Clasa a XI-a - 1 Elemente de analiza matematica Limite de functii Definitie vecinatate a unui punct vecinatate a unui punct :- Fixam un punct R a ;- Se numeste vecinatate a punctului a orice multime R V care contine un interval deschis centrat in a , adica : in acest caz exista 0 > r astfel incat ( ) V r a r a + , . Definitie punct de acumulare ( punct de acumulare ( punct limita punct limita ) ) :- - Fie A o submultime nevida din R : R A ;- - Un punct R a se numeste punct de acumulare (sau punct limita) pentru multimea A daca ( ) VV a (= multimea vecinatatilor punctului a ) sa rezulte { } ( ) A a V .- - aceasta definitie spune ca un punct R a este punct de acumulare pntru multimea A daca orice vecinatate V a punctului a mai contine si alte puncte din A , diferite de a , adica exista :a x A V x cu Definitie punct izolat punct izolat :- - Fie A o submultime nevida din R : R A ;- Un punct A x 0 se numeste punct izolat al multimii A daca exista cel putin o vecinatate V a punctului { }xA Vx0 0i n c a t a s t f e l . Observatie : Orice punct al unei multimi A este fie punct de acumulare , fie punct izolat .Limite de functiiiClasa a XI-a - 2 Elemente de analiza matematica Limite de functii Fixam o functie R D f : , ( ) R D si un punct x0 punct de acumulare a lui D , Rx 0 . Definitie criteriul cu vecinatati criteriul cu vecinatati :- Functia f are limita in punctul x0 , egala cu si scriem :( ) x fx xl im0daca pentru orice vecinatate V a lui exista o vecinatate U a lui x0 astfel incat pentru orice :{ } ( ) V x fx U D x \0 Toreme de caracterizare a limitei unei functii intr-un punct limitei unei functii intr-un punct : Criteriul : - .- Fie R D f : , ( ) R D , o functie si x0 punct de acumulare a lui D , Rx 0 ;- Functia f are limita in punctul x x 0 , egala cu R si scriem : ( ) x fx xlim0 daca si numai daca ( ) 0 > exista numarul real ( ) 0 > , depinzand de , astfel incat pentru orice { } \0x D x , cu proprietatea < 0 x x sa rezulte : ( ) < x f . Criteriul : cu siruri .- Fie R D f : , ( ) R D , o functie si x0 punct de acumulare a lui D , Rx 0 ;Limite de functiiiClasa a XI-a - 3 Elemente de analiza matematica Limite de functii- Functia f are limita in punctul x x 0 , egala cu R , finit sau infinit , si scriem :( ) x fx xl im0 daca pentru orice sir ( ) { } x a x D aa n nnn0 00 , \ , avem : ( ) af n . Observatie : Daca exista , limita unei functii intr-un punct Daca exista , limita unei functii intr-un punct este unica este unica . . Def Def initie initie : : Limita la stanga : Limita la stanga : - Fie R D f : , ( ) R D , x0 punct de acumulare pentru multimea : ( ) { } Rx x D x x D D s < si ,0 0'- Functia f are limita la stanga in punctul x0 egala cu s daca oricare ar fi vecinatatea V a lui s , exista o vecinatate U a lui x0 , astfel incat pentru orice :x x 0< , { } ( ) V x fx D U x \0 - Vom folosi notatiile : ( ) ( ) x f x f lx x x xs l i m 0000< . Def Def initie initie : : Limita la dreapta : Limita la dreapta : - - Fie R D f : , ( ) R D , x0 punct de acumulare pentru multimea : ( ) { } Rx x D x x D D d > + si ,0 0'Limite de functiiiClasa a XI-a - 4 Elemente de analiza matematica Limite de functii- Functia f are limita la dreapta in punctul x0 egala cu d daca oricare ar fi vecinatatea V a lui d , exista o vecinatate U a lui x0 , astfel incat pentru orice :x x 0> , { } ( ) V x fx D U x \0 - Vom folosi notatiile : ( ) ( ) x f x f lx x x xd l i m 0000> + . TEOREMA : TEOREMA : de caracterizare a limitei unei functii intr-un punct cu de caracterizare a limitei unei functii intr-un punct cu ajutorul limitelor laterale ajutorul limitelor laterale - Fie R D f : , ( ) R D , x0 punct de acumulare pentru multimea D astfel incat sa existe limitele laterale in x0 ( deci exista ( )0 0 xf , ( )0 0 +xf ) ;- Atunci urmatoarele afirmatii sunt echivalente : 1). f are limita in punctul x0 ;2). ( )0 0 xf = ( )0 0 +xfIn aceste conditii : ( ) x fx xlim0= ( )0 0 xf= ( )0 0 +xf- Aceasta teorema spune ca o functie are limita intr-un punct daca si numai daca exista limitele laterale cu proprietatea ca sunt si egale . Observati Observati i : i : 1). Daca ( ) R b a f , : si are limite in punctele a ,b in punctul a vorbim de limita laterala la dreapta , iar in punctul b de limita laterala la stanga . 2). Limitele laterale se folosesc in urmatoarele situatii : - in punctele in care o functie definita pe ramuri isi schimba expresia ;- daca trecand la limita obtinem : 0a ; - daca domeniul de definitie este restrictiv , de exemplu : ( ) ( )xx f 1ln2 .Limite de functiiiClasa a XI-a - 5 Elemente de analiza matematica Limite de functii Fie R D g f : , si x0 un punct de acumulare pentru D ; Daca : ( ) 1 lim0x fx x si ( ) 2 lim0x gx x , R c R , ,2 1 atunci functia :1 ) 1 ) ( ) g f + are limita in x0 si ( ) ( ) ( ) ( ) x g x f x g fx x x x x xl i m l i m l i m0 0 02 1 + + + .( Limita sumei este egala cu suma limitelor )Caz execeptat : ( ) daca 2 1 2 1 , s a u , 2 ) 2 ) ( ) f c are limita in x0 si ( ) ( ) ( ) x f c c x f cx x x xl i m l i m0 01 .( O constanta iasa in afara limitei )3 ) 3 ) ( ) g f are limita in x0 si ( ) ( ) ( ) ( ) x g x f x g fx x x x x xl i m l i m l i m0 0 02 1 .( Limita produsului este egala cu produsul limitelor )Caz execeptat : ( ) 0 daca 0 , s a u , 02 1 2 1 t t 4 ) 4 )

,_

gf are limita in x0 si ( ) ( )( ) x gx fxgfx xx xx xlimlimlim00021

,_

., daca 0 2 Limite de functiiiClasa a XI-a - 6 Elemente de analiza matematica Limite de functii( Limita catului este egala cu catul limitelor )Caz uri execeptate : t daca 2 1 2 1 , s a u , 5 ) 5 ) ( ) f g are limita in x0 si ( )( )( )( )1]1

11]1

x f x fx x x xx gg x xlim lim0lim1020 , daca ( ) 0 > x f .Cazuri exceptate : ( ) 0 0 ,0,16 ) 6 ) f are limita in x0 si ( ) ( ) 1 lim lim0 0 x f x fx x x x .( Limita modulului este egala cu modulul limitei ) Criteriul Criteriul : : MAJORARII . MAJORARII . - Fie R D g f : , doua functii si x0 un punct de acumulare pentru D si V o vecinatatea lui x0 .- Daca ( ) ( ) x g x f , ( ) x xD V x0 , si daca ( ) 0lim0x gx x atunci :( ) x fx xl im0 Consecinte Consecinte : : 1) Daca ( ) ( ) x g x f si ( ) + x gx xl i m0 atunci ( ) + x fx xl i m0 .2) Daca ( ) ( ) x g x f si ( ) x gx xl i m0 atunci ( ) x fx xl i m0 . Trecerea la Trecerea la Limita in Inegalitati . Limita in Inegalitati . - Fie R D g f : , doua functii si x0 un punct de acumulare pentru D si V o vecinatatea lui x0 .- Daca ( ) ( ) x g x f , ( ) x xD V x0 , si daca g f si au limite in punctul Rx 0 atunci : Limite de functiiiClasa a XI-a - 7 Elemente de analiza matematica Limite de functii( ) ( ) x g x fx x x xlim lim0 0 Corolar Corolar : : Fie R D f : , Va a , ( Va= multimea vecinatatilor punctului a ) , f are limita in a si V V a . Daca ( ) 0 x f , ( ) a x D V x , atunci ( ) 0lim x fa x . Daca ( ) 0 x f , ( ) a x D V x , atunci ( ) 0lim x fa x . Daca ( ) x f , ( ) a x D V x , atunci ( ) x fa xl i m . TEOREMA : TEOREMA : CLESTELUI . CLESTELUI . Fie trei functii R D h g f : , , , a un punct de acumulare pentru D , Va a si V o vecinatate a lui a . Daca :1). ( ) ( ) ( ) x h x g x f , ( ) a x D V x , .2). ( ) ( ) x h x fa x a xlim limatunci g are limita in a si mai mult : ( ) x ga xlim .Schematic :( ) ( ) ( ) x h x g x f . TEOREMA : TEOREMA : ( ( criteriu) . criteriu) . Aceasta teorema este un alt rezultat important care permite calculul limitei unui produs defunctii : Fie R D g f : , , doua functii si Va a , ( Va= multimea vecinatatilor punctului a ),Limite de functiiiClasa a XI-a - 8 Elemente de analiza matematica Limite de functiia punct de acumulare , si V V a .cu proprietatile : 1). ( ) M x f , ( ) 0 , > M D V x ( f marginita pe o vecinatate a lui a ) ;2). ( ) 0lim x ga x . Atunci : ( ) ( ) 0l i m x g x fa x . Limita produsului dintre o functie marginita si o functie de limita zero este zero !!!In cele enuntate si discutate anterior acestui capitol , am vazut cateva operatii cu In cele enuntate si discutate anterior acestui capitol , am vazut cateva operatii cu limite de functii .Pentru ca ele sa devina operabile este nevoie de cunoasterea procedurii de limite de functii .Pentru ca ele sa devina operabile este nevoie de cunoasterea procedurii de calcul a limitelor principalelor functii. calcul a limitelor principalelor functii.Vom discuta si calcula limita functiei , in general , in doua cazuri : Vom discuta si calcula limita functiei , in general , in doua cazuri : 1). 1). Cand Cand a este punct de acumulare finit este punct de acumulare finit ; ;2). 