Ingineria Reglarii Automate

UNIVERSITATEA DIN BACĂU FACULTATEA DE INGINERIE

IULIAN FLORESCU PUIU GABRIEL

REGLARE ADAPTIVĂ

ŞI OPTIMALĂ

NOTE DE CURS PENTRU UZUL STUDENŢILOR

Editura ALMA MATER Bacău 2007

2

Tiparul executat sub comanda nr... UNIVERSITATEA din BACĂU Str. Spiru Haret nr. 9 Bacău

UNIVERSITATEA BACĂU Apărut în anul 2007

3

PREFAŢĂ

Odată cu celelalte discipline ştiinţifice, mecanica fluidelor s-a dezvoltat rapid în ultimul timp, numeroasele cercetări efectuate lărgind mult cunoştinţele asupra comportării fluidelor, cât şi a numeroaselor probleme a căror rezolvare depinde de cunoaşterea acestora. Paralel a crescut şi numărul aplicaţiilor în diverse ramuri ale tehnicii moderne, pentru a căror dezvoltare cunoaşterea fenomenelor specifice fluidelor a devenit indispensabilă.

Lucrarea este rezultatul activităţii didactice şi ştiinţifice a autorului, profesor doctor inginer în cadrul Catedrei de Energetică, Mecatronică şi Ştiinţa Calculatoarelor şi se bazează pe concepţia unitară de predare a acestei discipline în toate universităţile tehnice din ţară.

Această lucrare încearcă să dea o prezentare a problemelor reprezentative ale disciplinei, precum şi modulspecifi de rezolvare a lor.

Lucrarea cuprinde pe întinderea a 12 capitole probleme ale mecanicii fluidelor şi o anexă cu aplicaţiiale principalelor capitole . Majoritatea capitolelor au un conţinut teoretic pronunţat cu demonstraţii relativ simple şi punctate cu exemple tehnice aplicative.

Lucrarea se adresează în primul rând studenţilor facultăţilor cu profil mecanic şi energetic şi are ca scop aprofundarea şi consolidarea sub aspect teoretic şi aplicativ a cunoştinţelor legate de echilibrul sau mişcarea diferitelor tipuri de fluide. Totodată oferă soluţii ştiinţifice pentru alegerea unor subiecte de cercetare aprofundată şi este folositoare specialiştilor din industriile de profil.

Autorii

4

_______________________________________________________________________________________________

5

Cuprins

Capitolul 1. Introducere 1.1. 1.2. 2.1. 2.2. 2.2.1. 2.2.2. 2.2.3. 2.2.4. 2.2.5. 2.3. 2.3.1. 2.3.2. 2.4. 2.5. 2.5.1. 2.5.2. 3.1. 3.2. 3.2.1. 3.2.2. 3.2.3. 3.3. 3.3.1. 3.3.2. 3.3.3. 3.4. 3.4.1. 3.5. 3.6.

Generalităţi Caracterul informaţiei apriorice Capitolul 2. Sisteme adaptive Introducere Sisteme adaptive cu model de referinţă (SAMR) Introducere Urmărirea modelului Metoda gradientului (Regula MIT) Proiectarea SAMR pe baza teoriei stabilităţii Procedura generală de sinteză a SAMR Sisteme adaptive cu identificarea modelului (sisteme adaptive cu autoacordare - SAA) Regulatoare cu autoacordare indirectă Regulatoare cu autoacordare directă Reglarea adaptivă cu reacţie după stare Probleme ale implementării algoritmilor adaptivi Implementarea estimatorului Implementarea regulatorului Aplicaţii Capitolul 3 Sisteme cu structură variabilă Utilitatea sistemelor cu structură variabilă Regimuri dinamice în sistemele cu structură variabilă Regimurile dinamice ale unui obiect liniar de ordinul II Regimul de comutare cu structură variabilă Regimul de alunecare în sistemele cu structură variabilă Mişcarea liberă în sistemele cu structură variabilă Conducerea proporţională cu abaterea Conducerea proporţionala cu abaterea şi derivatele ei Conducerea proceselor integro-diferenţiatoare Mişcarea forţată în sistemele cu structură variabilă Analiza şi sinteza unui sistem de ordinul II în regim forţat Sisteme extremale multivariabile Optimizarea structurii, parametrilor şi programului

7 10 12 21 22 24 27 28 30 31 33 34 37 38 39 43 45 46 47 49 52 54 54 57 59 60 60 66

6

3.6.1. 3.7. 3.7.1. 3.7.2. 3.7.3. 4.1.

sistemele automate moderne Optimizarea parametrică Exemple de sisteme optimale şi adaptive Exemple de sisteme optimale Exemple de sisteme optimale adaptive Exemple de sisteme adaptive Capitolul 4 Siguranţa în funcţionare a sistemelor Noţiuni fundamentale ale teoriei statistice a siguranţei în funcţionare Capitolul 5 Lucrări de laborator Mediul de simulare matlab-simulink; bibliotecile Standard simulink Biblioteca power system blockset. Elemente, facilităţi, utilizare Simularea unui circuit redresor şi filtru lc Modelarea şi simularea sistemelor electromecanice Simularea unui braţ manipulator Bibliografie

67 68 71 71 73 74 76 78 82 89 89 95 101 106 112

7

Capitolul 1. Introducere 1.1. Generalităţi În general, cunoscându-se caracteristicile mecanice ale maşinii şi motorului se pot

studia regimurile tranzitorii mecanice ale sistemului (pornire, frânare, reversiune), prin rezolvarea ecuaţiei mişcării. Relaţiile M = f(t, c1) şi n = f(t, c2), în care c1 şi c2 sunt constante determinate din condiţiile iniţiale, cum şi relaţia duratei procesului tranzitoriu t = f(M, Ms, n,

2GD ), servesc atât la alegerea corecta a motoarelor, şi a schemei lor de comanda, cât şi a metodelor de reducere a consumului de energie în timpul pornirii, frânării sau reglării vitezei (fapt important în special la acţionările de mare putere cu reglaj des al vitezei, cum şi la cele cu funcţionare intermitentă).

La determinarea parametrilor regimului staţionar al acţionarii se foloseşte caracteristica mecanică totală, obţinută prin însumarea caracteristicilor mecanice ale motorului sau maşinii. Condiţiile de stabilitate rezultă:

la n>nregim, 0<dtdn si Mtot<0

la n<nregim, 0>dtdn si Mtot>0

sau la Mtot <0 se obţine funcţionarea stabilă

la Mtot >0 se obţine funcţionarea instabilă

unde dMdn

β = este coeficientul de rigiditate, definit ca derivata cuplului în raport cu timpul în

fiecare punct al caracteristicii mecanice. Rigiditatea caracteristicii diferă atât la maşinile de lucru, cât şi la maşinile de antrenare. Astfel motoarele electrice au caracteristici absolut rigide ( β → ∞ , pentru motorul sincron), rigide ( 0β < , pentru motorul în derivaţie şi motorul asincron), suple ( 0β > , pentru motorul la care viteza variază apreciabil).

Aşadar, - pentru asigurarea stabilităţii - motoarele de acţionare trebuie să aibă, la viteza de regim şi cuplu de date, caracteristici mecanice de forma corespunzătoare caracteristicii mecanice a maşinii. Astfel, de exemplu, la acţionările electrice cu caracteristici mecanice rigide ( maşini-unelte de prelucrare prin aşchiere, etc.) se folosesc motoare asincrone cu rotor în colivie, motoare derivate şi motoare sincrone, iar la cele cu caracteristici mecanice suple (tracţiune, maşini de ridicat), - motoare serie.

La baza alegerii puterii motoarelor stau diagrame de sarcina Ms = f(t) ale maşinii asincrone; corectitudinea alegerii se verifica prin calculul uniformităţii încărcării, al întârzierii, la capacităţii de suprasarcina, al cuplului de pornire, etc. Încălzirea motorului depinde de regimul de funcţionare al maşinii, care poate fi în regim de durata, în care temperatura motorului atinge o valoare de regim; regim de scurtă durată, în care temperatura motorului atinge o valoare admisibila şi în timpul pauzei motorul se răceşte pana la temperatura mediului ambiant; regim intermitent, cu porniri şi opriri frecvente, în care temperatura motorului nu atinge o valoare de regim şi pauza nu e suficientă pentru ca motorul să se răcească până la temperatura mediului ambiant (de ex. la ascensoare şi macarale). Pentru serviciul de durata şi cu sarcina constantă sau puţin variabilă, puterea motorului trebuie să corespundă sarcinii maşinii antrenate. Pentru serviciu

8

de durată şi cu sarcină variabilă, puterea motorului electric se determină, de obicei, considerând curentul echivalent, adică un curent care ar produce aceleaşi pierderi şi aceeaşi încălzire ca şi curentul real absorbit, a cărui expresie este:

Ie = ∑

∑k

kk

ttl 2

în care Ik este curentul real absorbit de motor în timpul tk, conform diagramei de sarcina I= fn(t), iar tk e durata totală a ciclului de variaţie a sarcinii; uneori se foloseşte şi cuplul echivalent

Me =∑

∑k

kk

ttM 2

sau puterea echivalentă

Pe =∑

∑k

kk

ttP 2

unde Mk şi Pk sunt cuplul şi puterea corespunzătoare duratei tk. Pentru serviciile de scurtă durată sau intermitent, puterea motorului se determina pe baza curentului echivalent sau a pierderilor reale, ultima metoda fiind recomandată la acţionări cu circa 600...800 de conectări pe oră.

Acţionările se clasifică după posibilitatea de variaţie forţată a vitezei în: - acţionări nereglabile, la care viteza nu poate fi modificată prin comenzi manuale

sau automate de trecere a motorului de la funcţionarea pe caracteristica naturală, corespunzătoare vitezei nominale, pe o caracteristică artificială, corespunzătoare noii viteze de regim.

- acţionări reglabile, la care viteza poate fi modificată. La acţionările neelectrice, viteza se reglează, de obicei, prin intermediul lanţului cinematic (transmisiunea); la acţionări electrice moderne, viteza se realizează prin modificarea parametrilor electrici ai motorului. Ca motoare electrice în acţionările reglabile se folosesc în special motorul derivaţie de curent continuu, la care reglajul se realizează prin variaţia rezistenţei rotorice, a fusului de excitaţie sau a tensiunii de alimentare, şi motorul asincron trifazat cu inele colectoare, la care reglajul se realizează prin varierea rezistenţei rotorice, schimbarea numărului de poli, modificarea frecvenţei de alimentare.

Sistemele tehnice moderne, cum sunt vehiculele, maşinile de ridicat şi de transport, maşinile-unelte de prelucrare a metalelor, maşinile din industria textilă, a hârtiei, etc. reclamă

acţionări reglabile, cu calităţi deosebite în ce priveşte intervalul de reglaj al vitezei ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

min

max

nn

,

continuitatea reglajului, randamentul reglajului, variaţia cuplului admisibil în intervalul de reglaj,

etc. Astfel, la maşinile-unelte de aşchiere e necesar un raport 1/40...1/4min

max =nn

, iar la unele

laminoare 1/20...1/100min

max =nn

; de asemenea, laminoarele puternice, rabotezele, frezele, maşinile

de ridicat, etc. reclamă un număr cât mai mare de trepte de viteza într-un interval anumit de viteze, adică o cat mai mare continuitate a reglajului.

Sistemele moderne de reglaj în acţionările electrice au permis obţinerea unor performanţe însemnate. Astfel, alimentarea motorului derivaţie cu tensiune variabilă de la un generator propriu (grupul generator-motor) permite un interval de reglaj total până la 120/1, renunţarea la elementele mecanice de comandă, o mare continuitate a reglajului, pierderi mici de

9

energie, etc.; în prezent, la motoarele de curent continuu s-au mărit intervalul de reglaj al vitezei, rapiditatea acţiunii şi randamentul acţionării prin alimentarea de la mutatoare ionice comandate.

Motoarele de curent alternativ nu permit un interval prea mare de reglare al vitezei şi nici o continuitate a comenzii ca grupul generator- motor, dar sunt mai simple constructiv şi mai economice în exploatare. Rezultate mai bune în aceasta privinţă dau motoarele asincrone cu frecvenţă variabilă ( alimentate prin convertizoare) sau schemele cu motoare asincrone cuplate în carcasă.

După comportarea în serviciile tranzitorii cauzate de perturbaţii sau de comenzi, acţionările se clasifică în modul următor :

- acţionarea static stabilă, la care sistemul revine în starea iniţială de serviciu staţionar, după ce a încetat perturbaţia pe care a suferit-o.

- acţionare dinamic stabilă, la care sistemul trece dintr-o stare de serviciu staţionar în alta, serviciul tranzitoriu fiind de durată finită şi aperiodic sau oscilatoriu amortizat.

Transmisiunea, care e mecanismul prin intermediul căruia se comunică mişcarea de la motorul de antrenare la sistemul tehnic antrenat, poate fi : mecanică, dacă cuprinde elemente rigide, flexibile sau elastice ; hidraulică sau pneumatică, dacă cuprinde şi elemente fluide ; electrică, dacă cuprinde şi elemente sau dispozitive electomagnetice sau electronice.

Echipamentul de comandă permite stabilirea unui anumit regim de funcţionare : pornirea, frânarea, reversiunea, reglarea vitezei, etc. Comenzile manuale sau automate se exercită asupra sursei de alimentare cu energie, asupra parametrilor motorului sau transmisiunii. Comanda poate fi realizată prin mijloace mecanice, pneumatice, hidraulice sau electrice. Acţionările electrice moderne au comandă electrică automată, care se realizează prin: automatizarea în circuit deschis, folosind un aparataj cu relee şi contactoare ( cea mai răspândită în prezent); automatizarea în circuit închis, folosind maşini electrice amplificatoare, care permit comandă continuă; automatizarea iono-electronică, folosind mutatoare ionice şi tuburi electronice.

La alegerea sistemului de comandă trebuie să se ţină seama de următoarele criterii : - condiţiile proprii ale acţionării (durata pornirii, acceleraţiile maxime admisibile,

frecvenţa pornirilor, indicii reglajului de viteză, felul frânării, durata frânării, exactitatea opririi),

- condiţiile de emitere a impulsiilor de comandă (amplasarea postului de impuls, gradul de automatizare, mijloacele de semnalizare, etc.), condiţiile de protecţie şi de siguranţă a funcţionării, ( dispozitive de protecţie contra funcţionării nepotrivite, protecţia la depăşirea valorilor limită ale parametrilor cinematici, blocarea contra comenzilor greşite),

- condiţiile de funcţionare în ansamblul procesului de producţie ( legăturile funcţionale între mecanisme, automatizarea complexă). În al treilea rând, pornind de la scopul adoptat şi luând în considerare restricţiile

impuse, trebuie elaborată şi realizată soluţia care asigură optimizarea, respectiv permite obţinerea celui mai bun sistem – în conformitate cu criteriul de comparaţie stabilit – în condiţiile date. Această clasă de probleme ocupă o poziţie centrală în cazul optimizării.

Optimizarea sistemelor automate are o mare importanţă practică, deoarece permite cea mai raţională şi eficientă utilizare a elementelor şi ansamblurilor fabricate curent de industrie pentru a fi folosite în componenţa sistemelor automate. Aceste elemente, de regulă tipizate, sunt supuse unor restricţii, iar prin intermediul optimizării se obţine cel mai bun sistem posibil cu elementele respective, care sunt astfel folosite la capacitatea lor maximă . Această soluţie, reprezentând folosirea optimă a unor elemente realizate printr-o tehnologie relativ simplă şi

10

ieftină, este mult mai avantajoasă din punct de vedere tehnico-economic decât o soluţie care ar prevedea realizarea unor elemente deosebit de perfecţionate şi supuse în mai mică măsură limitărilor, deoarece pentru asemenea elemente tehnologia ar fi complicată şi preţul de cost ar creşte considerabil.

Prezenta lucrare îşi propune să trateze principalele categorii de sisteme automate care permit realizarea optimizării şi anume sistemele adaptive şi optimale. Întrucât studiul acestor sisteme implică larga folosire a unui aparat matematic dezvoltat, iar realizarea practică a sistemelor menţionate necesită rezolvarea unor numeroase probleme tehnice, în lucrare sunt tratate ambele aspecte – matematic şi tehnic. Pentru a fi cât mai utilă atât cercetătorilor teoreticieni, cât şi inginerilor, în unele cazuri nu mai sunt prezentate demonstraţiile matematice, iar în alte cazuri sunt simplificate detaliile tehnice, făcându-se trimiterile corespunzătoare la literatura de specialitate.

1.2. Caracterul informaţiei apriorice.

Un sistem automat realizează o anumită dependenţă dorită între mărimile sale de ieşire şi de intrare. În cazul optimizării sistemului, acesta este astfel proiectat încât să fie asigurată o funcţionare optimă în conformitate cu criteriul de calitate ales.

În proiectarea unui sistem automat se porneşte de la un ansamblu de date iniţiale, care cuprind caracteristicile instalaţiei tehnologice supuse automatizării şi ale semnalelor care acţionează din exterior, precum şi performanţele impuse sistemului proiectat; ca rezultat al proiectării se obţine blocul regulatorului automat, respectiv se obţin caracteristicile, structura şi valorile parametrilor acestui bloc.

Datele iniţiale referitoare la instalaţia tehnologică şi semnalele care acţionează din exterior asupra sistemului automat formează informaţia apriorică referitoare la sistem (denumită uneori şi informaţie iniţială). În funcţionarea sistemului are loc măsurarea unor mărimi, rezultatele acestor măsurări determinând modul de acţionare a sistemului automat ( de exemplu, în sistemele de reglare mărimea de ieşire este permanent măsurată şi transmisă prin intermediul reacţiei principale la elementul de comparaţie); datele obţinute prin măsurarea anumitor mărimi în cursul funcţionării sistemului formează informaţia curentă .

În unele cazuri din practică sunt cunoscute cu un grad de precizie suficient de ridicat caracteristicile instalaţiei tehnologice şi ale semnalelor care acţionează din exterior asupra sistemului; aceste caracteristici pot fi deci formulate matematic, sub formă deterministică sau sub formă statistică. În asemenea cazuri, informaţia apriorică este completă (sau suficientă).

În alte cazuri, anumite caracteristici ale instalaţiei sau semnalelor nu sunt cunoscute, datorită faptului că nu sunt constante, ci variază în timp, sau datorită complexităţii instalaţiei; de exemplu, factorul de amplificare al instalaţiei tehnologice poate fi modificat în limite largi de acţiunea unor perturbări parametrice, sau pot avea loc modificări ale caracteristicilor statistice ale mărimii de intrare a sistemului. În asemenea cazuri, informaţia apriorică este incompletă (sau insuficientă).

Dacă informaţia apriorică este completă, atunci proiectarea blocului de reglare poate include stabilirea pentru acest bloc a unui program de funcţionare care să asigure un extrem al criteriului de calitate ales, în condiţiile restricţiilor existente; acest program este introdus încă de la realizarea blocului de reglare, prin intermediul structurii şi parametrilor acestui bloc. Sistemele automate din această categorie sunt denumite sisteme optimale. Dacă informaţia apriorică este incompletă, datorită variaţiilor neprevăzute ale caracteristicilor instalaţiei tehnologice sau ale semnalelor exterioare atunci pentru blocul de

11

reglare nu poate fi stabilit un program fix de funcţionare, ci este necesar să se introducă elemente suplimentare cu rolul de a determina modificări ale caracteristicilor regulatorului care să compenseze modificările neprevăzute ale caracteristicilor instalaţiei tehnologice sau ale semnalelor exterioare. Asemenea sisteme automate sunt denumite sisteme adaptive şi au rolul de a asigura o funcţionare optimă a sistemului în condiţiile variaţiilor neprevăzute menţionate. După modul în care este formulat criteriul de apreciere a funcţionării optime, pot fi deosebite diferite raporturi în care se găsesc sistemele optimale şi adaptive. Într-una din variante, blocul de reglare este proiectat astfel încât să asigure o valoare extremă a unui criteriu de calitate – cu respectarea unor restricţii existente – pentru anumite caracteristici ale instalaţiei tehnologice sau ale semnalelor exterioare, sistemul fiind deci un sistem optimal; în plus, sunt prevăzute elemente suplimentare de adaptare care sesizează variaţia caracteristicilor instalaţiei tehnologice, sau a caracteristicilor unor semnale aplicate din exterior, şi determină modificări corespunzătoare ale caracteristicilor blocului de reglare, astfel ca funcţionarea sistemului în ansamblu să asigure şi în aceste condiţii un extrem al criteriului de calitate ales, cu respectarea simultană a restricţiilor impuse. În acest caz, sistemul automat este un sistem optimal cu adaptare, pentru care în prezenta lucrare va fi folosit termenul sistem optimal adaptiv. Într-o a doua variantă, sunt introduse în calcul numai variaţiile arbitrare ale caracteristicilor instalaţiei tehnologice sau ale semnalelor aplicate din exterior, fără să fie considerate şi anumite restricţii impuse, limitările existente fiind de asemenea de natură încât importanţa lor pentru funcţionarea sistemului este mult mai redusă decât influenţa variaţiilor neprevăzute ale caracteristicilor. În aceste cazuri, în componenţa sistemului sunt prevăzute elemente de adaptare, care determină asemenea modificări ale caracteristicilor blocului de reglare încât funcţionarea optimă a sistemului este menţinută în condiţiile variaţiilor neprevăzute menţionate, aceste variaţii ale caracteristicilor instalaţiei tehnologice sau ale semnalelor fiind compensate de modificările caracteristicilor blocului de reglare; sistemele automate respective vor fi denumite sisteme adaptive. Funcţionarea optimă a sistemelor adaptive poate fi apreciată în unele cazuri prin obţinerea unei valori extreme a unui criteriu ales, sistemele respective fiind denumite sisteme optimale; aceste sisteme pot fi încadrate într-o singură clasa împreună cu sistemele optimale cu adaptare menţionate anterior. În alte cazuri, funcţionarea optimă a sistemelor adaptive este apreciată prin satisfacerea unor condiţii a căror formulare matematică nu se exprimă explicit sub forma atingerii unui extrem. Într-o a treia variantă, instalaţia tehnologică este caracterizată în regim staţionar de existenţa unei dependenţe neliniare între mărimile de ieşire şi de intrare ale instalaţiei, dependenţă care prezintă un extrem ale cărui coordonate se modifică sub influenţa unor perturbări; pentru instalaţiile tehnologice cu o singură mărime de intrare xm şi o singură mărime de ieşire xe, modificarea coordonatelor extremului corespunde deplasării caracteristicii xe=f(xm) în planul xe, xm. În asemenea cazuri, criteriul de optim pentru funcţionarea sistemului constă în menţinerea mărimii de ieşire la valoarea extremă xe extr, în condiţiile variaţiilor neprevăzute ale coordonatelor extremului şi deci ale valorii xe extr. Asemenea sisteme, denumite sisteme extremale, sunt caracterizate prin acţiunea de căutare a valorii extreme a mărimii de ieşire; în unele cazuri, mărimea de ieşire este o mărime fizică măsurată prin intermediul unui traductor (de exemplu, temperatura dintr-o instalaţie de ardere ), în alte cazuri această mărime nu este măsurată direct, ci este un indice care se obţine cu ajutorul unui element de calcul (de exemplu, un randament, un preţ de cost etc.).

12

Unii autori includ sistemele extremale în categoria sistemelor adaptive, alţi autori consideră că aceste sisteme formează o categorie separată. Sistemele adaptive şi extremale au o proprietate comună şi anume modificarea arbitrară a caracteristicii instalaţiei tehnologice sub acţiunea unor perturbări. În ipoteza definirii sistemelor adaptive în modul menţionat anterior, sistemele extremale nu se pot încadra în categoria sistemelor adaptive, deoarece la sistemele extremale deplasarea neprevăzută a caracteristicii neliniare a instalaţiei tehnologice nu este compensată printr-o modificare a caracteristicilor blocului de reglare, ci determină numai modificarea semnalelor emise de acest bloc. Dacă pentru sistemele adaptive se admite o definiţie mai largă decât cea anterioară – în sensul că prin sistem adaptiv se înţelege nu numai un sistem în care caracteristicile blocului de reglare sunt modificate automat pentru a se asigura o funcţionare optimă în condiţiile unor variaţii neprevăzute ale caracteristicilor instalaţiei tehnologice sau ale unor semnale externe, ci se înţelege un sistem la care caracteristicile blocului de reglare sau semnalele emise de acesta se modifică în scopul şi condiţiile menţionate – atunci sistemele extremale pot fi incluse în categoria sistemelor adaptive. În prezenta lucrare va fi adoptată definiţia mai largă a sistemelor adaptive, deci cu includerea sistemelor extremale. După cum se constată din prezentul paragraf, noţiunile de sistem optimal şi sistem adaptiv sunt strâns legate între ele: sistemele optimale realizează o optimizare în condiţiile unei informaţii apriorice complete, iar sistemele adaptive asigură o optimizare în condiţiile unei informaţii apriorice incomplete, deci în cazul unui anumit grad de incertitudine existent iniţial. Pentru compensarea faptului că informaţia apriorică este incompletă în sistemele adaptive informaţia curentă este mai bogată decât în sistemele cu informaţie apriorică completă. Această sporire a informaţiei curente se realizează prin operaţii de identificare a caracteristicilor instalaţiei tehnologice sau ale semnalelor externe; în conformitate cu rezultatele operaţiilor de identificare, sunt modificate caracteristicile blocului de reglare sau semnalele emise de acest bloc, deci este modificat algoritmul de funcţionare al blocului de reglare. Semnalele transmise în cadrul unui sistem adaptiv au astfel un caracter dual: ele pot avea atât rol de comandă, cât şi rol de identificare.

Capitolul 2. Sisteme adaptive

2.1. Introducere

Sistemele adaptive reprezintă o nouă categorie de sisteme de conducere caracterizate prin capacitatea de a compensa modificările structurale sau parametrice ale obiectului condus prin modificări corespunzătoare ale structurii sau ale parametrilor algoritmului de conducere. Este cunoscut faptul că structurile convenţionale de reglare/conducere sunt performante în măsura în care informaţia iniţială despre procesul condus (inclusiv informaţii asupra mărimilor exogene) este cât mai completă. Regulatoarele robuste sunt proiectate pe baza unui model matematic precizat şi o clasă de incertitudini bine definită.

În condiţiile în care informaţia iniţială despre proces este redusă, modelul matematic ce caracterizează procesul şi mărimile exogene este incomplet, neliniar şi variant în timp, apare în mod natural cerinţa adoptării unor noi concepte de conducere a procesului, care să includă funcţii suplimentare. Astfel, într-un sistem adaptiv, se regăsesc funcţiile:

13

- de completare a informaţiei despre proces şi mărimile exogene; - de proiectare on-line a strategiei de conducere, având la bază un

model matematic sau informaţia cât mai completă despre proces; - de elaborare a comenzii, în concordanţă cu cerinţele de

performanţă impuse. Sistemele adaptive au avut o evoluţie spectaculoasă în ultimii 40 de ani, începând cu anii

1960, când s-a definit capacitatea unui regulator de a modifica parametrii de acord. Primele regulatoare adaptive au fost concepute pentru aplicaţii în domeniul aviaţiei.

Rezultate semnificative în cercetarea sistemelor adaptive au fost obţinutei în deceniul al 7-lea. Astfel. s-a fundamental teoria controlului dual, s-au dezvoltat proceduri recursive de

identificare şi estimare a parametrilor, s-au formulat principii recursive în controlul adaptiv. Evoluţia sistemelor adaptive în ultimii 20 de ani este strâns legată de evoluţia structurilor cu

microprocesoare capabile să implementeze proceduri avansate de conducere, inclusiv proceduri adaptive. Din punct de vedere conceptual, sistemele adaptive au cunoscut o dezvoltare semnificativă în ultimii ani ai secolului al XX-lea. Astfel, au fost elaborate proceduri de proiectare a sistemelor adaptive pe baza teoriei stabilităţii şi biperstabilităţii, au fost dezvoltate noi metode de proiectare robustă a sistemelor şi noi proceduri robuste de estimare în timp real a parametrilor, în ultimii ani, a fost finisată o largă clasă de proceduri de proiectare a sistemelor adaptive, asigurând robusteţe soluţiilor şi o reală implementatalitate.

Au fost dezvoltate noi concepte de conducere adaptivă robustă multimodel şi au fost propuse soluţii viabile pentru conducerea în timp real a unor procese complexe caracterizate prin modele neliniare.

Cele mai multe sisteme adaptive de conducere pot fi grupate în două mari grupe: - sisteme adaptive în circuit deschis (feedforward adaptive controllers); - sisteme adaptive în circuit închis (feedback adaptive controllers). Structura generală a unui sistem adaptiv cu adaptare în circuit deschis este prezentată

în figura 2.1.

Fig.2.1

Adaptarea structurii sau/şi a parametrilor regulatorului se realizează în funcţie de mărimile exogene w (referinţe, perturbaţii) măsurabile. Pentru a realiza adaptarea în buclă

14

deschisă, se impune a fi cunoscută influenţa semnalelor externe măsurabile asupra comportării procesului şi a buclei de reglare.

Din această categorie de sisteme adaptive fac parte structurile de conducere cu „planificarea amplificării" (gain scheduling), aplicate în conducerea avioanelor. în cadrul acestor structuri, factorul de amplificare al regulatorului se proiectează în avans pentru semnalele măsurabile care descriu condiţiile de funcţionare cu aproximaţie şi semnalele externe, care se modifică lent în comparaţie cu dinamica procesului.

Procedura poate fi extinsă şi pentru regulatoare cu mai mulţi parametri de acord. Parametrii calculaţi pentru anumite condiţii de funcţionare sunt memoraţi sub forma de tabele şi pot fi utilizaţi atunci când condiţiile de funcţionare sunt identice sau apropiate cu cele pentru care au fost calculaţi prin proiectare.

Avantajul esenţial al acestor structuri de sisteme adaptive este reacţia rapidă la modificările procesului, întrucât comportarea procesului este cunoscută înainte şi nu se identifică pe baza măsurărilor efectuate asupra intrărilor şi ieşirilor din proces.

Ca dezavantaj ai acestor structuri se menţionează faptul că se neglijează semnalele nemăsurabile şi numărul mare al parametrilor ce trebuie memoraţi pentru a acoperi cât mai multe condiţii de funcţionare.

Cea de a doua categorie de sisteme adaptive (cea mai utilizată) are la bază principiul reacţiei, iar legea de reglare adaptivă se determină pe baza informaţiilor ce definesc comportarea procesului. Structura generală a unui astfel de sistem adaptiv este prezentată în figura 2.2.

Fig.2.2

Informaţia măsurabilă din proces este folosită pentru a construi un model comportamental al procesului, iar pe baza acestuia se proiectează noua strategie de conducere. în acest caz, regulatorul adaptiv îşi modifică on-line structura sau parametrii în funcţie de modelul obţinut şi în concordanţă cu cerinţele de performanţă impuse prin funcţia obiectiv /.

Schema detaliată a unui sistem adaptiv în circuit închis este prezentată în figura 2.3.

