1L"
Radu Gologan,
Marian Haiducu,
lon Cicu, Alexandru Negrescu(coordonatori)Sorin Peligrad, Adrian Jurcanu
arian Haiducu, Sorin Peligrad,kuNegrescu. - Pitegti : Cartea
Ieme Su[limentGazeta illatematici
GIASA a u-a
12008 - 20t01
mIicTnf
esrro"ffiEDUCATTONAL
rne
Liliana PutIon RaduEmilia RdducanSilvia RddulescuPavel Rincul/ictor SdceanuLia SdpldcanCdtdlina SchnakovszkiYasile ScurtuSilviu ScuturiciGheorghe SfaraDaniel SitaruLucian SpeciacAdrian StanDoniel StanciuElisabeta StanciuNeculoi StanciuDaniela StdnicdNicolae StdnicdGyuszi SzepMmius $andruGeorge-Florin $erbanYasile $erdeanIoan TebieSIicrdmioara TechiuMagdalena I s ab el a T entuDaniela TilincdDoniel TocoianGabriel TogaIonel TudorNocis Gabriel TurcuLucaTugdOvidiu fdlanYladimir fileiGheorghe lucdYeronica lucdAtranlurcanuhrin UmeanuIrina YasilescuAlqandru VeleCristina VijdelucMihai VijdelucIulian Wddu,tuIon VoicuSqtimiu Toicule!
CUPRINS
enunluri solulii
Prefald ....... ..........................6
Capitolul I. PROBLEME DE ARITMETICA............. 7 ,.........34
capitolul II. OPERATII CU NUMERE NATURALE.............. ...9 ..........37
capitolul III. oPERATII CU PUTERI. PATRATE PERFECTE.
CUBURI PERFECTE 15..........56
capitolul IV. DryIZIBILITATE... .......2t..........75
capitolul v. ECUATII................. ........24..........83
capitolul vI. FRACTII ORDINARE ...26..........86
Capitolul VII. FRACTII2ECIMALE.............. .......2g..........g2
Capitolul VIII. ELEMENTE DE GEOMETRIE $I UNITATIDE MASURA ...,.....31..........95
INDEX....... ......................100
'A Gazeta Matematicd este un
are neintrerupt din 1895 qi nici
viafa elevilor, dar o pleiadi
$ matematicieni, pi-au fEcut
diriguitorii ei si ia deciziade a
. drag de matematici. Aga au
vi-
einfiinpt Suplimentul Gazetei
performanfe peste medie gi
problemele si fie originale;
excelentii. Cele noul volume,
asele IV-XII, dovedesc acest
.Aile in educalia matematicd
umire cend aud ci problemele
ite.
Prof. univ- dr. Radu Gologaniinle Matematice din Romdnia
Capitolul I
PROBLEME DE ARITMETICA
1. Tatil lui Andrei i-a propus fiului siu o ,,afacere": ,,De mdine, in fiecare ziin carei[imdreqti cuun leu economiile, euili dublez sumape care o ai". Dupd optzile, Andreiavea 1022\ei. Ce sumi avea el in ziua in care a intrat in ,,afacere" (dacd a indeplinitzilnic ,,baremul")?
Ioan lulian Bunu, Baia Mare (S:E09.3)2. Trei bicicliqti au plecat impreund la ora 10 din localitatea A cdfre localitatea .B
astfel: primul merge 20 de minute qi sti 5 minute; al doilea merge 30 de minute qi st[10 minute, iar al treilea merge 35 de minute qi sti 15 minute. Cdnd merg, bicicliqtii auaceeagi vitez6. La ce ori se vor reintdlni cei trei bicicliqti dup6 ce se despart primaoat6?
Daniela Tilincd qi Adriana Mihdild, Brdila (S:814.203)3. O lldite conlindnd 10 pepeni identici c6ntbregte 20,5kg. Dacd am scoate 5 pepenidin l6di1[, aceasta ar cdntdn 10,5 kg. Aflafi masa lidifei goale.
Adi Lupu, Drobeta-Tumu Severin (S:E09.131)4. Dintr-un co$ cu pere s-au luat, pe rdnd, jumltate din cantitate gi inc6 o jumltate depari, apoi jumdtate din cantitatea r6mas[ gi inci o jumbtate de pari, iar a treia oarljumitate din cantitatea rdmas[ gi inci o jumltate de par6. $tiind cI au rbmas dou[pere, aflali cdte pere au fost in cog.