2). Cand Cand a este punct de acumulare infinit ( este punct de acumulare infinit ( daca exista daca exista ) ) . .1 1 LimitaLimita :: . .Limite de functiiiClasa a XI-a - 9 Elemente de analiza matematica Limite de functii - Fie R R f : , ( ) c x f , R c ; - Atunci :( ) c x fa x lim, ( ) R a 22 Limita Limita :: . . - Fie functia polinomiala : R R f : ( ) a x a x a x a x a x ax f kkkknnnn 0 11111..... ..... + + + + + + + unde : 0 , , 0 , ankRa n k . - Avem cazurile :1). Daca a este un punct de acumulare finit atunci :( ) ( ) a f x fa x limDeci limita unei functii polinomiale intr-un punct de acumulare finit a , se obtine inlocuind x cu a .2). Daca a este un punct de acumulare infinit atunci :( ) ( ) t nnnna x a x a x ax flim limDeci limita unei functii polinomiale la t este aceeasi cu limita termenului de grad maxim .Limite de functiiiClasa a XI-a - 10 Elemente de analiza matematica Limite de functii 1). ( ) +3 2 lim21 x xx ...................................................................................................................... 2). ( ) + x xx7 5 lim22 ........................................................................................................................... 3). ( ) +7 2 2 lim37 x xx ................................................................................................................... 4). ( ) +3 6 3 lim2 20 x xx ................................................................................................................... 5). ( ) +x x xx3 2 5 lim3 3 60 ................................................................................................................. 6). ( ) + 6 2 2 lim23 x xx ................................................................................................................ 7). ( ) + x xx6 lim41 ............................................................................................................................. 8). ( ) + 5 2 lim2 33 x e x xx ................................................................................................................. 9). ( ) + + x x xx2 3lim ....................................................................................................................... 10). ( ) + + 8 3 2 lim2 3x x xx ...........................................................................................................Limite de functiiiClasa a XI-a - 11 Elemente de analiza matematica Limite de functii 11). ( ) x xx7 2 7 lim2 ................................................................................................................... 12). ( ) + + x x xx5 lim2 4 ..................................................................................................................... 13). ( ) + + 7 5 lim2 3x x xx ............................................................................................................. 14). ( ) + 1 6 3 lim4x xx ................................................................................................................. 15). ( ) + 2005 lim3xx ......................................................................................................................... 16). ( ) + + x x xx10 3 lim2 3 .............................................................................................................. 17). ( ) + + 3 6 lim2 3x xx .................................................................................................................. 18). ( ) + + + 1 4 3 lim2 5x x xx .........................................................................................................Limite de functiiiClasa a XI-a - 12 Elemente de analiza matematica Limite de functii33 Limita Limita :: . . - Fie functia rationala : ( ) ( )( ) x Q x Px f , { } R x Q x R f 0 ) ( : unde P si Q sunt functii polinomiale :( ) a x a x a x a x a x ax P iiiikkkk 0 11111..... ..... + + + + + + + ( ) b x b x b x b x b x bx Q jjjjllll 0 11111..... ..... + + + + + + + unde : 0, , 0, , , 0 , , b al j kiRb a l k j i . - Distingem cazurile :1). Subcazul 1 : Daca a este un punct de acumulare finit cu proprietaea ca ( ) 0 a Q ( deci a nu este radacina pentru numitor ) atunci :( ) ( )( )( )( ) ( ) a fa Q a Px Q x Px fa x a x lim limSubcazul 2 :Daca a este un punct de acumulare finit cu proprietaea ca ( ) 0 a Q ( deci a este radacina pentru numitor ) atunci :( ) ( )( )( )( )( )0lim lim a Pa Q a Px Q x Px fa x a x caz de nedeterminare !!! Discutia pt. acest subcaz 2 este mai complexa . Eliminarea acestiu caz de nedeterminare o vom discuta in capitolele ce vor urma( cazurile de nedeterminare ale limitelor de functii ) . O modalitate de a scapa de nedeterminare este ca sa descompunem polinoamele in factori primi si prin reducerea termenilor asemenea sa ajungem la rezultatul final , dar aceasta numai in conditiile in care si ( ) 0 a P .2). Daca a este un punct de acumulare infinit atunci :Limite de functiiiClasa a XI-a - 13 Elemente de analiza matematica Limite de functii( )( ) ( ) ( )( )'< t t i n u m i t o r u l u g r a d u l l u i n u m a r a t o r u g r a d u l p e n t r u , 0 p e n t r u , i n u m i t o r u l u g r a d u l l u i n u m a r a t o r u g r a d u l p e n t r u , l i ml kl kbal kbax flkl klkx 1). 1 21lim221 x xxx ........................................................................................................................ 2). +11lim21 xxx ................................................................................................................................... 3). + + + 1 81 2lim221 x x x xx ........................................................................................................................ 4). 31lim1 xxx .................................................................................................................................. 5). + + + 1 2 35 2lim22x x x xx ......................................................................................................................Limite de functiiiClasa a XI-a - 14 Elemente de analiza matematica Limite de functii 6). + + 1 45lim2 33x xxx ........................................................................................................................ 7). 35 2lim2x x xx ........................................................................................................................ 8). + + + 1 37 5 36lim24x x x xx .................................................................................................................. 9). + 82lim24 5x x xx ............................................................................................................................... 10). + +12lim21 x x xx ........................................................................................................................... 11). ( ) ( )+ 2 34 1lim32x x xx .................................................................................................................. 12). + 11 2lim21 x x xx ........................................................................................................................ 13). + + 11lim321 x x xx ...........................................................................................................................Limite de functiiiClasa a XI-a - 15 Elemente de analiza matematica Limite de functii 14). + + +15 815 2lim223 x x x xx ...................................................................................................................... 15). ( ) +41lim2222xxx ............................................................................................................................... 16). ( )+ 1 21lim2212x x xx ........................................................................................................................ 17). +232415lim2223 xxx xx ....................................................................................................................... 18). +2025lim221 x x xx ....................................................................................................................... 19). +x x x xx440lim .................................................................................................................................. 20). x x xx43 40lim .................................................................................................................................. 21). 8 54 2lim22x x xx .............................................................................................................................Limite de functiiiClasa a XI-a - 16 Elemente de analiza matematica Limite de functii 22). x x x xx74lim24 3 ............................................................................................................................... 23). + 12lim2x x xx ............................................................................................................................... 24). + 23 1552lim32 3x x xx ........................................................................................................................ 25). ++ 11 5 3lim2x x xx ...................................................................................................................... 26). + x x x xx32lim22 ............................................................................................................................... 27). + x xxx21lim ................................................................................................................................. 