..

, .-.._.,.IC• .

. . -.· :' .�·�:; \\; ·· -'\fi' . ·�:-:r

; ·Î. :f .:·:··r

. ·'':�:r

,:::;;;;;�U · .,, : \'c•r.:�f- �-

x��·,

MINISTERUL ÎNVĂTĂMÎNTULUI 1

UNIVERSITATEA DIN ORADEA i�

ANALELE UNiVERS�T l\ TII DIN. ORADEA '

VOL. il

FASCICOLA

ELECTROTEHN!CĂ SI ENERGETICĂ. '

1992

; .

,1

� � !> f 1! �

! 1

i 1 ,J �

- B!�-

ASUPRA MODEL�RII MATEMATICE A

CARACTERXS7ICILOR DE MAGNETIZARE

FCJLOSII"'-!D FUNCTJ!:I SPL I N E:

Szub� Lor bnd, Fărăgău Radu

UNIVERSITATEA TEHN I CA CLUJ

ABSTRACT: The ncnlinearity exhibited by a magnetic mate?rial

introduces complic�tions into electromagnetic calculat i on s. Therefore it is nece?�sa ry a su i ta ble mathematic modelling of the

ma gn etisation curvcs. In thi s paper the strict numeric i nterpolation of t�e mag netisation curve is proposed to be

r ep lace d by a smooth:ng by spl ine functions.

1. INTRODUCERE

c .aract E�rul ui nelini.:�r al circuitel or Neconsiderar ea

ma g netice ale maşinilor electrice i mpl i c � impre�izii serio as e in

re zul t ate l e calculului cimpului electromagnetic, precu� şi !n

concluziile trase. Din această cauză p rez intă un inter es deosebit

ace5tor caracteristici g3sirea unLii model � a temati c adecvat al

neliniare.

Modelarea analitică a caracteristicilor de magnet iz ar e nu

sa ti s f ac� pe dep lin cerintele impuse de me todele iterative

folosite la re=olvarea si stemelor de ecuat ii neliniare apărute 1n

cursul an ali z e i numerice a c1 mp ului electromagnetic. Rez ul tatele

mai bune se pot ob tin e prin metodele de i n ter p el ar e pe portiuni.

Se propume tn acest articol o metodă de aproxi mare pe por tiuni

tmbun1tătită, la c�re inter pel area strictă este ! nlocu i t � cu o

'aproximare cu functii spl ine netezite.

Va fi pre=en�ată met0da de calcular2a c o efici er.t:i lor"'

functii ei spline pe pc.rtiuni,

caracteristic� de m�s��t�zarc dat�.

Folosirea a�e�tui mod�l tn c1m�ului electroma�netic nu duce t i mpului de calcul.

e:<er"pl i fi cat pentr u o

cadrul anill i zei numerice a

la m�rirea consi der abi lă a

-BS-2. CARACTERISTICA DE NACt-IET I ZARE

Comportarea !n c 1 mpul magnetic a materialelor feromagnetice folosite la constructia circctiteolDf magnE"t.ice (o';�lctri

de

electrotehnice, magnet! per m an enti etc . 1 e�te de5crLs� uzual de

cara c ter ist i ca de magneti::are: in ducti a ma � netic� 1n -functie de

intensitate a c!mpului magneti c , 8 = -1 C.-!1; Car-acteristica magnetiz are este ridicată e::perimental :1n urma ctnar m.,sc•rători

prec i se de laborator . Rezultatele mlsur�tarLlor s1nt furnizate

u.tili::atorilor sctb formă grafica sac1 tabel."\te.

Materi alele magnetice moi (4ierul moale, otelul

elect rotehni c, aliajele ferom a gnetice cu permeabil[tate fo.:�rte mare etc.) au ciclul de histere:ă 1ngust şf intensitatea cîmpului caercitiv, Hc� mic�. La -frecventele.- industriaLe efectele

macroscopice ale hist�rezisL1lui pot ;i neglijate,

fenomenul de saturatie. �stfel functie univoc4 Il� fiecare

con sideri\re

ma gnL' ti : ar e e:-:clusi v

d2vine o

intensitătii c 1 mp ului

inductie! magnetice).

