23
referat.clopotel.ro 1 Liceul de Informatică „ Spiru-Haret ” Suceava Elev : Alexevici Cătălin Profesor coordonator: Oanea Călin
referat.clopotel.ro 1
Liceul de Informatică „ Spiru-Haret ” Suceava
Elev : Alexevici Cătălin
Profesor coordonator: Oanea Călin
referat.clopotel.ro 2
CUPRINS
1. MATRICI …………………………………………………………………………pg. 1 1.1. Despre matrici 1.2. Operaţii cu matrici
1.2.1. Egalitatea a două matrici 1.2.2. Adunarea matricilor 1.2.3. Înmulţirea cu scalari a matricilor 1.2.4. Înmulţirea matricilor
2. DETERMINANŢI ………………………………………………………………. pg. 5 2.1. Definiţia determinantului de ordin n≤4 2.2. Definiţia determinantului de ordin n 2.3. Proprietăţile determinanţilor 2.4. Calculul inversei unei matrici 2.5. Ecuaţii matriciale
3. APLICAŢII ……………………………………………………………………pg. 12 Adresă de e-mail: [email protected] Copyright C 2003 Alexey
referat.clopotel.ro 3
MATRICI ŞI DETERMINANŢI
1. MATRICI
1.1. Despre matrici Acest concept l-am întalnit înca din primul an de liceu, atunci când s-a pus problema
rexolvarii unui sistem de două ecuaţii cu două necunoscute x, y, de forma
=+
=+''' cybxa
cbyax.
Acestui sistem i-am asociat un teblou pătratic, care conţine coeficienţii necunoscutelor (în prima linie sunt coeficienţii lui x, y din prima ecuaţie, iar in a doua linie figurează coeficienţii lui x,
y din ecuaţia a doua):
''
ba
ba.
Am numit acest tablou matrice pătratică (sau matricea sistemului). Pe cele două coloane ale matricei figurează coeficienţii lui x (pe prima coloană a, 'a ) şi respectiv coeficienţii lui y (pe a doua coloană b, 'b ).
Definiţie. Se numeşte matrice cu m linii şi n coloane (sau de tip nm× ) un tablou cu m linii
şi n coloane
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
...
... ... ... ...
...
...
21
22221
11211
ale cărui elemente ija sunt numere complexe. Uneori această matrice se notează şi ( )jiaA = unde mi ,1= şi nj ,1= . Pentru elementul ija , indicele i arată linia pe care se află elementul, iar al doilea indice j indică pe ce coloană este situat. Mulţimea matricilor de tip nm× cu elemente numere reale se notează prin ( )Rnm,Μ .
Aceleaşi semnificaţii au şi mulţimile ( )Znm,Μ , ( )Qnm,Μ , ( )Cnm,Μ . Cazuri particulare 1) O matrice de tipul n×1 (deci cu o linie şi n coloane) se numeşte matrice linie şi are forma ( )naaaA ... 21= . 2) O matrice de tipul 1×m (cu m linii şi o coloană) se numeşte matrice coloană şi are forma
referat.clopotel.ro 4
=
ma
a
a
B...
2
1
.
3) O matrice de tip nm× se numeşte nulă (zero) dacă toate elementele ei sunt zero. Se notează cu O
=
0 ... 0 0... ... ... ...0 ... 0 00 ... 0 0
O .
4) Dacă numărul de linii este egal cu numărul de coloane, atunci matricea se numeşte pătratică.
=
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
A
...
... ... ... ...
...
...
21
22221
11211
.
Sistemul de elemente ( )nnaaa ... 2211 reprezintă diagonala principală a matricii A, iar
suma acestor elemente nnaaa ... 2211 +++ se numeşte urma matricii A notată Tr(A) ∑=
=n
iiia
1 .
Sistemul de elemente ( )11 21 ... nnn aaa − reprezintă diagonala secundară a matricii A. Mulţimea acestor matrici se notează ( )CnΜ . Printre aceste matrici una este foarte importantă aceasta fiind
=
1 ... 0 0... ... ... ...0 ... 1 00 ... 0 1
nI
şi se numeşte matricea unitate (pe diagonala principală are toate elementele egale cu 1, iar în rest sunt egale cu 0).
1.2. Operaţii cu matrici
1.2.1. Egalitatea a două matrici Definiţie. Fie ( )jiaA = , ( )jibB = ∈ ( )Cnm,Μ . Spunem că matricile A, B sunt egale şi scriem
A = B dacă jia = jib , ( )∀ mi ,1= , ( )∀ nj ,1= . Exemplu: Să se determine numerele reale x, y astfel încăt să avem egalitatea de matrici
−
−−=
−
++
x
x
yx
yxx
29 01 2
2 0 1
.
R. Matricile sunt egale dacă elementele corespunzătoare sunt egale, adică:
−=−
=
−−=+
=+
.29200
121
xyx
xyx
x
Rezolvând acest sistem găsim soluţia x = 1, y = -3.
referat.clopotel.ro 5
1.2.2. Adunarea matricilor Definiţie. Fie ( )jiaA = , ( )jibB = , ( )jicC = ∈ ( )Cnm,Μ . Matricea C se numeşte suma
matricilor A, B dacă: jic = jia + jib , ( )∀ mi ,1= , ( )∀ nj ,1= .