28). ++ 4lim22 3x x xx ................................................................................................................................. 29). ( ) ( )+ + x x x xx31 2 2lim2 ....................................................................................................................44 Limita Limita :: . .Limite de functiiiClasa a XI-a - 17 Elemente de analiza matematica Limite de functii - Distingem urmatoarele cazuri :I. Cazul radicalilor de ordin par ( k n 2 ) : avem functia radical , unde se impune conditia de existenta a radicalului de ordin par ,[ ) [ ) ( ) N kx x f f k * 2 , , , 0 , 0 : cu subcazurile :Subcazul 1 : Daca [ ) + , 0 a , a punct de acumulare finit , atunci :ka xka x a x2 2lim lim Subcazul 2 : Daca a punct de acumulare infinit , + a , atunci :+ + + + kxkx x2 2lim limSubcazul 3 : Daca a punct de acumulare infinit , a , atunci :exista nu x kxkx lim lim2 2 deoarece nu putem calcula radical de ordin par dintr-un numar negativ !!!II. Cazul determinantilor de ordin impar ( 1 2 + k n ) : avem functia radical , caz in care nu avem de pus nici o conditie de existenta a radicalului , ( ) N kx x f R R f k * 1 2 , , : +cu subcazurile :Subcazul 1 : Daca a punct de acumulare finit , atunci :1 2 1 2lim lim ++ ka xka x a xSubcazul 2 : Daca a punct de acumulare infinit , + a , atunci :+ + ++ ++ 1 2 1 2lim lim kxkx xSubcazul 3 : Daca a punct de acumulare infinit , a , atunci : + + 1 2 1 2lim lim kxkx xLimite de functiiiClasa a XI-a - 18 Elemente de analiza matematica Limite de functii 1). x xx33lim ............................................................................................................................... 2). 1 lim2xx ........................................................................................................................... 3). > xxxx34lim222 .............................................................................................................................. 4). + 4lim2x xx .............................................................................................................................. 5). ++ + 11lim42xx xx ........................................................................................................................... 6). + 1 lim22 x xx ........................................................................................................................ 7). 32lim xx ........................................................................................................................................ 8). 532lim xx ....................................................................................................................................... 9). 5lim xx ........................................................................................................................................ 10). xxlim0 ........................................................................................................................................ 11). ( ) +x xx4 225 lim .....................................................................................................................Limite de functiiiClasa a XI-a - 19 Elemente de analiza matematica Limite de functii 12). +16lim0 x xx .......................................................................................................................... 13). + + x x xxlim ................................................................................................................... 14). 3 3 3lim x x xx ................................................................................................................... 15). + 1limx xxx ............................................................................................................................... 16). ( ) 33 5322lim x xxx .................................................................................................................55 Limita Limita :: . . - Fie functia exponentiala : ( ) ( ) 1 , 0 , , , 0 : > + b bbx f R f x . - Distingem urmatoarele cazuri :I. Daca 1 > b atunci distingem urmatoarele subcazuri :Subcazul 1 : Daca a punct de acumulare finit , atunci :b b a xa x limSubcazul 2 : Daca a punct de acumulare infinit , + a , atunci : + ++ b b b xxxa xlim limDistingem la acest subcaz urmatoarea situatie : Z nbxxnx + , 0lim functia exponentiala este mai mare decat functia polinomiala !!!Subcazul 3 : Daca a punct de acumulare infinit , a , atunci :Limite de functiiiClasa a XI-a - 20 Elemente de analiza matematica Limite de functii0 lim lim b b b xxxa xII. Daca 1 0 < + b b x x f R f b conditiile de existenta ale logaritmilor . - Distingem urmatoarele cazuri :I. Daca 1 0 < >x x f bxxxxlog lim lim0000Subcazul 2 : Daca ( ) + , 0 a punct de acumulare finit , atunci :( ) a x x f b ba x a xlog loglim lim Subcazul 3 : Daca a punct de acumulare infinit , + a , atunci :( ) + + x x f bx xloglim limII. Daca 1 > b atunci distingem urmatoarele subcazuri :Subcazul 1 : Daca 0 a punct de acumulare finit , atunci :( ) >>x x f bxxxxlog lim lim0000Limite de functiiiClasa a XI-a - 23 Elemente de analiza matematica Limite de functiiSubcazul 2 : Daca ( ) + , 0 a punct de acumulare finit , atunci :( ) a x x f b ba x a xlog loglim lim Subcazul 3 : Daca a punct de acumulare infinit , + a , atunci :( ) + + + x x f bx xloglim limLimita logaritmului este egala cu logaritmul limitei . 1). xxloglim2141 .................................................................................................................................... 2). xxloglim313 .................................................................................................................................... 3). xxloglim21 .................................................................................................................................... 4). >xxxlglim00 ....................................................................................................................................... 5). >xxxloglim5200 .................................................................................................................................... 6). xx3ln lim .................................................................................................................................... 7). xexln lim2 .......................................................................................................................................Limite de functiiiClasa a XI-a - 24 Elemente de analiza matematica Limite de functii 8). >xxxloglim700 ....................................................................................................................................77 Limita Limita :: . . Limita f Limita f unctiei unctiei sin sin us : - Fie functia : [ ] 1 , 1 : sin R . - Distingem urmatoarele cazuri : I. Daca a este un punct de acumulare finit , R a , atunci :a xa xsin sinlim Deci limita functiei sin intr-un punct de acumulare finit R a se obtine inlocuind pe a x cu II. Daca a este un punct de acumulare infinit , t a , atunci functia sinus nu are limita !!!Limite de functiiiClasa a XI-a - 25 Elemente de analiza matematica Limite de functii Limita functiei Limita functiei cosinus cosinus : - Fie functia : [ ] 1 , 1 : cos R . - Distingem urmatoarele cazuri : I. Daca a este un punct de acumulare finit , R a , atunci :a xa xc o s c o sl i m Deci limita functiei cos intr-un punct de acumulare finit R a se obtine inlocuind pe a x cu II. Daca a este un punct de acumulare infinit , t a , atunci functia cosinus nu are limita !! Limita functiei Limita functiei tangenta tangenta : - Fie functia : ( ) R Z k k R )' + 21 2 : tg . - Distingem urmatoarele cazuri : I. Daca a apartine domeniului de definitie atunci :a xa xtg tg limSe poate lua : aaaxxxxxa xa xa x a xt g t g c o ss inc o sl imsi nlimc o ss inli m l imDeci limita functiei tg intr-un punct de acumulare din domeniul de definitie se obtine inlocuind pe a x cu Limite de functiiiClasa a XI-a - 26 Elemente de analiza matematica Limite de functiiII. Daca 2 a , atunci : + xxxtg lim22 Limita functiei Limita functiei cot cot angenta : - Fie functia : { } R Z k k R : ctg . - Distingem urmatoarele cazuri : I. Daca a apartine domeniului de definitie atunci :a xa xctg ctg limSe poate lua : aaaxxxxxa xa xa x a xc t g c t g s i nc o ss i nl i mc o sl i ms i nc o sl i m l i mDeci limita functiei ctg intr-un punct de acumulare din domeniul de definitie se obtine inlocuind pe a x cu II. Daca 0 a , atunci : xxxctg lim00Limite de functiiiClasa a XI-a - 27 Elemente de analiza matematica Limite de functii88 Limita Limita :: . . Limita functiei Limita functiei arcs arcs in us us : - Fie functia : [ ] 1]1 2,21 , 1 : arcsin . - Daca [ ] 1 , 1 a , atunci :a xa xarcs in arcs inli m Limita functiei Limita functiei arc arc c os os in us us : - Fie functia : [ ] [ ] , 0 1 , 1 : arccos . - Daca [ ] 1 , 1 a , atunci :Limite de functiiiClasa a XI-a - 28 Elemente de analiza matematica Limite de functiia xa xa r c c o s a r c c o sl i m Limita functiei Limita functiei arctangenta arctangenta : - Fie functia : ,_ 2,2: R arctg . - Distingem urmatoarele cazuri : I. Daca a apartine domeniului de definitie , R a , atunci :a xa xa rctg arctg limII. Daca t a , atunci : 2lim + xxarctg ,2lim- xxarctg Limita functiei Limita functiei arccotangenta arccotangenta : - Fie functia : ( ) , 0 : R arcctg . - Distingem urmatoarele cazuri : I. Daca a apartine domeniului de definitie , R a , atunci :a xa x l i ma r c c t g a r c c t gII. Daca t a , atunci : 0l i m + xxa r c c t g, xx l i m-a r c c t gLimite de functiiiClasa a XI-a - 29 Elemente de analiza matematica Limite de functii99 Limite Limite :: . .