of 36
CONSTANTIN SORINEL IONIC
Drobeta Turnu Severin
2015
GROAPA DE POTENIAL N
MECANICA CUANTIC
1
CUPRINS
Introducere ................................................................................................................. 2
Capitolul 1. Bazele experimentale ale fizicii cuantice .............................................. 7
1.1 Dualismul und-corpuscul ................................................................................. 14
1.2 Relaiile de nedeterminare ................................................................................. 16
Capitolul 2. Ecuaia lui Schrdinger ....................................................................... 18
2.1 Semnificaia fizic a funciei de und ................................................................ 21
2.2 Ecuaia Schrdinger pentru particula liber ....................................................... 23
2.3 Descrierea cuantic a atomului de hidrogen....................................................... 24
2.3.1 Rezolvarea ecuaiilor momentului cinetic ................................................... 26
Capitolul 3. Aplicaii ale ecuaiei lui Schrdinger ................................................. 29
3.1 Groapa de potenial de adncime infinit .......................................................... 29
3.2 Bariera de potenial de lrgime i nlime finit .............................................. 32
Bibliografie ........................................................................................................... 35
2
Introducere
Mecanica cuantic ne spune c lumea particulelor elementare este guvernat de legi
stranii, contraintuitive. Cum ar arta lumea noastr dac i la nivel macroscopic fenomenele s-
ar petrece la fel? Schrdinger a dat rspuns la aceast ntrebare cu ajutorul unui experiment
imaginar.
Efectuarea unei serii de experimente n secolul al XX-lea (din care face parte i
adaptarea celui fcut de Thomas Young) a condus la nchegarea unei teorii coerente privind
lumea cuantic la finele anilor `20. Literatura de specialitate numete aceast teorie
Interpretarea Copenhaga - modelul teoretic la a crui apariie au contribuit fizicieni celebri
precum Niels Bohr, Werner Heisenberg sau Max Born.
Interpretarea Copenhaga reprezint un model teoretic care ncearc o descriere unitar
a conceptelor din mecanica cuantic. O caracteristic foarte important a mecanicii cuantice
se refer la faptul c fiecare particul elementar poate fi descris sub forma unei funcii de
und, o expresie matematic cu ajutorul creia se poate calcula, simplificnd lucrurile,
probabilitatea ca o particul s se afle ntr-o anumit zon a spaiului.
Fizicienii care sunt de acord cu aceast interpretare susin c intervenia observatorului
uman face ca acest set de probabiliti dat de funcia de und s "se prbueasc", s fie redus
la o anume valoare, cea stabilit n urma msurrii. Fizicienii numesc acest efect care apare n
urma msurrii "colapsul funciei de und". Niels Bohr obinuia s spun c nsui actul de a
msura afecteaz natura realitii. Cea mai important trstur a Interpretrii Copenhaga este
deci c nici o proprietate a unui sistem cuantic (precum poziia unui electron) nu poate fi
precizat cu exactitate nainte de a fi msurat. Mecanica cuantic este o teorie statistic.
Aceast interpretare a fenomenelor de la nivel subatomic impune ideea c un sistem
cuantic nu exist ntr-o stare anume dect la momentul observrii sale. De exemplu, un
electron care parcurge traseul descris n experimentul lui Young, o face sub forma unei unde,
3
neavnd o locaie precis n spaiu. Este un traseu guvernat de probabiliti. De abia n
momentul n care ajunge la ecranul detectorului particula elementar alege una din variantele
probabile, funcia sa de und "prbuindu-se" n acel punct.
Modelul atomic descris de ecuaia lui Schrdinger era mult mai complet fa de cel al
lui Bohr i a permis la acea vreme unor cercettori precum americanul Linus Pauling s
explice anumite principii ale chimiei (cum interacioneaz atomii pentru a da natere
moleculelor) n termenii mecanicii cuantice. Chimia devenise o ramur a fizicii pe atunci, cel
puin n accepiunea fizicienilor vremii.
Schrdinger, care nu era unul dintre susintorii ideilor impuse de Niels Bohr i
Werner Heisenberg cu privire la imposibilitatea determinrii cu exactitate a proprietilor unui
sistem cuantic, a sperat c bizareriile interpretrii Copenhaga vor putea fi explicate n
totalitate folosind limbajul elegant al ecuaiilor sale.
Schrdinger a fost n mod special ncntat c funcia sa de und prea a aduce bizara
lume cuantic napoi n zona unei fizici normale, adic aa cum era ea neleas nainte de
apariia modelelor lui Niels Bohr. Acesta a fost i motivul pentru care austriacul a fost de-a
dreptul ngrozit n momentul n care a descoperit c, totui, ecuaiile sale nu eliminau efectele
probabilistice anterior pomenite din comportamentul electronului.
Schrdinger avea s spun mai trziu despre propria teorie: Nu mi place deloc i mi
doresc s nu fi avut niciodat de-a face cu ea. Mai mult, el avea s imagineze un experiment
cu ajutorul cruia a dorit s scoat n eviden absurditatea Interpretrii Copenhaga,
experiment care a rmas cunoscut drept paradoxul pisicii lui Schrdinger.
Experimentul imaginar al lui Schrdinger, n cadrul cruia se ncearc asocierea unei
funcii de und (similare celei care descrie comportamentul particulelor elementare n
accepiunea mecanicii cuantice) unui sistem macroscopic, evideniaz o serie de consecine
bizare ale acestei ntreprinderi i ridic o serie de ntrebri cu privire la natura realitii i la
relaia dintre observator i lumea nconjurtoare.
Schrdinger imagineaz o situaie n care o pisic este, n acelai timp, moart i vie, o
absurditate care, luat n sens strict, descrie i comportamentul entitilor cuantice aa cum
Interpretarea Copenhaga l prezint.
Schrdinger i-a imaginat o pisic nchis ntr-o camer ce nu putea fi observat din
exterior, n interiorul creia a plasat i un dispozitiv ingenios, constnd dintr-un container plin
cu o substan otrvitoare, un contor Geiger, un ciocan i o mostr de material radioactiv.
4
Scenariul imaginat de austriac este urmtorul: pe msur ce materialul radioactiv sufer
fenomenul de descompunere radioactiv (o particul alfa este emis), contorul Geiger pune n
micare trgaciul radioactiv care elibereaz n cele din urm ciocanul; ca urmare a cderii
ciocanului sticla umplut cu o substan toxic (cianur, n versiunea imaginat de
Schrdinger) se sparge, iar pisica moare otrvit.
Nimic deosebit, cel puin deocamdat. Numai c, spune Schrdinger, este posibil s
determinm un moment de timp la care exist 50% anse ca materialul radioactiv s se fi
descompus (probabiliti egale ca particula alfa s fi fost sau nu ejectat de nucleul atomic
radioactiv), ceea ce nseamn probabiliti egale ca pisica s fie vie sau moart.
Dezintegrarea atomic are loc la intervale neregulate; statistic se poate stabili o
valoare pentru apariia dezintegrrii numai pentru o sum de astfel de fenomene. Nu se poate
spune cu precizie cnd va avea loc urmtoarea emisie de particul alfa. Prin urmare, pn nu
desfacem capacul cutiei pentru a vedea starea pisicii, nu avem de unde s tim dac
dezintegrarea a avut loc ori ba.
Mecanica cuantic ne spune c dac ne-am uita la acel moment n camera pisicii,
funcia de und asociat sistemului cuantic imaginat de Schrdinger "se va prbui", iar noi
vom vedea pisica fie vie, fie moart. De asemenea, dac alegem s nu privim n camer, nu
doar mostra radioactiv va fi ntr-o superpoziie a dou stri posibile, ci ntregul experiment.
Pisica, n condiiile n care nu analizm sistemul cu ochii notri, poate fi considerat att vie,
ct i moart, n acelai timp.
