41

37. DeterminaŃi numerele raŃionale x, y ce satisfac egalitatea:

234y)21(x)225( +=⋅−+⋅+ .

Etapa locală, Suceava 2010 38. DeterminaŃi numărul soluŃiilor întregi ale ecuaŃiei: |x – 2010| + |x + 2010| = 4020.

Etapa locală, Tulcea 2010

39. RezolvaŃi în ℕ* ecuaŃia:

1 2n 3n 4n

n 1 (n 1)(n 3) (n 3)(n 6) (n 6)(n 10)+ + +

+ + + + + + + 5n2

5n

)15n)(10n(

n5

++

=++

+ .

Etapa locală, Vâlcea 2010

40. AflaŃi x ∈ ℚ din egalitatea: 201200

98

100

22

1

2

1x

2

1:

2

1 −+

−⋅

−=⋅

− .

Etapa locală, Covasna 2011

41. a) RezolvaŃi ecuaŃia: 2x

3x

3x

2x

−

−=

−

−, x ∈ ℝ – }3,2{ .

b) CalculaŃi suma primelor 30 zecimale ale numărului 100)223( − .

Etapa locală, Gorj 2011

42. RezolvaŃi în ℚ ecuaŃia: 17

2003x

10

2010x

2003

17x

2010

10x −+

−=

−+

−.

Etapa locală, Vaslui 2011, G.M. 3/2010 43. RezolvaŃi în mulŃimea numerelor naturale ecuaŃia: x2 – 10x + y + 7 = 0.

Etapa locală, Bacău 2011 44. a) AflaŃi o soluŃie a ecuaŃiei x2 + y2 = 1010 în mulŃimea numerelor întregi. b) ArătaŃi că ecuaŃia x2 + y2 = 1000 + 10z2 are o infinitate de soluŃii în mulŃimea numerelor întregi.

Etapa locală, DâmboviŃa 2011

45. AflaŃi numărul natural abc , scris în baza 10, ştiind că 10 ⋅ 82a

bc1

c

ab=+

− .

Etapa locală, Arad 2011 46. DeterminaŃi numerele naturale m, n, p nenule şi distincte, ştiind că:

10pnm

30

nm

9

m1

4≥

+++

++

+.

Etapa locală, Bucureşti 2011 47. AflaŃi cinci soluŃii întregi ale ecuaŃiei: x2 + y2 + z2 + t2 = 750.

Etapa locală, Maramureş 2011, prof. Vlad Ion

48. Suma inverselor numerelor a, b ∈ ℕ* este egală cu 15

2. AflaŃi numerele a şi b şti-

ind că a > b. Etapa locală, Satu Mare 2011

42

49. Se dă suma: S = 1 + 2 + 3 + 4 – 5 + 6 + 7 + 8 + 9 – 10 + ... + (5n – 4) + (5n – 3) + + (5n – 2) + (5n – 1) – 5n. DeterminaŃi numărul natural n, pentru care S = 175.

Etapa locală, Sibiu 2011, prof. Simona Dumitrescu

50. RezolvaŃi în ℤ ecuaŃia 15xy – 35x – 6y = 3.

Etapa locală, MehedinŃi 2013

51. EcuaŃia x 3 5 x n(n 3)+ + − = + , n ∈ ℤ, are soluŃii numere întregi. AflaŃi n.

Etapa locală, IalomiŃa, 2013, prof. Constantin Păunescu

52. RezolvaŃi în ℤ ecuaŃia 2xy = 3(x + 32).

Etapa locală, IalomiŃa, 2013, prof. Constantin Păunescu 53. RezolvaŃi în mulŃimea numerelor reale ecuaŃia:

( )202 2 2 103 4 (3 4) | x 2001| 3 3+ + + − − = − .

Etapa locală, Covasna 2013

54. CalculaŃi x + y + z, ştiind că x 1 y 2 z 3

x y z

+ + += = şi

1 2 3

x y z+ + = 54.

Etapa locală, Buzău 2013 55. Să se determine numerele naturale x şi y care sunt soluŃii ale ecuaŃiei:

x + |25 – y| = 2013 – 10y. Etapa locală, Vrancea, 2013

56. RezolvaŃi ecuaŃia: 1 x 1 1 x 2 1 x 3 1 x 2012 x

...1 2012 2 2 2012 3 3 2012 4 2012 2012 2013 2013 + + + + + + + + =

.

Etapa locală, DâmboviŃa, 2013, RMT 1/2009 (enunŃ actualizat) 57. DemonstraŃi că nu există numere naturale x, y, z pentru care x + 3y + 5z = 2012 şi x2 + y2 + 3z2 = 2013.

Etapa locală, Mureş 2013 58. Trei persoane au cumpărat portocale dintr-un coş. Primul a cumpărat jumătatea portocalelor şi o jumătate de portocală. Al doilea jumătate din portocalele rămase şi o jumătate de portocală. Al treilea jumătate din ce a rămas şi o jumătate de portocală. În coş au mai rămas 4 portocale. Câte portocale au fost în coş dacă nu s-a tăiat nicio por-tocală. Câte portocale a cumpărat fiecare?

Etapa locală, Harghita 2013 59. Aflați soluțiile întregi ale ecuaŃiei:

1 1 2

x 1006 2012 x 1006 x 2012 x+ =

+ − + + −.

Etapa judeŃeană 2013 60. DeterminaŃi perechile de numere reale (a, b) pentru care egalitatea: |ax + by| + |bx + ay| = 2|x| + 2|y| este adevărată pentru orice numere reale x şi y.

Etapa judeŃeană 2013

43

GEOMETRIE

I. Triunghiul. ProprietăŃi ale triunghiurilor. Triunghiuri asemenea

1. Se dă ∆ABC cu AB = 4 cm, BC = 6 cm, AC = 5 cm. Prelungim latura [AB] cu seg-mentul [BD], BD = 6 cm şi latura [AC] cu segmentul [CE], CE = 3 cm. a) CalculaŃi lungimea segmentului [DE]. b) Dacă {M} = BC ∩ DE, calculaŃi P∆MCE.

Etapa locală, Argeş 2008 2. Fie triunghiul ABC, D ∈ (BC), E ∈ (AC) şi AD ∩ BE = {O}. ArătaŃi că AD este mediană dacă şi numai dacă are loc relaŃia AO ⋅ EC = 2 ⋅ AE ⋅ OD.

Etapa locală, Buzău 2008 3. Fie triunghiul ABC, cu (AB) ≡ (AC), m('CAB) = 15° şi un punct M aflat pe pre-lungirea laturii [AC] astfel încât m('ABM) = 90°. Dacă CN ⊥ AB, N ∈ [AB] şi CN = 3 cm, atunci: a) calculaŃi măsura unghiului format de înălŃimea şi mediana corespunzătoare ipo-tenuzei AM; b) demonstraŃi că lungimea înălŃimii corespunzătoare ipotenuzei [AM] este egală

cu 4

1din lungimea ipotenuzei;

c) calculaŃi aria triunghiului ABM. Etapa locală, ConstanŃa 2008, prof. Cătălin Scăiceanu

4. Fie BB' şi CC' mediane în ∆ABC, iar M, N puncte pe (BC) astfel încât BM = MN = = NC. Fie AM ∩ CC' = {P} şi AN ∩ BB' = {Q}. ArătaŃi că: a) PQ || BC; b) BC = 5 ⋅ PQ.

Etapa locală, DâmboviŃa 2008 5. Dreapta paralelă cu latura BC a triunghiului ABC intersectează latura AB în punc-tul P şi AC în Q. Fie F mijlocul laturi AC, iar R intersecŃia lui PQ cu FB. Să se de-monstreze că suma PR + PQ este constantă.

Etapa locală, Harghita 2008, prof. Margit Péterfi 6. Pe laturile (AB) şi (AC) ale triunghiului echilateral ABC se consideră punctele M

respectiv N, astfel încât AB = 3 ⋅ AN şi BM = 3

1⋅ AC. Fie {Q} = BN ∩ CM.

a) ArătaŃi că MN ⊥ AC. b) Să se calculeze măsura unghiului 'BQC.

Etapa locală, Hunedoara 2008

44

7. Fie triunghiul ABC isoscel, cu AB = AC. Pe latura [BC] a triunghiului se iau punc-

tele M şi N astfel încât kNB

CN

MC

BM== .

a) ArătaŃi că AM = AN.

b) DeterminaŃi în funcŃie de k valoarea raportului BC

NM.

Etapa locală, Satu Mare 2008, prof. Edit Schradi 8. Se dă triunghiul ABC, în care măsurile unghiurilor 'A, 'B şi 'C sunt direct propor-Ńionale respectiv cu numerele 3, 2 şi 1. a) ArătaŃi că BC = 2 ⋅ AB. b) Dacă O este mijlocul laturii (BC), găsiŃi poziŃia punctului E ∈ (AC), astfel încât suma BE + EO să ia valoare minimă.