15

Fig.2.3

Astfel, în afara reacţiei negative, care are rolul de a asigura satisfacerea performanţelor pentru informaţii apriorice date despre proces, este inclusă o nouă buclă de adaptare care, pe baza rezultatelor identificării procesului condus sau a întregului sistem, asigură adaptarea comenzii la varianta sau necunoaşterea parametrilor sau/şi a structurii obiectului condus. In acest caz, incertitudinile parametrice sau structurale sunt compensate prin proiectarea on-line a legii de comandă pe baza informaţiilor obţinute prin identificare.

Mecanismul de adaptare în acest caz asigură identificarea procesului şi proiectarea on-line a regulatorului (structură şi/sau parametrii algoritmului de reglare).

În practică, sunt multe procese pentru care modelele matematice ce caracterizează funcţionarea lor sunt modele ce includ incertitudini parametrice şi/sau structurale (roboţi, sisteme energetice, sisteme de navigaţie, procese metalurgice şi chimice, ş.a.).

În cadrul acestui capitol, sunt prezentate două mari categorii de sisteme adaptive: sisteme adaptive cu model de referinţă (SAMR) şi sisteme adaptive cu identificarea modelului procesului (SAIM). Aceste două tipuri de sisteme adaptive fac parte din categoria sistemelor adaptive „NEDUALE" caracterizate prin faptul că regulatorul se proiectează prin minimizarea unui criteriu de performanţă, luând în consideraţie numai valorile prezente şi trecute ale semnalelor din bucla de reglare şi informaţia curentă despre proces, stare sau semnale estimate.

Cele două categorii de sisteme adaptive fac parte din clasa sistemelor adaptive în circuit închis, legea de comandă adaptivă se determină pe baza informaţiilor obţinute despre procesul condus.

Strategia de proiectare a regulatoarelor adaptive neduale este asociată cu principiul separării şi cu principiul echivalenţei certe (certainty equivalence principle).

Principiul separării presupune separarea funcţiilor de identificare şi de elaborare a comenzii adaptive, iar principiul echivalenţei certe presupune că modelul identificat al procesului este cunoscut fără incertitudini.

Structura generală a unui sistem adaptiv cu model de referinţă este prezentată în figura 2 . 4.

16

Modelul de referinţă caracterizează comportarea dorită a sistemului de reglare pentru o clasă dată de intrări. Mecanismul de adaptare în acest caz forţează comportarea SRA spre o comportare impusă, prin alegerea corespunzătoare a modelului de referinţă.

Mecanismul de adaptare asigură proiectarea algoritmului de reglare, asigurând minimizarea unui criteriu de performanţă definit în funcţie de eroare e = y - yM, unde yM este ieşirea modelului de referinţă.

Alegerea modelului de referinţă reprezintă o etapă a fazei de proiectare a sistemului adaptiv, aceasta răspunzând, atât cerinţelor de performanţă impuse de comportarea ideală dorită a întregului sistem, cât şi cerinţelor structurale impuse de particularităţile procesului.

Regulatorul este uzual parametrizat printr-un număr de parametri ajustabili π , operând astfel ca o familie de regulatoare destinată unei clase de procese.

Fig.2.4

Atunci când parametrii procesului sunt exact cunoscuţi, parametrii corespunzători ai regulatorului fac posibil ca ieşirea procesului să fie identică cu ieşirea modelului de referinţă.

Când parametrii procesului nu sunt cunoscuţi, mecanismul de adaptare va ajusta parametrii regulatorului, astfel ca urmărirea asimptotică să fie cât mai exact realizată. Dacă legea de reglare este liniară în parametri ajustabili, spunem că regulatorul este liniar parametrizat. Cele mai utilizate sisteme adaptive sunt proiectate având la bază o parametrizare liniară a regulatorului, aceasta asigurând mecanismului de adaptare stabilitate şi convergenţa urmăririi.

Astfel, mecanismul de adaptare în cadrul sistemelor adaptive cu model de referinţă asigură convergenţa la zero a erorii de urmărire, prin modificarea parametrilor sau structurii regulatorului, cu asigurarea stabilităţii sistemului de reglare. Se poate uşor observa că SAMR arc în componenţă două bucle: o buclă interioară, care este compusă din regulator şi proces şi o buclă exterioară, care ajustează parametrii regulatorului în direcţia anulării erorii de urmărire.

Pentru a compara o structură de SRA cu regulator fix şi cu regulator adaptiv, considerăm un proces de ordinul I şi un regulator proporţional cu două grade de libertate:

( ) ( ) ( ) ( )tutyaty p +∆+=& (2.1)

17

( ) ( ) ( )trtyKtu p +−= (2.2) unde ∆ reprezintă incertitudinea asupra parametrului ap cu valori cuprinse între două limite ∆ m şi M∆ , ( [ ]Mm ∆∆∈∆ , ).

Modelul de referinţă selectat pentru acest SRA este caracterizat prin: ( )tryay mmm +−=& cu am>0 (2.3)

Presupunând că ap este cunoscut, iar incertitudinea ∆ este precizată (∆ ∈ [- 20,10]), se poate obţine KP care asigură robusteţea stabilităţii. Astfel, din (2.1) şi (2.2) rezultă:

( ) ( ) ( ) ( )trtyKaty pp +−∆+=& (2.4) iar condiţia de stabilitate a SRA rezultă:

0<−∆+ pp Ka (2.5) sau

Kp >ap +10. Comportarea în regim staţionar a SRA se poate studia dacă se calculează eroarea

e(t)=y(t)-ym(t) în regim staţionar ( ( )teetst ∞→

= lim ).

Din (2.4) se obţine: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )trtyaKatyaty mppm ++−∆++−=&

sau prin aplicarea transformatei Laplace în condiţii iniţiale nule:

( ) ( ) ( )sYas

aKasR

assY

m

mpp

m ++−∆+

++

=1

Dacă ţinem seama de (2.3) şi (2.4) obţinem eroarea de urmărire:

( ) ( ) ( ) ( )sRKasas

aKasYsYsE

ppm

mppm +∆−−

⋅+

+−∆+=−=

1 (2.6)

În regim staţionar, dacă alegem la limită KP =aw +ap -10 şi considerăm am = l şi

( )s

sR 1= , se obţine:

( )∆−

−∆==

∞→ 1110lim tee

tst

Valoarea maximă a erorii de urmărire se obţine pentru ∆m = -20 (3130

−=ste ), iar

valoarea minimă se obţine pentru A = 10 (est = 0). Astfel, regulatorul fix (2.2) poate fi folosit pentru un domeniu cunoscut al incertitudinii

A şi nu asigură urmărirea asimptotică pentru referinţe diferite de zero. Pentru ap cunoscut şi ∆ = 0 legea de comandă poate fi:

( ) ( ) ( ) ( )trtytKtu p +−= ˆ

iar mpp aaK +=ˆ , ceea ce asigură o ecuaţie a erorii sub forma: ( ) ( )teate m−=& cu ( ) ( ) ( )000 myye −=

În cazul în care ap este necunoscut, legea de reglare nu poate fi implementată deoarece pK este necunoscut. în aceste condiţii, legea de reglare poate avea forma:

18

( ) ( ) ( ) ( )trtytKtu p +−=

unde Kp(t) reprezintă o estimarea a parametrului pK . Dacă introducem notaţia:

( ) ppp KtKK ˆ~ −= atunci ecuaţia erorii de urmărire devine: ( ) ( ) ( )tyKteate pm

~+−=& cu 0≥t (2.7) Pentru e determina legea de variaţie a parametrului Kp(t) care asigură convergenţa

asimptotică la zero a erorii de urmărire, alegem pentru sistemul (2.7) funcţia Liapunov: :

( ) ( ) ( )tKteKeV pp22 ~~, +=

a cărei derivată în timp este

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]tKtKteteKeVdtdV ppp

&&& ~~2~, +== (2.8)

Deoarece Kp este constant şi ţinând seama de (2.7), ecuaţia (2.8) devine: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )tKtKtKtyteteaV pppm

&& ~~2~22 2 ++−=

Stabilitatea asimptotică a sistemului (2.7) se obţine pentru 0<V& , ceea ce implică alegerea legii de ajustare a factorului de proporţionalitate Kp sub forma: ( ) ( ) ( ) 0, ≥−= ttytetK p

& sau

( ) ( ) ( ) ( )00

p

t

p KdyetK +−= ∫ τττ (2.9)

unde Kp(0) este o estimaţie iniţială a parametrului necunoscut Kp. O asemenea lege de ajustare a parametrului Kp asigură ( ) 02 2 <−= teaV m

& , ceea ce asigură stabilitatea sistemului pentru o clasă largă de incertitudini parametrice cu urmărirea asimptotică a modelului de referinţă.

Sistemele adaptive cu model de referinţă sunt definite ca sisteme neliniare şi variante în timp.

Pentru aplicaţii practice, adaptarea poate fi împărţită în trei etape: • compararea comportării sistemului închis cu comportamentul

unui sistem impus prin modelul de referinţă; • calculul parametrilor sau structura regulatorului pe baza legii de

adaptare; • ajustarea regulatorului. Diferenţele între diversele structuri de sisteme adaptive cu model de referinţă sunt

determinate de procedurile de proiectare a legii de adaptare. Sistemele adaptive cu model de referinţă au capacitatea de adaptare rapidă la semnalele

de intrare definite, putând fi proiectate pe baza teoriei stabilităţii sistemelor neliniare. Structura generală a unui sistem adaptiv cu identificarea modelului matematic al

procesului este prezentată în figura 2.5. Sistemele adaptive cu identificarea modelului matematic (SAIM) sunt cunoscute şi sub

denumirea de sisteme adaptive cu autoacordare.

19

În cadrul structurilor SAIM identificăm cu uşurinţă o procedură de identificare a modelului procesului şi o procedură de proiectare on-line a regulatorului.

Aceste sisteme sunt bazate pe principiul separării (echivalenţei certe) şi pe aproximarea că parametrii estimaţi ai modelului sau variabilele de stare sunt identici cu parametrii reali sau variabilele de stare reale ale procesului condus. Parametrii reali ai procesului sau variabilele reale ale acestuia sunt înlocuiţi prin estimaţiile lor obţinute on-line.

Sistemele adaptive cu identificarea modelului pot fi divizate în două clase, în funcţie de tipul modelelor matematice identificate: modele parametrice sau modele neparametrice.

Mecanismul de adaptare din figura 2.5 conţine o procedură de estimare recursivă a parametrilor obiectului condus şi o procedură de proiectare a regulatorului pe baza rezultatelor estimării.

Astfel, se evidenţiază în cadrul acestei structuri o buclă convenţională de reglare ce se constituie într-un prim nivel de reglare şi o buclă de adaptare ce reprezintă cel de-al doilea nivel ierarhic în conducerea procesului.

Parametrii obiectului condus, a cărui structură se presupune cunoscută, se estimează la fiecare moment de timp şi sunt utilizaţi pentru proiectarea parametrilor regulatorului. Comanda se calculează pe baza parametrilor determinaţi şi în funcţie de semnalele funcţionale măsurate yk şi uk.

Dacă se notează prin kθ vectorul parametrilor estimaţi la momentul k şi prin kπ , vectorul parametrilor regulatorului, iar prin kϕ vectorul de regresie ce conţine informaţia funcţională curentă şi trecută, obţinută prin măsurarea variabilelor yk şi uk, un sistem adaptiv cu autoacordare poate fi definit prin relaţiile:

20

( )kkkkk yF ,,ˆˆˆ11 ϕθθθ −− +=

( )kk f θπ ˆˆ = ( 2 . 1 0 ) ( )kkk gu ϕπ ,ˆ=

unde funcţiile F, f şi g definesc proceduri de estimare a parametrilor, de proiectare a algoritmului de reglare şi de elaborare a comenzii.

Estimarea parametrilor poate fi înţeleasă simplu, ca un proces de găsire a unui set de parametri ce filtrează datele de intrare-ieşire disponibile din proces. Pentru procese liniare, există multe tehnici disponibile pentru a estima parametrii necunoscuţi ai procesului.

Există, de asemenea, multe proceduri de proiectare a algoritmilor de reglare pe baza modelului procesului (alocare de poli, PID, regulator liniar pătratic (LQR), minimă varianţă sau tehnici ∞H de proiectare). Prin combinarea diferitelor proceduri de estimare şi de proiectare a legilor de comandă se obţine o mare varietate de regulatoare cu autoacordare (self-tuning).

Pentru modele liniare, regulatoarele sunt parametrizate liniar, iar comanda se generează sub forma:

kTkku ϕπ ⋅= ˆ (2.11)

În cazul în care parametrii regulatorului se obţin prin calcul, pe baza parametrilor estimaţi ai procesului, spunem că avem un sistem adaptiv indirect, deoarece translaţia se face de la parametrii procesului la parametrii regulatorului. Dacă este posibil să se reparametrizeze procesul, astfel încât modelul să conţină parametrii regulatorului, putem realiza un sistem adaptiv direct. În acest caz, se estimează direct parametrii regulatorului, fără a parcurge faza de proiectare a parametrilor algoritmului.

Funcţiile de transfer ataşate procesului condus şi regulatorului sunt parametrizate în kθ şi respectiv, kπ :

( ) nn

mn

P zpzpzbzbzbzH −−

−−−

++++++

=ˆ...ˆ1

ˆ...ˆˆˆ, 11

22

11θ (2.12)

respectiv

(2.13)

Parametrii estimaţi ai procesului definesc vectorul:

[ ]Tnmk aaabbb ˆ...ˆˆˆ...ˆˆˆ2121=θ

iar parametrii regulatorului determinaţi în funcţie de kθ formează vectorul kπ :

[ ]Tnnk pppqqq ˆ...ˆˆˆ...ˆˆˆ 2110=π la iteraţia k.

Relaţiile între parametrii kθ şi kπ sunt definite prin procedura de proiectare, iar comanda uk se generează la fiecare iteraţie în funcţie de rezultatele estimării parametrilor procesului condus.

( ) nn

mn

P zpzpzqzqqzH −−

−−

++++++

=ˆ...ˆ1ˆ...ˆˆˆ, 1

1

110θ

21

În cazul reglării adaptive directe, se determină direct parametrii kπ ai regulatorului printr-o procedură de estimare, dacă se parametrizează procesul în funcţie de kπ . Astfel, se poate include în (2.12) relaţia: ( )kk f πθ ˆˆ 1−= (2.16) dacă funcţia f este inversabilă, iar yk devine: ( )kkk hy ϕπ ,ˆˆ =

Este de remarcat faptul că ambele scheme de reglare cu model de referinţă şi cu autoacordare au în alcătuire două bucle de reacţie. Bucla interioară este o buclă convenţională de reglare, ce cuprinde procesul şi regulatorul, iar bucla exterioară este o buclă de ajustare a parametrilor sau structurii regulatorului având la bază informaţiile funcţionale ale procesului (intrări, ieşiri). Metodele pentru proiectarea buclei interioare şi tehnicile de ajustare a parametrilor sunt diferite pentru cele două scheme de adaptare.

În comparaţie cu SAMR, sistemele cu autoacordare (sistemele adaptive cu identificarea modelului) sunt mai flexibile, datorită posibilităţilor multiple de cuplare a diferitelor metode de estimare şi proiectare a regulatoarelor. Totuşi, stabilitatea şi convergenţa sistemelor cu autoacordare sunt în general dificil a le garanta, adesea impunându-se ca semnalele de excitaţie să fie suficient de puternice pentru a se obţine o estimaţie consistentă.

Parametrii procesului sau ai regulatorului în cadrul structurilor de sisteme adaptive SAMR şi SAIM sunt estimaţi în timp real, iar estimaţiile sunt folosite pentru proiectarea regulatorului sau generarea directă a comenzii, fără a lua în consideraţie incertitudinile estimaţiilor. In multe scheme de estimare este posibil a obţine o măsură a calităţii estimaţiilor şi a folosi aceasta pentru modificarea regulatorului.

Sistemele adaptive sunt inerent neliniare, comportarea lor fiind dificil de analizat. Teoria sistemelor neliniare, teoria stabilităţii, identificarea sistemelor, estimarea recursivă a parametrilor, controlul optimal şi stocastic contribuie Ia înţelegerea sistemelor adaptive.

Astfel, o abordare riguroasă a problematicii (analiza, sinteza) sistemelor adaptive presupune o înţelegere profundă a disciplinelor mai sus menţionate.

Teoria sistemelor adaptive operează cu metode specifice analizei, cât şi cu metode destinate proiectării sistemelor adaptive. Probleme cum sunt stabilitatea, robusteţea şi convergenţa soluţiilor sistemelor adaptive, în strânsă conexiune cu problemele implementării sistemelor adaptive, constituie în continuare teme de cercetare de reală actualitate.

2.2. Sisteme adaptive cu model de referinţă (SAMR) 2.2.1. Introducere În figura 2.6 se prezintă structura standard a unui SAMR. Modelul de referinţă (MR)

defineşte comportarea dorită a SRA pentru o referinţă specificată. Parametrii sau structura regulatorului se modifică în funcţie de eroarea dintre ieşirea y a SRA şi ieşirea yM a modelului de referinţă. Se evidenţiază în această structură bucla de reglare clasică şi o buclă exterioară, care are rolul de ajustare a parametrilor sau a structurii regulatorului.

Mecanismul de adaptare, prin ajustarea parametrilor regulatorului forţează comportarea SRA spre o comportare impusă prin modelul de referinţă. O asemenea abordare sugerează posibilitatea de a utiliza un regulator liniar pentru un model liniar al procesului şi un mecanism de adaptare neliniar care asigură menţinerea performanţelor impuse SRA prin

22

intermediul modelului de referinţă. încât ieşirea măsurată a procesului condus pentru o referinţă dată.

Parametrii π n ai regulatorului sunt ajustaţi direct prin minimizarea criteriului de performanţă ( )efI = ataşat mecanismului de adaptare.

Fig.2.6 Principalele metode de analiză şi sinteză a SAMR sunt: - metoda gradientului; - metoda bazată pe teoria stabilităţii în sens Liapunov; - metoda bazată pe teoria pasivităţii.

2.2.2. Urmărirea modelului Problema sintezei SAMR se reduce în esenţă la asigurarea erorii e = y - yM cât mai

mică posibil, forţând astfel SRA la comportarea impusă de modelul de referinţă. Se poate realiza o urmărire perfectă a modelului de referinţă, asigurând o eroare cât mai aproape de zero pentru toate semnalele de referinţă, eroare care depinde de model, de SRA şi de referinţă.

Minimizarea erorii presupune rezolvarea unei probleme de optimizare a parametrilor regulatorului, astfel încât ieşirea să fie cât mai apropiată de ieşirea dorită a modelului de referinţă. Performanţele dorite ale SRA sunt impuse prin alegerea modelului de referinţă MR.

Pentru un model liniar discret de forma:

kk uqAqBy 1

1

−

−

⋅⋅

= (2.17)

se poate recomanda un regulator liniar descris prin modelul: Ruk=Trk-Syk, (2.18)

23

unde R, S, T sunt polinoame în operatorul q-1. Presupunem că polinoamele A şi B sunt relativ prime, iar modelul (2.17) este propriu (în cazul continuu) sau cauzal (în cazul discret). Admitem ca polinomul A este monic.

Pentru structura de SRA prezentată în figura 2.17 se cere a găsi un mecanism de adaptare care să ajusteze parametrii regulatorului ( tji str ,, ), astfel încât eroarea de urmărire a modelului:

km

mm r

qAqBy 1

1

−

−

⋅⋅

= (2.19)

sa fie minimă în prezenţa incertitudinilor ce caracterizează polinoamele A şi B. Din (2.17) şi (2.18) rezultă ecuaţia:

kk rSBRA

TBy⋅+⋅

⋅= (2.20)

Fig. 2.7

Ţinând seama de (2.19), pentru a obţine răspunsul dorit al SRA cu regulatorul (2.18), AM trebuie să dividă polinomul caracteristic, iar zerourile procesului (date de B = 0) vor fi incluse ca zerouri ale sistemului închis, indiferent dacă pot fi compensate de polii sistemului închis.

Deoarece zerourile instabile sau foarte aproape de cercul unitar nu pot fi compensate, polinomul B se factorizează sub forma

−+= BBB (2.21) unde B+ conţine acei factori ce pot fi compensaţi, iar B- conţine factorii ce nu pot fi compensaţi. Se presupune că B+ este monic şi conţine zerourile stabile.

În aceste condiţii şi ţinând seama că gradul polinomului caracteristic este mai mare decât gradul polinomului AmB+, se include printre divizorii acestuia şi polinomul caracteristic ae al estimatorului de stare.

Astfel, polinomul caracteristic conţine trei tipuri de factori: zerourile stabile ale procesului prin B+ , polii modelului dorit daţi prin polinomul Am şi polii estimatorului daţi prin polinomul ae. În aceste condiţii:

me AaSBAR =+ −11 (2.22)

reprezintă o ecuaţie diofantică. Din această identitate, urmează că B+ divide polinomul R, deci: 1RBR += (2.23) şi ecuaţia (2.22) capătă forma: me AaSBAR =+ −1

1 (2.24) Din (2.20) şi(ll .19) rezultă că B-1 trebuie să dividă Bm: mm BBB ′= − şi, în consecinţă:

24

meBaT ′= (2.25) Condiţiile pentru existenţa soluţiei ecuaţiei diofantice ( 2 . 22) sunt date în

§8.3. Legea de reglare cu două grade de libertate definită prin relaţia (2.18) cu

polinoamele R, S şi T date prin relaţiile (2.23), (2.24) şi (2.25) asigură urmărirea perfectă a modelului de referinţă, dacă sunt îndeplinite condiţiile de compatibilitate pentru obţinerea soluţiei ecuaţiei diofantice (11,22).

2.2.3. Metoda gradientului (Regula MIT)

Procedura de ajustare a parametrilor conform acestei metode este cunoscută şi sub

denumirea de regula MIT. Problema ajustării parametrilor în acest caz se reduce la minimizarea unei funcţii

obiectiv I = f(e), unde e = y- ym . Alegând un criteriu pătratic de forma:

2

21 eI = (2.26)

rezultă: ( )NpppFI ,....,, 21=

unde pi sunt parametrii regulatorului, cu [ ]NT ppp ,...,, 21=π .

Pentru minimizarea criteriului (2.26), se alege ca direcţie de căutare a minimului gradientul negativ al funcţiei obiectiv

π

γπ

γπ∂∂

−=∂∂

−=eeF

dtd

(2.27)

Dacă admitem că parametrii se schimbă mult mai lent decât alte variabile din sistem,

atunci derivata π∂

∂e poate fi evaluată sub aproximaţia că π este constant.

În relaţia (2.27), constanta pozitivă γ caracterizează viteza de adaptare iar π∂

∂e

reprezintă sensibilitatea sistemului în raport cu parametrii regulatorului. Exemplu: Se consideră procesul caracterizat prin modelul ubyay pp +−=& . Presupunem că modelul de referinţă este tot de ordinul întâi: rbyay mmmm +−= && O urmărire perfectă a modelului de referinţă se poate realiza cu un regulator de

tip P cu parametrii necunoscuţi t0 şi s0: ( ) ( ) ( )tystrttu 00 −= a căror valoare se poate calcula cu relaţiile:

p

m

bbt =0 şi

p

pm

baa

s−

=0

De remarcat făptui că parametrii (ap, bp ) ai modelului procesului sunt necunoscuţi.

25

Pentru a deduce legea de ajustare a parametrilor t0 şi s0 folosind regula MIT, vom

calcula eroarea e şi funcţiile de sensibilitate 0te

∂∂ şi

0se

∂∂ . Dacă notăm cu ( )sH m0 funcţia de

transfer ataşată modelului de referinţă şi prin ( )sH0 funcţia de transfer a SRA cu regulatorul selectat, rezultă cu uşurinţă:

( ) ( ) ( ) ( )sRsbas

tbsRsHsY

pp

p

0

00 ++

==

şi

( ) ( )sRas

bsYm

mm +

=

Funcţiile de sensibilitate se obţin cu uşurinţa dacă se defineşte eroarea şi se calculează

0te

∂∂ şi

0se

∂∂ , unde:

rap

bsbap

tbe

m

m

pp

p

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

+−

++=

0

0

Astfel, funcţiile de sensibilitate au forma:

rsbap

bte

pp

p

00 ++=

∂∂

( ) ysbap

bsbap

tbse

pp

p

pp

p

02

0

02

0 ++=

++−=

∂∂

unde p reprezintă operatorul de derivare. Aceste relaţii nu pot fi utilizate deoarece parametrii a şi b sunt necunoscuţi. Pentru a obţine relaţii utilizabile pentru ajustarea parametrilor, observăm

că pentru valorile optime ale parametrilor regulatorului p

pm

baa

s−

=0 se asigură

identitatea: mpp apbap +=++

Mai mult, parametrul bp poate fi absorbit în factorul de adaptare pbγ . De remarcat că în acest caz semnul parametrului bp trebuie cunoscut. Cu aceste observaţii se obţin ecuaţiile de ajustare a parametrilor sub forma:

erapt

t

m⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

−=∂∂ 10 γ

eyapt

s

m⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

=∂∂ 10 γ

În figura 2.8 se prezintă structura SAMR pentru exemplul considerat.

26

Fig.2.8

Referitor la utilizarea regulii MIT pentru ajustarea parametrilor regulatorului, pot fi făcute următoarele remarci:

- nu este necesar a cere o urmărire perfectă a modelului; - procedura poate fi aplicată atât sistemelor neliniare, cât şi

sistemelor parţial cunoscute; - integrarea ecuaţiilor ce definesc sensibilităţile erorii în raport cu parametrii şi

efectuarea operaţiilor de multiplicare cu factorul y şi mărimile r şi y asigură obţinerea valorilor parametrilor t0 şi s0;

- regula MIT asigură o bună adaptare pentru valori mici ale factorului de adaptare y. Valori permisibile pentru y sunt influenţate de amplitudinea referinţei şi de factorul de amplificare al procesului;

- alegerea necorespunzătoare a factorului de adaptare poate genera instabilitatea sistemului închis.

Regula MIT poate fi extinsă şi la sistemele de ordin n cu regulatoare cu două grade de libertate.

Regula MIT poate fi extinsă la optimizarea unor funcţii obiectiv mai generale decât forma pătratică.

Regulatorul adaptiv se obţine, în acest caz, parcurgând etapele: 1. Se specifică un model şi o structură de reglare cu parametri

ajustabili şi performanţele sub forma unei funcţii obiectiv; 2. Se determină legea de ajustare a parametrilor prin calculul

gradientului funcţiei obiectiv, în raport cu parametrii regulatorului; 3. Se alege viteza de modificare a parametrilor în direcţia opusă

27

gradientului funcţiei obiectiv. Utilizarea acestei proceduri presupune cunoaşterea parametrilor modelului procesului

pentru a calcula funcţiile de sensibilitate, impunându-se în cazul normal estimarea parametrilor necunoscuţi ai modelului procesului.

În cazul în care modelele ataşate procesului şi modelului de referinţă sunt continue, ecuaţiile de ajustare a parametrilor rt, st şi ti, conţin operatorul de derivare p în loc de operatorul de deplasare q .

2.2.4. Proiectarea SAMR pe baza teoriei stabilităţii Aşa cum s-a menţionat în § 2.1, sistemele adaptive sunt alcătuite din două bucle de

reglare: una interioară (convenţională) şi cealaltă exterioară, cu o dinamică mai lentă, care are rolul de a ajusta parametrii regulatorului, astfel încât eroarea de urmărire să tindă la zero. Asigurarea stabilităţii asimptotice a sistemului conduce în mod firesc la anularea erorii de urmărire, întrucât sistemul adaptiv are ca ieşire tocmai eroarea de urmă-rire. În literatură sunt prezentate proceduri de sinteză a SAMR, apelând, fie la teorema de stabilitate Liapunov, fie la conceptul de hiperstabilitate. Pentru a ilustra ideea, vom considera în continuare un exemplu.

Exemplu Se consideră un proces de ordinul întâi, ai cărui parametri ap şi bp se presupun

cunoscuţi:

ubyadtdy

pp +−=

şi un model de referinţă caracterizat prin ecuaţia:

rbyadt

dymmm

m +−= cu 0>ma

cu ( ) 00 mm yy = şi r(t) un semnal extern limitat, ce caracterizează răspunsul dorital sistemului. Se cere a determina legea de variaţie a parametrilor regulatorului, punând condiţia ca

SAMR să fie asimptotic stabil în sens Liapunov. Ecuaţia erorii se poate obţine pornind de la relaţia de definiţie după înlocuirea comenzii ( ) ysrttu 00 −= în ecuaţia ce descrie funcţionarea obiectului condus:

( ) ( ) ( )rbtbysbaaeayydtd

dtde

mpppmmm −+−−+−=−= 00

De notat că eroarea tinde la zero dacă parametrii regulatorului se aleg în funcţie de ap şi bp.

p

mo

m

pm

bbt

baa

s =−

=0

Astfel, dacă parametrii ap şi bp sunt cunoscuţi, rezultă cu uşurinţă parame-trii regulatorului care asigură anularea erorii e(t):

eadtdee m−==&

Obiectivul proiectării este de a determina un mecanism de ajustare a parametrilor regulatorului t0 şi s0, ţinând seama că ap şi bp sunt necunoscuţi. Pentru acest scop, alegem o funcţie Liapunov de forma:

28

( ) ( ) ( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−+−++= 2

02

02

0011

21,. mp

pmpp

pbtb

baasb

besteV

γγ

Această funcţie este zero când e este zero şi parametrii regulatorului egali cu valorile optimale. Derivata funcţiei V este:

( ) ( )

( ) ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅+−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅−−++−=

=−+−++=

empemppm

mpmpp

rdtdtbtby

dtdsaasbea

dtdtbtb

dtdsaasb

dtdee

dtdV

γγ

γγ

γγ

00

00

2

00

00

11

11

Pentru ca SAMR să fie asimptotic stabil în sens Liapunov, se impune a alege următoarele legi de ajustare a parametrilor t0 şi s0:

erdtdt

⋅−= γ0

eydtds

⋅−= γ0

02 <−= eadtdV

m

care evidenţiază că sistemul este asimptotic stabil în sens Liapunov, iar e va tinde către zero. De remarcat faptul că, nu în mod necesar, parametrii t0 şi s0 converg către valorile lor de echilibru. Din acest punct de vedere, legea de adaptare este similară cu regula MIT, însă funcţiile de sensibilitate sunt înlocuite cu alte semnale. De observat că în cadrul acestei proceduri, pentru a determina legea de adaptare, parametrii t0 şi sQ se consideră noile variabile de stare ale sistemului.

Regula de ajustare a parametrilor t0 şi s0 obţinută prin aplicarea teoriei stabilităţii, este similară cu legea de ajustare obţinută prin regula MIT. În ambele cazuri, legea de ajustare poate fi scrisă sub forma:

edtd γϕπ

=

unde π este vectorul parametrilor regulatorului şi [ ]Tyr,−=ϕ

sau

[ ]Tm

yrap

,1−

+=ϕ

pentru regula MIT. Vectorul ϕ poate fi interpretat ca valoarea negativă a gradientului funcţiei cost. 2.2.5. Procedura generală de sinteză a SAMR

Se consideră un proces tu mai multe intrări şi mai multe ieşiri şi o structură de regulator cu parametrii necunoscuţi, astfel încât modelul de stare al sistemului închis are forma:

( ) ( ) ( )tBrtAxtx +=& ; 20

nRx ∈ (2.28) ( ) ( )tCxty =

29

unde 10

nRx ∈ , mRr ∈ , pRy ∈ , iar matricele A şi B de dimensiuni corespunzătoare au elementele ajustabile prin ajustarea parametrilor regulatorului.