Superpoziia strilor sistemelor cuantice este un principiu care spune c o particul
elementar, electron sau foton, poate fi ntr-o stare pe care oamenii de tiin au botezat-o
superpoziie (suprapunere) a dou sau mai multe stri. Nu ne mai referim la poziia unei
particule avnd n minte ideea de unicitate a locaiei acesteia, de "aici sau acolo"; n lumea
cuantic avem de-a face cu "aici i acolo". Este ca i cum un foton, parte a unui fascicul
luminos direcionat spre un ecran prevzut cu dou fante (ca n versiunea modern a
experimentului lui Thomas Young), poate trece prin ambele simultan.
Ce vroia de fapt s evidenieze experimentul lui Schrdinger, aparent unul banal i
nespectaculos, este faptul c, dei exist o limit ntre lumea accesibil simurilor noastre i
cea cuantic, aceast limit nu e nicidecum clar. Nimeni nu are nici cea mai vag idee unde
se situeaz acea limit, sau de ce efectele cuantice dispar cnd se trece peste ea, dinspre lumea
5
particulelor elementare ctre cea macroscopic (lumea accesibil nou i neleas de oameni
pe baza fizicii clasice).
Ca o scurt concluzie, acest bizar experiment imaginar a reprezentat modul n care
fizicianul austriac a ales s exprime ndoielile sale cu privire la o imagine a lumii particulelor
elementare pe care o gsea absurd.
Nu exist o concepie unitar a fizicienilor cu privire la modalitatea de a lmuri
asemenea situaii aparent paradoxale. Exist preri care susin c mecanica cuantic eueaz
n cazul sistemelor de complexitatea celui imaginat de Schrdinger, iar o alt opinie este cea
care susine c fizica cuantic nu se refer la comportamentul particulelor elementare luate
individual sau la cel al unei singure pisici dintr-un montaj Schrdinger, putnd s ofere doar
informaii de ordin statistic cu privire la colecii de sisteme identice, fie ele macroscopice sau
microscopice.
Din pcate, aceste interpretri nu dau un rspuns nici ntrebrii majore ridicat de
Schrdinger cu privire la grania dintre microscopic i macroscopic de la care
comportamentul cuantic dispare, lsnd deschis i dezbaterea cu privire la soarta fiecrei
pisici n parte (dac e s vorbim despre 1000 de asemenea sisteme pe care s le analizm din
punct de vedere statistic).
Cea mai spectaculoas ncercare de a elimina paradoxul din asemenea scenarii este
aa-numita teorie a universurilor paralele (a istoriilor alternative). Teoria a fost introdus n
anul 1957 de Hugh Everett i dezvoltat n deceniile urmtoare de ctre Bryce DeWitt. Sun
mai degrab a science-fiction, dar exist interes i sprijin pentru aceast viziune din partea
unor fizicieni de frunte, precum David Deutsch, Stephen Hawking i Steve Weinberg. n
contextul experimentului imaginat de Schrdinger, teoria spune c Universul se ramific n
dou realiti paralele, care coexist, una n care pisica este vie, iar alta n care felina moare
otrvit.
Aceast ecuaie a lui Schrdinger a stat la baza verificrii multor efecte sau fenomene
fizice cum ar fi efectul fotoelectric, efectul Compton, emisia la rece a electronilor din metale,
dezintegrarea , reaciile termonucleare, etc.
Dup cum tim starea unui sistem fizic care se supune relaiilor de nedeterminare ale
lui Heisenberg nu poate fi descris cu ajutorul coordonatelor de poziie i impuls deoarece
acestea nu mai pot fi msurate simultan cu o precizie orict de mare.
6
Ca atare, micarea unui astfel de sistem, pe care l vom numi sistem cuantic, nu mai
poate fi studiat cu ajutorul legilor mecanicii clasice, impunndu-se formularea unei mecanici
noi care s rspund acestor cerine.
Aceasta este mecanica cuantic, fondat ntre anii 1925 i 1930 de W. Heisenberg i
M. Born, pe de-o parte, i E. Schrdinger, pe de alt parte i, nu n ultimul rnd, de P. A. M.
Dirac care a dat o formulare general care conine cele dou formulri alternative anterioare
drept forme particulare.
n cele ce urmeaz voi prezenta elementele eseniale ale mecanicii cuantice n
formularea aparinnd lui E. Schrdinger i vom ilustra cele prezentate prin tratarea ctorva
cazuri simple dar sugestive din punct de vedere cognitiv i care sunt, n acelai timp, de un
interes practic real.
7
Capitolul 1. BAZELE EXPERIMENTALE ALE FIZICII
CUANTICE
Mecanica cuantic se ocup cu studiul legilor de micare ale microparticulelor (de
exemplu, electroni, protoni, mezoni) sau al sistemelor de astfel de microparticule (de
exemplu, nuclee atomice, atomi, molecule, ioni) i a interaciunilor care guverneaz aceast
micare. Pentru a nelege necesitatea i aria de interes a mecanicii cuantice, vom prezenta
cteva fapte experimentale din care ea decurge.
Radiaia termic este emisia de energie n mediul ambiant, sub forma undelor
electromagnetice, pe care o realizeaz orice corp, indiferent de temperatura la care se afl.
Aceast emisie se face pe seama energiei interne a corpului i are loc n mod continuu, pe tot
spectrul de lungimi de und, dar cu intensitate diferit pentru diferite lungimi de und i ea
depinde n mod esenial de temperatura absolut T la care se afl corpul.
Deoarece toate corpurile emit energie electromagnetic sub form de radiaie termic,
se ajunge la un moment dat ca dou sau mai multe corpuri s aib aceeai temperatur, adic
s fie la echilibrul termodinamic. n aceast situaie, fluxul de energie emis de corp sub
form de radiaie termic este egal cu fluxul de energie absorbit de acesta.
n general, orice corp poate emite energie i poate absorbi energie, raportul dintre
capacitatea sa de emisie i capacitatea de absorbie este acelai pentru toate corpurile, fiind o
constant universal f(, T) care depinde de lungimea de und i de temperatura absolut a
corpului. Acesta este coninutul legii lui Kirchhoff.
Pentru o studiere mai uoar a radiaiei termice s-a imaginat un model de corp ideal,
numit corpul absolut negru, care absoarbe toate radiaiile ce cad asupra sa, indiferent de
lungimea lor de und, iar constanta universal din legea lui Kirchhoff este chiar capacitatea de
emisie a corpului absolut negru.
n studiul radiaiei termice (deci i a radiaiei corpului absolut negru) se utilizeaz o
serie de mrimi fizice. Cele mai uzuale sunt:
Fluxul energetic radiant integral sau puterea radiant reprezint energia total W
emis (radiat) de un corp n unitatea de timp, adic viteza (rata) de transmisie n timp a
energiei radiate:
8
fig. 1.1
=
, cu unitatea de msur = 1
= 1 (1.1)
Fluxul energetic spectral reprezint energia emis sau absorbit de un corp n unitatea
de timp, dar numai n intervalul de lungimi de und ( , + d):
=
, de unde =
0 (1.2)
Aceast mrime arat faptul c energia radiat (radiaia termic) este distribuit n
funcie de lungimea de und.
Intensitatea energetic a unei surse punctiforme reprezint fluxul de radiaie emis n
unitatea de unghi solid:
=
, cu unitatea de msur: = 1
(1.3)
Unghiul solid este elementul geometric sub care se vede dintr-un punct O o anumit
suprafa de arie A i normal exterioar . n SI se msoar n steradiani (sr). Elementul de
unghi solid este:
=
3=
2 , (1.4)
unde este unghiul fcut de vectorul de poziie al punctului de observaie cu
normala exterioar a suprafeei elementare dA din jurul acestui punct (fig. 1.1).
