$ *d'#d'

,kitrF' ,.! i*r#

.ta"

Viorel{eorge Dumitru

La mate lu este greu !

Strategii, metode gi modele de rezolvare

pentru concursul Fii Inteligent Ia matematicd

Editura NOMINA

CuprinsC6teva repere metodice

1. Cum gAndim qi rezolvdm o probleml matematic5?. ..................31.1. Ce semnificalie are cuv6nful problemd? ....,'...............................37.2. Care sunt paqii in rezolvarea unei probleme?.... ...........................31.3. Care este cadrul organizat pentru rezolvarea problemelor matematice?... ...........41.4. Carc sunt tipurile de lecgie preponderent utilizate in predarea matematicii? ..............................41.5. Care este calea penfrr rezolvarea unei probleme matematice? ...........................61.6. Modalitd[i de rezolvare a problemelor matematice.............."........ .........................7

2. Ce trebuie sd qtim despre evaluare?...... ..............152.l.De ce este importantii evaluarea? ........................152.2. Care sunt formele de evaluare? .. .........................162.3. Care pot fi instrumentele de evaluare? Ce calitiiti trebuie si indeplineascd?............................17

3. Existi o legbturd intre matematic[ 9i practic5? .......................184. Ce trebuie si qtie un elev?.............

4.1. Numere naturale.......... ................. 19

4.2. Adunarea, sc6derea, inmullirea, impdrfirea...... ..........................204.3. Fractji ..... ...............214.4. No{iuni de geometrie.. ..................234.5. Unitdfi de maswd .........................24

Rezolviri ale unor probleme propuse pentru concursul ,,Fii inteligenT... la mafematicS"Clasa a II-a ..............

I. Evaluare in:iiald (de diagnosticare). ............i..................................25II. Numerele naturale de la 0 la 100 ................. ..........27III. Adunarea qi scdderea numerelor naturale de 1a 0 1a 30..............................................................34IV. Adunarea qi sc6derea numerelor naturale de la 0 la 100................. ;................38V. Numerele naturale de la 100 la 1 000....-......... .............................47VI. Adunarea qi scdderea numerelor naturale de la 0 la I 000....... ...........................50VII. inmu{irea qi impS4irea numerelor naturale mai mici decdt 100..............................................56VIII. Elemente intuitive de geometrie .. ......................60IX. Mdsurd qi unitali de mdsur6....... ...........................63Evaluare (teste propuse pentru pregbtirea concursului)... . . .... . ...... .......................66

Clasa a III-a............. ..........................75I. Evaluare inifialb (de diagnosticare). ........................75II. Numere natwale de la 0 la I 000 .............. ............. ZS

III. Adunarea qi scdderea numerelor naturale de la 0 la 1 000.............. ....................84IV. Adunarea qi sciderea numerelor naturale de la 0 la 10 000..... ...........................87V. inmuliirea qi imp[rlirea numerelor naturale mai mici decdt I 000 ......................93VI. Elemente de geometrie.......................:. ................97VII. Unitdli de mdsurI....... ..................99Evaluare (teste propuse pentru pregbtirea concursului). . . . . . ....... ....................102

Clasa a IV-a............. ............,...........112I. Evaluare iniJiald (de diagnosticare). .......................112II. Numerele naturale de la 0 la I 000 .............. ........114III. Numerele naturale de la 0 la 1 000 000....... .......118IV. Adrmare4 scddere4 inmu[irea qi impirlirea numerelor naturale mai mici sau egale cu 1 000 000 125V. Fracfii .................... 134VI. No{iuni de geometrie... ................ 139VII. Mdsurare qi unitbli de mdsurd...... .....................142IX. Evaluare final5 (sumativa) ................... .............. 143Evaluare (teste propuse pentru pregdtirea concursului) . . . . .................... 151

nei s Transilvania (Alba gi Hunedoara)U,':q, Harghita 9i Covasna)i 3'agov 9i Sibiu) 9i Muntenia (Argeg,

i z:-a Maramureg

c- 3aiati) gi Bucovinaila ialomita 9i Cdldragi)9i Dobrogea

de.j

Citeva rcpcrc mctodlce

l. Cum gindlm oi rezolvimt

o proDlcmi matcmatici?

l.l . Ce semnificafie are cuvdntul problemi?