Modelul de referinţă este descris prin ecuaţia de stare: rBxAx MMMM +=& ; 2

0

nM Rx ∈ (11 29)

MMM xCy = unde xM este starea ataşată MR, iar matricele AM, BM şi CM asigură comportarea dorită, impusă pentru SRA. Se consideră că dimensiunea celor două sisteme este aceeaşi, vectorul eroare ( ε ) se calculează ţinând seama de ecuaţiile (2.28) şi (2.29):

xxM −=ε ( ) ( )rBBxAAa MMM −+−+= εε&

Presupunem că toate elementele matricelor A şi B sunt ajustabile individual şi alegem o funcţie Liapunov sub forma:

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]BBFBBtrAAFAAtrPV MBT

MMAT

MT −−+−−+= −− 11εε (2.31)

unde 11,, −−BA FFP sunt matrice pozitiv definite, ce urmează a fi determinate din condiţia de

stabilitate în sens Liapunov. Derivata funcţiei Liapunov se calculează cu relaţia:

[ ] [ ] BBBtrAFAAtrPPV MAT

MTT &&&&& 11 22

−− −−−−+= εεεε (2.32) sau, dacă se ţine seama de (2.38), se obţine:

( ) ( )[ ]( ) ( )[ ]

[ ] [ ] BFBBtrAFAAtr

rBBxAAAP

PBBrAAxAV

AT

MAT

M

MMMT

TM

TTM

TTM

T

&&

&

11 22 −− −−−−

−−+−++

+−+−+=

εε

εε

(2.33)

Dacă alegem P astfel încât să fie satisfăcută ecuaţia matricială QPAPA M

TM −=+ (2.34)

unde Q este o matrice pozitiv definită:

( ) ( )[ ]

( ) ( )[ ]BFxPBBtr

AFxPAAtrQV

BTT

M

ATT

MT

&

&&

1

1

2

2−

−

−−+

+−−+−=

ε

εεε (2.35)

Dacă se alege matricea AM ca o matrice cu toate valorile proprii în semiplanul stâng (matrice Hurwitz), atunci se poate alege o matrice Q, astfel încât să poată fi utilizată ecuaţia (2.34).

În ecuaţia (2.35) primul termen este negativ definit pentru toţi ( ) 0≠tε , iar al doilea şi al treilea termen devin egali cu zero dacă alegem: [ ] T

A xPFA ⋅= ε&

[ ] TB rPFB ⋅= ε& (2.36)

Cele două ecuaţii reprezintă legile de modificare a parametrilor ajustabili ai regulatorului.

Dacă introducem funcţia ( )tPa εε = în ecuaţiile (2.36), după integrare, obţinem:

30

( ) ( )

( ) ( ) dtrtFtB

dtxtFtA

Ta

t

B

Ta

t

A

ε

ε

⋅=

⋅=

∫

∫1

1

01

01

(2.37)

Un sistem asimptotic global stabil se obţine alegând matricele FA şi FB pozitiv definite. Legea de adaptare s-a obţinut direct din funcţia Liapunov aleasă arbitrar. Aceasta arată

că legea de adaptare care a rezultat face parte dintr-o mulţime. De remarcat, de asemenea, că matricele Q, FA şi FB se aleg arbitrar.

Procedura prezentată a presupus că starea sistemului este accesibilă măsurării. Un rezultat similar se poate obţine apelând la conceptul de hiperstabilitatc a unui

sistem neliniar. Sistemele adaptive cu model de referinţă au o largă aplicabilitate în domeniul roboticii,

industriei chimice, industriei energetice şi în domeniul aviaţiei. Printre caracteristicile SAMR, remarcăm următoarele: • Alegerea MR necesită o cunoaştere cât mai precisă a modelului

procesului, informaţia apriorică trebuie să fie cât mai bogată; • Un SAMR forţează bucla de reglare la o comportare impusă de

MR, chiar dacă este posibilă o comportare mai bună; • Pentru ajustarea parametrilor regulatorului, semnalul extern

măsurabil ℜ∈r trebuie modificat continuu pentru a excita valorile proprii ale sistemului;

• Pentru cazul în care modelul procesului este liniar şi are o structură cunoscută precis, SAMR pot fi proiectate, astfel încât să fie global stabile;

• SAMR au multe elemente la alegere, impunându-se astfel testarea în mediu simulat înainte de a fi implementat pe proces,

• Când parametrii procesului sunt constanţi, în prezenţa zgomotelor, parametrii regulatorului nu trebuie modificaţi;

• SAMR se recomandă pentru sisteme cu modificarea continuă a referinţei şi pentru procese supuse zgomotelor de amplitudini mici.

2.3. Sisteme adaptive cu identificarea modelului (sisteme adaptive cu autoacordare - SAA)

Într-un sistem adaptiv se consideră că parametrii regulatorului sunt ajustaţi tot timpul. Aceasta arată ca parametrii regulatorului urmăresc modificările parametrilor procesului. Problemele de analiză a convergenţei şi stabilităţii acestor sisteme sunt dificile, ceea ce impune a considera parametrii procesului constanţi, însă necunoscuţi.

Dacă parametrii procesului sunt cunoscuţi, procedura de proiectare specifică un set de parametri doriţi ai regulatorului. Regulatorul adaptiv ar putea converge la valorile acestor parametri, chiar dacă procesul este necunoscut.

Regulatorul care are această proprietate este denumit cu autoacordare (self-tuning) deoarece în mod automat se acordează la cerinţele de performanţă cerute. Regulatorul cu autoacordare (RAA) este bazat pe ideea separării funcţiei de estimare a parametrilor de procedura de proiectare a regulatorului. Parametrii necunoscuţi sunt estimaţi on-line apelând la o

31

procedură de estimare recursivă. Parametrii estimaţi sunt trataţi ca şi când ar fi parametrii reali, neluându-se în consideraţie incertitudinile parametrice.

Pentru proiectare pot fi folosite diferite metode: alocarea polilor, minimă varianţă, urmărirea modelului etc. Metoda de proiectare este aleasă în concordanţă cu specificaţiile de performanţă şi particularităţile modelului matematic ataşat obiectului condus.

Diferite combinaţii dintre metodele de estimare şi cele de proiectare conduc la regulatoare cu diferite proprietăţi. În cazul în care cele două proceduri de estimare a parametrilor şi de proiectare a regulatorului sunt separate, spunem că regulatorul realizează o reglare adaptivă indirectă. Astfel, parametrii regulatorului se obţin indirect, pe baza parametrilor estimaţi ai procesului. Dacă modelul procesului se reparametrizează direct, în funcţie de parametrii regulatorului, este posibil astfel a determina direct parametrii regulatorului printr-o procedură de estimare. Avem în acest caz un algoritm adaptiv direct sau implicit.

Analiza proprietăţilor asimptotice ale unui regulator direct cu autoacordare a fost realizată pentru prima dată în 1973 de Astrom şi Wittenmark.

2.3.1. Regulatoare cu autoacordare indirectă Vom aproxima modelul procesului sub forma:

( ) ( ) ( ) kdkk vqCuqByqA 111 −−

−− += (2.38) unde grad[A]= grad[C]= n, grad[B] = m, iar d este timpul mort al procesului, exprimat ca număr întreg de perioade de discretizare. Pentru cazul deterministic (vk=0), se pot utiliza diverse metode recursive de estimare a parametrilor ( )ji ba , . Estimatorul celor mai mici pătrate cu factor de uitare exponenţial este descris prin:

[ ]( )

λϕγ

ϕϕλϕ

θϕε

εγθθ

11

111111

11

1

1

ˆ

ˆˆ

−−

−−−−−−

−−

−

−

+=

−=

+=

kTkkk

kkTkkkk

kTkkk

kkkk

PP

PPy

y (2.39)

unde: [ ]nm

T aaabbbb ,...,,,,...,,, 21210=θ reprezintă vectorul parametrilor necunoscuţi, iar

[ ]nkkmdkdkTk yyuu −−−−−− −−= 11 ,...,ϕ reprezintă vectorul de regresie ce conţine informaţia

funcţională măsurabilă. În cazul sistemelor stocastice cu ( ) 01 ≠−qC şi deci o secvenţă de semnale Gaussiene

independente, egal distribuite, care acţionează asupra procesului, se pot utiliza estimatoare recursive specifice pentru determinarea inclusiv a parametrilor ic .

Aşa cum s-a arătat anterior, dacă semnalul de intrare în proces este suficient de puternic şi structura modelului estimat este apropiată de realitate, estimaţiile vor converge la valori reale dacă sistemul închis este stabil. Condiţiile de convergenţă pentru diferite metode de estimare sunt de mare importanţă.

Pentru proiectare vom putea utiliza diverse metode. În cele ce urmează considerăm metoda alocării polilor.

32

Regulatorul considerat are forma: ( ) ( ) ( ) kkk yqSrqTuqR 111 −−− −= (2.40)

pentru un model al procesului: ( ) ( ) kk uqByqA 11 −− =

Dacă presupunem că sistemul închis are o comportare dorită, descrisă prin modelul: ( ) ( ) kmkm rqByqA 11 −− =

în cazul în care se notează cu ( )1−qae polinomul caracteristic al estimatorului ataşat regulatorului numeric (2.40), se pot determina polinoamele R, S ş i T prin rezolvarea ecuaţiei diofantice:

AR + BS = aeAmB+ (2.41) întrucât, pentru realizarea răspunsului dorit pentru întregul sistem se cere a fi satisfăcută identitatea:

m

m

AB

BSARBT

=+

(2.42)

Numitorul AR + BS este polinomul caracteristic al sistemului închis. Polinomul B este factorizat ca −+= BBB unde +B este un polinom monic ale cărui zerouri sunt stabile şi pot fi astfel compensate de regulator, iar −B este un polinom ale cărui zerouri sunt instabile (când

1=+B nu există compensare de zerouri). Deoarece +B este compensat de regulator, acest polinom va trebui să se constituie

printre factorii divizori ai polinomului caracteristic al sistemului închis. Alţi factori ai polinomului sunt αe şi Am.

Din (2.41) urmează că B+ divide polinomul R şi astfel: += BRR 1 (2.43)

iar (2.4 1) capătă forma: me ASBAR α=+ −

1 (2.44) Soluţia ecuaţiei diofantice este obţinută similar cu rezolvarea unui set de ecuaţii liniare.

Această ecuaţie are o soluţie unică dacă A şi −B sunt relativ prime. Din (2.42) rezultă că −B trebuie să dividă Bm şi deci

−=BBT m

eα (2.45)

• Cu aceste elemente pregătitoare, procedura de calcul pentru algoritmul de reglare cu autoacordare, bazată pe metoda alocării polilor este următoarea:

Date: Specificaţiile de performanţă ale sistemului închis, formulate prin funcţia de transfer Bm / Am şi cu polinomul dorit αe al observatorului de stare.

1. Estimează recursiv coeficienţii polinoamelor A, B şi C în (2.39), utilizând metoda celor mai mici pătrate sau alte metode care permit inclusiv estimarea coeficienţilor ic ai

polinomului ( )1−qC . 2. Înlocuieşte A, B şi C cu estimaţiile obţinute la pasul 1 şi rezolvă ecuaţia

(2.44) pentru a obţine R1 şi S. Calculează R prin rezolvarea ecuaţiei (2.43) şi T prin rezolvarea ecuaţiei:

33

mem

e BBBT ′== − αα

3. Calculează comanda uk cu ajutorul relaţiei kkk SyTrRu −= . 4. Repetă paşii 1, 2 şi 3 la fiecare perioadă de eşantionare. Pentru implementarea acestui algoritm se impun următoarele condiţii de compatibilitate:

−B divide mB

[ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ] 12 −∂−∂−∂≥∂

∂−∂≥∂−∂+BAA

BABA

e

mm

α

Problemele ce pot apărea la implementarea acestui algoritm sunt: - gradele polinoamelor A, B şi C sau, cel puţin, limitele lor superioare trebuie

cunoscute; - factorii comuni ai polinoamelor estimate A şi B fac imposibilă

rezolvarea ecuaţiei diofantice; - stabilitatea sistemului închis trebuie sa fie garantată; - semnalele de excitaţie la intrarea procesului trebuie să fie persistente pentru a

asigura convergenţa parametrilor la valorile lor reale.

2.3.2. Regulatoare cu autoacordare directă Proiectarea algoritmului de reglare în cazul reglării adaptive indirecte necesită un

volum de calcul mai mare, iar stabilitatea poate fi analizată cu dificultate. Dacă ecuaţia diofantică (2.44) este multiplicată prin yk şi se foloseşte modelul procesului, obţinem:

( )kkk

kkkkkkme

CvRSyRuB

CvRSyBBuRSyBAyRyA

1

111

++

=++=+=−

−−α (2.46)

De remarcat că (2.46) poate fi considerată ca un model al procesului parametrizat în B-, R şi S. Estimarea acestor parametri permite de fapt obţinerea polinoamelor R şi S. De observat că modelul obţinut prin reparametrizarea modelului procesului este neliniar în parametri.

O altă cale pentru a realiza parametrizarea este de a scrie modelul (2.46) sub forma: kkkkme CvRySuRyA 1++=α (2.47)

unde RBR −= şi SBS −=

Polinomul R din ecuaţia (2.46) este monic, însă R din (2.47) nu este monic. Polinoamele R şi S au un factor comun care conţine zerourile slab amortizate. Acest factor poate fi compensat înainte de calculul legii de comandă.

• Algoritmul care stă la baza reglării cu autoacordare directă presupune parcurgerea următoarelor etape:

ETAPE: 1. Estimează coeficienţii polinoamelor R şi S în (2.47);

2. Compensează, dacă este posibil, factorii comuni din R şi S pentru a obţine R şi S; 3. Calculează semnalul de comandă conform (2.40), unde R şi S sunt obţinute în etapa 2; 4. Repetă etapele 1, 2 şi 3 la fiecare perioadă de eşantionare.

Acest algoritm evită problema estimării neliniare, însă există mai mulţi parametri ce trebuie estimaţi, deoarece parametrii polinomului B' sunt estimaţi de două ori.

34

Ideea de bază în cadrul sistemelor adaptive cu autoacordare este de a separa estimarea parametrilor necunoscuţi ai procesului şi proiectarea regulatorului. Parametrii estimaţi sunt aproximaţi a fi egali cu parametrii reali atunci când se proiectează regulatorul. Prin combinarea diferitelor proceduri de estimare şi metode de proiectare se pot obţine diverse scheme de sisteme adaptive cu autoacordare cu diferite proprietăţi.

Cel mai important aspect ce trebuie evidenţiat în cadrul SAA este parametrizarea. O reparametrizare poate fi realizată folosind modelul procesului şi răspunsul dorit al buclei de reglare. Scopul reparametrizării este de a asigura estimarea directă a parametrilor regulatorului, care implică liniaritatea în parametri a noului model.

Pentru alegerea combinaţiei optime de metode de estimare a parametrilor şi proiectare a regulatorului este important a cunoaşte condiţiile în care se asigură stabilitatea şi convergenţa SAA. în acest context, stabilitatea arată că semnalele rămân limitate, iar convergenţa asigură atingerea asimptotică a comportării dorite.

2.4. Reglarea adaptivă cu reacţie după stare Se consideră un model de stare pentru un proces cu o intrare şi o ieşire sub forma: ( ) ( ) ( )tbutAxtx +=& unde ( ) ( ) 0,, ≥ℜ∈ℜ∈ ttutx n (2.48)

( ) ( )txcty T= cu x(0)=x0, unde ℜ∈ℜ∈ × bA nn , sunt matrice cu parametri constanţi necunoscuţi.

Aproximăm că vectorul de stare x(t) este disponibil pentru măsurare. Obiectivul proiectării legii de reglare este de a proiecta o lege de reglare ( )tu astfel încât

toate semnalele în buclă închisă să fie limitate, iar vectorul de stare x(t) să urmărească asimptotic un vector de stare xm(t) generat de un model de referinţă: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0,,, ≥ℜ∈ℜ∈+= ttrtxtrbtxAtx n

mmmmm& (2.49)

cu ( ) 00 mm xx = , iar matricele nm

nnm bA ℜ∈ℜ∈ × , sunt cunoscute. Valorile proprii ale matricei Am

sunt situate în semiplanul stâng al planului complex. Referinţa r(t) este o funcţie limitată şi continuă pe porţiuni pentru un sistem de referinţă stabil bine definit.

Pentru a atinge acest obiectiv al reglării admitem că sunt îndeplinite următoarele cerinţe: 1. există un vector constant nf ℜ∈1 şi o constantă ℜ∈2f , astfel

încât sunt satisfăcute ecuaţiile: mm

T bfbAfbA ==+ 21ˆ,ˆ

2. semnul constantei 2f , [ ]2fsign este cunoscut. Prima cerinţă reprezintă aşa numita condiţie de potrivire (matching) cu care dacă

matricele A şi b ar fi cunoscute, legea de reglare ( ) ( ) ( )trftxftu TT

21ˆˆ + (2.50)

ar putea conduce la sistemul închis de forma: ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) 0,ˆˆ

21 ≥+=++= ttrbtxAtrftxfbtAxtx mmTT&

al cărui vector de stare ( ) ∞∈ Ltx (adică x(t) este limitat) şi eroarea de urmărire a stării satisface ecuaţia:

35

( ) ( ) ( ) 000, mm xxeteAte −=& În aceste condiţii, eroarea tinde exponenţial la zero ( ( )te

tlim

∞→), iar obiectivul reglării este

atins. Dacă parametrii matricelor A şi b sunt necunoscuţi, legea de comandă u(t) poate

avea aceeaşi formă, însă ( )tf1 şi ( )tf2 reprezintă estimaţii ale valorilor rezultate din calcul pentru a asigura urmărirea stării ( )txm .

Astfel, legea de comandă ( ) ( ) ( )trftxftu TT

21 += presupune ajustarea parametrilor ( )tf1 şi ( )tf2 , în aşa fel încât pentru o referinţă dată să se asigure obiectivele reglării.

Introducând legea de comandă în ecuaţia (2.48) se obţine: ( ) ( ) ( ) ( )[ ]trftxfbtAxtx TT

21 ++=& ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]trftxfbtrbtxAtx TT

mm 21 +++=& sau

( ) ( ) ( ) ( ) ( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+++= trf

ftxf

fbtrbtxAtx TT

mmm 22

12

ˆ1

ˆ1

& (2.51)

unde 111ˆ~ fff −= şi 222

ˆ~ fff −= Ecuaţia erorii de urmărire se determină din 2.49 şi 2.51:

( ) ( ) ( ) ( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++= trf

ftxf

fbteAte TT

mm 22

12

~ˆ1~

ˆ1

&

Întrucât ( )tf1 şi ( )tf2 sunt generate printr-o lege de adaptare, vectorul de stare ataşat sistemului închis este format din e(t), ( )tf1 şi ( )tf2 .

Pentru acest sistem dinamic ce caracterizează evoluţia erorii alegem o funcţie pozitiv definită:

( ) 12

21

11

221

~ˆ1~~

ˆ1~,~, −− +Γ+= γTTT f

fff

fPeeffeV

unde nxnP ℜ∈ este o matrice constantă şi P = PT >0 care satisface ecuaţia matriceală: QPAPA T

mm −=+ (2.52) pentru orice matrice Q constantă, simetrică (Q = QT pozitiv definită.

Matricea nxnℜ∈Γ este o matrice constantă, simetrică, pozitiv definită ( 0>Γ=Γ T ), iar y este o constantă pozitivă.

Derivata în timp a funcţiei V poate fi obţinută cu uşurinţă

( )21~,~, ffeV

dtdV =&

dacă ţinem seama de ecuaţia erorii şi de ecuaţia matriceală (2.52):

36

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )tftff

tftff

txff

Petetxff

PetetQeteV

TT

Tm

TTm

TT

21

22

11

12

12

12

~~ˆ2~~

ˆ2

~ˆ2~

ˆ2

&&

&

−− +Γ+

+++−=

γ (2.53)

Pentru ca sistemul să fie asimptotic stabil, se cere ca 0<V& . Prin alegerea legii de adaptare a parametrilor ( )tf1 şi ( )tf2 sub forma:

( ) [ ] ( ) ( ) 0,21 ≥Γ− tPbtetxfsigntf mT&

( ) [ ] ( ) ( ) 0,22 ≥− tPbtetrfsigntf mTγ&

cu ( )01f şi ( )02f estimaţii iniţiale arbitrare ale constantelor 1f , şi 2f . Folosind ca lege de adaptare (2.54) se obţine:

( ) ( ) 0<−= tQeteV T& Legea de comandă după stare şi referinţă cu ( )tf1 şi ( )tf2 ajustate în conformitate cu

(2.54), aplicată procesului descris prin (2.48), garantează că toate semnalele sunt limitate şi eroarea de urmărire tinde asimptotic spre zero când timpul tinde spre infinit ( )( )2Lte ∈ . Acest rezultat s-a obţinut apelând la teoria stabilităţii prin alegerea funcţiei Liapunov V şi asigurării că

0<V& . Pentru implementarea legii de reglare adaptivă după stare se impune estimarea stării.

Pentru modelul (2.48), presupunând că ( )TcA, este o pereche observabilă se poate estima starea cu ajutorul ecuaţiei:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 0,ˆ0ˆ,ˆˆˆ 0 ≥=−++= txxtxctyLtbutxAtx T& (2.55)

unde x(t) este estimarea stării ( ) ntx ℜ∈ , iar L este un vector constant care poate fi determinat printr-o procedură de alocare a polilor, dacă ţinem seama că ecuaţia erorii de estimare

( ) ( ) ( )txtxte ˆ−= , are forma: ( ) ( ) ( ) 0ˆ ≥−= tteLcAte T (2.56)

Prin alegerea valorilor proprii ale matricei ( )TLcA − se poate asigura viteza de convergenţă la zero a erorii de estimare a stării.

Ecuaţia estimatorului poate fi pusă şi sub forma: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0,ˆˆ ≥++−= ttLytbutxLcAtx T& sau

( ) ( ) ( ) ( ) ( )sLYLcAsIsbULcAsIsX TT +−++−= respectiv

( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )sYsssU

sssX

ee αα

αα 21ˆ += (2.58)

unde: ( ) ( )T

e LcAsIs +−= detα ( )s1α şi ( )s2α sunt polinoame în operatorul s.

În aceste relaţii s-a presupus că ( ) ( )0ˆlim 0xe tLcA

t

T−

∞→ tinde exponenţial la zero.

37

Estimarea stării face posibiiă utilizarea legii de reglare sub forma: ( ) ( ) ( )trftxftu TT

21ˆˆˆ +=

şi cu satisfacerea condiţiei: ( ) ( )[ ] 0ˆˆˆlim 11 =−

∞→txftxf TT

t (2.59)

Comanda după stare, în aceste condiţii, poate fi parametrizată sub forma: ( ) ( ) ( )tttxf TTT

22111 ˆˆˆˆ ϕπϕπ += (2.60) unde: - nn ℜ∈ℜ∈ 21 ˆ,ˆ ππ reprezintă parametrii constanţi care ar putea fi calculaţi dacă parametrii modelului (2.48) sunt cunoscuţi;

- ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )sss

sss

ee ααϕ

ααϕ 2

21

1 ==

Pentru comanda adaptivă termenul ( )txf T ˆ1 este parametrizat ca: ( ) ( ) ( )tttxf TTT

22111 ˆˆˆˆ ϕπϕπ += unde nn ℜ∈ℜ∈ 21 ˆ,ˆ ππ sunt estimaţiile parametrilor constanţi necunoscuţi *

1π şi *2π , care

trebuie ajustaţi prin legea de adaptare. 2.5. Probleme ale implementării algoritmilor adaptivi

În paragrafele anterioare au fost dezvoltate aspectele teoretice ale reglării adaptive. La implementarea practică a unui sistem adaptiv apar multe dificultăţi generate, atât de ipotezele în care s-a dezvoltat teoria, cât şi de echipamentele pe care se implementează algoritmii. Astfel, pe lângă algoritmul propriu zis, obţinut printr-o procedură de proiectare, se impune a considera situaţii specifice pornirii, opririi, comutării regimurilor de funcţionare manual şi automat etc.

Multe dintre aceste aspecte practice au soluţii ad-hoc, care adesea depind de aplicaţia considerată. Ele sunt frecvent verificate prin experimentare extensivă şi simulare deoarece problemele sunt complexe şi nu se dispune de o teorie adecvată.

Unele probleme specifice sistemelor adaptive trebuie luate în considerare la implementarea acestora şi anume:

• informaţia iniţială despre proces şi modul de utilizare a acesteia; • selectarea cerinţelor de performanţă pentru sistemul de reglare şi

realizabilitatea acestora; • robusteţea estimării parametrilor şi considerarea incertitudinilor

structurale prin neglijarea constantelor de timp mici şi foarte mici;

• considerarea fenomenelor de comutare fără şocuri de la un regim de funcţionare la ait regim de funcţionare;

• considerarea neliniarităţilor introduse de elementele de execuţie şi de procesul condus.

Multe dintre aceste probleme nu sunt specifice numai reglării adaptive şi sunt importante pentru implementarea regulatoarelor în general. Implementarea trebuie să includă multe trăsături ce au fost probate cu bune rezultate în practică, însă tară a fi complet acoperite din punct de vedere teoretic,

38

În cele ce urmează, sunt prezentate câteva elemente specifice implementării regulatoarelor adaptive.

2.5.1. Implementarea estimatorului Obţinerea unor modele bune presupune utilizarea unor date bune şi o structură adecvată a

modelului. Modelele utilizate sunt simplificate (liniare şi de ordin redus). Astfel, cel mai adesea, dinamica de înaltă frecvenţă este nemodelată. Este cunoscut din teoria identificării sistemelor că estimaţiile obţinute în prezenţa dinamicii nemodelate vor depinde crucial de proprietăţile semnalului de intrare [5, 45]. Când se determină structura şi complexitatea regulatorului, se cer cunoştinţe apriorice despre proces (complexitate, timp mort şi tipuri de semnale exogene).

Presupunem că procesul este descris prin modelul discret: ( ) ( ) kkvkck dvqHuqHy ++=

unde raţionalele Hc(q) şi Hv(q) depind de perioada de discretizare T, perturbaţia vk este aproximată a fi zgomot alb de medie zero, iar dk este un semnal determinist de formă cunoscută, însă de amplitudine necunoscută (dk poate fi sarcină, rampă sau un semnal sinusoidal). Pentru cazul în care vom considera perturbaţiile dk generate prin impulsuri care se aplică unor sisteme dinamice cunoscute, eliminarea acestora se poaîe realiza într-un spectru de frecvenţă bine definit, prin includerea unor filtre cu atenuare ridicată la frecvenţe înalte.

O proprietate interesantă a sistemelor adaptive este că parametrii sunt estimaţi în buclă închisă. Nemodelarea dinamicii de înaltă frecvenţă poate genera probleme dificile, concretizate în estimaţii Ia valori nerezonabile. Filtrarea semnalelor înainte ca ele să fie introduse în estimator este o posibilitate de a atenua efectele nemodelării dinamicii de înaltă frecvenţă. Pentru a obţine o modelare robustă este necesar ca modelul să fie precis în jurul frecvenţei de tăiere.

Pentru a estima un model redus cu această proprietate, este esenţial ca semnalul de intrare să aibă suficientă energie în jurul frecvenţei de tăiere şi să fie un semnal de excitaţie persistent. Gradul necesar de persistenţă al excitaţiei este legat de complexitatea modelului estimat. Aceasta necesită ca cerinţele asupra semnalelor de intrare să devină mai severe când ordinul este crescut.

Deoarece semnalul de intrare este generat prin reacţie, nu există garanţia că el va fi persistent. Pentru a garanta un model bun, este astfel necesar a monitoriza excitaţia şi energia semnalului de intrare în benzile de frecvenţă relevante.

Când excitaţia la intrarea procesului nu este persistentă sau când energia semnalului este prea scăzută, parametrii estimaţi vor fi imprecişi. Pentru a elimina acest neajuns, fie se injectează semnale perturbatoare, fie se deconectează bucla de adaptare când excitaţia este prea săracă. O altă problemă ce trebuie avută în vedere Ia implementarea estimatorului este capacitatea de urmărire a parametrilor. Pentru a realiza această funcţie, este necesar a uita datele vechi.

O cale pentru a rezolva această problemă este a utiliza uitarea exponenţială. Când factorul de uitare 1=λ , toate datele au aceeaşi pondere, însă cu 1<λ , datele recente sunt ponderate mai mult decât cele vechi. Este posibil a generaliza metode cu uitare exponenţială şi a folosi diferiţi factori de uitare pentru diferiţi parametri. Această tehnică operează bine numai dacă procesul este corespunzător excitat tot timpul.

39

2.5.2. Implementarea regulatorului

În toate aplicaţiile de reglări numerice este important a avea o filtrare corespunzătoare a semnalelor înainte de a fi eşantionate. Fenomenul „aliasing" ce apare în procesul de eşantionare impune utilizarea unor filtre „antialiasing", care constau din unul sau mai multe filtre în cascadă de forma:

( ) 22

2

2 ωζωω

++=

sssH f

Asemenea filtre vor asigura filtrarea ieşirii printr-o alegere corespunzătoare a structurii şi a parametrilor ζ şi ω , asigurându-se în acelaşi timp obţinerea unor modele matematice, în faza de estimare, valide într-un domeniu corect de frecvenţe. Filtrarea naturală obţinută prin eşantionare ajută estimatorul a obţine modele mai bune. Ieşirea convertorului numeric-analogic este un semnal constant pe porţiuni. Aceasta arată că semnalul de comandă transmis la elementul de execuţie este compus dintr-o serie de trepte, unde cea mai mică treaptă este dată de rezoluţia convertorului. Pentru unele sisteme, ca servosistemele hidraulice pentru controlul zborului şi alte sisteme cu răspuns puternic oscilant, treptele de comandă excită aceste moduri cu slabă amortizare. În asemenea cazuri este avantajos a utiliza un filtru pentru netezirea semnalului generat de convertorul CNA. Asemenea filtru este denumit filtru post-eşantionare. Una dintre problemele căreia trebuie să i se acorde atenţie la implementarea algoritmului este saturarea componentei integrale. Uneori integratorul poate genera valori mari ce conduc la saturarea comenzii. Acest fenomen de saturare este denumit „reset windup", sau „integrator windup". Pentru a se elimina acest fenomen nedorit, cu implicaţii asupra performanţelor sistemului de reglare, se impun o serie de precauţii la implementare. Dacă ne referim la algoritmul cu două grade de libertate (2.18), prin adăugarea pe ambele părţi a termenului ( ) kuqA 1

0− se obţine:

( ) kkkk uRASyTruA −+−= 00 Un regulator cu compensarea saturării („anti-reset windup") este dat prin: ( ) kkkk uRASyTrvA −+−= 00 [ ]kk vsatu = unde [ ]kvsat este funcţia saturaţie.