( ( cu functii trigonometrice ) cu functii trigonometrice )I. 1sinlim0 x xxGeneralizand : ( )( )1sinlim x u x ua x daca ( ) 0lim x ua xII. 1arcsinlim0 x xxGeneralizand : ( )( )1arcsinlim x u x ua x daca ( ) 0lim x ua xIII. 1lim0 xxxtgGeneralizand : ( )( )1lim x u x ua xtg daca ( ) 0lim x ua xIV. 1lim0 x xxarctgGeneralizand : ( )( )1lim x u x ua xarctg daca ( ) 0lim x ua xLimite de functiiiClasa a XI-a - 30 Elemente de analiza matematica Limite de functii Exercitiul nr. 1 Exercitiul nr. 1 : :Calculati limitele urmatoare : 1). xxsinlim0 ...................................................................................................................................... 2). xxsinlim2 ...................................................................................................................................... 3). xxsinlim6 ...................................................................................................................................... 4). + xxsinlim ..................................................................................................................................... 5). ( ) + 1 5 3 lim23 x xx .................................................................................................................... 6). ( ) + 1 3 lim2 x xx ......................................................................................................................Limite de functiiiClasa a XI-a - 31 Elemente de analiza matematica Limite de functii 7). xxc o sl i m2 ...................................................................................................................................... 8). xxcoslim4 ..................................................................................................................................... 9). ( ) 3 c o sl i m2xx ............................................................................................................................ 10). xxc o sl i m .................................................................................................................................... 11). ( ) + + 3 2coslim2 3 x xx .............................................................................................................. 12). xx lim3tg ....................................................................................................................................... 13). xx lim0tg ....................................................................................................................................... 14). xxx lim2525tg ..................................................................................................................................... 16). xx3lim5ctg ................................................................................................................................... 17). xx3lim6ctg ................................................................................................................................... 18). >xxx6 lim33ctg ................................................................................................................................... 19). ( ) x f , E x ; - In acest caz puterea : ( )( ) ( ) x f x g este definita . - Are loc urmatoarea Teorema :TEOREMA TEOREMA . . Daca : 1). ( ) 1 lim x fa x ; 2). ( ) 2 lim x ga x ; 3). 12 are sens atunci : functia ( )( ) ( ) x f x g are limita in a si mai mult Limite de functiiiClasa a XI-a - 41 Elemente de analiza matematica Limite de functii( )( ) ( ) ( )( ),_x f x fa xx gx ga xa xlim limlim( Limita se distribuie in baza si in exponent ) Cazuri Cazuri exceptate exceptate : 1). ( )00 , cand : 0 , 0 2 1 ; 2). ( )0 , cand : 0 , 2 1 t ; 3). ( )1 , cand : t 2 1 , 1 ; Cazuri Cazuri particulare particulare :I. Daca :1). ( ) c x g ( ) ( ) ( ),_x f x fa xcca xlim lim exceptand cazul cand : 0 1 si 0 c2). Pentru nc1 , N n* , 2 n avem :( ) ( ) na xna x x f x flim lim ( Limita radicalului este egala cu radicalul limitei )II. Daca ( ) 0 > b x f , atunci :( ) ( )b b x g x ga x a xlimlim Limite de functiiiClasa a XI-a - 42 Elemente de analiza matematica Limite de functiiIII. Daca ( ) 0 > x x f , ( ) R r x g ,atunci :e x x r r lnsi limita , cand exista :e e x x r x ra xra x a xln lnlimlim lim 1). 5 lim2 xx ........................................................................................................................................ 2). 3 lim5 22xxx ....................................................................................................................................... 3). ,_+ +1 25lim232 xx x xx ........................................................................................................................ 4). ,_+xx xx2243 2lim30 ..........................................................................................................................Limite de functiiiClasa a XI-a - 43 Elemente de analiza matematica Limite de functii 5). ,_+ ++ 562 3lim22522 33xx x x x xx ..................................................................................................................... 6). + 1 21 5lim22xxx ............................................................................................................................. 7). ,_+ 1 33lim221xx xxx ......................................................................................................................... 8). + 52 4lim20 x x xx .................................................................................................................... 9). ,_+ xx xx3 14lim221 ............................................................................................................................ 10). ,_ + + 31lim2 3355 4x x x xx ............................................................................................................................ 11). ,_ 32lim22133xx xxx .....................................................................................................................Limite de functiiiClasa a XI-a - 44 Elemente de analiza matematica Limite de functii 12). ,_+ 5 31 2lim2242xx xxx ......................................................................................................................... 13). ( ) +26lim22 x x x exx ................................................................................................................... 14). +>exxx10011lim ................................................................................................................................. 15). xe xx1lim30 ................................................................................................................................Limite de functiiiClasa a XI-a - 45 Elemente de analiza matematica Limite de functii1212 Limite Limite :: . . A Limita remarcabila : exxx ,_+ 11lim . - Trecand la limita in baza si exponent se obtine nedeterminarea : 1 care cu ajutorul acestei formule poate fi eliminate . - Daca punem : xy1 , atunci cand x rezulta 0 y si avem : ( ) e y yy +1lim10 - Mai general avem , folosind si teorema de la limite de functii compuse :( )( ) ex ux ua x ,_+11limdaca : ( ) t x ua xlimsauLimite de functiiiClasa a XI-a - 46 Elemente de analiza matematica Limite de functii( )( ) ( ) e x u x ua x +1lim1daca : ( ) 0lim x ua x 1). ,_+ 11limxx xx . 2). ,_+ xxx521lim ............................................................................................................................... 3). ( ) x xxsin 1lim322 .......................................................................................................................... 4). ,_++ + 1 31 3lim1 2xx xx ........................................................................................................................... 5). ,_ 1limxx xx .................................................................................................................................Limite de functiiiClasa a XI-a - 47 Elemente de analiza matematica Limite de functii 6). ,_++ 2 34lim111 xx xxx ......................................................................................................................... 