 3 unități. Scopul jocului este de a completa toate căsuțele astfel încât pe fiecare linie și coloană fiecare cifră de la 1 la 9 să nu apară decât o singură dată. Pentru mai multe detalii, vezi Sudoku.

Reprezentanți

Nu puțini au fost pionierii jocurilor matematice. Nume precum Sam Loyd, John Nash, Piet Hein, J.H. Conway, R.K. Guy, M.S. Paterson, Edward Bono se inscriu în galeria personalităților acestui domeniu.

În 1982 a apărut la "Academic Press" o carte monumentală, în două volume de format mare, însumând aproape nouă sute de pagini: Berklekamp, Conway, Guy Winning Ways for your Mathematical Plays , care conținea foarte multe jocuri (abordate matematic), dar în prefața căreia autorii își iau precauția de a recunoaște că (nici măcar) lucrarea lor nu prezintă toate jocurile (logice) cât de cât răspândite. Ea descrie însă numeroase jocuri pe care mulți nu le cunosc.Au existat (și încă există) reviste de specialitate, printre care amintim de "Rubik's - Logic and Fantasy Dimensions", unde redactor șef era chiar Erno Rubik.

Cei care au contribuit într-un fel sau altul la dezvoltarea acestui domeniu sunt:

John Conway Elwyn Berlekamp Richard Guy Lewis Carroll

1. John Horton Conway  - profesor la Universitatea Princeton

2. Elwyn Berlekamp  - profesor de matematică la Universitatea California, Berkeley

3. Richard Guy  - profesor emerit la Universitatea Calgary

4. Martin Gardner  - scriitor american specializat în matematica recreativă, dar și în pseudoștiință, magie, literatură, filosofie sau religie

5. Lewis Carroll  - pe numele său adevărat Charles Dogson, scriitor englez, matematician, logician și fotograf, pasionat de jocuri

6. Sam Loyd  - matematician american, pasionat de jocuri, a rezolvat unele probleme grele de șah, a fost un entuziast al Tangramului dar a și creat jocuri, cel mai faimos fiind jocul 15.

7. Erno Rubik  - sculptor ungur, profesor de arhitectură, a creat o multitudine de jocuri, începând din 1974 când aproape din greșeală a oferit lumii fabulosul Cub (vezi mai sus)

8. Piet Hein  - om de știință danez, a creat jocuri precum HEX sau cubul SOMA.

9. Solomon Golomb  - matematician, inventatorul poliminourilor, predecesoarele jocului Tetris.

10. Douglas Hofstadter  - academician american, câștigător al premiului Pulitzer, pasionat de jocuri matematice, autor al unui volum numit Matemagia

Sam Loyd Douglas Hofstadter