Observaţii 1) Două matrici se pot aduna dacă sunt de acelaşi tip, adică dacă au acelaşi număr de linii şi acelaşi număr de coloane, deci A, B ∈ ( )Cnm,Μ . 2) Explicit adunarea matricilor A, B înseamnă:
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
...
... ... ... ...
...
...
21
22221
11211
+
mnmm
n
n
bbb
bbb
bbb
...
... ... ... ...
...
...
21
22221
11211
=
+++
+++
+++
mnmnmmmm
nn
nn
bababa
bababa
bababa
...
... ... ... ...
...
...
2211
2222222121
1112121111
.
Exemplu: Să se calculeze A + B pentru:
1.
−=
−=
5 1 103 5 0
, 1 0 32 1 1
BA ;
2. .0 11 0
, 1 11 1
=
−= BA
R. 1. Avem
−=
+++
++=
−+
−=+
6 1 131 4 1
51 10 1033-2 51- 01
5 1 103 5 0
1 0 32 1 1
BA
2. Avem
=
++−
++=
+
−=+
1 02 1
01 1111 01
.0 11 0
1 11 1
BA .
Proprietăţi ale adunării matricilor
1A (Asociativitatea adunării). Adunarea matricilor este asociativă, adică: ( ) ( )CBACBA ++=++ , ( )∀ A, B, C ∈ ( )Cnm,Μ .
2A (Comutativitatea adunării). Adunarea matricilor este comutativă, adică: ABBA +=+ , ( )∀ A, B∈ ( )Cnm,Μ .
3A (Element neutru). Adunarea matricilor admite matricea nulă ca element neutru, adică ∃ nmO , ∈ ( )Cnm,Μ astfel încât A + nmO , = A, ( )∀ A∈ ( )Cnm,Μ .
4A (Elemente opuse). Orice matrice A∈ ( )Cnm,Μ are un opus, notat A− , astfel încât
( ) nmOAA ,=−+ . 1.2.3. Înmulţirea cu scalari a matricilor Definiţie.Fie λ ∈C şi A = ( )jia ∈ ( )Cnm,Μ . Se numeşte produsul dintre scalarul λ ∈C şi
matricea A, matricea notată Aλ ∈ ( )Cnm,Μ definită prin Aλ = ( )jia λ . Obs.: A înmulţi o matrice cu un scalar revine la a înmulţi toate elementele matricii cu acest scalar.
referat.clopotel.ro 6
Deci Aλ =
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
λλλ
λλλλλλ
...
... ... ... ...
...
...
21
22221
11211
.
Exemplu Fie
−=
1 32
0
5 3 21
A . Atunci 6A =
−
6 4 030 18 3
.
Proprietăţi ale înmulţirii matricilor cu scalari
1S ( ) ( )AA λµµλ = , ( )∀ µλ , ∈C, ( )∀ A∈ ( )Cnm,Μ ;
2S ( ) BABA λλλ +=+ , ( )∀ λ ∈C, ( )∀ A, B∈ ( )Cnm,Μ ;
3S ( ) AAA µλµλ +=+ , ( )∀ µλ , ∈C, ( )∀ A∈ ( )Cnm,Μ ;
4S AA =⋅1 ,1∈C, ( )∀ A∈ ( )Cnm,Μ ; 1.2.4. Înmulţirea matricilor Definiţie. Fie A = ( )ika ∈ ( )Rnm,Μ , B = ( )jib ∈ ( )Rpn,Μ . Produsul dintre matricile A şi B
(în aceasta ordine), notat AB este matricea C = ( )jkc ∈ ( )Rpm,Μ definită prin
∑=
=n
ijiikjk bac
1 , ( )∀ mk ,1= , ( )∀ nj ,1= .
Observaţii 1) Produsul AB a două matrici nu se poate efectua întotdeauna decât dacă A∈ ( )Rnm,Μ ,
B∈ ( )Rpn,Μ , adică numărul de coloane ale lui A este egal cu numărul de linii ale lui B, când se
obţine o matrice C = AB∈ ( )Rpm,Μ .
2) Dacă matricile sunt pătratice A, B∈ ( )RnΜ atunci are sens întotdeauna atât AB cât şi BA, iar, în general, AB≠ BA adică înmulţirea matricilor nu este comutativă. Proprietăţi ale înmulţirii matricilor 1I (Asociativitatea înmulţirii). Înmulţirea matricilor este asociativă, adică ( ) ( )BCACAB = , ( )∀ A∈ ( )Cnm,Μ , ( )∀ B∈ ( )Cpn,Μ , ( )∀ C∈ ( )Csp ,Μ .
2I (Distributivitatea înmulţirii în raport cu adunarea). Înmulţirea matricilor este distributivă în raport cu adunarea matricilor, adică ( ) ( ) , , CBCABACBCACCBA +=++=+ ( )∀ A, B, C matrici pentru care au sens operaţiile de adunare şi înmulţire. 3I Dacă nI ∈ ( )CnΜ este matricea unitate, atunci ,AAIAI nn == ( )∀ A∈ ( )CnΜ . Se spune că nI este element neutru în raport cu operaţia de înmulţire a matricilor. 1.2.5. Puterile unei matrici
referat.clopotel.ro 7
Definiţie. Fie A∈ ( )CnΜ . Atunci AA =1 , AAA ⋅=2 , AAA ⋅= 23 , …, AAA nn ⋅= −1 , ( )∀
n∈ *N . (Convenim 20 IA = ).