Luca Tuld, Buzdu (S:E14.161)5. Mihai pleacd din Arad spre Sibiu, la ora 8, conducdnd un autoturism cu vitezamedie de 60 km pe o16. Dan pleaci din Arad tot spre Sibiu, pe acelagi drum, la ora 9,pe o motocicleti, conducdnd cu viteza medie de 90 km pe o16. La ce distanfd de Aradil ajunge Dan pe Mihai?
Marius $andru, Regifa (S:E14.321)6. Un num[r de 2015 puncte din plan se coloreazi arbitrar, fiecare cu c6te una dintre
* * * (S:E14.324)12 culori. Ardta\i c[ existd cel pulin 168 de puncte colorate la fel.
7. Dragog, $erban gi tat6l lor au fost la pescuit. in timp ce tatdl prindea 10 peqti,Dragoq prindea 5 pegti, iar $erban 4 peqti. in doud ore, Dragoq a prins 25 de pegti. Cdfipegti au prins, in doud ore, cei trei pescari?
* * * (5:814.328)8. Un ciclist, care are greutatea de 70 kg, slSbegte intr-o cursd cdte 700 g la fiecare70 km parcurgi. Care este greutatea ciclistului dupi o cursi de 175 km?
* * * (S:E14.329)9. Care dintre concluziile A, B, C sau D rezulti din urmltoarele afirmatii?
(1) Oricine studiazd, aritmetica este interesant.(2) Niciun papagal nu gtie sd citeascd.(3) Cine nu qtie sd citeascb nu este interesant.
Teme Supliment Gazeta Matematici. Clasa a V-a | 7
(a) Eu studiez aritmetica.A. Exist[ papagali interesanli gi eu sunt interesant.B. Eu gtiu sI citesc gi nu existd papagali interesanli.c. Existi papagali care studiazi aritmetica qi eu s'nt interesant.D. Eu sunt interesant gi nu exist[ papagali interesanli.
r0. Daci riecare din cei doi copii ai mei ii:'T:;:f#ffjillffjJ $'""lliil]frigider, tatil lor bea o treime din rest, pisica un sfert din ce a rdmas, eu voi puteafolosi ultimii 300 de ml de lapte pentru prdjituri. cali litri de lapte sunt acum infrigider? Care este cantitatea de lapte pe care o bea fiecare?
Liliana Negrild, Arad (S:E12.466)
1l' Un om a impdrfit o sumi de bani la cinci siraci. Unuia i-a dat 2 din suma si la9
fiecare din ceilalli cdte l75lei. ce sum[ a imp6rlit qi cdt a primit primul?Cdtdlina Schnakovszki, Arad (S:E12.46S)
12' Un cil[tor parcurge in prima etapr o treime din haseul ales, in a doua etapd" treipitrimi din ce i-a rbmas, iar in ultima etapi l0 km. ce lungime are traseul?* * * (S:E13.204)
$t"r" Supliment Gazeta Matematici. Clasa a V-a
t interesant.i.gomir, Olelu Rogu (S:E14.330)me din cantitatea de lapte dint din ss a r5mas, eu voi puteaU litri de lapte sunt acum inre?ma Negrild, Arad (5:812.466)
,)
Jnuia i-a dat j din sumd gi la9
aprimitprimul?:hnakovs zki, Arad (S :E 12.46g)seul ales, in a doua etapd treiurgime are traseul?
* * * (S:E13.204)
Capitolul Il
oPERATil CU NUMERE NATURATE
1. Fie s(n) suma cifrelor numdrului natural r. Determinati toate numerele naf.nale n
pentru care n-"(n) =2007.Gabriela Boroica, Baia Mare (S:809.4)
Gizela Pascale, Tdrgoviqte (S:E09.47)numerele naturale de hei cifre care, impdrlite la 98, dau restul egal cu
Gh. Achim, Mizil, Prahova (S :809.203)
2. Determin a1i ab gtiind cd tU'U" -Z =rc.(ab + Uo - +\.\,
3. Aflali toatecdtul.
4. Determinali mu{imea n = {* I ob" *fi + " =;@.&\
F r an c i s c C s aki, Livada, Satu-Mare (S : 809.207)5. Determinafl suma tuturor numerelor de trei cifre, care indeplinesc simultan condiliile:
i) fiecare numir are suma cifrelor par[;ii) succesorul fiecdruia dintre numere are suma cifrelor 4.
Gh. Molea, Curtea de Argeq (S:E09.210)
6. Aflafi numerele de doui cifre care au proprietatea cd fiecare dintre ele este de douiori mai mare decdt produsul cifrelor sale mdrit cu unu.
