Date post: | 23-Jul-2015 |
Category: |
Documents |
Upload: | vlad-andrei-postelnicu |
View: | 4,273 times |
Download: | 44 times |
Clasa a X-a Algebra - 1 Cap. IV : Inductie Matematica . Combinatorica
Principiul Inductiei MatematiceInductiei Matematice :
- Propozitia este adevarata pentru orice numar natural daca sunt verificate urmatoarele doua conditii :
1). Propozitia este adevarata pentru ;
2). Din presupunerea ca este adevarata pentru , ( ) rezulta ca este adevarata si pentru .
Metoda Inductiei MatematiceInductiei Matematice :
- Fie o propozitie care depinde de un numar natural , fiind un numar natural fixat ;
- Demonstratia prin metoda inductiei matematica a propozitiei , consta din doua etape :
1). Etapa de verificare : se verifica mai intai ca este adevarata .
2). Etapa de demonstratie : se presupune ca este adevarata si se demonstreaza ca
este adevarata , fiind un numar natural ( adica , )
Daca ambele etape ale demonstratiei sunt verificate , atunci propozitia :
este adevarata pentru orice numar natural .
Exercitiul nr. 1 :
Inductie Matematica . Combinatorica
Clasa a X-a Algebra - 2 Cap. IV : Inductie Matematica . Combinatorica
Folosind metoda inductiei matematice , sa se demonstreze ca pt. orice numar natural n , sunt adevarate egalitatile :
a). ; b). ;
c). ; d).
;
e). ; f).
;
g). ;
h). ;
i). ;
j). .
Exercitiul nr. 2 :
Sa se demonstreze ca :
a). ;
b). ;
c). ;
d). .
Exercitiul nr. 3 :
Sa se demonstreze ca :
Inductie Matematica . Combinatorica
Clasa a X-a Algebra - 3 Cap. IV : Inductie Matematica . Combinatorica
a). ;
b). .
Exercitiul nr. 4 :
Sa se demonstreze ca :
a). ; b).
.
Exercitiul nr. 5 :
Sa se demonstreze inegalitatile urmatoare:
a). ;
b). ;
c). .
Exercitiul nr. 6 :
Sa se demonstreze ca pt. orice numar natural n avem :
a) ; b). ;
c). ; d).
;
e). ; f). .
Exercitiul nr. 7 :
Sa se calculeze sumele urmatoare :
1). ; 2). ;
Inductie Matematica . Combinatorica
Clasa a X-a Algebra - 4 Cap. IV : Inductie Matematica . Combinatorica
3). ; 4). ;
5). . 6). ;
7). ; 8). ;
9). ; 10).
;
11). ; 12).
.
Exercitiul nr. 8 : Sa se calculeze urmatoarele sume :
1). ;
2). ;
3). ;
4). ;
5). ;
6). ;
7). ;
8). ;
9). ;
10). ;
11). ;
12). .
Exercitiul nr. 9 :
Sa se calculeze urmatoarele sume :
1). ;
2). ;
Inductie Matematica . Combinatorica
Clasa a X-a Algebra - 5 Cap. IV : Inductie Matematica . Combinatorica
3). ;
4). ;
5). ;
6). ;
7). .
Exercitiul nr. 10 :
Sa se calculeze urmatoarele sume :
1). ;
2). ;
3). ;
4). ;
5). ;
6). ;
7). .
Inductie Matematica . Combinatorica
Clasa a X-a Algebra - 6 Cap. IV : Inductie Matematica . Combinatorica
Definitie PermutarePermutare :
- Fie o multime , finita , cu n elemente ;
- Aceasta multime se poate ordona in mai multe moduri ;
- Se obtin , astfel , multimi ordonate diferite , care se deosebesc intre ele numai prin ordinea elementelor ;
- Fiecare din multimile ordonate care se formeaza cu cele elemente ale multimii , se numeste permutare a acestei multimi .