Etapa locală, Sibiu 2008, prof. Simona Dumitrescu 9. Fie ABC un triunghi isoscel ((AB) ≡ (AC)) şi M mijlocul lui (BC). Construim ME ⊥ AB, E ∈ AB şi MD ⊥ AC, D ∈ AC. a) Să se arate că DE || BC. b) Ştiind că CE conŃine mijlocul lui MD, să se arate că ∆ABC este dreptunghic.

Etapa locală, Vrancea 2008, prof. GicuŃa Dochioiu şi Marius Mohonea 10. În triunghiul ABC dreptunghic, m('BAC) = 90°, M este mijlocul lui BC şi BD ⊥ ⊥ AM, D ∈ (AC). DemonstraŃi că m('ACB) = 30° dacă şi numai dacă BD = 2 ⋅ MD.

Etapa locală, Brăila 2008, prof. Nicolae Stănică, G.M. 11/2004 11. Fie triunghiul ABC, bisectoarea unghiului 'BAC intersectează pe BC în F. Con-struim prin M ∈ (BF) o paralelă la AF care intersectează pe (CA în D şi prin N ∈ ∈ (CF) o paralelă la AF care intersectează pe (BA în E.

ArătaŃi că AD ⋅ NF = AE ⋅ MF. Etapa locală, Călăraşi 2008, prof. Gheorghe Fianu

12. Fie ∆ABC cu [AB] ≡ [AC] şi D ∈ (BC). Se ştie că DE ⊥ AC, E ∈ [AC] şi EF ⊥ ⊥ AB, F ∈ [AB]. Să se arate că: AB ⋅ CD ⋅ EF = BC ⋅ DE ⋅ AE.

Etapa locală, Timiş 2009, prof. Adriana Roman şi Vasile Roman 13. Fie ∆ABC, M şi N sunt mijloacele segmentelor (AB) şi respectiv (AC), iar AD ⊥ ⊥ BC, D ∈ BC. Ştiind că triunghiul MND este isoscel, să se arate că triunghiul ABC este isoscel.

Etapa locală, Teleorman 2009 14. a) În triunghiul ABC, (AD este bisectoarea unghiului 'BAC, D ∈ (BC). Dacă P∆ABC = 33 cm, AB = 12 cm, AC = 10 cm, calculaŃi BD şi DC. b) Dacă E ∈ (AB), F ∈ (AC) astfel încât AEDF paralelogram, calculaŃi PAEDF.

Etapa locală, Mureş 2009, prof. Marin Belean, Radu Botez 15. În triunghiul ABC avem: m('B) = 105°, m('C) = 30°, [AD] mediană, [AE] bisec-toare, cu D, E ∈ BC, iar [BF] este înălŃime, cu F ∈ [AC]. a) ArătaŃi că triunghiul AFD este isoscel. b) AflaŃi m('DAE).

Etapa locală, Iaşi 2009

45

16. În triunghiul ABC construim bisectoarea [AD a unghiului 'A, D ∈ (BC). Fie M ∈ ∈ (BD), N ∈ (DC) şi MQ || AD || NP, unde Q ∈ (AB) şi P ∈ (AC).

Să se arate că DM

DN

AQ

AP= .

Etapa locală, Olt 2009, prof. Ion NeaŃă 17. Fie ABC un triunghi ascuŃitunghic cu m('A) = 60°, iar E şi F picioarele înălŃimilor din B şi C. Notăm cu M mijlocul laturii (BC) şi cu H ortocentrul triunghiului. a) StabiliŃi m('BHC). b) StabiliŃi natura triunghiului EFM.

c) Ştiind că 3

5

FB

AF= , determinaŃi

EC

AE.

Etapa locală, Bucureşti 2009, prof. Silvia Negulescu 18. Se dă triunghiul ABC cu măsura unghiului 'BAC = 120° şi AB = 2 ⋅ AC = 2a. Fie D simetricul punctului A faŃă de mediana [CM], unde M ∈ [AB]. a) DemonstraŃi că patrulaterul ACDM este romb. b) CalculaŃi perimetrul triunghiului DON, unde O este mijlocul segmentului [CM], iar {N} = BC ∩ DM. c) DeterminaŃi cât la sută reprezintă aria triunghiului BCM din aria patrulaterului ABDC.

Etapa locală, Vâlcea 2009, prof. Radu Gheorghe 19. Se consideră un triunghi ABC în care măsura unghiului 'A este de 60° iar unghiu-rile 'B şi 'C sunt ascuŃite. Fie M mijlocul laturii BC şi BB1 şi CC1 înălŃimile duse din B respectiv C pe laturile opuse. Să se arate că ∆MB1C1 este echilateral.

Etapa locală, Ilfov 2009 20. Triunghiurile ABD, ABC şi ACE nu au puncte interioare comune. Fie M ∈ (BA), N ∈ (CA) astfel încât MN || BC. ConstruiŃi P ∈ (AD), Q ∈ (AE) astfel încât AP ⋅

⋅ NC = PD ⋅ AN şi 1AB

MB

AE

AQ=+ . StabiliŃi poziŃia dreptelor PQ şi DE.

Etapa locală, Bacău 2009 21. Fie [BM] mediană în ∆ABC, AD este mediatoarea segmentului [BM], D ∈ (BM), AD ∩ BC = {P}, iar MT || AP, unde T ∈ [BC]. a) ArătaŃi că ∆BMT este dreptunghic. b) Dacă m('MBC) = 30°, arătaŃi că [MP] ≡ [TC] şi aflaŃi m('CAB).

Etapa locală, Bihor 2009 22. Fie ∆ABC oarecare cu m('BAC) < 60° şi triunghiurile echilaterale ∆ABM şi ∆ACN în exteriorul său. Se consideră punctul S astfel încât ANSM este paralelogram. ArătaŃi că: a) m('BSC) = 60°; b) ∆BSC este echilateral.

Etapa locală, Botoşani 2009

46

23. Fie ∆ABC isoscel, [AB] ≡ [AC] şi punctul P situat în exteriorul triunghiului, dar în interiorul unghiului 'BAC. Dacă 'APB ≡ 'APC şi unghiurile 'ABP, 'ACP sunt ob-tuze, demonstraŃi că [BP] ≡ [CP].

Etapa locală, Brăila 2009, prof. Marius Damian 24. Considerăm ∆ABC şi un punct M situat în interiorul triunghiului. Dacă E şi F sunt simetricele punctului M în raport cu mijloacele segmentelor [AB] şi respectiv [AC], arătaŃi că M se află pe înălŃimea din A a triunghiului ABC dacă şi numai dacă [CE] ≡ ≡ [BF].

Etapa locală, Caraş-Severin 2009, prof. Vasile Chiş 25. Fie ∆ABC ascuŃitunghic şi AD înălŃime, D ∈ (BC). Dacă P ∈ (AB) şi Q ∈ (AC) astfel încât 'BDP ≡ 'DAC şi 'CDQ ≡ 'DAB, arătaŃi că PQ || BC.

Etapa locală, ConstanŃa 2009, GalaŃi 2008 26. În ∆ABC dreptunghic, m('A) = 90°. Fie D ∈ (BC) piciorul înălŃimii din A, iar M intersecŃia bisectoarei 'DAC cu bisectoarea 'ABC. Paralela dusă prin M la BC inter-

sectează AC în T. ArătaŃi că MT = 2

1⋅ (BC – AB).

Etapa locală, DâmboviŃa 2009, prof. Călin Burduşel 27. În ∆ABC, M ∈ (AB), F, G ∈ (CM) astfel încât BM = 3 ⋅ AM, CF = FG = GM, iar AF ∩ BC = {D}, AG ∩ BC = {E}. a) DemonstraŃi că ∆AGF ≡ ∆EGM. b) ArătaŃi că BE = 6 ⋅ CD.

Etapa locală, Prahova 2009, prof. Silvia şi Ionel Brabeceanu 28. Mediatoarele bisectoarelor triunghiului ABC se intersectează în A1, B1, respectiv C1. DemonstraŃi că ∆ABC ~ ∆A1B1C1 ⇔ ∆ABC este echilateral.

Etapa locală, Satu Mare 2009 29. Se consideră ∆ABC echilateral. Punctele M, N şi P sunt situate pe laturile AC, AB

şi BC respectiv, astfel încât m('CMB) = 2

1⋅ m('AMN) =

3

1⋅ m('BNP) şi

m('CMP) = 90°. a) Să se arate că ∆MNB este isoscel. b) Să se determine măsura unghiului 'CBM.

Etapa judeŃeană 2009 30. Fie ABC un triunghi echilateral, D ∈ BC astfel încât [DC] ≡ [BC] şi E ∈ AC astfel încât [AE] ≡ [AC]. Dacă DE ∩ AB = {F}, arătaŃi că AB = 3 ⋅ AF.