Diclionarul cuprinde explicalia care ufineazi pentru probleml, dar a fost subli-niat, pentru demersul de faf[, doar sensul specific activitdlilor instructiv-educativedesfrqurate in cadrul orelor de matematicS, sens pe care il ludm in considerafie pentru

suslinerea ideilor.

PROBLEM A,, probleme, s.f. I.l. Chestiune carc prezint6 aspecte neclare, dis-cutabile, care necesitd o limurire, o precizare, care se preteazd la disculii. 2. Chestiuneimportantd care constituie o sarcin6, o preocupare (majord) qi care cere o solulionare(imediatd). 3. Chestiune care intrd in sfera preocupbrilor, a cercetirilor cuiva; obiectprincipal al preocupdrilor cuiva; tem[, materie. i (Matematici) Chestiune in care,fiind date anumite ipoteze, se cere rezolvarea, prin calcule sau prin rationamenteoa unor date. II. 1. Dificultate care trebuie rezolvall pentru a obline un anumit rezul-tat; greutate, impas. 2.Lucru greu de inleles, greu de rezolvat sau de explicat; mister,enigmd.

1.2. Care sunt pagii Tn rezolvarea unei probleme?

Se pot identifica zece ,,paqi" in rezolvarea unei probleme matematice, ,,paSi"pe care-i prezentdm in continuare intr-o form6 simplificati, ca indemnuri pentru elevi,adicS:

1. Citeqte, cu atentie, enunful problemei! Pentru inlelegerea fiecdrui cuvAnt, a

legSturilor logice dintre acestea poli repeta citirea enunfului problemei de mai multeori.

2. Stabilegte care sunt datele problemei matematice.3. Separi datele problemei in categorii; cunoscute qi necunoscute.

4. Identific[ legdturile logice dintre datele cunoscute qi cele necunoscute, pre-cum qi relaliile matematice dintre acestea.

5. Stabileqte care sunt datele necesare pentru a r6spunde la intrebarea problemei.6. Afld,, pas cu pas,pornind de la datele cunoscute pe cele necunoscute.

7. Transpune in desene, scheme logice, reprezentdri grafice datele cunoscute,

respectiv necunoscute, dar qi relaliile dintre acestea.

8. Reprezintd in operalii matematice (adunare, scddere, inmullire, imp[(ire) fie-

care legdturb logicS, fiecare reprezentare a datelor cunoscute, respectiv necunoscute.

Calculeazd gi vei obline valorile necunoscute.

9. Stabilegte corectitudinea valorilor oblinute verificdnd, pas cu pas, calea deladatele cunoscute, prezentate inilial, la cele stabilite prin rezolvarea problemei matema-

tice.

10. Citegte, incd o datd, enunful problemei, rczolvarca acesteia! Este posibil ca o

literS, un semn matematic scrise greqit, si determine o cale de rezolvare corect6, dar cu

valori incorect determinate.

1.3. Care este cadrul organizat Pentru rezolvareaproblemelor matematice?

Prin relaliile funclionale care se stabilesc intre diversele sale elemente, lecfia de

matematici constituie o entitate de instruire; condenseazd intr-un tot unitar elemente

qi variabile ale preddrii-inv6!6rii, conlinutul informajional, obiective operalionale,

strategii qi mijloace didactice, particularitSlile elevilor, organizarea psihosociologicd a

colectivului, personalitatea profesorului, toate acestea fiind subordonate logicii acliu-

nii educalionale.Procesul educativ este un proces complex in care trebuie sd linem seama de toli

factorii implicali. Atunci cdnd un profesor se afla in fafa clasei, trebuie sd decidd asu-

pra tipului de leclie potrivit momentului, a metodelor, a formelor de activitate astfel

inc6t scopul procesului de predare-inv6lare sd fie atins.