Radiana sau emitana energetic reprezint fluxul energetic radiat (emis) n toate
direciile de o suprafa oarecare A , raportat la unitatea de suprafa:
=
, cu unitatea de msur: = 1
2 (1.5)
Radiana spectral reprezint fluxul energetic emis n toate direciile de o suprafa
oarecare, raportat la unitatea de suprafa, dar numai n intervalul de lungimi de und
(,+d):
R =
, de unde R = R
0 (1.6)
Densitatea de energie radiat reprezint energia electromagnetic medie radiat de un
9
corp, n toate direciile, raportat la unitatea de volum:
=
, cu unitatea de msur: = 1
3 (1.7)
Densitatea spectral de energie radiat reprezint energia radiat de un corp, n toate
direciile i n unitatea de volum, dar numai n intervalul de lungimi de und (, +d):
w =
, de unde w = w
0 (1.8)
Ultima relaie arat faptul c radiaia termic este de fapt o suprapunere infinit de
radiaii monocromatice (cu = const). Studiul experimental al corpurilor (i a modelului de
corp absolut negru) a condus la formularea a o serie de legi care vizau, pe de o parte,
stabilirea naturii i a mecanismului intim al radiaiei termice, iar pe de alt parte, deducerea
expresiei dependenei densitii spectrale de energie de lungimea de und i de temperatur.
Vom aminti numai cele mai semnificative legi.
Legea lui Stefan Boltzmann precizeaz c radiana integral a corpului absolut negru
depinde de puterea a patra a temperaturii sale absolute, adic:
= 4 cu = 5,6687 108 2 4 (1.9)
unde se numete constanta lui Stefan-Boltzmann.
Se poate demonstra c ntre radiana integral R i densitatea integral de energie
radiat w exist relaia:
=
4 (1.10)
deci o alt variant a legii lui Stefan-Boltzmann este:
=4
4 = 4 , = 7,56 1016 3 4 (1.11)
unde a este noua constant universal, cu valoarea de mai sus. Aceast lege a fost
verificat experimental, dovedindu-se foarte corect.
Legea lui Wien stabilete pe cale semiempiric c densitatea spectral de energie este
o funcie care depinde de produsul dintre lungimea de und i temperatur, adic T, mprit
la puterea a cincea a lungimii de und:
=1
5 (1.12)
Din aceast lege rezult legea lui Stefan Boltzmann:
10
w = w
0=
1
5
0 4 4 (1.13)
unde, paranteza mare fiind o integral definit, am notat-o cu a i ea este tocmai
constanta lui Stefan Boltzmann.
Importana legii lui Stefan Boltzmann este evideniat i atunci cnd se calculeaz
maximul densitii spectrale de energie:
=
1
6
5
1
6 = 0 (1.14)
Funcia din paranteza mare, notat cu G(T), are o singur soluie real, pe care o notm astfel:
= , = 2,89782 103 (1.15)
unde valoarea constantei b se determin experimental.
Raionamentul de mai sus constituie tocmai deducerea teoretic a legii de deplasare a
lui Wien: produsul dintre lungimea de und corespunztoare maximului densitii spectrale de
radiaie i temperatura absolut a corpului radiant este o constant (fig. 1.2).
Se observ c, dac temperatura absolut a unui corp radiant crete, atunci lungimea
de und corespunztoare maximului de radiaie termic scade, adic se va deplasa nspre
lungimi de und mai mici (nspre ultraviolet).
Legea lui Planck a fost obinut pornind de la ipoteza conform creia corpul negru
este format din oscilatori elementari (atomi, molecule, ioni), care emit energie sub form de
radiaie termic de echilibru. Distribuia dup energii a numrului de oscilatori se admite c
este o distribuie Maxwell-Boltzmann. ns, Planck consider c emisia de energie nu are loc
n mod continuu, ci discontinuu sau discret, sub form de porii minime de energie, numite
cuante de energie:
= =
(1.16)
fig. 1.2
11
unde h = 6,62517 10-34 Js este constanta lui Planck, iar , respectiv sunt frecvena,
respectiv lungimea de und a oscilatorului.
Deoarece energia unui oscilator se emite sub form de cuante (porii elementare), ea
nu poate avea orice valoare, ci doar valori care sunt multiplii ntregi ai cuantei elementare:
= = (1.17)
cu n = 0, 1, 2, ..., unde =
2 se numete constanta redus a lui Planck, iar este
pulsaia oscilatorului. Din acest motiv, energia medie a unui oscilator nu se va calcula cu
ajutorul unei integrale, ci cu ajutorul unei sume:
=
=0
=0
= =0 =0
=
=0 (1.18)
unde am utilizat notaia: x = h. Suma infinit este tocmai o progresie geometric,
astfel c energia medie a unui oscilator va fi:
=
1
=
1
1
(1.19)
Aici am indicat totodat i expresia n funcie de variabila lungime de und. Pentru a
afla densitatea de energie corespunztoare intervalului de lungimi de und (, +d), vom
nmuli energia medie a unui oscilator cu numrul de oscilatori care au lungimea de und
situat n acest interval. Se poate demonstra c acest numr este:
=8
4 (1.20)
Astfel, expresia densitii spectrale de energie radiat, expresie cunoscut i sub
numele de legea de distribuie a lui Planck , este:
=1
5
8
1
(1.21)
Aceast expresie, dedus din considerente pur teoretice, are tocmai forma cerut de
legea lui Wien. Din ea va putea fi obinut valoarea exact a constantei a din legea lui Stefan
Boltzmann i a constantei b din legea de deplasare a lui Wien. n plus, concordana foarte
bun dintre datele experimentale i dependena densitii spectrale de energie de lungimea de
und, justific pe deplin ipoteza cuantelor de energie a lui Planck.
Ipotez cuantelor de energie permite, deci, explicarea complet a fenomenelor legate
de radiaia termic de echilibru.
12
Efectul fotoelectric reprezint emisia de electroni de ctre un metal iradiat cu radiaii
monocromatice din domeniul ultraviolet (sau din domeniul vizibil, pentru metalele alcaline).
Experimental se deduc urmtoarele legi:
Legea I: Intensitatea de saturaie a curentului fotoelectric (deci cnd toi fotoelectronii
emii ajung la anod, fr a se crea o sarcin spaial n jurul catodului) este proporional cu
fluxul radiaiei monocromatice: IS ~ .
Legea a II-a: Energia cinetic a fotoelectronilor extrai este direct proporional cu
frecvena radiaiei monocromatice: Ec ~ i nu depinde de fluxul radiaiei incidente:
Ec f().
Legea a III-a: Efectul fotoelectric apare doar peste o anumit frecven de prag p,
specific fiecrui metal: = p .
Legea a IV-a: Efectul fotoelectric se produce ntr-un timp foarte scurt, practic
instantaneu.
n anul 1905, Albert Einstein d o explicaie teoretic corect acestor patru legi
experimentale. El extinde i asupra radiaiei ipoteza cuantelor a lui Planck i admite c nu
numai emisia de radiaie este discontinu, ci i radiaia nsi, fiind format din particule
numite fotoni. Energia fotonului este dat de expresia lui Planck:
= = (1.22)
Fotonul este o particul care se mic cu o vitez egal cu viteza luminii n vid c. Deci,
avnd viteza v = c, fotonul nu se poate gsi n repaus ci doar n micare, adic masa sa de
repaus este egal cu zero:
=0
12
2
, deci rezult m0f = 0 (1.23)
Impulsul fotonului, conform teoriei relativitii, este:
= =
2 =
=
(1.24)
Einstein a explicat efectul fotoelectric astfel: fotonii radiaiei incidente ptrund n
metal i se ciocnesc cu electronii liberi ai atomilor metalului, fiind absorbii de acetia.
Energia absorbit de electroni servete la scoaterea electronului din metal, efectundu-se un
lucru mecanic de extracie Lex , iar restul de energie este transformat n energie cinetic a
fotoelectronului extras.
13
Legea de conservare a energiei n cazul efectului fotoelectric se poate scrie astfel:
= +0
2
2 (1.25)
Aici apare masa de repaus m0 a fotoelectronului, ceea ce nseamn c efectul
fotoelectric este un efect nerelativist, adic viteza v a fotoelectronului extras este cu mult mai
mic dect viteza luminii n vid, adic este o vitez nerelativist.