TEOREMA Cayley – Hamilton. Orice matrice A∈ ( )CnΜ îşi verifică polinomul caracteristic ( ) 0det =− IA λ . Pentru n = 2.
=
dc
baA
bcaddc
baA −==⇒
det
−
−=
−
=−
λλ
λλdc
ba
dc
baIA
1 00 1
.
( )( ) ( ) ⇒=−++−⇒=−−−⇔=−
−⇔=− 000
0det 2 bcdaadbcdadc
baIA λλλλ
λλ
λ
( ) 02 =−++−⇒ bcadda λλ polinom caracteristic Generalizat. ( ) ( ) 0detTr 1 =⋅+⋅− −
nnn IAAAA
2. DETERMINANŢI
2.1. Definiţia determinantului de ordin n≤4 Fie A= ( )jia ∈ ( )CnΜ o matrice pătratică. Vom asocia acestei matrici un număr notat det(A) numit determinantul matricii A. Definiţie. Dacă A= ( )11a ∈ ( )CnΜ este o matrice pătratică de ordinul întâi, atunci
det(A) = 11a .
Definiţie. Determinantul matricii
=
2221
1211
aa
aaA este numărul
( ) 21122211det aaaaA −= 2221
1211
aa
aa=
şi se numeşte determinant de ordin 2. Termenii 2211aa , 2112aa se numesc termenii dezvoltării determinantului de ordin 2. Definiţie. Determinantul matricii
=
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A este numărul
322311332112312213312312322113332211)det( aaaaaaaaaaaaaaaaaaA −−−++= şi se numeşte determinant de ordin 3. Termenii care apar în formulă se numesc termenii dezvoltării determinantului.
referat.clopotel.ro 8
Pentru calculul determinantului de ordin trei se utilizează trei tehnici simple: Regula lui Sarrus Fie determinantul de ordin 3, .
3,1, ==
jijiad Pentru a calcula un astfel de determinant se
utilizează tabelul de mai jos.
(am scris sub determinant primele două linii)
Se face produsul elementelor de pe diagonale. Produsul elementelor de pe o diagonală descendentă este cu semnul plus. Avem trei astfel de produse: 312312322113332211 , , aaaaaaaaa . Produsul elementelor de pe o diagonală ascendentă este cu semnul minus. Avem trei astfel de produse: 322311332112312213 , , aaaaaaaaa −−− . Suma celor şase produse dă valoarea determinantului d de ordin 3. Acest procedeu de calcul se numeşte „regula lui Sarrus”. Regula triunghiului Am văzut că determinantul de ordin trei are în dezvoltarea sa şase termeni, trei cu semnul plus şi alţi trei cu semnul minus. Primul termen cu plus se găseşte înmulţind elementele de pe diagonala principală, iar ceilalţi doi, înmulţind elementele situate în vârfurile celor două triunghiuri care au o latură paralelă cu cu diagonala principală. După aceeaşi regulă, referitoare la diagonala secundară, se obţin termenii cu minus. Obs.: Atât „regula lui Sarrus” cât şi „regula triunghiului” se aplică numai determinanţilor de ordin 3. Exemplu. Să se calculeze prin cele două metode de mai sus determinantul
0 1 3 1 2 0
1 0 3
−
−
=d
R. Regula lui Sarrus. [ ] ( ) 9036000000)1(1)3(123)1(03110023 −=++−++=⋅⋅+−⋅⋅−+⋅⋅−−⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅−=d Regula triunghiului [ ] ( ) 9036000000)1(1)3(1231103)1(0023 −=++−++=⋅⋅+−⋅⋅−+⋅⋅−⋅⋅+⋅−⋅+⋅⋅−=d
Recurent (sau dezvoltare după o linie sau o coloană) Determinantul de ordin 3 are 6 ( = 3!) termeni dintre care trei sunt cu semnul plus, iar ceilalţi cu semnul minus. Are loc următoarea proprietate:
3231
222113
31
3331
232112
21
3332
232211
11 )1()1(
)1()det(
aa
aaa
aa
aaa
aa
aaaA +++ −+−+−= , (1)
= 2322
131231
13
3332
131221
12
3332
232211
11 )1()1(
)1(
aa
aaa
aa
aaa
aa
aaa +++ −+−+− . (2)
Observaţii 1) Egalitatea (1) se mai numeşte dezvoltarea determinantului după elementele liniei întâi, iar egalitatea (2) se numeşte dezvoltarea determinantului după elementele coloanei întâi.
232221
131211
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
referat.clopotel.ro 9
2) Formulele (1) şi (2) sunt relaţii de recurenţă, deoarece determinantul de ordin 3 se exprimă cu ajutorul unor deteminanţi de ordin inferior (2). 2.2. Definiţia determinantului de ordin n Voi defini în continuare determinantul de ordin n prin recurenţă cu ajutorul determinanţilor de ordin n – 1. Pentru aceasta sunt necesare unele precizări. Fie A= ( )jia ∈ ( )CnΜ .
Definiţie1. Se numeşte minor asociat elementului jia determinantul matricii pătratice jiA de ordin n – 1 obţinut prin suprimarea liniei i şi coloanei j din matricea A. Se notează acest minor prin ( )jiA det sau jiD .
Definiţie2. Se numeşte complement algebric al elementului jia numărul ( ) ( )jiji A det1 +− .