magnetic corespunde o s L n gur<�

1 ui nd curbi\

valoare

v<�looitre

în

de

a a

Caracteristi�a de magnet i : are, .repr-ezentata �n figura 1 . ' tn are trei zon12 distincte: CE•:, a magneti2di.r:ii initiale (notat�

figur-ă cu 11, z ona magnetiz;oirii liniare !notată cu 21 şi ;:ana saturatie <notată cu 31. lr· practi c .!\ prima ::onă este at 1 t mic�, !nctt poate .fi neglijat� la modelarea matematică, astfEl că 1n principiu c ar ac teris t i c� de magneti::are pre=int� o :on� liniară <tn care curba este liniar.l-1 şi o <:on.; de saturatie On

de de

care i��uctia magnetic� creşte foarte putin cu cre;;terea intensit�tii ctmpulL•i magnetic.

3

·" H

Figura 1.

-66-3. HODELAREA t1ATD1ATICA A CARACTERISTICI! DE MAGNETIZARE

Modelar�a matem2ticl a caract�risticii de ma gn eti: ar� se

poate face printr-o apro�imare analitic� sau n umeric �.

Apr oxi marea trebuie s� satisf ac� urmAt�arele conditii:

i, sA aib3 o e� p resie matematic3 c!t mai simpl�,

i i J timpul ei de calcul s� fie ci t mai redus,

de

i i i '

m ăr- ime erorile d� �proxim6re s� fie cel putin de acelaşi ord i n

cu al preci�iei de d etermin are experimental� a

punctelor de pe caracteristica neliniar�.

Modelar-ea anali:ică a car-acter-isticii de magneti:ar-e se poate reali: a prin polinoame de ewponentiale, functii

hip er bolice, func:ii tr ansc;:-ndente etc. (!J, C2J, (3). DupA alegerea tipului de aproximdr-e se determină coeficientii care

intervin ln e >: p r-esia "unctiei, astfel lnctt s� fie tndeplinită o

anumită cond i t ie impusă <ab�ter-ea p ătrat i c l minimă, factor de

merit c!t mai bun etc.l. E>:presia an alitic � rezultati trebuie să

fie c!t mai simpl�.

Repre: ent ! nd aceste functii de aproximare se poate observa

faptul că curba rezulta:ă nu aproximea�l satisflcltor­

caract eri �tica de m�gneti:are pe lntregul dom e n i u consid�rat.

Functiile care aprox�mează corect caracter-ist i c a de magnetizar-e

!n zona linară nu s;.itisf ac cer- intel e tn :::ona ce saturat i e şi

i n ·< ers [3].

AceastA deficient� poa�:e fi 1nlăturat..\ prin model;..r-ea

numeric� a caracteri3ticii d� m a g n eti z are definit� experimental

!n forml tAbelatl. A�roximarea se poate face fie uniformă

int e-r pel ar- e La,�range, Ne�1ton s,,u G auss , fie pc portiuni

in terpelare fo l osind polino�me sau cu functii sp l in e

Interpolc;rea pe port�uni d;i t· e ::: ultate mult mai bune şi este

prin p ri n [ 1].

cea

mai

de adecva tă metodel o r ecua':i i n�liniar-e

iterat:ve moderne de re :o l var ea sistemelor

impu se de analiz a nLimeric� a cimpului

electromagnetic .

Cea rr.ai si m;J l �·\, dar destul de eficient� metodd't dE'

[ 3 J. interpol are De:: avantajul

de ordinul

pe pcc·tiuni psle

�cest�i unu a

::H� ':.ode con�.:. t � ·'·-ln c ti e i ln

considerate pe caracteristică.

interpo l arca l i n i ar � ln . di sc on ti nu itat ea derivatei

punctelor dr-e�pta şi cc.t1 nga

-'87-3. MODELAREA CARACTERISTICI I DE t1AGNETIZARE CU AJUTORUL

FUCTI!LOR SPLINE

Conti nui t ate a der� vate lor de ord i�u l unu sau de or-din superior poate fi

functii spline.