- Se mai spune ca este o permutare a elementelor sale sau , inca , o permutare de n elemente.
- Numarul permutarilor de elemente se noteaza cu si se citeste “ permutari de
elemente “ .
Teorema :
- Oricare ar fi , numar natural , .
- Avem : .
Inductie Matematica . Combinatorica
Clasa a X-a Algebra - 7 Cap. IV : Inductie Matematica . Combinatorica
Proprietati :
1). ;
2). .
Definitie AranjamenteAranjamente :
- Fie o multime , finita , cu n elemente ;
- Fie ;
- Se numeste aranjament de elemente luate cate orice combinatie alcatuita din elemente ale multimii ;
- Se poate exprima sub forma :
, .
Proprietati :
1). ;
2). .
Inductie Matematica . Combinatorica
Clasa a X-a Algebra - 8 Cap. IV : Inductie Matematica . Combinatorica
Definitie CombinariCombinari :
- Fie o multime , finita , cu n elemente ;
- Fie ;
- Se numesc combinari de elemente luate cate submultimile lui avand fiecare cate elemente ;
- Se pot exprima sub forma :
, .
Proprietati :
1). ;
2). ;
3). ;
4). Formula combinarilor complementare :
, daca ;
5). O formula de recurenta pentru :
Inductie Matematica . Combinatorica
Clasa a X-a Algebra - 9 Cap. IV : Inductie Matematica . Combinatorica
, daca ;
6). Pentru orice numar natural are loc egalitatea :
;
7). Suma combinarilor de rang impar = suma combinarilor de grad par = :
.
Exercitiul nr. 1 :
Sa se simplifice expresiile :
a). ; b). ; c). ; d). ; e). ; f). ; g). ;
h). ; i). .
Exercitiul nr. 2 :
Sa se rezolve ecuatiile cu necunoscuta n :
a). ; b). ; c). ;
d). ; e). ; f). .
Exercitiul nr. 3 :
Sa se rezolve inecuatiile :
a). ; b). .
Inductie Matematica . Combinatorica
Clasa a X-a Algebra - 10 Cap. IV : Inductie Matematica . Combinatorica
Exercitiul nr. 4 :
Sa se calculeze :
a). ; b). ; c). ; d). ;
e). f). g). .
Exercitiul nr. 5 :
Sa se rezolve in N ecuatiile :
a). ; b). ; c). ; d).
;
e). ; f). ;g). ; h).
;
Exercitiul nr. 6 :
Sa se rezolve ecuatia cu necunoscuta x :
a). .
Exercitiul nr. 7 :
Sa se resolve sistemele de ecuatii :
a). b).
Inductie Matematica . Combinatorica
Clasa a X-a Algebra - 11 Cap. IV : Inductie Matematica . Combinatorica
Exercitiul nr. 8 :
Sa se calculeze :
a). b). c).
d). e). f). .
Exercitiul nr. 9 :
Rezolvati urmatoarele ecuatii cu necunoscuta n N :
a). ; b). ; c). ; d). ;
e). ; f) ; g). ;
h). ; i). .
Exercitiul nr. 10 :
Sa se afle n , daca :
a). ; b). ; c). .
Exercitiul nr. 11 :
Sa se determine x N astfel ca : a). ; b). .
Exercitiul nr. 12 :
Sa se rezolve inecuatiile in n :
a). ; b). ; c). ; d).
.
Exercitiul nr. 13 :
Sa se rezolve sistemele de ecuatii :
Inductie Matematica . Combinatorica
Clasa a X-a Algebra - 12 Cap. IV : Inductie Matematica . Combinatorica
a). ; b). ;
c). ; d). .
Exercitiul nr. 14 :
Sa se deduca egalitatile :
a).
b).
c).
Scopul acestui paragraf este de a prezenta formula pentru :
, unde si
precum si proprietati pentru coeficientii termenilor din dezvoltarea acestui binom .