Acest regulator este echivalent cu ecuaţia (2.18) atât timp cât semnalul de comandă nu se saturează. Polinomul A0 este stabil şi poate fi interpretat ca dinamica observerului regulatorului.

În figura 2.9 se prezintă o schemă bloc pentru ecuaţia (2.62). Pentru 10 =A (corespunzător pentru observer dead-beat) algoritmul de reglare este: ( )[ ]kkkk uRSyTrsatu −+−= 1

Un aspect căruia se impune a i se acorda atenţie la implementarea algoritmilor adaptivi îl constituie alegerea intervalului de discretizare. Viteza de eşantionare influenţează multe proprietăţi ale sistemului, ca urmărirea referinţei, rejecţia perturbaţiilor şi a zgomotului de măsură, precum şi sensibilitatea în raport cu modelarea imprecisă a procesului.

40

Fig.2.9

O regulă empirică de alegere a perioadei de discretizare T pentru metodele de proiectare deterministe recomandă 5,01,00 ÷=Tω unde 0ω este frecvenţa naturală a polilor dominanţi ai sistemului închis. Dacă polul dominant este real, se poate recomanda T/To =0.1 ... 0.5, unde To este constanta de timp a polului dominant. Aceste reguli implică un timp de răspuns la treapta de cel puţin (5-20) eşantioane.

În cadrul sistemelor adaptive, deoarece procedura de proiectare este on-line, este necesar a acoperi toate posibilităţile şi regimurile de lucru oferite de un sistem de reglare automată.

Astfel, se impune a şti dacă modelul procesului este sau nu de fază minimă sau dacă există divizori comuni ai polinoamelor ( )1−qA şi ( )1−qB . Combinaţia optimă a metodelor de estimare şi proiectare a algoritmilor adaptivi va urmări asigurarea convergenţei, stabilităţii şi robusteţii sistemelor adaptive în condiţiile definirii clasei de mărimi exogene şi a delimitării nivelului incertitudinilor în construcţia modelelor. De remarcat faptul că sistemul adaptiv are o structură ierarhică cu două bucle ce interacţionează şi operează la scale diferite de timp.

O condiţie necesară pentru stabilitatea sistemelor adaptive este ca sistemul închis să fie stabil, în cazul în care parametrii de acord sunt fixaţi la valorile lor exacte. Pentru a satisface această condiţie, trebuie luate în consideraţie problemele legate de compensarea polilor şi a zerourilor, probleme ce au în vedere, atât structura procesului condus, cât şi a algoritmului de reglare. Condiţia suficientă ca sistemul adaptiv sa fie stabil este ca toţi parametrii estimaţi, ceruţi pentru proiectarea algoritmilor de reglare, să conveargă la valorile lor reale.

Prin convergenţă înţelegem că obiectivul reglării este atins asimptotic şi toate variabilele sistemului rămân mărginite pentru o clasă de condiţii iniţiale. Analiza proprietăţii de convergenţă a sistemelor este utilă nu doar pentru faptul că furnizează informaţii privind stabilitatea sistemului, ci şi pentru faptul că uşurează distincţia dintre algoritmii de reglare performanţi sau mai puţin performanţi, sugerând totodată modalităţi prin care performanţele sistemelor adaptive pot fi îmbunătăţite. Performanţele sistemului de reglare vor influenţa conţinutul frecvenţial al semnalelor de intrare şi de ieşire ale procesului ce urmează a fi identificat, apărând unele situaţii conflictuale între cele două bucle, bucla de reglare şi bucla de adaptare.

41

Este de remarcat faptul că cele două bucle de reglare şi adaptare inter-acţionează, deşi operează cu perioade diferite de discretizare, cu două scale de timp diferite.

Utilizarea celor două scale de timp într-un sistem adaptiv presupune că parametrii procesului variază lent. Aceasta arată că parametrii estimaţi la momentul anterior de eşantionare sunt utilizaţi pentru calculul comenzii curente.

Pentru a iniţializa un algoritm cu autoacordare există mai multe căi, în funcţie de informaţia apriorică disponibilă despre proces. În cazul că nu se cunoaşte nimic despre proces, valorile iniţiale ale parametrilor în estimator pot fi alese egale cu zero, astfel ca regulatorul iniţial să fie proporţional sau integral cu amplificare redusă.

Intrările şi ieşirile procesului ar putea fi scalate pentru a avea aceeaşi ampli-tudine, astfel încât să se asigure condiţii numerice mai bune, atât pentru estimare, cât şi pentru partea de reglare propriu-zisă. În faza iniţială, adăugarea unui semnal perturbator poate creşte viteza de convergenţă a estimatorului. Situaţia este diferită dacă procesul a fost controlat înainte cu un regulator convenţional sau unul adaptiv. În acest caz, valorile iniţiale se iau cele corespunzătoare regulatorului utilizat înainte. Pornirea unui asemenea algoritm cu autoacordare trebuie făcută cu precauţie, pentru a evita, atât transmiterea spre elementul de execuţie a unor comenzi foarte mari, cât şi o funcţionare necorespunzătoare a estimatorului, în cazul în care comenzile transmise procesului nu sunt persistente şi puternic excitante pentru proces.

Implementarea algoritmilor adaptivi presupune includerea în algoritmi a unor „reţele de siguranţă" (safety nets). Algoritmul de reglare trebuie să includă limitarea comenzii şi desaturarea componentei integrale (anti reset windup).

Ţinând seama de dificultăţile şi multiplele precauţii la implementarea sistemelor adaptive apare ca o necesitate organizarea acestor sisteme pe trei niveluri ierarhice, aşa cum se arată în figura 2.10. Nivelul ierarhic superior are rolul de supervizare a funcţionării normale a buclei de adaptare. Printre funcţiile acestui nivel reţinem:

- alegerea optimă a perioadei de eşantionare; - alegerea metodei de estimare a parametrilor modelului; - estimarea timpului mort; - alegerea metodei de proiectare; - verificarea stabilităţii sistemului de reglare; - conectarea sau deconectarea buclei de adaptare etc.

42

Fig.2.10

Completarea funcţiilor supervizorului cu funcţii specifice operatorului uman, apelând inclusiv la tehnici euristice de decizie, asigură sistemului adaptiv un grad de autonomie mai ridicat şi, în consecinţă, un nivel de inteligenţă corespunzător.

O funcţie ce apare tot mai frecvent în structurile adaptive de conducere o reprezintă funcţia de identificare automată a defectelor şi reconfigurarea dinamică hardware şi software a sistemului. Supervizorul în acest caz poate prelua această sarcină complexă de organizare a întregului sistem de conducere cu evoluţie într-un mediu necunoscut apriori. Astfel, se includ în sistem funcţii ce-i conferă toleranţă la defecte şi implicit autonomie în funcţionare. Sistemele adaptive robuste cu ridicată autonomie reprezintă o primă generaţie de sisteme inteligente de conducere. O structură avansată de sistem adaptiv este reprezentată în figura 2.11, unde procesul este descris de modele diferite pentru diverse regimuri de funcţionare, iar regulatoarele se selectează şi combină pentru asigurarea cerinţelor de performanţă impuse prin intermediul supervizorului.

43

Fig. 2.11

În aceasta structură se prezintă doar o modalitate de configurare a sistemului adaptiv prin selectarea celei mai potrivite strategii de conducere în funcţie de regimul de funcţionare şi de cerinţele de performanţă. Diferitele modele iM ataşate regimurilor de funcţionare ale procesului sunt selectate în vederea alegenii celui mai potrivit algoritm de reglare Rk pentru asigurarea performanfelor dorite ale SRA. Supervizorul stabileşte strategia de combinare a comenzilor furnizate de Rk pentru asigurarea funcţionării procesului la performanţele impuse pentru întreaga gamă de variaţie a ieşirii yk si a intrarii uk.

Aplicaţii

2.1. Se considera procesul caracterizat prin modelul:

( )01

2 asasKsH P

P ++=

cu KP > 0, y(t) şi ( )ty& disponibile pentru măsurare, unde a0, a, si KP sunt necunoscute. Se cere:

a) o realizare de stare (A, b, cT ); b) o lege de reglare dupa stare, astfel încât eroarea de urmărire a stării unui model de

referinţă să tindă exponenţial la zero când timpul tinde către infinit; legea de adaptare a parametrilor regulatorului pentru asigurarea stabilităţii asimptotice.

2. 2. Se consideră procesul caracterizat prin modelul: unde KP >0 şi [ ]10,10−∈α . Se cere:

44

a. o structură de SRA, astfel încât răspunsul indicial să urmărească un răspuns impus; b. legea de comandă care asigură urmărirea unui raspuns aperiodic cu o constantă de

timp egală cu 0.5sec. c. legea de variaţie a parametrilor regulatorului care asigură

urmărirea asimptotică a ieşirii dorite furnizatp de un model de referinţă. 2.3. Se consideră un sistem mecanic format din două corpuri legate printr-o articulaţie

flexibilă şi amortizor descris prin: ( ) ( ) ( ) ( )tututbtJ ksmsm −=+ θθ &&& ( ) ( ) ( )tutbtJ kssss =+ θθ &&&

unde ( ) mmm bJt ,,θ reprezintă poziţia unghiulară a motorului, inerţia şi coeficientul de frecare vâscoasă, ( ) sss bJt ,,θ sunt poziţia, inerţia şi coeficientul de frecare vâscoasă ale sarcinii, ( )tu este comanda (tensiunea de alimentare a motorului), iar ( )tuk este forţa din articulaţie datorată flexibilităţii şi amortizării:

( ) ( ) ( )tbtKtu kk δδ &+= ( ) ( ) ( )ttt sm θθδ −=

unde K > 0 este coeficientul de rigidizare iar bk este coeficientul de amortizare. Se cere:

a. legea de comandă, în condiţiile în care parametrii modelului sunt cunoscuti; b. legea de adaptare a comenzii, în cazul în care parametrii sunt variabili în timp, astfel

încât starea sistemului să urmărească o stare generată de un model de referinţă. 2.4. Se consideră modelul unui manipulator: ( ) ( ) ( ) uKtqqqqCqqD u=Φ++ ,, &&&&

unde nxnuK ℜ∈ este o matrice constantă necunoscută pentru nu ℜ∈ şi

Se cere: a. o schemă de reglare adaptivă pentru Ku diagonală şi pozitiv definită; b. o schema de reglare adaptiva pentru Ku diagonală şi nesingulară. 2.5. Se consideră procesul de ordinul I: ( ) ( ) ( ) ( )tutyaty p +∆+=&

unde ap este parametrul nominal al procesului şi ∆ reprezintă incertitudinea parametrică. Dându-se un model de referinţă ( ) ( ) ( ) 0, >+−= mmm atrtyaty& se cere: a) legea de comandă pentru modelul nominal cu o structură fixă; b) legea de comandă adaptivă în prezenţa incertitudinii

c) parametrice; d) studiu comparativ pentru cele două situaţii cu evidenţierea robusteţei celor două soluţii.

45

Capitolul 3 Sisteme cu structură variabilă

3.1. Utilitatea sistemelor cu structură variabilă

Se ştie că sistemele cu structură invariantă în timp, liniare sau neliniare, oferă portrete dinamice bine determinate, care se pot modifica prin schimbarea unor parametri, dar nu în evoluţia lor dinamică, ci în afara regimurilor normale de funcţionare. Portretele dinamice ale sistemelor liniare nu oferă practic nici o posibilitate de combinare a două sau mai multor regimuri sau procese dinamice în funcţie de condiţiile concrete de evoluţie şi de cerinţele generale impuse sistemului într-un cadru mai larg. Dacă luăm, de exemplu, numai componenta proporţională din algoritmul de conducere, ar fi de dorit ca atât timp cât abaterea în circuit închis este mare, asigurând directivitatea necesară, procesul să evolueze rapid, cu coeficient mare de proporţionalitate, chiar dacă în această fază se fac unele concesii şi la stabilitate. Pe măsură însă ce abaterea s-a micşorat, este necesar un reglaj mai fin, care să racordeze lin şi scurt procesul la regimul stabilizat cum se arată în fig. 3.1. Evident că nici un sistem liniar obişnuit nu oferă o asemenea posibilitate. Performanţe de acest fel se pot obţine în sistemele neliniare, în sistemele optimale, în sistemele cu structură variabilă şi în alte tipuri de sisteme mai perfecţionate.

Fig. 3.1.

Sistemele neliniare, cu neliniarităţi convenabil alese şi introduse în circuitul direct sau în circuitele de reacţie permit să se obţină performanţe superioare prin: modificarea unor factori de amplificare, amortizare etc., asigurarea unor regimuri specifice de funcţionare, cum sunt comutările comandate la caracteristici de tip releu, regimurile oscilante cu frecvenţe mari inclusiv regimurile alunecătoare etc. sistemele neliniare însă, pot ieşi adesea de sub controlul algoritmului de conducere, datorită unor elemente specifice ale portretului de fază. Sistemele optimale dau posibilitatea să se folosească cu maximum de eficienţă resursele de care dispun structurile în circuit deschis sau închis. Dar rigiditatea structurilor optimale şi mai ales dificultăţile constructive care însoţesc realizarea acestora, necesitatea unor mijloace de calcul de o complexitate apreciabilă le fac adesea improprii pentru o funcţionare de lungă durată în timp real şi neeconomice la intervenţii singulare. Trecerea la o nouă clasă de sisteme dinamice, aceea a sistemelor cu structură variabilă, permite să se obţină performanţe şi mai bune cu mijloace tehnice relativ simple. De exemplu, prin combinarea a două sisteme liniare instabile, cu intervenţie succesivă în proces după algoritmi

t

v

1

2

δ

46

corespunzători, se pot obţine o mulţime de sisteme noi, cu structură variabilă, stabile şi cu calităţi dinamice dorite. Reluând exemplul menţionat anterior, cele două structuri care se obţin prin variaţia în salt a coeficientului de proporţionalitate formează un sistem cu structură variabilă (fig. 3.2). Dispozitivul de comutare din acest sistem poate acţiona comutatorul K pe o poziţie sau alta în funcţie de anumite condiţii de prag, cum ar fi ε<δ (fig.1), condiţii în care intervine direct mărimea de ieşire y, condiţii în care se folosesc variabilele interne ale procesului z etc.,sau diverse combinaţii ale acestora. Coeficienţii k1 şi k2 se aleg în aşa fel încât să se obţină procesele 1 şi 2 din fig. 3.1 care prin juxtapunere într-o ordine determinată generează un regim tranzitoriu corespunzător. Dar acesta nu este singurul efect util al joncţiunii dintre două au mai multe structuri. Funcţionarea în regim alunecător (comutatorul K oscilează cu frecvenţă foarte mare şi generează amplitudini foarte mici în jurul unor curbe, suprafeţe sau hipersuprafeţe de comutaţie) permite reducerea, până la eliminarea completă, a influenţei parametrilor sistemului şi factorilor perturbatori asupra regimurilor alunecătoare, a căror calitate se determină exclusiv prin parametrii hipersuprafeţelor de comutaţie, liniare sau neliniare.

Fig. 3.2.

În prezentul capitol se vor prezenta câteva din principalele aspecte teoretice şi practice ale sistemelor cu structură variabilă. Desigur, studiul acestor sisteme poate fi fundamentat şi dezvoltat cu ajutorul teoriei distribuţiilor, de care autorii s-au ocupat direct şi au obţinut o serie de rezultate. Cum însă această abordare necesită un instrument matematic mai dificil, s-a considerat util să se limiteze la metodele clasice de abordare a acestor sisteme.

3.2. Regimuri dinamice în sistemele cu structură variabilă

După cum arată şi numele, orice sistem cu structură variabilă este conceput astfel încât structura să se modifice de la un domeniu la altul al spaţiului stărilor, să se adapteze la diverse

v ε K

Dispozitiv de comutare

K1

K2

u Proces y

z y

_

ε

K2

47

condiţii interne şi externe. În interiorul acestor domenii, sau când sunt îndeplinite condiţiile date, sistemul evoluează ca un sistem continuu sau direct, liniar, cu structură invariantă. Combinând într-un mod sau altul diverse structuri se pot obţine, în ansamblu, regimuri noi de mişcare, care conduc la performanţe mult superioare celor realizate în sistemele cu structură invariantă. Posibilităţile de a obţine regimuri şi calităţi dinamice noi prin modificarea structurii se pot ilustra foarte bine cu sisteme de ordinul al II-lea, la care portretul dinamic, inclusiv traiectoriile de fază, se pot reprezenta geometric în plan.

3.2.1. Regimurile dinamice ale unui obiect liniar de ordinul II

Se consideră un obiect liniar cu coeficienţi constanţi, descris prin ecuaţii de stare sub formă canonică minimală

21 xx =& buxaxax −−−= 21102& (3.1)

Mişcarea liberă a acestui obiect ( 0=u ) este de forma ( ) tt eCeCtx 21

211λλ +=

( ) tt eCeCtx 2122112

λλ λλ += (3.2) în care λ1 ,λ2 reprezintă rădăcinile ecuaţiei caracteristice, iar constantele C1 şi C2 depind de condiţiile iniţiale ( )01 tx şi ( )02 tx . Dacă se elimină timpul t din cele două relaţii (3.2), se obţin traiectoriile de fază în planul fazelor ( )121 , xxx &= , reprezentând o familie de curbe al căror aspect depinde de natura şi valorile rădăcinilor λ1 şi λ2 ale ecuaţiei caracteristice a sistemului (3.1)

010

det 012

10

=++=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

− aaaa

I λλλ

48

Fig. 3.3 În fig. 3.3 s-au reprezentat toate tipurile de traiectorii de fază, corespunzătoare următoarelor cazuri posibile:

a) 21 ,λλ – reale, negative şi distincte:0> λ1 > λ2 b) 21 ,λλ - reale, negative şi egale: 0> λ1= λ2 c) ωσλλ j±=21 , - complex conjugate cu 0<σ d) ωσλλ j±=21 , - imaginare: 0=σ e) 21 ,λλ - complex conjugate cu 0>σ f) 21 ,λλ - reale pozitive şi distincte: 021 >> λλ g) 21 ,λλ - reale, pozitive şi egale: 021 >= λλ h) 21 ,λλ - reale, cu semne opuse şi module distincte: 01 >λ , 02 <λ , 21 λλ >

i) 21 ,λλ - reale, cu semne opuse şi module egale: 01 >λ , 02 <λ , 21 λλ =

49

j) 21 ,λλ - reale, cu semne opuse şi module distincte: 01 >λ , 02 <λ , 21 λλ < În cazul rădăcinilor reale, pentru condiţii iniţiale de forma ( ) ( )01102 txtx λ= se obţine

02 =C (şi reciproc) şi traiectoriile de fază devin linii drepte suprapuse cu dreapta separatoare 1D descrisă de ecuaţia:

0112 =− xx λ (3.3) iar dacă ( ) ( )01202 txtx λ= sau, echivalent, 01 =C , atunci traiectoriile se suprapun cu dreapta separatoare 2D având ecuaţia:

0122 =− xx λ (3.4) Dreptele separatoare 1D şi 2D s-au pus în evidenţă şi în portretele de fază din fig. 3.3 care corespund rădăcinilor 1λ şi 2λ reale. Dacă 1λ şi 2λ sunt negative, sistemul este stabil şi mişcarea de-a lungul dreptelor 1D şi

2D este o mişcare degenerată (de ordinul I), convergentă spre origine, iar dacă 1λ şi 2λ sunt pozitive, mişcarea de-a lungul dreptelor 1D şi 2D este o mişcare divergentă degenerată (de ordinul I). Se observă că toate traiectoriile converg (în cazul stabilităţii) şi diverg (în cazul instabilităţii) tangent la dreptele separatoare 1D şi 2D . Se observă, de asemenea, că dacă rădăcinile 1λ şi 2λ sunt reale şi de semn real şi de semn opus, mişcarea este convergentă spre origine pe separatoarea corespunzătoare lui 0<λ şi divergentă pe a doua separatoare. Sistemul este, desigur, instabil.

3.2.2. Regimul de comutare cu structură variabilă Considerăm acum un sistem cu structură variabilă, compus din două structuri liniare de ordinul II, la care comutarea se efectuează pe dreptele 01 =x şi 0=s unde:

112 xdxs −= Vom presupune că în domeniul 1∆ , determinat prin condiţia sx1 > 0, sistemul are o structură. S1, iar în domeniul 2∆ , determinat prin condiţia 01 <sx , sistemul are o altă structură S2. Putem lua, de exemplu, două structuri instabile, cum sunt acelea care au portretele de fază din fig. 3.3, e pentru S1 şi fig. 3.3, h pentru S2. Sistemul cu structura variabilă S astfel format va avea portretul de fază din fig. 3.4, în care s-a presupus 0 > λ2 > d1. Pornind dintr-un punct iniţial (x10 , x20) din domeniul ∆1, sistemul va evolua după o spirală, reprezentată în fig. 3.4 prin curbă întreruptă, până când punctul de fază (x1, x2 ) va atinge dreapta s = 0. În acel moment, dispozitivul de comutare va transforma structura sistemului din S1 în S2 şi aceasta va evolua după o curbă proprie (fig. 3.3, h) până când punctul figurativ va atinge dreapta de comutare x1 = 0,

50

Fig. 3. 4. are loc o nouă comutare pe S1 şi sistemul va evolua din nou după o spirală. Procesul de comutare se repetă până când punctul figurativ atinge originea sau se stabilizează pe un ciclu limită. Un astfel de regim de mişcare, în care structura se schimbă la intervale finite de timp, sistemul evoluând succesiv pe fiecare structură, în intervale de timp finite şi diferite de zero, se numeşte regim de comutare. La sistemul cu structură variabilă realizat după modelul din fig. 3.4 se observă că, din combinaţia a doua structuri instabile, se poate obţine un sistem rezultant asimptotic stabil. În particular, dacă d1= λ2 , atunci dreapta de comutare este o traiectorie degenerată (singulară). În momentul în care punctul de funcţionare atinge această dreaptă, regimul de comutare încetează, evoluţia sistemului efectuându-se de-a lungul traiectoriei singulare până în origine. Orice abatere de la această traiectorie reactualizează regimul de comutare până la un nou impact al traiectoriei de fază cu dreapta D2. O altă combinaţie de structuri liniare instabile care conduce la un regim de comutare stabil se poate realiza din portretele de fază indicate în fig. 3.5, a si 3.5, b. Astfel, dacă se utilizează axele de coordonate ca drepte de comutare,

51

iar domeniile ∆1 şi ∆2 se determină prin condiţiile x1x2 > 0 respectiv x1x2 < 0, se obţine un sistem cu structură variabilă, care are portretul de fază din fig. 3.5, c [10.1]. Evident că se pot realiza nenumărate combinaţii de structuri liniare care să conducă la apariţia unor regimuri de comutare. De exemplu, se poate prezenta un interesant sistem cu structură variabilă, realizat prin combinarea unei structuri liniare de ordinul II cu una de ordinul I. Sisteme cu structură variabilă se studiază de asemenea în lucrări care folosesc metoda diferenţelor finite şi teoria distribuţiilor.

Fig. 3.5.

Fig. 3.6.

52

Se pot formula condiţii generale de apariţie a regimului de comutare. În cazul mişcării libere acestea sunt: 1. Orice traiectorie de orice structură trebuie să intersecteze cel puţin o curbă de comutare. 2. Fiecare curbă de comutare trebuie să separe două structuri în aşa fel, încât toate traiectoriile de fază din prima structură să întâlnească o curbă de comutare sub unghiuri nenule, apoi să continue în a doua structură tot sub unghiuri nenule, îndepărtându-se de curba de comutare. Dacă toate structurile liniare continue care formează un sistem cu structură variabilă sunt stabile, atunci, indiferent cum se combină aceste structuri, toate regimurile de comutare corespund unor sisteme stabile. Când una sau mai multe din structuri corespund unor sisteme instabile, în funcţie de modalitatea de combinare a acestora se pot obţine sisteme cu structură variabilă stabile sau instabile.

3.2.3. Regimul de alunecare în sistemele cu structură variabilă

Să considerăm un sistem cu structură variabilă compus din aceleaşi structuri S1 şi S2 ca în fig. 3.4, dar cu dreapta de comutare s = 0 aleasă în aşa fel încât 0 > d1 > λ2. În acest caz portretul de fază are forma din fig. 3.6. Se observă că prima condiţie de comutare este îndeplinită de ambele structuri S1 şi S2. A doua condiţie de comutare nu se îndeplineşte încă decât pe dreapta x1 = 0, către care de o parte traiectoriile sunt convergente, iar de cealaltă parte traiectoriile sunt divergente. Pe dreapta de comutare s = 0, a doua condiţie de comutaţie nu se îndeplineşte: traiectoriile converg şi de o parte şi de cealaltă către această dreaptă. Prin urmare, dacă punctul de funcţionare ajunge pe această dreaptă, el n-o mai părăseşte, deoarece orice deviaţie de o parte sau de alta va genera mişcări convergente către această dreaptă. Dar dreapta de comutare nu poate aparţine nici unuia dintre domeniile ∆1 şi ∆2, deci se va observa o mişcare basculantă dintr-o parte în alta a dreptei de comutaţie cu frecvenţa foarte mare şi amplitudine foarte mică. Cum însă în medie mişcarea punctului figurativ urmăreşte dreapta s = 0, ţinând seama şi de faptul că x2 este derivata lui x1, pentru această mişcare rezultă o ecuaţie diferenţială de ordinul I

0111 =− xd

dtdx , 01 <d (3.5)

Aşadar, mişcarea pe dreapta de comutaţie s = 0 corespunde în medie) unui sistem dinamic de ordinul I, cu o unitate mai mică decât ordinul fiecăreia din cele două structuri adiacente. În fig. 3.6 sunt indicate prin linie punctată două traiectorii, pornind din două puncte iniţiale ( )2010 , xx şi ( )2010 , xx ′′ . Trecând prin domeniul ∆2, corespunzător structurii S2, aceste traiectorii traversează dreapta x1 = 0, continuându-se în domeniul ∆1 (structura S1) până la intersecţia cu dreapta s = 0, după care punctul figurativ nu mai părăseşte această dreaptă, ci oscilează în jurul ei cu o frecvenţă foarte mare şi amplitudine foarte mică, deplasându-se spre origine după ecuaţia (3.5). Regimul de mişcare a punctului figurativ, în care se repetă trecerea de pe o a parte pe alta a unei drepte sau curbe de comutare, cu frecvenţă infinit de mare şi amplitudine infinit de mică, se numeşte regim de alunecare.

53

Evident, şi în acest caz se pot realiza nenumărate combinaţii de structuri liniare care să conducă la apariţia regimului de alunecare. Să vedem acum care sunt condiţiile necesare şi suficiente de apariţie a regimului de alunecare şi de menţinere a sa în toate punctele unei curbe de comutare, sau, mai general când structurile componente sunt de ordin oarecare, în toate punctele unei hipersuprafeţe de comutare. Calitativ, această condiţie se poate formula astfel: pentru existenţa regimului de alunecare în toate punctele unei hipersuprafeţe de comutare, este necesar şi suficient ca toate traiectoriile structurilor adiacente să fie orientate spre hipersuprafaţa care le separă. Pentru a exprima cantitativ această condiţie, să considerăm că se dă un şir de structuri liniare în spaţiul n dimensional Xn, descrise de ecuaţiile de stare

uBxAx kk +=& , ...2,1=k (3.6) unde Ak este matrice n x n, Bk - matrice n x m, iar x = col ( )nxxx ..., 21 şi u = col ( )muuu ..., 21 sunt vectori de stare, respectiv de intrare. Fie, de asemenea hipersuprafeţele

( ) ( ) ( ) ( )[ ] 0,...,, 21 == txtxtxfts nii ,...2,1=i (3.7) care separă domeniile de acţiune a ecuaţiilor (3.6) într-un mod determinat. Pentru existenţa regimului de alunecare pe hipersuprafaţa si este necesar şi suficient ca în vecinătatea punctelor

0=is să fie satisfăcută relaţia

( ) ( )0<⋅

dttds

ts ii (3.8)

Într-adevăr, dacă si(t) < 0 atunci conform condiţiei (3.8) 0>dtdsi şi ( )tsi va creşte

până devine zero. Invers, dacă sit) > 0, ( )

0<dt

tdsi şi ( )tsi scade până la zero.

Hipersuprafeţele (7), pe care se îndeplinesc condiţiile de alunecare în fiecare punct, se numesc hipersuprafeţe de alunecare. Condiţiile de existenţă a regimurilor alunecătoare depind de ecuaţiile iniţiale (3.6) din domeniile adiacente fiecărei suprafeţe de alunecare, dar traiectoria mişcării de alunecare nu depinde de nici unul din parametrii celor două structuri. Existenţa regimurilor alunecătoare depinde parţial şi de parametrii acestor regimuri. Dacă în spaţiu Xn se intersectează două hipersuprafeţe de alunecare si şi sj cu dimensiunile n-1, atunci intersecţia acestora determină de asemenea o hipersuprafaţă de alunecare cu dimensiunea n—2, descrisă de ecuaţiile

si = 0 şi sj = 0. (3.9) Generalizând, mişcarea în regim de alunecare pe intersecţia a nq ≤ hipersuprafeţe de alunecare se efectuează după o ecuaţie de ordinul n—q, deci apare o reducere cu q unităţi a ordinului sistemului. Condiţiile de existenţă a regimurilor alunecătoare (3.8) sunt inegalităţi şi de aceea pot fi satisfăcute şi atunci când parametrii structurilor variază întâmplător între anumite limite. Din acelaşi motiv, mişcarea stabilizată în regim de alunecare prezintă o insensibilitate finită la variaţia parametrilor sistemului cu structură variabilă, ceea ce permite să se impună indicatori de calitate doriţi pentru un asemenea sistem între limite determinate.

54

3.3. MIŞCAREA LIBERĂ ÎN SISTEMELE CU STRUCTURĂ VARIABILĂ

Fie acum un obiect sau proces tehnologic liniar cu o singură intrare u(t) şi o singură ieşire y(t), care trebuie stabilizată la o valoare constantă v impusă. Pentru descrierea matematică a comportării acestui proces este indicată scrierea ecuaţiei de stare în forma canonică minimală, la care prima componentă a vectorului de stare este chiar abaterea mărimii de ieşire faţă de valoarea impusă

x1= v — y (3.10) În această situaţie, ecuaţiile de stare au forma

1+= ii xx 1,...,2,1 −= ni

buxaxn

iiin −−= ∑

=1 (3.11)

în care parametrii a şi b sunt consideraţi constanţi în raport cu desfăşurarea unui proces tranzitoriu, însă în timp îndelungat pot varia lent, deterministic sau aleator, între limite date

maxmin iii aaa ≤≤ ni ,...2,1=

maxmin bbb ≤≤ (3.12) Cum însă v=const., evoluţia sistemului de reglare în circuit închis dintr-o stare oarecare, în care a fost deplasat de o perturbaţie, către starea de echilibru 0=ix , ni ,...2,1= , se efectuează numai prin mişcare liberă. În funcţie de modul cum este alcătuit algoritmul de conducere, deosebim mai multe posibilităţi.