Exponentul ji + al lui (–1) este suma dintre numărul liniei i şi coloanei j pe care se află jia . Definiţie. Determinantul matricii A= ( )jia de ordin n este suma produselor elementelor din prima linie cu complemenţii lor algebrici adică
( ) ( ) nnn DaDaDaDaA 11
1131312121111 1...det +−+++−= .
Observaţii 1) Elementelor, liniilor şi coloanelor matricii A le vom spune de asemenea elementele, liniile şi coloanele determinantului
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
A
...
... ... ... ...
...
...
)det(
21
22221
11211
= .
2) Formula din definiţie spunem că reprezintă dezvoltarea determinantului de ordin n după elementele primei linii. 3) Definiţia determinantului de mai sus este încă puţin eficientă (o voi ilustra mai jos pentru n = 4). De aceea se impune stabilirea unor proprietăţi ale determinanţilor care să fie comode atât din punct de vedere al teoriei şi din punct de vedere calculatoriu. Aceste proprietăţi le prezint în paragraful următor. 4) Continuând cu explicitarea determinanţilor de ordin n – 1 din definiţie ( )nDDD 11211 ,...,, se obţine pentru )det(A o sumă de produse de elemente din determinant, fiecare produs conţinând elemente situate pe linii şi coloane diferite. 5) Determinantul este o funcţie ( ) CCn →Μ:det . Exemplu Să se calculeze determinantul de ordin 4:
0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 2 1 2 1 0 1
−
−
−
−
=d .
R. Aplicăm definiţia dată mai sus pentru n = 4 şi dezvoltăm determinantul după elementele liniei întâi. Avem:
( )0 1 1 1 1 0
0 2 1
20 1 1 1 1 0
0 2 1
10 0 1 1 1 0
0 0 1
00 0 11 1 1
0 0 2
1−
−
⋅−
−
−
−
⋅−+−⋅−
−
−
−
⋅=d =
referat.clopotel.ro 10
= 12100 =+−− , unde determinanţii de ordin 3 i-am calculat prin una din metodele prezentate la determinanţii de ordin 3.
2.3. Proprietăţile determinanţilor
.1P Determinantul unei matrici coincide cu determinantul matricii transpuse, adică dacă A∈ ( )CnΜ , atunci ( ) ( )AA tdetdet = .
Demonstraţie. Fie
=
dc
baA
şi
=
db
caAt
.
Atunci ( ) bcadA −=det , iar ( ) bcadAt −=det . Prin urmare ( ) ( )AA tdetdet = . .2P Dacă toate elementele unei linii (sau coloane) dintr-o matrice sunt nule, atunci determinantul matricii este nul.
Demonstraţie. Avem 000
0 0=⋅−⋅= cd
dc şi 000
0 0
=⋅−⋅= bdd
b.
.3P Dacă într-o matrice schimbăm două linii (sau două coloane) între ele obţinem o matrice care are determinantul egal cu opusul determinantului matricii iniţiale.
Demonstraţie. Prin schimbarea liniilor să arăt că avem egalitatea dc
ba
ba
dc
= .
Avem evident ( )bcadadbc −−=− . .4P Dacă o matrice are două linii (sau coloane) identice, atunci determinantul său este nul. Demonstraţie. Verific pentru linii (şi tot odată pentru coloane). Avem:
0
=⋅−⋅= bababa
ba.
.5P Dacă toate elementele unei linii (sau coloane) ale unei matrici sunt înmulţite cu un număr α , obţinem o matrice al cărei determinant este egal cu α înmulţit cu determinantul matricii iniţiale. Demonstraţie. Verificăm pentru linii proprietatea.
( )dc
babcadcbda
dc
ba
αααα
αα=−=⋅⋅−⋅⋅=
⋅⋅.
.6P Dacă elementele a două linii (sau coloane) ale unei matrici sunt proporţionale, atunci determinantul este nul. Demonstraţie. Verificăm pentru linii.
( ) 0
=−== ababba
ba
ba
baλλ
λλ.
.7P Dacă linia i a unei matrici A este suma a doi vectori, atunci determinantul ei este egal cu suma a doi determinanţi corespunzători matricelor care au aceleaşi linii ca A, cu excepţia liniei i unde au câte unul din cei doi vectori.
referat.clopotel.ro 11
nnn
ini
n
nnn
ini
n
nnn
ininii
n
aa
bb
aa
aa
aa
aa
aa
baba
aa
... ... ... ...
...
... ... ...
...
... ... ... ...
...
... ... ...
...
... ... ... ...
...
... ... ...
...
1
1
111
1
1
111
1
11
111
+=++ .
Demonstraţie. Am de arătat că:
dc
badc
ba
dc
bbaa
''''
+=++
.
Într-adevăr membrul stâng este egal cu ( ) ( ) cbbcdaadbbcdaa '''' −−+=+−+ . Membrul drept este cbdabcad '' −+− şi egalitatea se verifică. Obs.: O proprietate analogă are loc şi pentru coloane. .8P Dacă o linie (o coloană) a unei matrici pătratice este o combinaţie liniară de celelalte linii (coloane), atunci determinantul matricii este zero. .9P Dacă la o linie (o coloană) a matricii A adunăm elementele altei linii (coloane) înmulţite cu acelaşi număr, atunci această matrice are acelaşi determinant ca şi matricea A. Demonstraţie. Voi aduna la linia întâi 1L linia a doua înmulţită cu λ . Vom nota acest fapt prin 21 LL λ+ . Avem:
111111
11
1111
11
0
ba
ba
ba
ba
ba
ba
ba
ba
ba
bbaa=++
++67 PP
λλλλ.