7). ,_ xx xx221lim4 ............................................................................................................................. 8). ,_+ + + 1 33 2lim22x x x x xx .................................................................................................................... 9). ( ) ,_x xxsinlim212 .......................................................................................................................... 10). ( ) x xx4 13lim313 ........................................................................................................................... 11). ,_++ 21limxx xx ................................................................................................................................ 12). ,_++ 21lim2xx xx ........................................................................................................................... 13). ,_+ + 1 3lim22x x x x xx .................................................................................................................Limite de functiiiClasa a XI-a - 48 Elemente de analiza matematica Limite de functii B Limita remarcabila : ( )11 lnlim0 + x xx . - Folosind relatia de mai sus si teorema de la limite functii compuse avem : ( ) ( )( )11 lnlim + x u x ua x . daca : ( ) 0lim x ua x 1). ( ) ( ) [ ] + 5 l n 1 3 l nl i m x xx ....................................................................................................... 2). ( )+ x exx1 lnlim0 ............................................................................................................................. 3). ( )+ x xx10 1 lnlim0 .......................................................................................................................... 4). ( )( ) ++ xxx2 sin 1 lnsin 1 lnlim0 ...................................................................................................................... 5). ( ) ( ) [ ] + + 1 l n 2 l nl i m x x xx ...................................................................................................... 6). ( )+ x xx3 sinarcsin 1 lnlim0 ................................................................................................................... 7). ( )+ x x tgx63 1 lnlim0 .........................................................................................................................Limite de functiiiClasa a XI-a - 49 Elemente de analiza matematica Limite de functii 8). ( )x xx3cos lnlim20 .............................................................................................................................. 9). ++112ln1lim20 xxxx ...................................................................................................................... 10). ( )( ) ++ e x e xxxx52 3lnlnlim ........................................................................................................................ 11). ( ) ( )( ) x e x e xe xlnlim31 ...................................................................................................................... 12). ( ) ( )( ) [ ] + +1 2 arcsin 1 ln1 sin 1 lnlim0 xxx ...................................................................................................... 13). ( )( ) ++ xxx4 1 ln2 1 lnlim0 .......................................................................................................................... 14). ( )( ) ++ x tg x arctgx4 1 ln2 1 lnlim0 ................................................................................................................ 15). ( )+ x xxcoscos 2 1 lnlim2 ................................................................................................................... 16). ( ) [ ]( ) [ ] + ++ + 1 3 arcsin 1 ln1 1 lnlim1 xx tgx ...................................................................................................... 17). ( ) + xtgxx2 1 lnlim0 ..........................................................................................................................Limite de functiiiClasa a XI-a - 50 Elemente de analiza matematica Limite de functii 18). ,_ xxxln11limln2 ........................................................................................................................ 19). ( ) + +x xxx1 ln 3 2lim0 ............................................................................................................. 20). ( ) ( )( ) ( ) + ++ + x x x xx5 1 ln 4 1 ln3 1 ln 2 1 lnlim0 .................................................................................................... 21). ( ) x xxcoslim210 .............................................................................................................................. 22). >xtgxxxlim00 ....................................................................................................................................... 23). ( ) [ ] +>x xxx1 lnlim00 ........................................................................................................................... 24). ( ) [ ] x x xxsin coslimarcsin210 ........................................................................................................... 25). ,_+ x xxx1sin1coslim ................................................................................................................. C Limita remarcabila : 0 , ln1lim0 > a axaxx . - Folosind relatia de mai sus si teorema de la limite functii compuse avem : ( )( )0 , ln1lim > a ax ua x ua x . daca : ( ) 0lim x ua xLimite de functiiiClasa a XI-a - 51 Elemente de analiza matematica Limite de functii - Daca e a avem : 1 ln1lim0 exexx .sau : ( )( )1 ln1lim ex ue x ua x . daca : ( ) 0lim x ua x 1). xe xx61lim30 .................................................................................................................................. 2). 11lim230 eexxx .................................................................................................................................. 3). e e e ex xx xx24 30lim ................................................................................................................................ 4). 38 2lim33 xx .................................................................................................................................. 5). xe xx1lim20 ...................................................................................................................................Limite de functiiiClasa a XI-a - 52 Elemente de analiza matematica Limite de functii 6). xe xx31lim2 sin0 ................................................................................................................................ 7). x x e e x xxsin 2 sinlimsin 2 sin0 ...................................................................................................................... 8). ( )3 31lim1 21 xe x tgx ............................................................................................................................. 9). ( )21lim2 4 arcsin2 xe xx ........................................................................................................................ 10). ( )( ) 11lim22 20 eex arctgx arctgx ........................................................................................................................ 11). xexx1lim30 ................................................................................................................................... 12). 11lim32530eexxx ................................................................................................................................. 13). xe e x xx5lim0 ................................................................................................................................. 14). xe x tgx21lim30 ................................................................................................................................Limite de functiiiClasa a XI-a - 53 Elemente de analiza matematica Limite de functii 15). x x e e x xx3 arcsin 2 arcsinlimarcsin 2 arcsin0 ........................................................................................................ 16). ( )( ) 1 21lim1 3 arcsin1 xe xx ........................................................................................................................ 17). 1lim20 e e exx tg tgxx ............................................................................................................................. D Limita remarcabila : ( )R r rxx rx + , 1 1lim0 . R aaxxax*1 , 11lim . 1). ( ) + xxx312 1lim50 .........................................................................................................................Limite de functiiiClasa a XI-a - 54 Elemente de analiza matematica Limite de functii 2). ( ) +xxx2311lim50 ............................................................................................................................ 