Cu legea de conservare scris de Einstein se pot explica foarte uor legile
experimentale ale efectului fotoelectric.
Legea I : Deoarece fiecare foton al radiaiei incidente scoate numai un singur electron
din metal, la saturaie numrul acestora fiind Ns , putem scrie:
=
=
=
(1.26)
Dar fluxul radiaiei incidente se poate scrie i astfel:
=
=
=
(1.27)
Radiaia incident fiind monocromatic, frecvena ei este constant i se obine tocmai
dependena cutat:
=
, de unde: ~ (1.28)
Legea a II-a se obine uor:
=2
2= , de unde: ~ (1.29)
Deci energia cinetic este proporional cu frecvena.
Legea a III-a se obine innd cont c energia minim a fotoelectronului trebuie s
asigure doar extragerea acestuia din metal. Punnd condiia ca energia cinetic a
fotoelectronului scos s fie nul, din legea conservrii rezult valoarea frecvenei de prag:
= 0, = , de unde: =
(1.30)
nlocuind aceast valoare n legea conservrii energiei, obinem condiia:
=2
2 0 (1.31)
ceea ce arat c efectul fotoelectric are loc doar pentru o frecven mai mare dect
frecvena de prag:
14
=
(1.32)
Legea a IV-a se explic prin faptul c procesul de absorbie a energiei fotonului de
ctre electronul metalului dureaz extrem de puin (cteva nanosecunde), ceea ce d impresia
de instantaneitate a producerii efectului fotoelectric.
Efectul Compton reprezint difuzia sau ciocnirea unui foton din domeniul razelor X cu
o int fix (un electron liber sau o alt particul), proces n care o parte din energia
fotonului incident este transferat intei. De la un tub Rntgen se trimite un fascicul de raze X
spre un sistem de fante (cu rol de colimare), pentru a se obine un paralelism ct mai bun al
razelor X. Dup colimare, fascicolul de raze X cade pe un cristal de grafit i sufer o devia ie
de unghi fa de direcia iniial. Fascicolul deviat (difuzat) este captat de un detector care
nregistreaz un curent a crui intensitate este proporional cu intensitatea fascicolului
difuzat.
n concluzie, efectele fotoelectric i Compton confirm faptul c radiaia
electromagnetic are i o natur corpuscular, fiind format din particule numite fotoni, care
posed energie i impuls, la fel ca i oricare alt corp.
1.1 Dualismul und-corpuscul
Radiaia electromagnetic are o natur dubl sau dual: ondulatorie i corpuscular. n
unele fenomene (de exemplu, interferena i difracia) se manifest mai pregnant caracterul
ondulatoriu al radiaiei electromagnetice, iar n alte fenomene (de exemplu, efectele
fotoelelectric i Compton), iese n eviden caracterul corpuscular, adic faptul c radiaia este
format din fotoni, particule cu masa de repaus zero. Aceste consideraii sunt cunoscute sub
denumirea de dualismul und-corpuscul.
Fiecrei microparticule i se asociaz o und (numit, ulterior, unda de Broglie), care
are lungimea de und i, respectiv frecvena:
=
=
, =
(1.32)
n mod cu totul analog ca i pentru foton.
Deci microparticulei cu caracteristicile corpusculare: masa m, impulsul p = mv i
energia E, i se asociaz unda de Broglie, care este o und plan monocromatic, de forma:
15
, = =
(1.33)
Am inut cont de relaia dintre impulsul p al microparticulei i dintre modulul
vectorului de und k:
=
=
2
2
= (1.34)
Cnd se calculeaz viteza de propagare a undei de Broglie (adic viteza de faz), se
constat o contradicie cu teoria relativitii.
Faza undei este:
, =1
= . , deci: , = 0 (1.35)
Deci, viteza de faz a undei monocromatice de Broglie este definit n mod obinuit,
innd cont de relaia precedent:
=
=
=
2
=
2
> (1.36)
Acest rezultat contravine teoriei relativitii: nici un corp (i, deci, nici unda asociat
lui) nu se poate mica cu o vitez mai mare dect viteza luminii n vid. Pentru rezolvarea
acestei contradicii s-a asociat unei microparticule nu o und monocromatic plan de Broglie,
ci o mulime infinit de unde monocromatice plane, foarte puin diferite una de alta, prin
valoarea modulului vectorului de und, mulime infinit numit grup de unde sau pachet de
unde. Drept urmare, particula va avea o micare rectilinie i uniform cu viteza:
=
=
(1.37)
numit viteza de grup. innd cont de relaia dintre energie i pulsaie, respectiv dintre
impuls i modulul vectorului de und, viteza de grup va fi:
=
=
=
22 + 0
24 1
2 =2
= < (1.38)
unde am utilizat expresia relativist a energiei.
Deci, viteza de grup este egal cu viteza de micare a particulei nsi, ceea ce
dovedete justeea ipotezei de a asocia unei particule nu o singur und de Broglie, ci un grup
de unde.
16
1.2 Relaiile de nedeterminare
Fie un grup de unde cu deplasare de-a lungul axei Ox. Se poate stabili o relaie ntre
localizarea spaial a grupului de unde (deci i a particulei), adic x i intervalul px unde se
situeaz valorile impulsului acesteia. Produsul acestor mrimi, numite nedeterminri sau
imprecizii nu poate lua orice valoare, ci este de ordinul de mrime al constantei lui Planck:
~ (1.39)
Aceast relaie se mai poate scrie i astfel:
= , sau =
2 (1.40)
Relaii asemntoare se pot scrie i pentru celelalte variabile spaiale y i z i ele se
numesc relaiile de nedeterminare sau relaiile de incertitudine sau relaiile de imprecizie ale
lui Heisenberg.
Ne arat c produsul dintre nedeterminrile sau impreciziile de msurare simultan a
poziiei i impulsului microparticulei trebuie s fie de ordinul de mrime al constantei lui
Planck.
n fizica clasic, msurarea mrimilor fizice nu este limitat principial, ci doar de
precizia instrumentelor de msur utilizate. Deci, cel puin din punct de vedere teoretic,
imprecizia de msurare poate fi egal cu zero, adic se obine valoarea exact a mrimii de
msurat. n fizica microparticulelor aceast concluzie este valabil, n principiu, atunci cnd
se msoar o singur mrime fizic. Dar dac dorim s msurm simultan dou mrimi fizice,
numite mrimi canonic conjugate, atunci situaia este principial diferit. Dup concepia lui
Heisenberg, nu este posibil msurarea simultan, cu orice precizie dorit, a dou mrimi
canonic conjugate, cci, prin msurarea oricreia din aceste dou mrimi, se ajunge la un
contact cu sistemul fizic (particula), cu care ocazie are loc o interaciune ntre aparatul de
msur i particul, ceea ce face ca s se modifice starea sistemului (starea particulei), deci se
modific i valoarea mrimii canonic conjugate. De exemplu, prin msurarea poziiei
particulei (a coordonatei sale) are loc un transfer de energie (impuls) ctre particul i,
evident, se perturb determinarea exact a valorii impulsului particulei.
Considernd o und monocromatic (deci cu = const, adic cu x = 0, sau px = 0),
din relaiile de nedeterminare rezult x , deci particula nu poate fi localizat spaial
(poate fi situat oriunde n spaiu). nseamn c unda monocromatic nu poate descrie un
proces localizat n spaiu, deci nu este adecvat pentru a fi asociat unei microparticule.
17
n mod analog, presupunnd c am putea localiza perfect poziia microparticulei (n
sens clasic), deci x = 0, din relaiile de nedeterminare rezult c px , deci impulsul
microparticulei ar fi complet nedeterminat, n sensul c am ti nimic despre valoarea posibil
a impulsului, imprecizia fiind orict de mare. Acesta nseamn c, n mecanica cuantic,
datorit valabilitii relaiilor de nedeterminare, noiunea clasic de traiectorie nu are sens,
adic nu putem vorbi n mecanica cuantic de o linie oarecare ce ar reprezenta urma drumului
strbtut de particul (traiectoria particulei).