3.3.1. Conducerea proporţională cu abaterea Sistemul de reglare în circuit închis are schema bloc în fig. 3.7, în care algoritmul de conducere are ceea mai simplă formă posibilă

1xu Ψ= (3.13) unde ψ este factorul de amplificare. Performanţele obţinute cu un sistem la care amplificarea ψ este constantă sunt reduse şi dependente de parametrii ai şi b. Realizând sistemul în aşa fel, încât factorul de amplificare ψ să poată lua două valori distincte α şi β în diferite domenii ale spaţiului stărilor, în circuit închis se obţin două structuri liniare distincte. S-a arătat că prin combinarea acestor structuri poate să apară o mişcare de alunecare independentă de parametrii celor două structuri. Din motive de simplitate constructivă, se va alege hiperplanul x1 = 0 ca hipersuprafaţă de comutare şi drept hipersuprafaţa de alunecare se va lua un alt hiperplan cu ecuaţia s = 0, unde

xds T= , ( )ndddcold ,...,, 21= ; 1=nd (3.14) Aceste două hiperplane determină două domenii ∆1 şi ∆2 corespunzătoare celor două structuri determinate de ψ = α şi ψ = β. Prin urmare, factorul de amplificare va fi

⎩⎨⎧

<>

=Ψ00

1

1

sxpentrusxpentru

βα

(3.15)

55

În plus, pentru ca hiperplanul s = 0 să devină hiperplan de alunecare, va trebui ca în vecinătatea tuturor punctelor sale să avem satisfăcută condiţia

( ) ( )0<

dttd

ts S (3.16)

Dacă acum se calculează derivata dtds din formula (3.14) şi se ţine seama de ecuaţiile (3.11) si

relaţia (3.13) rezultă

( ) ( ) ( )∑−

=−− +−Ψ−−−−=

1

21112

n

innniii xdaxbaxda

dtds (3.17)

Deoarece condiţia de existenţă a regimului de alunecare trebuie îndeplinită în punctele hiperplanului s = 0, adică pentru

∑=

−=n

iiin xdx

1 , (3.18)

atunci ecuaţia (3.17) devine

( ) ( )∑=

−−− Ψ−−+−+−++−=n

innininiii xbddadaxddadda

dtds

21111111 (3.19)

Impunem acum condiţiile ca pentru structura în care s > 0, mărimea dtds să fie nepozitivă, iar

pentru structura în care s < 0 mărimea dtds să fie nenegativă. Din ecuaţia (3.19) se vede că pentru

aceasta este suficient să fie îndeplinite relaţiile: 011 =−++− −− niniii ddadda 1,...,2 −= ni ,

( ) 011111 ≤Ψ−−+− − xbddada nn pentru 0>s (3.20) ( ) 011111 ≥Ψ−−+− − xbddada nn pentru 0<s

Ţinând cont de valorile (3.15), aceste relaţii se scriu sub forma

⎪⎭

⎪⎬

⎫

−+−≤

−+−≥

−

−

bddada

bddada

nn

nn

1111

1111

β

α (3.21)

nni

ii add

ad−=

−−

−1

1 1,...,2 −= ni ; 1=nd (3.22)

care constituie condiţiile necesare şi suficiente de existenţă a regimului de alunecare pe tot hiperplanul s = 0.

Fig. 3.7.

56

În se demonstrează că nerespectarea cel puţin a uneia din relaţiile (3.21), (3.22) conduce la apariţia unor puncte ale hiperplanului s = 0, în care condiţia (3.16) nu este satisfăcută, adică relaţiile (3.21), (3.22) sunt şi condiţii necesare. Deoarece relaţiile (3.21) sunt de tipul inegalităţilor, existenţa regimului de alunecare poate fi asigurată chiar dacă a1 şi b variază între limite finite, astfel încât să avem

bddada

bddada

nn

ba

nn

ba

1111

,

1111

,

1

1

min

max

−

−

−+−≤

−+−≥

β

α (3.23)

Se observă că una din componentele vectorului d rămâne arbitrară în relaţiile (3.22) şi deci nu influenţează condiţiile de existenţă a regimului alunecător. Ecuaţia diferenţială care descrie mişcarea sistemului în regim de alunecare, determinată de ecuaţia hiperplanului de alunecare s = 0, are forma

( ) ( ) 0... 11122

111

1 =++++ −−

− xdxdxdx nn

n & (3.24) Pentru proiectarea unui astfel de sistem se calculează parametrii dn_2, dn_3, ..., d1 cu ajutorul relaţiilor (3.22) în funcţie de coeficientul dn-1 apoi, utilizând tehnicile de proiectare de la sistemele continue, se determină şi parametrul dn-1 în aşa fel, încât ecuaţia (3.24) să permită satisfacerea anumitor performanţe dorite. Cu ajutorul relaţiilor (3.23) se calculează cele două valori ale factorului de amplificare.

Fig. 3.8 Schema bloc a unui astfel de sistem cu structură variabilă este indicată în fig. 3.8. După cum se vede şi din această schemă, la sistemele cu structură variabilă, care din punctul de vedere al variaţiei parametrilor sunt sisteme adaptive, se disting două circuite de reacţie, unul pentru formarea abaterii x1 şi altul pentru generarea şi utilizarea semnalului de comutare. Legea de conducere (3.15) se mai poate exprima şi sub forma

signxxxu 111 22βαβα −

++

=Ψ= s (3.25)

57

În particular, dacă βα −= , cu condiţia satisfacerii relaţiilor (3.23) , algoritmul de conducere devine

( ) ( )ssignxssignxu 112αβα

=−

= (3.26)

În aceste condiţii, dispunând de un element de înmulţire, I, un element de tip modul M şi un element de timp releu R, schema acestui sistem se poate realiza după modelul din fig. 3.9. Componentele vectorului de stare, utilizate în acest model pentru calculul mărimii s, se culeg sau reconstituie din procesul automatizat ori se formează cu ajutorul unor blocuri de derivare din abaterea x1.

3.3.2. Conducerea proporţionala cu abaterea şi derivatele ei Considerăm, acelaşi proces (3.11), la care acum algoritmul de conducere se formează proporţional din abaterea x1 şi derivatele sale până la ordinul k-1. Astfel comanda u va fi

∑=

Ψ=k

iii xu

1 (3.27)

unde

⎩⎨⎧

<>

=Ψ00

sxpentrusxpentru

ii

iii β

α (3.28)

iar hipersuprafaţa de alunecare se ia tot de forma

∑=

=n

iii xds

1, 1=nd (3.29)

În aceste relaţii ii βα , şi id sunt constante. Vom presupune că fiecare componentă iΨ a factorului de amplificare comută pe hiperplanul corespunzător xi = 0 în spaţiul ( ).,...,, 21 nxxx

Fig.3.9

58

Pentru ca hiperplanul s = 0 din spaţiul xn să fie un hiperplan de alunecare este necesar şi suficient să se îndeplinească inegalitatea (3.16). Efectuând aceleaşi calcule ca şi în cazul

precedent, cu ∑−

=

−=1

1

n

iiin xdx , mărimea

dtds se scrie sub forma

( ) ( )∑ ∑=

−

+=−−−− −+−−+Ψ−−++−

k

i

n

kiininiiiiininiii xddaddaxbddadda

dtds

1

1

11111 , 00 =d (3.30)

Din formula (3.30) se obţin condiţiile necesare şi suficiente de existentă a regimului de alunecare pe s = 0 sub forma:

⎪⎭

⎪⎬

⎫

−++−≤

−++−≥

−−

−−

bddadda

bddadda

niniiii

niniiii

11

11

β

α ki ,...,2,1= (3.31)

nni

ii add

ad−=

−−

−1

1 , 1,...,1 −+= nki , 1=nd (3.32)

Daca parametrii b, ai i=1,2,...,k variază între limitele [ ]maxmin ,bb respectiv [ ]maxmin , ii aa , suficient de lent pentru ca pe durata unui regim tranzitoriu să poată fi consideraţi constanţi, atunci condiţiile (3.31) au forma

ki

bddadda

bddadda

niniii

aabi

niniii

aabi

k

k ,...,2,1min

max

11

,...,,

11

,...,,

1

1 =

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

−++−≤

−++−≥

−−

−−

β

α (3.33)

Se observă că existenţa regimului de alunecare nu depinde de k componente ale vectorului d care pot fi arbitrare în relaţiile (3.32). Prin urmare k coeficienţii ai ecuaţiei diferenţiale (3.24), care şi în acest caz descrie mişcarea de alunecare, nu influenţează asupra condiţiilor de existenţă a mişcării de alunecare.

Pentru proiectare se procedează ca şi în cazul precedent. Cu ajutorul relaţiilor (3.32) se calculează valorile componentelor dk, dk+1 ... dn-2 în funcţie de dn-1. Apoi, folosind tehnicile de proiectare de la sistemele continue se determină componentele d1, d2...dk-1 şi dn-1, astfel încât ecuaţia (3.24) să permită obţinerea unor performanţe dorite. După aceea, cu ajutorul relaţiilor (3.33) se determină valorile factorilor de amplificare kiii ,...2,1,, =βα . Schema bloc a unui astfel de sistem este asemănătoare cu aceea indicată în figurile 3.8 şi 3.9, cu deosebirea că apare câte un bloc de comutare pentru fiecare factor de amplificare iΨ . Când k=n-1, condiţiile de existenţă a regimului de alunecare se impun numai prin inegalităţile (3.33), nemaiexistând nici o condiţie de tipul egalităţilor. În această situaţie, se poate asigura regimul de alunecare chiar dacă toţi parametrii procesului variază lent între anumite limite. în plus, ecuaţia hiperplanului de alunecare este în întregime arbitrară, putând fi aleasă fără nici o restricţie astfel încât să corespundă satisfacerii anumitor performanţe dorite. Dacă o perturbaţie deplasează sistemul din starea de echilibru ( ) 01 =ix , 1,...,1,0 −= ni , într-o stare oarecare, el revine în această stare întâi printr-un regim de comutare la 01 =x până întâlneşte hiperplanul 0=s , după care va intra în regim de alunecare de-a lungul acestui hiperplan până va atinge din nou starea de echilibru vj ≡ .

59

3.3.3. Conducerea proceselor integro-diferenţiatoare Până acum s-a considerat ca ecuaţia diferenţială care descrie comportarea obiectului nu conţine derivate în raport cu intrarea u. În această situaţie variaţiile în treaptă ale factorului de amplificare Ψ nu generează discontinuităţi la nici una din componentele vectorului x. Dacă însă ecuaţia diferenţială a procesului conţine derivate ale intrării u până la ordinul m-1, atunci ea conduce la o ecuaţie de stare canonică de forma

1+= ii xx& 1,...,2,1 −= ni

( )∑ ∑=

−

=+ +−−=

n

i

m

i

iiiin upbxax

1

1

01& (3.34)

unde dtdp = este operatorul de derivare în raport cu timpul.

Din cele analizate mai sus, s-a văzut că pentru apariţia regimului de alunecare trebuie ca

dtdxn să sufere în momentele de comutare cel mult variaţii treaptă. Aceasta impune ca ut) să fie o

funcţie continuă şi derivabilă de (m-2) ori, iar derivata sa de ordinul (m-1) să sufere cel mult variaţii treaptă. Nerespectarea acestor condiţii conduce la apariţia unor traiectorii discontinue în spaţiul fazelor şi la imposibilitatea obţinerii unor regimuri acceptabile din punct de vedere tehnic. În continuare este studiată comportarea unui sistem cu structură variabilă pentru conducerea unui obiect de ordinul II, a cărui ecuaţie diferenţială conţine o derivată la intrarea procesului; se arată că în regim de alunecare punctul de funcţionare suferă variaţii în jurul dreptei de alunecare, cu frecvenţa, teoretic, infinit de mare şi amplitudine finită, diferită de zero. Pentru a evita aceste neajunsuri, adică pentru a realiza o intrare ( )tu continuă şi derivabilă până la ordinul (m-2), între dispozitivul de conducere şi proces se interpune un filtru (m-l) - dimensional, alcătuit din m-1 elemente inerţiale cu ieşirile z1, z2... zm-1 , descrise de ecuaţiile

( )iii

i zzT

z −= −11 1,...,2,1 −= mi (3.35)

în care Ti sunt constante de timp, wz =0 — mărimea de intrare în filtru, iar, zm-1 = u mărimea de ieşire din filtru. În aceste condiţii, se pot aplica toate relaţiile din secţiunile 3.1 şi 3.2 însă, considerând obiectul cu intrarea w şi ieşirea y, de ordinul n+m-l.

60

3.4. Mişcarea forţată în sistemele cu structură variabilă Majoritatea sistemelor de reglare se realizează pentru conducerea unor obiecte supuse automatizării aşa fel, încât mărimea de ieşire a acestora să fie cât mai apropiată de o mărime impusă vt), în particular constantă, în condiţiile existenţei unor perturbaţii externe. În funcţie de informaţiile existente asupra acestor perturbaţii, s-au pus la punct diverse metode de proiectare a unor sisteme care să realizeze performanţe mai mult sau mai puţin satisfăcătoare. Utilizarea în acest scop a regimurilor de mişcare specifice sistemelor cu structură variabilă conduce la extinderea posibilităţilor de realizare a unor astfel de sisteme, permiţând obţinerea unor performanţe superioare. Metodica de analiză şi sinteză a unor astfel de sisteme este tratată în amănunţime în lucrările. Vom începe studiul acestor sisteme cu un caz particular de ordinul II, tratat mai dezvoltat în lucrarea. 3.4.1. Analiza şi sinteza unui sistem de ordinul II în regim forţat Fie sistemul de ordinul II reprezentat în fig. 3.10, în care s-a presupus ca obiectul împreună cu elementul de execuţie formează un element dublu integrator ideal cu acces la variabila intermediară. În cazul sistemelor adaptive, caracterul multivariabil poate fi determinat numai de circuitele de adaptare, care realizează adaptarea mai multor parametri ai unui bloc de reglare inclus în bucla unui sistem automat cu o singură mărime de intrare şi cu o singură mărime de ieşire, sau poate fi determinat da existenţa mai multor mărimi de intrare şi de ieşire. Sistemele adaptive includ şi sistemele extremale, unele sisteme având bucle de reglare obişnuite sau bucle de reglare extremale. Sisteme adaptive multivariabile cu model etalon Realizarea unui sistem adaptiv multivariabil pentru cazul sistemelor cu model etalon este reprezentată în figura 3.10.

Fig. 3.10 Schema sistemului multivariabil, fără circuite de adaptare, este caracterizat de ecuaţiile de stare

x Ax Bu= +& (3.36)

w+ -

R

K

fp

B ∑ ++

A

C xx& ∫ y

F ( )0x

61

y Cx= (3.37) ale părţii fixate F şi a ecuaţiei

( )y K w y= − (3.38) a blocului de reglare proporţional R, unde w, u, y sunt vectorii mărimilor de intrare, de comandă şi de ieşire, caracterizaţi de q dimensiuni, x este vectorul r-dimensional al stărilor iar A, B, C, K matrice de dimensiuni corespunzătoare: A r r= × , B r q= × , C q r= × , K q q= × Efectuând calculele, obţinem: ( ) ( ) ( )x Ax BK w y Ax BK w Cx A BKC x BKw= + − = + − = − +& (3.39) Notăm: sA A BKC= − (3.40) şi sB BK= (3.41) Astfel că în final obţinem: s sx A x B w= +& (3.42) În ipoteza că asupra sistemului nu acţionează perturbări parametrice, matricele A,B,C,K şi implicit As şi Bs au elemente constante şi ca urmare parametrii funcţiilor de transfer ( )FH s şi

( )RH s ale părţii fixate F şi ale blocului de reglare R, au parametrii invariabili în timp. Deoarece

blocul de reglare este proporţional, matricea de transfer ( )RH s coincide cu matricea K, iar

matricea ( )FH s se exprimă prin relaţia:

( ) ( ) 1Fh s C sI A B−= − (3.43)

utilizând transformata Laplace a matricei de tranziţie. În cazul în care asupra părţii fixate acţionează perturbări reprezentate de componentele vectorului fp, se consideră că aceste perturbări determină variaţia în timp a unora dintre elementele matricei B, deci a parametrilor funcţiei de transfer HF(s) din (3.43). Dacă aceste variaţii au loc în limite largi, atunci este necesară introducerea unor circuite de adaptare, care să comande modificări corespunzătoare ale elementelor matricei K(t) a blocului de reglare R, astfel încât să rezulte gradul de invarianţă dorit pentru anumite performanţe ale sistemului în ansamblu-în condiţiile variaţiilor arbitrare ale elementelor matricei B(t)-in conformitate cu criteriul de adaptare ales. Întrucât matricea K(t) are qxq elemente, iar matricea B(t) are rxq elemente, pentru obţinerea gradului de invarianţă menţionat este necesar ca nu mai o parte din elementele matricei B(t) să fie modificate de acţiunea perturbărilor fp. În practică, modificările provocate de perturbările fp sunt relativ lente(deşi au loc în limite largi), sensibil mai lente decât modificările comandate de circuitele de adaptare pentru parametrii blocului R-întrucât, în caz contrar, adaptarea nu ar putea fi realizată-şi ca urmare, se poate considera într-o primă aproximaţie

.B (t) ≈ 0, (3.44)

deci pentru anumite intervale de timp limitate, elementele bij ale matricei B(t) pot fi considerate constante, respectiv bij=ct. (3.45) După introducerea circuitelor de adaptare, în locul ecuaţiei de stare (3.43) se obţine o ecuaţie de forma

62

.x a=Asaxa+Bsaw, (3.46)

unde xa este vectorul variabilelor de stare pentru sistemul adaptat, iar matricele Asa ≡ Asa(t) şi Bsa ≡ Bsa(t) au elemente variabile în timp. Adoptând aproximaţiile (3.44) şi (3.45) rezultă că variaţia în timp a elementelor matricelor Asa şi Bsa este determinată cu preponderenţă de modificarea elementelor matricei K în urma acţiunii circuitelor de adaptare. În varianta sistemelor adaptive cu model etalon, ecuaţiile de stare ale modelului – care primeşte la intrare vectorul mărimilor de intrare w – au expresia

.x m=Amxm+Bmw (3.47)

ym=Cmxm (3.48) unde xm,ym sunt vectorii mărimilor de stare şi de ieşire ale modelului; Am, Bm, Cm – matrice cu elemente constante (având, de regulă, aceleaşi dimensiuni cu matricele As, Bs, Cs), corespunzătoare asigurării comportării dorite a sistemului multivariabil. Modelul etalon, primind la intrare vectorul w care se aplică şi la intrarea sistemului mutivariabil, reprezintă un model al acestui sistem funcţionând în circuit închis. Pentru a identifica abaterea comportării sistemului multivariabil de la comportarea prescrisă prin intermediul modelului etalon, variabilele de stare xm şi xa sunt comparate, rezultând diferenţa e=xm-xa (3.49) care reprezintă vectorul erorilor de adaptare. Din (3.49) se obţine prin derivare în raport cu timpul

.e =

.x m-

.x a (3.50)

şi înlocuind (3.51) şi (3.52) şi (3.53) se obţine

.e =Amxm-Asaxa+(Bm-Bsa)w (3.51)

sau, întrucât conform cu (3.52) xm=e+xa, (3.52) din (3.51) şi (3.52) rezultă e=Ame+(Am-Asa)xa+(Bm-Bsa)w. (3.53) Ecuaţiei (3.53) îi corespunde ecuaţia sistemului omogen

.e =Ame (3.54)

sistemul omogen fiind asimptotic stabil, întrucât matricea Am a fost aleasa din condiţia ca modelul etalon să asigure stabilitatea asimptotică. Alegând o matrice P simetrică pozitiv definită, proiectarea circuitelor de adaptare prin metoda Liapunov poate fi efectuată adoptând pentru sistemul omogen o funcţie Liapunov de forma V=eTPe, (3.55) întrucât aceasta este pozitiv definită. Derivând (3.55) în raport cu timpul rezultă

. .dVV e

dt= = TPe+eTP

.e (3.56)

În conformitate cu (3.54) se obţine

Tm

TT

Aee =.

(3.57) şi din (3.54) şi (3.55) şi (3.56) se obţine

63

ePAPAeePAePeAeV mTm

Tm

TTm

T )( +=+= (3.58)

Pentru că derivata .

V din (3.58) să fie negativ definită – şi deci sistemul omogen să fie asimptotic stabil - este necesară o relaţie de forma QPAPA m

Tm −=+ (3.59)

unde Q este o matrice pozitiv definită (care poate fi şi matricea unitate I), întrucât, în acest caz, din (3.58) şi (3.59) se obţine

QeeV T−=.

(3.60) sau, daca Q=I,

eeV T−=.

. (3.61) Când Q=I, relaţia (3.59) are aspectul IPAPA m

Tm −=+ (3.62)

şi din această relaţie rezultă matricea P din (3.55). În scopul trecerii de la sistemul omogen (3.54) la sistemul neomogen (3.53) se introduc notaţiile ][)]([ ijijsam tAA αα ≡=− (i, j=1,2,…r) (3.63) şi ][)]([ ijijsam tBB ββ ≡== (i=1,2,…r; j=1,2,…q) (3.64) şi se alege ca funcţia Liapunov expresia

∑ ∑∑∑= ===

++=r

j

q

jijij

r

iijij

r

i

T vuPeeV1 1

2

1

2

1βα (3.65)

unde uij şi vij sunt constante reale pozitive. Se verifică imediat faptul că expresia (3.64) reprezintă o funcţie pozitiv definită de variabilele e, ijα şi ijβ , întrucât se anulează numai pentru valorile variabile e=0 ijα =0 (3.66) ijβ =0 (3.67) iar pentru orice alte valori funcţia este pozitivă. Având în vedere (3.62) şi (3.63), condiţiile (3.66) şi (3.67) pot fi puse sub forma Asa=An (3.68) si

Bsa=Bm, (3.69) aceste expresii – împreună cu (3.65) – atestând că sistemul are o comportare asemănătoare cu cea a modelului şi deci scopul adaptării este atins. Întrucât s-a considerat că perturbările parametrice fp determină modificări arbitrare numai pentru elementele matricei B, rezultă că matricele A şi C au elemente aij şi cij constante şi deci condiţiile aij=ct (3.70) şi cij=ct (3.71)

64

sunt riguros îndeplinite, spre deosebire de ipoteza aproximativă din (3.44); considerând intervale de timp foarte mari, în care variaţiile elementelor matricei B nu pot fi neglijate - şi deci simplificarea nu este acceptabilă – pentru această matrice va fi folosită notaţia Bv(t). (3.72) Având în vedere că elementele matricei K(t) sunt modificate prin acţiunea circuitelor de adaptare, din (3.39) şi (3.40)pot fi obţinute expresiile matricelor Asa(t) ≡ Asa şi Bsa(t) ≡ Bsa din (3.35) Asa(t)=A-Bv(t) K(t) C (3.73) Bsa(t)=Bv(t) K(t) (3.74) Din (3.73) şi (3.74) se constată că dacă este asigurată condiţia (3.69), respectiv Bsa(t)=Bv(t) K(t)=Bm (3.75) atunci va rezulta şi condiţia Asa(t)=A-Bv(t) K(t) C=A-BmC, (3.76) deci adaptarea corectă a elementelor matricei K(t) (pentru compensarea variaţiilor arbitrare ale elementelor matricei Bv(t) sub acţiunea perturbărilor parametrice fp) asigură condiţia de invarianţă nu numai pentru elementele matricei Bsa(t), ci şi pentru elementele matricei Asa(t). În acest mod, condiţia (3.69) include şi condiţia (3.68), prin urmare matricele Am şi Bm din (3.46) sunt legate printr-o anumită relaţie, avînd în vedere că şi matricele As şi Bs din (3.38) şi (3.39) sunt legate prin relaţia As=A-BKC=A-BsC, (3.77) care rezultă imediat din (3.38) şi (3.40). În mod analog, condiţia (3.67) include şi condiţia (3.66) (pentru cazul particular al schemei sistemului din figura 3.1; în cazul general, dependenţele menţionate nu intervin. Aceste precizări permit simplificarea legilor de adaptare obţinute ca rezultat al proiectării prin metoda Liapunov, deci o simplificare a circuitelor de adaptare. Revenind la relaţia (3.64), după derivare în raport cu timpul şi după înlocuire expresiilor .e şi

.e T care rezultă din (3.52), se obţine

∑∑ ∑∑= = = =

++++−=r

i

r

j

r

i

q

jiji

Tjijijiji

Tajijij

T pewvpexueeV1 1 1 1

...)(2)(2 ββαα (3.78)

unde pi este coloana i-a a matricei P, care satisface relaţia (3.61); xaj – elementul al j-lea al vectorului xa; wj – elementul al j-lea al vectorului w.

Din (3.77) se constată că derivata .

V va fi negativ semidefinită – şi deci în ansamblu sistemul va fi stabil - dacă sunt îndeplinite condiţiile

uij ij

.α xajeTPt=0 (3.79)

şi

vij ij

.β +wjeTPt=0 (3.80)

deoarece în acest caz din (44) se obţine

.

V =-eTe. (3.81) Din (3.79) şi (3.80) pot fi determinate legile de adaptare care asigură stabilitatea sistemului; în acest scop este necesar să se stabilească relaţii între elementele kij(t) ale matricei K(t), şi variabilele ijα şi ijβ din (3.62) şi (3.63).

65

În primul rând, întrucât s-a arătat mai înainte că adaptarea corectă a elementelor kij(t) ale matricei K(t) asigură condiţia (3.69), cât şi condiţia (3.68), rezultă în cazul particular din figura 1 se poate considera [ ijα ]=0, (3.82) rămânând să fie considerată numai diferenţa [ ijβ ] ≡ [ )(tijβ ]=Bn-Bsa(t) (3.83) pentru determinarea legii de adaptare. Introducând (3.74) şi (4.83) se obţine

[ ijβ ] ≡ [ )(tijβ ]=Bn+Bv(t) K(t) (3.84) şi derivând în raport cu timpul rezultă

)()()()()]([...

tKtBtKtBt vvij −−=β (3.85) Considerând intervale limitate de timp, în care ipotezele simplificatoare (3.43) şi (3.44) sunt admisibile, se poate face aproximaţia Bv(t) ≈ B (3.86) deci

.B v(t) ≈ 0 (3.87)

- întrucât variaţiile elementelor matricei Bv(t) sunt mult mai lente decât variaţille elementelor matricei K(t) – din (3.85), (3.86) şi (3.87) rezultând

)()]([..

tKBtij −≈β . (3.88) Pe baza teoremei La Salle şi Rath se poate obţine stabilitatea eventual asimptotică şi în cazul când matricele A, B şi Bv din (3.44), (3.70) şi (3.86) au elemente variabile în timp, dacă variaţiile elementelor respective satisfac anumite condiţii. Din (3.80) se obţine

iT

jijij pewv/1.

−=β (3.89)

deci sunt determinate elementele matricei )]([.

tijβ , iar din (3.88) urmează să fie obţinute

elementele matricei )(.

tK . În cazul în care r=q, deci când în matricea de transfer a părţii fixate toate elementele sunt reprezentate numai de elemente de întârziere de ordinul I cu anumiţi numitori egali matricele

)]([.

tijβ şi B din (3.88) sunt matrice pătrate şi ca urmare, din 3.88 se obţine legea de adaptare

pentru elementele )(.

tk ij :

)]([)(.

1.

tBtK ijβ−−≈ (3.90)

(presupunând că matricea B este ireversibilă), unde elementele ij

.β au expresiile din (3.89).

Dacă r>q (cazul general) atunci matricele din (3.88) nu sunt pătrate şi apare problema incompatibilităţii sistemului de ecuaţii (3.88); în acest caz pot fi folosite numai metode

aproximative de obţinere a unor expresii pentru elementele matricei )(.

tK , de exemplu calculul matricei pseudoinverse.

66

Sisteme adaptive la care intrarea este monovariabilă şi ieşirea este multivariabilă, sau intrarea este multivariabilă şi ieşirea este monovariabilă sunt tratate în .

3.5. Sisteme extremale multivariabile Optimizatoarele automate reprezintă blocuri multivariabile folosite pentru automatizarea instalaţiilor tehnologice la care există o dependenţă extremală a mărimii de ieşire în funcţie de mai multe mărimi de execuţie. Întrucât optimizatoarele automate sunt tratate în lucrările referitoare la sistemele extremale, în prezentul paragraf sunt ilustrate sistemele extremale multivariabile care conţin o buclă de reglare obişnuită şi o buclă de reglare extremală.

Fig.3.11

În această categorie se încadrează instalaţia tehnologică din figura 3.11, reprezentând un cuptor industrial C alimentat cu debitul de combustibil Qc şi cu debitul de aer de ardere Qa, acestea constituind mărimile de execuţie; temperatura este măsurată cu traductoarele Tr1 şi Tr2, al doilea având o inerţie mai mică (realizat, de exemplu, ca pirometru de radiaţie) în raport cu primul. Ca urmare, bucla de reglare extremală. Formată din traductorul Tr2, regulatorul extremal RE şi elementul de execuţie EE2, are o acţiune mai rapidă decât bucla de reglare obişnuită a temperaturii, compusă din traductorul Tr1, elementul de comparaţie EC (căruia i se aplică şi mărimea de intrare Ti, reprezentând valoarea de referinţă pentru temperatura T din cuptor), regulatorul R şi elementul de execuţie EE1.

Acest mod de coordonare a acţiunii celor două bucle permite ca pentru fiecare nouă valoare a debitului Qc, stabilită prin acţiunea lentă a buclei de reglare obişnuită, intervenţia rapidă a buclei de reglare extremală să determine valoare optimă a debitului corespunzător de aer Qa în conformitate cu dependenţa extremală dintre temperatură şi debitul Qa.

O variantă a schemei din figura 3.11 este reprezentată în figura 3.12, fiind introdus

regulatorul de raport RR, care stabileşte un anumit raport Qa/Qc, iar valoarea de referinţă pentru acest raport este transmisă de regulatorul extremal RE. În acest mod sunt evitate variaţii importante ale debitului de aer Qa, care pot apare în timpul căutării extremului la schema din figura 2 şi care pot conduce la înrăutăţirea regimului termic al cuptorului.