3). ( )( ) + + +1112 1lim2250x x xx .................................................................................................................. E Alte limite remarcabile : 1 lim lim100 >x x xxxxx . 0 ln lim00 >x xxx . xenxxlim . 0lnlim xxnx Vom prezenta in cele ce urmeaza cateva tehnici de calcul a Vom prezenta in cele ce urmeaza cateva tehnici de calcul a limitelor de functii pentru a usura rezolvarea acestora . limitelor de functii pentru a usura rezolvarea acestora .I. ( ) ( ) ( ) x fx ax fx a x a nxn nx011 0 lim.....lim + + .II. ( ) ( ) ( ) ( ) x f xnax fx a x xn n nx + + + + + lim.....lim1 11 III.Limite de functiiiClasa a XI-a - 55 Elemente de analiza matematica Limite de functii ( ) ( ) ( ) ( ) x f x x fx a x xn n nx + + lim.....lim11 IV. ( ) ( ) ( ) x f x n x fx a x xn nx + + lnlim..... lnlim11 V.... ( ) ( ) x f x x f xx x limsinlim0 0 VI. ( ) ( ) x f x x f xx x lim lim0 0tg VII. ( ) ( ) x f x x f xx x limarcsinlim0 0 VIII. ( ) ( ) x f x x f xx x lim lim0 0arctg IX. ( ) ( ) ( ) x f x x f xx x 1limlnlim1 1 X. ( ) ( ) ( ) x f x a x fa xxx limln1 lim0 0 XI. ( ) ( ) ( ) x f x a x fa xxx lim 1 lim1 1 XII. ( ) 0 lnlim0 x f xx daca exista o vecinatate U a lui x0 ca functia ( ) x fx1 sa fie marginita pe E U , unde R E f : .Limite de functiiiClasa a XI-a - 56 Elemente de analiza matematica Limite de functiiAsa cum am vazut in capitolele precedente la calculul limitelor de Asa cum am vazut in capitolele precedente la calculul limitelor de functii apar si cazuri de nedeterminare care ne obliga sa gasim o alta functii apar si cazuri de nedeterminare care ne obliga sa gasim o alta metoda de rezolvare decat cele clasice pentru aflarea limitei acestor metoda de rezolvare decat cele clasice pentru aflarea limitei acestor functii , daca exista . functii , daca exista .In continuare vom prezenta cazurile de nedeterminare intalnite In continuare vom prezenta cazurile de nedeterminare intalnite precum si precum si tehnica de lucru pentru eliminarea acestor nedeterminari . tehnica de lucru pentru eliminarea acestor nedeterminari .11 Limite Limite :: : : 00 . .Limite de functiiiClasa a XI-a - 57 Elemente de analiza matematica Limite de functii a). Limite de functii rationale in puncte finite a :Explicitarea nedeterminarii se va realiza prin simplificarea cu ( ) a x k , N k* . 1). 21 43lim23 x x xx ..................................................................................................................... 2). 64lim222 x x xx .......................................................................................................................... 3). + + 3 42 3lim431 x x x xx ........................................................................................................................ 4). + +2 32 2lim22 41 x x x xx ....................................................................................................................... 5). ( ) +2 24 3lim22 31 xx xx ........................................................................................................................ 6). 11lim1 xxnmx ..................................................................................................................................Limite de functiiiClasa a XI-a - 58 Elemente de analiza matematica Limite de functii b). Limite de functii rationale in compunere cu functia modul :In acest caz se va explicita modulul : 1). xxxlim0 .......................................................................................................................................... 2). 11lim1 xxx .................................................................................................................................... 3). + x xxx20lim ................................................................................................................................ 4). + x x xx2lim20 ............................................................................................................................ 5). 22lim22 xxx ................................................................................................................................... c). Limite de functii definite prin cat de expresii irationale : - Distingem cazurile : Limite de functiiiClasa a XI-a - 59 Elemente de analiza matematica Limite de functiiI. Sub radicali de ordine diferite figureaza aceeasi expresie .Se scimba variabila , notandu-se radicalul de ordin egal cu cel mai mic multiplu comun al ordinelor radicalilor cu alta variabila , cand se ajunge la limita unei functii rationale . 1). 11lim1 xxx .................................................................................................................................. 2). 48lim364 xxx ................................................................................................................................. 3). 11lim41 xxx .................................................................................................................................. 4). ( )+ 1 21l im3221 xx xx ................................................................................................................... 5). + +1 11 1lim40 xxx ............................................................................................................................II. Sub radicali figureaza expresii diferite.Se amplifica numitorul si (sau) numaratoru; cu expresia conjugata. 1). + x x xx1 1lim0 .................................................................................................................Limite de functiiiClasa a XI-a - 60 Elemente de analiza matematica Limite de functii 2). 3 1 25lim5 xxx ......................................................................................................................... 3). + xxx1 1lim30 ............................................................................................................................ 4). + + xx xx11lim20 ...................................................................................................................... 5). + xx xx2lim ........................................................................................................................ 6). + + xx xx3lim ...................................................................................................................... 7). x xxx2 lim2 ...................................................................................................................... 8). xx xx2lim2 ..................................................................................................................... 9). 493 2lim27 x xx .......................................................................................................................... 10). + +6 547lim223 x x xx ........................................................................................................................ 11). + + + 3 46 2 6 2lim22 23 x x x x x xx ......................................................................................Limite de functiiiClasa a XI-a - 61 Elemente de analiza matematica Limite de functii 12). + + + +36 2 12 2lim32323 x x x x xx .................................................................................... 13). +3 52lim4 x xx .......................................................................................................................... 14). + 2 16 3lim323x xx .......................................................................................................................... 15). + xxx5 15 3lim4 .......................................................................................................................... 16). + +3924lim220xxx ....................................................................................................................... 17). ++ + x x x xx26lim2 .......................................................................................................................... 18). ++ +1 111lim20 x xxx ............................................................................................................... 19) + +1 1 21 1lim330 xxx ........................................................................................................................ 20). 12 3 1 2lim31 x x xx .......................................................................................................... 21). ++ +69 3 3 5lim22332 x x x x x xx ...........................................................................................Limite de functiiiClasa a XI-a - 62 Elemente de analiza matematica Limite de functii 22). ++ +2 1122 4lim435 x x xx ............................................................................................................ 