Relaiile de nedeterminare sub forma precedent (referitoare la perechea de variabile
canonic conjugate coordonat-impuls), conduc la relaiile de nedeterminare n variabilele
canonic conjugate energie-timp:
(1.41)
Aceasta nou form a relaiilor de nedeterminare arat c produsul dintre
nedeterminarea de msurare a energiei particulei E nmulit cu intervalul de msurare t
este de ordinul de mrime al constantei lui Planck. Intervalul de timp t se interpreteaz
uneori i ca timp de via al microparticulei (timpul ct microparticula se situeaz pe un
anumit nivel energetic).
Relaiile de nedeterminare trebuie privite n ideea c microparticulele au un caracter
dual (corpuscular i ondulatoriu). Ele nu arat c este imposibil de determinat simultan
coordonata i impulsul particulei (ceea ce ar fi nsemnat c particula nu poate fi cunoscut n
ntregime), ci arat c este imposibil s determinm cele dou mrimi simultan i cu orice
precizie dorit (ca n mecanica clasic). Precizia nu este determinat de posibilitile tehnice
limitate ale aparaturii de msurat, ci are caracter principial, fiind legat de existena constantei
lui Planck. La limita h 0, s-ar ajunge la relaia x px 0, adic la situaia din mecanica
clasic.
18
Capitolul 2. ECUAIA LUI SCHRDINGER
Deoarece micarea microparticulelor nu putea fi descris cu ajutorul ecuaiei lui
Newton din mecanica clasic (am vzut c noiunea clasic de traiectorie nu are sens n
mecanica cuantic), se punea problema gsirii unei ecuaii creia s i se supun micrile
microparticulelor. Aceasta este ecuaia lui Schrdinger.
Schrdinger a asociat micrii microparticulelor o funcie de coordonate i de timp, pe
care a denumit-o funcie de und sau funcie de stare (pentru c ea nglobeaz informaiile n
legtur cu starea microparticulei). Ea este chiar funcia grupului de unde de Broglie:
, = +
(2.1)
S gsim ecuaia diferenial a crei soluie ar fi chiar funcia de und de mai sus.
innd cont de relaia:
= + + (2.2)
iar pe de alt parte, de faptul c pulsaia undei este legat de energia total a particulei
(energia cinetic plus energia potenial U), care este o mrime constant (se conserv):
= 1
=
1
2
2+ =
1
2
22 + (2.3)
putem deriva funcia de und a grupului de unde o dat n raport cu timpul, apoi,
separat, de dou ori n raport cu fiecare variabil spaial.
Dup calcule elementare, vom ajunge la urmtoarea relaie ntre derivatele pariale ale
funciei de und:
,
=
2
2 + , (2.4)
Aceast relaie este tocmai ecuaia temporal a lui Schrdinger, care este ecuaia
fundamental a mecanicii cuantice nerelativiste.
Se observ c n ecuaia lui Schrdinger apar doi operatori: unul de derivare parial n
raport cu variabila temporal, precum i operatorul lui Laplace , care are urmtoarea
semnificaie:
19
=2
2+
2
2+
2
2 (2.5)
adic este egal cu suma derivatelor pariale de ordinul doi ale funciei de und, dup
toate cele trei variabile spaiale.
Dac energia potenial a particulei (sau, n general, a sistemului cuantic) nu depinde
explicit de timp, atunci funcia de und se poate scrie ca un produs de dou funcii care depind
separat de timp, respectiv de variabilele spaiale. Se demonstreaz uor c n acest caz avem
de a face, din punct de vedere matematic, cu o ecuaie cu variabile separabile, iar partea de
dependen temporal va fi ntotdeauna de tip armonic, adic:
, =
(2.6)
Dac nlocuim aceast expresie n ecuaia temporal a lui Schrdinger i efectum
operaiile corespunztoare, vom obine tocmai ecuaia atemporal a lui Schrdinger sau
ecuaia lui Schrdinger a strilor staionare:
2
2 + = (2.7)
unde m este masa particulei, iar E este energia sa total.
Ecuaia lui Schrdinger, sub ambele forme prezentate, este o ecuaie diferenial de
ordinul doi cu derivate pariale. Rezolvarea ei ine cont de condiiile iniiale i la limit i
conduce la gsirea soluiei, adic a expresiei concrete a funciei de und (sau, cum se mai
numete, a funciei de stare) , corespunztoare problemei examinate.
n fiecare stare a sistemului cuantic, o mrime fizic oarecare A, ce caracterizeaz
sistemul, mrime numit observabil, are o anumit valoare. Aceste stri n care mrimea
observabil are o anumit valoare, se numesc stri proprii ale observabilei A, iar valoarea a
pe care o are observabila se numete valoare proprie.
Funcia de stare se numete stare proprie i se noteaz cu a. Ea este o soluie a unei
ecuaii de forma urmtoare, numit ecuaia valorilor proprii sau ecuaia de valori proprii:
= (2.8)
Dintre toate funciile matematice care satisfac ecuaia valorilor proprii, nu toate au
sens fizic, adic nu toate pot fi funcii de stare, ci numai acele funcii care satisfac condiiile
standard:
1. s fie univoce (n fiecare punct s aib o singur valoare);
20
2. s fie funcii continue i s aib derivate continue;
3. s fie funcii mrginite, iar la infinit s se anuleze;
4. s fie funcii de ptrat integrabil.
De aceea parametrul a din ecuaia de valori proprii nu poate avea orice valoare, ci
numai anumite valori, numite valori proprii. Fiecrei valori proprii i corespunde una sau mai
multe funcii proprii, deci una sau mai multe stri ale sistemului.
Dac unei singure valori proprii i corespunde o singur funcie proprie, starea se
numete nedegenerat, iar dac unei singure valori proprii i corespund mai multe funcii
proprii, aceste stri se numesc stri degenerate, iar numrul lor se numete multiplicitate sau
grad de degenerare.
n mecanica cuantic este valabil principiul de coresponden, conform cruia,
fiecrei mrimi observabile A din mecanica clasic i corespunde n mecanica cuantic un
operator care satisface o ecuaie de valori proprii de tipul indicat mai sus.
Observm c i ecuaia lui Schrdinger a strilor staionare poate fi scris sub
forma unei ecuaii de valori proprii:
2
2 + = (2.9)
unde n membrul stng al ecuaiei apare operatorul energiei totale sau operatorul lui
Hamilton sau operatorul hamiltonian, notat cu H:
= 2
2 + (2.10)
primul termen reprezentnd operatorul energiei cinetice:
=2
2=
2
2 =
1
2 (2.11)
iar cel de al doilea este operatorul energiei poteniale .
Acesta din urm coincide cu nsi energia potenial, deci aciunea lui asupra funciei
de und reprezint o simpl nmulire.
Energia potenial depinznd numai de variabila vectorul de poziie, este lesne de tras
concluzia c operatorul coordonat este egal cu el nsui, deci tot un operator de nmulire.
Din modul cum am scris expresia operatorului energiei cinetice se poate observa c operatorul
impuls se exprim n funcie de operatorul vectorial (nabla):
21
= =
+
+
(2.12)
n felul acesta, apelnd la coninutul principiului de coresponden, se pot deduce
operatorii tuturor mrimilor observabile ce caracterizeaz sistemul cuantic examinat.
Produsul scalar a dou funcii de stare, notat (1 , 2) este un numr egal cu integrala
de mai jos:
1, 2 = 1
+
2 (2.13)
unde simbolul * reprezint operaia de conjugare complex, adic nlocuirea unitii
imaginare i cu i , iar integrala de volum se face peste tot spaiul variabilelor spaiale.
innd cont de aceast definiie, s punctm i o proprietate important a operatorilor
cuantici: ei trebuie s fie operatori autoadjunci sau operatori hermitici, adic trebuie s
satisfac urmtoarea relaie referitoare la produsul scalar:
(1 , A 2) = (A1 , 2) (2.14)
relaie n care n primul produs scalar operatorul acioneaz numai asupra funciei
notat cu indicele 2, iar n cel de al doilea produs scalar operatorul acioneaz numai asupra
funciei notat cu indicele 1.