Etapa locală, Braşov, Maramureş, Prahova 2010, G.M. 3/2009 31. Fie ∆ABC, m('A) = 90°, AB < AC şi AD ⊥ BC, D ∈ (BC). M este mijlocul laturii BC şi paralela prin D la AC intersectează pe AM în E. a) DemonstraŃi că ADEC este trapez isoscel.

b) Dacă (AM este bisectoarea 'DAC, exprimaŃi valoarea raportului MC

DM.

c) Dacă AD ∩ CE = {F} şi ABFM este romb, calculaŃi m('ACB). Etapa locală, Caraş-Severin 2010

47

32. În triunghiul ABC, AD ⊥ BC, D ∈ BC, m('C) = 75°, AD = 4 cm şi BC = 16 cm. Să se demonstreze că triunghiul ABC este dreptunghic.

Etapa locală, Cluj 2010, prof. Vasile Şerdean 33. În ∆ABC, m('A) = 90°, se notează cu G intersecŃia dintre înălŃimea AD, D ∈ (BC) cu bisectoarea CE, E ∈ (AB). Fie EF ⊥ BC, F ∈ (BC). Să se arate că: a) triunghiul AEG este isoscel; b) patrulaterul AEFG este romb.

Etapa locală, Covasna 2010 34. Se consideră un triunghi ABC, în care m('ABC) = 45° şi m('ACB) = 75°. Fie M mijlocul bisectoarei [AD], D ∈ BC. Fie E piciorul perpendicularei din M pe AB, ME ∩ AC = {F}. Dacă AC = 8 cm, calculaŃi lungimea segmentului [DF].

Etapa locală, Hunedoara 2010 35. Se consideră ∆ABC în care M este mijlocul laturii [AC], iar N este mijlocul seg-mentului [BM]. Punctul F se află pe dreapta AB, astfel încât AB = BF, iar AN ∩ ∩ FC = {E}. ArătaŃi că ABEM este paralelogram.

Etapa locală, IalomiŃa 2010 36. Se consideră triunghiul isoscel ABC ([AB] ≡ [AC]) cu [AD] mediană şi (DM bi-sectoarea unghiului 'ADC, unde M ∈ AC. Perpendiculara din D pe AB intersectează pe AC în Q şi pe AB în N. ArătaŃi că:

a) NB

AN

MC

AM2

=

; b) triunghiul MDQ este isoscel.

Etapa locală, Botoşani 2010, G.M. 7-8-9/2009, E:13785 37. Fie ABC un triunghi isoscel, având AB = AC = 15 cm, iar BC = 12 cm. Punctul E ∈ (AB) astfel încât AE = 5 cm, G ∈ (BC) şi GC = 8 cm. DemonstraŃi că GE || AM, unde AM este înălŃimea triunghiului ABC, M ∈ (BC).

Etapa locală, Bihor 2010 38. Fie ABC un triunghi isoscel ([AB] ≡ [AC]) şi M mijlocul lui BC. Construim ME ⊥ ⊥ (AB), E ∈ AB şi MD ⊥ (AC), D ∈ AC. a) Să se arate că DE || BC. b) Ştiind că CE conŃine mijlocul lui MD, să se arate că ∆ABC este dreptunghic.

Etapa locală, Iaşi 2010 39. În triunghiul ABC, E, F ∈ (BC) astfel încât BE = EF = FC, [CM] mediană, M ∈ ∈ (AB), CM ∩ AF = {N}, BN ∩ ME = {P}. ArătaŃi că MP = 3 ⋅ PE.

Etapa locală, NeamŃ 2010, prof. Ion Diaconu 40. În triunghiul ABC, punctul P este mijlocul laturii [BC], iar punctul Q ∈ (AC). Da-că QC = 2 ⋅ AQ şi (AP) ∩ (BQ) = {S}, arătaŃi că [AS] ≡ [SP].

Etapa locală, Călăraşi 2010, prof. Viorica Stoianovici 41. Fie triunghiul DEF, [EE' bisectoarea unghiului 'DEF, E' ∈ DF, DG ⊥ EE', G ∈ ∈ EE' şi M mijlocul lui [DF]. a) Să se arate că GM || EF. b) Dacă N este mijlocul lui [DE], demonstraŃi că punctele N, G, M sunt coliniare.

Etapa locală, Vrancea 2010, prof. Aurelia Neagu

48

42. În triunghiul ABC se consideră punctele D ∈ (AB), E ∈ (AC) astfel încât

AE

CE

DB

AD= . Să se arate că mijloacele segmentelor [AB], [AC] şi [DE] sunt coliniare.

Etapa locală, Suceava 2010, prof. Ana Marcela Popa 43. În triunghiul ABC, punctele M şi N sunt mijloacele laturilor (AB), respectiv (AC), iar E şi F sunt mijloacele segmentelor (AM), respectiv (AN). Fie (BR) astfel încât

3

1

FB

RF= , F ∈ (BR), Q ∈ (CE astfel încât

3

1

EC

QE= , E ∈ (CQ), {D} = MN ∩ BR,

{H} = MN ∩ CQ. a) DemonstraŃi că punctele Q, A, R sunt coliniare. b) ArătaŃi că D este simetricul lui R faŃă de F, iar (BR) şi (CQ) au mijloacele pe dreapta MN.

Etapa locală, Timiş 2010, prof. Mihai Ciobanu 44. În triunghiul dreptunghic ABC (m('A) = 90°) şi AB > AC, considerăm [AD bisec-toarea unghiului 'BAC, (D ∈ (BC)) şi CE ⊥ AD, (E ∈ (AB)). Ştiind că [CE] ≡ ≡ [BE], se cere: a) demonstraŃi că [DC] ≡ [DE]; b) determinaŃi măsurile unghiurilor triunghiului ABC.

Etapa locală, Sălaj 2010 45. Fie triunghiul ABC şi punctul D ∈ [BC]. DemonstraŃi că: AB ⋅ DC + AC ⋅ BD ≥ AD ⋅ BC.

Etapa locală, Argeş 2010, prof. Virginia Tică şi Vasile Tică

46. Fie S şi T două puncte în interiorul triunghiului ABC dreptunghic în A, astfel încât AS ⊥ BS, AT ⊥ BT. Dacă ST ⊥ BC, demonstraŃi că AS = DT, unde D este piciorul perpendicularei din A pe [BC].

Etapa locală, Brăila 2010, prof. Nicolae Stănică 47. În exteriorul triunghiului ABD se construiesc AE ⊥ AB, [AE] ≡ [AB], AH ⊥ AD, [AH] ≡ [AD]. Fie M ∈ [BE], [MB] ≡ [ME], N ∈ [DN], [DN] ≡ [NH], O ∈ [BD], [OB] ≡ [OD] şi DE ∩ BH = {R}. Să se demonstreze că: i) BH ⊥ DE, [BH] ≡ [DE]; ii) [OM] ≡ [ON], OM ⊥ ON.

Etapa locală, GalaŃi 2010, prof. Petre BătrâneŃu 48. În triunghiul ABC, AB < AC, fie D ∈ (AB, B ∈ (AD) şi E ∈ (AC, C ∈ (AE), ast-fel încât [BD] ≡ [CE]. Perpendicularele din B şi D pe bisectoarea unghiului 'BAC intersectează AC în P, respectiv Q. a) ArătaŃi că [PQ] ≡ [CE]. b) Dacă M şi N sunt respectiv mijloacele segmentelor [BC] şi [DE], să se arate că MN este paralelă cu bisectoarea unghiului 'BAC. c) Dacă AC – AB = BD, arătaŃi că punctele C şi Q coincid şi BC = 2 ⋅ NC.

Etapa locală, Gorj 2010 49. Fie ∆ABC, M mijlocul laturii [BC], N ∈ [AB]. Dacă AM ∩ CN = {O} şi [OC] ≡ ≡ [AB], să se arate că ∆AON este isoscel.

Etapa locală, MehedinŃi 2010

49

50. Fie triunghiul dreptunghic isoscel ABC, m('C) = 90°. Se construieşte segmentul CC1 (C1 ∈ (AB)) perpendicular pe mediana AA1, A1 ∈ (BC).

Să se afle raportul AC

BC

1

1 .

Etapa locală, Olt 2010, prof. Daniela Taclit 51. Fie triunghiul ABC în care M şi N sunt mijloacele segmentelor (AB), respectiv (AC), iar AD ⊥ BC, D ∈ (BC). Ştiind că triunghiul MND este isoscel, să se arate că triunghiul ABC este isoscel.

Etapa locală, Teleorman 2010 52. În triunghiul ABC avem m('ABC) = 2m('ACB) şi AB = 8 cm. a) Dacă lungimea segmentului BC este exprimată printr-un număr natural, să se determine câte valori poate lua BC.

b) Dacă AB = n, unde n ∈ ℕ*, să se determine lungimea segmentului [BC], atunci

când poate avea o singură valoare. În această situaŃie care este natura triunghiului ABC?

Etapa locală, Vaslui 2010, prof. Niculai Solomon 53. Se consideră triunghiul ABC cu AB = AC şi m('BAC) = 40°. Punctele S şi T se află pe laturile AB, respectiv BC, astfel încât m('BAT) = m('BCS) = 10°. Dreptele AT şi CS se intersectează în punctul P. DemonstraŃi că BT = 2PT.

