1

Informatica industriala

Prelucrarea digitala a semnalelorFiltre numerice (cont)

2

Filtre cu raspuns infinit (IIR) ieşirea la un anumit moment depinde nu numai de semnalul de

intrare ci şi de valorile anterioare ale semnalului de ieşire un anumit impuls (inclusiv zgomot) in anumite conditii se poate

propaga la infinit (de unde si numele filtrului) formula iesirii pentru un filtru IIR:

k-1 k

y(kT) = Σ bk-i*y(iT) + Σ ak-i*x(iT) i=0 i=0

Aplicând transformata în Z asupra expresiei de mai sus se obţine: m n

Y(z) = Σ bi*Y(z)*z-i + Σ ai*X(z)*z-i

i=0 i=0

unde: m - indexul maxim al coeficienţilor bi diferiţi de zero

n - indexul maxim al coeficienţilor ai diferiţi de zero

3

Filtre cu raspuns infinit (IIR)

transformata in Z a unui filtru IIR: n m

H(z) = Y(z)/X(z) = (Σ ai*z-i)/( 1- Σ bi*z

-i) i=0 i=0

Proprietati ale filtrelor IIR pentru acelasi numar de termeni (rang) un filtru IIR are un

efect mai pregnant (calitativ mai bun) decat un filtru FIR filtrele IIR sunt “reactive” sau cu reactie inversa (feed-back),

datorita termenilor ce contin esantioane ale iesirii pentru anumite valori ale coeficienţilor ai şi bi filtrul IIR devine

instabil şi are tendinţa de a oscila

4

Implementarea filtrelor IIR

forma canonica de implementare a filtrelor IIR

*b1

*b2

*bm

z-1

z-1

z-1

*a1

*a2

*an

x(kT) y(kT)

.......

5

Sinteza filtrelor numerice

Problema: determinarea coeficienţilor funcţiei de transfer a unui filtru numeric, astfel încât efectul produs de filtru să corespundă unor condiţii prestabilite.

Parametri unui filtru: banda de trecere – intervalul de frecvenţe

pentru care filtrul are efect de amplificare banda de blocare – intervalul de frecvenţe

pentru care filtrul are efect de atenuare frecvenţa de tăiere – frecvenţa care

desparte banda de trecere de banda de atenuare

raportul de atenuare – logaritmul raportului dintre amplificarea în banda de blocaj şi

amplificarea în banda de trecere raport de atenuare = 20 lg (Ablocaj/Atrecere)

[decibeli]

|H|

banda de trecere

banda de blocare

panta

frecvenţa de tăiere

Ablocaj

Atrecere

6

Sinteza filtrelor numerice

exista mai multe tehnici de sinteza, relativ complexe Metoda 1

se bazeaza pe functia de transfer a filtrului analogic echivalent, (exprimat in domeniul Laplace)

m

Ha(s) = Ak/(s+sk) unde: sk sunt polii functiei de transfer

k=1

Din această expresie se deduce transformata în Z a filtrului numeric:

m

H(z) = Ak/(1 – eskT*z-1)

k=1

7

Sinteza filtrelor numerice

Metoda 2. Se consideră cunoscut răspunsul unui filtru analogic

echivalent la un semnal de tip impuls. Prin eşantionarea funcţiei răspuns se obţin coeficienţii transformatei în Z a funcţiei de transfer.

t

y(t)H(z) = ai*z-i

ai

8

Clasificarea filtrelor in functie de implementare

filtre in domeniul timp folosite pentru modelarea

formei semnalului: netezire, eliminare valoare constanta, formatare semnal

filtre in domeniul frecventa folosite atunci cand informatia

este continuta in distributia spectrala (amplitudine, frecventa si faza);

scopul este separarea benzilor de frecventa

filtre particulare/speciale folosite atunci cand filtrele

obisnuite (trece sus, jos, banda) nu ajuta

FIR IIR

Domeniul timp

Mediere Un singur pol

Domeniul frecventa

Windowed sinc

Cebyshev

Special FIR special

Proiectare iterativa

9

Filtru de mediere

filtru care actioneaza bine in domeniul timp elimina zgomotele are comportament bun la un impuls treapta

filtrul are efect negativ in domeniul frecventelor: nu filtreaza o banda de frecvente bine definita

filtre derivate (putin) mai bune in domeniul frecventelor: Gaussian, Blackman sau mediere multipla

Implementare: prin convolutie

unde M – numarul de puncte (termeni) din filtru Filtrul poate fi si simetric in jurul punctului considerat (j=-M/2,