23). + +x x xxx243202 11lim .............................................................................................................. d). Limite de functii trigonometrice : - Pentru a elimina nedeterminarea se utilizeaza limitele : ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( )1arctglimarcsinlimtglimsinlim0 0 0 0 x u x ux u x ux u x ux u x ux u x u x u x u 1). xxx sinlim0 ...................................................................................................................................unde : 0 , , R . 2). x xx53 sinlim220 ................................................................................................................................. 3). x xx20cos 1lim ............................................................................................................................... 4). x xtgxx cos sin1lim2 24 ...................................................................................................................Limite de functiiiClasa a XI-a - 63 Elemente de analiza matematica Limite de functii 5). xtgxx33 3lim3 ............................................................................................................................ 6). x x xx2 coscos sinlim4 ........................................................................................................................ 7). + xxxcos 1sinlim2 .............................................................................................................................. 8). x x xxcoscos 1lim2 ............................................................................................................................... 9). xxxsin1 coslim20 ........................................................................................................................... 10). +1 12 sinlim0 x xx ............................................................................................................................ 11). ( ) +1 1cos 1lim0 x x xx ....................................................................................................................... 12). + x x x xx3 sin2 sinlim0 ............................................................................................................................ 13). + x x x xxcos sin 1cos sin 1lim0 ................................................................................................................. 14). x x x xx2 sin 2 cos 2sin coslim4 ............................................................................................................Limite de functiiiClasa a XI-a - 64 Elemente de analiza matematica Limite de functii 15). + + 1 sin 5 cos 28 sin 7 cos 6lim226 x x xxx ...................................................................................................... 16). + xxx3 sin 1sin 1lim2 ............................................................................................................................. 17). + x x xxsin 1 sin 1lim0 ..................................................................................................... e). Limite de functii trigonometrice : - Pentru a elimina nedeterminarea se utilizeaza limitele : ( )( ) ( )( )11 lnlim0 + x u x ux u , ( )( )( ) ax ua x ux uln1lim0 , 0 > a . 1). ( )+>x xxx42 1 lnlim200 ............................................................................................................................ 2). ( )+>x xxx4 1 lnlim00 ............................................................................................................................ 3). ( )43 2 lnlim22 x xx ............................................................................................................................ 4). ( ) + x x xx203 1lnlim .................................................................................................................. 5). ( )+ xarctgxx1 lnlim0 .....................................................................................................................Limite de functiiiClasa a XI-a - 65 Elemente de analiza matematica Limite de functii 6). ( ) + xarctgxx1 lnlim0 ............................................................................................................................... 7). ( )( ) + +> xxxxxcos ln1lnlim200 .................................................................................................................. 8). x e e x xxsin 2 sin0lim ........................................................................................................................... 9). + xe e x xx31lim211 1 ............................................................................................................................... 10). ( ) ( )( ) ( ) + + x arctg x arctg x xx1 11 ln 1 lnlim0 ..............................................................................................22 Limite Limite :: : : . . a). Limite de functii rationale :Explicitarea nedeterminarii se va realiza prin raportul termenilor de grad maxim . 1). + + 5 3 23 6 5lim22 3x x x xx ................................................................................................................... 2). + 15 4lim3x x xx .............................................................................................................................Limite de functiiiClasa a XI-a - 66 Elemente de analiza matematica Limite de functii 3). + + x x x xx2 52 333 2 5lim ..................................................................................................................... 4). + + 5 5 41 2 2lim42 4x x x xx .................................................................................................................. 5). x xxx6 31 6lim2 3 ............................................................................................................................. 6). + 1 2 83 6lim52x x xx ...................................................................................................................... b). Limite de functii irationale , exponentiale , logaritmice :Explicitarea nedeterminarii se va realiza prin raportul termenilor de grad maxim . 1). + + + 5 21 3lim2xx xx .....................................................................................................................Limite de functiiiClasa a XI-a - 67 Elemente de analiza matematica Limite de functii 2). ++ 1 32lim2x x xx ........................................................................................................................... 3). ( )+ xe xx1lnlim3 .............................................................................................................................. 4). ( )+ x xx1 lnlim ............................................................................................................................... 5). ( )( ) + 6 6ln3 5lnlim2 53x x x xx ................................................................................................................. 6). ++ e e e ex xx xx3 22lim ................................................................................................................................33 Limite Limite :: : : - . .Limite de functiiiClasa a XI-a - 68 Elemente de analiza matematica Limite de functii a). Limite de functii rationale :Explicitarea nedeterminarii se va realiza prin aducerea la acelasi numitor . 1). ,_xxx1311lim31 .................................................................................................................... 2). ,_4221lim22 xxx ............................................................................................................... 3). ,_27291lim3 23 x xx .......................................................................................................... 4). ( ) ,_+11 1lim0 x x xx .................................................................................................................... 5). ,_>9631lim233 xxxx ............................................................................................................... 6). ( ) ( )1]1 +++ x x x xxxx42 3 1 21 23lim22 2 ...................................................................................... 7). ( ) 1]1+ ++ +2 3 344 52lim2 21 x x xx x xx ..................................................................................Limite de functiiiClasa a XI-a - 69 Elemente de analiza matematica Limite de functii b). Limite de functii irationale :Explicitarea nedeterminarii se va realiza prin amplificare cu conjugata . 1). ( ) + 1 lim2x xx ...................................................................................................................... 2). ( ) + + + 1 1 lim2 2x x xx ................................................................................................... 3). ( ) + + + 1 1 lim2 2x x xx .................................................................................................. 4). ( ) + + 4 2 lim2 2x x xx ...................................................................................................... 5). ( ) + + 4 2 lim2 2x x xx ...................................................................................................... 