impus.l tn cazul folosirii apro>-: :i m�r ii cu

Denumirea de fuctii spline prov i n e din limba engle:�,

fiind un dispo z itiv mecani= utili z at de desenatori spline

pentru

trasarea unor curbe netede. Acest t erm en a fost utili2 at prima dată de I.J. Schoenberg !n a�ul 1946 pentru a desemna o functie

formată din polinoame pe sJbintervale adiac�nte şi car-e se

racordeau in noduri 1mpreună cu un anumit nwn.'.\r de derivate ale

sale. Ulterior studiul teoret i c şi apl icativ a functiilor spline

a cunos�ut o d� zvolt are considerabilA, acestE' �unctii fiind

considerate instrumente eficace şi uşor adaptabile diferitelor 1 .

probleme prac tic e de o s eri2 de ramuri ale ştiinţei �i tehni�ii

[ ·1J. Aprowimarea caracteristici! de magneti=are se poate face

printr-o interpelar-e strict�. cazul ln care curba de apr-oximare

trece prin punctele · definite, sau o aproximare cu o cur-b� netezit .'.\, ca:ul !n car e curba de aprox i ma r- e trece !ntre punctele

definite, astfel înctt c arac t er i sti ca re2ultatl si aibl o fermi

ctt mai netedl. In figura 2. se poate ob serva diferenta di ntre

curba rezultati in urma interpol�rii stricte Cdesenata cu linie

lntreruptal şi curb a netezită rezult<�U\. In cazul caracteristicilor de magneti:are, la c a r e valorile punctelor au

fost d et erm i n a te experimen t al, determinare care implicA impl i c it

anumite eror ţ , apro}:imarea C�l functii spline netezite este mai

r-ecom,,ndabi 11 dect t interpola:·.:ca strict�.

�·· _. �w-:,_ ·--�--==--- �'�

..,:5.....--------­...--..---�----

Ftgura 2.

�Y...:.--....--....____ ___ ____ .... --.. � .............

�

- ····· __ ._......o..o.;.;a

"" - oo-

Fie ><i, Yi� i==O, . _,n coordGnatele

ridicati experimental. Se presupune ca i mpune ca functia net�:!t� de construit, e x pr e s ia

Xn J g"(x)2 dx X o

punctelor·

XQ < Xj < f (>:), si\

d2 pt: curba

, , < "n· Se minim�lize=e

( 1 )

pentru or i c e g(xl, astf�l 1 nc ! t si fie indeplinit� conditia

., l:((g(xi)-yil/Syi)- .i s, gEC2L<o,xnJ ( 2 )

Constanta slO este redundant�, fiind introdusi� numai pen tru uşurarea cal culelor. ['c> recome�ndat s� ia v alor i din interv,:\lul:

N - (2NI112 .i s .i n + <2N>112 .::,

unde N=n+l [5) M�rimile Syi!.O, i=O, . . . ,n ,asociate valorilor Yi, determin�

g ra d ul de nete z i re a curbei de aproximare. Aceste m�rimi trebuie

s3 aib� valori mai mici pentru punctele determinate e>:perlmental

me�i prec i s şi valori m<>.i mari corespunzltoare punct<olor

determinate mai put i n exact [6). De asemenea la mlr i mi l e Yi mai

mar! !n v aloare ab�;oluU\ c<Jprespund marimi Syi m.}i mari. Atribuind va loare z�ro m�rim1lor &yi se obtin� o interpelare

str i ct.:l. Se impune ca functia f(xl s� fie compusi di n parabole cubice

de forma general� :

2 3 ai + b i ( x -x; ) + ci ( >: -x i ) + d i ( x -x i ) Xj i X < Xi+l

( 4

care se !nt!lnesc tn p unc t e l e lor margine�le, în c"\Şi:l m�sur�, că f .•

f', f" s:l fie_continu:?. Se ob�in urmJt�arele relatii ! ntre coeficienti\

f (X) :

co = Cn = o ( di " (ci +.i -ci ) 1 ( 3:0 i 1 (

i "0, . .. , n-1 bi = <ai+l-"il/hi - Cihi 2 - d[hi (

T C

=

QT A i =O, ... , n-1

( Q c = p D - ( Y-·AI (

functiei

5 6

7 )

8 9

�·�------- -···- · ·· ·--·- -·-·-

1 1

'l

- -··- --- -�-- ----�

unde: -89-

hi = xi+1 - xi T C = [el• · . • ,cn-1) ,

JT y = [yO•···•Yn ·. T A = [a0, . .. ,an)