Regulatorul de raport RR primeşte valorile debitelor Qa şi Qc de la traductoarele de debit Tr3 şi Tr4 ;i comandă valoarea debitului Qa (prin intermediul elementului de execuţie EE2) în sensul menţinerii valorii precise de regulatorul extremal RE pentru raportul debitelor Qa/Qc.

aQ

cQ

C

1rT

2rT

1EE 2EE

RE

R EC

-+Ti

67

3.6. Optimizarea structurii, parametrilor şi programului

sistemele automate moderne Sistemele automate moderne nu pot fi concepute fără a lua în consideraţie gradul lor de

eficienţă, modul cum răspund la diverse condiţii de calitate impuse, măsura în care sunt solicitate şi valorificate toate resursele de care dispun. Din acest motiv, orice problemă de analiză şi sinteză, orice calcul de proiectare se subordonează cerinţelor impuse de optimalitate. Conceptul de sistem optimal şi sinteză optimală prezintă diverse aspecte, în funcţie de mijloacele de care dispune proiectantul pentru îndeplinirea condiţiilor de optimalitate. Menţionăm şi aici cele două laturi fundamentale ale oricărui sistem care trebuie să îndeplinească funcţii determinate: structura şi programul. Acestea sunt, în acelaşi timp, etapele principale de realizare a condiţiilor de optimalitate prin optimizarea structurii şi optimizarea programului. Optimizarea structurii, în sensul cel mai larg, este o problemă deschisă, pentru care nu se poate da încă o formulare matematică precisă. Dar nivelul atins în dezvoltarea teoriei sistemelor cu structură variabilă, sistemelor neliniare, sistemelor adaptive şi optimale, permite să se contureze tot mai bine această problemă şi să se argumenteze teoretic şi practic alegerea unei structuri sau alteia, combinarea a două sau mai multe structuri pentru realizarea unor funcţii complexe cu mijloace tehnice din cele mai potrivite, uniformizarea şi tipizarea sistemelor cu ajutorul elementelor modulare etc. Tot de domeniul structurii ţin şi problemele de sensibilitate parametrică, sensibilitate la perturbaţii, la condiţii iniţiale, etc., care de la caz la caz, se rezolvă fie intr-un sens, fie în altul. Introducerea reacţiei negative în sistemele automate, cu toate proprietăţile ei generatoare de funcţiuni şi caracteristici specifice, este o problemă fundamentală de structură. Introducerea unei bucle noi într-un sistem dinamic, prin care să se realizeze o funcţiune de identificare, adaptare optimizare, inclusiv funcţia de modificare a structurii, este evident tot o problemă de structură. Se ştie, de exemplu, că există o teorie structurală a stabilităţii, a calităţii, a optimizării. Toate acestea confirmă consistenţa teoriei calitative a structurii şi formarea treptată a unei teorii cantitative a structurii. Printr-o rezolvare corespunzătoare a problemelor de structură se creează condiţii favorabile abordării şi rezolvării problemelor de optimizare a parametrilor (pentru programe date) şi a programelor (pentru parametri daţi). Pentru a trece la analiza cantitativă a acestor probleme, vom asocia fiecărei structuri o descriere matematică de forma generală

.x =f(x, u, w, p, t) (3.91)

în care .x şi f sunt vectori nx1, u este vectorul mx1 al mărimilor de intrare, w este vectorul

parametrilor funcţionali de optimizare în sensul obişnuit, iar p este vectorul parametrilor constructivi de optimizare. La ecuaţiile (3.91) se adaugă, desigur, toate celelalte elemente de bază şi secundare ale problemelor de optimizare. Dintre acestea menţionăm explicit indicatorul de performanţă care se extremizează

I= ∫ +1

0

),,,,,(),,,,( 1100

t

t

pwxtxtMdttpwuxL (3.92)

cu cele două componente ale sale de tip Lagrange (integrală) şi Mayer (iniţial –finală). 1. În cazul optimizării parametrice (după p) problema constă în alegerea unor

68

asemenea valori constructive p – într-un domeniu dat P , pentru care indicatorul I, calculat pentru un program dat la intrarea u(t) şi pe traiectoria sistemului (3.91) corespunzătoare acestuia şi celorlalte date ale problemei – să ia valoarea extremă absolută din domeniul P admis pentru p.

2. La optimizarea programului (pentru p şi w date) se cere să se determine acel program admis de intrarea u(t), pentru care indicatorul de performanţă (3.92) ia valoarea extremă absolută pe tot domeniul mărimilor de intrare admise U.

3. Problema optimizării în raport cu parametrii w are formularea cunoscută: să se determine acele valori ale parametrilor funcţionali w (constante pe tot intervalul de optimizare [t0, t1] într-un domeniu admis W, pentru care indicatorii obţinuţi la punctele 1 şi 2 să ia valorile cele mai mici posibile (pentru minim) sau cele mai mari posibile (pentru maxim) pe mulţimea W.

În continuare vom insista mai mult asupra primelor două probleme, şi aceasta sub raportul unor procedee de calcul, deoarece teoria generală este îndeobşte cunoscută, inclusiv pentru sistemele multivariabile, liniare şi neliniare, pentru sistemele cu parametri distribuiţi etc. 3.6.1. Optimizarea parametrică După cum s-a menţionat şi mai sus optimizarea parametrică se foloseşte la sistemele cu structură şi program date şi după criterii prestabilite, cum ar fi minimizarea integralei pătratice a abaterii dinamice de la regimul stabilizat de răspuns la treaptă unitară. Criteriul de optimizare utilizat este în general un criteriu cumulativ integral eficient, care asociază procesului tranzitoriu pe tot intervalul considerat un număr pozitiv cu atât mai mic, cu cât procesul tranzitoriu ca răspuns la programul dat este mai bun. Acest număr, pe care-l vom nota cu I(p) depinde de parametrii sistemului p şi poate fi minimizat în raport cu aceşti parametri. În optimizarea parametrică se disting următoarele etape:

1. Formarea mărimilor x(t,p) care caracterizează în mod eficient procesele dinamice şi dependenţa lor de parametrii p. Asemenea mărimi pot fi abaterea dinamică de la regimul stabilizat ca răspuns la semnale tip de intrare (impuls unitar, treaptă unitară, rampă unitară, parabolă unitară etc.) şi derivatele acestora; abaterea în raport cu un proces etalon prestabilit etc.

2. Alegerea criteriului de optimizare I(p) în aşa fel încât acesta să condiţioneze cât mai strâns calitatea proceselor dinamice. Aici putem distinge criteriile integrale liniare, aplicabile îndeosebi la procesele monotone, criteriile integrale pătratice, aplicabile la orice tip de proces, criterii integrale ponderate cu diverse tipuri de funcţii pondere (pare, impare etc.), criterii combinate etc.

3. Evaluarea indicatorului de optimizare I(p) folosind una din metodele cunoscute, cum sunt metodele de integrare directă, metoda coeficienţilor de abatere, metoda transformării Laplace etc.

4. Extremizarea indicatorului I(p) şi determinarea valorilor optime ale parametrilor p. În continuare se vor dezvolta şi exemplifica fiecare din aceste etape, admiţând de la început că indicatorul de optimizare (3.92) are numai o componentă de tip Lagrange, iar intervalul de optimizare este semiinfinit

I(p)= ∫∞

0

L (t, p, x(t,p))dt (3.93)

69

O asemenea delimitare a cadrului problemei necesită condiţii suplimentare cu privire la convergenţa integralei (3.93), care impun restricţii asupra claselor de funcţii folosite atât la nivelul variabilelor procesului x(t,p), cât şi la nivelul lagrangeanului L. Dacă avem în vedere lagrangeanul de formă liniară şi pătratică în raport cu x(t, p), cu care se lucrează cel mai mult, rezultă că o condiţie necesară de convergenţă este anularea variabilei x(t,p) cu t ∞→ . Aceasta înseamnă că procesele dinamice se vor raporta la valorile lor stabilizate. De exemplu, dacă optimizarea se face în raport cu calitatea funcţiei indiciale h0(t, p), atunci prima componentă a vectorului x(t,p) trebuie să fie x1(t,p)=h0( ∞ , p)-h0(t, p) (3.94) iar celelalte componente pot fi derivatele acesteia. Se ştie că dacă funcţia de transfer a sistemului închis prin reacţie negativă unitară, care leagă abaterea de intrare este

0

11

01

1

...

...),(

asasacscsc

psH nn

nn

nn

nn

A ++++++

= −−

−− (3.95)

atunci transformata Laplace a funcţiei (60) luată ca originală este ......),( 1

123211 +++++= +

− nn

nn sssspsX εεεεε (3.96)

unde, pentru a0 ≠ 0 (condiţie necesară de stabilitate asimptotică)

0

00 a

cε

0

1011 a

ac εε

−=

0

112022 a

aac εεε

−−=

0

12211033 a

aaac εεεε

−−−= ….

0

11110 ...a

aaa nnnn

−− −−−=

εεεε ,

0

11211

...a

aaa nnnn

εεεε

−−−= −

+ , (3.97)

0

1121322

...a

aaaa nnnnn

+−+

−−−−=

εεεεε

În aceste relaţii p desemnează acei coeficienţi ai, cj sau argumentele acelor coeficienţi ai(p), cj(p) care trebuie optimizaţi. Uneori se cunoaşte nu funcţia de transfer a abaterii (3.95) ci funcţia de transfer principală intrare – ieşire a sistemului închis prin reacţie negativă H(s, p). În acest caz imaginea prin transformarea Laplace a originalei din (3.94) este dată de formula

)],(),0([1),(1 psHpHs

psX −= (3.98)

În alte aplicaţii interesează abaterea x1(t, p) a unui proces real xr(t, p) ca răspuns la treaptă unitară, de la un proces etalon xe(t, p). Dacă procesul etalon se dă prin transformata sa Laplace Xe(s, p), iar procesul real de desfăşoară într-un sistem cu funcţia de transfer principală H(s, p), atunci imaginea lui x1(t, p)= xe(t, p)- xr(t, p) este

)],(),([1),(1),(),(1 psHpssXs

psHs

psXpsX ee −=−= (3.99)

Pentru formarea transformatelor Laplace ale derivatelor mărimii (3.94) luate ca originale, la fiecare ordin de derivare se înmulţesc expresiile (3.96), (3.98), (3.99) etc. cu câte un s. Trecând la alegerea criteriului de optimizare I(p), deci a funcţiei L din (3.93), trebuie să se ţină seama de caracterul proceselor. La procesele monotone se pot folosi direct criteriile liniare ponderate simplu

dtptxtpI mm ∫

∞

0

),()( , m=0, 1, … (3.100)

70

care au fost studiate sub toate aspectele de acad. A. Avramescu şi colaboratorii săi cu ajutorul derivatelor areolare. Avantajul major al acestor criterii constă în faptul că se evaluează foarte uşor cu ajutorul coeficienţilor de abatere (3.96) 1!)1()( +−= m

mm mpI ε , m=0, 1, … (3.101)

Dacă de exemplu, se ia ∑=m

mm ptxtkptxptL ),()),(,,( atunci rezultă imediat

1!)1()( +∑ −= mmm

mkmpI ε (3.102)

Convergenţa acestei sume este un criteriu de aplicativitate a criteriilor liniare pătratice, dar eficienţa lor rămâne scăzută îndeosebi la procesele nemonotone în timp. Criteriile integrale pătratice condiţionează mai strâns calitatea regimurilor tranzitorii, dar se evaluează mai greu. Astfel dacă

0

11

01

1

......

),(asasabsbsb

psX nn

nn

mm

mm

++++++

= −−

−− (3.103)

este imaginea Laplace a mărimii x(t) din integrala

dtptxpI ∫∞

=0

22 ),()( (3.104)

atunci, pentru m ≤ n-1 se poate folosi formula

'1

'01

'11

'10

'02

0

2 2...(2

1 bbBBBa

I nn −∆++∆+∆= −− (3.105)

în care

1

420

531

6420

...0000............0....00....00....

−

−−−

−−

=∆

na

aaaaaaaaaa

)( 01

;0

nn a

abb −= − , )( 2

1

01

'1

nnn a

abb

bb −=−

− , …., )( 1

1

21

'1

n

n

n

nnn a

abb

bb −

−

−−− −= (3.106)

2'0

'0 )(bB = , '

2'0

2'1

'1 2)( bbbB −= , ''

4'0

'3

'1

2'2

'2 22)( bbbbbB +−= , 2'

1'

1 )( −− = nn bB iar j∆ sunt determinanţii care se obţin din ∆ prin înlocuirea coloanei j+1 cu col(a1, a0, 0, …0), j=0, 1, …, n-1. Formulele (71) se mai simplifică dacă în expresia (69) avem m ≤ n-2 (bn-1=0):

)...(2

11122112

0

2−− ∆++∆+∆

∆= nnBBB

aI (3.107)

unde ∆ şi j∆ , j=1, 2, …, n-1 se formează ca şi în cazul precedent, iar 201 bB = , 20

212 2 bbbB −= ,…, k

kkkkk bbbbbB 011

21 2)1(...2 −++−= +−+ , 2

21 −− = nn bB (3.108) După aceste formule se calculează direct integralele pătratice de forma

∫∞

=0

21

20 ),()( dtptxpI (3.109)

71

pentru care se va lua X1(s,p)=X(s,p), X1(s,p) fiind oricare dintre construcţiile (3.97), (3.98), (3.99) etc, aduse să se calculeze şi integrala de forma

∫∞

=0

2)(1

2 )],([)( dtptxpI mm (3.110)

în care ),()(1 ptx m sunt derivatele variabilei ),(1 ptx în raport cu timpul. În acest caz expresia

(3.103) se va lua sub forma: =),( psX ζ ),0(...),0(),(),( )1(

11

1)(

1 pxpxspsXsptx mmmm −− −−−= , m’0,1,2,… (3.111) Prin urmare se pot evalua funcţionale de forma

∫∑ ∑∞

==0

22)(1

22 )(),()(m m

mm

mmm

m pIdtptxpI ττ (3.112)

care, printr-o alegere corespunzătoare a coeficienţilor mτ permit să se obţină procese mai mult sau mai puţin amortizate. Există şi alte metode de a evalua integralele pătratice de forma (3.112), dintre care menţionăm metoda funcţiilor pozitiv – definite. De asemenea, sunt de menţionat metodele transformatei Fourier, care permit să se evalueze şi integrale pătratice cu termeni ponderaţi în timp. După alegerea criteriului de optimizare şi evaluarea indicatorilor integrali de calitate I(p) se trece la optimizarea acestora în raport cu parametrii constructivi p. Dacă domeniul P în care se pot lua aceşti parametri este deschis, atunci se formează ecuaţiile

0)(=

∂∂

ppI (3.113)

din care se determină punctele de extrem, se verifică fiecare din aceste puncte şi se alege extremul absolut p=p*; Dacă însă domeniul P este închis după unul sau mai mulţi parametri pi, atunci se caută extreme unghiulare după formule de tipul )(max)(|* pIpIpp

piii == (3.114)

pentru maxim şi similar pentru minim. Se vor ilustra aceste tehnici pe câteva exemple

3.7. Exemple de sisteme optimale şi adaptive

Pentru a ilustra modul în care se pune problema optimizării în cazul informaţiei apriorice complete şi în cazul informaţiei apriorice incomplete, în cele ce urmează sunt expuse câteva exemple simple, care anticipează materialul expus în detaliu în unele capitole ulterioare.

3.7.1. Exemple de sisteme optimale a) Pentru ca exemplul să fie foarte simplu, se presupune că instalaţia tehnologică şi

elementul de execuţie (alcătuind un ansamblu care poate fi de numit partea fixată a sistemului, deoarece instalaţia tehnologică este dată şi modificată, iar elementul de execuţie ales în conformitate cu particularităţile organului de cuplare cu instalaţia tehnologică) au o funcţie de transfer de forma:

2)()(

)(sK

sXsX

sY f

c

ef ==

∆

, (3.115)

unde: Xe(s) este transformata Laplace a mărimii de ieşire xe(t) ≡ xe ;

72

Xc(s) este transformata Laplace a mărimii de comandă xc(t) ≡ xc

∆

= semnifică “egal prin definiţie”. Existând restricţii asupra mărimii de comandă xc a cărei valoare absolută nu poate

depăşi o valoarea maximă M, deci existând condiţia Mxc ≤|| , (3.116)

se cere să se găsească blocul de reglare care conduce la un sistem optimal ca rapiditate, respectiv la un sistem cu durată minimă a intervalului în care mărimea de ieşire xe atinge valoarea impusă prin mărimea de intrare xi.

Criteriul de optim se referă deci la durata minimă a procesului tranzitoriu. În cazul general, criteriul de optim se exprimă printr-o funcţională de forma

),,,,,( tpXxxxQ cei , (3.117) unde p este perturbarea care acţionează asupra părţii fixate;

x – vectorul variabilelor de stare, ale cărui componente x1, x2, …xn sunt reprezentate de aceste variabile.

Dacă sistemul este multivariabil (multidimensional) atunci în locul mărimilor pxxx cei ,,, apar vectorii xi, xr, xc, p. De regulă în expresia (3.117) intervin numai mărimile xc şi x (respective xc şi x, la

sistemele multivariabile), întrucât mărimile xi şi p intervin prin intermediul variabilelor de stare x1, x2, …xn, iar mărimea xe poate fi exprimată cu ajutorul acestei variabile.

Exprimarea criteriilor de optim printr-o funcţională este deosebit de indicată, funcţionala stabilind o corespondenţă între o mulţime de funcţii şi o mulţime de numere, sistemul optimal fiind cel care asigură o valoare extremă, maximă sau minimă, a funcţionalei. În calculul sistemelor optimale se utilizează îndeosebi metode variaţionale, obiectul principal al calculului variaţional fiind constituit de căutarea şi determinarea extremelor unei funcţionale.

În multe cazuri, funcţionala (3) are aspectul

∫ ==1

0

min),(t

txe

c

dtxXFQ (3.118)

unde t0, t1 sunt limitele intervalului de optimizare; F(X,xc) – o funcţie de variabile de stare şi de mărimea de comandă; Sistemul optimal este cel care conduce la minimul expresiei (4). Stabilirea criteriilor de optim Q are o deosebită importanţă şi trebuie să fie determinată

de anumite condiţii tehnico-economice concrete; pe lângă rapiditatea procesului tranzitoriu, menţionată anterior, în calitate de criteriu de optim Q pot fi alese productivitatea instalaţiei tehnologice, calitatea produselor acestei instalaţii, preţul de cost, consumul de materie primă, consumul de energie, precum şi alţi indici tehnico-economici.

În cazul sistemelor optimale ca rapiditate, funcţia F se ia de forma F(X,xe) ≡ 1 (3.119)

şi relaţia (3.118) devine

01 min

1

0cx

t

t

ttdtq =−== ∫ (3.120)

rezultând astfel o durată minima t1-t0 a regimului tranzitoriu. Rezultatul proiectării unui asemenea sistem opţional ca rapiditate are ca rezultat

obţinerea în planul fazelor a unei curbe de comutare formată din două porţiuni ale unor parabole

73

care trec prin originea planului; pentru diferite condiţii iniţiale, traiectoriile de fază sunt reprezentate în acelaşi plan de familii de parabole.

b) Un alt exemplu se referă la sistemele la care peste semnalul util de intrare este suprapus un zgomot, respectiv un semnal aleatoriu perturbator. În unele cazuri criteriul de optim poate consta în proiectarea funcţiei de transfer a blocului de reglare astfel încât mărimea de ieşire a sistemului să reproducă semnalul util de intrare (eventual deplasat cu un interval de timp T) cu o eroare medie pătratică minimă, caracteristicile statistice ale semnalului util şi zgomotului fiind date; sistemul optimal asigură o filtrare optimală a semnalelor aleatoare.

În alte cazuri – de exemplu în dirijarea automată a bateriilor antiaeriene care urmăresc o ţintă în zbor – pe lângă filtrarea optimă este foarte importantă şi predicţia, respectiv proiectarea funcţiei de transfer a blocului de reglare astfel încât acesta să asigure (cu o eroare medie pătratică minimă) predicţia valorilor următoare ale semnalului util de intrare, simultan cu filtrarea zgomotului; se obţine o filtrare şi predicţie optimală.

În cazul acestor categorii de sisteme optimale – denumite în unele lucrări sisteme statistic optimale – nu intervin în calcul restricţii, dar încadrarea sistemelor respective în categoria celor optimale este justificată de adoptarea unui criteriu de optim care prezintă un extrem. De altfel, condiţii de optim definite prin extremul unui criteriu în absenţa unor restricţii pot fi întâlnite şi la sisteme optimale deterministice; în asemenea cazuri, proiectarea sistemului poate fi făcută prin metodele calcului variaţional clasic.

Astfel, sistemele la care proiectarea blocului de reglare se efectuează prin intermediul criteriilor integrale de acordare optimă, rezultând sisteme pentru care au valori minime integrale de forma

∫ℵ

=0

21 dtI ε (3.121)

sau de forma

dtTI )(2

0

.22

2 ∫∞

+= εε (3.122)

unde: )(tεε ≡ este eroarea;

dtdεε ≡

.;

T – constantă de timp aleasă; sunt sisteme optimale pot fi numeroase, iar criteriile de optim se pot referi la diferite aspecte: durată minimă a regimului tranzitoriu, precizie maximă, consum minim de energie, cost minim, siguranţă maximă etc. Principalele tipuri de sisteme optimale sunt expuse în partea a II-a a lucrării.

3.7.2. Exemple de sisteme optimale adaptive a) Dacă în expresia (1) factorul de amplificare Kf nu este constant, ci este supus

unor variaţii arbitrare provocate de perturbări parametrice care acţionează asupra instalaţiei tehnologice, atunci curba de comutare menţionată anterior – formată din două porţiuni de parabolă care trec prin originea planului fazelor – trebuie modificată în funcţie de valoarea Kf; se

74

asigură astfel condiţia de optim (3.120) pentru diferite valori ale factorului Kf, rezultând un sistem optimal adaptiv.

Pentru deplasarea curbei de comutare, în sistem se introduc elemente care identifică valoarea curentă Kf şi comandă modificările necesare în programul de funcţionare al blocului de reglare. Aceste elemente formează circuitul de adaptare al sistemului opţional.

b) Considerând un sistem statistic optimal menţionat în paragraful anterior, respectiv un sistem la care peste semnalul util de intrare este suprapus un zgomot, problema filtrării optimale (reproducerea optimă la ieşire a semnalului util de intrare, cu o eroare medie pătratică minimă) se complică în cazul când caracteristicile semnalului util sau ale zgomotului sunt variabile în timp.

În asemenea cazuri, pentru a se menţine o funcţionare optimală a sistemului – în condiţiile modificării caracteristicilor semnalului util sau zgomotului – este necesar ca în sistem să fie introdus un circuit de adaptare; acesta controlează caracteristicile menţionate şi în conformitate cu modificările apărute comandă variaţia corespunzătoare a caracteristicii blocului de reglare pentru asigurarea unei valori extreme a criteriului de calitate ales; rezultă astfel un sistem optimal adaptiv.

De asemenea, dacă la un sistem deterministic, care este optimal în conformitate cu un criteriu de forma (3.121) sau (3.122) caracteristicile părţii fixate a sistemului se modifică sub influenţa unor perturbări parametrice, atunci este necesar un circuit de adaptare pentru asigurarea minimului integralelor (3.121) sau (3.122) în condiţiile modificărilor menţionate; circuitul de adaptare controlează caracteristicile părţii fixate şi comandă modificările necesare ale caracteristicilor blocului de reglare pentru menţinerea unor valori minime ale integralelor I1 sau I2. Se obţine astfel un sistem optimal adaptiv.

Acest sistem poate fi considerat totodată ca un sistem adaptiv la care funcţionarea optimă este apreciată prin obţinerea unei valori extreme a unui criteriu ales, deci poate fi considerat ca un sistem adaptiv optimal; se constată astfel că sistemele optimale adaptive şi cele adaptive optimale, în sensurile adoptate pentru aceşti termeni în prezenta lucrare, pot forma o singură clasă, după cum s-a menţionat anterior.

3.7.3. Exemple de sisteme adaptive Întrucât în paragraful anterior au fost expuse exemple de sisteme optimale adaptive,

respectiv adaptive optimale, în continuare sunt expuse exemple pentru cazul sistemelor adaptive (din categoria celor la care funcţionarea optimă se apreciază printr-un criteriu formulat fără exprimarea atingerii unui extrem şi din categoria sistemelor extremale).

a) O maşină unealtă la care factorul de amplificare Kf variază în limite largi, până la 100:1, în funcţie de proprietăţile şi dimensiunile piesei prelucrate. Ca urmare, sistemul de reglare automată prevăzut pentru maşina unealtă respectivă trebuie să conţină un circuit de adaptare, care modifică în mod automat factorul de proporţionalitate KR al regulatorului, astfel încât să se asigure satisfacerea unei relaţii de forma

ctCKKK fR ===2 (3.123) în condiţiile în care factorul Kf variază în limitele 100:1; factorul total de amplificare Ka este astfel menţinut automat la valoarea constantă C, considerată optimă pentru comportarea sistemului.

75

Criteriul de adaptare (3.123) nu exprimă atingerea vreunui extrem, însă asigură un grad de invarianţă al factorului total de amplificare al sistemului, deci un anumit grad de invarianţă pentru performanţele staţionare şi tranzitorii ale sistemului.

Criterii de forma (3.123) sunt destul de frecvent întâlnite în practică. Astfel, la reactoarele nucleare factorul de amplificare Kf este variabil, deoarece dependenţa dintre fluxul de neutroni şi reactivitate este neliniară. La avioane, parametrii aerodinamici se modifică în limite largi dacă viteza şi înălţimea de zbor suferă variaţii importante; de asemenea, parametrii vehiculelor spaţiale se modifică cu două ordine de mărime la reintrarea în atmosferă, iar caracteristicile lor dinamice trebuie să rămână aproximativ constante. În diferite domenii industriale se întâlnesc instalaţii tehnologice cu factor de amplificare variabil, cum sunt de exemplu sistemele de acţionare cu electromagnet pentru menţinerea suspendată a unui corp feromagnetic, la care factorul de amplificare variază proporţional cu greutatea corpului suspendat; scopul reglării adaptive constă în menţinerea constantă a distanţei dintre electromagnet şi corpul suspendat, în condiţiile variaţiei greutăţii corpului.

Condiţia (3.123) nu reprezintă singurul criteriu de adaptare fără exprimarea atingerii unui extrem. În alte cazuri, condiţia de invarianţă se referă la poziţiile unor poli (în planul complex) ai funcţiei de transfer, condiţie care uneori poate fi impusă simultan cu o condiţie de forma (3.123); asemenea cazuri sunt, de exemplu, întâlnite în practică la reglarea automată a zborului avioanelor.

b) Pentru un număr relativ ridicat de instalaţii tehnologice, dependenţa dintre mărimea de ieşire xe şi cea de execuţie xm – în regim staţionar – este neliniară şi prezintă un extrem, maxim sau minim. De exemple, în cadrul instalaţiilor de ardere (focare), dependenţa dintre temperatura gazelor to la ieşirea din instalaţie – reprezentând mărimea de ieşire xe – şi debitul de aer de ardere Qa – reprezentând mărimea de execuţie xm – prezintă un maxim; pentru un anumit debit de combustibil Qa1=ct există deci un debit de aer optim Qa1opt care permite obţinerea unei temperaturi maxime ot 1max .

Prezenţa unor perturbări determină necesitatea anumitor modificări ale debitului de combustibil Qc; pentru alte valori Qc2=ct, Qc3=ct ale acestui debit, diferite de valoarea Qc1, dependenţa dintre to şi Qa se modifică, rezultând valori Qa2 opt, Qa3 opt diferite de valoare

Qa1 opt. Scopul unui sistem automat extremal constă în stabilirea automată a mărimii de

execuţie xm la valoarea xm opt, căreia îi corespunde valoarea extrema xe extr a mărimii de ieşire, în condiţiile modificării valorilor xm opt şi xe extr sub acţiunea perturbărilor; valoarea xe extr poate reprezenta o valoarea maximă xe max sau minimă xe min, în funcţie de aspectul dependenţei extremale – cu maxim sau minim – dintre xe şi xm (în regim staţionar).

Reprezentarea grafică a dependenţei menţionate, în planul xe, xm, constituie caracteristica extremală a instalaţiei tehnologice; sub acţiunea perturbărilor, această caracteristică se deplasează în planul xe, xm.

Caracteristici extremale cu maxim prezintă diferite instalaţii tehnologice; astfel, dacă la cazanele de abur se consideră randamentul ca mărime de ieşire(deci nu un parametru fizic măsurat direct, ci o mărime rezultată din calcul) şi coeficientul excesului de aer ca mărime de execuţie, atunci se obţine o caracteristică extremală care se deplasează de sarcina cazanului, aceasta reprezentând perturbarea. Caracteristici analoge se întâlnesc la motoarele cu ardere internă, la instalaţii din industria chimică etc.

76

Unele instalaţii au caracteristici extremale cu minim; o asemenea caracteristică prezintă, de exemplu, un avion în zbor, pentru dependenţa dintre debitul de combustibil consumat şi viteza greutăţii transportate, aceasta reprezentând perturbarea.

În unele cazuri există o dependenţă extremală a mărimii de ieşire xe în funcţie de mai multe mărimi de intrare xm1, xm2, …xmk ale instalaţiei tehnologice; asemenea situaţii se întâlnesc de regulă atunci când mărimea de ieşire este reprezentată de un indice complicat rezultat din calcul, cum ar fi un consum specific, un preţ de cost etc.

Din consideraţiile introductive expuse, se constată că practica oferă un timp foarte larg de utilizare a sistemelor optimale şi adaptive, introducerea optimizării (intr-o formă sau alta: sistem optimal, sistem adaptiv sau sistem optimal adaptiv) conducând la importante efecte tehnico-economice în numeroase şi variate domenii.

Capitolul 4 Siguranţa în funcţionare a sistemelor

Prin siguranţa în funcţionare, într-un sens restrâns, se înţelege capacitatea

dispozitivelor tehnice de a funcţiona fără defecţiuni în decursul unui anumit interval de timp, în condiţii date. Se consideră funcţionare fără defecţiuni efectuarea normală de către dispozitivele tehnice a tuturor funcţiunilor lor, în limitele toleranţelor prescrise. Totodată, se presupune că dispozitivele considerate au o destinaţie practică care constă în îndeplinirea operaţiei prescrise în limitele stabilite în prealabil.

Siguranţa în funcţionare este strâns legată de diferitele aspecte ale procesului de exploatare a dispozitivelor tehnice. O importanţă mare au, în particular, problemele legate de restabilirea proprietăţilor dispozitivelor defecte. Pentru a reuni problemele limitrofe într-o singură grupă, a fost introdusă noţiunea siguranţa în funcţionare în sens larg — proprietate a dispozitivului condiţionată de funcţionarea fără defecţiuni, durată de viaţă şi uşurinţa întreţinerii dispozitivului însuşi şi a părţilor lui componente şi care asigură păstrarea indicilor de exploatare ai dispozitivului în limitele prescrise. Adoptarea uneia sau alteia din aceste definiţii nu influenţează esenţa metodelor de cercetare şi de creştere a siguranţei în funcţionare.

Până în ultimul timp, prin procedee de creştere a siguranţei în funcţionare se înţelegeau doar diferite reţete de executare şi de exploatare a uimi model concret de aparatură. Mai înainte, o asemenea tratare, într-un oarecare sens, meşteşugărească a problemei satisfăcea necesităţile practicii, deoarece în tehnică se foloseau relativ puţine dispozitive electronice şi instalaţii automate, iar instalaţiile înseşi erau relativ simple.

Creşterea importanţei problemei siguranţei în funcţionare este legată de unele particularităţi ale dezvoltării tehnicii moderne. în primul rând, există tendinţa de planificare amănunţită a desfăşurării proceselor de producţie, care devin tot mai complexe. In al doilea rând, se extinde tot mai mult automatizarea diferitelor procese; automatizarea devine treptat mijlocul principal al progresului tehnic. In al treilea rând, sistemele automate îndeplinesc sarcini tot mai importante.