6). ( ) + + 1 2 lim2x xx .................................................................................................................. 7). ( ) + x xxx1 lim2 ...................................................................................................................Limite de functiiiClasa a XI-a - 70 Elemente de analiza matematica Limite de functii 8). ( ) + 331 lim x xx ........................................................................................................................ 9). ( ) + + x xxx2 7 4 lim2 ............................................................................................................. 10). xxxx49lim2 ..................................................................................................................... 11). + + x x x xxlim ......................................................................................................... 12). ( ) + + x x x x xx2 1 1l i m .......................................................................................... 13). ( ) + + + 3 1 2 1l i m23x x xxx ....................................................................................... 14). ( ) + + x x x x xxlim ................................................................................................. c). Limite de functii exponentiale , logaritmice : 1). ( ) ( ) [ ] + + 2 l n 1 2 l nl i m x xx ..................................................................................................... 2). ( ) ( ) [ ] + + 2 l n 1 l nl i m x x xx ..................................................................................................... 3). e e e ex xx xx32lim3 23 ..............................................................................................................................Limite de functiiiClasa a XI-a - 71 Elemente de analiza matematica Limite de functii44 Limite Limite :: : : 0 . . 1). x c t g xxl i m0 .................................................................................................................................... 2). xxxsinlim .................................................................................................................................. 3). ( ) xxxcos ln1lim20 .......................................................................................................................... 4). ,_tgx xx2lim2 ......................................................................................................................... 5). ( ) 21lim1xtg xx .......................................................................................................................... 6). ( ) + e e x x xx11 12lim .......................................................................................................................... 7). ( ) + + xx x xx1sin1 lim2 3 4 ....................................................................................................Limite de functiiiClasa a XI-a - 72 Elemente de analiza matematica Limite de functii 8). ( ) 2limsin sin1xtge e ax ax ................................................................................................................ 9). ,_+ 1 4limx xarctg xx ........................................................................................................... 10). ,_+++ 2 21limx xarctgxxarctg xx ..........................................................................................55 Limite Limite :: : : 1 . .Explicitarea nedeterminarii se va realiza utilizand :( )( )( ) ( ) ex u x ux u +1lim10 1). ( ) x xx6lim515 ................................................................................................................................ 2). ,_+ xxx31lim ................................................................................................................................. 3). ,_+ 1limxx xx .................................................................................................................................Limite de functiiiClasa a XI-a - 73 Elemente de analiza matematica Limite de functii 4). ,_+ + 31lim2xx xx .............................................................................................................................. 5). ,_+ 21lim222xx xx ............................................................................................................................ 6). ,_+ + + + 3 51lim2 32 3x x x x x xx ................................................................................................................. 7). ,_ + x x xx1 11lim210 ................................................................................................................. 8). ,_ +2lim10b a x x xx .............................................................................................................................unde : 0 , > b a 9). ,_++ b a b a x x xe xln ln1 ln1lim ...................................................................................................................unde : 0 , > b a 10). ( ) + x e xe xe xlnlim2 32 21 .......................................................................................................................Limite de functiiiClasa a XI-a - 74 Elemente de analiza matematica Limite de functii 11). ( ) +x xxsin 1lim10 ............................................................................................................................. 12). ( ) x xxcoslim10 ................................................................................................................................. 13). ,_ x x x x xxsinlimsinsin0 ......................................................................................................................... 14). ( ) x xtgx21lim .................................................................................................................................... 15). ( ) + xtg xctgx31lim220 .................................................................................................................... 16). 1]1,_+x tg xx4limsin10 .................................................................................................................... 17). ( ) tgx x tgx3 lim36 ............................................................................................................................ 18). ,_++ +x x x x x ctgx8 51 2lim226 30 ...............................................................................................................66 Limite Limite :: : : 0 0 . .Explicitarea nedeterminarii se va realiza utilizand :Limite de functiiiClasa a XI-a - 75 Elemente de analiza matematica Limite de functii0 ln lim00 >x xxx si scrierea ef f ggln 1). >xxxxlim00 ........................................................................................................................................... 2). ( ) >x xxxsinlim00 .................................................................................................................................. 3). >x xxxsin00lim ....................................................................................................................................... 4). ( )( ) >1lim111 x x tgxx ............................................................................................................................. 5). ( ) >x xxxarcsinlimsin00 .........................................................................................................................77 Limite Limite :: : : 0 . .Limite de functiiiClasa a XI-a - 76 Elemente de analiza matematica Limite de functii 1). x xx1lim ........................................................................................................................................ 2). x xx1sinlim ....................................................................................................................................... 3). ( ) x tgxx2lim0 ..................................................................................................................................... 4). ( ) + 1lim1x xx ...................................................................................................................................Limite de functiiiClasa a XI-a - 77 Elemente de analiza matematica Limite de functiiSa se calculeze urmatoarele limite , discutand dupa valorile parametrilor reali corespunzatori : 1). ( ) + + mx x xx1 lim2 ..........................................................................................................unde : R m . 2). ( ) + + + mx x xx1 lim2 ..........................................................................................................unde : R m . 3). ( ) + + + + + 3 2 1l i m x c x b x ax ..unde : R c b a , , .Sa se determine R c b a , , astfel incat sa fie indeplinite egalitatile : 1). ( )0 lim2 + b ax x xx 2). ( )0 2 lim2 3 4 + c bx ax x xx 3). 23coslim202x x eaxx Limite de functiiiClasa a XI-a - 78 Elemente de analiza matematica Limite de functii 4). ex x ax x xx ,_ ++ + 2 31lim22 Limite de functiii