Etapa judeŃeană 2010 54. În triunghiul isoscel ABC, cu AB = AC, bisectoarea unghiului 'B intersectează latura AC în punctul B' şi există egalitatea BB' + B'A = BC. DeterminaŃi măsurile un-ghiurilor triunghiului ABC.

Etapa naŃională, Iaşi 2010 55. În triunghiul ABC, m('ACB) = 100°. Ştim că pe latura AB se poate alege un punct P şi pe latura AC se poate alege un punct Q, astfel încât să avem BC = BP, QC = = QP şi AP = AQ. Cât este măsura celui mai mic unghi al triunghiului?

Etapa locală, Covasna 2011 56. Pe latura [BC] a triunghiului echilateral ABC se consideră un punct oarecare M. Prin M se construiesc paralelele MP şi MN la laturile AC, respectiv AB, P ∈ [AB], N ∈ [AC]. a) Dacă AM şi PN se intersectează în punctul O, arătaŃi că 2AO = PC. b) Dacă PC intersectează AM şi MN în S, respectiv T, iar m('MPN) = 90°, de-monstraŃi că 3MT = NC.

Etapa locală, Sibiu 2010, Gorj 2011

57. Fie triunghiul ABC şi punctele D şi E astfel încât D ∈ (AB), E ∈ (AC) şi =BD

AD

AE

CE= . Paralela prin E la BC intersectează AB în F. DemonstraŃi că:

a) segmentele AB şi DF au acelaşi mijloc; b) mijloacele segmentelor AB, AC şi DE sunt coliniare.

Etapa locală, NeamŃ 2011

50

58. Se consideră triunghiul isoscel ABC (AB ≡ AC) cu m('A) = 40° şi fie N ∈ [BC] astfel încât m('BAN) = 10°. Notăm cu M simetricul lui B faŃă de AN şi cu P simetri-cul lui M faŃă de BC. DemonstraŃi că patrulaterul BMCP este romb.

Etapa locală, Vâlcea 2011, G.M. 1/2011 59. Considerăm triunghiul ABC, dreptunghic în A, în care m('C) = 30° şi punctele M,

N, P pe laturile (AB), (BC) respectiv (AC), astfel încât AM = AB3

1, BN = BC

3

1 şi

AC3

2CP = . ArătaŃi că triunghiul MNP este echilateral.

Etapa locală, Sălaj 2011, G.M. 3/2010

60. În triunghiul ABC cu m('A) ≠ 90° şi AB < AC < BC considerăm D ∈ (BC) şi E ∈ ∈ (BC), astfel încât 'BAD ≡ 'C şi 'CAE ≡ 'B. ArătaŃi că: a) AD2 = DB ⋅ EC; b) AB2 ⋅ CE = AC2 ⋅ BD.

Etapa locală, Argeş 2011, prof. Sorin Peligrad 61. Fie (BM) şi (CN) medianele unui triunghi oarecare ABC. Prelungim medianele cu segmentele (MP) ≡ (BM) şi (NQ) ≡ (NC). ArătaŃi că: a) A, P şi Q sunt coliniare; b) QBCP este trapez; c) dacă în patrulaterul AQBC măsura unghiului 'C este o treime din suma măsuri-lor unghiurilor 'B, 'Q şi 'A, atunci AQBC este dreptunghi.

Etapa locală, Harghita 2011, prof. Doina Ionescu 62. Fie un triunghi ABC, cu m('BAC) > m('ABC) > m('BCA). Se consideră puncte-le D ∈ (BC) şi E ∈ (AC), aşa încât 'DAC ≡ 'ABC şi 'ABE ≡ 'EBC. Dacă DE || AB şi [AD] ≡ [CE], demonstraŃi că: a) m('BAC) = 90°; b) [CD] ≡ [AB].

Etapa locală, Botoşani 2011, prof. Ioan łicalo 63. În triunghiul ascuŃitunghic ABC, AB < AC, fie AD ⊥ BC, D ∈ (BC). Pe semi-dreapta (AD, dincolo de D, se iau punctele P şi Q astfel încât DP = BD, DQ = = CD. DemonstraŃi că CP ⊥ BQ.

Etapa locală, Bihor 2011, G.M. 11/2010 64. Se consideră triunghiul ABC, în care m('A) = 20° şi m('C) = 40°. Mediatoarea laturii (BC) intersectează dreapta AB în N, iar mediatoarea segmentului (AN) intersec-tează AC în E. DeterminaŃi măsura unghiului 'BEN.

Etapa locală, Buzău 2011 65. Fie ABC un triunghi isoscel obtuzunghic (m('A) > 90°), AM perpendiculară pe AB, M ∈ [BC], CP perpendiculară pe AM, P ∈ AM, MN perpendiculară pe SC, N ∈ ∈ [AC] şi CQ perpendiculară pe AB, Q ∈ AB. ArătaŃi că: a) MC este bisectoarea unghiului 'NMP; b) [AQ] ≡ [CN] ≡ [CP]; c) triunghiurile AQC şi BPC au arii egale.

Etapa locală, Dolj 2011

91

3b32 =⇒− ⇒ b = 3.

12. k3

c

4

b

2

a

c3

1b

4

14

b

2

a

===⇒

⋅=⋅

=⇒ a = 2k; b = 4k; c = 3k ⇒ a3 + b3 + c3 = k3(23 + 43 + 33) =

= k3 ⋅ 99§9.

13. abcdef0a9abcdef ⇔⋮ pătrat perfect divizibil cu 2

0a9 ⇒ e = f = 0 ⇒ 2

a9abcd⋮ , dar

902 = 8100 ≤ 2

a9 ≤ 992 = 9801 ⇒ a ∈ {8, 9}. I. a = 8 ⇒ 2

a9 = 982 = 9604 iar bcd8abcd = ⇒

⇒ 9604 ≠ bcd8 . II. a = 9 ⇒ 992 = 9801 = bcd9 ⇒ 980100abcdef = .

14. 4z

zx

3y2

y4

1x2

x2

+

+=

+=

+;

3y2

y4

1x2

x2

+=

+⇔ 4xy + 6x = 8xy + 4y ⇔ 4xy + 4y = 6x ⇔

⇔ 4y(x + 1) = 6x ⇔ y = 2x2

x3y

)1x(4

x6

+=⇔

+∈ ℕ ⇔

2x2

x32

+

⋅∈ ℕ ⇔

)1x(2

66x6

+

−+∈ ℕ ⇔

⇔ )1x(2

6

)1x(2

)1x(6

+−

+

+∈ ℕ ⇔ 3 –

1x

3

+∈ ℕ ⇔ x + 1 | 3 ⇔ x + 1 ∈ {1, 3} ⇔ x ∈ {0, 2}.

I. x = 0 ⇒ y = 0; z = 0; II. x = 2 ⇒ y = 24

6

+⇒ y = 1 ⇒

32

4

4z

z2

+=

+

+⇒ (2 + z) ⋅ 5 = 4 ⋅ (z +

+ 4) ⇒ 10 + 5z = 4z + 16 ⇒ z = 6.

15. abc192 ∈ ℕ arătăm că =++ c)2b)(1a( pătrat perfect; 192000 ≤ abc192 ≤ 192999. Extra-

gem rădăcina pătrată şi obŃinem 438,... ≤ abc192 ≤ 439,... ⇒ 192abc 439= ; ridicăm la pă-

trat ⇒ 721abc = ⇒ a = 7, b = 2, c = 1 ⇒ 229841c)2b)(1a( ==++ .

16. a) a, b, α, β ∈ ℚ*. Ştim: ba β+α ∈ ℚ*, (1) ⇒ ba

1

β+α∈ ℚ* ⇒

ba

ba22 β−α

β−α∈

∈ ℚ*, dar α2a – β2b ∈ ℚ* ⇒ ba β−α ∈ ℚ*, (2). Adunând şi apoi scăzând relaŃiile (1) şi (2)

⇒ a2α ∈ ℚ* şi b2β ∈ ℚ* ⇒ a şi b ∈ ℚ; b) Aplicând punctul a) pentru a = b = 1 ⇒

22 kn,12n...321 ++⋅⋅⋅⋅ ∈ ℚ ⇒ 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ ... ⋅ n + 12 şi n2 + k2 sunt pătrate perfecte. Dacă n

> 4 ⇒ U(1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ ... ⋅ n) = 0 ⇒ U(1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ ... ⋅ n + 12) = 2 ⇒ 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ ... ⋅ n + 12 nu este pă-trat perfect ⇒ n ≤ 4. Verificând, doar n = 4 convine ⇒ 16 + k2 = pătrat perfcet ⇒ k1 = 0 şi k2 = 3.

17. Aplicăm formula radicalilor compuşi: 1322

1113

2

11133413 −=

−−

+=− ; b =

352

2228

2

222830028 −=

−−

+=−= ; a = +

+=+=−+

2

241241125

132

24+=

−+ ⇒ 3

2

bama =

+= .