In sistemele automate şi la desfăşurarea unor procese importante cu program rigid, creşte brusc importanţa funcţionării fără defecţiuni a fiecărui dispozitiv în parte. Da exemplu, dacă s-a defectat o maşină-unealtă, uzina are daune; dacă această maşină unealtă este încadrată într-o linie automată, atunci daunele pot fi incomensurabil mai mari. Creşterea importanţei siguranţei în funcţionare a dispozitivelor tehnice reiese clar din exemplul

77

dispozitivelor electronice. Mai înainte, ele se foloseau mai ales pentru colectarea şi transmiterea informaţiei. Funcţionarea nesigură a acestor aparate ducea la denaturarea informaţiei sau la întârzierea primirii ei. Acest lucru trebuia să se remedieze printr-o nouă utilizare a dispozitivelor. Când dispozitivele electronice au început să fie folosite în sistemele automate, cerinţele faţă de siguranţa lor în funcţionare au crescut considerabil, deoarece în aceste sisteme un semnal greşit sau neprimit la timp nu mai poate fi corectat. Astfel, când dispozitive tehnice separate participă la realizarea unei sarcini complexe (de exemplu, devin verigi ale unui sistem automat) cresc considerabil cerinţele faţă de siguranţa funcţionării lor.

Concomitent cu creşterea cerinţelor faţă de siguranţa în funcţionare a instalaţiilor automate, progresul tehnic a fost însoţit de o serie de împrejurări «are au contribuit la reducerea siguranţei în funcţionare a acestor instalaţii.

Creşterea complexităţii instalaţiilor automate, adică creşterea numărului de piese care le compun, devansează considerabil creşterea calităţii acestor piese.

Instalaţiile complexe se folosesc în condiţii de exploatare tot mai dificile : solicitări mecanice mari, interval larg de temperaturi şi presiuni, condiţii climatice nefavorabile etc. Importanţa problemei siguranţei în funcţionare creşte de asemenea în legătură cu micşorarea dimensiunilor şi greutăţii aparaturii şi cu utilizarea unor blocuri şi subansambluri foarte sensibile.

Unul din motivele siguranţei în funcţionare insuficiente a instalaţiilor automate constă în aceea că instalaţiile moderne se realizează într-un termen foarte scurt şi au o uzură morală rapidă, ceea ce îngreunează acumularea deprinderilor de proiectare, fabricare şi exploatare a lor.

Dacă siguranţa în funcţionare a instalaţiilor existente devine în prezent insuficientă, atenţie şi mai mare necesită siguranţa în funcţionare a instalaţiilor viitorului. De pe acum trebuie să se ia măsurile pentru pregătirea creării în viitor a unor instalaţii sigure.

De obicei, sînt mai vizibile rezultatele directe ale siguranţei în funcţionare insuficiente legate de neîndeplinirea totală sau parţială de către un dispozitiv tehnic a funcţiilor care i se impun. O importanţă foarte mare au însă şi urmările indirecte ale siguranţei în funcţionare insuficiente: costul ridicat de exploatare care depăşeşte cu mult costul de proiectare şi execuţie al dispozitivului tehnic, necesitatea unui nivel nejustificat de ridicat al calificării şi al consumurilor suplimentare de muncă prestată de personalul de întreţinere, dificultăţile legate de aprovizionarea cu piese de rezervă etc.

Complexitatea sistemelor tehnice actuale şi viitoare, multitudinea regimurilor de funcţionare, înlocuirea rapidă a modelelor uzate moral prin altele noi, toate acestea condiţionează necesitatea tratării teoretice generale a problemelor de creştere a siguranţei în funcţionare a tuturor sistemelor, independent de construcţia şi destinaţia lor.

Apariţia defecţiunilor depinde de foarte multe cauze, adeseori întâmplătoare. De aceea, teoria siguranţei în funcţionarea utilizează metode statistice de cercetare. Necesitatea acestui fapt este condiţionată de esenţa fizică a problemei măsurării şi cercetării siguranţei în funcţionare cu un grad de certitudine obiectivă a funcţionării fără defecţiuni a dispozitivelor. Dacă se cunoaşte dinainte că anumite dispozitive ale sistemului automat vor funcţiona inevitabil fără defecţiuni în timpul prescris sau se vor defecta inevitabil în acest timp, nu are sens să se vorbească despre siguranţa în funcţionare a acestor dispozitive. Se poate vorbi doar despre posibilitatea sau imposibilitatea creării unor astfel de dispozitive.

S-a statornicit tradiţia de a efectua cercetarea inginerească a siguranţei în funcţionare a dispozitivelor tehnice după datele asupra defecţiunilor. Pentru aceasta se utilizează diferite

78

procedee de considerare a evenimentelor aleatoare numite defecţiuni. Informaţiile cu privire la producerea defecţiunilor se prelucrează astfel încât să se poată estima siguranţa în funcţionare a dispozitivelor şi să se traseze căile creşterii ei (cap. 1—6). O asemenea cale de cercetare a siguranţei în funcţionare nu este unica posibilă. In cap. 7—9 este expusă o nouă metodă de cercetare a siguranţei în funcţionare după datele apropierii de defecţiuni.

În prezent, se manifestă un interes tot mai mare pentru joncţiunea dintre ştiinţele tehnice şi ştiinţele despre om. Chiar şi în sistemele complet automatizate omul îndeplineşte inevitabil lucrările de servire a tehnicii. O dată cu progresul ştiinţei şi tehnicii se impun condiţii tot mai rigide nu numai dispozitivelor tehnice, ci şi oamenilor care participă la acţiunile efectuate. Creşte în permanenţă importanţa consecinţelor efectuării incorecte sau la timp nepotrivit de către oameni a obligaţiilor lor. De aceea, este indicat să se ia în considerare nu numai siguranţa în funcţionarea tehnicii, ci şi siguranţa efectuării lucrului de către oameni, prin care se înţelege certitudinea obiectivă că lucrările de servire a tehnicii vor fi efectuate în termenul prescris.

Studiul statistic al siguranţei în funcţionare poate fi util doar în cazul că fiecare etapă a acestui studiu este însoţită de studierea cauzelor fizice-care provoacă unele fenomene sau altele. Aplicarea formală a metodelor statistice de cercetare a siguranţei în funcţionare duce de obicei la rezultate eronate.

Teoria statistică a siguranţei în funcţionare nu poate înlocui procedeele existente anterior de cercetare şi de creştere a siguranţei în funcţionare. Ea doar le completează substanţial, înarmează pe inginer cu noi cunoştinţe.

4.1. Noţiuni fundamentale ale teoriei statistice a siguranţei în funcţionare

Teoria siguranţei în funcţionare studiază procesele de apariţie a defecţiunilor în dispozitivele tehnice şi procedeele de combatere a acestor defecţiuni.

Problemele de siguranţă în funcţionare examinate în continuare sînt identice sub multe aspecte pentru orice dispozitive tehnice. De aceea, pentru generalizare, se va vorbi despre sisteme şi despre părţile funcţionale unitare ale sistemelor — elementele. Prin sistem se înţelege ansamblul de obiecte care funcţionează în comun în scopul realizării în mod independent a unei anumite funcţiuni practice. Exemple de sisteme: linia de radiorelee, linia automată, maşina-unealtă, automobilul, radioreceptorul, stiloul etc.

Termenul „element" se aplică pentru . o parte componentă a sistemului. Elementul nu este destinat de obicei pentru o aplicaţie practică independentă în afara legăturii cu alte clemente. Exemple de elemente: blocul radio, motorul de automobil, condensatorul, lipitura conductorului de lamela de contact. In principiu, sistemul poate fi împărţit în orice număr de elemente necesar pentru analiza (calculul) siguranţei în funcţionare. Împărţirea sistemului în elemente nu poate fi însă considerată arbitrară. Fiecare element trebuie să posede capacitatea de a îndeplini anumite funcţiuni in sistem.

Elementele unui sistem complex pot să se împartă la rândul lor în elemente de al doilea rang, în raport cu care elementele din primul rang sînt sisteme.

Pentru a concretiza rezultatele raţionamentelor, adesea se tinde să se evidenţieze elementele tipizate folosite în diverse dispozitive şi executate în conformitate cu norme şi standarde (roată dinţată, releu, tub electronic, supapă etc).

Dacă nu apare necesitatea împărţirii aparaturii în elemente componente, se vor utiliza uneori termenii de produs, dispozitiv tehnic sau pur şi simplu dispozitiv. Aceşti termeni vor fi atribuiţi oricărei construcţii finite, destinată pentru rezolvarea unei anumite probleme practice. Sistemul poate fi constituit dintr-unul sau mai multe dispozitive tehnice. In

79

expunerea care urmează, dacă va fi vorba despre un dispozitiv tehnic sau un produs, aceasta va însemna că raţionamentele expuse sînt aplicabile în aceeaşi măsură pentru elemente şi sisteme.

In cazul general, orice sistem poate fi reprezentat ca alcătuit practic din elemente de două tipuri:

1) elemente electrice; 2) elemente mecanice. În calitate de elemente electrice se consideră de obicei piesele şi produsele care au o

simbolizare independentă pe schemele electrice de principiu şi de montaj. Majoritatea elementelor electrice sînt tipizate (tuburi electronice, condensatoare, rezistenţe, relee, motoare electrice etc). Multitudinea elementelor electrice constituie una din cauzele apariţiei problemei siguranţei în funcţionare a sistemelor electrice.

In cadrul elementelor mecanice pot fi separate două grupe: elemente cinematice (came, roţi dinţate, lagăre, supape, pistoane etc.) şi elemente de fixare (suporţi, panouri, şuruburi etc). în ultimii ani a apărut tendinţa insistentă de reducere a numărului de elemente cinematice în aparatura de automatizare. Aceasta constituie o reflectare a tendinţei generale de dezvoltare a tehnicii moderne pe calea reducerii pieselor în mişcare. Printre elementele mecanice pot fi de asemenea considerate elementele sistemelor hidraulice şi pneumatice.

Metodele expuse în cele ce urmează pot fi aplicate la studiul siguranţei în funcţionare atât a sistemelor electrice, cît şi a celor mecanice. Deocamdată, datele experimentale sînt acumulate intr-o măsură mai mare pentru elementele şi sistemele electromecanice şi electronice. De aceea, exemplele care ilustrează cele expuse se vor referi mai ales la elementele şi sistemele electrice.

Sistemele şi elementele care le compun se pot afla în două stări: în bună stare (capabile de funcţionare) şi defecte. Orice necorespundere a elementului sau sistemelor uneia sau mai multor condiţii prezentate se consideră defecţiune. Evenimentul care constă în trecerea din stare de funcţionare în cea defectă se numeşte defecţiune sau ieşire din funcţiune. Aceste două denumiri ale aceluiaşi eveniment au sensuri perfect identice. Cu alte cuvinte, se numeşte defecţiune pierderea totală sau parţială a capacităţii de funcţionare de către sistem (element). Defectarea (ieşirea din funcţiune) constituie un eveniment opus în raport cu buna funcţionare (funcţionarea fără defecţiune).

Pentru fiecare tip de dispozitiv tehnic este necesar să se formuleze în prealabil criteriile stărilor de funcţionare şi de indisponibilitate. Aceste criterii se pot schimba în funcţie de problema examinată. De exemplu, maşina-unealtă automată se poate considera defectă dacă este necesară: reparaţia generală, reparaţia mijlocie, reparaţia măruntă, precum şi dacă precizia de executare a pieselor este mai mică decât cea prescrisă etc.

Fiecăreia dintre aceste formulări ale stării de indisponibilitate îi corespunde timpul propriu pînă la apariţia defecţiunii şi, natural, o valoare corespunzătoare a caracteristicii de siguranţă.

In unele sisteme, la defectarea unuia sau a mai multor subansambluri scade doar întrucâtva eficienţa de utilizare a sistemului. Acest caz este examinat anterior.

In afară de cele două stări principale ale elementelor şi sistemelor indicate anterior se pot întâlni deranjamente. Termenul „deranjament" se va utiliza pentru reprezentarea acelor deteriorări ale dispozitivului tehnic care nu împiedică buna lui funcţionare. La apariţia unui deranjament, dispozitivul tehnic poate fi exploatat un timp oarecare, practic fără repercusiuni asupra sarcinilor îndeplinite. Dintre aceste deranjamente fac parte, de

80

exemplu, deteriorări ale unor piese de fixare, arderea unor lămpi de iluminat, deteriorarea acoperirilor de protecţie şi decorative etc. Astfel, apariţia deranjamentelor nu constituie o defecţiune a instalaţiei.

Trebuie să se menţioneze că împărţirea în defecţiuni şi deranjamente este convenţională. De exemplu, arderea becului de iluminare a scalei radioreceptorului constituie o defecţiune a acesteia, iar pentru receptorul în ansamblu care funcţionează ziua — un deranjament.

în expunerea care urmează se vor examina numai defecţiunile elementelor şi sistemelor. Pentru a evita confuziile de terminologie şi a sublinia sensul major al deteriorărilor elementelor şi sistemelor, se va utiliza uneori termenul de ieşire din funcţiune.

In teoria statistică a siguranţei în funcţionare se examinează o mărime aleatoare şi anume, timpul de funcţionare fără defecţiuni sau, ceea ce este echivalent, timpul până la apariţia defecţiunii (ieşirii din funcţiune) elementului sau sistemului. Timpul de funcţionare stohastic este o noţiune generalizată, într-o serie de cazuri el poate fi reprezentat prin numărul de conectări sau numărul ciclurilor de funcţionare (relee, încercări la oboseală etc), numărul miilor de kilometri de parcurs (materialul rulant de cale ferată, automobile). Diferitele caracteristici ale siguranţei în funcţionare sînt de obicei caracteristicile timpului stohastic de funcţionare al elementelor şi sistemelor.

Foarte frecvent, drept măsură cantitativă principală a siguranţei în funcţionare se consideră probabilitatea funcţionării fără defecţiuni a elementului (sistemului) în decursul unui timp prescris, în condiţii date. Cu alte cuvinte, siguranţa în funcţionare se exprimă prin probabilitatea faptului că timpul T de funcţionare fără defecţiuni al elementului sau sistemului este mai mare decât cel prescris:

( ) p t prob T t= > Uneori este comodă utilizarea noţiunii de nesiguranţă în funcţionare, adică capacitatea

elementelor şi sistemelor de a ieşi din funcţiune (de a se defecta). Drept măsură cantitativă a nesiguranţei în funcţionare se consideră probabilitatea ieşirii din funcţiune a elementului (sistemului) în decursul unui timp prescris, în condiţii date. Cu alte cuvinte, nesiguranţa în funcţionare se exprimă prin probabilitatea faptului că timpul T de funcţionare fără defecţiuni al elementului sau sistemului este mai mic decît t prescris:

( ) q t prob T t= ≤ Conform definiţiei, nesiguranţa în funcţionare este funcţie de distribuţia timpului de

funcţionare fără defecţiuni al elementului (sistemului). Noţiunile „probabilitatea funcţionării fără defecţiuni" şi „probabilitatea defecţiunii"

se referă totdeauna la o perioadă oarecare dată a exploatării elementului sau sistemului. După cum se ştie din teoria probabilităţilor, suma probabilităţilor evenimentelor

contrarii (funcţionarea fără defecţiuni şi defecţiunea) este egală cu unitatea: ( ) ( ) 1p t q t+ =

Funcţiile p(t) şi q(t) care intră în această relaţie se numesc: p(t) — funcţia siguranţei În funcţionare a elementului (sistemului) şi q(t) — funcţia nesiguranţei în funcţionare a elementului (sistemului). Aceste denumiri subliniază integral caracterul funcţiilor p(t) şi q(t). Graficele uneia din funcţiile posibile ( )tp şi ale funcţiei corespunzătoare q(t) sunt reprezentate în fig.1.1. Să enumerăm unele proprietăţi evidente ale lui p(t);

81

1) se poate examina funcţionarea fără defecţiuni doar a acelor element sau sisteme care au fost în bună stare în momentul conectării (pornirii);

2) p(t) este o funcţie de timp monoton descrescătoare; 3) ( ) 0p t → când t → ∞ În expunerea care urmează, funcţia siguranţei în funcţionare şi funcţia nesiguranţei în

funcţionare ale elementelor vor fi notate prin literele mici p(t) şi q(t), iar aceleaşi funcţii pentru sistem, prin literele mari P(t) şi Q(t).

Uneori, în locul funcţiei siguranţei în funcţionare p(t) se utilizează funcţia siguranţei în stocare (conservare) Pcon (t). în acest caz, sensul probabilistic al tuturor caracteristicilor se păstrează ca mai înainte. In expunere nu se va face distincţie între noţiunile siguranţă în funcţionare şi siguranţă în stocare (conservare), iar precizarea corespunzătoare se va face la aplicarea practică a teoriei expuse.

82

CAPITOLUL 5 LUCRĂRI DELAORATOR

MEDIUL DE SIMULARE MATLAB-SIMULINK; BIBLIOTECILE STANDARD SIMULINK

1. Scopul lucrării

Lucrarea are ca scop iniţierea în utilizarea mediului de simulare MATLAB-SIMULINK, familiarizarea cu principalele biblioteci ale acestuia şi realizarea unor modele simple.

2. Noţiuni teoretice

Mediul de simulare MATLAB-SIMULINK (MS) este un produsprogram, aplicaţie Windows, cu facilităţi importante, permiţând obţinerea unor modele precise ale unor sisteme complexe. El utilizează infrastructura” de calcul a MATLAB, respectiv organizarea matriceală a variabilelor. Principalul avantaj al MS este interfaţa comodă cu utilizatorul, acesta având la dispoziţie blocuri ce realizează diferite funcţii: matematice, de conectare, de vizualizare etc. Prin interconectarea acestora, pe baza modelelor matematice ale sistemelor simulate, se construiesc modele complexe. La rândul lor, acestea pot fi grupate, creându-se noi blocuri, ce pot fi în continuare interconectate. Blocurile sunt organizate în biblioteci (Library) denumite Toolbox sau Blockset. Descrierea modului de lansare MS şi a componenţei bibliotecilor se va realiza considerându-se varianta MATLAB_Release_11.1 (5.3) şi SIMULINK_3. Deschiderea bibliotecii SIMULINK se face făcând click pe butonul Simulink Library Browser din fereastra Matlab (fig. 1) sau dând comanda simulink în fereastra Matlab (posibilitate de a lansa Simulink şi în versiunile anterioare – Matlab 4.x).

Fig. 1 Fereastra Matlab şi lansarea Simulink

Va fi deschisă o nouă fereastră, fig. 2, în care apar toate bibliotecile instalate. Bibliotecile de bază Simulink sunt Simulink şi Simulink Extras.

83

Fig. 2 Fereastra Simulink Browser

Fig. 3 Detalierea bibliotecilor şi

deschiderea unui model nou

Detalierea conţinutului fiecărei biblioteci se face fie cu click pe „+”, ob_inându-se lista fiecărei biblioteci (fig. 3), fie (recomandabil) cu clickdreapta pe bibliotecă şi deschiderea bibliotecii, obţinându-se o nouă fereastră, fig. 4. Deschiderea unui nou model se face făcând click pe butonul „New” al ferestrei Simulink Browser (fig. 3) sau al oricărei ferestre noi Simulink.

Fig. 4 Biblioteca Simulink Principalele biblioteci din structura de bază a MATLABSIMULINK, ce pot fi accesate prin dublu click cu butonul din stânga al mouse-ului, sunt:

• Sources - blocuri ce reprezintă surse de semnale (sinusoidal, constant, generator de semnal " ş.a.), fig. 5.a;

• Sinks - blocuri de vizualizare a semnalelor (Scope - "Osciloscop", XY Graph - "Osciloscop grafic", etc.), fig. 5.b. Pot fi modificate rezoluţiile pe verticală şi orizontală, în funcţie de domeniile semnalelor vizualizate;

• Continuous - blocuri de calcul continuu, fig. 5.c, cele mai importante fiind Integratorul şi Memory.

• Math - operaţii matematice fig. 5.d, (sumator, produsul a douăvariabile, multiplicare cu o constantă), funcţii trigonometrice, funcţii Matlab ".a.);

• Signals & Systems - blocuri de conectare fig. 5.e (multiplexor,demultiplexor, selector de semnale, ground-„mas)”, terminator-„ieşire neconectat” )

84

Pentru evitarea avertismentelor (Warnings) Matlab la executarea une isimulări, intările neutilizate ale blocurilor din model trebuie conectate la„masă”, iar ieşirilor li se conectează terminatoare. Crearea unui model nou se realizează într-o fereastră nouă. Deschiderea unei noi ferestre de modelare se poate face în mai multe moduri echivalente: click pe butonul „New” al ferestrei Simulink Browser sau al oricărui nou model (ferestre noi de modelare), meniul File-New…-Model al oricărei ferestre de bibliotecă, shortcut Ctrl+N în orice fereastră de bibliotecă. Plasarea blocurilor în noua schemă se realizează prin “drag”-area ="tragerea" acestora şi apăsarea butonului din stânga al mouse-ului pe blocul necesar şi poziţionarea blocului în noua schemă. Unele blocuri au posibilitatea actualizării parametrilor, aceştia având valori implicite pentru blocurile luate din biblioteci. Făcând dublu click pe fiecare bloc, se va deschide o fereastră de dialog în care se introduc noile valori aleparametrilor blocului respectiv. Interconectarea blocurilor se realizează prin unirea (cu butonul din stânga apăsat) al unei "borne" de ieşire a unui bloc cu o „bornă” de intrare a altui bloc ( urmăriţi modificarea tipului de cursor pentru a vedea când poate fi eliberat butonul mouse-ului). Un punct de conexiune (conectarea unei ieşiri la intrările mai multor blocuri) se realizează făcând click dreapta pe prima legătură şi “drag” spre celelalte intrări.

a) Sources b) Sinks c) Continuous;

d) Math e) Signals & Systems

Fig. 5 Principalele biblioteci Simulink

85

Pentru realizarea unui bloc nou se selectează blocurile ce vor fi grupate (încadrarea într-o fereastră definită cu butonul din stânga apăsat) şiapelarea comenzii corespunzătoare (meniul Edit-Create Subsystem). Noului bloc îi pot fi modificate numele, masca - meniul Edit-Mask Subsystem (nume bloc, numele noilor ferestre de actualizare a parametrilor, asocierea parametrilor formali cu valorile de intrare, textul corespunz)tor butonului "Help"). După realizarea schemei bloc corespunzătoare modelului mathematic se plasează blocurile de vizualizare (cel mai frecvent Scope-„Osciloscop” din biblioteca Sinks). Acestea trebuie activate (dublu click), deschizându-se fereastra ce conţine ecranul osciloscopului (fig. 6.a), putându-se în acest moment modifica configurarea osciloscopului. Pentru aceasta:

• se face click-dreapta în fereastra osciloscopului, deschizându-se o casetă de dialog în care se selectează Axes properties…, deschizându-se o nouă fereastră (fig. 6.b) în care se pot defini domeniul axei y a osciloscopului şi numele semnalului vizualizat;

• se face click pe butonul Properties (fig. 6.a), deschizându-se fereastra de dialog (fig. 6.c) în care se poate selecta numărul de axe al osciloscopului şi baza de timp (Time range).

a) fereastra principal) b) Proprietăţ (click dreapta)

c) Proprietăţi (butonul Properties)

Fig. 6 Ferestrele osciloscopului

În cazul creşterii numărului de axe, blocul Scope din schemă îşi va modifica în mod corespunzător numărul de intrări. În acest caz, fiecare semnal va fi vizualizat în câte un sistem de axe, al aceluiaşi osciloscop. Pentru a vizualiza mai multe semnale în acelaşi sistem deaxe, semnalele vor fi multiplexate (conectate la intrările unui bloc Mux, ieşirea acestuia conectându-se la un osciloscop având un singur sistem de axe.

86

După realizarea modelului se selectează parametrii simulării (meniul Simulation–Parameters…, fig. 7): momentul începerii simulării (Start time), durata simulării (Stop time), metoda de integrare (Solver options), pasul maxim de integrare (Max step size), eroare (Relative tolerance).

Fig. 7 Fereastra pentru modificarea parametrilor simulării În ceea ce priveşte metoda de integrare, Simulink prezint) iniţial în fereastra de modificare a parametrilor simulării metoda implicit aleasă în funcţie de structura modelului. Aceasta poate fi schimbată, alegându-se între o metodă cu pas variabil de integrare şi una cu pas fix. Metoda de integrare cu pas variabil implicit aleasă este ode45, ceea ce constituie metoda de integrare Runge-Kutta de ordinul 5, ce oferă rezultate bune pentru majoritatea modelelor continui. Metodele de integrare cu pas fix sunt variante ale celor cu pas variabil. Pentru mai multe detalii privind metodele de integrare, a se vedea manualul Simulink în format PDF „Using Simulink” aflat în MatlabR11\help\pdf_doc\simulink\sl_using.pdf, pag. 4.11. Lansarea în execuţie se face făcând click pe butonul Start din toolbar- ul ferestrei modelului, sau din meniul Simulation-Start, sau cu shortcutul Ctrl+T. Salvarea unui model SIMULINK se poate realiza cu comanda din meniul File-Save As..., specificându-se directorul şi numele sub care va fi salvat.

3. Chestiuni de studiat

Se vor identifica principalele biblioteci ale Simulink (localizare, componenţă), modul de modificare a parametrilor impliciţi ai blocurilor şi efectele asupra structurii şi comportamentului unui model. Se vor realiza modele simple, urmărindu-se familiarizarea cu utilizarea şi configurarea blocurilor de vizualizare.

4. Modul de lucru După lansarea Matlab (Start-Programs . sau iconul pe desktop)se verifică existentă în căile de căutare Matlab (fereastra Path) a directorului propriu de salvare şi selectarea acestei căi drept cale curentă (fereastra Current Directory).

87

Nu faceţi salvări decât în directorul propriu de lucru! Se deschide Simulink (fig. 1, fig. 4) şi un model nou (fig. 3). A. Se realizează modelul din fig. 8. Localizarea blocurilor este:

• Signal generator – Sources; • Gain – Math; • Integrator – Continuous; • Scope – Sinks.

Se selectează:

din meniul Simulation-Parameters: • timpul final al simulării (Stop time) [s]: 100; • metoda de integrare: ode45; • pasul maxim de integrare (Max step size) [s]: 0.0001;

din Scope-Properties: • baza de timp a osciloscoapelor (Time range) [s]: 10.

Fig. 8 Schema L_1 de simulare

Se lansează simularea şi se modifică în timpul rulării acesteia, observându-se efectele:

• forma de und) a generatorului de semnal; • amplitudinea semnalului; • unitatea de m)sur) a frecven_ei semnalului generat; • frecvenţa semnalului; • amplificările blocurilor Gai şi Gain1; • scalarea osciloscoapelor.

Se va modifica schema simulării pentru vizualizarea ambelor semnale în aceeaşi fereastră de osciloscop, utilizând pe rând două sisteme de axe (Scope-Properties…), respectiv un bloc Mux pentru multiplexarea ambelor semnale într-un singur osciloscop cu un canal. Se vor urmări efectele schimbării proprietăţilor blocurilor cu ajutorul meniului Format (fig. 9):

88

Font… - tip "i dimensiune caractere

Flip Na me Hide Name Flip Block Rotate Block Show Drop Shadow Foreground Color – linie contur Background Color – umplere bloc Sample Time Colors Wide Vector Lines Vector Lines Widths Port Data Types Se va salva modelul realizat. Se urmăreşte funcţionalitatea altor blocuri din bibliotecile Simulik. B. Se va urmări funcţionarea modelelor demonstrative ale Simulink (Demos-Simple Model şi Complex Models) modificând parametrii blocurilor şi urmărind efectele asupra funcţionării modelelor. 5. Conţinutul referatului

titlul lucrării; scopul lucrării; bibliotecile Simulink "i blocurile utilizate în modelele realizate.

Fig. 9 Meniul „Format”

89

BIBLIOTECA POWER SYSTEM BLOCKSET. ELEMENTE, FACILITĂŢI, UTILIZARE.

1. Scopul lucrării

Lucrarea are ca scop iniţierea în utilizarea bibliotecii Power System Blockset.

2. Noţiuni teoretice

Biblioteca Power System Blockset este una din bibliotecile ce pot fi deschise din fereastra Simulink Library Browser (Lucrarea 1, fig. 2). Ea conţine elemente specifice domeniului electrotehnic, fiind organizată în mai multe sub-biblioteci (fig. 1).

Fig. 1 Biblioteca Power System Blockset

Nu se va insista pe componenţa fiecărei sub-biblioteci, aceasta fiind uşor de identificat prin deschiderea fiecăreia dintre ele făcând dublu-click pe iconul acesteia. Utilizarea blocurilor din sub-biblioteci este similară blocurilor Simulink în ceea ce priveşte interconectarea lor. Există însă specificităţi ce se referă în principal la sursele utilizate şi vizualizarea rezultatelor. Ca surse de alimentare trebuie utilizate sursele din subbiblioteca Electrical Sources. Nu mai este posibilă utilizarea surselor din biblioteca Simulink-Sources. Pentru vizualizarea rezultatelor, pot fi utilizate osciloscoapele din biblioteca Simulink-Sinks, dar acestea nu pot fi conectate direct pe liniile de conexiune din model, ci doar prin intermediul unor blocuri de măsură de tensiune, de curent sau de impedanţă, preluate din subbiblioteca Measurements. O facilitate importantă o reprezintă blocul Multimeter. Fizic, acest bloc nu are nici o intrare, dar preluarea sa într-un model face posibilă ca prin interfaţa lui (accesată prin dublu-click pe bloc) să poată fi selectate semnalele ce vor fi vizualizate, din lista tuturor semnalelor disponibile. Această listă este constituită prin

90

concatenarea tuturor măsurătorilor selectate prin masca blocurilor utilizate în care a fost selectată opţiunea Measurements. De exemplu, pentru puntea universală (Universal Bridge) aflată în sub-biblioteca Power Electronics, pot fi selectate ca şi măsurători (fig. 2):

_tensiunile ce solicită elementele semiconductoare; curen_ii prin elementele semiconductoare; tensiunile de linie (de intrare sau ieşire, în funcţie de configuraţia

selectată) şi tensiune din circuitul de c.c. toate tensiunile şi curenţii.

Fig. 2 Selectarea semnalelor de ieşire de măsură ale unui bloc

Selectarea primei opţiuni (Device voltages) va face ca la deschiderea interfeţei de configurare a blocului Multimeter aflat în acelaşi model cu puntea universală, să se poată selecta care anume semnale (fig. 3) să fie vizualizate de către osciloscopul conectat la ieşirea blocului Multimeter. rotorului (wm), fig. 7.

91

Fig. 6 Masca blocului AC Voltage Source1

Fig. 7 Masca blocului Machines Measurement Demux

Se selectează metoda de simulare cu pas variabil ode23tb, pasul maxim de simulare 0.0001 [s]. Se porneşte simularea, iar după atingerea regimului staţionar în gol (Tm = 0), se modifică în timpul simulării parametrul blocului Constant (cuplul static aplicat la arbore) urmărind evoluţia vitezei. Se urmăreşte influenţa parametrilor maşinii asincrone asupra comportării acesteia pe durata pornirii. Se selectează şi alte mărimi de vizualizat prin intermediul măştii blocului Machines Measurement Demux şi se reiau simulările. 5. Continutul referatului

titlul lucr&rii; scopul lucr&rii; blocurile din componenţa fiec&rei sub-biblioteci; observaţii.