10 1 1 12 13

D = diagCSy0, . • . ,synl

T matrice tridiagonall de ordinul ti,i = 2(hi-1 + h,l/3. ti,i+l = ti+1,i = hi/3 tridi�gonalA de ordinul

14 (n-llx(n-ll a vt nd elementele:

( 1 5 ) O matrice

( 16 ) Cn+l) x (n-1) avtnd el ementelie:

qi-1,i = 1/hi-1 qi,i = -1/h.i-1 '1i+1,i = 1/h.i

Parametrul lagrangean, p, poate fi determinat urmatorului algor it m : 1. Start cu p =O. 2. Descompunerea Chel esi:y (de form,, R T R1 a 1 ui 3. Calcularea lui U di n ecLtatia: .. RT R U = QT Y 4. CC\lcularea lui V di n ecuatia: .V = D QU 5. Calcularea lui e dih ecuatia: .

T e = V V 6. Dac� e > s

7.

6.1. Ca l cu l are a f = UT T U

6.2. Calcularea RT W " T U

6.3. Calcularea

g = WT W

1 ui

1 ui

1 ui

f din ecuatie�:

�� din ecuatia:

9 din ecuatia:

6.4. Atribuirea val or i i p valoarea p + <e - <s el 1121 1 <f- p gl 6. 5, Trecerea 1 a punctul 2.

Dac� e !.. s

ex pr esi e1 :

7.1. C<>lcularea lui (., cu ajutorul A " Y

- O V ecu<�tiei:

7.2. Calcularea lui C cu ajutorul ecuatiei: c =: p u 7.3. Ca l cu l area valcrilor bi conform ecuaLa 7.4. Ca l cu l are a valc·rilcr ci conform ecuaia 7.5. Terminut.

17 18 19

cu ajutorul

QTD2Q + pT.

( 20)

( 21 )

{ 22 )

{ 23

( 24

25

26

27

28 7 ) •

8 ) .

,..

�-. ..... �-······��·· · ·�-- -..:.. :... .. ---·····

90

4. R�ZULTATE s: CONCLUZII

S-au con si deri,t 18 puncte cunoscut e pe ca�a�teristica de • V magneti z are a ot21Lt:Lti electrotehn i c VlO (cLt piord�r�a specificJ de 3,6 Wl«g). In tabelul c.Jin f1gu�a 3. sint p�e:entate re=ultatele calcLt:�lcr p�?ntrLt determinarea coeficientilor

fuctiilor spline cubice _pe SLtbintervalele determinate de pLtnctel� cunoscute. In pri�lele do�t� coloane stnt d�te coordcr13t0le

pun ct el or consider?�� pe cat-2cteristica de magnetizare. c�lelalte coloune contin valo ...... ile co.::.'flci·:?ntilor polino�w_tlui dr? intP.rrc·l�rc determinate cu 8y1=r::.01'fi şi s-:.:r�=19. Se poc.t e cbserv� faptul_, c��

valo�ile Sy1 s-au d�te�minat In functie de valorile Yi·

1 :�2� H -r=:��� :�c � - - 1 b J_ --� 1 �-=� l' O O.OE+OO O 0�-00 O.Ol-+ 0 0 rr·7E-04 O . O C+OOi=fi . 9E-07 � 1 4.4E�O� �-0�-02 5.4[.-0: �.OE- 0: 2.5E-05 - �.6E-08

2 6.4E•01 1.0�-01 1.0r-01 2.9E-03 :::'.3E-05 -B.OE-08 , ::; 9. 6'''>01 ::. u•::-01 =· :c�:-01 4. te-o::: 1. 5E-05 -1. 4E-07

4 1.3E+O:::' 5.0�-01 1 3.7�-01

C>< 1.6E+O:::' 6 11 2

.. OE+O:::'

7 2.4E+02 8 3.0E+02

91 4. 1E+O:::'