92

18. n = 207:S

10042008

2007

− ; S = 1 + 3 + 5 + ... + 2007 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + 2007 +

+ 2008 – (2 + 4 + 6 + ... + 2008) = =++++−⋅

)1004...321(22

200920081004 ⋅ 2009 –

=⋅

−2

100510041004 ⋅ 2009 – 1004 ⋅ 1005 = 1004(2009 – 1005) = 10042 ⇒ n =

= =

− 2007:

1004

10042008

200710032006 20072007 = ∈ ℕ;

19. 2007

1

y

1

x

1=+ ⇒ y + x =

2007

xy⇒ x

2007

x1y −=

− ⇒ y =

2007

2007xx

−⇒ y =

2007x

x2007

−⇒

⇒ y = 2007x

2007x20072007 22

−

−+⇒ y = 2007 +

2007x

2233 24

−

⋅∈ ℕ ⇒ x – 2007 | 34 ⋅ 2232 ⇒ x –

– 2007 ∈ {1, 3, 32, 33, 34, 223, 3 ⋅ 223, 32 ⋅ 223, 33 ⋅ 223, 34 ⋅ 223, 2232, 3 ⋅ 2232, 32 ⋅ 2232, 33 ⋅ 2232, 34 ⋅ 2232} ⇒ 15 perechi de numere naturale verifică egalitatea.

20. bacc)ba(abc +=+= . Ridicăm la pătrat şi obŃinem: (a + b)2 ⋅ c = c2 ⋅ (a + b) ⇒ a +

+ b = c ⇒ abccabcccabc 3 ⇒=⇒= = cub perfect ⇒ abc ∈ {53, 63, 73, 83, 93} ⇒ abc ∈

∈ {125, 216, 343, 512, 729}, dar a + b = c ⇒ rămâne doar abc = 729.

21. a) Dacă ar exista r ∈ ℚ astfel încât 1)73,1r)(3|r(| =+− ⇒ r + 1,73 ≠ 0 ⇒ |r| – =3

73,1r

1

+= ⇒ 3 ∈ ℚ fals!; b) 0)73,1r)(3|r(| =+− ⇒ |r| – 3|r|03 =⇒= ⇒ r = 3± ;

r + 1,73 = 0 ⇒ r = –1,73 > 3− ⇒ r = 3− .

22. )2009y(5

)52045(

)549(

2009x2010

2010

2009+⋅

+=

−

−; (x – 2009) ⋅ 52010 = 2009)549( − ⋅ [52010 ⋅

⋅ ])549( 2010+ ⋅ (y + 2009); (x – 2009) = )2009y)(549()]549)(549[( 2009 ++⋅+− ; x –

– 2009 = (81 – 80)2009 ⋅ )2009y)(549( ++ ⇒ x – 2009 = 9y + 9 ⋅ 2009 + y ⋅ 4 5 2009+ ⋅

⋅ 4 5 (x 9y 10 2009) 5(4y 2009 4) x 9y 10 2009⇔ − − ⋅ = + ⋅ ⇔ − = ⋅ şi y + 2009 = 0 ⇒ y =

= –2009 şi x = 38 171.

23. x = a2k468856)251158(5 nn =+=+⋅=++⋅+ , dar a = 4k + 2, care nu este pă-

trat perfect, singurele pătrate perfecte fiind de forma 4k şi 4k + 1. DemonstraŃi!

24. 10]abc[ = , a + b + c = 10 ⇒ abc = 109.

25. A = 2(1 + 2 + 3 + ... + 2008) = 2 ⋅ =⋅

2

200920082008 ⋅ 2009; B =

2009

2008...

5

4

4

3

3

2

2

1⋅⋅⋅⋅⋅ ⇒

⇒ B = 2009

1⇒ 120092008

2009

1200920092008B2009A −⋅=⋅−⋅=− .

93

26. =−

⋅

−++

2008

2009

20092009

3

)51227(

)549(

2)549( ⋅

−

+++

2009

20092009

)8081(

)549(2)549(

=−

⋅2

2008

0092009

3

)549(3 2009 2009 2009(9 4 5) (1 2) 3 (9 4 5) (81 80) 9 9+ + ⋅ ⋅ − = − ⋅ = ; b) n4 – 4p =

= k2; (n2 + k)(n2 – k) = 4p ⇒

=−

=+

2kn

p2kn2

2

; prin însumare ⇒ 2n2 = 2(p + 1) ⇒ p = (n – 1)(n +

+ 1), dar p prim ⇒

=+

=−

p1n

11n⇒ n = 2, p = 3.

27. a = =−++

+++++

210272818

8,16,1...6,04,02,0=

−++

+++++

22 )25()24(

)98...321(10

2

==−++

⋅

9

9

)2524(52

109

1

⇒ A = 1.

28. x = 53315155 +++−− ; x = 531528 ++− ; x = ++− 3)35( 2

5+ ; x = 52x;53|35| =++− ⇒ x2 = 20 ⇒ x4 = 400.

29. a) x = 22484)22(284 2 −−⋅+=+−⋅+ ; x = =−+ )22)(22(2

=−= )24(2 2; y = 121342312 =+−=−+−+− (am raŃionalizat numitorii frac-

Ńiilor date) ⇒ 212xy =⋅= ; b) n ∈ ℕ ⇔ 24ab

24ab

−

+∈ ℕ şi

24ab

24ab

−

+= k2 ⇔ ab ∈ {25, 26,

30, 40}.

30. a) 49694 =+−+ ; b) a = 3

2

)1004...321(3

)1004...321(2=

++++

++++⇒

4

9a 2 =− ; c) A ∈ ℕ ⇔

⇔ x

5323 ⋅⋅∈ ℕ ⇔ 2

3

kx

532=

⋅⋅⇔ x ∈ {30, 120}; A ∈ ℚ – ℕ ⇔ x = 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ p2, p > 2 ⇒

⇒ x = 270; x = 23 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ t2, t > 1 ⇒ x = 480.

31. a) S = 99

1

98

1...

4

1

3

1

3

1

2

1−++−+− ; S =

99

1

2

1− ; b) =

+

198

2S2

198

101∈ ℚ.

32. A =

−

−

41

2009y

41

2009x, dar

2009

1

y

1

x

1=+ ⇒ y =

2009x

x2009

−

⋅⇒ A =

= =⋅

−

−⋅

−

41

12009

2009x

x2009

41

)2009x(=

−⋅

+−−

)2009x(41

)2009x2009x2009)(2009x(2

2

=41

2009

= 49 = 72.

33. a = =−

+−

90

yyx

90

xxy 10x y x 10y y x 10(x y) x y

90 90 9

+ − + − + + += = ∈ ℕ* ⇔ (x, y) ∈

∈ {(1, 8); (2, 7); (3, 6); (4, 5); (5, 4); (6, 3); (7, 2); (8, 1)}.

94

34. =−

−+−−+

1a2

)22()23()23( 222

=−

=−

−++−+

1a2

4

1a2

222323

1a2

2

−= ∈ ℤ ⇒ 2a – 1 ∈ {–2, –1, 1, 2} | + 1 ⇔ 2a ∈ {–1, 0, 2, 3} | : 2 ⇒ a ∈ {0, 1}; A =

= {0, 1}.

35. A = =⋅

−⋅

++−+−20092010

2009

20102009

2010...

6

2

6

3

2

1

2

2+−+−

3

1

2

1

2

11

2010

1

2009

1... −++ ⇒ 0 < A = 1

2010

11 <− ; b) =⋅

−=⋅ 2010

2010

11A2010

20102010

12010⋅

−= ; 43 < 452010444412010 <<⇔<− ⇔ 1936 < 2010 < 2025 (A) ⇒

⇒ 43]A2010[ =⋅ .

36. 99...5312

1++++

; 1 + 3 + 5 + ... + 99 = 1 + 2 + 3 + 4 + ... + 99 – (2 + 4 + ... + 98) =

= −⋅

2

100992 ⋅ =

⋅

2

504950(99 – 49) = 502 ⇒ 1250

2500 1250

1 12

2 2−= = .

37. Aflăm ultima cifră a numărului de sub radical şi arătăm astfel că numărul nu este pătrat

perfect, deci radicalul lui ∈ ℝ – ℚ ⇒ =++++ )12006ab...1ab0ab(U U(0 + 1 + 2 + ... +

+ 2006 + 1) = =

+

⋅1

2

20072006U U(1003 ⋅ 2007) + 1 = 2, deci numărul de sub radical nu

este pătrat perfect.

38. a) |x1 – x2| = |x2 – x3| = |x3 – x1| = k, k ∈ ℝ+ ⇒ x1 – x2 = ±k = x2 – x3; x3 – x1 = ±k. Adunând

aceste relaŃii, obŃinem: x1 – x2 + x2 – x3 + x3 – x1 = k (±1±1±1) ⇒ 0 = k ⇒ x1 = x2 = x3; b) Dacă y1 – y2 = y4 – y1, avem următoarele subcazuri: 1) y2 – y3 = y3 – y4 ⇒ y2 + y4 = 2y3 ⇒ ⇒ y1 = y3 (F); 2) y2 – y3 = y4 – y3 ⇒ y2 = y4 (F). Dacă y1 – y2 = y1 – y4 ⇒ y2 = y4 (F). În toate cazurile este fals, deoarece y1 ≠ y2 ≠ y3 ≠ y4 ⇒ cerinŃa.