Inductie Matematica . Combinatorica
Clasa a X-a Algebra - 13 Cap. IV : Inductie Matematica . Combinatorica
Are loc urmatoarea formula :
Formula binomului lui NEWTONbinomului lui NEWTON :
+ + ….. + + ….. +
unde : membrul drept al egalitatii se numeste dezvoltarea binomului la putere !
Observatii de baza :
1). Coeficientii , , , … , din formula lui NEWTON se numesc
coeficienti binomiali si sunt in numar de , cu unul mai mult decat exponentul al puterii ;
2). A se face distinctie intre un coeficient binomial al unui termen si coeficientul numeric al acelui termen :
Exemplu : fie termenul
- acesta are : - coeficientul binomial ;
- coeficientul numeric al lui .
3). In dezvoltarea , dupa formula lui NEWTON , sunt termeni ( nr.
termenilor fiind egal cu numarul coeficientilor binomiali , , , ….. , ) .
4). In formula lui NEWTON exponentii puterilor lui descresc de la la , iar exponentii puterilor lui cresc de la la .
Suma exponentilor puterilor lui si in orice termen al dezvoltarii este egala cu , adica este egala cu exponentul puterii binomului .
5). Coeficientii binomiali din dezvoltare egal departati de termenii extremi ai dezvoltarii sunt
egali intre ei , deoarece ( fiind combinari complementare ) .
6). Daca exponentul puterii este un numar par ( adica ) , atunci coeficientul binomial
al termenului din mijloc al dezvoltarii ( adica ) este cel mai mare .
Daca este impar ( adica ) , atunci coeficientii binomiali ai celor doi termeni de
la mijloc sunt egali intre ei ( adica ) si sunt cei mai mari .
7). Un rol important in rezolvarea problemelor legate de binomul lui Newton il joaca termenul general de rang , adica al ( ) - lea termen din egalitate , se numeste termenul
Inductie Matematica . Combinatorica
Clasa a X-a Algebra - 14 Cap. IV : Inductie Matematica . Combinatorica
de rang si se noteaza cu avand urmatoarea formula :
, .
8). Formula de recurenta : intre doi termeni consecutivi din dezvoltarea
binomului are loc relatia
Inductie Matematica . Combinatorica
Clasa a X-a Algebra - 15 Cap. IV : Inductie Matematica . Combinatorica
Exercitiul nr. 1 :
Sa se dezvolte :
a). ; b). ; c). ; d).
;
e). ;f). .
Exercitiul nr. 2 :
Sa se determine :
a). termenul al optulea al dezvoltarii : ;
b). termenul al cincilea al dezvoltarii : ;
c). termenul al zecelea al dezvoltarii : ;
d). termenul al cincilea al dezvoltarii : ;
e). termenul al treilea al dezvoltarii : ;
f). termenul din mijloc al dezvoltarii : ;
g). cei doi termini din mijloc ai dezvoltarii : ;
h). termenul din mijloc al dezvoltarii : ;
i). termenii din mijloc ai dezvoltarii : ;
j). termenul din mijloc al dezvoltarii : .
Exercitiul nr. 3 :
Inductie Matematica . Combinatorica
Clasa a X-a Algebra - 16 Cap. IV : Inductie Matematica . Combinatorica
Sa se determine :
a). termenul din dezvoltarea care il contine pe x6 ;
b). termenul din dezvoltarea care il contine pe x16 ;
c). termenul din dezvoltarea care il contine pe x3 ;
d). termenul din dezvoltarea care il contine pe a4 ;
e). termenul in care nu apare x din dezvoltarea ;
f). termenul din dezvoltarea care il contine pe ;
g). termenul din dezvoltarea care il contine pe ;
h). termenul din dezvoltarea care il contine pe x ;
i). termenul liber din dezvoltarea .
Exercitiul nr. 4 :
Sa se determine rangul termenului din dezvoltarea :
, in care x si y au puteri egale .