Principalele elemente gi variabile pe care le implicb, deci leclia ca entitate sau

microsistem sunt:

o obiective instructiv-educative;o confinutul informalional:r alegerea qi folosirea unei strategii de instruire;. variabilele personalitdfii profesorului qi cele ale personalitdfii elevilor;t organizarca colectivului de elevi.

1.4. Care sunt tipurile de lecfie preponderent utilizatein predarea matematicii?

Lec{ia mixt[ sau combinatf urmdreqterealizarea echilibratd a mai multor sar-

cini didactice, adicd comunicare de cunogtin{e, sistematizare, fixare, verificare etc.

inrabo

uno

rao

atur

rea

hice

tran

molreal

prol

nitiial cr

dact

real

oreicelo

test.

fietari:

F€n1

ts=r grafice datele cunoscute,

s,i.::re. inmullire, imp[(ire) fie-I - s.-ute. resoectiv necunoscute.

I;icand, pas cu pas, calea delarezolvarea problemei matema-

frarea acesteia! Este posibil ca o

lcale de rezolvare corect6, dar cu

h

p€ntru rezolvareanatice?

:iii ersele sale elemente, lec(ia de

ns-:azd intr-un tot unitar elemente

Ei-:iLrnal, obiective operalionale,

utr- .''rganizarea psihosociologicd a

a; ilind subordonate logicii acliu-

x:; trebnie sd linem seama de toli: :-.:: clasei, trebuie sd decidd asu-

io:. a formelor de activitate astfel

n:.

impiica. deci leclia ca entitate sau

: r;- o.rronulitdlii elevilor;

reponde!^ent utilizatenaticii?

:.ea echilibratd a mai multor sar-

r: riizare, fixare, verificare etc.

Principalele evenimente, momente de lucru ale acestui tip de leclie sunt:

t organizarca clasei pentru activitatea didacticS;. captarea atenliei elevilor;o actualizarea elementelor studiate anterior (identificarea ideile ancord);

o pregdtirea eleviior pentru asimilarea noilor cunogtinle;

r cornunicarea qi asimilarea noilor cunoqtinle (este secvenla din leclie care acope-

rd o mare parte din timpul afectat procesului de predare-invd{are dintr-o ord de curs);

o fixarea cunoqtinfelor predate.

Uneori este necesar a se asigura o parte gi mai mare din timp numai preddrii gi

atunci se aplicd alt tip de lecjie.Lecfie de comunicare constd in concentrarea activitetii didactice spre dobAndi-

rea de cdtre elev a unor cunogtinle qi a dezvoltirii, pe bazd acestora, a proceselor psi-

hice, a capacitdlilor instrumentale gi operalionale. Momentul de comunicare, de

transmitere a unor cunogtinle acoperd cea mai mare parte din lecfie. De-a lungul orei

momentele se referd la: anunlarea subiectului precum qi a obiectivelor ce urmeazd a ftrealizate gi, in special, la comunicarea cunogtinlelor noi.

Prin lec{ia de recapitulare qi sistematizare se ad6ncesc informaliile, se aplicd

in noi contexte informaliile prin sistematizarea materialului dupd diferite criterii, se

abordeazd modalitdli de activizare a elevilor (activitdli in echip6, in grup, aplicarea

unor fiqe de lucru individualitate, jocuri didactice etc.).

Si enumerSm momentele din leclie:o Captarea aten{iei.o Enunfarea obiectivelor: reamintirea planului minimal de recapitulare a temei

propuse pentru leclia zllei, plan care a fost comunicat elevilor la finalul orei anterioare.

r Actualizarea cunogtin{elor: reamintirea cunoqtinlelor teoretice (reguli, defi-

ni1li, cazuri, procedee etc.) care stau la baza temei propuse pentru recapitulare, eventu-

al cu dezvoltarea pe etape a planului, precum gi notarea acestuia pe tab15.

r Dirijarea invifflrii: rezolvdri de exercilii gi probleme sub indrumarea cadru1 di-

dactic, dar qi prin muncd independenti;lucrdri practice, compuneri de probleme cu date

reale, inregistrate de elevi etc.

o Evaluarea: aprecieri asupra rdspunsurilor, participdrii elevilor de-a lungulorei, notarea elevilor care au fost selectali pentru evaluare de cdtre propunitor sau a

celor care s-au evidentiat in mod deosebit, aplicarea gi interpretarea rezultatelor unuitest.

o Retentia qi transferul: concluzii formulate despre modul in care a fost preg6-

titd tema qi a felului cum s-a desfrgurat leclia, contribulia clasei, constatdri, comple-

tdri; propuneri pentru imbundtdlirea activitdlii; comunicarea titlului temei stabilitepentru recapitulare in ora care va urma, precum gi a planului pentru studierea qi prega-

tirea temei.