39. a) E = 7x

|22||53||21||35||31|

−

−+−+−+−+−=

7x

3

7x

2253123513

−=

−

−+−+−+−+−= ∈ ℤ ⇔ x – 7 ∈ {–3, –1, 1, 3} | + 7 ⇒

⇒ x ∈ {4, 6, 8, 10. 40. Ultimele 2 cifre ale numărului n = 1 ⋅ 2 ⋅ ... ⋅ 2010 + 2010 sunt 1 şi 0 deoarece 1 ⋅ 2 ⋅ ... ⋅ ⋅ 2010 se termină în cel puŃin două zerouri; 100 | 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ ... ⋅ 2010, dar 100 2010|/ ⇒ n nu

este pătrat perfect ⇒ n ∈ ℝ – ℚ.

41. a1 = 10121001111 =+ ⇒ 8 este prima zecimală; U(11n + 1001) = 2 ⇒ 11n + 1001 nu

este pătrat perfect, (∀) n ∈ ℕ ⇒ an ∉ ℚ.

42. U(6n + 5n2 + 7) = U(6 + {0, 5} + 7) = 3 sau 8 ⇒ 6n + 5n2 + 7 nu este pătrat perfect ⇒

95

⇒ 7n56 2n ++ ∈ ℝ – ℚ.

43. a) =−

−=

−

−2

2

)13(

)23(

324

347

2

13

13

32332

13

32

|13|

|23| −=

−

−+−=

−

−=

−

−; b) Aplicăm

inegalitatea mediilor:

2

12009x22009x2

2

12008x22008x2

2

1x2x2

++≤+

++≤+

+≤

. Se adună relaŃiile ⇒ +++ 2008x2x2

2010x32

4020x62009x2 +=

+≤++ .

44. )3n(E3)n(E33 −>− , E(x) = x + 3; 33n33n33 −−>−− ; )31(n)13(3 −>− ;

)13(3)31(n −−>−− ; 013);13(3)13(n >−−−>− ⇒ n > –3 ⇒ n ∈ {–2, –1}.

45. 2010 + a2 = ab + bc + ca + a2 = a(b + a) + c(b + a) = (a + b)(a + c); 2010 + b2 = (b + a)(b +

+ c); 2010 + c2 = (c + a)(c + b) ⇒ =++++++ )cb)(ca)(cb)(ba)(ca)(ba( |a + b| ⋅ |b + c| ⋅

⋅ |a + c) ∈ ℚ.

46. U(19n+1 + 74n+1) = U(9n+1 + 4n+1); dacă n = 2k ⇒ U(92k+1 + 42k+1) = U(9 + 4) = 3; dacă n = = 2k + 1 ⇒ U(92k+2 + 42k+2) = U(1 + 6) = 7 (ultima cifră a puterilor lui 9 şi 4 se repetă din 2 în 2) ⇒ 19n+1 + 74n+1 nu este pătrat perfect.

47. A = =−

+−

+−

990

2ab2

990

ba2b

990

a2ab

990

2ba10200ba20b100a2b10a100 −+++−+++−++=

3

2ba

990

)2ba(110 ++=

++= ∈ ℕ ⇔ a + b + 2 = pătrat perfect = M3 şi cum a şi b sunt cifre

⇒

=++

≤++≤

++

p.p2ba

192ba3

2ba|9

⇒ a + b + 2 = 9 ⇒ a + b = 7. Pentru a < b ⇒ (0, 7), (1, 6), (2, 5), (3, 4).

48. 10 ab bc

10 82c a

⋅− + = ⇔ 92

a

bc

c

)ba10(10=+

+⇔ 92

a

bc

c

b10a100=+

+⇔ =+

a

bc

c

0ab

= 92 | +1 ⇔ 93a

bc1

c

b10a100=++

+⇔ 93

a

bc

c

c

c

b10a100=++

+⇔ 93

a

bc

c

abc=+ |+100 ⇔

⇔ 193a

bc

a

a100

c

abc=++ ⇔ 193

a

abc

c

abc=+ ⇔ ac193)ca(abc =+ , dar 193 = număr prim ⇒

⇒ abc193abc ⇒⋮ ∈ {193; 193 ⋅ 2; 193 ⋅ 3; 193 ⋅ 4; 193 ⋅ 5} ⇒ abc ∈ {193, 386, 579, 772,

965}. Prin verificări găsim o singură soluŃie 386abc = . Pentru 386abc = ⇒ 386 ⋅ 9 = 3 ⋅ 6 ⋅ 193 deci soluŃie.

49. 2k4)ba(114baab =++=++ , dar 2 ≤ a + b ≤ 18 | ⋅ 11 ⇒ 22 ≤ 11 ⋅ (a + b) ≤ 198 | +4 ⇒

⇒ 26 ≤ 11 ⋅ (a + b) + 4 ≤ 202 ⇒ 11 ⋅ (a + b) + 4 ∈ {36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196} |

141

isoscele ⇒ [A1B] ≡ [A1C] şi [C1B] ≡ [C1A]. Deci A1B1, B1C1 şi A1C1 sunt linii mijlocii în tri-unghiul ABC. A1B1 || AB, A1C1 || AC, B1C1 || BC ⇒ ∆A1B1C1 ~ ∆ABC.

„c” Dacă ∆A1B1C1 ~ ∆ABC ⇒ m('B1A1C1) = m('BAC) = 2

)C(m)B(m +; m('A1B1C1) =

= m('ABC) = 2

)C(m)A(m +⇒ 2m('A) = m('B) + m('C); 2 m('B) = m('A) + m('C) ⇒

⇒ m('B) = m('C) = m('A) ⇒ ∆ABC echilateral. 299. a) Fie m('CBM) = x. Atunci m('AMN) = 2x şi m('BNP) = 3x. Şi acum m('NBM) = 60° – x. Unghiul 'BMA exterior ∆BMC ⇒ m('BMA) = = 60° + x ⇒ m('BMN) = m('BMA) – m('AMN) = = 60° – x ⇒ m('NBM) = m('BMN) = 60° – x ⇒ ⇒ 'NBM ≡ 'BMN ⇒ ⇒ ∆NBM isoscel cu baza BM, [MN] ≡ [NB], (1); b) Fie Q ∈ (CA astfel încât CQ = 2 ⋅ AC.

În ∆CBQ, [BA] mediană med.T.R⇒ ∆CBQ dreptunghic; m('CBQ) = 90° şi unghiul 'BCA comun

triunghiurilor PCM şi QCB, rezultă conform cazului de asemănare (U.U.) ∆PCM ~ ∆QCB ⇒

QB

PM

BC

MC

QC

PC== ⇒

2

1

QC

BC

PC

MC== ⇒ 'CQP ≡ 'CBM ⇒ m('CQP) = x. Fie O ∈ (QP) astfel

încât [OQ] ≡ [OP]. În triunghiurile dreptunghice QBP şi QPM, cu ipotenuza QP comună, [OB] şi [OM] sunt mediane ⇒ [OB] ≡ [OM], (2) ⇒ ∆BOM isoscel. În ∆BON şi ∆MON avem: [ON]

≡ [ON], [BN] ≡ [MN] (din (1)), [OB] ≡ [OM] (din (2)) L.L.L

⇒ ∆BON ≡ ∆MON ⇒ 'BON ≡ ≡ 'MON, rezultă (ON bisectoarea unghiului 'BOM şi cum ∆BOM isoscel ⇒ ON ⊥ BM. Fie {T} = PN ∩ BM şi {S} = PQ ∩ BM ⇒ m('BTN) = m('QSM) = 120° – 2x ⇒ ∆PST isoscel cu [PS] ≡ [PT]. Perpendiculara din P pe baza TS taie ON într-un punct dacă T ≠ S, fiind bisectoa-rea unghiului 'NPO, ceea ce contrazice ON ⊥ BM. Rezultă T = S şi punctele P, T, N, O, Q sunt coliniare; T ∈ [BM], cu [BT] ≡ [MT], PT mediană şi înălŃime în PBM, rezultă ∆PBM isoscel, [PB] ≡ [PM]; m('BPM) = m('PMC) + m('PCM) (teorema unghiului exterior) ⇒

⇒ m('BPM) = 150°. În ∆BPM, m('CPM) = =°−°

=−°

2

150180

2

)MPB(m18015°.

30. Ducem CM || BF. În ∆BDF, [BC] ≡ [CD], CM || BF m.l.T.R

⇒ m.l.T.R

⇒ CM linie mijlocie ⇒ CM = 2

BF. În ∆ECM, [AE] ≡

≡ [AC], AF || CM m.l.T.R

⇒ AF linie mijlocie ⇒ AF = 2

CM,

CM = 2

BF⇒ AF =

4

BF⇒ BF = 4AF;

AB = BF – AF = 4AF – AF = 3AF.