.10P ( ) 1det =nI
.11P ( ) ( ),detdet AA nλλ = A∈ ( )CnΜ . .12P Dacă A= ( )jia este o matrice triunghiulară (sau diagonală), atunci ( ) nnaaaA ...det 2211= . (Valoarea determinantului este egală cu produsul elementelor de pe diagonala principală). .13P Dacă A, B∈ ( )CnΜ , atunci ( ) ( ) ( )BAAB detdetdet ⋅= (Determinantul produsului a două matrici pătratice este egal cu produsul determinanţilor acelor matrici). În particular ( ) ( )( ) ,detdet nn AA = n *N∈ . Teoremă. Determinantul unei matrici A∈ ( )CnΜ este egal cu suma produselor dintre
elementele unei linii iL ( )ni ,1= şi complemenţii lor algebrici, adică
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) inni
inii
iii
iii
i DaDaDaDaA ++++ −++−+−−−= 1...111det 33
322
211
1 . (Formula lui ( )Adet dă dezvoltarea determinantului după elementele liniei i). Această teoremă permite să calculăm determinantul unei matrici după oricare linie. Se va alege acea linie care are mai multe zerouri sau pe care se pot realiza (cât mai uşor) mai multe zerouri. Observaţie: Ţinând seama de proprietatea 1P teorema precedentă are loc şi pentru coloane sub forma: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) nj
jnnjj
jjj
jjj
jj DaDaDaDaA ++++ −++−+−−−= 1...111det 3
332
221
11 .
referat.clopotel.ro 12
2.4. Calculul inversei unei matrici Definiţie. Fie A∈ ( )CnΜ . Matricea A se numeşte inversabilă dacă există matricea B∈ ( )CnΜ cu proprietatea că nIABBA =⋅=⋅ , nI fiind matricea unitate.
Matricea B din definiţie se numeşte inversa matricii A şi se notează 1−= AB . Deci nIAAAA =⋅=⋅ −− 11 . Teoremă. Matricea A∈ ( )CnΜ este inversabilă dacă şi numai dacă ( ) .0det ≠A O astfel de matrice se numeşte nesingulară. Construcţia lui 1−A presupune următorii paşi: Pasul 1. (Construcţia transpusei)
Dacă
=
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
A
...
... ... ... ...
...
...
21
22221
11211
,
atunci construim transpusa lui A
=
nnnn
n
n
t
aaa
aaa
aaa
A
...
... ... ... ...
...
...
21
22212
11211
.
Pasul 2. (Construcţia adjunctei)
Matricea
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
−−−
−−−
−−−
=
+++
+++
+++
nnnn
nn
nn
nn
nn
DDD
DDD
DDD
A
1 ... 1 1
... ... ... ...
1 ... 1 1
1 ... 1 1
22
11
22
2222
2112
11
1221
1111
*
obţinută din At , inlocuin fiecare element cu complementul său algebric se numeşte adjuncta matricii A. Pasul 3. (Construcţia inversei) Se ţine cont de teorema precedentă şi se găseşte că:
,
... 0 0 0 ... ... ... ... ...0 ... 0 0 0 ... 0 0
**
=⋅=⋅
d
d
d
AAAA iar de aici .11 **
nIAd
AAAd
=
=
Ultimele egalităţi arată că 2.5. Ecuaţii matriciale Voi prezenta în continuare o tehnică de rezolvare a unor ecuaţii de forma CAX = , CXA = ,
CAXB = , unde A, B, C sunt matrici cunoscute, iar X este matricea de aflat. Astfel de ecuaţii se numesc ecuaţii matriciale. Astfel de ecuaţii se pot rezolva numai atunci când A, B sunt matrici pătratice inversabile.
( )*1
det1
AA
A ⋅=−
referat.clopotel.ro 13
Pentru rezolvarea ecuaţiei CAX = înmulţim la stânga egalitatea cu 1−A şi avem:
( ) ( ) CAXCAIXCAXAACAAXA 111111 −−−−−− =⇔=⇔=⇔= . Deci soluţia ecuaţiei date este CAX 1−= . Pentru determinarea soluţiei ecuaţiei CXA = vom înmulţi la dreapta cu 1−A şi analog vom găsi 1−= CAX , soluţia ecuaţiei matriciale. Pentru găsirea soluţiei ecuaţiei CAXB = înmulţim egalitatea la stanga cu 1−A şi la dreapta cu 1−B şi obţinem 11 −−= CBAX .