Ion Burda, Amdr[qti, Vdlcea (S:E09.211)
7. Determinali numerele naturale de forma ffi, co a * b + c + a, pentru care are loc
egalitatea oo + Uo + * + o = ob4.
Gh. Achim, Mtzil, Prahova (S :E09.2 12)
8. Arntali c[ nu existd numere naturale r astfel incdt sd avem 1!+ 2l+31+ ...+ nl:2'oon ,
unde n!:I.2.3.....n-Nicolae lvdschescu,Craiova (S:E09.244)
9.Dacd se scriu numerele naturale in ordine, incepdnd cu 1, si se determine cifra de pe
locul 30000.Roxana Murea, Briila (S:E10.2)
10. Determinali numerele naturale a, b Six pentru cute lo5by,1=212021r,r.
Vladimir lilei, elev, Iaqi (S:El 1.7)
11. Se consider[ numdrul a = U 1;]i,zr. Demonstrali cd a + I se poate scrie ca suma a2011 de I
patru numere impare consecutive.Sergiu Prisacariu, Iaqi (S:811.9)
Teme Supliment Gazeta Matematici. Clasa a V-a I
l2.intimp ce rupe petarele unor flori, Ania spune pentru fiecare petali rupt[: ,,Iubescmatematica foarte mult, mult, pufin, foarte pu{in, deloc,,. Afla1i c6t a" *rrrt'irru"rt.Ania matematica, dac6 ea rupe 32 de petare. iui auce * *p" lotl petale?
nu,.,i;. 'I;iillflsr c6ntdresc 2012 g de zahdr. care este numdrul minim de greutl{i folosite?Eugen predoiu, Clliragi (S:E13.4a)
14. cdte numere naturale de patru cifre au produsur chelor egar cu 6?
15. Determinali numerele narurale de cinci cirre care'^i:J:i7X:;,TTlliTTii;11]la stdnga cifua 6, se obline un numdr de 4 ori mai mare aiecdt oace le punem la dreaptacifra 6.
Aure I DoboS an, Lugoj (S :813.49)16. un biiat constatd, cd, dacd, face diferenla dintre vdrsta -"-.i *j"'u, ;d;;cifrelor numarului cate reprezint[ v6rsta acesteia, obline numdrul 25. celiani poateaveamama bdiatului?
17. Fie dour numere r/r si i/2, de cdte trei cifre in tJjT,l#,7"r?::t:ffif;E,tlt#lScriind aceste numere unur l6ngd altul, in ordinea lr,lr, qi W , se oblin douinumere de cate qase cifre fiecare astfel incdt unul este mai mare o.cat uttot de qase ori.Sd se afle numerele.
ls. c6te numere naturare impare ^"i ##{iⅈ"?1TfitiT:Hitf ::tr.:;?lAflafi restul imp[rfirii sumei tuturor u."rto. numere la20I2.
re.s6searrte"e,#ny,l{':,K:i:::';#:fr #'J""ffi ,:'ffi?.f :?,,$':lr;r;,lldoud numere a cEror diferenld sa se impartd. exactla 6.
Mar i an a F I e an cu, Cdmpulung Muscel (S : E I 3.330)20. Determinali numerele de forma ibc daca 5 + l0 + l5 +... + ob, =;fr00.
Daniela Covaci, Briila (S:El4;l)21' se scriu in ordine crescdtoare toate numerele naturale de patru cifre care rauprodusul cifrelor egal cu zero. Al cdtelea num[r este 2013? - r"--" Yruv verv arr
Cris tina lchim, Bucureqti (S :E 14.2)22.Numdrut aoc tnpzrytlabdacinul da qirestul a.Dac6 d=b+1, sdse'*)t""ai.nu este pitrat perfect.
Narcis Gabriel Turcu,Brdila (S:E14.3)23. Se consideri qirul de numere naturale 3, 10, 17,24,31, ... .
a) Aflafi al2}l3-leatermen al qirului. ', " !
b) Stabilili dacd"20L3 este termen al qirului.c) Calculafi suma primilor 100 de termeni ai .sirului.
Ionul Mazalu, Brdila (S :814.5)
10 flt"r" Supliment Gazeta Matematicd. Clasa a V-a
Ltru fiecare petali ruptd: ,,Iubesc[oc". Aflati cdt de mult iubeqter rupe 20lI petale?