Q A M C

B

P

O N T=S

3x

2x

30°

E

F

M

B C D

A

142

31. a) ∆ABC, m('A) = 90°, [BM] ≡ [MC] ⇒ AM mediană med.T⇒

⇒ [AM] ≡ [BM] ≡ [MC] = 2

BC. În ∆AMC, [MA] ≡ [MC], (1) ⇒

⇒ ∆AMC isoscel ⇒ 'MAC ≡ 'MCA. Din DE || AC şi AE secantă ⇒ ⇒ 'MED ≡ 'EAC (alterne interne). Din DE || AC şi DC secantă ⇒ ⇒ 'MDE ≡ 'DCA (alterne interne) ⇒ 'MDE ≡ 'MED ⇒ ∆MDE isoscel ⇒ [MD] ≡ [ME], (2). În ∆MDA şi ∆MCE avem: [MA] ≡ [MC], (1), 'AMD ≡ 'EMC

(opuse la vârf), [MD] ≡ [ME] (2) L.U.L

⇒ ∆MDA ≡ ∆MEC ⇒ AD ≡ CE. În ADEC, DE || AC, [AD] ≡ [CE] ⇒ ADEC trapez isoscel; b) În ∆ABD, m('ADB) = 90° ⇒ m('BAD) = m('C); (AM bisectoarea 'DAC ⇒ m('DAM) = = m('MAC) = m('C) ⇒ m('A) = 3 m('C) ⇒ 3 m('C) = 90° ⇒ m('C) = 30°. În ∆ADC,

m('ADC) = 90°, m('DCA) = 30° 2

ACAD

30.T=⇒

°

⇒ AC = 2AD. În ∆ADC, AM bisectoarea

'DAC 2

1

AD2

AD

AC

AD

MC

DMbis.T===⇒ ⇒

2

1

MC

DM= ;

SAU: ∆ABM echilateral, AD ⊥ BM ⇒ [AD mediană ⇒ DB = MD = 2

CM

2

BM= ⇒ =

MC

MD

2

1= ; c) ABFM romb ⇒ [AB] ≡ [AM]. În ∆ABC, m('A) = 90°, [BM] ≡ [MC] ⇒ [AM] ≡

≡ [BM] ⇒ ∆ABM echilateral ⇒ m('BAM) = 60°; ABFM romb, m('BAM) = 60°, AD bisec-toare ⇒ m('BAD) = m('DAM) = m('MAC) = 30°, dar m('MAC) = m('MCA) ⇒ ⇒ m('MCA) = 30°. 32. Luăm punctul M ∈ [BC], astfel încât m('AMD) = 30°. În

∆ADM, m('ADM) = 90°, m('AMD) = 30° 2

AMAD

30.T=⇒

°

, dar

AD = 4 ⇒ AM = 8 cm. În ∆ACM, m('ACM) = 75°, m('AMC) = = 30° ⇒ m('CAM) = 75° ⇒ ∆AMC isoscel ⇒ MA = MC, MA =

= 8 ⇒ MC = 8, BC = 16 ⇒ MC = MB = 2

BC⇒ AM =

2

BC

med.T.R⇒ ∆ABC dreptunghic ⇒ m('CAB) = 90°.

33. a) CE bisectoarea 'C ⇒ 'ACE ≡ 'ECD. În ∆CAE şi ∆DGC avem: m('CAE) = m('CDG) = 90°, 'ACE ≡ 'GCD ⇒ 'AEC ≡ ≡ 'CGD, dar 'AGE ≡ 'CGD (opuse la vârf) ⇒ 'AGE ≡ 'AEG ⇒ ⇒ ∆AGE isoscel ⇒ [AG] ≡ [AE]; b) Din AD ⊥ BC şi EF ⊥ BC ⇒ AG || EF. În ∆CAE şi ∆CFE avem:

m('CAE) = m('CFE) = 90°, 'ACE ≡ 'ECF şi [CE] ≡ [CE] .U.I

⇒ ⇒ ∆CAE ≡ ∆CFE ⇒ [AE] ≡ [EF] şi [AE] ≡ [AG] ⇒ [AG] ≡ [EF], dar AG || EF ⇒ AGFE paralelogram, dar [AG] ≡ [AE] ⇒ AGFE romb. 34. În ∆ABC, m('B) = 45°, m('C) = 75° ⇒ m('A) = 60°, dar (AD bisectoarea 'A ⇒ m('BAD) = m('DAC) = 30°. În ∆ADC, m('DAC) = 30°, m('ACD) = 75° ⇒ m('ADC) = 75° ⇒ ∆ADC isoscel ⇒

F

B

A C

E

M

D

C

A E B

F

D

G

A

E

F

B D C

M

A

C B D M

143

⇒ AD = AC = 8, AM = MD = 2

AD⇒ AM = MD = 4. În ∆AEF, m('AEF) = 90°, m('EAF) =

= 60° ⇒ m('AFE) = 30°. În ∆AMF, m('MAF) = m('MFA) = 30° ⇒ ∆AMF isoscel ⇒ [MA] ≡ ≡ [MF], [MA] ≡ [MD] ⇒ [MF] ≡ [MD] ⇒ ∆MDF isoscel. În ∆AEM, m('AEM) = 90°, m('EAM) = 30° ⇒ m('AME) = 60°. Dar 'AME ≡ 'DMF (opuse la vârf) ⇒ m('DMF) = 60°. În ∆MDF isoscel, [MD] ≡ [MF], m('DMF) = 60° ⇒ ∆MDF echilateral ⇒ DF = MF = MD = 4. 35. În ∆AFC, [AM] ≡ [MC], [AB] ≡ [BF] ⇒ MB linie mijlocie

⇒ MN || FC. În ∆AFE, [AB] ≡ [BF], BN || FE m.l.T

⇒ BN = 2

FE.

În ∆AEC, [AM] ≡ [MC], NM || EC m.l.T

⇒ MN = 2

EC, dar

[BN] ≡ [MN] ⇒ [FE] ≡ [EC]. În ∆AFC, [AB] ≡ [BF], [FE] ≡

≡ [EC] ⇒ BE linie mijlocie m.l.T

⇒ BE || AC, BE = 2

AC⇒ BE ||

|| AM, [BE] ≡ [AM] ⇒ BEMA paralelogram. 36. a) ∆ABC, [AB] ≡ [AC], [AD] mediană ⇒ AD ⊥ BC, AD bisectoa-rea 'BAC; (AD bisectoarea 'BAC ⇒ 'BAD ≡ 'DAC; (DM bisectoarea 'ADC ⇒ m('ADM) = m('MDC) = 45°. În ∆ADC, DM bisectoare

.tsecbi.T⇒

DC

AD

MC

AM= . În ∆NDA şi ∆ADC avem: m('DNA) =

= m('ADC) = 90°, 'NAD ≡ 'DAC U.U

⇒ ∆NDA ~ ∆DCA ⇒ =AD

AN

= DC

ND⇒

DC

AD

ND

AN= . Din

DC

AD

MC

AM= şi

DC

AD

ND

AN= ⇒

ND

AN

MC

AM= ⇒

2

2

2

2

ND

AN

MC

AM= , (1).

În ∆ADB, m('ADB) = 90°, ND ⊥ AB .Î.T

⇒ ND2 = AN ⋅ NB, (2). Din (1) şi (2) obŃinem =2

2

MC

AM

NB

AN

NBAN

AN2

=⋅

= .

b) În ∆ABD, m('ADB) = 90° ⇒ m('ABD) + m('BAD) = 90°, (1). În ∆NBD, m('BND) = 90° ⇒ m('NBD) + m('BDN) = 90°, (2). Din (1) şi (2) ⇒ m('BAD) = m('BDN) ⇒ 'BAD ≡ ≡ 'BDN. Din 'BAD ≡ 'BDN şi 'BDN ≡ 'CDQ (opuse la vârf) ⇒ 'CDQ ≡ 'BAD; 'DMQ unghi exterior ∆ADM ⇒ m('DMQ) = 45° + m('DAM; m('MDQ) = 45° + m('CDQ) ⇒ ⇒ 'DMQ ≡ 'MDQ ⇒ ∆MDQ isoscel. 37. Din ∆ABC, cu [AB] ≡ [AC], AM ⊥ BC ⇒ [AM] mediană ⇒ BM =

= MC = 62

BC= . Din BC = 12, CG = 8 ⇒ BG = 4, BM = 6 ⇒ GM = 2.

Din AB = 15, AE = 5 ⇒ BE = 10.

22

4

GM

BG

25

10

EA

BE

==

==

⇒ Th.T.R

GM

BG

EA

BE⇒= EG ||

|| AM.