referat.clopotel.ro 14
APLICAŢII 1. Manual pg. 67 Să se determine numerele reale x, y, z astfel încât să aibă loc egalitatea de matrici, în cazurile
1)
−−=
+−
−
0 1911 1
0 6732 1 xy
yx
yx
=
=⇒=⇒=+−⇒=+−
⋅−⇒=+−
−=⇒−=⇒−−=−
=
⇒
00
22010571828771963
11471967
3114
11431132
11
yyyyyy
yx
yxyxxyyx
13118
2dar 3
114−=⇒
−=⇒
=
−=
xxy
yx
2)
−
−+=
−
+
y
yy
xyx
yxx
4 5 8 3
2 73 2
=⇒=
−=−
−=+
=⇒=⇒+=⋅⇒+=
⇒
yxyx
yx
yyx
yyyyyx
24257
8313332232
21dar
2=⇒
=
=x
y
yx
3)
−+=
−
−+
6 3 1 1
3 1 3 2xxy
xy
+=⇒=−
=
−=−
=−−⇒+=++⇒+=+
⇒
xyxy
xxxxxxxy
6633
1105413613 222
referat.clopotel.ro 15
( ) ( ) ( )( ) 5015055055054 122 =⇒=+−⇒=−+−⇒=−+−⇒=−− xxxxxxxxxxx
12 −=⇒ x I. dacă 5=x , atunci 11=y II. dacă 1−=x , atunci 5=y
4)
−
−−=
−+ zy
xz
zxyxyz
xy
4 0 5
3 0
( )
( )
( )
yxy
yxzyxzzyzx
xyyxyx
xyxy
yxxyzxyyxyz
zyxxzxy
443
3033
43
43
044
00055
222
+=+
+=⇒=−+⇒−=−
+⇒=
+++
⇒=
++⇒=−+⇒=+
=
=++⇒−−=
⇒
pg. 71 1. Să se calculeze BA + în cazurile:
1)
−=
4 03 1
A ,
−−=
3 54 2
B .
−=+⇒
−+−+
+−+=+
1 51 3
)3(4 )5(043 21
BABA
2)
−−
−+=
ii
iiiA
1 0 3 1
,
−+
+−−=
iii
iiB
1 1 2 31
+−=+⇒
−+++−−+
+++−−−++=+
0 0 13 2 2
)( 11 0 13 2 )31(1
i
iiBA
iiiii
iiiiiBA
2. Se consideră matricile
−
−
−
=
1 12 10 25 2 1 4
2 2 2
m
m
A ,
−−
−−
−
=
0 6 5 1 3 6 0 4
1 1 mn
B ,
−
−−
−−−
=
1 6 5 2 1 0
1 1 4 1
p
mC .
Să se determine m, n, p astfel încât CBA =+ .
⇒
=⇒=−
−=+
−=⇒−=⇒−=+
−=⇒−=+
11262
2424312
pp
mm
mmmm
nn
.
Deci
=
−=
−=
123
p
m
n
pg. 75 1. Se consideră matricile )(, 3,2 CBA Μ∈ .
referat.clopotel.ro 16
−=
i
iA
3 2 01 1
,
+
−=
1 1 0 1
ii
iB .
Să se calculeze: iBA 23 − , BiA 2+ .
+−
−=
−−
−−+
−=
+
−−
−=−
27 8 23 1
22 2 20 2 2
9 6 03 3 3
1 1 0 1
23 2 01 1
323ii
i
ii
i
i
i
ii
ii
i
iiBA
−
−−=
+
−+
−
−−=
+
−+
−=+
12 4 2 1
22 2 2 0 2 2
3 2 0 1
1 1 0 1
23 2 01 1
2ii
ii
ii
i
i
ii
ii
i
i
iiBiA
pg. 87 1. Calculaţi produsele de matrici BA ⋅ , unde
a)
=
103112
A şi
=
0112
13
B
=
++++
++++=
31039
003109012126
AB
b)
=
3
12
A şi ( )321=B
=
963321642
AB
c)
−=
021
i
iA şi
−=
103ii
B
( )
−
−=
⋅+−⋅−⋅+⋅−
⋅+⋅−⋅+⋅=
622
1032002113 01 ii
iiii
iiiiAB
d)
−
−
−
=
725643124
A şi
−=
54
2
B
−
−
=
3352
5AB
e)
−=
535615943
A şi
−−−
=
354798
465
B
referat.clopotel.ro 17
−−−=
263229172722
13911AB
2. Să se calculeze ( )Af , dacă:
−=
1 21 1
A ; 22 75)( IXXXf +−=
−
−−=
−⋅
−=⋅=
1 4 2 1
1 21 1
1 21 12 AAA
−=
=
+
−−
−=
=
+
−−
−+
−
−−=
=
+
−−
−
−−=
1 63 1
7 00 7
6 63 6
7 00 7
5 105 5
1 4 2 1
1 00 1
71 21 1
51 4 2 1
)(Af
3. Fie
=
1 01 1
A . Să se calculeze nA , *Nn∈ .
=
⋅
=⋅=
1 02 1
1 01 1
1 01 12 AAA
=
⋅
=⋅=
1 03 1
1 01 1
1 02 123 AAA
=
1 0 1
nAn
M
Inducţie matematică )1()( +→ kPkP
+=+
1 01 11 n
An
+=
⋅
=⋅=+
1 01 1
1 01 1
1 0 11 nn
AAA nn (A)
Deci
=
1 0 1 n
An .