2.1 Semnificaia fizic a funciei de und
Ptratul modulului funciei de und reprezint densitatea de probabilitate , de a
gsi particula la un moment oarecare de timp t n domeniul delimitat de coordonatele , +
, , + , , + , adic n volumul elementar (infinitezimal) dV = dx dy dz :
, = , 2 = 2 (2.15)
Condiia de normare a probabilitilor va conduce la condiia de normare a densitii
de probabilitate:
= = 1
1
0 (2.16)
Deci, funcia de und sau funcia de stare nu are o interpretare fizic nemijlocit, ci
sens fizic are doar ptratul modulului acesteia. Din sensul fizic al funciei de und rezult c
mecanica cuantic are un caracter statistic. Ea nu permite s se determine locul exact din
22
spaiu n care se gsete o microparticul sau traiectoria ei. Cu ajutorul funciei de und se
poate doar prevedea cu ce probabilitate se poate gsi microparticula n diferite puncte
(regiuni) ale spaiului.
Avnd n vedere caracterul statistic al mecanicii cuantice, dac asupra unei
observabile A se efectueaz mai multe msurtori, obinndu-se valoarea a, cu o densitate de
probabilitate , atunci valoarea medie de apariie a acestui rezultat este dat de integrala:
= =
(2.17)
innd cont de ecuaia de valori proprii, aceast relaie se mai poate scrie ca i cum
am nlocui, formal, valoarea proprie a cu operatorul A asociat observabilei respective:
=
(2.18)
Relaia de mai sus reprezint valoarea medie a unui operator n starea . Se observ c
putem identifica valoarea medie a operatorului ntr-o stare cu valoarea medie a msurtorilor
n acea stare i care reprezint chiar valoarea proprie a operatorului n acea stare:
= = (2.19)
Valorile medii, fiind valori msurabile, sunt valori reale, deci:
a = a* , de unde rezult: = . (2.20)
Aceast condiie este ndeplinit numai de operatorii hermitici i de aceea este nevoie
ca operatorii cuantici s fie operatori hermitici, iar funcia de stare n care se face
msurtoarea s fie neaprat o funcie proprie a operatorului A .
Dac funcia de stare n care se face msurtoarea, notat cu , nu este o funcie
proprie a operatorului A, atunci sigur nu se va obine, drept rezultat al msurtorii, valoarea
proprie a, ci o alt valoare.
Aceasta este cu att mai "deprtat" de valoarea a , cu ct este mai "deprtat" funcia
de funcia . Ca o msur a acestei deosebiri se utilizeaz incertitudinea sau
nedeterminarea mrimii A, definit ca rdcina ptrat din abaterea ptratic medie:
= 2 = 2 2 (2.21)
Funciile proprii ale operatorilor hermitici trebuie s fie funcii ortogonale, adic
produsul lor scalar s fie egal cu zero.
Aceasta nseamn c putem scrie relaia de ortonormare:
23
= (2.22)
unde nm este simbolul lui Kronecker, ale crui valori sunt urmtoarele: dac n = m,
atunci nm = 1 i avem relaia de normare, iar dac n m , atunci nm = 0 i avem relaia de
ortogonalitate.
2.2 Ecuaia Schrdinger pentru particula liber
S considerm o particul liber nerelativist de mas m avnd impulsul = 1 i
energia E. Particula poate fi descris de o und plan monocromatic de pulsaie =
i
vector de und = 1 , cu =
:
, =
(2.23)
Calculnd derivata temporal i derivata spaial pentru funcia de und ataat
particulei obinem:
=
= (2.24)
Ecuaiile de acest tip n care un operator matematic (n cazul de fa
i
)
acionnd asupra unei funcii reproduce funcia pn la o constant multiplicativ (n acest caz
sau ) au o semnificaie major n ceea ce privete nelegerea comportrii sistemelor
cuantice.
Pentru funcia de und (2.23) calculnd derivata a doua dup x obinem:
2
2=
2
2 (2.25)
innd cont de (2.24) i de faptul c 2 = 2, ecuaia (2.25) devine:
2
2
2 ,
2=
,
(2.26)
Aceasta este ecuaia Schrdinger temporal pentru o particul liber care se mic de-
a lungul axei Ox. Aceast ecuaie este o ecuaie liniar i omogen care, n msura n care
24
funcia , este cunoscut la un moment de timp oarecare 0 permite obinerea funciei
la orice moment de timp.
n cazul n care particula se deplaseaz liber dup o direcie oarecare n spaiu, avnd
impulsul , de modul = 2 + 2 + 2 , bine determinat i energia =2
2 , aceasta este
descris de unda plan:
, = (2.27)
avnd vectorul de und =
i pulsaia =
.
Analog cu cazul unidimensional, se poate verifica faptul c funcia de und (2.27)
satisface ecuaia cu derivate pariale:
2
2
2
2+
2
2+
2
2 , =
,
(2.28)
Cu ajutorul operatorului lui Laplace:
= 2=2
2+
2
2+
2
2
ecuaia (2.28) se scrie:
2
2 , =
,
(2.29)
Aceasta este ecuaia Schrdinger tridimensional pentru o particul liber.
Ecuaia (2.29) este satisfcut i de o suprapunere liniar de unde plane de tipul (2.27),
n particular de un pachet de unde de forma:
, =1
2 3 2
(2.30)
care descrie o particul liber a crei nelocalizare depinde de funcia -
reprezentnd amplitudinea undei plane corespunztoare impulsului al particulei.
2.3 Descrierea cuantic a atomului de hidrogen
n atomul de hidrogen un singur electron se mic n cmpul de fore a nucleului
atomic. Acest cmp de fore are o simetrie sferic. Energia electronului, potenial, depinde
25
numai de distana pn la centru de atracie, nucleul, care se presupune a fi plasat n originea
sistemului de coordonate.
n tratarea acestei probleme se vor face doua ipoteze:
1) nucleul este n repaus fa de un sistem de referin inerial.
Nucleul atomic avnd masa mai mare dect a electronului, centru de mas
nucleu electron coincide cu nucleul.
2) cmpul electric al nucleului va fi asimilat cu cmpul electric creat de o
sarcin punctiform, aceasta datorit dimensiunilor foarte mici ale nucleului 1014 n
comparaie cu distana electron nucleu 1010 .
Micarea electronului n jurul nucleului este determinat de interaciunea coulombian
dintre electron i nucleu, care se manifest ca o for de atracie asupra electronului i a crei
expresie este dat de legea lui Coulomb:
=2
402 (2.31)
ntre electron i nucleu se manifest interaciuni electrostatice, astfel nct energia
potenial electrostatic a sistemului este:
= 2
40 (2.32)
Pentru a determina strile staionare ale unui atom de hidrogen se va folosi ecuaia lui
Schrdinger independent de timp, care se va scrie sub forma:
2
2+
2
2+
2
2+
20
+
2
40 = 0 (2.33)
Datorit simetriei sferice a cmpului de fore al nucleului se consider un sistem de coordonate sferice (r, , ) cu originea n punctul n care se afl nucleul.
Ecuaia lui Schrdinger n coordonate sferice devine:
1
2
2
+
1
2
+
+1
2 2
2
2+
20
+
2
40 = 0 (2.34)
i se rezolv prin metoda separrii variabilelor.