Exercitiul nr. 5 :
Inductie Matematica . Combinatorica
Clasa a X-a Algebra - 17 Cap. IV : Inductie Matematica . Combinatorica
Sa se determine n , daca in dezvoltarea coeficientii lui x5 si x12 sunt egali .
Exercitiul nr. 6 :
Sa se determine n N* minim astfel incat in dezvoltarea sa existe
termeni care nu depind de x .
Exercitiul nr. 7 :
In dezvoltarea raportul dintre coeficientii binomiali ai celui de-al patrulea
si
celui de-al saselea termen este egal cu . Are dezvoltarea termen liber ?
Exercitiul nr. 8 :
Fie dezvoltarea . Stiind ca suma coeficientilor binomiali de rang
impar este 32 si ca al patrulea termen al dezvoltarii este 200 , sa se afle numarul real x .
Exercitiul nr. 9 :
Se considera dezvoltarea .
a). Sa se determine n N* stiind ca suma primilor trei coeficienti ai dezvoltarii este 46 .
b). Pentru n determinat la punctul a). aflati al treilea termen .
Exercitiul nr. 10 :
Sa se gaseasca suma coeficientilor dezvoltarii :
Exercitiul nr. 11 :
Inductie Matematica . Combinatorica
Clasa a X-a Algebra - 18 Cap. IV : Inductie Matematica . Combinatorica
Cati termeni rationali contine dezvoltarea : .
Exercitiul nr. 12 :
Sa se gaseasca termenii rationali ai dezvoltarii :
a). ; b). .
Exercitiul nr. 13 :
Sa se gaseasca rangul celui mai mare termen din dezvoltarea :
a). ; b). ; c). .
Exercitiul nr. 14 :
Se considera dezvoltarea : , , , , .
a). Sa se determine , a.i. coeficientul binomial al termenului al treilea sa fie 105 .
b). Pt. , verificati daca exista un termen al dezvoltarii care contine pe .
Justificati raspunsul .
Exercitiul nr. 15 :
Se considera dezvoltarea : , , , .
a). Sa se determine , a.i. coeficientul binomial al termenului al treilea sa fie 55 .
b). Pt. , verificati daca exista un termen al dezvoltarii care nu contine pe .Justificati raspunsul .
Inductie Matematica . Combinatorica
Clasa a X-a Algebra - 19 Cap. IV : Inductie Matematica . Combinatorica
Exercitiul nr. 16 :
Coeficientul al 3-lea de la sfarsitul dezvoltarii binomului este egal cu 45 .
Sa se afle termenul acestei dezvoltari care contine pe .
Exercitiul nr. 17 :
In dezvoltarea , sa se afle termenul care contine pe , stiind ca
diferenta dintre coeficientii termenilor al treilea si al doilea este 35 .
Exercitiul nr. 18 :
Se considera dezvoltarea , , , .
a). Sa se determine a.i. raportul dintre coeficientul binomial al termenului al patrulea si al treilea sa fie 4 .
b). Pt. , verificati daca exista un termen care nu contine pe .
Exercitiul nr. 19 :
Se considera dezvoltarea : , , , , .
a). Sa se determine a.i. : .
b). Pt. , verificati daca exista un termen al dezvoltarii care nu contine pe .Justificati raspunsul .
Exercitiul nr. 20 :
In dezvoltarea binomului , , raportul dintre coeficientul termenului al
cincilea si coeficientul termenului al treilea este 3,5 . Sa se afle termenul binomului care contine pe .
Exercitiul nr. 21 :
Inductie Matematica . Combinatorica
Clasa a X-a Algebra - 20 Cap. IV : Inductie Matematica . Combinatorica
Se considera dezvoltarea : , , .
a). Sa se determine a.i. suma coeficientilor primilor trei termeni ai dezvoltarii sa fie
97
b). Pt. , verificati daca exista un termen care contine pe . Justificati raspunsul .