* * * (S:El1.147)ftrme, cu puteri ale lui 2, trebuiede greutdfi folosite?
zn Predoiu, Ciliraqi (S:E13.44)elor egal cu 6?wile Scurtu, Bistrifa (S:El3.aS)r proprietatea cE dacd li se punedecdt dacl le punem la dreapta
rsl Doboqan, Lugoi (5:813.49)virsta mamei sale gi produsulne numIrul 25. CeF ani poate
Sdpldcan, Beclean (S :E 13.59)a zEce, a cdror sum[ este 999.r1V, qi W, se oblin dou6ai mare decdt altul de qase ori.
iryulung Muscel (S :E13.322)la 2012, cdtul egal cu restul?ol2..are Pravd!, Arge$ (S:EI3.324)urale imFare, existd cel pulin
iryulung Muscel (S :E 13.330); + .-.+ abc =ib"}o.niel a Covaci, Brdila (S :Ela. l)nrale de patru cifre care au3?
na lchim, Bucureqti (S:E14.2)A d =b+1, sd se arate ce abc
tbriel Turcu, Brdila (S:E14,3)l, ... .
nul Mazalu, Br6ila (S:E14.5)
ra
24. Determinafi toate numerele de forma ab qtiind cd suma cifrelor num[rului a6
este egal6 cu suma cifrelor num5rului 5.ab.Daniela Stdnicd qi Nicolae Stdnicd, Brdila (S:Ela.6)
25. Se se determine numerele de forma ob" careverificd relafia:
abc=2.ab+3.bc++.ca.Rudi Pasici, Br[ila (S:814.7)
26. Aflali numerele de forma abc pentru "ur"
ob+ * = D,r, unde x,y)z €{a,b,c\ $i
x#y+z+x.Concursul,,Micul matematician", Negreqti-Oaq (S:E14.82)
27,impdfiind un numlr natural de trei cifre la 84 ob,tinem restul 56. Sd se determine
acel numir qtiind c[ implrlit la 13 dd cdtul egal cu restul.* * * (S:El4.g7)
28. Determinali numerele naturale de forma ob"d , crta < b < c < d,pentrtcare:
"U"a + U"n +
"nU + a"U" = 24442.
* * * (S:E14.122)
29. Scrieli numdrul 82014 - 4 ca sumS de opt numere naturale consecutive.Luca Tu{d, Buzdt (S :E 14.123)
30. M se determine cifrele consecutive ffi, fi, p (nu neapbrat in aceastd ordine) gi
num5rul natural a pentru care a(a + 1) = mnp .
Romanla Ghitd gi Ioan Ghild, Blaj (S:E14.124)
31. Determinali numerele abcd , dacd abcd + abc =2013.Iulian Vlddulu, Bucuregti (S:814.170)
32. SA se determine toate numerele de forma ob "ut"
satisfac egalitatea: ab =2a +3b.
Ldcrdmioara Techiu, Br[ila (S:E14.201)
33. Determinali numerele de forma abc pentntcare 5 ' "b =3'bc .
Anton Negrild, Ploiegti (S:E15.125)
34. Numdrul 137 se imparte la un num6r natural nenul, oblindndu-se un cdt egal cujumdtate din impirlitor qi restul un numbr de o cifr6. Si se determine implrfitorul,cdtul gi restul.
Daniel Stanciu qi Elisabeta Stanciu, Beclean (5:815.163)
35.Fie a=I.2.3'....n+2015 cu nl12. AfTalirestulimpirfiriinumdruluiala1024.Florin Bizdu qi loan Bizdu, Sighetu Marmafiei (S:815.201)
36. Aflafi toate numerele naturale abc, scrise inbaza zece, care impi(ite la 30 dau
restul 17, iar prin impdrlirea la 36 dau restul 5.
Nicolae lvd; chescu, Canada (S:E15.210)
37. Aflafi numerele naturale a, b, c care verificl simultan relaliile:2015a + b + c = 4037, a+2015b*c = 6051 qi a+ b + 2015c: 8065.
Nicolae lvd;chescu, Canada (S:E15.283)
Teme Supliment Gazeta Matematici. Clasa a V-a $ 11
38' a) fuitafi cd dacd m qi n sunt numere naturale, nenure qi m>n, iar a=rrm,b=5m+6n qi c=lln, atunci a>b>c.
b) stabilili daci numerere a, b, c definite ra a), verificd rela{ia 5a + 6c =rrb.c) Aflafi restul imprrfirii numirului A: (a - b)(b - c)(c - a) ra333, unde a, b, csunt numerele definite mai sus.