7.0E-OI

G.OE-01 9.0E-01 1.0[+00 1.1E+OO

10 1 5.5E+02 1 1.2E+OO 11 7.9E+02 1.3E+OO

s. :::�:-01 6. si:-ot 8. 1 c -CI! 9.9'-::-01

1. 2t:+<)Q

1 • �:.r:: +<)() 1. 3E+OO

4.7E-03

4.5E-03

•1. OE-03

3.3E-03

2.7.E-03 1. OE-03 4.2E-04 7. !E-0'1 1. 9E-04

7.5E-05

3.9E-o5

2.2E-05 1.6E:-05 1. OE-05

1. lE'-06 -7.1E-08 -6.2E�06 -2�7E-08

-9. IE-06 -3.2E-09

-9. 'IE-06 1. 1E-08

-7 . 4 E - 06 1. 2E-(18

- 3 . 4E - 06 5. 9E-09 -9. 1E-07 1.3E-<)9

4.2E-00 -1.4E-10 -l.lE-07 3. 7E-ll

-1.5E-08 2.0E-12

-4.3E-09 3.6E-!3 -4.0E-!(l -1.4E-14

-6. 1E-10 1.9E-14 -1.6E-10 4.9E-!5

12 l.2E+03 1.4E+OO 1.4E+OO 13 2.0E+03 l.SE+OO l.�E+OO 14 3.9E+03 !.6E+CO 1.6E +OO

15 7.5E+03 l.7E+OO 1 . 7E +OO 16 1.3E+04 1.8�+00 1.8E+OO 17 2.0E+O

tJ l. 9E+OO 1.9c+OO �13 1 3.1E+()4 7. . 0� +00 :C.OE+OO ' - _l -- �====� .�=-====!J

-8.2E-36 O.OE+OO O.OC+OO [ Fisura 3.

Cu acest@ re:L•ltate obtinL:te s-a tras�t curba de m2qncti=�rc

ap �oxima t � (figu�2 4.). In figu�� s!nt indicate şi punctele

cons�d2rate initial pe caracteri3tica de m�gneti=are �at�. MGd�larea mate�a tic� a c�racteristicii de magnet � =��� CLt

ajuto�ul

mare co

fLICtiilor sp line nete::ite cere un efort mate��tic mai celalalt� metode do i�terpola�e pe po�tiuni ernintitc.

Acest efort superior însă estE- rc\:J.p1Z\tit cu o ,c'-1racteri-=;tlC:·y' de magne�i =�re model�t� foart� ��ropiat� de cea real�. Tr�bLlie (Ţ1en:icnc-t faptul� c� efortul .r.c:1t.e•natic spori t trE.>buie d,:pus o singu�A datA pentru o caracteristic� de magneti:are d3t�, c�ci re�u!t�tel9 pot fi t�belat� şi ��losite de fiecare dată cind este navoie de modQlare� acestei car.�ct2ristici de rnagne�i:are. Astfel

.1 -9!-moC::l z\rea car acte� i s t ·ici i de.� m�gn�t!=are pre=en�at� nu m;'\:- i.r-e.:1 t ioo;.Julu i de Cc:.\l eul r:· ... clmpulwi el?�trcm�gne�ic.

8

l.

/ t t

1

!

t

��

BIBLICGRAFIE

....-----...---------------------

Figura 3.

1. MINDRU Gh. - RADULESCU M.M.: Anali�a numeric� elect�omagnetic, Ed. Dacia, Cluj-Napoca,198b.

..,

H

a

MACFAYDEN W.K. et al. by E�ponential

pp. 9(12-904.

F: � � ,- :.:· ::, � n t z\ : ! c n o i 1·1-::, g .-1 2 : i sat i on Ser ies, F'r.;:.�. IEC:, Voi. L20. O 973J,

i rr.pl iL�

c1mpului

Cur-ves No. 6.,

TRUTT F.C. : Representaticn of the Magnetisation Cha�acteristic of CC Machines fo� Comp ut d � Use, IEEE Tr�nsactions cn Powe� ţ'tp�.; . ..-t.ttus and Systems., vol. F')tS-87. C1986J, no. 3.� pp. 665-669.

4. FEJES I. : Fc<nctii Spli.>e 1n te:;ri" Ed. Stiintific�. şi ped3gogic:,�. E:cocu�eşti, 1981.

5. REINSCH C.H.: Smoothing by �1athe:;m2.t i �.:\ vo!. 10. ( 1967), pp.

Spline F'ur;ctions, 177-!83.

mecanismelor "

Numeris..:he-

6. JURS P.c.: Computer Soft���re Wil�y �Sens, N�w York, 1986:

Applica t icn5 in ChemL stry� John

- �