Se presupune c funcia de und poate fi scris ca un produs a trei funcii ce depind fiecare de cte o variabil:
, , = = , (2.35)
Atunci:
26
2
2
R
+
2
1
Y
+
1
2
2Y
2 +
+20
+
2
40 = 0 (2.36)
nmulind aceast relaie cu 2
se obine:
1
2
R
+
1
1
Y
+
1
2
2Y
2 +
+20
2
+
2
40 = 0 sau
1
2
R
+
202
+
2
40 = (2.37)
= 1
1
Y
+
1
2
2Y
2 =
unde este o constant de separare, introdus deoarece variabilele r, , sunt independente.
Ecuaia (2.37) poate fi scris sub forma a dou ecuaii independente:
1
2
R
+
202
+
2
40 = (2.38)
1
Y
+
1
2
2Y
2+ = 0 (2.39)
Utiliznd notaiile:
2 =20
+
2
40 (2.40)
r =1
2
2
(2.41)
obinem:
r + 2
2 = 0 (2.42)
Aceasta este ecuaia radial pentru atomul de hidrogen.
2.3.1 Rezolvarea ecuaiilor momentului cinetic
innd cont c , = i nmulind ecuaia (2.39) cu 2
, se obine:
+ 2 =
1
2
2= (2.43)
unde B este o alt constant de separare, adic
+ (2 ) = 0 (2.44)
i 2
2+ = 0 (2.45)
27
Acestea sunt ecuaiile unghiulare (polar i azimutal) pentru atomul de hidrogen.
Ecuaia (2.45) este similar oscilatorului armonic clasic i are soluia:
= 0ei B (2.46)
Pentru a asigura periodicitatea funciei (ea are o perioad 2 , adic, deoarece sistemul
trece n el nsui la o rotaie cu unghiul 2 n jurul axei Oz), exponentul din (2.46) trebuie s
fie un numr complex; ca urmare, constanta B trebuie s fie un numr real pozitiv. De aceea,
se alege:
= 2 (2.47)
i atunci (2.46) devine:
= 0eim (2.48)
Amplitudinea 0 se obine din condiia de normare adic:
0 =1
2 (2.49)
Deoarece = + 2 , relaia (2.48) conduce la:
2 = cos 2 + 2 = 1 (2.50)
Partea imaginar a acestei relaii trebuie s lipseasc, deoarece membrul drept este un
numr real. Acest lucru este posibil doar dac m este numr ntreg:
= 0, 1, 2, . (2.51)
Acest numr cuantic se numete numr cuantic azimutal. n unele cazuri concrete, n
care particula n rotaie este electrizat, m se numete numr cuantic magnetic.
Introducnd n (2.44) o nou variabil x = cos , considernd derivatele dup x i
innd cont de condiiile ce se impun funciei de und observm c trebuie s fie produsul
a dou numere naturale consecutive:
= + 1 , = 0, 1, 2, 3, . (2.52)
unde l este numrul cuantic orbital, iar soluiile sunt de forma:
=
2+1
2
!
+ ! Pl
m cos (2.53)
unde Plm cos sunt polinoamele Legendre asociate.
28
Este necesar ca numerele cuantice m i l , corespunztoare celor dou grade de
libertate, s satisfac condiia l m 0 ; pentru o valoare dat numrului cuantic orbital l ,
m poate avea 2l + 1 valori,
= 0, 1, 2, . , (2.54)
Lund n considerare toate aceste condiii soluia ecuaiei unghiulare se obine sub
forma:
Y , =
2+1
4
!
+ ! sin
1
2 !
d+ sin 2l
d cos + exp im (2.54)
Calculnd soluia ecuaiei lui Schrdinger pentru partea radiala a funciei de und se
observ dependena energiei i a razei de numrul cuantic principal n.
29
Capitolul 3. APLICAII ALE ECUAIEI LUI SCHRDINGER
Ecuaia lui Schrdinger este implicat n numeroase fenomene cuantice, dintre care
vom examina cteva. Pentru uurina calculelor vom considera doar problema
unidimensional, deci funcia de und va depinde doar de variabila x, iar operatorul lui
Laplace se va reduce la derivata a doua n raport cu x.
3.1 Groapa de potenial de adncime infinit
Prin acest concept se nelege o distribuie de potenial de forma (fig. 3.1):
= 0, 0 ,
, , 0 , + (3.1)
S examinm comportarea unei microparticule de mas m, care se gsete n interiorul
gropii. Deci funciile de und din exteriorul gropii vor fi zero, adic 1(x) = 3(x) = 0, iar
2(x) (x) 0.
Ecuaia lui Schrdinger a strilor staionare, pentru particula aflat n groapa de
potenial este:
2
2+
2
2 = 0 (3.2)
Mrimea din faa funciei de und are dimensiunile ptratului modulului vectorului de
und i de aceea o vom nota cu k2:
fig. 3.1
30
2 =2
2 (3.3)
Se verific prin calcul direct, c soluia ei general este:
= + (3.4)
Din punct de vedere fizic, aceast soluie general este o suprapunere de dou unde
armonice plane au acelai modul al vectorului de und (au aceeai pulsaie): una de
amplitudine A, care se deplaseaz n sensul pozitiv ala axei x (unda direct) i cealalt, de
amplitudine B, care se deplaseaz n sensul negativ al axei x (unda reflectat).
Condiia de continuitate n punctul x = 0 (peretele din stnga):
1 0 = 0 = 0, conduce la: A = - B, (3.5)
ceea ce face ca expresia funciei de und s devin:
= = 2 (3.6)
unde am inut cont de formulele lui Euler referitoare la exprimarea funciilor
trigonometrice prin exponeniale complexe.
Condiia de continuitate la peretele din dreapta, situat n punctul x = l conduce la
relaia:
= 3 = 0 , de unde se obine: 2 = 0 (3.7)
Deoarece amplitudinea A a undei directe trebuie s fie diferit de zero, rezult
urmtoarea condiie:
= 0 , de unde =
, (3.8)
unde n = 0, 1, 2, ... este un numr ntreg. Deci modulul vectorului de und nu poate lua
orice valoare, ci numai anumite valori specificate de numrul ntreg n. De aceea, pentru a
deosebi diferitele funcii de und, corespunztoare diferitelor valori ale numrului ntreg n, i
vom ataa acesteia indicele n. Deci funciile de und vor fi:
= = 2
(3.9)
Valoarea constantei A se gsete din condiia de normare:
0 = 1 (3.10)
astfel c expresia final a funciei de und va fi:
31
= 2
1
2
(3.11)
Ea reprezint o und staionar (o und a crei amplitudine este exprimat printr-o
funcie periodic de variabila spaial x), care are un numr de n + 1 noduri (puncte unde
amplitudinea este egal cu zero), dintre care dou noduri la pereii gropii i restul n interior i
are un numr de n 1 ventre (puncte unde amplitudinea este maxim).
Modulul vectorului de und, fiind legat de energia total a microparticulei:
2 =2
2 =
2
, rezult: =1
2
2
2 (3.12)
Ultima relaie arat c energia microparticulei aflate ntr-o groap de potenial infinit
de adnc nu poate lua orice valoare, ci numai anumite valori discontinue sau discrete, care
depind de numrul ntreg n. Se spune c energia microparticulei aflate n interiorul gropii de
potenial infinit de adnci este cuantificat, iar numrul ntreg n, care cuantific energia, se
numete numr cuantic principal.
Spectrul energetic nu este, deci, n acest caz, un spectru continuu, ci un spectru
discontinuu sau un spectru discret. Nivelele energetice nu sunt echidistante, ci distana dintre
ele crete aproximativ proporional cu numrul cuantic principal n:
= +1 =1
2
2 2 + 1 1039 +
1
2 J (3.13)
Ultimul calcul numeric l-am fcut pentru masa m a unei microparticule de ordinul de
mrime al masei unei molecule (~10-26 kg ), iar lrgimea gropii l de ordinul de mrime al unui
vas obinuit (~ 0,1 m). Se observ c distana En dintre dou nivele energetice vecine,
exprimat n J, este extrem de mic, cu mult mai mic dect eroarea de msurare a energiei cu
ajutorul celor mai pretenioase aparate. Ori, pentru a putea fi evideniat cuantificarea
energiei, deci pentru a putea distinge dou nivele energetice vecine, trebuie ca diferena dintre
dou nivele energetice vecine s fie cel puin de acelai ordin de mrime ca i eroarea de
msur a aparatului de msur. Nivelele energetice sunt foarte apropiate, ele sunt practic
percepute ca o distribuie continu de energie. De aceea, chiar dac cuantificarea energiei n
principiu are loc i la nivel macroscopic, ea nu are influen asupra micrii unei particule
macroscopice. Deci, cu att mai mult, pentru corpurile macroscopice cuantificarea energiei nu
se poate observa.