Constantin Apostol,Rm. S6rat (S:E15.2ga)39' Determinafi numerele de trei cifre pentru care, suprimdnd cifra zecilor,oblinem unnumbr de 13 ori mai mic.
i0. Dan vorbeqte mult in timpul orei. prores ,*rlr"f:?:i##,':Hl,3r::t"t"Adintre numerele a, b, c cu suma celorlalte dou6;i aduni rezttrtatere,,.Dup6 5 minuteDan spune cb a obfinut 385773. Demonstrafi ca oan a greqit, degi nu cunoaqtefinumerele.
41. Determinafi suma cifrelor numirului n = Gabriel Toga'Ploieqti (s:816'128)
= o. b,unde a= 333....3 gi a = g99...9.ie 33;ias
Monic a C orbuS, Bucureqti (S :E13.S6)42.Fie girul de numere naturale 7,lI,15,Ig, ... .
a) Completali girul cu inc6 patru termeni.b) Determinafi al 60Jea termen al qirului.c) Stabilili dac6 numerele 372 qi 415 fac parte din gir.d) Calculafi suma primilor 100 de termeni ai girului.
Val entin Preda, Bucuregti (S :E 13.37)43' Un numdr natural de hei cifre implrlit la rdsturnatul sdu d6 cdtul 3 gi restul 175, iardiferenfa dintre cifra sutelor gi cea a unitdlilor este 7. Aflafi numirul.
44. cdtenumere de trei cifre imp'r.tite la un ^r {:';:':ri#!i;:ffiTTt (s:E13'90)
Lil iana put, Sighetu Marmaliei (S :E13. 126)45' Andrei are in puqculi+a r44 de monede. o treime din ele sunt de i0 bani, un sfertdin restul monedelor sunt monede de 50 de bani, iar celelalte sunt de 5 bani. poate elsi-gi cumpere o carte de 20 de lei?
Gheorghe Crdiniceanu, Drobeta-Turnu Severin (S:E09.12S)46' Determinali toate numerele naturale de trei cifre care au proprietatea cI, elimin6ndcifra zecilor sau cifra unitefilor, se ob{ine de fiecare datd un numar natural de 10;orimai mic dec6t numdrul inilial.
47. Afla1i resturile impdr,tirii numirului2l qi37,
Tanla C os t ea, Tulcea (S :E13. 162)N = ababab + 13 la fiecare din numerele 13,.::
Necul ai Stanciu, Berca, B:uzdu (S :809. 1 6g)48. Determinali cifrele distincte a, b, cpenku "*" obb" + a9 :2009.
Lucian Speciac, Buzdu (S:E09.169)
12 $t"rn" Supliment Gazeta Matematici. Clasa a V-a
33 ciAe
, nenule qi m>n, iar a=llm,
Ecd relalia 5a + 6c =llb.- c)(c - a) la 333, unde a, b, c
Apostol, Rm. S6rat (S:815.2g4)rimend cifra zecilor, obfinem un
'el DoboSan, Lugoj (S:El5.2gS)15 de lucru: ,,inmulleqte fiecaremi rezultatele". Dupd 5 minuten a gregit, deqi nu cunoaqteli
briel Toga, Ploiqti (S:El6.l2g)' a = 333...3. qi a = 999...9.
-99 ciAe ss itfre
a CorbuS, Bucuregti (S:E13.36)
r.
ln Preda, Bucuregti (S:813.g7). sEu di cdtul 3 gi restul 175, iarilagi num[rul.in Preda, Bucuregti (S:E13.90)cifrE dau restul 7?iighetu Marmafiei (S :E f 3. 126)in ele sunt de 10 bani, un sfert,lelalte sunt de 5 bani. poate el
:ta-Tunru Severin (S :809.12g)e au proprietatea cd, elimindndrt:i un numdr nafural de 10 ori
la Costea, Tulcea (S:E13.162)13 la fiecare din numerele 13,
: iu perca, Buzlu (S :809. I 6g)+a9 =2009.n Speciac, Buzdu (S:E09.169)
t-a
49. Determinafi numerele abc, qtiind cA 2ab +3bc + 4ca = abc .
50. Se considerd num6rul N = 2l + 201 + 2001 + ...
identice are acest num[r.Mircea Lazdr, Popegti, Focgani (S:E09.172)
51. Se consideri girul: 12 + 13,22 +23,32 +33,42 t 43, ... .
a) Calculali valorile urmdtorilor trei termeni ai girului.
b) Ardta{i c5 girul conline doar numere pare.
c) Stabilili dac6 numerele 370 gi 1100 sunt termeni ai qirului.Adrian f,urcanu, Pitegti (S :E 14.250)
52. impErlind numdrul natural n la 42, obfinem cdtul c Ai restul 36. Care sunt cAtul gi
restul impd(irii lui n la 14?