pg. 120 1. Calculaţi determinanţii de ordinul doi:
1) 5232)1(313 21 1
=+=⋅−−⋅=−
2) 13231)2()1(2 3 1 1
−=−=⋅−−⋅−=−
−
referat.clopotel.ro 18
3) ( ) 0331)3(333 3
1 3=+−=⋅−−−⋅=
−−
2. Calculaţi determinanţii de ordinul trei:
1) [ ]
36)1(5124)1()2()2(5641)1(3)1(23 5 41 1 62 1 2
=⋅⋅−+⋅⋅+⋅−⋅−−−⋅⋅+⋅⋅−+⋅−⋅=−
−−
70
]18108[6046−=
=−+−−−−=
2) [ ]=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅−−−⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=
−
65043203)5()5(450306326 4 03 3 5
5 0 2
88
2464]0240[100036
−=
=−−==++−−+=
3) [ ]=⋅⋅+⋅⋅+−⋅−⋅−−−⋅⋅+−⋅⋅+⋅−⋅=
−
−
−
321321)3()2()1()3(33)2(221)1(11 3 22 1 3 3 2 1
42
636]666[2781
−==−−=
=++−−−−−=
3. Calculaţi determinanţii următori:
1) 0001 1 1
1 1 1
1 1 1
1 1 1
1 1 1
1 1 1
=⋅+=+=+=
+++
dcbadcba
cba
cba
ddd
cba
cba
cba
dcdbda
2) 0001
1
=+⋅−=+−=+
−
−
−
=
−+
−+
−+
aaa
ccc
bbb
acc
cbb
baa
aaa
ccc
bbb
acc
cbb
baa
acaac
cbccb
babba
4. Să se rezolve ecuaţiile:
1) 01
1 1
=
xx
xx
xx
⇔=+−⇔=−⋅+−⋅+−⋅ +++ 0
1 1
1
10
1
)1(1
)1(
1 1
)1(1 312111
xx
xx
x
xxx
x
x
xx
xx
x
xxx
x
x
xxxxxxxx −⇔=−+−−−⇔ 10)()(1 222 ⇔=+−⇔=−++− 01320 2323322 xxxxxx ⇒=+−−−⇔=−−−⇔=+−−⇔ 0)1)(1()1(20)1()1(20122 222223 xxxxxxxxxx
10)1(0)12)(1( 12 =⇒=−⇒=−−−⇒ xxxxx
referat.clopotel.ro 19
21
1981012
3
22
−=⇒
=⇒=+=∆⇒=−−⇒
x
xxx
Deci
−∈ 1,
21
x .
5. Să se rezolve ecuaţiile:
1) 0
0 1 11 0 11 1 0
1 1 0
=
x
x
x
x
⇔=−⋅+−⋅+−⋅+−⋅ ++++ 0 1 1
0 11 0
)1(0 1 11 11 0
)1(10 11 0 11 1
)1(10 11 0 1 1 0
)1(0 41312111
x
x
x
xx
x
x
x
x
x
⇔=−+−⇔ 0 1 1
0 11 0
0 1 11 11 0
0 11 0 11 1
0x
x
x
xx
x
x
x
[ ] [ ]−⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅−⇔ )1001111(1111100)1101101()1111100(0 xxxxxxxx
[ ] ⇔=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅− 0)010111()111100( xxxxxxx ⇔=−+−−+−+−⇔ 0)1()21()1( 32 xxxxxx
⇔=+−−+−−−⇔ 0121 242 xxxxxx ⇔=+−⇔=−+−⇔ 042042 2424 xxxxx
042
00)42(3
13
=+−⇒
=⇒=+−⇔
xx
xxxx
6. Fie )(, 3 RBA Μ∈ pentru care 0)det()det()det()det( =−=+== BABABA . Să se arate că 0)det( =+ yBxA , Ryx ∈∀ , )( . 0),()det( 4
42
32
23
1 =+++==+ yxyyxxyxPyBxA λλλλ Pentru x = 0 şi y = 1 00)det()1,0( 4 =⇒== λBP Pentru x = 1 şi y = 0 00)det()0,1( 1 =⇒== λAP Pentru x = 1 şi y = 1 00)det()1,1( 32 =+⇒=+= λλBAP Pentru x = 1 şi y 1−= 00)det()1,1( 32 =−⇒=−=− λλBAP 032 ==⇒ λλ Deci 0)det( =+ yBxA 2. Bacalaureat pg. 94 1. Să se determine matricea X din ecuaţia
referat.clopotel.ro 20
−
−
+
−
⋅=
−
−
−
+
0 3 3 96 3
6 24 7 3 1
23 2 2 13 2
3X
−
−
−
−
−
−
+
−
=
3 2 2 13 2
0 3 3 96 3
12 48 14 6 2
3X
−
−
−
+
−
−
=
3 22 1 3 2
12 111 5 12 1
3X
−
−
=
15 39 6
15 33X
−
−
=⇒
5 13 2 5 1
X
2. a) Găsiţi matricea X )(2 RΜ∈ astfel încât
=
−
−+
1 32 1
3 3 1 2
1 02 1
X
b) Să se determine m R∈ astfel încât sistemul următor să fie compatibil şi apoi rezolvaţi-l:
=+
−=−
=+
myx
yx
yx
312
1
a)
=
−
−+
1 32 1
3 3 1 2
1 02 1
X
⇒
−
−+
=
⇒
−
−−
=
⇒
3 31 2
1 32 1
1 02 1
3 3 1 2
1 32 1
1 02 1
XX
⇒
=
+
+⇔
=
⋅+⋅⋅+⋅
⋅+⋅⋅+⋅⇒
=
=
⇒
4 01 3
2 22
4 01 3
12 02 12 01
4 01 3
1 02 1
tzz
yxx
tztz
yxyx
tz
yxX
X
=⇒=+
−=⇒=+⇒=+
=⇒=
=
⇒
44251612
0023
ttz
yyyx
zz
x
Deci
−=
4 05 3
X .