A

M

C

F

E

B

N

A

N M

B D C

Q

A

B G M C

E

144

38. În ∆ABC, [AB] ≡ [AC], [BM] ≡ [MC] ⇒ 'B ≡ 'C şi AM ⊥ BC. În ∆BEM şi ∆MDC avem: m('MEB) = m('MDC) = 90°, 'EBM ≡

≡ 'MCD, [BM] ≡ [MC] I.U

⇒ ∆BEM ≡ ∆MDC ⇒ [BE] ≡ [DC] şi

[ME] ≡ [MD]. Din [AB] ≡ [AC] şi [BE] ≡ [DC] ⇒ Th.T.R

AC

AD

AB

AE⇒=

Th.T.R⇒ ED || BC. Din [AE] ≡ [AD], [ME] ≡ [MD] şi AM ⊥ DE ⇒

⇒ AEMD romb ⇒ ME || AC şi ME ⊥ AB ⇒ AC ⊥ AB ⇒ ∆ACB dreptunghic. 39. În ∆ABF, [AM] ≡ [MB], [BE] ≡ [EF] ⇒ ME linie mijlocie ⇒ ME ||

|| AF şi ME = 2

AF. În ∆BNF, [BE] ≡ [EF], EP || NF ⇒ PE linie mijlocie

⇒ PE = 2

NF, (1). În ∆MEC, [EF] ≡ [FC], NF || ME ⇒ NF linie mijlo-

cie ⇒ NF = 2

ME, (2). Din (1) şi (2) ⇒ ME = 4PE ⇒ MP = 3PE.

40. Luăm punctul M ∈ (QC) astfel încât [MC] ≡ [MQ]. În ∆BQC, [BP] ≡ [PC], [QM] ≡ [MC] ⇒ PM linie mijlocie ⇒ PM || BQ. Din

2

QCQM

2

QCAQ

=

=

⇒ [AQ] ≡ [QM]. În ∆APM, [AQ] ≡ [QM] şi SQ || PM ⇒

⇒ SQ linie mijlocie ⇒ [AS] ≡ [SP]. 41. a) Fie DG ∩ EF = {P}. ∆DGE şi ∆EGP: m('DGE) =

= m('EGP) = 90°, 'DEG ≡ 'GEP şi [EG] ≡ [GE] .U.C

⇒ ∆DEG ≡ ≡ ∆EGP ⇒ [DG] ≡ [GP]. În ∆DPF, [DG] ≡ [GP] şi [DM] ≡ [MF] ⇒ ⇒ GM linie mijlocie ⇒ GM || EF; b) În ∆DEF, [DN] ≡ [NE], [DM] ≡ [MF] ⇒ NM linie mijlocie ⇒

⇒ EF||GM

EF||NM⇒ G, N, M coliniare (conform axiomei lui Euclid).

42. Notăm cu M, N, P mijloacele segmentelor [AB], [DE] respectiv

[AC]. Ducem EF || BC. În ∆ABC, EF || BC Th.T⇒

AE

CE

AF

BF= dar

BD

AD

AE

CE= ⇒

BD

AD

AF

BF= ⇒

BDAD

AD

BFAF

BF

+=

+⇒ =

AB

BF

AB

AD⇒

⇒ BF = AD. Din [AM] ≡ [MB] şi [AD] ≡ [BF] ⇒ [DM] ≡ [MF]. În ∆DFE, [DM] ≡ [MF] şi [DN] ≡ [NE] ⇒ MN linie mijlocie ⇒ MN || || FE || BC. În ∆ABC, [AM] ≡ [MB] şi [AP] ≡ [PC] ⇒ MP linie mijlocie ⇒ MP || BC. Din MN || BC şi MP || BC ⇒ M, N, P coliniare.

43. a) Din

4

AB

2

AMEMAE

2

ABMBAM

===

==

⇒ 3

1

EB

AE= .

A

E D

B M C N

A

M

B E F C

N P

A

Q

M

B P C

S

D

N E'

M

E P F

G

A

B C

F

D

M P

E

N

Q A R

E F

M N

B C

D H

145

Din

4

AC

2

ANFNAF

2

ACNCAN

===

==

⇒ 3

1

FC

AF= . În ∆BAR,

3

1

FB

RF

EB

AE==

Th.T.R⇒ AR || EF, (1).

În ∆CAQ, Th.T.R

3

1

FC

AF

EC

QE⇒== QA || EF, (2). Din (1) şi (2) ⇒ Q, A, R coliniare; b) În ∆AMN,

[AE] ≡ [EM], [AF] ≡ [FN] ⇒ EF linie mijlocie ⇒ EF || MN şi AR || EF ⇒ AR || MN. Din AR || MN şi AN secantă ⇒ 'RAF ≡ 'FND (alterne interne). În ∆ARF şi ∆DFN avem: 'RAF ≡

≡ 'FND, [AF] ≡ [FN] şi 'AFR ≡ 'DFN (opuse la vârf)U.L.U

⇒ ∆ARF ≡ ∆DFN ⇒ [RF] ≡ [DF] ⇒ ⇒ D simetricul lui R faŃă de F. Din congruenŃa ∆AEQ şi ∆MEH obŃinem: [QE] ≡ [EH]. Din

]FD[]RF[3

1

FB

RF

≡

=⇒ [BD] ≡ [DF] şi BF ∩ MN = {D}. Din

]EH[]QE[3

1

EC

QE

≡

=⇒ [QH] ≡ [HC] şi

MN ∩ CQ = {H}. 44. Notăm AD ∩ CE = {M}. În ∆ACE, 'CAM ≡ 'MAE şi AM ⊥ CE ⇒ AM bisectoare şi înălŃime ⇒ ∆ACE isoscel ⇒ [AC] ≡ [AE] şi [CM] ≡ [ME]. În ∆DMC şi ∆DME avem:

m('DMC) = m('DME) = 90°, [CM] ≡ [ME] şi [DM] ≡ [DM] C.C⇒ ∆DMC ≡ ∆DME ⇒ [DC] ≡

≡ [DE]; b) În ∆ACE, m('CAE) = 90° şi [AC] ≡ [AE] ⇒ ∆ACE dreptunghic isoscel ⇒ ⇒ m('ACE) = m('AEC) = 45°. În ∆BCE, [CE] ≡ [EB] ⇒ m('ECB) = m('EBC), (1). 'CEB unghi exterior ∆ACE ⇒ m('CEB) = 135°, (2). Din (1) şi (2) ⇒ 2 m('EBC) = 45° ⇒ ⇒ m('EBC) = 27°30'; m('ACB) + m('ABC) = 90° ⇒ m('ACB) = 62°30'. 45. Fie DM || AB, M ∈ [AC] şi DN || AC, N ∈ [AB] ⇒ AMDN paralelo-

gram, [AM] ≡ [DM], [AM] ≡ [DN]; DM || AB A.F.T

⇒ ∆CDM ~ ∆CDM ⇒

⇒ AB

MD

AC

CM

CB

CD== . Din

AB

MD

CB

CD= ⇒ CD ⋅ AB = CB ⋅ MD, (1).

DN || AC A.F.T

⇒ ∆BDN ~ ∆BCA ⇒ CA

DN

BA

BN

BC

BD== .

Din CA

ND

BC

BD= ⇒ AC ⋅ BD = BC ⋅ ND, (2). Adunăm relaŃiile (1) şi (2) membru cu membru ⇒

⇒ AB ⋅ CD + AC ⋅ BD = BC(MD + ND) dar MD + NC = AC > AD ⇒ AB ⋅ CD + AC ⋅ BD > > BC ⋅ AD. RelaŃia AB ⋅ CD = AC ⋅ BD ≥ BC ⋅ AD dacă D = B sau D = C. 46. Fie E ∈ [AB] astfel încât AE = EB. În ∆ASB,

m('S) = 90°, [SE] mediană med.T⇒ SE =

2

AB, (1).

În ∆ATB, m('T) = 90°, [TE] mediană med.T⇒ TE =

2

AB, (2).

În ∆ADB, m('D) = 90°, [DE] mediană med.T⇒ DE

2

AB= , (3).

Din (1) şi (2) ⇒ [SE] ≡ [TE] ⇒ ∆EST isoscel cu baza [ST].

A

B D C

M N

B

D E

A C

S

T M

N G

F

76

CUPRINS

ALGEBRĂ

MULłIMEA NUMERELOR REALE (ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ) ......................................................... 3

I. MulŃimea numerelor întregi (ℕ ⊂ ℤ) .............................................................................. 3

II. MulŃimea numerelor raŃionale ........................................................................................ 5

III. MulŃimea numerelor reale .......................................................................................... 13

IV. Calcul algebric ............................................................................................................ 22

V. InegalităŃi. IdentităŃi .................................................................................................... 28

VI. EcuaŃii şi inecuaŃii ...................................................................................................... 37

GEOMETRIE

I. Triunghiul. ProprietăŃi ale triunghiurilor. Triunghiuri asemenea ................................ 43

II. Patrulatere. ProprietăŃi ................................................................................................. 51

III. Arii .............................................................................................................................. 64

SOLUłII

Algebră ............................................................................................................................. 76

Geometrie ....................................................................................................................... 132