Exemplu. Pentru un electron de mas m = 9,110-31 kg situat ntr-o groap de
potenial de lrgime L = 1 cm, se obine:
32
fig. 3.2
En = n2 1015 eV E = En+1 En = (2n + 1) 10
15 eV
Diferena dintre dou nivele energetice succesive este att de mic, nct se poate
considera c - n mod practic - avem de-a face cu un ir continuu de energii.
Dac groapa de potenial are dimensiuni atomice, L = 10 , atunci :
En = 0,1 n2 eV E = (2n + 1) 0,1 eV o diferen de ordinul eV care este
sesizabil. Caracterul discret al energiei nivelelor este mai evident pentru corpuri cu mase
mici i pentru dimensiuni mici ale domeniului n care are loc micarea.
3.2 Bariera de potenial de lrgime i nlime finit
Bariera de potenial de lrgime i nlime finit este o distribuie de potenial de
forma ():
= 0, 0 ,
0 , , 0 , + (3.14)
S considerm c o microparticul de mas m se mic n sensul pozitiv al axei Ox,
venind din regiunea I, situat n partea stng. Din punctul de vedere al mecanicii clasice,
dac energia total E a microparticulei este mai mic dect nlimea U0 a barierei de
potenial, particula nu poate ptrunde n interiorul barierei de potenial (regiunea II), ci sufer
fenomenul de reflexie total la peretele din stnga a barierei, situat n punctul x = 0.
Din punctul de vedere al mecanicii cuantice, exist o probabilitate diferit de zero ca
microparticula, dei are energia mai mic dect nlimea barierei, adic E < U0 , s traverseze
33
bariera de potenial i s ajung n regiunea III, dincolo de peretele din dreapta, situat n
punctul de coordonat x = l. Acest fenomen de traversare a barierei de potenial se numete
efectul tunel i a fost descoperit n 1928 de George Gamow. Ecuaiile lui Schrdinger pentru
regiunile I i III, unde potenialul este zero, respectiv regiunea II unde este situat bariera de
potenial, sunt:
21,3
2+
2
2 1,3 = 0 (3.15)
22
2+
2
2 2 = 0 (3.16)
Utiliznd notaiile consacrate pentru cazul de interes practic, cnd energia
microparticulei este mai mic dect nlimea barierei, atunci mrimea k2 este imaginar, iar
partea ei real se noteaz cu 2:
1 = 2
2 ; 2 = 2 =
2
2 0 (3.17)
astfel c soluiile generale ale acestor ecuaii vor fi:
1 = 1d + 1r = 1 1 + 1
1
2 = 2t + 2r = 2 2 + 2
2 (3.18)
3 = 3t = 3 1
n care indicii 1, 2 i 3 se refer la regiunea respectiv de potenial, iar d se refer la
unda direct (incident), r la unda reflectat, iar t unda transmis (refractat).
S scriem condiiile de continuitate n punctele x = 0 i x = l ale funciilor de und i
ale derivatelor acestora:
1 0 = 2 0 ; 2 = 3 (3.19)
1
=0=
2
=0 ;
2
==
3
= (3.20)
Acestea conduc la urmtorul sistem de ecuaii algebrice:
1 + 1 = 2 + 2
22 + 2
2 = 3 1
1 1 1 = 2 2 2
2 22 + 2
2 = 13 1
(3.21)
n acest sistem algebric de 4 ecuaii, amplitudinea A1 a undei directe (incidente) este o
mrime cunoscut, iar cele 4 amplitudini necunoscute sunt: B1 amplitudinea undei reflectate
34
de peretele din stnga al barierei; A2 amplitudinea undei transmise n regiunea barierei de
potenial; B2 amplitudinea undei reflectate de peretele din dreapta al barierei i A3
amplitudinea undei transmise n regiunea III, dincolo de bariera de potenial. Sistemul este
compatibil, ns, pentru studiul efectului tunel ne intereseaz s exprimm doar raportul dintre
amplitudinea undei transmise n mediul III i amplitudinea undei incidente:
3
1=
4 12 1
2+1 2 2 21 2 2 (3.22)
O mrime caracteristic pentru descrierea efectului tunel este transparena barierei de
potenial, definit ca modulul raportului dintre densitatea superficial a curentului de
probabilitate transmis n regiunea a III-a i densitatea superficial a curentului de probabilitate
incident:
= 3
1 =
3
1
2
= 3
1
3
1
(3.23)
relaie n care am indicat c este necesar i conjugarea complex a raportului
amplitudinilor.
n practic, efectul tunel se produce dac este realizat condiia 22l 1, caz n care
exponeniala cu acest exponent este cu mult mai mare dect 1 i acesta poate fi neglijat.
Condiia de mai sus nu este artificial impus, ci ea este legat de relaiile de nedeterminare
coordonat - impuls. Consecina direct a valabilitii ei este o simplificare considerabil a
expresiei transparenei barierei de potenial:
=161
222
22+1
2 2
22 022 (3.24)
Se observ, deci, c transparena barierei scade exponenial cu limea acesteia i,
bineneles, cu energia microparticulei.
Expresia de mai sus a transparenei barierei poate fi generalizat i pentru o barier de
o form oarecare, descris de funcia energiei poteniale de forma general, U = U(x), definit
pe domeniul [x1 , x2]. Dup calcule similare, se ajunge la formula integral:
= 0 exp 2
2
21
(3.25)
Cu ajutorul efectului tunel pot fi explicate o serie de fenomene cum ar fi: emisia la
rece a electronilor din metale, dezintegrarea , reaciile termonucleare, sisteme de memorie,
etc.
35
Bibliografie
1. M. Puchin, Fizica, Editura SITECH, Craiova, 2000;
2. C. Presur, Fizica povestit, Editura Humanitas, Bucuresti, 2014;
3. N. Mazilu, M Porumbreanu, Devenirea mecanicii cuantice, Editura Libris, Braov,
2011;
4. R. Omns, Interpretarea mecanicii cuantice, Editura Tehnica, Bucureti, 1999;
5. N.Bohr, Convorbiri cu Einstein asupra problemelor epistemologice din fizica atomica,
in Fizica atomica si cunoaterea umana, Editura tiinifica, Bucureti,1969;
6. N. Bohr, Introductory Survey, in Atomic Theory and the Description of Nature,
Cambridge University Press, Cambridge, 1934;
7. Henry P Stapp, Ratiune, materie si mecanica cuantica; Editura Tehnica, Bucuresti
1998;
8. Asher Peres, Quantum Theory: Concepts and Methods, Kluwer Academic Publishers,
New York, 2002;
9. C. Motoc, Mecanica cuantica. Fizica solidului. Fizica nucleara. Fizica particulelor
elementare. Vol. 2, Universitatea Politehnica Bucuresti, Editura All, 2001;
10. I.I. Cotescu, Sisteme oscilante n relativitatea general, Editura MIRTON Timioara,
1998;
11. C. Dariescu, M. A. Dariescu, I. Gottlieb , Cmpuri cuantice libere, Editura BIT, Iai,
2000;
12. E.H. WICHMANN, Fizica cuantic, Cursul de fizic Berkeley, vol. IV, Editura
Didactic i Pedagogic, Bucureti, 1983;
13. . IEICA, Mecanica cuantic, Editura Academiei, Bucureti, 1984