b)
=+
−=−
=+
myx
yx
yx
312
1
yxyx −=⇒=+ 11
referat.clopotel.ro 21
32
2312112 =⇒−=−⇒−=−−⇒−=− yyyyyx
31
32
11 =⇒−=−= xyx
35
32
132
31
33 =⇒+=⇒=+⋅⇒=+ mmmmyx
3. a) Fie matricea A )(2 RΜ∈ ;
=
1 0 1 a
A , 0≠a . Să se calculeze 2A şi 3A şi
apoi să se determine nA , *Nn∈ în funcţie de n. b) Să se afle ,,,, vuyx numere reale astfel încât
=
1 10 1
1 01 1
vu
yx
a)
=
⋅+⋅⋅+⋅
⋅+⋅⋅+⋅=
⋅
=⋅=
1 02 1
011 101011 011
1 0 1
1 0 12 a
a
aaaaaAAA
=
⋅+⋅⋅+⋅
⋅+⋅⋅+⋅=
⋅
=⋅=
1 03 1
011 1010 121 0211
1 0 1
1 02 123 a
a
aaaaaAAA
=
1 0 1
naAn
M
Inducţie matematică )1()( +→ kPkP
+=+
1 0)1( 11 an
An
+=
⋅+⋅⋅+⋅
⋅+⋅⋅+⋅=
⋅
=⋅=+
1 0)1( 1
011 1010 11 011
1 0 1
1 0 11 an
a
naanaanaAAA nn (A)
Deci
=
1 0 1 na
An .
b)
=
=
−=⇒=+
=⇒=+
⇒
=
++⇒
=
11
1001
1 10 1
1 10 1
1 01 1
v
u
yvy
xux
vu
vyux
vu
yx
Deci
−=
1 11 0
vu
yx.
4. a) Să se determine ,,,, vuyx astfel încât:
−
−=
−−
+
−
2 81 3
21 3
1
uv
xy
vu
yx
b) Să se detrmine matricea A astfel încât:
.4 21 42 5 1
15 1 1211 1 7
3 12 65 10 4
2
+
−=
−
−+A
referat.clopotel.ro 22
a) ⇔
−
−=
−−
−−+
+
−⇔
−
−=
−−
+
−
2 81 3
12 3
1
2 81 3
21 3
1
uv
xy
vu
yx
uv
xy
vu
yx
=−+
−=+−
=−
=+⇒−=+−
⇒
−
−=
−+−+
−−−⇔
212813
133)(
2 81 3
12 31
vu
vu
xy
yxyx
uvvu
xyyx
=
=⇔
−=
=⇔
=−+
−=⇔
=−
−=⇒
12
342
133
13
x
y
yx
y
yy
yx
xy
yx
=
=⇔
=⇒=+−
−=⇔
=−+
−=+−⇒
03
2173)93(293
212813
u
v
vvv
vu
vu
vu
b)
+
−=
−
−+
4 21 42 5 1
15 1 1211 1 7
3 12 65 10 4
2A
⇔
−−
−−+
=⇒
−
−−
=⇒
3 12 65 10 4
19 22 1613 4 8
23 12 65 10 4
19 22 1613 4 8
2 AA
−=⇒
−=⇔
11 5 59 3 2
22 10 1081 6 4
2 AA .
pg. 147 1. Să se rezolve ecuaţia:
0
=
xaaa
axaa
aaxa
aaax
⇔=
−
−
−
−
⇔=+
−
−
−
−
⇔= 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0
ax
ax
ax
ax
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
ax
ax
ax
ax
xaaa
axaa
aaxa
aaax
[ ] axaxaxax
ax
ax
ax
ax =⇒=−⇒=−−−⇒=
−
−
−
−⋅−⇔ +4,3,2,1
4311 0)(00)()(0 0 0
0 0
0 0
)1()(
2. Dacă 321 ,, xxx sunt rădăcinile ecuaţiei 01722 23 =++− xxx să se calculeze
determinantul
213
132
321
xxx
xxx
xxx
d = .
−=
=++
=++
⇒=++−
17
2
2
01722
321
323121
32123
xxx
xxxxxx
xxx
xxx
referat.clopotel.ro 23
)(3
3
33
23
1321
213
132
321
xxxxxx
xxx
xxx
xxx
++−=
⇒−⋅−−=++⇒
++−++=++
−++−++=++
+=++−
=++−
=++−
5122)22(2)(2)(
51)(2)(2
)( 01722
01722
01722
33
32
31
3231212
3212
32
22
1
3212
32
22
13
33
23
1
32
33
3
22
23
2
12
13
1
xxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxx
xxx
xxx
xxx
5533
32
31 −=++⇒ xxx
455)17(3)(3 33
32
31321 =⇒+−⋅=++−= dxxxxxxd
BIBLIOGRAFIE
1. Mircea Ganga, Manual de Matematică, Elemente de Algebră liniară, şi
geometrie analitică, clasa a XI-a, Editura Mathpress, 2003 2. Gh. Andrei, D. Bărbosu, Gh. Boroica, Admiterea în învăţământul superior,
Editura Gil, 2001 3. Dan Brânzei, Sorin Ulmeanu, Matematica în concursurile şcolare, Editura
Paralela 45, 2000 4. C. Năstăsescu, C. Niţă, Culegere de probleme pentru liceu, Algebra, Editura
Rotech Pro, 1999 5. Caiet de notiţe