L Fota, Izbiceni (S:E14.28f )53. Fie a, b, c, d numere naturale nenule astfel incdt a = b ' c + d. Demonstrali cirestul impirfirii lui a la b este egal cu restul impdrlirii lui d la b.
Ion Voicu, Rbdulegti, Ialomila (S:E14.282)
54. $tiind cd {xr..x.+ yy.!= ea:..,a.. ar[tati cd rxi.!.+ yy....y.= gar.? .
n oi ;F z ori n-l ori lii-ori u +i on
Ion Voicu, RSduleqti, Ialomila (S:E14.283)
55. Determinali produsul numerelor a, b, c, gtiind c5:
a.b=I44,b . c=225 qia'(b + c) = 340.
Eugeniu Bldiu!, Bac[u (S:81a.284)
56. Determinali numerele naturale de forma ob" "ut",
impirlite la suma cifrelor, dau
cdtul 10 9i restul 9.Vas il e Scurtu, Bistrila (S :E14.288)
57. Determinali cifrele x, y, z pentru "ut"
*yt + W + "ry
:2727 .
Daniel Sitaru, Drobeta-Turnu Severin (S:E1a.289)
58. Determinali numdrul natural cu doui cifre, scris in baza 10, cate, impir,tit lardsturnatul sdu, dd cdtttl2 qi restul 15.
GYuszi SzeP, Petroqani (S :E14.325)
59. O pereche (x, y) de numere naturale se numegte artisticd daci prin qtergerea uneia
dintre cifrele numSrului x se obline numdrul y. Calculali numlrul perechilor artistice
pentrucarex*Y=50.. Heidi Feil, Olelu Roqu (S:E14.326)
f0. Cel mai vechi teatru din Rominia a fost construit in oragul Oravila din judelul
Caraq-Severin gi a fost inaugurat in anul 1817. Dup6 un num6r de ani reprezentat de
gn num6r ,4 de dou[ cifre egale, la Reqifa (Carag-Sevenn) a fost construitd prima
locomotiv[ cu aburi fabricatb in Romdnia; dupb un alt numdr de ani, reprezentat de un
num[r ,B de doub cifre egale (B > A), la Lupeni (Hunedoara) a inceput construclia
primei fabrici de mdtase artificiald din Romdnia. Adundnd acum un alt numdr C (de
ani) cu aceeagi proprietate $i C > B, oblinem anul 2015. in ce an a fost construitd
Gh. Ghild, Buziu (S:809.170)+ 200...01. Stabiliti cdte cifre
\-/J
2009 cifie
Teme Supliment Gazeta Matematici. Clasa a V-a $ 13
prima locomotivi cu aburi din Rom6nia, gtiind cd aceasta s-a intdmplat dupdprimei constitufii a [drii?
61. Fie numereleS=a2+b2+c2+
naturale a, b,1392.
- Lucian Dragomir, Olelu Rogu (S:E14.327)astfel incdt ab = 5c, bc = l3a, ca = 3Ib. Calculati
Eugen predoiu, Cildragi (S:El5.l)62' Determinalinumerele naturale m,eva< b <c<dpentru care
oOo+OOO+ "U =7gd .
Pavel Rincu, Bozovici, Carag_Severin (S :El5.a3).P-JsV9IUUr. ll*i: tTle narurale.de patru cifre nu conlin nicio cifr[ egald c,2?b) Calculafi suma resturilor imp64irii acestor numere la 2.
64. Fie nt, k, p nnmere naturale ur"rrrr!'!Kr!r1!r;'rtit# Y;ff.Tl,fJi1t;1?impirlirea lor la 11 se obline de fiecare dat[ acelaqi rest, iar cel mai mic c6t al lor estemai mare decdt 59, si se determine cele trei numere.
65. Suma a 21 numere narurale nenule distincre :ri:':;^y::;;Alexandria (s:E15.s1)
3J Ar:tali cI cel pufin 7 qi cel mult 15 din cele 21 d--e numere sunt
b) Aflafi ultima cifri a produsului celor 2I de numere.rmpafe.
Traian Preda, Bucureqti (S :E I 6.g9)
tl
14 $turn" Supliment Gazeta Matematici. Clasa a V-a