Exercitiul nr. 22 :
Se considera dezvoltarea : , , , .
a). Sa se determine pntru care coeficientii termenilor 1 , 2 , respectiv 3 ai dezvoltarii formeaza o progresie aritmetica .
b). Pentru , sa se gaseasca termenii dezvoltarii a.i. puterea lui sa fie un numar natural .
Exercitiul nr. 23 :
Se considera dezvoltarea : , , .
a). Determinati a.i. ; ; sa fie termeni succesivi ai unei progresii
aritmetice .b). Pt. , verificati daca exista valori ale lui a.i. diferenta dintre termenii al saselea si al
patrulea ai dezvoltarii sa fie 56 .
Exercitiul nr. 24 :
Pentru ce valoare a lui , coeficientii al 2-lea , al 3-lea si al 4-lea ai dezvoltarii binomului
formeaza o progresie aritmetica ?
Exercitiul nr. 25 :
Sa se gaseasca rangurile a trei termeni consecutivi ai dezvoltarii binomului ai
caror coeficienti formeaza o progresie aritmetica .
Exercitiul nr. 26 :
Sa se gaseasca trei coeficienti binomiali consecutivi , formand o progresie aritmetica .
Exercitiul nr. 27 :
Inductie Matematica . Combinatorica
Clasa a X-a Algebra - 21 Cap. IV : Inductie Matematica . Combinatorica
Se considera dezvoltarea : , , . Stiind ca suma
coeficientilor binomiali de rang par este 128 , sa se determine termenul care contine pe .
Exercitiul nr. 28 :
Sa se afle acel termen al dezvoltarii binomului care , dupa efectuarea
simplificariloe , contine pe , stiind ca suma coeficientilor binomiali este egala cu 128 .
Exercitiul nr. 29 :
Stiind ca suma coeficientilor binomiali ai dezvoltarii , ,
este 1536 , sa se determine coeficientul lui .
Exercitiul nr. 30 :
In dezvoltarea binomului , , , termenul al doilea este egal cu
240 ,al treilea cu 720 si al patrulea cu 1080 . Sa se determine , si .
Exercitiul nr. 31 :
In dezvoltarea binomului suma coeficientilor este mai mica cu 240 decat
suma coeficientilor din dezvoltarea binomului . Sa se gaseasca termenul al 3-lea al
primei dezvoltari .
Exercitiul nr. 32 :
Sa se gaseasca termenii rationali ai dezvoltarii binomului : .
Exercitiul nr. 33 :
Inductie Matematica . Combinatorica
Clasa a X-a Algebra - 22 Cap. IV : Inductie Matematica . Combinatorica
Sa se gaseasca termenii rationali ai dezvoltarii binomului : .
Exercitiul nr. 34 :
Sa se gaseasca termenii rationali ai dezvoltarii binomului : .
Exercitiul nr. 35 :
Sa se determine numarul termenilor rationali ai dezvoltarii : .
Exercitiul nr. 36 :
Sa se determine numarul termenilor rationali ai dezvoltarii : .
Exercitiul nr. 37 :
Gasiti termenii rationali ai dezvoltarii : .
Exercitiul nr. 38 :
Sa se gaseasca termenii irationali ai dezvoltarii binomului : .
Exercitiul nr. 39 :
Exponentul puterii unui binom este mai mare cu 3 decat a altui binom . Sa se determine acesti exponenti daca suma coeficientilor din ambele dezvoltari este egala cu 144 .
Exercitiul nr. 40 :
Sa se gaseasca suma coeficientilor dezvoltarii : .
Exercitiul nr. 41 :
Sa se gaseasca suma coeficientilor dezvoltarii : .
Exercitiul nr. 42 :
Inductie Matematica . Combinatorica
Clasa a X-a Algebra - 23 Cap. IV : Inductie Matematica . Combinatorica
Sa se gaseasca suma coeficientilor dezvoltarii : .
Exercitiul nr. 43 :
Sa se gaseasca rangul tremenului cel mai mare din dezvoltarile : .
Inductie Matematica . Combinatorica