1.5. Care este caleo pentru rezolvarea unei problemematematice?

Procesul de gAndire se declangeazd ori de cdte ori ne aflbm in fala unei situalii

noi, nerezolvate prin mijloace invdlate, reflexe condilionate sau deprinderi. Prin activi-

tatea de rezolvare a problemelor se oferd elevilor asemenea situalii. Aceasta ocupS

locul de cinste datoriti procedeelor psihice pe care le solicitS, incit6, dezvolt5. Fiecare

fazdin stabilirea rafionamentului declanqeazd o stare ini1iald de tensiune, apoi de in-

certitudine pentru ca descoperirea cdii de rezolvctre s[ genereze bucurie, stare de con-

centrare.

Exist[ un gr[unte de descoperire in stabilirea soluliei oricbrei probleme. Avem

de rezolvat o problemd consideratd modestd, dar aceasta poate stArni curiozitatea dacd

se rezolv[ prin mijloace proprii; se poate simli qi in acest caz incordareq dinaittea

unei descoperiri, apoi bucuria triumfului. Astfel de experienle 1a vArsta de mare recep-

tivitate a elevilor de ciclul primar, pot genera, stimula viitoarele activitdJi intelectuale,

pot amprenta pozitiv mintea precum qi comportamentul elevului.

Punctul de pornire este inlelegerea problemei condilionatd de interesul, de dato-

ria de a stabili solulia. inlelegerea poate fi ajtlatd de reprezentarea graftcd, schematicd

a problemei , de transformaree, transpunerea in simboluri. Ea conditioneazd construc-

lia planului de rezolvare cristalizat uneori cu ezitdri, reluat din alt unghi alteori sau

ap[rut ca o striifulgerare.Mai mult, infelegerea real6 este precedatd de o fazadein-cercare-eroare in care cunoqtin{ele acumulate anterior sunt reactivate, reorganizate in

scopul descoperirii planului de rezolvare. Elerului trebuie s6-i ldsdm impresia propriei

iniliative, sd-i sddim increderea in forlele proprii.Atingerea scopului, aflarea necunoscutei nu inseamnd a pune punct activitdlii;

este momentul in care elevul trebuie convins de veridicitatea rcztltafilui oblinut, tre-

buie sd se evalueze schema de rezolvare oblinutd raportdnd-o la cele insugite anterior,

trebuie sd se facd conexiuni la releaua de achizitli dobdndite.

Problemele cate :urmeaz[, majoritatea ct rezolvdri complete, sunt grupate in ra-

port cu dificultatea in rezolvare (de la probleme simple la cele complexe), lindnd cont

de referinlele informafionale (numere naturale, operalii cu numere naturale, fraclii -clasa a IV-a, noliuni de geometrie, unitdfi de mbsurd) qi nu in ultimul rAnd in funclie

de cuvintele-semnctl (adaugd - adunare, la - scddere , de... ori mai mult - inmullireetc.), de semantica matematicS. Dacd la unele probleme rafionamentul este sesizat

datoritd inqiruirii datelor in sensul direcliei rezolvdrii, la altele pentru a ajunge la solu-

lie este necesar s5 se stabile ascd o convenlie sau gdsirea soluliei este determinatd de

construirea mersului invers sensului de inqiruire a datelor. O categorie aparte este cea

a problemelor in care solulia se stabilegte in urma analizei datelor, a relaliilor dintre

acestea fbrd putin![ de a fi incadrate in scheme anume. Important este sd sesiz[m infiecare caz caracteristicile problemei matematice, procesul de gdndire, grduntele de