92

Fig. 3 Selectarea semnalelor de vizualizat prin masca blocului Measurements

3. Chestiuni de studiat A. Se vor identifica blocurile din componenţa sub-bibliotecilor Power System Blockset şi

parametrii setabili prin masca acestora. B. Se va realiza un model simplu utilizând blocuri din componenţa Power System Blockset. 4. Modul de lucru A. După deschiderea Simulink Library Browser, se deschide Power System Blockset (click-

dreapta). Se deschide un model nou şi se preiau succesiv în acesta blocuri din componenţa sub-bibliotecilor. Se urmăresc parametri ce pot fi modificaţi prin masca blocurilor. Se urmăreşte funcţionarea modelelor demonstrative ale bibliotecii (dublu click pe butonul Demos din bibliotec&).

B. Se realizează un model simplu (fig. 4) al pornirii prin cuplare directă la reţea a unui motor asincron. Localizarea blocurilor în sub-bibliotecile Power System Blockset şi Simulink este urm&toarea:

AC Voltage Source, AC Voltage Source1, AC Voltage Source2 blocuri AC Voltage Source în Electrical

Sources; Asynchronous Machine SI Units bloc Asynchronous Machine SI

Units în Machines;

93

Fig. 4 Modelarea pornirii prin cuplare directă la reţea a motorului asincron cu rotorul în scurtcircuit

Machines Measurement Demux bloc Machines Measurement Demux în Machines;

Voltage Measurement bloc Voltage Measurement în Measurements;

Constant bloc Constant în Sources din Simulink;

Scope, Scope1, Scope2 blocuri Scope în Sinks din Simulink.

În continuare se vor face câteva observaţii referitoare la parametrii modelelor preluate din sub-bibliotecile Power System Blockset:

Asynchronous Machine SI Units – varianta implicit& (preluat& din subbiblioteca Machines) reprezintă modelul unui motor asincron cu rotor bobinat. Pentru a utiliza modelul unui motor asincron cu rotorul în scurt-circuit, prin masca blocului se va modifica tipul de rotor (parametrul „Rotor type”), selectându-se tipul „Squirell-cage” (fig. 5). Restul parametrilor vor fi menţinuţi, cu excepţia frecvenţei nominale. Se va observa tensiunea nominal& a motorului L-L volt. [Vrms] (Line to line voltage) – Tensiunea nominal& de linie (valoarea eficace) = 220V.

94

Fig. 5 Masca blocului Asynchronous Machine

SI Units

Sursele AC Voltage Source, AC Voltage Source1, AC Voltage Source2 trebuie să formeze un sistem trifazat simetric de tensiuni având valoarea eficace a tensiunii de linie egală cu tensiunea nominală a motorului. Cum prin masca acestor blocuri se solicită valoarea de vârf a tensiunii (Peak Amplitude), iar aceste surse reprezintă tensiunile de fază ale sistemului trifazat,

rezultă că valoarea de vârf a acestora va trebui să fie 3

2202 ,

adică: sqrt(2)*220/sqrt(3), cu defazaj între ele de 120º (AC Voltage Source: 0, AC Voltage Source1: -120, AC Voltage Source2: 120) şi frecven_a de 50 Hz. În fig. 6 este exemplificată masca blocului AC Voltage Source1.

Machines Measurement Demux – varianta implicită (preluată din subbiblioteca Measurements) reprezintă demultiplexorul de măsură corespunzător motorului sincron simplificat (Simplified synchronous). Prin masca blocului se va alege varianta corespunzătoare motorului asincron (Machine type: Asynchronous) şi vizualizarea doar a curenţilor statorici (is_abc) şi a vitezei

95

SIMULAREA UNUI CIRCUIT REDRESOR ŞI FILTRU LC 1. Scopul lucrării Lucrarea are ca scop simularea unui redresor monofazat necomandat, a unui circuit de filtrare L-C şi o sarcină rezistivă. Se vor realiza modelele Matlab-Simulink (blocuri Simulink) şi modelul utilizând biblioteca Power System Blockset. Se vor compara modalităţile de obţinere a modelelor, timpii de execuţie, rezultatele obţinute. 2. Noţiuni teoretice Se va considera un redresor monofazat bialternanţă necomandat urmat de un filtru L-C, ce are o sarcină rezistivă. Ca scheme practice de redresoare, este cazul redresorului monofazat cu punct median sau a redresorului monofazat în punte. Considerând cea de-a doua variantă, schema sistemului ce trebuie simulat este prezentată în fig. 1. Rezistorul R corespunde rezisten'ei bobinei de filtrare L .

Fig. 1 Schema redresorului monofazat cu filtru L-C şi sarcină rezistivă

Neglijând comutaţiile aferente redresorului, ecua,iile ce caracterizează funcţionarea circuitului sunt urmă toarele: sd uu = (1) sCL iii += (2)

dcL

L uudtdiLRi =++ (3)

dt

duCi cc = (4)

Rui C

s = (5)

Se va considera ca variabilă de stare tensiunea pe condensatorul C, uC. Ecuaţia diferenţială ce descrie evoluţia acesteia se ob,ine înlocuind (4) şi (5) în (2):

Ru

dtduCi CC

L += (6)

96

Derivând (6) în raport cu timpul şi înlocuind atât rezultatul cât şi (6) în (3) se obţine ecuaţia diferenţială ce descrie evoluţia tensiunii uC:

dss

C

s

C uuRR

dtdu

RLRC

dtudLC =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++ 12

2

(7)

Pentru realizarea modelului Simulink al sistemului propus, trebuie explicitată derivata de ordin cel mai mare al variabilei de stare uC:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−= c

s

C

sd

C uRR

dtdu

RLRCu

LCdtud 112

2

(8)

3. Chestiuni de studiat Se vor realiza modelele Simulink şi Power System Blockset ale redresorului monofazat bialternanţă cu filtru LC şi sarcină rezistivă. Se vor compara rezultatele simulărilor şi se va urmări influenţa valorilor parametrilor filtrului asupra comportării sistemului. 4. Modul de lucru 4.1. Modelul Simulink Se va realiza un model general, ce să poată fi utilizat indiferent de valorile parametrilor circuitului. Pentru aceasta, modelul Simulink va fi realizat cu parametri formali, respectiv va fi implementată ecuaţia literală (8). Înainte însă de a fi pornită simularea, valorile numerice ale parametrilor circuitului (R, L, C, Rs) vor trebuie iniţializate în spaţiul Matlab. Se deschide un model nou Simulink şi se realizează schema din fig.2.

Fig. 2 Modelul Simulink al redresorului monofazat cu filtru L-C şi sarcină rezistivă

97

Localizarea blocurilor în sub-bibliotecile Simulink este următroarea

Us bloc Sine Wave în Sources Abs bloc Abs (modul) în Math; I Integrator, Integrator1, … blocuri Integrator în Continuous; Sum, Sum1 blocuri Sum în Math; Mux, Mux1 blocuri Mux în Signals&Systems; C, 1/Rs, 1/LC, … blocuri Gain în Math; Tensiuni, Curenti blocuri Scope în Sinks.

- Parametrii blocului Us se vor seta: amplitudine: sqrt(2)*220 frecvenţă [rad/sec]: 314. La ieşirea blocului Abs se obţine tensiunea redresată ud. La ieşirea blocului 1/LC se obţine membrul drept al ecuaţiei (8). Integrând de două ori se obţine mărimea de stare uC. Curenţii prin condensator iC, prin bobină iL şi prin sarcină is se calculează pe baza relaţiilor (4), (2), respectiv (5). Blocurile Gain realizează funcţiile descrise de numele lor. Toate integratoarele vor avea condiţii iniţiale nule. Osciloscoapelor li se vor selecta următoarele proprietăţi:

Scope Time ranger Ymin/zmaxTensiuni 0,1 -400/400 Curenţi 0,1 -2/12

Ca metodă de integrare (meniul Simulation-Parameters…), se va alege metoda cu pas variabil ode45, pasul maxim de integrare impunânduse 0.0001 [s], iar timpul final (Stop time) 0.1 [s]. Pasul maxim de 0.0001 a fost ales pentru a putea urmări evoluţia semnalelor în timpul simulării. După realizarea modelului, acesta se salvează într-un fişier de tipul mdl, de exemplu L_4.mdl, în directorul propriu de lucru, şi se închide. Se creează apoi în directorul propriu de lucru un fişier Matlab (de tip .m), de exemplu l4.m, în care se iniţializează valorile parametrilor circuitului. Acesta va con'ine liniile: R=0.1; L=0.2; C=0.0002; Rs=25; L_4; La tastarea, în fereastra Matlab, a numelui acestui fişier (l4), se vor încărca în spaţiul Matlab valorile parametrilor elementelor din circuit, ultima linie a fişierului determinând deschiderea modelului L_4.mdl. Având valorile iniţializate, se poate acum porni simularea (butonul Start). Se va urmări, în timpul simulării, evoluţia mărimilor. Rezultatele pentru valorile parametrilor de mai sus sunt cele din fig.3.

98

Fig. 3 Rezultatele rulării modelului din fig.2

4.1. Modelul Power System Blockset Sistemul din fig. 2 poate fi simplu simulat utilizând blocuri din biblioteca Power System Blockset. Într-o fereastră nouă Simulink se realizează schema din fig. 4 ce se va salva cu un alt nume decât L_4 (exemplu L_4_psb).

Fig. 4 Modelul PSB al redresorului monofazat cu filtru L-C şisarcină rezistivă

Localizarea blocurilor în sub-bibliotecile PSB şi Simulink este următoarea:

220V 50Hz bloc AC Voltage Source în Electrical Sources; T1 bloc Linear Transformer în Elements; 200 mH, 0.1 ohmi bloc Series RLC Branch în Elements; 25 ohmi 200uF bloc Parallel RLC Branch în Elements; us, ud, uc blocuri Voltage Measurement în Measurements; Multimeter bloc Multimeter în Measurements; Mux bloc Mux în Signals&Systems;

99

Tensiuni, Curenti blocuri Scope în Sinks. Se vor modifica parametrii blocurilor la următoarele valori:

AC Voltage Source Peak Amplitude: sqrt(2)*220 Frequency [Hz]: 50 T1 Nominal power and frequency: [2000 50]

Winding 1 parameters: [220 0.03 0.02] Winding 2 parameters: [220 0.03 0.02] Winding 3 parameters: 0 Magnetization resistance …: [25 25]

Universal Bridge Number of bridge arms: 2 Port configuration: ABC as inputs terminals Snubber resistance: 250 Snubber capacitance: 0.1e-6 Power electronic device: Diodes Ron: 0.01 Lon: 0 Forward voltage: 0.8 Measurements: Device currents

200 mH, 0.1 ohmi Resistance: 0.1 Inductance: 0.2 Capacitance: inf Measurement: Branch current

25 ohmi 200uF Resistance: 25 Inductance: inf Capacitance: 0.0002 Ca metodă de integrare (meniul Simulation-Parameters…), se va alege metoda cu pas variabil ode23tb, timpul final (Stop time) 0.1 [s]. Pasul maxim şi cel iniţial nu vor fi modificaţi faţă de valoarea implicită auto. Cele două osciloscoape vor avea aceleaşi setări ca şi cele din modelul Simulink (pot fi copiate din modelul Simulink). Rezultate ale rulării modelului sunt prezentate în fig. 5.

Fig. 5 Rezultatele rul_rii modelului PSB din fig.4

Se vor observa diferenţele în ceea ce priveşte timpul de execuţie ale celor două modele (Simulink şi PSB) şi facilităţile modelului PSB (evidenţierea comutaţiilor din redresor, posibilităţile de vizualizare a semnalelor). Se vor compara rezultatele obţinute cu cele două modele.

100

Se va studia răspunsul sistemului, pentru diferite valori ale parametrilor electrici (L, R, C, Rs). 5. Conţinutul referatului

titlul lucrării; scopul lucrării; comparaţie între rezultatele ob'inute cu cele două modele; observaţii privind influenţele valorilor parametrilor electrici asupra comportării

sistemului.

101

MODELAREA ŞI SIMULAREA SISTEMELOR ELECTROMECANICE

Modele MATLAB-SIMULINK pentru surse utilizate în sistemele de acţonare cu motoarte de c.c; modelul motorului de c.c.

1. Scopul lucrării

Lucrarea are ca scop realizarea modelelor Simulink ale unui represor monofazat complet comandat, unui variator de tensiune continuă şi a motorului de c.c. cu excitaţie separată, precum şi interconectarea fiecăreia dintre surse cu modelul motorului. 2. Noţiuni teoretice 2.1. Redresorul monofazat complet comandat Indiferent de tipul redresorului monofazat complet comandat (cu punct median sau în punte), expresia valorii instantanee a tensiunii redresate este:

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

++∈−+∈

=)2,(

),(απαπω

απαωtutu

us

sd (1)

Unde, us este valoarea instantanee a tensiunii alternative de alimentare. Reprezentarea grafică a expresiei (1) este chiar forma de undă a tensiunii redresate, fig. 1.

Fig. 1 Forma de undă a tensiunii la ieşirea unui represormonofazatcomplet comandat

2.2. Variatorul de tensiune continuă În regim de curent neîntrerupt, forma de undă a tensiunii la yesera unui VTC este (fig. 2) o succesiune de pulsuri dreptunghiulare de amplitudine constantă (tensiunea de c.c. de alimentare).

102

Fig. 2 Forma de undă a tensiunii la ieşirea unui variator

de tensiune continu Valoarea medie a tensiunii poate fi reglată fie prin modificarea duratei pulsurilor, frecvenţa fiind constantă, fie păstrând constantă durata pulsurilor, prin modificarea frecvenţei de comandă. 2.3. Motorul de c.c. cu excitaţie separată Ecuaţia de tensiune a circuitului indusului unei maşini de c.c. cu excitaţie separată este:

edtdiLiRu d

aad ++⋅= (2)

în care: ud – valoarea instantanee a tensiunii de alimentare; id – valoarea instantanee a curentului din circuitul indusului; Ra, L – rezistenţa, respectiv inductivitatea totală din circuitul indusului, L = La + Lf La – inductivitatea indusului; Lf – inductivitatea de filtrare; e – tensiunea electromotoare, e k Φω (3) k Φ – constanta t.e.m. = MN/IN ω – viteza unghiulară a rotorului. Modelul motorului de c.c. cu excitaţie separată se obţine integrand did/dt din (2), ţinând cont şi de (3), la care se adaugă expresia cuplului dezvoltat m k Φid (4) şi ecuaţia generală a mişcării considerând momentul total de inerţie la arborele motorului, J, ca fiind constant

dtdjmm sω

+= (5)

103

3. Chestiuni de studiat

Se vor realiza modelele Simulink ale redresorului monofazat complet comandat; variatorului de tensiune continuă; motorului de c.c. cu excitaţie separată.

Se vor realiza succesiv modelele sistemelor de acţionare cu motor de c.c. cu excitaţie separată şi redresor comandat respectiv VTC, urmărindu-se influenţa modificării unghiului de comandă (redresor), a factorului de comandă (VTC), a valorii bobinei de filtrare. 4. Modul de lucru 4.1. Modelul redresorului monofazat complet comandat Într-o fereastră nouă Simulink se va realiza modelul din fig. 3.

Fig. 3 Modelul Simulink al redresorului monofazat complet comandat

Comutatorul Switch transferă la ieşire una din cele două intrări (us, -us), în funcţie de semnul intrării de comandă, asigurând realizarea expresiei (1). Semnalul de comandă se obţine din aceeaşi tensiune de alimentare alternativă us, decalată în timp cu unghiul de comandă α. Cum a doua intrare a blocului Variable Transport Delay (prin care se controlează unghiul de comandă α) are dimensiune de timp, blocul grd-t realizează transformarea grade-timp corespunzătoare frecvenţei de 50 Hz a tensiunii us. Localizarea blocurilor în bibliotecile Simulink este:

us bloc Sine Wave în Sources; Fcn bloc Fcn în Functions&Tables; Switch bloc Switch în Nonlinear; Alfa bloc Constant în Sources; grd-t bloc Gain în Math; ud bloc Scope în Sinks.

Se vor seta parametrii osciloscopului şi ai simulării astfel încât să se poată urmări în timpul simulării influenţa modificării unghiului de comandă asupra formei de undă a tensiunii ud. 4.2. Modelul variatorului de tensiune continuă

104

Se poate realiza cel mai simplu preluând blocul Pulse Generator din Sources. Prin masca acestuia (fig. 4) se pot modifica:

Fig. 4 Masca blocului Pulse Generator

perioada de comandă; factorul de comandă; amplitudinea (valoarea tensiunii de alimentare).

4.3. Modelul motorului de c.c. cu excitaţie separată

Într-o fereastră nouă Simulink se va realiza modelul motorului de c.c. cu excitaţie separată descris de ecuaţiile (2), (3), (4) şi (5), ca în fig. 5.

Fig. 5 Modelul Simulink al motorului de c.c. cu excitaţie separată

Toate blocurile utilizate au fost localizate în sub-bibliotecile Simulink pe parcursul lucrărilor desfăşurate anterior, cu excepţiile următoare: blocurile ud şi ms – blocuri de tip Input (In1); blocurile id şi omg – blocuri de tip Output (Out1), toate patru din sub-biblioteca Signals&Systems. Blocul lim_0 (de tipul Saturation în Nonlinear) realizează limitarea inferioară la „0” (zero) a curentului id, ţinând cont de restricţiile fizice ale sistemelor de acţionare cu m.c.c. şi redresor comandat sau VTC, ce nu pot asigura, datorită elementelor semiconductoare, decât curent pozitiv. Pragurile de limitare ale blocului vor fi setate la: Upper limit: inf; Lower limit: 0.

105

Ca valori concrete al parametrilor, se vor utiliza datele uneia din maşinile de c.c. utilizate în cadrul lucrărilor de laborator de la disciplina „Maşini electrice”. Un set posibil de valori este: Ra = 0.66 [Ω]; Lt = Lf + La = 0.1 [H]; J = 0.21 [kgm2]; k Φ= 1.39 [Wb]. Se vor simula (metoda de integrare ode45) diferite regimuri de pornire, prin modificarea valorii tensiunii de alimentare ud (de la 0 la220 V) şi a cuplului static ms (MN aprox. 17 Nm), urmărindu-se de fiecare dată evoluţiile curentului şi vitezei. 4.4. Modele ale sistemelor de acţionare cu motor de c.c. Se vor interconecta succesiv modelele motorului de c.c. cu excitaţie separată cu modelele redresorului monofazat complet comandat şi al variatorului de tensiune continuă. Se va urmări influenţa asupra răspunsului şi comportării a modificării unghiului de comandă (redresor), a factorului de comandă (VTC), a cuplului static, a valorii inductivităţii de filtrare. Se vor alege convenabil parametrii simulării şi ai osciloscoapelor, pentru a se putea urmării în timpul simulării diferitele influenţe. 5. Conţinutul referatului

titlul lucrării; scopul lucrării; parametrii motorului de c.c.; observarii.

106

SIMULAREA UNUI BRAŢ MANIPULATOR

1. Scopul lucrării

Lucrarea are ca scop realizarea şi utilizarea modelului Matlab-Simulink al unui braţ manipulator. Se va urmări evoluţia sistemului la modificările parametrilor acestuia şi ale stimulilor externi (foreţe cupluri).

2. Noţiuni teoretice Braţul manipulator ce va fi simulat este prezentat schematic în fig. 1.

Fig. 1 Braţ manipulator

Robotul manipulator este format din douăsegmente articulate între ele. Primul poate realiza doar o mişcare de translaţie pe direcţia axei Ox, sub acţiunea forţei F. Cel de al doilea poate executa doar o mişcare de rotaţie dupăaxa Oz (perpendicularăpe planul xOy), sub acţiunea cuplului motor M. În figurăau fost notate:

a – poziţia centrului de greutate al primului segment; x1 – coordonata centrului de greutate al primului segment (y1, θ1 ≡0); b – poziţia centrului de greutate al celui de-al doilea segment; x2, y2 – coordonatele centrului de greutate al celui de-al doilea segment; θ2 – unghiul dintre cel de al doilea segment şi verticală.

Sistemul, având douăgrade de libertate, poate fi caracterizat prin douăvariabile independente. Se vor considera ca variabile de stare mărimile x1şi θ2. Toate celelalte variabile pot fi exprimate în funcţie de acestea astfel:

y1≡0; θ1≡0; x2 =x1+bsinθ2+a; y2 =-bcosθ2

Ecuaţia diferenţialăce caracterizeazăevoluţia sistemului sub acţiunea stimulilor externi

este:

,[⋅)]( [=)](+×+[⋅)]( u]xGx[g]x[)]x[H(x,][M.....

xx (1)

107

în care:

[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

2

1

θx

x -vectorul variabilelor de stare;

[ ] ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ..

, xx -derivatele de ordinul întâi, respectiv al doilea ale vectorului variabilelor de stare;

[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

+

+=

222

2222

2221

sincos

cos)(

θθ

θ

bmIbm

bmmmxM -matricea de inerţie, unde:

m1,m2– masele celor douăbraţe;

I2– momentul de inerţie al celui de-al doilea braţ;

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

00sin0

, 222.. θθbmxxH -matricea de impuls;

( )[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

22 sin0

θbgmxg -vectorul forelor şi cuplurilor datorate gravitaţiei;

( )[ ] [ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=×

MF

uxG vectorul stimulilor externi.

Pentru realizarea modelului Simulink, ecuaţia (1) ce descrie comportarea sistemului trebuie adusăsub forma ecuaţiilor de stare, respectiv:

( )[ ] ( )[ ]gxBxxxAuxCx ,,,......

−⎥⎦⎤

⎢⎣⎡×⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ (2)

Înmulţind ecuaţia (1) la stânga cu [M(x)]-1 şi identificând cu termenii ecuaţiei (2) rezultă:

( )[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛×=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

..1

..., xxHxMxxA (3)

( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]xgxMgxB ×= −1, (4) ( )[ ] ( )[ ] ( ) [ ][ ]uxGxMuxC ××= −1, (5) în care,

( )[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

+−+

∆=−

2122

22

2222

221

coscossin1

mmbmbmbmI

xMM θ

θθ, cu

108

( ) ( )2222

222221 cossin)(

11θθ bmbmImmm −++

=∆

Făcând calculele matriceale exprimate de relaţiile (3), (4) şi (5) se obţin:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

⋅

⋅+−

∆=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡×⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

22222

2

22222

2222

..

cossin)(

sin)sin(1,θθθ

θθθ

bm

bmbmIxxxA

m

,

( )[ ] ,sin)(cossin)(1,

2221

222

2⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

+−

∆=

θθθ

bmmmgbmg

gxBm

( )[ ]( ) ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

++−⋅−+−

∆=

MmmFbmMbmFbmI

uxCm 2122

22222

22

)cos()cos()sin(1,

θθθ

Rezultăîn final expresiile, sub forma ecuaţiilordestareale celor douăvariabile:

[ ] [ ]⎪⎭⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

−−⋅++−

−−+

∆=

212

2222

22222

2222

22222

22..

cossin)(sin)sin(

)cos()sin(1θθθθθ

θθ

bmgbmIbmI

MbmFbmIx

M

(6)

respectiv,

[ ]⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

+−⋅−+−+−

∆=

2221

2222

222122

2

..

sin)(cossin)()()cos(1

θθθθθ

θbmmmg

bmMmmFbm

M

(7)

Modelarea braţului manipulator în mediul Matlab-Simulink se va realiza integrând de

douăori ecuaţiile de stare, respectiv expresiile (6) şi (7). Se observăcăexpresiile depind, în afară de parametrii mecanici ai sistemului, şi de variabila de stare θ2 şi derivata de ordinul I a acesteia, ceea ce presupune considerarea lor ca reacţii în schema Simulink de integrare a celor douăvariabile.

3. Chestiuni de studiat Se va realiza modelul Simulink al braţului manipulator descris de ecuaţiile (6) şi (7). Se va urmări comportarea acestuia la modificarea separatăa stimulilor externi (forţa F

aplicată ansamblului braţului şi cuplul M aplicat în articulaţia braţului doi). Se va urmări comportarea sistemului în cazul modificării valorilor parametrilor mecanici ai

sistemului.

4. Modul de lucru

109

Pentru obţinerea unui model general, ce să poatăfi utilizat indiferent de valorile

parametrilor mecanici ai sistemului, modelul Simulink va fi realizat cu parametri formali, respectiv vor fi implementate ecuaţiile literale (6) şi (7). Înainte însăde a fi pornită simularea, valorile numerice ale parametrilor mecanici (m1, m2, I2, b, g0) vor trebuie iniţializate în spaţiul Matlab.

Se deschide un model nou Simulink şi se realizeazăschema din figura 2. Localizarea blocurilor în sub-bibliotecile Simulink este următoarea:

x_A, x_B, x_C, 1/D,t_A, t_B, t_C, 1/D1 blocuri Fcn în Functions&Tables; F, M blocuri Constant în Sources; Sum, Sum1 blocuri Sum în Math; Mux, Mux1, blocuri Mux în Signals&Systems;

Fig. 2 Schema Simulink pentru simularea braului manipulator

Integrator, Integrator1, … blocuri Integrator în Continuous; rad-grd bloc Gain în Math; FM, x1, Teta2 blocuri Scope în Sinks.

La ieşirile blocurilor sumatoare Sum şi Sum1 se obţin sumele din expresiile (6) respectiv

(7). Blocurile 1/D şi 1/D1 realizează divizarea cu determinantul matricii [M(x)], obţinându-se derivatele de ordinul II ale celor douăvariabile de stare. Aceste se integreazăde douăori, obţinând valorile variabilelor de stare x1 şi θ2. Se observăpreluarea, ca reacţie, a variabilei intermediare θ’

2

, necesară pentru calculul termenilor corespunzători din produsul [ ]xxxA ×⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ .

, . De asemenea,

variabila finală θ2 este utilizatăîn toate blocurile, fiind preluată ca reacţie. S-a optat pentru realizarea modelului cu blocuri Fcn, schema rezultată fiind mai compactă. Fiecare dintre aceste

110

blocuri ar putea fi realizat cu elemente discrete din sub-biblioteca Math (Gain, Product), schema devenind însămult mai puţin clară.

Funcţiile realizate de fiecare bloc, rezultate din separarea termenilor din (6) şi (7), sunt următoarele:

x_A: -(I2+m2*b^2*(sin(u[2]))^2)*m2*b*sin(u[2])*(u[1]^2); x_B: -(m2*b)^2*sin(u[1])*cos(u[1])*g0; x_C: (I2+m2*b^2*(sin(u[3]))^2)*u[1]-(m2*b*cos(u[3]))*u[2]; t_A: (m2*b)^2*sin(u[2])*cos(u[2])*(u[1]^2); t_B: (m1+m2)*m2*b*sin(u[1])*g0; t_C: -(m2*b*cos(u[3]))*u[1]+(m1+m2)*u[2]; 1/D, 1/D1: u[1]/((m1+m2)*(I2+m2*b^2*(sin(u[2]))^2)-(m2*b*cos(u[2]))^2)

Toate integratoarele vor avea condiţii iniţiale nule, cu excepţia celui ce integrează viteza

unghiulară θ’2 pentru obţinerea poziţiei θ2 (Integrator3), căruia i se va impune ca şi condiţie iniţială valoarea π/4.

Blocul rad-grd de tipul Gain, cu valoarea 180/pi, transformăpoziţia θ2 din radiani în grade, doar pentru vizualizare.

Ca metodăde integrare (meniul Simulation-Parameters…), se va alege metoada cu pas variabil ode45, pasul maxim de integrare impunânduse 0.0001 [s], iar timpul final (Stop time) 10 [s]. Pasul maxim de 0.0001 a fost ales pentru a putea urmări în timpul simulării influena modificării valorilor stimulilor (fora F, cuplul M) asupra evoluiei sistemului.

Osciloscoapelor li se vor selecta următoarele proprietăţi:

Scope Time range Ymin / Ymax

x1 10 -2.5 / 2.5 Teta2 10 25 / 65 FM 10 -5 / 5

Dupărealizarea modelului, acesta se salveazăîntr-un fişier de tipul mdl, de exemplu

L_3.mdl, în directorul propriu de lucru, şi se închide. Se creazăapoi în directorul propriu de lucru un fişier Matlab (de tip .m), de exemplu l3.m, în

care se iniializeazăvalorile parametrilor mecanici. Acesta va conine liniile:

m1=1; m2=1; I2=0.01; b=0.2; g0=9.81; L_3; La tastarea, în ferestra Matlab, a numelui acestui fişier (l3), se vor încărca în spaţiul Matlab valorile parametrilor mecanici, ultima linie a fişierului determinând deschiderea modelului L_3.mdl. Având valorile iniializate, se poate acum porni simularea (butonul Start).

Se va urmări, în timpul simulării, evoluia sistemului la modificarea stimulilor externi. O serie de rezultate sunt exemplificate în fig. 3. Ele corespund aplicării unei forţe F = 2

111

[Nm] la momentul t = 1 [s] (mişcare uniform acceleratăa ansamblului braţului), ce se anuleazădupăaproximativ 1 s de la aplicare (deplasare cu vitezăconstantă) şi apoi se aplicăpentru un interval finit de timp, o forţă negativă, ce determinăfrânarea şi apoi inversarea direcţiei de mişcare (reducerea poziţiei liniare x1).

Fig. 3 Rezultate ale simulării braţului manipulator

Se vor modifica parametrii mecanici (direct în spaţiul Matlab, nu neapărat în fişierul l3.m), urmărindu-se efectele asupra comportării sistemului.

5. Conţinutul referatului titlul lucrării; scopul lucrării; calculul cuplului Ms necesar echilibrării statice a braţului 2, în condiţiile iniţiale impuse; observaţii privind comportarea modelului; consideraţii privind posibilele ameliorări ale modelului.

112

BIBLIOGRAFIE

1. Calin S., Belea C., Sisteme optimale si adaptive, Editura Tehnică,

Bucureşti, 1976.

2. Ionescu V., Popeea C., Optimizarea sistemelor, Editura Didactică şi Pedagogică,

Bucureşti, 1985

3. Sima V., Varga I., Rezolvarea asistata de calculator a problemelor de optimizare,

Editura Tehnică, Bucureşti, 1986

4. Botan C., Dumbrava S., Grigoras D., Tehnici de optimizare.Indrumar laborator,

Rotaprint, IP, 1991

5. Ionescu V., Varga A., Teoria sistemelor, Ed. All, Bucuresti, 1994.

6. Dumitrache Ioan, Ingineria Reglării Automate, Ed. Polipres, 2007

7. Simularea sistemelor electromecanice, Indrumar de laborator

113

114

Date post:	04-Aug-2015
Category:	Documents
Upload:	maxim-balan
View:	99 times
Download:	3 times

Ingineria Reglarii Automate

Documents