J=+M/2)

10

Filtru de mediere

Caracteristicile filtrului: are un efect foarte bun de

filtrare a zgomotului alb, cu pastrarea in limite acceptabile a raspunsului la treapta unitara;

paradoxal mult mai bun decat alte filtre mai complexe

factorul de reducere a zgomotului: radacina patrata din numarul de puncte din filtru (ex: 100 puncte reduce zgomotul de 10 ori)

cu cat filtrul este mai mare (mai multe puncte) panta raspunsului la un semnal de tip impuls devine mai oblica

Efectul unor filtre de mediere asupra unui impuls cu zgomot alb:

a semnal initial

b filtru cu 11 puncte

c filtru cu 51 de puncte

11

Raspunsul in frecventa al filtrului de mediere

Functia de transfer exprimata cu transformata Fourier:

Raspunsul in frecventa al filtrului pentru numar diferit de puncte de

mediere

12

Efectul aplicarii multiple a filtrului de mediere

Se aplica succesiv de mai multe ori un filtru de mediere de 7 puncte

a. forma filtrului la numar variabil de treceri

b. raspunsul in frecventa

c. raspunsul la semnal treapta

d. efectul de atenuare in dB

13

Implementarea filtrului de mediere prin recurenta

exemplu de calculare a 2 iteratii ale unui filtru de 7 punctey [50] =x [47] + x [48] + x [49] + x [50] + x [51] + x [52] + x [53]y [51] = x [48] + x [49] + x [50] + x [51] + x [52] + x [53] + x [54]

rezulta ca y [51] se poate calcula mai repede pe baza valorii anterior calculate y [50] y [51] = y [50] + x [54] - x [47]

rezulta formula de recurenta in care fiecare nou esantion se calculeaza printr-o suma si o diferenta:

y [i ] = y [i -1] + x [i + p] - x [i - q]

unde: p=(M-1)/2 si q=p+1 formula arata ca iesirea curenta este egala cu iesirea anterioara

plus o diferenta (panta) calculata simetric fata de punctul considerat

14

Filtru Windowed-sinc

pentru separarea benzilor de frecventa

foarte stabile si cu performante ridicate dar necesita timp mai mare de calcul

se cauta un filtru “perfect”: amplificare 1 in banda

de trecere amplificare 0 in banda

interzisa cu trecere verticala la

frecventa de taiere filtrul ideal este de forma

sin(x)/x – functia sinc

15

Filtru Windowed-sinc

functia tinde asimptotic la 0 din considerente practice (de calcul in timp finit)

se limiteaza filtrul printr-o fereastra (window): dreptunghiulara functie Hamming sau Blackman

functia de transfer a filtrului sinc:

h(i) = sin(2πfci)/iπ

unde fc este frecventa de taiere (cutoff frequency) si se exprima ca si o fractie din frecventa de esantionare; fcє (0 - 0,5), conform principiului de esantionare: fmax<1/2fesantionare

16

Filtru Windowed-sinc

formula completa a filtrului cu fereastra Hamming:

unde M este dimensiunea ferestrei, iar K un factor de normalizare

M se determina cu relatia aproximativa: M=4/(latimea benzii de tranzitie)

Calitatea filtrului in functie de dimensiunea ferestrei

partea “sinc” Fereastra Hamming

17

Filtru Windowed-sinc filtrul nu are un comportament prea bun in domeniul timp, raspunsul la

un impuls treapta genereaza “ripluri” la tranzitia intre stari; este insa recomandat pentru lucrul in domeniul frecventelor, cand se

stie ce frecvente trebuie eliminate pentru a creste factorul de atenuare a benzii de blocare filtrul se poate

aplica de 2 sau mai multe ori, se obtine o atenuare dubla (in decibeli), de exemplu de la -74dB

(cat are un filtru cu fereastra Blackman) la -148dB ceea ce inseamna un raport atenuare/amplificare de 1 la 30 milioane

pentru a obtine un filtru trece sus se scade din semnalul initial semnalul filtrat cu filtru trece jos avand aceeasi frecventa de taiere

un filtru trece banda este o combinatie intre filtru trece sus si filtru trece jos

un filtru de rejectie banda se obtine prin scaderea din semnalul initial a semnalului filtrat cu un filtru banda

Dezavantajul filtrului Windowed-sinc: necesita timp de calcul mare (numar mare de termeni de calculat)

18

Referinte

http://www.dspguide.com/pdfbook.htm